Page 1

Hver bok er en komplett alt-i-ett-bok. Det vil si at den inneholder lærestoff, sammendrag, test-deg-selv oppgaver med løsninger og oppgavesamling med fasit. Et nettsted med egne elev- og lærersider støtter verket. Adressen er: www.gyldendal.no/sigma

Øgrim | Bakken | Pettersen | Skrindo Thorstensen | Thorstensen

Sigma-serien består av bøker for matematikk fellesfag og programfag i videregående skole.

Prøv digital utgave av boka på www.smartbok.no

SIGMA 1P matematikk med oppgaver

Denne boka finnes også i digital utgave www.smartbok.no

Øgrim | Bakken | Pettersen | Skrindo | Thorstensen | Thorstensen

Pytagoras setning

Prosentregning

Studieforberedende matematikk 1P

B

1P

Økonomi

y

y y

yy

y = kx y = kx yy ==kx ykx= kx

y = k kk y ==x x x y = yk= k x x x

x x


Karl Erik Sandvold m.fl.

Sigma1P

Gyldendal Undervisning


# Gyldendal Norsk Forlag AS, 2013 3. utgave, 1. opplag Læreboka er skrevet etter gjeldende læreplan for faget matematikk Vg1P for de studieforberedende utdanningsprogrammene. Printed in Norway by 07 Media, 2013 ISBN: 978-82-05-44654-0 Redaktør: Klaus Anders Karlson Bilderedaktør: Anette Badendyck Design: Gamma grafisk AS Omslagsdesign og design av kapitteloppslag: Marianne Cecilie Dahl Sats og layout: Gamma grafisk AS Figurer: Karl Erik Sandvold, Knut Skrindo og Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Omslagsbilde: Kevin O’Hara/GVPress Bildet viser «Giant’s Causeway», Nord-Irland. De fleste basaltsøylene er sekskantete, og har en diameter pa˚ omkring 30 cm. Illustrasjoner: Stefano Lemma: side 10, 12, 14, 19, 28, 36, 126, 130, 140, 175, 182, 187, 198, 226, 234, Anja Ruud: side 26 i midten, 159 m., 165 m.t.h., Lars Rudebjer: side 240, Ulf Carlsson: side 65, 95, John Arne Eidsmo: side 98 Bilder: Side 8: Lynn James/Photonica, s.21: Torbjrn Skogedal/Scanpix, s.25: NASA, s.26, 28: Berit Roald/Scanpix, s.29: Harald Andresen/Scanpix, s.32: Tom-Egil Jensen VG/NTB scanpix, s.34: Harry Nowell/age fotstock/GV-Press, s.40 Erlend Aas/NTB scanpix, s.60: Daly&Newton/Getty Images, s.70: Frode Hansen VG/NTB scanpix, s.87: BGA/Photodisc, s.91: Monkey Business/Microstock/NTB scanpix, s.118: Winfield Parks/Getty Images, s.138: i midten Ole Moksnes AS, s.142: Statens kartverk, s.150: Actavis, s.151 v: Microstock/NTB scanpix, s.151 h.: Andrea Jemolo/CORBIS/NTB scanpix, s.170: Adam Gault/Getty Images, s.172: Ole Moksnes AS, s.185: GBA/Photdisc, s.188: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s.190 .: Microstock/NTB scanpix, s.190 n.: Plainpicture/ NTB scanpix, s.197: Corbis/NTB scanpix, s.203 h.: Microstock/NTB scanpix, s.203 v.: Aftonbladet/NTB scanpix, s.204–205: Diplom-is, s.222: Guy Vanderelst/Getty Images, s.224: Morten Holm/Scanpix, s.230: Lastein AS, s.241: Berit Roald/Scanpix, s.248 v.: Microstock/ NTB scanpix, s.248 h.: Susanne Walstrom/Joner/NTB scanpix, s.249: Cornelius Poppe/NTB scanpix Det ma˚ ikke kopieres fra denne boka i strid med a˚ndsverkloven eller avtaler om kopiering innga˚tt med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til a˚ndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no Alle Gyldendals bøker er produsert i miljøsertifiserte trykkerier. Se www.gyldendal.no/miljo


FORORD Denne boka er 3. utgave av Sigma 1P, skrevet for elever som har valgt matematikk Vg1P i studieforberedende utdanningsprogram. Boka er en alt-i-ett-bok som inneholder lærestoff og et rikt utvalg av oppgaver. Nytt i denne utgaven er at vi i slutten av hvert kapittel har samlet oppgaver som trener grunnleggende ferdigheter. Oppgavene er merket med hvilken grunnleggende ferdighet de er ment a˚ trene, slik at du kan fokusere spesielt pa˚ dette. Oppgavene i muntlige ferdigheter kan løses i grupper av forskjellig størrelse – i hele klassen, mindre grupper eller par. Vi har lagt stor vekt pa˚ a˚ gi boka en ryddig struktur. Hvert delemne med forklarende tekst, eksempler og aktiviteter er samlet i oppslag over en dobbeltside. Pa˚ neste side ser du hvordan dette er bygd opp. Delemnene er laget ut fra en helhetstanke, der tekst, eksempler, figurer og aktiviteter til sammen skal hjelpe deg til a˚ na˚ ma˚lene i læreplanen. Noen av oppslagene inneholder en utfordring som kan være med pa˚ a˚ gjøre faget mer spennende. Her kan du fa˚ utfordret din egen forsta˚else. Kapitlene blir innledet med læreplanma˚l og en kort, motiverende tekst. Etter oppslagene i hvert kapittel presenterer vi et større sammensatt eksempel. Det skal hjelpe deg til a˚ sette delkunnskapen inn i en helhet. Deretter følger et sammendrag, før du kan prøve a˚ teste deg selv i oppgaver som har fullstendige løsningsforslag. Til slutt i hvert kapittel finner du flere graderte øvingsoppgaver sortert etter emne, og blandede oppgaver fra hele kapitlet. Vi ønsker deg velkommen til www.gyldendal.no/sigma. Nettstedet inneholder sider ba˚de for elever og lærere. Elevsidene presenterer blant annet interaktive oppgaver og fordypningsstoff. Pa˚ lærersidene finnes det forslag til undervisningsopplegg, tempoplan, omtale av kapitler, prøveforslag o.a. Læreplanma˚lene sier at du skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster, og at du skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til a˚ løse problemer fra ulike fag- og samfunnsomra˚der. Bruk av digitale verktøy i tilknytning til lærestoffet er forklart i egne veiledninger som du finner pa˚ www.gyldendal.no/sigma. Der finner du forklaringer for ba˚de lommeregnere og mange dataprogrammer. I boka henviser til disse forklaringene. I læreplanen heter det: «Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening.» Vi ha˚per dere griper mulighetene som boka og nettstedet gir, slik at matematikkopplæringen kan forega˚ pa˚ en aktiv ma˚te. Oslo, juni 2013 Stein Øgrim, Tone Bakken, Bjørnar Pettersen, Anne Thorstensen, Runar Thorstensen og Knut Skrindo

Forord

3


Hvordan oppslagene er bygd opp

Brødtekst. Teksten (sammen med eksemplene) er skrevet for å skape motivasjon for emnet. Oppslaget tar ofte utgangspunkt i det kjente, for så å bygge opp kunnskapen i en logisk rekkefølge. Noen ganger viser vi ulike framgangsmåter for å gi elevene et større repertoar av løsningsstrategier.

Læremål. Hvert oppslag blir innledet med målbokser. Her står det konkret hva som er målet for oppslaget.

Digitale verktøy. Dette ikonet henviser til veiledninger for bruk av digitale verktøy. Veiledningen finner du på: www.gyldendal.no/sigma

Visualisering. Tabeller, grafer, enkle oversikter og visualisering er brukt for å gjøre det enklere å lære og å huske regneregler.

«Gule lapper». Definisjoner, regneregler og annet som er viktig, står som gule «huskelapper» i margen. Disse gule lappene sammen med brødteksten og eksemplene utgjør en helhet, der brødteksten og eksemplene må sees i sammenheng med de gule lappene.

4

Forord


Eksempler. Eksemplene er valgt ut for å vise bruken av regnereglene i praksis. Eksemplene er selvforklarende, slik at elevene kan lære seg emnet på egen hånd.

Utfordring. En faglig utfordring som først og fremst er annerledes. Oppgavene er ikke nødvendigvis på høyt faglig nivå, men kan løses ved at man tenker kreativt og angriper oppgaven på nye måter. Utforsking er et viktig stikkord.

Oppgaver og andre aktiviteter. Oppgavene setter fokus på læremålene og bygger på eksemplene. I tillegg til tradisjonelle oppgaver presenterer vi også andre typer aktiviteter. Utfordring er et eksempel på dette.

Forord

5


INNHOLD Kapittel 1 Matematikken rundt oss 1 Problemløsing – mange veier til ma˚l . . . . . . 10 2 Regnerekkefølge og fortegn – nyttige regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Regning med parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Brøkregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ma˚lenheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Regning med formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Store og sma˚ tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Veien om 1 – en praktisk framgangsma˚te. . 10 Forholdstall – hvor mye av hver del?. . . . . . 11 Prosent og prosentpoeng – hva er forskjellen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Prosentregning – na˚r prosenten er ukjent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Prosentregning – na˚r opprinnelig verdi er ukjent . . . . . . . . . . . . 14 Sammensatt eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 39 40 42

Kapittel 2 Funksjoner og grafiske framstillinger 1 Grafisk presentasjon – hvilken framstilling er best? . . . . . . . . . . . . . . . 62

2 Grafiske framstillinger kan «lyve», 3 4 5 6 7

6

sa˚ pass pa˚! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punkter og grafer i koordinatsystemet – litt repetisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rett linje – grafen til lineære funksjoner . . Kostnader, inntekter og overskudd. . . . . . . . . Proporsjonale størrelser – endring i samme takt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omvendt proporsjonale størrelser. . . . . . . . . .

Innhold

64 66 68 70 72 74

8 Funksjonsbegrepet. Funksjon som tekst, tabell, funksjonsuttrykk eller graf . . . . . . . .

76

9 Skjæringspunkt. Hvilken graf er øverst? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Topp- og bunnpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Gjennomsnittlig vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Lineær regresjon – hva skjer i nærmeste framtid? . . . . . . . . . . . 13 Vekstfaktor – prosentregning pa˚ en ny ma˚te. . . . . . . . . . . . 14 Eksponentiell vekst – til himmels eller andre veien? . . . . . . . . . . . 15 Potenslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Sammensatt eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapittel 3 Geometri 1 Nøyaktighet. Medikamentregning . . . . . . . . 2 Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Pytagoras’ setning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Ma˚l for areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Areal og omkrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ma˚l for volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Overflate og volum av rette prismer . . . . . 8 Overflate og volum av sylindrer . . . . . . . . . 9 Overflate og volum av kjegler . . . . . . . . . . . 10 Overflate og volum av kuler . . . . . . . . . . . . . 11 Formlike figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Ma˚lestokk. Arbeidstegninger. . . . . . . . . . . . . 13 Det gylne snitt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Sammensatte eksempler . . . . . . . . . . . . . . . . . SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78 80 82 84 86 88 90 92 94 95 96 98

120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 140 142 144 146 148 149 150 152


Kapittel 4 Økonomi 1 Indekser. Da kroneisen kostet en krone . . . 172 2 Indeksformelen – leses like godt bak fram . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Gir mer penger alltid bedre ra˚d? Reallønn og kroneverdi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Budsjett – regneark som verktøy . . . . . . . . . 5 Regnskap – hvor ble penga av? . . . . . . . . . . 6 Lønn som fortjent? Ulike lønnstyper . . . . . 7 Hva har vi a˚ rutte med? Lønn, feriepenger og skatt. . . . . . . . . . . . . . . . 8 Vi spleiser pa˚ godene – skatter og avgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Sparing – forsiktig eller va˚gal? . . . . . . . . . . . 10 La˚n. Seriela˚n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Annuitetsla˚n – et fast a˚rlig beløp . . . . . . . . . 12 Annuitetsla˚n – over et visst antall a˚r . . . . . 13 Effektiv rente. Forbruksla˚n . . . . . . . . . . . . . . . 14 Sammensatt eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174 176 178 180 182

Kapittel 5 Sannsynlighetsregning 1 Introduksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Sannsynlighetsbegrepet. Simulering. . . . . . 3 Uniform sannsynlighetsmodell . . . . . . . . . . . 4 Valgtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Illustrasjoner av utfallsrommet. . . . . . . . . . . 6 Venndiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Produktsetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Komplementære hendinger.

224 226 228 230 232 234 236

Utregning av minst e´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 184 186 188 190 192 194 196 198 200 201 202 204

9 Addisjonssetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 10 Disjunkte hendinger. Total sannsynlighet. 242 11 Sammensatte eksempler . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 SAMMENDRAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEST DEG SELV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LES, SKRIV OG SNAKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ØVINGSOPPGAVER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246 247 248 250

Løsning av test deg selv. . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Læreplan i matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Innhold

7


1000 f.Kr.

500 f.Kr.

0

Tallet 0 var kjent i India og Babylonia ca. 300 f.Kr. Cro-Magnonmennesket drev regnskapsføring ved å risse i bein, 30 000 år f.Kr.

500


1000

Løsning av likninger ble satt i system av al-Khwarizmi, som levde i Bagdad på 800-tallet. Navnet hans har gitt oss ordet algebra.

1

1500

Leonardo av Pisa (også kalt Fibonacci) tok i bruk brøkstreken ca. 1200.

2000 Negative tall ble tatt i bruk tidlig på 1600-tallet.

Prosentregning ble innført i Italia under renessansen (ca. 1500) i forbindelse med utviklingen av bankvesenet.

Tallet 0 ble vanlig i Europa tidlig på 1200-tallet.

Matematikken rundt oss Matematikk kan brukes til å beskrive og finne orden i virkeligheten rundt oss. Videre er matematikk et verktøy som har stor anvendelse i vårt teknologiske samfunn. I dette første kapitlet har vi tatt med mye repetisjonsstoff for dem som ønsker det, samtidig som nye vinklinger og spennende oppgavetyper kan by på utfordringer.

MATEMATIKKEN

Hva trenger vi egentlig matematikk til?

1

RUNDT OSS

Det er mye matematikk i kakebaking! Når Per skal bake sjokoladekake, bruker han en oppskrift. Den gjelder en toliters kakeform, mens Per bare har en form på 1,5 liter. I oppskriften står det blant annet at han trenger 4 egg og 10 dl hvetemel. Hvor mange egg og hvor mye hvetemel må Per bruke?

Kompetansemål Eleven skal kunne • gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver med og uten digitale verktøy, presentere resultatene og vurdere hvor rimelige de er • tolke, bearbeide, vurdere og diskutere det matematiske innholdet i skriftlige, muntlige og grafiske framstillinger • forenkle flerleddede uttrykk, løse likninger av første grad og enkle potenslikninger • tolke og bruke formler som gjelder dagligliv og yrkesliv • regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekstfaktor


1.1

Problemløsing – mange veier til mål

Du skal lære – å analysere og løse praktiske oppgaver – å bruke varierte løsningsmetoder

EKSEMPEL 1 Kari leide bil til en ferietur. Hun ma˚tte betale en fast sum pa˚ 1200 kroner, i tillegg til 1;60 kroner per kilometer. Da hun kom tilbake fra ferien, betalte hun 2600 kroner. Hvor langt hadde Kari kjørt? Løsning: Vi kan starte med a˚ trekke fra det faste beløpet: 2600 kroner  1200 kroner ¼ 1400 kroner Vi finner hvor mange kilometer Kari kjørte, ved a˚ dele 1400 kroner 1400 kr pa˚ prisen per kilometer. Kari kjørte ¼ 875 km 1;60 kr=km

EKSEMPEL 2 Familien til Per driver en kennel, og i hagen har de en stor andedam. Na˚r Per blir spurt om hvor mange hunder og ender de har, svarer han: «Vi har 40 dyr, og de har 116 bein til sammen.» Anne, Bente og Cato greide a˚ løse problemet. Som du ser, løste de problemet pa˚ forskjellige ma˚ter: Prøv-deg-fram-metoden Anne prøvde seg fram. Dersom det er 10 hunder, blir det til sammen 4  10 ¼ 40 bein. Da ma˚ det i sa˚ fall være 30 ender, med til sammen 60 bein. Anne legger sammen antall bein og finner at det bare blir 100. Sa˚ prøver hun med 20 hunder og 20 ender. Det blir 80 þ 40 bein, altsa˚ fire bein for mye. Anne forsta˚r at det ma˚ være to færre hunder. Per har 18 hunder og 22 ender for at antall bein fortsatt skal være 116. Antall bein er 18  4 þ 22  2 ¼ 72 þ 44 ¼ 116. Logisk resonnement Cato vet at antall bein endrer seg med 4 per hund og med 2 per and. Om Per bare hadde hatt hunder, ville det ha vært 116=4 ¼ 29 hunder. For hver hund mindre blir det to ender mer for at antall bein skal være det samme. Antall dyr skulle være 40, slik at med 11 færre hunder ma˚ det være 11  2 ¼ 22 ender, for at antall bein fortsatt skal være 116. Per hadde da 29  11 ¼ 18 hunder.

10

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS


Likningssett Bente husket at de lærte likningssett pa˚ ungdomsskolen. Hun kaller antall hunder x og antall ender y: Likning I:

antall hunder x

þ þ

antall ender y

¼ 40 ¼ 40

Likning II: antall bein p˚a hundene þ antall bein p˚a endene ¼ 116 4x þ 2y ¼ 116 Da hun løste dette likningssettet, fikk hun x ¼ 18 og y ¼ 22. Altsa˚ var det 18 hunder og 22 ender.

Som eksempel 2 viser, er det ofte flere framgangsma˚ter som fører til svaret. Det er bra, for vi tenker jo ikke likt! Na˚r du arbeider med problemløsing, er det viktig a˚ se etter om det er noe mønster i opplysningene, og a˚ jobbe systematisk. Det er lurt a˚ tenke gjennom hvilke løsningsmetoder som kan egne seg. I margen har vi skrevet opp noen nyttige tips til problemløsingen.

PROBLEMLØSING 1 Tegn situasjonen. 2 Skriv ned det du vet. 3 Prøv å finne ut hva som er problemet. 4 Er det noen opplysninger som mangler?

AKTIVITETER Oppgave 1.1 Hva blir de tre neste tallene? a) 2; 4; 6; . . . b) 1; 4; 7; 10; . . .

c) 1; 3; 6; 10; 15; 21; . . .

En dag ble balja fylt med vann fra en hageslange i tillegg til vannkrana. Da tok det a˚tte minutter a˚ fylle balja. b) Hvor mange liter per minutt rant det gjennom hageslangen?

Oppgave 1.2

1

Oppgave 1.4 En stor balje rommer 200 liter. Na˚r vannkrana er skrudd pa˚ fullt, renner det 16 liter per minutt. a) Hvor lang tid tar det a˚ fylle balja?

4

9

De tre tallene 1, 4 og 9 kan vi tenke oss framkommet som vist pa˚ figuren. a) Hva blir det neste tallet (tall nummer 4)? b) Hva blir tall nummer 8? c) Hva kaller vi disse tallene? Oppgave 1.3 Det skal settes opp gjerde rundt et jorde. Jordet har form som et rektangel, der den korteste siden er 23 meter. Hvor lang er den lengste siden na˚r det ga˚r med 116 meter gjerde?

Utfordring 1.5 Ola tenner to stearinlys som er like lange. Det ene lyset bruker fem timer pa˚ a˚ brenne ned, det andre bare tre timer. Ola lar lysene brenne en stund før han bla˚ser dem ut. Da er det ene lyset tre ganger sa˚ langt som det andre. Hvor lenge lot Ola lysene brenne?

(Tips: Tegn deg fram til svaret.)

Problemløsing – mange veier til mål

11


1.2

Regnerekkefølge og fortegn – nyttige regler

Du skal lære – å bruke regnerekkefølgen i egne utregninger – å regne med fortegn

EKSEMPEL 3 Noen digitale verktøy krever at vi skiller mellom regneminus, , og fortegnsminus, (). I regnestykket 8  5 ¼ 3 betyr minustegnet at tallet 5 skal trekkes fra tallet 8. Her fungerer minus som regneminus, og vi bruker . I regnestykket 2 þ 5 ¼ 3 betyr minustegnet at vi har det negative tallet 2. Her er minustegnet et fortegnsminus, og vi bruker ().

Feil som skyldes feil regnerekkefølge, kan sammenliknes med a˚ sette komma pa˚ feil sted: «Heng ham ikke, vent til jeg kommer» betyr noe helt annet enn «Heng ham, ikke vent til jeg kommer»!

REGNEREKKEFØLGE 1 2 3 4

Parentes Potens Gange og dele Pluss og minus

EKSEMPEL 4 Trine, Ellen og Knut har prøvd a˚ regne ut denne oppgaven: 2 þ 3  6  2  ð5 þ 2Þ De fikk forskjellige svar og kontrollerte utregningen med et digitalt verktøy. Det viste seg at Ellen hadde regnet rett. Hjelp Trine og Knut med a˚ finne ut hva de har gjort feil.

Som regnerekkefølgen viser, gjorde Trine feil fordi hun begynte a˚ legge ˚ legge sammen og trekke fra gjør vi etter sammen de to første tallene. A a˚ ha fullført de andre regneoperasjonene. Knut gjorde feil da han skulle gange inn i parentesen. Tallet som stod utenfor parentesen, ganget han bare med det ene tallet inni parentesen. I denne oppgaven ville Knut unnga˚tt a˚ gjøre feil dersom han først hadde trukket sammen inni parentesen.

12

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS


EKSEMPEL 5 Her viser vi hvordan vi i tillegg til riktig regnerekkefølge ma˚ passe pa˚ fortegnene:

HUSK! 23 ¼

a) 32  ð4Þ  ð2Þ ¼ 9  8 ¼ 72

6

b) 32 þ 4  ð2Þ ¼ 9  8 ¼ 17

ð2Þ  3 ¼ 6

c) ð3Þ2 þ 4  ð2Þ ¼ 9  8 ¼ 1

2  ð3Þ ¼ 6

2

2

d) 2  ð3  7Þ ¼ 2  ð4Þ ¼ 2  16 ¼ 32

ð2Þ  ð3Þ ¼

Kontroller at du fa˚r samme svar med digitalt verktøy.

6

8 2 8 2 8 2 8 2

¼

4

¼ 4 ¼ 4 ¼

4

AKTIVITETER Oppgave 1.6 Regn ut for ha˚nd:

Paroppgave 1.9 Løs denne oppgaven muntlig:

a) 8 þ 4  6

b) 8 : 2  3

c) 9  2 þ 18 : 3

d) 32  2 þ 6 : 2 þ 5

Oppgave 1.7 Regn ut med og uten digitalt verktøy:

a) 3  ð4Þ2  3 þ 4  ð2Þ b) 23  ð3 þ 4Þ  2 c) 3  ð4Þ  ð2Þ : ð2  3Þ d) 5 þ 3  ð2Þ4  3  7 þ 3 þ 4  ð2Þ Oppgave 1.8 Selv om vi kan la et digitalt verktøy gi oss svaret, har hoderegning den fordelen at det noen ganger ga˚r raskere. Tipset er a˚ legge sammen eller gange to tall som gir tall som er lette a˚ regne med.

For eksempel kan vi raskt løse oppgaven 2 þ 17 þ 8 þ 3 ved a˚ legge sammen 2 þ 8 og 17 þ 3 hver for seg. Da fa˚r vi 10 þ 20 ¼ 30. Regn ut i hodet: a) 26 þ 18 þ 14 þ 42 b) 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 þ 7 þ 8 þ 9 þ 10 c) 23  2  5  10 d) 3  15  0  47

Ole hadde 500 kroner. Han kjøpte to pølser til 19 kroner per stykk. En kveld han var pa˚ kino, betalte han 80 kroner for kinobilletten, to ganger 20 kroner for togbillettene, og han kjøpte 250 gram sma˚godt til 10 kroner per hektogram. Uka etter fikk han utbetalt lønn for a˚ ha jobbet fem timer. Timelønna hans var 110 kroner. Ole skyldte Hanne 1000 kroner, og han fant ut at han kunne betale henne tre firedeler na˚. Har Ole ra˚d til a˚ ta en tur pa˚ kino igjen til samme pris som sist?

Utfordring 1.10 Vi vet at 2 þ 3  4 ¼ 20 er feil, mens ð2 þ 3Þ  4 ¼ 20 er riktig.

Føy til parenteser slik at disse stykkene blir riktige: a) 2  52 þ 6 ¼ 106 b) 3  4 þ 5  6 ¼ 162

Regnerekkefølge og fortegn – nyttige regler

13


1.3

Regning med parenteser

Du skal lære – å regne med parenteser

Vi bruker ofte parenteser for a˚ markere at faktorene eller leddene i en parentes hører sammen. Aller først skal vi se nærmere pa˚ hva vi kan gjøre for a˚ kunne løse opp parenteser.

REGNING

MED PARENTESER

1 Pluss foran parentes: – Parentesen kan fjernes. 2 Minus foran parentes: – Fjern parentesen og bytt samtidig fortegn på leddene i parentesen.

EKSEMPEL 6 Hvilke regler er brukt her? a) 2 þ ðx  1Þ ¼ 2 þ x  1 ¼ x þ 1 b) 2  ðx  1Þ ¼ 2  x þ 1 ¼ x þ 3 Løsning: a) Na˚r det sta˚r pluss foran en parentes, kan parentesen fjernes. b) Na˚r det sta˚r minus foran en parentes, ma˚ vi bytte fortegn pa˚ alle ledd i parentesen før vi fjerner den.

Ofte kommer vi borti parenteser der det sta˚r mer enn pluss og minus foran. Det kan være et tall. Da ma˚ vi gange tallet med alle ledd i parentesen.

3 Tall ganget med parentes: – Gang tallet med hvert ledd i parentesen. 4 Parentes ganget med parentes: – Gang hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre. 5 Trekk sammen leddene inni parentesen dersom det bare er en type ledd.

EKSEMPEL 7 Regn ut: 2ðx þ 3Þ þ 5ðx  3Þ Løsning: 2ðx þ 3Þ þ 5ðx  3Þ ¼ 2  x  2  3 þ 5  x þ 5  ð3Þ ¼ 2x  6 þ 5x  15 ¼ 3x  21

Na˚r flere parenteser skal ganges med hverandre, ma˚ vi gange hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre. Vi ser igjen pa˚ et eksempel.

EKSEMPEL 8 Regn ut: ðx þ 3Þðx þ 2Þ Løsning: ðx þ 3Þðx þ 2Þ ¼ x  ðxÞ þ x  2 þ 3  ðxÞ þ 3  2 ¼ x2 þ 2x  3x þ 6 ¼ x2  x þ 6

14

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

PARENTES

MED PARENTES

Vi multipliserer hvert av leddene i den ene parentesen med hvert av leddene i den andre:


Enkelte ganger er det ikke nødvendig a˚ løse opp parentesene slik vi har sett hittil i eksemplene. Na˚r alle ledd i en parentes er av samme type, er det enklere a˚ trekke sammen leddene først.

EKSEMPEL 9 Regn ut: a) 2ð3 þ 1Þ

b) ð3x þ xÞðx þ 2Þ

Løsning: a) 2ð3 þ 1Þ ¼ 2  4 ¼ 8 b) ð3x þ xÞðx þ 2Þ ¼ 4x  ðx þ 2Þ ¼ 4x  x þ 4x  2 ¼ 4x2 þ 8x Vi kan ogsa˚ ha nytte av a˚ bruke parenteser i oppgaver der de ikke er oppstilt pa˚ forha˚nd. Da ma˚ vi forsta˚ hva slags hensikt parentesene har. De markerer nemlig at noe i et regnestykke hører sammen, og at vi ma˚ utføre samme operasjon pa˚ hele parentesuttrykket.

EKSEMPEL 10 Klaus har en sandkasse som er formet som en regulær sekskant. Alle sidene er like lange. Han bestemmer seg for a˚ øke alle sidekantene med 1 m. Finn et uttrykk for hvor langt det blir rundt den nye sandkassa. Løsning: Vi kan si at hver side har lengden n. De nye sidene fa˚r da lengden n þ 1. Siden det er seks sider, kan vi multiplisere sidelengden med 6. For at dette skal bli riktig, ma˚ vi sette parentes rundt sidelengden. Vi fa˚r: 6  ðn þ 1Þ ¼ 6  n þ 6  1 ¼ 6n þ 6

AKTIVITETER Oppgave 1.11 Regn ut: a) 3 ð2x þ 5Þ c) 3 ðx  2Þ þ 2 ð2x þ 7Þ

b) 2 ðx þ 3Þ d) 3  2 ð5  xÞ

e) 2 ðx  4xÞ  ð2x þ 7Þ

f) x2  x ðx  3Þ

Utfordring 1.13 En trekant har sider pa˚ 2ðx þ 1Þ, x þ 2 og x þ 4. En annen trekant har dobbelt sa˚ lange sider. Hvor langt er det til sammen rundt denne trekanten na˚r den lengste siden er 40?

Oppgave 1.12 Regn ut:

a) ðx þ 2Þðx þ 3Þ c) ð4  2Þð2x þ 7Þ

b) ðx  2Þðx  3Þ d) ð3x  2Þð2x þ 7Þ

Regning med parenteser

15


1.4

Brøkregning

Du skal lære – å regne med brøk

Brøk er et kjent begrep fra grunnskolen. I dette oppslaget skal vi repetere det viktigste.

EKSEMPEL 11 Per og Pa˚l er to brødre som har kjøpt en pizza. Per ønsker seg 1=4 av pizzaen, mens Pa˚l ønsker seg 1=3 av pizzaen. Hvor stor del av pizzaen er igjen etter at de har fa˚tt hver sin del? Løsning: Vi tegner opp begge ønskene pa˚ samme figur. Fellesnevneren for brøkene i dette eksemplet er 12. Derfor er det enklere a˚ se løsningen na˚r vi deler pizzaen opp i tolv like store deler. Vi ser da at Per ønsker seg 3=12, mens Pa˚l ønsker seg 4=12 av pizzaen. Det som blir igjen, er da 5/12 av hele pizzaen.

Du skal kunne legge til og trekke fra brøker. Da ma˚ du først utvide brøkene slik at de fa˚r felles nevner. Helt til slutt ma˚ du se om brøkene kan forkortes.

EKSEMPEL 12 Regn ut: a)

3 7 þ 4 4

b)

2 1  3 5

Løsning: a) Her har brøkene allerede felles nevner, sa˚ vi kan trekke sammen tellerne med en gang: 3 7 3 þ 7 10 5  2 5 þ ¼ ¼ ¼ ¼ 4 4 4 4 22 2 Legg merke til at vi forkorter til slutt. b) Her ma˚ vi først finne fellesnevneren, som i dette tilfellet er 15 ð3  5Þ. Vi utvider begge brøkene til denne nevneren: 2 1 2  5 1  3 10 3 10  3 7  ¼  ¼  ¼ ¼ 3 5 3  5 5  3 15 15 15 15

16

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

BRØK

PLUSS OG

MINUS BRØK

– Utvid eventuelt brøkene slik at de får lik nevner. – Trekk sammen tellerne og behold nevneren. – Forkort svaret om mulig.


Du skal ogsa˚ kunne gange og dele brøker. Da trenger du ikke a˚ bry deg om fellesnevneren.

BRØK

GANGER BRØK

– Gang teller med teller og nevner med nevner. – Forkort svaret om mulig.

EKSEMPEL 13 Regn ut: a)

5 2  4 3

b)

3 7 : 5 10

Løsning: a) Vi ganger teller med teller og nevner med nevner: 5 2 5  2 10 5  ¼ ¼ ¼ 4 3 4  3 12 6

BRØK

DELT PÅ BRØK

– Bytt deletegn med gangetegn og snu den siste brøken. – Gang teller med teller og nevner med nevner.

b) Her ma˚ vi huske a˚ snu den siste brøken før vi ganger sammen: 3 7 3 10 3  10 30 6 : ¼  ¼ ¼ ¼ 5 10 5 7 57 35 7

– Forkort svaret om mulig.

AKTIVITETER Oppgave 1.14 Regn ut og skriv svaret som brøk: 1 4 1 3 b)  a) þ 3 3 4 4 1 5 2 1 c) þ d)  3 12 5 6 Kontroller svarene med digitalt verktøy. Oppgave 1.15 Regn ut og skriv svaret som brøk: 1 2 12 5 b)  a)  3 5 20 2 3 15 3 1 4 c)  d)   10 6 5 2 3 Kontroller svarene med digitalt verktøy.

Oppgave 1.16 Regn ut:

a)

3 5 : 4 6

b)

1 4 : 6 3

c)

9 :3 2

Utfordring 1.17 I testamentet sitt hadde Olsen delt arven mellom sine to nevøer, Knut og Per, og naboen Hansen. Hansen skulle fa˚ halve beløpet, Knut tre tideler og Per resten. I arveoppgjøret fikk Per 640 000 kroner. Hvor mye fikk hver av de to andre?

Brøkregning

17


1.5

Likninger

Du skal lære – å løse enkle likninger – å sette opp og løse uoppstilte likninger

I margen har vi satt opp forslag til regler for a˚ løse likninger. Det er ikke alle reglene som ma˚ brukes hver gang. Det avhenger av oppgaven. Nedenfor viser vi noen typiske eksempler.

EKSEMPEL 14 Løs likningen 5x  3 ¼ 9  x. Løsning: 5x  3 ¼ 9  x 5x þ x ¼ 9 þ 3 6x ¼ 12 6=x 12 ¼ 6= 6

. . . Vi flytter over og skifter fortegn . . . Vi trekker sammen på hver side

LØSING

AV LIKNINGER

– Gang inn i og åpne parentesene. – Gang alle ledd med fellesnevneren. – Bytt fortegn når du flytter over ledd. – Trekk sammen x-ene og tallene hver for seg. – Del med tallet foran x på begge sider. Forkort eventuelt svaret.

. . . Vi deler med 6 på hver side

. . . Vi forkorter og regner ut svaret

x¼2

EKSEMPEL 15 Løs likningen

3 þ x ¼ 3ðx þ 2Þ  4x. 2

Løsning: 3 þ x ¼ 3 ðx þ 2Þ  4x 2 3 þ x ¼ 3x þ 6  4x 2 3 þ 2x ¼ 6x þ 12  8x 2x  6x þ 8x ¼ 12  3 4x ¼ 9

. . . Vi ganger ut parentesen . . . Vi ganger overalt med 2 . . . Vi løser som i eksempel 14

4=x 9 ¼ 4= 4 9 x¼ 4

UOPPSTILT

Når x er et tall, har vi:

Mange praktiske problemer kan løses ved at vi setter opp informasjonen som en likning. En av de ukjente kaller vi x. Ut fra opplysningene i oppgaven finner vi ut hva de andre ukjente ma˚ kalles. Det kan lønne seg a˚ la den minste størrelsen være x, eller vi lar x være det som det sammenliknes med flest ganger.

18

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

LIKNING

RUNDT OSS

2x er det dobbelte av tallet x þ 3 er 3 mer enn tallet 2 ðx þ 3Þ er det dobbelte av 3 mer enn tallet


EKSEMPEL 16 Ole, Trine og Bente er til sammen 43 a˚r. Ole er dobbelt sa˚ gammel som Trine, og Bente er tre a˚r eldre enn Trine. Hvor gamle er hver av dem? Løsning: I denne oppgaven kan det være lurt a˚ kalle den yngste for x. Trine er da x a˚r, Ole er 2x a˚r, og Bente er ðx þ 3Þ a˚r. Trine þ Ole þ Bente ¼ 43 a˚ r x þ 2x þ ðx þ 3Þ ¼ 43 4x ¼ 40 4=x 40 ¼ 4= 4 x ¼ 10 Trine er 10 a˚r, Ole er 20 a˚r, og Bente er 13 a˚r.

AKTIVITETER Oppgave 1.18 Løs likningene:

a) 3x þ 2 ¼ 12 þ 2x b) 4 ðx  2Þ ¼ 3  ð5x þ 2Þ c) 3 þ 4 ðx  3Þ ¼ 9  2x 3x d) 3x þ 2 ðx  5Þ ¼ 2 Oppgave 1.19 Per er dobbelt sa˚ gammel som Ola. Kari er ti a˚r eldre enn Ola. Til sammen er de 78 a˚r. a) Ga˚ ut fra at Ola er x a˚r gammel. Hva blir da uttrykket for alderen til Per og Kari? b) Sett opp en likning og finn ut hvor gamle de er. Oppgave 1.20 Geir og Line har til sammen 73 kroner. Line har 19 kroner mer enn Geir. Hvor mange kroner har de hver? Oppgave 1.21 Marit, Britt og Elin lager keramikkfigurer som de selger til turister. En uke har de til sammen laget 70 figurer. Britt har laget ni flere enn Marit, og Marit har laget fire færre enn Elin. Hvor mange figurer har hver av dem laget?

Oppgave 1.22 Lise, Erik og Petter har til sammen 420 kroner. Hvor mange kroner har Lise, Erik og Petter hver na˚r Erik har dobbelt sa˚ mye som Lise, og Erik har 20 kroner mindre enn Petter? Løs oppgaven ved a˚ sette opp en likning.

Oppgave 1.23 Ellen, Mari og Per selger til sammen 900 lodd. Ellen selger dobbelt sa˚ mange lodd som Per, og Mari selger 100 lodd mer enn Per. a) Sett opp en likning og finn hvor mange lodd hver av dem selger. b) Noe av inntekten fra loddsalget fa˚r de som lønn. Hvor mye fa˚r hver av dem i lønn na˚r de til sammen fa˚r 540 kroner?

Utfordring 1.24 I en gymtime velger halvparten av elevene ballspill, tredelen velger styrketrening, mens resten, fire elever, er syke eller har glemt gymtøyet.

Sett opp en likning og finn hvor mange elever som er med i gruppa.

Likninger

19


1.6

Målenheter

Du skal lære – om dekadiske målenheter – å gjøre om mellom ulike målenheter

I margen repeterer vi noen av de dekadiske enhetene du kjenner fra grunnskolen. Vi kaller dem dekadiske fordi vi kan gjøre om mellom dem ved a˚ gange eller dele med tierpotenser. Deka betyr 10. Enkelte synes det er greit med en trappetrinnsmodell na˚r vi skal gjøre om fra en enhet til en annen. Na˚r vi ga˚r oppover trappa, deler vi med 10. Na˚r vi ga˚r nedover trappa, ganger vi med 10. Modellen er gjengitt med de vanligste enhetene i margen. I eksemplet ser vi nærmere pa˚ metoden.

DEKADISKE

ENHETER

km kg hg

m

hl

g

dm cm

l

EKSEMPEL 17

mg

dl cl

Gjør om 42 dm til enhetene meter og millimeter.

mm

ml

Løsning: Na˚r vi skal ga˚ trappa fra desimeter til meter, ga˚r vi ett trinn opp. Da ma˚ vi dele tallet 42 med 10, og vi fa˚r 42 dm ¼ 4;2 m. Na˚r vi skal gjøre om fra desimeter til millimeter, ga˚r vi to trinn ned. For hvert trappetrinn ma˚ vi gange med 10. Vi fa˚r 42 dm ¼ 42  ð10  10Þ mm ¼ 42  100 mm ¼ 4200 mm

Vi kan ogsa˚ tenke pa˚ at forstavelsen kilo betyr tusen. Dermed vet vi at 1 km ¼ 1000 m. For a˚ kunne bruke denne metoden ma˚ vi vite hva alle forstavelsene betyr, og hvor stor tierpotensen er. Det finner du i tabellen nedenfor. Prefiks

20

Symbol

Forklaring

Tierpotens

giga

G

milliard

10 9 ¼ 1 000 000 000

mega

M

million

10 6 ¼ 1 000 000

kilo

k

tusen

10 3 ¼ 1 000

hekto

h

hundre

10 2 ¼ 100

deka

da

ti

101 ¼ 10

desi

d

tidel

101 ¼ 0;1

centi

c

hundredel

102 ¼ 0;01

milli

m

tusendel

103 ¼ 0;001

mikro

m

milliondel

106 ¼ 0;000 001

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

HUSK! 1 mil ¼ 10 km 1 tonn ¼ 1000


MELLOM

Na˚r vi arbeider med fart, er det ofte nyttig a˚ bruke meter per sekund ðm=sÞ i stedet for kilometer per time ðkm=hÞ: 1 km=h ¼

1  1000 m 1  1000 1 ¼ m=s ¼ m=s 60  60 s 3600 3;6

KM/H OG M/S

3, 6 m/s

km/h 3, 6

Som huskeregel kan vi eventuelt bruke regelen i margen.

EKSEMPEL 18 Gunnar skal ta teoriprøven for førerkort. For a˚ regne ut stopplengden til en bil ma˚ han vite hvor mange meter bilen kjører pa˚ ett sekund. Hjelp Gunnar med a˚ finne bilens fart i m=s na˚r speedometeret viser 50 km=h. Løsning: 50 km=h ¼ 50 : 3;6 m=s ¼ 13;9 m=s Med en fart pa˚ 50 km=h kommer bilen nesten 14 m pa˚ 1 s. I Storbritannia og USA bruker de andre enheter for blant annet vekt og lengde. Kjenner vi omgjøringsfaktorene, kan vi regne om de ukjente enhetene til vanlige SI-enheter, som er det som brukes i Europa.

EKSEMPEL 19 Jannecke har flyttet fra Norge til USA. Hun fa˚r en baby, og ved fødselen veier babyen 8;017 pund og ma˚ler 1 fot 8 inches. Hva skal Jannecke fortelle om babyens vekt og lengde til familien i Norge? Løsning: Jannecke vet at 1 pund ¼ 0;454 kg, 1 fot ¼ 0;3048 m og 1 inch ¼ 25;4 mm. Babyen veier dermed 8;017  0;454 kg ¼ 3;64 kg ¼ 3;64  1000 g ¼ 3640 g

VANLIGE

MÅL

FRA UTLANDET

1 1 1 1

pund = 0,454 kg fot = 0,3048 m inch = 25,4 mm US gallon = 3,7854 l

Babyens lengde er 1 fot 8 inches ¼ 0;3048 m þ 8  25;4 mm ¼ 30;48 cm þ 8  25;4  101 cm ¼ 50;8 cm

AKTIVITETER Oppgave 1.25 a) Hvor mange liter er 230 hl?

b) Hvor mange gram er 780 kg? c) Hvor mange meter er 50 mil?

Oppgave 1.26 a) Legg sammen og gi svaret i meter: 0;3 m þ 17 dm þ 135 mm þ 7 cm

b) Legg sammen og gi svaret i kilogram: 0;3 g þ 375 g þ 470 mg þ 42 kg þ 0;018 tonn

d) Hvor mange kg er 750 g? Oppgave 1.27 Karim er i USA. Der kjøper han en halv gallon brus. Hvor mange desiliter er det? ð1 US gallon ¼ 3;7854 lÞ

Målenheter

21


1.7

Regning med formler

Du skal lære – hva vi mener med en matematisk formel – å bruke en matematisk formel

Ordet formel kommer fra latin og betyr «liten regel». I matematikk bruker vi mange formler. Dersom vi kjenner radien i en sirkel, finner vi for eksempel arealet av sirkelen ved a˚ bruke formelen A ¼ r 2 . Formler er ogsa˚ vanlige a˚ bruke i andre fag som økonomi og naturfag, og i mange yrker. I regning med formler kan vi ofte velge mellom flere framgangsma˚ter. Noen ganger er det enkel regning fordi den ukjente sta˚r alene pa˚ venstre side i formelen. Andre ganger fa˚r vi en likning som ma˚ løses. Vi kan eventuelt gjøre om pa˚ formelen, slik at vi slipper a˚ regne med likninger. En tredje variant er a˚ bruke ferdig oppsatte «trekantformler».

ALTERNATIVE FRAMGANGSMÅTER

– Sett inn tall i formelen for det som er kjent. Løs oppgaven som en likning. – Gjør om på formelen slik at den ukjente kommer alene på venstre side. Finn svaret. – Skriv formelen som en «trekantformel». Finn svaret.

EKSEMPEL 20 Pa˚ en 185 km lang biltur var gjennomsnittsfarten 74 km=h. Hvor lenge varte bilturen?

s

Løsning: Vi har formelen strekning ¼ fart  tid, som vi kan skrive s ¼ v  t. Ettersom det er tida t vi skal finne, kan vi begynne med a˚ gjøre om s pa˚ formelen. Da unnga˚r vi a˚ ma˚tte løse en likning. Vi fa˚r t ¼ . v 185 km Tida t som bilturen varte, er ¼ 2;5 h. 74 km=h

v

t

EKSEMPEL 21 En sirkel har et areal pa˚ 95;0 cm2 . Hvor lang er radien? Løsning: Formelen for arealet av en sirkel er gitt ved A ¼ r 2 . Na˚r vi setter inn det gitte arealet i formelen, fa˚r vi en likning som ma˚ løses: 95;0 ¼ r 2 95;0 ¼ r2  30;24  r 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r ¼ 30;24  5;5 Radien er 5;5 cm lang.

22

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

95,0 cm2 r


EKSEMPEL 22 En stein som faller ned et stup, kan beskrives med formelen 1 s ¼ gt 2 2 der s er fallstrekningen, g er tyngdeakselerasjonen ðg ¼ 9;8 m=s2 Þ, og t er falltida. Finn en formel for falltida t og regn ut hvor lang tid fallet tar na˚r stupet er 40 m. Løsning: 1 s ¼ gt 2 2 2s ¼ gt 2 2s g sffiffiffiffiffi 2s t¼ g

t2 ¼

sffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2s 2  40 s  2;9 s: Vi setter inn i formelen og fa˚r t ¼ ¼ g 9;8

AKTIVITETER Oppgave 1.28 a) Oda ga˚r med farten 6 km=h. Hvor langt kommer hun i løpet av 1;5 timer?

b) En bilfører kjører med farten 80 km=h. Hvor lang tid bruker han pa˚ a˚ tilbakelegge 280 km? c) Simen brukte 8;2 sekunder pa˚ 60-meteren. Regn ut farten hans i meter per sekund. Oppgave 1.29 Snekkeriet AS har spesialisert seg pa˚ a˚ lage gardinstenger. Materialet til en gardinstang koster 15 kroner, mens faste kostnader som lønn, strømutgifter og leie av lokale utgjør 2600 kroner dagen. a) Snekkeriet AS produserer x gardinstenger om dagen. Forklar at formelen for samlede kostnader per dag, K, kan skrives K ¼ 15x þ 2600.

b) Regn ut hvor store de samlede kostnadene blir en dag de produserer 120 gardinstenger. c) Hvor mange gardinstenger ble produsert da de samlede kostnadene var 3950 kroner?

Drøfting 1.30 Kroppsmasseindeksen KMI er et ma˚l for forholdet mellom hvor mange kilogram du veier, og kvadratet av høyden din. m Formelen kan skrives slik: KMI ¼ 2 . h Her ma˚ler vi m i kilogram og h i meter.

a) Regn ut KMI for en gutt som veier 66 kg og har en høyde pa˚ 1;76 m. b) Ei jente som er 1;66 m høy, har KMI lik 20;9. Hvor mye veier jenta? Utfordring 1.31 Ida og Sara har samme type telefonabonnement. De betaler et fast beløp i tillegg til at de betaler for antall tellerskritt de ringer. Den siste telefonregningen var pa˚ 480 kroner for Ida, som hadde ringt 225 tellerskritt, mens Sara hadde ringt 175 tellerskritt og ma˚tte betale 440 kroner.

Lag en formel som viser hvor mye som ma˚ betales na˚r de ringer x tellerskritt.

Regning med formler

23


1.8

Store og små tall

Du skal lære – hvordan vi kan skrive små og store tall på standardform

Du husker kanskje at vi ganger med 10 ved a˚ flytte desimalkommaet en plass mot høyre: 75;43  10 ¼ 754;3. Pa˚ samme ma˚te deler vi med 10 ved a˚ flytte desimalkommaet en plass mot venstre: 75;43 : 10 ¼ 7;543. Potensen 10 2 forteller at vi skal gange med 10 to ganger. Vi flytter desimalkommaet to plasser mot høyre og fa˚r 75;43  102 ¼ 7543.

VI

FLYTTER DESIMALKOMMAET

10 2 vil si å gange med 10 to ganger. Vi flytter desimalkommaet to plasser mot høyre. 102 vil si å dele med 10 to ganger. Vi flytter desimalkommaet to plasser mot venstre.

I matematikk er det vanlig a˚ bruke skrivema˚ten 102 na˚r vi skal dele med 10 to ganger. Altsa˚ flytter vi desimalkommaet to plasser mot venstre og fa˚r 75;43  102 ¼ 0;7543.

EKSEMPEL 23 Regn ut med et digitalt verktøy: a) 24 000 000  5630

b)

1 128 000

Løsning: a) Svaret er pa˚ standardform 1;3512  1011 . Dette er det samme som 135 120 000 000. b) Svaret er pa˚ standardform 7;8125  106 . Dette er det samme som 0;000 007 812 5

Et hydrogenatom veier 1;67  1027 kg. Skrevet pa˚ desimalform har vi tallet 0;000 000 000 000 000 000 000 000 001 67. Avstanden fra sola til dvergplaneten Pluto er 5;96  10 km. Dette er en annen skrivema˚te for tallet 5 960 000 000. 9

Du ser hvor oversiktlig det kan være a˚ skrive tallene med tierpotenser! Vi sier at tallene er skrevet pa˚ standardform. I de neste to eksemplene skal vi øve oss pa˚ denne skrivema˚ten.

24

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

TALL

STANDARDFORM

a  10 k – a er et tall mellom 1 og 10 – k er et helt tall


EKSEMPEL 24 Skriv tallene pa˚ standardform: a) 5200 b) 0;000 063 Løsning: a) 5200 ¼ 5;2  1000 ¼ 5;2  10 3 b) 0;000 063 ¼ 6;3 : 100 000 ¼ 6;3  105

EKSEMPEL 25 Planeten Saturn er 1;43  10 12 meter unna oss. Lyset ga˚r med en fart pa˚ 3;0  10 8 meter per sekund. En romsonde sender ut et signal til jorda fra Saturn. For a˚ finne hvor lang tid signalet bruker, ma˚ vi dividere strekningen med farten: strekning Tid ¼ fart 1;43  10 12 meter  4770 sekunder ¼ 3;0  10 8 meter per sekund 4770 sekunder kan gjøres om til 79 minutter og 30 sekunder, eller 1 time, 19 minutter og 30 sekunder.

AKTIVITETER Oppgave 1.32 Bruk digitalt verktøy til a˚ finne svaret, og skriv svarene ba˚de pa˚ standardform og som vanlige tall:

a) 7 020 000  820 000 c)

73 19 000 000 000

b) 2 900 000  51 000 d)

850 271 000 000

Oppgave 1.33 Skriv svarene pa˚ standardform: a) Gjør om 13;2 meter til millimeter.

b) Gjør om 7;5 kilometer til centimeter. c) Gjør om 2 desimeter til kilometer. Oppgave 1.34 Et lysa˚r er den avstanden lyset tilbakelegger pa˚ et a˚r. Et lysa˚r er lik 9;46  10 15 meter.

Drøfting 1.35 Bakterier formerer seg ved at en bakteriecelle deler seg og blir til to celler. Dersom bakteriene har nok mat og plass, kan denne delingen skje hver time. Etter e´n time er det to bakterier, etter to timer er det 2  2 ¼ 4 bakterier, og sa˚ videre.

a) Hvor mange bakterier kan det teoretisk bli etter ett døgn? Skriv svaret pa˚ standardform. b) Kan denne økningen forsette videre i samme tempo? Kommenter. Utfordring 1.36 Hvert hydrogenatom har massen 1;67  1027 kg. Hvor mange atomer er det i 1 kg hydrogen?

a) Gjør om tallet fra standardform til vanlig tall. b) Hvor mange meter per sekund er lysfarten?

Store og små tall

25


1.9

Veien om 1 – en praktisk framgangsmåte

Du skal lære – å løse praktiske oppgaver ved å gå «veien om 1»

Butikkene selger varer i forskjellige pakninger. For at vi forbrukere lett skal kunne sammenlikne prisene, plikter forretningene a˚ oppgi prisen i for eksempel kroner per kilogram eller kroner per liter. Gjennom noen eksempler viser vi hvordan du kan regne med «veien om 1». Det vi gjør, er a˚ finne ut hvor mye som tilsvarer e´n enhet. Deretter kan vi finne ut hvor mye en gitt størrelse svarer til.

EKSEMPEL 26 I en butikk koster saften Tropisk 23;90 kroner for en flaske pa˚ 1;5 liter, og 16;90 kroner for en literflaske. Literprisen er ogsa˚ gitt for den største flaska, men vi vil likevel kontrollregne det. Hvilken flaskestørrelse av Tropisk lønner det seg a˚ kjøpe? Saft i flaska pa˚ 1;5 liter:

23;90 kroner  15;93 kroner per liter 1;5 liter

Det lønner seg a˚ kjøpe saftflaska pa˚ 1;5 liter.

EKSEMPEL 27 For en kalkun pa˚ 3;8 kg betaler Eli 171 kroner. a) Hva er prisen per kilogram for kalkunen? b) Hva ville en kalkun pa˚ 4;2 kg ha kostet? Løsning: a) Prisen er

171 kroner ¼ 45 kroner per kilogram. 3;8 kg

b) 4;2 kg kalkun ville ha kostet 4;2  45 kroner ¼ 189 kroner.

EKSEMPEL 28 Du har fa˚tt 750 danske kroner av en tante i Danmark. Du veksler inn pengene i en norsk bank en dag det koster 105;30 norske kroner for 100 danske kroner. Dette kaller vi kursen for danske kroner. Banken krever et vekslingsgebyr pa˚ 35 kroner. Hvor mange norske kroner fa˚r du utbetalt?

26

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS


Løsning: 100 danske kroner svarer til 105;30 norske kroner. 105;30 kroner ¼ 1;053 norske kroner. E´n dansk krone svarer til 100 750 danske kroner svarer til 750  1;053 kroner ¼ 789;75 kroner. Før du fa˚r utbetalt pengene, trekker banken fra gebyret. Du fa˚r altsa˚ utbetalt 789;75 kroner  35 kroner ¼ 754;75 kroner.

AKTIVITETER Oppgave 1.37 Ole og Petter skulle beise husene sine. Ole kjøpte beis i et tilitersspann til 498 kroner. Petter kjøpte en annen type beis. Han betalte 188 kroner for beis i et firelitersspann. Hvem kjøpte den billigste beisen? Oppgave 1.38 I en oppskrift pa˚ fa˚rika˚l sta˚r det at 1;2 kg kjøtt og 1;6 kg ka˚l passer til fire personer. Hvor mye kjøtt og hvor mye ka˚l ma˚ vi kjøpe inn til fem personer? Oppgave 1.39 Vi skal handle sjokoladepulver. Vi pleier a˚ kjøpe store bokser pa˚ 500 gram til 36;00 kroner. En dag er det tilbud pa˚ sma˚ bokser pa˚ 200 gram. En liten boks koster 23;50 kroner, men pa˚ tilbud kan vi «ta tre og betale for to». Lønner det seg a˚ kjøpe de sma˚ boksene? Oppgave 1.40 Bente trener pa˚ stier i en rundløype som er 3;5 km lang. Rekorden hennes er 14 minutter 30 sekunder.

Trine pleier a˚ løpe en runde pa˚ en vei som er 4;8 km lang. Den raskeste tida hun har løpt pa˚, er 22 minutter. Hvem har best kilometertid?

Oppgave 1.41 En forretning tilbyr pakker med fire beger yoghurt til 14;90 kroner. Hvert beger inneholder 125 ml yoghurt. Den samme forretningen tilbyr ogsa˚ enkeltbeger med 175 ml yoghurt til 4;90 kroner. Sammenlikn prisene per liter yoghurt for de to tilbudene.

Oppgave 1.42 Du kjøper 2750 svenske kroner. Denne dagen opplyser banken at du ma˚ betale 80;40 norske kroner for 100 svenske kroner. Hvor mange norske kroner ma˚ du betale na˚r banken krever et vekslingsgebyr pa˚ 40 kroner?

Utfordring 1.43 Bjørnar kjøper et smørbrød pa˚ danskeba˚ten. Smørbrødet koster 40 danske kroner. Bjørnar betaler med 100 norske kroner og fa˚r tilbake 50 danske kroner i vekslepenger. a) Hvilken kurs pa˚ 100 danske kroner svarer det til?

Da Bjørnar kom hjem, fant han ut at kursen den aktuelle dagen hadde vært 104;30. b) Sammenlikn kursen du regnet ut i a, med den faktiske kursen. Kommenter.

Veien om 1 – en praktisk framgangsmåte

27


1.10

Forholdstall – hvor mye av hver del?

Du skal lære – å regne med forhold og forholdstall i praktiske oppgaver

I mange situasjoner i dagliglivet gjør vi bruk av tallforhold. Kart, arbeidstegninger og blandingsforhold er noen eksempler.

EKSEMPEL 29 Pa˚ en flaske husholdningssaft sta˚r det at vi skal blande e´n del saft med fire deler vann. Forholdet mellom saft og vann skriver vi da 1 : 4. Motsatt er forholdet mellom vann og saft lik 4 : 1. a) Hvor mye vann ma˚ blandes med 3 dl saft? b) Hvor mye saft har vi brukt dersom vi tilsetter 6 dl vann? c) Hvor mye rein saft ma˚ blandes med vann for a˚ lage 2 liter ferdigblandet saft? Løsning: a) E´n del saft skal blandes med fire deler vann. Da ma˚ 3 dl saft blandes med 3 dl  4 ¼ 12 dl vann. b) Det skal være fire ganger sa˚ mye vann som saft. Det gir

6 dl ¼ 1;5 dl saft. 4

c) Ferdigblandet saft besta˚r av e´n del saft og fire deler vann. Saftmengden er derfor 1=5 av den totale blandingen. Vi gjør om 20 dl til desiliter og fa˚r 2 liter ¼ 20 dl. Mengden rein saft er ¼ 4 dl. 5

EKSEMPEL 30 a) Et sim-kort har lengden 2;5 cm og bredden 1;5 cm. Hva er forholdet mellom lengden og bredden? b) Et rektangel med lengden 21 cm er formlikt med sim-kortet. Hva er bredden av rektanglet? Løsning: a) Forholdet mellom lengden og bredden er

2;5 cm  1;67. 1;5 cm

b) Her kan vi regne ut det motsatte tallforholdet. Forholdet mellom bredden og lengden av sim-kortet er Bredden av rektanglet blir da 21 cm  0;6 ¼ 12;6 cm. Vi kunne ogsa˚ ha delt lengden med tallforholdet i a. 21 cm Det gir  12;6 cm. 1;67

28

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

1;5 cm ¼ 0;6. 2;5 cm


Orienteringskart har ofte ma˚lestokken 1 : 10 000. Vi sier «en til ti tusen». 1 cm pa˚ kartet er 10 000 cm i terrenget, som er det samme som 100 m.

EKSEMPEL 31 Vi har et orienteringskart i ma˚lestokken 1 : 10 000. a) Hvor mange meter i terrenget er det i luftlinje mellom to poster na˚r avstanden pa˚ kartet er 5;7 cm? b) Hvor mange centimeter er det mellom to inntegnede poster pa˚ et kart na˚r det i luftlinje er 1200 meter mellom postene? Løsning: a) Her ganger vi med 10 000 fordi vi ga˚r fra kart til terreng. Avstanden i terrenget blir 5;7  10 000 cm ¼ 57 000 cm ¼ 570 m. b) 1200 m er lik 120 000 cm. Vi deler pa˚ ma˚lestokken ð10 000Þ fordi vi ga˚r fra terreng til kart. Avstanden pa˚ kartet blir

120 000 cm ¼ 12 cm. 10 000

AKTIVITETER Oppgave 1.44 Et turkart har ma˚lestokken 1 : 50 000. a) Hva betyr denne ma˚lestokken i praksis? b) Hvor lang er en tur som ma˚ler 11;5 cm pa˚ kartet? c) Avstanden mellom to fjelltopper er 14 km i luftlinje. Hva svarer det til pa˚ kartet? Oppgave 1.45 Et kvadrat har sidekanter lik 2 cm. Tegn skisse av kvadratet i ma˚lestokkene 1 : 2 og 2 : 1. Oppgave 1.46 En dag betalte vi 7;90 norske kroner for 1 euro. a) Hvor mange norske kroner fikk vi da for 117 euro? b) Hvor mange euro fikk vi for 3500 norske kroner?

Drøfting 1.47 En lightsaft skal blandes i forholdet 1 : 9, det vil si e´n del saft og ni deler vann. Arne vil regne ut hvor mye saft som ga˚r med til a˚ lage 5 liter ferdig-blandet saft. Han setter opp dette regnestykket: 1 5 liter   0;56 liter ¼ 5;6 dl 9 Forklar hvorfor utregningen til Arne er feil. Regn ut riktig saftmengde. Miniprosjekt 1.48 a) Vi har to linjestykker pa˚ 1;2 m og 1;5 m. Regn ut det lineære tallforholdet mellom den lange og den korte linja.

b) Vi har to kvadrater, det ene med sider pa˚ 1;2 m og det andre med sider pa˚ 1;5 m. Hva er forholdet mellom arealene av det store kvadratet og det lille kvadratet? c) Forklar hva forholdstallet mellom det største og det minste volumet er na˚r vi har to kuber med sidene 1;2 m og 1;5 m. d) Hva slags sammenheng er det mellom tallforholdene for volum, areal og rette linjer?

Forholdstall – hvor mye av hver del?

29


1.11

Prosent og prosentpoeng – hva er forskjellen?

Du skal lære – å løse oppgaver med prosent når opprinnelig verdi og prosent er kjent – å regne med prosentpoeng – å forklare forskjellen på prosentvis endring og prosentpoeng

Na˚r vi regner med prosent, er det viktig a˚ være klar over at prosenten avhenger av hva som er grunnlaget. 10 % rabatt pa˚ et par sokker er mye mindre i kroner enn 10 % rabatt pa˚ en dyr jakke.

EKSEMPEL 32 En høst selger en sportsforretning sykler med 35 % rabatt. Line vurderer a˚ kjøpe en sykkel som har kostet 5600 kroner. Hvor mange kroner blir rabatten pa˚?

PROSENT Prosent betyr per hundre eller hundredel. For eksempel er 7 7%¼ ¼ 0,07 100

ENDRING Vi finner endringen som

Løsning: opprinnelig verdi  prosent 5600 kr  35 ¼ ¼ 1960 kr 100 100 Rabatten blir 1960 kroner. Rabatt ¼

opprinnelig verdi  prosent 100

EKSEMPEL 33 I skolea˚ret 2005–2006 var det 660 elever ved en viderega˚ende skole. ˚ ret etter hadde elevtallet økt med 5 %. A Hvor mange elever hadde skolen i 2006–2007? Løsning: Vi bruker samme formel som ovenfor. I tillegg ma˚ vi huske pa˚ a˚ legge økningen til den opprinnelige verdien: Økning ¼

660 elever  5 ¼ 33 elever 100

660 elever þ 33 elever ¼ 693 elever I skolea˚ret 2006–2007 hadde skolen 693 elever.

Prosent og prosentpoeng blir ofte brukt om hverandre. Prosentpoeng er vanlig a˚ bruke na˚r vi for eksempel skal presentere politiske partiers framgang og tilbakegang. Videre ga˚r indeksregning (kapittel 5) ut pa˚ a˚ sammenlikne endringer i prosentpoeng.

30

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

NY

VERDI

Ny verdi ved en økning: opprinnelig verdi þ økning Ny verdi ved en nedgang: opprinnelig verdi  nedgang


EKSEMPEL 34 Lise har fa˚tt en renteøkning fra 2;5 % til 3;0 % pa˚ et boligla˚n. Hvor stor var renteøkningen a) i prosentpoeng b) i prosent Løsning: a) Økning i prosentpoeng: 3;0  2;5 ¼ 0;5 Renteøkningen var pa˚ 0;5 prosentpoeng.

PROSENT

OG

PROSENTPOENG

I prosentregning må vi ta utgangspunkt i opprinnelig verdi. Prosentpoeng er differansen mellom to prosenttall.

endring  100 % 0;5  100 % ¼ ¼ 20 % opprinnelig verdi 2;5 Renteøkningen var pa˚ 20 %.

b) Økning i prosent:

AKTIVITETER Oppgave 1.49 Hvor mye er a) 5 % av 340 kroner

b) 27 % av 125 000 kroner c) 0;65 % av 860 gram d) 230 % av 12;40 kroner Oppgave 1.50 Regn ut: a) En bukse kostet opprinnelig 920 kroner. Prisen ble satt ned 70 %. Hvor mye kostet buksa pa˚ salg? b) En bolig steg i verdi med 28 %. Hva var verdien etter denne økningen na˚r boligen i utgangspunktet var verdt 960 000 kroner? c) En fotballspiller ønsker a˚ øke treningsmengden med 40 %. Han trener gjennomsnittlig 12;5 timer i uka. Hvor mye ma˚ han trene per uke for a˚ klare ma˚lsettingen sin? Oppgave 1.51 Truls Olsen har en a˚rslønn pa˚ 205 000 kroner. Ved et lønnsoppgjør fa˚r han et lønnstillegg pa˚ 5;2 %. a) Hvor mange kroner var lønnsøkningen pa˚?

b) Hva blir den nye lønna til Truls Olsen?

Drøfting 1.52 Det blir gjort en del feil ved bruk av prosent. Vi kan tenke oss følgende sitat: «Tilskudd til lag og foreninger har i gjennomsnitt ga˚tt ned med 5 %, fra 30 % til 25 %, de siste a˚rene.» Hvorfor er dette feil? Gi en forklaring. Utfordring 1.53 Fra Aftenposten i 2002 sakser vi: «SAS har mistet tillit i det norske folk. Hele 43 % oppgir at de har et negativt inntrykk av bedriften. Siden a˚ret før har andelen nordmenn med et da˚rlig inntrykk av selskapet økt med 25 prosentpoeng.»

Hvor stor var økningen i prosent fra 2001 til 2002? Utfordring 1.54 Et par damesko kostet 1250 kroner. Skoene kommer pa˚ salg, og prisen blir satt ned 15 %. Etter salget blir prisen satt opp igjen 15 %. a) Forklar uten a˚ gjøre utregninger hvorfor skoene ikke vil koste det samme som opprinnelig. Blir skoene billigere eller dyrere enn 1250 kroner? b) Regn ut hvor mye skoene kostet etter at prisen ble satt opp igjen.

Prosent og prosentpoeng – hva er forskjellen?

31


1.12

Prosentregning – når prosenten er ukjent

Du skal lære – å regne ut prosenten når opprinnelig verdi og endring er kjent – å regne ut prosenten når opprinnelig verdi og ny verdi er kjent

I noen situasjoner i hverdagen kan det være interessant a˚ regne ut hvor stor prosenten er. Et eksempel kan være hvor mange prosent en bil har tapt seg i verdi. Vi viser to regnema˚ter: «veien om 1» og regning med formel.

EKSEMPEL 35 Per og Anne skulle løse en oppgave: Billigmøbler AS ønsker a˚ selge ut kommodene de har pa˚ lager. Store kommoder er satt ned med 350 kroner fra 1200 kroner, og sma˚ kommoder med 200 kroner fra 750 kroner. Hvilken kommode har størst prosentvis avslag? Per løste oppgaven ved a˚ bruke formel: 350 kroner  100 % Stor kommode: Prosent ¼  29;2 % 1200 kr 200 kroner  100 % Liten kommode: Prosent ¼  26;7 % 750 kr Anne løste oppgaven ved a˚ ga˚ «veien om 1»: 1200 kroner ¼ 12 kroner. Stor kommode: 1 % svarer til 100 350 %  29;2 %. 350 kroner svarer til 12 750 kroner Liten kommode: 1 % svarer til ¼ 7;50 kroner. 100 200 200 kroner svarer til %  26;7 %. 7;50 Den store kommoden hadde størst prosentvis avslag.

EKSEMPEL 36 En bolig steg i pris fra 1 270 000 kroner til 1 358 900 kroner. Hvor stor var prisstigningen? Løsning: Vi regner først ut endringen. Sa˚ bruker vi en av regnema˚tene ovenfor. Økning i verdi:

1 358 900 kr  1 270 000 kr ¼ 88 900 kr

Prosent med formel:

endring  100 % 88 900 kr  100 % ¼ ¼7% opprinnelig verdi 1 270 000 kr

Prisstigningen var pa˚ 7 %.

32

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

VI

FINNER PROSENTEN

Formel: Prosent ¼

endring  100 % opprinnelig verdi

«Veien om 1»: Opprinnelig verdi er 100 % . opprinnelig verdi . – 1 % er 100 – Del endringen med dette tallet.


AKTIVITETER Oppgave 1.55 Hvor mange prosent utgjør

a) b) c) d)

12 av 20 12 av 200 24 av 200 6 av 200

Oppgave 1.56 Silje har nettopp satt personlig rekord i lengde pa˚ 4;78 meter. Den gamle rekorden var 4;69 meter. Hvor mange prosent var forbedringen pa˚? Oppgave 1.57 Av 280 biler som passerte en fartskontroll, kjørte 35 for fort. Sju av disse bilførerne mistet førerkortet. a) Hvor mange prosent kjørte for fort?

b) Hvor mange prosent kjørte for fort, men mistet ikke førerkortet? c) Hvor mange prosent av de som kjørte for fort, mistet førerkortet? Oppgave 1.58 Tiril er 159 cm høy, mens Marion er 172 cm høy.

a) Hvor mange prosent høyere er Marion enn Tiril? b) Hvor mange prosent lavere er Tiril enn Marion? c) Kommenter svarene.

Oppgave 1.59 Et gartneri reklamerer med at kundene kan velge tre rosebusker og betale for to.

Diskuter hvor mange prosent avslaget er pa˚. (Tips: Na˚r det ikke er oppgitt tall i prosentoppgaver, kan du selv sette inn tall.) Drøfting 1.60 Ved en viderega˚ende skole arbeidet elevra˚det med a˚ sette i verk tiltak for a˚ redusere elevfraværet ved skolen. De ha˚pet at fraværet skulle ga˚ ned flere hundre prosent.

Diskuter om dette er mulig. Miniprosjekt 1.61 Omar og Karl vurderer a˚ kjøpe hjemmekinoanlegg. De ser pa˚ et anlegg fra Sony til 12 000 kroner. Under romjulssalget er prisen satt ned 50 %. Siste salgsdag blir prisen satt ytterligere ned 30 %. «Flott,» sier Karl, «na˚ har jeg ra˚d til a˚ kjøpe hjemmekinoanlegget, for na˚ er det satt ned 80 %. Na˚ skal jeg bare betale 2400 kroner.» Omar er ikke enig i resonnementet til Karl. Han mener at Karl skal betale 4200 kroner.

Hvem har rett? Hvor mange prosent er prisen satt ned totalt?

Prosentregning – når prosenten er ukjent

33


1.13

Prosentregning – når opprinnelig verdi er ukjent

Du skal lære – å regne ut opprinnelig verdi når prosent og endring er kjent – å regne ut opprinnelig verdi når prosent og ny verdi er kjent

OPPRINNELIG

VERDI NÅR

PROSENT OG ENDRING ER KJENT

Na˚r den opprinnelige verdien er ukjent, kan vi ga˚ «veien om 1».

Regningen går i to trinn: 1 Finn hva 1 % svarer til. 2 Opprinnelig verdi er 100 %.

EKSEMPEL 37 I en annonse for langrennsski sta˚r det at skiene er satt ned 60 %. Det svarer til 1260 kr i avslag. Hvor mye kostet skiene opprinnelig? Løsning: Her er endringen 1260 kr. Det svarer til 60 %. 1 1 % svarer til

1260 kr ¼ 21 kr. 60

Vi skal finne den opprinnelige verdien, som svarer til 100 %. 2 100 % svarer til 100  21 kr ¼ 2100 kr. Skiene kostet 2100 kr opprinnelig.

EKSEMPEL 38 Stig og Anne Hansen solgte huset sitt for 2 520 000 kroner. Det var 80 % mer enn de selv hadde betalt for huset. Hvor mye kostet huset da de kjøpte det? Løsning: En økning pa˚ 80 % gir en «total prosent» pa˚ 100 % þ 80 % ¼ 180 %. Den nye verdien er altsa˚ 180 % av den opprinnelige verdien. Den nye verdien er 2 520 000 kr. Det svarer til 180 %. Vi skal finne den opprinnelige verdien, som svarer til 100 %. 2 520 000 kr ¼ 14 000 kr. 180 2 100 % svarer til 100  14 000 kr ¼ 1 400 000 kr. 1 1 % svarer til

Huset kostet 1 400 000 kr da Stig og Anne kjøpte det.

34

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

OPPRINNELIG VERDI NÅR PROSENT OG NY VERDI ER KJENT

Først må vi regne ut den «totale prosenten». Deretter bruker vi de samme to trinnene som ovenfor: 1 Finn 1 % som ny verdi «total prosent» 2 Opprinnelig verdi er 100 %.


I neste kapittel skal vi lære a˚ løse problemene med vekstfaktor. Vekstfaktor egner seg godt na˚r det er flere prosentvise tillegg, men vi kan ogsa˚ bruke metoden pa˚ oppgavene i dette kapitlet.

AKTIVITETER Oppgave 1.62 Finn den opprinnelige verdien na˚r a) 20 % utgjør 350 kroner b) prisen er 13 000 kroner etter at den er satt opp 8 % c) prisen er 740 kroner etter at den er satt ned 38 % d) 135 % utgjør 420 kroner Oppgave 1.63 Ulrik arbeider som flytekniker. Hver ma˚ned bruker han 7500 kroner til a˚ betale faste utgifter. Det svarer til 40 % av det han fa˚r utbetalt hver ma˚ned. Hvor mye fa˚r Ulrik utbetalt hver ma˚ned? Oppgave 1.64 En bilforhandler ma˚ øke utsalgsprisen pa˚ bruktbiler med 2;5 % pa˚ grunn av endrede valutakurser. a) Hva blir den nye prisen pa˚ en bil som tidligere kostet 150 000 kroner? b) En bil koster na˚ 248 000 kroner. Hvor mye kostet denne bilen før prisøkningen? Oppgave 1.65 Tine kjøper en mobiltelefon til 1999 kroner etter at prisen er satt ned 20 %. Hvor mye kostet mobiltelefonen ordinært?

Oppgave 1.66 Familien Moe har redusert strømforbruket med 8 % i 2005 til 29 850 kWh. Hvor stort var strømforbruket i 2004? Oppgave 1.67 En klesbutikk kjøpte inn klær for 35 000 kroner medregnet merverdiavgift pa˚ 25 %. Hvor mye kostet disse klærne uten merverdiavgift? Utfordring 1.68 Fra 2004 til 2005 gikk bevilgningen til et sykehjem ned med 4;5 %. Fra 2005 til 2006 økte bevilgningen med 3;0 %. Hvor stor var bevilgningen i 2004 na˚r den var 2 150 000 kroner i 2006? Utfordring 1.69 En familie har en fast inntekt per ma˚ned. I august brukte de 3600 kroner til mat. Matutgiftene i september var 1;5 % høyere. a) Hvor store var matutgiftene i september?

b) I september utgjorde matutgiftene 12 % av inntekten. Hvor stor var inntekten? c) Vi regner med at resten av inntekten ga˚r til annet forbruk og sparing. Hvor mange prosent av inntekten ga˚r til sparing na˚r annet forbruk var 15 400 kroner i september?

Prosentregning – når opprinnelig verdi er ukjent

35


1.14

Sammensatt eksempel

EKSEMPEL 39 Hvordan en god trapp bør lages, bygger pa˚ erfaring. Trinnhøyden (opptrinnet) bør ikke være større enn 170 mm, mens inntrinnet bør være minst 230 mm. Trappeformelen kan uttrykkes slik: To opptrinn pluss ett inntrinn utgjør til sammen 630 mm: a) Hvorfor tror du det er laget en trappeformel? b) Sett opp trappeformelen med ditt eget valg av symboler. c) Hvor langt ma˚ inntrinnet være etter trappeformelen dersom opptrinnet er 150 mm? d) Hvor langt ma˚ opptrinnet være etter trappeformelen dersom inntrinnet er 290 mm? e) Vi ønsker a˚ bygge en trapp i en 4;25 meter høy skra˚ning. Undersøk om det ga˚r opp i et helt antall trinn na˚r vi lar opptrinnet være henholdsvis 150 mm og 170 mm. Vi ønsker a˚ lage en trapp i tre og undersøker prisene hos forskjellige trelasthandlere. Det billigste alternativet pa˚ trykkimpregnerte planker er 8;60 kroner per meter. Firmaet gir 7 % rabatt ved kontant betaling. f) Hvor mye koster de trykkimpregnerte plankene per meter med 7 % rabatt? Naboen har ogsa˚ kjøpt planker til trappa si hos denne trelasthandleren. Han betalte 4700 kroner for materialene. Da hadde han fa˚tt rabatt, for den ordinære prisen var 5370 kroner. g) Vi vil finne ut hvor mange prosent rabatt naboen fikk, for a˚ kreve det samme dersom dette tilbudet var bedre. Hvor mange prosent rabatt fikk naboen? Løsning: a) Det er anbefalt a˚ følge trappeformelen na˚r vi skal lage en god trapp a˚ ga˚ i. Har trappa for sma˚ trinn, blir den ubehagelig a˚ ga˚ i, mens for høye opptrinn kan være vanskelig, særlig for barn og eldre. b) Vi kaller opptrinnet o og inntrinnet i. Da fa˚r vi formelen 2  o þ i ¼ 630 c) Na˚r vi skal finne inntrinnet, kan vi gjøre om formelen og skrive i ¼ 630  2  o Det gir i ¼ 630  2  150 ¼ 630  300 ¼ 330 Inntrinnet ma˚ være 330 mm.

36

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS


d) Na˚r opptrinnet er ukjent, kan vi skrive o ¼ Vi setter inn og fa˚r o ¼ 315 

630 i  . 2 2

290 ¼ 315  145 ¼ 170. 2

Opptrinnet ma˚ være 170 mm. 4250 mm  28;3 trappetrinn 150 mm 4250 mm Med opptrinn pa˚ 170 mm: ¼ 25 trappetrinn 170 mm Det ga˚r opp i et helt antall trinn na˚r opptrinnene er 170 mm.

e) Med opptrinn pa˚ 150 mm:

8;60 kroner  7  0;60 kroner. 100 Plankene koster 8;60 kroner  0;60 kroner ¼ 8;00 kroner.

f) Rabatten er

g) Naboens rabatt er 5370 kroner  4700 kroner ¼ 670 kroner. 5370 kroner 1 % svarer til ¼ 53;70 kroner. 100 670 kroner Rabatten i prosent var  12;5 %. 53;70 kroner

AKTIVITETER Oppgave 1.70 Sammenhengen mellom temperaturen ma˚lt i grader celsius og i grader fahrenheit er gitt ved formelen 9 F ¼ C þ 32 5 a) Hvor høy er temperaturen ma˚lt i fahrenheitgrader na˚r den er 25 grader celsius ð25  CÞ? b) Gjør om formelen slik at celsiusgrader blir uttrykt ved fahrenheitgrader. c) Hvor mange grader celsius er det na˚r det er 50 grader fahrenheit ð50  FÞ?

En temperaturskala som blir brukt i fysikken, kalles kelvinskalaen. Det er den absolutte temperaturen som blir ma˚lt i kelvin ðKÞ, og sammenhengen mellom kelvin og grader celsius er gitt ved formelen C ¼ K  273;15 d) Regn ut hvor mange celsiusgrader som svarer til 150 kelvin. e) Hvor mange kelvin er dobbelt sa˚ høy temperatur som 0 grader celsius?

Oppgave 1.71 Tonehøyden ma˚ler vi i antall svingninger per sekund. Det kaller vi frekvens. Enheten for frekvens er hertz ðHzÞ.

1 Hz er lik e´n svingning per sekund. I musikk har tonene pa˚ skalaen et fast forhold til hverandre. En lav C har frekvensen 264 Hz. Her er forholdstallene til noen av de andre tonene i forhold til lav C: 9 5 4 D: , E: , F: 8 4 3 Disse forholdstallene ma˚ stemme for at vi skal oppfatte musikken som «rein». Na˚r et piano, en fiolin eller en gitar er ustemt, er ikke forholdet mellom tonene riktig lenger. a) Bruk det gitte forholdstallet for D i forhold til lav C. Hva er frekvensen til D? b) Hva er forholdet mellom G og lav C na˚r G har frekvensen 396 Hz? c) Regn ut frekvensforholdet mellom F og G. d) Pa˚ et piano hadde E frekvensen 330 Hz. Finn ut om pianoet var ustemt.

Sammensatt eksempel

37


1

SAMMENDRAG

Problemløsing 1. Tegn situasjonen. 2. Skriv ned det du vet. 3. Prøv a˚ finne ut hva som er problemet. 4. Er det noen opplysninger som mangler? Regnerekkefølge og fortegnsregler 1 Parentes 2 Potens 3 Gange og dele 4 Pluss og minus

– I uttrykket 3 þ 4  6 «binder» gangetegnet sterkere enn plusstegnet, slik at vi regner ut 4  6 først. Vi fa˚r 3 þ 4  6 ¼ 3 þ 24 ¼ 27. Merk at ð3 þ 4Þ  6 ¼ 7  6 ¼ 42. – Husk fortegnsreglene: «minus ganger minus er pluss» «minus ganger pluss er minus» Regning med parenteser – Na˚r vi skal multiplisere et tall med en parentes, multipliserer vi tallet med hvert ledd inni parentesen: 2 ðx þ 3Þ ¼ 2  x þ 2  3 ¼ 2x þ 6

– Med minus foran en parentes a˚pner vi parentesen og bytter fortegn: 5  ð3x  1Þ ¼ 5  3x þ 1 ¼ 6  3x – Ved multiplikasjon av to parenteser multipliserer vi hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre: ð3x þ 9Þðx  3Þ ¼ 3x2  9x þ 9x  27 ¼ 3x2  27 Brøkregning – Na˚r vi skal legge sammen to brøker, gjør vi om til samme nevner og summerer tellerne: 2 1 4 3 4þ3 7 þ ¼ þ ¼ ¼ 3 2 6 6 6 6 – Ved multiplikasjon av to brøker multipliserer vi teller med teller og nevner med nevner og forkorter: 3 5 35 15 5  ¼ ¼ ¼ 4 6 46 24 8

38

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

Likningsløsing De viktigste hovedtrekkene na˚r vi skal løse likninger, er: – Gang inn i parentesene og a˚pne dem. – Gang alle ledd med fellesnevneren. – Trekk sammen leddene med x pa˚ venstre side. – Bytt fortegn na˚r du flytter over ledd. – Divider med tallet foran x og forkort. Formelregning Vi har sett pa˚ tre alternative framgangsma˚ter ved formelregning: – Vi setter inn tall i formelen og løser den som en likning. – Vi fa˚r den ukjente alene pa˚ venstre side. – Noen formler kan settes opp som «trekantformler». Standardform Et tall pa˚ standardform er skrevet slik: a  10 k

a er et tall mellom 1 og 10, og k er et helt tall. Tallet 236 000 blir 2;36  10 5 pa˚ standardform. Vi flytter kommaet fem plasser mot venstre. Tallet 0;000 41 blir 4;1  104 pa˚ standardform. Vi flytter kommaet fire plasser mot høyre. Prosent – Prosent betyr per hundre, slik at 85 ¼ 0;85 85 % ¼ 100 – Prosentpoeng er differansen mellom to prosenttall.

– Vi finner endringen som opprinnelig verdi  prosent endring ¼ 100 – Vi finner prosenten som endring  100 % prosent ¼ opprinnelig verdi Å finne opprinnelig verdi Vi bruker «veien om 1». Opprinnelig verdi svarer til 100 %. En pris har økt med 15 % til kr 276. Vi skal finne opprinnelig pris. 115 % utgjør kr 276. 276 1 % utgjør: kr ¼ kr 2;40 115 100 % utgjør da kr 240.


TEST DEG SELV Test 1.A Hege skal kjøpe planter i hagesenteret. Hun ønsker a˚ kjøpe minst fire forskjellige plantearter. Gjør et overslag og foresla˚ hva Hege kan kjøpe for om lag 1250 kroner, na˚r roser koster kr 55, georginer kr 29, løytnantshjerte kr 38, rododendron kr 120 og spirea kr 70. Test 1.B Gjør om til meter: a) 253 cm b) 17 mm

c) 1;48 km

Test 1.C Regn ut og skriv svaret sa˚ enkelt som mulig:

a) 5 þ 23  3 c)

b) 5 ð2 þ xÞ  ð4 þ xÞ

1 5 3 1 þ   4 6 2 2

c)

Test 1.H Simen har et boligla˚n pa˚ 850 000 kroner. Han betaler 5 % rente i a˚ret, men fa˚r beskjed fra banken om at renten skal heves til 6;45 % per a˚r. a) Hvor mange prosentpoeng øker renten?

b) Hvor mange prosent øker renten? c) Hvor mange kroner utgjør renteøkningen per a˚r, na˚r vi tar utgangspunkt i det opprinnelige la˚net?

Test 1.D Løs likningene:

a) 5 þ 2x ¼ 3x þ 7

Test 1.G a) En genser kostet 450 kroner. Hvor mye koster genseren na˚r prisen steg 6 %? b) Pa˚ tilbud er prisen pa˚ en tannkremtube satt ned fra 15;90 kroner til 11;50 kroner. Hvor mange prosent er prisen pa˚ tannkremtuben nedsatt? c) En bil blir solgt for 228 900 kroner etter en prisøkning pa˚ 9 %. Hvor mye kostet bilen opprinnelig?

b) 4 ðx þ 2Þ ¼ 5  ðx þ 2Þ

x2 3¼x5 3

Test 1.E Messing er en legering av sink og kopper. Hvor mange prosent sink er det i en messinglysestake na˚r vektforholdet mellom sink og kopper er 1 : 4? Test 1.F Arealet av en trekant er gitt ved formelen gh A¼ 2 a) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje 4;0 cm og høyde 3;0 cm.

b) En annen trekant har et areal pa˚ 9;6 cm2 . Grunnlinja er 4;0 cm. Hvor stor er høyden?

Test 1.I a) En gigabyte er 1 012 048 064 byte. Skriv dette tallet pa˚ standardform. b) En nautisk mil er 1852 meter. Vis at dette tallet er framkommet med utgangspunkt i jordas omkrets ved ekvator pa˚ 4;0  10 7 m, jordas gradtall pa˚ 360 og minuttallet 60.

Test 1.J De to nabofamiliene Eng og Bakke reiste til en felles feriehytte. Familien Eng tok korteste vei til hytta, mens familien Bakke reiste en 15 mil lengre tur rundt et vakkert fjellomra˚de. Etter at hytteferien var over, reiste Bakke korteste vei hjem, mens Eng tok en vei som var dobbelt sa˚ lang. De to familiene kjørte 143 mil til sammen.

Hvor langt var det til feriehytta?

Test deg selv

39


1

LES, SKRIV OG SNAKK

Oppgave 1

Oppgave 4

Nedenfor finner du løsningene til to brøkoppgaver. Skriv en kort tekst der du forklarer hva som er gjort i hvert trinn i utregningen.

Første kvadratsetning sier at:

2 7 22 77  a)  ¼ 7 2 72 27 4 49 4  49 45 45 ¼  ¼ ¼ ¼ 14 14 14 14 14

Med ord kan vi formulere den slik: «Kvadratet av en sum av to ledd er lik kvadratet av det første leddet pluss to ganger produktet av begge leddene pluss kvadratet av det siste leddet.»

2 15 2  15 3 ¼ ¼ ¼3 b)  5 2 52 1

ða þ bÞ2 ¼ a2 þ 2ab þ b2

Formuler kvadratsetningene nedenfor pa˚ samme ma˚te: a) ða  bÞ2 ¼ a2  2ab þ b2 b) ða þ bÞða  bÞ ¼ a2  b2

Oppgave 2

Oppgave 5

Forklar hvert trinn i utregningen av likningen nedenfor til en medelev. 1 x ðx þ 2Þ  3x ¼ þ 1 3 2 x 2 x þ  3x ¼ þ 1 3 3 2 6x 62 6x þ  6  3x ¼ þ61 3 3 2 2x þ 4  18x ¼ 3x þ 6 2x  18x  3x ¼ 6  4 19x ¼ 2 x¼

2 2 ¼   0;105 19 19

Oppgave 3

Forklar for en medelev hvordan reglene for regnerekkefølge er brukt i utregningen nedenfor.     2  1 9 10 2 1 90 2 ¼2 þ2x þx   2 5 3 2 15 1 ¼ 2  þ 2  x  62 2 ¼ 1 þ 2x  36 ¼ 2x  35

40

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

Ifølge en meningsma˚ling har oppslutningen om et politisk parti økt fra 20;0 % til 22;0 % siden forrige valg. Skriv en kort tekst der du vurderer utsagnene nedenfor. a) Partiet har økt oppslutningen med 2;0 prosentpoeng. b) Partiet har økt oppslutningen med 10;0 %. c) Partiet har økt oppslutningen med 2;0 prosent.


A B C

Oppgave 6

Sett bokstavene A–E sammen med tallene 1–5 slik at utsagnene betyr det samme: A B C D E

3x ¼ 5x þ 4 5x  3 ¼ 2 3x  5 ¼ 4x 5x  3x  2 5x  3x  2

1 Differansen mellom 3x og 5 er 4x. 2 Differansen mellom 5x og 3 er 2. 3 5x er mindre enn eller lik differansen mellom 3x og 2. 4 3x har samme verdi som summen av 5x og 4. 5 5x er større enn eller lik differansen mellom 3x og 2.

Les, skriv og snakk

41


Øvingsoppgaver 1.1

Problemløsing – mange veier til mål

A 1.72 Kan du plassere tallene 1; 2; 3; . . . ; 9 i rutene pa˚ et ark med 3  3 ruter slik at du fa˚r samme sum na˚r du summerer hver rad, hver kolonne og hver av de to diagonalene?

(Tips: Begynn med det midterste tallet.) A 1.73 De tre brødrene Per, Pa˚l og Espen er til sammen 58 a˚r. Per er fem a˚r eldre enn Pa˚l. Espen er tre a˚r eldre enn halvparten av Pers alder. Hva er alderen til hver av brødrene?

B 1.78 Per og Kari ga˚r pa˚ skole og har tilleggsjobb i en kiosk. Per arbeider hver a˚ttende ettermiddag, og Kari arbeider hver sjette ettermiddag. En ettermiddag er begge pa˚ jobben. Hvor mange dager ga˚r det før begge igjen arbeider samme ettermiddag?

B 1.79 Tallene 1; 2; 4; 7 og 14 er de hele tallene som er mindre enn 28 og ga˚r opp i 28. Det vil si at 28 er delelig med disse tallene. Men vi har ogsa˚ at

28 ¼ 1 þ 2 þ 4 þ 7 þ 14 A 1.74 Et tall minus to tredeler av tallet blir 18. Hvilket tall er det? B 1.75 I en gymtime velger halvparten av elevene ballspill, en tredel velger styrketrening, mens resten, a˚tte elever, er syke eller har glemt gymtøyet. Hvor mange elever er med i gymtimen? B 1.76 En bonde hadde tre barn. Han bestemte at den eldste skulle arve 2=5 av dyra, den mellomste 1=3 og den yngste resten. a) Hvor stor del arvet den yngste? b) Hvor mange dyr var det pa˚ ga˚rden na˚r den yngste arvet tolv dyr? B 1.77 Pa˚ en juletrefest var det 124 personer til stede. Billettprisen for barn var kr 40, mens voksne betalte kr 70. Til sammen var billettinntektene kr 6310. Hvor mange barn og hvor mange voksne var med pa˚ juletrefesten?

42

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

Det vil si at 28 er et tall som er lik summen av alle tallene mindre enn 28 som ga˚r opp i 28. Det er blitt vanlig a˚ kalle slike tall perfekte tall. a) Undersøk om 24 er et perfekt tall. b) Finn det minste perfekte tallet. c) Vis at 496 er et perfekt tall.

C 1.80 Noen gode venner var ute pa˚ restaurant. Hver av dem bestilte nøyaktig det samme, og regningen for hver enkelt av dem var et helt tall. Den samlede regningen kom pa˚ kr 4913. Hvor mange venner var det i selskapet? C 1.81 Per og Kari har hver sin gamle klokke. Pers klokke saktner litt i forhold til Karis. De stiller klokkene likt. Na˚r det er ga˚tt 40 minutter etter Karis klokke, viser Pers klokke at det er ga˚tt 39 minutter. Hvor lenge ga˚r det til begge klokkene igjen viser samme tid?


1.2

Regnerekkefølge og fortegn – nyttige regler

A 1.82 Regn ut for ha˚nd: a) 3 þ 4  2 b) ð3 þ 4Þ  2 2

d) ð2  3Þ

c) 2  32

A 1.83 Regn ut for ha˚nd: a) 3  ð4Þ þ 5  3 b) 2  ð7  2Þ  ð3Þ  ð2Þ A 1.84 Regn ut for ha˚nd:

a) 32

b) 42

c) ð5Þ2

d) ð6Þ2

1.3

Regning med parenteser

A 1.90 Regn ut: a) 3 þ ðx  3Þ c) 4  ð4  xÞ e) 2 ðx  4Þ

b) 4x  ðx  2Þ d) 2 ðx  3Þ f) 3  2 ð4  2xÞ

A 1.91 Regn ut: a) ðx þ 3Þðx þ 4Þ c) ð2x  3Þð3x  2Þ

b) ðx  3Þðx þ 3Þ d) ð3x  4Þð5  2xÞ

A 1.92 Regn ut: a) 3 ðx  2Þ  2 ðx þ 3Þ

b) 4x ðx  3Þ  3x ðx  4Þ

A 1.85 Regn ut for ha˚nd:

a) 2  32  3  2

b) 2  32  3  22 þ 4

c) 2  42  3  22  2

d) 2  32  5  3  22  5

A 1.86 Regn ut for ha˚nd:

a) 2  ð32  3Þ  2

b) ð2  32 þ 1Þ  4

c) 2  ð2  32  4Þ  5

Brøkregning

A 1.93 Regn ut som brøk: 3 3 5 1 2 b)  a) þ  4 4 4 4 3

c) 4 

5 2

A 1.94 Regn ut som brøk:

B 1.87 Regn ut i hodet: a) 37 þ 58 þ 13  8

a) b) 2  179  5 þ 300 : 30

1 1  3 4

b)

2 2 þ 5 3

c)

1 2 3 þ  2 3 4

A 1.95 Ved et skolevalg stemte 1=3 av elevene pa˚ Arbeiderpartiet, mens 1=6 av elevene stemte pa˚ Sosialistisk Venstreparti. Hvor stor del av elevene stemte pa˚ disse to partiene til sammen?

B 1.88 Regn ut for ha˚nd:

a) 32  2  ð4Þ b) ð3Þ2  2  ð3Þ c) ð3Þ2  2  ð3Þ2 2

1.4

3

d) 2  ð3Þ  3  ð2Þ

C 1.89 Regn ut 1 þ 2 þ 3 þ . . . þ 1000.

B 1.96 Pa˚ en skole er det 120 elever i 1. klasse, 100 elever i 2. klasse og 80 elever i 3. klasse. Av elevene i 1. klasse er 2=3 jenter. I 2. klasse og 3. klasse er jenteandelene henholdsvis 3=5 og 1=2. Hvor mange jenter er det i alt pa˚ denne skolen?

Øvingsoppgaver

43


B 1.97 Regn ut:     2 1 1   1 a) 3 2 7

b)

  2 1 1 9    3 2 3 5

B 1.98 Eva etterlater en formue. Ektefellen arver 2=3, et veldedig fond fa˚r 1=12, og resten skal deles likt mellom tre nevøer. Hvor stor brøkdel av arven fa˚r hver av nevøene? C 1.99 I et selskap kom 1=2 av gjestene i bil, 1=4 kom med buss, mens de tre siste gjestene kom til fots. Hvor mange gjester kom til selskapet?

1.5

Likninger

A 1.100 Løs likningene: a) 3x ¼ 15

c) 8x  3 ¼ 4x þ 5

b) 4x  12 ¼ 0 d) 3t  2 ¼ 5 þ 4t

A 1.101 Løs likningene: x a) ¼ 7 3 1 x c) x  4 ¼ 2  2 3

x b) 2 þ ¼ 3  x 2 x x 1 d)  ¼ x þ 3 2 6

A 1.102 Løs likningene: a) 2  ðx  1Þ ¼ 3  2x

b) x  2 ð3x  2Þ ¼ ðx  3Þ c) 3  5 ðx  3Þ ¼ 4  4 ðx  5Þ A 1.103 Eva er tre ganger sa˚ gammel som datteren Pia. Til sammen er de 52 a˚r. La Pias alder være x a˚r, sett opp en likning og finn alderen hennes.

44

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

A 1.104 Na˚r du setter deg i en drosje, sta˚r taksameteret pa˚ 42 kr. Selve kjøringen koster 10 kr per kilometer. Du har bare 100 kr pa˚ deg. La x være den kjørte distansen i kilometer. Sett opp en likning og finn hvor langt du kommer for pengene dine.

B 1.105 Løs likningene: x a)  2 ðx  1Þ ¼ x  ð2  xÞ 3 1 1 b) x  ðx  3Þ ¼ 2 ðx  1Þ 2 3

B 1.106 To firmaer konkurrerer i samme bransje. Et a˚r selger firmaet Datasoft for 7;8 millioner kroner og firmaet Bytes for 9;5 millioner kroner. Etter planene som ledelsen i de to firmaene legger, skal Datasoft øke salget med 0;75 millioner kroner per a˚r og Bytes med 0;47 millioner kroner per a˚r. a) Sett opp uttrykkene for hva Datasoft og Bytes etter planene skal selge for om x a˚r. b) Hvor mange a˚r ga˚r det før de to firmaene har like stor omsetning?

B 1.107 Eli og Espen har laget boller for a˚ selge dem under et idrettsstevne. De solgte bollene for kr 5 per stk. Da fikk de 22 boller til overs. Hvis de i stedet hadde solgt dem for kr 4;50 per stk., ville de fa˚tt solgt alle bollene og fa˚tt den samme inntekten. Hvor mange boller hadde de bakt?

C 1.108 Om to a˚r er Kari dobbelt sa˚ gammel som Per var for tre a˚r siden. Kari er ti a˚r eldre enn Per. Hvor gamle er de?


1.6

1.7

Målenheter

A 1.109 Gjør om til liter: a) 15 ml

A 1.117 En forretning har undersøkt sammenhengen mellom antall kunder og omsetning. De har kommet fram til formelen

b) 13;4 dl

O ¼ 94;00  k

A 1.110 a) Gjør om 34;7 ml til liter. b) Gjør om 1;57 kg til gram. c) Gjør om 1;3 l til centiliter.

d) e) f) g) h)

Gjør Gjør Gjør Gjør Gjør

om om om om om

Regning med formler

der O er omsetningen i kroner, og k er antall kunder. a) Forklar denne formelen med ord. b) Hvor stor ble omsetningen ut fra formelen en dag det var 188 kunder innom butikken? c) Hvor mange kunder kan vi regne med var innom butikken en dag omsetningen var kr 11 300?

3;2 g til hektogram. 2;7 m til millimeter. 4;8 mm til meter. 2;1 dm til millimeter. 4;3 ml til desiliter.

A 1.111 a) Gjør om 0;42 kg til gram. b) Gjør om 43;3 mm til meter. c) Gjør om 2;3 dl til milliliter. A 1.112 Gjør om til kilometer per time (km=h): a) 12 m=s b) 19 m=s A 1.113 Gjør om til meter per sekund (m=s): a) 100 km=h b) 37 km=h B 1.114 En bil bruker en og en halv time pa˚ a˚ kjøre 95 km. Regn ut gjennomsnittsfarten i kilometer per time og i meter per sekund. B 1.115 Ellen og Erik ga˚r en fast kveldstur rundt et vann. Turen er pa˚ 4;7 km, og de bruker 45 minutter. Regn ut gjennomsnittsfarten i meter per sekund og i kilometer per time.

A 1.118 Arealet av et rektangel er gitt ved A ¼ l  b. a) Hvor stort er arealet av et rektangel na˚r lengden l ¼ 4 cm og bredden b ¼ 3 cm? b) Hva er lengden av et rektangel na˚r bredden er 2;4 m og arealet er 15;6 m2 ? c) Hva er bredden av et rektangel med lengden 20;0 dm og et areal lik 272;0 dm2 ?

A 1.119 a) Omkretsen av en sirkel er gitt ved formelen O ¼ 2r

1) Regn ut omkretsen na˚r radien er 2;0 cm. 2) Regn ut omkretsen na˚r radien er 4;0 cm. 3) Regn ut radien na˚r omkretsen er 35;2 cm. b) Arealet av en sirkel er gitt ved formelen A ¼ r 2 1) Regn ut arealet na˚r radien er 2;0 cm. 2) Regn ut arealet na˚r radien er 4;0 cm. 3) Regn ut radien na˚r arealet er 116;9 cm2. c) Hva skjer med omkretsen og arealet na˚r vi dobler radien i en sirkel?

B 1.116 Gjør om til mikroliter ðmlÞ:

a) 15 ml

b) 0;014 liter

c) 1;25 dl

Øvingsoppgaver

45


B 1.120 Ohms lov sier at U ¼ RI, der U er spenningen ma˚lt i volt ðVÞ, R er resistansen ma˚lt i ohm ðÞ, og I er strømmen ma˚lt i ampere ðAÞ. a) Finn spenningen na˚r resistansen er 10  og strømmen er 5 A.

a) 1014

b) Finn strømmen na˚r spenningen er 220 V og resistansen er 1) 2;0  2) 4;0  3) 10 

a) 1;2  10 3

b) 1;41  103

c) 0;87  102

d) 1;15  105

B 1.121 Effekt er energi per tidsenhet:

E t Her er E energien i joule ðJÞ, og t er tida i sekunder ðsÞ. Effekten er ma˚lt i watt ðWÞ. a) Løs formelen med hensyn pa˚ t. b) Hvor lenge ma˚ vi bruke en effekt pa˚ 40 W for a˚ fa˚ en energi pa˚ 500 J? P¼

C 1.122 Finn t na˚r

a) p ¼ bt

1.8

1 b) q ¼ bt 2 2

c) q ¼

a t2

Store og små tall

A 1.123 Bruk et digitalt verktøy og skriv svarene ba˚de pa˚ standardform og som vanlige tall: a) 10  20  30  40  50  60  70

b) c) d) e)

560 000  21 000 1 : 123 456 789 0;000 83  0;0004 750 000  94 000

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

c) 2500  10

b) 0;012 2

d) 0;013  104

A 1.126 Skriv som vanlige tall:

B 1.127 I kraftig regnvær svarer fire vanndra˚per til 1 ml vann. I en regnma˚ler pa˚ Blindern hadde det samlet seg 0;86 liter vann. a) Hvor mange vanndra˚per var det i ma˚leren? b) Hva blir volumet av e´n million vanndra˚per? c) Hvor mange dra˚per ga˚r det pa˚ ett tonn vann? C 1.128 Avstanden fra midten av jorda til midten av ma˚nen er 3;84  10 8 m. Ma˚neradien er 1740 km, og jordradien er 6371 km.

a) Vi sender et lyssignal med farten v ¼ 3;0  10 8 m=s fra jordoverflata til ma˚nen. Hvor lang tid ga˚r det før signalet kommer tilbake etter a˚ ha blitt reflektert? b) Tenk deg at du reiser til ma˚nen. Farten er 1000 m=s. Hvor lang tid tar turen? Gi svaret i en passende enhet.

1.9

Veien om 1 – en praktisk framgangsmåte

A 1.129 Vi betaler 47;25 kroner for 2;5 kg epler. Hva er prisen per kilogram?

A 1.124 En eske har kvadratisk bunn med sider lik 48;1 cm. Høyden i eska er 86;5 cm. Hvor stort volum ði cm3 Þ har eska na˚r formelen for volumet er lengde  bredde  høyde? Rund av svaret og skriv det pa˚ standardform.

46

A 1.125 Skriv pa˚ standardform:

RUNDT OSS

A 1.130 Hvor mange norske kroner fa˚r vi for 9000 japanske yen na˚r 1 japansk yen svarer til 6;00 kroner? A 1.131 I en oppskrift pa˚ løvbiff sta˚r det at vi trenger 600 gram biff til fire personer. Hvor mange gram biff ga˚r med til sju personer?


A 1.132 Et stearinlys er formet som en sylinder med høyde 20 cm. Vi tenner lyset for første gang og lar det brenne i 40 minutter. Da er det igjen 18 cm av lyset. Hvor lang tid kan vi regne med at dette stearinlyset fortsatt kan brenne? B 1.133 Hvor mange engelske pund fa˚r vi for kr 5800 na˚r 1 engelsk pund svarer til 11;60 norske kroner? B 1.134 Per skal lage gresk salat og vurderer om han skal kjøpe rødløk i bunter til kr 24;90 eller i løs vekt til 29;90 kr/kg. Han finner at bunten veier 0;6 kg. Sammenlikn prisene.

1.10

Forholdstall – hvor mye av hver del?

A 1.140 Marte og faren var i jordbæra˚keren. Faren plukket i snitt 3 kurver for hver kurv Marte klarte a˚ plukke. a) Hvor mange kurver greier Marte a˚ plukke dersom faren plukker 18 kurver? b) Hvor mange kurver plukker de til sammen dersom Marte plukker 4 kurver? c) Da de var ferdige, hadde de plukket 36 kurver til sammen. Hvor mange kurver hadde faren plukket, og hvor mange hadde Marte plukket?

B 1.135 Vi kjøper 5000 danske kroner. Denne dagen oppgir banken at vi ma˚ betale 108 norske kroner for 100 danske kroner. Hvor mange norske kroner ma˚ vi betale na˚r banken krever et vekslingsgebyr pa˚ kr 40?

A 1.141 ˚ se 70 tekstmeldinger. En ma˚ned sendte A Det kostet 48;30 kroner. Ma˚neden etter sendte hun 90 tekstmeldinger. Hvor mye kostet det a˚ sende 90 tekstmeldinger dersom prisen per melding var den samme?

B 1.136 Vi fyller tanken pa˚ bilen helt full med bensin. Etter a˚ ha kjørt 75 mil ma˚ vi fylle 60 liter pa˚ tanken for at den skal bli full igjen. a) Hvor mange liter har vi brukt per mil?

A 1.142 Kari skal kjøpe gardinstoff. Hun har funnet en stofftype som hun liker godt.

b) Hvor mange mil har vi kjørt per liter?

I «Stoffbua» koster stoffet 1596 kroner for en rull pa˚ tolv meter.

B 1.137 Pa˚ en skole er det 320 elever. Fordelingen av jenter og gutter er 5 : 3. Hvor mange jenter og hvor mange gutter er det pa˚ skolen?

I «Klipp og Sy» koster stoffet 1088 kroner for en rull pa˚ a˚tte meter.

C 1.138 Knut lander pa˚ Seychellene. Han vet ikke kursen pa˚ seychelliske rupier (SCR), men veksler inn 200 euro og fa˚r 1742;07 SCR. Hvor mange norske kroner svarer 100 rupier til na˚r 1 euro er 7;40 kroner og vi ser bort fra gebyrer?

A 1.143 a) En sirkel med diameter lik 12;0 cm har en omkrets pa˚ 37;7 cm. omkrets Regn ut tallforholdet . diameter

C 1.139 Du kappløper 100-meter med en sprinter. Hun kommer i ma˚l na˚r du har igjen 10 meter av distansen. Som en gest til deg foresla˚r hun at dere skal løpe 100 meter en gang til, men at hun denne gangen skal starte 10 meter bak startlinja. Hvem vinner denne gangen?

Vurder hvor Kari bør kjøpe stoffet.

b) En annen sirkel har diameter lik 5;8 cm og en omkrets pa˚ 18;2 cm. Regn ut tallforholdet mellom omkretsen og diameteren i denne sirkelen ogsa˚. c) Hvilket tall fa˚r vi na˚r vi deler omkretsen pa˚ diameteren?

Øvingsoppgaver

47


B 1.144 Ole skulle blande fugemasse. Pa˚ pakken stod det at fugemasse og vann skulle blandes i forholdet 3 : 1. Ole tok 5 dl fugemasse, men ved en feiltakelse tok han 2 dl vann slik at fugemassen ble for flytende. Hvor mye mer fugemasse ma˚tte han tilsette for at blandingsforholdet skulle bli korrekt? B 1.145 I forbindelse med veiutbygging ble det satt opp en 2 meter høy støyskjerm. I endene av støyskjermen ble det brukt kortere planker for a˚ lage en gradvis avslutning. Fra a˚ være 2;00 m lang ma˚lte neste planke 1;60 m, deretter 1;28 m, 1;024 m og 0;819 m.

a) Forklar at den som var hjernen bak dette, ma˚ ha tenkt forholdstall. Hvilket forholdstall er det regnet med? b) Hvor lang ville den a˚ttende planken ha vært dersom de hadde fortsatt dette systemet? C 1.146 En biolog ønsket a˚ finne ut hvor mange rein det var i et omra˚de. I stedet for a˚ telle alle reinsdyra gjorde han et overslag ved a˚ trekke et utvalg. Dette kaller vi stikkprøvemetoden. Den ga˚r ut pa˚ at vi først samler inn noen dyr som vi merker. Dyra blir sa˚ sluppet løs, og etter en stund samler vi noen dyr igjen. Dersom dyra er tilfeldig blandet og ingen dyr er døde eller født eller har vandret til og fra omra˚det, kan metoden gi et bra overslag.

Ved første innsamling hadde biologen 42 reinsdyr, som ble merket. I neste fangst samlet han 70 dyr. Av dem var 14 merket. Finn ut omtrent hvor mye rein det var i omra˚det. C 1.147 En brannbil er utstyrt med en skyvbar stige. Stigen begynner 2;2 m over bakken. Na˚r den er presset sammen med maksimal stigning, er den 3;1 m lang, og det øverste punktet er 4;8 m over bakken. I full utstrekning ma˚ler stigen 11;0 m. Rekker stigen opp til et vindu 11;0 m over bakken?

1.11

Prosent og prosentpoeng – hva er forskjellen?

A 1.149 En sykkel koster kr 6500. Prisen blir satt ned 30 %.

a) Hvor stort var prisavslaget i kroner? b) Hva er tilbudsprisen? A 1.150 En bil koster kr 450 000. Hvor mye koster bilen a) na˚r prisen øker 12 % b) na˚r prisen minker 12 % A 1.151 Du har lyst pa˚ et stereoanlegg som koster 6990 kroner, men har bare 6000 kroner. Butikkinnehaveren sier at han kan tilby deg 15 % rabatt. Har du nok penger til a˚ kjøpe stereoanlegget? A 1.152 Prisen pa˚ en oppvaskmaskin i El-Butikken var 5000 kroner, mens samme type maskin kostet 5800 kroner hos El-Giganten. Oppvaskmaskinen kommer pa˚ salg i begge butikkene. El-Butikken setter ned prisen 25 %, mens El-Giganten setter ned prisen 35 %. Hvor lønner det seg a˚ kjøpe oppvaskmaskinen? A 1.153 Jakker med en normalpris pa˚ kr 1200 blir satt ned 10 %. Bukser med en normalpris pa˚ kr 650 blir satt ned 20 %. a) Vurder uten a˚ bruke lommeregner hvilket plagg som blir satt ned mest i kroner. b) Hvor mye ma˚ vi betale for to jakker og tre bukser til nedsatt pris?

C 1.148 En sirkel med radius 2;0 cm skal illustrere folketallet i by A, som utgjør 225 000. To andre byer har folketall pa˚ 500 000 (by B) og 150 000 (by C).

B 1.154 30.6.2005 uttalte sentralbanksjefen at renten skulle økes fra 1;75 % til 2;00 % (Aftenposten). a) Hvor mange prosentpoeng økte renten? b) Hvor mange prosent økte renten?

Illustrer folketallet i byene B og C pa˚ samme ma˚te, slik at alle tre sirkelarealene stemmer innbyrdes.

c) Forklar forskjellen mellom prosentvis endring og prosentpoeng.

48

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS


B 1.155 Ingvill fa˚r et brev fra banken om at renten pa˚ la˚net hennes er satt ned fra 3;75 % per a˚r til 3;25 %. a) Hvor mange prosentpoeng er rentesatsen endret? b) Hvor mange prosent er renten satt ned? B 1.156 I 2005 var Fremskrittspartiet og Arbeiderpartiet de store vinnerne av skolevalget i de viderega˚ende skolene. Ap gikk fram 10;1 prosentpoeng til 21;8 %. Størst oppslutning hadde FrP med 24;9 %. Det var en framgang pa˚ 10;8 prosentpoeng.

Som vi ser, økte FrP litt mer enn Ap na˚r vi tar for oss prosentpoengene. Hvilket av de to partiene økte mest i prosent? B 1.157 Anne tjente 247 000 kroner i 2003. De to neste a˚rene fikk hun en lønnsøkning pa˚ henholdsvis 3;4 % og 2;7 %. a) Forklar hvorfor vi ikke kan legge sammen de to prosentene og regne med 6;1 % i stedet for først a˚ regne med 3;4 % og sa˚ med 2;7 %.

b) Dersom vi hadde regnet med 6;1 % i stedet, tror du at svaret ville blitt større eller mindre enn den reelle lønna? c) Regn ut hva Anne har i lønn etter de to lønnsøkningene. Regn ogsa˚ ut hvor stor lønna ville blitt om hun hadde fa˚tt en lønnsøkning pa˚ 6;1 % i stedet. B 1.158 En jakke til kr 1500 blir satt ned 30 %. De siste salgsdagene blir tilbudsprisen satt ned enda 40 %. a) Hva koster jakka de siste salgsdagene? b) Noen tror nok at prisen na˚ er satt ned 70 % totalt. Forklar hvorfor prisen faktisk er satt ned mindre enn 70 %. c) Hvor stort var det samlede prosentavslaget pa˚? Prøv deg fram. C 1.159 En tøyrull inneholder 21 meter tøy. En seksdel av tøyrullen blir solgt til full pris, halvparten blir solgt med 20 % rabatt, mens resten blir solgt til halv pris. Da har forretningen fa˚tt inn i alt 2310 kroner for rullen. Hva var full pris per meter?

1.12

Prosentregning – når prosenten er ukjent

A 1.160 a) Hvor mange prosent er kr 150 av kr 500? b) Hvor mange prosent er kr 3;50 av kr 70? c) Hvor mange prosent er kr 11;50 av kr 355? A 1.161 a) Av kr 152;50 i en lommebok er kr 12;50 sma˚mynter. Hvor mange prosent utgjør sma˚myntene? b) Pa˚ en skole er det 240 jenter og 172 gutter. Hvor mange prosent er gutter? c) En sykkel er satt ned kr 2000. Førprisen var kr 8900. Hvor mange prosent er avslaget pa˚? B 1.162

En familie kjøper inn to løpejakker og tre trøyer til tilbudsprisene i annonsen. Hvor mange prosent sparer de i forhold til veiledende priser? B 1.163 Familien Dahl besta˚r av to voksne og tre barn. De skal feriere i Syden og venter med a˚ bestille billetter til prisen er satt ned fra kr 8200 til kr 7200 for voksne og fra kr 4200 til kr 3600 for barn. a) Hvor mange prosent sparte de i alt? b) Hvilken pris ble satt ned mest i prosent? C 1.164 En restaurant har hver dag en dagens rett til fast pris. For a˚ fa˚ nye faste kunder kommer restauranten med et tilbud: Hver sjette gang du spiser dagens rett, slipper du a˚ betale. En gjest spiser en ma˚ned dagens rett 14 ganger. Hvor mange prosent har han spart pa˚ denne ordningen i forhold til a˚ betale normal pris for alle ma˚ltidene?

Øvingsoppgaver

49


C 1.165 Prisen pa˚ en vare som opprinnelig kostet 3250 kroner, øker først 4 % for sa˚ a˚ bli satt ned 3 %. Til slutt blir prisen satt opp 7 %. Finn den samlede prosentvise endringen av prisen. C 1.166 Merverdiavgiften pa˚ klær økte fra 24 % til 25 %. Hvor mange prosent dyrere ble det a˚ kjøpe klær?

1.13

Prosentregning – når opprinnelig verdi er ukjent

A 1.167 a) Et par ski er satt ned 40 % og koster na˚ kr 2400. Hvor mye kostet de opprinnelig? b) Etter at prisen pa˚ et fjernsynsapparat er satt ned 20 %, koster det kr 7400. Hvor mye kostet apparatet opprinnelig?

c) Etter at prisen er satt ned 25 % koster et par joggesko kr 720. Hva kostet skoene før prisnedgangen? A 1.168 Ved en rideskole økte timeprisen for a˚ ri en hest med kr 25. Det utgjorde en økning pa˚ 11 %. Hva var den opprinnelige timeprisen? B 1.169 Folketallet i en kommune økte 2;4 % fra et a˚r til et ˚ rsaken var at 20 personer døde, 69 ble født, annet. A og 38 personer var innflyttere til kommunen. Hvor mange innbyggere var det i kommunen det første a˚ret? B 1.170 Ved en kontroll av speedometeret pa˚ en bil fant en at det viste 7 % for mye. Hvor stor var den virkelige farten na˚r speedometeret viste 85 km=h? B 1.171 a) Etter en prisøkning pa˚ 8 % koster en vare 540 kroner. Hvor mye kostet varen før prisøkningen? b) Hva er full pris na˚r 20 % rabatt utgjør 1500 kroner? c) Hva er full pris na˚r vi betaler 150 kroner etter a˚ ha fa˚tt 25 % rabatt?

50

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

1.14

Blandede oppgaver

Oppgave 1.172 En voksen person har et dagsbehov for vitamin C pa˚ 30 mg. Hva er det samlede dagsbehovet for vitamin C na˚r vi regner at det er 3,4 millioner voksne personer i Norge?

Oppgave 1.173 En forretning selger poteter for kr 5;90 per kilogram. Forretningen tilbyr de samme potetene i poser a` 2; 5 kg til kr 16;50. Hvor mange prosent dyrere er potetene i poser enn de samme potetene i løs vekt?

Oppgave 1.174 Vi kjøper 3000 svenske kroner. Denne dagen opplyser banken at vi ma˚ betale 80;40 norske kroner for 100 svenske kroner. Hvor mange norske kroner ma˚ vi betale na˚r banken krever et vekslingsgebyr pa˚ kr 40?

Oppgave 1.175 Pa˚ en eske Casco husfix sta˚r det at pulveret skal blandes med vann i forholdet e´n vektdel vann til fire vektdeler pulver.

a) Hvor mange gram vann og hvor mange gram pulver ma˚ vi bruke for a˚ fa˚ 250 g ferdig blanding? b) Vi har 600 gram pulver med husfix. Hvor mye vann ma˚ vi blande i pulveret for a˚ fa˚ riktig blanding?


Oppgave 1.176 I denne oppgaven skal du ikke bruke noe digitalt verktøy. a) Regn ut:

1) 2 þ 3  ð4  2Þ b) Regn ut: 3 3 1) þ 2  4 2 c) Løs likningene: 1 x 1) 3x  ¼ 3 2

2) 2  ð3Þ2  42

2)

    1 1 5 4    2 3 2 2

2) 2x2 ¼ 50

d) Løs likningen:   x x 1 1  ¼ x 2 3 4 3 e) Regn ut: 1) 4 ðx  3Þ  3 ðx  4Þ

2) ð2x  1Þðx  2Þ

Oppgave 1.180 Halva˚rstallene fra Opplysningsra˚det for Veitrafikken (OFV) viser at Peugeot-importørene har hatt lavest økning. Mens den samlede økningen i bilsalget har vært 27;5 %, har Peugeot bare økt salget med 3;3 % eller rundt 100 biler. Peugeot sitter igjen med en markedsandel pa˚ 7;1 %. Det er en tilbakegang pa˚ 1;3 prosentpoeng sammenliknet med forrige a˚r.

a) Hva mener vi med at Peugeot har hatt tilbakegang? b) Hvor stor var Peugeots prosentvise tilbakegang na˚r det gjelder markedsandeler? Oppgave 1.181 Et medisinfirma hadde 240 ansatte i 2003, mens det i 2004 bare var 185 ansatte. Fra 2004 til 2005 gikk antall ansatte ned med 11;2 %. a) Hvor stor prosentvis endring var det i antall ansatte fra 2003 til 2004?

Oppgave 1.177 En legering (blanding) av to metaller, A og B, inneholder 120 g av A og 200 g av B. a) Hvor mange prosent av metallet A er det i legeringen? b) Hvor mange gram av metall A ma˚ legeringen tilføres dersom det skal bli 50 % av hvert metall?

I 2006 regnet bedriften med a˚ øke antall ansatte med 15;2 %. b) Hvor stor prosentvis endring var det i antall ansatte fra 2003 til 2006?

Oppgave 1.178 I 1997 kostet en laserskriver kr 3800. Prisen steg med 8 % i 1998, men ble sa˚ satt ned 15 % i 1999. a) Hvor mye kostet laserskriveren i 1999? b) Hvor stor prosentvis endring i prisen fra 1997 til 1999 svarer det til? c) Forklar hvorfor svaret ikke er lik 8 %  15 % ¼ 7 %.

a) Regn ut s na˚r t ¼ 2;1 s. b) Hvor lang tid t har kula falt na˚r s ¼ 19;8 m? c) Finn en formel for t uttrykt ved s og g.

Oppgave 1.179 Et fat olje rommer 259 liter. Oljeprisen er 66; 50 dollar per fat. Regn ut prisen for e´n liter olje i norske kroner na˚r kursen pa˚ dollar er 7;50.

Oppgave 1.182 En kule som faller loddrett, har etter tida t falt 1 en strekning s, der s ¼ gt 2. Vi ser bort fra 2 luftmotstanden, og g ¼ 9;8 m=s2 .

Oppgave 1.183 Pa˚ et veiskilt sta˚r det at en radiostasjon sender pa˚ 103;2 MHz. a) Hvor mange hertz (Hz) er det?

I et e-verk blir det lest av et forbruk pa˚ 103 GW. b) Hvor mange watt (W) er det? Oppgave 1.184 Vi har gitt tallene a ¼ 42 000 og b ¼ 0;000 076. Bruk dette til a˚ regne ut 3  a b c) d) a 2  b a) a  b b) b a

Øvingsoppgaver

51


Oppgave 1.185 Det trengs 4200 J for a˚ varme opp e´n liter vann 1  C. a) Hvor mye energi trengs det for a˚ varme opp 250 liter vann 1  C? b) Hvor mye energi trengs det for a˚ varme opp 250 liter vann 30  C?

Ved et karbad ga˚r vi ut fra at en person bruker 250 liter vann som er varmet opp fra 10  C til 40  C. c) Hvor mye koster et karbad na˚r 1 kWh ¼ 3;6 MJ koster ca. kr 0;50? Oppgave 1.186 En strømregning omfatter en fast avgift pa˚ kr 2500 og i tillegg kr 0;34 per kilowattime. En student leier et rom i en bolig og fa˚r sin egen strømma˚ler. Hun betaler for egne kilowattimer og i tillegg sin del av den faste avgiften. Forholdet mellom det hun skal betale i fast avgift, og kr 2500, er lik forholdet mellom forbruket hennes og hele boligen. Studentens ma˚ler viser 3769 kWh, mens resten av boligen har 8260 kWh. Hvor mye skal hun betale? Oppgave 1.187 En forretning setter ned prisen pa˚ en vare fra kr 56;50=kg til kr 51;30=kg. a) Hvor mange prosent er avslaget pa˚?

Forretningen regner med en salgsøkning pa˚ 35 % som følge av prisavslaget. Tidligere ble det solgt 50 av varen per dag. b) Hvor mange kilogram regner forretningen na˚ med a˚ selge per dag? c) Regn ut den nye salgsverdien per dag. d) Hvor mange prosent har salgsverdien per dag økt? Oppgave 1.188 (Eksamen 1MY) Avstanden fra Oslo til Trondheim ma˚lt langs veien er om lag 500 km. Avstanden fra Kristiansand til Kirkenes ma˚lt langs veien er om lag 3000 km. a) Hvor mange ganger ma˚ en bil kjøre strekningen fra Oslo til Trondheim for at det skal tilsvare avstanden fra Kristiansand til Kirkenes? b) En bil bruker 0;7 liter bensin per mil. Hvor mye koster det a˚ kjøre fra Kristiansand til Kirkenes na˚r bensinen koster 8;50 kroner per liter?

52

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

Oppgave 1.189 (Eksamen 1MY)

Sommeren 2002 vant nordmannen Thor Hushovd en etappe i Tour de France. Han brukte 4 timer 28 minutter 28 sekunder pa˚ etappen. Favoritten Lance Armstrong brukte 11 minutter 42 sekunder lengre tid. a) Hvor lang tid brukte Armstrong? Etappen var 176;5 km lang. b) Hvor stor var gjennomsnittsfarten til Thor Hushovd i meter per sekund og i kilometer per time? Oppgave 1.190 (Eksamen 1MY) Arne vinner 5 millioner kroner i lotto. Som kjent er ikke lottomillionærer som andre millionærer, og Arne forlanger a˚ fa˚ hele gevinsten utbetalt i tikroner. For en tikrone gjelder:

– Vekta er 6;80 g. – Tykkelsen er 2;00 mm. a) Hvor høy er en stabel der 50 tikroner ligger oppa˚ hverandre? Hvor høy ville stabelen vært dersom alle tikronene i lottogevinsten la˚ oppa˚ hverandre? b) Hvor mye veier premien dersom den blir utbetalt i tikroner? Gi svaret i kilogram. c) Arne vil telle tikronene for a˚ kontrollere at han har fa˚tt det han har krav pa˚. Gjør fornuftige antakelser om hvor raskt han teller, og finn ut hvor lang tid han bruker pa˚ a˚ telle pengene. Oppgave 1.191 (PISA 2003)

Bildet viser fotavtrykkene til en mann som ga˚r. Skrittlengden P er avstanden mellom bakre kant av to etterfølgende fotavtrykk. For menn gir formelen n=P ¼ 140 et tilnærmet forhold mellom n og P, der n er antall skritt per minutt, og P er skrittlengden i meter.


a) Dersom formelen gjelder for Haralds ma˚te a˚ ga˚ pa˚, og Harald tar 70 skritt per minutt, hva blir skrittlengden til Harald? Vis hvordan du fant svaret. b) Bjarte vet at skrittlengden hans er 0; 80 meter. Formelen gjelder for hans ma˚te a˚ ga˚ pa˚. Regn ut hvor fort Bjarte ga˚r i meter per minutt og i kilometer per time. Vis utregningene dine.

Oppgave 1.192 Sammenhengen mellom temperaturer ma˚lt i grader celsius ð CÞ og grader fahrenheit ð FÞ er gitt ved formelen 5 C ¼ ðF  32Þ 9 a) Gjør om disse temperaturene til celsiusgrader: 1 4  F 2 90  F

b) Gjør om disse temperaturene til fahrenheitgrader: 2 37  C 3 100  C 1 0 C

Oppgave 1.193 I 1976 var utslippene av fosfor til vann 5500 tonn, mens de i 1985 var 4500 tonn. a) Hvor mange prosent minket utslippene fra 1976 til 1985?

Fra 1970 til 1976 var det en nedgang i fosforutslipp pa˚ 19; 1%. b) Hvor store var utslippene i 1970? I 1985 fordelte utslippene seg slik: – fra boliger: 2500 tonn – fra industri og landbruk: 500 tonn – fra naturen selv: 1500 tonn Vi tenker oss at utslippene fra boliger kan halveres fra 1985 til 1990, mens de andre utslippene er konstante. c) Hvor mange prosent vil det totale utslippet ga˚ ned i denne perioden?

Oppgave 1.194 I juli 1986 var OPEC-landenes oljeproduksjon 20;5 millioner fat i døgnet. Av denne produksjonen stod Irak for 1; 9 millioner fat. Alle land bortsett fra Irak ble enige om a˚ redusere produksjonen med 20 %. Irak holdt produksjonen pa˚ samme niva˚ som før. a) Hvor stor ble den nye samlede døgnproduksjonen for OPEC-landene? b) Hvor mange prosent falt den samlede døgnproduksjonen?

Før reduksjonen var oljeprisen 9;8 dollar per fat. Etter reduksjonen steg prisen til 15;2 dollar per fat. c) Hvor mange prosent steg da Iraks oljeinntekter? d) Finn prosentvis endring i de samlede oljeinntektene for OPEC-landene ved denne nedgangen i produksjonen. Oppgave 1.195 Sommeren 1983 undersøkte Norges Automobilforbund hvordan prisene pa˚ reservedeler varierte hos forhandlerne. a) Hos en forhandler kostet en bestemt reservedel 210 kroner. Hos en annen forhandler var den samme delen 21 % dyrere. Hvor mye kostet delen hos denne forhandleren?

b) Hos forhandler A kostet bremseskiva til en bestemt bil 349 kroner. Den samme bremseskiva ma˚tte en betale 836 kroner for hos forhandler B. Hvor mange prosent dyrere var bremseskiva hos forhandler B enn hos A? Oppgave 1.196 Etter a˚ ha fa˚tt tillegg i lønna to ganger hadde Anne en ma˚nedslønn pa˚ 4620 kroner. Det første tillegget i lønna var pa˚ 200 kroner, mens det andre utgjorde 5 % av ma˚nedslønna etter det første tillegget. Regn ut hvor stor ma˚nedslønn Anne hadde like før hun fikk det første tillegget i lønna. Oppgave 1.197 (Nasjonal prøve) Finn tallet som passer til denne beskrivelsen: – Tallet er mindre enn 30. – Faktoriserer du tallet ved hjelp av bare primtall, blir faktorene bare 3-tall og 2-tall. – Hvis du legger sammen sifrene i tallet, fa˚r du et kvadrattall. Hvilket tall er det? Øvingsoppgaver

53


Oppgave 1.198 (PISA 2000) n=1

xxx x x xxx x

Oppgave 1.199 (PISA 2000) n=2

n=3

x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x xxx

xxxxx x x x x x x xxxxx

= nåletrær = epletrær

En bonde planter epletrær i et kvadratisk mønster. For a˚ beskytte trærne mot vind planter han na˚letrær rundt frukthagen. Nedenfor ser du et diagram som viser mønsteret av epletrær og na˚letrær for ulike antall rader (n) av epletrær. a) Fullfør tabellen: n

Antall epletrær

Antall nåletrær

1

1

8

2

4

3 4 5

b) Det er to formler du kan bruke for a˚ regne ut antall epletrær og antall na˚letrær i mønsteret som er beskrevet foran:

Denne grafen viser hvordan farten til en racerbil varierer i den andre runden av en flat bane pa˚ 3 kilometer. a) Hvor stor er den omtrentlige avstanden fra startstreken til begynnelsen av den lengste rette strekningen pa˚ banen? b) Hvor ble den laveste farten ma˚lt i den andre runden? c) Hva kan du si om farten til bilen mellom 2;6 km- og 2;8 km-merkene? A Farten til bilen er konstant. B Farten til bilen øker. C Farten til bilen minker. D Farten til bilen kan ikke bestemmes ut fra grafen. d) Her er figurer av fem baner:

antall epletrær ¼ n

2

antall n˚aletrær ¼ 8n

S

der n er antall rader av epletrær.

B

S A

Det finnes en verdi av n der antallet epletrær er lik antallet na˚letrær. Finn denne verdien av n og vis utregningene dine.

C

S

D

S

c) Tenk deg at bonden vil lage en mye større frukthage med mange rader av trær. Na˚r han gjør frukthagen større, hva øker da raskest: antall epletrær eller antall na˚letrær? Forklar hvordan du kom fram til svaret.

54

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

s: startpunkt

S

E

Langs hvilken av disse banene ble bilen kjørt for a˚ lage fartsgrafen som er vist foran?


Oppgave 1.200 (TIMSS 2003) Pa˚ en forestilling var 3=25 av tilskuerne barn. Hvor mange prosent av tilskuerne utgjorde det?

Oppgave 1.201 (TIMSS 2003) En ny motorvei reduserer den gjennomsnittlige reisetida mellom to byer fra 25 minutter til 20 minutter. Hvor mange prosent ga˚r reisetida mellom de to byene ned?

Oppgave 1.206 (TIMSS 2003)

Figurene nedenfor er bygd opp av fyrstikker etter et mønster.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Oppgave 1.202 (TIMSS 2003) En lærer og en lege har 45 bøker hver. Na˚r 4=5 av lærerens bøker og 2=3 av legens bøker er romaner, hvor mange flere romaner har da læreren enn legen?

Oppgave 1.203 (TIMSS 2003)

John og Carina ble bedt om a˚ dele et tall med 100. Ved en feil ganget John tallet med 100 og fikk svaret 450. Carina delte helt riktig tallet med 100. Hva ble svaret hennes?

Hvor mange fyrstikker trenger vi til den tiende figuren dersom mønsteret fortsetter?

Oppgave 1.207 (TIMSS 2003)

Geir har dobbelt sa˚ mange bøker som Bjørn. Cato har seks bøker mer enn Bjørn. Dersom Bjørn har x bøker, hvilket uttrykk nedenfor viser hvor mange bøker de tre guttene har til sammen? a) 3x þ 6

b) 3x þ 8

c) 4x þ 6

d) 5x þ 6

e) 8x þ 2 Oppgave 1.204 (TIMSS 2003) Bensintanken pa˚ en bil rommer 45 l. For hver 100 km som bilen kjører, bruker den 8;5 l bensin. Ved starten pa˚ en 350 km lang tur er tanken full. Hvor mange liter bensin var det igjen i tanken da turen var slutt?

Oppgave 1.205 (TIMSS 2003) En dataklubb hadde 40 medlemmer, og av dem var 60 % jenter. Seinere ble 10 gutter med i klubben. Hvor mange prosent av medlemmene er na˚ jenter?

Oppgave 1.208 (TIMSS 2003)

Hvilket alternativ er korrekt na˚r L ¼ 4, K ¼ 6 og M ¼ 24? M K c) L ¼ KM a) L ¼

K M d) L ¼ K þ M b) L ¼

e) L ¼ M  K

Øvingsoppgaver

55


Oppgave 1.209 (TIMSS 2003)

Oppgave 1.213 (TIMMS 1995)

De tre figurene nedenfor er delt inn i sma˚, like trekanter.

Børre skal finne tre hele tall som følger etter hverandre na˚r summen av de tre tallene er 81. Han skrev denne likningen:

1 1

5

4

Figur 1

Hva sta˚r n for?

7 6

2

ðn  1Þ þ n þ ðn þ 1Þ ¼ 81

3 2

8

Figur 2

Figur 3

a) Fullfør tabellen nedenfor. Fyll først ut hvor mange sma˚ trekanter det er pa˚ figur 3. Finn sa˚ hvor mange sma˚ trekanter det vil være pa˚ figur 4 hvis rekka fortsetter. Figur

Antall små trekanter

1

2

2

8

b) Rekka fortsetter til figur 7. Hvor mange sma˚ trekanter er det pa˚ figur 7? c) Rekka med figurer fortsetter til figur 50. Forklar uten a˚ tegne og telle hvordan vi kan finne antall trekanter pa˚ figur 50. Oppgave 1.210 (TIMMS 1995) For a˚ lage maling med en spesiell farge blander Arne 5 liter rødmaling, 2 liter bla˚maling og 2 liter gulmaling. Hva er forholdet mellom volumet av rødmalingen og volumet av hele blandingen? Oppgave 1.211 (TIMMS 1995)

I en klasse er det 28 elever. Forholdet mellom antall jenter og antall gutter er 4 : 3. Hvor mange jenter er det i klassen? Oppgave 1.212 (TIMMS 1995) I to grupper med turister var det 60 personer i hver gruppe. 3=4 av den første gruppa og 2=3 av den andre gruppa reiste videre til et museum. Hvor mange flere personer fra den første gruppa enn fra den andre gruppa reiste videre?

56

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

RUNDT OSS

Oppgave 1.214 (TIMMS 1995) Eksperter sier at i 25 % av alle alvorlige sykkelulykker fa˚r syklisten hodeskader, og av alle hodeskadene er 80 % dødstruende. Hvor stor prosent av alle alvorlige sykkelulykker fører til dødstruende hodeskader?

Oppgave 1.215 (TIMMS 1995) Fra et parti med 3000 lyspærer ble 100 pærer plukket ut tilfeldig for a˚ testes. En fant at fem av disse pærene var ubrukelige. Hvor mange lyspærer av hele partiet kan en regne med er ubrukelige?

Oppgave 1.216 (TIMMS 1995) Søstrene Bjørklund kom med pa˚standene nedenfor. Hvis Vera fortalte sannheten, hvem av de andre fortalte da ogsa˚ sannheten?

Lill:

«Dersom teppet er i bilen, er det ikke i garasjen.» Silje: «Dersom teppet ikke er i bilen, er det i garasjen.» Vera: «Dersom teppet er i garasjen, er det i bilen.» Klara: «Dersom teppet ikke er i bilen, er det ikke i garasjen.»

Oppgave 1.217 (Nasjonal prøve) Pa˚ Harda˚s skole skal 24 elever deles inn i grupper pa˚ enten tre, fire eller fem elever. Det skal være minst e´n gruppe av hver størrelse. Hvor mange ulike kombinasjoner av gruppestørrelser er det mulig a˚ lage med disse 24 elevene?


Oppgave 1.218 (Nasjonal prøve, litt endret)

Oppgave 1.222 (Nasjonal prøve)

Skriv et regneuttrykk som passer til hver av oppgavene nedenfor: a) Prisen pa˚ pærer er 12;90 kr=kg. Hvor mye koster 2;6 kg? b) Morten kjøper sma˚godt til 7;60 kr=hg. Hvor mye fa˚r han for 36 kroner? c) 1 kg pølser koster 79;90 kroner. Hvor mye koster 0;68 kg?

a) Skriv 1=8 som prosenttall. b) Skriv 0;373 som brøk. c) Skriv 8;3 % som desimaltall.

Oppgave 1.219 (Nasjonal prøve)

– Merke C: 250 g kakao til 13;90 kroner

Sett inn det som mangler i tabellrutene: a

b

2a þ b

a b

2b  a

2

3

7

12

4

4

Oppgave 1.223 (Nasjonal prøve) Kakao selges i ulike pakninger til ulik pris. Nadia fant ut at hun hadde disse valgene: – Merke A: 450 g kakao til 34;90 kroner – Merke B: 96 g kakao til 11;90 kroner

2

9 10

5

Oppgave 1.220 (Nasjonal prøve)

Et tall er skrevet med fire siffer. Du fa˚r disse opplysningene om sifrene: – Det første sifferet er et primtall som er mindre enn 6. – Det andre sifferet er et oddetall som er mindre enn det første sifferet. – Det tredje sifferet er lik summen av de to første sifrene. – Det fjerde sifferet er et partall som er mindre enn det tredje sifferet.

Hvilket merke bør hun kjøpe for a˚ fa˚ mest for pengene? Oppgave 1.224 (Eksamen 2P V2008)

Formelen E ¼ ðP þ KÞ  4 þ F  9 gir energiinnholdet E i appelsinjuice ma˚lt i kilokalorier (kcal). P er antall gram proteiner, K er antall gram karbohydrater, og F er antall gram fett. Siri har kjøpt en kartong med appelsinjuice. Pa˚ kartongen finner hun denne informasjonen:

Næringsinnhold per 100 g Energi: Proteiner: Karbohydrater: Fett:

46,2 kcal 0,7 g 10,4 g g

Finn tre tall som kan være løsninger til oppgaven. Oppgave 1.221 (Nasjonal prøve) a) Hvis a þ b ¼ 27, sa˚ blir a þ b þ 2 ¼ . . . b) Hvis e þ f ¼ 8, sa˚ blir e þ f þ g ¼ . . .

En flekk dekker det siste tallet. Derfor klarer ikke Siri a˚ se hvor mange gram fett det er per 100 g juice. Bruk opplysningene ovenfor til a˚ finne ut hvilket tall som skjuler seg under flekken.

Øvingsoppgaver

57


Oppgave 1.225 (Eksempeloppgave 2P, litt endret. H2007).

Oppgave 1.227 (Eksempeloppgave 2P H2007)

a) Gjør et overslag: 63 023 101  699

Det nærmer seg jul. Line, Wei og Siri tar en runde pa˚ kjøpesenteret for a˚ handle. I en av butikkene er det salg. Alle varer er satt ned 30 %. a) Hvor mye koster en genser pa˚ salg na˚r den ordinære prisen var 600 kr?

b) Vi har gitt formelen 1 s ¼ at 2 2 Regn ut a na˚r s ¼ 500 og t ¼ 10.

I en annen butikk finner de en drill som koster 950 kr medregnet merverdiavgift (mva). b) Finn prisen uten mva. Sett merverdiavgiften til 25 %.

c) Hvor mye er 3 dividert med 1=2? d) Per kjøper 17 skruer a 11;70 kr og 17 muttere a 8;20 kr. Hvor mye betaler han? e) Siri skal blande saftkonsentrat og vann i forholdet 1 : 4. Hun ønsker a˚ lage 1 liter ferdig saftblanding. Skal hun da blande 2;5 dl saftkonsentrat og 7;5 dl vann? Begrunn svaret.

1,0

Et tall x ligger mellom b og d slik at avstanden fra x til b er seks ganger sa˚ stor som avstanden fra x til d. c) Forklar at x oppfyller likningen x  0;54 ¼ 6  ð1;45  xÞ Finn x ved a˚ løse likningen.

Kapittel 1 | MATEMATIKKEN

r ndere ret) a p s i (V pa igste l e m i et r

2,0

Figuren viser en del av en tallinje. Vi ser ogsa˚ fire piler som peker opp mot tallene a ¼ 5=4, b ¼ 0;54, c ¼ 4=5 og d ¼ 1;45. a) Tegn tallinja og de fire pilene pa˚ et ruteark. Sett a, b, c og d ved pilene der de hører hjemme. Forklar hvordan du kom fram til løsningen. b) Finn tallet som ligger midt mellom b og 1.

58

Tilbud! Ta tre par sko, betal for to!

Oppgave 1.226 (Eksempeloppgave 2P H2007) 0

I en skobutikk finner de dette tilbudet:

RUNDT OSS

d

Jentene bestemmer seg for a˚ kjøpe hvert sitt skopar. Wei finner et par støvletter som opprinnelig kostet 899 kr. Line ønsker seg nye joggesko. De kostet i utgangspunktet 599 kr. Siri finner noen sandaler med en prislapp pa˚ 499 kr. c) Hvor mye ma˚ de betale for alle tre parene til sammen? d) De blir enige om a˚ fordele beløpet slik at hver av dem fa˚r samme prosentvise avslag pa˚ skoene. Hvor mye ma˚ da hver av dem betale?


Oppgave 1.228 (Eksempeloppgave 2P V2007) Peter er 17 a˚r og ga˚r pa˚ Vg1 studiespesialisering. Han har dyre hobbyer og stort forbruk og har derfor lyst pa˚ en ekstrajobb etter skoletid. Det er lett a˚ fa˚ jobb som telefonselger, og han har skaffet seg informasjon om lønnsvilka˚rene ved tre forskjellige firmaer:

Firma 1: fast timelønn p˚a 104 kr Firma 2: fast timelønn p˚a 90 kr og 4,00 kr per solgt enhet Firma 3: fast timelønn p˚a 95 kr og 3,50 kr per solgt enhet a) Hvor mye tjener Peter pa˚ a˚ jobbe ti timer og selge 20 enheter i de ulike firmaene? b) Hvor mye tjener han dersom han selger 110 enheter pa˚ ti timer? c) Peter betaler 8;5 % i skatt. Hvor mye fa˚r han utbetalt dersom han tjener 5200 kr en ma˚ned? d) Han ønsker a˚ arbeide ti timer i uka. Finn hvor mange produkter han ma˚ selge i løpet av uka for at firma 3 skal være det mest lønnsomme alternativet.

Oppgave 1.230 (Eksamen 1P V2011) Ha˚rsprayen «Hard Head» selges i tre ulike størrelser. Størrelsen pa˚ sprayboksene er: «Biggie» 600 ml, «Normal» 400 ml og «Mini» 100 ml. En sprayboks med 400 ml ha˚rspray koster 140 kr. Hvor mye skulle «Biggie» og «Mini» kostet dersom pris og milliliter hadde vært proporsjonale størrelser? Oppgave 1.231 (Eksamen 1P V2011) Et varehus selges i to forskjellige butikker. Prisen er den samme i begge butikkene. I butikk A settes prisen opp med 20 %. I butikk B settes prisen først opp med 10 % og sa˚ etter noen dager med 10 % til. Marit pa˚sta˚r at prisen da fortsatt er den samme i begge butikkene. Forklar Marit hvorfor dette ikke er riktig. Bruk gjerne et eksempel na˚r du forklarer.

Oppgave 1.229 (Eksamen 1P V2012)

En bil koster 250 000 kr. Bilens verdi avtar med 15 % per a˚r. Forklar hvilket av regnestykkene nedenfor som kan brukes til a˚ finne hvor mye bilen er verdt etter ti a˚r. 250 000  15 1 250 000  10  100 2 250 000  0;1510 3 250 000  0;8510

Øvingsoppgaver

59


800

Diofantos fra Alexandria (ca. 300 e.Kr.) var den første som brukte symboler for den ukjente.

1000 1000

1200 1200

Luca Pacioli (ca. 1445–1515) skrev om proporsjonalitet i boka Divina Proportione i 1509. Leonardo da Vinci, som var Paciolis elev i matematikk, illustrerte boka.

1400 1 1400


1600 1 1600

1800 1800

2000 2 2000

Peter Gustav Dirichlet (1805–1859) introduserte den definisjonen av funksjoner som vi fortsatt bruker i dag.

René Descartes (1596–1650) innførte koordinatsystemet ved tegning av grafer.

Thomas Malthus (1766–1834) hevdet at befolkningsveksten øker eksponentielt, mens matproduksjonen øker lineært.

2

Funksjoner og grafiske framstillinger

FUNKSJONER

2

OG GRAFISKE FRAMSTILLIN-

I historisk sammenheng er den engelske presten og sosialøkonomen Thomas Malthus (1766–1834) kjent for sine teorier om befolkningsvekst og matproduksjon. Han hevdet at dersom det ikke var matmangel eller andre begrensninger, ville folketallet øke med en fast årlig prosent. Jo flere mennesker som lever, desto flere barn blir født. Den årlige økningen blir større etter hvert. Malthus hevdet at matproduksjonen ikke kunne øke så raskt. I det heldigste tilfellet kunne matproduksjonen øke med en fast mengde per år. Det vil si at matproduksjonen øker lineært, mens folketallet øker eksponentielt. Ut fra disse vurderingene mente Malthus at dersom menneskene ikke greide å styre befolkningsutviklingen, ville sultkatastrofer og sykdommer bli naturens svar for å få til en reduksjon av folketilveksten. «Naturen har en viss bæreevne som vi må innrette oss etter,» sa han.

GER

Kompetansemål Eleven skal kunne • behandle proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser i praktiske sammenhenger • gjøre rede for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler, også digitalt • oversette mellom ulike representasjoner av funksjoner • undersøke funksjoner som beskriver praktiske situasjoner, ved å fastsette nullpunkter, ekstremalpunkter og skjæringspunkter, og tolke den praktiske verdien av resultatene


2.1

Grafisk presentasjon – hvilken framstilling er best?

Du skal lære – å lage grafiske presentasjoner for å sammenlikne og analysere datasett – å vurdere hva som er hensiktsmessig framstillingsform for et gitt datamateriale

Pa˚ fjernsyn, i lærebøker og i aviser er det ofte tabeller og grafiske framstillinger. Slike framstillinger gir oss lesere et seriøst inntrykk. Seinere skal vi se at dette inntrykket ikke alltid er riktig.

EKSEMPEL 1 Linjediagram Antallet bredba˚ndsabonnementer har økt kraftig. Her er tallene for a˚rene 20012004:

antall bredbåndsabonnementer 500 000

År

2001

2002

2003

2004

400 000

Antall

40 000

140 000

280 000

520 000

300 000

Vi ønsker a˚ framstille dette pa˚ et linjediagram. Da tegner vi inn punktene og trekker opp linjestykker som vist pa˚ figuren. Linjediagrammer blir ofte brukt na˚r vi skal vise utvikling over tid.

200 000 100 000 2001 2002 2003 2004 år

EKSEMPEL 2 Søylediagram Den neste illustrasjonen vi skal vise, er et søylediagram (stolpediagram). Vi velger søylediagram til a˚ framstille den a˚rlige nedbørsmengden i de tre største norske byene: Nedbør=mm

2000 1500

Oslo

725

Bergen

2630

1000

Trondheim

899

500

Tallmaterialet i eksempel 1 var ordnet etter a˚rstall. Her er rekkefølgen likegyldig. Da blir det ofte mer oversiktlig na˚r vi sorterer dataene etter stigende eller fallende verdier. Søylene pa˚ søylediagrammet i margen er satt opp etter avtakende nedbørsmengde.

62

nedbør i mm 2500

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

Bergen

Trondheim

Oslo


EKSEMPEL 3 Sektordiagram Sektordiagrammer er en annen ma˚te a˚ presentere tallmaterialer pa˚ der rekkefølgen er likegyldig. Vi illustrerer det med en skole som har kartlagt hvordan elevene kommer seg til skolen. Tabellen viser resultatet.

Reisemåte

Gå, sykle

Buss, tog

Moped, bil

Prosent

21 %

63 %

16 %





57,6

Sektor

75,6

Vi skal forklare hvordan vi har regnet ut gradtallet til sektorene. «Det hele» er her summen av prosentene, som er 100 %. Dette skal svare til hele sirkelen pa˚ 360 . For a˚ finne gradtallet til hver sektor regner vi ut hvor stor del sektoren utgjør av det hele. Gradtallet for a˚ ga˚ eller sykle finner vi da slik:

226,8

Buss/tog 63 %

del 21 %  360 ¼  360 ¼ 75;6 det hele 100 % Et sektordiagram viser forholdet mellom enkeltverdier og helheten, men blir fort uoversiktlig dersom det er mange kategorier.

Moped/bil 16 % Gå/sykle 21 %

EKSEMPEL 4 kg/år

Flere datasett Det hender at vi ønsker a˚ framstille flere datasett pa˚ samme figur. Vi skal illustrere det med en undersøkelse om husholdningsavfall. Til høyre ser du hvordan vi har valgt a˚ illustrere tabellen nedenfor.

400 300 200

Husholdningsavfall, kg per innbygger

Husholdningsavfall i alt Av dette til gjenvinning

I alt Til gjenvinning

2000

2001

2002

2003

324 130

335 148

354 161

365 167

100

2000 2001 2002 2003 år

Kilde: Statistisk sentralbyrå

AKTIVITETER Oppgave 2.2 a) Lite

Oppgave 2.1 År

1983

1987

1992

1997

2003

Leilighet

6 000

10 800

9 700

13 600

26 900

Enebolig

6 000

8 900

6 400

10 700

19 800

Tabellen viser gjennomsnittlig kvadratmeterpris for selveierleiligheter og eneboliger i Osloomra˚det. Prisene er i kroner per kvadratmeter. Framstill tallmaterialet grafisk ved a˚ lage a) et søylediagram med to søyler per a˚r b) to linjediagrammer pa˚ samme figur

Elever

170

Middels

Mye

230

84

Tabellen viser resultatet av en undersøkelse over hvor mange elever som daglig leser lekser lite, middels eller mye. Lag et sektordiagram. b)

Lite

Middels

Mye

Jenter

67

109

62

Gutter

103

121

22

Her er tabellen delt opp i jenter og gutter. Velg selv hvordan du vil illustrere tabellen na˚.

Grafisk presentasjon – hvilken framstilling er best?

63


2.2

Grafiske framstillinger kan «lyve», så pass på!

Du skal lære – å være kritisk til framstillinger av data

Grafiske framstillinger gjør det ofte enklere a˚ fa˚ oversikt over innholdet. Men vi ma˚ være klar over at slik informasjon kan «lyve». Vi ma˚ derfor vurdere informasjonen kritisk. Na˚r vi sier at bildet kan lyge, mener vi at bildet gir et galt inntrykk av de tallene bildet skal illustrere. Det er ikke alltid meningen «a˚ lure oss», men virkningen pa˚ oss som leser bildet, blir feil. Nedenfor skal vi ta for oss noen av de vanligste «feilene» som blir gjort. I oppgavene til dette avsnittet skal du selv tegne de «riktige» illustrasjonene.

EKSEMPEL 5 Figuren viser hvordan en selger valgte a˚ presentere salget sitt de fire første ma˚nedene i 2006. Kommenter presentasjonen.

kroner 130 000 120 000

Løsning: Dersom selgeren ikke hadde kuttet y-aksen, ville det vært liten forskjell pa˚ søylehøydene. Slik han presenterer materialet, virker det som om salget ble fordoblet fra januar til februar. Dette var nok en bevisst «løgn» med tanke pa˚ a˚ gi inntrykk av stor framgang.

100 000 Jan. Feb. Mars April

EKSEMPEL 6 Figuren viser de tre største idrettene i Norge i 2004. Kommenter den visuelle framstillingen av medlemstallene. Løsning: Medlemstallene er illustrert med personer. Personenes høyde ser ut til a˚ stemme innbyrdes. Fotballspilleren er over dobbelt sa˚ høy som skiløperen, fordi det var mer enn dobbelt sa˚ mange fotballspillere som skiløpere. Likevel virker fotballspilleren altfor stor. Grunnen til det er at na˚r figuren blir forstørret pa˚ denne ma˚ten, blir den ogsa˚ bredere. Na˚r vi sammenlikner figurene, vil vi automatisk vurdere arealene mot hverandre, og det blir galt. Arealet av fotballspilleren er jo over fire ganger sa˚ stort som arealet av skiløperen.

64

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

Golf Ski 123 392 152 484

Fotball 393 709


EKSEMPEL 7 Grafiske framstillinger forekommer ofte i aviser og reklame. Av og til er de laget for a˚ poengtere en overskrift eller en pa˚stand. I slike tilfeller blir sammenhengene ofte overdrevet. I framstillingen av formkurven til Rosenborg er det brukt mange effekter. Tidsskalaen er ujevn, og verdiaksen er kuttet. Datagrunnlaget for figuren er uklart.

Kilde: Adresseavisen 23.4.2005

EKSEMPEL 8 I eksempel 5 mente vi at det var galt a˚ framheve forskjeller for sterkt. Men noen ganger kan det være riktig a˚ framheve sma˚ forskjeller.

Oljepris siste 3 mnd.

En liten endring i oljeprisen har stor betydning for Norges inntekter. En prisforskjell pa˚ 10 $ har stor virkning for landet. Sett pa˚ den ma˚ten kan det være riktig a˚ kutte aksen slik det er gjort pa˚ figuren. Det hender at vi bare blir presentert for en del av figuren eller datamaterialet. Det skjer for a˚ framheve eller skjule en utvikling. Studer figuren. Tenk deg at vi viser prisutviklingen bare fra desember til januar. Hva slags inntrykk fa˚r du da av utviklingen i oljeprisen?

17%

65

-1%

55

Des.

Kilde: Oslo Børs

2006

Feb.

AKTIVITETER Oppgave 2.3 Tegn søylediagrammet i eksempel 5 uten a˚ kutte y-aksen. Hva vil du si om forskjellen na˚? Oppgave 2.4 I eksempel 6 kan det være naturlig a˚ illustrere forholdet mellom idrettene med et sektordiagram. Lag dette sektordiagrammet. Oppgave 2.5 a) Hva forteller figuren i eksempel 7? b) Diskuter datagrunnlaget. Hvordan tror du en har kommet fram til tallene? c) Lag en figur med riktig tidsskala og uten aksebrudd.

Oppgave 2.6

SEK siste 3 mnd.

-0,9%

122,0

-4,2%

118,0

-7,4%

114,0

Des.

2006

Feb.

Kilde: Oslo Børs

Hvilke effekter er brukt pa˚ denne figuren? Hvorfor kan vi forsvare denne framstillingen?

Grafiske framstillinger kan «lyve», så pass på!

65


2.3

Punkter og grafer i koordinatsystemet – litt repetisjon

Du skal lære – å tegne punkter i koordinatsystemet – vise sammenhengen mellom to størrelser ved å tegne en graf

Du har tegnet punkter og grafer i koordinatsystemet allerede i grunnskolen. Her skal vi repetere noe av det viktigste du fa˚r bruk for seinere i kapitlet.

EKSEMPEL 9 Tegn disse punktene i et koordinatsystem: A ð2, 3Þ; B ð2, 2Þ; C ð1; 2Þ; D ð0; 3Þ; E ð1, 0Þ; F ð0, 0Þ Løsning: Vi kommenterer hvert punkt for seg.

y

Punktet A ð2, 3Þ er bestemt av linja ut fra 2 pa˚ x-aksen og linja ut fra 3 pa˚ y-aksen. Vi fa˚r punktet A, som er tegnet pa˚ figuren.

A (2, 3)

3 B (–2, 2)

For a˚ finne hvor punktet B ð2, 2Þ skal være, tegner vi en linje ut fra 2 pa˚ x-aksen og en linje ut fra 2 pa˚ y-aksen. Der disse linjene skjærer hverandre, finner vi punktet B.

2 1 E (–1, 0)

–3

–2

F (0, 0)

–1

1

2

3

–1

Na˚ forsta˚r du sikkert hvordan vi har tegnet punktet C ð1; 2Þ.

C (1, –2)

–2

Punktet D ð0; 3Þ er kanskje litt vanskeligere. Her vet vi at x ¼ 0. Altsa˚ ligger punktet pa˚ y-aksen. Siden y-verdien skal være 3, er punkt D bestemt.

–3

D (0, –3)

Na˚r det gjelder punktet E ð1, 0Þ, vet vi at y ¼ 0. Altsa˚ skal punktet ligge pa˚ x-aksen. Siden x-verdien skal være 1, er punkt E bestemt. Punktet F ð0, 0Þ ligger i origo.

EKSEMPEL 10 Tabellen viser hvordan temperaturen y  C varierer gjennom et vinterdøgn. Her er x antall timer regnet fra midnatt. x, timer

00

02

04

06

08

10

12

14

16

18

20

22

24



2,0

3,5

4,0

3,5

2,2

0,5

1,2

2,6

3,0

2,5

1,5

0,0

2,0

y, C

66

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

x


Temperaturen endrer seg jevnt gjennom døgnet. Na˚r vi skal tegne grafen gjennom punktene fra tabellen, bruker vi derfor ikke linjestykker slik vi gjorde med linjediagrammene. Vi tegner en avrundet, glatt kurve som vist pa˚ figuren. Na˚r vi har tegnet grafen, kan vi lese av svarene pa˚ mange spørsma˚l. Vi leser av at den høyeste temperaturen er 3;0  C. Det skjer kl. 16.00.

y 3

Den laveste temperaturen er 4;0  C, som vi har kl. 4.00.

2

Hva er temperaturen kl. 9.00? Avlesing viser at temperaturen da er ca. 1;3  C.

°C

1 2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

timer x 24

−1 −2 

Na˚r pa˚ dagen er temperaturen 2;0 C? Avlesing viser at det skjer ved to tidspunkter, kl. 13.00 og kl. 19.00.

−3 −4

AKTIVITETER Oppgave 2.7 Tegn disse punktene i et koordinatsystem:

Paroppgave 2.10 Samarbeid med en annen elev:

A ð1, 4Þ, D ð2, 0Þ,

a) Lag først et mønster i koordinatsystemet hver for dere. Skriv punktene pa˚ koordinatform. b) Gi hverandre koordinatene til punktene og tegn sa˚ hverandres mønster.

B ð2, 2Þ, E ð0; 3Þ

C ð3, 1Þ,

Oppgave 2.8 2

y

A

1 C E –2 B

x –1

1

2

–1 F –2

Oppgave 2.11 Tegn punktene A ð1, 3Þ, B ð0; 1Þ og C ð2, 3Þ i et koordinatsystem. Hva er spesielt med punktene?

D

Les av koordinatene til punktene pa˚ figuren. Oppgave 2.9 Tegn punktene nedenfor i et koordinatsystem og trekk en linje gjennom dem uten a˚ løfte blyanten. Hva slags figur fa˚r du? ð6, 0Þ, ð4, 2Þ, ð2, 4Þ, ð0, 6Þ, ð2, 4Þ, ð4, 2Þ, ð6, 0Þ, ð4, 2Þ, ð2, 4Þ, ð0; 6Þ, ð2; 4Þ, ð4; 2Þ, ð6, 0Þ

Oppgave 2.12 Tabellen viser stopplengden y meter for en bil som har farten x kilometer i timen: x

0

20

40

60

80

100

y

0

8,5

21,5

39,5

62,5

90,0

a) Tegn grafen som viser hvordan stopplengden øker med farten. Bruk 10 som enhet langs begge aksene. b) Hva blir stopplengden na˚r farten er 75 km=h? c) Hvor stor var farten na˚r stopplengden er 72 m?

Punkter og grafer i koordinatsystemet – litt repetisjon

67


2.4

Rett linje – grafen til lineære funksjoner

Du skal lære – å lage tabell og tegne rette linjer – å se sammenhengen mellom graf og uttrykk for rette linjer

Du har lært a˚ tegne grafen til lineære funksjoner pa˚ ungdomsskolen. Na˚ repeterer vi hvordan vi kan ga˚ fram for a˚ tegne rette linjer. Vi viser ogsa˚ hvordan vi kan tegne linja uten a˚ lage tabell.

y

5 4 3

Vi skal tegne den rette linja y ¼ 2x þ 1.

y = 2x + 1

2

Vi lager tabell ved a˚ regne ut hva y blir for tre verdier av x. 1

Dersom vi velger tallene 0, 1 og 2, blir regningen slik: x¼0

gir

y¼20þ1¼0þ1¼1

x¼1

gir

y¼21þ1¼2þ1¼3

x¼2

gir

y¼22þ1¼4þ1¼5

Vi setter inn verdiene av x og y i en tabell og tegner linja.

–1

2 x

1 –1

x

0

1

2

y

1

3

5

EKSEMPEL 11 I det øverste koordinatsystemet har vi tegnet grafene til funksjonene y ¼ 2x þ 3, y ¼ 2x þ 1, y ¼ 2x

y = 2x + 3 y

Linjene i det nederste koordinatsystemet er grafene til funksjonene y ¼ 0;5x þ 1, y ¼ x þ 1, y ¼ 2x þ 1

y = 2x

3

a) Hva er likt for grafene i det øverste koordinatsystemet? b) Hva er likt for grafene i det nederste koordinatsystemet? c) Hva er forskjellig for grafene i hvert av de to tilfellene? Løsning: a) De tre rette linjene i det øverste koordinatsystemet er parallelle. Det er fordi de har samme tall foran x. Her er det tallet 2. Na˚r vi er pa˚ en av linjene og ga˚r 1 til høyre, ma˚ vi ga˚ 2 opp for a˚ havne pa˚ linja igjen. Vi sier at tallet 2 er stigningstallet til linjene.

y = 2x + 1

4

2 1 –1

2 x

1 –1

b) De tre rette linjene i det nederste koordinatsystemet krysser y-aksen pa˚ samme sted. Det er fordi de har samme tall som sta˚r alene. Her er det tallet 1. Tallet 1 kaller vi konstantleddet til de rette linjene.

y 3 2

c) Funksjonene pa˚ den øverste figuren har ulike konstantledd. Derfor skjærer de y-aksen i verdiene 3, 1 og 0. Legg merke til at konstantleddet til y ¼ 2x er 0. Denne linja ga˚r gjennom origo. Linjene pa˚ den nederste figuren har ulike stigningstall. Disse linjene er derfor ikke parallelle. Alle stigningstallene er negative, og derfor faller alle linjene mot høyre.

68

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

1 –1

y = –0, 5x + 1 1

–1

2 x

y = –x + 1 y = –2 x + 1


Vi skal summere opp det vi fant i eksempel 11.

LINEÆR

– En rett linje er pa˚ formen y ¼ ax þ b.

FUNKSJON

y = ax + b

y

– Tallet a foran x er stigningstallet. Det forteller hvor bratt linja stiger eller faller. Na˚r vi er pa˚ linja og øker x med 1, ma˚ vi øke y med a for a˚ komme pa˚ linja igjen.

a 1

b

– Er stigningstallet a positivt, stiger linja mot høyre. Linja faller mot høyre na˚r a er negativ.

x – Stigningstallet a forteller hvor bratt linja stiger eller faller. – Konstantleddet b forteller hvor linja skjærer y-aksen.

– To linjer med samme stigningstall er parallelle. – Tallet b sta˚r alene. Det er konstantleddet. Det forteller hvor linja skjærer y-aksen, det vil si hvor høyt linja ligger i koordinatsystemet. – To linjer med samme konstantledd skjærer y-aksen pa˚ samme sted.

EKSEMPEL 12 Tegn grafene til y ¼ 3x þ 2 og y ¼ x uten a˚ lage tabell. Løsning: Den lineære funksjonen y ¼ 3x þ 2 har konstantleddet 2. Derfor tegner vi et punkt i 2 pa˚ y-aksen.

y = 3x + 2

y

5 4

3 3

Stigningstallet er 3. Ut fra punktet pa˚ y-aksen tegner vi en vannrett pil med lengden 1 mot høyre. I enden av denne pila tegner vi en loddrett pil med lengden 3 oppover. Da har vi funnet et nytt punkt pa˚ linja.

2

1

1 –1

Na˚ har vi funnet to punkter og kan trekke opp linja. Linja y ¼ x mangler konstantledd. Da vet vi at b ¼ 0, det vil si at linja ga˚r gjennom origo. Stigningstallet er 1. Ut fra origo tegner vi en vannrett pil med lengden 1 mot høyre. I enden av denne pila tegner vi en loddrett pil med lengden 1 nedover. Sa˚ trekker vi opp linja.

2 x

1 1

–1

–1

y = –x

–2

AKTIVITETER Oppgave 2.13 Lag tabell for x ¼ 0, x ¼ 2 og x ¼ 4. Tegn linjene i det samme koordinatsystemet: a) y ¼ 2x  3 b) y ¼ 0;5x þ 1 c) y ¼ 0;75x

Oppgave 2.15

y

a)

3 2

b)

1

Oppgave 2.14 I denne oppgaven skal du arbeide med linjene

1: y ¼ 2x  1 3: y ¼ x  1

2: y ¼ x þ 3 4: y ¼ 2x þ 3

a) Hvilke av linjene er parallelle? b) Hvilke linjer skjærer y-aksen i samme punkt? c) Tegn linjene i det samme koordinatsystemet og kontroller at svarene i a og b stemmer.

–3

–2

–1

1

2

3

–1

x c)

–2 –3 d)

Finn funksjonsuttrykkene for linjene.

Rett linje – grafen til lineære funksjoner

69


2.5

Kostnader, inntekter og overskudd

Du skal lære – å løse praktiske lineære problemer grafisk og ved regning – hva vi mener med faste og variable kostnader, og å sette opp funksjonsuttrykk for kostnadene – om inntekts- og overskuddsfunksjoner – å tegne grafer til funksjoner som beskriver kostnader og inntekter

En bedrift produserer sykkelhjul. Bedriften har beregnet material- og lønnskostnadene til 26;50 kroner per hjul. I tillegg kommer utgifter til husleie og strøm pa˚ 1640 kroner per dag. De samlede materialkostnadene avhenger av antall sykkelhjul som blir produsert. Slike kostnader kaller vi variable kostnader. For x hjul er de variable kostnadene 26;50x kroner. I tillegg har bedriften 1640 kroner i faste kostnader. Dersom vi lar K være kostnaden i kroner for x hjul, har vi K ¼ 26;50x þ 1640.

KOSTNADSFUNKSJONER K ¼ 20x þ 2000 – 2000 er faste kostnader. – 20x er variable kostnader. – 20 er material- og lønnskostnader per enhet.

Bedriften selger sykkelhjulene for 49;90 kroner per stykk. Inntekten I i kroner for x hjul blir da I ¼ 49;90x.

INNTEKTSFUNKSJONER

Mye viktigere enn hva bedriften fa˚r per sykkelhjul na˚r de selger dem, er a˚ finne ut om bedriften ga˚r med overskudd eller underskudd. Overskuddet er det bedriften sitter igjen med etter a˚ ha regnet inntekter minus kostnader:

Varen blir solgt for 30 kroner per enhet.

– Na˚r inntekten I er større enn kostnaden K, har bedriften overskudd. – Na˚r kostnaden K er større enn inntekten I, har bedriften underskudd. Vi kan sette opp denne funksjonen for overskuddet O i kroner: O ¼ I  K ¼ 49;90x  ð26;50x þ 1640Þ ¼ 49;90x  26;50x  1640 ¼ 23;40x  1640

EKSEMPEL 13 Kostnaden K kroner ved produksjon av x juletrekuler per uke er K ¼ 2x þ 8000 a) Hvor store er de variable og de faste kostnadene ved en produksjon pa˚ x juletrekuler? b) Framstill K grafisk for x-verdier inntil 3000, som er det maksimale antallet juletrekuler bedriften regner med a˚ produsere pa˚ en uke. Juletrekulene blir solgt for 6 kroner per stykk. c) Tegn grafen til IðxÞ og finn grafisk om bedriften ga˚r med overskudd na˚r det blir produsert og solgt 1000 kuler. d) Finn grafisk og ved regning hvor mange juletrekuler som ma˚ produseres og selges en uke for at inntekten skal bli lik kostnaden. e) Na˚r ga˚r bedriften med overskudd?

70

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

I ¼ 30x

OVERSKUDDSFUNKSJONER O¼IK – Når inntekten er større enn kostnaden, er det overskudd. – Når kostnaden er større enn inntekten, er det underskudd.


Løsning: a) De faste kostnadene er 8000 kroner, samme hvor mange kuler som blir produsert en uke. Dersom det blir produsert x kuler, blir de variable kostnadene 2x kroner. b) Vi regner ut en tabell for x ¼ 0 og for x ¼ 3000 og tegner linja K ¼ 2x þ 8000 pa˚ figuren.

Antall kuler, x Kostnad i kroner, K

3 000

8000

14 000

0

18 000

Inntekt i kroner, I

c) Dersom det blir produsert x kuler, blir inntekten i kroner I ¼ 6x. Vi tegner linja i det samme koordinatsystemet. Na˚r det blir produsert og solgt 1000 kuler, leser vi av pa˚ figuren at inntekten er 6000 kroner, mens kostnaden er 10 000 kroner. Bedriften ga˚r 4000 kroner i underskudd.

0

kroner 20 000

ter

k nte

15 000

in

der

d) Inntekten er like stor som kostnaden der inntektsgrafen krysser kostnadsgrafen. Det bli da produsert og solgt 2000 juletrekuler.

kostna

10 000 5 000

kuler

Vi skal finne det samme svaret ved regning. Da setter vi inntektsfunksjonen lik kostnadsfunksjonen: I ¼ K,

dvs.

1000

2000

3000

6x ¼ 2x þ 8000

Vi løser likningen og finner at x ¼ 2000. e) Dersom bedriften skal ga˚ med overskudd, ma˚ inntektsgrafen ligge over kostnadsgrafen. Pa˚ figuren ser vi at det skjer til høyre for x ¼ 2000. Altsa˚ blir det overskudd na˚r bedriften produserer mer enn 2000 kuler.

AKTIVITETER Oppgave 2.16 Ved produksjon og salg av x sa˚pestykker om dagen regner en bedrift med disse kostnadene og inntektene i kroner:

K ¼ 8x þ 2000, I ¼ 16x a) Tegn grafene for verdier av x mellom 0 og 1000. b) Finn grafisk om det er overskudd en dag det blir produsert og solgt 100 sa˚pestykker. c) Finn grafisk og ved regning na˚r inntekten er lik kostnaden. d) Na˚r ga˚r bedriften med overskudd?

Oppgave 2.17 En nettbutikk tilbyr nedlasting av musikk. Du betaler e´n gang i ma˚neden, etterskuddsvis. Prisen for x nedlastede la˚ter er gitt ved

y ¼ 8x þ 80 a) Tegn grafen. La x ga˚ opp til 50 nedlastede la˚ter per ma˚ned. b) Hvor mange la˚ter fa˚r du for 250 kroner? c) Hva sta˚r tallet 80 for i uttrykket for y? d) Hva sta˚r stigningstallet 8 for i denne oppgaven?

e) Hvor store faste kostnader har bedriften? f) Hva er materialkostnadene for hvert sa˚pestykke? g) Til hvilken pris selger bedriften sa˚pestykkene?

Kostnader, inntekter og overskudd

71


2.6

Proporsjonale størrelser – endring i samme takt

Du skal lære – hva vi mener med proporsjonalitet, og hvordan formelen ser ut – å regne med størrelser som er proporsjonale – å framstille proporsjonale størrelser grafisk

Kari sykler gjennom Danmark og noterer hvor langt hun sykler i løpet av noen timer. Her er tabellen hun fikk: Timer, h

1

2

4

6

Kilometer, km

25

50

100

150

Ut fra tabellen ser vi at en dobling i antall timer gir en dobling i antall kilometer. Na˚r timetallet øker fire ganger, øker antall kilometer tilsvarende. To størrelser som vokser i samme takt, sier vi er proporsjonale. Pa˚ figuren har vi tegnet kurven gjennom punktene i tabellen. Vi ser at kurven er en rett linje gjennom origo. Det er et kjennetegn pa˚ at størrelsene er proporsjonale. Pa˚ denne kurven leser vi av at Kari sykler 75 kilometer pa˚ tre timer. Vi leser ogsa˚ av at Kari bruker fem timer pa˚ a˚ sykle 125 kilometer. Na˚r vi skal løse dette ved regning, ma˚ vi finne en sammenheng mellom de proporsjonale størrelsene. Vi lar da x være tida i timer og y være avstanden i kilometer. Sa˚ dividerer vi antall kilometer med antall timer: x, h

1

2

4

6

y, km

25

50

100

150

y , km=h x

25

25

25

25

y ¼ 25x

Vi har altsa˚ y ¼ 25x. Dette er kanskje det vanligste kjennetegnet pa˚ at to størrelser er proporsjonale, nemlig at vi har en lineær funksjon uten konstantledd. Na˚ kan vi svare pa˚ spørsma˚lene pa˚ forrige side med formelen y ¼ 25x. Hvor langt sykler Kari pa˚ tre timer? x¼3

gir

y ¼ 25  3 ¼ 75

Pa˚ tre timer sykler Kari 75 kilometer.

72

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

y, k m

y = 25x

125 100 75 50 25 x, h 1

2

3

5

4

6

PROPORSJONALITET y

Hver gang fa˚r vi det samme tallet, 25 kilometer per time. Det er gjennomsnittsfarten til Kari. At forholdet mellom to størrelser er konstant som her, er et annet kjennetegn pa˚ at størrelsene er proporsjonale. Det konstante tallet kaller vi proporsjonalitetsfaktoren. Siden forholdet er konstant, kan vi sette opp at y y ¼ 25 gir  =x ¼ 25  x; dvs. x =x

150

y = kx

y ¼ kx

x

x og y vokser i samme takt. De er proporsjonale med proporsjonalitetsfaktoren k. Ved proporsjonalitet har vi – en rett linje gjennom origo y – et konstant forhold ¼ k x


Hvor lang tid bruker hun pa˚ a˚ sykle 125 kilometer? 125 ¼5 25 Pa˚ 125 kilometer ma˚ Kari regne med a˚ bruke fem timer. y ¼ 125

125 ¼ 25x

gir

dvs.

EKSEMPEL 14 Grafen viser hvor mange kilo bananer vi kjøper, og hva vi ma˚ betale. a) Forklar at antallet kilogram og det vi ma˚ betale, er proporsjonale størrelser. b) Finn en formel for sammenhengen mellom de to størrelsene.

y, k r 30 20 10 x, k g

Løsning: a) Ettersom grafen er en rett linje gjennom origo, er antall kilogram bananer og det vi betaler, proporsjonale størrelser.

0, 5

1,0

1, 5

2, 0

2, 5

b) Vi bruker at x kg er mengden bananer vi kjøper, mens y kroner er det vi betaler. Da vet vi at y ¼ kx. Proporsjonalitetsfaktoren k er lik y dividert med x. Pa˚ figuren leser vi av at 2;0 kg bananer koster 20 kroner: y 20 kroner k ¼ ¼ ¼ 10 kr=kg x 2;0 Altsa˚ er y ¼ 10x. Proporsjonalitetsfaktoren er prisen per kilogram.

AKTIVITETER Oppgave 2.18 30

Oppgave 2.20 Sandra kjører en moped som bruker 0;2 liter bensin pa˚ mila. La x være antall mil og y være antall liter bensin. a) Forklar at y ¼ 0;2x. Er x og y proporsjonale størrelser?

y

20 10 1

2

3

4 x

a) Forklar at x og y er proporsjonale størrelser. b) Sett opp formelen mellom x og y. c) Gi et forslag til hva x og y kan være i praksis. Oppgave 2.19 x

1,3

2,1

3,6

5,2

y

15,6

25,2

43,2

62,4

a) Kontroller at y er proporsjonal med x. b) Finn sammenhengen mellom x og y.

b) Tegn grafen for x-verdier mellom 0 og 20 og svar pa˚ disse spørsma˚lene grafisk og ved regning: 1 Hvor mye bensin bruker Sandra pa˚ fem mil? 2 Hvor langt kan hun kjøre pa˚ 3 liter bensin?

Utfordring 2.21 Gjør endringer i ett av verdisettene i tabellen slik at y blir proporsjonal med x: x

21

54

133

y

52,38

117,18

288,61

Proporsjonale størrelser – endring i samme takt

73


2.7

Omvendt proporsjonale størrelser

Du skal lære – hva vi mener med omvendt proporsjonalitet, og hvordan formelen ser ut – å regne med størrelser som er omvendt proporsjonale – å framstille omvendt proporsjonale størrelser grafisk

Ole har tatt pa˚ seg a˚ beise huset i sommerferien. Foreldrene hans betaler 3000 kroner for jobben. Timelønna avhenger av hvor mange timer han bruker pa˚ jobben. Timer, h Timelønn, kr=h

15

20

25

30

200

150

120

100

200

y, kr/h

150 100 50

x, h 5

10 15 20 25 30

Na˚r timetallet blir doblet fra 15 til 30, ser vi at timelønna blir halvert fra 200 til 100. Vi sier at timelønna er omvendt proporsjonal med timetallet. Grafen er tegnet pa˚ figuren. I dette tilfellet kan vi sette opp sammenhengen mellom størrelsene i tabellen direkte. Timelønna er betalingen dividert med antall timer. Na˚r x er antall timer og y er timelønna i kroner, fa˚r vi y¼

OMVENDT

PROPORSJONALITET

y

3000 x

y=

k x

Et uttrykk for omvendt proporsjonalitet er alltid pa˚ denne formen. Telleren kaller vi proporsjonalitetsfaktoren. Denne faktoren er her betalingen pa˚ 3000 kroner. I andre oppgaver kan det være vanskeligere a˚ se i tabellen at størrelsene er omvendt proporsjonale. Da lager vi en ny rad i tabellen der vi regner ut x  y: x, h

15

20

25

30

y, kr=h

200

150

120

100

x  y, kr

3000

3000

3000

3000

x k y¼ x x og y er omvendt proporsjonale størrelser. Proporsjonalitetsfaktoren er lik k. For alle x og y er x  y ¼ k.

Vi ser her at timetallet og timelønna er omvendt proporsjonale størrelser fordi timetallet multiplisert med timelønna blir betalingen pa˚ 3000 kroner. I en tabell skal produktet av x og y alltid bli lik proporsjonalitetsfaktoren.

EKSEMPEL 15 Medlemmene i et idrettslag skal reise til et alpinsenter. De vurderer a˚ leie en buss i stedet for a˚ bruke privatbiler. Lederen annonserer det slik: «Om vi blir 16 personer pa˚ bussen, koster det 162;50 kroner per person. Blir vi 40, koster det bare 65 kroner per person.» Hvor mye koster det per person dersom 25 personer blir med?

74

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER


Løsning: Med 16 personer koster bussen 16  162;50 kroner ¼ 2600 kroner. Med 40 personer koster bussen 40  65 kroner ¼ 2600 kroner. ˚ leie bussen koster altsa˚ 2600 kroner uansett hvor mange som blir med. A Med 25 personer blir det per person: 2600 kr=25 ¼ 104 kroner.

EKSEMPEL 16 Grafen viser sammenhengen mellom to omvendt proporsjonale størrelser, x og y. Finn formelen for sammenhengen i dette tilfellet.

60

y

50

Løsning:

k Vi vet at sammenhengen er pa˚ formen y ¼ . x Proporsjonalitetsfaktoren k er produktet av x og y.

40 30

Pa˚ figuren leser vi for eksempel av at x ¼ 15 svarer til y ¼ 20.

20

Da vet vi at k ¼ x  y ¼ 15  20 ¼ 300. 300 I dette tilfellet er altsa˚ formelen y ¼ . x

10 5

10

15

20 x

AKTIVITETER Oppgave 2.22 Til en skolefest leier elevene lokale og lydanlegg til kr 3600. Denne kostnaden skal de dele likt. a) Hvor mye ma˚ hver betale na˚r det kom 50 elever pa˚ festen? b) Na˚r x elever deltar pa˚ festen, ma˚ hver elev betale y kroner. Sett opp formelen for y. c) Tegn grafen for verdier av x mellom 20 og 80 og svar pa˚ disse spørsma˚lene grafisk og ved regning: 1 Hvor mye ma˚ hver elev betale na˚r det kom 30 pa˚ festen? 2 Hvor mange kom na˚r hver elev ma˚ betale kr 80? Oppgave 2.23 Størrelsene x og y er omvendt proporsjonale. a) Finn formelen for y. b) Hva blir y na˚r x ¼ 100? c) Hva blir x na˚r y ¼ 80?

400

Oppgave 2.24 Eieren av et alpinanlegg reklamerer for dagskortet til heisen med denne tabellen: Antall turer, x

10

20

30

Kroner per tur, y

30

15

10

a) Forklar at y er omvendt proporsjonal med x. Hvor mye koster dagskortet? Skriv formelen for y. b) Hvor stor blir kostnaden per tur na˚r vi kjører 15 turer? c) Hvor mange turer har vi kjørt na˚r kostnaden per tur er kr 12? Oppgave 2.25 I tabellen er y omvendt proporsjonal med x. Skriv av tabellen og fyll ut de a˚pne feltene:

y

300 200

x

100

x

y

3

4 120

12 80

10 20 30 40

Omvendt proporsjonale størrelser

75


2.8

Funksjonsbegrepet. Funksjon som tekst, tabell, funksjonsuttrykk eller graf

Du skal lære – hva vi mener med funksjoner, og en ny skrivemåte for funksjoner – å regne ut funksjonsverdier – å kjenne igjen en funksjon ut fra tekst, tabell, funksjonsuttrykk eller graf

Fram til na˚ har vi stort sett brukt y som navn pa˚ funksjoner. Mange ganger har vi behov for a˚ tegne flere funksjoner i samme koordinatsystem. For at vi skal kunne vite hvilket funksjonsuttrykk som svarer til hver enkelt graf, ma˚ funksjonene fa˚ egne navn. Det vanligste er da a˚ kalle funksjonene f ðxÞ og gðxÞ.

FUNKSJONEN f ðx Þ Vi skriver ofte f ðxÞ i stedet for y. Vi leser f ðxÞ som f av x. Når det til hver verdi av x svarer nøyaktig en verdi av y, sier vi at y er en funksjon av x.

I praktiske funksjoner bruker vi gjerne bokstaver som sier noe om funksjonene, for eksempel KðxÞ for kostnader, I ðxÞ for inntekter og OðxÞ for overskudd. Variabelen kan ogsa˚ ha en annen bokstav enn x. Vi bruker vanligvis t na˚r funksjonen avhenger av tida.

Vi skriver y ¼ f ðxÞ.

Na˚r vi tegner grafer, varierer framgangsma˚ten noe mellom ulike lommeregnere og programmer. Det som er viktig, er hvilket omra˚de grafen er tegnet for. Ofte trenger vi verditabellen for a˚ avgjøre det. Na˚ skal vi tegne en typisk graf.

EKSEMPEL 17 En bedrift produserer bokhyller. Na˚r den ukentlige produksjonen er x enheter, er kostnaden i kroner gitt ved KðxÞ ¼ x2 þ 150x þ 20 000 Tegn grafen for verdier av x mellom 0 og 500. Løsning: Siden verdiene langs x-aksen er gitt, ma˚ vi bestemme hvilke verdier som trengs langs y-aksen. Vi regner da ut verdier som vist nedenfor: Kð0Þ ¼ 0 2 þ 150  0 þ 20 000 ¼ 20 000 y

Kð100Þ ¼ 100 2 þ 150  100 þ 20 000 ¼ 45 000

400 000

Kð200Þ ¼ 200 2 þ 150  200 þ 20 000 ¼ 90 000

300 000

Det gir oss denne tabellen: x

0

100

200

300

400

500

KðxÞ

20 000

45 000

90 000

155 000

240 000

345 000

Grafen blir da som vist i margen.

76

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

200 000 100 000 100 200 300 400 500

x


Na˚ skal vi lære a˚ oversette mellom ulike representasjoner av funksjoner. Vi viser det med et eksempel. Funksjonsuttrykk Når f (x) er antall liter vann i tanken etter x minutter, er f (x) = 24x for x mellom 0 og 15.

Tekst En tom tank som rommer 360 liter, blir fylt med 24 liter vann per minutt.

Graf 400

y, liter

300

Tabel l

200

Minutter 0 Liter

100

0

5

10

15

120 240 360

x, minutter 5

10

15

– Teksten forklarer situasjonen. – Vi kan lage en tabell over hvor mange liter det er i tanken etter x minutter. Antall liter etter fem minutter er 24  5 ¼ 120. Tanken er full etter 15 minutter. – Vi kan ogsa˚ lage et funksjonsuttrykk. Stigningstallet a ¼ 24 fordi vannmengden øker med 24 liter per minutt. Konstantleddet b ¼ 0 fordi det ikke er noe vann pa˚ tanken na˚r x er lik null. Dersom f ðxÞ er antall liter pa˚ tanken etter x minutter, er altsa˚ f ðxÞ ¼ 24x. – Ut fra teksten, tabellen eller funksjonsuttrykket kan vi tegne grafen. Ettersom tanken er full etter 15 min, slutter x-aksen ved x ¼ 15. Det er viktig at du forsta˚r at dette bare er ulike representasjoner av den samme funksjonen, nemlig tanken som blir fylt med vann. Selv om vi har sett pa˚ fire ulike representasjoner for den samme funksjonen, dreier det seg hele tida om tanken som blir fylt med vann.

AKTIVITETER Oppgave 2.26 Regn ut f ð2Þ, f ð0Þ og f ð1Þ for ha˚nd og med tabellen pa˚ et digitalt verktøy na˚r

a) f ðxÞ ¼ 2x þ 3

b) f ðxÞ ¼ x þ 2

Oppgave 2.27 En bedrift produserer gensere. Dersom det blir produsert x gensere per uke, er kostnaden i kroner gitt ved funksjonen f ðxÞ ¼ 0;06x 2 þ 110x þ 18 000. x ligger her mellom 0 og 1000. a) Lag tabell pa˚ et digitalt verktøy og velg det vinduet du vil bruke. b) Tegn grafen pa˚ et digitalt verktøy.

Oppgave 2.28 Ellen skal kjøpe epler til 20 kr=kg.

a) Sett opp en tabell som viser hvor mye Ellen ma˚ betale dersom hun kjøper 1 kg, 2 kg eller 2;5 kg. b) Tegn grafen som viser sammenhengen mellom antall kilogram epler og det Ellen betaler. La x-aksen ga˚ til x ¼ 5. c) Hva kaller vi en slik sammenheng mellom to størrelser? d) Finn funksjonsuttrykket na˚r f ðxÞ er det Ellen ma˚ betale for x kg epler. e) Bestem grafisk og ved regning hvor mange kilo epler Ellen har kjøpt na˚r hun betaler 45 kroner.

Funksjonsbegrepet. Funksjon som tekst, tabell, funksjonsuttrykk eller graf

77


2.9

Skjæringspunkt. Hvilken graf er øverst?

Du skal lære – å bestemme skjæringspunkter mellom grafer – å finne skjæringspunkter med x-aksen (nullpunkt) og med y-aksen

I dette avsnittet skal vi vise hvordan vi kan lese mange ulike opplysninger ut av grafer. Det er flere ma˚ter a˚ gjøre det pa˚ med forskjellig digitalt verktøy. Vi starter med a˚ bestemme funksjonsverdier og skjæringspunkter. Skjæringspunkter med x-aksen kaller vi nullpunkter.

EKSEMPEL 18 Overskuddet OðxÞ i antall tusen kroner ved a˚ produsere x lommeregnere er gitt ved funksjonen OðxÞ ¼ 0;0001x2 þ 0;45x  200 Uttrykket gjelder for verdier av x mellom 0 og 5000. a) Tegn grafen og finn overskuddet ved en produksjon og et salg pa˚ 3000 lommeregnere per uke. b) Avgjør startkostnadene. c) Na˚r er overskuddet null? d) Na˚r er overskuddet 150 000 kr? Løsning: a) Vi lager tabell. Grafen er tegnet til høyre. Avlesing viser at overskuddet er 250 000 kr na˚r x ¼ 3000. b) Siden null produserte og solgte lommeregnere viser startkostnaden, skjer dette na˚r y-aksen krysses, dvs. ved 200 000 kr. c) Vi finner nullpunktene ved hjelp av et digitalt verktøy. Dette er skjæringspunktene med x-aksen. Vi fa˚r at nullpunktene har koordinatene ð500, 0Þ og ð4000, 0Þ. Overskuddet er null na˚r det produseres 500 eller 4000 lommeregnere. d) Vi merker av 150 000 kr pa˚ y-aksen. Avlesing viser at overskuddet er 150 000 kr ved en produksjon pa˚ 1000 eller 3500 lommeregnere.

I neste eksempel skal vi se pa˚ skjæringspunkter mellom grafer. Vi skal sa˚ bruke det til a˚ avgjøre hvilken graf som har størst funksjonsverdi.

78

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

400

y

300 200 100 1000 2000 3000 4000 5000

x


EKSEMPEL 19 y

Funksjonene f ðxÞ og gðxÞ er gitt ved

300

f ðxÞ ¼ 0;01x2 þ 2;6x þ 35 gðxÞ ¼ 160  0;4x

f

200

for verdier av x mellom 0 og 300. a) Na˚r er f ðxÞ lik gðxÞ? b) Bestem na˚r f ðxÞ er større enn gðxÞ.

100 g

Løsning: a) Først tegner vi grafen. Avlesing viser at f ðxÞ ¼ gðxÞ na˚r x ¼ 50 og x ¼ 250.

50 100 150 200 250 300

x

b) Av grafen ser vi at f ðxÞ ligger over gðxÞ mellom de to skjæringspunktene. f ðxÞ er større enn gðxÞ for verdier av x mellom 50 og 250.

For a˚ avgjøre hvilken funksjon som ligger øverst, ma˚ vi altsa˚ først finne na˚r de to funksjonene krysser hverandre. Dersom den ene funksjonen er en inntektsfunksjon og den andre en kostnadsfunksjon, blir det enkelt a˚ avgjøre na˚r det er overskudd.

AKTIVITETER Oppgave 2.29 En bedrift produserer gensere. Dersom det blir produsert x gensere per uke, er kostnaden i kroner gitt ved funksjonen

f ðxÞ ¼ 0;06x 2 þ 110x þ 18 000 Her ligger x mellom 0 og 1000. Tegn grafen pa˚ et digitalt verktøy, og bestem a) kostnaden ved en produksjon pa˚ 600 gensere b) hvor stor produksjonen er na˚r kostnaden er 71 600 kroner Oppgave 2.30 En sommerdag ma˚ler vi temperaturen i en innsjø. Temperaturen i grader celsius x meter ned i vannet er gitt ved funksjonen

Oppgave 2.31 En bedrift produserer turski. Dersom produksjonen i en periode er pa˚ x par ski, er kostnaden i kroner gitt ved funksjonen

K ðxÞ ¼ 0;4x 2 þ 300x þ 60 000 Dette gjelder for x-verdier mellom 0 og 1000. Bedriften selger skiene for 680 kroner per par. a) Finn uttrykket for inntekten I ðxÞ og vis at overskuddet blir OðxÞ ¼ 0;4x 2 þ 380x  60 000 b) Tegn grafen pa˚ et digitalt verktøy. Na˚r er overskuddet lik null? Na˚r er overskuddet positivt?

f ðxÞ ¼ 0;0033x 3  0;10x 2 þ 20;0 Dette gjelder for x-verdier mellom 0 og 20. Tegn grafen pa˚ et digitalt verktøy, og finn a) temperaturen 13;2 meter ned i vannet b) hvor langt ned i vannet temperaturen er 11;3  C

Skjæringspunkt. Hvilken graf er øverst?

79


2.10

Topp- og bunnpunkter

Du skal lære – å løse praktiske problemer grafisk – om inntekts- og overskuddsfunksjoner – å bestemme topp- og bunnpunkter

I mange praktiske sammenhenger møter vi funksjoner som har toppog bunnpunkter. Disse ekstremalpunktene viser ofte verdiene vi er ute etter a˚ finne. Toppunktet til en funksjon kan vise oss hvor høyt vi kaster en stein, eller hvor mye en bedrift tjener pa˚ en bestemt vare.

EKSEMPEL 20 Firmaet Skru og Mekk kjøper deler og setter sammen sykler. Kostnadene KðxÞ og inntektene I ðxÞ for x antall sykler er gitt ved KðxÞ ¼ x2 þ 220x þ 55 000 I ðxÞ ¼ 1000x a) Vis at overskuddsfunksjonen er gitt ved OðxÞ ¼ x2 þ 780x  55 000 b) Tegn grafen for x-verdier mellom 0 og 800. c) Fastsett det største overskuddet. Løsning: a) OðxÞ ¼ IðxÞ  KðxÞ ¼ 1000x  ðx2 þ 220x þ 55 000Þ ¼ 1000x  x2  220x  55 000 ¼ x2 þ 780x  55 000 b) Med et digitalt hjelpemiddel fa˚r vi grafen nedenfor: y 100 000 50 000 x

10 000 100

200

300

400

500

600

c) Overskuddet er størst i toppunktet pa˚ grafen. Avlesing viser at det største overskuddet er 97 100 kr na˚r det blir produsert og solgt 390 sykler.

80

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

700


I praktiske oppgaver er det viktig a˚ finne ut hvilke verdier som skal brukes langs x- og y-aksen. Verdiene langs aksene er oppgitt i neste eksempel, men det er de ikke alltid.

EKSEMPEL 21 Ole ma˚ler temperaturen gjennom et døgn. Det viser seg at temperaturen TðxÞ etter x timer dette døgnet er gitt ved funksjonen TðxÞ ¼ 0;0064x3 þ 0;19x2  0;85x  3 a) Tegn grafen for x-verdier mellom 0 og 24. b) Finn den høyeste og laveste temperaturen. Bestem ogsa˚ na˚r det skjer. c) I hvilket tidsrom er det plussgrader? 

d) Na˚r er temperaturen þ3 C? Løsning: a) Vi bruker et digitalt hjelpemiddel og fa˚r grafen nedenfor: y 6 5 4 3 2 1

x

–1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 –2 –3 –4 

b) Avlesing viser at toppunktet gir høyest temperatur, som er þ6 C, etter 17;2 timer.  Bunnpunktet gir lavest temperatur, 4 C, etter 2;6 timer. c) Vi leser av nullpunktene. Der ga˚r skillet mellom pluss- og minusgrader. Vi ser da at det er plussgrader fra 8;9 til 23;0 timer. 

d) Den rette linja for þ3 C skjærer grafen pa˚ to steder.  Vi ser at temperaturen er þ3 C etter 11;9 og 21;5 timer.

Ole har bestemt høyeste og laveste temperatur ut fra disse avlesingene. Temperaturen endrer seg gradvis. Det er derfor om a˚ gjøre a˚ runde av tallene til fornuftige verdier. Det er vanligst a˚ oppgi temperaturene i hele grader. Det er det Ole har gjort her.

AKTIVITETER Oppgave 2.32 Tegn grafene pa˚ et digitalt verktøy i det oppgitte x-omra˚det og finn eventuelle topp- og bunnpunkter:

a) f ðxÞ ¼ x 2  4x  1,

x mellom 1 og 5

b) f ðxÞ ¼ x þ 3x þ x, 3

2

x mellom 1 og 4

Oppgave 2.33 Ved produksjon av x par turski er overskuddet OðxÞ ¼ 0;4x 2 þ 380x  60 000 for x-verdier mellom 0 og 1000. Finn det største overskuddet.

Topp- og bunnpunkter

81


2.11

Gjennomsnittlig vekst

Du skal lære – hva gjennomsnittlig vekst er – å kunne regne med gjennomsnittlig vekst i praktiske situasjoner

Pa˚ figuren nedenfor til venstre ser vi en graf som ga˚r gjennom to punkter, A og B. Na˚r vi ga˚r fra A til B, øker x med fire enheter, fra 2 til 6, mens y øker med a˚tte enheter, fra 1 til 9. Vi sier at den gjennomsnittlige veksten i intervallet fra x ¼ 2 til x ¼ 6 er 8 dividert med 4, altsa˚ 2. y

y

9

y2

B (6, 9)

8

B (x2, y2)

7 6 5 4 3 2

A (2, 1)

1

y1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

A (x1, y1) x1

x2

Pa˚ figuren til høyre har vi tegnet den generelle situasjonen. Grafen ga˚r gjennom punktene Aðx1 ; y1 Þ og Bðx2 ; y2 Þ. Vi beveger oss fra venstre mot høyre, sa˚ endringen i x-verdi blir x2  x1 : I y-retningen ga˚r endringen tilsvarende fra y1 til y2 , sa˚ veksten blir y2  y1 : Den gjennomsnittlige veksten i intervallet fra x1 til x2 er y2  y1 x2  x1

x

GJENNOMSNITTLIG VEKST

Gjennomsnittlig vekst fra ðx1 , y1 Þ til ðx2 , y2 Þ: y2  y1 x2  x1

Det er det samme som stigningstallet a til den rette linja gjennom A og B. Na˚r grafen faller, blir den gjennomsnittlige veksten et negativt tall.

EKSEMPEL 22 Pa˚ neste side finner du en tabell og en graf som begge viser SSBs befolkningsprognose for aldersgruppa 615 a˚r i Oslo fra 2012 til 2029. a) Finn gjennomsnittlig vekst fra 2012 til 2029. b) Finn gjennomsnittlig vekst fra 2012 til 2019. Hele befolkningen i aldersgruppa 615 a˚r ma˚ ha skoleplass. Kapasiteten i Oslo kommune i 2012 er om lag 55 000 skoleplasser. c) Oslo kommune planlegger a˚ bygge ut skoler med 600 plasser per a˚r de neste a˚rene. Er dette tilstrekkelig? d) Hvilken utbyggingsfart ma˚ Oslo kommune velge dersom de skal holde tritt med befolkningsutviklingen fram mot 2019?

82

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER


Befolkning 6–15år

70 000 68 000 66 000 64 000 62 000 60 000 58 000

2012

2014

2016

2018

2020

2022

2024

2026

2028

Løsning: a) Gjennomsnittlig vekst fra 2012 til 2029 blir (se tabellen) 69 146  59 631 9515 ¼  560 2029  2012 17 En regner altsa˚ med at befolkningen pa˚ 615 a˚r i gjennomsnitt vil øke med 560 barn per a˚r fra 2012 til 2029.

År

År

Antall

2012

59 631

2013

60 910

2014

62 229

2015

63 623

2016

65 052

2017

66 134

2018

67 105

2019

67 993

2020

68 578

2021

69 009

2022

69 371

2023

69 528

2024

69 603

2025

69 512

2026

69 321

2027

69 188

2028

69 168

2029

69 146

b) Gjennomsnittlig vekst fra 2012 til 2019 blir (se tabellen) 67 993  59 631 8362 ¼  1195 2019  2012 7 I perioden 20122019 vil antall barn i aldersgruppa 615 a˚r øke med 1195 personer per a˚r. c) Utbyggingsfarten er atskillig lavere enn den gjennomsnittlige veksten i aldersgruppa pa˚ 615 a˚r de første sjua˚tte a˚rene. Hvert a˚r blir det derfor flere og flere barn som ikke kan fa˚ noen skoleplass uten ekstraordinære tiltak. d) Vi ser av figuren at kurven er brattest i begynnelsen av perioden, fram mot ca. a˚r 2019. Utbyggingsfarten bør være minst like stor som gjennomsnittlig vekst i befolkningen i denne perioden. Oslo kommune bør bygge ut minst 1200 skoleplasser per a˚r fram mot 2019.

AKTIVITETER Oppgave 2.34 y 7 6 5 4 3 2 1 0

Oppgave 2.35 I en by bor det 140 000 mennesker. De første ti a˚rene vokser befolkningen med 12 000 personer per a˚r. De neste ti a˚rene vokser innbyggertallet med 8000 per a˚r. Finn det omtrentlige folketallet etter 8 a˚r og etter 18 a˚r.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x

a) Finn gjennomsnittlig vekst fra x ¼ 0 til x ¼ 3. b) Finn gjennomsnittlig vekst fra x ¼ 0 til x ¼ 8. c) Finn gjennomsnittlig vekst fra x ¼ 3 til x ¼ 15.

Gjennomsnittlig vekst

83


2.12

Lineær regresjon – hva skjer i nærmeste framtid?

Du skal lære – at matematiske modeller kan være grunnlag for prognoser – at det ofte er naturlig å bruke en rett linje for å beskrive tendensen i en utvikling – hvordan vi bruker lineær regresjon på digitale verktøy til å finne den rette linja som passer best med dataene

PROGNOSE

LINEÆR

MATEMATISK

REGRESJON

y

En prognose er en forutsigelse av framtidige forhold som bygger på erfaring, statistisk materiale og sannsynlighetsvurderinger.

MODELL

y

x

x Lineær regresjon lager den linja som passer best til punktene.

En matematisk modell passer sjelden helt med den virkelige utviklingen. Modellen vil oftest bare passe innenfor et begrenset område.

Det er nyttig kunnskap a˚ vite hva som skjer framover. Ofte blir det laget prognoser for framtida. I forbindelse med sykdommer bruker vi begrepet prognose om utsiktene til a˚ bli frisk. For a˚ sikre en stabil og sikker energiforsyning er gode prognoser for produksjon av elektrisk energi viktig. Økonomiske prognoser har betydning for enkeltmennesker, bedrifter, kommuner og landet va˚rt. Vil det komme en renteøkning? Hvor sterk er krona? Hva er oljeprisen? Fordi økonomiske forhold ikke bare er nasjonalt betinget, kan det være vanskelig a˚ lage gode prognoser. En annen grunn er at det ofte ikke finnes eksakte sammenhenger mellom størrelsene. Na˚r vi skal lage prognoser, bruker vi ofte det som kalles lineær regresjon. Vi skal se nærmere pa˚ begrepet her. Vi tar da utgangspunkt i en tabell der vi kjenner tallene. Deretter finner vi den rette linja som ligger sa˚ nær alle punktene som mulig. Denne linja kan vi sa˚ bruke til a˚ si noe om framtida, altsa˚ lage en prognose.

84

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER


EKSEMPEL 23 Utslippene av karbonmonoksid (CO) til luft i Norge i perioden 19902006 ga˚r fram av tabellen. Mengden CO er gitt i millioner tonn per a˚r: År

1990

1995

2000

2002

2003

2004

2005

2006

CO

868

735

566

548

512

475

448

421

a) Gjør om tabellen slik at x ¼ 0 i 1990, der x viser antall a˚r etter 1990. b) Finn med et digitalt verktøy den rette linja som passer best med dataene i tabellen i a). c) Tegn opp punktene og grafen til UðxÞ i samme koordinatsystem. Tegn grafen for verdier inntil 25. Løsning: a) Vi lar x være antall a˚r og y være utslippsmengden av CO: x

0

5

10

12

13

14

15

16

y

868

735

566

548

512

475

448

421

b) Vi finner at UðxÞ ¼ 28x þ 870. c) Grafen er tegnet under. 900 800 700 600 500 400 300 200 100

y

x 5

10

15

20

Ovenfor sa˚ vi at lineær regresjon gir oss den rette linja som ligger nærmest alle observasjonene. Utenfor omra˚det som er oppgitt i tabellen, er det vanskelig a˚ være helt sikker. Her kan det være rimelig a˚ tenke seg at en kan lage prognoser for fem til ti a˚r framover, ettersom utviklingen virker stabil over tid.

AKTIVITETER Oppgave 2.36 Elevene pa˚ Sunn har en kampanje for a˚ spise sunt. Tabellen viser omsetningen av frukt per uke i kantina: x, uke y, kroner

1

2

3

4

5

6

875

1250

1650

2040

2490

2900

Oppgave 2.37 Tabellen viser utviklingen i antall jordbruk i Norge. Velg x ¼ 0 i 1995 og la y være antall jordbruk. År Antall

1989

1995

1999

2000

2001

90 382

82 100

70 740

68 539

65 607

a) Tegn punktene i et koordinatsystem. Hva slags funksjon passer bra som matematisk modell?

a) Tegn punktene i et koordinatsystem.

b) Finn den lineære funksjonen som passer best.

c) Tegn funksjonen i samme koordinatsystem.

c) Tegn funksjonen i samme koordinatsystem.

d) Hva blir antall bruk i 2010?

d) Hva blir omsetningen i uke 10?

e) Kan vi bruke modellen fram til 2050?

b) Bestem den lineære funksjonen som passer best.

Lineær regresjon – hva skjer i nærmeste framtid?

85


2.13

Vekstfaktor – prosentregning på en ny måte

Du skal lære – hva vi mener med vekstfaktor i prosentregning – å regne ut sluttverdier ved å gange med vekstfaktoren – å regne ut opprinnelig verdi ved å dele med vekstfaktoren – å utnytte vekstfaktoren når det er flere prosentvise tillegg eller fradrag

Kari tjener 110 kr per time og fa˚r en lønnsøkning pa˚ 5 %. Timelønna blir da 110 kr þ

110 kr  5 ¼ 115;50 kr 100

Vi kan finne den nye timelønna raskere ved a˚ multiplisere med vekstfaktoren 1;05 pa˚ denne ma˚ten: 110 kr  ð1 þ 0;05Þ ¼ 110 kr  1;05 ¼ 115;50 kr. p . 100 p . – Ved en nedgang pa˚ p % regner vi ut vekstfaktoren slik: 1  100 – Ved en økning pa˚ p % regner vi ut vekstfaktoren slik: 1 þ

VEKSTFAKTOR p 100 p p % nedgang: 1  100 p % økning:

EKSEMPEL 24

HUSK!

Regn ut disse vekstfaktorene: a) 8 % økning

b) 17 % nedgang

c) 25 % økning

d) 5 % nedgang

e) 36;2 % nedgang

f) 0;57 % økning

Løsning: a) 1 þ

p 8 ¼1þ ¼ 1;08 100 100

b) 1 

p 17 ¼1 ¼ 0;83 100 100

c) 1 þ

p 25 ¼1þ ¼ 1;25 100 100

d) 1 

p 5 ¼1 ¼ 0;95 100 100

e) 1 

p 36;2 ¼1 ¼ 0;638 100 100

f) 1 þ

p 0;57 ¼1þ ¼ 1;0057 100 100

Les oppgaven nøye og undersøk om du skal finne vekstfaktoren for en økning eller for en nedgang. – Ved prosentvis økning blir vekstfaktoren større enn 1. – Ved prosentvis nedgang blir vekstfaktoren mellom 0 og 1.

Vekstfaktoren forenkler prosentregningen, særlig i de tilfellene vi regner med flere prosentvise tillegg eller fradrag. Vi viser det med et eksempel.

EKSEMPEL 25 I 1990 kostet en kroneis 8 kroner. Fra 1990 til 1998 økte prisen med 62;5 %. Fra 1998 til 2005 økte prisen med 15;4 %. Hvor mye kostet kroneisen i 2005? Løsning: 62;5 15;4 ¼ 1;625 og 1 þ ¼ 1;154. 100 100 Først ma˚ vi gange med vekstfaktoren 1;625. Dermed finner vi prisen i 1998. Vi tar prisen i 1998 og ganger med vekstfaktoren 1,154 for a˚ finne prisen i 2005. Da kostet en kroneis 8 kr  1;625  1;154 ¼ 15 kr. Vekstfaktorene blir 1 þ

86

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER


Na˚r vi kjenner den opprinnelige verdien, finner vi altsa˚ sluttverdien ved a˚ gange med vekstfaktoren. Vi kan ogsa˚ regne omvendt. Na˚r vi kjenner sluttverdien, finner vi den opprinnelige verdien ved a˚ dele pa˚ vekstfaktoren.

REGNING

MED VEKSTFAKTOR

vekstfaktor opprinnelig verdi

sluttverdi vekstfaktor

EKSEMPEL 26 Etter at en jakke er satt ned 40 %, koster den 510 kroner. Hvor mye kostet jakka opprinnelig? Løsning: Vekstfaktor: 1 

40 ¼ 0;60 100

Vi finner den opprinnelige verdien ved a˚ dele pa˚ vekstfaktoren:

510 kroner ¼ 850 kroner 0;60

EKSEMPEL 27 Eli eier en bil som er verdt kr 200 000. Verdien faller 20 % per a˚r. a) Regn ut hva bilen er verdt om to a˚r. b) Hvor mye var bilen verdt for to a˚r siden? Løsning:

20 ¼ 0;80. 100 a) Vi ganger med vekstfaktoren to ganger: 200 000 kr  0;80 2 ¼ 128 000 kr Vekstfaktoren er 1 

b) Vi deler pa˚ vekstfaktoren to ganger:

200 000 kr ¼ 312 500 kr 0;80 2

AKTIVITETER Oppgave 2.38 a) Regn ut vekstfaktoren ved prosentvis økning: 1 10 % 2 13;7 %

3 148 %

4 6;5 %

b) Regn ut vekstfaktoren ved prosentvis nedgang: 1 12 % 2 8;5 % 3 45 % 4 0;9 % Oppgave 2.39 En mobiltelefon koster kr 2560. Hvor mye koster den na˚r prisen a) øker 12;5 % b) blir satt ned 12;5 %

Oppgave 2.40 Hvert a˚r har en kommune økt ungdomsbudsjettet med 4 %. I 2006 er budsjettet pa˚ 12;5 millioner kroner. Regn ut budsjettet i 2008. Oppgave 2.41 Etter et lønnstillegg pa˚ 4;5 % tjener Cecilie kr 265 430. Hvor mye tjente hun før lønnstillegget? Oppgave 2.42 I 1960 var det ca. 71 000 fiskere i Norge. Fra 1950 til 2000 minket antallet med om lag 3;1 % per a˚r.

a) Hvor mange fiskere var det i 2000? b) Hvor mange fiskere var det i 1950?

Vekstfaktor – prosentregning på en ny måte

87


2.14

Eksponentiell vekst – til himmels eller andre veien?

Du skal lære – å framstille tallmaterialer med gjentatt prosentvis økning og nedgang grafisk – å løse oppgaver med gjentatt prosentvis økning og nedgang grafisk – hva vi mener med eksponentiell vekst

Vi tenker oss at vi setter 5000 kroner i banken til en a˚rlig rente pa˚ 1;5 %. Vekstfaktoren er da 1;5 ¼ 1;015 1þ 100 Vi lar y kroner være beløpet i banken. Om to a˚r har beløpet vokst til y ¼ 5000  1;0152  5151 Etter x a˚r har beløpet vokst til y ¼ 5000  1;015 x Vi har funnet en funksjon som forteller oss hva beløpet vokser til i løpet av x a˚r. Denne funksjonen kan vi tegne grafen til i koordinatsystemet. Det skal vi øve oss pa˚ i et par eksempler.

EKSEMPEL 28 Ida har 12 000 kroner som hun vil investere over noen a˚r. Et investeringsselskap garanterer en a˚rlig økning pa˚ 8 %. a) La y kroner være hvor mye beløpet vokser til i løpet av x a˚r. Sett opp uttrykket for y. b) Hvor mye har beløpet vokst til i løpet av sju a˚r? c) Tegn grafen for verdier av x mellom 0 og 10. d) Les av grafen hvor lang tid det ga˚r før beløpet har økt til 17 000 kroner. Løsning:

8 ¼ 1;08. 100 Vi fa˚r denne funksjonen: y ¼ 12 000  1;08 x .

a) Vekstfaktoren blir 1 þ

b) x ¼ 7 gir y ¼ 12 000  1;08 7  20 566. Etter sju a˚r har beløpet vokst til 20 566 kroner.

25 000

y, k r

20 000 15 000 10 000

c) Vi lager en tabell pa˚ et digitalt verktøy for x-verdier mellom 0 og 10. Ved hjelp av tabellen tegner vi grafen. d) Vi trekker linja ut fra 17 000 pa˚ y-aksen og leser av x-verdien pa˚ x-aksen. Vi finner at x  4;5. Beløpet øker til 17 000 kroner etter 4;5 a˚r.

88

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

5 000 1

2

3

4

5

6

7

8

x, å r 9 10


˚ rsaken er at økningen Vi ser at grafen i eksempel 28 krummer oppover. A pa˚ 8 % blir regnet av et større og større tall. Selv om prosenten er den samme, blir derfor den a˚rlige økningen større og større.

EKSPONENTIELL

VEKST

y

Eksempel 28 er et eksempel pa˚ det vi kaller eksponentiell vekst. Funksjonsuttrykket i eksemplet var

a x Eksponentiell vekst vil si at en størrelse øker med en fast prosent over like store tidsrom: y ¼ a  bx

y ¼ 12 000  1;08 x Na˚r x ¼ 0 , blir y ¼ 12 000  1;08 0 ¼ 12 000  1 ¼ 12 000. Dette er det beløpet Ida startet med. Tallet 1;08 er vekstfaktoren ved et tillegg pa˚ 8 %.

– a er verdien når x ¼ 0.

I margen har vi summert opp det vi na˚ kan om eksponentiell vekst. I neste eksempel skal vi regne med eksponentiell nedgang.

– b er vekstfaktoren.

EKSEMPEL 29 Verdien av en bruktbil faller med ca. 16 % per a˚r. Jørgen kjøper en bruktbil til 80 000 kroner. Hvor lang tid ga˚r det før verdien er halvert?

y, k r 80 000

Løsning: Vi lar y kroner være verdien av bilen om x a˚r. 16 Vekstfaktoren blir 1  ¼ 0;84. 100 Vi fa˚r denne funksjonen: y ¼ 80 000  0;84 x .

70 000

Vi lager tabell for x-verdier mellom 0 og 5. Sa˚ tegner vi grafen.

20 000

60 000 50 000 40 000 30 000 10 000

Pa˚ grafen leser vi av at verdien er halvert etter ca. 4;0 a˚r.

1

2

3

4

5 x, å r

AKTIVITETER Oppgave 2.43 Tone kjøper en ba˚t til 70 000 kroner. Verdien faller 15 % per a˚r. y kroner er verdien av ba˚ten om x a˚r. a) Sett opp uttrykket for y. b) Tegn grafen for verdier av x mellom 0 og 10. c) Na˚r har verdien falt til 26 000 kroner? Oppgave 2.44 Hvor lang tid ga˚r det før 3000 kroner er fordoblet na˚r beløpet øker med 11;4 % per a˚r? Oppgave 2.45 Bruk eksempel 29 som utgangspunkt og lag en oversikt over det du kan om eksponentiell nedgang.

Oppgave 2.46 I 2000 ble det sluppet ut 30 millioner kg lystgass fra kunstgjødsling i Norge. Utslippet øker med ca. 17 % per a˚r. Vi lar x være antall a˚r etter 2000. a) Sett opp et uttrykk som viser utslippet om x a˚r.

b) Hvor stort var utslippet i 2005? c) Tegn grafen for verdier av x mellom 0 og 10. d) Finn ut na˚r utslippet er 90 millioner kg. Utfordring 2.47 Daniel kjøper en moped til 25 000 kroner. Mopeden taper seg i verdi med 9 % per a˚r. Pa˚ samme tidspunkt setter Ivy inn 15 000 kroner i banken til 2 % a˚rlig rente. Na˚r kan Ivy kjøpe mopeden til Daniel?

Eksponentiell vekst – til himmels eller andre veien?

89


2.15

Potenslikninger

Du skal lære – å løse potenslikninger

Vi skal løse likninger der den ukjente forekommer i en potens. Fra reglene for  1 potensregning har vi x a a ¼ x. Det gir oss en ma˚te a˚ løse potenslikninger pa˚:

x ¼ ba

1

x ¼ ba I noen tilfeller kan en potenslikning ogsa˚ ha en negativ løsning. Men siden eksemplene va˚re vesentlig er knyttet til praktiske situasjoner, holder vi oss hele tiden til positive løsninger. pffiffiffi 1 En alternativ skrivema˚te for ba er a b. Vi kan derfor like gjerne skrive pffiffiffi løsningen til likningen x a ¼ b som x ¼ a b.

EKSEMPEL 30 Løs likningene: b) x2 ¼ 5

Løsning: 1 a) Likningen x3 ¼ 1;7 har løsningen x ¼ 1;7 3  1;193. 1

b) Likningen x2 ¼ 5 har løsningen x ¼ 5 2  0;447. I noen oppgaver kan det hende at du ma˚ sette inn et desimaltall for eksponenten a. Det ha˚ndterer de digitale verktøyene. Potenslikninger kan blant annet brukes til a˚ finne rentefoten pa˚ et la˚n. Vi viser to eksempler pa˚ dette.

EKSEMPEL 31 Gunn har satt inn 12 000 kr fra konfirmasjonen i et fond. Etter a˚tte a˚r har pengene økt til det dobbelte. Finn den gjennomsnittlige renten per a˚r. Løsning: Siden pengene har vokst til det dobbelte, er sluttverdien 24 000 kr. Det gir likningen 8  p ¼ 24 000 12 000  1 þ 100 Vi dividerer med 12 000 pa˚ begge sider og fa˚r 8  p 24 000 ¼ ¼2 1þ 100 12 000

90

xa ¼ b 1

x ¼b 1  a 1 x a ¼ ba a

a) x3 ¼ 1;7

POTENSLIKNINGER

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER



¼

ffiffiffi p a b


Na˚ opphøyer vi begge sider i 1=8. Det gir 1 p ¼ 28 1þ 100 p ¼ 1;0905 1þ 100 p ¼ 1;0905  1 100 p ¼ 0;0905  100 p ¼ 9;05 Den gjennomsnittlige renten er 9;05 % per a˚r i denne tidsperioden.

Vi ser at det ikke var nødvendig a˚ kjenne verken startverdien eller sluttverdien sa˚ lenge   p 8 vi vet at beløpet har doblet seg. Vi kunne direkte ha satt opp likningen 1 þ ¼ 2. 100

EKSEMPEL 32 Robert kjøper en bil til 78 000 kr. Tre a˚r seinere selger han bilen for 60 000 kr. Hvor mange prosent tap har Robert hatt a˚rlig pa˚ denne bilen na˚r vi tenker oss at verdien har falt med samme prosent hvert a˚r? Løsning:

  p 3 78 000  1  ¼ 60 000 100 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 60 000 ¼ 3 0;7692 ¼ 1 100 78 000 p ¼ 0;916 1 100 p ¼ 1  0;916 ¼ 0;084 100 p ¼ 0;084  100 ¼ 8;4

Verditapet er i gjennomsnitt 8;4 % per a˚r.

AKTIVITETER Oppgave 2.48 Løs likningene: a) x7 ¼ 12

b) x1;5 ¼ 1;4

Oppgave 2.49 a) Medlemstallet i en forening øker fra 367 til 390 pa˚ fire a˚r. Finn den a˚rlige økningen i prosent. b) En ballkjole kostet ny 7000 kr. Tre a˚r seinere kostet samme kjole 1500 kr. Finn den a˚rlige prosentvise nedgangen.

Utfordring 2.50 a) En aksje har tredoblet verdien sin pa˚ sju a˚r. Hvor stor er den a˚rlige prosentvise økningen?

b) En annen aksje halverte verdien sin pa˚ to a˚r. Hvor stor er den a˚rlige prosentvise nedgangen?

Potenslikninger

91


2.16

Sammensatt eksempel

EKSEMPEL 33 Frank Spekulant har 10 000 kroner som han ønsker a˚ fa˚ mest mulig igjen for i løpet av ti a˚r. Han mottar to tilbud: – Investeringsselskapet Jamt og Trutt lover a˚ øke verdien like mye hvert a˚r slik at beløpet blir femdoblet. Det kaller vi modell A. – Selskapet Rar Prosent lover a˚ øke verdien med 17;46 % hvert a˚r. Det kaller vi modell B. a) Finn hvor mye Franks penger er verdt om x a˚r etter hver av modellene. b) Tegn grafene i samme koordinatsystem for ti a˚r framover. c) Finn na˚r verdien passerer 30 000 kroner etter hver av modellene. d) Tegn grafen som viser forskjellen mellom de to modellene, i det samme koordinatsystemet. Hva er den største forskjellen? Løsning: a) Først finner vi den lineære funksjonen som Jamt og Trutt bruker. Verdien skal øke fra 10 000 kroner til 50 000 kroner i løpet av ti a˚r. Hvert a˚r ma˚ Jamt og Trutt øke verdien med Verdien om x a˚r etter modell A:

40 000 kr ¼ 4000 kr. 10

AðxÞ ¼ 4000  x þ 10 000

For a˚ finne funksjonen som Rar Prosent bruker, ma˚ vi regne ut vekstfaktoren. En a˚rlig vekst pa˚ 17;46 % gir vekstfaktoren 1 þ Verdien om x a˚r etter modell B:

17;46 ¼ 1;1746. 100

BðxÞ ¼ 10 000  1;1746 x

b) Vi tegner grafene i samme koordinatsystem. Se figuren nedenfor: kroner 50 000

A (x)

40 000 B (x) 30 000 20 000 10 000

F (x) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Vi ser at verdien er den samme etter ti a˚r. Det er grunnen til den «rare» prosenten vi oppgav for modell B.

92

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

år


c) Avlesingen viser at Frank har 30 000 kroner om ca. fem a˚r etter modell A og etter litt under sju a˚r etter modell B. For a˚ finne mer nøyaktige verdier tegner vi hver av grafene sammen med linja y ¼ 30 000. Vi finner skjæringspunktet og ser at Frank har 30 000 kroner om nøyaktig fem a˚r etter modell A, og om 6;8 a˚r etter modell B. d) Vi lar FðxÞ være forskjellen mellom modellene. Da har vi FðxÞ ¼ AðxÞ  BðxÞ ¼ 4000  x þ 10 000  10 000  1;1746 x For a˚ finne den største forskjellen nøyaktig tegner vi grafen til FðxÞ pa˚ et digitalt verktøy og bestemmer toppunktet. Da finner vi at den største forskjellen er ca. 7776 kroner na˚r x  5;66.

AKTIVITETER Oppgave 2.51 Utslippet av en miljøgift er i a˚r pa˚ 30 tonn. Myndighetene tar sikte pa˚ a˚ redusere utslippet til 10 tonn i løpet av ti a˚r.

a) Forklar at utslippet om x a˚r er AðxÞ ¼ 2x þ 30 dersom myndighetene velger a˚ bruke en lineær modell. b) Finn funksjonsuttrykket for utslippet BðxÞ om x a˚r dersom de velger a˚ redusere utslippet med 10;4 % per a˚r. c) Tegn grafene i samme koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 10.

Oppgave 2.52 Etter at Per har drukket et glass melk, glemmer han melkekartongen pa˚ kjøkkenbordet. Na˚r det har ga˚tt t timer, er temperaturen i melka ma˚lt i celsiusgrader gitt ved

MðtÞ ¼ 20  12  0;76 t a) Finn temperaturen i melka da Per tok kartongen ut av kjøleskapet. Hva er temperaturen etter fire timer? b) Tegn grafen for verdier av t mellom 0 og 7. c) Finn na˚r temperaturen er 17  C. d) Hva er temperaturen pa˚ kjøkkenet?

d) Bestem na˚r det opprinnelige utslippet er halvert etter de to modellene. e) Finn den største forskjellen mellom modellene.

Sammensatt eksempel

93


2

SAMMENDRAG

Koordinatsystem og grafer Ut fra tabeller trekker vi opp sammenhengende glatte kurver i et koordinatsystem. – Vi finner den y-verdien som hører til en gitt x-verdi, ved at vi ga˚r fra x-aksen og opp til kurven. Her er det alltid ett svar. – Vi finner x-verdien som hører til en gitt y-verdi, ved at vi ga˚r fra y-aksen og bort til kurven. Her kan det være flere løsninger. – Vi finner maksimalverdien=minimalverdien med tilhørende x-verdi ved at vi ga˚r fra toppunktet= bunnpunktet bort til y-aksen og ned=opp til x-aksen. Funksjon og funksjonsgraf Dersom det til hver verdi av x svarer akkurat e´n verdi av y, sier vi at y er en funksjon f av x. Vi skriver y ¼ f ðxÞ. Grafen til en funksjon er gitt   ved punktene x, f ðxÞ i koordinatsystemet.

– Tabell: Tabellen viser prisen kr y na˚r vi kjøper x hg: x, hg

0

1

2

3

4

5

y, kr

0

12

24

36

48

60

– Funksjonsuttrykk: Na˚r f ðxÞ er prisen i kroner for x hg, har vi f ðxÞ ¼ 12x. – Graf: Figuren viser grafen. Avlesingslinjene er satt for a˚ vise hvordan vi kan finne y na˚r x er kjent, og omvendt. y, kr 60

y = 12x

50 40 30 20 10

Lineær funksjon En lineær funksjon er gitt ved y ¼ ax þ b.

– Stigningstallet a forteller hvor bratt linja stiger eller faller. Na˚r x øker med 1, øker y med a. – Konstantleddet b forteller hvor linja skjærer y-aksen, det vil si hvor høyt den ligger i koordinatsystemet. Proporsjonale størrelser To proporsjonale størrelser vokser i samme takt, slik at forholdet mellom dem er lik en konstant k. Vi kaller k proporsjonalitetsfaktoren. Vi har y ¼ k, dvs. y ¼ kx x Grafisk blir sammenhengen en rett linje gjennom origo. Omvendt proporsjonale størrelser To omvendt proporsjonale størrelser varierer slik at produktet mellom dem er lik en konstant k. Vi kaller k proporsjonalitetsfaktoren. Vi har

x  y ¼ k,

dvs.

k x

Ulike uttrykk for funksjoner Vi kan beskrive en funksjon ved tekst, tabell, funksjonsuttrykk eller graf. Vi viser dette med et eksempel: – Tekst: Vi kjøper sma˚godt for kr 12 per hektogram (hg).

94

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

1

2

3

4

5

x, hg

Gjennomsnittlig vekst Gjennomsnittlig vekst fra A til B er stigningstallet til den rette linja gjennom A og B. Lineær regresjon Lineær regresjon lager den linja som passer best til de gitte punktene. Vekstfaktor p p % økning gir vekstfaktoren 1 þ . p % nedgang 100 p . Vi multipliserer gir vekstfaktoren 1  100 med vekstfaktoren for a˚ finne den nye verdien. Vi dividerer med vekstfaktoren for a˚ finne tilbake til den opprinnelige verdien. Eksponentiell vekst En størrelse A vokser med p % i a˚ret. Etter x a˚r har størrelsen da vokst til   p x y¼A 1þ 100

Størrelsen vokser sterkere etter hvert. Ved fast prosentvis nedgang fa˚r vi  p x y¼A 1 100 Størrelsen synker mindre og mindre.


TEST DEG SELV Test 2.A

Heltidsansatte 2004. Prosentandel etter kjønn og gjennomsnittlig månedslønn Andel ansatte

Menn Kvinner

25 20 15 10 5 0 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 Antall tusen kroner

Test 2.E En bedrift produserer minnepenner til datamaskiner. Na˚r produksjonen per uke er x enheter, er overskuddet i kroner gitt ved

OðxÞ ¼ x 2 þ 450x  20 000 Dette gjelder for x-verdier mellom 0 og 450. Bruk et digitalt verktøy til a˚ svare pa˚ disse spørsma˚lene: a) Tegn grafen. b) Finn hvilken produksjon som gir størst overskudd. Hva er det største overskuddet? c) Hvor stort er overskuddet dersom produksjonen er pa˚ 130 enheter? d) Finn x na˚r overskuddet er 27 600 kroner. e) Na˚r er overskuddet lik null? f) Bruk svaret i e til a˚ avgjøre na˚r produksjonen ga˚r med overskudd.

Kilde: Statistisk sentralbyra˚

Hva forteller denne figuren om lønnsforskjeller mellom menn og kvinner? Test 2.B a) Tegn linja y ¼ 2x  3 i et koordinatsystem for x-verdier mellom 2 og 4. b) En annen linje er parallell med linja i a, men skjærer y-aksen i verdien 4. Skriv opp formelen for denne linja. Test 2.C Tegn linja gjennom punktene ð2, 1Þ og ð2, 9Þ. Finn formelen for linja. Test 2.D Et ma˚nedskort i Team Trafikk koster 400 kroner for en ungdom. Mona har kjøpt et slikt kort. a) Hvor mye koster hver busstur dersom Mona kjører 16 turer med buss en ma˚ned?

b) Vi lar y kroner være prisen per tur dersom hun kjører x turer i ma˚neden. Sett opp uttrykket for y. Forklar at x og y er omvendt proporsjonale størrelser. c) Tegn grafen for x-verdier mellom 10 og 50. d) Finn grafisk hvor mange ganger Mona ma˚ kjøre en ma˚ned for at prisen per tur skal bli 16 kroner. e) En enkeltbillett koster 20 kroner. Les av hvor mange turer Mona ma˚ kjøre i ma˚neden for at det skal lønne seg med ma˚nedskort.

Test 2.F Tabellen viser medlemstallet i klubben Sta˚ Pa˚: År

2000

2001

2002

2003

2004

Medlemmer

5856

5424

4974

4564

4144

a) Sett x ¼ 0 i 2000 og tegn antall medlemmer inn i et koordinatsystem. b) Hvilken matematisk modell er det naturlig a˚ bruke til a˚ beskrive denne utviklingen? c) Finn funksjonsuttrykket for modellen ved regresjon. d) Finn medlemstallet i 2008 etter den modellen du har funnet. Hva var medlemstallet i 1997? e) Finn ved regning na˚r medlemstallet blir 2000. Test 2.G Et land skal legge om flytrafikken fra en hovedflyplass F til en annen hovedflyplass G. – Flyplass F har i a˚r et passasjertall pa˚ 6;4 millioner. I de neste a˚rene regner en med at passasjertallet vil minke med 10 % per a˚r. – Flyplass G har i a˚r et passasjertall pa˚ 0;7 millioner. I de neste a˚rene regner en med at dette tallet vil øke med 30 % per a˚r.

a) Sett opp funksjonsuttrykkene for passasjertallene FðxÞ og GðxÞ pa˚ de to flyplassene om x a˚r. b) Tegn grafene pa˚ et digitalt verktøy for verdier av x mellom 0 og 10. c) Bestem na˚r passasjertallet er like stort pa˚ de to flyplassene. d) I hvilket a˚r er det samlede passasjertallet minst? Test deg selv

95


2 A B C

LES, SKRIV OG SNAKK

Oppgave 1

Grafen viser utviklingen i antall barn som har opplevd skilsmisse i tidsrommet 19962011: 19 000 18 000 17 000 16 000 15 000 14 000 13 000 19

96 997 998 999 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1

Bruk figuren til a˚ vurdere om utsagnene nedenfor er sanne eller usanne. a) I 2007 var det om lag 18 000 barn som opplevde skilsmisse. b) 2005 var det a˚ret i perioden da flest barn opplevde skilsmisse. c) Om lag 17 000 barn opplevde skilsmisse 2001. I 2006 var det omtrent like mange. d) I hele perioden 19962011 har det vært en jevn økning i antall barn som har opplevd skilsmisse. A B C

Oppgave 2

1 800 000 1 700 000 1 600 000 1 500 000 1 400 000 1 300 000

Innenlandske flygninger

1 200 000

Utenlandske flygninger

1 100 000 1 000 000 900 000 K2 09 K 20 3 09 K 20 4 10 K 20 1 10 K 20 2 10 K 20 3 10 K 20 4 11 K 20 1 11 K 20 2 11 K 20 3 11 K 20 4 12 K 20 1 12 K 20 2 12 K3 20

09

20

20

09

K1

800 000

Figuren viser antall flypassasjerer fra Gardermoen lufthavn hvert kvartal i tidsrommet 20092012, fordelt pa˚ innenlandske og utenlandske flygninger. Bruk figuren til a˚ vurdere om utsagnene nedenfor er sanne eller usanne. a) I tredje kvartal 2009 var det betydelig flere passasjerer pa˚ utenlandske enn innenlandske flygninger. b) Utviklingen i antall passasjerer pa˚ innenlandske flygninger viser en sterk nedgang fra 2009 til 2012. c) Det ser ut til at det er en topp i antall passasjerer pa˚ utenlandske flygninger i tredje kvartal hvert a˚r. d) Selv om vi tar høyde for sesongvariasjoner, viser utviklingen en klar økning i antall passasjerer pa˚ utenlandske flygninger. e) I tredje kvartal 2011 var det om lag 1;3 millioner passasjerer pa˚ utenlandske flygninger fra Gardermoen. f) I tredje kvartal 2012 var det i overkant av 1;7 millioner passasjerer pa˚ utenlandske flygninger fra Gardermoen.

96

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER


Oppgave 3

Skriv en kort tekst til hver av de fire grafene der du forklarer utviklingen som grafen viser. Kommenter ogsa˚ eventuelle skjæringspunkter med aksene: y

a)

y

b)

10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

0 0

2

4

6

y

c)

–2

0

10 x

8

0

10

8

8

6

6

4

4

2

2

2

4

6

x

6

8

10 x

2

4

6

8

10 x

0 0

Oppgave 4

Forklar innholdet i disse begrepene for en medelev: a) lineær funksjon b) proporsjonale størrelser c) toppunkter og bunnpunkter d) regresjon

4

y

d)

10

0

2

Oppgave 5 y A B

x

Roar og Svein studerer figuren ovenfor. Roar hevder at A er toppunktet pa˚ grafen, mens Svein mener at ogsa˚ B ma˚ regnes som et toppunkt. Diskuter synspunktene til Svein og Roar med en medelev. Les, skriv og snakk

97


Øvingsoppgaver 2.1

Grafisk presentasjon – hvilken framstilling er best?

A 2.53 Tabellen viser omsetningen i norske kroner for ulike typer rubrikkannonser pa˚ norske Internett-steder.

a) Na˚r ble det like vanlig a˚ bo i tettbygde strøk som i spredtbygde strøk?

2004

2005

Eiendom

2 677 157

3 940 481

Bil=motor

4 869 742

4 161 294

Stilling ledig

5 200 041

8 872 708

Annet

1 437 325

2 259 374

b) I hvilken periode var det vanligst a˚ bo i spredtbygde strøk? c) Beskriv utviklingen fra 1800 og fram til va˚r tid. d) I denne framstillingen er et kurvediagram a˚ foretrekke framfor et søylediagram. Hvorfor?

Kilde: http://www.inma.no

Framstill materialet visuelt ved a˚ lage et søylediagram. Lag en søyle for hvert a˚rstall.

A 2.54 Tabellen viser lytterandeler i prosent for NRKs kanaler P1 og P2.

Uke

Fersk laks

Frossen laks

46

8 910

1497

1983

1985

1987

1989

1991

1992

47

9 499

974

P1

76

57

54

51

45

42

48

10 348

1701

P2

22

29

26

25

27

26

49

12 019

1439

50

12 564

1353

51

10 057

851

52

5 834

555

1

5 955

236

2

5 698

739

3

6 728

1734

4

6 778

1027

5

6 739

1179

Kilde: SSB

Framstill tallmaterialet visuelt ved a˚ lage et linjediagram.

A 2.55 Prosent 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1800

Spredtbygde strøk

a) Illustrer tallmaterialet visuelt. Velg selv framstillingsma˚te.

Byer/tettsteder 1850

1900

1950

2000

Figuren viser hvor stor del av befolkningen som bor i byer eller tettsteder og i spredtbygde strøk i Norge.

98

B 2.56 Tabellen nedenfor viser hvor mange tonn fersk laks og frossen laks som ble eksportert fra Norge rundt a˚rsskiftet 2005–2006.

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

b) Norsk laks fikk en del da˚rlig presseomtale i Russland i slutten av 2005. 1. januar 2006 innførte Russland importforbud pa˚ fersk laks fra Norge. Hvilken konsekvens kan det se ut til a˚ ha fa˚tt pa˚ lakseeksporten fra Norge?


B 2.57

A 2.59 Sparebeløp

Tapte dagsverk pga. egenmeldt og legemeldt sykefravær for arbeidstakere 16–69 år, i prosent av avtalte dagsverk. Kvartalstall, 2000–2005

1200 1000

Prosent 10

800 600

8

400 200

6

0 4 2 0 2. kv. 2000

1. kv 2001

Totalt

1. kv 1. kv 2. kv. 1. kv 20021 2003 20031 2004

Egenmeldt

1. kv 20051

Legemeldt

1. Tallene for 1. kvartal 2002 og 2005 og 2. kvartal 2003 er justert for påsken

Januar Februar

April

Mai

August

Oddbjørn har laget en grafisk framstilling for a˚ vise hvor flink han er til a˚ spare, men han har jukset litt. Hvordan har han jukset? Hvordan vil du endre figuren slik at den gir et mer korrekt inntrykk?

Kilde: SSB

a) Beskriv kort sykefraværet fra 2000 til 2005.

A 2.60

b) Etter 2004 skjer det en markert nedgang i det totale sykefraværet. Hva tror du er a˚rsaken til det?

ANTALL FØDTE PER ÅR 1990–1995 3000

ANTALL

2500

2.2

Grafisk framstilling kan «lyve», så pass på!

2400

2000 1500 1000

1000

950

980

1990

1991

1992

500 0

1993–1995

A 2.58 En bedrift skal presentere overskuddet sitt de fire første ma˚nedene etter nytta˚r. Overskuddet var pa˚ henholdsvis 100 000, 120 000, 127 000 og 130 000 kroner i januar, februar, mars og april. Er det mulig a˚ presentere disse tallene slik at leseren fa˚r inntrykk av at overskuddet ble fordoblet siden januar?

b) Kommenter figuren.

Hvordan ville du i sa˚ fall gjøre det?

c) Bruk opplysningene pa˚ figuren til a˚ lage en bedre grafisk framstilling.

Figuren viser hvor mange barn som er født per a˚r ved et sykehus. a) Fødes det i gjennomsnitt flere barn per a˚r i perioden 1993–1995 enn i perioden 1990–1992?

Øvingsoppgaver

99


B 2.61

2.3

Punkter og grafer i koordinatsystemet – litt repetisjon

A 2.63 Les av koordinatene pa˚ figuren: 3 A

2 E

–3

B

1

–2

–1

1 –1

D Kilde: Adresseavisen 29.9.2005

2

3

C

–2

a) Kommenter figuren. b) Bruk opplysningene pa˚ figuren til a˚ lage en grafisk sammenlikning mellom temperaturene i juni, juli og september.

+2 855

a) Beskriv endringene i opplagstall for de tre avisene med ord.

VG

–21 563 –21 023

Opplag 2005

Endring

343 703

21 563

Aftenposten

252 716

2 855

Dagbladet

162 069

21 023

b) Regn ut opplagstallene for 2004 og finn endringene fra 2004 til 2005 i prosent. c) Illustrer tallmaterialet fra tabellen visuelt og sammenlikn med framstillingen som stod pa˚ trykk.

100

Kapittel 2 | FUNKSJONER

A 2.64 Tegn disse punktene inn i et koordinatsystem:

A ð2, 3Þ, B ð5, 3Þ,

B 2.62 Figuren stod pa˚ trykk pa˚ for. siden av Aftenposten 18.2.2006 og viser endringene i opplagstall fra 2004 til 2005 for tre utvalgte aviser.

Inni avisa finner du en tabell med blant annet disse tallene:

–3

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

C ð0, 4Þ, D ð3, 2Þ

A 2.65 Tegn disse punktene inn i et koordinatsystem og trekk en kurve gjennom dem: A ð5, 0Þ, B ð4, 3Þ, C ð3, 4Þ, D ð0, 5Þ, E ð3, 4Þ, F ð4, 3Þ og G ð5, 0Þ. Hva slags kurve ligger punktene pa˚?

B 2.66 En person hopper ut fra et fly med fallskjerm pa˚ ryggen. Tabellen nedenfor viser hvor stor fart, v m=s, personen har t sekunder etter at hun har hoppet: t

0

2,5

5,0

7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0

v

0

28

40

47

48

48,5

49

20

6

6

a) Tegn punktene i et koordinatsystem. Sett av tida t langs x-aksen og la 1 cm være 2;5 s. Sett av farten langs y-aksen og la 1 cm være 5 m=s. b) Tegn en glatt kurve gjennom punktene. c) Beskriv bevegelsen med ord.

6


B 2.67 a) Merk av følgende punkter i et koordinatsystem der du bruker 1 cm som enhet pa˚ begge aksene: ð5, 0Þ, ð4, 3Þ, ð3, 4Þ, ð0, 5Þ, ð3, 4Þ, ð4, 3Þ, ð5, 0Þ, ð4, 3Þ, ð3, 4Þ, ð0, 5Þ, ð3, 4Þ, ð4, 3Þ, ð5, 0Þ

c) y ¼ 2x  1

b) Trekk en glatt kurve gjennom punktene. Hva slags figur fa˚r du?

d) Hvordan kunne vi pa˚ forha˚nd sett at de tre linjene er parallelle?

c) Regn ut x2 þ y2 for noen av punktene. Hvilken sammenheng finner du? d) Vi ønsker a˚ flytte figuren slik at sentrum blir i ð1, 2Þ. Hva ma˚ vi gjøre med koordinatene i a?

2.4

Rett linje – grafen til lineære funksjoner

A 2.68 a) Tegn linja y ¼ x þ 2.

b) Tegn linja som er parallell med linja i a, og som ga˚r gjennom punktet ð0, 4Þ. Finn uttrykket for linja. c) Finn uttrykket for den parallelle linja som ga˚r gjennom punktet ð3, 7Þ. A 2.69 Tegn linjene gjennom de gitte punktene nedenfor. Les av stigningstallet a og konstantleddet b. Skriv uttrykket y ¼ ax þ b for de to linjene: a) ð2, 1Þ og ð1, 7Þ

b) ð1, 0Þ og ð2; 6Þ A 2.70 Tegn grafene til funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem for x-verdier mellom 4 og 5:

1 a) y ¼ x þ 1 2 b) y ¼ x þ 1 c) y ¼ 2x þ 1

A 2.71 Tegn grafene til funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem for x-verdier mellom 5 og 5: a) y ¼ 2x þ 3

b) y ¼ 2x

B 2.72 a) Tegn linja gjennom punktet ð3, 2Þ parallell med linja y ¼ 0; 5x þ 4. b) Tegn grafen til funksjonen y ¼ 2x þ 6. Tegn deretter inn en ny linje gjennom ð2, 3Þ som krysser den første linja i 90 vinkel. Hva er funksjonsuttrykket for den andre linja?

C 2.73 a) Finn likningen for en linje som er parallell med y ¼ 2x þ 3 og skjærer y-aksen i ð0, 5Þ. b) Finn likningen for en rett linje som sta˚r vinkelrett pa˚ y ¼ 2x þ 3 og skjærer y-aksen i samme punkt som y ¼ 2x þ 3.

c) Hva er sammenhengen mellom stigningstallene til to linjer som sta˚r vinkelrett pa˚ hverandre?

2.5

Kostnader, inntekter og overskudd

A 2.74 Prisen for en leiebil na˚r vi kjører x km, er gitt ved funksjonen y ¼ 0;95x þ 1800.

a) Tegn grafen til y for kjørelengder opptil 200 mil. Bruk grafen til a˚ svare pa˚ disse spørsma˚lene: b) Hvor mye koster det a˚ kjøre 150 mil? c) Hvor langt har vi kjørt dersom leieprisen kommer pa˚ 2560 kroner?

d) Hvordan kunne vi pa˚ forha˚nd sett at alle linjene ga˚r gjennom ð0, 1Þ? Øvingsoppgaver

101


A 2.75 En bedrift produserer skolegensere. De faste kostnadene per dag er 6000 kroner. I tillegg kommer materialkostnader pa˚ 70 kroner per genser. Bedriften selger genserne for 220 kroner per stykk.

a) En dag blir det produsert og solgt x gensere. Sett opp uttrykkene for kostnaden K og inntekten I i kroner. b) Tegn grafene for x-verdier mellom 0 og 100. c) Finn grafisk og ved regning na˚r inntekten er lik kostnaden. d) Forklar at overskuddet blir O ¼ 150x  6000. Tegn denne grafen i samme koordinatsystem. e) Forklar at overskuddsgrafen passer med grafene for inntekt og kostnad. A 2.76 Du overtaler foreldrene dine til a˚ selge bilen og i stedet melde seg inn i et bilkollektiv. Dere reiser kollektivt sa˚ ofte dere kan, og leier ellers bil i kollektivet. Leieprisen per dag for x kjørte kilometer er gitt ved y ¼ 180 þ 1;6x

a) Tegn grafen for x-verdier mellom 0 og 600. b) Vi regner at strekningen Trondheim–Oslo er om lag 50 mil. Hvor mye koster det a˚ leie bilen i to dager og kjøre strekningen Trondheim–Oslo tur-retur? c) Du leier bilen en dag og fa˚r en regning pa˚ 580 kroner. Hvor langt har du kjørt? A 2.77 En bedrift produserer etuier til bærbare musikkspillere. Kostnadene K kroner ved en produksjon av x etuier per dag er gitt ved K ¼ 7;5x þ 3000

a) Hvor store er de variable og de faste kostnadene ved produksjon av x enheter? b) Bedriften regner med a˚ produsere maksimalt 250 etuier per dag. Tegn grafen til K i et koordinatsystem. Bedriften regner med a˚ kunne selge etuiene til kr 50 per stykk. Inntekten I blir da I ¼ 50x c) Framstill I grafisk i det samme koordinatsystemet. d) Bestem grafisk hvor mange enheter som ma˚ produseres og selges for at bedriften skal tjene inn utgiftene sine.

102

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

A 2.78 En elevbedrift produserer boller for salg. Kostnadene ved produksjon av x boller er K ¼ 800 þ 1;20x

Bollene blir solgt for kr 5 per stykk. Inntekten blir altsa˚ I ¼ 5x. a) Tegn grafene til K og I for x-verdier mellom 0 og 1000. b) Finn grafisk na˚r bedriften ga˚r med overskudd. c) Hva er overskuddet na˚r elevene selger 800 boller?

B 2.79 En klasse skal pa˚ klassetur og prøver a˚ delfinansiere turen ved a˚ selge kakebokser. De regner med faste kostnader pa˚ kr 400 og ma˚ betale leverandøren kr 15 per boks. De selger boksene for kr 45 per stykk.

a) Finn et uttrykk for kostnaden K, inntekten I og overskuddet O. Tegn grafene til de tre funksjonene for x-verdier mellom 0 og 200. b) Hvor mange bokser ma˚ klassen selge for a˚ ga˚ med overskudd?

B 2.80 En bedrift hadde 30 ansatte i 1985, da bedriften startet. Tjue a˚r seinere var antallet ansatte 390. Vi regner med at økningen har vært jevn.

a) Sett x ¼ 0 i 1980 og finn uttrykket for antall ansatte, y, om x a˚r. b) Hvor mange ansatte vil det være i 2015 dersom utviklingen fortsetter pa˚ samme ma˚te? c) Na˚r var det 156 ansatte i bedriften?


2.6

2.7

Proporsjonale størrelser – endring i samme takt

A 2.81

Omvendt proporsjonale størrelser

A 2.84 Undersøk om x og y er omvendt proporsjonale størrelser. Finn y uttrykt ved x dersom størrelsene er omvendt proporsjonale.

y, kr 80 60

a)

40

x

10

20

30

40

50

y

80

41

27

20

16

x

20

50

100

200

400

y

61

24

12

5,9

3,0

x

20

40

60

80

100

y

17

13,5

12,3

11,7

11,4

20

x, minutter 20

40 60

b)

80 100

Grafen viser hvor mange minutter vi ringer med en mobiltelefon, og hvor mye vi ma˚ betale for samtalen. a) Forklar at antallet minutter i ringetid og prisen vi ma˚ betale, er proporsjonale størrelser. b) Finn en formel for sammenhengen mellom de to størrelsene.

c)

B 2.85 y 10

A 2.82 Undersøk om x og y er proporsjonale størrelser. Finn y uttrykt ved x dersom størrelsene er proporsjonale. a) x 10 15 25 30 40 50

b)

c)

y

118

178

304

354

450

598

x

10

20

30

40

50

60

y

138

262

380

506

602

740

x

10

20

30

40

50

y

4

7,8

11,9

15,8

19,9

B 2.83 En bil bruker 0;80 l bensin per mil pa˚ langkjøring. Bensinen koster kr 11 per liter. a) Forklar at bensinkostnaden ved a˚ kjøre x mil er y ¼ 8;8x.

b) Tegn grafen til y for x-verdier mellom 0 og 100 mil. c) Finn grafisk hvor mye det koster a˚ kjøre 50 mil. d) Hvor langt kan vi kjøre for kr 200?

8 6 4 2

2

4

6

8

x

Grafen viser sammenhengen mellom to omvendt proporsjonale størrelser, x og y. a) Finn formelen for sammenhengen mellom x og y i dette tilfellet. b) Hva blir y na˚r x ¼ 5? c) Hva blir x na˚r y ¼ 8? B 2.86 Et ma˚nedskort pa˚ T-banen koster kr 350. a) Finn et uttrykk for prisen y kroner per tur na˚r vi reiser x turer. b) Tegn grafen til y for x-verdier mellom 10 og 100. c) Hva blir prisen per tur na˚r vi reiser 50 turer? d) Hvor mange ganger ma˚ vi reise for at prisen per tur skal bli mindre enn kr 5;00?

Øvingsoppgaver

103


2.8

Funksjonsbegrepet. Funksjon som tekst, tabell, funksjonsuttrykk eller graf

A 2.87 Kostnadene ved produksjon av en spesiell maskindel er gitt ved

KðxÞ ¼ x2 þ 50x þ 140 000 der x er mellom 0 og 750. a) Lag tabell pa˚ et digitalt verktøy og bestem vinduet du vil bruke. b) Tegn grafen pa˚ et digitalt verktøy.

A 2.88 En bedrift produserer paraplyer. Na˚r bedriften i løpet av en uke produserer x paraplyer, er kostnadene gitt ved funksjonen

f ðxÞ ¼ 0;045x2 þ 78x þ 34 000 der x er mellom 0 og 10 000. a) Lag tabell pa˚ et digitalt verktøy og bestem vinduet du vil bruke. b) Tegn grafen pa˚ et digitalt verktøy.

A 2.89 Live har fa˚tt en andel i et aksjefond av faren sin til en verdi av 28 500 kroner. Fondsmekleren regner med at fondet vil ha en avkastning pa˚ 12 % de neste ti a˚rene. a) Lag en tabell over verdien av Lives aksjefond om ett, to, fem, sju og ti a˚r. b) Tegn grafen over sammenhengen mellom verdien av fondsandelen og antall a˚r. La x ga˚ fra 0 til 10.

c) La FðtÞ være funksjonsuttrykket som viser hvor mye Lives del av aksjefondet er verdt etter t a˚r. Finn FðtÞ. d) Live regner med a˚ selge fondsandelen sin na˚r den er verdt 75 000 kroner. Hvor lang tid tar det?

104

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

A 2.90 Du konverterer cd-samlingen din til AAC-format (MPEG-4). Konverteringsmotoren arbeider med en fart pa˚ 0;2 MB=s. a) Sett opp en tabell som viser hvor mange megabyte (MB) du har konvertert etter 0, 60 og 3600 sekunder.

b) Tegn grafen som viser sammenhengen mellom antall sekunder og antall megabyte som er konvertert. La x-aksen ga˚ opp til x ¼ 7200. c) Finn funksjonsuttrykket na˚r MðxÞ er datamengden som er konvertert etter x sekunder. d) Bestem grafisk hvor lang tid det tar a˚ konvertere to cd-er. To cd-er utgjør til sammen om lag 1300 MB. B 2.91 Til konfirmasjonen fikk Petter penger av farmor. Han satte pengene i banken til en a˚rlig rente pa˚ 4,0 %. Na˚ lyder kontoen pa˚ kr 10 816.

a) Bestem vekstfaktoren. b) Sett opp et uttrykk KðxÞ for hvor mye som sta˚r pa˚ kontoen om x a˚r regnet fra i dag. c) Tegn grafen som viser sammenhengen mellom KðxÞ og x. La x-aksen ga˚ til 10. d) Hva lyder kontoen pa˚ om fem a˚r? e) Hvor mye fikk Petter av farmor da han ble konfirmert for to a˚r siden? f) Hvor lang tid ga˚r det før beløpet har vokst til kr 15 000? B 2.92 (Eksamen 1MX) Vann er gjennomsiktig, men absorberer en del av lyset. Kommer vi langt nok ned i havet, er det stummende mørkt.

Funksjonen I viser hvor mye lysstyrke som er igjen (ma˚lt i prosent) x meter under havflata, og er gitt ved I ðxÞ ¼ 100  0;95 x a) Tegn grafen til f i et koordinatsystem. Velg x-verdier mellom 0 og 50. b) Hvor mange prosent av lysstyrken er igjen pa˚ 30 meters dyp? c) Hvor dypt ma˚ en dykke før lysstyrken er halvert? Finn svaret grafisk.


2.9

Skjæringspunkt. Hvilken graf er øverst?

A 2.93 Tegn grafene pa˚ et digitalt verktøy og finn skjæringspunktene med x-aksen:

a) f ðxÞ ¼ x2 þ x  12 for x-verdier mellom 5 og 5 b) f ðxÞ ¼ x2  5x þ 6 for x-verdier mellom 0 og 5

B 2.97 En person støter kule. Høyden i meter over bakken er gitt ved

H ðxÞ ¼ 0;037x2 þ 0;83x þ 1;80 der x ga˚r fra 0 til 25 og er avstanden i meter ma˚lt langs bakken. a) Lag tabell pa˚ et digitalt verktøy og bestem koordinatsystemet du vil bruke.

c) f ðxÞ ¼ x2  x þ 6 for x-verdier mellom 4 og 4

b) Tegn grafen til H pa˚ et digitalt verktøy.

d) f ðxÞ ¼ x3  6x2 þ 11x  6 for x-verdier mellom 1 og 4

c) Hvor langt blir kulestøtet?

A 2.94 Totalkostnadene ved en produksjon av x sykler er gitt ved

2.10

Topp- og bunnpunkter

KðxÞ ¼ 0;2x þ 40x þ 1280 2

der x er mellom 0 og 100. a) Tegn grafen pa˚ et digitalt verktøy. b) Finn kostnadene ved en produksjon pa˚ 60 sykler. c) Hvor stor er produksjonen na˚r kostnadene er kr 5760?

A 2.98 Tegn grafene pa˚ et digitalt verktøy og finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter for disse funksjonene:

a) f ðxÞ ¼ x2  2x  3,

ðx mellom 2 og 4Þ

b) f ðxÞ ¼ x  2x þ 8,

ðx mellom 5 og 6Þ

c) f ðxÞ ¼ x2  2x þ 3,

ðx mellom 5 og 3Þ

d) f ðxÞ ¼ 0;5x  3x þ 5,

ðx mellom 1 og 7Þ

e) f ðxÞ ¼ x3  3x2 ,

ðx mellom 1 og 4Þ

f) f ðxÞ ¼ x  x  x þ 1,

ðx mellom 2 og 2Þ

2

A 2.95 Stopplengden for en bil som kjører med farten x km=h, er under visse forhold gitt ved

sðxÞ ¼ 0;013x2 þ 0;14x Tegn grafen pa˚ et digitalt verktøy for x-verdier mellom 0 og 120. a) Finn stopplengden na˚r x ¼ 60. b) Finn farten na˚r stopplengden er 100 m. c) Hvordan ga˚r det med stopplengden na˚r farten øker fra 50 km=h til 100 km=h? A 2.96 En bedrift produserer en vare. Kostnadene ved en produksjon pa˚ x enheter er

KðxÞ ¼ 0;08x2 þ 32x þ 4000 der x  500. Inntektene er gitt ved

2

3

2

A 2.99 En bedrift produserer hodesett til mobiltelefoner. Na˚r produksjonen per uke er x enheter, er overskuddet i kroner gitt ved

OðxÞ ¼ x2 þ 450x  20 000 der x er mellom 0 og 500. Finn det største overskuddet grafisk pa˚ et digitalt verktøy.

I ðxÞ ¼ 0;02x2 þ 82x a) Vis at overskuddet OðxÞ ¼ I ðxÞ  KðxÞ blir OðxÞ ¼ 0;10x2 þ 50x  4000 b) Tegn grafen til OðxÞ pa˚ et digitalt verktøy. Na˚r er overskuddet lik null? c) Hvilke produksjons- og salgstall gir positivt overskudd? Øvingsoppgaver

105


B 2.100 En bedrift regner med at kostnaden K ved a˚ produsere x votter er gitt ved formelen

KðxÞ ¼ 20 000 þ 15x þ 0;01x

B 2.103 En funksjon f er gitt ved

f ðxÞ ¼ x2  x  6

2

a) Regn ut f ð2Þ, f ð0Þ, f ð3Þ og f ð5Þ.

a) Vis at kostnaden per enhet, E, er gitt ved 20 000 EðxÞ ¼ 0;01x þ 15 þ x b) Tegn grafen til E pa˚ et digitalt verktøy for verdier av x mellom 500 og 5000.

c) Finn gjennomsnittlig vekst na˚r x er mellom 0 og 3.

c) Finn den laveste enhetskostnaden bedriften kan fa˚, og den tilsvarende verdien av x.

d) Regn ut gjennomsnittlig vekst na˚r x er mellom 3 og 5.

d) Finn hvilket omra˚de x ma˚ ligge i dersom prisen per enhet skal holde seg under kr 50.

2.11

Gjennomsnittlig vekst

A 2.101 y

10

b) Bestem gjennomsnittlig vekst i intervallet fra x ¼ 2 til x ¼ 0.

B 2.104 En Ross 308-broiler veier 42 g na˚r foˆringen starter. Den første uka vokser broileren med 20 g=dag. Den andre uka er den daglige veksten 39 g=dag. Den tredje uka vokser broileren med 60 g=dag, den fjerde uka med 77 g=dag, og den femte uka vokser den med 87 g=dag. a) Finn vekta etter to uker.

b) c) d) e)

9 8 7

Finn vekta etter tre uker. Finn vekta etter fem uker. Finn vekta etter 30 dager. Na˚r veier broileren 1,00 kg?

6

B 2.105 En grisebonde avler opp griser. Han starter foˆringen na˚r grisene veier 11;9 kg, og han selger grisene na˚r de veier 29;9 kg. Grisene vokser med 614 g=dag. a) Hvor lenge foˆrer han grisene?

5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 x

Bruk grafen til a˚ svare pa˚ oppgavene. a) Finn gjennomsnittlig vekst i intervallet fra x ¼ 0 til x ¼ 4. b) Finn gjennomsnittlig vekst fra x ¼ 2 til x ¼ 6. c) Finn gjennomsnittlig vekst fra x ¼ 2 til x ¼ 8. A 2.102 6. april er dagslengden i Bergen 13 timer 43 minutter. Dagslengden øker med a˚tte minutter per dag.

a) Hvor lang er dagslengden ti dager seinere? b) Hvor lang er dagslengden 17. mai? c) Hvor lang er dagslengden 25. august? Kommenter svaret.

106

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

En annen grisebonde starter foˆringen na˚r grisene veier 10;6 kg, og selger dem etter 36 dager. Da veier grisene 33;9 kg. b) Hvor mye vokser grisene per dag i perioden? En tredje grisebonde begynner na˚r grisene veier 11;5 kg. Grisene vokser med 627 g per dag, og han selger dem etter 31 dager. c) Hva veier grisene da?


2.12

Lineær regresjon – hva skjer i nærmeste framtid?

A 2.106 Vi har observert seks sammenhørende verdier av to størrelser, x og y: x

1

2

3

4

5

6

y

3

4

7

8

10

12

B 2.109 Forskere har studert gjennomsnittsfarten til skogsmaur ved ulike temperaturer. Resultatet ga˚r fram av tabellen nedenfor. Her er x temperaturen i celsiusgrader,  C, mens f ðxÞ er gjennomsnittsfarten i centimeter per sekund, cm=s: x

10,0

12,0

14,0

16,0

18,0

20,0

y

0,59

0,81

1,03

1,25

1,47

1,69

a) Tegn punktene i et koordinatsystem. b) Finn ved lineær regresjon pa˚ et digitalt verktøy den best mulige sammenhengen mellom x og y. c) Tegn regresjonslinja inn i koordinatsystemet.

a) Bruk lineær regresjon pa˚ et digitalt verktøy til a˚ finne funksjonen.

B 2.107 Vi har ma˚lt kroppslengden x cm og fotlengden y cm hos ti personer:

b) Finn gjennomsnittsfarten til skogsmaur na˚r temperaturen er 17;0  C. c) Finn ved regning temperaturen na˚r gjennomsnittsfarten er 1;14 cm=s.

x

191

182

156

162

171

y

31

27

18

18

22

x

178

184

188

170

174

y

24

28

30

25

25

a) Merk av observasjonene i et koordinatsystem. b) Ga˚ ut fra at vi har en lineær sammenheng. Finn regresjonslinja. c) Hvor lange føtter vil en person pa˚ 205 cm ha etter modellen? d) Hvordan passer resultatet med din egen høyde og fotlengde? B 2.108 Elektrisitetsforbruket til husholdninger blir ma˚lt i kilowattimer, kWh. I tabellen nedenfor er x antall a˚r regnet fra 1976, det vil si at x ¼ 0 i 1976, x ¼ 1 i 1977 osv. f ðxÞ er det gjennomsnittlige a˚rsforbruket i kilowattimer: x

0

4

f ðxÞ

8060

9300

8

12

10 860 12 200

a) Finn den lineære funksjonen f ðxÞ ved regresjon. Videre i oppgaven regner vi med at f ðxÞ ¼ 350x þ 8000 b) Hvor stort var det gjennomsnittlige a˚rsforbruket i 2001? c) Na˚r passerte det gjennomsnittlige a˚rsforbruket 15 000 kWh?

Videre i oppgaven regner vi med funksjonen f ðxÞ ¼ 0;11x  0;51

2.13

Vekstfaktor – prosentregning på en ny måte

A 2.110 a) Regn ut vekstfaktoren ved en økning pa˚ 1) 3 % 2) 13 % 3) 31;3 % 4) 73 %

b) Regn ut vekstfaktoren ved en nedgang pa˚ 1) 43 % 2) 11;7 % 3) 0;8 % 4) 6;9 % A 2.111 En bil koster kr 450 000. Bruk vekstfaktor til a˚ finne hvor mye bilen koster na˚r

a) prisen øker med 12 % b) prisen minker med 12 % A 2.112 En bærbar datamaskin koster 14 450 kroner i en nettbutikk. Bruk vekstfaktor til a˚ regne ut hva maskinen koster na˚r a) prisen øker 13 % b) prisen ga˚r ned 25 % A 2.113 Etter at prisen pa˚ et fjernsynsapparat er satt ned 20 %, koster det kr 7400. Hvor mye kostet fjernsynet opprinnelig?

Øvingsoppgaver

107


A 2.114 Per har latt et pengebeløp sta˚ urørt i banken til 2 % a˚rlig rente. Na˚ sta˚r det 6500 kroner pa˚ kontoen. a) Hvor mye sta˚r det pa˚ kontoen om fire a˚r? b) Hvor mye penger var det pa˚ kontoen for tre a˚r siden? A 2.115 Forbruket av en ressurs er na˚ 300 tonn. Forbruket minker med 7 % per a˚r. a) Hvor stort blir forbruket om tre a˚r? b) Hvor stort var forbruket for tre a˚r siden? B 2.116 I en fylkeskommune blir skolene finansiert ved at skolen fa˚r tilført en fast sum penger per elev. Fra 2004 til 2005 gikk denne summen ned 3;9 %. Fra 2005 til 2006 økte summen 4;7 %. I 2006 var summen kr 51 378. Hvor stor var summen i 2004? B 2.117 Pa˚ en kaninfarm øker antallet kaniner med 7 % per uke. Hvor lang tid ga˚r det før antallet har doblet seg? C 2.118 En prognose viser at folketallet i et land øker med 1;2 % per a˚r. Folketallet er na˚ 61;2 millioner. a) Hvor stort er folketallet om tjue a˚r?

b) Hvor mange prosent økte folketallet til sammen pa˚ disse tjue a˚rene? c) Hvor lang tid tar det a˚ doble folketallet? C 2.119 Utslippene av en klimagass skal reduseres med 10 % a˚rlig. Hvor lang tid tar det a˚ redusere utslippene til 10 % av opprinnelig verdi?

2.14

Eksponentiell vekst – til himmels eller andre veien?

A 2.120 Vi setter 15 300 kroner i banken til 2 % rente per a˚r. Banken garanterer oss minst samme rente i ti a˚r. a) La y kroner være saldoen pa˚ kontoen etter x a˚r. Sett opp uttrykket for y. b) Hva er saldoen etter fem a˚r?

c) Tegn grafen til y for x-verdier mellom 0 og 10. d) Finn grafisk hvor lang tid det ga˚r før det sta˚r 18 000 kroner pa˚ kontoen. A 2.121 Ga˚ ut fra at en mengde pa˚ 5000 kg minker med 11 % per a˚r.

a) Sett opp et uttrykk som viser mengden y etter x a˚r. b) Tegn grafen til y na˚r x ga˚r fra 0 til 20. c) Finn grafisk hvor lang tid det tar før mengden har minket til 3500 kg. d) Hvor lang tid ga˚r det før mengden er halvert? B 2.122 Et aksjefond har en forventet a˚rlig avkastning pa˚ 8 % de neste ti a˚rene. Du kjøper fondsandeler for 15 000 kroner. a) Hvor mye kan du regne med at andelene dine er verdt om sju a˚r? b) Tegn en graf som illustrerer verdien av fondsandelene dine. La y være verdien i kroner og x antall a˚r fra i dag. Velg verdier av x mellom 0 og 15. c) Finn grafisk na˚r du kan regne med at fondsandelene er verdt kr 32 000. B 2.123 Hovedindeksen pa˚ Oslo Børs har de siste tolv ma˚nedene steget ca. 3;3 % per ma˚ned. Aksjeposten din i energiselskapet Va˚tnett er na˚ verdt 23 783 kroner. Vi tenker oss at aksjeposten din har steget i samsvar med hovedindeksen.

a) Sett opp en funksjon som viser verdien av aksjeposten din om x ma˚neder.

108

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER


b) Hvor mye var aksjeposten din verdt for fire ma˚neder siden? Hva vil den være verdt om tre ma˚neder? c) Tegn grafen til funksjonen for x-verdier mellom 8 og 24. d) Finn grafisk na˚r verdien av aksjeposten er 40 000 kroner. C 2.124 En miljøorganisasjon har fa˚tt gjennomslag for at alle bedriftene i en kommune skal redusere utslippene til naturen med 11 % per a˚r. a) Hvor lang tid ga˚r det før bedriftenes utslipp er halvert? b) Miljøorganisasjonen mener at utslippene ma˚ ned pa˚ 15 % av dagens niva˚. Hvor lang tid tar det? c) Miljøorganisasjonen mener at ma˚let om a˚ na˚ 15 % av dagens niva˚ ma˚ skje innen en periode pa˚ seks a˚r. Hvor mange prosent ma˚ bedriftene da redusere utslippene sine med a˚rlig?

2.16

Blandede oppgaver

Oppgave 2.130 Et idrettslag driver kiosk for a˚ skaffe inntekter. I april et a˚r ble det solgt sjokolade for 18 400 kroner. I mai ble det solgt sjokolade for 3;7 % mer. a) Hvor mange kroner ble det solgt sjokolade for i mai?

I mai ble det solgt pølser for 19 510 kroner. Det var en nedgang pa˚ 2;6 % i forhold til ma˚neden før. b) Hvor mange kroner ble det solgt pølser for i april? Idrettslaget har en inntekt pa˚ 21 % av kiosksalget. Pølsesalget var uendret fra mai til juni, og idrettslaget fikk en inntekt pa˚ 8000 kroner av pølse- og sjokoladesalget i juni. c) Hvor mange prosent endret sjokoladesalget seg fra mai til juni? Oppgave 2.131 a) Vi har denne tabellen:

2.15

Potenslikninger

A 2.125 Løs likningene:

a) x ¼ 2;3 19 c) 2x3 ¼ 2 5

b) x ¼ 7 7

d) x 0;5 ¼ 0;25

B 2.126 En klubb økte medlemstallet sitt fra 53 til 97 pa˚ tre a˚r. Hvor stor var den gjennomsnittlige prosentvise økningen per a˚r? B 2.127 Ole bruker 50 000 kr pa˚ aksjefond. To a˚r seinere har verdien økt til 170 000 kr. Finn den gjennomsnittlige renten per a˚r i dette aksjefondet. B 2.128 En motorsykkel halverer verdien sin pa˚ tre a˚r. Hvor stor prosentvis nedgang gir dette per a˚r for motorsykkelen? B 2.129 Et kunstverk har økt like mye i verdi hvert a˚r. I 2009 kostet kunstverket 8000 kr. I 2013 kostet det 12 000 kr. Na˚r passerer bildet 20 000 kr i verdi etter denne modellen?

x

6

7

8

9

10

11

12

y

1,62

1,89

2,16

2,43

2,70

2,97

3,24

1) Forklar at x og y er proporsjonale størrelser. 2) Finn sammenhengen (formelen) mellom x og y. b) Vi har denne tabellen: x y

6

7

8

9

10

11

12

0,112 0,096 0,084 0,074 0,067 0,061 0,056

1) Forklar at x og y er omvendt proporsjonale størrelser. 2) Finn sammenhengen (formelen) mellom x og y. Oppgave 2.132 Per er to ma˚neder gammel. I dag veier han 5800 g. I sin første levema˚ned økte Per vekta med 25 %, og i den andre levema˚neden økte han vekta med 30 %. a) Hvor mye veide Per da han ble født? b) Hvor mange prosent har vekta hans økt pa˚ to ma˚neder? c) Hvorfor blir ikke svaret 25 % þ 30 % ¼ 55 %?

Øvingsoppgaver

109


Oppgave 2.133 Sondre satte inn kr 5000 pa˚ en sparekonto. Det første a˚ret fikk han 4 % rente. Neste a˚r steg renten til 4;5 %, men det tredje a˚ret falt den til 4;2 %. Ved utgangen av det fjerde a˚ret stod det kr 5883 pa˚ kontoen. Hva lød renten pa˚ det fjerde a˚ret? Oppgave 2.134 Forskere har studert gjennomsnittsfarten til skogsmaur ved ulike temperaturer. Resultatet ga˚r fram av tabellen nedenfor. Her er x temperaturen i celsiusgrader,  C, mens y er gjennomsnittsfarten i centimeter per sekund, cm=s: x

10,0

12,0

14,0

16,0

18,0

20,0

y

0,59

0,81

1,03

1,25

1,47

1,69

a) Tegn grafen som viser hvordan gjennomsnittsfarten varierer med temperaturen. b) Hva blir gjennomsnittsfarten na˚r temperaturen er 17 C? c) Hva er temperaturen na˚r gjennomsnittsfarten er 1;14 cm=s? Oppgave 2.135 For a˚ leie en kopimaskin ma˚ en skole betale 1800 kroner per ma˚ned og i tillegg kr 0;28 per kopi. a) Finn en formel for kostnaden y ved a˚ ta x kopier i ma˚neden. b) Finn hvor mange kopier skolen maksimalt kan ta dersom utgiftene per ma˚ned ikke skal overstige 2800 kroner. c) Finn en formel for prisen E per kopi na˚r skolen tar x kopier. d) Finn hvor mange kopier skolen minst ma˚ ta dersom prisen per kopi skal holde seg under kr 0;40. Oppgave 2.136 Tabellen nedenfor viser resultatet av stortingsvalget i 2001: Parti

Oppslutning

Endring

Mandater

Endring

Ap

24,4 %

10,6

43

22

SV

12,4 %

þ6,4

23

þ14

RV

1,2 %

0,5

0

0

Sp

5,6 %

2,4

10

1

KrF

12,5 %

1,2

22

1

V

3,9 %

0,6

2

4

H

21,3 %

þ6,9

38

þ15

FrP

14,7 %

0,6

26

þ1

Andre

4,2 %

þ2,6

1

0

110

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

a) Framstill de to første kolonnene grafisk pa˚ et diagram. Forklar hva slags diagram du har laget, og hvorfor du valgte nettopp et slikt diagram. b) Framstill mandatfordelingen pa˚ en annen type diagram enn du valgte i a, og som du mener er egnet til forma˚let. Sammenlikn de to diagrammene du har brukt. Oppgave 2.137 En person fikk følgende tilbud pa˚ et leksikon som omfatter 16 bind: De to første bindene fa˚r han som gave. De 14 siste bindene ma˚ han betale ordinær pris for. Den ordinære prisen er 625 kroner per bind. a) Regn ut gjennomsnittsprisen per bind. b) Hvor stort avslag i prosent gir dette tilbudet? Oppgave 2.138

Avisutklippet er fra 1982. Ga˚ ut fra at veksten har holdt fram i samme tempo. Hva er folketallet i Kina i dag? Oppgave 2.139 I en bakteriekultur har vi 200 bakterier, og bakterietallet vokser med 14;8 % per time. p ? a) Hva blir vekstfaktoren 1 þ 100 b) Hvor mange bakterier har vi etter to timer og etter tre timer? c) Skriv opp en formel for hvor mange bakterier vi har etter n timer. d) Finn hvor lang tid det ga˚r før bakterietallet er fordoblet – enten ved a˚ tegne grafen eller ved a˚ prøve deg fram.


Oppgave 2.140 Et beløp skal fordoble seg i banken over a˚tte a˚r. Hvor stor a˚rlig rentefot krever det? (Prøv deg fram pa˚ lommeregneren.) Oppgave 2.141 To kommuner, A og B, har i dag folketallene 15 600 og 19 200. I kommune A regner vi med en vekst pa˚ 5,0 % per a˚r i tida som kommer. I kommune B regner vi med at veksten bare blir 3,0 % i a˚ret. Finn et uttrykk for folketallet i de to kommunene om x a˚r. Tegn grafene i samme koordinatsystem. Na˚r er folketallet i de to kommunene like stort?

Oppgave 2.144 Vi har fulgt utviklingen i prisen pa˚ en aksje gjennom et helt a˚r. Vi lar x være tida i antall ma˚neder fra nytta˚r, og vi regner at hver ma˚ned har 30 dager. Det vil si at x ¼ 2;5 den 15. mars. Prisen pa˚ aksjen er kr AðxÞ. Det viser seg at vi tilnærmet kan sette

AðxÞ ¼ 0;2x3  3;9x2 þ 18x þ 60 a) Tegn grafen pa˚ et digitalt verktøy. Bruk x-verdier mellom 0 og 12 med avstand 1 og y-verdier mellom 0 og 100 med avstand 10. Bruk et digitalt verktøy til a˚ svare pa˚ disse spørsma˚lene: b) Na˚r kostet aksjen kr 74;30?

Oppgave 2.142 Anna setter inn kr 12 000 i banken og fa˚r en a˚rlig rente pa˚ 4,9 %. Samtidig kjøper Sta˚le en bruktbil til kr 45 000. Bilen har et verditap pa˚ 15 % per a˚r. Finn et uttrykk for hvor mye Anna har i banken om x a˚r, og hvor mye bilen er verdt om x a˚r. Tegn grafene i samme koordinatsystem. Hvor lang tid tar det før Anna kan kjøpe bilen av Sta˚le?

c) Na˚r kostet aksjen mest? Hvor mye kostet den da?

Oppgave 2.143 En bedrift har problemer med sykefraværet til sine ansatte. Det samlede fraværet siste a˚r var totalt 3000 dager. Bedriften tar sikte pa˚ a˚ redusere fraværet de neste a˚rene gjennom ulike miljøtiltak. Bedriften drøfter derfor to modeller for nedgangen den ønsker a˚ oppna˚: – Etter modell A skal fraværet ga˚ ned 200 dager per a˚r. – Etter modell B skal fraværet minke 9,0 % per a˚r.

a) Tegn grafen til f for x-verdier mellom 3 og 3. b) Løs likningen f ðxÞ ¼ 0;50 grafisk. c) Hva skjer med verdien av f ðxÞ na˚r x avtar? d) Tegn grafen til gðxÞ ¼ x þ 2 i det samme koordinatsystemet. e) Finn grafisk skjæringspunktene mellom grafene til f og g. Finn de samme skjæringspunktene pa˚ et digitalt verktøy.

Vi lar FA være det a˚rlige fraværet om x a˚r etter modell A, mens FB er fraværet etter modell B. a) Sett opp uttrykkene for FA og FB . b) Tegn grafene til FA og FB i samme koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 10. c) Til a˚ begynne med minker fraværet raskest etter modell B, men etter hvert blir modell B tatt igjen av modell A. Forklar hvorfor det er slik. d) Finn na˚r a˚rsfraværet er det samme etter de to modellene. Løs oppgaven ved a˚ lese av pa˚ grafene.

d) Na˚r kostet aksjen minst? Hvor mye kostet den da? 1. februar kjøpte Anne 300 aksjer. Hun solgte 200 av aksjene 15. februar. Resten av aksjene solgte hun 15. mars. e) Hvor mye tjente hun i alt? Oppgave 2.145 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 1;50  1;75 x .

Oppgave 2.146 Funksjonen f er gitt ved

f ðxÞ ¼ x3  6x2 þ 9x  2 der x er mellom 1 og 5. a) Tegn grafen til f pa˚ et digitalt verktøy. Velg selv passende enheter langs aksene. b) Finn toppunktet og bunnpunktet pa˚ funksjonsgrafen. c) Finn nullpunktene. d) Løs grafisk likningen f ðxÞ ¼ 1. e) Løs grafisk likningen x3  6x2 þ 9x  2 ¼ 2x þ 1 Øvingsoppgaver

111


Oppgave 2.147 Na˚r vi produserer x enheter av en artikkel, regner vi at kostnaden K i kroner er gitt ved

KðxÞ ¼ 6000 þ 70x þ 0;8x

2

der x er mellom 0 og 200. Vi tjener kr 220 pa˚ hver artikkel, slik at inntekten I er gitt ved I ðxÞ ¼ 220x for x-verdier mellom 0 og 200. a) Tegn grafene til K og I pa˚ et digitalt verktøy. b) For hvilke verdier av x er inntektene og kostnadene like store? c) Tegn grafen for overskuddet, OðxÞ ¼ I ðxÞ  KðxÞ. d) Finn ved hjelp av et digitalt verktøy hvilken verdi av x som gir det størst mulige overskuddet. Hvor stort er dette maksimale overskuddet? Oppgave 2.148 I 1994 ble det slaktet 200 000 tonn oppdrettslaks i Norge. Tallet økte til 332 000 tonn i 1997. Vi ga˚r ut fra at økningen har vært lineær.

I denne oppgaven er tida x regnet fra 1995, det vil si at x ¼ 0 i 1995, x ¼ 1 i 1996, x ¼ 1 i 1994 osv. a) Finn funksjonen f som viser den slaktede mengden oppdrettslaks etter x a˚r. b) Hvor mye oppdrettslaks ble slaktet i 2001? c) I hvilket a˚r ble det slaktet 420 000 tonn?

hðxÞ ¼ 0;029x2 þ 0;48x þ 2;00 a) Tegn grafen til funksjonen pa˚ et digitalt verktøy for verdier av x mellom 10 og 30. Skisser grafen i svaret ditt. Et kulestøt i friidrett blir filmet pa˚ video og analysert. Høyden til kula i meter over bakken viser seg a˚ være gitt ved hðxÞ, der x er avstanden ma˚lt i meter langs bakken. b) Marker pa˚ skissen i a den delen av grafen som beskriver banen for kulestøtet. c) Hvor høyt er kula i kastøyeblikket, det vil si na˚r x ¼ 0? d) Hva er den største høyden til kula over bakken? e) Hvor langt er kulestøtet?

Kapittel 2 | FUNKSJONER

f ðxÞ ¼ 0;25x3  2;2x 2 þ 2;5x þ 1 der x er mellom 2 og 9. a) Tegn grafen til f pa˚ et digitalt verktøy. b) Finn nullpunktene til f . c) Finn toppunkter og bunnpunkter. d) Løs grafisk likningen f ðxÞ ¼ 1.

Oppgave 2.151 En bedrift regner med at kostnadene ved a˚ produsere x par sko er gitt ved formelen

KðxÞ ¼ 17 000 þ 11x þ 0;01x2 a) Finn kostnadene ved a˚ produsere 1000 par sko og ved a˚ produsere 4000 par sko. Hva blir kostnadene per enhet i de to tilfellene? b) Vis at kostnadene per enhet er gitt ved 17 000 EðxÞ ¼ 0;01x þ 11 þ x c) Framstill denne formelen i et koordinatsystem. La x ha verdier opptil 5000. d) Les ut av grafen den laveste enhetsprisen bedriften kan fa˚, og den tilsvarende verdien av x. e) Finn hvilket omra˚de x ma˚ ligge i for at prisen per enhet skal holde seg under kr 50.

Oppgave 2.152 Ved produksjon og salg av x vareenheter ga˚r vi ut fra at de totale kostnadene er gitt ved

Oppgave 2.149 Vi har gitt funksjonen

112

Oppgave 2.150 Vi har gitt tredjegradsfunksjonen f :

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

KðxÞ ¼ x2 þ 70x þ 4900 der x er mellom 0 og 300. De totale bruttoinntektene er gitt ved funksjonen I ðxÞ ¼ 300x þ 2700 a) Skriv opp funksjonsuttrykket EðxÞ for gjennomsnittskostnaden per vareenhet. Tegn grafen til EðxÞ. Ved hvilke produksjonsmengder vil gjennomsnittskostnaden minke na˚r antall produserte enheter øker? Hva er den laveste verdien gjennomsnittskostnaden kan fa˚? Hvor stor produksjonsmengde svarer det til?


b) Skriv opp funksjonsuttrykket for den totale nettoinntekten (overskuddet) ved produksjon og salg av x vareenheter. Tegn grafen. Hvilke produksjonsmengder gir 1 overskudd 2 underskudd 3 balanse c) Hvor mange enheter ma˚ produseres for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort er overskuddet, og hva blir salgsprisen per enhet i dette tilfellet? Oppgave 2.153 Kari har fa˚tt seg hund. Hunden veier 4;0 kg, og de første ti ukene vokser den med 0;5 kg per uke. Deretter vokser hunden med 0;3 kg per uke. a) Hvor mye veier hunden etter 8 uker? b) Hvor mye veier den etter 18 uker?

en matematisk modell. Innenfor et avgrenset tidsrom gjelder hðtÞ ¼ 0;02t 3  0;25t 2 þ 1;15t þ 0;15 der t er antall a˚r etter utplantingen. a) Hvor høyt var treet da det ble plantet? b) Tegn grafen til h. Bruk t-verdier mellom 0 og 8. c) Hvor mange prosent har treet vokst fra a˚r 1 til a˚r 2? d) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet endrer seg fra a˚r til a˚r. e) Finn ut hvor lang tid det ga˚r før treet er 2;5 meter høyt. Oppgave 2.156 (Eksamen 1MY)

Hunden er fullvokst na˚r den er 30 kg. c) Hvor lang tid ga˚r det før hunden er fullvokst? Oppgave 2.154 Folketallet i en liten by var 200 000 i 2012. Den gjennomsnittlige veksten i folketallet var 6000 personer per a˚r de siste a˚rene før 2012. Vi ga˚r ut fra at veksten blir den samme framover. a) Hva blir folketallet i 2015? b) Hva blir folketallet i 2020?

Politikerne mener at folketallet vil være 240 000 i 2020. c) Hvilken gjennomsnittlig a˚rlig vekst har de lagt til grunn? Oppgave 2.155 (Eksamen 1MY)

Denne oppgaven handler om a˚ besøke Kristiansand dyre- og fritidspark. Billettene for barn koster kr 195, mens voksne ma˚ betale ˚ rskort koster kr 550 per person. kr 225. A a) En familie pa˚ to voksne og tre barn planlegger a˚ besøke dyreparken tre ganger i løpet av ferien. Bør denne familien kjøpe enkeltbilletter eller a˚rskort? b) Hvor mange prosent tjener eller taper familien pa˚ a˚ kjøpe a˚rskort? Tabellen nedenfor viser antall besøkende i Kristiansand dyrepark fra 1998 til 2002. Tallene er gitt i hele tusen:

Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogsomra˚de. Det viser seg at høyden til et tre ma˚lt i meter tilnærmet kan beskrives med

År

1998

1999

2000 2001

2002

Besøkende i alt

480

500

520

540

530

c) La 1998 svare til x ¼ 0. Finn ved regresjon likningen for den rette linjen som passer best til tallene i tabellen. Bruk denne linja til a˚ finne forventet besøkstall i 2004. Øvingsoppgaver

113


Oppgave 2.157 (Eksamen 1MY)

Oppgave 2.160 (Eksamen 1MY)

En fabrikk produserer cd-stativer. Det koster KðxÞ kroner a˚ produsere x stativer, der

Bedriften Ice produserer snøbrett. Det koster bedriften kr 350 for hvert brett. I tillegg har bedriften produksjonskostnader som de beregner til kr 1800. a) Hvor mye koster det a˚ produsere 50 snøbrett?

KðxÞ ¼ 3000 þ 20x þ x2 a) Tegn grafen til K. Velg x-verdier fra 0 til 100. b) Hvor mange stativer kan produseres for kr 7800? Fabrikken regner med a˚ selge x stativer for I ðxÞ kroner, der I ðxÞ ¼ 140x

b) Sett opp et uttrykk som viser hva det koster a˚ produsere x snøbrett. c) Vis at gjennomsnittskostnaden per snøbrett er gitt ved funksjonen h, der 1800 þ 350 hðxÞ ¼ x na˚r x > 0.

c) Tegn grafen til I i samme koordinatsystem som i a. d) Gjør nødvendige beregninger og kom med forslag til hvor mange cd-stativer det lønner seg for fabrikken a˚ produsere.

d) Tegn grafen til h i et koordinatsystem. Bruk verdier av x fra 1 til 100.

Oppgave 2.158 (Eksamen 1MY)

e) Hvor mange snøbrett ma˚ bedriften produsere for at gjennomsnittskostnaden skal bli 410 kroner?

Ved et lønnsoppgjør i en bedrift foreligger to alternativer: – Alternativ A: 3 % lønnstillegg og en kontantsum pa˚ kr 450 i tillegg til ma˚nedslønna – Alternativ B: 5 % tillegg til ma˚nedslønna I en debatt om alternativene ble det hevdet at tilbud A var best for medlemmer med relativt lav lønn, mens andre hevdet at tilbud B var best for disse medlemmene. Lønna til arbeidstakerne i bedriften ligger mellom kr 15 000 og kr 30 000. Gjør nødvendige beregninger slik at du pa˚ et møte kan gjøre klart greie for hvilke inntektsgrupper alternativ A er best for. Oppgave 2.159 (Eksamen 1MY, litt endret) Kjartan kjøpte en ny bil til kr 250 000 i 2002. Ifølge selgeren ma˚tte han regne med at verdien av bilen ville falle ca. 11 % hvert a˚r.

a) Forklar at bilens verdi etter x a˚r kan skrives f ðxÞ ¼ 250 000  0;89 x b) Tegn grafen til f ðxÞ i et koordinatsystem med x-verdier fra 0 til 12. c) Na˚r er bilen verdt kr 100 000?

114

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

f) Hva nærmer gjennomsnittskostnaden seg na˚r produksjonen av snøbrett blir svært stor?

Oppgave 2.161 (Eksamen 1MY) Tabellen nedenfor viser opplaget y til avisa Kveldsposten x a˚r etter at den begynte a˚ komme ut i 1990: x y

0

2

5

7

10

10 000 12 500 15 900 17 900 22 400

a) Tegn punktene fra tabellen inn i et koordinatsystem. b) Tegn den linja du synes passer best med koordinatsystemet, og finn likningen for linja.


Oppgave 2.162 (Nasjonal prøve 1M 2005) Dag Antall km

Onsdag Torsdag Fredag 301

163

244

Lørdag

Søndag

130

230

Tore spiller i et korps som skal pa˚ tur til sommeren. Korpsmedlemmene skal leie buss, og de skal være borte i fem dager. Leie av buss koster 4000 kr per dag. I tillegg kommer 5 kr for hver kilometer bussen kjører. Sja˚føren skal ha 1500 kr per dag til overnatting og kost. Den daglige kjørelengden ga˚r fram av tabellen. a) Hvor mye ma˚ korpset betale for denne turen? b) Sett opp et uttrykk for hvor mye hvert korpsmedlem ma˚ betale na˚r det er x personer i korpset. c) Hva skjer med prisen per person na˚r x øker? Vurder hvor gyldig modellen i b er.

a) Siden 1980 har gjennomsnittshøyden for tjue a˚r gamle jenter økt med 2;3 cm til 170;6 cm. Hvor stor var gjennomsnittshøyden for tjue a˚r gamle jenter i 1980? b) Forklar hvordan grafen viser at vekstfarten for jenter i gjennomsnitt minker etter tolva˚rsalderen. c) I hvilken periode av livet er jenter i gjennomsnitt høyere enn jevnaldrende gutter etter denne grafen? Oppgave 2.165 (Eksamen 1MY) Ukeblad 2% Musikk 8%

Video 2%

TV 40%

Oppgave 2.163 (Nasjonal prøve 1MY 2005) a) En moped koster 21 990 kroner. Vi regner med at verdien minker med 12 % per a˚r. Hva er verdien av mopeden etter fire a˚r?

Radio 34%

b) Lag et funksjonsuttrykk VðxÞ som etter opplysningene i a gir verdien av mopeden om x a˚r. La prisen pa˚ en ny moped være n kr og ga˚ ut fra at verdien faller med p prosent per a˚r. Oppgave 2.164 (PISA 2003) Høyde (cm)

Avis 9%

Bøker 3%

I en avis høsten 1998 kunne vi lese dette:

Mindre tid pa˚ medier

190

gutter 180

170

Fagblad 1%

jenter

160

150

Etter 20 a˚rs vekst faller na˚ den tiden nordmenn i gjennomsnitt spanderer pa˚ medier. TV ga˚r mest ned, mens avisene holder stillingen. 6 timer 37 minutter var gjennomsnittsnordmannens daglige medieforbruk i 1998 ifølge MMI-undersøkelsen. Det gir en nedgang pa˚ 19 minutter fra a˚ret før. Men tilbakegangen fordeler seg ulikt pa˚ mediene. Mest faller TV, fra 166 minutter i fjor til 158 minutter na˚.

140

130 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Grafen viser gjennomsnittshøyden for gutter og jenter i Nederland i 1998.

Alder (år)

a) Hvor mange minutter var det daglige medieforbruket i 1998? b) Hvor mange timer og minutter var det daglige medieforbruket i 1997? c) Finn hvor lang tid som totalt gikk med daglig til a˚ lese ukeblad, fagblad, aviser og bøker i 1998. Øvingsoppgaver

115


d) Hvor mange prosent av det daglige medieforbruket gikk med til TV i 1997? Kommenter svaret i forhold til medieforbruket i 1998. e) Dersom vi summerer prosentene pa˚ diagrammet, fa˚r vi 99 %. Kommenter dette.

a) Hvor lenge kjørte familien bil denne dagen? b) Hvor langt hadde de kjørt da de tok den andre pausen? c) Hvor stor var bilens gjennomsnittsfart mellom kl. 12.30 og kl. 14.30?

Oppgave 2.166 (Nasjonal prøve 1M 2005) En moped koster 21 990 kroner. Vi regner med at verdien faller med 12 % per a˚r. a) Hva er verdien av mopeden etter ett a˚r? b) Hva er verdien av mopeden etter tre a˚r?

Oppgave 2.169 (PISA 2003) En fjernsynsreporter presenterte diagrammet nedenfor og sa: «Grafene viser at det har vært en voldsom økning i antall ran fra 1998 til 1999.» 520

Oppgave 2.167 (Nasjonal prøve 1MY 2005) Nedbør i Tromsø i 2002 160

Året 1999 Antall ran per år

515

mm

510

140

Året 1998

120 100

505

80 60 40 20 0 Jan

Feb Mars April Mai Juni Juli

Aug Sept Okt Nov Des

Bruk diagrammet ovenfor til a˚ finne ut dette: a) I hvilken ma˚ned falt det mest nedbør i Tromsø i 2002? b) Omtrent hvor mye nedbør ble ma˚lt i mars? c) Gi et overslag over hvor stor prosentdel av a˚rsnedbøren som falt i juli og august til sammen. Oppgave 2.168 (Nasjonal prøve 10. trinn 2004) Familien Iversen har vært pa˚ biltur. Nedenfor ser du en graf som viser kjøremønsteret en av dagene.

17:30

18:00

17:00

16:00

16:30

15:30

14:30

15:00

14:00

13:30

13:00

12:30

11:30

12:00

10:30

11:00

B iltur

10:00

Kilometer

F amilien Ivers ens biltur 420 400 380 360 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

K lokkes lett

116

Kapittel 2 | FUNKSJONER

OG GRAFISKE FRAMSTILLINGER

Mener du at reporterens pa˚stand er en rimelig tolkning av diagrammet? Gi en forklaring som støtter svaret ditt.

Oppgave 2.170 (PISA 2003) De grafiske framstillingene nedenfor og øverst pa˚ neste side gir informasjon om eksporten fra Zedland, et land som bruker zed som myntenhet. Total årlig eksport fra Zedland i millioner zed, 1996–2000 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

42,6 37,9 27,1 25,4 20,4

1996

1997

1998 1999 2000 År


Fordeling av eksport fra Zedland i 2000

B

Andre 21 %

Bomullsstoffer 26 % Ull 5% Tobakk 7% Fruktjus 9%

y

y

A

Kjøtt 14 %

Ris 13 %

Te 5%

a) Hva var den samlede verdien (i millioner zed) av eksporten fra Zedland i 1998? b) Hva var verdien av eksportert fruktjuice fra Zedland i 2000?

Oppgave 2.171 (Eksamen 2P V2008) Øverst i neste spalte har vi beskrevet fire situasjoner. Velg mellom grafene A, B, C, D, E og F og finn en graf som illustrerer hver situasjon. Ma˚lestokken pa˚ y-aksen kan variere fra situasjon til situasjon. Husk a˚ begrunne valgene dine. a) I Fossfjell kommune er det i dag 9000 innbyggere. En matematisk modell for utviklingen i kommunen sier at folketallet kommer til a˚ minke med 150 mennesker per a˚r. En av grafene viser folketallet om x a˚ r etter modellen.

b) En bil blir kjøpt for 300 000 kr. Vi regner med at verdien av bilen faller med 15 % per a˚r. En av grafene viser verdien av bilen x a˚ r etter at den ble kjøpt. c) En av grafene viser arealet av et kvadrat som funksjon av siden x i kvadratet. d) Vi kaster en ball loddrett oppover. I det øyeblikket vi slipper ballen, er den 1;8 m over bakken, og den har farten 12 m=s. x sekunder etter at vi slapp den, er ballens høyde over bakken (i meter) gitt ved 9;4x2 þ 12x þ 1;8 En av grafene viser denne høyden som funksjon av x.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

y

y

C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

y

y

E F

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Oppgave 2.172 (Eksamen 1P V2011) Antall gram CO2 en bil slipper ut per kilometer, er gitt ved

f ðxÞ ¼ 0;046x2  6;7x þ 386 der x er farten til bilen ma˚lt i km=h. a) Tegn grafen til f i et koordinatsystem for x-verdier fra 20 til 100. b) Hvor mange gram CO2 slipper bilen ut per kilometer dersom den holder en fart pa˚ 60 km=h? c) Hvilken fart gir minst CO2 -utslipp per kilometer? Hvor stort er CO2 -utslippet per kilometer da? Bilen kjører i 80 km/h i en halv time. d) Hvor mye CO2 slipper bilen ut i løpet av denne halvtimen?

Øvingsoppgaver

117

x

Sigma1p bla i bok  

Sigma1p revidert bla i bok