Page 1

Menyusun Persamaan Kuadrat Jika koefisien-koefisien a, b, c, pada persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) diketahui maka akar-akar akar persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan. Proses demikian disebut menyelesaikan persamaan kuadrat. Sebaliknya jika akar-akar akar suatu persaman kuadrat diketahui maka koefisien--koefisien persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat ditentukan. dit Proses seperti ini disebut menyusun persamaan kuadrat. Proses menyelesaiakn dan menyusun persamaan kuadrat secara sederhana dapat ditunjukkan dengan bagan sebagai berikut:

Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar-akarnya Akar Diketahui Jika akar-akar suatu persaman kuadrat diketahui makapersamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan dua cara. a. Memakai Faktor Apabila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi ( x – x1)(x – x2) = 0 maka x1 dan x2 merupakan akar-akar akar persaman kuadrat tersebut.. Sebaliknya, jika x1 dan x2 merupakan akar-akar akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus

( x – x1)(x – x2) = 0 Akar b. Memakai Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) dapat dinyatakan dalam bentuk , yaitu dengan membagi kedua ruas persamaan semula dengan a. dari rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, akar, kita peroleh hubungan


               

Jadi persamaan        dapat dinyatakan dalam bentuk:

            

Contoh : Carilah persaman kuadrat yang diketahui akar-akarnya 2 dan 5! Penyelesaian: a. Dengan memakai faktor: ( x – x1)(x – x2) = 0      

      

                 

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah       

b. Dengan memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar      

              

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah       

LEMBAR KEGIATAN SISWA Soal 1: Carilah persaman kuadrat yang diketahui akar-akarnya -1 dan 3! Penyelesaian: a. Dengan memakai faktor: ( x – x1)(x – x2) = 0       

         

         

                       

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah         


b. Dengan memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar       

                 

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah            Soal 2: Carilah persaman kuadrat yang diketahui akar-akarnya 2p dan -3p! Penyelesaian: a. Dengan memakai faktor: ( x – x1)(x – x2) = 0       

         

         

                        

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah         

b. Dengan memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar       

                 

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah           

Soal 3:

Carilah persaman kuadrat yang diketahui akar-akarnya dan  ! Penyelesaian:

a. Dengan memakai faktor: ( x – x1)(x – x2) = 0

      

         

2








         

            

           ( agar tidak ada koefisien berbentuk bilangan

          

pecahan maka dikalikan ‌..)

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah        

b. Dengan memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar       

             

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah           Soal 4:

Carilah persaman kuadrat yang diketahui akar-akarnya 2 +√3 dan 2 -√3! Penyelesaian: a. Dengan memakai faktor: ( x – x1)(x – x2) = 0         

     

         

                       

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah         b. Dengan memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar       

                =

=

=

=

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah           


Menyusun Persamaan Kuadrat jika akar-akarnya Mempunyai Hubungan dengan Akar-akar Persamaan kuadrat lainnya Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang lain, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu: a. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar b. Penghapusan indeks, jika akar-akarnya simetri Contoh 1:

Jika persamaan kuadrat  2     0, mempunyai akar-akar ι dan β, carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut!

Penyelesaian:

persamaan kuadrat 2 2     0, mempunyai akar-akar ι dan β, sehingga:    

      ι β     1  1 

Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka: x1 = 2Îą dan

x2 = 2β, sehingga :

                       !     Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah

Contoh 2:

 2  1  2   1  2  0  2  1 12  0

Jika persamaan kuadrat 2 2     0, mempunyai akar-akar p dan q, carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya (p + 2)dan ( + 2)! Penyelesaian:

persamaan kuadrat 2 2     0, mempunyai akar-akar p dan q, sehingga:    

 1     p q      2  2

Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka:                          

x1 = (p +2) dan

x2 = (q +2), sehingga :

                              


Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah:

 2  1  2   1  2  0  2      0 ( agar tidak ada koefisien pecahan maka dikalikan ‌) 2         0 LEMBAR KEGIATAN SISWA

Soal 1:

Jika persamaan kuadrat  2  ! 2  0, mempunyai akar-akar ι dan β, carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut!

Penyelesaian:

persamaan kuadrat  2  ! 2  0, mempunyai akar-akar ι dan β, sehingga:        ι β           

Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka: x1 = ‌. ι

dan

x2 = ‌ β , sehingga :

                       Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah

                 

 2  1  2   1  2  0  2      0 ( agar tidak ada koefisien pecahan maka dikalikan ‌) 2         0

Soal 2:

Jika persamaan kuadrat 2 2   1  0, mempunyai akar-akar p dan q, carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya (p - 3)dan (q -3)!

Penyelesaian:

persamaan kuadrat 2 2   1  0, mempunyai akar-akar a dan b, sehingga:        a            


Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka: x1 = …. - …..

dan

x2 = … - …

sehingga :                                           Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah

                                    

 2  1  2   1  2  0  2      0 ( agar tidak ada koefisien pecahan maka dikalikan …) 2         0

Soal 3:

Jika persamaan kuadrat  2     0, mempunyai akar-akar p dan q, carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya (2p + 1)dan (2q + 1)! Penyelesaian:

persamaan kuadrat  2     0, mempunyai akar-akar p dan q, sehingga:             p q        

Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka: x1 = …. + …..

dan

x2 = … + …

, sehingga :

                                    

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah

                                      

 2  1  2   1  2  0  2      0 ( agar tidak ada koefisien pecahan maka dikalikan …)    2      0

Soal 4:

Jika persamaan kuadrat  2  2  "  0, mempunyai akar-akar α dan β, carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya

" 1

1 dan !


Penyelesaian:

persamaan kuadrat  2  2  "  0, mempunyai akar-akar ι dan β, sehingga:        ι β             

Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka: x1 =

" 1

dan

1 x2 = 

sehingga :

      

          

 

  

 

 

 

Jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah

 2  1  2   1  2  0  2      0 ( agar tidak ada koefisien pecahan maka dikalikan ‌)    2      0 SOAL EVALUASIpersamaan kuadrat x2 + 2x -1 = 0 adalah p dan q, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p dan 2q! 1. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 4 lebihnya dari akar-akar Jika akar-akar persamaan kuadrat

x2

+ 2x -1 = 0 adalah p dan q, tentukan persamaan

kuadrat baru yang akar-akarn SOAL EVALUASI 1. Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x -1 = 0 adalah p dan q, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p dan 2q! 2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 4 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x -3 = 0! 3. Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x -1 = 0 adalah p dan q, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya p2 dan q2!


Menyusun Persamaan Kuadrat jika akar-akarnya Mempunyai Hubungan dengan akar-akar Persamaan Kuadrat Lainnya dengan Menggunakan Metode Penghapusan Indeks Contoh 1: Jika persamaan kuadrat

2 2     0, mempunyai akar-akar ι dan β, carilah

persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut! Penyelesaian:

persamaan kuadrat 2 2     0, mempunyai akar-akar ι dan β.

Îą merupakan salah satu akar persamaan 2 2     0, sehingga berlaku hubungan: 2 2     0

Persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 =(ι + 2) dan x2 = (β + 2). Akar #   2 $     2%       2     2 $     2

akar ini simetri sebab dengan penghapusan indeks 1 dan 2 diperoleh: Dengan substitusi ι = x – 2 ke dalam persamaan 2 2     0, maka diperoleh: 2  22    2   0 2 2      1   0

2 2     1   0 2 2  1" 2!  0

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah 2 2  1" 2!  0.

Contoh 2:

Jika persamaan kuadrat  2 !    0, mempunyai akar-akar ι dan β, carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya  " 1

Penyelesaian:

& 1

persamaan kuadrat  2 !    0, mempunyai akar-akar ι dan β.

Îą merupakan salah satu akar persamaan  2 !    0, sehingga berlaku hubungan:  2 !    0

Persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 =" dan x2 = &. Akar-akar ini

simetri sebab dengan penghapusan indeks 1 dan 2 diperoleh:

1

1


1 1     $   ) 1   #     1 1    $   ( ' 

Dengan substitusi Îą = * ke dalam persamaan  2 !    0, maka diperoleh: 1

1 1  2 ! + ,    0  



*2 

    0, kedua ruas dikalikan  2 *

!

 !   2   0, kedua ruas dikalikan -1

  2  !   0

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah   2  !   0.


LEMBAR KEGIATAN SISWA Soal 1: Jika persamaan kuadrat

2 2 " 

 0, mempunyai akar-akar ι dan β, carilah

persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut! Penyelesaian:

persamaan kuadrat 2 2 " 

 0, mempunyai akar-akar ι dan β.

Îą merupakan salah satu akar persamaan 2 2 " 

2 2 " 

 0, sehingga berlaku hubungan: 0

Persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 =(ι - 2) dan x2 = (β - 2). Akar #    2 $   %           2 $   

akar ini simetri sebab dengan penghapusan indeks 1 dan 2 diperoleh:

Dengan substitusi Îą = ...

ke dalam persamaan 2 2 " 

22 "     0 2 "     0

 0, maka diperoleh:

       0

         0

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah ‌‌‌‌‌‌‌‌‌..

soal 2: Jika persamaan kuadrat

 2 "    0, mempunyai akar-akar ι dan β, carilah

persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3ι dan 3β Penyelesaian:

persamaan kuadrat  2 "    0, mempunyai akar-akar ι dan β.

Îą merupakan salah satu akar persamaan  2 "    0, sehingga berlaku hubungan:  2 "    0

Persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 = ‌. dan x2 = ‌. Akar-akar      $    

ini simetri sebab dengan penghapusan indeks 1 dan 2 diperoleh: 

 #  -            $     

Dengan substitusi Îą = ....

ke dalam persamaan  2 "    0, maka diperoleh:


 2 "    0

 2 "    0,

      0

    0

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah ‌

Soal 3:

Jika persamaan kuadrat  2  2  "  0, mempunyai akar-akar ι dan β, carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya

Penyelesaian:

1 2

 2 1

persamaan kuadrat  2  2  "  0, mempunyai akar-akar ι dan β.

Îą merupakan salah satu akar persamaan  2  2  "  0, sehingga berlaku hubungan:  2  2  "  0

Persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 = ‌. dan x2 = ‌. . Akar-akar       $    

ini simetri sebab dengan penghapusan indeks 1 dan 2 diperoleh: #



      $    

Dengan substitusi Îą = ....



-      

ke dalam persamaan  2  2  "  0, maka diperoleh:

 2  2  "  0

 2  2  "  0,

     "  0

    0

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah ‌ Soal 4:

Jika persamaan kuadrat 2 2   2  0, mempunyai akar-akar ι dan β, carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya

Penyelesaian:

".1 1

 &.1 1

persamaan kuadrat 2 2   2  0, mempunyai akar-akar ι dan β.

Îą merupakan salah satu akar persamaan 2 2   2  0, sehingga berlaku hubungan: 2 2   2  0


Persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 = ‌. dan x2 = ‌. . Akar-akar ini simetri sebab dengan penghapusan indeks 1 dan 2 diperoleh:    #

  

Dengan substitusi Îą = ....

 $    

 $    

/      

ke dalam persamaan 2 2   2  0, maka diperoleh:

2

 2

2  

2  

 2  0

 2  0,

    0, kedua ruas dikalikan ‌.

    0

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah ‌

SOAL EVALUASI Selesaikan soal-soal berikut dengan menggunakan metode penghapusan indeks!

2. Jika persamaan kuadrat      , mempunyai akar-akar ι dan β, carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2ι dan 2β

3. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 4 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 5x -3 = 0!

. Jika persamaan kuadrat       , mempunyai akar-akar ι dan β, carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya  dan 2 1

1 2

Menyusun Persamaan Kuadrat  

Menentrukan Persamaan Kuadrat jika diketahui akar-akarnya

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you