Page 1

Algebra Potensregler Algebra Potensregler Algebra

Matematikk 1T/2T Rett linje

Øgrim | Bakken | Pettersen | Skrindo Thorstensen | Thorstensen

Rett linje

B

Funksjoner jonerFunksjoner er Funksjoner

matematikk med oppgaver

Derivasjon Derivasjon Derivasjon Derivasjon Derivasjon Derivasjon

1T

Derivasjon Derivasjon

SIGMA

sjon

Øgrim | Bakken | Pettersen | Skrindo | Thorstensen | Thorstensen

tikk 1T/2T Matematikk 1T/2T Funksjoner

Studieforberedende matematikk 1T

katet katet

katet katet v katet Gjelder Gjelderbare bare bare katet katet katet katet 22 22 Gjelder bare Gjelder bare Gjelder Pytagoras’ setning setning katet katet 22 22 katet katet Pytagoras’ Gjelder bare Gjelder bare þ þbbb22222Gjelder ¼ ¼ katet katet katet aaba222þ aaccc222 A bare aaa katet bb 22 ¼ csetning ¼ aaPytagoras’ ðfor a˚aþ finne siderÞ Gjelder bare b b Gjelder baretrekanter katet c katet b a a þ ¼ c B trekanter rettvinklede Pytagoras’ setning katet Pytagoras’ setning e katet a rettvinklede rettvinklede trekanter a þ b ¼ c a motst˚ a ende katet b b b b a þ b ¼ c a rettvinklede trekanter rettvinklede Gjelder baretrekanter b M M ATEMATIKK ATEMATIKK 1T/2T 1T/2T b rettvinklede katet 2 b2 þ b 2rettvinklede rettvinklede trekanter trekanter trekanter rettvinklede setning ¼Pytagoras’ ¼ ¼ cca trekanter ¼ c a rettvinklede trekanter 1T/2T c c C b c M ATEMATIKK nushosliggende c katetcc a c rettvinklede trekanter c v AAA B hypotenus hypotenus B vinklerÞ A BBB hypotenus enus ðfor a˚AAfinne c A BB hypotenus B hypotenus hypotenus hypotenus AA BB hypotenus Trigonometri i rettvinklede trekanter hypotenus c A eb 2katet b A B B hypotenus þ c2 ¼ � b2bc cos A ðfor a˚ finne siderÞ motst˚ motst˚ aaende ende endeakatet katet katet bbb motst˚ a ende katet b motst˚ a st˚ st˚ a a ende ende katet katet b motst˚ a ende katet b b e katet sin av¼ sin sin vv ¼ ¼ motst˚ ¼ ¼ bb motst˚aaende ende katet katet¼ sin ¼ ¼vvvc¼¼ 2 a˚ 2finne hypotenus hypotenus sin sin ¼ motst˚ ¼ccbc CCC hypotenus hypotenus aende katet ¼ þ csin �v ¼ a¼2 cvinklerÞ bðfor C CCC c hypotenus hypotenus hypotenus c C C hypotenus CC hypotenus sin v ¼ ¼ cc ðfor a˚ finne vinklerÞ ¼ c hypotenus B c cos A 2bc ðfor a˚ finne siderÞ A c C a: stigningstall hosliggende hosliggendekatet katet katet aa b hosliggende katet a hosliggende a a a aaa a liggende katet hosliggende a katet a a iggende katet Lineær funksjon f ðxÞ ¼ ax þ b a a a b b Grunndefinisjonene Grunndefinisjonene ˚ cos cos v v ¼ ¼ ¼ ¼ ðfor a finne siderÞ b b b hosliggende katet a aa ene Grunndefinisjonene hosliggende katet a cos v ¼ cos ¼ v ¼ ¼ b b b nene b: konstantledd v ¼ ¼ ¼ ¼ C 2sin B cos b hypotenus hypotenus c c Grunndefinisjonene b Sinussetningen kan gi cos v ¼ ¼ a: stigningstall Grunndefinisjonene cos vcc¼ hosliggende hypotenuskatet ¼ca sin C cc hypotenus a vv a hypotenus hypotenus hypotenus vv ¼ v v b hypotenus c Grunndefinisjonene hypotenus c ¼ ¼ ðfor a˚ to finne vinklerÞ cos ¼ ðfor a˚ finne vinklerÞ vvb: konstantledd v vv løsninger. b c A hypotenus c c c A A ckatet cc c a: a: stigningstall stigningstall B A A B BBB a > 0 a <v0 motst˚ motst˚ a a ende ende katet katet b b b c c motst˚ a ende b motst˚ a ende katet b A A A B B B A c B a c A BB c st˚aaende katet motst˚ a ende katet b b tst˚ ende katet b A tan tan¼ vv¼ ¼ ¼ motst˚ ¼ ¼ bby a ende katet motst˚ a ende katet b tan c v ¼ tan v ¼ b: b: konstantledd tan v¼ ¼ ¼vva¼ ¼hosliggende c A konstantledd B hosliggende hosliggende katet katet ¼ aa tan nliggende ˚ finne tan ¼ ¼ ¼C y M ¼ ðfor a siderÞ katet hosliggende katet a motst˚ a ende b ATEMATIKK 1T/2T iggende katet hosliggende katet a a katet a ax b katet aa gi a˚ C finne vinklerÞ hosliggende katet ¼ kan sin B¼ðfor sinþ tan v ¼ hosliggende Sinussetningen y y a c katet a Sigma-serien består av bøker for matematikk fellesfag 2 22 Likning Likning for 2 22 ¼22ax 2 hosliggende Andregradsfunksjon bx þ ccos 22 2 for to løsninger. B bðfor a2ðxÞ ¼ ¼ þ cþ c222c� � �2bc 2bc 2bc cos cosAAA ðfor ðfora˚a˚a1˚finne finne finnesiderÞ siderÞ siderÞ 22finne ax ax ˚˚bbcfinne aacos ayafyAA ¼ þ 2bc cos ¼ ðfor bbbþ aaþ siderÞ 2¼ 2þ 2¼ 2þ 1�2bc c� 2bcsiderÞ cos ¼ AAbb 2linje ðfor ðfor þ cc a2˚a˚� � finne finne 2bc siderÞ cos siderÞ A ðfor finne siderÞ ˚ a ¼ b þ c � 2bc cos A ðfor a finne siderÞ a a en en rett rett linje a 2 ¼ b 2 þ c 2 � 2bc cos A ðfor a˚ finne siderÞ og programfag i videregående skole. ¼ bc sinCosinussetningen A a˚ finne siderÞ ðfor Topp-/bunnpunkt CC Cosinussetningen ˚ finne siderÞC a ¼Cb þ 22bcgi 22 A ðfor a en C 2 22 Cosinussetningen 22 22 22 Sinussetningen nC bb bb22222cþ þ þc� cc22kan � �aaa2cos en x C C C 22 1 1 þ c � a � b b Cosinussetningen �b Cosinussetningen C 2 2 C 2 2 þ þ cc vinklerÞ � �aacos A ¼ b þ c � a cos ðfor ðfora˚a˚a˚finne finne finnevinklerÞ vinklerÞ vinklerÞ cos ¼ cos cc 2 � bb 2 þ þ vinklerÞ � aa nne ðfor aa˚˚¼finne ðfor AAA¼ for x ¼ Cosinussetningen to løsninger. C ðfor finne vinklerÞ vinklerÞ ðfor vinklerÞ cos Aðfor ¼ a˚a˚ finne 2bc 2bc ðfor cos A ðfor a˚a˚ finne finneb vinklerÞ vinklerÞ cos A¼ ¼finne 2bc c � a2 b þ2bc bb 2bc 2bc 2bc b xx Hver bok er en komplett alt-i-ett-bok. Det vil si at den b2a 2bc 2bc ðforyaaa˚ finneb vinklerÞ cos A ¼a bb aa aaa b b aa M ATEMATIKK 1T/2T sin sinAAA sin sin sinBBB2bc sin sinCCC (x , y ) b sin sin sin A sin B sin C inneholder lærestoff, sammendrag, test-deg-selv 1 y a˚a˚1finne a Bfinne B sin sinSinussetningen C sin C A ¼ sin B ¼ sin C sin Sinussetningen Sinussetningen ¼ ¼a˚˚sin ¼ ¼vinklerÞ ðfor ðfor finne vinklerÞ vinklerÞ A B sin yy sinðfor A¼ sin B¼ sin C C ðfor a˚ finne vinklerÞ finne ˚ ˚ ¼ ¼ vinklerÞ ¼ ðfor ðfor a a finne finne ¼ vinklerÞ vinklerÞ ðfor a finne vinklerÞ Sinussetningen Vertikal asymptote: a a b b c c Sinussetningen ˚ ¼ ¼ ðfor a finne vinklerÞ ðfor a˚ finne a A ¼ sin b B ¼ sin c C aa bb cc sin oppgaver med løsninger og oppgavesamling med fasit. a vinklerÞ AA cc Sinussetningen (x (x11,, yy1M )) cATEMATIKK M ATEMATIKK 1T/2T 1T/2T 1 aa ¼ Bbb ¼ cc c ðfor a˚ finne A A ccvinklerÞ A BB BBB cccc AA bbb A BB1 dccc c aa bb cc c aaaa ¼ A B b A B a: stigningstall c c ¼ ¼siderÞ ðfor ðfora˚a˚a˚finne finne finnesiderÞ siderÞ siderÞ x ¼ � aa c aaðfor bb b¼ cc ˚˚ finne ðfor ¼¼ax ¼ aasin nfinne � y 1 ¼¼ ðx �a˚a˚ xfinne 1Þ A 1T/2T B þ ¼ ¼ ysiderÞ ¼aðfor ðfor finne ¼ siderÞ siderÞ ðfor finne xkan sin A¼ sin sin sincCCC Sinussetningen Sinussetningen kan kangi gi gi 1T/2T c kan ¼ ðfor MATEMATIKK ¼ ¼siderÞ ðfor a˚a˚ finne finne siderÞ siderÞ sin sin sin B aAA bBBB ¼ Sinussetningen kan gi Sinussetningen gi Sinussetningen b: konstantledd fsin ðxÞ 11 MATEMATIKK BB sin sin C sin C A A sin sin B sin sin C C sin Sinussetningen Sinussetningen kan kan gi Sinussetningen gi kan gi Rasjonal funksjon sin A sin B sin C Sinussetningen kan gi Et nettsted med egne elev- og lærersider støtter verket. ˚ sin A sin B sin C ¼ ¼ ðfor a finne siderÞ Sinussetningen kan gi cx þ d M ATEMATIKK 1T/2T to to løsninger. løsninger. Ettpunktsformelen Ettpunktsformelen � � yyA11 ¼ ¼ aaløsninger. ðx ðxB� � xx11sin ÞÞ C Gjelder for en rett linje toSinussetningen to løsninger. yysin to løsninger. sin kan Horisontal asymptote: y xx gi to to løsninger. to løsninger. løsninger. 1 1 a: stigningstall to løsninger. 1 1 to løsninger. Adressen er: www.gyldendal.no/sigma Likning Arealsetningen Arealsetningen f ðxÞ ¼ ax þ¼b1 for areal areal ¼ ¼þ bc sin sinAAA 11bc gjennom punktet ðx 1x, y 1 Þ to løsninger. areal ¼ sin areal bc afor en yareal ¼ ax bbc sin sin AA Arealsetningen areal ¼ 2linje bc sin sin A A Arealsetningen Gjelder Gjelder for en rett rett linje linje b: konstantledd Arealsetningen areal ¼ ¼2212 bc bc sin sin A A y ¼ a en rett M ATEMATIKK 1T/2T 2 og med stigningstallet a a: Arealsetningen a: stigningstall stigningstall areal ¼ 22 bc sin A cpunktet gjennom gjennom punktet ðx ðx11,, yy11ÞÞ Lineær Lineær funksjon funksjon ff ðxÞ ðxÞ ¼ ¼ ax ax þ bb b 2þ 1 b: b: konstantledd konstantledd a>0 a<0 Prøv digital utgave av boka på www.smartbok.no og og med med stigningstallet stigningstallet aa y a: stigningstall (x2, y2) a: stigningstall nksjon Lineær f ðxÞfunksjon ¼ ax þ b x b > 1 0 < b < 1 f ðxÞ ¼ ax þ b a: stigningstall b: konstantledd yb: aakonstantledd > 00 0 aa << 00 f16 ðxÞ ¼ ax þ k>> y y 2b� y 1 (x (x22,, yy22)) k < 0 16 16 1, y1) D y = y2 – y1 y 2 b: (xkonstantledd ¼Eksponential¼bx þ c f ðxÞa 16 ¼ ax þ y kx D x =ax2>–0x1 x x 2 � x 1 f ðxÞ y ¼ a � byyx ¼ a < 0a: (x 16 astigningstall (x ,, y0 y11)), y ) DDayy < y � ayy11� e Topp-/bunnpunkt 11> == 0yy22 –– yy11 (x funksjonfunksjon 1 1 Lineær faðxÞ ¼ ax þ22b� Stigningstall Stigningstall a ¼ ¼ ¼ ¼ 2 2 a > 0 a<0 Andregradsfunksjon Andregradsfunksjon ff ðxÞ þ þ bx bx þ þ c c ðxÞ x ¼ ¼ ax ax b: konstantledd DDxx ==med xx22 –– xxy-aksen � xx11 x xx22 � �b x Skjæring a 11 for x ¼ Topp-/bunnpunkt Topp-/bunnpunkt i ð0, aÞ. 2 1 2a sfunksjonAndregradsfunksjon f ðxÞ ¼ ax þ bx þ fycðxÞ a>0 a < 0 xx ax 2 þ bx þ c Ettpunktsformelen � y¼ �b �b 1 ¼ a ðx � x 1 Þ x on f ðxÞ ¼ ax 2 þ bx þ c y = a1x + b1 for for x x ¼ ¼ Topp-/bunnpunkt Topp-/bunnpunkt y b > 12a <b<1 2a0en Gjelder for rett Topp-/bunnpunkt = a2x + b2 Vertikal asymptote:y�b �b yy == aalinje xx ++ bb for�bx ¼ for x ¼ a 1 Andregradsfunksjon ¼ a2 gjennom punktet ðx111 , y 11Þ1 f ðxÞ ¼ ax 2 þ bx þ c yy d 2a 2a ¼ for x y y = = a a x ¼ � 2a Vertikal Vertikal asymptote: asymptote:22xx ++abb22 og med stigningstallet Topp-/bunnpunkt Potensfunksjon ax þ b linjer Parallelle Parallelle linjer afaðxÞ ¼¼ aa22a � x b c 11 ¼ f ðxÞ ¼ y y �b dd cx þ d Vertikal asymptote:Vertikal for ¼� ¼ � y ax y xxx¼ Horisontal asymptote: asymptote: Asymptoter ax þ þ bb x 2a cc(x2, y2) Vertikal ff ðxÞ ðxÞ ¼ ¼ Rasjonal funksjon funksjon Rasjonal a asymptote: d þ d cx þ d cx (xx1,¼y1� ) dasymptote: y¼ y y 2 � y 1 D y = y2 – y1 Horisontal Horisontal asymptote: dx ¼ � c ax þ b yc ax Stigningstall a¼ ¼þ b cx – x x x x ¼ � f ðxÞ ¼ unksjon Rasjonal f ðxÞ ¼ y = a x + b D x = a a x � x x funksjon Vertikal asymptote: ax þ b 1 2 1 c 1 asymptote: � a¼ af1ðxÞ cx þ2d 1 2 ¼ �1 cx þ d yy ¼ ¼ Horisontal n Horisontal asymptote: c c y þd d y = a x + b x Linjer Linjercxvinkelrett vinkelrett y y = = a a x x + bb11 x 2 2 b > 1 0 < b < 1 x 11 + a y = f (x) Horisontal asymptote: x¼� a ¼ �1 aa11 �� aa22 ¼ ax�1 þb y ¼k<0 x c ˚˚ hverandre y ¼ pa pa hverandre k > 0 a f ðxÞ ¼ yy == aa22xx ++ bb22 c Rasjonal funksjon y¼ bb >> 11c 00 << bb << 11 cx þ d x kx M ATEMATIKK 1T/2T f ðxÞ ¼ 0 gir nullpunkter. Horisontal asymptote: c ¼ a � e f ðxÞ ¼ a � b y =kka<1<x00+ b1 1T/2T kk >> 00 x a EksponentialEksponentialb>1 0 <f bð0Þ <y1bgir MATEMATIKK 1T/2T > 1skjæring <a2bx <+ 1b2 y 0=med med y-aksen xx kx kx Skjæring ¼ x ¼ ¼ a a � � e e f f ðxÞ ðxÞ ¼ ¼ a a � � b b b > 1 k > 0 0 < b < 1 k < 0 k > 0c Parallelle a1 ¼ a2 MATEMATIKKlinjer 1T/2T funksjon funksjon k<0 Funksjonsdrøfting i ð0, aÞ. andreaksen. ialEksponential- x k > 0 k < 0 kx Skjæring Skjæring med med y-aksen y-aksen x kx f ðxÞ 1T/2T ¼ a � b ¼ a � ef ðxÞ ¼ a � b ¼ a � e MATEMATIKK 0 Mfunksjon ATEMATIKK ðxÞbaÞ. ¼ > 10 gir x-verdiene 0<b<1 ifi ð0, ð0, aÞ. ¼ a � e kx f ðxÞ ¼ a � b x 1T/2T b>1 0<b<1 0 MMATEMATIKK ATEMATIKK1T/2T 1T/2T Skjæring med y-aksen 0 Skjæring med y-aksen k > 0 og k < 0 f ðxÞ er stigningstallet til toppbunnpunkter. f ðxÞ er stigningstallet 0 0 0 f (x) f ðx þ xÞ � f ðxÞ M ATEMATIKK 1T/2T f ðx 0 under over þ xÞ � f ðxÞ Skjæring med y-aksen Eksponentialunder over Definisjon av f ðxÞ til i punktet i ð0, aÞ. x Grenseverdien av 0 i ð0,bbaÞ. >> 11na˚r00 < < bb <<! 11 0  f tangenten ðxÞ er stigningstallet av f 0 ðxÞ Grenseverdien av f ðxÞ ¼ a � b x ¼ a na til tangenten i punktet � e˚ rkx x i!ð0,0 aÞ. x   f ðx þ xÞ � f ðxÞ funksjon x 0 f ðxÞ f Definisjon ' (x) f ðxÞ erna stigningstallet 0av f 0 ðxÞ0 Grenseverdien f ðxÞ ¼Linjer a � x b vinkelrett til tangenten i punktet ˚ r x ! 0 x, av y = a1y-aksen x + b1 f ðx þ xÞ � x, f ðxÞfbðxÞ   min maks > 1 0 < b <x 1 Skjæring > 1 med 0 < bi <punktet 1 Definisjon av f 0 ðxÞ aGrenseverdien tangenten ˚ r x na ! 0 av 0 til b 1 � a 2 ¼ �1 x, f ðxÞ stigningstallet 0 er  pa˚ hverandre bb > 1 0) < b <f10 ðxÞ ¼ f0ifðxÞ ð0, ðxÞx ¼ Potensfunksjon Potensfunksjon 0 ¼ fffðxÞ ðxÞ y = a2x + b2 ðxÞaÞ. er stigningstallet þfxÞ � bkf ðxÞ ðxÞ¼¼aa �0� xx av f ðx f ðxÞ ¼avk f 0 ðxÞ )Grenseverdien 0 0x, f ðxÞ i punktet Definisjon til tangenten f ðx þ xÞ � f ðxÞ ˚ na r x ! 0 f f ðxÞ ðxÞer er stigningstallet 0 x 0 0  til  stigningstallet Definisjon av f b0 ðxÞ Grenseverdien punktet ˚) r x ! av f ffðxðx ðxÞ er ¼stigningstallet ðxÞ¼¼kx, 0 tangenten fxÞ ðxÞ ¼ þ xÞ �� ðxÞ na fþðxÞ kxfkfðxÞ ) f 0fðxÞ f >0 ðxÞ er istigningstallet 0 00 ) blim ksjon Enkle k: konstant til ðxÞ ¼ ¼ aav�þfxfxÞ ftangenten ðxÞ x f ðx ffGrenseverdien ðxÞ Potensfunksjon f ðxÞ ¼ k ff ðxÞ kx Definisjon Definisjon av ðxÞ ðxÞ� til tangenten punktet b 1 0 <i ibpunktet <1 ðxÞ ¼ a � x ˚ ˚ na na r r x x ! ! 0 0 Grenseverdien av av 0 f ðx þ xÞ � f ðxÞ k: konstant 0 ðxÞ ¼ 0 f ðxÞ ¼ k ) f x, f ðxÞ     til tangenten i punktet b ˚ na r x ! 0 Grenseverdien av x x Definisjon av f ðxÞ til tangenten i punktet 0 x ! 0 n � 1 ˚ na r Grenseverdien av f 12 ðxÞ ¼ a � x n 0 derivasjonsregler n:k: konstant   ðxÞ ¼ k f ðxÞ ¼ kx ) f x ) f ðxÞ ¼ n x, � x, x ffðxÞ f ðxÞ ¼ x n: konstant ðxÞ  n 0 �1 konstant regler 0x, 0 f ðxÞ x ) f ðxÞ fEnkle ðxÞ ¼ nkx� x n) f ðxÞ ¼ y x ðxÞ ¼ 0 ¼ k f x, f ðxÞ 13konstant ðxÞ ¼ k f ðxÞ ¼ ) f 0 Enkle k: nn 0 nkonstant � 11 n: ¼ 0 fderivasjonsregler ðxÞ ¼ k b ) f ðxÞ 0 n � y = f (x) ðxÞ¼¼k n� n� x� x f ðxÞ¼¼k x� x )) f fðxÞ 0f ðxÞ 0ðxÞ¼ n � 1 f0 f0 ðxÞ Potensfunksjon akk� xn� n � x) ðxÞ ¼00 ðxÞ f ðxÞ ¼ k 0� x n ) f ffðxÞ ffðxÞ ¼ 0 ¼¼ konstant ðxÞ ¼f¼¼ kx )yy) 0 k¼ n � x n � 1 )f ) f ðxÞ ðxÞ ¼kxkx¼ f ðxÞ ¼ Enkle k derivasjonsregler ) f ðxÞ ¼ 0 f ðxÞ 0f ðxÞ k: n:konstant ðxÞ ¼ 0 ðxÞ k f n 0 ðxÞ ¼ k ¼ ) f Enkle f ðxÞ ¼ kgir� xnullpunkter. ) f ðxÞ ¼k:k � konstant n � xn�1 yy = =f0ffðxÞ (x) 0(x) ðxÞ ¼ 0 n 0 n � 1 ðxÞ ¼ ¼ k k f f ðxÞ ðxÞ ¼ ¼ kx kx ) ) f f ðxÞ ¼ u ðxÞ � v ðxÞ derivasjonsregler n: konstant n) f ðxÞ0 ¼0 n � x Enkle k: konstant fDerivasjon ðxÞ ¼f ðxÞ x � xkx f ðxÞ ðxÞ¼ � kyv ðxÞ f ðxÞ )) ðxÞ ¼n k�¼x� nnk�� 1x n � 1 f ðxÞ ¼ kxEnkle ) ¼f u0 ðxÞ derivasjonsregler n:k: konstant konstant konstant f ¼ðxÞ ) f 0fðxÞ f ðxÞ ¼¼x nk¼av y k: Enkle k: konstant av + Denne boka finnes også i digital utgave nnn 0 0 n n � � 1 1 derivasjonsregler derivasjonsregler n: n: konstant konstant y = f (x) f ð0Þ gir skjæring med x f ðxÞ ¼ u ðxÞ � v ðxÞ (x) ff ðxÞ ðxÞ ¼ ¼ 00 gir gir nullpunkter. nullpunkter. ) fyn: f0=ðxÞ f fðxÞ ðxÞ ¼ ¼nn� �xx n � 1 fðxÞ ¼¼ x�xx n)) +f 0yðxÞ ¼ n � fsum nfðxÞ �ðxÞ 1¼ konstant www.smartbok.no og differanse k ¼ 0 k � n � 0x n �n1� 10 derivasjonsregler n: konstant ) x fferanse ðxÞ ¼ x n 0 n 0 Derivasjon av ) fðxÞ ðxÞ ¼ n � x f¼ðxÞ ¼ x ) ¼ u ðxÞ � v ðxÞ f k � x f ðxÞ ¼ k � n � x f ðxÞ ¼ u ðxÞ � v ðxÞ andreaksen. 0 0 y = f (x)0 f ðxÞ + ðxÞ ¼ u ðxÞ � v ðxÞ f n n 0 0 n n � � 1 1 Derivasjon av f fðxÞ ðxÞ¼ ¼ � �xx ) ) f f ðxÞ ðxÞ ¼kk� �nnf�ðxÞ �xx ¼ 0n �0gir fff ð0Þ ð0Þ gir gir0skjæring skjæring med med og xx¼ 1 kkdifferanse ðxÞ ¼ gir nullpunkter. n 1 nullpunkter. f ðxÞ ¼ k � x n ) f 0 ðxÞ ¼ k � nfsum �ðxÞ x n �¼ u+ðxÞ fff00ðxÞ ¼ u0k0 ðxÞ f ðxÞ ¼� k �vxyðxÞ )f 0 ðxÞ ðxÞ ¼ gir �gir nx-verdiene ��nullpunkter. x v ðxÞ ¼ 0 Funksjonsdrøfting Funksjonsdrøfting sum og differanse ðxÞ ¼ andreaksen. andreaksen. f ðxÞ y0 = f (x) 0 ¼ u ðxÞ 0 � v ðxÞ Derivasjon av ðxÞ uðxÞ ðxÞ vðxÞ ðxÞ gir skjæring med +x¼¼¼uuðxÞ f ð0Þ gir skjæring med f ffðxÞ ðxÞ ��� vvðxÞ x til toppogf ð0Þ bunnpunkter. 0 0 av 0 f (x) Derivasjon

2ng A ng

a ¼ 1p a og ð�aab�Þ ¼ aa p a �a ¼a ppp og og a p ¼ abp a�p1 ¼ ap rffiffiffiaappp pffiffiffi 1 og q ffiffi ffi p �ba�p ¼ ab ppp p �p n qq aa ¼ aa1nn ¼ ap aaappp�� ffiffi ffi a ¼ ðap þ�bqbÞp ¼ ¼ bapp � bp �q p q p n qq ¼ Merk: Merk pffiffiaffi ¼ a og b er grunntall. a p � a q ¼ aðap þ� qbÞ ¼ a p � b a 1n ¼ ap affiffiffi Merk baaa q b ap og bq er grunntall. n p a � a ¼ aða �bbÞp ¼ abppffiffiffiffiffi 11 ¼ p a a � b og er eksponenter. ffiffi ffi q q ¼ aaa000 ¼ p p p p � � q q p q p þ q p 1 qpn-te 2 pq og Kvadratrot, rot n p a og b er grunntall. q ¼ kvadratrøtter ð ð a a Þ Þ ¼ ¼ a a n p p p � q a � a p ¼ aðPotenser p q p þ q ffiffiffiffiffi p p og q er eksponenter. p ffiffi ffi a p �� qba a ffiffiffiffiffi p p ffiffi ffi a ¼ a Þ ¼ a � b ð a Þ ¼ a ffiffi ffi p � a ¼ a a q q 2 p n q n 1 a q ¼ aPotensregler p n p p þ q ¼ a a p � q a ¼ pa ffiffiffiffiffi Merk: p og q er eksponenter. p ffiffi ffi Potensregler ab ¼ a � b a og b e � � � � � a ¼ a a �p �p p p aa pq ¼ ap ffiffiffiffiffiqa pq ¼ Potensregler aa pp p þaaqa p Merk: aa�p ¼ ¼ ffiq pp ffiffiffi p p MffiffiATEMATIKK 1T/2T a 21 ¼ a q�a�p ¼ a ¼ app � ffiffiffiffiffi pp ffiffibffi apog ogabqere¼ ffiffi¼ ffi a p¼ a pp � ar ffiq� affiffiffiffiffi aa00 ¼ 1a p � qa 2 ¼ pffiffiaffi q pffiffi ab ap p ffiffiqffipp Merk: q ¼ q pb þb ¼ ¼ n ða ppaÞqqq ¼ appp ��ab a a ¼ a b b ap og a � an ba¼¼aa p �abqp aa q ¼ 1 � b q ¼ pa ffiffiffiffiffi og bbq 1n1n1er er ða Þq ¼ a r ffiffiffi ¼ pffiffiaffiffiffiffi � pffiffibffi p þ ffiffi qffi 0 ¼ apMerk: og ppa pp Potensregler a p �ððaaaaqpp��qb¼ pp a p �ab qffiffi �aap�Þp ¼ apr n� q pp �p ¼ 11 ffiffiffiffiffi pffiffiffi og qaa ner er¼ p ffiffi ffi ffi a a ¼ p b Þ Þ ¼ ¼ a a � � b b q p p ð a ¼ p p � q b p q p þ q 1 M ATEMATIKK 1T/2T ¼ a Potensregler a MMATEMATIKK 1T/2T M ATEMATIKK 1T/2T � � a �p ð a � b Þ ¼ a � b p a og b er 0 p ð a Þ ¼ a � a ¼ a a ab ¼ a � b p ffiffi ffi affi pffiffiffi q q¼ a p p�� qq pMerk: og ATEMATIKK 1T/2Ta p ¼ arffiffi a ¼ a1p a q¼11er1¼ pp a p q p þ q p Potensregler b a p ffiffi ffi ð a Þ ¼ a ¼ �ab�p ¼ abr p p �p b q p a apMerk: og ap � p a � ap ¼ qpffiffiffiffiffi 0 1b ffiffiffiffiffi �a�1p ¼ a p q�2211er erk p ffiffi bffi paffiffiffiffibffiffi Potensregler q ¼ qqpa p � q p aog qqn ffiffiffiffiffi bStandardform pffiffiffi Kvadratrot, n-te brotp ¼ 0 ¼ q ¼ Merk: 1¼ ¼ �k �p� 10 aaa 21er¼ ða�appaaÞ� p qq a Potensregler n aappp aa 1n ¼ aap p ffiffiffiffiffi aaa qaaa¼ ¼ abb p¼ p affiffiffi p p og q �p p ffiffi ffi q ¼ a p p � q p p ffiffi ffi p a ¼ ða �brot bÞp ¼ abp � ¼ Kvadratrot, n-te a og n¼ a ¼ np n Fakultet Fakultet n! n! ¼ ¼ 1 � 1 2 � � 2 3 � � 3 . . � . � . . n � n Merk Me n nb p ffiffiffiffiaffiffi � pffiffibffi ða aaÞqq ¼¼a p � q p ffiffiffiffiffi p¼ 0 Merk: 1 ¼ bnpa 1 p b ¼ ab a ð a � b Þ ¼ a � b Potensregler ¼ 1 a a p p � q � � n n �p p p ffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffi p p ffiffi ffiffi ffi ffi ffiffi ffi p ¼ a nb b Kvadratrot, n-te rotpPotensregler p pffiffiffiffiffi p ffiffiffiffi ð�aap ¼2 abpp aa�p0 1¼ n pffiffiffi p ffiffiffiffiffi q Merk: affiffiffi � pbffiffiffi ab baÞab p p ffiffiffiffiffi pbbffiffiffi a n1p ¼ p ffiffiffiffiffi p ða � rot bÞpq ¼ ap �pffiffibffi p¼ p q ¼ 1a1p pffiffiaffi a, p a > 0 ¼ pab p ¼¼ n ffiffiffi n Kvadratrot, n-te aa¼pp �aqaaa ��� ð, a1p� a 0 nVi ¼Vi qnr x12 ¼ � x¼ a � b Þ ¼ a � b ð a Þ ab ¼ b tre n 1pn ¼ a b ab � ffiffiffiffiffi p p ffiffi ffi ffiffiffiffiffi p ffiffi ffi ¼ a a p ffiffi ffi p � � a a qPotensregler ¼p �p   p p p ffiffi ffi r b b a a a qÞ ffiffiffiffi¼ ¼ 1 a p p � q p q n n n n 2 p 1 a ¼ a a a ¼ ð a � b ¼ a � b 1 p ffi ffi r r n p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð�ab�Þrffiffi¼ ¼ paffiffiffi ppererprosenten 1nnpp p ffimed affiffiffiffiutvalg � b ab ap ¼ p Likninger p ffiffiffiffiffi affiffiffiffi¼ p ffi 2 raba pppp Ordnet utvalg fraer fra p �p p na r ¼ ¼ 0K 0 a, 1p � prosenten p er aprosenten rK aaabn p¼ p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a qPotensregler p pffiffi pffiffiffiqOrdnet b¼ p nnProsentvis ffiffibffiffi ax x¼ a�p1nn 1¼ ap ¼paaa¼ n¼ nppp ðvekst a��ab2N b�ÞppN ab� �ffiffiffiffiffi a 2q ¼ 100 qxaðxp � aÞ ¼ 0 1np a ¼ p a a Potensregler n p ffiffi ffiffi ffi ffi p ¼ p n ffiffi ffi r andregradsledd p ffiffi ffi ¼ pffiffiffiffiffi p ffiffi ffi a 1 p p a ¼ a bb¼ tilbakelegging tilbakelegging tilbak ab ¼ pffiffiaffimed � med p aa n 2Øknin ¼tilb bffiffiffi ða �abbÞp qbb¼¼ab pqp�bbffiffibffip na p Økning: 1p þ Økning: 1 þ a n , x ¼ 0 eller x ¼ a np 1 p p ¼ a n ab ¼ a � b   Økning: 1 þ a a ¼ ¼ p ffiffiffiffiffi p ffiffi ffi b 1 ¼a     p ffiffi ffi b b n ffiffiffiffiffi 100 p a b n n 1 � k < 10 ð a � b Þ ¼ a � b p ffi p p ffiffi ffi p følgen følg ¼ ffiffi ffi r   p ffiffiffiffiffi p ffiffi ffi p p p ffiffi ffi n p ffiffi ffi Kvadratrot, Kvadratrot, n-te n-te rot rot 1 q 100 q n b b 2 n p n p n ffia pp pp ab �¼ b K 0� 10 Standardform �k ffiffiffiffiffi 1 ¼p p p p ffiffiffiffiab ffiffiffi ¼ a � 1og ffiffiffiffiffi �nker<et10helt tall Kprot K�ffiffiffiffiffi � Kvadratrot, n-te Prosentvis vekst b¼ K 1b1vekst ¼ ffiffi1ffiffiffiffibffiffiffi � an�p anÞn1ffiffiffiffiffi ¼pKap ffiffiaffi ¼ pffiffiaaaaK Prosentvis r n ¼ 0b a ffiProsentvis ð a n� p ffiffi ffi n ¼ 0p b q p q n n n ffiffi ffi 2 p p p ffiffi ffiffiffiffiffi p n K K � Prosentvisvekst vekst 1 p Standardform ¼ �k � 10 p 0 p aa n Nedg n� ¼ affi pa 100 a �ab anÞab ¼ ¼100 bb ab¼ Nedgang: 1p a ¼ paffiffiffiffiffiffi n ffiffiffiffiffi p 1Nedgang: �nker<et10helt 11��tall ¼ �np ¼Vi ¼ �paaabffiffiffi�pb�� n100 Ingen q Nedgang: ffiffiffiffiffibap treaffi p¼ ffiffiap ffiaq affiffiffiffiffi rbffiffiffi pffiffiffi og pffiffiabaffi ¼ �k � 10 n 100 ðp Standardform rffiffiabffi ¼ p pab 100 ffiffiffiffiffiffiffi¼ ¼2 p a 21 Vi 1 � k < 10 2 100 ffi ffi r r p ffiffiffiffiffi p ffiffi ffi p p ffiffi ffiffi ffi ffi n og n er et helt tall b q p ffiffi ffi q ab ¼ a � b 2b � a a ffir pffiffi0ffi n! ¼ a10utvalg , x ¼r �ffiffiap aaffiffiffi¼ ,ffipp x�k ffiffiffi> 1 ffiffiba1ffiOrdnet Kvadratrot,Standardform n-te rot ¼Ordnet pffiffi na n n! p elem npe0affi 2ffiffiffi �utvalg ffiffiffiffiffi aaa0bffiffiffi p ffiffiffiffiffi ¼ p np ¼ pffiffiffi og n i> 0:a 2framo ab ¼ affiffiffi¼ nnqaa ffiffi1ffi p p ffiffiffiffiffi nn>> framover tid nn¼> n 0:er etframover tall ap aq�> , xp ¼ � ,¼¼ p Kvadratrot,Likninger n-te rot med n b nx ¼ a ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffitid phelt pffiffiffiffi nPr ffiffiffia¼ nb nnPr 0: i p p ffi ffi ffiffi ffi r ¼ p ffiffi ffi lg x x ¼ a b ffiffiffiffiffi p p ffiffi ffi a a 2 p ffiffi ffi b ffiffi ffi p ¼ ¼ a � b ab n n Logaritmer 2 p ffiffi ffi uten uten tilbak tilba ab ¼ � np ¼ x , lg �b 10 ¼ xb � n4ac 10 ðn ðn � rÞ! n nx 2tilbakelegging ffiffiffiffiffi aax ¼,0 x,p ¼ � abffip ,�¼ n 1 Kvadratrot,Likninger n-te rot med ffiffiaffibxp r ffiffiaarot ffiaÞ bbb0bffiffiffi� �tilbakelegging ðx ¼ 0¼rÞ! xbffiffiffi ¼ <tid0: bakov 2ffiffib ab affiffi2ffiAndregradslikning �p n¼ <<0:0:�bakover i itid nEn<lø0 b�> p ffiffiffiffiffi ¼ p bþ Kvadratrot, n-te bx þ c 0 , x ax andregradsledd n bakover ab b p ffiffi ffi ¼ nrffiffiffi nxx22 ¼ p ffiffiffiffiffi p ffiffi ffi a a a , x ¼ � a , > 0 1 ffiffiffiffiffi p p ffiffi ffi p ffiffi ffi 2 n 2 p ffiffi ffi � ax ¼ 0 , x ðx � aÞ ¼ 0 følgen ffiffi ffi p ffiffibffi ¼ pffiffiffi Likninger medr � b følg n-te rot ,r na abaffi ¼ Kvadratrot, 2a andregradsledd x¼ bffiffi0ffiaÞ p ffiffia2ffi � xb2 � ax ab �ffi eller bnn0ffiffiffi n xab¼¼a n a � n b ffiffiffiffiffi p p n ffiffi a a ffiffi p 1 1 � � kkk ¼ 0 , x ðx � ¼ ffiffi ffi r n p n n Løsing av Likninger med b n p ffiffi ffi ¼ , x ¼ 0 eller x ¼ a b 1 � c lg x ab x a a andregradsledd p ffiffi ffi Kvadratrot, n-te rot lg x x lg x x ¼ 2 Standardform Standardform a a ¼ �k �k � � 10 10 n ffiffi ffi r n ¼ a � b M ATEMATIKK 1T/2T p ffiffi ffi x > 0 Logaritmer n lg ¼ cffiffiffi¼lgx, x x¼ 1000 xTo > Logaritmer affiffi¼ ¼affiffibaffi10 , lg 10 lg xlogaritmelikning , 10 x� x10 10ffiffiffi ¼ ffiffiffiffiffi p p ffiffixffi0, �¼n-te ax ¼rot 0 10 lg , xxx¼ ðx ¼ x x¼ Standardform �k lø0e na r p ffiffiaÞ� eller p ffiffib210 ffiLogaritmer p og og n n xx>> Logaritmer n ba ¼Kvadratrot, Vi Vi tre nr n x , lg 10 ¼ x 10 , x ¼ 0 x ¼ a b andregradsledd n n p ffiffi ¼ n og n ffiffiffiffiffi p b ¼Kvadratrot, affiffiffiffiffiffi� p p ababffiffiffi¼ a a a Ingen løsning na˚r bffiffiffi nnffiffibffi nx ¼ p nr np n-te rot ,p x¼ bn 2elem nb n! p ffiffiIngen ffiffiffiffiffiffiffi n Uordnet p ffiffi0ffiffiaffi�ffia1�2neller Uordnet utvalg utvalg n�e p ffiffiffi p ¼n! ab bffiffiffi��3. .� .1�. � ffiffiffiffiffi p a¼ b Kvadratrot, ˚r 22¼ p løsning na nb p bav n< k 10 Fakultet n! n! ¼ 1 � � 2 3 . n � n Merk Me 2 nr n ffiffi ffi nCr nCr ¼ ¼ ¼ Løsing ¼ ¼ a a , , x x ¼ ¼ � � a a , , a a > > 0 0 1 1 x x p ffiffi ffi n n Fakultet n-te rot b 2 Løsing av Løsing av b p ffiffi ffi b c ¼ � 4ac < 0 b c c lg b n Standardform ab ¼ a � b ¼ a , x ¼ � a , a > 0 1 x Løsing av Løsing av a ¼ �k � 10lguten ffiffiffiffiffi p p ffiffi ffi 1 � k < 10 tilbakelegging tilbakelegging tilbak tilb nffiffi x¼¼ cffiffialg xranx¼, 2 løsning r¼ �nðn � � rÞ! rÞ! ¼ x�r!ðn ¼ 10 , fficb x, r a2fficbþ p n xuten n10 n10 �tall 4ac < 0 na˚r er helt rotlgxx¼ br!xog , xet10 ¼bIngen ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi< p10 lg x¼¼ccn-te , na Standardform a ¼logaritmelikning �kKvadratrot, � 10Likninger ax bx ¼ þ bÞ Likninger med med logaritmelikning logaritmelikning bffiffiffip ffiffiffiffiffiaffiffiffi ¼ p p p 1�ðax � 2lgløsning ffiffiffiffi� ffiffi � ax Ingen løsning na˚r 22 �b nab 2 og eksponentiallikning logaritmelikning Likninger med p atall n n nker et helt følgen følg ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi nr n ¼ ˚ En na r � b 4ac � 4ac < 0 b Vi Vi tre 2 2 � ax ¼ 0 0 , , x x ðx ðx � � aÞ aÞ ¼ ¼ 0 0 x x 2 b n Standardform a ¼ �k � 10ax p ffiffi ffi ¼ 2 b n p0ffiffiffi , affiffi� 0¼ , x ðx aÞ ¼ 0< na xp n¼ andregradsledd andregradsledd Fakultet Fakultet ¼¼ 1x�b �2b3bp �2¼ �a3¼ .bffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi .�2.ðx �.�k .nþ �nn�bÞðx Merk Me 2�ffi1�2�ax 22� løsning Standardform 10et nab þ bxxþ¼c�¼ xn! Andregradslikning 2 ˚ ffiffiab02n! ffi¼ r En r � � 4ac og er helt tall ffi 1 � k < � 4ac 0 b � � bÞ 2 andregradsledd b ¼ a , a , a > 1 x p ffiffi ffi n n p ffiffi ffi x og ¼ Ordnet Ordnet utvalg utvalg fra fra n � 4ac ¼ 0 b 1 2a lg b þ bx þ c ¼ 0 , x ¼ ax 2 2 ¼ Standardform , , x x ¼ ¼ 0 0 eller eller x x ¼ ¼ a a Løsing av a ¼ �k � 10 a a lg b lg b r r n FakultetAndregradslikning n! 1 � 2 Fakultet � Fakultet 3 � . . . � n n! n! ¼ ¼ 1 � 1 2 � � 2 3 � � 3 . . � . � . . n � Merk: n 0! ¼ 1 Merk Me Løsing av Løsing av n bb ffiffi0N ffi x¼ 2 0 na � pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b � 4acffi xbEn p ffiffibffiffiffiffixn ¼ x, ¼ �pxaaffiffi¼ x 2, eller lgr N ¼ nb�b Løsing av 1 x 2 ¼ a ax � aax < �løsning 0x0˚ffiffir¼ A A ffix, ¼a, b> , aa > 10, og nbk > er n¼ 2 0 p btilbakelegging ¼, aFaktorisering a�k a¼ >> 0,4ac bb¼ >> x¼ n , 2ax 2¼ Likninger med þ bx þ c ¼ 0 x ¼ 2 a� Andregradslikning a a þe11e med med tilbakelegging tilbak tilb p ffi n ¼ b , x ¼ a a 0, 0 n ˚ 2 Standardform a ¼ � 10 En løsning na r 2¼ �b � b 4ac g g eksponentiallikning ax þ bx þ c ¼ ðx � x Þðx � x Þ Vi Vi tre lg a a , x ¼ � a , a > 0 1 x 1 � k < eksponentiallikning eksponentiallikning a¼ lg p a ffiffi1ffi , 24ac Uniform ˚ ra >og løsninger ¼ 0ana bTo � 2 x2 � Likninger med axax ¼2Uniform 0 bx, x ðx �lg aÞ 0xðAÞ p ffiffibffi n¼ 12a x 2 ¼ ¼ eksponentiallikning a x ¼ � , 0 lg¼ abP n er et þ þ c ¼ 0 , ¼ P ðAÞ ¼ Andregradslikning Standardform a �k � 10 n g er g e1a andregradsledd 2 løsninger na˚r 1 �nIngen trekker r04ac elementer Vi Vi tre følgen følg ker< 2 x � axKvadratiske bx 20 ¼ abr nm ¼Ordnet 0 utvalg ,utvalg x ðx � aÞ ¼ Ingen Ordnet fra fra net Likninger med ma 2a ¼ Vi �� a, bTo ab 2>� 1¼eller likninger sannsynlighet sannsynlighet � 4ac ¼ > 00na˚r og andregradsledd Ingen �x ¼x�ðx aÞ �k �x¼ 10 2 Standardform , xðx¼�0aaÞ ¼n raþ, Likninger med p ffiffi ffi � y y y N N ¼ n Gjennomsnittlig 2 To løsninger 1 � k < 2 1 2 � ax ¼ 0 , x ¼ 0 x 2 2 2 y 2 y� m m er Ordnet utvalg Ordnet Ordnet utvalg fra elementer n2etÞ1e4 og er 4ac > 01 Þ�yog ==f (x) ,utvalg x ¼ 01a ¼eller ¼ � med tilbakelegging tilbakelegging tilbak tilb r n ra ¼ an10 abTo 0, xN ffiffianffi, ¼ �pax 0> ðx 0nbb2bfra x¼� P ðxmed Q ðx y� 2yfra a,¼ 2 x ¼ andregradsledd Likninger med �k �x¼ 1 ,x y (x)� f¼ N ¼Standardform n r med ¼� nn ¼ 2 2N � 2 yløsninger na˚r yaÞ 1og k,er < andregradsledd vekst 2 tilbakelegging Vi Vi tre x � x x n et1 ¼ a , x ¼ � a , a > 0 1 x � 4ac > 0 b ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ffi p p 2 2 ax 0 , x ðx � aÞ ¼ 0 x 2 1 , x ¼ 0 eller x ¼ a 2 2 med tilbakelegging med med tilbakelegging tilbakelegging. Rekketilbak tilb pffiffibffi ax2med þ bx ¼ x ðaxa þ Standardform ¼ bÞ �k 10 ¼ a þ 2ab þ ffiog nEn pbbffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi følgen følg Likninger ða andregradsledd 22 þ� bÞ , x ¼ 0 eller x ¼ 22 � 2 �b sekant ˚ Ingen løsning na r En løs lø �b � � � 4ac 4ac Kvadratsetningene er et ¼ a , x ¼ � a , a > 0 1 x Q � 4ac > 0 b ax þ bx ¼ x ðax þ bÞ 2 sekant Ordnet Ordnet utvalg utvalg nfølgen nlø eo 22� ax ¼ n! y2 ffiffiffi � A og A 2yax Likninger med 0yccn!¼ xpðxxløsning aÞ xax yy2¼ yelem En �b bQQa� 4ac ¼ 0¼ eller følgen har betydning. følg � 22 nPr þ bx bx þ þ 00, , , ¼ Andregradslikning Andregradslikning 2yþ 2 na˚00r� x ¼ yxðx �x, yIngen y yy22 � 2y Gjennomsnittlig Gjennomsnittlig 2y 1, andregradsledd nPr ¼ ¼ 1ðax 22¼ 12 � 2xx 22 2 20 ¼ a ¼ a , a > 1 x 2 � ax ¼ 0 , x ðx � aÞ ¼ x ax þ bx þ c ¼ 0 , x ¼ ax þ bx ¼ þ bÞ Andregradslikning x � b þ bÞðx � bÞ � y y GjennomsnittligGjennomsnittlig og konjugatða bÞ ¼ a � 2ab þ b p ffiffi ffi � 4ac < 0 b 2 1 � � 4 b b x og x er løsninger til Likninger med P ðx , y Þ og Q ðx , y Þ a ¼ ¼ 2a 2a 2 P ðx , y Þ og Q ðx , P ðx y Þ a ¼ a ¼ ¼ ¼ 1,eller 2x ¼ 22 tilbakelegging 2 1,yy2xÞløsning 1Þ 2og 2QaðxD2y, y 2 Þ uten uten tilbakelegging tilbak tilb hendi hen ðn ðn � � rÞ! rÞ! 1 1 2 1 1 andregradsledd 2 ˚ 2 2 Ingen na r , ¼ 0 Komplementære Komplementære � b Vi Vi tre 2a P ðx , y Þ og Q ðx a ¼ ¼ x med � ¼ xðx1ðax þ12x bÞðx � bÞ P Faktorisering vekstLikninger 1x 1x 2a,�< ¼ aax a0aÞ 0 0PxP2x er xffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi � vekst vekst x> og løsninger til Dy y � ¼ 01xffi2� , x 4ac ðx xPp ax þ bbx ¼ þ xbÞ xx22 � �ðxP 2ðAÞ 1, �xb¼ �2 2� 10 2¼ 1AÞ ðAÞ P ¼ ¼ 1 � P AÞ ð y y vekst 2 2 2 2 x , x ¼ eller ¼ a setningen � x x 1 andregradsledd þ bx þ c ¼ 0 ax 1 1 2 2 1 Faktorisering 2bÞða følgen Vi trekker fra Ingen Vi Vi tre þffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi bÞ , ¼ a� b aÞ � b c ¼ ðx � p ax þx bx þutvalg a ðxþ x�xða � x¼ Þ� ˚2y¼ xer n! hendinger hendinger løsning r1rþ0elementer To lø Ordnet utvalg n�Delem nfølg �b bbÞ 1 Þðx 24ac xna og xbx2xDþ er tilTo 2�bÞðx � ax� 0ffi n! x�4ac �løs 10eller 2Ordnet Likninger A A 2med To løeed ,bEn xðx¼�< 0ax ¼ a¼ 0 Dxxcløsninger 2� andregradsledd þ0xbx þ �bÞðx x�x1nPr Þðx � x¼ Þn! 2p nPr ¼ ¼ Faktorisering þax c n! ¼ , ¼ðxþ ax 22 þ bx Andregradslikning ˚2¼ En løsning na r uten �b bffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 24ac � bc2 ¼ ¼xaðx � bÞ ffi� 2 n 2 tilbak n! 22elem ˚ Ordnet utvalg Ordnet Ordnet utvalg utvalg elementer a legge n n e4 x og x er løsninger til 2 � ax 0 , x ðx � aÞ 0 1 2 Ingen løsn 2 uten uten tilbakelegging tilbakelegging tilb � 4ac ¼ 0 b � 4ac b ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p � � b b ðn ðn � rÞ! rÞ! þ bx þ c ¼ 0 ax 2a 2 0 na eller þ bx c ¼þ0�x ,ac ¼xa�ðx ¼ðx�b 2¼� Andregradslikning �x� aÞ andregradsledd ikk A bx þ � Þðx x024ac Þ , ,bEn ¼þax nPr ¼ ¼ Faktoriseringax nPr ˚2br ¼p løsning Produktregelen �nPr bb� a2 ¼ 0x ¼ eller 0x ¼ ax �b 1a � bA 2løsn Ingen Vi treix � 4ac ¼ 0eller 2 x1 Vi 2a ffi xx� xx1xffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2uten b4ac � uten tilbakelegging ax 2 þ bx þðn uten tilbake hver gang. Rekketilbak tilb �x þ ¼xa�ðx � xaÞ rÞ! ðn ðn � � rÞ! rÞ! þ bx þ c ¼ ax 2 0 , x ¼ 0 ¼ a c� ¼ 0tilbakelegging ,ac ¼ ¼ Andregradslikning 2 følgen følg � b x ax þ bxtilbakelegging þ ðx � Þðx � x Þ 2 nax bTo 1 þ bx þbÞ c¼ ¼ ¼2ffi 2 n Andregradslikning løsn 222n ˚ rp, løsninger En løsnin �b � b1 2 �x 4ac � 4ac 00na n! n! Uordnet Uordnet utvalg elem ne 2 þ �x �følgen 4ac bIngen 2 ¼ �ðx � aÞ 2 2a ax ax þ bx bx ¼ ðax ðax þ þ følgen betydning. følg aautvalg þ 2ab ax þ 2bnCr ða þ bÞ þ bx c¼ 0¼ , ¼ harna ˚ rpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ bx¼ ¼ ðax þxbÞ bÞ ¼þ2¼þ ¼xxxTo 2 2 2a Ingen løsn 2 � 4acffi 2 løsninger 2 ¼ 2 ¼ �ðx � aÞ 2 nCr ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Kvadratsetningene Andregradslikning En løsnin �x þ a �b � b � 4ac b � 4ac > 0 b � 4ac b y f (x) Vi 2a ¼ a þ 2ab þ ða þ bÞ uten uten tilbakelegging tilbakelegging tilbak tilb 2b y y r r r! � r! ðn � ðn � � rÞ! rÞ! 2 2 2 2 2 y = Vi tre ˚ 2 To løsninger na r Momentan vekstfart Stigningstallet til tangenten 2 Kvadratsetningene løsn y� pb þ2 bx þ c� ¼bb02 ¼ , x4ac ¼� Andregradslikning En løsnin �b � 4acffi y = f (x) ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �bÞðx > 0bÞ bþ � ¼ ðx ðx þ bÞðx � bÞ bÞ xxx 2 2� bbIngen xxxVi og og og konjugat� bÞ22 ¼ a 22 þ � 2abax 14ac 1 Vi þ2 bþ ða þ ¼ bn0¼  �løsnin 4ac � ¼ ðx þ bÞðx � 2a bx þ c ¼ , x ¼ ax 2BÞ Andregradslikning følgen følg Vi trekker r elementer fra tre 2þ og 2 Kvadratsetningene 1 Addisjonssetningen Addisjonssetningen P ðA P ðA [ BÞ [ BÞ P ðAÞ P ðAÞ þ P ðBÞ P ðBÞ � � P ðA P ðA \ \ BÞ Faktorisering Faktorisering n n! n! 2 2 En 2 Uordnet Uordnet utvalg utvalg n elem n �b � b � 4ac To løsnin 2 2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi p � 4ac > 0 b og konjugatða � bÞ ¼þ aa bÞ� 2ab þ b �ax 22 e 4ac Faktorisering ax 2Andregradslikning þ ða ¼bÞ x ðax 2ab þ2 bbþ þ 22 ¼ bx  nc0c¼ ¼ 22 bx þ ax nCr nCr ¼ ¼a, setningen 2 ¼ þbx c n¼ xelementer ¼ 2� 2þ 2þ ax ax þ bx þ þ ¼ aa�r!ðx ðx � xxx� Þðx � ÞÞ2a 2þ 2 2 løsnin n n! n! n! ˚ legge En løsnin þ bÞða �þ bÞ ¼2ab a22ax � �b� �xxx2p bffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4acffi tangent UordnetKvadratsetningene utvalg Uordnet Uordnet utvalg utvalg n� a n elem n e 11Þðx 2uten þ ax og konjugat- nCr � bÞ ¼ a � þ b ax ¼ þ ða bx ¼¼ xtilbakelegging ðax bÞ uten uten tilbakelegging tilbak tilb 2b To � 4ac b r r r! ðn � ðn � rÞ! rÞ! ax þ bx þ c ¼ ðx � Þðx � Þ 2 2a setningen b � 4ac 1 2 2 nCr nCr ¼ ¼ 2 � vekstfart þtil c¼ 0¼ ¼ ,tangenten x¼ ax ða bÞða bÞ ¼ atangenten � bbþ tangent 2Andregradslikning 2 þvekstfart 2 til 2 bx Momentan Stigningstallet tangenten Momentan vekstfart Stigningstallet Momentan Stigningstallet til 2 En A er A ee �b � b � 4ac To løsnin og konjugatða � bÞ ¼ a � 2ab þ ax þ bx ¼ x ðax þ bÞ x � b ðx þ bÞðx � bÞ 2 2 2 uten tilbakelegging uten uten tilbakelegging tilbakelegging tilbake hver gang. Rekketilbak tilb � 4ac b Momentan vekstfart Stigningstallet til tangenten r r! � ðn � rÞ! r r r! � r! ðn � ðn � rÞ! rÞ! x og x er løsninger til 2ax þ 2 bx þ 2a setningen P 1 2 følgen følg 2Andregradslikning 2 �x �x þ þ a a ¼ ¼ �ðx �ðx � � aÞ aÞ P g g � 4ac b ax þ bx ¼ x ðax þ bÞ c ¼ 0 , x ¼ y D bÞða bÞ ¼ Produktregelen x � ða abUniform �þ bUniform , eller b¼ ¼ ¼¼ ðx0þ�bÞðx �aabÞ2¼�0bP P Faktorisering �x þ0¼ax¼ðax �ðx �xaÞ løsnin 2ðAÞ x 1þ og løsninger til D y bTo2 � 2 er ðAÞ P ¼ 2 2 2a 4ac setningen g er g e ax þ bx bÞ 2 2 følgen har ingen betydning. følgen følg 2 Produktregelen bsannsynlighet 0þ� , b ¼m0m Dx a bx2þ ¼ 0 DDxxtil ax bÞða �bÞðx ¼ Faktorisering bsannsynlighet �aabÞ ax 2 þxbx�þaða c� þ ¼¼ aðxðx xbÞ1 Þðx �¼x�20Þbeller 2þ x løsnin x 1 x2og er¼ccløsninger 2B 22 ØØ 4ac 22ðaxax �bx b2222þ ðx þ ¼þ 0 bÞðx � bÞ bTo2 � Disjunkte hendinger A \ A \ ¼ B A og A oee Produktregelen � bDisjunkte ¼a ðx 0 �hendinger , a�¼x 20Þ ða eller b ¼ 0 ax þ bx ¼ x þ bÞ ax þ bx þaKvadratsetningene c ¼ x Þðx 2 Faktorisering er ¼ ¼ a a þ þ 2ab 2ab þ þ b b ða þ þ bÞ bÞ 2 2 2 1 m4ac m er 2 løsnin To 2 bÞ 2 þ� Faktorisering axðx þþax 2ab b bÞ ða xþ � bg¼¼ ¼ bÞðx � b g x og x 2ee þ bx þ c ¼ 0 ax þ bx ðax þ bÞ 1 þaKvadratsetningene ac� bUniform �, Uniform Kvadratsetningene Produktregelen 0 � a ¼ 0 eller b ¼ 0 ax 2 þ�x bxFaktorisering ¼¼a�ðx ðx xaÞ Þðx � x Þ x A er er en hending. A x 1 2 P ðAÞ x 222¼ 22ax 2 þ A 2 2 2 2 P ðAÞ ¼ c ¼ a ðx �x x 1 Þðx � x 2 Þxbx � er ea �x þog ¼ �ðx � aÞ 4ac 2g15 ga sannsynlighet g¼ gaaxðx 2¼ og konjugatkonjugataxx� þ ¼m þ bx bÞ ða ða � bÞ bÞ � � 2ab þ þ�þ bbbÞ � bbx þ2ab bÞðx 2ðax 2 Uniform Uniform Uniform xgbx þ 1 og15 2 e 22bx m sannsynlighet og konjugatbÞþ � ax 2ða þ c¼¼ ðx � xgbÞ1þer Þðx � x 2 Þgunstige utfall. xax P ðAÞ ¼ Pax P� ðAÞ xðAÞ � bbx2¼ ¼¼axðxaðax þ 2ab bÞðx �b22bÞ gA er antall gA eoaee 2Faktorisering �x þsetningen a2 Addisjonssetningen ¼ �ðx � aÞ xog þ¼ þ2�x 2 Addisjonssetningen 1 2og 2A 2 setningen m m er 2 2 2 m m m þ a ¼ �ðx � aÞ ¼ a þ 2ab þ b ða þ bÞ sannsynlighet sannsynlighet sannsynlighet þ15 þ ax 2� Faktorisering ða þ þ bÞða bÞða � bÞ bÞ ¼ ¼�bÞðx aaax2bÞ � � 2 x2Þ bbxca� �bbbbÞ ax 2 ða þ bx þþ ¼ ðxþ Þðx � Kvadratsetningene 1aÞ x 1 2og xbx e axxP þ ¼ ðax þ þ � bÞ � hendi hen ¼ setningen a 2 for þdisjunkte 2ab þ b2 ða þ bÞ22Faktorisering ¼aaxðx � Komplementære Komplementære þ bx for disjunkte P ðA [bÞða [c2 BÞ ¼ ¼ P�ðx ðAÞ P¼ ðAÞ þ P ðBÞ PbÞ ðBÞ m15 er2 eþ er antall m 2�x ax ða þxðA bx þ ¼ ðx xm � x 2 Þ mulige utfall. ax Kvadratsetningene 2 2 1 Þðx �� �þ � bBÞ ¼ ðx þ bÞðx � 2 x og x e P ðAÞ P ðAÞ ¼ ¼ 1 � 1 � P ð P AÞ ð AÞ og konjugat� � 1 2 2 2 ¼ a þ 2ab þ b ða þ bÞ 2 x Þb 2 þ bx þ ax 2b ¼ 2 ¼, 2Faktorisering �x þ a �ðx � aÞ 2 2 Produktregelen Produktregelen a a � � b ¼ 0 0 , a a ¼ ¼ 0 0 eller eller b ¼ ¼ 0 0 ax þ bx c a ðx � x Þðx � Kvadratsetningene hendinger hendinger a þ2 2ab ðaþþbÞðx bÞ¼1 20¼ A A og � xer �2 eode b0a 2¼ ðx � eller bÞ og konjugatða � bÞ2 ¼ Produktregelen a � 2ab þ b2Kvadratsetningene A A x 1 2og a x��x b2� ¼ , aþ b ¼þ 0b 2þ þ ¼ �ðx � aÞ 2 þ bx þ ax setningen � ¼ a þ 2ab b ða bÞ 2 2 ax þ bx þ c ¼ a ðx � xA Faktorisering A og A o og�A2 xer þ bÞ bÞða a � 12Þðx 2 Þ komplementære og konjugatða � ¼�abÞKomplementære �¼2ab þ bb Kvadratsetningene hen hendi setningen 2 �x A bx ikk A iþ 2 þ a2 ¼ �ðx � ax 2 þ 2¼� ða a x�2 Þ2ab þ b 2 ða þ bÞða �Komplementære bÞ ¼ a 2 � b 2og konjugat�� �bÞ axþ þbÞ ðx � xaÞ ¼þ þ 2ab þAÞ bhendinger. ða 1 Þðx P ðAÞ Pbx ¼aac¼ 12 2¼ � 1�a�ðx � P ðPAÞ ð� A og Ao 2 hendi hen 2 2ðAÞ 2 2 Komplementære Komplementære Komplementære 2 Kvadratsetningene setningen og konjugatða � bÞ ¼ a 2ab þ b �x þ ¼ aÞ hendinger bÞða bÞ� ¼ ¼¼a¼ þ 2ab b � bÞ ¼ a 2 � b 2 � ed � er �þðþAÞ �bÞða �¼�0 beller setningen Produktregelen aða� þ bP ¼ 0 ¼�hendinger bða¼þ0PbÞ A A ðAÞ � P P2 ðAÞ 1 �ðx � ðAÞ 1, PaðaAÞ ðaðPAÞ 22 �x þ aa12 ¼ aÞ hendinger hendinger og konjugatProduktregelen a � b ¼ Kvadratsetningene 0setningen ,hendinger a ¼ 0 eller bðaða ¼þ 0 bÞ 2� �þ �¼ ¼ þ 2ab þ b � � � 2 A er A eijd A er den hendingen at bÞða � bÞ a � b 2 2 Kvadratsetningene A ðA A ðA ikk P P ða¼þ �0 bÞ bÞ22 ¼ þ bb22BÞ Produktregelen a � b ¼ og 0 konjugat,Betinget a ¼ 0 eller bða ¼ aa 22 � þP2ab 2ab þ¼BÞ setningen Betinget ðA P�2 bðA \ \ 2 Produktregelen a 0 , a ¼ 0 eller b ¼ 0 Kvadratsetningene 2 ¼�abÞ þ bÞða ¼ a � b A ikk A i A ikke inntreffer. 2 2 og konjugatða � bÞ � 2ab þ b lighet ligh ðA P j� BÞ jabÞ BÞ ¼¼ ¼¼ 2¼ setningen ¼ þ¼ 2ab þþ ða þ Addisjonssetningen PbÞ ðA P2 ðA ðA BÞ [ P P ðAÞ ðBÞ P ðBÞ � � P ðA \ BÞ \ BÞ 15 Addisjonssetningen Produktregelen � bP ¼ 0[ , aðAÞ 0bbb2þ eller b¼ 0P ðA ða bÞða aP � 2BÞ 2P Kvadratsetningene sannsynlighet sannsynlighet ðBÞ P ðBÞ og konjugatðaa þ � bÞ ¼ a � 2ab þ 2 2 setningen at at B hB bÞða bÞ 2 ¼ aa ¼�0 beller 15 Produktregelen aða b¼ b¼0 og konjugatða� þ � bÞ20 ¼�a, � 2ab þ b22 setningen Produktregelen aða� þ b¼ 0 �, b ¼A 0 B bÞða bÞ ¼ aa 2¼�0 beller 15 2¼ðAÞ 2þ Addisjonssetningen P [, P P ðBÞ P ðA \˚ rna BÞ Addisjonssetningen ðA [�BÞ ¼¼¼ P þbeller P ðBÞ P0ðA \Bna BÞ A¼� setningen Produktregelen aða� þ bP ¼ 0ðA 0B b� bÞða bÞBÞ �og ˚r Definisjon Definisjon Hendingene Hendingene AaaðAÞ og A er B er uavhengige uavhengige MAddisjonssetningen ATEMATIKK M ATEMATIKK 1T/2T 1T/2T P¼ðA [ BÞ ¼¼ PaðAÞ þeller P ðBÞ �¼� P0ðA \ BÞ Addisjonssetningen P0ðA [,BÞ P ðAÞ þ P ðBÞ P ðA \ BÞ Addisjonssetningen P ðAProduktregelen [ BÞ ¼ P ðAÞ þ P ðBÞ �a P� bðA \ BÞ ¼ 0 b Muavhengige ATEMATIKK M ATEMATIKK 1T/2T 1T/2T uavhengige hendingerP ðA j BÞ ¼ P ðAÞ. hendinger ðA P j BÞ ¼Ø P ðAÞ. Disjunkte Disjunkte hendinger hendinger A \ A B \ ¼ B ¼ Ø A og Ao Produktregelen a � b ¼ 0 , a ¼ 0 eller b ¼ 0

Algebra Algebra Algebra Algebra Algebra Algebra Algebra Sannsynlighet Sannsynlighet Vekst og logaritmer

og logaritmer Vekst logaritmer Vekst og logaritmer Vekst og ogVekst logaritmer

1T

Sannsynlighet Sannsynlighet

Sannsynlighet

Sannsynlighet Sannsynlighet Sannsynlighet Sannsynlighet

A

Disjunkte hendinger Addisjonssetningen for disjunkte 14 14 hendinger

B

Produktsetningen, Produktsetningen, Disjunkte Disjunkte hendinger hendinger A \ A B \ BBÞ Ø Ø Addisjonssetningen Addisjonssetningen Produktsetningen, Produktsetningen, P ðA ðA P ðA ðA \¼ \¼ BÞ ¼ ¼ P ðAÞ P ðAÞ �� P ��ðB P ðB jj AÞ jj AÞ P P \ BÞ \ BÞ ¼ ¼ P ðAÞ ðAÞ P ðAÞ ðAÞ P P AÞ ikke noe felles. A \ B ¼for Disjunkte Ø Disjunkte hendinger hendinger A \ A B \ ¼ B ¼ Ø Aþ og BAÞ har avhengige avhengige hendinger hendinger for disjunkte disjunkte P ðA [ BÞ [ BÞ ¼Ø ¼ P P þ PðB ðBÞ PðB ðBÞ avhengige avhengige hendinger hendinger P ðA

hendinger hendinger 14 Addisjonssetningen Addisjonssetningen Produktsetningen, Produktsetningen, Produktsetningen, Produktsetningen, P P ðA \ BÞ \ BÞ ¼ ¼ P ðAÞ P ðAÞ �� P ��PðBÞ P B Addisjonssetningen Addisjonssetningen AðBÞ for for disjunkte disjunkte ðA P [ [ ¼ P P þ PðBÞ P ðA ðA P ðA ðA \ BÞ BÞ \ BÞ BÞ ¼¼ ¼ P ðAÞ ðAÞ P ðAÞ ðAÞ Pþ ðBÞ PðBÞ ðBÞ uavhengige uavhengige hendinger hendingerP uavhengige hendinger uavhengige hendinger P ðA [ BÞfor ¼ for disjunkte P disjunkte ðAÞ þ P ðBÞ P ðA P ðA [ BÞ [ BÞ ¼ ¼ P ðAÞ P ðAÞ þ þ P ðBÞ P ðBÞ hendinger hendinger 14 14 hendinger hendinger P ðAÞ P � P��ðB P jj AÞ jj AÞ P P ðAÞ ðAÞ P ðB ðB AÞ AÞ Bayes’ Bayes’ setning setning P ðA P ðA jj BÞ jj BÞ ¼ ¼ Betinget Betinget P ðAÞ ðA P ðA \P� P BÞ \PðB BÞ Bayes’ Bayes’ setning setning P ðA P ðA BÞ BÞ ¼ ¼ ðBÞ ðBÞ P ðA P ðA j BÞ j BÞ ¼ ¼ P ðBÞ A og B er disjunkte. P ðBÞ sannsynlighet sannsynlighet P ðBÞ P ðBÞ

A A A

og A og A Aooo og A

A

A og A A A Aooo A og og A

P ðA P ðA j A og Ao lighet ligh A og Ao


Karl Erik Sandvold m.fl.

Sigma1T

Gyldendal Undervisning


# Gyldendal Norsk Forlag AS, 2013 3. utgave, 1. opplag Læreboka er skrevet etter gjeldende læreplan for faget matematikk Vg1T for de studieforberedende utdanningsprogrammene. Printed in Norway by 07 Media, 2013 ISBN: 978-82-05-44652-6 Redaktør: Klaus Anders Karlson Bilderedaktør: Anette Badendyck Design: Gamma grafisk AS, Vegard Brekke Omslagsdesign og design av kapitteloppslag: Marianne Cecilie Dahl Sats og layout: Gamma grafisk AS, Vegard Brekke Figurer: Karl Erik Sandvold, Knut Skrindo og Gamma grafisk AS, Vegard Brekke Omslagsfoto: Monument av Pytagoras pa˚ Samos 2003/Ch. Eckert/GV-Press Illustratør: Stefano Lemma Øvrige illustrasjoner: Side 8: Lynn James/Photonica/Getty Images, 10ø: Berit Roald/Scanpix, 10n: Anja Ruud, 17: GBA, 33: Ole Moksnes AS, 34: Harald Andresen/Scanpix, 40: Erlend Aas/NTB scanpix, 57: PISA, 58: Ryan McVay/Stone+/Getty Images, 71: Torbjørn Tandberg/Samfoto/NTB scanpix, 73: Dominic Bruke/Getty Images, 75: Plainpicture/B.O.A./Scanpix, 88: Todd Davidson//Getty Images, 95: NASA, 97: David Trood/BAM/Samfoto/NTB scanpix, 101: Steve McAllister/The Image Bank/ Getty Images, 107ø: Morten Løberg/Samfoto/NTB scanpix, 107n: Paal Audestad/Samfoto/NTB scanpix, 111: Science PhotoLibrary/GV-Press, 121: Guy Vanderelst/Getty Images, 129: Lester Lefkowitz/ Taxi Getty Images, 138: Lars Rudebjer, 139: Berit Roald/NTB scanpix, 146v: NTB scanpix, 146h: Susanne Walstrom/Joner/NTB scanpix, 147: Cornelius Poppe/NTB scanpix, 157: Utdanningsdirektoratet, 158: The Bridgeman Art Library/Getty Images, 164: Bjørn Rørslett/NN/ Samfoto/NTB scanpix, 165: Philip J. Brittan/The Image Bank/Getty Images, 176ø: Dag Jenssen/ Samfoto/NTB scanpix, 181: Carl Court/PA photos/NTB scanpix, 206: Michael DeYoung/Aurora/ Getty Images, 237: Utdanningsdirektoratet, 240: Steve Bronstein/The Image Bank/Getty Images, 250ø: Scott Halleran /AFP/NTB scanpix, 250n: Derek Shapton/Masterfile/NTB scanpix, 252: Julio Lopez Saguar/Photonica/Getty Images, 257: NTB scanpix, 274: Pixtal/RF/GV-Press, 294: Andre Perlstein/Stone/Getty Images

Det ma˚ ikke kopieres fra denne boka i strid med a˚ndsverkloven eller avtaler om kopiering innga˚tt med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til a˚ndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no Alle Gyldendals bøker er produsert i miljøsertifiserte trykkerier. Se www.gyldendal.no/miljo


FORORD Denne boka er 3. utgave av Sigma 1T, skrevet for elever som har valgt matematikk Vg1T i studieforberedende utdanningsprogram. Boka er en alt-i-ett-bok som inneholder lærestoff og et rikt utvalg av oppgaver. Nytt i denne utgaven er at vi i slutten av hvert kapittel har samlet oppgaver som trener grunnleggende ferdigheter. Oppgavene er merket med hvilken grunnleggende ferdighet de er ment a˚ trene, slik at du kan fokusere spesielt pa˚ dette. Oppgavene i muntlige ferdigheter kan løses i grupper av forskjellig størrelse – i hele klassen, mindre grupper eller par. Vi har lagt stor vekt pa˚ a˚ gi boka en ryddig struktur. Hvert delemne med forklarende tekst, eksempler og aktiviteter er samlet i oppslag over en dobbeltside. Pa˚ neste side ser du hvordan dette er bygd opp. Delemnene er laget ut fra en helhetstanke, der tekst, eksempler, figurer og aktiviteter til sammen skal hjelpe deg til a˚ na˚ ma˚lene i læreplanen. Noen av oppslagene inneholder en utfordring som kan være med pa˚ a˚ gjøre faget mer spennende. Her kan du fa˚ utfordret din egen forsta˚else. Kapitlene blir innledet med læreplanma˚l og en kort motiverende tekst. Etter oppslagene i hvert kapittel presenterer vi et større sammensatt eksempel. Det skal hjelpe deg til a˚ sette delkunnskapen inn i en helhet. Deretter følger et sammendrag, før du kan prøve a˚ teste deg selv i oppgaver som har fullstendige løsningsforslag. Til slutt i hvert kapittel finner du flere graderte øvingsoppgaver sortert etter emne, og blandede oppgaver fra hele kapitlet. Bruk av digitale verktøy i tilknytning til lærestoffet er forklart i egne veiledninger som du finner pa˚ www.gyldendal.no/sigma. Der finner du forklaringer for ba˚de lommeregnere og mange dataprogrammer. I boka henviser til disse forklaringene. Noen av oppslagene inneholder et miniprosjekt eller et nettsøk. Det kan være a˚ utforske matematiske problemer eller finne informasjon i andre bøker og pa˚ nettet. Denne informasjonen ma˚ du bearbeide og sammenfatte, for sa˚ a˚ presentere for andre. Vi ha˚per dette skal føre til faglige samtaler om matematikk – gode muntlige ferdigheter er en forutsetning for a˚ lære. Vi ønsker deg velkommen til www.gyldendal.no/sigma. Nettstedet inneholder sider ba˚de for elever og lærere. Elevsidene presenterer blant annet interaktive oppgaver og fordypningsstoff. Pa˚ lærersidene finnes det forslag til undervisningsopplegg, tempoplan, omtale av kapitler, prøveforslag o.a. I læreplanen heter det: «Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening.» Vi ha˚per dere griper mulighetene som boka og nettstedet gir, slik at matematikkopplæringen kan forega˚ pa˚ en aktiv ma˚te. Oslo, juli 2013 Stein Øgrim, Tone Bakken, Bjørnar Pettersen, Knut Skrindo, Anne Thorstensen og Runar Thorstensen Forord

3


Hvordan oppslagene er bygd opp

Brødtekst. Teksten (sammen med eksemplene) er skrevet for å skape motivasjon for emnet. Oppslaget tar ofte utgangspunkt i det kjente, for så å bygge opp kunnskapen i en logisk rekkefølge. Noen ganger viser vi ulike framgangsmåter for å gi elevene et større repertoar av løsningsstrategier.

Læremål. Hvert oppslag blir innledet med målbokser. Her står det konkret hva som er målet for oppslaget.

Visualisering. Tabeller, grafer, enkle oversikter og visualisering er brukt for å gjøre det enklere å lære og å huske regneregler.

«Gule lapper». Definisjoner, regneregler og annet som er viktig, står som gule «huskelapper» i margen. Disse gule lappene sammen med brødteksten og eksemplene utgjør en helhet, der brødteksten og eksemplene må sees i sammenheng med de gule lappene.

4

Forord


Eksempler. Eksemplene er valgt ut for å vise bruken av regnereglene i praksis. Eksemplene er selvforklarende, slik at elevene kan lære seg emnet på egen hånd.

Utfordring. En faglig utfordring som først og fremst er annerledes. Oppgavene er ikke nødvendigvis på høyt faglig nivå, men kan løses ved at man tenker kreativt og angriper oppgaven på nye måter. Utforsking er et viktig stikkord.

Oppgaver og andre aktiviteter. Oppgavene setter fokus på læremålene og bygger på eksemplene. I tillegg til tradisjonelle oppgaver presenterer vi også andre typer aktiviteter. Utfordring er et eksempel på dette.

Forord

5


INNHOLD Kapittel 1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 1 Veien om 1 – en nyttig framgangsma˚te. . . . 2 Prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Regnerekkefølge og fortegn . . . . . . . . . . . . . . . 4 Regning med brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Grunnleggende algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Kvadratrøtter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Dekadiske ma˚lenheter. Nøyaktighet . . . . . . . 9 Pytagoras’ setning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Areal og omkrets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Formlike figurer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Vekstfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Lineært forholdstall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Sammensatte eksempler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 39 40 42

Kapittel 2 LINEÆRE FUNKSJONER 1 Funksjonsbegrepet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 Lineære funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3 Formel for stigningstallet. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4 Lineære likningssett. Addisjonsmetoden. Innsettingsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafisk løsning av lineære likningssett. Løsning med digitale verktøy. . . . . . . . . . . . . . 6 Ettpunktsformelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Lineær regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Sammensatte eksempler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5

6

Innhold

68 70 72 74 76 77 78 80

Kapittel 3 POTENSER. LOGARITMER. EKSPONENTIELL VEKST 1 Potenser med positive eksponenter. . . . . . . 2 Eksponent lik null. Negative eksponenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Store og sma˚ tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 n-te røtter. Ukjent vekstfaktor. . . . . . . . . . . . 5 Potenser med brøkeksponenter. Potensfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Eksponentiallikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Logaritmelikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Sammensatte eksempler . . . . . . . . . . . . . . . . . SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110 111 112 114

Kapittel 4 SANNSYNLIGHETSREGNING 1 Uniform sannsynlighetsmodell . . . . . . . . . . . 124 2 Illustrasjon av utfallsrommet. . . . . . . . . . . . . 126 3 De store talls lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4 Betinget sannsynlighet. Avhengige og uavhengige hendinger . . . . . Snitt av hendinger. Produktsetningen. . . . . Komplement. Sannsynligheten for minst e´n . . . . . . . . . . . . 7 Venndiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Union. Addisjonssetningen. . . . . . . . . . . . . . . 9 Disjunkte hendinger. Total sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Sammensatt eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6

130 132 134 136 138 140 142 144 145 146 148


Kapittel 5 ALGEBRA 1 Tallmengder. Intervaller . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Kvadratiske likninger og produktregelen. . 3 Formelregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Konjugatsetningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Første og andre kvadratsetning . . . . . . . . . . . 6 Fullstendig kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Faktorisering og forkorting av brøkuttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . Løsningsformel for andregradslikninger . . Bruk av andregradslikninger. . . . . . . . . . . . . . Likninger med brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammentrekking av uttrykk med den ukjente i nevneren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Brudden brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Faktoriseringsformel for andregradsuttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Likningssett som ikke er lineære . . . . . . . . . 15 Sammensatte eksempler . . . . . . . . . . . . . . . . . . SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 9 10 11

Kapittel 6 TRIGONOMETRI 1 Definisjon av sinus, cosinus og tangens . . 2 Sider i rettvinklete trekanter . . . . . . . . . . . . . . 3 Spisse vinkler i rettvinklete trekanter . . . . . 4 Utviding av definisjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Arealsetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Cosinussetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 A˚ finne vinkler med cosinussetningen . . . . 8 Sinussetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Sammensatt eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160 162 164 166 168 170 172 174 176 178 180 182 184 186 188 190 191 192 193

208 210 212 214 216 218 220 222 224 226 227 228 229

Kapittel 7 GRAFER OG ULIKHETER 1 Lineære ulikheter. Fortegnslinjer. . . . . . . . . 242 2 Løsing av ulikheter ved hjelp av fortegnslinjer . . . . . . . . . . . . . . . Definisjonsmengde og verdimengde . . . . . Parabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bruksomra˚der for andregradsfunksjoner. . Rasjonale funksjoner i praktiske situasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Hyperbler. Asymptoter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Rotfunksjoner. Sammensatte funksjoner . . . 9 Sammensatte eksempler . . . . . . . . . . . . . . . . . SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 5 6

Kapittel 8 DERIVASJON 1 Informasjon fra grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Gjennomsnittlig og momentan vekst . . . . . 3 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Enkle derivasjonsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Den deriverte av polynomfunksjoner. Tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drøfting av polynomfunksjoner . . . . . . . . . . Vi lager uttrykk og finner største eller minste verdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Matematisk definisjon av den deriverte . . 9 Derivasjon av polynomfunksjoner. . . . . . . . 10 Sammensatt eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 7

244 246 248 250 252 254 256 258 260 261 262 264

276 278 280 282 284 286 288 290 292 294 296 297 298 301

Løsning av test deg selv. . . . . . . . . . . . . . . . 317 Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Læreplan i matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Innhold

7


1600 f.Kr.

1200 f.Kr.

800 f.Kr.

400 f.Kr.

Tales (ca. 600 f.Kr.) fant høyden av en pyramide i Egypt ved hjelp av formlikhet. De første likningsløsningene ble nedtegnet i Egypt 1700 f.Kr. Euklid (ca. 300 f.Kr.) drøftet formlikhet i sitt store verk om matematikk.


0

400 e.Kr.

800 e.Kr.

Arkimedes (287–212 f.Kr.) fant en god tilnærmingsverdi for tallet π og utviklet regneregler for areal og volum. Diofantos fra Alexandria (ca. 300 e.Kr.) var den første som brukte symboler for den ukjente.

1

Matematikken rundt oss Matematikk kan brukes til å beskrive og finne orden i virkeligheten rundt oss. Videre er matematikk et verktøy som har stor anvendelse i vårt teknologiske samfunn. I dette første kapitlet har vi tatt med mye repetisjonsstoff for dem som ønsker det, samtidig som nye vinklinger og spennende oppgavetyper kan by på utfordringer.

MATEMATIKKEN

Hva trenger vi egentlig matematikk til?

1

RUNDT OSS

Det er mye matematikk i kakebaking! Når Per skal bake sjokoladekake, bruker han en oppskrift. Det gjelder en toliters kakeform, mens Per bare har en form på 1,5 liter. I oppskriften står det blant annet at han trenger fire egg og 10 dl hvetemel. Hvor mange egg og hvor mye hvetemel må Per bruke? Anne er ingeniør. Hun arbeider med å konstruere bruer. En liten feil i beregningene eller unøyaktighet i arbeidet kan få katastrofale følger. Tenk deg for eksempel hva som ville skje dersom brua over Svinesund var feilkonstruert, slik at den ikke tålte mye vind.

Kompetansemål Eleven skal kunne • regne med rotuttrykk • omforme uttrykk og løse likninger av første grad med og uten digitale verktøy, presentere og begrunne løsningen og vurdere gyldighetsområde og begrensninger • regne med bokstavuttrykk og parentesuttrykk • bruke geometri i planet til å analysere og løse praktiske problemer med lengder, vinkler og areal


1.1

Veien om 1 – en nyttig framgangsmåte

Du skal lære – å løse praktiske oppgaver ved å gå «veien om 1»

Butikkene selger varer i forskjellige pakninger. For at vi forbrukere lett skal kunne sammenlikne prisene, plikter forretningene a˚ oppgi prisen i for eksempel kroner per kilogram eller kroner per liter. Gjennom noen eksempler viser vi hvordan du kan regne med «veien om 1». Det vi gjør, er a˚ finne ut hvor mye som tilsvarer e´n enhet. Deretter kan vi finne ut hvor mye en gitt størrelse svarer til. I tallregningen kan du bruke den enkle lommeregneren fra grunnskolen. Først na˚r du kommer til kapittel 2, er det nødvendig med en mer avansert lommeregner eller et annet digitalt verktøy.

EKSEMPEL 1 I en butikk koster saften Tropisk 23;90 kroner for en flaske pa˚ 1;5 liter, og 16;90 kroner for en literflaske. Literprisen er ogsa˚ gitt for den største flaska, men vi vil likevel kontrollregne det. Hvilken flaskestørrelse av Tropisk lønner det seg a˚ kjøpe? Løsning: Saft i flaska pa˚ 1;5 liter:

23;90 kroner  15;93 kroner per liter 1;5 liter

Det lønner seg a˚ kjøpe saftflaska pa˚ 1;5 liter.

EKSEMPEL 2 For en kalkun pa˚ 3;8 kg betaler Eli 171 kroner. a) Hva er prisen per kilogram for kalkunen? b) Hva ville en kalkun pa˚ 4;2 kg ha kostet? Løsning: a) Prisen er

171 kroner ¼ 45 kroner per kilogram 3;8 kg

b) 4;2 kg kalkun ville ha kostet 4;2  45 kroner ¼ 189 kroner.

10

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss


EKSEMPEL 3 Du har fa˚tt 750 danske kroner av en tante i Danmark. Du veksler inn pengene i en norsk bank en dag det koster 105;30 norske kroner for 100 danske kroner. Dette kaller vi kursen for danske kroner. Banken krever et vekslingsgebyr pa˚ 35 kroner. Hvor mange norske kroner fa˚r du utbetalt? Løsning: 100 danske kroner svarer til 105;30 norske kroner. 105;30 kroner E´n dansk krone svarer til ¼ 1;053 norske kroner 100 750 danske kroner svarer til 750  1;053 kroner ¼ 789;75 kroner. Før du fa˚r utbetalt pengene, trekker banken fra gebyret. Du fa˚r altsa˚ utbetalt 789;75 kroner  35 kroner ¼ 754;75 kroner.

AKTIVITETER Oppgave 1.1 Ole og Petter skulle beise husene sine. Ole kjøpte beis i et tilitersspann til 498 kroner. Petter kjøpte en annen type beis. Han betalte 188 kroner for beis i et firelitersspann. Hvem kjøpte den billigste beisen? Oppgave 1.2 I en oppskrift pa˚ fa˚rika˚l sta˚r det at 1;2 kg kjøtt og 1;6 kg ka˚l passer til fire personer. Hvor mye kjøtt og hvor mye ka˚l ma˚ vi kjøpe inn til fem personer? Oppgave 1.3 Bente trener pa˚ stier i en rundløype som er 3;5 km lang. Rekorden hennes er 14 minutter 30 sekunder.

Trine pleier a˚ løpe en runde pa˚ en vei som er 4;8 km lang. Den raskeste tida hun har løpt pa˚, er 22 minutter. Hvem har best kilometertid?

Oppgave 1.4 Du kjøper 2750 svenske kroner. Denne dagen opplyser banken at du ma˚ betale 80;40 norske kroner for 100 svenske kroner. Hvor mange norske kroner ma˚ du betale na˚r banken krever et vekslingsgebyr pa˚ 40 kroner?

Utfordring 1.5 Bjørnar kjøper et smørbrød pa˚ danskeba˚ten. Smørbrødet koster 40 danske kroner. Bjørnar betaler med 100 norske kroner og fa˚r tilbake 50 danske kroner i vekslepenger. a) Hvilken kurs pa˚ 100 danske kroner svarer det til?

Da Bjørnar kom hjem, fant han ut at kursen den aktuelle dagen hadde vært 104;30. b) Sammenlikn kursen regnet ut i a med den faktiske kursen. Kommenter.

Veien om 1 – en nyttig framgangsmåte

11


1.2

Prosent

Du skal lære – hva prosent brukes til, og hvordan vi regner ut prosentvis økning og nedgang – hvordan vi regner ut prosentvis andel, og hvor mange prosent en endring utgjør – å regne ut den opprinnelige verdien når vi kjenner endringen og prosenten

Na˚r vi skal vise hvor mye en del er av et hele, er det vanlig a˚ uttrykke det i hundredeler. Fem prosent betyr fem av hundre like deler: 5 ¼ 0;05 5%¼ 100

SKRIVEMÅTER FOR PROSENT

5%=

5 = 0,05 100

Ordet prosent er en omskriving av det italienske «per cento» (for, av hundre), som betyr «per hundre» eller «hundredel».

EKSEMPEL 4 Du kjøper et par sko i butikken. Skoene koster ordinært 1200 kroner. a) Hvor stort er avslaget i kroner? b) Hvor mye betaler du for skoene? Løsning: a) Avslaget er 40 % av kr 1200. Dette kan vi regne ut pa˚ to ma˚ter: kr 1200  40 ¼ kr 480 100

eller

kr 1200  0;40 ¼ kr 480

Avslaget er altsa˚ kr 480. b) Du betaler kr 1200  kr 480 ¼ kr 720.

EKSEMPEL 5 Pa˚ en skole er det 840 elever. Hvor mange prosent er jenter na˚r 400 av elevene er gutter? Løsning: Det er 440 jenter. Vi ma˚ regne ut hvor stor andel det utgjør av alle elevene pa˚ skolen: 440  0;524 ¼ 52;4 % 840 Na˚r vi husker at 100 % bare er en annen ma˚te a˚ skrive tallet 1 pa˚, kan vi gjøre slik: 440  100 %  52;4 % 840

12

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

ANDEL

SOM PROSENT

Vi må ofte regne ut hvor mange prosent en del er av det hele. Da kan vi regne slik: en del det hele I så fall må vi selv gjøre svaret om til prosent. For å slippe å gjøre omregningen på egen hånd kan vi bruke denne utregningen: en del  100 % det hele


EKSEMPEL 6

ENDRING

Publikumsgjennomsnittet pa˚ hjemmekampene til et fotballag har økt fra 5200 til 6500. Hvor mange prosent er økningen pa˚?

Vi kan regne slik: endring opprinnelig verdi

Løsning: Her er det en økning pa˚ 6500  5200 ¼ 1300. Vi ma˚ regne ut hvor mange prosent denne økningen utgjør av den opprinnelige verdien, som er det gamle tilskuertallet pa˚ 5200. Vi finner det slik: 1300 1300 ¼ 0;25 ¼ 25 % eller  100 % ¼ 25 % 5200 5200

Vi kan også regne slik: endring  100 % opprinnelig verdi

FRA

EKSEMPEL 7 Ida fikk et lønnstillegg pa˚ 4;2 %. Da økte ma˚nedslønna med kr 1029. Finn den gamle ma˚nedslønna. Løsning: 1 Vi vet altsa˚ at 4;2 % svarer til kr 1029. kr 1029 . Da svarer 1 % til 4;2 % kr 1029 2 Dermed vil 100 % svare til  100 % ¼ kr 24 500. 4;2 % Den gamle lønna var altsa˚ kr 24 500.

SOM PROSENT

ENDRING TIL

OPPRINNELIG VERDI

Når vi kjenner endringen og skal finne opprinnelig verdi, regner vi i to trinn: 1 Finn hva 1 % svarer til. 2 Finn den opprinnelige verdien ved å bruke at den skal svare til 100 %. Svaret blir alltid endring  100 % prosent

AKTIVITETER Oppgave 1.6 a) En jakke koster kr 1300. Den blir satt ned 30 %. Finn avslaget og tilbudsprisen. b) Jens sta˚r i kiosk om kvelden og har en timelønn pa˚ kr 120. Lønna øker med 5 %. Finn tillegget og den nye timelønna. c) Pa˚ en boks med 150 gram leverpostei sta˚r det at den inneholder 15 % fett. Hvor mange gram fett inneholder leverposteien?

Oppgave 1.7 a) I en klasse med 29 elever er det 13 gutter. Hvor mange prosent gutter er det i klassen? b) Det skal velges ny leder i elevra˚det. Oda fikk 245 stemmer, mens Atif fikk 329 stemmer. Hvor mange prosent av stemmene fikk Atif? c) Vi blander ra˚saft og vann i forholdet 1 : 4. Hvor mange prosent ra˚saft er det i blandingen?

Oppgave 1.8 a) Ved et valg øker et parti oppslutningen fra 20 prosentpoeng til 30 prosentpoeng. Hvor mange prosent økte oppslutningen? b) Under et salg blir en datamaskin satt ned fra kr 13 300 til kr 9999. Hvor mange prosent er avslaget pa˚? Oppgave 1.9 Pa˚ et salg er alt satt ned 40 %. Anne fa˚r kr 350 i avslag pa˚ en genser. Hva er full pris pa˚ genseren? Utfordring 1.10 Vi blander 50 gram 35 % eddik med 700 gram 5 % eddik. Finn eddikprosenten i blandingen. Miniprosjekt 1.11 Finn ut hvordan prosenttegnet har utviklet seg gjennom historien.

Prosent

13


1.3

Regnerekkefølge og fortegn

Du skal lære – å bruke regnerekkefølgen når du regner ut uttrykk med tall – å regne med fortegn

Hvordan skal vi regne ut 4 þ 5  32 ? Vi ma˚ ikke være i tvil om hvor vi skal begynne i slike utregninger. Derfor vedtar vi a˚ følge en regnerekkefølge:

REGNEREKKEFØLGE 1 Regn ut potenser.

1 Først regner vi ut eventuelle potenser.

2 Multipliser og divider.

2 Deretter utfører vi multiplikasjoner og divisjoner.

3 Regn sammen.

3 Til slutt regner vi sammen og finner svaret. I uttrykket va˚rt skal vi altsa˚ begynne med a˚ regne ut potensen 32 ¼ 3  3 ¼ 9.

EKSEMPEL 8 Regn ut 4 þ 5  32 for ha˚nd. Løsning: Over likhetstegnene har vi markert at vi følger regnerekkefølgen: 1

2

3

4 þ 5  32 ¼ 4 þ 5  9 ¼ 4 þ 45 ¼ 49

I eksemplet var vi nøye med a˚ regne ett og ett trinn om gangen. Na˚r vi blir trygge pa˚ regnerekkefølgen, sløyfer vi ofte en del av mellomregningen. Dersom vi vil bryte med rekkefølgen, ma˚ vi sette parentes slik som i ð2 þ 3Þ  4. Parentesen markerer at vi skal begynne med a˚ regne ut uttrykket inni parentesen først, altsa˚: ð2 þ 3Þ  4 ¼ 5  4 ¼ 20.

PARENTES Dersom det står et uttrykk inni en parentes, begynner vi med å regne ut dette uttrykket.

Dersom uttrykket inni parentesen er komplisert, bruker vi den vanlige regnerekkefølgen pa˚ dette uttrykket. Na˚r vi regner ut, ma˚ vi ofte bruke fortegnsreglene for multiplikasjon og divisjon. Vi gjør da bruk av at to like fortegn gir pluss i svaret, mens to ulike fortegn gir minus i svaret. Legg spesielt merke til at 32 ¼ 3  3 ¼ 9, mens ð3Þ2 ¼ ð3Þ  ð3Þ ¼ 3 og ð3Þ2 ¼ ð3Þ  ð3Þ ¼ 9.

FORTEGNSREGLER 23¼

6

ð2Þ  3 ¼ 6 2  ð3Þ ¼ 6

EKSEMPEL 9  2 Regn ut 7  42  5  ð3Þ for ha˚nd. Løsning:  2 7  42  5  ð3Þ ¼ 7  ð16 þ 15Þ2 ¼ 7  ð1Þ2 ¼ 7  1 ¼ 7

14

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

ð2Þ  ð3Þ ¼

6

6 ¼ 2 3 6 ¼ 2 3 6 ¼ 2 3 6 ¼ 2 3


I brøkregning ma˚ vi huske a˚ regne sammen telleren og nevneren hver for seg før vi regner ut verdien av brøken.

EKSEMPEL 10 Regn ut for ha˚nd:

13  ð3Þ2 . 3  12

Løsning: 13  ð3Þ2 13  9 4 ¼ ¼ 2 ¼ 2 31 2 31 I oppgaver fa˚r vi ofte bruk for a˚ sette inn størrelser i bokstavuttrykk. Na˚r vi setter inn negative tall, er det viktig a˚ sla˚ parentes om tallet som vist i neste eksempel. Legg ogsa˚ merke til at vi setter inn igjen multiplikasjonstegn som det er vanlig a˚ sløyfe i bokstavuttrykk.

EKSEMPEL 11 Regn ut verdien av b2  4ac na˚r a ¼ 2, b ¼ 3 og c ¼ 5. Løsning: ð3Þ2  4  ð2Þ  5 ¼ 9 þ 40 ¼ 49

AKTIVITETER Oppgave 1.12 Regn ut for ha˚nd:

a) 3  4 þ 5  22  2 c) 4  22  3  2 e) 32  2  5  22

Oppgave 1.14

b) ð2Þ2  3  ð2Þ d) 22  ð2Þ2 f) 2  ð5  3Þ  ð22  6Þ

3  22  8 5  32

c)

3  ð2Þ2  2  3 ð2Þ  ð3Þ

Oppgave 1.15

Regn ut verdien av p2  pq þ q2 na˚r

Oppgave 1.13 Regn ut for ha˚nd:

a)

Regn ut verdien av x2  2x  3 na˚r a) x ¼ 3 b) x ¼ 0 c) x ¼ 3 d) x ¼ 1

b)

ð2Þ2  6 2  3  22

a) p ¼ 2 og q ¼ 3 c) p ¼ 2 og q ¼ 3

b) p ¼ 2 og q ¼ 3 d) p ¼ 2 og q ¼ 3

Regnerekkefølge og fortegn

15


1.4

Regning med brøk

Du skal lære – å utvide og forkorte brøker – å skrive hele tall og blandete tall som brøker – å multiplisere, dividere og summere brøker

Vi minner om noen framgangsma˚ter vi ofte bruker i brøkregning: Utvide brøk:

2 24 8 ¼ ¼ 3 3  4 12

Forkorte brøk:

8 8:4 2 ¼ ¼ 12 12 : 4 3

Helt tall som brøk: 5 ¼

5 1

1 23þ1 7 Blandet tall som brøk: 2 ¼ ¼ 3 3 3

EKSEMPEL 12 Bruk brøkregning til a˚ avgjøre hvilket tall som er størst av

5 3 og . 12 8

Løsning: Vi sammenlikner brøkene ved a˚ utvide til felles nevner: 5 52 10 3 33 9 ¼ ¼ og ¼ ¼ 12 12  2 24 8 8  3 24 5 er størst. Konklusjonen blir at 12

I grunnskolen lærte vi a˚ multiplisere to brøker ved a˚ multiplisere teller med teller og nevner med nevner. Vi dividerer to brøker ved a˚ multiplisere med den omvendte brøken. Det neste eksemplet illustrerer dette.

EKSEMPEL 13 Regn ut som brøker: a)

4 2  7 3

Løsning: a) Vi fa˚r

b) 2 

2 3

c) 4 : 2

1 3

4 2 42 8  ¼ ¼ . 7 3 73 21

b) Vi skriver 2 som brøk og fa˚r 2 

2 2 2 4 ¼  ¼ . 3 1 3 3

1 1 4 7 4 3 12 c) Vi skriver 4 og 2 som brøker: 4 : 2 ¼ : ¼  ¼ 3 3 1 3 1 7 7

16

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

MULTIPLIKASJON

OG DIVISJON

1 Vi multipliserer brøker ved å multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren: a c ac  ¼ b d bd 2 Vi dividerer brøker ved å multiplisere med den omvendte brøken: a c a d : ¼  b d b c


EKSEMPEL 14 1 Vi betaler 40 kr for 1 kg tomater. Finn prisen per kilogram. 4 Løsning: Vi finner prisen ved a˚ dividere 40 med antall kilogram: 8

1 40 5 40 4 40 : 1 ¼ : ¼  ¼ 32 4 1 4 1 =5 1

Prisen pa˚ tomatene er 32 kr per kilogram. Na˚r nevneren er lik, kan vi addere brøker ved a˚ summere tellerne og beholde nevneren. Er nevnerne ikke like, ma˚ vi utvide brøkene slik at de fa˚r samme nevner, før vi summerer. Vi viser det i et eksempel.

ADDISJON 3 Vi adderer brøker med lik nevner ved å summere tellerne og beholde nevneren: a b aþb þ ¼ c c c Dersom nevnerne ikke er like, må vi utvide brøkene slik at de får samme nevner, før vi summerer.

EKSEMPEL 15 Regn ut som brøker: 5 1 5 7 b) 1 þ  2 a) þ 9 9 6 9 Løsning:

2

5 1 5þ1 66 2 a) Vi fa˚r direkte: þ ¼ ¼ ¼ 69 9 9 9 3 3

b) Vi skriver tallene som brøker og utvider til fellesnevneren, som er 18: 5 7 11 7 2 þ  1 þ 2 ¼ 6 9 6 9 1 11  3 72 2  18 þ  ¼ 63 92 1  18 33 14 36 33 þ 14  36 11 ¼ þ  ¼ ¼ 18 18 18 18 18

AKTIVITETER Oppgave 1.16 Regn ut som brøker: 32 2 4 a) b)  12 3 5 3 3 e) : 2 d)  2 7 7 2 1 3 1 g) 2  h) : 1 3 4 7 2

Oppgave 1.18 Regn ut som brøker:

2 5 : 3 4 3 f) 2 : 7 2 i) 2 : 2 3 c)

Oppgave 1.17 Kiloprisen for druer er kr 32. 3 Hvor mye betaler du for 1 kg druer? 4 Finn svaret ved a˚ regne som brøk.

5 3 þ 14 14 2 1 d) 1  3 2 a)

2 1  3 4 2 e) 1  2 3 b)

3 1 2 þ  4 2 3 5 5 f)  2 þ 1 6 9

c)

Oppgave 1.19 Ved en avstemning stemte 2=3 av elevene pa˚ en skole for a˚ øke antallet heldagsprøver, mens 1=4 stemte imot. Hvor stor brøkdel av elevene lot være a˚ stemme?

Regning med brøk

17


1.5

Grunnleggende algebra

Du skal lære – å multiplisere ut parenteser – å faktorisere bokstavuttrykk

Vi repeterer de grunnleggende betegnelsene ledd og faktor: – Uttrykket 3x þ 5 besta˚r av leddene 3x og 5. – Leddet 3x besta˚r av faktorene 3 og x. I grunnskolen har vi lært a˚ multiplisere tall med parenteser. For eksempel har vi 2ð3x þ 5Þ ¼ 2  3x þ 2  5 ¼ 6x þ 10. Tallet skal multipliseres med hvert ledd i parentesen. Har du tenkt pa˚ hvorfor dette er riktig? Det er jo egentlig regelen

TALL

MULTIPLISERT

MED PARENTES

c

a ðb þ cÞ ¼ ab þ ac Vi kan illustrere regelen med figuren i margen. Her er a ðb þ cÞ arealet av hele det store rektanglet. Dette arealet er lik summen av arealene ab og ac av de to sma˚ rektanglene. Altsa˚: a ðb þ cÞ ¼ ab þ ac. Vi ma˚ ofte kombinere denne regelen med fortegnsreglene. Vi viser det i et eksempel. Her sløyfer vi mellomregningen slik det er vanlig i utregninger.

b+c

b a a ðb þ cÞ ¼ ab þ ac Tallet skal multipliseres med hvert ledd i parentesen.

EKSEMPEL 16 Skriv enklest mulig: 3x ð2x  4Þ þ 2ðx  3Þ  ð14x  6Þ. Løsning: 3x ð2x  4Þ þ 2ðx  3Þ  ð14x  6Þ ¼ 6x2 þ 12x þ 2x  6  14x þ 6 ¼ 6x2

Na˚r vi multipliserer parentes med parentes, multipliserer vi hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. Da ma˚ vi være systematiske slik illustrasjonen i margen viser. Vi har altsa˚ ðx þ 1Þðx þ 2Þ ¼ x2 þ 2x þ x þ 2 ¼ x2 þ 3x þ 2

EKSEMPEL 17 Multipliser ut 2ð3x  4Þðx  5Þ. Løsning: Her skal 2 multipliseres med resultatet etter at vi har multiplisert de to parentesene. Vi setter derfor en ny parentes:   2ð3x  4Þðx  5Þ ¼ 2 3x2  15x  4x þ 20 ¼ 6x2  30x  8x þ 40 ¼ 6x2  38x þ 40

18

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

PARENTES

MED PARENTES

Vi multipliserer hvert av leddene i den ene parentesen med hvert av leddene i den andre:


Vi kan bruke regelen a ðb þ cÞ ¼ ab þ ac den andre veien for a˚ faktorisere: ab þ ac ¼ a ðb þ cÞ

FAKTORISERING ab þ ac ¼ a ðb þ cÞ

Vi faktoriserer uttrykk ved a˚ sette felles faktorer utenfor en parentes. Siden 2x er faktor ba˚de i 4x2 ¼ 2  2  x  x og i 6x ¼ 2  3  x, har vi

Vi faktoriserer uttrykk ved å sette felles faktorer utenfor en parentes.

4x2  6x ¼ 2x ð2x  3Þ Du kan kontrollere at faktoriseringen stemmer ved a˚ multiplisere ut igjen. Ofte bruker vi faktorisering til a˚ forkorte brøkuttrykk: 4x2  6x =2x ð2x  3Þ x 1 ¼ ¼ ¼ x 8x  12 2 2 =4ð2x  3Þ 2

MERK!

Du reagerer kanskje pa˚ ma˚ten vi skrev sluttsvaret pa˚? Men det er riktig fordi x 1x 1 x 1 ¼ ¼  ¼ x 2 21 2 1 2

x 1 ¼ x 2 2

og

3t 3 ¼ t 2 2

EKSEMPEL 18 Skriv enklest mulig:

2x  4 x2  2x : 3 6

Løsning: Vi multipliserer med den omvendte brøken. Før vi multipliserer ut, faktoriserer vi og forkorter: 2

2x  4 x2  2x 2x  4 6 2ðx  2Þ  =6 4 : ¼  2 ¼ ¼ =3  x ðx  2Þ 3 6 3 x  2x x

AKTIVITETER Oppgave 1.20 Regn ut: a) 2xðx  4Þ c) ð2x  3Þð3x  2Þ

Oppgave 1.23 Skriv enklest mulig:

b) 3ðx  2Þ  ðx  6Þ d) 2ð3x  2Þð4  xÞ

c)

Oppgave 1.21 Faktoriser uttrykkene:

a) 2x þ 4

b) 3x þ 3

c) x2  2x

d) 2x2  4x

e) 6x2 þ 4x

f) 6x2 þ 3x

Oppgave 1.22 Forkort brøkene:

4 2x þ 6 4x2 þ 4x c) 2x þ 2 a)

a)

x2  2x 2x  4 x2  2x d) 2 x þx

b)

3x þ 6 7  2 5 x þ 2x x2

3 6 :  2x 2x2  4x

b)

x2  x 5x  5 : 3 6

d)

x2  3x 3x  6  2x  4 6x2  18x

b)

x2 þ 2x x2

Utfordring 1.24 Forkort brøkene:

a)

2x  4 xþ2

c)

3x  x2 2x2  6x

Grunnleggende algebra

19


1.6

Likninger

Du skal lære – å bruke de grunnleggende likningsreglene – å sette opp og løse uoppstilte likninger

Vi løser likninger ved a˚ gjøre det samme pa˚ begge sider av likhetstegnet, slik at likningen holder seg i likevekt. For eksempel kan vi multiplisere og dividere med samme tall forskjellig fra null pa˚ begge sider av likhetstegnet. Denne regelen bruker vi slik: x x ¼ 2 gir =3  ¼ 3  2 , dvs. x ¼ 6 = 3 3 En annen regel vi ofte bruker, er at vi kan addere eller subtrahere samme tall pa˚ begge sider av likningen. For a˚ finne x i likningen x þ 3 ¼ 7 kan vi subtrahere 3 pa˚ begge sider av likhetstegnet: xþ3¼7

gir x þ 3  3 ¼ 7  3,

dvs. x ¼ 4

LIKNINGSREGLER 1 Vi kan multiplisere og dividere med samme tall forskjellig fra null på begge sider av likhetstegnet. 2 Vi kan addere og subtrahere samme tall på begge sider av likhetstegnet. 3 Vi kan flytte ledd over på den andre siden av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddet.

Vi fa˚r samme svar dersom vi flytter over leddet 3 og skifter fortegn: xþ3¼7

gir x ¼ 7  3,

dvs. x ¼ 4

Det er slik vi vanligvis bruker regelen. Vi flytter et ledd over pa˚ den andre siden av likhetstegnet og skifter samtidig fortegn pa˚ leddet.

EKSEMPEL 19 Løs likningen

2x 1  ¼ 2ð3  xÞ. 3 2

Løsning: 2x 1  ¼ 2ð3  xÞ 3 2 2x 1  ¼ 6 þ 2x 3 2

. . . Vi multipliserer ut parentesen

. . . Vi multipliserer med 6 på begge sider 2

2x 3 1 =6   =6  ¼ 6  ð6Þ þ 6  2x =3 =2

. . . Vi forkorter og multipliserer ut

4x  3 ¼ 36 þ 12x 4x  12x ¼ 36 þ 3

. . . Vi flytter over og skifter fortegn . . . Vi trekker sammen

8x ¼ 33 8x = 33 ¼ 8 8 = x ¼

20

33 8

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

. . . Vi dividerer med 8 på begge sider

. . . Vi finner x


EKSEMPEL 20 Ole, Trine og Bente er til sammen 43 a˚r. Ole er dobbelt sa˚ gammel som Trine, og Bente er tre a˚r eldre enn Trine. Hvor gamle er hver av dem? Løsning: I denne oppgaven kan det være lurt a˚ kalle den yngste for x. Trine er da x a˚r, Ole er 2x a˚r, og Bente er ðx þ 3Þ a˚r. Trine þ Ole þ Bente ¼ 43 x þ 2x þ x þ 3 ¼ 43 x þ 2x þ x ¼ 43  3 4x ¼ 40 = 4x 40 ¼ 4= 4 x ¼ 10 Trine er 10 a˚r, Ole er 20 a˚r, og Bente er 13 a˚r.

AKTIVITETER Oppgave 1.25 Løs likningene:

a) 3x ¼ 12 d) 3x ¼ 12 g)

1 2 ¼ x 2 3

1 x¼4 2 e) 16 ¼ 8x

b)

h)

x x ¼ 2 4

x 1 ¼ 3 6 f) x ¼ 8

c)

i)

2 4 ¼ 3 x

Oppgave 1.28 Marit, Britt og Elin lager keramikkfigurer som de selger til turister. En uke har de til sammen laget 70 figurer. Britt har laget ni flere enn Marit, og Marit har laget fire færre enn Elin. Hvor mange figurer har hver av dem laget?

2 1 x2¼x 3 2 1 x f) ¼  2ðx  1Þ 3 2

Oppgave 1.29 Ellen, Mari og Per selger til sammen 900 lodd. Ellen selger dobbelt sa˚ mange lodd som Per, og Mari selger 100 lodd mer enn Per. a) Sett opp en likning og finn hvor mange lodd hver av dem selger. b) Noe av inntekten fra loddsalget fa˚r de som lønn. Hvor mye fa˚r hver av dem i lønn na˚r de til sammen fa˚r 540 kroner?

Oppgave 1.27 Per er dobbelt sa˚ gammel som Ola. Kari er ti a˚r eldre enn Ola. Til sammen er de 78 a˚r. a) Ga˚ ut fra at Ola er x a˚r gammel. Hva blir da uttrykket for alderen til Per og Kari?

Utfordring 1.30 I en gymtime velger halvparten av elevene ballspill, tredelen velger styrketrening, mens resten, fire elever, er syke eller har glemt gymtøyet.

b) Sett opp en likning og finn ut hvor gamle de er.

Sett opp en likning og finn hvor mange elever som er med i gruppa.

Oppgave 1.26 Løs likningene:

a) 5x  3 ¼ 6 þ 2x

b) 4x  2 ¼ 5x  3

c) 5 ¼ 4  ð2x  3Þ

d)

e)

x 1  1 ¼  3ðx  2Þ 3 2

Likninger

21


1.7

Kvadratrøtter

Du skal lære – definisjonen av kvadratrot – å bruke multiplikasjonsregelen og divisjonsregelen for kvadratrøtter

pffiffiffi Na˚r vi skal regne ut 9, ma˚ vi finne det tallet som multiplisert med seg selv gir svaret 9. Det er to tall som oppfyller dette kravet: 3 og 3. For at det ikke skal oppsta˚ misforsta˚elser i matematikken, er det bestemt pffiffiffi pffiffiffi at vi med 9 alltid mener det positive tallet, det vil si at 9 ¼ 3. Definisjonen sier altsa˚ at

pffiffiffi2 pffiffiffi a er det positive tallet slik at a ¼ a.

DEFINISJON

AV

KVADRATROT

pffiffiffi a er det positive tallet slik at pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi2 a a¼ a

EKSEMPEL 21  pffiffiffi 2 a) Regn ut 3 x . 6 b) Skriv pffiffiffi uten kvadratrot i nevneren. 2

¼a

Løsning: a) Vi utnytter at vi kan bytte rekkefølgen i produkter:  pffiffiffi 2 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 3 x ¼ 3 x  3 x ¼ 3  3  x  x ¼ 9x pffiffiffi b) Vi utvider brøken med 2 pa˚ denne ma˚ten: pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 6 6 2 6 2 pffiffiffi ¼ pffiffiffi pffiffiffi ¼ ¼ 3 2 2 2 2 2 pffiffiffi pffiffiffi Vi har 4  9 ¼ 2  3 ¼ 6. Svaret blir det samme om vi regner ut pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 4  9 ¼ 36 ¼ 6. Altsa˚ er 4  9 ¼ 4  9. Dette er et eksempel pa˚ multiplikasjonsregelen for kvadratrøtter. Vi har ogsa˚ en regel for divisjon: pffiffiffi rffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi a a pffiffiffi ¼ a b¼ ab og b b Legg merke til at vi ikke har noen regel for addisjon og subtraksjon. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffi Du kan jo selv kontrollere at for eksempel 9 þ 16 6¼ 9 þ 16.

EKSEMPEL 22 Regn ut for ha˚nd: pffiffiffi pffiffiffi a) 2  8

pffiffiffiffiffi 75 b) pffiffiffi 3

Løsning: pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) Multiplikasjonsregelen gir 2  8 ¼ 2  8 ¼ 16 ¼ 4. pffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffi 75 pffiffiffiffiffi 75 ¼ 25 ¼ 5. b) Divisjonsregelen gir pffiffiffi ¼ 3 3

22

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

REGNING

MED

KVADRATRØTTER

Vi har multiplikasjonsregelen pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi a b¼ ab og divisjonsregelen pffiffiffi rffiffiffi a a pffiffiffi ¼ b b Legg merke til at vi ikke har noen regel for addisjon og subtraksjon av kvadratrøtter.


Legg merke til at vi kan bruke produktregelen den andre veien: pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 12 ¼ 4  3 ¼ 4  3 ¼ 2 3

SKILL

UT KVADRATTALL

pffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 12 ¼ 4  3 pffiffiffi ¼2 3

Vi kan altsa˚ skille ut kvadrattall som 4, 9, 16, 25, . . . slik at tallet under rottegnet blir minst mulig. Det kan vi bruke til a˚ forenkle uttrykk med rottegn. Vi viser det i et eksempel.

EKSEMPEL 23 pffiffiffi pffiffiffiffiffi Skriv enklest mulig: 7 8  50 Løsning: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffi 7 8  50 ¼ 7  4  2  25  2 pffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi ¼ 7  4  2  25  2 pffiffiffi pffiffiffi ¼ 72 2  5 2 pffiffiffi pffiffiffi ¼ 14 2  5 2 pffiffiffi ¼ ð14  5Þ 2 pffiffiffi ¼ 9 2

AKTIVITETER Oppgave 1.31 Regn ut for ha˚nd: pffiffiffi pffiffiffi  pffiffiffi2 a) 5 5 b) 2 3

Oppgave 1.33 Regn ut for ha˚nd: pffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 2  18 pffiffiffiffiffi 12 c) pffiffiffi 3

Oppgave 1.32 Skriv uten kvadratrot i nevneren: 4 5 b) pffiffiffi a) pffiffiffi 2 5 6 x d) pffiffiffi c) pffiffiffi x 3

Oppgave 1.34 Skriv enklest mulig for ha˚nd: pffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 12  3 b) 8 þ 18 pffiffiffiffiffi pffiffiffi c) 48  4 3

pffiffiffi pffiffiffiffiffi 3  12 pffiffiffiffiffi 18 d) pffiffiffi 2 b)

Utfordring 1.35

pffiffiffi pffiffiffi  31 3þ1 2 b) Skriv uten kvadratrot i nevneren: pffiffiffi 31

a) Regn ut for ha˚nd:

Kvadratrøtter

23


1.8

Dekadiske målenheter. Nøyaktighet

Du skal lære – om dekadiske målenheter – å gjøre om mellom dekadiske målenheter – om målenøyaktighet, gjeldende siffer og avrunding av svar

I margen repeterer vi noen av de dekadiske ma˚lenhetene du kjenner fra grunnskolen. Vi kaller enhetene dekadiske fordi vi kan gjøre om mellom dem ved a˚ gange eller dele med 10. Deka betyr ti.

DEKADISKE

ENHETER

km kg

Na˚r vi gjør om fra en enhet til en annen, kan vi tenke slik: – For hvert trinn vi ga˚r nedover i trappa, ganger vi med 10.

hg

m

hl

g

dm cm

l cl

Vi lager nye enheter ved hjelp av forstavelser: kilo betyr tusen, og desi betyr tidel. Vi fa˚r da for eksempel kilometer, km, som betyr tusen meter, og desimeter, dm, som betyr tidelen av en meter. I tillegg har noen enheter egne navn: 1 mil ¼ 10 km og 1 tonn ¼ 1000 kg. I margen gir vi en oversikt over de vanligste forstavelsene.

giga mega kilo hekto deka desi centi milli mikro

Gjør om 4;2 cm til meter. Løsning: Vi skal dividere med 10 to ganger. Det gjør vi ved a˚ flytte desimalkommaet to plasser mot venstre. Vi fa˚r 4;2 cm ¼ 0;042 m.

Na˚r vi trenger større presisjon, ma˚ vi bruke andre ma˚leredskaper. Det vanligste i industrien er skyvelære og mikrometerskrue. Skyvelæret kan ma˚le med en nøyaktighet pa˚ en tidels millimeter, mens mikrometerskruen kan ma˚le med en nøyaktighet pa˚ en hundredels millimeter. De mest moderne metodene for a˚ ma˚le større avstander nøyaktig er basert pa˚ laserteknologi. En laserpuls blir sendt ut, reflektert og mottatt i utgangspunktet. Den tida laserlyset bruker pa˚ dette, blir sa˚ ma˚lt. Dermed kan vi regne ut lengden.

24

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

ml

FORSTAVELSER

EKSEMPEL 24

Na˚r vi ma˚ler avstander i geometrien pa˚ skolen, bruker vi oftest linjal. Har du tenkt pa˚ at vi da ikke kan ma˚le lengder helt nøyaktig? For eksempel ser du at lengden pa˚ figuren er ca. 2;4 cm. Vi skriver «ca.» for a˚ understreke at det ikke er mulig a˚ oppgi lengden helt nøyaktig. Vi sier at 2;4 cm er en tilnærmingsverdi med to gjeldende siffer for den oppgitte lengden. Det vil si at den «riktige» lengden ligger et eller annet sted mellom 2;35 cm og 2;45 cm.

mg

dl

– For hvert trinn vi ga˚r oppover i trappa, deler vi med 10.

mm

0

1

G M k h da d c m m

milliard million tusen hundre ti tidel hundredel tusendel milliondel

2

3


Na˚r vi regner ut et svar, ma˚ ikke svaret oppgis mer nøyaktig enn de størrelsene vi gikk ut fra. Na˚r vi ganger eller deler, runder vi av svaret til samme antall gjeldende siffer som det vi gikk ut fra.

SIFFERREGEL Rund av svaret til samme antall gjeldende siffer som det du gikk ut fra.

EKSEMPEL 25 Finn arealet av et rektangel med lengden 3;6 cm og bredden 2;4 cm. Løsning: De to størrelsene vi ga˚r ut fra, har to gjeldende siffer. Da runder vi ogsa˚ av svaret til to gjeldende siffer. Altsa˚: 3;6 cm  2;4 cm  8;6 cm2 .

Vi regner ofte med kilometer per time, km=h, og meter per sekund, m=s: km 1 km 1000 m 1000 m 1 ¼ ¼ ¼ ¼ m=s h 1h 60  60 s 3600 s 3;6 Vi kan altsa˚ gjøre om fra km=h til m=s ved a˚ dividere med 3;6. Omvendt kan vi gjøre om fra m=s til km=h ved a˚ gange med 3;6.

MELLOM KM/H

OG M/S

3, 6 m s

km h 3, 6

EKSEMPEL 26 Gjør om 25 m=s til kilometer per time (km=h). Løsning: Vi ganger med 3;6 og fa˚r 25 m=s ¼ 25  3;6 km=h ¼ 90 km=h.

AKTIVITETER Oppgave 1.36 Gjør om: a) 34;7 ml til liter

c) 3;47 m til centimeter e) 2;3 dm til meter

b) 1;57 kg til gram d) 35;2 mm til meter f) 3;2 g til hektogram

Oppgave 1.37 Regn ut arealet av et rektangel med lengden 4;38 dm og bredden 3;67 dm.

Oppgave 1.38 a) Gjør om 72 km=h til meter per sekund (m=s). b) Gjør om 30 m=s om til kilometer per time (km=h). c) Ida sykler 20 km i løpet av 1 time 15 minutter. Regn ut gjennomsnittsfarten i km=h og i m=s.

Oppgave 1.39 En forretning tilbyr pakker med fire beger yoghurt til 14;90 kroner. Hvert beger inneholder 125 ml yoghurt. Den samme forretningen tilbyr ogsa˚ enkeltbeger med 175 ml yoghurt til 4;90 kroner. Sammenlikn prisene per liter yoghurt for de to tilbudene. Utfordring 1.40 En pasient skal fa˚ tilført medisin intravenøst med 16 dra˚per per minutt. Vi regner at 1 milliliter (ml) svarer til 20 dra˚per. Pasienten skal ha tilført 0;1 liter væske til sammen. Medisineringen begynner kl. 09:45. Na˚r skal den avsluttes? Miniprosjekt 1.41 Søk pa˚ nettet og finn ut hva Justervesenet i Norge arbeider med. Lag en kort oversikt for gruppa.

Dekadiske målenheter. Nøyaktighet

25


1.9

Pytagoras’ setning

Du skal lære – Pytagoras’ setning for rettvinklete trekanter – å bruke setningen til å finne den tredje siden når vi kjenner de to andre sidene – å bruke setningen til å kontrollere om en trekant er rettvinklet

Kunnskapen om forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant er beskrevet pa˚ leirtavler datert til om lag 1700 a˚r før va˚r tidsregning. Selv om setningen var kjent lenge før matematikeren Pytagoras levde, har setningen fa˚tt navnet hans.

DEN

s

enu

ot hyp

Vi repeterer Pytagoras’ setning i margen. Ved hjelp av denne setningen kan vi regne ut den tredje siden i en rettvinklet trekant na˚r vi kjenner de to andre sidene.

PYTAGOREISKE

LÆRESETNINGEN

katet

katet katet þ katet 2 ¼ hypotenus 2 2

EKSEMPEL 27 En 12 m høy mast skal festes til bakken med en sta˚lvaier. Vaieren skal festes til bakken 16 m fra masta. Hvor lang ma˚ vaieren være? Løsning: Vi finner den ukjente hypotenusen: x 2 ¼ 16 2 þ 12 2 ¼ 400 Ettersom x er positiv, blir x ¼

xm

12 m

16 m

pffiffiffiffiffiffiffiffi 400 ¼ 20. Vaieren ma˚ være 20 m.

EKSEMPEL 28 Figuren viser en 5;00 m lang stige som sta˚r 1;50 m fra en vegg. Hvor høyt opp pa˚ veggen rekker stigen? Løsning: Pa˚ figuren kaller vi høyden x m. Vi skal da finne kateten:

xm

5,00 m

x 2 þ 1;50 2 ¼ 5;00 2 x 2 ¼ 5;00 2  1;50 2 ¼ 22;75 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ettersom x er positiv, fa˚r vi x ¼ 22;75  4;77. Stigen rekker 4;77 m opp pa˚ veggen.

1,50 m

RETT

Vi kan ogsa˚ bruke Pytagoras’ setning til a˚ kontrollere om en trekant er rettvinklet. Dersom lengdene av sidene i en trekant passer i setningen, vet vi at trekanten er rettvinklet. Dette kan vi for eksempel bruke til a˚ kontrollere at en grunnmur pa˚ en byggeplass er i rett vinkel.

26

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

VINKEL

Dersom sidene i en trekant passer i den pytagoreiske læresetningen, vet vi at trekanten er rettvinklet.


EKSEMPEL 29 Vi har ma˚lt opp grunnmuren som vist pa˚ figuren. Kontroller at veggene sta˚r 90 pa˚ hverandre.

13,69 m

Løsning: Vi undersøker om lengdene passer i Pytagoras’ setning: 16;13 2 ¼ 8;52 2 þ 13;69 2

gir

3

,1 16

8,52 m

m

260;18 ¼ 260;01

Svarene er sa˚ like at vi kan ga˚ ut fra at veggene sta˚r tilnærmet i 90 vinkel.

Det finnes mange bevis for den pytagoreiske læresetningen. Ett bevis tar utgangspunkt i et kvadrat pa˚ skra˚ inni et annet kvadrat, som vist pa˚ figuren. Da fa˚r vi fire rettvinklete trekanter som er like store. Vi sammenlikner arealene: stort kvadrat ¼ lite kvadrat þ fire trekanter 1 ða þ bÞ  ða þ bÞ ¼ c  c þ 4  ab 2 a2 þ ab þ ab þ b2 ¼ c2 þ 2ab a2 þ b2 ¼ c2 þ 2ab  2ab

b

a

a

c c

a

c

b a

a2 þ b2 ¼ c2

b

c

b

AKTIVITETER Oppgave 1.42 Finn x pa˚ figurene:

a)

b)

x

x

1, 6

2, 6

2,6

c)

d)

x

1, 4 2, 7

2, 9

x 1, 3 2, 5

Oppgave 1.43 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 4;7 m. Den ene kateten er 2;2 m. Hvor lang er den andre? Oppgave 1.44 Finn ut om disse trekantene er rettvinklete (sidene er gitt i meter): a) 6, 8 og 10 b) 4;5, 6;0 og 7;5 c) 8, 10 og 13

Oppgave 1.45 Hvordan kan vi bruke en tau-ring som har tolv knuter med samme avstand mellom hver knute, til a˚ avgjøre om en trekant er rettvinklet. Tegn og forklar. Oppgave 1.46 Vi holder i snora til en drake. Snora er 150 m lang. Vi vil vite hvor høyt over bakken draken er na˚r en person som sta˚r rett under draken, er 70 m fra deg pa˚ et flatt jorde. Tegn figur og finn svaret ved hjelp av Pytagoras’ setning. Utfordring 1.47 En klassisk oppgave fra matematikkens historie i Kina lyder slik: En bambusstokk er 10 chih høy. Stokken brekker, og toppen av stokken berører bakken 3 chih fra foten av stammen. Hvor høyt opp pa˚ stammen skjer bruddet?

Pytagoras’ setning

27


1.10

Areal og omkrets

Du skal lære – å regne ut areal og omkrets ved hjelp av formler du kjenner fra grunnskolen

FORMLER

FOR AREAL OG OMKRETS

Kvadrat

Rektangel

a

Parallellogram g b

a A =a

2

h

a

g

A =ab

A =gh

Trekant

Trapes

Sirkel

b h g A= 1 2 gh

r

h a ( a + b) h A= 2

A = pr 2 O = 2pr

EKSEMPEL 30 En oppkjøring til et hus har form som et trapes der de parallelle sidene er 8 m og 12 m. Avstanden mellom disse sidene er 5 m. Oppkjøringen skal asfalteres. Hvor mange kvadratmeter skal dekkes med asfalt? Løsning: Vi bruker formelen for arealet av et trapes. Her foretrekker vi a˚ sette inn størrelsene uten enheter. Da ma˚ vi huske pa˚ a˚ skrive en svarsetning. ða þ bÞ h ð12 þ 8Þ  5 ¼ ¼ 50 A ¼ 2 2 50 m2 skal dekkes med asfalt.

EKSEMPEL 31 a) Finn radien i en sirkel med omkretsen 8;8 cm. b) Finn høyden i en trekant med grunnlinje 4;5 dm og areal 6;3 dm2 . Løsning: a) Vi lar radien være x cm og løser en likning: 2x 8;8 , dvs. x  1;4 ¼ 2x ¼ 8;8 gir 2 2 Radien er ca. 1;4 cm. b) Vi lar x dm være høyden og løser en likning: 1 12;6  4;5  x ¼ 6;3 gir 4;5x ¼ 12;6, dvs. x ¼ ¼ 2;8 2 4;5 Høyden er 2;8 dm.

28

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

8m

5m

12 m


EKSEMPEL 32 En treplatting har form som en regulær sekskant med sider pa˚ 3;00 m. Regn ut arealet av plattingen. Løsning: Vi deler plattingen i seks like store trekanter. Vinklene i sentrum av plattingen er 360 =6 ¼ 60. Siden vinkelsummen i en trekant er 180, blir det igjen 120 til de to andre vinklene i hver trekant. Avstanden fra hjørnene av sekskanten inn til sentrum i plattingen er den samme overalt. Trekantene er derfor likebeinte. Hver av de andre vinklene i trekantene er altsa˚ 120 =2 ¼ 60 , det vil si at alle vinklene i trekantene er 60. Da er trekantene likesidet. Alle sidene er 3;00 m. For a˚ finne arealet tar vi for oss en av trekantene. Vi kaller høyden x m. Ettersom trekanten er likebeint, deler høyden den motsta˚ende siden i to like store deler. Den pytagoreiske læresetningen gir pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 1;502 ¼ 3;002 dvs. x ¼ 3;002  1;502  2;60

3,00 m xm 1,50 m

Plattingen utgjør arealet av seks slike trekanter, altsa˚ 1 1 A ¼ 6   g  h ¼ 6   3;00 m  2;60 m ¼ 23;4 m2 2 2

Til slutt nevner vi omgjøring av enheter. Vi finner arealet ved a˚ multiplisere to lengder med hverandre. Na˚r vi ga˚r ned eller opp, ma˚ vi derfor gange eller dele med 10 to ganger. Altsa˚ ma˚ vi flytte desimalkommaet to plasser.

3,00 m

AREALENHETER m2

Ved omgjøring av volum flytter vi kommaet tre plasser.

VOLUMENHETER m3

dm2

dm3

cm2 mm2

cm3 mm3

AKTIVITETER Oppgave 1.48 2

a) Gjør om 2;3 dm til kvadratmeter. b) Gjør om 1;22 cm2 til kvadratmillimeter. c) Gjør om 178 cm3 til kubikkmeter. Oppgave 1.49 Finn arealet og omkretsen av en sirkel med radius 4;2 cm. Oppgave 1.50 Et beiteomra˚de er rektangulært med lengden 450 m og bredden 300 m. Hvor mange meter elektrisk gjerde trengs det for a˚ gjerde inn omra˚det? Hvor stort areal har beiteomra˚det?

Oppgave 1.51 Vi skal dekke en plass med klinkefliser og legge kantstein rundt hele plassen. Plassen er en rettvinklet trekant med kateter pa˚ 12;5 m og 10;5 m. a) Hvor stort areal har plassen? b) Hvor mange meter kantstein ga˚r med? Oppgave 1.52 En duk har form som et rektangel med en halvsirkel i hver kortende. Rektanglet er 2;50 m langt og 2;10 m bredt. Vi skal sy pa˚ kantba˚nd rundt duken. a) Hvor langt blir kantba˚ndet? b) Hvor mange kvadratmeter er duken?

Areal og omkrets

29


1.11

Formlike figurer

Du skal lære – å regne med formlike figurer

Den greske matematikeren Tales, som levde ca. 600 f.Kr., fant høyden BC av en pyramide i Egypt. Tales ma˚lte skyggen av pyramiden og beregnet avstanden inn til sentrum i pyramiden. Han fant at AB ¼ 190 m. Samtidig ma˚lte han høyden og skyggen av en vertikal stokk. Pa˚ figuren har vi overdrevet størrelsen av stokken. C

F xm 2, 0 m D

2, 6 m

E

A

190 m

B

Ut fra disse ma˚lingene kunne Tales regne ut at pyramiden var ca. 146 m høy. Hvordan klarte han det? Nedenfor viser tre elever framgangsma˚ter som Tales kan ha brukt.

Alle har gjort bruk av at trekantene ABC og DEF er formlike. Men de har regnet forskjellig etter hvilken metode de er vant til fra grunnskolen. Metodene er likverdige og gir samme svar. Med tanke pa˚ trigonometrien vi skal lære i kapittel 6, kommer vi i viderega˚ende skole vanligvis til a˚ bruke en av de to siste framgangsma˚tene. Vi skal komme tilbake til den første framgangsma˚ten i oppslag 1.13. I mange oppgaver ma˚ vi selv begrunne hvorfor to figurer er formlike. Det gjør vi ved a˚ vise at to og to vinkler er like store pa˚ figurene. Da fa˚r vi ofte bruk for to geometriske setninger. Den ene er at vinkelsummen i en trekant er 180. Denne setningen kjenner vi fra grunnskolen.

30

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

VINKELSUMMEN I EN TREKANT

Vinkelsummen i en trekant er 180 .


TO

En annen viktig setning sier at to vinkler er like store na˚r to og to vinkelbein sta˚r parvis vinkelrett pa˚ hverandre. Pa˚ figuren i margen vil det for eksempel si at vi har ff u ¼ ff v.

OG TO VINKELBEIN PARVIS

VINKELRETT PÅ HVERANDRE

v

Vi skal forklare at ff u ¼ ff v. Da sammenlikner vi de to fargelagte trekantene. – Begge de to trekantene har en rett vinkel pa˚ 90 . – I tillegg vet vi at de markerte toppvinklene er like store.

u

– Siden vinkelsummen i en trekant alltid er 180, ma˚ ogsa˚ den tredje vinkelen i de to trekantene være like stor. Det vil si at ff u ¼ ff v.

To vinkler er like store når to og to vinkelbein står parvis vinkelrett på hverandre: ff u ¼ ff v.

Vi bruker den siste setningen i neste eksempel.

EKSEMPEL 33 C

Bruk opplysningene pa˚ figuren i margen. a) Forklar at trekantene AFC og CFB er formlike. b) Regn ut lengden AF.

4 x

Løsning: a) Vi har ff AFC ¼ ff CFB fordi begge vinklene er 90. Siden AF ? CF og AC ? CB, er ff FAC ¼ ff FCB. To vinkler er dermed like, og da er ogsa˚ den tredje vinkelen lik. Altsa˚ er trekantene AFC og CFB formlike.

2

A

F

B

b) Vi setter AF ¼ x og sammenlikner sider som svarer til hverandre i de to formlike trekantene. Vi begynner med den siden vi skal finne, og fa˚r AF CF x 4 4 ¼ gir ¼ , dvs. x ¼ 4  ¼ 8 CF BF 4 2 2

AKTIVITETER Oppgave 1.53 ym

Oppgave 1.55 Vi har PQ k RT. Finn lengden y. 2,80 m

1,80 m

P

2,00 m y xm

2,14 m

Finn x og y i de formlike trekantene.

Q

T 6 6 R

18

S

Utfordring 1.56 C

Oppgave 1.54 Vi har AB k CD. Regn ut lengden x. A

x

8

12 B

x

D

E 10

C

12 A

3 F

B

Regn ut høyden x pa˚ figuren.

Formlike figurer

31


1.12

Vekstfaktor

Du skal lære – hva vi mener med vekstfaktor i prosentregning – å regne ut sluttverdier ved å multiplisere med vekstfaktoren – å regne ut opprinnelig verdi ved å dividere med vekstfaktoren – å utnytte vekstfaktoren når det er flere prosentvise tillegg eller fradrag

Dersom vi tjener 110 kr per time og fa˚r en lønnsøkning pa˚ 5 %, blir den nye timelønna kr 110  5 ¼ kr 115;50 kr 110 þ 100 Vi slipper a˚ skrive det midterste leddet dersom vi multipliserer med vekstfaktoren 1;05 pa˚ denne ma˚ten: kr 110  1;05 ¼ kr 115;50.

VEKSTFAKTOR p 100 p p % nedgang: 1  100 p % økning:

p . 100 p . – Ved en nedgang pa˚ p % finner vi vekstfaktoren slik: 1  100 – Ved en økning pa˚ p % finner vi vekstfaktoren slik: 1 þ

EKSEMPEL 34 Ved et lønnsoppgjør fa˚r alle ansatte en lønnsøkning pa˚ 3;5 %. Finn den nye lønna til Kari og Tore, som før lønnsøkningen tjente henholdsvis kr 260 000 og kr 240 000. Løsning: 3;5 ¼ 1;035. 100 Ny lønn for Kari: kr 260 000  1;035 ¼ kr 269 100. Ny lønn for Tore: kr 240 000  1;035 ¼ kr 248 400.

Vi finner vekstfaktoren pa˚ lommeregneren: 1 þ

Na˚r vi kjenner den opprinnelige verdien, finner vi altsa˚ sluttverdien ved a˚ multiplisere med vekstfaktoren. Vi kan ogsa˚ regne omvendt. Na˚r vi kjenner sluttverdien, finner vi den opprinnelige verdien ved a˚ dividere med vekstfaktoren.

EKSEMPEL 35 Etter at en jakke er satt ned 40 %, koster den kr 510. Hva kostet jakka opprinnelig? Løsning: Vekstfaktor: 1  Opprinnelig pris:

32

40 ¼ 0;60 100 kr 510 ¼ kr 850 0;60

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

REGNING

MED VEKSTFAKTOR

vekstfaktor opprinnelig verdi

sluttverdi vekstfaktor


EKSEMPEL 36 I 1990 kostet en kroneis kr 8. Fra 1990 til 1998 økte prisen med 62;5 %, mens den økte med 15;4 % fra 1998 til 2005. a) Hvor mye kostet kroneisen i 2005? b) Hvor mange prosent økte prisen fra 1990 til 2005? Hvorfor blir det galt a˚ legge sammen prosentene? Løsning: 62;5 15;4 ¼ 1;625 og 1 þ ¼ 1;154. 100 100 a) Først ma˚ vi gange med vekstfaktoren 1;625. Deretter ganger vi med vekstfaktoren 1;154. I 2005 er prisen kr 8  1;625  1;154 ¼ kr 15. Vekstfaktorene er 1 þ

kr 7  100 % ¼ 87;5 %. kr 8 Den siste økningen pa˚ 15;4 % blir regnet av et større tall enn kr 8. Derfor blir den samlede prosentvise økningen større enn 62;5 % þ 15;4 % ¼ 77;9 %.

b) Prisen har økt med kr 7. Økningen i prosent er

EKSEMPEL 37 Eli eier en bil som er verdt kr 200 000. Verdien faller 20 % per a˚r. a) Finn hvor mye bilen er verdt om to a˚r. b) Hva var bilen verdt for to a˚r siden? Løsning: 20 Vekstfaktoren er 1  ¼ 0;80. 100 a) Vi ganger med vekstfaktoren to ganger: kr 200 000  0;802 ¼ kr 128 000. b) Vi deler med vekstfaktoren to ganger:

kr 200 000 ¼ kr 312 500. 0;802

AKTIVITETER Oppgave 1.57 En mobiltelefon koster kr 2560. Hva koster den na˚r prisen

a) øker 12;5 %?

b) blir satt ned 12;5 %?

Oppgave 1.58 Etter et lønnstillegg pa˚ 4;5 % tjener Cecilie kr 265 430. Hva tjente hun før lønnstillegget? Oppgave 1.59 Hvert a˚r har en kommune økt ungdomsbudsjettet med 4 %. I 2008 var budsjettet pa˚ 12;5 millioner kroner. a) Regn ut budsjettet i 2010.

Oppgave 1.60 For flere a˚r siden fikk Oda et beløp til konfirmasjonen som hun lot sta˚ i banken til en a˚rlig rente pa˚ 4 %. I a˚r er kontoen pa˚ 20 000 kr. a) Hva blir kontoen pa˚ om to a˚r? b) Hva var kontoen pa˚ for to a˚r siden? Utfordring 1.61 En bedrift økte omsetningen fra 3;4 millioner kroner til 5;0 millioner kroner i løpet av to a˚r. Omsetningen økte med samme prosent hvert a˚r. Hvor stor var denne prosenten?

b) Finn den prosentvise økningen fra 2008 til 2010.

Vekstfaktor

33


1.13

Lineært forholdstall

Du skal lære – å bruke det lineære forholdstallet ved forstørring og forminskning – hvordan det lineære forholdstallet blir brukt i målestokker – å utnytte det lineære forholdstallet til å regne ut forholdet mellom arealer av formlike figurer

Pa˚ figuren nedenfor har vi forstørret sidene pa˚ en figur med 40 %. Vinklene endrer seg ikke under forstørringen. De to figurene er altsa˚ formlike. For a˚ finne lengden av en side pa˚ den store figuren multipliserer vi den tilsvarende siden pa˚ den lille figuren med vekstfaktoren 1;40. Na˚r vi regner med formlike figurer, kaller vi vekstfaktoren et lineært forholdstall. Her er altsa˚ det lineære forholdstallet f ¼ 1;40. LINEÆRT f

f

FORHOLDSTALL

Det lineære forholdstallet f er det konstante forholdet mellom samsvarende sider på formlike figurer.

For a˚ finne lengden av en side pa˚ den lille figuren dividerer vi den tilsvarende siden pa˚ den store figuren med det lineære forholdstallet f ¼ 1;40. Vi bruker det lineære forholdstallet na˚r vi for eksempel lager kart. Dersom du har løpt orientering, har du kanskje brukt et kart i ma˚lestokken 1 : 5000. Det vil si at 1 cm pa˚ kartet svarer til 5000 cm i terrenget. Det lineære forholdstallet fra kartet til terrenget er altsa˚ f ¼ 5000. En ma˚lestokk pa˚ 1 : f betyr altsa˚ at det lineære forholdstallet fra kartet til terrenget er lik f .

EKSEMPEL 38 Anne løper etter et kart i ma˚lestokken 1 : 5000. a) Pa˚ kartet er det 3 cm mellom to punkter. Hvor stor er avstanden i terrenget? b) En avstand i terrenget er 200 m. Hvor stor blir avstanden pa˚ kartet? Løsning: a) Fra kartet til terrenget multipliserer vi med forholdstallet: 3 cm  5000 ¼ 15 000 cm ¼ 150 m b) Fra terrenget til kartet dividerer vi med forholdstallet: 200 m ¼ 0;04 m ¼ 4 cm 5000

34

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

MÅLESTOKK Målestokken 1 : f vil si at det lineære forholdstallet fra kartet eller tegningen til virkeligheten er lik f .


Alle arealer inneholder to lengder som er multiplisert med hverandre. Har vi to figurer med det lineære forholdstallet f , blir derfor forholdet mellom arealene lik f 2 . Dersom vi dobler radien i en sirkel, er det lineære forholdstallet f ¼ 2. Forholdet mellom arealene blir da f 2 ¼ 22 ¼ 4. Arealet blir altsa˚ fire ganger sa˚ stort.

FORHOLD

MELLOM

AREALER

Dersom f er det lineære forholdstallet mellom to formlike figurer, blir forholdstallet mellom arealene f 2 . Forholdstallet mellom volumene blir f 3 .

EKSEMPEL 39 a) Vi øker sidene i en trekant med 20 %. Hvor mange prosent øker arealet? b) Vi vil erstatte en figur med en formlik figur som har dobbelt sa˚ stort areal. Hvor mange prosent ma˚ vi øke sidelengden? Løsning: a) Det lineære forholdstallet blir f ¼ 1;20. Forholdet mellom arealene blir da f 2 ¼ 1;20 2 ¼ 1;44. Arealet øker altsa˚ med 44 %. b) Vi ma˚ bruke det lineære forholdstallet f slik at f 2 ¼ 2. pffiffiffi Da blir f ¼ 2  1;41. Vi ma˚ øke sidelengden med 41 %.

AKTIVITETER Oppgave 1.62 Et hus er tegnet i ma˚lestokken 1 : 100. a) Vi ma˚ler 1;7 cm pa˚ tegningen. Hvor langt er det i huset? b) Kjøkkenet er 5;70 m bredt. Hvor bredt er det pa˚ tegningen?

Oppgave 1.64 a) Vi gjør radien i en sirkel tre ganger sa˚ stor. Hvor mange ganger større blir arealet? b) Vi øker alle sidene i en trekant med 30 %. Hvor mange prosent øker arealet? c) Vi skal forstørre en figur slik at arealet blir tre ganger sa˚ stort. Hvor mange prosent ma˚ vi øke sidelengdene?

Oppgave 1.63 Arbeidstegningen viser enden av en sylinder. Hva er diameteren i sylinderen na˚r tegningen er i ma˚lestokken

d) Vi øker radien i en kule med 20 %. Hvor mange prosent øker volumet av kula?

a) 1 : 20

b) 4 : 1

Oppgave 1.65 Vi øker alle sidene i en terning med 30 %. Hvor mange prosent øker volumet?

Lineært forholdstall

35


1.14

Sammensatte eksempler

EKSEMPEL 40 Regn ut som brøk:

  1 1 1  :1 2 3 3

Løsning:     1 1 1 13 12 4 3  2 4 1 =3 1  :1 ¼  : ¼ : ¼  ¼ 2 3 3 23 32 3 6 3 6= 4 8 2

EKSEMPEL 41 Forbruket av en ressurs øker med 7 % per a˚r. Forbruket er 120;0 millioner kg i 2009. a) Hvor stort blir forbruket i 2011? b) Hvor stort var forbruket i 2007? c) Hvor mange prosent økte forbruket til sammen fra 2007 til 2011? d) Forklar hvorfor svaret i c er større enn 4  7 %. Løsning: 7 ¼ 1;07. 100 Vi finner forbruket om to a˚r ved a˚ regne ut 120;0  1;072  137;4. Forbruket i 2011 blir ca. 137;4 millioner kg.

a) Vekstfaktoren er 1 þ

120;0  104;8. 1;072 Forbruket i 2007 var ca. 104;8 millioner kg.

b) Forbruket for to a˚r siden er gitt ved

c) Økningen fra 2007 til 2011 er 32;6 millioner kg. 32;6 mill. kg  100 %  31;1 %. Samlet økning i prosent er 104;8 mill. kg d) Svaret i c er større enn 4  7 % ¼ 28 %. Grunnen er at økningen pa˚ 7 % blir regnet av større og større tall.

EKSEMPEL 42 Hvilken ma˚lestokk er brukt pa˚ denne arbeidstegningen? Løsning: Vi ma˚ler den avmerkete diameteren og finner at den er 25 mm. Denne lengden skal svare til 10 m ¼ 10 000 mm. Forholdet mellom en lengde i virkeligheten og den tilsvarende lengden pa˚ figuren blir da 10 000 mm ¼ 400 25 mm Arbeidstegningen er tegnet i ma˚lestokken 1 : 400.

36

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss


EKSEMPEL 43 Et skilt har form som en regulær a˚ttekant. Hver sidekant er 10 cm, og avstanden fra et hjørne inn til sentrum av skiltet er 13 cm. Vi skal male 250 slike skilt. Hvor mange kvadratmeter skal males til sammen? Løsning: Figuren viser en av de a˚tte likebeinte trekantene som danner a˚ttekanten. Vi lar x cm være høyden i trekanten: x2 þ 52 ¼ 132

gir x2 ¼ 132  52 ¼ 144, dvs. x ¼

x cm

pffiffiffiffiffiffiffiffi 144 ¼ 12

1 Samlet areal blir: 250  8   10 cm  12 cm ¼ 120 000 cm2 ¼ 12 m2 2

EKSEMPEL 44 Klasse 1B skal ma˚le bredden av en elv. De ma˚ler opp to formlike trekanter som vist pa˚ figuren. Hvor bred er elva? Løsning: Vi lar bredden være x meter: x 32;0 x 32;0 ¼ gir 36;0  ¼ 36;0  , 36;0 38;4 36;0 38;4

xm

dvs. x ¼ 30;0

Elva er 30;0 m bred.

EKSEMPEL 45 Skriv enklest mulig:

x2  2x 5  4x 5x  10

Løsning: Vi faktoriserer og forkorter: x2  2x 5 1 =x  ðx  2Þ =5  ¼  ¼ 4x 5x  10 4x 5  ðx  2Þ 4 = =

AKTIVITETER Oppgave 1.66 Prisen pa˚ en vare er opprinnelig 500 kr. Prisen blir først satt opp 10 %, deretter blir den satt ned 10 %. a) Hvor mange prosent endrer prisen seg?

b) Forklar hvorfor svaret ikke blir 0 %. c) Hvor mange prosent ma˚tte prisen settes ned dersom den samlede prisendringen skulle bli 0 %?

Oppgave 1.67

a) Regn ut verdien av x2  3x na˚r x ¼ 2. b) Multipliser ut: 2ð2x  3Þð4  xÞ x 2 c) Løs likningen  ¼ 2  3ð2  xÞ. 2 3 pffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi d) Skriv enklest mulig: 8 þ 18  32 e) Forkort brøken:

8x2  12x 6x  9

Sammensatte eksempler

37


1

SAMMENDRAG

Prosent Prosent betyr per hundredel, det vil si at 85 ¼ 0;85 85 % ¼ 100 Na˚r vi skal finne den prosentvise endringen, har vi: endring  100 % opprinnelig verdi

Kvadratrøtter pffiffiffi2 pffiffiffi a er det positive tallet slik at a ¼ a. pffiffiffi rffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi a a Vi har regnereglene a  b ¼ a  b og pffiffiffi ¼ b b Den pytagoreiske læresetningen c

Regnerekkefølge 1 Parentes 3 Gange og dele

b

a2 þ b2 ¼ c2

a

2 Potens 4 Pluss og minus

Formler for areal og omkrets Multiplikasjon og divisjon av brøker Vi multipliserer brøker ved a˚ multiplisere teller med teller og nevner med nevner. Vi dividerer med en brøk ved a˚ multiplisere med den omvendte brøken. 4 2 4 21 4  21 : ¼  ¼ ¼6 7 21 7 2 72 Addisjon og subtraksjon av brøker Na˚r nevnerne er ulike, utvider vi hver brøk til fellesnevneren. Fellesnevneren for 6 og 8 er minste felles multiplum for disse tallene, det vil si 24. 5 1 54 13 20  3 17  ¼  ¼ ¼ 6 8 64 83 24 24 Faktorisering Vi setter felles faktorer utenfor parantes:

3x2  15x ¼ 3  x  x  3  5  x ¼ 3xðx  5Þ Løsning av likninger – Vi kan multiplisere eller dividere alle ledd i en likning med samme tall (ikke null). – Vi kan flytte et ledd over pa˚ den andre siden av likhetstegnet na˚r vi samtidig husker a˚ skifte fortegnet. Forstavelser giga G milliard mega M million kilo k tusen hekto h hundre deka da ti

desi centi milli mikro

d c m m

tidel hundredel tusendel milliondel

Sifferregel Vi runder av svaret til samme antall gjeldende siffer som vi ga˚r ut fra.

38

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

Kvadrat

Rektangel

a

Parallellogram g b

a A =a

2

Trekant

h

a

g

A =ab

A =gh

Trapes

Sirkel

b h g A= 1 2 gh

h a ( a + b) h A= 2

r

A = pr 2 O = 2pr

Formlikhet. Lineært forholdstall To formlike figurer har samme form, men ulik størrelse. – Forholdet mellom tilsvarende sider i formlike figurer er konstant og lik det lineære forholdstallet f . – Forholdet mellom arealene av to formlike figurer er kvadratet f 2 av det lineære forholdstallet. – Trekanter der to og to vinkler er like store, er formlike. Vekstfaktor

p . 100 p . p % nedgang gir vekstfaktoren 1  100 Vi multipliserer med vekstfaktoren for a˚ finne den nye verdien. p % økning gir vekstfaktoren 1 þ

Vi dividerer med vekstfaktoren for a˚ finne tilbake til den opprinnelige verdien.


TEST DEG SELV Test 1.A En butikk reklamerer med at alt er satt ned 30 %. a) Ida kjøper en jakke som kostet kr 1200 til full pris. Finn avslaget og salgsprisen. b) Jan fa˚r kr 270 i avslag pa˚ en bukse. Hvor mye kostet buksa til full pris?

Test 1.G Finn arealet og omkretsen av en rettvinklet trekant med en katet lik 1;8 dm og hypotenus lik 2;7 dm.

Test 1.H 51°

Test 1.B Omsetningen til firmaet Klovneriet øker med 12 % per a˚r. I a˚r er omsetningen 4;5 millioner kroner. a) Hvor stor blir omsetningen om to a˚r? b) Hvor stor var omsetningen for to a˚r siden?

Test 1.C En forretning tilbyr kjøkkenstoler pa˚ salg. De med lav rygg er satt ned fra kr 1000 til kr 799. De med høy rygg er satt ned fra kr 1200 til kr 989. a) 1 Hvilken stoltype er satt ned mest i kroner? 2 Hvilken stoltype er satt ned mest i prosent? b) Familien Jensen kjøper to stoler med høy rygg og fire stoler med lav rygg pa˚ tilbud. Hvor mange prosent sparer de til sammen?

3,6 cm

87°

5,6 cm 4,8 cm 87°

51° 5,4 cm

a) Hvorfor er de to figurene formlike? b) Finn de ukjente sidene.

Test 1.I Fra Bodø til Tromsø er det 32 mil. Hvor mange centimeter blir det pa˚ et kart i ma˚lestokken 1 : 5 000 000?

Test 1.J

a) Regn ut verdien av x2  2x na˚r x ¼ 3. pffiffiffi pffiffiffiffiffi b) Regn ut for ha˚nd: 3  12 c) Multipliser ut: 2ð3x  2Þð2  xÞ

Test 1.D Regn ut og skriv svaret sa˚ enkelt som mulig:

a) 5 þ 22  3

b)

1 5 3 1 þ   4 6 2 2

x 1  ¼ 3  2ð3  xÞ. 3 2 pffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi e) Regn ut for ha˚nd: 8 þ 18  50

d) Løs likningen

f) Skriv enklest mulig: Test 1.E a) En pille inneholder 2;5 mg av et stoff. ˚ rlig blir det spist 50 millioner piller. A Hvor mange kilogram stoff blir det til sammen? b) En stor boks sjokoladepulver pa˚ 500 g koster 36;00 kr. En dag er det tilbud pa˚ sma˚ bokser pa˚ 200 g. En liten boks koster 22;50 kr, men pa˚ tilbud kan vi ta tre og betale for to. Lønner det seg a˚ kjøpe boksene pa˚ tilbud?

Test 1.F Vi øker sidene i et rektangel med 23 %. Hvor mange prosent øker arealet?

4x  12 3x2  9x : 3 9x

Test 1.K xm

32,0 m 28,0 m 61,9 m

Klasse 1C skal ma˚le bredden av en elv. De ma˚ler opp to formlike trekanter som vist pa˚ figuren. Hvor bred er elva?

Test deg selv

39


1

LES, SKRIV OG SNAKK

Oppgave 1

Oppgave 4

Nedenfor finner du løsningene til to brøkoppgaver. Skriv en kort tekst der du forklarer hva som er gjort i hvert trinn i utregningen. a)

b)

2 7 22 77  ¼  7 2 72 27 4 49 4  49 45 45 ¼  ¼ ¼ ¼ 14 14 14 14 14 2 15 2  15 3  ¼ ¼ ¼3 5 2 52 1

Oppgave 2

Forklar hvert trinn i utregningen av likningen nedenfor til en medelev. 1 x ðx þ 2Þ  3x ¼ þ 1 3 2 x 2 x þ  3x ¼ þ 1 3 3 2 6x 62 6x þ  6  3x ¼ þ61 3 3 2 2x þ 4  18x ¼ 3x þ 6 2x  18x  3x ¼ 6  4 19x ¼ 2 x¼

2 2 ¼   0;105 19 19

Oppgave 3

Forklar for en medelev hvordan reglene for regnerekkefølge er brukt i utregningen nedenfor.     2  1 9 10 2 1 90 2 ¼2 þ2x þx   2 5 3 2 15 1 ¼ 2  þ 2  x  62 2 ¼ 1 þ 2x  36 ¼ 2x  35

40

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

Ifølge en meningsma˚ling har oppslutningen om et politisk parti økt fra 20;0 % til 22;0 % siden forrige valg. Skriv en kort tekst der du vurderer utsagnene nedenfor. a) Partiet har økt oppslutningen med 2;0 prosentpoeng. b) Partiet har økt oppslutningen med 10;0 prosent. c) Partiet har økt oppslutningen med 2;0 prosent. A B C

Oppgave 5

Sett bokstavene A–E sammen med tallene 1–5 slik at utsagnene betyr det samme: A 3x ¼ 5x þ 4 B 5x  3 ¼ 2 C 3x  5 ¼ 4x

D 5x  3x  2 E 5x  3x  2

1 Differansen mellom 3x og 5 er 4x. 2 Differansen mellom 5x og 3 er 2. 3 5x er mindre enn eller lik differansen mellom 3x og 2. 4 3x har samme verdi som summen av 5x og 4. 5 5x er større enn eller lik differansen mellom 3x og 2.


Oppgave 6

Forklar hvert trinn i utregningen av kvadratrotuttrykkene nedenfor til en medelev. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi a) 48 ¼ 16  3 ¼ 42  3 ¼ 42  3 ¼ 4 3 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b) 50  32 ¼ 25  2  16  2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 52  2  42  2 pffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffi ¼ 52  2  42  2 pffiffiffi pffiffiffi ¼5 24 2 pffiffiffi ¼ 2 A B C

Oppgave 7

Nedenfor finner du definisjonen av astronomisk enhet, AU, hentet fra Store norske leksikon: Astronomisk enhet Astronomisk enhet, lengdeenhet innenfor solsystemet, er etter vedtak i International Astronomical Union satt lik en avrundet verdi av middelavstanden mellom Solen og Jorden, lik 149;60 mill: km. Middelavstanden mellom Solen og Jorden er beregnet (fra radarmålinger av avstanden mellom Venus og Jorden) til 149 597 892 km 5 km.

Oppgave 9

Ordinær pris pa˚ en bok er 100 kr. Butikken setter først prisen ned 20 %, før den setter opp prisen igjen med 20 %. Forklar at boka na˚ er blitt billigere enn den ordinære prisen.

A B C

Oppgave 10

Les denne teksten om faktorisering: En særlig enkel faktorisering består i å skille ut en felles faktor. Når leddene i et polynom er produkter som alle har en faktor felles, kan vi skille denne faktoren ut av leddene og skrive det gitte polynomet som produktet av denne faktoren og det polynomet som blir igjen.

Bruk teksten til a˚ avgjøre hvilke uttrykk som kan faktoriseres etter denne oppskriften: A 4x2  12 B 3xy þ 4y  5y2 C 4x2 þ 25 D 4x2  8x

Oppgave 11

Bruk teksten til a˚ vurdere om disse utsagnene er sanne eller usanne: a) En astronomisk enhet er satt lik avstanden mellom Jorda og Venus. b) Lengden av en astronomisk enhet er fastsatt av International Astronomical Union. c) En astronomisk enhet er om lag 1;5  1011 m. A B C

Les teksten nedenfor. Forklar innholdet ved a˚ oversette til matematisk spra˚k. Tenk på et tall, multipliser det med 2, legg til 5 og multipliser svaret med 5. Legg deretter til 10 og multipliser svaret med 10. Fortell meg svaret, så skal jeg si hvilket tall du tenkte på.

Oppgave 8

En ny bil koster 350 000 kr. Vi regner med at verdien av bilen faller med 15 % per a˚r. Hvilket uttrykk nedenfor gir verdien av bilen i kroner etter x a˚r? 350 000  15 A 350 000  x 100 B 350 000  ð1  0;85Þx C 350 000  0;85 x D 350 000x 

350 000  15 100

Les, skriv og snakk

41


Øvingsoppgaver 1.1

Veien om 1 – en nyttig framgangsmåte

A 1.68 Vi betaler 47;25 kroner for 2;5 kg epler. Hva er prisen per kilogram? A 1.69 Hvor mange norske kroner fa˚r vi for 9000 japanske yen na˚r 1 japansk yen svarer til 6;00 kroner? A 1.70 I en oppskrift pa˚ løvbiff sta˚r det at vi trenger 600 gram biff til fire personer. Hvor mange gram biff ga˚r med til sju personer? B 1.71 Et stearinlys er formet som en sylinder med høyde 20 cm. Vi tenner lyset for første gang og lar det brenne i 40 minutter. Da er det igjen 18 cm av lyset. Hvor lang tid kan vi regne med at dette stearinlyset fortsatt kan brenne? B 1.72 Hvor mange engelske pund fa˚r vi for kr 5800 na˚r 1 engelsk pund svarer til 11;60 norske kroner? B 1.73 Per skal lage gresk salat og vurderer om han skal kjøpe rødløk i bunter til kr 24;90 eller i løs vekt til 29;90 kr/kg. Han finner at bunten veier 0;6 kg. Sammenlikn prisene. B 1.74 Vi kjøper 5000 danske kroner. Denne dagen oppgir banken at vi ma˚ betale 108 norske kroner for 100 danske kroner. Hvor mange norske kroner ma˚ vi betale na˚r banken krever et vekslingsgebyr pa˚ kr 40? B 1.75 Vi fyller tanken pa˚ bilen helt full med bensin. Etter a˚ ha kjørt 75 mil ma˚ vi fylle 60 liter pa˚ tanken for at den skal bli full igjen. a) Hvor mange liter har vi brukt per mil? b) Hvor mange mil har vi kjørt per liter?

42

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

B 1.76 Pa˚ en skole er det 320 elever. Fordelingen av jenter og gutter er 5 : 3. Hvor mange jenter og hvor mange gutter er det pa˚ skolen? C 1.77 Knut lander pa˚ Seychellene. Han vet ikke kursen pa˚ seychelliske rupier (SCR), men veksler inn 200 euro og fa˚r 1742;07 SCR. Hvor mange norske kroner svarer 100 rupier til na˚r 1 euro er 7;40 kroner og vi ser bort fra gebyrer? C 1.78 Du kappløper 100-meter med en sprinter. Hun kommer i ma˚l na˚r du har igjen 10 meter av distansen. Som en gest til deg foresla˚r hun at dere skal løpe 100 meter en gang til, men at hun denne gangen skal starte 10 meter bak startlinja. Hvem vinner denne gangen?

1.2

Prosent

A 1.79 a) En sykkel koster kr 6500. Prisen blir satt ned 30 %. Finn avslaget og totalprisen. b) Kari tjener kr 24 200 per ma˚ned. Hun fa˚r et lønnstillegg pa˚ 4;5 %. Finn lønnstillegget og den nye lønna. A 1.80 a) Pa˚ en skole er det 240 jenter og 172 gutter. Hvor mange prosent er gutter? b) Fun light saft skal blandes med ra˚saft og vann i forholdet 1 : 9. Hvor mange prosent ra˚saft er det i den ferdige saftblandingen? A 1.81 a) En sykkel er satt ned kr 2000. Førprisen er kr 8900. Hvor mange prosent er avslaget pa˚? b) Et par ski er satt ned 40 % og koster na˚ kr 2400. Hvor mye kostet skiene opprinnelig?


A 1.82

Den øverste prisen pa˚ illustrasjonen er prisen uten merverdiavgift, og den nederste er prisen med merverdiavgift. Regn ut hvor mange prosent merverdiavgiften utgjør av den øverste prisen.

B 1.87 En jakke til kr 1500 blir satt ned 30 %. De siste salgsdagene blir tilbudsprisen satt ned enda 40 %. Hvor mange prosent er jakka satt ned til sammen? C 1.88 I november 2005 hadde SAS Braathens en kabinfaktor pa˚ 61;6 %. Kabinfaktoren viser prosentdelen av opptatte seter i forhold til antall tomme seter. Hvor mange prosent av setene var opptatt?

A 1.83

1.3

En familie kjøper inn to løpejakker og tre trøyer til tilbudsprisene i annonsen. Hvor mange prosent sparer de i forhold til veiledende priser? B 1.84 Familien Dahl besta˚r av to voksne og tre barn. De skal feriere i Syden og venter med a˚ bestille billetter til prisen er satt ned fra kr 8200 til kr 7200 for voksne og fra kr 4200 til kr 3600 for barn.

a) Hvor mange prosent sparte de i alt? b) Hvilken pris var satt ned mest i prosent? B 1.85 En Toyota koster i Norge kr 210 000. I Danmark koster den samme bilen 155 000 danske kroner. Nordmenn som vil kjøpe denne bilen i Danmark, ma˚ betale avgifter pa˚ 28 000 norske kroner. Hvor mange prosent sparer en nordmann pa˚ a˚ kjøpe Toyota i Danmark na˚r 100 danske kroner er 98;50 norske kroner? B 1.86 En restaurant har hver dag en dagens rett til fast pris. For a˚ fa˚ nye faste kunder kommer restauranten med et tilbud: Hver sjette gang du spiser dagens rett, slipper du a˚ betale. En gjest spiser en ma˚ned dagens rett 14 ganger. Hvor mange prosent har han spart pa˚ denne ordningen i forhold til a˚ betale normal pris for alle ma˚ltidene?

Regnerekkefølge og fortegn

A 1.89 Regn ut for ha˚nd: a) 3 þ 4  2

b) ð3 þ 4Þ  2

c) 2  32

d) ð2  3Þ2

A 1.90 Regn ut for ha˚nd: a) 3  ð4Þ þ 5  3 b) 2  ð7  2Þ  ð3Þ  ð2Þ A 1.91 Regn ut for ha˚nd:

a) 32

b) 42

c) ð5Þ2

d) ð6Þ2

A 1.92 Regn ut for ha˚nd:

a) 2  32  3  2

b) 2  32  3  22 þ 4

c) 2  42  3  22  2

d) 2  32  5  3  22  5

A 1.93 Regn ut for ha˚nd:

a) 2  ð32  3Þ  2

b) ð2  32 þ 1Þ  4

c) 2  ð2  32  4Þ  5 A 1.94 Regn ut verdien av xy  z na˚r a) x ¼ 2, y ¼ 3, z ¼ 4 b) x ¼ 4, y ¼ 3, z ¼ 9 Øvingsoppgaver

43


A 1.95 Regn ut for ha˚nd:

a)

342 4þ23

b)

32  22 2  3  12

c)

3 þ 2  32 5  3  22

d)

2  32  22 3  22  2  ð1Þ

A 1.102 Regn ut som brøk: 24 2 b) 3  a) 56 7 3 4 1 2 c)  d)  5 7 2 3 A 1.103 Regn ut som brøk: 2 3 2 3 a) : b) þ 3 7 7 7

B 1.96 Regn ut for ha˚nd:

a) 32  2  ð4Þ

c)

3 3 5 þ  4 4 4

b) ð3Þ2  2  ð3Þ d) 2  ð3Þ2  3  ð2Þ2

A 1.104 Finn fellesnevneren na˚r nevnerne besta˚r av følgende tall: a) 2, 4 og 6 b) 11 og 33

B 1.97 Regn ut verdiene na˚r x ¼ 2, x ¼ 0 og x ¼ 3:

c) 5 og 7

c) ð3Þ2  2  ð3Þ2

a) 2x2  3

b) x2  2x

c) x2  x

C 1.98 Regn ut 1 þ 2 þ 3 þ . . . þ 1000.

1.4

Regning med brøk

A 1.99 Regn ut som brøk: 2 3 a) þ 7 7 2 7 c)  3 5

b)

A 1.100 Regn ut som brøk: 3 3 5 a) þ  4 4 4 5 c) 4  2

b)

A 1.101 Regn ut som brøk: 1 1 a)  3 4 1 2 3 c) þ  2 3 4

44

4 3  5 5 4 3 c) : 7 4

1 2  4 3

d) 1, 7 og 5

A 1.105 Regn ut som brøk: 1 1 1 1 b)  a) þ 2 4 11 33 A 1.106 Gjør om til blandede tall: 14 4 b) a) 5 3 A 1.107 Gjør om til uekte brøk: 3 7 b) 5 a) 2 5 13

c)

5 3 1  þ 6 4 2

c)

28 8

c) 3

A 1.108 Ved et skolevalg stemte 1=3 av elevene pa˚ Arbeiderpartiet, mens 1=6 av elevene stemte pa˚ Sosialistisk Venstreparti. Hvor stor del av elevene stemte pa˚ disse to partiene til sammen? B 1.109 Regn ut som brøk: 2 5 2 a) þ b) : 2  1 3 11 3

b)

2 2 þ 5 3

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

5 7

B 1.110 Regn ut som brøk: 1 2 2 1 a) 2  b) 1  2 þ 5 3 3 2

1 3 c) 1   3 5


B 1.111 Regn ut som brøk:

1 1 a) 1  4 5

b)

2 1 1 3 2

B 1.112 Regn ut som brøk:

1 a) 2 : 3 4

1 b) 3 : 1 2

c)

  1 1 1  1 2 3 11

C 1.119

  1 1 c) 2  :2 3 2

B 1.113 Pa˚ en skole er det 120 elever i 1. klasse, 100 elever i 2. klasse og 80 elever i 3. klasse. Av elevene i 1. klasse er 2=3 jenter. I 2. klasse og 3. klasse er jenteandelene henholdsvis 3=5 og 1=2. Hvor mange jenter er det i alt pa˚ denne skolen? B 1.114 a) Prisen pa˚ bananer er kr 11 per kg. 3 Hvor mye betaler vi for kg? 4 2 b) Vi betaler kr 53 for kg kaffe. 3 Hva er kiloprisen pa˚ denne kaffen? B 1.115 Regn ut:     2 1 1   1 a) 3 2 7

C 1.118 I et selskap kom 1=2 av gjestene i bil, 1=4 kom med buss, mens de tre siste gjestene kom til fots. Hvor mange gjester kom til selskapet?

  2 1 1 9 b)    3 2 3 5

B 1.116 Eva etterlater en formue. Ektefellen arver 2=3, et veldedig fond fa˚r 1=12, og resten skal deles likt mellom tre nevøer. Hvor stor brøkdel av arven fa˚r hver av nevøene? B 1.117 I et samarbeidsprosjekt pa˚ skolen arbeidet Hodan 12 timer, Jens 16 timer og Snøfrid 12 timer. a) Hvor stor del av det samlede arbeidet har hver av elevene gjort? b) De tre elevene skal ogsa˚ samarbeide om et annet prosjekt, som etter planen skal ta rundt 50 timer totalt. Hvor mange timer ma˚ hver av elevene være forberedt pa˚ a˚ arbeide dersom delen av arbeidsinnsatsen skal være den samme som i a?

1 1 1 1 1 1 1 1  ,  ,  ,  2 3 3 4 4 5 5 6 b) Regn ut for ha˚nd: 1 1 1 1 1 1 1 1 þ þ þ þ þ þ þ 6 12 20 30 42 56 72 90

a) Regn ut:

1.5

Grunnleggende algebra

A 1.120 Regn ut: a) 4 ð6x þ 3Þ c) 4x ð3x þ 2Þ A 1.121 Regn ut: a) ðx þ 3Þðx þ 4Þ c) ð2x  3Þð3x  2Þ A 1.122 Regn ut: a) 3 þ ðx  3Þ c) 4  ð4  xÞ

e) 2 ðx  4Þ

b) 5 ðx þ 3Þ

b) ðx  3Þðx þ 3Þ d) ð3x  4Þð5  2xÞ

b) 4x  ðx  2Þ d) 2 ðx  3Þ f) 3  2 ð4  2xÞ

A 1.123 Faktoriser:

a) 3x þ 6

b) 4x2 þ 3x

c) 12x þ 6

d) 10x 2  15x

B 1.124 Regn ut:

a) 3 ðx  2Þ  2 ðx þ 3Þ b) 4x ðx  3Þ  3x ðx  4Þ B 1.125 Regn ut: a) ðx þ 2Þðx  1Þ c) ð4x  2Þðx þ 1Þ

b) ð3x þ 2Þð2x þ 3Þ d) 3x ð5x þ 3Þð2x  7Þ Øvingsoppgaver

45


B 1.126 Forkort brøkene:

a)

1.6

x2  4x 2x  8

b)

B 1.127 Skriv enklest mulig: 3x  6 22  a) 11 5x  10

c)

5x  x2 2x  4  2x þ 4 10  2x

2x2 þ 6x 3x þ 9

b)

2x  3 x þ 3  2x þ 6 2

d)

x2  3x 2x  6 : 4x þ 6 8x2 þ 12x

B 1.128 Regn ut: a) ð3x  3Þ þ ð2x þ 1Þð5x  3Þ

Likninger

A 1.133 Løs likningene: a) 3x ¼ 15 c) 8x  3 ¼ 4x þ 5

b) 4x  12 ¼ 0 d) 3t  2 ¼ 5 þ 4t

A 1.134 Løs likningene: x a) ¼ 7 3 1 x c) x  4 ¼ 2  2 3

x ¼3x 2 x x 1 d)  ¼ x þ 3 2 6 b) 2 þ

A 1.135 Løs likningene: a) 2  ðx  1Þ ¼ 3  2x b) x  2 ð3x  2Þ ¼ ðx  3Þ

b) ð2x  2Þ  ð3x  4Þð2x þ 2Þ c) ð3x  2Þð2x þ 7Þðx  1Þ

c) 3  5 ðx  3Þ ¼ 4  4 ðx  5Þ

B 1.129 Regn ut: x 1 a)  ðx  2Þ 2 2

b)

B 1.130 Forkort brøkene: 8  2x a) 2 x  4x

b)

 x 3 x  5 5 5 3

11 121x þ 33

c)

A 1.136 Eva er tre ganger sa˚ gammel som datteren Pia. Til sammen er de 52 a˚r. La Pias alder være x a˚r, sett opp en likning og finn alderen hennes.

1x x1

B 1.131

A 1.137 Na˚r du setter deg i en drosje, sta˚r taksameteret pa˚ 42 kr. Selve kjøringen koster 10 kr per kilometer. Du har bare 100 kr pa˚ deg. La x være den kjørte distansen i kilometer. Sett opp en likning og finn hvor langt du kommer for pengene dine.

x

Figuren viser et kvadrat med en innskrevet sirkel som har radien x. Finn siden i kvadratet og vis at arealet av det skraverte omra˚det mellom kvadratet og sirkelen kan skrives ð4  Þ x 2 . C 1.132 La n være et naturlig tall. Vis at tallet n 2  n alltid er delelig med 2.

46

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

A 1.138 Løs likningene: x 5 a) ¼ 3 6

b)

7 x ¼ 6 8

B 1.139 Løs likningene: 2 1 a) x  ¼ 2ðx  1Þ 3 4 x 1 b)  2ðx  1Þ ¼  3x 5 2

c)

3 2 ¼ x 3


B 1.140 Løs likningene: x a)  2 ðx  1Þ ¼ x  ð2  xÞ 3 1 1 b) x  ðx  3Þ ¼ 2 ðx  1Þ 2 3

B 1.146 Skriv uten kvadratrot i nevneren: pffiffiffi 5 2 a) pffiffiffi b) pffiffiffi 3 5 pffiffiffi 2 c) pffiffiffi 6

B 1.141 To firmaer konkurrerer i samme bransje. Et a˚r selger firmaet Datasoft for 7;8 millioner kroner og firmaet Bytes for 9;5 millioner kroner. Etter planene som ledelsen i de to firmaene legger, skal Datasoft øke salget med 0;75 millioner kroner per a˚r og Bytes med 0;47 millioner kroner per a˚r.

a) Sett opp uttrykkene for hva Datasoft og Bytes etter planene skal selge for om x a˚r. b) Hvor mange a˚r ga˚r det før de to firmaene har like stor omsetning? B 1.142 Eli og Espen har laget boller for a˚ selge dem under et idrettsstevne. De solgte bollene for kr 5 per stk. Da fikk de 22 boller til overs. Hvis de i stedet hadde solgt dem for kr 4;50 per stk., ville de fa˚tt solgt alle bollene og fa˚tt den samme inntekten. Hvor mange boller hadde de bakt? C 1.143 Om to a˚r er Kari dobbelt sa˚ gammel som Per var for tre a˚r siden. Kari er ti a˚r eldre enn Per. Hvor gamle er de?

1.7

Kvadratrøtter

A 1.144 Skriv enklere for ha˚nd: pffiffiffi2 pffiffiffi2 pffiffiffi2 a) 6 b) 5 þ 3 pffiffiffiffiffi2 pffiffiffi 2 10 c) d) ð2 xÞ 2 A 1.145 Skriv enklere for ha˚nd:

pffiffiffiffiffi pffiffiffi a) 12  3

pffiffiffiffiffiffiffiffi 128 b) pffiffiffi 2

pffiffiffi pffiffiffiffiffi 8  18 pffiffiffi c) 9

B 1.147 Skriv enklere for ha˚nd: pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 2 þ 8  32 B 1.148 Løs likningene: pffiffiffi a) 3 x ¼ 6 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c) x þ 1 ¼ 11

b)

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 72  50 þ 18

pffiffiffi x ¼4 b) 2

C 1.149 Vis at na˚r a > 0, sa˚ er rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b b2 c b b2  4ac  ¼ 4a2 a 2a 2a

1.8

Dekadiske målenheter. Nøyaktighet

A 1.150 Gjør om til liter: a) 15 ml

b) 13;4 dl

A 1.151 a) Gjør om 34;7 ml til liter. b) Gjør om 1;57 kg til gram.

c) d) e) f) g) h)

Gjør Gjør Gjør Gjør Gjør Gjør

om om om om om om

1;3 l til centiliter. 3;2 g til hektogram. 2;7 m til millimeter. 4;8 mm til meter. 2;1 dm til millimeter. 4;3 ml til desiliter.

A 1.152 Finn arealet av et rektangel med lengden 4;32 m og bredden 7;73 m. Øvingsoppgaver

47


A 1.153 a) Gjør om 0;42 kg til gram.

1.9

b) Gjør om 43;3 mm til meter. c) Gjør om 2;3 dl til milliliter.

A 1.163 Finn den ukjente siden x pa˚ figurene:

A 1.154 Gjør om til kilometer per time (km=h): a) 12 m=s b) 19 m=s

Pytagoras’ setning

a)

x 1 5

b) 50

A 1.155 Gjør om til meter per sekund (m=s): a) 100 km=h b) 37 km=h

x

40

A 1.156 Hva slags ma˚leredskap vil du bruke til a˚ ma˚le a) diameteren pa˚ en ledning? b) tykkelsen av papir?

c)

A 1.157 a) Regn ut arealet av en sirkel med radius 2;5 m. b) Regn ut arealet av en sirkel med radius 2;55 m.

A 1.164 I en rettvinklet trekant er katetene 2;3 cm og 3;4 cm. Regn ut lengden av hypotenusen.

B 1.158 En bil bruker en og en halv time pa˚ a˚ kjøre 95 km. Regn ut gjennomsnittsfarten i kilometer per time og i meter per sekund.

A 1.165 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 5;9 dm, og den ene kateten er 3;1 dm. Finn lengen av den andre kateten.

B 1.159 Ellen og Erik ga˚r en fast kveldstur rundt et vann. Turen er pa˚ 4;7 km, og de bruker 45 minutter. Regn ut gjennomsnittsfarten i meter per sekund og i kilometer per time.

200 100 x

A 1.166 En trekant har sidene 5, 12 og 13. Finn ut om trekanten er rettvinklet. B 1.167

B 1.160 Gjør om til mikroliter ðmlÞ: a) 15 ml b) 0;014 liter

x

B 1.161 En pasient blir medisinert fra kl. 14:10 til kl. 16:50 med 15 dra˚per per minutt. Hvor mange dra˚per blir det i alt? Hvor mange liter væske blir det na˚r vi regner at 20 dra˚per svarer til e´n milliliter? C 1.162 En 10 000-meterløper forbedrer tida fra 27:11;08 til 27:10;50. Banen er 400 m. Tidene blir oppna˚dd pa˚ to ulike baner. Hvor nøyaktig ma˚ banene være ma˚lt for at det virkelig er en forbedring?

48

3a

c) 1;25 dl

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

4a

Bestem et uttrykk for lengden x pa˚ figuren. B 1.168 I 4ABC er ff A ¼ ff B, AB ¼ 2;4 cm og AC ¼ 3;2 cm. Finn høyden fra C til AB. B 1.169 I en likesidet trekant er alle sidene 6;8 cm. Regn ut høyden i trekanten.


B 1.170 Hvordan vil du bruke den pytagoreiske læresetningen til a˚ finne ut om et hjørne i et rom er rett?

B 1.177 Finn radien i en sirkel med

a) omkretsen 12,6 cm b) arealet 19,6 cm2

B 1.171 I 4ABC er ff A ¼ ff B, AC ¼ 4;3 cm, og høyden CF fra C til AB er CF ¼ 3;6 cm. Finn lengden av AB. C 1.172 I en rettvinklet trekant er forholdet mellom katetene 4 : 7. Hvor lange er katetene na˚r hypotenusen er lik 15,00?

1.10

B 1.178 I en trekant med arealet 9;4 cm2 er grunnlinja 6;2 cm. Finn høyden i trekanten. B 1.179 I et trapes med arealet 14;4 cm2 er de parallelle sidene 3;4 cm og 4;6 cm. Finn avstanden mellom de parallelle sidene.

Areal og omkrets

B 1.180 20

A 1.173 Finn arealet og omkretsen av en sirkel med diameter lik 10;00 m.

120∞

cm 30

cm

A 1.174 Finn arealet og omkretsen av et rektangel med lengden 25;00 m og bredden 15;00 m. A 1.175 Regn ut arealet av hver figur. Lengdene er i meter.

b) 1,6

1,5

a)

En lampeskjerm blir laget ved at en limer sammen en del av en sirkelsektor som er klipt ut slik figuren ˚ pningsvinkelen i sirkelsektoren er 120. viser. A Regn ut arealet av skjermen. B 1.181 I et trapes er de to parallelle sidene 8;0 m og 10;0 m. Avstanden mellom sidene er 3;0 m. a) Finn arealet av trapeset. b) Hva kan du si om omkretsen?

2,1

2,8

1,4

2,4

c)

2,2

B 1.176 Regn ut arealet og omkretsen av hver av figurene. m

1,5 cm

3,9

a)

B 1.182 En geometrisk figur besta˚r av en likesidet trekant med en halvsirkel pa˚ hver side. Sida i trekanten er 10 cm.

b) 2,0 cm

8,0

m

c)

1,4 cm

1,1 cm

Regn ut arealet og omkretsen av figuren. 2,3 cm

Øvingsoppgaver

49


C 1.183

B 1.187 En gjerdestolpe pa˚ 1;20 m kaster en skygge pa˚ 0;23 m. Hvor høy er en flaggstang som samtidig kaster en skygge pa˚ 1;23 m? S

B

A

Figuren viser en likesidet trekant ABS med sider lik 4;3 cm. En sirkel har sentrum i S og radien SA. Regn ut arealet av den skraverte flata mellom sirkelbuen og linjestykket AB pa˚ figuren.

1.11

Formlike figurer

A 1.184 F C 5 A

10 B

3

D

E

7,5

B 1.188 Skyggen av et husmøne faller pa˚ en horisontal bakke. Lengden av skyggen fra veggen er 7,2 m. Like ved sta˚r en busk med høyden 1,4 m. Skyggen av busken ma˚ler vi til 1,65 m. Hvor høyt er det opp til mønet? B 1.189 I trekanten ABC er ff C ¼ 90. Høyden fra C treffer AB i punktet F. Finn lengden BF na˚r AF ¼ 4;1 cm og CF ¼ 3;4 cm. C 1.190 En brannbil er utstyrt med en skyvbar stige. Stigen begynner 2,2 m over bakken. Na˚r den er sammenpresset med maksimal stigning, er den 3,1 m lang, og det øverste punktet er 4,8 m over bakken. Fullt utstrukket er stigen 11,0 m lang. Rekker den opp til et vindu 11,0 m over bakken?

4ABC er formlik med 4DEF. AB ¼ 3, AC ¼ 5, DE ¼ 7;5 og EF ¼ 10. Regn ut BC og DF. A 1.185 5

1.12

y

x 2

Vekstfaktor

Finn x og y i de formlike trekantene.

A 1.191 Finn vekstfaktorene ved a) 3;2 % økning

A 1.186

c) 2;7 % nedgang

3

1,8 m 9,2 m

2,8 m

Figuren viser en ma˚te a˚ finne høyden av et hus pa˚. Lengdene av skyggene er 9,2 m og 2,8 m som vist pa˚ tegningen. Høyden av stanga er 1,8 m. Regn ut høyden h av huset.

50

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

b) 0;2 % økning d) 0;8 % nedgang

A 1.192 En bil koster kr 450 000. Hvor mye koster den a) na˚r prisen øker med 12 %? b) na˚r prisen faller med 12 %?

hm

4

A 1.193 Etter at prisen pa˚ et fjernsynsapparat er satt ned 20 %, koster fjernsynet kr 7400. Hvor mye kostet det opprinnelig?


A 1.194 Forbruket av en ressurs er i a˚r 300 tonn. Forbruket øker med 7 % per a˚r. a) Hva blir forbruket om to a˚r? b) Hva var forbruket for to a˚r siden? B 1.195 Finn de prosentvise endringene na˚r vekstfaktoren er

a) 1;17 c) 0;83 e) 2;54

b) 1;082 d) 0;987

B 1.196 En vare koster 5000 kr. Den blir først satt opp 20 %, deretter satt ned 20 %.

a) Hva blir den endelige prisen? b) Finn den samlede prosentvise endringen i prisen. c) Forklar hvorfor den samlede endringen i prisen ikke blir 0 %.

1.13

Lineært forholdstall

A 1.200 Et hus er tegnet i ma˚lestokken 1 : 200. a) Badet ma˚ler 2;5 cm 3 cm pa˚ tegningen. Hvordan er ma˚lene i virkeligheten? b) Et rom er 8;5 m langt. Hvor langt er rommet pa˚ tegningen? A 1.201 Pa˚ et fotografi er høyden av en voksen person 3,2 cm, og barnet ved siden av ma˚ler 1,5 cm. Det blir laget en forstørrelse av fotografiet der den voksne er blitt 5,1 cm høy. a) Hva blir forholdstallet f mellom bildene av den voksne personen? Hva kaller vi vanligvis dette forholdstallet? b) Hvor stort blir barnet pa˚ det forstørrede fotografiet? A 1.202

2,0 cm

B 1.197 Fra 1999 til 2000 gikk bevilgningen til et sykehjem ned med 4;5 %. Fra 2000 til 2001 økte bevilgningen med 3;0 %. Hvor stor var bevilgningen i 1999 na˚r den i 2001 var kr 2 150 000? B 1.198 Prisen pa˚ en vare som opprinnelig kostet 3250 kroner, øker med 4 % for deretter a˚ bli satt ned 3 %. Til slutt blir prisen satt opp 7 %. Finn den samlede prosentvise endringen av prisen. C 1.199 Finn den samlede prosentvise økningen for to tillegg: først et tillegg pa˚ 12 %, deretter et tillegg pa˚ 15 %.

Figuren viser en arbeidstegning i ma˚lestokk 1 : 50. a) Hvor lang er den avmerkede lengden i virkeligheten? b) Tegn en ny arbeidstegning i ma˚lestokk 1 : 40. B 1.203 Vi skal lage et kart av et omra˚de i ma˚lestokk 1 : 5000. Pa˚ omra˚det ga˚r det en vei som er 280 m lang. a) Hvor mange centimeter blir veien pa˚ kartet?

Vi ser at kartet blir for stort og ønsker at veien skal ma˚le 4,0 cm pa˚ kartet. b) Hvilken ma˚lestokk ma˚ vi bruke? B 1.204 a) Vi gjør sidekantene i et kvadrat fem ganger større. Hvor mange ganger større blir arealet? b) Vi vil gjøre arealet til en trekant ti ganger større. Hvor mange prosent ma˚ vi øke sidene? C 1.205 En sirkel med radius 2,0 cm skal illustrere folketallet i Bergen (225 000). Tegn to sirkler som illustrerer folketallet i Oslo (500 000) og Trondheim (150 000). Øvingsoppgaver

51


1.14

Oppgave 1.210 Pa˚ en juletrefest var det 124 personer til stede. Billettprisen for barn var kr 40, mens voksne betalte kr 70. Til sammen var billettinntektene kr 6310. Kall antall barn x, sett opp en likning og løs den for a˚ finne antall barn og voksne pa˚ festen.

Blandede oppgaver

150

Oppgave 1.206 Figuren viser endeveggen pa˚ et hus. Ma˚lene er i centimeter.

Oppgave 1.211 En voksen person har et dagsbehov av vitamin C pa˚ 30 mg. Hva er det samlede dagsbehovet av vitamin C na˚r vi regner med at det er 3;4 millioner voksne personer i Norge?

100

200

100

300

150

600

a) Du skal male endeveggen. Hvor mange kvadratmeter ma˚ males na˚r du ikke skal male vinduet og døra? b) Du skal ogsa˚ legge ny list langs takvinkelen. Hvor mange meter list trenger du?

Oppgave 1.212 En forretning selger poteter for kr 5,90 per kg. Forretningen tilbyr de samme potetene i poser med 2,5 kg for kr 16,50. Hvor mange prosent dyrere er potetene i poser i forhold til de samme potetene i løs vekt?

Oppgave 1.207

1000

2000

500

I a˚r er det klasse 1A som skal vedlikeholde golvet i skolens aula. Alle ma˚lene er i centimeter. a) Hvor stort er golvet? Hvor mange liter lakk ga˚r med na˚r anbefalt forbruk er 8 m2 per liter? b) Klassen skal ogsa˚ legge en list rundt hele golvet. Hvor mye koster det na˚r prisen pa˚ lista er kr 12 per meter og de ma˚ regne 5 % tillegg pa˚ grunn av kapp?

Oppgave 1.214 Et a˚r var det 760 elever ved en skole. ˚ ret etter økte antallet med 5,5 %, A men gikk neste a˚r ned 4,0 %. a) Hvor mange elever var det na˚ ved skolen?

Tre a˚r etter hverandre minker et budsjett pa˚ kr 450 000 med 4 % a˚rlig. b) Hva lyder budsjettet pa˚ til slutt?

Oppgave 1.208 Løs likningene: x a) 2 þ ¼ 4  x 2 1 1 1 c) 3x   x ¼ 2  x 4 6 2

b) 2 þ

Oppgave 1.209 Løs likningene: a) 3ð2 þ xÞ ¼ 1  5x   1 3x c) 2 x þ ¼7 2 2

b) 3x  2ðx  1Þ ¼ 2x

52

Oppgave 1.213 Vi kjøper 3000 svenske kroner. Denne dagen oppgir banken at du ma˚ betale 80;40 norske kroner for 100 svenske kroner. Hvor mange norske kroner ma˚ vi betale na˚r banken krever et vekslingsgebyr pa˚ kr 40?

2x x ¼1 3 4 Oppgave 1.215 Etter en økning pa˚ 7 % koster en vare kr 490. a) Bruk vekstfaktor til a˚ finne prisen før økningen.

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

Etter en nedgang pa˚ 12 % er utslippet av et miljøfarlig stoff blitt 1760 kg. b) Bruk vekstfaktor til a˚ finne utslippet før nedgangen.


Oppgave 1.216

Oppgave 1.219 C

45°

1,8 m

A

0,8 m

4,5 m

Vi skal male en husvegg og ma˚ regne ut arealet for a˚ finne hvor mye maling som ga˚r med. Da trenger vi a˚ vite hvor høyt huset er. Vi setter opp en stolpe nær huset. Stolpen er 1;8 m høy og kaster en skygge pa˚ 0;8 m. Vi ma˚ler avstanden fra der skyggen av huset begynner, til det punktet pa˚ bakken som ligger rett under husets høyeste punkt. Avstanden er 4;5 m.

B

3,6 cm

Pa˚ figuren har vi tegnet en sirkelsektor ABC med radius 3,6 cm og med a˚pningsvinkel ff A ¼ 45 . a) Regn ut arealet av sirkelsektoren. b) Regn ut avstanden fra C ned pa˚ AB. c) Regn ut arealet av den delen av sektoren som ligger utenfor 4ABC.

Oppgave 1.220

3

6 cm

Hvor høyt er huset? cm

Oppgave 1.217

3,7

110∞

50∞

4,4

9,9

8 cm

20∞

1,3

4,5 110∞ 20∞ 5,5

50∞

a) Forklar hvorfor disse trekantene er formlike. b) Regn ut de sidene som ikke er oppgitt.

Oppgave 1.218 Pa˚ en eske Casco husfix sta˚r det at pulveret skal blandes med vann i forholdet e´n vektdel vann til fire vektdeler pulver. a) Hvor mange gram vann og pulver ma˚ du bruke for a˚ fa˚ 250 g ferdig blanding? b) Du har 600 gram pulver med husfix. Hvor mye vann ma˚ du blande i pulveret for a˚ fa˚ riktig blanding?

6 cm

Tegningen viser en geometrisk figur. Finn arealet og omkretsen av figuren.

Oppgave 1.221 I denne oppgaven skal du regne for ha˚nd, uten digitale verktøy.

a) Regn ut: 1) 2 þ 3  ð4  2Þ b) Regn ut: 3 3 1) þ 2  4 2

    1 1 5 4 2)    2 3 2 2

c) Løs likningene: 1 x 1) 3x  ¼ 3 2 d) Løs likningen:

2) 2  ð3Þ2  42

2) 2  3ðx  1Þ ¼

x 2

x x 1 1  ¼ ðx  Þ 2 3 4 3

e) Regn ut: 1) 4ðx  3Þ  3ðx  4Þ

2) ð2x  1Þðx  2Þ

Øvingsoppgaver

53


Oppgave 1.222 Sammenhengen mellom temperaturer ma˚lt i grader celsius ð CÞ og grader fahrenheit ð FÞ er gitt ved formelen

Oppgave 1.225

II I

5 ðF  32Þ 9

a) Regn om disse temperaturene til celsiusgrader: 1) 4  F 2) 90  F b) Regn om disse temperaturene til fahrenheitgrader: 1) 0  C 2) 37  C 3) 100  C

2,4

3,0

Oppgave 1.223 I 1976 var utslippene av fosfor til vann 5500 tonn, mens de i 1985 var 4500 tonn. a) Hvor mange prosent var nedgangen i utslipp fra 1976 til 1985?

Figurene viser to kvadrater. Ma˚lene ga˚r fram av figuren og er gitt i centimeter. a) Forklar at figurene er formlike. Hva blir det lineære forholdstallet mellom figur II og figur I? b) Hva blir forholdet mellom diagonalene i II og I? c) Hva blir forholdet mellom arealene av II og I?

Fra 1970 til 1976 var det en nedgang i fosforutslipp pa˚ 19;1 %.

Oppgave 1.226

b) Hvor store var utslippene i 1970?

m

c 1,2 C

m

Regn ut verdien av 2x2  3x þ 4 na˚r a) x ¼ 4 b) x ¼ 0 c) x ¼ 3

xc

Oppgave 1.224

A

cm

cm

Vi tenker oss at utslippene fra boliger kan halveres fra 1985 til 1990, mens de andre utslippene er konstante. c) Hvor mange prosent vil det totale utslippet ga˚ ned i denne perioden?

3,8

2,3

I 1985 fordelte utslippene seg slik: – fra boliger: 2500 tonn – fra industri og landbruk: 500 tonn – fra naturen selv: 1500 tonn

E

4,5 cm

B

Pa˚ figuren er BC k DE. a) Forklar at 4ABC er formlik med 4ADE. b) Sett DE ¼ x cm og BD ¼ y cm. Regn ut x og y na˚r du bruker ma˚lene pa˚ figuren.

Oppgave 1.227 I en trekant er den ene kateten dobbelt sa˚ lang som den andre. Finn katetene na˚r hypotenusen er 17 cm.

Oppgave 1.228 Regn ut som brøk: 2 5 3 5 b) : a)  3 8 4 6 5 11 2 d) 2   e) 6  2 9 12 3 4 2 2 3 1 g) 2 : 4 h) 1  þ 5 5 3 20 30

54

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

y cm D

9 :3 12 1 f) 4 : 1 3 c)


Oppgave 1.229 Forkort:

a)

6x þ 3 3

b)

x2  2x x2

Oppgave 1.230 Skriv enklest mulig: 2x  6 10  b) 5 x3

c)

c)

8x  4 4x2  2x

b)

3 9 : 4x  6 6x  9

x2  2x 6  3 2x  4

Oppgave 1.231 Regn ut: a) ð5x þ 2Þð5x  2Þ

b) 3ðx þ 4Þðx  4Þ

c) 2ð3a  bÞð3a þ bÞ Oppgave 1.232 Et kvadrat har arealet 380 m2 . Finn siden i kvadratet. Oppgave 1.233 I et rektangel er langsiden det dobbelte av kortsiden. Arealet av rektanglet er 245 m2. Finn kortsiden og langsiden i rektanglet. Oppgave 1.234

Regn ut verdien av x2 þ 2x  3 na˚r a) x ¼ 2 b) x ¼ 0 c) x ¼ 4 Oppgave 1.235 Per er tre a˚r eldre enn Linn, og Linn er dobbelt sa˚ gammel som Ola. Til sammen er de 48 a˚r. Hvor gamle er hver av dem? Oppgave 1.236 I juli 1986 var OPEC-landenes oljeproduksjon 20;5 millioner fat i døgnet. Av denne produksjonen stod Irak for 1;9 millioner fat. Alle landene bortsett fra Irak ble enige om a˚ redusere produksjonen med 20 %. Irak holdt produksjonen pa˚ samme niva˚ som før. a) Hva ble den nye samlede døgnproduksjonen for OPEC-landene? b) Hvor mange prosent falt den samlede døgnproduksjonen?

Før reduksjonen var oljeprisen 9;8 dollar per fat. Etter reduksjonen steg prisen til 15;2 dollar per fat. c) Hvor mange prosent steg da Iraks oljeinntekter? d) Finn prosentvis endring i de samlede oljeinntektene for OPEC-landene ved denne nedgangen i produksjonen. Oppgave 1.237 En sommer undersøkte Norges Automobilforbund hvordan prisene pa˚ reservedeler varierte hos forhandlerne.

a) Hos en forhandler kostet en bestemt reservedel 210 kroner. Hos en annen forhandler var den samme delen 21 % dyrere. Hvor mye kostet delen hos denne forhandleren? b) Hos forhandler A kostet bremseskiva til en bestemt bil 349 kroner. Den samme bremseskiva ma˚tte en betale 836 kroner for hos forhandler B. Hvor mange prosent dyrere var bremseskiva hos forhandler B enn hos A? Oppgave 1.238 Etter a˚ ha fa˚tt tillegg i lønna to ganger hadde Anne en ma˚nedslønn pa˚ 4620 kroner. Det første tillegget i lønna var pa˚ 200 kroner, mens det andre utgjorde 5 % av ma˚nedslønna etter det første tillegget. Regn ut hvor stor ma˚nedslønn Anne hadde like før hun fikk det første tillegget i lønna. Oppgave 1.239 Etter en prisnedgang pa˚ først 10 % og deretter 20 % koster en klokke kr 290. a) Hva var prisen før reduksjonene?

b) Hva ville resultatet blitt dersom den første prisnedgangen var 20 % og den andre 10 %? Oppgave 1.240 I gjennomsnitt taper en Mazda seg i verdi med 8 % per a˚r. En to a˚r gammel Mazda er verdt kr 165 000. a) Finn verdien av bilen som ny. b) Hvor mange prosent har bilen ga˚tt ned i verdi i alt?

Øvingsoppgaver

55


Oppgave 1.241 En laserskriver kostet i 1997 kr 3800. Prisen steg med 8 % i 1998, men ble sa˚ satt ned med 15 % i 1999. a) Hvor mye kostet laserskriveren i 1999? b) Hvor stor prosentvis endring i prisen fra 1997 til 1999 svarer det til? c) Forklar hvorfor svaret ikke er lik 8 %  15 % ¼ 7 %, altsa˚ 7 % nedgang.

Oppgave 1.242 Skriveren Ahmes kopierte en egyptisk papyrus ca. 1700 f.Kr. Han omtalte matematikken som «kilden til kunnskap om alle ting og alle skjulte hemmeligheter». Se om du kan avsløre hemmelighetene i oppgavene nedenfor.

a) Et tall pluss sjudelen av tallet er 16. Hva er tallet? b) Et tall pluss tredelen av tallet og firedelen av tallet er 38. Hva er tallet?

Oppgave 1.243 Familien Dahl besta˚r av to voksne og tre barn. De skal feriere i Syden og venter med a˚ bestille billetter til prisen er satt ned fra kr 8200 til kr 7200 for voksne og fra kr 4200 til kr 3600 for barn.

a) Hvor mange prosent sparte de i alt? b) Hvilken pris var satt ned mest i prosent?

Oppgave 1.244 Pettersen skal besøke en familie i Sverige. I den anledning passer han pa˚ a˚ fa˚ utført servicen pa˚ bilen sin. I Norge koster servicen kr 6200. Pa˚ det svenske verkstedet betaler Pettersen 4100 svenske kroner. Hvor mange prosent sparte han na˚r vi regner med at 100 svenske kroner svarer til 80 norske kroner?

Oppgave 1.245 Regn ut for ha˚nd:

a)

ð2Þ2  3 1  22

56

b)

7  3  22 5  52

Kapittel 1 | Matematikken rundt oss

Oppgave 1.246 I trekanten ABC er ff C ¼ 90 . Høyden fra C treffer AB i punktet F. Finn høyden CF na˚r AF ¼ 4;6 cm og BF ¼ 3;2 cm. Oppgave 1.247 En forretning setter ned prisen pa˚ en vare fra kr 56;50=kg til kr 51;30=kg. a) Hvor mange prosent er avslaget pa˚?

Forretningen regner med en salgsøkning pa˚ 35 % pa˚ grunn av prisavslaget. Tidligere ble det solgt 50 kg av varen per dag. b) Hvor mange kilogram regner forretningen na˚ med a˚ selge per dag? c) Hva blir salgsverdien per dag? d) Hvor mange prosent økte salgsverdien per dag? Oppgave 1.248 (Eksamen 1MX) Sommeren 2002 vant nordmannen Thor Hushovd en etappe i Tour de France. Han brukte 4 timer 28 minutter 28 sekunder pa˚ etappen. Favoritten Lance Armstrong brukte 11 minutter og 42 sekunder mer. a) Hvor lang tid brukte Armstrong?

Etappen var 176;5 km lang. b) Hvor stor var gjennomsnittsfarten til Thor Hushovd i meter per sekund og i kilometer per time? Oppgave 1.249 (Eksamen 1MX) Arne vinner 5 millioner kroner i lotto. Som kjent er ikke lottomillionærer som andre millionærer, og Arne forlanger a˚ fa˚ hele gevinsten utbetalt i tikronestykker. For en tikrone gjelder: – Vekta er 6;80 g. – Tykkelsen er 2;00 mm.

a) Hvor høy er en stabel der 50 tikroner ligger oppa˚ hverandre? Hvor høy ville stabelen vært dersom alle tikronene i lottogevinsten la˚ oppa˚ hverandre? b) Hvor mye veier premien dersom den blir utbetalt i tikroner? Gi svaret i kilogram. c) Arne vil telle tikronene for a˚ kontrollere at han har fa˚tt det han har krav pa˚. Gjør fornuftige antakelser om hvor raskt han teller, og finn ut hvor lang tid han bruker pa˚ a˚ telle pengene.


Oppgave 1.250 2

Arealet av et trapes er 15;2 dm . Den ene parallelle siden er 4;7 dm, og avstanden mellom de parallelle sidene er 3;8 dm. Hvor lang er den andre parallelle siden?

Oppgave 1.254 (Eksamen 1MX)

Oppgave 1.251 (PISA 2003)

Fjernsynsapparater kommer i ulike størrelser. Som ma˚l pa˚ størrelsen bruker vi lengden av diagonalen pa˚ skjermen. Eivind har en gammel tv. Skjermen er 23;2 tommer bred og 17;4 tommer høy. a) Vis at skjermen har en størrelse pa˚ 29 tommer. Bildet viser fotavtrykkene til en mann som ga˚r. Skrittlengden P er avstanden mellom bakre kant av to etterfølgende fotavtrykk. For menn gir formelen n=P ¼ 140 et tilnærmet forhold mellom n og P, der n er antall skritt per minutt, og P er skrittlengden i meter. a) Dersom formelen gjelder for Haralds ma˚te a˚ ga˚ pa˚, og Harald tar 70 skritt per minutt, hva blir skrittlengden til Harald? Vis hvordan du fant svaret. b) Bjarte vet at skrittlengden hans er 0,80 meter. Formelen gjelder for hans ma˚te a˚ ga˚ pa˚. Regn ut hvor fort Bjarte ga˚r i meter per minutt og i kilometer per time. Vis utregningene dine. Oppgave 1.252

a) Innsjøen Mjøsa har et areal pa˚ 363 km2 . I Europa bor det ca. 700 millioner mennesker. Vurder om alle menneskene i Europa ville fa˚tt plass pa˚ isen pa˚ Mjøsa dersom isen hadde holdt. b) Ingrid har 300 megabyte ðMBÞ data som skal overføres fra der hun bor til kontoret, som er 11;4 km unna. Hva ga˚r raskest av a˚ sende dataene pa˚ en cd med et sykkelbud som sykler 25 km=h eller a˚ sende dem over Internett med en overføringsfart pa˚ 12;8 kB=s? ðmega, M ¼ million ¼ 10 6 , kilo, k ¼ tusen ¼ 10 3 Þ. Oppgave 1.253 Regn ut for ha˚nd: pffiffiffiffiffi pffiffiffi2 6 98 b) pffiffiffi a) 2 2

c)

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffi 72  50 þ 8

Fjernsynsapparater kommer ogsa˚ i ulike formater. Formatet blir oppgitt som forholdet mellom bredden b og høyden h pa˚ skjermen. Eivind vurderer a˚ kjøpe et fjernsyn med HD-format, der forholdet mellom bredden og høyden er b 16 ¼ h 9 Han ser pa˚ en skjerm med størrelsen 32 tommer. b) Hva er bredden og høyden pa˚ denne skjermen? c) Eivind ønsker at den nye tv-skjermen skal ha minst like stort areal som den gamle. Hvor mange tommer ma˚ da den nye skjermen minst være? Oppgave 1.255 (Nasjonal prøve 1M 2005) En maler skal blande grønn og gul maling i forholdet 4 : 7 for a˚ fa˚ den fargen hun ønsker. Hun bruker 28 liter grønn maling. Hvor mange liter gul maling ma˚ hun bruke? Oppgave 1.256 (Eksamen 1T V2013, del 2) c Start med en brøk . Legg til 7 ganger brøkens d nevner i ba˚de teller og nevner. Du fa˚r da en ny brøk. Trekk den nye brøken fra den opprinnelige brøken. Det uttrykket du na˚ fa˚r, skal være lik 8. c Hva ma˚ verdien av brøken da ha vært? d Oppgave 1.257 (Eksamen 1T H2012, del 1) Skriv sa˚ enkelt som mulig: pffiffiffi pffiffiffi ð 2 þ 8Þ2 Øvingsoppgaver

57


1 0 1700

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) introduserte funksjonsbegrepet som en størrelse som varierer med x langs en kurve. Funksjonsbegrepet utvikles videre på 1800-tallet.

1750 0

Thomas Malthus (1766–1834) hevdet at befolkningsveksten øker eksponentielt, mens matproduksjonen øker lineært.

1800 0

1 0 1850

Peter Gustav Dirichlet (1805–1859) introduserte definisjonen av funksjoner som vi fortsatt bruker i dag.


1 0 1900

1950 0

2 0 2000

Regresjonsteknikken ble utviklet av Francis Galton og publisert i England i 1885.

2

Nordmannen Ragnar Frisch (1895–1973) brukte store likningssystemer i samfunnsøkonomiske beregninger. I 1969 mottok han nobelprisen i økonomi for matematiske modeller med flere hundre ukjente i likningssettene.

Lineære funksjoner I historisk sammenheng er den engelske presten og sosialøkonomen Thomas Malthus (1766–1834) kjent for sine teorier omkring befolkningsvekst og matproduksjon. Han hevdet at dersom det ikke var matmangel eller andre begrensninger, ville folketallet øke med en fast årlig prosent. Jo flere mennesker som lever, desto flere barn blir født.

2

LINEÆRE

FUNKSJONER

Den årlige økningen blir større etter hvert. Malthus hevdet at matproduksjonen ikke kunne øke så raskt. I det heldigste tilfellet kunne matproduksjonen øke med en fast mengde per år. Dette betyr at matproduksjonen øker lineært, mens folketallet øker eksponentielt. Ut fra disse vurderingene mente Malthus at dersom menneskene ikke greide å styre befolkningsutviklingen, ville sultkatastrofer og sykdommer bli naturens svar for å få til en reduksjon av folketilveksten. «Naturen har en viss bæreevne som vi må innrette oss etter,» sa han.

Kompetansemål Eleven skal kunne • gjøre greie for funksjonsbegrepet og kunne oversette mellom ulike representasjoner av funksjoner • lage, tolke og gjøre greie for funksjoner som beskriver praktiske problemstillinger, analysere empiriske funksjoner og finne uttrykk for tilnærmete lineære sammenhenger, med og uten bruk av digitale verktøy • omforme uttrykk og løse likningssystemer av første grad med og uten digitale verktøy, presentere og begrunne løsningen og vurdere gyldighetsområde og begrensninger


2.1

Funksjonsbegrepet

Du skal lære – definisjonen av en funksjon – symbolene vi bruker når vi regner med funksjoner – å regne ut funksjonsverdier

I grunnskolen har du regnet med funksjoner. Men har du tenkt over hva en funksjon egentlig er? Nedenfor spiller Fanny at hun er en funksjon. Hun mottar lapper med verdier fra Xia. Sa˚ gjør hun noen beregninger og leverer svaret til Yngve, som lager oversikt i en tabell.

Klarer du a˚ se hvordan Fanny regner? Hver gang hun fa˚r en verdi inn, multipliserer hun verdien med 2 og legger til 1. – Innverdien kaller vi variabelen, og vi betegner den med x. – Utverdien kaller vi funksjonsverdien, og vi betegner den med y. – Dermed kan vi skrive Fanny-funksjonen slik: y ¼ 2x þ 1. Til hver x-verdi som blir levert inn, leverer Fanny akkurat e´n y-verdi ut. Vi sier derfor at y er en funksjon av x. Dersom vi forkorter Fanny-funksjonen til f , skriver vi y ¼ f ðxÞ. Det vil si at vi finner y ved a˚ bruke funksjonen f pa˚ verdien x. Vi har altsa˚ f ðxÞ ¼ 2x þ 1 Dersom Fanny fa˚r oppgitt at x ¼ 7, regner hun slik: f ð7Þ ¼ 2  7 þ 1 ¼ 15. I det neste eksemplet øver vi oss pa˚ slike utregninger av funksjonsverdier.

EKSEMPEL 1 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ x2  3x þ 4. Regn ut f ð2Þ. Løsning: I uttrykket for f ðxÞ erstatter vi x med 2. Det gir f ð2Þ ¼ ð2Þ2  3  ð2Þ þ 4 ¼ 4 þ 6 þ 4 ¼ 6

60

Kapittel 2 | Lineære funksjoner

FUNKSJON En funksjon f er en framgangsmåte som til hver verdi av x gir nøyaktig e´n funksjonsverdi f ðxÞ.


I grunnskolen regnet vi med funksjoner som gav rette linjer i koordinatsystemet. Vi repeterer denne regningen i et eksempel.

EKSEMPEL 2 Ida arbeider deltid som telefonselger for lokalavisa Fakta. Lønna er 1000 kr fast i uka. I tillegg fa˚r hun 250 kr for hvert a˚rsabonnement hun selger. Vi lar x være antall abonnementer hun selger i uka, mens LðxÞ er ukelønna i kroner. a) Sett opp uttrykket for LðxÞ. b) Tegn grafen dersom hun selger inntil ti abonnementer. c) Hvor mange abonnementer har hun solgt na˚r lønna er 2000 kr? Løsning: a) Dersom Ida selger x abonnementer, tjener hun 250x kr i tillegg til den faste lønna pa˚ 1000 kr. Uttrykket blir LðxÞ ¼ 250x þ 1000. b) Hver gang hun fa˚r solgt et nytt abonnement, øker lønna med 250 kr. Grafen vil derfor bli en rett linje. Vi trenger bare a˚ regne ut to punkter for a˚ trekke opp denne linja. Vi bruker endepunktene og regner ut for x ¼ 0 og x ¼ 10. Figuren viser tabellen og grafen. c) Avlesing viser at hun da har solgt fire abonnementer. For a˚ regne oss fram til svaret løser vi en likning: 250x þ 1000 ¼ 2000 gir 250x ¼ 1000, dvs. x ¼ 4 Svaret blir det samme. Ida har solgt fire abonnementer.

x

0

10

LðxÞ

1000

3500

L(x), kr 4000 3000 2000 1000 x, stk 2

4

6

8

10

AKTIVITETER Oppgave 2.1 Skriv funksjonen f med symboler na˚r den

a) multipliserer med 5 før den trekker fra 2 b) dividerer med 3 før den legger til 7 c) legger til 7 før den dividerer med 3

Oppgave 2.2 Regn ut f ð2Þ, f ð0Þ og f ð2Þ for ha˚nd:

a) f ðxÞ ¼ 2x þ 3

b) f ðxÞ ¼ 2x þ 3

c) f ðxÞ ¼ x2  2x þ 3

d) f ðxÞ ¼ x2  4x

Oppgave 2.3 Per selger leksikon. Han tjener 2000 kroner fast i uka. I tillegg fa˚r han 1000 kroner for hvert leksikon. a) Hva tjener Per na˚r han en uke selger fire leksikon? b) Sett opp et uttrykk som viser hva Per tjener en uke han selger x leksikon. c) Tegn grafen til x mellom 0 og 10. d) Bestem grafisk og ved regning hvor mange leksikon Per har solgt en uke han tjener 8000 kroner.

Funksjonsbegrepet

61


2.2

Lineære funksjoner

Du skal lære – at lineære funksjoner er på formen f ðxÞ ¼ ax þ b – at grafen til en lineær funksjon er en rett linje – at a er stigningstallet, som forteller hvor mye y øker eller minker når x øker e´n enhet – at b er konstantleddet, som forteller hvor linja skjærer y-aksen – å bestemme uttrykket for lineære funksjoner grafisk

y

f (x) = 2x + 3

Pa˚ figuren har vi tegnet grafen til funksjonen 7

f ðxÞ ¼ 2x þ 3 Grafen blir en rett linje. Vi sier at funksjonen er lineær.

6

– Vi ser at den rette linja skjærer y-aksen i verdien 3. Dette er konstantleddet som sta˚r alene i funksjonsuttrykket.

5

– Vi ser ogsa˚ at hver gang x øker med 1, øker y med 2. Dette er stigningstallet som sta˚r foran x i funksjonsuttrykket.

4

Det generelle uttrykket for en lineær funksjon er

3

f ðxÞ ¼ ax þ b

1 2

1

2

Vi skal forklare hvorfor konstantleddet b og stigningstallet a har de egenskapene vi har nevnt ovenfor. Pa˚ y-aksen er x ¼ 0. Da er f ð0Þ ¼ a  0 þ b ¼ b. Grafen skjærer altsa˚ y-aksen i punktet ð0, bÞ.

2

1

–1

1

Na˚r x øker med e´n enhet, fa˚r vi x þ 1. Da blir endringen i y:

2

LINEÆR y

f ðx þ 1Þ  f ðxÞ ¼ a ðx þ 1Þ þ b  ðax þ bÞ

FUNKSJON

f (x) = ax + b

¼ ax þ a þ b  ax  b ¼ a Na˚r x øker med e´n enhet, endrer y seg a enheter.

x

3

a b

1 x

EKSEMPEL 3 Vi oppgir at f ðxÞ ¼ 2x þ 3, gðxÞ ¼ 2x þ 1 og hðxÞ ¼ 2x þ 1. a) Forklar at to av grafene blir parallelle. b) Forklar at to av grafene skjærer y-aksen i samme punkt. Løsning: a) Vi ser at ba˚de f og h har stigningstallet 2. Disse grafene blir da parallelle. b) Vi ser at ba˚de g og h har konstantleddet 1. Disse grafene skjærer da y-aksen i samme punkt.

62

Kapittel 2 | Lineære funksjoner

Grafen til en lineær funksjon f ðxÞ ¼ ax þ b er en rett linje. – Stigningstallet a forteller hvor mye linja stiger eller faller når x øker med e´n enhet. – Konstantleddet b forteller hvor linja skjærer y-aksen.


EKSEMPEL 4 1 Tegn grafen til funksjonen f ðtÞ ¼ t þ 1. 2 Løsning: Funksjonen er lineær. Derfor blir grafen en rett linje. Vi viser to framgangsma˚ter.

t f ðtÞ

Metode 1 Vi trenger bare to punkter for a˚ tegne en rett linje. Vi velger da t-verdiene til disse punktene og regner ut funksjonsverdiene. I tabellen va˚r har vi valgt t ¼ 2 og t ¼ 2. Vi tegner punktene og trekker opp linja. Metode 2 Konstantleddet er 1. Altsa˚ vet vi at ð0, 1Þ er et punkt pa˚ linja. Vi begynner i dette punktet og lar t øke med e´n enhet. 1 1 Siden stigningstallet er , skal f ðtÞ øke enhet. 2 2 Det gir oss det andre punktet, og vi kan trekke opp linja.

2

2

0

2

f (t) 2 1

–2

1 2

1

–1

1

t

2

–1

EKSEMPEL 5 y

Linja pa˚ figuren er grafen til en funksjon g. Bestem gðxÞ. 3

Løsning: Vi vet at funksjonen er lineær, det vil si at gðxÞ ¼ ax þ b.

1 a = –2

2

Konstantleddet b forteller hvor grafen skjærer y-aksen. Pa˚ figuren ser vi at b ¼ 3.

b=3 1

Stigningstallet a forteller hvor mye y endrer seg na˚r x øker med e´n enhet. Avlesing pa˚ figuren viser at a ¼ 2. Svaret blir gðxÞ ¼ 2x þ 3.

–1

1

2

x

AKTIVITETER Oppgave 2.4 Tegn grafen til f ðxÞ ¼ 3x  2 pa˚ to ma˚ter.

Oppgave 2.5 Tegn grafene til f ðxÞ ¼ 2x  3, gðxÞ ¼ 2x þ 2 og hðxÞ ¼ 2x þ 2 i det samme koordinatsystemet. Hvordan kunne vi pa˚ forha˚nd ha sagt at to grafer ma˚ være parallelle, og at to grafer vil skjære y-aksen pa˚ samme sted?

Oppgave 2.6 Finn funksjonsuttrykket for hver av de tre linjene:

3 c)

y

a)

2 b) 1

–2 –1 Utfordring 2.7 –1 Bestem det eksakte funksjonsuttrykket for linja som ga˚r gjennom punktene ð3, 6Þ og ð3, 2Þ.

1

2

Lineære funksjoner

x

63


2.3

Formel for stigningstallet

Du skal lære – å regne ut endringer som sluttverdi minus startverdi – å bruke formelen for å regne ut stigningstallet til en linje gjennom to punkter

I matematikk bruker vi ofte bokstaven delta, , for a˚ markere at vi regner ut endringen til en størrelse. Vi leser x som endringen av x. Dersom x er lik 3 til a˚ begynne med, for sa˚ a˚ bli 1, har vi x ¼ sluttverdi  startverdi ¼ 1  3 ¼ 2 Dersom x først er x1 og sa˚ blir x2, har vi altsa˚ x ¼ x2  x1 . Dersom y først er y1 og sa˚ blir y2, har vi tilsvarende y ¼ y2  y1 . y

Dette kan vi bruke til a˚ finne stigningstallet for en rett linje gjennom to punkter, ðx1 , y1 Þ og ðx2 , y2 Þ. Pa˚ figuren har vi markert endringene av x og y med piler. Ettersom de to trekantene er formlike, har vi a y y y2  y1 ¼ dvs. a ¼ ¼ 1 x x x2  x1

(x2, y2) Dy

(x1, y1) Dx a 1

x

Dette er formelen for stigningstallet til en rett linje gjennom punktene ðx1 , y1 Þ og ðx2 , y2 Þ.

EKSEMPEL 6 FORMEL

Finn stigningstallet for linja gjennom ð2, 3Þ og ð2, 3Þ.

FOR

STIGNINGSTALLET

Linja gjennom punktene ðx1 , y1 Þ og ðx2 , y2 Þ har stigningstallet y y2  y1 a ¼ ¼ x2  x1 x

Løsning: Vi setter inn i formelen: y2  y1 3  3 6 3 ¼ ¼  ¼ a ¼ x2  x1 2  ð2Þ 4 2

EKSEMPEL 7 y

Finn stigningstallet for linja pa˚ figuren. Løsning: Dersom vi prøver a˚ øke x med e´n enhet, fa˚r vi problemer med a˚ lese av endringen av y nøyaktig. Vi leter oss derfor fram til punkter pa˚ linja som gjør at vi kan lese av endringene av x og y med hele verdier. Stigningstallet blir y 2 ¼ a ¼ x 3

64

Kapittel 2 | Lineære funksjoner

3 Dy = 2

2 1

–2

–1

Dx = 3 1

2

x


EKSEMPEL 8 Faren til Jon har vært til kontroll hos legen og er blitt anbefalt a˚ ga˚ ned fra 120 kg til 90 kg. Han bestemmer seg for a˚ ga˚ ned jevnt i løpet av 24 ma˚neder. Vi lar f ðxÞ være vekta i kilogram etter x ma˚neder. a) Finn uttrykket for f ðxÞ. b) Hva bør han veie etter a˚tte ma˚neder? c) Na˚r passerer han 95 kg? Løsning: a) Siden vekta skal ga˚ jevnt ned, er f en lineær funksjon: f ðxÞ ¼ ax þ b Vi vet at vekta er 120 kg na˚r x ¼ 0. Altsa˚ er konstantleddet b ¼ 120. For a˚ finne stigningstallet bruker vi formelen pa˚ motsta˚ende side: a ¼

y2  y1 ð90  120Þ kg ¼ ¼ 1;25 kg=md: x2  x1 ð24  0Þ md:

I denne praktiske oppgaven har stigningstallet fa˚tt ma˚lenhet. Vi sløyfer enheten i funksjonen: f ðxÞ ¼ 1;25x þ 120. b) x ¼ 8 gir f ð8Þ ¼ 1;25  8 þ 120 ¼ 110. Han bør veie 110 kg. c) Vi ma˚ løse likningen f ðxÞ ¼ 95: 1;25x þ 120 ¼ 95 1;25x ¼ 25 1;25x 25 ¼ 1;25 1;25

. . . Vi flytter over . . . Vi dividerer med 1;25

. . . Vi finner x

x ¼ 20 Han passerer 95 kg etter 20 ma˚neder.

AKTIVITETER Oppgave 2.8 En bedrift skal redusere et utslipp jevnt fra 260 tonn til 60 tonn i løpet av ti a˚r. La UðxÞ være utslippet i tonn etter x a˚r.

a) Finn uttrykket for UðxÞ. b) Hvor stort bør utslippet være om seks a˚r? c) Na˚r passerer utslippet 100 tonn?

Oppgave 2.9 Finn stigningstallet til linja gjennom disse punktene: a) ð1, 3Þ og ð2, 6Þ b) ð2, 3Þ og ð2, 5Þ c) ð3, 3Þ og ð2, 0Þ d) ð5, 4Þ og ð3, 5Þ Utfordring 2.10 Grafen til f er en rett linje gjennom ð2, 4Þ og ð2, 4Þ. Avgjør om grafen til f er parallell med grafen til funksjonen g gitt ved gðxÞ ¼ 2x þ 2.

Formel for stigningstallet

65


2.4

Lineære likningssett. Addisjonsmetoden. Innsettingsmetoden

Du skal lære – å løse lineære likningssett med addisjonsmetoden – å løse lineære likningssett med innsettingsmetoden

Vi har to hovedmetoder for a˚ løse lineære likningssett ved regning. Med den første metoden gjør vi om pa˚ likningssettet slik at den ene ukjente blir borte na˚r vi adderer venstre og høyre side av likningssettet hver for seg. Dette kaller vi addisjonsmetoden. Vi forklarer trinnene i et eksempel.

EKSEMPEL 9 Løs likningssettet med addisjonsmetoden: " # I: 3x  2y ¼ 4 II: 5x þ 3y ¼ 13 Løsning:

"

I: 3x  2y ¼ 4

#

II: 5x þ 3y ¼ 13 "

I: 3  3x  3  2y ¼ 3  4

#

. . . Vi velger å la y falle bort. Vi multipliserer likning I med 3 og likning II med 2

II: 2  5x þ 2  3y ¼ 2  13 "

I:

# 9x  6y ¼ 12

. . . Vi multipliserer ut

II: 10x þ 6y ¼ 26 . . . Vi adderer venstre side og høyre side hver for seg

19x

¼ 38 x¼2

. . . Vi finner x . . . Vi setter x ¼ 2 inn i 5x þ 3y ¼ 13

5  2 þ 3y ¼ 13 . . . Vi finner y

y¼1 Løsningen til likningssettet er x ¼ 2 og y ¼ 1.

66

Kapittel 2 | Lineære funksjoner


I noen likningssett er det enkelt a˚ finne et uttrykk for den ene ukjente. Dette uttrykket kan vi sa˚ sette inn for den ukjente i den andre likningen. Denne metoden kaller vi innsettingsmetoden, og vi forklarer trinnene i neste eksempel.

EKSEMPEL 10 Løs likningssettet " # I: x þ 2y ¼ 2 II: 3x  5y ¼ 17 ved a˚ bruke innsettingsmetoden. Løsning: Det er enkelt a˚ finne x i likning I. Vi fa˚r x þ 2y ¼ 2,

dvs.

x ¼ 2  2y

Vi setter inn for x i likning II: 3x  5y ¼ 17 Da fa˚r vi 3ð2  2yÞ  5y ¼ 17,

dvs.

6  6y  5y ¼ 17

Vi løser likningen og fa˚r 11y ¼ 11,

dvs.

y ¼ 1

Vi setter sa˚ y ¼ 1 inn i uttrykket x ¼ 2  2y og fa˚r x ¼ 2  2  ð1Þ ¼ 4 Løsningen til likningssettet er x ¼ 4 og y ¼ 1.

AKTIVITETER Oppgave 2.11 Løs likningssettene med addisjonsmetoden: " # " # I: x  2y ¼ 4 I: 3x  y ¼ 2 b) a) II: 2x þ 3y ¼ 5 II: 3x þ y ¼ 4

" c)

I: 3x  2y ¼ 2

II:

x y¼4

#

" d)

I: 3x  4y ¼ 6

II: 4x þ 5y ¼ 23

Oppgave 2.12 Løs ved hjelp av innsettingsmetoden: " # " # I: 4x  3y ¼ 15 I: 3x þ 2y ¼ 7 b) a) II: 5x þ y ¼ 14 II: x þ 3y ¼ 7

# Utfordring 2.13 Løs likningssettet: " # I: x2  y2 ¼ 7

II: x2 þ y2 ¼ 25

Lineære likningssett. Addisjonsmetoden. Innsettingsmetoden

67


2.5

Grafisk løsning av lineære likningssett. Løsning med digitale verktøy

Du skal lære – å løse lineære likningssett grafisk – å løse lineære likningssett med digitale verktøy

De to likningene i et lineært likningssett blir to linjer na˚r vi tegner dem i et koordinatsystem. Punktet der linjene skjærer hverandre, er løsningen til likningssettet. Vi viser framgangsma˚ten i et eksempel.

EKSEMPEL 11 " Løs likningssettet grafisk

# I: 3x  2y ¼ 4 II:

x þ 2y ¼ 4

Løsning: For a˚ løse det lineære likningssettet grafisk skriver vi likningene slik at y sta˚r alene pa˚ venstre side. Fra likning I har vi for eksempel at 3  2y ¼ 3x þ 4, dvs. y ¼ x  2 2 Tilsvarende har vi fra likning II: 1 x þ 2y ¼ 4 gir 2y ¼ x þ 4, dvs. y ¼  x þ 2 2 Vi regner ut to punkter pa˚ hver av linjene og tegner linjene i det samme koordinatsystemet. 3x  2y ¼ 4 gir

y 4 3 2 1

x

0

4

x

0

4

3 I: y ¼ x  2 2

2

4

1 II: y ¼  x þ 2 2

2

0

1

Linjene skjærer hverandre der x ¼ 2 og y ¼ 1. Dette er løsningen til det lineære likningssettet.

Avanserte lommeregnere og matematikkverktøy pa˚ datamaskiner har egne programmer for a˚ løse likningssett. Dersom det ikke sta˚r at vi skal løse likningssettet ved regning, kan vi løse likningssettet med et digitalt verktøy. Spesielt gjelder det praktiske oppgaver der hovedpoenget er a˚ sette opp det korrekte likningssettet ut fra opplysningene i oppgaveteksten. Na˚r det er gjort, løser vi likningssettet med et digitalt verktøy.

68

Kapittel 2 | Lineære funksjoner

x –1 –2

2

3

4


EKSEMPEL 12 Et firma skal selge en ny type saft der de bruker kildevann, til kr 5;00 per liter, og ra˚saft til kr 50;00 per liter. En liter saft koster kr 14;00. Hvor mye kildevann og hvor mye ra˚saft er det da i en liter ferdig saft? Løsning: Vi har her x liter kildevann og y liter ra˚saft i e´n liter blanding. Siden det totalt er e´n liter, har vi x þ y ¼ 1. Kildevannet koster kr 5 per liter. Kildevannsdelen av denne blandingen koster da kr 5  x. Ra˚saftdelen koster kr 50  y. Siden e´n liter koster kr 14, kan vi sette opp likningen 5x þ 50y ¼ 14. Ut fra oppgaveteksten har vi na˚ fa˚tt likningssettet: " # I: 5x þ 50y ¼ 14 II:

y¼ 1

Vi bruker et digitalt verktøy og fa˚r x ¼ 0;8 og y ¼ 0;2. Vi ma˚ bruke 0;8 liter kildevann og 0;2 liter ra˚saft.

AKTIVITETER Oppgave 2.14 Løs likningssettet ved regning: " # 2x þ y ¼ 2

Oppgave 2.18 Pa˚ en ga˚rd er det griser og høns. Til sammen er det 70 hoder og 220 bein. Sett opp et likningssett og bruk et digitalt verktøy til a˚ finne hvor mange griser og høner det er pa˚ ga˚rden.

x þ y ¼ 3 Løs deretter likningssettet grafisk. Oppgave 2.15 To tall har summen 24 og differansen 6. Finn de to tallene. Oppgave 2.16 For 1 kg epler og 1;5 kg pærer betaler vi kr 25;50. En annen gang betaler vi kr 56;00 for 3 kg epler og 2 kg pærer. Finn kiloprisen for epler og pærer. Oppgave 2.17 Pa˚ en fotballkamp var det 1248 voksne og 325 barn, og inntekten var da kr 263 640. Pa˚ en annen kamp var det 2065 voksne og 422 barn, og inntekten var da kr 422 340. Finn billettprisen for voksne og for barn ved a˚ sette opp et likningssett og løse det ved hjelp av et digitalt verktøy.

Oppgave 2.19 Kjøttdeig er en blanding av reint kjøtt til kr 120 per kg og tilsetningsstoffer til kr 20 per kg. Kjøttdeigen koster kr 85 per kg. Hvor mye reint kjøtt og hvor mye tilsetningsstoffer er det i 1 kg kjøttdeig? Utfordring 2.20 Stopplengden for en bil kaller vi s meter na˚r farten er v km=h. Stopplengden er da gitt ved

s ¼ a  v2 þ b  v Pa˚ glatt vinterføre finner vi at farten 30 km=h gir stopplengden 45 meter, mens farten 80 km=h gir stopplengden 250 meter. a) Sett opp et likningssett for a og b. b) Finn a og b ved a˚ bruke et digitalt verktøy.

Grafisk løsning av lineære likningssett. Løsning med digitale verktøy

69


2.6

Ettpunktsformelen

Du skal lære – å finne likningen for en rett linje ved hjelp av ettpunktsformelen

Vi har lært a˚ finne stigningstallet for en linje som ga˚r gjennom to punkter. I dette avsnittet skal vi lære a˚ finne likningen for linja gjennom et punkt na˚r vi kjenner stigningstallet til linja.

ETTPUNKTSFORMELEN a

(x1, y1)

Pa˚ figuren kjenner vi stigningstallet a for en linje som ga˚r gjennom punktet ðx1 , y1 Þ. Dersom vi lar ðx, yÞ være et vilka˚rlig punkt pa˚ denne linja, kan vi ta utgangspunkt i formelen for stigningstallet: y  y1 ¼a x  x1 . . . Vi multipliserer med ðx  x1 Þ y  y1  ðx  x1 Þ ¼ a  ðx  x1 Þ x  x1 y  y1 ¼ a ðx  x1 Þ

(x, y)

y

1 x

Linja gjennom punktet ðx1 , y1 Þ med stigningstallet a er gitt ved ettpunktsformelen: y  y1 ¼ aðx  x1 Þ

. . . Vi forkorter

Det siste uttrykket kaller vi ettpunktsformelen for en rett linje.

EKSEMPEL 13 Finn en formel for linja gjennom punktene ð2, 1Þ og ð2, 3Þ. Løsning: Først finner vi stigningstallet: a ¼

y2  y1 31 2 1 ¼ ¼ ¼ x2  x1 2  ð2Þ 4 2

Vi setter sa˚ a ¼

1 og ðx1 , y1 Þ ¼ ð2, 1Þ inn i ettpunktsformelen: 2

y  y1 ¼ a ðx  x1 Þ y1¼

 1 x  ð2Þ 2

1 y1¼ xþ1 2

y

. . . Vi setter inn a ¼ 1 og ðx1 , y1 Þ ¼ ð2, 1Þ 2

. . . Vi multipliserer ut

2

1 2

1

(–2, 1) 1

. . . Vi flytter over

1 y¼ xþ2 2 1 Dersom vi kaller funksjonen g, har vi altsa˚ gðxÞ ¼ x þ 2. 2 Pa˚ figuren ser vi at svaret stemmer med linja gjennom ð2, 1Þ og ð2, 3Þ: – Linja skjærer andreaksen i 2. Konstantleddet er b ¼ 2. 1 1 – Na˚r x øker med 1, øker y med . Stigningstallet er a ¼ . 2 2

70

(2, 3)

3

Kapittel 2 | Lineære funksjoner

–2

–1

1

2

x


EKSEMPEL 14 Verdens akvakulturproduksjon av fisk, krepsdyr, skalldyr og annet har økt tilnærmet lineært fra 18 millioner tonn i 1990 til 42 millioner tonn i 2005. Vi lar AðxÞ være verdens akvakulturproduksjon i millioner tonn i a˚r x regnet fra a˚r 2000, det vil si at x ¼ 0 i a˚r 2000. Svar pa˚ disse spørsma˚lene ved regning: a) Finn formelen for AðxÞ. b) Hva blir produksjonen i a˚r 2010? c) Hvilket a˚r var produksjonen 26 millioner tonn? Løsning: a) Vi skal finne den lineære funksjonen AðxÞ ved regning. Da bruker vi ettpunktsformelen. Opplysningene i teksten forteller at linja skal ga˚ gjennom punktene ð10, 18Þ og ð5, 42Þ. Stigningstallet blir da y 42  18 24 a¼ ¼ ¼ ¼ 1;6 x 5  ð10Þ 15 Na˚r vi setter inn i ettpunktsformelen, y  y1 ¼ a ðx  x1 Þ, velger vi denne gang a˚ bruke punktet ð5, 42Þ: y  42 ¼ 1;6 ðx  5Þ Det gir y  42 ¼ 1;6x  8,

dvs. y ¼ 1;6x þ 34

Svaret er altsa˚ AðxÞ ¼ 1;6x þ 34. b) I 2010 er x ¼ 10. Da blir Að10Þ ¼ 1;6  10 þ 34 ¼ 50. Produksjonen blir pa˚ 50 millioner tonn. c) Vi skal finne ut na˚r AðxÞ ¼ 26. Da fa˚r vi en likning: 8 ¼ 5 1;6x þ 34 ¼ 26 gir 1;6x ¼ 8, dvs. x ¼ 1;6 Svaret x ¼ 5 vil si at a˚ret var 1995.

AKTIVITETER Oppgave 2.21 Finn formelen for linja gjennom punktene nedenfor pa˚ tre forskjellige ma˚ter: a) ð1, 3Þ og ð2, 6Þ b) ð2, 3Þ og ð2, 5Þ c) ð3, 3Þ og ð2, 0Þ d) ð5, 4Þ og ð3, 5Þ Oppgave 2.22 a) Tegn linja gjennom ð2, 1Þ med stigningstallet 3. b) Bestem linja i a grafisk og ved regning.

Oppgave 2.23 Forbruket av vannkraft økte jevnt fra 72 TWh i 1975 til 124 TWh i 2000. FðxÞ er forbruket i a˚r x regnet fra 1990. Svar pa˚ disse spørsma˚lene ved regning:

a) Finn formelen for FðxÞ. b) Hva var forbruket i 1980? c) Na˚r blir forbruket 134;4 TWh?

Ettpunktsformelen

71


2.7

Lineær regresjon

Du skal lære – at det ofte er naturlig å bruke en rett linje til å beskrive tendensen i en utvikling – hvordan vi bruker lineær regresjon på digitale verktøy til å finne denne linja – at den matematiske modellen vi finner, vanligvis bare gjelder innenfor et begrenset område

Vi skal forklare lineær regresjon ut fra tabellen i margen. Tabellen er hentet fra hjemmesiden til Statistisk sentralbyra˚ og viser utslippet av karbonmonoksid til luft i Norge. Det a˚rlige utslippet er oppgitt i tusen tonn. Na˚r vi regner med slike tabeller i matematikk, kaller vi tida x a˚r, mens utslippet y er ma˚lt i tusen tonn. For a˚ tegne punktene i et koordinatsystem ma˚ vi velge et a˚r der vi setter x ¼ 0. Her velger vi a˚ sette x ¼ 0 i 2000. Det har vi gjort i den andre tabellen i margen.

År

1990

1995

2000

2005

Utslipp

868

735

566

448

x

10

5

0

5

y

868

735

566

448

y, tusen tonn 800

Na˚ merker vi av verdisettene i tabellen som punkter i et koordinatsystem.

600

Punktene ser ut til a˚ ligge nesten pa˚ linje. Som matematisk modell for utslippet er det derfor naturlig a˚ bruke en lineær funksjon.

400 200

Ma˚let blir sa˚ a˚ finne den rette linja som passer best, det vil si slik at punktene ligger jevnt fordelt over og under linja. Som oftest er det vanskelig a˚ tilpasse en slik linje for ha˚nd. Derfor er det utviklet en egen matematisk framgangsma˚te for a˚ finne den. Framgangsma˚ten kalles lineær regresjon og er for komplisert til at vi forklarer den her. Pa˚ digitale verktøy finner vi egne programmer som utfører den lineære regresjonen for oss.

–10

–5

5

x, år

Vi gjennomfører lineære regresjon og finner at y ¼ ax þ b, der a  28;6 og b  583. Dersom vi kaller utslippsfunksjonen U, er altsa˚ modellen UðxÞ ¼ 28;6x þ 583

y, tusen tonn 800

Na˚r vi skal se hvordan modellen passer med punktene, tegner vi grafen til U i samme koordinatsystem. Vi velger a˚ regne ut for x ¼ 10 og x ¼ 5:

600

x ¼ 10 gir Uð10Þ ¼ 28;6  ð10Þ þ 583 ¼ 869 x¼5

gir

400

Uð5Þ ¼ 28;6  5 þ 583 ¼ 440

200

Vi tegner linja gjennom de to punktene og fa˚r linja pa˚ figuren. Som ventet ser vi at linja passer bra med tabellpunktene. Denne matematiske modellen regner vi med i neste eksempel.

72

Kapittel 2 | Lineære funksjoner

–10

–5

5

x, år


EKSEMPEL 15 Utslippet av karbonmonoksid er gitt ved modellen UðxÞ ¼ 28;6x þ 583 Her er x tida i a˚r regnet fra 2000, og UðxÞ er det a˚rlige utslippet i tusen tonn. Modellen er laget ut fra observerte utslipp mellom 1990 og 2005. a) Hva var utslippet i 2003 ifølge denne modellen? Sammenlikn med den korrekte verdien pa˚ 494 000 tonn. b) Hvor stort blir utslippet i 2010? c) Regn ut Uð25Þ. Kommenter svaret. Løsning: a) 2003 ligger innenfor det omra˚det modellen bygger pa˚. Vi kan da bruke modellfunksjonen Uð3Þ ¼ 28;6  3 þ 583  497 Modellen gir et utslipp pa˚ ca. 497 000 tonn. Det er bare 0;6 % over det reelle utslippet.

LINEÆR

b) 2010 ligger utenfor omra˚det som modellen bygger pa˚. Men vi kan tenke oss at utviklingen fortsetter noen a˚r til: Uð10Þ ¼ 28;6  10 þ 583 ¼ 297

Dersom tabellpunktene ligger om lag på linje, bruker vi en lineær funksjon som modell for utviklingen. Vi finner den lineære funksjonen ved lineær regresjon.

Modellen spa˚r at utslippet blir ca. 297 000 tonn. c)

REGRESJON

Uð25Þ ¼ 28;6  25 þ 583 ¼ 132 Modellen spa˚r altsa˚ et negativt utslipp. Det gir ingen mening og viser at vi er langt utenfor bruksomra˚det for modellen va˚r.

En matematisk modell vil vanligvis bare passe med utviklingen i et avgrenset område.

AKTIVITETER Oppgave 2.24 Elevene pa˚ Sunn har en kampanje for a˚ spise sunt. Tabellen viser ukeomsetningen av frukt i kantina:

x, uke y, kroner

1 875

2

3

4

5

Oppgave 2.25 Tabellen viser utviklingen av antall jordbruk i Norge. Velg x ¼ 0 i 1995 og la y være antall jordbruk.

6

1250 1650 2040 2490 2900

a) Tegn punktene i et koordinatsystem. Hva slags funksjon passer bra som matematisk modell? b) Finn den lineære funksjonen som passer best. c) Tegn funksjonen i samme koordinatsystem. d) Hvor stor blir omsetningen i uke 10?

˚r A

1989

1995

1999

2000

2001

Antall 99 382 83 220 70 740 68 539 65 607 a) b) c) d) e)

Tegn punktene i et koordinatsystem. Finn den lineære funksjonen som passer best. Tegn funksjonen i samme koordinatsystem. Hvor mange jordbruk er det i 2010? Kan vi bruke modellen fram til 2050?

Lineær regresjon

73


2.8

Sammensatte eksempler

EKSEMPEL 16 1 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼  x þ 3. 2 a) Tegn grafen til funksjonen i et koordinatsystem. 1 3 b) Løs likningen  x þ 3 ¼ ved avlesing og ved regning. 2 2 Løsning: a) Regneuttrykket til funksjonen har formen ax þ b. Funksjonen er derfor lineær, og grafen blir en rett linje.

x

2

4

2

f ðxÞ

y

For a˚ tegne en rett linje trenger vi bare to punkter. Pa˚ grunn av brøken i regneuttrykket for f velger vi a˚ bruke x ¼ 2 og x ¼ 2 i tabellen. Grafen er tegnet pa˚ figuren. 1 3 3 b) Likningen  x þ 3 ¼ vil si at f ðxÞ skal være lik . 2 2 2 3 Vi tegner linja y ¼ og leser av svaret x ¼ 3. 2 Vi løser den samme likningen ved regning: 1 3  xþ3¼ gir  x þ 6 ¼ 3, dvs. x ¼ 3 2 2 Som ventet fant vi den samme løsningen, x ¼ 3.

2

4 3 2 1 –2

1

–1

2

3

x

EKSEMPEL 17 Grafen til en lineær funksjon f ga˚r gjennom punktene ð2, 6Þ og ð2, 2Þ. Finn f ðxÞ grafisk og ved regning. Løsning: For a˚ finne f ðxÞ ¼ ax þ b grafisk tegner vi linja gjennom punktene. Vi ser at linja skjærer y-aksen i verdien 2. (–2, 6) Konstantleddet er b ¼ 2. Na˚r vi øker x-verdien med e´n enhet, ser vi at grafen faller to enheter. Det gir oss stigningstallet a ¼ 2. Funksjonen er altsa˚ f ðxÞ ¼ 2x þ 2.

y 6 5 4

Na˚r vi skal finne f ðxÞ ¼ ax þ b ved regning, regner vi først ut stigningstallet: y2  y1 2  6 8 a¼ ¼ ¼ ¼ 2 x2  x1 2  ð2Þ 4 Sa˚ setter vi inn a ¼ 2 og ðx1 , y1 Þ ¼ ð2, 6Þ i ettpunktsformelen: y  y1 ¼ a ðx  x1 Þ   y  6 ¼ 2 x  ð2Þ y  6 ¼ 2ðx þ 2Þ y  6 ¼ 2x  4 y ¼ 2x þ 2 Svaret blir ogsa˚ her at f ðxÞ ¼ 2x þ 2.

74

Kapittel 2 | Lineære funksjoner

3 2 1

–2

–1

1 –2

1

2 x

–1 –2

(2, –2)


EKSEMPEL 18 Medlemstallet i et idrettsforbund steg jevnt fra 11 560 i 2005 til 12 520 i 2008. a) Finn en funksjon MðtÞ for antall medlemmer etter t a˚r regnet fra 2005. b) Hva blir medlemstallet i 2015? c) Na˚r runder medlemstallet 16 000? Løsning: a) Økningen er jevn, og funksjonen blir lineær: MðtÞ ¼ at þ b. Stigningstallet a er økningen i løpet av ett a˚r. Økningen utgjør 12 520  11 560 ¼ 960 pa˚ tre a˚r. 960 ¼ 320. Økningen per a˚r blir derfor a ¼ 3 Konstantleddet b er medlemstallet na˚r t ¼ 0. Vi vet at t ¼ 0 i 2005. Da var medlemstallet 11 560. Konstantleddet er derfor b ¼ 11 560. Funksjonen blir MðtÞ ¼ 320t þ 11 560. b) Vi ga˚r ut fra at medlemstallet fortsetter a˚ øke jevnt. I 2015 er t ¼ 10, og Mð10Þ ¼ 320  10 þ 11 560 ¼ 14 760. Det gir 14 760 medlemmer i 2015. c) Na˚r medlemstallet er 16 000, ma˚ MðtÞ ¼ 16 000. Vi løser likningen 320t þ 11 560 ¼ 16 000 og fa˚r t  13;9. Medlemstallet er 16 000 na˚r t  14, det vil si i 2019.

AKTIVITETER Oppgave 2.26 Løs likningssettene ved regning: " # " # 4x ¼ 1  3y 2x ¼ 4  7y a) b) 5x þ y ¼ 4 5y ¼ 25  3x Oppgave 2.27 Bruk et digitalt verktøy til a˚ løse disse likningssettene: " # 1;36x þ 5;48y ¼ 23;65 a) 2;48x þ 1;96y ¼ 12;68 " # 2;45x þ 3;13y ¼ 1;60 b) 4;31x  5;88y ¼ 2;47

Oppgave 2.28 Tegn i samme koordinatsystem for x fra 0 til 4: a) y ¼ 2x þ 9 b) y ¼ 2x þ 3

c) y ¼ 2x þ 3 Hvordan kunne du pa˚ forha˚nd ha sagt at to linjer ma˚ bli parallelle, og at to linjer vil skjære y-aksen pa˚ samme sted? Utfordring 2.29 Løs likningssettet med innsettingsmetoden: 2 3 2x  4y þ z ¼ 4 7 6 4 3x þ 5y  7z ¼ 7 5

5x  2y þ 3z ¼ 16

Sammensatte eksempler

75


2

SAMMENDRAG

Funksjonsbegrepet En funksjon f er en framgangsma˚te som til hver verdi av x gir nøyaktig e´n funksjonsverdi f ðxÞ. For eksempel kan vi skrive funksjonen som multipliserer med 2 og adderer 3, slik:

f ðxÞ ¼ 2x þ 3

f (x) = ax + b

Med innsettingsmetoden finner vi for eksempel y ¼ x  1 av den øverste likningen og setter inn i den nederste. Vi fa˚r da:

a 1

b

x þ 2y ¼ 7 Med addisjonsmetoden multipliserer vi for eksempel den øverste likningen med 2, slik at y-leddene faller bort na˚r vi adderer likningene. Vi fa˚r da 3x ¼ 9, som gir x ¼ 3. Sa˚ finner vi y ved for eksempel a˚ sette inn i x  y ¼ 1.

Lineær funksjon y

Lineære likninger med to ukjente Vi har likningssettet " # x y¼1

x þ 2ðx  1Þ ¼ 7 x

Grafen til en lineær funksjon f ðxÞ ¼ ax þ b er en rett linje. – Stigningstallet a forteller hvor mye linja stiger eller faller na˚r x øker med e´n enhet. – To parallelle linjer har samme stigningstall. – Konstantleddet b forteller hvor linja skjærer y-aksen.

dvs. 3x ¼ 9

Dette gir x ¼ 3. Sa˚ finner vi y ved a˚ sette inn i y ¼ x  1. Lineære likningssett kan ogsa˚ løses ved hjelp av et digitalt verktøy. Grafisk løsning av likningssett Vi løser et likningssett grafisk ved at vi framstiller grafen til hver av likningene. Løsningene blir skjæringspunktene mellom de to grafene. Ettpunktsformelen

Formel for stigningstallet Linja gjennom punktene ðx1 , y1 Þ og ðx2 , y2 Þ har stigningstallet

y y2  y1 ¼ x x2  x1

(x, y)

y (x1, y1)

a 1 x

Linja gjennom punktet ðx1 , y1 Þ med stigningstallet a er gitt ved ettpunktsformelen: y  y1 ¼ a ðx  x1 Þ Lineær regresjon Dersom tabellpunktene ligger omtrent pa˚ linje, bruker vi en lineær funksjon som modell for utviklingen. Den lineære funksjonen finner vi ved lineær regresjon med et digitalt verktøy.

76

Kapittel 2 | Lineære funksjoner


TEST DEG SELV Test 2.A Tegn i samme koordinatsystem og bestem grafisk uttrykkene for

a) linja gjennom punktene ð0, 2Þ og ð1, 0Þ b) linja gjennom punktene ð0, 2Þ og ð2, 0Þ

Test 2.B Tilveksten av skog i Norge økte tilnærmet lineært fra 19;0 millioner m3 i 1980 til 28;0 millioner m3 i 2000. La t være tida i a˚r regnet fra 1990, og la TðtÞ være tilveksten i millioner kubikkmeter. Vi ga˚r ut fra at denne utviklingen har fortsatt ogsa˚ etter 2000. a) Bestem TðtÞ ved regning. b) Hvor stor blir tilveksten i 2006?

c) Na˚r blir tilveksten 37;9 millioner m3 ?

Test 2.C Løs likningssettene ved regning: " # " # 3x  y ¼ 8 0;5x þ 0;2y ¼ 13 a) b) 2x þ 5y ¼ 11 0;1x þ 0;9y ¼ 37

Test 2.D Solbærsirup er en blanding av rein solbærsaft til kr 50 per kg og sukker til kr 10 per kg. Prisen pa˚ solbærsirup er 26 kr=kg. Finn ved a˚ løse et likningssett hvor mye rein solbærsaft og hvor mye sukker det er i 1 kg solbærsaft.

Test 2.E Omsetningen i en bedrift økte jevnt fra 12 millioner kroner i 2003 til 20 millioner kroner i 2008. Finn ved regning omsetningen i 2006.

Test 2.F Tabellen viser medlemstallet i klubben Sta˚ Pa˚:

˚r A

2000 2001 2002 2003 2004

Medlemmer 5856 5424 4974 4564 4144 a) Sett x ¼ 0 i 2000 og lag et koordinatsystem. b) Hvilken matematisk modell er det naturlig a˚ bruke til a˚ beskrive denne utviklingen? c) Finn funksjonsuttrykket for modellen. Tegn grafen i det samme koordinatsystemet. d) Gjør et overslag over medlemstallet i 2008 ved regning. Hva var medlemstallet i 1997? e) Finn ved regning na˚r medlemstallet blir 2000. Test 2.G a) Tegn den rette linja gjennom punktet ð3, 5Þ som har stigningstallet 2. Finn uttrykket for linja 1 grafisk 2 med ettpunktsformelen

b) En linje gjennom ð1, 2Þ er parallell med linja du fant i a. Finn uttrykket for denne linja. Test 2.H Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 2x  4. a) Tegn grafen til f .

b) Finn ved regning hvor grafen til f skjærer x-aksen. Grafen til g er en rett linje som ga˚r gjennom punktene ð1, 6Þ og ð2, 3Þ. c) Finn gðxÞ ved regning. d) Fastsett koordinatene til skjæringspunktet mellom grafene til f og g grafisk og ved regning. Test 2.I Bestem konstanten a slik at likningssettet " # 2x þ 3y ¼ 3

ax  2y ¼ 4 ikke har noen løsning.

Test deg selv

77


2

LES, SKRIV OG SNAKK

Oppgave 1

Lag en liten tekst til hver av grafene der du beskriver hvordan grafen endrer seg. Skriv opp funksjonsuttrykket for grafen og forklar hvordan du kom fram til det. y

y

b)

a) 4

4

2

2 x

0 –4

–2

0

2

x

0 –4

4

–2

0

–2

–2

–4

–4 y

2

4

y

c)

d) 4

4

2

2 x

0 –4

A B C

–2

0

2

4

x

0 –4

–2

0

–2

–2

–4

–4

2

4

Oppgave 2

Teksten nedenfor er hentet fra NOU 1995: 5 og handler om globale miljøutfordringer. Menneskeskapte utslipp av drivhusfremkallende gasser utgjør 23 prosent av karbonsyklusen mellom jorden og atmosfæren. Nettoøkningen i atmosfærens innhold av karbondioksid er på om lag 0,5 prosent årlig. Det vil ta flere årtier før en har sikker vitenskapelig kunnskap om sammenhengene mellom utslipp, temperatur- og klimaendringer – spesielt når, hvor og hvor raskt forandringene vil komme. Denne usikkerheten gir et vanskelig dilemma når en vet at drivhusgassene har en lang levetid i atmosfæren, og samtidig at de negative utslagene ikke nødvendigvis vil være av en lineær karakter. Vi mangler forståelse av det komplekse dynamiske system de økte utslippene inngår i. Derfor kan man ikke utelukke brå og store endringer om visse terskelverdier overstiges.

Bruk teksten til a˚ avgjøre om utsagnene nedenfor er sanne eller usanne. a) Mengden CO2 i atmosfæren øker med 0;5 % per a˚r. b) De negative utslagene av klimaendringene endrer seg lineært. c) Det er lettere a˚ forberede seg pa˚ negative utslag av klimaendringer na˚r endringene skjer lineært.

78

Kapittel 2 | Lineære funksjoner


A B C

Oppgave 3

Hvilken graf hører til hvilket funksjonsuttrykk? A y ¼ 3x  4

B y ¼ 4x þ 3

C y¼x2

D y ¼ 2x þ 3

y

y

2

1 4

4

2

2 x

0 –4

–2

0

2

x

0

4

–4

–2

0

–2

–2

–4

–4 y

2

4

y

3

4 4

4

2

2 x

0 –4

–2

0

2

4

–4

–2

0

–2

–2

–4

–4

Oppgave 4

Forklar begrepene for en medelev. a) funksjon b) lineær funksjon c) stigningstall d) regresjon Oppgave 5

x

0 2

4

Oppgave 6

La y1 og y2 være to lineære funksjoner gitt ved y1 ¼ a1 x þ b 1 y2 ¼ a2 x þ b 2 En annen funksjon, y3 , er definert ved y3 ¼ y1 þ y2 . Forklar for en medelev at y3 blir en lineær funksjon med a3 ¼ a1 þ a2 og b 3 ¼ b 1 þ b 2 .

Vi ga˚r ut fra at y er proporsjonal med x, slik at y ¼ ax med a > 0. Skriv en liten tekst der du forklarer at dette er et spesialtilfelle av de lineære funksjonene.

Les, skriv og snakk

79


Øvingsoppgaver 2.1

Funksjonsbegrepet

A 2.30 Skriv funksjonen med symboler na˚r vi a) trekker fra 2 før vi multipliserer med 3 b) trekker fra 3 før vi kvadrerer c) dividerer med 4 før vi legger til 3 A 2.31 Regn ut f ð1Þ, f ð1Þ og f ð0Þ for ha˚nd:

a) f ðxÞ ¼ 3x  2

b) f ðxÞ ¼ x  1

c) f ðxÞ ¼ x2  4x þ 1

d) f ðxÞ ¼ ðx  2Þ2

B 2.32 Vera selger mobiltelefoner. Hun tjener kr 8000 fast per ma˚ned, og i tillegg har hun kr 600 for hvert salg. a) Hvor mye tjener Vera dersom hun selger tjue mobiltelefoner? b) Sett opp et uttrykk som viser hva Vera tjener per ma˚ned na˚r hun selger x mobiler. c) Tegn grafen til uttrykket i b for x-verdier mellom 0 og 100. d) Bestem grafisk og ved regning hvor mange mobiler hun ma˚ selge for a˚ tjene 27 800 kroner.

A 2.36 Tegn grafene til funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem for x-verdier mellom 4 og 5: 1 a) f ðxÞ ¼ x þ 1 2 b) gðxÞ ¼ x þ 1 c) hðxÞ ¼ 2x þ 1 d) Hvordan kunne du pa˚ forha˚nd ha visst at alle grafene ga˚r gjennom ð0, 1Þ? A 2.37 Tegn grafene til funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem for x-verdier mellom 5 og 5: a) y ¼ 2x þ 3

b) y ¼ 2x c) y ¼ 2x  1 d) Hvordan kunne du pa˚ forha˚nd ha visst at de tre linjene er parallelle? B 2.38

y a) 3

B 2.33 Pa˚l lurer pa˚ om han fa˚r samme funksjon na˚r han – kvadrerer og sa˚ legger til 3 – legger til 3 og sa˚ kvadrerer

2 b) 1

Hjelp Pa˚l med a˚ avgjøre hva som er riktig. –3

2.2

Lineære funksjoner

–2

–1

1

2

c)

–1 –2

A 2.34 Bestem stigningstallet og konstantleddet for disse lineære funksjonene: 1 a) y ¼ 2;3x þ 4;1 b) y ¼ 0;02x þ 4 c) y ¼ 1;2  2;42x A 2.35 Bestem stigningstallet og konstantleddet til de lineære funksjonene: a) f ðxÞ ¼ 2x  3 b) gðxÞ ¼ 2x c) hðxÞ ¼ 3  x d) kðtÞ ¼ 4

80

Kapittel 2 | Lineære funksjoner

x

3

–3 d)

Finn funksjonsuttrykket for linjene. B 2.39 Antall fattige i Norge skal reduseres jevnt fra 240 000 til 0 i løpet av a˚tte a˚r. a) Hvor mange fattige er det om tre a˚r? b) Na˚r er antall fattige 90 000?


B 2.40 Finn ved regning hvor grafen til f ðxÞ ¼ 2x þ 5 skjærer koordinataksene.

2.4

Lineære likningssett. Addisjonsmetoden. Innsettingsmetoden

B 2.41

1 a) Tegn grafene til f ðxÞ ¼ x þ 3 og gðxÞ ¼ x þ 4 2 i det samme koordinatsystemet. b) Finn grafisk og ved regning skjæringspunktet mellom grafene til f og g.

2.3

Formel for stigningstallet

A 2.42 Finn stigningstallet for linja gjennom disse punktene: a) ð2, 3Þ og ð4, 9Þ b) ð2, 3Þ og ð3, 4Þ B 2.43 Vi ga˚r ut fra at salget av gammelost har økt jevnt fra 12 tonn i 1980 til 17 tonn i 2000. a) Finn en formel for salget x a˚r etter 1980. b) Hvor stort var salget i 1996? c) Na˚r blir salget 20 tonn dersom utviklingen fortsetter? B 2.44 I 2004 var de samlede klimagassutslippene i landet pa˚ om lag 55;5 millioner tonn CO2 -ekvivalenter. Gjennom Kyoto-avtalen har Norge forpliktet seg til a˚ begrense utslippene til 50;6 millioner tonn CO2 -ekvivalenter innen 2008. Vi forutsetter at reduksjonen av utslipp er like stor hvert a˚r. a) Hvor mange millioner tonn CO2 -ekvivalenter ma˚ Norge redusere utslippene sine med hvert a˚r?

La x være antall a˚r etter 2004, slik at x ¼ 0 svarer til 2004, x ¼ 2 svarer til 2006 osv. La UðxÞ være det samlede klimagassutslippet i millioner tonn CO2 -ekvivalenter per a˚r ma˚lt x a˚r etter 2004. b) Forklar hvorfor funksjonen UðxÞ ¼ 55;5  1;225x beskriver den nødvendige utviklingen etter avtalen. c) Hva vil det samlede utslippet være i 2014 dersom utviklingen fortsetter pa˚ samme ma˚te? (Kilde: Statistisk sentralbyra˚)

A 2.45 Løs likningssettene med addisjonsmetoden: " # " # I: 2x þ 3y ¼ 19 I: 10x þ 6y ¼ 4 a) b) II: 5x  y ¼ 5 II: 5x  4y ¼ 9 A 2.46 Løs likningssettene med innsettingsmetoden: " # " # I: y ¼ 2x þ 3 I: x þ 2y ¼ 5 b) a) II: y ¼ 4x  1 II: 2x þ y ¼ 4 B 2.47 Løs likningssettene ved regning: " # " # I: 2x ¼ 2y  4 I: 2x ¼ 1  y a) b) II: x þ y ¼ 4 II: 3x ¼ y þ 4

2.5

Grafisk løsning av lineære likningssett. Løsning med digitale verktøy

A 2.48 Løs likningssettet grafisk og ved regning: " # I: y¼5x

II: y  x ¼ 1 B 2.49

Løs likningssettet grafisk:

"

2x þ y ¼ 4

#

x þ 2y ¼ 3

A 2.50 Løs likningssettene med digitalt verktøy: " # I: 0;4x þ 1;2y ¼ 16 a) II: 2;4x  3;4y ¼ 5 " # I: 12x  13y ¼ 14 b) II: 0;4x þ 1;2y ¼ 7

Øvingsoppgaver

81


A 2.51 Til en skolekantine ble det en uke kjøpt inn tolv bokser leverpostei og a˚tte esker sardiner. Til sammen kostet dette kr 206. Neste uke ble det kjøpt inn sju bokser leverpostei og ni esker sardiner til en samlet pris pa˚ kr 170. La x være prisen for en boks leverpostei, mens y er prisen for en eske sardiner. Sett opp et likningssett og finn x og y. A 2.52 Ane og Maren sammenlikner kassalappene pa˚ vei ut av butikken. Begge har kjøpt bananer og appelsiner.

Ane betalte 53;50 kroner for 3 kg appelsiner og 2 kg bananer. Maren kjøpte 2 kg appelsiner og 0;5 kg bananer og betalte 29;00 kroner.

B 2.56 Kari kjøpte 10 £ og 20 $ i en bank. Hun betalte 260 kroner. Hans kjøpte 20 £ og 30 $. Han betalte 450 kroner. Hva var kursen pa˚ pund (£) og dollar ($)? B 2.57 Forklar grafisk at likningssettet " # 2x þ y ¼ 4

4x þ 2y ¼ 3 ikke har noen løsning. B 2.58 Løs likningssettet med digitalt verktøy: 2 3 I: 2x  y þ 2z ¼ 19 6 7 xþyþz¼2 5 4 II:

III: 4x þ y þ 5z ¼ 25

Hvor mye kostet appelsinene og bananene per kilogram? A 2.53 Pa˚ en skole er det til sammen 760 elever. Det er 76 flere jenter enn gutter. Kall antallet jenter x og antallet gutter y. Sett opp to likninger med x og y og finn hvor mange jenter og hvor mange gutter det er ved skolen. B 2.54 I en næringsmiddeltabell sta˚r det:

– 100 g rosiner inneholder 3 g proteiner. – 100 g frokostkorn inneholder 4 g proteiner. Vi skal lage en blanding av rosiner og frokostkorn som inneholder 3,6 g proteiner per 100 g blanding. Hvor mye rosiner og hvor mye frokostkorn ma˚ det da være i 100 g blanding? B 2.55 En bedrift regner at utgiftene U kroner ved a˚ produsere x enheter kan skrives U ¼ a þ bx

der a og b er konstante tall. Ved en produksjon pa˚ 1000 enheter er utgiftene kr 4200. Na˚r produksjonen er 2500 enheter, har utgiftene økt til kr 6300. a) Forklar at vi fa˚r dette likningssettet for a og b: 1000b þ a ¼ 4200 2500b þ a ¼ 6300 b) Bestem a og b.

82

Kapittel 2 | Lineære funksjoner

B 2.59 La y ¼ ax2 þ bx þ c. Na˚r x ¼ 10, er y ¼ 70, na˚r x ¼ 50, er y ¼ 390, og na˚r x ¼ 0, er y ¼ 40. Finn a, b og c.

2.6

Ettpunktsformelen

A 2.60 a) Tegn linja gjennom punktet ð0, 2Þ som har stigningstallet 2. b) Finn likningen for linja grafisk og ved regning. A 2.61 Finn f ðxÞ na˚r grafen er linja gjennom disse punktene: a) ð2, 5Þ og ð3, 5Þ

b) ð4, 5Þ og ð6, 25Þ B 2.62 Finn en formel for linja gjennom disse punktene: a) ð2, 5Þ og ð3, 5Þ

b) ð1, 6Þ og ð4, 3Þ B 2.63 Finn formelen for en linje som ga˚r gjennom ð2, 4Þ og er parallell med linja y ¼ 3x þ 1.


B 2.64 En rett linje har konstantleddet 3. Finn stigningstallet og likningen for linja na˚r den ga˚r gjennom punktet ð4, 6Þ. B 2.65 Medlemstallet i en idrettsklubb har falt jevnt fra 6400 i 1995 til 4400 i 2005. Vi lar x være antall a˚r etter 2000, mens MðxÞ er medlemstallet etter x a˚r.

a) Finn uttrykket for MðxÞ. b) Hva blir medlemstallet i 2009 dersom denne utviklingen fortsetter? c) Klubben blir nedlagt na˚r medlemstallet passerer 2000. Na˚r skjer det dersom utviklingen fortsetter pa˚ samme ma˚te?

A 2.69 I en undersøkelse har en funnet disse sammenhørende verdiene av x og y: x

20

25

29

35

36

y

706

833

934

1085

1110

a) Tegn punktene i et koordinatsystem. b) Finn ved regresjon en lineær funksjon som passer til verdiene i tabellen. c) Tegn grafen til funksjonen i samme koordinatsystem. B 2.70 Vi studerer hvordan volumet y dm3 av en luftmengde øker med temperaturen x  C na˚r vi holder trykket konstant. Vi fa˚r denne tabellen: Temperatur, x  C 3

Volum, y dm

B 2.66 En bil øker farten jevnt fra 10 m=s etter 8 s til 16 m=s etter 15 s. Finn en formel for farten vðtÞ na˚r bilen har kjørt i t sekunder. Hvor stor er farten etter 12 s? Na˚r er farten 20 m=s? C 2.67 Vis at linja som ga˚r gjennom ð0, aÞ og ðb, 0Þ y x kan skrives þ ¼ 1 na˚r a 6¼ 0 og b 6¼ 0. a b

2.7

10

0

10

20

30

130

138

141

146

151

a) Tegn punktene fra denne tabellen i et koordinatsystem. b) Bruk lineær regresjon pa˚ lommeregneren til a˚ finne en lineær funksjon y ¼ ax þ b som passer godt med tabellverdiene. c) Ved hvilken temperatur blir volumet lik null? Hva kaller vi denne temperaturen? B 2.71 Bestem linja du fa˚r dersom du bytter om radene i oppgaven ovenfor. Hvordan kunne du ha funnet likningen for linja ut fra likningen i oppgaven ovenfor? C 2.72 Undersøk hvordan regresjon blir brukt ved teknisk aksjeanalyse. (Tips: Se «Kapital».)

Lineær regresjon

A 2.68 Vi har observert seks sammenhørende verdier av to størrelser, x og y: x

1

2

3

4

5

6

y

3

4

7

8

10

12

a) Tegn punktene i et koordinatsystem. b) Finn ved lineær regresjon pa˚ lommeregneren den best mulige sammenhengen mellom x og y. c) Tegn regresjonslinja inn i koordinatsystemet.

2.8

Blandede oppgaver

Oppgave 2.73 Løs disse likningssettene med addisjonsmetoden:

a) 2x þ y ¼ 8

b) 3x  2y ¼ 5 5x þ 4y ¼ 1

x  y ¼ 2

Oppgave 2.74 Løs disse likningssettene med innsettingsmetoden:

a)

x¼yþ1 2x þ 3y ¼ 3

b)

y ¼ 2x  1 x  2y ¼ 1

Øvingsoppgaver

83


Oppgave 2.75 Løs likningssettene grafisk og ved regning:

2x þ y ¼ 1

a)

Oppgave 2.80 Løs likningssettene med addisjonsmetoden:

b) 4x þ 2y ¼ 6

3x þ 3y ¼ 6

Oppgave 2.77 Funksjonene f , g og h er gitt ved

gðxÞ ¼ 2 ð2  xÞ

x þ 2y ¼ 3

b) 3x þ 4y ¼ 5

2x þ 3y ¼ 4

4x þ 5y ¼ 6

x ¼ 3y þ 2

b)

4x  3y ¼ 1

4x þ y ¼ 7 2x þ 3y ¼ 6

Oppgave 2.82 a) Tegn grafen til f ðxÞ ¼ 2x þ 5 for x-verdier mellom 2 og 2. b) Grafen til g er en rett linje som ga˚r gjennom ð1, 2Þ og er parallell med grafen til f . Finn gðxÞ ved regning.

a) 2;5x þ 6;3y ¼ 11;3 4;1x þ 7;3y ¼ 19;5

1990 1992 1994 1996 1998 2000 110

a)

Oppgave 2.84 Bruk et digitalt verktøy til a˚ løse disse likningssettene med to gjeldende desimaler:

Oppgave 2.79 En skole i et nytt boligomra˚de hadde denne utviklingen i elevtallet i 1990-a˚rene:

102

Oppgave 2.81 Løs likningssettene med innsettingsmetoden:

Linja m skjærer førsteaksen i verdien 3 og er 3 parallell med linja y ¼  x þ 4. 2 b) Finn likningen for m.

Oppgave 2.78 Løs likningssettene:

114

119

137

150

a) La 1990 være a˚r 0 og bruk lineær regresjon til a˚ lage en funksjon som er en tilnærmet modell for økningen i elevtallet. b) Hvor mange elever vil skolen ha i a˚r 2010 etter denne modellen? c) Drøft modellens gyldighet og grunngi pa˚standene dine.

84

xþy¼5

a) Finn likningen for l.

1 ð9 þ 2xÞ 2 Avgjør om grafene til noen av de tre funksjonene er parallelle. hðxÞ ¼

Antall elever

x þ 2y ¼ 2

Oppgave 2.83 Linja l skjærer andreaksen i verdien 2 og er parallell med linja y ¼ 5x þ 3.

f ðxÞ ¼ 2x þ 1

År

b) x  y ¼ 2

x þ 2y ¼ 4

Oppgave 2.76 I denne oppgaven er x tida regnet fra 1995. Det vil si at x ¼ 0 i 1995, x ¼ 1 i 1996, x ¼ 1 i 1994 osv. I 1994 ble det slaktet 200 000 tonn oppdrettslaks i Norge. Dette tallet økte til 332 000 tonn i 1997. Vi ga˚r ut fra at økningen har vært lineær. a) Finn funksjonen f som viser den slaktede mengden oppdrettslaks etter x a˚r. b) Hvor mye oppdrettslaks ble slaktet i 2001? c) I hvilket a˚r ble det slaktet 420 000 tonn laks?

a)

a) 2x  5y ¼ 4

Kapittel 2 | Lineære funksjoner

b)

9;5x  6;8y ¼ 32;4 4;3x þ 5;9y ¼ 21;5

Oppgave 2.85 En voksen og tre barn betaler i alt kr 170 i inngangspenger pa˚ en konsert. En familie med to voksne og to barn betaler kr 220. Finn inngangsprisen for voksne og for barn. Oppgave 2.86 For en bussreise betaler en familie med to voksne og tre barn kr 63. Prisen for voksne er det dobbelte av prisen for barn. La x være prisen for barn og y prisen for voksne. Sett opp to likninger med x og y. Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett?


Oppgave 2.87 Pa˚ en fotballkamp var det 2450 tilskuere som til sammen betalte kr 186 300 i billetter. Barnebilletten kostet kr 45, mens voksne betalte kr 90. Kall antallet voksne x og antallet barn y. Sett opp to likninger og finn x og y. Oppgave 2.88 Forskere har studert gjennomsnittsfarten til skogsmaur ved ulike temperaturer. Resultatet ga˚r fram av tabellen nedenfor. Her er x temperaturen i celsiusgrader,  C, mens y er gjennomsnittsfarten i centimeter per sekund, cm=s: x

10;0

12;0

14;0

16;0

18;0

20;0

y

0;59

0;81

1;03

1;25

1;47

1;69

a) Bruk lineær regresjon pa˚ lommeregneren og finn funksjonen. Videre i oppgaven regner vi med funksjonen f ðxÞ ¼ 0;11x  0; 51. b) Finn ved regning gjennomsnittsfarten til skogsmaur na˚r temperaturen er 17;0  C. c) Finn ved regning temperaturen na˚r gjennomsnittsfarten er 1,14 cm=s. Oppgave 2.89 Finn ved regning hvor grafen til f ðxÞ ¼ 2x  3 skjærer koordinataksene. Oppgave 2.90 Vi skal lage 2,5 liter saftblanding. Vi trenger fire ganger sa˚ mye vann som saftkonsentrat i blandingen. La antall liter konsentrat være x og antall liter vann y. Sett opp to likninger med x og y. Hvor mye saftkonsentrat og hvor mye vann skal vi ha i blandingen? Oppgave 2.91 Løs likningssettet:

5x þ 9y ¼ 60 11x þ 23y ¼ 82 Oppgave 2.92 Løs de to likningssettene: b) 0;02x  0;08y ¼ 1;28 a) x  2y þ 3 ¼ 1 4 2 0;05x þ 0;15y ¼ 2;9 2x þ 5y  1 1 ¼ 3 3

Oppgave 2.93 Finn ved regning skjæringspunktet mellom grafene til f ðxÞ ¼ 3x  1 og gðxÞ ¼ x þ 5. Oppgave 2.94 Redaksjonen for en skoleavis regner med 1200 kroner i faste utgifter. I tillegg kommer trykningsutgifter med kr 1;60 per eksemplar.

a) Finn en formel for de samlede utgiftene SðxÞ na˚r det blir trykt x eksemplarer. b) Illustrer denne formelen i et koordinatsystem. Velg verdier av x mellom 0 og 1000. Hvordan ser vi av formelen i a at dette ma˚ bli en rett linje? c) Finn grafisk og ved regning hvor store utgiftene blir ved trykking av 450 eksemplarer. d) Hva ma˚ antallet eksemplarer holde seg under dersom utgiftene ikke skal overstige 2000 kroner? Oppgave 2.95 Elektrisitetsforbruket til husholdninger blir ma˚lt i kilowattimer ðkWhÞ. I tabellen nedenfor er x antall a˚r regnet fra 1976, det vil si at x ¼ 0 i 1976, x ¼ 1 i 1977 osv. FðxÞ er det gjennomsnittlige a˚rsforbruket i kilowattimer: x

0

4

8

12

FðxÞ

8060

9300

10 860

12 200

a) Finn den lineære funksjonen FðxÞ ved regresjon. Videre i oppgaven regner vi med at FðxÞ ¼ 350x þ 8000. b) Hva var det gjennomsnittlige a˚rsforbruket i 2001? c) Na˚r passerte det gjennomsnittlige a˚rsforbruket 15 000 kWh? Oppgave 2.96 Hans og Per er til sammen 35 a˚r. Hans er dobbelt sa˚ gammel som Per var for fem a˚r siden. a) Hvor gamle er Hans og Per?

I dag er far tre ganger sa˚ gammel som Oda. For ti a˚r siden var han a˚tte ganger sa˚ gammel. b) Hvor gamle er de?

Øvingsoppgaver

85


Oppgave 2.97 a) Løs dette likningssettet:

xþy¼1 2;8x þ 1;5y ¼ 1;9 Energiinnholdet i matvarer blir ma˚lt i kilojoule ðkJÞ. Tabellen nedenfor viser energiinnholdet og prisen per liter helmelk, lettmelk og skummetmelk: Melketype Helmelk Lettmelk Skummetmelk

Energi Literpris 2800 9,90 1900 9,60 1500 9,10

Vi ønsker a˚ blande helmelk og skummetmelk slik at energiinnholdet i e´n liter blanding blir det samme som i e´n liter lettmelk. b) Hvor mange prosent skummetmelk ma˚ blandingen inneholde? c) Hva blir prisen for e´n liter blanding?

Oppgave 2.98 Grafen til funksjonen f er en rett linje gjennom punktene ð2, 1Þ og ð2, 7Þ. a) Finn f ðxÞ grafisk og ved regning. b) Finn ved regning hvor grafen skjærer koordinataksene. c) Løs likningen f ðxÞ ¼ 5 grafisk og ved regning.

Grafen til den lineære funksjonen g har stigningstallet 1 og skjærer y-aksen i punktet ð0, 9Þ. d) Skriv opp uttrykket for gðxÞ. e) Finn skjæringspunktet mellom grafene til f og g ved regning.

Oppgave 2.99 a) Løs likningssettet:

x ¼ 0;7y 5x þ 2y ¼ 308 Vi skal blande ripssyltetøy og solbærsyltetøy. Prisen x kr=kg for ripssyltetøyet utgjør 70 % av kiloprisen y kr=kg for solbærsyltetøyet. Dersom vi blander 5 kg ripssyltetøy og 2 kg solbærsyltetøy, blir prisen pa˚ blandingen 44 kr=kg. b) Bruk dette til a˚ finne x og y.

86

Kapittel 2 | Lineære funksjoner

Oppgave 2.100 a) Tegn følgende rette linjer m, n og s, i samme koordinatsystem: – m ga˚r gjennom ð0, 1Þ og har stigningstallet 3 – n skjærer førsteaksen i ð2, 0Þ og andreaksen i ð0, 6Þ – s ga˚r gjennom ð1, 3Þ og er parallell med linja x þ 2y ¼ 7

b) Finn likningene for linjene ved regning. c) Finn koordinatene til skjæringspunktene mellom m og s ved regning. Linja t skjærer førsteaksen i ða, 0Þ og andreaksen i ð0, bÞ. d) Vis at likningen for t kan skrives x y þ ¼1 n˚ar a 6¼ 0 og b 6¼ 0 a b Oppgave 2.101 Ekstra lett melk inneholder 0;7 % fett, lettmelk inneholder 1;5 % fett, og helmelk inneholder 3;9 % fett.

a) Hvor mange gram fett er det i en liter helmelk na˚r 1 liter veier 1 kg? b) En dag er kjøleskapet til Grethe tomt for lettmelk, men hun har helmelk og ekstra lett melk. Hun bestemmer seg for a˚ lage 1 liter lettmelk ved a˚ blande ekstra lett melk med helmelk. Hun skriver pa˚ en lapp: a: antall liter ekstra lett melk b: antall liter helmelk " # I: aþb¼1 II: 0;007  a þ 0;039  b ¼ 0;015  1 Forklar hva likning I uttrykker. Forklar hva likning II uttrykker. Hvor mye melk av hver sort ma˚ hun blande?


Oppgave 2.102 (Eksamen 1MX, litt endret)

Oppgave 2.105 (Eksamen 1T H2010, del 2)

y 10

y

Kostnader per måned (kroner)

350 300

5

250 200 x

1 –10

–5

–1

1

5

10

150 100 50

–5

Ringetid (minutter) x

0 0

–10

I koordinatsystemet pa˚ figuren er det tegnet inn tre punkter. Finn ut ved regning om de tre punktene ligger pa˚ en rett linje. Oppgave 2.103 (Eksamen 1T V2013, del 1)

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Et telefonabonnement har ofte en fast ma˚nedspris. I tillegg betaler du for hvert minutt du ringer. a) Grafen viser kostnader per ma˚ned med et gitt telefonabonnement. Bruk grafen og finn den faste ma˚nedsprisen og prisen for hvert minutt du ringer. Tabellen nedenfor viser kostnader per ma˚ned med tre ulike telefonabonnementer, A, B og C.

y (0, 3)

Abonnement

Fast månedspris

A

0 kroner

B

100 kroner

De første 100 minuttene er gratis, deretter 1,19 kroner per minutt

C

250 kroner

0,49 kroner per minutt

x (6, 0)

Bestem likningen for den rette linjen i koordinatsystemet ovenfor. Oppgave 2.104 (Eksamen 1T V2013, del 2) – I en undersøkelse ble 1000 personer spurt om ferievanene sine.

– En av fem svarte at de ville trene i ferien. – 21 % av mennene og 16 % av kvinnene svarte at de ville trene i ferien.

Pris per minutt du ringer 1,59 kroner per minutt

b) Tegn grafer som viser de ma˚nedlige kostnadene med hvert av de tre telefonabonnementene i ett nytt koordinatsystem. Velg x-verdier fra og med 0 minutter til og med 500 minutter. c) Hvor mye ma˚ du ringe for at det skal lønne seg a˚ bruke hvert av de tre abonnementene A, B og C?

a) Sett opp et likningssystem som du kan bruke til a˚ bestemme hvor mange menn og hvor mange kvinner som deltok i undersøkelsen det er vist til ovenfor. b) Hvor mange menn og hvor mange kvinner deltok i undersøkelsen?

Øvingsoppgaver

87


Sigma1t bla i bok  

Sigma1t revidert bla i bok

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you