Issuu on Google+

Së GD & §t nghÖ an Tr−êng THPT §Æng thóc høa

sin4x + cos2x

∫ sin x + cos x dx 6

6

tÝch ph©n 6 6 dx 1 ( x +1) - ( x -1) I= ∫ 8 = dx = ... x +1 2 ∫ x 8 +1

Gi¸o viªn : Ph¹m Kim Chung Tæ : To¸n

N¨m häc : 2007 - 2008


"

12

bµi gi¶ng tÝch ph©n



Ph¹m Kim Chung

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

“ Thùc ra trªn mÆt ®Êt lμm g× cã ®−êng, ng−êi ta ®i l¾m th× thμnh ®−êng th«i ! ” - Lç TÊn -

ViÕt mét cuèn tμi liÖu rÊt khã, ®Ó viÕt cho hay cho t©m ®¾c l¹i ®ßi hái c¶ mét ®¼ng cÊp thùc sù ! Còng may t«i kh«ng cã t− t−ëng lín cña mét nhμ viÕt s¸ch, còng kh«ng hy väng ë mét ®iÒu g× ®ã lín lao v× t«i biÕt n¨ng lùc vÒ m«n To¸n lμ cã h¹n .. Khi t«i cã ý t−ëng viÕt ra nh÷ng ®iÒu t«i gom nhÆt ®−îc t«i chØ mong sao qua tõng ngμy m×nh sÏ lÜnh héi s©u h¬n vÒ m«n To¸n s¬ cÊp..qua tõng tiÕt häc nh÷ng häc trß cña t«i bít b¨n kho¨n, ng¬ ng¸c h¬n.. Vμ nÕu cßn ai ®äc bμi viÕt nμy nghÜa lμ ®©u ®ã t«i ®ang cã nh÷ng ng−êi thÇy, ng−êi b¹n cïng chung mét niÒm ®am mª sù diÖu k× To¸n häc .

dx ∫ x8 + 1

=

Thö gi¶i mét bμi to¸n khã…... nh−ng ch−a thËt hμi lßng ! ⎡ ⎤ 1 ( x + 1) - ( x - 1) 1 ( x + 1) ⎣( x - 2x + 1) + ( 2 - 1) x ⎦ 1 (x = dx = dx + 6

2∫

(x

4

2

6

+ 1) - ( 2x 2

1 x2 + 1 dx + ∫ 4 2 x + 2x 2 + 1

(

)

2∫

2 2

)

2 -1 2

4

(x ( x + 1) x

4

2

∫ (x

4

2

2

+ 1) - ( 2x 2

)

2 2

2

)(

)

- 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1

dx +

2∫

2

(

) (

)

- 1) ⎡ x 4 - 2x 2 + 1 + 2 + 1 x 2 ⎤ ⎣ ⎦ dx 2 4 2 2 x + 1 2x ( ) ( )

1 x2 - 1 dx + ∫ 4 2 x + 2x 2 + 1

(

)

2 +1 2

∫ (x

(x 4

2

- 1) x 2

)(

)

- 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1

1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 1 1 1+ 2 1- 2 ⎜ 1+ 2 ⎟ dx ⎜ 1 - 2 ⎟ dx 2 -1 2 + 1 1 1 x ⎠ x ⎠ ⎝ ⎝ x x = ∫ dx + + dx + 2 2 ∫ ⎡⎛ 1 ⎞2 ∫ ⎡⎛ 1 ⎞ 2 2 2 2 ⎛ 2 2 ⎤ ⎡⎛ ⎤ ⎤ ⎡⎛ ⎤ 2∫⎛ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 - 2 ⎥ ⎢ ⎜ x - ⎟ + 2 - 2 ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 + 2 ⎥ ⎜x - ⎟ +2+ 2 ⎜x + ⎟ - 2- 2 x⎠ x x x x x ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ d⎜x - ⎟ d⎜x - ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x - ⎟ 2 1 2 1 2 + 1 2 + 1 1 1 x x x x x⎠ x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ + + ∫ + = ∫ 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 2 2 ⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 4 2 4 2 4 2 4 2 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 - 2 ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 - 2 ⎥ ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎜x - ⎟ +2+ 2 x⎠ x⎠ x⎠ x⎠ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦

(

)

(

(

(

)

(

)

)

(

(

)

(

1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎜x + ⎟ - 2+ 2 2+ 2 2- 2 2- 2 2 + 2 x x⎠ ⎠ = u+ v+ ln ⎝ + ln ⎝ +C 1⎞ 1⎞ 8 8 16 16 ⎛ ⎛ ⎜x + ⎟+ 2- 2 ⎜x + ⎟+ 2+ 2 x⎠ x⎠ ⎝ ⎝

(

Víi x -

)

)

(

)

(

(

1 = 2 + 2 tgu = 2 - 2 tgv x

)

)

)

(

)

)

(NÕu dïng kÕt qu¶ nμy ®Ó suy ng−îc cã t×m ®−îc lêi gi¶i hay h¬n ?.. ) _____________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

__________________________________

(Trang

1


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

PhÇn lý thuyÕt

§Þnh nghÜa : Gi¶ sö f(x) lμ mét hμm sè liªn tôc trªn mét kho¶ng K, a vμ b lμ hai phÇn tö bÊt k× cña K, F(x) lμ mét nguyªn hμm cña f(x) trªn K . HiÖu sè F(b) - F(a) ®−îc gäi lμ tÝch ph©n tõ a ®Õn b cña f(x) vμ ®−îc kÝ hiÖu lμ b b ∫a f ( x )dx . Ta dïng kÝ hiÖu F ( x ) a ®Ó chØ hiÖu sè : F(b) – F(a) b

C«ng thøc Newton – Laipnit :

∫ f ( x )dx =

F (x)

a

1

VÝ dô :

2 ∫ x dx = 0

b = F(b) – F(a) a

x3 1 1 3 1 = (1 − 03 ) = 3 0 3 3 b

Chó ý : TÝch ph©n

∫ f ( x )dx

chØ phô thuéc vμ f, a vμ b mμ kh«ng phô thuéc vμo kÝ hiÖu biÕn sè tÝch ph©n . V× vËy ta

a

b

cã thÓ viÕt : F(b) – F(a) =

∫ f ( x )dx =

b

b

a

a

∫ f ( t )dt = ∫ f ( u )du ...

a

C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n . a

1.

∫ f ( x )dx = 0 a

2.

b

a

a

b

∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx b

3.

b

b

a

a

∫ ⎡⎣αf ( x ) ± βg ( x )⎤⎦dx = α ∫ f ( x )dx ± β∫ g ( x )dx a

e

e e e e 3⎞ 1 ⎛ VD : ∫ ⎜ 2x + ⎟dx = 2∫ xdx + 3∫ dx = x 2 + 3 ln x = ( e2 − 1) + 3 (1 − 0 ) = e2 + 2 1 1 x⎠ x 1⎝ 1 1

4.

c

b

a

a

c

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx b

1

VD :

−1

0

x dx =

−1

1

0

1

0

−1

0

x dx + ∫ x dx = − ∫ xdx + ∫ xdx = −

x2 0 x2 1 + =1 2 −1 2 0

b

5. f(x) ≥ 0 trªn ®o¹n [a ; b] ⇒

∫ f ( x )dx ≥

0

a

b

6. f(x) ≥ g(x) trªn ®o¹n [a ; b] ⇒

b

∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx a

a

VD : Chøng minh r»ng :

π 2

π 2

0

0

∫ sin2xdx ≤ 2∫ sinxdx b

7.

m ≤ f(x) ≤ M

trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ m(b – a) = m ∫ dx ≤ a

b

b

a

a

∫ f ( x )dx ≤ M ∫ dx = M(b – a)

2

1⎞ 5 ⎛ VD : Chøng minh r»ng : 2 ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x⎠ 2 1⎝ 5 1 trªn ®o¹n [1; 2] ta cã : max y = ; min y = 2 HD . Kh¶o s¸t hμm sè y = x + [1;2] [1;2] 2 x

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

2


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

2 2 2 2 2 2⎛ 1⎞ 5 2 1⎞ 5 1⎞ 5 ⎛ ⎛ Do ®ã : 2∫ dx ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ ∫ dx ⇒ 2x ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x ⇒ 2 ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ 1 1 x 2 x 2 x 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1

PhÇn ph−¬ng ph¸p

Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : t = v(x) . 1 x dx VD . TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ 2 0 x +1 §Æt : t = x 2 + 1 . Khi x= 0 th× t=1, khi x=1 th× t=2 . dt Ta cã : dt = 2xdx ⇒ = xdx . Do ®ã : 2 1 2 2 1 x 1 dt 1 I=∫ 2 dx = ∫ = ln t = ln 2 1 2 21 t 2 0 x +1 b

b

a

a

∫ f ( x )dx = ∫ g ( v ( x ) )v' ( x ) dx

Quy tr×nh gi¶i to¸n .

B−íc 1 . §Æt t = v(x) , v(x) cã ®¹o hμm liªn tôc, ®æi cËn . B−íc 2 . BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt v ( b)

B−íc 3 . TÝnh

g ( t )dt .

v(a)

Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : e2

1.

e

2

dx x ln x

2.

3.

2

1

π 2

5.

∫ ( 2x − 1) 1

dx ∫π sin3 x

6.

3

1

dx

x 2 dx ∫0 x 3 + 1

4.

2

4

dx

∫ ( 2x + 1)

7.

x +1

0

dx

∫ x (1 + 1

4

x

xdx 4 −1

∫x

)

Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : x = u(t) . 1

VD . TÝnh tÝch ph©n :

sinx

1 − x 2 dx

0

π ⎛ ⎡ π π⎤⎞ §Æt x = sint ⎜ t ∈ ⎢ − ; ⎥ ⎟ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t= 2 ⎣ 2 2⎦ ⎠ ⎝ π ⎤ ⎡ VËy víi x = sint th× x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ vμ dx = costdt . ⎣ 2⎦

O

cosx

1

Do ®ã : ∫ 1 − x dx = 2

0

π 2

∫ 0

1 − sin t cos tdt = 2

π 2

π 2

∫ cos t cos tdt = ∫ cos 0

2

tdt =

0

π 2

π 1 + cos 2t 1⎛ 1 π ⎞ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ 2 = =∫ 2 2⎝ 2 ⎠0 4 0 b

Quy tr×nh gi¶i to¸n .

∫ f ( x )dx a

B−íc 1 . §Æt x = u(t), t ∈ ⎡⎣α; β⎤⎦ sao cho u(t) cã ®¹o hμm liªn tôc trªn ®o¹n ⎡⎣α; β⎤⎦ , f(u(t)) ®−îc x¸c ®Þnh trªn ®o¹n ⎣⎡α; β⎦⎤ vμ u ( α ) = a; u ( β ) = b .

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

3


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

B−íc 2 . BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt β

B−íc 3 . TÝnh

∫ g ( t )dt

.

α

Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 1 2

1

dx 1. ∫ 1 + x2 0

2.

4. x

1− x

0

1

1

dx

3.

2

∫x 0

5 2

1

2

1 − x 2 dx

5. x

0

3

2

1 + x 2 dx

6.

0

dx + x +1 5+x dx ( §Æt x=5cos2t) 5−x

∫ 0

Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : u(x) = g(x,t) 1

VD1 . TÝnh tÝch ph©n : I =

1 + x 2 dx

0

t2 − 1 2t t2 + 1 Khi x =0 th× t= -1, khi x=1 th× t= 1 − 2 vμ dx = dt . Do ®ã : 2t 2 1− 2 1− 2 4 1− 2 1− 2 1− 2 1 t + 2t 2 + 1 1⎛ 1 1 ⎞ − t2 − 1 t2 + 1 I= ∫ . 2 dt = − dt tdt 2 dt dt ⎟ = = − + + ⎜ 3 ∫ ∫ ∫ ∫ ⎜ 2t 2t 4 −1 t 4 ⎝ −1 t t 3 ⎟⎠ −1 −1 −1

§Æt

C¸ch (1)

= −

1 + x 2 = x - t ⇒ 1 = -2xt + t 2 ⇒ x =

1− 2 1 t2 1 − 2 1 1 1− 2 − ln t + 2 = − ln 8 −1 2 8t 2 −1 −1

(

)

2 −1 +

2 2

π ⎡ π⎤ C¸ch (2) : §Æt x=tgt , do x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t = 4 ⎣ 4⎦ 1 dt . Do ®ã : vμ dx= cos2 t 1

1 + x 2 dx =

0

π 4

∫ 0

1 1 + tg 2 t dt = cos 2 t

π

2

π 4

2

π 4

∫ 0

π

π

4 4 1 1 1 cos t dt dt dt = = = 2 3 4 ∫ ∫ cos t cos t 0 cos t 0 cos t

π 4

∫ 0

d ( sin t )

(1 − sin t ) 2

2

=

2

π

⎤ 1 1 4 ⎡ (1 − sin t ) + (1 + sin t ) ⎤ 14⎡ 1 = ∫⎢ + ⎥ d ( sin t ) = ∫ ⎢ ⎥ d ( sin t ) = 4 0 ⎣ (1 − sin t )(1 + sin t ) ⎦ 4 0 ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ π

π

π

⎤ d ( sin t ) 1 ⎡ 1 1 1 4 d (1 − sin t ) 1 4 1 4 d (1 + sin t ) = = ∫⎢ + + ∫ + ∫ ⎥ d ( sin t ) = − ∫ 2 4 0 ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ 4 0 (1 − sin t ) 2 0 (1 − sin t )(1 + sin t ) 4 0 (1 + sin t )2 π π π π 1 2 1 ⎡ 1 1 ⎤ 1 1 + sin t 1 sin t 1 1 + sin t = − ln 2 − 1 + = .⎢ . ln − + = + ln 4 4 4 4 2 ⎥ 2 2 4 ⎣1 − sin t 1 + sin t ⎦ 0 4 1 − sin t 0 2 cos t 0 4 1 − sin t 0

(

)

B×nh luËn : Bμi to¸n nμy cßn gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . Cßn víi 2 c¸ch gi¶I trªn râ rμng khi b¾t gÆp c¸ch 1) ta nghÜ r»ng nã sÏ chøa ®ùng nh÷ng phÐp tÝnh to¸n phøc t¹p cßn c¸ch 2) sÏ chøa nh÷ng phÐp tÝnh to¸n ®¬n gi¶n h¬n. Nh−ng ng−îc l¹i sù suy ®o¸n - c¸ch 2) l¹i chøa nh÷ng phÐp tÝnh to¸n dμi dßng vμ nÕu qu¶ thËt kh«ng kh¸ tÝch ph©n th× ch−a h¼n ®· lμ ®−îc hoÆc lμm ®−îc mμ l¹i dμi dßng h¬n . 1

VD2 . TÝnh tÝch ph©n : I =

∫ 0

ª 0974.337.449

___________________________

1 1 + x2

dx

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

4


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

t2 − 1 2t t2 + 1 dt . Do ®ã : Khi x =0 th× t= -1, khi x=1 th× t= 1 − 2 vμ dx = 2t 2 1− 2 1− 2 −2t t 2 + 1 1 I= ∫ 2 . dt = − dt = 2 ∫ t + 1 2t t −1 −1 1 + x 2 = x - t ⇒ 1 = -2xt + t 2 ⇒ x =

§Æt

C¸ch (1)

1− 2

= − ln t

−1

= − ln

(

)

2 −1

π ⎡ π⎤ C¸ch (2) : §Æt x=tgt , do x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t = 4 ⎣ 4⎦ 1 dt . vμ dx= cos2 t 1

Do ®ã :

∫ 0

π 4

1 1 + x2

dx = ∫ 0

π

π

π

4 4 4 cos t 1 1 cos t dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt = 2 2 2 2 cos t cos t cost cos t 1 + tg t 0 0 0

1

=

π 4

d ( sin t )

∫ (1 − sin t ) 2

=

0

π 1 1 − sin t ln 4 = − ln 2 1 + sin t 0

(

)

2 −1 .

Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 2

1.

2

x 2 − 1dx

2.

1

1 2

4.

∫1+ 0

x − 4x + 3 2

x2 − 1

1

−1

dx

5.

∫ 1+

−2

0

x2

dx

3.

1 − 2x − x

6.

2

x 2 + 2x + 2dx

−1 1

dx

∫x+ 0

xdx x2 − 1

Chó ý : Khi ®øng tr−íc mét bμi to¸n tÝch ph©n, kh«ng ph¶i bμi to¸n nμo còng xuÊt hiÖn nh©n tö ®Ó chóng ta sö dông ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè . Cã nhiÒu bμi to¸n ph¶i qua 1 hay nhiÒu phÐp biÕn ®æi míi xuÊt hiÖn nh©n tö ®Ó ®Æt Èn phô ( sÏ nãi ®Õn ë phÇn Ph©n Lo¹i C¸c d¹ng To¸n )

Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . NÕu u(x) vμ v(x) lμ hai hμm sè cã ®¹o hμm liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] th× : b b b u x v' x dx = u x .v x - v ( x )u' ( x ) dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫a a ∫a hay b

∫ u ( x )dv = ( u ( x ) .v ( x ) ) a

b b - v ( x )du a ∫a

π 2

VD1. TÝnh

∫ x cos xdx 0

⎧du = dx ⎧u=x §Æt ⎨ , ta cã : ⎨ ⎩dv = cos xdx ⎩ v = sin x

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

5


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

π 2

π

π 2 π π π ∫0 x cos xdx = ( x sin x ) 2 − ∫0 sin xdx = 2 + cosx 2 = 2 − 1 0 0 NhËn xÐt : Mét c©u hái ®Æt ra lμ ®Æt

⎧u = cosx ⎨ ⎩ dv = xdx

cã ®−îc kh«ng ?

π 2

Ta h·y thö :

π

π ⎛ x2 ⎞ 12 2 = x cos xdx cosx ⎜ ⎟ 2 + ∫ x sin xdx , râ rμng tÝch ph©n ∫0 ⎝ 2 ⎠ 0 20

π 2

∫x

2

sin xdx cßn phøc t¹p h¬n tÝch

0

ph©n cÇn tÝnh . VËy viÖc lùa chän u vμ dv quyÕt ®Þnh rÊt lín trong viÖc sö dông ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . Ta h·y xÐt mét VD n÷a ®Ó ®i t×m c©u tr¶ lêi võa ý nhÊt ! 2 ln x VD2. TÝnh ∫ 5 dx x 1 1 ⎧ ⎪u = 5 Ta thö ®Æt : ⎨ x ⎪⎩ dv = ln xdx

râ rμng ®Ó tÝnh v= ∫ ln xdx lμ mét viÖc khã kh¨n !

1 ⎧ ⎪⎪ du = x ta cã : ⎨ ⎪ v = 1 dx = − 1 ∫ x5 ⎪⎩ 4x 4 2 2 ln x ln 2 1 ⎛ 1 ⎛ ln x ⎞ 2 1 dx + ⎜− Do ®ã : ∫ 5 dx = ⎜ − 4 ⎟ + ∫ 5 = − 1 x 4x 4 x 64 4 ⎝ 4x 4 ⎝ ⎠ 1 1

⎧ u = ln x ⎪ Gi¶i . §Æt ⎨ 1 ⎪⎩dv = x 5 dx

⎞ 2 15 ln 2 − ⎟1= 256 64 ⎠

NhËn xÐt : Tõ 2 VD trªn ta cã thÓ rót ra mét nhËn xÐt ( víi nh÷ng tÝch ph©n ®¬n gi¶n ) : ViÖc lùa chän u vμ dv ph¶i tho¶ m·n : 1 du ®¬n gi¶n, v dÔ tÝnh . 2 TÝch ph©n sau

( ∫ vdu ) ph¶i ®¬n gi¶n h¬n tÝch ph©n cÇn tÝnh ( ∫ udv ) .

Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 1

x ∫ xe dx

1.

3x

2 . xe dx

0

6 . x sin xdx

∫ ( x − 1)cosxdx

e

7. e x cosxdx

0

π 6

4.

0

π 2

2

3.

0

π 2

π 2

1

5

1

0

5.

2

e

10.

∫x e

2 −x

dx

0

0

9. 2x ln ( x − 1)dx

8. ln xdx

1

∫ ( 2 − x ) sin 3xdx

∫ ( ln x ) dx 2

1

Mçi d¹ng to¸n chøa ®ùng nh÷ng ®Æc thï riªng cña nã !

PhÇn ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n

TÝch ph©n cña c¸c hμm h÷u tû

A. D¹ng : I = ∫

P (x) dx ax + b

ª 0974.337.449

( a ≠ 0)

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

6


12

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Ph¹m Kim Chung

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫

α α dx = ln ax + b + C ax + b a

TÝnh I1 = x + 1 dx ∫ x −1 2 TÝnh I2 = x − 5 dx ∫ x +1 x3 TÝnh I3 = ∫ 2x + 3 dx Ph−¬ng ph¸p : Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc P(x) cho nhÞ thøc : ax+b, ®−a tÝch ph©n vÒ d¹ng : α dx ( Trong ®ã Q(x) lμ hμm ®a thøc viÕt d−íi d¹ng khai triÓn ) I = ∫ Q ( x ) dx + ∫ ax + b

B. D¹ng : I = ∫

P (x) dx ax + bx + c

( a ≠ 0)

2

1. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c cã hai nghiÖm ph©n biÖt . C«ng thøc cÇn l−u ý : I =

☺ TÝnh I =

∫x

2

u' ( x )

∫ u ( x ) dx = ln u ( x ) + C

2 dx −4 C¸ch 1. ( ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh )

⎧A + B = 0 2 A B = + ⇒ 2 ≡ (A + B) x + 2(A − B) ⇒ ⎨ ⇔ 2 x −4 x −2 x +2 ⎩A − B = 1

Do ®ã : I =

∫x

2

1 ⎧ ⎪⎪ A = 2 ⎨ ⎪B = − 1 ⎪⎩ 2

1 x −2 2 1 1 1 1 +C dx = ∫ dx - ∫ dx = ln 2 x+2 −4 2 x −2 2 x+2

C¸ch 2. ( ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ) 2 1 ⎡ 2x 2x − 4 ⎤ 1 dx = ⎢ ∫ 2 dx − ∫ 2 dx ⎥ = ln x 2 − 4 − ln x + 2 + C Ta cã : I = ∫ 2 x −4 2⎣ x −4 x −4 ⎦ 2 α dx < Tæng qu¸t >TÝnh I = ∫ 2 x − a2 2x TÝnh I = ∫ dx 9 − x2 3x + 2 TÝnh I = ∫ 2 dx x −1 x2 TÝnh I = ∫ 2 dx x − 5x + 6 TÝnh I =

3x 3 ∫ x 2 − 3x + 2 dx

Ph−¬ng ph¸p : Khi bËc cña ®a thøc P(x) <2 ta sö dông ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh hoÆc ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu. Khi bËc cña ®a thøc P(x) ≥ 2 ta sö dông phÐp chia ®a thøc ®Ó ®−a tö sè vÒ ®a thøc cã bËc < 2 .

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

7


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

2. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c = ( αx + β )2 cã nghiÖm kÐp . C«ng thøc cÇn l−u ý : I =

TÝnh I = ∫ TÝnh I =

u' ( x ) 1 +C dx = − 2 u(x) (x)

∫u

d ( x − 2) 1 1 dx = ∫ =− +C 2 x 2 − 4x + 4 x −2 ( x − 2)

∫ 4x

2

4x dx . − 4x + 1

dt ⎧ ⎪ dx= §Æt : 2x – 1 = t ⇒ ⎨ 2 , lóc ®ã ta cã : ⎪⎩2x = t + 1 t +1 dt dt 2 I = 2∫ 2 dx = 2∫ + 2∫ 2 = 2 ln t − + C t t t t 2 x −3 TÝnh I = ∫ 2 dx x − 4x + 4 x3 TÝnh I = ∫ 2 dx x + 2x + 1

Ph−¬ng ph¸p : §Ó tr¸nh phøc t¹p khi biÕn ®æi ta th−êng ®Æt : αx + β = t ⇒ x =

t −β vμ thay vμo biÓu thøc α

trªn tö sè .

3. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c v« nghiÖm . TÝnh I =

∫x

2

1 dx +1

§Æt : x = tgα ⇒ dx =

I=

1

∫ cos α ( tg α + 1) dα = ∫ dα = α + C 2

2

< Tæng qu¸t > TÝnh I = ∫

TÝnh I = TÝnh I = TÝnh I =

C. D¹ng : I = ∫

1 dx x + a2 2

, víi

. HD §Æt

( tgα = x )

x = atgα ⇒ dx =

a dα , ta cã : cos 2 α

dα α = +C a a 2 ∫ x 2 + 2x + 2 dx 2x + 1 ∫ x 2 + 2x + 5 dx x2 ∫ x 2 + 4 dx x3 ∫ x 2 + 9 dx

I=

TÝnh I =

1 dα , ta cã : cos2 α

P (x) dx ax + bx 2 + cx + d 3

(a ≠ 0)

1. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã mét nghiÖm béi ba.

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

8


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

C«ng thøc cÇn l−u ý : I =

☺ TÝnh I = ∫

1

( x − 1)

1

1

( x − 1)

3

3

dx = ∫ ( x − 1) d ( x − 1) =

1

x 3

TÝnh I = ∫

x2 − 4

( x − 1)

(1 − x )

dx = −

3

1 2 ( x − 1)

2

TÝnh I = ∫

dx

3

dx

x4

( x + 1)

3

+C= −

(1 − x )

1 2 ( x − 1)

−2

−2

+C = −

2

+C .

1 2 ( x − 1)

2

+C

+C 1 = x − m , víi x > 0 xm

dx

3

x3

( x − 1)

( n ≠ 1)

−2

−2

−3

§Æt : x – 1 = t ta cã : I = ∫ TÝnh I = ∫

1 +C ( n − 1) x n −1

( x − 1)

dx = ∫ (1 − x ) d (1 − x ) =

Chó ý :

( x − 1)

dx = −

−3

( x − 1)

NÕu x < 1 , ta cã : I = − ∫

TÝnh I = ∫

n

dx

3

NÕu x > 1 , ta cã : I = ∫

VËy : I = ∫

1

∫x

t +1 ⎛1 1 dt = ∫ ⎜ 2 + 3 t3 t ⎝t

1 1 ⎞ ⎟dt = − − 2 + C t 2t ⎠

dx

2. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã hai nghiÖm . 1 dx ☺ TÝnh I = ∫ 2 ( x − 1)( x + 1)

§Æt : x + 1 = t , ta cã : I =

1

∫ t ( t − 2 ) dt = ∫ t 2

3

dt − 2t 2

C¸ch 1 < Ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu > 1 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3t 2 − 4t − 4 ⎞ 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3t + 2 ⎞ 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3 2 ⎞ = − ⎜ − ⎜ − ⎜ + ⎟ Ta cã : 3 ⎟= ⎟= t − 2t 2 t 3 − 2t 2 4 ⎝ t 3 − 2t 2 ⎠ t 3 − 2t 2 4 ⎝ t 2 ⎠ t 3 − 2t 2 4 ⎝ t t2 ⎠ 3t 2 − 4t 1 ⎛3 2 ⎞ 3 1 3 2 ∫ t3 − 2t2 dt − 4 ∫ ⎜⎝ t + t2 ⎟⎠dt = ln t − 2t − 4 ln t + 2t + C . C¸ch 2 < Ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh >

Do ®ã : I =

1 ⎧ ⎪B = − 2 ⎧ −2B = 1 ⎪ 1 1 At + B C ⎪ ⎪ 2 = + ⇒ 1 ≡ ( A + C ) t + ( −2A + B ) t − 2B ⇒ ⎨−2A + B = 0 ⇒ ⎨ A = − 3 2 2 4 t − 2t t t−2 ⎪ A+C =0 ⎪ ⎩ 1 ⎪ ⎪ C=4 ⎩

Do ®ã :

∫t

3

ª 0974.337.449

1 1 ⎡t + 2 1 ⎤ 1 ⎡1 2 1 ⎤ 1⎡ 2 ⎤ dt = − ∫ ⎢ 2 − dt = − ∫ ⎢ + 2 − dt = − ⎢ln t − − ln t − 2 ⎥ + C 2 ⎥ ⎥ − 2t 4⎣ t t − 2⎦ 4⎣t t t − 2⎦ 4⎣ t ⎦ ___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

9


12

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Ph¹m Kim Chung

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

Ph−¬ng ph¸p “nh¶y tÇng lÇu” ®Æc biÖt cã hiÖu qu¶ khi tö sè cña ph©n thøc lμ mét h»ng sè . Ph−¬ng ph¸p “hÖ sè bÊt ®Þnh” : bËc cña ®a thøc trªn tö sè lu«n nhá h¬n bËc mÉu sè 1 bËc . TÝnh I =

2x + 1

∫ x ( x − 2 ) dx 2

§Ó sö dông ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ta sÏ ph©n tÝch nh− sau : 2x + 1 2 1 = + x2 ( x − 2) x ( x − 2) x2 ( x − 2) TÝnh I = ∫

x2

( x − 1) ( x + 2 ) 2

dx

Sö dông ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh : Do ®ã : x 2

x2

=

Ax + B

( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1) 2 ≡ ( x + 2 )( Ax + B ) + C ( x − 1) x=-2, suy ra : C =

Cho :

2

2

+

C x+2

4 9

x=0 , suy ra : B = −

2 9

5 9 Ph−¬ng ph¸p trªn gäi lμ ph−¬ng ph¸p “g¸n trùc tiÕp gi¸ trÞ cña biÕn sè” ®Ó t×m A, B, C. x3 − 1 TÝnh I = ∫ 3 dx x + 2x 2 + x

x=1, suy ra : A =

3. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã ba nghiÖm ph©n biÖt . ☺ TÝnh I =

∫ x (x

1 2

− 1)

dx

1 ⎡ 3x 2 − 1 3x 2 − 3 ⎤ 1 ⎡ 3x 2 − 1 3 ⎤ ⎢ 3 ⎥= ⎢ 3 − − ⎥ x ( x − 1) 2 ⎢⎣ x − x x ( x 2 − 1) ⎥⎦ 2 ⎣ x − x x ⎦ 1 ⎡ 3x 2 − 1 3 ⎤ 1 3 − ⎥ dx = ln x 3 − x − ln x + C Do ®ã : I = ∫ ⎢ 3 2⎣ x − x x⎦ 2 2 1 A B C C¸ch 2 . Ta cã : = + + ⇒ 1 ≡ A ( x 2 − 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 1) x ( x 2 − 1) x x − 1 x + 1

C¸ch 1. Ta cã :

1 2

=

Cho

x=0, suy ra A = -1 . 1 x=1, suy ra B = 2 1 x=-1, suy ra C = 2 1 2 Do ®ã : I = − ln x + ln x − 1 + C 2

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

10


12

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Ph¹m Kim Chung

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

TÝnh I =

x +1 dx 2 − 4)

∫ x (x

TÝnh I = ∫

x2 dx ( x 2 − 1) ( x + 2 ) x3 dx − 1) ( x − 2 )

TÝnh I =

∫ (x

TÝnh I =

∫ ( 2x + 1) ( 4x

2

dx 2

+ 4x + 5 )

§Æt : 2x + 1 =t ⇒ dx =

I=

dt , ta cã : 2

1 dt 1 ⎡ 3t 2 − 6 3t 2 − 18 ⎤ 1 ⎢ = − dt dt ⎥ = ln t 3 − 6t − 3 ln t + C 3 ∫ ∫ ∫ 2 2 2 t ( t − 6 ) 24 ⎢ t − 6t 24 − t t 6 ⎥ ( ) ⎣ ⎦

4. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã mét nghiÖm (kh¸c béi ba) 1 ☺ TÝnh I = ∫ 3 dx x −1 §Æt x – 1 = t ⇒ dx = dt , ta cã : ⎤ 1 ⎡ dt t+3 dt 1 ⎡ t 2 + 3t + 3 t 2 + 3t ⎤ dt = I= ∫ 2 = ⎢∫ 2 dt − ∫ 2 dt ⎥ = ⎢ ∫ − ∫ 2 3⎣ t t + 3t + 3 ⎥⎦ t ( t + 3t + 3 ) 3 ⎢⎣ t ( t + 3t + 3 ) t ( t + 3t + 3 ) ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 dt 1 2t + 3 3 dt ⎥ = 1 ln t − 1 ln t 2 + 3t + 3 − α 3 + C ( Víi x = 3 tgα ) dt − ∫ = ⎢∫ − ∫ 2 2 3 ⎢ t 2 t + 3t + 3 2 ⎛ 2 3 2 3⎞ 3⎥ ⎢ ⎜t + ⎟ + ⎥ 2⎠ 4 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 1 TÝnh I = ∫ dx 2 x ( x + 1)

∫ x (x

TÝnh I =

1

2

+ 2x + 2 )

dx

x2 ∫ x 3 + 1 dx x3 TÝnh I = ∫ 3 dx x −8 1 TÝnh I = ∫ 3 dx x − 3x 2 + 3x − 2

TÝnh I =

Tãm l¹i : Ta th−êng sö dông hai phÐp biÕn ®æi :

Tö sè lμ nghiÖm cña mÉu sè . Tö sè lμ ®¹o hμm cña mÉu sè . vμ ph©n thøc ®−îc quy vÒ 4 d¹ng c¬ b¶n sau : 1 1 1 ↔ dx = ln ax + b + C { ax + b øng víi ∫ ax + b a u' u' dx = ln u + C ↔ { u øng víi ∫ u

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

11


12

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Ph¹m Kim Chung

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

u' u' 1 +C (n ≥ 2) ↔ { ∫ n dx = un u n 1 ( ) un-1 øng víi 1 1 a ↔ dx = + C , víi x + d = atgα { ∫ 2 2 2 2 a ( x + d ) + a øng víi ( x + d ) + a

D. D¹ng : I = ∫

Q (x) dx < P(x) lμ ®a thøc bËc cao> Vμ mét sè kÜ thuËt t×m nguyªn hμm . P (x)

1. KÜ thuËt biÕn ®æi tö sè chøa nghiÖm cña mÉu sè . dx

TÝnh I =

∫ x ( x − 1) ( x + 7 ) ( x + 8 )

HD : I =

∫ x ( x − 1) ( x + 7 ) ( x + 8 ) dx

TÝnh I =

∫x

4

∫x

6

x ( x + 7 ) − ( x − 1)( x + 8 ) dx + 10x 2 + 9

2 2 dx 1 ( x + 9 ) − ( x + 1) HD : I = ∫ 2 = ( x + 1)( x 2 + 9 ) 8 ∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 9 )

TÝnh I =

dx + 6x 4 − 13x 2 − 42 dx

HD : I =

∫ (x

TÝnh I =

∫ 5x

5

∫x

7

dx − 10x 3

TÝnh I =

∫ (x

2

TÝnh I =

∫x

TÝnh I =

∫ ( x + 1) ( x

2

− 3 )( x 2 + 2 )( x 2 + 7 )

dx + 20x

4 4 1 dx 1 ( x + 4) − x HD : I = ∫ = 5 x ( x 4 + 4 ) 20 ∫ x ( x 4 + 4 )

TÝnh I =

HD : I =

4 4 dx 1 x − ( x − 10 ) = ∫ x 3 ( x 4 − 10 ) 10 ∫ x 3 ( x 4 − 10 )

8

dx

− 2 )( 2x 2 + 1)( 3x 2 − 4 )

dx − 10x 6 + 35x 4 − 50x 2 + 24 dx 4

+ 4x 3 + 6x 2 + 4x − 9 )

x 2 dx ∫ x4 − 1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 4 x −1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 4 x +1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 6 x −1

TÝnh I =

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

12


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

x 6 dx ∫ x6 − 1 dx TÝnh I = ∫ 100 3x + 5x dx TÝnh I = ∫ 2 x ( 2x 50 + 7 )

TÝnh I =

(1 − x ) dx ∫ x (1 + x ) 2000

TÝnh I =

2000

2. KÜ thuËt ®Æt Èn phô víi tÝch ph©n cã d¹ng : I = ∫ ☺ TÝnh I = ∫

x3 + x + 1

( x − 2)

30

P(x)

( ax + b )α

dx

( α ≠ 1)

dx

⎧ dx = dt §Æt x – 2 = t ⇒ ⎨ , ta cã : ⎩x = t + 2 I=

( t + 2)

3

+t+3

t 30

TÝnh I =

x4

∫ ( x − 3)

TÝnh I = ∫

45

dt =

t 3 + 6t 2 + 13t + 11 1 1 1 ⎤ ⎡ 1 + C =… dt = − ⎢ +6 + 13 + 11 30 26 27 28 ∫ t 27t 28t 29t 29 ⎥⎦ ⎣ 26t

dx

3x 4 − 5x 3 + 7x − 8

( x + 2)

50

dx

Chó ý : Víi lo¹i to¸n nμy trong cuèn “TÝch Ph©n – T.Ph−¬ng ” ®· sö dông ph−¬ng ph¸p khai triÓn Taylor nh−ng t«i c¶m thÊy c¸ch lμm nμy kh«ng nhanh h¬n l¹i g©y nhiÒu phøc t¹p cho häc sinh nªn ®· kh«ng nªu ra .

3. KÜ thuËt biÕn ®æi tö sè chøa ®¹o hμm cña mÉu sè . xdx 4 −1 §Æt x 2 = t ⇒ 2xdx = dt x 3 dx TÝnh I = ∫ 4 x +1 2 x −1 ☺ TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 1⎞ ⎛ 1 d⎜ x + ⎟ 1− 2 2 x −1 x⎠ ⎝ x dx = I= ∫ 4 dx = ∫ ∫ ⎛ 1 ⎞2 1 x +1 2 x + 2 ⎜x + ⎟ − 2 x x⎠ ⎝ 2 x +1 TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 x2 TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 ( x 2 − 1) dx TÝnh I = ∫ 4 x − 5x 3 − 4x 2 − 5x + 1 ( x 2 + 1) dx TÝnh I = ∫ 4 x + 2x 3 − 10x 2 − 2x + 1

TÝnh I =

∫x

( )

ª 0974.337.449

___________________________

= 2

1 2 2

ln

x2 − x 2 + 1 x2 + x 2 + 1

Th¸ng 12 – n¨m 2007

+C

___________________

Trang

13


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

TÝnh I = ∫

(x

2

− 2)

x 4 − 3x 3 + 11x 2 − 6x + 4 ( x2 + 3)

dx

TÝnh I = ∫

dx x 4 − 2x 3 − 2x 2 + 6x + 9 dx TÝnh I = ∫ 4 x + x2 + 1 dx TÝnh I = ∫ 4 x − 3x 2 + 4 B×nh luËn : Lo¹t bμi to¸n nμy lμm t«i kh¸ Ên t−îng víi phÐp chia c¶ tö sè vμ mÉu sè cho x 2 . Qu¶ thËt t«i lu«n cè g¾ng t×m tßi xem liÖu m×nh cã thÓ nghÜ ra mét ph−¬ng ph¸p nμo kh¸c hay h¬n ch¨ng, nh−ng …” bã tay.com “ . ThÕ míi hiÓu to¸n häc : “lu«n tiÒm Èn nh÷ng vÎ ®Ñp lμm ng−êi ta söng sèt”. x5 TÝnh I = ∫ 6 dx x +1 x TÝnh I = ∫ 6 dx x −1 1 dt §Æt x 2 = t ⇒ 2xdx = dt , ta cã : I = ∫ 3 2 t −1 x3 TÝnh I = ∫ 6 dx x −1 x4 + 1 TÝnh I = ∫ 6 dx x +1 3 2 1 d(x ) 1 d(x ) x3 + x + ∫ 6 TÝnh I = ∫ 6 dx HD : I = ∫ 6 3 x +1 2 x +1 x +1 3 1 x2 x d ( x2 ) TÝnh I = ∫ 6 HD : I = ∫ dx 2 ( x 2 )3 + 1 x +1

TÝnh I = ∫

(x

+ 1)( x 2 + 2x − 1)

2

dx x 6 − 14x 3 − 1 1 ⎞⎛ 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 1 + 2 ⎟⎜ x − + 2 ⎟ ⎜ x − + 2⎟ 1⎞ x ⎠⎝ x x ⎛ ⎠ dx = ⎝ ⎠ HD : I = ∫ ⎝ d⎜x − ⎟ 3 ∫ x⎠ ⎛ 3 1 ⎞ ⎝ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ x − ⎟ + 3 ⎜ x − ⎟ − 14 ⎜ x − 3 ⎟ − 14 ⎜ x ⎝ ⎠ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ 19 x dx TÝnh I = ∫ 2 ( 3 + x10 ) HD . I =

x10 .10x 9

(3 + x )

10 2

TÝnh I = ∫ TÝnh I = ∫

ª 0974.337.449

dx =

x 99

( 2x

50

− 3)

7

x 2n −1

( ax

n

+ b)

k

1 x10 d ( x10 ) ∫ 10 ( 3 + x10 )2

dx

dx

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

14


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

4. KÜ thuËt chång nhÞ thøc . C¬ së cña ph−¬ng ph¸p : a b

§Ó t×m nguyªn hμm cã d¹ng : I =

( ax + b )

∫ ( cx + d )

n

,

c d ⎛ ax + b ⎞ dx , ta dùa vμo c¬ së : ⎜ ⎟ = 2 ⎝ cx + d ⎠ ( cx + d )

m

vμ ph©n tÝch biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n vÒ d¹ng : dx ⎛ ax + b ⎞ ⎛ ax + b ⎞ ⎛ ax + b ⎞ I = k∫ f ⎜ = k∫ f ⎜ ⎟ ⎟d⎜ ⎟ 2 cx + d ⎝ ⎠ ( cx + d ) ⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx + d ⎠

VD . TÝnh

( 3x − 5 ) 12 ( x + 2)

10

I= ∫

10

⎛ 3x − 5 ⎞ dx = ∫ ⎜ ⎟ ⎝ x+2 ⎠

10

dx

( x + 2)

2

=

11

1 ⎛ 3x − 5 ⎞ 1 ⎛ 3x − 5 ⎞ ⎛ 3x − 5 ⎞ ⎜ ⎟ d⎜ ⎟= ⎜ ⎟ +C 11 ∫ ⎝ x + 2 ⎠ x + 2 121 ⎝ ⎠ ⎝ x+2 ⎠

(7x − 1) dx 101 ( 2x + 1) 99

TÝnh I = ∫ TÝnh I = ∫

dx

( x + 3)

5

( x + 5)

3

⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤ 1 1 ⎥ 5 5 6 2 5 ⎢ 6 ∫ 2 ⎛x +3⎞ ⎣ x+5 8 ⎛x +3⎞ ⎛ x + 3 ⎞ ( x + 5) ( x + 5) ⎦ x 5 + ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝x +5⎠ ⎝ x +5⎠ ⎝ x +5⎠ §Ó tr¸nh sù ®å sé trong tÝnh to¸n ta cã thÓ sö dông phÐp ®Æt Èn phô nh− sau : 1 dt ⎧ dx = 2 ⎪ 2 x+3 ⎪ ( x + 5) =t⇒⎨ , nªn ta cã : §Æt x+5 ⎪x + 5 − 2 = t ⇒ 1 = 1− t ⎪⎩ x + 5 x+5 2 dx

HD . I = ∫

=∫

1

1

⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤ 1 1 ⎥ 5 ⎢ 6 ∫ 2 ⎛x+3⎞ ⎣ x+5 ⎦ ⎜ ⎟ ⎝x+5⎠ TÝnh I = ∫ TÝnh I = ∫ §Æt

dx

6

=

dx

( x + 5)

2

1 ( t − 1) dt 27 t5 6

dx

( x + 5)

6

2

=∫

dx

( 3x − 2) ( 3x + 4 ) 7

3

dx

( 2x − 1) ( 3x − 1) 3

4

3x − 1 1 1 =t⇒− dx = dt vμ = 2t − 3 2 2x − 1 2x − 1 ( 2x − 1)

Do ®ã ta cã : I =

ª 0974.337.449

dx

∫ ( 2x − 1) ( 3x − 1) 3

4

=

dx

( 2x − 1)

___________________________

7

⎛ 3x − 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2x − 1 ⎠

4

= −∫

( 2t − 3 )

5

dt

t4

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

15


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

TÝch ph©n cña c¸c hμm l−îng gi¸c

A. Sö dông thuÇn tuý c¸c c«ng thøc l−îng gi¸c . 1 − cos2x 1 + cos2x C«ng thøc h¹ bËc : sin2 x = ; cos 2 x = 2 2 VD . T×m hä nguyªn hμm : ∫ cos2 xdx

∫ cos

2

xdx =

1 + cos2x 1 1 1 1 dx = ∫ dx + ∫ cos2xd ( 2x ) = x + sin 2x + C 2 2 4 2 4

Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm : 1.

∫ sin

2

2

4. sin 5xdx

2 . cos 4 xdx

xdx

3. cos 4 3xdx

4

4 6 . cos x sin xdx

5 . sin 5xdx

2

− sin 3x + 3 sin x cos3x + 3cosx C«ng thøc h¹ bËc : sin3 x = ; cos 3 x = 4 4 Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm :

1.

∫ sin

6

2 . ∫ cos6 3xdx

xdx

3.

∫ cos

6

4xdx

C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thμnh tæng : 1 sin a.sin b = ⎡⎣ cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ⎤⎦ 2 1 cosa.cosb = ⎡⎣cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎤⎦ 2 1 sin a.cosb = ⎡⎣ sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤⎦ 2 VD . T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin 2x.cosxdx 1

1

1

1

1

∫ sin 2xcosxdx = ∫ 2 [ sin 3x + sin x ] dx = 6 ∫ sin 3xd ( 3x ) + 2 ∫ sin xdx = − 6 cos3x − 2 cosx + C Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm : 1.

∫ sinxcos3xdx

2 . cosx.cos2x.cos3xdx

3.

∫ cos4x.sin 5x.sin xdx

C«ng thøc céng : cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b

cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a sin ( a − b ) = sin a cos b − sin b cos a

VD .

dx

= Bμi tËp :

1.

cos ⎡⎣( x + 5 ) − ( x − 5 ) ⎤⎦

1

1

∫ sin 2x − sin10x = 2cos10 ∫ cos ( x + 5 ) cos ( x − 5 ) = 2cos10 ∫ ⎡⎣cot g ( x − 5 ) + tg ( x + 5 )⎤⎦dx sin ( x − 5 ) 1 +C ln 2cos10 cos ( x − 5 )

dx

∫ sin 2x − sin x

2.

dx

∫ sin x + sin 3x

3.

dx

∫ 1 − sin x

B. TÝnh tÝch ph©n khi biÕt d(ux)) . π 2

VD . TÝnh

∫ sin x.cosxdx 2

0

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

16


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

§Æt t=sinx, t ∈ ⎡⎣0; 1⎤⎦ . Khi x=0 th× t=1, khi x= π 2

1

0

0

2 2 ∫ sin x.cosxdx = ∫ t dt =

π th× t=1 vμ dt = cosxdx . Do ®ã : 2

t3 1 1 = 3 0 3

Víi lo¹i tÝch ph©n nμy häc sinh cã thÓ tù s¸ng t¹o ra mét lo¹t c¸c bμi to¸n, t«i thö ®−a ra mét vμi ph−¬ng ¸n : BiÕt d(sinx) cosxdx . π 2

π 2

π 2

cosx 2. ∫ n dx ( n ∈ N * , n ≠ 1) π sin x

1. ∫ sin n x.cosxdx 0

3.

4. ∫ ( sin 3x )

( cos3x )

5

dx

π 2

1. ∫ cos x.sin xdx 0

4. ∫ ( sin 2x ) ( cos2x ) 7

100

dx

π 4

1. ∫ ( tg x + tgx ) dx

3.

1 dx cos 4 x

d(cotgx)

5. ∫

π 4

sin x 2. ∫ dx 3 0 cos x

0

sin3 x dx 5 x 0

∫ cos

dx cos2n x

3. 6.

∫ ( tg

5

( tg3x ) ∫0 ( cos3x )6 dx 7

x + tg 4 x + tg3 x + tg2 x + 1) dx

1 dx . sin 2 x

π 2

1. ∫ ( cotg 3 x + cotgx ) dx π 4

π 2

( cotg5x ) ∫ ( cos5x )8

10

cosx dx 5 sin x π

2. ∫

3.

dx

4

1 4. ∫ 4 dx sin x BiÕt d( sinx ± cosx )

0

π 4

sin x 2. ∫ dx ( n ∈ N * , n ≠ 1) n cos x 0 sin xdx 5. ∫ cos3 x − 1

π 4

3

1. ∫

cosxdx x + 3 sin x + 2

1 dx . cos2 x

BiÕt d(tgx)

π 4

2

π 4

n

BiÕt

∫ sin

xdx

−sinxdx .

BiÕt d(cosx)

4. ∫

5.

3

π 4

4 10

∫ tg

( cos x − sin x ) sin x + cosx

dx 5. ∫ 2n sin x ( cosx ± sinx) dx

6.

∫ ( cotg

5

x + cotg 4 x + cotg 3 x + cotg 2 x ) dx

π 2

dx

cos2x dx + sin 2x 1 π

2. ∫ 4

2cosx − 3 sin x dx 4. ∫ 2 sin x − 3cosx + 1

5. ∫

BiÕt d ( a sin2 x ± bcos2 x ± c sin 2x ± d )

3.

cos2x

∫ ( sin x + cosx )

3

dx

( sin 2x + 2cos4x ) dx cos2x − sin 4x

(a ∓ b ± c) sin2xdx

sin 2x sin 2x dx 2. ∫ 3 sin2 x + cos 2 x 2 sin2 x − 4 sin xcosx + 5cos 2 x BiÕt d(f(x)) víi f(x) lμ mét hμm l−îng gi¸c bÊt k× nμo ®ã . 1 cos3 + 1 = VD . Chän f(x) = sinx + tgx ⇒ d ( f ( x ) ) = cosx + 2 cos x cos2 x

1. ∫

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

17


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

Nh− vËy ta cã thÓ ra mét bμi to¸n t×m nguyªn hμm nh− sau :

( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1)

dx cos2 x §Ó t¨ng ®é khã cña bμi to¸n b¹n cã thÓ thùc hiÖn mét vμi phÐp biÕn ®æi vÝ dô :

( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1)

sin x (1 + cosx ) ( cos3 x + 1)

1 ⎞ ⎛ = sin x (1 + cosx ) ⎜ 1 + ⎟ cos x cos x cos3 x ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ Tõ ®ã ta cã bμi to¸n t×m nguyªn hμm : ∫ sin x (1 + cosx ) ⎜ 1 + ⎟ dx cos3 x ⎠ ⎝ DÜ nhiªn ®Ó cã mét bμi t×m nguyªn hμm nh×n ®Ñp m¾t l¹i phô thuéc vμo viÖc chän hμm f(x) vμ kh¶ n¨ng biÕn ®æi l−îng gi¸c cña b¹n ! 1 1 4 + = VD . T«i chän hμm sè : f(x) = tgx – cotgx ⇒ d ( f ( x ) ) = , nh− vËy t«i cã thÓ ra mét bμi cos2 x sin2 x sin2 2x 2

=

3

to¸n nh×n “ t¹m ®−îc “ nh− sau : T×m hä nguyªn hμm :

( tgx - cotgx )2007 sin 2 2x

dx

NÕu thÊy ch−a hμi lßng ta thö biÕn ®æi tiÕp xem sao ?

cos 2 x − sin2 x 2cos2x ( tgx - cotgx ) 22007 cos2007 2x = ⇒ = 2 sin x.cosx sin 2x sin 2x sin2009 2x cos2007 2x dx .. Cã thÓ b¹n sÏ thÊy buån khi bμi to¸n nμy l¹i VËy b¹n sÏ cã mét bμi to¸n míi : T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin 2009 2x cã c¸ch gi¶i ng¾n h¬n con ®−êng chóng ta ®i ! Nh−ng dÉu sao còng ph¶i tù an ñi m×nh : “ Thùc ra trªn mÆt ®Êt lμm g× cã ®−êng ..” ☺ Chẳng lẽ chúng ta không thu lượm được điều gì chăng ? Nhưng tôi lại có suy nghĩ khác, biết đâu những nhà viết sách lại xuất phát từ những ý tưởng như chúng ta …??? Hãy thử xét sang một dạng toán khác : 2007

Ta cã : tgx − cot gx =

C. T¹o ra d(u(x)) ®Ó tÝnh tÝch ph©n . π 4

VD . TÝnh tÝch ph©n :

dx

∫ cosx 0

Râ rμng bμi to¸n kh«ng xuÊt hiÖn d¹ng :

∫ f ( u ( x ) )u'( x ) dx = ∫ f ( u )du

VËy ®Ó lμm ®−îc bμi to¸n, mét ph−¬ng ph¸p ta cã thÓ nghÜ ®Õn lμ t¹o ra d( u(x)) nh− sau : π π π π 6 6 dx cosxdx 6 d ( sin x ) 1 1 − sin x 1 1 ∫0 cosx = ∫0 cos2 x = ∫0 1 − sin2 x = 2 ln 1 + sin x 6 = 2 ln 3 0

B¹n cã nghÜ r»ng m×nh còng cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o ra d¹ng to¸n nμy !

T¹o d(sinx) cosxdx . dx 1. ∫ 4 sin xcosx sin2 x dx 4. ∫ cosx T¹o d(cosx) dx 1. ∫ sin xcosx

tg 4 x dx cosx cos2 xdx 5. ∫ cos3x

2. ∫

3.

dx

∫ cos

3

x

6.

dx 3

5

sin xcosx

−sinxdx .

dx 2. ∫ 3 sin x

π 2

3.

cos3 x ∫π sin5 x dx 4

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

18


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

dx

4. ∫

5. ∫

sin x ( cos3 x − 1)

π 4

4 sin3 x ∫ 1 + cosx

3.

∫ ( sin x )

π 4

sin2 x dx 2 0 1 + cos x

1. ∫ tg 3 xdx

2. ∫

4. ∫ tg 8 xdx

5. ∫

0

d(cotgx) π 2

1. ∫ cotg 3 xdx π 4

1 dx sin 4 x

4. ∫

6.

1 dx . cos2 x

T¹o d(tgx)

T¹o

dx sin xcos 6 x

d( tg

( cosx )3

dx 2 sin2 x − 5 sin xcosx − 3cos2 x

6.

1

∫ ( sin x − 2cosx )

2

dx

1 dx . sin 2 x 2. ∫

( cotg5x ) ∫ ( sin 5x )8

10

1 dx sin2 x − 2cos 2 x

3.

dx

dx

∫ sin

5.

2n

x

1 1 x dx . < PhÐp ®Æt Èn phô t= tg > . x 2 cos2 2 2 dx 1 dx 1. ∫ 2. ∫ 3. 2cos3x + 7 sin 3x 3 sin x + cosx 7 sin x − 5cosx sin x − cosx + 1 dx 4. ∫ 5. ∫ 2 sin x + 2cosx + 3 3 ( sin x + 4cosx )

T¹o

dx 3

x ) 2

dx

∫ 2 sin x + 5cosx + 3

D. s¸ng t¹o bμi tËp NÕu ®−îc phÐp hái, t«i sÏ hái r»ng b¹n cã c¶m thÊy nhµm ch¸n khi b¹n cø suèt ngµy «m lÊy mét cuèn s¸ch tham kh¶o vµ lµm hÕt bµi tËp nµy ®Õn bµi tËp kh¸c, mµ ®«i lóc b¹n vÉn c¶m gi¸c r»ng kh¶ n¨ng gi¶i to¸n cña m×nh kh«ng giái lªn. Cßn t«i ®am mª m«n To¸n tõ khi t«i biÕt thÕ nµo lµ s¸ng t¹o .. B¹n cã muèn thö xem m×nh cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o hay kh«ng ? Dï kh¶ n¨ng s¸ng t¹o bµi tËp ®−îc xuÊt ph¸t tõ nh÷ng b¶n chÊt rÊt s¬ ®¼ng, cã thÓ b¹n s¸ng t¹o mét bµi to¸n mµ b¹n ®· b¾t gÆp ë mét cuèn s¸ch nµo ®ã.. nh−ng dÉu sao nã vÉn mang “ d¸ng dÊp “ cña b¹n . T«i m¹n phÐp t− duy ®Ó cïng tham kh¶o cho “ vui “ ! T«i sÏ lÊy mét hμm sè f(x) nμo ®ã mμ t«i thÝch, råi ®¹o hμm ®Ó t×m d(f(x)) . h T«i chän : f ( x ) = sin4 x + cos4 x , f' ( x ) = 4 ( sin3 xcosx − cos3 x sin x ) = 2.sin 2x ( sin2 x − cos 2 x ) = − sin 4x π 2

Mét bμi to¸n ®¬n gi¶n ®−îc t¹o ra : TÝnh

sin4x

∫ sin x + cos xdx 4

4

0

Mét bμi to¸n nh×n kh¸ ®Ñp m¾t, b¹n ®· gÆp ë ®©u ch−a ? NÕu gÆp bμi to¸n nμy tr−íc khi b¹n biÕt s¸ng t¹o b¹n gi¶i quyÕt nã nh− thÕ nμo ? §Ó t¨ng kh¶ n¨ng “ ®¸nh lõa trùc gi¸c “ b¹n cã thÓ t¹o mÉu sè thμnh mét hμm sè hîp nμo ®ã quen thuéc , vÝ dô : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : π 2

1.

∫ 0

π 2

sin4x 4

4

sin x + cos x

ª 0974.337.449

dx

2.

∫ 0

π 2

sin4x

( sin x + cos x ) 4

___________________________

4

2007

dx

3.

sin4x

∫ cos 2 ( sin x + cos x )dx 4

4

0

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

19


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

π 2

4.

sin4x

∫ tg ( sin x + cos x )dx 4

4

0

BiÕt ®©u mét lóc nμo ®ã cã ai hái t«i vÒ c¸ch gi¶i c¸c bμi to¸n trªn t«i l¹i ☺ quªn ..!!!!! T«i biÕt b¹n sÏ nghÜ t− duy kiÓu nμy “ cò rÝch “ . VËy sao ta kh«ng thö t− duy mét kiÓu nμo ®ã cho h¬i “l¹” mét tý : 1 1 1 2 2 Bμi to¸n nμy sÏ xuÊt ph¸t tõ ®©u ? f ( x ) = sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 xcos2 x = 1 − ( sin 2x ) = + ( cos2x ) .. 2 2 2 π 2

TÝnh :

sin2x + cos2x

∫ sin x + cos x dx 4

4

0

i NÕu nh− xuÊt ph¸t tõ l−îng gi¸c ®Ó t¹o ra c¸c bµi to¸n tÝch ph©n cña hµm l−îng gi¸c nghe cã vÎ hiÓn nhiªn qu¸, ta h·y xuÊt ph¸t tõ hµm ph©n thøc h÷u tû xem sao ? dx T«i sÏ xuÊt ph¸t tõ bμi to¸n t×m nguyªn hμm : I = ∫ 2 . x −1 1 1+ tg 2 x dt = (1 + tg2 t ) dt vµ ra m¾t bµi to¸n : I = ∫ dx T«i sÏ ®Æt : x=tgt ⇒ dx = 2 cos t 1 − tg 2 x B¹n sÏ suy nghÜ r»ng “ qu¸ ®¬n gi¶n “ .. nh−ng b¹n sÏ cho c¸ch gi¶i thÕ nµo víi bµi to¸n nµy : d ( tgx ) 1 1 ..h·y nh−êng chç cho I=∫ dx , ph¶i ch¨ng b¹n sÏ nghÜ I = ∫ dx = ∫ 1 − tg 2 x 1 − tg 2 x (1 − tg2 x )(1+ tg2 x ) nh÷ng lêi gi¶i th«ng minh h¬n ..!!! a B¹n ®ang «n thi ®¹i häc, b¹n ®äc kh¸ nhiÒu tµi liÖu.. ®«i khi b¹n sÏ gÆp nh÷ng bµi to¸n khã hay nh÷ng lêi gi¶i dµi dßng h¬n b¹n.. b¹n thÊy m×nh ®ang tõng ngµy tiÕn bé . §«i khi b¹n gÆp mét ph−¬ng ph¸p nµo ®ã víi tªn gäi lµm b¹n ho¶ng hèt . H·y dõng l¹i vμ t− duy, b¹n sÏ t×m ra lêi gi¶i ®¸p ! T«i ®¬n cö mét vÝ dô .. Khi b¹n ®äc tµi liÖu b¹n thÊy côm tõ “ tÝch ph©n liªn kÕt” cã thÓ b¹n bá qua v× nghÜ r»ng “qu¸ khã “ cosxdx VD . TÝnh E = ∫ sin x + cosx sin x dx Lêi gi¶i : XÐt tÝch ph©n liªn kÕt víi E lµ E1 = ∫ sin x + cosx sin x + cosx ⎧ E + E1 = ∫ dx = ∫ dx = x + C1 ⎪⎪ sin x + cosx Ta cã : ⎨ . ⎪E − E = sin x − cosx dx = d ( sin x + cosx ) = ln sin x + cosx + C 1 2 ∫ sin x + cosx ∫ sin x + cosx ⎩⎪ 1 ⎧ ⎪⎪E = 2 ( x + ln sin x + cosx ) + C Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh suy ra : ⎨ ⎪E = 1 ( x − ln sin x + cosx ) + C ⎪⎩ 1 2 B×nh luËn : Sù ®å sé lμm b¹n ho¶ng hèt, nh−ng h·y suy nghÜ xem thùc chÊt nã còng chØ lμ mét phÐp t¸ch ®¬n gi¶n : 1 ⎡( cosx + sin x ) + ( cosx − sin x )⎤⎦ dx 1 1 d ( cosx + sin x ) 1 = ∫ dx + ∫ = x + ln sin x + cosx + C E = ∫⎣ 2 sin x + cosx 2 2 cosx + sin x 2 NÕu ch−a thùc sù tin b¹n cã thÓ thö víi mét lo¹t c¸c bμi to¸n kh¸c t−¬ng tù : sin x sin 3x sin4 x dx dx dx 1. ∫ 2. ∫ 3. ∫ 4 3cosx + 7 sin x 2cos3x − 5 sin 3x sin x + cos 4 x ViÖc ®−a ra bμi to¸n trªn chØ lμ sù ®óc rót kinh nghiÖm kh«ng ph¶i lμ sù s¸ng t¹o, nh−ng nã gióp chóng ta lÝ gi¶i ®ù¬c mét ®iÒu quan träng trong s¸ng t¹o bμi tËp : lμ muèn cã mét bμi tËp hay b¹n cÇn kÕt hîp nhiÒu phÐp biÕn ®æi vμ dÜ nhiªn ®ßi hái b¹n ph¶i kiªn tr× vμ mét chót yÕu tè “ may m¾n “. d T«i thö lÊy hµm sè : f ( x ) = 2 sin2 x − 2 sin2x + 5cos2 x vµ t¸ch nã thµnh 2 kiÓu kh¸c nhau :

KiÓu1. f ( x ) = 2 sin2 x − sin 2x + 5cos 2 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) + ( sin x + 2cosx ) = 1 + ( sin x + 2cosx ) = 1 + u 2 2

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

2

___________________

Trang

20


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

KiÓu2. f ( x ) = 2 sin 2 x − sin 2x + 5cos 2 x = 6 ( sin 2 x + cos 2 x ) − ( cosx − 2 sin x ) = 6 − ( cosx − 2 sin x ) = 6 − v 2 2

2

v ' = − sin x − 2cosx ⇒ u'+ v ' = −3 ( sin x + cosx ) sin x + cosx dx VËy ph¶i ch¨ng bμi to¸n nμy sÏ rÊt khã : ∫ 2 2 sin x − 2 sin 2x + 5cos2 x T«i nh×n thÊy b¹n ®ang c−êi “ chÕ diÔu ” bëi b¹n ®· b¾t gÆp nã..nh−ng cã 2 ®iÒu t«i muèn nãi víi b¹n : - H·y gi¶i bμi to¸n nμy b»ng mét c¸ch thËt th«ng minh . - H·y “ m−în t¹m “ t− duy nμy ®Ó ra bμi tËp . dx B¹n ®· qu¸ quen víi bμi to¸n nμy : ∫ 6 nh−ng t«i kh¼ng ®Þnh b¹n sÏ cã mét chót b¨n kho¨n víi bμi to¸n : sin x sinxcosx ( sin4 x + sin2 x + sinx + 1) T×m hä nguyªn hμm : I = ∫ dx sin6 x - 1 Gi¶i

ë kiÓu1. u' = cosx − 2 sin x vμ kiÓu2

I=∫

2 sin xcosx ( sin 4 x + sin 2 x + 1) 1 d ( sin3 x ) sinxcosx ( sin4 x + sin2 x + sinx + 1) sin 2 xcosx 1 d ( sin x ) dx = + = + ∫ sin6 x − 1 ∫ sin6 x - 1 sin6 x − 1 3 ∫ ( sin3 x )2 − 1 2 ∫ sin 2 x − 1

=

1 ⎛ cos2 x ⎞ 1 2 ln ⎜ ⎟ + ln ( cos x ) + C .. b¹n t×m lêi gi¶i nhanh h¬n nhÐ ! 6 ⎝ sin2 x + 1 ⎠ 2

Bμi to¸n trªn “ bÞ lé ý t−ëng gi¶i to¸n khi xuÊt hiÖn : sin4 x + sin2 x + 1 nh−ng bμi to¸n nμy b¹n h·y gi¶i quyÕt dïm sinxcosx ( sinx + 1) dx T×m hä nguyªn hμm : I = ∫ sin6 x - 1 Víi ý t−ëng nμy b¹n cã thÓ ung dung nghÜ r»ng : ng−êi kh¸c sÏ ®au ®Çu v× bμi to¸n cña b¹n ! H·y thö

theo ý t−ëng cña b¹n, ®¶m b¶o t«i sÏ “ bã tay . com .vn “ …!!! dïng ®å cña ng−êi kh¸c c¶m z¸c kh«ng tho¶i m¸i…nh−ng .. dïng m∙i mµ ng−êi ta kh«ng b¾t tr¶ l¹i th× thµnh cña m×nh ! <☺ .. triÕt lÝ kh«ng ? > §ªm khuya l¾m råi, t¹m chia tay víi tÝch ph©n hμm l−îng gi¸c ! Nh−êng l¹i s©n ch¬i cho c¸c b¹n ! T×m hä nguyªn hμm :

sin4x + cos2x

∫ sin x + cos x dx 6

6

( Víi gi¸ dïng thö chØ cã 4 dÊu “ = “ )

Vì ñôøi phuï kieáp taøi hoa Vì ngöôøi gian díu hay ta ña tình .. ?! TÝch ph©n cña c¸c hμm chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 2

VD . TÝnh

∫ 0

1

2

1

2

0

1

x − 1 dx = ∫ x − 1 dx + ∫ x − 1 dx = − ∫ ( x − 1) d ( x − 1) + ∫ ( x − 1) d ( x − 1) 0

= (1 − x )

1

1 0

+ ( x − 1)

2 1

= −2

TÝch ph©n cña hμm chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi kh«ng khã l¾m, nã phô thuéc hoμn toμn vμo kh¶ n¨ng xÐt dÊu cña hμm sè trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi . Khi xÐt dÊu cña hμm ®a thøc chøa trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b¹n cÇn l−u ý mét “ mÑo vÆt “ : §a thøc cã n nghiÖm th× ta xÐt trªn (n+1) kho¶ng. §a thøc bËc n cã n nghiÖm th× ®an dÊu trªn c¸c kho¶ng, kh¸c n nghiÖm th× mÊt tÝnh ®an dÊu .

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

21


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

3

VD1 . TÝnh

x 2 − 1 dx

−2

⎡ x =1 ( tam thøc bËc 2 cã 2 nghiÖm ) Nh¸p : x 2 − 1 = 0 ⇔ ⎢ ⎣ x = −1 xÐt dÊu : -2

+

0

-1

3

+

1

_

Thö mét sè bÊt k× trong kho¶ng bÊt k× §an dÊu −1

3

Gi¶i .

x 2 − 1 dx =

−2

1

x 2 − 1 dx +

−2

−1

3

x 2 − 1 dx + ∫ x 2 − 1 dx = 1

−1

∫ (x

2

− 1) dx −

−2

1

∫ (x

3

2

−1

− 1) dx + ∫ ( x 2 − 1) dx = 1

28 3

1

∫x

VD2. TÝnh

3

− x 2 dx

−1

Chóng ta th−êng nhÇm lÉn khi xÐt dÊu lμ ®a thøc cã 2 nghiÖm vμ ®an dÊu trªn 3 kho¶ng sÏ cho kÕt qu¶ sai ! H·y lμm nh− sau : 1

x 3 − x 2 dx =

−1

1

1

2

−1

0

1

2 2 2 ∫ x x − 1dx = ∫ x x − 1 dx + ∫ x x − 1 dx =…

C¸c bμi tËp rÌn luyÖn : 2

1.

∫x

2

3

− x dx

2.

x − 1dx

3.

−1

0

3π 4

1

9x 2 − 6x + 1dx

4.

∫ π 4

0

1 + cos2xdx

π 2

5.

cos3 x − cos2 xdx

π − 2

TÝch ph©n tõng phÇn b

1. TÝch ph©n d¹ng :

∫ P ( x ) sin xdx , a

b

∫ P ( x ) cosxdx a

§Æt u = P(x) ®Ó gi¶m bËc cña P(x) . π

VD . TÝnh

∫x

2

sin xdx

0

2 ⎧du = 2xdx ⎪⎧ u = x ⇒⎨ §Æt ⎨ . Do ®ã : ⎩ v = −cosx ⎩⎪dv = sin xdx π π π π 2 2 2 x sin xdx x cosx 2xcosxdx 2 = − + = π + ( ) ∫0 ∫0 xcosxdx 0 ∫0

π

Ta sÏ tÝnh tÝch ph©n :

∫ xcosxdx 0

ª 0974.337.449

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

22


12

Ph¹m Kim Chung

bµi gi¶ng tÝch ph©n

Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa

2007

⎧ du = dx ⎧ u=x ⇒⎨ §Æt ⎨ . Do ®ã : ⎩dv = cosxdx ⎩ v = sin x π π π π xcosxdx x.sin x = − ∫ sin xdx = cosx = −2 ∫0 0 0 0 π

∫x

VËy

2

sin xdx = π2 − 4

0

Bμi tËp tù luyÖn : π 2

1.

∫ xcos xdx 2

π 6

π

2.

0

∫ x cosxdx 3

3.

∫ x sin xcos xdx 2

0

0

π 2

4.

2 3 ∫ x cos xdx 5. 0

π

∫x 0

3

sin3

x dx 2

b

2. TÝch ph©n d¹ng :

∫ P ( x ) ln xdx a

§Æt

ª 0974.337.449

dv = P(x)dx ®Ó dÔ t×m v .

___________________________

Th¸ng 12 – n¨m 2007

___________________

Trang

23


Tich Phan