Page 1

OPPGAVEBOK

MATEMATIKK FOR UNGDOMSTRINNET Maximum legger til rette for en rik og levende matematikkundervisning. Elevene lærer både forståelse og ferdigheter når de arbeider aktivt og utforskende med matematikken. Elever og lærere skal i fellesskap bruke Maximum til å lese matematikk, gjøre oppgaver, diskutere løsningsstrategier og møte matematiske utfordringer på en undersøkende og kreativ måte. Maximum motiverer elevene ved å knytte matematikken til vårt dagligliv og ved å tilby variert undervisning. Maximum vektlegger: • Faglig fokus, logisk oppbygging og progresjon • Tydelige og presise målformuleringer • Praktiske eksempler og oppgaver • Tilpasset opplæring til alle elever i et læringsfellesskap • Konkret veiledning og støtte for læreren både før, under og etter undervisningen Maximum 8 består av: Grunnbok: Elevens bok, med fagtekster, oppgaver og utfordringer. Grunnboka henvender seg direkte til eleven, og oppmuntrer til å lese, snakke, arbeide med og forstå matematikk.

Oppgavebok: Supplement til elevens bok med varierte oppgaver av ulik vanskelighetsgrad. Regelsamling: Komprimert samling av viktige formler og regler som forklares med eksempler. www.gyldendal.no/maximum Nettstedet gir elever og lærere alternative oppgaver, ulike prøveformer og utfordringer .

Alseth • Stedøy-Johansen Tangen • Tofteberg

Lærerens bok: Et uvurderlig hjelpemiddel for læreren. Den følger grunnboka side for side, med ideer til ulike tilnærmingsmåter til stoffet, aktiviteter, differensiering, vurderingsveiledning og tips til fordyping.

8

8

OPPGAVEBOK

MATEMATIKK FOR UNGDOMSTRINNET Bjørnar Alseth • Ingvill Merete Stedøy-Johansen Janneke Tangen • Grete Tofteberg


8 oppgavebok

Matematikk for ungdomstrinnet Grete Normann Tofteberg • Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen • Bjørnar Alseth


Forord Velkommen til Maximum! Vi håper du synes det blir morsomt og utfordrende å lære matematikk med Maximum. • Matematikk er nyttig i hverdagslivet, både her og nå og når du blir voksen. • Matematikk er også mønster og strukturer, med logiske sammenhenger og et eget symbolspråk. • Å lære matematikk er glede, undring, mestring – og mye hardt arbeid! • I matematikktimene skal du løse oppgaver og problemer, gjøre praktiske aktiviteter, spille spill, diskutere løsninger og tenkemåter og bruke PC. Her ser du hvordan grunnboka kan hjelpe deg:

Eksempler som viser deg hvordan du kan regne og skrive.

Mål for hva du skal lære.

Tekst som forklarer.

Oppgaver til diskusjon.

Oppgaver med ulik vanskegrad.

Illustrasjoner som hjelper deg å forstå.

2

Maximum 8


Kort sagt

Oppsummering av mål som utgangspunkt for videre arbeid.

I algebra regner vi med uttrykk som kan inneholde både bokstaver, tall og regnetegn. Bokstavene står for tall og skal behandles som tall. Tallene som bokstavene står for, er ukjente og kalles variabler. Du skal kunne

Eksempel

Løsningsforslag

kjenne igjen mønstre av figurer og tall

Hva slags mønster er dette?

Mønsteret er kvadrater med sider 1, 2, 3 og 4. Tallene er de fire første kvadrattallene

1

For å øve mer på det du trenger.

fortsette mønstre

4

9

16

Hva er det neste tallet? 2, 3, 6, 11, 18, …

Forskjellen mellom tallene er 1, 3, 5 og 7. Forskjellen mellom 18 og neste tall er 9. Det neste tallet er 18 + 9 = 27

forklare med ord, formler og symboler hvordan mønstre er bygd opp Du kan bruke bokstaver til å lage formler som beskriver mønstre.

Bli bedre Brøk

c 40 min?

2 3 a ___ + ___ 7 7

3 2 e ___ + ___ 7 3

i

2__ + 1__ 7 5

3 1 — ___ b 2__ 4 4

7 2 f ___ — ___ 9 5

j

— 2__ 3__ 6 8

5 1 d ___ : ___ 9 3

Lag følgeformel og direkteformel for figurtall nummer n.

Figurtallene er f1 = 4, f1 = 7 og f3 = 10 Hvert tall er 3 større enn tallet foran. Det begynner med tallet 4 Følgeformelen for figur nummer n er fn = fn — 1 + 3

n er fn = 1 + n · 3 = 1 + 3n

a Tegn lysene som fire punkter og trekk linjestykker mellom punktene. Forklar at det bare er to ulike avstander mellom to punkter. Det finnes seks ulike løsninger. Prøv å finne alle løsningene.

324

3.132 Regn ut.

8

Skriv med ord hvilket mønster figurtallene danner.

Direkteformelen for figur nummer

b 12 min?

·

Fig 3

2.129 Du skal plassere fire lys slik at det bare er to forskjellige avstander mellom to lys. Figuren til høyre viser en løsning.

3.131 Hvor stor brøkdel av 1 time er

3

Fig 2

Tren tanken

b Hvilke av brøkene i a er likeverdige?

c

Finn figurtallene til figurene.

3 lage en formel for tallene i mønsteret når du vet hvilket nummer tallet har

3 9 4 __ 4 __ 1 1 a Plasser brøkene __ , 4 , __ , 6 , 1__ og __ på tallinja. 8 3 2 2

3 2 ___ ___

Fig 1

1 finne det som er felles for tallene som danner et mønster 2 finne ut hvordan du kan finne det neste tallet i mønsteret

3.130 Tegn en tallinje der linjestykket fra 0 til 2 er 24 cm.

a 15 min?

Når du skal finne et tallmønster, skal du

Maximum 8

b Tegn en skisse av alle løsningene du fant i a.

3 2 ___ __

g 27 ·

4

3 2 h ___ : 1__ 7 5

4

2

1

3

c Bruk dynamisk geometriprogram, og tegn alle løsningene du fant i a.

2.130 Avstanden fra Auds hus til kirka er dobbelt så lang som avstanden fra Auds hus til skolen. a Tegn punktene K og S med avstand 9 cm. K er kirka, og S er skolen. Bruk passeren til å finne minst åtte punkter der Auds hus kan ligge.

15 1 ____ __

k 25 · l

77

b Hvilken geometrisk figur ser det ut som punktene i a danner?

12 4 ____ 4__ : 5 35

2.131 Figuren nedenfor er laget av et kvadrat. De skrå linjene er halve diagonaler.

a Hvor mange elever er det i alt? b Hvor stor brøkdel av elevene velger • friidrett? • sykkeltur?

206

• kanotur? • ikke orientering?

Maximum 8

Antall elever

Friidrett

8

Orientering

6

Sykkeltur

4

Kanotur

6

10 cm

Aktivitet

For annerledes og spennende utfordringer.

10 cm

3.133 En gruppe elever melder seg på aktiviteter. De kan bare melde seg på én aktivitet hver. Tabellen til høyre viser hvor mange elever som melder seg på de forskjellige aktivitetene.

10 cm

a Tegn flere kopier av figuren på papir eller med dynamisk geometriprogram. b Figuren kan deles opp i mindre biter med rette linjestykker, slik at hver bit har samme størrelse og form. Det er mulig å dele figuren i 2, 3, 6, 8 eller 12 biter. Hvilke får du til? c Sammenlikn løsningene dine i b med løsningene til en annen elev. Har dere klart alle?

Kapittel 2 • Geometri

145

Lykke til med matematikkfaget! Hilsen forfatterne

Maximum 8

3


Innhold 1 Tall og tallregning . . . . . . . . 6

4 Statistikk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Hoderegning, overslag og skriftlig regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Delelighet og faktorisering. . . . . . . . . . . . . 12 Tall på begge sider av null. . . . . . . . . . . . . 18 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Presentasjon av data . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyser og beregninger. . . . . . . . . . . . . . Statistisk undersøkelse. . . . . . . . . . . . . . . Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Geometriske byggesteiner . . . . . . . . . . . . . Konstruksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42 48 54 68 74

3 Brøk, desimaltall og prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 Desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4

Maximum 8

122 140 150 156

5 Algebra og likninger. . . 168 Utforsking av mønstre. . . . . . . . . . . . . . . . Algebraiske uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bokstavregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168 180 186 192 198


Maximum 8

5


1 Tall og tallregning Hoderegning, overslag og skriftlig regning 1.1

Regn i hodet.

a 12 + 18 c 29 + 16 e 31 + 16 b 23 − 14 d 46 − 11 f 64 − 9

1.2

Regn i hodet.

a 2 · 112 c 35 · 4 e 9 · 48 b 48 : 4 d 102 : 3 f 350 : 5

1.3

Regn i hodet. Forklar hvordan du tenker, ved hjelp av skriftlig hoderegning.

a 72 − 16 d 62 · 3 g 81 − 63 b 34 + 26 e 76 : 4 h 17 + 115 c 45 : 15 f 173 + 44 i 39 · 5

6

Maximum 8


1.4

Regn i hodet med hvert av tallene i den øverste raden. Tegn av tabellen og fyll ut. 12

18

54

72

Seks mindre enn tallet Seks ganger større enn tallet En seksdel av tallet Seks større enn tallet

1.5

Regn i hodet.

a Anna får 250 kr av mormor og 375 kr av farmor. Hvor mye penger får Anna fra mormor og farmor til sammen? b Bjarte tjener 1570 kr på en sommerjobb og bruker 650 kr på en radiostyrt bil. Hvor mye penger har han igjen? c Morten plukker 8 L blåbær. Han fryser bærene i bokser som rommer 4 dL. Hvor mange bokser trenger han? d Jenny jobber i 7 timer. Hun tjener 130 kr per time. Hvor mye tjener hun på jobben?

1.6

Tre av de fire tallene kan avrundes til samme tall. Hvilket tall passer ikke inn?

a 37, 41, 78, 39

b 387, 492, 412, 391 1.7

c 2501, 2548, 2489, 1991

d 916, 987, 1012, 1021

Michael har 500 kr. Er det nok hvis han skal kjøpe varer med disse prisene?

a 159 kr, 116 kr og 221 kr

c 197 kr, 186 kr og 173 kr

b 354 kr, 97 kr og 59 kr d 87 kr, 214 kr og 189 kr

1.8

Regn ut med skriftlige metoder.

a 1234 + 987

e 1403 : 61

i 729 − 280

b 67 · 32

f 197 + 1030

j 3798 : 34

c 192 : 8

g 1002 − 694

k 278 · 104

d 872 − 159

h 712 · 18

l 706 + 1067

Kapittel 1 • Tall og tallregning

7


1.9

Regn i hodet.

a 312 + 197 c 87 + 9 + 16 e 617 + 37 + 64 b 937 − 189 d 367 − 153 − 9 f 872 − 31 + 148

1.10

Regn i hodet.

a 19 · 4 c 8 · 32 e 12 · 9 · 50 b 312 : 3 d 920 : 4 f 480 : 12

1.11

Regn i hodet. Forklar hvordan du tenker, ved hjelp av skriftlig hoderegning.

a 456 − 192

d 856 : 8

b 312 + 67 − 189

e 56 · 41

c 1781 − 463 − 412

f 936 : 3

1.12

Regn i hodet med hvert av tallene i den øverste raden. Tegn av tabellen og fyll ut. 96

348

832

1006

Halvparten av tallet 1289 større enn tallet 259 mindre enn tallet 5 ganger så stort som tallet

1.13

Regn i hodet. Forklar hvordan du tenker, ved hjelp av skriftlig hoderegning.

a Cecilie får 800 kr av mormor. Hun bruker 120 kr på en T-skjorte og 395 kr på en bukse. Hvor mye penger har hun igjen? b Daniel har en lørdagsjobb der han tjener 380 kr per uke. Hvor mye tjener han i løpet av 8 uker?

1.14

Regn i hodet. Forklar hvordan du tenker, ved hjelp av skriftlig hoderegning.

a Hassan og tre venner deler en tippegevinst på 1752 kr. Hvor mye penger får hver av dem? b Vilde tjener 12 450 kr i august. I september tjener hun 2300 kr mer. Hvor mye tjener hun til sammen på disse to månedene?

8

Maximum 8


1.15

Gjør overslag i hodet.

a 387 · 23 d 8054 + 2347 g 87 · 612 b 728 : 93 e 1672 : 423 h 1982 − 1212 c 1234 − 761 f 1239 + 7654 i 3009 − 258

1.16

Bruk prislisten for rideutstyr når du løser oppgavene.

prisliste

a Ida har 3000 kr. Har hun nok penger til å kjøpe ridehjelm, ridestøvler og sikkerhetsvest?

Stallgreip Hovkrok Manbørste

b Gjør et overslag over hva grime, sal, tøyler og ulldekken koster til sammen.

Grime Sal

449 kr 7 kr 69 kr 125 kr 4698 kr

c Hvilken utstyrspakke kan du kjøpe hvis du har 2000 kr? Gi minst tre forslag.

Tøyler

d En dag selger butikken 3 ulldekken, 5 manbørster, 8 leietau og 2 stallgreip. Omtrent hvor mye solgte de varer for denne dagen?

Ulldekken

898 kr

Ridehjelm

499 kr

Ridestøvler

1199 kr

e Omtrent hvor mye mer koster en sikkerhetsvest enn en ridehjelm?

Sikkerhetsvest

1349 kr

Leietau

1.17

Gjør først overslag, regn deretter nøyaktig med skriftlige metoder.

Nora har sommerjobb som jordbærplukker. I løpet av en dag plukker hun 15 kasser à 12 kurver. Hun får 6 kr per kurv.

279 kr 39 kr

a Hvor mye tjener Nora i løpet av en dag? b Hvor mye tjener hun i timen hvis hun jobber 8 timer per dag?

1.18 a Klasse 8A er på dugnad for å tjene penger til skoletur. 28 elever jobber 6 timer hver og får betalt 78 kr per time. Hvor mye tjener klassen?

298 kr

b Elias har 10 500 kr. Han vil ta kjøretimer som koster 750 kr. Hvor mange kjøretimer har han råd til? c Jasim kjøper 5 par sokker til 39 kr per par og en skjorte til 298 kr. Han betaler med en 500-lapp. Hvor mye penger får han tilbake?

39 kr

Kapittel 1 • Tall og tallregning

9


1.19

Regn i hodet. Forklar hvordan du tenker, ved hjelp av skriftlig hoderegning.

a 312 + 98 − 291 c 1234 + 658 − 124 b 102 · 78 : 2 d (690 : 23) · 50

1.20

Regn i hodet.

a Elisabeth og fire venner skal på tivoli. Inngangsbilletten koster 129 kr, og reisen koster 68 kr. Hvor mye koster turen til sammen for alle vennene? b Kristine kjøper to bukser til 398 kr per stykk og tre topper til 149 kr per stykk. Hun betaler med en 1000-lapp og en 500-lapp. Hvor mye penger skal Kristine ha igjen? c Fredrik har 350 kr mer enn Geir. Til sammen har de 1590 kr. Hvor mye penger har hver av guttene?

1.21

Tabellen viser rutetider for flybussen fra Fredrikstad til Oslo lufthavn, Gardermoen. Regn i hodet.

a Hvor lang tid bruker bussen fra Onsøy jernbanestasjon til Oslo lufthavn, Gardermoen? b Ida går på bussen på Ørebekk. Hvilken holdeplass er hun nærmest etter 45 minutter? c Lag tre oppgaver med utgangs­ punkt i tabellen. Jobb sammen to og to, les oppgaver for hverandre, og løs oppgavene i hodet.

1.22

1876 + 1715

b 12 346 − 5673 c 18 765 : 65 d 32 · 19 Maximum 8

3632 + 2761 7654 − 5412

53 213 : 98

Rutetid

Fredrikstad busstorvet Ørebekk Skåra Onsøy jernbanestasjon Karlshus ESSO Smart Club Råde Rygge holdeplass E6

12.30 12.34 12.36 12.38 12.48 12.49 12.53

Moss lufthavn, Rygge

13.00

Moss Høyden Moss ESSO Nesparken Sonsveien jernbanestasjon Vestby nord ved Statoil Korsegården Oslo lufthavn, Gardermoen

13.08 13.13 13.23 13.33 13.37 14.40

Gjør overslag og sett inn < eller >. Sjekk svaret med kalkulator.

a 67 · 32

10

Holdeplass


1.23

Gjør overslag.

a Kim maler et gjerde som er 67,8 m. Han skal male to strøk, og fordeler jobben over tre dager. Omtrent hvor mye av gjerdet bør han male per dag? b Kim bruker ca. 12 minutter på å male 1 meter gjerde. Omtrent hvor lang tid bruker han på hele jobben?

1.24

En familie legger skiferheller på uteplassen sin. Hellene er 60 cm lange og 30 cm brede. En rute på figuren er 1 m2 i virkeligheten.

a Gjør et overslag over hvor mange skiferheller familien må kjøpe.

Hus

b Skiferen koster 119 kr per m2. I tillegg må familien kjøpe fem sekker fliselim til 449 kr per sekk og sju sekker fugemasse til 129 kr per sekk. Gjør et overslag over hvor mye familien må betale for materialene til sammen.

Uteplass

1 m2

1m

1m

1.25

Tabellen viser de utgiftene som Jesper har til mopeden sin.

Etter to år selger Jesper mopeden for 14 700 kr. Gjør et overslag over hva mopeden koster per måned, hvis du regner 7 måneders bruk per år.

1.26

Regn med skriftlige metoder.

Type utgift

Utgift (kr)

Moped

19 880 kr

Forsikring

2587 kr per år

Årsavgift

400 kr per år

Kjørelengde

8000 km per år

Bensinforbruk

0,35 L per mil

Bensinpris

16 kr per liter

a Det koster 6000 kr å leie en buss. Hvor mye må hver passasjer betale hvis det er 12, 15, 20, 36 eller 52 passasjerer som deler på regningen? b Sara tjener 115 kr per time og Odin tjener 147 kr per time. En uke jobber Sara 27 timer og Odin 32 timer. Hvor stor forskjell er det på inntekten deres? Hvor mye tjener de tilsammen den uka?

Kapittel 1 • Tall og tallregning

11


Delelighet og faktorisering 1.27

Skriv tallene i ruta som gangestykker. Finn så mange løsninger som mulig.

12  34  48 63  78  100

1.28

Produktet av to tall er 54. Summen av de samme tallene er 21. Hvilke to tall er det?

1.29

Bruk tallene i ruta. 816

6736

17 564

4580

7625

25 628

8608

36 018

6543

a Hvilke av tallene kan deles med 2? b Hvilke av tallene kan deles med 4? c Hvilke av tallene kan deles med 5?

1.30

En hesteeier skal fordele 164 hester på fire staller. Kan han plassere like mange hester i hver stall?

1.31

Finn alle faktorparene til tallene. Tegn et rektangel til hvert par.

a 12 b 32 c 35 d 21

1.32

Jørgen har 180 kvadratiske steinheller som han skal legge på et rektangelformet område under hagemøblene sine. Foreslå to måter å legge hellene på.

1.33

Et hus har en rektangelformet grunnflate på 120m2. Alle veggene er et helt antall meter lange.

a Hvordan ser huset ut når forskjellen på kortveggen og langveggen er så liten som mulig? b Huset bygges på med 3 m i lengderetningen. Hvor stor er grunnflaten nå?

12

Maximum 8


1.34

Hvilke av disse tallene er primtall? 13 15 17

1.35

19 21 23

25 27 29

31 33 37

47 49 51

39 41 43

a Legg sammen to av primtallene 2, 5 og 7. Kan summen bli et nytt primtall?

b Kan du legge sammen to andre primtall enn de du fant i a, og få et nytt primtall til svar? Begrunn svaret ditt.

Primtall  tall med bare to faktorer: 1 og tallet selv

c Velg to primtall, og gang dem sammen. Prøv på flere måter. Kan svaret bli et nytt primtall? Begrunn svaret ditt.

1.36

Summen av to primtall har både 5 og 6 som faktor. Differansen mellom de to primtallene er 4. Hvilke to primtall er det?

1.37

Primtallfaktoriser tallene.

a 45

c 98

e 78

g 88

b 64

d 108

f 75

h 250

1.38

Finn ett tosifret tall som

• har både 7 og 2 som faktor, • er større enn 50 og • er én mindre enn et primtall

1.39

Karim skal steinlegge en 60 m lang innkjørsel. Han kan ikke bruke mer enn 10 dager på prosjektet. Hvordan kan han dele veien i dagsøkter hvis han skal fullføre et helt antall meter per dag?

1.40

I en bedrift med 10 ansatte har noen kollegaer et tippelag. Hver uke satser de til sammen 300 kr. Alle satser like mye. Hvor mange kan de være på tippelaget, og hvor mye kan de ha satset hver? Finn minst to mulige løsninger.

Kapittel 1 • Tall og tallregning

13


1.41

Skriv gangestykker som gir svarene 77, 80, 92, 105 og 224. Ingen av faktorene skal være lik 1. Skriv så mange gangestykker du kan til hvert av tallene.

1.42

Produktet av to tall er 96. Summen av de samme tallene er 20. Hvilke to tall er det?

1.43

Bruk tallene i ruta. 216 756 914 471 385 543 624 987 513 832

a Hvilke av tallene kan deles på 2? b Hvilke av tallene kan deles på 4? c Hvilke av tallene kan deles på 5?

1.44

Finn fire tall mellom 50 og 80 som kan

a deles på 2 b deles på 4

1.45

c deles på 5

Bruk alle sifrene 3, 5, 6 og 7 én gang i hver oppgave. Lag størst mulig og minst mulig tall som kan

a deles på 2 b deles på 4 c deles på 5 1.46

En skole har 458 elever. På en matematikkdag deles elevene i grupper på 4 eller 5.

a Hvor mange grupper på 4, og hvor mange grupper på 5 elever kan det være for at det skal gå opp? b Hvordan kan skolen dele i grupper hvis 13 elever er borte fra skolen på matematikkdagen?

1.47

Finn alle faktorparene til tallene.

a 28 b 84 c 168 d 195

14

Maximum 8


1.48

Et rektangelformet blyglassvindu består av 240 små, kvadratiske ruter.

a Hvor mange ulike farger kan det være på rutene for at det skal være like mange ruter i hver farge?

Hele vinduet har flere ruter i høyden enn i bredden. Forskjellen på høyden og bredden er mindre enn 10 ruter.

b Hvor mange ruter kan det være i bredden og i høyden til vinduet?

1.49

Primtallfaktoriser tallene.

a 119 c 212 e 510 b 135 d 273 f 672

1.50

Primtallfaktoriser tallene, og finn hvilke faktorer som er felles for de to tallene.

a 72 og 80 c 110 og 154 e 105 og 140 b 182 og 308 d 162 og 234 f 90 og 108

1.51

a Kan du finne to primtall som gir et nytt primtall når du legger dem sammen?

b Kan du finne to primtall som gir et nytt primtall når du ganger dem med hverandre?

1.52

Primtallfaktoriser 39 og lag en regnefortelling som passer til regnestykket.

1.53

Du skal fordele 54 kg poteter i poser. Du har poser som rommer 2 kg, 3 kg og 5 kg.

a Hvilke av disse posene kan du bruke hvis du bare skal bruke én posetype og ikke skal ha poteter til overs? b Finn minst to løsninger der du fordeler potetene i mer enn én type pose.

1.54

Et kjøkkengulv er 450 cm langt og 360 cm bredt. Du skal flislegge gulvet med kvadratiske fliser. Se bort fra bredden på fugene. Hvilke mål kan du bruke på flisene hvis du skal unngå å kutte fliser?

Kapittel 1 • Tall og tallregning

15


1.55

Bruk sifrene 2, 5 og 7. Du kan ikke bruke samme siffer mer enn to ganger.

a Lag et firesifret tall som kan deles på 6. Et tall er delelig med 3 hvis siffersummen til tallet er delelig med 3.

b Lag et firesifret tall som kan deles på 15. c Lag et firesifret tall som kan deles på 4. d Lag et firesifret tall som kan deles på 12. e Hvilke av oppgavene a−d har mer enn én løsning? Vis hvordan du kommer fram til svaret ditt!

1.56

Du får disse opplysningene om et tall: • Tallet er et partall. • Tallet er firesifret. • Tallet kan deles på 5 og 3. • Ingen av sifrene i tallet er like. • Tallet kan ikke deles på 4. • Sifferet på hundreplassen er 5 større enn sifferet på tusenplassen.

Hvilket tall kan det være? Finn, om mulig, flere løsninger.

1.57

Primtallfaktoriser tallene.

a 7514 c 253 e 4913 b 187 d 6409 f 510 510

1.58

Når to etterfølgende oddetall er primtall, kalles de tvillingprimtall. Når ingen av fem eller flere etterfølgende oddetall er primtall, kalles det primtalltørke.

a Finn tre eksempler på tvillingprimtall der begge tallene er mellom 20 og 50. b Finnes det primtalltørke under 100?

16

Maximum 8

1.59

En boks med 48 drops inneholder drops i fire farger. Det er like mange gule som grønne drops og like mange røde som oransje drops. Det er flest røde og oransje drops. Uansett farge er antallet et primtall.

Hvor mange drops kan det være av hver farge?


1.60

I militæret består et kompani av 3−5 tropper. En tropp består av flere lag. Et kompani kan bestå av inntil 300 soldater. I en tropp er det 30−50 soldater, og et lag har 5−12 soldater. En bataljon består av 300−500 soldater og er normalt delt inn i 3−5 kompanier.

a Et bestemt kompani består av 160 soldater. Foreslå hvordan kompaniet kan deles inn i like store tropper og like store lag. b En bataljon med 432 soldater skal deles inn i kompanier, tropper og lag. Gi to forslag til hvordan det kan gjøres.

1.61

Festligheten skole arrangerer juleball, og elevrådet skal dekke bord til alle skolens 588 elever. Figuren viser hvordan bordene kan plasseres.

a Hvor mange av hver type bord trenger elevrådet hvis alle bordene skal være fullsatte? Kan de kombinere flere typer bord? Finn alle muligheter. b På juleballdagen er 28 elever borte. Elevrådet vil bruke langbord. Hvor mange kan nå plasseres rundt hvert langbord hvis alle langbordene skal være fullsatte? Finn alle muligheter. c Gymsalen som bordene skal plasseres i, er 14 m bred. Langbordene plasseres på tvers i gymsalen. Det er plass til 5 personer på langsiden av hvert enkeltbord. Ingen plasseres på kortsiden. Bordene er 3,0 m lange og 0,8 m brede. Hvor mange elever er det plass til ved hvert langbord hvis størrelsen på gymsalen blir utnyttet best mulig? d Mellom hver rekke av langbord og mellom de ytterste rekkene og veggen i gymsalen er det 1,5 m avstand. Hvor lang må gymsalen minst være hvis alle de 560 elevene skal få plass? Tegn en figur av gymsalen og bordene. Kapittel 1 • Tall og tallregning

17


Tall på begge sider av null 1.62

Hvilke tall er a, b, c og d? a

b

c 0

1.63

d 2

Tegn en tallinje. Plasser tallene på riktig sted på tallinja.

a 50 b (−30) c (−5) d 15

1.64

Regn ut.

a 12 − 7 d 14 − 20 + 7 g (−5) + 12 − 7 b 7 − 12 e 7 − 19 + 5 h 3 − 15 − 8 c 13 − 27 f (−8) + 15 i (−6) − 13 + 29

1.65

En dag er temperaturen −7 °C. Neste dag er det 6° kaldere. Hvor kaldt er det da?

1.66

Geir, Stine og Michelle har hver sin bankkonto med kredittkort. Saldoen på kontoen til Geir er 1600 kr, saldoen på kontoen til Stine er 3200 kr, og saldoen på kontoen til Michelle er 800 kr. De planlegger en reise, og alle tre betaler 2000 kr med kredittkortet til en felles reisekonto.

Hva er saldoen på hver av de tre kontoene nå?

1.67

Regn ut.

a 8 − (−5) c (− 9) − (−16) e 45 − 56 − (−9) b 17 − 8 − (−5) d 34 − (−6) − 20 f (−13) − (−8) − 11

1.68

Hvilke tall er det?

a Tallet er 6 mindre enn 3. d Tallet er det dobbelte av (−7). b Tallet er halvparten av (−8). e Tallet er 7 større enn (−12). c Tallet er 14 større enn (−10). f Tallet er 3 mindre enn (−5).

18

Maximum 8


1.69

Regn ut.

a 3 · 7 e 9 · (−6) i 72 : 8 b (−3) · 7 f 9 · 6 j (−72) : 8 c 3 · (−7) g (−9) · 6 k 72 : (−8) d (−3) · (−7) h (−9) · (−6) l (−72) : (−8)

1.70

a Tegn en gangetrekant som viser gangestykket (−5) · (−8).

b Bruk gangetrekanten i a til å finne svarene på delestykkene. • 40 : (−5)

1.71

•  40 : (−8)

Regn ut.

a 5 · (−3) + 12 d (−9) · 2 − (−13) g 21 − 7 · 3 − 12 b 7 − 2 · (−3) e 10 − 3 · (−4) h 4 · (−6) + (−3) · (−9) c (−8) + (−6) · 3 f (−5) · (−3) − (−10) i (−3) · 2 − 4 · (−5)

1.72

Sett på parenteser slik at regnestykket blir riktig.

a 56 : 3 + 5 = 7 c 9 = 30 − 3 : 3 e 13 = 9 + 6 − 12 − 10 b 8 + 4 · 4 = 48 d 18 − 6 + 7 = 5 f 4+2·7=3·3+3

1.73

Regn med kalkulator. Skriv tasteskjema.

a 37 + 12 · 18

c 216 − 47 · 9 + 107

b 15 · 67 − 34 · 18

d 87 · 7 + 129 − 63 · 6

1.74

Lag to regneuttrykk til hver regnefortelling.

a Tre brødre er på skitur. Den ene dagen går de 34 km, og den andre dagen går de 28 km. Hvor langt går de til sammen i løpet av disse to dagene? b Et lysløypeanlegg har en kort sløyfe på 8 km og en lang sløyfe på 14 km. Ola går begge sløyfene to ganger. Hvor langt har Ola gått?

1.75

Lag regnefortellinger til regnestykkene.

a 12 − 3 · 3

b (12 − 3) · 3 Kapittel 1 • Tall og tallregning

19


1.76

Regn ut.

a (−12) + 18 − 32 − (−23) d 32 − 68 − (− 45) − 17 b (−125) − 75 + 250 − 72 e 65 + (−37) − (−19) c 8 − 54 + 32 − 98

1.77

f (−18) − (−32) − 24 − (−9)

Følg linjene nedover og regn ut.

—20

a Hva er det minste svaret du kan få? b Hva er det største svaret du kan få? c Bruk skjemaet som et spillebrett for to spillere. Bruk en terning, og kast annenhver gang. +5 Partall betyr hold venstre, og oddetall betyr hold høyre. Den som får —16 lavest svar, vinner. ?

1.78

+8 —7

+9 —5

+12

—10 +8

+7

—9

—15

—13

—11

?

?

?

?

Hvilke tall er det?

a Tallet er 34 mindre enn 23. b Tallet er det dobbelte av (−43). c Tallet er 16 større enn (−82). d Tallet er en tredel av (−57).

1.79

a I Taklamakanørkenen i Asia kan temperaturen variere fra −20 °C til 50 °C. Hvor stor er temperaturforskjellen?

b Den høyeste målte temperaturen i Sahara er 58 °C. Kulderekorden i Sibir er −71 °C. Hvor stor er temperaturforskjellen? c På planeten Merkur varierer temperaturen mellom −180 °C og 430 °C. Hvor stor er temperaturforskjellen? d Omtrent hvor mange ganger større temperaturforskjeller er det på Merkur enn på jorda?

20

Maximum 8


1.80

Regn ut.

a 5 · (−6) · (−2) c (−8) · (−1) · (−6) e 3 · (−56) : (−8) b (−3) · 4 · (−5) d (72 : (−9)) · 4 f 6 · (−7) : 3

1.81

Regn ut.

a (−8) · (−7) − 50 d (−9) · (−8) + 6 · (−15) − (−4) · (−3) b 50 − (−8) · (−7) e (−60) + (−12) · (−5) c 93 + 5 · (−9) − (−18) f (−19) − 108 + 12 · (−7)

1.82

Sett på parenteser slik at regnestykket blir riktig.

a 6 · 12 − 22 = 5 · 12 − 2 c 2+4·7=6·3+4 b 32 + 56 : 8 = 3 · 7 − 10 d 5 · 8 + 5 = 5 + 3 · 4 + 13

1.83

Regn med kalkulator. Skriv tasteskjema.

a 712 − 46 · 13 + 6 · 19 c 78 · 32 − 871 : 13 + 476 b (7396 − 78 · 54) : 16 d 17 · (34 · 28 − 19 · 8)

1.84

Lag to regnestykker til hver regnefortelling.

a June kjøper tre cd-er til 89 kr per stykk, tre Blu-Ray-filmer til 129 kr per stykk og én minnepenn til 289 kr. Hvor mye betaler hun til sammen? b Roger tjener 145 kr per time. Han jobber seks timer på mandag, tirsdag og onsdag og fire timer på torsdag og fredag. Hvor mye tjener han denne uka? c Morten får penger av bestemor for å gjøre arbeid for henne. En høst klipper Morten plenen fem ganger, måker snø tre ganger, pusser ti vinduer og handler ti ganger.

1.85

Hvor mye tjener Morten?

Type arbeid

Betaling (kr)

Klippe plenen

50

Pusse et vindu

30

Måke snø

40

Handle

20

Lag en regnefortelling til hvert regnestykke.

a 500 − 8 · (−20) b (500 − 8) · (−20) Kapittel 1 • Tall og tallregning

21


1.86

Finn tallet som må stå i

for at summen av alle tallene skal bli null.

a −6, 9, −14, 5, 

c −9, 24, 77, −32, 

b 45, −71, 23, 16, 

d 63, −89, −19, −31, 

1.87

Regn ut.

a 3 − 17 − (−6) + (−9) − 12

c 1 − 17 − (−19) − (8 − 23)

b −(7 − 12) − (5 − 13) − (−8)

d 3 − 17 −(−4) + (3 −14) −2

1.88

Hanna har fleksibel arbeidstid. Hun skal jobbe 7,5 timer per dag, men hun kan selv velge når hun vil starte og når hun vil slutte arbeidsdagen. En uke arbeider Hanna slik: Mandag

Tirsdag

Onsdag

Torsdag

Fredag

Start

07.23

08.02

10.15

06.58

08.13

Slutt

14.20

16.02

15.45

14.05

plusstid tid utover normal arbeidstid

a Hvor mye har Hanna i plusstid eller minustid etter arbeidstid mandag, tirsdag, onsdag og torsdag?

minustid tid under normal arbeidstid

189

b Fredag starter Hanna på jobb kl. 08.13. Hvor lenge må hun være på jobb på fredag for at hun verken skal ha pluss- eller minustid etter endt uke?

Avgjør om påstanden er sann eller usann.

a Når produktet av to negative tall deles på et negativt tall, blir svaret positivt. b Når et negativt tall deles på produktet av et negativt og et positivt tall, blir svaret negativt. c Når et produkt av to negative tall deles på et produkt av to andre negative tall, blir svaret negativt.

22

Maximum 8

1.90

Hvilke regneuttrykk har samme verdi?

A 32 : (−4) − 2 · (−9) 1 (23 − (−6) · (−4)) · 10

B 6 · (−8) − 12 · (−2) 2 96 : (6 − (−2) · (−7))

C (−17 + 13) : (−2) − 14 3 50 · (−1) : (−2) − 15

D 16 − 11 · 2 − (−2) · (−2) 4 (−144) : (8 · (−2) + 4)

E ((−7) · 3 + (−8) · (−4)) · 4 5 (−2) · (−8 + 20)


1.91

Regn ut.

a (−6) · (−19 + 12) − (2 − 9) · (−5) b ((4 + (−5) · 3) · (−2) − (−3) · (−6)) : (−2) c (35 + (−3) · 9) : 2 − (−5) · (−3) · (−1)

1.92

Sett på parenteser slik at regnestykket blir riktig.

a 20 + 25 : −9 = 10 − 20 − 5

c 9 − 17 · 2 − 10 = 2 · 26 − 2 · 4 : 3

b −9 + 21 : 7 − 4 = −63 : 9 + 3

d −10 + 23 − 31 · 7 = −8 + 2 · 20 − 9

1.93

Hvordan regner du dette på kalkulator? Skriv tasteskjema.

6 a −(3 · 9) + ___ ​   ​  − (8 · 2) + 31 = 3

60 14 c ​ ____  ​  − 17 · 2 =  ​  − 5 · 3 + ​ ____ 3 2

b 32 · 3 − 164 : 4 + 4 · 2 − 38 : 2 = d (7 · 2 + 8) · 3 =

1.94

Lag minst to regneuttrykk til regnefortellingen.

Fire personer deler regningen fra et restaurantbesøk helt likt. Det er én forrett til 189 kr og tre forretter til 172 kr, to hovedretter til 249 kr og to hovedretter til 279 kr, fire desserter til 129 kr, fire enheter drikke til 89 kr og fire kopper kaffe til 39 kr.

Hvor mye betaler hver av dem?

1.95

Stian og Hallgeir fisker og selger fisk og krabber. De bruker en båt med 6 hk påhengsmotor til å sette og dra garn. Båten bruker cirka 5 l bensin per time. Bensinprisen er 15,25 kr per liter. De selger fisk for 30 kr per kilo og krabbe for 15 kr per stykk. Tabellen viser deler av regnskapet en uke.

a Finn mandagens inntekter og utgifter. Regn ut om Stian og Hallgeir fikk overskudd eller underskudd denne dagen. b Regn ut hvor mye de tjener hver dag denne uken. c Hva er minste mengde fisk og krabber de må få hvis de bruker 3 timer på å sette og dra garnene? Vis minst tre ulike kombinasjoner.

Her kan det være lurt å bruke et regneark.

Inntekter

Utgifter

Antall Antall kilo fisk krabber

Timer båtkjøring

Mandag

3

1

2 t og 15 min

Tirsdag

5

4

2 t og 45 min

Onsdag

6

2

2 t og 15 min

Torsdag

4

4

1 t og 45 min

Fredag

3

2

2 t og 0 min

Lørdag

11

6

3 t og 15 min

Søndag

15

8

3 t og 45 min

Kapittel 1 • Tall og tallregning

23


Potenser 1.96

Skriv en potens der

a grunntallet er 5 og eksponenten er 7 b grunntallet er 6 og eksponenten er 3 c grunntallet er 4 og eksponenten er 2

1.97

Regn ut verdien av potensen.

63 c 17 d 44 a 25 b

1.98

Sett inn <, > eller =.

25 a 62

c

82

b 33 42 d 102

1.99

26 e 34

92

53 f 27

122

Nedenfor ser du den lille gangetabellen.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

2

4

6

8

3

3

6

9

4

4

8

5

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50

6

6

12 18 24 30 36 42 48 54 60

7

7

14 21 28 35 42 49 56 63 70

8

8

16 24 32 40 48 56 64 72 80

9

9

18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 12 14 16 18 20

12 15 18 21 24 27 30

12 16 20 24 28 32 36 40

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

a Hvor i gangetabellen finner du kvadrattall? b Skriv kvadrattallene i den lille gangetabellen som potenser.

24

Maximum 8


1.100 a Gang sammen to kvadrattall. Blir svaret et kvadrattall? b Finn alle faktorene i kvadrattallene 16 og 25. Er antall faktorer et partall eller et oddetall? c Finn alle faktorene i tallene 18 og 30. Er antall faktorer et partall eller et oddetall?

1.101 Skriv tallene som potenser med 10 som grunntall. a 100 c 100 000 b 1000 d 100 000 000

1.102 Forenkle til en potens. 220 · 215 e 35 · 33 · 34 a 63 · 67 c b 108 · 105 d 74 · 75 f 54 · 56 · 59

1.103 Forenkle til en potens. 416 : 412 e 108 : 105 : 10 a 87 : 85 c 69 : 62 f 910 : 93 : 97 b 125 : 124 d

1.104 Regn ut. 12 + 2 · 42 a 32 − 4 c

e (3 + 25): 7

10 · 62 − 80 f 8 · (43 − 34) b 11 + 72 d

1.105 Mor vil at Ole skal vaske gangen hver dag. En uke får han 10 kr per dag for denne jobben. Neste uke får han 1 kr den første dagen, hver dag etterpå får han dobbelt så mye som dagen før. a Lag regneuttrykk som viser hvor mye Ole får betalt hver av de to ukene. b I hvilken uke var lønna best?

1.106 Regn ut. a 32

c (−3)2

e 23

b −32 d −23 f (−2)3

Kapittel 1 • Tall og tallregning

25


1.107 Regn ut. a 43

c 73

e 122

b 34

d 35 f 94

1.108 Sett inn <, > eller =. a 172

63

c 123

66

38

d

58 f 112

b

94

85

e

63

44 27

1.109 Sorter tallene fra minst til størst.

20, 52, 23, 10, 32, 0, 51

1.110 Hvilke av disse tallene kan skrives som en sum av to kvadrattall? a 34 b 54 c 74 d 94

1.111 Sant eller usant? a Produktet av to kvadrattall er også et kvadrattall. b Det finnes primtall som er kvadrattall. c Et kvadrattall inneholder alltid bare to faktorer. d Et kvadrattall inneholder alltid et oddetall faktorer. e Hvis et tall har et oddetall faktorer, må det være et kvadrattall.

1.112 Ulrik videresender en e-post til 10 av vennene sine. Hver av disse vennene videresender e-posten til 10 nye personer. Slik fortsetter det fire ganger. a Hvor mange personer er det i hvert av leddene i kjeden? Skriv tallene som potenser. b Hvor mange personer i alt har fått e-posten (forutsatt at ingen har fått den mer enn én gang)?

1.113 Skriv tallene som en potens med 10 som grunntall. a 10 000

26

Maximum 8

b Ti millioner


1.114 Skriv som en potens. a 38 · 312 · 37

c 96 · 97 · 94

b 152 · 153 · 156

d 105 · 1020 · 106

1.115 Skriv som en potens. a 813 : 87

c 610 : 62 : 65

b 129 : 125 : 124

d 10018 : 10012 : 100

1.116 Skriv som en potens.

a 58 · 53 : 57

c 1012 · 104 : 1016

b 1319 : 1312 · 135

d (74 : 76) · 73

1.117 Regn ut. a (36 − 23) : (−7)

d 42 − (18 − 23) − (−8)

b (−8) − 32 · (−2)

e (−6) · (−4) − (8 + 2 · (−3))2

c 5 · (−7) − (−2) · 33

f (18 − 24) − 6 · (−5)

1.118 Finn ut om uttrykket har positiv eller negativ verdi uten å regne ut.

a (−9)5

d (−6) · (−2) · (−12) · (−7)

b (−4)10

e (−1)8 · (−5)3

c (−2)3 · (−1)

f (−3)17 · (−6)4 · (−8)15

1.119 Regn ut. −24 · (−2)3 c (−8)2 : (−2)6 d (−3)5 : 34 a (−3)2 · 23 b

1.120 Sett inn <, > eller =. a (−2)4

(−2)5 c (−1)7

(−1)9

e (−1)12

b (−3)3

(−3)4 d −113

(−1)13 f (−2)3

−112 −32

Kapittel 1 • Tall og tallregning

27


1.121 Primtallfaktoriser tallet, og skriv det som et produkt av potenser med primtall som grunntall. a 1728 b 9800 c 40 500

1.122 Finn ut hvordan du leser eller skriver disse store tallene. Du kan bruke Internett som hjelpemiddel. a 106

d 10600

g trillion

b 109

e billion

h trilliard

c 10100

f billiard

i desillion

1.123 Richters skala brukes til å bestemme styrken på jordskjelv. Skalaen har trinn som går opp til ca. 9, og er lagd slik at når styrketallet øker med 1, er jordskjelvet 10 ganger sterkere enn trinnet under. De sterkeste jordskjelvene som er registrert i Norge i nyere tid, er målt til ca. 4 på Richters skala. Italia er et av de landene i Europa som er mest utsatt for jordskjelv, og har de senere årene hatt flere skjelv som er målt til ca. 6 på Richters skala. Jordskjelvet på Haiti i 2010 var på ca. 7 på Richters skala, og jordskjelvet i Japan i 2011 ble målt til 9 på Richters skala. a Hvor mange ganger sterkere er jordskjelvet i Japan enn jordskjelv i Norge? b Hvor mange ganger sterkere er jordskjelvene i Italia enn jordskjelvene i Norge? c Hvordan kan Richters skala uttrykkes som potenser?

1.124 Skriv som potens med ett grunntall hvis det er mulig. a 24 · 54

c 43 · 36

e 43 : 25

b 72 · 32

d 34 · 25

f 65 : 34

1.125 Regn ut.

2 · 33 + 10 a ​ ___________  ​     −25

22 · 52 − (33 − 23)     ​   b ​ ________________ −33

28

Maximum 8

107 − 106 c ​  _________  ​    32 (−10)2 −105 · 103 _______   − ​   ​     d ​ __________ 7 ​  10 −102


1.126 Sett på parenteser slik at regnestykket blir riktig. a 3 · 6 + 5 + 32 · 2 = 33 − 19 · 3 + 2 − 2 b 23 − 4 − 7 + 5 : 2 = 23 + 2 · 9 : 2

1.127 Når vi baker wienerbrød, kjevler vi først deigen til en tynn rektangelformet leiv. 2

Så smører vi smør på __ ​ 3 ​ av leiven og bretter den i tre lag.

Dette gjentar vi flere ganger til leiven består av mange tynne lag med smør mellom hvert lag.

1 Kjevle deigen til en tynn rektangelformet leiv.

2 ___ 2 Smør smør på     av leiven. 3

3 Brett leiven i tre lag.

a Hvor mange lag består leiven av når den er kjevlet og brettet to ganger? b Hvor mange lag består leiven av når den er kjevlet og brettet tre ganger? c Hvor mange ganger må du kjevle og brette leiven for at den skal ha minst 1000 lag?

1.128 Regn ut. a (−2)2 − (−1)3

d (−8)2 + 6 · (−9) − (−1)6

b −32 − 23 · 3 + (−5)2

e 22 · (−2)3 − 2 · (3)2 + 6

c (42 − (−1)4) − 33 · (−2)

f (−3) − 24 · (−1)11 − (−3) · (−4)

Kapittel 1 • Tall og tallregning

29


Blandede oppgaver 1.129 Forklar med dine egne ord hva matematikkordene betyr. a oddetall

c kvadrattall

e faktor

b partall

d primtall

f tierpotens

1.130 Tegn en tallinje, og marker tallene −3, 7, −8, 5, 9 og −1 med piler.

1.131 Skriv som potens. a 3 · 3 · 3 · 3 · 3 e 2·2·2·2·2·2·2 b 6 · 6 · 6 f 7 · 7 c 8 · 8 · 8 · 8 · 8 · 8 g x·x·x d 10 · 10 · 10 · 10 h a·a·a·a

1.132 Sett inn <, > eller =. a 3 · 12

48 − 14 c 67 − 13 45 + 11

b 96 : 3

12 + 24 d 92 − 15 8·9

1.133 Skriv av, og trekk linjer fra hvert av tallene til venstre til de av tallene til høyre som er faktor i tallet.

12

3

15

5

21

7

25

2

1.134 Regn ut. a (−12) + 7 − 4 d (−2) + 8 − 13 g 20 − 34 + 16 b 8 − 14 + 5 e (−5) − 8 + 17 h (−7) − 17 − 5 c 2 − 10 + 7 f 6 − 18 + 9 i 32 − (−8) − 19

1.135 Regn med skriftlige metoder.

30

Maximum 8

a 29 + 387

c 962 : 26

b 137 · 36

d 908 − 69


1.136 Regn ut. a 5 · 7

e (−8) · 4

i 45 : (−9)

b (−5) · 7

f 8 · 4

j (−45) : (−9)

c 5 · (−7)

g (−8) · (−4)

k (−45) : 9

d (−5) · (−7)

h 8 · (−4)

l 45 : 9

a 6 + 12 : 3

d 32 : 4 − 7

g 20 − (−4) · (−9)

b 10 + 23 · 3

e 17 − 7 · (−2)

h (−5)2 + (−2)3

c 19 − (−10)

f (−7) · (−3)2

i 16 : (−4) + 4

1.137 Regn ut.

1.138 Primtallfaktoriser tallene. a 120 b 38 c 84 d 54

1.139 Hvilket tall har flest faktorpar?

18, 20, 22, 24, 26

1.140 Regn i hodet. Forklar hvordan du tenker, med skriftlig hoderegning. a 72 + 15

c 45 + 74

e 34 + 68 − 52

b 122 − 34

d 231 − 162

f 119 − 51 + 16

a 72 : 8

d 48 : 12

g 28 : 2

b 81 : 3

e 69 : 3

h 105 : 5

c 75 : 5

f 52 : 4

i 96 : 4

1.141 Regn i hodet.

1.142 Er tallet delelig med 2, 4 og/eller 5? a 312

c 1305

e 769

b 1716

d 5460

f 3812

Kapittel 1 • Tall og tallregning

31


1.143 Sett inn <, > eller =. a 5·6+7 b (−2)7

5 · (6 + 7)

d 72 : 9

24

e 40 (−5) − (−6)

−27

c (−12) − (−8)

8 − 12

f 22 + 3 · 6

(22 + 3) · 6

1.144 Skriv tallet med ord og som en potens med 10 som grunntall. a 10 000

b 1 000 000

c 1 000 000 000

1.145 Regn med kalkulator. Lag tasteskjema. a 12 · 8 + 87 · 13

c 13 · (19 + 73)

b 214 − 17 · 8

d 17 · 15 − 9 · 24 + 267

1.146 Bruk tallene i ruta. Gjør oppgave a−d, og begrunn svarene dine. 16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

a Hvilke av tallene er kvadrattall? b Hvilke av tallene er primtall? c Finn alle faktorene i de tallene som ikke er primtall. d Hva kan du si om antall faktorer i de forskjellige tallene?

1.147 Bruk sifrene 5, 8, 0 og 3 én gang hver i a og i b. a Hva er det største tallet du kan lage med de fire sifrene? b Hva er det minste tallet du kan lage med de fire sifrene? c Finn summen av tallene du lagde i a og i b. d Finn differansen mellom tallene du lagde i a og i b. 1.148 Odin sparer til en ny sykkel som koster 8600 kr. Han får 1200 kr i gave. Resten skal han bruke 8 måneder på å spare.

32

Maximum 8

Hvor mye må Odin spare hver måned?


1.149 Hvilken regnefortelling (1−4) passer til hvilket regnestykke (A−D)? 1 Ola kjøper 4 brød til 28 kr per stykk og 1 kake til 45 kr.

A 45 + 4 · 12

2 Hilde kjøper 4 brød til 28 kr per stykk og 4 smultringer til 12 kr per stykk.

B 45 + 4 · 28

3 Magnus kjøper 1 brød til 28 kr og 4 smultringer til 12 kr per stykk.

C 4 · (12 + 28)

4 Naomi kjøper 1 kake til 45 kr og 4 smultringer til 12 kr per stykk.

D 4 · 12 + 28

28 kr

12 kr

45 kr

1.150 Regn i hodet. a Martin og fire venner kjøper to cd-er hver til 98 kr per stykk.

Hvor mye betaler de til sammen?

b Mina løper en runde på 3 km tre ganger i uka og en runde på 5 km to ganger i uka.

Hvor langt løper hun på en uke?

1.151 Bruk prislisten for skisenteret når du løser oppgavene. Gjør overslag. a Hvor mye koster en dag på skisenteret for mor, far og Jørgen på 13 år hvis alle leier utstyr og kjøper dagskort? b To voksne og tre barn på 5, 8 og 11 år leier utstyr til én av de voksne og det yngste barnet. Ett barn og én voksen kjøper 3-timerskort, resten kjøper dagskort. Hvor mye koster denne dagen på skisenteret?

prisliste Utstyrspakke barn 0−6 år

153 kr

Utstyrspakke barn 7−15 år

225 kr

Utstyrspakke voksen

288 kr

Dagskort voksen

340 kr

Dagskort barn

270 kr

3-timerskort voksen

285 kr

3-timerskort barn

220 kr

c To voksne og to barn på 5 og 9 år skal leie utstyr og være i bakken i 3 timer. Er 2000 kr nok penger? d Bruk prislisten til å regne ut hvor mye det vil koste for din familie, eller en gruppe det er naturlig for deg å reise sammen med, å være en dag på skisenteret.

Kapittel 1 • Tall og tallregning

33


1.152 Gjør overslag i hodet. a 197 + 212 + 448

c 196 − 42 − 69

b 69 + 17 − 32

d 513 − 289 + 197

1.153 Finn 4 tall mellom 100 og 300. a som kan deles på 2. b som kan deles på 4. c som kan deles på 5. d som kan deles på 20.

1.154 Skriv tallene med bokstaver. b 106

a 104

c 1010

1.155 Primtallfaktoriser tallene. a 1512

c 864

e 1728

b 780

d 1260

f 1404

1.156 Sett inn <, > eller =. a 6+7·3

(6 + 7) · 3

b 4 · (−2) + 3

4 · ((−2) + 3)

c (8 · (−6)) − 20 d 7 · (−8) + 40

8 · (−6) − 20 7 · ((−8) + 40)

1.157 Forenkle til en potens. a 24 · 29 : 210

c 97 : 94 : 93

e (89 : 87) · 812

b 512 : 52 · 56

d 152 · 157 : 155

f (38 · 39 : 36) · 34

1.158 Sett inn <, > eller =.

34

Maximum 8

a −24

(−2)4 c (−1)6

b −73

(−7)3

d (−3)3

(−1)7 −34


1.159 Gjør først overslag. Bruk kalkulator, lag tasteskjema, og regn ut nøyaktig svar. a 29 · 13 − 8 · 37

d 7 · 83 − 31 · 16 + 13 · 17

b 67 · 6 − 13 · 51

e 67 · 23 − 104 · 19 − 14 · 42

c 8 · 17 + 72 : 12

f 98 · 38 + 81 · 12 − 78 · 52

g  Finn forskjellen på overslag og nøyaktig svar i a−f. Er overslagene dine presise nok?

1.160 Ett av tallene i ruta skiller seg fra de andre. Hvilket? Begrunn svaret ditt. 5

7

9

11

13

1.161 Det er 52 kort i en kortstokk. a Kan du dele ut like mange kort til hver spiller, uten å få noen kort til overs, hvis det er • 3 spillere? • 4 spillere?

• 5 spillere? • 6 spillere?

b Hvor mange kort må tas ut av kortstokken for at hver spiller i hvert av tilfellene i a skal få like mange og flest mulig kort?

1.162 Maten til en klassefest koster 1427 kr. Det er 21 elever på festen. Omtrent hvor mye må hver elev betale?

1.163 11 og 13 er tvillingprimtall fordi begge tallene er primtall, og fordi differansen mellom dem er to: 13 − 11 = 2. Finn to eksempler til på tvillingprimtall der det minste av tallene er større enn 10.

1.164 Bensintanken på scooteren til Helene rommer 8,2 L. a Omtrent hvor mye koster det å fylle tanken hvis bensinen koster 14,48 kr per liter? b Omtrent hvor langt kan Helene kjøre på en tank hvis scooteren bruker 0,3 L per mil?

Kapittel 1 • Tall og tallregning

35


1.165 Grunnflaten til et hus er satt sammen av to rektangler og har form som bokstaven «L». Arealet av grunnflaten er 132 m2. Alle veggene er et helt antall meter, og den lengste ytterveggen er 14 m. Tegn en skisse av huset, og sett på mål.

1.166 Du får disse opplysningene om et tall: ­— Tallet er tresifret, — siffersummen er 15, — sifferet på enerplassen er tre større enn sifferet på hundrerplassen og — tallet kan deles på både 4 og 6.

Hvilket tall kan det være? Hvis mulig, finn flere løsninger.

1.167 En mann skal transportere 32 L diesel. Han kan bruke kanner som rommer 3 L eller 5 L. Han vil bare bruke fulle kanner.

Hvordan kan mannen fordele dieselen på kanner?

1.168 Gjør overslag. Lisa og Fredrik er på biltur. Tabellen viser hvor langt de kjører hver dag.

Ukedag

Antall kilometer

a Omtrent hvor langt kjører de i løpet av bilturen?

Mandag

327

Tirsdag

269

b Omtrent hvor mye lenger kjører de på torsdag enn på fredag?

Onsdag

412

Torsdag

654

c Kjører de lengst den første eller den andre halvdelen av turen?

Fredag

133

Lørdag

398

1.169 Rubiks kube er satt sammen av mange små terninger.

A

B

C

a Skriv antall små terninger i kube A, B, C og D som potens. b Hva er felles for de fire potensene i a?

36

Maximum 8

D


1.170 Et gardinstoff koster 289 kr per meter. Jonas trenger seks gardinhøyder à 1,9 m. Han må også regne et tillegg på 30 cm per høyde til fald.

Gardinhøyde

Gjør et overslag over hva gardinene koster.

Gardinfald

1.171 Bruk opplysningene i tabellen. a Hvor stor er høydeforskjellen mellom bunnen av Norskerenna og toppen på Europas høyeste fjell, Mont Blanc?

Høyt og lavt i verden

Antall meter

Mount Everest (Asia)

8850

Aconcagua (Sør-Amerika)

6962

Mount McKinley (Nord-Amerika)

6194

Kilimanjaro (Afrika)

5895

Puncak Jaya (Oseania)

5030

Mont Blanc (Europa)

4807

c Omtrent hvor mange ganger større er svaret i b enn svaret i a?

Norskerenna (Nordsjøen)

−700

d Jobb sammen i grupper på tre eller fire. Bruk opplysningene i tabellen til å lage fem oppgaver hver. Løs hverandres oppgaver, og sammenlikn svarene.

Marianergropen (Stillehavet)

b Hvor stor er høydeforskjellen mellom Puerto Rico-gropen og Sør-Amerikas høyeste fjell, Aconcagua?

Puerto Rico-gropen (Atlanterhavet)

−9200 −11 035

Romanchedypet (Atlanterhavet)

−7850

Sandwichgropen (Antarktis)

−8400

Tongagropen (Stillehavet)

−10 800

1.172 I en avis står det at omtrent 23 600 oppdrettsfisk har rømt. Tallet er avrundet til nærmeste hundre. Hvilket av disse tallene kan ha vært det nøyaktige antall fisk som har rømt? A 23 543 B 23 689 C 23 719 D 23 628

1.173 Sarah legger inn fem sanger på en mp3-spiller. Spilletiden for hver sang er vist i tabellen under.

Gjør et overslag på nærmeste hele minutt over den totale spilletiden for de fem sangene.

Sang

Spilletid

1

3 minutter 47 sekunder

2

2 minutter 32 sekunder

3

4 minutter 6 sekunder

4

3 minutter 25 sekunder

5

3 minutter 17 sekunder

Kapittel 1 • Tall og tallregning

37


1.174 Gjør overslag i hodet. a 567 + 1239 + 623

d 9869 − 5613 + 1256

b 1348 − 672 + 563

e 977 + 1234 − 1812

c 4518 − 923 + 8

f 53 · 67 − 1787

1.175 Regn ut. a (5 − 32) : 2 - 23 · (−3) b (8 − (42 − (−7)) : (−3)) · (−2)2 c (53 + 9 · (−5)) : 23 + (−3)3

1.176 Sett inn så lave sifre som mulig på de åpne plassene slik at tallet er delelig med både 3 og 4. a 5 87

c 65

6

b 7 541

7

d 163

1.177 Velg tall fra tallruta, og sett inn ett tall i hver rute i a og i b slik at uttrykkene får størst mulig verdi. Hvert tall kan bare brukes én gang i hvert uttrykk. −5

a ·

8

6

2

−7

4

b

+

· −

1.178 Bruk hvert av de tre sifrene 1, 6 og 9 én gang i hver av oppgavene a−d. a Lag et så lite oddetall som mulig. b Lag et så stort partall som mulig. c Lag et primtall. d Lag et kvadrattall. e Hvor mange ulike tall kan du lage av de tre sifrene når hvert siffer skal brukes én gang?

1.179 Faktoriser tallet 64 og skriv det som potens på tre ulike måter.

38

Maximum 8


1.180 Bruk sifrene fra 1 til 9, ett av hver, og i stigende rekkefølge. Bruk regnetegn og/eller parenteser mellom og rundt tallene slik at regnestykket får svaret 100. Eksempel: 1 + (2 · 3) + 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100. a Finn så mange løsninger du klarer. b Bytt med en klassekamerat, og kontroller hverandres løsninger.

1.181 Noen katter fanget to mus hver. Hvis de hadde fanget fem mus hver, ville de fanget 18 flere mus enn det de gjorde.

Hvor mange katter var det, og hvor mange mus fanget de?

1.182 32 elever deltar i en håndbakturnering. I hver kamp blir taperen slått ut og får ikke delta i flere kamper. a Hvor mange kamper må gjennomføres før vinneren er kåret? b Foreslå et kampoppsett som viser hvilke kamper som skal spilles i en turnering med 24 deltakere. Hvor mange kamper må gjennomføres før vinneren er kåret?

1.183 Du skyter på en blink med piler. a Hvor mange piler må du minst ha for å få • 19 poeng? • 25 poeng? • 47 poeng? • 59 poeng? Forklar hvordan du kommer fram til svarene. b Hvilke av disse poengsummene kan du få ved hjelp av tre piler? • 15 poeng • 23 poeng • 26 poeng • 41 poeng Forklar hvordan du kommer fram til svarene.

32 16 8 4 2 1

c Skriv poengene i blinken som potenser. Hvilket grunntall må du bruke? Kapittel 1 • Tall og tallregning

39


1.184 Live sparer på klinkekuler. I en butikk har de små klinkekuler til 3 kr per stykk og store klinkekuler til 8 kr per stykk. Hvilke ulike kombinasjoner av store og små klinkekuler kan Live kjøpe hvis hun skal bruke nøyaktig 200 kr?

1.185 17 sjørøvere hadde røvet en pose med gullmynter. Da de hadde delt pengene likt, viste det seg at det var sju gullmynter til overs. I den ville krangelen om hvem som skulle få mest og minst, ble én av sjørøverne drept. Skatten ble fordelt på nytt, men denne gangen ble det ti gullmynter til overs. Igjen ble det vill krangel, og igjen ble én sjørøver drept. På nytt ble skatten fordelt. Endelig gikk det opp! De gjenværende sjørøverne delte gullmyntene helt likt, og det ble ingen til overs og ingen for lite. I et regneark får vi fram en rest med formelen = rest (dividend; divisor)

Hva er det minste antall gullmynter som kan ha vært i posen, og hvor mange gullmynter fikk hver av de gjenlevende sjørøverne?

1.186 På gården til Preben er det to dyrearter, strutser og lamaer. I alt er det 17 dyr. Når alle dyrene er ute, tråkker 44 dyreføtter rundt. Hvor mange strutser og lamaer har Preben?

1.187 Myten forteller at brettspillet sjakk ble oppfunnet av en fattig matematiker på oppdrag fra kongen av India. Kongen syntes spillet med 8 · 8 ruter var fantastisk, og ville belønne oppfinneren. Matematikeren sa at han ville ha 1 riskorn for den første ruta, 2 riskorn for den andre ruta, 4 riskorn for den tredje ruta, osv. Han doblet altså antall riskorn for hver rute. Dette syntes kongen var en beskjeden belønning, så han lovet han dette. a Hvor mange riskorn fikk matematikeren for den første raden på sjakkbrettet? b Hvor mange riskorn fikk matematikeren for rute nummer 64 på sjakkbrettet? Skriv svaret som en toerpotens. c Bruk regneark, og regn ut hvor mange riskorn matematikeren fikk til sammen. Tror du det var mulig for kongen å betale hele belønningen til matematikeren? Begrunn svaret ditt.

1.188 Finn ut og skriv ned hvor stort tallet googol, som søkemotoren Google er oppkalt etter, og dogoogol er.

40

Maximum 8


1.189 Julie og Bård har et prosjekt i mat- og helsefag der de skal føre regnskap over kaloriinntaket sitt i en uke. De regner ut anbefalt daglig kaloriinntak på bakgrunn av vekt, alder og treningsmengde. Tabellen viser de to kaloriregnskapene. a Hvor stort daglig kaloriinntak hadde Julie og Bård i forhold til anbefalt daglig kaloriinntak hver av dagene denne uka? b Søndag kveld hadde Julie og Bård kaloriopptelling. Hvordan så det gjennomsnittlige kaloriinntaket deres ut i forhold til anbefalt ukemengde?

Kaloriinntak Julie

Bård

Anbefalt daglig kaloriinntak

2200

2400

Mandag

1860

2350

Tirsdag

2530

1990

Onsdag

1975

2180

Torsdag

2450

2310

Fredag

2680

1970

Lørdag

2730

2670

Søndag

1820

2380

1.190 Henrik bruker et rutenett til å designe et mønster til pannebånd. Mønsteret skal gå opp i antallet masker rundt hele pannebåndet. a Hvor mange masker kan mønsteret gå over når han skal strikke 120 masker med tynt garn? Finn alle mulige løsninger. b Hvor mange masker kan mønsteret gå over når han skal strikke 108 masker med halvtykt garn? Finn alle mulige løsninger. c Hvor mange masker kan mønsteret gå over når han skal strikke 84 masker med tykt garn? Finn alle mulige løsninger. d Henrik skal lage en pannebåndkolleksjon der det samme mønsteret skal gå igjen på alle pannebåndene. Han kan bruke alle de tre ulike garntykkelsene. Hvilket antall masker kan han bruke på mønsteret i hvert tilfelle? e Lag forslag til to ulike mønstre som går over flest mulige masker som Henrik kan ha som sitt designvaremerke på pannebåndene.

.

Kapittel 1 • Tall og tallregning

41


2 Geometri Geometriske byggesteiner 2.1

Hva slags geometriske figurer ser du i figuren til høyre?

2.2

Forklar med dine egne ord hva som menes med et punkt, et linjestykke, en stråle og en linje. Tegn figurer. D

2.7

Finn alle linjestykkene i figuren til høyre. Sett navn på linjestykkene, og tell hvor mange du finner. Sammenlikn svaret ditt med en annen i klassen.

A E

B

42

Maximum 8

C


E

2.4

Se på figuren til høyre. G

a Finn alle vinklene som er stumpe, og mål dem. b Finn alle vinklene som er spisse, og mål dem.

D

F

c Finn alle vinklene som er rette. Mål og sjekk at de faktisk er rette.

C

A

2.5

Kroppen til fjellklatreren på bildet danner mange vinkler. På figuren til høyre ser du en strektegning av fjellklatreren. Bruk strektegningen til å måle vinklene på kroppen til fjellklatreren.

2.6

Jobb sammen to og to.

Sprik med to fingre. Mål hvor stor vinkel dere har mellom de ulike fingrene. Hvilke fingre gir størst vinkel?

2.7

Bruk vinkelmåler og finn alle vinklene i sjukanten.

2.8

Konstruer en klokkeskive. Tegn inn viserne, og mål vinklene mellom dem når klokka er

a ni

2.9

b ti

c ti på tre

B

d halv elleve

Snøbrettkjøreren på bildet til høyre hopper og roterer en gang rundt før han lander.

a Hvor mange grader har han rotert når han lander? b Hvor mange ganger roterer man i en rotasjon på 720°? c Hvor mange rotasjoner er 1080°? d Hvordan vil du beskrive en rotasjon på −360°?

Kapittel 2 • Geometri

43


2.10

Hva beskriver vi her — et linjestykke eller en linje?

a Den er rett, men du kan ikke måle hvor lang den er. b Den er krum, og den har en begynnelse og en slutt. c Den er rett, og du kan måle hvor lang den er.

2.11

Se på figuren nedenfor. Hvor mange vinkler mellom 0° og 360° er det i figuren?

2.12

a Hjørnevinkelen på et ark er en rett vinkel. Bruk hjørnet på et ark til å sjekke hvilke vinkler i figuren som er spisse, rette og stumpe vinkler. Hvor mange finner du av hver type vinkel?

b Se deg om i rommet. Finn eksempler på spisse, rette og stumpe vinkler. Vis dem til en annen i klassen.

2.13

Hurtigruten «Nordlys» fikk en skade på skroget og tok inn vann. Båten krenget på det meste 22 grader.

a Tegn båten sett forfra med denne krengingen. b Forklar hva som menes med 22 grader krenging.

44

Maximum 8


2.14

a Tegn en trekant, en firkant, en femkant og en sekskant.

b Tegn alle diagonalene i hver av figurene. Lag en tabell omtrent slik som den nedenfor, og fyll den ut. Antall kanter

Antall diagonaler

3 4 5 6

c Se på mønsteret i tabellen. Gjett hvor mange diagonaler det er i en sjukant og en åttekant. Tegn figurene, og sjekk svaret. d Skriv en setning om hvor mange diagonaler det er i en n-kant.

2.15

Seilbåtene krenger. Omtrent hvor mye krenger hver av dem?

2.16

I snøbrett går det an å gjøre både hele og halve rotasjoner. Verdensrekorden er 4,5 rotasjoner. Lag en oversikt over alle de ulike rotasjonene som er mulig å gjøre i et snøbretthopp ved å fullføre tabellen til høyre.

2.17

Antall rotasjoner

Antall grader (o)

0,5

180

1

360

1,5

En klokke med visere er 9.00. Når klokka passerer 9.00, vil vinkelen mellom lilleviseren og storeviseren øke en stund før den minker igjen.

a Hva er den største vinkelen det kan være mellom viserne? b Omtrent hvor mye er klokka første gang det skjer etter klokka 9.00? Lag figurer. Kapittel 2 • Geometri

45


2.18

Jobb sammen med en annen i klassen. Tegn hvert deres bilde som består av linjer, linjestykker, punkter og vinkler. Dere skal ikke se hverandres bilder.

a Den ene sitter med et blankt ark, blyant, vinkelmåler og linjal. Den andre sitter med sitt bilde og forklarer hvordan det ser ut. Bruk geometriord når du beskriver bildet. Den som sitter med skriveutstyret, skal tegne bildet ut fra forklaringene du gir. b Sammenlikn de to bildene, og diskuter hvorfor de eventuelt ikke ble helt like. c Bytt roller, og gjør a og b på nytt.

2.19

Fløybanen i Bergen stiger på det meste 26 grader. Tegn en figur som viser hvor bratt Fløybanen er på det bratteste.

2.20

Se på bildet til venstre.

a Beregn størrelsen på vinklene inne ved sentrum av ­stjernen. b Konstruer en sirkel, og del sirkelbuen i tolv like store deler. Bruk dette til å tegne en sekstakket stjerne som likner på den femtakkede stjernen på bildet. c Let på Internett, og finn ut hvordan du skal klare å konstruere en femtakket stjerne med passer og linjal. Konstruer en liknende stjerne som på bildet. d Tegn stjerner med dynamisk geometriprogram.

46

Maximum 8


2.21

I denne oppgaven ser vi på vinkler mellom den lange og den korte viseren på klokka.

a Ved hvilke klokkeslett er vinkelen mellom viserne 120°? b Hvor mange ganger i døgnet er vinkelen mellom viserne 180°?

2.22

Mellom klokka 9.30 og 10.30 danner viserne på en klokke en rett vinkel to ganger. Omtrent hva er klokka når dette skjer? Lag figurer.

2.23

a  Pariserhjulet London Eye har 32 vogner som er jevnt fordelt rundt hele hjulet. Hvor mange grader er det mellom to vogner?

b En hel runde med London Eye tar 30 minutter. Hvor stor fart har vognene målt i grader per minutt? c Hvor mange minutter tar det fra vogn nummer 1 er nederst, til vogn nummer 7 er nederst? d London Eye har plass til 800 passasjerer per runde. En hel runde tar 30 minutter. Siden pariserhjulet går så sakte, kan passasjerene gå av og på uten at hjulet senker farten. Hvor lang tid tar det fra en vogn tar av og på passasjerer, til neste vogn gjør det? e Kan det stemme at det er 3,5 millioner mennesker som kjører London Eye hver dag? Bruk opplysningene fra d.

2.24

Tegn en kopi av London Eye (se bildet fra oppgave 2.23). Bruk dynamisk geometriprogram eller vinkelmåler.

Kapittel 2 • Geometri

47


Konstruksjon 2.25 a Tegn en trekant. Konstruer en nøyaktig kopi av trekanten. b Tegn en firkant. Konstruer en nøyaktig kopi av firkanten.

2.26 a Tegn en hjelpefigur og konstruer et kvadrat med sider på 5 cm. b Trekk diagonalene mellom de motstående hjørnene i kvadratet. c Hvor store er vinklene der diagonalene møter hverandre? Mål med vinkelmåler for å sjekke om du tenkte riktig.

2.27 a Tegn en hjelpefigur og konstruer en likesidet trekant der alle sidene er 6 cm. b Hvor store er vinklene i trekanten? c Mål med vinkelmåler for å sjekke om du tenkte riktig i b.

2.28 a Tegn en hjelpefigur og konstruer en sekskant der alle sidene er 5 cm og alle vinklene er 120°. Diskuter med en annen i klassen om det er flere måter å konstruere på. b Konstruer et parallellogram der to vinkler er 60° og de to andre vinklene er 120°. Sidene skal være 3 og 5 cm lange.

2.29 a Tegn en hjelpefigur og konstruer en ΔABC der BC er 7,0 cm, B = 45° og C = 45°. b Skriv konstruksjonsforklaring. c Hva slags trekant er ΔABC, og hvilke kjennetegn har trekanter av denne typen?

48

Maximum 8


2.30 a Tegn en hjelpefigur og konstruer en ΔABC der AB er 7,0 cm, B = 60° og C = 60°. b Skriv konstruksjonsforklaring. c Hvilken type trekant er ΔABC, og hvilke kjennetegn har trekanter av denne typen?

2.31 a Tegn et linjestykke. Bruk linjal og passer til å kopiere linjestykket. Det er ikke lov å måle lengden med linjalen. b Jobb sammen med en annen i klassen. Tegn hver deres geometriske figur. Bytt figurer og kopier hverandres figurer. Dere kan bruke linjalen til å trekke rette linjestykker, men ikke til å måle. Bruk passeren til å måle lengder og vinkler.

2.32

Vinkelsummen i en trekant er 180°. I denne oppgaven skal du undersøke summen av vinklene i firkanter.

a Bruk vinkelmåler. Mål alle vinklene i firkantene under, og regn ut summen av alle vinklene i hver firkant. Hvilke vinkelsummer finner du? b Tegn en firkant. Del den i to trekanter. Bruk det du vet om vinkelsummen i trekanter til å finne vinkelsummen i firkanten.

Kapittel 2 • Geometri

49


2.33 a Tegn en rett linje. b Konstruer så mange parallelle linjer som mulig 3 cm fra den linja du har tegnet. c Merk av et punkt A på den linja du tegnet først. Konstruer alle punkter som er 5 cm unna A. d Hvor mange punkter er 5 cm unna A og ligger på en linje som er 3 cm fra linja du tegnet? Merk av disse punktene.

2.34 a Tegn en hjelpefigur og konstruer et parallellogram ABCD, der AB = 4 cm, B = 30° og BC = 6 cm. b Skriv konstruksjonsforklaring. c Hva kjennetegner denne typen firkanter?

2.35 a Tegn en skisse av skolegården nedenfor. Gangvei

Skoleplass

Fotballbane

Skolen

b Vaktmesteren skal plante en hekk som skal stå like langt fra gangveien som fra skoleplassen. Lag en konstruksjon som viser hvor hekken skal plantes. c Vaktmesteren skal plassere et tre som skal stå like langt fra det nordøstre hjørnet av fotballbanen som fra den vestre enden av hekken. Lag en konstruksjon som viser hvor treet skal plantes. d Vaktmesteren skal legge steiner i en sirkel rundt treet, slik at steinene er 3 m fra treet. Lag en konstruksjon som viser hvor steinene skal ligge. Gangveien er 3 m bred.

50

Maximum 8


2.36 a Tegn en hjelpefigur og konstruer en trekant ABC, der AB = 5 cm, B = 60°, og AC = 4,5 cm. b Det er to løsninger på konstruksjonen i a. Forklar hvorfor, og finn begge løsningene. c Lengden på AC avgjør om det er ingen, én eller to løsninger på konstruksjonen i a. Diskuter med en annen i klassen hvilke lengder som gir ingen, én og to løsninger. Tegn figurer og forklar.

2.37

Vinkelsummen i en trekant er 180°. Bruk dette når du svarer på oppgavene under.

a Tegn en firkant. Del den i trekanter ved å trekke en diagonal. Finn summen av vinklene i firkanten. b Tegn en femkant. Velg et av hjørnene i femkanten. Tegn diagonaler fra dette hjørnet til alle hjørnene det kan tegnes diagonaler til. Du har nå delt femkanten i trekanter. Finn summen av vinklene i femkanten. c Tegn en sekskant. Bruk metoden i b til å finne summen av vinklene i sekskanten. d Forklar hvordan du kan bruke metoden i b til å finne summen av ­vinklene i en hvilken som helst mangekant. Lag en formel for summen av vinklene i en n-kant. Fortell klassen om det du har funnet ut.

2.38

Bruk hjelpefiguren under. D

C

120° A

135° 5 cm

B

a Konstruer et trapes som tilsvarer trapeset på hjelpefiguren, når du får oppgitt at siden AD er like lang som AB. b Hva er kjennetegnene for et trapes?

Kapittel 2 • Geometri

51


2.39

Lag et mønster etter oppskriften a til c, først med passer og linjal, deretter med dynamisk geometriprogram. Lag en skisse først, så du ser for deg hvordan det skal se ut.

a Konstruer to likesidede trekanter med en felles side. b Konstruer en likebeint trekant der de to like sidene er like lange som i de likesidede trekantene. Den siste siden skal være halvparten så lang. Den likebeinte trekanten skal dele en side med en av de likesidede trekantene. c Konstruer slike likebeinte trekanter som i b, på alle de ledige sidene til de to likesidede trekantene. d Beskriv kunstverket med ord.

Når du bruker dynamisk programvare, kan du fargelegge figuren din med ulike farger.

e Sammenlikn kunstverket ditt med en annen i klassen sitt. Ble de like? Finnes det flere løsninger?

2.40

Bruk dynamisk geometriprogram.

a Lag et kunstverk som består av likesidede, likebeinte og rettvinklede trekanter. b Lag en oppskrift på kunstverket ditt. Gi oppskriften til en annen i klassen som skal lage det etter din oppskrift. Du skal lage hans/hennes kunstverk. c Sammenlikn kunstverkene deres, og se om de ble like. Finn ut hvorfor de eventuelt ikke ble like.

2.41

Vinkelsummen i en trekant er 180°. Bruk dette når du svarer på oppgavene under.

a Tegn et kvadrat. Del det i trekanter ved å trekke en diagonal. Finn summen av vinklene i kvadratet. Alle vinklene i et kvadrat er like store. Bruk dette til å finne størrelsen på hver av vinklene i kvadratet. b Tegn en femkant der alle sidene er like lange og alle vinkler er like store. Dette kalles en regulær femkant. Velg et av hjørnene i femkanten. Tegn diagonaler fra dette hjørnet til alle hjørnene det kan tegnes diagonaler til. Du har nå delt femkanten i trekanter. Finn summen av vinklene i femkanten. Alle vinklene i femkanten er like store. Bruk dette til å finne størrelsen på hver av vinklene i den regulære femkanten.

52

Maximum 8


c Tegn en regulær sekskant. Bruk metoden i b til å finne summen av vinklene i sekskanten. Finn deretter størrelsen på hver vinkel i seks­ kanten. d Forklar hvordan du kan bruke metoden i b til å finne størrelsen på hver av vinklene i en regulær mangekant. Lag en formel for størrelsen på hver vinkel i en n-kant.

2.42

Du skal plassere en stige inntil en husvegg. Stigen er 6 meter lang. Det bratteste du tør å ha stigen, er slik at vinkelen mellom bakken og stigen er 60°.

Hvor langt fra veggen kan du plassere bunnen av stigen? Lag en figur. La 1 meter svare til 2 cm på figuren. Sjekk om vinkelen mellom bakken og stigen er 60°, når du antar at bakken er helt rett og normalt på husveggen.

2.43

Vinkelsummen i en trekant er 180°. Bruk dette når du svarer på oppgavene under.

a Konstruer ΔABC der AB er 5 cm, A er 90° og B er 60°. Tegn en hjelpefigur før du konstruerer. b Skriv en punktvis forklaring til konstruksjonen. c Beregn C. d Mål lengden til BC med linjal. Hvor lang er den i forhold til AB? e Konstruer en ny trekant ABC, med de samme vinklene som trekanten i a, men med AB = 8 cm. Hvor stor er C? Hvor lang er BC i forhold til AB? f Lag en hypotese om lengdene til sidene i en trekant med vinkler 30°, 60° og 90°.

Kapittel 2 • Geometri

53


Symmetri 2.44

Se på bildet til høyre.

a Hvor mange symmetrilinjer har figuren? b Figuren har også rotasjonssymmetri. Hva er rotasjonsvinkelen?

2.45

Diskuter med en annen i klassen, og finn fem ting som har

a én symmetrilinje b to symmetrilinjer c tre symmetrilinjer d Lag en skisse av det dere har funnet, og beskriv symmetriene.

2.46

Se på bokstavene og tallene nedenfor. Finn eksempler på bokstaver eller tall som har

a ingen symmetrilinjer b én symmetrilinje c to symmetrilinjer d flere enn to symmetrilinjer

54

Maximum 8

2.47

Hva slags symmetrier finner du i figurene nedenfor?

Hvis du mener det er speilsymmetri, skal du finne symmetrilinjene. Hvis du mener det er rotasjonssymmetri, skal du finne rotasjonssentrum og rotasjonsvinkelen.


2.48

Konstruer et kvadrat ABCD.

a Tegn diagonalene AC og BD. La skjæringspunktet mellom diagonalene være rotasjonssentrum, og roter kvadratet 45°. Hva slags figur har du lagd? b Bruk dynamisk geometriprogram. Tegn et kvadrat. La det rotere 30° om skjæringspunktet mellom diagonalene. Gjenta rotasjonen én gang. Hva slags figur har du lagd?

2.49

Se på figuren til høyre.

a Hvilke symmetrier finner du i figuren? Beskriv dem med ord. b Bruk passer eller dynamisk geometriprogram til å lage maken til og liknende figurer. Beskriv symmetriene i figurene med ord.

2.50

Borden under er bygd opp av parallellforskyvninger av et grunnmønster.

a Tegn grunnmønsteret. b Parallellforskyv grunnmønsteret, slik at du får en maken bord som på figuren.

Kapittel 2 • Geometri

55


2.51

a Tegn en stor bokstav. Lag en bord ved å parallellforskyve bokstaven tilsvarende bokstavens bredde.

b Lag flere bokstavborder. c Du skal bruke dynamisk geometriprogram til å lage bokstavborder. Figuren nedenfor viser en bord med bokstaven X. Der er den blå x-en utgangspunktet. Tegn en vektor som er lik bredden på bokstaven og bruk kommandoen «Flytt objekt med vektor».

2.52

Se på figuren nedenfor.

a Beskriv hvordan mønsteret i figuren er lagd. b Bruk dynamisk geometriprogram, og lag border ved hjelp av parallellforskyvning. Du kan gjerne kombinere det med speiling og/eller rotasjon.

2.53

Figuren til høyre kan være lagd ved rotasjon.

a Bestem rotasjonsvinkelen ved å telle hvor mange ellipser det er plass til i figuren.

56

Maximum 8

b Borden nedenfor er lagd ved parallellforskyvning av figuren i a. Pilen viser hvor langt og i hvilken retning den er parallellforskjøvet. Bruk samme teknikk til å lage en grunnfigur ved rotasjon, for deretter å parallellforskyve den.


2.54

Finn eksempler på speilsymmetri, rotasjonssymmetri og parallellforskyvning i mønstrene på bildene nedenfor. Fortell hva du har funnet til en annen i klassen.

2.55

Hvilke symmetrier finner du på snøbrettene? Beskriv symmetriene.

Kapittel 2 • Geometri

57


2.56

På figuren til høyre er de to trekantene speilsymmetriske. Legg over et gjennomsiktig papir, tegn av figurene, og konstruer symmetrilinja.

2.57 a Jobb sammen to og to. Konstruer hver deres geometriske figur. Tegn en speilingslinje utenfor figuren. b Bytt figurer, og konstruer speilbildet av hverandres figurer.

2.58

Jobb sammen med en annen i klassen. Dere skal bruke dynamisk geometriprogram. Sitt med ansiktene mot hverandre, så dere ikke ser hverandres skjermer. Åpne et tomt dokument, vis akser og rutenett.

a Bestem hvem som skal begynne å tegne. Den som begynner, lager en mangekant i et koordinatsystem. Hjørnene skal ha heltallskoordinater. b Den som har tegnet figuren, velger ett hjørnepunkt om gangen, og sier koordinatene til hjørnepunktet høyt. Den andre tegner speil­ bildet til hvert punkt, med x-aksen som speilingslinje. Den som har lagd speilbildet, tegner mangekanten. Deretter speiler hun eller han denne figuren om x-aksen. Sammenlikn den siste figuren med den opprinnelige. Er de like? c Bytt roller, og gjør oppgaven igjen.

2.59

Bruk dynamisk geometriprogram. Tegn en trekant ABC.

a La punktet A være rotasjonssentrum. Roter trekanten med en vinkel på 15° helt til den kommer «tilbake til seg selv». Hvor mange trekanter har du tegnet til sammen? b Tegn en ny trekant DEF. La punktet D være rotasjonssentrum. Roter trekanten med en vinkel på 45° helt til den kommer «tilbake til seg selv». Hvor mange trekanter har du tegnet til sammen?

58

Maximum 8


2.60

Konstruer et trapes ABCD.

A = D = 90°. AB = AD = 3 cm. CD = 6 cm. a Hvor store er B og C?

b Roter trapeset 180°, med C som rotasjonssentrum. c Roter hele figuren i b om C med rotasjonsvinkel på 90°.

2.61 a Bruk linjal og blyant, og tegn alle bokstaver i alfabetet som består av rette linjer. b Hvilke bokstaver er rotasjonssymmetriske, og hvilke er speilsymme­ triske? Bestem rotasjonssentrum og rotasjonsvinkel, eller symmetrilinjer.

2.62

Finn eksempler på mønster med rotasjonssymmetri og speilsymmetri. Lag skisser av mønstrene, og beskriv dem med ord du har lært om symmetri.

2.63

Se på figuren nedenfor. Hvor mange grader har den røde grunnfiguren rotert?

Kapittel 2 • Geometri

59


2.64 a Konstruer en likesidet, en rettvinklet og en likebeint trekant. b Undersøk om trekantene i a er speilsymmetriske, og tegn i så fall alle symmetrilinjene for hver figur. c Undersøk om trekantene i a er rotasjonssymmetriske, og finn i så fall rotasjonssentrum og rotasjonsvinklene for hver figur.

2.65

a Konstruer et kvadrat, et rektangel, et parallellogram og et trapes.

b Undersøk om firkantene i a er speilsymmetriske, og tegn i så fall alle symmetrilinjene for hver figur. c Undersøk om firkantene i a er rotasjonssymmetriske, og finn i så fall rotasjonssentrum og rotasjonsvinklene for hver figur.

60

Maximum 8

2.66

Hva slags symmetrier finner du i dette mønsteret? Finn eventuelle symmetrilinjer, symmetrisentrum, rotasjonsvinkler eller parallellforskyvninger.

2.67

Hva slags symmetrier finnes i figurene under? Finn eventuelle symmetrilinjer, rotasjonssentrum og rotasjonsvinkler.


2.68

Figuren øverst på neste side er lagd etter denne oppskriften:

Tegn en vinkel.

Merk av punkter langs hvert vinkelbein, slik at avstanden mellom punktene er lik. Nummerer punktene.

Trekk linjestykker mellom punktene med sum lik summen av det største og minste tallet (her 12 + 1 = 13).

a Hvilke symmetrier finner du i figuren? b Lag en tilsvarende figur selv. Velg vinkel, avstand mellom punktene og antall punkter. Fargelegg feltene slik at du får fram symmetriene enda bedre. c Prøv den samme framgangsmåten med et parallellogram.

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1

2.69

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Finn eksempler på symmetrier i naturen. Ta egne bilder eller lag skisser. Forklar symmetriene du har funnet.

Kapittel 2 • Geometri

61


2.70

Figuren under viser ordet «waterfalls» skrevet på en slik måte at ordet er speilsymmetrisk.

a Ordet VIV er speilsymmetrisk uten at vi må stokke om på bokstavene. Finn flere slike ord. b Prøv å stokke om bokstavene i navnet ditt slik at det blir speil­ symmetrisk.

2.71

Figur 1 nedenfor er grunnfiguren. De andre figurene er lagd ved å speile grunnfiguren én eller flere ganger om ulike symmetrilinjer.

a Bestem symmetrilinjene. Bruk gjerne et lite speil. b Lag fire nye figurer ved å speile grunnfiguren. Du behøver ikke å bruke hele grunnfiguren hver gang. Tegn resultatet.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Figur 4

2.72 Ordene «Otto», «radar» og «rør» er eksempler på det vi kaller palindromer. Palindromer er ord som blir de samme enten de leses forlengs eller baklengs. a På hvilken måte kan vi si at palindromer er symmetriske, og på hvilken måte er de ikke symmetriske? b Lag flere palindromord. c Let etter palindromer på Internett. Klarer du å finne hele setninger? Del det du har funnet med en annen i klassen.

62

Maximum 8


2.73

Bildet nedenfor er datamanipulert så ansiktet har blitt symmetrisk. Mennesket er nemlig ikke symmetrisk.

a Finn et foto av deg selv, og lag ditt eget ansikt helt speilsymmetrisk. Gjør slik:

1 Finn bildet, kopier det, og lim det inn i Paint.

2 Velg verktøyet «utvalg», og marker halve bildet.

3 Velg «kopier», lim inn, og flytt det halve bildet vekk fra originalen (klikk og dra).

4 Velg «lim inn» en gang til, og flytt også dette halve bildet vekk fra originalen, men la det fortsatt være markert (ikke klikk vekk fra stiplet linje rundt).

5 Velg «vend vannrett» (ligger som alternativ under «roter»), og skyv den ene halvdelen inntil den andre.

6 Gjenta punkt 2 til 5 med den andre halvdelen av ansiktet.

b Beskriv likheter og forskjeller mellom deg selv og den speilsymmetriske utgaven av deg selv.

2.74

Bruk dynamisk geometriprogram.

a Tegn en likesidet trekant. Tegn alle symmetrilinjene i trekanten. Hvor mange er det? b Tegn et kvadrat. Tegn alle symmetrilinjene i kvadratet. Hvor mange er det? c Gjør det samme som i b med en regulær femkant, sekskant og sjukant. d Bruk resultatene fra a, b og c til å sette opp en hypotese om hvor mange symmetrilinjer det er i en regulær n-kant. Kapittel 2 • Geometri

63


2.75

Tegn eller lag en kube.

a Hvor mange symmetrilinjer har en kube? b Beskriv symmetrilinjene med ord.

2.76

Jobb sammen med en annen i klassen. Dere skal bruke dynamisk geometriprogram. Sitt med ansiktene mot hverandre, så dere ikke ser hverandres skjermer. Åpne et tomt dokument, vis akser og rutenett.

a Bestem hvem som skal begynne å tegne. Den som begynner, lager en mangekant i et koordinatsystem. Hjørnene skal ha heltallskoordinater. Den andre skal tegne en linje som danner 45° med x-aksen. Det skal være en speilingslinje. b Den som har tegnet figuren, velger ett hjørnepunkt om gangen, og sier koordinatene til hjørnepunktet høyt. Den andre tegner speilbildet til hvert punkt. Bruk speilingslinja du tegnet i a. Tegn mangekanten. Speil til slutt figuren om speilingslinja. c Sammenlikn den siste figuren med den opprinnelige. Er de like? d Bytt roller, og gjør oppgaven igjen.

2.77

På figuren til høyre er de to trekantene rotasjons­ symmetriske. Legg et gjennomsiktig papir over, tegn av figurene, og konstruer rotasjonspunktet. Bruk vinkelmåler og mål rotasjonsvinkelen.

2.78 a Beskriv symmetrien i stjernen til høyre. b Bruk dynamisk geometriprogram, og lag en stjerne som er bygget på de samme symmetriene.

64

Maximum 8


2.79

Figuren nedenfor viser en stjerne. Den er laget av to likesidede trekanter.

Lag en tilsvarende stjerne. Stjerna er speilsymmetrisk og rotasjonssymmetrisk.

a Forklar hvorfor stjerna er speilsymmetrisk og finn symmetrilinjene. b Forklar hvorfor stjerna er rotasjonssymmetrisk. Finn rotasjonssentrum og rotasjonsvinkelen. c Plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 på hver av takkene til stjerna, slik at summen av tallene langs sidene i trekanten med spiss opp er 9 og summen av tallene langs sidene i trekanten med spiss ned er 12.

2.80 a Forklar symmetriene i bildet til høyre. Hvilke farger skal de ulike bladene i de symmetriske bildene ha? b Lag et bilde som er bygd på de samme symmetriene som på bildet til høyre.

2.81

Tallene 3572753, 333 og 7887 er eksempler på palindromtall. De leses likt forlengs og baklengs.

a På hvilken måte kan vi si at palindromtall er symmetriske, og på hvilken måte er de ikke symmetriske? b Hvilke tosifrede tall er palindromtall? Er noen av dem også speilsymmetriske eller rotasjonssymmetriske? Forklar hvorfor. c Finn eksempler på palindromtall med flere enn to sifre som er enten speilsymmetriske eller rotasjonssymmetriske.

2.82

Lag et mønster ved å sette sammen rotasjoner, parallellforskyvninger og speilinger. Lag en beskrivelse av hvordan mønsteret er lagd.

Kapittel 2 • Geometri

65


2.83

Figuren nedenfor viser en bord.

a Den blå «bananen» er grunnfiguren. Hele borden er lagd ut fra denne grunnfiguren. Forklar hvordan den er lagd. b Bruk dynamisk geometriprogram. Lag din egen bord med utgangspunkt i en grunnfigur du velger selv.

2.84

Under ser du noen tapetmønstre.

a Beskriv symmetriene i mønstrene på bildet. b Matematikere kaller mønstre som repeteres langs to retninger for tapetmønstre. Det er bevist at det finnes nøyaktig 17 slike tapetmønstre. Figuren nedenfor viser ett slikt mønster. Søk på «17 wall paper groups» på Internett, og beskriv noen av mønstrene du får opp.

MANGLER 02_45 (alle 4 i en fig) /Volumes/J/Bamse/Gyldendal/2_Produksjon/021432_Maximum_8_ Oppgavebok_BM/MATERIE/kap2/Links/02_45_ tapet_400_F_27164950_pGidyQU1avmxTyKPE9JjXP0tl64e77sm.jpg

66

Maximum 8


2.85

Noen bilder kan se symmetriske ut selv om de ikke er det. Hvilke deler av bildet til høyre er symmetriske, og hvilke deler er ikke symmetriske? Hva slags symmetrier ser du?

2.86

Beskriv symmetriene i bildet nedenfor. Bruk et fotoapparat, og ta bilde av symmetriske fenomener.

Kapittel 2 â&#x20AC;˘ Geometri

67


Koordinatsystemet 2.87 a Merk av punktene (3, 4) og (2, −1) i et koordinatsystem. a Finn et punkt til slik at de tre punktene danner en rettvinklet trekant. b Finn et punkt til slik at de tre punktene danner en likebeint trekant. c Finn to punkter til slik at de fire punktene danner et kvadrat.

2.88

y–akse

5 4 D

C (3, 3)

3 H

G

2 L

K

1 0

–5

–4

–3

–2 I

E A (–4, –3)

M

N 0 –1 –2

1

2

3

4

5

J F

–3

B

–4

a Finn koordinatene til alle punktene i spiralen. b Hva kjennetegner punkter som ligger langs en loddrett linje? c Hva kjennetegner punkter som ligger langs en vannrett linje?

2.89

68

Maximum 8

Finn et punkt i hver kvadrant slik at punktene er hjørner i

a et kvadrat

c et trapes

b et rektangel

d en rombe

e et parallellogram

x–akse


2.90 a Figuren viser rettvinklede trekanter. Finn koordinatene til punkter i hjørnene i hver trekant.

y–akse

6 5

b Hva kjennetegner punkter som danner en rett vinkel på denne måten?

4 3 2

2.91

I denne oppgaven skal dere jobbe sammen to og to.

1 Begge lager to koordinatsystemer med enheter fra −10 til +10 på begge aksene.

1 0 –4

–3

–2

–1

2 Tegn et linjestykke med lengde 1 i det ene koordinatsystemet. Endepunktene skal ha heltallskoordinater. Dere skal ikke vite hvor den andre har tegnet sitt linjestykke.

0

1

2

3

4

5

x–akse

–1 –2 –3 –4

3 Prøv å finne den andres hemmelige linjestykke med så få spørsmål som mulig, på denne måten: Den ene gjetter en koordinat, for eksempel (3, 1). Den andre svarer om treffet er over, under, til høyre, til venstre, eller på det hemmelige linjestykket. Merk av det du gjetter, i det tomme koordinatsystemet. 4 Når du tror du vet hvor motstanderens linjestykke er gjemt, skal du tegne det i ditt koordinatsystem. 5 Den som finner det hemmelige linjestykke til motstanderen først, har vunnet.

2.92

Bruk dynamisk geometriprogram.

a Tegn en trekant med hjørner i punktene (1, 3), (3, 0) og (2, 4). Bruk funksjonen «speil objekt om linje» til å speile trekanten om x-aksen og y-aksen. b Bestem koordinatene til hjørnene i den nye trekanten.

2.93

Lag et koordinatsystem.

a Tegn en likebeint, rettvinklet trekant. Skriv koordinatene til hjørnene i trekanten. b Beskriv sammenhenger mellom ­koordinatene til hjørnene i en rett­vinklet, likebeint trekant. c Speil trekanten i a først om y-aksen, deretter om x-aksen. Kapittel 2 • Geometri

69


2.94

Tegn et koordinatsystem med 1 cm som enhet på begge aksene.

a Et kvadrat har et hjørne i punktet (1, 1). Hjørnet som ligger i den andre enden av diagonalen, er (1, 5). Tegn punktene i et koordinatsystem. Hva er koordinatene til de to andre hjørnene i kvadratet?

b Tegn kvadratet i et koordinatsystem. Omtrent hvor lange er sidene i kvadratet?

2.95

Jobb sammen to og to.

1 Begge lager to koordinatsystemer med enheter fra –10 til +10 på begge aksene. 2 Tegn et kvadrat i det ene koordinatsystemet. Hjørnepunktene skal ha heltallskoordinater. Dere skal ikke vite hvor den andre har tegnet sitt kvadrat. 3 Prøv å finne den andres hemmelige kvadrat med så få spørsmål som mulig, på denne måten: Den ene gjetter en koordinat, for eksempel (3, 1). Den andre svarer om treffet er over, under, til høyre, til venstre, på eller inni det hemmelige kvadratet. Merk av det du gjetter, i det tomme koordinatsystemet. 4 Når du tror du vet hvor motstanderens kvadrat er gjemt, skal du tegne det i ditt koordinatsystem. 5 Den som finner det hemmelige kvadratet til motstanderen først, har vunnet.

2.96

En firkant ABCD er plassert i et koordinatsystem med hjørnene i punktene A(1, 2), B(4, 6), C(0, 9) og D(−3, 5).

a Parallellforskyv firkanten slik at A kommer til A’(0, 0). Hvilke koordinater har B’, C’ og D’? b Mål med linjalen, og finn hvor langt firkanten er parallellforskjøvet i a. c Roter firkanten ABCD om punktet A slik at linja AB blir parallell med x-aksen. Finn koordinatene til de roterte punktene B’’, C’’ og D’’. Hva slags firkant er ABCD? d Bruk vinkelmåler, og finn rotasjonsvinkelen i c.

70

Maximum 8


2.97

Bruk dynamisk geometriprogram.

a Merk av fire punkter i et koordinatsystem. Tegn en figur med hjørner i punktene du har merket av. b Speil figuren fra a først om x-aksen, så om y-aksen. c Speil figuren fra a først om y-aksen, så om x-aksen. Hva legger du merke til?

2.98

Bruk dynamisk geometriprogram.

Tegn figurer i et koordinatsystem. Eksperimenter med ulike speilinger. Forklar en klassekamerat hva du har gjort. Forklar hvordan koordinatene til punktene endrer seg når de blir speilet.

2.99

Tegn et koordinatsystem.

a Tegn en trekant i første kvadrant. b Roter trekanten i a 180° med origo som rotasjonssentrum. c Speil trekanten i a om y-aksen. d Speil trekanten i c om x-aksen. e Sammenlikn trekantene i b og d. Hva ser du? f Lag en hypotese om speiling om x-akse og y-akse og rotasjon på 180° om origo.

2.100 a Beskriv rotasjoner og symmetrier i figuren til høyre.

y–akse

5

b Finn koordinatene til sentrum i alle sirklene. c Hva slags rotasjon må gjøres for at alle sirkelsentrene skal være på koordinataksene? Tegn en skisse av hvordan figuren ser ut etter en slik rotasjon.

4 3 2 1 0 –5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

x–akse

–1 –2 –3 –4 –5

Kapittel 2 • Geometri

71


2.101 Tegn et koordinatsystem med 1 cm som enhet på begge aksene. a Et kvadrat har et hjørne i punktet (−2, −2). Hjørnet som ligger i den andre enden av diagonalen, er (0, 2). Tegn punktene i et koordinat­system. Hva er koordinatene til de to andre hjørnene i kvadratet? b Tegn kvadratet i et koordinatsystem. Omtrent hvor lange er sidene i kvadratet?

2.102 Jobb sammen to og to. 1 Begge lager et koordinatsystem med enheter fra −10 til +10 på begge aksene. 2 Tegn «skip» i koordinatsystemet. «Skipene» er vannrette eller loddrette linjestykker. Hjørnepunktene skal ha heltallskoordinater. Tegn to hangarskip som går over 7 punkter, tre mindre skip som går over 5 punkter, og fem små skip som går over 3 punkter. Dere skal ikke vite hvor den andre har tegnet sine skip. 3 Prøv å senke den andres skip før han eller hun får senket alle dine. Skipene senkes på denne måten: Den ene sier en koordinat, for eksempel (3, 1). Den andre svarer om det er treff. I så fall er skipet senket. 4 Den som først senker alle motstanderens skip, har vunnet.

2.103 Tegn et koordinatsystem med 1 cm som enhet langs aksene. a Merk av punktene A(1, 2), B(4, 2), C(4, 5), D(3, 5), E(3, 3) og F(1, 3), og tegn figuren ABCDEF. b Roter ABCDEF 90° om origo. Kall de nye hjørnene A’, B’, C’, D’, E’, F’. Hvilke koordinater får de nye hjørnene? c Speil figurene fra a og b om y-aksen.

2.104 Bruk dynamisk geometriprogram. a Tegn en mangekant som har hjørner på begge sider av både x-aksen og y-aksen. Eksperimenter med speilinger og rotasjoner av figuren. b Lag en beskrivelse av det du gjorde i a. Vis figuren og beskrivelsen til en annen i klassen.

72

Maximum 8


2.105 Se på figuren nedenfor. y–akse

6

4

2

y–akse

0 –6

–4

–2

9

0

2

4

x–akse

6

8 7

–2

6 5 4

–4

3 2

–6

1 0 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

x–akse

–1

a Forklar minst to måter figuren kan lages med symmetri på. b Lag en liknende figur.

2.106 Figuren nedenfor viser et biljardbord lagt inn i et koordinatsystem. Den blå sirkelen er biljardkula som er sendt i pilens retning.

y–akse

9 8 7 6

a Tegn figuren. Når kula treffer kanten, vil den fortsette som en lysstråle som reflekteres mot et speil. Finn koordinatene til punktene der kula treffer kanten.

5 4 3

b Vil kula til slutt treffe i et hjørne? Hvilket hjørne vil den i så fall treffe?

2 1 0 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

x–akse

–1

Kapittel 2 • Geometri

73


Blandede oppgaver 2.107 Merk av punktet A (−3, −1) i et koordinatsystem. Merk av tre nye punkter slik at de fire punktene til sammen danner hjørnene i et kvadrat med sidelengder på 3 enheter.

Hvilke koordinater har de andre punktene? Finnes det flere løsninger?

2.108 Se på vinklene nedenfor.

v

t

u

w

p

a Mål vinklene på figuren med vinkelmåler. Hvor store er vinklene? Lag en setning om svarene du kom fram til.

b Hvor mange av vinklene på figuren er like? Hva kjennetegner like vinkler, og hva kjennetegner forskjellige vinkler?

c Diskuter med en klassekamerat om lengden på vinkelbeina har noe å si for størrelsen på en vinkel. Tegn flere vinkler, og forklar ut fra definisjonen av en vinkel og hvordan gradtallet bestemmes.

2.109 Konstruer to parallelle linjer. Avstanden mellom linjene skal være 4 cm.

74

Maximum 8


2.110 Regn ut størrelsen på vinklene. Bruk vinkelmåler til å sjekke om svarene stemmer.

a

b 74°

150°

b

a

c

c 28°

2.111 Se på firkantene nedenfor. Beskriv hva som er spesielt med hver av firkantene, og sett navn på de du kan navnet på.

2.112 Hva beskriver vi her — ­ et linjestykke eller en linje? a Den er uendelig lang. b Den har avgrenset lengde. c Den er krum og uendelig lang.

Kapittel 2 • Geometri

75


2.113 Bruk ruteark. a Tegn figuren til høyre. La det være 1 cm mellom punktene både vannrett og loddrett. b Tegn kvadrater med hjørner i punktene. Hvor mange kvadrater finner du? Kvadratene skal ha forskjellige størrelser. c Tegn av figuren i a på nytt. Tegn så mange rektangler (ikke ta med kvadrater) du finner. Rektanglene skal ha forskjellige størrelser. d Tegn av figuren i a på nytt. Tegn så mange parallellogrammer (ikke ta med kvadrater eller rektangler) du finner. Parallellogrammene skal ha forskjellige størrelser. e Sammenlikn det du har funnet, med en annen. Fant dere det samme?

2.114 Konstruer vinklene. a 90°

c 22,5°

e 30°

b 45°

d 135

f 15°

2.115 Konstruer en trekant ABC. a A = 45°, AC = 6 cm og BC = 5 cm. b Har oppgaven i a mer enn én løsning? Forklar.

2.116 Konstruer en trekant ABC. A = 45°, AC = BC = 6 cm. a

b Hva slags trekant er ΔABC? c Har oppgaven i a mer enn én løsning? Forklar.

76

Maximum 8


D

2.117 Femkanten til høyre er satt sammen av • en rettvinklet, likebeint trekant ABC • en likesidet trekant BCD • et rektangel ACEF

B

Finn alle vinklene i femkanten ved regning.

A

C

F

E

2.118 Tegn fire spisse vinkler og fire stumpe vinkler. a Bruk vinkelmåler, og finn gradtallet til vinklene du har tegnet. b Bytt med en annen i klassen, og mål hverandres vinkler. Sammenlikn og se om dere er enige om vinklenes størrelser.

2.119 Tenk deg at du skal kaste baller oppi to bøtter. Bøttene skal stå 4 meter fra hverandre. a Lag en tegning av bøttene og hvor de skal stå. La 1 cm svare til 1 meter i virkeligheten. b Konstruer de punktene der du kan stå, hvis du skal stå 8 meter fra begge bøttene. Hvor mange punkter er det? c Konstruer de punktene der du kan stå, hvis du skal stå like langt fra hver bøtte. Hvor mange punkter er det?

2.120 Punktene A (0, 1) og B (3, 5) er to av hjørnene i en firkant. a Finn koordinatene til de to andre hjørnene i firkanten når firkanten er et rektangel der to sider har lengde 4 og to sider har lengde 3. b Finn koordinatene til de to andre hjørnene i firkanten når firkanten er et parallellogram der alle sidene har lengde 5 og ingen vinkler er rette. Hva kalles et slikt parallellogram?

Kapittel 2 • Geometri

77


2.121 Tegn en rett linje l. Merk av et punkt P utenfor linja. a Nedfell en normal fra P på l. b Konstruer en parallell til l gjennom P.

2.122 Kaja og Maja bor i hvert sitt hus. Hver gang de møtes, passer de på å møtes et sted som er akkurat like langt unna begges hus. Lag en tegning som viser hvor de kan møtes. For enkelhets skyld kan du la husene være punkter K og M. Bruk passeren til å konstruere punkter der jentene kan møtes. Tegn og beskriv resultatet ditt.

2.123 Bruk et ark. a Brett arket på en tilfeldig måte, så det kommer fram en linje når du bretter det ut igjen. Lag en ny brett så linja blir delt i to like lange deler. Hva kalles den nye linja? b Brett en linje som halverer vinkelen mellom linjene. Halver denne vinkelen på nytt igjen. c Finn alle vinklene på arket målt i grader.

2.124 Bruk dynamisk geometriprogram. a Tegn en trekant i første kvadrant i et koordinatsystem. Velg en vinkel v som går opp i 360°, og roter trekanten om origo med rotasjonsvinkel v. Gjenta rotasjonen helt til trekanten kommer «tilbake til seg selv». Fargelegg mønsteret du har lagd. b Gjenta a med en ny trekant og en annen rotasjonsvinkel som går opp i 360°. c Ta utskrift og heng opp mønstrene i klasserommet.

2.125 Bruk et løst ark som du kan klippe og brette i. a Konstruer en trekant ABC der alle sidene er 8 cm. b Klipp ut trekanten, og brett den dobbelt slik at A og B møtes. Hvor store er A og B i forhold til hverandre? c Brett ut trekanten, og brett den på nytt slik at A og C møtes. Brett enda en gang slik at B og C møtes. Hva ser du? d Skriv en setning om vinklene i en likesidet trekant. e Finn vinklene i ΔABC ved regning.

78

Maximum 8


2.126 Bruk dynamisk geometriprogram. a Tegn en firkant. b Finn midtpunktet på alle sidene i firkanten. Tegn fire rette linjer mellom midtpunktene slik at du får en firkant med hjørner i midtpunktene. Hvordan ser den nye firkanten ut? c Trekk i ett av hjørnene i den opprinnelige firkanten, slik at den forandrer form. Hva skjer med firkanten som har hjørner i midtpunktene? d Skriv en setning om hva slags firkant den nye firkanten med hjørner i midt­punktene er.

2.127 Bruk ruteark. a Tegn figuren til høyre. La det være 1 cm mellom punktene både vannrett og loddrett. b Tegn kvadrater med hjørner i punktene. Hvor mange kvadrater finner du? Kvadratene skal ha forskjellige ­størrelser. c Tegn av figuren i a på nytt. Tegn så mange ­rektangler (ikke ta med kvadrater) du finner. Rektanglene skal ha forskjellige størrelser. d Tegn av figuren i a på nytt. Tegn så mange ­parallellogrammer (ikke ta med kvadrater eller rektangler) du finner. Parallellogrammene skal ha forskjellige størrelser. e Sammenlikn det du har funnet med en annen i ­klassen. Fant dere det samme?

Kapittel 2 • Geometri

79


2.128 Undersøk trekanter med to like sider eller to like vinkler. a Konstruer ΔABC med AB = 5 cm, AC = BC = 7 cm. Bruk vinkelmåler, og mål A og B. Hva ser du? b Konstruer ΔABC med AB = 5 cm og A = B = 30°. Bruk linjalen, og mål linjestykkene AC og BC. Hva ser du? Hva slags trekant har du konstruert?

2.129 Bruk et løst ark. Du trenger også saks og linjal. a Tegn en trekant, og klipp den ut. b Finn midtpunktet på hver side ved å brette. Trekk opp linjestykkene mellom midtpunktene. c Klipp fra hverandre de fire trekantene. Hva finner du ut om trekantene? d Prøv det samme med en annen trekant. Skjer det samme igjen? e Prøv med en likesidet trekant. Skjer det samme igjen? f Prøv med en likebeint trekant. Skjer det samme igjen? g Lag en hypotese om det du finner ut.

2.130 Dere skal jobbe sammen to og to eller tre og tre om å lage en skattejakt for en annen gruppe i klassen. a Bestem fire steder (poster) utenfor skolen der det skal ligge instruksjoner, og ett sted der skattejakten skal begynne. Bestem hvor skatten skal ligge. b Lag en startinstruksjon som fører deltakerne fram til første post. Der skal det ligge en ny instruksjon som fører fram til andre post, og så videre. Ved fjerde post skal det ligge instruksjoner som fører fram til skatten. Instruksjonene skal inneholde begreper fra geometri. Bruk kjente vinkler, rotasjon, positiv og negativ retning, normal, vinkelrett. Få gjerne med toppvinkler, nabovinkler og komplementvinkler. Angi avstander i meter eller skritt. c Legg instruksjonene ved de riktige postene, og legg en «skatt» der dere har bestemt. Bytt startinstruksjon med en annen gruppe. Førstemann som finner skatten, vinner!

80

Maximum 8


2.131 Skriv bokstavene A, B, C, D, E, F, G, H og I under hverandre. Se på figurene nedenfor.

A

C

B

D

E

G

H

F

I

a Ved siden av hver bokstav skal du skrive de tallene som passer for figuren. Skriv 1 hvis det er en firkant, 2 hvis den har to sett parallelle sider, 3 hvis alle vinklene er rette, og 4 hvis alle sidene er like lange. b Skriv av setningene under og fyll inn de riktige ordene på de åpne plassene. En figur som er merket 1 og 2, er ________________ En figur som er merket 1, 2 og 3, er både et rektangel og ________________ En figur som er merket 1, 2 og 4, er både _______________ og ______________________ En figur som er merket 1, 2, 3 og 4, er både _____________ ______________ og et kvadrat.

Kapittel 2 • Geometri

81


2.132 Tegn en tilfeldig trekant med dynamisk geometriprogram. Halver to av vinklene i trekanten. Merk av skjæringspunktet mellom halveringslinjene. Halver den siste vinkelen. Hva legger du merke til? Dra i ett hjørne av trekanten, og se om det du observerte, ser ut til å stemme for alle trekanter. Formuler en setning om det du har funnet ut.

2.133 Denne oppgaven skal du gjøre sammen med en annen i klassen. Dere skal bruke dynamisk geometriprogram. a Tegn en tilfeldig trekant. b Finn midtpunktet på en av sidene i trekanten, og tegn et linjestykke fra motstående hjørne gjennom midtpunktet. Dette linjestykket kalles en median. Tegn en median til, og merk av skjæringspunktet mellom de to medianene. Tegn den siste medianen i trekanten. Hva legger du merke til? c Dra i ett av hjørnene i trekanten, og se om det du observerte i b, ser ut til å stemme for alle trekanter. d Skriv en setning om det du har funnet ut. e Gjør medianene i trekanten usynlige, men behold skjæringspunktet mellom medianene. f Tegn midtnormalen til to av sidene i trekanten. Merk av skjærings­ punktet mellom midtnormalene. Tegn midtnormalen til den tredje siden. Hva legger du merke til? g Dra i ett av hjørnene i trekanten, og se om det du observerte i f, ser ut til å stemme for alle trekanter. h Skriv en setning om det du har funnet ut. i Gjør midtnormalene i trekanten usynlige, men behold skjæringspunktet mellom midtnormalene. j Tegn normalen fra ett hjørne i trekanten ned på motstående side. Gjør det samme fra de to andre hjørnene. Merk av skjæringspunktet mellom to av normalene. Hva legger du merke til? k Dra i ett av hjørnene i trekanten, og se om det du observerte i j, ser ut til å stemme for alle trekanter. l Skriv en setning om det du har funnet ut. m Tegn en linje gjennom skjæringspunktet mellom medianene og ­skjæringspunktet mellom midtnormalene. Hva legger du merke til? n Dra i ett av hjørnene i trekanten, og se om det du observerte i m, ser ut til å stemme for alle trekanter. o Skriv en setning om det du har funnet ut.

82

Maximum 8


2.134 Bruk ruteark. a Tegn figuren nedenfor. La det være 1 cm mellom punktene både ­vannrett og loddrett.

b Tegn kvadrater med hjørner i punktene. Hvor mange kvadrater finner du? Kvadratene skal ha forskjellige ­størrelser. c Tegn av figuren i a på nytt. Tegn så mange rektangler (ikke ta med kvadrater) du finner. Rektanglene skal ha forskjellige størrelser. d Tegn av figuren i a på nytt. Tegn så mange parallellogrammer (ikke ta med kvadrater eller rektangler) du finner. Parallellogrammene skal ha forskjellige størrelser. e Sammenlikn det du har funnet med en annen i klassen. Fant dere det samme?

Kapittel 2 • Geometri

83


2.135 I denne oppgaven skal du finne ut om det er mulig å starte med et parallellogram og lage en firkant utenpå, slik at hjørnene i parallellogrammet er midtpunkter på sidene i den nye firkanten. a Bruk dynamisk geometriprogram. Tegn fire punkter som er hjørner i et parallellogram ABCD. Merk av et punkt E utenfor parallellogrammet, under linjestykket AB. Tegn en ny firkant slik at A, B, C og D er midtpunktene på sidene i firkanten. b Når du forandrer på hvor punktet E plasseres, vil den ytre firkanten se annerledes ut. Dra i punktet E, og flytt det rundt. Hva slags ulike typer firkanter kommer fram? c Dra i E og finn eksempler på hvor du kan plassere E for å få

1 firkanter med alle vinklene mindre enn 180°

2 firkanter der én av vinklene er mer enn 180°

3 to trekanter som henger sammen i ett punkt

2.136 Lærer Olga underviser i naturfag både på Mini barneskole og på Maxi ungdomsskole. Hun må innom bekken og fylle en bøtte med vann på veien fra Mini til Maxi, fordi elevene der skal undersøke pH-verdien i vannet. Skolene og bekken er tegnet nedenfor. Dørene Olga skal ut og inn av, er merket med kryss.

Maxi

Bekk Mini

a Hva er den korteste veien Olga kan gå? b Tegn av figuren, og konstruer den korteste veien.

84

Maximum 8


2.137 I denne oppgaven skal du utforske avstanden fra et punkt inni en geometrisk figur og ned til sidene i figuren. a Bruk dynamisk geometriprogram og tegn en likesidet trekant, slik som på figuren nedenfor. Velg et punkt D inni trekanten. C

h

f D

g

A

B

b Mål lengdene på linjestykkene f, g og h. Skriv inn summen av lengdene i algebrafeltet. c Dra i punktet D. Hva skjer med summen av lengdene til linjestykkene f, g og h? d Dra i D slik at det blir liggende på én av sidene eller i ett av hjørnene. Hva skjer med summen av lengdene til f, g og h i disse tilfellene? e Skriv en setning om det du har funnet ut. f Gjør samme undersøkelse med et kvadrat og en regulær femkant.

Kapittel 2 • Geometri

85

Profile for Gyldendal Norsk Forlag

Maximum 8 Oppgavebok  

Maximum 8 Oppgavebok inngår i Gyldendal Undervisnings matematikkverk for ungdomstrinnet

Maximum 8 Oppgavebok  

Maximum 8 Oppgavebok inngår i Gyldendal Undervisnings matematikkverk for ungdomstrinnet