Mønster RM bib

Page 1


Ku n til g

er in

vu rd


in g

Inger Bækkevar, Anne-Mari Jensen, Christina Bauck Jensen, Jens Wilhelm Lindstad, Anja Saxebøl

MØNSTER

rd

er

Restaurant- og matfag Matematikk 1P-Y

Ku n

til

vu

Bokmål


© Gyldendal Norsk Forlag AS 2020 1. utgave, 1. opplag ISBN 978-82-05-53302-8 Denne boka er en del av læreverket Mønster. Boka dekker målene i gjeldende læreplan i faget matematikk 1P-Y for restaurant- og matfag. Printed in Latvia by Livonia Print Ltd, 2020

Illustrasjoner: Sandra Wilmann: side 24, 186 Nova M. Lie: side 102, 112 h, 142, 188, 207 ø, 215, 219, 222, 223, 266

er

in g

Redaktør: Klaus A. Karlson Bilderedaktør: NTB (Hege Røyert, Ingrid Ellingsen og Johanna Figur Waddington) Design: Marianne Cecilie Dahl / mcddesign.no Logodesign: Eggedosis AS / Gunveig Wanvik Sats og layout: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Språkkonsulent: Trond Eidnes Omslagsdesign: Lise Mosveen Omslagsbilde: MirageC / Moment / Getty Images Figurer: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke / Arnvid Moholt), figurer created with GeoGebra (www.geogebra.org) og Python (www.Python.org) er benyttet i boka.

til

vu

rd

Bildekrediteringer: Side 8: darioayala / Shutterstock, 32: Shutterstock, 34: Lise Åserud / NTB, 37: Gorm Kallestad / NTB, 40: Maskot / Getty Images, 42: Shutterstock, 45: Thomasandreas / iStockphoto / Getty Images, 52: Shutterstock, 57: Peter John Acklam, 60: Shutterstock, 62: Pankration / E+ / Getty Images, 66: Pankration / E+ / Getty Images, 70: Robertkuehne / iStockphoto / Getty Images, 72: Shutterstock, 75: Shutterstock, 78: VG / NTB, 83: Thomas Brun / NTB, 84ø: Shutterstock, 84n: Mieke Dalle / Photographer's Choice RF / Getty Images, 85: Scanpix Norway / NTB, 86: Scanpix Norway / NTB, 89v: Shutterstock, 89h: kaanates / Getty Images, 90: Mukhina1 / Getty Images, 92n: Shutterstock, 98ø: Shutterstock, 98n: Shutterstock, 99: miodrag ignjatovic / Getty Images, 100: AntonioGuillem / Getty Images, 107: Shutterstock, 108: Sucharas wongpeth / Getty Images, 112v: Shutterstock, 115: Johner / NTB, 116: Wikipedia.no, 125v: Shutterstock, 125h: Øystein Søbye / NN / Samfoto / NTB, 130: Maica / iStockphoto / Getty Images, 131: Shutterstock, 137: VG / NTB, 144: Samfoto / NTB, 147: / NTB, 148: Shutterstock, 150: Eva-Katalin / Getty Images, 158: Shutterstock, 159ø: Shutterstock, 159n: Shutterstock, 160: Shutterstock, 163: Olezzo / iStockphoto / Getty Images, 164: mura / iStockphoto / Getty Images, 165: Shutterstock, 166: Shutterstock, 169: Tarjei E Krogh / Samfoto / NTB, 171: Shutterstock, 174: Ashley Corbin-Teich / Getty Images, 175: Shutterstock, 179: Boris Jordan Photography / Getty Images, 181: okanmetin / Getty Images, 189: Bildhuset / NTB, 191: wakila / iStock / Getty Images Plus, 192: Shutterstock, 194ø: Fredrik Sandberg / TT / NTB, 195n: Peter Muller / Cultura / Getty Images, 196: Shutterstock, 201: Kali9 / E+ / Getty Images, 204: Terje Bendiksby / NTB, 205: Monty Rakusen / Cultura / Getty Images, 206: Shutterstock, 207n: Maskot / NTB, 212: Maskot / / iStockphoto / Getty Images, 214: Shutterstock, 217: Stian Schløsser Møller / Samfoto / NTB, 221: Ziga Plahutar / E+ / Getty Images, 223ø: Mihail Dubrovinskiy / 500px / Getty Images, 226: SARINYAPINNGAM / iStockphoto / Getty Images, 228ø: Nattakorn Maneerat / EyeEm / Getty Images, 228n: Luca Kleve-Ruud / Samfoto / NTB, 233: RelaxFoto.de / iStockphoto / Getty Images, 237: Pramod Bhandari / 500px / Getty Images, 243ø: Gorm Kallestad / NTB, 243n: Shutterstock, 248: Emilija Manevska / Getty Images, 250: Maskot / NTB, 251: Berit Roald / NTB, 252: shironosov / Getty Images, 253: Shutterstock, 255: Shutterstock, 256: Santiago Iñiguez / EyeEm / Getty Images, 258: Shutterstock, 260: Shutterstock, 264: Shutterstock, 265: Shutterstock, 267: Pål Hermansen / Samfoto / NTB, 268ø: stockvisual / Getty Images, 268n: Shutterstock, 271: VG / NTB, 272: Markot / NTB, 274: Science Photo Library / NTB, 275: Gerhard Zwerger-Schoner / Getty Image, 276: Samfoto / Espen Bratlie / NTB, 277: Shutterstock, 280: Shutterstock, 281: Zero Creatives / Getty Images, 284: Shutterstock, 288: Shutterstock, 291: Shutterstock, 292: Shutterstock, 293: Shutterstock, 294: Shutterstock, 297: Shutterstock Materialet i denne boka er beskyttet etter åndsverklovens bestemmelser. Enhver kopiering, avfotografering eller annen form for eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring av materialet i denne boka er kun tillatt dersom det finnes lovhjemmel eller er inngått særskilt avtale med Gyldendal Norsk Forlag AS.

Ku n

Virksomheter som har inngått avtale med Kopinor, kan kopiere, avfotografere osv. innenfor avtalens rammer (inntil 15 % av bokas sidetall). Det er ikke tillatt å kopiere fra arbeidsbøker (engangshefter). Utnytting i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Forfatterne har mottatt støtte fra Det faglitterære fond til denne boka. Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Redaksjonen for videregående skole Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no www.gyldendal.no/undervisning

Alle Gyldendals bøker er produsert i miljøsertifiserte trykkerier. Se www.gyldendal.no/miljo


Forord Boka skal hjelpe deg til å lære matematikk som du kan få nytte av både i dagliglivet, i programfaget, i videre utdanning og i ditt framtidige yrke.

in g

Det er ulike læreplaner i matematikk for hvert enkelt programområde på yrkesfaglig studieretning. Denne boka er for deg som har restaurant- og matfag.

er

Hvert kapittel starter med en praktisk problemstilling fra ditt programområde. Disse kommer du tilbake til som en aktivitet i slutten av kapitlet. Her får du brukt matematikken du har lært, sammen med din fagkompetanse fra helseog oppvekstfag, til å løse praktiske problemer.

rd

Første kapittel i boka kalles Matematisk verktøykasse. Dette kapitlet inneholder matematikk som du kan kjenne igjen fra tidligere skoleår. Lærestoffet fra kompetansemålene i faget ditt begynner i kapittel 2, og du kan begynne å arbeide med boka derfra. Hvis det er et emne du er usikker på, kan du slå opp i verktøykapitlet og finne ut av det du har glemt eller ikke forstått. Det kan også hende at du ønsker å arbeide deg gjennom hele eller deler av verktøykapitlet først fordi du ønsker å friske opp kunnskap.

til

vu

I læreplanen er det flere kjerneelementer. Ett av dem er «Utforskning og problemløsning». Denne boka er lagt opp for å gi deg god anledning til å undersøke og forske på matematiske og praktiske problemstillinger. Det skal ikke bare være drill på metoder og framgangsmåter. Det skal også være problemer som utfordrer dere, der det er viktig å diskutere, forklare og samarbeide, og der dere må bruke kreativitet og tidligere erfaringer. Det er også aktiviteter med programmering som kan stimulere til utforskning til hvert kapittel. Husk at det ofte er flere måter å komme fram til en riktig løsning på. Som avslutning på hvert kapittel er det oppgaver med ulike vanskegrader og yrkesrettede oppgaver og aktiviteter.

Ku n

Til læreverket hører også Mønster Smart Øving. Det er et digitalt verktøy som gir deg øvingsoppgaver som er tilpasset ditt nivå og dine behov. Her får også læreren oversikt over arbeidet ditt, slik at du kan få så god oppfølging som mulig. En stor takk til ansatte på restaurant- og matfag på Storhamar videregående skole, som har bidratt med gode samtaler, kritiske blikk og mange viktige innspill både når det gjelder teori og oppgaver. Lykke til med læring av matematikk! Oslo, juni 2020

Inger Bækkevar, Anne-Mari Jensen, Christina Bauck Jensen, Jens W. Lindstad og Anja Saxebøl


Innhold 8

3 Innsamling og presentasjon av data. . . . 100

10 14 23 32 40 43 48 53 54

3.1 Å lese tabeller og diagrammer . . . . . . . . . . . 3.2 Innhente og sortere data . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Å lage en grafisk presentasjon. . . . . . . . . . . . 3.4 Sentralmål og spredningsmål . . . . . . . . . . . . . Hva har jeg lært? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vu

rd

1.1 Posisjonssystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bli god til å regne! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Vekstfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Problemløsning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

er

in g

1 Den matematiske verktøykassa . . . . . . . .

60

4 Formler fra dagligliv og yrke . . . . . . . . . . . 150

Ku n

til

2 Målenheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102 113 117 127 133 134 136 138

2.1 Grunnleggende målenheter . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Målenheter for areal og volum . . . . . . . . . . . 2.3 Målenheter for energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Sammensatte målenheter . . . . . . . . . . . . . . . . Hva har jeg lært?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 70 77 82 90 91 92 94

4.1 Ulike uttrykksformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Å forstå og lage formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Å bruke formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Formler fra yrkeslivet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hva har jeg lært? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152 157 163 169 177 178 180 182


Innhold

6 Kostnadsberegning og anbud . . . . . . . . . . 248

194 199 206 212 217 221 226 227 228 230

6.1 6.2 6.3 6.4

Kostnader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Selvkost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fortjeneste og merverdiavgift . . . . . . . . . . . . Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag. . . . . . . . . . . . . . 6.5 Budsjetter for en virksomhet . . . . . . . . . . . . . Hva har jeg lært?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vu

rd

5.1 Lønn og feriepenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Beregning av lønn og skatt . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Budsjett og regnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Sparing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Lån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Kredittlån. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hva har jeg lært? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aktiviteter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

er

in g

5 Personlig økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5

250 259 264 270 276 283 284 286 288

Ku n

til

Python på 1–2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 GeoGebra på 1–2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Excel på 1–2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329


Slik bruker du boka

in g

Yrkesretting Mønster RM er skrevet spesielt for matematikk for restaurant- og matfag, med mange eksempler og oppgaver hentet fra yrkeslivet.

er

Den matematiske verktøykassa Trenger du å friske opp matematikkunnskapene dine? Står du fast i arbeidet med oppgavene dine? Dette kapitlet gir deg oversikt over noen emner som har vært tema i matematikkundervisningen på tidligere skoletrinn.

rd

Utforsk sammen Her finner du aktiviteter som legger til rette for utforskende matematikk, diskusjon og samarbeid. Du kan bruke dem direkte eller ved at læreren tilpasser det til gruppa som grunnlag for forståelse og dybdelæring.

vu

Tenk gjennom Boka legger til rette for dybdelæring gjennom å oppmuntre til refleksjon.

Ku n

til

Merk Her finner du tips, repetisjon og korte oppsummeringer.

Eksempler Et rikt utvalg av eksempler i boka viser ulike måter å løse og presentere en oppgave på.

Video Videoikonet viser at det er en undervisningsfilm i Skolestudio. Filmen forklarer teori, eksempler og løsninger eller viser bruk av digitale verktøy.

Viktige setninger De blå boksene inneholder viktige setninger, begreper og definisjoner. Det som står her, er det viktig at du lærer deg og forstår.


in g

Varierte oppgaver Etter hvert delkapittel er det oppgaver der du kan øve på det du nettopp har lært. I oppgavesamlingen finner du flere oppgaver til hvert delkapittel, i tillegg til blandede oppgaver og eksamensoppgaver. Oppgaver som er mer utfordrende er markert med firkanter.

Et eget ikon viser oppgaver som krever at du jobber utforskende eller bruker problemløsningsstrategi i samarbeid med andre elever.

rd

Læringsstrategier Gjennom tydelige læringsmål, «Læringslogg» bakerst i hvert delkapittel og «Hva har jeg lært?» til slutt i hovedkapitlene, oppfordrer vi til å reflektere over egen læring og til å se mønstre og sammenhenger i faget.

er

Blyantikonet viser oppgaver du skal løse uten hjelpemidler.

vu

Gjennomgående prosjektoppgave I «Prosjekt matsvinn» får du mulighet til å lære matematikk i tilknytning til arbeidet ditt på kjøkkenet.

til

Aktiviteter Små, åpne yrkesrettede oppgaver som gjerne kan gjennomføres tverrfaglig med programfaget ditt.

Test deg selv Her finner du oppgaver fra hele kapittelet. De er delt inn i oppgaver du skal løse uten og med hjelpemidler. Oppgavene fungerer godt som repetisjon til en kapittelprøve.

Ku n

Digitale verktøy Bakerst i boka finner du korte oppslagsmanualer kalt «Python på 1–2–3», «GeoGebra på 1–2–3» og «Excel på 1–2–3». Mønster Smart Øving og Skolestudio Smart Øving er et adaptivt øvingsverktøy som er utviklet til læreverket. Du får digitale øvingsoppgaver som er tilpasset ditt nivå. I Skolestudio finner du blant annet undervisningsvideoer og fullstendige løsningsforslag til alle oppgavene i boka.


in g

Ku n

til

vu

rd

er

1

DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA


in g

er

Hvorfor et kapittel med «verktøy»?

Trenger du å friske opp matematikkunnskapene dine? Står du fast i arbeidet med oppgavene dine?

rd

Dette kapitlet gir deg oversikt over noen emner som har vært tema i matematikkundervisningen på tidligere skoletrinn. Stoffet fra kompetansemålene i matematikk for ditt programområde begynner i kapittel 2, Måling og målenheter.

vu

Du kan gjerne gå direkte til kapittel 2. Hvis du kommer til noe du er usikker på, kan du slå opp i verktøykapitlet og finne ut av det du har glemt eller ikke forstått. Eller kanskje ønsker du å friske opp noen av emnene i den matematiske verktøykassa først?

Ku n

til

Kapitteloversikt I 1.1 Posisjonssystemet lærer du hva plassen som et siffer står på, har å si for verdien til sifferet. Du lærer også om regler for avrunding av tall. I 1.2 Bli god til å regne! får du noen tips til effektiv hoderegning og en oversikt over regneregler med både positive og negative tall. Du lærer også om potenser og kvadratrøtter. I 1.3 Brøk lærer du hva en brøk kan være, og hvordan vi regner med brøker. I 1.4 Prosent lærer du hva prosent betyr, og hvordan vi regner med prosent. I 1.5 Vekstfaktor lærer du hva vekstfaktor er, og hvordan vi regner med vekstfaktor. I 1.6 Likninger lærer du hvordan du kan sette opp og løse enkle likninger. I 1.7 Problemløsning lærer du å bruke flere ulike metoder for å løse problemer i matematikkoppgaver.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

1.1 Posisjonssystemet

in g

I et tall som består av flere siffer etter hverandre, vil plassen hvert siffer står på, fortelle hvilken verdi det har. Hva er verdien til sifferet 5 i tallene 506, 358 og 2,53?

D U S K AL K U N N E

vite hvilken verdi et siffer har i et helt tall eller et desimaltall

vite hvordan du kan gange eller dele med 10, 100, 1000 osv.

bruke reglene for avrunding av tall

er

rd

Oversikt over plassene i titallssystemet tusener

hundrer

tier

ener

,

tidel

hundredel

tusendel

1

3 0

0 0

6 5

, ,

4 0

7 0

3

vu

306,47 = 1005,003 =

Hele tall har ikke noe siffer etter kommaet.

Tallene bak kommaet er tideler, hundredeler, tusendeler osv. De kalles desimaler. Et tall med desimaler kalles et desimaltall.

til

Ku n

10

Hvis vi ganger eller deler tall med 10, 100, 1000 osv., havner alle sifrene i tallet på nye plasser. Rekkefølgen sifrene har i tallet, endrer seg ikke. Vi skriver 0 på plasser som blir tomme. 5 10 45 10 5,43 10 5,432 10

¼ 50 ¼ 450 ¼ 54,3 ¼ 54,32

Når vi ganger med 10, blir tallet ti ganger større. Tallet på enerplassen flyttes til tierplassen, og de andre sifrene flyttes slik at rekkefølgen av sifrene beholdes.

5 100 45 100 5,432 100

= 500 ¼ 4500 ¼ 543,2

Når vi ganger med 100, blir tallet hundre ganger større. Tallet på enerplassen flyttes til hundrerplassen.

5 1000 45 1000 5,432 1000

= 5000 ¼ 45 000 ¼ 5432

Når vi ganger med 1000, blir tallet tusen ganger større. Tallet på enerplassen flyttes til tusenerplassen.


Posisjonssystemet

¼ 0,5 ¼ 4,5 ¼ 0,5432

Når vi deler på 10, blir tallet ti ganger mindre. Tallet på enerplassen flyttes til tidelsplassen, og de andre sifrene flyttes slik at rekkefølgen av sifrene beholdes.

5 : 100 45 : 100 5,432 : 100

¼ 0,05 ¼ 0,45 ¼ 0,054 32

Når vi deler på 100, blir tallet hundre ganger mindre. Tallet på enerplassen flyttes til hundredelsplassen.

Merk Bak den siste desimalen kan vi føye til nuller uten å endre verdien til tallet. Tallene 5,8 og 5,800 er like store, men det siste er mer nøyaktig.

Tenk gjennom!

rd

er

Hvor mye blir 4,3 10? Hvor mye blir 0,038 100? Hvor mye blir 67 : 100?

Tenk gjennom!

in g

5 : 10 45 : 10 5,432 : 10

vu

Hva er størst av en hundredel og en tusendel?

EKSEMPEL 1 a

Hvilket tall er størst av 0,205 og 0,250?

b

Hvilket tall er størst av 10,38 og 10,380?

til

Løsning: a 0,205 består av 0 enere, 2 tideler, 0 hundredeler og 5 tusendeler. 0,250 består av 0 enere, 2 tideler, 5 hundredeler og 0 tusendeler. 0,250 er størst fordi 5 hundredeler er større enn 5 tusendeler.

Ku n

Vi kan se hvordan de to tallene er plassert på tallinja: 0,200

b

0,205

0,210

0,215

0,220

0,225

0,230

0,235

11

0,240

0,245

10,380 består av 1 tier, 0 enere, 3 tideler, 8 hundredeler og 0 tusendeler. 10,38 består også av 1 tier, 0 enere, 3 tideler, 8 hundredeler (og 0 tusendeler). De to tallene er like store.

0,250


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Avrunding 176

Isak sier at han er 175 cm høy. Er han nøyaktig 175 cm, eller er han svært nær? Hvor høy skal vi si han er hvis han egentlig er 174,8 cm eller 175,3 cm?

175,9 175,8

in g

175,7

Vi sier at alle mål som ligger nærmere 175 cm enn 174 cm og 176 cm, skal avrundes til 175 cm. Det vil si at alle tall fra og med 174,5 cm til og med 175,4 cm regnes som 175 cm.

175,6 175,5 175,4 175,3

Vi skriver 174,5 175 – her har vi rundet opp, og 175,4 175 – her har vi rundet ned.

175,2 175,1

er

175 174,9

Først må vi altså bestemme hvor nøyaktig tallet vårt skal være. Skal det være hele tusenere, hundrere, tiere? Skal tallet ha desimaler, og eventuelt hvor mange?

174,8 174,7

rd

174,6 174,5 174,4

Hvis det første sifferet som står etter det vi vil beholde, er 4 eller mindre, runder vi ned. Hvis sifferet er 5 eller større, runder vi opp.

174,3

174

EK SEMPEL 2 a

Rund av 34,936 til et helt tall.

b

Rund av 0,348 til et tall med én desimal.

til

174,1

vu

174,2

Ku n

12

c

Rund av 1 350 783 til hele tusenere.

Løsning: a 34,936 35. Det nærmeste tallet etter enerplassen er 9, og da runder vi oppover. b

0,348 0,3. Det nærmeste tallet etter tidelsplassen er 4, og da runder vi nedover.

c

1 350 783 1 351 000. Det nærmeste tallet etter tusenerplassen er 7, og da runder vi oppover.


Posisjonssystemet

13

Oppgaver

tusener (kilo)

hundrer (hekto)

tier (deka)

,

3006,011 =

, 8

......... =

1

0

5

,

0

,

3

rd

b

357,100 eller 357,10

c

44,250 eller 44,52

Skriv et tall som ligger mellom 19,980 og 20,01

e

890,12 og 890,21

f

Skriv tre tall som ligger mellom 1,6 og 1,8.

til

d

1.3 a Rund av til hele tall:

Ku n

445,99

Rund av til to desimaler:

0,0145

Rund av til hele tusenere: 10 040 560

5

tusendel (milli)

0

Multipliser tallet med 100. Forklar hvilken plass sifrene nå står på.

vu

99,09 eller 99,1

0,0075

,

hundredel (centi)

1.4 Skriv opp et desimaltall med minst fem siffer. Forklar hvilken plass de ulike sifrene står på.

a

445,399

2

tidel (desi)

er

......... =

1.2 Hvilket tall er størst?

c

,

498,05 =

......... =

b

ener

in g

1.1 Fyll ut sifrene og tallene som mangler, på rett plass i tabellen nedenfor:

75 499

1.5 Løs oppgaven uten kalkulator: a

3,786 100

b

271 1000

c

65,5 : 10

d

2195 : 100


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

1.2 Bli god til å regne!

in g

Regn ut i hodet: 3þ6þ2þ4þ8þ7 Regn ut i hodet: 3þ7þ6þ4þ2þ8 Hva er forskjellen på disse to regnestykkene? Hvilket er enklest å regne ut? Hvorfor?

rd

er

Alle har sine måter å tenke på når de arbeider med tall. Og du kan alltid utvikle metodene dine videre. Du trenger å vite reglene for hvordan et regnestykke skrives, både for å regne rett, men også for å taste riktig når du løser regnestykket med digitalt verktøy.

vu

Det finnes flere gode måter å regne med tall på enn dem vi nevner. Kanskje du har noen selv?

D U S K AL K U N N E

utføre enkle regnestykker som hoderegning

lage deg noen strategier for å regne effektivt på papir

regne med både positive og negative tall

regne med potenser og kvadratrøtter

bruke reglene for regnerekkefølge

til

Ku n

14

Å legge sammen tall Noen ganger kan regningen bli enklere dersom vi bytter rekkefølgen på leddene. Det kan være spesielt nyttig når du regner i hodet. Når vi legger sammen tall, kan vi bytte rekkefølge på leddene.

Du kan lete etter tall som til sammen blir hele tiere, og legge dem sammen slik at summeringen til slutt bare blir å telle tiere – og kanskje noen enere. Du kan også dele opp tallene i enere, tiere, hundrere, tusenere osv., og så legge sammen tusenerne for seg, hundrerne for seg, tierne for seg og enerne for seg, før du summerer det hele.


Bli god til å regne!

15

a

Regn ut 24 þ 15 þ 6 þ 8 þ 25.

b

Regn ut 1067 þ 2423.

Løsning: a 24 þ 15 þ 6 þ 8 þ 25 ¼ ð24 þ 6Þ þ ð15 þ 25Þ þ 8 ¼ 30 þ 40 þ 8 ¼ 78

in g

EKSEMPEL 3

Parentesene er tatt med for å vise hvilke tall vi har lagt sammen først. Let etter tall som er lette å legge sammen, og bytt rekkefølge på leddene.

Her viser vi en annen måte å tenke på. Vi deler tusenere, hundrere, tiere og enere og legger dem sammen hver for seg. Leddene kan bytte plass:

er

b

1067 þ 2423 ¼ ð1000 þ 60 þ 7Þ þ ð2000 þ 400 þ 20 þ 3Þ

¼ ð1000 þ 2000Þ þ 400 þ ð60 þ 20Þ þ ð3 þ 7Þ

vu

Å multiplisere tall

rd

¼ 3000 þ 400 þ 80 þ 10 ¼ 3490

Et produkt er svaret på et gangestykke. Tallene som ganges, kalles faktorer. I et gangestykke kan vi bytte plass på faktorene.

til

Hva er enklest å regne i hodet av 5 18 2 og 5 2 18?

Vi har de samme tre faktorene, men ved å bytte rekkefølge får vi ð5 2Þ 18 ¼ 10 18.

Ku n

Noen ganger passer det å dele opp et tall i faktorer. For eksempel kan 15 8 være lettere å regne i hodet hvis vi husker at 15 ¼ 3 5. Da får vi 15 8 ¼ ð3 5Þ 8 ¼ 3 ð5 8Þ ¼ 3 40 ¼ 120.

I et gangestykke kan vi bytte rekkefølge på faktorene.

Hvis vi har flere faktorer, kan vi velge hvilke faktorer vi vil multiplisere først og sist. Skal vi gange med tosifrete tall, kan det være til hjelp å tenke på produktet av to tall som et areal.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

EK SEMPEL 4 Regn ut 6 18.

in g

Løsning: Vi tegner et rektangel med sider lik 6 og 18. Vi deler 18 i tiere og enere, slik at vi får to rektangler som det er lettere å finne arealet av: 48 þ 60 ¼ 108 Merk Du kan tegne 6 18 og 18 6 på samme måte. 18

6 · 8 = 48

er

8

=

6 · 18 = ?

6 · 10 = 60

rd

10

6

vu

6

EK SEMPEL 5 Regn ut 16 28.

Løsning: Vi tegner et rektangel med sider lik 16 og 28. Vi markerer at 16 ¼ 10 þ 6 og 28 ¼ 20 þ 8. Regnestykket blir en sum av rektangler:

til

200 þ 120 þ 80 þ 48 ¼ 200 þ 200 þ 48 ¼ 448

8

10 · 8 = 80

6 · 8 = 48

128 þ 320 ¼ 448

80 + 48 = 128

16 · 28 = ?

=

28

10 · 20 = 200 20

16

10

6 · 20 = 120

Ku n

16

6

200 + 120 = 320


Bli god til å regne!

17

Du finner igjen de to utregningene til høyre på figuren i den vanlige skrivemåten vi bruker når vi ganger flersifrete tall med hverandre. 6

2

8

1

2

8

= 16 ◊ 8

+

3

2

0

= 16 ◊ 20

=

4

4

8

in g

1

Potenser og kvadratrøtter

rd

1,6 2,8 ¼ 16 28 : 100 ¼ 448 : 100 ¼ 4,48

Hvis vi i et gangestykke har flere like faktorer, for eksempel 3 3 3 3,

vu

forenkler vi skrivemåten ved å skrive 34 . Det betyr 3 ganget med seg selv fire ganger: 34 = 3 3 3 3

34 kalles en potens. I dette uttrykket er 3-tallet grunntall og 4-tallet eksponent:

til

Eksponent

34

Ku n

Grunntall

Merk Sluttsvaret får like mange desimaler som faktorene har til sammen.

er

Når vi skal regne ut 1,6 2,8, kan vi forenkle regningen ved å gange begge faktorene med 10 slik at regnestykket blir 16 28. For at svaret til slutt skal bli rett, må vi etter utregningen dele på 100 siden vi først ganget med 10 10 ¼ 100:

Vi bruker potenser i en del formler, for eksempel i arealet av et kvadrat. Hvis et kvadrat har sidelengde lik 5, er arealet 5 5 ¼ 52 ¼ 25.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Noen ganger trenger vi å gå motsatt vei: Vi vet hvor stort arealet av et kvadrat er, men ønsker å finne lengden av sidene. Hvis for eksempel et kvadrat har et areal på 25, sier vi at sidelengden i kvadratet er kvadratrota av 25. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi Vi skriver 25 ¼ 5 5 ¼ 5. Det vil si at kvadratet har sidelengde lik 5.

in g

Merk Vi kan bruke kalkulatoren til å finne kvadratrota av et tall. De fleste kvadratrøttene er desimaltall som må rundes av, for eksempel

Kvadratrota av et tall er det positive tallet som ganget med seg selv gir tallet: pffiffiffiffiffiffiffiffiffi a a¼a

pffiffiffiffiffi 20 ¼ 4,472 135 9 . . . 4,47.

er

Regnerekkefølgen

Rekkefølgen i utregninger:

Regn ut inni parentesene.

2

Regn ut alle potenser.

3

Gange og dele.

4

Legg sammen og trekk fra.

vu

rd

1

EK SEMPEL 6 Regn ut: a

10 9 5 2

b

24 þ 50 : 2

Løsning: a 10 9 5 2 ¼ 90 10 ¼ 80

til

Ku n

18

b

24 þ 50 : 2 ¼ 24 þ 25 ¼ 49

EK SEMPEL 7 Regn ut 22 ð3 þ 4Þ 3ð7 5Þ ð8 þ 2Þ : 5.

Løsning: Vi følger punktene i regelen for regnerekkefølge. Husk at det er gangetegn mellom tall og parenteser: 22 ð3 þ 4Þ 3ð7 5Þ ð8 þ 2Þ : 5 ¼ 22 7 3 2 10 : 5 ¼ 4 7 3 2 10 : 5 ¼ 28 6 2 ¼ 20


Bli god til å regne!

19

Positive og negative tall –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

På tallinja står de positive tallene til høyre for null og de negative tallene til venstre.

in g

–7

er

Vi skriver minus foran de negative tallene. Vi sier at minus er et fortegn. Pluss foran et positivt tall er også et fortegn, men vi skriver vanligvis ikke fortegn foran de positive tallene. Tallene blir større jo lenger mot høyre på tallinja vi kommer. For eksempel er 0 større enn –1, og –1 er større enn –2.

rd

Tenk gjennom! Hva er størst av 2 eller –200?

vu

Hva er minst av –1,5 og –64,5?

Å legge sammen og trekke fra positive og negative tall

til

Vi legger til tall ved å telle mot høyre på tallinja.

Vi trekker ifra tall ved å telle mot venstre på tallinja.

Ku n

Hva blir 2 7? Vi begynner i det positive tallet 2 og teller sju enheter mot venstre. Da ender vi opp i det negative tallet –5, så 2 7 ¼ 5.

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–7

–2

–1

0

1

2

3

4

5

Hva blir 10 þ 7? Her begynner vi i det negative tallet –10 og går sju enheter mot høyre: 10 þ 7 ¼ 3. +7

–11 –10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Hva blir 6 þ 4? På tallinja ser vi at 6 þ 4 ¼ 2. +4

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

in g

–9

Vi kan bytte plass på leddene i en sum, så vi kan skrive 6 þ 4 ¼ 4 6.

På tallinja nedenfor ser vi at svaret blir –2 også når vi lar leddene bytte plass og regner ut 4 6.

–6

–5

–4

–3

er

–6

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

rd

Mønsteret i disse eksemplene kan være til hjelp for å holde rede på hva som skjer når vi trekker ifra negative tall: Merk

vu

3 3¼0 3 2¼1 3 1¼2 3 0¼3 3 ð 1Þ ¼ 4 3 ð 2Þ ¼ 5 3 ð 3Þ ¼ 6

3 ð 1Þ ¼ 3 þ 1 3 ð 2Þ ¼ 3 þ 2 3 ð 3Þ ¼ 3 þ 3

3 1 ¼ 4 3 0 ¼ 3 3 ð 1Þ ¼ 2 3 ð 2Þ ¼ 1 3 ð 3Þ ¼ 0 3 ð 4Þ ¼ 1 3 ð 5Þ ¼ 2

til

To ulike tegn etter hverandre gir minus. To minustegn etter hverandre gir pluss.

EK SEMPEL 8

6

6

4

4

2

2

0

0

–2

–2

–4

–4

–6

–6

–8

–8

–10

–10

Ku n

20

En morgen i mars var temperaturen 3 C. I løpet av noen timer steg den med 7 C. Hva ble temperaturen da?

Løsning: Gradestokken er som ei loddrett tallinje. Vi kan begynne i 3 C og telle 7 C oppover. 3 C þ 7 C ¼ 4 C Temperaturen steg til 4 C.

Merk

3 ð 1Þ ¼ 3 þ 1 3 ð 2Þ ¼ 3 þ 2 3 ð 3Þ ¼ 3 þ 3 3 ð 4Þ ¼ 3 þ 4 3 ð 5Þ ¼ 3 þ 5


Bli god til å regne!

21

Multiplikasjon med negative tall

in g

Hvis vi skal skrive to tegn (þ, , eller :) etter hverandre, bruker vi parentes.

R E G N E R E G L E R F O R N EG A T I V E T A L L Hvis vi multipliserer et positivt og et negativt tall, blir svaret negativt. Hvis vi multipliserer to negative tall, blir svaret positivt.

EKSEMPEL 9 Regn ut: 6 ð 10Þ

b

5 ð 4Þ

c

4 5 ð 3Þ þ 4

til

a

vu

ð Þ ð Þ ¼ ðþÞ

rd

ðþÞ ð Þ ¼ ð Þ

er

Vi setter parentes rundt negative tall i gangestykker for å unngå misforståelser. Hvis vi for eksempel skal gange 6 med 10, skriver vi 6 ð 10Þ.

Ku n

Løsning: a 6 ð 10Þ ¼ 60

Her er en faktor positiv og en negativ.

b

5 ð 4Þ ¼ 20

Her er begge faktorene negative.

c

4 5 ð 3Þ þ 4

¼ 4 þ 15 þ 4 ¼ 15 4 þ 4 ¼ 15

Pass på at fortegnene følger tallene hvis leddene bytter rekkefølge!

Merk De samme fortegnsreglene som gjelder ved ganging (multiplikasjon), gjelder også ved deling (divisjon).


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Oppgaver 1.10 Når vi ganger et helt tall med seg selv, sier vi at vi får et kvadrattall. Skriv opp de ti første kvadrattallene.

in g

1.6 Prøv å bytte rekkefølge på leddene slik at regningen blir enklere. Kanskje du kan løse oppgavene som hoderegning? 3 þ 19 þ 7 9

b

12 þ 25 5 þ 8

1.11 Regn ut. Pass på regnerekkefølgen!

c

231 þ 50 30 1

a

5 6 þ 10

d

1þ2þ3þ4þ5þ6þ7þ8þ9

b

102 þ 4ð 25Þ

e

2,36 þ 4,64 þ 12,5

c

3ð 3Þ þ 2ð2 þ 8Þ

f

524,396 400,096

d

6 þ 6 6

e

2 8ð 3Þ þ 12 : 3

rd

er

a

1.7 Regn ut: 3 25

c

24 2,5

b

8 15

d

13,5 27,6

1.8 Regn ut: 3 6

c

10 ð 5Þ

b

4 þ 4

d

4 ð 7Þ

a

42

b

122

til

a

1.9 Regn ut:

1.12 Regn ut. Pass på regnerekkefølgen!

c

d

a

5 þ 2 6 þ 42 : 8

b

3 þ 6 : 3 þ 9 : 3 þ 12 : 3

c

8ð5 4Þ 7ð10 9Þ

d

3ð4 þ 6Þ þ 20 : ð4 2Þ

vu

a

6,32 pffiffiffi 9

Ku n

22

e f

pffiffiffiffiffi 64 pffiffiffiffiffi 12

1.13 Hva blir halvparten av tallene? Klarer du det uten hjelpemidler? a

194

b

45,6

c

35 298

f

3,156

Hva blir det dobbelte av tallene? Klarer du det uten hjelpemidler? d

49

e

25,83


Brøk

23

1.3 Brøk

er

Den som kan noter, vet at det finnes helnoter, halvnoter, firedelsnoter, åttedelsnoter og sekstendelsnoter. Brøkene forteller hvor lenge en tone skal vare. Det er mange ganger nyttig å kunne bruke brøk til å beskrive deler av noe.

D U S K AL K U N N E vite hva en brøk er

gi eksempler på ulike problemstillinger der vi regner med brøk

forkorte og utvide brøker

legge sammen og trekke ifra brøker

gange og dele med brøker

vu

rd

Hva er en brøk?

in g

Vi bruker iblant brøker i dagligtale. Vi snakker om et halvt eple og et kvart kilo kaffe. En halv og en kvart er brøker. En kvart betyr en firedel, og et kvarter er en firedels time.

til

En brøk består av to hele tall skrevet over hverandre med en strek i midten. Tallet over streken heter teller, fordi den viser hvor mange brøkdeler vi har, den teller brøkdelene. Tallet under streken heter nevner, fordi den nevner hvilken brøkdel vi har. Streken mellom tallene kaller vi brøkstrek.

Ku n

En brøkstrek betyr det samme som et deletegn: teller nevner

brøkstrek

Vi bruker brøker i ulike sammenhenger En brøk kan brukes om en del av en hel, men en brøk kan også brukes om en del av en mengde. Vi kan dessuten se på en brøk som et tall vi kan plassere på tallinja. Derfor er det viktig å forstå hvilken sammenheng vi bruker brøkene i.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

En brøk som en del av en hel 2 Figuren til venstre viser brøken . Vi har fargelagt to femdeler av en hel sirkel. 5 Når vi snakker om en hel, kan det være en hel figur, en hel pizza, en hel

in g

1 5 av det hele. Vi kan dele opp så mye vi ønsker, men delene må være like store. Nevneren forteller hvor mange deler vi har delt det hele i. Tar vi to eller flere slike deler, vil telleren fortelle hvor mange vi har tatt.

sjokolade osv. Hvis vi deler en hel opp i fem like store deler, er hver del

er

5 5 Hvis vi har , har vi 1 hel. Vi skriver ¼ 1. 5 5

Har vi flere enn fem femdeler, har vi mer enn 1 hel. Se de to figurene i margen. 3 5 3 8 Vi skriver 1 þ ¼ þ ¼ . 5 5 5 5

rd

+

Tenk gjennom!

vu

Hvordan avgjør du om disse brøkene er mindre enn, lik eller større enn 1 hel? 3 125 9 , , 4 125 7

En brøk som en del av en mengde Vi kan også dele andre størrelser opp i brøkdeler. Vi kan dele en klasse, et beløp, en lengde eller hva som helst som kan måles med tall. Vi tenker oss at vi deler størrelsen i like store deler, og at vi tar et antall av disse delene.

til

Ku n

24

2 av dem er jenter, 5 tenker vi oss at vi deler klassen i femdeler, dvs. at vi deler elevene i fem like store grupper. Det blir tre elever i hver gruppe, og to slike grupper på tre personer utgjør alle jentene. Så det er seks jenter i klassen. Hvis det for eksempel er 15 elever i en klasse, og vi får vite at

En brøk er et tall som kan plasseres på tallinja Vi skriver en brøk med to tall, en teller og en nevner. Det kan vi oppfatte som et regnestykke der teller deles på nevner. Dette regnestykket blir lik et helt tall eller et desimaltall, og brøken er lik dette tallet. Vi kan plassere alle brøker på tallinja, slik vi ser noen eksempler på her: 0

0,2 1 5

0,4

0,6 1 2

0,8

1,0 9 10

1,2

1,4

1,6 3 2

1,8 9 5

2,0

2,2 22 10


Brøk

25

Brøk og desimaltall

Når vi skal gjøre om en brøk til desimaltall uten å bruke kalkulator, lønner det seg å gjøre brøken om til tideler eller hundredeler hvis det er mulig.

in g

Brøk og desimaltall er to ulike måter å uttrykke en verdi på. 1 Hvordan skrives som desimaltall? Hvordan skrives 1,25 som brøk? 2

1 1 25 25 til hundredeler, får vi ¼ : Da ser vi lettere at desimal4 4 25 100 tallet må være 0,25.

er

Utvider vi

1 25 er det samme som . 4 100

7 ¼ 7 : 11 ¼ 0,636 . . . 0,64 11

rd

Ikke alle brøker er like enkle å gjøre om til desimaltall. Da kan vi bruke kalkulator og huske på at brøkstreken er et deletegn (divisjonstegn):

vu

Når vi gjør om brøker ved å dele teller på nevner, går divisjonen noen 1 ganger opp. For eksempel er ¼ 1 : 4 ¼ 0,25. Andre ganger får vi uendelig 4 1 mange desimaler, som ¼ 1 : 3 ¼ 0,3333 . . . 3 Tallet 0,3333. . . er ikke helt nøyaktig, for antall desimaler stanser aldri. Brøkene har den fordelen at de alltid er eksakte.

til

Å skrive tallet som en brøk er helt nøyaktig.

EKSEMPEL 10

2 til desimaltall. 5

Ku n Gjør om

Løsning uten kalkulator: Her utvider vi brøken ved å multiplisere med 2 både over og under brøkstreken, slik at vi får 10 i nevneren: 2 2 2 4 ¼ ¼ ¼ 0,4 5 5 2 10

Løsning med kalkulator: 2 ¼ 2 : 5 ¼ 0,4 5

Merk 1 ¼ 1 : 10 ¼ 0,1 10 1 ¼ 1 : 4 ¼ 0,25 4 1 ¼ 1 : 2 ¼ 0,5 2 3 ¼ 3 : 4 ¼ 0,75 4


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Like brøker kan skrives på mange måter 1 12

+

1 12

1 6

=

1 12

+

1 12

1 6

=

1 12

+

1 12

1 6

=

1 12

+

1 12

1 6

=

1 12

+

1 12

1 6

=

1 12

+

1 12

Brøker kan se svært forskjellige ut og likevel være samme tall. 5 10 For eksempel er ¼ . De to brøkene er samme tall fordi de representerer 6 12 en like stor del av en hel.

in g

=

Hvis vi ganger med samme tall i teller og nevner, får vi

Hvis vi deler med samme tall i teller og nevner, får vi

5 2 10 ¼ . 6 2 12

10 : 2 5 ¼ . 12 : 2 6

er

1 6

2 ¼ 1, har vi ganget eller delt med 1. Det endrer ikke størrelsen 2 på tallet.

Vi kan multiplisere eller dividere med samme tall både i teller og nevner uten å endre brøkens verdi.

vu

Merk Når vi ganger med samme tall over og under brøkstreken, sier vi at vi utvider brøken. Når vi deler på samme tall over og under brøkstreken, sier vi at vi forkorter brøken.

rd

Siden

14 , kan vi forkorte eller utvide den til 56 mange brøker som ser ulike ut. Etter å ha forkortet brøkene ser vi at alle 1 har verdien . Alle brøkene er samme tall! 4

Hvis vi tar utgangspunkt i brøken

til

Ku n

26

Tenk gjennom! Vis hvordan alle disse brøkene har samme verdi.

7 28

14 56

1 4 56 224

28 000 112 000 140 560 1000 4000

10 40

1400 5600

28 112


Brøk

27

EKSEMPEL 11 Utvid

1 til tolvdeler. 4

in g

Løsning: Vi må dele opp i tolv like store deler. Skal vi utvide brøken til tolvdeler, må vi multiplisere nevneren med 3 ettersom 4 3 ¼ 12. Vi multipliserer både teller og nevner med 3 for at brøken ikke skal endre verdi:

rd

er

1 1 3 3 ¼ ¼ 4 4 3 12

vu

Figuren viser at vi deler hver av firedelene i tre like store deler. 1 3 og er like mye. 4 12

Forkort

6 . 24

til

EKSEMPEL 12

Løsning: Når vi forkorter brøker, forkorter vi så mye som mulig hvis vi ikke har fått beskjed om noe annet:

Ku n

6 6:6 1 ¼ ¼ 24 24 : 6 4

Vi kan også gjøre forkortingen i flere trinn: 6 6:2 3 3:3 1 ¼ ¼ ¼ ¼ 24 24 : 2 12 12 : 3 4

Tenk gjennom!

Hva er størst av

5 5 og ? 7 9

1 4

1 4

1 4

1 4


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

EK SEMPEL 13 Hva er minst av

2 4 og ? 5 7

in g

Løsning: Vi kan sammenlikne brøkene ved å tegne dem. Ut fra figurene i margen 2 ser vi at er den minste brøken. 5

rd

er

En annen mulighet er å sammenlikne brøkene ved å gjøre dem om til desimaltall: 2 ¼ 2 : 5 ¼ 0,4 5 4 ¼ 4 : 7 ¼ 0,57 7 2 Ut fra desimaltallene ser vi at er den minste brøken. 5

En tredje mulighet er å utvide begge brøkene slik at de får samme nevner:

vu

2 2 7 14 ¼ ¼ 5 5 7 35 4 4 5 20 ¼ ¼ 7 7 5 35

2 4 14 20 er mindre enn fordi er mindre enn . 5 7 35 35

til

Da ser vi tydelig at

Tenk gjennom! Hva skjer med verdien til en brøk når vi bare multipliserer telleren med et tall? Hva skjer med verdien til en brøk når vi bare multipliserer nevneren med et tall?

Ku n

28

Merk På kalkulatoren kan vi legge sammen og trekke ifra brøker med ulike nevnere. Kalkulatoren gjør automatisk om alle brøkene slik at de får samme nevner.

Å legge sammen og trekke ifra brøker Hvis vi skal legge sammen eller trekke ifra brøker, må de ha samme nevner, fellesnevner. Fellesnevneren er et tall som alle nevnerne i regnestykket går opp i. Vi må oftest utvide brøkene for at de skal få samme nevner. Når vi skal legge sammen brøker med samme nevner, legger vi sammen tellerne. Nevnerne beholder vi. Hvordan skal vi legge sammen brøker som ikke har samme nevner?


Brøk

29

EKSEMPEL 14

Løsning: I dette tilfellet har begge brøkene samme nevner, firedeler, og tellerne forteller hvor mange firedeler vi har: 2 3 5 1 þ ¼ ¼1 4 4 4 4 1/4 1/4 1/4

=

1/4

+

1/4

1/4

1/4

1/4

2 4

3 4

1

1 4

rd

1/4

EKSEMPEL 15 2 1 þ . 4 3

vu

Regn ut

er

1/4

+

til

Løsning: Vi kan ikke legge sammen tredeler og firedeler, så vi må utvide begge brøkene slik at de får samme nevner. Både tredeler og firedeler kan deles i tolvdeler. Til slutt ser vi at vi kan forkorte til seksdeler:

+

2 4

=

1 3

+

6 12

=

4 12

Merk Hvis en brøk er større enn 1, kan vi skrive den som et helt tall og en brøk. Mellom det hele tallet og brøken står et usynlig plusstegn: 1 1 1 ¼1þ . 4 4

in g

2 3 þ . 4 4

Regn ut

10 12

=

5 6

Ku n

Utregningen følger figuren: 2 1 2 3 1 4 6 4 10 10 : 2 5 þ ¼ þ ¼ þ ¼ ¼ ¼ 4 3 4 3 3 4 12 12 12 12 : 2 6

Når vi legger sammen og trekker ifra brøker, må de ha samme nevner – fellesnevneren.

Tenk gjennom! Hvordan kan du finne et tall som både 4 og 5 går opp i? Hva med 3 og 7?


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Å multiplisere med brøker

in g

1 Hva får vi hvis vi ganger 100 med ? Vi får 50, som er halvparten av 100. 2 1 Og hvis vi ganger 100 med , får vi 25, som er en firedel av 100. 4 3 Ganger vi 100 med , får vi 75, som er tre firedeler av 100. 4

EK SEMPEL 16 Regn ut: 15

3 5

b

1 3 5 4

er

a

rd

Løsning: 3 3 a 15 forteller at vi skal finne av 15. En femdel av 15 er 3. 5 5 Skal vi ha tre femdeler, blir det 9.

vu

Vi kan skrive regnestykket slik: 3 15 3¼3 3¼9 15 ¼ 5 5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Vi kan også skrive samme regnestykke på en annen måte: 3 15 3 45 : 5 9 ¼ ¼ ¼9 15 ¼ 5 5 5:5 1

1 3 ber oss finne tre firedeler av en femdel. Vi kan tenke oss 5 4 1 at vi deler en femdel i fire like store deler. Hver del blir da en tjuedel, . 20 3 Vi skal ha tre slike deler, altså . 20 Regnestykket

til

b

Ku n

30

1 3 av en firkant og skravere av 5 4 en like stor firkant. Vi legger så de to firkantene over hverandre. 3 Området som både er farget og skravert, utgjør av firkanten: 20

Vi kan illustrere det med å farge

1 5

·

Vi skriver regnestykket slik: 1 3 1 3 3 ¼ ¼ 5 4 5 4 20

3/4

=

3 20


Brøk

Når vi multipliserer et helt tall og en brøk, setter vi det hele tallet oppå brøkstreken.

Merk Å finne halvparten av et tall er det samme som 1 å gange tallet med . 2

in g

Når vi multipliserer to brøker med hverandre, multipliserer vi teller med teller og nevner med nevner.

er

Oppgaver 1.14 Hvilken brøk er fargelagt på figuren? Og hvilken brøk er ikke fargelagt?

1.17 Forkort disse brøkene så mye som mulig: 4 8 6 20

c

42 120 14 98

e

rd

a

b

d

240 360

vu

1.18 Hvilke av brøkene er like store?

1.15

100 300

til

1 Hvilke brøker nedenfor er større enn , 2 1 1 lik og mindre enn ? Hvordan ser du det? 2 2 3 4 6 7

29 58 5 6

4 9 49 50

2 5 49 100

500 1000 4 8

1 brøker som er større enn : 2 1 brøker som er lik : 2 1 brøker som er mindre enn : 2

Ku n

a

b c

1 5

0

2 8

2 3

16 17

5 3

17 10 1

16 32

1 3

2 9

2 6

9 3

4 12

5 15

1.19 Shirin, Ida og Jonas skal dele en kake. 2 3 1 Shirin vil ha , Ida vil ha , og Jonas vil ha . 8 12 3 Tegn en figur som illustrerer situasjonen. a

Hvem får mest?

b

Blir det noe igjen?

1.20 Cecilie, Mia og Leon skal dele 4800 kr. 1 2 Cecilie skal få , Mia skal få , og Leon skal få resten. 3 5

1.16 Plasser brøkene på ei tallinje:

21 15 2

31

a

Hvor mange kroner får hver av dem?

b

Hvor stor brøkdel får Leon?


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

1.4 Prosent

D U S K AL K U N N E

in g

I en avis kan vi lese at 6 av 10 personer har spist ribbe på julaften. Hvor stor brøkdel har spist ribbe? Kan vi oppgi denne brøkdelen som en prosentverdi?

forklare hva prosent er

uttrykke et tall som en brøk, et desimaltall og en prosentverdi

sammenlikne to størrelser og finne ut hvor mange prosent den ene er av den andre

finne en gitt prosent av et tall

finne det hele når vi kjenner en bestemt prosentdel

rd

er

vu

Det er nyttig å kunne uttrykke en andel på ulike måter. Sajad, Isak og Elise har malt et hus sammen. De skal dele på betalingen for arbeidet, som er 15 000 kr. Totalt har de arbeidet 100 timer. Sajad har regnet ut at han skal ha 20 % av 1 lønna, og Isak mener han skal ha av lønna. Elise har arbeidet 55 timer. 4 Når hun skal finne andelen sin, kan hun sette det opp som en brøk. 55 Da får hun . Alle beskriver sin andel av lønna, men på ulike måter. Sajad 100 bruker prosentverdien, mens Isak og Ellen bruker brøk. Hvor stor prosentdel av lønna skal Elise ha?

til

Ku n

32

Hva er prosent? Ordet prosent betyr hundredel. Siden prosent betyr hundredel, mener vi trettifem hundredeler når vi skriver 35 %. 35 av 100 ruter er farget blå. Andelen blå ruter blir da

Prosent betyr hundredel. p % er det samme som

35 ¼ 35 %. 100

p . 100


Prosent

33

Når vi skal gjøre om brøk til prosent, er det lurt å utvide brøken til hundredeler hvis det er mulig: 3 3 25 75 ¼ ¼ ¼ 75 % 4 4 25 100

3 0,43 ¼ 0,43 100 % ¼ 43 % 7

er

Siden prosent betyr hundredel, kan vi skrive prosenten som hundredeler når vi skal finne desimaltallet:

in g

Dersom det ikke finnes et tall vi kan multiplisere nevneren med for å få 100, er det fint å bruke en kalkulator for å gjøre brøken om til desimaltall, før vi gjør om til prosent:

8 ¼ 0,08 100 52,3 ¼ 0,523 52,3 % ¼ 100

Merk

100 ¼1 100 Å multiplisere med 100 % er det samme som å multiplisere med 1. 100 % ¼

rd

8%¼

vu

EKSEMPEL 17 Skriv 6 % og 60 % som desimaltall.

Løsning:

til

6 6%¼ ¼ 0,06 100 60 ¼ 0,60 60 % ¼ 100 For å se sammenhengen mellom prosent og desimaltall kan det være nyttig å tegne ei tallinje: 0,06

0,6

Ku n

0

1

0%

6%

100 % 60 %

Merk 1 ¼ 2 1 ¼ 10 1 ¼ 4 1 ¼ 5 1 ¼ 100

0,5 ¼ 50 % 0,1 ¼ 10 % 0,25 ¼ 25 % 0,20 ¼ 20 % 0,01 ¼ 1 %


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Å finne hvor mange prosent et tall er av et annet

rd

er

in g

Hvor mange prosent jenter er det i klassen? Hvor mange prosent stemte på Arbeiderpartiet ved siste stortingsvalg? Hvor mange prosent skal du betale i skatt?

vu

Vi bruker ofte begrepet andel om en del av en mengde. I svært mange sammenhenger blir andeler oppgitt i prosent.

til

Når vi skal finne hvor mange prosent et tall er av et annet, setter vi først opp delen andelen som en brøk. Brøken blir da . Så gjør vi om brøken til desimaltall det hele ved å utføre divisjonen, og ganger med 100 % slik at vi får svaret i prosent.

Ku n

34

Prosentverdien ðp %Þ ¼

delen 100 % det hele

EK SEMPEL 18 Shirin og Thomas selger juletrær på lørdager. En dag har de solgt 185 juletrær til sammen. Shirin har solgt 79 av dem. Hvor stor andel av juletrærne har Shirin solgt? Oppgi svaret i prosent.

Løsning: Vi setter opp Shirins andel som en brøk og ganger med 100 %: delen 79 100 % ¼ 100 % ¼ 0,43 100 % 43 % det hele 185 Shirin har solgt 43 % av juletrærne den dagen. Prosentverdien ¼


Prosent

35

Å finne delen 2 av 200 familier elbil. I et annet område har 20 % av 5 150 familier elbil. Hvor mange elbiler er det i hvert av boligområdene?

Å finne delen ved å gå veien om 1 %

Tenk gjennom!

rd

Hvor mye er 1 %, 10 % og 100 % av 200 kr?

er

Når vi skal regne med prosent, er det ofte nyttig å gå veien om 1 % eller 10 %.

in g

I et boligområde har

vu

Ofte er veien om 1 % den enkleste måten å regne prosent på. Denne metoden er fin å bruke når vi skal regne prosentoppgaver og ikke kan bruke digitale hjelpemidler. Vi tenker på samme måte som da vi skulle finne brøkdelen av et tall, men nå er det alltid hundredeler vi regner med. Hvis vi skal finne 6 % av 2300 kr, finner vi først 1 %. Så multipliserer vi med 6 for å finne 6 %

Ku n

til

2300 kr ¼ 23 kr 100 23 kr 6 ¼ 138 kr

2300

6 % av 2300 kr er 138 kr.

23 23 23 23 23 23


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

a

Finn 1 % av 6800 kr.

b

Finn 10 % av 6800 kr.

c

Finn 22 % av 6800 kr.

Løsning: 6800 kr ¼ 68 kr a 100 1 % av 6800 kr er 68 kr. 68 kr 10 ¼ 680 kr

er

b

in g

EK SEMPEL 19

10 % av 6800 kr er 680 kr. c

68 kr 22 ¼ 1496 kr

rd

22 % av 6800 kr er 1496 kr.

vu

6800

68 68

68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68

68 68

680 680

til

Å finne delen ved å bruke desimaltallet Vi vil for eksempel finne 23 % av 480 kr. Dersom du har tilgang på en kalkulator, er det ofte mest praktisk å gjøre prosenten om til desimaltall og deretter bruke dette for å løse oppgaven.

Ku n

36

Merk På kalkulatoren finner du en prosenttast. Hvis du vil bruke den, kan du skrive inn 480

¥ 23

%.

Vi vet at 23 % ¼

23 ¼ 0,23. 100

Vi multipliserer med desimaltallet: 480 kr 0,23 ¼ 110,40 kr Delen ¼ det hele desimaltallet

Tenk gjennom! Hvordan ville du løst oppgaven hvis du skulle gått veien om 1 %?


Prosent

37

EKSEMPEL 20 Ei bukse koster 250 kr, men selges med 20 % rabatt. Hvor stor er rabatten?

b

Hva blir den nye prisen?

Å finne delen ved å bruke desimaltall:

in g

a

er

Løsning: a Vi finner hvor mye 20 % er av 250 kr: 250 kr 20 % ¼ 250 kr 0,20 ¼ 50 kr Rabatten er på 50 kr. Vi kan illustrere problemet slik:

250 – 50 = 200

250

rd

100 %

25 25

2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5

Fra a vet vi at at 20 % av 250 kr er 50 kr. Den nye prisen er 250 kr 50 kr ¼ 200 kr.

EKSEMPEL 21

vu

b

til

En busstur kostet 25 kr, men busselskapet økte prisen med 20 %. Hva ble den nye billettprisen?

Løsning: Vi finner først hvor mye 20 % er av 25 kr: 25 kr 20 % ¼ 25 kr 0,20 ¼ 5 kr Billettprisen økte med 5 kr, så den nye prisen er 25 kr þ 5 kr ¼ 30 kr.

Ku n

Det kan vi illustrere slik:

5 kr (20 % prisøkning)

20 %

5 kr 5 kr

25 kr

5 kr 5 kr 5 kr utgjør 20 % av 25 kr

100 %

80 %

20 %


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Å finne det hele

in g

Noen ganger får vi opplysninger om en prosentdel av det hele. Slike opplysninger kan vi bruke til å finne det hele. For eksempel er ca. 37 % av Norge dekket med skog. Det utgjør 121 000 km2 . Disse opplysningene er nok til at vi kan regne ut arealet av hele landet.

er

Et annet eksempel kan være stortingsvalget i 2017, der Høyre fikk 732 895 stemmer. Det utgjorde 25 % av stemmene. Da kan vi finne ut hvor mange personer som stemte ved dette valget.

rd

Hvis vi skal finne det hele når vi kjenner en prosentdel, kan vi gå veien om 1 %.

EK SEMPEL 22

I en norsk kommune går 9 % av befolkningen i grunnskolen. Det er 783 barn i grunnskolen. Hvor mange mennesker bor i kommunen?

vu

Å finne det hele:

Løsning: Først finner vi hvor mange personer 1 % utgjør:

87 87 87 87 87 87

783 personer ¼ 87 personer 9 Når vi vet at 87 personer utgjør 1 %, kan vi finne hele folketallet i kommunen ved å multiplisere 87 med 100:

til

87

87 100 ¼ 8700

Det bor 8700 personer i kommunen.

87

Ku n

38

87

Vi kan også tenke slik: Når vi kjenner størrelsen på delen og skal finne det hele, kan vi ta utgangspunkt i desimaltallet og løse oppgaven som en likning. delen ¼ det hele desimaltallet 783 ¼ det hele 0,09 det hele ¼

783 ¼ 8700 0,09

I hele kommunen bor det 8700 personer.


Prosent

39

Oppgaver

b

3 4 3 5

c d

4 25 6 5

e

13 50

1.22 Plasser tallene nedenfor på ei tallinje. Finn det største tallet før du tegner tallinja.

a

Finn 17 % av 1800 kr.

b

Finn 7 % av 2400 kr.

c

Finn 31 % av 657 kr.

d

Finn 4,5 % av 50 kr.

e

8 3 3 60 25 23 , 3,1, , , 3,01, 50 %, , , , 5% 3 8 5 100 10 23

Finn 37,5 % av 5500 kr.

1.27 a Hvor mange kroner er 14 % av 27 580 kr?

rd

25 %,

in g

a

1.26 Løs oppgaven uten bruk av kalkulator. Bruk gjerne en tegning til hjelp.

er

1.21 Utvid disse brøkene til hundredeler og gjør dem om til desimaltall og prosent:

Hvor mange hus er 5 % av 2400 hus?

c

Hvor mange elever er 2,7 % av 1400 elever?

d

Hvor mange kroner er 0,05 % av 5,3 millioner kroner?

vu

1.23 Forklar hvordan vi på ulike måter kan finne 1 %, 10 %, 15 %, 0,5 % og 60 % av 2700 kg.

b

1.24 a Hvor mange prosent er 1500 kr av 45 000 kr?

Hvor mange prosent er 14 jenter av 280 jenter?

c

Hvor mange prosent er 23 elever av 1400 elever?

d

Hvor mange prosent er 83 biler av 2300 biler?

til

b

Ku n

1.25 Cecilie, Mia og Leon delte 48 000 kr. Cecilie fikk 16 000 kr, Mia fikk 19 200 kr, og Leon fikk resten. Hvor mange prosent av 48 000 kr fikk hver av dem?

1.28 Elevene på en skole har samlet inn 2500 kr til en klassefest. 60 % av pengene går til mat, og 30 % går til drikke. a

Hvor mange kroner bruker de på mat?

b

Hvor mange kroner bruker de på drikke?

c

Hvor mye har de igjen til andre utgifter?

1.29 I en vanntank er det 67,5 L vann. Det utgjør 75 % av volumet. Hvor mange liter vann rommer tanken?

1.30 Celine og Ida skal gi noe av det de har tjent, til en veldedig organisasjon. Celine gir bort 630 kr. Det er 15 % av det hun har tjent. Ida gir bort 900 kr. Det er 20 % av det hun har tjent. Hvem av dem har tjent mest?


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

1.5 Vekstfaktor

in g

Når noe endrer verdi, vises ofte endringer som prosentvis økning eller nedgang. Det kan være en møbelforretning som får inn en ny sofa som koster mer enn en eldre modell, eller at de ønsker å sette ned prisen på en gammel modell. Om en sofa opprinnelig har kostet 4000 kr, hva vil den koste hvis prisen settes opp 10 % eller ned 10 %?

Vekstfaktor:

er

EK SEMPEL 23

En forretning selger biler. En bilmodell har kostet 450 000 kr, men forretningen tar inn en ny modell som er 10 % dyrere. Hvor mye koster de nye bilene?

rd

Ronny og Aisa bruker hver sin metode for å regne det ut.

vu

Ronny finner først hvor mange kroner 10 % er. Så legger han dette beløpet til den opprinnelige prisen. Han løser oppgaven slik: Bilen kostet

þ 10 % av 450 000 kr ¼ Ny pris

til

Ku n

40

Aisa går ut fra at den opprinnelige prisen var 100 %, altså hele beløpet. Så må hun legge til 10 %. Til sammen må den nye prisen være 100 % þ 10 % ¼ 110 % av den opprinnelige prisen.

450 000 kr 45 000 kr

495 000 kr

Hun gjør så om til desimaltall: 110 % ¼ 1,10 Ny pris ¼ 450 000 kr 1,10 ¼ 495 000 kr

Begge regner riktig, men Aisas regning blir enklere fordi hun bruker det vi kaller vekstfaktor. Vekstfaktoren er tallet hun ganger med, altså 1,10. Vekstfaktoren ved prosentvis økning finner vi ved å ta utgangspunkt i den opprinnelige verdien, som er 100 %, og legge til endringen i prosent. Vekstfaktoren ved prosentvis økning ¼ 1 þ desimaltallet for økningen.

Hvis p er økningen i prosent, kan vi skrive: p vekstfaktoren ¼ 1 þ 100


Vekstfaktor

41

EKSEMPEL 24

Aisa går nå ut fra at hun må begynne med 100 % og trekke ifra 10 %, slik at den nye prisen blir 90 % av den gamle prisen.

Nå regner han slik:

Hun gjør om til desimaltall:

Buksa kostet

750 kr

10 % av 750 kr

75 kr

Ny pris ¼ 750 kr 0,90 ¼ 675 kr

675 kr

rd

¼ Ny pris

90 % ¼ 0,90

er

Ronny regner på samme måte som i eksempel 23, men nå trekker han prisavslaget fra den opprinnelige prisen.

in g

Ei bukse koster 750 kr, men prisen blir satt ned 10 %. Hva er den nye prisen?

vu

Vekstfaktoren ved prosentvis nedgang finner vi ved å ta utgangspunkt i den opprinnelige verdien, som er 100 %, og trekke fra endringen i prosent. Denne gangen er vekstfaktoren 0,90. Vekstfaktoren ved prosentvis nedgang ¼ 1 desimaltallet for nedgangen.

til

Hvis p er nedgangen i prosent, kan vi skrive: p vekstfaktoren ¼ 1 100

Ku n

Ny verdi ¼ opprinnelig verdi vekstfaktor

Denne regelen gjelder både ved prosentvis økning og nedgang.

Tenk gjennom!

Hvorfor blir alle vekstfaktorene ved prosentvis økning større enn 1? Hvorfor blir alle vekstfaktorene ved prosentvis nedgang mellom 0 og 1?


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Oppgaver 1.34 Zain setter 23 400 kr i banken. Hvor mye har han i banken etter ett år når renta er

a

a

5%

1.32 Fyll ut det som mangler i tabellen: Prosent etter økning

Vekstfaktor (desimaltall)

10 %

100 % þ 10 % ¼ 110 %

1,10

1%

100 % þ 1 % ¼ 101 %

1,01

25 %

100 % þ 25 % ¼ 125 %

50 %

1,07

1,3 %

1.35 a En sykkel kostet 3000 kr. Prisen ble satt ned med 10 %. Hvorfor blir det riktig å gange 3000 kr med 0,9 for å finne den nye prisen? b

Josef hadde en timelønn på 150 kr. Så fikk han en lønnsøkning på 5 %. Hvorfor blir det riktig å gange 150 kr med 1,05 for å finne den nye timelønna?

1.36

vu

63,5 %

b

rd

Økning i prosent

0,5 %

er

b

3%

in g

1.31 Regn ut for hånd. Ida setter 18 000 kr i banken. Hvor mye har hun i banken etter ett år hvis renta er

1,082 2

til

1.33 Fyll ut det som mangler i tabellen: Nedgang i prosent

Prosent etter nedgang

Vekstfaktor (desimaltall)

10 %

100 % 10 % ¼ 90 %

0,90

100 % 1 % ¼ 99 %

0,99

1% 25 %

En kattunge veier 120 gram ved fødselen. I løpet av fem uker forventes det at vekta øker med ca. 275 %.

100 % 25 % ¼ 75 %

Ku n

42

50 % 75 %

Hvor mye bør kattungen veie etter fem uker?

100 % 16,8 % ¼ 83,2 % 0,08


Likninger

43

1.6 Likninger 1,2 kg epler koster 34,50 kr. Hva er kiloprisen?

in g

Marcus har et innskudd i banken på 5000 kr. Etter ett år hadde han tjent 75 kr i renter. Hvor mange prosent utgjorde rentene?

Onkel kjørte fra Kristiansand til Oslo, 320 km. Han brukte fire timer på kjøreturen. Hva var gjennomsnittsfarten?

rd

er

Vi kan bruke likninger til å løse slike problemer. Ofte gjør det regningen enklere og mer effektiv. I likninger bruker vi vanligvis x for den ukjente verdien. Å løse en likning vil si å finne den ukjente verdien.

D U S K AL K U N N E

sette opp en likning ut fra gitte opplysninger

løse likninger ved å beherske ulike teknikker

tolke løsningen som svar på et problem

kontrollere om en løsning er riktig

vu

til

I likninger lar vi bokstaver stå for ukjente tall.

Ku n

Å løse likninger

Å løse likninger vil si å finne ut hvilket tall x må være for at venstre og høyre side av likhetstegnet i likningen skal være like.

I de neste eksemplene viser vi hvordan ulike likninger kan løses. Det handler alltid om å gjøre de samme operasjonene på begge sider av likhetstegnet.

Vi kan legge til, trekke ifra, gange eller dele med det samme på begge sider av likhetstegnet.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

EK SEMPEL 25 Løs likningen 5x 5 ¼ 2x þ 13.

in g

Løsning: Vi legger til 5 og trekker ifra 2x på begge sider av likhetstegnet. Da får vi samlet alle ledd med x på venstre side og alle ledd med bare tall på høyre side: 5x 5 ¼ 2x þ 13 þ5

5x ¼ 2x þ 18 2x

¼ 18 18 ¼ 3

trekker fra 2x på begge sider

deler på 3 på begge sider

rd

3x 3x 3 3 x 3 x

2x

legger til 5 på begge sider

er

þ5

3¼ 1

¼6

3

vu

¼6

Kontroll Venstre side:

5x 5 ¼ 5 6 5 ¼ 30 5 ¼ 25

Høyre side:

2x þ 13 ¼ 2 6 þ 13 ¼ 12 þ 13 ¼ 25

til

Løsningen er riktig fordi den gir de to sidene i likningen samme verdi. På denne måten kan vi alltid kontrollere om vi har funnet rett løsning.

Ku n

44

EK SEMPEL 26 Løs likningen

x ¼ 21. 3

Løsning: Her ganger vi med 3 på begge sider av likhetstegnet: x ¼ 21 3 x 3 ¼ 21 3 ganger med 3 på begge sider 3 x 3 ¼ 63 3 ¼1 3 3 x ¼ 63


Likninger

45

EKSEMPEL 27 4 8 ¼ . 3 x

4 x 24 ¼ 4 4 x¼6

ganger med x på begge sider fordi x ¼ 1 x

ganger med 3 på begge sider fordi 3 ¼ 1 3

deler på 4 på begge sider fordi 4 ¼ 1 4

vu

Vi ville fått samme løsning om vi hadde valgt å innlede med å dele på 4 og deretter gange med 3 på begge sider.

Tenk gjennom!

til

Vi går tilbake til likningen vi skulle løse: 4 8 ¼ 3 x Vi har nå regnet ut at 6 skal stå på plassen til x: 4 8 ¼ 3 6 Bruk det du kan om brøker, til å kontrollere at det stemmer!

Ku n

Merk Vi kan få samme løsning selv om vi gjør operasjonene i en annen rekkefølge.

in g

brøkstrek, starter vi med å gange med x på begge sider:

er

Løsning: Siden x står under en 4 8 ¼ 3 x 4 x 8 x ¼ 3 x 4 x ¼8 3 4 x 3 ¼ 8 3 3 4 x ¼ 24

rd

Løs likningen

Uoppstilte likninger Når vi skal løse et praktisk problem ved hjelp av en likning, er den ikke ferdig oppstilt. Vi må sette opp en likning med utgangspunkt i teksten. Hvis vi for eksempel vet at fire sjokolader koster 60 kr, men ikke vet hva en sjokolade koster, kan vi sette opp en likning der vi lar x stå for prisen på en sjokolade: 4x ¼ 60 Vi ser at vi må gange 4 med 15 for å få 60, så det må stå 15 på plassen til x. Da har vi funnet at én sjokolade koster 15 kr.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Ofte inneholder oppgaven noen opplysninger, slik som ovenfor. Da bruker vi tre trinn i løsningen: 1

Vi bruker opplysningene til å sette opp en likning. Det tallet vi skal finne, kaller vi x.

2

Likningen må løses, vi må finne hvilket tall x står for.

3

Til slutt må vi tolke opplysningene, dvs. svare på det oppgaven spør om.

in g

Merk Det er viktig at vi alltid er klar over hvilket tall bokstavene i regnestykket står for. Hvis vi selv setter opp en likning, må vi fortelle hvilket tall x står for.

EK SEMPEL 28

er

Annie kjøpte en firepakning med 1,5 liter brus. Den kostet 112 kr. Hva er prisen per brusflaske?

Løsning: Vi følger punktene 1–3 ovenfor:

Prisen per brusflaske er ukjent, så vi kaller den x. «Fire brusflasker koster 112 kr» kan skrives som 4x ¼ 112.

2

4x ¼ 112 4x 112 ¼ 4 4 x ¼ 28

rd

1

deler på 4 på begge sider

vu 3

Én brusflaske koster 28 kr.

til

EK SEMPEL 29

Ku n

46

Brødrene Per, Pål og Espen har målt hvor høye de er. Per er 5 cm høyere enn Espen, mens Pål er 3 cm kortere enn Espen. Til sammen er de 536 cm. Hva er høyden til hver av de tre guttene?

Løsning: Espen er x cm høy. Per er ðx þ 5Þ cm og Pål er ðx 3Þ cm. Det vil si at: x þ ðx þ 5Þ þ ðx 3Þ ¼ 536 x þ x þ 5 þ x 3 ¼ 536 3x þ 2 ¼ 536 2 2 3x ¼ 534 3x 534 ¼ 3 3 x ¼ 178

trekker fra 2 på begge sider

deler på 3 på begge sider

Espen er 178 cm, Per er 178 cm þ 5 cm ¼ 183 cm og Pål er 178 cm 3 cm ¼ 175 cm.


Likninger

47

Oppgaver

2x þ 4 þ 3x ¼ 19

e

x 5 ¼ 7 2x

b

10x 3x 3 ¼ 18

f

55 ¼ 5x

c

8 þ 6x ¼ 44

g

31 ¼ 3x 8

d

4x þ 6 ¼ 2x þ 28

c

x 4 ¼ 3 6

d

4 8 ¼ 5 x

b

Sett opp en likning for å løse problemet.

c

Skriv svar på oppgaven.

1.41 Oliver skal bake brød av til sammen 2 kg mel. Han blander fint hvetemel, grovt sammalt hvetemel og sammalt rugmel. Han bruker dobbelt så mye fint hvetemel som sammalt rugmel. Og han bruker 400 g mer grovt sammalt hvetemel enn sammalt rugmel.

vu

b

x ¼7 5 x ¼3 9

Hvilket tall vil du kalle x?

rd

1.38 Løs likningene: a

a

er

a

1.40 Natalie og Sofie har til sammen 265 kr. Natalie har 25 kr mer enn Sofie. Hvor mange kroner har hver av dem?

in g

1.37 Løs likningene:

Hvor mye mel bruker han av hver sort?

1.39 Klassen på 15 elever skal på en ekskursjon. De reiser med buss, og billettene koster til sammen 420 kr.

til

Hvor mye koster hver billett? Løs problemet med en likning. Hvilket tall skal x stå for?

b

Skriv opplysningene i oppgaven som en likning og løs likningen.

Ku n

a

c

Skriv svar på oppgaven.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

1.7 Problemløsning

in g

De fleste problemene i matematikk kan løses med flere ulike metoder. Det er ikke slik at vi må kunne en bestemt metode for å løse et problem. Hvis du kan løse et problem på ulike måter og forstår hvordan metodene henger sammen, blir forståelsen og læringen dypere og bedre. D U S K AL K U N N E

bruke flere ulike metoder til å løse problemer i matematikk

se sammenhengen mellom ulike løsninger på samme problem

kunne starte med én måte å løse oppgaven på, og bytte over til en annen hvis den første ikke fører fram

rd

er

Når du skal løse et problem i matematikk, kan det være til hjelp å følge disse punktene: Du må først være sikker på at du forstår problemet. Forklar det til deg selv eller andre med dine egne ord.

2

Planlegg hvordan du vil løse problemet. Hvilken metode vil du bruke? Hvilke opplysninger er det viktig å ta hensyn til?

3

Prøv å løse problemet slik du har tenkt. Hvis denne metoden ikke fører fram, har du da en annen metode du kan bruke?

til

vu

1

4

Merk Det kan ta litt tid å løse en oppgave. Du lærer mest når du er utholdende og tar deg tid med oppgaven. Det er viktigere enn å løse mange oppgaver på kort tid.

Ku n

48

Når du har løst problemet, må du se tilbake. Kan du kontrollere svaret? Kunne du ha løst problemet på en enklere måte?

Disse ulike metodene bør du øve på å bruke:

Lag en illustrasjon. Du kan bruke gjenstander, tegne eller lage et diagram.

Gjett og prøv deg fram. Prøv om løsningen du har gjettet på, passer. Hvis du må gjette på nytt, må du da velge et tall som er større eller mindre enn det første du prøvde?

Sett opp en systematisk oversikt. Sett opp en tabell der du har oversikt over hvilke alternative løsninger du prøver, og hvilke løsninger du får i hvert tilfelle. Prøv med en rekke ulike tall og se om du kommer fram til løsningen.

Oversett til matematikkspråket og lag et regnestykke. Du kan lage en likning som du må løse, eller et uttrykk som du må regne ut.


Problemløsning

49

in g

Det er viktig for forståelsen at du har anledning til å snakke med andre under arbeidet. Finn din egen måte å forklare hva en oppgave går ut på. Lytt til andres forklaringer og prøv å forstå dem. Diskuter gjerne hvilken metode dere synes er mest effektiv. I eksemplene nedenfor ser du hvordan problemer kan løses med ulike metoder. Hvert av eksemplene viser to ulike metoder. Kan du se sammenhengen mellom metodene?

EKSEMPEL 30

er

I en dropseske er det 17 drops: gule, røde og grønne. Det er ett grønt drops mer enn gule drops, og det er tre røde drops mer enn grønne drops. Hvor mange drops er det av hver farge?

rd

Løsning ved å lage en illustrasjon: I dette tilfellet tegner vi.

vu

Vi begynner med å sørge for at det er ett grønt drops mer enn gule drops, og at det er tre røde drops mer enn grønne drops. Så kontrollerer vi antall drops til sammen.

til

Her er det 11 drops.

Her er det 14 drops.

Ku n

Her er det 17 drops.

Det er fire gule, fem grønne og åtte røde drops i esken.

Løsning ved å oversette opplysningene til matematikkspråket og lage en likning: Vi velger å la x stå for antall gule drops. Så oversetter vi fra oppgaveteksten: Antall gule drops er x.

Antall grønne drops er x þ 1. Antall røde drops er ð x þ 1Þ þ 3 ¼ x þ 4. Det er 17 drops til sammen: x þ ðx þ 1Þ þ ð x þ 4Þ ¼ 17


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Vi løser likningen: 3x þ 5 ¼ 17 5

5

deler på 3 på begge sider

Antall gule drops i esken er 4. Vi setter inn for x og finner antall grønne og røde drops. Grønne drops: xþ1¼4þ1¼5

rd

Merk Vi kan selv bestemme hvilket tall vi vil kalle x. Men når vi har valgt hva som skal representeres med x, er de andre tallene bestemt ut fra det.

trekker fra 5 på begge sider

er

3x ¼ 12 3x 12 ¼ 3 3 x¼4

in g

x þ x þ 1 þ x þ 4 ¼ 17

Røde drops:

xþ4¼4þ4¼8

vu

Det er fire gule, fem grønne og åtte røde drops i esken.

Tenk gjennom!

Vi kunne ha valgt antall grønne drops eller antall røde drops som x. Hvordan hadde likningen sett ut da? Ville vi fått de samme løsningene?

til

Ku n

50

EK SEMPEL 31 En butikk selger to bukser for samme pris som tre skjorter. Ei bukse koster 450 kr. Hvor mye koster ei skjorte?

Løsning ved å lage en illustrasjon: I dette tilfellet er det linjestykker som representerer beløpene: 0 kr

450 kr

bukse skjorte

0 kr

bukse

skjorte 300 kr

Vi ser at ei skjorte koster 300 kr.

900 kr

skjorte 600 kr

900 kr


Løsning ved systematisk prøving: Siden to bukser koster 900 kr, må tre skjorter koste det samme. Vi lager en tabell som gir oversikt over prisen på tre skjorter, og velger å begynne med 250 kr per skjorte: Pris for ei skjorte

250

275

300

325

350

Pris for tre skjorter

750

825

900

For lite

For lite

Stemmer

er

Vurdering

rd

Det er unødvendig å regne videre når vi har funnet at ei skjorte må koste 300 kr.

EKSEMPEL 32

vu

Mia vil kjøpe en ny PC. Den koster 5600 kr, men hun får 700 kr i avslag. Hvor mange prosent utgjør avslaget?

Løsning ved å gjette og prøve seg fram:

5600 kr 0,10 ¼ 560 kr

10 % er for lite

15 % av 5600 kr:

5600 kr 0,15 ¼ 840 kr

15 % er for mye

12 % av 5600 kr:

5600 kr 0,12 ¼ 672 kr

12 % er litt for lite

til

10 % av 5600 kr:

13 % av 5600 kr:

5600 kr 0,13 ¼ 728 kr

13 % er litt for mye

12,5 % av 5600 kr:

5600 kr 0,125 ¼ 700 kr

12,5 % stemmer

Ku n

Avslaget utgjør 12,5 %.

Løsning ved å oversette opplysningene til matematikkspråket og lage et regnestykke: Avslaget utgjør x %.

Vi bruker regelen om at

Prosentverdien ð x %Þ ¼

delen 100 % det hele

700 100 % ¼ 0,125 100 % ¼ 12,5 % 5600 Avslaget utgjør 12,5 % av den opprinnelige prisen. x%¼

51

in g

Problemløsning


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Oppgaver

Diskuter gjerne med hverandre og sammenlikn løsningsmetoder!

vu

rd

1.43 Brødrene Frank og Robert kjøpte hver sin hustomt. Tomtene var til sammen på 1500 m2 , men Franks tomt var dobbelt så stor som Roberts. De er enige om at en tomt bør være på minst 400 m2 . Har Robert kjøpt en tomt som er stor nok?

1.45

er

1.42 Et par sko koster tre ganger så mye som ei skjorte. Skoparet og skjorta koster til sammen 1200 kr. Hva koster skoparet, og hva koster skjorta?

in g

Velg selv hvilke metoder du vil bruke for å løse problemene nedenfor. Kanskje vil du kombinere flere strategier. Tenk til slutt gjennom hva du synes er den enkleste måten å løse problemet på.

til

1.44 Zaida er glad i dyr. Hun har hunder, katter og kaniner. Hun har tre flere katter enn hunder, og hun har fem flere kaniner enn katter. Til sammen har hun 17 dyr. Hvor mange hunder, katter og kaniner har hun?

Ku n

52

Allan har en liten tilhenger som tar maksimalt 500 kg last. Han skal hente murblokker og tørrbetong. Hver murblokk veier 13 kg, og en sekk tørrbetong veier 25 kg. Han henter fire sekker tørrbetong. Hvor mange murblokker kan han ta med på hengeren i tillegg til sekkene med tørrbetong?

1.46 Tony kjøper epler, bananer og appelsiner. Han kjøper halvparten så mange bananer som appelsiner og tre flere epler enn bananer. Til sammen kjøper han 27 frukter. Hvor mange av hver sort?


Test deg selv

53

Test deg selv

b

1.53 Alexandra er 162 cm høy, og Tony er 187 cm høy. Hvor mange prosent høyere er Tony enn Alexandra?

in g

1.47 a Rund av til et tall med én desimal: 36,892 Rund av til et helt tall: 290,476

1.54 Mabel setter 20 000 kr i banken. Renta er 0,75 % per år. Hvor mye har hun på kontoen sin etter ett år?

1.48 Regn ut: 45 100

c

1250 : 100

b

0,38 1000

1.55 En forretning selger ytterjakker for 999 kr. Så setter de ned prisen med 20 %.

er

a

1.49 Regn ut:

a

c

21 : 7 þ 4 3

b

b

1.50 Plasser tallene på tallinja: 0,5

0,25

85 100

1 Skriv tre brøker som er like store som . 5

4 Hvilke av disse brøkene er like store som ? 6 2 40 140 20 46 3 60 160 30 100

Ku n

b

7 10

1

1.51 a

30 %

Forklar hvordan vi kan bruke vekstfaktor til å finne den nye prisen. Hva blir den nye prisen?

1.56 Løs likningene:

til

0

1 4

63 ð 3Þ

rd

7ð8 4Þ þ 22

vu

a

1.52 Tor, Tom og Georg skal dele en pizza.

2 Tor spiser 35 % av pizzaen, og Tom spiser . 5 Hvor mye får Georg?

a

3x þ 4 ¼ 10

b

25x ¼ 100

c

x 7 ¼ 100 25

d

1,5x þ 1,7 ¼ 0,3x þ 4,1

1.57 Ali, Alma og Anette kjøper lodd. Et lodd koster 25 kr. Alma kjøper to lodd mer enn Ali, mens Anette kjøper ett lodd mindre enn Ali. Til sammen kjøper de lodd for 325 kr. Hvor mange lodd kjøpte hver av dem?


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Oppgaver

1.58 Fyll ut tallene som mangler, på rett plass i tabellen: tusener (kilo)

hundrer (hekto)

tier (deka)

ener

738,25 ¼

,

1003,501 ¼

tidel (desi)

hundredel (centi)

er

,

in g

1.1 Posisjonssystemet

tusendel (milli)

,

......... ¼ 1

......... ¼

2

0

5

7

5

,

6

0

,

0

7

,

7

9

1.63 Rund av til hele tall:

b

Hvilket tall er størst av 73,65 og 73,560?

a

c

Hvilket tall er minst av 0,025 og 0,250?

vu

1.59 a Hvilket tall består av 5 enere, 6 tiere og 3 hundrere?

25 10

c

350 100

b

4,55 100

d

450 : 10

til

a

1.61 Hvilket tall er størst? a

25,350 eller 52,350

b

49,990 eller 49,1000

c

2,95 eller 2,590

1.62 Skriv to tall som ligger mellom a

35 og 36

b

0,255 og 0,256

c

24,15 og 24,16

32,88

b

33,288

Rund av til hele tiere: c

1.60 Regn ut:

5

rd

......... ¼

Ku n

54

125,4

d

124,5

1.64 Regn ut: a

247 000 100

d

980 : 100

b

0,354 1000

e

340 : 1000

c

3,586 10

f

0,05 : 100

1.65 Et tall blir 350 når du deler det på 10. Hva blir tallet hvis du ganger det med 10?

2


Oppgaver

Regn ut de følgende oppgavene.

1.66 b

16 6 þ 12 2 þ 10

1.67 a 5 13

b

6 6 2 3

25 þ 5 þ 33 þ 7 þ 50

1.75 a 2 þ 4 þ 6 þ ::: þ 48 þ 50

4 25

1.68 a 2 3 þ 22 b

c

c

c

4 þ ð7 3Þ þ 2

d

ð8 þ 2Þ 5 þ ð2 þ 3Þ

1.69 a 16 þ 3 þ 14 þ 20 þ 17 b

568 þ 34 þ 2 þ 100 þ 6

c

35,458 0,058

d

89,67 þ 0,03 0,70

e

1045 þ 205 250

b

1.76 Lag to tosifrete tall med sifrene 6, 7, 8 og 9 slik at svaret blir størst mulig når du ganger de to tallene med hverandre.

1.3 Brøk

1.77 Hvilke brøker er fargelagt på figurene nedenfor?

a

b

7 65

c

55 9

til

1.71 a 7 20

1 2 3 4 5 : 24

vu

1.70 a 8 34

b

15 8

er

4þ6þ2þ8þ5

rd

a

1.74 Tom brukte et siffer tre ganger og laget et tosifret og et ensifret tall. Da han ganget de to tallene med hverandre, fikk han 275. Hvilket siffer brukte han i de to tallene?

in g

1.2 Bli god til å regne!

c

5 8 þ 3

d

9 ð 4Þ þ 2 3 5 pffiffiffiffiffiffiffiffi 32 þ 92 100

b

Ku n

1.72 a 2ð16 þ 4Þ þ 3 5 b

52 2 4 þ 3

c

4 3 2 þ ð7 þ 13Þ 15 : 3

1.73 Hva er halvparten av a

268

b

84,6

Hva er det dobbelte av c

55

d

65,5

c

1.78 Hvilke av disse brøkene er lik 2 4

55

5 8

3 2

6 12

1 ? 2

50 100

3 6

10 20


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

4 5

10 10

1 2

3 2

0

7 10

1

2

1.80 Skriv disse brøkene i stigende rekkefølge: 3 4

2 5

8 16

9 10

Hvor mange elever gikk det i klassen til Tore?

1 6

1.4 Prosent

1.81 Forkort brøkene mest mulig: 6 12

b

7 35

c

75 100

a c

2 5 8 þ þ 6 3 12 6 30 4 þ 8 40 16

b

18 3

c

b

d

0,01 ¼ :::::::: %

1.88 a Hvor mange prosent er 50 av 100?

til

a

90 ¼ :::::::: % 100

1.87 Tegn en figur som illustrerer 13 %.

7 60 5 þ 10 100 50

1.83 Regn ut. Bruk gjerne tegning til hjelp: 2 18 3

0,50 ¼ :::::::: %

b

vu

1.82 Regn ut. Bruk gjerne tegning til hjelp:

d

1.86 Gjør om til prosent: 12 a ¼ :::::::: % 100

rd

a

er

1 10

1.85 Tore gjorde en spørreundersøkelse i klassen om skolemat og fikk svar av alle. 1 Han fant ut at av elevene i klassen hadde med 3 3 skolemat hjemmefra, kjøpte mat i kantina, mens en 5 elev verken hadde med mat eller kjøpte noe i kantina.

in g

1.79 Plasser brøkene på tallinja:

5 4 2

c

3 2 4 3

d

1 3 4 5

b

Hvor mange prosent er 75 av 100?

c

Hvor mange prosent er 1 av 100?

d

Hvor mange prosent er 1 av 10?

1.89 a Finn 1 % av 420 kr.

d

Finn 25 % av 420 kr.

1.84 Lilly, Simon og Siri lekte med klinkekuler. 1 5 Lilly hadde av alle klinkekulene, og Simon hadde . 3 12 a Hvor stor del hadde Siri av alle klinkekulene?

b

Finn 10 % av 420 kr.

e

Finn 0,5 % av 420 kr.

c

Finn 50 % av 420 kr.

b

a

45 %

c

5%

e

15,5 %

b

28 %

d

220 %

f

0,5 %

Ku n

56

Siri hadde 60 klinkekuler. Hvor mange hadde Lilly og Simon?

1.90 Gjør om til desimaltall og brøker:

1.91 a Finn 1 % av 8800.

d

Finn 50 % av 8800.

b

Finn 10 % av 8800.

e

Finn 75 % av 8800.

c

Finn 5 % av 8800.

f

Finn 2,5 % av 8800.


Oppgaver

2·2

in g

1.92 Tom og Evert reiste med toget. Etter at de hadde kjørt 50 km, sa Tom at de hadde tilbakelagt 20 % av turen. Hvor lang var hele strekningen de skulle reise? 1.93 Mia vil kjøpe en ny PC. Den koster 5600 kr, men hun får 700 kr i avslag. Hvor mange prosent utgjør avslaget?

Diskuter framgangsmåten din med de andre i gruppa. Kontroller svarene ved å bruke kalkulator. Hva er enkleste framgangsmåte på oppgavene når du bruker kalkulator?

rd

1.95 Ved stortingsvalget 2017 fikk Høyre 732 895 stemmer. Det utgjorde 25 % av stemmene. Hvor mange personer stemte ved dette valget?

2·4

er

1.94 Aina og Sofia solgte vafler på idrettsdagen. Aina solgte for 360 kr. Det utgjorde 45 % av inntektene. Hvor mye solgte de for til sammen?

1.5 Vekstfaktor

1.96

vu

1.98 En mobiltelefon kostet 4500 kr. Etter en tid får forretningen inn en ny modell som er 10 % dyrere. Hva koster den nyeste modellen? Ronny regnet slik:

til

Mobiltelefonen kostet:

Ku n

Hvor mange prosent av det norske flagget er rødt? Hvor mange prosent er hvitt? Og hvor mange prosent er blått?

Kontroller til slutt: Hvor mange prosent blir det til sammen?

1.97

Tegn fem figurer med sirkler som vist på figuren øverst i neste spalte. Antall sirkler på figurene skal være 2 2, 2 4, 2 5, 4 5 og 5 5. Fargelegg noen av sirklene på de fem figurene. Finn hvor stor brøkdel som er fargelagt på hver av figurene dine, og hva dette tilsvarer i desimaltall og i prosent. Klarer du å finne alle svarene uten å bruke kalkulator?

57

þ10 % av 4500 kr ¼ 4500 kr 0,10: Ny modell koster:

4500 kr 450 kr 4950 kr

Vis hvordan du kan gjøre samme utregning ved å bruke vekstfaktor.

1.99 Fyll ut det som mangler i tabellen: Økning i prosent

Prosent etter økning

Vekstfaktor (desimaltall)

45 %

100 % þ 45 % ¼ 145 %

1,45

5%

100 % þ :::::: % ¼ ::::::: %

75 %

:::::: % þ 75 % ¼ ::::::::: % 100 % þ 2 % ¼ :::::::: % 1,15


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Nadia kunne ha regnet slik: 17,0 kg

15 % vekttap ¼ 17,0 kg 0,15 ¼ 2,55 kg

Reisende som får rabatt:

14,45 kg 14,5 kg

Hunden veier nå:

Vis hvordan du kan regne ut det samme ved hjelp av vekstfaktor.

Nedgang i prosent

Prosent etter nedgang 100 % 15 %

15 %

¼ 85 %

100 % ::::::: % ¼ :::::::: %

65 %

100 % ::::::: % ¼ :::::::: % 100 % 90 %

Vekstfaktor (desimaltall)

0,95

1.6 Likninger

¼ 10 %

til

1.102 Regn ut ved å bruke vekstfaktor:

Josef setter 18 000 kr i banken. Hvor mye har han i banken etter ett år når renta per år er 1%

b

1.105 Prisen på en vare blir satt ned med 10 %. Deretter blir prisen satt opp igjen med 10 %. Vil den nye prisen bli lik, større enn eller mindre enn den gamle? Forklar hvordan du tenker.

0,85

0,80

a

Student: 25 prosent rabatt

vu

5%

Barn 6–17 år: 50 prosent rabatt

rd

1.101 Fyll ut det som mangler i tabellen:

Barn 0–5 år: gratis

er

Hunden veide:

1.104 En familie skal reise med tog og besøke besteforeldrene. Ordinær pris per person er 890 kr. De finner informasjon om rabatter på sidene til Vy. Familien består av to foreldre, tvillinger på ni år og en sønn som er student. Hvor mye må de betale til sammen? Prøv å løse oppgaven ved hjelp av vekstfaktor.

in g

1.100 Nadia hadde en hund som veide 17,0 kg. Så ble hunden syk, og vekta gikk ned med 15 %. Hva veide hunden etter vekttapet?

2,3 %

Ku n

58

1.103 Jone har en ettermiddagsjobb der han får 145 kr per time. Så settes timelønna opp med 3,5 %. Hva blir den nye timelønna hans? Prøv å løse oppgaven med vekstfaktor.

1.106 Løs likningene: a

3x þ 4 ¼ 13

d

5x þ 5 þ 5x ¼ 45

b

2x þ 4x ¼ 12

e

15 þ 2x ¼ 35

c

7x ¼ 19 þ 2

f

4x þ 6 2x ¼ 106

1.107 Løs likningene: x x ¼5 b ¼6 a 4 10

c

x ¼8 5

1.108 Tonje har kjøpt 2 kg bananer for 54 kr til sammen. Hva er kiloprisen på bananene? Løs problemet ved å sette opp en likning. La x stå for kiloprisen. a

Skriv opplysningene i oppgaven som en likning og løs likningen.

b

Finn svar på oppgaven.


Oppgaver

1.115 Arealet av et rektangel er 24 cm2 . Lengden er 6 cm. Hva er bredden av rektanglet?

1.109 Løs likningene: a

2x þ 30 x ¼ 60

b

3ðx þ 2Þ ¼ 42 þ 8

c

10,5 ð2; 2 xÞ ¼ 24,3

d

50x þ 15 ¼ 40x þ 85

e

4 þ 5ðx 3Þ 2 ¼ x þ 3ðx þ 9Þ 1

f

3 4ðx 2Þ ¼ 2 5ðx 4Þ

in g

1.116 Even er dobbelt så gammel som Odd. Til sammen er de 39 år. Hvor gamle er de?

b

x x þ ¼ 10 2 3

c

120 ¼ 15 x

b c

x 2x þ 2ðx þ 5Þ ¼ 19 3 3 1 x 3 þ 1,5x ¼ x þ 8 2 3x 50 x þ 15 ¼ 5 5

vu

1.111 Løs likningene: a

1.118 Laila skal kjøpe fôr til hunden sin og sammenlikner tilbudene i to butikker. Den ene butikken selger 6 kg hundefôr for 567 kr. Den andre butikken tar 630 kr for 6 kg hundefôr, men nå har de satt ned prisen 15 %. I hvilken butikk får Laila det beste tilbudet?

rd

x ¼4 15

er

1.117 Kristian spiser 25 % av en pizza. Dagen etter spiser han halvparten av det som er igjen. Hvor stor del av pizzaen har han igjen nå?

1.110 Løs likningene: a

59

til

1.112 Oleg har kjørt i 2 timer 30 minutter med en gjennomsnittsfart på 65 km=t. Hvor mange kilometer har han kjørt?

Ku n

1.113 Yasmin setter en sum penger i banken og får 1,5 % rente per år. Etter to år har hun 16 483,60 kr i banken. Hvor mye satte hun inn på bankkontoen?

1.7 Problemløsning 1.114 Olga brukte 20 % av sparepengene sine på en mobiltelefon. Da hadde hun 16 800 kr igjen. Hvor mange penger hadde hun før hun kjøpte telefonen?

1.119 Evelyn, Natalie og Laura sammenlikner skonumrene sine. Natalies sko er to nummer større enn Evelyns. Og Lauras sko er ett nummer større enn Natalies. Når de legger sammen skonumrene sine, får de 113. Hvilket skonummer har hver av jentene? 1.120 Anders, Bjørn og Charlie selger kakebokser til inntekt for klassen. Charlie har solgt dobbelt så mange som Bjørn. Anders har solgt tre flere enn Bjørn. Til sammen har de solgt 71 kakebokser. Hvor mange bokser har hver av dem solgt? 1.121 Et tall pluss to tredeler av tallet er 45. Hvilket tall er det? 1.122 Marco har sauer og høner. Til sammen har dyra 50 øyne og 70 bein. Hvor mange sauer og hvor mange høner har Marco?


Ku n til in g

er

rd

vu

2 MÅLENHETER


in g

Bryllupsmiddag

er

Mat og drikke er en viktig del av en vellykket bryllupsfest. De som lager maten, er helt avhengig av å beregne riktige mengder for at gjestene skal bli fornøyde. For lite mat gjør gjestene misfornøyde, og for mye mat fører til at unødvendig mye mat blir kastet.

rd

Det er også viktig å beregne tiden, slik at maten kan serveres til rett tidspunkt. Vi setter gjerne opp en detaljert kjøreplan med tidspunkter og arbeidsoppgaver for kokker og servitører. Skal du lage og servere mat til et slikt arrangement, må du ha kontroll på målenheter både for masse, volum, tid og energi.

vu

I dette kapitlet lærer du om slike målenheter. Du lærer både å gjøre om mellom målenhetene og velge korrekt målenhet. I aktivitet 2.1 får du prøve deg på utfordringer rundt denne bryllupsmiddagen.

Ku n

til

Kapitteloversikt I 2.1 Grunnleggende målenheter lærer du om målenheter vi bruker i dagliglivet, og hvordan vi velger egnet målenhet. I 2.2 Målenheter for areal og volum lærer du hvilke målenheter som brukes til areal og volum, og hvordan vi velger egnet målenhet.

I 2.3 Målenheter for energi lærer du hvilke målenheter som brukes for energi i mat, og om sammenhengen mellom dem. I 2.4 Sammensatte målenheter får du eksempler på sammensatte målenheter og hvordan de kan brukes, i hverdagen og i et framtidig yrke.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

tolke og bruke sammensatte målenheter i praktiske sammenhenger og velge egnet målenhet

tolke og regne med nærings- og energiinnhold, og regne om mellom ulike sammensatte målenheter knyttet til restaurant- og matfag


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

2.1 Grunnleggende målenheter

in g

Vi bruker målenhetene som en naturlig del av språket. Det er ikke feil å si at vi har hoppet fra 10 000-millimeteren, men vi gjør oss bedre forstått om vi sier at vi har hoppet fra 10-meteren. Hvilke målenheter for lengde, masse og volum kjenner du til? Hvordan bør vi presentere store og små tall slik at andre lett forstår dem?

er

D U S K AL K U N N E

tolke og bruke de vanligste målenhetene

gjøre om mellom ulike målenheter

velge passende enheter i målinger

rd

U T F O R S K SA M M E N

vu

Volum måler vi vanligvis i liter. Hvilke andre målenheter kjenner dere til, og når brukes de? Hvilke måleverktøy bruker dere? Lag en oversikt over måleutstyr dere bruker, og hva de måler.

Hva måler du?

Grunnenhet

Avledete enheter

Brukes når jeg skal

desilitermål

volum

liter (L)

ml, dl

måle ingredienser når jeg lager mat

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

til

Hva heter verktøyet?

Ku n

62

SI – det internasjonale enhetssystemet Gjennom historien har folk i ulike land laget målenheter som de har hatt bruk for. For eksempel brukte vi i Norge lengdemål som alen, fot og tommer. Men selv om flere land brukte samme navn på lengdemålene, kunne de ha ulik verdi i forskjellige land. En norsk fot var for eksempel litt lengre enn en engelsk fot. Det er mer effektivt når alle bruker de samme målesystemene. Etter hvert ble det vedtatt et system som de fleste land i verden har innført. Systemet kalles SI. Systemet har definert sju grunnenheter, blant annet kg (kilogram), m (meter) og s (sekund). Andre målenheter er definert ut fra disse sju grunnenhetene.


Grunnleggende målenheter

63

Omgjøring av enheter i titallssystemet

«Hekto» er et prefiks som betyr 100. Når vi skal kjøpe kjøttpålegg i ferskvaredisken, kan vi bestille 3 hektogram, altså 300 gram, spekeskinke.

Tabellen nedenfor gir en oversikt over noen prefikser: Forkortelse

Tall

Navn

tera giga mega kilo hekto deka

T G M k h da

billion milliard million tusen hundre ti

desi centi milli mikro nano piko

d c m m n p

1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 1 1/10 1/100 1/1 000 1/1 000 000 1/1 000 000 000 1/1 000 000 000 000

til

vu

rd

Prefiks

EKSEMPEL 1

Skriv 350 milliliter med liter som målenhet.

b

Skriv 7 hektogram med gram som målenhet.

Ku n

a c

er

Når vi skal skrive store eller små tall, kan det bli mange nuller. For å gjøre skrivemåten enklere bruker vi prefikser.

Skriv 0,3 meter med desimeter som målenhet.

Løsning: a 350 milliliter er 350 tusendels liter. 350 L ¼ 0,35 L 350 ml ¼ 1000

b

7 hektogram er 7 hundre gram. 7 hg ¼ 7 100 g ¼ 700 g

c

0,3 meter er 3 tidels meter. 3 0,3 m ¼ m ¼ 3 dm 10

Omgjøring av enheter:

in g

Målenhetene i SI-systemet henger nøye sammen med titallssystemet. 10 millimeter er for eksempel samme lengde som 1 centimeter. «Milli» og «centi» kalles prefikser. Et prefiks er første delen av et ord og gir ordet en egen mening.

tidel hundredel tusendel milliondel milliarddel billiondel

Merk For eksempel er 1 kg ¼ 1000 g, 1 dl ¼ 1=10 L ¼ 0,1 L og 1 cm ¼ 1=100 m ¼ 0,01 m.


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Når vi skal gjøre om mellom enheter, kan vi bruke en omgjøringstabell som hjelper oss til å holde styr på de ulike enhetene. Omgjøringstabell for lengdemål mil 1

(hm) (dam)

m

dm

cm

mm

0 1

0 0

0 0

0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

er

1 mil = 10 km 1 km = 1000 m 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm

km

in g

Målenheter for lengde

Noen av målenhetene, som hektometer (hm) og dekameter (dam), blir sjelden brukt.

rd

EK SEMPEL 2

Gjør om 4560 millimeter til meter ved hjelp av omgjøringstabell.

vu

Løsning: I 4560 mm står sifferet 0 på enerplassen. Vi setter sifrene inn i tabellen slik at 0 havner på millimeterplassen. Da havner sifferet 4 på enerplassen for meter. km

(hm)

(dam)

m

dm

cm

mm

4

5

6

0

til

mil

Ku n

64

4560 mm = 4,56 m

Omgjøringstabell for masse Målenheter for masse

kg

hg

(dag)

g

(dg)

cg

mg

1 kg = 10 hg = 1000 g 1 hg = 100 g 1 g = 1000 mg

1

0 1

0 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 tonn = 1000 kg Noen av målenhetene, som dekagram (dag) og desigram (dg), blir sjelden brukt.


Grunnleggende målenheter

65

EKSEMPEL 3 Gjør om 850 gram til milligram ved hjelp av omgjøringstabell.

Masse

hg

(dag)

g

(dg)

cg

mg

850 g

8

5

0

0

0

0

er

850 g ¼ 850 000 mg

Omgjøringstabell for litermål Målenheter for volum

(kl)

hl

(dal)

L

dl

cl

ml

1

0 1

0 0

0 0

rd

1 L = 10 dl = 100 cl = 1000 ml 1 dl = 10 cl = 100 ml

Merk I dagligtale snakker vi om vekta til en gjenstand, men riktig begrepsbruk i matematikken er å snakke om massen til en gjenstand. En vekt er måleutstyret vi måler massen med.

in g

Løsning: Når vi setter inn 850 g i tabellen, ser vi at vi må føye til tre nuller for å få et siffer på plassen til milligram.

Noen av målenhetene, som kiloliter (kl) og dekaliter (dal), blir sjelden brukt.

Gjør om 87 milliliter til liter.

vu

EKSEMPEL 4

Løsning: Sifferet 7 setter vi på enerplassen for ml. Da må det stå 0 på plassene for L og dl.

87 ml

hl

(dal)

L

dl

cl

til

Volum

0

0

8

ml 7

87 ml ¼ 0,087 L

Ku n

Huskeregel for omregning av enheter Vi kan også bruke trappetrinnsmodellen til å huske overgangene mellom enhetene for lengde, masse og volum. Hvor mange desimeter er 5 m? Vi går ett trinn ned i trappa. Da må vi gange med 10: 5 m ¼ 5 10 dm ¼ 50 dm

Hvor mange gram er 4,45 kg? Vi går tre trinn ned og ganger med 10 tre ganger: 4,45 kg ¼ 4,45 10 10 10 g ¼ 4,45 1000 g ¼ 4450 g

Hvor mange liter er 450 cl? Vi går to trinn opp og deler på 10 to ganger: 450 cl ¼ 450 : 100 L ¼ 4,50 L

Gange med 10 for hvert trinn ned

km (hm) (dam) kg

m hg

dm (dag)

(kl)

cm mm

g hl

(dg) (dal)

(cg) L

mg dl cl

Dele på 10 for hvert trinn opp

ml


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Enheter for tid

in g

Vi forholder oss alle til tiden og klokka. Men vi tenker ikke alltid over at når vi regner om mellom sekunder, minutter og timer, bruker vi sekstitallssystemet. I hverdagen holder vi stort sett orden på antall timer, minutter og sekunder. Blant annet vet vi at ett minutt etter kl. 23.59 blir klokka 00.00, og vi får en ny dag på kalenderen. Hvilke strategier kan vi bruke når vi skal regne med tid? Den internasjonale enheten for time er h, men i Norge brukes ofte t.

Merk 1 minutt = 60 sekunder 1 time = 60 minutter = 3600 sekunder

er

Tenk gjennom!

Hvor mange minutter er 2,25 timer?

rd

Jarle har jobbet fra kl. 8.30 til kl. 13.15. Han vil finne ut hvor mange timer dette er. Da kan vi ikke bare trekke de to tallene fra hverandre, slik vi gjør med tall i titallssystemet. Vi må regne timene for seg og minuttene for seg.

vu

En måte er å si at fra 8.30 til 13.30 er det 5 timer. Men så må vi trekke fra et kvarter. Det vil si at Jarle har jobbet i 4 timer 45 minutter.

til

Eller vi kan si at fra 8.30 til 12.30 er det 4 timer. Så må vi legge til 45 minutter.

Ku n

66

kl. 8.30

kl. 13.15

EK SEMPEL 5 Frida har regnet ut at det tar 3,8 timer å reise fra Hamar til Sognefjellshytta. Hun har planlagt å reise kl. 8.30. a

Omtrent når vil hun være framme?

b

Hvor mange timer og minutter er 3,8 timer?

c

Når vil hun helt presist være framme?


Grunnleggende målenheter

67

Løsning: a Et overslag vil være å tenke at 3,8 timer er nesten 4 timer. Det vil si at hun er framme litt før kl. 12.30 hvis hun reiser kl. 8.30. 3,8 timer ¼ 3 t þ 0,8 t

in g

b

0,8 t må regnes om til minutter. Vi erstatter 1 t i regnestykket med 60 min, siden det er like størrelser: 0,8 t ¼ 0,8 1 t ¼ 0,8 60 min ¼ 48 min 3,8 t ¼ 3 t 48 min

3 timer etter kl. 8.30 er klokka 11.30. Så må vi legge til 48 minutter: 30 minutter etter kl. 11.30 er klokka 12.00, og turen tar enda 18 minutter. Hun er framme kl. 12.18.

er

c

rd

Dette stemmer bra med overslaget. Når klokka er 12.18, er det 12 minutter igjen til kl. 12.30. Når vi skal gjøre om minutter til timer, deler vi antall minutter på 60.

30 timer ¼ 0,5 t. 30 minutter er altså en halv time. 60 15 15 min ¼ timer ¼ 0,25 t. 15 minutter er altså en firedels time, et kvarter. 60

til

vu

30 min ¼

Å velge målenhet

Ku n

Når vi skal presentere ulike målinger, må vi vurdere hvilke målenheter det er hensiktsmessig å bruke. Vi kan for eksempel ha regnet ut at en lengde er 0,056 m. Vi ser at dette er en liten lengde, og at det hadde vært bedre med en annen målenhet enn meter: 1 m ¼ 56 tusendels meter ¼ 56 millimeter ¼ 56 mm 0,056 m ¼ 56 1000 1 0,056 m ¼ 5,6 m ¼ 5,6 hundredels meter ¼ 5,6 centimeter ¼ 5,6 cm 100 For de fleste er det lettere å forestille seg lengden 56 mm eller 5,6 cm enn å oppfatte hvor langt 0,056 m er. Når vi velger målenhet i svaret vårt, må vi også ta i betraktning at en liten målenhet som millimeter gir inntrykk av større målesikkerhet enn en større enhet som for eksempel meter.


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

EK SEMPEL 6 114 d

Amund, Ida, Truls og Omar skal måle omkretsen av tomta der Omar bor. De måler hver sin lengde. Amund måler 11 700 mm, Ida måler 114 dm, Truls måler 825 cm, og Omar måler 13 m.

in g

825 cm

11 7 00 m m

m

Regn ut omkretsen av tomta. Hva slags målenhet bør omkretsen oppgis i?

Løsning: Før vi kan legge sammen de ulike lengdene, må vi gjøre om alle lengder til samme målenhet:

13 m

er

11 700 mm þ 114 dm þ 825 cm þ 13 m ¼ 11,7 m þ 11,4 m þ 8,25 m þ 13 m ¼ 44,35 m 44 m

Omkretsen av tomta er 44 m.

vu

rd

Det er vanskelig å måle så lange avstander nøyaktig i millimeter og centimeter. Vi velger derfor å gjøre om alle lengdene til meter og runde av. Å oppgi en lengde i hele meter er ikke svært nøyaktig. Når vi konkluderer med at omkretsen er 44 m, mener vi at omkretsen er mellom 43,5 m og 44,4 m.

Oppgaver

til

2.1 Gjør om til millimeter: a

35 cm

b

7,03 m

c

5,67 dm

d

0,0468 m

Ku n

68

e

0,084 cm

2.2 Hvilken enhet er den riktige?

2.3 Gjør om: a

35 cm til meter

b

35 km til meter

c

48 mm til centimeter

2.4 Fyll ut det som mangler i tabellen:

a

Hammeren er 36,8 . . . lang.

Lengde

b

Mobiltelefonen er 99 . . . bred.

5m

c

Fotballen har diameter 2,2 . . .

12 mm ¼ . . . cm

d

Bordet er 74 . . . høyt.

. . . cm ¼ . . . dm

e

Glasset med melk har volumet 240 . . .

1 mil

f

Tomaten veier 73 . . .

. . . km ¼ . . . m

mil km (hm) (dam) m ¼ . . . cm

5

dm cm mm 0

0

0

4

5

0

0

0

0

¼ ... m 7

5

0

0


Grunnleggende målenheter

45 g

kg

hg

¼ . . . kg

(dag)

g

4

5

6

0

dg

cg

mg

490 mg ¼ . . . g . . . kg ¼ . . . g 1 hg

¼ . . . kg

... g

¼ . . . mg

2

5

3

5

hl

(dal)

¼ ... L

¼ . . . hl

b

430 mg til kilogram

2.8 Gjør om:

5

0

c

500 ml til liter

b

750 ml til centiliter

e

500 ml þ 1,5 L

f

3,5 dl þ 0,02 L þ 50 cl

a

1 min 20 s til sekunder

c

4,5 t til minutter

b

3 t 25 min til minutter

d

45 min til timer

3

5

0

0

30,65 hg til kilogram

c

12,6 dl til liter

Ku n

a

3,000 g þ 47 mg

1

3

ml

til

0,25 kg til gram

d

cl

7

2.7 Gjør om: a

345 g þ 0,350 kg

2.11 Timelønna til Jarle er 140 kr. Han får betalt for hver påbegynt halvtime. Hvor mye får han betalt hvis han jobber fra kl. 9.00 til kl. 13.50?

vu

. . . dl

c

dl

. . . ml ¼ . . . cl ¼ ... L

48,0 cm þ 345 mm þ 0,60 dm

L

450 cl ¼ . . . dl

1 hl

b

rd

13 dl

(kl)

4500 m þ 3,70 km

2.10 Gjør om:

2.6 Fyll ut det som mangler i tabellen: Volum

a

in g

Masse

2.9 Legg sammen. Velg selv hvilken målenhet du vil oppgi svaret i:

er

2.5 Fyll ut det som mangler i tabellen:

69

2.12 Martin har en pose med 1 kg sukker. Han bruker først 2 hg i en kakeoppskrift. Deretter bruker han 350 g i en annen oppskrift. Nå skal han bake en kake der han trenger 0,25 kg. Hvor mye sukker er det igjen i posen etter at han har bakt denne kaka? 2.13 Legg sammen: a

0,17 dm þ 23,8 cm þ 78 566 mm þ 0,035 m

b

350 km 0,85 mil þ 4360 m

c

0,0073 L þ 3,86 cl þ 0,124 dl þ 325,0 ml

L Æ R I N G S L O G G 2. 1

Lag en oversikt over ulike målenheter for masse og forklar sammenhengen mellom dem. Lag et eksempel med en valgt masse, der massen er uttrykt i alle de ulike målenhetene. Hvilke målinger kommer du til å gjøre i ditt framtidige yrke?


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

2.2 Målenheter for areal og volum

D U S K AL K U N N E

er

in g

Måling av lengde, areal og volum henger sammen. Se for deg et svømmebasseng. Vi bruker lengdemål for å si noe om lengden og bredden av bassenget. Vannoverflaten dekker et areal, og når vi skal finne ut hvor mye vann det er i bassenget, snakker vi om bassengets volum.

forstå om en målenhet viser en lengde, et areal eller et volum

gjøre om mellom ulike målenheter for areal og volum

rd

U T F O R S K SA M M E N

vu

Prøv å lage en boks som rommer akkurat én liter. Dere trenger:

papp

saks

tape

linjal

litermål

puffet ris, solsikkefrø e.l.

Tegn en figur som likner den nedenfor. Dere bestemmer målene på sidene. (Det finnes mange løsninger.) Når dere er fornøyd, klipper dere ut figuren og bretter den til en boks. Fyll boksen med puffet ris eller lignende og kontrollmål med litermålet. Hvis boksen ikke rommer en liter, må dere gjøre endringer.

til

Ku n

70

Presenter for de andre hvordan dere tenkte da dere laget boksen. Til slutt: Hvilken gruppe brukte minst papp til boksen?


Målenheter for areal og volum

71

Målenheter for areal Et areal måles i kvadratenheter. Et kvadrat der alle sidene er 1 meter, kalles en kvadratmeter, 1 m2 . Et kvadrat der alle sidene er 1 desimeter, har arealet 1 dm2 . Hvor mange cm2 er det plass til i 1 dm2 ?

in g

1 dm2 ¼ ð10 cmÞ2 ¼ 100 cm2

vu

rd

1 dm = 10 cm

er

1 cm

til

1 dm = 10 cm

Vi vet at 1 cm = 10 mm. For å gjøre om fra cm2 til mm2 må vi gange med 100:

Huskeregel for arealenheter

1 cm2 ¼ ð10 mmÞ2 ¼ 100 mm2 Vi vet at 1 km ¼ 1000 m. For å gjøre om fra km2 til m2 må vi gange med 1000 to ganger:

km2

2

1 km ¼ ð1000 mÞ ¼ 1 000 000 m

Ku n

2

2

(hm2)

Gange med 100 for hvert trinn ned (dam2) m2 dm2 cm2

For å huske overgangen mellom arealenhetene kan vi bruke trappa i margen. La oss si at vi har et areal på 500 dm2 . Hvor mange kvadratmeter er det?

For å gjøre om fra dm2 til m2 må vi gå ett trinn oppover i trappa. Da må vi dele på 100: 500 dm2 ¼ 500 : 100 m2 ¼ 5 m2

Tenk gjennom! Hvor mange kvadratcentimeter er det i en kvadratmeter?

mm2

Dele på 100 for hvert trinn opp


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

EK SEMPEL 7 a

Hvor mange kvadratcentimeter er 9 dm2 ?

b

Hvor mange kvadratmeter er 8560 cm2 ?

Løsning: a 1 dm ¼ 10 cm

in g

Målenheter for areal:

Da er 1 dm2 ¼ ð10 cmÞ2 ¼ 100 cm2 og 9 dm2 ¼ 9 100 cm2 ¼ 900 cm2 . Eller vi kan bruke trappa med huskeregelen:

Når vi gjør om fra dm2 til cm2 , må vi gange med 100. 9 dm2 ¼ 900 cm2

er

1 m 100 2 1 1 2 m ¼ m2 ¼ 0,0001 m2 og Da er 1 cm ¼ 100 10 000 8560 cm2 ¼ 8560 0,0001 m2 ¼ 0,856 m2 . 1 cm ¼

rd

b

Eller vi kan bruke trappa med huskeregelen: Når vi gjør om fra cm2 til m2 , må vi dele på 100 to ganger. Det vil si å dele på 100 100 ¼ 10 000:

vu

8560 cm2 ¼ 8560 : 10 000 m2 ¼ 0,856 m2

EK SEMPEL 8

Torjus har kjevlet ut en pepperkakedeig slik at den dekker et område på en halv kvadratmeter. Nå skal han skjære ut deler til et pepperkakehus. Alle veggene er

til sammen 820 cm2 , og hver av takplatene har lengde 28 cm og bredde 10 cm. Hvor mange pepperkakehus kan Torjus maksimalt få ut av deigen?

til

Ku n

72

Løsning: For å gjøre om til kvadratcentimeter må vi gange med 100 to ganger. Arealet av deigen blir da 0,5 m2 ¼ 0,5 100 100 cm2 ¼ 5000 cm2 Arealet av et pepperkakehus kan vi finne slik: Arealet av vegger: 820 cm2 Arealet av takplater: 2 28 cm 10 cm ¼ 560 cm2 Samlet areal: 1380 cm2 For å se hvor mange pepperkakehus vi kan skjære ut av deigen, deler vi arealet av deigen på arealet av et hus:

5000 cm2 3,62 1380 cm2 Torjus får maksimalt tre hele pepperkakehus ut av denne deigen. Vi ser at det blir litt deig til overs. Maksimalt antall pepperkakehus:


Målenheter for areal og volum

73

Målenheter for volum Når vi skal måle rominnholdet av en gjenstand, må vi kjenne størrelsen av en flate i tillegg til høyden på gjenstanden. Vi måler i tre dimensjoner (3D).

in g

En liten terning der alle sidene er 1 cm, kalles en kubikkcentimeter (cm3 ). På figuren ser du en større terning der alle sidene er 10 cm (1 dm). Bunnen av denne boksen kan dekkes med 100 små kubikkcentimeter-terninger. Vi kan legge ti lag med små terninger for å fylle hele boksen. Til sammen rommer boksen 1000 små terninger eller 1000 kubikkcentimeter.

er

Alle sidelengdene i den store terningen på figuren er 1 dm. Vi kan derfor si

rd

at 1 dm3 er det samme som 1000 cm3 .

til

vu

10 cm

10 cm

10 cm

På samme måte kan vi finne hvor mange kubikkdesimeter (dm3 ) vi får plass

Ku n

til på 1 kubikkmeter (m3 ). Vi kan tenke oss en terning på 1 m3 . Hver av sidekantene er da 10 dm, og volumet er ð10 dmÞ3 ¼ 1000 dm3

Vi lager en trapp med huskeregler for volum, tilsvarende den vi laget for areal. Der vi ganget lengdeenheten med 10, ganger vi arealenheten med 100 og volumenheten med 1000. Huskeregelen sier at 1 cm3 ¼ 1000 mm3 , og at

1 m3 ¼ 1000 1000 cm3 ¼ 1 000 000 cm3 .

Huskeregel for volumenheter

km3 (hm3)

Gange med 1000 for hvert trinn ned (dam3) m3 dm3 cm3

Dele på 1000 for hvert trinn opp

mm3


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

EK SEMPEL 9 a

Hvor mange kubikkcentimeter er 1,2 m3 ?

b

Hvor mange kubikkdesimeter er 350 cm3 ?

in g

Løsning: a Når vi gjør om fra m3 til cm3 , kan vi bruke trappa på forrige side. Vi går to trinn ned og må gange med 1000 to ganger, altså gange med 1000 1000 ¼ 1 000 000. 1,2 m3 ¼ 1,2 1 000 000 cm3 ¼ 1 200 000 cm3

Når vi gjør om fra cm3 til dm3 , kan vi også bruke trappa. Vi går ett trinn opp, og må dele på 1000.

er

b

rd

350 cm3 ¼ 350 : 1000 dm3 ¼ 0,350 dm3

EK SEMPEL 10

vu

Til åpningen av et nytt konditori skal det bakes en rekordstor marsipankake. Den skal dekkes med et marsipanlokk som er 240 cm langt, 60 cm bredt og 2 mm tykt. Hvor mange kubikkdesimeter marsipan går med til å lage denne kaka?

Løsning: Vi husker formelen for volumet av et rett prisme: V ¼l b h

til

Ku n

74

2 mm

m

c 240

60 c

m

Siden vi skal ha svaret i kubikkdesimeter, gjør vi først om alle målene til desimeter: 240 cm ¼ 240 : 10 dm ¼ 24,0 dm 60 cm ¼ 60 : 10 dm ¼ 6,0 dm 2 mm ¼ 2 : 100 dm ¼ 0,02 dm Volumet av marsipanen blir 6,0 dm 24,0 dm 0,02 dm = 2,88 dm3 Vi trenger nesten 3 dm3 eller 3 liter marsipan til denne kaka.


Målenheter for areal og volum

Vi kan måle volum både med kubikkmål og litermål.

Merk 1 L 1000 1 1 cm3 ¼ dm3 1000 1 ml ¼

En kubikkdesimeter er det samme som en liter, 1 dm3 = 1 L. 1 cl ¼

1 L 100

1 ml ¼

1 L 1000

EKSEMPEL 11

Hytta til Eva og Charlie ligger langt til fjells. De har ikke innlagt vann, men en

rd

vanntank som tar 1 m3 . De fyller tanken ved å hente vann i en bekk med ei bøtte som tar 10 L. Hvor mange bøtter må de hente før tanken er full?

Løsning: Siden 1 L = 1 dm3 , gjør vi om volumet i tanken til kubikkdesimeter.

vu

1 m3 ¼ 1000 dm3 ¼ 1000 L 1000 L : 10 L ¼ 100

Siden 1 L ¼ 1 dm3 , må disse to rommålene være like store: 1 ml ¼ 1 cm3

er

1 L 10

in g

I utforskingsoppgaven laget dere en boks som rommet 1 liter. Omgjøringsreglene for litermål finner du i forrige delkapittel.

1 dl ¼

Ku n

til

Det trengs 100 bøtter vann for å fylle tanken.

75


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Oppgaver 2.17 a

a

Arealet av en pult er 63 . . .

b

Arealet av bunnen i en kopp er 38,5 . . .

c

Arealet av en stue er 35 . . .

d

Volumet av en kakeform er 2,5 . . .

b

2.18 a Hvor mange kvadratcentimeter er 2 m2 ?

2.15 Drøft hvem som har det mest realistiske overslaget: Petter mener at rommet hans er ca. 12 m2 ,

mens Ida mener at volumet er ca. 10 dm3 .

a

450 000 m2 þ 2,70 km2

Petter mener at spisebordet på kjøkkenet er

b

467 mm2 þ 0,3 dm2 þ 16 cm2

ca. 20 dm2 , mens Ida mener det er ca. 200 dm2 .

c

14,000 m3 þ 27,0 dm3

rd

vu

d

Petter mener at arealet av tommelneglen hans er

ca. 100 mm2 , mens Ida mener at den er ca. 10 mm2 .

til

2.16 a Tegn en figur som er 16 cm2 . b

Hvor mange kvadratmillimeter (mm2 ) er figuren?

Tenk deg at figuren du har tegnet, er grunnflaten til en figur med høyde 3 cm. c d

Hvor mange kvadratmillimeter er 2,5 cm2 ?

Petter mener at ei bøtte har volumet 1,2 dm3 ,

og Ida mener at rommet hennes er ca. 1,8 m .

c

c

2.19 Legg sammen. Velg selv hvilken målenhet du vil oppgi svaret i:

2

b

Hvor mange kvadratmeter er 450 cm2 ?

er

b

a

1 dm2 . 4 Hvor mange kvadratcentimeter er arealet?

Tegn en figur som er

in g

2.14 Hva er riktig målenhet?

2.20 Hvilket volum er minst? 45 cm3

0,054 dm3

52 000 mm3

2.21 Legg sammen volumene. Velg selv hvilken målenhet du vil oppgi svaret i: a

2,00 m3 þ 6790 dm3

Hvor mange kubikkcentmeter (cm3 ) er figuren?

b

54 dm3 þ 6,100 m3

Hvor mange kubikkmillimeter (mm3 ) er figuren?

c

54 mm3 þ 6,270 cm3

Ku n

76

L Æ R I N G S L O G G 2. 2 Lag en oversikt over de mest brukte målenhetene for areal og volum. Finn et praktisk eksempel på noe som har et areal, og noe som har et volum. Uttrykk arealet og volumet i ulike målenheter. Hvilke målenheter bruker du i hverdagen, og hvilke kan du få bruk for i ditt framtidige yrke?


Målenheter for energi

77

2.3 Målenheter for energi

in g

Alle mennesker trenger et minimum av energi for å holde livsviktige kroppsfunksjoner i gang. Hvis vi i tillegg skal bevege oss og tenke klart, må vi tilføre mer energi. Gjennom mat og drikke får vi den energien kroppen trenger.

D U S K AL K U N N E vite sammenhengen mellom kilojoule og kilokalorier

forstå og beregne energiprosenten

beregne væskebehovet ut fra energibruken

vu

U T F O R S K SA M M E N

rd

er

Behovet for energi endrer seg gjennom livet og er avhengig av mange faktorer, blant annet alder og aktivitetsnivå.

til

Se for dere en mann og en kvinne gjennom et livsløp fra nyfødt til alderdom. Dere skal finne ut hvilket energibehov de har i ulike faser av livet. Velg minst fem faser, for eksempel 1 år, 16 år osv., og bestem selv hvilket aktivitetsnivå dere tenker disse personene skal ha. Energibehovet skal oppgis som kilojoule (kJ) eller kilokalorier (kcal) per døgn. Dere kan finne informasjon om menneskers energibehov i programfagbøkene og på nettet. Aktuelle nettsider kan være kostholdsplanleggeren.no, helsedirektoratet.no, nhi.no og who.int.

Ku n

Lag en oversiktlig tidslinje med alder, aktivitetsnivå og energibehov. Presenter den for resten av klassen.


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

rd

er

in g

Kilojoule eller kilokalorier?

Merk 1 kcal ¼ 1000 cal

Energi måles i joule ðJÞ eller i kalorier ðcalÞ. 1 kalori var tidligere definert som den energien som skal til for å øke temperaturen i ett gram vann med 1 C. Det samme arbeidet krever om lag 4,2 J. Vi kan derfor si at 1 kalori er tilnærmet lik 4,2 joule.

vu

1 kJ ¼ 1000 J 1 kcal 4,2 kJ

Matvare

kilokalorier kcal

fett g

karbohydrater g

kostfiber g

proteiner g

alkohol g

502 469

119 111

4,6 2,8

11,6 17,6

0,8 1,1

7,5 3,4

0 0

100 g 100 g

til

Fiskegrateng Sjokoladepudding

kilojoule kJ

Ku n

78

Merk Ofte blir det feilaktig sagt at sjokoladepuddingen inneholder 111 kalorier, men den korrekte enheten er kilokalorier (111 000 kalorier).

(Kilde: matvaretabellen.no)

Ovenfor ser du nærings- og energiinnholdet i 100 g fiskegrateng og 100 g sjokoladepudding. Energiinnholdet er oppgitt både i kilojoule ðkJÞ og i kilokalorier (kcal). Joule er en av SI-enhetene, og det er ønskelig at vi oppgir all energi i denne enheten. Tradisjonelt har kalorier vært mye brukt som målenhet for energi i mat, og denne enheten blir derfor fortsatt brukt både i varedeklarasjoner og i dagligtale.

For å endre enheten for energi ðEÞ fra kilokalorier til kilojoule kan vi gange med forholdstallet 4,2. Omvendt kan vi dele på 4,2 for å gjøre om fra kilojoule til kilokalorier: E i kJ ¼ E i kcal 4,2 E i kcal ¼

E i kJ 4,2


Målenheter for energi

79

EKSEMPEL 12

a

Hvor mange kilokalorier gir 100 g peanøtter?

b

Hvor mange kilokalorier gir en pose på 275 g?

c

Hvor mange kilojoule gir en pose på 275 g?

in g

På en pose peanøtter står det at 100 g nøtter gir 2517 kJ.

Løsning: 2517 kcal 599 kcal 4,2

Energiinnhold i kcal: 2517 kJ ¼

b

Dette kan løses på flere måter. Enten ser vi på forholdet mellom innholdet i posen og 100 g: 275 av 100 g. 100

Energiinnhold i en pose: 599 kcal

275 1647 kcal 100

rd

En pose inneholder

er

a

Eller vi bruker metoden «veien om 1», der du først finner hvor mange kcal 1 g peanøtter gir:

Energiinnhold i kJ: 1647 kcal ¼ 1647 4,2 kJ 6917 kJ

til

c

vu

599 kcal ¼ 5,99 kcal. 100 275 g peanøtter gir 5,99 kcal 275 1647 kcal.

1 g peanøtter gir

Energiprosent

Ku n

For å beskrive hvor stor del av kostens totale energiinnhold som stammer fra de ulike næringsstoffene, bruker vi begrepet energiprosent. Helsedirektoratet har utarbeidet nasjonale anbefalinger om denne energiprosenten. De mener at kosten vår bør inneholde 45–60 % karbohydrater 25–40 % fett

10–20 % proteiner

Dette kan du lese mer om på Helsedirektoratets nettsider (helsedirektoratet.no).


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

EK SEMPEL 13

in g

Yousef trener mye og er opptatt av å få i seg nok karbohydrater og proteiner. Han har et daglig energibehov på om lag 3200 kcal og har funnet ut at proteinene i maten han spiser, gir 480 kcal daglig. a

Hvor stor energiprosent utgjør proteinene?

b

Ifølge anbefalingene ovenfor bør kosten vår inneholde 45–60 % karbohydrater. Hvor mye energi bør komme fra karbohydrater i kostholdet til Yousef?

er

Løsning:

480 kcal ¼ 0,15 ¼ 15 % 3200 kcal

a

Energiprosent i proteiner:

b

Vi regner ut energien for både 45 % og 60 % karbohydratinnhold:

rd

3200 kcal 0,45 ¼ 1440 kcal 3200 kcal 0,60 ¼ 1920 kcal

vu

I Yousefs kosthold bør karbohydratene dekke mellom 1440 kcal og 1920 kcal.

Væskebehov

I tillegg til energi fra maten har kroppen behov for vann. Hvor mye vann vi trenger, henger sammen med aktivitetsnivået. Et utgangspunkt kan være at vi trenger 1 ml vann per kcal energi.

til

Ku n

80

EK SEMPEL 14 Frank har en fysisk krevende jobb og bruker daglig om lag 15 000 kJ energi. Hvor mye vann bør han drikke daglig?

Løsning: 15 000 1 kcal 3571 kcal 4,2 Han beregner 1 ml vann per kcal energi. Da trenger han 3571 ml vann. 15 000 kJ ¼

3571 ml ¼ 3,571 L 3,6 L Han bør drikke om lag 3,6 L vann daglig.


Målenheter for energi

81

Oppgaver

Hvor mange kilojoule er 401 kcal?

b

Hvor mange kilojoule er det i en porsjon på 60 g kornblanding?

2.23 I et kokt egg som veier 55 g, er energiinnholdet 326 kJ. Hvor mange kilokalorier er 326 kJ?

b

Hvor mange kilojoule inneholder 100 g kokt egg?

2.24 100 g is-te inneholder 76 kJ energi. Vi går ut fra at 1 liter is-te veier 1 kg.

a

Hvor mye energi gir 1,5 liter brus?

b

Hvor stor energiprosent utgjør karbohydratene fra brusen?

2.27 Tabellen viser sammensetningen av næringsstoffene i maten til Sumeya en vanlig mandag:

rd

a

in g

a

2.26 Fredrik er glad i brus og drikker 1,5 liter hver dag. 100 g brus inneholder 180 kJ, og all energien stammer fra karbohydrater. Energibehovet til Fredrik er om lag 8400 kJ per døgn.

er

2.22 Energiinnholdet i 100 g kornblanding er 401 kcal. Halvard pleier å bruke om lag 60 g kornblanding per porsjon.

Hvor mange kilokalorier er det i 1 dl is-te?

b

Hvor mange kilojoule er det i et glass med 2,5 dl is-te?

c

Hvor mange liter må du drikke for å få i deg 570 kJ energi?

Energi i kJ

Fett

3585 kJ

Karbohydrater

4523 kJ

vu

a

Næringsstoff

1683 kJ

Regn ut energiprosenten til de ulike næringsstoffene.

2.28 Boris har en aktiv fritid og et energibehov på om lag 12 MJ per døgn. Det er anbefalt å drikke 1 ml vann per kcal energi. a

Hvor mange kilojoule er 12 MJ?

b

Hvor mye vann bør Boris drikke daglig?

Ku n

til

2.25 Pippi har nettopp laget pannekaker med et energiinnhold på 450 kJ per stykk. Pippi skal løfte hesten sin opp på verandaen 2 m over bakken, og hesten veier 675 kg. Hvor mye pannekake må Pippi spise for å få nok energi til å løfte hesten?

Proteiner

(Tyngden av 1 kg er tilnærmet lik 10 newton ðNÞ. Det kreves en energi på 10 J for å løfte 1 kg opp 1 m. Vi sier at 1 J ¼ 1 Nm.)

L Æ R I N G S L O G G 2. 3

Hva er egentlig energi? Lag en kort oppsummering av målenhetene for energi i mat. Hvilken nytte kan du ha av denne kunnskapen i hverdagen og i ditt framtidige yrke?


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

2.4 Sammensatte målenheter

in g

Når vi måler fart, måler vi meter per sekund ðm=sÞ eller kilometer per time ðkm=tÞ. Energitettheten i matvarer måles i kilojoule per gram ðkJ=gÞ. Vi må altså kombinere to målenheter for å lage sammensatte målenheter for fart eller energitetthet. D U S K AL K U N N E

vite hva en sammensatt målenhet er

regne med sammensatte målenheter

velge passende enheter i målinger

gjøre om mellom ulike sammensatte målenheter

er

rd

U T F O R S K SA M M E N

I denne aktiviteten skal dere måle farten til ulike gjenstander som er i bevegelse.

vu

Du trenger:

målebånd og stoppeklokke

Mål avstanden mellom to tydelige punkter. Det kan være to lyktestolper langs veien

to trær i skogen

til

to linjer i gymsalen

to stoler i klasserommet

Nå skal du ta tiden på åtte–ti ting som passerer mellom de to punktene. Det kan være

Ku n

82

Gjenstand

biler, syklister, medelever, trillende baller eller lekebiler

Lag en tabell og før inn resultatene dine:

Avstand i meter

Tid i sekunder

Var noe vanskelig å måle? Ble resultatene slik dere forventet?

Fart i meter/sekund


Sammensatte målenheter

83

SI-systemet har bare sju grunnleggende enheter. Andre målenheter er avledet av dem. Det vil si at flere målenheter kan kombineres, og på den måten definerer vi kraft, trykk, energi, effekt osv. For eksempel er målenheten for akselerasjon m=s2 , og målenheten for trykk er pascal (Pa), der 1 Pa ¼ 1 kg=ðm s2 Þ.

in g

Sammensatte målenheter er målenheter der vi kombinerer flere enheter.

rd

er

Puls

vu

Vi måler hjerterytmen i hjerteslag per minutt («beats per minute», bpm). Du kjenner pulsen på innsiden av håndleddet eller på halspulsårene. Du kan telle mens du følger med på klokka. Hvis du teller i 10 sekunder, kan du gange resultatet med 6 siden det er 60 sekunder i et minutt. Du kan for eksempel telle 20 slag på 10 sekunder. Da er pulsen din 6 20 bpm ¼ 120 bpm.

til

Et grovt anslag på hva makspulsen din skal ligge på, er 220 minus din alder. Hva vil da være et anslag på makspulsen din? Hvilepuls er pulsen du har når du hviler eller sover, den kan måles om morgenen før du står opp.

Tenk gjennom!

Ku n

Hvor mye utgjør det på målingen hvis du teller ett slag feil på 10 sekunder sammenliknet med ett slag feil på 15 sekunder?

EKSEMPEL 15

John målte pulsen rett etter en intens treningsøkt. Han telte 33 slag på halspulsåra i løpet av 10 sekunder. Hvor høy var pulsen hans?

Løsning: Vi ganger antall slag i 10 sekunder med 6, ettersom pulsen angis i slag per minutt, altså per 60 sekunder: 33 6 ¼ 198 Pulsen til John var 198 bpm like etter treningsøkta.


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Fart

Fart ¼

in g

Fart er definert som hvor langt en gjenstand kan bevege seg i løpet av en gitt tidsenhet.

strekning tid

Enheten for fart er en sammensatt enhet. Vi snakker oftest om m=s eller km=t.

1 km ¼ 1000 meter

er

En katt beveger seg en meter på ett sekund. Hvor mange kilometer vil den da bevege seg på en time?

rd

1 time ¼ 60 min ¼ 60 60 s ¼ 3600 s

Hvis katten går 1 m på ett sekund, beveger den seg 3600 m på 3600 sekunder. Vi velger å utvide brøken ved å gange med 3600 over og under brøkstreken for å få 1 time som nevner: 1 m 3600 3600 m 3,6 km ¼ ¼ ¼ 3,6 km=t 1 s 3600 3600 s 1t

vu

1 m=s ¼

Når vi skal gjøre om fra m=s til km=t, ganger vi med 3,6.

til

Når vi skal gjøre om fra km=t til m=s, deler vi på 3,6.

3,6 er et forholdstall som beskriver forholdet mellom m=s og km=t.

EK SEMPEL 16

Ku n

84

Fart:

Johannes har som mål å løpe 5000 m på under 20 min. Hvor fort må han da løpe? Angi farten i km=t.

Løsning: Vi gjør først om 20 minutter til timer: 20 min ¼ Fart ¼

20 t ¼ 0,33 t 60

strekning 5 km ¼ 15 km=t tid 0,33 t

Johannes må løpe raskere enn 15 km=t for å nå målet sitt.


Sammensatte målenheter

85

Blandinger

in g

En annen sammensatt enhet er enheten for konsentrasjonen av et stoff i blandinger. En saltlake kan ha konsentrasjonen 90 g=L. Det vil si at en liter saltlake inneholder 90 g salt.

vu

rd

er

EKSEMPEL 17

Magnus skal legge torsk i saltlake. Han har et kar med 5,0 liter saltlake. Laken har konsentrasjonen 120 g=L. a

Hvor mange gram salt er det i karet?

b

til

Magnus heller i to liter ekstra saltlake i karet. Denne laken har konsentrasjonen 50 g=L.

Hva blir konsentrasjonen i den nye blandingen?

Ku n

Løsning: a 120 g=L 5,0 L ¼ 600 g

Det er 600 g salt i karet.

b

50 g=L 2 L ¼ 100 g

Det er 100 g salt i den ekstra laken. For å finne den nye konsentrasjonen legger vi til 100 g salt over brøkstreken og 2 L vann under brøkstreken. Den nye blandingen består av 600 g þ 100 g ¼ 700 g salt og 5 L þ 2 L ¼ 7 L vann.

Vi får denne utregningen: 600 g þ 100 g 700 g ¼ ¼ 100 g=L 5Lþ2L 7L Den nye blandingen får konsentrasjonen 100 g=L.


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Energitetthet

in g

Energitettheten i mat forteller hvor mye energi det er per vektenhet av en matvare. Energitettheten måles i kilojoule per gram ðkJ=gÞ eller i kilokalorier per gram ðkcal=gÞ. Ulike næringsstoffer har ulikt energiinnhold og fordelingen av disse påvirker energitettheten til matvaren. Oversikt over energi i næringsstoffer

Energi i kJ

Energi i kcal

Proteiner

17 kJ=g

4 kcal=g

Karbohydrater

17 kJ=g

4 kcal=g

Fett

37 kJ=g

9 kcal=g

8 kJ=g

2 kcal=g

29 kJ=g

7 kcal=g

Kostfiber Alkohol

er

Næringsstoff

rd

Alkohol inneholder energi, men regnes ikke som et næringsstoff.

vu

Alle som produserer mat for salg, plikter å opplyse om fordelingen av næringsstoffer i matvaren. Det er vanlig å oppgi hvor mye næringsstoffer 100 g av matvaren inneholder. Ut fra denne informasjonen kan vi regne ut energitettheten til matvaren.

Tenk gjennom!

til

Hvilket næringsstoff har størst energiinnhold? Og hvilket har minst?

EK SEMPEL 18

Ku n

86

Næringsstoff Proteiner

Karbohydrater

per 100 g 9,3 g

40,4 g

Fett

3,3 g

Kostfiber

7,2 g

Alkohol

0g

I margen ser du varedeklarasjonen til en type brød. a

Regn ut energitettheten til brødet målt i kJ per 100 g eller kcal per 100 g.

b

Hvor mye energi gir en brødskive som veier 45 g?


Sammensatte målenheter

87

9,3 17 kJ ¼ 158,1 kJ

9,3 g protein gir 40,4 g karbohydrater gir

40,4 17 kJ ¼ 686,8 kJ 3,3 37 kJ ¼ 122,1 kJ

3,3 g fett gir þ 7,2 g kostfiber gir

7,2 8 kJ ¼

¼ Sum:

57,6 kJ

er

1024,6 kJ

in g

Løsning: a Vi bruker oversikten over energi i næringsstoffer og setter opp følgende regnestykke:

Hvis du heller vil bruke enheten kcal, kan du gjøre på denne måten: 9,3 4 kcal ¼ 37,2 kcal

9,3 g protein gir 40,4 g karbohydrater gir

40,4 4 kcal ¼ 161,6 kcal 3,3 9 kcal ¼ 29,7 kcal

rd

3,3 g fett gir þ 7,2 g kostfiber gir

7,2 2 kcal ¼ 14,4 kcal

¼ Sum:

242,9 kcal

b

vu

Energitettheten til dette brødet er 1024,6 kJ eller 242,9 kcal per 100 g.

100 gram brød inneholder 1024,6 kJ (eller 242,9 kcal). For å finne hvor mye energi 1 g brød inneholder, deler vi på 100. Så må vi gange svaret med 45, siden brødskiva veier 45 gram. Det kan vi gjøre i én regneoperasjon:

til

1024,6 kJ 45 461,1 kJ 100 eller

Ku n

242,9 kcal 45 109,3 kcal 100 En brødskive på 45 g gir 461,1 kJ (109,3 kcal) energi.

461,1 4,22. Tidligere i kapittelet 109,3 lærte du at forholdstallet 4,2 kunne brukes til omgjøring mellom enhetene for energi. Du vil oppleve at ulike metoder for beregning av energi i kJ og kcal ikke alltid gir nøyaktig samme svar. Det er fordi vi regner med tilnærmede verdier. Vi ser her at forholdet mellom kJ og kcal er

Når du skal gjøre beregninger med mange matvarer for å sette sammen et komplett kosthold, kan det være lurt å bruke kostholdsplanleggeren.no. Denne nettsiden bruke den samme regnemåten som vi har gjennomgått i dette eksempelet.


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Oppgaver 2.34 Saltlaken i eksempel 17 hadde en konsentrasjon på 120 g=L. Havvann har en konsentrasjon på 30 mg=ml.

Hva er hvilepulsen?

Hvor mye mer salt (i gram) er det i en liter saltlake enn i en liter havvann?

Hvem av dem kjører fortest?

Fett

32 g

Karbohydrater

51,4 g

rd

2.31 Verdensrekorden på maraton er 2 t 1 min 39 s. Et maratonløp er 42 195 m langt.

2.35 Frode prøver å fylle hele sitt daglige energibehov på 2000 kcal (8400 kJ) ved bare å spise potetchips. Han ser på varedeklarasjonen. 100 g potetchips inneholder:

er

2.30 Kine og Michael kjører bil. Kine holder en fart på 65 km=t, mens Michaels fart er 18,5 m=s.

in g

2.29 Konrad prøver å finne ut hva hvilepulsen hans er. Han teller 13 slag på 15 sekunder.

Hvor stor fart må man holde for å klare dette?

b

Kristin trener til Berlin maraton. Hun har som mål å holde et tempo på 5,5 min=km. Hvor lang tid kommer hun til å bruke totalt med dette tempoet?

Fiber

5,8 g

Proteiner

4,9 g

vu

a

Alkohol

0g

Hvor mye energi inneholder 100 g potetchips?

2.32 Når vinden er oppe i orkan styrke, er vindstyrken 32,6 m=s eller høyere. Hva svarer denne vindstyrken til i km=t?

b

Hvor mange gram potetgull må han spise daglig for å dekke behovet på 2000 kcal (8400 kJ)?

c

Regn ut energiprosenten for de ulike næringsstoffene.

2.33 Tabellen nedenfor viser energiinnholdet i en vegetarburger:

Se Helsedirektoratets anbefaling om fordelingen av næringsstoffer i maten vår (side 79).

til

a

Ku n

88

Næringsstoff Proteiner

Karbohydrater Fett

per 100 g 5g 21 g 7g

a

Hvor mye energi gir 100 g av denne burgeren?

b

Hvor mye energi gir en burger på 165 g?

d

Vil du anbefale Frode å fortsette med kostholdet sitt?

2.36 Effekt måles i watt ðWÞ og er definert som hvor mye energi i joule ðJÞ som blir overført hvert sekund. ð1 W ¼ 1 J=sÞ. Hvor stor effekt har et menneske som forbruker 8400 kJ på et døgn?


Sammensatte målenheter

2.38

For å lage vinaigrette kan du blande eddik og olje i forholdet 1 : 3. Det betyr at du skal blande en spiseskje eddik til tre spiseskjeer olje.

Dagsbehovet for C-vitaminer er 75 mg. 100 g potet inneholder 13 mg C-vitamin, mens 100 g appelsin inneholder 51 mg C-vitamin.

a

Hvor mange spiseskjeer olje trenger du hvis du bruker to spiseskjeer eddik?

a

Hvor mange gram potet må du spise for å dekke dagsbehovet?

b

En spiseskje er 15 ml. Hvor mye vinaigrette får du hvis du bruker ni spiseskjeer olje?

b

c

Mirci har laget en vinaigrette med 2 ss eddik, 6 ss olje, 1 ts sennep og 1 ts honning. Det går tre teskjeer på en spiseskje. Hvilket blandingsforhold er det mellom eddiken og de andre ingrediensene i blandingen?

En appelsin veier 250 g, og skallet utgjør 15 % av massen. Hvor stor del av dagsbehovet for C-vitaminer får du ved å spise denne appelsinen?

til

vu

rd

er

in g

2.37

89

L Æ R I N G S L O G G 2. 4

Ku n

Hva er en sammensatt målenhet? Forklar med egne ord. Kan du komme på flere sammensatte målenheter enn de som er nevnt i kapitlet? Hvilke sammensatte målenheter bruker du til daglig, og hvilke kan du komme til å bruke i yrket du utdanner deg til?


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

H V A HA R J E G LÆ R T ?

1 mm og 0,1 cm er samme lengde.

2

1 g og 0,01 kg er samme masse.

3

1 L og 1 dm3 er samme volum.

4

20 m=s er samme fart som 49,6 km=t.

Prosjekt matsvinn

Areal kan måles i mm2 , cm2 , dm2 , m2 og km2 .

6

Hvis du teller 17 pulsslag på 10 sekunder, er pulsen på 102 bpm.

7

1 kJ er det samme som 0,24 kcal.

8

Karbohydrater og fett gir like mye energi.

vu

1

5

rd

Avgjør om påstandene nedenfor stemmer. Sørg for at du kan forklare hvorfor de stemmer eller ikke.

in g

Stemmer påstandene?

Som hjelp til å komme i gang kan dere lese læringsloggene 2.1, 2.2, 2.3 og 2.4 og se over «regelboksene» i kapitlet.

er

Gå sammen i par og lag en liste eller et tankekart over de viktigste matematiske ideene og metodene dere har lært i kapitlet. Prøv også å få med stikkord om hva ideene og metodene kan brukes til – i dagliglivet eller i ditt framtidige yrke. Del ideene med resten av klassen.

til

Vei opp matavfallet og restene etter hver gang dere lager mat på skolen. Sett opp en oversikt over hva som ligger i matavfallet, og om restene er spiselige eller ikke. Lag også en oversikt over hvilke rester dere setter på fryselageret. Velg egnet målenhet. Fortsett med dette i tiden som kommer.

Ku n

90

Alt dere noterer her, vil komme til nytte seinere i prosjektet.


Test deg selv

91

Test deg selv

b

Gjør om 14 km til meter.

c

Gjør om 124 m til desimeter.

2.45 Vindstyrken som kalles «full storm», ligger på mellom 24,5 m=s og 26,5 m=s. Hva blir vindstyrken hvis vi oppgir den i kilometer per time (km=t)? 2.46 Andrea løp 15 km på 1 time 40 minutter.

2.40 a Gjør om 12 kg til gram.

c

Gjør om 3 tonn til kilogram.

2.41 a Gjør om 0,4 dl til liter. b

Gjør om 46 ml til centiliter.

c

Gjør om 38 cl til desiliter.

c

Gjør om 0,045 km2 til kvadratmeter. 2

Skriv 1 time 40 minutter som desimaltall.

b

Hva er gjennomsnittsfarten hennes målt i km=t?

c

Hvor stor fart må hun holde for å klare 15 km på 1 time 25 minutter?

2.47 For gutter og jenter i alderen 10–17 år er anbefalt kalsiuminntak 900 mg per dag. Det er 125 mg kalsium per 100 g melk. Hvor mange desiliter melk må en ungdom drikke daglig hvis hele kalsiumbehovet skal dekkes gjennom melk?

vu

2.42 a Gjør om 367 cm2 til kvadratdesimeter.

a

er

Gjør om 125 mg til gram.

rd

b

b

in g

2.39 a Gjør om 3 cm til millimeter.

Gjør om 4500 mm til kvadratcentimeter.

til

2.43 a Gjør om 2 dm3 til kubikkcentimeter. b

Gjør om 0,012 m3 til kubikkdesimeter.

c

Gjør om 3600 L til kubikkmeter.

Ku n

2.44 Oliver målte pulsen og telte 13 slag på ti sekunder. Hva var pulsen hans målt i «beats per minute» (bpm)?

(Du kan gå ut fra at samme sammenheng gjelder for melk som for vann: 1 L ¼ 1 kg.)

2.48 Til en liter traktekaffe bruker vi styrkeforholdet 60 g=L. En kopp kaffe inneholder 2,5 dl. a

Hvor mye filterkaffe går med til en kopp?

Prisen på kaffe er 140 kr=kg. b

Hvor mye koster kaffen i en kopp?


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Aktiviteter

in g

Tilbake til start

Mat og drikke er en viktig del av en vellykket bryllupsfest. De som lager maten, er helt avhengig av å beregne riktige mengder for at gjestene skal bli fornøyde. For lite mat gjør gjestene misfornøyde, og for mye mat fører til at unødvendig mye mat blir kastet.

rd

Kjøkkenet må ta stilling til hvilken serveringsmetode som skal brukes. Dette vil både påvirke tidsbruk, mengder og kostnader.

er

2.1 Å beregne mat til et bryllup

Del 1 Sett opp en innkjøpsliste der det står hvor mye som trengs av de ulike råvarene til middagen. Velg egnede målenheter.

vu

Kjøkkenet du jobber på, skal lage en tre retters bryllupsmiddag til 150 gjester. Hovedretten skal serveres to ganger, og det skal nyttes engelsk servering. Det vil si at servitøren forsyner gjestene ved bordet. Første servering skal skje klokken 17.00. Til desserten skal det være amerikansk servering, altså at retten legges opp på kjøkkenet.

til

Hver servitør har ansvaret for 12 gjester.

2.2 Norske råvarer

Om høsten er det mange gode norske råvarer vi kan bruke på kjøkkenet. Det er slaktetid for lam, jakttid på hjortedyr, innhøsting av poteter, sopp, rotvekster, kål og mye god norsk frukt og bær.

Ku n

92

Sett opp en festmeny til ti personer der du har hovedfokus på norske råvarer. Menyen skal ha tre retter. Som en del av planleggingen må du lage en råvareliste med korrekte målenheter. Tilbered måltidet på skolekjøkkenet og inviter til festmåltid.

Del 2 Sett opp en detaljert kjøreplan som beskriver tidsbruken til både kokker og servitører før og under middagen.


Aktiviteter

2.3 Amerikansk sjokoladekake

2.5 Omregningskalkulator

Denne fristende oppskriften på frosting til amerikansk sjokoladekake finner dere på www.ehow.com:

Bruk tabellen fra aktivitet 2.4 til å lage et regneark som beregner kolonnen for volum og masse når du taster inn et vilkårlig tall i mengdekolonnen.

in g

How to Make Chocolate Fudge Frosting Things You'll Need:

2 c. sugar

2.6 Pepperkakehus

1/4 c. light corn syrup

1/2 c. plus 1 tbsp. half-and-half (more as needed)

Lag en modell av skolen eller et annet kjent bygg i nærmiljøet som pepperkakehus.

1/2 c. heavy cream

1/8 tsp. salt

6 oz. finely chopped semisweet chocolate squares

2 tbsp. unsalted butter

1 tsp. vanilla

Lag først en detaljert skisse med korrekte mål.

er

Pepperkakehuset kan dere stille ut i skolekantina før jul.

rd

2.7 Fart

Lag et program som regner ut farten til en gjenstand når brukeren taster inn avstanden i meter og tiden i sekunder. Programmet skal gi farten både i meter per sekund og i kilometer per time.

vu

1 c. står for «cup» og svarer til 240 ml. 1 tsp. står for «teaspoon» og svarer til 5 ml. 1 oz. står for «ounces» og svarer til 28 g. 1 tbsp. står for «tablespoon» og svarer til 15 ml.

Oversett denne oppskriften til norske målenheter og bruk skolens kjøkken til å lage frostingen.

til

2.4 Mål og vekt

Ku n

Lag en oversikt over volum og masse av råvarene dere bruker mest på kjøkkenet. Bruk egnede måleinstrumenter. Bruk gjerne denne tabellen som et utgangspunkt: Råvare

Mengde

Volum

Masse

Kaffe

1 måleskje

15 ml

10 g

Sukker

1 ss

Mel Salt

Kjøttdeig, rå

93

Dette kan også løses med en Micro:bit.

2.8 Tid i desimaler Lag et program som gjør om tid gitt i timer, minutter og sekunder til desimaltall med timer som enhet. Svaret skal gis med tre desimaler.

2.9 Energi i matvarer Lag et regneark for energiutregning i matvarer. Regnearket skal også vise energiprosenten til de ulike næringsstoffene.

2.10 Kjøttfri dag Dere skal planlegge og lage mat til en tre retters kjøttfri middag på skolen.

1 dl

1 ts

500 g

Lag en detaljert bestillingsliste med korrekte mengder av de råvarene dere trenger.

Kjøttdeig, steikt

Dere skal også lage en oversikt over næringsinnholdet i rettene.


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Oppgaver

Sammenlikn og se om dere har tegnet den samme figuren.

0,45 dm

c

60 mm

d

0,05 m

Lag gjerne en tegning.

c

Hvor mange sekunder er det i 5 minutter?

d

Hvor lang tid går det mellom kl. 09.30 til kl. 11.45?

2.54 Fyll ut det som mangler i tabellen: mil km (hm) dam

m

dm cm mm

4,8 m ¼ . . . cm

99 mm ¼ . . . cm

rd

b

Hvor mange timer er 240 minutter?

. . . cm ¼ . . . dm 1 mil

7

8

0

0

0

0

g

dg

cg

mg

6

7

5

L

dl

cl

ml

2

5

4

5

¼ ... m

. . . km ¼ . . . m

vu

2,5 cm

b

Lengde

2.50 Du har fire klosser med lengdene 5 mm, 1 cm, 2 cm og 3 cm. Kombiner klossene slik at de til sammen blir a

in g

2.49 Uten å løfte blyanten fra arket skal du begynne langt nede på et ark og dra en strek 10,4 cm opp, 58 mm til høyre, 0,43 dm ned, 7,8 cm mot venstre, 6,1 cm ned og 2,0 cm mot høyre.

2.53 a Hvor mange minutter er to timer og et kvarter?

er

2.1 Grunnleggende målenheter

3

7

5

0

2.55 Fyll ut det som mangler i tabellen: Masse

kg

hg

(dag)

8

9

85,6 g ¼ . . . kg

til

2.51 Mohammed ser at det står fem åpnede literkartonger med melk på kjølerommet. Nå skal han vurdere om han har nok melk til en oppskrift som krever 2,5 liter. To kartonger er halvfulle, en annen er kvartfull, og det er igjen 3 dl på hver av de to siste kartongene.

Ku n

94

Har Mohammed nok melk til oppskriften?

29 mg = . . . g . . . kg ¼ . . . g 4500 g ¼ . . . kg ... g

¼ . . . mg

2.56 Fyll ut det som mangler i tabellen: Volum

(kl)

2.52 a Skriv 650 milligram med gram som enhet.

25 dl

b

Skriv 7 desiliter med liter som enhet.

. . . ml ¼ . . . cl

c

Skriv 42 kilometer med meter som enhet.

2,5 hl ¼ . . . L

¼ ... L

hl

(dal)

38,4 cl ¼ . . . dl

. . . dl ¼ . . . hl

2

5

5


Oppgaver

a

1200 m þ 2,50 km

d

1000 mg þ 5,0 g

b

34 mm þ 1,7 cm

e

4,5 L þ 25 dl

c

350 g þ 0,050 kg

f

340 ml þ 53 cl

2.58 Laila reiser hjemmefra klokken 7.45 og er tilbake igjen klokken 15.15.

Hvor mange kvadratcentimeter er 0,5 kvadratmeter?

c

Hvor mange kvadratmillimeter er 10 kvadratcentimeter?

2.64 a Hvor mange kubikkcentimeter er 1,5 kubikkdesimeter? b

Hvor mange kubikkcentimeter er 2 kubikkmeter?

c

Hvor mange kubikkmeter er 2000 kubikkdesimeter?

2.65 To naboer sammenlikner tomtene sine. Den ene sier at arealet av tomta hans er 1500 m2 . Naboen sier at tomta hans er 15 000 000 cm2 , og at de to tomtene er like store. Har han rett?

rd

2.59 a Hvor mange watt ðWÞ er 1 MW? På et apotek koster 10 mg safran 2 kr, mens det i butikken på hjørnet koster 45 kr for et halvt gram safran. Hva er kiloprisen for safran på apoteket og i butikken?

vu

b

b

er

Hvor lenge er hun borte?

2.63 a Hvor mange kvadratdesimeter er 2 kvadratmeter?

in g

2.57 Legg sammen:

2.60 En engelsk mil er gitt ved 1 mile = 1609,344 m. Hvor mange engelske mil er det i én mil?

2.66 Nimco måler radien og høyden til en kjele og regner ut volumet til 4550 cm3 .

til

Hvor mange desiliter rommer kjelen?

2.2 Målenheter for areal og volum

Ku n

2.61 Marijana skal lage tjue kvadratiske marsipanlokk à 4 dm2 . Holder det med et kjevlet marsipankvadrat på 1 m2 ?

2.62 Noah trenger 1 liter fløte og har funnet fem kartonger som inneholder 2 dl, 350 ml, 1,2 dl, 0,15 liter og 12 cl. Har han nok?

95

2.67 En drikkekartong har et volum på 4,5 dl, og en annen kartong har volumet 330 ml. Hvilken kartong har størst volum?

2.68 a Hvor mange kubikkmeter er 2 300 000 cm3 ? b

Hvor mange kubikkcentimeter er 3500 mm3 ?

c

Hvor mange kubikkdesimeter er 3,2 m3 ?

2.69 Legg sammen arealene: a

1 m2 þ 2500 dm2

b

500 cm2 þ 4,0 dm2

c

1,000 km2 þ 1000 m2


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

2.3 Målenheter for energi

2.70 Legg sammen volumene: a

1 000 000 cm3 þ 1 m3

b

1,5 dm þ 1000 cm3

c

1 dm3 þ 1 L

2.76 Fyll ut det som mangler i denne oversikten, ved hjelp av forholdstallet 4,2.

in g

3

2.71 Legg sammen arealene:

Matvare (100 g)

450 000 m2 þ 2,70 km2

sashimi, kveite

b

6,30 cm2 þ 850 mm2 þ 0,0045 dm2

sashimi, laks

c

750 dm2 þ 9,8 m2

sashimi, tunfisk

474 kJ

224 kcal

445 kJ

sushi, maki, kveite sushi, maki, laks

Energi (kcal)

116 kcal

563 kJ

sushi, maki, tunfisk

115 kcal

rd

2.72 Til en liter traktekaffe anbefales 6 måleskjeer à 10 g kaffe. Hvor mange liter kaffe kan du trakte av en halv kilo kaffe?

Energi (kJ)

er

a

2.77 En boks makrell i tomat på 110 g inneholder 1087 kJ energi og 20,9 g fett. Ett gram fett inneholder 37 kJ energi.

2.74 1 mm nedbør betyr et lag med 1 mm vann på en horisontal flate. Hvis det en dag faller 1 mm nedbør, hvor mange liter utgjør det på en fotballbane på 7350 m2 ?

Anna spiser en boks makrell i tomat hver dag. Hun har et daglig energibehov på 2300 kcal.

vu

2.73 Line kjøper tøy for å sy en duk og seks servietter. Arealet av duken skal være 1,44 m2 , og hver serviett skal ha et areal på 1200 cm2 . Hvor mye stoff trenger Line til sammen?

a

til

b

2.75 A-format er en spesiell form på papirark. Et A0-ark måler 1 m2 . Arkets form er slik at om vi deler det i to, får vi to ark med samme form, men med halve størrelsen, A1. A2-ark er halvparten av A1, osv. Hvor mange kvadratcentimeter er et A4-ark?

Ku n

96

Regn ut energien til fettet i makrellboksen.

Hvor stor del av det daglige energibehovet til Anna (energiprosenten) utgjør fettet i makrellboksen?

2.78 Isma har regnet ut at energiprosenten for karbohydrater i kosten sin er 55 %. Hans daglige energiinntak er på om lag 12,7 MJ. a

Hvor mange kilojoule er 12,7 MJ?

b

Hvor mye energi får han fra karbohydrater?

Ett gram karbohydrater gir 17 kJ energi. c

A1

A2

A2

A1

A2

A2

A0 1 m2

Hvor mange kilo karbohydrater spiser Isma per dag?


Oppgaver

2.86 Tran inneholder blant annet vitamin D. Det er 2 mg=ml vitamin D i tran, det vil si 2 mikrogram vitamin D per milliliter tran. Det anbefales at vi tar 10 mg vitamin D hver dag.

Det er anbefalt å drikke 1 ml vann per kilokalori energi.

Hvor mange milliliter tran må vi ta hver dag for å dekke dagsbehovet?

Hvor mye vann bør Sivert drikke i løpet av en arbeidsdag på 7,5 timer?

2.87 Gro brukte 5 t 10 min på en biltur fra Ålesund til Lillehammer. Dette er en strekning på 365 km. Hvor stor gjennomsnittsfart holdt hun på turen?

2.88 Luna pusser opp stua i huset sitt. Hun har regnet ut at arealet av veggene er ca. 55 m2 . Hun må male to strøk. På malingsspannet står det at vi kan regne med et malingsforbruk på 8 m2 =L.

rd

2.80 Effekt måles i watt ðWÞ og er definert som hvor mye energi i joule ðJÞ som blir overført hvert sekund. Et voksent menneske har i gjennomsnitt en effekt på 100 W. Hva er energibehovet per døgn for å dekke dette?

er

b

in g

2.79 Kjøttskjæring er et fysisk krevende yrke. Sivert har funnet ut at han forbrenner om lag 1850 kJ=time på jobb. a Hvor mange kilokalorier er 1850 kJ?

a

Hvor mange liter maling trenger hun?

b

Malingen selges i spann på 2,7 L og 1 L. Hvor mye maling bør hun kjøpe?

vu

2.81 En bowlingkule på 7 kg ligger løst i en bil. Hvis bilen bråstopper i 80 km=t, vil kula ha en bevegelsesenergi på 290 304 J. En gulrot har 153,6 kJ energi per 100 g. Hvor mange gulrøtter på 63 g trenger du for å få like mye energi som det bowlingkula genererer etter bråstoppen?

til

2.4 Sammensatte målenheter

Ku n

2.82 Ella målte pulsen sin. Hun talte 16 slag på halspulsåra i løpet av ti sekunder. Hva var pulsen hennes? Gi svaret i «beats per minute», bpm.

2.89 1 knop er en fart på 1 nautisk mil (1852 m) per time. Hurtigruten går med ca. 16 knop. Hvor mange kilometer per time svarer det til? 2.90 Fra ekvator til Nordpolen er jorda delt i 90 breddegrader. Mellom hver breddegrad er det 60 nautiske mil.

2.83 Kim løper i et jevnt tempo. Han bruker 6,5 min per kilometer. Hvor mange km=t svarer det til?

a

Hvor mange nautiske mil er det fra ekvator til Nordpolen?

b

Hvor mange nautiske mil er det rundt jorda?

2.84 Oliver kjørte 2400 meter på 120 sekunder. Finn farten målt i kilometer per time ðkm=tÞ.

c

Jordas omkrets over polene er beregnet til 40 003,20 km. Vis ved regning at en nautisk mil er 1852 m.

2.85 En bil kjører med farten 54 km=t. Hva er farten i meter per sekund ðm=sÞ?

97


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

2.91 Tabellen viser energiinnholdet i sjokoladepålegg: Næringsstoff

per 100 g

Energi (kcal)

3,9 g

Karbohydrater

in g

Proteiner

Energi (kJ)

1088

Fett

252

Sum

Bruk oversikten over næringsstoffenes energiinnhold (side 86). Fyll ut resten av tabellen.

Til en brødskive bruker du 25 g sjokoladepålegg. Hvor mye energi gir 25 g sjokoladepålegg?

c

Til hvor mange brødskiver rekker en boks på en halv kilo sjokoladepålegg?

a

Hvilken av bilene kjørte raskest? Begrunn svaret ditt.

b

Hjelp Ane med å regne ut farten til bilene i meter per sekund, m=s. For å gjøre om fra m=s til km=t kan du bruke formelen fart i km=t ¼ fart i m=s 3,6

rd

b

er

a

c

Var det noen av bilene som brøt fartsgrensen på 40 km=t? Begrunn svaret ditt.

vu

2.92 Et hustak er bygd for å tåle en viss mengde snø. Gammel snø veier ca. 300 kg/m3 , mens våt snø veier ca. 400 kg=m3 . Et hustak er bygd for å tåle 250 kg=m2 . Hvor stor snødybde med gammel snø kan taket tåle? Og hvor stor dybde med våt snø?

2.95 (Eksamen 1PY høsten 2018)

til

Blandede oppgaver 2.93 1 tomme ¼ 25,4 mm. a

Hvor mange millimeter er 3=8 tomme?

b

Hvor mange tommer er 88,9 mm?

Ku n

98

Avstand i meter

Tid i sekunder

hvit Volvo

50 m

4,7 s

rød Tesla

50 m

3,5 s

svart jeep

50 m

4,9 s

2.94 Ane har lyst til å måle farten til bilene som passerer utenfor skolen. Hun måler opp avstanden mellom to lyktestolper til 50 m. Deretter tar hun tiden på bilene som passerer. Resultatene ser du i tabellen: Kjøretøy

Fart i m/s

Ole har plukket tre poser med epler. Epleposene veier 1,4 kg, 15 hg og 960 g. a

Hvor mange kilogram veier epleposene til sammen?

25 kg epler kan gi 20 L eplemost. b

Hvor mange liter eplemost gir 5 kg epler?

I 2017 ble det dyrket om lag 15 000 tonn frukt i Norge. 80 % var epler. c

Hvor mange tonn epler ble dyrket i 2017?


Oppgaver

2.96

2.98 (Eksamen 1PY høsten 2018) Et egg veier omtrent 65 g. Den spiselige delen av et egg utgjør 88 %. Du har ni egg. Hvor mange gram totalt er spiselig?

in g

a

Tabellen nedenfor gir næringsinnholdet i 100 g spiselig egg. Energien er gitt i kilojoule per gram ðkJ=gÞ:

Energi, kJ/g

Protein

12,4

17

Fett

10,2

37

Karbohydrater

17

rd

Isak ønsker å gjøre endringer i kafeen der han jobber. Nå har han seks bord med plass til fire gjester rundt hvert bord. Bordene er 150 cm lange og 90 cm brede, og serveringsarealet er 10 m langt og 8 m bredt.

Antall gram

er

Næringsstoff

a

Hvor mange gjester er det plass til i kafeen?

b

Vis at protein og fett i 100 g spiselig egg gir 588,2 kJ energi.

100 g spiselig egg gir totalt 593 kJ energi.

b

Undersøk hvor mange gjester det er plass til rundt et slikt bord.

c

c

Tegn en skisse av kafeen både med firkantete og runde bord. Gi Isak råd om hvordan han bør innrede kafeen.

En omelett med tre egg serveres med brød og salat. Brødet gir 530 kJ energi, og salaten gir 220 kJ energi per person. Det daglige energibehovet for en person er 10 000 kJ.

til

vu

Isak ønsker å bytte ut bordene med runde bord. De runde bordene har en diameter på 1,2 m. Hver gjest trenger minst 60 cm bordplass.

Bestem antall gram karbohydrater i 100 g spiselig egg.

2.97 (Eksamen 1PY høsten 2017) Energi i mat oppgis i kilojoule ðkJÞ eller kilokalorier ðkcalÞ. 1 kcal svarer til 4,18 kJ.

d

a

2.99 (Eksamen 1PY høsten 2017) Et meieri kjøper 1327 L kumelk av en bonde. Bonden får 4,70 kr per liter melk.

Ku n

Hvor mange kilojoule er 230 kcal?

Tabellen viser energibruken ved ulike aktiviteter: Aktivitet Gange

b

99

Energi i kcal per time 300

Jogging

1080

Sykling

600

Fotball

420–600

Hvor mye energi bruker vi når vi jogger i 1 time 40 minutter?

a

Hvor mange prosent av det daglige energibehovet dekker dette måltidet?

Om lag hvor mange kroner får bonden for melka?

20 kyr gir til sammen 1327 L melk på to dager. b

Om lag hvor mange liter melk gir hver ku på én dag?


in g

Ku n

til

vu

rd

er

3

INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA


in g

Markedsundersøkelse om kafedrift

rd

er

Du ser et lokale i sentrum som er til leie, og vurderer å starte en kafé. Det er mange faktorer som er med på å avgjøre om kafeen blir en suksess. Før du skriver under på en leieavtale, bør du gjennomføre en markedsundersøkelse. Er det noen interesse for det du ønsker å tilby i området? Finnes det et liknende tilbud fra før? Hvor stort kundegrunnlag er det i denne delen av byen?

vu

Innsamling av slike data er viktig for å få et helhetlig bilde og for å avgjøre om du vil satse på ideen din og realisere drømmen om egen kafé. Du kan også søke om økonomisk støtte for å starte opp bedriften. Da bør du presentere resultatene av markedsundersøkelsen på en god måte. I aktivitet 3.1 får du mulighet til å lage og presentere en slik undersøkelse.

Kapitteloversikt

Ku n

til

I 3.1 Å lese tabeller og diagrammer lærer du hvordan du kan innhente data fra ulike tabeller og diagrammer. I 3.2 Innhente og sortere data lærer du hvordan du gjør undersøkelser og hvordan du får oversikt over funnene dine i en frekvenstabell. I 3.3 Å lage en grafisk presentasjon lærer du hvordan du kan presentere funnene dine visuelt i ulike diagrammer. I 3.4 Sentralmål og spredningsmål lærer du hvordan du kan tolke og bearbeide data fra ulike undersøkelser.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

innhente data fra praksisfeltet, gjøre overslag og beregninger og lage formålstjenlige framstillinger av resultatene og presentere disse.


102 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

g

proteiner

Tallerkenmodellen

D U S K AL K U N N E

er

1/3

Både i skolehverdagen og i ditt framtidige yrke må du forholde deg til informasjon i tekst, tabeller eller ulike diagrammer. Tenk bare på timeplanen din. Den er satt opp i en tabell som gjør det enkelt å finne ut hva som skjer til ulike tidspunkter gjennom uka. Vi kan også bruke grafiske framstillinger til å formidle tall og informasjon. Tallerkenmodellen er et eksempel på et sektordiagram og viser tydelig hvordan vi kan sette sammen et sunt måltid.

in g

1/3 f ull ko rn

lese tabeller

lese søyle-, sektor- og linjediagrammer

vurdere grafiske framstillinger kritisk

vu

rd

U T F O R S K SA M M E N

Temperatur kjølerom uke 43

4,4 4,2

4,0

Ku n

til

Temperatur i ℃

g

1/3 f ruk to g

er tet po

ker sa nn rø

o

3.1 Å lese tabeller og diagrammer

3,8

3,6

3,4 3,2 3,0

19. okt. 20. okt. 21. okt. 22. okt. 23. okt. 24. okt. 25. okt. 26. okt.

Dato

Studer diagrammet sammen. Skriv tre setninger som oppsummerer informasjonen på diagrammet. Del setningene med resten av klassen.


Å lese tabeller og diagrammer 103

Når du skal lese et stort tallmateriale, er det vanskelig å få med seg alt hvis det hele er presentert som en lang tekst. Det er lettere å lese en tabell eller et diagram.

in g

Hensikten med en grafisk framstilling er å gi et visuelt inntrykk av hvordan datamaterialet fordeler seg.

er

Du må huske å lese nøye informasjon og forklaring som følger tabellene og diagrammene, det kan være avgjørende for å forstå hva de forteller.

Tabeller

rd

En tabell består av vannrette rader og loddrette kolonner med overskrifter. Når vi skal lese informasjon fra en tabell, ser vi hvor raden og kolonnen vi er interessert i, møter hverandre.

Kristiansand

Lillehammer

Lillestrøm

Mo i Rana

Molde

Nordkapp

8 h 22 min

7 h 04 min

8 h 13 min

18 h 14 min

8 h 41 min

36 h 46 min

7 h 33 min

5 h 17 min

19 h 52 min

12 h 47 min

38 h 25 min

til

Bergen

2 h 30 min

12 h 49 min

5 h 19 min

31 h 22 min

14 h 43 min

7 h 44 min

33 h 16 min

11 h 22 min

18 h 35 min

Bergen Kristiansand Lillehammer Lillestrøm

vu

Denne avstandstabellen viser avstand i kilometer og reisetid med bil mellom noen byer i Norge. Cellene over de grå feltene i diagonalen viser reisetid. Under vises avstand.

485 km 443 km

479 km

505 km

349 km

167 km

1135 km

1298 km

818 km

954 km

Molde

456 km

798 km

323 km

487 km

697 km

Nordkapp

2311 km

2474 km

1994 km

2130 km

1177 km

Ku n

Mo i Rana

For å finne ut hvor langt det er fra Bergen til Lillehammer, og hvor lang tid det tar å kjøre strekningen, ser du hvor radene og kolonnene til disse byene møtes. Du ser at avstanden er 443 km, og at det vil ta i overkant av sju timer å kjøre strekningen.

29 h 55 min 1873 km


104 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

EK SEMPEL 1 Vanntemperaturen ð CÞ i vaskemaskinene på kjøkkenet blir lest av hver dag og skrevet ned i en tabell. Hva var vasketemperaturen i maskin 2 onsdag? Dag

Maskin 2

in g

Maskin 1

Merk Når vi skal finne ut når den høyeste målingen ble gjort, må vi lete gjennom alle tallene. Det er lettere hvis målingene er presentert grafisk.

Skyll

Vask

Skyll

Mandag

50

95

62

94

Tirsdag

60

94

60

92

Onsdag

59

95

60

94

Torsdag

56

95

60

93

Fredag

58

er

Vask

94

61

93

vu

rd

Løsning: Der kolonnen for «Vask» under «Maskin 2» møter raden «Onsdag», ser vi at temperaturen var 60 C.

Søylediagram

Ku n

til

Et søylediagram viser oss tydelig størrelsesforholdene mellom ulike kategorier av data. Når du skal lese et slikt diagram, ser du først på overskriften. Deretter legger du merke til enhetene både på den vannrette og den loddrette aksen. Søylediagrammet nedenfor viser resultatet av en matematikkprøve i en klasse: Antall elever

4

3 2 1

1

2

3

4

5

6

Karakter

Karakterene er gitt langs den vannrette aksen, og antall elever som har fått de ulike karakterene, er gitt langs den loddrette aksen.


Å lese tabeller og diagrammer 105

Høyden på søylen over karakteren 5 viser at det var tre elever som fikk karakteren 5. Karakteren 3 har den høyeste søylen. Ut fra det kan vi si at flest elever fikk karakteren 3.

in g

Antall elever 4 3

1

1

2

3

4

5

6

Karakter

vu

EKSEMPEL 2

rd

Hvis vi summerer høydene på søylene, ser vi at det er 1 þ 2 þ 4 þ 3 þ 3 þ 2 ¼ 15 elever i klassen.

er

2

Tom er lærling på en kafé. Han har laget et diagram som viser hvor mange kopper med ulike typer kaffe de solgte forrige uke. Antall solgte kaffekopper

350 300 250 200 150

til

400

Ku n

100 50 0

Espresso Americano Cortado Cappuccino

a

Hvilken kaffetype solgte de mest av?

b

Hvor mange kopper kaffe Mocca solgte de?

Latte

Spiced Chai Latte

Mocca


106 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Løsning:

høyest

400 350 300 250 200 150 100

Espresso Americano Cortado Cappuccino

Latte

Spiced Chai Latte

Mocca

rd

0

er

50

in g

Antall solgte kaffekopper

Den høyeste søylen viser salget av Americano. De solgte 350 kopper med denne kaffetypen.

b

Vi ser at de solgte 200 kopper kaffe Mocca denne uka.

vu

a

Sektordiagram

til

Et sektordiagram (sirkeldiagram) er delt inn i sektorer eller «kakestykker». Sektordiagrammet gir en oversikt over hvor stor del de ulike kategoriene utgjør av en helhet. Når du skal lese et sektordiagram, sammenlikner du størrelsen på de ulike sektorene. Det blir gjerne brukt ulike farger eller mønstre for å skille de ulike kategoriene.

Landbakgrunn for innvandrere i Norge 2019

Ku n

D

A

C

B

A Europa

B Nord-, Sør- og Mellom-Amerika

C Asia

D Afrika

Sektordiagrammet i margen viser hvilken verdensdel innvandrere til Norge og norskfødte med innvandrerforeldre kommer fra (kilde: ssb.no, 2019). Hele sirkelflaten representerer 944 000 personer. Den blå sektoren er den største og forteller oss at det kommer flest fra Europa. Vi kan anslå at dette gjelder nesten halvparten, om lag 450 000 personer. For å anslå hvor stor del som kommer fra Asia, må vi studere den grønne 1 sektoren. Den utgjør om lag av hele diagrammet, rundt 300 000 personer. 3


Å lese tabeller og diagrammer 107

EKSEMPEL 3

in g

Sektordiagrammet viser andelen av ulike typer slakt godkjent til mat i Norge i 2019: Sau

Fjørfe

Fjørfe

Storfe

Sau

rd

Svin

er

Svin

Storfe

(Kilde: www.ssb.no)

Omtrent hvor stor andel av kjøttproduksjonen stammer fra fjørfe?

b

Hvilken type slakt er det som bidrar mest i kjøttproduksjonen?

c

Totalt var kjøttproduksjonen om lag 350 000 tonn i Norge i 2019. Anslå hvor mange tonn som kommer fra storfe.

Løsning:

vu

a

1 av kjøttproduksjonen stammer fra fjørfe. 3

Vi ser at om lag

b

Den blå sektoren er størst. Slakt fra svin bidrar mest i kjøttproduksjonen. 1 av kjøttet stammer fra storfe. 4 350 000 tonn Det utgjør ¼ 87 500 tonn. 4 Vi ser at om lag

Ku n

c

til

a

Linjediagram og andre grafer Et linjediagram egner seg godt til å vise en størrelse som varierer over tid. Den vannrette aksen viser tiden, og den loddrette aksen viser antallet. Linja eller kurven viser sammenhengen mellom antallet og tiden som har gått. Emma har de siste årene vært et populært navn i Norge. Linjediagrammet øverst på neste side viser hvor stor del av jentene som har fått navnet Emma i perioden 1880–2018.


108 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3,0

in g

Vi kan se at nesten ingen jenter fikk navnet Emma i perioden 1945–1970. Toppunktet på kurven forteller oss hvilket år andelen jenter som fikk navnet Emma, hadde høyest verdi. Det er like etter år 2000. Det er tjue år mellom hvert årstall på den vannrette aksen, men diagrammet er ikke detaljert nok til å avgjøre nøyaktig hvilket år dette er. Prosent

2,5 2,0

1,0 0,5 1900

1920

1940

1960

1980

rd

1880

er

1,5

2000 Årstall

EK SEMPEL 4

vu

På kjøkkenet skal det skrives avvik hvis temperaturen på fryserommet blir høyere enn 18 C. Diagrammet nedenfor viser temperaturmålinger fra fryserommet. Avlesingene ble gjort ved lunsjtider hver dag: –17,0

Ku n

Temperatur i °C

til

–17,5 –18,0 –18,5 –19,0 –19,5 –20,0

Mandag

Tirsdag

Onsdag

Torsdag

Ukedag

a

Hva var temperaturen i fryserommet torsdag ved lunsjtid?

b

Hvilken dag hadde den laveste temperaturen?

c

Ble det skrevet avvik denne uka?

Fredag


Å lese tabeller og diagrammer 109

Linja har det laveste punktet tirsdag. Temperaturen var da 19 C i fryserommet.

c

Vi ser at linja er høyere enn 18 C på onsdag. Da ble det notert avvik.

er

b

Kritisk lesing av diagrammer

vu

rd

Når du skal lese diagrammer, bør du først legge merke til hvilke enheter aksene har. Deretter ser du etter om den loddrette aksen begynner på null, eller om den starter på en høyere verdi. I det siste tilfellet sier vi at aksen er kuttet. Ved å kutte aksen vil diagrammet endre utseende og dermed gi oss en annen oppfatning av hva tallene viser, enn om aksen ikke hadde vært kuttet.

Kr 121 120

til

Begge diagrammene nedenfor viser veksten i timelønna til Iris fra 2005 til 2019. Diagrammet til venstre gir inntrykk av en stor lønnsvekst, mens diagrammet til høyre gir inntrykk av at timelønna har økt nokså lite. Egentlig viser diagrammene nøyaktig samme vekst. Vær derfor oppmerksom på at grafiske framstillinger kan gi et skjevt bilde av virkeligheten.

122

Kr 140 120 80

117

60

116

40

115

20

Ku n

100

118

År

Merk Hvis den loddrette aksen er kuttet, trenger det ikke være fordi en ønsker å forvirre leseren. Det kan hende at en ønsker å få fram små variasjoner i store tall, og da er ikke tallene nær null så interessante.

160

119

114 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018 2020

Merk Linjestykkene i et linjediagram binder sammen faktiske målinger. I området mellom målingene illustrerer linjestykkene en antatt jevn utvikling.

in g

Løsning: a Linja og punktet over torsdag viser at temperaturen var 18 C i fryserommet denne dagen.

0 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018 2020

Du bør også være oppmerksom på hvem som har laget undersøkelsen. Kommer datamaterialet fra en pålitelig kilde? Et diagram bør ha en kildehenvisning og opplysninger om hvem som har bestilt og gjennomført undersøkelsen, slik at det er mulig for leseren å vurdere påliteligheten.

År


110 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Oppgaver

Taco kryddermiks

6g

Fett

3,5 g

Karbohydrat

Protein

36,6 g

5,9 g

kJ

kcal

^

Lag

K

V

U

T

+

P

9

8

1

0

21

7 +14

25

9

6

1

2

29

9 +20

19

9

5

2

2

16

8

+8

17

9

5

2

2

19

14

+5

17

5. Arsenal

9

4

3

2

13

12

+1

15

6. Crystal Palace

9

4

2

3

8

10

–2

14

7. Tottenham Hotspur

9

3

3

3

15

13

+2

12

1. Liverpool

951 kJ 226 kcal

3. Leicester City

9,4 g

16,6 g

Taco med tortilla, kylling, grønnsaker

67 g

Taco med tortilla, laks, grønnsaker

58 g

12,8 g

7,1 g

14,0 g

Tacosaus

90 g

0,1 g

4,0 g

1,9 g

(Kilde: www.matvaretabellen.no)

9,4 g

16,6 g

564 kJ 134 kcal

4. Chelsea

8. Burnley

9

3

3

3

12

11

+1

12

9. Sheffield United

9

3

3

3

8

7

+1

12

10. AFC Bournemouth

9

3

3

3

13

13

0

12

11. West Ham United

9

3

3

3

11

13

–2

12

12. Aston Villa

9

3

2

4

15

13

+2

11

13. Wolverhampton Wanderers

9

2

5

2

12

12

0

11

14. Manchester United

9

2

4

3

10

9

+1

10

15. Everton

9

3

1

5

8

13

–5

10

16. Brighton & Hove Albion

9

2

3

4

9

12

–3

9

17. Southampton

9

2

2

5

9

16

–7

8

18. Newcastle United

9

2

2

5

5

14

–9

8

19. Norwich City

9

2

1

6

10

21 –11

7

20. Watford

9

0

4

5

5

21 –16

4

849 kJ 204 kcal

115 kJ

27 kcal

vu

3,1 g

888 kJ 212 kcal

er

11,9 g

rd

57 g

Hvor stor andel vann er det i tacosaus?

b

Hvor mye fett er det i 100 g taco med kylling sammenliknet med 100 g taco med kjøttdeig?

c

Hvor mye protein er det i 150 g taco med tortilla, laks og grønnsaker?

til

a

Ku n

Hvor mange kilojoule (kJ) er 1 kilokalori (kcal)? (Rund av til en desimal.)

+/–

2. Manchester City

Taco med tortilla, kjøttdeig, grønnsaker

d

^

Matvare (100 g) Vann

3.2 Her ser du tabellen i Premier League etter ni kamper sesongen 2019–2020:

in g

3.1 Tabellen viser innholdet i 100 g matvare:

K: kamper spilt V: vunnet T: tapt U: uavgjort +: mål skåret –: mål sluppet inn +/–: Målforskjell P: poeng a

Hvor mange kamper har Arsenal vunnet?

b

Hvor mange poeng har Manchester United?

c

Hvilket lag har skåret flest mål?

d

Hvor mange poeng skiller plass nr. 1 og plass nr. 20?


Å lese tabeller og diagrammer 111

Steiketid i ovn

Bog med bein

1 kg

2,5 timer

Høyrygg med bein og fett

3 kg

2,5 timer

Mørbrad

750 g

30 min

Roastbiff

1 kg

1 time

Tynnsteik

1 kg

50–60 min

Tykksteik

1 kg

1 time

Kalvebog med bein

1 kg

1,5–2 timer

Kalvesteik lår

1 kg

1 time

Kalvekam med fett og bein

3 kg

1,5 timer

Hvor lenge må du steike 1 kg roastbiff?

b

Hvilket kjøttprodukt har en steiketid på 30 minutter for den oppgitte vekten?

c

Hvilket kjøttprodukt har en steiketid på 90 minutter for den oppgitte vekten?

100 75 50 25

16–24 år 25–34 år 35–44 år 45–54 år 55–64 år 65–74 år 75–79 år

Menn

Kvinner

a

Hvilken aldersgruppe har størst andel som bruker sosiale medier daglig?

b

Omtrent hvor mange prosent av menn i alderen 45–54 år bruker sosiale medier daglig?

vu

a

Prosent

in g

Masse

rd

Type

3.5 Vi skal se på et søylediagram som gir en oversikt over hvor stor del av befolkningen som bruker sosiale medier daglig (kilde: SSB, 2018):

er

3.3 Tabellen viser steiketid for ulike kjøttprodukter ved 200 C:

til

3.4 Diagrammet viser antall biler som ble solgt i Norge i perioden 2009–2018:

3.6 Sektordiagrammet viser fordelingen av totalt 245 620 elever og lærlinger som var i videregående opplæring i Norge i 2018:

Antall

180 000 160 000 140 000

Yrkesfaglig, Studiekvinner forberedende, menn

Ku n

120 000

100 000

Yrkesfaglig, menn

80 000

60 000

40 000

Studieforberedende, kvinner

20 000

2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 År

a

Om lag hvor mange biler ble solgt i 2012?

b

Hvilket år ble det solgt flest biler?

c

Hvilket år steg antallet solgte biler til over 130 000?

a

Var det flest elever på yrkesfag eller på studieforberedende?

b

Hvilken studieretning var mest populær blant kvinner?

c

Anslå hvor mange menn som gikk på yrkesfag.


112 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Diagrammet viser effekt målt i kW. Hvis vi ønsker å finne energiproduksjonen i kWh må vi gange effekten målt i kW med antall timer.

3.7

Hvor mye energi vil vindturbinen produsere i løpet av åtte timer hvis vindstyrken er omtrent 17 m/s hele tiden?

in g

d

Diagrammet viser sammenhengen mellom vindstyrke og produsert effekt for en 3 MW vindturbin:

MIN

MIN

UKESMENY

UKESMENY

UKESMENY GUTT

rd

14 -17 år Aktiv

Turbinens effekt (kW) 3500 3000

Energigivende næringsstoffer

2000 1500 1000 500 10

15

20 25 Vindstyrke (m/s)

til

5

vu

2500

a

Hvor stor effekt leverer vindturbinen når vindstyrken er 10 m=s?

b

Hvor stor er vindstyrken når turbinen leverer en effekt på 2 MW? Ved hvilken vindstyrke leverer vindturbinen maksimal effekt?

Ku n

c

er

3.8 Diagrammene viser anbefalt kostholdssammensetning for aktiv ungdom:

Fett 35 E% Karbohydrater 44 E% Kostfiber 3 E% Protein 18 E%

UKESMENY JENTE 14 -17 år Aktiv

Energigivende næringsstoffer

Fett 35 E% Karbohydrater 43 E% Kostfiber 3 E% Protein 19 E%

(Kilde: https://www.kostholdsplanleggeren.no/)

a

Hvilket næringsstoff trenger en aktiv ungdom mest av?

b

Bruk diagrammene og sett sammen et forslag til ukemeny for en aktiv ungdom.

L Æ R I N G S L O G G 3. 1 Hvilke ulike diagrammer kjenner du til? Når passer det best å bruke de ulike diagrammene? Hva er det viktig å se etter når du leser diagrammer?


Innhente og sortere data 113

3.2 Innhente og sortere data

D U S K AL K U N N E

er

in g

Noen ganger må du på egen hånd samle inn informasjon som skal danne grunnlaget for viktige beslutninger. Det kan være alt fra kartlegging av kundegrunnlaget for et serveringssted til måling av pH-verdi i slakt. Slike undersøkelser kan gjennomføres manuelt eller med ulike digitale verktøy. Dataene du samler inn, bør analyseres og presenteres slik at du får fram funnene dine på en oversiktlig måte.

innhente data gjennom ulike målinger eller undersøkelser

sortere datamaterialet i en frekvenstabell

rd

U T F O R S K SA M M E N

vu

Du skal gjennomføre to undersøkelser i klassen din:

Spør klassekameratene dine hvor mange mobiltelefoner de har hatt.

Mål pulsen din. Spør de andre i klassen om hvilken puls de målte.

til

Oppsummer resultatene i to tabeller. Diskuter hvordan dere best kan få fram resultatene.

Ku n

I dette delkapitlet møter du noen ord du kanskje ikke bruker så ofte. Sett av litt tid til å lese og diskutere disse definisjonene:

En observasjon er det vi måler eller sanser gjennom et enkeltforsøk eller spørsmål.

Frekvensen sier hvor mange ganger en spesiell observasjon gjentar seg.

Et datamateriale er en samling av alle registrerte observasjoner.

Når vi samler inn informasjon, registrerer vi observasjoner. En observasjon kan for eksempel være en temperaturmåling, resultatet av et terningkast eller svaret på et spørsmål om du har vondt i hodet.


114 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Frekvenstabell Tellestreker

Ja

jjjj jjjj jjjj jjjj j

Frekvens 21

jjjj jjjj

Nei

En klasse ble spurt om de syntes maten i kantina var for dyr. Svarene er registrert i frekvanstabellen i margen.

9

Sum

For å få oversikt over dataene vi samler inn i en undersøkelse, er det lurt å lage en frekvenstabell. En frekvenstabell viser oss sammenhengen mellom observasjonen og frekvensen.

in g

Observasjon

30

Her har vi 30 observasjoner der svaret enten er ja eller nei.

Frekvens 7 22 31

Sum

60

Vi bruker tegnene ½ og i for å vise at gruppa inneholder verdier fra og med det første tallet og inntil det andre tallet. Gruppa ½2:00, 2:10i inneholder de som hadde en sluttid fra og med 2 timer til og med 2 t 9 min 59 s.

rd

½2:00, 2:10i ½2:10, 2:20i ½2:20, 2:30i

En frekvenstabell er til stor hjelp når vi seinere skal lage diagrammer.

vu

Observasjon (sluttid)

er

I andre tilfeller kan vi ende opp med veldig mange ulike observasjoner. Hvis vi for eksempel ser på resultatlista etter et maratonløp, vil de 60 første på lista ha 60 ulike tider. I slike tilfeller er det lurt å dele observasjonene i ulike grupper eller klasser. For å gjøre det så oversiktlig som mulig bør hver klasse ha samme intervall.

EK SEMPEL 5

Fanget laks (kg)

1,0 6,0 23,5 0,8 0,6 1,0 0,4 6,0 0,4 23,5 0,6 0,4 0,4

Ku n

2,0 15,0 6,0 12,0 2,0 0,5 15,0 1,0 6,0

12. september 2019

a

Lag en klassedelt frekvenstabell som viser vekta på laksen i intervaller på 6 kg.

b

I hvilket intervall finner vi flest laks?

til

11. september 2019

I tabellen i margen finner du vekta på laksen som ble fanget i Lakselva i Porsanger 11. og 12. september 2019. Vekta på laks som veier 1 kg eller mer, er avrundet til nærmeste halvkilo.

Løsning: a Vi lager en frekvenstabell og teller opp antall laks i hver gruppe.

(Kilde: elveguiden.no)

b

Vekt per laks (kg)

Antall laks

½0, 6i ½6, 12i ½12, 18i ½18, 24i

13 4 3 2

Sum

22

Vi ser at det er flest laks i gruppa 0–6 kg. Totalt er det 13 laks som veier mellom 0 og 6 kg.


Innhente og sortere data 115

Oppgaver 3.9 Tabellen viser hvor mange egg de ti hønene til Ole Petter la forrige uke. Dag

Tellekolonne

Mandag

jjjj jj

Tirsdag

jjjj jjj

Onsdag

jjjj j

Torsdag

jjjj jjjj

Fredag

jjjj jj

3.11

Antall egg

Sum

a

Fyll ut resten av tabellen.

b

Hvilken dag fikk Ole Petter flest egg?

c

Hvilken dag fikk Ole Petter færrest egg?

d

Hva var det vanligste antall egg hønene la denne uka?

3.10 Kast en terning 25 ganger og noter ned antall øyne for hvert forsøk. Hvis du ikke har terninger, kan du søke etter «random dice» på nettet. Du kan også prøve kommandoen =TILFELDIGMELLOM(1;6) i et regneark. a

Oppsummer resultatene dine i en frekvenstabell: Observasjon

Tellekolonne

Frekvens

1 2 3 4 5 6

b

Hva blir summen av alle frekvensene? Hvorfor får du nettopp dette tallet?

c

Gjør frekvenstabellen klassedelt med intervallene ½1, 2 , ½3, 4 og ½5, 6 .

Ingse har sommerjobb i et bakeri og har notert hvor mange timer hun har arbeidet hver gang de siste 25 gangene. Lag en frekvenstabell over dataene: 3 6 6 7 5 6 4 8 4 5 6 4 6 6 7 7 8 6 5 5 4 3 8 7 5


116 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.12 I en undersøkelse har tjue skoleungdommer som arbeider på fritiden, oppgitt hvor mange kroner de tjener i timen. Lag en klassedelt frekvenstabell over timelønna. Bruk intervallene ½120, 130i, ½130, 140i, ½140, 150i og ½150, 160i:

3.14 Nedenfor ser du resultatlista etter finalen på 5000 meter i VM i friidrett 2019. a

Sorter resultatene i en klassedelt frekvenstabell. La hver klasse være på 10 sekunder.

b

Hvilket tidsintervall havnet flest deltakere i?

135 140 137 141 130 141 150 144 137 120 138 139 143 130 138 131 146 158 140 139

3.13 Sara har spurt folk på skolen om hvor mange mobiltelefoner de har hatt. Her er svarene hun fikk: 6 8 6 7 9 11 4 5 7 8 8 10 9 10 10 7 5 11 10 9 4 7 9 8 5 6 6 8 9 7 a

Sorter resultatene i en frekvenstabell.

b

Hvor mange svar fikk Sara totalt?

c

Hvor mange mobiltelefoner har disse menneskene hatt til sammen?

Kilde: Wikipedia

L Æ R I N G S L O G G 3. 2 Hva er en frekvenstabell? Nevn eksempler på når du kan bruke frekvenstabeller i ditt framtidige yrke. Ta med eksempler både med og uten klassedeling av frekvenstabellen.


Å lage en grafisk presentasjon 117

3.3 Å lage en grafisk presentasjon Tidligere i kapitlet lærte du å lese grafiske presentasjoner. Du skal nå lære hvordan du kan lage gode presentasjoner selv. Noen ganger har vi nokså store datamengder som skal analyseres. Både i skolesammenheng og i ditt framtidige yrke vil du ha nytte av å kunne formidle datamateriale på en lettfattelig måte.

D U S K AL K U N N E

presentere et tallmateriale grafisk med søyle-, sektor- og linjediagram

vurdere hvilken presentasjon som fungerer best

U T F O R S K SA M M E N Dere skal kaste to terninger og undersøke resultatet av kastene. Hvis dere ikke har terninger, kan dere bruke en terning-app på telefonen eller kommandoen =TILFELDIGMELLOM(1;6) i et regneark.

Skriv tallene 2 til 12 etter hverandre nederst i et ruteark.

Kast to terninger, summer øynene og sett kryss i ruta over tallet du fikk.

Gjenta dette 25 ganger.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Sammenlikn arket ditt med de andre i klassen.

Lag en tabell og en grafisk framstilling over det samlede resultatet i klassen. Hva finner du? Ble du overrasket over resultatet? Hvorfor / hvorfor ikke?

12


118 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Søylediagram Et søylediagram egner seg godt til å presentere antallet i hver kategori vi har undersøkt. Samtidig som antallet går tydelig fram, får vi et godt inntrykk av hvor store kategoriene er i forhold til hverandre. Bruk søylediagram hvis du har mange ulike kategorier, eller hvis det er viktig å få fram hvor mange observasjoner det er i hver kategori.

EK SEMPEL 6 Lage et søylediagram:

Ane har spurt alle i klassen hvor mange søsken de har. Svarene skrev hun ned på et ark: 04357202311101232422332110011 Hjelp Ane med å lage et søylediagram over disse observasjonene.

Løsning: Vi begynner med å lage en frekvenstabell i et regneark. Tell opp hvor mange ganger Ane har skrevet 0, 1, 2 osv.:

Når vi skal lage et søylediagram, markerer vi kolonnen med frekvensen og velger «Sett inn søylediagram». Noen program bruker begrepet stolpediagram.


Å lage en grafisk presentasjon 119

For at den vannrette aksen skal vise riktige verdier, høyreklikker du på aksen og velger «Merk data».

Trykk «Rediger» og merk rutene som viser antall søsken:

Du kan nå klikke på

-tegnet utenfor diagrammet, slik at du får lagt til

og endret aksetitlene. Du bør også klikke på overskriften og endre den til noe som passer bedre.


120 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

FREKVENS

Etter at du har endret overskrift, aksetitler og farger, kan søylediagrammet se slik ut: Antall søsken i klassen

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2 3 4 5 ANTALL SØSKEN

6

7

Sektordiagram Et sektordiagram egner seg godt når størrelsesforholdet mellom kategoriene er mer interessant enn antallet i hver kategori. Bruk ikke sektordiagram når det er for mange kategorier. Det gjør det vanskelig å se forskjell på de ulike sektorene.

EK SEMPEL 7 Favorittpålegg i klassen Hvitost: 4 Makrell i tomat: 2 Sjokoladepålegg: 3 Skinke: 6

Lage et sektordiagram:

Jovan har bedt elevene i klassen velge sitt favorittpålegg fra en liste. Resultatet er vist i margen. a

Hvor mange har Jovan spurt?

b

Hvor stor andel av de spurte liker sjokoladepålegg best?

c

Lag et sektordiagram som viser resultatet fra undersøkelsen.

Løsning: a Han har spurt 4 þ 2 þ 3 þ 6 ¼ 15 elever. b

Vi ser at 3 av 15 liker sjokoladepålegg best. 3 3:3 1 ¼ ¼ 15 15 : 3 5 1 Altså er det eller 20 % av elevene som liker sjokoladepålegg best. 5 1 I et sektordiagram vil av sirkelen representere elever som liker 5 sjokoladepålegg.


Å lage en grafisk presentasjon 121

c

Vi skriver inn tabellen i et regneark, markerer hele tabellen og velger «Sett inn sektordiagram». Overskrift og farger endrer vi på samme måte som for søylediagrammet. Ved å klikke på

-tegnet har vi mulighet til å

vise dataetiketter for å få fram hvor mange prosent av helheten hver sektor utgjør:

Tenk gjennom! 1 På diagrammet ser du at av sirkelen er farget grått. Hvor mange grader 5 1 utgjør av en sirkel? Hvordan kunne du ha regnet ut størrelsen 5 på de andre delene av sirkelen?

Linjediagram Et linjediagram egner seg godt til å vise data som varierer over tid. Den vannrette aksen viser da tiden, og den loddrette aksen viser observasjonene. Linja eller kurven viser sammenhengen mellom observasjonene og tiden som har gått. Bruk linjediagram hvis du har mange observasjoner og rekkefølgen på observasjonene er viktig.


122 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

EK SEMPEL 8 Hver dag blir temperaturen i kantinas tre kjølerom avlest og notert i en tabell. Tabellen viser avlesingene for en uke i mai: Dato

Kjøl 1 (°C)

Kjøl 2 (°C)

Kjøl 3 (°C)

25. mai

3,8

3,9

3,8

26. mai

3,5

3,9

3,7

27. mai

3,6

3,8

3,8

28. mai

3,6

3,9

3,9

29. mai

3,7

4,0

4,0

30. mai

3,9

4,1

3,9

31. mai

3,9

3,9

3,7

Temperaturen i kjølerommene skal ikke overstige 4,0 C. Det har vært et avvik på kjølerom 2. Overfør dataene til et regneark, og lag et linjediagram av målingene på kjølerom 2.

Løsning: Vi skriver tallene inn i et regneark. Deretter merker vi kolonnen med «Kjøl 2» og velger «Sett inn linjediagram»:


Å lage en grafisk presentasjon 123

Den vannrette aksen viser nå tall fra 1 til 7. For at den vannrette aksen skal vise datoer, høyreklikker vi på aksen og velger «Merk data»:

Trykk «Rediger» og merk kolonnen med datoene:

Nå må vi legge til overskrift og forklarende titler på aksene. Legg til og endre aksetitlene ved å velge «Legg til diagramelement» og «Aksetitler» fra verktøymenyen. Vi kan også endre farger og utseende på diagrammet, se figuren i margen.

Temperatur i grader C

Temperatur kjølerom 2 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0

25.mai

26.mai

27.mai

28.mai Dato

29.mai

30.mai

31.mai


124 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Tilpasning av akser En grafisk framstilling skal være så objektiv som mulig. Vi har tidligere sett at kutting av akser kan brukes for å påvirke leseren. Kutting av akser kan likevel være et fornuftig grep i en del datamateriale for å få fram variasjoner. Linjediagrammene nedenfor viser kroppstemperaturen til en pasient i samme uke, med og uten tilpasning av aksene: 40,5 40 39,5 39 38,5 38 37,5 37 36,5 36 35,5

Temperatur (°C)

Man Tir Ons Tor Fre Lør Søn

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Temperatur (°C)

Man Tir Ons Tor Fre Lør Søn

For kroppstemperaturer er det bare aktuelt med temperaturer mellom 35 C og 42 C. Ved å kutte den loddrette aksen gjør vi det lettere å lese av temperaturvariasjonene.

EK SEMPEL 9 Ta utgangspunkt i temperaturmålingene i eksempel 8. Lag et linjediagram der du kutter den loddrette aksen slik at den bare viser verdier mellom 3,5 og 4,5 grader celsius.

Løsning:

Vi høyreklikker på den loddrette aksen og velger «Formater akse». Her kan vi endre minimumsverdien til 3,5 og maksimumsverdien til 4,5. Vi ser nå at de små variasjonene i temperaturen kommer tydeligere fram.


Å lage en grafisk presentasjon 125

Oppgaver 3.15 Milica har skrevet ned hvor mange timer i døgnet hun bruker på ulike aktiviteter på hverdager. Tallene går fram av tabellen nedenfor. Lag et sektordiagram over dataene i tabellen: Aktivitet

3.18

Antall timer

Søvn Undervisningstimer på skolen Måltider Fysisk aktivitet Lekser Være med venner Annet

7,5 4,5 1,5 0,5 1 4 5

Nedenfor ser du gjennomsnittlig vindstyrke ved Kråkenes fyr på Vågsøy den første uka i august 2019 (kilde: yr.no):

3.16 Tabellen viser hvilke fag elevene på en videregående skole har valgt på Vg2: Fag Vg2

Antall elever

Kokke- og servitørfag Matfag Omvalg til annen studieretning

32 19 5

a

Bruk tallene i tabellen til å lage et søylediagram.

b

Bruk tallene i tabellen til å lage et sektordiagram. Legg på dataetiketter med både antall og prosent for de ulike sektorene.

3.17 Tabellen viser prosentandelen kobber, sink og nikkel i den norske tikroningen.

Dato

Vindstyrke

1.8. 2.8. 3.8. 4.8. 5.8. 6.8. 7.8.

8 m=s 15 m=s 13 m=s 8 m=s 6 m=s 7 m=s 10 m=s

a

Lag et linjediagram som viser hvordan vindstyrken var denne uka.

b

Hvor mange dager blåste det liten kuling eller sterkere (over 10,8 m=s)?

3.19 Gå inn på ssb.no/kommunefakta og søk opp kommunen din. Bla nedover på siden til du finner fakta som handler om arbeid og utdanning. Finn ut hvor mange som jobber innen varehandel, hotell og restaurant. Gjør det samme for nabokommunene og lag en grafisk framstilling av det du finner.

Presenter tallene i et sektordiagram: Metall Prosentandel

kobber

sink

nikkel

81

10

9


126 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.20 Tabellen viser antall millioner kroner samlet inn til NRKs TV-aksjon i perioden 2010–2018. Siden prisstigningen gjør at pengene blir mindre og mindre verdt for hvert år, er tallene justert til 2017-nivå: År

a

Lag et diagram som viser sammenhengen mellom antall kjørte kilometer og antall prosent igjen på batteriet.

b

Hva antyder diagrammet om rekkevidden til elbilen ved 10 C?

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

Samlet inn 209

219

199

224

253

183

231

218

245

Justert til 2017-nivå

245

220

242

267

189

230

218

237

236

a

Lag et linjediagram som viser antall millioner kroner samlet inn justert til 2017-nivå.

b

Lag et søylediagram som viser både antall millioner samlet inn reelt og justert til 2017-nivå.

3.22 Familien Kristiansen har hver sommer en intern fiskekonkurranse. Tabellen viser hva slags fisk og hvor mange fisk av hvert slag familien Kristiansen fikk på sin sommerferietur i år: Type fisk Torsk

Antall

Grader på et sektordiagram

12

Sei

3.21 I elbilen til Mathias er det en skala der 100 % er fullt batteri, og der 0 % viser når spenningen på batteriet er for lav til at bilen kan kjøre mer. Mathias har registrert hvor mange prosent det er igjen når temperaturen har vært rundt 10 C, og han har kjørt et varierende antall kilometer. Resultatet går fram av tabellen: Kilometer

Prosent

0 25 50 75 100 125 150 175

100 91 83 73 63 55 45 37

Makrell

100 35

Sjøørret Sum

90

Pappa Gøran vil gjerne ha en oversikt til feriedagboka si, men noen av tallene i tabellen er blitt uleselige. Hjelp Gøran med å fylle ut resten av tabellen og tegn et sektordiagram for hånd.

L Æ R I N G S L O G G 3. 3 Hvilke grafiske framstillinger har vi? Nevn noen eksempler der det er naturlig å bruke de ulike grafiske framstillingene i ditt framtidige yrke. Hva kan vi oppnå med å kutte aksene?


Sentralmål og spredningsmål 127

3.4 Sentralmål og spredningsmål Så langt har vi framstilt datamaterialet grafisk. Siden datamaterialet vårt består av tall, kan vi regne ut noen få tallstørrelser som forteller mye om hele materialet. Vi kan for eksempel regne ut hvilket tall som er den vanligste observasjonen, og hvor stor spredningen er i observasjonene. D U S K AL K U N N E

regne ut sentralmålene gjennomsnitt, typetall og median

regne ut spredningsmålet variasjonsbredde

U T F O R S K SA M M E N Lag en undersøkelse der dere spør andre elever hvor langt unna skolen de bor, hvor lang tid de bruker til skolen, og hvilket framkomstmiddel de bruker. Se over svarene dere har fått, og prøv å finne ut hva de vanligste svarene er. Hvilke vurderinger gjør dere for å finne ut det?

Sentralmål Når vi arbeider med et stort datamateriale, makter vi ikke å holde alle observasjonene i hodet. Det lønner seg derfor ofte å regne ut sentralmål. De gir informasjon om hvilken verdi observasjonene ligger rundt, og hva som er de vanligste verdiene blant dataene. Gjennomsnitt, median og typetall er de tre mest brukte sentralmålene i statistikk. Karakterene til Kristoffer er 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 4, 2. Vi har flere metoder for å vise hva det vanligste resultatet til Kristoffer er. I dette delkapitlet skal vi ta for oss gjennomsnitt, median og typetall.

Gjennomsnitt Kristoffer er opptatt av karakterene sine. For å komme inn på det han ønsker på Vg2, må han ha et snitt på 3,4. Men hva er egentlig gjennomsnitt? Hva forteller gjennomsnittet om karakterene? Har han gode nok karakterer? Gjennomsnittet finner vi ved å legge sammen alle observasjonene og dele summen på antall observasjoner.

Gjennomsnitt, median og typetall:


128 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

I Kristoffers tilfelle er det karakterene som er observasjonene: 3 þ 3 þ 4 þ 2 þ 3 þ 3 þ 4 þ 4 þ 2 28 ¼ ¼ 3,11 9 9 Dette kan vi også bruke regnearket til. Skriv inn observasjonene i hver sin celle og bruk funksjonen =GJENNOMSNITT(). Marker området med karakterene: Gjennomsnittskarakteren:

Han har altså ikke gode nok karakterer i dag. Hvordan må de endres for at han skal få et godt nok karaktersnitt? Summen av karakterene til Kristoffer er nå 28 poeng. Hvis gjennomsnittet skal komme over 3,4, må summen av karakterene være over 3,4 9 ¼ 30,6. Skal han oppnå mer enn 3,4 i snitt, må han altså gå opp én karakter i tre fag.

Tenk gjennom! Er det andre måter Kristoffer kan øke gjennomsnittet på?

Median Medianen er den midterste verdien når observasjonene er sortert i stigende rekkefølge.

Dersom vi har et odde antall tall, er medianen lik tallet i midten. Hvis antall observasjoner er et partall, er medianen lik gjennomsnittet av de to tallene i midten. Vi sorterer karakterene til Kristoffer i stigende rekkefølge: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, og finner karakteren i midten: 2

2

3

3

3

3

4

4

4

Mediankarakteren til Kristoffer er 3. I et regneark bruker vi funksjonen =MEDIAN(). Marker området med karakterene:


Sentralmål og spredningsmål 129

Typetall Typetallet er den observasjonen som forekommer flest ganger.

Typetallet er den typiske verdien for datamaterialet. Har vi presentert datamaterialet i et søylediagram, vil typetallet være den høyeste søylen. I et sektordiagram vil typetallet være den største sektoren. I Kristoffers tilfelle ser vi at typetallet er karakteren 3. Det betyr at Kristoffer fikk flest treere.

2

2

3

3

3

3

4

4

4

I et regneark bruker vi funksjonen =MODUS(). Marker området med karakterene:

Om sentralmålene Vi ser at de ulike sentralmålene ligger temmelig nær hverandre. En klassekamerat med to seksere, en firer og seks toere har samme snittkarakter som Kristoffer, men medianen og typetallet ville blitt lavere:

Det kan derfor være greit å finne flere sentralmål enn gjennomsnittet før vi konkluderer med hvilken tallverdi som best representerer datamaterialet. Hvis de tre sentralmålene blir svært ulike, må vi vurdere hvilket sentralmål som best beskriver situasjonen. Hvis vi har mange observasjoner og noen få skiller seg ut, kan gjennomsnittet gi et skjevt inntrykk av hva som er vanlig. Da er det bedre å finne medianen for å si noe om den vanligste verdien.

EKSEMPEL 10 En «food-truck» selger hamburgere på fredager og lørdager. I mai var salget 45, 59, 51, 52, 210, 45, 58, 39 og 45 hamburgere. 17. mai var det mange mennesker i byen, og det var den dagen det ble solgt 210 hamburgere. Finn ut hvilket sentralmål som best gir et bilde av hva som er et vanlig daglig salg.


130 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Løsning: Gjennomsnitt:

45 þ 59 þ 51 þ 52 þ 210 þ 45 þ 58 þ 39 þ 45 604 ¼ ¼ 67,1 9 9

Gjennomsnittet er 67,1 hamburgere. Median: 39, 45, 45, 45, 51 , 52, 58, 59, 210 51 hamburgere er den midterste observasjonen. Typetall: Tre dager er salget på 45 hamburgere, så det er den vanligste observasjonen. I dette tilfellet er det kanskje medianen som gir best bilde av salget. Salget på 17. mai var med på å dra gjennomsnittet høyt over det som er vanlig. Når eieren av «food-trucken» skal kjøpe inn råvarer til neste måned, vet hun at salget 17. mai gjorde gjennomsnittet høyere enn normalt.

Spredningsmål Mens sentralmålet sier noe om hva som er mest vanlig, forteller spredningsmålet noe om hvor spredt verdiene i datamaterialet ligger. Et viktig spredningsmål er variasjonsbredden. Variasjonsbredden er avstanden mellom den høyeste og den laveste observasjonen.

I Kristoffers tilfelle er variasjonsbredden 4 2 ¼ 2 karakterer. Variasjonsbredden til klassekameraten er 6 2 ¼ 4 karakterer. I regnearket bruker vi funksjonen =STØRST() eller =MAKSA() og =MIN():

Det kan være fint å bruke sorteringsfunksjonen i regnearket for å sortere verdiene i stigende rekkefølge. Da får vi bedre oversikt over variasjonsbredden i datamaterialet. For å sortere verdiene, merker du tallene, velger fanen «Data» og bruker ett av sorteringsverktøyene.


Sentralmål og spredningsmål 131

EKSEMPEL 11 Vanja har registrert hvor mange kilo kongekrabbe de har servert på hotellet der hun jobber, de siste sju dagene: 28 kg,

34 kg,

25 kg,

29 kg,

39 kg,

41 kg,

27 kg

Hva er variasjonsbredden i antall kilo krabbe disse dagene?

Løsning: Vi finner differansen mellom høyeste og laveste verdi: 41 kg 25 kg ¼ 16 kg Variasjonsbredden er 16 kg.

Oppgaver 3.23 Mona har et blomsterbed med tolv solsikker og har notert høydene på dem:

3.25

2,43 m 1,97 m 2,05 m 2,28 m 1,88 m 1,99 m 2,05 m 1,88 m 1,98 m 2,07 m 2,10 m 2,15 m a

Regn ut gjennomsnittet.

b

Hva er medianen?

c

Hvor høy er den høyeste solsikken?

d

Hva er variasjonsbredden?

3.24 Elise har skrevet ned resultatet fra kiosksalget for fotballaget under hjemmekampene denne sesongen. Resultatene var

Jakob driver med leirdueskyting og har hatt følgende antall treff de siste 15 gangene: 65 78 56

850 kr 975 kr 1230 kr 745 kr 530 kr 870 kr 1050 kr 450 kr

660 kr 785 kr 980 kr 420 kr

77 61 64

83 49 77

41 105 52

56 77 69

a

Hva ble resultatet den dagen salget gav best uttelling?

a

Hva er typetallet?

b

Hva er gjennomsnittet?

b

Regn ut gjennomsnittet.

c

Hva er variasjonsbredden?

c

Hva er medianen?

d

d

Hva er variasjonsbredden?

Hva er gjennomsnittet hvis høyeste og laveste resultat ikke regnes med?


132 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.27 Tor Henrik trener taekwondo og har notert treningstidene de første 14 dagene i oktober. Notatene går fram av tabellen:

3.26 Diagrammet viser karakterfordelingen i en klasse etter en matematikkprøve: Antall elever

5 4 3 2 1 0

a

b

1

2

3 4 Karakter

5

6

Diskuter med en medelev hvordan dere kan anslå ulike sentral- og spredningsmål for denne karakterfordelingen:

gjennomsnittskarakteren

mediankarakteren

typetallet

variasjonsbredden

Finn nøyaktige sentral- og spredningsmål for fordelingen:

gjennomsnittskarakter

mediankarakter

typetall

variasjonsbredde

Dato

Fra

Til

1:10 2:10 3:10 4:10 5:10 6:10 7:10 8:10 9:10 10:10 11:10 12:10 13:10 14:10

17:00 18:00 18:00 17:00 17:30 17:00 18:00 18:00 17:00 17:30

17:45 19:30 19:00 17:30 19:15 17:50 19:45 19:20 17:30 19:15

a

Hvor mange minutter har Tor Henrik trent i gjennomsnitt per dag i disse to ukene?

b

Hvor mange timer vil han ende opp med å trene på seks uker dersom han trener like mye de neste 28 dagene?

L Æ R I N G S L O G G 3. 4 Hva er et sentralmål? Hvorfor trenger vi ulike sentralmål? Hvilke tanker gjør du deg når medianen, gjennomsnittet og typetallet for et datamateriale er veldig forskjellig? Hva er spredningsmål? Hvorfor kan det være nyttig å finne variasjonsbredden i et datamateriale?


Hva har jeg lært? 133

H V A HA R J E G LÆ R T ? Gå sammen i par og lag en liste eller et tankekart over de viktigste matematiske ideene og metodene dere har lært i kapitlet. Prøv også å få med stikkord om hva ideene og metodene kan brukes til – i dagliglivet eller i ditt framtidige yrke. Del ideene med resten av klassen.

Som hjelp til å komme i gang kan dere lese læringsloggene 3.1, 3.2, 3.3 og 3.4 og se over «regelboksene» i kapitlet.

Stemmer påstandene? Avgjør om påstandene nedenfor stemmer. Sørg for at du kan forklare hvorfor de stemmer eller ikke.

4

På et sektordiagram vil en sektor på 270 svare til 75 %.

1

Gjennomsnittet forteller alltid hva som er mest vanlig.

5

Typetallet forteller alltid hva den vanligste observasjonen er.

2

Hvis aksene er kuttet, er det fordi den som har laget diagrammet, ønsker å lure oss.

6

Variasjonsbredden i karakterene til en elev er 8.

3

Den høyeste søylen på et søylediagram viser gjennomsnittet.

7

Gjennomsnittsverdien for 1 million terningkast blir 3,5.

Prosjekt matsvinn Finn fram alle notatene fra «Prosjekt matsvinn» i kapittel 2. Se både på målingene av matavfallet og på oversikten over matrester som er satt på skolens fryselager den siste måneden. Framstill tallene grafisk og regn ut ulike sentral- og spredningsmål. Ser dere noen tendenser i hvordan mengden matsvinn har endret seg fra uke til uke?


134 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Test deg selv 3.28 Frøya spurte alle i klassen sin hvor høye de er. Resultatet er vist nedenfor, der Frøyas høyde også er med: 163 174 188 190 160 179 167 170 173 181 159 162 161 180 178 172 164 181 165 167 a

Hvor mange elever går det i klassen til Frøya?

b

Sorter observasjonene i en klassedelt frekvenstabell. La hver klasse utgjøre 10 cm.

c

I hvilket intervall er det flest elever?

d

Hva er gjennomsnittshøyden til elevene?

e

I hvilket intervall ligger medianhøyden til elevene?

f

Hva er variasjonsbredden i datamaterialet?

3.29 Diagrammet viser hva innbyggerne i Rauma kommune arbeider med: 1500

Antall innbyggere

a

Hva kaller vi et slikt diagram?

b

Hva jobber de fleste innbyggerne i Rauma med?

c

Hvor mange av innbyggerne arbeider med jordbruk, skogbruk og fiske?

d

Anslå hvor mange innbyggere i Rauma som er i arbeid.

3.30 Tabellen viser næringsinnholdet i 100 g makrell i tomat: Vann Fett Karbohydrater Protein Fiber, salt og vitaminer

a

Lag et stolpediagram som illustrerer dette næringsinnholdet.

Fettsyrene i 100 g makrell fordeler seg slik: Mettede fettsyrer Enumettede fettsyrer Flerumettede fettsyrer

1000

B

C

D Rauma

A

Jordbruk, skogbruk og fiske

E

F

G

B

Sekundærnæringer

C

Varehandel, hotell og restaurant, samferdsel, finans-, forretnings- og eiendomstjenester

D

Offentlig administrasjon, forsvar og sosialforsikring

E

Undervisning

F

Helse- og sosialtjenester

G

Personlig tjenesteyting

4g 10 g 6g

b

Lag et sektordiagram som illustrerer disse andelene.

c

Hvor mange grader av sirkelen utgjør enumettede fettsyrer?

d

Hvor mange grader av sirkelen utgjør de to andre sektorene?

500

A

60 g 20 g 4g 12 g 4g


Test deg selv 135

3.31 Den matteglade familien Svendsen har et odde antall barn.

I denne søskenflokken er gjennomsnittsalderen 6 år.

Summen av barnas alder er 42 år.

Den yngste i søskenflokken er 2 år.

Variasjonsbredden er 10 år.

Medianen er 7 år.

I søskenflokken er det trillinger.

Typetallet er 7 år.

Hvor mange er det i søskenflokken, og hvor gamle er de ulike barna?

3.32 Tabellen viser prisene for ferjeturer langs kystriksveien (2017). Prisene er inkludert sjåføren: Sone Ferje

Bil < 6 m 6,01–7 m 7,01–8 m 8,01–10 m 10,01–12 m 12,01–14 m 14,01–17 m

Bil + Bil + Voksen Barn Motorsykkel campingvogn campingvogn m/sjåfør < 10 m > 10 m

Lund – Hofles

140

341

400

510

597

695

825

280

420

49

25

6

Holm – Vennesund

132

324

378

489

576

663

793

264

396

46

23

80

5

Horn – Andalsvåg

117

285

335

434

521

608

728

234

351

43

22

74 117

10

16 8 19 3

84

Forvik – Tjøtta

220

532

619

771

880

999

1140

440

660

70

35

Levang – Nesna

148

361

421

532

630

728

858

296

444

51

26

86

Kilboghamn – Jektvik

251

608

706

869

988

1119

1271

502

753

78

39

130

Ågskaret – Forøy

101

248

291

384

467

543

663

202

303

39

20

66

a

Hvor mye koster det fra Forvik til Tjøtta når du kjører en bil mindre enn 6 m?

b

Hvor mye koster en ferjetur fra Levang til Nesna med motorsykkel?

c

Hvor mye koster en ferjetur fra Kilboghamn til Jektvik med bil og campingvogn over 10 m, en ekstra voksen og tre barn?


136 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Aktiviteter Tilbake til start 3.1 Markedsundersøkelse om kafedrift Du ser et lokale i sentrum som er til leie, og vurderer å starte en kafé. Det er mange faktorer som er med på å avgjøre om kafeen blir en suksess. Før du skriver under på en leieavtale, bør du gjennomføre en markedsundersøkelse. Er det noen interesse for det du ønsker å tilby i området? Finnes det et liknende tilbud fra før? Hvor stort kundegrunnlag er det i denne delen av byen? Punkter å tenke gjennom:

Hva ønsker vi svar på?

Hvem er målgruppa?

Hvordan når vi målgruppa?

Finnes det tilsvarende tilbud i nærheten?

Innsamling av slike data er viktig for få et helhetlig bilde og for å avgjøre om du vil satse på ideen din og realisere drømmen om egen kafé. Du kan også søke om økonomisk støtte for å starte opp bedriften. Da bør du presentere resultatene av markedsundersøkelsen på en god måte.

3.2 Popkorn uten lokk Hva skjer når du popper popkorn uten lokk? Dette forsøket bør gjøres utendørs! Du trenger:

primus eller stormkjøkken

steikepanne

matolje

popkorn

Del 1 Lag og gjennomfør en markedsundersøkelse for å finne ut om det er behov for en kafé i sentrum. Del 2 Framstill svarene du får, på en oversiktlig måte med passende sentral- og spredningsmål og gode grafiske diagrammer. Del 3 På altinn.no finner du en oversikt over ulike støtteordninger under «Starte og drive bedrift». Skriv en søknad om økonomisk støtte til å starte opp kafeen din. Legg ved resultatene av undersøkelsen du har gjort.

Lag et underlag ved å bruke en hyssing med tusj i enden til å tegne ti sirkler med samme sentrum på et stort papir. Øk radien med 10 cm for hver sirkel. Tell opp 300 popkorn og legg dem i en steikepanne med litt matolje. Sett primusen i sentrum av sirklene og fyr opp. Vent til alt er ferdig poppet, og tell opp hvor mange popkorn som ligger i de ulike sirklene. Lag en frekvenstabell og framstill resultatet grafisk.


Aktiviteter 137

3.3 Fiskegrateng

3.6 Lutefisk og måling av pH-verdi

Lag din favorittfiskegrateng på skolekjøkkenet. Skriv en detaljert varedeklarasjon som viser næringsinnholdet i 100 g fiskegrateng. Undersøk næringsinnholdet og energiprosenten i en fiskegrateng fra butikken. Sammenlikn med den du selv lager på kjøkkenet. Framstill resultatene grafisk.

3.4 Temperaturmåling Ta en lik mengde av tre ulike matvarer og varm dem hver for seg opp til kokepunktet. Hell matvarene over i tre helt like former og sett dem til nedkjøling i et kjøleskap. Mål temperaturen i de tre formene hvert femte minutt og lag et linjediagram som viser nedkjølingshastigheten i de tre produktene. Følg også med på temperaturen i kjøleskapet og lag et linjediagram som viser utviklingen her. Du kan òg programmere en micro:bit til å måle temperaturen.

3.5 Kjøl og frys Finn fram skjemaene som er blitt ført for skolekjøkkenets kjøle- og fryseskap det siste halvåret. Lag en grafisk oversikt over temperaturmålingene. Marker eventuelle avvik.

Bruk et pH-meter til å måle pH-verdien i luta dere bruker til lutefisk. Lag en grafisk framstilling som viser hvordan pH-verdien endrer seg når dere bruker ulike mengder aske eller kaustisk soda.

3.7 Temperaturmåling Programmer en micro:bit til å måle temperaturen i kjøleskapet etter at du har satt inn en kjele varmt vann. Micro:bit-en skal sende data via blåtann til telefonen din eller en annen micro:bit-koplet PC og tegne en graf som viser temperaturutviklingen.

3.8 Mat eller søppel? Undersøk hvordan du kan gjenbruke for eksempel potetskall, skallet fra en appelsin, avskjær fra fisk eller bein fra kjøttprodukter. Bruk restene som står på fryserommet, til å lage et måltid. Vurder hvor mye restauranten kan spare på en uke ved å lage salgbar mat av restene. Tips kan dere finne på www.matvett.no.


138 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Oppgaver 3.1 Å lese tabeller og diagrammer 3.33 90

Antall

3.35 Tabellen viser antall kilowattimer (kWh) en varmeovn bruker i løpet av et år hvis den står på i 8 timer eller i 24 timer:

70

Antall watt ðWÞ

8 h i døgnet

100

292

876

200

584

1 752

500

1460

4 380

1000

2920

8 760

2000

5840

17 520

50 30 10 Under 50 km/h

50 km/h Mellom 50 km/h Over og 60 km/h 60 km/h

Diagrammet viser resultatet fra en kveld med fartsmålinger, der fartsgrensen var 50 km=t. a

Omtrent hvor mange kjørte akkurat på fartsgrensen?

b

Omtrent hvor mange kjørte over fartsgrensen?

c

Omtrent hvor mange fikk målt farten sin den kvelden?

3.34 Sektordiagrammet viser inntektene i statsbudsjettet i 2018 utenom lånetransaksjoner. Totalt var inntektene 1253 milliarder kroner. F

a

Hvor mange kilowattimer per år bruker en 500 W varmeovn som står på i 8 timer av døgnet?

b

Vil en 500 W varmeovn som står på hele døgnet, bruke mer eller mindre energi enn en 2000 W varmeovn som står på i 8 timer av døgnet?

c

Hvor mye koster det per år å la en 1000 W varmeovn stå på gjennom hele døgnet, når strømprisen er 1,23 kr=kWh?

3.36

A

20

E

D

Årlig energiproduksjon (GWh)

16 12

B

8

C

A

Skatt på formue og inntekt

D

Renter og aksjeutbytte

B

Arbeidsgiveravgift og trygdeavgift

E

Petroleumsinntekter

F

Andre inntekter

C

24 h i døgnet

Merverdiavgift

Kilde: regjeringen.no

4 6,0

7,0 8,0 9,0 10,0 Gjennomsnittlig vindstyrke (m/s)

Diagrammet viser årlig energiproduksjon for en 3,45 MW vindturbin ved ulik gjennomsnittlig vindstyrke.

a

Hvilken inntektskilde var størst?

b

Om lag hvor mange kroner utgjorde inntektene av de to kategoriene «Arbeidsgiveravgift og trygdeavgift» og «Merverdiavgift» samlet?

a

Hvor mange gigawattimer (GWh) utgjør forventet energiproduksjon når den gjennomsnittlige vindstyrken er 8 m=s?

c

Hvor mange kroner utgjorde inntekten av «Skatt på formue og inntekt»?

b

Hva er gjennomsnittlig vindstyrke når den årlige energiproduksjonen er 14 GWh?


Oppgaver 139

3.37 Tabellen nedenfor gir et eksempel på hvordan vi kan holde oversikt over temperaturen i kjøle- og fryseskap på et bakeri. Temperaturregistrering Kjøl/frys

3.38 Tabellen viser klimagassutslipp (tonn CO2 -ekvivalenter) i Trøndelag i 2009, 2015 og 2017:

År: 2020 Bakeri

2009

2015

2017

Industri, olje og gass

495 724

785 672

773 691

Energiforsyning

151 780

78 222

119 398

Frekvens

hver leksjon

Oppvarming

110 896

57 405

50 138

Krav

0–4 C for kjøleskap, kaldere enn 18 C for fryseskap

Veitrafikk

618 155

591 434

497 967

Sjøfart

247 240

263 971

287 624

Oppbevaringstid

ett år

Luftfart

35 726

38 556

37 772

Annen mobil forbrenning

197 506

262 405

214 959

Jordbruk

711 029

734 308

742 254

Avfall og avløp

105 865

87 350

81 414

2 673 921

2 899 323

2 805 217

Dato

Kjøleskap

Fryseskap

Signatur

3.2.

3 C

19 C

4.2.

3,5 C

19,1 C

MIK

5.2.

3 C

18 C

WL

6.2.

6 C

17,9 C

KRI

7.2

2,5 C

20 C

SL

a

Hvilke utslippstyper har økt fra 2009 til 2017?

10.2.

5,4 C

19,8 C

WL

b

Hvilke utslippstyper har minket fra 2009 til 2017?

11.2.

4,4 C

18,8 C

KL

c

Hvilket av de tre årene hadde høyest totalutslipp?

12.2.

3,6 C

17,9 C

MIK

13.2.

4 C

18,2 C

KL

14.2.

3 C

18,9 C

SL

17.2.

5,1 C

19 C

KRI

18.2.

3,6 C

19,3 C

MIK

19.2. 20.2.

4,1 C

19 C

18 C

3,7 C

SL

Totalt

3.39 På slakteriet måles pH-verdien til kjøttet hver time etter at dyrene er avlivet. Tabellen viser pH-målingene som ble gjort under nedslakting av svin fra to ulike produsenter:

WL SL

Timer etter avliving

Produsent 1 (pH-verdi)

Produsent 2 (pH-verdi)

21.2.

3,8 C

17,9 C

WL

0

7,4

7,4

24.2.

4,1 C

18,2 C

KRI

1

7,1

6,8

25.2.

3,7 C

18,3 C

SL

2

6,8

6,2

26.2.

3,8 C

18,2 C

KRI

3

6,5

5,9

27.2.

4,1 C

18,5 C

WL

4

6,2

5,6

28.2.

4,0 C

19,1 C

MIK

5

5,9

5,5

6

5,6

5,4

7

5,5

5,3

a

Hva var temperaturen i kjøleskapet 14. februar?

b

Var det noe avvik i fryseskapet?

c

Hvem leste av temperaturen den dagen det var høyest temperatur i kjøleskapet?

a

Framstill dataene i et linjediagram.

b

Forklar med ord hva du ser på linjediagrammet.

Framstill dataene i tabellen på et egnet diagram.

c

Hva kan årsaken være til de ulike målingene?

d


140 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.40 Sykdom

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

campylobakteriose

2848

2681

3004

2933

3291

3386

2307

2342

3883

3669

4154

339

247

223

185

136

255

275

232

901

883

1042

31

22

21

30

21

29

18

19

17

24

27

1234

1366

1290

1372

1362

1118

928

866

992

962

1094

61

53

60

43

56

211

76

57

67

105

85

4513

4369

4598

4563

4866

4999

3604

3516

5860

5643

6402

E. coli-enteritt listeriose salmonellose yersiniose Totalt (Kilde: www.msis.no)

Tabellen viser antall sykdomstilfeller forårsaket av matforgiftning fra 2009 til 2019. a

Hvor mange fikk påvist salmonellose i 2016?

b

Hvilket år fikk flest mennesker påvist listeriose?

c

Lag et diagram som viser utviklingen av sykdomstilfeller i perioden 2009–2019. Skriv en kort kommentar til diagrammet ditt.

a

Om lag hvor mange menn var i alderen 15–19 år i 2019?

b

Om lag hvor mange kvinner var i alderen 40–44 år i 1986?

c

Sammenlikn utviklingen i aldersgruppa 10–14 år med utviklingen i aldersgruppa 45–49 år. Hva ser du?

3.2 Innhente og sortere data

3.41 Diagrammet viser aldersfordelingen i den norske befolkningen i 1986 og 2019:

3.42 Kristian jobber i en matbutikk og har hver dag telt hvor mange brød som ble kastet: 15 20 18 15 19 16 18 16 17 16 15 19 20 20 19 18 17 16 18 18 16 a

Hvor mange dager har han telt?

b

Lag en frekvenstabell for dataene.

3.43 Lag et regneark som genererer 100 tilfeldige tall mellom 1 og 4. Lag deretter en tabell som teller opp antall enere, toere, treere og firere. Aktuelle formler: =TILFELDIGMELLOM(lav;høy) og =ANTALL.HVIS(område;vilkår)

(Kilde: ssb.no)


Oppgaver 141

3.44 Mia har spurt de andre i klassen hvilken måned de er født, og har fått disse svarene: 2 3 2 5 7 6 1 9 2 12 5 3 2 2 9 12 a

Hvor mange elever er det i klassen?

b

Lag en frekvenstabell.

c

Hvor mange i klassen er født i perioden juli–desember?

d

Hvor mange i klassen er født i perioden januar–juni?

3.45 Thomas har skrevet ned hvor lang tid (hvor mange minutter) han bruker på å sykle til skolen, og har fått disse tidene: 27 29 26 30 27 31 29 28 28 31 29 28 29 32 31 28 27

3.47 Anita har satt opp en bevegelsessensor ved en viltovergang for å se hvor mange dyr som krysser veien i løpet av et døgn. Hver passering ble registrert med klokkeslett: 00.04.35

01.30.30

02.36.29

05.49.24

06.37.00

06.43.25

08.45.24

10.17.54

11.24.35

11.33.38

12.43.44

12.52.20

14.15.56

14.53.25

16.32.31

16.33.10

19.12.59

20.16.02

20.36.06

21.25:44

a

Hvor mange dyr passerte dette døgnet?

b

Lag en klassedelt frekvenstabell der du teller opp passeringene. Velg selv intervaller på klassene.

c

Når på døgnet passerte flest dyr?

3.48 Amund har en klokke som registrerer hvor mange timers søvn han får hver natt. Forrige måned fikk han disse målingene:

a

Hvor mange minutter brukte Thomas til skolen da han var raskest?

b

Hvor mange minutter er det lengste han har brukt?

6.50 5.53 8.04 7.34 7.29 6.58 8.15

c

Lag en frekvenstabell.

7.07 7.54 6.23 6.36 7.02 7.21 7.46

d

Lag en klassedelt frekvenstabell med intervallene ½26, 30i og ½30, 34i.

6.33 6.58 7.00 8.30 7.32 7.03 8.01 7.34 7.50 6.17 7.09 8.01 7.09 8.29 a

3.46 Christian jobber i en sportsbutikk og har notert antall kunder hver dag:

Tidsintervall ðhÞ

157 120 168 144 132 156 129 131 165 170

Hvor mange dager har han telt?

b

Hva er det laveste antall kunder på en dag?

c

Lag en klassedelt frekvenstabell med intervallene ½120, 140i, ½140, 160i, ½160, 180i og ½180, 200i.

Antall netter

½5,5, 6,0i

191 180 164 178 132 186 136 160 132 a

Lag en klassedelt frekvenstabell for å få oversikt over søvnrytmen til Amund de fire siste ukene. Ta utgangspunkt i denne tabellen:

½6,0, 6,5i ½6,5, 7,0i ½7,0, 7,5i ½7,5, 8,0i ½8,0, 8,5i

b

Hvor lenge pleier Amund å sove om natta?


142 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.3 Å lage en grafisk presentasjon

3.49 Tabellen viser alderssammensetningen i Delfinen svømmeklubb: Alder, år

Antall

½0, 7i

21

½7, 10i

24

½10, 15i

25

½15, 18i

27

½18, 30i

36

½30, 100i

70

3.51 Gå inn på ssb.no/navn og gjør et søk på navnet ditt. Framstill historikken til dette navnet på et passende diagram. Sammenlikn med de mest populære navnene året før på et annet diagram.

a

I hvilken aldersgruppe har svømmeklubben flest medlemmer?

b

Anslå gjennomsnittsalderen til medlemmene.

c

I hvilken aldersgruppe finner vi medianalderen til medlemmene?

3.52 Lindes Kafe har bestemt seg for å ha fokus på redusert matsvinn. Alt matavfall veies opp etter endt dag og blir summert i slutten av uka. Matavfallet blir veid opp i tre bolker. Her ser du resultatet etter åtte uker: Type matavfall

3.50 Bestefaren til Michelle følger ivrig med på været. Han har en regnmåler stående ute i hagen, og hver dag fører han inn antall millimeter nedbør på kalenderen sin. For oktober 2019 så kalenderen slik ut:

OKTOBER Søndag 29

6

a

0,5 10 2,6

Mandag 30

7

0,1 14 4,6 1

8

13

14

15

20

21

22

27

28

29

0,7 -

Uke 35

Uke 36

Uke 37

Uke 38

Uke 39

Uke 40

Uke 41

9 kg

9 kg

8 kg

7 kg

Produksjonssvinn fra kjøkkenet

12 kg 15 kg 13 kg 11 kg

Det som må kastes på slutten av dagen

6,2 kg 5,1 kg 4,5 kg 5,2 kg 6,1 kg 4,7 kg 4,5 kg 4,2 kg

Tallerkensvinn 18 kg 17 kg 19 kg 16 kg 15 kg 17 kg 14 kg 16 kg fra gjestene

2019

Tirsdag 1

Uke 34

Onsdag

2 3,1 24 -

Torsdag

1,1 15 13 0,2 -

Fredag 4

3 1,2 7,7 2,7

Lørdag 5

0,2 3,1 12 13

2

3

9

10

11

12

16

17

18

19

23

24

25

26

30

31

1

2

Sorter informasjonen på kalenderbladet i en oversiktlig klassedelt tabell. Bruk samme klassebredde i hver rad.

b

Lag en tilsvarende tabell for oktober 2019 der du bor. Gå inn på yr.no og let opp nedbørsstatistikk.

c

Sammenlikn tabellene og pek på likheter og forskjeller.

a

Hvor stort matsvinn har Lindes Kafe hatt i løpet av disse 8 ukene?

b

Hvor stor andel av det totale matsvinnet utgjør maten som kundene ikke spiser opp?

c

Fremstill dataene i tabellen i et linjediagram og i et søylediagram.

d

Hvilket av diagrammene synes du viser målingene best?

e

Hvilken del av svinnet har Lindes Kafe klart å redusere mest?

f

Hvor bør Lindes Kafe sette inn tiltak for å redusere matsvinnet?


Oppgaver 143

3.53 Tabellen viser andel dagligrøykere i Norge i alderen 16–74 år i prosent for begge kjønn: År

3.56 Tabellen viser folketallet i Norge i 1819, 1919 og 2019 gitt i millioner mennesker:

2008

2010

2012

2014

2016

2018

21

19

16

13

12

12

Prosent

1819

1919

2019

0,95

2,59

5,33

Kilde: ssb.no

Presenter tallene i et linjediagram.

3.54 Ahmed har spurt de andre på utdanningsprogrammet hvilken skostørrelse de har. Resultatene er vist i tabellen:

a

Presenter tallene i et linjediagram.

b

Presenter tallene i et søylediagram.

c

Bruk linjediagrammet til å anslå omtrent hvor mange mennesker som bodde i Norge i 1970.

Skostørrelse

Antall

38

9

39

7

40

9

41

11

Land

Millioner kroner

42

15

Kina

20 958

43

16

Polen

22 492

44

4

Danmark

46 205

45

3

USA

46 685

Belgia

52 149

Frankrike

65 707

Sverige

66 744

3.57 Tabellen viser Norges største handelspartnere for eksport av varer for 2018:

Presenter tallene i et søylediagram.

3.55 Tabellen viser avfall fra tjenesteytende næringer fordelt på materialtype i 2017: Avfallstype Papir

Prosent 16

Treavfall

7

Metall

5

Våtorganisk avfall

7

Farlig avfall

4

Gummi

3

Plast

2

Blandet avfall

46

Annet

9,5

(Kilde: ssb.no)

a

Presenter tallene i et søylediagram.

b

Presenter tallene i et sektordiagram.

Nederland

105 881

Tyskland

159 346

Storbritannia

215 856

(Kilde: ssb.no)

a

Hvilket land eksporterte Norge mest til i 2018?

b

Presenter tallene i søylediagram.

c

Presenter tallene i et sektordiagram.


144 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.58 Tabellen viser hvor mye svinn det ble i kjøkkenleksjonene etter at fire klasser ved en skole hadde laget fiskemiddag. Klasse

Svinn

1RMA

4,5 kg

1RMB

6,2 kg

1RMC

3,8 kg

1RMD

4,9 kg

a

Framstill resultatene i et egnet diagram.

b

Hvilken klasse hadde minst svinn?

c

Hvor stor forskjell var det i svinnet mellom klassen som hadde mest og klassen som hadde minst svinn?

3.59

a

Hvor mange dekar utgjorde arealet for korn og oljevekster i 2014?

b

Hvor mange dekar ble det samlede arealet av fulldyrket jord redusert fra 1989 til 2018?

c

Lag et søylediagram som viser antall tusen dekar for «Annen eng og beite» i årene 1989, 1999, 2014 og 2018.

d

Lag et linjediagram som viser utviklingen i arealet (i dekar) per innbygger fra 1989 til 2018.

3.4 Sentralmål og spredningsmål 3.60 Mikael spiller yatzy og fikk disse terningene på et kast: 5 6 3 3 2 Finn a

gjennomsnittsverdien

b

medianen

c

typetallet

d

variasjonsbredden

3.61 Silje jobber i en matbutikk og har hver dag telt hvor mange brød som ble kastet: Tabellen viser utviklingen i jordbruksareal i antall tusen dekar i perioden 1989 til 2018: 1989

1999

2014

2018

Korn og oljevekster

3530

3 346

2879

2825

Åker og hage

4403

3 996

3326

3270

Fulldyrket eng og beite

4443

4 876

4785

4791

Sum areal fulldyrket jord

8846

8 871

8111

8061

Annen eng og beite

1096

1 513

1757

1803

Jordbruksareal i drift totalt

9942

10 384

9868

9864

Areal i dekar per innbygger

2,35

2,34

1,93

1,86

Kilde: regjeringen.no

15 20 18 15 19 16 18 16 17 16 15 19 20 20 19 18 17 16 18 18 16 a

Hvor mange dager har hun telt?

b

Hva er gjennomsnittet?

c

Hva er typetallet?

d

Hva er variasjonsbredden?


Oppgaver 145

3.62 Thomas har skrevet ned hvor lang tid (hvor mange minutter) han bruker på å sykle til skolen, og har fått disse tidene: 27 29 26 30 27 31 29 28 28

3.65 En restaurant sliter med høyt sykefravær. Lederen har telt opp hvor mange dager hver ansatt har vært borte fra jobb på grunn av sykdom i løpet av en måned. Resultatet ser du i dette søylediagrammet.

31 29 28 29 32 31 28 27

9

a

Hva er gjennomsnittstiden?

8

b

Finn typetallet.

7

c

Hvor mange minutter utgjør variasjonsbredden?

Antall ansatte

6 5 4 3

3.63 Christian jobber i en sportsbutikk og har notert antall kunder hver dag:

2 1 0

157 120 168 144 132 156 129 131 165 170 191 180 164 178 132 186 136 160 132 a

Hvor mange kunder er det i gjennomsnitt per dag?

b

Hvor stor er variasjonsbredden?

3.64 Tabellen viser gjennomsnittlig kjørelengde (i kilometer) for personbiler i hele landet: 2007

2008

2009

2010

2011

2012

13 916

13 835

13 606

13257

12 985

12 969

2013

2014

2015

2016

2017

2018

12 670

12 411

12 347

12 204

12 148

12 140

1 2 3 Sykedager per måned

4

a

Hvor mange ansatte har restauranten?

b

Finn typetallet for antall dager en ansatt har vært sykt

c

Finn medianen.

d

Vurder om gjennomsnittet er høyere eller lavere enn medianen.

3.66 Søylediagrammet viser det årlige elektrisitetsforbruket i Norge og hvordan det varierer med de ulike månedene i året: Elforbruk gjennom året

(Kilde: ssb.no)

a

Hvilket år kjørte personbilene lengst?

b

Hva er gjennomsnittlig antall kilometer?

c

Hvor mange kilometer er variasjonsbredden?

Månedlig elforbruk (TWh) 16 14 12 10 8 6 4 2 Jan Feb Mar Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Des

(Kilde: nve.no)

a

Hva er det månedlige elforbruket i måneden med høyest forbruk?


146 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

b

Hva er det månedlige elforbruket i måneden med lavest forbruk?

3.69 Kristoffer kaster terninger, og du får vite følgende:

c

Hva blir årsforbruket hvis vi summerer forbruket i alle månedene?

Summen av terningkastene er 24.

Gjennomsnittsverdien er 4,8.

d

Hvor høyt er gjennomsnittsforbruket?

Medianen er 4.

e

Hvor stor er variasjonsbredden?

Typetallet er 4.

Variasjonsbredden er 2.

En av terningene viste 6.

a

Hvor mange terninger kastet Kristoffer?

b

Hva var den laveste verdien?

c

Hva viste de andre terningene?

3.67 Thomas har notert hvor lang tid han bruker på å sykle til eller fra jobb: Starttid

13.14

18.48

11.57

20.01

Sluttid

14.10

19.30

12.38

20.47

Starttid

8.05

16.13

7.30

17.02

Sluttid

8.48

17.01

8.16

17.48

a

Hvor mange minutter bruker han i gjennomsnitt på å sykle til eller fra jobb?

b

Hvor mange minutter er variasjonsbredden?

c

Hvor mange timer vil han bruke på sykkelen hvis han sykler til og fra jobb 150 dager i året?

3.70 Diagrammet viser effektkurven til en vindturbin på 3,0 MW: 100

Prosent av maksimal effekt

80 60 40 20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Vindstyrke (m/s)

Blandede oppgaver 3.68 Finn fram tabellen dere laget i «utforsk»-oppgaven fremst i delkapittel 3.4. Dere skal nå presentere funnene for de andre i klassen. Bruk det dere har lært om ulike sentralog spredningsmål. I tillegg skal dere lage oversiktlige diagrammer. Er det eleven som går, sykler, tar buss eller blir kjørt til skolen, som bruker kortest tid per kilometer?

a

Hvor mange prosent av maksimal effekt leverer vindturbinen når vindstyrken er 7 m=s?

b

Hvilken vindstyrke gir den høyeste energiproduksjonen?

c

Hvor stor effekt vil en 3 MW vindturbin produsere ved 9 m=s?


Oppgaver 147

3.72

3.71 1000 tonn avfall

Mill. kr.

1800

50 000 45 000 40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000

1600 1400 1200 1000 800 600 400 0

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

200

Kilde: norskindustri.no

Diagrammet viser total verdiskaping i prosessindustrien i Norge i millioner kroner (grønn) og total mengde avfall i tusen tonn (blå) for perioden 1996–2015. a

Hvilket år ble det produsert mest avfall?

b

Hvilket år var verdiskapingen høyest?

c

Hva sier diagrammet om utviklingen av verdiskaping fra prosessindustrien i perioden?

d

Hva sier diagrammet om avfallsproduksjonen i prosessindustrien i perioden?

Tabellen viser valgdeltakelsen i prosent ved stortingsvalgene i perioden 1989–2017: År

1989

1993

1997

2001

Prosent

83,2

75,8

78,3

75,5

År

2005

2009

2013

2017

Prosent

77,4

76,4

78,2

78,2

Kilde: ssb.no

a

Hvilket år var valgdeltakelsen høyest?

b

Presenter tallene i et søylediagram.

c

Hva er gjennomsnittsverdien?

d

Hvor stor er variasjonsbredden?

3.73 Lag et sektordiagram og et søylediagram som viser fordelingen av ungdom i videregående opplæring i Norge. Bruk tallene i tabellen fra Statistisk sentralbyrå (2018): Kvinner

Menn

Yrkesfag

43 780

74 580

Studiespesialiserende

69 556

55 839


148 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.74

Tabellen viser antall boliger i Norge (bebodde og ubebodde): Endring 2018

2019

I alt

2 547 732

Enebolig

2009–2019

2018–2019

2 581 155

280 416

33 423

1 271 158

1 276 690

65 259

5 532

Tomannsbolig

230 328

232 948

23 075

2 620

Rekkehus, kjedehus og andre småhus

302 720

307 910

43 606

5 190

Boligblokk

610 742

628 145

113 664

17 403

Bygning for bofellesskap

60 458

61 912

20 917

1 454

Andre bygningstyper

72 326

73 550

13 895

1 224

a

Hvilken boligtype var det flest av i 2019?

b

Hvilken boligtype har hatt størst økning i antall fra 2009 til 2019?

c

Presenter tallene for 2018 i et søylediagram.

d

Presenter tallene for 2019 i et sektordiagram.


Oppgaver 149

3.75 Tabellen viser størrelsen på vanlige porsjoner ved servering av ulike hovedretter. Ta kontakt med lokale leverandører og fyll ut kolonnene for råvarepriser: FISK – HOVEDRETT

À LA CARTE

PRIS

MENY

Lutefisk

800 g

600 g

Ørret, makrell, sild – hel

300 g

250 g

Laks/ørret i skiver

250 g

200 g

Fiskefilet til farse

120 g

100 g

OKSE – HOVEDRETT

À LA CARTE

PRIS

MENY

Oksesteik, beinfri

250 g

200 g

Roastbiff

200 g

180 g

Kjøttdeig til farse

130 g

110 g

KALV – HOVEDRETT

À LA CARTE

PRIS

MENY

Lår/bog med bein til steik

350 g

280 g

Kalvesteik, beinfri

250 g

200 g

PRIS

PRIS

PRIS

3.76 CO2-utslipp ved produksjon av 1 kg mat 0,4 0,4 0,5 1,2 1,3 2,1 2,6 3,5 3,5 3,7

Grønnsaker dyrket utendørs Frukt dyrket utendørs Korn og belgfrukter Nøtter Melk Frukt og grønnsaker dyrket i veksthus Ris Egg Fisk Kylling

5,8

Svin Lam Storfe

0

5

10 15 20 kg CO2-ekvivalenter

25,6 26,6 25 30

(Kilde: theconversation.com)

Tallene viser mengden drivhusgasser som slippes ut på verdensbasis gjennom produksjon av 1 kg mat, målt i CO2 -ekvivalenter. a

Hvor mange ganger mer drivhusgasser slippes ut ved produksjon av 1 kg storfekjøtt enn ved produksjon av 1 kg fisk?

b

Hvor mye CO2 sparer vi atmosfæren for per år hvis vi bytter ut et storfemåltid på 200 g i uka med 200 g fisk?


4

FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE


Håndballcup Det blir arrangert en stor håndballcup i området, og skolen skal brukes til overnatting. Dere får i oppdrag å organisere overnattingen, og å handle inn og sette sammen ulike matpakker til utøverne. Matpakkene skal være varierte og næringsrike, og ha nok energi til at utøverne har overskudd til lange dager i hallen. Matpakkene skal ha en bestemt fordeling av næringsstoffer tilpasset idrettsutøverne. For å kunne utføre oppdraget må dere blant annet kunne bruke formelen for beregning av energi i matvarer. I aktivitet 4.1 seinere i kapitlet får du prøve deg på dette oppdraget.

Kapitteloversikt I 4.1 Ulike uttrykksformer lærer du hvordan du kan uttrykke mønstre på ulike måter: med ord, tegninger, regnestykker og formler. I 4.2 Å forstå og lage formler lærer du hvordan du kan lage formler ut fra en gitt situasjon, og at formlene er en effektiv og presis uttrykksmåte. I 4.3 Å bruke formler lærer du å tolke, forstå og arbeide med ulike formler for å kunne løse praktiske problemer fra dagliglivet. I 4.4 Formler fra yrkeslivet lærer du å tolke og bruke formler til å løse spesifikke yrkesproblemer effektivt.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

tolke og bruke formler som gjelder dagligliv og yrkesliv


152 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

4.1 Ulike uttrykksformer I dette delkapitlet skal vi se etter mønstre i figurer. Vi skal uttrykke disse mønstrene med tegninger, ord, regnestykker og til slutt formler. En formel er en presis matematisk måte å beskrive et mønster på. Kjennskap til ulike uttrykksmåter hjelper oss til å forstå formlene i yrket bedre.

D U S K AL K U N N E

uttrykke mønstre på figurer på ulike måter: med tegninger, ord, regnestykker og matematiske formler

U T F O R S K SA M M E N Hvordan kan vi finne antall fargete småkvadrater i ramma uten å måtte telle en og en? 10

10

Figuren viser en ramme i et rutenett med 10 10 ruter. 1

Gå sammen i par og studer figuren. Tenk over hvordan dere kan finne antall blå ruter i ramma uten å måtte telle en og en rute.

2

Tenk så at ramma er i et rutenett med 5 5 ruter. Hvor mange blå ruter blir det nå? Prøv å forklare med ord eller tegning hvordan dere resonnerer. Skriv så opp regnestykket.

3

Gjør det samme med et rutenett på 8 8 ruter.

4

Del forklaringene fra det siste rutenettet med resten av klassen. Hvor mange ulike strategier har dere funnet?

5

Gå tilbake til parkameraten din. Velg ut strategien til en av de andre gruppene. Prøv å bruke den til å finne hvor mange ruter det er i ramma i et rutenett med 12 12 ruter. Skriv opp regnestykket.


Ulike uttrykksformer 153

Ulike måter å uttrykke mønstre på 10

En av flere måter å resonnere på er den Oda brukte. Oda pekte på den opprinnelige figuren og forklarte med ord, tegning og regnestykke: «Jeg vet at det er 10 på toppen og 10 i bunnen. På sidene er det 2 mindre, fordi jeg alt har telt toppen og bunnen. Dermed er det 8 på hver side. Jeg får 10 þ 10 þ 8 þ 8.»

8

8

I tillegg til figurer, ord og tall bruker vi formler for å uttrykke mønstre og sammenhenger som vi ser.

10

Ordet formel kommer fra latin og betyr «liten regel». En formel gir oss sammenhengen mellom to eller flere størrelser.

Oda skulle lage en formel som viste hvordan hun fant antall ruter i de ulike rammene. Først satte hun opp noen regnestykker for visse rammestørrelser. Til slutt tenkte hun seg en ramme i et rutenett med størrelsen n n, der n kan byttes ut med alle mulige positive hele tall: 10 10 ruter: antall ruter ¼ 10 þ 10 þ 8 þ 8 13 13 ruter: antall ruter ¼ 13 þ 13 þ 11 þ 11 20 20 ruter: antall ruter ¼ 20 þ 20 þ 18 þ 18 n n ruter:

antall ruter ¼ n þ n þ ðn 2Þ þ ðn 2Þ

Etterpå lot hun R representere antall ruter og fikk formelen R ¼ n þ n þ ðn 2Þ þ ðn 2Þ Formelen til Oda er et uttrykk for sammenhengen mellom størrelsen på rutenettet og antall ruter i ramma. Det er også en regel som gjør det mulig å regne ut antall ruter i ramma når vi kjenner størrelsen på rutenettet. n

I stedet for å lage regnestykker kan vi ta utgangspunkt direkte i tegningen for å lage en formel. Vi tar utgangspunkt i rutenettet som har størrelsen n n: Antall ruter R på figuren kan uttrykkes direkte som

n–2

n–2

R ¼ n þ n þ ðn 2Þ þ ðn 2Þ n

I formelen kan altså n være alle positive hele tall som er større enn 3 (hvis vi skal få en ramme med tomrom inni). Vil vi at størrelsen på ramma skal være 100 100, kan vi erstatte n med 100 for å finne antall ruter i ramma.


154 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Tenk gjennom! Prøv å lage en formel som viser strategien din fra «Utforsk sammen». Bruk tegningene dine, forklaringene eller regnestykkene som hjelp. Sammenlikn med Odas formel. Hva er likt, og hva er ulikt?

EK SEMPEL 1

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Figur 4

a

Hvordan ser den femte figuren ut? Tegn.

b

Hvordan ser figur 100 ut? Hvor mange ruter består den av? Forklar med ord og tegning.

c

Lag regnestykker som viser hvor mange ruter det er i figur 5, 6 og 7.

d

Hvor mange ruter er det i figur n? (Lag et regnestykke med n.)

Løsning: a

Figur 5

Vi ser at figur 2 har et kvadrat med 2 2 ruter og en ekstra rute på toppen. Figur 3 har et kvadrat med 3 3 ruter og en ekstra rute på toppen. Mønsteret fortsetter slik. Da må figur 5 ha et kvadrat med 5 5 ruter og en ekstra rute på toppen.


Ulike uttrykksformer 155

b

c

Hver figur består av et kvadrat med en ekstra rute på toppen. Kvadratet har like mange ruter på hver side som figurnummeret viser. Figur 100 består derfor av et kvadrat med 100 ruter på hver side og en rute på toppen. Til sammen blir det 100 100 ruter i det store kvadratet og en ekstra rute på toppen: 100 100 þ 1 ¼ 10 000 þ 1 ¼ 10 001

1

100

Antall ruter i figurene 5, 6 og 7 blir: Figur 5: 5 5 þ 1 Figur 6: 6 6 þ 1

100

Figur 7: 7 7 þ 1 d

Vi bruker figuren fra b og mønsteret i regnestykkene fra c til å lage et bokstavuttrykk for antall ruter i figur n: Figur n:

n n þ 1 ðeller n2 þ 1Þ

Figur n består av n n þ 1 ruter.

Oppgaver 4.1

4.2

Figur 1

a

Figur 2

Figur 3

Figur 4

Hvordan kan vi fortsette rekka? Tegn de tre neste figurene.

b

Hvor ser vi veksten fra en figur til den neste? Forklar med ord.

c

Hva vet du om figur 17? Hvordan ser den ut? Hvordan kan vi regne ut hvor mange ruter det er i den? (Det er flere måter å gjøre det på.)

d

En medelev tenker på et figurnummer. Forklar hvordan han/hun kan regne ut hvor mange ruter figuren har.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

a

Hvordan vokser mønsteret i figurrekka ovenfor?

b

Hvor mange småkvadrater er det i neste figur? Hvordan vet vi det? Tegn, forklar og lag regnestykke med tall.

c

Hva med figur 10? Hvor mange småkvadrater er det i den? Hvordan vet vi det?

d

En medelev tenker på et figurnummer. Forklar hvordan han/hun kan regne for å finne hvor mange ruter figuren har.

e

Lag en formel som viser antall ruter i figur n.

f

Vi har 600 småkvadrater. Kan du da lage en figur med samme form som de foran ved å bruke alle småkvadratene? Begrunn.


156 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

4.3 a Tegn en figurrekke som passer til formelen A ¼ 3 n. b

Hva er likt, og hva endrer seg på figurene som vokser?

c

Hva står A for, hva står 3 for, og hva står n for i figurrekka?

d

Kan du lage flere figurrekker (med andre former) som passer til formelen i a?

4.4

4.5

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Studer figurrekka ovenfor. Lag en formel som setter deg i stand til å regne ut antall ruter i en figur når du kjenner figurnummeret.

4.6

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Studer denne figurrekka. a

Tegn figurene 4 og 5.

b

Ser du et mønster i figurene? Hvordan ser figur 20 ut? Tegn og/eller forklar.

c

Lag regnestykker som viser hvor mange ruter det er i figurene 3, 4, 5 og 6.

d

Lag et regnestykke som viser hvor mange ruter det er i figur n.

L Æ R I N G S L O G G 4. 1 Beskriv kort ulike måter å uttrykke mønstre på. Hvorfor tror du vi bruker matematiske formler?

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Figur 4

Studer figurrekken ovenfor. Finn en formel for antall små terninger i figur n.


Å forstå og lage formler 157

4.2 Å forstå og lage formler Mange sammenhenger mellom to størrelser kan beskrives med en formel. For å forstå formler kan det være greit å lage noen selv. Hvilken formel ville du laget for å finne antall brødskiver en person spiser i løpet av et år, ut fra hvor mange brødskiver personen spiser hver dag? Hvilke bokstavsymboler ville du brukt i formelen?

D U S K AL K U N N E

lage en algebraisk formel ut fra en praktisk situasjon

tolke og forstå ulike formler

U T F O R S K SA M M E N For hver av de nevnte situasjonene skal du prøve å uttrykke sammenhengene ved hjelp av figurer, ord, tall og formler: 1

Antall epler i et visst antall pakker når det er seks epler i hver pakke

2

Høyden til en plante et visst antall dager etter at den er plantet i hagen. Planten er 5 cm høy når den plantes, og den vokser med 1,5 cm per dag

Ved innføring av bokstavsymboler i formelen må du huske å skrive ned hva de ulike bokstavene står for. Kontroller gjerne om sammenhengene med ord og symboler stemmer, ved å bruke sammenhengene på noen talleksempler.


158 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Å lage formler I forrige delkapittel uttrykte vi mønstre ved hjelp av ord, tegninger, regnestykker og formler. Nå skal vi fortsette å se etter mønstre, men vi gjør det på praktiske situasjoner. Thea selger roser. Hun selger rosene for 12 kr per stykk. I tillegg tar hun 15 kr for å beskjære rosene og binde dem pent opp i en bukett. Vi skal sette opp en formel som viser sammenhengen mellom prisen på en ferdig oppsatt bukett og antall roser i buketten. Kanskje ser du allerede et generelt mønster som kan bli en formel? I motsatt fall er det en god strategi å regne på noen talleksempler først. Legg deretter merke til hva som er likt, og hva som er ulikt i regnestykkene. Pris for 3 roser: 3 12 kr þ 15 kr ¼ 51 kr Pris for 5 roser: 5 12 kr þ 15 kr ¼ 75 kr Pris for 7 roser: 7 12 kr þ 15 kr ¼ 99 kr Pris for 9 roser: 9 12 kr þ 15 kr ¼ 123 kr Pris for 50 roser: 50 12 kr þ 15 kr ¼ 615 kr Merk I dette eksemplet er P og x variable størrelser. Det vil si at P og x kan ha ulike verdier, men de henger sammen. Legg merke til at hvis antall roser x øker, øker også prisen P. I formler har vi alltid to eller flere variable størrelser.

Vi ser et mønster i at det bare er antall roser som endrer seg i hvert regnestykke. Resten av regnestykkene er like. Mønsteret i regnestykkene for pris er antall roser 12 kr þ 15 kr Prisen varierer også, så vi trenger en variabel (et bokstavsymbol) både for antall roser og for prisen. Vi setter x ¼ antall roser P ¼ prisen i kroner Formelen for prisen P i kroner når det er x roser i buketten: P ¼ x 12 þ 15 Vi pleier også å sette tall foran bokstavsymboler i formler. Vi skriver derfor om til P ¼ 12 x þ 15


Å forstå og lage formler 159

EKSEMPEL 2 Elin skal handle kiwi. Kiwien koster 3 kr per stykk, og i tillegg må hun betale 2 kr for en handlepose. Sett opp en formel som viser sammenhengen mellom antall kiwier hun kjøper, og prisen hun må betale inkludert en pose.

Løsning: 2 kiwier 4 kiwier 6 kiwier 20 kiwier x kiwier

Pris: 3 kr 2 þ 2 kr ¼ 8 kr Pris: 3 kr 4 þ 2 kr ¼ 14 kr Pris: 3 kr 6 þ 2 kr ¼ 20 kr Pris: 3 kr 20 þ 2 kr ¼ 62 kr Pris: 3 kr x þ 2 kr

Vi innfører variablene: x ¼ antall kiwier P ¼ pris i kroner Formelen for prisen P i kroner for x antall kiwier blir P¼3 xþ2

Kanskje ser du mønsteret med en gang? Da kan du oversette direkte til formel, men husk alltid å definere variablene du innfører. Du må fortelle hva bokstavsymbolene dine betyr, og du må oppgi enheten.

EKSEMPEL 3 Å lage formler:

Frode har arvet bestefars samling av modellbiler. Nå vil han selge noen av dem på en lokal bruksmesse. Han regner med å få 200 kr per bil, men må betale 500 kr for å få lov til å ha en salgsbod på messa. Lag en formel som viser sammenhengen mellom antall biler han selger, og hvor mye han tjener (eller taper) hvis han får forventet pris.


160 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Løsning: Frode tjener 200 kr per bil, men må uansett betale 500 kr til messearrangøren. Vi innfører to variabler: x ¼ antall solgte biler F ¼ fortjeneste i kroner Formelen for fortjenesten F ved salg av x biler blir F ¼ 200x 500

Tenk gjennom! Hvor mye mange biler må Frode minst selge for å tjene penger? Hvordan resonnerte du for å finne ut det?

Tolkning av formler

Hvordan skal vi tolke formler? Hva står de ulike tallene og bokstavsymbolene for? Merk I formelen L ¼ 200x þ 1000 er 200x det samme som 200 x. I algebra mener vi multiplikasjon mellom tall og symbol, eller mellom to bokstavsymboler, når det ikke står noe tegn imellom.

Aram selger treningsabonnement på en stand. Han får vite at lønna hans regnes ut etter formelen L ¼ 200x þ 1000 der L er lønna i kroner, og x er antall abonnement han selger. Når vi bruker formler i praktiske situasjoner, følger det med en forklaring på hva bokstavene i formelen står for. I formelen over har vi opplyst at L står for lønn, og at x står for antall abonnement. Dersom disse opplysningene mangler, er det umulig å vite hva formelen skal brukes til, og hvilke tall som skal settes inn. Vi ser at formelen for Arams lønn inneholder bokstaver og tall. I matematikk bruker vi bokstavsymboler for størrelser som varierer i verdi. Vi kaller dem variabler.


Å forstå og lage formler 161

Variabler Formelen består av to bokstavsymboler eller variabler: L ¼ lønna i kroner x ¼ antall solgte treningsabonnement Antallet treningsabonnement x er her en uavhengig variabel. Vi kan sette inn hvilket tall vi vil for x, og få ulike regnestykker for lønna ved hjelp av formelen. Vi prøver å finne lønna for ulike antall solgte treningsabonnement: L ¼ 200 0 þ 1000 ¼ 1000 L ¼ 200 1 þ 1000 ¼ 1200 L ¼ 200 2 þ 1000 ¼ 1400 Av regnestykkene ser vi at lønna øker jo flere treningsabonnement Aram selger. Vi kaller derfor lønna L en avhengig variabel. Lønna L er avhengig av hvor mange abonnement x han selger.

Tenk gjennom! Hvor mye øker lønna når Aram selger et nytt treningsabonnement? Og enda et? Kan du bruke svarene til å finne en enkel måte å finne lønna på når han selger tre abonnement (uten å regne ut 200 3 þ 1000)?

Faste størrelser Tallene 200 og 1000 er faste tallstørrelser i formelen L ¼ 200x þ 1000. Tallet 1000 står alene i formelen. Som vi ser av regnestykkene foran, får Aram 1000 kr selv om han ikke selger noe abonnement. Det er et fast kronebeløp som han får uansett hvordan det går med salget. I første del av formelen står det 200x, altså et fast tall multiplisert med den uavhengige variabelen x. Denne delen av formelen viser at Aram får 200 kr multiplisert med hvor mange abonnement han selger, i tillegg til de 1000 kr han får uansett.


162 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Oppgaver 4.7 Ole har sommerjobb som jordbærplukker. Han får 3 kr per kurv han plukker. I tillegg får han 200 kr per dag for å transportere jordbæra som plukkes på gården, til salgsboden ved den lokale bensinstasjonen. a

Lag en tegning som illustrerer hvor mye han får i lønn etter en dags arbeid, avhengig av hvor mange jordbærkurver han plukker.

b

Lag en oversikt med regnestykker som viser hvor mye han får i lønn hvis han plukker 0, 10, 20, 30 eller 40 kurver. Ser du noe mønster i tallene? Hva er fast, og hva endrer seg i hvert regnestykke?

c

Lag en formel som viser hvor mye han får i lønn, L, etter en dags arbeid når han plukker x kurver jordbær.

4.8 Hiphopdanseren Nora blir bedt om å hjelpe en teatergruppe med et dansenummer til en forestilling. Hun får 2000 kr for å lage en koreografi til dansenummeret, og 200 kr for hver time hun underviser teatergruppa i koreografien hun lager. Det avtales at hun maksimalt skal bruke ti timer til undervisning. a

Hvor mye kan hun maksimalt få utbetalt?

b

Lag en formel som viser hvor mye hun får i lønn, L, for oppdraget når hun underviser i t timer.

4.9 Reidar har en stor låve. Han har bygd om en del av låven til oppbevaringsboder for utleie, i alt 24 boder. 14 av dem er på 4 m2 , og 10 av dem er på 6 m2 . Han tar 100 kr per måned for å leie ut en bod på 4 m2 og 130 kr for en bod på 6 m2 . a Hvor mye får han i leieinntekt per måned hvis han leier ut alle bodene? b Lag en formel som viser hvor mye han får i leieinntekt en måned når han leier ut x små og y store boder. (Vanskelig? Begynn gjerne med å tegne situasjonen og regne ut inntekten for utleie av et visst antall små og store boder.) 4.10 Elbilen BMW i3 (2019-modell) bruker 13,1–14,6 kWh per 100 km, alt etter kjørestil, veiforhold, utetemperatur osv. Vi går ut fra at ladingen skjer hjemme (ikke hurtiglading), og at strømprisen er 1,00 kr/kWh. a Sett opp en formel som viser sammenhengen mellom strømkostnad og kjørelengde i mil når vi antar lavt forbruksnivå. b Lag en mer realistisk formel som viser sammenhengen mellom strømforbruk og kjørelengde ved lave utetemperaturer, og ved kjøring på motorvei (høyt forbruksnivå). c Jørgen pendler til jobb og kjører 4 mil per dag, hovedsakelig på motorvei. Han vurderer å kjøpe BMW i3 og ønsker å få en oversikt over kostnadene. Bruk formelen i b til å anslå omtrent hvor stor strømkostnad pendlingen fører til i en vintermåned. Bruk Internett til å finne en realistisk strømpris.

L Æ R I N G S L O G G 4. 2 Hva er egentlig en formel? Prøv å forklare med egne ord. Tenk deg en situasjon fra din egen hverdag eller fra ditt framtidige yrke, der det er mulig å sette opp en sammenheng mellom to tallstørrelser. Uttrykk sammenhengen som en formel.


Å bruke formler 163

4.3 Å bruke formler Ofte kjenner vi formlene vi skal bruke. Da vi må kunne tolke og bruke dem. Alina får en «snap» fra ei tante i Amerika med teksten 91 F». Alinas mamma sier at omregningsformelen «It’s hot! er F ¼ C 1,8 þ 32. Hvordan kan Alina bruke formelen til å finne temperaturen i celsiusgrader? D U S K AL K U N N E

bruke en formel direkte ved å sette inn tall for å beregne en bestemt størrelse

sette inn kjente tallstørrelser og finne en ukjent størrelse ved å løse en likning

gjøre om formler

U T F O R S K SA M M E N Alina trenger formelen F ¼ C 1,8 þ 32, der F er temperaturen i fahrenheitgrader ( F), og C er temperaturen i celsiusgrader ( C), for å finne ut omtrent hvor mye 91 F er i celsiusgrader. a

Kan dere forklare sammenhengen mellom grader celsius og grader fahrenheit med ord? Hvor mye større er tallet for temperaturen i fahrenheitgrader enn for temperaturen i celsiusgrader?

b

Prøv å anslå omtrent hvor varmt det var hos Alinas tante. Velg selv framgangsmåte, men skriv ned en forklaring på hvordan dere tenkte.

Del det dere har funnet, med resten av klassen.

Å sette inn i formelen En formel er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. Vi innleder med å bruke formler direkte. Trines moped har en toppfart på 45 km=t. Hvor langt kan hun maksimalt kjøre på 30 min? Sammenhengen mellom strekning, fart og tid er s¼v t der s er strekningen i kilometer, t er tiden i timer (h), og v er farten i km=t.


164 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Merk Når vi bruker formler, må tallstørrelsene vi setter inn, ha enheter som passer til hverandre.

Farten til Trine er oppgitt i km=t, men tiden hun bruker, er oppgitt i minutter. Vi gjør om antall minutter til antall timer: 30 min ¼ 0,5 t Da har vi s ¼ v t ¼ 45 km=t 0,5 t ¼ 22,5 km Trine kan maksimalt kjøre 22,5 km i løpet av 30 minutter.

EK SEMPEL 4 Melissa har lest at jordas diameter ved ekvator er 12 756 km. Formelen for omkretsen av en sirkel er O ¼ d, der O står for omkrets og d for diameter. Nå lurer hun på hvor langt det er rundt jorda langs ekvator. Kan du hjelpe henne med utregningen?

Løsning: Omkretsen til jorda rundt ekvator er O ¼ d 3,14 12 756 km 40 054 km

Omgjøring av formler Det er ikke alltid vi kan bruke formelen direkte. Noen ganger må vi gjøre om formelen. V = 2,5 dl

h = ??

b

=

En prismeformet juicekartong skal designes. Juicekartongen skal romme 2,5 dl eller 250 cm3 . Grunnflaten i kartongen skal ha lengden l ¼ 6 cm og bredden b ¼ 4 cm. Hva må høyden h være for at juicekartongen skal få riktig volum?

4

cm

l=

m 6c

Merk Alle størrelser som settes inn, må ha enheter som svarer til hverandre. Vi velger å bruke lengde og bredde i centimeter. Da må volumet være i kubikkcentimeter (cm3 ).

Vi kan løse problemet på to ulike måter: Ved å sette inn tall og løse som likning: Vi setter først inn de kjente tallstørrelsene i formelen. Da har vi bare en ukjent h og kan bestemme h ved å løse likningen som står igjen: V ¼ l b h 250 ¼ 6 4 h

setter inn kjente tall

250 ¼ 24 h

regner sammen

250 24 h ¼ 24 24

deler på 24 på begge sider

10,4 ¼ h


Å bruke formler 165

Ved å gjøre om formelen før vi setter inn tall: Vi ønsker oss en formel som gir oss høyden av juiceboksen direkte, det vil si at vi må ha h alene på den ene siden i formelen. Vi omskriver formelen: V ¼ l b h V l b h ¼ l b l b

deler på l b for å få h alene

V ¼h l b Vi kan nå sette inn størrelsene vi kjenner, og regne ut høyden: V 250 cm3 250 cm3 ¼ 10,4 cm ¼ 24 cm2 l b 6 cm 4 cm Begge metodene gir samme svar. Høyden på juicekartongen må være 10,4 cm. h¼

Tenk gjennom! Hva er likt, og hva er ulikt i de to løsningsmetodene vi brukte?

EKSEMPEL 5

Edward skal ta førerkort og strever med å regne ut bremselengder. Han får vite at bremselengden er gitt ved formelen v2 s¼ 2 g der s ¼ bremselengden i meter v ¼ farten til bilen i m=s g ¼ 9,81 m=s2 (gravitasjonskonstanten) ¼ friksjonstall som er avhengig av dekk og føre Det er våt asfalt, og friksjonstallet ¼ 0,5. Hvor stor kan farten maksimalt være hvis bilen skal kunne stoppe på 15 m?

Omgjøring av formler:


166 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Ved å sette inn tall og løse som likning: s¼ 15 ¼

v2 2 g

v2 setter inn kjente tall 2 0,5 9,81

v2 15 ¼ 9,81 v2 9,81 15 9,81 ¼ 9,81

Ved å gjøre om formelen:

s 2 g ¼

ganger med 9,81 på begge sider

v2 ¼ 2 s g pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v¼ 2 s g pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v ¼ 2s g

v2 ¼ 147,15 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v¼ 147,15 12,1

v2 2 g 2 g

ganger med 2 g på begge sider

2 s g ¼ v2

147,15 ¼ v2

v2 2 g

vi må forkaste negativ løsning

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 2 15 0,5 9,81 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 147,15 ¼ 12,1

forkaster den negative løsningen

setter inn de oppgitte tallene

Den maksimale farten er 12 m=s.

Hvordan løse en likning med digitale hjelpemidler? Når vi bruker formler og ender opp med en likning som skal løses, kan vi bruke digitale verktøy til hjelp. For eksempel kan vi bruke CAS i GeoGebra. Stine kjøper en plantekasse som hun skal dyrke grønnsaker i. Kassa har lengden 120 cm, bredden 80 cm og høyden 19 cm. Stine har to 60 L-sekker med jord stående hjemme, men er usikker på om det er nok jord til kassa. Hvor høyt blir jordlaget dersom hun brer de to 60 L-sekkene utover? Jord som blir bredt jevnt ut i kassa, får en prismeform. Volumet av et prisme er V ¼l b h der l er lengden av grunnflaten, b er bredden av grunnflaten, og h er høyden av prismet. Før vi kan sette inn i formelen, må vi gjøre om tallstørrelsene slik at de får samme målenhet. Her velger vi desimeter, men du kan også velge en annen lengdeenhet.


Å bruke formler 167

Volum jord i én sekk målt i kubikkdesimeter: 1 L ¼ 1 dm3 , så 60 L ¼ 60 dm3 Stine har to sekker, så hun har 120 dm3 jord. Volum jord: V ¼ 120 dm3 . Lengden av plantekassa målt i desimeter: l ¼ 120 cm ¼ 12 dm Bredden av plantekassa målt i desimeter: b ¼ 80 cm ¼ 8 dm Vi kan nå sette inn de kjente tallstørrelsene og bestemme høyden på jordlaget, h, i desimeter: V ¼l b h 120 ¼ 12 8 h Vi har fått en likning med én ukjent, h, som er høyden jordlaget vil ha i plantekassa. Nå kan vi bruke CAS til å løse likningen og finne høyden på jordlaget. Vi skriver inn likningen i CAS og løser den ved å trykke på tasten «Løs»,

x= :

1

2

Siden løsningen blir en brøk, gjør vi om til desimaltall ved å trykke på tasten «Numerisk»,

.

Høyden på jordlaget blir 1,25 dm ¼ 12,5 cm. Plantekassa var 19 cm høy, så Stine kan vurdere å kjøpe en sekk jord til for å få et dypere jordlag. Vi ser at CAS er et effektivt verktøy til å løse likningen. Husk at når vi har løst likningen i CAS, må vi alltid tolke svaret og vurdere hvor rimelig det er.


168 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Oppgaver 4.11 Omregningen fra celsiusgrader C til fahrenheitgrader F er gitt ved formelen F ¼ C 1,8 þ 32. Hva er temperaturen i grader fahrenheit når temperaturen er a

23 C

b

15 C

c

–5 C

4.12 En mopedist holder jevn fart på 40 km=t. Sammenhengen mellom strekningen s i kilometer, farten v i kilometer per time og tiden t i timer er gitt ved s ¼ v t. Mopedisten legger ut på langtur. Hvor langt kommer mopedisten på a

1 time

b

90 minutter

4.13 Ohms lov sier at U ¼ R I, der U er spenningen målt i volt (V), R er motstanden målt i ohm (Ω), og I er strømmen målt i ampere (A). a

I en strømkrets er motstanden R ¼ 10 og strømmen I ¼ 7A. Hva er spenningen?

b

Gjør om formelen slik at du får en formel for motstanden R.

c

I en annen strømkrets er strømmen I ¼ 10 A og spenningen U ¼ 230 V. Hva er motstanden R? Løs problemet ved regning og med CAS.

4.14 Vi kan regne ut hvor lang tid det tar for en gjenstand å nå bakken i fritt fall, ved hjelp av formelen sffiffiffiffiffiffi 2h t¼ g der t er tiden i sekunder, h er høyden over bakken i meter, og g er tyngdeakselerasjonen (tilnærmet lik 9,81 m=s2 ). Vi ser bort fra luftmotstanden. a

En gjenstand blir kastet fra toppen av Eiffeltårnet (300 m). Hvor lang tid bruker gjenstanden på å nå bakken?

b

En mobiltelefon brukte nøyaktig tre sekunder på å falle fra stormasta på «Statsraad Lehmkuhl» og ned på dekk. Hvor høyt over dekket stod personen som mistet telefonen?

4.15 Hanne hjelper til med å rydde på oldemors loft og finner en gullfarget terning (kube). Kan den være av gull? Hanne googler og oppdager en måte å finne det ut på, nemlig ved hjelp av massetettheten. Hun finner at gull har massetettheten ¼ 19,3 g=cm3 , og at sammenhengen mellom masse ðmÞ, massetetthet ð Þ og volum ðVÞ, er gitt ved formelen ¼ m=V. Hanne måler terningen med et skyvelære, og den har sidelengder på 2,0 cm og dermed volumet 8,0 cm3 . Hva må massen til terningen være hvis den skal være av gull? Løs problemet ved regning og med CAS.

L Æ R I N G S L O G G 4. 3 Velg deg en formel, kanskje en du kjenner fra andre fag? Lag oppgaver knyttet til formelen som gjør at du kan sette direkte inn i formelen og finne løsningen, finne løsningen ved hjelp av en likning og finne løsningen ved å gjøre om formelen. Løs til slutt oppgavene selv.


Formler fra yrkeslivet 169

4.4 Formler fra yrkeslivet Lars Christian jobber som kjøttskjærer. For å regne ut timelønna bruker han formelen v T ¼ s t Kanskje ser formelen ukjent ut? En formel blir lettere å forstå når vi kjenner situasjonen den skal brukes i. Da vil symbolene og størrelsene gi mening for oss. Kjenner du til andre formler fra restaurant- og matfag? D U S K AL K U N N E

tolke og bruke ulike formler fra restaurant- og matfag

Energiformelen Du jobbet med energi i matvarer i kapittel 2 og husker kanskje at ulike næringsstoffer har ulik energitetthet. Energiinnholdet E i matvarer (i kJ) kan derfor regnes ut etter formelen E ¼ 17P þ 17K þ 37F Hvis du ønsker energiinnholdet E i kcal, kan du bruke formelen E ¼ 4P þ 4K þ 9F I begge formlene er P antall gram protein, K antall gram karbohydrat og F antall gram fett i matvaren.

EKSEMPEL 6 100 g brunost inneholder 11 g proteiner, 36 g karbohydrater og 26 g fett. 100 g hvitost gir 1458 kJ energi og inneholder 27 g fett og ingen karbohydrater. a

Hvor mye energi er det i 100 g brunost?

En skive brunost veier 8 g. b

Hvor mye energi er det i to skriver brunost?

c

Hvor mange gram proteiner er det i 100 g hvitost?

Løsning: a Vi setter inn i den første formelen og regner ut energiinnholdet i kilojoule. E ¼ 17P þ 17K þ 37F 17 11 kJ þ 17 36 kJ þ 37 26 kJ ¼ 187 kJ þ 612 kJ þ 962 kJ ¼ 1761 kJ eller vi kan sette inn i den andre formelen og regne ut energiinnholdet i kilokalorier. E ¼ 4P þ 4K þ 9F 4 11 kcal þ 4 36 kcal þ 9 26 kcal ¼ 44 kcal þ 144 kcal þ 234 kcal ¼ 422 kcal Energiinnholdet i 100 g brunost er 1761 kJ eller 422 kcal.


170 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

b

To skiver brunost veier 2 8 g ¼ 16 g Vi velger å regne i kJ. Energi i 16 g brunost: 1761 kJ 16 282 kJ 100

c

Vi setter opp energiformelen ðkJÞ som en likning og løser den med hensyn på P: 17P þ 17K þ 37F ¼ E 17P þ 17 0 þ 37 27 ¼ 1458 setter inn kjente tall 17P þ 999 ¼ 1458 999 999 17P ¼ 459 17P 459 ¼ deler på 17 på begge sider 17 17 P ¼ 27 Det er 27 g proteiner i 100 g hvitost.

Lakesalting Merk 1 L vann har en masse på 1 kg.

Saltlake er en blanding av salt og vann. Vi kan oppgi styrken på saltlake på flere måter. En vanlig skala er baumégrader ð BéÞ. For å regne ut hvor mange kilo salt du må tilsette vannet, kan du bruke formelen b v S¼ 100 b der S er antall kilogram salt du må tilsette, b er lakestyrken i Bé, og v er antall kilogram vann.

EK SEMPEL 7 Hvor mye salt må vi tilsette 60 liter vann for å få en lake med 25 Bé?

Løsning: 60 liter vann har en masse på 60 kg. Da blir v ¼ 60 og b ¼ 25. Mengden salt, S, i kilo skal beregnes. Vi setter inn i formelen: b v 25 60 ¼ ¼ 20 S¼ 100 b 100 25 For å få en lakestyrke på 25 Bé må vi tilsette 20 kg salt.

Tenk gjennom! Gjør om på formelen slik at du får en formel for b. Hva forteller verdien til variabelen b?


Formler fra yrkeslivet 171

Lønn som kjøttskjærer Som kjøttskjærer får du betalt etter hvor rask og nøyaktig du og arbeidskameratene dine er. Kjøttet blir sortert i ulike kategorier, der bein er i kategori 0, og indrefilet er i kategori 6. Antall kilo i hver kategori er med på å bestemme lønnspotten som skal fordeles på arbeidslaget. I tillegg blir vekta av kjøttet ganget med en snittvektfaktor, fordi det tar omtrent like lang tid å skjære ned et stort som et lite dyr. Et stort dyr gir dermed en lavere snittvektfaktor enn et lite dyr. Formelen for beregning av timelønna blir da v T ¼ s t der T er timelønna i kroner, v er verdien av den felles lønnspotten i kroner, t er antall medgåtte timer, og s er snittvektfaktoren.

EKSEMPEL 8

En dag ble det skåret 32 360 kg kjøtt ved en produksjonslinje på slakteriet. Etter å ha veid opp de ulike kategoriene, ble det fastsatt at kjøttets verdi gav 41 860 kr i den felles lønnspotten. Arbeidslaget brukte til sammen 167 timer på jobben. Gjennomsnittsvekta på dyra denne dagen gav en snittvektfaktor på 0,975. a

Hvor mye fikk hver av de ansatte i timelønn denne dagen?

b

Hvor mange timer måtte arbeidslaget ha brukt for å oppnå en timelønn på 250 kr per time?


172 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Løsning: a Vi setter inn i formelen: v 41 860 kr T ¼ s¼ 0,975 244,40 kr=t t 167 t Lønna til arbeiderne denne dagen ble 244,40 kr per time. b

Vi kan sette inn i formelen: v T ¼ s t 250 ¼ 250 t ¼

41 860 0,975 t 41 860 t 0,975 t

ganger med t på begge sider

250t ¼ 41 860 0,975 250t ¼ 40 813,50 250t 40 813,50 ¼ 250 250

deler på 250 på begge sider

h ¼ 163,254 Eller vi snur formelen slik at vi får t alene på en side: v T ¼ s t v T t ¼ s t ganger med t på begge sider t T t ¼ v s T t v s ¼ T T

deler på T på begge sider

v s 41 860 0,975 ¼ ¼ 163,254 setter inn tall og regner ut T 250 Arbeidslaget kunne ha brukt litt over 163 timer for å oppnå en lønn på 250 kr per time. t¼


Formler fra yrkeslivet 173

Reseptberegning I industrien bruker vi ofte begrepet resept for å beskrive mengdene brukt i matproduksjon. Til daglig bruker vi ordet oppskrift. I kokebøker står det hvor mange porsjoner oppskriften er ment for. Men hvordan går vi fram når vi skal lage mat til et annet antall enn det oppskriften er laget for? En framgangsmåte er å finne forholdet mellom hvor mange porsjoner vi ønsker å lage, og antall porsjoner oppskriften gir. Deretter ganger vi mengdene i oppskriften med dette forholdet. Det gir oss denne formelen: p m2 ¼ 2 m1 p1 der m1 er mengden i den originale oppskriften, m2 er mengden i oppskriften vi ønsker, p1 er antall porsjoner i den originale oppskriften, og p2 er antall porsjoner vi ønsker å lage.

EKSEMPEL 9 Nedenfor ser du ingrediensene til ti vaffelplater: Vaffelrøre 4 dl hvetemel 5 ss sukker 1 ts bakepulver 1 ts malt kardemomme 4 dl melk 3 egg 100 g smeltet smør a

Hvor mye hvetemel trenger du for å lage 30 vaffelplater?

b

Du har 2,5 liter melk. Hvor mange vaffelplater kan du lage?

Løsning: a Vi skal lage tre ganger så mange vafler som oppskriften gir oss. Kjapp hoderegning gir oss svaret: 4 dl 3 ¼ 12 dl Enkelte ganger ser vi svaret med en gang, men andre ganger kan det være greit å bruke en formel. Med formelregning får vi p m2 ¼ 2 m1 p1 30 ¼ 4 dl ¼ 3 4 dl ¼ 12 dl 10 Vi trenger 12 dl hvetemel for å lage 30 vaffelplater.


174 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

b

2,5 L = 25 dl Vi setter kjente tall inn i formelen: m2 ¼

p2 m1 p1

p2 4 10 p 25 10 ¼ 2 4 10 ganger med 10 på begge sider 10 25 ¼

250 ¼ 4 p2 250 4 p2 ¼ 4 4

deler på 4 på begge sider

62,5 ¼ p2 Vi kan lage 62 vaffelplater med 2,5 liter melk.


Formler fra yrkeslivet 175

Oppgaver 4.16 Antall kilo salt, S, som må tilsettes v liter vann for å få en lakestyrke på b baumégrader, kan regnes ut etter formelen

Energi

b v 100 b Hvor mye salt må vi tilsette 150 liter vann for å få en lakestyrke på 28 Bé?

Proteiner

4.17 Energiinnholdet E i mat er avhengig av hvor mange gram karbohydrater ðKÞ, proteiner ðPÞ og fett ðFÞ maten inneholder. 100 gram kokt basmatiris inneholder 526 kJ energi. Energien kommer fra 0,4 g fett og 26,9 g karbohydrater. Resten av energien stammer fra proteiner. Bruk formelen E ¼ 17K þ 17P þ 37F til å finne hvor mye proteiner det er i kokt basmatiris.

Per 100 g

Per bar på 23 g

Fett

17,8 g

4,1 g

Karbohydrater

59,5 g

13,7 g

6,6 g

1,5 g

En annen type energibar gir 2005 kJ energi, 65,5 g karbohydrater og 11,3 g proteiner per 100 g. b

Hvor mye fett er det i 100 g av denne typen?

c

Disse barene veier 32 g per stykk. Sett opp en oversikt næringsinnholdet per bar.

4.19 I denne oppgaven skal du bruke NTNUs metode for makspulsberegning: P ¼ 211 0,64 a a

Regn ut makspulsen til en person som er 47 år.

b

Du måler makspulsen til en person til 195 bpm. Regn ut alderen til vedkommende.

4.18 4.20 Torunn kjøpte 2 kg reker. Etter at rekene er skrelt, står hun igjen med 7 hg. Formelen for svinnprosent er m S ¼ 2 100 % m1 der S er svinnet i prosent, m2 er vekta av skallet, og m1 er vekta av rekene hun kjøpte.

Tabellen øverst i neste spalte viser energiinnholdet i en type energibar. a

Bruk energiformlene til å regne ut hvor mange kJ og kcal en bar på 23 g gir.

a

Hvor mye svinn ble det?

b

Hva var svinnprosenten for dette rekepartiet?


176 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

4.21 Denne oppskriften gir seks porsjoner lammegryte: 1,5 kg grytekjøtt av lam med bein 3 ss olje 1 ts svart pepper 1 ts spisskummenfrø

4.22 På et slakteri ble det en dag skåret kjøtt som gav en lønnspott v på 21 922 kr. Totalt brukte arbeidslaget 78 timer ðtÞ på jobben. Snittvektfaktoren s denne dagen var 0,95.

1 ts gurkemeie

Formelen for utregning av timelønna T på slakteriet er v T ¼ s t

1 ts malt kanel

a

Hvor høy timelønn kan arbeiderne forvente?

1 ts salt

b

Effektiv arbeidstid per arbeider denne dagen var 7 timer 48 minutter. Hvor mange ansatte bestod arbeidslaget av?

c

Hvor mye tjente hver arbeider denne dagen?

1 ts malt kardemomme

6 båter finhakket hvitløk 2 ss maisstivelse (maisenna) 1 ts sukker 5 dl yoghurt naturell 2 ts tomatpuré Formelen for reseptberegning finner du på side 173. a

Gjør om oppskriften slik at den gir 50 porsjoner. Bruk gjerne regneark.

b

Omar har 7,5 kg lammekjøtt på fryselageret. Hvor mange porsjoner kan han lage av dette?

4.23 I en pakke med 600 g kjøttdeig ðp1 Þ er det 5 g salt ðm1 Þ. På et slakteri skal de lage kjøttdeig av 500 kg kvernet kjøtt ðp2 Þ. p a Bruk formelen m2 ¼ 2 m1 for reseptberegning p1 til å finne hvor mye salt (m2 ) de må tilsette. Ved en feil ble kjøttet tilsatt 6 kg salt. b

Hvor mye mer kvernet kjøtt må nå tilsettes for at blandingsforholdet skal bli riktig?

L Æ R I N G S L O G G 4. 4 Hvorfor er det viktig å ha kunnskap om formelregning på restaurant- og matfag? Hvilke formler tror du at du kommer til å få bruk for i hverdagen og i ditt framtidige yrke?


Hva har jeg lært? 177

H V A HA R J E G LÆ R T ? Gå sammen i par og lag en liste eller et tankekart over de viktigste matematiske ideene og metodene dere har lært i kapitlet. Prøv også å få med stikkord om hva ideene og metodene kan brukes til – i dagliglivet eller i ditt framtidige yrke. Del ideene med resten av klassen.

Som hjelp til å komme i gang kan dere lese læringsloggene 4.1, 4.2, 4.3 og 4.4 og se over «regelboksene» i kapitlet.

Stemmer påstandene?

4

Carla skal til jobb 5 km unna. Med bil kan hun holde en gjennomsnittsfart på 50 km=t og bruke 6 min, men hun kan også sykle med farten 10 km=t og bruke 30 min.

5

Temperaturer kan oppgis i F eller C. Sammenhengen er gitt ved 9 F ¼ C þ 32 5 Denne formelen kan omformes til 5 C ¼ ðF þ 32Þ 9

Avgjør om påstandene nedenfor stemmer. Sørg for at du kan forklare hvorfor de stemmer eller ikke. 1

Sindre går med farten 6 km=t i 1,5 timer. Da har han gått 9 km.

2

En formel er en sammenheng mellom nøyaktig to størrelser.

3

Hvis arealet av en rektangelformet tomt er 800 m2 , må lengden av den ene siden være 40 m og den andre lengden 20 m.

Prosjekt matsvinn Dere har lært om energi som finnes i matvarene vi spiser. Det er også energi i matvarene vi kaster.

Del 1 Se på oversikten dere laget i «Prosjekt matsvinn» i kapittel 3. Mål opp 1 kg matavfall. Hvilke matvarer består avfallet av? Regn ut omtrent hvor mye energi det er i dette avfallet. Lag en formel for omtrent hvor mye energi et visst antall kilogram matavfall gir. Del 2 Undersøk hvilke muligheter som finnes for å utnytte energien i matvarer som ikke lenger kan spises. Du kan lese mer om biogass eller biogjødsel på avfallnorge.no og esval.no. Del 3 Lag en formel som regner ut hvor langt en buss kan kjøre på biogassen fra 1 kg matavfall. Hvor langt kan en buss kjøre på biogass laget av matavfallet fra et skoleår?


178 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Test deg selv 4.24

4.26 Bruk formelen F ¼ C 1,8 þ 32 til å gjøre om

a

Tegn de neste to figurene i rekka.

b

Beskriv med ord hvordan du går fram.

c

Hvor mange brikker trengs til å lage figurene 4, 5 og 6?

d

a

28 C til fahrenheitgrader

b

82 F til celsiusgrader

4.27 Bruk energiformelen ðkJÞ E ¼ 17P þ 17K þ 37F til å regne ut a

energiinnholdet i et glass sjokolademelk med 7,5 g protein, 21 g karbohydrat og 3,4 g fett

b

proteininnholdet i 100 g honning med energiinnhold på 1377 kJ, 0 g fett og 80 g karbohydrat

Hvor mange brikker trengs til å lage figur n?

4.25 I kafeen der Frida jobber, skal de sette sammen kvadratiske bord til et langbord. Frida lager en tabell: Antall bord

1

2

3

4

6

8

Tegning

4.28 Formelen for å regne ut lakestyrken er b v S¼ 100 b a Hvor mange kilo salt ðSÞ må vi tilsette 50 liter vann ðvÞ for å få en lake på 12 Bé ðbÞ? b

Antall plasser

a

Hvor mange mennesker får plass rundt et langbord satt sammen av fem småbord?

b

Hvor mange småbord trenger hun for å få plass til 18 mennesker?

c

Lag en formel som gir oss antall plasser, P, rundt n bord.

d

Lag en formel som gir oss antall bord, n, som trengs til P plasser.

Snu på formelen over, og lag en formel for lakestyrken b når man tilsetter s kg salt i v liter vann.

4.29 For å produsere 1 kg svinekjøtt trengs det 2,63 kg fôr. Fôrfaktoren er altså 2,63. a

Hvor mye fôr går med til å produsere 130 000 tonn svinekjøtt per år?

Gjennomsnittlig slaktevekt på svin er 83 kg. b

Om lag hvor mange griser blir slaktet per år?

c

Lag en formel for å beregne fôrmengden som brukes til å fø opp x slaktegriser.


Test deg selv 179

4.30

4.31

Til å produsere 1 kg kylling blir det i gjennomsnitt brukt 1,7 kWh. En kylling veier i gjennomsnitt 1,2 kg. a

Finn en sammenheng mellom brukt mengde energi og antall kyllinger. Skriv ned sammenhengen som en formel.

b

Bruk formelen og regn ut hvor mye energi som trengs for å produsere 15 000 kyllinger med gjennomsnittsvekt på 1,2 kg.

Ett års samlet energibruk i kyllingproduksjonen utgjør om lag 37,8 GWh. Det gir et samlet utslipp av CO2 på 8428 tonn. c

Lag en formel for sammenhengen mellom energibruk i GWh og utslipp av CO2 .

Lydfarten i luft er om lag 340 meter per sekund. Torill ser et lynnedslag og hører et tordenskrall fire sekunder etterpå. a

Hvor langt unna lynnedslaget står Torill?

b

Kan du lage en formel som gir avstanden s til lynnedslaget i kilometer, ut fra hvor mange sekunder t det går mellom lyn og torden?


180 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Aktiviteter Tilbake til start 4.1 Håndballcup

Del 1 Hvor mange overnattingsgjester har skolen din kapasitet til å ta imot?

Det blir arrangert en stor håndballcup i området, og skolen skal brukes til overnatting. Ifølge skolens retningslinjer skal hver overnattingsgjest ha 3 kvadratmeter til rådighet. Det kan ikke være mer enn 40 overnattingsgjester per tilgjengelig toalett og maks 20 gjester per rom.

Hvert lag har med seg to trenere og en ekstra voksenperson som skal overnatte.

Dere får i oppdrag å organisere overnattingen, og å lage fire ulike typer matpakker til utøverne. Matpakkene skal inneholde en viss mengde energi tilpasset idrettsutøverne.

der A er arealet i kvadratmeter, l er lengden av rommet i meter, og b er bredden av rommet i meter.

For å kunne utføre oppdraget må dere blant annet kunne bruke formelen for beregning av energi i matvarer.

Lag en formel som kan brukes til å regne ut hvor mange elever det kan bo på et klasserom. Formelen for arealet av et rom: A¼l b

Del 2 Lag en oversikt over fire ulike matpakker dere skal lage til utøverne. Hver matpakketype skal merkes med ingredienser, energiinnhold og energiprosent. Her kan energiformelen være til hjelp: Energiinnhold i kilojule ðkJÞ: E ¼ 17K þ 17P þ 37F der K er antall gram karbohydrater, P er antall gram proteiner, og F er antall gram fett.


Aktiviteter 181

4.2 Svinn ved filetering av fisk

4.5 Reseptberegning i Python

Svinnprosenten kan regnes ut etter formelen m S ¼ 2 100 % m1 der S er svinnet i prosent, m1 er massen av fisken før filetering, og m2 er massen av det som blir til overs (svinnet).

Lag et program i Python som bruker formelen for reseptberegning til å gi korrekte mengder for antall porsjoner brukeren ønsker.

4.6 Spagettimåler

Gjennomfør en konkurranse i klassen der dere ser hvem av dere som produserer minst svinn når dere fileterer fisk. Vei fisken før start, og vei svinnet (det som blir igjen) etter filetering. Husk å skrape av alt kjøtt fra beinet til slutt. Kjøttet kan brukes til farse, og bein kan brukes til kraft.

4.3 Svinnberegning på kjøkkenet Undersøk svinnprosenten ved ulike arbeidsoppgaver på kjøkkenet. Svinn (gram)

Arbeidsoppgave

Råvare (gram)

Svinnprosent

Rense reker

Når vi koker spagetti, har det lett for å bli en del til overs. Gjør undersøkelser slik at dere kan beregne riktig mengde spagetti. Til slutt kan dere lage en mal ved å klippe et hull i en papplate tilsvarende rett mengde. Hva må radien i dette hullet være? Klarer dere å lage en formel som gir oss radien til hullet ut fra antall porsjoner dere skal servere?

Filetere fisk Steike kjøttdeig Skrelle poteter

Hvis dere har tilgang til en 3D-skriver, kan dere lage en porsjonsmåler i plast for salg.

...

4.7 Programmering av formler 4.4 Pizzabaking Lag runde pizzaer på kjøkkenet og finn ut hvor mye diameteren til en pizza øker hvis du dobler deigmengden. Se om du finner en sammenheng, slik at du kan beregne deigmengden til en pizza med ulike diametrer. Pass på at du har samme tykkelse på pizzabunnen. Størrelse

Diameter

Areal

Deigmengde

Lag et program som bruker en valgfri formel du har arbeidet med i dette kapitlet. Ved hjelp av formelen skal programmet finne svaret når brukeren taster inn en verdi for en eller flere variable. Aktuelle formler: s¼v t D¼M S

Liten

E ¼ 17P þ 17K þ 37F

Medium

F ¼ 1,8C þ 32

Stor

Utvid programmet til å snu formelen hvis brukeren ønsker å regne ut en annen variabel.


182 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Oppgaver 4.34

4.1 Ulike uttrykksformer 4.32

Figur 1

a

Figur 2

Figur 3

Figur 4

Hvordan kan du fortsette figurrekka? Tegn de tre neste figurene.

a

Hvordan fortsetter figurrekka? Tegn de to neste figurene.

b

Hvordan ser du veksten fra en figur til den neste? Vis med tegning eller forklar.

c

Hvordan ser figur 100 ut, tror du? Forklar. Hvor mange brikker er det på figur 100? Vis hvordan du tenkte for å finne det ut.

b

Hvordan ser du veksten fra en figur til den neste? Fargelegg de brikkene som ble lagt til figur 4, på tegningen du gjorde av figur 5. Forklar med ord.

d

c

Hva vet du om figur 10? Hvordan ser den ut? Tegn eller forklar.

4.35

4.33

1

2

3

a

Hvordan fortsetter figurrekka? Tegn de tre neste figurene.

a

Ser du et mønster i hvordan figurrekka fortsetter? Forklar.

b

Hvordan ser du veksten fra en figur til den neste? Vis med tegning eller forklar.

b

Skriv opp regnestykker som viser hvor mange blå sirkler det er på figurene 1, 2 og 3.

c

Hvordan ser figur 12 ut? Tegn eller forklar.

c

Lag et regnestykke for hvor mange blå sirkler det er på figur 50. (Det er bare de ytre sirklene som er blå på alle figurene.)

d

Lag en formel som viser hvor mange blå sirkler S det er på figur n.


Oppgaver 183

4.36

4.39

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Thea er 6 år og har lagt perler slik rekka ovenfor viser. a

Thea har bare 30 røde perler igjen, men mange hvite. Har hun nok røde perler til å lage figur 4 i rekka? Begrunn svaret ditt.

b

Lag en formel som viser hvor mange røde perler R det vil være på figur n. Det historiske museet i Strasbourg har en pyramide av kanonkuler i utstillingen sin. Pyramiden er bygd av fem lag kanonkuler. Hvert lag er lagt som et kvadrat. I toppen er det 1 kule, i andre lag er det 4 kuler, i tredje lag er det 9 kuler. Tenk deg at du skal bygge pyramiden høyere slik at den består av seks lag kuler.

4.37

Figur 1

Figur 2

Figur 3

a

Hvor mange flere kanonkuler trenger du da?

a

Tegn neste figur i rekka.

b

Hvordan vokser figuren? Forklar med ord.

b

Ser du et mønster i hvordan figurene vokser? Forklar.

c

Hvor mange kanonkuler trenger du for å bygge en figur med 10 lag? Lag et regnestykke og regn ut.

c

Hvor mange brikker er det på figur 4 og på figur 5?

d

Hvor mange kanonkuler trenger du for å bygge en figur med 15 lag? Lag et regnestykke og regn ut.

d

Lag en formel som viser hvor mange brikker B det er på figur n.

e

En formel for å regne ut hvor mange kanonkuler K det er på en figur med n lag, er slik:

4.38 En formel for en figurtallrekke er slik: A ¼ 3n2 þ 2 Kan du tegne en figurtallrekke som passer til denne formelen? (Tips: Hvis det er vanskelig, prøver du først å la n ¼ 1, n ¼ 2 og n ¼ 3. Tegn så figurene 1, 2 og 3. Ta utgangspunkt i regnestykkene og prøv å lage figurene.)

2n3 þ 3n2 þ n 6 Bruk formelen til å finne antall kanonkuler som trengs for å lage en pyramide med 10 lag og 15 lag. Sammenlikn med svarene du fikk i c og d. K¼


184 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

4.2 Å forstå og lage formler 4.40 a En pakke egg inneholder tolv egg. Lag regnestykker som viser hvor mange egg du får hvis du handler én pakke, to pakker, tre pakker og fire pakker. b

Lag en formel som viser hvor mange egg E du får når du handler x pakker egg.

4.41 Sarah jobber i en godteributikk. De selger smågodt i løsvekt til 16,00 kr per hektogram. a

Sett opp regnestykker som viser hvor mye det koster å kjøpe 1 hg, 2 hg, 3 hg og 4 hg godteri.

b

Lag en formel som viser hvor mye det koster, K, å kjøpe x hg med godteri.

4.42 Øystein må enkelte dager ta drosje i arbeidet sitt. Taxiselskapet tar 91 kr i fastpris for forhåndsbestilling av drosje og 13,80 kr per kilometer. a

b

Hvor mye koster det å kjøre 5 km, 10 km og 15 km med disse takstene? Lag regnestykker som viser hva de ulike reiselengdene koster.

a

Gi en tolkning av formelen. Hva står de ulike tallene i formelen for? Hva er avhengig variabel, og hva er uavhengig variabel?

b

Ruben skal spise lunsj fem timer etter at kakaoen var ferdig. Hva er temperaturen i kakaoen da, ifølge formelen? Kan det stemme?

4.45 Christina jobber på en bensinstasjon i helgene. Hun får betalt 150 kr per time på lørdager og 30 kr ekstra per time på søndager. a

Sett opp en formel som viser hvor mye Christina får i lønn hvis hun en måned jobber x timer på lørdager og y timer på søndager.

b

Hva får Christina i lønn hvis hun en måned arbeider 14 timer på lørdager og 13 timer på søndager?

4.46 En formel som gir et omtrentlig mål for makspulsen til en person, er M ¼ 211 0,64a, der a er alderen i år. a

Hva er den høyeste makspulsen en person kan ha etter denne formelen? Hvor gammel er personen når han/hun har denne makspulsen?

b

Hvilken betydning har tallet –0,64 i formelen?

c

Hvilken variabel er avhengig, og hvilken er uavhengig? Hvorfor?

Sett opp en formel som viser hvor mye Øystein må betale for å kjøre x km.

4.43 Josef er maler. Han har tatt på seg et oppdrag og ønsker å få 300 kr per time for arbeidet. Han må også legge til 25 % mva. a

Lag regnestykker som viser hvor mye kunden må betale for en, to og tre timers arbeid.

b

Sett opp en formel som viser hvor mye kunden må betale for x timers arbeid.

c

4.44 Ruben arbeider ute og har hatt med seg en termos med kakao på jobb. Temperaturen i kakaoen i grader celsius ð CÞ er gitt ved T ¼ 5t þ 95, der t er antall timer etter at kakaoen var ferdig.

En kunde ønsker å få malt garasjen sin. Hvor mye må kunden betale for arbeidet hvis Josef totalt bruker tolv timer på oppdraget?

4.47 Etter en oversvømmelse skal Jørgen tappe vann ut av kjelleren sin. Kjelleren har en grunnflate på 70 m2 , og det står vann 30 cm opp på veggen. a

Hva er volumet av vann i kjelleren?

b

Jørgen har to vannpumper som hver pumper 1000 L per time. Han starter opp begge pumpene. Lag en formel som viser hvor mange tusen liter vann det er igjen i kjelleren etter x timer med tapping.


Oppgaver 185

4.3 Å bruke formler 4.48 En formel som gir et omtrentlig mål for makspulsen til en person, er M ¼ 211 0,64a, der a er alderen i år. a

Hva blir ifølge formelen makspulsen til en person på 16 år?

b

Hva blir din egen makspuls når du bruker formelen?

4.49 Siril og Stina er på treningstur på sykkel. De holder en jevn fart på 24 km=t. Sammenhengen mellom strekningen s (km), farten v (km=t) og tiden t (h) er gitt ved formelen s ¼ v t. a

Hvor langt sykler de på en time?

b

Hvor langt sykler de på 2,5 timer?

4.52 100 g peanøtter inneholder 2634 kJ energi, 52 g fett og 14 g karbohydrater. En pose peanøtter inneholder 330 g. a

Hvor mye proteiner er det i 100 g peanøtter?

b

Hvor mye energi er det i en pose peanøtter?

4.53 Energi kan måles i kilokalorier (kcal) eller kilojoule (kJ). 1 kcal er det samme som 4,184 kJ. a

Hvor mange kilojoule er 628 kcal?

b

Energibehovet til en stillesittende voksen mann er 8368 kJ. Hvor mange kilokalorier svarer det til?

c

Hvor mange kilokalorier er 1 kJ?

d

Lag en formel som regner om fra kJ til kcal.

4.50 En sjokoladeplate veier 200 g og er delt i flere biter. Hver bit veier 8,3 g. 100 g sjokolade inneholder 33 g fett, 55 g karbohydrater og 8,1 g proteiner.

4.54 Sammenhengen mellom temperaturenhetene fahrenheitgrader og celsiusgrader er gitt ved F ¼ C 1,8 þ 32, der F temperaturen i F, og C er temperaturen i C.

a

Hvor mange biter er sjokoladeplata delt inn i?

a

b

Bruk energiformelen og regn ut hvor mye energi 100 g sjokolade gir.

Hva er temperaturen i grader fahrenheit når det er 12 C ute?

b

Snu på formelen slik at du får en formel for å beregne celsiusgrader når temperaturen er gitt i fahrenheitgrader.

c

Bruk formelen til å bestemme temperaturen i grader celsius når den blir oppgitt til 28 F. Kontroller svaret ditt ved å sette inn i den opprinnelige formelen.

c

Hvor mange biter kan du spise for å få i deg 1000 kJ energi?

4.51 Carl og familien kjører til hytta. Avstanden hjemmefra er 175 km. En dag bruker de 2,5 timer på turen. Sammenhengen mellom strekningen s (km), farten v (km=t) og tiden t (h) er gitt ved formelen s ¼ v t. a

Finn gjennomsnittsfarten til Carl og familien på turen til hytta.

b

En dag med mer trafikk trenger de tre timer til hytta. Bruk CAS til å finne gjennomsnittsfarten denne dagen.

4.55 En sylinderformet beholder har radius r ¼ 28 cm og høyde h ¼ 86 cm. 200 liter vann skal fylles på tanken. Blir det plass i beholderen? Bruk at volumet av en sylinder er gitt ved V ¼ r2 h, er V er volumet, r er radien, og h er høyden.


186 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

4.56 Trine skal lage fire tårn med sjokoladepyramider, se figuren. Hun har 500 ml flytende sjokolade.

4.57 Filip og Jacob er på løpetur. De løper i et jevnt tempo på 3,5 min/km denne dagen. Hvor langt løper de på 1 time 45 minutter?

4.58 En bil kjører i 80 km=t når føreren oppdager en hindring i veien. Det er snøføre, og vi regner med et friksjonstall på 0,4. Vi antar at føreren har en reaksjonstid på 0,80 s. Bremselengden er gitt ved formelen v2 s¼ 2 g der s er bremselengden i meter, er friksjonstallet, og g er 9,81 m=s2 (gravitasjonskonstanten). a

Hvor mange små sjokoladepyramider må hun lage til de fire tårnene?

a

Hvor fort kjører bilen i meter per sekund (m=s)?

b

Hvor langt kjører bilen i løpet av reaksjonstiden?

b

Hva blir volumet av den flytende sjokoladen

c

Rekker bilen å stanse hvis hindringen er 75 m fra bilen når føreren oppdager den?

d

Bruk CAS til å finne den maksimale farten bilen kan ha dersom føreren skal klare å stanse før hindringen.

i kubikkcentimeter (cm3 )? c

Hva blir volumet av hver småpyramide hvis hun bruker all sjokoladen?

d

Trine vet at formelen for volumet av en pyramide Gh er V ¼ . Hun kaller lengdene i sideflaten for a. 3 I Trines formel er høyden på pyramiden alltid lik lengden av sideflaten.

4.59 Vi har fem kyllinger som hver veier 0,6 kg. 1 kg kylling holder til to personer.

a

a

a

Hva blir formelen for volumet av denne pyramiden uttrykt ved a? e

4.4 Formler fra yrkeslivet

Bruk CAS til å bestemme hvor stor høyden på pyramidene blir hvis hun bruker all sjokoladen.

a

Hvor mange kan vi invitere til middag?

b

Lag en formel som gir antall gjester G ut fra antall kyllinger k og kyllingens masse m i kilogram.


Oppgaver 187

4.60 Når du skal dele en rull gjærdeig i to, må du gjøre et kutt. a Hvor mange kutt må du gjøre for å dele en rull gjærdeig i tre like store deler? b Hvor mange kutt må du gjøre for å dele en rull gjærdeig i ti like store deler? c Lag en formel som gir antall kutt k du må gjøre for å dele en rull gjærdeig i d like store deler.

Arealet A av flaten som en rund pizza dekker, avhenger av radien r til pizzaen og kan regnes ut etter formelen A ¼ r2 .

4.61 En bakterie formerer seg ved deling. Ved optimale forhold kan en bakteriecelle dele seg i to like bakterieceller hvert 20. minutt. a

b

Hvor mye større flate dekker en stor pizza sammenliknet med en middels stor pizza? Gi svaret i kvadratcentimeter og i prosent.

c

Hva slags tanker har du om prissettingen på pizzaene? Grunngi svaret ditt.

4.63 Ett gram alkohol gir 27 kJ, og ett gram karbohydrater gir 17 kJ energi. a

Fullfør tabellen nedenfor. Du trenger ikke tegne bakterier lenger enn til 1 time og 20 minutter.

Tid i minutter

0

Tid i timer

0

20

40

60 80 100 120 140 160 180

1

2

3

Antall bakterier

En liter rødvin med 12 % alkohol inneholder 7 g karbohydrater. b

Tegning av antall bakterier

1

b

Hvor mange celler har en bakteriecelle delt seg i etter fem timer?

c

Lag en formel som viser hvor mange bakterieceller B en celle har delt seg i etter t timer.

d

Skriv formelen din inn i GeoGebra og se hvor lang tid det tar før en bakteriecelle har delt seg i én million celler.

4.62 I en meny ser du at en middels pizza med diameter 30 cm koster 180 kr. En stor pizza med diameter 40 cm koster 240 kr. a Hvor mye dyrere er den store pizzaen sammenliknet med en middels pizza? Gi svaret i kroner og i prosent.

Lag en formel som regner ut energiinnholdet i alkoholholdige drikkevarer. Bruk E (i kJ) for energi, A (i g) for alkohol og K (i g) for karbohydrater.

Hvor mye energi gir et glass med 1,4 dl rødvin?

4.64 En firkantet sjokoladepudding er 5 cm høy ðhÞ, 10 cm bred ðbÞ og 20 cm lang ðlÞ. Volumet V i liter kan regnes ut etter formelen l b h V¼ 1000 der l, b og h er gitt i centimeter. a

Hvor mange liter er denne sjokoladepuddingen på?

b

Gjør om formelen slik at den gir volumet V i desiliter.

Vi regner 1,2 dl sjokoladepudding per porsjon. c

Hvor lang bør sjokoladepuddingen være hvis det skal bli nok til 15 porsjoner? Høyden og bredden er uendret.

d

Lag en formel som gir antall porsjoner p ut fra lengden l på puddingen. Bruk samme høyde og bredde som ovenfor.


188 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

4.65 Formelen for utregning av lakestyrke er b v S¼ 100 b a b

kr 116,12

Hvor mange kilo salt ðSÞ må du blande i 40 liter vann ðvÞ for å få en styrke på 20 Bé? Du har blandet en mengde salt med 50 L vann og fått lakestyrken 23 Bé. Hvor mye vann må du tilsette for å redusere lakestyrken til 20 Bé?

4.66 I januar 2020 bestilte og betalte Mikael overnatting i Danmark for 2600 danske kroner ðDKKÞ. Kronekursen ðkursÞ var da 132. (Det vil si at 100 danske kroner kostet 132 norske kroner.) To dager før Mikael skulle dra, stengte Danmark grensene, og han avbestilte overnattingen. I mellomtiden hadde kronekursen endret seg drastisk og var nå oppe i 153. Når du kjenner kronekursen, kan du regne om fra danske til norske kroner ved å bruke formelen kurs NOK ¼ DKK 100 a Mikael fikk tilbake pengene for overnattingen. Hvor mye tjente han på kursendringen? b

4.68

Skriv om formelen slik at den gjør om fra norske kroner ðNOKÞ til danske kroner ðDKKÞ.

4.67

kr 45,30

kr 19,90

Tomater, Piccolo

Tomater i klase

Norge, 200 g

Norge, 500 g

De to tomattypene på bildet har ulik pris. De små piccolotomatene koster 45,30 kr for 200 g, mens de store tomatene i klase koster 19,90 kr for 500 g. a

Regn ut kiloprisen for piccolotomater og for tomater i klase.

b

Lag en formel som gir oss enhetsprisen p når vi kjenner totalprisen t og antall enheter, m.

FAVORITTER

Troika

kr 53,83

Nidar favoritter

Troika

Sjokolade, 300 g

Sjokolade, 105 g

I en butikkhylle ser du disse fristelsene. Posen til venstre koster 116,12 kr og inneholder 300 g sjokolade. Posen til høyre koster 53,83 kr og inneholder 105 g sjokolade. a

Hvilken pose ville du kjøpt for å få mest sjokolade for pengene? Begrunn svaret ditt.

På posen til venstre kan du lese at 100 g sjokolade inneholder 6,1 g proteiner ðPÞ, 54 g karbohydrater ðKÞ og 26 g fett ðFÞ. Du kan bruke energiformelen E ¼ 17P þ 17K þ 37F til å regne ut energiinnholdet ðEÞ i matvarer i kilojoule. b

Hvor mye betaler du per megajoule hvis du kjøper posen til venstre?

4.69 Du har en liten kjele med diameter d lik 14 cm og høyde h lik 6 cm. Husk at radien r i en sirkel er halvparten av diameteren. Volumet V av en sylinder finner vi med formelen V ¼ r2 h. a

Er denne kjelen stor nok til å romme en liter saus?

b

Lag en formel som gir volumet V i liter av en kjele med variablene d og h i centimeter.

c

Foreslå ulike høyder og diametrer på kjeler som rommer fem liter.


Oppgaver 189

4.70

Blandede oppgaver 4.71 (Eksamen 1PY våren 2013) Massetetthet er gitt ved formelen masse massetetthet ¼ volum Gull har massetettheten 19,32 g=cm3 . En gullbarre har volumet 500 cm3 . a

Hvor stor masse har gullbarren? Gi svaret i kilogram.

b

Gunnar finner en klump han mener er reint gull. Klumpen har volumet 0,3 dm3 og massen 5,0 kg. Kan klumpen være av reint gull?

I denne oppgaven kan du bruke formelen for reseptberegning: p m2 ¼ 2 m1 p1 der m1 er mengden i den originale oppskriften, m2 er mengden i oppskriften vi ønsker, p1 er antall porsjoner i den originale oppskriften, og p2 er antall porsjoner vi ønsker å lage.

a

Oppskrift på 16 lussekatter 200 g smør 5 dl melk 50 g gjær 250 mg safran eller 1 ts gurkemeie ca. 1 ts salt 2 dl sukker 2 egg 20 dl hvetemel Hvor mye smør trenger du når du skal bake 32 lussekatter?

b

Hvor mange egg trenger du når du skal bake 8 lussekatter?

c

Hvor mange lussekatter kan du bake med 5 liter mel?

d

Safran regnes som verdens dyreste krydder. Den koster 90 000 kr=kg. Hvor mye koster den safranen du trenger til å bake 50 lussekatter?

4.72 (Eksamen 1PY våren 2014) Sammenhengen mellom temperaturskalaene kelvin og celsius er gitt ved formelen K ¼ C þ 273, der K er temperaturen i kelvin, og C er temperaturen i celsiusgrader. a

En vinterdag er temperaturen –10 C. Hva blir temperaturen i kelvin?

b

På overflaten av sola er temperaturen 5778 K. Hva blir temperaturen i grader celsius?

4.73 (Eksamen 1P våren 2015) 1 En formel er gitt ved s ¼ v0 t þ a t2 . 2 a Finn s når v0 ¼ 0, t ¼ 8 og a ¼ 10. b

Finn a når v0 ¼ 20, t ¼ 4 og s ¼ 144.

4.74 (Eksamen 1P høsten 2013) Sammenhengen mellom maksimalpulsen M (antall slag/min) og alderen A (antall år) er gitt ved formelen M ¼ 211 0,64 A. a

Hva er maksimalpulsen til en person på 20 år ifølge formelen ovenfor?

b

Svein har en maksimalpuls på 179 slag/min. Hvor gammel er Svein ifølge formelen?


190 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

4.75 (1P Eksempeloppgave 2014) 5 Formelen C ¼ ðF 32Þ gir antall grader celsius ( C) 9 uttrykt ved grader fahrenheit ( F). a

En dag er det 86 F i New York. Hvor mange grader celsius svarer det til?

b

Lag en formel for F uttrykt ved C.

4.76 (Eksamen 1P våren 2012) En pose Maarud Proviant inneholder 150 g potetskiver. Energiinnholdet i potetskivene er gitt i kcal. Det er 150 kcal i 30 g potetskiver. a

Torbjørn spiser hele posen. Hvor mange kilokalorier (kcal) får han i seg?

b

Formelen E ¼ ðP þ KÞ 4 þ F 9 viser energiinnholdet E (kcal) i mat som inneholder P gram proteiner, K gram karbohydrater og F gram fett. Det er ca. 2 g proteiner og ca. 8 g fett i 30 g potetskiver. Bruk formelen til å finne omtrent hvor mange gram karbohydrater det er i 30 g potetskiver.

4.77 (Eksamen 1P høsten 2015) Formlene nedenfor kan brukes til å anslå hvor høyt et barn vil bli i voksen alder: Gutt:

ðfars høyde þ mors høydeÞ 0,5 þ 7 cm

Jente: ðfars høyde þ mors høydeÞ 0,5 7 cm Mors og fars høyde skal oppgis i centimeter. a

b

En familie består av mor, far og barna Ola og Kari. Mor er 160 cm høy, og far er 180 cm. Hvor høye vil Ola og Kari bli i voksen alder ifølge formlene ovenfor? En annen familie består av mor, far og sønnen Per, som nå er voksen. Far er 186 cm høy, og Per er 189 cm. Hvor høy er mor ifølge den første formelen?

4.78 (Eksamen 1P høsten 2015, utdrag) En formel for utregning av bremselengden er gitt ved v2 s¼ 19,6f der s er bremselengden (m), v er farten (m/s), og f er friksjonsfaktoren. På tørt sommerføre er friksjonsfaktoren f mellom 0,8 og 1,0. På glatt vinterføre kan f være nede i 0,2. a

Vis at en fart på 40 km=t svarer til en fart på ca. 11,1 m=s.

b

Bestem bremselengden på sommerføre med f ¼ 0,8 når farten er 40 km=t, og når farten er 80 km=t. Bestem bremselengden på vinterføre med f ¼ 0,2 når farten er 40 km=t, og når farten er 80 km=t.

c

Hvordan endrer bremselengdene i b seg når farten blir doblet?

d

Gjør beregninger og finn en regel for hvor fort du kan kjøre på glatt vinterføre med f ¼ 0,2, når bremselengden skal bli den samme som på sommerføre med f ¼ 0,8.

4.79 (Eksamen 1PY våren 2013) Totalpris i kroner 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 Antall kopper

Roger har kjøpt en kaffemaskin. Grafen ovenfor viser sammenhengen mellom antall kopper kaffe han lager, og totalprisen.


Oppgaver 191

a

Hva blir totalprisen når Roger lager 200 kopper kaffe?

b

Sammenhengen mellom totalprisen ðyÞ og antall kopper kaffe ðxÞ han lager, kan uttrykkes ved formelen y ¼ 1250 þ 5x. Hva blir prisen per kaffekopp, og hva betalte Roger for kaffemaskinen?

c

Roger lager to kopper kaffe hver dag i tre år. Hva blir totalprisen på disse tre årene?

4.80 (Eksamen 2P høsten 2014)

4.81 Tenk deg at det bryter ut en svært smittsom sykdom. Hver av de som blir syke, smitter tre nye personer i løpet av en uke. Sett opp et regneark som viser hvor mange som er smittet etter en uke, etter to uker osv. Hvor lang tid vil det ta før alle verdens innbyggere (7,7 milliarder mennesker) er smittet?

4.82

Thea lager figurer av små sjokolader. Figurene har hun kalt F2 , F3 og F4 . a

Hvor mange små sjokolader vil det være på figur F5 ?

Thea vil sette opp en modell som viser hvor mange småsjokolader hun trenger for å lage enda større figurer. Hun får en god idé og lager figur F4 på nytt:

En legende forteller at han som fant opp sjakkspillet, ville ha en belønning på ett riskorn for den første ruta på brettet, to riskorn for den neste ruta, fire riskorn for den tredje ruta osv., helt til den 64. ruta. Sett opp et regneark eller lag et program som regner ut følgende:

Hun regner nå ut at antall småsjokolader på figur F4 er 3 3 þ 3 4 þ 4 4 ¼ 37. b

Vis hvordan Thea kan bestemme antall småsjokolader på F3 og F5 ved å regne på samme måte.

c

Hvor mange små sjokolader trenger hun for å lage figur F10 ?

d

Sett opp en modell som Thea kan bruke til å bestemme antall småsjokolader på figur Fn , uttrykt ved n.

e

Hva er den største figuren, Fn , Thea kan lage dersom hun har 5000 småsjokolader?

a

Hvor mange riskorn ville det ligge på den 10. ruta?

b

Hvor mange riskorn ville det ligge på den 64. ruta?

c

Hvor mange riskorn ville det totalt ligge på hele sjakkbrettet?

d

Gjør nødvendige undersøkelser og finn ut hvor mange tonn disse riskornene ville veie.


5

PERSONLIG ØKONOMI


Kunsten å ha kontroll på økonomien Hva kan du gjøre for å bruke pengene dine på en best mulig måte? Ifølge inkassobyrået Intrum Justitia hadde norske ungdommer i alderen 18–26 år en forfalt inkassogjeld på over en milliard kroner i 2019. De viktigste årsakene var forbrukslån og nettkjøp som ikke betales. Hvordan kan du unngå å havne i «luksusfellen» i en tid da det er mange fristelser? Forhåpentligvis kan du lettere unngå å havne i økonomisk krise dersom du har bedre kunnskaper om privatøkonomi. I aktivitet 5.1 kan klassen arrangere en liten konferanse om økonomi og lage en veiledning som kan hjelpe både dere selv og andre til å ta gode økonomiske valg. I utforskingsoppgavene som dere møter flere steder i kapitlet, er det nyttig å ta notater som dere kan hente fram i arbeidet med aktivitet 5.1.

Kapitteloversikt I 5.1 Lønn og feriepenger lærer du om ulike typer lønn, hva feriepenger er, og hvordan de beregnes. I 5.2 Beregning av lønn og skatt lærer du å tolke lønnsslippen fra arbeidsgiveren, beregne skatt og regne ut hvor mye du skal ha utbetalt i lønn. I 5.3 Budsjett og regnskap lærer du hvordan du kan få kontroll over økonomien din, ved å skaffe deg oversikt over hvor store inntekter og utgifter du har. I 5.4 Sparing lærer du hva sparing er, og hvordan rentene beregnes. Hvor mye øker sparepengene dine i løpet av tiden du sparer? I 5.5 Lån lærer du om ulike typer lån og hvor mye det koster å nedbetale lån. I 5.6 Kredittlån lærer du hva kredittlån er, og om negative konsekvenser av å ta opp slike lån.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

vurdere valg knyttet til personlig økonomi og reflektere over konsekvenser av å ta opp lån og å bruke kredittkort


194 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

5.1 Lønn og feriepenger Når vi mottar lønn, kan vi kjøpe oss det vi trenger. Men hvordan vet vi om vi får utbetalt riktig beløp?

D U S K AL K U N N E

gjøre rede for de ulike formene for lønn

beregne overtidslønn

forklare hva feriepenger er, og hvordan de beregnes

U T F O R S K SA M M E N Diskuter hva en vanlig familie bruker mest penger på i løpet av en måned. Omtrent hvor mye må en husholdning ha i lønn for å dekke slike utgifter? Bruk gjerne SIFOs referansebudsjett i dette arbeidet. (Husk at ca. 30 % av lønna trekkes i skatt.) Skriv ned det dere kom fram til, det kan være nyttig å bruke i arbeidet med aktivitet .

Lønn I arbeidslivet finnes det ulike måter å gi lønn på, alt etter hva slags type arbeid som blir utført. Timelønn gir oss et fast beløp per time. Timelønn er vanlig når vi ikke har fast arbeid, men jobber når bedriften har behov for ekstra arbeidskraft. Overtidslønn får vi når vi jobber mer enn ordinær arbeidstid, for eksempel om kvelden eller i helgene. Ordinær arbeidstid må ikke overstige ni timer i løpet av et døgn og ikke mer enn 40 timer over en uke. Ved overtidsarbeid har arbeidstakeren vanligvis krav på et tillegg på minst 40 % av avtalt timelønn. Månedslønn vil si at vi er i fast arbeid og får en fast sum penger per måned. Prestasjonslønn avhenger av hvor mye vi presterer. Akkordlønn og provisjon er to ulike former for prestasjonslønn. Akkordlønn vil si at vi får en fast pris for å utføre en avtalt jobb. Jo raskere vi jobber, desto høyere blir timelønna. Provisjon er vanlig innenfor salgsbransjen. Jo mer vi selger, desto høyere blir lønna. Vanligvis får vi da en fast grunnlønn i tillegg til en viss prosent av det vi selger for.


Lønn og feriepenger 195

EKSEMPEL 1 Kaja vil bli blomsterdekoratør og jobber i blomsterbutikk noen timer hver uke. De første månedene får hun 115 kr timen på dagtid og et kronetillegg på 35 kr på kveldstid. a

Lønn:

Hvor mye skal hun ha i lønn dersom hun jobber 4 timer på dagtid og 3 timer på kveldstid i løpet av en uke?

Etter noen måneder i jobben øker Kajas lønn til 125 kr timen på dagtid og 40 % ekstra på kveldstid. En uke jobber Kaja 7 timer på dagtid og 4 timer på kveldstid. b

Hvor mye skal hun ha i lønn denne uka? A

B

B (vis formler)

1

a

2

Timelønn på dagtid

kr 115,00

115

3

Tillegg for kveldstid

kr 35,00

35

4

Antall timer på dagtid

4

4

5

Antall timer på kveldstid

3

3

7

Timelønn på kveldstid

kr 150,00

=B2+B3

8

Lønn på dagtid ð115 kr 4)

kr 460,00

=B2*B4

9

Lønn på kveldstid ð150 kr 3)

kr 450,00

=B7*B5

Sum lønn denne uka

kr 910,00

=B8+B9

6

10 11 12

b

13

Timelønn på dagtid

kr 125,00

125

14

Tillegg for kveldstid

40 %

0,4

15

Antall timer på dagtid

7

7

16

Antall timer på kveldstid

4

4

18

Timelønn på kveldstid ð125 kr 1,40)

kr 175,00

=B13*(1+B14)

19

Lønn på dagtid ð125 kr 7)

kr 875,00

=B15*B13

20

Lønn på kveldstid ð175 kr 4)

kr 700,00

=B16*B18

21

Sum lønn denne uka

kr 1575,00

=B19+B20

17

Løsning: a Timelønna på kveldstid finner vi ved å legge 35 kr til timelønna på 115 kr. Kaja skal ha 910 kr i lønn denne uka. b

Lønna på kveldstid finner vi ved å gange timelønna med 1,4, som er vekstfaktoren til en økning på 40 %. Timelønna på kveldstid blir 175 kr. Kaja skal ha 1575 kr i lønn denne uka.


196 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

EK SEMPEL 2 Som bilselger får Pål en fast bruttolønn på 35 000 kr per måned pluss provisjon på 1 % av bilsalget. En måned selger han biler for 4 150 000 kr. Hva blir bruttolønna hans denne måneden?

Løsning: 1 % av bilsalget utgjør 41 500 kr i provisjon: 4 150 000 kr 0,01 ¼ 41 500 kr I tillegg kommer den faste lønna: 41 500 kr þ 35 000 kr ¼ 76 500 kr Pål får 76 500 kr i bruttolønn denne måneden.

Tenk gjennom! Hva måtte Pål ganget salgssummen for bilsalget med dersom provisjonen var 1,6 %?

Feriepenger Alle arbeidstakere har rett på ferie. Feriepengeordningen sikrer at vi også får utbetalt lønn i de ukene vi har ferie. Feriepengene beregnes som en fast prosent av inntekten vi hadde forrige år. Egentlig skulle feriepengene blitt utbetalt i de periodene vi faktisk tar ferie, men vanligvis utbetaler arbeidsgiveren alle feriepenger i juni – i stedet for lønn. Resten av året får vi vanlig månedslønn. Feriepengeutbetalingen er høyere enn vanlig månedslønn fordi det bare trekkes skatt de månedene vi har vanlig lønn. Som oftest får vi ikke feriepenger den første sommeren vi er i jobb. I midlertidige jobber blir feriepengene gjerne utbetalt som en del av lønna. Hvis du slutter i en jobb, utbetales ofte feriepengene sammen med den siste lønningen.


Lønn og feriepenger 197

Feriepengegrunnlaget ¼ lønn i fjor feriepengene vi fikk i fjor Feriepenger ¼ feriepengegrunnlaget feriepengeprosent

Hvor mange ukers ferie du har i løpet av et år, avhenger av hvilken avtale du har med arbeidsgiveren. Arbeidstakere over 60 år har rett på en ekstra ferieuke. Antall ferieuker Alder Feriepengeprosent

4

5

5

6

under 60 år

under 60 år

over 60 år

over 60 år

10,2 %

12,0 %

12,5 %

14,3 %

Det er vanligvis oppført nederst på lønnsslippen hvor stort feriepengegrunnlaget er.

EKSEMPEL 3 Gina jobber på et sykehjem. Hun er 27 år og har rett på fem ukers ferie. I fjor tjente hun 347 411 kr uten feriepenger. I år vil Gina få 352 980 kr i lønn uten feriepenger. a

Hvor mye skal Gina ha i feriepenger i år?

b

Hvor mye skal Gina ha i feriepenger neste år?

Løsning: a Siden Gina har rett på fem ukers ferie, blir feriepengeprosenten 12,0 %: 347 411 kr 0,12 ¼ 41 689 kr Gina skal ha 41 689 kr i feriepenger i år. b

Siden feriepengene ikke skal regnes med i feriepengegrunnlaget, blir feriepengegrunnlaget for neste år 352 980 kr: 352 980 kr 0,12 ¼ 42 357,60 kr Gina skal ha 42 358 kr i feriepenger neste år.

Tenk gjennom! Hva skulle vi ganget feriepengegrunnlaget med hvis Gina hadde hatt 10,2 % i feriepenger?


198 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

Oppgaver 5.1 Eli vil bli frisør og jobber hver torsdag ettermiddag i en frisørsalong. Hun jobber fra kl. 16 til kl. 19 og får 130 kr per time på hverdager.

5.3 Randi får 10 600 kr for å anlegge en plen på 600 m2 . Jobber hun raskt, klarer hun en plen på fem dager. a

Hvor mye tjener Randi per dag?

a

b

Hvor mye tjener hun per time dersom hun jobber 7,5 timer per dag?

Hvor mye tjener Eli hver torsdag?

To lørdager i måneden jobber Eli 5 timer på lørdag. Da får hun 20 % mer i timelønn enn på hverdager. b

Hvor mye tjener Eli på å jobbe disse to lørdagene?

5.2 Pål brukte sommerferien til å jobbe i butikk. Han jobbet hver dag unntatt søndag fra kl. 10 til kl. 17, og timelønna var 130 kr. En lørdag jobbet han i tillegg fra kl. 17 til kl. 22, og da fikk han 40 kr ekstra per time. a

Hvor mye fikk Pål i timelønn etter kl. 17?

b

Hvor mange prosent mer fikk Pål i timelønn etter kl. 17?

c

Hvor mye tjente Pål denne uka?

5.4 Emin jobber som selger hos Anleggsmaskin AS. Grunnlønna hans er 320 000 kr per år. I tillegg får han 1 % av prisen på hver anleggsmaskin han selger. En anleggsmaskin koster i gjennomsnitt 934 000 kr. a

Hvor mye vil Emin tjene dersom han selger 37 anleggsmaskiner i løpet av et år?

b

Hvor mange anleggsmaskiner må Emin selge for å tjene 534 820 kr?

5.5 Eli tjente 24 340 kr i fjor. Siden hun ikke jobbet året før, fikk hun ikke feriepenger. Eli har rett på 10,2 % i feriepenger. a

Hvor mye skal Eli ha i feriepenger i år?

b

I år har hun tjent 25 310 kr. Hvor mye får hun utbetalt i år når du tar med feriepengene?

L Æ R I N G S L O G G 5. 1 Hva slags type lønn er vanlig i ulike typer arbeid? Lag et eksempel som viser hvordan feriepenger blir beregnet.


Beregning av lønn og skatt 199

5.2 Beregning av lønn og skatt På lønnsslippen finnes det en del tall og beregninger som det er nødvendig å forstå. Alle som har inntekt over et bestemt minstebeløp, må betale skatt. Tjener du mer enn minstebeløpet, må du betale skatt på hele inntekten din. Tjener du under minstebeløpet, får du frikort og slipper å betale skatt. Hvor mye kan du tjene uten å betale skatt? D U S K AL K U N N E

tolke en lønnsslipp

kontrollere om du har fått utbetalt korrekt lønn

bruke regneark til å beregne hvor mye skatt som skal trekkes av lønna di

U T F O R S K SA M M E N Gå gjennom lønnsslippen til Jan Johansen på neste side. Forklar begrepene fast månedslønn og overtid. Hva er forskjellen på bruttolønn og nettolønn? Lag gjerne en skriftlig oppsummering i fellesskap.

Lønnsslipp Arbeidsgiveren skal gi deg en lønnsslipp som beskriver lønn, skattetrekk og eventuelt andre fradrag. Det gir deg mulighet til å kontrollere om du har fått utbetalt korrekt lønn. Vanlig arbeidstid er 7,5 timer per dag og 37,5 timer per uke. 100 % stilling er vanligvis ca. 230 dager i løpet av et år når vi tar fem ukers ferie. Det blir ca. 1700 timer per år. I en del yrker kan vanlig arbeidstid avvike fra dette. I eksempel 1 så vi bare på hvor mye lønn vi skal ha, bruttolønn. Men før vi får pengene utbetalt, altså nettolønn, blir det trukket skatt, innskudd til pensjon og eventuelt andre fradrag, for eksempel medlemskontingent til en fagforening. Pensjon er penger vi skal leve av når vi blir pensjonister. Pengene vi får i pensjon, er spart opp gjennom årene vi var i jobb. Arbeidsgiveren trekker en viss prosent av lønna vår til pensjonssparing, vanligvis 2 %. Øverst på neste side viser vi hvordan en lønnsslipp kan se ut. Her ser du hvordan lønna blir beregnet.


200 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

Arbeidsgiver: ___________

Kommune: ___________

Arbeidstaker: Jan Johansen Jans veg 27 7798 Jansmo

Periode: oktober Bankkontonr.: xxxx xx xxxxx Stillingsprosent: 100 Beregningsgrunnlag

Fast månedslønn oktober Overtid 50 %

37 375 kr 4,5 timer

Timelønn 230 kr

Brutto utbetaling

Merk Selvstendig næringsdrivende må selv finne ut hvor mye de og eventuelle ansatte skal ha i lønn. Det vurderes ut fra bedriftens lønnsomhet og behovet for kapital.

1 553 kr 38 928 kr

Pensjonstrekk

2%

37 375 kr

748 kr

Tabelltrekk fast lønn

Tabell 7100

36 627 kr

10 656 kr

Skatt overtid

36 %

1 553 kr

559 kr

Netto utbetalt

26 965 kr

Lønnsslippen viser at Jan har tabelltrekk på fast lønn. Før skatten beregnes, er pensjonsinnbetalingen trukket fra, slik at trekkgrunnlaget blir 36 627 kr: 37 375 kr 748 kr ¼ 36 627 kr Videre blir det trukket 36 % skatt av overtidslønna. Når overtidslønna er lagt til, og pensjonstrekket og skatten trukket fra, får Jan Johansen utbetalt 26 965 kr.

Skatt

Merk Du finner mer om skatt på spleiselaget.no og skatteetaten.no.

Hvor mye vi betaler i skatt, avhenger blant annet av hvor mye vi tjener, og om vi har gjeld eller formue. Lønna som utbetales etter at skatt og eventuelt andre fradrag er trukket fra, kalles nettolønn. Det er to ulike måter å trekke skatt på, tabelltrekk og prosenttrekk.

Tabelltrekk Brutto månedslønn 35 900 36 000 40 400 40 500 40 600 40 700 40 800 40 900

kr kr kr kr kr kr kr kr

Skatt 10 378 10 417 12 164 12 204 12 244 12 284 12 323 12 363

kr kr kr kr kr kr kr kr

Tabelltrekk vil si at det trekkes mer skatt jo mer vi tjener. Tabelltrekk er vanlig når vi har fast lønn i et fast arbeidsforhold. Skatteetaten har utarbeidet ulike tabeller som kan brukes til å beregne skatten ut fra brutto månedslønn og aktuelle fradrag. Tabellen i margen gir et lite utdrag av tabell 7100. Før du bruker tabellen, må du runde av trekkgrunnlaget ned til nærmeste hundre kroner. Tabellen viser at hvis trekkgrunnlaget er 40 670 kr, skal det trekkes 12 244 kr i skatt: 40 670 kr 12 244 kr ¼ 28 426 kr Nettolønn utbetalt etter skatt blir da 28 426 kr.


Beregning av lønn og skatt 201

EKSEMPEL 4 Martine har fast jobb som kranfører. Månedslønna hennes er 41 240 kr, og det trekkes 2 % i pensjonsinnskudd. Hun trekkes skatt etter tabell 7100. Hvor mye får Martine utbetalt?

Løsning: A 1

B

B (vis formler)

Lønnsberegning

2 3

Inndata

4

Fast månedslønn

kr 41 240,00

41 240

5

Pensjonstrekk 2 %

2%

0,02

6 7

Utregning

8

Fast månedslønn

kr 41 240,00

=B4

9

Pensjonstrekk

kr 824,80

=B4*B5

10

Trekkgrunnlag fast månedslønn

kr 40 415,20

=B8-B9

11

Tabelltrekk fast månedslønn

kr 12 164,00

12

Utbetalt lønn

kr 28 251,20

=B10-B11

Martine får utbetalt 28 251,20 kr. Det er arbeidsgiveren som trekker skatt av lønna vår på oppdrag av skatteetaten. Martine kan sjekke skattetrekket ved å gå inn på tabelltrekk hos skatteetaten.no, velge riktig tabell og legge inn månedslønna. Bruker hun tabell 7100, vil hun se at det skal trekkes 12 164 kr i skatt.

Tenk gjennom! Hvor mange prosent utgjør skatten i eksempel 4?

Prosenttrekk Prosenttrekk vil si at det trekkes en fast prosent av lønna di. Det er en vanlig trekkmåte når du har timelønn, og ved overtidsbetaling. Har du mer enn en arbeidsgiver, trekkes det ofte tabellskatt på lønna fra hovedarbeidsgiver og prosentskatt når du jobber for andre arbeidsgivere.

Skatt og tabelltrekk:


202 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

EK SEMPEL 5 Sigurd har fast månedslønn på 36 700 kr og trekkes 2,1 % i pensjonsinnskudd. Skattetrekket hans er 35 %. Hvor mye får Sigurd utbetalt?

Løsning: A 1

B

B (vis formler)

Lønnsberegning

2 3

Inndata

4

Fast månedslønn

kr 36 700,00

36 700

5

Pensjonstrekk 2 %

2,1 %

0,021

6

Skattetrekk, prosent

35,0 %

0,35

7 8

Utregning

9

Fast månedslønn

kr 36 700,00

=B4

10

Pensjonstrekk ð36 700 kr 0,021)

kr 770,70

=B4*B5

11

Trekkgrunnlag fast månedslønn ð36 700 kr 770,70 kr)

kr 35 929,30

=B4-B10

12

Skattetrekk, prosent ð35 929,30 kr 0,35)

kr 12 575,26

=B11*B6

13

Utbetalt lønn ð35 929,30 kr 12 575,60 kr)

kr 23 354,05

=B11-B12

Vi finner trekkgrunnlaget ved å trekke pensjonen fra den faste månedslønna. Siden Sigurd har prosenttrekk av skatt, regnes det 35 % skatt av trekkgrunnlaget. Sigurd får utbetalt 23 354,05 kr.

EK SEMPEL 6 Huda har fast månedslønn på 36 700 kr og trekkes 2,1 % i pensjonsinnskudd. I mars jobber hun i tillegg 5 timer overtid på hverdager og 4 timer overtid på en søndag. På hverdager får Huda 30 % ekstra og på søndager 50 % ekstra per overtidstime. Hun har tabelltrekk på den faste lønna og 36 % skatt på overtidslønn. Skattetabell 7100 viser at hun skal trekkes 11 608 kr i skatt på den faste månedslønna. Hvor mye får Huda utbetalt i mars måned?


Beregning av lønn og skatt 203

Løsning: Vi legger opplysningene inn i et regneark: A 1

B

B (vis formler)

Lønnsberegning

2 3

Inndata

4

Fast månedslønn

kr 36 700,00

36 700

5

Antall timer per måned

162,50

162,5

6

Ordinær timelønn

kr 225,85

B4/B5

7

Overtidstillegg hverdager

30 %

0,3

8

Overtidstillegg søndager og helgedager

50 %

0,5

9

Overtidstimer hverdager

5

5

10

Overtidstimer søndager

4

4

11

Skatt på overtidslønn

36 %

0,36

12

Pensjonstrekk 2,1 %

2,10 %

0,021

13

Skattetrekk, tabell

kr 11 608,00

11 608

kr 36 700,00

36 700

14 15

Utregning

16

Fast månedslønn

17

Overtid hverdager

kr 1 468,03

=B6*(1+B7)*B9

18

Overtid søndager

kr 1 355,10

=B6*(1+B8)*B10

19

Samlet overtidslønn

kr 2 823,13

=B17+B18

20

Brutto månedslønn

kr 39 523,13

=B16+B19

21

Pensjonstrekk

kr 770,70

=B16*B12

22

Trekkgrunnlag fast månedslønn

kr 35 929,30

=B16-B21

23

Skattetrekk tabell, fast månedslønn

kr 11 608,00

11 608

24

Skattetrekk prosent på overtidslønn

kr 1 016,33

=B19*B11

25

Samlet skattetrekk

kr 11 394,33

=B23+B24

26

Utbetalt lønn

kr 27 358,10

=B22+B19-B25

På hverdager finner vi overtidslønna ved å gange timelønna med vekstfaktoren 1,30, siden overtidstillegget er 30 %. På søndager og helgedager ganger vi med 1,50, siden tillegget da er 50 %. Så ganger vi med timetallet. For å finne timelønna deler vi månedslønna på antall timer hun har jobbet. Brutto månedslønn er fast månedslønn + overtidslønn. Pensjonstrekket utgjør 2 % av fast månedslønn. Overtidsskatten er 36 % av overtidslønna. Huda får utbetalt 27 358,10 kr.


204 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

Skattemelding Skatten vi betaler hver måned, baserer seg på hva vi tjente året før. Har vi betalt for mye skatt, får vi penger tilbake.

Skattemeldingen utarbeides av skatteetaten og gir en oversikt over inntekter, utgifter, formue og gjeld i året som gikk. Denne oversikten er ferdig tidlig på våren. Da mottar vi elektronisk skattemelding for året før. Vi har selv ansvar for å gå gjennom skattemeldingen og se om skatteetatens tall og beregninger stemmer. Fra arbeidsgiver, bank, boligselskap o.l. får vi tilsendt oversikter over årsinntekt, gjeld, formue osv., som vi må sammenlikne med tallene i skattemeldingen. Vi retter så opp eventuelle feil i skattemeldingen før vi godkjenner den. Når skatteetaten har mottatt godkjent skattemelding, regner de ut hvor mye vi skal betale i skatt. Deretter får vi skatteberegningen fra dem, vanligvis i løpet av juni. Har vi betalt for mye skatt, får vi tilbake penger. Har vi betalt for lite skatt, må vi betale inn det vi skylder. For å slippe å skylde skatt kan vi be arbeidsgiveren om å trekke litt ekstra av lønna vår hver måned. Det kan være en grei form for sparing.


Beregning av lønn og skatt 205

Oppgaver 5.6 Gå inn på skatteetaten.no, og søk på tabelltrekk. Velg tabell 7100 og finn hvor mye du skal trekkes i skatt dersom månedslønna er a

30 000 kr

b

27 350 kr

c

46 330 kr

5.8 Louise jobber også på Laksefarmen AS. Hun har 43 130 kr i fast månedslønn. I september jobbet hun 11 timer overtid. Ordinær timelønn er 288 kr, og hun får 32 % ekstra når hun jobber overtid. Hvor stor ble bruttolønna hennes denne måneden?

5.7 Karel jobber på Laksefarmen AS. Han har 41 050 kr i fast månedslønn og 2 % i pensjonstrekk. Hvor stort er trekkgrunnlaget på Karels faste månedslønn?

5.9 Marit tjente 42 400 kr sist måned. Hun har tabelltrekk på 12 958 kr. a

Hvor mye får Marit utbetalt denne måneden?

b

Hvor mange prosent av lønna betaler hun i skatt?

5.10 Per har 48 000 kr i måneden i bruttolønn. Han trekkes 35 % i skatt og 2,2 % i pensjonstrekk. a

Hvor mye betaler han i skatt per måned?

b

Hvor mye betaler han i pensjonstrekk hver måned?

c

Hvor stor er nettolønna til Per?

L Æ R I N G S L O G G 5. 2 Hva er forskjellen på nettolønn og bruttolønn? Lag et eksempel som likner på eksempel 5 eller eksempel 6.


206 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

5.3 Budsjett og regnskap Å sette opp budsjett og regnskap er en fin måte å få oversikt over økonomien på, både privat og i bedrift. Når du setter opp et budsjett, er det viktig å være realistisk. Inntektene må ikke settes for høyt, og utgiftene ikke for lavt. Hvordan kan så budsjettet hjelpe deg til å spare til noe du trenger eller har på ønskelista?

D U S K AL K U N N E

vite hva et budsjett er, og hvordan du kan sette opp et budsjett

vite hva et regnskap er, og hvordan du kan føre et enkelt regnskap

bruke regneark i arbeidet med budsjett og regnskap

U T F O R S K SA M M E N Ta en kikk på Forbrukerrådets nettside, forbrukerradet.no, og søk på betalingsproblem. Der finner dere råd for å komme ut av betalingsproblemer. Les gjennom rådene og drøft hvordan et budsjett kan være nyttig for å unngå å få betalingsproblemer. Bruk gjerne det dere kom fram til i aktivitet .


Budsjett og regnskap 207

Et budsjett er en oversikt over inntekter og utgifter vi forventer å ha i en periode, vanligvis en måned. Regnskap er de inntektene og utgiftene vi faktisk har hatt når perioden er over. Budsjettet må derfor settes opp før budsjettperioden begynner, mens regnskapet gjøres ferdig etter at perioden er over. Når inntektene er større enn utgiftene, får vi et overskudd. Når utgiftene er større enn inntektene, får vi et underskudd.

DIN BANK

INNTEKTER Inntekter Andre inntekter

29 530,93 9 000,00

SUM

38 530,93

UTGIFTER

Før vi kan sette opp et mest mulig riktig budsjett, er det lurt å føre regnskap noen måneder for å se hvor store inntektene og utgiftene er. Vi oppdager da at tallene ofte varierer fra måned til måned, særlig utgiftene.

Mat og drikke Levekostnader Bolig og fritidseiendom Bil og transport Ferie og fritid Øvrige utgifter Ikke kategorisert Sparing

I margen ser du et eksempel på regnskap fra nettbanken. Det er en enkel måte å få oversikt over inntektene og utgiftene på.

SUM

Hvis vi bruker bankkort i butikk og betaler regninger med nettbank eller Vipps, setter banken opp et regnskap for oss ved månedens slutt. Tar vi ut kontanter fra en bankkonto, blir beløpet registrert som øvrige utgifter. Bruk av Vipps og uttak med bankkort i automat koster ofte litt for bedrifter, men ikke for privatkunder. En annen måte å få hjelp til budsjettet på er å bruke tallene fra Forbruksforskningsinstituttet, SIFOs referansebudsjett. SIFOs referansebudsjett har beregnet gjennomsnittlige utgifter gjennom en måned. Utgiftene er delt inn i husholdsspesifikke og individspesifikke utgifter, avhengig av hvem husholdningen består av. Vi må derfor velge antall personer, kjønn og alder. En del faste utgifter er ikke med i referansebudsjettet, som husleie, strøm og lånekostnader. Det må vi selv legge til.

-4 818,36 -6 996,69 -2 762,74 -3 462,62 -3 402,00 -3 483,79 -5 796,00 -0,00 -30 722,20

SUM UTGIFTER

- 30 722,20

DIFFERANSE

Nettbankregnskap

7 808,73


208 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

Nedenfor viser vi SIFOs referansebudsjett for en familie med to voksne og to små barn:

Månedlige utgifter for hele husholdet Person Person Person Person

1: 2: 3: 4:

Kvinne 20–50 år Jente 6–11 måneder Jente 4–5 år, går i barnehage Mann 20–50 år

Husholdsspesifikke utgifter

Kroner

Mat og drikke

5 840

Klær og sko

1 960

Personlig pleie

1 440

Lek og mediebruk

2 592

Reise (kollektivt)

1 875

Spedbarnsutstyr

810

Sum

14 517

Andre dagligvarer

630

Husholdningsartikler

490

Møbler

500

Mediebruk og fritid

2 500

Bil (drift og vedlikehold)

2 420

Barnehage

2 990

Aktivitetsskole (SFO)

0

Sum

9 530

Totalt forbruk Totalt månedlig forbruk for hele husholdningen

Merk Husk at referansebudsjettet bare er et forslag, og at utgifter til blant annet strøm, forsikring og bolig ikke er med.

24 047

Siden barna i dette eksemplet er små, er det satt av utgifter til spedbarnsutstyr og barnehage. Vi ser at familiens samlede utgifter for denne måneden er beregnet til 24 047 kr. Det er flere måter å føre budsjett og regnskap på. Det enkleste er å bruke regneark i dette arbeidet. På lærebokas nettside finner dere en enkel budsjettmal. Når måneden er over, bør vi utføre budsjettkontroll. Da sammenlikner vi utgiftene og inntektene vi satte opp i budsjettet, med de faktiske utgiftene i regnskapet. Avvik mellom regnskap og budsjett kan regnes ut i kroner og prosent. Det neste eksemplet viser hvordan vi kan utføre budsjettkontroll ved hjelp av regneark. En del utgiftsposter er slått sammen for å gjøre det litt enklere.


Budsjett og regnskap 209

EKSEMPEL 7 Familien Balto består av to foreldre og to små barn. De har nylig kjøpt hus og har nokså høye boutgifter. Med utgangspunkt i SIFOs referansebudsjett har de satt opp budsjett og ført regnskap for april måned. De har også regnet ut avvik mellom budsjett og regnskap i kroner og i prosent. Nedenfor ser du regnearket med budsjett, regnskap og budsjettkontroll for april måned.

Budsjett og regnskap:

Kommenter familien Baltos forbruk i forhold til budsjettet for april. Se regnearket nedenfor og øverst på neste side. A 1

B

C

D

E

Budsjett

Regnskap

Avvik i kroner

Avvik i %

2

Inntekter

3

Lønn totalt

61 250

61 470

220

0,36

4

Barnetrygd

2 000

2 000

0

0

5

Sum inntekter

63 250

63 470

220

0,35

6 7

Utgifter

8

Mat og drikke

5 600

6 345

–745

–13,30

9

Klær og sko

1 500

1 210

290

19,33

10

Helse og hygiene

1 800

1 933

–133

–7,39

11

Reise og fritid

4 400

3 987

413

9,39

12

Barnepass

3 000

2 990

10

0,33

13

Diverse utgifter

3 480

5 024

–1544

–44,36

14

Bilutgifter

5 670

5 330

340

6,00

15

Boligutgifter

13 800

13 800

0

0

16

Forsikring og strøm

5 900

5 969

–69

–1,17

17

Sum utgifter

45 150

46 588

–1438

–3,18

18

Inntekter – utgifter

18 100

16 882

–1218

–6,73

Løsning: For inntekter finner vi avvikene i kroner ved å trekke budsjettallene fra regnskapstallene. For utgifter finner vi avvikene i kroner ved å trekke regnskapstallene fra budsjettallene. Når familien Balto har brukt mer penger enn budsjettert, blir avviket negativt. Budsjettkontrollen viser ganske godt samsvar mellom regnskap og budsjett.


210 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

A 1

B

C

D

E

Budsjett

Regnskap

Avvik i kroner

Avvik i %

2

Inntekter

3

Lønn totalt

61 250

61 470

=C3-B3

=(D3/B3)*100

4

Barnetrygd

2 000

2 000

=C4-B4

=(D4/B4)*100

5

Sum inntekter

=B3+B4

=C3+C4

=C5-B5

=(D5/B5)*100

6 7

Utgifter

8

Mat og drikke

5 600

6 345

=B8-C8

=(D8/B8)*100

9

Klær og sko

1 500

1 210

=B9-C9

=(D9/B9)*100

10

Helse og hygiene

1 800

1 933

=B10-C10

=(D10/B10)*100

11

Reise og fritid

4 400

3 987

=B11-C11

=(D11/B11)*100

12

Barnepass

3 000

2 990

=B12-C12

=(D12/B12)*100

13

Diverse utgifter

3 480

5 024

=B13-C13

=(D13/B13)*100

14

Bilutgifter

5 670

5 330

=B14-C14

=(D14/B14)*100

15

Boligutgifter

13 800

13 800

=B15-C15

=(D15/B15)*100

16

Forsikring og strøm

5 900

5 969

=B16-C16

=(D16/B16)*100

17

Sum utgifter

45 150

46 588

=B17-C17

=(D17/B17)*100

18

Inntekter – utgifter

18 100

16 882

=C18-B18

=(D18/B18)*100

Merk Avvik inntekter = regnskap – budsjett Avvik utgifter = budsjett – regnskap

Familien Balto har brukt 1218 kr mer enn budsjettert denne måneden. Det største avviket gjelder posten «Diverse utgifter», der de har brukt 1544 kr mer enn budsjettert. Det tilsvarer 44,36 %. Likevel har familien fått et overskudd på 16 882 kr denne måneden. Det viser at de har god økonomi og mulighet til å spare en del.


Budsjett og regnskap 211

Oppgaver 5.11 Det er juli, og Bente setter opp et budsjett for hvor mye penger hun kan bruke i ferien. Hun jobber en del ved siden av skolen og tjener 2200 kr i måneden. I tillegg får hun månedslønn på 1400 kr fra foreldrene. Hun regner med å bruke 1200 kr på nye sommerklær, 400 kr på kosmetikk og 500 kr på en konsert. a

Sett opp Bentes budsjett for juli.

b

Gi Bente en anbefaling om hvor mye hun kan bruke når hun er på ferie med foreldrene.

5.12 Ragna skal sette opp budsjett for oktober. Hun tjener 2460 kr per måned og regner med å få 800 kr av besteforeldrene for å hjelpe til med hagearbeid. Ragna har tenkt å kjøpe klær for 900 kr, sminke for 250 kr og mat i skolekantina for 400 kr. a

Sett opp og kommenter Ragnas budsjett for oktober.

Siden det regnet mye i oktober, fikk ikke Ragna gjort noe hagearbeid for besteforeldrene. Hun fikk derfor 800 kr mindre enn antatt. I tillegg brukte hun 670 kr mer på klær enn budsjettert. b

Før Ragnas regnskap og budsjettkontroll for oktober.

5.13 Christer får utbetalt 28 465 kr i lønn i måneden. Hver måned betaler han 6700 kr i husleie, men i januar økte leia til 7350 kr. a

Hvor mange prosent mer må Christer betale i husleie etter økningen?

b

Hvor mange prosent må Christer redusere forbruket med dersom budsjettet skal gå i balanse i januar?

5.14 Per og Randi har to barn, Eli på 18 år og Pål på 16 år. Familien har bil. I april hadde foreldrene en samlet inntekt etter skatt på 65 280 kr. De betalte 4100 kr i strøm og utgifter på boligen, og lån og kommunale avgifter utgjorde til sammen 13 700 kr. Det stod 2370 kr på kontoen i slutten av april. Ettersom både Pål og Eli jobber en del på fritiden, får de vanligvis ikke penger fra foreldrene til eget forbruk. Sett opp et budsjett for familien for mai måned. Bruk SIFOs referansebudsjett i arbeidet.

5.15 a Sett opp budsjettet i oppgave 5.14 ved hjelp av regneark. Husk at alle formler begynner med = . Har du lite erfaring med regneark, kan du følge oppsettet i boka. I mai får Per ny jobb, og familiens månedsinntekt øker til 67 130 kr. Det nærmer seg ferie, så de ønsker å sette av 2200 kr ekstra til posten «lek og mediebruk». b

Sett opp budsjettet for mai ved hjelp av regneark.

L Æ R I N G S L O G G 5. 3 Hva er hensikten med å føre regnskap og sette opp budsjett? Hvorfor er det viktig at budsjettet ikke går i minus?


212 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

5.4 Sparing Hva vil det si å spare penger, og hvorfor kan det være lurt å spare? Enkelte ganger har vi penger til overs i slutten av måneden. Da er det fristende å unne seg noe ekstra, men det kan være lurt å spare disse pengene. Kanskje er det noe du har lyst på eller trenger, som det er kostbart å skaffe seg, for eksempel hus, bil eller en reise. Det er også fint å ha litt ekstra penger den dagen for eksempel bilen eller vaskemaskinen går i stykker. Hvor mye er det på kontoen etter to år hvis du setter inn 3000 kr måneden i denne tiden? D U S K AL K U N N E

litt om ulike måter å spare penger på

regne ut renta på penger du sparer, og finne ut hvor mye sparepengene dine har økt i løpet av spareperioden

bruke sparekalkulator til beregning av sparing

U T F O R S K SA M M E N Gå inn på nettsiden til en bank dere kjenner, og finn ut mer om renter og vanlig sparing i bank, boligsparing for ungdom, sparing i aksjefond og aksjer. Dersom dere setter inn 4500 kr på en konto i banken hver måned, hvor mange kroner har dere på kontoen etter å ha spart i tre år når renta er 2,7 % per år? Bruk en sparekalkulator til å svare på spørsmålet. Diskuter i klassen hvilken måte dere synes det er best å spare på.

Hvordan kan vi spare penger? Hvordan vi velger å spare, avhenger av hvor stor risiko vi er villig til å ta for å få høy avkastning på sparepengene våre. Vi kan sette penger i banken, spare i aksjefond eller kjøpe aksjer i en bedrift. Penger i banken er nok det sikreste. Sjansen for å tape pengene er liten, men avkastningen (det vi får i rente) er ikke så høy. Kjøper vi aksjer for pengene, kan avkastningen bli høy dersom bedriften vi har aksjer i, går med overskudd. Men om bedriften går konkurs, taper vi pengene.


Sparing 213

Vi kan også spare i aksjefond. Det er vanligvis banken eller forsikringsselskapet som tilbyr seg å sette sparepengene våre i flere aksjeselskaper for å minimere risikoen for å tap. Om ett selskap går dårlig, kan det også være noen som går bra. Mange som ønsker å spare over lang tid, setter pengene i slike fond. Dersom en ikke må selge når aksjene i fondet har lav verdi, er det gode muligheter for høy avkastning. Boligsparing for ungdom, BSU, er en spareform for de som er under 34 år. Du kan spare inntil 25 000 kr i året og får høyere rente enn ved vanlig sparing. Hvis du er i jobb, får du fradrag på skatten. Med penger spart i BSU kan det bli enklere for deg å få boliglån seinere. Mange banker tilbyr førstehjemslån til dem som skal kjøpe sin første bolig, og dette lånet har relativt lav rente. En del banker krever at du har sparepengene på BSU-konto for å få førstehjemslån. Pensjonssparing er sparing for å ha mer penger å leve av den dagen du ikke lenger er i jobb. Det kan være en fordel å begynne slik sparing tidlig og sette av en liten sum penger hver måned. Det finnes mange ulike former for pensjonssparing, men vanligvis kan vi trekke fra en del av det vi sparer, på skatten hvert år. Renta er ofte bedre enn for vanlig sparing.

Tenk gjennom! Hvor stor risiko er du villig til å ta for å få høyest mulig avkastning på sparepengene dine?

Beregning av sparing Beløpet vi setter inn i banken, kalles innskudd. Beløpet som til enhver tid står i banken, altså innskudd pluss renter, kalles kapital. Setter vi penger i banken, kan banken låne ut disse pengene til andre. Det er lønnsomt for banken. Litt av dette overskuddet gir banken til dem som sparer, i form av renter. Renter er en viss prosent av pengene vi har i banken i løpet av et år. De siste årene har renta vært lav. For tiden er vanlig rente fra ca. 1 til 3 % per år. Når vi regner renter på sparing og lån, gjør vi bruk av vekstfaktor (se delkapittel 1.5).


214 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

EK SEMPEL 8 Sparing:

Pål vil spare til ny sykkel. Han jobber en del i helgene og bestemmer seg for å sette inn 8600 kr på bankkonto 1.1.2020. Han får 2 % rente per år. Hvor mye har Pål i banken etter tre år?

Løsning: Vi finner hvor mye Pål har på kontoen etter hvert år: oppspart beløp ¼ innsatt beløp vekstfaktor Vekstfaktoren til en økning på 2 % er 1,02: 100 % þ 2 % ¼ 102 % ¼ 1,02 På kontoen etter ett år står det da 8600 kr 1,02 ¼ 8772 kr Etter to år står det 8772 kr 1,02 ¼ 8947 kr Etter tre år: 8947 kr 1,02 ¼ 9126 kr Pål har 9126 kr i banken etter tre år.

Eksemplet ovenfor viser at det fort blir mye regning hvis pengene står lenge i banken. Vi får samme svar om vi slår sammen de tre regnestykkene i eksemplet til ett regnestykke: 8600 kr 1,02 1,02 1,02 ¼ 9126 kr Vi kan gjøre regningen enklere ved å bruke potensregning. Vi opphøyer da vekstfaktoren i antall år som pengene står i banken: 8600 kr 1,02 3 ¼ 9126 kr Etter tre år har Pål 9126 kr i banken. Oppspart kapital etter n år ¼ innsatt beløp vekstfaktor n


Sparing 215

EKSEMPEL 9 Pål ønsker å spare en fast sum penger hver måned. Han setter først 10 000 kr i banken 1.1.2020. Hver måned setter han så 500 kr inn på kontoen. Renta er 2 % per år. Bruk en sparekalkulator til å finne hvor mye Pål har på kontoen etter tre år.

Løsning: Vi bruker en sparekalkulator for månedlig sparing i dette eksemplet. De fleste banker har slike kalkulatorer på nettsiden sin. Vi skriver inn startbeløpet (hvor mye Pål satte i banken 1.1.2020), hvor mye han sparer hver måned, renteprosenten og antall år Pål skal spare. Vi ser at Pål har 29 178 kr på kontoen etter tre år.

Enkelte ganger har vi et bestemt mål for sparingen. Hvis vi har tenkt å kjøpe en bruktbil om ett år og trenger å spare 100 000 kr i løpet av året, kan vi velge en lånekalkulator der vi legger inn sluttbeløp, sparetid og renteprosent. Renteprosenten for ulike typer sparing finner vi på nettsidene til de fleste banker:

DIN BANK

SPAREKALKULATOR Sluttbeløp: Spareperiode: Rente:

Totalt spart uten avkasting: Sparebeløp per måned:

100 000 kr 1 år 1,6 %

99 269 kr

8 272 kr

Kalkulatoren viser at vi må spare 8272 kr hver måned i ett år for å ha spart opp 100 000 kr, når renta er 1,6 %.

DIN BANK

SPAREKALKULATOR Fast månedlig beløp Startbeløp Spareperiode Rente

TOTAL SPARING

500 kr 10 000 kr 3 år 2,0 %

29 173 kr


216 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

Oppgaver 5.16 Du jobber en del i tillegg til skolen og finner at du vil spare litt av pengene. 1.1.2020 setter du inn 6000 kr på en sparekonto i banken til 2,7 % i rente per år.

5.18 Finn en sparekalkulator på nettsiden til en bank du kjenner, og bruk den til å gjøre oppgave 5.17.

a

Hvor mye har du på sparekontoen etter ett år?

b

Hvor mye har du på sparekontoen etter fem år?

5.19 Om noen år ønsker du å kjøpe en bil.

5.17 I tillegg til de 6000 kronene du satte inn 1.1.2020, setter du inn 5000 kr 1. januar de neste fire årene. Renta er 2,7 % per år i hele spareperioden. a

Hvor mye har du på sparekontoen etter ett år?

b

Hvor mye har du etter tre år?

c

Hvor mye har du etter fem år?

d

Hvor mange kroner har kapitalen din økt med i løpet av de fem årene?

e

Hvor mange prosent har kapitalen din økt med i løpet av de fem årene?

Bruk en sparekalkulator for månedlig sparing og sett renta til 2 % per år. Hvor lenge må du spare før du har minst 196 000 kr på kontoen a

når du setter inn 20 000 kr i begynnelsen av første år og sparer 7000 kr hver måned

b

når du setter inn 50 000 kr i begynnelsen av første år og sparer 4000 kr hver måned

5.20 Bruk sparekalkulatoren til for eksempel odinfond.no og sammenlikn utbyttet av å spare i fond i banker med ulike betingelser.

L Æ R I N G S L O G G 5. 4 Nevn ulike måter å spare på, og fordeler og ulemper med dem. Hva er renter? Vis med et eksempel hvordan vi regner ut rentene.


Lån 217

5.5 Lån Noen ganger kan det være nødvendig å låne penger til å kjøpe for eksempel bolig, bil eller båt. Slike kjøp koster vanligvis mer enn vi kan betale kontant. Men hvorfor må vi betale renter, og hvor mye må vi betale i renter på lånet?

D U S K AL K U N N E

forklare ulike former for lån

forstå konsekvensene av å ta opp lån

bruke regneark til å beregne kostnadene ved å ha lån

bruke lånekalkulator til å beregne kostnadene ved å ha lån

U T F O R S K SA M M E N Gå inn på nettsiden til en bank dere kjenner, og finn ut mer om renter på ulike typer lån, for eksempel lån til bolig, bil og forbruk. Diskuter i klassen informasjonen dere fant på nettsiden. Noter det dere kommer fram til.

Før vi låner penger, er det nødvendig å beregne hvor mye lånet vil koste oss. Låner vi for mye, kan det bli vanskelig å betale tilbake lånet. Det tar oss i alle fall mange år og gir høye rentekostnader. Renter på lån er et ekstra beløp vi må betale, og utgjør en viss prosent av beløpet vi skylder. Renta på lån er høyere enn den vi får på sparepenger. Det er en del av bankens inntekter. Hvor mye vi må betale i rente, avhenger av hva vi låner pengene til.

Lån:

For dem som låner oss penger, er bolig en sikrere investering enn bil. En bolig er ment å vare lenge, og verdien av boligen holder seg oftest godt. En bil taper seg derimot fort i verdi. Derfor er renta vi må betale på et boliglån, vanligvis lavere enn renta på et billån. Vi betaler ned på lånet i faste intervaller. Summen kalles terminbeløp. Avdraget viser hvor mye vi betaler ned på lånet hver termin, og renta er en viss prosent av restlånet. Terminbeløp ¼ avdrag þ renter

Merk Her kan det være nyttig å repetere litt prosentregning (se delkapittel 1.4).


218 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

Ulike typer lån Det finnes to hovedtyper av lån, annuitetslån og serielån. 120 000 110 000 100 000 90 000 80 000 70 000 60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000

Beløp

Annuitetslån

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 År Avdrag

90 000 80 000 70 000 60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000

Beløp

Renter

Serielån

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 År Avdrag

Renter

Figurene viser forskjellen på renter og avdrag for de to lånetypene. Har vi et annuitetslån, er terminbeløpet det samme hele tiden. Vi betaler samme sum hver termin gjennom hele nedbetalingstiden, men forholdet mellom renter og avdrag endrer seg. I begynnelsen betaler vi mest rente og lite avdrag, deretter blir avdraget større og renta lavere. Har vi et serielån, er avdraget like stort hele tiden. Derimot blir renta, og dermed også terminbeløpet, stadig lavere hver gang. Skal vi kjøpe hus, må vi ofte låne nokså mye. Da kan terminbeløpene ved et serielån bli svært høye de første årene. Lån i bank er gjerne annuitetslån.

Tenk gjennom! Hva er fordelene og hva er ulempene med de to lånetypene for lånetageren?


Lån 219

I tillegg til å betale renter på lånet betaler vi også en del for å etablere lånet, gebyr for hver innbetaling o.l. Rentekostnadene ved å ha lånet kalles nominell rente, mens de virkelige kostnadene ved å ha lånet med renter og gebyrer kalles effektiv rente. Det er den effektive renta som viser hvor mye lånet egentlig koster.

Effektiv rente ¼ nominell rente þ ulike gebyrer

Gebyrene er penger banken skal ha for å ordne lånet for oss (etableringsgebyr), som du betaler ekstra for hver termin. Se lånekalkulatoren i eksempel 10.

Bruk av lånekalkulator På nettsidene til de fleste banker og andre långivere finnes det lånekalkulatorer for å kunne beregne kostnadene ved et lån.

EKSEMPEL 10 Her er det brukt en lånekalkulator for å regne ut hvor mye Daniel må betale på et boliglån på 1 700 000 kr når den nominelle renta er 3,5 % per år. Lånet skal betales ned over 20 år med tolv terminer per år. a

Hvor mange kroner betaler Daniel i gebyr per år?

b

Hvor stort er etableringsgebyret?

c

Hvor høy er den effektive renta?

d

Hvor mye må Daniel betale på lånet hver måned?

DIN BANK

ANNUITETSLÅN Lån:

1 700 000

Løpetid (år):

20

Tinglysning:

Ingen

Etableringsgebyr:

1 500

Termingebyr:

50

Termin per år:

12

Lån:

1 700 000

Termingebyr:

50

Løpetid (mnd):

240

Terminer pr. år:

12

Terminbeløp:

9 918

Total kostnad:

2 380 320

Rente:

3,50%

Effektiv rente:

3,63%

Etableringsgebyr:

1 500

3,5

Inkluderer gebyrer i lånet

Regn ut

Termin Terminbeløp Renter Gebyrer Avdrag Restgjeld

Renter og gebyrer: 680 320

Løsning: a På lånekalkulatoren ser vi at termingebyret er 50 kr. I løpet av et år betaler Daniel til sammen 50 kr 12 ¼ 600 kr i termingebyr.

Rente:

b

Lånekalkulatoren viser at etableringsgebyret er 1500 kr.

c

Effektiv rente er 3,63 %. Da er etableringsgebyret og termingebyrene regnet inn i renta han skal betale. Jo kortere nedbetalingstiden er, desto høyere er effektiv rente i forhold til nominell rente, fordi gebyrene fordeles på færre terminer.

d

Han må betale 9918 kr hver måned.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918

4 963 4 948 4 934 4 920 4 905 4 891 4 876 4 862 4 847 4 832 4 818 4 803

50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50

4 905 4 920 4 934 4 948 4 963 4 977 4 992 5 006 5 021 5 036 5 050 5 065

1 696 595 1 691 675 1 686 741 1 681 793 1 676 830 1 671 853 1 666 861 1 661 855 1 656 834 1 651 789 1 646 748 1 641 683


220 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

Oppgaver 5.21 Bruk lånekalkulator i denne oppgaven. Kasper låner 200 000 kr for å kjøpe båt. Lånet er et annuitetslån til 7 % rente per år og skal betales ned over fem år med én termin per år. a Hvor stort er det årlige terminbeløpet på lånet? b Hvor mye betaler Kasper i rente det første året? c Hvor mye betaler Kasper i avdrag det første året? d Hvor stort blir terminbeløpet dersom det er tolv terminer per år? 5.22 Bruk lånekalkulator i denne oppgaven. Birte låner penger til bolig og får et annuitetslån på 1 450 000 kr. Renta er 3,3 % per år, og tilbakebetalingstiden er 20 år med tolv terminer per år. Terminbeløpet er 8321 kr per måned. a Hvor mye må Birte betale i rente den første måneden? b Hvor mye har lånet kostet Birte når det er ferdig nedbetalt? c Hvor mye ville lånet kostet henne dersom hun hadde fått serielån? 5.23 Ailo vil låne 230 000 kr til ny motorsykkel. Han får følgende tilbud fra banken: Alternativ 1: annuitetslån til 4,2 % rente, nedbetalingstid på tre år og tolv terminer i året Alternativ 2: annuitetslån til 3,9 % rente, nedbetalingstid på sju år og tolv terminer i året Bruk en lånekalkulator til å vurdere hvilket alternativ Ailo bør velge. Begrunn valget.

5.24 Bruk lånekalkulator i denne oppgaven. Eli har fylt 18 år og vil kjøpe bil. Hun har spart en del av pengene hun har tjent på jobben i en frisørsalong, og har 38 000 kr på en sparekonto. Hun har fått tilbud om å kjøpe en bil til 83 000 kr. a

Hvor mye må Eli låne?

Eli går i banken for å søke om lån. Siden hun er tilbudt fast jobb i frisørsalongen når hun snart er ferdig med utdanningen, og har vært flink til å spare, vil banken gi henne et annuitetslån til 4,3 % rente per år og en nedbetalingstid på tre år. b

Hvor mye må Eli betale i terminbeløp hvis hun betaler ned på lånet hver måned?

c

Hvor mye må Eli betale i terminbeløp hvis hun betaler ned på lånet en gang hvert år?

d

Hvor mye har hun totalt betalt på lånet når det er ferdig nedbetalt?

5.25 Kasper låner 200 000 kr for å kjøpe båt. Lånet er et serielån til 7 % rente per år og skal betales ned over fem år med én termin per år. a

Hvor stort er det årlige avdraget på lånet?

b

Hvor mye betaler Kasper i terminbeløp det første året?

c

Hvor stort terminbeløp betaler han det femte året?

L Æ R I N G S L O G G 5. 5 Forklar med egne ord forskjellen på annuitetslån og serielån. Hva mener vi med effektiv rente? Hvorfor er det vanlig med ulik rente på lån til bolig og lån til bil? Forklar begrepene terminbeløp, avdrag og renter.


Kredittlån 221

5.6 Kredittlån Tenk så fint det ville vært å dra på en lang ferie til eksotiske strøk eller endelig å kunne kjøpe den nyeste og beste mobiltelefonen, som du har så lyst på. Problemet er bare at du ikke har nok penger. Det er enkelt å få låne penger til forbruk, som kalles forbrukslån eller kredittlån. Hva er egentlig forskjellen på et vanlig banklån og et kredittlån?

D U S K AL K U N N E

forklare hva kredittkort er

vurdere konsekvensene av å ta opp kredittlån

U T F O R S K SA M M E N Søk på Internett etter ulike kredittkort og bli enige om et kort dere vil bruke. Regn ut hvor mye det vil koste dersom dere låner 35 000 kr og betaler ned hele lånet etter ett år.


222 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

Kredittlån er lån uten sikkerhet. Da har de som gir oss lånet, ikke mulighet til å selge noe av det vi eier, eller kreve inn pengene av noen som garanterer for oss dersom vi ikke overholder lånet. Denne usikkerheten gjør at vi må betale atskillig høyere rente enn for et vanlig lån. Det er ingen betingelser for hva pengene du låner, skal brukes til.

Kredittlån:

De vanligste formene for kredittlån: Forbrukslån er lån av penger som betales tilbake med faste avdrag i løpet av en avtalt tid. Renta er en del høyere enn lån med sikkerhet. Bruk av kredittkort er en type bankkort vi kan bruke selv om det ikke er penger på kontoen, men det er begrenset hvor mye penger vi kan «ta ut». Det er en enkel måte å låne penger på. Lånet er vanligvis rentefritt i 30–45 dager etter at pengene er brukt, men deretter er renta svært høy, ofte 20–30 %. Sms-lån er lån av små beløp som du enkelt og fort kan skaffe deg ved hjelp av mobiltelefonen. Renta er ofte svært høy dersom du ikke betaler tilbake i løpet av kort tid.

EK SEMPEL 11 Randi ønsker å pusse opp baderommet, men trenger å låne noen kroner til det. Hun tar derfor opp et forbrukslån på 45 000 kr. Renta er 14,13 % per år, og nedbetalingstiden er tre år.

DIN BANK

LÅNEKALKULATOR Lånebeløp

45 000 kr

Tilbakebetalingstid

3 år

OMTRENTLIG MÅNEDSKOSTNAD

1581 kr *

a

Hvor mye må Randi betale på lånet per måned?

b

Hvor mye mer enn lånesummen har Randi betalt i løpet av de tre årene?

Løsning: a Lånekalkulatoren viser at Randi må betale 1581 kr per måned. b

* Eks: Nom. rente 14,13%, eff. rente 18,94%, 45 000 kr o/3 år, kostnad 12 860 kr, totalt 57 860 kr

Når lånet er ferdig nedbetalt, viser kalkulatoren at det har kostet Randi totalt 57 860 kr: 57 860 kr 45 000 kr ¼ 12 860 kr Randi har betalt 12 860 kr mer enn det hun lånte.


Kredittlån 223

EKSEMPEL 12

Jan drømmer om å ta tre måneder fri fra jobben for å klatre til topps på Europas høyeste fjell, Elbrus. Han har spart en del kroner, men trenger litt ekstra. Han har kredittkort med kredittgrense på 50 000 kr og bruker det til reise, opphold og nødvendig utstyr: DIN BANK

365DIREKTE KREDITTKORT -

Beste kredittkort hos Dine Penger hele 10 ganger

Maks Kreditt: 50 000,-

-

85 øre rabatt per/l hos Bensinstasjon X

Rentefri Kreditt: 45 dager

-

2 % rabatt hos alle andre bensinstasjoner

Aldersgrense: 18 år

Meget bra som Bensinkort

Les mer Bestill kort

1234 5678 9012 3456 00/00

NAVN ETTERNAVN Eff. rente 25,53%, 15 000 o/12mnd, kostnad 1929,- totalt 16 929,-

Hvor mye har gjelda hans vokst til etter to år dersom han ikke klarer å betale ned på lånet?

Løsning: Effektiv rente, altså rente med gebyr, er 25,53 % per år. Vekstfaktoren for 25,53 % blir: 100 % þ 25,53 % ¼ 125,53 % ¼ 1,2553 50 000 kr 1,25532 ¼ 78 789 kr Gjelda har vokst til 78 789 kr etter to år.

Renta på kredittkortlån oppgis ofte per måned. I eksempel 12 vil 1,91 % rente per måned tilsvare ca. 25,53 % rente per år.


224 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

EK SEMPEL 13 Et kredittkortselskap reklamerer med bare 1,79 % rente per måned. Hvor stor blir den årlige renta?

Løsning: Vekstfaktoren til 1,79 % er 1,0179. Siden det er tolv måneder i et år, må den månedlige renta opphøyes i eksponenten 12 for å finne årlig rente: 1,07912 ¼ 1,237 1,237 ¼ 123,7 % 123,7 % 100 % ¼ 23,7 % Den årlige renta blir 23,7 %.

Hvis vi ikke betaler Hvis vi ikke betaler ned på gjelda, må vi betale mer i rente på lånet. Det kalles rentesrente. Dersom vi har en kredittkortgjeld på 15 000 kr med månedsrente på 1,6 %, som vi ikke betaler ned på, vil lånet ha økt til 15 000 kr 1,016 ¼ 15 240 kr i løpet av en måned. Neste måned regnes renta av lånesummen pluss renta fra forrige måned. Da vil gjelda ha økt til 15 484 kr: 15 240 kr 1,016 ¼ 15 484 kr Går det mange måneder uten at vi betaler ned på gjelda, skylder vi stadig mer penger.

Tenk gjennom! Bruk tallene foran og vurder hvor mange måneder det vil ta før gjelda har doblet seg.

Noen ganger hoper regningene seg opp, og det kan være vanskelig å betale i tide. Venter vi for lenge, mer enn 30 dager etter forfallsdatoen, blir kjøpet til et lån, og vi må betale forsinkelsesrente i tillegg til beløpet på regningen. For tiden er forsinkelsesrenta 9,25 % per år av beløpet vi skylder. I tillegg kan det hende vi må betale innkrevingskostnader hvis dem vi skylder penger hos, velger å bruke et inkassobyrå til å kreve inn summen.


Kredittlån 225

Oppgaver 5.26 Bruk informasjonen i eksempel 11 og undersøk i ulike nettbanker hvor mye Randi måtte betalt hvis hun hadde fått et vanlig lån på 45 000 kr med sikkerhet i boligen.

5.27 Kai tar opp et kredittkortlån til 2,03 % månedlig rente. Hvor høy rente må han betale per år dersom han ikke betaler ned lånet innen fristen?

5.29 Familien Furu har kjøpt ny bolig og vil gjerne ha nye møbler. De ønsker å låne 125 000 kr og vil tilbakebetale lånet i løpet av tre år. a

Finn to ulike forbrukslån på Internett og bruk lånekalkulator til å regne ut hvor mye familien Furu må betale i terminbeløp per måned.

b

Gi en anbefaling til familien Furu om hvilket lån de bør velge. Begrunn denne anbefalingen.

5.30

5.28 David har lånt 26 500 kr på kredittkortet og sliter med å betale. Renta er 1,86 % per måned. a

Hvor stor årlig rente har lånet?

b

Hvor stort er lånet blitt etter ett år dersom han ikke har betalt ned noe?

c

David kan ta opp et forbrukslån på 26 500 kr og betale ned kredittkortgjelden. For å få tilbakebetalt det nye lånet må han betale 2286 kr per måned i ett år. Hvor mye må David betale til sammen i renter og avdrag på det nye lånet?

DIN BANK

365DIREKTE KREDITTKORT -

Beste kredittkort hos Dine Penger hele 10 ganger

Maks Kreditt: 50 000,-

-

85 øre rabatt per/l hos Bensinstasjon X

Rentefri Kreditt: 45 dager

-

2 % rabatt hos alle andre bensinstasjoner

Aldersgrense: 18 år

Meget bra som Bensinkort

Les mer Bestill kort

1234 5678 9012 3456 00/00

NAVN ETTERNAVN Eff. rente 25,53%, 15 000 o/12mnd, kostnad 1929,- totalt 16 929,-

a

Hvor mye koster det å låne 15 000 kr i ett år med dette kredittkortet?

b

Hvor mange prosent er den effektive renta?

c

Hva er forskjellen på nominell og effektiv rente?

L Æ R I N G S L O G G 5. 6 Forklar forskjellen på lån med og uten sikkerhet (kredittlån, forbrukslån). Vis ved beregning hva som er forskjellen på månedsrente og årsrente. Forklar hvorfor det er viktig å betale ned kredittkortlån fortest mulig, og hvilke konsekvenser et ubetalt kredittkortlån kan få for økonomien.


226 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

H V A HA R J E G LÆ R T ? Gå sammen i par og lag en liste eller et tankekart, der dere nevner de viktigste matematiske ideene og metodene dere har lært i kapitlet. Prøv også å få med stikkord om hva ideene og metodene kan brukes til – i dagliglivet eller i yrket ditt. Del ideene med resten av klassen. Som hjelp til å komme i gang kan dere lese læringsloggene 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 og 5.6 og se over «regelboksene» i kapitlet.

Stemmer påstandene?

3

Avgjør om påstandene nedenfor stemmer. Sørg for at du kan forklare hvorfor de stemmer eller ikke.

Å kjøpe aksjer for sparepengene gir større risiko for å tape pengene enn å spare i bank.

4

Ifølge SIFOs referansebudsjett bruker en enslig mann mellom 20 og 50 år 2930 kr på mat og drikke per måned. Hvis Mikkel bruker 49 kr i kantina på jobben fem dager i uka, har han litt over 80 kr igjen per dag hvis han skal følge referansebudsjettet.

5

Bruttolønna vil være høyere enn nettolønna.

6

Månedsrente på 1,52 % tilsvarer en årsrente på 19,84 %.

1

En bilselger med en bruttolønn på 32 000 kr per måned pluss provisjon på 1,2 % av bilsalget vil få en månedslønn på 62 000 kr hvis han selger biler for 2 500 000 kr.

2

Hvis årslønnen uten feriepenger var 410 270 kr i fjor, blir feriepengene i år på 37 349 kr.


Test deg selv 227

Test deg selv 5.31 Lars er murer og har akkordlønn. Han skal lage grunnmur til et hus og får 40 000 kr for jobben. a Hvor stor blir timelønna dersom han bruker tre uker på jobben? En uke er 37,5 timer jobb. b Hvor mange timer kan Lars bruke på jobben om han skal tjene 500 kr per time? c Hvilke fordeler og ulemper kan det være med å få akkordlønn i stedet for fast månedslønn? 5.32 Selim har 44 350 kr brutto i fast månedslønn. Han blir trukket 2 % i pensjon og 13 356 kr i tabelltrekk. a Regn ut hvor mye Selim får utbetalt per måned. I januar er det ekstra mye å gjøre på jobben, så Selim jobber i tillegg ni timer overtid på kveldstid. b

Hvor mye får Selim utbetalt i januar når ordinær timelønn er 273 kr og han får 40 % ekstra per time på kveldstid? Han trekkes 34 % i skatt på overtidslønna.

5.33 Gaute har begynt i sin første jobb. Han får utbetalt 25 356 kr per måned og har 434 674 kr i brutto årslønn. Han leier en leilighet til 6500 kr per måned, i tillegg til at han betaler 1400 kr i strøm, 470 kr i forsikring og 4200 kr i avdrag på et billån. a Bruk SIFOs referansebudsjett og sett opp et månedsbudsjett for Gaute. b Kommenter Gautes økonomiske situasjon. 5.34 Bruk sparekalkulator i denne oppgaven. Michelle ønsker å kjøpe en leilighet om noen år og sparer 4000 kr i måneden til en rente på 2,2 % per år. a Hvor mye har Michelle i banken etter fire år? b Hvor mange år må Michelle spare for å ha 300 000 kr i banken? c Hvor mye må Michelle spare per måned for å ha 300 000 kr i banken om fire år?

5.35 Bruk lånekalkulator i denne oppgaven. Gunnar låner 135 000 kr for å kjøpe bil. Han får et annuitetslån til 4,1 % rente per år, og nedbetalingstiden er fire år med tolv terminer i året. Etableringsgebyret er 1500 kr, og hvert termingebyr er på 50 kr. a

Hvor mye må Gunnar totalt betale på lånet i løpet av disse fire årene?

b

Hvor mye har Gunnar totalt betalt i renter i disse fire årene?

c

Hvor mye har Gunnar betalt i gebyrer når lånet er nedbetalt?

5.36 Jofina planlegger å reise rundt i Afrika i et par måneder når hun er ferdig med utdanningen. Hun jobber en del i helger og ferier, men tjener ikke nok til å dekke alt reisen vil koste. Hun undersøker derfor betingelsene for ulike kredittkort. Hun bestemmer seg for et kort som ikke krever at hun har inntekt, og som har lav aldersgrense. Maks kreditt: 100 000 kr Årsgebyr: 0 kr Aldersgrense: 18 år Krav til inntekt: 0 kr Betalingsutsettelse: 45 dager Reiseforsikring: Ja a

Hvor mye koster det Jofina å låne 15 000 kr og tilbakebetale lånet innen en måned?

b

Hvor mye må Jofina ut med dersom månedsrenta er 1,55 % og hun ikke betaler tilbake lånet før etter seks måneder? (Husk at Jofina må betale renter for de første 45 dagene også.)

c

Hvor stor årlig rente svarer en månedsrente på 1,55 % til?


228 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

Aktiviteter Tilbake til start 5.1 Veiledning for gode økonomiske valg

Klassen deles inn i grupper som setter seg inn i hvert av temaene nedenfor. En gruppe har ansvaret for å utarbeide veiledningen. Aktiviteten kan gjerne skje i samarbeid med norskfaget. I konferansen kan dere diskutere følgende temaer:

Klassen skal arrangere en liten konferanse om personlig økonomi og utarbeide en skriftlig veiledningsbrosjyre som hjelp til å gjøre gode økonomiske valg.

5.2 Lønn som fortjent?

a

Hva mener vi med begrepet økonomi?

b

Ulike konsekvenser av å ha god/dårlig økonomi

c

Hva kan dere gjøre for å unngå økonomiske problemer?

d

Vilkår for å få lån og hvilke konsekvenser lån har for den personlige økonomien

e

Bruk av nettbank: sparekalkulator, lånekalkulator, budsjett og regnskap

5.4 Fagforeninger

Lag en liten spørreundersøkelse i klassen om hvordan elevene skaffer seg penger nå, og hvordan de har tenkt å skaffe seg inntekter i framtiden.

5.3 Å betale skatt Undersøk hva pengene vi betaler i skatt, blir brukt til. Diskuter hvordan samfunnet hadde vært hvis vi ikke betalte skatt.

Kjenner dere til noen fagforeninger? Søk på Internett og finn ut hvordan fagforeningene arbeider for at medlemmene skal få best mulig lønnsog arbeidsvilkår.


Aktiviteter 229

5.5 Inntekter og utgifter

5.8 Hva får du råd til?

Prøv å lage en oversikt over hvor mye du har i inntekter og utgifter i løpet av en måned.

Undersøk hva årslønna og timelønna vil være i et yrke du kan tenke deg i framtiden. Hva tror du netto utbetalt beløp per måned blir etter at skatt er betalt? Hvor høye bokostnader mener du å ha råd til hver måned med denne inntekten? Hvilke andre utgifter vil du få hver måned? Sett opp et forslag til månedsbudsjett som passer til denne inntekten.

Har du penger til overs, eller har du brukt mer penger enn du har fått inn? Hvis du har penger til overs, hva kan du gjøre med dem? Hvis du har brukt mer penger enn du har fått inn, hvordan skaffer du de ekstra pengene?

5.6 Vilkår for boliglån

5.9 Sparing og lån

Søk i en nettbank eller gå inn på finansportalen.no. Studer vilkårene for å få lån til bolig, hvordan renta er i forhold til hvor stor del av kjøpesummen du må låne, og hvor mye du kan låne i forhold til inntekten du har.

Bruk programmering til å beregne sparing og lån.

5.7 Inkasso Ordet inkasso brukes ofte i forbindelse med kredittkortlån. Hva vil det si å få et inkassokrav? Hva skjer dersom et inkassokrav ikke blir betalt?

a

Hvor stort beløp står på en bankkonto etter ti år hvis det blir satt inn 10 000 kr i begynnelsen av hvert år til 2 % rente per år?

b

Hvor stort er restlånet etter ett år hvis det tas opp et serielån på 1 000 000 kr som nedbetales en gang per år over 20 år til 3 % rente per år?


230 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

Oppgaver 5.1 Lønn og feriepenger 5.37 Per tjener 40 000 kr per måned. a

Hvor mye tjener Per i løpet av et år?

5.41 Espen er 42 år og arbeidet 42 uker i fjor. Hver uke tjente han 8500 kr. Han har rett til fire ukers ferie i året. a

Hvor mye får Espen utbetalt i feriepenger i år?

Han jobber 1725 timer i året.

I år tjener han 8900 kr per uke. Han regner med å arbeide 44 uker.

b

b

Hvor mye tjener han per time?

5.38 Ine er servitør og jobber på restaurant. Hun tjener 810 kr per dag og får i tillegg 5 % i provisjon av salget. I gjennomsnitt selger hun for 9700 kr per dag. a

Hvor mye tjener Ine per dag?

Ine jobber 22 dager i løpet av en måned. b

Hvor mye får hun i brutto månedslønn?

c

Hvor mye tjener Ine per time når hun jobber 7,5 timer per dag?

5.39 Adam skal lage en bålplass for idrettslaget. Han får 6000 kr for jobben. a

Hvor stor blir timelønna til Adam hvis han bruker 15 timer på jobben?

b

Hvor stor blir timelønna hvis han bruker 22 timer på jobben?

5.40 Ali jobber i et entreprenørfirma og har 320 kr i timen. a b

Hvor mye tjener Ali i løpet av en måned når han jobber 162,5 timer? Hvor stor blir årsinntekten til Ali når han jobber 1725 timer?

I løpet av året jobber Ali 57 timer overtid. Da får han 42 % tillegg på timelønna. c

Hvor stor blir årslønna til Ali når han regner med overtidslønna?

Hvor mye får han i feriepenger neste år?

5.42 Randi tjente 594 970 kr medregnet 53 427 kr i feriepenger i fjor. Hun får 10,2 % i feriepenger. a

Hvor stor lønn hadde Randi i fjor?

b

Hvor mye får Randi utbetalt i feriepenger i år?

c

Med hvor mange prosent økte feriepengene hennes fra i fjor til i år?

d

I år mottar Randi 552 050 kr i lønn. Hvor mye skal hun ha i feriepenger neste år?

5.43 Gustav jobber i et byggefirma og har en grunnlønn på 14 500 kr i måneden. I tillegg får han 7 % av salget han har av trelast, og 6 % av salget av andre varer. En måned selger han trelast for 83 400 kr og andre varer for 123 000 kr. a

Hvor mye tjener Gustav på å selge trelast denne måneden?

b

Hvor mye tjener Gustav på å selge andre varer denne måneden?

c

Hvor mye tjener Gustav totalt denne måneden?

d

Hvor stor prosent av lønna utgjør grunnlønna denne måneden?


Oppgaver 231

5.44 Tuva går på videregående skole og jobber som telefonselger noen kvelder hver måned. Hun har en fast timelønn på 126 kr og får i tillegg 8 % av salget. En måned har hun jobbet ni kvelder fra kl. 17.00 til kl. 20.30. a b

Hvor mange timer har Tuva jobbet denne måneden?

5.46 Bruk nettsiden til Statistisk sentralbyrå, ssb.no, og søk på «Gjennomsnittlig månedslønn for ulike yrkesgrupper». Finn den yrkesgruppa du regner med å tilhøre når du er ferdig med utdanningen. a

Hvor stor er den gjennomsnittlige månedslønna i denne gruppa?

b

Regn ut brutto årslønn.

Hvor mye får hun i fastlønn?

Denne måneden solgte Tuva for 11 920 kr.

Bruk nettsiden utdanning.no og velg «Hva skal jeg bli, yrke og lønn».

c

Hvor mye får hun i provisjon?

c

d

Hvor stor samlet lønn har Tuva denne måneden?

Hvor stor årslønn kan du ifølge utdanning.no forvente når du er ferdig med utdanningen?

d

Ta utgangspunkt i lønna du fant i c. Hvor mye kan du forvente å få i netto månedslønn dersom du trekkes 30 % i skatt?

e

Kommenter netto månedslønn i d i forhold til lønnsforventningene dine.

Tuva jobbet ikke i fjor, men i år har hun til sammen 61 300 kr i inntekt. Hun har rett på fire ukers ferie. e

Hvor mye får Tuva i feriepenger neste år?

5.45 Janne er elektriker og har en ordinær timelønn på 310 kr. Hun får 45 % tillegg på timelønna når hun jobber overtid. Vanlig arbeidstid er 37,5 timer per uke. En uke jobber Janne 42,5 timer. a

5.2 Beregning av lønn og skatt 5.47 Åse tjente 7895 kr i januar. Hun har tabelltrekk og trekkes 1974 kr i skatt denne måneden. Hvor mye får Åse utbetalt netto i januar?

Hvor mye får hun i lønn denne uka?

Janne bruker sin egen bil i jobben og får 4 kr i kjøregodtgjørelse per kilometer hun kjører. I tillegg får hun 1 kr per kilometer for frakt av utstyr hun bruker i jobben. b

Hvor mye får hun i kjøregodtgjørelse når hun siste uke har kjørt 87 km for jobben?

c

Hvor mye skal Janne ha utbetalt denne uka?

5.48 Harry har en brutto månedslønn på 19 850 kr. Han blir trukket 35 % i skatt. Hvor mye får Harry utbetalt? 5.49 Saila er baker og jobber som ekstravakt hos BareBrød AS. På vanlige dager får hun 256 kr i timelønn, men på søndager er timelønna 75 % høyere. En måned har Saila jobbet 19 timer på hverdager og 11 timer på søndager. a

Hvor stor er bruttolønna denne måneden?

b

Bør det brukes tabelltrekk eller prosenttrekk på lønna hennes? Begrunn svaret.


232 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

5.50 Kasper arbeider på et vaskeri og har 37 700 kr i fast månedslønn. Han jobber 162,5 timer per måned. a

Hvor mye har Kasper i ordinær timelønn?

I mai jobber Kasper 15 timer overtid til 50 % tillegg. b

Hvor mange timer jobbet hun i april?

Hva blir bruttolønna hans i mai?

Kasper blir trukket 36 % i skatt og 2 % til pensjon. c

5.53 Aisha jobber i et entreprenørfirma og har 235 kr per time. Hun trekkes 31 % i skatt. I april fikk hun utbetalt 27 890 kr.

Hvor mye får Kasper utbetalt i mai?

5.51 Ulrika jobber som blomsterdekoratør og har en fast månedslønn på 33 200 kr. I mai jobber hun i tillegg 9 timer overtid på ettermiddager til 50 % ekstra i timelønn. Hun jobber også 7 timer en søndag, og da får hun 100 % ekstra i timelønn. Hun betaler 36 % i skatt og trekkes 2 % i pensjonsinnskudd. Ordinær arbeidstid per måned er 162,5 timer. Ulrika får utbetalt 22 350 kr i lønn for mai. Bruk regneark og kontroller at lønna hennes er riktig.

5.52 Randi er gartner. For å anlegge fire plener får hun 42 400 kr i fast månedslønn. I tillegg hjelper hun enkelte ganger til med å vanne plener som er ferdig sådd. Da får hun 28 % ekstra i timelønn på hverdager og 45 % ekstra på søndager. Ordinær arbeidstid per måned er 162,5 timer. Denne måneden har Randi jobbet 7 timer overtid på hverdager og 3 timer på en søndag.

5.54 I mai ville Aisha jobbe overtid for å betale ned en kredittkortgjeld på 3500 kr. Ordinær timelønn er 235 kr per time. Skatten på overtid er 41 %. Hvor mange timer med 50 % overtidstillegg må hun jobbe for å få nok penger til å betale ned lånet?

5.55 Vanligvis har vi tabelltrekk på fast lønn og prosenttrekk på overtidslønn. Randi anlegger fire plener og har 42 400 kr i fast månedslønn. Enkelte ganger hjelper hun i tillegg til med å vanne plener som er ferdig sådd. Da får hun 28 % ekstra i timelønn på hverdager og 45 % ekstra på søndager. Ordinær arbeidstid per måned er 162,5 timer. Denne måneden har Randi jobbet 7 timer overtid på hverdager og 3 timer på en søndag. Hun trekkes 2,2 % til pensjon. Tabelltrekket på fastlønna er 12 958 kr, og hun trekkes 38 % i skatt på overtidslønn. a

Bruk regneark og finn Randis nettolønn denne måneden.

b

Sammenlikn utbetalt lønn i oppgavene 5.52 og 5.55 og forklar hvordan tabelltrekket på fastlønna påvirker hvor mye Randi får utbetalt.

Hun trekkes 36 % i skatt og 2,2 % til pensjon. Bruk regneark og finn nettolønna til Randi denne måneden.


Oppgaver 233

5.56

5.3 Budsjett og regnskap 5.58 I oktober har Rina 29 780 kr i inntekter og 29 570 kr i utgifter. Hun betaler 2499 kr på studielånet sitt hver måned. a

Sivert jobber i et firma som bygger småhus. Han paneler husene innvendig og bruker 24 timer per hus. Han får 9200 kr i lønn for hvert hus. a

b

Hvor mye får Sivert utbetalt denne måneden?

En helg jobber Sivert ekstra med å legge takpapp. Da får han 50 % tillegg på lørdager og 100 % tillegg på søndager. Ordinær timelønn er 350 kr per time. Han jobber like mange timer lørdag og søndag og får utbetalt 4962 kr etter skatt. c

Hun har også lån på bolig og betaler 7810 kr på lånet i måneden. Rina har fått melding fra banken om at månedsbeløpet på boliglånet øker til 8180 kr fra november fordi rentesatsen er gått opp. b

Hvor store blir Rinas månedlige utgifter etter økningen i boliglånet, forutsatt at de andre utgiftene er uendret?

c

Hva har økningen i månedsutgiften på boliglånet å si for Rinas økonomi?

Hvor mye tjener Sivert per time på denne jobben?

I løpet av september rekker han fem hus. Han trekkes 32,5 % skatt på lønna.

Hvor mange prosent av utgiftene til Rina utgjør studielånet?

5.59 Une går siste året på videregående skole og jobber i helgene. Hun får utbetalt 5600 kr i måneden. a

Hva tror du Une bruker pengene sine til?

b

Sett opp et realistisk budsjett som går i balanse for Une.

Hvor mange timer jobbet Sivert denne helga?

5.57 Gå inn på vilbli.no. Finn en jobb du kan tenke deg, og sjekk omtrent hvor stor månedslønna er. Du ønsker å jobbe noen timer ekstra denne måneden for å ha litt ekstra penger til ferien. Lag lønnsslippen du ville ha fått denne måneden.

5.60 Sett opp et realistisk budsjett for deg selv for kommende måned, med og uten bruk av regneark. 5.61 Tom har begynt i lære som ambulansearbeider og får 13 250 kr i måneden det første halvåret av læretiden. Han betaler 4800 kr i husleie i måneden for hybel. En kveld i uka jobber Tom på en bensinstasjon og får utbetalt 3400 kr i måneden. Bruk SIFOs referansebudsjett og sett opp et budsjett for Tom.


234 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

5.62 Tom har fulgt opp budsjettet i forrige oppgave ganske godt gjennom året, men da juli kom, brukte han 300 kr ekstra på klær og sko, 497 kr ekstra på mat og drikke og 1105 kr ekstra på reise.

I februar brukte familien Kahn 7925 kr på mat og drikke, 2392 kr på klær og sko, 1347 kr på personlig pleie, 2993 kr på reise, 1300 kr på mediebruk og fritid og 5829 kr på bil. Resten av utgiftene var som budsjettert.

Sett opp regnskapet til Tom for juli.

b

5.63 Bruk regneark i denne oppgaven. I juli er det ferietid. Da er det fort gjort å bruke mer penger enn ellers i året. Du har jobbet en del i løpet av skoleåret og vært flink til å sette av penger til ferie. Du har satt opp følgende inntekter og utgifter i budsjettet for juli: Inntekt:

11 370 kr

Utgifter:

Mat og drikke 2000 kr, klær og sko 1000 kr, feriereise 7000 kr og andre utgifter 1200 kr

Når juli er over, setter du opp regnskapet for de faktiske inntektene og utgiftene. Inntekt:

11 370 kr

Utgifter:

Mat og drikke 1854 kr, klær og sko 1379 kr, feriereise 7450 kr, andre utgifter 1430 kr

a

Før budsjett og regnskap for juli.

b

Regn ut avviket mellom budsjett og regnskap for juli, både i kroner og i prosent. Kommenter tallene du kom fram til.

5.64 Familien Kahn består av far og to gutter på 11 og 17 år. Familiens samlede inntekt er 41 740 kr per måned, og faste utgifter utgjør 11 700 kr i måneden. Familien har en bil. a

Bruk SIFOs referansebudsjett og sett opp et månedsbudsjett for familien Kahn.

Før regnskapet og utfør budsjettkontroll for familien Kahn for februar.

5.65 Eva og Even skal snart gifte seg. De vil ha et stort bryllup med familie og gode venner, og de må leie et selskapslokale for dette formålet. a

Sett opp en oversikt over hva Eva og Even kommer til å bruke penger på i forbindelse med bryllupet.

b

Søk på Internett for å finne omtrent hvor mye de må betale for de ulike postene du kom fram til i a.

c

Sett opp et budsjett over utgiftene til Eva og Evens bryllup.

5.66 Du har fått lærlingplass så langt hjemmefra at du må flytte på hybel. Det er ikke så lett å få pengene til å strekke til, så du vil sette opp budsjett og føre regnskap. a

Finn ut hvor mye du får i lønn det første halvåret av læretiden.

I tillegg til lønn har du også rett til bostipend og lån fra Lånekassa. b

Finn ut hvor mye du kan få i bostipend. Bruk vilbli.no både i a og b.

c

Let i avisa, på finn.no e.l. og finn deg en passende hybel. Hvor mye må du ut med i husleie?

d

Sett opp et realistisk budsjett som viser inntektene og utgiftene dine i september. Husk at budsjettet ikke må ha negativ utgående beholdning. Bruk SIFOs referansebudsjett og regneark.


Oppgaver 235

I oktober hadde du følgende inntekter og utgifter: Inntekter: Utbetalt lønn 8925 kr, studielån, bostipend Utgifter:

Husleie 6500 kr, strøm 1340 kr, mat 2634 kr, reise 750 kr, telefon og Internett 1190 kr, fritid 2790 kr, klær og sko 1700 kr, andre utgifter 3973 kr

Underskudd fra september: 824 kr e

Sett opp regnskap for oktober og vurder din økonomiske situasjon denne måneden.

5.67

5.4 Sparing 5.68 Nora setter inn 25 000 kr på en bankkonto til 2,0 % rente per år. a

Finn ved regning hvor mye Nora har på kontoen etter ett år.

b

Hvor mye har Nora innestående etter tre år?

5.69 Viktor sparer 6000 kr på en konto i banken hver måned, og renta er 1,5 % per år. a

Bruk en sparekalkulator og finn ut hvor mye Viktor har i banken etter fem år.

DIN BANK

INNTEKTER Inntekter Andre inntekter

29 530,93 9 000,00

SUM

38 530,93

UTGIFTER Mat og drikke Levekostnader Bolig og fritidseiendom Bil og transport Ferie og fritid Øvrige utgifter Ikke kategorisert Sparing

-4 818,36 -6 996,69 -2 762,74 -3 462,62 -3 402,00 -3 483,79 -5 796,00 -0,00 -30 722,20

SUM

Etter å ha spart i fem år skal Viktor kjøpe sin første bolig. For å få lån i banken må han ha en egenkapital på minst 15 % av prisen på boligen. b

Hvor dyr bolig kan Viktor kjøpe når han bruker sparepengene sine som egenkapital?

Viktor finner en liten leilighet utenfor byen og må låne 1 900 000 kr. Banken tilbyr et annuitetslån til 3,35 % rente per år, nedbetalt over tjue år med tolv terminer per år.

SUM UTGIFTER

- 30 722,20

DIFFERANSE

7 808,73

Bruk regnskapet fra nettbanken i denne oppgaven. Regnskapet gjelder en husholdning med en voksen person. a

b

Sammenlikn inntekter og utgifter i regnskapet med SIFOs referansebudsjett og gi en kommentar til tallene i regnskapet. Sett opp et budsjett for neste måned over de ulike inntektene og utgiftene du regner med å ha.

Husk at budsjettet aldri skal gi et underskudd. Går det mer penger ut enn det kommer inn, må du øke inntektene eller redusere utgiftene.

c

Bruk en lånekalkulator og finn månedlig terminbeløp.

d

Hvor mye har lånet kostet Viktor når det er ferdig nedbetalt?

5.70 Juan setter inn 10 000 kr på en konto hvert år. Han får 3,5 % årlig rente. a

Hvor mye penger har Juan på kontoen i slutten av det fjerde året?

b

Hvor mange kroner har han på kontoen like etter at han satte inn det femte beløpet?


236 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

5.71 Bruk sparekalkulator i denne oppgaven. Kari sparer i aksjefond. Hun sparer 5000 kr hver måned, og renta er 5,4 % per år. a

Hvor mye penger har Kari på kontoen etter ett år?

b

Hvor mye penger har hun på kontoen etter fem år?

5.72 Truls ønsker seg en fin klokke. Den koster nå 48 000 kr, men han må spare penger før han kan kjøpe klokka. Prisen på klokka øker med 2,8 % per år. a

Hvor mye er klokka verdt om tre år?

b

Bruk en sparekalkulator og finn hvor mye Truls må spare hver måned i tre år til 1,85 % rente per år, for å få råd til klokka?

5.73 Kåre fikk 50 000 kr på 18-årsdagen sin. Pengene satte han inn på konto i banken samme dag til 1,9 % årlig rente på sparepengene. På 19-årsdagen sin tok han ut 20 000 kr, og på 20-årsdagen tok han ut 20 000 kr til. Hvor mye penger hadde Kåre i banken den dagen han fylte 22 år?

5.74 Pierre kjøper og selger aksjer. Han kar kjøpt 250 aksjer til 160 kr per stykk i Vind & Vann Energi AS. Han kan tjene på å selge aksjene og på å motta utbytte dersom bedriften går med overskudd.

Pierre kommer i en situasjon der han trenger penger, og bestemmer seg for å selge resten av aksjene sine. Når han selger, er aksjekursen 226 kr per aksje. c

Hvor mye får han for dette aksjesalget?

d

Hvor mye har Pierre totalt tjent på aksjene han kjøpte?

5.75 Carl planlegger å kjøpe en hytte av sin gamle onkel om fire år. Hytta har en verdi på 860 000 kr i dag, og det forventes at verdien vil stige med 3 % per år fram til Carl kan kjøpe den. a

Hva blir hyttas verdi om fire år?

Carl har allerede 690 000 kr i banken og får 2,9 % rente per år på sparepengene sine. b

Hvor mye penger vil Carl ha i banken om fire år?

c

Bruk en sparekalkulator til å finne hvor mye Carl må spare hver måned for å kunne kjøpe hytta om fire år.

5.76 Søk på nettsidene til tre ulike banker for å se hvilke sparevilkår de tilbyr for boligsparing. a

Hvilken bank tilbyr høyest rente, og hvor mange prosent er denne renta på?

b

Hvilken bank tilbyr lavest rente, og hvor mange prosent er denne renta på?

c

Hvilke betingelser gjelder for BSU-sparing?

5.77 Aisha har 50 000 kr på en sparekonto til 1,95 % rente per år.

Vind & Vann Energi AS er i medvind for tiden og ønsker å dele ut et utbytte på 12 % til sine aksjonærer. Utbyttet beregnes av prisen aksjene ble kjøpt for.

a

Hva har beløpet vokst til etter fire år?

b

Hvor mye har Aisha i banken etter åtte år dersom pengene står på kontoen hele tiden?

a

Hvor mye får Pierre i utbytte på aksjene sine?

c

Verdien på aksjene til Pierre øker fra 160 kr til 235 kr. Han bestemmer seg for å selge halvparten av aksjene sine.

Hvor mange kroner får hun i rente de fire første årene?

d

Hvor mange kroner får hun i rente de siste fire årene?

e

Sammenlikn og kommenter rentebeløpene du fant i c og d.

b

Hvor mye får Pierre for disse aksjene?


Oppgaver 237

5.78 Kine er 15 år og begynner å glede seg til hun kan få førerkort. Men hun vet at det er nokså dyrt, i gjennomsnitt koster det ca. 30 000 kr. Du kan finne flere detaljer om hva de ulike delene av føreropplæringen koster, på altomforerkortet.no/forerkort-priser. Kine har 12 000 kr på en sparekonto til 2,1 % årlig rente. a

Prøv å finne ut ved regning omtrent hvor lenge pengene må stå på konto for å kunne dekke de 30 000 kr førerkortet vil koste.

b

Bruk en sparekalkulator til å finne ut om svaret ditt i a stemte.

c

Dersom Kine skal ha råd til førerkort når hun er 18 år, hvor mye må hun i tillegg spare hver måned i tre år?

5.79 Fiona er 23 år og i fast jobb. Hun har arvet 100 000 kr etter sin farmor. Hun ønsker å spare pengene over lang tid for å sikre en trygg økonomi seinere i livet. Det finnes flere ulike spareformer, og Fiona er litt usikker på hva hun bør velge.

Fiona synes det kan være fristende å investere arvepengene sine i aksjer for å få høy avkastning. På finanssans.no/dine-forste-aksjer kan du lære mer om investering i aksjer. e

5.5 Lån 5.80 Samuel får et serielån på 84 000 kr i banken for å kjøpe bil. Renta er 4,3 % per år. Han betaler etableringsgebyr på 1500 kr. a

Hvor mye må Samuel betale i avdrag per år dersom lånet nedbetales over tre år med én termin i året?

b

Hvor mye har han betalt i renter og gebyr når lånet er nedbetalt?

c

Hvor mye koster lånet ham totalt?

5.81 a Bruk en lånekalkulator til å finne hvor mye lånet til Samuel i forrige oppgave ville kostet hvis det hadde vært tolv terminer hvert år. b

I tillegg til de 100 000 kr hun har arvet, ønsker hun å spare 2000 kr i måneden. a

Bruk en sparekalkulator og finn hvor mye Fiona har på konto etter ti år dersom hun setter pengene i en bank til 1,9 % rente per år.

b

Bruk en kalkulator for sparing i fond og finn hvor mye penger hun har etter ti års sparing i aksjefond når avkastningen er 5,8 % per år.

c

Hvor mye penger har Fiona etter ti år dersom hun setter arven på 100 000 kr inn på en bankkonto til 1,9 % årlig rente og samtidig sparer 2000 kr i måneden på en BSU-konto til 3,9 % rente per år?

d

Vil du råde Fiona til å velge sparing i bank, sparing i aksjefond eller sparing på en BSU-konto?

Hvilket råd vil du gi Fiona – bør hun investere arvepengene sine i aksjer?

Hvor stor del av de totale kostnadene i dette lånet er renter og gebyr?

5.82

Lars skal begynne med utleie av kanoer. Han trenger 8 kanoer og 16 padlevester. Hver kano koster 8690 kr, og padlevestene kommer på 699 kr per stykk. Lars har 24 000 kr selv, resten må han låne. a

Hvor mye må Lars låne?


238 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

Banken tilbyr Lars et serielån til 3,4 % rente per år, nedbetalt over tre år med én termin per år.

5.84 Bruk laanekalkulator.no.

b

Hvor store avdrag på lånet betaler Lars hvert av de tre årene? (Vi regner ikke med etableringsgebyr i denne utregningen.)

c

Hvor mye betaler Lars i rente det første, det andre og det tredje året?

Mona skal bygge på huset. Hun har behov for å låne 760 000 kr og får et annuitetslån i banken til 3,25 % årlig rente over ti år og med tolv terminer per år. I tillegg kommer etableringsgebyr på 1500 kr og termingebyr på 50 kr per termin.

d

Hvor mye har lånet kostet Lars når det er ferdig nedbetalt?

5.83 Lars har tjent godt på å leie ut kanoer. Han etablerer et eget firma som skal drive med ulike vannaktiviteter i en innsjø. For å ha et sted å oppbevare kanoer og annet utstyr på planlegger Lars å bygge et naust og en overbygd rasteplass. Lars får et tilbud om å låne 670 000 kr til 3,0 % årlig rente, og med tolv terminer per år i nedbetalingstiden. Han kan velge mellom følgende nedbetalingsalternativer.

a

Hvor mye må Mona betale i rente på lånet den første og den andre terminen?

b

Hvor store avdrag betaler hun de to første terminene?

c

Hvordan vil forholdet mellom renter og avdrag utvikle seg fram til lånet er nedbetalt?

5.85 Diagram 1 Kr 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000

Alternativ 1

Alternativ 2

Nedbetalingstid

7 år

7 år

Avdragsfritt

2 år*

0 år

Terminbeløp

12 945 kr

9810 kr

* I den avdragsfrie perioden betaler han bare rente på hele lånesummen. Nedbetalingen av lånet skjer de siste fem årene.

Gjør nødvendige beregninger for å gi Lars råd om hvilket alternativ han bør velge.

2 000 1

2

3

4

Avdrag

5

6

7

8

År

Renter

Diagram 2 Kr 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 1

2 3 Avdrag

4

5 6 Renter

7

8

År


Oppgaver 239

Diagrammene på forrige side viser utviklingen av forholdet mellom avdrag og renter ved to ulike lånetyper. a

Hvilke typer lån viser diagram 1 og diagram 2?

b

Forklar hvordan forholdet mellom avdrag og renter utvikler seg i løpet av nedbetalingstiden for de to lånetypene.

5.86 Bruk lånekalkulator fra en bank i denne oppgaven. Bruk bankens egen rente. Familien Bru ønsker å kjøpe ny bolig. De kan bruke 15 000 kr i måneden til å betale renter og avdrag. a

Hvor stort lån har familien Bru nok penger til å låne hvis de får et annuitetslån med nedbetalingstid på 25 år, og renta er 3,25 % per år?

b

Hvor stort lån har familien Bru nok penger til å låne hvis de får et serielån med nedbetalingstid på 25 år, og renta er 3,25 % per år?

5.87 a Velg lånekalkulatoren til to ulike nettbanker og finn hvilke betingelser de tilbyr for et billån på 276 000 kr, når du må låne alt bilen koster. Velg å nedbetale lånet over sju år. b

Hvor høy var den nominelle og den effektive renta i de to bankene?

c

Hvor mye må du betale hver måned på de to ulike lånene?

d e

Hvor mye har du betalt på de to ulike lånene når lånet er ferdig nedbetalt?

Hva er prisen på boligen?

c

Hvor mye må du ha i egenkapital for å få lånet?

d

Hvor mange kroner har du betalt totalt når lånet er nedbetalt?

Endre lånet til å gjelde 60 % av prisen på boligen, med en årlig rente på 3,05 %. e

Finn månedsbeløp, egenkapitalbehov og total innbetaling på dette lånet.

f

Sammenlikn og kommenter tallene du fant i a, c og d, med tallene du fant i e.

g

Hvordan påvirkes kostnader og renter dersom lånet betales tilbake over tjue år?

5.89 På nettsidene til Statens lånekasse finner du betingelser for å få stipend og lån til utdanning. a

Bruk lanekassen.no/stottekalkulator/ og legg inn informasjon om det du mener er din utdanningssituasjon et par år fram i tid. Når det gjelder foresattes samlede inntekt, er det greit å velge det du antar er samlet inntekt.

b

Om du har planer om videre studier seinere, kan du legge inn ny informasjon og finne ut hvor mye støtte du kan få da.

Nedbetaling av studielånet begynner først når utdanningen er over. c

Bruk lanekassen.no/nedbetalingskalkulator/ for å finne ut hvor mye du må betale tilbake. Har du ingen lånesum å legge inn i kalkulatoren, kan du for eksempel legge inn 350 000.

d

Hvor mange år tar det før studiegjelda er nedbetalt?

e

Hvor mange prosentpoeng utgjør forskjellen på nominell og effektiv rente, og hva skyldes denne forskjellen?

Hvilket lån ville du valgt? Begrunn svaret ditt.

5.88 Velg en nettbank og bruk bankens boliglånskalkulator til å beregne kostnadene ved et annuitetslån på 2 600 000 kr når nedbetalingstiden er 25 år, renta er 3,15 % per år, og lånet utgjør 80 % av prisen på boligen. Lånet har tolv terminer per år. a

b

Hvor mye må du betale hver måned på dette lånet?


240 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

5.90 Agate har funnet en liten leilighet og trenger et boliglån. Hun får tilbud fra banken om å låne 1 550 000 kr over 16 år til 3,35 % rente per år. Bruk regneark og finn hvor mye lånet vil koste Agate dersom hun betaler ned på lånet en gang per år, og terminbeløpet er 126 722 kr.

5.93 Linda skal kjøpe ny mobiltelefon. Den koster 9813 kr uten abonnement. Hun kan velge mellom å betale hele beløpet med en gang eller betale et mindre beløp over flere måneder:

5.6 Kredittlån

1 måned

9813 kr/md.

3 måneder

3301 kr/md.

12 måneder

859 kr/md.

24 måneder

483 kr/md.

48 måneder

301 kr/md.

72 måneder

272 kr/md.

5.91 Carina har skaffet seg en kredittgjeld på 34 500 kr. Månedsrenta på kredittkortet er 1,7 %.

a

Hvor mye ekstra koster det Linda å betale ned telefonen i løpet av 3 måneder, 12 måneder og 48 måneder?

a

b

Hvor mange prosent dyrere blir telefonen dersom hun betaler den ned i løpet av 48 måneder, enn om hun betaler kontant?

c

Hvilket betalingsalternativ bør Linda velge? Begrunn rådet ditt.

Hvor mange prosent er den årlige renta?

Carina greier ikke å betale ned gjelda før etter to år. b

Hvor stor var gjelda hennes blitt da?

c

Hvor mye mer må hun betale etter to år enn om hun hadde betalt gjelda med en gang?

5.92 Adil kjøper en ny PC som koster 12 700 kr. Han betaler med kredittkort med en månedsrente på 1,4 %. Han venter med å betale til det har gått åtte måneder.

5.94 Johan har kjøpt en sykkel til 15 000 kr med kredittkort, og renta er 1,45 % per måned. Johan klarer ikke betale ned noe på gjelda.

a

Hvor mye skylder Adil etter tre måneder?

Hvilket uttrykk nedenfor gir svaret på hvor mye Johan skylder etter ett år?

b

Hvor mye må han betale tilbake når det er gått åtte måneder?

a

15 000 kr 1,0145 12

b

15 000 kr 1,014512

c

Hvor mye rente er det blitt på PC-kjøpet i løpet av åtte måneder?

c

15 000 kr 1,01451

d

Hvor mange prosent er årsrenta når månedsrenta er 1,4 %?

d

15 000 kr 0,985512


Oppgaver 241

5.95 Birger trenger ny sofa og finner en han synes er fin i Møbelbutikken AS. Sofaen koster 26 999 kr, men Birger får tilbud om å betale ned sofaen i løpet av et år med «Handlekonto».

Wille innser at han må endre livsstil for å få betalt ned kredittkortlånene sine. Han tar derfor opp et forbrukslån på 50 000 kr til 13,2 % årlig rente, som han betaler ned begge kredittlånene med etter fire måneder. d

Handlekonto Med en handlekonto kan du velge å betale litt hver måned i det tempoet som passer deg. Etableringsgebyr: 0,– Nominell rente:

14,90 %

Termingebyr:

55 NOK

Månedsbeløp:

Fleksibelt med et minimumsbeløp hver måned

a

Bruk laanekalkulator.no (for annuitetslån) og finn ut hvor mye sofaen har kostet Birger i løpet av ett år.

b

Hvor mange prosent hadde Birger spart på å betale sofaen med en gang?

c

Hvor mye hadde sofaen kostet hvis Birger hadde brukt et kredittkort med 1,7 % månedsrente og betalt sofaen etter tolv måneder?

5.97 Frida trenger ny vaskemaskin. Hun finner en fin vaskemaskin på tilbud til 5995 kr.

b

Hvor høy er årsrenta på kredittkort 1?

Med kredittkort 2 har han et lån på 18 310 kr, og månedsrenta er 1,66 %. c

Hvor stort blir lånet dersom han må vente tolv måneder med å betale det ned?

Utsette eller delbetale med Handlekonto?

Antall terminer Termingebyr Finansieringsgrunnlag Finansieringskostnader Total finansieringspris Effektiv rente

12 50 5995 1326,41 7321,41 46,23 %

Søknad om handlekonto med tilhørende kredittkort forutsetter kredittvurdering. Dersom beløpet ikke betales etter endt betalingsutsettelse, går man over til delbetaling med følgende priseksempel: Eff. rente 30,4 %, kr 20 000 o/12 md., kostnad kr 3022, totalt kr 23 022.

Med kredittkort 1 har han et lån på 24 670 kr, og månedsrenta er 1,92 %. Hvor stort vil lånet bli etter seks måneder?

Frakt fra kr 0,00

610 kr per måned

5.96 Wille er litt sliten etter en periode med reiser og mye uteliv. Han har brukt en del penger, men har lite å betale tilbake kredittlånet sitt med. Han er i jobb, men inntekten rekker ikke til alt han har lyst til å gjøre. Han har nå kredittlån på to ulike kort.

a

Hvor mye av forbrukslånet må Wille bruke for å betale ned kredittlånene?

Mer informasjon ►

a

Hvor mye koster vaskemaskinen hvis Frida betaler den ned over tolv måneder?

b

Finn ut hvor mye Frida da må betale hver måned.

c

Kommenter vilkårene ovenfor, for delbetaling over tolv måneder.

d

Gi et råd til Frida om hvordan hun bør betale vaskemaskinen.


242 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

5.98 Priser ved bruk av kredittkort* Årspris

0,–

Erstatningskort

0,–

a

Hva er kortets nominelle rente og effektive rente per år?

b

Hvor mye koster det å ta ut penger i minibank i Norge og i utlandet fra 1. mai 2018?

c

Hvor lang er den rentefrie perioden? Er det gebyr hvis vi trenger lengre betalingsutsettelse? Er det purregebyrer?

d

Hvor mye må du betale i rente hvis du har et lån på 18 000 kr som du venter ett år med å betale tilbake?

Kostnader ved bruk av kortet Gebyr på varekjøp

0,–

Kontantuttak i minibank, utland fra 1. mai 2018

0,–

Kontantuttak over skranke, utland fra 1. mai 2018

0,–

Kontantuttak i minibank, innland fra 1. mai 2018

40,– + 1 % av uttak

Kontantuttak over skranke, innland* fra 1. mai 2018

40,– + 1 % av uttak

Rentefri kreditt

inntil 45 dager

Nedbetaling for kort signert etter 15. mai 2019: 3,2 % av benyttet kreditt, minimum kr 250

2,5 % av benyttet kreditt, minimum kr 250,–

* Bruk av kredittkort på postkontor og Post i butikk regnes som kontantuttak over skranke.

Rente Nominell rente

18,30 % p.a.

Effektiv rente**

19,92 % p.a.

** Basert på et eksempel på kr 15000 nedbetalt over 12 md. Kredittkostnad 1281,–

5.99 Eva og Even har nylig giftet seg. De ønsket et stort og fint bryllup med familie og venner, men det koster å gifte seg. De bestemmer seg for å betale utgiftene med kredittkort, men vil betale ned innen fristen for betalingsutsettelse, som er 45 dager. Renta på kredittkortet deres er 1,55 % per måned. Utgiftene til bryllupet kom på totalt 125 000 kr. Eva og Even ønsket å betale bryllupet selv og har derfor spart en del på forhånd. Eva har spart 29 600 kr, og Even har spart 27 500 kr før den store dagen. De fikk også 20 000 kr fra foreldrene sine. a

Andre priser Valutapåslag fra 1. mai 2018

2%

Gebyr ved eFaktura

0,–

Gebyr ved papirfaktura

45,–

Kopi av faktura

20,–

Overføring fra kredittkort til konto fra 1. mai 2018

kr 25,– +1%

Overtrekksgegyr***

125,–

Purregebyr

Iht. statens satser

*** Overtrekksgebyr belastes dersom den innvilgede kredittgrensen overskrides.

Ovenfor ser du et eksempel på hva det koster å bruke et kredittkort. Ulike kredittkort har litt ulike vilkår. Bruk opplysningene i tabellen til å svare på oppgaven.

Hvor mye måtte Eva og Even betale med kredittkortet?

Det er så mye de trenger til sitt felles hjem, så de vurderer å utsette betalingen på kredittlånet noen måneder. b

Hvor mye må de betale dersom de venter tolv måneder med å betale?

c

Hvor høy rente er det per år på kredittlånet?

d

Hvor mange prosent øker kredittlånet deres med dersom de velger å utsette betalingen i tolv måneder?

Even mener at det i stedet kan være lurt å ta opp et forbrukslån, slik at de kan betale ned kredittlånet innen fristen. Han får tilbud om et forbrukslån med 12,9 % rente per år. e

Hvor mye koster forbrukslånet i løpet av ett år?


Oppgaver 243

5.100

Blandede oppgaver 5.101 Du får vite følgende om lønna til Claude: Han har en fast brutto månedslønn på 41 360 kr. Han betaler 2 % i pensjonsinnskudd og har et prosentkort med skattetrekk på 32 %. Lag et ryddig og oversiktlig regneark for å beregne Claudes netto månedslønn.

5.102 Arbeid i grupper på tre–fire elever. Finn hvor mye dere antar det vil koste å reise sammen på en to ukers ferie til fjerne strøk. Bruk gjerne en reiseplanlegger på Internett for å finne priser. Det er vanlig å betale slike reiser med kredittkort, fordi det er vanlig at reiseforsikring er inkludert i kredittkortet. Finn et kredittkort på nettet som dere ønsker å bruke. a

Hvilke betingelser har kortet dere valgte?

b

Hvor mye må dere betale for reisen dersom dere betaler innen betalingsfristen?

c

Hva må dere betale for reisen dersom dere betaler etter tre måneder, og hva må dere betale hvis dere venter ett år?

Søk etter et passende forbrukslån. d

Hvor mye må dere betale for reisen dersom dere velger forbrukslån i stedet for kredittlån, og venter ett år med å betale?

Agathe vil begynne å dykke og trenger dykkerutstyr. På nettet finner hun et tilbud med alt hun ønsker, til 22 999 kr. Hun bestemmer seg for det. Agathe har 12 300 kr på en konto i banken, men resten av beløpet må hun låne. a

Hvor mye trenger Agathe å låne?

Søk på nettet og finn et gunstig forbrukslån for Agathe, som hun betaler tilbake over tre år med én termin per år. b

Hvor mye må Agathe betale i rente det første året?

c

Bruk en lånekalkulator og lag en nedbetalingsplan for Agathe.

d

Hvor mye har dykkerutstyret totalt kostet henne når lånet er ferdig nedbetalt?


244 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

5.103 Karin er 18 år og har nylig begynt i lære for å bli helsefagarbeider. Vanlig lønn for en helsefagarbeider er 435 670 kr. I læretiden får Karin 30 % av fagarbeiderlønn det første halve året, deretter øker lønna hvert halvår til 40 %, 60 % og 80 %. a

Hvor mye får Karin i månedslønn det første halvåret?

b

Hvor mye får Karin i månedslønn det andre året?

Karin leier en liten leilighet i nærheten av arbeidsplassen. Hun betaler 5200 kr i husleie inkludert strøm. I tillegg til lærlinglønna får hun 4100 kr i grunnstipend fra Statens lånekasse. c

d

Bruk SIFOs referansebudsjett og sett opp Karins budsjett for den første måneden av læretiden. Kommenter budsjettet. Hvis Karin får penger til overs, kan det være lurt å spare noen kroner. Hva vil være den beste måten for Karin å spare på?

5.104 Rakel og Rihna har sommerjobb som isselgere på stranda. De kan velge mellom akkordlønn eller provisjonslønn. Hvis de velger akkordlønn, får de 2,50 kr for hver is de selger. Hvis de velger provisjonslønn, får de 48 kr i fast timelønn og 1,50 kr for hver is de selger. Rakel velger akkordlønn, mens Rhina velger provisjonslønn. a

Hva blir Rakels timelønn hvis hun selger 44 iskremer i timen?

En dag har Rihna tjent 900 kr. Hun har arbeidet i åtte timer. b

Hvor mange iskremer solgte hun denne dagen?

c

Hvor mye ville Rakel tjent hvis hun hadde solgt like mange iskremer som Rihna?

5.105 Samuel skal kjøpe ny mobiltelefon uten binding til et abonnement. Han kan velge mellom tre ulike betalingsalternativer. Bruk en lånekalkulator for forbrukslån, for eksempel lån.no/lånekalkulator/forbrukslån, til å beregne alternativ 2 i a og b. Alternativ 1:

Kontant betaling på 7990 kr

Alternativ 2:

Nedbetaling over 36 måneder og 23,6 % rente per år

Alternativ 3:

Nedbetaling over 24 måneder med 389 kr per måned

a

Gjør nødvendige beregninger for å kunne gi Samuel råd om hvilket alternativ han bør velge.

b

Hvor mange kroner må Samuel betale hver måned hvis han velger alternativ 2?

c

Hvor mange kroner sparer Samuel på å velge det billigste alternativet i stedet for det dyreste?

d

Hvor mye kan Samuel ha i banken etter tre år dersom han satte 3000 kr av pengene han sparte i c, på en konto til 2 % årlig rente?

Samuel setter 3000 kr av pengene han sparte i c, inn i et aksjefond til 4,0 % årlig rente. Han fortsatte med å sette inn like store beløp hver måned i fem år. e

Hvor stort er aksjefondet til Samuel blitt etter fem år?

5.106 Sindre og Sandra skal kjøpe sin første bolig. Til sammen har de en årlig inntekt på 824 000 kr. De siste seks årene har de hatt hver sin BSU-konto og spart maksimalt årlig beløp. a

Søk på Internett og finn hvor mye Sindre og Sandra har satt inn på BSU-konto i løpet av disse seks årene, og hvor høy renteprosenten er.

b

Hvor mye har de innestående på BSU-kontoene sine når rentene i løpet av seks år er tatt med?

Sindre og Sandra har funnet en bolig til 2 690 000 kr. c

Hvor mye trenger Sindre og Sandra å låne?


Oppgaver 245

d

e

Finn en nettbank og bruk lånekalkulatoren til å finne hvor mye de må betale på lånet per måned hvis lånet nedbetales over tjue år med tolv terminer per år. Hvor stort blir terminbeløpet hvis de i stedet betaler ned lånet over 25 år? Forklar denne forskjellen i terminbeløp.

5.107 (Eksamen våren 2019) Siri er 20 år og har en deltidsjobb. I 2018 tjente hun 76 450 kr. Hun må betale 25 % skatt av den delen av lønna hennes som overstiger 54 650 kr. a

Hvor mye må Siri betale i skatt av det hun tjente i 2018?

Siri har hørt at hun kan betale mindre i skatt dersom hun sparer til egen bolig. Hun undersøker litt på Internett og finner utklippet nedenfor på ung.no: Spørsmål

Gutt 15 år

Hva er BSU?

Svar

Besvart 02.03.2018 16:43

Hei BSU betyr boligsparing for ungdom. Det er en egen sparekonto for ungdom opp til 34 år for sparing til egen bolig. I tillegg til høy rente får de som har jobb og betaler skatt, redusert skatten sin med 20 % av det de sparer opp til 25 000 per år. Det oppsparte beløpet kan bare brukes til å kjøpe bolig eller nedbetale boliglån. Når du får deg jobb og begynner å betale skatt, vil jeg anbefale deg å starte med BSU-sparing, som er den beste spareformen for unge folk. Hilsen Husbanken i samarbeid med Ung.no

Siri oppretter en konto for boligsparing for ungdom (BSU) og setter inn 25 000 kr der i 2018. b

Hvor mye må Siri nå betale i skatt av det hun tjente i 2018?

5.108 (Eksamen høsten 2017) Per har deltidsjobb i en matvarebutikk. Han er ikke sikker på hvor mye han kommer til å tjene i løpet av 2017, og kan velge mellom to alternative skattetrekk. Alternativ 1 – Frikort Han kan tjene inntil 55 000 kr uten skattetrekk. Dersom han tjener mer enn 55 000 kr, får han et skattetrekk på 50 % av den delen av lønna som overstiger 55 000 kr. Alternativ 2 – Prosentkort Han får et skattetrekk på 10 % av alt han tjener. Anta at Per kommer til å tjene 60 000 kr i 2017. a

Regn ut Pers nettolønn etter hvert av alternativene ovenfor.

Per ønsker å lage en oversikt i et regneark for å finne ut hvor mye han vil få i nettolønn ved ulike inntekter etter de to alternativene. I regnearket nedenfor har vi lagt inn en del mulige inntekter for Per i 2017.


246 KAPITTEL 5 – PERSONLIG ØKONOMI

b

c

Lag et regneark som vist foran. Du skal sette inn formler i de blå cellene og beregne skattetrekk og nettolønn. Hvor mye må Per tjene for at de to alternativene skal gi nøyaktig like stort skattetrekk?

5.110 (Eksamen våren 2018) Anne har begynt å spare til egen gård i Gårdssparing for unge (GSU). Fra og med 2015 har hun 1. januar hvert år satt inn 15 000 kr og fått 4,50 % rente per år. A

B

C

D

5.109 (Eksamen våren 2018)

1 Sparing for Anne 2 Renter

4,50 %

Olav har fått sommerjobb, der han skal plukke moreller. Morellene skal legges i kurver. Salgsprisen for en kurv moreller inkludert 15 % merverdiavgift er 69 kr.

3 Årlig sparebeløp

15000

4

Årstall

Starten av året

Renter

Slutten av året

5

2015

15000,00

675,00

15675,00

6

2016

30675,00

1380,38

32055,38

Alternativ 2: fast timelønn på 80 kr og i tillegg 3 kr for hver kurv moreller han plukker

7

2017

47055,38

2117,49

49172,87

8

2018

Alternativ 3: 12 % av salgsprisen uten merverdiavgift for hver kurv moreller han plukker

9

2019

10

2020

11

2021

12

2022

13

2023

14

2024

Olav kan velge mellom tre ulike alternativer når det gjelder lønn. Alternativ 1: fast timelønn på 135 kr

a

b

Hvor mange kurver med moreller må Olav plukke i løpet av en time for at alternativ 2 skal gi høyere lønn enn alternativ 1? Hvor mange kurver med moreller må Olav plukke i løpet av en dag for å tjene 1000 kr dersom han velger alternativ 3?

Regnearket ovenfor viser Annes spareplan. Hun har selv fylt inn de tre første årene. a

Bruk regnearket, fyll inn og fullfør spareplanen for Anne til og med 2024.

b

Hvor mange kroner får Anne i renter fra og med 2015 til og med 2024?

c

Hvor mange kroner ville Anne hatt på kontoen dersom hun i stedet hadde spart 30 000 kr per år fra 2015?


Oppgaver 247

5.111 (Eksamen våren 2016) I februar arbeidet Elias 110 timer i ukedagene og 17 timer på lørdager. I ukedagene var timelønna 140 kr, og lørdager fikk han et tillegg på 50 %. Han betalte 32 % skatt av alt han tjente. a

Sett opp et regneark som vist nedenfor, og bruk dette til å bestemme nettolønna til Elias i februar. Legg inn opplysninger i de hvite cellene. Lag cellereferanser og formler i de blå cellene. A 1

Inndata

2

Timelønn ukedager

3

Tillegg lørdager

4

Timelønn lørdager

5

Skattetrekk

6 Antall timer

7 8

Ukedager

9

Lørdager

10 11

Månedslønn

12 Lønn ukedager 13 Lønn lørdager 14 Bruttolønn 15 Skattetrekk 16 Nettolønn 17

B

Fra mars overførte Elias alt over 12 000 kr av netto månedslønn til en sparekonto. Etter arbeidsplanen skal han arbeide åtte timer på lørdager og resten i ukedagene. b

Bruk regnearket og finn ut hvor mange timer han må arbeide på ukedager i mars for å kunne sette av 2000 kr til sparing.

I januar 1989 satte bestefar inn 5000 kr på en sparekonto til 4 % rente. Kontoen har stått urørt fram til januar 2016. Nå vil bestefar gi alle pengene til Elias. c

Hvor mange kroner får Elias av bestefar?


6

KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD


Koldtbord til konfirmasjon Du har startet ditt eget firma som leverer mat til ulike arrangementer, og har spesialisert deg på koldtbord og småretter. Nå har du fått en forespørsel om hvor mye det vil koste å levere koldtbord til en konfirmasjon med 50 gjester. Anbudet må være lavt nok til at det er konkurransedyktig, men samtidig høyt nok til at du dekker kostnadene dine og får fortjeneste. For å få oppdraget må du vite noe om å sette opp anbud. I dette kapitlet lærer du om ulike forhold som påvirker denne anbudsprisen. I aktivitet 6.1 kan du prøve deg på dette oppdraget.

Kapitteloversikt I 6.1 Kostnader lærer du å beregne ulike kostnader for en vare, en tjeneste eller et oppdrag. I 6.2 Selvkost lærer du å regne ut totale kostnader. I 6.3 Fortjeneste og merverdiavgift lærer du hvordan fortjeneste og merverdiavgift skal beregnes. I 6.4 Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag lærer du å gi anbudspriser. I 6.5 Budsjetter for en virksomhet lærer du å sette opp et resultatbudsjett for en virksomhet og å gjennomføre budsjettkontroll.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

lese, bruke og lage regneark i arbeidet med budsjett, anbud og kostnadsberegning knyttet til restaurant- og matfag, og vurdere hvordan ulike faktorer påvirker resultatet


250 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

6.1 Kostnader

Hvilke kostnader en virksomhet har, varierer med hva slags varer, tjenester eller oppdrag en tilbyr. Lucy er konditor og er for eksempel avhengig av et lokale hun kan være i. Christian har derimot sin egen «foodtruck» og kan ha det meste av det han trenger, i bilen sin. Felles for dem begge er at det er viktig at de har oversikt over kostnadene. Lønnsutgifter er ofte en stor kostnad. Hvilke andre kostnader vil være aktuelle for driften av et konditori eller en «foodtruck»? D U S K AL K U N N E

bruke regneark til å beregne direkte og indirekte kostnader ved å produsere en vare eller levere en tjeneste eller et oppdrag

vurdere hvor mye det koster å ha en ansatt i et firma

Kostnadene til et firma kan være materialkostnader, lønn, husleie eller annet som er knyttet til driften av virksomheten. Vi deler disse kostnadene inn i direkte og indirekte kostnader. Direkte kostnader er kostnader som er direkte knyttet til produktet. Slike kostnader vil derfor øke i takt med antall produkter. Varekostnader, materialkostnader og fraktkostnader er eksempler på direkte kostnader.


Kostnader 251

Indirekte kostnader er kostnader som ikke er direkte knyttet til et bestemt produkt, men er knyttet til driften av virksomheten. Husleie, strøm og forsikring er eksempler på indirekte kostnader. Selvkost er summen av de direkte og de indirekte kostnadene. direkte kostnader þ indirekte kostnader ¼ selvkost

U T F O R S K SA M M E N Dere har startet et eget firma som skal levere en vare, en tjeneste eller et arbeid. Beskriv hva slags virksomhet dere velger. Lag et oppsett som viser hvilke kostnader dere tenker virksomheten vil få, og omtrent hvor store disse kostnadene kommer til å være. Skill mellom kostnader som er knyttet til varen eller tjenesten (direkte kostnader), og kostnader virksomheten har uavhengig av hvor mange varer eller tjenester den leverer (indirekte kostnader). Presenter oppsettene for hverandre og diskuter eventuelle forskjeller i dem.

Direkte kostnader og inntakskost Inntakskost er alle kostnadene knyttet til å skaffe en vare i en handelsbedrift. I tillegg til selve innkjøpsprisen, må vi ta med andre kostnader som frakt, eventuelle forsikringskostnader og tollkostnader.

Det er mange ledd i kjeden fra fiskeren tar fisken opp av havet til den ligger ferdig tilberedt på en tallerken.


252 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Direkte kostnader i en håndverks- eller tjenesteytende bedrift er materialkostnader eller varekostnader og anskaffelseskostnader. Noen ganger regnes også lønnskostnader som en direkte kostnad. Det er når den ansattes arbeid er knyttet direkte til å produsere varen eller til å utføre tjenesten eller oppdraget.

Håndverksbedrift og tjenesteytende bedrift:

Handelsbedrift:

direkte materialkostnader/varekostnader

innkjøpspris þ anskaffelseskostnader (frakt, toll osv.) ¼ inntakskost (direkte kostnader)

þ anskaffelseskostnader (frakt, toll osv.) þ direkte lønnskostnader ¼ direkte kostnader

EK SEMPEL 1 Julie har startet sin egen kaffebar og skal kjøpe inn 25 kg kaffebønner. Firmaet Koffi AS kan levere kaffen for 199 kr=kg inkludert fraktkostnader. Firmaet Mocci AS kan levere kaffen for 189 kr=kg, men i tillegg kommer fraktkostnader på 459 kr. Hvilket alternativ har de laveste direkte kostnadene?

Løsning: Direkte kostnader for Koffi AS er 199 kr 25 kg. Direkte kostnader for Mocci AS finner vi ved å summere prisen på kaffen og fraktkostnadene: A

B

B (Vis formler)

Direkte kostnader Koffi AS

kr 4 975,00 =199*25

3

Pris for kaffe fra Mocci AS

kr 4 725,00 =189*25

4

Fraktkostnader Mocci AS

5

Direkte kostnader Mocci AS (4725 kr + 459 kr)

1 2

kr 459,00 459 kr 5 184,00 =B3+B4

De laveste direkte kostnadene blir 4975 kr hos Koffi AS.


Kostnader 253

Indirekte kostnader De indirekte kostnadene kan ikke knyttes direkte til en produsert vare, en tjeneste eller et oppdrag. Eksempler på indirekte kostnader er lønn til ansatte som jobber med administrasjon, strømutgifter, husleie, Internettkostnader, forsikring og reklame.

EKSEMPEL 2 Hver måned må Julies kaffebar betale 5500 kr i husleie, 600 kr i forsikringer, 1200 kr for Internett og mobiltelefonabonnement og 2000 kr i diverse kostnader. Hvor mye gir dette samlet i indirekte kostnader?

Løsning: A 1

Husleie

2

Forsikring

3

B

B (Vis formler)

kr 5500,00

5500

kr 600,00

600

Internett og mobil

kr 1200,00

1200

4

Diverse kostnader

kr 2000,00

2000

5

Sum indirekte kostnader

kr 9300,00

=SUMMER(B1:B4)

Julies kaffebar får totalt 9300 kr i indirekte kostnader knyttet til husleie, forsikring, Internett og mobiltelefonabonnement.

EKSEMPEL 3 Silje driver firmaet Taparama AS, som leverer småretter til selskap. I tillegg til henne selv er det to ansatte. Siden hennes egne arbeidsoppgaver inneholder nokså mye administrasjon, regner hun egne lønnskostnader på 60 000 kr per måned som en indirekte kostnad. Hver måned betaler hun 5000 kr i husleie og 650 kr for telefon og Internett. Hvert år betaler hun 8500 kr i forsikringer, 15 000 kr i strømkostnader, 20 000 kr i markedsføring og 25 000 kr i diverse kostnader. Hvor mye har firmaet i indirekte kostnader hver måned?

Løsning: Før kostnadene kan summeres, må kostnader knyttet til forsikring, strøm, markedsføring og diverse kostnader (markert med rød boks) gjøres om fra årlige kostnader til månedlige. Det vil si at vi må dele disse summene på 12 gjennom et år.


254 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

A

B

B (Vis formler)

1

Inndata

2

Siljes egne lønnskostnader per måned

kr 60 000,00

60000

3

Husleie per måned

kr 5 000,00

5000

4

Kostnader til telefon og Internett per måned

kr

650,00

650

5

Forsikring per år

kr 8 500,00

8500

6

Strømkostnader per år

kr 15 000,00

15000

7

Markedsføringskostnader per år

kr 20 000,00

20000

8

Diverse kostnader per år

kr 25 000,00

25000

9

Antall måneder i et år

12

12

10 11

Utregning

12

Siljes egne lønnskostnader per måned

kr 60 000,00

=B2

13

Husleie per måned

kr 5 000,00

=B3

14

Kostnader til telefon og Internett per måned

kr

650,00

=B4

15

Forsikring per måned ð8500 kr : 12Þ

kr

708,33

=B5/B9

16

Strømkostnader per måned ð15 000 kr : 12Þ

kr 1 250,00

=B6/B9

17

Markedsføringskostnader per måned ð20 000 kr : 12Þ

kr 1 666,67

=B7/B9

18

Diverse kostnader per måned ð25 000 kr : 12Þ

kr 2 083,33

=B8/B9

19

Sum indirekte kostnader per måned

kr 71 358,33

=SUMMER(B12:B18)

Kostnadspostene gir samlet 71 358 kr per måned i indirekte kostnader.

Tenk gjennom! Er kostnader knyttet til opplæring av ansatte en direkte eller en indirekte kostnad?


Kostnader 255

Lønnskostnader

Lønnskostnader utgjør ofte en stor del av kostnadene til en virksomhet. I tillegg til lønn for arbeidstiden til arbeidstakerne kommer flere kostnader knyttet til det å ha ansatte. Vi kaller det sosiale kostnader. Sosiale kostnader er blant annet feriepenger, arbeidsgiveravgift, pensjonsinnbetalinger, forsikringer og kostnader knyttet til sykefravær.

Feriepenger er minimum 10,2 % av brutto årslønn. Arbeidsgiveravgiften er en avgift til staten som regnes ut fra brutto årslønn inkludert feriepenger. Avgiften varierer fra 0 % til 14,1 % i ulike soner av landet. Hvis vi driver et enkeltpersonforetak, trenger vi ikke betale arbeidsgiveravgift. Alle arbeidstakere skal ha pensjonsforsikring, men det varierer hvor mye arbeidsgiveren betaler. En pensjonsforsikring regnes som et gode og dermed en del av arbeidstakerens inntekt. Det må derfor betales arbeidsgiveravgift av forsikringspremien. Hvilke typer andre forsikringer arbeidsgiveren betaler for sine ansatte, for eksempel yrkesskadeforsikring, varierer fra virksomhet til virksomhet. Ved langtidssykdom får arbeidsgiveren refundert lønna til den ansatte fra NAV. De første dagene en ansatt er syk, må arbeidsgiveren selv dekke disse lønnskostnadene. De sosiale kostnadene kan ofte være mellom 30 % og 80 % av bruttolønna, avhengig av blant annet størrelsen på arbeidsgiveravgiften og pensjonsforsikringen. For å forenkle virksomhetens kostnadsberegninger er det vanlig å regne de sosiale kostnadene som en gitt prosent av bruttolønna.


256 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

EK SEMPEL 4 Petter jobber i en bar. Han tjener 205 kr i timen og jobber 37,5 timer i uka. Dette tilsvarer 162,5 timer per måned. Sosiale kostnader, inkludert 8 % pensjonsforsikring, 12 % feriepenger og 14,1 % arbeidsgiveravgift, antas å utgjøre 60 % av timelønna. a

Hva blir Petters brutto månedslønn?

b

Hva blir arbeidsgiveravgiften for å ha Petter ansatt i en måned?

c

Hvor store sosiale kostnader er det totalt per time?

d

Hva blir de totale lønnskostnadene per time?

Løsning: A

B

B (Vis formler)

1

Inndata

2

Timelønn

3

Antall timer hver måned

4

Pensjonsforsikring

8%

5

Arbeidsgiveravgift

14,1 %

0,141

6

Feriepenger

12,0 %

0,12

7

Alle sosiale kostnader

60,0 %

0,6

kr 205,00

205

162,5 162,5 0,08

8 9

Utregning

10

Brutto månedslønn (205 kr 162,5)

11

kr 33 312,50

=B2*B3

Pensjonsforsikring per måned (33 312,50 kr 0,08)

kr 2 665,00

=B10*B4

12

Feriepenger opparbeidet per måned (33 312,50 kr 0,12)

kr 3 997,50

=B10*B6

13

Grunnlag for arbeidsgiveravgift (33 312,50 kr + 2665 kr + 3997,50 kr)

14

Arbeidsgiveravgift per måned (39 975 kr 0,141)

15

Sosiale kostnader per time (205 kr 0,60)

kr 123,00

=B2*B7

16

Lønnskostnad per time (205 kr + 123 kr)

kr 328,00

=B2+B15

kr 39 975,00 kr 5 636,48

=B10+B11+B12 =B13*B5

a

Petter har en brutto månedslønn på 33 312,50 kr.

b

Før arbeidsgiveravgiften kan regnes ut, må beløpene for pensjonsforsikring og feriepenger beregnes. Arbeidsgiveravgiften for å ha Petter ansatt i en måned blir 5636 kr.

c

De sosiale kostnadene blir 123 kr=time.

d

For å finne de totale lønnskostnadene legger vi sammen timelønna og de sosiale kostnadene. Lønnskostnaden blir 328 kr=time.


Kostnader 257

Oppgaver 6.1 Sara driver eget bakeri. Kostnadene per måned ser slik ut:

6.4 Tabellen viser ulike kostnader for en virksomhet: Lønnskostnader inkludert sosiale kostnader per måned

Kostnad

Per måned

Per år

Husleie

4500 kr

54 000 kr

Husleie per måned

Internett og mobil

900 kr

10 800 kr

Kostnader til telefon og Internett per år

Forsikringer

625 kr

7 500 kr

Hvor mye gir disse kostnadene samlet i indirekte kostnader per måned og per år?

kr 162 000,00

kr 9 800,00 kr 10 200,00

Forsikring per måned

kr 1 200,00

Strømkostnader per måned

kr 3 500,00

Markedsføringskostnader per måned

kr 1 100,00

Diverse kostnader per år

kr 30 000,00

6.2 Eirik driver et eget firma. Hver måned betaler han 3700 kr i bilkostnader og 650 kr for Internett og mobiltelefonabonnement. Han betaler 3500 kr i forsikringer og 16 000 kr i utstyrskostnader hvert år.

Hvor mye gir disse kostnadene samlet i indirekte kostnader per måned?

Hvor mye gir disse kostnadene samlet i indirekte kostnader per måned?

6.5 De totale lønnskostnadene for å lønne Lukas i en måned er 54 361,56 kr. Hva blir lønnskostnaden per time når Lukas jobber 162,5 timer i måneden?

6.3 Monika driver dyrebutikk og har følgende kostnader en måned: Innkjøp av varer til butikken

25 473 kr

Innkjøp av dyr

15 763 kr

Husleie

14 780 kr

Strømkostnader

2 782 kr

6.6 Mads tjener 328 kr i timen. Han jobber 37,5 timer i uka. Dette tilsvarer 162,5 timer per måned. Det må betales 14,1 % i arbeidsgiveravgift. Året etter skal Mads få utbetalt feriepenger, som svarer til 10,2 % av det han tjente året før.

120 118 kr

a

Hvor mye tjener Mads per måned?

Innkjøp av nye hyller til butikken

4 200 kr

b

Hvor stor blir arbeidsgiveravgiften per måned?

Diverse faste kostnader

8 750 kr

c

Hvor store blir kostnadene for å lønne Mads i en måned når vi tar med arbeidsgiveravgiften og feriepengene i beregningen?

d

Hvor mye vil 46 ukers arbeid gi i feriepenger året etter?

Lønnskostnader inkludert sosiale kostnader

a

Bør lønnskostnadene til Monika defineres som direkte eller indirekte kostnader?

b

Hvor store er de direkte kostnadene?

c

Hvor store er de indirekte kostnadene?

d

Hvor mange prosent av kostnadene er indirekte kostnader?


258 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

6.7 Cecilie pusser opp restauranten sin og skal bestille en del utsøkte sofaputer. Hver pute veier ca. 600 g og koster 275 kr. Tabellen viser fraktkostnaden for å få levert putene: Vekt

Pris

1–2 kg

130 kr

2–10 kg

149 kr

10–25 kg

268 kr

25–35 kg

381 kr

a

Hva blir samlet innkjøpspris for to puter?

b

Hva blir samlet innkjøpspris for 15 puter?

c

Hvor mye reduseres innkjøpsprisen per pute dersom Cecilie bestiller 15 puter i stedet for to puter?

L Æ R I N G S L O G G 6. 1 a Forklar hva vi mener med direkte og indirekte kostnader. Gi eksempler på begge for en virksomhet innenfor utdanningsprogrammet ditt. b Studer eksempel 3 og eksempel 4 og lag to liknende eksempler.


Selvkost 259

6.2 Selvkost Linn baker og pynter festkaker på bestilling. Hun lager mange ulike kaker, og innkjøpskostnadene for råvarene varierer. For å kunne fastsette priser på de ulike varene trenger hun god oversikt over de totale kostnadene. Linn synes det er tungvint å beregne totale kostnader for en kake hver gang hun lager en ny. Hva kan hun gjøre for å forenkle denne kostnadsberegningen?

D U S K AL K U N N E

beregne selvkost for en vare, en tjeneste eller et oppdrag ved hjelp av regneark

beregne selvkost ved å legge på en gitt prosent på de direkte kostnadene

Summen av alle kostnader for å produsere en vare, en tjeneste eller et oppdrag kaller vi selvkost:

Handelsbedrift: innkjøpspris þ anskaffelseskostnader (frakt, toll osv.) ¼ inntakskost þ indirekte kostnader (lønn, administrasjon osv.) ¼ selvkost

Håndverksbedrift og tjenesteytende bedrift: direkte materialkostnader/varekostnader þ anskaffelseskostnader (frakt, toll osv.) þ direkte lønnskostnader ¼ direkte kostnader þ indirekte kostnader (lønn, administrasjon osv.) ¼ selvkost

Siden det ikke alltid er så lett å forutsi hvor store kostnadene blir, er det viktig at vi følger varsomhetsprinsippet og vurderer dem høyest mulig. På den måten er vi sikrere på at verdien for selvkost får inkludert alle kostnadene. Da kan vi også være tryggere på at salgsprisen vi fastsetter, gir fortjeneste.


260 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

EK SEMPEL 5 Odd jobber i en skolekantine og skal beregne selvkost for en porsjon med nudler og grønnsaker. Varekostnad for en porsjon er 23 kr. Han bruker 1,5 timer på å lage 30 porsjoner og tjener 230 kr=time, indirekte kostnader utgjør 276 kr=time. Hva blir selvkost for en porsjon med nudler?

Løsning: A 1

Inndata

2

Varekostnad for en porsjon med nudler

3

Antall porsjoner

4

Timelønn

5

Antall timer

6

Indirekte kostnader per time

B

B (Vis formler)

kr 23,00 23 30 30 kr 230,00 230 1,5 1,5 kr 276,00 276

7 8

Utregning

9

Varekostnaden for alle porsjoner (23 kr 30)

kr 690,00 =B2*B3

10 Lønnsutgifter for alle porsjoner (230 kr 1,5Þ

kr 345,00 =B4*B5

11 Direkte kostnader for alle porsjoner (690 kr + 345 kr) kr 1035,00 =B9+B10 12 Indirekte kostnader for alle porsjoner (276 kr . 1,5) 13 Selvkost for alle porsjoner (1035 kr + 414 kr)

Selvkost:

14 Selvkost for en porsjon med nudler (1449 kr : 30)

kr 414,00 =B6*B5 kr 1449,00 =B11+B12 kr 48,30

=B13/B3

Selvkost er summen av varekostnader, lønnsutgifter og indirekte kostnader. Selvkost for en porsjon med nudler finner vi ved først å regne ut selvkost for 30 porsjoner med nudler og så dele summen på 30. Selvkost for en porsjon med nudler er 48,30 kr.

Tenk gjennom! Hvor mange prosent utgjør indirekte kostnader av de direkte kostnadene i eksempel 5?


Selvkost 261

Forenklet selvkostberegning Indirekte kostnader må fordeles på de ulike varene, tjenestene eller oppdragene når vi skal beregne selvkost. Har vi god oversikt over de indirekte kostnadene og hvor mye vi produserer av varer, tjenester eller oppdrag, kan vi anslå de indirekte kostnadene som en bestemt prosentandel av alle direkte kostnader. I eksempel 5 viste Odds beregninger at de direkte kostnadene ved å produsere 30 porsjoner med nudler og grønnsaker var 1035 kr, mens de indirekte kostnadene var 414 kr. Selvkost ble da 1449 kr. 414 kr ¼ 0,40 ¼ 40 % 1035 kr De indirekte kostnadene utgjør dermed 40 % av de direkte kostnadene: 100 % þ 40 % ¼ 140 % ¼ 1,40 Et overslag over selvkost kan da gjøres ved å ta utgangspunkt i de direkte kostnadene og gange denne verdien med 1,40: Selvkost ¼ direkte kostnader 1,40 ¼ 1035 kr 1,40 ¼ 1449 kr

EKSEMPEL 6 Firmaet til Jonas har fått i oppdrag å lage koldtbord og en kake til en dåp med 35 gjester. Til arbeidet trenger han råvarer til 159 kr per kuvert. Han forventer å bruke 8 timer på arbeidet, og timelønna hans er 237 kr. De sosiale kostnadene er 55 % av bruttolønna, og andre indirekte kostnader utgjør 40 % av bruttolønna. a

Hva blir de direkte kostnadene for jobben?

b

Hvor mye har Jonas i indirekte kostnader?

c

Hva blir selvkost for denne jobben?

d

Hva blir selvkost per kuvert?

e

Hvor mange prosent utgjør de indirekte kostnadene av de direkte kostnadene?

f

Hvilken faktor kan Jonas bruke ved en seinere anledning for å anslå selvkost når han kjenner de direkte kostnadene?

Løsning: a De direkte kostnadene finner vi ved å legge sammen varekostnadene og lønna. De direkte kostnadene blir 7461 kr. (Se tabellen på neste side.) b

De indirekte kostnadene finner vi ved å legge sammen de sosiale kostnadene og de andre indirekte kostnadene. De indirekte kostnadene er 1801,20 kr.

c

Selvkost er summen av de direkte kostnadene og de indirekte kostnadene. Selvkost for hele jobben blir 9262,20 kr.


262 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

A 1

Inndata

2

Antall kuverter

3

Pris råvarer per kuvert

4

Antall timer

5

Timelønn

6 7

B

B (Vis formler)

35 kr 159,00 8

35 159 8

kr 237,00

237

Sosiale kostnader (prosent av bruttolønn)

55 %

0,55

Andre indirekte kostnader (prosent av direkte kostnader)

40 %

0,4

8 9

Utregning

10

Varekostnad råvarer ð35 159 krÞ

kr 5 565,00

=B2*B3

11

Lønn ð237 kr=t 8 tÞ

kr 1 896,00

=B5*B4

12

Direkte kostnader (5565 kr + 1896 kr)

kr 7 461,00

=B10+B11

13

Sosiale kostnader ð1896 kr 0,55Þ

kr 1 042,80

=B11*B6

14

Andre indirekte kostnader ð1896 kr 0,40Þ

kr 758,40

=B11*B7

15

Indirekte kostnader (1042,80 kr + 758,40 kr)

kr 1 801,20

=B13+B14

16

Selvkost (7461,00 kr + 1801,20 kr)

kr 9 262,20

=B12+B15

17

Selvkost per kuvert (9262,20 kr : 35)

18

Indirekte kostnader i prosent av de direkte kostnadene (1801,20 kr : 7461 kr)

kr 264,63 24 %

=B16/B2 =B15/B12

d

Selvkost per kuvert er selvkost delt på antall kuverter. Selvkost per kuvert er 264,63 kr.

e

De indirekte kostnadene er 1801,20 kr, og de direkte kostnadene er 7461 kr: 1801,20 kr : 7461 kr ¼ 0,2414 ¼ 24,14 % 24 % De indirekte kostnadene er 24 % av de direkte kostnadene.

Merk I et regneark kan vi veksle mellom desimaltall og en prosentverdi ved å velge tallformatet «Standard» eller «Prosent».

f

Siden de indirekte kostnadene er 24 % av de direkte kostnadene, kan Jonas legge til de indirekte kostnadene. Da finner han selvkost ved å gange de direkte kostnadene med vekstfaktoren til 24 %: 100 % þ 24 % ¼ 124 % ¼ 1,24 Faktoren han skal bruke for å regne ut selvkost fra de direkte kostnadene, er 1,24.

Tenk gjennom! Hvilken faktor ville det vært riktig å gange med i eksempel 6 hvis de indirekte kostnadene utgjorde 105 % av direkte kostnader?


Selvkost 263

Oppgaver 6.8 Vare A

Vare B

Vare C

Vare D

Innkjøpspris per vare

37,50 kr

214 kr

350 kr

1238 kr

Fraktkostnader

520 kr for 180 varer

56 kr for to varer

370 kr for tolv varer

150 kr per vare

Indirekte kostnader

5 kr per vare

2000 kr for 300 varer

60 % av direkte kostnader

35 % av direkte kostnader

6.12 Daniel skal beregne selvkost for å installere en ny hetteoppvaskmaskin på en restaurant. Innkjøpsprisen for maskinen er 28 900 kr. Firmaets lønnskostnader for Daniel er 343 kr per time, og i tillegg har firmaet indirekte kostnader på 250 kr per time per ansatt. Daniel regner med å bruke to timer på jobben. a

Hva blir de direkte kostnadene for oppdraget?

b

Hva blir de indirekte kostnadene for oppdraget?

c

Hva blir selvkost for oppdraget?

6.9 Innkjøpsprisen for en sofa er 3500 kr. De indirekte kostnadene utgjør 40 % av de direkte kostnadene.

d

Hvor mange prosent utgjør innkjøpsprisen av selvkost?

a

Finn de indirekte kostnadene for en sofa.

b

Hva blir selvkost for en sofa?

6.13 Thomas har regnet ut at varekostnaden for å lage en kyllingsalat er 32 kr. Emballasjen til å pakke inn kyllingsalaten koster 3 kr. For å beregne selvkost antar han at de indirekte kostnadene inkludert lønn utgjør 55 % av direkte kostnader. Thomas bruker seks minutter på å lage en kyllingsalat.

Regn ut selvkost per vare for varene A, B, C og D.

6.10 Nina lager serviettringer med design etter ønske fra kunden. Varekostnaden for en ring er 120 kr. Hun bruker 45 minutter på å lage en ring, og lønn og indirekte kostnader er totalt 550 kr per time. Hva blir selvkost for fem serviettringer?

6.11 Sissel driver et firma som baker og pynter festkaker til ulike anledninger. Råvarene til en bryllupskake koster 350 kr. Hun bruker 2,5 timer på jobben, og lønn, sosiale kostnader og andre indirekte kostnader utgjør samlet 560 kr per time.

a

Hva blir selvkost for en kyllingsalat?

b

Hvilken faktor må Thomas multiplisere varekostnaden med for å beregne selvkost for en kyllingsalat?

c

Hvor mange kyllingsalater rekker Thomas å lage på to timer?

d

Hva blir selvkost for kyllingsalatene Thomas lager på to timer?

Hva blir selvkost for kaka?

L Æ R I N G S L O G G 6. 2 Du skal selge en vare, tjeneste eller et oppdrag. Hvilke direkte og indirekte kostnader har du? Bruk regneark til å beregne selvkost for den valgte varen, tjenesten eller oppdraget.


264 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

6.3 Fortjeneste og merverdiavgift Thomas selger kjøkkenkniver og har bestemt seg for å legge inn en fortjeneste på 15 % av selvkost for knivene sine. Hvor mye vil han da ta i fortjeneste for en fileteringskniv når selvkost er 1260 kr? Hvor mye må kunden betale i merverdiavgift?

D U S K AL K U N N E

beregne ønsket fortjeneste

forklare hva merverdiavgift er, og kunne regne ut denne avgiften

U T F O R S K SA M M E N

Finn ut hva som ligger i begrepet fortjeneste. Hvilke varer eller tjenester innenfor restaurant- og matbransjen tror dere gir størst fortjeneste? Når du bestiller mat, får du av og til spørsmål om du vil ta med eller spise på stedet? Prisen du betaler, avhenger av hva du svarer på dette spørsmålet. Hvorfor er det slik?

Vi har så langt sett på ulike kostnader knyttet til å produsere en vare eller tjeneste eller å utføre et oppdrag. Når vi skal sette en pris på noe, er det også viktig å tenke på behovet for fortjeneste, og at en del av kundens betaling er merverdiavgift til staten.


Fortjeneste og merverdiavgift 265

Fortjeneste Bedrifter kan ikke produsere med tap. Det er viktig med fortjeneste også for å kunne spare penger til framtidige utgifter eller perioder med lave inntekter. Fortjeneste ¼ salgspris uten merverdiavgift selvkost for produkt

I anbudsberegninger blir fortjenesten ofte lagt inn som en prosent av selvkost. Prosentsatsen vi velger, varierer. Blant annet må bedriften vurdere hvor høy pris kundene er villige til å betale.

EKSEMPEL 7

Jonas har bestemt seg for å legge inn en fortjeneste på 20 % av selvkost når firmaet hans har fått i oppdrag å lage kanapeer til en kunstutstilling. Hvor mye vil han ta i fortjeneste når selvkost er 8250 kr?

Løsning: 8250 kr 0,20 ¼ 1650 kr Firmaet til Jonas vil ta 1650 kr i fortjeneste for denne jobben.

EKSEMPEL 8 Silje har fire kokker ansatt i sitt cateringfirma. Firmaet tilbyr kundene å leie en kokk til ulike arrangementer. Hun har 62 458 kr i månedlige lønnskostnader per kokk og 68 500 kr i egne lønnskostnader. I tillegg har firmaet 16 714 kr i indirekte kostnader. Hver ansatt jobber 162,5 timer per måned. Silje ønsker å bruke all sin tid på administrasjon, og hun ønsker en fortjeneste på 17 % av selvkost. Hvilken timepris må kundene minst betale for å dekke selvkost og fortjeneste hvis Silje skal bruke all sin tid på administrasjon?


266 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Løsning: A

B

B (Vis formler)

1

Inndata

2

Lønnskostnader Silje

kr 68 500,00

68500

3

Lønnskostnad per ansatt

kr 62 458,00

62458

4

Indirekte kostnader

kr 16 714,00

16714

5

Fortjeneste

17 %

0,17

6

Timer per ansatt per måned

162,5

162,5

7

Antall ansatte

4,0

4

8 9

Utregning

10

Lønnskostnader (68 500 kr þ 62 458 kr 4)

11

Indirekte kostnader

12

Selvkost per måned (318 332 kr þ 16 714 kr)

13

Fortjeneste (335 046 kr 0,17)

14

Selvkost + fortjeneste (335 046 kr þ 56 957,82 kr)

15

Antall arbeidstimer (162,5 timer 4)

650

16

Minste timepris (392 003,82 / 650)

kr 603,08

kr 318 332,00 kr 16 714,00 kr 335 046,00 kr 56 957,82 kr 392 003,82

=B2+B3*B7 =B4 =B10+B11 =B12*B5 =B12+B13 =B6*B7 =B14/B15

De samlede lønnskostnadene for Silje og de fire ansatte er 318 332 kr. Ved å legge til de indirekte kostnadene finner vi at selvkost blir 335 046 kr. Etter å ha lagt til 17 % fortjeneste må de ansatte totalt få inn 392 003 kr på sine tjenester for å dekke selvkost og fortjeneste. Når vi deler på antall arbeidstimer, som er 650, finner vi at minste timepris uten merverdiavgift må være 603 kr.

KVITTERING

Merverdiavgift

Adresse: Storgata 1 Telefon: 933 00 133 Dato: 23/04/2020 14:04

******************************** YOGHURT BANANER 1.018 kg 19.90 kr/kg BÆREPOSE TANNKREM EPLE 6PK TANNBØRSTE

Merverdiavgiften er en avgift til staten. Avgiften blir fastsatt for hvert år.

24. 90 20. 26 2. 00 40. 80 39. 90 37. 90

Totalt (6 artikler)

165.76

Bank:

I 2020 var den generelle satsen for merverdiavgift 25 %. For næringsmidler (f.eks. matvarer kjøpt i dagligvarebutikken) var satsen 15 %. For persontransport og kinobilletter var satsen 12 %.

165. 76

MVA-grunnlag 73. 96 64.56 Summer 138. 53

MVA-% 15% 25%

MVA 11.09 16.14 27.23

Takk for besøket, velkommen tilbake!

Sum 85. 06 80.70 165. 76

Enkelte bransjer og områder har egne satser for merverdiavgift. Noen virksomheter og tjenester er unntatt fra merverdiavgiftslovens bestemmelser. Det gjelder blant annet helsetjenester, undervisningstjenester og kulturelle tjenester.


Fortjeneste og merverdiavgift 267

EKSEMPEL 9

Ole Henrik driver et reinslakteri og selger hel eller oppstykket slakt. Prisen per kilo for reinsdyrkjøtt ved kjøp av hel skrott er 149 kr. Kundene skal betale 15 % i merverdiavgift. a

Hvor stor blir merverdiavgiften?

b

Hva blir kiloprisen med merverdiavgift?

Løsning: A 1

Kilopris

2

Merverdiavgift

B

B (Vis formler)

kr 149,00

149

15 %

0,15

3 4

Merverdiavgift ð149,00 kr 0,15Þ

5

Kilopris med merverdiavgift ð149,00 kr þ 22,35 krÞ

a

Merverdiavgiften blir 22,35 kr.

b

Kiloprisen med merverdiavgift blir 171,35 kr.

kr 22,35

=B1*B2

kr 171,35

=B1+B4

I eksempel 9 regnet vi først ut merverdiavgiften før vi fant prisen med merverdiavgift. Når vi ønsker å finne prisen med merverdiavgift, uten først å regne ut avgiften, kan vi regne med vekstfaktor. Pris med merverdiavgift ¼ pris uten merverdiavgift vekstfaktor Når vi skal finne prisen med merverdiavgift for en vare med generell sats på 25 %, er vekstfaktoren 1,25. Vekstfaktor ¼ 100 % þ 25 % ¼ 125 % ¼ 1,25 Pris med merverdiavgift ¼ pris uten merverdiavgift 1,25

Merk Det er viktig å huske at merverdiavgiften er en prosentandel av prisen uten merverdiavgift. Først fastsetter vi prisen uten merverdiavgift, så legger vi til merverdiavgiften.

Merk Noen ganger skriver vi mva. eller moms når vi mener merverdiavgift.


268 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

EK SEMPEL 10 Kjetil reiser rundt som kursholder innen tilberedning av fisk og sjømat. Timeprisen hans uten merverdiavgift er 351,56 kr. Hva blir prisen for fem timer inkludert merverdiavgift?

Løsning: A

B

B (Vis formler)

1

Timepris uten merverdiavgift

kr 351,56

351,56

2

Antall timer

5

5

3

Merverdiavgift i prosent

25 %

0,25

5

Pris for fem timer uten merverdiavgift (351,56 kr 5)

kr 1757,80

=B1*B2

6

Vekstfaktor for å beregne merverdiavgiften

1,25

=1+B3

7

Pris for fem timer med merverdiavgift (1757,80 kr · 1,25)

kr 2197,25

= B5*B6

4

Pris med merverdiavgift for fem timer blir 2197 kr.

Hvis vi vet prisen med merverdiavgift og skal finne prisen uten merverdiavgift, kan vi bruke den samme formelen.

EK SEMPEL 11 Ei bukse selges for 350 kr. Hvor mye betaler kunden i merverdiavgift?

Løsning: For bukser er merverdiavgiften 25 %. Pris med merverdiavgift ¼ pris uten merverdiavgift 1,25 Vi snur om på formelen og får pris med merverdiavgift 1,25 350 kr Pris uten merverdiavgift ¼ ¼ 280 kr 1,25 Pris uten merverdiavgift ¼

350 kr 280 kr ¼ 70 kr Merverdiavgiften er 70 kr.

Tenk gjennom! Hvorfor blir det feil å regne ut 350 kr 0,25 for å finne merverdiavgiften?


Fortjeneste og merverdiavgift 269

Oppgaver 6.14 En sofa koster 4570 kr uten merverdiavgift. Hva blir prisen med merverdiavgift? 6.15 En sykkel selges for 8760 kr med merverdiavgift. Hva er prisen uten merverdiavgift? 6.16 Timeprisen uten 25 % merverdiavgift er 372 kr. Hva blir prisen for åtte timer inkludert merverdiavgift? 6.17 Solveig står opp grytidlig og baker brød og rundstykker som hun selger i gjestehavna like ved der hun bor. Hun har bestemt seg for å legge inn en fortjeneste på 150 % av selvkost når hun skal prissette varene. Hvor stor fortjeneste har hun dersom selvkost er a 450 kr b 550 kr c 490 kr 6.18 Timeprisen for å dekke selvkost og fortjeneste for en ansatt er 361,20 kr. Kundene må betale 25 % i merverdiavgift. a Hvor stor blir merverdiavgiften? b Hva blir timeprisen inkludert merverdiavgift? 6.19 Timeprisen for en ansatt er 444,20 kr uten merverdiavgift. Daglig leder ønsker å øke timeprisen med 7 %. a Hva blir ny timepris uten merverdiavgift? b Hva blir ny timepris med merverdiavgift?

6.20 Per Olav baker og pynter kransekaker for salg. Han har 175 kr i råvarekostnader per kake og bruker 1 time 45 minutter på arbeidet. Han har bestemt seg for at prisen uten merverdiavgift skal være 200 % høyere enn råvarekostnadene. a

Hva blir prisen uten merverdiavgift for en kransekake?

b

Hvor høy timelønn får Per Olav for arbeidet?

6.21 Christians firma «Kakemons» har 54 500 kr i lønnskostnader per ansatt. Andre indirekte kostnader enn lønn, fordelt på de fem ansatte i firmaet, er 4100 kr per ansatt per måned. Hver ansatt jobber 162,5 timer per måned. Christian ønsker en fortjeneste på 16 % av selvkost. a

Hva blir den minste timeprisen uten merverdiavgift som kundene må betale for å dekke selvkost og fortjeneste?

b

Hva blir timeprisen med merverdiavgift?

6.22 Timeprisen for vindusvask er 520 kr med merverdiavgift. Siri får 12 % rabatt for åtte timers arbeid. a

Hvor mye må Siri betale?

b

Hva blir rabattert timepris uten merverdiavgift?

c

Hvor mye betaler Siri i merverdiavgift når hun får rabatt?

L Æ R I N G S L O G G 6. 3 Forklar hva vi mener med fortjeneste. Forklar hva vi mener med merverdi og hvordan den beregnes. Velg en vare eller tjeneste og anta at du kjenner selvkost for varen. Forklar hvordan du kan beregne fortjenesten. Hva må du ta hensyn til når du bestemmer hvor stor fortjeneste du skal ta?


270 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

6.4 Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag D U S K AL K U N N E

bruke regneark til å gjennomføre en selvkostkalkyle for å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag

gjennomføre en forenklet prisberegning ved å bruke avansemetoden og påslagsmetoden

U T F O R S K SA M M E N Dere ønsker å starte egen virksomhet. Finn ut hva slags virksomhet dere kan tenke dere å starte opp, og hvilke varer eller tjenester dere ønsker å levere. Ta utgangspunkt i Utforsk sammen fra side 251 hvis dere har gjort den. Lag et oppsett som viser hvordan dere kommer fram til prisen dere ønsker å ta for varen eller tjenesten. I oppsettet skal dere ha med

hvilke kostnader dere tror dere vil ha hver måned

hvor mye dere kan produsere i løpet av en måned

hvor mange kroner dere ønsker å sitte igjen med når alle utgifter er trukket fra

Presenter oppsettene for hverandre og diskuter eventuelle forskjeller i dem.

Selvkostkalkyle Et anbud er et bindende tilbud på å utføre et arbeid eller på å levere en vare eller tjeneste. Hensikten med anbud er at den som ønsker arbeidet utført, eller ønsker varen eller tjenesten, skal kunne sammenlikne tilbud fra ulike leverandører og velge det tilbudet som framstår som best med tanke på pris, kvalitet og mulig leveringstidspunkt. Før vi kan gi en anbudspris på et oppdrag eller fastsette prisen på en vare eller tjeneste, kan vi gjennomføre en selvkostkalkyle. I selvkostkalkylen fastsetter vi prisen etter at vi har tatt hensyn til alle forventede kostnader, ønskelig fortjeneste og størrelsen på merverdiavgiften. Dette gir en grundig beregning av prisen som gjør oss trygge på at prisen vi setter, er høy nok til å få et overskudd fra virksomheten. For å sikre bedriftens framtid i en periode uten god inntjening er det viktig at fortjenesten ikke settes for lavt. Samtidig må vi ikke sette prisen så høyt at kjøperen velger noen andre.


Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag 271

direkte kostnader þ indirekte kostnader ¼ selvkost per produkt þ fortjeneste ¼ salgspris uten merverdiavgift þ merverdiavgift ¼ salgspris med merverdiavgift

EKSEMPEL 12 Martin skal beregne salgsprisen for en suksessterte. I gjennomsnitt bruker han 35 minutter på en slik kake. Timelønna er 225 kr og råvarekostnadene er 73 kr. De indirekte kostnadene utgjør 45 % av lønna og fortjenesten skal være 18 % av selvkost. Merverdiavgiften er 15 %. Bestem utsalgsprisen for en suksessterte.

Løsning: A

B

B (Vis formler)

1

Inndata

2

Minutter per kake

3

Timelønn

4

Råvarekostnader

5

Indirekte kostnader (prosent av lønna)

45 %

0,45

6

Fortjeneste (prosent av selvkost)

18 %

0,18

7

Merverdiavgift (prosent av salgspris uten mva.)

15 %

0,15

35 35 kr 225,00 225 kr 73,00 73,00

8 9

Utregning

10

Tidsbruk per kake (35/60)

11

Lønnskostnader per kake (225 kr 0,5833)

0,5833

=B2/60

kr 131,25 =B3*B10

12

+ Råvarekostnader

13

= Direkte kostnader (131,25 kr + 73,00 kr)

kr 73,00 =B4

14

+ Indirekte kostnader (131,25 kr 0,45)

15

= Selvkost (204,25 kr + 59,06 kr)

16

+ Fortjeneste (263,31 kr 0,18)

17

= Salgspris uten mva.

kr 310,71 =B15+B16

18

+ Mva. (310,71 kr 0,15)

kr 46,60 =B17*B7

19

= Salgspris inkl. mva. (310,71 kr + 46,60 kr)

kr 204,25 =B11+B12 kr 59,06 =B11*B5 kr 263,31 =B13+B14 kr 47,40 =B15*B6

kr 357,31 =B17+B18

Martin runder opp til nærmeste tier. Prisen for suksessterten blir 360 kr.

Å fastsette prisen:


272 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Avansemetoden og påslagsmetoden Avansemetoden er en forenklet selvkostkalkyle, der indirekte kostnader og fortjeneste er slått sammen til et fast tillegg. Dette tillegget kaller vi avanse. Faktoren vi ganger inntakskostverdien med for å legge til avansen, kaller vi avanseverdien. Avanseverdien må være høy nok til å sikre fortjeneste. Har vi først fått laget oss en fornuftig avanseverdi, er dette en enkel måte å beregne salgsprisen uten merverdiavgift på: Pris uten merverdiavgift ¼ inntakskost avanseverdi

Når vi bruker påslagstall, tenker vi på samme måte som når vi bruker avansemetoden, men påslagstallet skal også dekke merverdiavgiften. Påslagstallet er dermed større enn avanseverdien: Pris med merverdiavgift ¼ inntakskost påslagstallet

Påslagstallet varierer fra bransje til bransje. Handelsbedrifter gjør ofte bruk av påslagstall.


Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag 273

EKSEMPEL 13 Tina har startet en egen butikk som selger kjøkkentilbehør. Inntakskost for et kakesett er 137 kr. Etter å ha gjennomført en detaljert selvkostkalkyle har hun konkludert med at en fornuftig pris uten merverdiavgift er 305 kr. a

Hva blir avanseverdien?

b

Hva blir påslagstallet?

c

Inntakskost for et mandolinjern er 185 kr. Hva blir antatt fornuftig pris for dette mandolinjernet uten merverdiavgift hvis Tina bruker samme avanseverdi?

d

Hva blir prisen for dette mandolinjernet med merverdiavgift hvis hun bruker samme påslagstall?

Løsning: A

B

B (Vis formler)

1

Inntakskost

kr 137,00

137

2

Pris uten merverdiavgift

kr 305,00

305

3

Merverdiavgift

25 %

0,25

5

Avanseverdi (305 kr : 137 kr)

2,23

=B2/B1

6

Merverdiavgift (305 kr 0,25)

kr 76,25

=B2*B3

7

Pris med merverdiavgift (305 kr þ 76,25 kr)

kr 381,25

=B2+B6

8

Påslagstall (381,25 kr : 137 kr)

2,78

=B7/B1

4

a

Tina finner avanseverdien ved å dele pris uten merverdiavgift på inntakskost. Avanseverdien blir 2,23.

b

Først må Tina finne prisen med merverdiavgift. Deretter kan hun finne påslagstallet ved å dele pris med merverdiavgift på inntakskost. Påslagstallet blir 2,78.

c

For å finne prisen på mandolinjernet uten merverdiavgift kan vi bruke avanseverdien: 185 kr 2,23 ¼ 412,55 kr 413 kr

d

For å finne prisen på mandolinjernet med merverdiavgift kan vi bruke påslagstallet: 185 kr 2,78 ¼ 514,82 kr 515 kr

Tenk gjennom! Hva er 2,78 : 2,23? Kan du tenke deg fram til svaret uten å bruke kalkulator? Hvorfor blir det slik?


274 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Oppgaver 6.23 Bruk et oppsett for selvkostkalkyle i et regneark til å beregne salgsprisen med merverdiavgift på varene i tabellen: Sykkel

Bukse

Trompet

Inntakskost

1580 kr

250 kr

6740 kr

Indirekte kostnader

28 % av inntakskost

44 % av inntakskost

50 % av inntakskost

Ønsket fortjeneste

18 % av selvkost

37 % av selvkost

25 % av selvkost

6.24 Mari selger pakker med 400 g røyket reinhjerte og skal fastsette prisen på en pakke. Inntakskost for en pakke røyket reinhjerte er 72 kr. Hun har bestemt at avanseverdien skal være 3,2. a

Hva blir prisen uten merverdiavgift på en pakke med 400 g røyket reinhjerte?

Merverdiavgiften på matvarer er 15 %. b

Hva blir merverdiavgiften?

c

Hva blir prisen på en pakke røyket reinhjerte med merverdiavgift?

6.25 Mathias legger til rette for transport og mat på uteskoledager for skolene i distriktet og skal fastsette prisen for en dag med elevene på barnetrinnet ved en av skolene. Kostnadene for mat og drikke er 6300 kr, og transportkostnadene er beregnet til 3800 kr. De indirekte kostnadene utgjør 1319 kr. Mathias ønsker en fortjeneste på 15 % av selvkost. Merverdiavgiften er 25 %.

6.26

Rudi driver et landhandleri og selger blant annet brød. Inntakskost for et grovbrød er 5,60 kr, og de indirekte kostnadene er 5,70 kr per brød. Rudi ønsker en fortjeneste på 25 % av selvkost. Merverdiavgiften er 15 %. a

Hva blir riktig pris for brødet?

b

Hva blir påslagstallet for å beregne prisen på brødet ut fra inntakskost?

c

Inntakskost for et annet brød er 6,70 kr per brød. Bruk påslagstallet til å beregne prisen på dette brødet med merverdiavgift.

6.27 Markus selger kokkeklær. Inntakskost for en kokkelue er 126 kr. Etter å ha gjennomført en detaljert selvkostkalkyle har han konkludert med at en fornuftig pris uten merverdiavgift er 349 kr. a

Hva blir avanseverdien?

Inntakskost for en bandana er 85 kr. b

Hva blir antatt fornuftig pris uten merverdiavgift for bandanaen hvis han skal bruke samme avanseverdi?

c

Hva blir prisen på bandanaen med merverdiavgift?

Hva blir riktig anbudspris for denne uteskoledagen?


Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag 275

6.28

6.29 Viktoria har kjøpt inn et parti med 70 småflasker eksklusiv balsamicoeddik til butikken sin. Innkjøpsprisen er 135 kr per enhet, og de totale fraktkostnadene er 950 kr. Victoria har tidligere konkludert med at de indirekte kostnadene utgjør 58 % av inntakskost. Hun ønsker en fortjeneste på 40 %. Det er 15 % merverdiavgift på matvarer. a

Regn ut prisen per enhet med merverdiavgift.

b

Hvor mange kroner blir avansen på?

a

Regn ut salgsprisen med merverdiavgift.

6.30 Tobias har leid inn et firma for å bytte kledning på garasjen sin. Prisen er 2100 kr=m2 vegg. Garasjen er 6,5 m lang og 6,0 m bred, og veggene er 2,5 m høye. Garasjeporten er 8,5 m2 .

b

Hva blir avansen for teltet i kroner og i prosent?

a

c

Hva blir avanseverdien?

Hvor mange kvadratmeter vegg har garasjen uten garasjeporten?

b

Gjør et overslag over hvor mye Tobias må betale for å bytte kledning på garasjen.

c

Hva blir den nøyaktige prisen Tobias må betale?

d

Ved fastsetting av prisen er både merverdiavgift og 16 % fortjeneste av selvkost inkludert. Hva er firmaets selvkost for å bytte kledningen?

Inntakskost for et telt er 2340 kr. De indirekte kostnadene er 35 % av inntakskost, og ønsket fortjeneste er 29 % av selvkost.

L Æ R I N G S L O G G 6. 4 Lag et eksempel som illustrerer hvordan vi kan gjennomføre en enkel selvkostkalkyle for å fastsette prisen på en vare eller en tjeneste. Bruk samme eksempel til å illustrere avansemetoden og påslagsmetoden.


276 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

6.5 Budsjetter for en virksomhet Hvis vi har god kontroll over økonomien, får vi ingen ubehagelige overraskelser og kan lettere greie å spare til framtidige utgifter. Ida skal arrangere kiosksalg på skihytta og kjøper inn vaffelrøre for 500 kr, kaffe for 200 kr, pølser for 700 kr, tilbehør til pølsene for 200 kr og brus for 3500 kr. Hvor mye må hun minst ha i inntekter for å dekke disse innkjøpene? D U S K AL K U N N E

bruke regneark til å sette opp et resultatbudsjett

bruke regneark til å gjennomføre en budsjettkontroll

U T F O R S K SA M M E N Du har spart litt og fått litt støtte, slik at du totalt har 200 000 kr til å starte opp et aktuelt enkeltpersonforetak innenfor restaurant- og matfag. Hva slags virksomhet vil du starte? Hva vil du bruke pengene til? Hvor mye tror du virksomheten vil klare å selge av varer eller tjenester den første tiden? Sett opp et forslag til budsjett for de tre første månedene etter at virksomheten har startet opp. Presenter oppsettene for hverandre.

Resultatbudsjett Merk I dette kapitlet skiller vi ikke mellom de to begrepene utgifter og kostnader. Vi forenkler beregningene ved å anta at varer som kjøpes inn til et firma, ikke oppbevares over tid, men blir brukt i samme måned, slik at utgiftene ved innkjøp og kostnadene ved bruk blir de samme.

For noen virksomheter kan pengestrømmen inn og ut være stor. Et budsjett brukes til å planlegge økonomien for en kommende periode. Vi bør alltid basere et budsjett på varsomhetsprinsippet. Det vil si at vi bare tar med sikre inntekter, og at vi tar høyde for alle kjente utgifter. Et resultatbudsjett er en plan for resultatet i virksomheten. Resultatbudsjettet viser hvor stort overskudd eller underskudd virksomheten regner med å få i budsjettperioden. Et resultatbudsjett kan være for en kort periode eller for flere år framover. Det inneholder en oversikt over forventede inntekter og kostnader og en oppsummering av forventet resultat når kostnadene er trukket fra inntektene. budsjettert inntekt budsjettert kostnad ¼ budsjettert resultat


Budsjetter for en virksomhet 277

EKSEMPEL 14 Julie skal lage et resultatbudsjett for kaffebaren sin for første kvartal. Tabellen viser forventede inntekter og kostnader: Januar

Februar

Mars

Inntekt fra kunder

kr 85 500,00

kr 85 500,00

kr 85 500,00

Salg av varer til kunder

kr 12 000,00

kr 12 000,00

kr 12 000,00

Faste kostnader uten lønn

kr 11 500,00

kr 11 500,00

kr 11 500,00

Lønnskostnader

kr 62 087,00

kr 62 087,00

kr 62 087,00

Forventede inntekter

Forventede kostnader

Markedsføring Innkjøp varer og utstyr

kr 30 000,00 kr 5000,00

kr 5000,00

kr 5000,00

a

Sett opp et resultatbudsjett for perioden. Hva er forventet samlet resultat for disse månedene (første kvartal)?

b

Julie vet at hun ikke kommer til å tjene noe de tre ukene hun ønsker å ta seg ferie på sommeren. Vurder om budsjettallene ser ut til å gi henne mulighet til å ta ferie disse ukene. Hva kan hun eventuelt gjøre for å forvente et høyere overskudd?

Resultatbudsjett:

Løsning: a A

B

C

D

Januar

Februar

Mars

D (Vis formler)

2

Inntekter

3

Inntekt fra kunder

kr 85 500,00

kr 85 500,00

kr 85 500,00

85500

4

Salg av varer til kunder

kr 12 000,00

kr 12 000,00

kr 12 000,00

12000

5

Sum inntekter

kr 97 500,00

kr 97 500,00

kr 97 500,00

=D3+D4

6 7

Kostnader

8

Faste kostnader uten lønn

kr 11 500,00

kr 11 500,00

kr 11 500,00

11500

9

Lønnskostnader

kr 62 087,00

kr 62 087,00

kr 62 087,00

62087

10

Markedsføring

kr 30 000,00

30000

11

Innkjøp varer og utstyr

12

kr 5000,00

kr 5000,00

kr 5000,00

Sum kostnader

kr 78 587,00

kr 78 587,00

kr 108 587,00

Resultat (inntekter – kostnader)

kr 18 913,00

kr 18 913,00

– kr 11 087,00

Sum resultat første kvartal

kr 26 739,00

=SUMMER(B14:D14)

5000 =SUMMER(D8:D11)

13 14 15 16

=D5-D12


278 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

I rad 5 summeres de forventede inntektene for hver måned. I rad 12 summeres de forventede kostnadene hver måned. I rad 14 finner vi forventet resultat for hver måned når kostnadene er trukket fra inntektene. I B16 summeres de forventede resultatene fra de tre månedene. Julie forventer et overskudd på 26 739 kr i perioden januar–mars. b

Forventet resultatet hver måned varierer fra 11 087 kr til þ18 913 kr. Forventet overskudd er ikke større enn at hun i ferien bør vurdere tiltak for å bedre økonomien. For å legge opp til et bedre resultat kan hun vurdere å ta ut mindre i lønn, kjøpe mindre utstyr eller bruke mindre penger på markedsføring. Videre kan hun vurdere om det er aktuelt å få inn høyere inntekter.

Budsjettkontroll Det er viktig for virksomheten at vi bruker budsjettene aktivt i økonomistyringen av driften. Det gjør vi ved å gjennomføre budsjettkontroller. Når en periode er over, sammenlikner vi hva regnskapet viser av inntekter og utgifter, med tallene vi hadde i budsjettet for denne perioden. Da ser vi om økonomien er blitt som forventet.

EK SEMPEL 15 Forventet resultat for Julies kaffebar i perioden januar–mars var 26 739 kr. Tabellen nedenfor viser de budsjetterte tallene og de faktiske regnskapstallene for firmaet: Januar

Februar

Mars

Budsjett

kr 97 500,00

kr 97 500,00

kr 97 500,00

Regnskap

kr 101 430,00

kr 95 833,00

kr 99 686,00

Budsjett

kr 78 587,00

kr 78 587,00

kr 108 587,00

Regnskap

kr 75 359,00

kr 80 870,00

kr 98 701,00

Inntekter

Kostnader

a

Bruk tallene i tabellen til å sette opp en budsjettkontroll for kaffebaren til Julie.

b

Kommenter hvor godt regnskapet stemmer med forventet resultat i budsjettet.


Budsjetter for en virksomhet 279

Løsning: a A 1 2

Inntekter

3

Budsjett

4

Regnskap

5

Avvik

B

C

D

E

Januar

Februar

Mars

Sum

kr 97 500,00

kr 97 500,00

kr 97 500,00

kr 292 500,00

kr 101 430,00

kr 95 833,00

kr 99 686,00

kr 296 949,00

kr 3 930,00

– kr 1 667,00

kr 2 186,00

kr 4 449,00

6 7

Kostnader

8

Budsjett

kr 78 587,00

kr 78 587,00

kr 108 587,00

kr 265 761,00

9

Regnskap

kr 75 359,00

kr 80 870,00

kr 98 701,00

kr 247 930,00

10

Avvik

kr 3228,00

– kr 2 283,00

kr 9 886,00

kr 17 831,00

12

Sum avvik

kr 7158,00

– kr 3950,00

kr 12 072,00

kr 15 280,00

13

Resultat (inntekter – kostnader)

kr 26 071,00

kr 14 963,00

kr 985,00

kr 42 019,00

11

1

Januar

Februar

Mars

Sum

2

Inntekter

3

Budsjett

97500

97500

97500

=SUMMER(B3:D3)

4

Regnskap

101430

95833

99686

=SUMMER(B4:D4)

5

Avvik

=B4-B3

=C4-C3

=D4-D3

=SUMMER(B5:D5)

6 7

Kostnader

8

Budsjett

78587

78587

108587

=SUMMER(B8:D8)

9

Regnskap

75359

80870

98701

=SUMMER(B9:D9)

10

Avvik

=B8-B9

=C8-C9

=D8-D9

=SUMMER(B10:D10)

12

Sum avvik

=B5+B10

=C5+C10

=D5+D10

=E5+E10

13

Resultat (inntekter – kostnader)

=B4-B9

=C4-C9

=D4-D9

=SUMMER(B13:D13)

11


280 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Først sammenlikner vi de budsjetterte inntektene med regnskapets faktiske inntekter ved å trekke budsjettallene fra regnskapstallene. Differansen mellom de to tallene for hver måned vises som et avvik i rad 5 i regnearket. Et positivt avvik i rad 5 vil si at inntektene denne måneden har vært høyere enn forventet. Så gjør vi det samme med kostnadene. Differansen mellom kostnadstallene i budsjettet og faktiske regnskapstall for hver måned er vist som avvik i rad 10 i regnearket. Et positivt avvik vil si at kostnadene har vært lavere enn forventet. I rad 12 i regnearket ser vi på avviket for inntekter og kostnader samlet for hver måned. Hvis avviket i rad 12 er positivt, betyr det at resultatet for måneden er bedre enn forventet i budsjettet. Det faktiske resultatet for hver måned vises i rad 13 i regnearket – som differansen mellom regnskapstallene for inntekter og kostnader hver måned. b

Som vi ser av rad 12, er februar den måneden som har negativt avvik. Inntektene ble da lavere enn forventet, mens kostnadene ble høyere. B13 viser at januar var måneden med best resultat. Julie bestemte seg for å bruke mindre enn planlagt på markedsføring. Kostnadene i mars ble derfor vesentlig lavere enn ventet. Forventet resultat var 26 739 kr (fra eksempel 17). I rute E13 kan vi lese at det faktiske resultatet ble 42 019 kr totalt. Det var litt høyere enn forventet, og Julie får altså råd til å ta ut ferie.


Budsjetter for en virksomhet 281

Oppgaver 6.31 Knut forventer at inntektene for firmaet hans blir 20 000 kr i august, 35 000 kr i september, 60 000 kr i oktober og 85 000 kr i november.

6.34

Hva kan kostnadene i gjennomsnitt maksimalt være hver måned for at de totalt ikke skal bli høyere enn inntektene?

6.32 Thea forventer at inntektene for hennes nystartete firma blir 30 000 kr i august, 45 000 kr i september og 70 000 kr i oktober. Totalt forventer hun 58 000 kr i kostnader hver måned. Hvor store må inntektene minst være i november for at inntektene totalt skal bli høyere enn kostnadene i perioden august–november?

6.33 Mia har drevet et konditori i fem år. Tabellen viser årsresultatene. Disse pengene har Mia spart på en konto. År Årsresultat

2015

2016

2017

2018

2019

25 456

17 565

8765

29 832

23 451

a

Hvilket år hadde best resultat? Hva var resultatet da?

b

Hva er samlet resultat for disse fem årene?

Mia ønsker å kjøpe inn nye stoler og småbord til konditoriet sitt og mener hun kan bruke 60 % av de oppsparte midlene. c

Hvor mye kan hun bruke?

Eskil driver et enkeltpersonforetak som pølsemaker og skal lage et resultatbudsjett for firmaet basert på forventede inntekter og kostnader vist i tabellen øverst på neste side a

Hjelp Eskil med å sette opp resultatbudsjettet i et regneark.

b

Kommenter pengestrømmen de ulike månedene og forventet samlet resultat for dette halvåret. Er det rom for å sette av penger til markedsføring i budsjettet?


282 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Januar

Februar

Mars

April

Mai

Juni

Juli

Inntekt fra kunder

kr 120 000,00

kr 110 000,00

kr 120 000,00

kr 130 000,00

kr 120 000,00

kr 130 000,00

kr 50 000,00

Salg av varer til kunder

kr 8000,00

kr 8000,00

kr 8000,00

kr 5000,00

kr 8000,00

kr 3000,00

Direkte kostnader

kr 19 000,00

kr 15 000,00

kr 11 000,00

kr 11 000,00

kr 10 000,00

kr 11 000,00

kr 8000,00

Indirekte kostnader

kr 71 000,00

kr 71 000,00

kr 71 000,00

kr 71 000,00

kr 71 000,00

kr 71 000,00

kr 71 000,00

Markedsføring

Innkjøp råvarer og utstyr

kr 4500,00

kr 4500,00

kr 4500,00

kr 30 000,00

kr 4 500,00

kr 4500,00

Inntekter

Kostnader

c

Tabellen nedenfor viser hva inntektene og kostnadene viste seg å bli. Bruk tallene i tabellen til å sette opp en budsjettkontroll.

d

Kommenter hvor godt tallene stemmer med budsjettallene. Januar

Februar

Mars

April

Mai

Juni

Juli

Inntekt fra kunder

kr 187 231,00

kr 103 564,00

kr 134 365,00

kr 98 545,00

kr 198 354,00

kr 134 333,00

kr 37 654,00

Salg av varer til kunder

kr 6534,00

kr 8767,00

kr 9343,00

kr 4536,00

kr 9876,00

kr 2132,00

kr 231,00

Direkte kostnader

kr 18 723,00

kr 14 323,00

kr 11 354,00

kr 11 987,00

kr 8745,00

kr 12 323,00

kr 5 645,00

Indirekte kostnader

kr 70 676,00

kr 70 676,00

kr 70 676,00

kr 70 676,00

kr 70 676,00

kr 70 676,00

kr 70 676,00

Markedsføring

Innkjøp råvarer og utstyr

kr 9034,00

kr 1253,00

kr 168,00

kr 28 564,00

kr 3755,00

kr 2656,00

Inntekter

Kostnader

L Æ R I N G S L O G G 6. 5 Forklar begrepene resultatbudsjett, resultatregnskap og regnskapskontroll. Hva er forskjellen på resultatbudsjett og budsjettkontroll?


Hva har jeg lært? 283

H V A HA R J E G LÆ R T ? Gå sammen i par og lag en liste eller et tankekart der dere får med de viktigste matematiske ideene og metodene dere har lært i kapitlet så langt. Prøv også å få med stikkord for hva ideene og metodene kan brukes til – i dagliglivet eller i yrket ditt. Vær forberedt på å dele ideene deres.

Som hjelp til å komme i gang bør dere lese over læringsloggene 6.1–6.5 og se over «regelboksene» i kapitlet.

Stemmer påstandene? Avgjør om påstandene nedenfor stemmer. Sørg for at du kan forklare hvorfor de stemmer eller ikke.

4

Hvis timeprisen uten merverdiavgift er 540 kr, er merverdiavgiften 270 kr.

1

5

Hvis prisen på et piano er 8500 kr med merverdiavgift, er merverdiavgiften 1700 kr.

6

Pris uten merverdiavgift bestemmes av direkte kostnader, indirekte kostnader og ønsket fortjeneste.

Hvis de direkte kostnadene for en vare er 34 kr, og de indirekte kostnadene er 150 % av de direkte kostnadene, blir selvkost 85 kr.

2

Hvis selvkost er 15 400 kr, og fortjenesten er 15 % av selvkost, blir fortjenesten 23 100 kr.

3

Hvis resultatet for en virksomhet er 54 000 kr i januar, –35 000 kr i februar, 21 000 kr i mars og 17 000 kr i april, er samlet resultat for disse fire månedene 88 400 kr.

Prosjekt matsvinn Dere har nå skaffet dere kompetanse om økonomiske beregninger. Nå vil dere starte en restaurant som har fokus på bærekraft, gjenbruk og redusert matsvinn. Del 1 Diskuter hvilke kostnader det kan bli, og hvordan fokus på gjenbruk og redusert matsvinn kan begrense kostnadene. Del 2 Vurder hvor stor fortjeneste dere ønsker, og hvorfor dere trenger denne fortjenesten. Del 3 Sett opp et budsjett med oversikt over inntekter og utgifter for et kvartal (tre måneder).


284 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Test deg selv 6.35 Tobias skal fastsette prisen på å bake og pynte en spesialdesignet kake til et 80-årslag. Råvarekostnadene til kaka er 780 kr. Timeprisen er 670 kr med merverdiavgift, og Tobias regner med at han vil bruke seks timer på arbeidet.

6.37

Hva blir riktig anbudspris for arbeidet?

6.36 Anna driver med salg av krukker og plantekasser av stål. Inntakskost for en plantekasse med hjul er 1200 kr. De indirekte kostnadene utgjør 40 %, og hun ønsker 32 % i fortjeneste. a

Sett opp en selvkostkalkyle for å fastsette prisen på en plantekasse inkludert merverdiavgift.

b

Vis at påslagstallet blir 2,31.

c

Inntakskost for en stor krukke er 795 kr. Bruk samme påslagstall til å beregne prisen på krukka.

Anders driver en nettbutikk som selger kjøkkenutstyr. Han skal bruke fjorårets tall til å få bedre oversikt over virksomhetens økonomi. Hver måned betaler han 8000 kr i husleie og 950 kr i mobil- og Internett-kostnader. Året før betalte han 3700 kr i forsikringer, 13 500 kr i strømutgifter og 24 376 kr i diverse indirekte kostnader. Samlet inntakskost var 395 432 kr, og samlet salgspris for de solgte varene uten merverdiavgift var 1 384 790 kr. Totale lønnskostnader utgjorde 774 033 kr. Ved fjorårets begynnelse hadde virksomheten 78 456 kr på kontoen. Ved fjorårets slutt hadde virksomheten 144 805 kr på kontoen. a

Hvor mye betalte Anders året før gjennomsnittlig i indirekte kostnader hver måned? (Vi tar ikke med lønnskostnadene.)

b

Vis at kostnadene til Anders forrige år var 544 408 kr, uten at lønnskostnader er medregnet.

c

Vis at avanseverdien er 3,5.

d

Hvor mye betalte kundene totalt i merverdiavgift året før?

e

Vis at virksomheten hadde et resultat på 66 349 kr for fjoråret.

Inntakskost for en pakke kaffefilter er 5 kr. f

Vis at tallene fra fjoråret gir at prisen uten merverdiavgift bør være 17,50 kr for pakken.

g

Hva blir prisen for filtrene med merverdiavgift?


Test deg selv 285

Tabellen viser forventede inntekter og kostnader for virksomheten til Anders året etter: Januar

Februar

Tabellen viser faktiske inntekter og kostnader for virksomheten til Anders året etter.

Mars

Inntekter Salg av varer

Januar

Februar

kr 103 456

kr 123 534

Mars

Inntekter kr 115 400

kr 115 400

kr 115 400

Salg av varer

Kostnader

kr 115 434

Kostnader

Innkjøp varer

kr 33 000,00 kr 33 000,00 kr 33 000,00

Innkjøpvarer

kr 29 564,00 kr 32 564,00 kr 27 564,00

Lønnskostnader

kr 64 500,00 kr 64 500,00 kr 64 500,00

Lønnskostnader

kr 63 465,00 kr 67 342,00 kr 59 453,00

Husleie Mobil og Internett Forsikring

kr 8 000,00

kr 8 000,00

kr 8 000,00

kr 950,00

kr 950,00

kr 950,00

Husleie Mobil og Internett

kr 2 000,00

Forsikring

kr 8 000,00

kr 8 000,00

kr 8 000,00

kr 950,00

kr 950,00

kr 950,00

kr 2 000,00

Strømutgifter

kr 1 600,00

kr 1 400,00

kr 1 200,00

Strømutgifter

kr 1 345,00

kr 1 234,00

kr 1 132,00

Diverse indirekte kostnader

kr 1 000,00

kr 1 000,00

kr 1 000,00

Diverse indirekte kostnader

kr 2 342,00

kr 1 243,00

kr 2 315,00

h

Kontroller budsjettet til Anders og foreslå eventuelle endringer.

i

Bruk regneark til å gjøre en budsjettkontroll for Anders.

j

Hvilken måned viser best resultat, og hva er resultatet denne måneden?

k

Hva blir samlet resultat for de tre månedene?


286 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Aktiviteter Tilbake til start 6.1 Koldtbord til konfirmasjon Du har startet ditt eget firma som leverer mat til ulike arrangementer, og har spesialisert deg på koldtbord og småretter. Nå har du fått en forespørsel om hvor mye det vil koste å levere koldtbord til en konfirmasjon med 50 gjester. Anbudet må være lavt nok til at det er konkurransedyktig, men samtidig høyt nok til at du dekker kostnadene dine og får fortjeneste. Tabellen i neste spalte hjelper deg til å beregne mengder. Du kan også spørre programfaglæreren din om mengdeberegning og priser. Del 1 Hvor mange skal være med på å produsere koldtbordet? Anslå hvor lang tid dere kommer til å bruke. Del 2 Hvilke og hvor mye råvarer trenger dere? Hvor mye koster råvarene? Del 3 Hva blir timeprisen per arbeider? Hvor høy blir kuvertprisen (prisen per gjest)?

KOLDTBORD

Per porsjon

Karbonade med løk

1 stk.

Røkt ørret eller laks

60–80 g

Skinkesteik

150–200 g

Roastbiff

100 125 g

Pastasalat

60–80 g

Eggerøre

1 egg

Spekemat

100 125 g

Salatbolle

100 150 g

Waldorfsalat

40–60 g

Potetsalat

40–60 g

Rømme/remulade

1,5 dl

Smør

30–40 g

Brød, loff, flatbrød

3–4 skiver

Iskrem

2 dl

Fruktsalat

150 g


Aktiviteter 287

6.2 Feriepenger

6.6 Pizzabaking

Velg et aktuelt yrke. Undersøk hvor mye feriepenger en person i dette yrket vil få.

Søk opp menyen til en lokal pizzarestaurant. Undersøk råvarepriser til noen av pizzaene deres. Hvor lang tid tror du det tar å lage en pizza? Er det andre kostnader knyttet til pizzabaking? Gjør et overslag over hvor mye det koster dem å produsere en stor pizza.

6.3 Er jeg næringsdrivende? Når du er å regne som næringsdrivende, og når du ikke er det, er ikke klart definert i loven. Hobbyer er skattefrie, men næring er skattepliktig virksomhet. Undersøk hva Skatteetaten sier om temaet, og gi eksempler på virksomheter som regnes som skattepliktig næring.

6.4 Åpen dag på skolen Klassen din skal ha ansvaret for en åpen dag på restaurant- og matfag. Dere skal kjøpe inn saft, kaffe, te og pappkrus som de besøkende kan forsyne seg av. I tillegg vil dere selge varer fra egen produksjon på kjøkkenet. a

b

Skaff en oversikt over omtrent hvor mange som vil komme, og regn ut hvor mye saft, te, kaffe og pappkrus som må kjøpes inn, prisen på disse varene og hvor mye merverdiavgiften utgjør. Gjør et overslag over mengden dere får solgt av egenproduserte varer, legg til produksjonskostnadene og finn en salgspris for de ulike varene.

Hvor mye fortjeneste ser det ut til at pizzarestauranten tar?

6.7 Wok Lag en wokblanding av grønnsaker som dere har tenkt å selge i skolens butikk. På etiketten må dere ha med en varedeklarasjon. Lag en selvkostkalkyle som viser hva dere må ta for wokblandingen for å tjene penger.

6.8 Storkjøkken En nystartet kantine har fått 350 000 kr i oppstartmidler. Undersøk prisen på utstyr til storkjøkken. Se hvor langt du kommer med disse midlene.

6.9 Kostnadsberegning Ta for deg en oppskrift på for eksempel en gryterett eller en suppe.

6.5 Indirekte kostnader

Velg en type virksomhet innenfor utdanningen din. Hvilke indirekte kostnader er vanlige i denne virksomheten?

Finn ut hvor mye ingrediensene koster, og hvor lang tid det tar å lage retten.

Lag et oversiktlig regneark som gir totalkostnaden for retten ut fra hvor mange porsjoner du ønsker å lage.

Hvor mye taper du hvis det blir mat til overs?


288 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Oppgaver 6.1 Kostnader 6.38 Solgun driver et gatekjøkken. I tillegg til lønn til seg selv har hun 17 500 kr i måneden i indirekte kostnader. 8900 kr av dette er husleie. Hun bør helst ikke ha mer enn 20 000 kr i måneden i indirekte kostnader. Solgun vurderer å flytte til et nytt lokale der husleia er 13 000 kr i måneden.

6.42 Siv har ansvaret for kiosken på skihytta. Hun kjøper inn 15 pakker kvikklunsj. Hver pakke koster 72 kr og inneholder seks kvikklunsjer. I tillegg kjøper hun inn 20 pakker vaffelrøre. En pakke vaffelrøre koster 19,50 kr og gir åtte vafler. a

Hva blir varekostnaden for en kvikklunsj?

b

Hva blir varekostnaden for en vaffel?

c

Hva blir samlet varekostnad?

Har hun råd til å leie det nye lokalet?

6.43 6.39 Henrik er naturfotograf og leier et lokale, der han redigerer og formidler bildene sine. Hver måned har han 6000 kr i husleie. Han betaler ca. 11 000 kr i året i strøm og bruker ca. 1800 kr i måneden på andre utgifter. Hvor store kostnader har Henrik i gjennomsnitt hver måned?

6.40 Johannes driver et hagesenter og skal kjøpe inn stauder. Varekostnaden er 12 kr for en liten staude og 25 kr for en stor. Han kjøper inn 45 små stauder og 30 store. I tillegg må han betale 1500 kr i frakt. Hva blir samlet inntakskost for alle staudene?

6.41 Thomas skal kjøpe inn pølser til et skolearrangement. Pølsene koster 46,90 kr=kg. Han kjøper 15 kg. En pølse veier 65 g. Hva blir varekostnaden per pølse?

Petter jobber i en kantine og skal lage bagetter med smør, ost og skinke. På en bagett bruker han 8 g smør til 48 kr=kg, 100 g ost til 72 kr=kg og 80 g skinke til 253 kr=kg. 40 bagetter koster 135 kr. Hva blir varekostnaden for en ferdigsmurt bagett?


Oppgaver 289

6.44 Patrick har åpnet et bakeri og har laget en bestillingsliste med råvarer til ulike bakervarer. Firma A ligger rett i nærheten, og Patrick kan få råvarene for 6250 kr inkludert fraktkostnader. Firma B ligger et stykke unna. Der kan han få råvarene for 6100 kr, men i tillegg kommer fraktkostnader på 350 kr. a

Hvilket alternativ har lavest direkte kostnader?

b

Hva er prisforskjellen på de to tilbudene?

6.45 En måned har Pizzaservice AS 5500 kr i bilutgifter, 600 kr i forsikringer, 1200 kr for Internett og mobiltelefonabonnement og 2000 kr i diverse utgifter. Han har antatt at indirekte kostnader utgjør 10 000 kr per måned. Er de indirekte kostnadene høyere eller lavere enn forventet? 6.46 Ahmed driver en kolonial og har følgende kostnader en måned: Direkte kostnader Innkjøp varer til butikken

21 356 kr

Indirekte kostnader Innkjøp av nytt kassaapparat

15 763 kr

Husleie

6 750 kr

Strøm

1 762 kr

Lønnskostnader Diverse faste kostnader

95 468 kr 2 750 kr

a

Hvor store blir de indirekte kostnadene?

b

Hvor mange prosent av de totale kostnadene er indirekte kostnader?

6.47 Hanna jobber som baker og skal bestille sju store bakeboller i glass. Hver bolle veier 830 g og koster 1350 kr. Tabellen viser kostnaden for å få levert glassbollene: Vekt

Pris

1–2 kg

125 kr

2–10 kg

153 kr

10–30 kg

263 kr

a

Hvor mye koster glassbollene til sammen uten fraktkostnader?

b

Hva blir fraktkostnaden for glassbollene?

c

Hvor mange prosent av innkjøpspris utgjør frakten?

6.48 Magnus driver eget lokalt slakteri. I tillegg til han selv er det to ansatte. Siden hans egne arbeidsoppgaver inneholder nokså mye administrasjon, regner han sine egne lønnskostnader på 61 500 kr som en indirekte kostnad. Hver måned betaler han 11 300 kr i husleie for et lokale, 590 kr for telefon og Internett og ca. 2500 kr i diverse utgifter. Han betaler årlig 7500 kr i forsikringer, 14 000 kr i strøm og 12 000 kr i markedsføring. Den siste måneden har firmaet hatt en inntjening på 227 580 kr. a

Hvor mye har firmaet i indirekte kostnader hver måned?

b

Vurder om denne størrelsen på inntekter og kostnader i det lange løp gjør at Magnus kan gi de ansatte en akseptabel inntekt.


290 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

6.49 Alexander jobber deltid på en bensinstasjon og tjener 225 kr timen. På søndager får han et tillegg på 55 % av avtalt timelønn. Mandager jobber han kl. 15–22, onsdager jobber han kl. 12–18, og søndager jobber han kl. 9.30–14. De sosiale kostnadene utgjør 45 % av bruttolønna. a

Hvor mange timer jobber han til sammen på hverdagene?

b

Hvor mange timer jobber han på søndagen?

c

Hva blir bruttolønna til Alexander for en ukes arbeid?

d

Hvor store blir de sosiale kostnadene for en ukes arbeid?

e

Hvor mye må arbeidsgiveren betale i arbeidsgiveravgift per uke for Alexander når satsen er 14,1 %?

6.2 Selvkost 6.50 Innkjøpspris for et parti grytekluter er 1200 kr. De indirekte kostnadene er 45 % av de direkte kostnadene. a

Hva blir indirekte kostnader for dette partiet?

b

Hva blir selvkost for gryteklutene?

6.51 Innkjøpspris for en pakke engangshansker er 25 kr. De indirekte kostnadene er 40 % av de direkte kostnadene.

6.53 Innkjøpspris for en kaffemaskin er 1265 kr. Fraktkostnaden er 300 kr for to maskiner. De indirekte kostnadene utgjør 820 kr per maskin. Hva blir selvkost for en kaffemaskin? 6.54 Varekostnaden for en flaske olivenolje er 58 kr. Fraktkostnaden er 150 kr for 50 flasker. De indirekte kostnadene er 55 % av de direkte. Hva blir selvkost for en flaske olivenolje? 6.55 Et firma skal beregne selvkost for å installere toalett, vask og speil i baren din. Varekostnaden for inventaret og materialene de trenger, er 5898 kr. Firmaets lønnskostnader er 360 kr/time. I tillegg har firmaet indirekte kostnader tilsvarende 235 kr/time per ansatt. De regner med å bruke 8,5 timer på jobben. a

Hva blir de direkte kostnadene for oppdraget?

b

Hva blir de indirekte kostnadene for oppdraget?

c

Hva blir selvkost for oppdraget?

d

Hvor mange prosent utgjør de indirekte kostnadene av selvkost?

e

Firmaet får 20 % rabatt når de kjøper inventaret til badet. Hva blir selvkost for oppdraget da?

6.56 Jesper har fått i oppdrag å pusse opp og innrede en kafé. Han har beregnet beregnet 14 650 kr i direkte kostnader og 18 500 kr i indirekte kostnader. a

Hva blir selvkost for oppdraget?

a

Hva blir de indirekte kostnadene for en pakke engangshansker?

b

Hvor mange prosent utgjør de indirekte kostnadene av direkte kostnader?

b

Hva blir selvkost for en pakke engangshansker?

c

Hvilken faktor må han multiplisere de direkte kostnadene med for å beregne selvkost for prosjektet?

d

I et annet oppussingsprosjektet har Patrik 21 568 kr i direkte kostnader. Hva blir forventet selvkost for dette prosjektet?

6.52 Innkjøpspris for en steikespade er 26 kr. Fraktkostnaden er 420 kr for et parti på 150 steikespader. De indirekte kostnadene utgjør 50 % av direkte kostnader. Hva blir selvkost for en steikespade?


Oppgaver 291

6.57

6.58 Line har beregnet at selvkost for å lage en hamburger er 38 kr. De indirekte kostnadene er 90 % av inntakskost. Hvor store er de direkte kostnadene for en hamburger?

6.59 Tone har beregnet at selvkost for å lage 80 porsjoner med pølse og potetstappe er 2970 kr. De indirekte kostnadene er 85 % av inntakskost. Hvor store er de direkte kostnadene for en porsjon med pølse og potetstappe?

6.3 Fortjeneste og merverdiavgift 6.60 En omelett selges for 85 kr uten merverdiavgift. Merverdiavgiften er 15 %. Hva blir prisen med merverdiavgift? Siv lager keramikkfrosker. Leira til froskene koster 207 kr for 10 kg. Siv ønsker å få 230 kr=time i betaling for arbeidet med froskene. Liten frosk

Middels stor frosk

Stor frosk

Leireforbruk

300 g

800 g

1,5 kg

Arbeidstid

70 min

80 min

90 min

Indirekte kostnader

60 % av de direkte kostnadene

57 % av de direkte kostnadene

55% av de direkte kostnadene

a

Hva blir varekostnaden for hver av froskene?

b

Hva blir de direkte kostnadene for hver av froskene når lønna for arbeidstiden regnes med?

c

Hva blir de indirekte kostnadene for hver av froskene?

d

Hva blir selvkost for hver av froskene?

6.61 En «foodtruck» selges for 245 000 kr uten merverdiavgift. Merverdiavgiften er 25 %. Hva er prisen med merverdiavgift?

6.62 Mads hogger trær i hagene til folk. Han har beregnet at selvkost er 1786 kr for ett tre, og ønsker å ha 35 % fortjeneste på arbeidet. Hva blir prisen medregnet merverdiavgift hvis en kunde trenger å få hogd tre trær?

6.63 Kristian selger og monterer gassalarmer. Han har bestemt seg for å legge inn en fortjeneste på 17 % av selvkost når han skal ta på seg oppdrag. Hvor stor fortjeneste får han når selvkost er a

2700 kr

b

1650 kr

c

995 kr


292 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

6.64 Susanne tar på seg oppdrag som omreisende grillekspert. Timeprisen uten merverdiavgift er 365 kr.

6.67 Ei pølse selges for 43 kr med merverdiavgift. Merverdiavgiften er 15 %.

Hva blir prisen for 24 timer inkludert merverdiavgift?

Hva blir prisen uten merverdiavgift?

6.65 6.68 Simen driver en sportsbutikk og tar 399 kr medregnet merverdiavgift for et par sko. Han legger på 29 % fortjeneste på et skopar. Hva er selvkost for et par sko?

6.69 Kupp.no selger annonser for å selge og kjøpe ting på Internett. Selvkost for en annonse er 12 kr. Prisen per annonse uten merverdiavgift er 26 kr. Prisen for vask av bil innvendig og utvendig er 830 kr med merverdiavgift. Siri får 20 % rabatt. a

Hvor mye må Siri betale?

b

Hva blir rabattert pris uten merverdiavgift?

c

Hvor mye betaler Siri i merverdiavgift?

6.66 Zohras reingjøringsfirma har 67 500 kr i lønnskostnader per ansatt. Andre indirekte kostnader enn lønn, fordelt på de fire ansatte i firmaet inkludert henne selv, er 4100 kr per ansatt per måned. Hver ansatt jobber 162,5 timer i måneden. Zohra ønsker en fortjeneste på 16 % av de indirekte kostnadene. a

Hva blir timeprisen uten merverdiavgift som kundene må betale, for å dekke indirekte kostnader og fortjeneste?

b

Hva blir timeprisen inkludert merverdiavgift?

c

Mona får hjelp av firmaet til å vaske ned kjøkkenet etter et tilsyn. Selve jobben tar 1,5 timer. I tillegg til timeprisen kommer 270 kr som skal dekke utstyr og reingjøringsmidler (inkl. mva.). Hva blir prisen med merverdiavgift for å vaske ned kjøkkenet?

Hvor mange prosent av selvkost er fortjenesten?

6.70 Tina er konditor og tar 499 kr for en enkel bursdagskake. Hun har da tatt 36 % fortjeneste, og de indirekte kostnadene utgjør 40 % av de direkte. Hva var de direkte kostnadene for bursdagskaka?


Oppgaver 293

6.4 Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag

6.75

6.71 Selvkost for en treningsjakke er 300 kr. Ønsket fortjeneste er 20 % av selvkost. Hva blir prisen uten merverdiavgift? 6.72 Selvkost for et kjøleskap er 5768 kr. Ønsket fortjeneste er 36 % av selvkost. a

Hva blir prisen uten merverdiavgift?

b

Hvor stor blir merverdiavgiften?

c

Hva blir prisen med merverdiavgift?

6.73 Johannes har fått i oppdrag å hjelpe til med middagen til femti gjester på et hotell. På menyen står det pinnekjøtt og kålrotstappe. Du trenger 1 kg pinnekjøtt til tre personer og 1,5 kg kålrot til fire personer. a

Hvor mye pinnekjøtt og hvor mye kålrot trenger du til femti personer?

b

Pinnekjøtt av lam koster 99 kr=kg på tilbud, mens kålrot koster 27 kr=kg. Hvor mye må hotellet betale for pinnekjøttet og kålrota?

c

Hva koster disse råvarene per person?

d

Hotellet tar 150 kr per kuvert. Hvor stor er differansen mellom kuvertprisen og varekostnaden?

6.74 Mia har startet en egen klesbutikk for barn. Inntakskost for en av kjolene er 96 kr. Etter å ha gjennomført en detaljert selvkostkalkyle har hun konkludert med at en fornuftig pris uten merverdiavgift er 265 kr. a

Hva blir avanseverdien?

b

Inntakskost for ei av buksene er 135 kr. Hva blir antatt fornuftig pris (uten mva.) for denne buksa hvis hun skal bruke samme avanseverdi?

c

Hva blir prisen for buksa med merverdiavgift?

Josef jobber i en liten landhandel. Inntakskost for et glass med honning er 25 kr. Salgsprisen med merverdiavgift er 120 kr. a

Hva blir påslagstallet?

b

Hva blir salgsprisen med merverdiavgift for en honningkrukke med inntakskost 63 kr hvis han skal bruke samme påslagstall?

6.76 Varekostnaden for frukten i en fruktsalat er 8 kr. Emballasjen koster 2 kr per stykk. Lars tjener 250 kr i timen og lager 23 fruktsalater på en time. Han ønsker 45 % fortjeneste på fruktsalaten. a

Hva blir prisen uten merverdiavgift for fruktsalaten?

b

Merverdiavgiften er 15 %. Hva blir prisen med merverdiavgift for en fruktsalat?

6.77 Mads har kjøpt inn 45 lekesverd til lekebutikken sin. Innkjøpsprisen er 48 kr per sverd, og de totale fraktkostnadene er 370 kr for de 45 sverdene. Mads har tidligere konkludert med at de indirekte kostnadene utgjør 60 % av inntakskost. Han ønsker en fortjeneste på 35 %. a

Hva blir prisen uten merverdiavgift for et lekesverd?

b

Hva blir prisen med merverdiavgift for et lekesverd?

c

Hvor mange kroner blir avansen?

d

Hva blir avanseverdien?


294 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

6.78 Inntakskost for et belte er 80 kr, mens inntakskost for ei skjorte er 179 kr. Beltet selges for 338 kr med merverdiavgift, mens skjorta selges for 650 kr med merverdiavgift. a

Hvor stor blir merverdiavgiften for beltet?

b

Hvor stor blir avanseverdien for beltet?

c

Er det beltet eller skjorta som har høyest avanseverdi?

6.79 Anna jobber i en iskiosk. Inntakskost er 24 kr for 2 L iskrem. og hun bruker 2,5 dl iskrem til en stor is. I tillegg har hun betalt 4 kr for kjeksen og 1 kr for strø til isen. Avanseverdien er 4,2. a

Hva er inntakskost per is?

b

Hva blir prisen uten merverdiavgift for en is?

c

Hva blir salgsprisen med merverdiavgift for en is?

6.5 Budsjetter for en virksomhet 6.82 Christian skal starte opp med en «foodtruck» og forventer at inntektene blir 65 000 kr i oktober, 110 000 kr i november og 150 000 kr i desember. Han ønsker et positivt resultat på 20 000 kr etter disse tre månedene. Hvor mye kan han da maksimalt ha i kostnader hver av månedene?

6.83

6.80 En halv kylling med pommes frites koster 130 kr. Merverdiavgiften er 15 %, og det er lagt til 40 % fortjeneste. Hva var selvkost for kyllingen?

6.81 Varekostnaden per kilo kaffe er 100 kr. Du bruker 60 g kaffe per liter vann i trakteren, og en kopp kaffe rommer 1,5 dl. Kafeen du jobber i, selger kaffe for 15 kr per kopp.

Sivert driver en helsekostforretning og skal lage et resultatbudsjett basert på forventede inntekter og kostnader (se tabellen). Januar

Februar

Mars

kr 140 000,00

kr 160 000,00

kr 160 000,00

kr 19 000,00

kr 15 000,00

kr 11 000,00

kr 7 000,00

kr 7 000,00

kr 7 000,00

Lønnsutgifter inkludert sosiale kostnader

kr 109 000,00

kr 109 000,00

kr 109 000,00

Andre indirekte kostnader

kr 8 000,00

kr 8 000,00

kr 8 000,00

Inntekter Varesalg

a

Hva er varekostnaden for en kopp kaffe?

Kostnader

b

Totalt er selvkost 4 kr per kopp. Det er 15 % merverdiavgift. Hvor stor fortjeneste tar kafeen per kopp?

Vareinnkjøp

c

En dag selger kafeen 390 kopper kaffe. Hva gir dette salget total i dekningsbidrag til å dekke andre kostnader enn varekostnaden?

Husleie


Oppgaver 295

a

Hjelp Sivert med å sette opp resultatbudsjettet i et regneark.

b

Kommenter pengestrømmen de ulike månedene og forventet samlet resultat. Sivert ønsker et samlet resultat på 15 000 kr for de tre månedene. Er det rom for å sette av penger til nye hyller for 7800 kr i budsjettet?

c

6.84 Iselin skal starte en klesbutikk 1. januar og ønsker å sette opp et resultatbudsjett for firmaet basert på forventede inntekter og kostnader for perioden januar til april. Hun regner med følgende kostnader:

Tabellen nedenfor viser hva inntektene og kostnadene faktisk ble: Januar

Februar

Mars

Inntekter Varesalg

kr 137 566,00 kr 145 810,00

kr 161 343,00

Husleie Lønnsutgifter inkludert sosiale kostnader Andre indirekte kostnader

e

Lønnskostnader:

58 000 kr

Kostnader til telefon og Internett:

950 kr i januar og april

Markedsføring:

3500 kr i januar

Andre indirekte kostnader:

29 500 kr per måned

110 000 kr i januar kr 17 450,00

kr 13 791,00

kr 10 450,00

kr 7 000,00

kr 7 000,00

kr 7 000,00

kr 106 700,00

kr 110 500,00

kr 109 600,00

kr 7 512,00

kr 9 567,00

130 000 kr i februar 160 000 kr i mars og april a

Hjelp Iselin med å sette opp resultatbudsjettet i et regneark.

b

Kommenter pengestrømmen de ulike månedene og forventet samlet resultat.

kr 8 760,00

Gjennomfør en budsjettkontroll for Sivert. d

ca. 35 500 kr i måneden

Hun forventer følgende inntekter på varesalg til kunder:

Kostnader Vareinnkjøp

Innkjøp av varer:

Kommenter hvor godt tallene stemmer med budsjettet. Hva ble samlet resultat for de tre månedene?

Tabellen nedenfor viser hva inntektene og kostnadene faktisk ble: Januar

Februar

Mars

April

Inntekter Salg av varer til kunder

kr 107 865,00 kr 135 115,00 kr 158 080,00 kr 161 765,00

Kostnader Innkjøp varer

kr 34 516,00

kr 31 456,00

kr 35 679,00

kr 36 890,00

Lønnskostnader

kr 56 500,00

kr 59 536,00

kr 59 345,00

kr 58 000,00

Telefon og Internett

kr 950,00

Markedsføring

kr 3 720,00

Diverse indirekte kostnader

kr 21 456,00

kr 950,00

kr 31 500,00

kr 28 755,00

kr 33 456,00

c

Gjennomfør en budsjettkontroll for Iselin.

d

Kommenter budsjettet.


296 KAPITTEL 6 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

6.85 August

September

Oktober

November

Desember

kr 68 765,00

kr 89 341,00

kr 78 341,00

kr 68 087,00

kr 100 354,00

Innkjøpvarer

kr 8571,00

kr 10 455,00

kr 11 788,00

kr 9434,00

kr 12 567,00

Faste indirekte kostnader

kr 72 500,00

kr 72 500,00

kr 72 500,00

kr 72 500,00

kr 72 500,00

Markedsføring

kr 2170,00

Renter og avdrag

kr 2500,00

kr 2500,00

kr 2500,00

kr 2500,00

kr 2500,00

Diverse indirekte kostnader

kr 1451,00

kr 1834,00

kr 1983,00

kr 1873,00

kr 2452,00

Inntekter Salg av varer til kunder Kostnader

June skal starte et bakeri 1. august og ønsker å sette opp et resultatbudsjett for firmaet basert på forventede inntekter og kostnader for perioden august–desember. Hun forventer følgende kostnader:

Innkjøp av varer: ca. 9500 kr i måneden

Faste indirekte kostnader inkludert lønn til seg selv: 72 500 kr

Markedsføring: 2000 kr i august

Renter og avdrag på lån: 2500 kr per måned

Diverse indirekte kostnader: 1500 kr per måned

Blandede oppgaver 6.86 Innkjøpsprisen for et skjærebrett i teak er 114 kr, og fraktkostnaden er 800 kr for 50 skjærebrett. De indirekte kostnadene utgjør 60 % av de direkte kostnadene. Hva blir selvkost for et skjærebrett? 6.87 En motorsykkel selges for 45 000 kr med merverdiavgift. Merverdiavgiften er 25 %. Hva er prisen uten merverdiavgift?

Hun forventer disse inntektene:

60 000 kr i august

80 000 kr i september – november

100 000 kr i desember

a

Hva blir prisen uten merverdiavgift?

a

Hjelp June med å sette opp resultatbudsjettet i et regneark.

b

Hva blir prisen med merverdiavgift?

b

Kommenter pengestrømmen de ulike månedene og forventet samlet resultat for disse månedene.

6.89 Selvkost for en gourmetisk pepperkvern er 487 kr. Ønsket fortjeneste er 31 % av selvkost.

6.88 Innkjøpspris for et par sko er 89 kr. Avanseverdien er 3,5.

Tabellen ovenfor viser hva inntektene og kostnadene viste seg å bli.

a

Hva blir prisen for en gourmetisk pepperkvern uten merverdiavgift?

c

Sett opp en budsjettkontroll for June.

b

d

Kommenter budsjettkontrollen.

Hva blir prisen for en gourmetisk pepperkvern med merverdiavgift?


Oppgaver 297

6.90 Kevin jobber på et fiskemottak og tjener 202 kr i timen. Han jobber 37,5 timer i uka, noe som tilsvarer 162,5 timer per måned. De sosiale kostnadene er 51 % av bruttolønna. Dette inkluderer 12 % i feriepenger. Det må betales 14,1 % arbeidsgiveravgift både av bruttolønna og av de sosiale kostnadene. a Hva blir brutto månedslønn for Kevin? b Hvor mye vil en måneds arbeid gi i feriepenger året etter? c Hvor stor blir arbeidsgiveravgiften hver måned? d Hvor høye blir kostnadene for å lønne Kevin i en måned når vi tar med de sosiale kostnadene og feriepengene? e Hva blir lønnskostnaden per time?

6.92 Lasse har solgt pizza på et idrettsarrangement, og varekostnaden for en pizza er 45 kr. På en pizza er det åtte pizzastykker. Under arrangementet har han solgt ett pizzastykke for 25 kr eller to pizzastykker for 45 kr. Han har kjøpt inn 90 pizzaer og hatt utgifter på 2835 kr for å gjøre i stand en kiosk med nødvendig utstyr til salget. Mot slutten av dagen teller han opp at han har solgt 412 enkle pizzastykker og 79 doble.

6.91

a

Hva er summen av varekostnadene og utgiftene for kiosken?

b

Hvor mye ville kundene totalt betalt for pizzaene hvis han solgte alle pizzastykkene for 25 kr per stykk?

c

Hva er prisen uten merverdiavgift for ett pizzastykke?

d

Hvor mange enkle pizzastykker må han minst selge for at inntektene skal bli større enn utgiftene?

e

Hvor store blir inntektene fra pizzasalget når 15 % merverdiavgift er trukket fra?

f

Hvor mange pizzastykker har han ikke fått solgt ved opptellingen?

Den siste timen vurderer han å sette ned prisen på et pizzastykke til 10 kr for å få solgt ut mest mulig. Anine driver en kafé og skal lage små porsjonspaier. Til 20 paier trenger hun 2100 g hvetemel, 1050 g smør, 30 egg, 1050 g ost, 42 dl melk og 800 g bacon. Lønnskostnaden til Anine er 292 kr/time, og hun bruker 45 min på å lage paiene.

g

Hvor mye vil hvert pizzastykke da bidra til å dekke utgiftene hans med når merverdiavgiften er trukket fra?

h

Hva blir sluttresultatet hvis han får solgt alle de gjenstående pizzastykkene til rabattert pris?

Vare

Pris

Hvetemel

9 kr/kg

Smør

26,40 kr for 600 g

Melk

16,90 kr/liter

Egg

46,50 kr for 12 egg

6.93 En TV blir solgt for 4852 kr med merverdiavgift. Inntakskost var 2500 kr, og de indirekte kostnadene utgjorde 15 % av inntakskost.

Ost

119 kr/kg

a

Regn ut selvkost.

Bacon

60 kr for 420 g

b

Hvor mange prosent av selvkost var fortjenesten?

a

Hva blir varekostnaden per pai?

b

Hva blir lønnskostnaden for å lage en pai?


298 Python på 1–2–3

Python på 1–2–3 Skrive til skjerm

Standardform

Vanlig tekst

print (f'<tekst> {<variabel>:.\ <desimaler>e}.')

print('<tekst>')

Eksempel:

Eksempel: 1

print('Matematikk')

1

svar = 7/111

2

print(f'Variabelen svar har\ verdien {svar:.3e}.')

Resultat: Matematikk

Resultat: Variabelen svar har verdien 6.306e-02.

Tekst og variabler

For hånd skriver vi 6,306 10 2 .

print(f'<tekst> {<variabel>} <tekst>') Eksempel: 1

tall = 2

2

print(f'Variabelen tall har\ verdien {tall}.')

Hente inn opplysninger fra brukeren Eksempler: navn = input('Hva heter du?') eller tall = int(input('Skriv inn et heltall: '))

Resultat: Variabelen tall har verdien 2.

Avrunding print (f'<tekst> {<variabel>}:.\ <desimaler>f'.) Eksempel: 1

svar = 11/7

2

print(f'Variabelen svar har\ verdien {svar:.3f}.')

Resultat:

eller tall = float(input('Skriv inn et tall: '))

Matematiske operatorer Operator

Betydning

Eksempel

Resultat

+

addisjon

3+4

7

subtraksjon

3-4

-1

*

multiplikasjon

1.5 * 4

6.0

/

divisjon

5/2

2.5

**

potens

2 ** 3

8

//

heltallsdivisjon

34 // 7

4

%

rest

34 % 7

6

Variabelen svar har verdien 1.571.


Python på 1–2–3 299

Variabler

Sammensettinger med «not», «and» og «or»: Eksempel:

Opprette variabel

1

tall = 4

a > 3 or a < 7

Eksempel:

Oppdatere variabel tall = tall + 1

1

a == 34 and not a < 2

eller tall += 1

Variabler skal begynne med en vanlig bokstav.

Variabler kan inneholde bokstaver, tall og understreking, .

Variabler kan ikke inneholde mellomrom.

Datatyper

Vilkår if

<betingelse>: <instruksjon> elif <ny betingelse>: <instruksjon> else: <instruksjon> Eksempel:

Kode

Datatype

Eksempel

str

streng (tekst)

'programmering'

int

heltall

1153

float

flyttall (desimaltall)

2.7182818

list

liste

['a', 3, 5, 1, 1, 1, 'b']

bool

sannhetsverdi (boolsk verdi)

True, False

1

tall = int (input('Skriv inn\ et heltall: '))

2

if tall > 0: print ('Du tastet inn\ et positivt tall.')

3

4

elif tall == 0: print('Du tastet inn 0.')

5 6

else:

7

print ('Du tastet inn\ et negativt tall.')

Bygge opp utsagn Relasjon

Betydning

==

er lik

!=

er ikke lik

<

er mindre enn

<=

er mindre enn eller lik

>

er større enn

>=

er større enn eller lik

Løkker for-løkker Hvis du vet hvor mange ganger en løkke skal kjøre, bruker du for-løkke: 1

2

for <variabel> in range\ (<fra>, <til>, <steglengde>): <instruksjon>


300 Python på 1–2–3

Resultat:

Eksempel: 1

1 er mindre enn 20 2 er mindre enn 20 4 er mindre enn 20 8 er mindre enn 20 16 er mindre enn 20

for x in range(0, 10, 2): print(x)

2

Resultat: 0 2 4 6 8

Funksjoner 1 2

Eksempel:

Tabell over range-kommandoen: Kommando

Verdi

range(0, 5)

0, 1, 2, 3, 4

range(5)

0, 1, 2, 3, 4

range(2, 5)

2, 3, 4

range(0, 5, 2)

0, 2, 4

range(10, 5, -1)

10, 9, 8, 7, 6

while-løkker Hvis du ikke vet hvor mange ganger en løkke skal kjøre, bruker du while-løkke: 1 2 3 4

def <funksjonsnavn>(<variabel>): return <verdi>

<variabel til betingelse> while <betingelse>: <instruksjon> <endre variabel>

1 2 3 4 5 6 7

def f(x): return x**2 - 8*x +1 tall = f(1) print(tall) print(f(4))

Resultat: -6 -15

Eksterne bibliotek Kommandoer for π og kvadratrot import math Kommando

Betydning

Eksempel

math.pi

3,141 59 . . .

2 * math.pi * 6.5

math.sqrt()

kvadratrot

math.sqrt(88)

Eksempel: 1 2 3 4

5

grense = 20 verdi = 1 while verdi < grense: print(f'{verdi} er mindre\ enn {grense}') verdi = verdi * 2

Random import random Eksempel: 1 2 3 4 5

# Simulerer terningkast import random terning = random.randint(1,6) # Tilfeldig desimaltall\ mellom 0 og 1. tilfeldig_tall = random.random()


GeoGebra på 1–2–3 301

GeoGebra på 1–2–3 Algebrafeltet I GeoGebra 6 skriver vi direkte inn i algebrafeltet:

Du kan også velge «Innstillinger» fra hovedmenyen og trykk på symbolet

. Her kan vi sette navn på aksene.

Vi kan organisere etter type objekt

Vi kan også vise inntastingsfeltet ved å gå til hovedmenyen for innstillinger øverst til høyre under fanen «Vis».

Grafikkfeltet Øverst i grafikkfeltet er det en linje med verktøyknapper. Når vi trykker på en knapp, kommer det opp flere alternative verktøy:

Kommandoer og knapper Til mange av kommandoene er det laget knapper. For eksempel finner vi skjæringspunktet mellom to linjer ved å bruke kommandoen «Skjæring (<Objekt>, <Objekt> )» eller ved å trykke på

.

Tegne grafer Vi skriver uttrykkene våre i algebrafeltet. Tilhørende grafer vises i grafikkfeltet:

Nedenfor ser vi innstillingene for akser og rutenett.

Rutenett av og på

Vise akser

Avanserte innstillinger for grafikkfeltet

Vise/skjule innstillinger for grafikkfeltet


302 GeoGebra på 1–2–3

Finne skjæringspunkter mellom grafer og linjer Vi trykker på

Finne nullpunkter og ekstremalpunkter Vi finner nullpunkter med kommandoen «Nullpunkt( <Polynom> )» eller «NullpunktIntervall( <Funksjon>,

. Deretter markerer vi funksjons-

uttrykkene i algebrafeltet mens vi holder «shift» nede. Alternativt kan vi trykke direkte på grafene i grafikkfeltet. Vi kan også bruke kommandoen «Skjæring( <Objekt>, <Objekt> )»:

<Start>, <Slutt> )». Vi kan også bruke knappen

:

Vi finner toppunkt eller bunnpunkt med kommandoen «Ekstremalpunkt( <Polynom> )». Vi kan også bruke knappen

Skrive inn tekst I grafikkfeltet kan vi skrive inn tekst ved hjelp av knappen «tekst»:

.

CAS Menylinje Viser et uttrykk eller et tall med eksakte verdier

Viser nøyaktig det som er skrevet inn

Viser et tall eller et uttrykk med desimaltall

Regner ut uttrykk

Faktoriserer tall eller algebraiske uttrykk

Løser likninger og oppgir svarene med eksakt verdi

Bytter ut verdier i uttrykket med andre verdier

Finner f‘(x) når du oppgir f(x)

Løser likninger nummerisk. Svaret vises som desimaltall

Sletter markerte linjer

Finner f(x) når du oppgir f‘(x)


GeoGebra på 1–2–3 303

Forskjellen på «:¼» og «¼» Når vi bruker «:¼», er det for å definere eller sette en verdi. Skriver vi for eksempel f ðxÞ :¼ x2 , vil CAS bruke funksjonsuttrykket videre slik at f ð3Þ

Eksakte og numeriske løsninger Den eksakte løsningen til en likning finner vi med kommandoen «Løs( <Likning med x> )» eller knappen

:

er det samme som 32 . «¼» bruker vi til å løse likninger:

For å finne de numeriske løsningene (tilnærminger til desimaltall) bruker vi kommandoen «nLøs( <Likning med x> )» eller knappen

:

Regneoperatorer Operator

Betydning

Eksempel

Resultat

þ

addisjon

3+5

8

subtraksjon

9-5

4

multiplikasjon

3*5

15

divisjon

3/4

0,75

potens

3**2

9

= ^ eller

Røtter For å finne kvadratrota skriver vi «sqrt(< x>)». Vi kan få svaret som et desimaltall ved å trykke på

Vi kan skrive eksponenter direkte ved å holde «Alt»-tasten nede. Skriver vi for eksempel «Alt+3» etter tallet 4, får vi 43 . Løse likninger Vi skriver inn likningen i CAS og trykker på

.

Vi kan også finne løsninger i et intervall ved hjelp av listeparenteser, «fg», i dette tilfellet når x > 0:

Til å finne n-te røtter bruker vi kommandoen pffiffiffi «nrot( <x>, <n> )». Dette er 3 8.

Formelredigering Vi kan gjøre om formler med kommandoen «Løs( <Likning>, <Variabel> )»:

.


304 Excel på 1–2–3

Excel på 1–2–3 Tastene pluss, minus, gange, dele og potens

Symbolene for å gange, dele og skrive potens står øverst på knappen. Du må holde Shift-knappen inne for å få tegnet.

Kvadratrot For å få kvadratrota av et tall skriver du =rot(tallet) før du trykker på Enter. For eksempel skrives kvadratrota av 9 slik: =rot(9) Endre format på tekst og tall eller legge på farger Trykk på «Hjem». Der finner du formatverktøyet.

Endre format på innholdet i en rute fra for eksempel tekst til dato Trykk på «Hjem». Ved å trykke på den lille pila til høyre får du opp ulike typer formater du kan velge mellom.

Legg merke til at tallet kan defineres som prosent, hvis du ønsker det. Legge til eller slette en kolonne Trykk på bokstaven for en kolonne, slik at kolonnen markeres. Høyreklikk og velg «Sett inn». Da får du opp en ny kolonne til venstre. Velger du «Slett», slettes kolonnen. Legge til eller slette en rad Trykk på tallet for raden. Høyreklikk og velg «Sett inn». Da lages det en ny rad ovenfor. Velger du «Slett», slettes raden.

Enkle eller doble kantlinjer rundt hele eller deler av ruta Ved å trykke på den lille pila til høyre kan du velge ulike typer kantlinjer.

Få en kolonne passe bred slik at all tekst synes Dobbeltklikk på linja mellom to ruter oppe i bokstavraden. Da vil kolonnen til venstre (her H-kolonnen) få passe bredde.

Få plass til mye tekst i en rute Plasser deg i ruta. Trykk på «Hjem» og velg «Bryt tekst». Endre antall desimaler i et tall Trykk på «Hjem». Figuren til venstre øker antall desimaler. Figuren til høyre gir færre desimaler. Skrive et regnestykke I Excel skriver vi = først, så regnestykket. Deretter trykker vi Enter, for eksempel =5+7


Excel på 1–2–3 305

Summere tall som står etter hverandre i en kolonne Plasser deg i ruta under tallene. . Trykk på «Hjem» og velg «Summer»,

Vise formlene du har skrevet Trykk på «Formler» og «Vis formler».

Da vil eksemplet ovenfor se slik ut:

Tallene vil også bli summert hvis du skriver =summer(A1+A2+A3) eller =summer(A1:A3) Lage en formel Plasser deg i ruta der du ønsker at svaret skal havne. Start med =. Skriv det aktuelle regnestykket. Klikk på rutene som har de ønskede verdiene som skal med i regnestykket, eller skriv inn navnet på ruta.

For eksempel får du regnet ut 4+5-6 hvis du skriver =A1+A2-A3.

Det kan være lurt å merke alle ruter som inneholder formler, med en egen farge. Da husker du hvor du har formlene.

Lime innhold fra Excel inn i Word som et bilde Marker rutene eller diagrammet du ønsker å kopiere fra Excel. Trykk Ctrl+C for å kopiere innholdet. Åpne et Word-dokument. Marker hvor i Word-dokumentet du ønsker å lime inn innholdet. Trykk på «Hjem» og den lille trekanten ved «Lim inn». Velg «Lim inn» som bilde.

Tallene vil også bli summert hvis du skriver =summer(A1+A2+A3) eller =summer(A1:A3) Utskrift der kolonne-bokstavene og radnumrene synes Velg «Fil», «Skriv ut», «Utskriftsformat» og «Ark». Huk av «Rad- og kolonneoverskrifter».

Denne måten å lime inn innhold fra Exel på er ofte praktisk, fordi det da er enkelt å tilpasse bildet slik at det får ønsket størrelse.

Lime innhold fra Excel inn i Word som en tabell eller et diagram som kan redigeres Marker rutene eller diagrammet du ønsker å kopiere fra Excel. Trykk Ctrl+C for å kopiere innholdet. Åpne et Word-dokument. Marker hvor i Word-dokumentet du ønsker å lime inn tabellen. Trykk Ctrl+V for å lime innholdet fra Excel inn i Word.

Lime innhold fra Excel inn i Word som et bilde og få med rad- og kolonneoverskrifter Du kan bruke programmet «Utklippsverktøy». Åpne programmet. Velg «Ny». Definer den delen av skjermen du ønsker skal bli et bilde. (Nå er bildet lagret i minnet i datamaskinen.) Åpne et Word-dokument. Marker hvor i Word-dokumentet du ønsker å lime inn tabellen. Trykk Ctrl+V for å lime inn bildet.


306 Excel på 1–2–3

Endre verdiene på den vannrette aksen i et diagram Marker diagrammet du har laget, høyreklikk og velg «Merk data». Trykk på «Rediger» under «Vannrette (kategori) akseetiketter»:

Legge til en serie i et diagram Skal du for eksempel ha flere linjer inn i et linjediagram, kan det være enklest å lage diagrammet med en linje først og så legge til flere linjer etterpå. Marker da diagrammet du har laget, høyreklikk og velg «Merk data».

slik at dette vinduet dukker opp:

Trykk på «Legg til».

Marker rutene for akseetikettene. Vinduet vil da endre seg til noe som likner på dette:

I feltet for «Serienavn» kan du klikke på den ruta i regnearket som inneholder navnet på serien. I feltet for «Serieverdier» kan du markere hvilke ruter som inneholder verdiene for serien du skal legge til:

Trykk på OK. Endre navn på en serie Marker diagrammet du har laget, høyreklikk og velg «Merk data». Marker serien du vil bytte navn på (her: Serie 1) og trykk på «Rediger».

Sentralmål

Du får nå opp dette vinduet:

For å finne gjennomsnittet: =GJENNOMSNITT(A1:A6) Under «Serienavn» kan du markere den ruta i regnearket som inneholder serienavnet.

For å finne typetallet: =MODUS(A1:A6)

Trykk OK til slutt.

For å finne medianen: =MEDIAN(A1:A6)

Legge til tittel på loddrett eller vannrett akse Marker diagrammet og velg «Legg til diagramelement». Velg «Aksetitler» og «Primær vannrett» eller «Primær loddrett».

For å finne variasjonsbredden: =MAKSA(A1:A6)-MIN(A1:A6)


FASIT Kapittel 1 1.1 —

1.10 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

1.2 a 99,1

1.11 a 20

c 29

b Tallene er like store.

b 0

d 30

1.17 1 a 2 3 b 10

e 30

e f.eks. 890,13

1.12 a 19

c 1

f 1,65, 1,7, 1,75

b 12

d 40

1.3 a 445

446

1.13 a 97

c 17 649

e 51,66

b 0,01

0,01

b 22,8

d 98

f 6,312

c 10 041 000

75 000

c 6,55

b 271 000

d 21,95

1.6 a 20

c 250

e 19,5

b 40

d 45

f 124,300

1.7 a 75

c 60

b 120

d 372,6

1.8 a 3

c 5

b 0

d 3

b 144

c 39,69 d 3

1 a større enn : 2 3 6 5 4 7 6 1 b lik : 2 29 58

49 50

500 1000

4 8

e 8 pffiffiffiffiffi f 12 3,5

16 17

0 2 3

2 3

1 6

1.21 a 0,75 ¼ 75 %

d 1,20 ¼ 120 %

b 0,60 ¼ 60 %

e 0,26 ¼ 26 %

1.23 —

21 15

5 3

1 2 8

b

1.22 —

1.16 16 32

1 7

c 0,16 ¼ 16 %

1 c mindre enn : 2 4 2 49 9 5 100

1 5

d

e

1.20 a Cecilie 1600 kr, Mia 1920 kr, Leon 1280 kr 4 b Leon får av 4800 kr. 15

1.15

1.5 a 378,6

1.9 a 16

1.19 a Jonas

1.14 5 1 fargelagt, ikke fargelagt 6 6

1.4 —

7 20

1.18 100 1 2 4 5 ¼ ¼ ¼ ¼ 300 3 6 12 15

c 44,52 d f.eks. 19,981

c

2 17 10

1.24 a 3%

b 5%

c 1,6 %

d 3,6 %

1.25 Cecilie: 33,3 % Mia: 40,0 % Leon: 26,7 %


308 Fasit

1.26 a 306 kr b 168 kr

d 2,25 kr

1.37 a x¼3

e x¼4

e 2062,50 kr

b x¼3

f x ¼ 11

c x¼6

g x ¼ 13

c 203,67 kr

1.46 12 appelsiner, 6 bananer og 9 epler

d x ¼ 11

1.27 a 3861,20 kr

c 38 elever

b 120 hus

d 2650 kr

1.28 a 1500 kr

b 750 kr

c 250 kr

1.29 90 L

d x ¼ 10

1.39 a x skal stå for prisen på én billett. x ¼ 28

1.48 a 4500

b 380

c 12,5

1.49 a 32

b 66

c 15

1.50 — 1.51

1.40 a x kan stå for Natalies beløp eller Sofies beløp. b 18 900 kr

b Hvis x står for Natalies beløp, blir likningen x þ ðx 25Þ ¼ 265. Hvis x står for Sofies beløp, blir likningen x þ ðx þ 25Þ ¼ 265. c Sofie har 120 kr, Natalie har 145 kr.

1.33 —

b 23 704,20 kr

1.35 a Hvis prisen settes ned 10 %, koster varen 10 % mindre enn 100 %, altså 90 %. b Hvis lønna øker med 5 %, blir lønna 5 % mer enn 100 %, altså 105 %.

1.36 Ca. 450 gram

b x ¼ 27

b 290

c Hver billett kostet 28 kr.

1.32 —

1.34 a 23 517,00 kr

c x¼2

b 15x ¼ 420

1.30 Ida 1.31 a 18 540 kr

1.38 a x ¼ 35

1.47 a 36,9

1.41 Grov sammalt rug: Fint hvetemel: Grovt sammalt hvetemel:

1.52 1 4 1.53 15,4 %

0,4 kg 0,8 kg 0,8 kg

1.42 Skjorte 300 kr, sko 900 kr 1.43 Roberts tomt: 500 m2 , Franks tomt: 1000 m2 Ja 1.44 5 katter, 2 hunder og 10 kaniner 1.45 30 murblokker

2 3 10 , , 10 15 50 2 40 20 og b , 3 60 30 a F.eks.

1.54 20 150 kr 1.55 a 999 kr 0,80

b 799 kr

1.56 a x¼2

c x ¼ 28

b x¼4

d x¼2

1.57 Ali 4 lodd, Alma 6 lodd og Anette 3 lodd. 1.58 —


Kapittel 1 309

1.59 a 365

b 73,65

c 0,025

1.60 a 250

b 455

c 35 000

d 45

1.61 a 52,350

b 49,990

c 2,95

1.62 a f.eks. 35,3 og 35,4

1.71 a 13

1.83 c 14

b 10

d 80

a 12

1.72 a 55

b 20

1.73 a 134

c 110

b 42,3

d 131

1.84 1 a 4

c 25

c

1 2

d

3 20

b 180

1.85 15

1.74 5

b f.eks. 0,2555 og 0,2556

b 10

1.86 a 12 %

c 50 %

b 90 %

d 1%

c f.eks. 24,154 og 24,155

1.75 a 650

1.63 a 33

c 130

b 33

d 120

b 5

1.76 87 96

1.64 a 24 700 000

d 9,80

b 354

e 0,340

c 35,86

f 0,0005

1.77 1 a 6

b

6 1 ¼ 12 2

c

4 1 ¼ 8 2

1.78 2 6 50 3 10 ¼ ¼ ¼ ¼ 4 12 100 6 20

1.65 35 000 1.66 a 25

b 30

c 120

1.67 a 65

b 100

c 120

1.68 a 10

1.87 —

0

b 30

c 10

1.69 a 70

c 35,400

b 710

d 89,00

1.70 a 272

b 455

d 10

e 1000

c 495

7 10

1

2

3 2

1.80 1 2 8 3 9 6 5 16 4 10 1.81 1 a 2 1.82 8 a 3

b

b

1 5

1 5

c

c

3 4

5 4

b 75 %

d 10 %

1.89 a 4,20 kr

d 105 kr

b 42,00 kr

e 2,10 kr

1.90

10 10 4 5

1 2

c 1%

c 210 kr

1.79 1 10

1.88 a 50 %

d 6

a 0,45 ¼

45 100

d 2,20 ¼

b 0,28 ¼

28 100

e 0,155 ¼

155 1000

c 0,05 ¼

5 100

f 0,005 ¼

5 1000

220 100

1.91 a 88

c 440

e 6600

b 880

d 4400

f 220

1.92 250 km 1.93 12,5 % 1.94 800 kr


310 Fasit

1.95 2 931 580 personer 1.96 Rødt: 61,4 % Blått: 20,5 % Hvitt: 18,2 %

Kapittel 2

1.109 a 30

c 16

e 39

b 6

d 7

f 11

1.110 a 60

b 12

c 8

2.1 a 350 mm

d 46,8 mm

b 7030 mm

e 0,84 mm

c 567 mm

1.111 a 3

1.97 —

b 11

c 1

2.2 a cm

c dm

e ml

b mm

d cm

f g

1.98 —

1.112 162,5 km

1.99 —

1.113 16 000 kr

1.100 —

1.114 21 000 kr

2.4 —

1.101 —

1.115 4 cm

2.5 —

1.116 13 år og 26 år

2.6 —

1.117 37,5 %

2.7 a 250 g

1.102 a 18 180 kr

b 18 414 kr

1.103 150 kr 1.104 3337,50 kr

1.118 I butikken med 15 % avslag på 630 kr

1.105 Mindre 1.106 a 3

c 3

e 10

b 2

d 4

f 50

1.107 a 20

b 60

c 40

1.108 a 2x ¼ 54, x ¼ 27 b Kiloprisen på bananer var 27 kr.

1.119 Evelyn: 36 Natalie: 38 Laura: 39 1.120 Bjørn: 17 Anders: 20 Charlie: 34

2.3 a 0,35 m

c 4,8 cm

b 35 000 m

c 3,065 kg

b 0,000 43 kg

2.8 a 0,5 L

b 75 cl

2.9 Denne oppgaven kan løses ved å gjøre om til ulike målenheter. Dette er løsningsforslag: a 8,2 km ¼ 8200 m b 88,5 cm ¼ 8,85 dm c 695 g ¼ 0,695 kg d 3,047 g ¼ 3047 mg

1.121 27 1.122 10 sauer og 15 høner

c 1,26 L

e 2,0 L ¼ 2000 ml f 8,7 dl ¼ 0,87 L


Kapittel 2 311

2.10 a 80 s

c 270 min

b 205 min

d 0,75 t

2.22 a 1684 kJ

b 1010 kJ

2.35 a 2187,5 kJ eller 524,8 kcal b 384 g

2.11 Jarle tjener 700 kr. 2.12 200 g 2.13 a 7885,6 cm ¼ 78,856 m b 269,36 km ¼ 26,936 mil c 0,3833 L ¼ 383,3 ml

2.23 a 78 kcal

b 593 kJ

2.24 a 18 kcal

c 0,75 L

c Proteiner: 3,8 % Karbohydrater: 39,9 % Fett: 54,1 % Kostfiber: 2,1 %

b 190 kJ

d Nei, for mye fett blant annet

2.25 3 % av en pannekake

2.36 97,2 W

2.26 a 2700 kJ

2.37 a 6 ss

b 32 %

b 180 ml ¼ 18 cl ¼ 1,8 dl

2.14 a dm2

2.27 Fett: 37 % Karbohydrater: 46 % Proteiner: 17 %

b cm2 c m2 d liter=dl eller cm3 =dm3

2.15 a Petter

2.28 a 12 000 kJ

c Ida

b Ida

d Petter

2.16 a —

b 2857 ml eller 2,9 L

2.29 52 bpm

c 48 cm3 2

b 1600 mm

2.17 a — 2.18 a 20 000 cm2

3

d 48 000 mm

2.30 Michael kjører fortest. b 25 cm2

2.31 a 20,8 km=t c 250 mm2

b 3,87 t ¼ 3 t 52 min

b 0,045 m2

2.19 a 3,15 km2

2.32 117,4 km=t

c 3=13 0,23

2.38 a 577 g

Stemmer påstandene? 1 ja

4 nei

7 ja

2 nei

5 ja

8 nei

3 ja

6 ja

2.39 a 30 mm

2.40 a 12 000 g

c 3000 kg

b 0,125 g

2.41 a 0,04 L

b 4,6 cl

c 3,8 dl

c 14,027 m3

2.33 a 701 kJ eller 167 kcal

2.42

2.20 45 cm3

b 1157 kJ eller 276 kcal

b 45 000 m2

2.34 Fire ganger mer eller 90 gram mer per liter

2.43 a 2000 cm3

b 6,154 m3

c 1240 dm

b 14 000 m

b 50,67 cm2

2.21 a 8,79 m3

b 144 %

c 6 324 mm3

a 3,67 dm2

c 45 cm2

b 12 dm3 c 3600 dm3 ¼ 3,6 m3


312 Fasit

2.44 78 bpm

2.54 —

2.67 4,5 dl

2.45 Mellom 88,2 km=t og 95,4 km=t

2.55 —

2.68 a 2,3 m3

2.46 a 1,67 t

2.56 —

b 3,5 cm3

c 10,6 km=t

2.69

b 9 km=t

2.57 a 3,7 km ¼ 3700 m

2.47 720 g eller 7,2 dl

b 5,1 cm ¼ 51 mm c 400 g ¼ 0,4 kg d 6,0 g ¼ 6000 mg

2.48 a 15 g

e 7,0 L ¼ 70 dl

b 2,10 kr

f 87 cl ¼ 870 ml

2.49 58 mm

B

C

0,43 dm

E

6,1 cm

F

2,0 cm

b 3 cm þ 1 cm þ 5 mm d 2 cm þ 3 cm

c 300 s

b 4t

d 2 t 15 min

2.73 2,16 m2

c 1000 mm2

2.75 624 cm2 2.76 Energi (kJ)

Energi (kcal)

sashimi, kveite

474 kJ

113 kcal

sashimi, laks

941 kJ

224 kcal

2.65 Like store

sashimi, tunfisk

445 kJ

106 kcal

sushi, maki, kveite

487 kJ

116 kcal

2.66 45,5 dl

sushi, maki, laks

563 kJ

134 kcal

sushi, maki, tunfisk

483 kJ

115 kcal

c 42 000 m

2.53 a 135 min

2.72 8,3 L

Matvare (100 g)

2.64 a 1500 cm3 b 2 000 000 cm3

b 0,7 L

c 17,3 m2

2.74 7350 L

b 5000 cm2

2.51 Nei, han har bare 1,85 L. 2.52 a 0,650 g

b apoteket: 200 000 kr=kg, butikken: 90 000 kr=kg

2.63 a 200 dm2

c 1 cm þ 2 cm þ 3 cm

2.70 a 2 m3 ¼ 2 000 000 cm3

b 15,25 cm2

2.62 Nei ð9,4 dlÞ

2.50 a 2 cm þ 5 mm

c 1,001 km2 ¼ 1 001 000 m2

2.71 a 3,15 km2

2.61 Ja, det er nok til 25 marsipanlokk.

A

b 9 dm2 ¼ 900 cm2

c 2 dm3 ¼ 2 L

2.58 7,5 t

2.60 6,214 engelske mil

10,4 cm

a 26 m2 ¼ 2600 dm2

b 2500 cm3 ¼ 2,5 dm3

2.59 a 1 000 000 W D

7,8 cm

c 3200 dm3

c 2 m3


Kapittel 3 313

2.77 a 773,3 kJ 2.78 a 12 700 kJ

b 8%

c 0,41 kg

Kapittel 3

2.91 a Næringsstoff

per 100 g

Energi (kJ)

Energi (kcal)

Proteiner

3,9 g

66,3 kJ

15,6 kcal

Karbohydrater

64 g

1088 kJ

256 kcal

Fett

28 g

1036 kJ

252 kcal

Sum

95,9 g

2190,3 kJ

523,6 kcal

b 6985 kJ

2.79 a 440 kcal

b 3,3 L

2.80 8640 kJ 2.81 Tre gulrøtter 2.82 96 bpm 2.83 9,2 km=t 2.84 72 km=t 2.85 15 m=s 2.86 5 ml 2.87 70,6 km=t 2.88 a 13,75 L b 4 spann på 2,7 L og 3 spann på 1 L

2.89 29,6 km=t 2.90 a 5400 nautiske mil b 21 600 nautiske mil 40 003,2 c 1 NM ¼ km 360 60 ¼ 1,852 km ¼ 1852 m

b 548 kJ eller 131 kcal

3.1 a 90 % vann b om lag en firedel c 21 g protein d 4,2 kJ

3.2 a fire kamper

c Manchester City

b 10 poeng

d 21 poeng

c 20 brødskiver

2.92 Gammel snø: høyst 83 cm Våt snø: høyst 63 cm 2.93 a 9,5 mm

b 3,5 tommer

2.94 a Tesla brukte kortest tid. b Volvo: 10,6 m=s, Tesla: 14,3 m=s, jeep: 10,2 m=s c ja, Tesla: 51,5 km=t

2.95 a 3,9 kg b 4L

c 12 000 tonn

3.3 a en time b mørbrad c kalvekam med fett og bein

3.4 a ca. 140 000 biler b 2017 c 2011

3.5 a aldersgruppa 16–24 år b litt over 60 %

3.6 a studieforberedende b studieforberedende

2.96 a 24 gjester b 6 gjester 2.97 a ca. 961 kJ

c mellom 70 000 og 80 000 c —

3.7 a ca. 1700 kW

c ved ca. 14 m=s

b ca. 11 m=s

d 24 MWh

b ca. 1800 kcal

3.8 a mest karbohydrater (44 % og 43%)

2.98 a 515 g

c 0,28 g

b —

d 17,7 %

2.99 a 6237 kr

b 33 L

b —


314 Fasit

3.9 a

3.13 a

Dag

Antall egg

Mandag

7

Tirsdag

8

Onsdag

6

Torsdag

10

Fredag

7

Sum

3.15

Antall mobiltelefoner

Frekvens

4

2

4 2¼8

5

3

5 3 ¼ 15

6

4

6 4 ¼ 24

7

5

7 5 ¼ 35

38

8

5

8 5 ¼ 40

b torsdag

9

5

9 5 ¼ 45

c onsdag

10

4

10 4 ¼ 40

11

2

11 2 ¼ 22

Sum

30

229

d 7

3.10 a — b antall kast c —

3.11

G

Mobiltelefoner frekvens

A

F

E

D

B C

A Søvn B Undervisningstimer på skolen C Måltider D Fysisk aktivitet E Lekser

b 30 svar

F Være med venner

c 229 telefoner

G Annet

3.14 a

3.16 a Antall elever 35

Antall timer

Frekvens

Tidsintervall

Frekvens

3

2

½12:50, 13:00i

2

4

4

½13:00, 13:10i

6

20

5

5

½13:10, 13:20i

1

15

6

7

½13:20, 13:30i

2

7

4

½13:30, 13:40i

2

8

3

½13:40, 13:50i

1

Sum

25

Sum

14

30 25

10 5 Kokk- og servitørfag

Matfag

Omvalg

b 5, 9 %

b Intervallet ½13:00, 13:10i

3.12 Timelønn

Frekvens

½120, 130i

1

½130, 140i

10

½140, 150i

7

½150, 160i

2

Sum

20

19, 34 %

32, 57 %

Kokk- og servitørfag (32 elever, 57 %) Matfag (19 elever, 34 %) Omvalg (5 elever, 9 %)


Kapittel 3 315

3.17

3.20 a

9%

3.22 Type fisk

Antall millioner

Antall

Grader i et sektordiagram

300

10 %

250

Torsk

12

48

200

Sei

25

100

Makrell

35

140

Sjøørret

18

72

Sum

90

360

150

81 %

100 50 2011

Kobber (81 %)

2013

2015

2017

År

b

Sink (10 %)

300

Nikkel (9 %)

18

12

250 200

16 14 12 10 8 6 4 2 0

25

150

3.18 a

35

100 50

Vindstyrke i m/s

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 År Antall millioner samlet inn Antall millioner samlet inn justert til 2017-nivå

Torsk (12) Sei (25)

Dato 1. aug 2. aug 3. aug 4. aug 5. aug 6. aug 7. aug

Makrell (35)

3.21 a

Sjøørret (18)

Prosent på batteriet

b 2 dager 120 100

3.19 —

3.23 a Gjennomsnitt: 2,07 m b Medianen: 2,05 m

80

c Høyeste: 2,43 m

60

d Variasjonsbredden: 0,55 m

40 20 0

25

b 275 km

50

75 100 125 150 175 Km kjørt

3.24 a 1230 kr

c 817,50 kr

b 795 kr

d 810 kr

3.25 a 77 treff

c 64 treff

b 67,3 treff

d 66,5 treff


316 Fasit

3.26 a legge sammen alle karakterene og dele på antall elever når er man halvvegs hvis man stabler søylene på hverandre? den høyeste søylen høyeste observasjon minus laveste observasjon b

Gjennomsnitt: 3,3 Median: 3 Typetall: 3 Variasjonsbredde: 5

3.30 a 70 60 50 40 30 20 10 0

3.35 a 1460 kWh

Antall gram

b mindre

3.36 a litt over 12 GWh b om lag 8,7 m=s Vann

Fett

Karbo- Protein Fiber, salt hydrater og vitaminer

b

b 36 t

20 %

c KRI d —

50 %

Stemmer påstandene? 1 nei

3 nei

5 ja

2 nei

4 ja

6 nei

7 ja

3.28 a 20 elever b

Mettede fettsyrer (20 %)

Frekvens

½150, 160i

1

½160, 170i

8

½170, 180i

6

½180, 190i

4

½190, 200i

1

Sum

20

c ½160, 170i d 171,7 cm e ½170, 180i f 31 cm

3.29 a søylediagram b varehandel, hotell og restaurant, . . . c om lag 200 d om lag 3700

3.38 a industri, olje og gass, sjøfart, luftfart, annen mobil forbrenning og jordbruk

Enumettede fettsyrer (50 %)

b energiforsyning, oppvarming, veitrafikk, avfall og avløp

Flerumettede fettsyrer (30 %)

c 2015

c 180 grader Høyde

3.37 a 3 C b ja, 6.2., 12.2. og 21.2.

30 %

3.27 a 50 min

c 10 775 kr

d mettede: 72 grader flerumettede: 108 grader

3.31 Sju søsken. Alder: 2, 3, 4, 7, 7, 7, 12 år eller 2, 2, 5, 7, 7, 7, 12 år 3.32 a 220 kr

b 86 kr

c 948 kr

3.33 a ca. 85 kjøretøy

3.39 a 8 7 6 5 4 3 2 1

y, pH-verdi Produsent 1 Produsent 2

0

1

2

3

Produsent 1 (pH) Produsent 2 (pH)

4

5

6 7 x, timer

b ca. 75 kjøretøy

b pH i kjøtt fra produsent 2 faller raskere

c ca. 240 kjøretøy

c bl.a. stress

3.34 a arbeidsgiveravgift og trygdeavgift

3.40 a 866 personer

b ca. 600 mrd. kr

b i 2009

c ca. 250 mrd. kr

c —


Kapittel 3 317

3.41 a ca. 160 000 menn

3.45 a 26 minutter

b ca. 125 000 kvinner

b 32 minutter

c Det er en mye større økning i antall mennesker i aldersgruppa 45–49 år enn i aldersgruppa 10–14 år.

c

1

Frekvens

½6,0, 6,5i

4

26

1

½6,5, 7,0i

3

27

3

½7,0, 7,5i

12

28

4

½7,5, 8,0i

2

29

4

½8,0, 8,5i

6

30

1

31

3

32

1

Frekvens

15

3

16

5

17

2

18

5

Minutter

Frekvens

b ca. 25 år

19

3

½26, 30i

12

c 18–30 år

20

3

½30, 34i

5

Sum

21

b 7–7,5 timer

3.49 a over 30 år

3.50 a Forslag med 5 mm klassebredde:

3.46 a 19 dager

3.43 —

b 120 kunder c

3.44 a 16 elever b

½5,5, 6,0i

Antall brød kastet

d

Antall kunder

Frekvens

½120, 140i

7

Måned født

Frekvens

½140, 160i

3

1

1

½160, 180i

6

2

5

½180, 200i

3

3

2

4

0

5

2

6

1

7

1

8

0

9

2

10

0

11

0

12

2

c 5 elever d 11 elever

b — c —

3.47 a 20 dyr b

Antall netter

Minutter

3.42 a 21 dager b

3.48 a Tidsintervall

3.51 —

Tidsperiode

Antall dyr

½00:00, 04:00i

3

½04:00, 08:00i

3

½08:00, 12:00i

4

½12:00, 16:00i

4

½16:00, 20:00i

3

½20:00, 24:00i

3

c mellom kl. 8 og kl. 16

Nedbør i mm

Antall dager

½0, 5i

23

½5, 10i

1

½10, 15i

5

½15, 20i

1

½20, 25i

1


318 Fasit

3.52 a 256,5 kg

3.56 a —

3.66 a litt over 14 TWh

d ca. 11 TWh

b 51 %

b —

b ca. 8 TWh

e ca. 7 TWh

c om lag 4 millioner mennesker

c ca. 130 TWh

3.57 a Storbritannia

3.67 a 46 min

c Linjediagram: 20

Svinn i kg

15 10

3.58 a —

5 0

Uke Uke Uke Uke Uke Uke Uke Uke 34 35 36 37 38 39 40 41

b —

b 1RMC

c —

c 2,4 kg

Produksjonssvinn fra kjøkkenet

3.59 a 2 879 000 daa

c —

Det som må kastes på slutten av dagen

b 785 000 daa

d —

b 15 min

c ca. 115 t

3.68 — 3.69 a fem terninger

c 4 4 4 6 6

b 4

Tallerkensvinn fra gjestene

3.60 a gjennomsnitt: 3,8

3.70 a ca. 70 %

b median: 3

b mellom 10 og 12 m=s

15

c typetall: 3

c ca. 2,8 MW

10

d variasjonsbredde: 4

Søylediagram: 20

Svinn i kg

5 0

ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC

Uke Uke Uke Uke Uke Uke Uke Uke 34 35 36 37 38 39 40 41

3.71 a 1999

3.61 a 21 dager

b 2008

b gjennomsnitt: 17,4

c økning, så stabilt

A: Produksjonssvinn fra kjøkkenet

c typetall: 16 og 18

d falt betydelig

B: Det som må kastes på slutten av dagen

d variasjonsbredde: 5

C: Tallerkensvinn fra gjestene

d —

3.62 a gjennomsnittstid: 29 min

e Produksjonssvinn fra kjøkkenet.

b typetall: 28 og 29 min

f De bør jobbe med tiltak som reduserer tallerkensvinnet fra gjestene.

c variasjonsbredde: 6 min

3.53 —

b variasjonsbredde: 71 kunder

3.54 —

3.63 a gjennomsnitt: 154,3 kunder pr dag

3.64 a 2007

13 916 km

b gjennomsnitt: 12 874 km

3.72 a 1989

c 77,9 %

b —

d 7,7 prosentpoeng

3.73 — 3.74 a eneboliger

c —

b boligblokker

d —

3.75 —

c variasjonsbredde: 1776 km

3.55 —

3.76 a 7,6 ganger så mye

3.65 a 25 ansatte

c 1 dag

b 0 dager

d høyere

b 240 kg


Kapittel 4 319

Kapittel 4

4.15 154,4 g

4.24 a — b —

4.1 a —

c 33

b —

d —

4.2 a —

d —

b 20

e A ¼ n2 þ n

c 110

f figur nr. 24

4.16 58,3 kg

c Figur 4: 17 brikker Figur 5: 21 brikker Figur 6: 25 brikker

4.17 3,2 g proteiner

d Figur n: B ¼ 4n þ 1

4.18 a 410 kJ, 98 kcal b 18,9 g fett

4.3 —

c 6,0 g fett, 21 g karbohydrat, 3,6 g protein

4.4 a —

c —

b —

d A ¼ 3n þ 2

4.19 a 181 bpm

b 25 år

4.20 a 13 hg

4.5 3n2 þ 4n

b 65 %

c P ¼ 2n þ 2

b 8 småbord

d n¼

4.26 a 82,4 °F

b 27,8 °C

4.27 a 610,3 kJ

b 1 g protein

4.21 a 12,5 kg kjøtt

4.8 a 4000 kr

c L ¼ 3x þ 200

b L ¼ 2000 þ 200t

8 ts pepper, spisskummenfrø, kardemomme, gurkemeie, kanel, salt, sukker 50 båter hvitløk 17 ss maisstivelse

4.9 a 2700 kr 4.10 a K ¼ 1,31x

b 59 F

4.12 a 40 km

b 60 km

4.14 a 7,82 sek

b R ¼ U=I

4.22 a 267 kr=t c 23 F

c 23 Ω

b 44,15 m

b 1566 265 griser c F ¼ 2,63 83x, der F er fôrmengden og x er antall griser

b 30 600 kWh

c —

4.11 a 73,4 F

4.13 a 70 V

17 ts tomatpuré b 30 porsjoner

b —

100 S vþS

4.30 a E ¼ 2,04 x, E ¼ energimengde, x ¼ antall kyllinger, 2,04 ¼ 1,7 kWh 1,2 kg

4,2 liter yoghurt b I ¼ 100x þ 130y

b b¼

4.29 a 341 900 tonn

25 ss olje b —

P 2 P ¼ 1 2 2

4.28 a 6,8 kg

4.6 fn ¼ n3 4.7 a —

4.25 a 12 mennesker

c 2082,60 kr

b 10 stk.

4.23 a 4,2 kg

b 220 kg

Stemmer påstandene? 1 ja

3 nei

2 nei

4 ja

5 nei

c UCO2 ¼ 223 E, der UCO2 er utslipp av CO2 i tonn og E er samlet energibruk i GWh.

4.31 a 1,4 km 340 17 b s¼ t ¼ t, 1000 50 s står for avstand i kilometer, og t står for tid i sekunder.


320 Fasit

4.32 a —

4.37 a —

b Figuren øker med to ruter for hver gang, en rute oppover og en rute bortover.

b Nederst er det en vannrett rad som øker med tre for hver gang. Antallet sirkler i raden er figurtallet 3 2. Over raden er det et kvadrat som på figur 3 har 3 3 sirkler, på figur 4 er det 4 4 sirkler, osv.

c Figur 10 vil ha ti ruter oppover og ti ruter bortover. Antall ruter til sammen blir 19.

4.33 a —

c Figur 4: 26 brikker Figur 5: 38 brikker

b For hver figur får vi en ny trekant ved å legge på to fyrstikker.

d B ¼ 3n 2 þ n n

c Figur 12 vil ha tolv trekanter. Antall fyrstikker blir 25.

4.38 —

4.34 a —

4.39 a 36 flere kuler

b For hver figur øker området i midten av figuren med en rad i lengderetningen og en rad i bredderetningen. De fire rutene i hjørnene kommer alltid i tillegg.

b Figuren består av lag med kuler, der det øverste laget har 1 1 kuler, det nest øverste laget har 2 2 kuler, osv. I det nederste laget er antall kuler lik figurnummeret ganget med figurnummeret ðn nÞ.

c Området i midten blir 100 100 ruter. I tillegg kommer de fire rutene i hjørnene. d 10 004 brikker

4.35 a Figuren er en trekant der antall sirkler i radene reduseres med én for hver rad oppover. På hver ny figur øker antall sirkler i grunnlinja med 1. Dermed øker også antall sirkler i hver rad oppover med én. b Figurene 1, 2 og 3 har seks, ni og tolv blå sirkler. c 153 blå sirkler d 3n þ 3

4.36 a ja, akkurat nok b R ¼ ðn þ 1Þ 6

4.42 a 5 km: 13,80 kr 5 þ 91 ¼ 160 kr 10 km: 13,80 kr 10 þ 91 ¼ 229 kr 15 km: 13,80 kr 15 þ 91 ¼ 298 kr b P ¼ 13,80x þ 91

4.43 a 375 kr for en time, 750 kr for to timer og 1125 kr for tre timer b P ¼ 375x c 4500 kr

4.44 a T: temperatur 5: temperaturen faller med 5 grader per time

c 385 kuler

95: starttemperatur på kakaoen t er uavhengig variabel, og T er avhengig variabel. b 70 Ja, det kan stemme.

4.45 a L ¼ 150x þ 180y b 4440 kr

d 1240 kuler e 10 lag: 385 kuler 15 lag: 1240 kuler

4.40 a 1 pakke: 12 egg 2 pakker: 24 egg 3 pakker: 36 egg 4 pakker: 48 egg b E ¼ 12x

4.41 a 1 hg: 2 hg: 3 hg: 4 hg:

16,00 kr 1 ¼ 16,00 kr 16,00 kr 2 ¼ 32,00 kr 16,00 kr 3 ¼ 48,00 kr 16,00 kr 4 ¼ 64,00 kr

b K ¼ 16x

4.46 a 211 bpm, 0 år b Maksimalpulsen minker med 0,64 for hvert år en blir eldre. c M er avhengig variabel, og a er uavhengig variabel. Verdien på M avhenger av verdien på a.

4.47 a 21 m3

b V ¼ 21 2x

4.48 a 201 bpm

b —

4.49 a 24 km

b 60 km

4.50 a 24 biter

c 5 biter

b 2294 kJ


Kapittel 4 321

4.51 a 70 km=t

b 58 km=t

4.60 a 2 kutt

c k ¼d 1

b 9 kutt

4.52 a 28 g

4.68 a Nidar favoritter: 387,07 kr=kg Troika: 512,67 kr=kg b 19,51 kr=MJ

b 8692 kJ

4.53 a 2627,6 kJ

4.61 a —

4.69 a Nei, volumet er 924 ml eller 0,9 L.

b 32 768 bakterier

d2 h 4000

b 2000 kcal

c B ¼ 8t , der B står for antall bakterier og t for antall timer

b V¼

c 0,239 kcal

d 6 t 38 min 38 s

c —

4.62 a 60 kr, 33 %

4.70 a 400 g smør

c 40 lussekatter

b 550 cm2 , 79 %

b 1 egg

d om lag 70 kr

B d A¼ 4,184 der A er antall kilokalorier, og B er antall kilojoule.

4.54 a 54 F F 32 b C¼ 1,8

c 2,2 C

b 470 kJ

4.64 a 1 liter

4.56

b 500 cm3

a3 3 e 3,0 cm

d V¼

c 8,9 cm3

4.57 30 km 4.58 a 22 m=s

l b h 100 c 36 cm

b V¼

5 l , der p er antall porsjoner, 12 og l er lengden av sjokoladepuddingen i cm.

d p¼

4.65 a 10 kg

b 9,7 liter

b 18 m c Nei, bremselengden blir 62,9 m, så bilen rekker ikke å stanse før hindringen. d 76,3 km=t

4.59 a seks personer b G ¼ 2 k m, der G er antall gjester, k er antall kyllinger, og m er kyllingens masse i kilogram.

4.71 a 9,7 kg b Massetettheten er 16,7 g/cm3 , så det kan ikke være reint gull.

4.63 a E ¼ 27A þ 17K

4.55 81 cm, ja

a 56 pyramider

c Du får mer pizza for pengene hvis du kjøper den store.

4.72 a 263 K

b 5505 C

4.73 a s ¼ 320

b a¼8

4.74 a 198 bpm

b 50 år

4.75 9 C þ 32 5

a 30 C

b F¼

4.76 a 750 kcal

b 17,5 g

4.66 a 546 NOK NOK 100 b DKK ¼ kurs

4.77 a Kari: 163 cm, Ola: 177 cm

4.67 a Piccolo: 226,50 kr=kg Klase: 39,80 kr=kg

4.78 a —

t b p ¼ , der p er enhetsprisen, m t er totalprisen, og m er antall enheter.

c fire ganger lengre

b 178 cm

b sommerføre: 7,9 m, 31,5 m vinterføre: 31,5 m, 126,0 m d halv hastighet


322 Fasit

4.79 a 2250 kr

5.5 a 2482,70 kr

b 27 792,70 kr

e Kapitalen har økt med 370,7 %.

5.6 a 8035 kr

b 6963 kr

5.18 —

d Kapitalen har økt med 22 243 kr.

b y ¼ 1250 þ 5x Prisen per kaffekopp er 5 kr, og han betalte 1250 kr for kaffemaskinen.

c 14 507 kr

c 12 200 kr

5.19 a ca. to år

5.7 40 229 kr

4.80 a 61 sjokolader b — c 271 sjokolader d Fn ¼ ðn 1Þðn 1Þ þ nðn 1Þ þ n n F n ¼ 3n2 3n þ 1

b nesten tre år

5.20 —

5.8 46 449 kr

5.21 a 49 194 kr

c 35 039 kr

5.9 a 29 442 kr

b 30,6 %

b 14 105 kr

d 49 194 kr

5.10 a 16 430,40 kr

c 30 513 kr

5.22 a 3992 kr

c 1 946 004 kr

e 41

4.81 etter en uke: 4 personer, etter to uker: 13 personer, etter tre uker: 40 personer, etter 21 uker: 1,57 1010 personer 4.82 a 512 riskorn

b 1056 kr

b 1 996 726 kr

5.11 —

5.23 Ailo kan spare 20 514 kr på å velge lånet med kortest nedbetalingstid.

5.12 —

b 9,22 1018 riskorn c 1,84 10

19

riskorn

d Går vi ut fra at et riskorn veier 6 mg, blir det 1,11 1011 tonn.

5.13 a 9,7 %

5.1 a 390 kr 5.2 a 5400 kr 5.3 a 2120 kr 5.4 a 665 580 kr

5.16 a 6162 kr

b 170 kr

c 30,8 %

b 282,70 kr

b 23 maskiner

b 16 902 kr

d 51 448 kr

5.25 a 40 000 kr

c 42 800 kr

b 54 000 kr

5.15 — b 1560 kr

c 1429 kr

b 2,3 %

5.14 —

Kapittel 5

5.24 a 45 000 kr

5.26 — b 6855 kr

5.17 a Det er 11 463 kr på kontoen etter ett år. b Det er 16 906 kr på kontoen etter tre år. c Det er 28 243 kr på kontoen etter fem år.

5.27 27,27 % 5.28 a 24,75 %

c 932 kr

b 33 059 kr

5.29 a ca. 4000 kr

b —


Kapittel 5 323

5.30 a 16 929 kr

5.39 a 400 kr

b 272,73 kr

5.52 28 761,66 kr

c 577 901 kr

5.53 172 timer

b 25,53 %

5.40 a 52 000 kr

c Nominell rente ¼ effektiv rente gebyr

b 552 000 kr

5.54 16,8 timer

Stemmer påstandene? 1 ja

3 ja

5 ja

2 nei

4 nei

6 ja

5.31 a 355,60 kr

c —

5.41 a 36 414 kr

b 39 943 kr

5.42 a 541 543 kr

c 3,4 %

b 55 237 kr

d 56 309 kr

b 80 timer

5.32 a 30 107 kr

5.55 a 31 022 kr 5.56 a 383,30 kr b 31 050 kr

b 32 377,23 kr

5.33 a inntekt 25356 kr sum utgifter 24 500 kr inntekter – utgifter 856 kr b —

5.43 a 5838 kr

c 27 718 kr

b 7380 kr

d 52,3 %

5.57 —

5.44 a 31,5 timer

d 4922,60 kr

b 3969 kr

e 6252,60 kr

5.58 a 8,45 %

c 12 timer (6 timer hver dag)

c 953,60 kr

5.45 a 13 872,50 kr

5.34 a 200 749 kr

5.59 — c 14 307,50 kr

b 435 kr

5.60 —

b 5 år og 10 måneder c 5985 kr

5.35 a 150 632 kr

c 11 732 kr

5.36 a 0 kr i gebyrer eller rente b 16 450 kr

b 28 490 kr

b 278,26 kr

c 172,70 kr

5.62 —

5.47 5921 kr

5.63 —

5.48 12 902,50 kr 5.49 a 9792 kr

c 20,3 %

5.38 a 1295 kr

5.61 —

5.46 —

b 3900 kr

5.37 a 480 000 kr

b —

5.50 a 232 kr

5.64 — b prosenttrekk

5.65 — c 26 986 kr

b 42 920 kr

5.66 —

5.51 —

5.67 —

b 29 940 kr

c —


324 Fasit

5.68 a 25 500 kr

b 26 530,20 kr

5.80 a 28 000 kr

c 94 353 kr

5.89 —

b 10 353 kr

5.69 a 373 977 kr

5.81 a 92 668 kr

b 2 493 180 kr

5.90 477 553 kr i rente b 8668 kr

5.91 a 22,42 %

c 10 933 kr, 2 623 920 kr

5.70 a 43 624,66 kr

5.82 a 56 704 kr b 53 624,66 kr

b 18 901 kr c 1928 kr, 1285 kr, 643 kr

5.71 a 61 869 kr 5.72 a 52 146 kr

d 60 559 kr b 343 894 kr

b 1408 kr

5.73 11 980,66 kr

c 28 250 kr

b 29 375 kr

d 22 425 kr

5.75 a 967 938 kr

c 4000 kr

b 773 590 kr

d 4338 kr

b 58 354 kr

e —

c 4016 kr

b —

5.79 a 384 997 kr

d —

b 498 879 kr

e —

c 413 583 kr

d 18,16 %

5.93 a 90 kr, 495 kr, 4635 kr c —

b 5379 kr og 5393 kr

5.94 Alternativ b

5.85 a Diagram 1 viser annuitetslån, diagram 2 viser serielån. b —

b 2 450 000 kr

5.88 a 12 593 kr

5.95 a 29 888 kr

c 33 052 kr

b 10,7 %

5.96 a 27 652 kr

c 22 309 kr

b 25,64 %

d 46 176 kr

5.97 a 7321,41 kr

c —

b 610,10 kr

d —

b 3 250 000 kr

5.98 a 18,30 %, 19,92 %

c 650 000 kr

b Norge: 40 kr + 1 % av uttaksbeløpet

d 3 777 900 kr c 470 kr

c 1494 kr

b 14 194 kr

5.84 a 2062 kr og 2048 kr

5.87 —

5.77 a 54 016 kr

5.92 a 13 241 kr

b 47,2 %

5.86 a 3 065 000 kr

5.76 —

5.78 a ca. 45 år

5.83 Lars bør velge Alternativ 2 (ingen avdragsfri periode).

c Renten minker, avdragene øker.

5.74 a 4800 kr

c 17 204 kr

b 51 704 kr

Utlandet: 0 kr

e månedsbeløp: 12 457 kr egenkapitalbehov: 1 725 000 kr total kostnad: 3 737 100 kr

c 45 dager, ja, ja

f —

5.99 a 47 900 kr

d 20,27 %

b 57 610 kr

e 54 079 kr

g Totale kostnader blir mindre med nedbetaling over 20 år enn over 25 år.

d 3585,60 kr

c 20,27 %


Kapittel 6 325

Kapittel 6

5.100 —

6.1 6025 kr per måned og 72 300 kr per år.

5.101 28 398,50 kr 5.102 a 10 699 kr

c —

b —

d —

5.103 a 10 892 kr b 14 522 kr c 2081 kr i underskudd

6.2 5975 kr 6.3 a indirekte kostnader b 41 236 kr

6.17 a 675 kr

c 150 630 kr

b 825 kr

b 344 iskremer

5.105 a alternativ 1

d 3184 kr

6.6 a 53 300 kr

c 66 251,90 kr

b 312 kr

e 202 837 kr

b 7515,30 kr

d 57 711,60 kr

c 3235 kr

6.7 a 680 kr

5.106 —

b 4274 kr

c 55 kr

6.18 a 90 kr

b 452 kr

6.19 a 475 kr

b 594 kr

6.20 a 525 kr

b 200 kr=t

6.21 a 418,31 kr

b 522,89 kr

c 732 kr

6.8 A: 45,39 kr

C: 609,33 kr

6.22 a 3661 kr

B: 248,67 kr

D: 1873,80 kr

b 366 kr

5.108 a alternativ 1: 57 500 kr alternativ 2: 54 000 kr

6.9 a 1400 kr

b 4900 kr

b —

6.10 2662,50 kr

5.107 a 5450 kr

b 450 kr

c 68 750 kr

5.109 a 19 kurver 5.110 a —

b 139 kurver

c 385 235 kr

b 42 618 kr

5.111 a 12 899,60 kr b 136 timer

c 14 417 kr

c 735 kr

d 79 %

6.5 335 kr=time

c 860 kr

6.15 7008 kr 6.16 3720 kr

6.4 180 950 kr

d BSU-konto

5.104 a 110 kr

6.14 5713 kr

6.23 sykkel: 2 983,04 kr bukse: 616,50 kr trompet: 15 796,88 kr 6.24 a 230 kr

6.11 1750 kr 6.12 a 29 586 kr

c 30 086 kr

b 500 kr

d 96 %

6.13 a 54,25 kr

c 20 salater

b 1,55

d 1085 kr

b 35 kr

c 265 kr

6.26 a 16 kr

b 2,90

c 19 kr

6.27 a 2,77

b 235 kr

c 294 kr

6.25 16 415 kr


326 Fasit

6.28 a 5094 kr

Stemmer påstandene? 1 sann

3 usann

5 sann

b 1735,11 kr, 74 %

2 usann

4 usann

6 sann

6.46 a 122 493 kr

c 1,74

6.29 a 399,94 kr

6.35 4800 kr

6.47 a 9450 kr

b 180 kr

6.36 a 2772 kr

6.30 a 54 m2

c 113 400 kr

b —

d 78 207 kr

6.31 50 000 kr

6.45 Lavere, 9300 kr

b 85 %

b 153 kr

c 1,6 %

c 1836,45 kr

b —

6.48 a 78 681,67 kr

6.37 a 12 415 kr

b Han disponerer ca. 150 000 kr til lønn. Det kan gi de ansatte en akseptabel inntekt.

b — c —

6.32 87 000 kr

d 346 197,50 kr e — f —

6.33 a 2018, 29 832 kr

h Diverse indirekte kostnader burde være over 2000 kr.

c 63 041 kr

i —

b Forventet resultat varierer nokså mye, fra et positivt resultat på 27 500 kr i mai til et negativt resultat på 37 000 kr i juli. Samlet forventet resultat for de seks månedene er 47 500 kr. Det ser ut til at det er rom for å sette av penger til markedsføring i budsjettet. c Samlet resultat er 174 671 kr. d Avvikene viser at resultatet var høyere enn forventet i januar, mars, mai og juni. Resultatet var lavere enn forventet i februar, april og juli. Høyest var resultatet i mai med 109 599 kr. Samlet resultat for de seks månedene er 174 671 kr, som er 125 541 kr høyere enn forventet.

j mars, 16 020 kr k 24 011 kr

6.38 21 600 kr. Nei, hun har ikke råd. 6.39 8716,67 kr

e 918,87 kr

6.50 a 540 kr

b 1740 kr

6.51 a 10 kr

b 35 kr

6.52 43,20 kr

6.54 94,55 kr

6.41 3,05 kr

b 2,44 kr

c 1470 kr

6.43 31,20 kr 6.44 a Firma A

b 4,5 timer

6.53 2235 kr

6.40 2790 kr

6.42 a 12 kr

d 2022,47 kr

c 4494,38 kr

g 22 kr

b 105 069 kr

6.34 a Forventet samlet resultat er 47 500 kr.

6.49 a 13 timer

b 200 kr

6.55 a 8958 kr

d 18,2 %

b 1997,50 kr

e 9775,90 kr

c 10 955,50 kr

6.56 a 33 150 kr

c 2,26

b 126 %

d 48 804,04 kr


Kapittel 6 327

6.57 a 6,21 kr, 16,56 kr, 31,05 kr

6.70 227,90 kr

6.82 101 667 kr

6.71 360 kr

6.83 a —

b 274,54 kr, 323,23 kr, 376,05 kr c 164,73 kr, 184,24 kr, 206,83 kr d 439,27 kr, 507,47 kr, 582,88 kr

b ja

6.72 a 7844,48 kr

6.58 20 kr

c — c 9805,60 kr

b 1961,12 kr

6.59 20,07 kr

6.73 a Pinnekjøtt: 17 kg Kålrot: 19 kg

6.60 97,75 kr

e 29 389 kr

6.84 a —

b 2196 kr c 43,92 kr

6.61 306 250 kr

6.63 a 459,00 kr

6.74 a 2,76 6.75 a 4,8

6.64 10 950 kr

b 638,89 kr

6.67 37,39 kr 6.68 247,44 kr 6.69 117 %

c 466 kr

b 302,40 kr

6.85 a —

6.76 a 30,26 kr

b 34,80 kr

6.77 a 121,44 kr

c 65,22 kr

b 151,80 kr

d 2,16

6.78 a 67,60 kr b 3,4

c beltet (2,9 for skjorta)

c 38,64 kr

b 33,60 kr

6.80 80,75 kr 6.81 a 0,90 kr b 8 kr

b Forventet resultat er bedre og bedre for hver måned. June regner ikke med positivt resultat før i desember. Samlet forventet resultat for disse månedene er et negativt resultat på 32 000 kr. c —

c 1228,34 kr

6.79 a 8 kr

c — d Resultatet ble 7516 kr bedre enn forventet.

c 132,80 kr

b 531,20 kr

6.66 a 511,11 kr

b 373 kr

c 169,15 kr

b 280,50 kr

6.65 a 664 kr

b Resultatet ventes å være negativt i januar og så bli bedre for hver måned. Forventet samlet resultat er 62 600 kr.

d 106 kr

6.62 9041,63 kr

d Resultatet ble dårligere enn forventet i februar. Samlet resultat ble litt lavere enn budsjettallene.

c 3120 kr

d Inntektene steg ikke like gradvis som antatt, men det høyeste salget var som ventet i desember. Samlet var både inntektene og utgiftene litt høyere enn forventet, men budsjettet stemte bra. Samlet resultat ble 34 690 kr, litt lavere enn forventet resultat på 32 000 kr.

6.86 208 kr


6.87 36 000 kr 6.88 a 311,50 kr b 389,38 kr

6.89 a 637,97 kr b 797,46 kr

6.90 a 32 825 kr

6.92 a 6885 kr

b 3939 kr

b 18 000 kr

c 6516,68 kr

c 21,74 kr

d 56 082,43 kr

d 317 pizzastykker

e 345,12 kr

e 12 047,83 kr f 150 pizzastykker

6.91 a 24,58 kr

g 8,70 kr h 6467,17 kr

b 10,95 kr

6.93 a 2875 kr b 35 %


Stikkord 329

STIKKORD A akser, tilpasning 124 annuitetslån 218 arbeidsgiveravgift 255 areal, målenheter 71 avanse 272 avansemetoden 272 avanseverdi 272 avdrag 217 avkastning 212 avrundingsregler 12

F fart 84 faste størrelser 161 feriepengegrunnlag 197 feriepenger 196, 255 forbrukslån 222 forenklet selvkostberegning 261 formel 153, 158, 160, 163–164 fortjeneste 265 frekvens 113 frekvenstabell 114

B bruttolønn 199 brøk 23 – fellesnevner 28 – forkorte 26 – legge sammen 28 – multiplisere 30 – trekke ifra 28 – utvide 26 budsjett 207, 276 budsjettkontroll 208, 278

G GeoGebra 301 gjennomsnitt 127

D datamateriale 113 desimaltall 10 direkte kostnader 250–251 E energi 78 – i næringsstoffer 86 – kcal omregnet til kJ 78 – målenheter 78 energiformelen 169 energiprosent 79 energitetthet 86 Excel 304

I indirekte kostnader innskudd 213 inntakskost 251

251, 253

M median 127–128 merverdiavgift 266 målenheter 64 – energi 78 N negative tall, regneregler 21 nettolønn 199

J joule, J 78 K kalorier, cal 78 kcal omregnet til kJ 78 konsentrasjon i blandinger 85 kostnader 250 kredittkort 222 kredittlån 222 kvadratrot 18 L lakesalting 170 likninger 43 – digital løsning – uoppstilte 45

linjediagram 107, 121 lønn 194 – akkordlønn 194 – månedslønn 194 – overtidslønn 194 – prestasjonslønn 194 – provisjon 194 – timelønn 194 lønnskostnader 255 lønnsslipp 199 lån 217 lånekalkulator 217

166

O observasjon 113 P pensjon 199 pensjonsforsikring 255 pensjonstrekk 199 posisjonssystemet 10 potenser 17 prefikser 63 problemløsning 48 problemløsningsmetoder 48 prosent 32, 34–36, 38 prosenttrekk 201


330 Stikkord prosentvis – nedgang 41 – økning 40 puls 83 Python 298 påslagsmetoden 272 påslagstall 272 R regnerekkefølge 18 renter – effektiv rente 219 – forsinkelsesrente 224 – nominell rente 219 – på innskudd 213 – på lån 217 – rentesrente 224 reseptberegning 173 resultatbudsjett 276

S sektordiagram 106, 120 selvkost 251, 259 – forenklet selvkostberegning 261 selvkostkalkyle 270 sentralmål 127 serielån 218 SIFOs referansebudsjett 207 skatt 200 skattemelding 204 Sms-lån 222 sosiale kostnader 255 sparing 212 – aksjefond 213 – boligsparing for ungdom, BSU 213 – pensjonssparing 213 spredningsmål 130 søylediagram 104, 118

T tabeller 103 – frekvenstabell 114 tabelltrekk 200 tid 66 titallssystemet 10 typetall 127, 129 U uoppstilte likninger 45 V variabler 161 variasjonsbredde 130 varsomhetsprinsippet 276 vekstfaktor 40 – merverdiavgift 267 – renteberegning 214 volum, målenheter 73 væskebehov 80