Mønster 1P bib

Page 1

overprint preview disabled

441.5 x 260 mm

3027-102454 - Vāks

B

MØNSTER-serien består av bøker for matematikkfagene for både studieforberedende og yrkesfaglige studieretninger i videregående skole.

Tove Kalvø Jens Christian Lothe Opdahl Knut Skrindo Øystein Johannes Weider

in g

Boka er en komplett alt-i-ett-bok. Det vil si at den inneholder lærestoff, utforskende aktiviteter, opplæring i digitale verktøy og oppgavesamling med fasit. I Skolestudio, Gyldendals digitale læringsmiljø, er det egne elev- og lærerressurser som støtter verket. Der finner du blant annet undervisningsfilmer og fullstendige løsningsforslag til oppgavene i boka.

vu rd er

Til læreverket hører også Mønster Smart Øving, et adaptivt øvingsverktøy som gir hver elev et personlig læringsforløp, og læreren får en kontinuerlig oversikt over elevenes mestring. Prøv digital utgave av boka på www.smartbok.no

Matematikk 1P

Ku

Mønster er en del av Skolestudio, et digitalt læringsmiljø for den videregående skole.

n

Kalvø • Lothe Opdahl • Skrindo • Weider

til

1P

260

STUDIEFORBEREDENDE

Bokmål

www.skolestudio.no

3027-102454-072569_Gyldendal_Monster 1P, matte SF Vg1 - BM (1. opplag) - Vaks.indd 1

08/07/2020 11:31

210

(6)

21.5

(6)

210


© Gyldendal Norsk Forlag AS, 2020 1. utgave, 1. opplag ISBN 978-82-05-52578-8 Denne boka er en del av læreverket Mønster. Boka dekker målene i gjeldende læreplan i matematikk fellesfag Vg1 praktisk (matematikk P) (MAT08-01), www.udir.no/lk20/MAT08-01. Printed in Latvia by Livonia Print Ltd, 2020

vu rd er

in g

Redaktører: Anne Raustøl og Hanne Solveig Lund Bilderedaktør: Hege Røyert / NTB Design: Marianne Cecilie Dahl / mcddesign.no Logodesign: Eggedosis AS / Gunveig Wanvik Sats og layout: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Språkkonsulent: Trond Eidnes Omslagsdesign: Lise Mosveen Omslagsillustrasjon, bilde: MirageC / Moment / Getty Images, ill: Oleh Svetiukha / iStock / Getty Images Plus Figurer: Knut Skrindo, Gamma grafisk AS (Vegard Brekke), figurer created with GeoGebra (www.geogebra.org) og Python (www.Python.org). Illustrasjoner: Sandra Wilmann: side 13, 17, 23, 28, 54, 124, 125, 169, 237, 277 Nova M. Lie: side: 31, 131, 228, 300

til

Bilder: Side 8: Sven Hansche / EyeEm / Getty Images, 12: Berit Roald / NTB, 19: Esa Hiltula / iStock / Getty Images Plus, 24: Shutterstock, 25: Shutterstock, 27: MakiEni's photo / Moment / Getty Images, 32: Shutterstock, 34ø: AP/NTB, 34n: PixelsEffect / E+ / Getty Images, 38: Fredrik Refvem / Stavanger Aftenblad / NTB, 39: ROMAOSLO / iStock / Getty Images Plus, 41: Maskot / Getty Images, 45: Shutterstock, 47: Shutterstock, 48: PIRO4D / Pixabay, 52: Shutterstock, 57: Shutterstock, 58: Maskot / NTB, 63: Shutterstock, 67: Shutterstock, 69: Shutterstock, 75: Shutterstock, 76: Ewa Studio / Shutterstock, 79: Shutterstock, 89: Shutterstock, 91: Adie Bush / Cultura / Getty Images, 95: Igor Sinkov / EyeEm / Getty Images, 99: Shutterstock, 106: Shutterstock, 110: Westend61 / Getty Images, 113: Shutterstock, 116: CampPhoto / iStock / Getty Images Plus, 120: Jordan Siemens / Stone / Getty Images, 123: Shutterstock, 127: Berit Roald / NTB, 129: Maskot / Getty Images, 130: Shutterstock, 131h: Shutterstock, 135: Shutterstock, 136: Shutterstock, 138: Shutterstock, 139: Shutterstock, 142: Elisabeth Coelfen / EyeEm / Getty Images, 143: Shutterstock, 145: CSA Images / Getty Images, 152: imaginima / iStock / Getty Images Plus, 153: imaginima / iStock / Getty Images Plus, 155: Shutterstock, 158: Mary Doggett / Shutterstock, 161: Ilona Ignatova / Shutterstock, 162: Shironosov / iStock by Getty Images, 170: Shutterstock, 176: Shutterstock, 178: Olga Miltsova / iStock / Getty Images Plus, 179: Shutterstock, 180: Svein Grønvold / Samfoto / NTB, 181: Shutterstock, 183: Shutterstock, 186: Shutterstock, 188: Kickers / E+ / Getty Images, 189: Reuters / NTB, 193: Shutterstock, 197: Tomprout / E+ / Getty Images, 202: Technotr / Getty Images, 211: Shutterstock, 218: Johner Images / Getty Images, 223: Shutterstock, 224: Gorm Kallestad / NTB, 227: Shutterstock, 229: Gorm Kallestad / NTB, 230: Shutterstock, 232: Deimagine / E+ / Getty Images, 234: Wiese_Harald / iStock / Getty Images Plus, 241: Shutterstock, 249: Shutterstock, 255: Steinar Haugberg / Samfoto / NTB, 264: Shutterstock, 265: Shutterstock, 266: David-Prado / iStock / Getty Images Plus, 269: Kiev Victor / Shutterstock, 274n: Shutterstock, 275: Knut Skrindo, 279: Shutterstock, 291: Shutterstock, 293: Statistisk sentralbyrå, 296: Knut Skrindo, 304: Statistisk sentralbyrå, 306ø: Shutterstock, 306n: Yr.no, 308: Shutterstock, 309: Norsk mediebarometer, Statistisk sentralbyrå, 314: Ursa Hoogle / iStock / Getty Images Plus, 315: Shutterstock, 320: Paal-André Schwital / Metro Branding Materialet i denne boka er beskyttet etter åndsverklovens bestemmelser. Enhver kopiering, avfotografering eller annen form for eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring av materialet i denne boka er bare tillatt dersom det finnes lovhjemmel eller er inngått særskilt avtale med Gyldendal Norsk Forlag AS.

n

Virksomheter som har inngått avtale med Kopinor, kan kopiere, avfotografere osv. innenfor avtalens rammer (inntil 15 % av bokas sidetall). Det er ikke tillatt å kopiere fra arbeidsbøker (engangshefter). Utnytting i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Ku

Forfatterne har mottatt støtte fra Det faglitterære fond til denne boka. Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Redaksjonen for videregående skole Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no www.gyldendal.no/undervisning Alle Gyldendals bøker er produsert i miljøsertifiserte trykkerier. Se www.gyldendal.no/miljo


Forord Mønster er et helt nytt matematikkverk for videregående skole, utviklet til læreplanene fra 2020.

vu rd er

Underveis er det lagt inn refleksjonsoppgaver som fremmer dybdelæring og dialog hos elevene. Dette bidrar til økt motivasjon og mestring.

in g

Mønster legger vekt på å lære matematikk gjennom å se mønstre og sammenhenger ved å utforske og løse matematiske problemer. Fagstoffet blir presentert i en utforskende form som gir bedre forståelse og legger til rette for dybdelæring. Det kan brukes direkte av elevene, eller ved at læreren tilpasser det til gruppa.

Mønster inneholder et rikt utvalg av eksempler og viser flere løsningsstrategier. Slik kan elevene oppdage sammenhenger og lære å bruke ulike representasjoner. Videre inneholder boka et stort utvalg av oppgaver, både etter hvert avsnitt, i oppgavesamlingen og gjennom oppgaver til eksamenstrening. Fasit til oppgavene finnes bak i boka.

Der det er hensiktsmessig med bruk av digitale verktøy, har vi brukt GeoGebra med graftegner og CAS samt programmeringsspråket Python. Vi viser hvordan vi bruker dette i aktuelle eksempler i boka. For programmering har vi utarbeidet en grundig opplæringsmanual med fagrelevante eksempler og oppgaver. Bakerst i boka finner du i tillegg kortere oppslagsmanualer kalt «Python på 1–2–3» og «GeoGebra på 1–2–3», som dekker alle kommandoene og funksjonene vi trenger i faget.

n

til

Skolestudio er Gyldendals digitale læringsmiljø. Her er det egne elev- og lærerressurser som støtter verket. Her finner du blant annet fullstendige løsningsforslag til alle oppgavene, og du finner egne videoer til Mønster med gjennomgang av fagstoff, eksempler og løsningsforslag. Vi har også utviklet et adaptivt øvingsverktøy med oppgaver, Mønster Smart Øving. Smart Øving tilpasser seg elevens kompetanse underveis og gir et personlig læringsløp. I tillegg får læreren en kontinuerlig oversikt over elevenes kompetanse.

Ku

Mønster skaper matematikkforståelse og hjelper elevene å se sammenhenger i faget. Læreverket er et godt verktøy for å tilpasse og differensiere læringen for elevene, men uten at det går på bekostning av metodefrihet og fleksibilitet. Elevene får dermed et godt grunnlag for videre arbeid med matematikkfaget. Vi håper boka inspirerer og bidrar til flere gylne øyeblikk i klasserommet. Oslo, juni 2020

Tove Kalvø, Jens Christian Lothe Opdahl, Knut Skrindo og Øystein Johannes Weider


Innhold 8

3 Brøk, forhold og prosent . . . . . . . . . . . . . . . . 106

vu rd er

in g

1 Tall og regning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 Regning med tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Problemløsning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mønster og oversikt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgavesamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Øv til eksamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.1 Brøk, faktorisering og forkorting . . . . . . . . . . 3.2 Forhold og prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Vekstfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mønster og oversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgavesamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Øv til eksamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108 118 132 140 142 144 150

4 Potenser og formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

n

til

2 Lineære funksjoner og modeller . . . . . . .

10 20 28 37 38 40 46

Ku

2.1 Lineære funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2 Grafer og funksjonsuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3 Skjæringspunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4 Lineære modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Mønster og oversikt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Oppgavesamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Øv til eksamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.1 Regning med røtter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Regning med potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Potenser med negativ eksponent. . . . . . . . . 4.4 Tall på standardform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Målenheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Regning med formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mønster og oversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgavesamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Øv til eksamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154 159 166 169 173 178 187 188 190 200


Innføring i Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

vu rd er

in g

5 Funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.1 Informasjon fra grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Tegne grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Proporsjonalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Omvendt proporsjonalitet. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Andre- og tredjegradsfunksjoner. . . . . . . . . . 5.6 Eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mønster og oversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgavesamling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Øv til eksamen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

204 212 217 224 230 241 246 248 250 262

Ku

n

til

6 Modellering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

6.1 Matematiske modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Modellering med regresjon . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Figurtall og mønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Modellering i praksis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mønster og oversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgavesamling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Øv til eksamen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Digitalt verktøy for Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grunnleggende kommandoer i Python . . . . . . . Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Datatyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hente inn opplysninger fra brukeren . . . . . . . . . Sannhetsverdier og vilkår . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Løkker – repeterende kode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feilsøking og hjelp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksterne bibliotek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgavesamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

321 322 326 329 330 332 335 342 344 346 347 361

Python på 1–2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 GeoGebra på 1–2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

266 275 285 292 303 304 306 318


Slik bruker du boka

in g

Utforsk Her finner du aktiviteter som legger til rette for utforskende matematikk, diskusjon og samarbeid. Du kan bruke dem direkte eller ved at læreren tilpasser det til gruppa som grunnlag for forståelse og dybdelæring.

vu rd er

Viktige setninger De blå boksene inneholder viktige setninger, begreper og definisjoner. Det som står her, er det viktig at du lærer deg og forstår.

Gule lapper Her finner du tips, repetisjon og korte oppsummeringer.

Reflekter og diskuter Boka legger til rette for dybdelæring gjennom muntlig aktivitet og samarbeid.

Ku

n

til

Video Video-ikonet viser at det er en undervisningsfilm i Skolestudio. Filmen forklarer teori, eksempler og løsninger eller viser bruk av digitale verktøy.

Digitale verktøy Der det er hensiktsmessig med bruk av digitale verktøy, har vi brukt GeoGebra med graftegner og CAS samt programmeringsspråket Python. Bakerst i boka finner du i tillegg kortere oppslagsmanualer kalt «Python på 1–2–3» og «GeoGebra på 1–2–3».

Henvisning til oppgaver Henvisning til oppgaver det passer å løse underveis i delkapittelet.

Mønster og oversikt Her er det viktigste innholdet fra hvert kapittel oppsummert. Det trekkes linjer til annet fagstoff for å hjelpe deg å se mønstre og sammenhenger i faget.


Varierte oppgaver Dette er oppgaver rett etter hvert delkapittel, der du kan øve på det du nettopp har lært. I oppgavesamlingen finner du flere oppgaver til hvert delkapittel, i tillegg til blandede oppgaver og eksamensoppgaver. Blyant-ikonet hjelpemidler.

viser oppgaver du skal løse uten

vu rd er

Puslespill-ikonet viser oppgaver som krever at du jobber utforskende, bruker problemløsningsstrategi eller samarbeider. Noen av disse oppgavene tar for seg andre sider av fagstoffet.

in g

Slik bruker du boka

Oppgaver som er mer utfordrende, er markert

.

Test deg selv Her finner du oppgaver fra hele kapittelet. Test deg selv fungerer godt som repetisjon til en kapittelprøve.

Øv til eksamen Her er utvalgte eksamensoppgaver eller eksamensliknende oppgaver samlet til hvert kapittel. Disse kan du bruke som forberedelse til eksamen.

til

Mønster Smart Øving Dette er et adaptivt øvingsverktøy som er utviklet til læreverket. I Smart Øving får du som elev et personlig læringsforløp, og læreren får en kontinuerlig oversikt over hva du mestrer.

Ku

n

Skolestudio Skolestudio er Gyldendals digitale læringsmiljø. Her er det egne elev- og lærerressurser som støtter verket. Du vil blant annet finne undervisningsvideoer og fullstendige løsningsforslag til alle oppgavene i boka.


in g

til

vu rd er

1

TALL OG REGNING

820

Ku

n

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi fra Usbekistan skriver et viktig arbeid om tall og algebra. Han introduserer indiske tall, de samme symbolene vi bruker i dag: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 0. Siden han skrev på arabisk, kaller vi tallene våre hindu-arabiske tall. Navnet al-Khwarizmi har overlevd i ordene algoritme og algebra.

2000 f.Kr.

1500 f.Kr

År 0

500 f.Kr.

1500-500 f.Kr.

200 f.Kr.

Veda er de eldste hellige skriftene i India. De inneholder omfattende regler for regning og beskriver tallet null

Negative tall brukes for første gang, i Kina


Hvorfor tror du vi bruker de ti sifrene fra 0 til 9?

in g

Hvorfor har vi brukt negative tall i bare 200 år?

vu rd er

Fire 4-tall

Jobb sammen to og to Undersøk hvilke av tallene 1, 2, 3, 4, . . . du kan uttrykke ved hjelp av fire 4-tall og fritt valgte regneoperasjoner (þ, , eller :). Eksempler:

ð4 þ 4 4Þ : 4 ¼ 1 4:4þ4:4¼2

Hvor langt kommer du?

Ku

n

til

Sammenlikn resultatene dine med en medelev. Har dere laget de samme regnestykkene?

820

500

1000

2000

1500 1202

Fibonacci skriver boka Liber Abaci, den første beskrivelsen av det hindu-arabiske tallsystemet i Europa

1310 I boka Hauks bok blir indisk-arabiske tall brukt for første gang i Norge

1800-tallet Negative tall blir innført i Europa


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

1.1 Regning med tall UTFORSK

in g

Dere trenger: skrivesaker, kalkulator, en kopi av spillebrettet Fire på rad –4

–1

–0,2

0,5

2

10

vu rd er

5

0,2

0,05

–20

–4,5

1

–3,5

–3,8

14

6

4

4,5

–6

–0,125

9

–1

–1,2

0,25

–0,8

–1,5

0,5

1,5

3

11

–10

–2,5

–3

–25

–50 –0,02

7

–8

–2,2

0,1

–0,7

50

10

–14

–0,04

3,8

9,5

4,8

20

–9,5

10,5

9,8

5,2

–2

10,2

–5

15

5

–0,5

–9

–10,2

5,5

–0,4

–11

–40

–1,25

0,3

1,8

2,5

–0,1

til

0,8

Hensikten med spillet er å få fire ruter på rad, enten horisontalt, vertikalt eller diagonalt.

Du velger en rute på spillebrettet og lager et regnestykke som gir tallet i ruta som svar. I regnestykket bruker du bare to av tallene som står ovenfor spillebrettet, sammen med en av regneartene pluss, minus, gange eller dele. For eksempel kan du lage tallet 6 med regnestykket 4 2.

Den andre spilleren må sjekke at regnestykket er riktig.

Deretter markerer du ruta med et kryss eller en tellebrikke.

n

Ku

10

Nå er det den andre spilleren som skal velge rute og lage et regnestykke ut fra to valgfrie tall av tallene som står ovenfor spillebrettet. Vinneren er den spilleren som først får fire ruter på rad.


Regning med tall

11

Reflekter og diskuter! Hvilket tall har høyest verdi av 0,273 og 0,37?

Plasser tallene i stigende rekkefølge: pffiffiffi 1 1 0,59 3 0,6 3 2

Oppgave: 1.1

vu rd er

in g

Når vi jobber med matematikk og regning, må vi ha en felles forståelse av grunnleggende regneregler og tallstørrelser. For eksempel har vi et plassverdisystem og bruker sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Plassen til sifferet avgjør verdien av tallet, for eksempel at 42 betyr 4 tiere og 2 enere.

Addisjon og multiplikasjon

Sammen med tallene bruker vi regnearter. Med addisjon þ summerer vi tall. For eksempel er 5 þ 7 ¼ 12. Multiplikasjon betyr gjentatt addisjon. Dermed er 3 4 det samme som 4 þ 4 þ 4, der tallet 4 er addert tre ganger. Et annet eksempel er regnestykket 5 þ 2 3, som betyr 5 þ 3 þ 3. Det vil si at vi først ganger 2 og 3, og så legger sammen. Utregningen blir 5 þ 2 3 ¼ 5 þ 6 ¼ 11.

til

Vi har nå en regel for regnerekkefølgen når vi kombinerer addisjon og multiplikasjon: Vi multipliserer før vi adderer.

n

I dagliglivet gjør vi ofte et overslag av en utregning. Når vi er i butikken, er det greit å sjekke at vi har nok penger til det vi skal kjøpe. Det vanlige er å runde av 0 4 nedover og 5 9 oppover. For at overslaget skal bli best mulig, prøver vi å runde av like mye opp som ned.

EKSEMPEL 1

Ku

Gjør et overslag og regn ut omtrent hvor mye matvarene koster: yoghurt:

4 liter melk:

44,30 kr 4 24,90 kr

cottage cheese:

27,90 kr

kremfløte:

18,90 kr

røde linser:

35,90 kr

poteter:

14,26 kr

Multiplikasjon er gjentatt addisjon. Vi multipliserer før vi adderer.


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

yoghurt: 4 liter melk:

in g

Løsning: Vi runder av til nærmeste tier. Underveis følger vi med på om vi har rundet av mest oppover eller nedover, og prøver å få til en jevn fordeling. 40 kr, runder ned

100 kr, omtrent ingen avrunding

30 kr, runder opp, omtrent jevnt nå

kremfløte:

20 kr, runder litt opp

vu rd er

cottage cheese:

røde linser:

40 kr, runder opp, litt for høyt nå

poteter:

10 kr, runder ned, omtrent jevnt nå

Til sammen koster matvarene om lag 40 kr þ 100 kr þ 30 kr þ 20 kr þ 40 kr þ 10 kr ¼ 240 kr.

Oppgaver: 1.2–1.3

UTFORSK

Nærmest mulig 1

til

Du trenger: digitalt verktøy

n

Spill to eller flere. Den første med 10 poeng vinner.

Ku

12

Den første spilleren velger et tall som enten er større enn 1 eller mindre enn 1.

Alle spillerne prøver å finne et desimaltall å gange tallet med, slik at svaret blir nærmest mulig 1.

Den spilleren som kommer nærmest 1, vinner omgangen og får ett poeng.

Turen går til neste spiller, og dere fortsetter på samme måte.


Regning med tall

13

Strekmultiplikasjon

23

Trinn 1

2

7

6

vu rd er

12

in g

Det virker imponerende å kunne regne store gangestykker uten kalkulator! Alt for flere tusen år siden hadde de teknikker og algoritmer til å gjøre det. Her viser vi hvordan vi kan regne ut 12 23.

Trinn 2

Trinn 3

Trinn 1 Vi tegner en strek for tieren og to streker for enerne.

Trinn 2 Vi tegner inn tallet 23, med to streker for tierne og tre streker for enerne.

Trinn 3 Vi teller opp antall skjæringspunkter mellom linjene. På hundrerplassen er det to punkter, på tierplassene er det sju punkter, og på enerplassen er det seks punkter. Da vet vi at 12 23 ¼ 276.

Reflekter og diskuter!

til

Bruk strekmultiplikasjon til å regne ut 31 23. Hvordan blir opptellingen i trinn 3?

n

Det er fascinerende å se hvordan matematikk har opptatt mennesker i flere tusen år. Å finne systemer, mønstre og regnestrategier har bidratt til å løse mange praktiske problemer.

Ku

Jeg kjeder meg! Jeg må finne på noe.

Carl Friedrich Gauss, 1784

1+2+3+4+5.. 34+35+36+.. 77+78+79+.. 99+100=? Legg sammen disse!

1+100=101 2+99=101 3+98=101 .. . 50+51=101

Det blir bare 50 . 101. Svaret er 5050.

Hva!?


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

Reflekter og diskuter! Her er en annen gammel algoritme for å gange sammen tosifrete tall. Finn ut hvordan algoritmen er bygd opp for regnestykket 12 23. Trinn 2 Tierplass

Trinn 3 Enerplass

in g

Trinn 1 Hundrerplass 1

2

1

2

1

2

2

3

2

3

2

3

1·2=2 200

1·3+2·2=7 70

2·3=6 6

vu rd er

Hvordan vil du gå fram for å regne ut 14 21 i hodet?

Subtraksjon

Fortegnsregler þ og þ blir þ þ og blir og þ blir og blir þ

For å skille mellom negative tall og regneoperasjonen subtraksjon skriver vi negative tall i parentes. I tillegg må vi huske på fortegnsreglene når vi regner med negative tall.

For eksempel skriver vi

8 ð 5Þ ¼ 8 þ 5 ¼ 3

2 þ 6 ð 3Þ ¼ 2 þ ð 18Þ ¼ 2 18 ¼ 20

til

Reflekter og diskuter! Hvilke ulike regnestrategier, eller måter å regne på, kan du lage for regnestykkene 54 þ 77

n

135 87

Ku

14

Potens

3

5

eksponent

grunntall

2 8

Potenser På samme måte som at multiplikasjon er gjentatt addisjon, er potenser gjentatt multiplikasjon. Vi skriver 2 2 2 2 som 24 . Tallet 2 kalles grunntall, og tallet 4 kalles eksponent. Eksponenten 4 forteller hvor mange ganger grunntallet 2 skal multipliseres. Dermed er 24 ¼ 2 2 2 2 ¼ 16.


Regning med tall

15

Dette gir oss en ny regel for regnerekkefølge. Vi regner ut potenser før vi multipliserer. Utregningen 5 þ 3 42 betyr 5 þ 3 16, som blir 5 þ 48 ¼ 53.

Vi regner ut potenser før de andre regneartene.

Legg merke til forskjellen på de to regnestykkene: ¼ ð 3Þ ð 3Þ ¼ 9

32 |{z}

¼ 3 3 ¼ 9

in g

ð 3Þ2 |fflffl{zfflffl}

grunntall 3

grunntall ð 3Þ

P OT E N S an ¼ |fflfflfflfflfflfflffl a affl{zfflfflfflfflfflfflffl . . . ffla} n ganger

EKSEMPEL 2 a

ð 3Þ 4

b

42 2 3 þ 1

c

3 þ 5 2 þ 8 23 þ 1

vu rd er

Potensen an betyr a multiplisert n ganger:

Løsning: a Vi multipliserer et negativt tall og et positivt tall. Resultatet blir et negativt tall: ð 3Þ 4 ¼ 12 b

Vi regner ut potenser før vi ganger, og trekker sammen til slutt:

c

til

42 2 3 þ 1 ¼ 16 2 3 þ 1 ¼ 16 6 þ 1 ¼ 11 Vi regner ut potensen før vi ganger, og trekker sammen til slutt: 3 þ 5 2 þ 8 23 þ 1 ¼ 3 þ 5 2 þ 8 8 þ 1 ¼ 3 þ 10 þ 64 þ 1 ¼ 78

I Python skriver vi potens med to gangetegn **

n

Digital løsning:

Vi løser oppgave c med CAS. Vi setter inn

Ku

uttrykket og bruker knappen 1

=

:

Alternativt kan vi løse oppgaven med Python. Vi setter inn uttrykket og skriver det til skjerm: 1

print(3 + 5*2 + 8*2**3 + 1)

I konsollen finner vi resultatet: 78

Svaret er 78.

Oppgaver: 1.4–1.5


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

Divisjon

EK SEMPEL 3 Regn ut 73 : 5.

Vi dividerer før vi adderer og subtraherer. For eksempel skriver vi 8 þ 12 : ð 3Þ ¼ 8 þ ð 4Þ ¼ 8 4 ¼ 12.

Reflekter og diskuter!

Kan du finne ulike måter å regne ut disse oppgavene på? 4 0,5 6 : 0,5

n

til

Regnerekkefølge 1 Parenteser 2 Potenser 3 Multiplikasjon ð Þ og divisjon ð: Þ 4 Addisjon ðþÞ og subtraksjon ð Þ

vu rd er

Løsning: 7 3 : 5 ¼ 14,6 5 23 20 30 30 0

in g

Vi definerer divisjon som det motsatte av multiplikasjon. Vi repeterer først med et eksempel.

Divisjon:

Ku

16

Hva skjer når vi ganger et positivt tall med et tall mellom 0 og 1? Blir svaret større eller mindre?

Hva skjer om vi deler et positivt tall med et tall mellom 0 og 1?

Parenteser Vi bruker parenteser for å markere at deler av et regnestykke eller uttrykk hører sammen. Ved å bruke parenteser kan vi endre regnerekkefølgen. Se hvordan regnestykkene blir forskjellige når vi bruker parentes: 1þ2 3¼1þ6¼7 og ð1 þ 2Þ 3 ¼ 3 3 ¼ 9


Regning med tall

17

UTFORSK Du trenger: skrivesaker og digitalt verktøy 1 . 2+3-4=1 1 2 3 4=2

in g

I denne aktiviteten skal du eksperimentere med regnerekkefølge og bruk av parenteser.

Nedenfor ser du ti rader med regnestykker der regneoperasjonene mangler. Velg selv bruk av parenteser og regneoperasjoner (þ, , og :), slik at flest mulig av regnestykkene stemmer: 1 2 3 4 ¼ 1 1 2 3 4 ¼ 3 1 2 3 4 ¼ 4 1 2 3 4 ¼ 5 1 2 3 4 ¼ 6 1 2 3 4 ¼ 7 1 2 3 4 ¼ 8 1 2 3 4 ¼ 9 1 2 3 4 ¼ 10

vu rd er

1 2 3 4 ¼ 2

Kontroller til slutt regnestykkene med digitalt verktøy.

Reflekter og diskuter!

Hvorfor er parentesene overflødige i disse uttrykkene? ð1 þ 2Þ 1 þ ð2 3Þ og 3

Sett inn parenteser slik at svaret blir høyest mulig: 4 3 5 7

n

til

Ku

EKSEMPEL 4 Regn ut: a

6þ3 4

b

6 2þ3 2

c

5 þ 3 ð7 2Þ 4

d

3 þ 28 : 4 5 ð8 : 2Þ


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

b

Vi ganger før vi legger sammen: 6 2 þ 3 2 ¼ 12 þ 6 ¼ 18

c

Vi regner først ut parentesen, deretter ganger vi, og til slutt trekker vi sammen uttrykket: 5 þ 3 ð7 2Þ 4 ¼ 5 þ 3 5 4 ¼ 5 þ 15 4 ¼ 16

d

Vi regner ut parentesen og dividerer. Deretter trekker vi sammen: 3 þ 28 : 4 5 ð8 : 2Þ ¼ 3 þ 28 : 4 5 4 ¼ 3 þ 7 20 ¼ 10

vu rd er

Legg merke til at vi må skrive divisjonstegnet : med symbolet = når vi bruker GeoGebra eller Python.

in g

Løsning: a Vi ganger før vi legger sammen: 6 þ 3 4 ¼ 6 þ 12 ¼ 18

Digital løsning:

Vi løser oppgave d med CAS. Da skriver vi inn uttrykket og bruker knappen

=

:

Alternativt kan vi løse oppgaven med Python. Vi setter inn uttrykket og skriver det til skjerm: 1

1

print(3 + 28/4 - 5*(8/2))

I konsollen finner vi resultatet: -10

Svaret er 10.

til

Oppgaver: 1.6–1.9

Reflekter og diskuter!

n

Regning med tall og bokstaver:

Ku

18

Jesper og Renate diskuterer utregningen av 5 ð2 3Þ. Jesper mener at svaret blir 30, Renate mener det blir 150. Hvordan har de resonnert, og hvem har rett?

Vi oppsummerer regnerekkefølgen: REGNEREKKEFØLGE 1

Regn ut parenteser.

2

Regn ut potenser.

3

Utfør multiplikasjon ð Þ og divisjon ð: Þ.

4

Utfør addisjon ðþÞ og subtraksjon ð Þ.


Regning med tall

19

−−−−−−−−−−−−−−− 43 −−−−−−−−−−−−−−−

Oppgaver 1.6 Regn ut:

brus

22,90 kr

magasin

28 kr

b

ð 4Þ ð 2Þ

e

c

1 ð 2Þ

f

4 ð 1Þ : 2

ð 2Þ ð 3Þ ð 4Þ

c

ð 2Þ3

e

ð 1Þ8

d

43

f

53

2 5þ3 2

b

5 ð8 4Þ

Sett inn parenteser slik at svaret blir størst mulig. Det er lov å bruke flere parenteser.

1.9 27. januar 1999 ble temperaturen i Karasjok målt til 50,2 C. Seks dager tidligere, 21. januar, var temperaturen 3,8 C.

a

Hvor mye falt temperaturen i løpet av disse seks januardagene?

Varmerekorden i Karasjok er fra 1914. Da ble det målt 32,4 C. b

Hvor stor var temperaturforskjellen mellom 27: januar 1999 og varmerekorden fra 1914?

−−−−−−−−−−−−−−− 49 −−−−−−−−−−−−−−−

Ku

d

10 2 3

48

n

ð 3Þ

6 : ð 2Þ

til

d

b

42 þ ð 4Þ2

a

−−−−−−−−−−−−−−− 47 −−−−−−−−−−−−−−−

2 ð 3Þ

2

c

1.7 Regn ut:

46

a

24

d

4 3 1 32

1.4 Regn ut:

a

ð 3Þ2 þ 2 ð 1Þ

1.8 Vi har gitt regnestykket

Har du råd til å kjøpe tre sjokolader, en brus og et magasin?

1.5 Regn ut:

b

5 ð32 þ 1Þ2 6 : ð3 2Þ ð4 32 Þ

vu rd er

sjokolade 14,50 kr

c

−−−−−−−−−−−−−−− 45 −−−−−−−−−−−−−−−

1.3 Du har 100 kr å handle lørdagskos for. Butikken har disse prisene:

6 : 3 þ 2 32

44

1.2 Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye 2,8 kg epler koster, når prisen er 23 kr per kilogram.

a

in g

1.1 Sorter tallene i stigende rekkefølge: pffiffiffi 1 0,2 0,19 2 2

50


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

1.2 Algebra UTFORSK

in g

Algebrapyramider Uttrykket i en rute er lik summen av uttrykkene i de to rutene nedenfor. Finn uttrykkene som skal stå i de tomme rutene:

vu rd er

2+a

2

a

b

3

Gjør det samme i neste pyramide. Uttrykket i en rute er lik summen av uttrykkene i de to rutene nedenfor. Hvor mange forskjellige løsninger finner dere i klassen? 4a + 4b

til

Bruk noen «tomme» pyramider og lag nye oppgaver til hverandre.

Regning med bokstaver

n

Vi kan sløyfe gangetegn: 4a betyr 4 a ab betyr a b

Ku

20

Når vi regner, ordner vi bokstavene i alfabetisk rekkefølge. Vi skriver «ab» og ikke «ba», selv om uttrykkene har samme verdi.

Innføringen av bokstavregning for om lag 500 år siden gjorde at vi kunne uttrykke matematikken raskere og enklere. I dag bruker vi ulike bokstaver som a, b, c eller x og y når vi skriver matematikk. Å regne med bokstaver kaller vi å regne algebraisk. I algebra står bokstavene for et ukjent tall, og ulike bokstaver står for ulike tall. Når vi regner med bokstaver, bruker vi akkurat de samme regnereglene som når vi regner med tall. Vi summerer hver bokstav for seg. Vi viser det med noen eksempler.


Algebra

21

EKSEMPEL 5 a

4x þ 5y þ 8x 2y

b

3a 5b þ a þ 2b b

c

2ða 4bÞ 5ðb aÞ

in g

Trekk sammen:

Løsning: a Vi samler lik bokstav og regner ut: 4x þ 5y þ 8x 2y ¼ 4x þ 8x þ 5y 2y ¼ 12x þ 3y Vi samler lik bokstav og regner ut: 3a 5b þ a þ 2b b ¼ 3a þ a 5b þ 2b b ¼ 4a 4b

c

Vi løser først opp parentesene. Deretter trekker vi sammen like bokstavuttrykk:

vu rd er

b

Regnerekkefølge 1 Parenteser 2 Potenser 3 Multiplikasjon og divisjon 4 Addisjon og subtraksjon

2ða 4bÞ 5ðb aÞ ¼ 2a þ 2 ð 4bÞ 5b 5 ð aÞ

¼ 2a 8b 5b þ 5a ¼ 7a 13b

Digital løsning:

Vi løser oppgave b med CAS. Vi skriver inn uttrykket og bruker knappen 1

Svaret er 4a 4b.

=

:

til

Oppgaver: 1.10–1.13

Reflekter og diskuter!

Ku

n

Velg ulike tall for a og b og regn ut verdier til uttrykket 2a þ b. Forklar hvorfor vi ikke kan slå sammen ulike bokstaver når tallverdiene er ukjente.

Bruk av bokstaver i matematikk gjør at vi blant annet kan uttrykke formler og likninger. Legg merke til forskjellen mellom et algebraisk uttrykk og en likning. Algebraisk uttrykk:

2x þ 5

Likning:

2x þ 5 ¼ 9

Et algebraisk uttrykk gir ingen informasjon om verdien til bokstavene. En likning bruker vi nettopp for å finne verdien til den ukjente tallstørrelsen.

En likning bruker vi for å finne verdien til ukjente størrelser.


42

KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

Likninger

−−−−−−−−−−−−−−− 41 −−−−−−−−−−−−−−−

22

UTFORSK

in g

Jobb sammen to og to Du trenger: mange små esker (f.eks. fyrstikkesker), brikker og en linjal 0

40

10 20 30 40 70

−−−−−−−−−−−−−−− 39 −−−−−−−−−−−−−−−

60

vu rd er

50 80

90 100 110 120

130

140

−−−−−−−−−−−−−−− 35 −−−−−−−−−−−−−−−

34

Legg like mange brikker på hver side av linjalen, sammen med noen tomme esker.

Fyll hver eske med like mange brikker. Brikkene tar du fra samme side av linjalen som eskene ligger på.

til

Legg linjalen midt på pulten.

Medspilleren din skal nå finne ut hvor mange brikker det ligger i hver eske.

n

Diskuter hvordan dere kommer fram til svaret.

Ku

36

−−−−−−−−−−−−−−− 37 −−−−−−−−−−−−−−−

38

150


Skulle vi ikke hatt ett likhetstegn?

Summen av kvadratene av de to korteste sidene i en rettvinklet trekant er lik kvadratet av den lengste siden.

2

2

23

26

Algebra

Hva var det Euklid sa igjen?

a2+ b2=c2 2

Robert Recorde, 1512 - 1558

1950

−−−−−−−−−−−−− Y = ... −−−−−−−−−−−−−

Euklid, 300 f.kr

in g

katet +katet =hypotenus

2032

28

vu rd er

Vi kan uttrykke Pytagoras' setning på flere måter. Det var først på 1500-tallet at matematikere begynte å bruke likhetstegnet i likninger.

c2

c

a

a2

b b2

−−−−−−−−−−−−− X = ... −−−−−−−−−−−−−

En likning inneholder en eller flere ukjente størrelser, men venstre og høyre side i en likning har alltid samme verdi. Vi sier at en verdi oppfyller likningen hvis den gjør at de to sidene er like store. Når du setter inn verdien for x ¼ 2 oppfylles likningen x þ 3 ¼ 5. Vi sier da at likningen har løsningen x ¼ 2.

a2 þ b2 ¼ c2

EKSEMPEL 6

30

Løs likningene:

Løse likninger:

b

5x 3 ¼ 2x þ 6

c

2ðx 3Þ ¼ 3x 12

til

2x 2 ¼ 8

Løsning: a 2x 2 ¼ 8

n

2x ¼ 8 þ 2 samler x-er på venstre side og tall på høyre side

−−−−−−−−−−−−−−− 31 −−−−−−−−−−−−−−−

a

Ku b

deler på 2 på begge sider

32

2x ¼ 10 2x 10 ¼ 2 2 x¼5

5x 3 ¼ 2x þ 6

5x 2x ¼ 6 þ 3

deler på 3 på begge sider

−−−−−−−−−−−−−−− 33 −−−−−−−−−−−−−−−

3x ¼ 9 3x 9 ¼ 3 3 x¼3

samler x-er på venstre side og tall på høyre side


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

c

2ðx 3Þ ¼ 3x 12 2x 2 3 ¼ 3x 12

løser først opp parentesene

x ¼ 6 x 6 ¼ 1 1 x¼6

in g

2x 3x ¼ 12 þ 6 samler x-er på venstre side og tall på høyre side

deler på 1 på begge sider

vu rd er

Digital løsning:

Vi løser oppgave c i CAS. Vi skriver inn likningen og trykker på knappen

x= :

3

Oppgave: 1.14

Vi løser en likning ved å utføre de samme regneoperasjonene på begge sider av likhetstegnet.

Når vi løser likninger, må vi alltid passe på å gjøre de samme regneoperasjonene på begge sider av likhetstegnet. Vi legger til og trekker fra det samme på begge sider, og vi ganger og deler med det samme. Slik beholder vi likevekten.

EK SEMPEL 7

til

Gjør om teksten til en likning. Løs likningen og svar på oppgaven. Omar og Lavrans klipper gress i sommerferien. Etter sommeren har Omar tjent dobbelt så mye som Lavrans. Til sammen har de tjent 1140 kr.

n

Hvor mye tjente hver av dem?

Ku

24

Løsning: Vi gjør om teksten til en likning. Lavrans tjente x kroner, og Omar tjente 2x kroner. Til sammen blir det x þ 2x ¼ 3x. Vi løser likningen: 3x ¼ 1140 3x 1140 ¼ 3 3 x ¼ 380 Lavrans tjente 380 kr, og Omar tjente det dobbelte: 760 kr.


Algebra

25

Det kan være lettere å løse oppgavene hvis vi visualiserer dem. Her kan blokkmetoden være til hjelp. Ole er dobbelt så gammel som Ina, og Mathias er 6 år eldre enn Ole. Til sammen er de 41 år. Hvor gamle er hver av dem?

in g

Vi løser dette visuelt og tegner blokker for det som er ukjent. Alderen til Ina blir én farget blokk, mens Ole får to, fordi han er dobbelt så gammel som Ina. Vi legger på en ny blokk for det som er kjent, de seks årene som Mathias er eldre enn Ole:

Ole

vu rd er

Ina = 41 år

Mathias

6 år

Vi ser at det er fem fargete blokker som til sammen utgjør 41 år 6 år ¼ 35 år. 35 år ¼ 7 år. Det vil si at Ina er 7 år, Hver av de fargete blokkene utgjør 5 Ole er 14 år, og Mathias er 20 år. Ina

= 7 år

Ole

= 14 år

Mathias

6 år

= 20 år

Ku

n

til

EKSEMPEL 8

Live går på ski hver lørdag i fem uker. Hver uke går hun 2 km lengre enn hun gikk uka før. Etter den femte turen har hun til sammen gått 45 km. Hvor lang var den første skituren hennes?

En tegning eller illustrasjon er til god hjelp når vi skal løse oppgaver.


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

in g

Løsning: Vi vet ikke hvor langt hun har gått den første lørdagen. Denne avstanden framstiller vi som en tom blokk. De to kilometerne hun går ekstra hver lørdag, illustrerer vi med en ny blokk:

Blokkmetoden:

1. lørdag 2. lørdag

2 km

3. lørdag

2 km

2 km

4. lørdag

2 km

2 km 2 km

5. lørdag

2 km

2 km 2 km 2 km

vu rd er

= 45 km

Vi teller at det er ti fargete blokker som hver er 2 km: 10 2 km ¼ 20 km

Oppgaver: 1.15–1.17

Det står dermed igjen 45 km 20 km ¼ 25 km, som skal fordeles på de fem tomme blokkene: 25 km ¼ 5 km 5 Live gikk 5 km den første lørdagen.

Reflekter og diskuter!

til

x þ 3 ¼ 2x 2

Hva må x være for at høyre og venstre side av likningen skal ha samme verdi? Hvilken sammenheng er det mellom likningen og figuren? 10

n

Ku

26

y

8 6 4 2 –6 f

–4

–2

2 –2

g

4

6

8x


Algebra

27

Oppgaver Lag en oppgave som passer til figuren David har tegnet.

b

Fullfør løsningen David har begynt på.

c

Løs oppgaven ved å sette opp og løse en likning.

1.17

bða 2Þ þ aðb 3Þ

c

vu rd er

1.11 Trekk sammen: a 5x 2y ð4x þ 3yÞ b 4ð2x 3Þ þ 3ðx 2Þ

a

in g

1.10 Trekk sammen: a 15x þ 12y 8x 5y b 5a 2b þ 5 2a þ b 2 c 2 ð3x 2yÞ 3 ð x yÞ

1.12 Sett strek mellom to og to uttrykk som er like: 2að3 bÞ ab 2a aðb 2Þ

6a 2ab

5a 3ða bÞ b

2a þ 2b

1.13 Trekk sammen: a 3ð5 xÞ b ð2a 1Þ 4

c

2ð4b 1Þ þ 3 ð4 bÞ

til

1.14 Løs likningene: a 3x þ 4 ¼ 16 x b 3 þ 4x ¼ 6 þ 8x þ 3 c 8x 2ðx 3Þ ¼ 2ð2x 4Þ

På en skole blir det holdt aktivitetsdag. En firedel av elevene spiller fotball, og en tredel spiller basketball. De resterende 90 elevene er med på andre aktiviteter. a

La x være antall elever, og sett opp en likning eller illustrer situasjonen med blokker.

b

Hvor mange elever er det på skolen?

1.18 5 4

1.15 Ole er tre år eldre enn Benedicte. Til sammen er de 31 år. Hvor gamle er hver av dem?

n

3 2 1

Ku

1.16 David løser en praktisk oppgave ved hjelp av blokkmetoden. Han begynner med å tegne figuren nedenfor:

50

y

–2

–1

1

2

3

4 x

–1 –2

= 400

Hvilken likning passer til figuren? 1

x þ 2 ¼ 2x þ 1

2

2x þ 1 ¼ x þ 2

3

x þ 1 ¼ 2x þ 2


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

1.3 Problemløsning Jeg vet. Regelen er +4.

7

3

6 blir 13, 8 blir 17. Nå vet jeg!

Hmm... +4 var feil regel.

in g

Nytt tall, 6!

8

Regelen er ganger 2+1!

17

Riktig!

vu rd er

13

UTFORSK

Mitt hemmelige tall 1

2

Hvilket uttrykk stemmer med tabellen? b¼2 aþ4 eller b¼3þ3 a a

1

2

5

10

b

6

9

18

33

Bruk tallene i tabellen til å avgjøre hvilken regel som er brukt for å komme fra starttallet til sluttallet. Skriv ned regelen.

til

Start

n

Slutt

Ku

28

3

5

0

2,7

13

2

4

1

1,7

12

3

Lag en ny, tom tabell. Velg deg starttall og bestem deg for en regel du vil bruke. Skriv inn sluttallene, men hold regelen hemmelig.

4

Bytt tabell med en medelev. Hvilken regel har medeleven din brukt?

Når vi løser problemer i matematikken, er en viktig strategi å prøve ut ideer uten på forhånd å kunne avgjøre om ideen er god eller ikke.


Problemløsning

29

EKSEMPEL 9 Hvilket tall mangler i sekskanten til høyre?

54

1

12

9

6

?

5

4

2

8

vu rd er

2

3

8

in g

7

Løsning: Vi må lete systematisk etter mønstre i den kjente figuren til venstre. Vi prøver oss fram med addisjon og multiplikasjon på flere måter: Strategi

Gjennomføring

Se tilbake, blir tallet 54?

1 þ 2 þ 7 þ 8 þ 9 þ 4 ¼ 31

Nei, strategien stemmer ikke.

Sett sammen sifre på diagonalen og adder.

18 þ 29 þ 47 ¼ 94

Nei, strategien stemmer ikke.

Multipliser tallene på diagonalene og adder.

1 8 þ 2 9 þ 4 7 ¼ 54

Ja, strategien gir 54.

Adder tallene.

Vi bruker samme strategi på sekskanten til høyre og får 5 6 þ 12 2 þ 8 3 ¼ 78

til

Tallet som mangler, er 78.

Reflekter og diskuter!

Ku

n

Fyll inn tallene 2, 3, 5, 6 og 9 på figuren slik at summen blir den samme både vannrett og loddrett. Finnes det flere løsninger på problemet?

Oppgaver: 1.19, 1.22–1.23


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

EK SEMPEL 10

in g

Når vi arbeider med en oppgave eller et problem, kan vi lete systematisk etter mønster, finne sammenhenger og diskutere ulike strategier for å komme fram til et svar. Bruk av digitale hjelpemidler eller programmering kan også være til hjelp.

Lag et program som lar brukeren skrive inn et tall mellom 1 og 10. Skriv tallet til skjerm. Legg så inn en algoritme i programmet som legger 10 til tallet. La programmet regne ut sluttsvaret. Vis svaret til brukeren og spør om hvilken algoritme som er brukt.

Problemløsning med

vu rd er

programmering:

Løsning: Vi bruker Python. Her viser vi resultatet hvis vi hadde lagt inn heltallet 7: 1

tall = int(input("Skriv inn et heltall mellom 1 og 10: "))

2 3

print(f"Du skrev inn tallet {tall}.")

4 5

svar = tall + 10 #legger til 10

6 7

print(f"Mitt svar er {svar}.")

8 9

print("Hvilken algoritme har jeg brukt?")

til

Når vi kjører programmet, vises resultatet i konsollen:

n

Oppgave: 1.27

Ku

30

Skriv inn et heltall mellom 1 og 10: 7 Du skrev inn tallet 7. Mitt svar er 17. Hvilken algoritme har jeg brukt?


Problemløsning

31

Veien om én

in g

Alle varene i matbutikken har to prismerkinger. Den ene er prisen for varen, den andre prisen hjelper oss til å sammenlikne priser på ulike varer. Denne prisen er for eksempel oppgitt som kroner per kilogram eller kroner per liter.

kr 34,90 kr 34.90/l

Friskpresset appelsinjuice 1l

vu rd er

På bildet ser det ut som om juicen til høyre er billigst, men studerer vi prisen per liter, er det faktisk den dyreste juicen. I Norge er butikkene pålagt å oppgi sammenlikningspris.

kr 24,90

kr 17,90

kr 24.90/l

kr 35.80/l

Premium appelsinjuice 1l

Tropicana appelsinjuice 0,5l

I matematikken kaller vi det å gå veien om én når vi regner ut verdien for en enhet. Vi viser noen eksempler.

EKSEMPEL 11

Roger ønsker å male rommet sitt. På butikken selger de to ulike bøtter med maling. 2,7 liter koster 428 kr, og 0,75 liter koster 147 kr.

til

Hvilken maling er billigst per liter?

Løsning: Vi går veien om én og regner ut literprisen på de to bøttene med maling:

Ku

n

428 158,50 2,7 147 ¼ 196 0,75

Prisen per liter maling i den store bøtta er 158,50 kr. Prisen per liter maling i den lille bøtta er 196 kr. Malingen i den store bøtta er billigst per liter.


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

EK SEMPEL 12 Andrea betaler 31 kr for 2,4 hg smågodt. Hva er prisen per hektogram for smågodt?

b

Hvor mye må Andrea betale hvis hun kjøper 3,7 hg?

in g

a

Løsning: a Vi regner ut prisen per hektogram: 31 12,90 2,4 Smågodt koster 12,90 kr per hektogram. 3,7 12,90 48

vu rd er

b

Det koster 48 kr å kjøpe 3,7 hg smågodt.

Digital løsning: Vi løser oppgaven i Python.

Vi lager to variabler, en for vekt og en for betaling. Deretter regner vi ut prisen per hektogram. Denne prisen legger vi inn i en ny variabel, som vi bruker til å regne ut prisen i b: 1

vekt = 2.4

# lager variabelen vekt

2

betaling = 31

# lager variabelen betaling

3 4

pris_per_hg = betaling/vekt med utregning

#lager ny variabel\

5

print(f'Smågodt koster {pris_per_hg:.1f}\ kroner per hektogram.')

til

6

7 8

vekt = 3.7

# oppdaterer variabelen vekt

n

9

Ku

32

Oppgave: 1.21

10

pris = vekt * pris_per_hg med utregning

#lager ny variabel\

11 12

print(f'Det koster {pris:.0f} kroner\ å kjøpe {vekt} hg smågodt.')

Når vi kjører programmet, vises resultatet i konsollen: Smågodt koster 12.9 kroner per hektogram. Det koster 48 kroner å kjøpe 3.7 hg smågodt.


Problemløsning

33

UTFORSK

En kube er satt sammen av flere småterninger, se figuren. For eksempel inneholder en 3 3 3-kube 27 småterninger. Vi maler den store kuben på alle sideflatene.

in g

Jobb sammen to og to

Hvor mange av småkubene har fått farge på ingen, en, to eller tre sideflater?

Undersøk ulike kuber og bruk tabellen til å systematisere.

3 3 3-kube

27

4 4 4-kube 5 5 5-kube

Tre sideflater med farge

To sideflater med farge

En sideflate med farge

Ingen sideflater med farge

vu rd er

Totalt antall småterninger i kuben

Problemløsningsstrategi

En viktig grunn til at vi lærer matematikk på skolen, er at vi skal bli gode til å løse problemer. Det kan være lurt å dele opp denne prosessen i fire faser.

Problemløsningsstrategi:

Forstå problemet Hva skal du finne ut? Forstår du alle ordene i teksten? Har du fått tilstrekkelig med informasjon? Kan du formulere problemet på en annen måte? Kan du bryte ned problemet til mindre delproblemer som er enklere å løse?

2

Lage en plan Du skal nå lage en plan for hvordan du vil angripe problemet. Ulike strategier og framgangsmåter kan være til hjelp:

n

til

1

Tegne figur eller diagram

Lage en oversikt, oppstilling, liste eller tabell

Prøve deg fram: gjett og sjekk

Se etter mønstre

Sette opp en eller flere likninger

Arbeide baklengs

Løse en enklere versjon av problemet

Gå veien om én

Ku


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

Gjennomføre planen Gjennomfør planen din. Hvis planen ikke fungerer, bruker du de nye erfaringene dine til å bearbeide planen eller lage en ny. Prøv så på nytt.

4

Se tilbake Vær kritisk når du har funnet en mulig løsning. Har du svart på spørsmålet? Er du sikker på at du har funnet alle løsningene? Er løsningen din rimelig? Kan du kontrollere den? Har du oppfylt alle betingelsene? Hvis løsningen din ikke stemmer, er det ikke uten videre sikkert at metoden du har brukt, er feil. Kanskje det skyldes en regnefeil? Gå nøye gjennom det du har gjort, før du forkaster planen din. Til slutt bør du reflektere over hele prosessen. Kan du lære noe av dette? Har du brukt en metode du kan ha bruk for seinere? Kunne du gjort dette enklere eller på en annen måte? Kan metoden generaliseres til å gjelde andre tilfeller også?

in g

3

vu rd er

George Pólya, 1887–1985

Etter den ungarske matematikeren George Pólya, 1945.

De gode problemløserne er utholdende og gir ikke opp planen underveis. Samtidig låser de seg ikke til én løsningsstrategi, men skifter strategi relativt ofte.

EK SEMPEL 13

Irma, Thea, Rashka, Nora og Madina springer om kapp. Nora løper raskere enn Thea, men saktere enn Irma. Rashka kommer i mål rett før Thea. Madina kommer i mål som nummer tre.

n

til

I hvilken rekkefølge kom jentene i mål?

Ku

34


Problemløsning

Forstå problemet Oppgaveteksten forteller oss følgende om jentenes plassering:

Nora kommer i mål før Thea.

Irma kommer i mål før Nora.

Rashka kommer på plassen foran Thea.

Madina kommer på tredjeplass.

vu rd er

1

2

Lag en plan Vi setter jentene i den rekkefølgen de blir nevnt. Så bruker vi hver av opplysningene ovenfor til å endre rekkefølgen steg for steg.

3

Gjennomføre planen

Nora kommer i mål før Thea:

Irma

Thea

Nora

Rashka kommer på plassen foran Thea:

til

Irma kommer i mål før Nora. Dette stemmer allerede med rekkefølgen vår.

Irma

Nora

n

Ku

Thea

Madina

Rashka

Madina

Thea

Madina

Rashka

Thea

Madina kommer på tredjeplass:

Irma

Nora

Rashka

Nå har vi denne rekkefølgen: Irma

4

Rashka

Problemløsning 1 Forstå problemet 2 Lage en plan 3 Gjennomføre planen 4 Se tilbake

in g

Løsning: Vi bruker problemløsningsstrategi.

Nora

Madina

Se tilbake Vi kontrollerer at rekkefølgen stemmer med opplysningene i oppgaveteksten. Vi kunne også innledet med en tilfeldig rekkefølge og endret den etter hvert.

35

Oppgaver: 1.23–1.24


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

Oppgaver

Start

4

11

0

5

3,2

Slutt

2

5,5

0

2,5

1,6

1.25 Fyll inn tallene 2, 3, 4, 7, 8, 11, 18, 20 og 24 på figuren nedenfor slik at summen blir den samme både vannrett og loddrett:

vu rd er

1.20 I butikken kan du velge mellom yoghurt i beger på 500 gram eller en firepakning med yoghurt, der hvert beger inneholder 150 gram. Prisen på det store begeret er 17,50 kr, mens firepakningen koster 19,50 kr.

1.24 På gården til Ola er det griser og høns. Det er 18 dyr med til sammen 48 bein. Hvor mange dyr er det av hvert slag? (Tips til strategi: Tegn figur eller prøv med fyrstikker som bein.)

in g

1.19 Hvilken utregning eller regel er brukt for å komme fra starttallet til sluttallet?

Hvilken yoghurt er billigst per kilogram?

1.21 En butikk selger enkeltflasker med brus på 1,5 liter og storpakninger med brus. I en storpakning er det seks flasker brus som hver inneholder 1,5 liter. Prisen for en storpakning er 150 kr, og prisen for en enkeltflaske er 27 kr.

til

Hva vil du velge hvis du er ute etter å betale minst per liter brus?

n

1.22 Ordne tallene 1, 2, 3, . . . , 18 i par slik at summen av hvert par blir et kvadrattall. Kvadrattallene er 1, 4, 9, 16, 25, . . . Tips til strategi: Lag en systematisk oversikt.

Ku

36

1.23 For åtte år siden var Espen halvparten så gammel som han vil være om fire år. Hvor gammel var Espen for fire år siden? Tips til strategi: lag blokker eller sett opp en likning.

1.26 I et orienteringsløp ble resultatet slik:

Martin kom seks meter etter Lars, og Petter kom midt i mellom. Rune lå sist og var fem meter etter Petter. Ola lå fire meter foran Petter. Fem meter foran Ola kom Tore. Hvem vant orienteringsløpet og hvor langt bak kom de andre?

1.27 Skriv et program som trekker et tilfeldig heltall mellom 1 og 100 og lar brukeren gjette hvilket tall maskinen har trukket ut. Så lenge brukeren gjetter feil, skal programmet opplyse om brukeren har gjettet for høyt eller for lavt. Tips: Kommandoen randint (0,10) fra biblioteket random trekker ut et tilfeldig heltall mellom 0 og 10.


Mønster og oversikt

37

MØNSTER O G O VERSIKT Problemløsningsstrategi

Regnerekkefølge

1

Forstå problemet

1

Regn ut parenteser.

2

Lage en plan

2

Regn ut potenser.

3

Gjennomføre planen

3

Utfør multiplikasjon ð Þ og divisjon ð: Þ.

4

Se tilbake

4

Utfør addisjon ðþÞ og subtraksjon ð Þ.

in g

Regneregler

Avgjør om påstandene stemmer

þ og þ blir þ

a

4x þ x 3x ¼ 2x

b

2a þ 3a3 er det samme som 5a4 .

c

3a þ 2b er det samme som 3 appelsiner og 2 bananer.

d

Utregnet er ð 5Þ2 og 52 det samme.

e

I en likning har høyre og venstre side lik verdi.

f

5 23 þ 3 2 ¼ 3

Bokstavene representerer også tall.

g

1,3 er mindre enn 1,23.

For å finne ukjente tall kan vi løse en likning. Likningen 2ðx þ 1Þ ¼ 10 har løsningen x ¼ 4.

h

Likningen

þ og blir og þ blir og blir þ

Algebra og likninger

vu rd er

Fortegnsregler

Et algebraisk uttrykk inneholder bokstaver og tall, for eksempel: 2x 3 eller a b 4

til

Vi kan løse mange praktiske problemer ved at vi setter opp et algebrauttrykk, en likning eller tegner en illustrasjon.

n

Eksempel Emma har 726 kr mer enn Norun. Norun har 2384 kr. Hvor mye har de til sammen?

Ku

Emma

Norun

726

2384

Illustrasjonen viser at Emma har 2384 kr þ 726 kr ¼ 3110 kr. Til sammen har de 2384 kr þ 3110 kr ¼ 5494 kr.

x ¼ 5 har løsningen x ¼ 10. 2


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

Test deg selv

1.28 Trekk sammen: a 2þ3 4 1 b 6:2þ3 4

1.31 2

c

5 þ 1 3 þ ð4 1Þ

d

14 : 7 3 ð1 3Þ3

Troll A-plattformen i Nordsjøen er totalt 472 m høy. 369 m av plattformen ligger under vann. a

Hvor mye av plattformen er synlig over vann?

b

Eiffeltårnet i Paris er 324 m høyt. Hvor mye høyere enn Eiffeltårnet er Troll A?

vu rd er

1.29 Trekk sammen: a 2a þ 3b þ 5a 2b b 3ða 2Þ 3ð4 aÞ c 2ðx þ yÞ þ 3x þ 2y þ 3ðx yÞ d 4ð2a bÞ 2ð3a 3bÞ

in g

Uten hjelpemidler

n

til

1.30 Sett inn parenteser i uttrykket til venstre, slik at forenklingen stemmer. a 2x þ 3 4x ¼ 2x þ 6 b x 2 3 ¼ 3x 6

Ku

38

1.32 Judith har til sammen 50 gensere, bukser og T-skjorter. Hun har dobbelt så mange T-skjorter som bukser, og seks flere gensere enn bukser. Hvor mange gensere, bukser og T-skjorter har Judith?


Test deg selv

39

Med hjelpemidler

a

ð12 3 2Þ ð7 5 2Þ

b

24 : ð3 þ 5Þ 3 4 : 12 þ 32

1.37 Familien Li skal beise hytta i høst. Butikken selger spann med 9 liter beis for 1290 kr, og spann med 5 liter for 690 kr.

a

6ðx 3Þ þ 2ð9 xÞ

b

2ða 2Þ ða 3Þ

c

7ða þ 2bÞ þ 4ða bÞ 9ð 2b þ aÞ

3 2

12

12 9

1,3

2 3

0,6

1.36 Eva tenker på et tall. Hun multipliserer tallet med 5 og legger til 4. Da får hun 19.

Ku

n

til

Hvilket tall tenker Eva på?

Er det billigst per liter å kjøpe spann med 9 liter eller 5 liter?

b

Hva blir billigst for familien å kjøpe når de trenger 30 liter beis?

1.38 De 216 elevene på en skole stemmer over om det skal selges brus i kantina. Etter valget er det et flertall på 38 stemmer for å selge brus.

1.35 Sorter tallene i stigende rekkefølge: 0,75

a

vu rd er

1.34 Trekk sammen:

in g

1.33 Trekk sammen:

Hvor mange elever stemte for brussalg?


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

Oppgavesamling

1.39 Regn ut: 4 6

c

3 ð 2Þ

b

2 þ 5

d

1 þ ð 3Þ

1.40 Sorter tallene i stigende rekkefølge: 0,3

0,35

0,321

1 3

1.41 Gjør et overslag og finn hvor mye matvarene koster totalt: Brød

32,80 kr

Melk

24,90 kr

Tubeost

33,90 kr

Epler

21,90 kr

1.42 Regn ut: a

ð5 3Þ 32 3 10 þ 3 22

c

4 5 8 : ð6 4Þ

n

b

2 19,90 kr

til

To yoghurtbeger

1.46 En skoleklasse med 23 elever og to lærere er på dagstur til Oslo. De har bestilt bord på en restaurant og får servert samme måltid, en hovedrett til 125 kr og dessert til 68 kr. I tillegg kjøper alle en flaske brus som koster 42 kr.

vu rd er

a

in g

1.45 Bruk den gamle teknikken med strekmultiplikasjon til å regne ut 13 21. Hvordan blir utregningen når du bruker den gamle algoritmen med kryssmultiplikasjon?

1.1 Regning med tall

1.43 Gjør et overslag og finn omtrent hvor mye dette blir til sammen:

Ku

40

299 þ 49 139 þ 87 þ 291

Hvor mye blir regningen på til sammen? Diskuter framgangsmåten din med en medelev.

1.47 Sorter tallene i stigende rekkefølge: 0,342

0,2

1 2

0,56

1.48 Regn ut: a

4 : ð 2Þ

d

5 1

b

4 2

e

ð 10Þ=2

c

9 : ð 3Þ

f

8 4

1.49 Regn ut: a

5 þ ð3 8Þ

c

3 3þ4 4

b

4 ð 3Þ ð 2Þ

d

4 ð 4 4Þ 4

1.50 Regn ut i hodet:

1.44 Regn ut: a

4 ð 1Þ

c

4 ð 5Þ þ ð 1Þ

b

7 þ 8 ð 3Þ

d

7 8 ð 10Þ

1 3

24 8 Hvilke ulike regnemåter kan vi bruke for å finne svaret?


Oppgavesamling

1.51

41

1.2 Algebra

a

3x ¼ 12

b

2x 3 ¼ 5

in g

1.55 Løs likningene: c

xþ2¼4 x

d

4 5t ¼ t 14

vu rd er

1.56 Tallet i en rute er lik summen av tallene i de to rutene under.

Tarik har helgejobb på en restaurant og tjener 145 kr per time. Han har frikort og betaler ikke skatt. Tarik planlegger å jobbe så mange timer at han dekker leia på hybelen, 5600 kr per måned.

Finn tallene som skal stå i de tomme rutene.

16

25

14

28

–12

21

–9

13

Hvor mange timer må Tarik jobbe i løpet av en måned?

til

1.52 Bruk tallene 1, 2 og 3 til å lage regnestykker som gir tallene 1 til 6 som svar. I hvert regnestykke må du bruke minst to av tallene, men du kan bare bruke hvert tall en gang. Det er bare lov til å legge sammen og trekke fra. 1.53 Alle uttrykkene nedenfor inneholder overflødige parenteser. Fjern dem og kontroller at svarene blir de samme: 2

ð4 þ 5Þ 3

c

b

ð8 3Þ : ð2 6Þ

d

5 3

2 2 3

ð7 10Þ þ ð2 5Þ

Ku

n a

1.54 Sett inn parenteser slik at svaret blir størst mulig, og regn ut. Du kan bruke så mange parenteser du vil: a

1þ2 3þ4

c

7 þ 3 7 þ 13 þ 10 2

b

10 20 30 2

d

8 : 4 3 1,2

1.57 Linda lager en gåte som Johan skal forsøke å løse. «Multipliser alderen min med 5 og trekk ifra 23 år. Du får det samme hvis du multipliserer alderen min med 2 og legger til 25 år. Hvor gammel er jeg?» Kan du finne minst tre måter å løse gåten på?


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

1.58 Trekk sammen:

1.63 Trekk sammen:

2x þ 4y 3x þ 2y

a

2x þ 3y 2y þ 3x

c

2ðs 1Þ þ 3ðs 2Þ

b

4 ð 2a 3Þ

b

4x x y þ 3y

d

3ð2a bÞ bð2 3Þ

c

3s 5 þ 4 ð2s 1Þ

d

2 ða 3bÞ þ ð4a þ bÞ 2

Linnea

6 år

Joel 3 år

Olivia

a

Finn alderen til Joel og til Olivia.

b

Hvor gamle er de tre søsknene til sammen?

1.60 Løs likningene digitalt:

1.64 Løs likningene: a

4x þ 4 ¼ 2x þ 9

b

5x þ 3ðx 2Þ ¼ 2

c

5ðx 3Þ ¼ 5 þ x

vu rd er

1.59 Linnea er 6 år gammel, og det er vist med en blokk på figuren. Figuren illustrerer videre alderen til broren Joel og søsteren Olivia:

in g

a

5x 23 ¼ 2x þ 25

b

2ð3x 8Þ ¼ 5 3ðx þ 1Þ

c

0,012x ¼ 4800

d

3ðx 3Þ 2 ¼ x ð4 xÞ

til

a

n

1.61 Sett inn parenteser i uttrykket til venstre, slik at forenklingen stemmer: a

2a 3a þ 1 ¼ a 3

b

3 a þ 1 2 3 a ¼ 5a 3

Ku

42

1.62 Mats og Jarle er til sammen 81 år. Mats er 13 år yngre enn Jarle. Hvor gammel er Mats? Tips: Løs oppgaven med blokker eller med en likning.

1.65 Ailo har like mange mynter av hvert slag. Det er enkroner, femkroner og tjuekroner. Til sammen har Ailo 156 kr. Hvor mange mynter har han av hvert slag?

1.66 Hvilke av uttrykkene betyr det samme? a

1 ða þ 4bÞ 2

d

a þ 4b 2

b

ða þ 4bÞ : 2

e

a þ 2b

c

a þ 2b 2

1.67 Filip, Simen og Stian jogger i gymtimen. Simen jogger tre ganger så langt som Stian, og Filip jogger halvparten så langt som Simen. Til sammen jogger de 11 km. Vis med to ulike framgangsmåter hvor langt hver av dem jogger.


−−−

Oppgavesamling

43

18

1.3 Problemløsning

1.72 5 liter syltetøy hver. 6 Du skal flytte syltetøyet over i glass som rommer 2 liter. Hvor mange glass trenger du? 3

280 g pasta

Tips til strategi: Løs først en enklere oppgave eller tegn en figur.

4 dl revet ost 2 dl matfløte salt og pepper etter smak

1.73

vu rd er

20

Du vil lage denne retten til vennene dine. Da blir dere sju personer som skal spise.

−−−−−−−−−−−−−−− 19 −−−−−−−−−−−−−−−

1.68 Onkel serverer pasta med ost og fløte. Han bruker en oppskrift for fire personer:

in g

Du har fire glass som inneholder

Hvor mye trenger du av de ulike ingrediensene?

1.69 22

20

Slutt

13

12

18

16

14

11

10

9

Hvilken utregning eller regel er brukt for å komme fra starttallet til sluttallet?

Fyll inn sifrene fra 1 til 9 på figuren, slik at alle kolonner, rader og diagonaler får samme sum. Tips til strategi: Prøv deg fram, men dra noen konklusjoner fra hver feil du gjør.

−−−−−−−−−−−−− B = ... −−−−−−−−−−−−−

Start

Kan du finne flere mulige utregninger?

til

n

1.71

15

6

Ku

8

−−−−−−−−−−−−− C = ... −−−−−−−−−−−−−

Hvilken pakke med kjøttdeig er billigst per kilogram?

tk) Scon es (12 s e m el 2 1 /2 dl hve t lver 1 ts bakepu rin 75 g marga 1 /2 dl m elk

22

1.70 I butikken kan du velge mellom forskjellige pakker kjøttdeig. Prisen for 600 g er 52,20 kr, og for 400 g må du betale 36,80 kr.

1.74 Oppskrift på scones (12 stk):

Regn ut hvor mye du trenger av hver ingrediens for å lage 54 scones.

24

3

5

24

2

Hvilket tall mangler i tallsirkelen?

−−−−−−−−−−−−− M = ... −−−−−−−−−−−−−


KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

1.75 Fire betongrør og tre stålrenner veier 396 kg. Tre betongrør og to stålrenner veier 293 kg. Hvor mye veier da to betongrør og ett stålrør?

1.81 Eli har 300 kr. Gjør et overslag og finn ut om lag hvor mye hun har igjen etter å ha handlet 2 kartonger melk à 18,90 kr 1 kg hvitost til 121 kr

in g

Tips: Tegn en figur.

1 pakke rundstykker til 36,90 kr

1.76 Lag et program som ber om et tall fra brukeren og skriver det dobbelte av tallet til skjerm.

vaskepulver til 79 kr

1.82 I en gate med fire hus er husnumrene 2, 4, 6 og 8. I hvert hus bor det ett barn. Hvert barn har et favorittfag og et kjæledyr.

vu rd er

Tips: Bruk kommandoen «float».

1.77 6 liter suppe holder til 15 personer. Hvor mye suppe må du lage til 40 personer?

Blandede oppgaver

1.78 Sorter tallene i stigende rekkefølge: pffiffiffi pffiffiffi 1,69 3,14 4 3

1,7

1.79 Oppskrift på eggerøre (to personer):

Barnet i nummer 6 liker engelsk. Hunden er nabo til marsvinet. Ole liker matematikk og bor i det første huset i gata. Erik bor mellom marsvinet og barnet som har engelsk som favorittfag. Kristine bor ved siden av katteeieren. Barnet i nummer 8 har gym som favorittfag. Katten er nabo til barnet som liker norsk. Det siste kjæledyret er en undulat, og det fjerde barnet heter Anja. Plasser barna i riktig hus med riktig kjæledyr og riktig favorittfag.

1,5 ss rømme

a

5 2þ1 3 8

c

7 8 1:2 4

1 ss hakket gressløk 2 salt etter smak

b

4 2 12 10

d

4 10 2 12 : 4

n

3 egg

til

1 ss smør

1.83 Sett inn parenteser slik at svaret blir størst mulig, og regn ut. Du kan bruke så mange parenteser du vil.

Hvor mye trenger vi av hver ingrediens for å lage eggerøre til tolv personer?

Ku

44

1.80 Løs likningene:

1.84 Regn ut: a

3þ5 6

c

2ð3 þ 1Þ ð2 3Þ

b

4 5þ2 3

d

4 12 : 2 þ 3; 5

1.85 Trekk sammen:

a

x þ 3 ¼ 18 2x

b

4x 1 ¼ 14 x

c

3ða 1Þ ¼ 4a þ 3

a

2a þ ða þ 3Þ

c

6ðc 7Þ 5ðc 3Þ

d

b 3ðb 2Þ ¼ 5 4ðb 1Þ

b

2b ð2a þ bÞ

d

3 þ 2ð5 4dÞ 6


Oppgavesamling

Jeg deler 20 på 4 og får 5. Etterpå ganger jeg 5 med 10 og får 50.

a

8 : 0,4

c

3 : 0,5

e

10 : ð 0,2Þ

b

5 : 0,01

d

0,2 : 0,1

f

5 : 0,2

1.91

Jeg ganger begge tallene med 10. Da blir regnestykket 200 : 4 ¼ 50. 2 0,4 er det samme som . 5 2 5 I stedet for å dele på kan jeg gange med . 5 2 Da får jeg 100 : 2, som blir 50.

vu rd er

1.90 Regn ut:

in g

1.86 I en klasse fikk elevene i oppgave å regne ut 20 : 0,4 i hodet. Deretter skulle de skrive på tavla hvordan de hadde tenkt. Her er noen av svarene:

Å dele på 0,4 er det samme som å gange med 2,5, altså 20 2,5 ¼ 50.

Jeg vet at 20 delt på 0,1 blir 200, og 200 : 4 blir 50.

a

Forklar at alle disse regnemåtene er korrekte.

b

Hvilken regnemåte synes du er enklest å bruke når du regner i hodet?

c

Prøv å bruke hver av regnemåtene til å regne ut 12 : 0,2 i hodet.

til

1.87 Kiloprisen på salami er 238 kr. Hva koster 150 gram salami?

n

1.88 Bruk de fire regneartene þ, , og : til å skrive 3 med tre 2-tall

b

24 med fire 3-tall

Ku

a

c

7 med tre 6-tall

d

9 med fem 2-tall

1.89 Bruk nøyaktig fire firere og de fire regneartene þ, , og : til å skrive tallene 0, 2, 4, 6 og 8.

45

En familie på to voksne og fire barn reiser på tivoli. Voksenbilletten koster 390 kr og barnebilletten 290 kr. I tillegg må de leie en oppbevaringsboks som koster 59 kr. Regn ut omtrent hvor mye familien betaler til sammen.

1.92 Trekk sammen: a

5ðx 7Þ þ 2x

b

3a þ 5b ð3 þ 2bÞ

c

3,5x x þ 1,5x

1.93 Regn ut med CAS og i Python. a

2þ3 4 8

b

2 ð 3Þ 12 : 2 þ 2

c

4 þ 4 53 4,5 þ 2 : 4


b

ð2 þ 4Þ 3 ð5 þ 4Þ

ð 2 10Þ : ð2 5Þ

1.95 Løs likningene: a

16x þ 5 ¼ 2x 23

c

tð3 2Þ ¼ 16 t

b

7x 2 ¼ 10 5x

d

3ðb þ 4Þ ¼ 2b þ 26

Tips til strategi: Prøv deg fram. Begynn å regne med tallene du har.

Øv til eksamen

1.96 Anneli fyller bensintanken på mopeden helt full. Når hun har kjørt 18 mil, fyller hun 4,5 liter på tanken for å få den full igjen.

1.100 Sorter tallene i stigende rekkefølge: pffiffiffiffiffi 2 5 25 5,27 5,02 5 2

a

Hvor mange liter bensin bruker mopeden per mil?

b

Hvor langt kan Anneli kjøre med 2 liter bensin på tanken?

1.101 Lag et program som ber om et heltall fra brukeren og regner ut halvparten av tallet.

til

1.97 Du skal ha med kakao til siste skoledag før jul. I en oppskrift for fire personer er det brukt 12 dl melk. I klassen er det 21 elever.

Hvor mye melk må du bruke i kakaoen til 21 personer hvis du følger oppskriften?

1.98 Lengden til en sjøorm er 40 m pluss halvparten av ormens egen lengde. Hvor lang er sjøormen?

Ku

n

−−−−−−−−−−−−−−− 13 −−−−−−−−−−−−−−−

12

−−−−−−−−−−−−−−− 11 −−−−−−−−−−−−−−−

10

−− 9 −−−−−−−−−−−−−−−

d

1.99 I klasse 1C er det 26 elever. Ti av elevene tar trikk til skolen, åtte tar buss, og fem elever tar T-banen. Sju elever reiser ikke kollektivt, men sykler eller går. Bare en elev tar både buss og T-bane. Hvor mange elever tar buss eller T-bane i tillegg til trikk?

in g

1.94 Alle uttrykkene nedenfor inneholder overflødige parenteser. Fjern dem og kontroller at svarene blir de samme: a ð1 þ 3Þ 23 c ð 3Þ2 2 ð 3Þ

vu rd er

−−−−−−−−−−−−−−− 17 −−−−−

16

−−−−−−−−−−−−−−− 15 −−−−−−−−−−−−−−−

KAPITTEL 1 – TALL OG REGNING

14

46

Tips: Tegn figur eller sett opp en likning.

Skriv svaret til skjerm.

1.102 Lene, Silje og Tor har 92 klinkekuler. Lene har tre ganger så mange kuler som Silje, og Silje har to færre enn Tor. Hvor mange klinkekuler har Silje?

1.103 Fire venner spiser ute på restaurant. De bestiller 4 brus til 42 kr per stk. 2 store pizzaer til 219 kr per stk. 4 sjokolademousser til 69 kr per stk. Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye de må betale totalt.


1.104 Per kjører hundeløp. Til sammen har Per og hundene 50 bein.

b

4 ð 7Þ 12 ð14 þ 3Þ

c

73 2 þ 63 : 3 142

1.106 Trekk sammen: a

4x 2y þ 2x y

b

3ða þ 2Þ a

c

6x ¼ 42

b

2x 3 ¼ 2 3x

4ðt 1Þ ¼ 2

n

−−−−−−−−−−−−−−− 7 −−−−−−−−−−−−−−−

Ku

Fastsett lengdene av hver av de fire delene.

6

til

The Twist, Kistefos Museum

c

Et trestykke er 35 cm langt. Trestykket skal deles i fire deler. To deler skal være like lange. Den tredje delen skal være dobbelt så lang som de to like delene til sammen, og halvparten så lang som den fjerde delen.

−−−−−−−−−−−−−−− 5 −−−−−−−−−−−−−−−

a

b 7 3

1.110 (Eksamen 1T våren 2014)

4

1.107 Løs likningene:

vu rd er

3 þ 7 12 72

1.109 Du får utdelt to flasker som rommer tre og fem liter. Dessuten har du tilgang til så mye vann du vil. Du skal fylle den flaska som rommer fem liter, med nøyaktig fire liter vann. Hvordan får du til dette?

−−−−−−−−−−−−−−− 3 −−−−−−−−−−−−−−−

in g

1.105 Regn ut med programmering: a

1.108 Ranger tallene fra minst til størst: pffiffiffi 23 2 6 ð 1Þ2 11

2

Hvor mange hunder er det i hundespannet til Per?

47

−−−−−−−−−−−−−−− 1 −−−−−−−−−−−−−−−

Øv til eksamen

8

−−−−−−−


in g

til

vu rd er

2

LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

1790

Ku

n

Thomas Malthus hevder at befolkningen øker raskere og raskere, mens matvareproduksjonen øker jevnt.

1790

1650

1600

1750

1700

1630

1700

René Descartes legger fram koordinatsystemet

Gottfried Wilhelm Leibniz introduserer funksjonsbegrepet

1730 Johann Bernoulli kaller alle matematisk uttrykk der y blir uttrykt ved x for funksjoner


Hvor mye vann har du brukt, når du har dusjet i fem minutter?

in g

Er det en matematisk sammenheng mellom høyde og skostørrelse?

Sjøslaget

vu rd er

Jobb sammen to og to Spillerne har hvert sitt spillbrett, som består av koordinatsystemet på figuren. Hver spiller tegner inn tre skip som ligger enten vannrett eller loddrett:

et hangarskip som dekker fem punkter

et slagskip som dekker fire punkter

en torpedobåt som dekker tre punkter

Spillerne skjuler sitt eget spillebrett og skyter på motstanderens skip ved å gjette på punkter annenhver gang. Hver spiller markerer de koordinatene som motspilleren gjetter, og gir beskjed om skuddet har truffet eller ikke. Spilleren gir også beskjed når et skip er senket, det vil si når motspilleren har truffet alle koordinatene på skipet. Den spilleren som klarer å senke alle motspillerens skip først, vinner spillet. Eksempel på spillebrett:

til

y 4 3 2

–4

–3

0

–1

1

2

3

4

x

–2 –3 –4

1850

1800

–2

–1

Ku

n

1

1825 Peter Gustav Dirichlet introduserer definisjonen av funksjoner som vi ennå bruker i dag

1900 1885 Regresjonsteknikken blir utviklet av Francis Galton

1950


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

2.1 Lineære funksjoner Koordinatsystemet

in g

UTFORSK

Merk av punktene i et koordinatsystem. Hvilken figur får du?

Að 1, 2Þ, Bð 4, 1Þ, Cð 3, 3Þ, Dð 1, 4Þ

vu rd er

Eð1, 4Þ, Fð3, 2Þ, Gð0, 3Þ, Hð1, 2Þ, Ið2, 3Þ, Jð3, 4Þ, Kð5, 3Þ, Lð6, 1Þ

Kommaet i ð3, 2Þ er ikke et desimalkomma, men brukes til å skille de to koordinatene.

y-akse

5

4 3 2

origo

–4

n

til

–5

Ku

50

x-koordinat ¼ førstekoordinat y-koordinat ¼ andrekoordinat

–3

–2

1

–1

–1 –2

x-akse

1

2

3

4

5

A(3, –2)

–3 –4 –5

Et koordinatsystem består av en vannrett linje, x-aksen, og en loddrett linje, y-aksen. Skjæringspunktet mellom aksene heter origo. I koordinatsystemet har vi markert punktet ð3, 2Þ, der 3 er x-koordinaten, og 2 er y-koordinaten.


Lineære funksjoner

51

EKSEMPEL 1 y 4 3 2 B –3 –2 –1

1

–1

2

3

4

in g

A

1

5 x

–2

vu rd er

–3

a

Finn koordinatene til punktene A og B.

b

Tegn punktene Cð 3, 1Þ og Dð5, 0Þ i koordinatsystemet.

Løsning: a Vi går loddrett nedover fra A og leser av at x-koordinaten til punktet er 4. Så går vi vannrett bortover og leser av at y-koordinaten til punktet er 2. Dette gir oss punktet Að4, 2Þ. På samme måte leser vi av at B har koordinatene ð 2, 1Þ: y 4 3

A(4, 2)

2

B(–2, 1)

1 1

–1

2

3

4

5 x

til

–3 –2 –1

–2

–3

Vi går loddrett ned fra 3 på x-aksen og vannrett ut fra 1 på y-aksen. Der linjene treffer hverandre, har vi punktet Cð 3, 1Þ. Punktet Dð5, 0Þ vet vi ligger på x-aksen, for y-koordinaten er null. Punktet ligger altså på x-aksen der x ¼ 5:

Ku

n

b

y

4 3 2 1

–3

–4

–2 –1

C(–3, –1)

–1

D(5, 0) 1

2

3

4

5

6 x

–2 –3

Oppgaver: 2.1–2.2


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Funksjoner som tekst, tabell, uttrykk og graf UTFORSK Tegn fire punkter i et koordinatsystem slik at y-koordinaten er 2 større enn x-koordinaten.

Tegn fire punkter i et koordinatsystem slik at summen av x-koordinaten og y-koordinaten er 10.

Tegn fire punkter i et koordinatsystem slik at y-koordinaten er dobbelt så stor som x-koordinaten.

in g

vu rd er

Hvordan ligger punktene i hver av oppgavene i forhold til hverandre?

Vi går i butikken og kjøper rundstykker til 5 kr per stykk og en bærepose til 2 kr. Det er en sammenheng mellom prisen vi betaler, og antall rundstykker vi kjøper. Vi kan uttrykke den slik: y ¼ 5x þ 2

y er prisen i kroner, og x er antall rundstykker. Hvis vi kjøper tre rundstykker, finner vi prisen ved å bytte ut x med 3: y ¼ 5 3 þ 2 ¼ 17

n

til

Vi betaler 17 kr for tre rundstykker og en bærepose.

Ku

52


Lineære funksjoner

53

En funksjon beskriver sammenhengen mellom to størrelser. Her er prisen en funksjon av antall rundstykker vi kjøper, og y ¼ 5x þ 2 er funksjonsuttrykket.

f ð3Þ ¼ 5 3 þ 2 ¼ 17

Tre rundstykker og en bærepose koster 17 kroner. Vi sier at funksjonsverdien er 17 når x ¼ 3.

Når vi tegner inn punktene i et koordinatsystem, blir de liggende på en rett linje. Linja gjennom disse punktene kaller vi grafen til funksjonen: y, pris i kroner 40 35 30

f ð3Þ er y-verdien når x ¼ 3. Vi leser den som «f av 3».

vu rd er

Vi kan framstille funksjonen grafisk. Vi tegner punkter der x-koordinaten viser hvor mange rundstykker vi kjøper, mens y-koordinaten viser prisen.

Vi kan bruke både y og f ðxÞ i funksjonsuttrykk.

in g

Vi kan erstatte y med f ðxÞ og skrive f ðxÞ ¼ 5x þ 2. Vi sier at f er en funksjon av variabelen x. Funksjonen f ðxÞ leser vi som «f av x». Skrivemåten er praktisk når vi skal regne ut prisen. Når vi kjøper tre rundstykker, skriver vi

Hva er en funksjon:

f(x) = 5x + 2

25 20

(3, 17)

15 10 5

til

x, antall rundstykker

1

2

3

4

5

6

7

Punktet ð3, 17Þ på grafen viser at 3 rundstykker og en bærepose koster 17 kroner.

n

Sammenhengen mellom antall rundstykker og prisen vi må betale, kan også uttrykkes med en tabell:

Ku

Antall rundstykker

Pris

ðAntall rundstykker, prisÞ

x

5x þ 2

f ðxÞ

ðx, yÞ

1

5 1þ2

7

ð1, 7Þ

2

5 2þ2

12

ð2, 12Þ

3

5 3þ2

17

ð3, 17Þ

4

5 4þ2

22

ð4, 22Þ

5

5 5þ2

27

ð5, 27Þ

Funksjoner kan ha ulike navn, for eksempel I for inntekt, P for pris osv.


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Vi kan uttrykke en funksjon på flere måter. For eksempel kan vi si at funksjonsverdien skal være 1 mer enn dobbelt så mye som variabelen. Da har vi uttrykt en funksjon som tekst. Den samme funksjonen kan vi uttrykke som funksjonsuttrykk, tabell og graf. y

f ðxÞ ¼ 2x þ 1

x

1

2

f ðxÞ

3

5

in g

3

3

2

7

1

f

2

vu rd er

1

x

Reflekter og diskuter!

Er det noen fordeler med skrivemåten f ðxÞ i stedet for y?

Oppgaver: 2.3–2.7

En funksjon beskriver en sammenheng mellom to størrelser. Den kan uttrykkes som en tekst, et funksjonsuttrykk, en tabell eller en graf.

EK SEMPEL 2

til

2

4

n Problemløsning 1 Forstå problemet 2 Lage en plan 3 Gjennomføre planen 4 Se tilbake

7

17

7

Ku

54

11

Vegard har laget en lek. Når Kristin sier et tall, sier Vegard et annet tall. Vegard påstår at det er en sammenheng mellom tallene Kristin og han sier. Finn sammenhengen Vegard har laget mellom tallene.

Løsning: Vi bruker trinnene fra problemløsning: 1

Forstå problemet Tallet Vegard sier avhenger av tallet Kristin sier. Vi skal prøve å finne et funksjonsuttrykk som viser hvordan Vegard tenker.


Lineære funksjoner

Lage en plan For å få bedre oversikt lager vi en tabell: Tallene Kristin sier

2

4

7

Tallene Vegard sier

7

11

17

Vi bruker tabellen til å prøve ut ulike sammenhenger mellom tallene.

Gjenomføre planen Vi undersøker først om Vegard multipliserer opp tallet til Kristin. Da må vi få det samme forholdstallet hvis vi deler tallene til Vegard og Kristin på hverandre: 7 11 17 ¼ 3,5 ¼ 2,75 2,43 2 4 7 Dette stemmer ikke, så da prøver vi heller om det er en sammenheng mellom økningen i tallene til Vegard og Kristin. Vi utvider tabellen: Tallene Kristin sier Tallene Vegard sier Økning i Kristins tall Økning i Vegards tall

vu rd er

3

in g

2

2

4

7

7

11

17

2

3

4

6

til

Vi tenker oss at tallene til Vegard øker med dobbelt så mye som Kristins tall. Siden det første tallet til Vegard er 7 og ikke 4, må vi i tillegg plusse på 3. Hvis vi kaller Kristins tall x, kan vi skrive Vegards tall som f ðxÞ ¼ 2x þ 3 Vi undersøker om det gjelder de andre tallene: f ð4Þ ¼ 2 4 þ 3 ¼ 11

f ð7Þ ¼ 2 7 þ 3 ¼ 17

n

Det stemmer. Sammenhengen mellom tallene er en funksjon som kan uttrykkes med funksjonsuttrykket f ðxÞ ¼ 2x þ 3. Se tilbake Ved å lage en tabell skaffet vi oss bedre oversikt over sammenhengen. Vi prøvde oss fram og oppdaget et mønster som hjalp oss å finne et funksjonsuttrykk.

Ku

4

55

Reflekter og diskuter! I eksempelet ovenfor fant vi en sammenheng ved å lage en tabell. Hvordan ville du løst dette problemet grafisk?

Oppgave: 2.8


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Oppgaver 2.5 Lag funksjonsuttrykk som viser

a

Að1, 5Þ

d

Dð0, 2Þ

a

at et tall er dobbelt så stort som et annet tall

b

Bð 2, 3Þ

e

Eð1, 3Þ

b

den totale prisen når du kjøper bananer til 32 kr=kg

c

Cð 3, 5Þ

c

daglønna til en som tjener 130 kr for hvert mobilabonnement han selger, og 300 kr for å møte på jobb

vu rd er

2.2 Finn koordinatene til punktene A, B, C, D og E: y 4

B

3

A

2 C –4 –3 –2 –1 D

1 1

–1 –2

–3

2

E

3

4

til

Lag et funksjonsuttrykk LðxÞ som viser daglønna hans når han plukker x kg poteter.

b

Lag en tabell som viser hvor mye han tjener på å plukke 5 kg, 10 kg og 20 kg poteter.

n

a

Regn ut Lð30Þ. Hva forteller svaret?

2.4 Regn ut f ð1Þ, f ð 1Þ og f ð0Þ: a

f ðxÞ ¼ 2x þ 3

b

1 f ðxÞ ¼ x þ 2 2

c

2.6 Julian kjøper frokost hver dag i skolekantina. For 5 kr kan han ta så mange brødskiver han vil, mens påleggspakker koster 2 kr per pakke. Han har med drikke selv. a

Lag en tabell som viser hvor mye Julian må betale for frokosten hvis han tar en, to, tre, fire eller fem påleggspakker.

b

Finn en funksjon PðxÞ som viser hvor mye Julian må betale for en frokost med x påleggspakker.

c

En dag har Julian bare med seg 10 kr. Hvor mange påleggspakker kan han kjøpe denne dagen?

x

2.3 Olve plukker poteter hos tante Astrid. Han får 20 kr fast hver dag og 3 kr for hvert kilogram poteter han plukker.

c

in g

2.1 Tegn punktene i et koordinatsystem:

Ku

56

f ðxÞ ¼ x þ 1


Lineære funksjoner

2.7 På et bowlingsenter koster det 60 kr for hver runde du spiller, og 40 kr for å leie sko.

e

a

Forklar at PðxÞ ¼ 60x þ 40

400

er et uttrykk for prisen du betaler når du spiller x runder.

300

Fyll ut tabellen:

200

60x þ 40

PðxÞ

ðx, yÞ

1

60 1 þ 40

100

ð1, 100Þ

y, pris i kroner

in g

x

Bruk grafen til PðxÞ til å finne ut hva det koster å spille fire runder:

P(x) = 60x + 40

100

vu rd er

b

x, antall runder

2

0

3 4

Bruk tabellen til å finne ut hva det koster å spille tre runder.

d

Bruk funksjonsuttrykket til å finne ut hva det koster å spille to runder.

Ku

n

til

c

57

1

2

3

4

5

6

2.8 En funksjon f ðxÞ er representert ved en tabell. Finn et funksjonsuttrykk for funksjonen. x

0

1

2

3

4

f ðxÞ

1

4

7

10

13


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

2.2 Grafer og funksjonsuttrykk UTFORSK

in g

De seks rutene nedenfor beskriver to situasjoner. Finn tre og tre ruter som hører sammen.

A

D

3

1

x

y

0

0

2

1

vu rd er

2

4

2

4

6

2

8 10 12

E

B

y ¼ 0,25x þ 3

En bil bruker 0,5 liter drivstoff per mil.

C

Oda kjører hjemover på el-sparkesykkel. Hun starter tre kilometer hjemmefra og holder en fart på 0,25 km=min.

F

3 2 1

n

til

2

Ku

58

4


Grafer og funksjonsuttrykk

59

Stigningstall og konstantledd Når et rundstykke koster 5 kr, og en pose koster 2 kr, kan vi skrive prisen som en funksjon av antall rundstykker vi kjøper:

in g

f ðxÞ ¼ 5x þ 2 For hvert rundstykke vi kjøper, øker prisen med 5 kr. Tallet 5 som er multiplisert med x i uttrykket, kaller vi derfor stigningstallet til funksjonen.

y, pris i kroner 14

vu rd er

Siden vi bare kjøper én bærepose, vil prisen for bæreposen bare utgjøre 2 kr av den totale prisen, uansett hvor mange rundstykker vi kjøper. Leddet 2 i funksjonsuttrykket kaller vi konstantleddet.

Grafen til en lineær funksjon er en rett linje

f(x) = 5x + 2

12 10

5 kroner

8

1 rundstykke

6 4

5 kroner for hvert rundstykke Stigningstallet er 5

Bæreposen koster 2 kroner Konstantleddet er 2

2 1

2

3

4

x, antall rundstykker

5

6

7

n

til

Vi kan skrive alle lineære funksjoner på formen f ðxÞ ¼ ax þ b. Grafen til funksjonen blir en rett linje. Stigningstallet a forteller hvor bratt linja stiger eller faller. Konstantleddet b forteller hvor linja skjærer y-aksen. Når x øker med 1, øker funksjonsverdien med a.

Reflekter og diskuter!

Ku

Hva er konstantleddet til en graf som går gjennom origo?


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

En linje med positivt stigningstall peker oppover mot høyre, mens en linje med negativt stigningstall peker nedover mot høyre. Hvis stigningstallet er null, har ikke funksjonen noe x-ledd, og linja er parallell med x-aksen: y

y

x

x

x

a=0

a<0

vu rd er

a>0

in g

y

L I NEÆ R F U N K S J O N

y

f (x) = ax + b

b

a

1

x

En lineær funksjon f har funksjonsuttrykket f ðxÞ ¼ ax þ b

til

Grafen til f er en rett linje med stigningstallet a og konstantleddet b. Når x øker med 1, øker funksjonsverdien med a.

n

En lineær funksjon kan skrives på formen f ðxÞ ¼ ax þ b Eksempel: f (x) = 2x + 1 stigningstall

konstantledd

Ku

60

Reflekter og diskuter!

Hva er konstantleddet og stigningstallet til funksjonen f ðxÞ ¼ x?

Hvordan ser grafen til f ðxÞ ¼ 2 ut?

Hva er funksjonsuttrykket for en linje som ligger på x-aksen?


Grafer og funksjonsuttrykk

61

EKSEMPEL 3

a

Lag et funksjonsuttrykk f ðxÞ som viser hvor mye penger han har igjen etter x dager. Hva forteller stigningstallet og konstantleddet i denne funksjonen?

b

Tegn grafen til f for x-verdier mellom 0 og 7.

f ðxÞ ¼ 30x þ 210 b

vu rd er

Løsning: a Når Markus får pengene, har det gått null dager. Med x ¼ 0 er vi på y-aksen, konstantleddet er 210. Hver dag minker beløpet med 30 kr. Stigningstallet til funksjonen er 30, og vi får uttrykket

I GeoGebra kan vi tegne grafen ved å skrive funksjonsuttrykket i algebrafeltet. For å avgrense grafen skriver vi «f(x)=funksjon(-30x+210,0,7)»: y, kroner 250

200

in g

Markus får 210 kr i ukelønn. Han regner med å bruke 30 kr hver dag.

Tegne graf med GeoGebra:

f (x) = –30x + 210, (0 ≤ x ≤ 7)

til

150

100

I GeoGebra 6 kan vi velge om vi vil skrive inn i algebrafeltet eller i inntastingsfeltet.

n

50

1

Ku

0

2

3

x, dager 4

5

6

7

8

Reflekter og diskuter!

I dette eksempelet avgrenset vi grafen til å gjelde x-verdier mellom 0 og 7. Forklar hvorfor.

Oppgaver: 2.9, 2.18


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Vi tegner grafen for hånd Når vi har et funksjonsuttrykk, kan vi tegne grafen til funksjonen for hånd. Vi viser det med et eksempel.

Tegn grafen til funksjonen f ðxÞ ¼ 3x þ 1

Løsning: Metode 1. Verditabell Vi lager en tabell for å finne koordinatene:

y

vu rd er

En funksjon kan være representert ved tekst tabell funksjonsuttrykk graf

in g

EK SEMPEL 4

11

(3, 10)

10 9

Vi tegner grafen til en funksjon:

x

3x þ 1

y

ðx, yÞ

8

0

3 0þ1

1

ð0, 1Þ

7

1

3 1þ1

4

ð1, 4Þ

6

2

3 2þ1

7

ð2, 7Þ

5

3

3 3þ1

10

ð3, 10Þ

(2, 7)

(1, 4)

4

3 2 1

(0, 1)

til

–1

1

2

3

4

5

x

Vi markerer punktene i et koordinatsystem og tegner en linje gjennom dem. Linja er grafen til f . Metode 2. Bruke stigningstall og konstantledd y

n

y

Ku

62

Oppgaver: 2.11, 2.12

5

5

4

4

3

3

2

2

1 –1

(0, 1)

(0, 1) 1

2

3

x

–1

1

(1, 4) 3 1 1

2

3

x

Konstantleddet er 1. Det vil si at grafen til f skjærer y-aksen når y ¼ 1. Vi tegner inn punktet ð0, 1Þ, se koordinatsystemet til venstre. Stigningstallet er 3, så vi går én enhet til høyre og tre enheter oppover og markerer et nytt punkt, se koordinatsystemet til høyre. Linja gjennom punktene er grafen til f .


Grafer og funksjonsuttrykk

63

Vi finner funksjonsuttrykket

Stigningstallet viser hvor mye y endrer seg når x øker med én enhet. Stigningstallet er a¼

endring i y endring i x

Denne sammenhengen bruker vi til å finne funksjonsuttrykket til en graf.

in g

Vi har sett hvordan vi kan tegne grafen når vi har funksjonsuttrykket. Vi kan også finne funksjonsuttrykket når vi har grafen.

y, pris i kroner 1200 1000

vu rd er

En golfklubb tar en fast pris for medlemskap. I tillegg betaler vi for hver runde vi spiller. Grafen viser totalprisen PðxÞ når vi spiller x runder.

P

800 600 400 200

x, antall runder

1

2

3

4

5

6

7

til

Vi bruker grafen til å finne funksjonsuttrykket til P. Det er ikke lett å lese av hvor mye y endrer seg når vi øker x én enhet, men vi kan lese av punktene ð0, 200Þ og ð4, 800Þ. Disse punktene bruker vi til å finne konstantleddet og stigningstallet: y, pris i kroner 1200

n

1000 800

600

Ku

P

400 200

(4, 800)

(0, 200) 1

endring i y

endring i x 2

3

x, antall runder 4

5

6

7


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Konstantleddet Grafen skjærer y-aksen i ð0, 200Þ. Den faste årlige summen er 200 kr. Konstantleddet til PðxÞ er 200. Stigningstallet Det koster 800 kr å spille fire runder i løpet av et år. Når vi trekker fra den faste summen på 200 kr, står vi igjen med 600 kr for fire runder:

in g

Stigningstallet til en lineær funksjon er gitt ved endring i y a¼ endring i x

endring i pris ðyÞ 600 kr ¼ 150 kr per runde ¼ endring i antall runder ðxÞ 4 runder

Oppgave: 2.13

vu rd er

Stigningstallet til PðxÞ er 150 og viser at det koster 150 kr for hver ekstra runde vi spiller. Funksjonsuttrykket er

PðxÞ ¼ 150x þ 200

Reflekter og diskuter!

Forklar hvorfor de to måtene å finne stigningstallet på er de samme: endring i y endring i x

a viser endringen i y-verdi når vi øker x én enhet.

EK SEMPEL 5

til

Finn funksjonsuttrykket til grafen.

Vi finner funksjons-

y

uttrykket:

4 3

n

2

Ku

64

g

1 –2 –1

–1 –2

–3

1

2

3

4

x


Grafer og funksjonsuttrykk

y 4 3

2

1 –2 –1

–3

g

–1

1

2

3

–2 –3

endring i y 3 3 ¼ ¼ 2 2 endring i x 3 Stigningstallet er . 2

4

x

vu rd er

2

Når stigningstallet er større enn null, stiger grafen fra venstre mot høyre. Når stigningstallet er mindre enn null, faller grafen fra venstre mot høyre.

in g

Løsning: Grafen skjærer y-aksen i ð0, 2Þ. Konstantleddet er 2. Når vi går to enheter i x-retning, må vi gå tre enheter i negativ y-retning for å komme tilbake til grafen:

3 Funksjonsuttrykket er gðxÞ ¼ x þ 2. 2

Oppgaver: 2.10, 2.13, 2.15–2.16

til

Når to punkter er gitt, kan vi finne funksjonsuttrykket til grafen som går gjennom punktene.

EKSEMPEL 6

y

Finn funksjonsuttrykket til grafen gjennom punktene ð2, 1Þ og ð4, 5Þ.

5

f ðxÞ ¼ 2x 3

(4, 5)

3

n

Ku

Funksjonsuttrykket til grafen gjennom punktene er

f

4

Løsning: Vi markerer punktene i et koordinatsystem og tegner en linje gjennom dem, som vist på figuren i margen. Vi leser av at stigningstallet er 2, og konstantleddet er 3.

65

2 1 –1

–1

(2, 1) 1

2

2 1 3

4

5

x

–2 –3 –4 Oppgaver: 2.14, 2.17


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Oppgaver 2.13 For å trene på et treningssenter betaler vi en innmeldingsavgift og et beløp for hver dag vi trener. Bruk grafen til å finne et funksjonsuttrykk som viser den totale prisen PðxÞ når vi trener x dager:

PðxÞ ¼ 4,10x þ 690

y, pris

Finn stigningstallet og konstantleddet til funksjonen.

b

Forklar hva de forteller i praksis.

c

Tegn grafen for x-verdier mellom 0 og 700.

d

Hva må han betale når han kjører 250 km?

2.10 Finn stigningstallet og konstantleddet til funksjonene f , g og h: 4 2

g

f

1

2

3

4

x

h

til

–1

–2

(5, 450)

350

P

300

250

200

150

100

x, treningsdager

1

1 –2 –1

450

400

50

y 3

500

vu rd er

a

550

in g

2.9 Sander leier bil når han er på ferie. Han må betale en engangsavgift og et beløp for hver kilometer han kjører. Den totale prisen i kroner når han kjører x kilometer, er gitt ved funksjonen

–3

n

2.11 Finn stigningstallet og konstantleddet til funksjonene nedenfor. Tegn grafene: a

f ðxÞ ¼ 4x 3

c

hðxÞ ¼ 7 3x

b

4 gðxÞ ¼ x þ 5 3

d

iðxÞ ¼ 2

Ku

66

2

3

4

5

6

7

2.14 Vi skal leie rom på et konferansesenter og betaler en fast avgift og et beløp for hvert rom vi leier. Det koster 850 kr å leie to rom og 1750 kr å leie fem rom. a

Finn et funksjonsuttrykk PðxÞ som viser hvor mye det koster å leie x rom.

b

Hva forteller konstantleddet og stigningstallet i dette uttrykket?

2.15 Vi har disse funksjonene: f ðxÞ ¼ 3 gðxÞ ¼ x 2 hðxÞ ¼ x þ 3

2.12 Tegn grafen til hver av funksjonene: a

f ðxÞ ¼ 3x 4

c

hðxÞ ¼ 5 x

b

3 gðxÞ ¼ x þ 1 2

d

iðxÞ ¼ 2x

iðxÞ ¼ 2x 2 a

Hvilke av funksjonene har positivt stigningstall?

b

Hvilken funksjon har negativt stigningstall?

c

Hvilken funksjon har stigningstallet null?


Grafer og funksjonsuttrykk

y

B

4 3

C

2

b

Tegn grafen til LðxÞ i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 20.

c

Hva er stigningstallet og konstantleddet til funksjonen, og hva forteller disse størrelsene i praksis?

1 –4 –3 –2 –1

1

–1

2

3

4

5 x

d

vu rd er

–2

D –3

Hvilke grafer og funksjoner hører sammen?

2.16 Tabellen viser funksjonen f : x

0

1

2

3

f ðxÞ

2

1

4

7

Tegn grafen til f .

b

Finn et funksjonsuttrykk for f .

ð3, 4Þ og ð5, 7Þ

b

ð 2, 3Þ og ð1, 6Þ

c

ð 4, 2Þ og ð 2, 1Þ

b

punktet ð4, 5Þ og har stigningstallet 3

c

punktet ð4, 2Þ og har konstantleddet 7

−−−−−−−−−−−−−−− 49 −−−−−−−−−−−−−−−

Ku

punktene ð1, 2Þ og ð3, 3Þ

48

n

til

a

a

−−−−−−−−−−−−−−− 47 −−−−−−−−−−−−−−−

2.17 Finn funksjonsuttrykk for de lineære funksjonene som går gjennom disse punktene:

2.19 Tegn grafen til funksjonen f ðxÞ ¼ ax þ b i GeoGebra og lag glidere for a og b. Bruk gliderne til å finne funksjonsuttrykk for grafene som går gjennom

46

a

−−−−−−−−−−−−−−− 45 −−−−−−−−−−−−−−−

Finn et funksjonsuttrykk LðxÞ som viser hvor mye han tjener i løpet av en dag når han selger x abonnement.

44

a

in g

5

A

2.18 Sebastian selger abonnement på et ukeblad. Han får 75 kr for hvert abonnement han selger, og en fast sum på 300 kr for hver dag han er på jobb.

−−−−−−−−−−−−−−− 43 −−−−−−−−−−−−−−−

Figuren viser grafene til de fire funksjonene:

67

50


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

2.3 Skjæringspunkter UTFORSK Tegn tre punkter på y-aksen i et koordinatsystem. Hva er x-koordinatene til disse punktene?

2

Tegn tre punkter på x-aksen i et koordinatsystem. Hva er y-koordinatene til disse punktene?

vu rd er

x ¼ 0 på y-aksen. y ¼ 0 på x-aksen.

in g

1

Skjæring med akser

Langs hele y-aksen er x-koordinaten null. Vi finner derfor skjæringspunktet med y-aksen ved å regne ut f ð0Þ. Når vi skal finne skjæringspunktene med x-aksen, tenker vi på samme måte, men nå er det y-koordinaten som er null. Siden funksjonsverdien er null, kaller vi skjæringspunktene med x-aksen for nullpunkter.

EK SEMPEL 7

Vi har gitt funksjonen f ðxÞ ¼ 3x þ 7

Bestem skjæringspunktet med y-aksen.

b

Bestem nullpunktet.

til

a

Løsning: a Skjæringen med y-aksen finner vi ved å sette x ¼ 0 inn i funksjonen: f ð0Þ ¼ 3 0 þ 7 ¼ 7

n

Grafen til f skjærer y-aksen i ð0, 7Þ.

Ku

68

Oppgaver: 2.20–2.21, 2.24

b

Nullpunktet til f er skjæringspunktet med x-aksen. Vi setter funksjonsverdien lik null og løser likningen: f ðxÞ ¼ 0 3x þ 7 ¼ 0 3x ¼ 7 7 x¼ 3 7 Nullpunktet til funksjonen er x ¼ . 3 7 ,0 . Det vil si at grafen til f skjærer x-aksen i 3


Skjæringspunkter

69

N U L LP U N K T

Reflekter og diskuter!

vu rd er

Det er vanlig å bare oppgi x-verdien i et nullpunkt. Forklar hvorfor det er tilstrekkelig.

in g

Et punkt på grafen til en funksjon kalles et nullpunkt dersom y-koordinaten er lik null.

Skjæring med linjer og grafer

Vi viser med eksempler hvordan vi finner x-verdien når vi kjenner y-verdien, og omvendt.

EKSEMPEL 8

Bensintanken på Emilies scooter rommer 8 liter. Scooteren bruker 0,23 liter per mil. Hun fyller full tank.

Lag et funksjonsuttrykk BðxÞ som viser hvor mye bensin det er igjen på tanken når hun har kjørt x mil.

b

Hvor mange liter er det igjen på tanken når hun har kjørt 16 mil?

c

Hvor langt har hun kjørt når det er igjen 5 liter på tanken?

d

Finn nullpunktet til funksjonen. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Ku

n

til

a


42

KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Vi kan også skrive B(16) i GeoGebra og få funksjonsverdien direkte.

Vi tegner grafen i GeoGebra. Når hun har kjørt 16 mil, er x ¼ 16. Vi tegner linja x ¼ 16 og finner skjæringspunktet mellom linja og grafen til B ved å velge «nytt punkt» og trykke på skjæringspunktet.

vu rd er

y, liter 8 B

6

A = (16, 4.32)

4 2

x, mil

38

5

10

15 20 25 30 35 40

Vi ser at y ¼ 4,32 i skjæringspunktet. Det er 4,32 liter bensin igjen på tanken når hun har kjørt 16 mil.

Når Emilie har 5 liter igjen på tanken, er y ¼ 5. Vi tegner linja y ¼ 5 og finner skjæringspunktet mellom linja og grafen til B:

til

c

y, liter

8 B

Ku

n

−−−−−−−−−−−−−−− 37 −−−−−−−−−−−−−−−

36

−−−−−−−−−−−−−−− 35 −−−−−−−−−−−−−−−

34

b

in g

Løsning: a Når Emilie begynner å kjøre er x ¼ 0. Da har hun full tank på 8 liter. Konstantleddet er derfor 8. For hver mil hun kjører, har hun 0,23 liter mindre bensin på tanken. Stigningstallet er 0,23: BðxÞ ¼ 0,23x þ 8

−−−−−−−−−−−−−−− 39 −−−−−−−−−−−−−−−

40

−−−−−−−−−−−−−−− 41 −−−−−−−−−−−−−−−

70

6

C = (13.04, 5)

4 2 x, mil 5

10

15 20 25 30 35 40

Vi ser at x ¼ 13,04 i skjæringspunktet. Hun har kjørt 13 mil når det er igjen 5 liter bensin på tanken.


d

Skjæringspunkter:

8 B 6

2

vu rd er

4

(34.78, 0) 20

30

x, mil

40

Nullpunktet er ð34,78, 0Þ. Det viser at tanken er tom for bensin når hun har kjørt rundt 35 mil.

Reflekter og diskuter!

Må en lineær funksjon ha et nullpunkt?

Skjæring mellom grafer

n

I skjæringspunktet mellom to grafer har grafene samme x-verdi og samme y-verdi.

−−−−−−−−−−−−−−− 31 −−−−−−−−−−−−−−−

til

Kan en lineær funksjon ha mer enn ett nullpunkt?

30

Oppgave: 2.22

−−−−−−−−−−−−− X = ... −−−−−−−−−−−−−

10

28

in g

y, liter

−−−−−−−−−−−−− Y = ... −−−−−−−−−−−−−

Nullpunktet er der grafen skjærer x-aksen. Vi bruker kommandoen «Nullpunkt(B)»:

71

26

Skjæringspunkter

EKSEMPEL 9

Ku

Finn funksjonsuttrykkene som viser den totale månedslønna for hver av dem.

b

En måned har de solgt like mange abonnement og tjent like mye penger. Hvor mange abonnement har hver av dem solgt? Hvor mye har hver av dem tjent?

−−−−−−−−−−−−−−− 33 −−−−−−−−−−−−−−−

a

32

Lavrans og Mari selger abonnement på hver sin avis. Lavrans tjener 8000 kr per måned og i tillegg 200 kr per abonnement han selger. Mari tjener 9400 kr per måned og i tillegg 160 kr for hvert abonnement hun selger.


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

in g

Løsning: a Lavrans får 8000 kr fast i måneden, altså er konstantleddet 8000. Stigningstallet er 200, siden han får 200 kr for hvert abonnement han selger. Månedslønna til Lavrans, LðxÞ, ved salg av x abonnement er gitt ved LðxÞ ¼ 200x þ 8000

vu rd er

Mari tjener 9400 kr fast i måneden og i tillegg 160 kr for hvert abonnement hun selger. Månedslønna til Mari, MðxÞ, ved salg av x abonnement er da gitt ved MðxÞ ¼ 160x þ 9400 b

Grafisk løsning: Vi tegner grafene til L og M i GeoGebra og bruker kommandoen «Skjæring(L,M)»: y, kroner

22 000

20 000

18 000

16 000

A = (35, 15 000)

14 000 12 000

M

10 000

L

8000

6000

4000

til

2000

x, antall abonnement 10 20 30 40 50 60 70 80

n

Skjæringspunktet mellom de to grafene, Að35, 15 000Þ, viser at de har solgt 35 abonnement hver. Totalt har de tjent 15 000 kr hver denne måneden.

Ku

72

Løsning ved regning: Vi løser likningen LðxÞ ¼ MðxÞ. Da finner vi den x-verdien som gir samme funksjonsverdi i begge funksjonene: LðxÞ ¼ MðxÞ 200x þ 8000 ¼ 160x þ 9400 200x 160x ¼ 9400 8000 40x ¼ 1400

j : 40

x ¼ 35 Lð35Þ ¼ 200 35 þ 8000 ¼ 7000 þ 8000 ¼ 15 000 Mð35Þ ¼ 160 35 þ 9400 ¼ 4600 þ 9400 ¼ 15 000 Salg av 35 abonnement gir hver av dem en månedslønn på 15 000 kr.


Skjæringspunkter

73

Løsning med CAS: Vi bruker kommandoen «Løs» og trykker på

ª

. Deretter kontrollerer vi

in g

løsningen ved å regne ut funksjonsverdiene.

Legg merke til at når vi har skrevet inn funksjonene i algebrafeltet, kan vi regne videre på dem i CAS uten å skrive uttrykkene på nytt.

1

3

vu rd er

2

Vi ser at Lð35Þ ¼ Mð35Þ ¼ 15 000. Vi har funnet de samme svarene både grafisk, ved regning og med CAS.

Reflekter og diskuter!

Du får vite x-verdien til skjæringspunktet mellom to lineære funksjoner, f og g. Forklar at det ikke spiller noen rolle om du bruker f eller g for å finne y-verdien til skjæringspunktet.

Hvordan kan vi bruke skjæringspunkter til å bestemme når en funksjon har en bestemt y-verdi?

til

n

Definisjonsmengde UTFORSK

Ku

Det er stadig færre nordmenn som leser papiraviser. En modell som viser utviklingen er f ðxÞ ¼ 4,8x þ 42,5

Her er f ðxÞ prosentandelen personer mellom 19 og 79 år som leser papiraviser, mens x er antall år etter 2015.

Diskuter hvor langt fram og tilbake i tid vi kan bruke modellen til å si noe om hvor stor prosentandel som leser papiraviser.

Oppgave: 2.25


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Vi kan avgrense grafer slik at de starter og slutter ved bestemte x-verdier. Det er nødvendig hvis funksjonen bare gjelder mellom disse x-verdiene. Alle x-verdier funksjonen gjelder for, kaller vi definisjonsmengden til funksjonen.

5

in g

Grafen på figuren viser at definisjonsmengden Df til funksjonen f er tallene mellom 2 og 7. Vi skriver Df ¼ ½2, 7 : y

4 f

3

vu rd er

2 1

1

2

3

4

Df

5

6

7

8

x

DEFINISJONSMENGDE

Definisjonsmengde:

Definisjonsmengden Df til en funksjon f er mengden av alle x-verdier vi kan bruke: y

n

til

f

Ku

74

Df

x

EK SEMPEL 10 I en studie av flere tusen personer mellom 19 og 89 år har forskere kommet fram til følgende sammenheng mellom makspuls, m, og alder, x: mðxÞ ¼ 211 0,64x a

Foreslå en passende definisjonsmengde for funksjonen.

b

Tegn grafen til m.

Løsning: a Siden funksjonen er laget med data fra personer mellom 19 og 89 år, lar vi definisjonsmengden til m være Dm ¼ ½19, 89 .


Skjæringspunkter

b

75

I GeoGebra tegner vi grafen for x-verdier mellom 19 og 89 ved å skrive «m(x)=funksjon(211-0.64x,19,89)» i algebrafeltet: 200

m(x) = 211 - 0,64x

160 120

40

10

20

Reflekter og diskuter!

vu rd er

80

30

40

50

60

70

n

til

Finn eksempler på funksjoner der det er naturlig å begrense definisjonsmengden.

Ku

in g

y, makspuls

80 x, alder

Oppgave: 2.23


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Oppgaver

a

f ðxÞ ¼ 2x þ 4

b

gðxÞ ¼ 3x þ 5

2.23

in g

2.20 Finn skjæringspunktene mellom grafen til funksjonen og aksene grafisk og ved regning: hðxÞ ¼ 1

c

x

2

0

2

y

4

3

2

vu rd er

2.21 Tabellen viser punkter på grafen til en lineær funksjon: 4

6

8

1

0

1

a

I hvilket punkt skjærer grafen y-aksen?

b

I hvilket punkt skjærer grafen x-aksen? Hva kaller vi dette punktet?

c

Tegn grafen til funksjonen.

til

2.22 Et tettsted forventer at innbyggertallet vil falle jevnt de neste årene etter modellen f ðxÞ ¼ 270x þ 7940 Her er f folketallet, og x er antall år fram i tid. Hva vil innbyggertallet være om 18 år?

b

Når vil innbyggertallet være 6000?

n

a

Ku

76

Ingrid skal leie ferieleilighet i Berlin med vennegjengen. Ukeprisen avhenger av hvor mange som skal bo i leiligheten, og er gitt ved funksjonen f ðxÞ ¼ 9500 þ 500x der f er ukeprisen, og x er antall gjester. Leiligheten har åtte sengeplasser. a

Regn ut ukeprisen når fem personer bor i leiligheten.

b

Bestem definisjonsmengden til funksjonen.

2.24 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 2x þ 6 a

Tegn grafen til f i GeoGebra.

b

Finn skjæringspunktene mellom grafen til f og aksene.

c

Løs likningen 2x þ 6 ¼ 0 og finn verdien av uttrykket 2 0 þ 6.

d

Hvilken sammenheng er det mellom b og c?


Skjæringspunkter

in g

2.25 Helge skal leie bil og kjøre fra Kristiansand til Drammen og tilbake igjen på samme dag. Han sammenlikner prisene hos to utleiefirmaer, kalt A og B. Grafene nedenfor viser hvordan leieprisen varierer med antall kilometer han kjører: y, kr 3400 3200 3000

2400 2200 2000 1800 1600 1400

1200 1000 800

B A

600 400 200

vu rd er

2800 2600

til

x, km 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

Hvilket firma mener du har den beste prisen?

b

Hva er minsteprisen for å leie en bil hos hvert firma?

c

Hva er kilometerprisen hos hvert firma?

n

a

Finn en funksjon som gir leieprisen for å kjøre x km hos hvert firma.

e

Finn grafisk og ved regning hvor langt Helge må kjøre for at prisen skal bli den samme hos begge firmaene.

Ku

d

f

77

Fra Kristiansand til Drammen er det 28 mil. Avgjør hvilket firma han bør velge.


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

2.4 Lineære modeller UTFORSK

vu rd er

in g

Klassen din skal holde en forestilling, og dere setter ut stoler til publikum. For at alle skal se godt, plasserer dere stolene som vist på figuren:

1

Hvor mange stoler er det i radene 1, 2 og 3 fra scenen?

2

Hvor mange stoler trenger dere til radene 4 og 5?

3

Finn et uttrykk for antall stoler i rad nummer x.

En matematisk modell er en beskrivelse av virkeligheten oversatt til et matematisk språk. Det kan være utviklingen i folketall, batteritiden til en mobiltelefon eller forbrenning av energi under trening. Ofte må vi forenkle og avgrense problemet før vi kan lage en modell. Modellen beskriver en sammenheng mellom to eller flere størrelser, og kan være en funksjon, en formel, en tabell eller en graf. Her skal vi arbeide med lineære modeller. Det er modeller der en størrelse vokser eller avtar jevnt.

til

Modellering Forenkle og avgrense problemet Innhente størrelser og variabler Oversette til matematisk språk Løse problemet matematisk Tolke løsningen og vurdere gyldigheten av modellen

MODELL En matematisk modell beskriver en sammenheng mellom to eller flere størrelser i den virkelige verden.

n

En lineær modell beskriver størrelser som vokser eller avtar jevnt.

Ku

78

Vi lager en modell for batteritiden vi har igjen når vi ser film på mobilen. Produsenten oppgir at vi kan se tjue timer film med et batteri som er fulladet. For hver time vi ser film, har vi en time mindre tid igjen på batteriet. Etter åtte timer med film har vi tolv timer igjen. Den gjenværende batteritiden kaller vi t, mens x er antall timer vi har sett film. Modellen vår blir da denne funksjonen: tðxÞ ¼ 20 x Modellen er ikke nøyaktig. For eksempel bruker vi opp batteriet raskere hvis vi strømmer filmen eller ser den i svært høy oppløsning.


Lineære modeller

79

EKSEMPEL 11

a

Hvor mange seter er det i rad 8 fra scenen?

b

Lag en modell for antall seter i en bestemt rad.

c

Forklar hvorfor modellen er lineær.

Rad 1: 20 Rad 2: 20 þ 3 ¼ 23

vu rd er

Løsning: a Vi finner først antall seter i de første radene for å se om vi kan oppdage et mønster:

in g

I en teatersal er det tjue seter i raden nærmest scenen. For hver rad bakover blir det tre flere seter.

Rad 3: 20 þ 3 2 ¼ 26 Rad 4: 20 þ 3 3 ¼ 29 Antall seter i rad 8 er altså:

20 þ 3 7 ¼ 20 þ 21 ¼ 41 b

Vi kaller radnummeret for x. Av mønsteret i b ser vi at antall seter i rad x kan skrives som 20 þ 3ðx 1Þ ¼ 20 þ 3x 3 ¼ 3x þ 17

Vi skriver modellen vår som en funksjon og kaller funksjonen f ðxÞ. En modell for antall seter i rad x er altså f ðxÞ ¼ 3x þ 17

Modellen er lineær fordi antall seter øker med et fast antall for hver rad.

til

c

Ku

n

Noen modeller er nøyaktige, som modellen for antall seter i eksemplet ovenfor. Men oftest innebærer modellen en forenkling av virkeligheten. En modell for arbeidsledighet kan bygge på bestemte økonomiske forutsetninger, og den er kanskje bare gyldig noen få år fram i tid. Generelt vil modeller som sier noe om framtiden, bli mer og mer usikre jo lenger fram i tid vi går.

Reflekter og diskuter!

En modell for bensinforbruket til en scooter forutsetter at scooteren bruker 0,17 liter per mil. Hvorfor kan ikke modellen være nøyaktig?

Finn praktiske situasjoner der det kan passe å bruke en lineær modell.

Oppgaver: 2.29–2.30


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Gyldighetsområdet for en modell

in g

Når vi beskriver en sammenheng fra virkeligheten med et funksjonsuttrykk, kan det hende at funksjonen gjelder for alle verdier av x, mens sammenhengen i virkeligheten bare gjelder i et intervall. Intervallet med x-verdier det gir mening å sette inn i en modell, kaller vi modellens gyldighetsområde. Det svarer til definisjonsmengden til en funksjon.

EK SEMPEL 12

vu rd er

Emilies scooter bruker 0,23 liter per mil, og bensintanken rommer 8 liter. Antall liter bensin igjen på tanken, BðxÞ, etter x mil er gitt ved modellen: BðxÞ ¼ 0,23x þ 8

Bestem et passende gyldighetsområde for modellen.

Oppgaver: 2.26–2.28

Løsning: I GeoGebra finner vi at nullpunktet til denne funksjonen er x ¼ 34,78. Når Emilie har kjørt 34,78 kilometer er altså tanken tom, og hun kan ikke jøre lenger. Derfor er gyldighetsområdet x-verdier mellom 0 og 34,78. Bensinforbruket vil variere med faktorer som last, vær og terreng, så vi kan anslå gyldighetsområdet til å være x-verdier mellom 0 og 35.

til

Noen ganger er gyldighetsområdet naturlig bestemt, slik som i eksempelet over, der gyldighetsområdet er intervallet mellom x ¼ 0 og nullpunktet til modellen. Andre ganger må vi bruke skjønn.

n

Lineær regresjon

Ku

80

Når vi har en tilnærmet lineær sammenheng mellom to størrelser, kan vi bruke lineær regresjon til å finne den lineære modellen som passer best. Vi framstiller sammenhengen som punkter i et koordinatsystem og prøver å finne den linja som passer best til punktene. Tabellen nedenfor viser at ungdom mellom 16 og 19 år ser stadig mindre TV: Årstall År etter 2012 Seertid (i min/dag)

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

0

1

2

3

4

5

6

7

110

110

96

93

88

71

70

49


Lineære modeller

81

in g

Vi vil lage en modell som viser denne utviklingen. For å få oversikt over dataene lager vi et spredningsdiagram. På x-aksen setter vi av antall år etter 2012, og på y-aksen markerer vi seertid i minutter per dag. Så bruker vi tallene i tabellen til å lage punkter i et koordinatsystem. Vi får punktene ð0, 110Þ, ð1, 110Þ, ð2, 96Þ, ð3, 93Þ, ð4, 88Þ, ð5, 71Þ, ð6, 70Þ og ð5, 49Þ. y, min/dag

Et spredningsdiagram er sammenhørende verdier fra et datamateriale avmerket som punkter i et koordinatsystem.

120 100

60 40 20

vu rd er

80

x, år etter 2012

1

2

3

4

5

6

7

8

Spredningsdiagrammet hjelper oss å vurdere om det er noen sammenheng mellom dataene våre. Her ser vi at seertiden synker for hvert år. Regresjon handler om å beskrive denne sammenhengen matematisk.

til

Når punktene ligger omtrent på en rett linje, bruker vi den lineære funksjonen y ¼ ax þ b som modell. Først tegner vi den rette linja som passer best til punktene. Så finner vi funksjonsuttrykket for linja. Det kan vi gjøre for hånd eller med et digitalt verktøy. I neste eksempel viser vi begge metoder.

EKSEMPEL 13

n

Finn en lineær modell gðxÞ for spredningsdiagrammet foran.

Ku

Løsning: Vi regner ut for hånd: Vi legger en linjal på spredningsdiagrammet og tegner den linja vi synes passer best. Deretter finner vi funksjonsuttrykket for linja. Vi leser av konstantleddet, b ¼ 115.


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Så bruker vi to punkter på linja til å regne ut stigningstallet: endring i y 65 8,13 ¼ a¼ 8 endring i x

in g

y, min/dag 8

120 100

–65

80 60 40

vu rd er

20

x, år etter 2012

2

4

6

8

10

Den lineære modellen er gðxÞ 8,13x þ 115.

Digital løsning: Vi legger verditabellen inn i regnearket i GeoGebra, velger regresjonsanalyse fra menyen og trykker på «Analyser»:

n

til

Vi får tegnet opp et spredningsdiagram. Nå velger vi «Lineær» fra menyen nederst til venstre i vinduet:

Ku

82


Lineære modeller

Vi kopierer resultatet til grafikkfeltet ved å bruke knappen

83

:

y, min/dag 100

g(x) = –8,42x + 115,33

80 60 40 20

x, år etter 2012 4

6

8

10

vu rd er

2

in g

Lineær regresjon:

120

Den lineære modellen som viser hvordan tiden for å se på TV har utviklet seg i årene etter 2012, er gðxÞ ¼ 8,4x þ 115,3

Lineær regresjon vil si at vi

kontrollerer dataene og avgjør hva som er x og y

lager et spredningsdiagram

tegner den rette linja som passer best til punktene på spredningsdiagrammet

bestemmer funksjonsuttrykket for den rette linja

til

Reflekter og diskuter!

Oppgaver: 2.31, 2.34

y

n

Vi har gitt fire punkter, se figuren i margen. Hvilken av de to linjene som er tegnet inn, synes du passer best for alle punktene under ett?

Hvordan kan vi regne ut hvilken linje som passer best til punktene?

Ku

x


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Oppgaver

a

Lag en modell EðxÞ som viser hvor mye energi det er igjen på batteriet når bilen har kjørt x kilometer. Finn gyldighetsområdet for modellen.

c

Forklar hvorfor denne modellen ikke er nøyaktig.

Rad 3 Rad 2 Rad 1

Figuren viser de tre første radene i Sabris vedstabel. a

Hvor mange vedkubber er det i den sjuende raden?

b

Bestem gyldighetsområdet for modellen.

c

Sett opp en modell som viser hvor mange vedkubber det er i rad nummer x.

vu rd er

b

2.29

in g

2.26 En elbil har et batteri på 40 000 Wh. Bilen bruker 120 Wh=km på vanlig kjøring.

2.27 Et badekar som rommer 400 liter, er halvfullt når vi skrur på krana. Badekaret blir tilført åtte liter vann i minuttet. a

Lag en modell som viser hvor mange liter vann det er i badekaret x minutter etter at vi har skrudd på krana.

b

Finn gyldighetsområdet for modellen.

Sabri hevder at antall vedkubber i den ferdige stabelen er 6 11 ¼ 66

d

Forklar hvordan Sabri er kommet fram til dette.

2.30

til

2.28 Adrian får 700 kr i sommerpenger av mor. Han regner med å bruke 35 kr hver dag.

Lag en modell som viser hvor mye av sommerpengene som er igjen etter x dager.

b

Bestem gyldighetsområdet for modellen.

c

Bruk modellen til å finne hvor mye Adrian har igjen etter fem dager.

n

a

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Torfinn har laget et mønster av kvadrater. Hver figur inneholder flere kvadrater enn figuren foran. a

Ku

84

Fyll ut tabellen: Figur nr.

Antall kvadrater

Økning

1

6

2 3 4 5

b

Lag en modell som viser hvor mange kvadrater det er på figur nummer x.


Lineære modeller

x

0

1

4

5

8

10

y

2

3,5

10

12,5

15

20

a

Lag et spredningsdiagram over datamaterialet for hånd.

b

Trekk den rette linja som passer best til punktene.

c

Finn funksjonsuttrykket for g.

d

Gjør en lineær regresjon i GeoGebra og sammenlikn resultatet med funksjonsuttrykket du kom fram til i c.

2.32 Figuren viser prosentandelen som har tatt førstehjelpskurs i en kommune x år etter 2010: y, prosentandel 7

Diskuter hva som kan være et passende gyldighetsområde for modellen og tegn grafen i GeoGebra.

c

Hvor stor prosentandel handlet klær og sportsartikler på nettet i 2015 ifølge modellen? Hvordan stemmer det med virkeligheten?

d

Hvor stor prosentandel vil handle klær eller sportsartikler på nettet i 2022, ifølge modellen?

e

(5, 4,73)

4

(3, 3,39)

3 1

til

(1, 2,43)

2

Når vil 60 % av nordmenn handle klær og sportsartikler på nettet, ifølge modellen?

2.34 Tabellen viser antall innbyggere i Bærum kommune i perioden 2012 2019:

(7, 5,32)

5

År

x

Innbyggere

2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019

0 1 2 3 4 5 6 7

114 489 116 677 118 588 120 685 122 348 124 008 125 454 126 841

x, år etter 2012

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

a

Finn en passende modell for befolkningsutviklingen x år etter 2012. Framstill modellen grafisk i GeoGebra.

b

Hvor mye øker folketallet i Bærum per år, ifølge modellen?

c

Når vil antall innbyggere passere 140 000, ifølge modellen?

d

Hvor mange innbyggere vil det ifølge modellen være i Bærum i 2040? Forklar hvorfor svaret er usikkert.

n

Finn for hånd en passende modell for utviklingen av andelen med førstehjelpskurs i kommunen. Bruk lineær regresjon i GeoGebra til å finne en modell for den samme utviklingen.

Ku

b

b

(9, 6,48)

6

a

Bruk lineær regresjon til å finne en passende modell gðxÞ for utviklingen i netthandel av klær og sportsartikler x år etter 2013.

vu rd er

Linja er grafen til en lineær funksjon g.

a

in g

2.31 Tabellen viser punkter i et koordinatsystem:

2.33 Tabellen viser prosentandelen av nordmenn mellom 18 og 79 år som har handlet klær eller sportsartikler på Internett i noen utvalgte år etter 2013: År etter 2013

0

2

4

6

Prosentandel

36

38

44

49

Kilde: SSB

85


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

MØNSTER OG OVERSIKT Skjæringspunkter

En funksjon beskriver sammenhengen mellom to størrelser.

I skjæringspunktet mellom grafene har funksjonene samme x-verdi og y-verdi.

En lineær funksjon er på formen f ðxÞ ¼ ax þ b.

Vi kan uttrykke funksjoner som tekst, funksjonsuttrykk, tabell eller graf.

Et nullpunkt er skjæringspunktet mellom grafen og x-aksen. Her er y-koordinaten lik null.

I skjæringspunktet mellom grafen og y-aksen er x-koordinaten lik null.

Tekst y er det dobbelte av x.

in g

Funksjon

vu rd er

y

Funksjonsuttrykk f ðxÞ ¼ 2x

5

4

Tabell x

1

2

3

f ðxÞ

2

4

6

(0, 4)

3

(3, 2)

2

Graf

1

y 3

(2, 0)

f

2

1

1 1

2

til

Stigningstallet forteller om grafen stiger eller faller.

Konstantleddet viser skjæringspunktet med y-aksen.

I funksjonen f ðxÞ ¼ 3x 1 er stigningstallet 3 og konstantleddet 1.

n

4 3

y

f

2

–2

3

stigningstall

1

1

–1

3

4

1

2

3

nullpunkter

–2

x

Stigningstall og konstantledd

5

2

–1

Ku

86

4

5

konstantledd

6

x

–3 –4

(0, –4)

(6, 0) 5

6

x


Mønster og oversikt

Avgjør om påstandene stemmer

1

Forenkle og avgrense problemet

a

2

Innhente størrelser og variabler

En funksjon beskriver en sammenheng mellom to størrelser.

3

Oversette til matematisk språk

b

4

Løse problemet matematisk

Stigningstallet viser hvor grafen til funksjonen skjærer y-aksen.

5

Tolke løsningen og vurdere gyldigheten til modellen

c

Grafene til to lineære funksjoner vil alltid skjære hverandre.

d

Konstantleddet viser hvor grafen skjærer y-aksen.

e

I skjæringspunktet mellom grafene til to funksjoner vil både funksjonsverdien og x-verdien være den samme for begge funksjonene.

f

Grafene til to forskjellige lineære funksjoner med samme stigningstall vil aldri skjære hverandre.

g

En matematisk modell beskriver en sammenheng mellom to eller flere størrelser i den virkelige verden.

vu rd er

Lineære modeller

En matematisk modell beskriver en sammenheng mellom to eller flere størrelser i den virkelige verden.

En lineær modell beskriver størrelser som øker eller minker jevnt.

Lineær regresjon bruker vi til å finne den lineære modellen som passer best til punktene.

En lineær modell er en lineær funksjon på formen f ðxÞ ¼ ax þ b der a er stigningstallet, og b er konstantleddet. y

til

f

n

f (x) = ax + b

Ku

in g

Modellering

x

87


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Test deg selv

2.35 Finn stigningstallet, konstantleddet og nullpunktet til hver av funksjonene: a

f ðxÞ ¼ 2x þ 8

c

hðxÞ ¼ 3 4x

b

gðxÞ ¼ 6x

d

iðxÞ ¼

2 5

a

Lag et funksjonsuttrykk som viser den totale månedsprisen når vi kjøper x gigabyte ekstra data.

b

Hva blir månedsprisen hvis vi kjøper 8 gigabyte ekstra data?

Hvor mye ekstra data har vi kjøpt når månedsprisen er 530 kr?

2.37 Finn funksjonsuttrykket til hver av grafene: y

til

6 5

0

1

2

3

y

3

2

7

12

Med hjelpemidler

2.40 Joakim deltar i en sommerlesekampanje. Han setter seg som mål å lese 700 sider i løpet av tolv uker. I slutten av hver uke noterer han hvor mange sider han har lest så langt denne sommeren.

4 3

h

2

n

1

1

2

3

4

5

x

–2

Uker

1

2

3

4

Antall sider

63

138

192

257

a

Lag en modell, LðxÞ, som viser hvor mange sider Joakim har lest totalt etter x uker.

b

Finn gyldighetsområdet for modellen og tegn grafen til L.

c

Hvor mange sider har Joakim lest etter sju uker, ifølge modellen?

d

Avgjør om Joakim når målet han har satt seg.

f

g

–2 –1 0 –1

x

vu rd er

2.36 Et mobilabonnement koster 350 kr per måned. Ønsker vi mer data, koster det 15 kr per gigabyte.

c

in g

2.39 Finn et funksjonsuttrykk ved hjelp av tabellen og tegn grafen til funksjonen.

Uten hjelpemidler

Ku

88

2.41 Frode og Sjur kjører fra Oslo til Trondheim i hver sin bil. Frode holder en gjennomsnittsfart på 60 km=t, mens Sjur holder en gjennomsnittsfart på 73 km=t. Avstanden mellom Oslo og Trondheim er 540 km. Frode starter 1,5 timer før Sjur. a

Forklar at strekningen de har kjørt t timer etter at Sjur har startet, er gitt ved: Frode: FðtÞ ¼ 60t þ 90 Sjur: SðtÞ ¼ 73t

2.38 Tegn grafen til hver funksjon: a

f ðxÞ ¼ x þ 2

c

hðxÞ ¼ 2x þ 3

b

Hvor langt er Sjur kommet etter 2,5 timer?

b

gðxÞ ¼ 3x 4

d

2 iðxÞ ¼ x þ 4 3

c

Når har Sjur kjørt 400 km?

d

Hvem kommer først til Trondheim?


Test deg selv

a

Tegn en graf som viser prisen for turer mellom 0 km og 20 km.

b

Hvor mye må Sofie betale for en tur på 11 km?

c

Hvor langt kan hun kjøre for 10 euro?

a

Forklar at høyden til planten etter x uker kan skrives som sðxÞ ¼ 8x þ 60

b

Definisjonsmengden til funksjonen er Ds ¼ ½0, 25 . Hva betyr det i praksis?

c

Hvor høy er planten etter fem uker?

d

Hvor mange uker tar det før planten er 1,32 m høy?

vu rd er

Et konkurrerende drosjeselskap har høyere startpris, men lavere kilometerpris. Prisen for en drosjetur på x kilometer hos dette selskapet er KðxÞ ¼ 1,1x þ 3,5

2.43 Julie kjøper en slyngplante som er 60 cm høy. Den vokser 8 cm hver uke.

in g

2.42 Sofie tar drosje i Spania. Prisen i euro for en drosjetur på x kilometer er gitt ved PðxÞ ¼ 1,2x þ 2

Hvor lang må turen være for at det skal lønne seg å bruke konkurrenten?

e

Hvordan kan du regne svaret i d i hodet?

Ku

n

til

d

89


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

Oppgavesamling

2.44 Tegn punktene i et koordinatsystem: A ð3, 4Þ

d

D ð0, 4Þ

b

B ð 3, 6Þ

e

E ð5, 0Þ

c

C ð 2, 1Þ

2.45 Finn koordinatene til punktene A, B, C, D og E.

Lag en verditabell som viser hva han tjener når han selger henholdsvis 20, 50 og 100 aviser.

Andrea selger også aviser, og lønna hennes følger grafen nedenfor: y, lønn (kr)

350

3

300

2

250

A

1

–3

b

400

4

–3 –2 –1 –1 C –2

Finn et funksjonsuttrykk f ðxÞ som viser hva han tjener når han selger x aviser.

450

y B

a

vu rd er

a

in g

2.47 Yngve selger aviser. Han får 60 kr for å møte på jobb og 3 kr for hver avis han selger.

2.1 Lineære funksjoner

200

D 1

2

3

4

5

150

x

100 50

E

til

2.46 En funksjon er gitt ved f ðxÞ ¼ 10 2x. Regn ut f ð0Þ, f ð1Þ og f ð2Þ.

b

Regn ut f ð 1Þ og f ð 2Þ.

c

Sett opp en tabell med x-verdier og funksjonsverdier som hører sammen. Bruk x-verdier mellom 2 og 4.

n

a

x, antall aviser

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

c

Ku

90

Hvem av dem tjener mest når begge selger 50 aviser?

2.48 En funksjon er gitt ved gðxÞ ¼ 3x 1. Fyll ut verditabellen: x

2

gðxÞ

7

1 2 1

8


−−−

Oppgavesamling

91

18

2.49

2.51 y

3

5

4

3

3

2

2 1

1

–1

5

y

3

vu rd er

Forklar at et funksjonsuttrykk som viser hva hun tjener når hun sitter barnevakt i x timer, er gitt ved LðxÞ ¼ 90x þ 130

b

Fyll ut tabellen:

2

2

1

1

1

–1

2 3 4 5 6 x

LðxÞ ¼ 90x þ 130

1

90 1 þ 130

2 3 4

y

ðx, yÞ

220

ð90, 220Þ

til

a

y er dobbelt så stor som x.

b

y er 2 mer enn halvparten så stor som x.

c

x og y har summen 5.

d

y blir ikke påvirket av verdien til x.

2.2 Grafer og funksjonsuttrykk 2.52 Figuren viser grafen til funksjonen f : y 4

f

n

y

3 2

3

1

2

1

–5 –4 –3 –2 –1 3

4

5

6

7

8

9

10 x

–2

Bruk grafen til å finne f ð 2Þ, f ð0Þ, f ð6Þ og f ð8Þ.

b

Hva blir x når f ðxÞ ¼ 1?

–2

1

2

3

4

5

x

Finn funksjonsuttrykket til f .

−−−−−−−−−−−−− M = ... −−−−−−−−−−−−−

a

–1

24

Ku

2 3 4 5 6 x

−−−−−−−−−−−−− C = ... −−−−−−−−−−−−−

2.50 Figuren viser grafen til funksjonen f ðxÞ:

2

1

22

Tegn punktene du har funnet i et koordinatsystem. Trekk en linje gjennom dem. Forklar at vi nå har uttrykt en funksjon på fire ulike måter.

1

–1

Hvilken påstand nedenfor passer til hvilken graf?

x

–1

y

−−−−−−−−−−−−− B = ... −−−−−−−−−−−−−

a

–2 –1

5

2 3 4 5 6 x

20

Aina sitter barnevakt. Hun får 130 kr for å møte opp og 90 kr for hver time hun jobber.

4

1

–1

4

3

f

2 3 4 5 6 x

4

4

c

y

−−−−−−−−−−−−−−− 19 −−−−−−−−−−−−−−−

4

1

2

5

in g

1


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

y, utslipp i tonn/mnd 250

2.56 Lag funksjonsuttrykk og tegn grafen til en funksjon som har a

stigningstall 3 og konstantledd 5

b

stigningstall

c

stigningstall 0 og konstantledd 3

(0, 240)

200

(20, 190)

150

vu rd er

100 50

20

30

40

50

2.54 Tegn grafen til hver av funksjonene: f ðxÞ ¼ x þ 3

b

3 gðxÞ ¼ x þ 4 2

7 hðxÞ ¼ 1 þ x 5

c

til

2.55 Finn funksjonsuttrykket til hver av grafene: 5

4

h

y

f

n

3 2 1

–1

–3 –2

g

–1

–2

–3

1

2

3

4

5 x

a

Lag et funksjonsuttrykk f ðxÞ som viser hvor mye bensin han har igjen på tanken når han har kjørt x mil.

b

Tegn grafen til funksjonen i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 30.

x, md.

Bruk grafen til å finne funksjonsuttrykket.

a

5 og konstantledd 1 3

2.57 Bensintanken på Einars scooter rommer 6 liter. Scooteren bruker 0,2 liter bensin per mil ved vanlig kjøring. Einar fyller full tank.

(40, 140)

10

in g

2.53 En bedrift blir pålagt å redusere utslippene av CO2 . Grafen viser utslippene per måned i tonn x måneder etter at de begynner å redusere utslippene.

Ku

92

2.58 Finn funksjonsuttrykk for en lineær graf som går gjennom punktene a

ð1, 4Þ og ð3, 7Þ

b

ð 2, 1Þ og ð2, 3Þ


Oppgavesamling

2.59 Figuren viser grafen til funksjonen f ðxÞ: y

Finn funksjonsuttrykket på formen f ðxÞ ¼ ax þ b.

(4, 5,7)

5

2.61 I en lineær funksjon f ðxÞ er konstantleddet 2 mer enn stigningstallet. Grafen går gjennom punktet ð8, 47Þ.

in g

6

(3, 5,05) f

4

2.62 Finn funksjonsuttrykket til hver av grafene:

3

y

2

7

6

vu rd er

h

1

5

1

2

3

4

5

3 0,65 ¼ 1,95 5,05 1,95 ¼ 3,1 f ðxÞ ¼ 0,65x þ 3,1

6 x

Undersøk om Leo er kommet fram til riktig funksjonsuttrykk.

b

Forklar hvordan Leo har tenkt.

til

a

n

2.60 Gå sammen to og to En av dere lager en lineær funksjon og holder den hemmelig. Den andre foreslår en x-verdi og får så vite funksjonsverdien. Slik fortsetter det helt til den andre har klart å gjette funksjonsuttrykket.

Ku

Det er om å gjøre å finne uttrykket på færrest mulig gjettinger.

f

4

g

Leo er kommet fram til funksjonsuttrykket for f ðxÞ på denne måten: 5,7 5,05 ¼ 0,65

93

3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6 x

–2

2.63 Tegn grafen til funksjonen f ðxÞ ¼ ax þ b i GeoGebra og lag glidere for a og b.

Beskriv hva som skjer med grafen når du endrer verdien til a.

Beskriv hva som skjer med grafen når du endrer verdien til b.


2.3 Skjæringspunkter

Forklar at funksjonsuttrykkene som viser den totale prisen ved kjøp av x bokser hårvoks i hver av de to butikkene, er gitt ved AðxÞ ¼ 89x þ 59 BðxÞ ¼ 98x

b

Bestem definisjonsmengden til AðxÞ.

c

Hva koster det å kjøpe tre bokser hårvoks i hver av de to nettbutikkene?

d

Hvor lønner det seg å kjøpe hårvoks hvis du skal handle for 500 kr?

e

Hvor mange bokser hårvoks må du minst kjøpe hvis det skal lønne seg å handle i nettbutikk A?

til

2.65 Remi får 100 kr i ukelønn. Prisen for en pose smågodt er gitt ved funksjonen f ðxÞ ¼ 12,90x der x er antall hektogram smågodt. a

Tegn grafen til f .

b

Hvor mye må Remi betale for 4,6 hg smågodt?

c

Hvor mye smågodt har Remi råd til hvis han bruker opp hele ukelønna?

f ðxÞ ¼ 3x þ 5 og gðxÞ ¼ 3x 1

b

1 f ðxÞ ¼ 3x þ 7 og gðxÞ ¼ x 1 3

2.68 Finn skjæringspunktet med y-aksen og eventuelle nullpunkter til hver av funksjonene: a

f ðxÞ ¼ 3x þ 6

c

hðxÞ ¼ x

b

gðxÞ ¼ x 2

d

4 iðxÞ ¼ x 5 3

2.69 Amir deler ut reklamehefter for firmaet BaX. Han får 50 kr i fastlønn hver dag og 2 kr for hvert reklamehefte han deler ut. La LðxÞ være lønna til Amir, mens x er antall reklamehefter han deler ut.

a

Forklar at LðxÞ ¼ 2x þ 50.

b

Tegn grafen til funksjonen.

c

Hvor mye tjener Amir en dag han deler ut 60 reklamehefter?

d

Hvor mange reklamehefter må Amir dele ut for å tjene 300 kr?

2.4 Lineære modeller 2.70 En plante er 12 cm høy når vi planter den. Planten vokser 2,5 cm hver uke. a

Lag en lineær modell hðxÞ som viser høyden til planten etter x uker.

b

Tegn grafen for x-verdier mellom 0 og 12.

a

c

Hvor høy er planten etter seks uker?

d

Planten vokser jevnt til den er 50 cm høy. Deretter avtar veksten. Bruk dette til å bestemme et gyldighetsområde for modellen din.

Ku

2.66 Edwin har vunnet 10 000 kr på et skrapelodd. Han bestemmer seg for å bruke gevinsten til å kjøpe et nytt lodd til 50 kr hver dag, helt til pengene tar slutt. Nye gevinster setter han i banken.

10

−− 9 −−−−−−−−−−−−−−−

a

vu rd er

a

n

−−−−−−−−−−−−−−− 15 −−−−−−−−−−−−−−−

14

−−−−−−−−−−−−−−− 13 −−−−−−−−−−−−−−−

12

−−−−−−−−−−−−−−− 11 −−−−−−−−−−−−−−−

2.64 I nettbutikk A koster en boks hårvoks 89 kr. Du må også betale 59 kr i frakt hvis du kjøper ti eller færre bokser. I nettbutikk B koster det samme produktet 98 kr, men denne butikken reklamerer med gratis frakt.

2.67 Finn skjæringspunktet mellom grafene til funksjonene for hånd og med digitale hjelpemidler.

in g

−−−−−−−−−−−−−−− 17 −−−−−

KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

16

94

b

Forklar at beløpet han har igjen etter x dager, er gitt ved funksjonen f ðxÞ ¼ 10 000 50x Finn nullpunktet til f og gi en praktisk tolkning av svaret.


b

Anslå et passende gyldighetsområde for modellen.

c

Hvor høy er en person som bruker skostørrelse 41, ifølge modellen?

Forklar hva tallene 250 000 og 20 000 forteller i denne modellen.

b

Når er det 70 000 kr igjen av stipendet?

c

Hvor lenge kan hun leve på dette stipendet?

2.74

Hvilken skostørrelse vil en person på 190 cm bruke hvis modellen stemmer?

2.72 Bensintanken på bilen til Inga rommer 50 liter. Ved vanlig kjøring forbrenner bilen 0,5 liter bensin per mil.

b

Finn gyldighetsområdet for modellen.

c

Tegn grafen til BðxÞ i gyldighetsområdet.

d

Hvor mange liter er det igjen på tanken når Inga har kjørt 30 mil? Forklar hvorfor svaret er usikkert.

Ku

a

Tegn figur 4.

b

Lag en modell f ðxÞ som viser hvor mange ruter det er på figur nummer x.

2.75 Jostein og Camilla sparer penger på hver sin konto. Camilla har 7000 kr på kontoen når hun begynner å spare. Hun setter av 600 kr hver måned. a

Sett opp en modell som viser hvor mye penger Camilla har på kontoen sin etter x måneder.

Jostein har 3000 kr på konto når han begynner å spare, og setter også av et fast beløp hver måned. b

Hvor mye må Jostein spare hver måned for at han skal ha like mye på kontoen som Camilla etter åtte måneder?

−−−−−−−−−−−−−−− 7 −−−−−−−−−−−−−−−

8

Hege er kunstmaler og har fått et stipend for å male. Hun er redd stipendet ikke er stort nok til at hun kan klare seg økonomisk. Hege har regnet ut et fast beløp som hun bruker av stipendet hver måned.

Figur 3

6

n

2.73

til

Lag en modell BðxÞ som viser hvor mye bensin det er igjen på tanken når hun har kjørt x mil.

Figur 2

−−−−−−−−−−−−−−− 5 −−−−−−−−−−−−−−−

a

Figur 1

4

vu rd er

d

a

in g

Forklar hva stigningstallet viser i denne modellen.

f ðxÞ ¼ 250 000 20 000x

−−−−−−−−−−−−−−− 3 −−−−−−−−−−−−−−−

a

En modell som viser hvor mye hun har igjen av stipendet etter x måneder, er gitt ved

2

2.71 Sammenhengen mellom høyden og skostørrelsen til en person kan uttrykkes med modellen hðxÞ ¼ 5,3x 43,4 Her er x skostørrelsen, og hðxÞ er høyden målt i centimeter.

95

−−−−−−−−−−−−−−− 1 −−−−−−−−−−−−−−−

Oppgavesamling

−−−−−−−


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

in g

2.78 Dion har startet et firma som tilbyr undervisningstimer i klassisk piano. Tabellen viser hvor mye han har tjent totalt etter en, to, tre, fire og fem måneder:

2.76

Måneder etter oppstart Samlet inntekt i kroner

a Figur 2

Figur 3

a

Tegn figur 4 og figur 5. Hvor mange ruter er det i hver av disse figurene?

b c

1

2

3

4

5

6000 10 000 13 000 16 000 20 000

Tegn et spredningsdiagram der x-verdiene viser måneder etter oppstart, og y-verdiene viser den totale inntekten.

vu rd er

Figur 1

b

Lag en modell f ðxÞ som viser hvor mange ruter det er i figur nummer x.

Trekk en linje gjennom det første og det siste punktet og bruk linja til å finne en lineær modell for de samlede inntektene, IðxÞ, etter x måneder.

c

Bruk modellen til å finne ut hvor mange ruter det er i figur 26.

Hva er stigningstallet i denne modellen, og hva forteller det i praksis?

d

Hvor mye har Dion tjent etter åtte måneder, ifølge modellen?

2.77 Verditabellen viser koordinatene til fem punkter: x

1

3

6

y

17

15

9

7

10

8

4

2.79 Tabellen viser hvordan den årlige gjennomsnittstemperaturen i grader celsius, TðxÞ, har utviklet seg på et sted i Norge x år etter 1950: År etter 1950

5

15

25

35

45

55

65

T

4,1

4,5

4,4

5,0

5,4

5,8

6,5

Tegn punktene for hånd i et koordinatsystem.

b

Trekk den rette linja som passer best til punktene du har tegnet.

c

Bestem et funksjonsuttrykk for linja.

a

d

Gjør regresjon med et digitalt hjelpemiddel. Sammenlikn resultatet med funksjonsuttrykket du kom fram til for hånd.

Bruk lineær regresjon til å finne en modell som gir temperaturen som en funksjon av tiden.

b

Hvor mye stiger temperaturen per år, ifølge modellen?

c

Hva vil gjennomsnittstemperaturen være i 2035 hvis utviklingen fortsetter?

n

til

a

Ku

96


Oppgavesamling

2.80

2.82 y 100

220

y, levealder

90

200

80

180

70 (0, 76,47)

160

60

140

50

120

40

100

30

80

20

60 20

(8, 78,85)

(12, 80,03) (16, 81)

x, år etter 2002

vu rd er

10

40

(4, 78,12)

in g

240

97

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1

2

3

4

5

6 x

a

Tegn for hånd den linja som passer best til punktene i spredningsdiagrammet. Linja er grafen til en modell. Finn funksjonsuttrykket for denne modellen.

b

Bruk lineær regresjon på digitalt verktøy til å finne en modell som passer til punktene på spredningsdiagrammet.

til

2.81 BNP er en forkortelse for brutto nasjonalprodukt. Det er et mål på den samlede økonomiske aktiviteten i Norge. Tabellen viser BNP per innbygger i noen utvalgte år etter 2002: BNP per innbygger (kr)

0 4 8 12 16

343 978 475 536 530 036 611 359 664 483

n

År etter 2002

Bruk lineær regresjon til å finne en modell, f ðxÞ, som viser BNP per innbygger x år etter 2002. Tegn grafen til modellen.

b

Statistisk sentralbyrå (SSB) oppgir at BNP i 2008 var 546 765 kr per innbygger. Hvordan stemmer dette med modellen?

c

Når vil BNP per innbygger passere 800 000 kr, ifølge modellen?

Ku a

(Kilde: SSB)

Figuren viser forventet levealder for norske menn i noen utvalgte år. Her står y-verdien for alderen i år, mens x-verdien viser antall år etter 2002. a

Bruk lineær regresjon til å finne en modell, gðxÞ, som viser forventet levealder for norske menn x år etter 2002.

b

Hva er ifølge modellen forventet levealder i 2030?

c

Når vil forventet levealder for norske menn være 90 år hvis utviklingen fortsetter?

En funksjon som viser alderen til norske menn født i 2002, er gitt ved f ðxÞ ¼ x Her er f ðxÞ alderen, og x er antall år etter 2002. d

Hvor gammel kan en norsk mann regne med å bli dersom forventet levealder fortsetter å utvikle seg etter modellen gðxÞ?


KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

2.83 Lise har startet et selskap som selger klær. Tabellen nedenfor viser verdien av selskapet i millioner kroner x år etter 2011:

2.85 Tegn punktene i et koordinatsystem:

Verdi (mill. kr)

a

A ð2, 5Þ

2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

0 1 2 3 4 5 6 7

2,30 3,70 4,87 6,26 7,62 8,81 11,52 12,30

b

B ð4, 6Þ

c

C ð 3, 2Þ

d

D ð0, 3Þ

e

E ð 5, 0Þ

in g

År etter 2011

2.86 En funksjon er gitt ved f ðxÞ ¼ 8x 4

vu rd er

a

Blandede oppgaver

Årstall

a

Bruk regresjon til å finne en lineær modell, f ðxÞ, for verdien av selskapet disse årene.

b

Tegn grafen til f for x-verdier mellom 0 og 15.

c

Hva er verdien i starten av 2017 ifølge modellen? Hvordan stemmer dette tallet med virkeligheten?

d

Når passerer verdien 20 millioner kroner, ifølge modellen?

Løs likningen: 8x 4 ¼ 0

b

1 Kontroller svaret i a ved å regne ut f . 2

c

Hva forteller svaret i a om grafen til f ?

d

Bestem x slik at f ðxÞ ¼ 36.

2.87 Figuren viser grafen til funksjonen f ðxÞ: y

5

2.84 Camilla studerer, og et år får hun 114 000 kr i stipend og lån av Lånekassen. Hun har notert seg hvor mye hun har igjen av pengene etter hver av de fire første månedene. Nå lurer hun på om hun må finne seg en jobb for å få nok penger til å komme seg gjennom året.

4 3

til

n

Måneder etter studiestart Forbruk

0

a

b

1

114 000 99 520

Ku

98

2

3

4

84 000

71 300

55 200

Bruk regresjon til å finne en modell som viser hvor mye hun har igjen av lån og stipend etter x måneder. Hvor mye må hun tjene ved siden av hvis hun skal klare seg økonomisk dette året?

2 1 –1

–1

1

2

3

4 x

–2

a

Finn konstantleddet.

b

Hvordan kan vi se at stigningstallet er positivt?

c

Finn stigningstallet.


Oppgavesamling

2.88

2.89 Tabellen viser hvor fort Mads løper 3000 meter når han er 14 år, 15 år og 16 år: Tid i minutter og sekunder

in g

Alder 14 15 16

Et borettslag med 16 leiligheter har fått en regning på 47 500 kr for reparasjoner av taket på en av bygårdene. Borettslaget har 20 000 kr på konto og sender i tillegg ut en faktura på 2500 kr til hver av leilighetene. Lag en modell KðxÞ som viser hvor mye borettslaget har på konto etter at x leiligheter har betalt fakturaen.

Gjør om tiden til sekunder. Bruk lineær regresjon til å finne en modell for hvor fort Mads løper 3000 m når han er x år gammel.

Bestem et gyldighetsområde for modellen.

c

Tegn grafen til modellen i gyldighetsområdet.

d

Hvor mange leiligheter må ha betalt fakturaen før borettslaget kan betale for reparasjonene?

b

Hvor fort vil han da løpe 3000 m når han er 18 år?

c

Diskuter med en klassekamerat hva som kan være et egnet gyldighetsområde for modellen.

2.90 En funksjon er gitt ved f ðxÞ ¼ 100 4x

a

Regn ut f ð0Þ. Hva forteller svaret om grafen til f ?

b

Finn nullpunktet til f .

2.91 Figuren viser grafene til funksjonene f ðxÞ, gðxÞ og hðxÞ: y

til

b

6

h

Hvor mange penger har borettslaget på konto etter at takreparasjonene er betalt, hvis alle leilighetene betaler fakturaen på 2500 kr?

Ku

f

5

g

4 3 2

n

e

14 min 56 s 14 min 35 s 14 min 19 s

vu rd er

a

a

99

1 –4 –3 –2

–1

–1

1

2

3

4

x

a

Finn funksjonsuttrykket til hver av grafene.

b

Sammenlikn funksjonsuttrykkene for f og g. Hva har de til felles?

c

Sammenlikn funksjonsuttrykkene for f og h. Hva har de til felles?


100 KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

2.92 En rute i hver kolonne hører sammen med en rute i hver av de andre kolonnene. Finn fire og fire ruter som hører sammen: Kolonne B

Kolonne C

Funksjonsuttrykk

Grafen til f

Stigningstall

Konstantledd

0

0

f ðxÞ ¼ 2x

y 5 f

4 3

vu rd er

2

Kolonne D

in g

Rad 1

Kolonne A

1

–1

1

–1

2

3

4 x

–2

Rad 2

f ðxÞ ¼ 3

y

1

3

2

2

3

2

4 3 2

f

1

–1

1

–1

2

3

4 x

Rad 3

til

–2

f ðxÞ ¼ 2 x

y

4 3

f

2

–1

Ku

n

1

Rad 4

1

–1

f ðxÞ ¼ 3x 2

2

3

4 x

y 4 f

3 2 1 –1

–1

1

2

3

4 x


Oppgavesamling 101

er parallell med grafen til f .

b

har negativt stigningstall og skjærer y-aksen i samme punkt som grafen til f .

c

er horisontal og skjærer grafen til f i punktet ð1, 5Þ.

d

er parallell med grafen til f og går gjennom origo.

2.94 Tegn grafen til hver av funksjonene: a

f ðxÞ ¼ 4x 3

b

gðxÞ ¼ 3x þ 7

c

4 hðxÞ ¼ x 3 5

2.95 Finn stigningstallet til linja gjennom punktene A ð1, 3Þ og B ð2, 8Þ

b

A ð3, 7Þ og B ð14, 4Þ

til

a

n

2.96 På treningssenteret «Tøy og bøy» betaler du en fast årsavgift og en dagspris for hver dag du trener. Forklar at totalkostnaden KðxÞ ved å trene x dager i året er en funksjon på formen KðxÞ ¼ ax þ b

Ku

a

b

c

Tegn linjene x ¼ 40 og y ¼ 2000.

d

Hvor høy kan dagsprisen være når årsavgiften er 360 kr?

e

Hvor høy kan årsavgiften være når dagsprisen er 30 kr?

2.97 Marker punktene A ð1, 5Þ og B ð5, 3Þ. Skriv inn f ðxÞ ¼ ax þ b i GeoGebra. Bruk glidere til å finne verdiene til a og b slik at grafen til f går gjennom punktene A og B.

vu rd er

a

Du ønsker å trene 40 dager i løpet av året, men kan bruke maksimalt 2000 kr.

in g

2.93 En funksjon f er gitt ved f ðxÞ ¼ 3x þ 2 Finn funksjonsuttrykket til en graf som

Lag en glider i GeoGebra og kall den «dagspris». Velg intervallet ½0, 50 for glideren. Lag en ny glider som du kaller «årsavgift». Velg intervallet ½100, 800 . Skriv inn «KðxÞ ¼ dagspris x þ årsavgift» i GeoGebra.

2.98 Tabellen viser hvor mye havnivået på jorda har steget siden 1993 for noen utvalgte år: År etter 1993

0

5

10

15

20

25

Økning i havnivå (i mm) 0,00 17,66 32,88 43,31 67,19 86,42

a

Bruk regresjon til å finne en modell f ðxÞ som viser hvor mange millimeter havnivået har steget siden 1993.

b

Hvor mye vil havnivået endre seg mellom 1993 og 2023, ifølge modellen?

Bent og Ida diskuterer hvor lang tid det vil gå før havnivået har steget 120 mm etter 1993. Bent løser oppgaven ved å løse likningen f ðxÞ f ð0Þ ¼ 120 i CAS. Han får svaret x ¼ 35:53. Ida løser oppgaven ved å finne skjæringspunktet mellom linja y ¼ 120 og grafen til f . Hun får svaret x ¼ 35,82. c

Diskuter hvorfor Bent og Ida ikke får det samme svaret.


102 KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

2.99 Tabellen viser prosentandelen av befolkningen som har brukt ulike tjenester på Internett fra 2012 til 2018: 2012

2014

2016

2018

0

2

4

6

87 85 27 30 33 53

89 88 25 33 39 52

90 90 29 33 40 54

93 92 31 41 45 61

Svett

12 000

in g

År etter 2012 E-post Banktjenester Salg av varer og tjenester Kjøp av film/musikk Kjøp av klær/sportsartikler Kjøp av reiser/innkvartering

Årsavgiften er 3000 kr, og du betaler 60 kr per dag

y, pris (kr)

10 000 8 000 6 000 4 000

vu rd er

Årstall

Frisk

2 000

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

(Kilde: SSB)

a

b c

For hvilken tjeneste ligger endringen i bruk nærmest en lineær modell? Finn en lineær modell, f ðxÞ, for prosentandelen som bruker denne tjenesten x år etter 2012.

Rask

f ðxÞ ¼ 70x þ 2000 Sprek

Hvilken tjeneste har økt mest i antall brukere fra 2012 til 2018?

Hvilken tjeneste har hatt den største prosentvise økningen i antall brukere?

n

Hvilket treningssenter er billigst når du trener 50 dager? Hva er prisen da?

Ku

a

b

Hvor kan du trene flest dager for 7700 kr? Hvor mange ganger kan du trene?

c

Hvilket treningssenter er dyrest når du trener 70 dager? Hva er prisen da?

d

Lag funksjonsuttrykk som viser den årlige prisen du må betale på hvert treningssenter når du trener x dager.

x

20

30

50

90

y

5600

5900

6500

7700

2.101

y

til

2.100 På de fire treningssentrene Frisk, Rask, Svett og Sprek betaler du en fast medlemsavgift i året og et beløp for hver dag du trener. Øverst i neste spalte ser du fire funksjoner som viser sammenhengen mellom antall dager du trener (x), og den totale prisen du må betale (y) på hvert av treningssentrene i løpet av et år.

x, dager

4 f

3 2 1 –1

g

1

2

3

4

5

x

–1

Finn funksjonsuttrykkene til f og g.


Øv til eksamen 103

Tenk deg at du har en gradestokk som viser celsiusgrader, og en gradestokk som viser fahrenheitgrader.

2.102 (Eksamen 2P våren 2016) Marte er telefonselger og har en fast grunnlønn per time. I tillegg får hun et fast beløp for hvert produkt hun selger. En time solgte hun to produkter. Hun tjente da til sammen 170 kr. Den neste timen solgte hun fire produkter og tjente da til sammen 220 kr.

b

Hvor kaldt må det være ute for at de to gradestokkene skal vise samme verdi?

c

Sett opp en formel som viser sammenhengen mellom grader celsius og grader fahrenheit.

d

Bruk formelen i c til å vise at 100 C er det samme som 212 F.

Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom hvor mange produkter Marte selger i løpet av en time, og hvor mye hun tjener denne timen.

b

Bruk den grafiske framstillingen til å bestemme Martes grunnlønn per time og det beløpet hun får for hvert produkt hun selger.

c

Hvor mange produkter må Marte selge i løpet av en time dersom hun skal tjene 370 kr denne timen?

til

2.103 (Eksamen 1T våren 2019) I Norge måler vi temperaturen i grader celsius, C. I USA måles temperaturen i grader fahrenheit, F. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom celsiusgrader og fahrenheitgrader:

a

Hvor mange timer passet hun barna denne lørdagen?

b

Finn en lineær funksjon som viser sammenhengen mellom hvor lenge Gloria passer barna (x timer), og hvor mye hun får betalt (y kr).

c

Bruk grafen nedenfor til å bestemme hvor mye Gloria får betalt en lørdag hun passer barna i seks timer.

450 350

300

30

0

10

250

Grader fahrenheit, F

58

22

32

50

200

n

50

Tegn et koordinatsystem med celsiusgrader langs x-aksen og fahrenheitgrader langs y-aksen. Marker verdiene fra tabellen som punkter i koordinatsystemet og tegn en rett linje gjennom punktene.

y, kroner

400

Grader celsius, C

Ku

a

2.104 Gloria passer barna til naboen på lørdager. Hun får 80 kr for å møte opp, og i tillegg har hun en timelønn på 50 kr. En lørdag fikk Gloria til sammen 180 kr.

vu rd er

a

in g

Øv til eksamen

150 100 50 0

1

2

3

4

5

6 x, timer


104 KAPITTEL 2 – LINEÆRE FUNKSJONER OG MODELLER

y, kilometer 600

2.107 (Eksamen 2P våren 2017) Temperaturen blir lavere dess høyere vi kommer. Spiterstulen ligger 1106 m over havet. Toppen av Galdhøpiggen ligger 2469 m over havet. En dag er temperaturen på Spiterstulen 12 C. Vi går ut fra at temperaturen TðxÞ C x meter over Spiterstulen denne dagen er gitt ved

500

a (20, 225.9)

200 100

x, landmil

5

Hvor høyt over Spiterstulen er du når temperaturen denne dagen er 5 C?

b

Bestem temperaturen på toppen av Galdhøpiggen samme dag.

c

Hvor mange grader faller temperaturen per 100 m stigning denne dagen?

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Finn stigningstallet til den rette linja.

Ved utgangen av 1600-tallet skulle posten bruke 4,5 døgn mellom Christiania (Oslo) og København. Transporttiden svarte til at posten i gjennomsnitt brukte to timer per landmil.

Hvor mange landmil utgjorde denne postruta? Hvor mange kilometer svarer det til?

2.106 y 5 4

2.108 (Eksamen 2P våren 2019) Et budfirma henter små pakker i forretninger og kjører pakkene ut til kundene. Den totale prisen en forretning må betale for å få kjørt ut x pakker, er gitt ved en lineær sammenheng y ¼ ax þ b. Grafen nedenfor illustrerer denne sammenhengen: y, total pris (kroner)

til

b

0 x 1400

vu rd er

300

a

TðxÞ ¼ 0,0065x þ 12,

(40, 451.8)

400

in g

2.105 (Eksamen 2P høsten 2019) Landmil er en gammel norsk målenhet. Den grafiske framstillingen nedenfor viser sammenhengen mellom landmil og kilometer:

(8, 550)

3

n

(4, 350)

A

2

Ku

1

–1

1

2

3

4 x

a

Skriv koordinatene til punkt A.

b

Hvilken funksjon passer med grafen i koordinatsystemet?

x, pakker

a

Bestem tallene a og b.

b

Gi en praktisk tolkning av disse tallene.


Øv til eksamen 105

Antall charms

3

a b

1350 2450

a

Bestem en lineær funksjon som viser sammenhengen mellom antall solgte aviser (x) og lønna (y).

b

Tegn en graf for denne sammenhengen.

2.112 (Eksamen 2P våren 2015, noe endret) Tabellen viser antall kvinnelige studenter i Norge noen utvalgte år:

vu rd er

Pris for armbånd med charms (kr)

7

2.111 På lørdager selger David aviser. Han har en fastlønn på 50 kr, og i tillegg får han 5 kr per avis han selger.

Hvor mye koster armbåndet, og hvor mye koster hver charm? Lag en lineær modell som viser sammenhengen mellom antall charms på armbåndet og samlet pris for armbånd med charms.

Hanne betaler 3825 kr for et armbånd med charms. c

in g

2.109 (Eksamen 2P høsten 2017) I en butikk kan kundene kjøpe armbånd og charms (små figurer) til å feste på armbåndene. Butikken selger alle charms til samme pris. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall charms en kunde setter på et armbånd, og prisen kunden må betale for armbåndet med charms:

Hvor mange charms har hun på armbåndet?

til

2.110 Benedikte har laget disse tre figurene av fyrstikker:

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Hun vil lage flere figurer etter samme mønster som ovenfor. Hvor mange fyrstikker trenger hun for å lage figur 5?

b

Sett opp en formel som viser hvor mange fyrstikker hun trenger for å lage figur n.

Ku

n

a

År

Antall kvinnelige studenter

2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013

53 553 58 237 59 562 63 292 62 957 68 391 73 332

La x ¼ 0 svare til år 2000, x ¼ 1 til år 2001 osv. a

Bruk opplysningene i tabellen til å lage en lineær modell som viser hvordan antall kvinnelige studenter har utviklet seg i denne perioden.

Anta at denne utviklingen fortsetter i årene som kommer. b

I hvilket år vil antall kvinnelige studenter passere 85 000?


in g

til

vu rd er

3

BRØK, FORHOLD OG PROSENT

n

ca. 1500

Ku

Leonardo da Vinci bruker forhold og komposisjon i mange av sine malerier, tegninger og vitenskapelige skrifter.

2000 f.Kr.

1000 f.Kr.

År 0

800

1700 f.Kr.

600 f.Kr.

ca. 850

Egypterne lager stambrøker med teller lik 1

De første kjente myntene dukker opp, med en blanding av gull og sølv

Mãhavîra, indisk matematiker, utvikler en metode for å skrive enhver brøk som en sum av stambrøker


8 0,25 er større enn 8 0,25. Forklar at

Hvorfor blir ikke svaret det tallet du tenkte på?

vu rd er

To like store areal

in g

Tenk på et tall. Legg til 10 % og trekk deretter fra 10 %.

Ku

n

til

Bruk et kvadratisk ark. Brett det slik at det blir delt i to like store areal. Hvor mange ulike løsninger finner dere?

1200 ca. 1200 Leonardo fra Pisa (Fibonacci) tar i bruk brøkstreken

ca. 1500

1400

1640

1600 1500-tallet Prosentregning blir innført når bankene vokser fram i Italia

1637 Fermats siste setning er en matematisk likning som det tok mer enn 350 år å bevise, i 1995

1643 Blaise Pascal lager den første regnemaskinen


108 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

UTFORSK Du trenger: brikker og spillebrett Spillebrett: 2

3

4

5

6

7

8

9

10

vu rd er

1

in g

3.1 Brøk, faktorisering og forkorting

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Den første spilleren legger en brikke på et hvilket som helst partall.

Neste spiller må legge sin brikke på et ledig tall som enten er en faktor i forrige tall, eller som det forrige tallet er en faktor i.

til

Ku

n

Faktor Tallene 3 og 4 er eksempler på faktorer i tallet 12, fordi 12 ¼ 3 4. Andre faktorer i 12 er 1, 2, 6 og 12.

Hvis det for eksempel blir lagt en brikke på tallet 15, kan neste spiller velge å legge brikken sin på et av tallene 1, 3, 5, 30, 45, 60, 75 og 90 som er ledig.

Spillet fortsetter på samme måte, og spillerne legger brikker annenhver gang.

Den første spilleren som ikke har noe tall å legge brikke på, har tapt.

Finner dere noen strategi for hvilke tall det er lurt å legge brikker på?


Brøk, faktorisering og forkorting 109

Brøk og forkorting

a b

teller brøkstrek nevner

in g

Et tall skrevet som brøk inneholder en teller, en nevner og en brøkstrek. Nevneren viser hvor mange deler det hele er delt opp i, og telleren viser hvor mange av delene vi har. Brøkstreken betyr det samme som et divisjonstegn. Når vi utvider en brøk ved å gange med samme tall i teller og nevner, endrer vi ikke brøkens verdi. Det er fordi verdien av en brøk med samme tall 3 i teller og nevner har verdien 1, for eksempel er ¼ 1. 3

EKSEMPEL 1 Forkort brøkene: a

21 14

b

162 42

1 3

=

1·2 = 3·2

vu rd er

Å forkorte en brøk er det motsatte av å utvide brøken. Vi faktoriserer teller og nevner og grupperer de tallene som er faktorer både i teller og nevner. Deretter kan vi forkorte.

=

2 6

Løsning: 21 3 7 3 7 3 3 a ¼ ¼ ¼ 1¼ 14 2 7 2 7 2 2 b

162 27 3 2 27 3 2 27 27 ¼ ¼ ¼ 1 1¼ 42 3 7 2 7 3 2 7 7

til

Utregningen kan også skrives slik: 162 27 3 2 27 =3 =2 27 ¼ ¼ ¼ 42 3 7 2 7 =3 7 =2

Ku

n

Det er ikke nødvendig å gjøre om svaret til blandet tall. 27 som svar. Vi beholder brøken 7

Reflekter og diskuter! Forklar at begge disse utregningene er riktige: 3 5 3 5 ¼ ¼3 1¼3 5 1 5 3 5 3 =5 ¼3 ¼ =5 5

Hvilken metode foretrekker du?

Oppgave: 3.1


110 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

Addisjon og subtraksjon av brøker

in g

Når vi legger sammen og trekker fra brøker, må vi sørge for at de har lik nevner. Det gjør vi ved å utvide brøkene. Når vi ganger en brøk med samme tall i teller og nevner, endrer vi ikke brøkens verdi.

UTFORSK

vu rd er

Bruk papirlapper eller brøkstaver. 1 2 Forklar hvordan vi kan regne ut þ 2 5

Vi illustrerer

Utvid brøkene til felles nevner

+ 1 3

1 2

¼

1 2 1 3 þ ¼ 3 2 2 3

til

þ

1 1 þ med figurer: 3 2

Addisjon og subtraksjon

Ku

n

av brøker:

Regn ut tellerne og behold nevneren

+

2 6

þ

3 6

¼

2þ3 6

¼

5 6


Brøk, faktorisering og forkorting 111

EKSEMPEL 2 Legg sammen de to brøkene:

in g

1 4

Addisjon og subtraksjon av brøker 1 Utvide brøkene så de får felles nevner. 2 Regn ut tellerne og behold nevneren. 3 Forkort svaret.

1 8

+ 1 4

þ

vu rd er

Løsning: Utvid brøkene til felles nevner

1 8

¼

1 2 1 þ 4 2 8

+

¼

2 8

þ

=

1 8

¼

3 8

I neste eksempel viser vi hvordan vi trekker fra brøker.

EKSEMPEL 3 Regn ut

3 1 . 2 10

til

Løsning: 3 1 3 5 1 15 1 15 1 14 7 2 7 2 7 7 ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 1¼ 2 10 2 5 10 10 10 10 10 5 2 5 2 5 5

n

Digital løsning: Vi løser oppgaven med CAS. Vi skriver inn uttrykket og trykker på knappen

Ku

1

Svaret er

7 . 5

:

Oppgaver: 3.2–3.3, 3.6

Reflekter og diskuter! Hvordan kan vi illustrere

=

Det er vanlig å forkorte brøker så mye som mulig. Samme tall i teller og nevner gir svaret 1: 2 ¼1 2 a ¼1 a

3 1 med rektangler? 4 2


112 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

Multiplikasjon av brøker

1 4

2 12

=

Figuren viser hvordan vi tenker når vi multipliserer to brøker. Vi har markert en firedel av den første figuren og to tredeler av den andre figuren. 1 2 Produktet blir da det som er felles for de to markerte områdene 4 3 når vi legger figurene oppå hverandre, nemlig en firedel av to tredeler. 2 1 Av figuren ser vi at det blir , som er det samme som . 12 6

vu rd er

Multiplikasjon av brøk Vi multipliserer teller med teller og nevner med nevner.

2 3

·

in g

Multiplikasjon gjør vi ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner:

Reflekter og diskuter!

Hva er halvparten av 15? Hva er

1 2 av 15? Hva er av 15? 3 3

Forklar at vi finner en brøkdel av et tall ved å multiplisere brøken med tallet.

EK SEMPEL 4 Regn ut: 2 3 5 7

til

a

b

5

3 10

Løsning: 2 3 2 3 6 ¼ ¼ a 5 7 5 7 35

Ku

n

Utregningen kan illustreres slik:

Hele tall kan også skrives som brøker: 5 5¼ 1

2 5

b Oppgave: 3.4

5

·

3 7

3 5 3 5 3 3 5 3 3 ¼ ¼ ¼ ¼ 1¼ 10 1 10 1 10 2 5 2 2

=

6 35


Brøk, faktorisering og forkorting 113

Reflekter og diskuter!

a

1 4

b

3 5

c

1 3 þ 4 5

d

1 3

EKSEMPEL 5

vu rd er

I neste eksempel løser vi et praktisk problem med brøk, ved hjelp av en illustrasjon.

in g

2 kan visualiseres som en sirkelsektor på 240 , eller som 3 et tredelt kvadrat, der to av tre deler er fargelagt. Hvordan kan du illustrere brøkene og regnestykkene nedenfor?

Vilde og Sara bestemmer seg for å leie elsykkel for en dag. Det koster 890 kr. Vilde skal bruke sykkelen i tre timer og Sara i fire timer. De er enige om å dele leia etter hvor mye tid de bruker elsykkelen. Hvor mye skal hver av dem betale?

Løsning: Vi løser oppgaven med problemløsningsstrategi.

Forstå problemet Oppgaveteksten forteller at en dag tilsvarer ð3 þ 4Þ timer ¼ 7 timer. Vilde og Sara skal betale for tiden hver av dem bruker elsykkelen.

Ku

n

til

1

Problemløsning 1 Forstå problemet 2 Lage en plan 3 Gjennomføre planen 4 Se tilbake


114 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

2

Lage en plan For å få bedre oversikt tegner vi en figur

Vilde 3 t

Sara 4 t

in g

Totalt timer

Av figuren ser vi at Vilde skal betale

Gjennomføre planen Vi regner ut hvor mye hver av dem skal betale.

vu rd er

3

Vilde: 3 890 381 7 Vilde betaler 381 kr i leie.

4

Sara: 4 890 509 7 Sara betaler 509 kr i leie.

Se tilbake Sara bruker sykkelen mer enn Vilde, og utregningen viser at Sara også betaler mer i leie. Prisen for å leie elsykkel en dag var 890 kr, og det stemmer med det jentene betaler totalt, nemlig 381 kr þ 509 kr ¼ 890 kr.

til

Oppgaver: 3.7–3.9

3 4 av leieprisen, mens Sara skal betale . 7 7

Reflekter og diskuter!

1 av et tall er 3. Hvilket tall er utgangspunktet? 4

Ku

n

3

1 av hele rektangelet? 3

Hvorfor er ingen av de tre små rektanglene

Et tau på 2 m skal deles opp i små taubiter på 0,25 m. Hvor mange taubiter blir det? Hvorfor er dette brøkregning?


Brøk, faktorisering og forkorting 115

−−−−−−−−−−−−−−− 43 −−−−−−−−−−−−−−−

Brudden brøk og divisjon

EKSEMPEL 6

a

b

Løsning: 2 3 a ¼ 5 6

10 5 4

2 6 2 2 4 3 ¼ ¼ 5 5 5 6 6

Digital løsning:

10 10 4 40 ¼ ¼ ¼8 5 5 5 4 4 4

b

uttrykket og trykker på knappen

=

:

Alternativt kan vi regne ut med Python. Vi setter uttrykket inn i Python og skriver svaret til skjerm: print(10/(5/4))

Resultat:

til

8.0

−−−−−−−−−−−−−−− 47 −−−−−−−−−−−−−−−

1

1

46

Vi bruker CAS til å løse b. Vi setter inn

Brudden brøk Vi utvider brøken slik at vi kan forkorte nevnerne.

−−−−−−−−−−−−−−− 45 −−−−−−−−−−−−−−−

2 3 5 6

vu rd er

Regn ut:

44

in g

Når telleren eller nevneren inneholder en brøk, kaller vi det en brudden brøk. For å forenkle en brudden brøk ganger vi med samme tall over og under hovedbrøkstreken, slik at vi kan forkorte nevnerne.

Reflekter og diskuter!

n

Ku

Vi dividerer brøker ved å snu den siste brøken og gange i stedet. For eksempel er

Multiplikasjon og divisjon av brøker:

−−−−−−−−−−−−−−− 49 −−−−−−−−−−−−−−−

2 2 5 7 2 3 2 7 2 7 2 7 5 5 : ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 3 3 5 7 3 5 5 3 5 3 5 7 7 7

48

Undersøk om utregningen nedenfor stemmer. Kan du bruke utregningen til å formulere en regel for divisjon med brøk?

2 8 2 2 2 2 4 1 4 1 1 : ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 1¼ 5 2 5 8 5 8 40 10 4 10 10

50


116 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

EK SEMPEL 7

in g

Regn ut med digitalt verktøy og for hånd: 6 3 3 1 a : b 2 þ 2 6 8 2

Løsning: a

Divisjon av brøk Vi snur den bakerste brøken og ganger.

Vi løser oppgaven med CAS ved å skrive inn uttrykket og trykke på

vu rd er

1

=

.

Vi regner ut for hånd: 6 3 6 6 6 6 6 6 6 : ¼ ¼ ¼ ¼ ¼6 2 6 2 3 2 3 1 6 1

b

Vi viser digital løsning både med CAS og programmering. Vi skriver inn uttrykket i CAS og trykker på knappen

=

:

Vi regner ut med Python: 1

print(2*((3/8) + (1/2)))

Resultat:

1

7/4

Vi regner ut for hånd: 3 1 3 1 4 3 4 3þ4 7 14 7 2 7 þ ¼2 þ ¼2 þ ¼2 ¼2 ¼ ¼ ¼ 2 8 2 8 2 4 8 8 8 8 8 4 2 4

til

Ku

n

EK SEMPEL 8

Oppgave: 3.5

2 av en pizza. Familien på seks personer deler likt 3 slik at alle får en pizzabit hver.

Det står igjen

Hvor stor bit av den opprinnelige pizzaen tilsvarer denne pizzabiten?

Løsning: Vi setter opp et regnestykke til teksten: 2 2 6 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 :6¼ : ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 1¼ 3 3 1 3 6 3 6 18 9 2 9 2 9 9 Den pizzaen som er igjen, blir delt i seks like pizzabiter, 1 og en slik pizzabit svarer til av den opprinnelige pizzaen. 9


Brøk, faktorisering og forkorting 117

Oppgaver 3.1 Forkort brøkene: 24 36

b

16 50

12 15

c

3.2 Illustrer brøkene grafisk: 1 3

b

4 3

c

3.3 Regn ut: a b

1 3 þ 4 8 5 1 þ 12 3

c d

3.4 Regn ut:

b

3 1 12 3

c

2 3 3 4 19 7 : 16 3

d

5 36

n

3.5 Regn ut: 3 4 a 2 þ 2 6

d

Ku

b

b

0,8 og 0,9

c

d

3 4 og 4 5 11 12 og 13 13

3.7 På butikken stabler de hermetikkbokser. Biret stabler halvparten av boksene, Sigrid stabler en tredel, og Ingá stabler resten. Hvor stor del av hermetikkboksene stabler Ingá?

3.8 Kiloprisen på kaffe er 58 kr. 1 Hvor mye koster kg kaffe? 4

e

2 5: 5

til

a

1 2 4 8

2 1 3 2 3 2 4 7

2 5

0,4 og 0,5

vu rd er

a

a

in g

a

3.6 Skriv brøker som har en verdi mellom

1 1 1 þ 2 2 3

c

7 1 4 2

:

3 2

3.9 Skolen arrangerer aktivitetsdag. Elevene kan velge mellom slalåm, langrenn og aking. 2 3 av elevene velger slalåm, velger langrenn, 5 10 3 og velger aking. 15 Hvor stor del av elevene deltar ikke på aktivitetsdagen?


42

118 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

−−−−−−−−−−−−−−− 41 −−−−−−−−−−−−−−−

3.2 Forhold og prosent UTFORSK

40

Dere trenger: skrivesaker og en valgfri tallspinner som viser enten prosent, desimaltall eller brøk 0,05 0,20 0,01

1 100 1 20

1 5

3 4

50 %

1

75 %

1 4

100 %

1%

25 %

vu rd er

0,50

−−−−−−−−−−−−−−− 39 −−−−−−−−−−−−−−−

0,25

1,00

0,60 0,75

38

1 2

3 5

5%

Desimaltall

Brøk

Prosent

0,01

1 100

1%

20 %

60 %

Framgangsmåte:

Velg en tallspinner og snurr bindersen en gang. Skriv inn tallet du får i tabellen.

Fyll inn de to andre skrivemåtene i tabellen.

Snurr bindersen på nytt tre fem ganger og gjenta prosedyren ovenfor.

Bytt til en annen tallspinner og gjør det samme med den.

Diskuter hvordan vi kan skrive tallene som promille.

til

Ku

n

−−−−−−−−−−−−−−− 37 −−−−−−−−−−−−−−−

36

−−−−−−−−−−−−−−− 35 −−−−−−−−−−−−−−−

34

in g

Arbeid sammen to og to

Prosent p p%¼ 100

Prosent, brøk og desimaltall Prosent betyr hundredel eller per hundre. For brøker som har tallet 100 i nevneren, viser telleren derfor prosenttallet. 25 er det samme som 25 % 100 25 kan også skrives som desimaltallet 0,25. Brøken 100


26

Forhold og prosent 119

D E S I M A L T A LL , B R Ø K O G P R O S E NT

in g

−−−−−−−−−−−−− Y = ... −−−−−−−−−−−−−

Tre ulike skrivemåter for samme tall: 13 0,13 ¼ ¼ 13 % 100

Vi kan gjøre om fra brøk til prosent og desimaltall. Da utvider vi brøken slik 3 3 5 15 ¼ ¼ ¼ 15 % ¼ 0,15. at vi får 100 i nevneren. For eksempel er 20 20 5 100

OMSKRIVING FRA PROSENT

p Desimaltallet til p % finner vi ved først å gjøre om til brøk, . 100 27,3 27,3 % ¼ ¼ 0,273 100

EKSEMPEL 9

Skriv 65 %, 4 % og 3,6 % som desimaltall.

b

Skriv 0,07 og 0,175 som prosent.

c

Skriv brøken

30

a

−−−−−−−−−−−−− X = ... −−−−−−−−−−−−−

vu rd er

Vi kan bruke desimaltall når vi regner med prosent: 20 % av 500 kr blir 0,20 500 kr ¼ 100 kr.

28

Alle tall skrevet som prosent, kan gjøres om til desimaltall. For eksempel er 12 % ¼ 0,12 og 3 % ¼ 0,03.

til

3 som prosent. 5

Ku

n

−−−−−−−−−−−−−−− 31 −−−−−−−−−−−−−−−

Løsning: a Vi finner desimaltallene: 65 ¼ 0,65 65 % ¼ 100 4 4%¼ ¼ 0,04 100 3,6 3,6 % ¼ ¼ 0,036 100 Vi finner prosentene:

32

b

0,07 100 % ¼ 7 %

0,175 100 % ¼ 17,5 %

c

3 3 20 60 ¼ ¼ ¼ 0,60 ¼ 60 % 5 5 20 100

Legg merke til at 0,6 ¼ 0,60 ¼ 60 %. Oppgaver: 3.10–3.11

−−−−−−−−−−−−−−− 33 −−−−−−−−−−−−−−−

Prosent betyr hundredel. Vi utvider derfor brøken slik at vi får 100 i nevneren:


120 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

Vi repeterer prosentregning med noen eksempler. Vi begynner med å regne ut prosentdelen av et tall.

EK SEMPEL 10

in g

Ailo har 14 000 kr i banken og får 0,6 % rente per år. a

Hvor mange kroner får Ailo i rente på ett år?

b

Hvor mye penger har Ailo i banken etter ett år?

Løsning: 0,6 ¼ 0,006. 100

vu rd er

Desimaltallet til 0,6 % er a

14 000 0,006 ¼ 84

Ailo får 84 kr i rente på ett år.

b

Oppgave: 3.12

Veien om 1 % er en lur metode når vi regner prosent i hodet.

14 000 þ 84 ¼ 14 084

Etter ett år har Ailo 14 084 kr i banken.

Når vi regner med prosent, kan vi også bruke veien om én. Da blir det enklere å regne prosent i hodet. Vi husker at ordet prosent betyr hundredel og bruker dette til å finne 1 % først. Deretter ganger vi opp med ønsket prosenttall. For eksempel finner vi 6 % av 200 kr ved først å finne hvor mye 1 % av 200 kr er: 200 kr ¼ 2 kr 100 6 % av 200 kr er 6 2 kr ¼ 12 kr

til

1 % av 200 kr er

Når vi regner i hodet, tenker vi først at 1 % av 200 kr er 2 kr. Siden 6 % er seks ganger så mye, svarer det til 12 kr.

Ku

n

EK SEMPEL 11 Gå veien om 1 %. a

Regn ut 6 % av 400 kr.

b

En jakke er satt ned med 40 %. Den opprinnelige prisen på jakka var 1200 kr. Hvor mye koster jakka nå?

c

Maren får 15 % rabatt på en sekk. Rabatten utgjør 450 kr. Hva kostet sekken før avslaget?

d

En bukse koster 360 kr på salg, etter at den er satt ned 40 %. Hvor mye kostet buksa opprinnelig?


Forhold og prosent 121

Løsning:

b

400 kr ¼ 4 kr. 100 Deretter ganger vi opp med ønsket prosent: 6 4 kr ¼ 24 kr. Vi finner 1 % av 400 kr, som er

1200 kr ¼ 12 kr. 100 Jakka er satt ned 40 %, og det utgjør 40 12 kr ¼ 480 kr. Altså koster jakka nå 1200 kr 480 kr ¼ 720 kr. Vi finner 1 % av 1200 kr, som er

450 kr ¼ 30 kr. 15 Vi ganger med 100 og får 30 kr 100 ¼ 3000 kr. Sekken kostet 3000 kr før avslaget.

450 kr tilsvarer 15 %. Det vil si at 1 % tilsvarer

d

Buksa er satt ned 40 %, det vil si at prisen nå svarer til 100 % 40 % ¼ 60 %. Dermed vil 360 kr tilsvare 60 %. Vi lager en figur ut fra opplysningene:

vu rd er

c

in g

a

Pris før endring 100 % 40 %

60 %

360 kr

Rabatt

Pris etter endring

360 kr ¼ 6 kr. Deretter ganger vi med 100 og 60 finner at 6 kr 100 ¼ 600 kr. Buksa kostet opprinnelig 600 kr.

Vi regner ut at 1 % utgjør

til

Oppgaver: 3.13–3.16

Forhold

n

Forhold i matematikk handler om sammenhengen mellom to tall. Et kjent forholdstall er , tilnærmet lik 3,1416. er forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel.

Ku

I dagligtale bruker vi ord som «dobbelt» og «halvparten» for å uttrykke forhold. Hvis du trener dobbelt så mye som kameraten din, er forholdet mellom tiden du bruker på å trene, og tiden kameraten din bruker, 2 : 1. Legg merke til at forholdet ikke forteller noe om hvor mange timer dere trener. F OR H OL D

Forholdet mellom a og b kan vi skrive som a a:b¼ b

Et forhold kan vi gjøre om fra brøk til desimaltall eller prosent: 3 3 : 4 ¼ ¼ 0,75 ¼ 75 % 4


122 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

EK SEMPEL 12 I en klasse er det 12 gutter og 16 jenter. a

Hva er forholdet mellom gutter og jenter?

b

Hva er forholdet mellom jenter og gutter?

Vi regner ut forholdet mellom jenter og gutter: jenter 16 4 4 4 4 4 4 ¼ ¼ ¼ ¼ 1¼ gutter 12 3 4 3 4 3 3

vu rd er

b

in g

Løsning: a Vi regner ut forholdet mellom gutter og jenter: gutter 12 3 4 3 4 3 3 ¼ ¼ ¼ ¼ 1¼ jenter 16 4 4 4 4 4 4

Vi bruker forhold i mange praktiske sammenhenger. Det kan være blanding av saft, matoppskrifter, kart og målestokk. Vi ser på et eksempel med saftblanding.

EK SEMPEL 13

På en saftflaske står det «Blanding 1 þ 5».

1 del

3 dl

vann

3 dl

vann

3 dl

vann

3 dl

Hvor mye vann trenger vi for å blande ut 3 desiliter saft fra flaska?

b

Hvor mye saft og hvor mye vann trenger vi for å lage 3 liter ferdig saftblanding?

Løsning: a Forholdet mellom saft og vann er 1 : 5. Det kan vi illustrere slik det er gjort i margen. Til 3 dl saft trenger vi 3 dl 5 ¼ 15 dl vann.

til

5 deler

vann

a

vann

3 dl

saft

3 dl

n

Legg merke til at forholdet 1 : 5 totalt gir seks like deler.

Ku

Oppgaver: 3.17–3.18

b

I 3 liter ferdig saftblanding er det 1 del saft og 5 deler vann, til sammen 6 deler. Vi regner ut hvor mye 1 del utgjør: 3L ¼ 0,5 L 6 Til 3 liter saftblanding trenger vi 0,5 L saft og 0,5 L 5 ¼ 2,5 L vann.

Reflekter og diskuter! Forklar at saftblandingen i dette eksempelet ikke består av 20 % saft og 80 % vann. Hvorfor er ikke 1 del det samme som 1 dl når vi bruker forhold?


Forhold og prosent 123

vu rd er

in g

Andeler i brøk og prosent

Nina og Petter går i hver sin klasse. I Ninas klasse går det 12 elever, og en dag er tre elever syke. I Petters klasse går det 30 elever, og seks elever er syke. I hvilken klasse er det flest syke?

til

I klassen til Nina er 3 av 12 elever syke. Vi lager en illustrasjon, der vi deler de 12 elevene i grupper på tre:

n

Vi får fire grupper. Det vil si at en gruppe på tre elever utgjør de syke elevene. 1 Altså er det av elevene i Ninas klasse som er syke. Vi finner andelen syke 4 ved å dividere antall syke med antall elever i klassen. Vi kan sjekke at dette stemmer ved å regne ut

Ku

1 1 12 1 12 12 12 ¼ ¼ ¼ ¼3 4 4 1 4 1 4

1 av 12: 4

Vi ser nå på klassen til Petter. Der er 6 av 30 elever syke. Vi lager en illustrasjon, og deler de 30 elevene i grupper på seks:

Forhold og sammenlikning:

Ser vi bare på antallet, er det ingen tvil om at det er flest syke i Petters klasse. Men hva om vi ser på andelen syke i hver klasse, altså hvor mange som er syke i forhold til antall elever i klassen?

Andel ¼

del det hele


124 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

in g

Vi får fem grupper. De seks elevene som er syke utgjør én av de fem gruppene. Vi regner ut andelen syke: 6 1 6 1 6 1 1 ¼ ¼ ¼ 1¼ 30 5 6 5 6 5 5 1 Det er av elevene i Petters klasse som er syke. 5 For å sammenlikne andelene i de to klassene kan vi gjøre om til prosent.

Andelen syke i Petters klasse: 1 1 20 20 ¼ ¼ ¼ 0,20 ¼ 20 % 5 5 20 100

vu rd er

Andelen syke i Ninas klasse: 1 1 25 25 ¼ ¼ ¼ 0,25 ¼ 25 % 4 4 25 100

Vi kan konkludere med at det er flere syke elever i klassen til Petter, men andelen syke er større i Ninas klasse.

Reflekter og diskuter!

Forklar hvorfor det største antallet ikke alltid utgjør den største andelen når vi sammenlikner to grupper.

EK SEMPEL 14

Emma har vært borte i 6 matematikktimer i første termin. Hun har undervisning i totalt 70 timer matematikk denne terminen. Hvor stor andel fravær har hun i matematikk?

til

Løsning: 6 Fraværet til Emma utgjør 6 av 70 timer. Vi regner ut andelen: 0,086. 70 Emma har 8,6 % fravær i matematikk.

Ku

n

Oppgave: 3.18

Sammenlikning av to størrelser Når vi sammenlikner to størrelser, er det vanlig å oppgi forskjellen i prosent. Det blir ofte mer oversiktlig. Men for å finne forskjellen i prosent må vi først finne forskjellen i tallverdi. Håkon er 165 cm, mens Gajan er 173 cm. Hvor mange prosent høyere er Gajan enn Håkon? Vi finner først hvor stor forskjellen er i centimeter. Gajan er 8 cm høyere enn Håkon. Så deler vi forskjellen med høyden til Håkon, siden det er han vi skal sammenlikne med.


Forhold og prosent 125

Vi regner ut: Prosentvis sammenlikning forskjell det vi sammenlikner med

8 0,048 ¼ 4,8 % 165 Gajan er 8 cm høyere enn Håkon. Gajan er 4,8 % høyere enn Håkon.

in g

Vi kunne også regnet ut hvor mye lavere Håkon er enn Gajan. Da er det Gajan vi sammenlikner med, og høyden til Gajan vi må dele på:

EKSEMPEL 15

vu rd er

8 4,6 % 173 Håkon er 8 cm lavere enn Gajan. Det vil si at Håkon er 4,6 % lavere enn Gajan.

Lise har en timelønn på 116 kr. Lønna blir så økt til 118 kr per time. a

Hvor mange kroner får hun i lønnsøkning?

b

Hvor mange prosent lønnsøkning får Lise?

Løsning: a 118 kr 116 kr ¼ 2 kr

Lise får en lønnsøkning på 2 kr.

For å finne lønnsøkningen i prosent må vi ta endringen i kroner og 2 dele på opprinnelig lønn, som vi sammenlikner med. Vi får 0,017. 116 Det gir en lønnsøkning på 1,7 %.

til

b

Oppgaver: 3.19–3.20

Reflekter og diskuter!

JA! Men 2 % av din lønn er mer enn 3 % av min lønn.

Ku

n

Jeg fikk 2 % lønnsøkning, og du er sur over 3 %?

Hvorfor har hun grunn til å være misfornøyd?

Ikke belær meg med dine mattekunnskaper!


126 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

Prosentpoeng UTFORSK

Arbeid i par eller grupper. Tabellen viser fraværet i to klasser:

in g

Fravær på videregående skole

Fredag

1STA

2%

4%

1IFA

10 %

12 %

vu rd er

Torsdag

Diskuter: 1

Er differansen mellom prosenttallene lik 2 i begge klassene?

2

Kaller vi differanse mellom to prosenttall for prosentpoeng?

3

Har begge klassene en økning i fraværet på 2 prosentpoeng?

4

Har 1STA hatt 2 % eller 100 % økning i fraværet fra torsdag til fredag?

5

Har 1IFA hatt 2 % eller 20 % økning i fraværet?

6

Hvorfor er det riktig å si at 1STA har hatt høyest prosentvis økning i fraværet?

7

Kan du forklare forskjellen på prosent og prosentpoeng?

til

Vi bruker prosenttall i mange sammenhenger. For eksempel kan det være 40 % prisavslag på ski, 3,2 % rente på et lån eller 13 % oppslutning om et politisk parti.

Ku

n

Prosentregning Vi må ta utgangspunkt i opprinnelig verdi.

Vi oppgir endringer i prosenttall som prosentpoeng. Det er lett å blande sammen disse fagbegrepene. Hvis en butikk øker omsetningen fra 40 % til 50 %, er økningen på 10 prosentpoeng. Når vi oppgir endringen i prosent, må vi regne ut fra opprinnelig verdi. Endringen i prosent fra 40 % til 50 % er endring 10 ¼ ¼ 0,25 ¼ 25 % opprinnelig verdi 40

En økning i omsetningen fra 40 % til 50 % betyr en økning på 25 % eller en økning på 10 prosentpoeng.

P RO S E N T P O E N G Prosentpoeng er endring mellom to prosenttall.


Forhold og prosent 127

Reflekter og diskuter!

Forskjellen mellom prosent

Diskuter hvilket sitat som er riktig:

og prosentpoeng:

«Sponsorstøtten økte med 2 %, fra 40 % til 42 %.»

EKSEMPEL 16

vu rd er

Kan du finne eksempler på feil bruk av prosent og prosentpoeng på ulike nettsider?

in g

«Sponsorstøtten økte med 2 prosentpoeng, fra 40 % til 42 %.»

På Ruud skole er det 500 elever. Mandag var 6 % av elevene borte, tirsdag var 11 % borte. a

Hvor mange elever var borte på mandag og tirsdag?

b

Hvor mange prosentpoeng økte fraværet fra mandag til tirsdag?

c

Hvor mange prosent økte fraværet?

Løsning: Tallet skrevet som prosent gjør vi om til desimaltall: a

Når fraværet er 6 %, er tallet på elever som var borte på mandag: 0,06 500 ¼ 30

til

Når fraværet er 11 %, er tallet på elever som var borte på tirsdag: 0,11 500 ¼ 55 Prosentpoeng er differansen mellom de to prosenttallene 6 % og 11 %. Fraværet økte med 5 prosentpoeng fra mandag til tirsdag.

c

Mandag var 30 elever borte, og tirsdag var 55 elever borte. Fraværet har økt med 25 elever. Det er nesten en dobling fra mandag, så vi kan forvente en prosentvis økning på nesten 100 %. Vi regner ut nøyaktig hvor mange prosent fraværet økte med:

Ku

n

b

økning i fravær 25 ¼ 0,83 ¼ 83 % opprinnelig fravær 30

Fraværet økte med 83 %.

Oppgave: 3.22


128 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

Promille

in g

På samme måte som prosent betyr per hundre, betyr ordet promille per tusen 11 eller tusendel. Det vil si at 11 ‰ ¼ ¼ 0,011. Vi kan derfor gjøre om 1000 mellom brøk, desimaltall og promille ved å utvide brøken til 1000 i nevneren. 3 3 50 150 For eksempel er ¼ ¼ ¼ 150 ‰ ¼ 0,015. 20 20 50 1000 Overgangen fra prosent til promille finner vi ved å utvide brøken til 1000 i nevneren: 2%¼

2 2 10 20 ¼ ¼ ¼ 20 ‰ 100 100 10 1000

vu rd er

Promille p p‰¼ 1000

Vi bruker de samme regnereglene for promille som vi gjør for prosent.

EK SEMPEL 17

Gjør om til desimaltall: 354 ‰, 37 ‰ og 1,2 ‰. Skriv desimaltallet 0,17 som brøk og promille.

Løsning: Desimaltallene er:

354 ¼ 0,354 1000 37 ¼ 0,037 37 ‰ ¼ 1000 1,2 ¼ 0,0012 1,2 ‰ ¼ 1000 Vi gjør om desimaltallet:

til

354 ‰ ¼

Ku

n

0,17 ¼

17 17 10 170 ¼ ¼ ¼ 170 ‰ 100 100 10 1000

EK SEMPEL 18 Familien Jensen bor i Målselv kommune og har en bolig med likningsverdi 400 000 kr. I Målselv betaler innbyggerne 7 ‰ i eiendomsskatt per år. a

Hvor mye betaler familien Jensen i eiendomsskatt?

b

Målselv kommune reduserer eiendomsskatten til 5 ‰. Hvor mye må familien betale i eiendomsskatt etter endringen?


Forhold og prosent 129

7 ¼ 0,007 1000 Eiendomsskatten er 400 000 kr 0,007 ¼ 2800 kr. 7‰¼

Ny eiendomsskatt med 5 ‰ er 400 000 kr 0,005 ¼ 2000 kr.

Reflekter og diskuter!

vu rd er

b

I eksempelet ovenfor ble eiendomsskatten endret fra 7 ‰ til 5 ‰.

n

til

Forklar at det er det samme som en endring på 0,2 prosentpoeng.

Ku

in g

Løsning: a Vi gjør om eiendomsskatten fra promille til desimaltall:

Oppgave: 3.23


130 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

Oppgaver a

b

23 %

c

40 %

6%

3.11 Finn prosenten når: desimaltallet er 0,42 og 0,098

b

brøken er

1 8 og 4 40

a

Hvor mye vann trenger vi til 2,5 dl saft?

b

Hvor mye saft og hvor mye vann må vi blande for å lage 1,5 liter ferdig saftblanding?

3.18 I Martas klasse liker sju av elevene å trene styrke. I klassen hennes går det 29 elever.

vu rd er

a

3.17 Vi blander en type appelsinsaft slik at forholdet mellom saft og vann er 1 : 4.

in g

3.10 Skriv som brøk og desimaltall:

3.12 Rigmor leier ut en leilighet for 9000 kr i måneden. Hun må betale 28 % skatt av leieinntektene.

Hvor mange prosent er glad i å trene styrke?

Hvor mye må Rigmor betale i skatt hver måned?

3.13 Hodan får 15 % rabatt på en regnjakke. Etter at rabatten er trukket fra, må Hodan betale 1200 kr.

3.19 Prisstigning på råvarer gjør at en restaurant setter opp prisene. Dagens rett øker fra 105 kr til 115 kr. Hvor mange prosent økte prisen på dagens rett?

Hvor mye kostet jakka før avslaget?

til

3.14 Remi kjøper et spill som er satt ned med 75 kr. Det utgjør en rabatt på 20 %.

Hva var full pris, og hvor mye måtte Remi betale?

3.15 En sykkel koster 4000 kr.

Prisen settes ned 30 %. Hva koster sykkelen nå?

b

Etter en måned settes prisen opp igjen med 30 %. Hva er nå prisen på sykkelen?

Dagens meny

Ku

n

a

3.20

3.16 I en Vg1-klasse er det 24 elever. Ti av elevene har spansk som fremmedspråk, og åtte av elevene har tysk. a

Hva er forholdet mellom antall elever med tysk og antall elever med spansk?

b

Hva er forholdet mellom antall elever med spansk og antall elever i klassen?

En restaurant opplevde en nedgang i antall solgte porsjoner av dagens rett. I mars solgte de 157 porsjoner, men i april solgte de bare 98 porsjoner. Hvor mange prosent gikk salget ned med?


Forhold og prosent 131

3.23

USA 9 831 510 km2

vu rd er

in g

3.21

Australia 7 741 220 km2

Landene i verden er ulikt store og har ulike areal. 2

USA sitt areal er 9 831 510 km og arealet til Australia er 7 741 220 km2 . a

Hvor mange prosent større er arealet av USA enn Australia?

b

Hvor mange prosent mindre er arealet av Australia enn USA?

til

3.22 Håndballgruppa får 15 % av sponsorstøtten fra et byggevarefirma. Kommende sesong øker de sponsorstøtten med 3 prosentpoeng.

Ku

n

Hvor mange prosent øker de sponsorstøtten med?

En gullring veier 8,2 gram og inneholder 585 ‰ reint gull. Hvor mye reint gull er det i ringen?


132 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

3.3 Vekstfaktor UTFORSK

in g

Arbeid sammen to og to Dere trenger: skrivesaker og digitalt verktøy

Undersøk sammenhengen mellom prosentvis økning/reduksjon og bruk av desimaltall.

vu rd er

I en helgejobb er vanlig timelønn 100 kr. På søndager er det 50 % økning i lønna. 1

Forklar at timelønna på søndager er 100 kr þ 50 kr ¼ 150 kr.

2

Forklar hvorfor regnestykket 100 1,50 gir riktig svar.

3

Hva blir timelønna hvis det er 100 % lønnsøkning?

4

Hva om timelønna blir redusert med 50 %?

5

Velg noen andre tall og se om dere kan finne en regel for hvordan vi kan regne ut prosentvis økning og nedgang.

Reflekter og diskuter!

til

I en kiosk koster en pose potetgull 30 kr. Prisen øker med 20 %. Det svarer til desimaltallet 0,20. Forklar at den nye prisen på potetgull kan regnes ut slik: 30 kr 1,20

Ku

n

Vet du hva tallet 1,20 kalles i denne sammenhengen?

Når vi regner ut prosentvis økning og reduksjon, bruker vi desimaltall. Verdien før endring er alltid det samme som 100 %. Etter en økning på for eksempel 15 % blir den nye verdien 100 % þ 15 % ¼ 115 % ¼ 1,15. Tallet 1,15 kaller vi vekstfaktoren til 15 % økning. Tilsvarende vil en reduksjon på 15 % gi verdien 100 % 15 % ¼ 85 % ¼ 0,85. Vekstfaktoren til 15 % reduksjon er 0,85.


Vekstfaktor 133

V E KST F AK T OR Økning: 100 % þ p %

Reflekter og diskuter!

vu rd er

Forklar at prosentvis økning alltid gir en vekstfaktor som er større enn 1, mens en prosentvis reduksjon alltid gir en vekstfaktor som er mindre enn 1.

in g

Reduksjon: 100 % p %

Hvor mange prosent økning svarer en vekstfaktor på 2 til?

EKSEMPEL 19 Finn vekstfaktoren ved a

38 % økning

b

100 % økning

c

7 % reduksjon

d

34,8 % reduksjon

Løsning: a 100 % þ 38 % ¼ 138 % ¼ 1,38 100 % þ 100 % ¼ 200 % ¼ 2

c

100 % 7 % ¼ 93 % ¼ 0,93

d

100 % 34,8 % ¼ 65,2 % ¼ 0,652

til

b

n

EKSEMPEL 20

Ku

En sykkel koster 4000 kr. På salg settes prisen ned 40 %. Hvor mye koster sykkelen på salg?

Løsning: Når det er salg, er det prosentvis reduksjon. Vekstfaktoren til 40 % er 100 % 40 % ¼ 60 % ¼ 0,60. Vi regner ut prisen på sykkelen når den er på salg: 4000 0,60 ¼ 2400

Sykkelen koster 2400 kr på salg.

Oppgaver: 3.24–3.25


134 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

og trykke på knappen

ª

:

1

Oppgaver: 3.26–3.27

vu rd er

2

in g

Et viktig spørsmål ved prosentregning er om det gjelder prosentvis økning eller reduksjon. Det avgjør om vekstfaktoren blir større enn 1 eller mindre enn 1.

Digital løsning: Vi løser oppgaven med CAS og finner først vekstfaktoren. Deretter regner vi ut prisen på salg ved å skrive inn uttrykket

Sykkelen koster 2400 kr på salg.

Hvis vi ønsker å regne ut verdien før en prosentvis økning eller reduksjon, kan vi bruke vekstfaktoren den andre veien. Når vi skal regne bakover i tid og kjenner verdien etter endring, finner vi verdien før endring ved å dividere med vekstfaktoren. Dette gir følgende generelle metode: Først regner vi ut vekstfaktoren: Økning: 100 % þ p % Reduksjon: 100 % p %

Deretter avgjør vi om vi skal framover eller bakover i tid. Vi multipliserer med vekstfaktoren for å finne verdien etter endring, og dividerer med vekstfaktoren for å finne verdien før endring.

til

V E KST F AK T OR

Ku

n

p % økning gir vekstfaktoren 100 % þ p %. p % reduksjon gir vekstfaktoren 100 % p %. verdi før endring vekstfaktor ¼ verdi etter endring · vekstfaktor

verdi før endring

verdi etter endring

: vekstfaktor


Vekstfaktor 135

EKSEMPEL 21

Løsning: Høyttaleren selges med 30 % rabatt. Vekstfaktoren er da 100 % 30 % ¼ 70 % ¼ 0,70. Vi har fått oppgitt prisen på høyttaleren etter endring i verdi, og vi skal finne prisen før endringen. Da må vi dividere med vekstfaktoren: verdi etter endring 525 ¼ ¼ 750 vekstfaktor 0,70

vu rd er

Verdi før endring ¼

in g

En minihøyttaler koster 525 kr etter at prisen er satt ned 30 %. Hvor mye kostet høyttaleren opprinnelig?

Minihøyttaleren kostet 750 kr opprinnelig.

Vi kan også løse oppgaven ved å systematisere opplysningene i en tabell: 100 % 30 %

70 %

525 kr

Vi regner ut hvor mye 1 % svarer til:

525 kr ¼ 7,50 kr 70 Deretter finner vi ut hvor mye 30 % svarer til:

til

7,50 kr 30 ¼ 225 kr

Opprinnelig kostet minihøyttaleren da

n

225 kr þ 525 kr ¼ 750 kr

Reflekter og diskuter!

Ku

Hvordan kan du forklare at en vekstfaktor på 100 % þ p % p er det samme som 1 þ ? 100

Oppgaver: 3.28–3.30


136 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

Prosentvis endring over tid UTFORSK

in g

Du trenger: skrivesaker og kalkulator Vi setter 3000 kr i banken og får 2 % rente per år. 1

Hva er vekstfaktoren?

2

Forklar at vi kan regne ut hvor mye penger vi har i banken etter fire år, på denne måten: ett år: 3000 kr 1,02 to år: 3060 kr 1,02 tre år: 3121,20 kr 1,02 fire år: 3183,65 kr 1,02

¼ ¼

3060 kr 3121,20 kr 3183,65 kr 3247,30 kr

vu rd er

Etter Etter Etter Etter

3

Diskuter om vi heller kan regne 3000 kr 1,024

4

Gå ut fra at vi har 8000 kr stående i banken. Renta er 2 % per år. Hvordan kan vi sette opp regnestykket som viser hvor mye vi hadde i banken for fire år siden?

til

Når vi skal regne ut flere prosentvise endringer etter hverandre, er det spesielt effektivt å regne med vekstfaktor.

EK SEMPEL 22

Ku

n

Máhtte kjøper en snøscooter til 58 000 kr. Verdien faller med 18 % hvert år. a

Hvor mye er scooteren til Máhtte verdt etter ett år?

b

Hvor mye er scooteren verdt etter to år?

Løsning: a En reduksjon på 18 % svarer til vekstfaktoren 100 % 18 % ¼ 82 % ¼ 0,82 58 000 0,82 ¼ 47 560 Etter ett år er scooteren verdt 47 560 kr. b

Vi multipliserer med vekstfaktoren en gang til: 47 560 0,82 38 999 Etter to år er scooteren verdt 38 999 kr.

Oppgave: 3.31


Vekstfaktor 137

I dette eksempelet regnet vi ut to prosentvise endringer etter hverandre: 38 999 ¼ 47 560 0,82 ¼ 58 000 0,82 0,82 ¼ 58 000 0,822 |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 47 560

in g

Verdien endret seg to ganger, derfor har vi multiplisert med vekstfaktoren to ganger. Når en tallstørrelse øker eller minker med en fast prosent over tid, kan vi opphøye vekstfaktoren i antallet endringer. Vi går forover i tid ved å gange, og bakover i tid ved å dele.

· (vekstfaktor)n

verdi før endring

vu rd er

PROSENTVIS ENDRING O VER TI D

Regne med vekstfaktor:

verdi etter endring

: (vekstfaktor)n

EKSEMPEL 23

En leilighet har en verdi på 2 350 000 kr. Den har hatt en jevn verdiøkning på 6,3 % hvert år. Hvor mye er leiligheten verdt om tre år?

b

Hvor mye var leiligheten verdt for fem år siden?

til

a

Løsning: En økning på 6,3 % svarer til vekstfaktoren 1,063. a

Vi finner verdien av leiligheten tre år fram i tid:

n

2 350 000 1,0633 2 822 719 Om tre år er leiligheten verdt 2 822 719 kr. For å finne verdien for fem år siden må vi regne bakover i tid: 2 350 000 1 731 416 1,0635 For fem år siden var leiligheten verdt 1 731 416 kr.

Ku

b

Reflekter og diskuter! I eksempelet ovenfor regnet vi med prosentvis endring over tid. Forklar hvorfor vekstfaktoren i b ikke endrer seg til 0,937, men fortsatt er 1,063.

Oppgaver: 3.32–3.33


138 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

Oppgaver a

23 %

b

c

9%

0,9 %

d

19,2 %

3.25 Finn vekstfaktoren når en pris blir satt ned 59 %

c

4%

b

40 %

d

0,4 %

e

28,7 %

Hva er verdien av leiligheten nå?

3.28 En pris blir satt opp med 7 %. Finn vekstfaktoren på to ulike måter, p både med 100 % þ p % og 1 þ . 100

vu rd er

a

3.27 I 2017 kjøpte farmor en leilighet som kostet 2 450 000 kr. Leiligheten har seinere økt i verdi med til sammen 17 %.

in g

3.24 Finn vekstfaktoren når en pris blir satt opp

3.26

Prisen på en drone er 6499 kr. På salg blir prisen satt ned 30 %.

Hvor mye koster dronen på salg?

3.29 I en fruktdisk er det alltid noe frukt som blir dårlig, og som må fjernes fra hyllene. Dette kalles svinn. En butikk beregner 12 % svinn på epler.

Ku

n

til

Hvor mange kilogram epler må butikken kjøpe inn hvis de skal ha 65 kg til salgs?


−−−

Vekstfaktor 139

18

Hvor mange prosent større er det produktive skogarealet i Trysil enn i Ringerike?

b

Hvor mye skog ble hogd i Ringerike når det i Trysil ble hogd 243 479 m3 ?

a

Regn ut hvor stor omsetningen var i 2015.

b

Regn ut hvor stor omsetningen var i 2005.

in g

a

3.32 I 2009 ble det omsatt legemidler for 13 395 millioner kroner. Omsetningen har i gjennomsnitt økt med 5,6 % per år fra 2005 til 2015.

3.33 Vi regner verditapet på en bruktbil til om lag 11 % per år.

til

Joanna kjøper en ny bil til 420 000 kr. Hvor mye er bilen verdt etter fem år?

−−−−−−−−−−−−− C = ... −−−−−−−−−−−−−

n

b

22

24

Ku

En ny bil faller raskere i verdi enn en brukt bil. Vi regner med at verdifallet i prosent de første årene er 20 %, 14 %, 13 %, 12 % og 11 %.

−−−−−−−−−−−−− B = ... −−−−−−−−−−−−−

Hvor mye penger står på kontoen hennes etter fem år?

20

Bilen til Nils er verdt 150 000 kr. Hvor mye er bilen verdt om fire år?

vu rd er

a

3.31 Line arver 15 000 kr av bestemor. Hun setter pengene i banken til en fast rente på 3,2 % per år.

−−−−−−−−−−−−−−− 19 −−−−−−−−−−−−−−−

3.30 En oversikt fra 2017 viser at av alle kommuner i Norge har Trysil størst produktivt skogareal med 1 878 729 dekar. Deretter kommer Ringerike med 1 089 000 dekar. Likevel ble det hogd 7,9 % mer skog i Ringerike enn i Trysil.

−−−−−−−−−−−−− M = ... −−−−−−−−−−−−−


140 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

MØNSTER OG OVERSIKT

3 ¼ 0,75 ¼ 75 % 4

Forkorting og utviding av brøk

I regning med brøk må vi ofte forkorte eller utvide brøkene: 3 1 3 1 1 5 5 ¼ ¼ ¼ ¼ 6 2 3 2 2 5 10 |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} forkorte

Regning med brøk

utvide

Addisjon og subtraksjon av brøk Vi utvider brøkene til de har lik nevner, og setter på felles brøkstrek:

til

2 4 2 5 4 3 10 12 2 ¼ ¼ ¼ 3 5 3 5 5 3 15 15

Multiplikasjon av brøk Vi multipliserer teller med teller og nevner med nevner:

n

2 5 2 5 10 5 ¼ ¼ ¼ 3 6 3 6 18 9

Ku

2 2 15 2 5 5 3 3 ¼ ¼ ¼ 4 4 4 2 15 15 15

Divisjon av brøk Vi snur den bakerste brøken opp ned og multipliserer med den:

vu rd er

Når vi regner med prosent, kan det være lurt å gjøre om til desimaltall, gå veien om 1 % eller lage en illustrasjon.

Brudden brøk Vi utvider hovedbrøkstreken med et multiplum av nevnerne:

in g

Vi kan skrive tall som brøk, desimaltall eller prosent:

2 5 2 6 4 : ¼ ¼ 3 6 3 5 5

Prosent og forhold

p . 100 p Promille betyr tusendel, p ‰ ¼ . 1000 Prosent betyr hundredel, p % ¼

Forhold er sammenhengen mellom to tall, ofte skrevet a som en brøk. Forholdet mellom a og b skrives . b

Prosentvis sammenlikning regner vi ut ved å dividere forskjellen med det vi sammenlikner med: forskjell det vi sammenlikner med

Prosentpoeng Prosentpoeng er endringen mellom to prosenttall.


Mønster og oversikt 141

Vekstfaktor

Avgjør om påstandene stemmer

Vi bruker vekstfaktor når vi regner ut prosentvis endring.

a

30 % og

Prosentvis økning gir 100 % þ p %.

b

7 8 < 8 9

En økning på 5 % gir vekstfaktoren 1,05.

c

Vekstfaktoren ved en reduksjon på 35 % er 0,65.

Prosentvis reduksjon gir 100 % p %.

d

Du kjøper en batteripakke til 500 kr og får 20 % rabatt. Da må du betale 300 kr.

e

250 1,05 1,05 ¼ 250 1,052

f

Å dividere med 0,7 og multiplisere med 1,3 er ikke det samme.

· vekstfaktor

verdi før endring

verdi etter endring

: vekstfaktor

g

til verdi etter endring

n

verdi før endring

Ku

: (vekstfaktor)n

1 av en pizza og påstår at han får 7 3 mindre enn Linda, som tar . 21 Stemmer det? Roger spiser

h

En butikk legger på 24 % merverdiavgift og gir deretter 24 % rabatt. Da blir prisen uendret.

i

En butikk setter ned prisen på en vare med 20 %. En annen butikk setter ned prisen på samme vare først med 10 %, deretter med 10 % en gang til. Etter reduksjonen er vareprisen den samme i begge butikkene.

j

4 % økning tilsvarer en økning på 4 prosentpoeng.

k

Frida er 100 % eldre enn Cornelia, derfor er Cornelia 50 % yngre enn Frida.

Prosentvis endring over tid · (vekstfaktor)n

in g

vu rd er

En reduksjon på 3 % gir vekstfaktoren 0,97.

1 er det samme. 3


Test deg selv

3.34 En fotball til full pris koster 200 kr. På salg blir prisen satt ned med 20 %.

10

−− 9 −−−−−−−−−−−−−−−

3.38

vu rd er

Hvor mye koster fotballen på salg?

in g

Uten hjelpemidler

3.35 Myntsamlingen til bestefar er verdt 85 000 kr. Den er forventet å øke i verdi framover: neste år med 8 %, deretter med 12 % og tredje år med 16 %. Forklar at vi kan regne ut verdien til myntsamlingen om tre år på denne måten: 85 000 1,08 1,12 1,16

3.36 Regn ut: 3 1 þ 5 3

b

5 1 2 2 3

c

8:

1 2

til

a

n

3.37 I en klasse er det 27 elever. På en matematikk7 prøve fikk av elevene karakteren 4 eller bedre. 9 Hvor mange elever fikk dårligere karakter enn 4 på prøven?

Ku

−−−−−−−−−−−−−−− 11 −−−−−−−−−−−−−−−

12

−−−−−−−−−−−−−−− 13 −−−−−−−−−−−−−−−

14

−−−−−−−−−−−−−−− 15 −−−−−−−−−−−−−−−

16

−−−−−−−−−−−−−−− 17 −−−−−

142 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

En rosa malingsfarge er en blanding av rød og hvit maling i forholdet 1 : 4. a

Hvor mye hvit maling trenger vi til 2,5 dl rød maling?

b

Hvor mye rød maling og hvor mye hvit maling trenger vi for å få 10 liter ferdigblandet rosa maling?

3.39 En bok koster 280 kr på salg. Da er prisen satt ned 30 %. Hva kostet boka før salget?


−−−−−−−−−−−−−−− 1 −−−−−−−−−−−−−−−

Test deg selv 143

Med hjelpemidler

b

Hvor mange prosent lettere er eplet enn pæra?

a

Hvor stor andel av valpene er brune?

b

Hvor mange prosent flere brune valper er det enn helt svarte valper?

3.45 Ved kommunevalget i 2019 fikk Senterpartiet 14,4 % av stemmene. Det var en framgang på 5,9 prosentpoeng fra forrige kommunevalg.

a

Hva kostet skateboardet i 2019?

b

Hvor mye koster skateboardet i 2027 hvis prisen fortsatt øker med 8,5 % hvert år?

n

b

Hvor mange prosent større oppslutning hadde Senterpartiet i 2019 enn i 2014?

3.46 Regn ut: a

18 7 : 15 4

b

24 3 68 : 5 7 35

−−−−−−−−−−−−−−− 7 −−−−−−−−−−−−−−−

Ku

Hvor stor oppslutning hadde Senterpartiet ved forrige kommunevalg?

6

til

3.43 På en klassefest kom det 28 elever. 18 av dem var gutter. Hvor mange prosent var gutter?

a

−−−−−−−−−−−−−−− 5 −−−−−−−−−−−−−−−

3.42 1 På en konsert var det 400 tilskuere. av tilskuerne 8 hadde VIP-billett til indre ståplassområde, 2 og hadde sitteplass på tribunen. 5 Hvor mange tilskuere hadde en annen type billett?

4

vu rd er

3.41 I 2020 kostet et bestemt skateboard 1849 kr. Det er en økning på 8,5 % fra året før.

in g

Hvor mange prosent tyngre er pæra enn eplet?

−−−−−−−−−−−−−−− 3 −−−−−−−−−−−−−−−

a

3.44 I et valpekull er det åtte valper. To av valpene er svarte, tre er svarte og hvite, og resten er brune.

2

3.40 Et eple veier 177 g, og en pære veier 224 g.

8

−−−−−−−


144 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

Oppgavesamling

3.47 Forkort brøkene: 28 36

Hva er kiloprisen for reinsdyrsteik? b

12 18

3.48 Regn ut: a

5 2 7 7

b

2 3 þ 3 4

1 1 3 4

b

2 3 þ 5 2

3.50 Regn ut: 1 1 3 2

3.51 Regn ut: 2 3 : 3 4

b

2 1 þ 3 6

c

c

c

2 5 : 9 2

c

3 3 : 2 6 1 4 3 16

n

a

d

Ku

b

3.54 200 g indrefilet av okse inneholder energimengden 260 kilokalorier.

2 3 5 þ 3 4 6

3

2 3

1 7

til

a

13 91

Hvor mange kilokalorier inneholder 250 g?

3.49 Regn ut: a

c

vu rd er

a

3.53 Lemet kjøper en reinsdyrsteik som veier 2,3 kg. Han betaler 666 kr.

in g

3.1 Brøk, faktorisering og forkorting

3.52 Skriv opp en brøk med verdi mellom a

0,2 og 0,3

b

2 3 og 5 5

3.55 Forklar for en medelev hva som er gjort i hvert trinn i utregningen: 3 5 3 3 5 5 9 25 9 25 16 16 ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 5 3 5 3 3 5 15 15 15 15 15

3.56 I en klasse på videregående skole viser det seg 4 at av elevene hadde med matpakke. 5 2 Blant disse hadde også med seg frukt. 3 Hvor stor brøkdel av elevene hadde med seg både matpakke og frukt?

3.57 Regn ut: 3 1 1 a 4 2 3 6 3 b 2 þ 7 2

c

9 : 2

1 6 þ3 3 2

3.58 Tre gutter samarbeider om å male et hus. De skal dele inntekten av arbeidet etter hvor mye 2 hver enkelt har gjort. Den ene gutten har gjort 5 1 av arbeidet, den andre har gjort . 3 Hvor stor del av inntekten skal den tredje gutten ha?


Oppgavesamling 145

b

De tre trenerne skal dele utgiftene likt. Hvordan skal de gjøre det?

3.65 En jakke koster 840 kr på salg, etter at den er satt ned med 30 %. Hvor mye kostet jakka før salget?

in g

3.59 Eva, Nancy og Line tar med seg håndballaget på hyttetur. De har handlet inn mat og drikke for 1404 kr. 4 2 Eva har betalt av beløpet, Nancy har betalt , 9 9 og Line har betalt resten. a Hvor mye har de betalt hver?

3.66 Rita blander 2 dl saftkonsentrat med vann, slik at det blir 1 liter saft. Hvor mange prosent vann er det i safta?

3.60

vu rd er

1 av elevene at de handlet 4 2 i kantina daglig, mens svarte at de ikke gjorde det. 3 I en undersøkelse svarte

Hvor stor brøkdel av elevene var ikke med i undersøkelsen?

3.67 Friidrettsgruppa skal ha sesongavslutning og utdeling av statuetter. Det er 150 medlemmer, og 88 av dem er gutter.

3.2 Forhold og prosent 3.61 Skriv som brøk og desimaltall: 34 %

c

8%

b

90 %

d

0,2 %

e

0,15 %

til

a

3.62 Skriv som prosent: a

c

21 25

d

0,32

e

3,33

n

b

63 100 7 100

Ku

3.63 Hos en voksen person på 80 kg inneholder kroppen om lag 60 % vann. a

Hvor mange kg vann er det?

b

Hvor mange kg vann består kroppen din av?

3.64 En mobil er satt ned 15 % i rabatt. Det svarer til 1300 kr. Hvor mye kostet mobilen opprinnelig?

Hvor mange prosent av statuettene skal ha jentefigur?

3.68 I hundeklubben er det 12 elghunder og 30 jemthunder. a

Hva er forholdet mellom elghunder og jemthunder?

b

Hva er forholdet mellom jemthunder og elghunder?

3.69 Stian går en konkurranse i skiskyting. Han treffer med 18 av totalt 20 skudd. Hvor stor treffprosent har Stian?


146 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

3.76 Bruk vekstfaktoren til å bestemme prosentvis økning eller reduksjon:

a

Hvor mange prosentpoeng har styringsrenta gått opp?

a

1,05

c

0,98

e

0,54

b

1,65

d

0,993

f

2,05

b

Hvor mange prosent har den økt?

3.71 Langrennsskiene til Erik er 186 cm, mens langrennsskiene til Sevat er 205 cm.

b

Hvor mange prosent lengre er Sevats langrennsski enn Eriks? Hvor mange prosent kortere er langrennsskiene til Erik enn skiene til Sevat? Diskuter svarene dine med en annen elev.

3.72 Ved stortingsvalget i 1993 fikk Arbeiderpartiet 36,9 % oppslutning. Ved valget i 1997 fikk partiet 35,0 %. a b

3.77 Forklar for en annen elev forskjellen på en vekstfaktor som er større enn 1,00, og en vekstfaktor som er mindre enn 1,00.

vu rd er

a

in g

3.70 Norges Bank har satt opp styringsrenta fra 0,50 prosent til 0,75 prosent.

Hvor mange prosentpoeng lavere oppslutning fikk partiet?

Hvor mange prosent ble oppslutningen redusert?

til

3.73 En armbånd av sølv veier 16 g og inneholder 925 ‰ reint sølv.

3.78 Prisen på et snøbrett er 5499 kr. På et salg blir prisen satt ned 40 %. Hvor mye koster snøbrettet på salg?

3.79 Nils sparer til en moped som koster 12 500 kr. Men når Nils skal kjøpe, har mopeden gått opp i pris med 3 %. Hvor mye må Nils betale for mopeden?

3.80 En datamaskin koster 11 893 kr etter at prisen er satt ned 30 %. Hvor mye kostet datamaskinen opprinnelig?

Hvor mye reint sølv er brukt for å lage armbåndet?

n

3.3 Vekstfaktor

Ku

3.74 Finn vekstfaktoren når en pris blir økt med a

42 %

c

23,5 %

b

30 %

d

2,7 %

e

100 %

3.75 Finn vekstfaktoren når en pris blir redusert med a

25 %

c

5%

b

10 %

d

0,2 %

e

27,3 %

3.81 Tallet på registrerte elbiler i Norge var 142 490 i begynnelsen av 2018. Det var en økning på 42,5 % fra begynnelsen av 2017. Hvor mange registrerte elbiler var det da?

3.82 Ronja får 15 000 kr til konfirmasjonen. Hun setter pengene i banken, som gir 3,2 % årlig rente på innskudd. Ronja lar pengene stå urørt på kontoen. a

Hvor mye penger har Ronja på kontoen etter tre år?

b

Har Ronja råd til å kjøpe en scooter som koster 17 500 kr, når det er gått fem år?


Oppgavesamling 147

a

Hvor mye vil aksjene være verdt om åtte år?

b

Hvor mye var aksjene verdt for fem år siden?

3.86 I et glass sjokolademelk som tilsvarer 200 g, er det 7 g proteiner.

Hvor mange prosent proteiner er det i et glass sjokolademelk?

3.87 Finn vekstfaktoren når en pris blir redusert med

vu rd er

3.84 En vare blir først satt ned med en prosentsats, for så å bli satt opp igjen med den samme prosentsatsen. Varen er da 9 % billigere enn i utgangspunktet. Finn den ukjente prosentsatsen varen ble satt opp og ned med.

Blandede oppgaver

in g

3.83 Embrik har arvet noen aksjer fra bestefar. De har i dag en verdi på 85 000 kr. Aksjeverdien har økt jevnt med 6 % per år de siste ti årene, og vi antar at de fortsetter med det de neste ti årene.

3.85 Gå sammen to og to og løs oppgaven.

Munchs maleri «Pikene på broen» ble solgt for 456 millioner kroner i 2016. Det var om lag 9 % mer enn forventet pris.

til

Hvilken regnemåte nedenfor kan vi bruke til å finne den forventede prisen?

n

456 er 109 % 456 er 1 % 109 456 100 Forventet pris er 109

Ku

456 0,91

456 109

x 1,09 ¼ 456

a

32 %

c

1%

b

20 %

d

0,8 %

e

13,5 %

3.88 Iris handler 3,4 kg klementiner. Hun betaler 50,66 kr. Hva koster klementinene per kilogram? 3.89 Under fotball-VM i 2018 ble det totalt tatt 29 straffespark. Cristiano Ronaldo tok to straffespark for Portugal. Hvor mange prosent av alle straffespark i VM tok Ronaldo?

3.90 I levekårsundersøkelsen fra 2015 er det oppgitt at 60 % av ungdommen fra 16 til 24 år spiste fisk eller fiskepålegg to ganger i uka. På en skole er det 780 elever. Hvor mange av elevene spiser fisk to ganger i uka hvis vi legger tallene fra levekårsundersøkelsen til grunn?

3.91 Regn ut: a

5 9 12 10

c

2 3 : 6 1

b

2 9 3 2

d

8:

2 3

e

5 24 15 12


148 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

0,15 0,25

3 5

8 15

1,2 2

3 6 10 12

Hvor mange tusjer er røde?

b

3 1 4 4

c

2 þ5 5

3.97 Ved kommunestyrevalget i 2019 fikk Høyre 20,1 % oppslutning. Ved valget i 2015 fikk partiet 23,2 % oppslutning. a

Hvor mange prosentpoeng lavere oppslutning fikk partiet?

vu rd er

3.93 I et pennal er det blå, grønne og røde tusjer. Det er åtte blå tusjer, som svarer til 40 % av alle tusjene i pennalet. 20 % av tusjene er grønne.

3.96 Regn ut: 1 3 þ a 6 6

in g

3.92 Hvilket uttrykk er ikke lik 0,6?

b

Hvor mange prosent ble oppslutningen redusert?

3.94 På et sykehus er forholdet mellom mannlige og kvinnelige sykepleiere 3 : 7.

3.98 For å varme opp en liter vann 1 C må vi tilføre energien 4200 J.

a

Er det flest mannlige eller kvinnelige sykepleiere på sykehuset?

a

Hvor mye energi må vi tilføre for å varme opp en liter vann fra 0 C til 100 C?

b

Det er 60 sykepleiere på sykehuset. Hvor mange er menn, og hvor mange er kvinner?

b

Hvor mye energi må vi tilføre for å varme opp åtte liter vann 1 C?

Sykehuset skal ansette flere sykepleiere. De ønsker at andelen mannlige sykepleiere skal være 40 %. c

Hvor mange mannlige sykepleiere må de ansette for å nå målet?

til

En elev løste oppgave c slik:

n

Det er 60 sykepleiere, og 42 av dem er kvinner. 42 ¼ 0,6 x 42 x¼ 0,6 x ¼ 70

Ku

Altså må sykehuset ansette 10 menn.

d

Er resonnementet riktig? Forklar.

3.95 En bærbar datamaskin koster 17 900 kr. Prisen øker med 8 % hvert år de neste fire årene. Bruk vekstfaktor og regn ut:

3.99 Regn ut: 1 5 þ a 3 2 2 1 2 1 b 3 3 6

c

d

4 1 3 : þ 9 2 18 1 3 1 : 8 4 3

3.100 Skriv opp en brøk med verdi mellom 5 6 og a 0,7 og 0,8 b 3 3 3.101 Prisen på en verktøykasse er satt ned 35 %. Det utgjør 630 kr. Hvor mye kostet verktøykassa før rabatten?

a

Prisen på datamaskinen om ett år.

3.102 Et nettbrett koster 4200 kr etter at det er satt ned 15 %.

b

Prisen om tre år.

Hvor mye kostet nettbrettet opprinnelig?


Oppgavesamling 149

a

56 %

d

0,3 %

3.107 Bruk vekstfaktorene nedenfor til å bestemme prosentvis økning eller reduksjon:

b

80 %

e

0,75 %

a

1,32

c

6%

b

1,7

c

1,07

3.104 I 2018 ble det på landsbasis anmeldt 317 927 lovbrudd. Det var en nedgang på 17,2 % fra 2008.

Ingvar vil finne ut hvor mange gram salt han kan innta i løpet av en dag, for å kunne følge anbefalingen. Han løser oppgaven med å tegne en figur:

0,4 gram natrium

b

0,893

0,4 gram natrium

0,4 gram natrium

Diskuter sammen hvordan Ingvar har tenkt.

Du har 8 liter maling som skal fordeles på spann med plass til 2 liter.

Du har 8 liter maling som skal fordeles på spann med 2 plass til liter. 3

Hvor mange spann trenger du?

Hvor mange spann trenger du?

a

Løs oppgaven i venstre rute. Hvilken regneart bruker du?

b

Hvordan kan oppgaven i venstre rute hjelpe deg til å løse oppgaven i høyre rute? Løs denne oppgaven.

c

Hvordan kan du løse oppgaven ved å tegne en figur?

0,4 gram natrium

n

a

0,4 gram natrium

til

0,4 gram natrium

e

3.108 I rutene nedenfor ser du to oppgaver som likner hverandre:

3.105 1,0 g salt inneholder 0,4 g natrium. Helsemyndighetene anbefaler et inntak av natrium på maksimalt 2,4 g per dag.

1 gram salt

0,41

vu rd er

Hvor mange lovbrudd ble anmeldt i 2008?

d

in g

3.103 Skriv som brøk og desimaltall:

3.109 Politiet stoppet Gerd i en promillekontroll, og det viste seg at hun hadde 0,9 i promille.

Kan du løse oppgaven på en annen måte?

Ku

3.106 Et sølvarmbånd veier 16 gram og inneholder 830 ‰ reint sølv. Hvor mange gram reint sølv er det i armbåndet?

Hvor mange gram alkohol hadde Gerd i kroppen når vi antar at hun har en blodmengde på 6 kg?

3.110 Finn vekstfaktoren når en pris blir satt opp a

25 %

d

0,2 %

b

10 %

e

27,3 %

c

5%


150 KAPITTEL 3 – BRØK, FORHOLD OG PROSENT

a

Hvor stort er forbruket om fem år?

3.114 (Eksamen 2P høsten 2018) Prisen på en vare ble satt opp med 5 %. Det utgjorde en prisøkning på 40 kr.

b

Hvor stort var forbruket for åtte år siden?

Hvor mye kostet varen før prisen ble satt opp?

3.112 Skriv som prosent: 0,23

b

0,07

c

6 25

d

1 20

3.115 (Eksamen 1P høsten 2018) I en vase står det 20 tulipaner. 25 % av tulipanene 1 er hvite, er gule, og resten er røde. 5

vu rd er

a

in g

3.111 Forbruket av et mineral er nå 86 tonn per år. Forbruket øker med 4 % hvert år.

Øv til eksamen

Hvor mange tulipaner er røde?

3.113 (Eksamen 1P høsten 2019) Tora og Espen skal kjøpe ny bil. Bilen koster 194 000 kr. Tora har lest at verdien av en bil av den typen de har valgt, faller med rundt 17 % per år. De lurer på hva verdien av bilen vil være om tre år. Nedenfor ser du beregningene de gjør.

3.116 (Eksamen 1P høsten 2018)

Toras beregninger:

d Timestilbu kl. 21–24

Alle skjorter:

Kjøp 2 og få halv pris på den rimeligste

til

17 % + 17 % + 17 % = 51 %

En klesbutikk har satt opp plakaten ovenfor. Emil kjøper to helt like skjorter og får den ene til halv pris.

194 000 kroner ◊ 49 = 95 060 kroner 100

a

n

100 % – 51 % = 49 %

Ku

Espens beregninger:

1 - 0,17 % = 0,83 194 000 kroner ◊ 0,833 = 110 927 kroner

Forklar hvordan Tora og Espen kan ha tenkt. Hvilken løsning er riktig, og hva er feil i den andre løsningen?

Hvor mange prosent rabatt får han totalt sammenliknet med full pris?

Alfred kjøper også to skjorter. Den ene skjorta er opprinnelig 300 kr dyrere enn den andre. Alfred betaler nå 1350 kr til sammen for de to skjortene. b

Hvor mye betaler Alfred for den rimeligste skjorta?


Øv til eksamen 151

a

Hvor mange elever i klassen har bodd i Norge i mindre enn fire år?

Skolen Mats går på, er pusset opp og bygd ut. Nå er det 1500 elevplasser ved skolen. Dette er 150 % flere plasser enn før utbyggingen. Hvor mange elevplasser var det ved skolen før utbyggingen?

3.118 (Eksamen 1P våren 2018) Nedenfor ser du hvor stor oppslutning Kristelig Folkeparti hadde ved stortingsvalgene i 2013 og 2017: År

2013

Oppslutning

5,6 %

2017

3.122 Kine og Gry reiser på helgetur til London. Kine betaler flybillettene på 7875 kr, 5 som er av det hele turen koster. 8 Hvor mye betalte Gry?

3.123 Andreas vurderer om han skal sette sparepengene sine i banken eller kjøpe seg inn i et aksjefond. De siste fem årene har renta i banken vært 3,5 %. Aksjefondet har hatt en årlig avkastning på 3 %, 7 %, 1 %, 2 % og 4 %.

4,2 %

Hvor mange prosentpoeng gikk oppslutningen om Kristelig Folkeparti tilbake fra 2013 til 2017?

b

Hvor mange prosent gikk oppslutningen om Kristelig Folkeparti tilbake fra 2013 til 2017?

til

a

n

3.119 (Eksamen 2P våren 2019) Prisen på en vare ble satt ned 20 %. Nå koster varen 640 kr.

Hvor mye kostet varen før prisen ble satt ned?

3.120 I 2018 var det ca. 39 620 gårdsbruk i Norge. Fra 2008 til 2020 gikk antall gårdsbruk ned med ca. 1,9 % per år.

Ku

Hvor mye må du betale i kurtasje til banken?

vu rd er

b

3.121 I en bank må du betale 0,5 promille i kurtasje for å handle aksjer. Du kjøper aksjer for 6000 kr.

in g

3.117 (Eksamen 2P våren 2018) I klassen til Mats er det 25 elever. 20 % av elevene har bodd i Norge i mindre enn fire år.

a

Hvor mange gårdsbruk var det i 2020?

b

Hvor mange gårdsbruk var det i 2008?

Hvor har avkastningen vært størst, i banken eller i aksjefondet?

3.124 En båtmotor skal ha en drivstoffblanding av bensin og olje. Det blir riktig blanding hvis vi tar 10 liter bensin og tilsetter 2 dl olje. a

Hva er forholdet mellom olje og bensin i drivstoffblandingen?

b

Hvor mye olje må vi blande med 50 liter bensin?

c

Du har en kanne med 9 liter ferdig drivstoffblanding stående. Hvor mye bensin og hvor mye olje inneholder den?