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‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺘﺎﺳﻊ‬

‫ﺍﻟﺘﺤﺮﻳﻚ ﺍﻟﺪﻭﺭﺍﻧﻲ‬ ‫)‪(Rotational Dynamics‬‬

‫‪ 1-9‬ﺘﻤﻬﻴﺩ‪:‬‬ ‫ﺩﺭﺴﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻜﻴﻑ ﺘﺩﻭﺭ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻭﺤﺩﺩﻨﺎ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﻤﻭﻀﻊ ﻭﺴﺭﻋﺔ‬ ‫ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺯﺍﻭﻱ ﺩﻭﻥ ﺘﺤﺭﻱ ﺍﻟﺴﺒﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺠﻌل ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺘﺩﻭﺭ ﺃﺼﻼ‪ .‬ﻭﻜﻤﺎ ﻓﻌﻠﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ‬

‫ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺩﺭﺱ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺼل ﺴﺒﺏ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ‪ .‬ﻓﻨﻌﺭﻑ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫ﻤﻥ ﻋﺯﻡ )ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ( ﻭﻗﺼﻭﺭ ﺫﺍﺘﻲ )ﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ(‪ ،‬ﻭﻨﺭﺒﻁ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ‬

‫)ﺩﻟﻴل ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ( ﻟﻨﺴﺘﺨﺭﺝ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‪ .‬ﻜﻤﺎ ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺸﻐل ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻭﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪ .‬ﻭﻨﺴﺘﺨﺭﺝ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ‬

‫ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻭﻨﺩﺭﺱ ﺒﻌﺽ ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺘﻪ‪ .‬ﻭﻨﻌﻤﻡ ﺃﺨﻴﺭﺍ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﻭﺃﺠﺴﺎﻡ ﺼﻠﺒﺔ ﻭﻨﺩﺭﺱ ﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ‪.‬‬

‫‪ 2-9‬ﺍﻟﻌﺯﻡ )‪(Torque‬‬ ‫ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺴﺒﺏ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻨﺠﺭﻱ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﺒﺘﺜﺒﻴﺕ ﻤﺴﻁﺭﺓ ﻤﻥ ﻤﻨﺘﺼﻔﻬﺎ ﺒﺎﻟﺤﺎﺌﻁ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ‬ ‫ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ ،(1-9‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻨﻬﺎ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ ‪) o‬ﺃﻭ ﺒﺎﻷﺤﺭﻯ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎﺭ‬ ‫ﻤﻨﻬﺎ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ(‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﺃﺜﺭﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺒﻘﻭﺓ ‪ F1‬ﺘﻤﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ‪ ،‬ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻼﺤﻅ‬

‫ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺒﻘﻰ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﺘﻨﺘﻘل ﺃﻭ ﺘﺩﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻁﻼﻕ‪ ،‬ﻤﻤﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻴﻬﺎ‬ ‫ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ‪ .‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺭﺩ ﻓﻌل ﻤﺴﻤﺎﺭ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ ‪ N‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻭﻴﻌﺎﻜﺱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ‪ F1‬ﻓﺘﺒﻘﻰ‬

‫‪205‬‬


‫ﺍﻟﻌﺯﻡ‬ ‫‪ 2-9‬ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ‪ .‬ﻡ‪ .‬ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ‬

‫ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻭﻻﺘﺘﺤﺭﻙ‪ .‬ﺍﻵﻥ‪ :‬ﻟﻭ ﻁﺒﻘﻨﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ‬ ‫‪ F2‬ﻓﻘﻁ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻟﻭﺠﺩﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ‬

‫‪2‬‬ ‫‪D‬‬

‫ﻻﺘﻨﺘﻘل ﻜﻜل ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻬﺎ‪ ،‬ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ ﺭﺩ ﻓﻌل‬

‫‪F2‬‬

‫ﺍﻟﻤﺴﻤﺎﺭ ‪ N‬ﻻﻴﺯﺍل ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻭﻤﻌﺎﻜﺴﺎ ﻟـ ‪،F2‬‬

‫‪A‬‬

‫ﻓﺘﺒﻘﻰ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ‪ ،‬ﺇﻻ ﺃﻥ‬

‫‪1‬‬

‫ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺘﺩﻭﺭ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ‬

‫‪F4‬‬

‫‪F1‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪r‬‬

‫‪o‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪F3‬‬

‫‪N‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(1-9‬‬

‫ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ ‪ .o‬ﺃﺨﻴﺭﺍ ﻨﻁﺒﻕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ‪ F3‬ﻓﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻓﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺘﺄﺜﻴﺭ‬ ‫ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻴﺨﺘﻔﻲ ﻤﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻭﺘﺒﻘﻰ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﺃﻴﻀﺎ ﻤﺜل ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪ .‬ﻤﻤﺎ ﻻﺸﻙ ﻓﻴﻪ ﺇﺫﺍ ﺃﻥ‬ ‫ﻫﻨﺎﻙ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻭﺍﻀﺢ ﻟﻠﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﻁﺒﻕ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺒﺘﻐﻴﻴﺭ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻁﺒﻴﻘﻬﺎ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ‬

‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪ .‬ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫)ﺃ( ﻤﺤﻭﺭ )ﺃﻭ ﻨﻘﻁﺔ( ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ )‪ :(axis of rotation‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ )ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ( ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻭﺭ‬ ‫ﺤﻭﻟﻪ ﺍﻟﺠﺴﻡ‪ .‬ﻓﻔﻲ ﻤﺜﺎﻟﻨﺎ ﻫﺫﺍ ﻓﺈﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﻭﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪.o‬‬

‫)ﺏ( ﺨﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ )‪ :(force line of action‬ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺤﻤل ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻘﻭﺓ‪ ،‬ﻜﺎﻟﺨﻁ ‪D‬‬

‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(1-9‬ﻭﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻟﻭ ﺯﻟﻘﻨﺎﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺨﻁ ﻁﺎﻟﻤﺎ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ‪.‬‬

‫)ﺝ( ﻨﻘﻁﺔ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ‪ :‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺨﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ‪ ،‬ﻜﺎﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪.(1-9‬‬

‫)ﺩ( ﺫﺭﺍﻉ ﺍﻟﻘﻭﺓ )‪ :(lever arm‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺇﻟﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ‪،‬‬ ‫ﻭﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ r‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪.(1-9‬‬

‫ﻨﻌﻭﺩ ﺍﻵﻥ ﻟﻠﺸﻜل )‪ (1-9‬ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ‪ F1‬ﺘﻤﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻓﻠﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﺫﺭﺍﻉ‪ .‬ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ‪F3‬‬

‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺫﺭﺍﻋﻬﺎ ﻭﺨﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﺃﻭ ‪ ،180°‬ﻭﻓﻲ ﻜﻠﺘﺎ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ‬

‫ﻻﺘﺩﻭﺭ‪ .‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻟﻠﻘﻭﺓ ‪ F2‬ﺫﺭﺍﻋﺎ ﻻﻴﻭﺍﺯﻱ ﺨﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ﻭﻻﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‬ ‫ﻭﺘﺩﻭﺭﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪.‬‬

‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻤﺎ ﺘﻘﺩﻡ ﺍﻨﻪ ﺤﺘﻰ ﻴﺩﻭﺭ ﺠﺴﻡ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﻗﻭﺓ ‪ F‬ﻟﻬﺎ ﺫﺭﺍﻉ ‪ r‬ﻻﻴﻭﺍﺯﻱ ﺨﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ‬ ‫ﺃﻱ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ θ‬ﺒﻴﻥ ﺨﻁ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻭﺫﺭﺍﻉ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻻﺘﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭ ﺃﻭ‪ .180°‬ﻭﻻﺘﺘﺤﻘﻕ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ‪ rFsinθ‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ‪ ،‬ﻟﺫﺍ ﻨﻁﻠﻕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﺴﻡ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ )‪(torque‬‬

‫ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒـ ‪ ،τ‬ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬

‫‪τ = rF sin θ‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ θ‬ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ‪ r‬ﻭ‪.F‬‬

‫‪206‬‬

‫)‪(1-9‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﺯﻡ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﺘﺠﻬﺔ ﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻭﺼل ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﻤﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ‪ F2‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪(1-9‬‬

‫ﺘﺤﺎﻭل ﺘﺩﻭﻴﺭ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﻬﻡ ‪ ،1‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺤﺎﻭل ‪ F4‬ﺘﺩﻭﻴﺭﻫﺎ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﻬﻡ ‪ 2‬ﻤﻊ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ‬

‫ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻭﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ‪ .‬ﻟﺫﺍ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻟﻠﻌﺯﻡ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻤﺤﺩﺩ ﻨﺠﺩﻩ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (1-9‬ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺘﻤﺜل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻟـ ‪ r‬ﻭ‪ ،F‬ﻜﻤﺎ ﺩﺭﺴﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻷﻭل‪ .‬ﻟﺫﺍ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪τ = r×F‬‬

‫)‪(2-9‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺒﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﺤﻴﺙ ﻴﺘﺠﻪ ﺍﻹﺒﻬﺎﻡ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫ﻭﺍﻟﺴﺒﺎﺒﺔ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ‪ F‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺘﺠﻪ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻷﺼﺎﺒﻊ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﻑ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﺍﻟﻌﺯﻡ ‪ ،τ‬ﺃﻱ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺤﺎﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ‪ r‬ﻭ‪ ،F‬ﻜﻤﺎ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(2-9‬ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ ﺒﺘﺼﻭﺭ ﺒﺭﻏﻲ‬

‫ﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺇﺫ ﻴﺘﺠﻪ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺒﺭﻏﻲ ﻭﻟﻴﺱ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﺩﻭﺭﺍﻨﻪ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﺘﺼﻭﺭﻨﺎ ﺒﺭﻏﻴﺎ ﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ‪ F1‬ﻓﻘﻁ‬

‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(1-9‬ﺃﻱ ﻤﻊ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ )ﺠﻬﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ( ﻓﺈﻨﻪ ﻴﺘﺤﺭﻙ‬

‫‪F‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(2-9‬‬

‫ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ )ﺠﻬﺔ ﺍﻟﻌﺯﻡ(‪ .‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻟﻭ ﺩﺍﺭ ﺍﻟﺒﺭﻏﻲ ﻤﻊ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ‪ F4‬ﻓﻘﻁ‪ ،‬ﺃﻱ‬ ‫ﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ )ﺠﻬﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ( ﻟﺘﺤﺭﻙ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ )ﺠﻬﺔ ﺍﻟﻌﺯﻡ(‪ .‬ﻓﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻟﻴﺱ‬

‫ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻌﺘﻘﺩ ﺍﻟﺒﻌﺽ‪ .‬ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻜﻭﻥ ﻗﻭﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺘﻴﻥ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﻻﻴﻌﻨﻲ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﺃﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﺯﻤﻴﻬﻤﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺘﺎ ﻤﺤﻤﻭﻟﺘﻴﻥ‬

‫ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺨﻁ‪ .‬ﻓﻠﻭ ﻋﻜﺴﻨﺎ ﺍﺘﺠﺎﻩ ‪ F2‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (1-9‬ﻟﺭﺃﻴﻨﺎ ﺃﻥ ﻤﺤﺼﻠﺘﻬﺎ ﻭ ‪ F4‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ‬ ‫ﺇﻻ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺴﺘﺩﻭﺭ ﺒﺎﻟﺘﺄﻜﻴﺩ ﻷﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻬﻤﺎ ﻻﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪.‬‬

‫ﻭﻴﺠﺩﺭ ﺍﻟﺘﻨﻭﻴﻪ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻴﻌﺘﻤﺩﺍﻥ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ )ﺃﻭ ﻨﻘﻁﺔ( ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ‪ ،‬ﻷﻥ ﺫﺭﺍﻉ‬ ‫ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻤﺎ ﻴﻨﻌﻜﺱ ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﻭ‪/‬ﺃﻭ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ‪ .‬ﻟﺫﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻬﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ‪ ،‬ﻭﺴﻨﺭﻯ ﻻﺤﻘﺎ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻫﺫﺍ ﻋﻠﻰ ﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻟﻠﺩﻭﺭﺍﻥ‪.‬‬

‫ﻭﺘﻌﻁﻰ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﺒـ ‪ .m.N‬ﻭﻤﻊ ﺃﻨﻬﺎ ﺘﻤﺎﺜل ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺸﻐل ‪ N.m‬ﺇﻻ ﺃﻨﻬﺎ ﻻﺘﻘﺩﺭ‬ ‫ﺒﺠﻭل ﻷﻨﻬﺎ ﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﻀﺭﺏ ﻤﺘﺠﻪ ﻟﻠﻤﺴﺎﻓﺔ ﻭﺍﻟﻘﻭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪ ،‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻨﺘﺞ ﺍﻟﺸﻐل ﻋﻥ ﺍﻟﻀﺭﺏ‬

‫ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻟﻬﻤﺎ‪ .‬ﻭﻟﺫﺍ ﺘﺒﻘﻰ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻌﺯﻡ ‪ m.N‬ﻓﻘﻁ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪1-9‬‬

‫ﻤﺎﻋﺯﻡ ﻜل ﻤﻥ ‪ F1‬ﻭ ‪ F2‬ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ‪ m‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪(3-9‬؟‬

‫‪207‬‬


‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ‬ ‫ﻓﻲ‪ .‬ﻡ‪.‬‬ ‫ﺍﻷﻭل– ﺩ‬ ‫ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ‬ ‫ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀﻨﻴﻭﺘﻥ‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﻗﺎﻨﻭﻥ‬ ‫‪3-9‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﺴﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜل ﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻋﺎﻤﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﻫﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﻤﺴﺎﺌل ﻻﺤﻘﺔ‪ .‬ﻓﻨﻜﻨﺏ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ ‪ F1‬ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬

‫‪F1‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪τ1 = r1F1 sin θ1 = rF1 sin 90° = rF1‬‬

‫ﻭﻴﺘﺠﻪ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺤﺴﺏ ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ ﻤﺜل ﺒﺭﻏﻲ‬ ‫ﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ‪.‬‬

‫‪r‬‬

‫‪F2‬‬

‫‪o‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(3-9‬‬

‫ﺍﻤﺎ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻘﻁﺭﻴﺔ ‪ F2‬ﻓﻬﻭ‪:‬‬ ‫‪τ 2 = r2F2 sin θ 2 = rF2 sin180° = 0‬‬

‫ﻭﻫﺫﻩ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻤﻬﻤﺔ ﺘﺩل ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺃﻱ ﻗﻭﺓ ﻴﺘﻘﺎﻁﻊ ﺨﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻴﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺭ‪.‬‬

‫ﻤﺜل ‪2-9‬‬

‫ﻴﻌﻠﻕ ﺠﺴﻡ ‪ m‬ﺒﻨﻬﺎﻴﺔ ﺨﻴﻁ ﻴﻤﺭ ﺤﻭل ﺒﻜﺭﺓ ﺨﺸﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ M‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪R‬‬

‫‪N‬‬

‫ﻤﺜﺒﺘﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻨﻬﺎ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺃﻓﻘﻲ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ‬

‫‪R‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(4-9‬ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ؟‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺜﻼﺙ ﻗﻭﻯ ﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﻫﻲ ﻭﺯﻨﻬﺎ ‪Mg‬‬ ‫ﻭﺭﺩ ﻓﻌل ﻨﻘﻁﺔ ﺘﺜﺒﻴﺘﻬﺎ ‪ N‬ﻭﺸﺩ ﺍﻟﺨﻴﻁ ‪ T‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﻌﻠﻕ ﺒﻪ ﺍﻟﺠﺴﻡ‪.‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪Mg‬‬

‫ﻭ‪ N‬ﺘﻤﺭﺍﻥ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ‪ o‬ﻟﺫﺍ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﺯﻡ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ‪،‬‬ ‫ﻭﻴﺒﻘﻰ ﻋﺯ ﺍﻟﺸﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﻜﺘﺒﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (2-9‬ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ‪:‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪Mg‬‬ ‫‪m‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(4-9‬‬

‫‪τ = RT sin θ = RT sin 90° = RT‬‬

‫‪ 3-9‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺃﻨﻪ ﺤﺘﻰ ﻴﺩﻭﺭ ﺠﺴﻡ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻋﺯﻡ ﻗﻭﺓ ﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ‪ .‬ﻓﺈﻥ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﻓﺈﻨﻪ ﻻﻴﺩﻭﺭ ﺒﺘﺎﺘﺎ‪ .‬ﻭﻨﻌﻤﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﺎﻟﻘﻭل‪ :‬ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ‬

‫ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻟﺘﻪ ﺍﻟﺘﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ )ﺃﻱ ﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺃﻭ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ( ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ‪ .‬ﻭﻨﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﺴﻡ ﻗﺎﻨﻭﻥ‬

‫ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‪ ،‬ﻭﻨﻜﺘﺒﻪ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬

‫‪208‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫ﺜﺎﺒﺕ = ‪τT = 0 ⇒ ω‬‬

‫)‪(3-9‬‬

‫ﻭﻨﺴﺘﻔﻴﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪3-9‬‬ ‫ﻴﺠﻠﺱ ﻁﻔل ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 35 kg‬ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻑ ﻟﻭﺡ ﻁﻭﻟﻪ ‪2 m‬‬

‫ﻴﺭﺘﻜﺯ ﻋﻨﺩ ﻤﻨﺘﺼﻔﻪ‪ .‬ﺃﻴﻥ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺠﻠﺱ ﺃﺨﺎﻩ ﺍﻵﺨﺭ‬

‫‪N‬‬

‫ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 40 kg‬ﺤﺘﻰ ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻠﻭﺡ ﺃﻓﻘﻴﺎ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ‬

‫‪1m‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(5-9‬؟‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻨﻪ ﺤﺘﻰ ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻠﻭﺡ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ‬

‫ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ‬ ‫ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻻﺭﺘﻜﺎﺯ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ‪ .‬ﻭﺒﺎﻟﻁﺒﻊ ﻓﻠﻴﺱ ﻟﻭﺯﻥ‬

‫‪x‬‬

‫‪w‬‬

‫‪W1‬‬

‫ﺍﻟﻠﻭﺡ ﺃﻭ ﺭﺩ ﻓﻌل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻻﺭﺘﻜﺎﺯ ﻋﺯﻡ ﻷﻨﻬﻤﺎ ﻴﻤﺭﺍﻥ ﻤﻥ ﻤﺤﻭﺭ‬

‫‪W2‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(5-9‬‬

‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪ .‬ﻭﻨﺠﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺯﻡ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﻁﻔل ﺍﻷﻭل ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ‪:‬‬ ‫)‪τ1 = w1r1 sin θ1 = m1g (l /2‬‬

‫ﻭﻴﺘﺠﻪ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ )ﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ(‪ .‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﺯﻡ ﻭﺯﻥ ﺍﻷﺥ ﺍﻵﺨﺭ ﻓﻴﺴﺎﻭﻱ‪:‬‬ ‫‪τ 2 = w2r2 sin θ2 = m2 gx‬‬

‫ﻭﻴﺘﺠﻪ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ‪ .‬ﻓﺤﺘﻰ ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻠﻭﺡ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺯﻤﺎﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ‪ .‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪m1g (l /2) = m2 gx ⇒ x = m1l /2m2 = 0.875 m‬‬

‫‪ 4-9‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻤﺎﺘﻘﺩﻡ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﻓﺴﻴﺒﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻟﺘﻪ‬

‫ﺍﻟﺘﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ‪ ،‬ﺃﻱ ﺘﺒﻘﻰ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺩﻭﻤﺎ‪ .‬ﻭﻟﺫﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﺩﻴﻬﻲ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﺇﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﻻﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻓﺴﺘﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﻴﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎ ﺯﺍﻭﻴﺎ‪ .‬ﻭﺴﻨﺭﺒﻁ‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ )ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ( ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ )ﺩﻟﻴل ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ(‪.‬‬

‫‪209‬‬


‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ‬ ‫ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀﻨﻴﻭﺘﻥ‬ ‫‪ 4-9‬ﻗﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ‬ ‫ﻓﻲ ﻡ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ– ﺩ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ‬

‫ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺇﺫﺍ ﺃﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺠﺴﻤﺎ ‪ m‬ﻴﺨﻀﻊ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻗﻭﻯ ‪ FT‬ﻭﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭل‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ o‬ﺘﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ r‬ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ‬

‫ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻩ ﺠﺴﻤﺎ ﻨﻘﻁﻴﺎ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل)‪.(6-9‬‬

‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﻋﺯﻡ ‪ FT‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪) o‬ﺃﻭ ﺒﺎﻷﺼﺢ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ‬

‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ‪ o‬ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ(‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ‪:‬‬ ‫) ‪τT = r × FT = r × ( Ft + Fn‬‬

‫‪FT‬‬ ‫‪Ft‬‬

‫‪Fn‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪o‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(6-9‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ Ft‬ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ‪ ،‬ﻭ ‪ Fn‬ﻤﺭﻜﺒﺘﻬﺎ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ‪ .‬ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺨﻁ ﻗﻭﺓ ‪ Fn‬ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪ ،‬ﺃﻱ ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﻋﺯﻡ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ‬

‫‪ Ft‬ﻭ ‪ r‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ .90°‬ﻟﺫﺍ ﻴﺼﻴﺭ ﻋﺯﻡ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ‪:‬‬ ‫‪τT = r × FT = r × Ft ⇒ τΤ = rFt‬‬

‫ﻭﺒﺤﺴﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ ‪ ، Ft = ma‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ‬

‫ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺒﺎﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ‪ α‬ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ . a = r α‬ﻓﺈﺫﺍ ﻋﻭﻀﻨﺎ ﻋﻥ ‪ FT‬ﻭ ‪ a‬ﻓﻲ ﻋﻼﻗﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪τ T = (mr )α‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺃﻭ‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬

‫‪τT = I α‬‬

‫‪τT‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﻭﻀﻌﻨﺎ‬

‫)‪(5-9‬‬

‫=‪α‬‬

‫)‪(6-9‬‬

‫‪I = mr‬‬

‫)‪(7-9‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪(4-9‬‬

‫ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﺴﻡ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺃﻭ )ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻌﻁﺎﻟﺔ( )‪ (moment of inertia‬ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁﻲ‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ‪ .o‬ﻭﻭﺤﺩﺘﻪ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ،‬ﻫﻲ ‪.kg.m2‬‬

‫ﻭﺘﻌﻁﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (6-9‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻨﺼﻴﻐﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ‪:‬‬ ‫ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﺠﺴﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺎ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻁﺭﺩﻴﺎ ﻤﻊ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ‬

‫ﻋﻠﻴﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻭﻋﻜﺴﻴﺎ ﻤﻊ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ‪ .‬ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ‬ ‫‪210‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‪ ،‬ﻭﺴﻨﺭﻯ ﺒﻌﺩ ﻗﻠﻴل ﻜﻴﻑ‬ ‫ﻨﺴﺘﻔﻴﺩ ﻤﻨﻪ ﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻭﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﻴﻥ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪4-9‬‬

‫ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻴﻡ ﻨﻘﻁﻲ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 2 kg‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ xy‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻌﻁﻰ‬

‫‪F‬‬

‫ﻤﻭﻀﻌﻪ ﻭﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﻟﺤﻅﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﻴﻥ‬

‫ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ ،(7-9‬ﺤﻴﺙ ‪ r=2 m‬ﻭ‪ .F= 2 N‬ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﺯﻡ‬

‫‪30°‬‬

‫‪m‬‬

‫ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ‪ ،‬ﻭﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ؟‬

‫‪r‬‬ ‫‪45°‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (1-9‬ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ‪:‬‬

‫‪y‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(7-9‬‬

‫‪τ = rF sin θ = (2 m)(2N)sin30°‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬

‫‪τ = 2 m.N‬‬

‫ﻓﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺯﻡ ‪ .2 m.N‬ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻤﻥ ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ‪ ،‬ﺃﻱ‬ ‫ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ .oz‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻤﺎﺜل ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺭﻏﻲ ﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ )ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ(‪.‬‬

‫ﺍﻵﻥ‪ :‬ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻓﻨﻜﺘﺏ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ‪:‬‬ ‫‪= 0.17 rad/s 2‬‬

‫‪τ‬‬ ‫‪mr 2‬‬

‫=‬

‫‪τ‬‬ ‫‪I‬‬

‫=‪α‬‬

‫‪ 5-9‬ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬ ‫ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ )ﺃﻭ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻌﻁﺎﻟﺔ( ﻟﺠﺴﻴﻡ ﻨﻘﻁﻲ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ m‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ‬ ‫ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ r‬ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬

‫‪I = mr 2‬‬

‫ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻓﻘﻁ ﻟﺠﺴﻴﻡ ﺫﻭ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺒﻌﺩﻩ ﻋﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪ .‬ﺃﻤﺎ ﻟﻭ‬ ‫ﻜﺎﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻜﺒﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺃﻭ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﻜﺒﻴﺭ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺠﺩ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ‬

‫ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺒﺘﺠﺯﺌﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻷﺠﺯﺍﺀ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻭﺠﻤﻊ ﻋﺯﻭﻡ ﻗﺼﻭﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ‪ ،‬ﺃﻱ‪:‬‬

‫‪211‬‬


‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫‪ 5-9‬ﺩ‪ .‬ﻡ‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ –‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬ ‫ﻋﺯﻡ‪ .‬ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ‬ ‫‪N‬‬

‫‪I = m1r12 + m2r22 + " + mn rn2 = ∑ mi ri 2‬‬

‫)‪(8-9‬‬

‫‪i =1‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ ri‬ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ‪ mi‬ﻋﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪ .‬ﻭﺇﺫﺍ ﺼﺎﺭﺕ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻤﺎ ﺼﻠﺒﺎ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺠﺯﺌﻪ‬ ‫ﻷﺠﺯﺍﺀ ﻋﻨﺼﺭﻴﺔ ‪ ∆mi‬ﻴﺤﺘل ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﺤﺠﻤﺎ ﺼﻐﻴﺭﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻭﻀﻌﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﻠﺏ‬

‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ ،ri‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(8-9‬ﺇﻻ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﻴﺔ‬ ‫ﻴﺼﻴﺭ ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺒﺤﻴﺙ ﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬

‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‬ ‫‪2‬‬

‫∞→ ‪n‬‬

‫‪∑ ∆m r‬‬

‫‪i i‬‬

‫ﻭﻨﺠﻌل‬

‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬

‫ﺘﻜﺎﻤﻼ‬

‫‪z‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(8-9‬‬

‫= ‪I‬‬

‫‪i =1‬‬

‫ﻋﻨﺩﻤﺎ‬

‫ﻴﺼﻴﺭ‬

‫ﺍﻟﺠﺯﺀ‬

‫ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﻱ ‪ ∆m i‬ﺼﻐﻴﺭ ﻟﺩﺭﺠﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻨﻜﺘﺒﻪ ‪ dm‬ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻌﻪ‬

‫‪y‬‬

‫‪dm‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ ،r‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪I = ∫ r dm‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪(9-9‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﻴﻤﺘﺩ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﻠﺏ ﻜﻠﻪ‪.‬‬

‫ﻭﻤﻤﺎ ﻻﺸﻙ ﻓﻴﻪ ﺃﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻴﺤﺘﺎﺝ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭﺍﻓﻴﺔ ﺒﻁﺭﻕ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻌﻘﺩﺓ‪ ،‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﻔﻲ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺒﺈﻋﻁﺎﺀ ﻋﺯﻭﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻴﺔ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺩ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﺌل‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻷﻱ ﺠﺴﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ‬

‫ﺜﺎﺒﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪ oz‬ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪I z = Mk‬‬

‫)‪(10-9‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ M‬ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭ‪ kz‬ﻁﻭل ﻴﺩﻋﻰ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ )‪ (radius of gyration‬ﻭﻴﻤﺜل ﺍﻟﺒﻌﺩ‬ ‫ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﻔﺭﻭﺽ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ﻜل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺘﺠﻤﻌﺎ ﻋﻨﺩﻩ ﻜﻨﻘﻁﺔ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻟﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ‬

‫ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻫﻭ ‪ .Iz‬ﻭﻨﻌﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ 1-9‬ﻗﻴﻡ ‪ kz‬ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﺍﻟﺸﺎﺌﻌﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺒﻌﺽ‬

‫ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﺩﻭﺭ ﺤﻭﻟﻬﺎ‪.‬‬

‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻓﻲ ﺤﺎﻻﺕ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻋﺭﻓﻨﺎ‬ ‫ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺃﻭ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺃﺨﺭﻯ‪ .‬ﻭﻨﺫﻜﺭ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻨﻅﺭﻴﺘﻴﻥ ﻤﻔﻴﺩﺘﻴﻥ ﻟﺤﺴﺎﺒﻪ‪:‬‬

‫‪ -1‬ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ )‪:(Parallel Axes Theorem‬‬

‫ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﺠﺴﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ‬

‫ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻭﻤﻭﺍﺯ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﻭل ﻤﻀﺎﻓﺎ ﺇﻟﻴﻪ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪212‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ C‬ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ‬

‫‪h‬‬

‫‪ D‬ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ‪ ،h‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(10-9‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ ‪ D‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ‪:‬‬

‫‪I D = I c .m . + Mh 2‬‬

‫‪c.m.‬��� ‫‪D‬‬

‫)‪(11-9‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(10-9‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ Ic.m‬ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ ‪ C‬ﻭ ‪ M‬ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ‪.‬‬

‫‪ -2‬ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ )‪:(Normal Axes Theorem‬‬

‫ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﻤﺴﺘﻭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ‬

‫‪z‬‬

‫ﻤﺴﺘﻭﻴﻪ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻋﺯﻤﻲ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻭﺍﻗﻌﻴﻥ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻭﻤﺘﻘﺎﻁﻌﻴﻥ ﻋﻨﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺭﻭﺭ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﻔﺭﻭﺽ‪.‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(11-9‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ oz‬ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﻠﺏ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ‬

‫ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ (11-9‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪Iz = I x + Iy‬‬

‫)‪(12-9‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ Ix‬ﻭ‪ Iy‬ﻋﺯﻤﻲ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ‪ ox‬ﻭ‪ oy‬ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﻴﻥ ﻓﻲ‬ ‫ﻤﺴﺘﻭﻴﻪ ﻭﺍﻟﻤﺘﻘﺎﻁﻌﻴﻥ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ o‬ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﺭ ‪ oz‬ﻤﻨﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪6-9‬‬

‫ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﺼﻔﻴﺤﺔ ﻤﺭﺒﻌﺔ ﺍﻟﺸﻜل ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 2 kg‬ﻭﻁﻭل ﻀﻠﻌﻬﺎ ‪ 0.5 m‬ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ‬

‫ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻭﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺇﺤﺩﻯ ﺯﻭﺍﻴﺎﻫﺎ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(12-9‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬ ‫ﺤﻭل ﻗﻁﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪1.5 kg.m2‬؟‬

‫‪z‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﺴﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜل ﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ ﺃﻭﻻ ﺜﻡ‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ‪ .‬ﻓﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (12-9‬ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ‬

‫ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺼﻔﻴﺤﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ oz‬ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻭﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ‪ ،‬ﺒﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ‪. I z = I x + I y ،‬‬

‫ﻟﻜﻥ ‪I x = I y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(12-9‬‬

‫ﺒﺴﺒﺏ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﺍﻟﻤﺭﺒﻊ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﺼﻔﻲ ﻗﻁﺭﻴﻪ‪ ،‬ﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪I z = 2I x = 2(1.5 kg.m2 ) = 3 kg.m 2‬‬

‫ﻭﺒﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪213‬‬


‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫‪5-9‬ﺩ‪ .‬ﻡ‪.‬‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ –‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬ ‫ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ‬

‫‪I D = I z + Mh 2 = I z + M (a / 2)2‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ M‬ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺼﻔﻴﺤﺔ ﻭ‪ a‬ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻬﺎ ﻭ ‪ h = a / 2‬ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ oz‬ﻭﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪.D‬‬ ‫ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪I D = 3.71 kg.m2‬‬

‫ﺍﻟﻤﻌﻨﻰ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻲ ﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬

‫ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ‪ ،F=ma‬ﻭﻤﻥ ﻨﻅﻴﺭﻩ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫‪ ،τ=Iα‬ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺘﺸﺎﺒﻪ ﻭﺍﻀﺢ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪ .‬ﻓﻔﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻨﺤﺘﺎﺝ ﻟﻘﻭﺓ )ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ( ﻟﺘﻐﻴﻴﺭ‬

‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻜﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﻭﺇﻜﺴﺎﺒﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎ )ﺩﻟﻴل ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ( ﻓﻴﻤﺎﻨﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻐﻴﻴﺭ ﺒﺤﺴﺏ ﻜﺘﻠﺘﻪ‬ ‫)ﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ(‪ .‬ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻓﺈﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻫﻭ ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ‬

‫ﺩﻟﻴﻠﻬﺎ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻤﺜل ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻤﻤﺎﻨﻌﺘﻬﺎ‪ .‬ﻭﺴﺒﺏ ﺍﻫﺘﻤﺎﻤﻨﺎ ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﻫﻭ ﺃﻥ ﻨﺘﻭﺼل ﻟﻔﻬﻡ‬

‫ﺍﻟﻤﻌﻨﻰ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻲ ﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻫﻲ ﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻷﻱ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺘﻪ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻜﻴﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻫﻭ ﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻷﻱ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺘﻪ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻜﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ‪ .‬ﺇﻻ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﻓﺭﻕ ﺃﺴﺎﺱ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺘﻴﻥ‪ ،‬ﻓﻔﻲ ﺤﻴﻥ ﺘﺒﻘﻰ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻜﻴﻔﻤﺎ ﺘﺤﺭﻙ‪،‬‬

‫ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻥ ﻤﻤﺎﻨﻌﺘﻪ ﻻﺘﺘﺄﺜﺭ ﺒﺄﻱ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺘﻪ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻜﻴﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﺇﻻ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬ ‫ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭﻟﻪ‪ .‬ﻓﻴﻤﻜﻥ ﻟﺠﺴﻡ ﺃﻥ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ‬

‫ﺃﻭل ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﺯﻡ ﻤﺎ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ‪ ،‬ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻗﺩ ﻻﻴﺩﻭﺭ ﺒﺘﺎﺘﺎ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺁﺨﺭ‬ ‫ﺒﺴﺒﺏ ﺍﺨﺘﻼﻑ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﻤﺎ‪ .‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﺠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻜل ﻤﺴﺄﻟﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭﻟﻪ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪5-9‬‬

‫ﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﻁﻭﻟﻬﺎ ‪ 1m‬ﻭﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 0.2 kg‬ﻋﻨﺩﻤﺎ‬

‫ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻗﻭﺓ ‪ 5 N‬ﻋﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﻁﺭﻓﻬﺎ ﺇﺫﺍ ﺩﺭﺍﺕ )ﺃ(‬

‫ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ o‬ﺃﻭ )ﺏ( ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ‬

‫ﻁﺭﻓﻬﺎ ﺍﻵﺨﺭ ‪ ،p‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪(9-9‬؟‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻨﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ‬

‫ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‪:‬‬

‫‪τT = I α‬‬

‫‪214‬‬

‫‪p‬‬

‫‪o‬‬

‫‪r‬‬

‫‪l‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(9-9‬‬

‫‪F‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫ﻓﻔﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ )ﺃ( ﻨﺤﺴﺏ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪τ = rF sin θ = (0.5 m)(5 N)sin90° = 2.5 m.N‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻨﺠﺩ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:1-9‬‬ ‫‪(0.3 kg)(1kg)2 = 0.025 kg.m2‬‬

‫= ‪ml 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬

‫= ‪I‬‬

‫ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ‪:‬‬ ‫‪2.5 m.N‬‬ ‫‪= 100 rad/s 2‬‬ ‫‪0.025 kg.m2‬‬

‫=‬

‫‪τ‬‬ ‫‪I‬‬

‫=‪α‬‬

‫ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ )ﺏ( ﻓﺈﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻴﺼﻴﺭ‪:‬‬ ‫‪τ = rF sin θ = (1m)(5 N)sin90° = 5 m.N‬‬

‫ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﻭﻨﺠﺩﻩ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪:1-9‬‬ ‫‪I = 13 ml 2 = 13 (0.3 kg)(1kg)2 = 0.1 kg.m2‬‬

‫ﻭﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪5 m.N‬‬ ‫‪= 50 rad/s 2‬‬ ‫‪0.1kg.m2‬‬

‫=‬

‫‪τ‬‬ ‫‪I‬‬

‫=‪α‬‬

‫ﻭﻴﺒﻴﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜل ﺃﺜﺭ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻋﻠﻰ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻭﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﻜﻠﻬﺎ‪.‬‬

‫‪ 6-9‬ﺍﻟﺸﻐل ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺠﺴﻴﻤﺎ ﻨﻘﻁﻴﺎ ‪ m‬ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺸﻜل ﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ‬

‫ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪ r‬ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﺯﻡ ﻗﻭﺓ ‪ F‬ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ‪،o‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(13-9‬ﻭﻟﻨﺤﺴﺏ ﺸﻐل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺩﻭﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺯﺍﻭﻴﺔ‬ ‫‪ θ‬ﻗﺎﻁﻌﺎ ﺨﻼل ﺫﻟﻙ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪ s‬ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭﻩ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻱ‪ ،‬ﻓﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪W = ∫ Fds‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪o‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(13-9‬‬

‫ﻭﻟﻜﻥ‬ ‫‪s = r θ ⇒ ds = rdθ‬‬

‫ﻓﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﺸﻐل‪:‬‬ ‫‪W = ∫ Frdθ‬‬

‫‪215‬‬


‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ‬ ‫ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟ‬ ‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ‬ ‫ﻓﻲ‪ .‬ﻡ‪.‬‬ ‫ﺤﺭﻜﻴﺔ– ﺩ‬ ‫ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺸﻐلﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‬ ‫‪6-9‬ﻤﺒﺎﺩﺉ‬

‫ﻭﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻫﻭ ‪ rF‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪W = ∫ τ dθ‬‬

‫)‪(13-9‬‬

‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺜﺎﺒﺕ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﺸﻐل‪:‬‬ ‫‪W = τθ‬‬

‫)‪(14-9‬‬

‫ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻤﺎﺜل ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻟﺸﻐل ﻗﻭﺓ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻨﺘﻘل ﺠﺴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺨﻁﻴﺔ ‪.(W=Fs) s‬‬ ‫ﻓﺎﻟﺸﻌل ﻓﻲ ﻜﻼ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﻫﻭ ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﻤﻀﺭﻭﺒﺎ ﺒﺎﻹﻨﺘﻘﺎل‪.‬‬

‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺃﻴﻀﺎ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪K = 12 mv 2‬‬

‫ﻓﻨﻌﻭﺽ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ v‬ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ v = r ω :ω‬ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪K = 12 mv 2 = 12 mr 2ω 2 = 12 (mr 2 )ω 2‬‬

‫ﻭﻟﻜﻥ ‪ I = mr 2‬ﻫﻭ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﻘﻁﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪ ،‬ﻟﺫﺍ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺇﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪K = Iω‬‬

‫)‪(15-9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻭﻤﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻨﺭﻯ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‪ ،‬ﻓﺎﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻫﻲ ﻨﺼﻑ ﺤﺎﺼل‬ ‫ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺒﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻓﻲ ﻜﻼ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪7-9‬‬

‫ﻤﺎ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻸﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ (14-9‬ﺒﻌﺩ ﺜﺎﻨﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺒﺩﺀ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ‬ ‫ﺘﺤﺕ ﺘﺎﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ‪ F1‬ﻭ ‪ F2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ F1=5 N‬ﻭ‪ F2=7 N‬ﻭ‪ r=0.3 m‬ﻭﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬

‫ﻟﻸﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ‪0.2 kg.m2‬؟‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (14-9‬ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﻜل ﻗﻭﺓ ﻴﺘﺠﻪ ﻟﻸﻋﻠﻰ )ﻜﺒﺭﻏﻲ‬ ‫ﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﺔ(‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻫﻭ‪:‬‬

‫‪τ T = rF1 sin 90° + rF2 sin 90° = (0.3 m)(12 N) = 3.6 m.N‬‬

‫ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‪:‬‬

‫‪216‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪F2‬‬ ‫‪F1‬‬

‫‪ω‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(14-9‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫‪3.6 m.N‬‬ ‫‪= 18 rad/s 2‬‬ ‫‪0.2 kg.m2‬‬

‫=‬

‫‪τT‬‬ ‫‪I‬‬

‫=‪α‬‬

‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺜﺎﺒﺕ ﻟﺫﺍ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻌﺩ ﺜﺎﻨﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻋﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕ‪ ،‬ﺃﻱ‪:‬‬

‫‪ω = ω0 + α t = 0 + (18 rad/s 2 )(2s) = 36 rad/s‬‬

‫ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪K = 12 I ω 2 = 12 (0.2 kg.m2 )(36 rad/s)2 = 129.6 J‬‬

‫‪ 7-9‬ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ )‪(Angular Momentum‬‬ ‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﺠﺴﻴﻡ ﻨﻘﻁﻲ ‪ m‬ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ v‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﺤﺩﺩﺓ‬ ‫ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ‪) r‬ﻤﻘﺎﺴﺎ ﻤﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ( ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪l = r×p‬‬

‫)‪(16-9‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ p=mv‬ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ‪.‬‬

‫‪ω‬‬

‫ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﺘﺠﻬﺔ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ‪:‬‬ ‫‪l = mrv sin θ‬‬

‫‪l‬‬ ‫‪m‬‬

‫)‪(17-9‬‬

‫ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﺒﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(15-9‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ‬

‫ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺤﺭﻜﺔ ﺒﺭﻏﻲ ﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ‪ .‬ﻜﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻭﺤﺩﺓ‬

‫‪v‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪o‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(15-9‬‬

‫ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻫﻲ ‪.kg.m2/s‬‬ ‫ﻤﺜل ‪8-9‬‬

‫ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﻜﺘﻠﺔ ‪ 2 kg‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ xy‬ﺒـ ‪ r = 3i − 4j‬ﻭ ‪ �� v = 30i + 40j‬ﺤﻴﺙ‬

‫ﺘﻘﺩﺭ ‪ r‬ﺒـ ‪ m‬ﻭ‪ v‬ﺒـ ‪ .m/s‬ﻤﺎ ﺯﺨﻤﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ ‪oz‬؟‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (16-9‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬

‫)‪l = r × p = mr × v = (2 kg)(3i − 4 j) × (30i + 40 j‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬

‫‪l = 480 k kg.m2/s‬‬

‫ﻓﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ‪ 480 kg.m2/s‬ﻭﻴﺘﺠﻪ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪.oz‬‬ ‫‪217‬‬


‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ –‬ ‫‪ 8-9‬ﺍﻟﺸﻜلﻤﺒﺎﺩﺉ‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺩ‪.‬ﻓﻲﻡ‪.‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ‬ ‫ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻨﻴﻭﺘﻥ‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ‬

‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺭﺒﻁ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻓﻲ )‪ (17-9‬ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪l = mrv = mr (r ω ) = (mr 2 )ω‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬

‫‪l = Iω‬‬

‫)‪(18-9‬‬

‫ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻭﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ‪ .‬ﻓﺎﻟﺯﺨﻡ ﻓﻲ ﻜﻼ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﻫﻭ ﺤﺎﺼل‬

‫ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺒﺎﻟﺴﺭﻋﺔ!‬

‫‪ 8-9‬ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ )‪ (5-9‬ﺃﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻴﻜﺘﺏ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪τT = I α‬‬

‫ﻟﻜﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ‬ ‫‪dω‬‬ ‫‪dt‬‬

‫=‪α‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪dω‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪τT = I‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ ﺒﺤﻴﺙ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ‪:‬‬ ‫) ‪d (I ω‬‬ ‫‪dt‬‬

‫= ‪τT‬‬

‫ﺃﻭ‬ ‫‪dl‬‬ ‫‪dt‬‬

‫= ‪τT‬‬

‫)‪(19-9‬‬

‫ﻓﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺤﻭل ﺫﻟﻙ‬

‫ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ‪ .‬ﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‪.‬‬

‫‪ 9-9‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ‬ ‫ﻨﻌﻤﻡ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﻋﺩﺓ‬ ‫ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻤﻨﻔﺼﻠﺔ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﺎ‪ ،‬ﺃﻭ ﻤﺘﻤﺎﺴﻜﺔ ﻜﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ‪ ،‬ﻭﺘﺘﺤﺭﻙ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺎ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ‬

‫‪218‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ‪ m1‬ﻭ ‪ m2‬ﻭ ‪ ...‬ﻭ ‪ mn‬ﺘﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ ﻫﻭ ‪ l1‬ﻭ‪ l2‬ﻭ ‪ ....‬ﻭ‪ ،ln‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻜﻠﻬﺎ‪:‬‬ ‫‪L = l1 + l 2 + " + ln‬‬

‫)‪(20-9‬‬

‫ﻭﺒﺎﺸﺘﻘﺎﻕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪dl‬‬ ‫‪dL dl1 dl 2‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+"+ n‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬

‫ﻭﻟﻜﻥ ‪ τ i = dl i /dt‬ﻫﻭ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ‪ i‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺼﻴﺭ )‪ (20-9‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ‪:‬‬ ‫‪dL‬‬ ‫‪= τ1 + τ 2 + " + τn = τT‬‬ ‫‪dt‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪dL‬‬ ‫‪dt‬‬

‫= ‪τT‬‬

‫)‪(21-9‬‬

‫ﻓﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ‪ .‬ﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺘﺤﺭﻴﻙ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺃﻭ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ‪.‬‬

‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺇﺫ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ‬ ‫ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻨﻬﺎ ﻴﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ ωi‬ﻓﻨﻜﺘﺏ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪li = I i ωi‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ Ii‬ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ‪ i‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪ .‬ﻓﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪L = l1 + l 2 + " + ln = I1ω1 + I 2ω2 + " + I n ωn = ∑ I i ωi‬‬

‫)‪(22-9‬‬

‫‪i =1‬‬

‫ﻭﺇﺫﺍ ﺩﺍﺭﺕ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪) ω‬ﻜﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ( ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬ ‫ﺇﻟﻰ‪:‬‬

‫‪L = IT ω‬‬

‫)‪(23-9‬‬

‫‪n‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ I T = ∑ I i‬ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ‪ ،‬ﺃﻭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﻠﺏ‪.‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ‪:‬‬ ‫‪K T = K1 + K 2 + " + K n = 12 I1ω12 + 12 I 2ω22 + " + 12 I n ωn2‬‬ ‫‪219‬‬


‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ‪.‬‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﺼﻠﺒﺔ‬ ‫ﺠﺴﻴﻤﺎﺕﻡ‪.‬ﻭﺍﻷﺠﺴﺎﻡ‬ ‫ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫‪ 9-9‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪K T = ∑ 12 I i ωi2‬‬

‫)‪(24-9‬‬

‫‪i =1‬‬

‫ﻭﺃﻴﻀﺎ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﺩﺍﺭﺕ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ ω‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬ ‫ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪KT = IT ω‬‬

‫)‪(25-9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻭﻨﺼل ﺃﺨﻴﺭﺍ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺃﻭ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﺤﻴﺙ ﻨﻜﺘﺏ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪:(21-9‬‬

‫‪dL‬‬ ‫‪dt‬‬

‫ﻭﺒﻨﻌﻭﺽ ‪ L‬ﻤﻥ )‪ (23-9‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬

‫= ‪τT‬‬

‫) ‪d (I T ω‬‬ ‫‪dt‬‬

‫= ‪τT‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﻠﺏ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ﺨﻼل ﺩﻭﺭﺍﻨﻪ‪،‬‬

‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ‪:‬‬

‫‪dω‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪τT = IT‬‬

‫ﻭﻟﻜﻥ ‪ α = dω /dt‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺠﺴﻡ‪ ،‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺼﻴﺭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪:‬‬ ‫‪τT‬‬ ‫‪IT‬‬

‫= ‪τT = IT α ⇒ α‬‬

‫)‪(26-9‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﺭﺩﺍ ﻤﻊ ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭﻋﻜﺴﺎ ﻤﻊ ﻤﻤﺎﻨﻌﺘﻪ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﺘﻭﻗﻊ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪9-9‬‬

‫‪N‬‬

‫ﺘﺩﻭﺭ ﺒﻜﺭﺓ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ M=2 kg‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ R=0.2 cm‬ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ‬

‫ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﻭﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻴﻬﺎ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺴﻘﻭﻁ ﺠﺴﻡ ‪ m=0.5 kg‬ﻤﺭﺒﻭﻁ‬ ‫ﺒﺨﻴﻁ ﻁﻭﻴل ﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭل ﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪) .(17-9‬ﺃ( ﻤﺎ‬ ‫ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺸﻐل ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ‬

‫ﺨﻼل ﺜﺎﻨﻴﺘﻴﻥ ﺇﺫﺍ ﺒﺩﺃﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻁﺎﻗﺘﻬﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﺫﻟﻙ؟‬

‫‪220‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪Mg‬‬

‫‪w‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(17-9‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﺴﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜل ﻟﺘﺄﻜﻴﺩ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻬﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ‪ .‬ﺇﺫ‬ ‫ﻨﺭﻯ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﺠﺯﺃﻴﻥ ﻤﺭﺘﺒﻁﻴﻥ ﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ‬

‫ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺎ )ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ( ﻭﺍﻵﺨﺭ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺎ )ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ(‪ .‬ﻓﻌﻨﺩﻤﺎ ﻨﺴﺄل ﻋﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻨﺤﺴﺏ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ‪،‬‬ ‫ﻜﺎﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟـ ‪ m‬ﺃﻭ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ‪ ،‬ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﺍﻵﺨﺭ‪ .‬ﻭﻗﺩ ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜل ‪ 2-9‬ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ‬

‫ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﻫﻭ ‪ RT‬ﺤﻴﺙ ‪ R‬ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ﻭ‪ T‬ﺸﺩ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﺍﻟﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭﻟﻬﺎ‪ ،‬ﻟﺫﺍ ﻨﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪R‬‬

‫= ‪τ = TR = I α ⇒ T‬‬

‫)‪(1‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻨﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ‪ m‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺎ ﻟﻸﺴﻔل‪:‬‬ ‫‪mg − T = ma‬‬

‫)‪(2‬‬

‫ﻭﻨﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻭﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﺒﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ‪ m‬ﻤﺭﺒﻭﻁ ﺒﺎﻟﺨﻴﻁ ﺍﻟﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭل‬

‫ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ‪ ،‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺇﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ ‪ m‬ﺒﺄﻱ ﺘﺴﺎﺭﻉ ‪ a‬ﻓﺈﻥ ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﺴﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ‬

‫ﺃﻴﻀﺎ ﺒﻤﺎ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺔ ﻟﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ‪ .‬ﻟﻜﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ‬

‫ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ‪ α‬ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ .a=Rα‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟـ ‪ m‬ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺒﺎﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ‬ ‫ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﺴﺒﺏ ﺍﻟﺨﻴﻁ‪ .‬ﻟﺫﻟﻙ ﻨﻌﻭﺽ ‪ a‬ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (1‬ﺃﻋﻼﻩ ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬

‫ﻭﺒﺠﻤﻊ )‪ (2‬ﻭ )‪ (3‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪R2‬‬

‫‪+ m )a‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪R2‬‬

‫= ‪T‬‬

‫)‪(3‬‬

‫( = ‪mg‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪mg‬‬ ‫) ‪(I / R 2 + m‬‬

‫=‪a‬‬

‫ﻭﻫﺫﻩ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻤﻬﻤﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﺘﻌﻁﻲ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺩﻭﺭﺍﻨﺎ ﻭﺍﻨﺘﻘﺎﻻ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ﻨﺭﻯ ﺃﻥ‬ ‫ﺩﻟﻴل ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ )ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺨﻁﻲ ‪ (a‬ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﺭﺩﺍ ﻤﻊ ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ )‪ mg‬ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ(‬ ‫ﻭﻋﻜﺴﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻭﻫﻲ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎل )ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ( ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ )ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻨﺎ‬

‫ﻗﺴﻤﻨﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﺒﻊ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﺭ ﻟﺘﺘﻨﺎﺴﺏ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪ ،‬ﺃﻱ ‪،kg‬‬

‫‪221‬‬


‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ– ﺩ‪ .‬ﻡ‬ ‫‪10-9‬ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﺼﻠﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ‪ .‬ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ‬

‫ﻷﻥ ﻭﺤﺩﺓ ‪ I‬ﻫﻲ ‪ .(kg.m2‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﺩﺍﺌﻤﺎ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺃﻱ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻟﻭ ﺍﻨﺘﺒﻬﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﺴﺒﺏ‬ ‫ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﻭﻤﻤﺎﻨﻌﺘﻪ!‬

‫ﻭﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ 1-9‬ﻨﺠﺩ ‪ I‬ﺜﻡ ﻨﻌﻭﺽ ﻗﻴﻡ ‪ m‬ﻭ ‪ I‬ﻭ ‪ R‬ﻓﻲ ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪.a=3.27 m/s2‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ‪ a‬ﻓﻲ )‪ (3‬ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪mg‬‬ ‫(‬ ‫‪) = 3.92 N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪R (I / R 2 + m‬‬

‫= ‪T‬‬

‫ﺜﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻤﻥ ‪ α=a/R‬ﻓﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪mg‬‬ ‫‪= 16.33 rad/s 2‬‬ ‫) ‪R (I / R 2 + m‬‬

‫=‪α‬‬

‫)ﺏ( ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﻐل ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺩﺍﺭﺘﻬﺎ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﻓﻲ ﺜﺎﻨﻴﺘﻴﻥ ﻓﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪θ = 12 α t 2 + ω0t = 12 (16.33 rad/s2 )(2 s)2 = 32.67 rad‬‬

‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺜﺎﺒﺕ ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (14-9‬ﻟﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪W = τθ = TRθ‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬

‫‪W = (3.92 N)(0.2 m)(32.67 rad) = 25.6 J‬‬

‫ﻭﺒﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺸﻐل ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻓﺈﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﻐل ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ‪.‬‬

‫‪ 10-9‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ‬ ‫ﻟﻭ ﻨﻅﺭﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻱ ﺠﺴﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺒﺸﻜل ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻟﻼﺤﻅﻨﺎ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻨﺘﻘل ﺃﻭ ﻴﺩﻭﺭ ﺃﻭ‬ ‫ﻜﻼﻫﻤﺎ‪ .‬ﻓﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺘﺘﺄﻟﻑ ﻤﻥ ﺍﻨﺘﻘﺎل ﻜﻠﻲ ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻥ ﻵﺨﺭ ﻭﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺒﻨﻔﺱ‬

‫ﺍﻟﻭﻗﺕ‪ .‬ﻭﻟﻭ ﺃﻨﻌﻤﻨﺎ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﻘﺫﻭﻑ ﻴﻁﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻟﺘﺒﻴﻥ ﻟﻨﺎ ﺒﻭﻀﻭﺡ ﻜﻴﻑ ﻴﻨﺘﻘل ﻭﻴﺩﻭﺭ‬ ‫ﻤﻌﺎ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(1-6‬ﻭﺘﻭﺼﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺨﻀﻊ‬

‫ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻜﻨﺎ ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼﻭل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻭﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﻭﺍﻟﺨﺎﻤﺱ ﻨﻘﻁﺎ‬

‫‪222‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫ﺃﻭ ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺘﻤﺜل ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﻨﻌﻴﺭ ﺤﺠﻤﻬﺎ ﺃﻭ ﺸﻜﻠﻬﺎ ﺃﻱ ﺍﻫﺘﻤﺎﻡ ﻤﻔﺘﺭﻀﻴﻥ ﺃﻨﻬﺎ‬ ‫ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺎ ﻓﻘﻁ‪ .‬ﻭﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪ ،‬ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪dPt‬‬ ‫‪dt‬‬

‫= ‪FT = Mac .m‬‬

‫)‪(27-9‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ FT‬ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭ‪ ac.m.‬ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪ ،‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ‪PT‬‬

‫ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ‪ ،‬ﺃﻱ ﺯﺨﻡ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪.‬‬

‫ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻓﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭﻟﻪ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﺘﻭﺼﻑ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ‪:‬‬ ‫‪dL T‬‬ ‫‪dt‬‬

‫= ‪τT = I α‬‬

‫)‪(28-9‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ τT‬ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭ‪ LT‬ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ‪.‬‬ ‫ﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﻤﻥ ﺃﻋﻘﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻙ ﻭﻟﺫﺍ ﻨﺩﺭﺱ ﻓﻲ‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﻨﻭﻋﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺎﺕ ﻭﻫﻭ ﺍﻟﺘﺩﺤﺭﺝ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﻟﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ‪ .‬ﻭﺘﻜﻤﻥ‬

‫ﺃﻫﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﺩﺤﺭﺝ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﺃﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺱ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻊ ﺍﻷﺭﺽ ﻻﺘﻨﺯﻟﻕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺒﺘﺎﺘﺎ ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺒﻴﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻭﺍﻷﺭﺽ ﻗﻭﺓ ﺍﺤﺘﻜﺎﻙ ﺴﻜﻭﻨﻲ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔ‪ ،‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻜﻭﻥ‬

‫ﺸﻐﻠﻬﺎ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﺩﻭﻤﺎ‪ .‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺘﺒﻘﻰ ﻤﺤﻔﻭﻅﺔ‪ .‬ﻓﻠﻭ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ‬

‫ﺃﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻗﺭﺼﺎ )ﺃﻭ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﺔ( ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ m‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪ R‬ﻴﺘﺩﺤﺭﺝ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(19-9‬ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﻴﻨﺘﻘل ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻪ ﺒﺸﻜل ﺍﻨﺴﺤﺎﺒﻲ‬ ‫ﻴﺤﺩﺩﻩ ﺍﻨﺘﻘﺎل ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ‪ ،‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺩﻭﺭ ﺨﻼل ﺫﻟﻙ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ‬

‫ﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻩ‪.‬‬

‫‪vc.m.‬‬

‫‪ω‬‬

‫‪c.m.‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻫﻲ ‪ vc.m.‬ﻭﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﺭﺹ‬

‫ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ ω‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﻘﺭﺹ ﻫﻲ‪:‬‬

‫‪c.m.‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(19-9‬‬

‫‪K = 12 mvc2.m. + 12 I c .m.ω 2‬‬

‫)‪(29-9‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ Ic.m.‬ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪.‬‬

‫ﻭﺤﻴﺙ ﺃﻥ ‪ vc .m . = Rω‬ﻟﺫﺍ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺇﻟﻰ‪:‬‬

‫‪K = 12 (I c .m. / R 2 + m )vc2.m.‬‬

‫)‪(30-9‬‬ ‫‪223‬‬


‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ – ﺩ‪.‬‬ ‫‪10-9‬ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﺼﻠﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻤﺔﻡ‪.‬ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ‬

‫ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻨﺘﻭﻗﻊ ﺘﺸﻤل ﺍﻻﻨﺘﻘﺎل ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻬﺎ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ‬ ‫ﺒﺎﻟﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ‪.‬‬

‫ﺍﻵﻥ ﻟﻭ ﻜﺘﺒﻨﺎ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻭﺠﺩﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪K = 12 (I c .m . + mR 2 )ω 2‬‬

‫)‪(31-9‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ) ‪ (I c .m . + mR 2‬ﺘﻤﺜل ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻥ‬

‫ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ ،R‬ﻭﻴﺩﻋﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻵﻨﻲ )‪(instantaneous axis of rotation‬‬

‫ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒـ ‪ .Ip‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻌﻴﺩ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪K = 12 I p ω 2‬‬

‫)‪(32-9‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺩﻭﺭﺍﻨﺎ ﻓﻘﻁ ﻭﻟﻜﻥ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻵﻨﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﻨﻘل ﺒﺎﺴﺘﻤﺭﺍﺭ ﻤﺎﺭﺍ‬ ‫ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺱ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻊ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺩﺤﺭﺝ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔ‪.‬‬

‫ﻤﺜل ‪10-9‬‬

‫ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ M‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ R‬ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭ ﻤﺎﺌل ﺨﺸﻥ‬

‫ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل)‪ .(20-9‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﻋﻨﺩﻤﺎ‬

‫ﺘﺼل ﻟﻘﻌﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺇﺫﺍ ﺒﺩﺃﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ؟‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﺴﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻭﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺩﻭﺭﺍﻨﺎ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ‬

‫ﺍﻵﻨﻲ ﻟﻠﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺱ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‪ ،‬ﺃﻱ ‪.p‬‬

‫‪vc.m.‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ‪ p‬ﻫﻭ ‪ Ip‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻫﻲ ﻁﺎﻗﺔ ﻭﻀﻊ ﻓﻘﻁ‪:‬‬ ‫‪E A = U = mgh‬‬

‫ﻭﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻫﻲ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻓﻘﻁ‪:‬‬ ‫‪EB = K = 12 I p ω‬‬

‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪E A = E B ⇒ mgh = I p ω‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻭﺒﺈﻴﺠﺎﺩ ‪ Ic.m.‬ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ 1-9‬ﻭﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪224‬‬

‫‪p‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(20-9‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻼﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫‪I p = I c .m . + mR 2 = 12 mR 2 + mR 2 = 32 mR 2‬‬

‫ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺠﺩ ﻤﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪4gh‬‬ ‫‪3R 2‬‬

‫= ‪( 32 mR 2 )ω 2 = mgh ⇒ ω‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪vc .m . = Rω = 4gh / 3‬‬

‫‪ 11-9‬ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ‬ ‫ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻓﺈﻥ‬ ‫ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻬﺎ ﻴﺒﻘﻰ ﺜﺎﺒﺘﺎ‪ ،‬ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ FT=0‬ﻓﺈﻥ ﺜﺎﺒﺕ=‪ .PT‬ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﺍﺨﺘﻔﻰ ﺴﺒﺏ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ‪ .‬ﻭﺴﻨﻁﺒﻕ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ‬

‫ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ )‪ (28-9‬ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪dL T‬‬ ‫‪dt‬‬

‫= ‪τT‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ‪ τΤ‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬

‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻟﻥ ﻴﺘﻐﻴﺭ‪ ،‬ﺃﻱ‪:‬‬

‫ﺜﺎﺒﺕ = ‪τΤ = 0 ⇒ LT‬‬

‫)‪(33-9‬‬

‫ﻭﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻫﻡ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﺤﻔﻅ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻭﻟﻪ ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﻋﺩﺓ‬ ‫ﻫﺎﻤﺔ ﻓﻲ ﻜل ﻨﻭﺍﺤﻲ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ‪ ،‬ﻭﻤﻨﻬﺎ ﻤﺎﻫﻭ ﻤﺄﻟﻭﻑ ﻟﻜل ﺇﻨﺴﺎﻥ‪ .‬ﻓﻔﻲ ﻤﺴﺎﺒﻘﺔ ﺍﻟﻐﻁﺱ ﻤﺜﻼ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻨﺘﻴﺠﺔ‬

‫ﺍﻟﻤﺴﺎﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺘﻤﻬﺎ ﺍﻟﻐﻁﺎﺱ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻘﻔﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻗﺒل ﺃﻥ ﻴﺼل ﻟﻠﻤﺎﺀ‪ .‬ﻭﻴﻘﻭﻡ‬

‫ﺒﺫﻟﻙ ﻋﺎﺩﺓ ﺒﺄﻥ ﻴﻠﻭﻱ ﺠﺴﻤﻪ ﻭﻫﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻭﻴﻁﺒﻕ ﺭﻜﺒﺘﻴﻪ ﻋﻠﻰ ﺼﺩﺭﻩ ﻟﻴﺠﻌل ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬

‫ﺃﺼﻐﺭ ﻤﺎﻴﻤﻜﻥ‪ ،‬ﻓﺘﺯﺩﺍﺩ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‪ .‬ﻭﻗﺒل ﻭﺼﻭﻟﻪ ﻟﻠﻤﺎﺀ ﺒﻘﻠﻴل ﻴﻔﺭﺩ ﺠﺴﻤﻪ ﻭﻴﻤﺩ ﺫﺭﺍﻋﻴﻪ ﺃﺒﻌﺩ‬

‫ﻤﺎﻴﻤﻜﻥ ﻓﻴﺯﺩﺍﺩ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻭﺘﺘﻨﺎﻗﺹ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‪ .‬ﻭﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ‬

‫ﻁﻭﺍل ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻫﻲ ﻭﺯﻨﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﻴﺱ ﻟﻪ ﻋﺯﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ‪ .‬ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻴﻘﻭﻡ ﺭﺍﻗﺹ ﻓﻨﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﻠﻴﺩ ﺒﻀﻡ ﻴﺩﻴﻪ ﻟﺼﺩﺭﻩ ﻟﻴﺘﻨﺎﻗﺹ‬ ‫ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻓﺘﺯﺩﺍﺩ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺭﻴﺩ ﺍﻟﺘﺒﺎﻁﺅ ﻴﻔﺭﺩ ﻴﺩﻴﻪ ﻓﻴﺯﻴﺩ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ‬

‫ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻭﺘﺘﻨﺎﻗﺹ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‪ ،‬ﻭﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻤﺤﻔﻭﻅﺎ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻷﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﻭﺭﺩ‬

‫‪225‬‬


‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﻤﺒﺩﺃﺩ‪ .‬ﻡ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ –‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﺯﺍﻭﻱ‬ ‫ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ‪11-9‬‬

‫ﻓﻌل ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺘﻤﺭﺍﻥ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻭﻟﻴﺱ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﺯﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ‪.‬‬ ‫ﻭﺘﻭﻀﺢ ﺍﻟﺼﻭﺭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻜﻴﻑ ﻴﻘﻭﻡ ﺍﻟﻐﻁﺎﺱ ﻭﺍﻟﺭﺍﻗﺹ ﺍﻟﻔﻨﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﻠﻴﺩ ﺒﺤﺭﻜﺎﺘﻬﻡ‪.‬‬

‫ﻤﺜل ‪11-9‬‬

‫‪I2,ω2‬‬

‫ﻴﺩﻭﺭ ﻗﺭﺼﺎﻥ ﻤﻨﻔﺼﻼﻥ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻭﺍﺤﺩ ﺒﺴﺭﻋﺘﻴﻥ ﺯﺍﻭﻴﺘﻴﻥ ‪ ω1‬ﻭ‬

‫‪I1,ω1‬‬

‫‪ ،ω2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺩﻓﻌﺎﻥ ﺒﻘﻭﺘﻴﻥ ‪ F1‬ﻭ ‪ F2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ‬

‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﻥ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(21-9‬ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻴﻠﺘﺼﻘﺎ ﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ‬ ‫ﻭﻴﺼﺒﺤﺎ ﺠﺴﻤﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ‪ .‬ﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﻴﺩﻭﺭ ﺒﻬﺎ‬

‫ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻬﻤﺎ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‬

‫ﻫﻭ ‪ I1‬ﻭ ‪ ،I2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ؟‬

‫‪I, ω‬‬ ‫‪F1‬‬

‫‪F2‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜل ﻜﻨﻅﻴﺭ ﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺭﻥ ﻜﻠﻴﺎ ﻓﻲ‬

‫ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ‪ .‬ﻭﻨﺭﻯ ﻫﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﺭﺼﻴﻥ‬ ‫ﻗﺒل ﻭﺒﻌﺩ ﻭﺨﻼل ﺍﻻﻟﺘﺤﺎﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻷﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(21-9‬‬

‫ﺍﻟﻤﻁﺒﻘﺔ ﺘﻭﺍﺯﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﻭﺯﻥ ﻜل ﻗﺭﺹ ﻭﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﺩﻭﻤﺎ ﻷﻨﻪ‬ ‫ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪ .‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ‪ ،‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫)ﻗﺒل ﺍﻻﻟﺘﺼﺎﻕ( ‪) = L‬ﺒﻌﺩ ﺍﻻﻟﺘﺼﺎﻕ( ‪L‬‬

‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬

‫‪)= I 1ω1 + I 2ω 2‬ﻗﺒل ﺍﻻﻟﺘﺼﺎﻕ( ‪L‬‬

‫ﺃﻤﺎ ﺒﻌﺩ ﺍﻻﻟﺘﺼﺎﻕ ﻓﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﻘﺭﺼﺎﻥ ﺠﺴﻤﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻟﻪ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ ω‬ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻋﺯﻤﻲ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﻘﺭﺼﻴﻥ ﺍﻟﻤﻨﻔﺼﻠﻴﻥ‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪)= (I 1 + I 2 )ω‬ﺒﻌﺩ ﺍﻻﻟﺘﺼﺎﻕ( ‪L‬‬ ‫‪226‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫ﻭﺒﺤﺴﺏ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪I1ω1 + I 2ω2‬‬ ‫‪I1 + I 2‬‬

‫= ‪I1ω1 + I 2ω2 = (I1 + I 2 )ω ⇒ ω‬‬

‫‪ 12-9‬ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ‬ ‫ﻨﺨﺘﺘﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺼل ﺒﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﺘﻭﺍﻓﺭﻫﺎ ﺤﺘﻰ ﻴﺘﺯﻥ ﺃﻱ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﺍﺘﺯﺍﻨﺎ ﺴﻜﻭﻨﻴﺎ ﻋﺎﻤﺎ‪،‬‬ ‫ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻨﻪ ﻻﻴﻨﺘﻘل ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻪ ﻭﻻﻴﺩﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻹ���ﻼﻕ‪.‬‬

‫ﻓﻘﺩ ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﺃﻥ ﺸﺭﻁ ﺍﺘﺯﺍﻥ ﺠﺴﻡ ﻀﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ‪ ،‬ﺒﺤﺴﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ‬

‫ﺍﻷﻭل‪ ،‬ﻫﻭ‪:‬‬

‫‪∑F = 0‬‬

‫)‪(34-9‬‬

‫ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﺴﻡ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﺍﻷﻭل ﻟﻼﺘﺯﺍﻥ‪ ،‬ﻭﺘﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ‪:‬‬ ‫‪=0‬‬

‫‪∑F‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻭ‪=0‬‬

‫ﻭ‬

‫‪∑F‬‬

‫‪y‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪∑F‬‬

‫‪z‬‬

‫)‪(35-9‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ Fx‬ﻭ ‪ Fy‬ﻭ ‪ Fz‬ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ﻤﻨﺎﺴﺒﺔ‪.‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻭﺠﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺼل ﺃﻥ ﻜﻭﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﻻﺘﻀﻤﻥ ﻋﺩﻡ‬ ‫ﺩﻭﺭﺍﻨﻪ ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ‪ ،‬ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪=0‬‬

‫‪∑τ‬‬

‫)‪(36-9‬‬

‫‪T‬‬

‫ﻭﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻼﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ‪ ،‬ﻭﺘﻜﺎﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪=0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪∑τ‬‬

‫ﻭ‬

‫‪=0‬‬

‫‪y‬‬

‫‪∑τ‬‬

‫ﻭ ‪=0‬‬

‫‪z‬‬

‫‪∑τ‬‬

‫)‪(37-9‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ τx‬ﻭ‪ τy‬ﻭ‪ τz‬ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﻋﻠﻰ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ﻤﻨﺎﺴﺒﺔ‪ ،‬ﻷﻥ ﺸﺭﻁ ﻋﺩﻡ‬

‫ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺠﺴﻡ ﺒﺘﺎﺘﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻋﺯﻭﻡ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷﻱ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ‬ ‫ﻤﺤﺎﻭﺭ ﻨﺨﺘﺎﺭﻫﺎ‪ .‬ﻭﻟﺫﺍ ﻨﺨﺘﺎﺭ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺘﺠﻌل ﺤل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺴﻬﻼ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﺴﻨﺭﻯ ﻓﻲ ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ‬

‫ﺍﻟﻼﺤﻘﺔ‪.‬‬

‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﻗﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﻘﺩﺍ ﺃﺤﻴﺎﻨﺎ ﻟﺫﺍ ﻨﺭﻜﺯ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺍﺘﺯﺍﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻀﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ ﻓﻘﻁ‪ .‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻠﻌﺯﻭﻡ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻘﻁ ﺤﻭل‬ ‫‪227‬‬


‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﺼﻠﺒﺔ‬ ‫ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺩ‪.‬ﺍﻟﻌﻡﺎﻡ‪ .‬ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ‬ ‫‪12-9‬‬ ‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ –‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‬

‫ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﺘﺼﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ )ﻷﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ(‪ .‬ﻭﻟﺫﻟﻙ‬ ‫ﻴﺼﻴﺭ ﺸﺭﻁ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻷﻭل‪:‬‬ ‫‪=0‬‬

‫‪∑F‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻭﺸﺭﻁ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪:‬‬

‫ﻭ‬

‫‪=0‬‬

‫‪∑F‬‬

‫)‪(38-9‬‬

‫‪y‬‬

‫‪∑τ = 0‬‬

‫)‪(39-9‬‬

‫ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻫﻴل ﺍﻟﻤﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩﻫﺎ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﺘﺯﺍﻥ ﻋﺎﻡ ﻻﻴﺘﺠﺎﻭﺯ‬ ‫ﺜﻼﺜﺔ‪ ،‬ﻭﺇﻻ ﻟﻭﺠﺏ ﺘﻭﻓﺭ ﺸﺭﻭﻁ ﺇﻀﺎﻓﻴﺔ ﻟﺤل ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻜﺎﻤﻠﺔ‪.‬‬

‫ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻔﻴﺩﺓ ﻟﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﺘﺯﺍﻥ ﺃﺠﺴﺎﻡ ﺼﻠﺒﺔ ﻤﺭﺘﺒﻁﺔ ﺒﺒﻌﻀﻬﺎ‪:‬‬

‫‪ -1‬ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺃﺤﺩ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻭﻨﻭﻀﺢ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬

‫‪ -2‬ﻨﺨﺘﺎﺭ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ﻭﻨﺤﺩﺩ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻭﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷﺤﺩﻫﺎ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ )‪ (38-9‬ﻭ )‪ (39-9‬ﻟﺫﻟﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﻨﺤﻠﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﻨﻨﺘﻘل ﺇﻟﻰ ﺠﺴﻡ ﺁﺨﺭ ﺇﻥ ﻭﺠﺩ ﻭﻨﻜﺭﺭ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪11-9‬‬

‫‪y‬‬

‫ﻴﺜﺒﺕ ﻋﻤﻭﺩ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻁﻭﻟﻪ ‪ l=2 m‬ﻭﻜﺘﻠﺘﻪ ‪M=25 kg‬‬

‫ﺒﺤﺎﺌﻁ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﻔﺼﻠﺔ ﻭﻴﺤﻔﻅ ﺒﻭﻀﻊ ﺃﻓﻘﻲ‬

‫ﺒﺭﺒﻁﻪ ﺒﺤﺒل ﻤﺸﺩﻭﺩ ﻤﺜﺒﺕ ﺒﺎﻟﺤﺎﺌﻁ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫)‪ .(21-9‬ﻤﺎﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺭﺩ ﻓﻌل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ ﻋﻨﺩ‬

‫‪T‬‬

‫‪Ty‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﺍﻟﻤﻔﺼﻠﺔ ‪ p‬ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻕ ﺤﻤل ‪ m=200 kg‬ﺒﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ؟‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜل ﻤﻨﺎﺴﺏ ﻟﺘﻭﻀﺢ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺘﺒﻌﻬﺎ‬

‫ﻟﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ‪.‬‬

‫ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻭﻻ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﻴﺨﻀﻊ ﻟﻘﻭﺓ ﻭﺯﻨﻪ ‪،W=Mg‬‬

‫‪F‬‬

‫‪Fy‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪A‬‬

‫‪Tx‬‬

‫‪Fx‬‬

‫‪p‬‬

‫‪Mg‬‬ ‫‪mg‬‬

‫‪l‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(21-9‬‬

‫ﻭﻭﺯﻥ ﺍﻟﺤﻤل ﺍﻟﻤﻌﻠﻕ ‪ ،w=mg‬ﻭﺸﺩ ﺍﻟﺤﺒل ‪ ،T‬ﻭﺭﺩ ﻓﻌل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ ‪ .F‬ﻓﻨﻌﺘﺒﺭ ﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ‪ ox‬ﻭ‬

‫‪ ،oy‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ ،(21-9‬ﻭﻨﺤﻠل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ ﻓﻨﺠﺩ ﻤﻥ ﺸﺭﻁ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻷﻭل‪:‬‬ ‫‪Fz − Tx = 0‬‬

‫ﻭ‬ ‫‪Fy + Ty − mg − Mg = 0‬‬

‫‪228‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻨﺤﺴﺏ ﻋﺯﻭﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻌﻠﻴﻕ ﺍﻟﺤﻤل ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪xy‬‬

‫ﻋﻨﺩ ‪ ،A‬ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﻓﻌل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﺜﺒﻴﺕ ﻴﻌﺎﻜﺱ ﻋﺯﻡ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ )ﻟﻤﺎﺫﺍ(‪ ،‬ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪−Fy (l ) + Mg (l /2) = 0‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪Ty‬‬ ‫‪Tx‬‬

‫= ‪tan θ‬‬

‫ﻭﺒﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻨﺠﺩ‪ Fx = Tx = 4970 N :‬ﻭ ‪ Fy = 122 N‬ﻭ ‪. Ty = 2870 N‬‬ ‫ﻤﺜل ‪12-9‬‬ ‫ﻴﻘﻑ ﺭﺠل ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ m=65 kg‬ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ‪ 1 m‬ﻤﻥ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺴﻠﻡ ﻁﻭﻟﻪ ‪ l=3 m‬ﻭﻜﺘﻠﺘﻪ ‪M=10 kg‬‬

‫ﻭﻴﺴﺘﻨﺩ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﺌﻁ ﺃﻤﻠﺱ ﺼﺎﻨﻌﺎ ﻤﻌﻪ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ ،θ=25°‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(22-9‬ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻭﺍﻷﺭﺽ ﺤﺘﻰ ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺴﺎﻜﻨﺎ؟‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (22-9‬ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ‬

‫‪y‬‬ ‫‪N1‬‬

‫ﺍﻟﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺠل ﻭﺍﻟﺴﻠﻡ ﻤﻌﺎ ﻫﻲ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﺴﻠﻡ ‪ W‬ﻭﻭﺯﻥ ﺍﻟﺭﺠل ‪،w‬‬ ‫ﻭﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ‪ ،N1‬ﻭﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻟﺴﻜﻭﻨﻲ ‪ ،Fs‬ﻭﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻷﺭﺽ‬ ‫‪ .N2‬ﻓﺤﺘﻰ ﻴﺘﺯﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ‬

‫ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ‬

‫ﻟﻠﺼﻔﺭ‪ ،‬ﻭﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺤﻭل ﺃﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﻨﺨﺘﺎﺭﻩ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﺃﻴﻀﺎ‪.‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪θ‬‬

‫‪N2‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻓﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﺍﻷﻭل ﻟﻼﺘﺯﺍﻥ‪:‬‬

‫‪W + w + N1 + N2 + Fs = 0‬‬

‫‪w Fr‬‬

‫‪W‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(22-9‬‬

‫ﻭﻨﺄﺨﺫ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ‪ ox‬ﻭ ‪ oy‬ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﻴﻥ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪ ،‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪W + w − N2 = 0‬‬

‫ﻭ‬

‫‪N 1 − Fs = 0‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺱ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻤﻊ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻤﺤﺼﻠﺘﻬﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺭ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﻴﻌﺎﻜﺱ ﻋﺯﻡ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻭﺍﻟﺭﺠل )ﻟﻤﺎﺫﺍ؟(‪:‬‬ ‫‪W (l /2)sin θ + w(l /3)sin θ − N 1(l )sin α = 0‬‬

‫ﻭﺒﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻨﺠﺩ‪.µ=0.2 :‬‬ ‫‪229‬‬


‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥﺍﻟﻔﺼل‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ‪ .‬ﻡ‪ .‬ﻤﻠﺨﺹ‬ ‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬

‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ :1-9‬ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﺠﺴﻡ‬

‫) ‪(I = Mk z2‬‬

‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‬

‫‪k z2‬‬

‫ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻠﻙ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ‬

‫‪a2/12‬‬

‫ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻠﻙ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻁﺭﻑ‬

‫‪a2/3‬‬

‫ﻤﻭﺍﺯ ﻟﻁﺭﻓﻬﺎ ‪ b‬ﻤﺎﺭﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ‬

‫‪a2/12‬‬

‫ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻭﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ‬

‫‪(a2+b2)/3‬‬

‫ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻴﻪ‬

‫‪a2/4‬‬

‫ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻴﻪ‬

‫‪a2/2‬‬

‫ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻴﻬﺎ‬

‫‪a2/2‬‬

‫ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻴﻬﺎ‬

‫‪a2‬‬

‫ﻗﺸﺭﺓ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪a‬‬

‫ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﻁﻭﻟﻲ‬

‫‪a2‬‬

‫ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺼﻠﺒﺔ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ‬

‫ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﻁﻭﻟﻲ‬

‫‪a2/2‬‬

‫ﺴﻠﻙ ﺭﻓﻴﻊ ﻁﻭﻟﻪ ‪a‬‬ ‫ﺼﻔﻴﺤﺔ ﻤﺴﺘﻁﻴﻠﺔ ﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ‪a‬‬ ‫ﻭ‪b‬‬

‫ﻗﺭﺹ ﺭﻗﻴﻕ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪a‬‬ ‫ﺤﻠﻘﺔ ﺭﻗﻴﻘﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪a‬‬

‫‪ a‬ﻭﻁﻭﻟﻬﺎ ‪b‬‬

‫ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪(a2+b2)/12‬‬

‫ﻜﺭﺓ ﺼﻠﺒﺔ ﻤﻤﺘﻠﺌﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪a‬‬

‫ﺃﻱ ﻗﻁﺭ ﻓﻴﻬﺎ‬

‫‪2a2/5‬‬

‫ﻗﺸﺭﺓ ﻜﺭﻭﻴﺔ ﺭﻗﻴﻘﺔ‬

‫ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ‬

‫‪3a2/2‬‬

‫ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪a‬‬

‫ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ ab‬ﻭﻤﻭﺍﺯ ﻟﻠﻁﺭﻑ ‪c‬‬

‫‪3a2/2‬‬

‫ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺼﻠﺏ ﻗﺎﺌﻡ‬

‫ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺠﻪ‬

‫ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻭ ‪c‬‬

‫‪ ab‬ﻭﻤﻭﺍﺯﻴﺎ ﻟﻠﻁﺭﻑ ‪c‬‬

‫‪(a2+b2)/12‬‬

‫ﻤﻠﺨﺹ ﺍﻟﻔﺼل‬ ‫ﻋﺯﻡ ﻗﻭﺓ‬

‫ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬

‫‪I = ∑ mi ri 2‬‬

‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫‪τ = Iα‬‬

‫ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ‬

‫‪l = rp sin θ = I ω‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫‪dL‬‬ ‫‪dt‬‬

‫ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ‬

‫= ‪τ‬‬

‫ﺜﺎﺒﺕ = ‪τ = 0 ⇒ L‬‬

‫ﺸﻐل ﺍﻟﻌﺯﻡ‬

‫‪W = ∫ τ dθ‬‬

‫ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ‬

‫‪K = 12 I ω 2‬‬

‫ﺸﺭﻁﻲ ﺍﺘﺯﺍﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ‬ ‫‪230‬‬

‫‪τ = rF sin θ‬‬

‫‪ ∑ Fx = 0‬ﻭ ‪ ∑ Fy = 0‬ﻭ ‪∑ τ = 0‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل‬ ‫ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ‬

‫‪ 1-9‬ﻤﺎﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﻓﻲ ﺍﻷﺸﻜﺎل )‪ (24-9‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪o‬؟‬ ‫‪10 cm‬‬

‫‪o‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪40 N‬‬

‫‪10 cm‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪o‬‬

‫‪10 cm‬‬

‫‪10 cm‬‬

‫‪o‬‬

‫‪5 cm‬‬

‫‪120°‬‬

‫‪40 N‬‬

‫‪40 N‬‬

‫‪40 N‬‬

‫ﺍﻷﺸﻜﺎل )‪(24-9‬‬ ‫‪ 2-9‬ﻤﺎﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﺯﻤﻲ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪(25-9‬‬

‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪o‬؟‬

‫‪ 3-9‬ﻤﺎﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (26-9‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪o‬؟‬

‫‪8N‬‬

‫‪12 N‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪3 cm‬‬

‫‪2 cm‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(25-9‬‬

‫‪3N‬‬

‫‪ 4-9‬ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ‪ F = 3i − 2 j N‬ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ p‬ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ‬ ‫ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ r = −i + j m‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪o‬؟‬

‫ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬

‫‪5 cm‬‬ ‫‪10 cm‬‬

‫‪2N‬‬

‫‪ 5-9‬ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻺﻁﺎﺭ ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪(27-9‬‬

‫‪1N‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(26-9‬‬

‫ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻴﻪ ﻋﻨﺩ ﻤﺭﻜﺯﻩ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻗﻁﺭﻩ ‪60 cm‬‬

‫ﻭﻜﺘﻠﺔ ﻤﺤﻴﻁﻪ ‪ 1 kg‬ﻭﻜﺘﻠﺔ ﻜل ﻗﻁﺭ ﻓﻴﻪ ‪0.4 kg‬؟‬

‫‪ 6-9‬ﺘﺘﻭﺯﻉ ﺜﻼﺙ ﻜﺘل ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻗﻀﻴﺏ ﻤﻬﻤل ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻁﻭﻟﻪ ‪،3l‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(28-9‬ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬

‫ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪o‬؟‬

‫‪ 7-9‬ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ‪6-9‬‬

‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ o‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ‪M‬؟‬

‫‪ 8-9‬ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻷﺭﺒﻊ ﻜﺘل ﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ‪3 kg‬‬

‫ﻤﻭﻀﻭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺭﺅﻭﺱ ﻤﺭﺒﻊ ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻪ ‪ 0.5 m‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯﻩ؟‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(27-9‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪ω‬‬

‫‪l‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪l‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪l‬‬ ‫‪o‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(28-9‬‬

‫‪ 9-9‬ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﺼﻔﻴﺤﺔ ﻤﺴﺘﻁﻴﻠﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ M=4 kg‬ﻁﻭﻟﻬﺎ ‪ 40 cm‬ﻭﻋﺭﻀﻬﺎ ‪30 cm‬‬

‫ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﻤﻭﺍﺯﻴﺎ ﻟﻁﻭﻟﻬﺎ ﺃﻭ ﻟﻌﺭﻀﻬﺎ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل‬

‫ﻀﻠﻊ ﻓﻴﻬﺎ ﻫﻭ ‪ Ma 2 /3‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻁﻭل ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻵﺨﺭ؟‬

‫‪231‬‬


‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ‬ ‫ﻭﻤﺴﺎﺌل‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ‪ .‬ﻡ‪ .‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬

‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫‪ 10-9‬ﺘﺸﺩ ﺒﻜﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ‪ 0.5 m‬ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻨﻬﺎ ‪4 kg.m2‬‬

‫ﺒﺤﺒل ﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭﻟﻬﺎ ﻭﻤﺸﺩﻭﺩ ﺒﻘﻭﺓ ‪ .50 N‬ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻭﻋﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺩﻭﺭﻫﺎ ﺨﻼل‬

‫‪ 10 s‬ﺇﺫﺍ ﺒﺩﺃﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ؟‬

‫‪ 11-9‬ﻴﺩﻭﺭ ﺤﺠﺭ ﻟﺸﺤﺫ ﺍﻷﺩﻭﺍﺕ ﻗﻁﺭﻩ ‪ 25 cm‬ﻭﻜﺘﻠﺘﻪ ‪50 kg‬‬

‫ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 900 rev/min‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻀﻐﻁ ﺍﻟﻌﺎﻤل ﺒﻁﺭﻑ ﻓﺄﺱ‬

‫ﺒﻘﻭﺓ ‪ 200 N‬ﻋﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻴﻁﻪ ﻓﻴﻘﻑ ﺍﻟﺤﺠﺭ ﺒﻌﺩ ‪ .10 s‬ﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺠﺭ ﻭﻤﺎﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺒﻴﻨﻪ ﻭﺒﻴﻥ ﺤﺎﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﻔﺄﺱ؟‬

‫‪ 12-9‬ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ‪ 4-9‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 2 kg‬ﻭﺘﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ؟‬ ‫‪ 13-9‬ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﻜﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ 10 cm‬ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ‪ 0.001 kg.m2‬ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ‬ ‫ﻗﻭﺓ ﻤﻤﺎﺴﻴﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ‪ . F = 0.5t + 0.3t 2 N‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﺒﻌﺩ ﺜﻼﺙ ﺜﻭﺍﻨﻲ ﻤﻥ ﺒﺩﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ؟‬

‫‪ 14-9‬ﺘﻌﻠﻕ ﻜﺘﻠﺔ ‪ 3 kg‬ﺒﺒﻜﺭﺓ ﻤﺜﺒﺘﺔ ﺒﺎﻟﺴﻘﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ 80 cm‬ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ‪0.4 kg.m2‬‬

‫ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺨﻴﻁ ﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭل ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﻋﺩﺓ ﻟﻔﺎﺕ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪) .(17-9‬ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﻋﻨﺩﻤﺎ‬

‫ﺘﻬﺒﻁ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ‪2 m‬؟ )ﺏ( ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﺘﻬﺒﻁ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ؟ )ﺝ( ﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ؟‬

‫‪ 15-9‬ﻴﺩﻭﺭ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺅﻟﻑ ﻤﻥ ﻜﺘﻠﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ‪ m1=m2=1 kg‬ﻤﻌﻠﻘﺘﻴﻥ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﻗﻀﻴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ‪ 1.2 m‬ﻭﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 6.4 kg‬ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﺤﻭل‬

‫ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 39 rev/s‬ﺜﻡ ﻴﺘﻭﻗﻑ ﺒﻌﺩ ‪32 s‬‬

‫ﺒﺴﺒﺏ ﻗﻭﻯ ﺍﺤﺘﻜﺎﻙ ﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ‪) .‬ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ؟ )ﺏ( ﻤﺎ‬

‫ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ؟ )ﺝ( ﻤﺎﺸﻐل ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ؟ )ﺩ( ﻤﺎﻋﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺩﺍﺭﻫﺎ‬

‫‪m‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪m‬‬

‫ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺘﻭﻗﻑ؟ )ﻫـ( ﻤﺎ ﺍﻹﺠﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻟﻭ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻭﻯ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﻏﻴﺭ ﺜﺎﺒﺘﺔ؟‬ ‫ﺍﻟﺸﻐل ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ‬

‫‪ 16-9‬ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﺤﻠﻘﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 150 kg‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ 3 m‬ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺽ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺔ‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ .0.15 m/s‬ﻤﺎ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻹﻴﻘﺎﻓﻬﺎ؟‬

‫‪ 17-9‬ﻴﻌﻠﻕ ﺴﻁل ﻤﺎﺀ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 20 kg‬ﺒﺤﺒل ﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﻲ ﻨﺼﻑ‬ ‫ﻗﻁﺭﻩ ‪ 0.2 m‬ﻭﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 20 kg‬ﻤﺜﺒﺕ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﻓﻭﻕ ﻓﻭﻫﺔ ﺒﺌﺭ ﻤﺎﺀ ﺜﻡ ﻴﺘﺭﻙ ﻟﻴﺴﻘﻁ‬

‫ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪) .20 m‬ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺒل ﺨﻼل ﺴﻘﻭﻁ ﺍﻟﺴﻁل؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫‪232‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫ﻴﺼل ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻌﻤﻕ؟ )ﺝ( ﻤﺎﺯﻤﻥ ﺴﻘﻭﻁﻪ؟ )ﺩ( ﻤﺎﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﻓﻌل ﻨﻘﻁﺔ ﺘﺜﺒﻴﺕ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﻲ ﻋﻠﻴﻪ؟‬

‫‪ 18-9‬ﻴﺘﻨﺎﻗﺹ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻹﻁﺎﺭ ﻋﺯﻡ ﻗﺼـﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ‪ 0.12 kg.m2‬ﻤﻥ ‪ 3 kg.m2/s‬ﺇﻟﻰ‬ ‫‪ 2 kg.m2/s‬ﺨﻼل ‪) .1.5 s‬ﺃ( ﻤﺎﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻁﺎﺭ؟ )ﺏ( ﻤﺎﻋﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ‬

‫ﺩﺍﺭﻫﺎ ﺨﻼل ﺫﻟﻙ؟ )ﺝ( ﻤﺎ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻋﻠﻴﻪ ﻭﻤﺎ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﻘﺩﺭﺓ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ؟‬

‫‪ 19-9‬ﻤﺎ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻹﻴﻘﺎﻑ ﻗﺭﺹ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 50 kg‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪ 0.5 m‬ﻴﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ‬

‫‪ 300 rev/min‬ﺨﻼل ‪10 s‬؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﺭﺹ ﻭﻤﺎ ﻁﺎﻗﺘﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ؟‬

‫‪ 20-9‬ﺘﺩﻭﺭ ﺒﻜﺭﺓ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 300 kg‬ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻨﻬﺎ ‪ 675 kg.m2‬ﺒﺩﺀﺍ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﺯﻡ ‪) .2000 m.N‬ﺃ( ﻤﺎ ﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ؟ )ﺏ(‬ ‫ﻤﺎﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺒﻌﺩ ﺃﺭﺒﻊ ﺩﻭﺭﺍﺕ؟ )ﺝ( ﻤﺎ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻋﻠﻴﻬﺎ‬

‫ﺨﻼل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ؟‬

‫‪ 21-9‬ﺘﺴﻘﻁ ﺤﻠﻘﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 1.2 kg‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ 8 cm‬ﻭﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭﻟﻬﺎ‬ ‫ﺨﻴﻁ ﻁﻭﻴل ﻤﺜﺒﺕ ﻁﺭﻓﻪ ﺒﺎﻟﺴﻘﻑ‪ ،‬ﻨﺤﻭ ﺍﻷﺴﻔل‪ .‬ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ‬

‫ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﺘﺴﻘﻁ ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ ‪ 0.5 m‬ﻭﻤﺎ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ؟‬

‫‪ 22-9‬ﺘﺭﺘﺒﻁ ﻜﺘﻠﺘﺎﻥ ‪ m1=4 kg‬ﻭ ‪ m2=6 kg‬ﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺤﺒل ﻴﻤﺭ ﺤﻭل ﺒﻜﺭﺓ ﺨﺸﻨﺔ ﻨﺼﻑ‬ ‫ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ ،40 cm‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺁﻟﺔ ﺁﺘﻭﻭﺩ‪ ،‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺘﺤﺭﻙ ‪ m2‬ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ‪ t=0‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 2 m/s‬ﻨﺤﻭ‬

‫ﺍﻷﻋﻠﻰ ﻟﺘﺭﺘﻔﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ 2 m‬ﻭﺘﻘﻑ ﻟﺤﻅﻴﺎ ﻭﺘﻌﻭﺩ ﻟﻠﺴﻘﻭﻁ ﻨﺤﻭ ﺍﻷﺴﻔل‪) .‬ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟـ ‪m2‬‬

‫ﻟﺘﺼل ﻷﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻟﻬﺎ؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﻋﻨﺩﺌﺫ؟ )ﺝ( ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ؟‬

‫‪ 23-9‬ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ‪ 0.2 m‬ﻭﻋﺯﻡ‬ ‫ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻨﻬﺎ ‪ 0.32 kg.m2‬ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﺘﺼل ﺒﻬﺎ‬

‫‪ m1‬ﻟﻸﺭﺽ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ‪ 3 m‬ﻭﺒﺩﺃﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ؟‬ ‫‪ 24-9‬ﻴﻌﻠﻕ ﻗﻀﻴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ‪ L‬ﻭﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ m‬ﻤﻥ ﻁﺭﻓﻪ ﻭﻴﺘﺭﻙ ﻟﻴﻬﺘﺯ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ‬

‫ﻓﻴﺼل ﻷﺨﻔﺽ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﻤﺴﺎﺭﻩ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ .ω‬ﻤﺎ ﺃﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﻴﺭﺘﻔﻌﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬

‫ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ؟‬

‫‪ 25-9‬ﺘﺘﺯﻥ ﻤﺴﻁﺭﺓ ﻁﻭﻟﻬﺎ ‪ 1 m‬ﻭﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ m‬ﻓﻲ ﻭﻀﻊ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﺜﻡ ﺘﺘﺭﻙ ﻟﺘﻬﻭﻱ‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺒﻘﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺴﻬﺎ ﻤﻊ ﺍﻷﺭﺽ ﻓﻲ ﻤﻜﺎﻨﻬﺎ‪ .‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻁﺭﻓﻬﺎ ﺍﻵﺨﺭ ﻟﺤﻅﺔ‬

‫ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻬﺎ ﺒﺎﻷﺭﺽ؟‬

‫‪233‬‬


‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ‬ ‫ﻭﻤﺴﺎﺌل‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ‪ .‬ﻡ‪ .‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬

‫‪ 26-9‬ﻴﺩﻭﺭ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﻥ ﺜﻼﺜﺔ ﻗﻀﺒﺎﻥ ﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﻤﺭﺒﻭﻁﺔ ﺒﺒﻌﻀﻬﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺤﺭﻑ ‪ H‬ﺤﻭل ﻀﻠﻌﻪ ﺍﻟﺠﺎﻨﺒﻲ ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻓﻲ‬

‫‪L‬‬

‫‪L‬‬

‫ﻤﺴﺘﻭ ﺃﻓﻘﻲ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(30-9‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ‬

‫‪L‬‬

‫ﻴﺼل ﻟﻤﺴﺘﻭ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ؟‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(30-9‬‬

‫‪ 27-9‬ﺘﺭﺒﻁ ﺍﻟﻜﺘﻠﺘﺎﻥ ‪ m‬ﻭ ‪ M‬ﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺨﻴﻁ ﻴﻤﺭ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺒﻜﺭﺓ ﺨﺸﻨﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ R‬ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل‬

‫‪M‬‬

‫‪I,R‬‬

‫ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ‪ ،I‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(31-9‬ﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ‬

‫ﻭﻤﺎ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜل ﻜﺘﻠﺔ ﺇﺫﺍ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺃﻱ ﺍﺤﺘﻜﺎﻙ ﺒﻴﻥ ‪M‬‬

‫ﻭﺍﻟﻁﺎﻭﻟﺔ؟‬

‫‪m‬‬

‫‪) 28-9‬ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﺫﺍ‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(31-9‬‬

‫ﺩﺭﺍﺕ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ θ‬ﺨﻼل ﺯﻤﻥ ‪ t‬ﻭﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻴﻪ‬

‫‪ M‬ﻤﺠﻬﻭﻟﺔ؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﺘل ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ؟‬

‫‪ 29-9‬ﻴﻌﻠﻕ ﺠﺴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 1 kg‬ﺒﺒﻜﺭﺓ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺨﻴﻁ ﻤﻠﻔﻭﻑ ﻋﺩﺓ‬

‫ﻟﻔﺎﺕ ﺤﻭل ﻗﺭﺹ ﺼﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻤﻨﺘﺼﻔﻬﺎ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪ ،5 cm‬ﻜﻤﺎ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(32-9‬ﺜﻡ ﻴﺘﺭﻙ ﻟﻴﺴﻘﻁ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ 1.75 m‬ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ‬

‫ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﺨﻼل ‪ .5 s‬ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻠﺒﻜﺭﺓ؟‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(32-9‬‬

‫‪I,R‬‬

‫‪m‬‬

‫‪ 30-9‬ﻴﻨﺯﻟﻕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ‪ m=5 kg‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (33-9‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﺎﺌل ﺍﻟﺨﺸﻥ )‪ (µ=0.25‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺩﻭﺭ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ﻨﺘﻴﺠﺔ‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(33-9‬‬

‫ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﻬﺎ ﺒﻪ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﺍﻟﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭﻟﻬﺎ‪ .‬ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ‬

‫ﻭﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺒﻜﺭﺓ ‪ 0.2 m‬ﻭﻋﺯﻡ‬ ‫ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻨﻬﺎ ‪0.2 kg.m2‬؟‬ ‫ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ‬

‫‪ 31-9‬ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﺼﻐﻴﺭﺓ )‪ (r=2 cm, m=0.5 kg‬ﻤﻤﺘﻠﺌﺔ‬ ‫ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ (34-9‬ﺇﻟﻰ‬

‫ﺃﻥ ﺘﻘﻠﻊ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻷﻓﻘﻲ ‪ A‬ﻜﻤﻘﺫﻭﻑ‪ .‬ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﺒﻴﻥ‬ ‫‪ A‬ﻭﻤﻭﻗﻊ ﺍﺭﺘﻁﺎﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺒﺎﻷﺭﺽ؟‬

‫‪234‬‬

‫‪60 m‬‬

‫‪A‬‬

‫‪20 m‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(34-9‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬ ‫‪ 32-9‬ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻤﻤﺘﻠﺌﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ m‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪r‬‬

‫ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﻟﻜﺭﺓ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻨﺼﻑ‬

‫ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ R‬ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻋﻨﺩ ‪ ،A‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪.(35-9‬‬

‫‪r‬‬

‫‪R‬‬

‫‪A‬‬

‫)ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﻜﺭﺓ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪B‬؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﺠﺯﺀ‬

‫ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ؟ )ﺝ( ﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ‬

‫‪B‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(35-9‬‬

‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺜﺭ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪B‬؟‬

‫‪ 33-9‬ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻤﻤﺘﻠﺌﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ m‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪r‬‬

‫ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﻟﻠﺴﻠﻙ ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل‬ ‫)‪) .(36-9‬ﺃ( ﻤﺎ ﺃﻗل ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﺴﻘﻁ ﻤﻨﻪ ‪ m‬ﺤﺘﻰ ﻻﺘﻔﻘﺩ‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺎﺱ ﻤﻊ ﺍﻟﺴﻠﻙ ﻋﻨﺩ ‪ C‬ﺒﻔﺭﺽ ‪R>>r‬؟ )ﺏ( ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ‬

‫‪m‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﻟﻠﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ m‬ﻋﻨﺩ ‪ B‬ﺇﺫﺍ ﺒﺩﺃﺕ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪6R‬؟‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(36-9‬‬

‫‪ 34-9‬ﻴﺘﺩﺤﺭﺝ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ m‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪ R‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ v‬ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺽ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﻤﻠﺴﺎﺀ ﺘﻨﺘﻬﻲ‬

‫ﺒﻤﺴﺘﻭ ﻤﺎﺌل ﻟﻸﻋﻠﻰ ﻓﻴﺭﺘﻔﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ 3v2/4g‬ﻭﻴﻘﻑ ﻟﺤﻅﻴﺎ ﺜﻡ ﻴﻌﻭﺩ ﺃﺩﺭﺍﺠﻪ‪ .‬ﻤﺎﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﻤﺎﺫﺍ ﻴﺤﺘﻤل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺸﻜﻠﻪ؟‬

‫ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ‬

‫‪v1‬‬

‫‪ 35-9‬ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻜﺘﻠﺘﺎﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ‪ m1=m2‬ﻋﻠﻰ ﺨﻁﻴﻥ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻴﺒﻌﺩﺍﻥ ‪ d‬ﻋﻥ‬ ‫ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﺴﺭﻋﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ‪ v1=v2‬ﺒﺎﺘﺠﺎﻫﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﻴﻥ‪ .‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ‬

‫‪d‬‬ ‫‪v2‬‬

‫ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻫﻭ ﻨﻔﺴﻪ ﺤﻭل ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ‪.‬‬

‫‪ 36-9‬ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 2 kg‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ xy‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﺒﺎﻟﻨﻘﻁﺔ‬

‫‪r = 3i − 4 j m‬‬

‫ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ . v = 5i + 6 j m/s‬ﻤﺎﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ xy‬ﻭﻴﻤﺭ ﻤﻥ‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺃﻭﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪(2,2‬؟‬

‫‪ 37-9‬ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ‬

‫‪3 kg‬‬

‫ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪v = 5i − 6 j m/s‬‬

‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻤﺭ ﺒﺎﻟﻤﻭﻀﻊ‬

‫‪) r = 3i + 8 j m‬ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺇﺫﺍ‬

‫ﺨﻀﻊ ﻟﻘﻭﺓ ‪ F = −7i N‬؟ )ﺝ( ﻤﺎﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ؟‬

‫‪ 38-9‬ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ‪ 7-9‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ ω‬ﺤﻭل ‪o‬‬

‫ﻭﻤﺎﻁﺎﻗﺘﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ؟‬

‫‪235‬‬


‫ﻭﻤﺴﺎﺌل‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ‪ .‬ﻡ‪ .‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ‬

‫ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ‬ ‫‪ 39-9‬ﻴﻘﻑ ﺭﺠل ﻋﻠﻰ ﻤﻨﺼﺔ ﺘﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 1 rev/s‬ﺤﺎﻤﻼ ﻓﻲ ﻴﺩﻴﻪ ﺍﻟﻤﻤﺩﻭﺩﺘﻴﻥ ﻜﺘﻠﺘﻴﻥ‬

‫ﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺘﻴﻥ ﺜﻡ ﻴﻀﻡ ﻴﺩﻴﻪ ﻟﺼﺩﺭﻩ ﻟﻴﺘﻨﺎﻗﺹ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ﻤﻥ ‪ 6 kg.m2‬ﺇﻟﻰ ‪.2 kg.m2‬‬ ‫ﻤﺎﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻁﺎﻗﺘﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ؟‬

‫‪ 40-9‬ﻴﺩﻭﺭ ﺇﻁﺎﺭ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ‪ I‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 800 rev/min‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻭﺼل ﺒﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺩﻭﺭﺍﻨﻪ ﺇﻁﺎﺭ ﺁﺨﺭ ﺴﺎﻜﻥ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ‪) .2I‬ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ؟ )ﺏ(‬ ‫ﻤﺎﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻪ؟‬

‫*‪ 41-9‬ﺘﺭﻜﺽ ﺤﺸﺭﺓ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ m‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ v‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ‪ ،‬ﺤﻭل ﻤﺤﻴﻁ ﻗﺭﺹ ﺃﻓﻘﻲ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ‬

‫‪ R‬ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ‪ I‬ﻤﺤﻤﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﻴﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ ω0‬ﺒﻌﻜﺱ ﺤﺭﻜﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺸﺭﺓ‪ .‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﺤﺸﺭﺓ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ؟ ﻫل ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻤﺤﻔﻭﻅﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ؟‬

‫*‪ 42-9‬ﺘﻘﻑ ﻁﻔﻠﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻑ ﻤﺭﺠﻭﺤﺔ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 10M‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪R‬‬

‫ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ‪ .I‬ﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻘﺫﻑ ﺍﻟﻁﻔﻠﺔ ﺤﺠﺭﺍ‬

‫ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ m‬ﺒﺸﻜل ﺃﻓﻘﻲ ﻤﻤﺎﺴﻴﺎ ﻟﻠﻤﺭﺠﻭﺤﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ v‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻟﻸﺭﺽ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﻔﻠﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺒﻌﺩ ﻗﺫﻓﻬﺎ ﻟﻠﺤﺠﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ؟‬

‫‪rA‬‬

‫‪ 43-9‬ﻴﺭﺘﺒﻁ ﻗﺭﺼﺎﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺤﺯﺍﻡ ﻻﻴﻨﺯﻟﻕ‬

‫‪rB‬‬

‫ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل)‪) .(37-9‬ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ‪ IA/IB‬ﺇﺫﺍ ﺩﺍﺭ‬

‫ﺍﻟﻘﺭﺼﺎﻥ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ؟ )ﺏ( ﻤﺎﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﺫﺍ ﺩﺍﺭﺍ ﺒﻨﻔﺱ‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(37-9‬‬

‫ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ؟‬

‫‪o‬‬

‫‪ 44-9‬ﻴﻨﺯﻟﻕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ‪ m‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل)‪ (38-9‬ﺒﺩﻭﻥ ﺍﺤﺘﻜﺎﻙ ﻋﻠﻰ‬

‫‪M‬‬

‫ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻱ ﻟﻴﺼﻁﺩﻡ ﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ ﺒﺎﻟﻤﺴﻁﺭﺓ ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ ﻭﻴﻠﺘﺼﻕ‬ ‫ﺒﻬﺎ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ .‬ﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﻤﺎ ﺃﻋﻠﻰ‬

‫‪m‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪h‬‬

‫ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺴﻴﺼل ﺇﻟﻴﻪ؟‬

‫*‪ 45-9‬ﺘﺩﻭﺭ ﺃﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ‪ R1‬ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(38-9‬‬

‫ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ ‪ I1‬ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ ω0‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻘﺭﺏ ﻤﻨﻬﺎ‬ ‫ﺃﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ R2‬ﻭﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ‬ ‫‪ I2‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺘﻼﻤﺱ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺘﺎﻥ ﻤﻤﺎﺴﻴﺎ ﻭﺘﺩﻭﺭ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ ﺒﺴﺒﺏ‬

‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫ﻗﻭﻯ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺘﻨﺘﻬﻲ ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻻﻨﺯﻻﻕ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻟﺘﺩﻭﺭ ﻜل‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(39-9‬‬ ‫‪236‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ‬

‫ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺒﻌﻜﺱ ﺍﻷﺨﺭﻯ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل)‪ .(39-9‬ﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻼﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ؟ ﻫل ﺍﻟﺯﺨﻡ‬ ‫ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻤﺤﻔﻭﻅ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ؟‬ ‫ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ‬

‫‪ 46-9‬ﻴﺴﺘﻨﺩ ﺴﻠﻡ ﻁﻭﻟﻪ ‪ 10 m‬ﻭﻭﺯﻨﻪ ‪ 400 N‬ﻋﻠﻰ ﺤﺎﺌﻁ‬

‫‪8m‬‬

‫ﺃﻤﻠﺱ ﺼﺎﻨﻌﺎ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 53°‬ﻤﻊ ﺍﻷﺭﺽ ﺍﻟﺨﺸﻨﺔ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(40-9‬ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﻋﻠﻰ‬

‫‪6m‬‬

‫ﺍﻟﺴﻠﻡ؟‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(40-9‬‬

‫‪ 47-9‬ﻴﻌﻠﻕ ﻗﻀﻴﺏ ﺨﻔﻴﻑ ﻁﻭﻟﻪ ‪ 5 m‬ﺒﺤﺎﺌﻁ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ‬

‫‪o‬‬

‫ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﻔﺼﻠﺔ ﻋﺩﻴﻤﺔ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺴﺘﻨﺩ ﻁﺭﻓﻪ ﺍﻵﺨﺭ‬

‫‪4m‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺽ ﻤﻠﺴﺎﺀ ﺨﺎﻀﻌﺎ ﻟﻘﻭﺓ ﺃﻓﻘﻴﺔ ‪ ،60 N‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫)‪ .(41-9‬ﻤﺎﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺅﺜﺭ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﻋﻠﻰ‬

‫‪60 N‬‬

‫ﺍﻟﻤﻔﺼﻠﺔ؟‬

‫‪3m‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(41-9‬‬

‫‪ 48-9‬ﻴﺜﺒﺕ ﻁﺭﻑ ﻗﻀﻴﺏ ﻁﻭﻟﻪ ‪ 2 m‬ﻋﻨﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﻗﺭﺹ‬

‫ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪ 25 cm‬ﻤﻌﻠﻕ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻩ ﻟﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺃﻓﻘﻴﺎ‬ ‫ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺤﺒل ﻤﻠﻔﻭﻑ ﺤﻭل ﺍﻟﻘﺭﺹ ﻭﻴﻤﺭ ﻋﻠﻰ ﺒﻜﺭﺓ ﻤﻠﺴﺎﺀ‬

‫ﻭﻴﻨﺘﻬﻲ ﺒﺤﻤل ﻭﺯﻨﻪ ‪ ،240 N‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪) .(42-9‬ﺃ(‬

‫‪2m‬‬

‫ﻤﺎﻭﺯﻥ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(42-9‬‬

‫‪ 49-9‬ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ‪ Fh‬ﻭ ‪ Fv‬ﻭﺃﻴﻥ ﻴﺠﺏ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺤﺘﻰ‬

‫‪F2‬‬

‫ﻤﻊ ﺍﻷﻓﻕ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻘﻨﺎ ﺤﻤل ‪ 20 N‬ﺒﻨﻬﺎﻴﺘﻪ؟‬

‫ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﻬﻴﻜل ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ (43-9‬ﻤﺘﺯﻨﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪F1=20‬‬

‫‪ N‬ﻭ‪ F2=10 N‬ﻭ‪F3=5 N‬؟‬ ‫‪ 50-9‬ﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﺘﻁﺒﻴﻘﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﻁﺎﺭ‬

‫ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ (44-9‬ﺤﺘﻰ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺠﺎﻭﺯ ﺍﻟﻌﺘﺒﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬

‫‪2m‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻤﺜﺒﺕ ﺒﺤﺎﺌﻁ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻭﻤﺭﺒﻭﻁ ﻁﺭﻓﻪ ﺍﻵﺨﺭ‬

‫ﺒﺨﻴﻁ ﻤﻌﻠﻕ ﺒﺎﻟﺤﺎﺌﻁ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ ،C‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪.(45-3‬‬

‫ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﻭﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬

‫‪y‬‬ ‫‪3m‬‬

‫‪F3‬‬

‫‪Fh‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪2m‬‬ ‫‪F1‬‬

‫‪Fv‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(43-9‬‬

‫ﻭﺯﻨﻪ ‪ w‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪r‬؟‬

‫‪ 51-9‬ﻴﻭﻀﻊ ﺠﺴﻡ ‪ m‬ﻋﻠﻰ ﻗﻀﻴﺏ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ M‬ﻭﻁﻭﻟﻪ ‪L‬‬

‫‪240 N‬‬

‫‪r‬‬

‫‪F‬‬

‫‪h‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(44-9‬‬

‫‪237‬‬


‫ﻭﻤﺴﺎﺌل‬ ‫ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ – ﺩ‪ .‬ﻡ‪.‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫ﻤﻴﺭﺯﺍ‬ ‫ﻗﻴﺼﺭﻭﻥ‬

‫ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﻋﻨﺩ ‪A‬؟‬

‫‪C‬‬

‫‪ 52-9‬ﻴﻌﻠﻕ ﺤﻤل ‪ 2300 N‬ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻋﻤﻭﺩ ﺘﺜﺒﻴﺕ ﻭﺯﻨﻪ ‪،450 N‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ .(46-9‬ﻤﺎ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺒل ﻭﺭﺩ ﻓﻌل‬

‫‪m‬‬

‫ﺍﻷﺭﺽ ﻋﻨﺩ ‪P‬؟‬

‫‪x‬‬

‫‪ 53-9‬ﺘﺘﺯﻥ ﺃﺭﺒﻊ ﻗﻁﻊ ﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻵﺠﺭ ﻁﻭل ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ‪L‬‬

‫ﻤﻭﻀﻭﻋﺔ ﻓﻭﻕ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺘﺠﺎﻭﺯ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﺘﻲ‬

‫ﺘﺤﺘﻬﺎ ﺒﻤﺴﺎﻓﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(46-9‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺃﻜﺒﺭ‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪l‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(45-3‬‬

‫ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻟﻠﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻌﻠﻭﻴﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺘﻬﺎ ﻫﻭ ‪ L/6‬ﻭﺃﻜﺒﺭ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ‬ ‫ﻟﻠﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻋﻥ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪ L/4‬ﻭﺃﻜﺒﺭ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻟﻠﺜﺎﻨﻴﺔ ﻋﻥ‬

‫ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪.L/2‬‬

‫‪2300 N‬‬

‫‪45°‬‬

‫‪p‬‬

‫‪ 54-9‬ﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﻗﻭﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ‪ ،F1=F2=F‬ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺘﻴﻥ‬

‫‪30°‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(46-9‬‬

‫ﻭﻤﺤﻤﻭﻟﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺨﻁﻴﻥ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻴﺒﻌﺩﺍﻥ ‪ d‬ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺍﺴﻡ‬

‫ﻤﺯﺩﻭﺠﺔ )‪ .(couple‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻤﺯﺩﻭﺠﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺨﻁﻴﻥ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻴﻬﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪Fd‬؟‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(47-9‬‬

‫ﻤﻥ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻹﺴﻼﻡ‬ ‫ﺍﻟﺸﻴﺦ ﺍﻟﻁﺒﻴﺏ ﻋﻼﺀ ﺍﻟﺩﻴﻥ ﻋﻠﻲ ﺒﻥ ﺃﺒﻲ ﺍﻟﺤﺯﻡ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻑ ﺒﺎﺒﻥ ﺍﻟﻨﻔﻴﺱ ﻭﻟﺩ ﻓﻲ‬

‫ﺩﻤﺸﻕ ﻋﺎﻡ ‪ 607‬ﻫـ ﻭﺘﻭﻓﻲ ﻋﺎﻡ ‪ 687‬ﻫـ‪ .‬ﻴﻌﺩ ﻤﻥ ﺃﻜﺒﺭ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﻋﺼﺭﻩ ﻓﻲ‬

‫ﺍﻟﻠﻐﺔ ﻭﺍﻟﻔﻠﺴﻔﺔ ﻭﺘﺩﺭﻴﺱ ﺍﻟﻔﻘﻪ ﻭﺍﻟﺤﺩﻴﺙ‪ ،‬ﻭﻟﻪ ﻜﺘﺏ ﻋﺩﻴﺩﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻤﻨﻬﺎ‬

‫"ﺍﻟﺭﺴﺎﻟﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻴﺭﺓ ﺍﻟﻨﺒﻭﻴﺔ" ﻭﺘﺘﺠﻠﻰ ﻋﺒﻘﺭﻴﺘﻪ ﺒﺎﻟﺘﻔﻜﻴﺭ ﻭﺍﻻﺴﺘﻨﺒﺎﻁ ﻭﻜﺸﻑ‬

‫ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻫﺎﻤﺔ ﺠﺩﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺏ‪ ،‬ﻭﺘﺤﺩﻴﺩﺍ ﻓﻲ ﻓﺯﻴﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺩﻤﻭﻱ‪ ،‬ﻓﺸﺭﺡ‬

‫ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺩﻤﻭﻱ ﻤﺎ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺭﺌﺘﻴﻥ ﻭﺍﻟﻘﻠﺏ )ﺃﻱ ﻤﺎ ﻴﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﺩﻭﺭﺓ ﺍﻟﺩﻤﻭﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ( ﻭﺫﻟﻙ ﻗﺒل ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﺍﻹﻨﻜﻠﻴﺯﻱ ﻫﺎﺭﻓﻲ )ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﺴﺏ ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻜﺘﺸﺎﻓﻬﺎ( ﺒﻌﺩﺓ‬ ‫ﻗﺭﻭﻥ‪ ،‬ﻭﻟﻪ ﻤﺅﻟﻔﺎﺕ ﺜﻤﻴﻨﺔ ﺘﺼﺒﻐﻬﺎ ﺍﻟﺠﺭﺃﺓ ﻭﺤﺭﻴﺔ ﺍﻟﺭﺃﻱ‪ ،‬ﻤﻨﻬﺎ ﺍﻟﺸﺎﻤل ﻭﻫﻭ ﻋﺒﺎﺭﺓ‬

‫ﻋﻥ ﻤﻭﺴﻭﻋﺔ ﻁﺒﻴﺔ ﺘﺘﺄﻟﻑ ﻤﻥ ‪ 300‬ﻤﺠﻠﺩ‪ ،‬ﻭﺭﺴﺎﻟﺔ ﻓﻲ ﺃﻭﺠﺎﻉ ﺍﻷﻁﻔﺎل ﻭﻤﻘﺎﻟﺔ ﻓﻲ‬

‫ﺍﺒﻥ ﺍﻟﻨﻔﻴﺱ‬

‫ﺍﻟﻨﺒﺽ ﻭﺸﺭﺡ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ ﻭﺒﻐﻴﺔ ﺍﻟﻔﻁﻥ ﻤﻥ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﺒﺩﻥ‪ ،‬ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ‪ .‬ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ‬

‫ﺤﻴﺎﺘﻪ ﻭﻫﺏ ﻤﺎﻟﻪ ﺍﻟﻜﺜﻴﺭ ﻭﺩﺍﺭﻩ ﻭﺃﻤﻼﻜﻪ ﻭﻜل ﻤﺎ ﻴﺘﻌﻠﻕ ﺒﻪ ﺇﻟﻰ ﺒﻴﻤﺎﺭﺴﺘﺎﻥ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺼﻭﺭﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺎﻫﺭﺓ ﺨﺩﻤﺔ ﻟﻠﻌﻠﻡ‪.‬‬

‫‪238‬‬


Ch9