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‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫ﺍﻟﺤﺮﻛﺔ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮ‬ ‫)‪(Plane Motion‬‬

‫‪ 1-3‬ﺘﻤﻬﻴﺩ‬ ‫ﺩﺭﺴﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺒﺸﻜل ﻋﺎﻡ ﻭﺍﺴﺘﺨﺭﺠﻨﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻁﻲ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪ ،‬ﺜﻡ ﺍﻨﺘﻘﻠﻨﺎ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﺒﺨﺎﺼﺔ ﺍﻟﺴﻘﻭﻁ ﺍﻟﺤﺭ‪ .‬ﺇﻻ ﺃﻥ ﺃﻫﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﺸﺎﺌﻌﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ‪ ،‬ﻜﺎﻟﻘﻤﺭ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﺃﻭ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ‪ ،‬ﺘﺘﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‪ .‬ﻟﺫﺍ ﻨﺩﺭﺱ ﻓﻲ‬ ‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ‪ ،‬ﺜﻡ ﻨﺩﺭﺱ ﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ ﻷﻨﻬﺎ ﺴﻬﻠﺔ ﻭﻟﻬﺎ‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﻴﻭﻤﻴﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ‪ .‬ﻓﻨﺼﻔﻬﺎ ﻭﻨﺤﻠﻠﻬﺎ ﻟﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﻤﻨﺎﺴﺒﻴﻥ‪ ،‬ﻭﻨﺴﺘﺨﻠﺹ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ‬

‫ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻟﻬﺎ‪ .‬ﺜﻡ ﻨﺩﺭﺱ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﻡ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﻨﺴﺘﺨﺭﺝ‬ ‫ﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻭﺩﻭﺭﻫﺎ ﻭﺘﺭﺩﺩﻫﺎ‪ .‬ﻭﻨﺩﺭﺱ ﺃﺨﻴﺭﺍ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻭﺒﻌﺽ ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺘﻬﺎ‪.‬‬

‫‪ 2-3‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫‪y‬‬

‫ﺇﺫﺍ ﺘﺎﺒﻌﻨﺎ ﺤﺭﻜﺔ ﻜﺭﺓ ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺽ ﺍﻟﻐﺭﻓﺔ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(1-3‬ﻟﻼﺤﻅﻨﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺒﻘﻰ ﺩﺍﺌﻤﺎ ﻋﻨﺩ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ‬

‫‪v‬‬

‫ﻟﻜﻨﻬﺎ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺃﺭﺽ ﺍﻟﻐﺭﻓﺔ ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ‬ ‫ﻤﺴﺘﻭﻴﺔ‪ .‬ﻭﺘﺘﺤﺩﺩ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻟﺤﻅﺔ‬

‫ﺒﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻌﻬﺎ ‪ r‬ﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ‪ v‬ﻭﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ ‪ a‬ﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ‬

‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪r‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(1-3‬‬

‫ﻟﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﻓﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ‪) ox‬ﻁﻭل ﺍﻟﻐﺭﻓﺔ( ﻭ‪) oy‬ﻋﺭﻀﻬﺎ( ﻤﺜﻼ‪.‬‬ ‫‪67‬‬


‫‪ 2-3‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪⎧r = xi + yj‬‬ ‫⎪⎪‬ ‫‪⎨v = v x i + v y j‬‬ ‫⎪‬ ‫‪⎪⎩a = a x i + a y j‬‬

‫)‪(1-3‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﺘﻌﻁﻰ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dt‬‬

‫= ‪vx‬‬

‫ﻭ‬

‫‪dy‬‬ ‫‪dt‬‬

‫= ‪vy‬‬

‫)‪(2-3‬‬

‫ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ‪:‬‬ ‫‪dv x‬‬ ‫‪d 2x‬‬ ‫=‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt 2‬‬

‫= ‪ax‬‬

‫ﻭ‬

‫‪d 2y‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪dt‬‬

‫=‬

‫‪dv y‬‬ ‫‪dt‬‬

‫= ‪ay‬‬

‫)‪(3-3‬‬

‫ﻤﺜل ‪1-3‬‬

‫ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﻁﺎﻭﻟﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ v0=3 i m/s‬ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ‪ a=−i+2j m/s2‬ﺤﻴﺙ ‪ i‬ﻭ‪j‬‬

‫ﻤﺘﺠﻬﻲ ﻭﺤﺩﺓ ﻤﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻟﻁﻭل ﻭﻋﺭﺽ ﺍﻟﻁﺎﻭﻟﺔ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ .‬ﻤﺎﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺒﻌﺩ ‪5 s‬؟‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻷﻨﻪ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺯﻤﻥ‪ ،‬ﻟﺫﺍ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ‬ ‫ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕ ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪v = at + v 0 = (−i + 2 j)t + 3i = (−t + 3)i + (2t ) j m/s‬‬

‫ﻭ‬

‫‪r = 12 at 2 + v 0t + r0 = 12 (−i + 2 j)t 2 + (3i )t + 0 m‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﻟﻠﻜﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﻁﺎﻭﻟﺔ )‪.r0=(0,0‬‬ ‫ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ t=5 s‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫ﻭ‬

‫‪v(5) = −2i + 10 j m/s‬‬ ‫‪r(5) = 2.5i + 25 j m‬‬

‫‪ 3-3‬ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ )‪(Projectile Motion‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺃﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻘﻁ‬ ‫ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻘﻭل ﺇﻨﻪ ﻤﻘﺫﻭﻑ‪ ،‬ﻜﻜﺭﺓ ﻗﺩﻡ ﺘﻁﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ‪ ،‬ﺃﻭ ﻤﺎﺀ ﻴﻨﺩﻓﻊ‬

‫‪a‬‬

‫ﻤﻥ ﻨﺎﻓﻭﺭﺓ‪ .‬ﻭﺘﺘﻡ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻑ ﻋﺎﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺇﺫﺍ ﻟﻡ‬ ‫ﻴﻜﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺭﻴﺎﺡ ﺃﻭ ﻗﻭﻯ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ‪ .‬ﻜﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪68‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻘﻁ‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪a = g = −gj m/s 2‬‬

‫)‪(4-3‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺎ )ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ( ﻨﺤﻭ ﺍﻷﻋﻠﻰ‪.‬‬

‫ﻭﺒﺄﺨﺫ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪ax = 0‬‬

‫ﻭ‬

‫‪a y = −g‬‬

‫)‪(5-3‬‬

‫ﻭﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕ ﻨﺠﺩ ﺴﺭﻋﺔ ﻭﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻟﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫‪⎧⎪v x = a x t + v 0 x = v 0 x‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪⎩v y = a y t + v 0y = −gt + v 0y‬‬

‫)‪(6-3‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ v0x‬ﻭ‪ v0y‬ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻟﺤﻅﺔ ﺇﻁﻼﻗﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ‪ ox‬ﻭ‪ ،oy‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ )ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ( ﻭﺍﻟﺼﺎﺩﻴﺔ )ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ( ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻟﺤﻅﺔ ﻭﻓﻕ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ‪:‬‬

‫‪+ v 0x t + x 0x = v 0x t + x 0x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a t2‬‬ ‫‪2 x‬‬

‫‪+ v 0y t + y 0 = − 12 gt 2 + v 0y t + y 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a t‬‬ ‫‪2 y‬‬

‫= ‪⎧x‬‬ ‫⎪‬ ‫⎨‬ ‫= ‪⎪⎩y‬‬

‫)‪(7-3‬‬

‫ﺤﻴﺙ )‪ (x0,y0‬ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ )‪.(0,0‬‬ ‫ﻭﻟﻔﻬﻡ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﻬﺎ ﻤﻘﺫﻭﻑ ﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻨﻨﺎ ﻨﺭﺍﻗﺏ ﻜﺭﺓ ﺘﻁﻠﻕ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ‪ ،v0‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(2-3‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻁﻴﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻓﺘﺭﺘﻔﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺜﻡ ﺘﻌﻭﺩ ﻟﻸﺭﺽ‪.‬‬

‫ﻓﻠﻭ ﺘﺎﺒﻌﻨﺎ ﻅل ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺨﻼل ﻁﻴﺭﺍﻨﻬﺎ ﻟﺭﺃﻴﻨﺎ ﺒﻘﻌﺔ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻤﻭﻀﻌﻬﺎ‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻤﺭﺍﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻤﺒﺘﻌﺩﺍ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ‪ .‬ﺇﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻅل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺘﻤﺜل‬

‫ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ‪ .‬ﻭﺘﺩل ‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ‬

‫‪y‬‬

‫)‪ (8-3‬ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻅل ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﺒﻌﺩ ﺯﻤﻥ‬

‫‪ t‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺩل ‪ vx‬ﻋﻠﻰ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻭ ‪ ax‬ﻋﻠﻰ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ‪.‬‬

‫ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﻜﻭﻥ ‪ ax=0‬ﺃﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻅل ﻋﻠﻰ‬

‫ﺍﻷﺭﺽ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭﺃﻨﻪ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺒﺩﺃ ﺒﻬﺎ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺭﻤﺯﻨﺎ‬

‫‪x‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(2-3‬‬

‫‪69‬‬


‫‪ 3-3‬ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ‬

‫ﻟﻬﺎ ﺒـ ‪ .vox‬ﺃﻤﺎ ﻟﻭ ﺘﺎﺒﻌﻨﺎ ﻅل ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﺌﻁ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ‪ oy‬ﻟﺭﺃﻴﻨﺎ ﺃﻴﻀﺎ ﺒﻘﻌﺔ‬ ‫ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺘﺯﺍﻴﺩ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ﻤﺒﺩﺌﻴﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻴﺒﻠﻎ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻅﻤﻰ ﺜﻡ ﻴﻌﻭﺩ ﺃﺩﺭﺍﺠﻪ‬

‫ﻟﻸﺴﻔل‪ .‬ﻭﻟﻭ ﺃﻤﻜﻥ ﻟﻠﻤﻘﺫﻭﻑ ﺃﻥ ﻴﻨﺯل ﺘﺤﺕ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻟﺘﺎﺒﻊ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻅل ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﻟﻸﺴﻔل‪ .‬ﺇﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻅل ﻫﻭ ﻤﺎﺭﻤﺯﻨﺎ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺼﺎﺩﻴﺔ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻌﻪ‪ ،‬ﺃﻱ ‪،y‬‬

‫ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ )‪ (5-3‬ﻭ)‪ (6-3‬ﺃﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻅل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪) –g‬ﺒﻔﺭﺽ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ‬ ‫ﻟﻸﻋﻠﻰ( ﻭﺃﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ ‪ vy‬ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻤﻊ ﻤﺭﻭﺭ‬

‫ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺯﺩﺍﺩ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻪ ﻟﻔﺘﺭﺓ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺜﻡ ﻴﺘﻨﺎﻗﺹ‬

‫‪Q‬‬

‫‪vQ‬‬

‫ﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ ﺃﺒﺩﺍ‪ .‬ﻭﺒﺎﻟﻁﺒﻊ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻻﺘﺘﺤﺭﻙ‬

‫‪v0‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪v0y‬‬

‫ﺃﻓﻘﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﻻ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﺒل ﺘﻁﻴﺭ‬

‫‪vx‬‬

‫‪B‬‬

‫‪R‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪vy θ‬‬

‫ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﺒﺸﻜل ﺤﺭ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(2-3‬ﻭﺘﻜﻭﻥ‬

‫‪x‬‬

‫ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺴﺭﻋﺘﻲ ﺍﻟﻅﻠﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﻴﻥ‬

‫‪ymax‬‬

‫‪θ0‬‬

‫‪v0x‬‬

‫‪A‬‬

‫‪y0‬‬

‫‪vC‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(3-3‬‬

‫ﻭﻤﻭﻀﻌﻬﺎ ﻤﺤﺩﺩ ﻤﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﻭﻀﻌﻴﻬﻤﺎ ﻜﺫﻟﻙ‪.‬‬

‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ‪ v0x‬ﻭ‪ v0y‬ﻟﺤﻅﺔ ﺇﻁﻼﻕ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(3-3‬ﻓﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪⎧⎪v 0 x = v 0 cos θ 0‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪⎩v 0y = v 0 sin θ 0‬‬

‫)‪(8-3‬‬

‫ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻨﺠﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻟﺤﻅﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪⎧v = v 2 + v 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫⎪⎪‬ ‫⎨‬ ‫‪vy‬‬ ‫= ‪⎪tan θ‬‬ ‫⎩⎪‬ ‫‪vx‬‬

‫)‪(9-3‬‬

‫ﻭﻋﺎﺩﺓ ﻤﺎﻨﺤﺘﺎﺝ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺘﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﺫﻟﻙ ﻭﻤﺩﺍﻫﺎ‪ .‬ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻨﺤﺴﺏ‬ ‫ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﺘﺼل ﻷﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺃﻭﻻ ﺒﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ ‪ vy‬ﺘﺼﻴﺭ ﺼﻔﺭ ﻫﻨﺎﻙ‪.‬‬ ‫ﻟﺫﺍ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪:(6-3‬‬

‫‪v y = −gt max + v oy = 0‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪v o sin θ‬‬ ‫‪g‬‬

‫‪70‬‬

‫=‬

‫‪v oy‬‬ ‫‪g‬‬

‫= ‪t max‬‬

‫)‪(10-3‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ‪ tmax‬ﻓﻲ )‪:(7-3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y max = − 12 gt max‬‬ ‫‪+ v 0y t max + y 0‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪v 02 sin 2 θ 0‬‬ ‫‪+ y0‬‬ ‫‪2g‬‬

‫= ‪+ y0‬‬

‫‪v 02y‬‬ ‫‪2g‬‬

‫= ‪y max‬‬

‫)‪(11-3‬‬

‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ‪:‬‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺘﺴﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﻏﻴﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﺨﻼل ﻁﻴﺭﺍﻨﻬﺎ ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺠﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺒﺎﺨﺘﺼﺎﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ )‪ (7-3‬ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪)x 2 + (tan θ 0 )x + y 0‬‬

‫‪g‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪cos θ 0‬‬

‫‪2v 02‬‬

‫(‪y = −‬‬

‫)‪(12-3‬‬

‫ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺸﺎﺒﻬﺔ ﻟـ ‪ y = ax 2 + bx + c‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻗﻁﻌﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ ﻤﺘﻘﻌﺭﺍ ﻨﺤﻭ ﺍﻷﺴﻔل ﺘﻘﻊ‬ ‫ﺫﺭﻭﺘﻪ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ Q‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (3-3‬ﻭﻴﻌﻁﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪.(11-3‬‬ ‫ﻤﺩﻯ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ )‪:(range‬‬

‫ﻨﻌﺭﻑ ﻤﺩﻯ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﻟﺘﻌﻭﺩ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ‪ .‬ﻓﻔﻲ ﺍﻟﺸﻜل‬

‫)‪ (3-3‬ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﺩﻯ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ‪ AB‬ﻭﻋﻨﺩﻫﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ ،y=y0‬ﻓﻨﺠﺩ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ )‪:(12-3‬‬ ‫‪2v 02 sin θ 0 cos θ 0 v 02 sin 2θ 0‬‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬

‫=‬

‫‪2v 0 x v 0y‬‬ ‫‪g‬‬

‫=‪R‬‬

‫)‪(13-3‬‬

‫ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻤﺎ ﺘﻘﺩﻡ ﺃﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺨﺼﺎﺌﺹ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻑ‪ ،‬ﻜﺸﻜل ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻴﻪ ﻭﺃﻋﻠﻰ‬

‫ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻴﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﻭﻤﺩﺍﻩ‪ ،‬ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺠﻤﻴﻌﻬﺎ ﻤﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ )ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ( ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻁﻠﻕ ﺒﻬﺎ‬ ‫ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﻜﺎﻥ ﺍﻹﻁﻼﻕ‪ .‬ﻭﺘﻭﻀﺢ ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪2-3‬‬

‫ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﻋﻥ ﺴﻁﺢ ﻁﺎﻭﻟﺔ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ‪ 1 m‬ﻓﺘﺴﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ‪ 1.5 m‬ﻤﻥ ﺤﺎﻓﺘﻬﺎ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل‬

‫)‪) .(4-3‬ﺃ( ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ؟ ﻭﺯﻤﻥ ﻁﻴﺭﺍﻨﻬﺎ؟ )ﺏ( ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻟﺤﻅﺔ‬ ‫ﻭﺼﻭﻟﻬﺎ ﻟﻸﺭﺽ؟‬

‫‪71‬‬


‫‪ 3-3‬ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :���ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻔﻴﺩ ﻋﻨﺩ ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ ﺃﻥ ﻨﺤﺩﺩ ﻓﻲ ﻜل ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﺭﺱ‬ ‫ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻑ )ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ(‪ .‬ﻓﻨﻔﺘﺭﺽ ﻫﻨﺎ ﺃﻨﻪ ﻴﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺘﺤﺕ ﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﺇﻨﻁﻼﻕ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺎﻭﻟﺔ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ‪(4-‬‬

‫‪v0=vx‬‬

‫)‪ ،3‬ﻓﻴﻜﻭﻥ ‪ x0=0‬ﻭ‪ .y0=1 m‬ﻭﺯﺍﻭﻴﺔ ﺇﻁﻼﻕ ﺍﻟﻜﺭﺓ ‪θ0=0‬‬

‫ﻭﺘﺼﻴﺭ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ‪ v 0 x = v 0‬ﻭ ‪. v 0y = 0‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪y0=1 m‬‬

‫)ﺃ( ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻁﻴﺭ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻋﻥ ﺍﻟﻁﺎﻭﻟﺔ ﻭﺘﺴﻘﻁ‬

‫‪vx‬‬

‫ﻟﻸﺭﺽ ﻴﺼﻴﺭ ﺒﻌﺩﻫﺎ ﺍﻷﻓﻘﻲ ‪ x=1.5 m‬ﻭﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻲ‬

‫‪vC‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪θ‬‬

‫‪vy‬‬

‫‪ .y=0‬ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ )‪ (7-2‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬

‫‪x=1.5 m‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(4-3‬‬

‫‪x = v 0x t + x 0 = v 0t‬‬

‫ﻭ‬ ‫‪y = − gt + v 0y t + y0 = − gt + 1 = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﻫﺎﺘﻴﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪ t=0.45 s‬ﻭ ‪v0=3.3 m/s‬‬ ‫)ﺏ( ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﺼﻁﺩﺍﻤﻬﺎ ﺒﺎﻷﺭﺽ ﻨﻌﻭﺽ ﺍﻟﺯﻤﻥ ‪ t‬ﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ )‪(6-3‬‬

‫ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪v x = v 0 x = 3.3 m/s‬‬

‫ﻭ‬ ‫‪v y = −gt + v 0y = −4.4 m/s‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫‪v = v x i + v y j = 3.3i − 4.4 j m/s‬‬

‫ﻓﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻫﻲ‬ ‫‪v = v x2 + v y2 = 5.5 m/s‬‬

‫ﻭﻨﺠﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻋﻨﺩ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪ ،‬ﻓﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪− 4.4‬‬ ‫‪= −1.3 ⇒ θ = −53°‬‬ ‫‪3.3‬‬

‫‪72‬‬

‫=‬

‫‪vy‬‬ ‫‪vx‬‬

‫= ‪tan θ‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫ﻤﺜل ‪3-3‬‬

‫ﺘﻁﻠﻕ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻤﻥ ﺫﺭﻭﺓ ﻫﻀﺒﺔ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ‪ 300 m‬ﺒﺴﺭﻋﺔ‬

‫‪y‬‬

‫‪v0‬‬

‫ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ‪ 20 m/s‬ﻭﺘﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 30°‬ﻤﻊ ﺍﻷﻓﻕ‪ .‬ﺠﺩ‪:‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻭﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺘﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﻭﻤﺩﺍﻫﺎ‬

‫‪B‬‬

‫‪θ0‬‬

‫‪R‬‬

‫ﻭﻤﻭﻀﻊ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻬﺎ ﺒﺎﻟﺴﻬل‪.‬‬

‫‪ymax‬‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪،(5-3‬‬

‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y0‬‬

‫‪C‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(5-3‬‬

‫‪x 0 = 0, y0 = 300 m, v 0 = 20 m/s , θ 0 = 30°‬‬

‫ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪9.8‬‬ ‫‪)x 2 + (tan 30°)x + 300 = −0.016x 2 + 0.58x + 300‬‬ ‫‪2(20) cos 2 30°‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‪y = −‬‬

‫ﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺘﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (11-3‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪v 02 sin2 θ 0‬‬ ‫‪+ y0 = 305.1 m‬‬ ‫‪2g‬‬

‫= ‪+ y0‬‬

‫‪v 02y‬‬ ‫‪2g‬‬

‫= ‪y max‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻨﺠﺩ ﻤﺩﻯ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺒﻭﻀﻊ ‪ y=y0‬ﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ‪:‬‬ ‫‪x B = R = 36.2 m‬‬

‫⇒‬

‫‪300 = −0.016x B2 + 0.58 x B + 300‬‬

‫ﻭﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻬﺎ ﺒﺎﻟﺴﻬل ﺒﻭﻀﻊ ‪ y=0‬ﻓﻲ )‪:(12-3‬‬ ‫‪x = 156.2 m‬‬

‫⇒‬

‫‪y = −0.016x 2 + 0.58 x + 300 = 0‬‬

‫ﻤﺜل ‪4-3‬‬

‫ﺘﻁﻠﻕ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 60°‬ﻓﻭﻕ ﺍﻷﻓﻕ‬

‫‪y‬‬

‫ﻓﺘﺼﻴﺏ ﺤﺎﺌﻁﺎ ﻴﺒﻌﺩ ‪ 30 m‬ﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪ ، 15 m‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ‬

‫‪30 m‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪) .(6-3‬ﺃ( ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻭﻤﺎﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺘﺼل‬

‫‪15 m‬‬

‫ﺇﻟﻴﻪ ﻭﻤﺎﻤﺩﺍﻫﺎ؟‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﻀﻊ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﻋﻨﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ‬ ‫ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ‪ ، x 0 = y 0 = 0‬ﻜﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ‬

‫‪x‬‬

‫‪v0‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪R‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(6-3‬‬ ‫‪73‬‬


‫‪ 4-3‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ‬

‫ﻋﻨﺩ ﺍﺼﻁﺩﺍﻤﻬﺎ ﺒﺎﻟﺤﺎﺌﻁ ﻫﻲ ‪ ، x 0 = 30 m, y = 15 m‬ﻟﺫﺍ ﻨﻌﻭﺽ ﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪)(30 )2 + (tan 60°)(30 ) + 0‬‬

‫‪9.8‬‬ ‫‪cos 2 60°‬‬

‫‪2v 02‬‬

‫(‪15 = −‬‬

‫ﻭﺒﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻨﺠﺩ ‪.v0=21.8 m/s‬‬

‫ﺃﻤﺎ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻓﻨﺠﺩﻩ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (11-3‬ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪v 02 sin2 θ0‬‬ ‫‪= 18.3 m‬‬ ‫‪2g‬‬

‫= ‪+ y0‬‬

‫‪v 02y‬‬ ‫‪2g‬‬

‫= ‪y max‬‬

‫‪ 4-3‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ )‪(Uniform Circular Motion‬‬ ‫ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ‪ ،‬ﻜﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ‪ ،‬ﺃﻭ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ ﺤﻭل ﺍﻟﺒﺭﻭﺘﻭﻥ ﻓﻲ‬

‫ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻷﻭﻟﻲ ﻟﻠﺫﺭﺓ‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ ﺍﻟﻤﻬﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‪ ،‬ﺤﻴﺙ ﺘﺒﻘﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ‬ ‫ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺇﻻ ﺃﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺒﺎﺴﺘﻤﺭﺍﺭ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻷﺨﺭﻯ ﻤﻊ ﺒﻘﺎﺀ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺩﻭﺍﺭ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬

‫ﺩﺍﺌﻤﺎ ﺭﺍﺴﻤﺎ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﺍﻷﺭﺽ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻘﻤﺭ‪ ،‬ﺃﻭ ﺍﻟﺒﺭﻭﺘﻭﻥ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺫﺭﺓ ﺍﻟﻬﻴﺩﺭﻭﺠﻴﻥ‪ .‬ﻭﺒﻤﺎ‬ ‫ﺃﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺴﺭﻋﺔ ﺠﺴﻡ ﻴﺩﻭﺭ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﻟﺫﺍ ﻓﺈﻥ ﻟﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﺠﺩ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪ (7-3‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﺜل ﺠﺴﻤﺎ ﻴﺩﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ r‬ﻭﻗﻴﻤﺔ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﻠﺤﻅﻴﺔ ﻋﻨﺩ ﺃﻱ‬ ‫ﻤﻭﻀﻊ ﻫﻲ ‪ ،v‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪. v1 = v 2 = v‬‬ ‫‪b v1‬‬

‫‪v1‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪v2‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪∆v‬‬

‫‪B‬‬

‫‪c v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(7-3‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻨﻪ ﻴﺴﺘﻐﺭﻕ ﺯﻤﻨﺎ ‪ ∆t‬ﻟﻼﻨﺘﻘﺎل ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ‬ ‫ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪∆v v 2 − v1‬‬ ‫=‬ ‫‪∆t‬‬ ‫‪∆t‬‬

‫= ‪aav‬‬

‫ﻭﻴﺘﻀﺢ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺃﻥ ‪ a‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ‪ ∆v‬ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (7-3‬ﺃﻨﻪ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺩﻭﺭ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ‪ A‬ﻗﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ‪ .B‬ﺃﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻓﺘﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل‬ ‫‪74‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ‪ ∆v/∆t‬ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (7-3‬ﺃﻥ ﺍﻟﺨﻁ ‪ AB‬ﻴﻤﺜل ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ‪ ،∆s‬ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ac‬‬

‫ﻴﻭﺍﺯﻱ ﻭﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ .v2‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺨﻁ ‪ bc‬ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻠﻔﺭﻕ ‪ .∆v‬ﻓﺈﺫﺍ ﺍﺴﺘﻔﺩﻨﺎ ﻤﻥ ﺘﺸﺎﺒﻪ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻥ‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪ OAB‬ﻭ‪ ،abc‬ﻷﻥ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ﻭﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺭﺃﺱ ‪ AOB‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ bac‬ﺒﺎﻟﺘﻌﺎﻤﺩ‪،‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﻨﺴﺏ ﺍﻟﺘﺸﺎﺒﻪ‪:‬‬

‫‪∆s r‬‬ ‫=‬ ‫‪∆v v‬‬

‫‪OA‬‬

‫⇒‬

‫‪ac‬‬

‫=‬

‫‪AB‬‬ ‫‪bc‬‬

‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪∆v‬‬ ‫‪∆s r‬‬ ‫) () ( =‬ ‫‪∆t‬‬ ‫‪∆t v‬‬

‫= ‪aav‬‬

‫ﻓﺈﺫﺍ ﺼﺎﺭﺕ ‪ A‬ﻗﺭﻴﺒﺔ ﺠﺩﺍ ﻤﻥ ‪ B‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ ‪ ∆t‬ﺼﻐﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ‪ ∆v/∆t‬ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ‪ a‬ﻜﻤﺎ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ‪ ∆s/∆t‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻠﺤﻅﻴﺔ ‪ v‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ‬ ‫‪v2‬‬ ‫‪r‬‬

‫= ‪ac‬‬

‫)‪(14-3‬‬

‫ﻓﻠﻜل ﺠﺴﻡ ﻴﺩﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪ r‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ‪ v‬ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯﻱ ﻗﻴﻤﺘﻪ‬

‫‪v 2 /r‬‬

‫ﻭﻴﺘﺠﻪ ﻨﺤﻭ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ‪ .‬ﻭﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺇﺫ ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺠﺴﻤﺎ ﻜﻬﺫﺍ‬ ‫ﻻﻴﺨﻀﻊ ﻟﻘﻭﺓ ﻁﺎﺭﺩﺓ ﺒﻌﻴﺩﺓ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﺸﺎﺌﻊ‪ ،‬ﺒل ﻟﻘﻭﺓ ﺠﺎﺫﺒﺔ ﻨﺤﻭﻩ ﻜﻤﺎ ﺴﻨﺭﻯ ﻻﺤﻘﺎ‪.‬‬

‫ﻭﺘﺘﻤﻴﺯ ﻜل ﺤﺭﻜﺔ ﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﻟﻠﻘﻴﺎﻡ ﺒﺩﻭﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻜﺎﻤﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻴﺴﻤﻰ‬ ‫ﺍﻟﺩﻭﺭ )‪ (period‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻟﻪ ‪ ،T‬ﻭﻴﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ ‪ 2πr‬ﻋﻠﻰ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ‬

‫‪ ،v‬ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪2π r‬‬ ‫‪v‬‬

‫= ‪T‬‬

‫)‪(15-3‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻴﺴﻤﻰ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺩﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺭﺩﺩ )‪ (frequency‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻟﻪ ‪.f‬‬

‫ﻭﻴﺭﺘﺒﻁ ﺍﻟﺘﺭﺩﺩ ﺒﺩﻭﺭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁﺔ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪v‬‬ ‫=‬ ‫‪T 2π r‬‬

‫= ‪f‬‬

‫)‪(16-3‬‬

‫ﻭﺘﻌﻁﻰ ﻭﺤﺩﺘﻪ ﺒـ ‪ 1/s‬ﺃﻭ ﻫﺭﺘﺯ )‪ ،(Hz‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪.1 Hz=1 s−1‬‬ ‫‪75‬‬


‫‪ 4-3‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ‬

‫ﻭﺘﺘﻤﻴﺯ ﻜل ﺤﺭﻜﺔ ﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ )‪ (angular velocity‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺩل ﻋﻠﻰ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺩﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺍﻟﺯﻤﻥ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻨﻪ ﺩﺍﺭ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ ∆θ‬ﺨﻼل ﺯﻤﻥ ‪ ∆t‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻌﺭﻑ‬ ‫ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬

‫‪∆θ‬‬ ‫‪∆t‬‬

‫=‪ω‬‬

‫)‪(17-3‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﺘﻘﺩﺭ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺒﺎﻟﺭﺍﺩﻴﺎﻥ ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ .‬ﻭﻟﺫﺍ ﺘﻘﺩﺭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒـ ‪ .rad/s‬ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺃﺤﻴﺎﻨﺎ‬ ‫ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻌﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺩﻭﺭﻫﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﺯﻤﻥ ﻤﻌﻴﻥ‪ ،‬ﻤﺜل ‪ ،rev/min‬ﺤﻴﺙ‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﻭﻴل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻟﺭﺍﺩﻴﺎﻥ ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺒﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﻭﺭﺓ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ )‪ (rev‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 2π‬ﺭﺍﺩﻴﺎﻥ‪،‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺩﻗﻴﻘﺔ )‪ (min‬ﺘﻌﺎﺩل ‪ 60‬ﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﺃﻱ ﻨﻜﺘﺏ‪ ،rev/min=2π /60 rad/s :‬ﻭﻫﻜﺫﺍ‪.‬‬

‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ ω‬ﻟﺠﺴﻡ ﻴﺩﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻭﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ‬ ‫‪ v‬ﺇﺫﺍ ﻻﺤﻅﻨﺎ ﺃﻥ ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻭﺭﻩ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺨﻼل ﺯﻤﻥ ‪ ∆t‬ﻴﺴﺎﻭﻱ‬ ‫‪ ، ∆s = r∆θ‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪،(8-3‬ﻭﺒﻘﻤﺴﺔ ﻁﺭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﻭﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ‪ v = ∆s / ∆t‬ﻭ‬

‫‪ω = ∆θ / ∆ t‬‬

‫ﻨﺠﺩ‪:‬‬

‫‪∆t‬‬

‫‪∆s‬‬

‫‪r‬‬

‫‪∆θ‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(8-3‬‬

‫‪v = rω‬‬

‫)‪(18-3‬‬

‫ﻤﺜل ‪5-3‬‬

‫ﻴﺩﻭﺭ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎ ﻤﺭﺓ ﻜل ‪ 29.5‬ﻴﻭﻤﺎ‪ .‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻭﺘﺴﺎﺭﻋﻪ‬

‫ﻤﻊ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ ﻫﻲ ‪ 385,000‬ﻜﻡ؟‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻓﻲ ﺩﻭﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪:‬‬

‫‪s = 2π R = 2π (385 × 106 ) = 2.4 × 109 m‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺯﻤﻥ ﺩﻭﺭﺓ ﻜﺎﻤﻠﺔ ﻟﻠﻘﻤﺭ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪T = 29.5 × 24 × 3600 = 2.5 × 106 s‬‬

‫ﻓﺘﺼﻴﺭ ﺴﺭﻋﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻘﻤﺭ‪:‬‬ ‫‪s 2.4 × 10‬‬ ‫=‬ ‫‪= 9.6 × 102 m/s‬‬ ‫‪T 2.5 × 106‬‬ ‫‪9‬‬

‫=‪v‬‬

‫ﻭﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ‪:‬‬ ‫‪v 2 (9.6 × 102 )2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 2.4 × 10−3 m/s2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪385 × 106‬‬

‫‪76‬‬

‫=‪a‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫ﻭﻴﺠﺩﺭ ﺍﻟﺘﻨﻭﻴﻪ ﺇﻟﻰ ﺃﻨﻪ ﻟﻭ ﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﻏﻴﺭ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻟﻜﺎﻥ ﻟﻪ‬ ‫ﺘﺴﺎﺭﻋﻴﻥ‪ :‬ﺍﻷﻭل ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﻴﻐﻴﺭ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﻓﻘﻁ ﻨﺴﻤﻴﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ‬

‫‪at‬‬

‫ﻤﻤﺎﺴﻲ )‪ (tangential acceleration‬ﻭﻴﻌﻁﻰ ﺒـ ‪ ،at=dv/dt‬ﻭﺍﻵﺨﺭ‬

‫‪aT‬‬

‫ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻟﻜﻥ ﻴﻐﻴﺭ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻭﻨﺴﻤﻴﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯﻱ‬

‫‪ac‬‬

‫)‪ (central acceleration‬ﻭﻗﻴﻤﺘﻪ ‪ ، ac = v 2 /r‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪.(9-3‬‬

‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻋﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ ﻟﺫﺍ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(9-3‬‬

‫ﻤﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬

‫‪aT = a t + ac‬‬

‫)‪(19-3‬‬

‫ﻭﻗﻴﻤﺘﻪ‪:‬‬ ‫‪a T = a t2 + a c2‬‬

‫)‪(20-3‬‬

‫‪ 5-3‬ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ )‪(Relative Velocity‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻨﻙ ﺘﺠﻠﺱ ﻓﻲ ﻗﻁﺎﺭ ﻴﺴﻴﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ‪ 5 m/s‬ﻭﺃﻥ‬ ‫ﻫﻨﺎﻙ ﺸﺨﺹ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 3 m/s‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬

‫‪M‬‬

‫ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﻴﺴﻴﺭ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ‬ ‫ﻟﻜﺎﻨﺕ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻭﺩﻉ )ﺍﻷﺭﺽ( ﻫﻲ ‪،5+3=8 m/s‬‬

‫ﺃﻤﺎ ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ﻴﺴﻴﺭ ﺒﻌﻜﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ ﻷﺼﺒﺤﺕ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻟﻸﺭﺽ ‪ .5+(−3)=2 m/s‬ﻓﺴﺭﻋﺔ ﺠﺴﻡ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻟﺔ‬

‫ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺩﺩﻫﺎ‪.‬‬

‫‪vPM‬‬

‫‪vMO‬‬

‫ﻟﻙ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(10-3‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﺘﺴﺎﺀل ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻫﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﻭﺩﻉ ﻴﻘﻑ ﻋﻠﻰ ﺭﺼﻴﻑ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ؟ ﻤﻥ‬

‫‪P‬‬

‫‪O‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(10-3‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪rpM‬‬

‫‪rMO‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪rpO‬‬

‫‪O‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(11-3‬‬

‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺴﺭﻋﺔ ﺠﺴﻡ ‪ P‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ‪ M‬ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺩﻭﺭﻩ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺃﻭ ﺴﺎﻜﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﻨﺎﻁ ﺇﺴﻨﺎﺩ ﺴﺎﻜﻥ ‪ ،O‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(11-3‬ﻓﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪rPO = rPM + rMO‬‬

‫)‪(21-3‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ rPO‬ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ‪ P‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ O‬ﻭ‪ rMO‬ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ‪ M‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ O‬ﻭ‪ rPM‬ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ‬ ‫‪ P‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ .M‬ﻭﺒﺎﺸﺘﻘﺎﻕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪v PO = v PM + v MO‬‬

‫)‪(22-3‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ vPO‬ﻭ ‪ vMO‬ﺴﺭﻋﺔ ‪ P‬ﻭ ‪ M‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ O‬ﻭ ‪ vPM‬ﺴﺭﻋﺔ ‪ P‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪. M‬‬ ‫‪77‬‬


‫‪ 5-3‬ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬

‫ﻤﺜل ‪6-3‬‬

‫ﺘﻁﻴﺭ ﻁﺎﺌﺭﺓ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 200 km/h‬ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺸﻤﺎل ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻬﺏ ﺭﻴﺎﺡ ﻗﻭﻴﺔ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺸﺭﻕ‪.‬‬

‫ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺼﻴﺭ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ؟‬

‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (12-3‬ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺭﻴﺢ ﻫﻲ‬

‫‪vPE‬‬

‫‪vPW‬‬

‫)‪ ،vPW=200 j (km/h‬ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺭﻴﺢ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ ‪vWE=100‬‬

‫)‪ ،i (km/h‬ﺤﻴﺙ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻟﻠﺸﺭﻕ ﻭﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻟﻠﺸﻤﺎل‪.‬‬ ‫ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺼﻴﺭ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ ﻫﻲ‪:‬‬

‫‪vWE‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(12-3‬‬

‫‪v PE = v PW + vWE = 100i + 200 j km/h‬‬

‫ﻓﻘﻴﻤﺔ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﻫﻲ‬ ‫‪v PE = (100)2 + (200)2 = 223 km/h‬‬

‫ﻭﺒﺯﺍﻭﻴﺔ‬ ‫‪200‬‬ ‫‪⇒ θ = 63°‬‬ ‫‪100‬‬

‫= ‪tan θ‬‬

‫ﻤﻥ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻹﺴﻼﻡ‬ ‫ﺃﺒﻭ ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺤﺴﻴﻥ ﺒﻥ ﻋﺒﺩﺍﷲ ﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ )ﻭﻟﺩ ﻓﻲ ﺃﻓﺸﻨﺔ‪ ،‬ﻗﺭﺏ ﺒﺨﺎﺭﻯ ﺴﻨﺔ ‪980‬‬

‫ﻡ ﻭﺘﻭﻓﻲ ﺴﻨﺔ ‪ 1036‬ﻡ(‪ .‬ﺃﺘﻡ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻘﺭﺁﻥ ﻓﻲ ﺴﻥ ﺍﻟﻌﺎﺸﺭﺓ ﻭﺩﺭﺱ ﻜﺜﻴﺭﺍ ﻤﻥ‬

‫ﻜﺘﺏ ﺍﻷﺩﺏ‪ .‬ﻜﺎﻥ ﺃﺒﻭﻩ ﺒﻘﺎﻻ‪ ،‬ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻜﺎﻥ ﻋﻠﻴﻤﺎ ﺒﺎﻟﺤﺴﺎﺏ ﻓﺄﺭﺴﻠﻪ ﺇﻟﻰ ﺭﺠل‬

‫ﻴﻌﻠﻤﻪ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﻭﺩﺭﺱ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻌﻘﻠﻴﺔ ﻭﺍﻟﺸﺭﻋﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺃﻨﻬﻰ ﺘﺤﺼﻴل ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﻓﻲ ﻋﺼﺭﻩ ﻭﻫﻭ ﻓﻲ ﺴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺩﺴﺔ ﻋﺸﺭﺓ ﻭﺃﺼﺒﺢ ﺤﺠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺏ‬

‫ﻭﺍﻟﻔﻠﻙ ﻭﺍﻟﺭﻴﺎﻀﺔ ﻭﺍﻟﻔﻠﺴﻔﺔ‪ ،‬ﻭﻟﻡ ﻴﺒﻠﻎ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﻥ ﻋﺎﻤﺎ‪ .‬ﺜﻡ ﺩﺭﺱ ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ ﺍﻟﻔﻘﻪ‬

‫ﻭﻁﺭﻕ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻭﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭﺓ‪ ،‬ﻭﻅل ﻴﺘﻨﻘل ﺒﻴﻥ ﻗﺼﻭﺭ ﺍﻷﻤﺭﺍﺀ ﻴﺸﺘﻐل ﺒﺎﻟﺘﻌﻠﻴﻡ‬

‫ﻭﺍﻟﺴﻴﺎﺴﺔ ﻭﺘﺩﺒﻴﺭ ﺸﺅﻭﻥ ﺍﻟﺩﻭﻟﺔ‪ ،‬ﺤﺘﻰ ﺘﺠﺎﻭﺯﺕ ﻤﺼﻨﻔﺎﺘﻪ ﺍﻟﻤﺎﺌﺘﻴﻥ‪ ،‬ﺒﻴﻥ ﻜﺘﺏ‬

‫ﻭﺭﺴﺎﺌل ﺘﺩل ﻋﻠﻰ ﺴﻌﺔ ﺜﻘﺎﻓﺘﻪ ﻭﺒﺭﺍﻋﺘﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻔﻠﺴﻔﻴﺔ ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ‪ ،‬ﻤﻨﻬﺎ‬

‫)ﺍﻟﺸﻔﺎﺀ( ﻭ )ﺍﻟﻨﺠﺎﺓ( ﻭﻫﻭ ﻤﺨﺘﺼﺭ ﻟﻠﺸﻔﺎﺀ ﻭﺍﻹﺸﺎﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﺘﻨﺒﻴﻬﺎﺕ‪ .‬ﻅل ﺍﺒﻥ‬

‫ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ‬

‫‪78‬‬

‫ﺴﻴﻨﺎ ﻋﻤﺩﺓ ﺍﻷﻁﺒﺎﺀ ﻁﻴﻠﺔ ﺍﻟﻌﺼﻭﺭ ﺍﻟﻭﺴﻁﻰ ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻅل ﺃﻋﻅﻡ ﻋﺎﻟﻡ ﺒﺎﻟﻁﺏ ﻤﻨﺫ‬

‫‪ 1500 -1100‬ﻡ‪.‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫ﻤﻠﺨﺹ ﺍﻟﻔﺼل‬ ‫⎫‬ ‫⎪‬ ‫‪v x = v 0 x = v 0 cos θ 0‬‬ ‫⎪‬ ‫⎪‬ ‫⎬ ‪v y = −gt + v oy = −gt + v 0 sin θ 0‬‬ ‫⎪‬ ‫‪x = v0xt + x0‬‬ ‫⎪‬ ‫⎪‬ ‫‪y = − 12 gt 2 + v 0y t + y 0‬‬ ‫⎭‬ ‫‪v 02y‬‬ ‫‪v 2 sin2 θ 0‬‬ ‫‪+ y0 = 0‬‬ ‫‪+ y0‬‬ ‫= ‪y max‬‬ ‫‪2g‬‬ ‫‪2g‬‬ ‫‪ax = 0‬‬

‫ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ‬

‫ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻟﻠﻘﺫﻴﻔﺔ‬

‫‪a y = −g‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2v 0 xv 0y‬‬

‫ﻤﺩﻯ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ‬

‫‪2v 02 sin θ 0 cos θ 0‬‬ ‫‪g‬‬

‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ‬

‫‪g‬‬ ‫‪)x 2 + (tan θ 0 )x + y0‬‬ ‫‪2v 02 cos 2 θ 0‬‬

‫=‬

‫‪g‬‬

‫ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ‬

‫‪a = v 2 /r‬‬

‫ﺩﻭﺭ ﻭﺘﺭﺩﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ‬

‫‪1 2π r‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪v‬‬

‫ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫(‪y = −‬‬

‫= ‪T‬‬

‫‪ω = ∆ θ / ∆t‬‬

‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬

‫=‪R‬‬

‫‪v = rω‬‬

‫‪v PO = v PM + v MO‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل‬

‫‪ 1-3‬ﺘﺩﻭﺭ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻌﻁﻑ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 90°‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ‪ 25 m/s‬ﺨﻼل ‪ .6 s‬ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺨﻼل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ؟‬

‫‪ 2-3‬ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ‪ a = i − 4 j m/s 2‬ﻤﺎﺭﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ‪ r0=0‬ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ‬ ‫‪ t=0‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ . 3i + 2 j m/s‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺒﻌﺩ ‪2 s‬؟‬

‫‪ 3-3‬ﻴﻌﻁﻰ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ r = (6 + 2t 2 )i + (3 − 2t + 3t 2 ) j‬ﺤﻴﺙ ﺘﻘﺩﺭ ‪ r‬ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﻭ‪t‬‬

‫ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ .‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻠﺤﻅﻴﻴﻥ ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪t=2 s‬؟‬

‫‪ 4-3‬ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺒﻌﺩ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺘﺴﻴﺭ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ‪، r = (2t − 3t )i + (t − 2t + 1) j‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﺘﻘﺩﺭ ‪ r‬ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﻭ‪ t‬ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪) .‬ﺃ( ﻤﺎﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ‪t=1 s‬؟ )ﺏ( ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﺴﺭﻋﺔ‬

‫ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ‪t=0‬؟‬

‫‪79‬‬


‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل‬

‫‪ 5-3‬ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﻓﺘﺘﻐﻴﺭ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻤﻥ ‪ 3.6i − 2.9 j m/s‬ﺇﻟﻰ‬

‫‪5.6i + 7.1 j m/s‬‬

‫ﺨﻼل ﺃﺭﺒﻊ ﺜﻭﺍﻨﻲ‪ .‬ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻪ؟‬

‫‪ 6-3‬ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜﺭﺓ ﺘﺴﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺃﻓﻘﻲ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ v 0 = 6.3i − 8.4 j m/s‬ﻓﺘﺘﻭﻗﻑ ﺒﻌﺩ ﺜﻼﺙ‬ ‫ﺜﻭﺍﻨﻲ؟‬

‫‪ 7-3‬ﺘﺴﻴﺭ ﺴﻴﺎﺭﺓ ‪ A‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ ‪ y=3‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ‪ 3 m/s‬ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ‬

‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻭﻟﺤﻅﺔ ﻤﺭﻭﺭﻫﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ x=0‬ﺘﺒﺩﺃ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺸﺭﻁﺔ ‪ B‬ﺒﻤﻼﺤﻘﺘﻬﺎ ﻤﻨﻁﻠﻘﺔ ﻤﻥ‬

‫‪2‬‬

‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ O‬ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕ ‪ 4 m/s2‬ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻴﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ θ‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ ،ox‬ﻜﻤﺎ‬

‫‪a‬‬

‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(13-3‬ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ‪ θ‬ﻟﺘﻠﺤﻕ ‪ B‬ﺒـ ‪A‬؟‬

‫‪θ‬‬

‫‪ 8-3‬ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻌﻁﻰ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻪ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ ‪x=t2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل‪(13-‬‬

‫ﻭ‪) y=(t−1)2‬ﺃ( ﻤﺎﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺠﺴﻡ؟ )ﺏ( ﻤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺃﺼﻐﺭ‬ ‫ﻤﺎﻴﻤﻜﻥ؟ )ﺝ( ﻤﺎ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ‪ 5 m/s‬ﻭﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ‪t=1 s‬؟‬

‫‪ 9-3‬ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻌﻁﻰ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻪ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ ‪ x=Acosωt‬ﻭ ‪y=Asinωt‬‬

‫ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻟﺤﻅﺔ؟‬

‫‪ 10-3‬ﻴﻤﺭ ﺠﺴﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﺒﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ‪ t=0‬ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ‬

‫‪a = −i − 0.5 j m/s 2‬‬

‫ﻭﺴﺭﻋﺔ ‪ . v 0 = 3i m/s‬ﻤﺎﻤﺘﺠﻪ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻨﺩ ﺃﻗﺼﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﻟﻪ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﺃﻴﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻨﺩﺌﺫ؟‬ ‫ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ‬

‫‪ 11-3‬ﺘﻁﻠﻕ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻤﻥ ﺤﺎﻓﺔ ﺠﺒل ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻪ ‪ h‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ‪ 100 m/s‬ﻭﺘﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 30°‬ﻤﻊ‬ ‫ﺍﻷﻓﻕ‪ ،‬ﻓﺘﺴﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ‪ 1000 m‬ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻓﺔ‪ .‬ﻤﺎ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﺠﺒل ﻭﻤﺎﺯﻤﻥ ﻁﻴﺭﺍﻥ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ؟‬

‫‪ 12-3‬ﺘﻘﺫﻑ ﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪ 1 m‬ﻋﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ‪ 30 m/s‬ﻭﺘﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ‬ ‫‪ 37°‬ﻓﻭﻕ ﺍﻷﻓﻕ‪ .‬ﻤﺎ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺒﻌﺩﻫﺎ ﺍﻷﻓﻘﻲ ‪ x=20 m‬؟‬ ‫‪ 13-3‬ﻴﺴﻘﻁ ﺠﺴﻡ ﻤﻥ ﻁﺎﺌﺭﺓ ﺘﻁﻴﺭ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 500 km/h‬ﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪ .10 km‬ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻴﺼﻁﺩﻡ ﺒﺎﻷﺭﺽ ﻭﻤﺎ ﺯﻤﻥ ﻁﻴﺭﺍﻨﻪ؟‬

‫‪ 14-3‬ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﻁﺎﻭﻟﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ‪ 1 m‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ‪) .3 m/s‬ﺃ( ﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺘﺼﻁﺩﻡ ﺒﺎﻷﺭﺽ؟ ﻭﻤﺎﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺘﺠﻪ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﻋﻨﺩﺌﺫ؟‬

‫‪ 15-3‬ﻴﺭﻜل ﺤﺎﺭﺱ ﻤﺭﻤﻰ ﻜﺭﺓ ﻓﺘﺼل ﻟﻨﻘﻁﺔ ﺘﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ ‪ 46 m‬ﺨﻼل ‪ .4.5 s‬ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻋﻠﻤﺎ ﺒﺄﻥ ﻗﺩﻡ ﺍﻟﺤﺎﺭﺱ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﻟﺭﻜل ﻜﺎﻨﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪1 m‬؟‬

‫‪80‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫‪ 16-3‬ﻴﺭﻜل ﻻﻋﺏ ﻜﺭﺓ ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 60°‬ﻓﺘﺼل ﻟﻨﻘﻁﺔ ﺘﺒﻌﺩ ﻋﻨﻪ ‪ 60 m‬ﻭﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪ 10 m‬ﻋﻥ‬ ‫ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ‪ .‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ؟‬

‫‪ 17-3‬ﻴﺘﺒﺎﺭﺯ ﺸﺨﺼﺎﻥ ﺒﺎﻟﻤﺴﺩﺴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ‪ 50 m‬ﻤﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﻓﻴﻁﻠﻘﺎﻥ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ‪100 m/s‬‬

‫ﻟﻸﻭل ﻭ‪ 150 m/s‬ﻟﻠﺜﺎﻨﻲ‪ .‬ﻤﻥ ﺴﻴﺼﻴﺏ ﺍﻵﺨﺭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻓﻭﻫﺔ ﻜل ﻤﺴﺩﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪1 m‬؟‬

‫‪ 18-3‬ﻴﺭﻜل ﻻﻋﺏ ﻜﺭﺓ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 19.6 m/s‬ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ .45°‬ﺒﺄﻱ ﺴﺭﻋﺔ ﻴﺠﺏ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﺭﺱ ﻤﺭﻤﻰ‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻴﻕ ﺍﻟﺨﺼﻡ ﺃﻥ ﻴﺭﻜﺽ ﻟﻴﻠﺘﻘﻁ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻟﺤﻅﺔ ﻭﺼﻭﻟﻬﺎ ﻟﻸﺭﺽ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻴﺒﻌﺩ ‪ 55 m‬ﻋﻥ ﺍﻟﻼﻋﺏ؟‬

‫‪ 19-3‬ﻴﻘﺫﻑ ﺤﺠﺭ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻓﺘﺼﻴﺭ ﺴﺭﻋﺘﻪ ‪ 7.6i + 6.1 j m/s‬ﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪.9.1 m‬‬ ‫ﻤﺎ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻴﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﻭﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﻭﻤﺎﺴﺭﻋﺘﻪ ﻟﺤﻅﺔ ﻭﺼﻭﻟﻪ ﻟﻸﺭﺽ؟‬ ‫‪ 20-3‬ﻋﻨﺩ ﺃﻱ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺇﻁﻼﻕ ﻴﺼﻴﺭ ﻤﺩﻯ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺘﺼل ﺇﻟﻴﻪ؟‬

‫‪ 21-3‬ﻜﻴﻑ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻤﺩﻯ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻭﺯﻤﻥ ﻁﻴﺭﺍﻨﻬﺎ ﺇﺫﺍ ﺃﻁﻠﻘﺕ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺍﻷﺭﺽ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻫﻨﺎﻙ ﺘﻌﺎﺩل ‪ 1/6‬ﻤﻥ ﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﺽ؟‬

‫‪ 22-3‬ﻴﻘﺫﻑ ﺤﺠﺭ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﻤﻥ ﺠﺴﺭ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻪ ‪ 40 m‬ﻓﻭﻕ ﺍﻟﻤﺎﺀ‪) .‬ﺃ( ﻤﺎﺯﻤﻥ‬ ‫ﻁﻴﺭﺍﻨﻪ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺤﺘﻰ ﻴﺼﻨﻊ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻭﺍﺼل‬

‫ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻭﻨﻘﻁﺔ ﺍﻻﺭﺘﻁﺎﻡ ﺒﺎﻟﻤﺎﺀ ‪ ،45°‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪(14-3‬؟ )ﺝ(‬

‫ﻤﺎ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺤﺠﺭ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻪ ﺒﺎﻟﻤﺎﺀ؟‬

‫‪v0‬‬ ‫‪45°‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(14-3‬‬

‫‪ 23-3‬ﻴﻁﻠﻕ ﻤﺩﻓﻊ ﻤﻀﺎﺩ ﻟﻠﻁﺎﺌﺭﺍﺕ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻁﺎﺌﺭﺓ ﻓﻭﻗﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪ .h‬ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ ﻟﺘﺼﻴﺏ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻟﻠﻘﺫﻴﻔﺔ؟‬

‫‪ 24-3‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻨﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﺩﻯ ﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻋﻨﺩ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺇﻁﻼﻕ‬ ‫‪ 45°‬ﻟﻨﻔﺱ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ‪.‬‬

‫‪ 25-3‬ﺘﻁﻠﻕ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ‪ v0‬ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻫﺩﻑ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻨﻬﺎ ﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫‪) R‬ﻤﺩﻯ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ(‪ .‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺯﺍﻭﻴﺘﻲ ﺇﻁﻼﻕ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻤﻬﻤﺎ‬ ‫ﻹﺼﺎﺒﺔ ﺍﻟﻬﺩﻑ‪.‬‬

‫‪ 26-3‬ﺘﻁﻠﻕ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻤﻥ ﺒﻌﺩ ‪ 250 m‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ‪ 100 m/s‬ﺘﺼﻨﻊ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 30°‬ﻤﻊ ﺍﻷﻓﻕ‬ ‫ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺒﻨﺎﺀ ﻤﺭﺘﻔﻊ ﻓﻴﺭﻯ ﺫﻟﻙ ﺸﺨﺹ ﻴﻘﻑ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﺒﻨﺎﺀ ﻭﻴﻠﻘﻲ ﺒﻨﻔﺴﻪ ﺨﻭﻓﺎ ﺒﻌﺩ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﺇﻁﻼﻕ‬

‫ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﻭﻴﺴﻘﻁ ﺴﻘﻭﻁﺎ ﺤﺭﺍ ﻓﺘﺼﻴﺒﻪ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺍﺜﻨﺎﺀ ﺴﻘﻭﻁﻪ‪ .‬ﻤﺎ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﺒﻨﺎﺀ؟‬

‫‪81‬‬


‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل‬

‫‪ 27-3‬ﺘﻘﺫﻑ ﻜﺭﺓ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 10 m/s‬ﻤﻥ ﺫﺭﻭﺓ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫‪v0‬‬

‫ﻤﺎﺌل‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪ .(15-3‬ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ‬

‫ﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ؟ )ﻤﺴﺎﻋﺩﺓ‪ :‬ﺠﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬ ‫‪ AB‬ﻤﻊ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ(‪.‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪30 m‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪ 28-3‬ﻴﺩﻓﻊ ﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭ ﻤﺎﺌل ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 37°‬ﺒﺴﺭﻋﺔ‬ ‫ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ‪ 10 m/s‬ﻓﻴﺼل ﻟﺫﺭﻭﺘﻪ ﺒﻌﺩ ‪ 0.6 s‬ﻟﻴﻨﻁﻠﻕ ﻜﻘﺫﻴﻔﺔ‪،‬‬

‫‪40 m‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(15-3‬‬

‫ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(16-3‬ﻤﺎ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻴﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬

‫ﻟﻘﻌﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ؟‬ ‫‪ 29-3‬ﺘﻘﺫﻑ ﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪ 1 m‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪30 m/s‬‬

‫‪3m‬‬

‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(16-3‬‬

‫‪4m‬‬

‫ﻭﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ .30°‬ﻤﺎ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺼﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ‪ 75 m‬ﻭﻤﺎﻤﺩﺍﻫﺎ ﻭﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺘﺼل ﺇﻟﻴﻪ؟‬

‫‪ 30-3‬ﺼﻤﻡ ﺃﺭﺨﻤﻴﺩﺱ ﻤﻨﺠﻨﻴﻘﺎ ﻟﻘﺫﻑ ﺍﻟﺤﺠﺎﺭﺓ ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 45°‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻘﻁﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ‪ .180 m‬ﻤﺎ‬ ‫ﺴﺭﻋﺔ ﺇﻁﻼﻕ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ؟‬

‫‪ 31-3‬ﻴﻨﻁﻠﻕ ﻻﻋﺏ‪ ،‬ﻓﻲ ﻟﻌﺒﺔ "ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺍﻟﺒﺸﺭﻴﺔ" ﺒﺴﻴﺭﻙ‪ ،‬ﻤﻥ ﻓﻭﻫﺔ ﻤﺩﻓﻊ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪87 km/h‬‬

‫ﻭﺯﺍﻭﻴﺔ ‪) .45°‬ﺃ( ﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻪ ﻟﻠﻭﺼﻭل ﻷﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻭﻤﺎﻫﻭ ﻫﺫﺍ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺒﻌﺩ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﻴﺼل ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ؟‬

‫‪ 32-3‬ﺘﺼﻤﻡ ﺒﻨﺩﻗﻴﺔ ﺼﻴﺩ ﻟﺘﻁﻠﻕ ﺭﺼﺎﺼﺎﺕ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪) .630 m/s‬ﺃ( ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ ﻓﻭﻕ ﻫﺩﻑ‬ ‫ﻴﺒﻌﺩ ‪ 700 m‬ﻴﺠﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭﺍﻤﻲ ﺍﻟﺘﺼﻭﻴﺏ ﻹﺼﺎﺒﺘﻪ؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺃﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺴﺘﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ‬

‫ﻭﻤﺎﺯﻤﻥ ﻁﻴﺭﺍﻨﻬﺎ؟‬

‫‪ 33-3‬ﺘﺼل ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺘﺯﻟﺞ ﺇﻟﻰ ‪ 110 km/h‬ﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﻟﻤﻨﺤﺩﺭ ﺜﻠﺠﻲ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻪ ‪150 m‬‬

‫ﻟﻴﻁﻴﺭ ﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻋﺎﺌﺩﺍ ﻟﻸﺭﺽ ﺒﻌﺩ ﻗﻁﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ‪ .x‬ﻤﺎﻫﻲ ‪x‬؟‬

‫‪ 34-3‬ﻴﺒﻠﻎ ﻤﺩﻯ ﻗﺫﻴﻔﺔ ‪ 70 m‬ﻓﻲ ﻤﻨﻁﻘﺔ ﺘﺒﻠﻎ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻴﻬﺎ ‪ .9.8728 m/s2‬ﻜﻡ ﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﻤﺩﻯ ﻓﻲ‬ ‫ﻤﻨﻁﻘﺔ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻴﻬﺎ ‪9.7967 m/s2‬؟‬

‫‪ 35-3‬ﻓﻲ ﻤﺤﺎﻭﻟﺔ ﻟﻜﺴﺭ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﻌﺎﻟﻤﻲ ﻟﻠﻘﻔﺯ ﻓﻭﻕ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺍﺕ ﻴﻘﻭﻡ ﺴﺎﺌﻕ‬ ‫ﻤﺘﻬﻭﺭ ﺒﺎﻻﻨﻁﻼﻕ ﺒﺴﻴﺎﺭﺘﻪ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪ 2 m‬ﻓﻭﻕ ﻋﺸﺭ ﺴﻴﺎﺭﺍﺕ ﻁﻭل‬

‫ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ ،2.4 m‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ .(17-3‬ﻤﺎ ﺃﻗل ﺴﺭﻋﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ‬ ‫ﻴﻨﻁﻠﻕ ﺒﻬﺎ ﻟﻴﻨﺠﺢ؟‬

‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(17-3‬‬

‫‪ 36-3‬ﻤﺎ ﺃﻗل ﺴﺭﻋﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﻴﺠﺏ ﻋﻠﻰ ﻏﻁﺎﺱ ﺃﻥ ﻴﻘﻔﺯ ﺒﻬﺎ ﻤﻥ ﺫﺭﻭﺓ ﺼﺨﺭﺓ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ‪36 m‬‬

‫ﻟﺘﺠﺎﻭﺯ ﺍﻟﻠﺴﺎﻥ ﺍﻟﺼﺨﺭﻱ ﺍﻟﻤﻤﺘﺩ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﺒﺤﺭ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪6.4 m‬؟‬ ‫‪82‬‬


‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭ‬

‫ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ‬ ‫‪ 37-3‬ﻤﺎﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻟﻸﺭﺽ ﺒﻔﺭﺽ ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺒﻌﺩ ‪1.5×1011 m‬؟‬

‫‪ 38-3‬ﻴﺨﻀﻊ ﺍﻟﻁﻴﺎﺭﻭﻥ ﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻌﺎﻟﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻡ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ‪ ،‬ﻓﻴﻭﻀﻊ‬

‫ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﻡ ﻓﻲ ﺤﺠﻴﺭﺓ ﻤﺘﺼﻠﺔ ﺒﺫﺭﺍﻉ ﺃﻓﻘﻲ ﻁﻭﻟﻪ ‪ 15 m‬ﻭﺘﺩﻭﺭ ‪ 24‬ﺩﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﺩﻗﻴﻘﺔ‪ .‬ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ‬

‫ﺍﻟﺤﺠﻴﺭﺓ؟‬

‫‪ 39-3‬ﻴﺩﻭﺭ ﺼﺒﻲ ﺤﺠﺭﺍ ﻓﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﺎ ‪ 2 m‬ﻋﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺤﺒل ﻁﻭﻟﻪ‬ ‫‪ 1.5 m‬ﻓﻴﻨﻘﻁﻊ ﺍﻟﺤﺒل ﺨﻼل ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭﻴﻁﻴﺭ ﺍﻟﺤﺠﺭ ﻟﻴﺴﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ‪ .10 m‬ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ؟‬

‫‪ 40-3‬ﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻟﻜﺭﺓ ﻤﺭﺒﻭﻁﺔ ﺒﻁﺭﻑ ﺨﻴﻁ ﻁﻭﻟﻪ ‪ 2 m‬ﻭﻴﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ‪4 m/s‬‬

‫ﻓﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﺃﻓﻘﻴﺔ؟ ﻫل ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻟﻭ ﺼﺎﺭﺕ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺔ؟‬ ‫‪ 41-3‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﻜﺭﺓ ﺘﺩﻭﺭ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ 0.6 m‬ﻤﺭﺓ ﻜل ﺜﺎﻨﻴﺘﻴﻥ؟‬ ‫‪ 42-3‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ ‪2.4 m/s2‬؟‬

‫‪ 43-3‬ﻓﻲ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺒﻭﺭ ﻟﻠﺫﺭﺓ ﻴﺩﻭﺭ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ ﺤﻭل ﺍﻟﺒﺭﻭﺘﻭﻥ ﻓﻲ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪5×10−11 m‬‬

‫ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯﻱ ﻗﻴﻤﺘﻪ ‪ .9×1022 m/s2‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ؟ ﻗﺎﺭﻥ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻀﻭﺀ‪.‬‬

‫‪ 44-3‬ﺘﺩﻭﺭ ﺴﻔﻴﻨﺔ ﻓﻀﺎﺀ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 1/10‬ﻤﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻀﻭﺀ‪ .‬ﻤﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻨﺼﻑ‬ ‫ﻗﻁﺭ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﺩﻭﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻻﺘﺘﺤﻤل ﺘﺴﺎﺭﻋﺎ ﻤﺭﻜﺯﻴﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ 20 g‬ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻬﺎ‬

‫ﻟﺘﺩﻭﺭ ‪ 90°‬ﻋﻨﺩﺌﺫ؟‬

‫‪ 45-3‬ﺘﺩﻭﺭ ﺴﻔﻴﻨﺔ ﻓﻀﺎﺀ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪ 640 km‬ﻓﻭﻕ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻤﺭﺓ ﻜل‬ ‫‪ 98‬ﺩﻗﻴﻘﺔ‪ .‬ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻫﻨﺎﻙ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻷﺭﺽ ‪6400 km‬؟‬

‫‪ 46-3‬ﻴﺩﻭﺭ ﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ 60 cm‬ﺒﺩﻭﺭ ‪ .2 s‬ﻤﺎﻤﺘﺠﻪ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ‬ ‫ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻌﻪ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪ 48 cm‬ﻓﻲ ﺍﻟﺭﺒﻊ ﺍﻷﻭل؟ ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺼﺎﺩﻴﺔ ﻟﺘﺴﺎﺭﻋﻪ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻋﻨﺩﺌﺫ؟‬

‫‪ 47-3‬ﺘﺩﻭﺭ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻌﻁﻑ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪ 200 m‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 20 m/s‬ﻭﺨﻼل ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻴﻀﻐﻁ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺌﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺯﻭﺩ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻓﺘﺯﺩﺍﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﻤﻌﺩل ‪ .1 m/s2‬ﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ‬

‫ﻟﻠﺴﻴﺎﺭﺓ ﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﻭﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺒﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ؟‬

‫‪ 48-3‬ﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﺴﺭﻋﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﺩﻭﺭ ﺒﻬﺎ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻌﻁﻑ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ‪ 30 m‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﻋﺠﻼﺘﻬﺎ ﻻﺘﺘﺤﻤل ﺘﺴﺎﺭﻋﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ 8 m/s2‬ﺒﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﺘﻨﺯﻟﻕ؟‬

‫‪83‬‬


‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل‬

‫ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫‪ 49-3‬ﻴﺤﺎﻭل ﻁﻴﺎﺭ ﺍﻟﻁﻴﺭﺍﻥ ﺸﻤﺎﻻ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 300 km/h‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻬﺏ ﺭﻴﺎﺡ ﻗﻭﻴﺔ‬ ‫ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ‪ 100 km/h‬ﻏﺭﺒﺎ‪ .‬ﻓﻲ ﺃﻱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻁﻴﺭ ﻭﺒﺄﻱ ﺴﺭﻋﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺭﻴﺎﺡ؟‬

‫‪ 50-3‬ﺘﺴﻘﻁ ﻗﻁﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻁﺭ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻟﻜﻨﻬﺎ ﺘﺒﺩﻭ ﺃﻨﻬﺎ ﺘﻤﻴل ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 30°‬ﻤﻊ‬

‫ﺍﻟﺸﺎﻗﻭل ﺒﺎﻟﺒﻨﺴﺒﺔ ﻟﺭﺍﻜﺏ ﻓﻲ ﻗﻁﺎﺭ ﻴﺴﻴﺭ ﺃﻓﻘﻴﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ .10 m/s‬ﻤﺎﻤﺘﺠﻪ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻁﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬

‫ﻟﻸﺭﺽ ﻭﺍﻟﺭﺍﻜﺏ؟‬

‫‪ 51-3‬ﻴﺤﺩﺩ ﻁﻴﺎﺭ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻐﺭﺏ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ .240 km/h‬ﺒﻌﺩ ﻨﺼﻑ ﺴﺎﻋﺔ ﻴﺠﺩ ﻨﻔﺴﻪ ﻓﻭﻕ‬ ‫ﻤﺩﻴﻨﺔ ﺘﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ‪ 150 km‬ﻏﺭﺒﺎ ﻭ‪ 40 km‬ﺠﻨﻭﺏ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺒﺩﺀ‪ .‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﺡ ﺍﻟﺘﻲ ﺃﺜﺭﺕ‬

‫ﻋﻠﻴﻪ؟ ﻭﺒﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﺘﻬﺏ ﺠﻨﻭﺒﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 120 km/h‬ﻓﻤﺎ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺘﺒﻌﻪ ﺍﻟﻁﻴﺎﺭ‬ ‫ﻟﻴﻁﻴﺭ ﺒﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﻤﻘﺭﺭﺓ؟‬

‫‪ 52-3‬ﻴﻘﻑ ﺭﺠل ﻋﻠﻰ ﺴﻠﻡ ﻤﺘﺤﺭﻙ )‪ (escalator‬ﻓﻴﺴﺘﻐﺭﻕ ‪ 60 s‬ﻟﻠﻭﺼﻭل ﻟﻠﻁﺎﺒﻕ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪ ،‬ﺒﻴﻨﻤﺎ‬ ‫ﻴﺤﺘﺎﺝ ﻟـ ‪ 90 s‬ﻟﻴﺼﻌﺩ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻤﻌﻁﻼ؟ ﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻠﺭﺠل ﻟﻴﺼﻌﺩ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﺍﻟﺫﻱ‬

‫ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺴﻠﻡ؟‬

‫‪ 53-3‬ﻴﻨﺘﺸﺭ ﺍﻟﺼﻭﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ .330 m/s‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﻭﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻟﻠﺸﻤﺎل ﺇﺫﺍ ﻫﺒﺕ‬ ‫ﺭﻴﺎﺡ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻐﺭﺏ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪30 m/s‬؟‬

‫‪ 54-3‬ﻴﺭﺘﻔﻊ ﻤﻨﻁﺎﺩ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 0.5 m/s‬ﻓﻲ ﻴﻭﻡ ﻋﺎﺼﻑ ﺘﻬﺏ ﻓﻴﻪ ﺭﻴﺎﺡ ﺃﻓﻘﻴﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪.12 m/s‬‬ ‫ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻨﻁﺎﺩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ؟‬

‫‪ 55-3‬ﻴﺒﺤﺭ ﺯﻭﺭﻕ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 10 km/h‬ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ‪ 50°‬ﺸﺭﻕ ﺍﻟﺸﻤﺎل ﻓﺘﻬﺏ ﺭﻴﺎﺡ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ‪25 km/h‬‬

‫ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ‪ 10°‬ﺸﺭﻕ ﺍﻟﺸﻤﺎل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ‪ .‬ﻤﺎﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﺡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ؟‬

‫‪ 56-3‬ﻴﺭﻜﺽ ﻁﻔل ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 4 m/s‬ﻏﺭﺒﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ ﻓﻲ ﻗﻁﺎﺭ ﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪5 m/s‬‬

‫ﺸﺭﻗﺎ‪ .‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﻔل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻘﻁﺎﺭ؟‬ ‫‪ 57-3‬ﺘﺴﻘﻁ ﺼﺨﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ‪ 5 m‬ﻋﻠﻰ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻗﺎﺩﻤﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪) .90 km/h‬ﺃ( ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﺨﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻬﺎ ﺒﺎﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺴﺎﺌﻕ ﺍﻟﻤﺴﻜﻴﻥ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻬﺎ ﺒﺎﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬

‫ﻟﻤﺘﻔﺭﺝ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ؟‬

‫‪84‬‬


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