Page 1

ÔN TẬP HÈ 2009

Hà Quốc Văn


Phương trình quy về phương trình bậc hai Phương trình a[f(x)]² + bf(x) + c = 0 Cách giải: ðặt t = f(x).  Phương trình trùng phương ax4 + bx² + c = 0 Cách giải: ðặt t = x², ðK: t ≥ 0. 2

e d  Phương trình ax + bx³ + cx² ± dx + e = 0 (ab ≠ 0) với =   a b Cách giải: Vì x = 0 không là nghiệm, chia 2 vế phương trình cho x²: d e  d    a  x2 + 2  + b  x ± + c = 0 . ðặt x= x ±  bx bx  ax    1  1   * ðặc biệt a=e; b=d: pt ⇔ a  x 2 + 2  + b  x ±  + c = 0 x x    1 1 ðặt t = x + . ðK |t|≥ 2 (hoặc t = x − , t∈R) x x  Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m với a + b = c + d Cách giải: PT ⇔ [x² + (a + b)x + ab][x² + (c + d)x + cd] = m. ðặt t = x² + (a + b)x 4

 Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx² với ab = cd Cách giải: PT ⇔ [x² + (a + b)x + ab][x² + (c + d)x + cd] = mx² ab   cd   ⇔ x + a + b + x +c+d+ =m   x  x   ab ðặt t = x + x  Phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c a+b a−b Cách giải: ðặt t = x + , m= 2 2 4 4 PT ⇔ (t + m) + (t – m) = c ⇔ [(t + m)² + (t – m)²]² – 2(t + m)²(t – m)² = c ⇔ 4(t² + m²)² – 2(t² – m²)² = c.  Phương trình bậc ba ax³ + bx² + cx + d = 0 * ðoán nghiệm xO + Nếu a + b + c + d = 0: ph.trình có 1 nghiệm xO = 1 + Nếu a – b + c – d = 0: ph.trình có 1 nghiệm xO = – 1 m + Nghiệm hữu tỉ của pt có dạng x O = với m là ước số của d, n là ước số của a, n thay lần lượt các giá trị xO vào pt ñể tìm nghiệm xO * Phân tích thành pt tích: ax³ + bx² + cx + d = (x – xO)(ax² + b’x + c’) + Phép chia ña thức + Thuật toán Horner Trang 2


1. Giải các phương trình

1) x − 8x − 9 = 0 4 2 2) x − 4x + 3 = 0 4 4 3) (x – 1) + (x + 1) = 16 4 4 4) (2x – 3) + (2x – 5) = 2 5) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 6) (x – 2)(x –1)(x + 2)(x + 4) = 16x² 4 3 2 7) x + 4x – 23x + 4x + 1 = 0 4 3 2 8) x + 4x – 3x – 14x + 6 = 0 2 2 3 2 9) (x – 6x – 9) = x – 4x – 9x 10) x³ + 2x² – 4x – 3 = 0 11) 27x³ + 54x² – 81x + 22 = 0 4

2

12) x³ – 3 3 x² + 7x –

3 =0 2. Tìm m ñể các phương trình có 3 nghiệm phân biệt: 2 1) x³ − 2(m – 3)x + (m − 2)x + m – 5 = 0 2) x³ + (2 – m)x² + (3 – m)x + 2m + 6 = 0 3) x³ + (1 – m)x² – (m + 5)x – 5 = 0 3. Tìm m ñể các phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt 2 1) (x + 1) = 2 x + m  2) |2x² – mx + 2| = |x² + x – 2m +1| Bất phương trình tích – thương

f(x) f(x) f(x) f(x) > 0; < 0; ≥ 0; ≤0 g(x) g(x) g(x) g(x) → Tìm nghiệm của tử và mẫu → Lập bảng xét dấu: trên mỗi khoảng nghiệm VT chỉ mang một dấu → KL → Biến ñổi về dạng

4. Giải các bất phương trình 1)

2)

3)

(x 2 − 3x + 2x)(5 − 2x)(4x + 3) (x − 3x 2 )(2 − x) x(x 2 − x − 2)(2x − 5) (x 2 + 3x + 2)(4 − 3x) x2 − x − 2

≥2−

>0

≤0

3 x +1

x 2 + 3x + 2 x2 − x − 5 3x 4 4) < − 2 x+3 x x + 3x 2 3 5) (x − 2)(x + 3x − 5) < (x − 2)(x − x − 1)

Trang 3


Tam thức không ñổi dấu Cho f(x) = ax² + bx + c ( a ≠ 0) a > 0 a < 0  f(x) > 0, ∀x∈R ⇔   f(x) < 0, ∀x∈R ⇔  ∆ < 0 ∆ < 0 5. ðịnh m ñể: 1) f(x) = x² – 2mx – m > 0 , ∀x∈R 2 2) f(x) = –x – 4(m+1)x + m – 3 ≤ 0 , ∀x∈R 2 3) f(x) = x − 2mx + m + 6 ≥ 0 , ∀x∈R 2 2 4) f(x) = x – 2(m – 1) x + m – 3 > 0 , ∀x∈R 6. Tìm m sao cho: 1) f(x) = mx² – 4x + 3m + 1 > 0 , ∀x∈R 2) f(x) = (3 − m)x² − 2(m + 1)x + 3(m − 2) ≤ 0 , ∀x∈R 3) f(x) = (x + 2)(x + 4)(x² + 6x + 10) ≥ m , ∀x∈R 7. Tìm m ñể các bất phương trình vô nghiệm: 2 1) (2m + 1) x + 3(m + 1) x + m +1 < 0 2 2) mx − 4x + 3m + 1 > 0

ðẠO HÀM ðịnh nghĩa: Cho f(x) xác ñịnh trên (a;b) và x0 ∈ (a;b) f(x 0 + ∆x) − f(x 0 ) f(x) − f(x 0 ) ∆y f /(x0) = y /(x0) = lim = lim = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 x →x0 ∆x x − x0 f(x + ∆x) − f(x) ðạo hàm trên khoảng: f /(x) = lim (Lập tỉ − Tìm lim) ∆x →0 ∆x ∆y ðạo hàm bên trái : f /(x0−) = lim ∆x →0 − ∆x ∆y ðạo hàm bên phải : f /(x0+) = lim ∆x →0 + ∆x / − / + /  f (x0 ) = f (x0 ) = A ⇔ f (x0) = A  f(x) có ñạo hàm tại x0 ⇒ f(x) liên tục tại x0  f(x) không liên tục tại x0 ⇒ f(x) không có ñạo hàm tại x0 QUY TẮC TÍNH ðẠO HÀM (u ± v) / = u / ± v / (uv) / = u /v + v /u ⇒ (uvw) / = u /vw + uv /w + uvw / (k.u) / = k.u / (k ∈ R) /

u / v − uv / u ⇒ (v ≠ 0) = v 2 v  

ðạo hàm của hàm số hợp: y=f(u); u=g(x) thì y’x = y’u.u’x Trang 4


BẢNG CÁC ðẠO HÀM * c / = 0 (c ∈ R) (xα )/ = α.xα − 1

* x/ = 1

* (ku) / = k.u / (uα )/ = α.uα − 1u/ /

/

u/ 1 u = − 2 u  

1 1 x = − 2 x  

/

/

n.u/ 1   n  = − n+1 u u  u/ / ( u) = 2 u

n  1   n  = − n+1 x x  1 ( x )/ = 2 x 1 (n x ) / = n n x n−1

( u) n

/

=

u/

nn un−1 (sinu) / = cosu.u/ (cosu) / = − sinu.u/ u' (tanu) / = = (1 + tan²u).u/ 2 cos u u' (cotu) /= − 2 = –(1+cot²u).u/ sin u

(sinx)/ = cosx (cosx)/ = − sinx 1 (tanx)/ = = 1 + tan²x cos 2 x 1 (cotx) /= – = – (1+ cot²x) sin2 x ñặc biệt /

a b c d

 ax + b  ☺  = (cx + d)2  cx + d  /

 ax 2 + bx + c  = ☺  Ax + B    /

 ax 2 + bx + c  ☺ 2 =  Ax + Bx + C   

aAx 2 + 2aBx +

b

c

A B

(Ax + B)2 x2

a b A B

+ 2x

a

c

A C

+

b

c

B C

(Ax 2 + Bx + C)2 /

ðạo hàm cấp cao: f (n) (x) =  f (n−1) (x)  (n ≥ 2)   8. Tìm m thỏa :

1 x³ – mx² + (m + 1)²x – 5. ðịnh m ñể y / ≥ 0, ∀x∈R 3 / 2) y = –2x³ – (m + 2)x² + mx – m + 2. ðịnh m ñể y ≤ 0, ∀x∈R x 2 − (m + 1)x − m + 2 3) y = . ðịnh m ñể y / ≥ 0, ∀x∈D x+2 mx 2 − (2m + 1)x − m + 2 4) y = . ðịnh m ñể y / ≤ 0, ∀x∈D x −1 1) y =

Trang 5


9. Chứng minh các hệ thức: 1) Cho y = 3 +

5 x

(x ≠ 0) chứng minh xy / + y = 3.

2x − x 2 chứng minh y3.y / / + 1 = 0. x −3 3) Cho y = (x ≠ 0) chứng minh 2(y /)2 = (y –1).y / /. x+4 2) Cho y =

x + 1 + x 2 thì 4(1 + x2)y / / + 4xy / – y = 0 10. Chứng minh các hệ thức: / // 1) Cho y = x.sinx , chứng minh xy – 2(y – sinx) + xy = 0. 2 // 2 2 2) Cho y = x.tanx chứng minh x .y – 2(x + y )(1 + y) = 0. // 3) Cho y=3sin5x – 5cos5x chứng minh : y = – 25y sin3 x + cos 3 x 4) Nếu y = thì y / / = −y (TNPT 97.98) 1 − sin x cos x // 5) Nếu y = xsinx thì y + y = 2cosx 1 − sin 2x 6) Nếu y = thì y / / + y = 0 sin x − cos x 4) Nếu y =

TIẾP TUYẾN Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C)

Dạng 1: Tiếp tuyến tại tiếp ñiểm M(xO;yO)∈(C) /  Hệ số góc tiếp tuyến (∆) với (C) tại M(x0; f(x0)) ∈ (C) là k = f (x0)  Phương trình tiếp tuyến (∆) với (C) tại tiếp ñiểm M(x0; y0) : y = f /(x0)(x − x0) + y0 Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước  Tìm phương k

Hai ñường thẳng (D1): y = k1x + b1 và (D2): ): y = k2x + b2 có hệ số góc k1 , k2 (D1) // (D2) ⇔ k1 = k2 (D1) ⊥ (D2) ⇔ k1. k2 = –1

ðường thẳng (D): y = kx + b tạo với trục Ox góc α (0° ≤ α ≤ 90°) thì |k| = tanα

ðường thẳng (D): y = kx + b ⇔ kx – y + b = 0 tạo với ñường thẳng Ak − B Ax + By + C = 0 góc α (0° ≤ α ≤ 90°) thì cosα = k 2 + 1 A2 + B2 /

 Tìm hoành ñộ tiếp ñiểm: giải f (x0) = k ñể tính x0 .  Tính y0 ñể có tiếp ñiểm M(x0;y0). /  Thay vào phương trình tiếp tuyến y = f (x0)(x – x0) + y0.

Trang 6


11. Viết phương trình tiếp tuyến của các ñường: 2

1) y = – x + 2x tại ñiểm A(–1;–3).

1 tại ñiểm có hoành ñộ x = 2. x −1 12. Viết phương trình tiếp tuyến của : x2 + x + 1 1) y = tại giao ñiểm của ñồ thị với trục tung. x +1 2) y =

2x 2 + 1 tại giao ñiểm của ñồ thị với 2 trục tọa ñộ. 13. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong : 3 2 1) y = x + x – 4x – 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1. x 2) y = biết tiếp tuyến song song với (d): y = 3x + 4 2x + 3 x2 + x − 1 3) y = biết tiếp tuyến vuông góc với (d): 4x + 3y = 0 x +1 14. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong : 3 1) y = biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3. x 3 2 2) y = x + x biết tiếp tuyến song song với (d): y = 8x – 1. 3x − 2 3) y = biết tiếp tuyến song song với ñường phân giác thứ hai. x −1 x2 − x − 2 4) y = biết tiếp tuyến vuông góc với (d): x – 3y = 0. x −3 2 5) y = biết tiếp tuyến vuông góc với (d): x – 2y + 6 = 0. x +1 3 2 6) y = x –2x +2x +1 biết tiếp tuyến vuông góc với (d): 9x – y + 5 = 0 15. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường y = (x − 1)3 biết : 1) Tiếp ñiểm có hoành ñộ x = 0. 2) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng 12x – y = 0. 3) Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 4x + 3y + 5 = 0. 4) Tiếp tuyến cùng phương với trục Ox. −4x + 3 16. Cho (C): y = f(x) = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết góc tạo x −1 bởi tia Ox và phần tiếp tuyến nằm trên trục Ox bằng 450. 17. * Tìm m, n ñể ñường cong y = x2 + mx + n tiếp xúc với ñường thẳng y = −2x −2 tại ñiểm có hoành ñộ bằng −2. 3x − 2 18. Cho (C): y = . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết: x −1 5 1) Tung ñộ tiếp ñiểm bằng . 2 2) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng x + y − 3 = 0. 3) Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 4x − y − 10 = 0. 19. Cho (P) : y = x2 và A(3 ; 0), M ∈ (P) có xM = a. 1) Tính a ñể AM ngắn nhất. ðS : a = 1 2) Chứng minh khi AM ngắn nhất thì AM ⊥ tiếp tuyến tại M của (P) 2) y = 2x −

Trang 7


x2 20. Cho (C1):y = và (C2):y = .Viết phương trình tiếp tuyến của (C1), (C2) tại x 2 2 giao ñiểm của chúng. Tìm góc của 2 tiếp tuyến trên. 21. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x4 – x² – 2 tại ñiểm A có hoành ñộ xO. Suy ra không có tiếp tuyến nào của (C) qua gốc O. 1 22. Cho (C): y = x³ – 2x² + 4x Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp 3 tuyến chắn trên 2 trục tọa ñộ hai ñoạn bằng nhau. x+2 23. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (C), 2x + 3 biết tiếp tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A , B và tam giác OAB cân tại gốc toạ ñộ. 2x 24. Cho hàm số y = (C). Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến tại M cắt x +1 trục hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A , B và tam giác OAB có diện tích bắng ¼. x +1 25. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (C), 2x + 3 biết tiếp tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A , B và tam giác OAB cân tại gốc toạ ñộ 1 m 1 26. Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số y = x 3 − x 2 + (*) (m là tham số). Gọi M là 3 2 3 ñiểm thuộc (Cm) có hoành ñộ bằng –1. Tìm m ñể tiếp tuyến của (Cm) tại ñiểm M song song với ñường thẳng 5x – y = 0. 2x − 1 27. Cho hàm số y = (C). Cho I(1;2), tìm ñiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến x −1 của (C) tại M vuông góc ñường thẳng IM . x2 + x − 1 28. Cho hàm số y = có ñồ thị là (C). Gọi A, B là hai giao ñiểm của (C) và x −1 trục hoành, viết phương trình tiếp tuyến tại A, B của (C). 29. Cho (P): y = x² và ñiểm I(0; 2), viết phương trình tiếp tuyến với (P) sao cho khoảng cách từ I ñến tiếp tuyến bằng 2. 30. Cho (Cm): y = x³ – m(x + 1) + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao ñiểm của (Cm) với Oy. Tìm m ñể tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ ñộ tam giác có diện tích bằng 8. 31. Cho ñồ thị (C) có phương trình y = x² – 2x, viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến song song với phân giác của góc tạo bởi 2 ñường thẳng (d): x – 2y + 5 = 0 và (d’): 3x – y = 0. 3x − 1 32. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = , biết tiếp tuyến tạo với ñường x −3 thẳng (d): x + 3y – 3 = 0 một góc 45°. 1

Trang 8


Hình học Hệ thức lượng trong tam giác  Hệ thức lượng trong tam giác vuông a2 = b2 + c2 ⇔ BC2 = AB2 + AC2 b2 = a.b' ⇔ AC2 = BC.CH c2 = a.c' ⇔ AB2 = BC.BH bc = ah ⇔ AC.AB = BC.AH 2 h = b'.c' ⇔ AH2 = BH.CH 1 1 1 1 1 1 2 = 2 + 2 ⇔ = + h b c AH2 AB 2 AC2 sinB = b/a ; cosB = c/a ; tanB = b/c ; cotB = c/b

A b

c c' B

3 2 2 2 2 o  ðịnh lý cosin: a = b + c − 2bc.cosA (A=90 : Pythago) a b c  ðịnh lý sin: = = = 2R sin A sinB sin C  ðịnh lý trung tuyến: 2b2 + 2c 2 − a2 b2 + c2 = 2ma2 + ½ a2 hay m2a = 4 2 2 AB − AC = 2BC.MH B  Diện tích 2S 1. S = ½ aha = ½ bhb = ½ chc ⇒ ha = a 2. S = ½ bc.sinA = ½ ac.sinB = ½ ab.sinC abc abc ⇒R= 3. S = 4S 4R S 4. S = pr ⇒ r = p

b' C

H

 Hệ thức lượng trong tam giác ñều chiều cao = cạnh

5. S =

A

H

M

C

p(p − a)(p − b)(p − c) (Hê-rông)

Diện tích tứ giác 1. Hình vuông: 2. Hình chữ nhật: 3. Hình bình hành: 4. Hình thang:

S S S S

= = = =

a²; ñường chéo = cạnh 2 ab a.h ½ (a + b)h

ðường tròn Diện tích hình tròn: S = πR² Chu vi ñường tròn: 2πR

Trang 9


KHÔNG GIAN Song song

d // a ⇒ d //(P)  a ⊂ (P) 

Vuông góc

d ⊥ a, d ⊥ b  a ∩ b ≠ ∅ ⇒ d ⊥ (P) a,b ⊂ (P) 

d a P

d //(P)  ⇒ d // a d ⊂ (Q) (P) ∩ (Q) = a  a // a ', b // b ' a '∩ b ' ≠ ∅  ⇒ (P) //(Q)  a,b ⊂ (P)  a ',b ' ⊂ (Q)

(P) //(Q) ⇒ d //(Q)  d ⊂ (P)

d ⊥ (P) ⇒d⊥a  a ⊂ (P) 

Q

d

a

P

b

a P

b'

a'

a // b a ⊂ (P)  ⇒ d // a // b  b ⊂ (Q)  (P) ∩ (Q) = d

b

P d a P

d ⊥ (P) ⇒ (P) ⊥ (Q)  d ⊂ (Q) 

Q d

P

d P

R

a P b Q

a P

d

b Q

(P) ⊥ (Q) (P) ∩ (Q) = a  ⇒ d ⊥ (P)  d ⊂ (Q)  d ⊥ a (P) ⊥ (R)  ⇒ d ⊥ (R) (Q) ⊥ (R) (P) ∩ (Q) = d 

Q d

P

a

d

Q

P R

a ⊥ d  ⇒ a // b b ⊥ d a,b, d ⊂ (P) 

Xác ñịnh hình chiếu của ñiểm

H ∈ (P) H = hc M /(P) ⇔  MH ⊥ (P) 1. Trong (P) có A , (d): MA ⊥ (d) * Trong (P) kẻ (d’) qua A, vuông góc với (d) * Trong (M, d’) kẻ MH ⊥ (d’) 2. Trong (P) có A, B: MA = MB * Trong (P) kẻ ñường trung trực (d’) của AB * Trong (M, d’) kẻ MH ⊥ (d’) 3. Có ñường thẳng (a) ⊥ (P) * Xác ñịnh giao tuyến (d’) = (P) ∩ (M, a) * Trong ((M, a) kẻ MH // (a) cắt (d’) tại H 4. Có (Q) chứa M và (Q) ⊥ (P) * Xác ñịnh giao tuyến (d’) = (P) ∩ (Q) * Trong (Q) kẻ MH ⊥ (d’) cắt (d’) tại H Trang 10

a

Q

Q

(P) //(Q)  (R) ∩ (P) = a ⇒ a // b (R) ∩ (Q) = b 

d

M

d H

d'

A

M

B H

d' A


Xác ñịnh và tính số ño góc Góc giữa ñường thẳng a và mp (P) Xác ñịnh hình chiếu a’ của a trên (P)

Chọn góc nhọn giữa a và a’

a

A H

P

Góc giữa 2 mặt phẳng

Xác ñịnh góc giữa 2 mp: - Tìm d = (P)∩(Q) - Xác ñịnh (R) ⊥ d - Tìm (R)∩(P)=a; (R)∩(Q)=b   ⇒ (P, Q) = (a,b)

a'

P R

a

b Q

Khoảng cách

M

Xác ñịnh khoảng cách giữa ñiểm A và (P)

Xác ñịnh hình chiếu H của M trên (P)

d[M(P)] = MH

H P

Xác ñịnh khoảng cách giữa ñường thẳng a và (P) song song với a Tìm khoảng cách từ ñiểm M tùy ý trên a ñến (P) Xác ñịnh khoảng cách giữa 2 mp song song Tìm khoảng cách từ ñiểm M tùy ý trên mp này ñến mp kia Xác ñịnh khoảng cách giữa 2 ñường thẳng chéo nhau a và b.

Là ñộ dài ñoạn vuông góc chung của 2 ñường thẳng Xác ñịnh ñoạn vuông góc chung của 2 ñường thẳng a và b

Trường hợp b ⊂ (P) ⊥ a Trường hợp b ⊂ (P) // a

Trong (P) dựng OH ⊥ b  Chọn ñiểm M “thích hợp” trên a ⇒ IJ là ñoạn vuông góc chung  tìm hình chiếu H của M lên (P).  ðường thẳng qua H và // a cắt b tại B. a  ðường thẳng qua B và // HM cắt a tại A. ⇒ AB là ñoạn vuông góc chung của a và b. b O Nếu 1 bài toán không yêu cầu dựng ñoạn vuông góc H chung AB của a và b thì

d(a,b) = d(a,P) = d(M,P). trong ñó b⊂ P//a

d(a,b) = d(P,Q) trong ñó a ⊂ Q; b ⊂ P và P // Q. a A M

b P a'

H B Trang 11


CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH Hình chóp • Hình chóp ñều: Mặt ñáy là ña giác ñều và chân ñường cao là tâm của ñáy. Các cạnh bên bằng nhau • Tứ diện ñều: Tất cả các cạnh bằng nhau, các mặt là các tam giác ñều. • Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau: ðường cao hình chóp qua ñỉnh và tâm ñường tròn ngoại tiếp mặt ñáy. • Hình chóp có 2mặt bên vuông góc với ñáy: ðường cao là cạnh chung của 2 mặt bên ñó. • Hình chóp có 1mặt bên vuông góc với ñáy: ðường cao của mặt bên ñó là ñường cao hình chóp Thể tích :

V=

1 Bh 3 h

Hình chóp thường : Sxq = tổng diện tích các mặt bên 1 Hình chóp ñều : Sxq = pd 2 (p là chu vi ñáy, d là trung ñoạn-chiều cao của mặt bên)

B S

M

Tỉ số thể tích của 2 tứ diện:

VS.MNP SM SN SP = . . VS.ABC SA SB SC

P

N A

C B

Hình lăng trụ Gọi p là chu vi thiết diện thẳng, S là diện tích thiết diện thẳng Gọi B là diện tích ñáy, h là chiều cao, l là cạnh bên Sxq = pl thường dùng Sxq = tổng diện tích các mặt bên V = Bh = Sl S

l Phân loại: Hình lăng trụ xiên Hình lăng trụ ñứng có cạnh bên vuông góc với ñáy (h = l; B = S) Hình lăng trụ ñều là hình lăng trụ ñứng có mặt ñáy là ña giác ñều

h B

ðặc biệt: Hình hộp có 6 mặt là hình bình hành Hình hộp ñứng có cạnh bên vuông góc với ñáy Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật. ðườngchéo d = a2 + b2 + c 2 ; V = abc Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông. ðường chéo d = a 3 ; V= a³ Trang 12


Hình trụ : Bán kính ñáy R, chiều cao h Sxq = 2πRh (chu vi ñáy X chiều cao) Stp = 2πRh + 2πR2 V = πR2h (diện tích ñáy X chiều cao)

R

h

Hình nón : Bán kính ñáy R, chiều cao h, ñường sinh l Sxq = πRl ( ½ chu vi ñáy X chiều cao) Stp = πRl + πR2 1 V= πR2h ( 1/3 diện tích ñáy X chiều cao) 3

l Hình cầu : diện tích mặt cầu : S = 4πR2 thể tích khối cầu : V = 4/3 πR3

h

R

33. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC, xác ñịnh hc A/(SBC) 34. Cho hình chóp S.ABCD ñáy là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD) 1) Xác ñịnh hc A/(SBC), hc A/(SBD) 2) Xác ñịnh hc O/(SCD), hc C/(SBD)

 = SAC  , tìm chân 35. Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác cân tại A, góc SAB ñường cao hình chóp vẽ từ S   36. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD và góc A ' AB = A ' AD , xác ñịnh chân ñường vuông góc hạ từ ñỉnh A’ xuống (ABCD) 37. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, mp(P) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Xác ñịnh chân ñường vuông góc hạ từ S xuống (P)  = xOz  , tìm chân ñường vuông 38. Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không ñồng phẳng, góc xOy góc hạ từ M trên Ox xuống (yOz) 39. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, lấy ñiểm M bên trong tam giác SAB, tìm hình chiếu của M trêm (ABCD) 40. Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác vuông tại C, SA ⊥ (ABC), tìm chân ñường vuông góc hạ từ ñiểm M trên cạnh AB xuống (SBC) 41. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình chữ nhật ABCD, SA ⊥ (ABCD) 1) Tìm hình chiếu của ñiểm M trên SA xuống (SBC) 2) Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, mp(P) qua O song song BC, xác ñịnh hình chiếu của S trên (P) 42. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SC, SB = SD và ñáy ABCD là hình thoi tâm O 1) Xác ñịnh hình chiếu của O trên (SBC) 2) Xác ñịnh hình chiếu của A trên (SBC) 43. Cho hình chóp S.ABC; tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a, SA⊥(ABC) Tính khoảng cách từ B ñến (SAC) 44. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh BC và AD. Hãy tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 2 . Trang 13


45. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a và cạnh bên

a 6 vuông góc với mặt phẳng ñáy (ABC) . Tính khoảng cách từ ñiểm A tới mặt 2 phẳng (SBC) theo a. 46. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a . Gọi E là trung ñiểm của cạnh CD . Tính theo a khoảng cách từ ñiểm S ñến ñường thẳng BE. 47. Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a. Gọi I là trung ñiểm của SC và M là trung ñiểm của AB. 1) Chứng minh IO ⊥ (ABCD) 2) Tính khoảng cách từ ñiểm I ñến ñường thẳng CM. 48. Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân ñỉnh B và AC = 2a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. 1) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) 2) Tính khoảng từ A ñến (SBC) 3) Gọi O là trong ñiểm của AC . Tính khoảng cách từ O ñến (SBC) 49. Tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a, BC = a 3 , SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Gọi M là trung ñiểm của AB. 1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 2) Tính ñường cao AK của tam giác AMC 3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SMC) và (ABC) 4) Tính khoảng cách từ A ñến (SMC) SA=

50. Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA=a. Dựng và tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung của các cặp ñường thẳng: SA và AD; SC và BD; SB và CD 51. Cho tứ diện ñều ABCD cạnh bằng a . Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆BCD. 1) Chứng minh rằng OA ⊥ CD. 2) Gọi M là trung ñiểm của CD. Tính cosin góc giữa AC và BM.

52. Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD=a 2 .

Gọi I và J lần lượt là trung ñiểm của AD và BC 1) Chứng minh (SIJ) ⊥ (SBC) 2) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và SB 53. Tứ diện ABCD có ABC là tam giác ñều cạnh a , AD vuông góc với BC , AD = a và khoảng cách từ D ñến BC là a. Gọi H là trung ñiểm của BC và I là trung ñiểm của AH. 1) Chứng minh BC ⊥ (ADH) và DH=a 2) Chứng minh DI ⊥ (ABC) 3) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và BC 54. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = b, cạnh SA vuông góc với ñáy và SA = 2a. Gọi M là trung ñiểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a. 55. Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A bằng 60° và có ñường cao SO=a. 1) Tính khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (SBC) 2) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và SB 56. Cho lăng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình thoi cạnh a , góc A = 60o .Gọi O và O’ là tâm của hai ñáy, OO’ = 2a. tính diện tích các mặt chéo của lăng trụ Trang 14


57. Cho lăng trụ ñứng ABC.A'B'C' có ñáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và

góc BAC = 120°, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung ñiểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I). 58. Cho tứ diện SABC có ñáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a 3 , SA⊥(ABC), SA = 2a. Gọi I là trung ñiểm AB 1) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông 2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SIC) và (ABC) 3) Gọi N là trung ñiểm AC ,tính khoảng cách từ ñiểm N ñến mặt phẳng (SBC) 59. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 6 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 1) Tính góc giữa SC và (ABCD). 2) Tính tan của góc giữa SC và (SAB). 3) Tính sin của góc giữa SB và (SAC). 4) Tính sin góc giữa AC và (SBC) 60. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A'B'C' có ñáy là tam giác ñều cạnh bằng a . Biết BC' hợp với (ABB'A') góc 30°. 1) Tính AA'. 2) Tính khoảng cách từ trung ñiểm M của AC ñến mặt phẳng (BA'C'). 3) Gọi N là trung ñiểm của cạnh BB1. Tính sin của góc giữa MN và (BA'C'). 61. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác ñều cạnh a, SA = SB = SC = a 3 1) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC) 2) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 3) Tính diện tích tam giác SBC 62. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC=a, SA=SB=SC= a 3 2

1) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC) 2) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau 3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC)

63. Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a , SA=SB=SC=2a 1) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC). 2) Tính cosin góc giữa ñường thẳng SA và mặt phẳng (ABC).

64. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, A = 60°, SA=SB=SD= a 3 2

1) Tính hình chóp từ S ñến mặt phẳng (ABCD) 2) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau 3) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính khoảng

cách từ A ñến mặt phẳng (SBD) 4) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD), tính diện tích ∆SBD  = 600 , 65. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác vuông tại A, AC=a, BCA BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc α=45°. Xác ñịnh α và tính chiều cao lăng trụ 66. Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A'B'C' có cạnh ñáy = cạnh bên = a, Gọi I, J là trung ñiểm BC và BB' 1) Chứng minh rằng BC' ⊥ (AIJ) 2) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC) 3) Tính diện tích tam giác AIJ Trang 15


 = 600 , A'A=A'B=A'D= a 3 67. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ñáy là hình thoi cạnh a, A 2

1) Tính chiều cao lăng trụ 2) Chứng minh rằng hai mặt chéo của lăng trụ vuông góc nhau 3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) 4) Tính diện tích tam giác A’BD và diện tích toàn phần của lăng trụ

68. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ 1) Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau 2) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AA’ và BD’ 3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (D’AC) và (ABCD) 4) Tính diện tích tam giác D’AC

69. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ñường chéo DB’ = 12, CD=6, CC’ = 8 1) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp 2) Tính góc giữa B’D và các mặt hình hộp

70. *.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a, cạnh bên = a và hình

chiếu của C’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của tam giác ABC 1) Tính góc giữa cạnh bên và ñáy,chiều cao của lăng trụ 2) Chứng minh rằng các mặt bên AA’C’C và BB’C’C bằng nhau ; mặt bên ABB’A’ là hình vuông. Từ ñó tính diện tích toàn phần của lăng trụ 71. *.Cho lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy bằng a .ðường chéo AB’ của mặt bên tạo với ñáy một góc ϕ = 60o. Gọi I là trung ñiểm BC 1) Xác ñịnh hình chiếu của A trên BB’C’C 2) Tính góc giữa ñường thẳng AB’ và mặt phẳng (BB’C’C) 72. *.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a; cạnh bên AA’ = a và hình chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm I của AC 1) Tính góc giữa cạnh bên và ñáy 2) Tính chiều cao lăng trụ 73. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình thoi ABCD cạnh a, tâm O và góc A=60°, D’O vuông góc (ABCD) ; cạnh bên tạo với ñáy một góc ϕ bằng 60° 1) Xác ñịnh góc ϕ và tính chiều cao , cạnh bên của hình hộp 2) Chứng minh rằng BD’ ⊥ A’C’ 3) Chứng minh rằng các mặt bên của hình hộp bằng nhau 74. Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy = a, ñường chéo BC’ tạo với mặt phẳng (AA’B’B) một góc α = 30°. Xác ñịnh α và tính chiều cao lăng trụ 75. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình thoi tâm O; cạnh a góc A= 60°; B’O vuông góc (ABCD) ; cạnh bên bằng a 1) Tính góc giữa cạnh bên và ñáy và thể tích của lăng trụ 2) Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau 3) Tính diện tích toàn phần lăng trụ 76. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều ABC cạnh a, ñiểm A’ cách ñều A,B,C và AA’ tạo với ñáy một góc ϕ = 60°. 1) Chứng minh rằng mặt bên BB’C’C là một hình chữ nhật 2) Tính chiều cao lăng trụ 77. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) là 60°. Tính MN, Tính SO, Tính sin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD). Trang 16


Ôn hè 2009  

tai lieu on he cho hs 12

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you