Page 1

B

multi

Multi hovedkomponenter per trinn: • Grunnbok A og B • Lærerens bok A og B • Oppgavebok • Nettsted www.gyldendal.no/multi

9 788205 478916

Alseth • Nordberg • Røsseland

Elevene lærer matematikk gjennom varierte aktiviteter: • Problemløsing og praktiske oppgaver • Refleksjonsoppgaver til samtale og utforsking • Øving på grunnleggende faktakunnskaper • Hjelp til å utvikle gode regnestrategier

GRUNNBOK

Multi vektlegger tilpasset opplæring innenfor et læringsfellesskap. Målet er at alle elevene skal oppleve mestring, samtidig som de utfordres og får mulighet til å strekke seg lengst mulig. Lærerens bok gir konkrete tips til hvilke oppgaver elevene kan gjøre.

7a

Multi er et læremiddel som er basert på forskning om undervisning og om hvordan barn lærer i matematikk. Multi sikter mot alle delene av elevenes kompetanse, som faktakunnskaper, grunnleggende ferdigheter og evne til å tenke og bruke matematikk i problemløsing og praktiske situasjoner.

2. UTGAVE

Matematikk for barnetrinnet

Bjørnar Alseth Gunnar Nordberg Mona Røsseland

7a

GRUNNBOK

Matematikk for barnetrinnet


© Gyldendal Norsk Forlag AS 2015

INNHOLD

2. utgave, 2. opplag Denne boka er en del av læreverket Multi 1–7. Læreverket dekker målene for matematikk etter den reviderte læreplanen av 2013.

1 Tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Titallsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Addisjon og subtraksjon . . . . . . . . . . . . . .  Addisjon og subtraksjon med desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Negative tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplikasjon og divisjon . . . . . . . . . . . . .   Faktorisering - delelig med primtall . . .  Multiplikasjon og divisjon med flersifrede tall . . . . . . . . . . . . . . . . Regning med parenteser . . . . . . . . . . . . . . Tekstoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kan du dette? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Øveside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tren tanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Litt av hvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistiske undersøkelser . . . . . . . . . . . . . .   Spørsmål i statistikk . . . . . . . . . . . . . . . .   Innsamling av data . . . . . . . . . . . . . . . . .  Observasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sentralmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Bestemme sannsynlighet ved regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Bestemme sannsynlighet ved forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kan du dette? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Øveside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tren tanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Litt av hvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 6 8 10 12 14 18 18 20 24 28 32 34 36 38 40 41 42 43 44 46 52 58 60 61 64 66 68 71

3 Multiplikasjon og divisjon . . . . . . . . . . . . 72 Multiplikasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74   Multiplikasjon med flersifrede tall . . . . 74   Multiplikasjon med desimaltall . . . . . . . 76 Divisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80   Divisjon med flersifrede tall . . . . . . . . . 80   Divisjon med desimaltall . . . . . . . . . . . . 82  Tekstoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84  Regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Regne med parenteser . . . . . . . . . . . . . . . 88   Regneartenes prioritet . . . . . . . . . . . . . 92 Kombinatorikk og forholdsregning . . . . . . 94  Kombinatorikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94  Forholdsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Kan du dette? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Øveside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Tren tanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Litt av hvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Beregning av vinkler . . . . . . . . . . . . . .   Rotasjon og vinkler . . . . . . . . . . . . . . . Sirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Tegne sirkel med passer . . . . . . . . . . .  Sektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mangekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Firkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Tegne trekanter og firkanter . . . . . . . . Målestokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kan du dette? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Øveside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tren tanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Litt av hvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108 110 113 116 117 119 120 122 124 126 128 130 136 138 140 142

Printed in Latvia by Livonia Print, 2015 ISBN 978-82-05-47891-6 Redaktør : Thor-Atle Refsdal Bilderedaktør: Anette C. Badendyck Design: Anne Tryti Sats/layout: Hanne Broen Omslagsdesign: Hanne Dahl Design Omslagsillustrasjoner: Børre Holth Illustratører: Anne Tryti og Børre Holth Rettigheter : S. 5: NTB scanpix, s. 6 øverst: NTB scanpix s. 6 nederst: NASA, s. 9: Carsten Seiler, s. 10 alle hjelmene: Istock, øvrige bilder: NTB scanpix, s. 11 alle: NTB scanpix, s. 12 alle: NTB scanpix, s. 13 alle: NTB scanpix, s. 15: Istock, s. 16: Mango Productions/Corbis/ NTB scanpix, s. 17: Istock, s. 19: NTB scanpix, s. 20: montasje v/ Anne Tryti, , s. 23: montasje v/ bilderedaktør, s. 24: foto; Istock, s. 25: montasje v. Anne Tryti, s. 28: Istock, s. 30: Istock, s. 31: ImageBROKER/ Imageselect, s. 35: Tomra, s. 36 øverst: montasje v. Anne Tryti, s. 36 nederst: ImageBROKER/ Imageselect, s. 37 øverst: montasje v/ Anne Tryti, s. 37 nederst: Istock, s. 39 øverst: LIONEL BONAVENTURE/AFP/ NTB scanpix, s. 39 nederst: EPA/NICOLAS BOUVY/ NTB scanpix, s. 40: Igor Prahin/ Getty images, s. 42: Istock, s. 43: Radius/ NTB scanpix, s. 45: montasje v/ Anne Tryti, s. 46 øverst: NTB scanpix, s. 46 barna i midten: Istock, s. 46 nederst: NTB scanpix, s. 48: Björn Larsson Rosvall /TT/ NTB SCANPIX, s. 49: Alamy/ Imageselect, s. 51 alle: NTB scanpix, s. 55: NTB scanpix, s. 57 alle: Istock, s. 58 a: NTB scanpix, s. 58 b: NTB scanpix, s. 58 c: Istock, s. 58 d: Istock, s. 58 alle nederst: Istock, s. 60 NTB scanpix, s. 61 alle barn: Istock, s. 61 nederst: NTB scanpix, s. 66 alle: NTB scanpix, s. 68: NTB scanpix, s. 73: Tore Wuttudal / NN / Samfoto/ NTB scanpix, s. 74 begge: Istock, s. 77: NTB scanpix, s. 78: Istock, s. 79 begge: NTB scanpix, s. 81 begge øverst: Istock, s. 81 i midten: Bård Løken / NN / Samfoto/ NTB scanpix, s. 81 nederst: Istock, s. 82 alle: Istock, s. 83 alle: Istock, s. 84: montasjer v/ Anne Tryti, s. 85 begge: Istock , s. 89: Istock, s. 90 øverst: privat, s. 90 alle barn: Istock, s. 90 nederst: NTB scanpix, s. 91: Istock, s. 92: Istock, s. 93: NTB scanpix, s. 94 alle: Istock, s. 95 nederst: NTB scanpix, s. 96: NTB scanpix, s. 97, alle hundene: NTB scanpix, s 97 gutt: Istock, s. 98: Istock, s. 104 alle: NTB scanpix, s. 106 alle: Istock, s. 109 begge: NTB scanpix, s. 110 alle: Istock, s. 117 alle: NTB scanpix, s. 118 t.v.: Imageselect, 2 t.v.: Istock, nr. 3 og 4: NTB scanpix, s. 119: Carsten Seiler, s. 120 øverst: Carsten Seiler, s. 120 t.v.: Istock, s. 122: Istock, s. 128: Istock, s. 129: Istock, s. 130 alle: NTB scanpix, s. 131 alle: NTB scanpix, s. 134 begge: Istock, s. 143 øverst: Istock, s. 143 alle under: Carsten Seiler. Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Grunnskoleredaksjonen Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no www.gyldendal.no/undervisning

Alle Gyldendals bøker er produsert i miljøsertifiserte trykkerier. Se www.gyldendal.no/miljo


Bjørnar Alseth

Gunnar Nordberg

7a GRUNNBOK

Bo k mål

Mona Røsseland


Forord Velkommen til MULTI! Vi som har skrevet MULTI mener at matematikk er viktig for alle. Det er noe alle kan ha nytte og glede av. Vi vil gjerne bidra til at du blir inspirert og motivert til å lære og bruke matematikk. Matematikk er noe som blir brukt over alt! Vi bruker matematikk når vi regner med penger, når vi måler for å lage en kake og når vi lager julepynt. Vi bruker ­matematikk når vi leker, når vi utforsker og når vi løser problemer. Vi bruker også matematikk når vi leser i avisen, når vi beskriver en reiserute, og når vi ­argumenterer for hvorfor et svar er riktig. I MULTI vil du arbeide med matematikk på mange ulike måter. Du vil bruke ­hodet, skrive på papir og bruke mange forskjellige hjelpemidler. Du vil delta i mange f­ orskjellige aktiviteter og arbeide slik det passer deg. Du vil arbeide med varierte og utfordrende oppgaver i elevboka, delta i spill og aktiviteter som læreren viser deg, og du finner spill og oppgaver på nettstedet, www.gyldendal.no/multi. Alt arbeidet har som målsetting at du skal bli ­flinkere i matematikk, at du skal se nytten av faget, og at du skal bli glad i å arbeide med matematikk. Vi ønsker deg lykke til med mange gode matematikkstunder med MULTI. Bjørnar Alseth Gunnar Nordberg Mona Røsseland


1 Tall

I dette kapitlet skal du lære om • titallsystemet • addisjon og subtraksjon • negative tall • multiplikasjon og divisjon • regning med parenteser • tekstoppgaver

 4

1 • Tall


1.1

Sofia og Isak skal kjøpe leilighet. De har spart 405 000 kr. Leiligheten koster 2 045 000 kr. De må låne resten av pengene i banken. a Hvor mye penger må de låne i banken? De skal betale like mye tilbake hvert år i 20 år. b Hvor mye må de betale hvert år? c Hvor mye må de betale hver måned? Etter at Sofia og Isak har betalt på lånet i nøyaktig tre år, arver Sofie 340 000 kr. De bruker alle disse pengene til å betale ned på lånet. d Hvor mye skylder de banken etter at de har betalt inn hele arven?

1.2

Tabellen viser verdien av fire leiligheter.

Leilighet

Verdi i mill. kr

A

2,25

b Hvor stor er verdiforskjellen mellom den dyreste og den billigste av leilighetene?

B

2,18

C

1,82

c Hvor mye mer enn 2 000 000 kr er leilighet B verdt?

D

2,34

a Regn ut verdien av de fire leilighetene til sammen.

d Hvor mye mangler på at disse fire leilighetene til sammen er verdt 10 millioner kroner?

www.gyldendal.no/multi

 5


Titallsystemet 1.3

Elevene diskuterer tallet 96 millioner. Hvem har rett?

B A

Tallet består av seks siffer.

C

Tallet har seks nuller.

D

Tallet har åtte nuller.

Tallet har sifferet 6 på millionplassen.

Oversikten viser avstanden mellom sola og de ulike planetene.

Planet

Avstand fra sola

Merkur

57 900 000 km

Venus

108 200 000 km

Jorda

149 600 000 km

Mars

227 600 000 km

Jupiter

778 300 000 km

Saturn

1 427 000 000 km

Uranus

2 870 000 000 km

Neptun

4 497 000 000 km

Pluto

5 900 000 000 km (Kilde: Caplex 1997)

1.4

Hvor mange millioner kilometer er det fra sola til a Merkur? b Jupiter? c Uranus? d Pluto?

1.5

Hvor mye lenger er det fra sola til a jorda enn fra sola til Venus?

1.6

b Mars enn fra sola til jorda?

Skriv tallene med sifre. a Tjuetre tusen, fire hundre og nittiåtte b Åtte hundre og sekstifire tusen, tre hundre og syttifem c Tre millioner, fem hundre og trettito tusen, sju hundre og førtisju d Sytten millioner og førtiseks tusen, fire hundre og ni

 6

1 • Tall


Fakta Tall:

64 539 045

Utvidet form:

60 000 000 + 4 000 000 + 500 000 + 30 000 + 9000 + 40 + 5

Med ord:

Sekstifire millioner, fem hundre og trettini tusen og førtifem

I tabell:

1.7

Timillionere

Millionere

Hundretusenere

Titusenere

Tusenere

Hundrere

Tiere

Enere

6

4

5

3

9

0

4

5

Skriv tallene med bokstaver. a 4072 b 12 750

1.8

c 750 359

d 87 333 615

a Skriv tallet som er 10 000 større enn 49 827. b Skriv tallet som er 100 000 større enn 937 235. c Skriv det største sekssifrede tallet som kan skrives med tre ulike sifre. d Skriv tallet som er 5 millioner større enn 12 850 000. e Skriv tallet som ligger midt mellom 7 millioner og 8 millioner.

1.9

a Lag det største sjusifrede tallet som har 5 på hundretusenerplassen, 3 på tusenerplassen og 5 på tierplassen. b Lag et åttesifret partall der sifferet på titusenerplassen er tre større enn sifferet på hundrerplassen, og sifferet på timillionerplassen er 5.

Spill Lag høye tall Utstyr: Terning

Spiller 1: Spiller 2:

Spilleregler: • Tegn fire svarstreker. Spilleren kaster terningen annenhver gang, i alt fire ganger hver og plasserer tallene på valgfri strek. • De tre første svarstrekene er de første sifrene i et tall. Tallet på siste streken angir hvor mange nuller Eksempel som kommer etter de Antall Tre første sifrene tre første sifrene. nuller • Spilleren med høyest Spiller 1: 3 4 2 5 34 200 000 (34 millioner) tall vinner omgangen. Den som først vinner Spiller 2: 6 1 4 2 61 400 (61 tusen, 4 hundre) fem omganger, vinner.

www.gyldendal.no/multi

 7


Desimaltall Mellom de hele tallene ligger det andre tall som vi kaller desimaltall eller brøk. Disse tallene angir tallstørrelser mellom de hele tallene. 1

Vi kan dele en tallinje mellom 0 og 1 i ti like deler. Da blir hver del en tidel, 10 .

0

1 10

2 10

0,1

0,2

1

Vi kan dele hver tidel inn i ti like deler, slik at en tallinje mellom 0 og 1 blir 1

delt i hundre like deler. Da blir hver del en hundredel, 100 . 1 100

0

1.10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

A 0

0,10

b

B 0,20

A

c

1

0,30

0,40

B

0,50

C

0,60

D

0,70

0,80

A

B

D 0,30

0,40

Hvilket tall ligger midt mellom a 0,66 og 0,67?

c 0,657 og 0,661?

b 0,654 og 0,658?

d 0,662 og 0,663?

0,65

0,66

1,0

0,34

C 0,20

0,90

D

0,33

0,10

1 • Tall

0,9

C

0,32

 8

0,8

Hvilke tall peker pilene på? a

1.11

0,7

0,67


2 enere

3 tideler

5 hundredeler

6 tusendeler

Fakta Tall: 2,356 Utvidet form:

2 + 0,3 + 0,05 + 0,006

Med ord:

To enere, tre tideler, fem hundredeler og seks tusendeler

I tabell:

1.12

Enere

Tideler

Hundredeler

Tusendeler

2

3

5

6

Hvilken verdi har sifferet som er understreket? a 75,723

1.13

b 32 178,9

c 7406,93

d 637,628

Skriv med sifre. a Førtitre tusen fem hundre og seks komma tre to ni. b Fem hundre og åttito tusen sju hundre og trettito komma fire null åtte.

1.14

1.15

1.16

Skriv riktig tegn: >, < eller = a 0,04

0,041

c 0,050

0,05

e 0,563

0,56

b 0,076

0,067

d 0,0072

0,13

f 0,004

0,01

Hvilket tall er a 3,03 større enn 0,129?

c 0,02 mindre enn 2,15?

b 0,004 større enn 0,082?

d 0,004 mindre enn 1,2965?

Hvilket tall er dette? • Tallet består av sifrene 2 til 9. • Sifferet på enerplassen er tre mindre enn sifferet på hundredelsplassen. • Sifferet på tierplassen er det minste sifferet i tallet. • Sifferet på tusenerplassen er tre ganger så stort som sifferet på tidelsplassen. • Sifferet på hundrerplassen er én mindre enn sifferet på tusendelsplassen. • Sifferet på titusenerplassen er det nest største sifferet i tallet. www.gyldendal.no/multi

 9


Addisjon og subtraksjon 1.17 Å gjøre overslag betyr å runde av tallene slik at de blir enklere å regne i hodet med.

a Omtrent hvor mye vil dette koste? Gjør overslag. b Hvor mye koster det nøyaktig? Still opp og regn ut. A

B

620 kr

C

2390 kr

2390 kr 3940 kr

1290 kr 3198 kr

17 990 kr

1.18

a Omtrent hvor stor forskjell er det i prisene på de to tingene? Gjør overslag. b Hvor stor er forskjellen nøyaktig? Still opp og regn ut. A

B

3198 kr 43 900 kr 1190 kr 15 990 kr C

249 900 kr  10

1 • Tall

82 900 kr


Eksempel Still opp og regn ut. a 16  476 + 35 252

b 35 618 – 27 475

a

b 1

Her får vi 12 tiere. Vi veksler 10 tiere i én hundrer.

1

På tierplass skal vi trekke fra 7 og så har vi bare 1. Da veksler vi én hundrer i 10 tiere.

10

1 6 4 7 6

3 5 6 1 8

+3 5 2 5 2

–2 7 4 7 5

=5 1 7 2 8

=

8 1 4 3

Still opp og regn ut. 1.19

1.20

1.21

a 2545 + 5617

c 15 217 – 193

e 86 327 + 16 623

b 2548 – 755

d 623 179 + 9913

f 45 938 – 18 612

a 685 + 27 949

c 80 143 + 113 497

e 312 992 – 65 881

b 65 638 – 17 578

d 89 706 – 63 728

f 125 868 + 458 325

Hvilke sifre er gjemt bak flekkene? a + = 1

1.22

6 7 8 6

2

5 9 2 4 4 4

b

2 5

+ 3 =

c

6 5 1 8

4 2

2 1 5

2 4  – 3 = 2 4

0 2

0 9

2

6 2

Camilla solgte det brune huset for 3 450 000 kr. Hun kjøpte et større hus som var 780 000 kr dyrere. Hvor mye betalte Camilla for det nye huset?

1.23

Verdien av det gule huset er 3,2 millioner kroner, og det hvite huset er verdt 2 890 000 kr. a Hvor mye mer er verdien av det gule huset? Chris kjøpte det hvite huset for fem år siden. Da betalte han 1 620 000 kr. b Hvor stor har verdistigningen på boligen vært? www.gyldendal.no/multi

 11


Addisjon og subtraksjon med desimaltall Eksempel

A

B

2,5 tonn

1,8 tonn

Hvor mye veier fisken til sammen?

Vi kan bruke tallinje når vi regner: +1 2,5

+0,5 3,5 +2

2,5

1.24

4

2+1

4,3

4,3

= 4, 3 Fisken veier 4,3 tonn

4,5

Hvor mye veier det til sammen? b 2,8 kg 3,6 kg

1.26

 12

1 • Tall

c 1,4 kg 4,6 kg

0,7 kg

1,2 kg

0,8 kg

Regn ut. a 4,5 + 2,3

c 5,9 – 2,3

e 12,4 – 5,2

g 13,5 + 2,27

b 7,6 – 3,5

d 4,8 + 7,7

f 30,3 – 20,7

h 51,57 + 0,9

Skriv riktig tegn: >, < eller = a 7,5 + 3,2

1.27

=3

0, 5 + 0, 8 = 1, 3

– 0,2

a

1.25

Vi kan også regne de hele tallene for seg og tidelene for seg

+0,3

3,4 + 7,3

d 77,9 – 7,6 + 3,2

b 5,83 + 1,65

4,85 + 2,65

e 0,73 + 0,58 – 0,15

c 4,62 + 1,88

7,89 – 3,96

f 78,48 + 20

77,9 – 3,2 + 7,6 0,73 – 0,58 – 0,15

58,480 + 40

Regn ut. a 12 hundredeler + 7 tideler

d 5 tideler + 21 hundredeler + 9 tideler

b 5 tideler + 16 hundredeler

e 30 hundredeler + 17 tideler

c 4 tideler + 13 hundredeler

f 67 hundredeler + 230 tusendeler


Når vi stiller opp desimaltall, må vi passe på at kommaene står under hverandre, slik at enere står under enere og tideler står under tideler osv. Det kan være lurt å la begge tallene ha like mange desimaler. Eksempel Still opp og regn ut. a 61,56 + 3,893

b 13,25 – 2,195

61,56 har ingen tusen­ deler, så vi kan skrive 0 på tusendelsplassen.

b

a 1

10 10

6 1, 5 6 0 +

1 3, 2 5 0

3, 8 9 3

= 6 5, 4 5 3 1.28

1.29

= 1 1, 0 5 5

a 2,97 + 0,21

d 45,09 – 2,173

g 90,07 – 9,007

b 15,95 – 2,67

e 3,7 – 0,174

h 2,7 + 10,074

c 0,973 + 1,52

f 8,306 + 17,52

i 6,03 – 5,901

b

c

Hvilke sifre mangler? 1 4, 3

4

3,

d

9

1 8 9

+

+ 1 2, 7 2

+

4

 – 4,

= 4 0, 4

= 1 6, 2 0

= 1

9 7

=

4 4

6

Hvilke desimaltall passer i oppgavene? Finn to løsninger til hver oppgave. a b

1.31

2, 1 9 5

Still opp og regn ut.

a

1.30

Vi må veksle en ­ undredel i 10 tusendeler. h Vi må også veksle en tidel i 10 hundredeler.

,

+ ,

, –

5 = 3,87 ,

4 = 11,63

c

,

d

,

+ 9–

,

8 = 0,93

,

= 9,17

A B C  Et transportfirma skal frakte 35 tonn. De disponerer tre typer biler. Biltype A tar 12,4 tonn, biltype B tar 9,7 tonn og biltype C tar 7,6 tonn. Hvordan kan firmaet frakte varene? www.gyldendal.no/multi

 13


Negative tall En tallinje starter ikke ved null, for den er uendelig lang i begge retninger. Tall som er til venstre for null, har mindre verdi enn null og vi kaller dem negative tall. Alle negative tall blir merket med et minustegn foran. Dette kalles et fortegn, og det er ikke det samme som minus som et regnetegn. Jo større de negative tallene blir, desto mindre verdi får de.

De negative tallene er en speiling av de positive tallene om nullpunktet.

negative tall

-8

1.32

-7

-6

-5

-4

-3

-1

0

1

2

3

b -9, 20, -1, -19, 10, 2

0

–23

7

8

15 15

-30 -30

30 30

b –53

14 6

92 –3

–21

41

–11

1 • Tall

6

Skriv tallene i rekkefølge. Start med det minste tallet.

–6

 14

5

-15 -15

a

1.34

4

Tegn en tallinje og skriv starttallet og sluttallet. Plasser tallene omtrentlig på tallinjen ved å trekke streker fra tallene til tallinjen. a -3, 3, 7, -7, 11, -10

1.33

-2

positive tall

–37

–65

36 –94

–39

Regn ut. a 5 – 7

c –11 + 3

e –15 – 23

g –43 + 72

b 14 – 19

d –6 – 4

f –2 – 61

h –17 + 37


1.35

1.37

Temperatur

Murmansk

–26 °C

a I hvilken by er det kaldest?

Oslo

–9 °C

b Hvor mye kaldere er det i Murmansk enn i Oslo?

Kairo

23 °C

c Hvor mye varmere er det i Kairo enn i Anchorage?

Santiago

31°C

Anchorage

–37 °C

d Hvor mye kaldere er det i Oslo enn i Santiago?

1.36

By

Hva er forskjellen mellom a 6° og 19°

c –7° og 15°

e –15° og –28°

g –31° og –8°

b –5° og 9°

d 6° og –19°

f –22° og 41°

h 35° og –27°

Tobias måler temperaturen hver morgen før han går til skolen. Mandag er det –8°, tirsdag er det fire grader kaldere, onsdag synker temperaturen med tre grader, og på torsdag stiger temperaturen med seks grader. På fredag er det –3°. a Hva var temperaturen på tirsdag? b Hva var temperaturen på torsdag? c Hvor mye sank temperaturen fra torsdag til fredag?

1.38

Regn ut. a 7 – 2

d –7 – 2

g –7 + 2

j  5 – 8

b 2 – 7

e 2 + 7

h –10 – 5

k  6 + 2

c –2 – 7

f –2 + 7

i

l –6 – 2

–8 + 5

www.gyldendal.no/multi

 15


Eksempel David har en konto hos sin mor. En dag står det –325 kr på kontoen. Han låner 120 kr til. a Hvor mye har han på kontoen nå? b Uken etter betaler han 500 kr inn på kontoen. Hva står det der nå?

a

– 120

-3 2 5 – 1 2 0 = -4 4 5

-445

På kontoen står det -445 kr

-325 +500

b

+455

+55 0

-445

-4 4 5 + 5 0 0 = 5 5 På kontoen står det 55 kr

55

Skriv regnestykker og regn ut. 1.39

En dag står det –73 kr på kontoen David har hos sin mor. Han låner 235 kr til. a Hvor mye står det på kontoen nå? Neste dag betaler han inn 170 kr. b Hvor mye står det på kontoen nå? Uken etter betaler han inn 300 kr. c Hvor mye står det på kontoen nå?

1.40

Tabellen under viser hvor mye penger David låner og betaler tilbake hver uke i en måned. Før uke 1 starter, har David –250 kr på kontoen. Regn ut hvor mye som er på kontoen hver uke. Vis regnestykkene. Uke

Inn

1

35

2

 16

1 • Tall

Ut

–185

3

370

4

145

–73

På konto


1.41

Utgiftene til et svømmebasseng er på ca. 12 tusen kroner hver dag. Inntektene varierer etter hvor mange det er som besøker bassenget. Denne tabellen viser inntektene en uke. a Regn ut fortjenesten for hver dag. Vis regnestykkene. b Hva ble den totale fortjenesten denne uken?

1.42

Dag

Inntekt, verdi i antall tusen kroner

Utgift, verdi i antall tusen kroner

Mandag

15

12

Tirsdag

8

12

Onsdag

7

12

Torsdag

11

12

Fredag

5

12

Lørdag

18

12

Søndag

21

12

Tabellen viser sammenhengen mellom utgifter og inntekter hos helsestudioet TRAPP i seks uker. a Finn tallene som mangler i tabellen. Vis regnestykkene. b Regn ut samlet resultat for disse seks ukene. Uke

Inn

Ut

1

24 000

15 000

2

21 500

3

12 800

4 5 6

1.43 Til denne oppgaven kan dere bruke lommeregner.

5500 15 500 15 200

27 400

Resultat

Noen ganger er fortjenesten et negativt tall.

-1500

16 700 14 200

5600

Ja, og når fortjenesten er negativ, betyr det at vi har tapt penger.

Østli ungdomsklubb har klubb for alle mellom 12 og 16 år hver onsdag. Inngangsbilletten koster 45 kr, inkludert chips og saft. Klubben har følgende utgifter hver onsdag: • Lønn til lederen 590 kr • Chips og saft 475 kr • Plastglass og papptallerkener 139 kr En onsdag selger klubben 19 billetter. a Hva blir resultatet den onsdagen? En annen onsdag selger klubben 41 billetter. b Hva blir resultatet den onsdagen? c Hvor mange billetter må klubben minst selge for å få overskudd?

www.gyldendal.no/multi

 17


Multiplikasjon og divisjon Faktorisering – delelig med primtall Fakta

Når vi regner med brøk, vil vi ofte forkorte brøken. Da må vi vite hvilke tall teller og nevner er delelig med.

Å forkorte en brøk gjør vi ved å dividere teller og nevner med samme tall.

6

For eksempel hvis vi skal forkorte brøken 18 , må vi vite hvilke tall som er faktorer i både 6 og 18. Faktorene til 6: 1, 2, 3, 6 Faktorene til 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18,

4 12

Vi ser at 2, 3 og 6 er felles faktorer i 6 og 18. Det betyr at 6 og 18 er begge delelige med 2, 3 og 6.

6:2 18 : 2

3

6:3

2

6:6

1

og 3 er likeverdige brøker. 4    12

1

: 4 1 =    3 : 4

= 9 18 : 3 = 6 18 : 6 = 3

Fakta Å faktorisere et tall betyr å finne multiplikasjons­stykker der dette tallet er produktet. Vi finner faktorene til tallet.

4 · 8 = 32 faktor · faktor = produkt

Delelig med: Når vi sier at et tall er delelig med et annet tall, betyr det at vi kan dele det første tallet på det andre og få et helt tall til svar.

63 : 7 = 9

63 er delelig med både 7 og 9, fordi de er faktorer i 63 —› 7 ∙ 9 = 63

63 : 9 = 7

Primtall og primtallsfaktorer Primtall er heltall større enn 1 og som ikke er svar på et multiplikasjonsstykke utenom 1-gangen. En kan finne alle primtallsfaktorene til et sammensatt tall ved å lage et faktoriseringstre:

1.44

∙ 7 = 35

b 56 = c 9 ∙

1 • Tall

4 2

2

·

·

·

8

2·2

·

Primtallsfaktorene til 32: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

4

2  ·  2  ·  2

·

2

Finn faktorene som mangler. a

 18

32

∙ 8 = 90

d 42 = 6 ∙ e f 8 ∙

g 21 =

∙ 5 = 45

h

= 49

 = 48

i

= 81


1.45

Finn tallene. Alle svar er hele tall. a Hva blir produktet når du multipliserer 5 med seg selv? b Produktet er 56. Den ene faktoren er 8. Hva er den andre faktoren? c To faktorer er 3 og 12. Hva er produktet? d Produktet er 64. Hva kan faktorene være?

1.46

1.47

1.48

1.49

1.50

Lag multiplikasjonsstykker til tallene, og finn alle faktorene til hvert tall. a 12

c 20

e 54

b 13

d 22

f 100

18

Lag ett multiplikasjonsstykke til hvert tall. Bruk bare primtall som faktorer. a 15

c 56

e 84

b 30

d 60

f 90

Jeg f inner primtallsfaktorene til 18 ved å lage et faktoriseringstre.

2

·

9

·

3

·

2

Skriv alle tallene til høyre som er

3

22

a delelige med 2

c delelige med 4

b delelige med 3

d delelige med 3 og 5

54

32

30 60

24 44

Hvilke tall er delelig både med tall A og tall B? A

B

Delelig med

A

B

8

12

2 og 4

c

35

21

a

15

30

d

54

45

b

24

32

e

12

60

Delelig med

Forkort brøkene. 4

c 28

15

d 36

a 12 b 30

14

e 30

6

g 48

24

f 45

12

9

h 64

32

www.gyldendal.no/multi

 19


Multiplikasjon og divisjon med flersifrede tall Eksempel Regn ut 39 · 63.

Vi kan skrive slik:

Eller slik:

3 9 · 6 3

3 9 · 6 3

9 ·

3=

3 0 ·

3=

2 7 1

Eller slik:

2 7

9 0

1

9 0

3 9 · 6 3

5 4 0

1 1 7

3 0 · 6 0=1 8 0 0

+1 8 0 0

2 3 4 0

=2 4 5 7

=2 4 5 7

=2 4 5 7

9 · 6 0=

1.51

1.52

1

5 4 0

5 2

1

Regn ut. a   21 ∙ 7

d 79 ∙ 8

g 68 ∙ 36

j 105 ∙ 24

b   53 ∙ 8

e 12 ∙ 23

h 93 ∙ 31

k 117 ∙ 32

c 162 ∙ 4

f 44 ∙ 16

i 87 ∙ 55

l 753 ∙ 59

Johan selger bær på markedet hver lørdag. En lørdag selger han 27 kasser med bringebær, 38 kasser med jordbær og 13 kasser med kirsebær. Hver kasse med bringebær inneholder 12 liter bær. a Hvor mange liter bringebær selger Johan denne lørdagen? Hver kasse med jordbær inneholder 14 kurver med bær. b Hvor mange kurver med jordbær selger Johan? Hver kurv med jordbær inneholder 0,5 liter bær. c Hvor mange liter jordbær solgte Johan? En kasse med kirsebær inneholder 24 små beger med bær. d Hvor mange små beger med kirsebær selger Johan? Hvert beger med kirsebær veier 250 gram. e Hvor mange kilo med kirsebær selger Johan?

 20

1 • Tall


Eksempel Fem barn skal dele 2365 kr. Hvor mye får hver av dem?

Vi behøver bare å vise hvor mye ett av barna får. De andre får jo like mye.

Jeg tenker slik:

2 3 6 5 : 5= –

3 0 0

2 3 6 5 : 5= 6 0

Jeg gir 60 til hver. Da fordeles 300.

–2 0 0 0

2 0 6 5 –

5 0

4 0 0

Jeg fordeler 2000 først. Hver får 400.

3 6 5 1 0

Så gir jeg 10 til hver.

2 0 1 5 – 2 0 0 0

Jeg tenker slik:

3 5 0

7 0

Så fordeler jeg de 36 tierne. Hver får 7 tiere.

1 5 4 0 0

Jeg fordeler 2000.

Så fordeler jeg de 15 som er igjen.

1 5 –

1 5

3

=

0

4 7 3

1 5

3

0

4 7 3

Så fordeler jeg de 15 som er igjen.

Hvert barn får 473 kroner

1.53

1.54 Pass på, her blir det rest.

1.55

Fordel pengene likt. Skriv regnestykket. a Fire barn deler 508 kr.

d Sju barn deler 896 kr.

g Åtte barn deler 3928 kr

b Seks barn deler 648 kr.

e Fem barn deler 1065 kr

h Ni barn deler 4653 kr.

c Tre barn deler 972 kr.

f Fire barn deler 1352 kr.

i Tre barn deler 3075 kr.

Regn ut. a 1220 : 5

c 2838 : 6

e 5348 : 7

b 1220 : 4

d 2838 : 3

f 5348 : 4

a 873 : 5

c 1846 : 6

e 4577 : 7

b 1198 : 4

d 3711 : 5

f 2287 : 4

Regn ut.

www.gyldendal.no/multi

 21


Multiplikasjon og divisjon med desimaltall 1.56

Finn omtrentlig svar i hodet først. Sjekk med lommeregner. Regnestykke

Omtrent

Lommeregner

Regnestykke

a

2,9 · 4

d

  19,9 · 5

b

8,1 · 3

e

30,08 · 3

c

5,5 · 4

f

11,21 · 7

Omtrent

Lommeregner

Spill Multiplikasjonsblink

6 ∙ x = 57,06

Utstyr: Lommeregner, tabell Spill sammen to eller flere

x ∙ 9 = 134,19

9 ∙ x = 70, 2

• Skriv alle forsøk og beregninger i en lignende tabell. I eksemplet til høyre klarte spilleren å treffe på fem forsøk. Han får da fem poeng i denne omgangen, ett poeng for hvert forsøk. • Vinneren er den med færrest poeng etter fem regnestykker.

 22

1 • Tall

x ∙ 7 = 22,82 x ∙ 5 = 3,5

8 ∙ x = 66,4

• Spillerne skal finne ut hvilke tall x står for ved å gjette og sjekke på lommeregner.

1.58

x ∙ 7 = 48,3

8 ∙ x = 69,04

Spilleregler: • Spillerne velger hvert sitt uttrykk fra skyen.

1.57

x ∙ 6 = 30, 84

x ∙ 8 = 104, 64

x · 8 = 34,32 x

Gangestykke

Svar

4

4·8

32

4,5

4,5 · 8

36

4,3

4,3 · 8

34,4

4,25

4,25 · 8

34

4,29

4,29 · 8

34,32

Regn først i hodet. Sjekk med lommeregner. a   8 ∙ 7

d 11 ∙ 6

g   20 ∙ 4

j 15 ∙ 3

b 80 ∙ 7

e 1,1 ∙ 6

h   0,2 ∙ 4

k 1,5 ∙ 3

c 0,8 ∙ 7

f 0,11 ∙ 6

i 0,02 ∙ 4

l 0,15 ∙ 3

Regn i hodet. Skriv svaret. a 0,3 ∙ 5

d 0,6 ∙ 7

g 2,5 ∙ 3

j 0,09 ∙ 6

b 0,7 ∙ 4

e 0,9 ∙ 2

h 0,25 ∙ 3

k 1,04 ∙ 3

c 0,8 ∙ 3

f 0,4 ∙ 8

i 2,05 ∙ 40

l 2,07 ∙ 5


1.59

Finn omtrentlig svar i hodet først. Sjekk med lommeregner. Regnestykke

1.60

1.61

1.63

Lommeregner

Regnestykke

a

28,2 : 4

d

19,9 : 5

b

  9,1 : 3

e

  2,4 : 3

c

49,6 : 5

f

  1,4 : 7

Omtrent

Lommeregner

Regn først i hodet. Sjekk med lommeregner. a 20 : 5

d 36 : 4

g 40 : 8

j 54 : 9

b 2 : 5

e 3,6 : 4

h 4 : 8

k 5,4 : 9

c 0,2 : 5

f 360 : 4

i 0,4 : 8

l 0,54 : 9

Hvilke tall mangler? Sjekk med lommeregner. a   2,3 :

1.62

Omtrent

= 0,23

d 0,73 :

= 0,073

g  

: 10 = 0,05

b  

: 10 = 2,3

e   7,3 :

= 0,073

h

: 100 = 0,05

c

: 100 = 0,23

f   73 :

= 0,73

i

: 100 = 0,5

Regn i hodet. Skriv svaret. a 3,2 : 4

d 0,6 : 3

g 2,4 : 8

j 4 : 5

b 4,2 : 7

e 3,6 : 3

h 2,0 : 4

k 3 : 5

c 7,2 : 9

f 12,6 : 3

i 1,0 : 5

l 6 : 5

Regn i hodet. Skriv riktig tegn: <, > eller =. Kontroller med lommeregner etterpå. a 45 · 1,5

45 : 1,5

d 82 · 0,5

82 : 5

g 42 · 0,4

b 0,1 · 24

24 : 10

e 89 : 50

0,5 · 89

h 64 ∙ 0,25

64 : 4

c 21 : 0,3

21 · 0,3

f 45 · 0,5

45 : 2

i 0, 07 · 13

13 : 0,07

1.64

Nelly kjøper 7,18 hg yoghurtnøtter. Hun deler likt med sju venner. Omtrent hvor mange gram får hver person?

1.65

Andreas kjøper 5,37 hg yoghurtnøtter. Han deler med fem venner.

42 : 0,4

Omtrent hvor mange gram får hver person? www.gyldendal.no/multi

 23


Regning med parenteser 1.66

Ulrik har noen penger. Han kjøper en sjokolade og en eske drops. Dette regneuttrykket viser hvor mye han har igjen. 20 – (13 + 7)

Hvem av elevene forklarer regneuttrykket best? Begrunn svarene dine.

A

Jeg tenker at Ulrik har 20 kr, så koster sjokoladen og dropsen 13 kr, og så får han 7 kr tilbake. Det blir 20 – 13 = 7.

B

Jeg tenker at Ulrik har 20 kr, så koster sjokoladen og dropsen 13 kr, så får han 7 kr av noen. Det blir 20 – 13 + 7 = 14.

C

Jeg tenker at Ulrik har 20 kr. Så koster sjokoladen 13 kr og dropsen 7 kr, til sammen 20 kr. Det blir 13 + 7 = 20 og 20 – 20 = 0.

D

Jeg tenker regneuttrykket er feil. Ulrik har 20 kr. Sjokoladen koster 13 kr og dropsen 7 kr. Regne­ stykket blir 20 - 13 - 7 = 0.

Når vi bruker parenteser i regneuttrykk, betyr det at tallene i parentesene hører sammen. I et regneuttrykk med parenteser skal det som står i parentesene, regnes ut først. Det fører til at rekkefølgen på hvilke tall vi regner ut først, endrer seg. 1.67

Regn ut. a 13 – 5 + 2

1.68

b 13 – (5 + 2)

c (13 – 5) + 2

a Arbeid sammen og lag en tekst som passer til regneuttrykkene.

I  60 + (25 + 24)

II  75 + 20 – (14 + 9)

III  145 – (35 + 62) + 100

b Regn ut svaret på oppgavene.

1.69

Hvilke regneuttrykk passer best til teksten? a Julie skal reise fra Stavanger til Trondheim på tre dager. Reisen er 1200 km. Første dagen kjører hun 480 km, og den andre dagen kjører hun 320 km.

Hvor langt reiser hun tredje dagen?

I  1200 – 480 + 320

II  1200 – (480 + 320)

III  1200 – (480 – 380)

b Nora har 450 kr. Hun kjøper en bok som koster 390 kr. Samtidig får hun 240 kr for en bok hun bytter inn.

 24

1 • Tall

Hvor mye har Nora igjen?

I  450 – (390 + 240)

II 450 – 390 – 240

III  450 – (390 – 240)


Eksempel Ulrik har 50 kr. Han kjøper en sjokolade til 18 kr og en eske pastiller til 7 kr. Hvor mye har han igjen?

Jeg trekker fra én og én pris.

Vi kan regne slik:

Eller slik:

5 0–1 8–7=

5 0 – (1 8 + 7) =

3 2

–7=2 5

5 0

–2 5

=2 5

Prisen på de to varene hører sammen. Jeg f inner summen av dem først.

Han har 25 kr igjen

Eksempel Cecilie og Elias har 80 kr. De handler for 34 kr og panter flasker for 14 kr. Hvor mye har de igjen etter at de har handlet?

Vi kan regne slik: Jeg betaler først og deretter får jeg panten.

8 0–3 4+1 4= 4 6

+1 4=6 0

Eller slik: 8 0 – (3 4 – 1 4) = 8 0

2 0

=6 0

Prisen på varene og panten hører sammen, for det er så mye penger de brukte.

De har 60 kr igjen

1.70

Sander har 140 kr. Han kjøper en ball til 95 kr og en drikkeflaske til 24 kr. Hvor mye har han igjen?

1.71

Alva har 78 kr. Hun handler for 85 kr og panter flasker for 13 kr. Hvor mye har hun igjen?

www.gyldendal.no/multi

 25


Fakta Parentesregning Vi bruker parenteser for å fortelle at noen tall hører sammen. Vi legger først sammen tallene inni parentesen: I 40 – (15 + 12) 15 + 12 = 27 Da blir regnestykket: 40 – 27 = 13

1.72

II 40 – (15 – 12) 15 – 12 = 3 Da blir regnestykket: 40 – 3 = 37

Er det slik at svaret alltid blir endret om vi leggertil en parentes?

III 40 + (15 – 12) 15 – 12 = 3 Da blir regnestykket: 40 + 3 = 43

Regn ut. a I

24 – 9 – 5

b I 48 + 20 – 3

c I 72 – 30 + 5

II 24 – (9 – 5)

II (48 + 20) – 3

II 72 – (30 + 5)

III (24 – 9) – 5

III 48 + (20 – 3)

III (72 – 30) + 5

Lag regnestykker med parenteser til oppgavene og regn ut. 1.73

Marius har 500 kr. Han kjøper en lue til 170 kr og en T-skjorte til 140 kr. Hvor mye har han igjen?

1.74

Andreas skal male stua. Han har kjøpt 15 liter maling. Første dagen bruker han 4,5 liter, og andre dagen bruker han 6,7 liter. Hvor mye maling har Andreas igjen?

1.75

Børre har 150 kr. Han kjøper varer for 98 kr og panter flasker for 42 kr. Hvor mye har han igjen?

1.76

Jonas er i sportsbutikken. Han har med seg 500 kr. Han kjøper en fotball som koster 485 kr. Samtidig får han 270 kr for en T-skjorte han bytter inn. Hvor mye har Jonas igjen?

1.77

Ahmad har 175 frimerker. Så får han 24 frimerker fra onkelen sin og 32 fra bestefaren. Hvor mange frimerker har han nå?

1.78

Ingrid har 1250 kr. Hun er på salg og kjøper en genser til 420 kr og en bukse til 370 kr. I tillegg kjøper hun en jakke til 300 kr. Hvor mye penger har hun igjen?

 26

1 • Tall


1.79

Lag en tekst som passer til regneuttrykket og regn ut. a 460 – (125 + 245)

b 65 – (52 – 19)

Regn ut. 1.80

1.81

a 60 – (23 + 7)

d 44 – ( 78 – 52)

g 28 + 13 – (17 + 13)

b 88 – (62 + 16)

e 36 – (14 + 8)

h 64 – (21 – 15) + 5

c 75 – (40 – 15)

f 94 – (39 – 23)

i 58 – 5 – (32 – 12)

a 48 – (17 + 12)

d 85 – (32 + 27)

g (25 + 18) + (32 – 19)

b 43 – (37 – 32)

e 68 – (50 – 39)

h (570 + 210) – (350 + 120)

c 77 – (44 – 33)

f 99 – (38 + 28)

i (1250 – 630) – (320 + 190)

Sett parenteser slik at svarene blir riktige. 1.82

1.83

1.84

a 26 – 13 + 5 = 8

d 49 – 18 – 12 = 43

g 75 – 60 – 50 – 40 = 5

b 26 – 13 + 5 = 18

e 180 – 90 – 30 = 60

h 50 – 70 – 60 – 10 = 30

c 110 – 80 – 10 = 40

f 200 – 50 – 30 = 180

i 145 – 60 – 50 + 30 = 5

a 60 – 30 + 10 + 5 = 25

e 60 – 30 – 10 + 5 = 25

b 60 – 30 + 10 + 5 = 45

f 60 – 30 – 10 + 5 = 35

c 60 – 30 + 10 – 5 = 25

g 60 – 30 – 10 + 5 = 45

d 60 – 30 + 10 – 5 = 35

h 60 + 30 + 10 + 5 = 105

Bruk tallene fra 0 til 9. Skriv ett tall i hver rute slik at regnestykket blir riktig. Hvert tall kan kun brukes én gang i hver oppgave. Hvilke tall skal stå i rutene? Det er flere mulige svar. a (

+

)+(

) = 12

e (

)+(

)=3

b (

+

)–(

) = 8

f (

)–(

)=5

c (

)+(

+

) = 11

g (

)+(

+

)=7

d (

)+(

+

) = 12

h (

+

)+(

+

) = 24

www.gyldendal.no/multi

 27


Tekstoppgaver 1.85

Nora har 1150 kr. Hun kjøper en bok til 340 kr og en skjorte til 375 kr. Hvor mye har hun igjen?

1.86

Sebastian tjente 374 830 kr på ett år. Julie tjente 403 560 kr det samme året. a Hvor mye tjente de to til sammen? b Hvor mye mer tjente Julie enn Sebastian?

1.87

Hans har 13 076 kr. Han kjøper varer for 8379 kr og panter flasker for 231 kr. Hvor mye penger har han igjen?

1.88

Mona har 1420 kr mer enn Petter. Til sammen har de 12 800 kr. Hvor mye har hver av dem?

1.89

1420 Mona

12 800

Petter

Thea har dobbelt så mye penger i banken som Nora. Til sammen har de 22 200 kr. Hvor mye har hver av dem?

1.90

En pose epler veier 2,7 kg. En pose pærer veier 0,69 kg mindre. Hva veier de to posene til sammen?

1.91

Et tau på 4,2 m blir delt opp i tre deler. Den første delen er 1,03 m lang, den andre delen er 26 cm lengre enn den første. Hvor lang er den siste delen?

1.92

Omkretsen av et rektangel er 12,75 cm lengre enn omkretsen av et kvadrat der en side er 7,23 cm. Finn omkretsen av rektanglet. 7,23 cm

 28

1 • Tall


1.93

Ewa og Ole lager karameller som de skal selge til inntekt for Redd Barna. En uke lager de 3180 karameller. De pakker karamellene i små og store poser. I de små posene er det ti karameller og i de store er det 20 karameller. 1

Ewa og Ole deler karamellene i to hauger. 3 av karamellene skal

3180

2

pakkes i store poser og 3 skal pakkes i små poser. a Hvor mange karameller er det i haugen som skal pakkes i små poser? b Hvor mange små poser med karameller pakker Ewa og Ole? c Hvor mange store poser pakker Ewa og Ole?

1.94

Ewa og Ole vil selge de små posene med karameller for 9 kr per stk. og de store posene for 17 kr per stk. a Hvor mye tjener de hvis de selger alle de små posene? b Hvor mye tjener de hvis de selger alt?

1.95

Når salget er over, sitter Ewa og Ole igjen med fem små poser og 15 store poser. Hvor mye solgte de for denne uken?

1.96

Moren til Ewa sier at hun gjerne vil ha dekket noen av utgiftene til ingrediensene som de lagde karamellene av. Ewa og Ole bestemmer 1

seg for å gi 5 av fortjenesten til mor til Ewa. 1 a Hvor mye er 5 av fortjenesten?

1

Moren til Ewa sier hun har fått for mye. Hun gir derfor 3 av det hun fikk tilbake til Ewa og Ole. b Hvor mye fikk Ewa og Ole tilbake? www.gyldendal.no/multi

 29


Hvordan skal de fordele betalingen slik at det blir rettferdig i forhold til arbeidet de har gjort? 1.97

Emma og Oleander får 450 kr for å male seks gamle stoler for tanten sin. Emma maler fire av stolene. Hvor mye penger skal hver av dem ha?

1.98

Andrea og Thomas maler en hylle for foreldrene sine. Etter en time blir Andrea lei og gir seg. Thomas maler hyllen ferdig. Han maler i til sammen fire timer. De får 350 kr for hele jobben. Hvor mye penger skal hver av dem ha?

1.99

Jonas og Zaina maler en reol for onkelen sin. Når de har malt i to timer, må Jonas gå. Onkelen maler ferdig sammen med Zaina. Etter to timer er de ferdige. Jonas og Zaina får 660 kr for jobben de gjør. Hvor mye penger skal hver av dem ha?

1.100 Stian, Olek og Sarah skal male tre omtrent like soverom hos bestemor. De skal få 4500 kr for jobben. Stian og Olek kommer først og de maler hvert sitt rom. Sarah er ennå ikke kommet, så de begynner å male det tredje rommet. Når de er kommet halvveis, kommer Sarah. Alle tre maler da resten av rommet sammen. Hvor mye penger skal hver av dem ha?

 30

1 • Tall


Sindre, Julia og Alexander har en avtale med foreldrene sine om tiden de får bruke på dataspill i uken. 1.101 Julia har en avtale som sier at hun maks kan spille 70 minutter hver dag og at hun i tillegg må ha to spillefrie dager. Det kan være lurt å gjøre timene om til minutter.

a Hvor mange timer og minutter kan hun maks bruke på dataspill på en uke? En uke har Julie fire spillefrie dager. Hun får da lov å spille 30 minutter mer hver av de andre dagene. b Hvor mange timer og minutter bruker hun på dataspill den uken?

1.102 Sindre kan få spille ni timer hver uke, men han må ha minst én spillefri dag. Det kan være lurt å tegne modell.

a Hvis Sindre fordeler tiden likt ut over uken, hvor mye kan han spille hver dag? Sindre glemmer tiden slik at han spiller 2 t og 45 min første dagen og 2 t og 35 min andre dagen. b Hvor mye tid er igjen til hver av de andre dagene?

1.103 Alexander får spille 600 minutter hver uke. En uke fordeler han tiden slik: 1

3

Onsdag: 10 av tiden Mandag: 4 av tiden a Hvor lenge spiller han de ulike dagene?

1

Fredag: 3 av tiden

b Hvor mye tid er igjen til spilling på lørdagen?

1.104 En uke bruker Sindre mindre tid på spilling enn han har lov til. 1

2

1

Han spiller 3 av tiden på mandag, 9 av tiden på torsdag og 3 av tiden på fredag. På lørdag spilte han 30 minutter. Hvor mye tid bruker han på dataspill denne uken?

www.gyldendal.no/multi

 31


Kan du dette?

KOMPETANSE Kjenne verdien av sifrene i tall.

OPPGAVE

ØVE MER

1 Skriv tallet som er 100 000 større enn

s. 6 og 7

32 532 795

2 Skriv tallene med symboler. a En million, åtte hundre og fjorten tusen, sju hundre og fem

s. 4 og 5

b Fem hundre og åttito tusen, sju hundre og trettito komma fire null åtte Sammenligne desimaltall.

a 1,3

c 2,7

1,30

b 0,23

Løse addisjons- og subtraksjonsoppgaver med oppstilt metode.

s. 9

3 Skriv riktig tegn: <, >, = 2,199

s. 6 og 7

0,301

s. 11–13

Still opp og regn ut. 4 a 4097 + 82 971 b 570 321 – 72 901

s. 10 og 11 5 a 75,03 + 6,9 b 203,52 – 82,7 Løse tekstoppgaver.

6 Andrea tjente 24 380 kr på en måned. Emma tjente 31 060 kr den samme måneden.

s. 11

a Hvor mye tjente de to til sammen? b Hvor mye mer tjente Emma enn Andrea? s. 13 7 En pose appelsiner veier 3,8 kg. En pose druer veier 0,55 kg mindre. Hva veier de to posene til sammen? Sammenligne negative tall og plassere dem på en tallinje.

8 a Skriv tallene etter størrelsen. Start med det minste.

–13, 2, –17, –5, 8, 17, –20

b Plasser tallene i a omtrentlig på en slik tallinje. -20

 32

1 • Tall

s. 14

Grunnbok

0

20

Oppgavebok

s. 14


Kan du dette?

KOMPETANSE Regne med negative tall.

OPPGAVE

ØVE MER

  9 Regn ut.

s. 15 og 16

a 7 – 11

b –9 + 14

c –7 – 50

10 Skriv et regnestykke og regn ut. Noah har –230 kr på kontoen. Han setter inn 95 kr. Finne faktorene til tall.

Hvor mye har han på kontoen nå? s. 18 og 19

11 Finn faktorene som mangler. a

· 4 = 32

b 6 ·

= 54

c

·

= 81

12 Lag multiplikasjonsstykker til tallene. Bruk bare primtall som faktorer.

a 35

b 56

s. 18

c 72

Finne tall som er delelige med andre tall.

13 Hvilke tall er delelige både med teller og nevner?

Bruke metoder for multiplikasjon med flersifrede tall.

14 Regn ut.

Bruke metoder for divisjon med flersifrede tall.

15 Regn ut.

Regne med parenteser.

16 Regn ut.

s. 16

6

a 12

a 18 · 9

9

b 36

s. 19 s. 19 s. 20

b 245 · 6

a 204 : 3

a 180 – (70 – 50)

c 63 · 72

s. 19 og 20 s. 21

b 1740 : 5

s. 19 og 20 s. 26 og 27

b 869 – (32 + 25) s. 26 og 27

17 Sett parenteser slik at svaret blir riktig. a 75 – 25 – 12 + 8 = 70 b 75 – 25 – 12 + 8 = 30 Tolke og løse tekstoppgaver.

18 Lag en modell og løs oppgaven. Noah og Alva maler en hylle til foreldrene. Etter to timer blir Noah lei og gir seg. Alva maler hyllen ferdig. Hun maler til sammen i tre timer. De får 450 kr for jobben.

s. 28 og 29

s. 28 og 29

Hvor mye penger skal hver av dem ha?

Grunnbok

Oppgavebok

www.gyldendal.no/multi

 33


Øveside 1.105 a Ranger disse posene etter vekt. Start med den letteste. A

B

0,672 kg

C

0,762 kg

D

0, 296 kg

E

0,78 kg

0,7 kg

b Ranger disse flaskene etter mengden med væske. A A

A

BA

BBA

CBA C B A DC C B

D CB

ED C

EDC FED

EFD

EFE

FE

F

FF

J0,05 J0,009 J J 0,009 JJ,064 J,064 J,064 J0 J ,064 J0,0499 J J0 JJ0 JJ J 0,046 0,0 046 J0,0 0,046 00,0 0,046 046J 0,05 0,046 0,0 0046 J L 00,0 0,046 0,05 0046 J 0,009 0J0,05 00,0 0,046 0460,009 0J0,1 0,05 0 J J0,009 0J L 0,1 0,05 0 J 00,064 00,1 JJ 00,064 0,009 0,1 0 J0,0499 0,009 0,19 J0,0499 0,064 0,190,064 0,064 ,06490,0499 0,064 9 0,0499 9 0,0499 9 JL 0,046 L046 J 0,05 0,1 LJ 00,064 L,064 0,0499

1.106 Skriv ett tall fra A og ett tall fra B slik at summen blir 1. A

B 0,135

0,462

0,298

0,812

0,333

0,538

0,667

0,119

0,702

0,865

0,188 0,881

1.107 Skriv riktig tegn: >, < eller =. a 2,90

b 0,01 · 10 c 0,001

d 3 hundredeler

2,9

e 134 tusendeler

0,001

f 4,09

0,0009

300 titusendeler 1340 titusendeler

4,009

1.108 Regn ut. a 72,25 + 55,13

c 672,9 – 31,85

e 672,8 + 2071,25

b 87,28 – 34,92

d 305,08 + 83,7

f 32 982,03 – 1869,83

1.109 Hvilke desimaltall kan stå inni rutene? Husk at du kan finne flere løsninger.

 34

1 • Tall

a

+

= 0,68

c

+

+

= 29,55

b

= 12,09

d

+

= 4,082


Øveside Lag regnestykker med parenteser til oppgavene og regn ut. 1.110 Sara har 75 kr. Hun handler for 30 kr og panter flasker for 18 kr. Hvor mye har hun nå?

1.111 Mathias har 175 kr. Han handler for 85 kr og panter flasker for 62 kr. Hvor mye har han nå?

1.112 Dina har 69 kr. Hun handler for 31 kr og panter flasker for 47 kr. Hvor mye har hun nå?

1.113 Lag en slik tabell der du skriver regneuttrykkene. Regn først ut tallene inni parentesen og deretter hvor mye vi har igjen. Har

Kjøper for

Flaskepant

Regneuttrykk

Vi har igjen

85 kr

55 kr

20 kr

85 – (55 – 20)

85 – 35 = 50

a

216 kr

142 kr

67 kr

b

378 kr

205 kr

94 kr

c

543 kr

164 kr

45 kr

d

183 kr

234 kr

92 kr

e

462 kr

57 kr

123 kr

1.114 Regn ut. a 28 – (17 – 12)

c 88 – (14 + 35)

e 69 – (38 – 28)

b 45 – (13 + 12)

d 78 – (50 – 28)

f 87 – (29 + 17)

1.115 a (19 + 17) – (21 – 12)

d 280 + 320 – (45 + 170)

b (12 – 7) – (54 – 39)

e 3550 – 1150 – (650 + 850)

c (570 + 210) – (350 + 170)

f 6250 – (4700 – 2350) – 3500

1.116 Lag en tekst som passer til regneuttrykkene. a 90 – (75 – 40)

b 300 – (120 + 25 + 55) www.gyldendal.no/multi

 35


Tren tanken

1,5

29,50 kr

0,5

17,50 kr

1.117 Henriette skal ha nøyaktig 11 liter brus og vil kjøpe så få flasker som mulig. a Hvor mange flasker trenger hun å kjøpe? b Hvor mye koster det?

1.118 Nora kjøper brus for 94 kr. a Hva kan hun ha kjøpt? b Hvor mange liter brus kjøper Nora?

1.119 Nora og Henrik har 375 kr til sammen. Nora har 65 kr mer enn Henrik. Hvor mye har hver av dem?

1.120 Moren til Nora er tre ganger så gammel som Nora. Hun er også 28 år eldre enn Nora. Hvor mange år er Nora?

1.121 Mary er 12 år yngre enn Amina. Amina er fire ganger så gammel som Mary. Hvor gammel er Mary?

1.122 Faren til Henrik er 27 år eldre enn Henrik. Om 14 år er faren dobbelt så gammel som Henrik. Hvor gammel er Henrik?  36

1 • Tall

14 Henrik

Faren til Henrik

27 år


Tren tanken

1.123 Siv eier flere staller, og hun legger merke til at det er ulike matvaner hos hestene i stallene. Hun gjennomfører en liten undersøkelse og ser at

Ingen hester spiser akkurat like mye, men i matematikk må vi gjøre en forenkling.

• to araberhester spiser 1080 kg høy på to måneder • tre islandshester spiser 2160 kg høy på tre måneder • fire ponnier spiser 2880 kg høy på fire måneder Siv har til sammen 12 ponnier, 12 islandshester og 12 araberhester på stallene sine. a Hvis vi antar at alle hestene av hver rase spiser omtrent like mye høy som de utvalgte hestene i Siv sin undersøkelse, hvor mye høy spiser da alle hestene på ett år? b Omtrent hvor mye høy per dag spiser • en ponni?

• en islandshest?

• en araberhest?

www.gyldendal.no/multi

 37


Litt av hvert 1.124 Skriv to klokkeslett til hver klokke. Skriv svarene som på en digital klokke.

A

B

C

D

E

1.125 Hvor lang tid er det mellom klokkeslettene?

A

B

C

1.126 a Skriv klokkeslettene som på en digital klokke. Skriv to klokkeslett til hver oppgave.

• Fem på åtte

• Tretten minutter på fem

• To minutter på ett

• Ti over to

• Sju minutter over halv tre

• Tre minutter over halv ti

• Ti på halv tolv

• Fire minutter på halv seks

• Ni minutter over sju

b Skriv klokkeslettene i a som viser tiden tre timer og tyve minutter før. Skriv svarene som på en digital klokke.

1.127 Oskar er ferdig på trening kl. 18.25. Han skal treffe noen venner kl. 20.30. a Hvor lang tid er det fra treningen er slutt og til han skal møte vennene? Han er sammen med vennene i 2 timer og 25 minutter. Han tar bussen hjem, og den tar 17 minutter. Han bruker 12 minutter på å gå hjem fra busstoppet. b Hva er klokka når han kommer hjem?

1.128 Sonja kjører bil fra Bergen til Trondheim. Turen starter kl. 07.25, og hun er fremme kl. 17.15. a Hvor lang tid brukte hun på kjøringen? Neste dag kjører hun fra Trondheim til Bodø. Hun kommer fram kl. 22.20. Turen tok ni timer og 45 minutter. b Når startet hun fra Trondheim? Den tredje dagen kjører hun til Tromsø. Hun starter kl. 06.45 og kommer fram kl. 17.14. c Hvor lang tid brukte hun på reisen?

 38

1 • Tall


Litt av hvert

Nibali brukte 89 timer, 59 minutter og 6 sekunder.

Plass

Rytter

Tid

1

Nibali V.

89.59.06

2

Peeraud J.

90.06.43

3

Pinot T.

90.07.21

4

Valverde A.

90.08.46

5

Van Garderen T.

90.10.30

6

Bardet R.

90.10.32

7

König L.

90.13.38

8

Zubeldia H.

90.17.03

9

Ten Dam B.

90.17.17

10

Mollema B.

90.20.21

Tabellen viser resultatlista fra sykkelløpet Tour De France 2014. Tidene er sammenlagt tid etter 21. etapper. 1.129 Hvor mye tid skiller a første- og andreplassen?

c andre- og tredjeplassen?

b første- og tredjeplassen?

d første- og tiendeplassen?

1.130 a Hvor mye raskere måtte Van Garderen ha syklet for å få bronsemedalje? b Hvor mye tid skilte de to de to nederlandske rytterne på 10. og 9. plass? c Hvor mye saktere kunne Pinot syklet, og likevel beholdt bronseplassen?

1.131 Norske Alexander Kristoff kom på 125. plass sammenlagt. Han brukte fire timer, 11 minutter og 46 sekunder mer enn Nibali. Hvor lang tid brukte Kristoff sammenlagt?

1.132 Tabellen viser de fem siste plassene. Cheng brukte seks timer, to minutter og 24 sekunder mer enn Nibali. a Hvor lang tid brukte Cheng? Marino brukte 58 minutter og 38 sekunder mindre tid enn Cheng. b Hvor lang tid brukte Marino?

160

Marino J.

161

Kittel M.

95.05.33

162

Viviane E.

95.09.48

163

Cimolai D.

95.11.04

164

Cheng J.

www.gyldendal.no/multi

 39


2 Statistikk

I dette kapitlet skal du lære om • statistiske undersøkelser • tabeller og diagrammer • sentralmål: typetall, median og gjennomsnitt • sannsynlighet

 40

2 • Statistikk


Statistiske undersøkelser

Fakta

For å finne ut hva 13-åringer pleier å gjøre, kan vi gjennomføre en undersøkelse. Vi spør mange 13-åringer om det samme. Svarene kaller vi data.

Statistisk undersøkelse

Svarene vi samler inn, vil variere etter hvilke elever vi spør, hvilke spørsmål vi stiller og hvordan vi kategoriserer svarene.

2 Samle inn data

1 Bestemme hva vi skal finne ut og lage spørsmål 3 Analysere dataene • Ordne i en tabell • Illustrere i et diagram • Finne det som er mest vanlig: median, typetall og gjennomsnitt

I statistikk kan vi ikke alltid vite helt sikkert hva riktig svar er. Det er fordi dataene vi arbeider med, er nært knyttet til praktiske situasjoner. Da vil resultatene være påvirket av tilfeldigheter. Dette gjør at statistikk er annerledes enn annen matematikk. 2.1

4 Tolke resultatene

Bruk bildet på forrige side. a Lag fem fargekategorier (grupper) som passer til bilene. Tell antall biler i hver kategori og skriv resultatet i en tabell. b Sammenlign tabellen din med noen andre elever. Brukte dere de samme kategoriene? Sorterte dere likt?

Farge

Antall på bildet

Antall ved skolen

c Lag en tilsvarende tabell for bilene på en parkeringsplass. Bruk enten en parkeringsplass ved skolen eller finn et bilde på Internett. Bruk eventuelt andre kategorier.

2.2

Karl og Silja undersøker hvor mye sukker det er i noen frokostblandinger. Karl går inn i butikk A. Der er det seks typer. Silja går inn i butikk B. Der er det enda flere å velge mellom, og Silja undersøker ni typer. Tabellen viser hvor mye sukker det er i hver av frokostblandingene. Både Karl og Silja bruker medianen, den midterste verdien, som det mest typiske. Hvilken konklusjon er den beste?

Sukkerinnhold i frokostblandinger. Gram per 100 gram vare. Butikk A

8

10

15

15

21

25

Butikk B

8

15

21

25

29

29

32

35

43

A Karl sier 15 gram er mest typisk. Det er best, han sjekket alle frokostblandingene i butikk A. B Silje sier 29 gram er mest typisk. Det er best, hun sjekket flest frokostblandinger. C Det beste er å slå sammen resultatene. Da blir medianen 21 gram.

www.gyldendal.no/multi

 41


Spørsmål i statistikk 2.3

Se på spørsmålene nedenfor. Hvilke av dem kan besvares med statistikk?

I et statistikk­ spørsmål er det variasjon og mulighet for datainnsamling.

2.4

1 Hvilken telefon har læreren?

3 Hvilken telefon er mest vanlig blant elever?

5 Hvilken butikk har de billigste varene?

7 Hva koster et Donald-blad?

2 Hvor langt hopper en trettenåring i lengde?

4 Hvor mange elever er det i klassen?

6 Hva er den mest vanlige skostørrelsen i klassen?

8 Hvor mye regner det i Oslo i løpet av en uke?

Marte og Mikael vil lage en undersøkelse om godteri. Her er forskjellige ting de lurer på. Hvilke av disse spørsmålene kan besvares med statistikk? 1 Hvilken type godteri liker Marte best? 2 Er godteri veldig usunt? 3 Hvor lenge beholder ulike typer tyggegummi smaken? 4 Hvor pleier Mikael å kjøpe godteri? 5 Hvilken butikk har det billigste godteriet? 6 Hvilken dag i uka spiser Marte og Mikael mest godteri? 7 Hvor mye sukker er det i Smørbukk-karameller? 8 Er det noen godterier Marte likte før, som ikke finnes lenger nå?

2.5

Antall

Tabellen viser dataene fra en spørreundersøkelse om det å lage en fartsdump i veien ved en skole. Skriv et spørsmål som kunne vært brukt for å samle inn disse dataene.

a Skriv et spørsmål som kunne vært brukt for å samle inn disse dataene. b Sammenlign spørsmålet ditt med en annen elev.

Nei

15

Vet ikke

12

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

 42

62

Antall timer søvn

Diagrammet viser dataene fra en spørreundersøkelse om sovevaner. Antall elever

2.6

Ja

Mindre enn 6

6−7

8−9

Timer

2 • Statistikk

Mer enn 9


Innsamling av data

Fakta Utvalg Når et statistisk spørsmål omhandler en stor gruppe, er et utvalg en del av denne gruppen. Utvalget skal helst ligne på den store gruppen.

Ofte handler statistiske spørsmål om en så stor gruppe at det ikke er mulig å spørre alle, som «Hvilken iskrem er favoritten til alle norske 13-åringer?» Da kan vi i stedet spørre noen av dem, vi gjør et utvalg. Hvis utvalget ligner på den store gruppen, kan vi bruke dataene fra utvalget til å si noe om den store gruppen.

B A

Bruk alle elevene på 6. trinn.

C

Trekk fem tilfeldige elever fra hver klasse.

Trekk en tilfeldig gutt og jente fra hver klasse.

D

Spør alle som er på fotballbanen i storefri.

2.7

En skole skal arrangere sommeravslutning. Elevene skal få være med og bestemme underholdningen. I stedet for å spørre alle elevene blir et utvalg av elevene spurt. Hvilket av disse fire forslagene gir det beste utvalget?

2.8

Undersøk om klassen din er et utvalg som ligner på det norske samfunnet når det gjelder spørsmålene nedenfor. Lag en tabell. Om det var 100 mennesker i Norge vil • 50 være gutter og 50 være jenter • 54 bo i enebolig, 24 i blokk, 13 i rekkehus og 9 i tomannsbolig

Hvis det er 14 elever i klassen, må hvert tall i oversikten 14 = 0,14. ganges med 100

Det betyr at hvis klassen skal være lik Norge, skal 54 ∙ 0,14 = 7,6 av elevene bo i enebolig.

• 14 spille fotball, 40 være på skitur, 5 drive med dans og 26 med svømming • 51 lese avisen, 74 se på TV, 85 bruke Internett og 25 lese en bok i løpet av en vanlig dag

I vår klasse (14 elever) 6 gutter og 8 jenter

I Norge 7 gutter og 7 jenter

• 17 reise til Sverige, 8 til Spania, 5 til Storbritannia og 2 til USA siste året

www.gyldendal.no/multi

 43


Observasjon Med observasjon samler vi inn data ved å måle eller ved opptelling. 2.9

Diagrammet viser hvor mange prosent av flyene som var forsinket en uke i november. Forsinkelser 45

40 prosent betyr at av 100 fly var det 40 som var forsinket.

40

Prosent

35 30 25 20 15 10 5 0

ma

nda

g

tirs

dag

ons

dag

s tor

dag

fre

dag

lørd

ag

søn

dag

Dager

a Hvor mange prosent av flyene var forsinket på onsdag? b Hvilken dag var 20 prosent av flyene forsinket? c Hvilken dag var det minst forsinkelser? To dager var det like mange prosent av flyene som var forsinket. d Hvilke dager var det?

Spørreundersøkelser I en spørreundersøkelse stiller vi spørsmål for å finne ut hva noen mener, eller hva de kan. 2.10

En lærer på 2. trinn ga elevene en prøve for å undersøke hva de kunne i regning. Til høyre ser du hva elevene svarte på to av oppgavene. a Hvilken av de to oppgavene var enklest å løse for elevene? b Hvor mange elever svarte feil i oppgave A?

 44

Oppgave A: 27 + 8 Svaralternativ Antall

c Hvor mange flere var det som svarte riktig på oppgave A enn på oppgave B?

Svaralternativ

d Hvor mange deltok på prøven?

Antall

2 • Statistikk

34

35

36

Ubesvart

3

19

5

0

Oppgave B: 35 – 12 14

22

23

Ubesvart

2

4

14

7


Fakta Typetall Det tallet det er flest av, kalles typetall. Median Når dataene er ordnet i stigende rekkefølge, er medianen det tallet som står i midten. Er det ikke ett tall i midten, er medianen midt mellom de to midterste tallene.

2.11

En skoleklasse var på kino. Etterpå ble elevene bedt om å si hvor godt de likte filmen ved å gi terningkast, fra 1 (veldig dårlig) til 6 (veldig bra). a Hvilket terningkast ga flest elever, typetallet? b Skriv alle terningkastene i stigende rekkefølge, først alle enerne, så alle toerne osv. c Hva er det midterste terningkastet, medianen?

Eksperimentere Når vi eksperimenterer, lager vi forsøk der vi måler eller teller opp. Ofte er det lurt å gjøre samme forsøk flere ganger. 2.12

Martine ruller en sylinder ned en liten planke som ligger på skrå. Hun vil undersøke om den ruller lenger hvis den blir fylt med makaroni. Hun ruller en tom sylinder fem ganger, en halvfull sylinder fem ganger og til slutt en full sylinder fem ganger. Hun måler hvor langt den ruller hver gang. Her er resultatene, målt i cm: 1. forsøk

2. forsøk

3. forsøk

4. forsøk

5. forsøk

Tom

72

65

77

80

79

Halvfull

15

19

13

20

14

Full

73

74

70

76

77

a Hva ble medianen når sylinderen var • tom? • halvfull? • full? b Hvor langt rullet sylinderen til sammen de fem gangene når den var • tom? • halvfull? • full? c Ruller sylinderen lengst når den er tom, halvfull eller full?

www.gyldendal.no/multi

 45


Diagram Et diagram illustrerer data ordnet i kategorier, grupper. Selv en stor mengde data kan vises på en oversiktlig måte i et diagram. Det gjøres ofte i forbindelse med nyheter. Derfor er det viktig å kunne tolke og forstå diagrammer. Det er også nyttig å kunne lage egne diagrammer. Fakta Søylediagram består av rektangulære søyler, én søyle for hver kategori. Høyden på søylene bestemmes av måling eller opptelling av kategorien.

4 3 2 1 0

A

B

C

Søylediagram 2.13

Her ser du alderen til fem barn. Tegn et søylediagram som viser disse dataene.

Konrad, 12   Selma, 10   Omar, 9   Fatima, 12   Katja, 7 2.14

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Konrad

Disse tallene er alderen på de barna som en dag er på Taekwondo-trening. 9, 10, 8, 9, 12, 11, 9, 8, 9, 12, 11, 10, 10, 8, 9, 10, 12, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 11, 10, 10, 9, 12, 8, 9

a Tell opp hvor mange det er av hver alder, og skriv resultatet i en tabell. b Tegn et søylediagram som viser antallet av hver alder.

2.15

Søylediagrammet viser hvor mange mg nitrogenoksid, NOx som slippes ut fra ulike forbrenningskilder når de produserer 1 kWh energi. Bruk diagrammet til å svare på spørsmålene. a Hvilken forbrenningskilde slipper ut mest, og hvilken slipper ut minst NOx? b Hvor mye mer NOx slipper tungolje ut enn lettolje per kWh produsert energi? c Omtrent hvor mange kWh energi fra naturgass gir like mye NOx-utslipp som 1 kWh kull?

 46

2 • Statistikk

mg NOx 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

e ass Flis tolj urg Let Nat

Pro

pan

g Tun

olje

l Kul


Linjediagram Tabellen viser hvor mange millioner passasjerer som reiste innenlands fra Oslo lufthavn fra 1987 til 2012. Ut fra tabellen kan vi tegne et linjediagram. Fra diagrammet kan vi lese at • antall passasjerer i 1997 var 7,5 millioner. • det var 5 millioner passasjerer i 1992. År Antall (mill)

1987

1992

1997

2002

2007

2012

4,5

5,0

7,5

7,0

9,0

10,5

Fakta Linjediagram er som et søylediagram der kategoriene på første­aksen henger sammen. Da kan vi tegne en linje langs der toppene av søylen ville ha vært.

Vi kan også lese at antallet • økte fra 1987 til 1997 og fra 2002 til 2012 • minket fra 1997 til 2002

Antall passasjerer (mill) 11 10 9 8

Bruk diagrammet til å svare på oppgavene. Svar med hele setninger.

7 6 5 4 3

2.16

Hvor mange passasjerer reiste fra Oslo lufthavn i

2

a 2002?

0 1987

1

b 2007?

1992

1997

2002

2007

2012

År

2.17

I hvilket år var det a 4,5 millioner passasjerer? Her er det brattest.

b 10,5 millioner passasjerer?

2.18

a I hvilken 5-årsperiode økte antall passasjerer mest? b I hvilket år reiste det dobbelt så mange passasjerer som i 1987?

2.19

Omtrent hvor mange passasjerer reiste fra Oslo lufthavn i a 1990?

2.20

b 2010?

I hvilket år reiste det a 6 millioner passasjerer?

2.21

b 8 millioner passasjerer?

I hvilket år reiste det omtrent like mange passasjerer som i 2002?

www.gyldendal.no/multi

 47


2.22

Dette diagrammet viser rapportert fangst av hummer i Norge fra 1930 til 2000. Fangst (tonn) 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 År

a Omtrent hvor mange tonn hummer ble rapportert fanget i 1930? b I hvilket av disse årene ble det fanget minst hummer? c Hvor stor var økningen av fangsten fra 1930 til 1940? d I hvilket tiår var nedgangen størst? Hvor mye minket fangsten da?

2.23

En dag skal Endre og Ida lese den samme boka. Endre starter kl. 9.00, mens Ida starter kl. 10.00. Dette linjediagrammet viser hvor mange sider de leste utover dagen. Sider 80

Ida

70

Endre

60 50 40 30 20 10 0 08.00 09.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 Tid

a Omtrent hvor mange sider har Endre lest kl. 11.00? b Når har Ida lest 30 sider? c Hvem leser raskest av de to? d Hvilket klokkeslett har de lest like mange sider? Pål starter å lese boka kl. 11.00. Han leser 20 sider per time. e Omtrent når vil han ta igjen Endre?  48

2 • Statistikk


2.24

Merethe brukte et termometer til å måle temperaturen utendørs en dag.

Tid 8.00

6 °C

11.00

10 °C

b Tror du temperaturen noen gang var 0 °C den dagen? Begrunn svaret ditt.

14.00

14 °C

17.00

12 °C

c Gi en beskrivelse av temperaturutviklingen den dagen.

20.00

9 °C

a Lag et linjediagram som viser målingene hennes.

2.25

I 1977 ble det satt ut 1200 konge­krabber i Kolafjorden i Russland. Bestanden har vokst kraftig og spredt seg vestover til Finnmark.

År

Tabellen til høyre viser antall tonn fanget kongekrabbe i Norge. a Lag et linjediagram som viser utviklingen fra 2002 til 2012. b Hvis utviklingen fortsetter, hvor mange kongekrabber tror du det er i • 2014? • 2020?

2.26

Temperatur

Mill. tonn

2002

500

2004

1200

2006

1000

2008

2400

2010

1300

2012

900

Kongekrabben kan bli 15 kg tung og 1,80 m i diameter

Dette linjediagrammet viser prisen på en høyttalerkabel. Pris (kroner) 200 150 100 50 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Lengde (m)

a Hva koster • 4 m kabel?

• 8 m kabel?

b Hvor mange meter kabel får du for • 150 kr? • 75 kr? c Hva er prisen per meter for denne kabelen? d Hva koster 20 m av denne kabelen?

www.gyldendal.no/multi

 49


Sektordiagram Fakta Sektordiagram er en sirkel som er delt inn i sektorer (kakestykker), én sektor for hver kategori. Størrelsen på sektorene bestemmes av hvor stor del kategorien utgjør av helheten.

Arealet av Norge er ca. 385 000 km2, Sverige ca. 450 000 km2 og Danmark ca. 43 000 km2.

Danmark

Et sektordiagram er fint til å vise forholdet mellom ulike størrelser. Her kan vi for eksempel se at Sverige

• Danmark er mye mindre enn Norge og Sverige

Norge

• Sverige er omtrent like stort som Norge og Danmark til sammen

2.27

Iselin har tegnet et sektordiagram der hun viser hvordan hun vil bruke lommepengene sine. Fra diagrammet ser vi at hun vil bruke drikke,

1 4

1 2

Sparing

på mat og 1

Mat og drikke

på film og musikk, og så vil hun spare 4 . Iselin får 100 kr i lommepenger hver uke.

Film og musikk

a Hvor mye vil hun bruke på mat og drikke? b Hvor mye vil hun spare?

1 1 1 + + =1 2 4 4

c Hvor mye mer vil hun bruke på mat og drikke enn på film og musikk?

2.28

2.29

 50

Dette sektordiagrammet viser hvordan barna i en klasse kommer seg til skolen. Det er 30 barn i klassen.

Kjøre Gå

Hvor mange sykler til skolen?

Sykle

I en annen klasse er det 24 barn. Tabellen viser hvordan de kommer seg til skolen.

Sykle

Lag et sektordiagram som viser denne fordelingen.

Kjøre

2 • Statistikk

6 15 3


2.30

2.31

12 barn undersøker hvilke kjæledyr de har hjemme. De setter dataene opp i en tabell.

Hund

3

Katt

2

Lag et sektordiagram som viser denne fordelingen.

Fisk

2

Ingen

5

Trym lager en oversikt over hva han bruker timene i et døgn til. Han sover 8 timer, er på skolen 6 timer, er med venner 3 timer, gjør lekser 2 timer og bruker PC 1 time. De resterende 4 timene går til «annet», til forskjellige mindre ting. a Lag et sektordiagram som viser denne fordelingen. b Hvor stor brøkdel av døgnet bruker Trym til å sove? c Hvor stor brøkdel av døgnet bruker Trym til å gjøre lekser? d Hvor lang tid er han på skolen i løpet av én uke (5 dager)?

2.32

Tabellen viser næringsinnholdet i fire typer pålegg.

Nøttepålegg 500 g

Brunost 200 g

Syltetøy 400 g

Salami 150 g

Vann

0

40

240

75

Fett

150

60

0

30

Karbohydrat

300

80

120

0

Protein

25

20

0

30

Annet

25

0

40

15

a Regn ut næringsinnholdet i 100 gram av hvert pålegg. Skriv svaret i en tabell. b Lag et sektordiagram til hvert pålegg som viser dataene i tabellen.

Nøttepålegg

Salami

Brunost

Syltetøy

www.gyldendal.no/multi

 51


Sentralmål Lisa tar sit-ups hver dag. Tabellen viser hvor mange ­sit-ups hun tok hver dag i løpet av en uke. Dag

Ma.

Ti.

On.

To.

Fr.

Lø.

Sø.

Antall sit-ups

22

28

21

24

28

23

29

Fakta Sentralmål er et mål for hvor «midten» i en mengde data befinner seg.

Vi bruker sentralmål for å beskrive disse dataene. Hvor mange sit-ups pleier Lisa å ta hver dag? Fakta Typetall Det tallet det er flest av, kalles typetall.

Eksempel: To dager tok hun 28 sit-ups. Typetallet er 28

Median Når dataene er ordnet i stigende rekkefølge, er medianen det tallet som står i midten. Hvis det står to tall i midten, er medianen midt mellom disse to tallene.

Eksempel: Vi ordner dataene i stigende rekkefølge: 21 – 22 – 23 – 24 – 28 – 28 – 29 Medianen er den midterste verdien: 24

Gjennomsnitt Gjennomsnitt er verdien du får når alle tallene er jevnt fordelt.

Eksempel: Til sammen de sju dagene tok hun: 22 + 28 + 21 + 24 + 28 + 23 + 29 = 175 ­­ sit-ups Fordelt på sju dager blir det 175 : 7 = 25 Gjennomsnittet er 25

Eksempel Mika måler temperaturen fem dager. Han leste av: 14°, 13°, 13°, 18° og 17°. Hvor varmt var gjennomsnittet av målingene?

Vi jevner ut de fem målingene. Det kan vi gjøre ved at vi tenker at vi flytter 5° fra de to varmeste målingene til de tre kaldeste. Da blir alle målingene like varme: 15°.

20

20

20

20

20

15

15

15

15

15

10

10

10

10

10

5

5

5

5

5

0

0

0

0

0

Vi kan regne ut en jevn fordeling på denne måten: Temperaturene til sammen:

1 4+1 3+1 3+1 8+1 7=7 5

Jevnt fordelt på de fem dagene:

7 5 : 5=1 5 Gjennomsnittet er 15°

 52

2 • Statistikk


Eksempel Anders har 4 drops, Beate har 3 drops og Cecilie har 8 drops. Hvor mange drops får hver hvis de deler dropsene likt mellom seg?

Anders

Beate

Cecilie

4+3+8=1 5 1 5 : 3=5 De får 5 drops hver

2.33

Fire jenter samler tomflasker som de skal pante. Emma finner 15 flasker, Fatima åtte, Gina sju og Hanna ti flasker. a Hvor mange flasker finner de til sammen? De deler flaskene likt mellom seg. b Hvor mange flasker får hver?

2.34

Her ser du hvor mange mm nedbør det falt i løpet av fire dager. Hvor mye blir det hver dag om du fordeler all nedbøren jevnt på de fire dagene?

2.35

16 mm

14 mm

13 mm

17 mm

Morten kjører med buss til skolen hver dag. En uke målte han antall minutter han måtte stå og vente på bussen hver morgen. Her ser du resultatene: Mandag

Tirsdag

Onsdag

Torsdag

Fredag

7

4

3

4

2

Fordel tiden han ventet, jevnt på de fem dagene. Hvor lenge ventet han hver dag?

2.36

Tine hjelper av og til bestefar, og for det får hun penger. Her ser du hvor mye hun fikk i løpet av fem uker: Uke 1

Uke 2

Uke 3

Uke 4

Uke 5

100

80

150

50

70

Fordel pengene jevnt på de fem ukene. Hvor mye blir det hver uke? www.gyldendal.no/multi

 53


Eksempel Vi fordeler alle brosjyrene jevnt.

Martine undersøker hvor mange reklamebrosjyrer de får i posten hver dag i en uke. Her ser du resultatet: Mandag

Tirsdag

Onsdag

Torsdag

Fredag

Lørdag

4

8

6

3

2

7

a Hvor mange brosjyrer fikk de til sammen? b Hvor mange fikk de i gjennomsnitt hver dag?

a b

2.37

4+8+6+3+2+7=3 0

De fikk 30 brosjyrer til sammen

3 0 : 6=5

De fikk 5 brosjyrer i gjennomsnitt hver dag

Fakta

Maren spiller håndball. Her ser du hvor mange mål hun skåret på de siste ti kampene:

Regn ut gjennomsnittet Vi finner gjennomsnittet ved å legge sammen alle verdiene og så dele på antall verdier.

6, 3, 8, 5, 4, 5, 6, 2, 3, 6

a Hvor mange mål skåret hun til sammen på de ti kampene? b Hvor mange mål skåret hun i gjennomsnitt per kamp?

2.38

Seks barn er på fjelltur. Før de drar, veier de ryggsekkene sine. Sekkene veier 14 kg, 11 kg, 12 kg, 9 kg, 13 kg og 13 kg. a Hvor mye veier alle ryggsekkene til sammen? b Hvis barna fordelte vekten jevnt på de seks ryggsekkene, hvor mange kilo ville hver ryggsekk veie?

2.39

Linda holder oversikt over antall sider hun leser i en bok en uke. Her ser du antall sider hun leser hver dag. Mandag

Tirsdag

Onsdag

Torsdag

Fredag

14

12

28

19

12

Lørdag

Søndag

0

a Hvor mange sider leser hun til sammen denne uken? Fordel antall sider jevnt på de sju dagene. b Hvor mange sider leser hun hver dag?  54

2 • Statistikk

20


2.40

Finn typetall, median og gjennomsnitt av disse tallene. a 10, 16, 14, 15, 15, 10 Noen ganger har vi ingen typetall, andre ganger har vi to eller flere!

b 7, 3, 9, 13, 6, 10, 8 c 4, 1, 1, 1, 1, 2, 8, 1, 2, 1, 2, 5, 2, 5, 9

2.41

Åtte gutter målte lengden av den blyanten de skrev med. De fikk disse resultatene (i cm):

14, 11, 7, 9, 15, 9, 12, 11

a Hva er gjennomsnittet av lengden til de åtte blyantene? b Hva er medianen? c Hva er typetallet? Fire jenter målte også lengden av blyantene sine. De fikk disse resultatene (i cm): 10, 13, 13, 12 d Hvem vil du si har de lengste blyantene, jentene eller guttene?

2.42

Ti barn ble spurt om hvor godt de liker kiwi, og hvor godt de liker bananer.

Dårlig

Greit

Godt

Supert

1

2

3

4

Hvert barn ga poeng fra 1 til 4 etter denne skalaen: Her er barnas vurdering: Thea

Filip

Elias

Sara

Syed

Jonas

Aisha

Julie

Sofie

Erik

Kiwi

2

3

1

1

4

4

1

2

1

4

Banan

3

2

3

3

2

4

3

1

2

3

a Finn typetall, median og gjennomsnitt til kiwi. b Finn typetall, median og gjennomsnitt til banan. c Hvilken av de to fruktene liker barna best?

2.43

Tabellen viser hvor mange kroner Ibrahim brukte hver dag på en ferietur: Mandag

Tirsdag

Onsdag

Torsdag

Fredag

75 kr

30 kr

70 kr

80 kr

45 kr

Hvor mye brukte han i gjennomsnitt hver dag?

www.gyldendal.no/multi

 55


Eksempel

Hvis alle søylene var like høye, ville de vist 60.

Åtte barn målte armlengden sin. Resultatene ble: 57 cm, 63 cm, 58 cm, 61 cm, 55 cm, 63 cm, 59 cm og 64 cm. a Hva ble armlengden i gjennomsnitt?

b Tegn dataene i et søylediagram, og tegn gjennomsnittet inn i diagrammet.

a

5 7+6 3+5 8+6 1+5 5+6 3+5 9+6 4=4 8 0 4 8 0 : 8=6 0

Cm 66

Gjennomsnittslengden ble 60 cm

64 62 60 58 56

b

54 52 50

2.44

1

2

3

4

5

6

7

8

Siri undersøkte hvor mye melk hun drakk hver dag i seks dager. Her ser du resultatet målt i dl:

4, 7, 5, 3, 4, 7

a Hvor mye melk drakk hun i gjennomsnitt per dag? b Tegn dataene i et søylediagram, og tegn gjennomsnittet inn i diagrammet.

2.45

Disse to søylediagrammene viser hvor mange mål et håndballag skårte på ti hjemmekamper og på ti bortekamper. Hjemmekamper

Antall mål

Bortekamper

Antall mål 14

20 18

12

16

10

14 12

8

10 6

8 6

4

4

2

2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Les av på diagrammet omtrent hvor mange mål laget skårte i gjennomsnitt per kamp a på hjemmebane  56

2 • Statistikk

b på bortebane


2.46

Astrid skal bo et år i New York. Hun undersøker hva det koster å leie en leilighet der. Tallene nedenfor viser hva det koster å leie 10 forskjellige leiligheter per måned. Hva kan hun regne med å betale i leie? Hvem av elevene har det beste svaret?

40 $ 2

A

0

50 $ 2

0

50 $ 2

0

0 70 $ 2

$ 2

80

0

B Bruk medianen, den blir $ 2850.

$ 2

90

0

$ 3

00

0

20 $ 3

0

30 $ 3

C

Bruk typetallet, det er $ 2500.

0

0 70 $ 8

Gjennomsnittet er best, det er $ 3400.

I statistikk arbeider vi med data fra praktiske situasjoner. Noen ganger vil situasjonen avgjøre hva det er som er det beste svaret. Det er tilfellet ved salg av sentralmål: • Noen ganger kan vi ikke bruke typetall som sentralmål. Det kan være fordi det ikke er noe typetall, eller at det er flere typetall, eller at typetallet gir en dårlig beskrivelse av «midten». • Ofte bruker vi gjennomsnitt, men det gir en dårlig beskrivelse av «midten» hvis noen få av dataene skiller seg veldig ut fra de andre.

2.47

Bruk tabellen og bestem hvilket sentralmål det er som best beskriver dataene. a

En persons månedlige telefonutgifter

210 kr, 220 kr, 260 kr, 240 kr, 220 kr, 230 kr, 1240 kr, 310 kr, 250 kr, 220 kr, 270 kr, 240 kr

Typetall

Median

Gjennomsnitt

b

Favorittfarge

Rød, blå, blå, grønn, gul, grønn, rosa, rød, blå, lilla

Typetall

Median

Gjennomsnitt

c

Årslønn til de ansatte i et lite firma

940 tusen, 380 tusen, 350 tusen, 410 tusen, 370 tusen, 400 tusen, 360 tusen

Typetall

Median

Gjennomsnitt

d

Størrelsen på pakker med frokostblanding

500 g, 550 g, 500 g, 350 g, 300 g

Typetall

Median

Gjennomsnitt

www.gyldendal.no/multi

 57


Sannsynlighet Sannsynligheten er sjansen for at en hendelse vil skje. Den kan skrives som et tall mellom 0 og 1. • Når helt sikkert hender, har det sannsynlighet 1. • Når noe helt sikkert ikke hender, har det sannsynlighet 0 1 • Når noe hender halvparten av gangene, har det sannsynlighet 2 . 0 Skjer helt sikkert ikke

2.48

1 10

2 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 10

1 Skjer helt sikkert

Skriv med brøk omtrent hvor stor sannsynlighet det er for at du gjør hver av disse tingene i morgen. a

2.49

3 10

b

c

d

Skriv med brøk omtrent hvor stor sannsynlighet det er for a at sola skinner i morgen. b å få «krone» når en snurrer en mynt i lufta. c at den første eleven vi møter i skolegården, er en gutt. d at den første eleven vi møter i skolegården, har briller. e at den første eleven vi møter i skolegården, misliker sjokolade.

2.50

Marvin snurrer en mynt fire ganger. Hver gang får han «krone». Så snurrer han mynten én gang til. Hvem av elevene har rett?

A

B Sannsynligheten er størst for «krone». Han får jo det hver gang!

 58

2 • Statistikk

Sannsynligheten er størst for «mynt». Det er nesten umulig å få «krone» fem ganger på rad.

C

Det er like stor sjanse for «krone» som «mynt».

D

Det er umulig å vite. Når du snurrer en mynt, er det helt tilfeldig hvordan den lander.


2.51

a Hvor stor brøkdel av dette lykkehjulet er • blått? • grønt? • gult? Plasser en binders midt i sirkelen. Hold spissen av en blyant i sentrum av sirkelen, og snurr bindersen slik at den spinner rundt blyantspissen. b Snurr bindersen ti ganger. Hvor ofte stopper den på • blått? • grønt? • gult? c Snurr bindersen 50 ganger. Hvor ofte stopper den på • blått? • grønt? • gult?

2.52

I en pose er det 24 drops. Noen er røde, noen er gule, noen er grønne og noen er blå. Hvor mange drops er det i posen av hver farge når • sannsynligheten for 1 å trekke et rødt drops er 3 ?

• sannsynligheten for 1 å trekke et grønt drops er 4 ?

• sannsynligheten for 1 å trekke et gult drops er 6 ?

• resten av dropsene er blå?

I en vanlig kortstokk er det 13 kort av hver type: 1 (eller ess), 2, 3, 4, …, 10, knekt, dame og konge. I kortstokken er det dermed 4 ∙ 13 = 52 kort. 2.53

Trekk et kort fra en kortstokk 20 ganger. Stikk kortet tilbake og stokk kortene litt mellom hver gang du trekker. Hold oversikt over antall kort av hver type i en tabell. a Hvor stor del av kortene var røde? b Hvor stor del av kortene var spar? Trekk 30 ganger til på samme måte og hold oversikt over antall kort av hver type. c Hvor stor del av kortene var nå røde? d Hvor stor del av kortene var nå spar?

2.54

I en kortstokk er knektene, damene og kongene fjernet. Den består av 40 kort, tallene 1 (ess) til 10 i hver av de fire typene.

Type

Antall

Med en slik kortstokk, hva er sannsynligheten for å trekke a et rødt kort?

c et kort større enn 8?

b en kløver?

d et kort mindre enn 4?

e en tier?

www.gyldendal.no/multi

 59


Bestemme sannsynlighet ved regning Noen ganger kan vi regne for å finne sannsynligheten. Hvis fire av ti plommer er gule, er sannsynligheten for 4

2

å trekke en gul plomme lik 10 = 5 . 2.55

I en pose er det 12 plommer, tre gule og ni blå. Marie trekker én tilfeldig plomme fra posen. a Hva er sannsynligheten for at hun trekker en gul plomme? b Hva er sannsynligheten for at hun trekker en blå plomme? c Hva er summen av de to sannsynlighetene i a og i b?

2.56

I en pose er det 24 plommer, noen blå, noen gule. Sannsynligheten for 1

å trekke en gul plomme er 3 . Hvor mange av plommene i posen er gule? 2.57

I pose A er det 20 plommer, i pose B er det 100 plommer. Det er tre gule plommer i hver av posene. I hvilken pose er det mest sannsynlig å trekke en gul?

2.58

I en pose er det 20 plommer, åtte gule og 12 blå. a Hva er sannsynligheten for å trekke en gul plomme? b Hvor mange blå må fjernes for at det skal være like sannsynlig å trekke en gul som en blå plomme?

2.59

2.60

Nina snurrer en spinner med ti felt der tallene er fra 1 til 10. Hva er sannsynligheten for at spinneren stopper på a tallet sju?

d et tall mindre enn fem?

b et partall?

e et tall med tre som faktor?

c et primtall?

f et tall som er delelig med fem?

10

1

9

2

8

3 7

4 6

5

Oskar skal holde et lotteri. Han putter 100 klinkekuler i en pose, noen få er røde, resten er blå. De som deltar i lotteriet, trekker én kule. De vinner når de trekker en rød kule. Hvor mange røde klinkekuler må det være i posen for at sjansen for å vinne er 1

a 50 ?  60

2 • Statistikk

1

b 10 ?

2

c 25 ?


Bestemme sannsynlighet ved forsøk Vi kan gjøre forsøk eller utføre målinger for å finne sannsynlighet. Da bruker vi observasjonene til å bestemme hvor sannsynlig noe er. 2.61

En spinner kan stoppe på rødt eller blått felt. Eva snurrer spinneren 10 ganger, og den stopper på rødt tre ganger. Ola snurrer på spinneren 100 ganger, og da stopper den på rødt 54 ganger. Hvem av elevene har rett?

A

B Til sammen er det 57 røde på 110 forsøk. Jeg tror sannsynligheten 1 for rød er . 2

2.62

Jeg satser på Eva. Sannsynligheten 3 for rød er . 10

D C

Jeg tror det er midt i mellom. Sannsynligheten 4 for rød er . 10

Jeg satser på Ola. Jeg tror sannsynligheten 54 for rød er . 100

Malin undersøker hvor ofte hun treffer kurven i basketball. Hun kaster 20 ganger fra straffemerket. Hun treffer kurven seks ganger. a Hva er sannsynligheten for at hun treffer kurven neste gang hun kaster? b Hvis hun kaster ballen ti ganger til, hvor mange ganger kan hun regne med å treffe kurven? Mads kaster en ball ti ganger fra straffemerket. Han treffer kurven fire ganger. c Hvem har størst sannsynlighet for å treffe kurven, Mads eller Malin?

2.63

Even kaster tre terninger og legger sammen antall øyne. Han gjør dette ti ganger og får disse summene:

14, 11, 10, 8, 5, 11, 11, 12, 6, 10

a Finn typetall, median og gjennomsnitt til disse tallene. b Hva er det mest sannsynlige resultatet når en legger sammen tre terninger?

www.gyldendal.no/multi

 61


Spill Først til mål

Mål

Utstyr: To mynter, tre spillebrikker

0

Tre elever spiller sammen.

1

Spilleregler: Spillerne bestemmer først hvem det er som skal ha 0, 1 og 2 «krone». Deretter plasserer spillerne brikkene sine på START.

2

Elevene spinner de to myntene etter tur. • Om begge myntene viser «mynt», skal spilleren som har 0 «krone» flytte brikken én rute fram. • Om begge myntene viser «krone», skal spilleren som har 2 «krone», flytte brikken én rute fram. • Om den ene viser «krone» og den andre «mynt», skal spilleren som har 1 «krone», flytte. Vinneren er den som først kommer til MÅL.

Start

2.64

Inn

Spill Først til mål. a Er spillet rettferdig? Hvorfor/hvorfor ikke? b Lag et annet spill med myntkasting som er rettferdig. A

2.65

I banen til høyre slippes det inn kuler på toppen. De triller ned gjennom banen og triller ut av de fire utgangene, merket F, G, H og I. Ved hvert kryss merket med rød prikk, er det like stor sannsynlighet for at kula triller mot venstre som mot høyre.

C

B

D

E

Hvor stor del av kulene passerer banen ved

 62

a A?

c C?

e F?

b B?

d D?

f G?

2 • Statistikk

F

G

H

I


Spill Opp eller ned? Stokk en kortstokk. Legg kortene i rader med ti kort i hver rad. Hver spiller skal ha sin rad. Kortene legges med baksiden opp. Start med å snu kortene i første kolonne, slik at kortene ligger som vist her. I dette eksemplet deltar tre spillere: Spillerne skal etter tur snu det neste kortet i raden sin. Før de snur, skal de gjette om de tror kortet er høyere eller lavere enn det foregående. Hvis de gjetter riktig, får de ett poeng. Knekt, dame og konge teller som henholdsvis 11, 12 og 13. Ess teller som 1.

Eksempel: Spiller 1 gjetter «høyere». Han snur kortet ved siden av hjerter 7. Hvis det er høyere, får han ett poeng. Hvis det er en 7-er eller lavere, får han ikke poeng. Vinner er den som har flest poeng når alle kortene er snudd.

Spill Bygge bro Spill to elever sammen med kortene fra 1 (ess) til 10. I dette spillet er det om å gjøre å samle  kort med en sum som er så nær 20 som mulig. • Spiller A stokker kortene og legger to kort med bildesiden opp foran spiller B. • Spiller B summerer de to kortene og bestemmer om spiller A skal legge fram ett til. • Spiller A fortsetter å legge fram ett og ett kort helt til – summen av kortene til spiller B er høyere enn 20. Da taper spiller B denne runden. – spiller B sier stopp. Da legger spiller A fram kort til seg selv, ett om gangen. Spiller A vinner hvis han klarer å få like stor eller høyere sum enn spiller B. Men hvis spiller A får mer enn 20, taper han denne runden. • Spillerne bytter roller annenhver gang. For hver runde de vinner, får de ett poeng.

Eksempel: Spiller B får en 3-er og en 5-er. Han ber om ett kort til og får en 9-er. Han har nå 17 til sammen og velger å stoppe. Spiller A får først en 10-er og så en 4-er. Siden han ennå ikke har mer enn spiller B, må han legge opp ett kort til. Hvis han får 1 eller 2, har han fremdeles mindre enn spiller B. Hvis han får 3, 4, 5 eller 6, vinner han runden. Hvis han får mer enn 6, får han mer enn 20 og taper runden.

www.gyldendal.no/multi

 63


Kan du dette?

KOMPETANSE

OPPGAVE

ØVE MER

Formulere og kjenne igjen spørsmål som kan besvares med statistikk.

1 Hvilke av disse spørsmålene kan besvares med statistikk?

s. 42

a Hvor mange mål skårte Liverpool i forrige sesong? b Hvor mange mål skårer et lag i engelsk førstedivisjon i fotball i løpet av en sesong? c Hvor mange mål skårer Liverpools toppskårer per kamp?

Vite hva et utvalg er, og avgjøre om et utvalg er passende.

2 Kent vil undersøke hvor mye norske pensjonister reiser med fly. Hva er det beste utvalget?

s. 43

a Alle beboerne på et aldershjem. b Alle pensjonistene han ser på et kjøpesenter i løpet av en dag. c Alle pensjonistene han ser på en flyplass i løpet av en dag.

Lage og lese av ­ søyle- og linjediagram.

3 Dette diagrammet viser prisutviklingen på et fat råolje. Bruk diagrammet til å besvare oppgavene.

s. 46 og 47

a Hva kostet et fat råolje i 2002? b I hvilket år var prisen 350 kr? c Hvor mye økte prisen fra 2000 til 2008? d Hvor mye falt prisen fra 2008 til 2009? Kroner per fat 550

s. 35, 36 og 37

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 År

 64

2 • Statistikk

Grunnbok

Oppgavebok


Kan du dette?

KOMPETANSE

OPPGAVE

ØVE MER

Lage og lese av sektordiagram.

4 Noen elever ble spurt om hvor de helst ville dra på telttur. Sektordiagrammet viser svarene deres.

s. 50 og 51

a Hvor mange elever ble spurt? b Hvilket var det mest populære alternativet? c Hvor stor brøkdel av elevene ville dra på fjellet?

Skogen 1 Fjellet 3

Stranda 8

Bestemme typetall, median og gjennomsnitt av en mengde data.

5 Finn typetall, median og gjennomsnitt av disse tallene:

Forstå sentralmål til en mengde data som ett tall som oppsummerer alle dataene, og kunne velge et passende sentralmål for data fra en praktisk situasjon.

6 Petter fisket åtte laks i en elv i løpet av en helg. De veide

Bruke tall mellom 0 og 1 for å beskrive hvor sannsynlig en hendelse er.

7 Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet

s. 35

s. 54 og 55

5, 30, 20, 20, 45, 50, 40

s. 57

3 kg, 16 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 4 kg, 3 kg, 5 kg

a Finn typetall, median og gjennomsnitt av vektene. b Hvilket sentralmål er best egnet til å beskrive vekten av en typisk laks i denne elva?

s. 39, 40 og 41

s. 60

a stopper på hvitt? b stopper på rødt eller blått? c ikke stopper på gult?

8 I en kortstokk er knektene, damene og kongene fjernet, slik at den består av kortene fra 1 (ess) til 10 i hver av de fire typene. Du trekker et tilfeldig kort fra denne kortstokken.

s. 43 og 44

Hva er sannsynligheten for at kortet er a en kløver?

c et partall?

b en 10-er?

d mindre enn 4?

Grunnbok

Oppgavebok

www.gyldendal.no/multi

 65


Øveside 2.66

2.67

Her ser du forventet levetid til noen kjæledyr. Lag et søylediagram til disse dataene.

Katt

15

1

11

2

16

2

12

3

14

3

15

4

15

4

16

3

A

B

Kanin

3

Hund

12

Undulat

13

C

D

4

1

13

1

15

2

17

2

10

3

15

3

11

4

11

4

14

På en skole er det 16 lærere. Dette sektordiagrammet viser aldersfordelingen til lærerne.

Over 60 år 50−59 år

Hvor mange av lærerne er

30−39 år

40−49 år

a mellom 30 og 39 år? b eldre enn 60 år? c yngre enn 50 år?

2.69

 66

Denne tabellen viser favoritthobbyen til 12 barn. Lag et sektordiagram som viser disse dataene.

2 • Statistikk

12 2

2

1

Levetid i år

Hamster

Finn det linjediagrammet som passer til tallene i hver tabell. 1

2.68

Kjæledyr

Hobby

Antall

Danse

3

Hest

2

TV-spill

3

Fotball

4


Øveside 2.70

Fire barn fordeler sjokoladebitene de har, likt mellom seg. Den ene har tre biter, den andre har sju biter, den tredje har seks biter, og den fjerde har åtte biter. a Hvor mange biter har de til sammen? b Hvor mange biter får hver når de fordeler jevnt?

2.71

Fem barn laget en oversikt over hvor mange timer de brukte på lekser en uke. Dette ble resultatet:

4 t, 3 t, 7 t, 3 t, 3 t

Hvor lang tid brukte elevene på lekser i gjennomsnitt?

2.72

Sju barn undersøker hvor lang en gangbro er. De måler med en meterstokk hver sin gang og får disse resultatene:

35 m, 37 m, 34 m, 37 m, 36 m, 36 m, 37 m

a Hva er typetallet av målingene? b Hva er medianen av målingene? c Hva er gjennomsnittet av målingene? d Hvilket av sentralmålene gir det beste anslaget for hvor lang broa er?

2.73

Finn typetall, median og gjennomsnitt av tallene. a 11, 16, 14, 20, 14 b 200, 200, 250, 150, 100, 100, 150, 100, 250, 100 c 2, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2, 6, 3, 5, 7, 4, 5, 7, 4, 5, 3, 4, 3

2.74

Disse to søylediagrammene viser hvor lenge tre gutter og sju jenter så på TV en uke. a Hvor lenge så guttene på TV i gjennomsnitt? b Hvor lenge så jentene på TV i gjennomsnitt? c Hvor lenge så de ti barna på TV i gjennomsnitt?

Guttene

Jentene

Timer

Timer

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

7 6 5 4 3 2 1 1

2

3

0

1

2

3

4

5

6

7

www.gyldendal.no/multi

 67


Tren tanken 2.75

Ta utgangspunkt i disse tallene:

9, 9, 9, 9, 9

a Finn typetall, median og gjennomsnitt. b Tallet 45 legges til. Hva er typetall, median og gjennomsnitt nå?

2.76

Jostein og Øyvind skal gå i fjellet fire dager. De regner med at de kan gå 35 km i gjennomsnitt hver dag. a Hvor langt regner de med å gå på de fire dagene? En dag tar Jostein og Øyvind pause når de har igjen 6 km å gå. De bruker i gjennomsnitt 12 minutter på å gå 1 km. b Hvor lang tid vil de bruke på de siste kilometerne med den farten?

2.77

a Finn median og gjennomsnitt av disse fem tallene:

27, 23, 27, 23, 20

Det legges til ett tall slik at tallfølgen består av seks tall. Finn median og gjennomsnitt av de seks tallene hvis tallet som legges til er b 18

2.78

c 30

Fire tall har median lik 16. Hva kan det fjerde tallet være når de tre første er a 13, 15 og 20?

2.79

d 60

b 9, 16 og 29?

Fire tall har gjennomsnitt lik 6. Hva må det fjerde tallet være når de tre første er a 4, 5 og 12?

b 1, 5 og 6?

c 7, 8 og 9?

2.80

Finn fire ulike tall som har både median og gjennomsnitt lik 8.

2.81

I et bur ligger tre slanger. De er 20 cm, 30 cm og 40 cm lange. Så legges en fjerde slange oppi buret. Da øker gjennomsnittslengden med 10 cm. Hvor lang er den fjerde slangen?

 68

c 10, 20 og 35?

2 • Statistikk


Tren tanken 2.82

Astrid og Eirik var på sykkeltur i to timer. Først syklet de opp en bratt bakke. Så syklet de en lang, flat strekning. Til slutt syklet de en slakk nedoverbakke til de kom hjem. Hvilket av disse tre linjediagrammene viser best farten de hadde på turen? Fart

Fart

1

Tid

2.83

Fart

2

3

Tid

Tid

Are, Birk, Carl og Didrik kaster piler. Gjennomsnittet av poengsummen til • Are og Birk var 29 • Are og Carl var 28 • Birk og Didrik var 28 • Are og Didrik var 25 Hvilken poengsum fikk hver av guttene?

Spill Lus eller løve Utstyr: Brikker, to terninger Spill sammen to eller flere. Spilleregler: Hver spiller plasserer en brikke på START. Etter tur skal spillerne kaste én terning og deretter si • «lus» hvis de tror summen av de to terningene blir 5 eller mindre. • «løve» hvis de tror summen av de to terningene blir 9 eller mer. • «pass» hvis de ikke vil satse. Så kaster de den andre terningen og ser om de gjettet riktig. Hvis de gjettet riktig, flyttes brikken tre ruter fram. Hvis de gjettet galt, blir brikken stående. Hvis de sa «pass», flyttes brikken én rute fram. Den som kommer først i MÅL, vinner.

Mål

Start www.gyldendal.no/multi

 69


Litt av hvert 2.84

Svaret på den første oppgaven er 40, så bokstaven er H.

Finn riktig svar til hver oppgave. Svaret er koblet til en bokstav. Skriv bokstavene etter hverandre på svarstrekene nederst. Da løser du koden og finner svaret på gåten! a

(10 + 5) + (20 + 5)

T

30

K

35

H

40

V

45

b

35 + (20 – 13)

E

28

A

42

I

55

U

68

c

–4 + (–5 + 12)

R

3

N

–21

T

11

S

13

d

(13 + 5) – (13 – 5)

K

0

D

10

R

36

B

26

e

50 – (8 + 26)

U

16

E

32

O

68

A

84

f

(6 – 13) – (12 – 2)

D

–21

T

3

K

–3

B

–17

g

35 – (20 – 11)

L

4

I

66

R

26

A

44

h

(12 – 5) + (9 – 11)

U

5

E

–13

A

27

I

i

90 + (90 – 4)

M

–4

K

176

F

4

N

184

j

–10 + (50 – 22)

F

38

M

–88

S

62

K

18

k

(25 – 4) – (15 – 4)

A

2

E

10

U

32

T

40

l

44 – (–9 + 20)

S

15

T

33

N

55

R

73

m

(35 – 3) – (20 – 11)

M

1

B

63

R

23

T

41

n

100 – (44 – 4)

A

140

U

52

Y

60

E

148

o

(38 – 4) – (13 + 6)

G

15

S

27

M

41

T

53

p

50 + (15 – 20)

M

15

S

85

T

55

G

45

q

(51 – 8) – (13 – 11)

E

41

A

45

I

67

N

19

r

39 – (34 – 31)

T

–26

R

42

N

36

S

104

H ___ ___ ___

2.85

2

1

___ ___ ___ ___ ___ ___ ?

4

3

b 5 – 10

5

1

c 8 + 4

3

3

d 5 – 20

2

7

f 21 – 3

1

2

f 4 – 5

e 5 + 15

12

1

Utvid begge nevnerne slik at de får felles nevner, og regn ut. 2

1

a 3 + 5

 70

___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

9

Utvid brøken med den minste nevneren, og regn ut. a 3 + 6

2.86

___ ___

Hva sa 1-tallet da det møtte 7-tallet?

2 • Statistikk

3

1

b 4 – 3

1

2

c 2 + 5

7

1

d 9 – 2

e 3 + 7

3

1


Litt av hvert 2.87

Regn ut. 1

c 3 ∙ 7

1

d 2 ∙ 8

a 4 ∙ 5 b 3 ∙ 6

2

e 6 ∙ 9

2

g 4 ∙ 5

1

f 5 ∙ 4

3

3

h 8 ∙ 3

2

Skriv oppgavene som multiplikasjonsstykker, og regn ut svar. 2.88

Alida skal bake kjeks. I oppskriften står det at hun skal bruke 300 g mel. Alida skal bare lage en halv oppskrift. Hvor mye mel skal hun da bruke?

2.89

Brian bruker 40 minutter på å klippe plenen sin. 3

Carla bruker 4 av den tiden på å klippe sin plen. Hvor lang tid bruker Carla?

2.90

Didrik har en bøtte som rommer 12 liter. 3

a Hvor mye vann er det i bøtta når den er 4 full? 2

b Hvor mye vann er det i bøtta når den er 3 full? 1

2.91

I klassen til Eirin er det 24 elever. En dag er 6 av elevene syke. Hvor mange elever er på skolen den dagen?

2.92

I luft beveger lyden seg med en fart på 340 meter per sekund. Gjennom jern beveger lyden seg mye fortere: 5100 meter per sekund. 1

a Hvor langt beveger lyden seg på 5 sekund i luft? 1

b Hvor langt beveger lyden seg på 5 sekund i jern?

www.gyldendal.no/multi

 71

Profile for Gyldendal Norsk Forlag

Multi 7a grunnbok 2utg.  

MULTI gir en engasjerende, meningsfull og morsom vei til matematikk! Verket holder fokus; hvert tema behandles grundig og over en lengre per...

Multi 7a grunnbok 2utg.  

MULTI gir en engasjerende, meningsfull og morsom vei til matematikk! Verket holder fokus; hvert tema behandles grundig og over en lengre per...