Mønster 1P-Y, Informasjonsteknologi og medieproduksjon

Page 1

er in

Inger Bækkevar Anne-Mari Jensen Christina Bauck Jensen Jens Wilhelm Lindstad Anja Saxebøl

Matematikk 1P-Y

INFORMASJONSTEKNOLOGI OG

1P-Y

MEDIEPRODUKSJON

vu

Boka er en komplett alt-i-ett-bok. Det vil si at den inneholder lærestoff, utforskende aktiviteter, opplæring i digitale verktøy og oppgavesamling med fasit.

rd

MØNSTER-serien består av bøker for matematikkfagene for både studie­ forberedende og yrkesfaglige studieretninger i videregående skole. Mønster IM er yrkesrettet, tilpasset læreplanen i matematikk 1P-Y for informasjonsteknologi og medieproduksjon.

Bokmål

www.skolestudio.no

n

Ku

Mønster er en del av Skolestudio, et digitalt læringsmiljø for den videregående skole.

INFORMASJONSTEKNOLOGI OG MEDIEPRODUKSJON

Prøv digital utgave av boka på www.smartbok.no

til

I Skolestudio, Gyldendals digitale læringsmiljø, er det egne elev- og lærer­ ressurser som støtter verket. Der finner du blant annet undervisnings­ filmer og fullstendige løsningsforslag til oppgavene i boka. Til læreverket hører også Mønster Smart Øving, et adaptivt øvingsverktøy som gir hver elev et personlig læringsforløp, og læreren får en kontinuerlig oversikt over elevenes mestring.

g

B


g

Inger Bækkevar, Anne-Mari Jensen, Christina Bauck Jensen, Jens Wilhelm Lindstad, Anja Saxebøl

er in

MØNSTER

vu

rd

Informasjonsteknologi og medieproduksjon Matematikk 1P-Y

Ku

n

til

Bokmål


© Gyldendal Norsk Forlag AS 2020 1. utgave, 1. opplag ISBN 978-82-05-53298-4 Denne boka er en del av læreverket Mønster. Boka dekker målene i gjeldende læreplan i faget matematikk 1P-Y for informasjonsteknologi og medieproduksjon.

er in

Redaktør: Klaus A. Karlson Bilderedaktør: Johanna Figur Waddington (NTB) Design: Marianne Cecilie Dahl / mcddesign.no Logodesign: Eggedosis AS / Gunveig Wanvik Sats og layout: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Språkkonsulent: Trond Eidnes Omslagsdesign: Lise Mosveen Omslagsbilde: MirageC / Moment / Getty Images Figurer: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke / Arnvid Moholt), figurer created with GeoGebra (www.geogebra.org) og Python (www.Python.org) er benyttet i boka.

g

Printed in Latvia by Livonia Print Ltd, 2020

Illustrasjoner: Sandra Wilmann: side 24, 192 Nova M. Lie: side 148, 257ø, 265ø, 265n, 269, 272, 273n, 317

til

vu

rd

Bildekrediteringer: Side 8: darioayala / Shutterstock, 32: Shutterstock, 34: Lise Åserud / NTB, 37: Gorm Kallestad / NTB, 40: Maskot / Getty Images, 42: Shutterstock, 45: Thomasandreas / iStockphoto / Getty Images, 52: Shutterstock, 57: Peter John Acklam, 60: Shutterstock, 62: Shutterstock, 66: Shutterstock, 67: Shutterstock, 70: Shutterstock, 72: Pete Ark / Moment / Getty Images, 74: Shutterstock, 75: Shutterstock, 78: NTB, 79: Shutterstock, 80: Tetra Images / Getty Images, 81: Shutterstock, 83: Shutterstock, 87: Shutterstock, 88: Shutterstock, 90nv: Shutterstock, 91: Shutterstock, 97øv: Luis Alvarez / DigitalVision / Getty Images, 97øh: Shutterstock, 98: Shutterstock, 105: Shutterstock, 114: Johner / NTB, 115: Wikipedia.no, 123n: NTB, 123ø: Shutterstock, 128: Maica / iStock / Getty Images Plus, 129ø: Shutterstock, 129n: Shutterstock, 131: Shutterstock, 133: Shutterstock, 134: StockstudioX / E+ / Getty Images, 142n: Shutterstock, 143ø: Shutterstock, 143n: Shutterstock, 144: Shutterstock, 145: Shutterstock, 153øv: Shutterstock, 153øh: Shutterstock, 157: Shutterstock, 158: Shutterstock editorial / NTB, 166: Shutterstock, 167ø: Shutterstock, 167n: Shutterstock, 168: Shutterstock, 171: Getty Images, 172: kitthanes / iStock / Getty Images Plus, 173: Getty Images, 174: Shutterstock, 175: Shutterstock, 178: Shutterstock, 181: Shutterstock, 182: Shutterstock, 187: Shutterstock, 195ø: Shutterstock, 196n: Shutterstock, 198: Shutterstock, 200: MirageC / Getty Images, 209: Shutterstock, 210nh: imageBROKER / NTB, 210: Shutterstock, 213øv: Samfoto / NTB, 213: Shutterstock, 213v: Wikipedia, 214: Shutterstock, 217: Shutterstock, 219: Shutterstock, 221n: Pamela Loreto Perez / Shutterstock, 221øh: Shutterstock, 224: Shutterstock, 226: Shutterstock, 229n: Mondadori Portfolio / Contributor / Getty Images, 229ø: Ted Spiegel / Contributor / Getty Images, 231v: Shutterstock, 231h: Shutterstock, 232: Shutterstock, 233ø: Shutterstock, 233n: Shutterstock, 234øv: NTB, 234øh: NTB, 236: Shutterstock, 240: Imageselect, 240h: Shutterstock, 242: Shutterstock, 243ø: Fredrik Sandberg / TT / NTB, 244n: Peter Muller / Cultura / Getty Images, 245: Monty Rakusen / Cultura / Getty Images, 246: Shutterstock, 251: Kali9 / E+ / Getty Images, 254: Terje Bendiksby / NTB, 256: Shutterstock, 257n: Maskot / NTB, 262: Maskot / / iStockphoto / Getty Images, 264: Shutterstock, 267: Stian Schløsser Møller / Samfoto / NTB, 271: Ziga Plahutar / E+ / Getty Images, 273ø: Mihail Dubrovinskiy / 500px / Getty Images, 276: SARINYAPINNGAM / iStockphoto / Getty Images, 277n: Luca Kleve-Ruud / Samfoto / NTB, 277ø: Nattakorn Maneerat / EyeEm / Getty Images, 283: RelaxFoto.de / iStockphoto / Getty Images, 287: Pramod Bhandari / 500px / Getty Images, 293ø: Gorm Kallestad / NTB, 293n: Shutterstock, 298: Shutterstock, 301: Shutterstock, 302: Shutterstock, 303: Shutterstock, 305: Shutterstock, 306: Shutterstock, 308: Shutterstock, 310: Shutterstock, 313: Shutterstock, 315: Shutterstock, 316: Shutterstock, 318: Shutterstock, 319ø: Jeff Greenberg / Contributor / Getty Images, 320: Shutterstock, 321h: Shutterstock, 321v: Shutterstock, 323h: Shutterstock, 324: Getty Images, 326: Getty Images, 328: NTB, 329n: Shutterstock, 329: Shutterstock, 332: Shutterstock, 333: Shutterstock, 336n: andresr / E+ / Getty Images, 336ø: Shutterstock, 336h: Shutterstock, 339ø: Shutterstock, 339n: Shutterstock, 340: Shutterstock, 343: Shutterstock, 344: Shutterstock, 345: Shutterstock, 346: Shutterstock, 349: Shutterstock

n

Materialet i denne boka er beskyttet etter åndsverklovens bestemmelser. Enhver kopiering, avfotografering eller annen form for eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring av materialet i denne boka er kun tillatt dersom det finnes lovhjemmel eller er inngått særskilt avtale med Gyldendal Norsk Forlag AS. Virksomheter som har inngått avtale med Kopinor, kan kopiere, avfotografere osv. innenfor avtalens rammer (inntil 15 % av bokas sidetall). Det er ikke tillatt å kopiere fra arbeidsbøker (engangshefter).

Ku

Utnytting i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Forfatterne har mottatt støtte fra Det faglitterære fond til denne boka. Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Redaksjonen for videregående skole Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no www.gyldendal.no/undervisning Alle Gyldendals bøker er produsert i miljøsertifiserte trykkerier. Se www.gyldendal.no/miljo


Forord

er in

Boka skal hjelpe deg til å lære matematikk som du kan få nytte av både i dagliglivet, i programfaget, i videre utdanning og i ditt framtidige yrke.

g

Det er ulike læreplaner i matematikk for hvert enkelt programområde på yrkesfaglig studieretning. Denne boka er for deg som har valgt informasjonsteknologi og medieproduksjon.

Hvert kapittel starter med en praktisk problemstilling fra ditt programområde. Disse kommer du tilbake til som en aktivitet i slutten av kapitlet. Her får du brukt matematikken du har lært, sammen med din fagkompetanse fra informasjonsteknologi og medieproduksjon, til å løse praktiske problemer.

vu

rd

Første kapittel i boka kalles Matematisk verktøykasse. Dette kapitlet inneholder matematikk som du kan kjenne igjen fra tidligere skoleår. Lærestoffet fra kompetansemålene i faget ditt begynner i kapittel 2, og du kan begynne å arbeide med boka derfra. Hvis det er et emne du er usikker på, kan du slå opp i verktøykapitlet og finne ut av det du har glemt eller ikke forstått. Det kan også hende at du ønsker å arbeide deg gjennom hele eller deler av verktøykapitlet først fordi du ønsker å friske opp kunnskap.

til

I læreplanen er det flere kjerneelementer. Ett av dem er «Utforskning og problemløsning». Denne boka er lagt opp for å gi deg god anledning til å undersøke og forske på matematiske og praktiske problemstillinger. Det skal ikke bare være drill på metoder og framgangsmåter. Det skal også være problemer som utfordrer dere, der det er viktig å diskutere, forklare og samarbeide, og der dere må bruke kreativitet og tidligere erfaringer. Det er også aktiviteter med programmering som kan stimulere til utforskning til hvert kapittel. Husk at det ofte er flere måter å komme fram til en riktig løsning på.

n

Som avslutning på hvert kapittel er det oppgaver med ulike vanskegrader og yrkesrettede oppgaver og aktiviteter.

Ku

Til læreverket hører også Mønster Smart Øving. Det er et digitalt verktøy som gir deg øvingsoppgaver som er tilpasset ditt nivå og dine behov. Her får også læreren oversikt over arbeidet ditt, slik at du kan få så god oppfølging som mulig. En stor takk til lærere ved Askim og Mysen videregående skole, som har bidratt med gode samtaler og viktige innspill. Lykke til med læring av matematikk! Oslo, juni 2020

Inger Bækkevar, Anne-Mari Jensen, Christina Bauck Jensen, Jens W. Lindstad og Anja Saxebøl


Innhold 8

3 Innsamling og presentasjon av data. . . .

98

10 14 23 32 40 43 48 53 54

3.1 Å lese tabeller og diagrammer . . . . . . . . . . . 3.2 Innhente og sortere data . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Å lage en grafisk presentasjon. . . . . . . . . . . . 3.4 Sentralmål og spredningsmål . . . . . . . . . . . . . 3.5 Store datasett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hva har jeg lært? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vu

rd

1.1 Posisjonssystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bli god til å regne! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Vekstfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Problemløsning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

er in

g

1 Den matematiske verktøykassa . . . . . . . .

60

4 Formler fra dagligliv og yrke . . . . . . . . . . . 158

Ku

n

til

2 Målenheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100 112 116 125 131 139 140 142 144

2.1 Grunnleggende målenheter . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Målenheter for areal og volum . . . . . . . . . . . 2.3 Sammensatte målenheter . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Det binære tallsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hva har jeg lært?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 70 77 83 88 89 90 92

4.1 Ulike uttrykksformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Å forstå og lage formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Å bruke formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Formler fra yrkeslivet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hva har jeg lært? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160 165 171 178 184 185 186 188


Innhold

7 Kostnadsberegning og anbud . . . . . . . . . . 298

200 209 214 221 230 231 232 234

7.1 7.2 7.3 7.4

Kostnader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Selvkost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fortjeneste og merverdiavgift . . . . . . . . . . . . Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag. . . . . . . . . . . . . . 7.5 Budsjetter for en virksomhet . . . . . . . . . . . . . Hva har jeg lært?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vu

rd

5.1 Geometriske figurer og former . . . . . . . . . . . . 5.2 Symmetrier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Lengder og areal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Forhold og målestokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hva har jeg lært? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aktiviteter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

er in

g

5 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5

6 Personlig økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

300 309 315 322 328 335 284 338 340

n

til

Python på 1–2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

Ku

6.1 Lønn og feriepenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Beregning av lønn og skatt . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Budsjett og regnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Sparing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Lån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Kredittlån. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hva har jeg lært? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aktiviteter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GeoGebra på 1–2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Excel på 1–2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

244 249 256 262 267 271 276 336 278 280

Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385


Slik bruker du boka

g

Yrkesretting Mønster IM er skrevet spesielt for matematikk for restaurant- og matfag, med mange eksempler og oppgaver hentet fra yrkeslivet.

er in

Den matematiske verktøykassa Trenger du å friske opp matematikkunnskapene dine? Står du fast i arbeidet med oppgavene dine? Dette kapitlet gir deg oversikt over noen emner som har vært tema i matematikkundervisningen på tidligere skoletrinn.

rd

Utforsk sammen Her finner du aktiviteter som legger til rette for utforskende matematikk, diskusjon og samarbeid. Du kan bruke dem direkte eller ved at læreren tilpasser det til gruppa som grunnlag for forståelse og dybdelæring.

vu

Tenk gjennom Boka legger til rette for dybdelæring gjennom å oppmuntre til refleksjon.

Ku

n

til

Merk Her finner du tips, repetisjon og korte oppsummeringer.

Eksempler Et rikt utvalg av eksempler i boka viser ulike måter å løse og presentere en oppgave på.

Video Videoikonet viser at det er en undervisningsfilm i Skolestudio. Filmen forklarer teori, eksempler og løsninger eller viser bruk av digitale verktøy.

Viktige setninger De blå boksene inneholder viktige setninger, begreper og definisjoner. Det som står her, er det viktig at du lærer deg og forstår.


g

Varierte oppgaver Etter hvert delkapittel er det oppgaver der du kan øve på det du nettopp har lært. I oppgavesamlingen finner du flere oppgaver til hvert delkapittel, i tillegg til blandede oppgaver og eksamensoppgaver.

Blyantikonet viser oppgaver du skal løse uten hjelpemidler. Et eget ikon viser oppgaver som krever at du jobber utforskende eller bruker problemløsningsstrategi i samarbeid med andre elever.

rd

Læringsstrategier Gjennom tydelige læringsmål, «Læringslogg» bakerst i hvert delkapittel og «Hva har jeg lært?» til slutt i hovedkapitlene, oppfordrer vi til å reflektere over egen læring og til å se mønstre og sammenhenger i faget.

er in

Oppgaver som er mer utfordrende er markert med firkanter.

vu

Gjennomgående prosjektoppgave I «Prosjekt nettside» får du mulighet til å lære matematikk i tilknytning til arbeidet ditt.

til

Aktiviteter Små, åpne yrkesrettede oppgaver som gjerne kan gjennomføres tverrfaglig med programfaget ditt.

n

Test deg selv Her finner du oppgaver fra hele kapittelet. De er delt inn i oppgaver du skal løse uten og med hjelpemidler. Oppgavene fungerer godt som repetisjon til en kapittelprøve.

Ku

Digitale verktøy Bakerst i boka finner du korte oppslagsmanualer kalt «Python på 1–2–3», «GeoGebra på 1–2–3» og «Excel på 1–2–3». Mønster Smart Øving og Skolestudio Smart Øving er et adaptivt øvingsverktøy som er utviklet til læreverket. Du får digitale øvingsoppgaver som er tilpasset ditt nivå. I Skolestudio finner du blant annet undervisningsvideoer og fullstendige løsningsforslag til alle oppgavene i boka.


g

Ku

n

til

vu

rd

er in

1

DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA


g er in

Hvorfor et kapittel med «verktøy»?

Trenger du å friske opp matematikkunnskapene dine? Står du fast i arbeidet med oppgavene dine?

rd

Dette kapitlet gir deg oversikt over noen emner som har vært tema i matematikkundervisningen på tidligere skoletrinn. Stoffet fra kompetansemålene i matematikk for ditt programområde begynner i kapittel 2, Måling og målenheter.

vu

Du kan gjerne gå direkte til kapittel 2. Hvis du kommer til noe du er usikker på, kan du slå opp i verktøykapitlet og finne ut av det du har glemt eller ikke forstått. Eller kanskje ønsker du å friske opp noen av emnene i den matematiske verktøykassa først?

til

Kapitteloversikt

Ku

n

I 1.1 Posisjonssystemet lærer du hva plassen som et siffer står på, har å si for verdien til sifferet. Du lærer også om regler for avrunding av tall. I 1.2 Bli god til å regne! får du noen tips til effektiv hoderegning og en oversikt over regneregler med både positive og negative tall. Du lærer også om potenser og kvadratrøtter. I 1.3 Brøk lærer du hva en brøk kan være, og hvordan vi regner med brøker. I 1.4 Prosent lærer du hva prosent betyr, og hvordan vi regner med prosent. I 1.5 Vekstfaktor lærer du hva vekstfaktor er, og hvordan vi regner med vekstfaktor. I 1.6 Likninger lærer du hvordan du kan sette opp og løse enkle likninger. I 1.7 Problemløsning lærer du å bruke flere ulike metoder for å løse problemer i matematikkoppgaver.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

1.1 Posisjonssystemet

D U S K AL K U N N E

er in

g

I et tall som består av flere siffer etter hverandre, vil plassen hvert siffer står på, fortelle hvilken verdi det har. Hva er verdien til sifferet 5 i tallene 506, 358 og 2,53?

vite hvilken verdi et siffer har i et helt tall eller et desimaltall

vite hvordan du kan gange eller dele med 10, 100, 1000 osv.

bruke reglene for avrunding av tall

tusener

hundrer

tier

ener

,

tidel

hundredel

tusendel

1

3 0

0 0

6 5

, ,

4 0

7 0

3

vu

306,47 = 1005,003 =

rd

Oversikt over plassene i titallssystemet

Hele tall har ikke noe siffer etter kommaet.

Tallene bak kommaet er tideler, hundredeler, tusendeler osv. De kalles desimaler.

n

til

Et tall med desimaler kalles et desimaltall.

Ku

10

Hvis vi ganger eller deler tall med 10, 100, 1000 osv., havner alle sifrene i tallet på nye plasser. Rekkefølgen sifrene har i tallet, endrer seg ikke. Vi skriver 0 på plasser som blir tomme. 5 10 45 10 5,43 10 5,432 10

¼ 50 ¼ 450 ¼ 54,3 ¼ 54,32

Når vi ganger med 10, blir tallet ti ganger større. Tallet på enerplassen flyttes til tierplassen, og de andre sifrene flyttes slik at rekkefølgen av sifrene beholdes.

5 100 45 100 5,432 100

= 500 ¼ 4500 ¼ 543,2

Når vi ganger med 100, blir tallet hundre ganger større. Tallet på enerplassen flyttes til hundrerplassen.

5 1000 45 1000 5,432 1000

= 5000 ¼ 45 000 ¼ 5432

Når vi ganger med 1000, blir tallet tusen ganger større. Tallet på enerplassen flyttes til tusenerplassen.


¼ 0,5 ¼ 4,5 ¼ 0,5432

Når vi deler på 10, blir tallet ti ganger mindre. Tallet på enerplassen flyttes til tidelsplassen, og de andre sifrene flyttes slik at rekkefølgen av sifrene beholdes.

5 : 100 45 : 100 5,432 : 100

¼ 0,05 ¼ 0,45 ¼ 0,054 32

Når vi deler på 100, blir tallet hundre ganger mindre. Tallet på enerplassen flyttes til hundredelsplassen.

er in

5 : 10 45 : 10 5,432 : 10

Merk Bak den siste desimalen kan vi føye til nuller uten å endre verdien til tallet. Tallene 5,8 og 5,800 er like store, men det siste er mer nøyaktig.

Tenk gjennom! Hvor mye blir 4,3 10? Hvor mye blir 0,038 100? Hvor mye blir 67 : 100?

rd

Tenk gjennom!

vu

Hva er størst av en hundredel og en tusendel?

EKSEMPEL 1 a

Hvilket tall er størst av 0,205 og 0,250?

b

Hvilket tall er størst av 10,38 og 10,380?

til

Løsning: a 0,205 består av 0 enere, 2 tideler, 0 hundredeler og 5 tusendeler. 0,250 består av 0 enere, 2 tideler, 5 hundredeler og 0 tusendeler. 0,250 er størst fordi 5 hundredeler er større enn 5 tusendeler.

n

Vi kan se hvordan de to tallene er plassert på tallinja: 0,205

Ku

0,200

b

0,210

0,215

0,220

0,225

0,230

0,235

0,240

11

g

Posisjonssystemet

0,245

10,380 består av 1 tier, 0 enere, 3 tideler, 8 hundredeler og 0 tusendeler. 10,38 består også av 1 tier, 0 enere, 3 tideler, 8 hundredeler (og 0 tusendeler). De to tallene er like store.

0,250


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Avrunding 176

Isak sier at han er 175 cm høy. Er han nøyaktig 175 cm, eller er han svært nær? Hvor høy skal vi si han er hvis han egentlig er 174,8 cm eller 175,3 cm?

175,9 175,8

g

175,7

Vi sier at alle mål som ligger nærmere 175 cm enn 174 cm og 176 cm, skal avrundes til 175 cm. Det vil si at alle tall fra og med 174,5 cm til og med 175,4 cm regnes som 175 cm.

175,6 175,5

er in

175,4 175,3

Vi skriver 174,5 175 – her har vi rundet opp, og 175,4 175 – her har vi rundet ned.

175,2 175,1 175 174,9

Først må vi altså bestemme hvor nøyaktig tallet vårt skal være. Skal det være hele tusenere, hundrere, tiere? Skal tallet ha desimaler, og eventuelt hvor mange?

174,8 174,7 174,6

rd

174,5 174,4

Hvis det første sifferet som står etter det vi vil beholde, er 4 eller mindre, runder vi ned. Hvis sifferet er 5 eller større, runder vi opp.

174,3 174,2

vu

174,1 174

EK SEMPEL 2

Rund av 34,936 til et helt tall.

b

Rund av 0,348 til et tall med én desimal.

til

a

n

c

Ku

12

Rund av 1 350 783 til hele tusenere.

Løsning: a 34,936 35. Det nærmeste tallet etter enerplassen er 9, og da runder vi oppover. b

0,348 0,3. Det nærmeste tallet etter tidelsplassen er 4, og da runder vi nedover.

c

1 350 783 1 351 000. Det nærmeste tallet etter tusenerplassen er 7, og da runder vi oppover.


Posisjonssystemet

13

Oppgaver

hundrer (hekto)

tier (deka)

ener

498,05 =

......... =

8

......... =

1

,

5

,

0

,

0

5

3

0

rd

99,09 eller 99,1

b

357,100 eller 357,10

c

44,250 eller 44,52

Skriv et tall som ligger mellom 19,980 og 20,01

e

890,12 og 890,21

f

Skriv tre tall som ligger mellom 1,6 og 1,8.

til

d

1.3 a Rund av til hele tall:

n

445,99

Rund av til to desimaler:

Ku

0,0145

Rund av til hele tusenere: 10 040 560

tusendel (milli)

1.4 Skriv opp et desimaltall med minst fem siffer. Forklar hvilken plass de ulike sifrene står på.

a

c

2

75 499

Multipliser tallet med 100. Forklar hvilken plass sifrene nå står på.

vu

1.2 Hvilket tall er størst?

0,0075

hundredel (centi)

,

......... =

b

tidel (desi)

,

3006,011 =

445,399

,

er in

tusener (kilo)

g

1.1 Fyll ut sifrene og tallene som mangler, på rett plass i tabellen nedenfor:

1.5 Løs oppgaven uten kalkulator: a

3,786 100

b

271 1000

c

65,5 : 10

d

2195 : 100


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

1.2 Bli god til å regne!

er in

g

Regn ut i hodet: 3þ6þ2þ4þ8þ7 Regn ut i hodet: 3þ7þ6þ4þ2þ8 Hva er forskjellen på disse to regnestykkene? Hvilket er enklest å regne ut? Hvorfor?

rd

Alle har sine måter å tenke på når de arbeider med tall. Og du kan alltid utvikle metodene dine videre. Du trenger å vite reglene for hvordan et regnestykke skrives, både for å regne rett, men også for å taste riktig når du løser regnestykket med digitalt verktøy.

vu

Det finnes flere gode måter å regne med tall på enn dem vi nevner. Kanskje du har noen selv?

D U S K AL K U N N E

utføre enkle regnestykker som hoderegning

lage deg noen strategier for å regne effektivt på papir

regne med både positive og negative tall

regne med potenser og kvadratrøtter

bruke reglene for regnerekkefølge

til

n

Å legge sammen tall

Ku

14

Noen ganger kan regningen bli enklere dersom vi bytter rekkefølgen på leddene. Det kan være spesielt nyttig når du regner i hodet. Når vi legger sammen tall, kan vi bytte rekkefølge på leddene.

Du kan lete etter tall som til sammen blir hele tiere, og legge dem sammen slik at summeringen til slutt bare blir å telle tiere – og kanskje noen enere. Du kan også dele opp tallene i enere, tiere, hundrere, tusenere osv., og så legge sammen tusenerne for seg, hundrerne for seg, tierne for seg og enerne for seg, før du summerer det hele.


Bli god til å regne!

15

a

Regn ut 24 þ 15 þ 6 þ 8 þ 25.

b

Regn ut 1067 þ 2423.

er in

Løsning: a 24 þ 15 þ 6 þ 8 þ 25 ¼ ð24 þ 6Þ þ ð15 þ 25Þ þ 8 ¼ 30 þ 40 þ 8 ¼ 78 Parentesene er tatt med for å vise hvilke tall vi har lagt sammen først. Let etter tall som er lette å legge sammen, og bytt rekkefølge på leddene. b

Her viser vi en annen måte å tenke på. Vi deler tusenere, hundrere, tiere og enere og legger dem sammen hver for seg. Leddene kan bytte plass: 1067 þ 2423 ¼ ð1000 þ 60 þ 7Þ þ ð2000 þ 400 þ 20 þ 3Þ

¼ ð1000 þ 2000Þ þ 400 þ ð60 þ 20Þ þ ð3 þ 7Þ

vu

Å multiplisere tall

rd

¼ 3000 þ 400 þ 80 þ 10 ¼ 3490

g

EKSEMPEL 3

Et produkt er svaret på et gangestykke. Tallene som ganges, kalles faktorer. I et gangestykke kan vi bytte plass på faktorene. Hva er enklest å regne i hodet av 5 18 2 og 5 2 18?

til

Vi har de samme tre faktorene, men ved å bytte rekkefølge får vi ð5 2Þ 18 ¼ 10 18.

n

Noen ganger passer det å dele opp et tall i faktorer. For eksempel kan 15 8 være lettere å regne i hodet hvis vi husker at 15 ¼ 3 5.

Ku

Da får vi 15 8 ¼ ð3 5Þ 8 ¼ 3 ð5 8Þ ¼ 3 40 ¼ 120.

I et gangestykke kan vi bytte rekkefølge på faktorene.

Hvis vi har flere faktorer, kan vi velge hvilke faktorer vi vil multiplisere først og sist. Skal vi gange med tosifrete tall, kan det være til hjelp å tenke på produktet av to tall som et areal.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

EK SEMPEL 4 Regn ut 6 18.

g

Løsning: Vi tegner et rektangel med sider lik 6 og 18. Vi deler 18 i tiere og enere, slik at vi får to rektangler som det er lettere å finne arealet av:

Merk Du kan tegne 6 18 og 18 6 på samme måte. =

6 · 18 = ?

8

6 · 8 = 48

10

6 · 10 = 60

rd

18

er in

48 þ 60 ¼ 108

6

vu

6

EK SEMPEL 5 Regn ut 16 28.

til

Løsning: Vi tegner et rektangel med sider lik 16 og 28. Vi markerer at 16 ¼ 10 þ 6 og 28 ¼ 20 þ 8. Regnestykket blir en sum av rektangler: 200 þ 120 þ 80 þ 48 ¼ 200 þ 200 þ 48 ¼ 448

8

10 · 8 = 80

6 · 8 = 48

n

128 þ 320 ¼ 448

80 + 48 = 128

16 · 28 = ?

=

28

10 · 20 = 200 20

16

10

6 · 20 = 120

Ku

16

6

200 + 120 = 320


Bli god til å regne!

17

Du finner igjen de to utregningene til høyre på figuren i den vanlige skrivemåten vi bruker når vi ganger flersifrete tall med hverandre. ◊

2

8

1

2

8

= 16 ◊ 8

+

3

2

0

= 16 ◊ 20

=

4

4

8

g

6

er in

1

Når vi skal regne ut 1,6 2,8, kan vi forenkle regningen ved å gange begge faktorene med 10 slik at regnestykket blir 16 28. For at svaret til slutt skal bli rett, må vi etter utregningen dele på 100 siden vi først ganget med 10 10 ¼ 100:

Potenser og kvadratrøtter

rd

1,6 2,8 ¼ 16 28 : 100 ¼ 448 : 100 ¼ 4,48

Hvis vi i et gangestykke har flere like faktorer, for eksempel 3 3 3 3,

vu

forenkler vi skrivemåten ved å skrive 34 . Det betyr 3 ganget med seg selv fire ganger: 34 = 3 3 3 3

34 kalles en potens. I dette uttrykket er 3-tallet grunntall og 4-tallet eksponent:

til

Eksponent

34

n

Grunntall

Vi bruker potenser i en del formler, for eksempel i arealet av et kvadrat.

Ku

Hvis et kvadrat har sidelengde lik 5, er arealet 5 5 ¼ 52 ¼ 25.

Merk Sluttsvaret får like mange desimaler som faktorene har til sammen.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Noen ganger trenger vi å gå motsatt vei: Vi vet hvor stort arealet av et kvadrat er, men ønsker å finne lengden av sidene. Hvis for eksempel et kvadrat har et areal på 25, sier vi at sidelengden i kvadratet er kvadratrota av 25. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi Vi skriver 25 ¼ 5 5 ¼ 5. Det vil si at kvadratet har sidelengde lik 5.

g

Merk Vi kan bruke kalkulatoren til å finne kvadratrota av et tall. De fleste kvadratrøttene er desimaltall som må rundes av, for eksempel

er in

Kvadratrota av et tall er det positive tallet som ganget med seg selv gir tallet: pffiffiffiffiffiffiffiffiffi a a¼a

pffiffiffiffiffi 20 ¼ 4,472 135 9 . . . 4,47.

Regnerekkefølgen

Rekkefølgen i utregninger:

Regn ut inni parentesene.

2

Regn ut alle potenser.

3

Gange og dele.

4

Legg sammen og trekk fra.

vu

rd

1

EK SEMPEL 6 Regn ut: a

10 9 5 2

b

24 þ 50 : 2

til

Løsning: a 10 9 5 2 ¼ 90 10 ¼ 80 b

24 þ 50 : 2 ¼ 24 þ 25 ¼ 49

n

EK SEMPEL 7

Ku

18

Regn ut 22 ð3 þ 4Þ 3ð7 5Þ ð8 þ 2Þ : 5.

Løsning: Vi følger punktene i regelen for regnerekkefølge. Husk at det er gangetegn mellom tall og parenteser: 22 ð3 þ 4Þ 3ð7 5Þ ð8 þ 2Þ : 5 ¼ 22 7 3 2 10 : 5 ¼ 4 7 3 2 10 : 5 ¼ 28 6 2 ¼ 20


Bli god til å regne!

19

Positive og negative tall –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

På tallinja står de positive tallene til høyre for null og de negative tallene til venstre.

er in

Vi skriver minus foran de negative tallene. Vi sier at minus er et fortegn. Pluss foran et positivt tall er også et fortegn, men vi skriver vanligvis ikke fortegn foran de positive tallene. Tallene blir større jo lenger mot høyre på tallinja vi kommer. For eksempel er 0 større enn –1, og –1 er større enn –2.

rd

Tenk gjennom! Hva er størst av 2 eller –200?

vu

Hva er minst av –1,5 og –64,5?

Å legge sammen og trekke fra positive og negative tall

til

Vi legger til tall ved å telle mot høyre på tallinja.

Vi trekker ifra tall ved å telle mot venstre på tallinja.

Ku

n

Hva blir 2 7? Vi begynner i det positive tallet 2 og teller sju enheter mot venstre. Da ender vi opp i det negative tallet –5, så 2 7 ¼ 5.

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–7

–2

–1

0

1

2

3

4

5

Hva blir 10 þ 7? Her begynner vi i det negative tallet –10 og går sju enheter mot høyre: 10 þ 7 ¼ 3.

–11 –10

–9

–8

+7

–7

–6

–5

–4

–3

–2

g

–7

–1

0

1

2


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Hva blir 6 þ 4? På tallinja ser vi at 6 þ 4 ¼ 2. +4

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

g

–9

Vi kan bytte plass på leddene i en sum, så vi kan skrive 6 þ 4 ¼ 4 6.

er in

På tallinja nedenfor ser vi at svaret blir –2 også når vi lar leddene bytte plass og regner ut 4 6. –6

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

rd

Mønsteret i disse eksemplene kan være til hjelp for å holde rede på hva som skjer når vi trekker ifra negative tall: Merk

vu

3 3¼0 3 2¼1 3 1¼2 3 0¼3 3 ð 1Þ ¼ 4 3 ð 2Þ ¼ 5 3 ð 3Þ ¼ 6

3 ð 1Þ ¼ 3 þ 1 3 ð 2Þ ¼ 3 þ 2 3 ð 3Þ ¼ 3 þ 3

3 1 ¼ 4 3 0 ¼ 3 3 ð 1Þ ¼ 2 3 ð 2Þ ¼ 1 3 ð 3Þ ¼ 0 3 ð 4Þ ¼ 1 3 ð 5Þ ¼ 2

til

To ulike tegn etter hverandre gir minus. To minustegn etter hverandre gir pluss.

n

EK SEMPEL 8 6

6

4

4

2

2

0

0

–2

–2

–4

–4

–6

–6

–8

–8

–10

–10

Ku

20

En morgen i mars var temperaturen 3 C. I løpet av noen timer steg den med 7 C. Hva ble temperaturen da?

Løsning: Gradestokken er som ei loddrett tallinje. Vi kan begynne i 3 C og telle 7 C oppover. 3 C þ 7 C ¼ 4 C Temperaturen steg til 4 C.

Merk

3 ð 1Þ ¼ 3 þ 1 3 ð 2Þ ¼ 3 þ 2 3 ð 3Þ ¼ 3 þ 3 3 ð 4Þ ¼ 3 þ 4 3 ð 5Þ ¼ 3 þ 5


Bli god til å regne!

21

Multiplikasjon med negative tall

R E G N E R E G L E R F O R N EG A T I V E T A L L Hvis vi multipliserer et positivt og et negativt tall, blir svaret negativt. Hvis vi multipliserer to negative tall, blir svaret positivt.

EKSEMPEL 9 Regn ut: 6 ð 10Þ

b

5 ð 4Þ

c

4 5 ð 3Þ þ 4

til

a

vu

ð Þ ð Þ ¼ ðþÞ

rd

ðþÞ ð Þ ¼ ð Þ

er in

Vi setter parentes rundt negative tall i gangestykker for å unngå misforståelser. Hvis vi for eksempel skal gange 6 med 10, skriver vi 6 ð 10Þ.

n

Løsning: a 6 ð 10Þ ¼ 60

Her er en faktor positiv og en negativ. 5 ð 4Þ ¼ 20

Ku b

Her er begge faktorene negative.

c

g

Hvis vi skal skrive to tegn (þ, , eller :) etter hverandre, bruker vi parentes.

4 5 ð 3Þ þ 4 ¼ 4 þ 15 þ 4 ¼ 15 4 þ 4 ¼ 15

Pass på at fortegnene følger tallene hvis leddene bytter rekkefølge!

Merk De samme fortegnsreglene som gjelder ved ganging (multiplikasjon), gjelder også ved deling (divisjon).


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Oppgaver 1.10 Når vi ganger et helt tall med seg selv, sier vi at vi får et kvadrattall. Skriv opp de ti første kvadrattallene.

g

1.6 Prøv å bytte rekkefølge på leddene slik at regningen blir enklere. Kanskje du kan løse oppgavene som hoderegning? 3 þ 19 þ 7 9

b

12 þ 25 5 þ 8

1.11 Regn ut. Pass på regnerekkefølgen!

c

231 þ 50 30 1

a

5 6 þ 10

d

1þ2þ3þ4þ5þ6þ7þ8þ9

b

102 þ 4ð 25Þ

e

2,36 þ 4,64 þ 12,5

c

3ð 3Þ þ 2ð2 þ 8Þ

f

524,396 400,096

d

6 þ 6 6

e

2 8ð 3Þ þ 12 : 3

rd

er in

a

1.7 Regn ut:

1.12 Regn ut. Pass på regnerekkefølgen!

3 25

c

24 2,5

b

8 15

d

13,5 27,6

1.8 Regn ut: 3 6

c

10 ð 5Þ

b

4 þ 4

d

4 ð 7Þ

42

b

122

c

6,32 pffiffiffi 9

n

a

til

a

1.9 Regn ut:

d

a

5 þ 2 6 þ 42 : 8

b

3 þ 6 : 3 þ 9 : 3 þ 12 : 3

c

8ð5 4Þ 7ð10 9Þ

d

3ð4 þ 6Þ þ 20 : ð4 2Þ

vu

a

Ku

22

e f

pffiffiffiffiffi 64 pffiffiffiffiffi 12

1.13 Hva blir halvparten av tallene? Klarer du det uten hjelpemidler? a

194

b

45,6

c

35 298

f

3,156

Hva blir det dobbelte av tallene? Klarer du det uten hjelpemidler? d

49

e

25,83


Brøk

23

Vi bruker iblant brøker i dagligtale. Vi snakker om et halvt eple og et kvart kilo kaffe. En halv og en kvart er brøker. En kvart betyr en firedel, og et kvarter er en firedels time.

er in

Den som kan noter, vet at det finnes helnoter, halvnoter, firedelsnoter, åttedelsnoter og sekstendelsnoter. Brøkene forteller hvor lenge en tone skal vare. Det er mange ganger nyttig å kunne bruke brøk til å beskrive deler av noe.

D U S K AL K U N N E vite hva en brøk er

gi eksempler på ulike problemstillinger der vi regner med brøk

forkorte og utvide brøker

legge sammen og trekke ifra brøker

gange og dele med brøker

vu

rd

Hva er en brøk?

til

En brøk består av to hele tall skrevet over hverandre med en strek i midten. Tallet over streken heter teller, fordi den viser hvor mange brøkdeler vi har, den teller brøkdelene. Tallet under streken heter nevner, fordi den nevner hvilken brøkdel vi har. Streken mellom tallene kaller vi brøkstrek.

n

En brøkstrek betyr det samme som et deletegn: brøkstrek

Ku

teller nevner

g

1.3 Brøk

Vi bruker brøker i ulike sammenhenger En brøk kan brukes om en del av en hel, men en brøk kan også brukes om en del av en mengde. Vi kan dessuten se på en brøk som et tall vi kan plassere på tallinja. Derfor er det viktig å forstå hvilken sammenheng vi bruker brøkene i.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

En brøk som en del av en hel 2 Figuren til venstre viser brøken . Vi har fargelagt to femdeler av en hel sirkel. 5 Når vi snakker om en hel, kan det være en hel figur, en hel pizza, en hel

g

1 5 av det hele. Vi kan dele opp så mye vi ønsker, men delene må være like store. Nevneren forteller hvor mange deler vi har delt det hele i. Tar vi to eller flere slike deler, vil telleren fortelle hvor mange vi har tatt.

er in

sjokolade osv. Hvis vi deler en hel opp i fem like store deler, er hver del

5 5 Hvis vi har , har vi 1 hel. Vi skriver ¼ 1. 5 5

Har vi flere enn fem femdeler, har vi mer enn 1 hel. Se de to figurene i margen. 3 5 3 8 Vi skriver 1 þ ¼ þ ¼ . 5 5 5 5

rd

+

Tenk gjennom!

vu

Hvordan avgjør du om disse brøkene er mindre enn, lik eller større enn 1 hel? 3 125 9 , , 4 125 7

En brøk som en del av en mengde

til

Vi kan også dele andre størrelser opp i brøkdeler. Vi kan dele en klasse, et beløp, en lengde eller hva som helst som kan måles med tall. Vi tenker oss at vi deler størrelsen i like store deler, og at vi tar et antall av disse delene.

2 av dem er jenter, 5 tenker vi oss at vi deler klassen i femdeler, dvs. at vi deler elevene i fem like store grupper. Det blir tre elever i hver gruppe, og to slike grupper på tre personer utgjør alle jentene. Så det er seks jenter i klassen.

n

Hvis det for eksempel er 15 elever i en klasse, og vi får vite at

Ku

24

En brøk er et tall som kan plasseres på tallinja Vi skriver en brøk med to tall, en teller og en nevner. Det kan vi oppfatte som et regnestykke der teller deles på nevner. Dette regnestykket blir lik et helt tall eller et desimaltall, og brøken er lik dette tallet. Vi kan plassere alle brøker på tallinja, slik vi ser noen eksempler på her: 0

0,2 1 5

0,4

0,6 1 2

0,8

1,0 9 10

1,2

1,4

1,6 3 2

1,8 9 5

2,0

2,2 22 10


Brøk

25

Brøk og desimaltall

er in

Når vi skal gjøre om en brøk til desimaltall uten å bruke kalkulator, lønner det seg å gjøre brøken om til tideler eller hundredeler hvis det er mulig.

g

Brøk og desimaltall er to ulike måter å uttrykke en verdi på. 1 Hvordan skrives som desimaltall? Hvordan skrives 1,25 som brøk? 2

1 1 25 25 til hundredeler, får vi ¼ : Da ser vi lettere at desimal4 4 25 100 tallet må være 0,25.

Utvider vi

1 25 er det samme som . 4 100

7 ¼ 7 : 11 ¼ 0,636 . . . 0,64 11

rd

Ikke alle brøker er like enkle å gjøre om til desimaltall. Da kan vi bruke kalkulator og huske på at brøkstreken er et deletegn (divisjonstegn):

vu

Når vi gjør om brøker ved å dele teller på nevner, går divisjonen noen 1 ganger opp. For eksempel er ¼ 1 : 4 ¼ 0,25. Andre ganger får vi uendelig 4 1 mange desimaler, som ¼ 1 : 3 ¼ 0,3333 . . . 3 Tallet 0,3333. . . er ikke helt nøyaktig, for antall desimaler stanser aldri. Brøkene har den fordelen at de alltid er eksakte.

til

Å skrive tallet som en brøk er helt nøyaktig.

n

EKSEMPEL 10

2 til desimaltall. 5

Ku

Gjør om

Løsning uten kalkulator: Her utvider vi brøken ved å multiplisere med 2 både over og under brøkstreken, slik at vi får 10 i nevneren: 2 2 2 4 ¼ ¼ ¼ 0,4 5 5 2 10

Løsning med kalkulator: 2 ¼ 2 : 5 ¼ 0,4 5

Merk 1 ¼ 1 : 10 ¼ 0,1 10 1 ¼ 1 : 4 ¼ 0,25 4 1 ¼ 1 : 2 ¼ 0,5 2 3 ¼ 3 : 4 ¼ 0,75 4


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Like brøker kan skrives på mange måter 1 12

+

1 12

1 6

=

1 12

+

1 12

1 6

=

1 12

+

1 12

1 6

=

1 12

+

1 12

1 6

=

1 12

+

1 12

1 6

=

1 12

+

1 12

Brøker kan se svært forskjellige ut og likevel være samme tall. 5 10 For eksempel er ¼ . De to brøkene er samme tall fordi de representerer 6 12 en like stor del av en hel.

g

=

Hvis vi ganger med samme tall i teller og nevner, får vi

5 2 10 ¼ . 6 2 12

er in

1 6

Hvis vi deler med samme tall i teller og nevner, får vi

10 : 2 5 ¼ . 12 : 2 6

2 ¼ 1, har vi ganget eller delt med 1. Det endrer ikke størrelsen 2 på tallet.

vu

Vi kan multiplisere eller dividere med samme tall både i teller og nevner uten å endre brøkens verdi.

14 , kan vi forkorte eller utvide den til 56 mange brøker som ser ulike ut. Etter å ha forkortet brøkene ser vi at alle 1 har verdien . Alle brøkene er samme tall! 4

Hvis vi tar utgangspunkt i brøken

til

Merk Når vi ganger med samme tall over og under brøkstreken, sier vi at vi utvider brøken. Når vi deler på samme tall over og under brøkstreken, sier vi at vi forkorter brøken.

rd

Siden

Tenk gjennom!

n

Vis hvordan alle disse brøkene har samme verdi.

Ku

26

7 28

14 56

1 4 56 224

28 000 112 000 140 560 1000 4000

10 40

1400 5600

28 112


Brøk

27

EKSEMPEL 11 1 til tolvdeler. 4

er in

Løsning: Vi må dele opp i tolv like store deler. Skal vi utvide brøken til tolvdeler, må vi multiplisere nevneren med 3 ettersom 4 3 ¼ 12. Vi multipliserer både teller og nevner med 3 for at brøken ikke skal endre verdi:

g

Utvid

rd

1 1 3 3 ¼ ¼ 4 4 3 12

vu

Figuren viser at vi deler hver av firedelene i tre like store deler. 1 3 og er like mye. 4 12

Forkort

6 . 24

til

EKSEMPEL 12

Løsning: Når vi forkorter brøker, forkorter vi så mye som mulig hvis vi ikke har fått beskjed om noe annet:

n

6 6:6 1 ¼ ¼ 24 24 : 6 4

Vi kan også gjøre forkortingen i flere trinn:

Ku

6 6:2 3 3:3 1 ¼ ¼ ¼ ¼ 24 24 : 2 12 12 : 3 4

Tenk gjennom!

Hva er størst av

5 5 og ? 7 9

1 4

1 4

1 4

1 4


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

EK SEMPEL 13 Hva er minst av

2 4 og ? 5 7

er in

g

Løsning: Vi kan sammenlikne brøkene ved å tegne dem. Ut fra figurene i margen 2 ser vi at er den minste brøken. 5

rd

En annen mulighet er å sammenlikne brøkene ved å gjøre dem om til desimaltall: 2 ¼ 2 : 5 ¼ 0,4 5 4 ¼ 4 : 7 ¼ 0,57 7 2 Ut fra desimaltallene ser vi at er den minste brøken. 5

En tredje mulighet er å utvide begge brøkene slik at de får samme nevner:

vu

2 2 7 14 ¼ ¼ 5 5 7 35 4 4 5 20 ¼ ¼ 7 7 5 35

Da ser vi tydelig at

2 4 14 20 er mindre enn fordi er mindre enn . 5 7 35 35

til

Tenk gjennom!

n

Hva skjer med verdien til en brøk når vi bare multipliserer telleren med et tall?

Ku

28

Merk På kalkulatoren kan vi legge sammen og trekke ifra brøker med ulike nevnere. Kalkulatoren gjør automatisk om alle brøkene slik at de får samme nevner.

Hva skjer med verdien til en brøk når vi bare multipliserer nevneren med et tall?

Å legge sammen og trekke ifra brøker Hvis vi skal legge sammen eller trekke ifra brøker, må de ha samme nevner, fellesnevner. Fellesnevneren er et tall som alle nevnerne i regnestykket går opp i. Vi må oftest utvide brøkene for at de skal få samme nevner. Når vi skal legge sammen brøker med samme nevner, legger vi sammen tellerne. Nevnerne beholder vi. Hvordan skal vi legge sammen brøker som ikke har samme nevner?


Brøk

29

EKSEMPEL 14

er in

Løsning: I dette tilfellet har begge brøkene samme nevner, firedeler, og tellerne forteller hvor mange firedeler vi har: 2 3 5 1 þ ¼ ¼1 4 4 4 4 1/4 1/4

+

1/4

=

1/4

1/4

+

1/4

1/4

1/4

1/4

2 4

3 4

1

1 4

rd

1/4

EKSEMPEL 15 2 1 þ . 4 3

vu

Regn ut

2 4

til

Løsning: Vi kan ikke legge sammen tredeler og firedeler, så vi må utvide begge brøkene slik at de får samme nevner. Både tredeler og firedeler kan deles i tolvdeler. Til slutt ser vi at vi kan forkorte til seksdeler:

+

=

1 3

+

6 12

=

4 12

Merk Hvis en brøk er større enn 1, kan vi skrive den som et helt tall og en brøk. Mellom det hele tallet og brøken står et usynlig plusstegn: 1 1 1 ¼1þ . 4 4

g

2 3 þ . 4 4

Regn ut

10 12

=

5 6

Ku

n

Utregningen følger figuren: 2 1 2 3 1 4 6 4 10 10 : 2 5 þ ¼ þ ¼ þ ¼ ¼ ¼ 4 3 4 3 3 4 12 12 12 12 : 2 6

Når vi legger sammen og trekker ifra brøker, må de ha samme nevner – fellesnevneren.

Tenk gjennom! Hvordan kan du finne et tall som både 4 og 5 går opp i? Hva med 3 og 7?


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Å multiplisere med brøker

EK SEMPEL 16 Regn ut: a

15

3 5

b

er in

g

1 Hva får vi hvis vi ganger 100 med ? Vi får 50, som er halvparten av 100. 2 1 Og hvis vi ganger 100 med , får vi 25, som er en firedel av 100. 4 3 Ganger vi 100 med , får vi 75, som er tre firedeler av 100. 4

1 3 5 4

rd

Løsning: 3 3 a 15 forteller at vi skal finne av 15. En femdel av 15 er 3. 5 5 Skal vi ha tre femdeler, blir det 9.

vu

Vi kan skrive regnestykket slik: 3 15 3¼3 3¼9 15 ¼ 5 5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Vi kan også skrive samme regnestykke på en annen måte: 3 15 3 45 : 5 9 ¼ ¼ ¼9 15 ¼ 5 5 5:5 1

1 3 ber oss finne tre firedeler av en femdel. Vi kan tenke oss 5 4 1 at vi deler en femdel i fire like store deler. Hver del blir da en tjuedel, . 20 3 Vi skal ha tre slike deler, altså . 20 Regnestykket

til

b

1 3 av en firkant og skravere av 5 4 en like stor firkant. Vi legger så de to firkantene over hverandre. 3 Området som både er farget og skravert, utgjør av firkanten: 20

n

Vi kan illustrere det med å farge

Ku

30

1 5

·

Vi skriver regnestykket slik: 1 3 1 3 3 ¼ ¼ 5 4 5 4 20

3/4

=

3 20


Brøk

Når vi multipliserer et helt tall og en brøk, setter vi det hele tallet oppå brøkstreken.

Merk Å finne halvparten av et tall er det samme som 1 å gange tallet med . 2

1.14 Hvilken brøk er fargelagt på figuren? Og hvilken brøk er ikke fargelagt?

er in

Oppgaver

g

Når vi multipliserer to brøker med hverandre, multipliserer vi teller med teller og nevner med nevner.

1.17 Forkort disse brøkene så mye som mulig: 4 8 6 20

c

42 120 14 98

e

rd

a b

d

240 360

vu

1.18 Hvilke av brøkene er like store?

1.15

100 300

3 4 6 7

2 5 49 100

500 1000 4 8

c

0

2 8

2 3

16 17

5 3

17 10 1

16 32

2 9

2 6

9 3

4 12

5 15

1.19 Shirin, Ida og Jonas skal dele en kake. 2 3 1 Shirin vil ha , Ida vil ha , og Jonas vil ha . 8 12 3

a

Hvem får mest?

b

Blir det noe igjen?

1.20 Cecilie, Mia og Leon skal dele 4800 kr. 1 2 Cecilie skal få , Mia skal få , og Leon skal få resten. 3 5

1.16 Plasser brøkene på ei tallinje: 1 5

1 3

Tegn en figur som illustrerer situasjonen.

1 brøker som er større enn : 2 1 brøker som er lik : 2 1 brøker som er mindre enn : 2

Ku

b

4 9 49 50

n

a

29 58 5 6

til

1 Hvilke brøker nedenfor er større enn , 2 1 1 lik og mindre enn ? Hvordan ser du det? 2 2

21 15 2

31

a

Hvor mange kroner får hver av dem?

b

Hvor stor brøkdel får Leon?


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

1.4 Prosent

D U S K AL K U N N E

er in

g

I en avis kan vi lese at 6 av 10 personer har spist ribbe på julaften. Hvor stor brøkdel har spist ribbe? Kan vi oppgi denne brøkdelen som en prosentverdi?

forklare hva prosent er

uttrykke et tall som en brøk, et desimaltall og en prosentverdi

sammenlikne to størrelser og finne ut hvor mange prosent den ene er av den andre

finne en gitt prosent av et tall

finne det hele når vi kjenner en bestemt prosentdel

rd

n

til

vu

Det er nyttig å kunne uttrykke en andel på ulike måter. Sajad, Isak og Elise har malt et hus sammen. De skal dele på betalingen for arbeidet, som er 15 000 kr. Totalt har de arbeidet 100 timer. Sajad har regnet ut at han skal ha 20 % av 1 lønna, og Isak mener han skal ha av lønna. Elise har arbeidet 55 timer. 4 Når hun skal finne andelen sin, kan hun sette det opp som en brøk. 55 Da får hun . Alle beskriver sin andel av lønna, men på ulike måter. Sajad 100 bruker prosentverdien, mens Isak og Ellen bruker brøk. Hvor stor prosentdel av lønna skal Elise ha?

Ku

32

Hva er prosent? Ordet prosent betyr hundredel. Siden prosent betyr hundredel, mener vi trettifem hundredeler når vi skriver 35 %. 35 av 100 ruter er farget blå. Andelen blå ruter blir da

Prosent betyr hundredel. p % er det samme som

35 ¼ 35 %. 100

p . 100


Prosent

33

Når vi skal gjøre om brøk til prosent, er det lurt å utvide brøken til hundredeler hvis det er mulig:

er in

Dersom det ikke finnes et tall vi kan multiplisere nevneren med for å få 100, er det fint å bruke en kalkulator for å gjøre brøken om til desimaltall, før vi gjør om til prosent:

g

3 3 25 75 ¼ ¼ ¼ 75 % 4 4 25 100

3 0,43 ¼ 0,43 100 % ¼ 43 % 7

Siden prosent betyr hundredel, kan vi skrive prosenten som hundredeler når vi skal finne desimaltallet: 8 ¼ 0,08 100 52,3 ¼ 0,523 52,3 % ¼ 100

Merk

100 ¼1 100 Å multiplisere med 100 % er det samme som å multiplisere med 1. 100 % ¼

rd

8%¼

vu

EKSEMPEL 17 Skriv 6 % og 60 % som desimaltall.

Løsning:

til

6 6%¼ ¼ 0,06 100 60 ¼ 0,60 60 % ¼ 100 For å se sammenhengen mellom prosent og desimaltall kan det være nyttig å tegne ei tallinje:

n

0,06

0,6

0

1

0%

Ku

6%

100 % 60 %

Merk 1 ¼ 2 1 ¼ 10 1 ¼ 4 1 ¼ 5 1 ¼ 100

0,5 ¼ 50 % 0,1 ¼ 10 % 0,25 ¼ 25 % 0,20 ¼ 20 % 0,01 ¼ 1 %


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Å finne hvor mange prosent et tall er av et annet

rd

er in

g

Hvor mange prosent jenter er det i klassen? Hvor mange prosent stemte på Arbeiderpartiet ved siste stortingsvalg? Hvor mange prosent skal du betale i skatt?

vu

Vi bruker ofte begrepet andel om en del av en mengde. I svært mange sammenhenger blir andeler oppgitt i prosent.

til

Når vi skal finne hvor mange prosent et tall er av et annet, setter vi først opp delen andelen som en brøk. Brøken blir da . Så gjør vi om brøken til desimaltall det hele ved å utføre divisjonen, og ganger med 100 % slik at vi får svaret i prosent.

n

Prosentverdien ðp %Þ ¼

Ku

34

delen 100 % det hele

EK SEMPEL 18 Shirin og Thomas selger juletrær på lørdager. En dag har de solgt 185 juletrær til sammen. Shirin har solgt 79 av dem. Hvor stor andel av juletrærne har Shirin solgt? Oppgi svaret i prosent.

Løsning: Vi setter opp Shirins andel som en brøk og ganger med 100 %: delen 79 100 % ¼ 100 % ¼ 0,43 100 % 43 % det hele 185 Shirin har solgt 43 % av juletrærne den dagen. Prosentverdien ¼


Prosent

35

Å finne delen 2 av 200 familier elbil. I et annet område har 20 % av 5 150 familier elbil. Hvor mange elbiler er det i hvert av boligområdene?

g

I et boligområde har

er in

Å finne delen ved å gå veien om 1 % Når vi skal regne med prosent, er det ofte nyttig å gå veien om 1 % eller 10 %.

Tenk gjennom!

rd

Hvor mye er 1 %, 10 % og 100 % av 200 kr?

vu

Ofte er veien om 1 % den enkleste måten å regne prosent på. Denne metoden er fin å bruke når vi skal regne prosentoppgaver og ikke kan bruke digitale hjelpemidler. Vi tenker på samme måte som da vi skulle finne brøkdelen av et tall, men nå er det alltid hundredeler vi regner med. Hvis vi skal finne 6 % av 2300 kr, finner vi først 1 %. Så multipliserer vi med 6 for å finne 6 %

n

til

2300 kr ¼ 23 kr 100 23 kr 6 ¼ 138 kr

Ku

2300

6 % av 2300 kr er 138 kr.

23 23 23 23 23 23


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

a

Finn 1 % av 6800 kr.

b

Finn 10 % av 6800 kr.

c

Finn 22 % av 6800 kr.

b

er in

Løsning: 6800 kr ¼ 68 kr a 100 1 % av 6800 kr er 68 kr.

g

EK SEMPEL 19

68 kr 10 ¼ 680 kr

10 % av 6800 kr er 680 kr. c

68 kr 22 ¼ 1496 kr

rd

22 % av 6800 kr er 1496 kr.

vu

6800

68 68

68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68 68

68 68

680 680

til

Å finne delen ved å bruke desimaltallet Vi vil for eksempel finne 23 % av 480 kr.

n

Dersom du har tilgang på en kalkulator, er det ofte mest praktisk å gjøre prosenten om til desimaltall og deretter bruke dette for å løse oppgaven.

Merk På kalkulatoren finner du en prosenttast. Hvis du vil bruke den, kan du skrive

Ku

36

inn 480

¥ 23

%.

Vi vet at 23 % ¼

23 ¼ 0,23. 100

Vi multipliserer med desimaltallet: 480 kr 0,23 ¼ 110,40 kr Delen ¼ det hele desimaltallet

Tenk gjennom! Hvordan ville du løst oppgaven hvis du skulle gått veien om 1 %?


Prosent

37

EKSEMPEL 20 Ei bukse koster 250 kr, men selges med 20 % rabatt. b

Hva blir den nye prisen?

Løsning: a Vi finner hvor mye 20 % er av 250 kr: 250 kr 20 % ¼ 250 kr 0,20 ¼ 50 kr Rabatten er på 50 kr. Vi kan illustrere problemet slik:

Å finne delen ved å bruke desimaltall:

g

Hvor stor er rabatten?

er in

a

250 – 50 = 200

250

rd

100 %

25 25

2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5

Fra a vet vi at at 20 % av 250 kr er 50 kr. Den nye prisen er 250 kr 50 kr ¼ 200 kr.

EKSEMPEL 21

vu

b

til

En busstur kostet 25 kr, men busselskapet økte prisen med 20 %. Hva ble den nye billettprisen?

n

Løsning: Vi finner først hvor mye 20 % er av 25 kr: 25 kr 20 % ¼ 25 kr 0,20 ¼ 5 kr Billettprisen økte med 5 kr, så den nye prisen er 25 kr þ 5 kr ¼ 30 kr. Det kan vi illustrere slik:

Ku

5 kr (20 % prisøkning)

25 kr

20 %

5 kr 5 kr 5 kr 5 kr 5 kr utgjør 20 % av 25 kr

100 %

80 %

20 %


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Å finne det hele Noen ganger får vi opplysninger om en prosentdel av det hele. Slike opplysninger kan vi bruke til å finne det hele.

er in

g

For eksempel er ca. 37 % av Norge dekket med skog. Det utgjør 121 000 km2 . Disse opplysningene er nok til at vi kan regne ut arealet av hele landet. Et annet eksempel kan være stortingsvalget i 2017, der Høyre fikk 732 895 stemmer. Det utgjorde 25 % av stemmene. Da kan vi finne ut hvor mange personer som stemte ved dette valget.

rd

Hvis vi skal finne det hele når vi kjenner en prosentdel, kan vi gå veien om 1 %.

EK SEMPEL 22

I en norsk kommune går 9 % av befolkningen i grunnskolen. Det er 783 barn i grunnskolen. Hvor mange mennesker bor i kommunen?

vu

Å finne det hele:

Løsning: Først finner vi hvor mange personer 1 % utgjør:

87 87 87 87 87 87

783 personer ¼ 87 personer 9 Når vi vet at 87 personer utgjør 1 %, kan vi finne hele folketallet i kommunen ved å multiplisere 87 med 100:

til

87

87 100 ¼ 8700

Det bor 8700 personer i kommunen.

n

87 87

Ku

38

Vi kan også tenke slik: Når vi kjenner størrelsen på delen og skal finne det hele, kan vi ta utgangspunkt i desimaltallet og løse oppgaven som en likning. delen ¼ det hele desimaltallet 783 ¼ det hele 0,09 det hele ¼

783 ¼ 8700 0,09

I hele kommunen bor det 8700 personer.


Prosent

39

Oppgaver

b

3 4 3 5

c d

4 25 6 5

e

13 50

a

Finn 17 % av 1800 kr.

b

Finn 7 % av 2400 kr.

c d

1.22 Plasser tallene nedenfor på ei tallinje. Finn det største tallet før du tegner tallinja. 8 3 3 60 25 23 , 3,1, , , 3,01, 50 %, , , , 5% 3 8 5 100 10 23

Finn 4,5 % av 50 kr.

Finn 37,5 % av 5500 kr.

1.27 a Hvor mange kroner er 14 % av 27 580 kr? b

Hvor mange hus er 5 % av 2400 hus?

c

Hvor mange elever er 2,7 % av 1400 elever?

d

Hvor mange kroner er 0,05 % av 5,3 millioner kroner?

vu

1.23 Forklar hvordan vi på ulike måter kan finne 1 %, 10 %, 15 %, 0,5 % og 60 % av 2700 kg.

Finn 31 % av 657 kr.

rd

25 %,

e

g

a

1.26 Løs oppgaven uten bruk av kalkulator. Bruk gjerne en tegning til hjelp.

er in

1.21 Utvid disse brøkene til hundredeler og gjør dem om til desimaltall og prosent:

1.24 a Hvor mange prosent er 1500 kr av 45 000 kr?

Hvor mange prosent er 14 jenter av 280 jenter?

c

Hvor mange prosent er 23 elever av 1400 elever?

d

Hvor mange prosent er 83 biler av 2300 biler?

til

b

n

1.25 Cecilie, Mia og Leon delte 48 000 kr. Cecilie fikk 16 000 kr, Mia fikk 19 200 kr, og Leon fikk resten.

Ku

Hvor mange prosent av 48 000 kr fikk hver av dem?

1.28 Elevene på en skole har samlet inn 2500 kr til en klassefest. 60 % av pengene går til mat, og 30 % går til drikke. a

Hvor mange kroner bruker de på mat?

b

Hvor mange kroner bruker de på drikke?

c

Hvor mye har de igjen til andre utgifter?

1.29 I en vanntank er det 67,5 L vann. Det utgjør 75 % av volumet. Hvor mange liter vann rommer tanken?

1.30 Celine og Ida skal gi noe av det de har tjent, til en veldedig organisasjon. Celine gir bort 630 kr. Det er 15 % av det hun har tjent. Ida gir bort 900 kr. Det er 20 % av det hun har tjent. Hvem av dem har tjent mest?


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

1.5 Vekstfaktor Når noe endrer verdi, vises ofte endringer som prosentvis økning eller nedgang. Det kan være en møbelforretning som får inn en ny sofa som koster mer enn en eldre modell, eller at de ønsker å sette ned prisen på en gammel modell. Om en sofa opprinnelig har kostet 4000 kr, hva vil den koste hvis prisen settes opp 10 % eller ned 10 %?

EK SEMPEL 23

er in

g

Vekstfaktor:

En forretning selger biler. En bilmodell har kostet 450 000 kr, men forretningen tar inn en ny modell som er 10 % dyrere. Hvor mye koster de nye bilene?

rd

Ronny og Aisa bruker hver sin metode for å regne det ut.

vu

Ronny finner først hvor mange kroner 10 % er. Så legger han dette beløpet til den opprinnelige prisen. Han løser oppgaven slik: Bilen kostet

þ 10 % av 450 000 kr

n

til

¼ Ny pris

Ku

40

Aisa går ut fra at den opprinnelige prisen var 100 %, altså hele beløpet. Så må hun legge til 10 %. Til sammen må den nye prisen være 100 % þ 10 % ¼ 110 % av den opprinnelige prisen.

450 000 kr 45 000 kr

495 000 kr

Hun gjør så om til desimaltall: 110 % ¼ 1,10 Ny pris ¼ 450 000 kr 1,10 ¼ 495 000 kr

Begge regner riktig, men Aisas regning blir enklere fordi hun bruker det vi kaller vekstfaktor. Vekstfaktoren er tallet hun ganger med, altså 1,10. Vekstfaktoren ved prosentvis økning finner vi ved å ta utgangspunkt i den opprinnelige verdien, som er 100 %, og legge til endringen i prosent. Vekstfaktoren ved prosentvis økning ¼ 1 þ desimaltallet for økningen.

Hvis p er økningen i prosent, kan vi skrive: p vekstfaktoren ¼ 1 þ 100


Vekstfaktor

41

EKSEMPEL 24

Aisa går nå ut fra at hun må begynne med 100 % og trekke ifra 10 %, slik at den nye prisen blir 90 % av den gamle prisen.

Nå regner han slik:

Hun gjør om til desimaltall:

Buksa kostet

750 kr

10 % av 750 kr

75 kr

¼ Ny pris

90 % ¼ 0,90

er in

Ronny regner på samme måte som i eksempel 23, men nå trekker han prisavslaget fra den opprinnelige prisen.

Ny pris ¼ 750 kr 0,90 ¼ 675 kr

rd

675 kr

g

Ei bukse koster 750 kr, men prisen blir satt ned 10 %. Hva er den nye prisen?

vu

Vekstfaktoren ved prosentvis nedgang finner vi ved å ta utgangspunkt i den opprinnelige verdien, som er 100 %, og trekke fra endringen i prosent. Denne gangen er vekstfaktoren 0,90. Vekstfaktoren ved prosentvis nedgang ¼ 1 desimaltallet for nedgangen.

til

Hvis p er nedgangen i prosent, kan vi skrive: p vekstfaktoren ¼ 1 100

Ku

n

Ny verdi ¼ opprinnelig verdi vekstfaktor

Denne regelen gjelder både ved prosentvis økning og nedgang.

Tenk gjennom!

Hvorfor blir alle vekstfaktorene ved prosentvis økning større enn 1? Hvorfor blir alle vekstfaktorene ved prosentvis nedgang mellom 0 og 1?


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Oppgaver 1.34 Zain setter 23 400 kr i banken. Hvor mye har han i banken etter ett år når renta er

a

a

b

5%

1.32 Fyll ut det som mangler i tabellen: Prosent etter økning

Vekstfaktor (desimaltall)

10 %

100 % þ 10 % ¼ 110 %

1,10

1%

100 % þ 1 % ¼ 101 %

1,01

25 %

100 % þ 25 % ¼ 125 %

b

1,3 %

1.35 a En sykkel kostet 3000 kr. Prisen ble satt ned med 10 %. Hvorfor blir det riktig å gange 3000 kr med 0,9 for å finne den nye prisen? b

Josef hadde en timelønn på 150 kr. Så fikk han en lønnsøkning på 5 %. Hvorfor blir det riktig å gange 150 kr med 1,05 for å finne den nye timelønna?

rd

Økning i prosent

0,5 %

er in

3%

g

1.31 Regn ut for hånd. Ida setter 18 000 kr i banken. Hvor mye har hun i banken etter ett år hvis renta er

50 %

1,07

1.36

vu

63,5 %

1,082 2

Nedgang i prosent 10 %

Prosent etter nedgang

Vekstfaktor (desimaltall)

100 % 10 % ¼ 90 %

0,90

100 % 1 % ¼ 99 %

0,99

En kattunge veier 120 gram ved fødselen. I løpet av fem uker forventes det at vekta øker med ca. 275 %.

n

1%

til

1.33 Fyll ut det som mangler i tabellen:

25 %

100 % 25 % ¼ 75 %

50 %

Ku

42

75 %

Hvor mye bør kattungen veie etter fem uker?

100 % 16,8 % ¼ 83,2 % 0,08


Likninger

43

1.6 Likninger

er in

Marcus har et innskudd i banken på 5000 kr. Etter ett år hadde han tjent 75 kr i renter. Hvor mange prosent utgjorde rentene?

g

1,2 kg epler koster 34,50 kr. Hva er kiloprisen?

Onkel kjørte fra Kristiansand til Oslo, 320 km. Han brukte fire timer på kjøreturen. Hva var gjennomsnittsfarten?

rd

Vi kan bruke likninger til å løse slike problemer. Ofte gjør det regningen enklere og mer effektiv. I likninger bruker vi vanligvis x for den ukjente verdien. Å løse en likning vil si å finne den ukjente verdien.

D U S K AL K U N N E

sette opp en likning ut fra gitte opplysninger

løse likninger ved å beherske ulike teknikker

tolke løsningen som svar på et problem

kontrollere om en løsning er riktig

vu

til

I likninger lar vi bokstaver stå for ukjente tall.

n

Å løse likninger

Ku

Å løse likninger vil si å finne ut hvilket tall x må være for at venstre og høyre side av likhetstegnet i likningen skal være like.

I de neste eksemplene viser vi hvordan ulike likninger kan løses. Det handler alltid om å gjøre de samme operasjonene på begge sider av likhetstegnet.

Vi kan legge til, trekke ifra, gange eller dele med det samme på begge sider av likhetstegnet.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

EK SEMPEL 25 Løs likningen 5x 5 ¼ 2x þ 13.

¼ 18 18 ¼ 3

er in

g

Løsning: Vi legger til 5 og trekker ifra 2x på begge sider av likhetstegnet. Da får vi samlet alle ledd med x på venstre side og alle ledd med bare tall på høyre side:

¼6

3¼ 1

5x 5 ¼ 2x þ 13 þ5

þ5

5x ¼ 2x þ 18

trekker fra 2x på begge sider

deler på 3 på begge sider

3

¼6

vu

3x 3x 3 3 x 3 x

2x

legger til 5 på begge sider

rd

2x

Kontroll Venstre side:

5x 5 ¼ 5 6 5 ¼ 30 5 ¼ 25

Høyre side:

2x þ 13 ¼ 2 6 þ 13 ¼ 12 þ 13 ¼ 25

til

Løsningen er riktig fordi den gir de to sidene i likningen samme verdi. På denne måten kan vi alltid kontrollere om vi har funnet rett løsning.

n

EK SEMPEL 26

Ku

44

Løs likningen

x ¼ 21. 3

Løsning: Her ganger vi med 3 på begge sider av likhetstegnet: x ¼ 21 3 x 3 ¼ 21 3 ganger med 3 på begge sider 3 x 3 ¼ 63 3 ¼1 3 3 x ¼ 63


Likninger

45

EKSEMPEL 27 4 8 ¼ . 3 x

4 x 24 ¼ 4 4 x¼6

ganger med x på begge sider fordi x ¼ 1 x

ganger med 3 på begge sider fordi 3 ¼ 1 3

deler på 4 på begge sider fordi 4 ¼ 1 4

vu

Vi ville fått samme løsning om vi hadde valgt å innlede med å dele på 4 og deretter gange med 3 på begge sider.

Tenk gjennom!

n

til

Vi går tilbake til likningen vi skulle løse: 4 8 ¼ 3 x Vi har nå regnet ut at 6 skal stå på plassen til x: 4 8 ¼ 3 6 Bruk det du kan om brøker, til å kontrollere at det stemmer!

Uoppstilte likninger

Ku

Merk Vi kan få samme løsning selv om vi gjør operasjonene i en annen rekkefølge.

g

brøkstrek, starter vi med å gange med x på begge sider:

er in

Løsning: Siden x står under en 4 8 ¼ 3 x 4 x 8 x ¼ 3 x 4 x ¼8 3 4 x 3 ¼ 8 3 3 4 x ¼ 24

rd

Løs likningen

Når vi skal løse et praktisk problem ved hjelp av en likning, er den ikke ferdig oppstilt. Vi må sette opp en likning med utgangspunkt i teksten. Hvis vi for eksempel vet at fire sjokolader koster 60 kr, men ikke vet hva en sjokolade koster, kan vi sette opp en likning der vi lar x stå for prisen på en sjokolade: 4x ¼ 60 Vi ser at vi må gange 4 med 15 for å få 60, så det må stå 15 på plassen til x. Da har vi funnet at én sjokolade koster 15 kr.


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Ofte inneholder oppgaven noen opplysninger, slik som ovenfor. Da bruker vi tre trinn i løsningen: Vi bruker opplysningene til å sette opp en likning. Det tallet vi skal finne, kaller vi x.

2

Likningen må løses, vi må finne hvilket tall x står for.

3

Til slutt må vi tolke opplysningene, dvs. svare på det oppgaven spør om.

g

1

EK SEMPEL 28

er in

Merk Det er viktig at vi alltid er klar over hvilket tall bokstavene i regnestykket står for. Hvis vi selv setter opp en likning, må vi fortelle hvilket tall x står for.

Annie kjøpte en firepakning med 1,5 liter brus. Den kostet 112 kr. Hva er prisen per brusflaske?

Løsning: Vi følger punktene 1–3 ovenfor:

Prisen per brusflaske er ukjent, så vi kaller den x. «Fire brusflasker koster 112 kr» kan skrives som 4x ¼ 112.

2

4x ¼ 112 4x 112 ¼ 4 4 x ¼ 28

rd

1

deler på 4 på begge sider

vu 3

Én brusflaske koster 28 kr.

til

EK SEMPEL 29

n

Brødrene Per, Pål og Espen har målt hvor høye de er. Per er 5 cm høyere enn Espen, mens Pål er 3 cm kortere enn Espen. Til sammen er de 536 cm. Hva er høyden til hver av de tre guttene?

Ku

46

Løsning: Espen er x cm høy. Per er ðx þ 5Þ cm og Pål er ðx 3Þ cm. Det vil si at: x þ ðx þ 5Þ þ ðx 3Þ ¼ 536 x þ x þ 5 þ x 3 ¼ 536 3x þ 2 ¼ 536 2 2 3x ¼ 534 3x 534 ¼ 3 3 x ¼ 178

trekker fra 2 på begge sider

deler på 3 på begge sider

Espen er 178 cm, Per er 178 cm þ 5 cm ¼ 183 cm og Pål er 178 cm 3 cm ¼ 175 cm.


Likninger

47

Oppgaver 1.37 Løs likningene: e

x 5 ¼ 7 2x

b

10x 3x 3 ¼ 18

f

55 ¼ 5x

c

8 þ 6x ¼ 44

g

31 ¼ 3x 8

d

4x þ 6 ¼ 2x þ 28

a b c

x ¼7 5 x ¼3 9

a

x 4 ¼ 3 6

d

4 8 ¼ 5 x

Sett opp en likning for å løse problemet. Skriv svar på oppgaven.

1.41 Oliver skal bake brød av til sammen 2 kg mel. Han blander fint hvetemel, grovt sammalt hvetemel og sammalt rugmel. Han bruker dobbelt så mye fint hvetemel som sammalt rugmel. Og han bruker 400 g mer grovt sammalt hvetemel enn sammalt rugmel.

vu

b

c

Hvilket tall vil du kalle x?

rd

1.38 Løs likningene:

g

2x þ 4 þ 3x ¼ 19

er in

a

1.40 Natalie og Sofie har til sammen 265 kr. Natalie har 25 kr mer enn Sofie. Hvor mange kroner har hver av dem?

Hvor mye mel bruker han av hver sort?

1.39 Klassen på 15 elever skal på en ekskursjon. De reiser med buss, og billettene koster til sammen 420 kr.

til

Hvor mye koster hver billett? Løs problemet med en likning. Hvilket tall skal x stå for?

b

Skriv opplysningene i oppgaven som en likning og løs likningen. Skriv svar på oppgaven.

Ku

c

n

a


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

1.7 Problemløsning

D U S K AL K U N N E

er in

g

De fleste problemene i matematikk kan løses med flere ulike metoder. Det er ikke slik at vi må kunne en bestemt metode for å løse et problem. Hvis du kan løse et problem på ulike måter og forstår hvordan metodene henger sammen, blir forståelsen og læringen dypere og bedre.

bruke flere ulike metoder til å løse problemer i matematikk

se sammenhengen mellom ulike løsninger på samme problem

kunne starte med én måte å løse oppgaven på, og bytte over til en annen hvis den første ikke fører fram

rd

Når du skal løse et problem i matematikk, kan det være til hjelp å følge disse punktene: Du må først være sikker på at du forstår problemet. Forklar det til deg selv eller andre med dine egne ord.

2

Planlegg hvordan du vil løse problemet. Hvilken metode vil du bruke? Hvilke opplysninger er det viktig å ta hensyn til?

3

Prøv å løse problemet slik du har tenkt. Hvis denne metoden ikke fører fram, har du da en annen metode du kan bruke?

til

vu

1

4

n

Merk Det kan ta litt tid å løse en oppgave. Du lærer mest når du er utholdende og tar deg tid med oppgaven. Det er viktigere enn å løse mange oppgaver på kort tid.

Ku

48

Når du har løst problemet, må du se tilbake. Kan du kontrollere svaret? Kunne du ha løst problemet på en enklere måte?

Disse ulike metodene bør du øve på å bruke:

Lag en illustrasjon. Du kan bruke gjenstander, tegne eller lage et diagram.

Gjett og prøv deg fram. Prøv om løsningen du har gjettet på, passer. Hvis du må gjette på nytt, må du da velge et tall som er større eller mindre enn det første du prøvde?

Sett opp en systematisk oversikt. Sett opp en tabell der du har oversikt over hvilke alternative løsninger du prøver, og hvilke løsninger du får i hvert tilfelle. Prøv med en rekke ulike tall og se om du kommer fram til løsningen.

Oversett til matematikkspråket og lag et regnestykke. Du kan lage en likning som du må løse, eller et uttrykk som du må regne ut.


Problemløsning

49

er in

I eksemplene nedenfor ser du hvordan problemer kan løses med ulike metoder. Hvert av eksemplene viser to ulike metoder. Kan du se sammenhengen mellom metodene?

EKSEMPEL 30

I en dropseske er det 17 drops: gule, røde og grønne. Det er ett grønt drops mer enn gule drops, og det er tre røde drops mer enn grønne drops. Hvor mange drops er det av hver farge?

rd

Løsning ved å lage en illustrasjon: I dette tilfellet tegner vi.

g

Det er viktig for forståelsen at du har anledning til å snakke med andre under arbeidet. Finn din egen måte å forklare hva en oppgave går ut på. Lytt til andres forklaringer og prøv å forstå dem. Diskuter gjerne hvilken metode dere synes er mest effektiv.

vu

Vi begynner med å sørge for at det er ett grønt drops mer enn gule drops, og at det er tre røde drops mer enn grønne drops. Så kontrollerer vi antall drops til sammen.

Her er det 11 drops.

til

Her er det 14 drops.

n

Her er det 17 drops.

Ku

Det er fire gule, fem grønne og åtte røde drops i esken.

Løsning ved å oversette opplysningene til matematikkspråket og lage en likning: Vi velger å la x stå for antall gule drops. Så oversetter vi fra oppgaveteksten: Antall gule drops er x. Antall grønne drops er x þ 1. Antall røde drops er ð x þ 1Þ þ 3 ¼ x þ 4. Det er 17 drops til sammen: x þ ðx þ 1Þ þ ð x þ 4Þ ¼ 17


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Vi løser likningen: x þ x þ 1 þ x þ 4 ¼ 17 5

5

trekker fra 5 på begge sider

er in

3x ¼ 12 3x 12 ¼ 3 3 x¼4

g

3x þ 5 ¼ 17

deler på 3 på begge sider

Antall gule drops i esken er 4. Vi setter inn for x og finner antall grønne og røde drops.

Merk Vi kan selv bestemme hvilket tall vi vil kalle x. Men når vi har valgt hva som skal representeres med x, er de andre tallene bestemt ut fra det.

Grønne drops:

rd

xþ1¼4þ1¼5 Røde drops:

xþ4¼4þ4¼8

vu

Det er fire gule, fem grønne og åtte røde drops i esken.

Tenk gjennom!

til

Vi kunne ha valgt antall grønne drops eller antall røde drops som x. Hvordan hadde likningen sett ut da? Ville vi fått de samme løsningene?

n

EK SEMPEL 31

Ku

50

En butikk selger to bukser for samme pris som tre skjorter. Ei bukse koster 450 kr. Hvor mye koster ei skjorte?

Løsning ved å lage en illustrasjon: I dette tilfellet er det linjestykker som representerer beløpene: 0 kr

450 kr

bukse skjorte

0 kr

bukse

skjorte 300 kr

Vi ser at ei skjorte koster 300 kr.

900 kr

skjorte 600 kr

900 kr


Løsning ved systematisk prøving: Siden to bukser koster 900 kr, må tre skjorter koste det samme. Vi lager en tabell som gir oversikt over prisen på tre skjorter, og velger å begynne med 250 kr per skjorte: 250

275

300

325

350

Pris for tre skjorter

750

825

900

For lite

For lite

Stemmer

Vurdering

er in

Pris for ei skjorte

rd

Det er unødvendig å regne videre når vi har funnet at ei skjorte må koste 300 kr.

EKSEMPEL 32

vu

Mia vil kjøpe en ny PC. Den koster 5600 kr, men hun får 700 kr i avslag. Hvor mange prosent utgjør avslaget?

Løsning ved å gjette og prøve seg fram:

5600 kr 0,10 ¼ 560 kr

10 % er for lite

15 % av 5600 kr:

5600 kr 0,15 ¼ 840 kr

15 % er for mye

12 % av 5600 kr:

5600 kr 0,12 ¼ 672 kr

12 % er litt for lite

til

10 % av 5600 kr:

13 % av 5600 kr:

5600 kr 0,13 ¼ 728 kr

13 % er litt for mye

12,5 % av 5600 kr:

5600 kr 0,125 ¼ 700 kr

12,5 % stemmer

n

Avslaget utgjør 12,5 %.

Ku

Løsning ved å oversette opplysningene til matematikkspråket og lage et regnestykke: Avslaget utgjør x %.

Vi bruker regelen om at Prosentverdien ð x %Þ ¼

delen 100 % det hele

700 100 % ¼ 0,125 100 % ¼ 12,5 % 5600 Avslaget utgjør 12,5 % av den opprinnelige prisen. x%¼

51

g

Problemløsning


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Oppgaver

1.42 Et par sko koster tre ganger så mye som ei skjorte. Skoparet og skjorta koster til sammen 1200 kr. Hva koster skoparet, og hva koster skjorta?

1.45

vu

rd

1.43 Brødrene Frank og Robert kjøpte hver sin hustomt. Tomtene var til sammen på 1500 m2 , men Franks tomt var dobbelt så stor som Roberts. De er enige om at en tomt bør være på minst 400 m2 . Har Robert kjøpt en tomt som er stor nok?

er in

Diskuter gjerne med hverandre og sammenlikn løsningsmetoder!

g

Velg selv hvilke metoder du vil bruke for å løse problemene nedenfor. Kanskje vil du kombinere flere strategier. Tenk til slutt gjennom hva du synes er den enkleste måten å løse problemet på.

n

til

1.44 Zaida er glad i dyr. Hun har hunder, katter og kaniner. Hun har tre flere katter enn hunder, og hun har fem flere kaniner enn katter. Til sammen har hun 17 dyr. Hvor mange hunder, katter og kaniner har hun?

Ku

52

Allan har en liten tilhenger som tar maksimalt 500 kg last. Han skal hente murblokker og tørrbetong. Hver murblokk veier 13 kg, og en sekk tørrbetong veier 25 kg. Han henter fire sekker tørrbetong. Hvor mange murblokker kan han ta med på hengeren i tillegg til sekkene med tørrbetong?

1.46 Tony kjøper epler, bananer og appelsiner. Han kjøper halvparten så mange bananer som appelsiner og tre flere epler enn bananer. Til sammen kjøper han 27 frukter. Hvor mange av hver sort?


Test deg selv

53

Test deg selv

Rund av til et helt tall: 290,476

1.54 Mabel setter 20 000 kr i banken. Renta er 0,75 % per år. Hvor mye har hun på kontoen sin etter ett år?

1.48 Regn ut: a

45 100

c

1250 : 100

b

0,38 1000

1.55 En forretning selger ytterjakker for 999 kr. Så setter de ned prisen med 20 %.

1.49 Regn ut:

a

c

21 : 7 þ 4 3

b

b

1.50 Plasser tallene på tallinja: 1 4

30 %

85 100

1 Skriv tre brøker som er like store som . 5

4 Hvilke av disse brøkene er like store som ? 6 2 40 140 20 46 3 60 160 30 100

n

b

0,25

1

1.51 a

7 10

1.52 Tor, Tom og Georg skal dele en pizza.

Ku

Forklar hvordan vi kan bruke vekstfaktor til å finne den nye prisen. Hva blir den nye prisen?

1.56 Løs likningene:

til

0

63 ð 3Þ

rd

7ð8 4Þ þ 22

vu

a

0,5

er in

b

1.53 Alexandra er 162 cm høy, og Tony er 187 cm høy. Hvor mange prosent høyere er Tony enn Alexandra?

g

1.47 a Rund av til et tall med én desimal: 36,892

2 Tor spiser 35 % av pizzaen, og Tom spiser . 5 Hvor mye får Georg?

a

3x þ 4 ¼ 10

b

25x ¼ 100

c

x 7 ¼ 100 25

d

1,5x þ 1,7 ¼ 0,3x þ 4,1

1.57 Ali, Alma og Anette kjøper lodd. Et lodd koster 25 kr. Alma kjøper to lodd mer enn Ali, mens Anette kjøper ett lodd mindre enn Ali. Til sammen kjøper de lodd for 325 kr. Hvor mange lodd kjøpte hver av dem?


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

Oppgaver

g

1.1 Posisjonssystemet

tusener (kilo)

hundrer (hekto)

tier (deka)

738,25 ¼

er in

1.58 Fyll ut tallene som mangler, på rett plass i tabellen: ener

,

tidel (desi)

hundredel (centi)

tusendel (milli)

9

2

,

1003,501 ¼

,

......... ¼ 1

......... ¼

5

,

6

2

0

0

,

0

5

7

7

,

7

1.63 Rund av til hele tall:

b

Hvilket tall er størst av 73,65 og 73,560?

a

c

Hvilket tall er minst av 0,025 og 0,250?

vu

1.59 a Hvilket tall består av 5 enere, 6 tiere og 3 hundrere?

25 10

b

4,55 100

c

350 100

d

450 : 10

til

a

n

1.61 Hvilket tall er størst? a

25,350 eller 52,350

b

49,990 eller 49,1000

c

2,95 eller 2,590

1.62 Skriv to tall som ligger mellom a

35 og 36

b

0,255 og 0,256

c

24,15 og 24,16

32,88

b

33,288

Rund av til hele tiere: c

1.60 Regn ut:

5

rd

......... ¼

Ku

54

125,4

d

124,5

1.64 Regn ut: a

247 000 100

d

980 : 100

b

0,354 1000

e

340 : 1000

c

3,586 10

f

0,05 : 100

1.65 Et tall blir 350 når du deler det på 10. Hva blir tallet hvis du ganger det med 10?


Oppgaver

Regn ut de følgende oppgavene.

1.66 b

16 6 þ 12 2 þ 10

1.67 a 5 13

b

6 6 2 3

25 þ 5 þ 33 þ 7 þ 50

1.75 a 2 þ 4 þ 6 þ ::: þ 48 þ 50

4 25

1.68 a 2 3 þ 22 b

c

c

c

4 þ ð7 3Þ þ 2

d

ð8 þ 2Þ 5 þ ð2 þ 3Þ

1.69 a 16 þ 3 þ 14 þ 20 þ 17 b

568 þ 34 þ 2 þ 100 þ 6

c

35,458 0,058

d

89,67 þ 0,03 0,70

e

1045 þ 205 250

1.3 Brøk

1.77 Hvilke brøker er fargelagt på figurene nedenfor?

a

b

7 65

c

c

5 8 þ 3

b

1.76 Lag to tosifrete tall med sifrene 6, 7, 8 og 9 slik at svaret blir størst mulig når du ganger de to tallene med hverandre.

55 9

til

1.71 a 7 20

1 2 3 4 5 : 24

vu

1.70 a 8 34

b

15 8

er in

4þ6þ2þ8þ5

rd

a

1.74 Tom brukte et siffer tre ganger og laget et tosifret og et ensifret tall. Da han ganget de to tallene med hverandre, fikk han 275. Hvilket siffer brukte han i de to tallene?

g

1.2 Bli god til å regne!

d

9 ð 4Þ þ 2 3 5 pffiffiffiffiffiffiffiffi 32 þ 92 100

b

n

1.72 a 2ð16 þ 4Þ þ 3 5 52 2 4 þ 3

c

4 3 2 þ ð7 þ 13Þ 15 : 3

Ku

b

1.73 Hva er halvparten av a

268

b

84,6

Hva er det dobbelte av c

55

d

65,5

55

c

1.78 Hvilke av disse brøkene er lik 2 4

5 8

3 2

6 12

1 ? 2

50 100

3 6

10 20


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

4 5

10 10

1 2

3 2

0

7 10

1

2

1.80 Skriv disse brøkene i stigende rekkefølge: 3 4

2 5

8 16

9 10

Hvor mange elever gikk det i klassen til Tore?

1 6

1.4 Prosent

1.81 Forkort brøkene mest mulig: 6 12

b

7 35

c

75 100

a c

2 5 8 þ þ 6 3 12 6 30 4 þ 8 40 16

b

18 3

c

b

d

0,01 ¼ :::::::: %

1.88 a Hvor mange prosent er 50 av 100?

til

a

90 ¼ :::::::: % 100

1.87 Tegn en figur som illustrerer 13 %.

7 60 5 þ 10 100 50

1.83 Regn ut. Bruk gjerne tegning til hjelp: 2 18 3

0,50 ¼ :::::::: %

b

vu

1.82 Regn ut. Bruk gjerne tegning til hjelp:

d

1.86 Gjør om til prosent: 12 a ¼ :::::::: % 100

rd

a

g

1 10

1.85 Tore gjorde en spørreundersøkelse i klassen om skolemat og fikk svar av alle. 1 Han fant ut at av elevene i klassen hadde med 3 3 skolemat hjemmefra, kjøpte mat i kantina, mens en 5 elev verken hadde med mat eller kjøpte noe i kantina.

er in

1.79 Plasser brøkene på tallinja:

5 4 2

c

3 2 4 3

d

1 3 4 5

b

Hvor mange prosent er 75 av 100?

c

Hvor mange prosent er 1 av 100?

d

Hvor mange prosent er 1 av 10?

d

Finn 25 % av 420 kr.

1.84 Lilly, Simon og Siri lekte med klinkekuler. 1 5 Lilly hadde av alle klinkekulene, og Simon hadde . 3 12 a Hvor stor del hadde Siri av alle klinkekulene?

b

Finn 10 % av 420 kr.

e

Finn 0,5 % av 420 kr.

c

Finn 50 % av 420 kr.

b

a

45 %

c

5%

e

15,5 %

b

28 %

d

220 %

f

0,5 %

n

1.89 a Finn 1 % av 420 kr.

Ku

56

Siri hadde 60 klinkekuler. Hvor mange hadde Lilly og Simon?

1.90 Gjør om til desimaltall og brøker:

1.91 a Finn 1 % av 8800.

d

Finn 50 % av 8800.

b

Finn 10 % av 8800.

e

Finn 75 % av 8800.

c

Finn 5 % av 8800.

f

Finn 2,5 % av 8800.


Oppgaver

1.94 Aina og Sofia solgte vafler på idrettsdagen. Aina solgte for 360 kr. Det utgjorde 45 % av inntektene. Hvor mye solgte de for til sammen?

2·4

Diskuter framgangsmåten din med de andre i gruppa. Kontroller svarene ved å bruke kalkulator. Hva er enkleste framgangsmåte på oppgavene når du bruker kalkulator?

rd

1.95 Ved stortingsvalget 2017 fikk Høyre 732 895 stemmer. Det utgjorde 25 % av stemmene. Hvor mange personer stemte ved dette valget?

g

1.93 Mia vil kjøpe en ny PC. Den koster 5600 kr, men hun får 700 kr i avslag. Hvor mange prosent utgjør avslaget?

2·2

er in

1.92 Tom og Evert reiste med toget. Etter at de hadde kjørt 50 km, sa Tom at de hadde tilbakelagt 20 % av turen. Hvor lang var hele strekningen de skulle reise?

1.5 Vekstfaktor

1.96

vu

1.98 En mobiltelefon kostet 4500 kr. Etter en tid får forretningen inn en ny modell som er 10 % dyrere. Hva koster den nyeste modellen? Ronny regnet slik:

til

Mobiltelefonen kostet:

n

Hvor mange prosent av det norske flagget er rødt? Hvor mange prosent er hvitt? Og hvor mange prosent er blått?

Kontroller til slutt: Hvor mange prosent blir det til sammen?

Ku

1.97

Tegn fem figurer med sirkler som vist på figuren øverst i neste spalte. Antall sirkler på figurene skal være 2 2, 2 4, 2 5, 4 5 og 5 5. Fargelegg noen av sirklene på de fem figurene. Finn hvor stor brøkdel som er fargelagt på hver av figurene dine, og hva dette tilsvarer i desimaltall og i prosent. Klarer du å finne alle svarene uten å bruke kalkulator?

57

þ10 % av 4500 kr ¼ 4500 kr 0,10: Ny modell koster:

4500 kr 450 kr 4950 kr

Vis hvordan du kan gjøre samme utregning ved å bruke vekstfaktor.

1.99 Fyll ut det som mangler i tabellen: Økning i prosent

Prosent etter økning

Vekstfaktor (desimaltall)

45 %

100 % þ 45 % ¼ 145 %

1,45

5%

100 % þ :::::: % ¼ ::::::: %

75 %

:::::: % þ 75 % ¼ ::::::::: % 100 % þ 2 % ¼ :::::::: % 1,15


KAPITTEL 1 – DEN MATEMATISKE VERKTØYKASSA

1.100 Nadia hadde en hund som veide 17,0 kg. Så ble hunden syk, og vekta gikk ned med 15 %. Hva veide hunden etter vekttapet?

17,0 kg

15 % vekttap ¼ 17,0 kg 0,15 ¼ 2,55 kg

Reisende som får rabatt:

14,45 kg 14,5 kg

Hunden veier nå:

er in

Hunden veide:

1.104 En familie skal reise med tog og besøke besteforeldrene. Ordinær pris per person er 890 kr. De finner informasjon om rabatter på sidene til Vy. Familien består av to foreldre, tvillinger på ni år og en sønn som er student. Hvor mye må de betale til sammen? Prøv å løse oppgaven ved hjelp av vekstfaktor.

g

Nadia kunne ha regnet slik:

Barn 0–5 år: gratis

Vis hvordan du kan regne ut det samme ved hjelp av vekstfaktor.

Barn 6–17 år: 50 prosent rabatt

1.101 Fyll ut det som mangler i tabellen:

1.105 Prisen på en vare blir satt ned med 10 %. Deretter blir prisen satt opp igjen med 10 %. Vil den nye prisen bli lik, større enn eller mindre enn den gamle? Forklar hvordan du tenker.

Prosent etter nedgang 100 % 15 %

15 %

¼ 85 %

100 % ::::::: % ¼ :::::::: %

65 %

100 % ::::::: % ¼ :::::::: % 100 % 90 %

Vekstfaktor (desimaltall) 0,85

0,95

vu

5%

1.6 Likninger

¼ 10 %

0,80

til

1.102 Regn ut ved å bruke vekstfaktor:

Josef setter 18 000 kr i banken. Hvor mye har han i banken etter ett år når renta per år er 1%

b

2,3 %

n

a

Student: 25 prosent rabatt

rd

Nedgang i prosent

1.103 Jone har en ettermiddagsjobb der han får 145 kr per time. Så settes timelønna opp med 3,5 %. Hva blir den nye timelønna hans? Prøv å løse oppgaven med vekstfaktor.

Ku

58

1.106 Løs likningene: a

3x þ 4 ¼ 13

d

5x þ 5 þ 5x ¼ 45

b

2x þ 4x ¼ 12

e

15 þ 2x ¼ 35

c

7x ¼ 19 þ 2

f

4x þ 6 2x ¼ 106

1.107 Løs likningene: x x ¼5 b ¼6 a 4 10

c

x ¼8 5

1.108 Tonje har kjøpt 2 kg bananer for 54 kr til sammen. Hva er kiloprisen på bananene? Løs problemet ved å sette opp en likning. La x stå for kiloprisen. a

Skriv opplysningene i oppgaven som en likning og løs likningen.

b

Finn svar på oppgaven.


Oppgaver

1.115 Arealet av et rektangel er 24 cm2 . Lengden er 6 cm. Hva er bredden av rektanglet?

1.109 Løs likningene: a

2x þ 30 x ¼ 60

b

3ðx þ 2Þ ¼ 42 þ 8

c

10,5 ð2; 2 xÞ ¼ 24,3

d

50x þ 15 ¼ 40x þ 85

e

4 þ 5ðx 3Þ 2 ¼ x þ 3ðx þ 9Þ 1

f

3 4ðx 2Þ ¼ 2 5ðx 4Þ

1.117 Kristian spiser 25 % av en pizza. Dagen etter spiser han halvparten av det som er igjen. Hvor stor del av pizzaen har han igjen nå?

b

x x þ ¼ 10 2 3

c

120 ¼ 15 x

b c

x 2x þ 2ðx þ 5Þ ¼ 19 3 3 1 x 3 þ 1,5x ¼ x þ 8 2 3x 50 x þ 15 ¼ 5 5

vu

1.111 Løs likningene: a

til

1.112 Oleg har kjørt i 2 timer 30 minutter med en gjennomsnittsfart på 65 km=t. Hvor mange kilometer har han kjørt?

n

1.113 Yasmin setter en sum penger i banken og får 1,5 % rente per år. Etter to år har hun 16 483,60 kr i banken. Hvor mye satte hun inn på bankkontoen?

Ku

1.118 Laila skal kjøpe fôr til hunden sin og sammenlikner tilbudene i to butikker. Den ene butikken selger 6 kg hundefôr for 567 kr. Den andre butikken tar 630 kr for 6 kg hundefôr, men nå har de satt ned prisen 15 %. I hvilken butikk får Laila det beste tilbudet?

rd

x ¼4 15

er in

g

1.116 Even er dobbelt så gammel som Odd. Til sammen er de 39 år. Hvor gamle er de?

1.110 Løs likningene: a

59

1.7 Problemløsning 1.114 Olga brukte 20 % av sparepengene sine på en mobiltelefon. Da hadde hun 16 800 kr igjen. Hvor mange penger hadde hun før hun kjøpte telefonen?

1.119 Evelyn, Natalie og Laura sammenlikner skonumrene sine. Natalies sko er to nummer større enn Evelyns. Og Lauras sko er ett nummer større enn Natalies. Når de legger sammen skonumrene sine, får de 113. Hvilket skonummer har hver av jentene? 1.120 Anders, Bjørn og Charlie selger kakebokser til inntekt for klassen. Charlie har solgt dobbelt så mange som Bjørn. Anders har solgt tre flere enn Bjørn. Til sammen har de solgt 71 kakebokser. Hvor mange bokser har hver av dem solgt? 1.121 Et tall pluss to tredeler av tallet er 45. Hvilket tall er det? 1.122 Marco har sauer og høner. Til sammen har dyra 50 øyne og 70 bein. Hvor mange sauer og hvor mange høner har Marco?


n

Ku til er in

rd

vu

g

2 MÃ…LENHETER


g

er in

Å velge riktig internetthastighet

rd

En familie på fem skal velge nettleverandør og må ta stilling til ulike typer abonnementer. De ulike løsningene varierer nokså mye i pris, og de ønsker ikke å betale mer enn nødvendig. Samtidig vil de at alle i familien skal ha mulighet til å strømme film, musikk og annet de liker, uten at de skaper problemer for hverandre. De trenger derfor hjelp til å vurdere hvilken hastighet de trenger på Internettet.

vu

I aktivitet 2.1 kan du prøve deg på dette oppdraget.

Kapitteloversikt

I 2.1 Grunnleggende målenheter lærer du om målenheter vi bruker i dagliglivet, og hvordan vi velger egnet målenhet.

til

I 2.2 Måling av areal og volum lærer du hvilke målenheter som brukes til areal og volum, og hvordan vi velger en passende målenhet.

Ku

n

I 2.3 Sammensatte målenheter får du eksempler på sammensatte målenheter og hvordan de kan brukes, i hverdagen og i et framtidig yrke. I 2.4 Det binære tallsystemet lærer du å skrive og tolke tall i det binære tallsystemet og i det heksadesimale tallsystemet.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

tolke og bruke sammensatte målenheter i praktiske sammenhenger og velge egnet målenhet


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

2.1 Grunnleggende målenheter

D U S K AL K U N N E

er in

g

Vi bruker målenhetene som en naturlig del av språket. Det er ikke feil å si at vi har hoppet fra 10 000-millimeteren, men vi gjør oss bedre forstått om vi sier at vi har hoppet fra 10-meteren. Hvilke målenheter for lengde, masse og volum kjenner du til? Hvordan bør vi presentere store og små tall slik at andre lett forstår dem?

tolke og bruke de vanligste målenhetene

gjøre om mellom ulike målenheter

velge passende enheter i målinger

rd

U T F O R S K SA M M E N

vu

Volum måler vi vanligvis i liter. Hvilke andre målenheter kjenner dere til, og når brukes de? Hvilke måleverktøy bruker dere? Lag en oversikt over måleutstyr dere bruker, og hva de måler.

Hva måler du?

Grunnenhet

Avledete enheter

Brukes når jeg skal

desilitermål

volum

liter (L)

ml, dl

måle ingredienser når jeg lager mat

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

til

Hva heter verktøyet?

n

SI – det internasjonale enhetssystemet

Ku

62

Gjennom historien har folk og land laget målenheter som de har hatt bruk for. For eksempel brukte vi i Norge lengdemål som alen, fot og tommer. Men selv om flere land brukte samme navn på lengdemålene, kunne de ha ulik verdi i forskjellige land. En norsk fot var for eksempel litt lengre enn en engelsk fot. Det er mer effektivt når alle bruker de samme målesystemene. Etter hvert ble det vedtatt et system som de fleste land i verden har innført. Systemet kalles SI. Systemet har definert sju grunnenheter, blant annet kg (kilogram), m (meter) og s (sekund). Andre målenheter er definert ut fra disse sju grunnenhetene.


Grunnleggende målenheter

63

Omgjøring av enheter i titallssystemet

er in

«Hekto» er et prefiks som betyr 100. Når vi skal kjøpe kjøttpålegg i ferskvaredisken, kan vi bestille 3 hektogram, altså 300 gram, spekeskinke.

Omgjøring av enheter:

g

Målenhetene i SI-systemet henger nøye sammen med titallssystemet. 10 millimeter er for eksempel samme lengde som 1 centimeter. «Milli» og «centi» kalles prefikser. Et prefiks er første delen av et ord og gir ordet en egen mening.

Når vi skal skrive store eller små tall, kan det bli mange nuller. For å gjøre skrivemåten enklere bruker vi prefikser. Tabellen nedenfor gir en oversikt over noen prefikser: Forkortelse

Tall

Navn

tera giga mega kilo hekto deka

T G M k h da

billion milliard million tusen hundre ti

desi centi milli mikro nano piko

d c m m n p

1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 1 1/10 1/100 1/1 000 1/1 000 000 1/1 000 000 000 1/1 000 000 000 000

til

vu

rd

Prefiks

EKSEMPEL 1

Skriv 350 milliliter med liter som målenhet.

b

Skriv 7 hektogram med gram som målenhet.

c

n

a

Skriv 0,3 meter med desimeter som målenhet.

Ku

Løsning: a 350 milliliter er 350 tusendels liter. 350 L ¼ 0,35 L 350 ml ¼ 1000

b

7 hektogram er 7 hundre gram. 7 hg ¼ 7 100 g ¼ 700 g

c

0,3 meter er 3 tidels meter. 3 0,3 m ¼ m ¼ 3 dm 10

tidel hundredel tusendel milliondel milliarddel billiondel

Merk For eksempel er 1 kg ¼ 1000 g, 1 dl ¼ 1=10 L ¼ 0,1 L og 1 cm ¼ 1=100 m ¼ 0,01 m.


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Når vi skal gjøre om mellom enheter, kan vi bruke en omgjøringstabell som hjelper oss til å holde styr på de ulike enhetene. Omgjøringstabell for lengdemål

1 mil = 10 km

mil

km

1

0

0

1

0

0

1 cm = 10 mm

dm

0

0

cm

0

0

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm

m

mm

0

0

0

0

0

er in

1 km = 1000 m

(hm) (dam)

g

Målenheter for lengde

1

0

0

0

1

0

0

1

0

rd

Noen av målenhetene, som hektometer (hm) og dekameter (dam), blir sjelden brukt.

EK SEMPEL 2

Gjør om 4560 millimeter til meter ved hjelp av omgjøringstabell.

vu

Løsning: I 4560 mm står sifferet 0 på enerplassen. Vi setter sifrene inn i tabellen slik at 0 havner på millimeterplassen. Da havner sifferet 4 på enerplassen for meter. km

(hm)

(dam)

m

dm

cm

mm

0

0

0

0

4

5

6

0

til

mil

n

4560 mm = 4,56 m

Ku

64

Omgjøringstabell for masse Målenheter for masse

kg

hg

(dag)

g

(dg)

cg

mg

1 kg = 10 hg = 1000 g 1 hg = 100 g 1 g = 1000 mg

1

0 1

0 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 tonn = 1000 kg Noen av målenhetene, som dekagram (dag) og desigram (dg), blir sjelden brukt.


Grunnleggende målenheter

65

EKSEMPEL 3 Gjør om 850 gram til milligram ved hjelp av omgjøringstabell.

Merk I dagligtale snakker vi om vekta til en gjenstand, men riktig begrepsbruk i matematikken er å snakke om massen til en gjenstand. En vekt er måleutstyret vi måler massen med.

hg

(dag)

g

(dg)

cg

mg

850 g

8

5

0

0

0

0

850 g ¼ 850 000 mg

Omgjøringstabell for litermål Målenheter for volum

(kl)

hl

(dal)

dl

1

0 1

cl

ml

0 0

0 0

rd

1 L = 10 dl = 100 cl = 1000 ml 1 dl = 10 cl = 100 ml

L

er in

Masse

g

Løsning: Når vi setter inn 850 g i tabellen, ser vi at vi må føye til tre nuller for å få et siffer på plassen til milligram.

Noen av målenhetene, som kiloliter (kl) og dekaliter (dal), blir sjelden brukt.

Gjør om 87 milliliter til liter.

vu

EKSEMPEL 4

Løsning: Sifferet 7 setter vi på enerplassen for ml. Da må det stå 0 på plassene for L og dl.

87 ml

hl

(dal)

L

dl

cl

til

Volum

0

0

8

ml 7

87 ml ¼ 0,087 L

Ku

n

Huskeregel for omregning av enheter Vi kan også bruke trappetrinnsmodellen til å huske overgangene mellom enhetene for lengde, masse og volum. Hvor mange desimeter er 5 m? Vi går ett trinn ned i trappa. Da må vi gange med 10: 5 m ¼ 5 10 dm ¼ 50 dm

Hvor mange gram er 4,45 kg? Vi går tre trinn ned og ganger med 10 tre ganger: 4,45 kg ¼ 4,45 10 10 10 g ¼ 4,45 1000 g ¼ 4450 g

Hvor mange liter er 450 cl? Vi går to trinn opp og deler på 10 to ganger: 450 cl ¼ 450 : 100 L ¼ 4,50 L

Gange med 10 for hvert trinn ned

km (hm) (dam) kg

m hg

dm (dag)

(kl)

cm mm

g hl

(dg) (dal)

(cg) L

mg dl cl

Dele på 10 for hvert trinn opp

ml


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Enheter for tid

g

Vi forholder oss alle til tiden og klokka. Men vi tenker ikke alltid over at når vi regner om mellom sekunder, minutter og timer, bruker vi sekstitallssystemet. I hverdagen holder vi stort sett orden på antall timer, minutter og sekunder. Blant annet vet vi at ett minutt etter kl. 23.59 blir klokka 00.00, og vi får en ny dag på kalenderen. Hvilke strategier kan vi bruke når vi skal regne med tid?

Merk 1 minutt = 60 sekunder 1 time = 60 minutter = 3600 sekunder

Tenk gjennom!

er in

Den internasjonale enheten for time er h, men i Norge brukes ofte t også.

Hvor mange minutter er 2,25 timer?

rd

Jarle har jobbet fra kl. 8.30 til kl. 13.15. Han vil finne ut hvor mange timer dette er. Da kan vi ikke bare trekke de to tallene fra hverandre, slik vi gjør med tall i titallssystemet. Vi må regne timene for seg og minuttene for seg.

vu

En måte er å si at fra 8.30 til 13.30 er det 5 timer. Men så må vi trekke fra et kvarter. Det vil si at Jarle har jobbet i 4 timer 45 minutter.

til

Eller vi kan si at fra 8.30 til 12.30 er det 4 timer. Så må vi legge til 45 minutter.

n

kl. 8.30

Ku

66

kl. 13.15

EK SEMPEL 5 Frida har regnet ut at det tar 3,8 timer å reise fra Hamar til Sognefjellshytta. Hun har planlagt å reise kl. 8.30. a

Omtrent når vil hun være framme?

b

Hvor mange timer og minutter er 3,8 timer?

c

Når vil hun helt presist være framme?


Grunnleggende målenheter

67

b

3,8 timer ¼ 3 t þ 0,8 t

er in

0,8 t må regnes om til minutter. Vi erstatter 1 t i regnestykket med 60 min, siden det er like størrelser: 0,8 t ¼ 0,8 1 t ¼ 0,8 60 min ¼ 48 min 3,8 t ¼ 3 t 48 min c

3 timer etter kl. 8.30 er klokka 11.30. Så må vi legge til 48 minutter: 30 minutter etter kl. 11.30 er klokka 12.00, og turen tar enda 18 minutter. Hun er framme kl. 12.18.

rd

Dette stemmer bra med overslaget. Når klokka er 12.18, er det 12 minutter igjen til kl. 12.30. Når vi skal gjøre om minutter til timer, deler vi antall minutter på 60.

30 timer ¼ 0,5 t. 30 minutter er altså en halv time. 60 15 15 min ¼ timer ¼ 0,25 t. 15 minutter er altså en firedels time, et kvarter. 60

til

vu

30 min ¼

g

Løsning: a Et overslag vil være å tenke at 3,8 timer er nesten 4 timer. Det vil si at hun er framme litt før kl. 12.30 hvis hun reiser kl. 8.30.

n

Å velge målenhet

Ku

Når vi skal presentere ulike målinger, må vi vurdere hvilke målenheter det er hensiktsmessig å bruke. Når det går strøm gjennom en leder, vil høy resistans i lederen gi en lavere strøm i kretsen. Resistansen R i en leder måles i ohm (Ω). Vi kan for eksempel ha målt at en motstand har resistansen R ¼ 567 000 . Vi ser at dette er en høy resistans, og at det ville vært bedre å kombinere målenheten med et prefiks: 567 000 = 567 1000 ¼ 567 1 k ¼ 567 k

Når vi velger målenhet i svaret vårt, må vi også ha i tankene at en liten målenhet som for eksempel milliohm (mΩ) gir inntrykk av større målesikkerhet enn en stor enhet som for eksempel kiloohm (kΩ).


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

EK SEMPEL 6 114 d

Amund, Ida, Truls og Omar skal måle omkretsen av tomta der Omar bor. De måler hver sin lengde. Amund måler 11 700 mm, Ida måler 114 dm, Truls måler 825 cm, og Omar måler 13 m. 825 cm

11 7 00 m m

m

g

Regn ut omkretsen av tomta. Hva slags målenhet bør omkretsen oppgis i?

er in

Løsning: Før vi kan legge sammen de ulike lengdene, må vi gjøre om alle lengder til samme målenhet:

13 m

11 700 mm þ 114 dm þ 825 cm þ 13 m ¼ 11,7 m þ 11,4 m þ 8,25 m þ 13 m ¼ 44,35 m 44 m

Omkretsen av tomta er 44 m.

vu

rd

Det er vanskelig å måle så lange avstander nøyaktig i millimeter og centimeter. Vi velger derfor å gjøre om alle lengdene til meter og runde av. Å oppgi en lengde i hele meter er ikke svært nøyaktig. Når vi konkluderer med at omkretsen er 44 m, mener vi at omkretsen er mellom 43,5 m og 44,4 m.

Oppgaver

35 cm

b

7,03 m

c

5,67 dm

d

0,0468 m

e

0,084 cm

n

a

til

2.1 Gjør om til millimeter:

2.2 Hvilken enhet er den riktige?

2.3 Gjør om: a

35 cm til meter

b

35 km til meter

c

48 mm til centimeter

2.4 Fyll ut det som mangler i tabellen:

a

Hammeren er 36,8 . . . lang.

Lengde

b

Mobiltelefonen er 99 . . . bred.

5m

c

Ballen har diameter 3,2 . . .

12 mm ¼ . . . cm

d

Bordet er 74 . . . høyt.

. . . cm ¼ . . . dm

e

Glasset med melk har volumet 240 . . .

1 mil

f

Tomaten veier 73 . . .

. . . km ¼ . . . m

Ku

68

mil km (hm) (dam) m ¼ . . . cm

5

dm cm mm 0

0

0

4

5

0

0

0

0

¼ ... m 7

5

0

0


Grunnleggende målenheter

45 g

kg

hg

¼ . . . kg

(dag)

g

4

5

6

0

dg

cg

mg

490 mg ¼ . . . g . . . kg ¼ . . . g

2

1 hg

¼ . . . kg

... g

¼ . . . mg

5

3

(kl)

hl

(dal)

¼ ... L

¼ . . . hl

d

3,000 g þ 47 mg

a L

dl

1

3

cl

ml

b c

d

7

5

0

500 ml þ 1,5 L

3,5 dl þ 0,02 L þ 50 cl

3

1 min 20 s til sekunder 3 t 25 min til minutter 4,5 t til minutter

5

45 min til timer

2.11 Timelønna til Jarle er 140 kr. Han får betalt for hver påbegynt halvtime. Hvor mye får han betalt hvis han jobber fra kl. 9.00 til kl. 13.50?

0

0

2.12 Gjør om:

2.7 Gjør om: 0,25 kg til gram

b

430 mg til kilogram

c

30,65 hg til kilogram

a

35 mA til ampere ðAÞ

b

35 k til ohm ð Þ

c

48 349 mW til kilowatt ðkWÞ

2.13 Legg sammen: a

0,17 dm þ 23,8 cm þ 78 566 mm þ 1 545 000 mm

750 ml til centiliter

b

81 mm þ 0,0230 cm þ 0,078 mm

Ku

til

a

2.8 Gjør om:

345 g þ 0,350 kg

vu

. . . dl

c

2.10 Gjør om:

. . . ml ¼ . . . cl ¼ ... L

48,0 cm þ 345 mm þ 0,60 dm

f

5

450 cl ¼ . . . dl

1 hl

b

rd

13 dl

4500 m þ 3,70 km

e

2.6 Fyll ut det som mangler i tabellen: Volum

a

g

Masse

2.9 Legg sammen. Velg selv hvilken målenhet du vil oppgi svaret i:

er in

2.5 Fyll ut det som mangler i tabellen:

c

0,0073 L þ 3,86 cl þ 0,124 dl þ 325,0 ml

b

500 ml til liter

c

12,6 dl til liter

n

a

69

L Æ R I N G S L O G G 2. 1 Lag en oversikt over ulike målenheter for lengde og forklar sammenhengen mellom dem. Lag et eksempel med en valgt lengde, der lengden er uttrykt i alle de ulike målenhetene. Hvilke målinger kommer du til å gjøre i ditt framtidige yrke?


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

2.2 Målenheter for areal og volum

D U S K AL K U N N E

er in

g

Måling av lengde, areal og volum henger sammen. Se for deg et svømmebasseng. Vi bruker lengdemål for å si noe om lengden og bredden av bassenget. Vannoverflaten dekker et areal, og når vi skal finne ut hvor mye vann det er i bassenget, snakker vi om bassengets volum.

forstå om en målenhet viser en lengde, et areal eller et volum

gjøre om mellom ulike målenheter for areal og volum

rd

U T F O R S K SA M M E N

vu

Prøv å lage en boks som rommer akkurat én liter. Dere trenger:

papp

saks

tape

linjal

litermål

puffet ris, solsikkefrø e.l.

n

til

Tegn en figur som likner den nedenfor. Dere bestemmer målene på sidene. (Det finnes mange løsninger.) Når dere er fornøyd, klipper dere ut figuren og bretter den til en boks. Fyll boksen med puffet ris eller lignende og kontrollmål med litermålet. Hvis boksen ikke rommer en liter, må dere gjøre endringer.

Ku

70

Presenter for de andre hvordan dere tenkte da dere laget boksen. Til slutt: Hvilken gruppe brukte minst papp til boksen?


Målenheter for areal og volum

71

Målenheter for areal Et areal måles i kvadratenheter. Et kvadrat der alle sidene er 1 meter, kalles en kvadratmeter, 1 m2 . Et kvadrat der alle sidene er 1 desimeter, har arealet 1 dm2 . Hvor mange cm2 er det plass til i 1 dm2 ?

g

1 dm2 ¼ ð10 cmÞ2 ¼ 100 cm2

vu

rd

1 dm = 10 cm

er in

1 cm

til

1 dm = 10 cm

Huskeregel for arealenheter

1 cm2 ¼ ð10 mmÞ2 ¼ 100 mm2 Vi vet at 1 km = 1000 m. For å gjøre om fra km2 til m2 må vi gange med 1000 to ganger:

km2

n

Vi vet at 1 cm = 10 mm. For å gjøre om fra cm2 til mm2 må vi gange med 100:

2

1 km ¼ ð1000 mÞ ¼ 1 000 000 m 2

2

(hm2)

Gange med 100 for hvert trinn ned (dam2) m2 dm2 cm2

Ku

For å huske overgangen mellom arealenhetene kan vi bruke trappa i margen. La oss si at vi har et areal på 500 dm2 . Hvor mange kvadratmeter er det?

For å gjøre om fra dm2 til m2 må vi gå ett trinn oppover i trappa. Da må vi dele på 100: 500 dm2 ¼ 500 : 100 m2 ¼ 5 m2

Tenk gjennom! Hvor mange kvadratcentimeter er det i en kvadratmeter?

mm2

Dele på 100 for hvert trinn opp


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

EK SEMPEL 7 Målenheter for areal:

a

Hvor mange kvadratcentimeter er 9 dm2 ?

b

Hvor mange kvadratmeter er 8560 cm2 ?

g

Løsning: a 1 dm ¼ 10 cm

er in

Da er 1 dm2 ¼ ð10 cmÞ2 ¼ 100 cm2 og 9 dm2 ¼ 9 100 cm2 ¼ 900 cm2 . Eller vi kan bruke trappa med huskeregelen:

Når vi gjør om fra dm2 til cm2 , må vi gange med 100. 9 dm2 ¼ 900 cm2 b

1 cm ¼

1 m 100

2 1 1 Da er 1 cm ¼ m ¼ m2 ¼ 0,0001 m2 og 100 10 000 8560 cm2 ¼ 8560 0,0001 m2 ¼ 0,856 m2 .

rd

2

Eller vi kan bruke trappa med huskeregelen:

vu

Når vi gjør om fra cm2 til m2 , må vi dele på 100 to ganger. Det vil si å dele på 100 100 ¼ 10 000:

til

8560 cm2 ¼ 8560 : 10 000 m2 ¼ 0,856 m2

n

EK SEMPEL 8

Ku

72

I en rundkjøring skal det lages et rundt blomsterbed. Radien i sirkelen skal være 80 cm. Hvor mange kvadratmeter er arealet av blomsterbedet?

Løsning: Arealet av en sirkel finner vi med formelen A ¼ r2 : A ¼ ð80 cmÞ2 20 106 cm2 For å gjøre om fra cm2 til m2 må vi dele på 100 to ganger, altså dele på 100 100 ¼ 10 000: A ¼ 20 106 : 10 000 m2 ¼ 2,0106 m2 2,0 m2 Arealet av blomsterbedet er 2,0 m2 .


Målenheter for areal og volum

73

Målenheter for volum Når vi skal måle rominnholdet av en gjenstand, må vi kjenne størrelsen av en flate i tillegg til høyden på gjenstanden. Vi måler i tre dimensjoner (3D).

er in

g

En liten terning der alle sidene er 1 cm, kalles en kubikkcentimeter (cm3 ). På figuren ser du en større terning der alle sidene er 10 cm (1 dm). Bunnen av denne boksen kan dekkes med 100 små kubikkcentimeter-terninger. Vi kan legge ti lag med små terninger for å fylle hele boksen. Til sammen rommer boksen 1000 små terninger eller 1000 kubikkcentimeter. Alle sidelengdene i den store terningen på figuren er 1 dm. Vi kan derfor si

rd

at 1 dm3 er det samme som 1000 cm3 .

vu

10 cm

10 cm

til

10 cm

På samme måte kan vi finne hvor mange kubikkdesimeter (dm3 ) vi får plass

n

til på 1 kubikkmeter (m3 ). Vi kan tenke oss en terning på 1 m3 . Hver av sidekantene er da 10 dm, og volumet er

Ku

ð10 dmÞ3 ¼ 1000 dm3

Vi lager en trapp med huskeregler for volum, tilsvarende den vi laget for areal. Der vi ganget lengdeenheten med 10, ganger vi arealenheten med 100 og volumenheten med 1000. Huskeregelen sier at 1 cm3 ¼ 1000 mm3 , og at

1 m3 ¼ 1000 1000 cm3 ¼ 1 000 000 cm3 .

Huskeregel for volumenheter

km3 (hm3)

Gange med 1000 for hvert trinn ned (dam3) m3 dm3 cm3

Dele på 1000 for hvert trinn opp

mm3


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

EK SEMPEL 9 a

Hvor mange kubikkcentimeter er 1,2 m3 ?

b

Hvor mange kubikkdesimeter er 350 cm3 ?

er in

g

Løsning: a Når vi gjør om fra m3 til cm3 , må vi gange med 1000 to ganger, altså gange med 1000 1000 ¼ 1 000 000: 1,2 m3 ¼ 1,2 1 000 000 cm3 ¼ 1 200 000 cm3 b

Når vi gjør om fra cm3 til dm3 , må vi dele på 1000: 350 cm3 ¼ 350 : 1000 dm3 ¼ 0,350 dm3

rd

EK SEMPEL 10

vu

Petter skal støpe en platting som skal være 575 cm lang, 250 cm bred og 10 cm tykk. Hvor mange kubikkmeter betong må han regne med å bruke?

n

til

Løsning: Petter tegner en skisse til hjelp:

Ku

74

cm 575

250

cm

10 cm

Siden vi skal finne antall kubikkmeter, gjør vi om alle målene til meter før vi regner ut: Volumet blir 5,75 m 2,50 m 0,10 m ¼ 1,4375 m3 1,4 m3 . Petter må regne med å bruke litt mer enn 1,4 m3 med betong.


Målenheter for areal og volum

Vi kan måle volum både med kubikkmål og litermål.

Merk

1 L 10

1 cl ¼

1 L 100

1 ml ¼

1 L 1000

EKSEMPEL 11

Hytta til Eva og Charlie ligger langt til fjells. De har ikke innlagt vann, men en

rd

vanntank som tar 1 m3 . De fyller tanken ved å hente vann i en bekk med ei bøtte som tar 10 L. Hvor mange bøtter må de hente før tanken er full?

Løsning: Siden 1 L = 1 dm3 , gjør vi om volumet i tanken til kubikkdesimeter.

1000 L : 10 L ¼ 100

vu

1 m3 ¼ 1000 dm3 ¼ 1000 L

Ku

n

til

Det trengs 100 bøtter vann for å fylle tanken.

Siden 1 L ¼ 1 dm3 , må disse to rommålene være like store: 1 ml ¼ 1 cm3

er in

En kubikkdesimeter er det samme som en liter, 1 dm3 = 1 L.

1 L 1000 1 1 cm3 ¼ dm3 1000 1 ml ¼

g

I utforskingsoppgaven laget dere en boks som rommet 1 liter. Omgjøringsreglene for litermål finner du i forrige delkapittel.

1 dl ¼

75


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Oppgaver 2.17 a

Arealet av en pult er 63 . . .

b

Arealet av bunnen i en kopp er 38,5 . . .

c

Arealet av en stue er 35 . . .

d

Volumet til et bilbatteri er 8 . . .

b

2.18 a Hvor mange kvadratcentimeter er 2 m2 ?

2.15 Drøft hvem som har det mest realistiske overslaget: a

Petter mener at rommet hans er ca. 12 m2 ,

a

450 000 m2 þ 2,70 km2

Petter mener at spisebordet på kjøkkenet er

b

467 mm2 þ 0,3 dm2 þ 16 cm2

ca. 20 dm2 , mens Ida mener det er ca. 200 dm2 .

c

14,000 m3 þ 27,0 dm3

rd

Petter mener at arealet av tommelneglen hans er

2.16 a Tegn en figur som er 16 cm2 .

til

Hvor mange kvadratmillimeter (mm2 ) er figuren?

Tenk deg at figuren du har tegnet, er grunnflaten til en figur med høyde 3 cm. Hvor mange kubikkcentmeter (cm3 ) er figuren?

n

c d

Hvor mange kvadratmillimeter er 2,5 cm2 ?

mens Ida mener at volumet er ca. 10 dm3 .

ca. 100 mm2 , mens Ida mener at den er ca. 10 mm2 .

b

c

vu

d

Hvor mange kvadratmeter er 450 cm2 ?

Petter mener at ei bøtte har volumet 1,2 dm3 ,

og Ida mener at rommet hennes er ca. 1,8 m .

c

b

2.19 Legg sammen. Velg selv hvilken målenhet du vil oppgi svaret i:

2

b

er in

a

1 dm2 . 4 Hvor mange kvadratcentimeter er arealet?

Tegn en figur som er

g

2.14 Hva er riktig målenhet?

Hvor mange kubikkmillimeter (mm3 ) er figuren?

2.20 Hvilket volum er minst? 45 cm3

0,054 dm3

52 000 mm3

2.21 Legg sammen volumene. Velg selv hvilken målenhet du vil oppgi svaret i: a

2,00 m3 þ 6790 dm3

b

54 dm3 þ 6,100 m3

c

54 mm3 þ 6,270 cm3

Ku

76

L Æ R I N G S L O G G 2. 2 Lag en oversikt over de mest brukte målenhetene for areal og volum. Finn et praktisk eksempel på noe som har et areal og noe som har et volum. Uttrykk arealet og volumet i ulike målenheter. Hvilke målenheter bruker du i hverdagen, og hvilke kan du få bruk for i ditt framtidige yrke?


Sammensatte målenheter

77

D U S K AL K U N N E vite hva en sammensatt målenhet er

regne med sammensatte målenheter

velge passende enheter i målinger

gjøre om mellom ulike sammensatte målenheter

rd

er in

Når vi måler fart, måler vi meter per sekund ðm=sÞ eller kilometer per time ðkm=tÞ. Vi må kombinere to målenheter for å lage en målenhet for fart. Vi snakker også om hastighet på Internett. Hva er forskjellen på megabit og megabyte? Er en hastighet på 20 Mbit=s mye eller lite?

g

2.3 Sammensatte målenheter

U T F O R S K SA M M E N

vu

I denne aktiviteten skal dere måle farten til ulike gjenstander som er i bevegelse. Du trenger:

målebånd og stoppeklokke

Mål avstanden mellom to tydelige punkter. Det kan være to lyktestolper langs veien

to trær i skogen

to linjer i gymsalen

to stoler i klasserommet

til

biler, syklister, medelever, trillende baller eller lekebiler

Ku

n

Nå skal du ta tiden på åtte–ti ting som passerer mellom de to punktene. Det kan være

Lag en tabell og før inn resultatene dine: Gjenstand

Avstand i meter

Tid i sekunder

Fart i meter/sekund


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

SI-systemet har bare sju grunnleggende enheter. Andre målenheter er avledet av dem. Det vil si at flere målenheter kan kombineres, og på den måten definerer vi kraft, trykk, energi, effekt osv. For eksempel er målenheten for akselerasjon m=s2 , og målenheten for trykk er pascal (Pa), der 1 Pa ¼ 1 kg=ðm s2 Þ.

g

Sammensatte målenheter er målenheter der vi kombinerer flere enheter.

rd

er in

Puls

vu

Vi måler hjerterytmen i hjerteslag per minutt («beats per minute», bpm). Du kjenner pulsen på innsiden av håndleddet eller på halspulsårene. Du kan telle mens du følger med på klokka. Hvis du teller i 10 sekunder, kan du gange resultatet med 6 siden det er 60 sekunder i et minutt. Du kan for eksempel telle 20 slag på 10 sekunder. Da er pulsen din 6 20 bpm ¼ 120 bpm.

til

Et grovt anslag på hva makspulsen din skal ligge på, er 220 minus din alder. Hva vil da være et anslag på makspulsen din? Hvilepuls er pulsen du har når du hviler eller sover, den kan måles om morgenen før du står opp.

Tenk gjennom!

n

Hvor mye utgjør det på målingen hvis du teller ett slag feil på 10 sekunder sammenliknet med ett slag feil på 15 sekunder?

Ku

78

EK SEMPEL 12 John målte pulsen rett etter en intens treningsøkt. Han telte 33 slag på halspulsåra i løpet av 10 sekunder. Hvor høy var pulsen hans?

Løsning: Vi ganger antall slag i 10 sekunder med 6, ettersom pulsen angis i slag per minutt, altså per 60 sekunder: 33 6 ¼ 198 Pulsen til John var 198 bpm like etter treningsøkta.


Sammensatte målenheter

79

Fart Fart er definert som hvor langt en gjenstand kan bevege seg i løpet av en gitt tidsenhet.

g

strekning tid

er in

Fart ¼

Enheten for fart er en sammensatt enhet. Vi snakker oftest om m=s eller km=t. En katt beveger seg en meter på ett sekund. Hvor mange kilometer vil den da bevege seg på en time? 1 km ¼ 1000 meter

rd

1 time ¼ 60 min ¼ 60 60 s ¼ 3600 s

Hvis katten går 1 m på ett sekund, beveger den seg 3600 m på 3600 sekunder. Vi velger å utvide brøken ved å gange med 3600 over og under brøkstreken for å få 1 time som nevner: 1 m 3600 3600 m 3,6 km ¼ ¼ ¼ 3,6 km=t 1 s 3600 3600 s 1t

vu

1 m=s ¼

Når vi skal gjøre om fra m=s til km=t, ganger vi med 3,6.

til

Når vi skal gjøre om fra km=t til m=s, deler vi på 3,6.

3,6 er et forholdstall som beskriver forholdet mellom m=s og km=t.

n

EKSEMPEL 13

Ku

Johannes har som mål å løpe 5000 m på under 20 min. Hvor fort må han da løpe? Angi farten i km=t.

Løsning: Vi gjør først om 20 minutter til timer: 20 t ¼ 0,33 t 60 strekning 5000 m 5 km Fart ¼ ¼ ¼ 15 km=t tid 0,33 t 0,33 t 20 min ¼

Johannes må løpe raskere enn 15 km=t for å nå målet sitt.

Fart:


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Energibruk

er in

vu

rd

EK SEMPEL 14

g

Vi måler ofte energibruken i kilowattimer ðkWhÞ. Vi beregner energibruken ut fra effekten til det elektriske apparatet og antall timer det elektriske apparatet blir brukt. Effekten måles i kilowatt ðkWÞ. Bruker vi et apparat på 1 kW i én time, bruker vi 1 kWh. Tilsvarende bruker apparatet 2 kWh på to timer.

til

Louis har en 700 W mikrobølgeovn. Han bruker den ca. 5 minutter om dagen. Hvor mye energi bruker mikrobølgeovnen i løpet av ett år?

n

Løsning:

Ku

80

700 W ¼ 0,7 kW For å regne ut antall timer per år, ganger vi bruken per dag med antall dager i året: 5 365 h ¼ 30,4 h 60 0,7 kW 30,4 h 21 kWh Mikrobølgeovnen bruker 21 kWh i løpet av ett år hvis den er i bruk 5 minutter om dagen.


Sammensatte målenheter

81

Internetthastighet I en datamaskin er bit den minste regneenheten. En bit har enten verdien 1 eller 0, for eksempel gitt som magnetisering i en av to retninger eller som måling av spenning eller ingen spenning.

er in

En byte ðBÞ er definert som åtte biter og gir en kombinasjon av åtte ettall eller nuller, for eksempel 01101101. Til å begynne med ble en byte brukt til å beskrive bokstaver og andre tegn. I dag har en gått over til koder på 16 biter eller mer for å få mulighet til å beskrive flere tegn. Mega står for en million, så 1 Mbit=s vil si at en million biter blir overført per sekund.

til

vu

rd

EKSEMPEL 15

Jonas har bestilt bredbånd med hastigheten 150 Mbit=s. b

Hvor mange megabyte kan overføres per sekund? Hvor lang tid tar det å laste ned en film på 1 GB?

Ku

c

Hvor mange biter kan overføres per sekund?

n

a

Løsning: a Det kan overføres 150 000 000 biter per sekund b

150 000 000 bit : 8 bit=byte ¼ 18 750 000 byte 18,75 MB

Det kan overføres 18,75 MB per sekund.

c

Merk 8 bits ¼ 1 byte ¼ 1 B

g

En annen sammensatt enhet er megabit per sekund ðMbit=sÞ.

1 GB 1000 MB ¼ 53 s 18,75 MB=s 18,75 MB=s Det tar 53 sekunder å laste ned 1 GB.


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Oppgaver

b

Hvor mye koster energien til lampa når prisen er 1,20 kr=kWh?

2.28 Mona har bestilt bredbånd med hastigheten 300 Mbit=s. a

Hvor mange biter kan overføres per sekund?

b

Hvor mange megabyte kan overføres per sekund?

c

Hvor lang tid tar det å laste ned en film på 2,7 GB?

d

Hvor stor må hastigheten være for at det skal ta ett minutt å laste ned 1,8 GB?

vu

2.25 Når vinden er oppe i orkan styrke, er vindstyrken 32,6 m=s eller høyere. Hva svarer denne vindstyrken til i km=t?

Hvor mange kilowattimer bruker den på fem arbeidsdager når den er i bruk 6,5 timer om dagen?

rd

2.24 Verdensrekorden på maraton er 2 t 1 min 39 s. Et maratonløp er 42 195 m langt. a Hvor stor fart må man holde for å klare dette? b Kristin trener til Berlin maraton. Hun har som mål å holde et tempo på 5,5 min=km. Hvor lang tid kommer hun til å bruke totalt med dette tempoet?

a

g

2.23 Kine og Michael kjører bil. Kine holder en fart på 65 km=t, mens Michaels fart er 18,5 m=s. Hvem av dem kjører fortest?

2.27 Lucas har en 30 W lyskaster.

er in

2.22 Konrad prøver å finne ut hva hvilepulsen hans er. Han teller 13 slag på 15 sekunder. Hva er hvilepulsen?

n

til

2.26 Malin har et digitalt bilde som er 4128 piksler bredt og 3096 piksler høyt. a Hvor mange piksler består bildet av? b Hvor mange megapiksler består bildet av? c Hvor mange tommer bredt kan bildet være hvis det skal være minst 400 piksler per tomme (PPI)? d En tomme er 2,54 cm. Hvor mange centimeter bredt kan bildet være?

Ku

82

2.29 Når vi måler elektrisk effekt, måler vi hvor mye energi, i joule ðJÞ, som blir overført hvert sekund. Enheten for effekt er watt ðWÞ. 1 W ¼ 1 J=s. a

Hvor mange watt har en varmeovn hvis den gir fra seg 27 000 J på 90 sekunder?

b

Hvor mange kilowatt har en kompressor når den bruker 67,8 MJ på 1,5 timer?

L Æ R I N G S L O G G 2. 3 Hva er en sammensatt målenhet? Forklar med egne ord. Kan du komme på flere sammensatte målenheter enn de som er nevnt i kapitlet? Hvilke sammensatte målenheter bruker du til daglig, og hvilke kan du komme til å bruke i yrket du utdanner deg til?


Det binære tallsystemet

83

2.4 Det binære tallsystemet

g

I en datamaskin er tall, tekst, bilder og lyd digitalisert. Denne informasjonen kan både lagres og overføres mellom ulike enheter. Men hvordan er det mulig? D U S K AL K U N N E lese og skrive et tall i det binære tallsystemet (totallssystemet)

lese og skrive et tall i det heksadesimale tallsystemet (sekstentallssystemet)

U T F O R S K SA M M E N

27

28

25

26

rd

Tabellen viser verdiene til de fem første toerpotensene:

er in

24

23

22

21

20

16

8

4

2

1

Fyll ut resten av tabellen. Hvordan vil dere forklare med ord hvordan tallene endrer seg?

b

Tegn en tabell som nedenfor. Det skal være mange nok rader til at dere får plass til alle tallene fra 1 til 31 i titallssystemet. Skriv alle tall som summer av toerpotenser, slik det er gjort for tallene 7 og 8. Marker med 1 de toerpotensene dere har brukt, og 0 for dem dere ikke har brukt:

vu

a

1 2 ... 7

Sum av toerpotenser

24

23

til

Titallssystemet

8

n

8

4+2+1

1

22

21

20

1

1

1

0

0

0

...

Ku

31

c

d

Let etter mønster i tallene i totallssystemet: Marker ettallene i hver kolonne, for eksempel med ulike farger. –

Ser dere noe mønster i hvor ettallene står i de fem kolonnene?

Hvor mange ettall står det i hver kolonne?

Hvordan ville mønsteret ha fortsatt om vi utvidet med flere kolonner?

Skriv opp fem ulike tall ved hjelp av ettall og nuller (totallssystemet). La de andre finne ut hvilke tall dette er i titallssystemet.

Merk Vi definerer 20 ¼ 1.


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Vi sier at tall og andre tegn lagres i en datamaskin i binærformat. Ordet «binær» kommer fra latin og betyr «to og to». Når noe er binært, har det to deler. I det binære tallsystemet er det to siffer: 0 og 1. Det binære tallsystemet er dermed et totallssystem.

g

En bit er ett siffer i totallssystemet. En byte er en serie på åtte biter. Ofte brukes to byte for å beskrive et tall eller et tegn. Da får det binære tallet 16 siffer.

er in

For å redusere antall siffer når vi skriver det binære tallet, kan vi bruke det heksadesimale tallsystemet. Da blir fire siffer i totallssystemet skrevet med ett siffer. Det heksadesimale systemet er et sekstentallsystem.

Sifrene i det heksadesimale tallsystemet er 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E og F. Her er A ¼ 10, B ¼ 11, C ¼ 12, D ¼ 13, E ¼ 14 og F ¼ 15. Dette henger sammen med at et firesifret tall i det binære tallsystemet er tallene fra 0 til 15.

rd

Merk I det binære tallsystemet skrives tallet 15 fra titallssystemet som 1111.

I titallssystemet bruker vi ti ulike siffer: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. I det binære tallsystemet bruker vi to ulike siffer: 0 og 1.

vu

I det heksadesimale tallsystemet bruker vi 16 ulike siffer: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E og F.

På side 10 ser du en oversikt over plassene i titallssystemet.

til

I titallssystemet viser sifferet på enerplassen antall enere, dvs. antall 100 ð¼ 1Þ. Det neste sifferet står på tierplassen og viser antall tiere, dvs. antall 101 ð¼ 10Þ. Sifferet på hundrerplassen viser antall hundrere, dvs. antall 102 ð¼ 100Þ.

n

104 titusenerplass

Ku

84

102 hundrerplass

101 tierplass

100 enerplass

3

7

5

1

4

0

1

7

2

0

1

103 tusenerplass

375 1401 87 201

8

Totallssystemet er bygd opp på tilsvarende måte. Vi kan for eksempel se på tallet 1011: Det bakerste sifferet gir antall enere (20 ), det neste gir antall toere (21 ), det tredje gir antall firere (22 ), det fjerde gir antall åttere (23 ), osv. 1011 er 1 ener, 1 toer, 0 firere og 1 åtter. I titallssystemet gir dette 1 þ 2 þ 0 þ 8 ¼ 11


Det binære tallsystemet

I titallssystemet

I totallssystemet

8 þ 0 þ 2 þ 1 ¼ 11 8 þ 4 þ 0 þ 1 ¼ 13 16 þ 0 þ 4 þ 2 þ 1 ¼ 23

1011 1101 10111

24 sekstener-plass

23 åtter-plass

22 firer-plass

21 toer-plass

20 ener-plass

1

1 1 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

a

Hvordan skriver vi 38 i det binære tallsystemet?

b

Hvordan skriver vi det binære 101101 i titallssystemet?

er in

EKSEMPEL 16

g

På tilsvarende måte vil tallet 1101 i totallssystemet være lik 8 þ 4 þ 0 þ 1 ¼ 13 i titallssystemet. Videre blir 10111 i totallssystemet det samme som 23 i titallssystemet.

rd

Løsning: a Vi må begynne til venstre i tabellen for å finne den høyeste toerpotensen som skal med. Det blir 25 ¼ 32. Så ser vi hvilke andre toerpotenser vi må ha med for å få 38 til sammen. Det blir 22 ¼ 4 og 21 ¼ 1 fordi 38 ¼ 32 þ 4 þ 2. 27

26

25

24

23

22

21

20

I titallssystemet blir potensene:

128

64

32

16

8

4

2

1

vu

Totallssystemet

38 i totallssystemet er 100110:

0

0

1

0

0

1

1

0

38 ¼ 0 27 þ 0 26 þ 1 25 þ 0 24 þ 0 23 þ 1 22 þ 1 21 þ 0 20 ¼ 32 þ 4 þ 2 ¼ 38 38 er 100110 i det binære tallsystemet. Totallssystemet

27

26

25

24

23

22

21

20

128

64

32

16

8

4

2

1

0

0

1

0

1

1

0

1

til

b

I titallssystemet blir potensene: Det binære tallet er 101101:

Det binære tallet 101101 gir

n

1 25 þ 0 24 þ 1 23 þ 1 22 þ 0 21 þ 1 20 ¼ 32 þ 8 þ 4 þ 1 ¼ 45

Ku

Det binære tallet 101101 er tallet 45 i titallssystemet

Sekstentallssystemet har samme oppbygning: Titallssystemet

Sekstentallssystemet

1¼1 1 9¼9 1 11=11 1 43 ¼ 2 16 þ 11 1 387 ¼ 1 256 þ 8 16 þ 3 1 61 452 ¼ 15 4096 þ 0 256 þ 0 16 þ 12 1

1 9 B 2B 183 F00C

163 4096-plass

F

85

162 256-plass

1 0

161 16-plass

160 ener-plass

2 8 0

1 9 B B 3 C


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

EK SEMPEL 17 Hvordan skriver vi tallet 93 i det binære tallsystemet

b

i det heksadesimale tallsystemet

g

a

Totallssystemet

er in

Løsning: a Vi må begynne til venstre i tabellen og se hvilke tall i totallssystemet vi kan legge sammen for å få 93:

I titallssystemet blir potensene:

27

26

25

24

23

22

21

20

128

64

32

16

8

4

2

1

1

0

1

1

1

0

1

93 i totallssystemet er 1011101:

93 ¼ 1 26 þ 0 25 þ 1 24 þ 1 23 þ 1 22 þ 0 21 þ 1 20 ¼ 64 þ 16 þ 8 þ 4 þ 1

Den høyeste potensen av 16 som finnes i 93, er 161 . 5 16 ¼ 80, så vi setter 5 i kolonnen for 161 . Vi har igjen 93 80 ¼ 13. I sekstentallssystemet er D ¼ 13.

vu

b

rd

93 skrevet i totallssystemet blir 1011101.

Sekstentallssystemet

162

161

160

I titallssystemet blir potensene:

256

16

1

5

D

93 i sekstentallssystemet er 5D:

93 ¼ 5 161 þ 13 160 ¼ 80 þ 13

til

93 skrevet i det heksadesimale tallsystemet blir 5D.

n

Tenk gjennom!

Ku

86

Hvordan skriver vi 22 i det binære tallsystemet og i det heksadesimale tallsystemet? Hva blir det heksadesimale tallet FF i det binære tallsystemet? Hvilket tall i titallssystemet er én høyere enn FF?

Et digitalt hjelpemiddel kan hjelpe deg til å kontrollere at du har regnet rett. I kalkulatoren til Windows kan du velge kalkulatorversjonen «Programmering». Her ser du hvordan tallet 1765 i titallssystemet skrives som 6E5 i det heksadesimale tallsystemet og som 0110 1110 0101 i det binære tallsystemet. Kalkulatoren viser også hva tallet blir i åttetallssystemet, som vi ikke har omtalt her.


Det binære tallsystemet

87

Oppgaver 2.37

g

2.30 Hvilke av disse tallene kan skrives som toerpotenser? 2, 34, 16, 128, 56, 14, 8, 32, 64, 1, 68, 256, 4

er in

2.31 Skriv tallene 64, 65, 66 og 67 som binære tall. 2.32 Skriv disse tallene som binære tall: a

7

b

c

119

221

b

Hvordan skriver vi 58 i det heksadesimale tallsystemet?

rd

2.33 a Hvordan skriver vi 58 i det binære tallsystemet?

a

0101

c

0000 1011

En IP-adresse er delt opp i fire grupper med tall. Vi regner hver gruppe av siffer for seg. I hver gruppe er det åtte siffer i det binære tallsystemet, slik at det binære tallet dermed kan gå fra 0000 0000 til 1111 1111. Det gir tallene fra 0 til 255 i titallssystemet. 255 er det største binære tallet som har åtte siffer.

b

0111

d

1001 0101

(28 ¼ 256 har ni siffer: 100 000 000.)

vu

2.34 Skriv disse binære tallene i titallssystemet og i det heksadesimale tallsystemet:

2.35 Gjør om disse heksadesimale tallene til titallssystemet:

Gjør om disse to IP-adressene til binære tall og til heksadesimale tall:

a

3B

b

C7

14

a

192.168.53.8

d

0B

b

192.168.2.11

til

c

Gjør om disse binære verdiene til tall i titallssystemet: c

1100 0000:1010 1000:1100 1001:0001 0001

a

d

1100 0000:1010 1000:0100 1110:0000 1111

8

c

835

28

d

1035

Ku

b

n

2.36 Skriv disse tallene fra titallssystemet som heksadesimale tall:

L Æ R I N G S L O G G 2. 4 Hvorfor bruker datamaskinene det binære tallsystemet? Velg deg to ulike tall i titallssystemet vårt og skriv dem i det binære tallsystemet og i sekstentallssystemet.


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

H V A HA R J E G LÆ R T ? Som hjelp til å komme i gang kan dere lese læringsloggene 2.1, 2.2, 2.3 og 2.4 og se over «regelboksene» i kapitlet.

Stemmer påstandene?

4

20 m=s er samme fart som 49,6 km=t.

Avgjør om påstandene nedenfor stemmer. Sørg for at du kan forklare hvorfor de stemmer eller ikke.

5

Areal kan måles i mm2 , cm2 , dm2 , m2 og km2 .

6

Hvis du teller 17 pulsslag på 10 sekunder, er pulsen på 102 bpm.

2

1 g og 0,01 kg er samme masse.

3

1 L og 1 dm3 er samme volum.

Prosjekt nettside

til

Gruppa di har fått i oppdrag å lage en nettside for en ideell miljøvernorganisasjon.

Antall megabyte

Gå sammen i grupper og drøft hvilke elementer nettsiden kan ha.

n

1

2

er in

rd

1 mm og 0,1 cm er samme lengde.

7

En hastighet på 30 Mbit=s gjør at vi kan overføre litt over 0,3 GB på ett og et halvt minutt.

vu

1

g

Gå sammen i par og lag en liste eller et tankekart over de viktigste matematiske ideene og metodene dere har lært i kapitlet. Prøv også å få med stikkord om hva ideene og metodene kan brukes til – i dagliglivet eller i ditt framtidige yrke. Del ideene med resten av klassen.

Nettsiden skal til sammen ha 2 GB lagringsplass. Hvilke elementer kan det gi plass til?

Ku

88


Test deg selv

89

Test deg selv

Gjør om 14 km til meter.

c

Gjør om 124 m til desimeter.

a

Hvor mange timer er det i ett år?

b

Hvor stor effekt i watt ðWÞ blir et forbruk på 20 000 kWh hvis vi antar lik energibruk hele året?

2.39 a Gjør om 12 kg til gram.

c

Gjør om 125 mg til gram.

c

Gjør om 3 tonn til kilogram.

2.40 a Gjør om 0,4 dl til liter. b

Gjør om 46 ml til centiliter.

c

Gjør om 38 cl til desiliter.

2.45 a Hvordan skriver vi 61 i titallssystemet i det binære tallsystemet? b

Hvordan skriver vi 61 i titallssystemet i det heksadesimale tallsystemet?

vu

2.41 a Gjør om 367 cm2 til kvadratdesimeter.

Hvor mange kilowattimer sparer man i løpet av ett døgn hvis man skrur av 1500 W?

rd

b

g

b

2.44 En norsk enebolig bruker i gjennomsnitt 20 000 kWh per år.

er in

2.38 a Gjør om 3 cm til millimeter.

b

Gjør om 0,045 km2 til kvadratmeter.

c

Gjør om 4500 mm2 til kvadratcentimeter.

til

2.42 a Gjør om 2 dm3 til kubikkcentimeter.

Gjør om 0,012 m3 til kubikkdesimeter.

c

Gjør om 3600 L til kubikkmeter.

n

b

Ku

2.43 Vindstyrken som kalles «full storm», ligger mellom 24,5 m=s og 26,5 m=s. Hva blir verdiene hvis vi oppgir vindstyrken i km=t?

c

Gjør om tallet 4D2 fra det heksadesimale tallsystemet til titallssystemet.

2.46 Alex har kjøpt seg ny PC med lagringsplass på 200 GB. Han tenker å bruke 150 GB til lagring av videofilmer. I leiligheten sin har han bredbåndhastighet 60 Mbit=s. a

Hvor mange megabyte kan han laste ned på ett sekund?

b

Hvor mange GB kan han laste ned på ett minutt?

c

For å anslå hvor mye videofilm han kan lagre, lager han en film på 15 sekunder. Den får størrelse 34 640 kB. Omtrent hvor mange timer film vil han kunne lagre på 150 GB?


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Aktiviteter

g

Tilbake til start 2.1 Å velge riktig Internett-fart

er in

De ønsker ikke å betale mer enn nødvendig, samtidig som de vil at alle i familien skal ha mulighet til å strømme film, musikk og annet de liker, uten at de skaper problemer for hverandre. De trenger derfor hjelp til å vurdere hvilken strømmehastighet de trenger på Internettet. Del 1 Forklar hva vi mener med Mbit=s.

rd

Del 2 Undersøk hvor mange Mbit=s nedlasting av film og musikk krever. Del 3 Vurder hvor mange trådløse enheter familien kommer til å ha.

vu

I introduksjonen til dette kapitlet skulle en familie på fem personer ha hjelp til å velge nettleverandør og riktig strømmehastighet.

til

Del 4 Kom med en anbefaling til familien.

n

2.2 Lagringskapasitet

Ku

90

Undersøk hvor stor lagringsplass lydfiler, bilder og videofilmer krever på din mobiltelefon. Hvor mange bilder har du plass til? Hvor mange minutter med lydfiler har du plass til? Hvor mange minutter med film kan du lagre?

2.3 Målenheter på utdanningsprogrammet Gi en beskrivelse av ulike målenheter som brukes i forbindelse med utdanningsprogrammet «Informasjonsteknologi og medieproduksjon».

2.4 Omgjøringsprogram Finn eksempler på ulike enheter som uttrykker samme fenomen, for eksempel at både centimeter og millimeter beskriver lengde. Lag et program i Python eller et oppsett i et regneark, der du kan legge inn en størrelse og få programmet/ regnearket til å gjøre om størrelsen til en annen enhet.


Aktiviteter

2.5 Nedlastingstid

2.7 Kameraegenskaper

Undersøk hvor lang tid det faktisk tar å laste ned en film på PC-en din.

Ta utgangspunkt i disse to kameraene eller andre kameraer du kjenner til. Lag en presentasjon som forklarer hva som er likt og ulikt med disse kameraene, og hvordan det påvirker bildekvaliteten og lydkvaliteten.

g

Hvor mange megabyte laster du ned på ett minutt?

Kamera 1

Kamera 2

Maksimal bildeoppløsning

6000 4000

4608 3456

Maksimal videooppløsning

4K/Ultra HD

3840 2160

Megapiksler

24,1

16,1

Bildefrekvens video

24 p

30 p

MP4 (AVC/H.264)

MOV (AVC/H.264)

Type kombinasjonsjakk (ut)

3,5 mm

Type mikrofon (inn)

3,5 mm

Lukkertid for sensor

32–1/4000

60–1/4000

12 800

25 600

100

100

er in

2.6 Tidsforkorting

rd

Videoformat

Maksimal ISO

vu

I film med tidsforkorting ser tiden ut til å gå raskere fordi bildene blir vist i et raskere tempo enn de er tatt i. Velg noe du ønsker å lage en tidsforkorting av, for eksempel muffins som steikes i en ovn, en solnedgang eller en framstilling av en tegning.

til

Bestem antall minutter motivet skal fotograferes, og hvor mange sekunder eller minutter det skal gå mellom hvert bilde du tar i denne perioden. Hvor lenge skal tidsforkortingen vare?

n

Hvor mange bilder må du da ha i sekundet under avspilling av filmen?

Ku

91

Minimal ISO

2.8 Mikrofonegenskaper Finn fram spesifikasjonene for en mikrofon og gi en presentasjon av hva informasjonen forteller.


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Oppgaver

Lengde 4,8 m ¼ . . . cm

. . . cm ¼ . . . dm

. . . km ¼ . . . m

3

Videofilmene krever 130 MB, 1,56 GB, 350 MB, 0,22 GB og 0,35 GB. Hvor mye lagringsplass krever videoene til sammen?

7

8

0

7

5

0

0

0

g

dg

cg

mg

6

7

5

L

dl

cl

ml

2

5

4

5

0

2.53 Fyll ut det som mangler i tabellen: Masse

kg

hg

(dag)

8

9

85,6 g ¼ . . . kg 29 mg = . . . g

vu

b

dm cm mm

¼ ... m

rd

2.48 a Mohammed har fem videoopptak på 48 s, 0,2 timer, 3 min, 128 s og 2,5 min. Hvor lang tid tar opptakene til sammen?

m

99 mm ¼ . . . cm

1 mil

Sammenlikn og se om dere har tegnet den samme figuren.

mil km (hm) dam

er in

2.47 Uten å løfte blyanten fra arket skal du begynne langt nede på et ark og dra en strek 10,4 cm opp, 58 mm til høyre, 0,43 dm ned, 7,8 cm mot venstre, 6,1 cm ned og 2,0 cm mot høyre.

g

2.52 Fyll ut det som mangler i tabellen:

2.1 Målenheter

. . . kg ¼ . . . g 4500 g ¼ . . . kg

til

2.49 Sivert har en boks med motstander med resistansene 100 , 300 og 1,1 k . Hvordan bør han kombinere motstandene for å lage en seriekopling med totalresistans 2,9 k ?

n

2.50 a Skriv 650 milligram med gram som enhet. b

Skriv 7 desiliter med liter som enhet.

c

Skriv 42 kilometer med meter som enhet.

Ku

92

2.51 a Hvor mange minutter er to timer og et kvarter? b

Hvor mange timer er 240 minutter?

c

Hvor mange sekunder er det i 5 minutter?

d

Hvor lang tid går det mellom kl. 09.30 til kl. 11.45?

... g

¼ . . . mg

2.54 Fyll ut det som mangler i tabellen: Volum 25 dl

(kl) ¼ ... L

hl

(dal)

38,4 cl ¼ . . . dl . . . ml ¼ . . . cl 2,5 hl ¼ . . . L . . . dl ¼ . . . hl

2

5

5


Oppgaver

1200 m þ 2,50 km

d

1000 mg þ 5,0 g

b

34 mm þ 1,7 cm

e

4,5 L þ 25 dl

c

350 g þ 0,050 kg

f

340 ml þ 53 cl

2.56 En dag kom Laila i barnehagen kl. 07.45. Kl. 15.15 ble hun hentet.

b

Hvor mange kvadratcentimeter er 0,5 kvadratmeter?

c

Hvor mange kvadratmillimeter er 10 kvadratcentimeter?

2.62 a Hvor mange kubikkcentimeter er 1,5 kubikkdesimeter?

Hvor lenge var Laila i barnehagen den dagen?

b

2.57 a Hvor mange watt (W) er 1 MW? En kondensator har kapasitansen 12 mF (mikrofarad). Gjør om til millifarad.

c

Hvor mange kubikkcentimeter er 2 kubikkmeter? Hvor mange kubikkmeter er 2000 kubikkdesimeter?

rd

b

g

a

2.61 a Hvor mange kvadratdesimeter er 2 kvadratmeter?

er in

2.55 Legg sammen:

2.63 To naboer sammenlikner tomtene sine. Den ene sier at arealet av tomta hans er 1500 m2 . Naboen sier at tomta hans er 15 000 000 cm2 , og at de to tomtene er like store. Har han rett?

vu

2.58 En engelsk mil er gitt ved 1 mile ¼ 1609,344 m. Hvor mange engelske mil er det i én mil?

til

2.2 Målenheter for areal og volum

n

2.59 Arbeidsplassen til Vegard er på 6,0 m2 . Han har et skrivebord som er 110 cm bredt og 220 cm langt, noe som gir et areal på 24 200 cm2 .

Ku

Hvor stort areal disponerer han utover det?

2.60 Noah trenger 1 liter frostvæske og har funnet fem flasker som inneholder 2 dl, 350 ml, 1,2 dl, 0,15 liter og 12 cl. Har han nok?

93

2.64 Susanne har regnet ut at en server med lengde 600 mm, bredde 1070 mm og høyde 1867 mm har et volum på 1 198 614 000 mm3 . Hvor mange kubikkmeter svarer det til?

2.65 En drikkekartong har et volum på 4,5 dl, og en annen kartong har volumet 330 ml. Hvilken kartong har størst volum?

2.66 a Hvor mange kubikkmeter er 2 300 000 cm3 ? b

Hvor mange kubikkcentimeter er 3500 mm3 ?

c

Hvor mange kubikkdesimeter er 3,2 m3 ?


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

2.67 Legg sammen arealene: 1 m2 þ 2500 dm2

b

500 cm2 þ 4,0 dm2

c

1,000 km2 þ 1000 m2

c

1 dm3 þ 1 L

1 000 000 cm3 þ 1 m3

b

1,5 dm3 þ 1000 cm3

er in

2.68 Legg sammen volumene: a

2.73 A-format er en spesiell form på papirark. Et A0-ark måler 1 m2 . Arkets form er slik at om vi deler det i to, får vi to ark med samme form, men med halve størrelsen, A1. A2-ark er halvparten av A1, osv. Hvor mange kvadratcentimeter er et A4-ark?

g

a

450 000 m2 þ 2,70 km2

b

6,30 cm2 þ 850 mm2 þ 0,0045 dm2

c

750 dm2 þ 9,8 m2

A2

A2

A1

A2

A2

rd

a

A1

A0 1 m2

2.69 Legg sammen arealene:

2.3 Sammensatte målenheter 2.74 Ella målte pulsen sin. Hun talte 16 slag på halspulsåra i løpet av ti sekunder. Hva var pulsen hennes? Gi svaret i «beats per minute», bpm.

vu

2.70 Barna i barnehagen tegner kort, der hvert kort skal ha et areal på 200 cm2 . Kortene skal skjæres ut av et stykke kartong på 1 m2 .

til

Hvor mange kort er det mulig å få av denne kartongen?

n

2.71 Line kjøper tøy for å sy en duk og seks servietter. Arealet av duken skal være 1,44 m2 , og hver serviett skal ha et areal på 1200 cm2 . Hvor mye stoff trenger Line til sammen?

Ku

94

2.72 1 mm nedbør betyr et lag med 1 mm vann på en horisontal flate. Hvis det en dag faller 1 mm nedbør, hvor mange liter utgjør det på en fotballbane på 7350 m2 ?

2.75 Jørgen jobber med IT-støtte og bruker i gjennomsnitt 11 minutter på hver person han hjelper. Hvor mange kunder rekker han å hjelpe i løpet av en arbeidsdag på 7,5 timer?

2.76 Oliver kjørte 2400 meter på 120 sekunder. Finn farten målt i kilometer per time ðkm=tÞ. 2.77 En bil kjører med farten 54 km=t. Hva er farten i meter per sekund ðm=sÞ?


Oppgaver

2.79 Gro brukte 5 t 10 min på en biltur fra Ålesund til Lillehammer. Dette er en strekning på 365 km.

2.82 Skriv alderen din i det binære og i det heksadesimale tallsystemet.

g

Hvor mange milliliter tran må vi ta hver dag for å dekke dagsbehovet?

2.4 Det binære tallsystemet

2.83 Skriv fødselsåret ditt i det binære og i det heksadesimale tallsystemet.

er in

2.78 Tran inneholder blant annet vitamin D. Det er 2 mg=ml vitamin D i tran, det vil si 2 mikrogram vitamin D per milliliter tran. Det anbefales at vi tar 10 mg vitamin D hver dag.

2.84 Skriv de ti neste tallene i denne tallfølgen: 1, 2, 4, 8, 16, . . .

Hvor stor gjennomsnittsfart holdt hun på turen?

2.85 Skriv tallene 40, 41, 42 og 43 som binære tall.

rd

2.80 Luna pusser opp stua i huset sitt. Hun har regnet ut at arealet av veggene er ca. 55 m2 . Hun må male to strøk. På malingsspannet står det at vi kan regne med et malingsforbruk på 8 m2 =L.

2.86 Skriv disse tallene fra titallssystemet som binære tall:

vu

a

Hvor mange liter maling trenger hun?

b

Malingen selges i spann på 2,7 L og 1 L. Hvor mye maling bør hun kjøpe?

til

2.81 Et hustak er bygd for å tåle en viss mengde snø. Gammel snø veier ca. 300 kg/m3 , mens våt snø veier ca. 400 kg=m3 .

n

Et hustak er bygd for å tåle 250 kg=m3 .

Ku

Hvor stor snødybde med gammel snø kan taket tåle? Og hvor stor dybde med våt snø?

95

a

b

14

c

217

1456

2.87 a Hvordan skriver vi 128 fra titallssystemet i det binære tallsystemet? b

Hvordan skriver vi 128 fra titallssystemet i det heksadesimale tallsystemet?

2.88 Skriv disse binære tallene i titallssystemet og i det heksadesimale tallsystemet: a

0011

c

0100 1111

b

0000 0101

d

1011 0111

2.89 Gjør om disse heksadesimale tallene til titallssystemet: a

B2

b

38

c

4D

d

F0

7850

d

12 314

2.90 Skriv som heksadesimale tall: a

78

b

156

c


KAPITTEL 2 – MÅLENHETER

Titallssystemet

2.91 Sammenhengen mellom binære og heksadesimale tall:

Heksadesimale tall

162

Titallssystemet

256 128

26

25

24

23

22

21

161 64

32

16

20 160

8

4

2

0 + 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 93 128 64

1

Vi ser at 20 ¼ 160 , 24 ¼ 161 og 28 ¼ 162 . Når vi går fra totallssystemet til sekstentallssystemet, vil dermed de fire første sifrene i totallssystemet gi tallet på enerplassen i sekstentallssystemet, de fire neste sifrene gir tallet på sekstenerplassen i sekstentallssystemet, osv.

16

8

27

26

25

24

23

0

1

0

1

1

4

2

1

22

21

20

1

0

1

0 + 22 + 0 + 20 = 4+1=5

23 + 2 2 + 0 + 2 0 = 8 + 4 + 1 = 13

5D

Det heksadesimale tallsystemet

Det binære tallsystemet

rd

Tallet 93 i titallssystemet er 0101 1101 i totallssystemet. Hvis vi deler sifrene i grupper på fire og fire, kan vi skrive 0101 og 1101. Vi gjør om til titallssystemet: 0101 er 5, 1101 er 13, og i sekstentallssystemet er 5 og 13 lik 5 og D.

32

g

28

er in

27

Binære tall

a

Bruk systemet ovenfor og utvid tabellen til å omfatte tallene i titallssystemet til og med 33.

b

Bruk samme metode til å gjøre om fra binære til heksadesimale tall:

vu

Tallet 0101 1101 i totallssystemet er altså det samme som 5D i sekstentallssystemet.

1 0000 0000 1 0000 1000 1 1000 0000 1 1110 1000

Titallssystemet

til

Denne tabellen kan hjelpe deg til å se mønsteret mellom de ulike tallsystemene. Det binære tallsystemet

Det heksadesimale tallsystemet

Titallssystemet

Det binære tallsystemet

Det heksadesimale tallsystemet

0000 0000

00

11

0000 1011

0B

1

0000 0001

01

12

0000 1100

0C

2

0000 0010

02

13

0000 1101

0D

3

0000 0011

03

14

0000 1110

0E

n

0

Ku

96

4

0000 0100

04

15

0000 1111

0F

5

0000 0101

05

16

0001 0000

10

6

0000 0110

06

17

0001 0001

11

7

0000 0111

07

18

0001 0010

12

8

0000 1000

08

19

0001 0011

13

9

0000 1001

09

20

0001 0100

14

10

0000 1010

0A

21

0001 0101

15


Oppgaver

Blandede oppgaver

2.93 Mads har en 3,0 GB minnepinne og skal laste ned filmer fra kameraet sitt. Han har lastet ned en film på 1 min 30 s som krever 184 512 kB. Hvor mange minutter med video kan han lagre på minnepinnen?

b

Hvor mange gigabyte trenger han for å lagre to timer med film?

g

a

er in

2.92

rd

2.94

Før du gjør denne oppgaven, bør du ha gjort oppgave 2.37.

Første adresse i IP-nettet, 192.168.1.0, er adressen til selve nettet vårt. Skriv denne adressen med binære tall.

n

Ofte vil den første brukbare adressen, 192.168.1.1, settes på ruteren i nettverket. Skriv denne adressen med heksadesimale tall.

Ku

b

til

vu

Når vi kopler en PC til et nettverk, må vi oppgi en IP-adresse, for eksempel 192.168.1.12. Videre oppgir vi en subnettmaske, for eksempel 255.255.255.0. Subnettmasken forteller hvor stort nettverket vårt er. Antall biter i masken som inneholder sifferet 0, avgjør størrelsen på nettet vårt. Siden vi kan skrive tall opp til 255, vil det si at det er åtte biter i masken, og at det er 256 adresser i nettet. Disse adressene går fra 192.168.1.0 til 192.168.1.255. a

c

Den siste adressen, 192.168.1.255, er reservert for sending. Sendes noe til denne adressen, vil alle maskiner i nettet motta informasjonen. Skriv adressen med heksadesimale tall.

97

I 2019 rapporterte Statnett SF at de rundt om i hele landet hadde fått henvendelser om planlegging av datasentre og spørsmål om kapasitet for tilknytning til strømnettet. Alle henvendelsene utgjorde samlet en effekt på litt under 7000 MW (kilde: Teknisk Ukeblad). a

Hvor mange kilowatt ðkWÞ er 7000 MW?

b

Hvor mange kilowattimer ðkWhÞ vil en slik effekt gi i energibruk over et døgn?

c

Hvor mange terawattimer ðTWhÞ svarer det til i løpet av et år?

d

Hvor mange terawattimer vil energibruken bli hvert år hvis bare halvparten av prosjektene blir realisert, og de bare gjør bruk av halvparten av den forespurte effekten?


g

Ku

n

til

vu

rd

er in

3

INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA


g er in

Undersøkelse om søvnvaner og kosthold

På en skole ønsker de å kartlegge søvnvaner og kosthold hos elevene. Spørreundersøkelsen skal være anonym. For å kunne ta på deg oppdraget må du kunne utarbeide en spørreundersøkelse og behandle dataene i ettertid.

vu

rd

I aktivitet 3.1 kan du prøve deg på oppdraget.

Kapitteloversikt

I 3.1 Å lese tabeller og diagrammer lærer du hvordan du kan innhente data fra ulike tekster, tabeller og diagrammer.

til

I 3.2 Innhente og sortere data lærer du hvordan du gjør undersøkelser, og får oversikt over funnene dine i en frekvenstabell.

Ku

n

I 3.3 Å lage en grafisk presentasjon lærer du hvordan du kan presentere funnene dine visuelt i ulike diagrammer.

I 3.4 Sentralmål og spredningsmål lærer du hvordan du kan tolke og bearbeide data fra ulike undersøkelser. I 3.5 Store datasett lærer du strategier for å behandle et stort datamateriale.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

innhente data og behandle store datasett, gjøre beregninger og lage formålstjenlige framstillinger av resultatene og presentere dem


100 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.1 Å lese tabeller og diagrammer

D U S K AL K U N N E

er in

g

Både i skolehverdagen og i ditt framtidige yrke må du forholde deg til informasjon i tekst, tabeller og ulike diagrammer. Tenk bare på timeplanen din. Den er satt opp i en tabell som gjør det enkelt å finne ut hva som skjer til ulike tidspunkter gjennom uka. Hvilke diagrammer har du møtt i utdanningsprogrammet så langt?

lese tabeller

lese søyle-, sektor- og linjediagrammer

vurdere grafiske framstillinger kritisk

rd

U T F O R S K SA M M E N

vu

Diagrammet gir et eksempel på hvordan plasseringen av tilgangspunktet og valget av kanaler kan påvirke signalet i et trådløst nettverk. Studer diagrammet sammen. Skriv tre setninger som sammenfatter noe av informasjonen på diagrammet. Del setningene med resten av klassen. KB/s

til

1800

1600

A

1400

Ku

n

1200

D

100

E

800

B

A

5 GHz en etasje ned

B

5 GHz to etasjer ned

C

5 GHz tre etasjer ned

D

5 GHz 256 kryptert 1 etasje ned

E

5 GHz 256 kryptert 2 etasjer ned

F

5 GHz 256 kryptert 3 etasjer ned

C

600 400 200 F

Tid (Kilde: dinside.no)


Å lese tabeller og diagrammer 101

Hensikten med en grafisk framstilling er å gi et visuelt inntrykk av hvordan datamaterialet fordeler seg.

er in

Du må huske å lese nøye informasjon og forklaring som følger tabellene og diagrammene, det kan være avgjørende for å forstå hva de forteller.

g

Når du skal lese et stort tallmateriale, er det vanskelig å få med seg alt hvis det hele er presentert som en lang tekst. Det er lettere å lese en tabell eller et diagram.

Tabeller

rd

En tabell består av vannrette rader og loddrette kolonner med overskrifter. Når vi skal lese informasjon fra en tabell, ser vi hvor raden og kolonnen vi er interessert i, møter hverandre.

Bergen Bergen

Lillehammer Lillestrøm

Lillehammer

Lillestrøm

Mo i Rana

Molde

Nordkapp

8 h 22 min

7 h 04 min

8 h 13 min

18 h 14 min

8 h 41 min

36 h 46 min

5 h 17 min

19 h 52 min

12 h 47 min

38 h 25 min

2 h 30 min

12 h 49 min

5 h 19 min

31 h 22 min

14 h 43 min

7 h 44 min

33 h 16 min

11 h 22 min

18 h 35 min

485 km

7 h 33 min

443 km

479 km

505 km

349 km

167 km

1135 km

1298 km

818 km

954 km

n

Mo i Rana

Kristiansand

til

Kristiansand

vu

Denne avstandstabellen viser avstand i kilometer og reisetid med bil mellom noen byer i Norge. Cellene over de grå feltene i diagonalen viser reisetid. Under vises avstand.

456 km

798 km

323 km

487 km

697 km

Nordkapp

2311 km

2474 km

1994 km

2130 km

1177 km

Ku

Molde

For å finne ut hvor langt det er fra Bergen til Lillehammer, og hvor lang tid det tar å kjøre strekningen, ser du hvor radene og kolonnene til disse byene møtes. Du ser at avstanden er 443 km, og at det vil ta i overkant av sju timer å kjøre strekningen.

29 h 55 min 1873 km


102 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

EK SEMPEL 1 Shirin har laget seg en tabell som gir henne svar på regnestykker fra 1 20 til 8 28 . 20

21

22

23

24

25

1

1

2

4

8

16

32

2

2

4

8

16

32

64

3

3

6

12

24

48

96

192

384

768

4

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

5

5

10

20

40

80

160

320

640

1280

6

6

12

24

48

96

192

384

768

1536

7

7

14

28

56

112

224

448

896

1792

8

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

b

Kontroller svaret i a.

c

Bruk tabellen til å faktorisere 320.

21

22

23

vu

20

g

28

64

128

256

128

256

512

24

25

26

27

28

1

1

2

4

8

16

32

64

128

256

2

2

4

8

16

32

64

128

256

512

3

3

6

12

24

48

96

192

384

768

4

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

5

5

10

20

40

80

160

320

640

1280

6

6

12

24

48

96

192

384

768

1536

til

Ku

n

a

27

er in

Bruk tabellen til å finne svaret på 3 24 .

rd

a

Løsning:

26

7

7

14

28

56

112

224

448

896

1792

8

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

Vi finner det tallet potensen skal ganges med, i de vannrette radene, og riktig potens i de loddrette kolonnene. Svaret ligger der den tredje raden møter den femte kolonnen: 3 24 ¼ 48

b

3 24 ¼ 3 2 2 2 2 ¼ 48

c

Vi finner svaret der den femte raden møter den sjuende kolonnen: 320 ¼ 5 26 ¼ 5 2 2 2 2 2 2

Tenk gjennom! Hvordan kunne du primtallsfaktorisert 512 ved hjelp av tabellen?


Å lese tabeller og diagrammer 103

Søylediagram

er in

Søylediagrammet nedenfor viser resultatet av en matematikkprøve i en klasse: Antall elever 4 3

1

3

4

5

6

Karakter

vu

2

rd

2

1

Karakterene er gitt langs den vannrette aksen, og antall elever som har fått de ulike karakterene, er gitt langs den loddrette aksen.

til

Høyden på søylen over karakteren 5 viser at det var tre elever som fikk karakteren 5. Karakteren 3 har den høyeste søylen. Ut fra det kan vi si at flest elever fikk karakteren 3. Antall elever

n

4 3

Ku

2 1

1

2

g

Et søylediagram viser oss tydelig størrelsesforholdene mellom ulike kategorier av data. Når du skal lese et slikt diagram, ser du først på overskriften. Deretter legger du merke til enhetene både på den vannrette og den loddrette aksen.

3

4

5

6

Karakter

Hvis vi summerer høydene på søylene, ser vi at det er 1 þ 2 þ 4 þ 3 þ 3 þ 2 ¼ 15 elever i klassen.


104 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

EK SEMPEL 2 Søylediagrammet viser prosentandelen i ulike aldersgrupper som brukte elektroniske spill i 2018: Prosent

g

90 80

er in

70 60 50 40 30 20 10

Alder

rd

9– 12 13 år –1 5 16 år –1 9 20 år –2 4 år 25 –3 4 år 35 –4 4 år 45 –5 4 år 55 –6 6 67 år –7 9 år

0

(Kilde: http://www.medienorge.uib.no/statistikk)

a

vu

I hvilken aldersgruppe er det vanligst å bruke elektroniske spill?

b

Hvor stor andel i aldersgruppa 45–54 år bruker elektroniske spill?

Løsning:

Prosent

90

høyest

80

til

70

60

50

30 20 10 0

9– 12 13 år –1 5 16 år –1 9 20 år –2 4 år 25 –3 4 år 35 –4 4 år 45 –5 4 år 55 –6 6 67 år –7 9 år

Ku

n

40

Alder

a

Den høyeste søylen viser at det er flest i aldersgruppa 13–15 år som bruker elektroniske spill.

b

Søylen over 45–54 år viser at det er ca. 19 % i denne aldersgruppa som bruker elektroniske spill.


Å lese tabeller og diagrammer 105

Sektordiagram

D A

C

er in

Sektordiagrammet i margen viser hvilken verdensdel innvandrere til Norge og norskfødte med innvandrerforeldre kommer fra (kilde: ssb.no, 2019). Hele sirkelflaten representerer 944 000 personer.

Landbakgrunn for innvandrere i Norge 2019

g

Et sektordiagram (sirkeldiagram) er delt inn i sektorer eller «kakestykker». Sektordiagrammet gir en oversikt over hvor stor del de ulike kategoriene utgjør av en helhet. Når du skal lese et sektordiagram, sammenlikner du størrelsen på de ulike sektorene. Det blir gjerne brukt ulike farger eller mønstre for å skille de ulike kategoriene.

B

A Europa

Den blå sektoren er den største og forteller oss at det kommer flest fra Europa. Vi kan anslå at dette gjelder nesten halvparten, om lag 450 000 personer.

til

vu

EKSEMPEL 3

Marina går på en skole med 1079 elever. Hun har gjennomført en spørreundersøkelse om hvor ofte elevene sjekker telefonen sin i løpet av dagen. 360 elever har oppgitt at de sjekker telefonen mer enn 50 ganger per dag. Hvor stor del av sirkelen utgjør dette?

Ku

b

Om lag hvor mange elever sjekker telefonen ti til tjue ganger om dagen?

n

a

Løsning: a

b

C Asia

D Afrika

rd

For å anslå hvor stor del som kommer fra Asia, må vi studere den grønne 1 sektoren. Den utgjør om lag av hele diagrammet, rundt 300 000 personer. 3

B Nord-, Sør- og Mellom-Amerika

1 av elevene som sjekker telefonen ti til tjue ganger om dagen: 4 1 1079 270 4 Om lag 270 elever sjekker telefonen ti til tjue ganger om dagen. Det er omtrent

360 1 0,33 1079 3 1 Om lag av elevene sjekker telefonen mer enn femti ganger om dagen. 3

3 til 10 ganger Daglig

Mer enn 50 ganger

10 til 20 ganger

20 til 50 ganger


106 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Linjediagram og andre grafer Et linjediagram egner seg godt til å vise en størrelse som varierer over tid. Den vannrette aksen viser tiden, og den loddrette aksen viser antallet. Linja eller kurven viser sammenhengen mellom antallet og tiden som har gått.

Prosent

er in

3,0

g

Emma har de siste årene vært et populært navn i Norge. Linjediagrammet nedenfor viser hvor stor del av jentene som har fått navnet Emma i perioden 1880–2018:

2,5 2,0 1,5 1,0 0,5

1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 Årstall

vu

rd

Vi kan se at nesten ingen jenter fikk navnet Emma i perioden 1945–1970. Toppunktet på kurven forteller oss hvilket år andelen jenter som fikk navnet Emma, hadde høyest verdi. Det er like etter år 2000. Det er tjue år mellom hvert årstall på den vannrette aksen, men diagrammet er ikke detaljert nok til å avgjøre nøyaktig hvilket år dette er.

EK SEMPEL 4

Diagrammet viser prosentandelen i ulike aldersgrupper som brukte Internett til å bestille reiser eller opphold i perioden 2013–2019: Prosentandel

til

100

C B A D

90 80

E

Ku

n

70 60 50

F

40

G

30 20 10 2013 A E

2014

16–24 år 55–64 år

B F

2015

2016

25–34 år C 65–74 år G

2017

2018

35–44 år D 75–79 år

2019 År 45–54 år


Kommenter hva diagrammet forteller.

b

Hvilken aldersgruppe hadde høyest andel som handlet reiser på nett i 2015?

c

Hvilken aldersgruppe har hatt størst økning i å handle reiser på nett i perioden 2016–2019?

er in

a

Løsning: Prosentandel 100

høyest andel i 2015

C B A D

90 80

E

70

rd

60 50

F

40

20 10 2013

c

25–34 år C 65–74 år G

2017

2018

35–44 år D 75–79 år

2019 År

45–54 år

Diagrammet viser blant annet at andelen som har handlet reiser på nett, har økt i perioden. Alle aldersgrupper har høyere andel i 2019 enn i 2013. Diagrammet viser også at det er stor forskjell på de ulike aldersgruppene, og at de eldste handler minst på nettet.

I 2015 var det aldersgruppa 25–34 år som hadde høyest andel som handlet reiser på Internett.

Ku

b

B F

2016

n

a

16–24 år 55–64 år

2015

til

A E

2014

G

vu

størst prosentvis økning

30

g

Å lese tabeller og diagrammer 107

I perioden 2016–2019 har aldersgruppa 75–79 år hatt størst økning i andelen som handler reiser på nettet. Der har andelen økt fra ca. 12 % til ca. 35 %.


108 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Kritisk lesing av diagrammer Når du skal lese diagrammer, bør du først legge merke til hvilke enheter aksene har. Deretter ser du etter om den loddrette aksen begynner på null, eller om den starter på en høyere verdi. I det siste tilfellet sier vi at aksen er kuttet. Ved å kutte aksen vil diagrammet endre utseende og dermed gi oss en annen oppfatning av hva tallene viser, enn om aksen ikke hadde vært kuttet.

g

Merk Hvis den loddrette aksen er kuttet, trenger det ikke være fordi en ønsker å forvirre leseren. Det kan hende at en ønsker å få fram små variasjoner i store tall, og da er ikke tallene nær null så interessante.

er in

Begge diagrammene nedenfor viser veksten i timelønna til Iris fra 2005 til 2019. Diagrammet til venstre gir inntrykk av en stor lønnsvekst, mens diagrammet til høyre gir inntrykk av at timelønna har økt nokså lite. Egentlig viser diagrammene nøyaktig samme vekst. Vær derfor oppmerksom på at grafiske framstillinger kan gi et skjevt bilde av virkeligheten.

Kr

Kr

160

121

140

rd

122 120

120

119

100

118

80

117

vu

60

116

40

115

20

114 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018 2020 År

0 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018 2020 År

Ku

n

til

Du bør også være oppmerksom på hvem som har laget undersøkelsen. Kommer datamaterialet fra en pålitelig kilde? Et diagram bør ha en kildehenvisning og opplysninger om hvem som har bestilt og gjennomført undersøkelsen, slik at det er mulig for leseren å vurdere påliteligheten.


Å lese tabeller og diagrammer 109

Oppgaver

Sarpsborg

1221 1105

674

662

645

665

Lag

K

g

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

^

V

U

T

+

8

1

0

+/–

P

21

7 +14

25

9 +20

19

1. Liverpool

9

2. Manchester City

9

6

1

2

29

3. Leicester City

9

5

2

2

16

8

+8

17

4. Chelsea

9

5

2

2

19

14

+5

17

5. Arsenal

9

4

3

2

13

12

+1

15

6. Crystal Palace

9

4

2

3

8

10

–2

14

er in

Sysselsatte i papirindustri

3.2 Her ser du tabellen i Premier League etter ni kamper sesongen 2019–2020:

^

3.1 Tabellen viser antall personer sysselsatt i papirindustrien i perioden 2010–2016 i kommunene med høyest sysselsetting:

648

656

642

636

628

614

573

544

Levanger

500

501

469

424

411

394

400

Trondheim

280

270

269

270

257

268

260

7. Tottenham Hotspur

9

3

3

3

15

13

+2

12

Ringerike

698

676

427

217

202

200

196

8. Burnley

9

3

3

3

12

11

+1

12

0

0

0

0

0

162

9. Sheffield United

9

3

3

3

8

7

+1

12

10. AFC Bournemouth

9

3

3

3

13

13

0

12

Drammen

178

141

136

95

105

127

11. West Ham United

9

3

3

3

11

13

–2

12

Øvre Eiker

102

91

88

84

76

82

12. Aston Villa

9

3

2

4

15

13

+2

11

Verran

67

63

57

9

2

5

2

12

12

0

11

Oslo

22

21

19

Stavanger

72

76

122 85

22

55

57

60

84

83

73

58

64

65

85

58

Beskriv utviklingen i Sarpsborg og i Oslo gjennom disse årene.

til

a

65

157

vu

Røyken

rd

Halden

Hvor mange var sysselsatt i papirindustrien i Halden i 2015?

c

Hvor mange var sysselsatt i papirindustrien i Trondheim i 2012?

Ku

n

b

13. Wolverhampton Wanderers

14. Manchester United

9

2

4

3

10

9

+1

10

15. Everton

9

3

1

5

8

13

–5

10

16. Brighton & Hove Albion

9

2

3

4

9

12

–3

9

17. Southampton

9

2

2

5

9

16

–7

8

18. Newcastle United

9

2

2

5

5

14

–9

8

19. Norwich City

9

2

1

6

10

21 –11

7

20. Watford

9

0

4

5

5

21 –16

4

K: kamper spilt V: vunnet T: tapt U: uavgjort +: mål skåret –: mål sluppet inn +/–: Målforskjell P: poeng a

Hvor mange kamper har Arsenal vunnet?

b

Hvor mange poeng har Manchester United?

c

Hvilket lag har skåret flest mål?

d

Hvor mange poeng skiller plass nr. 1 og plass nr. 20?


110 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.3 I rein tilstand er gull et mykt metall. For at gullet skal kunne brukes i smykker, blir det blandet med sølv og kobber. I hvitt gull er det også palladium.

Prosent

Hvitt gull

C

C

g

Gult gull

3.5 Vi skal se på et søylediagram som gir en oversikt over hvor stor del av befolkningen som bruker sosiale medier daglig: 100

D

B

A

er in

75

A

B

50

A Gull

A Gull

B Sølv

B Sølv

C Kobber

C Kobber

25

16–24 år 25–34 år 35–44 år 45–54 år 55–64 år 65–74 år 75–79 år

rd

D Palladium

Studer sektordiagrammene for gult gull og hvitt gull. Omtrent hvor stor andel gull er det i gult og i hvitt gull?

b

Omtrent hvor stor andel sølv er det i gult og i hvitt gull?

c

Hva er forskjellen på gult gull og hvitt gull?

Kvinner

a

Hvilken aldersgruppe har størst andel som bruker sosiale medier daglig?

b

Omtrent hvor mange prosent av menn i alderen 45–54 år bruker sosiale medier daglig?

vu

a

Menn

til

3.4 Diagrammet viser antall biler som ble solgt i Norge i perioden 2009–2018: Antall 180 000 160 000 140 000

n

120 000

100 000 80 000

Ku

60 000

3.6 Tabellen viser prosentandelen av nordmenn som har brukt ulike medier til å høre på musikk i perioden 1997–2018: 1997 2000 2003 2006 2009 2012 2015 2018 CD-spiller

88

92

93

86

56

36

22

8

Kassettspiller

26

17

10

3

2

2

1

Lydfil PC

43

40

26

13

Lydfil smarttelefon

38

71

80

40 000

(Kilde: medienorge.uib.no)

20 000

a

Hvor mange prosent brukte CD-spiller i 2015?

b

Hva var den vanligste måten å lytte til musikk på i 2009?

c

Hvilket år ble det vanligere å bruke lydfil på smarttelefonen enn CD-spiller?

d

Forklar hvordan bruken av de ulike mediene har endret seg i perioden.

2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 År

a

Om lag hvor mange biler ble solgt i 2012?

b

Hvilket år ble det solgt flest biler?

c

Hvilket år steg antallet solgte biler til over 130 000?


Å lese tabeller og diagrammer 111

3.7 Diagrammet viser hvordan nordmenns radiobruk har endret seg i perioden 2008–2018: Prosent

3.8 Sektordiagrammet viser fordelingen av totalt 245 620 elever og lærlinger som var i videregående opplæring i Norge i 2018:

g

80 70 Yrkesfaglig, kvinner

All radiolytting

50 40

20

Yrkesfaglig, menn

Tilgang til DAB Lyttet til DAB

10

Studieforberedende, kvinner

rd

30

Studieforberedende, menn

er in

60

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

(Kilde: www.medienorge.uib.no)

b

Hvilken studieretning var mest populær blant kvinner?

vu

Når økte andelen som lytter til DAB-radio, til over 20 %?

c

Anslå hvor mange menn som gikk på yrkesfag.

Fortell hva diagrammet viser.

L Æ R I N G S L O G G 3. 1

Hvilke ulike diagrammer kjenner du til? Når passer det best å bruke de ulike diagrammene? Hva er det viktig å se etter når du leser diagrammer?

Ku

c

Var det flest elever på yrkesfag eller på studieforberedende?

til

b

Hvor stor andel hadde tilgang til DAB-radio i 2013?

n

a

a


112 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.2 Innhente og sortere data

D U S K AL K U N N E

er in

g

Noen ganger må du på egen hånd samle inn informasjon som skal danne grunnlaget for viktige beslutninger. Det kan for eksempel være kartlegging av en mulig kundegruppe for en avis eller opptelling av hva en bedrift har levert av ulike typer varer eller tjenester i løpet av en periode. Slike undersøkelser kan gjennomføres manuelt eller med ulike digitale verktøy. Dataene du samler inn, bør analyseres og presenteres slik at du får fram funnene dine på en oversiktlig måte.

innhente data gjennom ulike målinger eller undersøkelser

sortere datamaterialet i en frekvenstabell

rd

vu

U T F O R S K SA M M E N

Du skal gjennomføre to undersøkelser i klassen din:

Spør klassekameratene dine hvor mange mobiltelefoner de har hatt.

Mål pulsen din. Spør de andre i klassen om hvilken puls de målte.

til

Oppsummer resultatene i to tabeller. Diskuter hvordan dere best kan få fram resultatene.

Ku

n

I dette delkapitlet møter du noen ord du kanskje ikke bruker så ofte. Sett av litt tid til å lese og diskutere disse definisjonene:

En observasjon er det vi måler eller sanser gjennom et enkeltforsøk eller spørsmål.

Frekvensen sier hvor mange ganger en spesiell observasjon gjentar seg.

Et datamateriale er en samling av alle registrerte observasjoner.

Når vi samler inn informasjon, registrerer vi observasjoner. En observasjon kan for eksempel være en temperaturmåling, resultatet av et terningkast eller svaret på et spørsmål om du har vondt i hodet.


Innhente og sortere data 113

Frekvenstabell

En klasse ble spurt om de syntes maten i kantina var for dyr. Svarene er registrert i frekvenstabellen i margen.

Observasjon

Tellestreker

Ja

jjjj jjjj jjjj jjjj j

Nei

jjjj jjjj

I andre tilfeller kan vi ende opp med veldig mange ulike observasjoner. Hvis vi for eksempel ser på resultatlista etter et maratonløp, vil de 60 første på lista ha 60 ulike tider. I slike tilfeller er det lurt å dele observasjonene i ulike grupper eller klasser. For å gjøre det så oversiktlig som mulig bør hver klasse ha samme intervall.

rd

Vi bruker tegnene ½ og i for å vise at gruppa inneholder verdier fra og med det første tallet og inntil det andre tallet. Gruppa ½2:00, 2:10i inneholder de som hadde en sluttid fra og med 2 timer til og med 2 h 9 min 59 s.

vu

En frekvenstabell er til stor hjelp når vi seinere skal lage diagrammer.

Yosief har kartlagt alderen på datamaskinene til de ansatte i firmaet hans. Han har funnet disse tallene, som viser alderen i måneder:

til

7 12 5 18 3 4 1 28 34 8 13 17 2 5 9 16 27 31 14 5 13 19 28 4 19 6 26 19 12 a

Presenter resultatene i en klassedelt frekvenstabell. Del inn i intervaller på fem måneder.

b

I hvilken klasse hører de fleste datamaskinene hjemme?

n

Løsning: a Vi lager en frekvenstabell og teller opp antallet i hver klasse:

Ku

Antall måneder ½0, 5i ½5, 10i ½10, 15i ½15, 20i ½20, 25i ½25, 30i ½30, 35i

b

9

30

Lage frekvenstabell:

Observasjon (sluttid)

EKSEMPEL 5

21

er in

Sum

Her har vi 30 observasjoner der svaret enten er ja eller nei.

Frekvens

g

For å få oversikt over dataene vi samler inn i en undersøkelse, er det lurt å lage en frekvenstabell. En frekvenstabell viser oss sammenhengen mellom observasjonen og frekvensen.

Frekvens 5 7 5 6 0 4 2

Det er flest datamaskiner som er fra fem til og med ni måneder gamle. Det er sju datamaskiner i denne klassen.

Frekvens

½2:00, 2:10i ½2:10, 2:20i ½2:20, 2:30i

7 22 31

Sum

60


114 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Oppgaver

Tellekolonne

Mandag

jjjj jj

Tirsdag

jjjj jjj

Onsdag

jjjj j

Torsdag

jjjj jjjj

Fredag

jjjj jj

Antall

Sum

Fyll ut resten av tabellen.

b

Hvilken dag opplevde han flest avbrudd?

c

Hvilken dag opplevde han færrest avbrudd?

d

Hva var det vanligste antall avbrudd på en dag?

vu

a

til

3.10 Kast en terning 25 ganger og noter ned antall øyne for hvert forsøk. Hvis du ikke har terninger, kan du søke etter «random dice» på nettet. Du kan også prøve kommandoen =TILFELDIGMELLOM(1;6) i et regneark. a

g

rd

Dag

3.11

er in

3.9 Martin har dårlig Internett-dekning på kjøkkenet og vurderer å kjøpe en wifi-forsterker. Han har notert hvor mange ganger nettet har falt ut på mobilen hans i løpet av en uke:

Ada jobber i en dagligvareforretning og har notert hvor mange timer hun har arbeidet hver gang de siste 25 gangene.

Oppsummer resultatene dine i en frekvenstabell: Observasjon

Tellekolonne

Frekvens

n

1

Lag en frekvenstabell over dataene: 3 6 6 7 5 6 4 8 4 5 6 4 6 6 7 7 8 6 5 5 4 3 8 7 5

2

Ku

3 4 5

3.12 I en undersøkelse har tjue skoleungdommer som arbeider på fritiden, oppgitt hvor mange kroner de tjener i timen.

6

b

Hva blir summen av alle frekvensene? Hvorfor får du nettopp dette tallet?

c

Gjør frekvenstabellen klassedelt med intervallene ½1, 2 , ½3, 4 og ½5, 6 .

Lag en klassedelt frekvenstabell over timelønna. Bruk intervallene ½120, 130i, ½130, 140i, ½140, 150i og ½150, 160i: 135 140 137 141 130 141 150 144 137 120 138 139 143 130 138 131 146 158 140 139


Innhente og sortere data 115

6

7 9 11 4 5 7 8 8 10 9 10 10

7 5 11 10 9

4 7 9 8 5 6

6 8

9

Sorter resultatene i en frekvenstabell.

b

Hvor mange svar fikk Sara totalt?

c

Hvor mange mobiltelefoner har disse menneskene hatt til sammen?

86,3

87,5

87,3

87,0

87,3

86,9

86,8

87,1

87,5

86,8

87,0

86,7

87,3

87,1

87,1

86,3

87,5

87,3

86,7

87,0

87,2

Hvilket tidsintervall havnet flest deltakere i?

vu

86,8

b

rd

3.14 Mikael har tatt tiden på hvor mange minutter han bruker på løperunden sin. Resultatene går fram av tabellen: 87,1

Sorter resultatene i en klassedelt frekvenstabell. La hver klasse være på 10 sekunder.

7

a

87,3

a

er in

6 8

3.15 Nedenfor ser du resultatlista etter finalen på 5000 meter i VM i friidrett 2019.

g

3.13 Sara har spurt folk på skolen om hvor mange mobiltelefoner de har hatt. Her er svarene hun fikk:

Lag en frekvenstabell over målingene.

b

Lag en klassedelt frekvenstabell med intervallene ½86,0, 86,5i, ½86,5, 87,0i og ½87,0, 87,5 .

n

til

a

(Kilde: Wikipedia)

L Æ R I N G S L O G G 3. 2

Ku

Hva er en frekvenstabell? Nevn eksempler på når du kan bruke frekvenstabeller i ditt framtidige yrke. Ta med eksempler både med og uten klassedeling av frekvenstabellen.


116 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.3 Å lage en grafisk presentasjon

D U S K AL K U N N E

er in

g

Tidligere i kapitlet lærte du å lese grafiske presentasjoner. Du skal nå lære hvordan du kan lage gode presentasjoner selv. Noen ganger har vi nokså store datamengder som skal analyseres. Både i skolesammenheng og i ditt framtidige yrke vil du ha nytte av å kunne formidle datamateriale på en lettfattelig måte.

presentere et tallmateriale grafisk med søyle-, sektor- og linjediagram

vurdere hvilken presentasjon som fungerer best

rd

U T F O R S K SA M M E N

vu

Dere skal kaste to terninger og undersøke resultatet av kastene. Hvis dere ikke har terninger, kan dere bruke en terning-app på telefonen eller kommandoen =TILFELDIGMELLOM(1;6) i et regneark. Skriv tallene 2 til 12 etter hverandre nederst i et ruteark.

Kast to terninger, summer øynene og sett kryss i ruta over tallet du fikk.

Gjenta dette 25 ganger.

Ku

n

til

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Sammenlikn arket ditt med de andre i klassen.

Lag en tabell og en grafisk framstilling over det samlede resultatet i klassen. Hva finner du? Ble du overrasket over resultatet? Hvorfor / hvorfor ikke?

12


Å lage en grafisk presentasjon 117

Søylediagram

EKSEMPEL 6 Ane har spurt alle i klassen hvor mange søsken de har. Svarene skrev hun ned på et ark: 04357202311101232422332110011

er in

Bruk søylediagram hvis du har mange ulike kategorier, eller hvis det er viktig å få fram hvor mange observasjoner det er i hver kategori.

Hjelp Ane med å lage et søylediagram over disse observasjonene.

vu

rd

Løsning: Vi begynner med å lage en frekvenstabell i et regneark. Tell opp hvor mange ganger Ane har skrevet 0, 1, 2 osv.:

n

til

Når vi skal lage et søylediagram, markerer vi kolonnen med frekvensen og velger «Sett inn søylediagram». Noen program bruker begrepet stolpediagram.

Ku

g

Et søylediagram egner seg godt til å presentere antallet i hver kategori vi har undersøkt. Samtidig som antallet går tydelig fram, får vi et visuelt inntrykk av hvor store kategoriene er i forhold til hverandre.

Lage et søylediagram:


118 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

er in

g

For at den vannrette aksen skal vise riktige verdier, høyreklikker du på aksen og velger «Merk data».

vu

rd

Trykk «Rediger» og merk rutene som viser antall søsken:

Du kan nå klikke på

-tegnet utenfor diagrammet, slik at du får lagt til

Ku

n

til

og endret aksetitlene. Du bør også klikke på overskriften og endre den til noe som passer bedre.


Å lage en grafisk presentasjon 119

Antall søsken i klassen

0

1

2 3 4 5 ANTALL SØSKEN

6

7

er in

g

9 8 7 6 5 4 3 2 1

rd

FREKVENS

Etter at du har endret overskrift, aksetitler og farger, kan søylediagrammet se slik ut:

Sektordiagram

EKSEMPEL 7

vu

Et sektordiagram egner seg godt når størrelsesforholdet mellom kategoriene er mer interessant enn antallet i hver kategori. Bruk ikke sektordiagram når det er for mange kategorier. Det gjør det vanskelig å se forskjell på de ulike sektorene.

til

Jovan har bedt elevene i klassen velge sitt favorittpålegg fra en liste. Resultatet er vist i margen. a

Hvor mange har Jovan spurt?

b

Hvor stor andel av de spurte liker sjokoladepålegg best?

c

Lag et sektordiagram som viser resultatet fra undersøkelsen.

Ku

n

Løsning: a Han har spurt 4 þ 2 þ 3 þ 6 ¼ 15 elever. b

Vi ser at 3 av 15 liker sjokoladepålegg best. 3 3:3 1 ¼ ¼ 15 15 : 3 5 1 Altså er det eller 20 % av elevene som liker sjokoladepålegg best. 5 1 I et sektordiagram vil av sirkelen representere elever som liker 5 sjokoladepålegg.

Favorittpålegg i klassen Hvitost: 4 Makrell i tomat: 2 Sjokoladepålegg: 3 Skinke: 6

Lage et sektordiagram:


120 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

c

Vi skriver inn tabellen i et regneark, markerer hele tabellen og velger «Sett inn sektordiagram». Overskrift og farger endrer vi på samme måte som for søylediagrammet. Ved å klikke på

-tegnet har vi mulighet til å

vu

rd

er in

g

vise dataetiketter for å få fram hvor mange prosent av helheten hver sektor utgjør:

Tenk gjennom!

Ku

n

til

1 På diagrammet ser du at av sirkelen er farget grått. Hvor mange grader 5 1 utgjør av en sirkel? Hvordan kunne du ha regnet ut størrelsen 5 på de andre delene av sirkelen?

Linjediagram Et linjediagram egner seg godt til å vise data som varierer over tid. Den vannrette aksen viser da tiden, og den loddrette aksen viser observasjonene. Linja eller kurven viser sammenhengen mellom observasjonene og tiden som har gått. Bruk linjediagram hvis du har mange observasjoner og rekkefølgen på observasjonene er viktig.


Å lage en grafisk presentasjon 121

EKSEMPEL 8

januar februar mars april mai juni juli august september oktober november desember

Rekkevidde (mil) 23 22 25 27 30 35 36 30 28 27 25 24

vu

rd

er in

Løsning: Skriv tallene inn i et regneark, merk kolonnen med rekkevidde og velg «Sett inn linjediagram»:

Måned

g

Håkon har skrevet ned omtrentlig rekkevidde på elbilen sin i antall mil hver måned gjennom et år. Tallene har han notert i en tabell. Hjelp Håkon med å presentere tabellen i et linjediagram.

For at den vannrette aksen skal vise månedsnavnene, høyreklikker du på aksen og velger «Merk data». Følg fremgangsmåten fra eksempel 6. Du kan klikke på

-tegnet utenfor diagrammet for å få lagt til og endret aksetitlene.

Rekkevidde for elbilen til Håkon

til

40 35 30 25 20 15 10 5 0

Ja

Ku

n Fe uar br ua r M ar s Ap ril M ai Ju ni Ju li A Se ug pt us em t O ber k N tob ov e e r D mb es e em r be r

n

Mil

Vurder til slutt om tittelen bør endres.

Lage et linjediagram:


122 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Tilpasning av akser En grafisk framstilling skal være så objektiv som mulig. Vi har tidligere sett at kutting av akser kan brukes for å påvirke leseren. Kutting av akser kan likevel være et fornuftig grep i en del datamateriale for å få fram variasjoner.

Temperatur (°C)

er in

Temperatur (°C)

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

rd

40,5 40 39,5 39 38,5 38 37,5 37 36,5 36 35,5

g

Linjediagrammene nedenfor viser kroppstemperaturen til en pasient i samme uke, med og uten tilpasning av aksene:

Man Tir Ons Tor Fre Lør Søn

Man Tir Ons Tor Fre Lør Søn

vu

For kroppstemperaturer er det bare aktuelt med temperaturer mellom 35 C og 42 C. Ved å kutte den loddrette aksen gjør vi det lettere å lese av temperaturvariasjonene.

EK SEMPEL 9

til

Ta utgangspunkt i målingene til Håkon i eksempel 8. Lag et linjediagram der du kutter den loddrette aksen ved 20 mil.

Ku

n

Løsning: Etter at vi har laget linjediagrammet, høyreklikker vi på den loddrette aksen og velger «Formater akse». Der endrer vi minimumsverdien til 20:


Å lage en grafisk presentasjon 123

Oppgaver

Aktivitet

g

3.18 Tabellen viser prosentandelen kobber, sink og nikkel i den norske tikroningen.

er in

3.16 Milica har skrevet ned hvor mange timer i døgnet hun bruker på ulike aktiviteter på hverdager. Tallene går fram av tabellen nedenfor. Lag et sektordiagram over dataene i tabellen: Antall timer 7,5 4,5 1,5 0,5 1 4 5

Presenter tallene i et sektordiagram: Metall

Prosentandel

kobber

sink

nikkel

81

10

9

3.19

rd

Søvn Undervisningstimer på skolen Måltider Fysisk aktivitet Lekser Være med venner Annet

Yrke

vu

3.17 Tabellen viser hvilke yrker elevene på en videregående skole kan tenke seg: Antallelever 12 9 8 14 7

til

IT-driftstekniker IT-utvikler Mediedesigner Medieprodusent Medietekniker

Bruk tallene i tabellen til å lage et søylediagram.

b

Bruk tallene i tabellen til å lage et sektordiagram. Legg på dataetiketter for både antall og prosent i de ulike sektorene.

Dato

Ku

n

a

Nedenfor ser du gjennomsnittlig vindstyrke ved Kråkenes fyr på Vågsøy den første uka i august 2019 (kilde: yr.no):

1.8. 2.8. 3.8. 4.8. 5.8. 6.8. 7.8.

Vindstyrke 8 15 13 8 6 7 10

m/s m/s m/s m/s m/s m/s m/s

a

Lag et linjediagram som viser hvordan vindstyrken var denne uka.

b

Hvor mange dager blåste det liten kuling eller sterkere (over 10,8 m=s)?


124 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Lag et diagram som viser sammenhengen mellom antall kjørte kilometer og antall prosent igjen på batteriet.

b

Hva antyder diagrammet om rekkevidden til elbilen ved 10 C?

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

Samlet inn 209

219

199

224

253

183

231

218

245

Justert til 2017-nivå

245

220

242

267

189

230

218

237

236

Lag et linjediagram som viser antall millioner kroner samlet inn justert til 2017-nivå.

b

Lag et søylediagram som viser både antall millioner samlet inn reelt og justert til 2017-nivå.

Simens telefon

Peters telefon

Nadias telefon

Apper

18,8

17,3

6,62

Video

36,2

12,2

11,3

Bilder

24,3

8,5

12,7

0,2

1,7

0,5

16,2

5,9

3,7

rd

a

3.22 Simen, Peter og Nadia har sammenliknet hvor mange gigabyte de bruker på ulike elementer på telefonene sine. Tallene er samlet i tabellen:

er in

År

a

g

3.20 Tabellen viser antall millioner kroner samlet inn til NRKs TV-aksjon i perioden 2010–2018. Siden prisstigningen gjør at pengene blir mindre og mindre verdt for hvert år, er tallene justert til 2017-nivå:

Lyd

Annet

a

Lag et søylediagram som viser antall gigabyte (GB) for de ulike elementene på Simens telefon.

b

Lag et sektordiagram som viser fordelingen mellom de ulike elementene på Peters telefon.

c

Lag et egnet diagram som oppsummerer all informasjon i tabellen.

vu

3.21 I elbilen til Mathias er det en skala der 100 % er fullt batteri, og der 0 % viser når spenningen på batteriet er for lav til at bilen kan kjøre mer. Mathias har registrert hvor mange prosent det er igjen når temperaturen har vært rundt 10 C, og han har kjørt et varierende antall kilometer. Resultatet går fram av tabellen: Prosent

0 25 50 75 100 125 150 175

100 91 83 73 63 55 45 37

Ku

n

til

Kilometer

L Æ R I N G S L O G G 3. 3 Hvilke grafiske framstillinger har vi? Nevn noen eksempler der det er naturlig å bruke de ulike grafiske framstillingene i ditt framtidige yrke. Hva kan vi oppnå med å kutte aksene?


Sentralmål og spredningsmål 125

D U S K AL K U N N E

er in

Så langt har vi framstilt datamaterialet grafisk. Nå skal vi se hvordan beregninger av tallstørrelser kan si noe om datamaterialet. Tallstørrelsene kan for eksempel si noe om hva som er den vanligste observasjonen, og hvor stor spredningen er i observasjonene.

regne ut sentralmålene gjennomsnitt, typetall og median

regne ut spredningsmålet variasjonsbredde

anslå sentral- og spredningsmål ved å lese diagrammer

rd

U T F O R S K SA M M E N

g

3.4 Sentralmål og spredningsmål

Lag en undersøkelse der dere spør andre elever hvor langt unna skolen de bor, hvor lang tid de bruker til skolen, og hvilket framkomstmiddel de bruker.

Sentralmål

vu

Se over svarene dere har fått, og prøv å finne ut hva de vanligste svarene er. Hvilke vurderinger gjør dere for å finne ut det?

til

Når vi arbeider med et stort datamateriale, makter vi ikke å holde alle observasjonene i hodet. Det lønner seg derfor ofte å regne ut sentralmål. De gir informasjon om hvilken verdi observasjonene ligger rundt, og hva som er de vanligste verdiene blant dataene. Gjennomsnitt, median og typetall er de tre mest brukte sentralmålene i statistikk.

n

Karakterene til Kristoffer er 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 4, 2.

Ku

Vi har flere metoder for å vise hva det vanligste resultatet til Kristoffer er. I dette delkapitlet skal vi ta for oss gjennomsnitt, median og typetall.

Gjennomsnitt

Kristoffer er opptatt av karakterene sine. For å komme inn på det han ønsker på Vg2, må han ha et snitt på 3,4. Men hva er egentlig gjennomsnitt? Hva forteller gjennomsnittet om karakterene? Har han gode nok karakterer? Gjennomsnittet finner vi ved å legge sammen alle observasjonene og dele summen på antall observasjoner.

Gjennomsnitt, median og typetall:


126 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

I Kristoffers tilfelle er det karakterene som er observasjonene: 3 þ 3 þ 4 þ 2 þ 3 þ 3 þ 4 þ 4 þ 2 28 ¼ ¼ 3,11 9 9 Dette kan vi også bruke regnearket til. Skriv inn observasjonene i hver sin celle og bruk funksjonen =GJENNOMSNITT(). Marker området med karakterene:

er in

g

Gjennomsnittskarakteren:

Han har altså ikke gode nok karakterer i dag. Hvordan må de endres for at han skal få et godt nok karaktersnitt?

rd

Summen av karakterene til Kristoffer er nå 28 poeng. Hvis gjennomsnittet skal komme over 3,4, må summen av karakterene være over 3,4 9 ¼ 30,6. Skal han oppnå mer enn 3,4 i snitt, må han altså gå opp én karakter i tre fag.

Tenk gjennom!

vu

Er det andre måter Kristoffer kan øke gjennomsnittet på?

Median

til

Medianen er den midterste verdien når observasjonene er sortert i stigende rekkefølge.

Ku

n

Dersom vi har et odde antall tall, er medianen lik tallet i midten. Hvis antall observasjoner er et partall, er medianen lik gjennomsnittet av de to tallene i midten. Vi sorterer karakterene til Kristoffer i stigende rekkefølge: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, og finner karakteren i midten: 2

2

3

3

3

3

4

4

4

Mediankarakteren til Kristoffer er 3. I et regneark bruker vi funksjonen =MEDIAN(). Marker området med karakterene:


Sentralmål og spredningsmål 127

Typetall

2

2

3

3

3

3

4

4

er in

Typetallet er den typiske verdien for datamaterialet. Har vi presentert datamaterialet i et søylediagram, vil typetallet være den høyeste søylen. I et sektordiagram vil typetallet være den største sektoren. I Kristoffers tilfelle ser vi at typetallet er karakteren 3. Det betyr at Kristoffer fikk flest treere.

4

rd

I et regneark bruker vi funksjonen =MODUS.SNGL(). Marker området med karakterene:

Om sentralmålene

g

Typetallet er den observasjonen som forekommer flest ganger.

til

vu

Vi ser at de ulike sentralmålene ligger temmelig nær hverandre. En klassekamerat med to seksere, en firer og seks toere har samme snittkarakter som Kristoffer, men medianen og typetallet ville blitt lavere:

Det kan derfor være greit å finne flere sentralmål enn gjennomsnittet før vi konkluderer med hvilken tallverdi som best representerer datamaterialet.

n

Hvis de tre sentralmålene blir svært ulike, må vi vurdere hvilket sentralmål som best beskriver situasjonen.

Ku

Hvis vi har mange observasjoner og noen få skiller seg ut, kan gjennomsnittet gi et skjevt inntrykk av hva som er vanlig. Da er det bedre å finne medianen for å si noe om den vanligste verdien.

EKSEMPEL 10

En «food-truck» selger hamburgere på fredager og lørdager. I mai var salget 45, 59, 51, 52, 210, 45, 58, 39 og 45 hamburgere. 17. mai var det mange mennesker i byen, og det var den dagen det ble solgt 210 hamburgere. Finn ut hvilket sentralmål som best gir et bilde av hva som er et vanlig daglig salg.


128 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Løsning: 45 þ 59 þ 51 þ 52 þ 210 þ 45 þ 58 þ 39 þ 45 604 ¼ ¼ 67,1 9 9

Gjennomsnittet er 67,1 hamburgere.

er in

Median: 39, 45, 45, 45, 51 , 52, 58, 59, 210

g

Gjennomsnitt:

51 hamburgere er den midterste observasjonen.

Typetall: Tre dager er salget på 45 hamburgere, så det er den vanligste observasjonen.

vu

rd

I dette tilfellet er det kanskje medianen som gir best bilde av det som er vanlig salg. Salget på 17. mai var med på å dra gjennomsnittet høyt over det som er vanlig. Når eieren av «food-trucken» skal kjøpe inn råvarer til neste måned, vet hun at salget 17. mai gjorde gjennomsnittet høyere enn normalt.

Spredningsmål

til

Mens sentralmålet sier noe om hva som er mest vanlig, forteller spredningsmålet noe om hvor spredt verdiene i datamaterialet ligger. Et viktig spredningsmål er variasjonsbredden.

Ku

n

Variasjonsbredden er avstanden mellom den høyeste og den laveste observasjonen.

I Kristoffers tilfelle er variasjonsbredden 4 2 ¼ 2 karakterer. Variasjonsbredden til klassekameraten er 6 2 ¼ 4 karakterer. I regnearket bruker vi funksjonen =STØRST() eller =MAKSA() og =MIN():

Det kan være fint å bruke sorteringsfunksjonen i regnearket for å sortere verdiene i stigende rekkefølge. Da får vi bedre oversikt over variasjonsbredden i datamaterialet.


Sentralmål og spredningsmål 129

EKSEMPEL 11

g

Stian har ansvaret for lyden ved ulike arrangementer i et kulturhus. For å kontrollere at de holder seg innenfor gjeldende retningslinjer, har han gjennomført lydmålinger ved de ti siste arrangementene. Antall målte desibel er 47,8 57,9 55,0 68,2 67,9 48,0 58,2 67,9 68,0 88,1

er in

Hva er variasjonsbredden?

Løsning: 88,1 dB 47,8 dB ¼ 40,3 dB

rd

Variasjonsbredden er 40,3 desibel (dB).

Oppgaver

3.25

vu

3.23 Mona har et blomsterbed med tolv solsikker og har notert høydene på dem:

2,43 m 1,97 m 2,05 m 2,28 m 1,88 m 1,99 m 2,05 m 1,88 m 1,98 m 2,07 m 2,10 m 2,15 m Regn ut gjennomsnittet.

b

Hva er medianen?

c

Hvor høy er den høyeste solsikken?

d

Hva er variasjonsbredden?

til

a

Ku

n

3.24 Elise har skrevet ned resultatet fra kiosksalget for fotballaget under hjemmekampene denne sesongen. Resultatene var

Jakob driver med leirdueskyting og har hatt følgende antall treff de siste 15 gangene: 65 78 56

850 kr 975 kr 1230 kr 745 kr 530 kr 870 kr

1050 kr 450 kr

a

660 kr 785 kr 980 kr 420 kr

77 61 64

83 49 77

41 105 52

56 77 69

Hva ble resultatet den dagen salget gav best uttelling?

a

Hva er typetallet?

b

Hva er gjennomsnittet?

b

Regn ut gjennomsnittet.

c

Hva er variasjonsbredden?

c

Hva er medianen?

d

d

Hva er variasjonsbredden?

Hva er gjennomsnittet hvis høyeste og laveste resultat ikke regnes med?


130 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.26 Tor Henrik trener taekwondo og har notert treningstidene de første 14 dagene i oktober. Notatene går fram av tabellen:

1:10 2:10 3:10 4:10 5:10 6:10 7:10 8:10 9:10 10:10 11:10 12:10 13:10 14:10

17:00 18:00 18:00 17:00 17:30 17:00 18:00 18:00 17:00 17:30

17:45 19:30 19:00 17:30 19:15 17:50 19:45 19:20 17:30 19:15

118 229 645 353 466 435 312

g

Til

a

Regn ut gjennomsnittet. Kommenter resultatet.

b

Hva blir medianen?

c

Hva var timelønna den uka han tjente mest?

d

Hva var timelønna den uka han tjente minst?

e

Hva er variasjonsbredden mellom største og minste timelønn?

er in

Fra

355 217 367 588 228 336 422 533

rd

Dato

3.27 Kim jobber som frilansfotograf og har notert den gjennomsnittlige timelønna de siste 15 ukene:

Hvor mange minutter har Tor Henrik trent i gjennomsnitt hver dag?

b

Hvor mange timer vil han ende opp med å trene på seks uker dersom han trener like mye de neste 28 dagene?

til

vu

a

L Æ R I N G S L O G G 3. 4

n

Hva er et sentralmål? Hvorfor trenger vi ulike sentralmål?

Ku

Hvilke tanker gjør du deg når medianen, gjennomsnittet og typetallet for et datamateriale er veldig forskjellig? Hva er spredningsmål? Hvorfor kan det være nyttig å finne variasjonsbredden i et datamateriale?


Store datasett 131

D U S K AL K U N N E vurdere kvaliteten på et datasett

tolke bruk av tegn i et datamateriale

bruke regneark eller et annet digitalt verktøy til å behandle datasett

vu

U T F O R S K SA M M E N

rd

er in

Vi har så langt i kapitlet sett på små datasett. I virkelige situasjoner kan et datasett bestå av svært mange observasjoner. Stadig bedre datateknologi gjør at de lagrete datamengdene blir større og større. Samtidig øker antall databehandlende apparater vi omgir oss med. Hva slags informasjon om deg kan mobiltelefonen din gi andre? Er denne informasjonen lagret som tall?

til

I framtiden vil analyser av store datamengder bidra til at samfunnet kan løse oppgaver og levere tjenester mer effektivt og med høyere kvalitet. Nye data og metoder kan sette oss i stand til å se nye sammenhenger og få ny kunnskap. Mange nettsteder publiserer i dag reelle data dere kan studere. Eksempler på slike nettsteder er ektedata.uib.no, data.norge.no, eklima.met.no og ssb.no.

n

Gjør ulike typer søk og se hva dere klarer å laste ned av reelle datasett. Lagre minst to datasett på en strukturert måte, slik at dere kan bruke dem seinere. Hvilket format har filene? Har dere mulighet til å laste ned ulike filtyper?

Ku

g

3.5 Store datasett

Undersøk om filene kan åpnes i et regneark eller i et skriveprogram. Presenter for hverandre hva slags datasett dere har funnet, og hvilket filformat de har.


132 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Å åpne datafiler For å kunne studere et datamateriale, må du kunne åpne fila i et regneark eller i et annet dataprogram. Er du usikker på hvilket program du kan bruke for å se på materialet, kan du først sjekke om det er mulig å åpne fila i et enkelt tekstredigeringsprogram, for eksempel «Notisblokk».

g

Merk CSV står for «commaseparated values». Siden vi i Norge bruker komma som desimaltegn, bruker vi ofte semikolon i stedet for komma for å skille mellom kolonnene i norske CSV-filer. Slik som her: Sted;År;Temperatur Askim;2008;20,7 Askim;2009;19,5 Askim;2010;20,6

er in

Noen filer kan åpnes direkte i et regneark. I dette delkapitlet er de fleste filene av denne typen.

Ku

n

til

vu

rd

Andre filtyper, for eksempel CSV-filer, kan også bearbeides i et regneark, men da må du laste inn fila etter at du har åpnet regnearket. Gå så på «Data» og velg «Hent data». Her trykker du på «Fra fil» og deretter riktig filformat, for eksempel «Fra tekst/CSV». Så vil programmet prøve å hjelpe deg med å åpne datamaterialet på riktig måte.


Store datasett 133

Å få oversikt over et datamateriale

er in

Av og til kan deler av et datamateriale inneholde feil. Det kan for eksempel være feil med måleutstyret. I Norge er snø og ising en utfordring på utendørs måleutstyr. Hvis datamaterialet inneholder feil, kan vi oppdage dette ved at tallene er urealistisk høye eller lave.

Tenk gjennom!

rd

Hva er høyeste antall kilometer du ville trodd kunne være riktig verdi i en spørreundersøkelse, der folk ble spurt hvor mange kilometer de gikk i gjennomsnitt hver dag?

vu

Hvis datasettet har en observasjon uten data, kan feltet være blankt, men det kan også stå NaN («not a number») eller en annen tekst for å informere om at det ikke er registrert noen verdi.

n

til

Ulike land og ulike dataprogrammer bruker tegn på forskjellig måte. Et viktig spørsmål er bruken av punktum eller komma som desimaltegn. I Norge bruker vi oftest komma, for eksempel for å presentere desimaltallet 3,7. Andre land har punktum som standard, slik at tallet skrives 3.7. I et regneark er det viktig å ha kontroll på dette. Hvis vi skriver feil desimaltegn, kan vi risikere at et tall blir lest som tekst eller som en dato, og da får vi problemer. De fleste programmene har en søkefunksjon som gir deg mulighet til å erstatte et tegn med et annet, for eksempel å erstatte punktum med komma. Hvilket skilletegn som er brukt mellom kolonnene i datamaterialet, kan også skape utfordringer hvis datasettet har flere kolonner. Mellom hver kolonne kan det for eksempel være et visst antall mellomrom eller ulike tegn som komma eller semikolon. Det er viktig at programmet du bruker til å analysere datafila, forstår hva som skiller de ulike kolonnene fra hverandre.

Ku

g

Når du har åpnet fila, er det lurt å bruke litt tid på å studere tallene for å få oversikt over datamaterialet. Ved å studere tallene får du et inntrykk av hvilke resultater du kan forvente når du analyserer materialet. Du får også et inntrykk av kvaliteten på datasettet.


134 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

EK SEMPEL 12 Remi skal studere en fil med temperaturmålinger fra et kjølerom. Nedenfor viser vi et utdrag av datamaterialet: Måletidspunkt

Målt temperatur

1

11.23.19, 08:52:23

3.8

2

11.26.19, 15:38:19

2.1

3

11.27.19, 08:33:08

4.7

4

11.28.19, 13:49:09

5.6

5

11.28.19, 14:33:39

NaN

6

11.28.19, 14:42:43

5.4

7

11.28.19, 14:42:47

4.0

8

11.28.19, 14:57:53

5.5

er in

g

Observasjon nr.

Hva betyr NaN i observasjon nummer 5?

b

Hva slags desimaltegn er brukt her? Hva må vi da vurdere?

c

Studer måletidspunktene. Hva forteller de?

rd

a

vu

Løsning: a NaN vil si at det ikke er registrert noen verdi på dette måletidspunktet. Her er det brukt punktum som desimaltegn. Det kan skape problemer i et regneark hvis regnearket tolker verdien som en dato. Det kan derfor lønne seg å erstatte punktum med komma før vi fortsetter arbeidet med fila.

c

Tidsintervallene mellom målingene er ikke like lange. Det er ikke målt med jevne mellomrom.

Ku

n

til

b

Søylediagram med klassebredder For å få et klarere bilde av hvordan verdiene i et datasett fordeler seg, kan det være nyttig å lage et søylediagram. Når du har et datasett hvor alle observasjonene er gitt etter hverandre i en kolonne, og ikke samlet i en frekvenstabell, kan du bruke Excel til å telle opp antall observasjoner med lik verdi selv. Vi skal se på et eksempel hvor det er gjort 50 temperaturmålinger i et vann på 7 m dyp. Først må vi bestemme oss for klassebredden. Her har vi valgt intervaller på en halv grad. Siden laveste temperaturmåling er 5,1, har vi valgt at første klasse er ½5,0, 5,5i. Da skal en måling på 5,0 C telles med, mens en måling på 5,5 C ikke skal telles med. 5,5 C skal telles i neste klasse.


Store datasett 135

Klasseinndeling

Antall

er in

For å få med alle målinger fra og med 5,0 til 5,4 (under 5,5), må vi si til Excel at vi skal telle alle observasjoner som er større eller lik 5,0 ð>¼ 5,0Þ og mindre enn 5,5 ð< 5,5Þ. Tabellen viser hvordan dette er gjort for alle intervallene.

½5,0, 5,5i

=ANTALL.HVIS.SETT(B2:C26;">=5,0";B2:C26;"<5,5")

½5,5, 6,0i

=ANTALL.HVIS.SETT(B2:C26;">=5,5";B2:C26;"<6,0")

½6,0, 6,5i

=ANTALL.HVIS.SETT(B2:C26;">=6,0";B2:C26;"<6,5")

½6,5, 7,0i

=ANTALL.HVIS.SETT(B2:C26;">=6,5";B2:C26;"<7,0") =SUMMER(F3:F6)

rd

SUM

n

til

vu

Etter at vi har laget en frekvenstabell som viser antall observasjoner i hver klasse, kan vi lage et søylediagram.

Ku

g

For å få Excel til å gjøre denne opptellingen, bruker vi funksjonen =ANTALL.HVIS.SETT(kriterieområde1;kriterium1;…). Da kan vi lage oss en frekvenstabell som grunnlag for et søylediagram.

Merk Excel har også en diagramtype som heter «Histogram» som du kan bruke til å lage et diagram med fordeling av data i like store klasser.


136 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Å se den underliggende trenden

g

I dagene før jul kjøper vi ofte inn julegaver. Da må vi ikke glemme sesongvariasjonen og andre faktorer som påvirker tallene når vi tolker materialet. Vi kan for eksempel feilaktig konkludere med at en butikk har fått økt omsetning når det i virkeligheten bare er en kortvarig variasjon innenfor normaltallene.

er in

Mange samfunnsforhold påvirkes av faktorer som værforhold og ferieavvikling. Det gjelder for eksempel sykefravær, alkoholkonsum, hotellovernattinger og vareomsetning. Statistikk fra Statistisk sentralbyrå er derfor gjerne sesongog influensajustert.

rd

Når målingene varierer mye, kan det bli lettere å tolke datasettet hvis vi justerer for ulike typer variasjoner. Det finnes flere måter å gjøre det på. Vi skal se hvordan vi kan legge til ei trendlinje i regnearket.

Ku

n

til

vu

Lucas har skrevet inn gjennomsnittlig sykefravær på arbeidsplassen de siste årene i et regneark. Resultatet går fram av diagrammet:

Variasjonen fra år til år er stor, men ved å legge inn ei trendlinje viser datasettet at sykefraværet har gått ned i perioden.


Store datasett 137

Oppgaver Filer for nedlasting finner du på forlagets nettsider for læreboka.

g

3.30 Tabellen nedenfor viser de sju første temperaturmålingene ved ulike vanndybder.

er in

3.28 Lag ditt eget datamateriale i et regneark ved hjelp av en av funksjonene nedenfor eller ved å kombinere dem slik at du får et datasett med desimaltall. Lag minst 200 observasjoner.

Dato

Obs. nr.

2_5 m

4_5 m

6_5 m

=TILFELDIGMELLOM(-5;16) returnerer en verdi mellom 5 og 16.

01.01.2019

1

7:086

7:881

7:922

02.01.2019

2

6:812

7:713

7:924

=TILFELDIG() returnerer en verdi mellom 0 og 1.

03.01.2019

3

7:153

7:618

7:914

04.01.2019

4

7:013

7:405

7:778

05.01.2019

5

6:635

7:255

7:687

Tid, m=s

Tid, m=s

02:10,12.3

02:50,13.1

02:20,17.8

03:00,15.3

02:30,13.5

03:10,17.3

02:40,15.2

03:20,10.8

Tid, m=s

03:30,16.3

6

6:783

7:209

7:706

07.01.2019

7

6:730

7:172

7:678

Hva ville blitt vanskelig med lesingen av denne datafila hvis vi hadde endret til punktum som skilletegn mellom ulike verdier i fila før vi lastet den inn?

03:40,18.2 03:50,12.8 04:00,14.7

På hvilket klokkeslett begynte målingene?

b

Hvor mange observasjoner vil det være i løpet av et døgn i dette materialet?

c

Hva er desimaltegnet i datasettet?

d

Hvilket skilletegn er brukt mellom kolonnene?

n

til

a

Ku

06.01.2019

vu

3.29 Martin skal analysere vindmålinger. Her ser du et utdrag av målingene:

rd

Finn gjennomsnitt, typetall og median.

3.31 På en skole har en spurt elevene om hvor mange søsken de har. Åpne fila «Datasett_antall søsken» og studer svarene. a

Hvor mange elever har svart på undersøkelsen?

b

Studer datasettet. Er alle verdiene for antall søsken realistiske? Slett eventuelt svar du mener ikke kan være riktige.

c

Hvor mange har svart at de ikke har søsken?

d

Hva er gjennomsnittlig antall søsken?

e

Hva er medianen?

f

Hva er høyeste antall søsken?

g

Bruk funksjonen =ANTALL.HVIS(område;vilkår) til å finne hvor mange som har svart 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7 søsken. Sett opp tallene i en frekvenstabell.

h

Lag et søylediagram over fordelingen.


138 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Dette er en CSV-fil. Ved å velge filopprinnelse «Unicode (UTF-8)» unngår du at bokstavene æ, ø og å erstattes av rare tegn. Marker alle rutene med observasjonsverdier og erstatt punktum med komma. a

b

Studer kolonnen «Vannproduksjon», som er gitt i kubikkmeter. Hva er variasjonsbredden i vannproduksjonen? Hva er gjennomsnittlig vannproduksjon når vi tar med anlegg som har en produksjon på 0 m3 , men ser bort fra de som ikke har en oppgitt verdi? Hva er medianen i kolonnen «ant_fastboende»?

Finn gjennomsnittlig antall kilometer en ansatt har til jobb.

b

Finn variasjonsbredden.

c

Finn medianen.

d

Lag et søylediagram over dataene med klassebredde 5.

e

Silje regner med at de som har 15 km eller mindre til jobb, er mest aktuelle for å bli med på en slik konkurranse. Hvor mange ansatte er dermed aktuelle?

rd

c

a

g

«vannforsyningssystem_mattilsynet»

3.34 Silje skal hjelpe ledelsen med å finne ut om det kan være aktuelt å sette i gang en «sykle til jobben»konkurranse. For å få oversikt over avstanden folk har til jobb, har hun gjennomført en undersøkelse. Last ned fila «Kilometer til jobb».

er in

3.32 Åpne Excel og hent fram fila:

vu

3.33 Mohamad jobber på IT-støtte og ønsker å få en oversikt over hvor mange minutter de bruker i gjennomsnitt på å hjelpe hver bruker. Last ned fila «Minutter per kunde».

Finn gjennomsnittlig antall minutter per bruker.

b

Finn variasjonsbredden.

c

Finn medianen.

d

Lag et søylegram over dataene med klassebredde 10.

til

a

n

L Æ R I N G S L O G G 3. 5

Ku

Gi eksempler på hva det kan være viktig å tenke på når vi skal vurdere kvaliteten på et datamateriale, og hvordan det kan lastes inn i et regneark eller i et annet digitalt verktøy. Forklar hvordan vi kan lage et søylediagram med valgt klassebredde i et regneark.


Hva har jeg lært? 139

H V A HA R J E G LÆ R T ? Som hjelp til å komme i gang kan dere lese læringsloggene 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 og 3.5 og se over «regelboksene» i kapitlet.

Stemmer påstandene?

3

Avgjør om påstandene nedenfor stemmer. Sørg for at du kan forklare hvorfor de stemmer eller ikke.

4

Den høyeste søylen på et søylediagram viser gjennomsnittet. En sektor på 270 svarer til 75 %.

Typetallet forteller oss hva den vanligste observasjonen er.

rd

5

er in

g

Gå sammen i par og lag en liste eller et tankekart over de viktigste matematiske ideene og metodene dere har lært i kapitlet. Prøv også å få med stikkord om hva ideene og metodene kan brukes til – i dagliglivet eller i ditt framtidige yrke. Del ideene med resten av klassen.

Gjennomsnittet forteller oss alltid hva som er mest vanlig.

2

Hvis aksene er kuttet, er det fordi den som har laget diagrammet, ønsker å lure oss.

6

Variasjonsbredden i karakterene til en elev kan være 8.

vu

1

til

Prosjekt nettside

Undersøk hvordan vi kan skaffe oss oversikt over antall besøkende på en nettside.

n

Hvordan er det naturlig at tallene presenteres?

Ku

Legg inn en spørreundersøkelse på nettsiden hvor svaret skal være et tall. Hvordan bør svaret på undersøkelsen presenteres?

7

Gjennomsnittsverdien til en million terningkast blir 3,5.


140 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Test deg selv 3.37 Diagrammet viser hva innbyggerne i Rauma kommune arbeider med:

Antall lyttere

1500 Kanal 1

1000

Kanal 2

500

07.00 08.00 09.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00

Hvor mange lyttere har kanal 1 på det meste?

b

Hvor mange lyttere har kanal 2 på det minste?

c

Hvilken kanal har flest lyttere mesteparten av dagen?

d

I hvilket tidsrom har kanal 2 flere lyttere enn kanal 1?

rd

a

A

C

D Rauma

E

F

G

A

Jordbruk, skogbruk og fiske

B

Sekundærnæringer

C

Varehandel, hotell og restaurant, samferdsel, finans-, forretnings- og eiendomstjenester

D

Offentlig administrasjon, forsvar og sosialforsikring

E

Undervisning

F

Helse- og sosialtjenester

G

Personlig tjenesteyting

163 174 188 190 160 179 167 170 173 181

a

Hva kaller vi et slikt diagram?

159 162 161 180 178 172 164 181 165 167

b

Hva jobber de fleste innbyggerne i Rauma med?

Hvor mange elever går det i klassen til Frøya?

c

Hvor mange av innbyggerne arbeider med jordbruk, skogbruk og fiske?

d

Anslå hvor mange innbyggere i Rauma som er i arbeid.

n

b

B

vu

til

3.36 Frøya spurte alle i klassen sin hvor høye de er. Resultatet er vist nedenfor, der Frøyas høyde også er med:

a

Antall innbyggere

er in

450 000 400 000 350 000 300 000 250 000 200 000 150 000 100 000 50 000

g

3.35 Diagrammet viser antall lyttere på ulike tider gjennom dagen for to radiokanaler:

Sorter observasjonene i en klassedelt frekvenstabell. La hver klasse utgjøre 10 cm. I hvilket intervall er det flest elever?

d

Hva er gjennomsnittshøyden til elevene?

e

I hvilket intervall ligger medianhøyden til elevene?

f

Hva er variasjonsbredden i datamaterialet?

Ku

c


Test deg selv 141

3.38 Tabellen viser næringsinnholdet i 100 g makrell i tomat:

a

g

60 g 20 g 4g 12 g 4g

3,8 6,3 3,2 4,8 6,4 8

4,8 3,9 6,1 3,8 4,8 5,6 4,8 4,2 4,1 5,2 5,5 5,8 5,9

Lag et stolpediagram som illustrerer dette næringsinnholdet.

a b

Fettsyrene i 100 g makrell fordeler seg slik:

c

4g 10 g 6g

d e

Lag en klassedelt frekvenstabell over verdiene. Hva er gjennomsnittlig antall megabyte per sang? Hva er typetallet?

Hva er medianen?

Hva er variasjonsbredden?

rd

Mettede fettsyrer Enumettede fettsyrer Flerumettede fettsyrer

9,6

er in

Vann Fett Karbohydrater Protein Fiber, salt og vitaminer

3.39 Olav arbeider for en bedrift som skal starte en strømmetjeneste med musikk. For å få oversikt over datamengden som strømmetjenesten krever, har han lastet ned tjue populære sanger for å studere hvor mange megabyte hver av dem opptar:

Lag et sektordiagram som illustrerer disse andelene.

c

Hvor mange grader av sirkelen utgjør enumettede fettsyrer?

d

Hvor mange grader av sirkelen utgjør de to andre sektorene?

vu

b

Sone Ferje

til

3.40 Tabellen viser prisene for ferjeturer langs kystriksveien (2017). Prisene er inkludert sjåføren: Bil < 6 m 6,01–7 m 7,01–8 m 8,01–10 m 10,01–12 m 12,01–14 m 14,01–17 m

Bil + Bil + Voksen Barn Motorsykkel campingvogn campingvogn m/sjåfør < 10 m > 10 m

Lund – Hofles

140

341

400

510

597

695

825

280

420

49

25

84

6

Holm – Vennesund

132

324

378

489

576

663

793

264

396

46

23

80

5

Horn – Andalsvåg

117

285

335

434

521

608

728

234

351

43

22

74

Forvik – Tjøtta

220

532

619

771

880

999

1140

440

660

70

35

117

Levang – Nesna

148

361

421

532

630

728

858

296

444

51

26

86

Kilboghamn – Jektvik

251

608

706

869

988

1119

1271

502

753

78

39

130

Ågskaret – Forøy

101

248

291

384

467

543

663

202

303

39

20

66

n

10

16

Ku

8

19 3

a

Hvor mye koster det fra Forvik til Tjøtta når du kjører en bil mindre enn 6 m?

b

Hvor mye koster en ferjetur fra Levang til Nesna med motorsykkel?

c

Hvor mye koster en ferjetur fra Kilboghamn til Jektvik med bil og campingvogn over 10 m, en ekstra voksen og tre barn?


142 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Aktiviteter

er in

3.1 Undersøkelse om søvnvaner og kosthold

Del 1 Bruk et egnet verktøy til å lage en undersøkelse som kan distribueres til alle elevene på skolen eller til en stor gruppe personer gjennom sosiale medier. La svarene på spørsmålene være tall. Dere kan for eksempel spørre om antall timer de sover om natta, hvor seint på kvelden de sitter ved en skjerm, og hvor mange dager i uka de spiser frokost.

g

Tilbake til start

Del 2 Gjennomfør undersøkelsen.

rd

Del 3 Analyser dataene og presenter dem på en fornuftig måte.

vu

På en skole ønsker de å kartlegge søvnvaner og kosthold hos elevene. Spørreundersøkelsen skal være anonym. Du skal nå ha lært nok til å kunne ta på deg oppdraget og gjennomføre undersøkelsen.

Ku

n

til

3.2 Målinger på skolen min

Undersøk om det er apparater på skolen din som genererer datasett dere kan analysere. De kan for eksempel være knyttet til temperatureller energimåling. Kanskje dere har utstyr på naturfagrommet eller på skolen til å gjøre målinger selv?

3.3 Terningkast Lag et program som simulerer terningkast med to terninger. Programmet skal spørre brukeren om hvor mange kast som skal simuleres, og returnere en liste med summen av de ulike kastene.

3.4 Gjennomsnitt Lag et program som regner ut gjennomsnittet av tall som brukeren taster inn. Utvid programmet til å finne typetall, median og variasjonsbredde for de samme tallene.


Aktiviteter 143

3.5 Likestrømskrets

3.7 Innhente og sortere data knyttet til informasjonteknologi og medieproduksjon

er in

g

I informasjonsteknologi og medieproduksjon er det mange ulike data som er aktuelle å samle inn og studere. Aktuelle temaer kan for eksempel være mobilbruk, avislesing, lydnivåer, lysstyrker, utleiepriser på utstyr og timepriser på oppdrag. Gjennomfør en undersøkelse og systematiser tallmaterialet på en ryddig og oversiktlig måte.

3.8 Yrkesvalg

Gjør en undersøkelse om yrkesvalg i klassen. a

Hent inn informasjon fra alle elevene om hva de har tenkt å bli. Gjør gjerne en anonym undersøkelse. Det kan for eksempel skje digitalt eller ved at dere samler inn lapper. Lag så en frekvenstabell over resultatene.

rd

Lån utstyr for å lage en strømkrets med lamper eller andre motstander og en spenningskilde på 12 V. Lampene kan koples parallelt, i serie eller i en kombinasjon. Regn ut hva strømstyrken skal være i ulike deler av kretsen.

b

Stemmer beregningene med det du måler?

c

Varier spenningen i kretsen. Presenter sammenhengen mellom strøm og spenning for ulike spenningsnivåer på et egnet diagram. (Tips: punktdiagram og «Legg til trendlinje»)

b

Lag et søylediagram som viser de ulike yrkene og hvor mange som planlegger hvert yrke.

c

Lag et sektordiagram som illustrerer fordelingen av yrkesvalg.

vu

a

Ku

n

til

3.6 Sentralmål og spredningsmål i store datasett

Lag et program som leser en fil med et datamateriale, og som skriver ut gjennomsnitt, median og variasjonsbredde.


144 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

Oppgaver

3.41 Antall

70 50 30 10 50 km/h Mellom 50 km/h Over og 60 km/h 60 km/h

Diagrammet viser resultatet fra en kveld med fartsmålinger, der fartsgrensen var 50 km=t.

8 h i døgnet

24 h i døgnet

100

292

876

200

584

1 752

500

1460

4 380

1000

2920

8 760

2000

5840

17 520

a

Hvor mange kilowattimer per år bruker en 500 W varmeovn som står på i 8 timer av døgnet?

b

Vil en 500 W varmeovn som står på hele døgnet, bruke mer eller mindre energi enn en 2000 W varmeovn som står på i 8 timer av døgnet?

rd

Under 50 km/h

Antall watt (W)

er in

90

3.43 Tabellen viser antall kilowattimer (kWh) en varmeovn bruker i løpet av et år hvis den står på i 8 timer eller i 24 timer:

g

3.1 Å lese tabeller og diagrammer

Omtrent hvor mange kjørte akkurat på fartsgrensen?

b

Omtrent hvor mange kjørte over fartsgrensen?

c

Omtrent hvor mange fikk målt farten sin den kvelden?

vu

a

3.42 Sektordiagrammet viser inntektene i statsbudsjettet i 2018 utenom lånetransaksjoner. Totalt var inntektene 1253 milliarder kroner.

Hvor mye koster det å la en 1000 W varmeovn stå på gjennom hele døgnet, når strømprisen er 1,23 kr=kWh?

3.44 A

til

F

c

E

B

C

n

D

Skatt på formue og inntekt

D

Renter og aksjeutbytte

B

Arbeidsgiveravgift og trygdeavgift

E

Petroleumsinntekter

F

Andre inntekter

Ku

A

C

Merverdiavgift

Kilde: regjeringen.no

a

Hvilken inntektskilde var størst?

b

Om lag hvor mange kroner utgjorde inntektene av de to kategoriene «Arbeidsgiveravgift og trygdeavgift» og «Merverdiavgift» samlet?

c

Hvor mange kroner utgjorde inntekten av «Skatt på formue og inntekt»?

Antall hertz (Hz) er antall svingninger per sekund for en bølge. Mennesket kan høre lyder fra 20 Hz til 20 000 Hz, mens stemmen vår ofte har frekvenser mellom 3000 Hz og 6000 Hz.


Oppgaver 145

Frekvensrespons

2,00

+20

1,80 1,60

Lengde (m)

1,40

0

Areal (m2)

1,00

–10

0,80

–20 20

g

1,20

2

3 4 5 6 7 89

50 100

2

1000

3 4 5 6 7 89

10000 20000

Hz

Diagrammet viser frekvensresponsen til en mikrofon. Positiv desibelverdi betyr at mikrofonen framhever lyder med denne frekvensen, mens negativ desibelverdi betyr at lyder med denne frekvensen blir dempet før de gjengis. Er lav frekvens en dyp eller en lys tone?

b

Kan du beskrive den vannrette aksen på diagrammet?

c

I hvilket frekvensområde blir lyden forsterket?

0,60 0,40 0,20

40

a b

45

50

55

60 65 Tommer

70

75

80

Hvor lang og hvor bred er en 50 tommers skjerm? Hva er arealet av en 70 tommers skjerm?

rd

a

Bredde (m)

er in

dB

+10

Hvor mange tommer må skjermen være for at arealet skal bli over én kvadratmeter?

d

Hvor mange tommer måler skjermen maksimalt når lengden skal være høyst 1,5 m?

vu

c

3.45

Ku

n

til

3.46 Tabellen viser klimagassutslipp (tonn CO2 -ekvivalenter) i Trøndelag i 2009, 2015 og 2017:

Diagrammet øverst i neste spalte viser hvordan antall tommer på en TV-skjerm påvirker lengde, bredde og areal for skjermen. Lengden og bredden er gitt i meter, arealet er gitt i kvadratmeter.

2009

2015

2017

Industri, olje og gass

495 724

785 672

773 691

Energiforsyning

151 780

78 222

119 398

Oppvarming

110 896

57 405

50 138

Veitrafikk

618 155

591 434

497 967

Sjøfart

247 240

263 971

287 624

Luftfart

35 726

38 556

37 772

Annen mobil forbrenning

197 506

262 405

214 959

Jordbruk

711 029

734 308

742 254

Avfall og avløp

105 865

87 350

81 414

2 673 921

2 899 323

2 805 217

Totalt

a

Hvilke utslippstyper har økt fra 2009 til 2017?

b

Hvilke utslippstyper har minket fra 2009 til 2017?

c

Hvilket av de tre årene hadde høyest totalutslipp?


146 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.47 Tabellen viser antall kinoforestillinger med norske filmer: 1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

Antall i 1000

15

17

18

16

25

19

19

23

22

% av alle forestillinger

8

9

9

8

12

9

9

10

10

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

17

27

23

41

35

38

47

52

57

57

7

11

9

16

13

13

16

18

19

19

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

Antall i 1000

68

78

51

69

76

54

67

62

78

66

% av alle forestillinger

22

23

15

20

21

15

18

16

20

16

% av alle forestillinger

(Kilde: medienorge.uib.no)

er in

Antall i 1000

g

1990

Hvor mange norske kinoforestillinger var det i 2014?

b

Hvor mange prosent av alle forestillingene var norske i 1998?

c

I hvilket år var det prosentvis flest norske kinofilmer?

d

Hvordan har antallet norske filmer variert i perioden 1991–2019?

rd

a

100 000

Personer

75 000

til

50 000 25 000 0 –25 000

Innvandring

Utvandring

20 10 20 1 20 6 18

20 00

19 8 19 6 90

19 80

n

19 70

19 60

–50 000 19 52

3.49 Diagrammet viser aldersfordelingen i den norske befolkningen i 1986 og 2019:

vu

3.48 Diagrammet viser innvandring til og utvandring fra Norge:

Nettoinnvandring

a

Hvor langt tilbake i tid gjelder dataene?

b

Hvor mange innvandret til Norge i 1986?

c

Hvor mange utvandret fra Norge i 2016?

d

Hva skjedde i 1960 ifølge dette diagrammet?

e

Hva betyr nettoinnvandring?

Ku

År

(Kilde: ssb.no)

a

Om lag hvor mange menn var i alderen 15–19 år i 2019?

b

Om lag hvor mange kvinner var i alderen 40–44 år i 1986?

c

Sammenlikn aldersgruppa 10–14 år og aldersgruppa 45–49 år for de to tidsperiodene. Hva ser du?


Oppgaver 147

2 0

3 1

2 0

5 0

2 3

3 2

3 4

5 3

4 4

1 3

a

Hvor mange dager har han telt?

b

Lag en frekvenstabell over dataene.

157 120 168 144 132 156 129 131 165 170 191 180 164 178 132 186 136 160 132 a

Hvor mange dager har han telt?

b

Hva er det laveste antall kunder på en dag?

c

3.51 Lag et regneark som genererer 100 tilfeldige tall mellom 1 og 4. Lag deretter en tabell som teller opp antall enere, toere, treere og firere.

Lag en klassedelt frekvenstabell med intervallene ½120, 140i, ½140, 160i, ½160, 180i og ½180, 200i.

3.55 Anita har satt opp en bevegelsessensor ved en viltovergang for å se hvor mange dyr som krysser veien i løpet av et døgn. Hver passering ble registrert med klokkeslett:

rd

Aktuelle formler: =TILFELDIGMELLOM(lav;høy) og =ANTALL.HVIS(område;vilkår)

g

3.50 Thomas har telt hvor mange timer han har brukt foran en skjerm hver dag de første dagene av sommerferien:

3.54 Christian jobber i en sportsbutikk og har notert antall kunder hver dag:

er in

3.2 Innhente og sortere data

01.30.30

02.36.29

05.49.24

06.37.00

06.43.25

08.45.24

10.17.54

11.24.35

11.33.38

12.43.44

12.52.20

14.15.56

14.53.25

16.32.31

16.33.10

19.12.59

20.16.02

20.36.06

21.25:44

vu

3.52 Mia har spurt de andre i klassen hvilken måned de er født, og har fått disse svarene:

00.04.35

2 3 2 5 7 6 1 9 2 12 5 3 2 2 9 12 Hvor mange elever er det i klassen?

b

Lag en frekvenstabell.

c

Hvor mange i klassen er født i perioden juli–desember?

d

Hvor mange i klassen er født i perioden januar–juni?

til

a

n

3.53 Thomas har skrevet ned hvor lang tid (hvor mange minutter) han bruker på å sykle til skolen, og har fått disse tidene:

Ku

27 29 26 30 27 31 29 28 28 31 29 28 29 32 31 28 27

a

Hvor mange minutter brukte Thomas til skolen da han var raskest?

b

Hvor mange minutter er det lengste han har brukt?

c

Lag en frekvenstabell.

d

Lag en klassedelt frekvenstabell med intervallene ½26, 30i og ½30, 34i.

a

Hvor mange dyr passerte dette døgnet?

b

Lag en klassedelt frekvenstabell der du teller opp passeringene. Velg selv intervaller på klassene.

c

Når på døgnet passerte flest dyr?


148 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

5.49

8.04

7.34

7.29

6.58

8.15

7.07

7.54

6.23

6.36

7.02

7.21

7.46

6.33

6.58

7.00

8.30

7.32

7.03

8.01

7.34

7.50

6.17

7.09

8.01

7.09

8.29

Søndag

29

Lag en klassedelt frekvenstabell for å få oversikt over søvnrytmen til Amund de fire siste ukene. Ta utgangspunkt i denne tabellen: Tidsintervall ðhÞ

Antall netter

½6,5, 7,0i ½7,0, 7,5i

a

Hvor lenge pleier Amund å sove om natta?

til

3.57 Tabellen viser alderssammensetningen i Delfinen svømmeklubb: Antall

½0, 7i

21

½7, 10i

24

½10, 15i

25

½15, 18i

27

½18, 30i

36

½30, 100i

70

n

Alder, år

Ku

0,5 10 2,6

7

0,1 14 4,6 1

Tirsdag

1

8

13

14

15

20

21

22

0,7 -

28

29

Onsdag

2 3,1 24 -

Torsdag

1,1 15 13 0,2 -

Fredag

4

3 1,2 7,7 2,7

Lørdag

5

0,2 3,1 12 13

2

3

9

10

11

12

16

17

18

19

23

24

25

26

30

31

1

2

Sorter informasjonen på kalenderbladet i en oversiktlig tabell.

vu

½8,0, 8,5i

6

Mandag

30

27

½6,0, 6,5i

½7,5, 8,0i

2019

rd

½5,5, 6,0i

b

OKTOBER

er in

a

6.50

3.58 Bestefaren til Michelle følger ivrig med på været. Han har en regnmåler stående ute i hagen, og hver dag fører han inn antall millimeter nedbør på kalenderen sin. For oktober 2019 så kalenderen slik ut:

g

3.56 Amund har en klokke som registrerer hvor mange timers søvn han får hver natt. Forrige måned fikk han disse målingene:

a

I hvilken aldersgruppe har svømmeklubben flest medlemmer?

b

Anslå gjennomsnittsalderen til medlemmene.

c

I hvilken aldersgruppe finner vi medianalderen til medlemmene?

b

Lag en tilsvarende tabell for oktober 2019 der du bor. Gå inn på yr.no og let opp nedbørsstatistikk.

c

Sammenlikn tabellene og pek på likheter og forskjeller.

3.3 Å lage en grafisk presentasjon 3.59 Gå inn på ssb.no/navn og gjør et søk på navnet ditt. Framstill historikken til dette navnet på et passende diagram. Sammenlikn med de mest populære navnene året før på et annet diagram.


Oppgaver 149

Kategori

Antall

Avfallstype

Prosent

Deltakere på arbeidsmarkedstiltak

54 668

Papir

302 913

Mottakere av arbeidsavklaringspenger Mottakere av uføretrygd

Treavfall

60 480

53 152

Ukjent status

7

Metall

247 772

Andre ordninger

16

177 249

Hvor mange personer deltok enten på arbeidsmarkedstiltak eller mottok arbeidsavklaringspenger? Bruk tallene i tabellen til å lage et sektordiagram.

c

Bruk tallene i tabellen til å lage et søylediagram.

Våtorganisk avfall

7

Farlig avfall

4

Gummi

3

Plast

2

Blandet avfall

46

Annet

9,5

rd

b

5

er in

Under ordinær utdanning

a

3.63 Tabellen viser avfall fra tjenesteytende næringer fordelt på materialtype i 2017:

g

3.60 Tabellen viser registrert aktivitet på personer som kunne jobbet, men som ikke gjorde det i 2018:

Antall

38

9

39

7

40

9

41 42 43 44

Presenter tallene i et sektordiagram.

1819

1919

2019

0,95

2,59

5,33

15

a

Presenter tallene i et linjediagram.

4

b

Presenter tallene i et søylediagram.

3

c

Bruk linjediagrammet til å anslå omtrent hvor mange mennesker som bodde i Norge i 1970.

16

n

Ku

Presenter tallene på et søylediagram.

3.62 Tabellen viser andel dagligrøykere i Norge i alderen 16–74 år i prosent for begge kjønn: 2008

2010

2012

2014

2016

2018

21

19

16

13

12

12

Prosent

b

11

45

År

Presenter tallene i et søylediagram.

3.64 Tabellen viser folketallet i Norge i 1819, 1919 og 2019 gitt i millioner mennesker:

til

Skostørrelse

a

vu

3.61 Ahmed har spurt de andre på utdanningsprogrammet hvilken skostørrelse de har. Resultatene er vist i tabellen:

(Kilde: ssb.no)

(Kilde: ssb.no)

Presenter tallene på et linjediagram.


150 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.67 Tabellen viser utviklingen i jordbruksareal i antall tusen dekar i perioden 1989 til 2018:

Millioner kroner

Kina

20 958

Korn og oljevekster

3530

3 346

2879

2825

Polen

22 492

Åker og hage

4403

3 996

3326

3270

Danmark

46 205

USA

46 685

Belgia

52 149

Frankrike

65 707

Sverige

66 744 105 881

Tyskland

159 346

Storbritannia

215 856

1999

2014

2018

Fulldyrket eng og beite

4443

4 876

4785

4791

Sum areal fulldyrket jord

8846

8 871

8111

8061

Annen eng og beite

1096

1 513

1757

1803

Jordbruksareal i drift totalt

9942

10 384

9868

9864

Areal i dekar per innbygger

2,35

2,34

1,93

1,86

(Kilde: regjeringen.no)

rd

Nederland

1989

g

Land

er in

3.65 Tabellen viser Norges største handelspartnere for eksport av varer for 2018:

(Kilde: ssb.no)

Hvilket land eksporterte Norge mest til i 2018?

b

Presenter tallene i søylediagram.

c

Presenter tallene i et sektordiagram.

Hvor mange dekar utgjorde arealet for korn og oljevekster i 2014?

b

Hvor mange dekar ble det samlede arealet av fulldyrket jord redusert fra 1989 til 2018?

c

Lag et søylediagram som viser antall tusen dekar for «Annen eng og beite» i årene 1989, 1999, 2014 og 2018.

d

Lag et linjediagram som viser utviklingen i arealet (i dekar) per innbygger fra 1989 til 2018.

vu

a

a

til

3.66 Linda jobber i firmaet Reklame for deg AS og har telt opp hvor mange de har solgt av T-skjorter, krus og gensere hver uke.

Uke 34 Uke 35 Uke 36 Uke 37 Uke 38 Uke 39 Uke 40 Uke 41 T-skjorter

152

138

110

90

128

144

135

62

51

45

52

61

47

45

42

182

171

194

167

158

152

141

122

n

Krus

123

Gensere

3.4 Sentralmål og spredningsmål 3.68 Mikael spiller yatzy og fikk disse terningene på et kast:

Hva er samlet salgstall for disse ukene?

b

Hvor stor andel utgjør genserne av salget?

c

Fremstill dataene i tabellen i et linjediagram og i et søylediagram.

Finn a

gjennomsnittsverdien

d

Hvilket av diagrammene synes du viser målingene på best måte?

b

medianen

c

typetallet

e

Hva viser diagrammene om salget av gensere?

d

variasjonsbredden

Ku

a

5 6 3 3 2


Oppgaver 151

3 1

3 4

5 5

2 1

6 3

5 2

5 4

3 3

a

Hvor mange dager har hun telt?

b

Hva er gjennomsnittet?

c

Hva er typetallet?

d

Hva er variasjonsbredden?

50

1 4

40 30 20

10

27 29 26 30 27 31 29 28 28 31 29 28 29 32 31 28 27

16–24 25–34 35–44 45–54 55–64 65–74 År Kilde: fhi.no

a

Hva er gjennomsnittstiden?

b

Finn typetallet.

c

Hvor mange minutter utgjør variasjonsbredden?

b

Hva er gjennomsnittlig andel dagligrøykere med sluttforsøk i aldersgruppa 35–74 år?

c

Hva er gjennomsnittlig andel dagligrøykere med sluttforsøk i aldersgruppa 16–34 år?

vu

a

3.73 Tabellen viser gjennomsnittlig kjørelengde (i kilometer) for personbiler i hele landet:

til

3.71 Christian jobber i en sportsbutikk og har notert antall kunder hver dag:

157 120 168 144 132 156 129 131 165 170 191 180 164 178 132 186 136 160 132

n

Hvor mange kunder er det i gjennomsnitt per dag?

2007

2008

2009

2010

2011

2012

13 916

13 835

13 606

13257

12 985

12 969

2013

2014

2015

2016

2017

2018

12 670

12 411

12 347

12 204

12 148

12 140

Kilde: ssb.no

Hvor stor er variasjonsbredden?

Ku

b

Hvor mange prosent av dagligrøykere i alderen 16–24 år har prøvd å slutte å røyke siste året?

rd

3.70 Thomas har skrevet ned hvor mange minutter han bruker på å sykle til skolen, og har fått disse tidene:

a

Andel i prosent

er in

4 3

3.72 Figuren viser andelen dagligrøykere som har prøvd å slutte å røyke siste år, i ulike aldersgrupper i perioden 2013–2017:

g

3.69 Silje jobber i et supportfirma. I en periode har hun notert hvor mange timer hun har brukt hver dag på support knyttet til sikkerhetsløsninger. Antall timer de ulike dagene er:

a

Hvilket år kjørte personbilene lengst?

b

Hva er gjennomsnittlig antall kilometer?

c

Hvor mange kilometer er variasjonsbredden?


152 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.74 Diagrammet viser karakterfordelingen i en klasse etter en matematikkprøve: Antall elever

Elforbruk gjennom året Månedlig elforbruk (TWh)

4

2 1 1

3

4

5

6

Karakter

Jan Feb Mar Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Des

Anslå ulike sentral- og spredningsmål: gjennomsnittskarakter

mediankarakter

typetall

variasjonsbredde

a

gjennomsnittskarakter

mediankarakter

typetall

variasjonsbredde

b

Hva er det månedlige elforbruket i måneden med lavest forbruk?

c

Hva blir årsforbruket hvis vi summerer forbruket i alle månedene?

d

Hvor høyt er gjennomsnittsforbruket?

e

Hvor stor er variasjonsbredden?

vu

Finn nøyaktige sentral- og spredningsmål:

3.76 Thomas har notert hvor lang tid han bruker på å sykle til eller fra jobb:

n

Ku

Hva er det månedlige elforbruket i måneden med høyest forbruk?

rd

(Kilde: nve.no)

til

b

2

16 14 12 10 8 6 4 2

er in

3

a

g

5

3.75 Søylediagrammet viser det årlige elektrisitetsforbruket i Norge og hvordan det varierer med de ulike månedene i året:

Starttid

13.14

18.48

11.57

20.01

Sluttid

14.10

19.30

12.38

20.47

Starttid

8.05

16.13

7.30

17.02

Sluttid

8.48

17.01

8.16

17.48

a

Hvor mange minutter bruker han i gjennomsnitt på å sykle til eller fra jobb?

b

Hvor mange minutter er variasjonsbredden?

c

Hvor mange timer vil han bruke på sykkelen hvis han sykler til og fra jobb 150 dager i året?


Oppgaver 153

3.77

a b c d e f

Studer datamaterialet. Hvor sikre oppfatter du at målingene er? Lag et linjediagram over temperaturene. Hva er høyeste målte temperatur? Hva er laveste målte temperatur? Hva er variasjonsbredden?

Regn ut gjennomsnittstemperaturen i perioden 1937–1999. Regn ut gjennomsnittstemperaturen i perioden 2000–2020.

rd

g

g

Filer for nedlasting finner du på forlagets nettsider for boka.

3.79 Åpne Excel. Velg «Data», «Hent data» og last inn tekstfila «Temperatur_Blindern_1931_til_2020». Fila viser målt temperatur i grader celsius kl. 13 hver 1. mai i årene 1937–2020.

er in

3.5 Store datasett

Hvor mange har svart på undersøkelsen?

b

Hva er høyeste antall besøk i løpet av en uke?

c

Hvor mange prosent av de spurte svarte null ganger?

d

Hva er gjennomsnittet?

e

Hva er typetallet?

til

a

n

3.78 Cecilie har gjennomført en spørreundersøkelse om sykefravær. Studer fila «Antall dager siden siste fraværsdag».

Studer fila «Innflytting og utflytting for en by 1994 til 2019». Fila viser antall personer som har flyttet inn i og ut av en by i perioden 1994–2019. a

I hvilket år var innflyttingen høyest?

b

Bruk regneark til å lage en tabell for differansen mellom innflytting og utflytting for hvert år (netto innflytting).

c

Når var nettoinnflyttingen høyest? Hvor høy var den da?

d

Når var nettoinnflyttingen lavest? Hva forteller dette tallet?

e

Lag et linjediagram som viser netto innflytting til i byen i perioden.

f

Kan du se noen tendens i tallene?

Hvor mange har svart på undersøkelsen?

Ku

a

3.80

vu

Mattias jobber for et treningssenter og har spurt kundene hvor mange ganger i uka de besøker treningssenteret. Resultatet er gitt i fila «Besøk treningssenter».

b

Hva er laveste antall dager siden siste fraværsdag?

c

Hva er høyeste antall dager siden siste fraværsdag?

d

Hva er gjennomsnittlig antall dager siden siste fraværsdag?


154 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

b

Hva er gjennomsnittskarakteren de besøkende har gitt?

c

Hva er medianen?

d

Hvor mange har gitt kinosalen karakteren 5?

e

Lag en frekvenstabell.

f

Lag et søylediagram.

Dere skal nå presentere funnene for de andre i klassen. Bruk det dere har lært om ulike sentralog spredningsmål. I tillegg skal dere lage oversiktlige diagrammer.

er in

Hvor mange har svart på undersøkelsen?

3.83 Finn fram tabellen dere laget i «utforsk»-oppgaven fremst i delkapittel 3.3.

Er det eleven som går, sykler, tar buss eller blir kjørt til skolen, som bruker kortest tid per kilometer?

3.84 Kristoffer kaster terninger, og du får vite følgende: – Summen av terningkastene er 24. – Gjennomsnittsverdien er 4,8. – Medianen er 4. – Typetallet er 4. – Variasjonsbredden er 2. – En av terningene viste 6.

rd

a

Blandede oppgaver

g

3.81 Ida har gjennomført en spørreundersøkelse for å høre de besøkendes vurdering av en ny kinosal. De besøkende kunne gi kinosalen en karakter fra 1 til 6. Åpne fila «Vurdering av kino» for å studere resultatet av undersøkelsen.

Datasett 1

vu

3.82 Studer de seks datasettene og grupper dem to og to etter hvilke sett som likner mest på hverandre. Grunngi sorteringen. (Du kan laste ned datasettene fra Skolestudio.) Datasett 2

Datasett 3

6

7

3

3

2

5

3

3

3

4

4

8

4

1

4

2

4

1

4

2

3

2

4

4

6

3

2

4

3

3

2

4

2

2

2

1

2

6

7

1

1

2

2

3

3

4

3

5

7

5

5

5

5

5

5

2

3

1

3

Datasett 4

til

7

Datasett 5

Datasett 6

a

Hvor mange terninger kastet Kristoffer?

b

Hva var den laveste verdien?

c

Hva viste de andre terningene?

3.85 Adam og Sofie har tre barn. Morten er 93 cm, Eva er 112 cm, og Christian er 134 cm. Tabellen viser dagspriser til en fornøyelsespark:

4

3

3

2

4

3

3

3

2

3

3

5

1

4

3

4

8

7

2

2

2

2

2

3

3

3

5

3

8

7

4

4

4

4

4

1

2

2

1

5

5

5

1

3

2

4

2

over 120 cm

430 kr

5

5

5

5

5

5

8

7

4

4

2

5

95–120 cm

360 kr

under 95 cm

gratis

senior

320 kr

dag 2-billett

159 kr

Ku

n

1

Billettype

a

Pris

Hvor mye må familien totalt betale i inngangspenger for en dag i parken?


Oppgaver 155

c

Adam ønsker å finne ut hvor mye han må betale per karusell ut fra dagsprisen og antall karuseller han kjører. Hvor mye har han betalt per karusell hvis han kjører fem turer?

d

Lag et linjediagram som viser prisen per karusell ut fra dagsprisen hvis Adam kjører fra én til ti turer.

3.86

3.87 Gå opp en trapp, eller opp og ned fra en stol, 25 ganger. Sett deg så ned og sitt helt stille. Mål pulsen din ved å telle slag i 6 sekunder og gange dette tallet med 10. Gjør dette hvert halve minutt.

g

Hvor mye sparer de på å kjøpe dag 2-billett til hele familien hvis de skal besøke parken også seinere den sommeren?

Registrer resultatene i en tabell og framstill dem på et egnet diagram.

er in

b

3.88 Tabellen viser valgdeltakelsen i prosent ved stortingsvalgene i perioden 1989–2017:

Wearables 2120 PC til for-

1989

1993

1997

2001

Prosent

83,2

75,8

78,3

75,5

År

2005

2009

2013

2017

Prosent

77,4

76,4

78,2

78,2

rd

brukermarkedet

År

3878

Mobiltelefoner + nettbrett 11 825

Lyd- og

a

Hvilket år var valgdeltakelsen høyest?

b

Presenter tallene på et søylediagram.

c

Hva er gjennomsnittsverdien?

d

Hvor stor er variasjonsbredden?

vu

bildeprodukter

(Kilde: ssb.no)

inkludert foto 6827

Elektriske

husholdningsapparater

til

11 380

(Kilde: Stiftelsen Elektronikkbransjen)

Hvor mange milliarder brukte vi til sammen på PC, mobiltelefon og nettbrett?

Ku

a

n

Diagrammet viser hva nordmenn kjøpte av forbrukerelektronikk i 2018. Tallene er i milliarder kroner. Totalomsetningen var 36,030 milliarder kroner i 2018.

b

Lag et søylediagram som gir samme informasjon som sektordiagrammet.

c

Omtrent hvor stor brøkdel av omsetningen utgjorde lyd- og bildeprodukter?

d

Hvor mange prosent av omsetningen var elektriske husholdningsapparater?

3.89 Lag et sektordiagram og et søylediagram som viser fordelingen av ungdom i videregående opplæring i Norge. Bruk tallene i tabellen fra Statistisk sentralbyrå (2018): Kvinner

Menn

Yrkesfag

43 780

74 580

Studiespesialiserende

69 556

55 839


156 KAPITTEL 3 – INNSAMLING OG PRESENTASJON AV DATA

3.90 Tabellen viser antall boliger i Norge (bebodde og ubebodde):

3.91 Tabellen nederst på siden viser antall gram ut fra antall ark og tykkelsen på arket ðg=m2 Þ. a

2019

140 g=m2 ?

2009–2019 2018–2019

2 547 732 2 581 155

280 416

33 423

Enebolig

1 271 158 1 276 690

65 259

5 532

Tomannsbolig

230 328

232 948

23 075

2 620

Rekkehus, kjedehus og andre småhus

302 720

307 910

43 606

5 190

Boligblokk

610 742

628 145

113 664

17 403

Bygning for bofellesskap

60 458

61 912

20 917

1 454

Andre bygningstyper

72 326

73 550

13 895

1 224

Hvilken boligtype var det flest av i 2019?

b

Hvilken boligtype har hatt størst økning i antall fra 2009 til 2019?

c

Presenter tallene for 2018 på et søylediagram.

d

Presenter tallene for 2019 på et sektordiagram.

Tegn et linjediagram som viser antall ark langs den vannrette aksen og antall gram langs den

loddrette aksen for ark med tykkelsen 120 g=m2 . (Tips: Marker de to kolonnene og velg «Sett inn punktdiagram».)

c

Om lag hvor mange ark med tykkelsen 120 g=m2 kan vi ha før massen blir mer enn 500 g?

vu

rd

a

b

er in

I alt

Hvor mange gram veier 50 ark med tykkelsen

g

Endring 2018

g=m2

100

120

140

180

200

1

5

6

7

9

11

12

10

50

62

75

87

112

125

20

100

125

150

175

225

249

50

249

312

374

437

561

624

100

499

624

748

873

1123

1247

150

748

936

1123

1310

1684

1871

200

998

1247

1497

1746

2245

2495

til

80

Ku

n

Antall ark


Oppgaver 157

3.92 Undersøk om datamaterialet har målinger som bør slettes før du kan behandle tallene.

b

Sorter vindstyrken i stigende rekkefølge. Hva er gjennomsnittet, medianen og variasjonsbredden?

c

Finn ut hva som regnes som høy vindstyrke, og drøft med andre hvilke intervaller det er naturlig å dele materialet inn i. Lag et søylediagram. Gjør en vurdering av om dere mener det er høy vindstyrke i området eller ikke.

Ku

n

til

vu

rd

I forbindelse med bygging av en bru er det installert et anemometer som måler vindstyrken. Formålet med målingene er å få oversikt over den gjennomsnittlige vindstyrken, hvor høy vindstyrke som kan oppstå, og hvor stor del av året vindstyrken er høy. Studer fila «Vindmålinger».

er in

d

g

a


g

Ku

n

til

vu

rd

er in

4

FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE


g

er in

Kjøling av serverrom

Det skal installeres varmepumper for å kjøle ned et serverrom. Kjølebehovet er beregnet til 50 000 kWh i året, og maksimalt kjølebehov antas å være 12 kW på det varmeste. To ulike varmepumper skal vurderes, og en skal fastslå hvor mange av den valgte typen en trenger. Videre skal en anslå forventet årlig strømforbruk for kjøleanlegget.

rd

For å ta på deg oppdraget må du kunne regne på sammenhengen mellom effekt og energimengde og på energiomsetningen i en varmepumpe.

vu

I aktivitet 4.1 kan du prøve deg på oppdraget.

Kapitteloversikt

I 4.1 Ulike uttrykksformer lærer du hvordan du kan uttrykke mønstre på ulike måter: med ord, tegninger, regnestykker og formler.

til

I 4.2 Å forstå og lage formler lærer du hvordan du kan lage formler ut fra en gitt situasjon, og at formlene er en effektiv og presis uttrykksmåte.

Ku

n

I 4.3 Å bruke formler lærer du å tolke, forstå og arbeide med ulike formler for å kunne løse praktiske problemer fra dagliglivet. I 4.4 Formler fra yrkeslivet lærer du å tolke og bruke formler til å løse spesifikke yrkesproblemer effektivt.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

tolke og bruke formler som gjelder dagligliv og yrkesliv


160 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

4.1 Ulike uttrykksformer

D U S K AL K U N N E

uttrykke mønstre på figurer på ulike måter: med tegninger, ord, regnestykker og matematiske formler

rd

er in

g

I dette delkapitlet skal vi se etter mønstre i figurer. Vi skal uttrykke disse mønstrene med tegninger, ord, regnestykker og til slutt formler. En formel er en presis matematisk måte å beskrive et mønster på. Kjennskap til ulike uttrykksmåter hjelper oss til å forstå formlene i yrket bedre.

U T F O R S K SA M M E N

10

vu

Hvordan kan vi finne antall fargete småkvadrater i ramma uten å måtte telle en og en?

1

Gå sammen i par og studer figuren. Tenk over hvordan dere kan finne antall blå ruter i ramma uten å måtte telle en og en rute.

2

Tenk så at ramma er i et rutenett med 5 5 ruter. Hvor mange blå ruter blir det nå? Prøv å forklare med ord eller tegning hvordan dere resonnerer. Skriv så opp regnestykket.

3

Gjør det samme med et rutenett på 8 8 ruter.

4

Del forklaringene fra det siste rutenettet med resten av klassen. Hvor mange ulike strategier har dere funnet?

5

Gå tilbake til parkameraten din. Velg ut strategien til en av de andre gruppene. Prøv å bruke den til å finne hvor mange ruter det er i ramma i et rutenett med 12 12 ruter. Skriv opp regnestykket.

Ku

n

til

10

Figuren viser en ramme i et rutenett med 10 10 ruter.


Ulike uttrykksformer 161

Ulike måter å uttrykke mønstre på 10

En av flere måter å resonnere på er den Oda brukte. Oda pekte på den opprinnelige figuren og forklarte med ord, tegning og regnestykke:

8

g

8

er in

«Jeg vet at det er 10 på toppen og 10 i bunnen. På sidene er det 2 mindre, fordi jeg alt har telt toppen og bunnen. Dermed er det 8 på hver side. Jeg får 10 þ 10 þ 8 þ 8.» I tillegg til figurer, ord og tall bruker vi formler for å uttrykke mønstre og sammenhenger som vi ser.

10

Ordet formel kommer fra latin og betyr «liten regel». En formel gir oss sammenhengen mellom to eller flere størrelser.

rd

Oda skulle lage en formel som viste hvordan hun fant antall ruter i de ulike rammene. Først satte hun opp noen regnestykker for visse rammestørrelser. Til slutt tenkte hun seg en ramme i et rutenett med størrelsen n n, der n kan byttes ut med alle mulige positive hele tall:

vu

10 10 ruter: antall ruter ¼ 10 þ 10 þ 8 þ 8

13 13 ruter: antall ruter ¼ 13 þ 13 þ 11 þ 11 20 20 ruter: antall ruter ¼ 20 þ 20 þ 18 þ 18 n n ruter:

antall ruter ¼ n þ n þ ðn 2Þ þ ðn 2Þ

Etterpå lot hun R representere antall ruter og fikk formelen

til

R ¼ n þ n þ ðn 2Þ þ ðn 2Þ

Formelen til Oda er et uttrykk for sammenhengen mellom størrelsen på rutenettet og antall ruter i ramma. Det er også en regel som gjør det mulig å regne ut antall ruter i ramma når vi kjenner størrelsen på rutenettet. n

Ku

n

I stedet for å lage regnestykker kan vi ta utgangspunkt direkte i tegningen for å lage en formel. Vi tar utgangspunkt i rutenettet som har størrelsen n n: Antall ruter R på figuren kan uttrykkes direkte som

n–2

n–2

R ¼ n þ n þ ðn 2Þ þ ðn 2Þ

I formelen kan altså n være alle positive hele tall som er større enn 3 (hvis vi skal få en ramme med tomrom inni). Vil vi at størrelsen på ramma skal være 100 100, kan vi erstatte n med 100 for å finne antall ruter i ramma.

n


162 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Tenk gjennom!

Figur 1

er in

rd

EK SEMPEL 1

g

Prøv å lage en formel som viser strategien din fra «Utforsk sammen». Bruk tegningene dine, forklaringene eller regnestykkene som hjelp. Sammenlikn med Odas formel. Hva er likt, og hva er ulikt?

Figur 2

Figur 3

Figur 4

Hvordan ser den femte figuren ut? Tegn.

b

Hvordan ser figur 100 ut? Hvor mange ruter består den av? Forklar med ord og tegning.

c

Lag regnestykker som viser hvor mange ruter det er på figur 5, 6 og 7.

d

Hvor mange ruter er det på figur n? (Lag et regnestykke med n.)

vu

a

Ku

n

til

Løsning: a

Figur 5

Vi ser at figur 2 har et kvadrat med 2 2 ruter og en ekstra rute på toppen. Figur 3 har et kvadrat med 3 3 ruter og en ekstra rute på toppen. Mønsteret fortsetter slik. Da må figur 5 ha et kvadrat med 5 5 ruter og en ekstra rute på toppen.


Ulike uttrykksformer 163

c

Antall ruter på figurene 5, 6 og 7 blir: Figur 5: 5 5 þ 1 Figur 6: 6 6 þ 1

Vi bruker figuren fra b og mønsteret i regnestykkene fra c til å lage et bokstavuttrykk for antall ruter på figur n: n n þ 1 ðeller n2 þ 1Þ

rd

Figur n:

vu

Figur n består av n n þ 1 ruter.

Oppgaver

4.2

Figur 1

Figur 3

d

Figur 4

Hvordan kan vi fortsette rekka? Tegn de tre neste figurene.

Figur 1

Hva vet du om figur 17? Hvordan ser den ut? Hvordan kan vi regne ut hvor mange ruter det er i den? (Det er flere måter å gjøre det på.) En medelev tenker på et figurnummer. Forklar hvordan han/hun kan regne ut hvor mange ruter figuren har.

Figur 2

Figur 3

a

Hvordan vokser mønsteret i figurrekka ovenfor?

b

Hvor mange småkvadrater er det i neste figur? Hvordan vet vi det? Tegn, forklar og lag regnestykke med tall.

c

Hva med figur 10? Hvor mange småkvadrater er det i den? Hvordan vet vi det?

d

En medelev tenker på et figurnummer. Forklar hvordan han/hun kan regne for å finne hvor mange ruter figuren har.

e

Lag en formel som viser antall ruter i figur n.

f

Vi har 600 småkvadrater. Kan du da lage en figur med samme form som de foran ved å bruke alle småkvadratene? Begrunn.

Hvor ser vi veksten fra en figur til den neste? Forklar med ord.

Ku

c

Figur 2

n

b

til

4.1

a

100

100

Figur 7: 7 7 þ 1 d

1

er in

Hver figur består av et kvadrat med en ekstra rute på toppen. Kvadratet har like mange ruter på hver side som figurnummeret viser. Figur 100 består derfor av et kvadrat med 100 ruter på hver side og en rute på toppen. Til sammen blir det 100 100 ruter i det store kvadratet og en ekstra rute på toppen: 100 100 þ 1 ¼ 10 000 þ 1 ¼ 10 001

g

b


164 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Hva er likt, og hva endrer seg på figurene som vokser?

c

Hva står A for, hva står 3 for, og hva står n for i figurrekka?

d

Kan du lage flere figurrekker (med andre former) som passer til formelen i a?

4.4

Figur 1

Figur 2

g

b

4.5

Figur 3

Studer figurrekka ovenfor. Lag en formel som setter deg i stand til å regne ut antall ruter i en figur når du kjenner figurnummeret.

er in

4.3 a Tegn en figurrekke som passer til formelen A ¼ 3 n.

4.6

Figur 2

Figur 3

Studer denne figurrekka.

rd

Figur 1

Figur 1

Tegn figurene 4 og 5.

b

Ser du et mønster i figurene? Hvordan ser figur 20 ut? Tegn og/eller forklar.

c

Lag regnestykker som viser hvor mange ruter det er i figurene 3, 4, 5 og 6.

d

Lag et regnestykke som viser hvor mange ruter det er i figur n.

til

n

L Æ R I N G S L O G G 4. 1

Ku

Beskriv kort ulike måter å uttrykke mønstre på. Hvorfor tror du vi bruker matematiske formler?

Figur 3

Figur 4

Studer figurrekken ovenfor. Finn en formel for antall små terninger i figur n.

vu

a

Figur 2


Å forstå og lage formler 165

4.2 Å forstå og lage formler

D U S K AL K U N N E lage en algebraisk formel ut fra en praktisk situasjon

tolke og forstå ulike formler

vu

U T F O R S K SA M M E N

rd

er in

For å forstå formler kan det være greit å lage noen selv. Hvilken formel ville du laget for å finne antall brødskiver en person spiser i løpet av et år, ut fra hvor mange brødskiver personen spiser hver dag? Hvilke bokstavsymboler ville du brukt i formelen?

For hver av de nevnte situasjonene skal du prøve å uttrykke sammenhengene ved hjelp av figurer, ord, tall og formler: Antall epler i et visst antall pakker når det er seks epler i hver pakke

2

Høyden til en plante et visst antall dager etter at den er plantet i hagen. Planten er 5 cm høy når den plantes, og den vokser med 1,5 cm per dag

til

1

n

Ved innføring av bokstavsymboler i formelen må du huske å skrive ned hva de ulike bokstavene står for. Kontroller gjerne om sammenhengene med ord og symboler stemmer, ved å bruke sammenhengene på noen talleksempler.

Ku

g

Mange sammenhenger mellom to størrelser kan beskrives med en formel.


166 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Å lage formler

g

I forrige delkapittel uttrykte vi mønstre ved hjelp av ord, tegninger, regnestykker og formler. Nå skal vi fortsette å se etter mønstre, men vi gjør det på praktiske situasjoner.

er in

Thea selger roser. Hun selger rosene for 12 kr per stykk. I tillegg tar hun 15 kr for å beskjære rosene og binde dem pent opp i en bukett. Vi skal sette opp en formel som viser sammenhengen mellom prisen på en ferdig oppsatt bukett og antall roser i buketten. Kanskje ser du allerede et generelt mønster som kan bli en formel? I motsatt fall er det en god strategi å regne på noen talleksempler først. Legg deretter merke til hva som er likt, og hva som er ulikt i regnestykkene. Pris for 3 roser:

rd

3 12 kr þ 15 kr ¼ 51 kr Pris for 5 roser:

5 12 kr þ 15 kr ¼ 75 kr

vu

Pris for 7 roser:

7 12 kr þ 15 kr ¼ 99 kr

Pris for 9 roser:

9 12 kr þ 15 kr ¼ 123 kr

Pris for 50 roser:

til

50 12 kr þ 15 kr ¼ 615 kr

Ku

n

Merk I dette eksemplet er P og x variable størrelser. Det vil si at P og x kan ha ulike verdier, men de henger sammen. Legg merke til at hvis antall roser x øker, øker også prisen P. I formler har vi alltid to eller flere variable størrelser.

Vi ser et mønster i at det bare er antall roser som endrer seg i hvert regnestykke. Resten av regnestykkene er like. Mønsteret i regnestykkene for pris er antall roser 12 kr þ 15 kr Prisen varierer også, så vi trenger en variabel (et bokstavsymbol) både for antall roser og for prisen. Vi setter x ¼ antall roser P ¼ prisen i kroner Formelen for prisen P i kroner når det er x roser i buketten: P ¼ x 12 þ 15 Vi pleier også å sette tall foran bokstavsymboler i formler. Vi skriver derfor om til P ¼ 12 x þ 15


Å forstå og lage formler 167

EKSEMPEL 2

Sett opp en formel som viser sammenhengen mellom antall kvadratmeter hun skal male, og tiden hun bruker på malerjobben.

Løsning: Tidsbruk:

3 min=m2 10 m2 þ 30 min ¼ 60 min

20 m2 vegg

Tidsbruk:

3 min=m2 20 m2 þ 30 min ¼ 90 min

30 m2 vegg

Tidsbruk:

3 min=m2 30 m2 þ 30 min ¼ 120 min

x m2 vegg

Tidsbruk:

3 min=m2 x m2 þ 30 min

Vi innfører to variabler: x ¼ antall kvadratmeter vegg

rd

T ¼ tidsbruk i minutter

er in

10 m2 vegg

g

Elin pusser opp og skal male. Hun bruker om lag 3 min per kvadratmeter når hun maler en vegg, og 30 min på å ordne utstyret hver gang hun maler.

vu

Formelen for tiden T i minutter på å male x kvadratmeter vegg blir T ¼ 3 x þ 30

Kanskje ser du mønsteret med en gang? Da kan du oversette direkte til formel, men husk alltid å definere variablene du innfører. Du må fortelle hva bokstavsymbolene dine betyr, og du må oppgi enheten.

Ku

n

til

EKSEMPEL 3

Frode har arvet bestefars samling av modellbiler. Nå vil han selge noen av dem på en lokal bruksmesse. Han regner med å få 200 kr per bil, men må betale 500 kr for å få lov til å ha en salgsbod på messa. Lag en formel som viser sammenhengen mellom antall biler han selger, og hvor mye han tjener (eller taper) hvis han får forventet pris.

Å lage formler:


168 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

x ¼ antall solgte biler F ¼ fortjeneste i kroner

Tenk gjennom!

er in

Formelen for fortjenesten F ved salg av x biler blir F ¼ 200x 500

g

Løsning: Frode tjener 200 kr per bil, men må uansett betale 500 kr til messearrangøren. Vi innfører to variabler:

rd

Hvor mye mange biler må Frode minst selge for å tjene penger? Hvordan resonnerte du for å finne ut det?

til

vu

Tolkning av formler

n

Hvordan skal vi tolke formler? Hva står de ulike tallene og bokstavsymbolene for?

Ku

Merk I formelen L ¼ 200x þ 1000 er 200x det samme som 200 x. I algebra mener vi multiplikasjon mellom tall og symbol, eller mellom to bokstavsymboler, når det ikke står noe tegn imellom.

Aram selger treningsabonnement på en stand. Han får vite at lønna hans regnes ut etter formelen L ¼ 200x þ 1000 der L er lønna i kroner, og x er antall abonnement han selger. Når vi bruker formler i praktiske situasjoner, følger det med en forklaring på hva bokstavene i formelen står for. I formelen over har vi opplyst at L står for lønn, og at x står for antall abonnement. Dersom disse opplysningene mangler, er det umulig å vite hva formelen skal brukes til, og hvilke tall som skal settes inn. Vi ser at formelen for Arams lønn inneholder bokstaver og tall. I matematikk bruker vi bokstavsymboler for størrelser som varierer i verdi. Vi kaller dem variabler.


Å forstå og lage formler 169

Variabler Formelen består av to bokstavsymboler eller variabler: L ¼ lønna i kroner

er in

Antallet treningsabonnement x er her en uavhengig variabel. Vi kan sette inn hvilket tall vi vil for x, og få ulike regnestykker for lønna ved hjelp av formelen. Vi prøver å finne lønna for ulike antall solgte treningsabonnement: L ¼ 200 0 þ 1000 ¼ 1000 L ¼ 200 1 þ 1000 ¼ 1200 L ¼ 200 2 þ 1000 ¼ 1400

Tenk gjennom!

rd

Hvor mye øker lønna når Aram selger et nytt treningsabonnement? Og enda et? Kan du bruke svarene til å finne en enkel måte å finne lønna på når han selger tre abonnement (uten å regne ut 200 3 þ 1000)?

vu

Av regnestykkene ser vi at lønna øker jo flere treningsabonnement Aram selger. Vi kaller derfor lønna L en avhengig variabel. Lønna L er avhengig av hvor mange abonnement x han selger.

til

Faste størrelser

Tallene 200 og 1000 er faste tallstørrelser i formelen L ¼ 200x þ 1000.

n

Tallet 1000 står alene i formelen. Som vi ser av regnestykkene foran, får Aram 1000 kr selv om han ikke selger noe abonnement. Det er et fast kronebeløp som han får uansett hvordan det går med salget. I første del av formelen står det 200x, altså et fast tall multiplisert med den uavhengige variabelen x. Denne delen av formelen viser at Aram får 200 kr multiplisert med hvor mange abonnement han selger, i tillegg til de 1000 kr han får uansett.

Ku

g

x ¼ antall solgte treningsabonnement


170 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Oppgaver

Lag en tegning som illustrerer hvor mye han får i lønn etter en dags arbeid, avhengig av hvor mange jordbærkurver han plukker.

b

Lag en oversikt med regnestykker som viser hvor mye han får i lønn hvis han plukker 0, 10, 20, 30 eller 40 kurver. Ser du noe mønster i tallene? Hva er fast, og hva endrer seg i hvert regnestykke?

c

Lag en formel som viser hvor mye han får i lønn, L, etter en dags arbeid når han plukker x kurver jordbær.

g

rd

a

4.9 Reidar har en stor låve. Han har bygd om en del av låven til oppbevaringsboder for utleie, i alt 24 boder. 14 av dem er på 4 m2 , og 10 av dem er på 6 m2 . Han tar 100 kr per måned for å leie ut en bod på 4 m2 og 130 kr for en bod på 6 m2 . a Hvor mye får han i leieinntekt per måned hvis han leier ut alle bodene? b Lag en formel som viser hvor mye han får i leieinntekt en måned når han leier ut x små og y store boder. (Vanskelig? Begynn gjerne med å tegne situasjonen og regne ut inntekten for utleie av et visst antall små og store boder.)

er in

4.7 Ole har sommerjobb som jordbærplukker. Han får 3 kr per kurv han plukker. I tillegg får han 200 kr per dag for å transportere jordbæra som plukkes på gården, til salgsboden ved den lokale bensinstasjonen.

til

vu

4.8 Hiphopdanseren Nora blir bedt om å hjelpe en teatergruppe med et dansenummer til en forestilling. Hun får 2000 kr for å lage en koreografi til dansenummeret, og 200 kr for hver time hun underviser teatergruppa i koreografien hun lager. Det avtales at hun maksimalt skal bruke ti timer til undervisning.

4.10 Elbilen BMW i3 (2019-modell) bruker 13,1–14,6 kWh per 100 km, alt etter kjørestil, veiforhold, utetemperatur osv. Vi går ut fra at ladingen skjer hjemme (ikke hurtiglading), og at strømprisen er 1,00 kr/kWh. a Sett opp en formel som viser sammenhengen mellom strømkostnad og kjørelengde i mil når vi antar lavt forbruksnivå. b Lag en mer realistisk formel som viser sammenhengen mellom strømforbruk og kjørelengde ved lave utetemperaturer, og ved kjøring på motorvei (høyt forbruksnivå). c Jørgen pendler til jobb og kjører 4 mil per dag, hovedsakelig på motorvei. Han vurderer å kjøpe BMW i3 og ønsker å få en oversikt over kostnadene. Bruk formelen i b til å anslå omtrent hvor stor strømkostnad pendlingen fører til i en vintermåned. Bruk Internett til å finne en realistisk strømpris.

Hvor mye kan hun maksimalt få utbetalt?

b

Lag en formel som viser hvor mye hun får i lønn, L, for oppdraget når hun underviser i t timer.

Ku

n

a

L Æ R I N G S L O G G 4. 2 Hva er egentlig en formel? Prøv å forklare med egne ord. Tenk deg en situasjon fra din egen hverdag eller fra ditt framtidige yrke, der det er mulig å sette opp en sammenheng mellom to tallstørrelser. Uttrykk sammenhengen som en formel.


Å bruke formler 171

er in

Ofte kjenner vi formlene vi skal bruke. Da vi må kunne tolke og bruke dem. Alina får en «snap» fra ei tante i Amerika med teksten ». Alinas mamma sier at omregningsformelen «It’s hot! 91 F er F ¼ C 1,8 þ 32. Hvordan kan Alina bruke formelen til å finne temperaturen i celsiusgrader?

g

4.3 Å bruke formler

D U S K AL K U N N E

bruke en formel direkte ved å sette inn tall for å beregne en bestemt størrelse

sette inn kjente tallstørrelser og finne en ukjent størrelse ved å løse en likning

gjøre om formler

rd

U T F O R S K SA M M E N

vu

Alina trenger formelen F ¼ C 1,8 þ 32, der F er temperaturen i fahrenheitgrader ( F), og C er temperaturen i celsiusgrader ( C), for å finne ut omtrent hvor mye 91 F er i celsiusgrader. Kan dere forklare sammenhengen mellom grader celsius og grader fahrenheit med ord? Hvor mye større er tallet for temperaturen i fahrenheitgrader enn for temperaturen i celsiusgrader?

b

Prøv å anslå omtrent hvor varmt det var hos Alinas tante. Velg selv framgangsmåte, men skriv ned en forklaring på hvordan dere tenkte.

til

a

n

Del det dere har funnet, med resten av klassen.

Ku

Å sette inn i formelen En formel er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. Vi innleder med å bruke formler direkte. Trines moped har en toppfart på 45 km=t. Hvor langt kan hun maksimalt kjøre på 30 min? Sammenhengen mellom strekning, fart og tid er s¼v t der s er strekningen i kilometer, t er tiden i timer (t), og v er farten i km=t.


172 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Farten til Trine er oppgitt i km=t, men tiden hun bruker, er oppgitt i minutter. Vi gjør om antall minutter til antall timer: 30 min ¼ 0,5 t

Merk Når vi bruker formler, må tallstørrelsene vi setter inn, ha enheter som passer til hverandre.

Da har vi s ¼ v t ¼ 45 km=t 0,5 t ¼ 22,5 km

g

Trine kan maksimalt kjøre 22,5 km i løpet av 30 minutter.

er in

EK SEMPEL 4

Simen skal beregne vekta av en ståltrapp med åtte trappetrinn. Hvert trappetrinn har lengden 900 mm, bredden 320 mm og tykkelsen 30 mm. De to stålbjelkene under trappetrinnene har lengden 3,5 m, bredden 300 mm og tykkelsen 10 mm. 1 kubikkmeter stål veier 7800 kg. Bruk formelen for volumet av et prisme til å finne hvor stort volum trappetrinnene og stålbjelkene har til sammen.

b

Anslå vekta av trappa.

vu

Løsning: a

rd

a

h

l

b

til

Volumet av et firkantet prisme er V ¼ l b h. l er lengden, b er bredden, og h er høyden (tykkelsen). Vi gjør om til meter og finner volumet av ett trappetrinn: Vt ¼ l b h Vt ¼ 0,9 m 0,320 m 0,030 m ¼ 0,00864 m3

Da blir volumet av åtte trappetrinn:

Ku

n

8 0,00864 m3 ¼ 0,06912 m3 Vi finner så volumet av en bjelke: Vb ¼ l b h Vb ¼ 3,5 m 0,300 m 0,010 m ¼ 0,0105 m3 Det gir for de to stålbjelkene til sammen: 2 0,0105 m3 ¼ 0,0210 m3 Volumet av hele trappa blir altså 0,06912 m3 þ 0,0210 m3 ¼ 0,09012 m3 b

Vi får 7800 kg=m3 0,09012 m3 ¼ 703 kg 0,7 tonn Trappa veier om lag 0,7 tonn.


Å bruke formler 173

Omgjøring av formler Det er ikke alltid vi kan bruke formelen direkte. Noen ganger må vi gjøre om formelen. En prismeformet juicekartong skal designes. Juicekartongen skal romme

Ved å sette inn tall og løse som likning: Vi setter først inn de kjente tallstørrelsene i formelen. Da har vi bare en ukjent h og kan bestemme h ved å løse likningen som står igjen:

250 ¼ 24 h

Regne sammen

Dele på 24 på begge sider

vu

250 24 h ¼ 24 24 10,4 ¼ h

rd

V ¼ l b h Sette inn kjente tall

Ved å gjøre om formelen før vi setter inn tall: Vi ønsker oss en formel som gir oss høyden av juiceboksen direkte, det vil si at vi må ha h alene på den ene siden i formelen. Vi omskriver formelen: V ¼ l b h

Dele på l b for å få h alene

til

V l b h ¼ l b l b

n

V ¼h l b Vi kan nå sette inn størrelsene vi kjenner, og regne ut høyden: V 250 cm3 250 cm3 ¼ 10,4 cm ¼ l b 6 cm 4 cm 24 cm2 Begge metodene gir samme svar. Høyden på juicekartongen må være 10,4 cm. h¼

Ku

g

b

Vi kan løse problemet på to ulike måter:

250 ¼ 6 4 h

V = 2,5 dl

h = ??

er in

2,5 dl eller 250 cm3 . Grunnflaten i kartongen skal ha lengden l ¼ 6 cm og bredden b ¼ 4 cm. Hva må høyden h være for at juicekartongen skal få riktig volum?

Tenk gjennom!

Hva er likt, og hva er ulikt i de to løsningsmetodene vi brukte?

=

4

cm

l=

m

6c

Merk Alle størrelser som settes inn, må ha enheter som svarer til hverandre. Vi velger å bruke lengde og bredde i centimeter. Da må volumet være i kubikkcentimeter (cm3 ).


174 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

EK SEMPEL 5

v2 2 g

der ¼ ¼ ¼ ¼

bremselengden i meter farten til bilen i m=s 9,81 m=s2 (gravitasjonskonstanten) friksjonstall som er avhengig av dekk og føre

er in

s v g

g

Edward skal ta førerkort og strever med å regne ut bremselengder. Han får vite at bremselengden er gitt ved formelen

Omgjøring av formler:

Det er våt asfalt, og friksjonstallet ¼ 0,5. Hvor stor kan farten maksimalt være hvis bilen skal kunne stoppe på 15 m?

Ved å sette inn tall og løse som likning:

v2 setter inn kjente tall 2 0,5 9,81

v2 15 ¼ 9,81 v2 9,81 15 9,81 ¼ 9,81

v2 2 g

rd

15 ¼

v 2 g

s 2 g ¼

v2 2 g 2 g

ganger med 9,81 på begge sider

v2 ¼ 2 s g pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v ¼ 2 s g pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v ¼ 2s g

147,15 ¼ v2

til

v2 ¼ 147,15 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v ¼ 147,15 v ¼ 12,1

vi må forkaste negativ løsning

n

Den maksimale farten er 12 m=s.

Ku

ganger med 2 g på begge sider

2 s g ¼ v2

vu

Ved å gjøre om formelen:

2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 2 15 0,5 9,81 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 147,15 ¼ 12,1

forkaster den negative løsningen

setter inn de oppgitte tallene


Å bruke formler 175

rd

er in

g

Hvordan løse en likning med digitale hjelpemidler?

vu

Når vi bruker formler og ender opp med en likning som skal løses, kan vi bruke digitale verktøy til hjelp. For eksempel kan vi bruke CAS i GeoGebra. Stine kjøper en plantekasse som hun skal dyrke grønnsaker i. Kassa har lengden 120 cm, bredden 80 cm og høyden 19 cm.

til

Stine har to 60 L-sekker med jord stående hjemme, men er usikker på om det er nok jord til kassa. Hvor høyt blir jordlaget dersom hun brer de to 60 L-sekkene utover? Jord som blir bredt jevnt ut i kassa, får en prismeform. Volumet av et prisme er V ¼l b h

Ku

n

der l er lengden av grunnflaten, b er bredden av grunnflaten, og h er høyden av prismet. Før vi kan sette inn i formelen, må vi gjøre om tallstørrelsene slik at de får samme målenhet. Her velger vi desimeter, men du kan også velge en annen lengdeenhet. Volum jord i én sekk målt i kubikkdesimeter: 1 L ¼ 1 dm3 , så 60 L ¼ 60 dm3

Stine har to sekker, så hun har 120 dm3 jord.


176 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Volum jord: V ¼ 120 dm3 . Lengden av plantekassa målt i desimeter: l ¼ 120 cm ¼ 12 dm Bredden av plantekassa målt i desimeter: b ¼ 80 cm ¼ 8 dm

g

Vi kan nå sette inn de kjente tallstørrelsene og bestemme høyden på jordlaget, h, i desimeter:

er in

V ¼l b h 120 ¼ 12 8 h

Vi har fått en likning med én ukjent, h, som er høyden jordlaget vil ha i plantekassa. Nå kan vi bruke CAS til å løse likningen og finne høyden på jordlaget. Vi skriver inn likningen i CAS og løser den ved å trykke på

vu

1

x= :

rd

tasten «Løs»,

2

Siden løsningen blir en brøk, gjør vi om til desimaltall ved å trykke på

til

tasten «Numerisk»,

.

Ku

n

Høyden på jordlaget blir 1,25 dm ¼ 12,5 cm. Plantekassa var 19 cm høy, så Stine kan vurdere å kjøpe en sekk jord til for å få et dypere jordlag. Vi ser at CAS er et effektivt verktøy til å løse likningen. Husk at når vi har løst likningen i CAS, må vi alltid tolke svaret og vurdere hvor rimelig det er.


Å bruke formler 177

Oppgaver

b

15 C

c

–5 C

a

1 time

b

90 minutter

En fjernstyrt bil har massen 0,5 kg. Hva er bevegelsesenergien dersom bilen holder en fart på a

b

5 m=s

7 m=s

Hva blir farten hvis den fjernstyrte bilen har bevegelsesenergien c

15 J

d

40 J

rd

4.12 En mopedist holder jevn fart på 40 km=t. Sammenhengen mellom strekningen s i kilometer, farten v i kilometer per time og tiden t i timer er gitt ved s ¼ v t. Mopedisten legger ut på langtur. Hvor langt kommer mopedisten på

g

23 C

a

4.14 Bevegelsesenergien til et legeme er gitt ved 1 Ek ¼ mv2 , der Ek er bevegelsesenergien i joule (J), 2 m er massen i kilogram, og v er legemets fart i meter per sekund.

er in

4.11 Omregningen fra celsiusgrader C til fahrenheitgrader F er gitt ved formelen F ¼ C 1,8 þ 32. Hva er temperaturen i grader fahrenheit når temperaturen er

vu

4.13 Ohms lov sier at U ¼ R I, der U er spenningen målt i volt (V), R er motstanden målt i ohm (Ω), og I er strømmen målt i ampere (A).

4.15 Hanne hjelper til med å rydde på oldemors loft og finner en gullfarget terning (kube). Kan den være av gull? Hanne googler og oppdager en måte å finne det ut på, nemlig ved hjelp av massetettheten.

I en strømkrets er motstanden R ¼ 10 og strømmen I ¼ 7A. Hva er spenningen?

b

Gjør om formelen slik at du får en formel for motstanden R.

Hun finner at gull har massetettheten ¼ 19,3 g=cm3 , og at sammenhengen mellom masse ðmÞ, massetetthet ð Þ og volum ðVÞ, er gitt ved formelen ¼ m=V. Hanne måler terningen med et skyvelære, og den har

c

I en annen strømkrets er strømmen I ¼ 10 A og spenningen U ¼ 230 V. Hva er motstanden R? Løs problemet ved regning og med CAS.

Hva må massen til terningen være hvis den skal være av gull? Løs problemet ved regning og med CAS.

sidelengder på 2,0 cm og dermed volumet 8,0 cm3 .

Ku

n

til

a

L Æ R I N G S L O G G 4. 3 Velg deg en formel, kanskje en du kjenner fra andre fag? Lag oppgaver knyttet til formelen som gjør at du kan sette direkte inn i formelen og finne løsningen, finne løsningen ved hjelp av en likning og finne løsningen ved å gjøre om formelen. Løs til slutt oppgavene selv.


178 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

4.4 Formler fra yrkeslivet

g

A Ida jobber på et trykkeri og bruker formelen m ¼ g 32 til å beregne massen til en trykksak.

D U S K AL K U N N E

tolke og bruke ulike formler som er relevante for informasjonsteknologi og medieproduksjon

rd

er in

Kanskje formelen ser litt vanskelig ut? Når du får arbeidet litt med en formel, blir den enklere. Den blir lettere å forstå når du kjenner situasjonen den brukes i. Da vil symbolene og størrelsene få mening for deg. I dette delkapitlet skal du se noen utvalgte eksempler på formler som er relevante for utdanningsprogrammet ditt.

vu

Overføring av data

I kapittel 2 lærte du at hastigheten for overføring av data måles i bit=s, eller oftest i Mbit=s. Når vi snakker om bilder, video og annet som skal lagres, beskrives ofte lagringsbehovet i megabyte (MB). For å kunne regne på sammenhengen mellom datamengden D som er overført, tiden t overføringen tar, og overføringskapasiteten v, kan vi lage en formel:

til

D¼v t

Ku

n

Tenk gjennom! Likner denne formelen på en annen formel du kjenner? Hvilken formel? Hva er likt og hva er ulikt?

Siden det er 8 biter i en byte, er 100 MB det samme som 800 Mbit. Hvis overføringshastigheten er 100 Mbit=s, vil det ta åtte sekunder å overføre 800 Mbit, og dermed også åtte sekunder å overføre 100 MB. Ønsker vi å ta hensyn til denne sammenhengen mellom bit og byte, kan vi dele på 8 i formelen, slik at vi gjør om overføringshastigheten fra bit=s til byte=s. Når vi lar D stå for overført datamengde i megabyte ðMBÞ, v stå for overføringshastighet i megabit per sekund ðMbit=sÞ og t være tiden i sekunder ðsÞ, blir formelen v D¼ t 8


Formler fra yrkeslivet 179

EKSEMPEL 6

a

Hvor mange megabyte kan han laste ned på 10 sekunder?

b

Hvor lang tid tar det å laste ned 2 GB?

Løsning: v t, der D står for overført datamengde 8 i megabyte ðMBÞ, v står for overføringshastighet i megabit per sekund ðMbit=sÞ, og t er tiden i sekunder ðsÞ. Vi setter inn i formelen D ¼

Vi får 500 10 ¼ 625 8 Martin kan overføre 625 MB på 10 sekunder. Siden 1 GB er 1000 MB, får vi 2 GB ¼ 2000 MB

8 D ¼ v t

deler på v på begge sider og lar høyre og venstre side bytte plass

til

8 D v t ¼ v v

vu

Når vi skal regne ut tiden, gjør vi først om på formelen: v D ¼ t 8 v ganger med 8 på begge sider 8 D ¼ t 8 8

8 D v

8 2000 ¼ 32 setter inn tall 500 Det tar 32 sekunder å overføre 2 GB.

n

Ku

b

rd

er in

a

g

Overføringshastigheten på Internettet til Martin er 500 Mbit=s.


180 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Elektrisk arbeid

g

På side 80 regnet du på energibruk. Energibruk kalles også elektrisk arbeid. Elektrisk arbeid W måles i joule ðJÞ eller i kilowattimer ðkWhÞ. Når vi skal beregne det elektriske arbeidet til et elektrisk apparat, må vi kjenne effekten til apparatet og hvor lenge apparatet har vært i bruk.

er in

Effekten P er arbeid per tidsenhet, og måles i watt ðWÞ. 1 W er det samme som 1 J=s.

Hvis vi ønsker å finne det elektriske arbeidet til en strømkrets, må vi multiplisere effekten med tiden målt i sekunder eller i timer:

Merk W i kursiv (fra engelsk: work) er symbolet for elektrisk arbeid. Elektrisk arbeid måler vi i kWh. W uten kursiv er symbolet for enheten watt.

Elektrisk arbeid ¼ effekt tid W ¼P t

rd

En panelovn som er stilt inn på 1 kW i en time, bruker 1 kWh. Det elektriske arbeidet er W ¼P t

W ¼ 1 kW 1 h ¼ 1 kWh

vu

For å regne ut antall joule i én kilowattime må vi uttrykke effekten i watt og tiden i sekunder: 1 kW ¼ 1000 W 1 h ¼ 3600 s

Så setter vi antall watt og antall sekunder inn i formelen for elektrisk arbeid:

til

W ¼P t W ¼ 1000 W 3600 s ¼ 3 600 000 Ws ¼ 3 600 000 J ¼ 3,6 MJ

Ku

n

1 kWh ¼ 3,6 MJ.

EK SEMPEL 7 Ada har fem lyskastere som bruker 120 W hver når de er i drift. a

Hvor stort er det elektriske arbeidet målt i joule når lyskasterne står på i 14 timer?

b

Hvor stort blir det elektriske arbeidet målt i kilowattimer ðkWhÞ?

c

Den ene lyskasteren bruker 28,8 kWh i løpet av 30 dager. Hvor mange timer har lyskasterne stått på?


Formler fra yrkeslivet 181

Lyskasterne bruker 600 W til sammen. Så gjør vi om tiden fra timer til sekunder 14 h ¼ 14 3600 s ¼ 50 400 s W ¼P t W ¼ 600 W 50 400 s ¼ 30 240 000 J 30,2 MJ Det elektriske arbeidet blir 30,2 MJ. b

600 W ¼ 0,6 kW W ¼P t Det elektriske arbeidet er 8,4 kWh. W ¼ P t W P t ¼ P P

deler på P på begge sider

vu

W ¼t P

W 28,8 kWh 28,8 kWh ¼ ¼ ¼ 240 h P 120 W 0,12 kW Lyskasteren har stått på i 240 timer.

bytter plass på høyre og venstre side og setter inn i formelen

n

til

Ku

c

rd

W ¼ 0,6 kW 14 h ¼ 8,4 kWh

er in

Til slutt setter vi inn tallene med korrekte enheter i formelen.

g

Løsning: a 5 120 W ¼ 600 W


182 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Oppgaver

Gi svaret i kilowattimer ðkWhÞ.

b

Gi svaret i joule ðJÞ.

g

a

Regn ut forholdet F mellom lengden og bredden på bilder med denne størrelsen.

b

Hva blir lengden på bildet hvis det skal forstørres til bredden 20 cm?

c

Hva blir bredden på bildet hvis det skal forstørres til lengden 20 cm?

rd

a

4.19 Forholdet F mellom lengden l og høyden h på et bilde kan beskrives med formelen l F¼ b Et vanlig bildeformat har lengden 13 cm og bredden 10 cm.

er in

4.16 Eskil har en PC-lader som bruker 50 W. Formelen for elektrisk arbeid er W ¼P t der W er arbeidet målt i joule eller kilowattimer, P er effekten målt i watt, og t er tiden målt i timer eller sekunder. Regn ut hvor mye elektrisk energi laderen bruker i løpet av ett år hvis Eskil lader tre timer hver dag.

4.20

vu

4.17 Overføringshastigheten på Internettet til Patrisija er 800 Mbit=s. Bruk formelen for overføring av datamengde: v D¼ t 8 der D står for overført datamengde i megabyte, v står for overføringshastigheten i Mbit=s, og t er tiden i sekunder. Hvor mange megabyte kan hun laste ned på 17 sekunder?

b

Hvor lang tid tar det å laste ned 3,2 GB?

til

a

Ku

n

4.18 Siden en tomme er 2,54 cm, kan sammenhengen mellom centimeter og tommer uttrykkes med formelen l ¼ 2,54 t der l er lengen i centimeter, og t er antall tommer.

På en konsert står Martine 120 m unna scenen. Lydfarten i luft er ca. 340 m=s. Formelen s ¼ 340 t

a

Hvor mange centimeter er 3,8 tommer?

uttrykker hvor lang strekning s (i meter) lyden brer seg på t sekunder

b

Hvor mange tommer er 14 cm?

a

Hvor langt går lyden på 1,5 sekunder?

b

Hvor lang tid tar det før lyden når fram til Martine?


Formler fra yrkeslivet 183

Regn ut effekten til en lampe når spenningen er 12 V, og strømstyrken er 0,8 A.

b

Hvor stor er strømstyrken fra et batteri der spenningen er 24 V, og effekten er 40 W?

gramvekta er 120 g=m2 ? c

Hva er massen til en trykksak på 112 sider når gramvekta er 100 g=m2 ?

En annen måte å regne ut massen m på er å multiplisere bredden b og høyden h i meter med A halvparten av sidetallet, , og med gramvekta g: 2 A m¼b h g 2 d

e

Et A4-ark har bredden 210 mm og høyden 297 mm. Bruk den nye formelen og kontroller at begge formler gir samme svar.

Kan du bruke den siste formelen til å forklare hvor tallet 32 i den første formelen kommer fra?

rd

4.22 Frekvensen til en PC-skjerm målt i hertz ðHzÞ viser antall bilder i sekundet. Jørgen har kjøpt en ny skjerm med 144 Hz. Den gamle var på 60 Hz. Jørgen spiller et spill der hvert bilde i gjennomsnitt er 1000 kB.

Hva er massen til en trykksak på 64 sider når

g

a

b

er in

4.21 Effekten P i en likestrømkrets blir målt i watt ðWÞ. Effekten avhenger av spenningen U i kretsen og av strømstyrken I: P¼U I

Hvor stor total datamengde har den nye skjermen i løpet av fem minutter?

b

Hva blir forskjellen i datamengde mellom den gamle og den nye skjermen i løpet av fem minutter?

c

Hvor lang tid tar det før datamengden er blitt 2 GB med den nye skjermen?

4.24 Formelen N ¼ 2n viser hvor mange hele tall N i titallssystemet som kan skrives med det binære tallsystemet, ut fra hvor mange siffer n vi har i det binære tallet.

vu

a

Ku

n

til

4.23 Papirets masse per arealenhet angis i g=m2 . Vi kaller dette gramvekta til papiret. En trykksak på 32 sider A4-ark har en masse som er lik gramvekta på papiret. Vi kan da lage en formel som viser sammenhengen mellom trykksakens masse m i gram, antall sider A og papirets vekt i gram, g: A g m¼ 32 a Bruk formelen til å vise at en trykksak på 32 sider har en masse som er like stor som gramvekta.

a

Det binære tallet 111 har verdien 7 i titallssystemet. Med tre siffer i det binære tallet kan vi dermed skrive åtte tall i titallssystemet, tallene fra 0 til 7. Kontroller at formelen stemmer.

b

Hvilke tall i titallssystemet svarer til de binære tallene 1111 og 11111?

c

Kontroller at formelen også stemmer for binære tall med fire og fem siffer.

d

Prøv deg fram. Hvor mange siffer trenger vi i det binære tallet for å kunne gi en million forskjellige tall i titallssystemet?

L Æ R I N G S L O G G 4. 4 Presenter minst tre formler som er relevante for informasjonsteknologi og medieproduksjon. Lag et eksempel til hver formel som viser hva de kan beregne.


184 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

H V A HA R J E G LÆ R T ? Som hjelp til å komme i gang kan dere lese læringsloggene 4.1, 4.2, 4.3 og 4.4 og se over «regelboksene» i kapitlet.

Stemmer påstandene?

4

Carla skal til jobb 5 km unna. Med bil kan hun holde en gjennomsnittsfart på 50 km=t og bruke 6 min, men hun kan også sykle med farten 10 km=t og bruke 30 min.

5

Temperaturer kan oppgis i F eller C. 9 Sammenhengen er gitt ved F ¼ C þ 32, 5 5 som kan omformes til C ¼ ðF þ 32Þ. 9

Sindre går med farten 6 km=t i 1,5 timer. Da har han gått 9 km.

rd

1

er in

Avgjør om påstandene nedenfor stemmer. Sørg for at du kan forklare hvorfor de stemmer eller ikke.

g

Gå sammen i par og lag en liste eller et tankekart over de viktigste matematiske ideene og metodene dere har lært i kapitlet. Prøv også å få med stikkord om hva ideene og metodene kan brukes til – i dagliglivet eller i ditt framtidige yrke. Del ideene med resten av klassen.

En formel er en sammenheng mellom nøyaktig to størrelser.

3

Hvis arealet av en rektangelformet tomt er 800 m2 , må lengden av den ene siden være 40 m og den andre lengden 20 m.

vu

2

til

Prosjekt nettside Bildestørrelser Gruppa di har fått i oppdrag å lage en nettside for et nystartet firma som driver med lys- og lydproduksjon.

Ku

n

Del 1: Hvor mange megabyte lagringsplass krever et bilde med de kameraene dere disponerer? Hvor mye kan bildene forstørres på en skjerm før bildekvaliteten blir dårlig? Del 2: Er dette passelig bildestørrelse for den planlagte nettsiden, eller bør størrelsen endres? Hva bør den da endres til? Del 3: Undersøk hvilke overføringshastigheter ulike typer nettsider krever.


Test deg selv 185

Test deg selv

a

Tegn de neste to figurene i rekka.

b

Beskriv med ord hvordan du går fram.

c

Hvor mange brikker trengs til å lage figurene 4, 5 og 6?

c

En dag får Celine en bestilling der hun skal ramme inn ti bilder. Alle bildene er av samme størrelse, og hun regner med å bruke 1,70 m rammelist per bilde. Hvor mye må kunden betale?

g

Bruk formelen til å bestemme hva en innramming koster hvis hun bruker 1,20 m rammelist.

4.28 Karl Olav kjører moped til skolen hver dag. Bensinforbruket er omtrent 0,35 L per mil. a

Hvor mange brikker trengs til å lage figur n?

Sett opp en formel som viser bensinforbruket F målt i liter når Karl Olav kjører x mil.

rd

d

b

er in

4.25

Karl Olav bor 1,2 mil fra skolen. Hvor mye bensin bruker han på å kjøre til og fra skolen en dag?

c

Hva blir bensinkostnaden for turen til og fra skolen når bensinprisen er 15,54 kr per liter?

vu

4.26 Ulf har ekstrajobb i et firma som driver med bilpleie. Han har ansvaret for den innvendige reingjøringen av bilene. Ulf får 500 kr i fast lønn per dag og 100 kr per bil han gjør rein.

b

Hva blir lønna per dag hvis Ulf reingjør fem biler?

b

Enn om han reingjør ti biler?

c

Innfør variabler og sett opp en formel som viser hva lønna blir ut fra hvor mange biler han reingjør.

til

a

Hvor langt kan Karl Olav kjøre hvis han har 1,5 L bensin igjen på tanken? Løs oppgaven ved regning og ved å bruke CAS.

4.29 Forholdet F mellom lengden l og bredden b på et bilde kan uttrykkes med formelen F¼

l b

Ku

n

4.27 Celine har startet sitt eget rammeverksted. Kundene kommer med bilder av forskjellig format som hun rammer inn. Celine har laget en formel som fastsetter hva kunden må betale for et ferdig innrammet bilde med en bestemt type rammelist: P ¼ 125 þ 350x I formelen er x antall løpemeter rammelist Celine bruker, og P er prisen i kroner.

d

a

Gi en tolkning av tallene i formelen: Hva står 125 for, og hva står 350 for, tror du?

b l

På amerikanske kinofilmer er F ofte lik 1,85. a

Hva blir lengden på kinolerretet når bredden er 3,1 m?

b

Hva blir bredden på en TV med lengden 1,60 m?


186 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Aktiviteter

Det skal installeres varmepumper for å kjøle ned et serverrom. Kjølebehovet er beregnet til 50 000 kWh i året, og maksimalt kjølebehov antas å være 12 kW på det varmeste. To ulike varmepumper skal vurderes: Varmepumpe 2

Kjøleeffekt (kW)

5,0

7,0

Strømforbruk (kW)

1,9

2,9

Del 3 Anta at effektbehovet for kjøling er likt hele året utfra det oppgitte årlige kjølebehovet på 50 000 kWh. Hva blir gjennomsnittlig effektbehov? Del 4 Hva blir det årlige strømforbruket ved innkjøp av varmepumpe type 1 vs. type 2? (Anta at kjølefaktoren er konstant.)

rd

Varmepumpe 1

g

4.1 Kjøling av serveranlegg

Del 2 Kjølefaktoren for en varmepumpe bestemmes av hvor mange kW kjøling du får per kW tilført. Regn ut kjølefaktoren for de to varmepumpene.

er in

Tilbake til start

Del 5 Undersøk strømpriser og anslå differansen i driftskostnader ved de to pumpetypene.

Ku

n

til

vu

Del 1 Hvor mange trenger vi av varmepumpe 1 eller varmepumpe 2 for å dekke kjølebehovet på de varmeste dagene?


Aktiviteter 187

4.5 Høyttalere ved store arrangementer

Undersøk energibruken til ulike elektriske apparater du har hjemme. Vurder hvor mye hvert apparat blir brukt på et døgn og over et år. Gjør et overslag over hvor mye energi apparatene totalt bruker på et år.

I store rom eller utendørs er det viktig at høyttalerne er kraftige nok til at lyden blir god for publikum. Undersøk sammenhengen mellom hvor mange meter lyden skal bre seg, og hvor mange watt en høyttaler krever.

4.3 Årlig strømforbruk

Kan dere lage en formel som beskriver denne sammenhengen?

er in

g

4.2 Energibruken til elektriske apparater

4.6 Nedlasting av data

Lag et program som tar imot overføringshastigheten og antall gigabyte som skal lastes ned.

rd

Programmet skal skrive hvor lang tid nedlastingen tar.

4.7 Antall kombinasjoner

vu

Gjør et overslag over hvor mange ganger i løpet av et år du lader opp mobiltelefonen og PC-en.

Lag et program som skriver tallrekka for 2n ut fra en valgt start- og sluttverdi for n fra brukeren.

4.4 Min PC

til

Hva tror du den årlige energibruken blir for disse to enhetene?

Lag en beskrivelse av PC-en din og hva slags Internettforbindelse dere har der du bor. Hva er frekvensen på skjermen din?

n

Hvor mange gigabyte lagringskapasitet har PC-en din? Hvor stor andel av lagringskapasiteten har du brukt?

Ku

Hvor høy er hastigheten på nettet der du bor? Hvor lang tid bruker du på å laste ned 1 GB data?

Hvis startverdien for eksempel er 3 og sluttverdien 8, vil programmet skrive tallrekka 8, 16, 32, 64, 128, 256.


188 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

Oppgaver 4.32

g

4.1 Ulike uttrykksformer

Figur 1

a

Figur 2

Figur 3

Figur 4

Hvordan kan du fortsette figurrekka? Tegn de tre neste figurene.

er in

4.30

a

Hvordan fortsetter figurrekka? Tegn de to neste figurene.

b

Hvordan ser du veksten fra en figur til den neste? Vis med tegning eller forklar.

c

Hvordan ser figur 100 ut, tror du? Forklar.

Hvordan ser du veksten fra en figur til den neste? Fargelegg de brikkene som ble lagt til figur 4, på tegningen du gjorde av figur 5. Forklar med ord.

d

c

Hva vet du om figur 10? Hvordan ser den ut? Tegn eller forklar.

4.33

rd

b

vu

Hvor mange brikker er det på figur 100? Vis hvordan du tenkte for å finne det ut.

4.31

til

1

2

3

Hvordan fortsetter figurrekka? Tegn de tre neste figurene.

a

Ser du et mønster i hvordan figurrekka fortsetter? Forklar.

b

Hvordan ser du veksten fra en figur til den neste? Vis med tegning eller forklar.

b

Skriv opp regnestykker som viser hvor mange blå sirkler det er på figurene 1, 2 og 3.

c

Hvordan ser figur 12 ut? Tegn eller forklar.

c

Lag et regnestykke for hvor mange blå sirkler det er på figur 50. (Det er bare de ytre sirklene som er blå på alle figurene.)

d

Lag en formel som viser hvor mange blå sirkler S det er på figur n.

Ku

n

a


Oppgaver 189

4.37

Figur 2

Figur 3

er in

Figur 1

g

4.34

Thea er 6 år og har lagt perler slik rekka ovenfor viser. a

Thea har bare 30 røde perler igjen, men mange hvite. Har hun nok røde perler til å lage figur 4 i rekka? Begrunn svaret ditt.

b

Lag en formel som viser hvor mange røde perler R det vil være på figur n.

rd

Det historiske museet i Strasbourg har en pyramide av kanonkuler i utstillingen sin. Pyramiden er bygd av fem lag kanonkuler. Hvert lag er lagt som et kvadrat. I toppen er det 1 kule, i andre lag er det 4 kuler, i tredje lag er det 9 kuler. Tenk deg at du skal bygge pyramiden høyere slik at den består av seks lag kuler.

Figur 1

Figur 2

vu

4.35

Figur 3

a

Hvor mange flere kanonkuler trenger du da?

b

Hvordan vokser figuren? Forklar med ord.

c

Hvor mange kanonkuler trenger du for å bygge en figur med 10 lag? Lag et regnestykke og regn ut.

Tegn neste figur i rekka.

b

Ser du et mønster i hvordan figurene vokser? Forklar.

c

Hvor mange brikker er det på figur 4 og på figur 5?

d

Hvor mange kanonkuler trenger du for å bygge en figur med 15 lag? Lag et regnestykke og regn ut.

d

Lag en formel som viser hvor mange brikker B det er på figur n.

e

En formel for å regne ut hvor mange kanonkuler K det er på en figur med n lag, er slik:

n

til

a

Ku

4.36 En formel for en figurtallrekke er slik: A ¼ 3n2 þ 2

Kan du tegne en figurtallrekke som passer til denne formelen? (Tips: Hvis det er vanskelig, prøver du først å la n ¼ 1, n ¼ 2 og n ¼ 3. Tegn så figurene 1, 2 og 3. Ta utgangspunkt i regnestykkene og prøv å lage figurene.)

2n3 þ 3n2 þ n 6 Bruk formelen til å finne antall kanonkuler som trengs for å lage en pyramide med 10 lag og 15 lag. Sammenlikn med svarene du fikk i c og d. K¼


190 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

b

Lag en formel som viser hvor mange egg E du får når du handler x pakker egg.

4.39 Sarah jobber i en godteributikk. De selger smågodt i løsvekt til 16,00 kr per hektogram. Sett opp regnestykker som viser hvor mye det koster å kjøpe 1 hg, 2 hg, 3 hg og 4 hg godteri.

b

Lag en formel som viser hvor mye det koster, K, å kjøpe x hg med godteri.

Hvor mye koster det å kjøre 5 km, 10 km og 15 km med disse takstene? Lag regnestykker som viser hva de ulike reiselengdene koster.

til

b

Ruben skal spise lunsj fem timer etter at kakaoen var ferdig. Hva er temperaturen i kakaoen da, ifølge formelen? Kan det stemme?

4.43 Christina jobber på en bensinstasjon i helgene. Hun får betalt 150 kr per time på lørdager og 30 kr ekstra per time på søndager. a

b

Sett opp en formel som viser hvor mye Christina får i lønn hvis hun en måned jobber x timer på lørdager og y timer på søndager.

n

Ku a

Lag regnestykker som viser hvor mye kunden må betale for en, to og tre timers arbeid.

b

Sett opp en formel som viser hvor mye kunden må betale for x timers arbeid. En kunde ønsker å få malt garasjen sin. Hvor mye må kunden betale for arbeidet hvis Josef totalt bruker tolv timer på oppdraget?

Hva får Christina i lønn hvis hun en måned arbeider 14 timer på lørdager og 13 timer på søndager?

4.44 En formel som gir et omtrentlig mål for makspulsen til en person, er M ¼ 211 0,64a, der a er alderen i år.

a

Hva er den høyeste makspulsen en person kan ha etter denne formelen? Hvor gammel er personen når han/hun har denne makspulsen?

b

Hvilken betydning har tallet –0,64 i formelen?

c

Hvilken variabel er avhengig, og hvilken er uavhengig? Hvorfor?

Sett opp en formel som viser hvor mye Øystein må betale for å kjøre x km.

4.41 Josef er maler. Han har tatt på seg et oppdrag og ønsker å få 300 kr per time for arbeidet. Han må også legge til 25 % mva.

c

b

vu

4.40 Øystein må enkelte dager ta drosje i arbeidet sitt. Taxiselskapet tar 91 kr i fastpris for forhåndsbestilling av drosje og 13,80 kr per kilometer. a

Gi en tolkning av formelen. Hva står de ulike tallene i formelen for? Hva er avhengig variabel, og hva er uavhengig variabel?

rd

a

a

g

4.38 a En pakke egg inneholder tolv egg. Lag regnestykker som viser hvor mange egg du får hvis du handler én pakke, to pakker, tre pakker og fire pakker.

4.42 Ruben arbeider ute og har hatt med seg en termos med kakao på jobb. Temperaturen i kakaoen i grader celsius ð CÞ er gitt ved T ¼ 5t þ 95, der t er antall timer etter at kakaoen var ferdig.

er in

4.2 Å forstå og lage formler

4.45 Etter en oversvømmelse skal Jørgen tappe vann ut av kjelleren sin. Kjelleren har en grunnflate på 70 m2 , og det står vann 30 cm opp på veggen. a

Hva er volumet av vann i kjelleren?

b

Jørgen har to vannpumper som hver pumper 1000 L per time. Han starter opp begge pumpene. Lag en formel som viser hvor mange tusen liter vann det er igjen i kjelleren etter x timer med tapping.


Oppgaver 191

4.3 Å bruke formler

a

Hva blir ifølge formelen makspulsen til en person på 16 år?

a

b

Hva blir din egen makspuls når du bruker formelen?

b

Hvor langt sykler de på en time?

b

Hvor langt sykler de på 2,5 timer?

4.48 m . V Her er m massen (g), V er volumet (cm3 ),

Peter har installert en fartsmåler på bakken, men den måler farten i kilometer per time. Han måler sluttfarten til ballen til å være 45 km=t. Hvordan stemmer det med beregningen din fra a? Kommenter resultatet.

4.51 Eksempel 5 viste en formel for bremselengder brukt i kjøreopplæringen. Bremselengden er gitt ved formelen v2 s¼ 2 g der

vu

Formelen for massetetthet er ¼

er in

a

Peter slipper en ball fra en høyde på 10 m. Hva blir sluttfarten i meter per sekund etter formelen?

rd

4.47 Siril og Stina er på treningstur på sykkel. De holder en jevn fart på 24 km=t. Sammenhengen mellom strekningen s (km), farten v (km=t) og tiden t (h) er gitt ved formelen s ¼ v t.

g

4.46 En formel som gir et omtrentlig mål for makspulsen til en person, er M ¼ 211 0,64a, der a er alderen i år.

4.50 Peter har lært at hvis han slipper en gjenstand fra en høyde h (m) over bakken, er sluttfarten v (m=s) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gitt ved formelen v ¼ 2 9,81 h. Sluttfarten er farten gjenstanden har når den når bakken.

s ¼ bremselengden i meter

og er massetettheten (g=cm3 ).

v ¼ farten til bilen i meter per sekund

a

Finn massetettheten til et objekt med

g ¼ 9,81 m=s2 (gravitasjonskonstanten)

masse 268 g og volum 30 cm3 .

¼ friksjonsfaktor som avhenger av dekk og føre

b

Finn massetettheten til et objekt med

c

a

Hva blir bremselengden ved en fart på 100 km=t på våt asfalt med friksjonsfaktoren ¼ 0,5, og på tørr asfalt med friksjonsfaktoren ¼ 0,9? Husk å gjøre om farten til meter per sekund før du bruker formelen.

b

Etter et mindre trafikkuhell blir det målt en bremselengde på 11 m. Det var tørr asfalt, og vi antar at friksjonsfaktoren var ¼ 1,0. Bruk formelen til å finne farten i m=s og i km=t.

til

masse 315 g og volum 30 cm3 .

Objektene i a og b er støpt av et metall. Bruk digitale ressurser til å finne ut hvilket metall hvert av de to objektene kan være laget av.

Ku

n

4.49 Carl og familien kjører til hytta. Avstanden hjemmefra er 175 km. En dag bruker de 2,5 timer på turen. Sammenhengen mellom strekningen s (km), farten v (km=t) og tiden t (h) er gitt ved formelen s ¼ v t. a

Finn gjennomsnittsfarten til Carl og familien på turen til hytta.

b

En dag med mer trafikk trenger de tre timer til hytta. Bruk CAS til å finne gjennomsnittsfarten denne dagen.


192 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

4.52 Sammenhengen mellom temperaturenhetene fahrenheitgrader og celsiusgrader er gitt ved F ¼ C 1,8 þ 32, der F temperaturen i F, og C er temperaturen i C.

a

Hvor mange små sjokoladepyramider må hun lage til de fire tårnene?

b

Hva blir volumet av den flytende sjokoladen

a

Hva er temperaturen i grader fahrenheit når det er 12 C ute?

c

b

Snu på formelen slik at du får en formel for å beregne celsiusgrader når temperaturen er gitt i fahrenheitgrader.

d

c

Bruk formelen til å bestemme temperaturen i grader celsius når den blir oppgitt til 28 F. Kontroller svaret ditt ved å sette inn i den opprinnelige formelen.

g

i kubikkcentimeter (cm3 )?

er in

Hva blir volumet av hver småpyramide hvis hun bruker all sjokoladen?

rd

Trine vet at formelen for volumet av en pyramide Gh er V ¼ . Hun kaller lengdene i sideflaten for a. 3 I Trines formel er høyden på pyramiden alltid lik lengden av sideflaten.

a

vu

4.53 En sylinderformet beholder har radius r ¼ 28 cm og høyde h ¼ 86 cm. 200 liter vann skal fylles på tanken. Blir det plass i beholderen?

e

til

n

Ku

a

Hva blir formelen for volumet av denne pyramiden uttrykt ved a?

Bruk at volumet av en sylinder er gitt ved V ¼ r2 h, er V er volumet, r er radien, og h er høyden.

4.54 Trine skal lage fire tårn med sjokoladepyramider, se figuren. Hun har 500 ml flytende sjokolade.

a

Bruk CAS til å bestemme hvor stor høyden på pyramidene blir hvis hun bruker all sjokoladen.

4.55 Filip og Jacob er på løpetur. De løper i et jevnt tempo på 3,5 min=km denne dagen. Hvor langt løper de på 1 time 45 minutter?


Oppgaver 193

4.60 Emil øver på touchmetoden og skriver 95 tegn i minuttet. Formelen T ¼ 95t viser hvor mange tegn T han skriver på t minutter. a b c

4.4 Formler fra yrkeslivet

Hvor mange minutter er 3,6 timer?

er in

b

g

4.59 For å gjøre om mellom minutter m og timer h har Mia laget formelen m h¼ 60 a Hvor mange timer er 283 minutter?

Hvor mange tegn skriver Emil på 2,5 minutter? Hvor mange tegn skriver Emil på 190 sekunder?

rd

4.56 En bil kjører i 80 km=t når føreren oppdager en hindring i veien. Det er snøføre, og vi regner med et friksjonstall på 0,4. Vi antar at føreren har en reaksjonstid på 0,80 s. Bremselengden er gitt ved formelen v2 s¼ 2 g der s er bremselengden i meter, er friksjonstallet, og g er 9,81 m=s2 (gravitasjonskonstanten). a Hvor fort kjører bilen i meter per sekund (m=s)? b Hvor langt kjører bilen i løpet av reaksjonstiden? c Rekker bilen å stanse hvis hindringen er 75 m fra bilen når føreren oppdager den? d Bruk CAS til å finne den maksimale farten bilen kan ha dersom føreren skal klare å stanse før hindringen.

4.61 I all energiomforming er det tap. Virkningsgraden til et elektrisk apparat sier hvor stor effekt apparatet kan levere, Put , sammenliknet med hva apparatet får av tilført aktiv effekt fra strømnettet, Pinn . Formelen for virkningsgraden er P ¼ ut Pinn Oda har en PC-lader som leverer 54 W når den henter 68 W fra stikkontakten.

til

vu

4.57 Et A4-ark er 210 mm bredt. Formelen P ¼ 210 2x viser hvor mange millimeter plass P det er til teksten når margene har bredden x mm. a Hvor mange millimeter tekst blir det på ei linje der hver marg er 25 mm? b Hvor mange millimeter tekst blir det på ei linje der hver marg er 3,1 cm?

Hvor lang tid bruker Emil på å skrive 2000 tegn?

Ku

n

4.58 Sivert jobber som supportkonsulent. Han har 10 000 kr i uka i fast lønn. I tillegg får han 270 kr per time når han jobber ekstra. Formelen L ¼ 270x þ 10 000 viser hvor stor lønna hans, L, blir i uka hvis han jobber x timer ekstra. a Hvor mye tjener Sivert en uke der han jobber to timer ekstra? b Hvor mye tjener han en uke der han jobber fire timer ekstra? c Hvor mange timer må han jobbe ekstra i uka for at lønna skal overstige 12 700 kr?

a

Regn ut virkningsgraden.

b

Formelen gir virkningsgraden som et desimaltall. Hvor mange prosent er virkningsgraden?

4.62 Effekten P målt i watt ðWÞ i en likestrømskrets med spenningen U målt i volt ðVÞ og strømstyrken I målt i ampere ðAÞ er gitt ved formelen P¼U I a

Hva blir spenningen når effekten er 40 W og strømmen er 3,5 A?

b

Hva blir strømmen når effekten er 1500 W og spenningen er 230 V?


194 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

a

Hva blir strømstyrken i kretsen?

Effekten P måles i watt ðWÞ. Elektrisk arbeid, W, måles ofte i kWh. Da måles effekten i kW. b

Elektrisk arbeid ¼ effekt tid W ¼P t

g

4.66 Oppgitt effekt på et utstyr måles i watt ðWÞ og er den effekten utstyret leverer. Egenskapene til de elektriske komponentene i utstyret gjør at den reelle effekten blir høyere enn oppgitt effekt. Reell effekt måles i voltampere ðVAÞ. Hvis forbruket er oppgitt i watt, kan denne formelen brukes til å regne ut antall voltampere: effekt voltampere= effektfaktoren Jons firma har en server på 350 W og seks PC-er på 105 W.

er in

4.63 Ohms lov definerer sammenhengen mellom spenningen U målt i volt ðVÞ, resistansen R målt i ohm ð Þ og strømstyrken I målt i ampere ðAÞ: U¼R I Et batteri med spenningen 24 V gir strøm til en lyspære med resistansen 120 .

a

Hvor mange voltampere (VA) leverer dette utstyret når effektfaktoren er 0,7?

Alle UPS-er («Uninterruptible Power Systems») gir batteristøtte ved strømbrudd. Avgitt effekt fra en UPS bør være minst 20 % høyere enn det totale behovet for voltampere.

rd

Effekten i lyspæra er 5 W. Hvor stort elektrisk arbeid krever lyspæra i løpet av fem timer, målt i kilowattimer ðkWhÞ?

b

Hvor mange voltampere bør UPS-en i Jons firma ha?

vu

4.64 Emil har funnet ut at hvert av bildene hans krever om lag 3,8 MB, og at hver lydfil krever om lag 1,7 MB. Ut fra dette har han laget en formel for det totale lagringsbehovet L med antall bilder b og antall lydfiler l: L ¼ 3,8 b þ 1,7 l Hvor mange megabyte lagringsplass krever 50 bilder og 70 lydfiler?

b

Hvor mange lydfiler kan han lagre sammen med 240 bilder hvis det totale lagringsbehovet ikke skal overstige 1 GB?

n

til

a

Ku

4.65 Emma har kjøpt batterier med en kapasitet på 2500 mAh til en vifte. Hun har målt at strømforbruket til vifta er 0,4 A. a

Hvor mange milliamperetimer (mAh) er det igjen på batteriet etter tre timer?

b

Lag en formel som viser kapasiteten K i antall mAh etter at vifta har gått i t timer.

c

Hvor lang tid går det før batteriet er tomt?

Ved 50 % last blir batteritiden 2,5 ganger lengre enn ved full last. Ved full last har UPS-en ni minutter batteritid. c

Hvor mange minutter batteritid har UPS-en ved 50 % last?

4.67 Tiril har lagt merke til at dype og lyse toner brer seg ulikt fra et rom til et annet i huset. Lydfarten i luft er ca. 340 m=s. Sammenhengen mellom frekvensen f målt i hertz ðHzÞ, lydfarten v målt i meter per sekund og bølgelengden til lyden målt i meter er v f¼ a Hva er frekvensen til en lydbølge med bølgelengden 1,1 m? b

Hva er bølgelengden til en lydbølge med frekvensen 440 Hz?


Oppgaver 195

Forklar at kostnaden K ved x antall dager og p personer hver dag kan uttrykkes med formelen: K ¼ 1700 x þ 3000 p x

b

Hvor stor blir kostnaden hvis Oliver trenger fem personer, og opptaket tar tre dager?

c

Hvor stor blir kostnaden hvis han trenger seks personer, og opptaket tar fire dager? Oliver har konkludert med at han trenger fire personer. Hvor mange dager kan opptakene maksimalt vare når kostnadene ikke skal overstige 45 000 kr?

Et 10 mm tykt asfaltdekke skal legges på en gang- og sykkelvei. Gang- og sykkelveien skal være 3 m bred. a

Hvor mye asfalt går med til 50 m gang- og sykkelvei?

rd

d

g

a

4.70

er in

4.68 Oliver skal beregne kostnadene med å lage en reklamefilm. Leie av lokale koster 1700 kr per dag, og prisen per person som medvirker til å lage filmen, er 3000 kr per dag.

b

Lag en formel som viser hvor mye asfalt A i kubikkmeter som går med til x meter gang- og sykkelvei.

vu

4.71

Blandede oppgaver

til

4.69 Formelen for arealet A av et trapes med to parallelle lengder a og b og høyde h er aþb h A¼ 2 b

n

h

a

Regn ut arealet av trapeset når a ¼ 8,0 cm, b ¼ 5,3 cm og h ¼ 5,7 cm.

Ku

a

b

Hva er høyden i trapeset når a ¼ 12,0 cm,

b ¼ 8,5 cm og A ¼ 75 cm2 ?

c

Bruk formelen for arealet av et trapes til å lage en formel for a.

d

Hvor lang er a når b ¼ 11,0 cm, h ¼ 13,0 cm og A ¼ 189 cm ? 2

Masse skal fraktes ut av et anleggsområde. Hver bil tar 16 m3 stein. a

Hvor mye masse blir fraktet ut på en dag når det kjøres 25 billass?

b

Lag en formel som viser hvor mange kubikkmeter masse M som blir fraktet bort, når det kjøres ut x billass.

c

Bruk formelen til å finne hvor mange billass som må kjøres ut når 5000 m3 masse skal fraktes bort. Prøv å løse dette problemet på flere måter.


196 KAPITTEL 4 – FORMLER FRA DAGLIGLIV OG YRKE

4.72 (Eksamen 1PY våren 2014)

4.76

Sammenhengen mellom temperaturskalaene kelvin og celsius er gitt ved formelen K ¼ C þ 273, der K er temperaturen i kelvin, og C er temperaturen i celsiusgrader. En vinterdag er temperaturen –10 C. Hva blir temperaturen i kelvin?

b

På overflaten av sola er temperaturen 5778 K. Hva blir temperaturen i grader celsius?

4.74 (Eksamen 1P høsten 2013)

b

er in

Det må være en viss avstand mellom en kameralinse og objektet for at bildet skal bli skarpt. Skal nærmere motiver bli skarpe, må linsa i objektivet justeres for å øke avstanden til flaten i kameraet der bildet dannes. Linseformelen gir oss sammenhengen

rd

1 1 1 þ ¼ a b f der a er avstanden fra objektet til midtpunktet i linsa, b er avstanden fra linsa til kameraets bildeflate, og f er brennvidden. Alle avstander er gitt i millimeter. a

Hva blir brennvidden f når avstanden til objektet er 840 mm, og avstanden fra linsa til kameraets bildeflate er 24,7 mm?

b

Hva kan vi si om størrelsen på b i forhold til f når lengden a blir stor?

vu

Finn a når v0 ¼ 20, t ¼ 4 og s ¼ 144.

a

f

4.73 (Eksamen 1P våren 2015) 1 En formel er gitt ved s ¼ v0 t þ a t2 . 2 a Finn s når v0 ¼ 0, t ¼ 8 og a ¼ 10.

Bildet

g

a

b

Linsa

Objektet

Sammenhengen mellom maksimalpulsen M (antall slag/min) og alderen A (antall år) er gitt ved formelen M ¼ 211 0,64 A. Hva er maksimalpulsen til en person på 20 år ifølge formelen ovenfor?

4.77 (Eksamen 1P høsten 2015)

b

Svein har en maksimalpuls på 179 slag/min. Hvor gammel er Svein ifølge formelen?

Formlene nedenfor kan brukes til å anslå hvor høyt et barn vil bli i voksen alder:

n

til

a

Ku

4.75 (1P Eksempeloppgave 2014) 5 Formelen C ¼ ðF 32Þ gir antall grader celsius ( C) 9 uttrykt ved grader fahrenheit ( F). a

En dag er det 86 F i New York. Hvor mange grader celsius svarer det til?

b

Lag en formel for F uttrykt ved C.

Gutt:

ðfars høyde þ mors høydeÞ 0,5 þ 7 cm

Jente: ðfars høyde þ mors høydeÞ 0,5 7 cm Mors og fars høyde skal oppgis i centimeter. a

En familie består av mor, far og barna Ola og Kari. Mor er 160 cm høy, og far er 180 cm. Hvor høye vil Ola og Kari bli i voksen alder ifølge formlene ovenfor?

b

En annen familie består av mor, far og sønnen Per, som nå er voksen. Far er 186 cm høy, og Per er 189 cm. Hvor høy er mor ifølge den første formelen?


Oppgaver 197

a

Hva blir totalprisen når Roger lager 200 kopper kaffe?

b

Sammenhengen mellom totalprisen ðyÞ og antall kopper kaffe ðxÞ han lager, kan uttrykkes ved formelen y ¼ 1250 þ 5x. Hva blir prisen per kaffekopp, og hva betalte Roger for kaffemaskinen?

c

Roger lager to kopper kaffe hver dag i tre år. Hva blir totalprisen på disse tre årene?

En formel for utregning av bremselengden er gitt ved v2 19,6f der s er bremselengden (m), v er farten (m/s), og f er friksjonsfaktoren. På tørt sommerføre er friksjonsfaktoren f mellom 0,8 og 1,0. På glatt vinterføre kan f være nede i 0,2. Vis at en fart på 40 km=t svarer til en fart på ca. 11,1 m=s.

b

Bestem bremselengden på sommerføre med f ¼ 0,8 når farten er 40 km=t, og når farten er 80 km=t. Bestem bremselengden på vinterføre med f ¼ 0,2 når farten er 40 km=t, og når farten er 80 km=t.

4.80 (Eksamen 2P høsten 2014)

rd

a

er in

g

4.78 (Eksamen 1P høsten 2015, utdrag)

c d

a

Hvor mange små sjokolader vil det være på figur F5 ?

vu

Hvordan endrer bremselengdene i b seg når farten blir doblet?

Thea lager figurer av små sjokolader. Figurene har hun kalt F2 , F3 og F4 .

Gjør beregninger og finn en regel for hvor fort du kan kjøre på glatt vinterføre med f ¼ 0,2, når bremselengden skal bli den samme som på sommerføre med f ¼ 0,8.

Thea vil sette opp en modell som viser hvor mange småsjokolader hun trenger for å lage enda større figurer. Hun får en god idé og lager figur F4 på nytt:

til

4.79 (Eksamen 1PY våren 2013) Totalpris i kroner 3500 3000

n

2500 2000

Ku

1500 1000 500

40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 Antall kopper

Roger har kjøpt en kaffemaskin. Grafen ovenfor viser sammenhengen mellom antall kopper kaffe han lager, og totalprisen.

Hun regner nå ut at antall småsjokolader på figur F4 er 3 3 þ 3 4 þ 4 4 ¼ 37. b

Vis hvordan Thea kan bestemme antall småsjokolader på F3 og F5 ved å regne på samme måte.

c

Hvor mange små sjokolader trenger hun for å lage figur F10 ?

d

Sett opp en modell som Thea kan bruke til å bestemme antall småsjokolader på figur Fn , uttrykt ved n.

e

Hva er den største figuren, Fn , Thea kan lage dersom hun har 5000 småsjokolader?


n

Ku til er in

rd

vu

5 g

GEOMETRI


g er in

Å lage reklameplakat

rd

Det skal utformes en reklameplakat for et firma som produserer skrivesaker og kontorrekvisita. Det er et ønske om at plakaten skal inspirere til kreativitet ved å bruke ulike geometriske former. Arbeidet krever at du må kjenne de geometriske formene og hva som karakteriserer dem, for å se mulighetene de gir deg. I aktivitet 5.1 kan du prøve deg på oppdraget.

vu

Kapitteloversikt

I 5.1 Geometriske figurer og former lærer du navnet på ulike geometriske figurer og hva som karakteriserer dem. Du lærer også om plasseringen av elementer i bildet.

til

I 5.2 Symmetrier lærer du om ulike typer symmetrier og å komponere symmetriske motiver. I 5.3 Lengder og areal lærer du å regne ut arealet av geometriske figurer.

Ku

n

I 5.4 Forhold og målestokk lærer du om målestokk på arbeidstegninger og om forholdsregning. Vi går spesielt inn på det gylne snitt.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

utforske og bruke geometriske former og forhold og bruke det i design og produktutvikling


200 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

rd

er in

g

5.1 Geometriske figurer og former

til

vu

Når du skal lage en design for en plakat eller bok, har du mange virkemidler. Blant annet kan du bruke geometriske former og figurer til å skape harmoni og balanse, men også til å skape spenning og utfordring i komposisjonen. Skal du kunne bruke geometriske figurer og former som et verktøy, må du bli godt kjent med dem og egenskapene de har.

Ku

n

D U S K AL K U N N E

kjenne igjen og vite navnet på ulike geometriske figurer

vite hva som karakteriserer de ulike geometriske figurene

plassere et element i et bilde i en gitt vinkel med horisontallinja


Geometriske figurer og former 201

U T F O R S K SA M M E N 3

4

2

5 6 9

12

10

13

rd

11

er in

8

7

Det er flere ting vi kan legge merke til ved en geometrisk figur: Er den bygd opp av rette eller krumme linjer?

Er det noen sammenheng mellom sidelengdene hvis sidene er rette? Er alle sider like lange eller bare noen?

Er noen av sidene parallelle?

Er alle vinklene ulike, eller er to eller flere vinkler like store?

Har figuren symmetrilinjer – en, to, flere eller kanskje uendelig mange?

Er figuren asymmetrisk, det vil si at den ikke har symmetrilinjer?

Har figuren noe sentrum?

til

vu

n

Studer de geometriske figurene på bildet ovenfor. Sett riktig navn på figurene og noter hva som er karakteristisk for hver av dem, så nøyaktig dere kan. På bildet finner dere disse figurene: trekanter: likesidet, likebeint, rettvinklet og asymmetrisk

Ku

g

1

firkanter: kvadrat, rektangel, parallellogram, trapes og drake

flere regulære mangekanter

sirkel og ellipse / oval figur


202 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

radius

¥

g

En sirkel er ei krum linje rundt et sentrum, der alle punktene på linja ligger like langt fra sentrum. Avstanden fra sentrum til sirkellinja kalles radius. Ei rett linje tvers over sirkelen som går gjennom sentrum, kalles diameter. Diameteren er den lengste rette linja som kan tegnes inni en sirkel, og den er dobbelt så lang som radien.

diameter

EK SEMPEL 1

er in

S

For å beskrive hva som karakteriserer en geometrisk figur, trenger vi gjerne noen navn eller begreper som hører til figuren. For å beskrive en sirkel, trenger vi begrepene sentrum og radius. Det er dessuten nyttig å kjenne begrepet diameter.

84,4 m

vu

rd

r = 36,8 m

Mange geometriske figurer er satt sammen av enklere figurer. Hvilke geometriske figurer er friidrettsbanen satt sammen av? Hvilke lengdemål kan du lese av på figuren, og for hvilke geometriske former?

til

Løsning: Banen består av et rektangel i midten, med lengden 84,4 m og bredden 73,6 m. I hver ende av rektangelet er det en halvsirkel med radius 36,8 m.

Ku

n

Regulære mangekanter

Begge figurene nedenfor er femkanter. Sidene er like lange, og vinklene i hjørnene er like store. En slik mangekant sier vi er regelmessig eller regulær. Vi kan tegne to diagonaler fra hvert hjørne i en femkant. Da dannes det flere figurer inni femkanten.

rød blå

rød grønn

blå


Geometriske figurer og former 203

er in

Den andre femkanten viser at vi finner mange trekanter inni figuren: to blå, to røde og en grønn trekant er markert. Alle disse trekantene har en egenskap felles: To av sidene er like lange, de er likebeinte trekanter.

Tenk gjennom!

Hvorfor kalles hovedkvarteret til det amerikanske forsvarsdepartementet Pentagon?

rd

Sammenstilling av geometriske figurer

vu

Når en stor flate skal dekoreres, kan det gi en fin effekt om vi fyller en del av eller hele planet med regulære mangekanter. Vi kan tegne dem slik at de ligger tett inntil hverandre på alle kanter uten at de overlapper hverandre. Hvis vi vil fylle planet med bare en av figurene, kan vi bruke regulære trekanter, firkanter eller sekskanter. Setter vi sammen flere regulære figurer, er det straks flere muligheter, for eksempel sekskanter og trekanter, åttekanter og firkanter, tolvkanter og firkanter osv.

til

EKSEMPEL 2 Bruk et digitalt tegneprogram til å lage et mønster med regulære åttekanter og firkanter.

n

Løsning: Dette mønsteret kan fortsette i det uendelige uten at noen av figurene overlapper hverandre:

Ku

Merk Den femarmete stjerna er blitt brukt som symbol i mange sammenhenger, fra religiøse seremonier til svart magi og til bruk i logoer og bumerker. I Norge ble stjerna kalt marekors.

g

I femkanten til venstre ser vi at diagonalene danner ei femarmet stjerne, og inni den er det en ny regulær femkant som vi kan tegne ei ny stjerne i. Og slik kan vi fortsette.


204 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

Plassering av tekst og figurer

g

Når vi skal bruke tekst og figurer på et ark eller i et bilde, må vi bestemme oss for hvordan alt skal plasseres. Dessuten må vi bruke faguttrykk som er slik at andre kan forstå hva vi har planlagt.

er in

I utgangspunktet har vi horisontale eller vannrette linjer og vertikale eller loddrette linjer. Vinkelen mellom ei horisontal og ei vertikal linje er 90 . Dersom et element skal plasseres på skrå, må vi fastsette vinkelen som elementet skal ha i forhold til ei horisontal linje.

rd

Vi kan bruke digitalt verktøy eller en gradskive til å måle vinkler. Gradskiva er en halvsirkel. Det er 360 rundt en hel sirkel, så gradskiva spenner over 180 . Midt på horisontallinja er sentrum i halvsirkelen avmerket. Langs kanten er gradene markert i begge retninger, slik at du kan tegne en gitt vinkel med åpning både mot venstre og høyre. Vertikal linje

40 180 170 16 0 15 01 40

til

50

60°

3

0 10 20 30

12 130

40

45°

70 180 160 1 150 0 140 0 20 10

0 90 100 110 70 8 120 130 0 100 90 80 70 6 0 0 11

vu

50

60

Horisontal linje

Ku

n

EK SEMPEL 3

Horisontallinje

Hvor stor er vinkelen mellom linja som teksten står på, og horisontallinja?

Løsning: Vi legger vinkelmåleren med sentrum i skjæringspunktet mellom horisontallinja og linja under den skrå teksten. Da kan vi lese av at vinkelen er 43 .


Geometriske figurer og former 205

EKSEMPEL 4

er in

Løsning: Vi tegner horisontallinja og merker av et punkt på den. Så bruker vi gradskiva til å merke av vinkelen. Til slutt tegner vi rektangelet på linja som danner en vinkel på 20 med horisontalplanet.

g

Tegn et rektangel som ligger slik at den ene langsiden danner en vinkel på 20 med horisontalplanet. Vinkelen skal ha åpning til venstre.

rd

Denne oppgaven kan gjerne løses med et digitalt tegneprogram. Vi tegner horisontallinja og ei linje som danner en vinkel på 20 med den. Til slutt plasserer vi rektangelet.

vu

20°

Noen spesielle geometriske figurer og navn: Likesidet trekant

til

Likebeint trekant

Alle sidene er like lange.

n

To av sidene er like lange.

Rettvinklet trekant

90° Trekanten har en rett vinkel (90 ). De to korte sidene kalles kateter, mens den lengste er hypotenusen.

Rektangel

Alle sidene er like lange, og alle vinklene er rette.

To og to motstående sider er like lange, og alle vinklene er rette.

Ku

Kvadrat


206 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

Parallellogram

Trapes

To og to motstående sider er like lange. Sidene som er like lange, er også parallelle.

To sider i firkanten er parallelle.

g

Drake

er in

Merk To rette linjer er parallelle hvis avstanden mellom dem er den samme overalt. Linjene vil aldri skjære hverandre.

To og to sider er like lange.

Ellipse

Sirkel

a

S d

A

b

B

rd

r

vu

S er sentrum i sirkelen. Alle punktene på sirkellinja ligger like langt fra sentrum. Radien er avstanden fra sentrum til sirkellinja. Diameteren er dobbelt så lang som radien, d ¼ 2r.

Ellipsen har to brennpunkter B. Alle punktene på ellipsen ligger slik at avstandene til de to brennpunktene samlet er den samme. Altså er a þ b en fast størrelse.

til

Oppgaver 5.2

n

5.1 Bruk et digitalt tegneprogram til å komponere et bilde med bare trekanter. Bruk både likesidete, likebeinte, rettvinklete og asymmetriske trekanter.

Ku

Fargelegg gjerne!

Hvilke geometriske figurer er denne tegningen satt sammen av?


Geometriske figurer og former 207

a

Hvor mange diagonaler kan du tegne fra hvert hjørne?

b

Diagonalene skjærer hverandre flere ganger, og det dannes mange figurer inni åttekanten. Finn tre figurer i åttekanten, beskriv dem og fortell hva de heter.

5.8 Bruk et digitalt tegneprogram og tegn regulære mangekanter: trekant, firkant osv. helt opp til sjukant. Tegn inn alle diagonalene. Fyll ut skjemaet for regulære mangekanter fra trekant til sjukant: Antall kanter

Antall diagonaler fra hvert hjørne

Antall diagonaler til sammen

3

0

0

4

1

2

er in

a

g

5.3 Tegn en regulær åttekant i et digitalt tegneprogram. Tegn inn alle diagonalene.

5.4 Bruk et digitalt tegneprogram og lag et mønster av regulære sekskanter og trekanter som kan fylle hele planet uten overlapping.

5 6

rd

7

.. .

5.5 Lag din egen logo ved å sette sammen forbokstavene i navnet ditt til en figur. Figuren skal bare inneholde kjente geometriske figurer.

vu

10

til

5.6 Bruk et blankt ark og tegn horisontale linjer. Tegn fem ulike vinkler, noen med åpning mot høyre og andre med åpning mot venstre. Gjett hvor store vinklene er, og skriv det ned.

b

Mål vinklene med gradskive. Hvor gode var anslagene dine? Er det noe du kan forbedre?

n

a

Ku

5.7 Tegn ei horisontal linje midt på et ark og ei linje som danner en vinkel på 35 med horisontallinja, med åpning til høyre. Tegn en likebeint trekant med grunnlinja på vinkellinja.

.. .

n

b

Se etter et mønster i kolonnene. Følg mønsteret og fyll ut riktige antall for en tikant. Klarer du det uten å tegne og telle på figuren?

c

Finn et uttrykk for hvor mange diagonaler det blir fra hvert hjørne når figuren har n kanter, og hvor mange diagonaler det blir til sammen.


208 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

5.9 Tegn en ellipse på papir:

g

Du trenger et underlag som du kan feste tegnestifter i, for eksempel en treplate, og en bit hyssing, papir og blyant.

er in

Knyt endene av hyssingen fast i hver sin tegnestift. På arket merker du av to punkter som skal være brennpunkter i ellipsen. Legg arket på underlaget og fest tegnestiftene i hvert sitt brennpunkt. Sørg for at hyssingen henger løst mellom tegnestiftene. Sett blyanten slik at hyssingen blir stram, og før den rundt til du har tegnet ellipsen.

vu

rd

Undersøk hva som skjer med formen på ellipsen når du flytter brennpunktene nærmere hverandre og lenger fra hverandre, men bruker samme lengde på hyssingen. Forklar.

L Æ R I N G S L O G G 5. 1

Repeter navnene på de geometriske figurene og hvilke egenskaper de har.

Ku

n

til

I hvilke sammenhenger kan du få bruk for kunnskapen om geometriske figurer i ditt framtidige arbeid?


Symmetrier 209

rd

er in

g

5.2 Symmetrier

vu

Hvis vi skal henge opp noen bilder på veggen, hvordan ordner vi bildene? Henger vi dem helt tilfeldig, eller lager vi et system? Og når vi planter blomster i et bed, setter vi plantene tilfeldig, eller ordner vi dem systematisk? Vi opplever det gjerne ryddigere og mer harmonisk når vi følger et system. Mange av systemene vi kan lage, inneholder symmetrier.

til

Hvordan vil du plassere overskriften og teksten på en plakat?

D U S K AL K U N N E

analysere geometriske figurer og finne symmetrilinjer og symmetripunkter

n

tegne symmetriske figurer for hånd eller med digitale verktøy

Ku

Tenk deg at du har en geometrisk figur, og at du kan trekke ei rett linje gjennom figuren og brette den dobbelt slik at linja ligger i bretten. Hvis de to halvdelene på figuren dekker hverandre helt etter at du har brettet, sier vi at figuren er symmetrisk om linja. Vi kaller linja ei symmetrilinje, og vi kaller symmetrien for speilingssymmetri fordi den ene halvdelen av figuren er som et speilbilde av den andre.


210 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

U T F O R S K SA M M E N

rd

er in

g

Til denne oppgaven trenger dere et lite speil med en rett kant.

vu

Studer logoene. Sett speilet på høykant inni figuren og let etter plasseringer som er slik at når du ser inn i speilet, ser figuren hel ut. Hvilke av figurene har speilingssymmetri? Er enkelte figurer symmetriske om mer enn éi speilingslinje? Hvor mange speilingslinjer eller symmetrilinjer har hver av logoene?

til

Kan dere finne flere logoer som er bygd opp av geometriske figurer? Finner dere symmetrilinjer i disse logoene?

Ku

n

Vi kan bruke symmetrier til å oppnå fine effekter i det vi tegner. Vi skiller mellom tre slags symmetrier:

speilingssymmetri

punktsymmetri

rotasjonssymmetri


Symmetrier 211

Speilingssymmetri

er in

Det kan også være en hel figur som skal speiles om ei linje. Vi begynner med å tegne speilingslinja. Deretter tegner vi linjer fra hvert hjørne på figuren slik at de står vinkelrett på speilingslinja. Vi lar punktene i speilbildet ligge like langt fra speilingslinja som punktene de er et bilde av. Speilbildet blir naturligvis speilvendt:

vu

rd

Samme avstand

Symmetrilinje speiling om denne linja

til

Punktsymmetri

Ku

n

I stedet for at en figur speiles om ei linje, kan den speiles gjennom et punkt. For å tegne en slik speiling må vi tegne ei linje fra hvert hjørne på figuren gjennom speilingspunktet. Avstanden mellom et punkt og speilingspunktet er den samme som avstanden fra speilbildet av punktet til speilingspunktet. Figuren til venstre i bildet nedenfor er speilet om punktet A. Speilbildet får samme form som den opprinnelige figuren. Men det er snudd, som om figuren til venstre er blitt rotert 180 om punkt A.

A

g

Vi så eksempel på speilingssymmetri på forrige side. En figur kan ha ingen, en eller flere symmetrilinjer. Et kvadrat har for eksempel fire symmetrilinjer. På figuren i margen ser du at to av dem er diagonaler i kvadratet, mens de to andre går gjennom midtpunktene på to motstående sider.


212 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

Rotasjonssymmetri

g

Vi kaller det rotasjonssymmetri når vi kan rotere en figur en viss vinkel om et punkt, og så komme til en ny posisjon der den opprinnelige figuren faller helt sammen med figuren som er rotert.

EK SEMPEL 5

er in

Vis at ei regulær femarmet stjerne har rotasjonssymmetri. a

Hvilket punkt er sentrum for rotasjonen?

b

Hvor mange ulike posisjoner som faller sammen med den opprinnelige, kan stjerna ha før vi er tilbake til utgangspunktet?

c

Hvor mange grader må vi rotere figuren før den roterte figuren første gang faller sammen med den opprinnelige?

rd

Løsning: a Når vi tegner alle symmetrilinjene på figuren, ser vi at de krysser hverandre i ett punkt. Dette punktet må være sentrum for rotasjonen. Se figuren i margen. Vi kan sette stjerna i fem ulike posisjoner der den roterte figuren faller sammen med den opprinnelige. I den femte posisjonen er vi tilbake til utgangsposisjonen.

c

En rotasjon som går en hel runde, er på 360 . Rotasjonen fram til den første posisjonen må være 360 : 5 ¼ 72 . Hver av de fem rotasjonene går over like store vinkler.

Ku

n

til

vu

b

72°

En rotasjonssymmetri kan gå over ulike vinkler, alt etter hvor mange posisjoner figuren kan ha før den er tilbake til sin opprinnelige posisjon. En punktsymmetri er også en rotasjonssymmetri, men den vil alltid ha en rotasjon på 180 .


Symmetrier 213

Oppgaver

b

a

Tegn et rektangel og tegn inn alle symmetrilinjene.

5.14 Avgjør for hver av felgene om de har speilingssymmetri eller rotasjonssymmetri eller begge deler. a

Hvor mange symmetrilinjer kan du tegne i motivet på vottene som inneholder to åttebladsroser?

c

rd

b

Hvor mange symmetrilinjer kan du tegne i én åttebladsrose?

g

5.13 a Tegn en likesidet trekant og tegn inn alle symmetrilinjene.

er in

5.10 Motivet på vottene på bildet kalles åttebladsrose.

5.11 a Figurene viser tre kommunevåpen. Hvor mange symmetrilinjer finner du i hvert kommunevåpen?

Finn kommunevåpenet til kommunen du bor i. Finner du symmetrilinjer i det?

til

b

vu

b

5.12 Tegn figurene nedenfor slik at de får minst en symmetrilinje. Tegn inn alle symmetrilinjene: b

trapes

n

trekant

Ku

a

c

parallellogram

5.15 Tegn et motiv som har flere symmetrier. Du bestemmer selv motivet og hvilke symmetrier det skal ha. Forklar symmetriene du har brukt i de ulike elementene av tegningen.

L Æ R I N G S L O G G 5. 2 Hvilke former for symmetri har du lært om? Tegn et eksempel til hver. I hvilke sammenhenger kan du tenke deg at det er nyttig å bruke symmetrier for å skape et godt resultat?


214 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

5.3 Lengder og areal

D U S K AL K U N N E

er in

g

Størrelsen på en TV oppgis i tommer. Vi snakker da om lengden på diagonalen mellom to av hjørnene. Men hvilken betydning har dette tallet for lengden og bredden på skjermen, og hvor stort blir arealet?

måle lengder og velge passende målenhet

regne ut arealet av geometriske figurer

oppgi areal i passende målenheter

rd

U T F O R S K SA M M E N

Hvor store areal? Til oppgaven trenger dere A4-ark (gjerne farget), saks, lim, passer, linjal og vinkelmåler.

høyde

Et parallellogram er en firkant der to og to sider er parallelle. Tegn et parallellogram så nøyaktig dere kan. Tegn høyden slik figuren viser, fra et hjørne og vinkelrett ned på motstående side. Mål og noter lengden og høyden. Klipp ut parallellogrammet, og klipp langs den stiplete linja. Flytt trekanten dere har klipt av, over på den andre siden av parallellogrammet.

til

lengde

a

vu

90°

Hva slags figur får dere nå? Hva er arealet av denne figuren? Og hva er arealet av parallellogrammet?

Ku

n

Skriv en regel for arealet av et parallellogram med deres egne ord.

b

Begynn med å tegne en sirkel på A4-arket med radius 8–9 cm. Del sirkelen i åtte like store sektorer. Klipp ut sirkelen og alle sektorene. Tegn to parallelle linjer på et blankt ark. La avstanden mellom linjene være lik radien i sirkelen. Lim sektorene sammen mellom de to linjene slik figuren viser. La fire deler vende oppover og fire nedover.

r

r


Lengder og areal 215

Hva slags figur likner den på?

Omtrent hvor lang er figuren?

Om lag hvor stort er arealet av figuren? Skriv ned det dere finner.

Hva er sammenhengen mellom arealet av denne figuren og arealet av sirkelen dere begynte med?

Stemmer det dere finner, med det dere kan fra før om arealet av sirkler?

er in

g

Studer figuren dere får, når dere har limt den ferdig:

Tenk dere at sirkelen var klipt opp i mange flere sektorer og limt sammen på samme måte. Ville det ha gjort noe for nøyaktigheten i resultatet?

Skriv til slutt regelen for arealet av en sirkel der dere kjenner lengden av radien.

rd

Når du skal regne ut et areal, må du kjenne formen på arealet du skal beregne, og du må vite hvilken arealenhet du skal bruke. Er det et rektangel, et kvadrat, en trekant eller en sirkel? Eller kanskje du skal beregne et areal som kan deles opp i kjente former som du kan regne ut arealet av? Og skal du for eksempel

vu

måle i kvadratcentimeter (cm2 ) eller i kvadratmeter (m2 )?

Arealet sier hvor stor en flate er.

På side 218 finner du en oversikt over formler for areal av ulike figurer.

til

EKSEMPEL 6

Hvor mange kvadratcentimeter er det i et rektangel med lengden 5 cm og bredden 3 cm?

Ku

n

Løsning: Vi tegner en hjelpefigur:

3 cm2

1 cm2

5 cm2

Vi kan telle at det er 15 cm2 i rektanglet. Men vi kan også regne det ut: 5 cm 3 cm ¼ 15 cm2


216 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

EK SEMPEL 7 Hvor lange er sidene i et kvadrat med arealet 4 m2 ?

g

Løsning: I et kvadrat er alle sidene like lange, så arealet blir: 4 ¼ s2 pffiffiffi s¼ 4 s¼2

er in

A¼s s

Sidene i kvadratet er 2 m.

vu

rd

For å regne ut arealet av en trekant trenger vi å vite lengden på en av sidene og høyden i trekanten. Vi kaller den kjente siden for grunnlinje. Høyden er avstanden fra toppunktet i trekanten til grunnlinja. Høyden danner alltid en 90 vinkel med grunnlinja.

h

h

g

til

g

Ku

n

Arealet av en trekant er A ¼

h = 3,0 cm

g = 5,0 cm

Finn arealet av en trekant som har grunnlinje 5,0 cm og høyde 3,0 cm.

Løsning: Vi bruker formelen for arealet av en trekant: g h 2 5,0 3,0 15,0 ¼ ¼ 7,5 A¼ 2 2

Arealet av trekanten er 7,5 cm2

g

g h , der g er grunnlinja, og h er høyden. 2

EK SEMPEL 8

h


Lengder og areal 217

I utforskingsoppgaven fant dere at arealet av en sirkel er halve omkretsen ganger radius. Siden omkretsen av en sirkel er 2 r, må halve omkretsen være r.

EKSEMPEL 9 Finn arealet av en linse med radius 4,0 cm.

er in

Arealet av en sirkel er A ¼ r2 , der r er sirkelens radius.

g

Arealet av en sirkel ¼ halve omkretsen radius ¼ r r ¼ r2 .

Merk er blitt fastslått til mer enn 10 000 000 000 000 desimaler, og vi kan alltid regne ut flere. De først desimalene er ¼ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 . . .

Løsning:

til

vu

rd

Areal av sirkel:

Vi bruker formelen for arealet av en sirkel, A ¼ r2 : A ¼ 4,0 cm 4,0 cm 50,3 cm2

n

Arealet av linsen er 50,3 cm2 .

Ku

Ofte runder vi av til 3,14. Men når vi bruker kalkulator i utregninger, bruker vi tasten for .

Tenk gjennom!

Hva ville svaret blitt dersom vi hadde tastet 3,14 på kalkulatoren i stedet for ? Ville det blitt stor forskjell på svarene?

4,0 cm


218 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

Oversikt over formler for areal Merk Vinkelen mellom grunnlinja og høyden på arealfigurene er alltid 90 .

Figur

Areal

Kvadrat

A ¼ s2

g

s

er in

s

A¼l b

Rektangel

b

l

rd

Trekant

h

g h 2

vu

g

A¼g h

Parallellogram

h

til

g

b

Ku

n

Trapes

aþb h 2

h

a A ¼ r2

Sirkel

r


Lengder og areal 219

Oppgaver 5.16 Lag hjelpefigur i hvert tilfelle og skriv på oppgitte mål.

a

Finn arealet av et trapes der de to parallelle sidene er 7 m og 5 m, og høyden er 3 m.

b

c

En rettvinklet trekant har arealet 12 m2 . Den ene kateten er 6 m. Hvor lang er den andre kateten?

d

Et parallellogram med høyden 5 cm har arealet 45 cm2 . Hvor lang er grunnlinja i parallellogrammet?

Hvor stort er arealet av hver skjerm? Gi svarene i kvadratmeter.

Hvor mange prosent større er arealet av en 65 tommers skjerm enn en 55 tommers skjerm?

5.20 Hvor stort areal dekker denne idrettsbanen? 84,4 m

r = 36,8 m

vu

5.17 a Tegn tre firkanter, hver med arealet 24 cm2 . b

g

Gi svaret i kvadratcentimeter (cm2 ).

er in

b

Finn arealet av et kvadrat med sidelengde 20 mm.

rd

a

5.19 En TV-skjerm på 55 tommer er 111,76 cm bred og 83,82 cm høy, mens en TV-skjerm på 65 tommer er 132,08 cm bred og 99,06 cm høy.

Tegn tre trekanter, hver med arealet 12 cm2 .

Ku

n

til

5.18

Hvilke geometriske former finner dere i figuren? Hvilke av disse formene kunne du ha regnet ut arealet av? Hvilke opplysninger ville du trengt for å regne ut arealene?

5.21 a Anslå arealet av klasserommet, korridoren utenfor klasserommet, en pult eller ei av skolebøkene dere bruker. b

Ta de målene dere trenger, og regn ut arealene. Hvilke målenheter bruker dere for å finne disse arealene?

c

Hvor gode var anslagene deres?


220 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

5.23 Gyda tegnet en skisse over lekeplassen i barnehagen der hun arbeidet. Hun målte en del lengder og regnet ut arealet. Hvor stort areal har lekeplassen? 12 m

Har han rett? Forklar med egne ord hvorfor du mener han har rett eller ikke.

4m

g

5.22 Joacim tegner en sirkel og et rektangel og påstår at de to figurene har nesten like stort areal, sirkelen er bare litt større.

2,0 cm

er in

4m

20 m

2m

lekeplass

2,0 cm

2,0 cm

28 m

Tips: Del opp området i figurer du kjenner og kan finne arealet av.

til

vu

2,0 cm

8m

rd

2,0 cm

L Æ R I N G S L O G G 5. 3

I hvilke sammenhenger kan du få bruk for kunnskapen om areal i ditt framtidige arbeid?

n

Hva er det viktig å vite om areal i slike sammenhenger?

Ku

bygning

4m

2m


Forhold og målestokk 221

D U S K AL K U N N E

er in

Når et arbeid skal utføres, er det viktig å ha en god arbeidstegning. Den viser målene på det som skal lages. Når vi skal ha en TV-produksjon i et studio, bør vi på forhånd lage en skisse av hvor stor plass vi trenger til de ulike møblene og annet utstyr, slik at vi vet at det ikke blir for trangt. Hvor lang skal en 2,5 m lang sofa tegnes hvis 1 cm på tegningen er 20 cm i virkeligheten?

vite hva målestokk er

lage en arbeidstegning i en gitt målestokk

bruke en arbeidstegning til å forstå hvordan noe skal se ut i virkeligheten

løse ulike problemer som krever forholdsregning

vu

rd

U T F O R S K SA M M E N

Ku

n

til

Sammenlikn de to bildene nedenfor. Forklar så nøyaktig dere kan hva som er likt, og hva som er ulikt på bildene.

Det som er ulikt, kan beskrives mer nøyaktig. Ta mål av tilsvarende lengder to–tre steder på begge bildene. Hva oppdager dere? Hva er sammenhengen mellom målene på de to bildene? Vil denne sammenhengen gjelde uansett hvilke to tilsvarende lengder dere måler? Skriv ned det dere har funnet ut.

g

5.4 Forhold og målestokk


222 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

Formlike figurer 12 90°

g

127°

15

4 90° 4

127°

90°

5 53°

7

er in

12

90°

53°

21

De to trapesene har samme form, men ulik størrelse:

Alle lengdemål på den store figuren er tre ganger større enn de samsvarende lengdene på den lille figuren. Forholdet mellom lengdene på den lille og den store figuren er 1 : 3 (les «1 til 3»).

Samsvarende vinkler er like store.

vu

rd

Figurer som har samme form, men ulik størrelse, kalles formlike figurer.

Formlike figurer oppfyller to krav: Forholdet mellom de samsvarende sidene er det samme.

til

1

Ku

n

2

De samsvarende vinklene er like store.


Forhold og målestokk 223

En arbeidstegning inneholder nøyaktige opplysninger om noe i virkeligheten. Forholdet mellom alle lengder på arbeidstegningen og de tilsvarende lengdene i virkeligheten er det samme. Hvis 1 cm på arbeidstegningen svarer til 50 cm i virkeligheten, skriver vi forholdet som 1 : 50. Dette forholdet kalles målestokk.

er in

Forholdet mellom to tall skrives som det ene tallet delt på det andre.

På en tegning i målestokk 1 : 100 vil altså 1 cm på tegningen svare til 100 cm ¼ 1 m i virkeligheten. 2 cm svarer til 2 m, og 2,5 cm svarer til 2,5 m i virkeligheten.

EKSEMPEL 10

rd

Et studio skal innredes for et filmopptak. Det er laget en arbeidstegning i målestokk 1 : 20, og på arbeidstegningen er rommet 36,0 cm langt og 27,5 cm bredt. Det skal settes inn en sofa som er 2,20 m lang og 95 cm dyp. Hvor stort er rommet i virkeligheten?

b

Hvor stor skal sofaen være på arbeidstegningen?

vu

a

Løsning: a Når målestokken er 1 : 20, vil det si at alle mål i virkeligheten er tjue ganger større enn på arbeidstegningen:

til

36,0 cm 20 ¼ 720,0 cm ¼ 7,20 m 27,5 cm 20 ¼ 550,0 cm ¼ 5,50 m

Rommet er i virkeligheten 7,20 m langt og 5,50 m bredt. I dette tilfellet må vi dele alle mål i virkeligheten på 20 for å finne hvor store de skal være på arbeidstegningen:

n

2,20 m : 20 ¼ 220 cm : 20 ¼ 11 cm

95 cm : 20 4,8 cm

På arbeidstegningen er sofaen 11 cm lang og 4,8 cm bred.

Ku

b

g

Målestokk på arbeidstegninger

Tenk gjennom!

I eksempelet ble rommet 36 cm langt på arbeidstegningen. Hvilken annen målestokk vil du foreslå for å få plass til arbeidstegningen på et A4-ark?


224 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

rd

er in

g

Forholdstall

vu

Når vi sammenlikner to tall, kan vi enten fortelle hvor stor forskjellen mellom dem er, eller vi kan fortelle hvor mange ganger større det ene er enn det andre. Hvis alle lengder i et bilde er dobbelt så lange som lengdene i bildet vi sammenlikner med, kan vi si at 2 er et forholdstall. Vi må gange alle lengdene i det minste bildet med 2 for å finne de tilsvarende lengdene i det største bildet. Og vi må dele alle lengdene i det største bildet på 2 for å finne de tilsvarende lengdene i det minste bildet.

Ku

n

til

Forholdet mellom to tall er svaret vi får når vi deler det ene på det andre.

Forholdet mellom to tall kan være forholdet mellom lengder i virkeligheten og på en tegning, eller mellom lengden og bredden til et rektangel eller mellom to andre størrelser. Et bilde kan forstørres eller forminskes. Hvis bildet forstørres for mye, vil vi til slutt se pikslene i bildet. Antall piksler per tomme («inch») måles i ppi («pixels per inch»). Skal et bilde trykkes, bør bildet vanligvis ha minst 300 ppi for å oppnå god nok kvalitet. Når vi skal vurdere hvor stort et bilde kan være på trykk, må vi regne om fra piksler til centimeter. I neste eksempel bruker vi flere forholdstall: 2,54: Vi må gange antall tommer med 2,54 for å få antall centimeter. 800: Vi må gange antall tommer med 800 for å få antall piksler. 1,43: Vi må gange bildets bredde med 1,43 for å få lengden av bildet.


Forhold og målestokk 225

EKSEMPEL 11

Hvor stort kan bildet bli uten at antall piksler i bildet blir mindre enn 300 ppi?

b

Hvordan kan Mina på enkleste måte regne ut bredden på forstørrelsen?

er in

a

g

Mina har et fotografi på 800 ppi med bredden 7,12 cm og lengden 10,18 cm. Hun ønsker å forstørre bildet.

vu

rd

Løsning: a En tomme er 2,54 cm: 7,12 cm 2,803 tommer 2,54 tommer=cm Bredden på bildet er 2,803 tommer. 2,803 tommer 800 piksler=tommer ¼ 2242 piksler Siden det er 800 piksler per tomme, vil bildet ha 2242 piksler i bredderetningen. 2242 piksler 7,47 tommer 300 piksler=tommer Bildet kan ha en bredde på 7,47 tommer. 7,47 tommer 2,54 cm=tommer 19,0 cm Bildet kan være 19,0 cm bredt.

til

For å finne forstørrelsen i lengderetning regner vi først ut forholdet mellom lengde og bredde på bildet: 10,18 cm 1,43 7,12 cm Det vil si at lengden er 1,43 ganger større enn bredden: 19,0 cm 1,43 27,2 cm Siden bredden kan være 19,0 cm, kan lengden være 27,2 cm.

n

Hvis vi oppsummerer regnestykkene vi gjorde i a, ser vi at regningen blir: 7,12 cm 800 800 2,54 ¼ 7,12 cm 19,0 cm 2,54 300 300

Ku

b

800 2,67 300 Regnestykket kunne vært gjort så enkelt som 7, 12 cm 2,67 ¼ 19,0 cm De to verdiene for ppi delt på hverandre blir et forholdstall som vi kan gange opprinnelig lengde med for å finne den nye lengden. Har vi en høy ppi i utgangspunktet, kan vi forstørre bildet. Jo høyere ppi vi har i utgangspunktet, desto høyere blir forholdstallet.


226 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

rd

er in

g

Det gylne snitt

vu

Et kjent forholdstall er det gylne snitt. Dersom motivet i et fotografi er plassert i midten av bildet, oppleves gjerne bildet som lite spennende. Hvis fotografen derimot plasserer motivet litt til siden i bildet, vil mange synes at bildet er bedre.

Det gylne snitt er navnet på forholdstallet 1,618.

Ku

n

til

Dersom forholdet mellom lengden og bredden i et rektangel er 1,618, er lengden i rektangelet 1,618 ganger lengre enn bredden. Vi sier at vi har et gyllent rektangel. Et gyllent rektangel har den egenskapen at om vi tar bort et kvadrat i den ene enden, vil rektangelet som står igjen, også være et gyllent rektangel. Denne egenskapen er det bare gylne rektangler som har: b

a–b

b

a


Forhold og målestokk 227

lengde a ¼ ¼ 1,618. Hvis vi tar bort kvadratet bredde b med sidelengde b, er forholdstallet mellom lengde og bredde i det lille rektangelet til høyre også lik det gylne snitt: b ¼ 1,618 a b

Korteste del

til

Lengste del

vu

rd

er in

Vi kan også dele linjestykker i det gylne snitt. Det vil si at forholdet mellom lengste og korteste del av linjestykket er lik 1,618. Hvis vi deler alle sidene i et rektangel i det gylne snitt og trekker linjer mellom dem, får vi gylne linjer i rektangelet. Der linjene skjærer hverandre, har vi gylne punkter. Når vi komponerer et motiv, kan vi legge viktige elementer langs de gylne linjene og i de gylne punktene. På figuren nedenfor er de gylne linjene og punktene tegnet inn:

g

Rektangelet er gyllent fordi

EKSEMPEL 12

Ziar skal kutte et bilde slik at det får det gylne snitt. Lengden l på bildet er 16,0 cm. Hva blir bredden b på bildet?

n

Løsning:

l ¼ 1,618 b

Ku

l 1,618 b ¼ 1,618 1,618

deler på 1,618 på begge sider

l ¼b 1,618 b¼

16,0 cm 9,9 cm 1,618

Når lengden på bildet er 16,0 cm, må bredden være 9,9 cm for at bildet skal bli et gyllent rektangel.

Merk I fotografi brukes ikke alltid det gylne snitt. Et annet vanlig komposisjonsprinsipp er tredelsregelen. Da deler vi bildet inn i ni like deler og prøver å legge viktige elementer på delelinjene, eller der linjene krysser hverandre.


228 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

Oppgaver

Hva svarer 1 cm på arbeidstegningen til i virkeligheten?

b

Hva svarer 2,5 cm på arbeidstegningen til i virkeligheten?

c

er in

a

5.27

g

5.24 En arbeidstegning har målestokken 1 : 100.

En skjerm kan ha formatet 16 : 9 eller 4 : 3. Begge formatene er gitt som forholdstall, de viser forholdet mellom skjermens lengde og bredde. Avgjør hvilket rektangel som har formatet 16 : 9, og hvilket som har formatet 4 : 3. Forklar.

Hva vil 3 m i virkeligheten svare til på arbeidstegningen?

5.25 Hvilke målestokker viser en forminskning på tegningen?

b

Hvilke målestokker viser en forstørring på tegningen?

c

Hvilken målestokk forminsker mest?

d

Hvilken målestokk forstørrer mest?

5.28 Vurder om denne påstanden stemmer:

En arbeidstegning er tegnet i to ulike målestokker, 1 : 100 og 1 : 25. 1 cm på tegningen vil utgjøre en større lengde i virkeligheten på tegningen med målestokk 1 : 100 enn på den med målestokk 1 : 25.

vu

a

rd

4 : 1, 1 : 2,5, 1 : 20, 10 : 1, 1 : 2, 2 : 1

l

Ku

n

til

5.26 Et hus er 7,5 m høyt og 6,0 m bredt:

5.29 A-formatet er et format der forholdet mellom den pffiffiffi lange og den korte siden i et rektangel er 2 1,41. Et slikt rektangel har den egenskapen at om vi deler det på midten, får vi to nye rektangler som også har A-formatet. Rektangelet oppfyller kravet l : b ¼ 1,41, og det halve rektangelet oppfyller samme krav: l b : ¼ 1,41: 2

a

Tegn huset i målestokk 1 : 50.

b

Hva ville målestokken vært hvis huset hadde vært 30 cm høyt på arbeidstegningen?

c

Hva blir bredden av huset med målestokken i b?

b l 2

a

Mål sidene av et A4-ark og undersøk om forholdstallet mellom dem er ca. 1,41.

b

Det største arket i A-formatet har størrelsen A0 og arealet 1 m2 . Hvor lange er sidene av et A0-ark?


Forhold og målestokk 229

g

5.31 Bildene viser to malerier: «Den siste nattverd» av Leonardo da Vinci og «Madonna Conestabile» av Rafael. De gylne linjene er tegnet inn.

rd

er in

5.30 Tegn en regulær femkant (en pentagon) i et dynamisk tegneprogram. Tegn alle diagonalene i femkanten slik at du får ei femarmet stjerne (pentagram). Bruk programmet til å finne lengdene av de linjestykkene du trenger for å løse oppgaven:

Hva slags trekant er den blå trekanten på figuren?

b

Finn forholdet mellom den lange og den korte siden i den blå trekanten. Hva ser du?

Ku

n

til

vu

a

Tror du kunstnerne har brukt gylne linjer i disse maleriene? I tilfelle hvordan?

L Æ R I N G S L O G G 5. 4 Lag en oppgave der dere bruker målestokk, og løs oppgaven selv. Dere må kunne forklare oppgaven og løsningen til andre. I oppgaven skal dere bruke følgende ord: forhold, meter, centimeter.

Forklar hva vi mener med det gylne snitt.


230 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

H V A HA R J E G LÆ R T ? Som hjelp til å komme i gang kan dere lese læringsloggene 5.1, 5.2, 5.3 og 5.4 og se over «regelboksene» i kapitlet.

Stemmer påstandene?

3

2

er in enn 3 ð2 cmÞ2 .

4

Et A4-ark er et gyllent rektangel.

Arealet av et kvadrat med sidelengden 4 cm er dobbelt så stort som arealet av et kvadrat med sidelengden 2 cm.

5

Forholdet mellom kroppslengden til et menneske og lengden fra navlen ned til golvet er omtrent det gylne snitt.

6

På en arbeidstegning svarer 1 cm på tegningen til 3 m i virkeligheten. Da er målestokken 1 : 30.

En sirkel har uendelig mange symmetrilinjer.

til

Prosjekt nettside

vu

1

En sirkel med radius 2 cm har litt større areal

rd

Avgjør om påstandene nedenfor stemmer. Sørg for at du kan forklare hvorfor de stemmer eller ikke.

g

Gå sammen i par og lag en liste eller et tankekart, der dere nevner de viktigste matematiske ideene og metodene dere har lært i kapitlet. Prøv også å få med stikkord om hva ideene og metodene kan brukes til – i dagliglivet eller i yrket ditt. Del ideene med resten av klassen.

Gruppa di har fått i oppdrag å lage en nettside for et nystartet firma som driver med lys- og lydproduksjon. De er opptatt av at nettsiden skal ha et innbydende utseende.

Ku

n

Lag et forslag til hvordan hovedsiden kan se ut. Tegn en skisse. Bruk det dere har lært om geometriske former og det gylne snitt, når dere lager nettsiden.


Test deg selv 231

Test deg selv

a

et kvadrat med sidelengde 50 mm

b

et parallellogram der sidene er 7 cm og 3 cm

c

en likebeint trekant der grunnlinja er 4 cm, og høyden er 6 cm

5.33 Vurder om du har nok opplysninger til å regne ut arealet av hver av figurene i oppgave 32 a–c.

g

5.36 Bruk et dynamisk tegneprogram og vis hvordan vi kan fylle planet med regulære sekskanter.

5.37 Anna og Agnar er båtbyggere og ønsker å bygge kanoer i tre for salg. Her har de funnet en modell de synes er egnet:

er in

5.32 Tegn følgende figurer:

rd

Regn ut arealet der det er mulig.

5.34 Tegn en regulær sjukant.

Tegn alle diagonalene. Hvor mange diagonaler kan du tegne fra hvert hjørne?

b

Finn minst tre symmetriske og tre asymmetriske geometriske figurer inni sjukanten. Marker dem og beskriv hva som karakteriserer hver av dem.

vu

a

Kanoen skal ha følgende mål:

Ku

n

til

5.35

a

Hvor mange symmetrilinjer har figuren?

b

Har figuren også rotasjonssymmetri? Hvor mange posisjoner gir i så fall figuren samme utseende som den hadde i utgangspunktet?

lengde: 4,8 m

bredde på midten: 0,68 m

høyde på midten: 0,54 m

høyde foran og bak: 0,76 m

a

Lag arbeidstegninger av kanoen sett fra siden og ovenfra i målestokk 1 : 20.

b

Hvor stor er målestokken dersom lengden av kanoen måler 40 cm på tegningen?

c

Hvor bred skal kanoen være i målestokken du kom fram til i b?


232 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

Aktiviteter

g

Tilbake til start 5.1 Å lage reklameplakat

er in

Det er et ønske om at plakaten skal inspirere til kreativitet ved bruk av ulike geometriske former. Du har nå skaffet deg kompetanse til å prøve deg på oppdraget. Del 1 Velg hvilke geometriske former og hvilke farger du ønsker å bruke på plakaten.

rd

Del 2 Lag en skisse av plakaten.

Del 3 Bruk et tegneprogram til å lage plakaten.

5.2 TV-studio

5.4 Symmetri

vu

I innledningen til dette kapitlet viste vi til at det skulle utformes en reklameplakat for et firma som produserer skrivesaker og kontorrekvisita.

til

Tenk deg at du skal planlegge et TV-program som skal filmes i et studio. Hva slags TV-program skal det være?

n

Planlegg hvilke møbler og annet utstyr du vil ha i studioet. Bruk det du har lært om målestokk, og lag en skisse av studioet.

5.3 Det gylne snitt

Ku

Let etter det gylne snitt på gjenstander eller bilder, for eksempel emballasje, kolonialvarer, kosmetikk, pyntegjenstander eller bilder av kunst, arkitektur, biler og annet. Lag en utstilling av tingene og bildene dere velger ut. Til hver ting eller hvert bilde må det følge informasjon om hvor det gylne snitt finnes, hvilke mål som er brukt for å finne det gylne snitt, og hvilken effekt det gylne snittet har på dette produktet eller bildet.

Bruk et tegneprogram og ulike geometriske former til å lage et bilde med symmetri.


Aktiviteter 233

5.5 Bildeareal

5.7 Linjer i bilder

g

Fotografer et motiv der du har en eller flere tydelige horisontale linjer, og et motiv du gjerne vil skal være betydningsfullt i bildet. Beskjær motivet på ulike måter. Alle utsnittene skal være rektangler, men motivet kan plasseres på ulike måter i bildet.

vu

Regn ut hvor mange kvadratmeter de ulike bildene dekker.

5.8 Arealet av en sirkel

rd

Du skal utforske hvordan et bilde endrer seg med ulik avstand til objektet eller med ulikt objektiv i kameraet. Ta bilder av en gjenstand på en vegg. Varier type objektiv i kameraet og avstanden i meter. Mål på veggen hva lengden og høyden på de ulike bildene blir.

er in

Sammenlikn utsnittene. Er det noen som er mer harmoniske enn andre? Kan du se om noen av linjene i bildet ligger nær en av de gylne linjene?

5.6 Geometriske former rundt oss

Ku

n

til

Lag et program der brukeren skriver inn radien eller diameteren til to sirkler.

Velg deg et sted, for eksempel hjemme, i matbutikken, på skolen, i sentrum eller ute i naturen. Ta bilder av de ulike geometriske formene du ser. Hvor mange ulike geometriske former finner du? Lag en presentasjon av bildene.

Programmet skal skrive ut arealet av hver av sirklene og differansen mellom arealene.

5.9 Å programmere et mønster Bruk Scratch eller Python til å lage et program som tar utgangspunkt i enkle geometriske former og lager et mønster.


234 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

Oppgaver

b

Noter hvilke firkanter du har brukt, og hva som karakteriserer dem.

Har du lagt merke til at kumlokk er sirkler? Hva er fordelen med denne formen framfor kvadratiske kumlokk?

5.43 Noen påstår at hvis vi lager et kvadrat i den ene enden av et A4-ark, der alle sidene er lik arkets bredde, vil diagonalen i kvadratet være like lang som den lange siden av arket. Kontroller om det stemmer, og forklar hvordan du kontrollerer.

rd

5.39 Sett sammen geometriske figurer slik at de danner et hjerte. Hvilke geometriske figurer bruker du? Kan du lage flere ulike varianter?

g

5.38 a Komponer et bilde der du bruker alle slags firkanter: kvadrater, rektangler, parallellogram, trapeser, draker og asymmetriske firkanter. Bruk gjerne et digitalt tegneverktøy og fargelegg om du vil.

5.42

er in

5.1 Geometriske figurer og former

vu

5.40 Bruk et digitalt tegneprogram og tegn kvadrater og likesidete trekanter med like sidelengder inntil hverandre, slik at de fyller planet.

n

5.41

til

Kan du lage flere mønster med disse to formene?

Ku

Klipp en papirstrimmel langs langsiden av et A4-ark med bredde 3 cm. Slå en knute slik figuren viser. Stram knuten forsiktig slik at du får en flat mangekant med skarpe hjørner. Klipp bort endene som stikker ut av knuten. a

Hva slags figur danner knuten?

b

Er det en regulær figur? Forklar.

5.44 Mange fotballer er satt sammen av ulike mangekanter. Hvilke mangekanter blir brukt? Er det regulære mangekanter? Hvor mange av hver sort?

5.45 Velg fem ord som beskriver din beste venn. Skriv dem inn på linjer som danner en vinkel på 30 med horisontalplanet med åpning til venstre, og en vinkel på 45 med horisontalplanet, med åpning til høyre.


Oppgaver 235

5.2 Symmetrier

5.46

5.47 a Tegn en firkant som har akkurat to symmetrilinjer. Tegn en regulær sekskant med alle sine symmetrilinjer.

c

Tegn en trekant som ikke har noen symmetrilinjer.

er in

g

b

5.48

rd

Tangram er et gammelt puslespill som først ble laget og brukt i Kina. Det består av sju ulike deler. De kan settes sammen til et kvadrat slik figuren viser. Men de kan også settes sammen til svært mange andre figurer. Hvilke geometriske figurer er tangrammet satt sammen av?

b

Tegn et tangram på stivt papir og klipp ut de enkelte figurene. Sett sammen brikkene til figurene som er nevnt nedenfor. Skisser løsningene etter at du har laget dem. NB! Alle brikkene skal brukes i hver løsning!

vu

a

et rektangel som er dobbelt så langt som det er bredt

en likebeint trekant

et parallellogram

Ku

n

til

Hvor mange symmetrilinjer har denne figuren? Hvordan kan du kontrollere om figuren virkelig er symmetrisk?

5.49 a Bruk digitalt tegneverktøy og tegn en regulær sjukant. Tegn diagonaler slik at du får ei sjuarmet stjerne inni sjukanten. Gjennom punktene nedenfor skal du vise at ei regulær sjuarmet stjerne har rotasjonssymmetri. b

Hvilket punkt er sentrum for rotasjonen?

c

Hvor mange ulike posisjoner som faller sammen med den opprinnelige, kan stjerna ha før vi er tilbake til utgangspunktet?

d

Hvor mange grader må vi rotere figuren før den roterte figuren første gang faller sammen med den opprinnelige?


236 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

5.50 I denne oppgaven skal vi bare bruke store bokstaver.

5.3 Lengder og areal

a

Hvor mange bokstaver har minst ei symmetrilinje?

b

Kan du finne noen ord eller navn som er symmetriske når de skrives med store bokstaver?

5.53 Tegn gjerne hjelpefigurer når du løser oppgavene:

5.51 I naturen kan vi finne mange eksempler på symmetri. Velg tre eksempler, bruk bilder eller tegning som forklaring.

c

Finn arealet av en trekant med grunnlinje 4 cm og høyde 6 cm.

5.54 a Tegn to firkanter med arealet 16 cm2 . b

Tegn to trekanter med arealet 6 cm2 .

5.55 Tegn gjerne hjelpefigurer når du løser oppgavene:

Storbritannia

a

Et kvadrat har arealet 36 m2 . Hvor lange er sidene i kvadratet?

vu

a

Finn arealet av et rektangel med lengde 3 m og bredde 2 m.

rd

5.52 Avgjør for hvert flagg nedenfor om de har noen symmetrier. Har de rotasjonssymmetri? Hvor mange posisjoner faller sammen med den opprinnelige posisjonen? Har de symmetrilinjer? Hvor mange?

b

g

Finnes det noen store bokstaver som har rotasjonssymmetri?

Finn arealet av et kvadrat med sidelengde 5 m.

er in

c

a

b

Et rektangel har lengden 10 mm. Arealet er 60 mm2 . Hvor stor er bredden av rektanglet?

c

Sveits

til

b

Spania

Ku

n

c

d

Arealet av en trekant er 14 cm2 . Høyden er 7 cm. Hvor lang er grunnlinja i trekanten?

5.56 Et fotballmål er 244 cm høyt og 732 cm bredt. a

Hva blir målene når du bruker meter som målenhet?

b

Hvor stor er åpningen i fotballmålet? Skriv opp arealet både i kvadratcentimeter og i kvadratmeter.

5.57

Japan

De to firkantene på figuren har like store areal. Forklar hvorfor det stemmer.


Oppgaver 237

Legg trekantene slik at to andre av de samsvarende sidene ligger sammen.

5m

Hva slags firkant får du nå?

c

Hvordan regner du ut arealet av denne firkanten? Hvilke mål må du ha for å regne ut arealet?

d

Hvor stort er arealet av en trekant i forhold til arealet av firkanten?

e

2m

Gjelder denne sammenhengen for alle trekanter uansett hva slags form de har? Tegn og klipp ut trekanter med ulike former, for eksempel som nedenfor, og kontroller!

vu

Figuren viser et vindu i en stor bygning. Hva er arealet av dette vinduet?

Formelen for arealet av en trekant er g h A¼ 2 Stemmer det med det du har funnet her? Forklar.

rd

f

g

b

er in

5.58

5.59

til

5.61

Sammenlikn arealene på de tre figurene. Hva kan du si om dem?

Ku

n

5.60 Forklaring på formelen for arealet av en trekant

Tegn to helt nøyaktig like trekanter og klipp dem ut. Legg dem sammen slik figuren viser, med to samsvarende sider inntil hverandre. De to trekantene danner en firkant. a

Hva slags firkant får du?

1

3 4

2

5 7

6

Vi går ut fra at sidelengdene i kvadratet med tangrammet er 10 cm, slik at arealet av hele kvadratet er 100 cm2 . Finn arealet av de sju brikkene i puslespillet.


238 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

5.4 Forhold og målestokk

5.65 Et studio skal settes opp med et stort skrivebord. Bordet er 2,3 m langt og 1,2 m bredt. Det skal stå i et rom som måler 7 m 8 m. a

Tegn dette rektanglet i målestokk 1 : 10. Disse spørsmålene kan være til hjelp:

Lag en arbeidstegning i målestokk 1 : 50 av rommet, med bordet plassert i rommet.

b

Om lag hvor stor vil en passende stol til skrivebordet være på arbeidstegningen?

Hvor mange centimeter blir lengden og bredden av maleriet på tegningen?

5.63 Et fotografi med målene 102 mm 153 mm har 750 ppi.

er in

b

Hvor mange centimeter på selve maleriet svarer til 1 cm på tegningen?

c

På arbeidstegningen er det en sofa som er 6 cm lang og 2,5 cm bred. Hvor stor er denne sofaen i virkeligheten?

5.66 Professor Roger Penrose konstruerte mangekanter som kan settes sammen slik at de fyller planet uten å overlappe, men som ikke har regelmessige mønstre.

rd

a

g

5.62 Et maleri har form som et rektangel med lengde 125 cm og bredde 75 cm.

Hvor stort kan bildet bli uten at antall piksler i bildet blir mindre enn 300 ppi?

vu

108°

til

5.64 Da vi sammenliknet de to bildene i innledningen til delkapittel 5.4, så vi at forholdet mellom alle lengdene på det store bildet og tilsvarende lengder på det lille bildet var 2 : 1. a

Hva er forholdet mellom arealene av bildene?

b

Lag to formlike rektangler der forholdet mellom lengdene er 3 : 1. Hva er forholdet mellom arealene på disse tegningene? Lag to formlike rektangler der forholdet mellom lengdene er 4 : 1. Hva er forholdet mellom arealene her?

Ku

n

c

d

Kan du finne en generell regel for forhold mellom areal når du kjenner forholdet mellom lengdene på to formlike figurer?

16,18 cm 72° 10 cm

72°

pil

16,18 cm 10 cm

drake

16,18 cm

72° 108°

72° 16,18 cm

Begynn med et parallellogram som har like lange sider. Et slikt parallellogram kaller vi en rombe. Vinklene skal være 72 og 108 . Vi deler opp romben i to firkanter, en drake (rød) og en pil (blå). Draken skal ha tre vinkler på 72 . Da vil forholdet mellom de lange og de korte sidene på figurene utgjøre det gylne snitt. Klipp ut i stivt papir mange slike firkanter med samme mål som på figuren. Hvis du bruker de oppgitte lengdene, vil forholdet mellom lengdene være det gylne snitt. Sett sammen ulike mønstre. Hvor mye kan du sette sammen før det er umulig å få mønsteret til å gjenta seg og bli symmetrisk?


Oppgaver 239

Blandede oppgaver

5.69 120° 60°

60°

60° 3 cm

5,5 m

til

Tegningen viser et rom som er 5,5 m langt og 4,5 m bredt.

n

Hva koster parketten til gulvet?

Ku

Veggene i rommet er 40,8 m2 og skal males med to strøk maling. På det første strøket vil 1 liter maling 2

dekke 8,5 m . På det andre strøket vil 1 liter maling dekke 10 m2 . Malingen kommer i trelitersspann. Hvor mange liter maling går med til veggene, og hvor mange spann maling må da til?

Veggen er 4,5 m bred og måler 6,0 cm på tegningen. d

er in

Legg en rombe av hver farge inntil hverandre slik figuren viser. Lag flere like sekskanter, og sett disse sammen.

5.70 Tegn en regulær sekskant. Tegn så diagonaler inni sekskanten slik at det dannes ei stjerne. Stjerna kalles ofte davidsstjerne. a

Stjerna kan ikke tegnes i en sammenhengende strek, men er sammensatt av to regulære figurer. Hvilke figurer er den sammensatt av?

b

Søk på nettet og finn informasjon om denne figuren.

Regn ut arealet av rommet.

Gulvet skal dekkes med parkett som koster 179 kr per kvadratmeter.

c

Klipp ut mange romber, altså parallellogram med like lange sider, i litt stivt papir i tre ulike farger. Vinklene skal være 60 og 120 .

vu

Dør

b

60° 60°

Er det mulig å fortsette dette mønsteret og fylle planet uten at figurene overlapper?

4,5 m

a

120°

rd

Sirkelen ovenfor har radius 3 cm. Rektanglet har lengden 9 cm og bredden 3 cm. Undersøk hvilken figur som har størst areal.

Vindu

120°

120°

9 cm

5.68 (Eksamen 1PY våren 2012, noe tilpasset)

60°

120° 120°

3 cm

g

5.67 (Eksamen 1PY høsten 2017)

Finn målestokken på tegningen.

5.71 På tegningen av grunnrisset av et hus er lengden 22 cm og bredden 16 cm. I virkeligheten er huset 11 m langt og 8 m bredt. Hva er målestokken på tegningen?


240 KAPITTEL 5 – GEOMETRI

5.72

I muslimsk kunst og arkitektur brukes det mye ornamenter, border og mønstre som gjentar seg. Bildet viser et slikt mønster i keramiske fliser. Vi skal studere mønsteret som danner linjene mellom flisene. Hva slags figurer er mønsteret sammensatt av?

b

Tegn mønsteret på et rutepapir – bruk den lille figuren til hjelp. Figuren består av mange linjer som går i et bestemt mønster. Forklar med ord hvordan én av disse linjene blir tegnet i et ruteark.

Ku

n

til

vu

rd

a

er in

g

5.73

Leonardo da Vinci var opptatt av geometri i mange av sine tegninger. Det kan du se hvis du bruker Internett og søker på «leonardo da vinci geometry». Studer denne tegningen av da Vinci. Han har tegnet noen streker på tvers av armer og bein som kan ha noe med det gylne snitt å gjøre. Ta ulike mål på kroppen og se om du kan finne forholdet det gylne snitt mellom to lengder. (NB: Det er tilstrekkelig at forholdet mellom de to lengdene avrundet blir 1,6.)


Oppgaver 241

5.77

er in

g

5.74

Arealet av kvadratet på figuren er 36 cm2 . Hva er arealet av sirkelen?

rd

5.75

Arealet av den store trekanten er 32 cm2 . Alle de små trekantene er like store. Hvor stort er arealet av én liten blå trekant?

vu

a

Hva er arealet av alle de blå trekantene til sammen?

c

Hvor stor del av den store trekanten er farget blått?

5.78 (Etter idé fra Kengurukonkurransen)

til

Hva er forholdet mellom størrelsen på det røde og det blå i det norske flagget?

b

5.76 Tegn en firkant med areal 12 cm2 . Tegn en figur inne i firkanten som er slik at forholdet mellom arealene av den lille figuren og den store firkanten er 1 : 4.

Ku

n

Kan du tegne flere ulike løsninger?

Et kvadrat er delt opp i fire rektangler slik figuren viser. Omkretsen av alle rektanglene er til sammen 48 cm. Hva er arealet av kvadratet?


g

Ku

n

til

vu

rd

er in

6

PERSONLIG ØKONOMI


g

er in

Kunsten å ha kontroll på økonomien

Hva kan du gjøre for å bruke pengene dine på en best mulig måte? Ifølge inkassobyrået Intrum Justitia hadde norske ungdommer i alderen 18–26 år en forfalt inkassogjeld på over en milliard kroner i 2019. De viktigste årsakene var forbrukslån og nettkjøp som ikke betales.

rd

Hvordan kan du unngå å havne i «luksusfellen» i en tid da det er mange fristelser? Forhåpentligvis kan du lettere unngå å havne i økonomisk krise dersom du har bedre kunnskaper om privatøkonomi.

vu

I aktivitet 6.1 kan klassen arrangere en liten konferanse om økonomi og lage en veiledning som kan hjelpe både dere selv og andre til å ta gode økonomiske valg. I utforskingsoppgavene som dere møter flere steder i kapitlet, er det nyttig å ta notater som dere kan hente fram i arbeidet med aktivitet 6.1.

Kapitteloversikt

til

I 6.1 Lønn og feriepenger lærer du om ulike typer lønn, hva feriepenger er, og hvordan de beregnes. I 6.2 Beregning av lønn og skatt lærer du å tolke lønnsslippen fra arbeidsgiveren, beregne skatt og regne ut hvor mye du skal ha utbetalt i lønn.

Ku

n

I 6.3 Budsjett og regnskap lærer du hvordan du kan få kontroll over økonomien din, ved å skaffe deg oversikt over hvor store inntekter og utgifter du har. I 6.4 Sparing lærer du hva sparing er, og hvordan rentene beregnes. Hvor mye øker sparepengene dine i løpet av tiden du sparer? I 6.5 Lån lærer du om ulike typer lån og hvor mye det koster å nedbetale lån. I 6.6 Kredittlån lærer du hva kredittlån er, og om negative konsekvenser av å ta opp slike lån.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

vurdere valg knyttet til personlig økonomi og reflektere over konsekvenser av å ta opp lån og å bruke kredittkort


244 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

6.1 Lønn og feriepenger

D U S K AL K U N N E

g

Når vi mottar lønn, kan vi kjøpe oss det vi trenger. Men hvordan vet vi om vi får utbetalt riktig beløp?

gjøre rede for de ulike formene for lønn

beregne overtidslønn

forklare hva feriepenger er, og hvordan de beregnes

er in

U T F O R S K SA M M E N

vu

rd

Diskuter hva en vanlig familie bruker mest penger på i løpet av en måned. Omtrent hvor mye må en husholdning ha i lønn for å dekke slike utgifter? Bruk gjerne SIFOs referansebudsjett i dette arbeidet. (Husk at ca. 30 % av lønna trekkes i skatt.) Skriv ned det dere kom fram til, det kan være nyttig å bruke i arbeidet med aktivitet 7.1.

Lønn

til

I arbeidslivet finnes det ulike måter å gi lønn på, alt etter hva slags type arbeid som blir utført.

Ku

n

Timelønn gir oss et fast beløp per time. Timelønn er vanlig når vi ikke har fast arbeid, men jobber når bedriften har behov for ekstra arbeidskraft. Overtidslønn får vi når vi jobber mer enn ordinær arbeidstid, for eksempel om kvelden eller i helgene. Ordinær arbeidstid må ikke overstige ni timer i løpet av et døgn og ikke mer enn 40 timer over en uke. Ved overtidsarbeid har arbeidstakeren vanligvis krav på et tillegg på minst 40 % av avtalt timelønn. Månedslønn vil si at vi er i fast arbeid og får en fast sum penger per måned.

Prestasjonslønn avhenger av hvor mye vi presterer. Akkordlønn og provisjon er to ulike former for prestasjonslønn. Akkordlønn vil si at vi får en fast pris for å utføre en avtalt jobb. Jo raskere vi jobber, desto høyere blir timelønna. Provisjon er vanlig innenfor salgsbransjen. Jo mer vi selger, desto høyere blir lønna. Vanligvis får vi da en fast grunnlønn i tillegg til en viss prosent av det vi selger for.


Lønn og feriepenger 245

EKSEMPEL 1 Kaja vil bli blomsterdekoratør og jobber i blomsterbutikk noen timer hver uke. De første månedene får hun 115 kr timen på dagtid og et kronetillegg på 35 kr på kveldstid. Hvor mye skal hun ha i lønn dersom hun jobber 4 timer på dagtid og 3 timer på kveldstid i løpet av en uke?

g

a

Lønn:

Hvor mye skal hun ha i lønn denne uka? A

B

1

a

2

Timelønn på dagtid

kr 115,00

3

Tillegg for kveldstid

kr 35,00

4

Antall timer på dagtid

4

5

Antall timer på kveldstid

6

115 35 4

3

3

kr 150,00

=B2+B3

kr 460,00

=B2*B4

Timelønn på kveldstid

8

Lønn på dagtid ð115 kr 4)

9

Lønn på kveldstid ð150 kr 3)

kr 450,00

=B7*B5

Sum lønn denne uka

kr 910,00

=B8+B9

kr 125,00

125

40 %

0,4

11

vu

7

10

b

13

Timelønn på dagtid

14

Tillegg for kveldstid

15

Antall timer på dagtid

7

7

16

Antall timer på kveldstid

4

4

til

12

17

Timelønn på kveldstid ð125 kr 1,40)

kr 175,00

B13*(1+B14)

Lønn på dagtid ð125 kr 7)

kr 875,00

=B15*B13

20

Lønn på kveldstid ð175 kr 4)

kr 700,00

=B16*B18

21

Sum lønn denne uka

kr 1575,00

=B19+B20

Ku

n

18 19

Løsning: a Timelønna på kveldstid finner vi ved å legge 35 kr til timelønna på 115 kr. Kaja skal ha 910 kr i lønn denne uka. b

B (vis formler)

rd

b

er in

Etter noen måneder i jobben øker Kajas lønn til 125 kr timen på dagtid og 40 % ekstra på kveldstid. En uke jobber Kaja 7 timer på dagtid og 4 timer på kveldstid.

Lønna på kveldstid finner vi ved å gange timelønna med 1,4, som er vekstfaktoren til en økning på 40 %. Timelønna på kveldstid blir 175 kr. Kaja skal ha 1575 kr i lønn denne uka.


246 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

EK SEMPEL 2

Hva blir bruttolønna hans denne måneden?

er in

Løsning: 1 % av bilsalget utgjør 41 500 kr i provisjon:

g

Som bilselger får Pål en fast bruttolønn på 35 000 kr per måned pluss provisjon på 1 % av bilsalget. En måned selger han biler for 4 150 000 kr.

4 150 000 kr 0,01 ¼ 41 500 kr I tillegg kommer den faste lønna:

41 500 kr þ 35 000 kr ¼ 76 500 kr

rd

Pål får 76 500 kr i bruttolønn denne måneden.

Tenk gjennom!

vu

Hva måtte Pål ganget salgssummen for bilsalget med dersom provisjonen var 1,6 %?

Ku

n

til

Feriepenger

Alle arbeidstakere har rett på ferie. Feriepengeordningen sikrer at vi også får utbetalt lønn i de ukene vi har ferie. Feriepengene beregnes som en fast prosent av inntekten vi hadde forrige år. Egentlig skulle feriepengene blitt utbetalt i de periodene vi faktisk tar ferie, men vanligvis utbetaler arbeidsgiveren alle feriepenger i juni – i stedet for lønn. Resten av året får vi vanlig månedslønn. Feriepengeutbetalingen er høyere enn vanlig månedslønn fordi det bare trekkes skatt de månedene vi har vanlig lønn. Som oftest får vi ikke feriepenger den første sommeren vi er i jobb. I midlertidige jobber blir feriepengene gjerne utbetalt som en del av lønna. Hvis du slutter i en jobb, utbetales ofte feriepengene sammen med den siste lønningen.


Lønn og feriepenger 247

Feriepengegrunnlaget ¼ lønn i fjor feriepengene vi fikk i fjor

Antall ferieuker Alder Feriepengeprosent

er in

Hvor mange ukers ferie du har i løpet av et år, avhenger av hvilken avtale du har med arbeidsgiveren. Arbeidstakere over 60 år har rett på en ekstra ferieuke. 4

5

5

under 60 år

under 60 år

over 60 år

over 60 år

10,2 %

12,0 %

12,5 %

14,3 %

6

rd

Det er vanligvis oppført nederst på lønnsslippen hvor stort feriepengegrunnlaget er.

EKSEMPEL 3

vu

Gina jobber på et sykehjem. Hun er 27 år og har rett på fem ukers ferie. I fjor tjente hun 347 411 kr uten feriepenger. I år vil Gina få 352 980 kr i lønn uten feriepenger. a

Hvor mye skal Gina ha i feriepenger i år?

b

Hvor mye skal Gina ha i feriepenger neste år?

til

Løsning: a Siden Gina har rett på fem ukers ferie, blir feriepengeprosenten 12,0 %: 347 411 kr 0,12 ¼ 41 689 kr

Gina skal ha 41 689 kr i feriepenger i år.

n

Siden feriepengene ikke skal regnes med i feriepengegrunnlaget, blir feriepengegrunnlaget for neste år 352 980 kr: 352 980 kr 0,12 ¼ 42 357,60 kr

Gina skal ha 42 358 kr i feriepenger neste år.

Ku

b

g

Feriepenger ¼ feriepengegrunnlaget feriepengeprosent

Tenk gjennom!

Hva skulle vi ganget feriepengegrunnlaget med hvis Gina hadde hatt 10,2 % i feriepenger?


248 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

Oppgaver 6.3 Randi får 10 600 kr for å anlegge en plen på 600 m2 . Jobber hun raskt, klarer hun en plen på fem dager. a

Hvor mye tjener Randi per dag?

a

b

Hvor mye tjener hun per time dersom hun jobber 7,5 timer per dag?

er in

Hvor mye tjener Eli hver torsdag?

To lørdager i måneden jobber Eli 5 timer på lørdag. Da får hun 20 % mer i timelønn enn på hverdager. b

Hvor mye tjener Eli på å jobbe disse to lørdagene?

6.4 Emin jobber som selger hos Anleggsmaskin AS. Grunnlønna hans er 320 000 kr per år. I tillegg får han 1 % av prisen på hver anleggsmaskin han selger. En anleggsmaskin koster i gjennomsnitt 934 000 kr.

rd

6.2 Pål brukte sommerferien til å jobbe i butikk. Han jobbet hver dag unntatt søndag fra kl. 10 til kl. 17, og timelønna var 130 kr. En lørdag jobbet han i tillegg fra kl. 17 til kl. 22, og da fikk han 40 kr ekstra per time.

g

6.1 Eli vil bli frisør og jobber hver torsdag ettermiddag i en frisørsalong. Hun jobber fra kl. 16 til kl. 19 og får 130 kr per time på hverdager.

Hvor mye fikk Pål i timelønn etter kl. 17?

b

Hvor mange prosent mer fikk Pål i timelønn etter kl. 17?

c

Hvor mye tjente Pål denne uka?

Hvor mye vil Emin tjene dersom han selger 37 anleggsmaskiner i løpet av et år?

b

Hvor mange anleggsmaskiner må Emin selge for å tjene 534 820 kr?

6.5 Eli tjente 24 340 kr i fjor. Siden hun ikke jobbet året før, fikk hun ikke feriepenger. Eli har rett på 10,2 % i feriepenger. a

Hvor mye skal Eli ha i feriepenger i år?

b

I år har hun tjent 25 310 kr. Hvor mye får hun utbetalt i år når du tar med feriepengene?

n

til

vu

a

a

L Æ R I N G S L O G G 6. 1

Ku

Hva slags type lønn er vanlig i ulike typer arbeid? Lag et eksempel som viser hvordan feriepenger blir beregnet.


Beregning av lønn og skatt 249

D U S K AL K U N N E

er in

På lønnsslippen finnes det en del tall og beregninger som det er nødvendig å forstå. Alle som har inntekt over et bestemt minstebeløp, må betale skatt. Tjener du mer enn minstebeløpet, må du betale skatt på hele inntekten din. Tjener du under minstebeløpet, får du frikort og slipper å betale skatt. Hvor mye kan du tjene uten å betale skatt?

tolke en lønnsslipp

kontrollere om du har fått utbetalt korrekt lønn

bruke regneark til å beregne hvor mye skatt som skal trekkes av lønna di

rd

U T F O R S K SA M M E N

g

6.2 Beregning av lønn og skatt

vu

Gå gjennom lønnsslippen til Jan Johansen på neste side. Forklar begrepene fast månedslønn og overtid. Hva er forskjellen på bruttolønn og nettolønn? Lag gjerne en skriftlig oppsummering i fellesskap.

til

Lønnsslipp

Arbeidsgiveren skal gi deg en lønnsslipp som beskriver lønn, skattetrekk og eventuelt andre fradrag. Det gir deg mulighet til å kontrollere om du har fått utbetalt korrekt lønn.

n

Vanlig arbeidstid er 7,5 timer per dag og 37,5 timer per uke. 100 % stilling er vanligvis ca. 230 dager i løpet av et år når vi tar fem ukers ferie. Det blir ca. 1700 timer per år. I en del yrker kan vanlig arbeidstid avvike fra dette.

Ku

I eksempel 1 så vi bare på hvor mye lønn vi skal ha, bruttolønn. Men før vi får pengene utbetalt, altså nettolønn, blir det trukket skatt, innskudd til pensjon og eventuelt andre fradrag, for eksempel medlemskontingent til en fagforening. Pensjon er penger vi skal leve av når vi blir pensjonister. Pengene vi får i pensjon, er spart opp gjennom årene vi var i jobb. Arbeidsgiveren trekker en viss prosent av lønna vår til pensjonssparing, vanligvis 2 %. Øverst på neste side viser vi hvordan en lønnsslipp kan se ut. Her ser du hvordan lønna blir beregnet.


250 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

Arbeidsgiver: ___________

Kommune: ___________

Arbeidstaker: Jan Johansen Jans veg 27 7798 Jansmo

Periode: oktober Bankkontonr.: xxxx xx xxxxx Stillingsprosent: 100

g

Beregningsgrunnlag Fast månedslønn oktober

Brutto utbetaling Pensjonstrekk Tabelltrekk fast lønn Skatt overtid Netto utbetalt

Timelønn 230 kr

1 553 kr

38 928 kr

2%

37 375 kr

748 kr

Tabell 7100

36 627 kr

10 656 kr

36 %

1 553 kr

559 kr

26 965 kr

rd

Lønnsslippen viser at Jan har tabelltrekk på fast lønn. Før skatten beregnes, er pensjonsinnbetalingen trukket fra, slik at trekkgrunnlaget blir 36 627 kr: 37 375 kr 748 kr ¼ 36 627 kr Videre blir det trukket 36 % skatt av overtidslønna. Når overtidslønna er lagt til, og pensjonstrekket og skatten trukket fra, får Jan Johansen utbetalt 26 965 kr.

vu

Merk Selvstendig næringsdrivende må selv finne ut hvor mye de og eventuelle ansatte skal ha i lønn. Det vurderes ut fra bedriftens lønnsomhet og behovet for kapital.

4,5 timer

er in

Overtid 50 %

37 375 kr

Skatt

Merk Du finner mer om skatt på spleiselaget.no og skatteetaten.no.

til

Hvor mye vi betaler i skatt, avhenger blant annet av hvor mye vi tjener, og om vi har gjeld eller formue. Lønna som utbetales etter at skatt og eventuelt andre fradrag er trukket fra, kalles nettolønn. Det er to ulike måter å trekke skatt på, tabelltrekk og prosenttrekk.

n

Tabelltrekk

Brutto månedslønn kr kr kr kr kr kr kr kr

10 378 10 417 12 164 12 204 12 244 12 284 12 323 12 363

Ku

35 900 36 000 40 400 40 500 40 600 40 700 40 800 40 900

Skatt

kr kr kr kr kr kr kr kr

Tabelltrekk vil si at det trekkes mer skatt jo mer vi tjener. Tabelltrekk er vanlig når vi har fast lønn i et fast arbeidsforhold. Skatteetaten har utarbeidet ulike tabeller som kan brukes til å beregne skatten ut fra brutto månedslønn og aktuelle fradrag. Tabellen i margen gir et lite utdrag av tabell 7100. Før du bruker tabellen, må du runde av trekkgrunnlaget ned til nærmeste hundre kroner. Tabellen viser at hvis trekkgrunnlaget er 40 670 kr, skal det trekkes 12 244 kr i skatt: 40 670 kr 12 244 kr ¼ 28 426 kr Nettolønn utbetalt etter skatt blir da 28 426 kr.


Beregning av lønn og skatt 251

EKSEMPEL 4 Martine har fast jobb som kranfører. Månedslønna hennes er 41 240 kr, og det trekkes 2 % i pensjonsinnskudd. Hun trekkes skatt etter tabell 7100.

Skatt og tabelltrekk:

Løsning:

1

B

B (vis formler)

Lønnsberegning

2

er in

A

3

Inndata

4

Fast månedslønn

kr 41 240,00

41 240

5

Pensjonstrekk 2 %

2%

0,02

rd

6 Utregning

8

Fast månedslønn

kr 41 240,00

=B4

9

Pensjonstrekk

kr 824,80

=B4*B5

10

Trekkgrunnlag fast månedslønn

kr 40 415,20

=B8-B9

11

Tabelltrekk fast månedslønn

kr 12 164,00

12

Utbetalt lønn

vu

7

kr 28 251,20

g

Hvor mye får Martine utbetalt?

=B10-B11

Martine får utbetalt 28 251,20 kr.

n

til

Det er arbeidsgiveren som trekker skatt av lønna vår på oppdrag av skatteetaten. Martine kan sjekke skattetrekket ved å gå inn på tabelltrekk hos skatteetaten.no, velge riktig tabell og legge inn månedslønna. Bruker hun tabell 7100, vil hun se at det skal trekkes 12 164 kr i skatt.

Tenk gjennom!

Ku

Hvor mange prosent utgjør skatten i eksempel 4?

Prosenttrekk

Prosenttrekk vil si at det trekkes en fast prosent av lønna di. Det er en vanlig trekkmåte når du har timelønn, og ved overtidsbetaling. Har du mer enn en arbeidsgiver, trekkes det ofte tabellskatt på lønna fra hovedarbeidsgiver og prosentskatt når du jobber for andre arbeidsgivere.


252 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

EK SEMPEL 5 Sigurd har fast månedslønn på 36 700 kr og trekkes 2,1 % i pensjonsinnskudd. Skattetrekket hans er 35 %.

g

Hvor mye får Sigurd utbetalt?

A 1

B

Lønnsberegning

2

B (vis formler)

er in

Løsning:

3

Inndata

4

Fast månedslønn

kr 36 700,00

36 700

5

Pensjonstrekk 2 %

2,1 %

0,021

6

Skattetrekk, prosent

35,0 %

0,35

8

Utregning

9

Fast månedslønn

rd

7

kr 36 700,00

=B4

kr 770,70

=B4*B5

Pensjonstrekk ð36 700 kr 0,021)

11

Trekkgrunnlag fast månedslønn ð36 700 kr 770,70 kr)

kr 35 929,30

=B4-B10

12

Skattetrekk, prosent ð35 929,30 kr 0,35)

kr 12 575,26

=B11*B6

13

Utbetalt lønn (35 929,30 kr – 12 575,60 kr)

kr 23 354,05

=B11-B12

vu

10

til

Vi finner trekkgrunnlaget ved å trekke pensjonen fra den faste månedslønna. Siden Sigurd har prosenttrekk av skatt, regnes det 35 % skatt av trekkgrunnlaget. Sigurd får utbetalt 23 354,05 kr.

Ku

n

EK SEMPEL 6 Huda har fast månedslønn på 36 700 kr og trekkes 2,1 % i pensjonsinnskudd. I mars jobber hun i tillegg 5 timer overtid på hverdager og 4 timer overtid på en søndag. På hverdager får Huda 30 % ekstra og på søndager 50 % ekstra per overtidstime. Hun har tabelltrekk på den faste lønna og 36 % skatt på overtidslønn. Skattetabell 7100 viser at hun skal trekkes 11 608 kr i skatt på den faste månedslønna. Hvor mye får Huda utbetalt i mars måned?


Beregning av lønn og skatt 253

Løsning: Vi legger opplysningene inn i et regneark: B

B (vis formler)

g

A 1

Lønnsberegning

2 Inndata

4

Fast månedslønn

kr 36 700,00

5

Antall timer per måned

162,50

6

Ordinær timelønn

kr 225,85

7

Overtidstillegg hverdager

30 %

8

Overtidstillegg søndager og helgedager

50 %

9

Overtidstimer hverdager

5

10

Overtidstimer søndager

4

11

Skatt på overtidslønn

36 %

12

Pensjonstrekk 2,1 %

2,10 %

0,021

13

Skattetrekk, tabell

kr 11 608,00

11 608

16

Fast månedslønn

17

Overtid hverdager

18

Overtid søndager

19

Samlet overtidslønn

20

Brutto månedslønn

21

162,5

B4/B5 0,3 0,5 5 4

0,36

rd

Utregning

36 700

vu

14 15

er in

3

36 700

kr 1 468,03

=B6*(1+B7)*B9

kr 1 355,10

=B6*(1+B8)*B10

kr 2 823,13

=B17+B18

kr 39 523,13

=B16+B19

Pensjonstrekk

kr 770,70

=B16*B12

22

Trekkgrunnlag fast månedslønn

kr 35 929,30

=B16-B21

23

Skattetrekk tabell, fast månedslønn

kr 11 608,00

11 608

24

Skattetrekk prosent på overtidslønn

kr 1 016,33

=B19*B11

25

Samlet skattetrekk

kr 11 394,33

=B23+B24

26

Utbetalt lønn

kr 27 358,10

=B22+B19-B25

n

til

kr 36 700,00

Ku

På hverdager finner vi overtidslønna ved å gange timelønna med vekstfaktoren 1,30, siden overtidstillegget er 30 %. På søndager og helgedager ganger vi med 1,50, siden tillegget da er 50 %. Så ganger vi med timetallet. For å finne timelønna deler vi månedslønna på antall timer hun har jobbet. Brutto månedslønn er fast månedslønn + overtidslønn. Pensjonstrekket utgjør 2 % av fast månedslønn. Overtidsskatten er 36 % av overtidslønna. Huda får utbetalt 27 358,10 kr.


254 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

Skattemelding

rd

er in

g

Skatten vi betaler hver måned, baserer seg på hva vi tjente året før. Har vi betalt for mye skatt, får vi penger tilbake.

vu

Skattemeldingen utarbeides av skatteetaten og gir en oversikt over inntekter, utgifter, formue og gjeld i året som gikk.

Ku

n

til

Denne oversikten er ferdig tidlig på våren. Da mottar vi elektronisk skattemelding for året før. Vi har selv ansvar for å gå gjennom skattemeldingen og se om skatteetatens tall og beregninger stemmer. Fra arbeidsgiver, bank, boligselskap o.l. får vi tilsendt oversikter over årsinntekt, gjeld, formue osv., som vi må sammenlikne med tallene i skattemeldingen. Vi retter så opp eventuelle feil i skattemeldingen før vi godkjenner den. Når skatteetaten har mottatt godkjent skattemelding, regner de ut hvor mye vi skal betale i skatt. Deretter får vi skatteberegningen fra dem, vanligvis i løpet av juni. Har vi betalt for mye skatt, får vi tilbake penger. Har vi betalt for lite skatt, må vi betale inn det vi skylder. For å slippe å skylde skatt kan vi be arbeidsgiveren om å trekke litt ekstra av lønna vår hver måned. Det kan være en grei form for sparing.


Beregning av lønn og skatt 255

Oppgaver

30 000 kr

b

27 350 kr

c

46 330 kr

g

a

6.8 Louise jobber også på Laksefarmen AS. Hun har 43 130 kr i fast månedslønn. I september jobbet hun 11 timer overtid. Ordinær timelønn er 288 kr, og hun får 32 % ekstra når hun jobber overtid.

er in

6.6 Gå inn på skatteetaten.no, og søk på tabelltrekk. Velg tabell 7100 og finn hvor mye du skal trekkes i skatt dersom månedslønna er

Hvor stor ble bruttolønna hennes denne måneden?

6.7 Karel jobber på Laksefarmen AS. Han har 41 050 kr i fast månedslønn og 2 % i pensjonstrekk. Hvor stort er trekkgrunnlaget på Karels faste månedslønn?

6.9 Marit tjente 42 400 kr sist måned. Hun har tabelltrekk på 12 958 kr. a

Hvor mange prosent av lønna betaler hun i skatt?

rd

b

Hvor mye får Marit utbetalt denne måneden?

vu

6.10 Per har 48 000 kr i måneden i bruttolønn. Han trekkes 35 % i skatt og 2,2 % i pensjonstrekk. Hvor mye betaler han i skatt per måned?

b

Hvor mye betaler han i pensjonstrekk hver måned?

c

Hvor stor er nettolønna til Per?

n

til

a

L Æ R I N G S L O G G 6. 2

Ku

Hva er forskjellen på nettolønn og bruttolønn? Lag et eksempel som likner på eksempel 5 eller eksempel 6.


256 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

6.3 Budsjett og regnskap

til

vu

rd

er in

g

Å sette opp budsjett og regnskap er en fin måte å få oversikt over økonomien på, både privat og i bedrift. Når du setter opp et budsjett, er det viktig å være realistisk. Inntektene må ikke settes for høyt, og utgiftene ikke for lavt. Hvordan kan så budsjettet hjelpe deg til å spare til noe du trenger eller har på ønskelista?

Ku

n

D U S K AL K U N N E

vite hva et budsjett er, og hvordan du kan sette opp et budsjett

vite hva et regnskap er, og hvordan du kan føre et enkelt regnskap

bruke regneark i arbeidet med budsjett og regnskap

U T F O R S K SA M M E N Ta en kikk på Forbrukerrådets nettside, forbrukerradet.no, og søk på betalingsproblem. Der finner dere råd for å komme ut av betalingsproblemer. Les gjennom rådene og drøft hvordan et budsjett kan være nyttig for å unngå å få betalingsproblemer. Bruk gjerne det dere kom fram til i aktivitet 7.1.


Budsjett og regnskap 257

Når inntektene er større enn utgiftene, får vi et overskudd. Når utgiftene er større enn inntektene, får vi et underskudd.

BANK

INNTEKTER Inntekter Andre inntekter

29 530,93 9 000,00

SUM

38 530,93

UTGIFTER

Mat og drikke Levekostnader Bolig og fritidseiendom Bil og transport Ferie og fritid Øvrige utgifter Ikke kategorisert Sparing

-4 818,36 -6 996,69 -2 762,74 -3 462,62 -3 402,00 -3 483,79 -5 796,00 -0,00

er in

Før vi kan sette opp et mest mulig riktig budsjett, er det lurt å føre regnskap noen måneder for å se hvor store inntektene og utgiftene er. Vi oppdager da at tallene ofte varierer fra måned til måned, særlig utgiftene.

DIN

g

Et budsjett er en oversikt over inntekter og utgifter vi forventer å ha i en periode, vanligvis en måned. Regnskap er de inntektene og utgiftene vi faktisk har hatt når perioden er over. Budsjettet må derfor settes opp før budsjettperioden begynner, mens regnskapet gjøres ferdig etter at perioden er over.

I margen ser du et eksempel på regnskap fra nettbanken. Det er en enkel måte å få oversikt over inntektene og utgiftene på.

rd

Hvis vi bruker bankkort i butikk og betaler regninger med nettbank eller Vipps, setter banken opp et regnskap for oss ved månedens slutt. Tar vi ut kontanter fra en bankkonto, blir beløpet registrert som øvrige utgifter. Bruk av Vipps og uttak med bankkort i automat koster ofte litt for bedrifter, men ikke for privatkunder.

vu

En annen måte å få hjelp til budsjettet på er å bruke tallene fra Forbruksforskningsinstituttet, SIFOs referansebudsjett.

Ku

n

til

SIFOs referansebudsjett har beregnet gjennomsnittlige utgifter gjennom en måned. Utgiftene er delt inn i husholdsspesifikke og individspesifikke utgifter, avhengig av hvem husholdningen består av. Vi må derfor velge antall personer, kjønn og alder. En del faste utgifter er ikke med i referansebudsjettet, som husleie, strøm og lånekostnader. Det må vi selv legge til.

-30 722,20

SUM

SUM UTGIFTER

- 30 722,20

DIFFERANSE

Nettbankregnskap

7 808,73


258 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

Nedenfor viser vi SIFOs referansebudsjett for en familie med to voksne og to små barn:

1: 2: 3: 4:

Kvinne 20–50 år Jente 6–11 måneder Jente 4–5 år, går i barnehage Mann 20–50 år

Husholdsspesifikke utgifter Mat og drikke Klær og sko Personlig pleie Lek og mediebruk Reise (kollektivt)

Sum

rd

Spedbarnsutstyr

Kroner

er in

Person Person Person Person

g

Månedlige utgifter for hele husholdet

5 840

1 960

1 440 2 592

1 875

810

14 517 630

Husholdningsartikler

490

Møbler

500

vu

Andre dagligvarer

2 500

Bil (drift og vedlikehold)

2 420

Barnehage

2 990

Aktivitetsskole (SFO)

0

Sum

9 530

til

Mediebruk og fritid

Totalt forbruk

n

Totalt månedlig forbruk for hele husholdningen

Ku

Merk Husk at referansebudsjettet bare er et forslag, og at utgifter til blant annet strøm, forsikring og bolig ikke er med.

24 047

Siden barna i dette eksemplet er små, er det satt av utgifter til spedbarnsutstyr og barnehage. Vi ser at familiens samlede utgifter for denne måneden er beregnet til 24 047 kr. Det er flere måter å føre budsjett og regnskap på. Det enkleste er å bruke regneark i dette arbeidet. På lærebokas nettside finner dere en enkel budsjettmal. Når måneden er over, bør vi utføre budsjettkontroll. Da sammenlikner vi utgiftene og inntektene vi satte opp i budsjettet, med de faktiske utgiftene i regnskapet. Avvik mellom regnskap og budsjett kan regnes ut i kroner og prosent. Det neste eksemplet viser hvordan vi kan utføre budsjettkontroll ved hjelp av regneark. En del utgiftsposter er slått sammen for å gjøre det litt enklere.


Budsjett og regnskap 259

EKSEMPEL 7 Familien Balto består av to foreldre og to små barn. De har nylig kjøpt hus og har nokså høye boutgifter. Med utgangspunkt i SIFOs referansebudsjett har de satt opp budsjett og ført regnskap for april måned. De har også regnet ut avvik mellom budsjett og regnskap i kroner og i prosent. Nedenfor ser du regnearket med budsjett, regnskap og budsjettkontroll for april måned.

g

Budsjett og regnskap:

A

B

1

Budsjett

2

Inntekter

3

Lønn totalt

61 250

4

Barnetrygd

2 000

5

Sum inntekter

6 Utgifter

8

Mat og drikke

9

Klær og sko

D

E

Regnskap

Avvik i kroner

Avvik i %

61 470

220

0,36

2 000

0

0

63 470

220

0,35

5 600

6 345

–745

–13,30

vu

7

C

rd

63 250

er in

Kommenter familien Baltos forbruk i forhold til budsjettet for april. Se regnearket nedenfor og øverst på neste side.

1 500

1 210

290

19,33

1 800

1 933

–133

–7,39

4 400

3 987

413

9,39

3 000

2 990

10

0,33

3 480

5 024

–1544

–44,36

5 670

5 330

340

6,00

13 800

13 800

0

0

5 900

5 969

–69

–1,17

Helse og hygiene

11

Reise og fritid

12

Barnepass

13

Diverse utgifter

14

Bilutgifter

15

Boligutgifter

16

Forsikring og strøm

17

Sum utgifter

45 150

46 588

–1438

–3,18

18

Inntekter – utgifter

18 100

16 882

–1218

–6,73

n

til

10

Ku

Løsning: For inntekter finner vi avvikene i kroner ved å trekke budsjettallene fra regnskapstallene. For utgifter finner vi avvikene i kroner ved å trekke regnskapstallene fra budsjettallene. Når familien Balto har brukt mer penger enn budsjettert, blir avviket negativt. Budsjettkontrollen viser ganske godt samsvar mellom regnskap og budsjett.


260 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

A 1

B

C

D

E

Budsjett

Regnskap

Avvik i kroner

Avvik i %

Inntekter

3

Lønn totalt

61 250

61 470

=C3-B3

4

Barnetrygd

2 000

2 000

=C4-B4

5

Sum inntekter

=B3+B4

=C3+C4

=C5-B5

=(D5/B5)*100

=B8-C8

=(D8/B8)*100

=B9-C9

=(D9/B9)*100

=B10-C10

=(D10/B10)*100

Utgifter

8

Mat og drikke

5 600

6 345

9

Klær og sko

1 500

1 210

10

Helse og hygiene

1 800

1 933

11

Reise og fritid

4 400

12

Barnepass

3 000

13

Diverse utgifter

3 480

14

Bilutgifter

5 670

15

Boligutgifter

16

Forsikring og strøm

17

Sum utgifter

18

Inntekter – utgifter

rd

7

=(D4/B4)*100

=B11-C11

=(D11/B11)*100

2 990

=B12-C12

=(D12/B12)*100

5 024

=B13-C13

=(D13/B13)*100

5 330

=B14-C14

=(D14/B14)*100

13 800

13 800

=B15-C15

=(D15/B15)*100

5 900

5 969

=B16-C16

=(D16/B16)*100

45 150

46 588

=B17-C17

=(D17/B17)*100

18 100

16 882

=C18-B18

=(D18/B18)*100

vu

3 987

til

Ku

n

Merk Avvik inntekter = regnskap budsjett Avvik utgifter = budsjett regnskap

=(D3/B3)*100

er in

6

g

2

Familien Balto har brukt 1218 kr mer enn budsjettert denne måneden. Det største avviket gjelder posten «Diverse utgifter», der de har brukt 1544 kr mer enn budsjettert. Det tilsvarer 44,36 %. Likevel har familien fått et overskudd på 16 882 kr denne måneden. Det viser at de har god økonomi og mulighet til å spare en del.


Budsjett og regnskap 261

Oppgaver

Sett opp Bentes budsjett for juli.

b

Gi Bente en anbefaling om hvor mye hun kan bruke når hun er på ferie med foreldrene.

b

Hvor mange prosent mer må Christer betale i husleie etter økningen? Hvor mange prosent må Christer redusere forbruket med dersom budsjettet skal gå i balanse i januar?

6.14 Per og Randi har to barn, Eli på 18 år og Pål på 16 år. Familien har bil. I april hadde foreldrene en samlet inntekt etter skatt på 65 280 kr. De betalte 4100 kr i strøm og utgifter på boligen, og lån og kommunale avgifter utgjorde til sammen 13 700 kr. Det stod 2370 kr på kontoen i slutten av april. Ettersom både Pål og Eli jobber en del på fritiden, får de vanligvis ikke penger fra foreldrene til eget forbruk.

rd

a

a

g

Hun jobber en del ved siden av skolen og tjener 2200 kr i måneden. I tillegg får hun månedslønn på 1400 kr fra foreldrene. Hun regner med å bruke 1200 kr på nye sommerklær, 400 kr på kosmetikk og 500 kr på en konsert.

6.13 Christer får utbetalt 28 465 kr i lønn i måneden. Hver måned betaler han 6700 kr i husleie, men i januar økte leia til 7350 kr.

er in

6.11 Det er juli, og Bente setter opp et budsjett for hvor mye penger hun kan bruke i ferien.

a

vu

6.12 Ragna skal sette opp budsjett for oktober. Hun tjener 2460 kr per måned og regner med å få 800 kr av besteforeldrene for å hjelpe til med hagearbeid. Ragna har tenkt å kjøpe klær for 900 kr, sminke for 250 kr og mat i skolekantina for 400 kr. Sett opp og kommenter Ragnas budsjett for oktober.

til

Siden det regnet mye i oktober, fikk ikke Ragna gjort noe hagearbeid for besteforeldrene. Hun fikk derfor 800 kr mindre enn antatt. I tillegg brukte hun 670 kr mer på klær enn budsjettert.

n

Før Ragnas regnskap og budsjettkontroll for oktober.

Ku

b

Sett opp et budsjett for familien for mai måned. Bruk SIFOs referansebudsjett i arbeidet.

6.15 a Sett opp budsjettet i oppgave 6.14 ved hjelp av regneark. Husk at alle formler begynner med = . Har du lite erfaring med regneark, kan du følge oppsettet i boka. I mai får Per ny jobb, og familiens månedsinntekt øker til 67 130 kr. Det nærmer seg ferie, så de ønsker å sette av 2200 kr ekstra til posten «lek og mediebruk». b

Sett opp budsjettet for mai ved hjelp av regneark.

L Æ R I N G S L O G G 6. 3 Hva er hensikten med å føre regnskap og sette opp budsjett? Hvorfor er det viktig at budsjettet ikke går i minus?


262 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

6.4 Sparing Hva vil det si å spare penger, og hvorfor kan det være lurt å spare?

D U S K AL K U N N E

er in

g

Enkelte ganger har vi penger til overs i slutten av måneden. Da er det fristende å unne seg noe ekstra, men det kan være lurt å spare disse pengene. Kanskje er det noe du har lyst på eller trenger, som det er kostbart å skaffe seg, for eksempel hus, bil eller en reise. Det er også fint å ha litt ekstra penger den dagen for eksempel bilen eller vaskemaskinen går i stykker. Hvor mye er det på kontoen etter to år hvis du setter inn 3000 kr måneden i denne tiden?

litt om ulike måter å spare penger på

regne ut renta på penger du sparer, og finne ut hvor mye sparepengene dine har økt i løpet av spareperioden

bruke sparekalkulator til beregning av sparing

vu

rd

U T F O R S K SA M M E N

Gå inn på nettsiden til en bank dere kjenner, og finn ut mer om renter og vanlig sparing i bank, boligsparing for ungdom, sparing i aksjefond og aksjer.

til

Dersom dere setter inn 4500 kr på en konto i banken hver måned, hvor mange kroner har dere på kontoen etter å ha spart i tre år når renta er 2,7 % per år? Bruk en sparekalkulator til å svare på spørsmålet.

Ku

n

Diskuter i klassen hvilken måte dere synes det er best å spare på.

Hvordan kan vi spare penger? Hvordan vi velger å spare, avhenger av hvor stor risiko vi er villig til å ta for å få høy avkastning på sparepengene våre. Vi kan sette penger i banken, spare i aksjefond eller kjøpe aksjer i en bedrift. Penger i banken er nok det sikreste. Sjansen for å tape pengene er liten, men avkastningen (det vi får i rente) er ikke så høy. Kjøper vi aksjer for pengene, kan avkastningen bli høy dersom bedriften vi har aksjer i, går med overskudd. Men om bedriften går konkurs, taper vi pengene.


Vi kan også spare i aksjefond. Det er vanligvis banken eller forsikringsselskapet som tilbyr seg å sette sparepengene våre i flere aksjeselskaper for å minimere risikoen for å tap. Om ett selskap går dårlig, kan det også være noen som går bra. Mange som ønsker å spare over lang tid, setter pengene i slike fond. Dersom en ikke må selge når aksjene i fondet har lav verdi, er det gode muligheter for høy avkastning.

er in

Boligsparing for ungdom, BSU, er en spareform for de som er under 34 år. Du kan spare inntil 25 000 kr i året og får høyere rente enn ved vanlig sparing. Hvis du er i jobb, får du fradrag på skatten. Med penger spart i BSU kan det bli enklere for deg å få boliglån seinere. Mange banker tilbyr førstehjemslån til dem som skal kjøpe sin første bolig, og dette lånet har relativt lav rente. En del banker krever at du har sparepengene på BSU-konto for å få førstehjemslån.

g

Sparing 263

Tenk gjennom!

vu

rd

Pensjonssparing er sparing for å ha mer penger å leve av den dagen du ikke lenger er i jobb. Det kan være en fordel å begynne slik sparing tidlig og sette av en liten sum penger hver måned. Det finnes mange ulike former for pensjonssparing, men vanligvis kan vi trekke fra en del av det vi sparer, på skatten hvert år. Renta er ofte bedre enn for vanlig sparing.

til

Hvor stor risiko er du villig til å ta for å få høyest mulig avkastning på sparepengene dine?

Beregning av sparing

n

Beløpet vi setter inn i banken, kalles innskudd. Beløpet som til enhver tid står i banken, altså innskudd pluss renter, kalles kapital.

Ku

Setter vi penger i banken, kan banken låne ut disse pengene til andre. Det er lønnsomt for banken. Litt av dette overskuddet gir banken til dem som sparer, i form av renter. Renter er en viss prosent av pengene vi har i banken i løpet av et år. De siste årene har renta vært lav. For tiden er vanlig rente fra ca. 1 til 3 % per år. Når vi regner renter på sparing og lån, gjør vi bruk av vekstfaktor (se delkapittel 1.5).


264 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

EK SEMPEL 8

er in

g

Sparing:

rd

Pål vil spare til ny sykkel. Han jobber en del i helgene og bestemmer seg for å sette inn 8600 kr på bankkonto 1.1.2020. Han får 2 % rente per år. Hvor mye har Pål i banken etter tre år?

Ku

n

til

vu

Løsning: Vi finner hvor mye Pål har på kontoen etter hvert år: oppspart beløp ¼ innsatt beløp vekstfaktor Vekstfaktoren til en økning på 2 % er 1,02: 100 % þ 2 % ¼ 102 % ¼ 1,02 På kontoen etter ett år står det da 8600 kr 1,02 ¼ 8772 kr Etter to år står det 8772 kr 1,02 ¼ 8947 kr Etter tre år: 8947 kr 1,02 ¼ 9126 kr Pål har 9126 kr i banken etter tre år.

Eksemplet ovenfor viser at det fort blir mye regning hvis pengene står lenge i banken. Vi får samme svar om vi slår samen de tre regnestykkene i eksemplet til ett regnestykke: 8600 kr 1,02 1,02 1,02 ¼ 9126 kr Vi kan gjøre regningen enklere ved å bruke potensregning. Vi opphøyer da vekstfaktoren i antall år som pengene står i banken: 8600 kr 1,02 3 ¼ 9126 kr Etter tre år har Pål 9126 kr i banken. Oppspart kapital etter n år ¼ innsatt beløp vekstfaktor n


Sparing 265

EKSEMPEL 9 Pål ønsker å spare en fast sum penger hver måned. Han setter først 10 000 kr i banken 1.1.2020. Hver måned setter han så 500 kr inn på kontoen. Renta er 2 % per år.

DIN BANK

SPAREKALKULATOR

Løsning: Vi bruker en sparekalkulator for månedlig sparing i dette eksemplet. De fleste banker har slike kalkulatorer på nettsiden sin. Vi skriver inn startbeløpet (hvor mye Pål satte i banken 1.1.2020), hvor mye han sparer hver måned, renteprosenten og antall år Pål skal spare.

rd

Vi ser at Pål har 29 178 kr på kontoen etter tre år.

vu

Enkelte ganger har vi et bestemt mål for sparingen. Hvis vi har tenkt å kjøpe en bruktbil om ett år og trenger å spare 100 000 kr i løpet av året, kan vi velge en lånekalkulator der vi legger inn sluttbeløp, sparetid og renteprosent. Renteprosenten for ulike typer sparing finner vi på nettsidene til de fleste banker:

DIN BANK

til

SPAREKALKULATOR Sluttbeløp:

Spareperiode:

n

Rente:

Totalt spart uten avkasting:

Ku

Sparebeløp per måned:

Startbeløp

Spareperiode

500 kr

10 000 kr

3 år

er in

Bruk en sparekalkulator til å finne hvor mye Pål har på kontoen etter tre år.

g

Fast månedlig beløp

100 000 kr 1 år

1,6 %

99 269 kr

8 272 kr

Kalkulatoren viser at vi må spare 8272 kr hver måned i ett år for å ha spart opp 100 000 kr, når renta er 1,6 %.

Rente

TOTAL SPARING

2,0 %

29 173 kr


266 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

Oppgaver 6.18 Finn en sparekalkulator på nettsiden til en bank du kjenner, og bruk den til å gjøre oppgave 6.17.

a

Hvor mye har du på sparekontoen etter ett år?

b

Hvor mye har du på sparekontoen etter fem år?

6.19 Om noen år ønsker du å kjøpe en bil.

Hvor mye har du på sparekontoen etter ett år?

b

Hvor mye har du etter tre år?

c

Hvor mye har du etter fem år?

d

Hvor mange kroner har kapitalen din økt med i løpet av de fem årene?

e

Hvor mange prosent har kapitalen din økt med i løpet av de fem årene?

Bruk en sparekalkulator for månedlig sparing og sett renta til 2 % per år. Hvor lenge må du spare før du har minst 196 000 kr på kontoen a

når du setter inn 20 000 kr i begynnelsen av første år og sparer 7000 kr hver måned

b

når du detter inn 50 000 kr i begynnelsen av første år og sparer 4000 kr hver måned

rd

a

er in

6.17 I tillegg til de 6000 kronene du satte inn 1.1.2020, setter du inn 5000 kr 1. januar de neste fire årene. Renta er 2,7 % per år i hele spareperioden.

g

6.16 Du jobber en del i tillegg til skolen og finner at du vil spare litt av pengene. 1.1.2020 setter du inn 6000 kr på en sparekonto i banken til 2,7 % i rente per år.

til

vu

6.20 Bruk sparekalkulatoren til for eksempel odinfond.no og sammenlikn utbyttet av å spare i fond i banker med ulike betingelser.

L Æ R I N G S L O G G 6. 4

Nevn ulike måter å spare på, og fordeler og ulemper med dem.

n

Hva er renter?

Ku

Vis med et eksempel hvordan vi regner ut rentene.


Lån 267

6.5 Lån

g

Noen ganger kan det være nødvendig å låne penger til å kjøpe for eksempel bolig, bil eller båt. Slike kjøp koster vanligvis mer enn vi kan betale kontant. Men hvorfor må vi betale renter, og hvor mye må vi betale i renter på lånet?

er in

D U S K AL K U N N E

forklare ulike former for lån

forstå konsekvensene av å ta opp lån

bruke regneark til å beregne kostnadene ved å ha lån

bruke lånekalkulator til å beregne kostnadene ved å ha lån

rd

U T F O R S K SA M M E N

Gå inn på nettsiden til en bank dere kjenner, og finn ut mer om renter på ulike typer lån, for eksempel lån til bolig, bil og forbruk.

vu

Diskuter i klassen informasjonen dere fant på nettsiden. Noter det dere kommer fram til.

til

Før vi låner penger, er det nødvendig å beregne hvor mye lånet vil koste oss. Låner vi for mye, kan det bli vanskelig å betale tilbake lånet. Det tar oss i alle fall mange år og gir høye rentekostnader. Lån:

n

Renter på lån er et ekstra beløp vi må betale, og utgjør en viss prosent av beløpet vi skylder. Renta på lån er høyere enn den vi får på sparepenger. Det er en del av bankens inntekter. Hvor mye vi må betale i rente, avhenger av hva vi låner pengene til.

Ku

For dem som låner oss penger, er bolig en sikrere investering enn bil. En bolig er ment å vare lenge, og verdien av boligen holder seg oftest godt. En bil taper seg derimot fort i verdi. Derfor er renta vi må betale på et boliglån, vanligvis lavere enn renta på et billån. Vi betaler ned på lånet i faste intervaller. Summen kalles terminbeløp. Avdraget viser hvor mye vi betaler ned på lånet hver termin, og renta er en viss prosent av restlånet. Terminbeløp ¼ avdrag þ renter

Merk Her kan det være nyttig å repetere litt prosentregning (se delkapittel 1.4).


268 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

Ulike typer lån Det finnes to hovedtyper av lån, annuitetslån og serielån.

120 000

Beløp

Annuitetslån

g

100 000

60 000 40 000 20 000 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 År Avdrag Renter Beløp

Serielån

rd

140 000

er in

80 000

120 000 100 000 80 000

vu

60 000

40 000

20 000

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 År Avdrag Renter

Ku

n

til

Figurene viser forskjellen på renter og avdrag for de to lånetypene. Har vi et annuitetslån, er terminbeløpet det samme hele tiden. Vi betaler samme sum hver termin gjennom hele nedbetalingstiden, men forholdet mellom renter og avdrag endrer seg. I begynnelsen betaler vi mest rente og lite avdrag, deretter blir avdraget større og renta lavere. Har vi et serielån, er avdraget like stort hele tiden. Derimot blir renta, og dermed også terminbeløpet, stadig lavere hver gang. Skal vi kjøpe hus, må vi ofte låne nokså mye. Da kan terminbeløpene ved et serielån bli svært høye de første årene. Lån i bank er gjerne annuitetslån.

Tenk gjennom! Hva er fordelene og hva er ulempene med de to lånetypene for lånetageren?


Lån 269

g

I tillegg til å betale renter på lånet betaler vi også en del for å etablere lånet, gebyr for hver innbetaling o.l. Rentekostnadene ved å ha lånet kalles nominell rente, mens de virkelige kostnadene ved å ha lånet med renter og gebyrer kalles effektiv rente. Det er den effektive renta som viser hvor mye lånet egentlig koster.

er in

Effektiv rente ¼ nominell rente þ ulike gebyrer

Gebyrene er penger banken skal ha for å ordne lånet for oss (etableringsgebyr), som du betaler ekstra for hver termin. Se lånekalkulatoren i eksempel 10.

Bruk av lånekalkulator

EKSEMPEL 10

DIN BANK

vu

Her er det brukt en lånekalkulator for å regne ut hvor mye Daniel må betale på et boliglån på 1 700 000 kr når den nominelle renta er 3,5 % per år. Lånet skal betales ned over 20 år med tolv terminer per år.

rd

På nettsidene til de fleste banker og andre långivere finnes det lånekalkulatorer for å kunne beregne kostnadene ved et lån.

ANNUITETSLÅN

Lån:

1 700 000

Løpetid (år):

20

Tinglysning:

Ingen

Etableringsgebyr:

1 500

50

Termin per år:

12

Hvor mange kroner betaler Daniel i gebyr per år?

Termingebyr:

b

Hvor stort er etableringsgebyret?

Lån:

1 700 000

Termingebyr:

50

c

Hvor høy er den effektive renta?

Løpetid (mnd):

240

d

Hvor mye må Daniel betale på lånet hver måned?

Terminer pr. år:

12

Terminbeløp:

9 918

Total kostnad:

2 380 320

til

a

n

Ku

Rente:

3,50%

Effektiv rente:

3,63%

Etableringsgebyr:

1 500

3,5

Inkluderer gebyrer i lånet

Regn ut

Termin Terminbeløp Renter Gebyrer Avdrag Restgjeld

Renter og gebyrer: 680 320

Løsning: a På lånekalkulatoren ser vi at termingebyret er 50 kr. I løpet av et år betaler Daniel til sammen 50 kr 12 ¼ 600 kr i termingebyr.

Rente:

b

Lånekalkulatoren viser at etableringsgebyret er 1500 kr.

c

Effektiv rente er 3,63 %. Da er etableringsgebyret og termingebyrene regnet inn i renta han skal betale. Jo kortere nedbetalingstiden er, desto høyere er effektiv rente i forhold til nominell rente, fordi gebyrene fordeles på færre terminer.

d

Han må betale 9918 kr hver måned.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918 9 918

4 963 4 948 4 934 4 920 4 905 4 891 4 876 4 862 4 847 4 832 4 818 4 803

50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50

4 905 4 920 4 934 4 948 4 963 4 977 4 992 5 006 5 021 5 036 5 050 5 065

1 696 595 1 691 675 1 686 741 1 681 793 1 676 830 1 671 853 1 666 861 1 661 855 1 656 834 1 651 789 1 646 748 1 641 683


270 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

Oppgaver

g

Eli har fylt 18 år og vil kjøpe bil. Hun har spart en del av pengene hun har tjent på jobben i en frisørsalong, og har 38 000 kr på en sparekonto. Hun har fått tilbud om å kjøpe en bil til 83 000 kr. a

Hvor mye må Eli låne?

Eli går i banken for å søke om lån. Siden hun er tilbudt fast jobb i frisørsalongen når hun snart er ferdig med utdanningen, og har vært flink til å spare, vil banken gi henne et annuitetslån til 4,3 % rente per år og en nedbetalingstid på tre år.

rd

6.22 Bruk lånekalkulator i denne oppgaven. Birte låner penger til bolig og får et annuitetslån på 1 450 000 kr. Renta er 3,3 % per år, og tilbakebetalingstiden er 20 år med tolv terminer per år. Terminbeløpet er 8321 kr per måned. a Hvor mye må Birte betale i rente den første måneden? b Hvor mye har lånet kostet Birte når det er ferdig nedbetalt? c Hvor mye ville lånet kostet henne dersom hun hadde fått serielån?

6.24 Bruk lånekalkulator i denne oppgaven.

er in

6.21 Bruk lånekalkulator i denne oppgaven. Kasper låner 200 000 kr for å kjøpe båt. Lånet er et annuitetslån til 7 % rente per år og skal betales ned over fem år med én termin per år. a Hvor stort er det årlige terminbeløpet på lånet? b Hvor mye betaler Kasper i rente det første året? c Hvor mye betaler Kasper i avdrag det første året? d Hvor stort blir terminbeløpet dersom det er tolv terminer per år?

Hvor mye må Eli betale i terminbeløp hvis hun betaler ned på lånet hver måned?

c

Hvor mye må Eli betale i terminbeløp hvis hun betaler ned på lånet en gang hvert år?

vu

b

til

6.23 Ailo vil låne 230 000 kr til ny motorsykkel. Han får følgende tilbud fra banken:

Alternativ 1: annuitetslån til 4,2 % rente, nedbetalingstid på tre år og tolv terminer i året

n

Alternativ 2: annuitetslån til 3,9 % rente, nedbetalingstid på sju år og tolv terminer i året

Ku

Bruk en lånekalkulator til å vurdere hvilket alternativ Ailo bør velge. Begrunn valget.

d

Hvor mye har hun totalt betalt på lånet når det er ferdig nedbetalt?

6.25 Kasper låner 200 000 kr for å kjøpe båt. Lånet er et serielån til 7 % rente per år og skal betales ned over fem år med én termin per år. a

Hvor stort er det årlige avdraget på lånet?

b

Hvor mye betaler Kasper i terminbeløp det første året?

c

Hvor stort terminbeløp betaler han det femte året?

L Æ R I N G S L O G G 6. 5 Forklar med egne ord forskjellen på annuitetslån og serielån. Hva mener vi med effektiv rente? Hvorfor er det vanlig med ulik rente på lån til bolig og lån til bil? Forklar begrepene terminbeløp, avdrag og renter.


Kredittlån 271

til

vu

rd

er in

Tenk så fint det ville vært å dra på en lang ferie til eksotiske strøk eller endelig å kunne kjøpe den nyeste og beste mobiltelefonen, som du har så lyst på. Problemet er bare at du ikke har nok penger. Det er enkelt å få låne penger til forbruk, som kalles forbrukslån eller kredittlån. Hva er egentlig forskjellen på et vanlig banklån og et kredittlån?

g

6.6 Kredittlån

D U S K AL K U N N E

forklare hva kredittkort er

vurdere konsekvensene av å ta opp kredittlån

n

Ku

U T F O R S K SA M M E N

Søk på Internett etter ulike kredittkort og bli enige om et kort dere vil bruke. Regn ut hvor mye det vil koste dersom dere låner 35 000 kr og betaler ned hele lånet etter ett år.


272 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

De vanligste formene for kredittlån:

g

Kredittlån er lån uten sikkerhet. Da har de som gir oss lånet, ikke mulighet til å selge noe av det vi eier, eller kreve inn pengene av noen som garanterer for oss dersom vi ikke overholder lånet. Denne usikkerheten gjør at vi må betale atskillig høyere rente enn for et vanlig lån. Det er ingen betingelser for hva pengene du låner, skal brukes til.

Kredittlån:

er in

Forbrukslån er lån av penger som betales tilbake med faste avdrag i løpet av en avtalt tid. Renta er en del høyere enn lån med sikkerhet.

Bruk av kredittkort er en type bankkort vi kan bruke selv om det ikke er penger på kontoen, men det er begrenset hvor mye penger vi kan «ta ut». Det er en enkel måte å låne penger på. Lånet er vanligvis rentefritt i 30–45 dager etter at pengene er brukt, men deretter er renta svært høy, ofte 20–30 %.

vu

rd

SMS-lån er lån av små beløp som du enkelt og fort kan skaffe deg ved hjelp av mobiltelefonen. Renta er ofte svært høy dersom du ikke betaler tilbake i løpet av kort tid.

EK SEMPEL 11

Randi ønsker å pusse opp baderommet, men trenger å låne noen kroner til det. Hun tar derfor opp et forbrukslån på 45 000 kr. Renta er 14,13 % per år, og nedbetalingstiden er tre år.

DIN BANK

LÅNEKALKULATOR

Tilbakebetalingstid

3 år

a b

1581 kr *

Ku

n

OMTRENTLIG MÅNEDSKOSTNAD

45 000 kr

Hvor mye må Randi betale på lånet per måned?

til

Lånebeløp

* Eks: Nom. rente 14,13%, eff. rente 18,94%, 45 000 kr o/3 år, kostnad 12 860 kr, totalt 57 860 kr

Hvor mye mer enn lånesummen har Randi betalt i løpet av de tre årene?

Løsning: a Lånekalkulatoren viser at Randi må betale 1581 kr per måned. b

Når lånet er ferdig nedbetalt, viser kalkulatoren at det har kostet Randi totalt 57 860 kr: 57 860 kr 45 000 kr ¼ 12 860 kr Randi har betalt 12 860 kr mer enn det hun lånte.


Kredittlån 273

er in

g

EKSEMPEL 12

DIN BANK

vu

365DIREKTE KREDITTKORT

rd

Jan drømmer om å ta tre måneder fri fra jobben for å klatre til topps på Europas høyeste fjell, Elbrus. Han har spart en del kroner, men trenger litt ekstra. Han har kredittkort med kredittgrense på 50 000 kr og bruker det til reise, opphold og nødvendig utstyr:

-

Beste kredittkort hos Dine Penger hele 10 ganger

Maks Kreditt: 50 000,-

-

85 øre rabatt per/l hos Bensinstasjon X

Rentefri Kreditt: 45 dager

-

2 % rabatt hos alle andre bensinstasjoner

Meget bra som Bensinkort

Les mer

1234 5678 9012 3456

til

Bestill kort

Aldersgrense: 18 år

00/00

NAVN ETTERNAVN

Eff. rente 25,53%, 15 000 o/12mnd, kostnad 1929,- totalt 16 929,-

n

Hvor mye har gjelda hans vokst til etter to år dersom han ikke klarer å betale ned på lånet?

Ku

Løsning: Effektiv rente, altså rente med gebyr, er 25,53 % per år. Vekstfaktoren for 25,53 % blir: 100 % þ 25,53 % ¼ 125,53 % ¼ 1,2553

50 000 kr 1,25532 ¼ 78 789 kr

Gjelda har vokst til 78 789 kr etter to år.

Renta på kredittkortlån oppgis ofte per måned. I eksempel 12 vil 1,91 % rente per måned tilsvare ca. 25,53 % rente per år.


274 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

EK SEMPEL 13 Et kredittkortselskap reklamerer med bare 1,79 % rente per måned. Hvor stor blir den årlige renta?

er in

g

Løsning: Vekstfaktoren til 1,79 % er 1,0179. Siden det er tolv måneder i et år, må den månedlige renta opphøyes i eksponenten 12 for å finne årlig rente: 1,07912 ¼ 1,237

1,237 ¼ 123,7 % 123,7 % 100 % ¼ 23,7 %

rd

Den årlige renta blir 23,7 %.

Hvis vi ikke betaler

vu

Hvis vi ikke betaler ned på gjelda, må vi betale mer i rente på lånet. Det kalles rentesrente. Dersom vi har en kredittkortgjeld på 15 000 kr med månedsrente på 1,6 %, som vi ikke betaler ned på, vil lånet ha økt til 15 000 kr 1,016 ¼ 15 240 kr i løpet av en måned.

Neste måned regnes renta av lånesummen pluss renta fra forrige måned. Da vil gjelda ha økt til 15 484 kr:

til

15 240 kr 1,016 ¼ 15 484 kr

Ku

n

Går det mange måneder uten at vi betaler ned på gjelda, skylder vi stadig mer penger.

Tenk gjennom! Bruk tallene foran og vurder hvor mange måneder det vil ta før gjelda har doblet seg.

Noen ganger hoper regningene seg opp, og det kan være vanskelig å betale i tide. Venter vi for lenge, mer enn 30 dager etter forfallsdatoen, blir kjøpet til et lån, og vi må betale forsinkelsesrente i tillegg til beløpet på regningen. For tiden er forsinkelsesrenta 9,25 % per år av beløpet vi skylder. I tillegg kan det hende vi må betale innkrevingskostnader hvis dem vi skylder penger hos, velger å bruke et inkassobyrå til å kreve inn summen.


Kredittlån 275

Oppgaver

6.27 Kai tar opp et kredittkortlån til 2,03 % månedlig rente. Hvor høy rente må han betale per år dersom han ikke betaler ned lånet innen fristen?

a

b

Finn to ulike forbrukslån på Internett og bruk lånekalkulator til å regne ut hvor mye familien Furu må betale i terminbeløp per måned.

Gi en anbefaling til familien Furu om hvilket lån de bør velge. Begrunn denne anbefalingen.

6.30

6.28 David har lånt 26 500 kr på kredittkortet og sliter med å betale. Renta er 1,86 % per måned.

rd

DIN

Hvor stor årlig rente har lånet?

b

Hvor stort er lånet blitt etter ett år dersom han ikke har betalt ned noe?

BANK

365DIREKTE KREDITTKORT

-

Beste kredittkort hos Dine Penger hele 10 ganger

Maks Kreditt: 50 000,-

-

85 øre rabatt per/l hos Bensinstasjon X

Rentefri Kreditt: 45 dager

vu

a

-

Aldersgrense: 18 år

2 % rabatt hos alle andre bensinstasjoner

Meget bra som Bensinkort

Les mer Bestill kort

1234 5678 9012 3456 00/00

NAVN ETTERNAVN

Eff. rente 25,53%, 15 000 o/12mnd, kostnad 1929,- totalt 16 929,-

a

Hvor mye koster det å låne 15 000 kr i ett år med dette kredittkortet?

b

Hvor mange prosent er den effektive renta?

c

Hva er forskjellen på nominell og effektiv rente?

n

til

David kan ta opp et forbrukslån på 26 500 kr og betale ned kredittkortgjelden. For å få tilbakebetalt det nye lånet må han betale 2286 kr per måned i ett år. Hvor mye må David betale til sammen i renter og avdrag på det nye lånet?

L Æ R I N G S L O G G 6. 6

Ku

c

g

6.29 Familien Furu har kjøpt ny bolig og vil gjerne ha nye møbler. De ønsker å låne 125 000 kr og vil tilbakebetale lånet i løpet av tre år.

er in

6.26 Bruk informasjonen i eksempel 11 og undersøk i ulike nettbanker hvor mye Randi måtte betalt hvis hun hadde fått et vanlig lån på 45 000 kr med sikkerhet i boligen.

Forklar forskjellen på lån med og uten sikkerhet (kredittlån, forbrukslån). Vis ved beregning hva som er forskjellen på månedsrente og årsrente. Forklar hvorfor det er viktig å betale ned kredittkortlån fortest mulig, og hvilke konsekvenser et ubetalt kredittkortlån kan få for økonomien.


276 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

H V A HA R J E G LÆ R T ?

Stemmer påstandene?

g

Som hjelp til å komme i gang kan dere lese læringsloggene 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 og 6.6 og se over «regelboksene» i kapitlet.

er in

Gå sammen i par og lag en liste eller et tankekart, der dere nevner de viktigste matematiske ideene og metodene dere har lært i kapitlet. Prøv også å få med stikkord om hva ideene og metodene kan brukes til – i dagliglivet eller i yrket ditt. Del ideene med resten av klassen.

3

Å kjøpe aksjer for sparepengene gir større risiko for å tape pengene enn å spare i bank.

1

En bilselger med en bruttolønn på 32 000 kr per måned pluss provisjon på 1,2 % av bilsalget vil få en månedslønn på 62 000 kr hvis han selger biler for 2 500 000 kr.

4

2

Hvis årslønnen uten feriepenger var 410 270 kr i fjor, blir feriepengene i år på 37 349 kr.

Ifølge SIFOs referansebudsjett bruker en enslig mann mellom 20 og 50 år 2930 kr på mat og drikke per måned. Hvis Mikkel bruker 49 kr i kantina på jobben fem dager i uka, har han litt over 80 kr igjen per dag hvis han skal følge referansebudsjettet.

Ku

n

til

vu

rd

Avgjør om påstandene nedenfor stemmer. Sørg for at du kan forklare hvorfor de stemmer eller ikke.

5

Bruttolønna vil være høyere enn nettolønna.

6

Månedsrente på 1,52 % tilsvarer en årsrente på 19,84 %.


Test deg selv 277

Test deg selv

I januar er det ekstra mye å gjøre på jobben, så Selim jobber i tillegg ni timer overtid på kveldstid.

g

b c

Hvor mye må Gunnar totalt betale på lånet i løpet av disse fire årene? Hvor mye har Gunnar totalt betalt i renter i disse fire årene?

Hvor mye har Gunnar betalt i gebyrer når lånet er nedbetalt?

Hvor mye får Selim utbetalt i januar når ordinær timelønn er 273 kr og han får 40 % ekstra per time på kveldstid? Han trekkes 34 % i skatt på overtidslønna.

6.36 Jofina planlegger å reise rundt i Afrika i et par måneder når hun er ferdig med utdanningen. Hun jobber en del i helger og ferier, men tjener ikke nok til å dekke alt reisen vil koste. Hun undersøker derfor betingelsene for ulike kredittkort. Hun bestemmer seg for et kort som ikke krever at hun har inntekt, og som har lav aldersgrense.

vu

b

a

rd

6.32 Selim har 44 350 kr brutto i fast månedslønn. Han blir trukket 2 % i pensjon og 13 356 kr i tabelltrekk. a Regn ut hvor mye Selim får utbetalt per måned.

6.35 Bruk lånekalkulator i denne oppgaven. Gunnar låner 135 000 kr for å kjøpe bil. Han får et annuitetslån til 4,1 % rente per år, og nedbetalingstiden er fire år med tolv terminer i året. Etableringsgebyret er 1500 kr, og hvert termingebyr er på 50 kr.

er in

6.31 Lars er murer og har akkordlønn. Han skal lage grunnmur til et hus og får 40 000 kr for jobben. a Hvor stor blir timelønna dersom han bruker tre uker på jobben? En uke er 37,5 timer jobb. b Hvor mange timer kan Lars bruke på jobben om han skal tjene 500 kr per time? c Hvilke fordeler og ulemper kan det være med å få akkordlønn i stedet for fast månedslønn?

n

til

6.33 Gaute har begynt i sin første jobb. Han får utbetalt 25 356 kr per måned og har 434 674 kr i brutto årslønn. Han leier en leilighet til 6500 kr per måned, i tillegg til at han betaler 1400 kr i strøm, 470 kr i forsikring og 4200 kr i avdrag på et billån. a Bruk SIFOs referansebudsjett og sett opp et månedsbudsjett for Gaute. b Kommenter Gautes økonomiske situasjon.

Ku

6.34 Bruk sparekalkulator i denne oppgaven. Michelle ønsker å kjøpe en leilighet om noen år og sparer 4000 kr i måneden til en rente på 2,2 % per år. a Hvor mye har Michelle i banken etter fire år? b Hvor mange år må Michelle spare for å ha 300 000 kr i banken? c Hvor mye må Michelle spare per måned for å ha 300 000 kr i banken om fire år?

Maks kreditt: 100 000 kr Årsgebyr: 0 kr Aldersgrense: 18 år Krav til inntekt: 0 kr Betalingsutsettelse: 45 dager Reiseforsikring: Ja a

Hvor mye koster det Jofina å låne 15 000 kr og tilbakebetale lånet innen en måned?

b

Hvor mye må Jofina ut med dersom månedsrenta er 1,55 % og hun ikke betaler tilbake lånet før etter seks måneder? (Husk at Jofina må betale renter for de første 45 dagene også.)

c

Hvor stor årlig rente svarer en månedsrente på 1,55 % til?


278 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

Aktiviteter

6.1 Veiledning for gode økonomiske valg

Klassen deles inn i grupper som setter seg inn i hvert av temaene nedenfor. En gruppe har ansvaret for å utarbeide veiledningen.

g

Tilbake til start

er in

Aktiviteten kan gjerne skje i samarbeid med norskfaget. I konferansen kan dere diskutere følgende temaer: Hva mener vi med begrepet økonomi?

b

Ulike konsekvenser av å ha god/dårlig økonomi

c

Hva kan dere gjøre for å unngå økonomiske problemer?

d

Vilkår for å få lån og hvilke konsekvenser lån har for den personlige økonomien

e

Bruk av nettbank: sparekalkulator, lånekalkulator, budsjett og regnskap

rd

a

vu

Klassen skal arrangere en liten konferanse om personlig økonomi og utarbeide en skriftlig veiledningsbrosjyre som hjelp til å gjøre gode økonomiske valg.

6.2 Lønn som fortjent?

6.4 Fagforeninger

n

til

Lag en liten spørreundersøkelse i klassen om hvordan elevene skaffer seg penger nå, og hvordan de har tenkt å skaffe seg inntekter i framtiden.

6.3 Å betale skatt

Ku

Undersøk hva pengene vi betaler i skatt, blir brukt til. Diskuter hvordan samfunnet hadde vært hvis vi ikke betalte skatt.

Kjenner dere til noen fagforeninger? Søk på Internett og finn ut hvordan fagforeningene arbeider for at medlemmene skal få best mulig lønnsog arbeidsvilkår.


Aktiviteter 279

6.8 Hva får du råd til?

Prøv å lage en oversikt over hvor mye du har i inntekter og utgifter i løpet av en måned.

Undersøk hva årslønna og timelønna vil være i et yrke du kan tenke deg i framtiden. Hva tror du netto utbetalt beløp per måned blir etter at skatt er betalt? Hvor høye bokostnader mener du å ha råd til hver måned med denne inntekten? Hvilke andre utgifter vil du få hver måned? Sett opp et forslag til månedsbudsjett som passer til denne inntekten.

Hvis du har penger til overs, hva kan du gjøre med dem? Hvis du har brukt mer penger enn du har fått inn, hvordan skaffer du de ekstra pengene?

er in

Har du penger til overs, eller har du brukt mer penger enn du har fått inn?

g

6.5 Inntekter og utgifter

6.6 Vilkår for boliglån

6.9 Sparing og lån

Søk i en nettbank eller gå inn på finansportalen.no. Studer vilkårene for å få lån til bolig, hvordan renta er i forhold til hvor stor del av kjøpesummen du må låne, og hvor mye du kan låne i forhold til inntekten du har.

Bruk programmering til å beregne sparing og lån.

Hvor stort beløp står på en bankkonto etter ti år hvis det blir satt inn 10 000 kr i begynnelsen av hvert år til 2 % rente per år?

rd

a

b

vu

6.7 Inkasso

Hvor stort er restlånet etter ett år hvis det tas opp et serielån på 1 000 000 kr som nedbetales en gang per år over 20 år til 3 % rente per år?

Ordet inkasso brukes ofte i forbindelse med kredittkortlån. Hva vil det si å få et inkassokrav?

Ku

n

til

Hva skjer dersom et inkassokrav ikke blir betalt?


280 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

Oppgaver

6.37 Per tjener 40 000 kr per måned. Hvor mye tjener Per i løpet av et år?

Hvor mye får Espen utbetalt i feriepenger i år?

er in

a

a

g

6.41 Espen er 42 år og arbeidet 42 uker i fjor. Hver uke tjente han 8500 kr. Han har rett til fire ukers ferie i året.

6.1 Lønn og feriepenger

Han jobber 1725 timer i året.

I år tjener han 8900 kr per uke. Han regner med å arbeide 44 uker.

b

b

Hvor mye tjener han per time?

a

Hvor mye tjener Ine per dag?

Ine jobber 22 dager i løpet av en måned. Hvor mye får hun i brutto månedslønn?

c

Hvor mye tjener Ine per time når hun jobber 7,5 timer per dag?

6.39 Adam skal lage en bålplass for idrettslaget. Han får 6000 kr for jobben.

Hvor stor blir timelønna til Adam hvis han bruker 15 timer på jobben?

b

Hvor stor blir timelønna hvis han bruker 22 timer på jobben?

n

til

a

6.40 Ali jobber i et entreprenørfirma og har 320 kr i timen. Hvor mye tjener Ali i løpet av en måned når han jobber 162,5 timer?

Ku b

Hvor stor blir årsinntekten til Ali når han jobber 1725 timer?

I løpet av året jobber Ali 57 timer overtid. Da får han 42 % tillegg på timelønna. c

a

Hvor stor lønn hadde Randi i fjor?

b

Hvor mye får Randi utbetalt i feriepenger i år?

c

Med hvor mange prosent økte feriepengene hennes fra i fjor til i år?

vu

b

a

6.42 Randi tjente 594 970 kr medregnet 53 427 kr i feriepenger i fjor. Hun får 10,2 % i feriepenger.

rd

6.38 Ine er servitør og jobber på restaurant. Hun tjener 810 kr per dag og får i tillegg 5 % i provisjon av salget. I gjennomsnitt selger hun for 9700 kr per dag.

Hvor mye får han i feriepenger neste år?

Hvor stor blir årslønna til Ali når han regner med overtidslønna?

d

I år mottar Randi 552 050 kr i lønn. Hvor mye skal hun ha i feriepenger neste år?

6.43 Gustav jobber i et byggefirma og har en grunnlønn på 14 500 kr i måneden. I tillegg får han 7 % av salget han har av trelast, og 6 % av salget av andre varer. En måned selger han trelast for 83 400 kr og andre varer for 123 000 kr. a

Hvor mye tjener Gustav på å selge trelast denne måneden?

b

Hvor mye tjener Gustav på å selge andre varer denne måneden?

c

Hvor mye tjener Gustav totalt denne måneden?

d

Hvor stor prosent av lønna utgjør grunnlønna denne måneden?


Oppgaver 281

b

Hvor mange timer har Tuva jobbet denne måneden?

Finn den yrkesgruppa du regner med å tilhøre når du er ferdig med utdanningen. a b

Hvor mye får hun i fastlønn?

g

a

6.46 Bruk nettsiden til Statistisk sentralbyrå, ssb.no, og søk på «Gjennomsnittlig månedslønn for ulike yrkesgrupper».

Hvor stor er den gjennomsnittlige månedslønna i denne gruppa?

er in

6.44 Tuva går på videregående skole og jobber som telefonselger noen kvelder hver måned. Hun har en fast timelønn på 126 kr og får i tillegg 8 % av salget. En måned har hun jobbet ni kvelder fra kl. 17.00 til kl. 20.30.

Regn ut brutto årslønn.

Denne måneden solgte Tuva for 11 920 kr.

Bruk nettsiden utdanning.no og velg «Hva skal jeg bli, yrke og lønn».

c

Hvor mye får hun i provisjon?

c

d

Hvor stor samlet lønn har Tuva denne måneden? d

Hvor mye får Tuva i feriepenger neste år?

e

Kommenter netto månedslønn i d i forhold til lønnsforventningene dine.

vu

e

Ta utgangspunkt i lønna du fant i c. Hvor mye kan du forvente å få i netto månedslønn dersom du trekkes 30 % i skatt?

rd

Tuva jobbet ikke i fjor, men i år har hun til sammen 61 300 kr i inntekt. Hun har rett på fire ukers ferie.

Hvor stor årslønn kan du ifølge utdanning.no forvente når du er ferdig med utdanningen?

6.45 Janne er elektriker og har en ordinær timelønn på 310 kr. Hun får 45 % tillegg på timelønna når hun jobber overtid. Vanlig arbeidstid er 37,5 timer per uke.

a

til

En uke jobber Janne 42,5 timer.

n

Hvor mye får hun i kjøregodtgjørelse når hun siste uke har kjørt 87 km for jobben?

Ku c

6.47 Åse tjente 7895 kr i januar. Hun har tabelltrekk og trekkes 1974 kr i skatt denne måneden. Hvor mye får Åse utbetalt netto i januar?

Hvor mye får hun i lønn denne uka?

Janne bruker sin egen bil i jobben og får 4 kr i kjøregodtgjørelse per kilometer hun kjører. I tillegg får hun 1 kr per kilometer for frakt av utstyr hun bruker i jobben. b

6.2 Beregning av lønn og skatt

Hvor mye skal Janne ha utbetalt denne uka?

6.48 Harry har en brutto månedslønn på 19 850 kr. Han blir trukket 35 % i skatt. Hvor mye får Harry utbetalt? 6.49 Saila er baker og jobber som ekstravakt hos BareBrød AS. På vanlige dager får hun 256 kr i timelønn, men på søndager er timelønna 75 % høyere. En måned har Saila jobbet 19 timer på hverdager og 11 timer på søndager. a

Hvor stor er bruttolønna denne måneden?

b

Bør det brukes tabelltrekk eller prosenttrekk på lønna hennes? Begrunn svaret.


282 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

Hvor mye har Kasper i ordinær timelønn?

I mai jobber Kasper 15 timer overtid til 50 % tillegg. b

Hva blir bruttolønna hans i mai?

Kasper blir trukket 36 % i skatt og 2 % til pensjon. c

Hvor mange timer jobbet hun i april?

Hvor mye får Kasper utbetalt i mai?

Hvor mange timer med 50 % overtidstillegg må hun jobbe for å få nok penger til å betale ned lånet?

6.55 Vanligvis har vi tabelltrekk på fast lønn og prosenttrekk på overtidslønn.

vu

Ulrika får utbetalt 22 350 kr i lønn for mai.

Ordinær timelønn er 235 kr per time. Skatten på overtid er 41 %.

rd

6.51 Ulrika jobber som blomsterdekoratør og har en fast månedslønn på 33 200 kr. I mai jobber hun i tillegg 9 timer overtid på ettermiddager til 50 % ekstra i timelønn. Hun jobber også 7 timer en søndag, og da får hun 100 % ekstra i timelønn. Hun betaler 36 % i skatt og trekkes 2 % i pensjonsinnskudd. Ordinær arbeidstid per måned er 162,5 timer.

6.54 I mai ville Aisha jobbe overtid for å betale ned en kredittkortgjeld på 3500 kr.

er in

a

6.53 Aisha jobber i et entreprenørfirma og har 235 kr per time. Hun trekkes 31 % i skatt. I april fikk hun utbetalt 27 890 kr.

g

6.50 Kasper arbeider på et vaskeri og har 37 700 kr i fast månedslønn. Han jobber 162,5 timer per måned.

Bruk regneark og kontroller at lønna hennes er riktig.

n

til

6.52 Randi er gartner. For å anlegge fire plener får hun 42 400 kr i fast månedslønn. I tillegg hjelper hun enkelte ganger til med å vanne plener som er ferdig sådd. Da får hun 28 % ekstra i timelønn på hverdager og 45 % ekstra på søndager. Ordinær arbeidstid per måned er 162,5 timer.

Ku

Denne måneden har Randi jobbet 7 timer overtid på hverdager og 3 timer på en søndag.

Randi anlegger fire plener og har 42 400 kr i fast månedslønn. Enkelte ganger hjelper hun i tillegg til med å vanne plener som er ferdig sådd. Da får hun 28 % ekstra i timelønn på hverdager og 45 % ekstra på søndager. Ordinær arbeidstid per måned er 162,5 timer. Denne måneden har Randi jobbet 7 timer overtid på hverdager og 3 timer på en søndag. Hun trekkes 2,2 % til pensjon. Tabelltrekket på fastlønna er 12 958 kr, og hun trekkes 38 % i skatt på overtidslønn. a

Bruk regneark og finn Randis nettolønn denne måneden.

b

Sammenlikn utbetalt lønn i oppgavene 6.52 og 6.55 og forklar hvordan tabelltrekket på fastlønna påvirker hvor mye Randi får utbetalt.

Hun trekkes 36 % i skatt og 2,2 % til pensjon. Bruk regneark og finn nettolønna til Randi denne måneden.


Oppgaver 283

6.3 Budsjett og regnskap

6.56

a

Hvor store blir Rinas månedlige utgifter etter økningen i boliglånet, forutsatt at de andre utgiftene er uendret?

c

Hva har økningen i månedsutgiften på boliglånet å si for Rinas økonomi?

vu

Hvor mye får Sivert utbetalt denne måneden?

til

En helg jobber Sivert ekstra med å legge takpapp. Da får han 50 % tillegg på lørdager og 100 % tillegg på søndager. Ordinær timelønn er 350 kr per time. Han jobber like mange timer lørdag og søndag og får utbetalt 4962 kr etter skatt. c

b

Hvor mye tjener Sivert per time på denne jobben?

I løpet av september rekker han fem hus. Han trekkes 32,5 % skatt på lønna. b

Hun har også lån på bolig og betaler 7810 kr på lånet i måneden. Rina har fått melding fra banken om at månedsbeløpet på boliglånet øker til 8180 kr fra november fordi rentesatsen er gått opp.

rd

Sivert jobber i et firma som bygger småhus. Han paneler husene innvendig og bruker 24 timer per hus. Han får 9200 kr i lønn for hvert hus.

Hvor mange prosent av utgiftene til Rina utgjør studielånet?

er in

a

g

6.58 I oktober har Rina 29 780 kr i inntekter og 29 570 kr i utgifter. Hun betaler 2499 kr på studielånet sitt hver måned.

6.59 Une går siste året på videregående skole og jobber i helgene. Hun får utbetalt 5600 kr i måneden. a

Hva tror du Une bruker pengene sine til?

b

Sett opp et realistisk budsjett som går i balanse for Une.

Hvor mange timer jobbet Sivert denne helga?

Ku

n

6.57 Gå inn på vilbli.no. Finn en jobb du kan tenke deg, og sjekk omtrent hvor stor månedslønna er. Du ønsker å jobbe noen timer ekstra denne måneden for å ha litt ekstra penger til ferien. Lag lønnsslippen du ville ha fått denne måneden.

6.60 Sett opp et realistisk budsjett for deg selv for kommende måned, med og uten bruk av regneark. 6.61 Tom har begynt i lære som ambulansearbeider og får 13 250 kr i måneden det første halvåret av læretiden. Han betaler 4800 kr i husleie i måneden for hybel. En kveld i uka jobber Tom på en bensinstasjon og får utbetalt 3400 kr i måneden. Bruk SIFOs referansebudsjett og sett opp et budsjett for Tom.


284 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

I februar brukte familien Kahn 7925 kr på mat og drikke, 2392 kr på klær og sko, 1347 kr på personlig pleie, 2993 kr på reise, 1300 kr på mediebruk og fritid og 5829 kr på bil. Resten av utgiftene var som budsjettert.

Sett opp regnskapet til Tom for juli.

b

11 370 kr

Utgifter:

Mat og drikke 2000 kr, klær og sko 1000 kr, feriereise 7000 kr og andre utgifter 1200 kr

11 370 kr

Utgifter:

Mat og drikke 1854 kr, klær og sko 1379 kr, feriereise 7450 kr, andre utgifter 1430 kr

til

Inntekt:

Før budsjett og regnskap for juli.

b

Regn ut avviket mellom budsjett og regnskap for juli, både i kroner og i prosent. Kommenter tallene du kom fram til.

n

a

6.64 Familien Kahn består av far og to gutter på 11 og 17 år. Familiens samlede inntekt er 41 740 kr per måned, og faste utgifter utgjør 11 700 kr i måneden. Familien har en bil.

Ku

a

Sett opp en oversikt over hva Eva og Even kommer til å bruke penger på i forbindelse med bryllupet.

b

Søk på Internett for å finne omtrent hvor mye de må betale for de ulike postene du kom fram til i a.

c

Sett opp et budsjett over utgiftene til Eva og Evens bryllup.

vu

Inntekt:

Når juli er over, setter du opp regnskapet for de faktiske inntektene og utgiftene.

a

6.65 Eva og Even skal snart gifte seg. De vil ha et stort bryllup med familie og gode venner, og de må leie et selskapslokale for dette formålet.

rd

I juli er det ferietid. Da er det fort gjort å bruke mer penger enn ellers i året. Du har jobbet en del i løpet av skoleåret og vært flink til å sette av penger til ferie. Du har satt opp følgende inntekter og utgifter i budsjettet for juli:

Før regnskapet og utfør budsjettkontroll for familien Kahn for februar.

er in

6.63 Bruk regneark i denne oppgaven.

g

6.62 Tom har fulgt opp budsjettet i forrige oppgave ganske godt gjennom året, men da juli kom, brukte han 300 kr ekstra på klær og sko, 497 kr ekstra på mat og drikke og 1105 kr ekstra på reise.

Bruk SIFOs referansebudsjett og sett opp et månedsbudsjett for familien Kahn.

6.66 Du har fått lærlingplass så langt hjemmefra at du må flytte på hybel. Det er ikke så lett å få pengene til å strekke til, så du vil sette opp budsjett og føre regnskap. a

Finn ut hvor mye du får i lønn det første halvåret av læretiden.

I tillegg til lønn har du også rett til bostipend og lån fra Lånekassa. b

Finn ut hvor mye du kan få i bostipend. Bruk vilbli.no både i a og b.

c

Let i avisa, på finn.no e.l. og finn deg en passende hybel. Hvor mye må du ut med i husleie?

d

Sett opp et realistisk budsjett som viser inntektene og utgiftene dine i september. Husk at budsjettet ikke må ha negativ utgående beholdning. Bruk SIFOs referansebudsjett og regneark.


Oppgaver 285

Utgifter:

Husleie 6500 kr, strøm 1340 kr, mat 2634 kr, reise 750 kr, telefon og Internett 1190 kr, fritid 2790 kr, klær og sko 1700 kr, andre utgifter 3973 kr

Underskudd fra september: 824 kr e

Sett opp regnskap for oktober og vurder din økonomiske situasjon denne måneden.

6.67

6.4 Sparing 6.68 Nora setter inn 25 000 kr på en bankkonto til 2,0 % rente per år. a b

BANK

38 530,93 -4 818,36 -6 996,69 -2 762,74 -3 462,62 -3 402,00 -3 483,79 -5 796,00 -0,00 -30 722,20

SUM

b

Hvor dyr bolig kan Viktor kjøpe når han bruker sparepengene sine som egenkapital?

vu

UTGIFTER Mat og drikke Levekostnader Bolig og fritidseiendom Bil og transport Ferie og fritid Øvrige utgifter Ikke kategorisert Sparing

Bruk en sparekalkulator og finn ut hvor mye Viktor har i banken etter fem år.

Etter å ha spart i fem år skal Viktor kjøpe sin første bolig. For å få lån i banken må han ha en egenkapital på minst 15 % av prisen på boligen.

INNTEKTER

SUM

Hvor mye har Nora innestående etter tre år?

rd

DIN

29 530,93 9 000,00

Finn ved regning hvor mye Nora har på kontoen etter ett år.

6.69 Viktor sparer 6000 kr på en konto i banken hver måned, og renta er 1,5 % per år. a

Inntekter Andre inntekter

g

Inntekter: Utbetalt lønn 8925 kr, studielån, bostipend

er in

I oktober hadde du følgende inntekter og utgifter:

Viktor finner en liten leilighet utenfor byen og må låne 1 900 000 kr. Banken tilbyr et annuitetslån til 3,35 % rente per år, nedbetalt over tjue år med tolv terminer per år.

til

SUM UTGIFTER

- 30 722,20

DIFFERANSE

7 808,73

Sammenlikn inntekter og utgifter i regnskapet med SIFOs referansebudsjett og gi en kommentar til tallene i regnskapet.

Ku

a

n

Bruk regnskapet fra nettbanken i denne oppgaven. Regnskapet gjelder en husholdning med en voksen person.

b

Sett opp et budsjett for neste måned over de ulike inntektene og utgiftene du regner med å ha.

Husk at budsjettet aldri skal gi et underskudd. Går det mer penger ut enn det kommer inn, må du øke inntektene eller redusere utgiftene.

c

Bruk en lånekalkulator og finn månedlig terminbeløp.

d

Hvor mye har lånet kostet Viktor når det er ferdig nedbetalt?

6.70 Juan setter inn 10 000 kr på en konto hvert år. Han får 3,5 % årlig rente. a

Hvor mye penger har Juan på kontoen i slutten av det fjerde året?

b

Hvor mange kroner har han på kontoen like etter at han satte inn det femte beløpet?


286 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

a

Hvor mye penger har Kari på kontoen etter ett år?

b

Hvor mye penger har hun på kontoen etter fem år?

6.72 Truls ønsker seg en fin klokke. Den koster nå 48 000 kr, men han må spare penger før han kan kjøpe klokka. Prisen på klokka øker med 2,8 % per år. Hvor mye er klokka verdt om tre år?

b

Bruk en sparekalkulator og finn hvor mye Truls må spare hver måned i tre år til 1,85 % rente per år, for å få råd til klokka?

Hvor mye får han for dette aksjesalget?

d

Hvor mye har Pierre totalt tjent på aksjene han kjøpte?

6.75 Carl planlegger å kjøpe en hytte av sin gamle onkel om fire år. Hytta har en verdi på 860 000 kr i dag, og det forventes at verdien vil stige med 3 % per år fram til Carl kan kjøpe den. a

Hva blir hyttas verdi om fire år?

Carl har allerede 690 000 kr i banken og får 2,9 % rente per år på sparepengene sine. b

Hvor mye penger vil Carl ha i banken om fire år?

c

Bruk en sparekalkulator til å finne hvor mye Carl må spare hver måned for å kunne kjøpe hytta om fire år.

rd

a

c

g

Kari sparer i aksjefond. Hun sparer 5000 kr hver måned, og renta er 5,4 % per år.

Pierre kommer i en situasjon der han trenger penger, og bestemmer seg for å selge resten av aksjene sine. Når han selger, er aksjekursen 226 kr per aksje.

er in

6.71 Bruk sparekalkulator i denne oppgaven.

vu

6.73 Kåre fikk 50 000 kr på 18-årsdagen sin. Pengene satte han inn på konto i banken samme dag til 1,9 % årlig rente på sparepengene. På 19-årsdagen sin tok han ut 20 000 kr, og på 20-årsdagen tok han ut 20 000 kr til.

til

Hvor mye penger hadde Kåre i banken den dagen han fylte 22 år?

n

6.74 Pierre kjøper og selger aksjer. Han kar kjøpt 250 aksjer til 160 kr per stykk i Vind & Vann Energi AS. Han kan tjene på å selge aksjene og på å motta utbytte dersom bedriften går med overskudd.

6.76 Søk på nettsidene til tre ulike banker for å se hvilke sparevilkår de tilbyr for boligsparing. a

Hvilken bank tilbyr høyest rente, og hvor mange prosent er denne renta på?

b

Hvilken bank tilbyr lavest rente, og hvor mange prosent er denne renta på?

c

Hvilke betingelser gjelder for BSU-sparing?

6.77 Aisha har 50 000 kr på en sparekonto til 1,95 % rente per år. a

Hva har beløpet vokst til etter fire år?

b

Hvor mye har Aisha i banken etter åtte år dersom pengene står på kontoen hele tiden?

a

Hvor mye får Pierre i utbytte på aksjene sine?

c

Verdien på aksjene til Pierre øker fra 160 kr til 235 kr. Han bestemmer seg for å selge halvparten av aksjene sine.

Hvor mange kroner får hun i rente de fire første årene?

d

Hvor mange kroner får hun i rente de siste fire årene?

e

Sammenlikn og kommenter rentebeløpene du fant i c og d.

Ku

Vind & Vann Energi AS er i medvind for tiden og ønsker å dele ut et utbytte på 12 % til sine aksjonærer. Utbyttet beregnes av prisen aksjene ble kjøpt for.

b

Hvor mye får Pierre for disse aksjene?


Oppgaver 287

a

Prøv å finne ut ved regning omtrent hvor lenge pengene må stå på konto for å kunne dekke de 30 000 kr førerkortet vil koste. Bruk en sparekalkulator til å finne ut om svaret ditt i a stemte.

c

Dersom Kine skal ha råd til førerkort når hun er 18 år, hvor mye må hun i tillegg spare hver måned i tre år?

Hvilket råd vil du gi Fiona – bør hun investere arvepengene sine i aksjer?

g

e

6.5 Lån

6.80 Samuel får et serielån på 84 000 kr i banken for å kjøpe bil. Renta er 4,3 % per år. Han betaler etableringsgebyr på 1500 kr. a

Hvor mye må Samuel betale i avdrag per år dersom lånet nedbetales over tre år med én termin i året?

rd

b

Fiona synes det kan være fristende å investere arvepengene sine i aksjer for å få høy avkastning. På finanssans.no/dine-forste-aksjer kan du lære mer om investering i aksjer.

er in

6.78 Kine er 15 år og begynner å glede seg til hun kan få førerkort. Men hun vet at det er nokså dyrt, i gjennomsnitt koster det ca. 30 000 kr. Du kan finne flere detaljer om hva de ulike delene av føreropplæringen koster, på altomforerkortet.no/forerkort-priser. Kine har 12 000 kr på en sparekonto til 2,1 % årlig rente.

Hvor mye har han betalt i renter og gebyr når lånet er nedbetalt?

c

Hvor mye koster lånet ham totalt?

vu

6.79 Fiona er 23 år og i fast jobb. Hun har arvet 100 000 kr etter sin farmor. Hun ønsker å spare pengene over lang tid for å sikre en trygg økonomi seinere i livet.

b

Det finnes flere ulike spareformer, og Fiona er litt usikker på hva hun bør velge.

6.81 a Bruk en lånekalkulator til å finne hvor mye lånet til Samuel i forrige oppgave ville kostet hvis det hadde vært tolv terminer hvert år. b

c

d

6.82

Bruk en kalkulator for sparing i fond og finn hvor mye penger hun har etter ti års sparing i aksjefond når avkastningen er 5,8 % per år.

Ku

b

Bruk en sparekalkulator og finn hvor mye Fiona har på konto etter ti år dersom hun setter pengene i en bank til 1,9 % rente per år.

Hvor stor del av de totale kostnadene i dette lånet er renter og gebyr?

n

a

til

I tillegg til de 100 000 kr hun har arvet, ønsker hun å spare 2000 kr i måneden.

Hvor mye penger har Fiona etter ti år dersom hun setter arven på 100 000 kr inn på en bankkonto til 1,9 % årlig rente og samtidig sparer 2000 kr i måneden på en BSU-konto til 3,9 % rente per år? Vil du råde Fiona til å velge sparing i bank, sparing i aksjefond eller sparing på en BSU-konto?

Lars skal begynne med utleie av kanoer. Han trenger 8 kanoer og 16 padlevester. Hver kano koster 8690 kr, og padlevestene kommer på 699 kr per stykk. Lars har 24 000 kr selv, resten må han låne. a

Hvor mye må Lars låne?


288 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

6.84 Bruk laanekalkulator.no.

b

Hvor store avdrag på lånet betaler Lars hvert av de tre årene? (Vi regner ikke med etableringsgebyr i denne utregningen.)

c

Hvor mye betaler Lars i rente det første, det andre og det tredje året?

Mona skal bygge på huset. Hun har behov for å låne 760 000 kr og får et annuitetslån i banken til 3,25 % årlig rente over ti år og med tolv terminer per år. I tillegg kommer etableringsgebyr på 1500 kr og termingebyr på 50 kr per termin.

d

Hvor mye har lånet kostet Lars når det er ferdig nedbetalt?

er in

a

Hvor mye må Mona betale i rente på lånet den første og den andre terminen?

b

Hvor store avdrag betaler hun de to første terminene?

c

Hvordan vil forholdet mellom renter og avdrag utvikle seg fram til lånet er nedbetalt?

6.85 Diagram 1

rd

6.83 Lars har tjent godt på å leie ut kanoer. Han etablerer et eget firma som skal drive med ulike vannaktiviteter i en innsjø. For å ha et sted å oppbevare kanoer og annet utstyr på planlegger Lars å bygge et naust og en overbygd rasteplass.

g

Banken tilbyr Lars et serielån til 3,4 % rente per år, nedbetalt over tre år med én termin per år.

12 000

vu

Lars får et tilbud om å låne 670 000 kr til 3,0 % årlig rente, og med tolv terminer per år i nedbetalingstiden.

Kr

Han kan velge mellom følgende nedbetalingsalternativer.

10 000 8 000

6 000

4 000

Alternativ 2

7 år

7 år

til

Nedbetalingstid

Alternativ 1

Avdragsfritt

2 år*

0 år

Terminbeløp

12 945 kr

9810 kr

n

* I den avdragsfrie perioden betaler han bare rente på hele lånesummen. Nedbetalingen av lånet skjer de siste fem årene.

Ku

Gjør nødvendige beregninger for å gi Lars råd om hvilket alternativ han bør velge.

2 000 1

2

3

4

Avdrag

5

6

7

8

År

Renter

Diagram 2 Kr 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 1

2 3 Avdrag

4

5 6 Renter

7

8

År


Oppgaver 289

Hvilke typer lån viser diagram 1 og diagram 2?

b

Forklar hvordan forholdet mellom avdrag og renter utvikler seg i løpet av nedbetalingstiden for de to lånetypene.

6.86 Bruk lånekalkulator fra en bank i denne oppgaven. Bruk bankens egen rente. Familien Bru ønsker å kjøpe ny bolig. De kan bruke 15 000 kr i måneden til å betale renter og avdrag. Hvor stort lån har familien Bru nok penger til å låne hvis de får et annuitetslån med nedbetalingstid på 25 år, og renta er 3,25 % per år?

b

Hvor stort lån har familien Bru nok penger til å låne hvis de får et serielån med nedbetalingstid på 25 år, og renta er 3,25 % per år?

c

Hvor mye må du ha i egenkapital for å få lånet?

d

Hvor mange kroner har du betalt totalt når lånet er nedbetalt?

Endre lånet til å gjelde 60 % av prisen på boligen, med en årlig rente på 3,05 %. e f g

Finn månedsbeløp, egenkapitalbehov og total innbetaling på dette lånet. Sammenlikn og kommenter tallene du fant i a, c og d, med tallene du fant i e.

Hvordan påvirkes kostnader og renter dersom lånet betales tilbake over tjue år?

rd

a

Hva er prisen på boligen?

g

a

b

er in

Diagrammene på forrige side viser utviklingen av forholdet mellom avdrag og renter ved to ulike lånetyper.

6.89 På nettsidene til Statens lånekasse finner du betingelser for å få stipend og lån til utdanning. a

Bruk lanekassen.no/stottekalkulator/ og legg inn informasjon om det du mener er din utdanningssituasjon et par år fram i tid. Når det gjelder foresattes samlede inntekt, er det greit å velge det du antar er samlet inntekt.

b

Om du har planer om videre studier seinere, kan du legge inn ny informasjon og finne ut hvor mye støtte du kan få da.

vu

6.87 a Velg lånekalkulatoren til to ulike nettbanker og finn hvilke betingelser de tilbyr for et billån på 276 000 kr, når du må låne alt bilen koster. Velg å nedbetale lånet over sju år.

Hvor høy var den nominelle og den effektive renta i de to bankene?

c

Hvor mye må du betale hver måned på de to ulike lånene?

6.88 Velg en nettbank og bruk bankens boliglånskalkulator til å beregne kostnadene ved et annuitetslån på 2 600 000 kr når nedbetalingstiden er 25 år, renta er 3,15 % per år, og lånet utgjør 80 % av prisen på boligen. Lånet har tolv terminer per år. a

Nedbetaling av studielånet begynner først når utdanningen er over. c

Bruk lanekassen.no/nedbetalingskalkulator/ for å finne ut hvor mye du må betale tilbake. Har du ingen lånesum å legge inn i kalkulatoren, kan du for eksempel legge inn 350 000.

d

Hvor mange år tar det før studiegjelda er nedbetalt?

e

Hvor mange prosentpoeng utgjør forskjellen på nominell og effektiv rente, og hva skyldes denne forskjellen?

Hvilket lån ville du valgt? Begrunn svaret ditt.

Ku

e

Hvor mye har du betalt på de to ulike lånene når lånet er ferdig nedbetalt?

n

d

til

b

Hvor mye må du betale hver måned på dette lånet?


290 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

6.6 Kredittlån

a

Hvor mange prosent er den årlige renta?

1 måned

9813 kr/md.

3 måneder

3301 kr/md.

a

12 måneder

859 kr/md.

24 måneder

483 kr/md.

48 måneder

301 kr/md.

72 måneder

272 kr/md.

Hvor mye ekstra koster det Linda å betale ned telefonen i løpet av 3 måneder, 12 måneder og 48 måneder?

rd

6.91 Carina har skaffet seg en kredittgjeld på 34 500 kr. Månedsrenta på kredittkortet er 1,7 %.

g

Bruk regneark og finn hvor mye lånet vil koste Agate dersom hun betaler ned på lånet en gang per år, og terminbeløpet er 126 722 kr.

6.93 Linda skal kjøpe ny mobiltelefon. Den koster 9813 kr uten abonnement. Hun kan velge mellom å betale hele beløpet med en gang eller betale et mindre beløp over flere måneder:

er in

6.90 Agate har funnet en liten leilighet og trenger et boliglån. Hun får tilbud fra banken om å låne 1 550 000 kr over 16 år til 3,35 % rente per år.

b

Hvor mange prosent dyrere blir telefonen dersom hun betaler den ned i løpet av 48 måneder, enn om hun betaler kontant?

c

Hvilket betalingsalternativ bør Linda velge? Begrunn rådet ditt.

Carina greier ikke å betale ned gjelda før etter to år. Hvor stor var gjelda hennes blitt da?

c

Hvor mye mer må hun betale etter to år enn om hun hadde betalt gjelda med en gang?

vu

b

til

6.92 Adil kjøper en ny PC som koster 12 700 kr. Han betaler med kredittkort med en månedsrente på 1,4 %. Han venter med å betale til det har gått åtte måneder.

6.94 Johan har kjøpt en sykkel til 15 000 kr med kredittkort, og renta er 1,45 % per måned. Johan klarer ikke betale ned noe på gjelda.

Hvor mye skylder Adil etter tre måneder?

Hvilket uttrykk nedenfor gir svaret på hvor mye Johan skylder etter ett år?

b

Hvor mye må han betale tilbake når det er gått åtte måneder?

a

15 000 kr 1,0145 12

b

15 000 kr 1,014512

Hvor mye rente er det blitt på PC-kjøpet i løpet av åtte måneder?

c

15 000 kr 1,01451

d

15 000 kr 0,985512

n

a

Ku

c

d

Hvor mange prosent er årsrenta når månedsrenta er 1,4 %?


Oppgaver 291

Wille innser at han må endre livsstil for å få betalt ned kredittkortlånene sine. Han tar derfor opp et forbrukslån på 50 000 kr til 13,2 % årlig rente, som han betaler ned begge kredittlånene med etter fire måneder. d

Med en handlekonto kan du velge å betale litt hver måned i det tempoet som passer deg. Etableringsgebyr: 0,– 14,90 %

Termingebyr:

55 NOK

Månedsbeløp:

Fleksibelt med et minimumsbeløp hver måned

6.97 Frida trenger ny vaskemaskin. Hun finner en fin vaskemaskin på tilbud til 5995 kr. ▼

Utsette eller delbetale med Handlekonto?

Bruk laanekalkulator.no (for annuitetslån) og finn ut hvor mye sofaen har kostet Birger i løpet av ett år.

b

Hvor mange prosent hadde Birger spart på å betale sofaen med en gang?

c

Hvor mye hadde sofaen kostet hvis Birger hadde brukt et kredittkort med 1,7 % månedsrente og betalt sofaen etter tolv måneder?

610 kr per måned

Antall terminer Termingebyr Finansieringsgrunnlag Finansieringskostnader Total finansieringspris Effektiv rente

vu

a

til

n

Ku

Med kredittkort 1 har han et lån på 24 670 kr, og månedsrenta er 1,92 %. a

Hvor stort vil lånet bli etter seks måneder?

b

Hvor høy er årsrenta på kredittkort 1?

Med kredittkort 2 har han et lån på 18 310 kr, og månedsrenta er 1,66 %. Hvor stort blir lånet dersom han må vente tolv måneder med å betale det ned?

12 50 5995 1326,41 7321,41 46,23 %

Søknad om handlekonto med tilhørende kredittkort forutsetter kredittvurdering. Dersom beløpet ikke betales etter endt betalingsutsettelse, går man over til delbetaling med følgende priseksempel: Eff. rente 30,4 %, kr 20 000 o/12 md., kostnad kr 3022, totalt kr 23 022.

6.96 Wille er litt sliten etter en periode med reiser og mye uteliv. Han har brukt en del penger, men har lite å betale tilbake kredittlånet sitt med. Han er i jobb, men inntekten rekker ikke til alt han har lyst til å gjøre. Han har nå kredittlån på to ulike kort.

c

Frakt fra kr 0,00

rd

Nominell rente:

Hvor mye av forbrukslånet må Wille bruke for å betale ned kredittlånene?

er in

Handlekonto

g

6.95 Birger trenger ny sofa og finner en han synes er fin i Møbelbutikken AS. Sofaen koster 26 999 kr, men Birger får tilbud om å betale ned sofaen i løpet av et år med «Handlekonto».

Mer informasjon ►

a

Hvor mye koster vaskemaskinen hvis Frida betaler den ned over tolv måneder?

b

Finn ut hvor mye Frida da må betale hver måned.

c

Kommenter vilkårene ovenfor, for delbetaling over tolv måneder.

d

Gi et råd til Frida om hvordan hun bør betale vaskemaskinen.


292 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

6.98

Årspris

0,–

Erstatningskort

0,–

a

Hva er kortets nominelle rente og effektive rente per år?

b

Hvor mye koster det å ta ut penger i minibank i Norge og i utlandet fra 1. mai 2018?

c

Hvor lang er den rentefrie perioden? Er det gebyr hvis vi trenger lengre betalingsutsettelse? Er det purregebyrer?

Gebyr på varekjøp

0,–

Kontantuttak i minibank, utland fra 1. mai 2018

0,–

Kontantuttak over skranke, utland fra 1. mai 2018

0,–

Kontantuttak i minibank, innland fra 1. mai 2018

40,– + 1 % av uttak

Kontantuttak over skranke, innland* fra 1. mai 2018

40,– + 1 % av uttak

Rentefri kreditt

inntil 45 dager

Nedbetaling for kort signert etter 15. mai 2019: 3,2 % av benyttet kreditt, minimum kr 250

2,5 % av benyttet kreditt, minimum kr 250,–

d

Rente Nominell rente

6.99 Eva og Even har nylig giftet seg. De ønsket et stort og fint bryllup med familie og venner, men det koster å gifte seg. De bestemmer seg for å betale utgiftene med kredittkort, men vil betale ned innen fristen for betalingsutsettelse, som er 45 dager. Renta på kredittkortet deres er 1,55 % per måned. Utgiftene til bryllupet kom på totalt 125 000 kr.

rd

18,30 % p.a.

Effektiv rente**

19,92 % p.a.

til

** Basert på et eksempel på kr 15000 nedbetalt over 12 md. Kredittkostnad 1281,–

2%

0,–

Gebyr ved papirfaktura

45,–

Kopi av faktura

20,–

n

Valutapåslag fra 1. mai 2018 Gebyr ved eFaktura

kr 25,– +1%

Overtrekksgegyr***

125,–

Ku

Overføring fra kredittkort til konto fra 1. mai 2018

Purregebyr

Hvor mye må du betale i rente hvis du har et lån på 18 000 kr som du venter ett år med å betale tilbake?

vu

* Bruk av kredittkort på postkontor og Post i butikk regnes som kontantuttak over skranke.

Andre priser

er in

Kostnader ved bruk av kortet

g

Priser ved bruk av kredittkort*

Iht. statens satser

*** Overtrekksgebyr belastes dersom den innvilgede kredittgrensen overskrides.

Ovenfor ser du et eksempel på hva det koster å bruke et kredittkort. Ulike kredittkort har litt ulike vilkår. Bruk opplysningene i tabellen til å svare på oppgaven.

Eva og Even ønsket å betale bryllupet selv og har derfor spart en del på forhånd. Eva har spart 29 600 kr, og Even har spart 27 500 kr før den store dagen. De fikk også 20 000 kr fra foreldrene sine. a

Hvor mye måtte Eva og Even betale med kredittkortet?

Det er så mye de trenger til sitt felles hjem, så de vurderer å utsette betalingen på kredittlånet noen måneder. b

Hvor mye må de betale dersom de venter tolv måneder med å betale?

c

Hvor høy rente er det per år på kredittlånet?

d

Hvor mange prosent øker kredittlånet deres med dersom de velger å utsette betalingen i tolv måneder?

Even mener at det i stedet kan være lurt å ta opp et forbrukslån, slik at de kan betale ned kredittlånet innen fristen. Han får tilbud om et forbrukslån med 12,9 % rente per år. e

Hvor mye koster forbrukslånet i løpet av ett år?


Oppgaver 293

Blandede oppgaver

6.100

g

6.101 Du får vite følgende om lønna til Claude:

er in

Han har en fast brutto månedslønn på 41 360 kr. Han betaler 2 % i pensjonsinnskudd og har et prosentkort med skattetrekk på 32 %.

Lag et ryddig og oversiktlig regneark for å beregne Claudes netto månedslønn.

6.102

vu

rd

Arbeid i grupper på tre–fire elever. Finn hvor mye dere antar det vil koste å reise sammen på en to ukers ferie til fjerne strøk. Bruk gjerne en reiseplanlegger på Internett for å finne priser. Det er vanlig å betale slike reiser med kredittkort, fordi det er vanlig at reiseforsikring er inkludert i kredittkortet. Finn et kredittkort på nettet som dere ønsker å bruke. Hvilke betingelser har kortet dere valgte?

b

Hvor mye må dere betale for reisen dersom dere betaler innen betalingsfristen?

c

Hva må dere betale for reisen dersom dere betaler etter tre måneder, og hva må dere betale hvis dere venter ett år?

til

a

Søk etter et passende forbrukslån.

n

Hvor mye må dere betale for reisen dersom dere velger forbrukslån i stedet for kredittlån, og venter ett år med å betale?

Ku

d

Agathe vil begynne å dykke og trenger dykkerutstyr. På nettet finner hun et tilbud med alt hun ønsker, til 22 999 kr. Hun bestemmer seg for det. Agathe har 12 300 kr på en konto i banken, men resten av beløpet må hun låne. a

Hvor mye trenger Agathe å låne?

Søk på nettet og finn et gunstig forbrukslån for Agathe, som hun betaler tilbake over tre år med én termin per år. b

Hvor mye må Agathe betale i rente det første året?

c

Bruk en lånekalkulator og lag en nedbetalingsplan for Agathe.

d

Hvor mye har dykkerutstyret totalt kostet henne når lånet er ferdig nedbetalt?


294 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

Hvor mye får Karin i månedslønn det første halvåret?

b

Hvor mye får Karin i månedslønn det andre året?

Karin leier en liten leilighet i nærheten av arbeidsplassen. Hun betaler 5200 kr i husleie inkludert strøm. I tillegg til lærlinglønna får hun 4100 kr i grunnstipend fra Statens lånekasse.

Kontant betaling på 7990 kr

Alternativ 2:

Nedbetaling over 36 måneder og 23,6 % rente per år

Alternativ 3:

Nedbetaling over 24 måneder med 389 kr per måned

Gjør nødvendige beregninger for å kunne gi Samuel råd om hvilket alternativ han bør velge.

Hvis Karin får penger til overs, kan det være lurt å spare noen kroner. Hva vil være den beste måten for Karin å spare på?

b

Hvor mange kroner må Samuel betale hver måned hvis han velger alternativ 2?

c

Hvor mange kroner sparer Samuel på å velge det billigste alternativet i stedet for det dyreste?

vu

d

Bruk SIFOs referansebudsjett og sett opp Karins budsjett for den første måneden av læretiden. Kommenter budsjettet.

a

Alternativ 1:

rd

c

Bruk en lånekalkulator for forbrukslån, for eksempel lån.no/lånekalkulator/forbrukslån, til å beregne alternativ 2 i a og b.

g

a

6.105 Samuel skal kjøpe ny mobiltelefon uten binding til et abonnement. Han kan velge mellom tre ulike betalingsalternativer.

er in

6.103 Karin er 18 år og har nylig begynt i lære for å bli helsefagarbeider. Vanlig lønn for en helsefagarbeider er 435 670 kr. I læretiden får Karin 30 % av fagarbeiderlønn det første halve året, deretter øker lønna hvert halvår til 40 %, 60 % og 80 %.

6.104 Rakel og Rihna har sommerjobb som isselgere på stranda. De kan velge mellom akkordlønn eller provisjonslønn.

til

Hvis de velger akkordlønn, får de 2,50 kr for hver is de selger. Hvis de velger provisjonslønn, får de 48 kr i fast timelønn og 1,50 kr for hver is de selger.

n

Rakel velger akkordlønn, mens Rhina velger provisjonslønn. Hva blir Rakels timelønn hvis hun selger 44 iskremer i timen?

Ku

a

En dag har Rihna tjent 900 kr. Hun har arbeidet i åtte timer. b

Hvor mange iskremer solgte hun denne dagen?

c

Hvor mye ville Rakel tjent hvis hun hadde solgt like mange iskremer som Rihna?

d

Hvor mye kan Samuel ha i banken etter tre år dersom han satte 3000 kr av pengene han sparte i c, på en konto til 2 % årlig rente?

Samuel setter 3000 kr av pengene han sparte i c, inn i et aksjefond til 4,0 % årlig rente. Han fortsetter med å sette inn like store beløp hver måned i fem år. e

Hvor stort er aksjefondet til Samuel blitt etter fem år?

6.106 Sindre og Sandra skal kjøpe sin første bolig. Til sammen har de en årlig inntekt på 824 000 kr. De siste seks årene har de hatt hver sin BSU-konto og spart maksimalt årlig beløp. a

Søk på Internett og finn hvor mye Sindre og Sandra har satt inn på BSU-konto i løpet av disse seks årene, og hvor høy renteprosenten er.

b

Hvor mye har de innestående på BSU-kontoene sine når rentene i løpet av seks år er tatt med?

Sindre og Sandra har funnet en bolig til 2 690 000 kr. c

Hvor mye trenger Sindre og Sandra å låne?


Oppgaver 295

Hvor stort blir terminbeløpet hvis de i stedet betaler ned lånet over 25 år? Forklar denne forskjellen i terminbeløp.

6.107 (Eksamen våren 2019) Siri er 20 år og har en deltidsjobb. I 2018 tjente hun 76 450 kr. Hun må betale 25 % skatt av den delen av lønna hennes som overstiger 54 650 kr.

Per har deltidsjobb i en matvarebutikk. Han er ikke sikker på hvor mye han kommer til å tjene i løpet av 2017, og kan velge mellom to alternative skattetrekk.

Alternativ 1 – Frikort Han kan tjene inntil 55 000 kr uten skattetrekk. Dersom han tjener mer enn 55 000 kr, får han et skattetrekk på 50 % av den delen av lønna som overstiger 55 000 kr. Alternativ 2 – Prosentkort Han får et skattetrekk på 10 % av alt han tjener. Anta at Per kommer til å tjene 60 000 kr i 2017.

Hvor mye må Siri betale i skatt av det hun tjente i 2018?

a

Regn ut Pers nettolønn etter hvert av alternativene ovenfor.

rd

a

6.108 (Eksamen høsten 2017)

g

e

Finn en nettbank og bruk lånekalkulatoren til å finne hvor mye de må betale på lånet per måned hvis lånet nedbetales over tjue år med tolv terminer per år.

er in

d

Spørsmål Hva er BSU?

Gutt 15 år

Besvart 02.03.2018 16:43

til

Svar

n

Hei BSU betyr boligsparing for ungdom. Det er en egen sparekonto for ungdom opp til 34 år for sparing til egen bolig. I tillegg til høy rente får de som har jobb og betaler skatt, redusert skatten sin med 20 % av det de sparer opp til 25 000 per år. Det oppsparte beløpet kan bare brukes til å kjøpe bolig eller nedbetale boliglån.

Ku

Når du får deg jobb og begynner å betale skatt, vil jeg anbefale deg å starte med BSU-sparing, som er den beste spareformen for unge folk. Hilsen Husbanken i samarbeid med Ung.no

Siri oppretter en konto for boligsparing for ungdom (BSU) og setter inn 25 000 kr der i 2018. b

Per ønsker å lage en oversikt i et regneark for å finne ut hvor mye han vil få i nettolønn ved ulike inntekter etter de to alternativene. I regnearket nedenfor har vi lagt inn en del mulige inntekter for Per i 2017.

vu

Siri har hørt at hun kan betale mindre i skatt dersom hun sparer til egen bolig. Hun undersøker litt på Internett og finner utklippet nedenfor på ung.no:

Hvor mye må Siri nå betale i skatt av det hun tjente i 2018?


296 KAPITTEL 6 – PERSONLIG ØKONOMI

c

Lag et regneark som vist foran. Du skal sette inn formler i de blå cellene og beregne skattetrekk og nettolønn. Hvor mye må Per tjene for at de to alternativene skal gi nøyaktig like stort skattetrekk?

6.110 (Eksamen våren 2018) Anne har begynt å spare til egen gård i Gårdssparing for unge (GSU). Fra og med 2015 har hun 1. januar hvert år satt inn 15 000 kr og fått 4,50 % rente per år. A

Olav har fått sommerjobb, der han skal plukke moreller. Morellene skal legges i kurver. Salgsprisen for en kurv moreller inkludert 15 % merverdiavgift er 69 kr.

Alternativ 1: fast timelønn på 135 kr

4,50 %

3 Årlig sparebeløp

15000

4

Årstall

Starten av året

Renter

Slutten av året

5

2015

15000,00

675,00

15675,00

6

2016

30675,00

1380,38

32055,38

7

2017

47055,38

2117,49

49172,87

8

2018

9

2019

vu

Alternativ 2: fast timelønn på 80 kr og i tillegg 3 kr for hver kurv moreller han plukker

Alternativ 3: 12 % av salgsprisen uten merverdiavgift for hver kurv moreller han plukker

til

Hvor mange kurver med moreller må Olav plukke i løpet av en time for at alternativ 2 skal gi høyere lønn enn alternativ 1? Hvor mange kurver med moreller må Olav plukke i løpet av en dag for å tjene 1000 kr dersom han velger alternativ 3?

Ku

n

b

D

2 Renter

rd

Olav kan velge mellom tre ulike alternativer når det gjelder lønn.

C

er in

1 Sparing for Anne

6.109 (Eksamen våren 2018)

a

B

g

b

10

2020

11

2021

12

2022

13

2023

14

2024

Regnearket ovenfor viser Annes spareplan. Hun har selv fylt inn de tre første årene. a

Bruk regnearket, fyll inn og fullfør spareplanen for Anne til og med 2024.

b

Hvor mange kroner får Anne i renter fra og med 2015 til og med 2024?

c

Hvor mange kroner ville Anne hatt på kontoen dersom hun i stedet hadde spart 30 000 kr per år fra 2015?


Oppgaver 297

Sett opp et regneark som vist nedenfor, og bruk dette til å bestemme nettolønna til Elias i februar. Legg inn opplysninger i de hvite cellene. Lag cellereferanser og formler i de blå cellene. A Inndata

2

Timelønn ukedager

3

Tillegg lørdager

4

Timelønn lørdager

5

Skattetrekk

B

8

Ukedager

9

Lørdager

10 11

Månedslønn

til

12 Lønn ukedager 13 Lønn lørdager 14 Bruttolønn

15 Skattetrekk

n

16 Nettolønn 17

Hvor mange kroner får Elias av bestefar?

vu

Antall timer

I januar 1989 satte bestefar inn 5000 kr på en sparekonto til 4 % rente. Kontoen har stått urørt fram til januar 2016. Nå vil bestefar gi alle pengene til Elias. c

6 7

Bruk regnearket og finn ut hvor mange timer han må arbeide på ukedager i mars for å kunne sette av 2000 kr til sparing.

rd

1

Ku

a

b

g

I februar arbeidet Elias 110 timer i ukedagene og 17 timer på lørdager. I ukedagene var timelønna 140 kr, og lørdager fikk han et tillegg på 50 %. Han betalte 32 % skatt av alt han tjente.

Fra mars overførte Elias alt over 12 000 kr av netto månedslønn til en sparekonto. Etter arbeidsplanen skal han arbeide åtte timer på lørdager og resten i ukedagene.

er in

6.111 (Eksamen våren 2016)


g

Ku

n

til

vu

rd

er in

7

KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD


g

er in

Å fastsette timepris

rd

Et brudepar ønsker at det skal lages film og bilder av bryllupsdagen deres, og de vil vite hvor mye det koster. For å kunne gi en fornuftig pris må det fastsettes en riktig timepris for arbeidet. Prisen må være lav nok til at kundene er villige til å betale. Samtidig må den være høy nok til å dekke alle kostnader og gi nødvendig fortjeneste. Hvis du skal ta oppdraget med å fastsette prisen, må du vite noe om hvordan slike priser beregnes. I dette kapitlet lærer du å vurdere ulike faktorer som påvirker denne timeprisen.

vu

I aktivitet 7.1 kan du prøve deg på dette oppdraget.

Kapitteloversikt

til

I 7.1 Kostnader lærer du å beregne ulike kostnader for en vare, en tjeneste eller et oppdrag. I 7.2 Selvkost lærer du å regne ut totalkostnader.

Ku

n

I 7.3 Fortjeneste og merverdiavgift lærer du hvordan fortjeneste og merverdiavgift skal regnes ut. I 7.4 Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag lærer du å gi anbudspriser. I 7.5 Budsjetter for en virksomhet lærer du å sette opp et resultatbudsjett for en virksomhet og å gjennomføre budsjettkontroll.

KOMPETANSEMÅL Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

lese, bruke og lage regneark i arbeidet med budsjett, anbud og kostnadsberegning knyttet til programområdet informasjonsteknologi og medieproduksjon, og vurdere hvordan ulike faktorer påvirker resultatet


300 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

7.1 Kostnader

D U S K AL K U N N E

er in

g

Hvilke kostnader en virksomhet har, varierer med hva slags varer, tjenester eller oppdrag en tilbyr. Firmaet til Line, som selger T-skjorter med trykk på, er avhengig av et lokale med maskiner, mens Christian, som leier seg selv ut som IT-konsulent for ulike firmaer, kan ha det han trenger i boligen sin. Felles for dem begge er at det er viktig at de har oversikt over kostnadene. Lønnsutgifter er ofte en stor kostnad. Hvilke andre kostnader vil være aktuelle for disse virksomhetene?

bruke regneark til å beregne direkte og indirekte kostnader ved å produsere en vare eller levere en tjeneste eller et oppdrag

vurdere hvor mye det koster å ha ansatte i et firma

vu

rd

Kostnadene til et firma kan være materialkostnader, lønn, husleie eller annet som er knyttet til driften av virksomheten. Vi deler disse kostnadene inn i direkte og indirekte kostnader.

Ku

n

til

Direkte kostnader er kostnader som er direkte knyttet til produktet. Slike kostnader vil derfor øke i takt med antall produkter. Varekostnader, materialkostnader og fraktkostnader er eksempler på direkte kostnader. Indirekte kostnader er kostnader som ikke er direkte knyttet til et bestemt produkt, men er knyttet til driften av virksomheten. Husleie, strøm og forsikring er eksempler på indirekte kostnader.

Selvkost er summen av de direkte og de indirekte kostnadene. direkte kostnader þ indirekte kostnader ¼ selvkost


Kostnader 301

U T F O R S K SA M M E N

er in

Beskriv hva slags virksomhet dere velger. Lag et oppsett som viser hvilke kostnader dere tenker virksomheten vil få, og omtrent hvor store disse kostnadene kommer til å være. Skill mellom kostnader som er knyttet til varen eller tjenesten (direkte kostnader), og kostnader virksomheten har uavhengig av hvor mange varer eller tjenester den leverer (indirekte kostnader).

g

Dere har startet et eget firma som skal levere en vare, en tjeneste eller et arbeid.

Presenter oppsettene for hverandre og diskuter eventuelle forskjeller i dem.

til

vu

rd

Direkte kostnader og inntakskost

n

Inntakskost er alle kostnadene knyttet til å skaffe en vare i en handelsbedrift. I tillegg til selve innkjøpsprisen, må vi ta med andre kostnader som frakt, eventuelle forsikringskostnader og tollkostnader.

Ku

Direkte kostnader i en håndverks- eller tjenesteytende bedrift er materialkostnader eller varekostnader og anskaffelseskostnader. Noen ganger regnes også lønnskostnader som en direkte kostnad. Det er når den ansattes arbeid er knyttet direkte til å produsere varen eller til å utføre tjenesten eller oppdraget. Handelsbedrift: innkjøpspris þ anskaffelseskostnader (frakt, toll osv.)

¼ inntakskost (direkte kostnader)

Håndverksbedrift og tjenesteytende bedrift: direkte materialkostnader/varekostnader þ anskaffelseskostnader (frakt, toll osv.) þ direkte lønnskostnader ¼ direkte kostnader


302 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

rd

er in

g

EK SEMPEL 1

vu

Julie skal starte opp som fotograf og skal kjøpe inn papir og toner for å skrive ut bildene. Fotoutstyr AS ligger i nærmeste by, og der kan hun få det hun trenger for 9570 kr inkludert fraktkostnader. Firmaet Bilder og farger AS ligger 12 mil unna. Der kan hun få de samme varene for 7949 kr, men i tillegg kommer fraktkostnader på 900 kr. Hvilket alternativ har lavest direkte kostnader?

til

Løsning: De direkte kostnadene for Fotoutstyr AS er 9570 kr. De direkte kostnadene for Bilder og farger AS finner vi ved å summere materialkostnadene og fraktkostnadene: A

B

B (Vis formler)

Direkte kostnader Fotoutstyr AS

kr 9570,00

9570

3

Materialkostnader Bilder og farger AS

kr 7949,00

7949

4

Fraktkostnader Bilder og farger AS

kr 900,00

900

5

Direkte kostnader Bilder og farger AS (7749 kr + 1500 kr)

kr 8849,00

=B3+B4

Ku

n

1 2

De laveste direkte kostnadene blir 8849 kr for varer fra firmaet Bilder og farger AS.


Kostnader 303

rd

er in

g

Indirekte kostnader

EKSEMPEL 2

vu

De indirekte kostnadene kan ikke knyttes direkte til en produsert vare, en tjeneste eller et oppdrag. Eksempler på indirekte kostnader er lønn til ansatte som jobber med administrasjon, strømutgifter, husleie, Internettkostnader, forsikring og reklame.

til

Hver måned må Julie må betale 5500 kr i husleie, 600 kr i forsikringer, 1200 kr for Internett og mobiltelefonabonnement og 2000 kr i diverse kostnader. Hvor mye gir dette samlet i indirekte kostnader?

Løsning:

n

A

B

B (Vis formler)

Husleie

kr 5500,00

5500

2

Forsikring

kr 600,00

600

Ku

1

3

Internett og mobil

kr 1200,00

1200

4

Diverse kostnader

kr 2000,00

2000

5

Sum indirekte kostnader

kr 9300,00

=SUMMER(B1:B4)

Firmaet får totalt 9300 kr i indirekte kostnader knyttet til husleie, forsikring, Internett og mobiltelefonabonnement.


304 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

EK SEMPEL 3

er in

g

Nora har startet et firma som skal lage logoer, dokumentmaler og nettsider for virksomheter. I tillegg til henne selv er det to ansatte. Siden hennes egne arbeidsoppgaver inneholder nokså mye administrasjon, regner hun egne lønnskostnader på 59 000 kr som en indirekte kostnad. Hver måned betaler hun 7000 kr i nedbetaling på lån og 750 kr for telefon og Internett. Hvert år betaler hun 10 200 kr i forsikringer, 18 000 kr i strømkostnader, 20 000 kr i markedsføring og 25 000 kr i diverse kostnader. Hvor mye har firmaet i indirekte kostnader hver måned?

Løsning: Før kostnadene kan summeres, må også kostnader knyttet til forsikring, strøm, markedsføring og diverse kostnader (markert med rød boks) gjøres om fra årlige kostnader til månedlige ved å dele summene på de tolv månedene i året. B

2

Noras egne lønnskostnader per måned

3

Nedbetaling på lån per måned

4

Kostnader til telefon og Internett per måned

5

Forsikringer per år

6

Strømkostnader per år

7

Markedsføringskostnader per år

8

Diverse kostnader per år

9

Antall måneder i et år

10

vu

Inndata

B (Vis formler)

rd

A 1

kr 59 000,00

59000

kr 7 000,00

7000

kr

750,00

750

kr 10 200,00

10200

kr 18 000,00

18000

kr 20 000,00

20000

kr 25 000,00

25000

12

12

Utregning

12

Noras egne lønnskostnader per måned

kr 59 000,00

=B2

13

Nedbetaling på lån per måned

kr 7 000,00

=B3

14

Kostnader til telefon og Internett per måned

kr

750,00

=B4

15

Forsikringer per måned ð10 200 kr : 12Þ

kr

850,00

=B5/B9

16

Strømkostnader per måned ð18 000 kr : 12Þ

kr 1 500,00

=B6/B9

17

Markedsføringskostnader per måned ð20 000 kr : 12Þ

kr 1 666,67

=B7/B9

18

Diverse kostnader per måned ð25 000 kr : 12Þ

kr 2 083,33

=B8/B9

kr 72 850,00

=SUMMER(B12:B18)

Ku

n

til

11

19

Sum indirekte kostnader per måned

Utgiftspostene gir samlet 72 850 kr per måned i indirekte kostnader.

Tenk gjennom! Er kostnader knyttet til opplæring av ansatte en direkte eller en indirekte kostnad?


Kostnader 305

rd

er in

g

Lønnskostnader

vu

Lønnskostnader utgjør ofte en stor del av kostnadene til en virksomhet. I tillegg til lønn for arbeidstiden til arbeidstakerne kommer flere kostnader knyttet til det å ha ansatte. Vi kaller det sosiale kostnader. Sosiale kostnader er blant annet feriepenger, arbeidsgiveravgift, pensjonsinnbetalinger, forsikringer og kostnader knyttet til sykefravær.

Feriepenger er minimum 10,2 % av brutto årslønn.

til

Arbeidsgiveravgiften er en avgift til staten som regnes ut fra brutto årslønn inkludert feriepenger. Avgiften varierer fra 0 % til 14,1 % i ulike soner av landet. Hvis vi driver et enkeltpersonforetak, trenger vi ikke betale arbeidsgiveravgift.

Ku

n

Alle arbeidstakere skal ha pensjonsforsikring, men det varierer hvor mye arbeidsgiveren betaler. En pensjonsforsikring regnes som et gode og dermed en del av arbeidstakerens inntekt. Det må derfor betales arbeidsgiveravgift av forsikringspremien. Hvilke typer andre forsikringer arbeidsgiveren betaler for sine ansatte, for eksempel yrkesskadeforsikring, varierer fra virksomhet til virksomhet. Ved langtidssykdom får arbeidsgiveren refundert lønna til den ansatte fra NAV. De første dagene en ansatt er syk, må arbeidsgiveren selv dekke disse lønnskostnadene. De sosiale kostnadene kan ofte være mellom 30 % og 80 % av bruttolønna, avhengig av blant annet størrelsen på arbeidsgiveravgiften og pensjonsforsikringen. For å forenkle virksomhetens kostnadsberegninger er det vanlig å regne de sosiale kostnadene som en gitt prosent av bruttolønna.


306 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

EK SEMPEL 4

g

Petter jobber med vedlikehold av servere og PC-er. Han tjener 260 kr i timen og jobber 37,5 timer i uka. Det tilsvarer 162,5 timer per måned. Sosiale kostnader inkludert 8 % pensjonsforsikring, 12 % feriepenger og 14,1 % arbeidsgiveravgift antas å utgjøre 60 % av timelønna. Hva blir Petters brutto månedslønn?

b

Hva blir arbeidsgiveravgiften for å ha Petter ansatt i en måned?

c

Hvor store sosiale kostnader er det totalt per time?

d

Hva blir de totale lønnskostnadene per time?

Løsning: A

er in

a

B

B (Vis formler)

1

Inndata

2

Timelønn

3

Antall timer hver måned

4

Pensjonsforsikring

8%

5

Arbeidsgiveravgift

14,1 %

0,141

6

Feriepenger

12,0 %

0,12

7

Alle sosiale kostnader

60,0 %

0,6

vu

rd

kr 260,00

260

162,5 162,5 0,08

8

Utregning

10

Brutto månedslønn (260 kr 162,5)

11

Pensjonsforsikring per måned (42 250,00 kr 0,08)

Ku

n

til

9

kr 42 250,00

=B2*B3

kr 3 380,00

=B10*B4

kr 5 070,00

=B10*B6

12

Feriepenger opparbeidet per måned (42 250,00 kr 0,12)

13

Grunnlag for arbeidsgiveravgift (42 250,00 kr + 3380 kr + 5070 kr)

14

Arbeidsgiveravgift per måned (50 700 kr 0,141)

15

Sosiale kostnader per time (260 kr 0,60)

kr 156,00

=B2*B7

16

Lønnskostnad per time (260 kr + 156 kr)

kr 416,00

=B2+B15

kr 50 700,00 kr 7 148,70

=B10+B11+B12 =B13*B5

a

Petter har en brutto månedslønn på 42 250,00 kr.

b

Før arbeidsgiveravgiften kan regnes ut, må beløpene for pensjonsforsikring og feriepenger beregnes. Arbeidsgiveravgiften for å ha Petter ansatt i en måned blir 7148,70 kr.

c

De sosiale kostnadene blir 156 kr/time.

d

For å finne de totale lønnskostnadene legger vi sammen timelønna og de sosiale kostnadene. Lønnskostnaden blir 416 kr/time.


Kostnader 307

Oppgaver

g

7.4 Tabellen viser ulike indirekte kostnader for en virksomhet: Lønnskostnader inkludert sosiale kostnader per måned Husleie per måned

Kostnader til telefon og Internett per år

Hvilken butikk gir lavest direkte kostnader for Thomas?

kr 9 800,00

kr 10 200,00

Forsikring per måned

kr 1 200,00

Strømkostnader per måned

kr 3 500,00

Markedsføringskostnader per måned

kr 1 100,00

Diverse indirekte kostnader per år

rd

7.2 Eirik driver et eget firma. Hver måned betaler han 3700 kr i bilutgifter og 650 kr for Internett og mobiltelefonabonnement. Hvert år betaler han 3500 kr i forsikringer og 16 000 kr i utstyrskostnader.

kr 162 000,00

er in

7.1 Thomas skal kjøpe inn krus til et trykkeri som selger fototrykk på ulike produkter. Han trenger 300 krus. Fra leverandør A koster et krus 25,90 kr, og fra leverandør B koster et krus 24,90 kr. Fraktkostnadene anslås å være 850 kr for leverandør A og 1500 kr for leverandør B.

kr 30 000,00

Hvor mye gir disse kostnadene samlet i indirekte kostnader per måned?

vu

Hvor mye gir disse kostnadene samlet i indirekte kostnader per måned?

7.3 Monika driver dyrebutikk og har følgende kostnader en måned:

25 473 kr

til

Innkjøp av varer til butikken

7.5 De totale lønnskostnadene for å lønne Lukas i en måned er 54 361,56 kr. Hva blir lønnskostnaden per time når Lukas jobber 162,5 timer i måneden?

Innkjøp av nye hyller til butikken

4 200 kr

7.6 Mads tjener 328 kr i timen. Han jobber 37,5 timer i uka. Dette tilsvarer 162,5 timer per måned. Det må betales 14,1 % i arbeidsgiveravgift. Året etter skal Mads få utbetalt feriepenger, som svarer til 10,2 % av det han tjente året før.

Diverse faste kostnader

8 750 kr

a

Hvor mye tjener Mads per måned?

b

Hvor stor blir arbeidsgiveravgiften per måned?

c

Hvor store blir kostnadene for å lønne Mads i en måned når vi tar med arbeidsgiveravgiften og feriepengene i beregningen?

d

Hvor mye vil 46 ukers arbeid gi i feriepenger året etter?

Innkjøp av dyr Husleie Strømkostnader

Ku

n

Lønnskostnader inkludert sosiale kostnader

a

15 763 kr 14 780 kr

2 782 kr

120 118 kr

Bør lønnskostnadene til Monika defineres som direkte eller indirekte kostnader?

b

Hvor store er de direkte kostnadene (inntakskost)?

c

Hvor store er de indirekte kostnadene?

d

Hvor mange prosent av kostnadene er indirekte kostnader?


308 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Pris

1–2 kg

130 kr

2–10 kg

149 kr

10–30 kg

268 kr

25–35 kg

381 kr

Hva blir innkjøpspris for to puter?

b

Hva blir innkjøpspris for 15 puter?

c

Hvor mye reduseres innkjøpspris per pute dersom Cecilie bestiller 15 puter i stedet for to puter?

vu

rd

a

er in

Vekt

g

7.7 Cecilie skal kjøpe inn nye puter til leirskolen hun driver. Hver pute veier ca. 600 g og koster 275 kr. Tabellen viser fraktkostnaden for å få levert putene:

L Æ R I N G S L O G G 7. 1

a Forklar hva vi mener med direkte og indirekte kostnader. Gi eksempler på begge for en virksomhet innenfor utdanningsprogrammet ditt.

Ku

n

til

b Studer eksempel 3 og eksempel 4 og lag to liknende eksempler.


Selvkost 309

er in

Linn har et enkeltpersonforetak for utforming av reklamebrosjyrer. Hun lager mange ulike brosjyrer. Hva slags oppsett bør hun ordne seg for å få oversikt over alle kostnader? Hva kan hun gjøre for å forenkle denne kostnadsberegningen?

g

7.2 Selvkost

D U S K AL K U N N E

beregne selvkost for en vare, en tjeneste eller et oppdrag ved hjelp av regneark

beregne selvkost ved å legge på en gitt prosent på de direkte kostnadene

rd

Summen av alle kostnader for å produsere en vare, en tjeneste eller et oppdrag kaller vi selvkost:

innkjøpspris

þ anskaffelseskostnader (frakt, toll osv.) ¼ inntakskost

Håndverksbedrift og tjenesteytende bedrift:

vu

Handelsbedrift:

þ indirekte kostnader (lønn, administrasjon osv.)

n

til

¼ selvkost

direkte materialkostnader/varekostnader

þ anskaffelseskostnader (frakt, toll osv.) þ direkte lønnskostnader ¼ direkte kostnader þ indirekte kostnader (lønn, administrasjon osv.) ¼ selvkost

Ku

Siden det ikke alltid er så lett å forutsi hvor store kostnadene blir, er det viktig at vi følger varsomhetsprinsippet og vurderer dem høyest mulig. På den måten er vi sikrere på at verdien for selvkost får inkludert alle kostnadene. Da kan vi også være tryggere på at salgsprisen vi fastsetter, gir fortjeneste.


310 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

EK SEMPEL 5

Løsning: A

er in

Hva blir selvkost for en kaffepose?

B

Inndata

2

Varekostnad skinn til en kaffepose

3

Antall poser

4

Timelønn

5

Antall timer

6

Indirekte kostnader per time

rd

1

7

Utregning

9

Varekostnad alle posene ð40 kr 20Þ

vu

8

B (Vis formler)

kr 40,00 40

20 20

kr 145,00 145 40 40

kr 60,00 60

kr 800,00 =B2*B3

10 Lønnskostnader alle posene ð145 kr 40Þ

kr 5 800,00 =B4*B5

11 Direkte kostnader alle posene (800 kr + 5800 kr)

kr 6 600,00 =B9+B10

12 Indirekte kostnader alle posene (60 kr . 40)

kr 2 400,00 =B6*B5

13 Selvkost alle posene (6600 kr + 2400 kr)

kr 9 000,00 =B11+B12

til

Ku

n

Selvkost:

g

Ann Helen skal beregne selvkost for en kaffepose i skinn. Varekostnaden for skinn til en kaffepose er 40 kr, og hun bruker 40 timer på å lage tjue poser. Hun tjener 145 kr=time, og indirekte kostnader utgjør 60 kr per time.

14 Selvkost en kaffepose (9000 kr : 20)

kr 450,00 =B13/B3

Selvkost er summen av varekostnaden, lønnsutgifter og indirekte kostnader. Selvkost for en kaffepose i skinn finner vi ved først å ta selvkost for tjue kaffeposer og så dele summen på 20. Selvkost for en kaffepose i skinn er 450 kr.

Tenk gjennom! Hvor mange prosent utgjør indirekte kostnader av de direkte kostnadene i eksempel 5?


Selvkost 311

Forenklet selvkostberegning

er in

I eksempel 5 viste Ann Helens beregninger at de direkte kostnadene ved å produsere 20 kaffeposer var 6600 kr, mens de indirekte kostnadene var 2400 kr. Selvkost ble da 9000 kr. 2400 ¼ 0,36 ¼ 36 % 6600

De indirekte kostnadene utgjør dermed 36 % av de direkte kostnadene: 100 % þ 36 % ¼ 136 % ¼ 1,36

rd

Et overslag over selvkost kan da gjøres ved å ta utgangspunkt i de direkte kostnadene og gange denne verdien med 1,36:

vu

Selvkost ¼ direkte kostnader 1,36 ¼ 6600 kr 1,36 9000 kr

EKSEMPEL 6

til

Firmaet til Jonas har fått i oppdrag å installere datamaskiner til alle brukere i et bofellesskap og gi dem opplæring i bruken. Til arbeidet trenger han 15 datamaskiner, og prisen per datamaskin er 2749 kr. Han regner med å bruke 25 timer på arbeidet, og timelønna hans er 237 kr. De sosiale kostnadene utgjør 55 % av bruttolønna, og andre indirekte kostnader er 40 % av bruttolønna. Hva blir de direkte kostnadene for jobben?

b

Hva blir de indirekte kostnadene for jobben?

c

Hva blir selvkost for denne jobben?

d

Hvor mange prosent utgjør de indirekte kostnadene av direkte kostnader?

n

a

Hvilken faktor kan firmaet bruke seinere til å anslå selvkost, når de kjenner de direkte kostnadene?

Ku

e

Løsning: a De direkte kostnadene finner vi ved å legge sammen datamaskinkostnadene og lønna. De direkte kostnadene blir 47 160 kr. (Se tabellen på neste side.) b

g

Indirekte kostnader må fordeles på de ulike varene, tjenestene eller oppdragene når vi skal beregne selvkost. Har vi god oversikt over de indirekte kostnadene og hvor mye vi produserer av varer, tjenester eller oppdrag, kan vi anslå de indirekte kostnadene som en bestemt prosentandel av alle direkte kostnader.

De indirekte kostnadene finner vi ved å legge sammen de sosiale kostnadene og de andre indirekte kostnadene. De indirekte kostnadene blir 5628,75 kr.


312 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

A

B

B (Vis formler)

Inndata

2

Antall datamaskiner

15

3

Pris per datamaskin

kr 2749,00

4

Antall timer

5

Timelønn

6

Sosiale kostnader (prosent av bruttolønn)

7

Andre indirekte kostnader (prosent av direkte kostnader)

15

g

1

25

25

kr 237,00

237

55 %

0,55

40 %

0,4

er in

8

2749

9

Utregning

10

Varekostnad datamaskiner (15 2749 kr)

11

Lønn (237 kr=time 25 t)

12

Direkte kostnader (41 235 kr + 5925 kr)

13

Sosiale kostnader (5925 kr 0,55)

14

Andre indirekte kostnader (5925 kr 0,40)

15

Indirekte kostnader (3258,75 kr + 2370,00 kr)

16

Selvkost (47 160 kr + 5628,75 kr)

17

Indirekte kostnader i prosent av direkte kostnader (5628,75 kr : 47 160 kr)

kr 41 235,00

=B3*B2

kr 5 925,00

=B5*B4

vu

rd

kr 47 160,00

=B10+B11

kr 3 258,75

=B11*B6

kr 2 370,00

=B11*B7

kr 5 628,75

=B13+B14

kr 52 788,75

=B12+B15

12 %

=B15/B12

Selvkost er summen av direkte og indirekte kostnader. Selvkost for hele jobben blir 52 788,75 kr.

d

De indirekte kostnadene er 5628,75 kr, og de direkte kostnadene er 47 160 kr: 5 628,75 kr : 47 160 kr ¼ 0,1193 12 %

til

c

Ku

n

Merk I et regneark kan vi veksle mellom desimaltall og en prosentverdi ved å velge tallformatet «Standard» eller «Prosent».

De indirekte kostnadene utgjør 12 % av de direkte kostnadene.

e

Siden de indirekte kostnadene utgjør 12 % av direkte kostnader, kan de indirekte kostnadene legges til ved å gange de direkte kostnadene med vekstfaktoren for 12 %. Faktoren for å beregne selvkost ut fra de direkte kostnadene er 1,12.

Tenk gjennom! Hvilken faktor ville det vært riktig å gange med i eksempel 6 hvis de indirekte kostnadene utgjorde 105 % av direkte kostnader?


Selvkost 313

Oppgaver 7.8 Vare B

Vare C

Vare D

Innkjøpspris

37,50 kr

214 kr

350 kr

1238 kr

Fraktkostnader

520 kr for 180 varer

56 kr for to varer

370 kr for 12 varer

150 kr per vare

Indirekte kostnader

5 kr per vare

2000 kr for 300 varer

60 % av direkte kostnader

35 % av direkte kostnader

er in

Vare A

g

7.11

Regn ut selvkost per vare for varene A, B, C og D.

Finn de indirekte kostnadene for en sofa.

b

Hva blir selvkost for en sofa?

Daniel skal beregne selvkost for å påta seg ansvaret for lyd og lys på en danseforestilling. Kostnaden for utstyret han må leie, er 8753 kr. Firmaets lønnskostnader for Daniel er 343 kr=time. I tillegg har firmaet indirekte kostnader tilsvarende 250 kr=time per ansatt. Daniel regner med at han bruker 17 timer på jobben.

vu

a

rd

7.9 Inntakskost for en sofa er 3500 kr. De indirekte kostnadene utgjør 40 % av de direkte kostnadene.

til

7.10 Nina lager silkeskjerf med ulike mønstre. Inntakskost for ett skjerf er 120 kr. Hun bruker 45 minutter på å lage et skjerf. Lønn og indirekte kostnader er totalt 550 kr per time.

Ku

n

Hva blir selvkost for fem skjerf?

a

Hva blir de direkte kostnadene for oppdraget?

b

Hva blir de indirekte kostnadene for oppdraget?

c

Hva blir selvkost for oppdraget?

d

Hvor mange prosent er de direkte kostnadene av selvkost?


314 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Hvor mange prosent utgjør indirekte kostnader av de direkte kostnadene?

b

Hvilken faktor må han multiplisere de direkte kostnadene med for å beregne selvkost for prosjektet? I et annet oppdrag blir de direkte kostnadene 15 600 kr. Hva blir forventet selvkost for dette byggeprosjektet?

Hva blir selvkost for en kyllingsalat?

b

Hvilken faktor må Thomas multiplisere varekostnaden med for å beregne selvkost for en kyllingsalat?

c

Hvor mange kyllingsalater rekker Thomas å lage på to timer?

d

Hva blir selvkost for kyllingsalatene Thomas lager på to timer?

vu

L Æ R I N G S L O G G 7. 2

a

rd

c

g

a

7.13 Thomas har regnet ut at varekostnaden for å lage en kyllingsalat er 32 kr. Emballasjen til å pakke kyllingsalaten i, koster 3 kr. For å beregne selvkost antar han at de indirekte kostnadene utgjør 55 % av direkte kostnader. Thomas bruker seks minutter på å lage en kyllingsalat.

er in

7.12 Josef skal gjennomføre service på tolv datamaskiner. Han har funnet at det blir 12 570 kr i direkte kostnader og 9500 kr i indirekte kostnader.

Du skal selge en vare, tjeneste eller et oppdrag. Hvilke direkte og indirekte kostnader har du?

Ku

n

til

Bruk regneark til å beregne selvkost for den valgte varen, tjenesten eller oppdraget.


Fortjeneste og merverdiavgift 315

er in

Thomas designer nettsider og har bestemt seg for å legge inn en fortjeneste på 15 % av selvkost. Hvor mye vil han da ta i fortjeneste for design av en nettside når selvkost er 15 000 kr? Hvor mye må kunden betale i merverdiavgift? D U S K AL K U N N E

beregne ønsket fortjeneste

forklare hva merverdiavgift er, og kunne regne ut denne avgiften

til

vu

rd

U T F O R S K SA M M E N

n

Søk på Internett etter nettsider som sier noe om ordet «timepris» sammen med et ord for ønsket virksomhet, for eksempel «timepris» og «webdesigner». Hva slags timepriser finner dere? Bruk nettsiden utdanning.no eller finn på annen måte hva som er vanlig timelønn for en som arbeider innenfor den virksomheten dere har valgt. Hvor stor forskjell er det på timepris og timelønn? Hvorfor tror dere det er slik?

Ku

g

7.3 Fortjeneste og merverdiavgift

Vi har så langt sett på ulike kostnader knyttet til å produsere en vare eller tjeneste eller å utføre et oppdrag. Når vi skal sette en pris på noe, er det også viktig å tenke på behovet for fortjeneste, og at en del av kundens betaling er merverdiavgift til staten.


316 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Fortjeneste Bedrifter kan ikke produsere med tap. Det er viktig med fortjeneste også for å kunne spare penger til framtidige utgifter eller perioder med lave inntekter.

g

Fortjeneste ¼ salgspris uten merverdiavgift selvkost for produkt

vu

rd

EK SEMPEL 7

er in

I anbudsberegninger blir fortjenesten ofte lagt inn som en prosent av selvkost. Prosentsatsen vi velger, varierer. Blant annet må bedriften vurdere hvor høy pris kundene er villige til å betale.

til

Jonas har bestemt seg for å legge inn en fortjeneste på 15 % av selvkost når firmaet hans har fått i oppdrag å installere smartteknologi i en leilighet. Hvor mye vil han ta i fortjeneste hvis selvkost er 101 700 kr?

Løsning:

101 700 kr 0,15 ¼ 15 255 kr

Ku

n

Firmaet til Jonas vil ta 15 255 kr i fortjeneste for hele jobben.

EK SEMPEL 8 Silje har fire ansatte i sitt firma PC-support AS. Hun har 62 458 kr i månedlige lønnskostnader per ansatt og 68 500 kr i egne lønnskostnader. I tillegg har firmaet 16 714 kr i indirekte kostnader. Hver ansatt jobber 162,5 timer per måned. Silje ønsker å bruke all sin tid på administrasjon, og hun ønsker en fortjeneste på 17 % av selvkost. Hvilken timepris må kundene minst betale for å dekke selvkost og fortjeneste hvis Silje skal bruke all sin tid på administrasjon?


Fortjeneste og merverdiavgift 317

Løsning: A

B

B (Vis formler)

Inndata

2

Lønnskostnader Silje

kr 68 500,00

68500

3

Lønnskostnad per ansatt

kr 62 458,00

62458

4

Indirekte kostnader

kr 16 714,00

16714

5

Fortjeneste

6

Timer per ansatt per måned

7

Antall ansatte

er in

g

1

17 %

0,17

162,5

162,5

4,0

8 9

Utregning

10

Lønnskostnader (68 500 kr þ 62 458 kr 4)

11

Indirekte kostnader

12

Selvkost per måned (318 332 kr þ 16 714 kr)

13

Fortjeneste (335 046 kr 0,17)

14

Selvkost + fortjeneste (335 046 kr þ 56 957,82 kr)

15

Antall arbeidstimer (162,5 timer 4)

16

Minste timepris (392 003,82 / 650)

kr 318 332,00

vu

rd

kr 16 714,00

kr 335 046,00 kr 56 957,82

kr 392 003,82 650 kr 603,08

4

=B2+B3*B7 =B4

=B10+B11 =B12*B5 =B12+B13 =B6*B7 =B14/B15

til

De samlede lønnskostnadene for Silje og de fire ansatte er 318 332 kr. Ved å legge til de indirekte kostnadene finner vi at selvkost blir 335 046 kr. Etter å ha lagt til 17 % fortjeneste må de ansatte totalt få inn 392 003 kr på sine tjenester for å dekke selvkost og fortjeneste. Når vi deler på antall arbeidstimer, som er 650, finner vi at minste timepris uten merverdiavgift må være 603 kr.

KVITTERING

n

Merverdiavgift

Ku

Merverdiavgiften er en avgift til staten. Avgiften blir fastsatt for hvert år. I 2020 var den generelle satsen for merverdiavgift 25 %. For næringsmidler (f.eks. matvarer kjøpt i dagligvarebutikken) var satsen 15 %. For persontransport og kinobilletter var satsen 12 %. Enkelte bransjer og områder har egne satser for merverdiavgift. Noen virksomheter og tjenester er unntatt fra merverdiavgiftslovens bestemmelser. Det gjelder blant annet helsetjenester, undervisningstjenester og kulturelle tjenester.

Adresse: Storgata 1 Telefon: 933 00 133 Dato: 23/04/2020 14:04

******************************** YOGHURT BANANER 1.018 kg 19.90 kr/kg BÆREPOSE TANNKREM EPLE 6PK TANNBØRSTE

24. 90 20. 26 2. 00 40. 80 39. 90 37. 90

Totalt (6 artikler)

165.76

Bank:

165. 76

MVA-grunnlag 73. 96 64.56 Summer 138. 53

MVA-% 15% 25%

MVA 11.09 16.14 27.23

Takk for besøket, velkommen tilbake!

Sum 85. 06 80.70 165. 76


318 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

er in

g

EK SEMPEL 9

a

Hvor stor blir merverdiavgiften?

b

Hva blir timeprisen med merverdiavgift?

vu

Løsning: A

B

B (Vis formler)

1

Timepris

kr 603,08

603,08

2

Merverdiavgift

25 %

0,25

4

Merverdiavgift (603,08 kr 0,25)

kr 150,77

=B1*B2

5

Timepris med merverdiavgift (603,08 kr þ 150,77 kr)

kr 753,85

=B1+B4

3

n

til

Merk Det er viktig å huske at merverdiavgiften er en prosentandel av prisen uten merverdiavgift. Først fastsetter vi prisen uten merverdiavgift, så legger vi til merverdiavgiften.

rd

Timeprisen for å dekke selvkost og fortjeneste for en ansatt i PC-support AS er 603,08 kr. Kundene skal betale 25 % i merverdiavgift.

Ku

Merk Noen ganger skriver vi mva. eller moms når vi mener merverdiavgift.

a

Merverdiavgiften blir 151 kr.

b

Timeprisen med merverdiavgift blir 754 kr.

I eksempel 9 regnet vi først ut merverdiavgiften før vi fant prisen med merverdiavgift. Når vi ønsker å finne prisen med merverdiavgift, uten først å regne ut avgiften, kan vi regne med vekstfaktor. Pris med merverdiavgift ¼ pris uten merverdiavgift vekstfaktor

Når vi skal finne prisen med merverdiavgift for en vare med generell sats på 25 %, er vekstfaktoren 1,25. Vekstfaktor ¼ 100 % þ 25 % ¼ 125 % ¼ 1,25 Pris med merverdiavgift ¼ pris uten merverdiavgift 1,25


Fortjeneste og merverdiavgift 319

EKSEMPEL 10

Løsning: B

1

Timepris uten merverdiavgift

kr 351,56

351,56

2

Antall timer

5

5

3

Merverdiavgift i prosent

25 %

5

Pris for fem timer uten merverdiavgift (351,56 kr 5)

kr 1757,80

=B1*B2

6

Vekstfaktor for å beregne merverdiavgiften

1,25

=1+B3

7

Pris for fem timer med merverdiavgift (1757,80 kr · 1,25)

kr 2197,25

0,25

= B5*B6

rd

4

B (Vis formler)

er in

A

Pris med merverdiavgift for fem timer blir 2197 kr.

vu

Hvis vi vet prisen med merverdiavgift og skal finne prisen uten merverdiavgift, kan vi bruke den samme formelen.

EKSEMPEL 11

g

Glen jobber som rideinstruktør og er selvstendig næringsdrivende. Timeprisen hans uten merverdiavgift er 351,36 kr. Hva blir prisen for fem timer inkludert merverdiavgift?

Ei bukse selges for 350 kr. Hvor mye betaler kunden i merverdiavgift?

til

Løsning: For bukser er merverdiavgiften 25 %.

Pris med merverdiavgift ¼ pris uten merverdiavgift 1,25 Vi snur om på formelen og får

pris med merverdiavgift 1,25 350 kr ¼ 280 kr Pris uten merverdiavgift ¼ 1,25

Ku

n

Pris uten merverdiavgift ¼

350 kr 280 kr ¼ 70 kr

Merverdiavgiften er 70 kr.

Tenk gjennom! Hvorfor blir det feil å regne ut 350 kr 0,25 for å finne merverdiavgiften?


320 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Oppgaver 7.19 Timeprisen for en ansatt er 444,20 kr uten merverdiavgift. Daglig leder ønsker å øke timeprisen med 7 %.

7.15 En sykkel selges for 8760 kr med merverdiavgift. Hva er prisen uten merverdiavgift?

a

Hva blir ny timepris uten merverdiavgift?

b

Hva blir ny timepris med merverdiavgift?

er in

7.20 Torunn strikker votter for salg. Hun har 160 kr i garnkostnader per vottepar. Hun bruker 12 timer på arbeidet. Hun har bestemt seg for at pris uten merverdiavgift skal være 250 % høyere enn garnkostnaden.

rd

7.16 Timeprisen uten 25 % merverdiavgift er 372 kr. Hva blir prisen for åtte timer inkludert merverdiavgift?

g

7.14 En sofa koster 4570 kr uten merverdiavgift. Hva blir prisen med merverdiavgift?

14 000 kr

b

28 500 kr

c

79 000 kr

b

Vurder om Torunn får en god timelønn for arbeidet.

7.21

til

a

Hva blir pris uten merverdiavgift for et par votter?

vu

7.17 Sebastian driver et reklamebyrå. Han har bestemt seg for å legge inn en fortjeneste på 15 % av selvkost når han skal ta på seg et oppdrag. Hvor mye fortjeneste vil firmaet ta når selvkost er

a

n

7.18 Timeprisen for å dekke selvkost og fortjeneste for en ansatt er 361,20 kr. Kundene må betale 25 % i merverdiavgift. Hvor stor blir merverdiavgiften?

b

Hva blir timeprisen inkludert merverdiavgift?

Ku

a

Thomas hjelper bedrifter med å tegne nye logoer og har bestemt seg for å legge inn en fortjeneste på 15 % av selvkost. a

Hvor mye vil Thomas ta i fortjeneste for en logo når selvkost er 1974 kr?

b

Hvor mye må kunden betale i merverdiavgift?


Fortjeneste og merverdiavgift 321

7.23

Timeprisen for vindusvask er 520 kr med merverdiavgift. Siri får 12 % rabatt for åtte timers arbeid.

Irena leier ut lyd og lysutstyr. Utleiepriser inkludert merverdiavgift er 990 kr per dag for en høyttaler og 90 kr per dag for en mikrofon.

rd

er in

g

7.22

Hvor mye må Siri betale?

b

Hva blir rabattert timepris uten merverdiavgift?

c

Hvor mye betaler Siri i merverdiavgift når hun får rabatt?

a

Hvor mye vil det koste å leie en høyttaler og to mikrofoner i tre dager?

b

Hva er utleieprisen per dag uten merverdiavgift for høyttaleren?

vu

a

c

Aman har beregnet 17 % fortjeneste. Hva er selvkost for utleie av høyttaleren?

til

L Æ R I N G S L O G G 7. 3

Forklar hva vi mener med fortjeneste. Forklar hva vi mener med merverdi og hvordan den beregnes.

Ku

n

Velg en vare eller tjeneste og anta at du kjenner selvkost for varen. Forklar hvordan du kan beregne fortjenesten. Hva må du ta hensyn til når du bestemmer hvor stor fortjeneste du skal ta?


322 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

g

7.4 Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag D U S K AL K U N N E

bruke regneark til å gjennomføre en selvkostkalkyle for å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag

gjennomføre en forenklet prisberegning ved å bruke avansemetoden og påslagsmetoden

er in

U T F O R S K SA M M E N

rd

Dere ønsker å starte egen virksomhet. Finn ut hva slags virksomhet dere kan tenke dere å starte opp, og hvilke varer eller tjenester dere ønsker å levere. Ta utgangspunkt i Utforsk sammen fra side 301 hvis dere har gjort den. Lag et oppsett som viser hvordan dere kommer fram til prisen dere ønsker å ta for varen eller tjenesten. I oppsettet skal dere ha med hvilke kostnader dere tror dere vil ha hver måned

hvor mye dere kan produsere i løpet av en måned

hvor mange kroner dere ønsker å sitte igjen med når alle utgifter er trukket fra

vu

til

Presenter oppsettene for hverandre og diskuter eventuelle forskjeller i dem.

Ku

n

Selvkostkalkyle Et anbud er et bindende tilbud på å utføre et arbeid eller på å levere en vare eller tjeneste. Hensikten med anbud er at den som ønsker arbeidet utført, eller ønsker varen eller tjenesten, skal kunne sammenlikne tilbud fra ulike leverandører og velge det tilbudet som framstår som best med tanke på pris, kvalitet og mulig leveringstidspunkt. Før vi kan gi en anbudspris på et oppdrag eller fastsette prisen på en vare eller tjeneste, kan vi gjennomføre en selvkostkalkyle. I selvkostkalkylen fastsetter vi prisen etter at vi har tatt hensyn til alle forventede kostnader, ønskelig fortjeneste og størrelsen på merverdiavgiften. Dette gir en grundig beregning av prisen som gjør oss trygge på at prisen vi setter, er høy nok til å få et overskudd fra virksomheten. For å sikre bedriftens framtid i en periode uten god inntjening er det viktig at fortjenesten ikke settes for lavt. Samtidig må vi ikke sette prisen så høyt at kjøperen velger noen andre.


Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag 323

direkte kostnader þ indirekte kostnader ¼ selvkost per produkt

g

þ fortjeneste ¼ salgspris uten merverdiavgift

er in

þ merverdiavgift ¼ salgspris med merverdiavgift

EKSEMPEL 12

Løsning: A

vu

rd

Zaid skal beregne prisen for å redigere et tjue minutter langt lydopptak fra en konsert ned til fire minutter. Han har erfart at han i gjennomsnitt bruker 55 minutter på et slikt oppdrag. Timelønna er 225 kr, og de indirekte kostnadene utgjør 95 % av lønna. Fortjenesten skal være 17 % av selvkost.

B

1

Inndata

2

Minutter per oppdrag

3

Timelønn

4

Indirekte kostnader (prosent av lønna)

5 6

55 55

kr 225,00 225

0,95

Fortjeneste (prosent av selvkost)

17 %

0,17

Merverdiavgift (prosent av salgspris uten mva.)

25 %

0,25

til

95 %

7 Utregning

n

8

B (Vis formler)

Timer per oppdrag (55/60)

10

Direkte kostnader (lønn per oppdrag: 225 kr 0,92)

Ku

9

0,92

=B2/60

kr 206,25 =B3*B9

11

+ Indirekte kostnader (206,25 kr 0,95)

kr 195,94 =B10*B4

12

= Selvkost (206,25 kr + 195,94 kr)

kr 402,19 =B10+B11

13

+ Fortjeneste (402,19 kr 0,17)

14

= Salgspris uten mva. (402,19 kr + 68,37 kr)

kr 470,56 =B12+B13

15

+ Mva. (470,56 kr 0,25)

kr 117,64 =B14*B6

16

= Salgspris (470,56 kr + 117,64 kr)

kr 588,20 =B14+B15

kr 68,37 =B12*B5

Zaid runder opp til nærmeste tier. Prisen for et oppdrag blir 590 kr.

Å fastsette prisen:


324 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Avansemetoden og påslagsmetoden Avansemetoden er en forenklet selvkostkalkyle, der indirekte kostnader og fortjeneste er slått sammen til et fast tillegg. Dette tillegget kaller vi avanse.

er in

g

Faktoren vi ganger inntakskostverdien med for å legge til avansen, kaller vi avanseverdien. Avanseverdien må være høy nok til å sikre fortjeneste. Har vi først fått laget oss en fornuftig avanseverdi, er dette en enkel måte å beregne salgsprisen uten merverdiavgift på: Pris uten merverdiavgift ¼ inntakskost avanseverdi

Når vi bruker påslagstall, tenker vi på samme måte som når vi bruker avansemetoden, men påslagstallet skal også dekke merverdiavgiften. Påslagstallet er dermed større enn avanseverdien:

rd

Pris med merverdiavgift ¼ inntakskost påslagstallet

Ku

n

til

vu

Påslagstallet varierer fra bransje til bransje. Handelsbedrifter gjør ofte bruk av påslagstall.


Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag 325

EKSEMPEL 13

Hva blir avanseverdien?

b

Hva blir påslagstallet?

c

Inntakskost for en av genserne er 185 kr. Hva blir antatt fornuftig pris for denne genseren uten merverdiavgift, hvis Tina bruker samme avanseverdi?

d

Hva blir prisen for denne genseren med merverdiavgift hvis hun bruker samme påslagstall?

Løsning: B

1

Inntakskost

kr 137,00

2

Pris uten merverdiavgift

kr 305,00

3

Merverdiavgift

Avanseverdi (305 kr : 137 kr)

6

Merverdiavgift (305 kr 0,25)

7 8

137 305

25 %

0,25

2,23

=B2/B1

vu

4 5

B (Vis formler)

rd

A

er in

a

kr 76,25

=B2*B3

Pris med merverdiavgift (305 kr þ 76,25 kr)

kr 381,25

=B2+B6

Påslagstall (381,25 kr : 137 kr)

2,78

=B7/B1

Tina finner avanseverdien ved å dele pris uten merverdiavgift på inntakskost. Avanseverdien blir 2,23.

b

Først må Tina finne prisen med merverdiavgift. Deretter kan hun finne påslagstallet ved å dele pris med merverdiavgift på inntakskost. Påslagstallet blir 2,78.

c

For å finne prisen på genseren uten merverdiavgift kan vi bruke avanseverdien: 185 kr 2,23 ¼ 412,55 kr 413 kr

n

til

a

For å finne prisen på genseren med merverdiavgift kan vi bruke påslagstallet: 185 kr 2,78 ¼ 514,82 kr 515 kr

Ku

d

Tenk gjennom!

Hva er 2,78 : 2,23? Kan du tenke deg fram til svaret uten å bruke kalkulator? Hvorfor blir det slik?

g

Tina har startet en egen klesbutikk. Inntakskost for ei av buksene er 137 kr. Etter å ha gjennomført en detaljert selvkostkalkyle har hun konkludert med at en fornuftig pris uten merverdiavgift er 305 kr.


326 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Oppgaver

Bukse

Trompet

Inntakskost

1580 kr

250 kr

6740 kr

Indirekte kostnader

28 % av inntakskost

44 % av inntakskost

50 % av inntakskost

Ønsket fortjeneste

18 % av selvkost

37 % av selvkost

25 % av selvkost

a

Hva blir riktig pris for et par ørepropper?

b

Hva blir påslagstallet for å beregne prisen på øreproppene ut fra inntakskost?

c

Inntakskost for et annet merke ørepropper er 67 kr. Bruk påslagstallet til å beregne prisen på disse øreproppene med merverdiavgift.

rd

7.25 Ragnar driver en lekebutikk og skal fastsette prisen på en dokke. Inntakskost for dokka er 64 kr. Han har bestemt avanseverdien til å være 3,2.

g

Sykkel

7.28 Rudi skal fastsette prisen på et par ørepropper. Inntakskost for et par er 56 kr, og lønnskostnader og indirekte kostnader er 112 kr per par. Rudi ønsker en fortjeneste på 25 % av selvkost. Merverdiavgiften er 25 %.

er in

7.24 Bruk et oppsett for selvkostkalkyle i et regneark til å beregne salgsprisen med merverdiavgift på varene i tabellen:

Hva blir prisen på dukka uten merverdiavgift?

b

Hva blir merverdiavgiften?

c

Hva blir prisen på dukka med merverdiavgift?

vu

a

7.29

n

til

7.26 Mathias skal fastsette prisen på å installere nettverksutvidere i et kontorbygg. Materialkostnadene er 5560 kr, fraktkostnadene er 220 kr, og lønnskostnader og indirekte kostnader utgjør 7659 kr. Mathias ønsker en fortjeneste på 15 % av selvkost. Merverdiavgiften er 25 %. Hva blir riktig anbudspris for arbeidet?

Ku

7.27 Victoria har kjøpt inn 70 leketelt til lekebutikken sin. Innkjøpsprisen er 135 kr per telt, og de totale fraktkostnadene er 950 kr. Victoria har tidligere konkludert med at de indirekte kostnadene er 58 % av inntakskost. Hun ønsker en fortjeneste på 40 %. a

Regn ut prisen per telt med merverdiavgift.

b

Hvor mange kroner blir avansen på?

Inntakskost for et telt er 2340 kr. De indirekte kostnadene er 35 % av inntakskost, og ønsket fortjeneste er 29 % av selvkost. a

Regn ut salgsprisen med merverdiavgift.

b

Hva blir avansen for teltet i kroner og i prosent?

c

Hva blir avanseverdien?


Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag 327

Hva blir avanseverdien?

Inntakskost for en annen av skjortene er 85 kr. b

Hva blir antatt fornuftig pris uten merverdiavgift for denne skjorta hvis han skal bruke samme avanseverdi?

c

Hva blir prisen på denne skjorta med merverdiavgift?

g

a

7.31 Tobias skal kjøpe inn T-skjorter til vaktene på en festival. Hver T-skjorte skal ha et stort trykk og et lite trykk. Prisen for å få laget trykkene er 550 kr i fastpris for begge trykkene, 14 kr per stort trykk og 9 kr per lite trykk. Festivalen varer i fire dager, og de trenger 40 T-skjorter til hver dag. Prisen på hver T-skjorte uten trykk er 49 kr. a b

Gjør et overslag over omtrent hvor mye Tobias må betale for T-skjortene med trykk. Hva blir den nøyaktige prisen Tobias må betale? Ved fastsetting av prisen er det inkludert merverdiavgift og 16 % fortjeneste av selvkost. Hva er firmaets selvkost for T-skjortene?

rd

c

er in

7.30 Marcus har startet en egen klesbutikk. Inntakskost for ei av skjortene er 126 kr. Etter å ha gjennomført en detaljert selvkostkalkyle har han konkludert med at en fornuftig pris uten merverdiavgift er 349 kr.

vu

L Æ R I N G S L O G G 7. 4

Lag et eksempel som illustrerer hvordan vi kan gjennomføre en enkel selvkostkalkyle for å fastsette prisen på en vare eller en tjeneste.

Ku

n

til

Bruk samme eksempel til å illustrere avansemetoden og påslagsmetoden.


328 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

7.5 Budsjetter for en virksomhet

D U S K AL K U N N E

er in

g

Hvis vi har god kontroll over økonomien, får vi ingen ubehagelige overraskelser og kan lettere greie å spare til framtidige utgifter. Ida skal arrangere kiosksalg på skihytta og kjøper inn vaffelrøre for 500 kr, kaffe for 200 kr, pølser for 700 kr, tilbehør til pølsene for 200 kr og brus for 3500 kr. Hvor mye må hun minst ha i inntekter for å dekke disse innkjøpene?

bruke regneark til å sette opp et resultatbudsjett

bruke regneark til å gjennomføre en budsjettkontroll

rd

U T F O R S K SA M M E N

vu

Du har spart litt og fått litt støtte, slik at du totalt har 200 000 kr til å starte opp et aktuelt enkeltpersonforetak innenfor informasjonsteknologi og medieproduksjon. Hva slags virksomhet vil du starte? Hva vil du bruke pengene til? Hvor mye tror du virksomheten vil klare å selge av varer eller tjenester den første tiden?

til

Sett opp et forslag til budsjett for de tre første månedene etter at virksomheten har startet opp. Presenter oppsettene for hverandre.

Resultatbudsjett

Ku

n

Merk I dette kapitlet skiller vi ikke mellom de to begrepene utgifter og kostnader. Vi forenkler beregningene ved å anta at varer som kjøpes inn til et firma, ikke oppbevares over tid, men blir brukt i samme måned, slik at utgiftene ved innkjøp og kostnadene ved bruk blir de samme.

For noen virksomheter kan pengestrømmen inn og ut være stor. Et budsjett brukes til å planlegge økonomien for en kommende periode. Vi bør alltid basere et budsjett på varsomhetsprinsippet. Det vil si at vi bare tar med sikre inntekter, og at vi tar høyde for alle kjente utgifter. Et resultatbudsjett er en plan for resultatet i virksomheten. Resultatbudsjettet viser hvor stort overskudd eller underskudd virksomheten regner med å få i budsjettperioden. Et resultatbudsjett kan være for en kort periode eller for flere år framover. Det inneholder en oversikt over forventede inntekter og kostnader og en oppsummering av forventet resultat når kostnadene er trukket fra inntektene. budsjettert inntekt budsjettert kostnad ¼ budsjettert resultat


Budsjetter for en virksomhet 329

EKSEMPEL 14 Julie skal lage et resultatbudsjett for fotograffirmaet sitt for første kvartal. Tabellen viser forventede inntekter og kostnader. Januar

Februar

Mars

Inntekt fra kunder

kr 85 500,00

kr 85 500,00

kr 85 500,00

Salg av varer til kunder

kr 12 000,00

kr 12 000,00

kr 12 000,00

Indirekte kostnader uten lønn

kr 11 500,00

kr 11 500,00

Lønnskostnader

kr 62 087,00

kr 62 087,00

Markedsføring

er in

Forventede kostnader

g

Forventede inntekter

kr 11 500,00

kr 62 087,00

kr 30 000,00

Innkjøp varer og utstyr

kr 5000,00

kr 5000,00

kr 5000,00

Sett opp et resultatbudsjett for perioden. Hva er forventet samlet resultat for disse månedene (første kvartal)?

b

Julie vet at hun ikke kommer til å tjene noe de tre ukene hun ønsker å ta seg ferie på sommeren. Vurder om budsjettallene ser ut til å gi henne mulighet til å ta ferie disse ukene. Hva kan hun eventuelt gjøre for å forvente et høyere overskudd?

vu

rd

a

Løsning: a A Inntekter

3

Inntekt fra kunder

4

Salg av varer til kunder

5

Sum inntekter

6

B

C

D

Januar

Februar

Mars

kr 85 500,00

D (Vis formler)

kr 85 500,00

kr 85 500,00

85500

kr 12 000,00

kr 12 000,00

kr 12 000,00

12000

kr 97 500,00

kr 97 500,00

kr 97 500,00

=D3+D4

til

2

Resultatbudsjett:

Kostnader

8

Indirekte kostnader uten lønn

kr 11 500,00

kr 11 500,00

kr 11 500,00

11500

9

Lønnskostnader

kr 62 087,00

kr 62 087,00

kr 62 087,00

62087

10

Markedsføring

kr 30 000,00

30000

11

Innkjøp varer og utstyr

12

Ku

n

7

kr 5000,00

kr 5000,00

kr 5000,00

Sum kostnader

kr 78 587,00

kr 78 587,00

kr 108 587,00

Resultat (inntekter – kostnader)

kr 18 913,00

kr 18 913,00

– kr 11 087,00

Sum resultat første kvartal

kr 26 739,00

=SUMMER(B14:D14)

5000 =SUMMER(D8:D11)

13 14

15 16

=D5-D12


330 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

g

I rad 5 summeres de forventede inntektene for hver måned. I rad 12 summeres de forventede kostnadene hver måned. I rad 14 finner vi forventet resultat for hver måned når kostnadene er trukket fra inntektene. I B16 summeres de forventede resultatene fra de tre månedene. Julie forventer et overskudd på 26 739 kr i perioden januar–mars.

er in

Forventet resultatet hver måned varierer fra 11 087 kr til þ18 913 kr. Forventet overskudd er ikke større enn at hun i ferien bør vurdere tiltak for å bedre økonomien. For å legge opp til et bedre resultat kan hun vurdere å ta ut mindre i lønn, kjøpe mindre utstyr eller bruke mindre penger på markedsføring. Videre kan hun vurdere om det er aktuelt å få inn høyere inntekter.

rd

b

Budsjettkontroll

vu

Det er viktig for virksomheten at vi bruker budsjettene aktivt i økonomistyringen av driften. Det gjør vi ved å gjennomføre budsjettkontroller. Når en periode er over, sammenlikner vi hva regnskapet viser av inntekter og utgifter, med tallene vi har i budsjettet for denne perioden. Da ser vi om økonomien er blitt som forventet.

EK SEMPEL 15

til

Forventet resultat for fotografvirksomheten til Julie for perioden januar til mars var 26 739 kr. Tabellen viser de budsjetterte tallene og de faktiske regnskapstallene for firmaet. Februar

Mars

Budsjett

kr 97 500,00

kr 97 500,00

kr 97 500,00

Regnskap

kr 101 430,00

kr 95 833,00

kr 99 686,00

Budsjett

kr 78 587,00

kr 78 587,00

kr 108 587,00

Regnskap

kr 75 359,00

kr 80 870,00

kr 98 701,00

Inntekter

n

Ku

Januar

Kostnader

a

Bruk tallene i tabellen til å sette opp en budsjettkontroll for Julies virksomhet.

b

Kommenter hvor godt regnskapet stemmer med forventet resultat i budsjettet.


Budsjetter for en virksomhet 331

Løsning: a

2

Inntekter

3

Budsjett

4

Regnskap

5

Avvik

C

D

Januar

Februar

Mars

kr 97 500,00

kr 97 500,00

kr 292 500,00

kr 95 833,00

kr 99 686,00

kr 296 949,00

– kr 1 667,00

kr 2 186,00

kr 4 449,00

kr 78 587,00

kr 108 587,00

kr 265 761,00

kr 80 870,00

kr 98 701,00

kr 247 930,00

kr 3228,00

– kr 2 283,00

kr 9 886,00

kr 17 831,00

kr 7158,00

– kr 3950,00

kr 12 072,00

kr 15 280,00

kr 985,00

kr 42 019,00

kr 3 930,00

6 Kostnader

8

Budsjett

kr 78 587,00

9

Regnskap

kr 75 359,00

10

Avvik

rd

7

Sum avvik

13

Resultat (inntekter – kostnader)

1

vu

12

Sum

kr 97 500,00

kr 101 430,00

11

E

g

1

B

er in

A

kr 26 071,00

kr 14 963,00

Januar

Februar

Mars

Sum

97500

97500

97500

=SUMMER(B3:D3)

Inntekter

3

Budsjett

4

Regnskap

101430

95833

99686

=SUMMER(B4:D4)

5

Avvik

=B4-B3

=C4-C3

=D4-D3

=SUMMER(B5:D5)

6

Kostnader

8

Budsjett

78587

78587

108587

=SUMMER(B8:D8)

9

Regnskap

75359

80870

98701

=SUMMER(B9:D9)

10

Avvik

=B8-B9

=C8-C9

=D8-D9

=SUMMER(B10:D10)

12

Sum avvik

=B5+B10

=C5+C10

=D5+D10

=E5+E10

13

Resultat (inntekter – kostnader)

=B4-B9

=C4-C9

=D4-D9

=SUMMER(B13:D13)

Ku

n

7

til

2

11


332 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

g

Først sammenlikner vi de budsjetterte inntektene med regnskapets faktiske inntekter ved å trekke budsjettallene fra regnskapstallene. Differansen mellom de to tallene for hver måned vises som et avvik i rad 5 i regnearket. Et positivt avvik i rad 5 vil si at inntektene denne måneden har vært høyere enn forventet.

er in

Så gjør vi det samme med kostnadene. Differansen mellom kostnadstallene i budsjettet og faktiske regnskapstall for hver måned er vist som avvik i rad 10 i regnearket. Et positivt avvik vil si at kostnadene har vært lavere enn forventet. I rad 12 i regnearket ser vi på avviket for inntekter og kostnader samlet for hver måned. Hvis avviket i rad 12 er positivt, betyr det at resultatet for måneden er bedre enn forventet i budsjettet.

Som vi ser av rad 12, er februar den måneden som har negativt avvik. Inntektene ble da lavere enn forventet, mens kostnadene ble høyere. B13 viser at januar var måneden med best resultat.

vu

b

rd

Det faktiske resultatet for hver måned vises i rad 13 i regnearket – som differansen mellom regnskapstallene for inntekter og kostnader hver måned.

Julie bestemte seg for å bruke mindre enn planlagt på markedsføring. Kostnadene i mars ble derfor vesentlig lavere enn ventet.

Ku

n

til

Forventet resultat var 26 739 kr (fra eksempel 14). I rute E13 kan vi lese at det faktiske resultatet ble 42 019 kr totalt. Det var litt høyere enn forventet, og Julie får altså råd til å ta ut ferie.


Budsjetter for en virksomhet 333

Oppgaver 7.35

g

7.32 Knut forventer at inntektene for firmaet hans blir 20 000 kr i august, 35 000 kr i september, 60 000 kr i oktober og 85 000 kr i november.

rd

7.33 Thea forventer at inntektene for hennes nystartete firma blir 30 000 kr i august, 45 000 kr i september og 70 000 kr i oktober. Totalt forventer hun 58 000 kr i kostnader hver måned.

er in

Hva kan kostnadene i gjennomsnitt maksimalt være hver måned for at de totalt ikke skal bli høyere enn inntektene?

vu

Hvor store må inntektene minst være i november for at inntektene totalt skal bli høyere enn kostnadene i perioden august–november?

Eskil driver et enkeltpersonforetak som IT-konsulent og skal lage et resultatbudsjett for firmaet basert på forventete inntekter og kostnader vist i tabellen på neste side.

År Årsresultat

2016

2017

2018

2019

25 456

17 565

8765

29 832

23 451

Hvilket år hadde best resultat? Hva var resultatet da? Hva er samlet resultat for disse fem årene?

Ku

b

2015

n

a

til

7.34 Mia har drevet eget firma i fem år. Tabellen viser årsresultatene. Disse pengene har Mia spart på en konto.

Mia ønsker å kjøpe inn noen nye møbler og mener hun kan bruke 60 % av de oppsparte midlene. c

Hvor mye kan hun bruke?

a

Hjelp Eskil med å sette opp resultatbudsjettet i et regneark.

b

Kommenter pengestrømmen de ulike månedene og forventet samlet resultat for dette halvåret. Er det rom for å sette av penger til markedsføring i budsjettet?


334 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Januar

Februar

Mars

April

Mai

Juni

Juli

Inntekt fra kunder

kr 120 000,00

kr 110 000,00

kr 120 000,00

kr 130 000,00

kr 120 000,00

kr 130 000,00

kr 50 000,00

Salg av varer til kunder

kr 8000,00

kr 8000,00

kr 8000,00

kr 5000,00

kr 8000,00

kr 3000,00

Direkte kostnader

kr 19 000,00

kr 15 000,00

kr 11 000,00

kr 11 000,00

kr 10 000,00

Indirekte kostnader

kr 71 000,00

kr 71 000,00

kr 71 000,00

Markedsføring

Innkjøp materialer

kr 20 000,00

kr 25 000,00

kr 20 000,00

Innkjøp varer og utstyr

kr 4500,00

kr 4500,00

kr 4500,00

kr 71 000,00

kr 71 000,00

kr 71 000,00

kr 20 000,00

kr 15 000,00

kr 30 000,00

kr 8 000,00

kr 30 000,00

kr 4 500,00

kr 4500,00

Mai

Juni

Juli

d

Kommenter hvor godt tallene stemmer med budsjettallene.

rd

Tabellen nedenfor viser hva inntektene og kostnadene viste seg å bli. Bruk tallene i tabellen til å sette opp en budsjettkontroll.

Mars

April

vu

Februar

Inntekter

kr 8000,00

kr 71 000,00

c

Januar

kr 11 000,00

er in

Kostnader

g

Inntekter

Inntekt fra kunder

kr 187 231,00

kr 103 564,00

kr 134 365,00

kr 98 545,00

kr 198 354,00

kr 134 333,00

kr 37 654,00

Salg av varer til kunder

kr 6534,00

kr 8767,00

kr 9343,00

kr 4536,00

kr 9876,00

kr 2132,00

kr 231,00

Direkte kostnader

kr 18 723,00

kr 14 323,00

kr 11 354,00

kr 11 987,00

kr 8745,00

kr 12 323,00

kr 5 645,00

Indirekte kostnader

kr 70 676,00

kr 70 676,00

kr 70 676,00

kr 70 676,00

kr 70 676,00

kr 70 676,00

kr 70 676,00

Markedsføring

kr 18 765,00

kr 26 545,00

kr 18 756,00

kr 19 878,00

kr 15 455,00

kr 30 132,00

kr 8 031,00

kr 9034,00

kr 1253,00

kr 168,00

kr 28 564,00

kr 3755,00

kr 2656,00

Innkjøp materialer

til

Kostnader

Ku

n

Innkjøp varer og utstyr

L Æ R I N G S L O G G 7. 5 Forklar begrepene resultatbudsjett, resultatregnskap og regnskapskontroll. Hva er forskjellen på resultatbudsjett og budsjettkontroll?


Hva har jeg lært? 335

H V A HA R J E G LÆ R T ?

g

Som hjelp til å komme i gang bør dere lese over læringsloggene 7.1–7.5 og se over «regelboksene» i kapitlet.

Stemmer påstandene? Avgjør om påstandene nedenfor stemmer. Sørg for at du kan forklare hvorfor de stemmer eller ikke.

4

1

5

Hvis timeprisen uten merverdiavgift er 540 kr, er merverdiavgiften 270 kr. Hvis prisen på et piano er 8500 kr med merverdiavgift, er merverdiavgiften 1700 kr.

rd

Hvis de direkte kostnadene for en vare er 34 kr, og de indirekte kostnadene er 150 % av de direkte kostnadene, blir selvkost 85 kr.

er in

Gå sammen i par og lag en liste eller et tankekart der dere får med de viktigste matematiske ideene og metodene dere har lært i kapitlet så langt. Prøv også å få med stikkord for hva ideene og metodene kan brukes til – i dagliglivet eller i yrket ditt. Vær forberedt på å dele ideene deres.

Hvis selvkost er 15 400 kr, og fortjenesten er 15 % av selvkost, blir fortjenesten 23 100 kr.

3

Hvis resultatet for en virksomhet er 54 000 kr i januar, –35 000 kr i februar, 21 000 kr i mars og 17 000 kr i april, er samlet resultat for disse fire månedene 88 400 kr.

Pris uten merverdiavgift bestemmes av direkte kostnader, indirekte kostnader og ønsket fortjeneste.

til

vu

2

6

Prosjekt nettside

Ku

n

Å fastsette timepris Gruppa di har fått i oppdrag å lage en nettside for et nystartet firma som driver med lys- og lydproduksjon. Dere har nå skaffet dere kompetanse om økonomiske beregninger og skal utarbeide en timepris for å lage designen på nettsiden. Del 1: Diskuter hvilke kostnader dere har for en virksomhet som driver med nettsidedesign. Del 2: Vurder hvor stor fortjeneste dere ønsker, og hvorfor dere trenger denne fortjenesten. Del 3: Fastsett en timepris.


336 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Test deg selv d

Inntakskost for et gulvteppe er 1780 kr. Bruk samme påslagstall til å beregne prisen på gulvteppet. Rund av prisen til nærmeste hundre kroner.

Hva blir riktig anbudspris for arbeidet?

b

Hva blir prisen per bolig for det trådløse nettverket?

Anders driver en nettbutikk som selger datautstyr. Han skal bruke fjorårets tall til å få bedre oversikt over virksomhetens økonomi.

vu

a

rd

Tobias skal fastsette prisen på å installere et trådløst nettverk for 26 boliger. Materialkostnadene er 370 kr per bolig. Timeprisen er 770 kr med merverdiavgift, og Tobias antar at han vil bruke 20 timer på arbeidet.

er in

7.38

g

7.36

Ku

n

til

7.37

Anna driver en møbelforretning. Inntakskost for et spisebord er 1100 kr, og de indirekte kostnadene utgjør 45 % av direkte kostnader. Anna ønsker en fortjeneste på 30 %. a

Hva blir de indirekte kostnadene for spisebordet?

b

Sett opp en selvkostkalkyle for å fastsette rett pris med merverdiavgift på spisebordet.

c

Vis at påslagstallet blir 2,36.

Hver måned betaler han 8000 kr i husleie og 950 kr i mobil- og Internett-kostnader. Året før betalte han 3700 kr i forsikringer, 13 500 kr i strømkostnader og 24 376 kr i diverse indirekte kostnader. Samlet inntakskost var 395 432 kr, og samlet salgspris uten merverdiavgift på de solgte varene var 1384 790 kr. Totale lønnskostnader utgjorde 774 033 kr. Ved fjorårets start hadde virksomheten 78 456 kr på kontoen. Ved fjorårets slutt hadde virksomheten 144 805 kr på konto. a

Hvor mye betalte Anders i gjennomsnitt hver måned i indirekte kostnader året før?

b

Vis at kostnadene til Anders for fjoråret uten at lønnskostnader er tatt med, var 544 408 kr.

c

Vis at avanseverdien er 3,5.

d

Hvor mye betalte kundene samlet i merverdiavgift året før?

e

Vis at virksomheten hadde et resultat på 66 349 kr for fjoråret.


Test deg selv 337

Inntakskost for en musematte er 5 kr. Vis at tallene fra året før gir at prisen uten merverdiavgift bør være 17,50 kr for musematta.

g

Januar

Hva blir prisen på musematta med merverdiavgift?

Tabellen viser forventede inntekter og kostnader for virksomheten til Anders året etter:

kr 115 400

kr 29 564,00 kr 32 564,00 kr 27 564,00

Lønnskostnader

kr 63 465,00 kr 67 342,00 kr 59 453,00

kr 115 400

Mobil og Internett Kostnader

kr 8 000,00

kr 8 000,00

kr 8 000,00

kr 950,00

kr 950,00

kr 950,00

Forsikring kr 33 000,00 kr 33 000,00 kr 33 000,00

Lønnskostnader

kr 64 500,00 kr 64 500,00 kr 64 500,00

Mobil og Internett

kr 8 000,00

kr 8 000,00

kr 8 000,00

kr 950,00

kr 950,00

kr 950,00

Forsikring

kr 1 600,00

Diverse indirekte kostnader

kr 1 000,00

kr 1 200,00

kr 1 000,00

kr 1 000,00

n

Kontroller budsjettet til Anders og foreslå eventuelle endringer.

Ku

h

kr 1 400,00

til

Strømutgifter

kr 1 345,00

kr 1 234,00

kr 1 132,00

Diverse indirekte kostnader

kr 2 342,00

kr 1 243,00

kr 2 315,00

i

Bruk regneark til å gjøre en budsjettkontroll for Anders.

j

Hvilken måned viser best resultat, og hva er resultatet denne måneden?

k

Hva blir samlet resultat for de tre månedene?

kr 2 000,00

kr 2 000,00

Strømutgifter

vu

Husleie

rd

Innkjøp varer

kr 115 434

Innkjøpvarer Mars

Husleie kr 115 400

kr 123 534

er in

Februar

kr 103 456

Kostnader

Inntekter Salg av varer

Mars

Inntekter Salg av varer

Januar

Februar

g

f

Tabellen viser faktiske inntekter og kostnader for virksomheten til Anders året etter.


338 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Aktiviteter

g

Tilbake til start 7.1 Å fastsette timepris

A

B

Ønsket brutto årslønn

2

Antall fakturerbare dager

er in Kommentar

Et årsverk uten ferie er 255 dager.

vu

1

Nedenfor ser du et forslag til oppsett som kan brukes til å beregne timeprisen. Her kan du ta stilling til ønsket brutto årslønn, antall fakturerbare dager, størrelsen på driftsutgiftene, ønsket fortjeneste og antall arbeidstimer per dag. Bruk dette oppsettet eller lag et eget ut fra det du har lært i kapitlet om å beregne timeprisen.

rd

Et brudepar ønsker at det skal lages en film av bryllupsdagen deres, og de vil vite hvor mye det koster. For å kunne gi en fornuftig pris må det fastsettes en riktig timepris for arbeidet. Prisen må være lav nok til at kundene er villige til å betale. Samtidig må den være høy nok til å dekke alle kostnader og gi nødvendig fortjeneste. I dette kapitlet har du lært å bruke ulike verktøy for å beregne denne timeprisen.

Men hvor mange dager vil du trekke fra til administrasjon, ferie og forventede sykedager?

3

Driftsutgifter som prosent av bruttolønn

4

Ønsket fortjeneste som prosent av dagsinntekt

5

Arbeidstimer per dag

6

Merverdiavgift (25 %)

25%

8

Dagsinntekt

=B1/B2

9

Dagsinntekt inkl. mva.

=B8*(1+B6)

til

n

7

7,5 timer er vanlig

Årslønn fordelt på antall fakturerbare dager

Driftsutgifter per år

=B1*B3

Regnes som prosent av brutto årslønn

11

Driftsutgifter per fakturerbar dag

=B10/B2

Driftsutgifter per år fordelt på antall fakturerbare dager

Ku

10

12

Ønsket fortjeneste per dag

=B8*B4

13

Ønsket dagsinntekt

=B9+B11+B12

Dagsinntekt inkludert merverdiavgift, driftsutgifter per fakturerbar dag og ønsket fortjeneste per dag

14

Timelønn som kunden må betale

=B13/B5

Ønsket dagsinntekt fordelt på antall arbeidstimer per dag


Aktiviteter 339

7.2 Feriepenger

7.7 Varierende priser

Velg et aktuelt yrke. Undersøk hvor mye feriepenger en person i dette yrket vil få.

Lag en liste over utstyr som er viktig for opplæringen din. Undersøk priser fra ulike leverandører. Hvilke likheter og forskjeller finner du?

7.4 Næringsvirksomhet eller hobby?

rd

Hvis du jobber som fotograf på heltid, eller tar på deg noen fotografoppdrag på fritiden, er det ulike regler for betaling av skatt som gjelder.

7.8 Innkjøp av interaktive tavler

er in

Velg deg en aktuell virksomhet innen informasjonsteknologi og medieproduksjon. Undersøk hvilke indirekte kostnader det er vanlig å ha for denne virksomheten.

g

7.3 Indirekte kostnader

Bruk Skatteetatens nettside til å finne ut hva som regnes som næringsvirksomhet, og hva som kan regnes som småjobb eller hobby.

b

Finn ut hvilke skattemessige konsekvenser det får dersom det du driver med, regnes som enten næringsvirksomhet eller hobby.

7.5 Timelønn

vu

a

til

Dere skal utforske hva som er en akseptabel timelønn. Velg et aktuelt yrke og bruk Internett til å undersøke hva som er vanlig årslønn for en nyansatt. Et årsverk uten ferie er 1950 timer.

En skole har fått 350 000 kr til å kjøpe inn interaktive tavler. Undersøk prisen på slike tavler. Hvilken type ville du kjøpt inn? Hvor mange kan dere kjøpe? Hvor mye av pengene bør brukes på opplæring av lærerne?

7.9 Å planlegge en filmproduksjon

Ku

n

Hvilken timelønn vil denne årslønna svare til? Hva mener dere er minste akseptable timelønn for dette yrket? Skriv ned det dere har funnet, og presenter det for hverandre.

7.6 Merverdiavgift

Hver gang du handler noe, betaler du merverdiavgift til staten. Lag et overslag over hvor mye du har betalt i merverdiavgift til staten den siste uka.

Du har fått 200 000 kr i støtte for å lage en film. Hva slags film ville du laget? Hva ville du brukt pengene på? Sett opp et budsjett for filmprosjektet.


340 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

Oppgaver 7.1 Kostnader

vu

rd

7.40 Henrik driver en taekwondoklubb. Hver måned har han 6000 kr i husleie, betaler ca. 11 000 kr i året i strømregning og bruker ca. 1800 kr i måneden på andre utgifter. Hvor store kostnader har han i gjennomsnitt hver måned?

er in

7.39 Solgun har startet et firma som lager reklameplakater. I tillegg til lønn til seg selv har hun 17 500 kr i måneden i indirekte kostnader. 8900 kr av dette er husleie. Hun bør helst ikke ha mer enn 20 000 kr i måneden i indirekte kostnader. Solgun vurderer å flytte til et nytt lokale, der husleia er 13 000 kr per måned. Har hun råd til å leie det nye lokalet?

g

7.44

til

7.41 Johannes driver et hagesenter og skal kjøpe inn stauder. Varekostnaden er 12 kr for en liten staude og 25 kr for en stor. Han kjøper inn 45 små stauder og 30 store. I tillegg må han betale 1500 kr i frakt. Hva blir samlet inntakskost for alle staudene?

n

7.42 Thomas skal kjøpe inn pølser til et skolearrangement. Pølsene koster 46,90 kr/kg. Han kjøper 15 kg. En pølse veier 65 g. Hva blir varekostnaden per pølse?

Ku

7.43 Siv har ansvaret for fotballgruppas kiosk under fotballkampene. Hun kjøper inn 15 pakker med is. Hver pakke koster 36 kr, og i hver pakke er det tolv iskremer. I tillegg kjøper hun inn 20 pakker vaffelrøre. En pakke vaffelrøre koster 19,50 kr og gir åtte vafler. a

Hva blir varekostnaden for én is?

b

Hva blir varekostnaden for én vaffel?

c

Hva blir samlet varekostnad?

Petter jobber i en kantine og skal lage bagetter med smør, ost og skinke. På en bagett bruker han 8 g smør til 48 kr/kg, 100 g ost til 72 kr/kg og 80 g skinke til 253 kr/kg. 40 bagetter koster 135 kr. Hva blir varekostnaden for en ferdigsmurt bagett?

7.45 Patrick skal kjøpe inn utstyr til en filmproduksjon. Firma A ligger rett i nærheten, og her kan han få kjøpt utstyret for 10 400 kr inkludert fraktkostnader. Firma B er 8 km unna. Der kan han få de samme varene for 9400 kr, men i tillegg kommer fraktkostnader på 900 kr. a

Hvilket alternativ har lavest pris?

b

Firma A senker prisene med 5 %. Hva blir ny pris på varene?


Oppgaver 341

7.47 Ahmed driver en dataspillbutikk og har følgende kostnader en måned: Direkte kostnader Innkjøp varer til butikken

g

7.49 Magnus driver eget skredderfirma. I tillegg til han selv er det to ansatte. Siden hans egne arbeidsoppgaver inneholder nokså mye administrasjon, regner han egne lønnskostnader på 61 500 kr som en indirekte kostnad.

Hver måned betaler Magnus 11 300 kr i husleie for et lokale i en handlegate, 590 kr for telefon og Internett og ca. 2500 kr i diverse utgifter. Hvert år betaler han 7500 kr i forsikringer, 14 000 kr i strømutgifter og 12 000 kr i markedsføring. Den siste måneden har firmaet hatt en inntjening på 227 580 kr. a

21 356 kr

Innkjøp av nytt kassaapparat

15 763 kr 6 750 kr

Strømkostnader

1 762 kr

Lønnskostnader

95 468 kr

Diverse faste kostnader

2 750 kr

Hvor mye utgjør de indirekte kostnadene totalt?

b

Hvor mange prosent av kostnadene er indirekte kostnader?

til

a

n

7.48 Hannah jobber som stylist og skal bestille sju nye hårfønere. Hver hårføner veier 830 g og koster 1350 kr. Tabellen viser kostnaden for å få levert hårfønerne: Pris

1–2 kg

125 kr

Ku

Vekt

2–10 kg

153 kr

10–30 kg

263 kr

b

Vurder om denne størrelsen på inntekter og kostnader i det lange løp gjør at Magnus kan gi de ansatte en akseptabel inntekt.

vu

Husleie

Hvor mye har firmaet i indirekte kostnader hver måned?

rd

Indirekte kostnader

er in

7.46 En måned har konsulentfirmaet til Kristian 5500 kr i bilutgifter, 600 kr i forsikringer, 1200 kr for Internett og mobiltelefonabonnement og 2000 kr i diverse kostnader. Han har antatt at indirekte kostnader utgjør 10 000 kr per måned. Er de indirekte kostnadene høyere eller lavere enn forventet?

a

Hvor mye koster fønerne til sammen uten fraktkostnader?

b

Hva blir fraktkostnaden for hårfønerne?

c

Hvor mange prosent av innkjøpskostnaden utgjør frakten?

7.50 Alexander jobber deltid på en bensinstasjon og tjener 225 kr timen. På søndager får han et tillegg på 55 % av avtalt timelønn. Mandager jobber han kl. 15–22, onsdager jobber han kl. 12–18, og søndager jobber han kl. 9.30–14. De sosiale kostnadene utgjør 45 % av bruttolønna. a

Hvor mange timer jobber han til sammen på hverdagene?

b

Hvor mange timer jobber han på søndagen?

c

Hva blir bruttolønna til Alexander for en ukes arbeid?

d

Hvor store blir de sosiale kostnadene for en ukes arbeid?

e

Hvor mye må arbeidsgiveren betale i arbeidsgiveravgift per uke for Alexander når satsen er 14,1 %?


342 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

7.2 Selvkost

Hva blir de indirekte kostnadene for dette partiet?

b

Hva blir selvkost for gamingstolen?

a

Hva blir de direkte kostnadene for oppdraget?

b

Hva blir de indirekte kostnadene for oppdraget?

c

Hva blir selvkost for oppdraget?

d

Hvor mange prosent er de indirekte kostnadene av selvkost?

e

Firmaet får 20 % rabatt når de kjøper utstyret. Hva blir selvkost for oppdraget da?

7.52 Inntakskost for en pakke med ørepropper er 25 kr. Indirekte kostnader utgjør 40 % av de direkte kostnadene. Hva blir de indirekte kostnadene for en pakke ørepropper?

b

Hva blir selvkost for en pakke ørepropper?

rd

a

er in

7.51 Inntakskost for en gamingstol er 1200 kr. De indirekte kostnadene er 45 % av de direkte kostnadene.

g

a

7.56 Et firma skal beregne selvkost for å installere et alarmanlegg. Varekostnaden for utstyret de trenger, er 5898 kr. Firmaets lønnskostnader er 360 kr per time, og i tillegg har firmaet indirekte kostnader på 235 kr timen per ansatt. De antar at de bruker 8,5 timer på jobben.

vu

7.53 Inntakskost for en pakke med 500 ark er 26 kr. Fraktkostnaden er 420 kr for 150 pakker. Indirekte kostnader er 50 % av de direkte kostnadene. Hva blir selvkost for en pakke?

7.57 Jesper har fått i oppdrag å installere et lydanlegg i et auditorium. Han har beregnet at det blir 14 650 kr i direkte kostnader og 18 500 kr i indirekte kostnader.

til

7.54 Innkjøpspris for et sceneelement er 1265 kr. Fraktkostnaden er 3000 kr for tjue elementer. De indirekte kostnadene er 820 kr per element. Hva blir selvkost for et sceneelement?

Ku

n

7.55 Innkjøpspris for en minnepinne er 58 kr. Fraktkostnaden er 150 kr for 50 minnepinner, og de indirekte kostnadene er 55 % av de direkte. Hva blir selvkost for en minnepinne?

a

Hva blir selvkost for oppdraget?

b

Hvor mange prosent er de indirekte kostnadene av de direkte?

c

Hvilken faktor må han multiplisere de direkte kostnadene med for å beregne selvkost for prosjektet?

d

I et annet prosjekt blir de direkte kostnadene 21 568 kr. Hva blir forventet selvkost for dette prosjektet?


Oppgaver 343

7.59 Line har beregnet at selvkost for å lage en hamburger er 38 kr. De indirekte kostnadene er 90 % av inntakskost. Hvor store er de direkte kostnadene for en hamburger?

g

7.58

er in

7.60 Tone har beregnet at selvkost for å lage 80 porsjoner med pølse og potetstappe er 2970 kr. De indirekte kostnadene er 85 % av de direkte kostnadene. Hvor store er de direkte kostnadene for en porsjon med pølse og potetstappe?

rd

7.3 Fortjeneste og merverdiavgift

vu

7.61 En omelett selges for 85 kr uten merverdiavgift. Merverdiavgiften er 15 %. Hva blir prisen med merverdiavgift?

Siv lager keramikkfrosker. Leira til froskene koster 207 kr for 10 kg. Siv ønsker å få 230 kr/time i betaling for arbeidet med froskene. Middels stor frosk

Stor frosk

til

Liten frosk

300 g

800 g

1,5 kg

Arbeidstid

70 min

80 min

90 min

Indirekte kostnader

60 % av de direkte kostnadene

57 % av de direkte kostnadene

55% av de direkte kostnadene

Ku

n

Leireforbruk

a

Hva blir inntakskost for hver av froskene?

b

Hva blir de direkte kostnadene for hver av froskene når lønna for arbeidstiden regnes med?

c

Hva blir de indirekte kostnadene for hver av froskene?

d

Hva blir selvkost for hver av froskene?

7.62 En bil selges for 245 000 kr uten merverdiavgift. Merverdiavgiften er 25 %. Hva er prisen med merverdiavgift?

7.63 Mads hogger trær i hagene til folk. Han har beregnet at selvkost er 1786 kr for ett tre, og ønsker å ha 35 % fortjeneste på arbeidet. Hva blir prisen medregnet merverdiavgift hvis en kunde trenger å få hogd tre trær?

7.64 Kristian driver et konsulentfirma. Han har bestemt seg for å legge inn en fortjeneste på 17 % av selvkost når han skal ta på seg et oppdrag. Hvor mye fortjeneste vil han ta hvis selvkost er: a

12 500 kr

b

26 415 kr

c

79 317 kr


344 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

7.68 Ei pølse selges for 43 kr med merverdiavgift. Merverdiavgiften er 15 %. Hva blir prisen uten merverdiavgift?

7.66

7.69 Simen driver en sportsbutikk og tar 399 kr medregnet merverdiavgift for et par sko. Han legger på 29 % fortjeneste på et skopar. Hva er selvkost for et par sko?

er in

g

7.65 Susanne jobber i et reklamebyrå. Timeprisen uten merverdiavgift er 365 kr. Hva blir prisen for 24 timer inkludert merverdiavgift?

rd

7.70 Kupp.no selger annonser for å selge og kjøpe ting på Internett. Selvkost for en annonse er 12 kr. Prisen per annonse uten merverdiavgift er 26 kr. Hvor mange prosent av selvkost er fortjenesten?

a

Hvor mye må Siri betale?

b

Hva blir rabattert pris uten merverdiavgift?

c

Hvor mye betaler Siri i merverdiavgift?

n

til

7.67 Zohras supportfirma har 67 500 kr i lønnskostnader per ansatt. Andre indirekte kostnader enn lønn, fordelt på de fire ansatte i firmaet inkludert henne selv, er 4100 kr per ansatt per måned. Hver ansatt jobber 162,5 timer i måneden. Zohra ønsker en fortjeneste på 16 % av de indirekte kostnadene.

Hva blir timeprisen uten merverdiavgift som kundene må betale, for å dekke indirekte kostnader og fortjeneste?

Ku

a

7.71 Tina driver en bokhandel og tar 499 kr for boka «Lær deg å programmere». Hun har da tatt 36 % fortjeneste, og de indirekte kostnadene er 40 % av de direkte. Hva er de direkte kostnadene for boka?

vu

Prisen for vask av bil innvendig og utvendig er 830 kr med merverdiavgift. Siri får 20 % rabatt.

b

Hva blir timeprisen inkludert merverdiavgift?

c

Mona får hjelp av firmaet til å oppgradere PC-en sin. Selve oppgraderingen tar 1,5 timer. I tillegg til timeprisen kommer 270 kr i materialkostnader. Hva blir for å oppgradere PC-en inkludert merverdiavgift?

7.4 Å fastsette prisen på en vare, en tjeneste eller et oppdrag 7.72 Selvkost for en ekstern harddisk er 300 kr. Ønsket fortjeneste er 20 % av selvkost. Hva blir prisen uten merverdiavgift?

7.73 Selvkost for et videokamera er 5768 kr. Ønsket fortjeneste er 36 % av selvkost. a

Hva blir prisen uten merverdiavgift?

b

Hvor stor blir merverdiavgiften?

c

Hva blir prisen med merverdiavgift?


Oppgaver 345

7.77 Varekostnaden for frukten i en fruktsalat er 8 kr. Emballasjen koster 2 kr per stykk. Lars tjener 250 kr i timen og lager 23 fruktsalater på en time. Han ønsker 45 % fortjeneste på fruktsalaten. a

Hva blir prisen uten merverdiavgift for fruktsalaten?

Hva blir riktig anbudspris for arbeidet?

b

Merverdiavgiften er 15 %. Hva blir prisen med merverdiavgift for en fruktsalat?

Hva blir avanseverdien?

b

Inntakskost for ei av buksene er 135 kr. Hva blir antatt fornuftig pris (uten mva.) for denne buksa hvis hun skal bruke samme avanseverdi? Hva blir prisen for buksa med merverdiavgift?

a

Hva blir prisen uten merverdiavgift for et lekesverd?

b

Hva blir prisen med merverdiavgift for et lekesverd?

c

Hvor mange kroner blir avansen?

d

Hva blir avanseverdien?

vu

c

7.78 Mads har kjøpt inn 45 lekesverd til lekebutikken sin. Innkjøpsprisen er 48 kr per sverd, og de totale fraktkostnadene er 370 kr for de 45 sverdene. Mads har tidligere konkludert med at de indirekte kostnadene utgjør 60 % av inntakskost. Han ønsker en fortjeneste på 35 %.

rd

a

er in

7.75 Mia har startet en egen klesbutikk for barn. Inntakskost for en av kjolene er 96 kr. Etter å ha gjennomført en detaljert selvkostkalkyle har hun konkludert med at en fornuftig pris uten merverdiavgift er 265 kr.

g

7.74 Johannes har fått i oppdrag å innrede et TV-studio og skal fastsette prisen på oppdraget. Materialkostnadene er 7560 kr, fraktkostnadene er 1750 kr, og de indirekte kostnadene er 17 659 kr. Johannes ønsker en fortjeneste på 18 % av selvkost. Merverdiavgiften er 25 %.

n

til

7.76

7.79 Inntakskost for et belte er 80 kr, mens inntakskost for ei skjorte er 179 kr. Beltet selges for 338 kr med merverdiavgift, mens skjorta selges for 650 kr med merverdiavgift. a

Hvor stor blir merverdiavgiften for beltet?

b

Hvor stor blir avanseverdien for beltet?

c

Er det beltet eller skjorta som har høyest avanseverdi?

a

Hva blir påslagstallet?

a

Hva er inntakskost per is?

b

Hva blir salgsprisen med merverdiavgift for ei T-skjorte med inntakskost 63 kr når han skal bruke samme påslagstall?

b

Hva blir prisen uten merverdiavgift for en is?

c

Hva blir salgsprisen med merverdiavgift for en is?

Ku

Josef jobber i en suvenirbutikk. Inntakskost for et krus er 25 kr, og salgsprisen med merverdiavgift er 120 kr.

7.80 Anna jobber i en iskiosk. Inntakskost er 24 kr for 2 L iskrem. og hun bruker 2,5 dl iskrem til en stor is. I tillegg har hun betalt 4 kr for kjeksen og 1 kr for strø til isen. Avanseverdien er 4,2.


346 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

7.84

g

7.81 En halv kylling med pommes frites koster 130 kr. Merverdiavgiften er 15 %, og det er lagt til 40 % fortjeneste.

7.82 Tom reparerer mobiltelefonskjermer. I gjennomsnitt har han 250 kr i direkte kostnader for hver skjerm han reparerer. Kunden betaler vanligvis 950 kr med merverdiavgift for å få reparert skjermen. Hvor mye vil hver skjerm bidra til å dekke andre kostnader Tom har?

b

Hvor mange skjermer må han reparere om dagen for at det totale dekningsbidraget skal bli over 4500 kr?

Sivert driver en helsekostforretning og skal lage et resultatbudsjett basert på forventede inntekter og kostnader (se tabellen nedenfor).

rd

a

er in

Hva var selvkost for kyllingen?

Hjelp Sivert med å sette opp resultatbudsjettet i et regneark.

b

Kommenter pengestrømmen de ulike månedene og forventet samlet resultat. Sivert ønsker et samlet resultat på 15 000 kr for de tre månedene. Er det rom for å sette av penger til nye hyller for 7800 kr i budsjettet?

vu

a

7.5 Budsjetter for en virksomhet

til

7.83 Christian skal starte en veskebutikk og forventer at inntektene blir 65 000 kr i oktober, 110 000 kr i november og 150 000 kr i desember. Han ønsker et positivt resultat på 20 000 kr etter disse tre månedene.

Ku

n

Hvor mye kan han da maksimalt ha i kostnader hver av månedene?

Januar

Februar

Mars

kr 140 000,00

kr 160 000,00

kr 160 000,00

kr 19 000,00

kr 15 000,00

kr 11 000,00

kr 7 000,00

kr 7 000,00

kr 7 000,00

Lønnsutgifter inkludert sosiale kostnader

kr 109 000,00

kr 109 000,00

kr 109 000,00

Andre indirekte kostnader

kr 8 000,00

kr 8 000,00

kr 8 000,00

Inntekter Varesalg Kostnader Vareinnkjøp Husleie


Oppgaver 347

Hun forventer følgende inntekter på varesalg til kunder:

Tabellen nedenfor viser hva inntektene og kostnadene faktisk ble: Januar

Februar

110 000 kr i januar

Mars

130 000 kr i februar

Inntekter kr 137 566,00 kr 145 810,00

a

Kostnader kr 17 450,00

kr 13 791,00

kr 10 450,00

kr 7 000,00

kr 7 000,00

kr 7 000,00

Lønnsutgifter inkludert sosiale kostnader

kr 106 700,00

kr 110 500,00

kr 109 600,00

Andre indirekte kostnader

kr 7 512,00

kr 9 567,00

kr 8 760,00

Husleie

Kommenter pengestrømmen de ulike månedene og forventet samlet resultat.

Tabellen nedenfor viser hva inntektene og kostnadene faktisk ble: Januar

Gjennomfør en budsjettkontroll for Sivert.

Kommenter hvor godt tallene stemmer med budsjettet.

Hva ble samlet resultat for de tre månedene?

til

7.85 Iselin skal starte en klesbutikk 1. januar og ønsker å sette opp et resultatbudsjett for firmaet basert på forventede inntekter og kostnader for perioden januar til april. Hun regner med følgende kostnader:

ca. 35 500 kr i måneden

Lønnskostnader:

58 000 kr

Kostnader til telefon og Internett:

950 kr i januar og april

Markedsføring:

3500 kr i januar

Ku

n

Innkjøp av varer:

Andre indirekte kostnader:

Februar

Mars

April

Inntekter

Salg av varer til kunder

29 500 kr per måned

kr 107 865,00 kr 135 115,00 kr 158 080,00 kr 161 765,00

Kostnader Innkjøp varer

kr 34 516,00

kr 31 456,00

kr 35 679,00

kr 36 890,00

Lønnskostnader

kr 56 500,00

kr 59 536,00

kr 59 345,00

kr 58 000,00

vu

e

b

Hjelp Iselin med å sette opp resultatbudsjettet i et regneark.

rd

Vareinnkjøp

d

160 000 kr i mars og april

kr 161 343,00

g

Varesalg

er in

c

Telefon og Internett

kr 950,00

Markedsføring

kr 3 720,00

Diverse indirekte kostnader

kr 21 456,00

kr 950,00

kr 31 500,00

kr 28 755,00

kr 33 456,00

c

Gjennomfør en budsjettkontroll for Iselin.

d

Kommenter budsjettet.


348 KAPITTEL 7 – KOSTNADSBEREGNING OG ANBUD

7.86 August

September

Oktober

November

Desember

kr 68 765,00

kr 89 341,00

kr 78 341,00

kr 68 087,00

kr 100 354,00

Innkjøpvarer

kr 8571,00

kr 10 455,00

kr 11 788,00

kr 9434,00

kr 12 567,00

Faste indirekte kostnader

kr 72 500,00

kr 72 500,00

kr 72 500,00

kr 72 500,00

kr 72 500,00

Markedsføring

kr 2170,00

Renter og avdrag

kr 2500,00

kr 2500,00

kr 2500,00

kr 2500,00

kr 2500,00

Diverse indirekte kostnader

kr 1451,00

kr 1834,00

kr 1983,00

kr 1873,00

kr 2452,00

Salg av varer til kunder

g

Inntekter

rd

June skal starte et bakeri 1. august og ønsker å sette opp et resultatbudsjett for firmaet basert på forventede inntekter og kostnader for perioden august–desember.

Blandede oppgaver 7.87 Innkjøpspris for et notestativ er 114 kr, og fraktkostnaden er 800 kr for 50 notestativ. De indirekte kostnadene utgjør 60 % av de direkte kostnadene.

vu

Hun forventer følgende kostnader:

er in

Kostnader

Innkjøp av varer: ca. 9500 kr i måneden

Faste indirekte kostnader inkludert lønn til seg selv: 72 500 kr Markedsføring: 2000 kr i august

Renter og avdrag på lån: 2500 kr per måned

Diverse indirekte kostnader: 1500 kr per måned

til

Hun forventer disse inntektene:

60 000 kr i august

80 000 kr i september – november

Hva blir selvkost for et notestativ?

7.88 En motorsykkel selges for 45 000 kr med merverdiavgift. Merverdiavgiften er 25 %. Hva er prisen uten merverdiavgift?

100 000 kr i desember

7.89 Inntakskost for et par sko er 89 kr. Avanseverdien er 3,5.

a

Hjelp June med å sette opp resultatbudsjettet i et regneark.

a

Hva blir prisen uten merverdiavgift?

b

Hva blir prisen med merverdiavgift?

Ku

n

b

Kommenter pengestrømmen de ulike månedene og forventet samlet resultat for disse månedene.

Tabellen ovenfor viser hva inntektene og kostnadene viste seg å bli.

7.90 Selvkost for en lader er 487 kr. Ønsket fortjeneste er 31 % av selvkost.

c

Sett opp en budsjettkontroll for June.

a

Hva koster en lader uten merverdiavgift?

d

Kommenter budsjettkontrollen.

b

Hva koster en lader inkludert merverdiavgift?


Oppgaver 349

a

Hva blir brutto månedslønn for Kevin?

b

Hvor mye vil en måneds arbeid gi i feriepenger året etter? Hvor stor blir arbeidsgiveravgiften hver måned?

d

Hvor store blir kostnadene for å lønne Kevin i en måned når alle sosiale kostnader, inkludert arbeidsgiveravgift, tas med i beregningen?

e

Hva blir lønnskostnaden per time?

g

b c

Hva er summen av varekostnadene og utgiftene for kiosken? Hvor mye ville kundene totalt betalt for pizzaene hvis han solgte alle pizzastykkene for 25 kr per stykk? Hva er prisen uten merverdiavgift for ett pizzastykke?

d

Hvor mange enkle pizzastykker må han minst selge for at inntektene skal bli større enn utgiftene?

e

Hvor store blir inntektene fra pizzasalget når 15 % merverdiavgift er trukket fra?

vu

7.92

a

rd

c

7.93 Lasse har solgt pizza på et idrettsarrangement, og varekostnaden for en pizza er 45 kr. På en pizza er det åtte pizzastykker. Under arrangementet har han solgt ett pizzastykke for 25 kr eller to pizzastykker for 45 kr. Han har kjøpt inn 90 pizzaer og hatt utgifter på 2835 kr for å gjøre i stand en kiosk med nødvendig utstyr til salget. Mot slutten av dagen teller han opp at han har solgt 412 enkle pizzastykker og 79 doble.

er in

7.91 Kevin jobber i kiosken på et badeland og tjener 202 kr i timen. Han arbeider 37,5 timer i uka, noe som tilsvarer 162,5 timer per måned. De sosiale kostnadene utenom arbeidsgiveravgift, men inkludert 12 % feriepenger, er 51 % av bruttolønna. Det må betales 14,1 % arbeidsgiveravgift av hele bruttolønna og av 80 % av de sosiale kostnadene.

f

Hvor mange pizzastykker har han ikke fått solgt ved opptellingen?

til

Den siste timen vurderer han å sette ned prisen på et pizzastykke til 10 kr for å få solgt ut mest mulig.

n

Anine driver en kafé og skal lage små porsjonspaier. Til 20 paier trenger hun 2100 g hvetemel, 1050 g smør, 30 egg, 1050 g ost, 42 dl melk og 800 g bacon. Lønnskostnaden til Anine er 292 kr/time, og hun bruker 45 min på å lage paiene. Pris

Hvetemel

9 kr/kg

Smør

26,40 kr for 600 g

Melk

16,90 kr/liter

Egg

46,50 kr for 12 egg

Ost

119 kr/kg

Bacon

60 kr for 420 g

Ku

Vare

a

Hva blir varekostnaden per pai?

b

Hva blir lønnskostnaden for å lage en pai?

g

Hvor mye vil hvert pizzastykke da bidra til å dekke utgiftene hans med når merverdiavgiften er trukket fra?

h

Hva blir sluttresultatet hvis han får solgt alle de gjenstående pizzastykkene til rabattert pris?

7.94 En TV blir solgt for 4852 kr med merverdiavgift. Inntakskost var 2500 kr, og de indirekte kostnadene utgjorde 15 % av inntakskost. a

Regn ut selvkost.

b

Hvor mange prosent av selvkost var fortjenesten?


350 Python på 1–2–3

Python på 1–2–3 Standardform

Vanlig tekst

print (f'<tekst> {<variabel>:.\ <desimaler>e}.')

print('<tekst>')

Eksempel:

er in

Eksempel: 1

g

Skrive til skjerm

print('Matematikk')

Resultat:

1

svar = 7/111

2

print(f'Variabelen svar har\ verdien {svar:.3e}.')

Resultat:

Matematikk

Variabelen svar har verdien 6.306e-02.

For hånd skriver vi 6,306 10 2 .

rd

Tekst og variabler print(f'<tekst> {<variabel>} <tekst>') Eksempel:

Hente inn opplysninger fra brukeren Eksempler:

tall = 2

2

print(f'Variabelen tall har\ verdien {tall}.')

vu

1

navn = input('Hva heter du?')

eller

tall = int(input('Skriv inn et heltall: '))

Resultat:

eller

Avrunding

til

Variabelen tall har verdien 2.

print (f'<tekst> {<variabel>}:.\ <desimaler>f'.)

n

Eksempel:

svar = 11/7

2

print(f'Variabelen svar har\ verdien {svar:.3f}.')

Ku

1

Resultat:

tall = float(input('Skriv inn et tall: '))

Matematiske operatorer Operator

Betydning

Eksempel

Resultat

+

addisjon

3+4

7

subtraksjon

3-4

-1

*

multiplikasjon

1.5 * 4

6.0

/

divisjon

5/2

2.5

**

potens

2 ** 3

8

//

heltallsdivisjon

34 // 7

4

%

rest

34 % 7

6

Variabelen svar har verdien 1.571.


Python på 1–2–3 351

Variabler

Sammensettinger med «not», «and» og «or»: Eksempel: 1

tall = 4

a > 3 or a < 7

g

Opprette variabel

Eksempel:

Oppdatere variabel tall = tall + 1 eller tall += 1 Variabler skal begynne med en vanlig bokstav.

Variabler kan inneholde bokstaver, tall og understreking, .

Variabler kan ikke inneholde mellomrom.

Datatyper

Vilkår if

<betingelse>: <instruksjon> elif <ny betingelse>: <instruksjon> else: <instruksjon>

rd

a == 34 and not a < 2

er in

1

Eksempel:

Datatype

Eksempel

str

streng (tekst)

'programmering'

int

heltall

1153

float

flyttall (desimaltall)

2.7182818

list

liste

['a', 3, 5, 1, 1, 1, 'b']

bool

sannhetsverdi (boolsk verdi)

vu

Kode

1

tall = int (input('Skriv inn\ et heltall: '))

2

if tall > 0:

3

til

4

n

elif tall == 0: print('Du tastet inn 0.')

5

True, False

6

print ('Du tastet inn\ et positivt tall.')

else:

7

print ('Du tastet inn\ et negativt tall.')

Bygge opp utsagn

Betydning

Ku

Relasjon ==

er lik

!=

er ikke lik

<

er mindre enn

<=

er mindre enn eller lik

>

er større enn

>=

er større enn eller lik

Løkker for-løkker Hvis du vet hvor mange ganger en løkke skal kjøre, bruker du for-løkke: 1

2

for <variabel> in range\ (<fra>, <til>, <steglengde>): <instruksjon>


352 Python på 1–2–3

Eksempel:

1 er mindre enn 20 2 er mindre enn 20 4 er mindre enn 20 8 er mindre enn 20 16 er mindre enn 20

for x in range(0, 10, 2): print(x)

2

Resultat: 0 2 4 6 8

er in

Funksjoner 1 2

1 2 3 4

range(0, 5)

0, 1, 2, 3, 4

range(5)

0, 1, 2, 3, 4

range(2, 5)

2, 3, 4

range(0, 5, 2)

0, 2, 4

10, 9, 8, 7, 6

4

til

while-løkker Hvis du ikke vet hvor mange ganger en løkke skal kjøre, bruker du while-løkke:

3

5 6 7

tall = f(1) print(tall)

rd

Verdi

def f(x): return x**2 - 8*x +1

print(f(4))

Resultat: -6 -15

vu

Kommando

range(10, 5, -1)

2

def <funksjonsnavn>(<variabel>): return <verdi>

Eksempel:

Tabell over range-kommandoen:

1

g

1

Resultat:

<variabel til betingelse> while <betingelse>: <instruksjon> <endre variabel>

Eksterne bibliotek Kommandoer for π og kvadratrot

import math Kommando

Betydning

Eksempel

math.pi

3,141 59 . . .

2 * math.pi * 6.5

math.sqrt()

kvadratrot

math.sqrt(88)

n

Eksempel:

grense = 20 verdi = 1 while verdi < grense: print(f'{verdi} er mindre\ enn {grense}') verdi = verdi * 2

Ku

1 2 3 4

5

Random import random Eksempel: 1 2 3 4 5

# Simulerer terningkast import random terning = random.randint(1,6) # Tilfeldig desimaltall\ mellom 0 og 1. tilfeldig_tall = random.random()


GeoGebra på 1–2–3 353

GeoGebra på 1–2–3 Du kan også velge «Innstillinger» fra hovedmenyen og trykk på symbolet

. Her kan vi sette navn på aksene.

g

Algebrafeltet I GeoGebra 6 skriver vi direkte inn i algebrafeltet:

rd

Vi kan også vise inntastingsfeltet ved å gå til hovedmenyen for innstillinger øverst til høyre under fanen «Vis».

er in

Vi kan organisere etter type objekt

Kommandoer og knapper Til mange av kommandoene er det laget knapper. For eksempel finner vi skjæringspunktet mellom to linjer ved å bruke kommandoen «Skjæring

vu

Grafikkfeltet Øverst i grafikkfeltet er det en linje med verktøyknapper. Når vi trykker på en knapp, kommer det opp flere alternative verktøy:

n

til

(<Objekt>, <Objekt> )» eller ved å trykke på

Ku

Nedenfor ser vi innstillingene for akser og rutenett.

Rutenett av og på

Vise akser

Avanserte innstillinger for grafikkfeltet

Vise/skjule innstillinger for grafikkfeltet

.

Tegne grafer Vi skriver uttrykkene våre i algebrafeltet. Tilhørende grafer vises i grafikkfeltet:


354 GeoGebra på 1–2–3

Finne skjæringspunkter mellom grafer og linjer Vi trykker på

Finne nullpunkter og ekstremalpunkter Vi finner nullpunkter med kommandoen «Nullpunkt( <Polynom> )» eller «NullpunktIntervall( <Funksjon>,

. Deretter markerer vi funksjons-

uttrykkene i algebrafeltet mens vi holder «shift» nede. Alternativt kan vi trykke direkte på grafene i grafikkfeltet. Vi kan også bruke kommandoen «Skjæring( <Objekt>, <Objekt> )»:

:

er in

g

<Start>, <Slutt> )». Vi kan også bruke knappen

rd

Vi finner toppunkt eller bunnpunkt med kommandoen «Ekstremalpunkt( <Polynom> )». Vi kan også bruke knappen

.

CAS Menylinje

til

vu

Skrive inn tekst I grafikkfeltet kan vi skrive inn tekst ved hjelp av knappen «tekst»:

Viser nøyaktig det som er skrevet inn

Ku

n

Viser et uttrykk eller et tall med eksakte verdier

Viser et tall eller et uttrykk med desimaltall

Regner ut uttrykk

Faktoriserer tall eller algebraiske uttrykk

Løser likninger og oppgir svarene med eksakt verdi

Bytter ut verdier i uttrykket med andre verdier

Finner f‘(x) når du oppgir f(x)

Løser likninger nummerisk. Svaret vises som desimaltall

Sletter markerte linjer

Finner f(x) når du oppgir f‘(x)


GeoGebra på 1–2–3 355

Forskjellen på «:¼» og «¼» Når vi bruker «:¼», er det for å definere eller sette en verdi. Skriver vi for eksempel f ðxÞ :¼ x2 , vil CAS bruke funksjonsuttrykket videre slik at f ð3Þ

Eksakte og numeriske løsninger Den eksakte løsningen til en likning finner vi med kommandoen «Løs( <Likning med x> )» eller knappen

:

g

er det samme som 32 .

er in

«¼» bruker vi til å løse likninger:

For å finne de numeriske løsningene (tilnærminger til desimaltall) bruker vi kommandoen

Regneoperatorer Betydning addisjon

subtraksjon

multiplikasjon

=

divisjon

^ eller

potens

Resultat

3+5

8

9-5

4

3*5

15

3/4

0,75

3**2

9

Røtter For å finne kvadratrota skriver vi «sqrt(< x>)». Vi kan få

til

þ

Eksempel

vu

Operator

svaret som et desimaltall ved å trykke på

Vi kan skrive eksponenter direkte ved å holde «Alt»-tasten nede. Skriver vi for eksempel «Alt+3» etter tallet 4, får vi 43 .

n

Løse likninger

Vi skriver inn likningen i CAS og trykker på

Ku

:

rd

«nLøs( <Likning med x> )» eller knappen

.

Vi kan også finne løsninger i et intervall ved hjelp av listeparenteser, «fg», i dette tilfellet når x > 0:

Til å finne n-te røtter bruker vi kommandoen pffiffiffi «nrot( <x>, <n> )». Dette er 3 8.

Formelredigering Vi kan gjøre om formler med kommandoen «Løs( <Likning>, <Variabel> )»:

.


356 Excel på 1–2–3

Excel på 1–2–3

Symbolene for å gange, dele og skrive potens står øverst på knappen. Du må holde Shift-knappen inne for å få tegnet.

Kvadratrot For å få kvadratrota av et tall skriver du =rot(tallet) før du trykker på Enter.

Legg merke til at tallet kan defineres som prosent, hvis du ønsker det. Legge til eller slette en kolonne Trykk på bokstaven for en kolonne, slik at kolonnen markeres. Høyreklikk og velg «Sett inn». Da får du opp en ny kolonne til venstre. Velger du «Slett», slettes kolonnen.

rd

For eksempel skrives kvadratrota av 9 slik: =rot(9)

g

Endre format på innholdet i en rute fra for eksempel tekst til dato Trykk på «Hjem». Ved å trykke på den lille pila til høyre får du opp ulike typer formater du kan velge mellom.

er in

Tastene pluss, minus, gange, dele og potens

Endre format på tekst og tall eller legge på farger Trykk på «Hjem». Der finner du formatverktøyet.

vu

Legge til eller slette en rad Trykk på tallet for raden. Høyreklikk og velg «Sett inn». Da lages det en ny rad ovenfor. Velger du «Slett», slettes raden.

n

til

Enkle eller doble kantlinjer rundt hele eller deler av ruta Ved å trykke på den lille pila til høyre kan du velge ulike typer kantlinjer.

Få en kolonne passe bred slik at all tekst synes Dobbeltklikk på linja mellom to ruter oppe i bokstavraden. Da vil kolonnen til venstre (her H-kolonnen) få passe bredde.

Få plass til mye tekst i en rute Plasser deg i ruta. Trykk på «Hjem» og velg «Bryt tekst».

Ku

Endre antall desimaler i et tall Trykk på «Hjem». Figuren til venstre øker antall desimaler. Figuren til høyre gir færre desimaler. Skrive et regnestykke I Excel skriver vi = først, så regnestykket. Deretter trykker vi Enter, for eksempel =5+7


Excel på 1–2–3 357

Summere tall som står etter hverandre i en kolonne Plasser deg i ruta under tallene. . Trykk på «Hjem» og velg «Summer»,

Vise formlene du har skrevet Trykk på «Formler» og «Vis formler».

Tallene vil også bli summert hvis du skriver =summer(A1+A2+A3) eller =summer(A1:A3)

Det kan være lurt å merke alle ruter som inneholder formler, med en egen farge. Da husker du hvor du har formlene.

rd

Lage en formel Plasser deg i ruta der du ønsker at svaret skal havne. Start med =. Skriv det aktuelle regnestykket. Klikk på rutene som har de ønskede verdiene som skal med i regnestykket, eller skriv inn navnet på ruta.

er in

g

Da vil eksemplet ovenfor se slik ut:

vu

Lime innhold fra Excel inn i Word som et bilde Marker rutene eller diagrammet du ønsker å kopiere fra Excel. Trykk Ctrl+C for å kopiere innholdet. Åpne et Word-dokument. Marker hvor i Word-dokumentet du ønsker å lime inn innholdet.

For eksempel får du regnet ut 4+5-6 hvis du skriver =A1+A2-A3.

Trykk på «Hjem» og den lille trekanten ved «Lim inn». Velg «Lim inn» som bilde.

til

Tallene vil også bli summert hvis du skriver =summer(A1+A2+A3) eller =summer(A1:A3)

n

Utskrift der kolonne-bokstavene og radnumrene synes Velg «Fil», «Skriv ut», «Utskriftsformat» og «Ark». Huk av «Rad- og kolonneoverskrifter».

Ku

Lime innhold fra Excel inn i Word som en tabell eller et diagram som kan redigeres Marker rutene eller diagrammet du ønsker å kopiere fra Excel. Trykk Ctrl+C for å kopiere innholdet. Åpne et Word-dokument. Marker hvor i Word-dokumentet du ønsker å lime inn tabellen. Trykk Ctrl+V for å lime innholdet fra Excel inn i Word.

Denne måten å lime inn innhold fra Exel på er ofte praktisk, fordi det da er enkelt å tilpasse bildet slik at det får ønsket størrelse.

Lime innhold fra Excel inn i Word som et bilde og få med rad- og kolonneoverskrifter Du kan bruke programmet «Utklippsverktøy». Åpne programmet. Velg «Ny». Definer den delen av skjermen du ønsker skal bli et bilde. (Nå er bildet lagret i minnet i datamaskinen.) Åpne et Word-dokument. Marker hvor i Word-dokumentet du ønsker å lime inn tabellen. Trykk Ctrl+V for å lime inn bildet.


358 Excel på 1–2–3

Legge til en serie i et diagram Skal du for eksempel ha flere linjer inn i et linjediagram, kan det være enklest å lage diagrammet med en linje først og så legge til flere linjer etterpå. Marker da diagrammet du har laget, høyreklikk og velg «Merk data».

slik at dette vinduet dukker opp:

Trykk på «Legg til».

Marker rutene for akseetikettene. Vinduet vil da endre seg til noe som likner på dette:

I feltet for «Serienavn» kan du klikke på den ruta i regnearket som inneholder navnet på serien. I feltet for «Serieverdier» kan du markere hvilke ruter som inneholder verdiene for serien du skal legge til:

rd

er in

g

Endre verdiene på den vannrette aksen i et diagram Marker diagrammet du har laget, høyreklikk og velg «Merk data». Trykk på «Rediger» under «Vannrette (kategori) akseetiketter»:

Trykk på OK.

til

vu

Endre navn på en serie Marker diagrammet du har laget, høyreklikk og velg «Merk data». Marker serien du vil bytte navn på (her: Serie 1) og trykk på «Rediger».

Sentralmål

n

Du får nå opp dette vinduet:

Ku

Under «Serienavn» kan du markere den ruta i regnearket som inneholder serienavnet. Trykk OK til slutt.

Legge til tittel på loddrett eller vannrett akse Marker diagrammet og velg «Legg til diagramelement». Velg «Aksetitler» og «Primær vannrett» eller «Primær loddrett».

For å finne gjennomsnittet: =GJENNOMSNITT(A1:A6) For å finne typetallet: =MODUS(A1:A6) For å finne medianen: =MEDIAN(A1:A6) For å finne variasjonsbredden: =MAKSA(A1:A6)-MIN(A1:A6)


Kapittel 1 1.10 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

1.2 a 99,1

1.11 a 20

c 29

b Tallene er like store.

b 0

d 30

e 30

c 1

f 1,65, 1,7, 1,75

b 12

d 40

1.3 a 445

446

1.13 a 97

b 0,01

0,01

b 22,8

c 10 041 000

75 000

d 98

f 6,312

b 271 000

d 21,95

1 a større enn : 2 3 6 5 4 7 6

49 50

til

c 6,55

1.6 a 20

c 250

e 19,5

b 40

d 45

f 124,300

c 60

b 120

d 372,6

Ku

n

1.7 a 75

1.8 a 3

c 5

b 0

d 3

c 39,69 d 3

1 b lik : 2 29 58

500 1000

e 8 pffiffiffiffiffi f 12 3,5

4 8

16 17

0 2 3

b

1 6

1.21 a 0,75 ¼ 75 %

d 1,20 ¼ 120 %

b 0,60 ¼ 60 %

e 0,26 ¼ 26 %

1.23 —

21 15

5 3

1 2 8

2 3

1 7

1.22 —

1.16 16 32

d

c 0,16 ¼ 16 %

1 c mindre enn : 2 4 2 49 9 5 100

1 5

e

1.20 a Cecilie 1600 kr, Mia 1920 kr, Leon 1280 kr 4 b Leon får av 4800 kr. 15

vu

e 51,66

1.15

1.5 a 378,6

b 144

c 17 649

1.14 5 1 fargelagt, ikke fargelagt 6 6

1.4 —

1.9 a 16

1.19 a Jonas

rd

e f.eks. 890,13

1.12 a 19

7 20

c

1.18 100 1 2 4 5 ¼ ¼ ¼ ¼ 300 3 6 12 15

c 44,52 d f.eks. 19,981

1.17 1 a 2 3 b 10

er in

1.1 —

g

FASIT

2 17 10

1.24 a 3%

b 5%

c 1,6 %

d 3,6 %

1.25 Cecilie: 33,3 % Mia: 40,0 % Leon: 26,7 %


360 Fasit

b 168 kr

d 2,25 kr

1.37 a x¼3

e x¼4

e 2062,50 kr

b x¼3

f x ¼ 11

c x¼6

g x ¼ 13

c 203,67 kr

1.46 12 appelsiner, 6 bananer og 9 epler

d x ¼ 11 c 38 elever

b 120 hus

d 2650 kr

1.28 a 1500 kr

b 750 kr

c 250 kr

1.29 90 L

d x ¼ 10

1.39 a x skal stå for prisen på én billett. x ¼ 28

c 12,5

1.49 a 32

b 66

c 15

1.50 — 1.51

b Hvis x står for Natalies beløp, blir likningen x þ ðx 25Þ ¼ 265.

b 18 900 kr

vu

Hvis x står for Sofies beløp, blir likningen x þ ðx þ 25Þ ¼ 265.

c Sofie har 120 kr, Natalie har 145 kr.

1.41 Grov sammalt rug: Fint hvetemel: Grovt sammalt hvetemel:

til b 23 704,20 kr

n

1.35 a Hvis prisen settes ned 10 %, koster varen 10 % mindre enn 100 %, altså 90 %.

b Hvis lønna øker med 5 %, blir lønna 5 % mer enn 100 %, altså 105 %.

Ku

2 3 10 , , 10 15 50 2 40 20 og b , 3 60 30

a F.eks.

rd

1.40 a x kan stå for Natalies beløp eller Sofies beløp.

1.33 —

1.36 Ca. 450 gram

b x ¼ 27

b 380

c Hver billett kostet 28 kr.

1.32 —

1.34 a 23 517,00 kr

c x¼2

b 15x ¼ 420

1.30 Ida 1.31 a 18 540 kr

1.48 a 4500

1.38 a x ¼ 35

b 290

er in

1.27 a 3861,20 kr

1.47 a 36,9

g

1.26 a 306 kr

0,4 kg 0,8 kg 0,8 kg

1.42 Skjorte 300 kr, sko 900 kr

1.43 Roberts tomt: 500 m2 , Franks tomt: 1000 m2 Ja 1.44 5 katter, 2 hunder og 10 kaniner 1.45 30 murblokker

1.52 1 4 1.53 15,4 % 1.54 20 150 kr 1.55 a 999 kr 0,80

b 799 kr

1.56 a x¼2

c x ¼ 28

b x¼4

d x¼2

1.57 Ali 4 lodd, Alma 6 lodd og Anette 3 lodd. 1.58 —


Kapittel 1 361

c 0,025

1.60 a 250

b 455

c 35 000

d 45

1.61 a 52,350

b 49,990

c 2,95

1.62 a f.eks. 35,3 og 35,4

1.83 c 14

b 10

d 80

a 12

1.72 a 55

b 20

1.73 a 134

c 110

b 42,3

d 131

c 25

1.85 15

1.74 5

b f.eks. 0,2555 og 0,2556 c f.eks. 24,154 og 24,155

1.75 a 650

b 33

d 120

1.76 87 96

1.64 a 24 700 000

d 9,80

b 354

e 0,340

c 35,86

f 0,0005

b 5

b

6 1 ¼ 12 2

c

4 1 ¼ 8 2

1.78 2 6 50 3 10 ¼ ¼ ¼ ¼ 4 12 100 6 20

1.65 35 000 1.66 a 25

b 30

c 120

1.67 a 65

b 100

c 120

til 1 10

n

0

b 30

c 10

d 10

1.69 a 70

c 35,400

b 710

d 89,00

1.70 a 272

b 455

e 1000

c 495

7 10

4 5

1 2

1.82 8 a 3

b

b

1 5

1 5

3 20

1.86 a 12 %

c 50 %

b 90 %

d 1%

1.88 a 50 %

c 1%

b 75 %

d 10 %

1.89 a 4,20 kr

d 105 kr

b 42,00 kr

e 2,10 kr

1.90

10 10 1

2

3 2

1.80 1 2 8 3 9 6 5 16 4 10 1.81 1 a 2

d

c 210 kr

1.79

Ku

1.68 a 10

1.77 1 a 6

1 2

b 180

rd

c 130

c

1.87 —

vu

1.63 a 33

1.84 1 a 4

b 10

g

b 73,65

1.71 a 13

er in

1.59 a 365

c

c

3 4

5 4

d 6

a 0,45 ¼

45 100

d 2,20 ¼

b 0,28 ¼

28 100

e 0,155 ¼

155 1000

c 0,05 ¼

5 100

f 0,005 ¼

5 1000

220 100

1.91 a 88

c 440

e 6600

b 880

d 4400

f 220

1.92 250 km 1.93 12,5 % 1.94 800 kr


362 Fasit

1.96 Rødt: 61,4 % Blått: 20,5 % Hvitt: 18,2 %

Kapittel 2

1.109 a 30

c 16

e 39

b 6

d 7

f 11

1.110 a 60

b 12

b 11

1.99 —

1.113 16 000 kr

1.100 —

1.114 21 000 kr

1.101 —

1.115 4 cm

1.103 150 kr

vu

b 18 414 kr

b 2

d 4

f 50

Ku b 60

c 40

1.108 a 2x ¼ 54, x ¼ 27

b Kiloprisen på bananer var 27 kr.

b mm

c dm

e ml

d cm

f g

2.3 a 0,35 m

c 4,8 cm

b 35 000 m

2.4 — 2.5 — 2.6 —

1.117 37,5 %

2.7 a 250 g

til e 10

n c 3

2.2 a cm

1.116 13 år og 26 år

1.118 I butikken med 15 % avslag på 630 kr

1.106 a 3

1.107 a 20

c 1

rd

1.112 162,5 km

1.105 Mindre

e 0,84 mm

er in

1.111 a 3

1.98 —

1.104 3337,50 kr

d 46,8 mm

b 7030 mm c 567 mm

1.97 —

1.102 a 18 180 kr

c 8

2.1 a 350 mm

g

1.95 2 931 580 personer

1.119 Evelyn: 36 Natalie: 38 Laura: 39

1.120 Bjørn: 17 Anders: 20 Charlie: 34

c 3,065 kg

b 0,000 43 kg

2.8 a 0,5 L

b 75 cl

2.9 Denne oppgaven kan løses ved å gjøre om til ulike målenheter. Dette er løsningsforslag: a 8,2 km ¼ 8200 m b 88,5 cm ¼ 8,85 dm c 695 g ¼ 0,695 kg d 3,047 g ¼ 3047 mg

1.121 27 1.122 10 sauer og 15 høner

c 1,26 L

e 2,0 L ¼ 2000 ml f 8,7 dl ¼ 0,87 L


Kapittel 2 363

c 270 min

b 205 min

d 0,75 h

2.21 a 8,79 m3

3

c 6 324 mm

2.22 52 bpm

Jarle tjener 700 kr.

2.12 a 0,035 A

2.24 a 5,78 m=s eller 20,8 km=t b 3 t 52 min 4 s

2.13 a 80 366 mm ¼ 80,366 m

2.25 117 km=t

b 0,389 mm ¼ 389 mm

b 12,8 megapiksler c m2

c 10,3 tommer

b cm2

d dm3 (L)

d 26,2 cm

2.27 a 0,975 kWh

b 1,17 kr

2.28 a 300 000 000 biter

c 48 cm

b 37,5 MB/s

d 48 000 mm3

c 72 s

til

3

b 1600 mm

d 30 MB=s ¼ 240 Mbit=s

2

b 25 cm

n

2.17 a —

c 250 mm2

Ku

2.18 a 20 000 cm2 b 0,045 m2

2.19 a 3,15 km2

b 50,67 cm2

2.20 45 cm3

c 14,027 m3

c 20

b 199

d 11

2.36 a 8

c 343

b 1C

d 40B

2.37 a 1100 0000.1010 1000.0011 0101.00001000 og C0.A8.35.8

2.29 a 300 W

b 1100 0000.1010 1000.0000 0010.00001011 og C0.A8.2.B c 192.168.201.17

vu

2.14 a dm2

2

d 149 og 95

rd

2.26 a 12 780 288 piksler

c 0,3833 L ¼ 383,3 ml

2.16 a —

b 7 og 7

2.35 a 59

b 35 000

d Petter

c 11 og B

er in

c 0,048 kW

b Ida

2.34 a 5 og 5

b 6,154 m

2.23 Michael

c Ida

b 3A

3

2.11 Fra kl. 9.00 til kl. 13.50 er det ti påbegynte halvtimer. Han får lønn for fem timer.

2.15 a Petter

2.33 a 111010

g

2.10 a 80 s

d 192.168.78.15 Stemmer påstandene? 1 ja

4 nei

6 ja

2 nei

5 ja

7 ja

3 ja

2.38 a 30 mm

c 1240 dm

b 14 000 m b 12,6 kW

2.30 2, 16, 128, 8, 32, 64, 1, 256 og 4 2.31 1000000, 1000001, 1000010 og 1000011

2.39 a 12 000 g

c 3000 kg

b 0,125 g

2.40 a 0,04 L

b 4,6 cl

c 3,8 dl

2.41 2.32 a 111 b 1110111

a 3,67 dm2 c 11011101

b 45 000 m2

c 45 cm2


364 Fasit

2.42 a 2000 cm3 3

b 12 dm

2.51 a 135 min

c 300 s

b 4t

d 2 t 15 min

2.64

c 3600 dm ¼ 3,6 m3 3

2.66 a 2,3 m3

c 36 kWh

2.54 —

b 2283 W

2.45 a 111101 b 3D

b 5,1 cm ¼ 51 mm d 6,0 g ¼ 6000 mg

c 18 timer

e 7,0 L ¼ 70 dl

b 0,45 GB

2.47 C

0,43 dm

E

2.56 7 t 30 min ¼ 7,5 t

vu

B

2.57 a 1 000 000 W

b 0,012 mF

D

7,8 cm

2.58 6,214 engelske mil

til

6,1 cm

a 26 m2 ¼ 2600 dm2 b 9 dm2 ¼ 900 cm2

c 1,001 km2 ¼ 1 001 000 m2

2.68 a 2 m3 ¼ 2 000 000 cm3

f 87 cl ¼ 870 ml 58 mm

2.67

rd

c 400 g ¼ 0,4 kg

2.46 a 7,5 MB/s

10,4 cm

b 2500 cm3 ¼ 2,5 dm3 c 2 dm3 ¼ 2 L

2.69 a 3,15 km2 b 15,25 cm2

2.70 Høyst 50 kort

2.59

2,0 cm

3,6 m2

A

n

F

b 2,6 GB

Ku

2.48 a 20 min 26 s

2.49 1,1 k þ 1,1 k þ 300 þ 300 þ 100 2.50 a 0,650 g

b 0,7 L

c 3200 dm3

b 3,5 cm3

2.55 a 3,7 km ¼ 3700 m

c 1234

er in

2.65 4,5 dl

2.53 —

g

1,2 m3

2.52 —

2.43 88,2 km=t og 95,4 km=t 2.44 a 8760 timer

2.63 Like store

c 42 000 m

2.71 2,16 m2

2.60 0,94 L Nei, han har ikke nok.

2.61 a 200 dm2

c 1000 mm2

b 5000 cm2

2.62 a 1500 cm3 b 2 000 000 cm3

2.72 7350 L 2.73 625 cm2 2.74 96 bpm

c 2 m3

2.75 40 kunder (40,9)

c 17,3 m2


Kapittel 3 365

2.78 5 ml

c 77

3.3 a 60 % i begge legeringene

b 56

d 240

b 25 % i begge legeringene c I hvitt gull er om lag halvparten av kobberet byttet ut med palladium.

2.90 a 4E

c 1EAA

b 9C

d 301A

c 2011

b 100, 108, 180, 1E8

2.80 a 14 L

b C0.A8.1.1

2.93 a 24 min (24,4 min)

b CD-spiller

b 15 GB

d I 1997 brukte nesten alle CD-spiller, og noen få brukte kassettspiller. I 2018 brukte bare noen få CD-spiller, mindre enn 1 % brukte kassettspiller, og nesten alle brukte lydfil på smarttelefon.

2.94 a 7 000 000 kW

b 168 000 000 kWh

2.83 —

c 61,3 TWh d 15,3 TWh

til

2.84 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16 384

n

2.85 0010 1000, 0010 1001, 0010 1010, 0010 1011

c 0101 1011 0000

Ku

2.86 a 1110

b 1101 1001

b litt over 60 %

3.6 a 22 %

c C0.A8.1.FF

vu

2.81 Gammel snø: høyst 83 cm Våt snø: høyst 63 cm 2.82 —

2.92 a 1100 0000.1010 1000.0000 0001.0000 0000

3.5 a aldersgruppa 16–24 år

rd

b Luna bør kjøpe fem spann på 2,7 liter og et literspann. Da har hun 14,5 L.

3.4 a litt under 140 000 biler b 2017

2.91 a —

2.79 70,6 km=t

g

2.77 15 m=s

2.89 a 178

er in

2.76 72 km=t

c 2012

3.7 a 32 % b i 2015

Kapittel 3

3.1 a Antall sysselsatte i papirindustrien i Sarpsborg ble nesten halvert fra 2011 til 2012. I samme periode økte til å begynne med antall sysselsatte i papirindustrien i Oslo, for deretter å gå ned.

2.87 a 1000 0000

b 80

c 269 personer

2.88 a 3 og 3

c 79 og 4F

3.2 a fire kamper

c Manchester City

b 5 og 5

d 183 og B7

b 10 poeng

d 21 poeng

b 573 sysselsatte

c Andelen som lytter på radio, har vært nokså konstant. Andelen som har tilgang til DAB, har økt til over 70 %, og andelen som lytter til DAB, har også økt mye de siste årene.

3.8 a studieforberedende b studieforberedende c mellom 70 000 og 80 000

3.9 a —

c onsdag

b torsdag

d sju avbrudd


366 Fasit

3.14 a

b antall kast

3.11 Antall timer

Frekvens

3

2

4

4

5

5

Tid (min)

Frekvens

86,3

2

86,7

2

86,8

3

86,9

1

87,0 87,1

6

7

7

4

87,2

8

3

87,3

Sum

25

87,5 Sum

G A

g

c —

3.16

F

er in

3.10 a —

3

E

D

4

B

C

1

A Søvn

5

B Undervisningstimer på skolen

3

C Måltider

D Fysisk aktivitet

24

E Lekser

rd

3.12

F Være med venner

½120, 130i

1

Tidsintervall (min)

Frekvens

½130, 140i

10

½86,0, 86,5i

2

½140, 150i

7

½86,5, 87,0i

6

½150, 160i

2

½87,0, 87,5i

16

4

2

4 2¼8

5

3

5 3 ¼ 15

6

4

6 4 ¼ 24

7

5

7 5 ¼ 35

Ku

8 6 2

Tidsintervall

Frekvens

½12:50, 13:00i

2

½13:00, 13:10i

6

½13:10, 13:20i

1

½13:20, 13:30i

2

½13:30, 13:40i

2

5

8 5 ¼ 40

9

5

9 5 ¼ 45

½13:40, 13:50i

1

10

4

10 4 ¼ 40

Sum

14

11

2

11 2 ¼ 22

Sum

30

229

c 229 telefoner

10

4

8

b 30 svar

12

b ½13:00, 13:10i

Medietekniker

Mobiltelefoner frekvens

Antall elever

14

Medieprodusent

Frekvens

n

Antall mobiltelefoner

24

3.15 a

til

3.13 a

Sum

3.17 a

Mediedesigner

20

G Annet

IT-utvikler

Sum

vu

Frekvens

IT-driftsteknikker

b

Timelønn


Kapittel 3 367

3.19 a Vindstyrke

16

Prosent på batteriet 120

12

Vindstyrke 10,8 m/s

10 8

60

6

40

4

20

2

0

1. aug 2. aug 3. aug 4. aug 5. aug 6. aug 7. aug

b to dager

Mediedesigner (8 elever – 16 %)

3.22 a

3.20 a

Antall gigabyte

36

Antall millioner 250 200

9% 10 %

24 18

vu

150

30

12

100

6

50

81 %

2017

0

År

r

2015

pe

2013

Ap

2011

t

3.18

ne

300

An

Medietekniker (7 elever – 14 %)

b 275 km

rd

Medieprodusent (14 elever – 28 %)

75 100 125 150 175 Km kjørt

Ly d

IT-utvikler (9 elever – 18 %)

50

er

IT-driftstekniker (12 elever – 24 %)

25

ld

8 16 %

80

o

9 18 %

er in

14 28 %

100

g

14

Bi

12 24 %

de

7 14 %

3.21 a

Vi

b

b

b

Lyd 1,7 GB

til

300 250

200

Sink (10 %)

150

Nikkel (9 %)

100

Ku

n

Kobber (81 %)

50

Annet 5,9 GB Bilder 8,5 GB

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 År Antall millioner samlet inn Antall millioner samlet inn justert til 2017-nivå

Video 12,2 GB

Apper 17,3 GB


368 Fasit

36 30 24 18 12

Apper

Video

Bilder

Lyd

Annet

Simens telefon Peters telefon Nadias telefon

3.23 a 2,07 m

c 2,43 m

b 2,05 m

d 0,55 m

c 77 elever

b 795 kr

d 810 kr

3.25 a 77 treff

c 64 treff

b 67,3 treff

d 66,5 treff

e 2 søsken g

3.27 a 374 kr=time (ikke så høyt med tanke på alle kostnadene han har) b 355 kr=time

n

c 645 kr=time d 118 kr=time

Ku

e 527 kr

3.28 —

3.29 a kl. 02.10

b 8640 observasjoner c punktum d komma

80 70 60 50 40 30 20 10 0

Antall kunder

[0, 10Ò

[10, 20Ò [20, 30Ò [30, 40Ò [40, 50Ò Antall minutter per kunde

b 43 km c 9 km

Antall søsken

Frekvens

0

77

1

272

2

217

3

55

4

27

5

18

6

31

7

2

til

b 36 t

d

3.34 a 12,0 km

d 1,8 søsken

vu

c 817,50 kr

3.26 a 50 min

b Det er tre svar som har svært høye verdier. Det er nr. 96, som sier 56 søsken, nr. 115, som sier 42 søsken, og nr. 544, som sier 73 søsken. Disse svarene bør slettes.

f 7 søsken

3.24 a 1230 kr

c 17 min

rd

0

3.31 a 702 elever

b 38 min

er in

6

3.33 a 16,9 min=kunde

d

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Antall personer

[0 ,5 Ò [5 ,1 0Ò [1 0, 15 Ò [1 5, 20 Ò [2 0, 25 Ò [2 5, 30 Ò [3 0, 35 Ò [3 5, 40 Ò [4 0, 45 Ò

Antall gigabyte

g

3.30 Både datoene og temperaturene ville da blitt splittet opp. For eksempel ville 01.01.2019 blitt lest som de tre tallene 1, 1 og 2019 og 7,086 ville blitt lest som tallene 7 og 86.

c

Antall km til jobb

e 105 ansatte

h

300

Stemmer påstandene?

Frekvens

250 200

1 nei

3 nei

5 ja

2 nei

4 ja

6 nei

7 ja

150

3.35 a ca. 380 000 lyttere

100 50 0

b ca. 100 000 lyttere 0

1

2

3.32 a 93 900 000 m3 b 264 865 m3 c 28 fastboende

3

4

5 6 7 Antall søsken

c kanal 1 d fra litt før kl. 12.00 til litt etter kl. 14.00


Kapittel 3 369

b

3.42 a arbeidsgiveravgift og trygdeavgift

b 20 %

30 %

b ca. 600 mrd. kr

Høyde

Frekvens

½150, 160i

1

½160, 170i

8

½170, 180i

6

½180, 190i

4

fettsyrer (20 %) Mettede

½190, 200i

1

Enumettede fettsyrer (50 %)

Sum

20

Flerumettede fettsyrer (30 %)

c ca. 250 mrd. kr 50 %

3.43 a 1460 kWh

c 180 grader

d 171,7 cm

d mettede: 72 grader flerumettede: 108 grader

3.39 a

3.37 a søylediagram b varehandel, hotell og restaurant, . . . d om lag 3700

3.38 a

c fra litt over 1000 Hz til omtrent 15 000 Hz

Frekvens

½3,0, 4,0i

4

½4,0, 5,0i

6

½5,0, 6,0i

5

½6,0, 7,0i

3

½7,0, 8,0i

0

½8,0, 9,0i

1

½9,0, 10,0i

1

til

Antall gram

b 5,3 MB

Vann

Fett

Karbo- Protein Fiber, salt hydrater og vitaminer

Ku

d 5,0 MB

b ca. 1,35 m2 c over 60 tommer d under 70 tommer

3.46 a industri, olje og gass, sjøfart, luftfart, annen mobil forbrenning og jordbruk

c 2015

e 6,4 MB

3.40 a 220 kr

3.45 a ca. 1,1 m lang og ca. 0,60 m bred

b energiforsyning, oppvarming, veitrafikk, avfall og avløp

c 4,8 MB

n

70 60 50 40 30 20 10 0

b Verdiene på den vannrette aksen går fra 20 til 20 000 Hz. Økningen i antall hertz blir tettere og tettere. Det første trinnet øker med 20, mens det siste øker med 10 000. (Det er en logaritmisk skala.)

vu

c om lag 200

3.44 a dyp tone

rd

f 31 cm

c 10 775 kr

er in

c ½160, 170i e ½170, 180i

b mindre

g

3.36 a 20 elever

b 86 kr

c 948 kr

3.47 a 76 000 forestillinger b 10 %

3.41 a ca. 85 kjøretøy b ca. 75 kjøretøy c ca. 240 kjøretøy

c i 2011 (23 %) d svak økning inntil et hopp på begynnelsen av 2000-tallet; har stort sett holdt seg der de siste årene


370 Fasit

3.48 a 1952

3.52 a 16 elever

b ca. 25 000 mennesker

b

Måned født

Frekvens

1

1

2

e innvandring – utvandring

3.49 a ca. 165 000

Antall kunder

Frekvens

5

½120, 140i

7

3

2

½140, 160i

3

4

0

½160, 180i

6

5 6

b ca. 125 000 kvinner

7

c Antall personer i aldersgruppa 10–14 år er stort sett uendret, men antall personer i aldersgruppa 45–49 år har omtrent doblet seg.

8 9 10 11

Frekvens

0

3

1

2 4

3

6

4

3

5

2

Ku

1

3.55 a 27 dyr

0

b

1

3

Tidsperiode

Antall dyr

2

½00:00, 04:00i

3

0

½04:00, 08:00i

3

0

½08:00, 12:00i

4

½12:00, 16:00i

4

½16:00, 20:00i

3

½20:00, 24:00i

3

2

c 5 elever

d 11 elever

vu

2

½180, 200i

2

rd

Timer

3.53 a 26 minutter b 32 minutter c

n

3.51 —

12

d

c Det passerte flest dyr per time i tidsrommet mellom kl. 8 og kl. 16.

3.56 a Tidsintervall

Antall netter

Minutter

Frekvens

26

1

½5,5, 6,0i

1

27

3

½6,0, 6,5i

4

28

4

½6,5, 7,0i

3

29

4

½7,0, 7,5i

12

30

1

½7,5, 8,0i

2

31

3

½8,0, 8,5i

3

32

1

Minutter

Frekvens

½26, 30i

12

til

b

c

g

d Flere mennesker flyttet ut av enn inn til Norge.

b 120 kunder

er in

c litt over 40 000 mennesker

3.50 a 20 dager

3.54 a 19 dager

½30, 34i

5

b 7–7,5 timer

3.57 a over 30 år b ca. 25 år

c 18–30 år


Kapittel 3 371

3.58 —

3.61 —

3.59 —

3.62 —

3.60 a 115 148 personer

3.63 —

3.70 a gjennomsnittstid: 29 min b typetall: 28 og 29 min c variasjonsbredde: 6 min

g

3.71 a gjennomsnitt: 154,3 kunder pr dag b variasjonsbredde: 71 kunder

3.64 a —

A

F

er in

b

3.72 a ca. 41 %

b —

b gjennomsnitt: ca. 25 %

c om lag 4 millioner mennesker B

E

3.65 a Storbritannia

c —

b —

3.66 a 2712

C

Deltakere på arbeidsmarkedstiltak

B

Under ordinær utdanning

C

Mottakere av arbeidsavklaringspenger

D

Mottakere av uføretrygd

E

Andre ordninger

F

Ukjent status

c —

c variasjonsbredde: 1776 km

d linjediagrammet

e Salget har blitt lavere i løpet av perioden.

til

3.67 a 2 879 000 daa b 785 000 daa

c

3.75 a litt over 14 TWh

d ca. 11 TWh

c —

b ca. 8 TWh

e ca. 7 TWh

d —

c ca. 130 TWh

3.68 a gjennomsnitt: 3,8

300 000

n

250 000 200 000 150 000

Ku 50 000

Ar

ids

Or

ma

rk ed din st ilta æ be ru k ids t da av nn kla ing rin gs pe ng er Uf ør et An ry dr gd eo rd nin Uk ge r jen ts ta tu s

0

3.76 a 46 min

b 15 min

c 230 t

b median: 3 c typetall: 3 d variasjonsbredde: 4

100 000

be

3.74 Gjennomsnitt: 3,33 Median: 3 Typetall: 3 Variasjonsbredde: 5

Antall personer

350 000

Ar

13 916 km

b gjennomsnitt: 12 874 km

vu

A

b 47 %

3.73 a 2007

rd

D

c gjennomsnitt: ca. 40 %

3.77 a 280 personer

d 3,3 ganger

b 8 ganger

e 4 ganger

c 10 %

3.69 a 20 dager

c 3 timer

b 3,35 timer

d 5 timer

3.78 a 500 personer

c 392 dager

b 0 dager

d 57,5 dager


372 Fasit f

200

Antall personer

3.86 a 15,703 milliarder kroner

180

b

160 140 100

12

80

d 2 C

10

60

8

40

6

20

4

e 19 C f 10,8 C

0

1

g 11,0 C

3.80 a i 2019, med 32 930 personer

2

3

4

c i 1999, netto 2311 personer

3.83 —

e —

3.84 a fem terninger

rd

d 32 %

vu

b 4

3.87 —

c 4 4 4 6 6

3.85 a 1650 kr

3.81 a 520 personer

b 1014 kr

b 3,75

c 86 kr

c 4

til

d

d 80 personer

500

Karakter 1

Frekvens 23 86

3

85

4

188

Ku

n

2

5

80

6

58

0

c ca. 1/5

d i 2017, netto 2376 personer. Totalt flyttet flere personer ut av enn inn i byen. f De første årene var det vanligst å flytte inn i byen. De siste årene er det vanligere å flytte ut av byen.

2

6 Karakter

3.82 Datasett 1 og 5, datasett 2 og 4, datasett 3 og 6

b —

e

5

M ob il o gn Hu et sh tb old re tt nin gs ap pa ra te r Ly do gb ild e

c 21 C

Milliarder kroner

g

14

er in

120

b —

PC W ea ra ble s

3.79 a Målingene de siste årene er litt usikre. De eldste målingene er kanskje enda mer usikre.

Pris per karusell (kr)

400

3.88 a 1989

c 77,9 %

b —

d 7,7 prosentpoeng

3.89 — 3.90 a eneboliger

c —

b boligblokker

d —

300 200

3.91 a 437 g

100 0

1

2

3

4

5

6

7 8 9 10 Antall karuseller

b 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

Gram

0

50

100

c litt mindre enn 70 ark

150

200 Antall ark


Kapittel 4 373

4.11 a 73,4 F

b median: 7,2 m=s gjennomsnitt: 7,7 m=s variasjonsbredde: 35 m=s c —

4.12 a 40 km

d Det er oftest lav og middels høy vindstyrke, men av og til er vindstyrken svært høy.

4.13 a 70 V

Kapittel 4

4.14 a 6,25 J

b —

b 59 F

b R ¼ U=I

c 7,7 m=s 28 km=t

b —

d —

d 12,6 m=s 45 km=t

4.15 154,4 g d —

b 20

e A ¼ n2 þ n

c 110

f figur nr. 24

4.16 a 54,8 kWh 4.17 a 1700 MB

4.3 —

c —

b —

d A ¼ 3n þ 2

c 15,4 cm

c L ¼ 3x þ 200

4.21 a 9,6 W

b L ¼ 2000 þ 200t

4.22 a 43,2 GB

Ku 4.7 a —

b 25,2 GB

4.9 a 2700 kr

b 32 s

4.19 a 1,3

4.20 a 510 m

4.8 a 4000 kr

b 197,1 MJ

b 5,5 tommer

4.6 fn ¼ n3

b —

b I ¼ 100x þ 130y

e —

c 350 g

4.24 a —

c —

b 15 og 31

d tjue siffer

Stemmer påstandene? 1 ja

3 nei

2 nei

4 ja

5 nei

4.25 a — b —

d Figur n: B ¼ 4n þ 1

b 26 cm

n

4.5 3n2 þ 4n

b 240 g

c Figur 4: 17 brikker Figur 5: 21 brikker Figur 6: 25 brikker

4.18 a 9,7 cm

til

4.4 a —

c 23 Ω

vu

4.2 a —

d —

rd

c 33

c 23 F

b 60 km

b 12,25 J

4.1 a —

c —

4.23 a —

g

4.10 a K ¼ 1,31x

er in

3.92 a Observasjonene 29, 105 og 185 bør slettes.

4.26 a 1000 kr

c L ¼ 500 þ 100x

b 1500 kr

4.27 a 125 kan være prisen for jobben med å ramme inn. 350 kan være prisen per løpemeter rammelist. b 545 kr c 7200 kr

b 0,35 s

b 1,7 A

c 14 s

4.28 a B ¼ 0,35x

c Omtrent 13 kr.

b 0,84 L

d 4,3 mil

4.29 a 5,7 m

b 0,87 m


374 Fasit

b Figuren øker med to ruter for hver gang, en rute oppover og en rute bortover.

b Nederst er det en vannrett rad som øker med tre for hver gang. Antallet sirkler i raden er figurtallet 3 2. Over raden er det et kvadrat som på figur 3 har 3 3 sirkler, på figur 4 er det 4 4 sirkler, osv.

c Figur 10 vil ha ti ruter oppover og ti ruter bortover. Antall ruter til sammen blir 19.

4.31 a —

c Figur 4: 26 brikker

b For hver figur får vi en ny trekant ved å legge på to fyrstikker.

e B ¼ 3n 2 þ n n

c Figur 12 vil ha tolv trekanter. Antall fyrstikker blir 25.

4.36 —

4.32 a —

4.37 a 36 flere kuler

b For hver figur øker området i midten av figuren med en rad i lengderetningen og en rad i bredderetningen. De fire rutene i hjørnene kommer alltid i tillegg.

b Figuren består av lag med kuler, der det øverste laget har 1 1 kuler, det nest øverste laget har 2 2 kuler, osv. I det nederste laget er antall kuler lik figurnummeret ganget med figurnummeret ðn nÞ.

d Figur 5: 38 brikker

4.40 a 5 km: 13,80 kr 5 þ 91 ¼ 160 kr 10 km: 13,80 kr 10 þ 91 ¼ 229 kr 15 km: 13,80 kr 15 þ 91 ¼ 298 kr b P ¼ 13,80x þ 91

g

4.35 a —

4.41 a 375 kr for en time, 750 kr for to timer og 1125 kr for tre timer

er in

4.30 a —

b P ¼ 375x c 4500 kr

4.42 a T: temperatur

5: temperaturen faller med 5 grader per time

vu

rd

95: starttemperatur på kakaoen t er uavhengig variabel, og T er avhengig variabel.

b 70 Ja, det kan stemme.

c Området i midten blir 100 100 ruter. I tillegg kommer de fire rutene i hjørnene.

c 385 kuler

4.43 a L ¼ 150x þ 180y

d 1240 kuler

b 4440 kr

d 10 004 brikker

e —

n

til

4.33 a Figuren er en trekant der antall sirkler i radene reduseres med én for hver rad oppover. På hver ny figur øker antall sirkler i grunnlinja med 1. Dermed øker også antall sirkler i hver rad oppover med én.

Ku

b Figurene 1, 2 og 3 har seks, ni og tolv blå sirkler. c 153 blå sirkler d 3n þ 3

4.34 a ja, akkurat nok b R ¼ ðn þ 1Þ 6

4.38 a 1 pakke: 12 egg 2 pakker: 24 egg 3 pakker: 36 egg 4 pakker: 48 egg b E ¼ 12x

4.39 a 1 hg: 2 hg: 3 hg: 4 hg:

16,00 kr 1 ¼ 16,00 kr 16,00 kr 2 ¼ 32,00 kr 16,00 kr 3 ¼ 48,00 kr 16,00 kr 4 ¼ 64,00 kr

b K ¼ 16x

4.44 a 211 bpm, 0 år b Maksimalpulsen minker med 0,64 for hvert år en blir eldre. c M er avhengig variabel, og a er uavhengig variabel. Verdien på M avhenger av verdien på a.

4.45 a 21 m3

b V ¼ 21 2x

4.46 a 201 bpm

b —

4.47 a 24 km

b 60 km


Kapittel 4 375

4.48 a 8,9 g/cm3

c kopper og sølv

4.58 a 10 540 kr

c 10 timer

4.69 a A ¼ 38 cm2

b 10,5 g/cm

b 11 080 kr

b h ¼ 7,3 cm

4.49 a 70 km/t

4.59 a 4,7 timer

2A b h d a ¼ 18,1 cm

4.50 a 14 m/s

4.60 a 238 tegn

b 12,5 m/s. Farten er litt lavere enn formelen tilsier. Det kan skyldes luftmotstand.

b 301 tegn

4.51 a 79 m på våt asfalt og 44 m på tørr asfalt

c 8,9 cm3

Ku b 18 m

c Nei, bremselengden blir 62,9 m, så bilen rekker ikke å stanse før hindringen. d 76,3 km/t

4.57 a 160 mm

b 148 mm

b a¼8

4.74 a 198 bpm

b 50 år

b 51 lydfiler (51,8)

c 22,5 min

b 1680 VA

4.56 a 22 m/s

4.73 a s ¼ 320

b 0,025 kWh

c 6,25 timer (6 t 15 min)

4.67 a 309 Hz

b 5505 C

b 6,5 A

b K ¼ 2500 400t

4.66 a 1400 VA

n

4.55 30 km

a3 3 e 3,0 cm

til

b 500 cm3

4.62 a 11,4 V

4.72 a 263 K

4.65 a 1300 mAh

d V¼

c 313 billass

b 79 %

4.64 a 309 MB

4.54

b A ¼ 0,03x

b V ¼ 16x

4.61 a 0,79

4.63 a 0,20 A

c 2,2 C

4.53 81 cm, ja

a 56 pyramider

4.71 a 400 m3

c ca. 21 min

vu

4.52 a 54 F F 32 b C¼ 1,8

4.70 a 1,5 m3

rd

b 14,7 m=s ¼ 53 km=t

b 216 min

g

b 58 km/t

c a¼

er in

3

4.75 9 C þ 32 5

a 30 C

b F¼

4.76 a f = 24 mm

b b f

4.77 a Kari: 163 cm, Ola: 177 cm b 178 cm

b 0,77 m

4.68 a — b 50 100 kr c 78 800 kr d 3 dager (3,3 dager)

4.78 a — b sommerføre: 7,9 m, 31,5 m vinterføre: 31,5 m, 126,0 m c fire ganger lengre d halv hastighet


376 Fasit

Prisen per kaffekopp er 5 kr, og han betalte 1250 kr for kaffemaskinen.

Antall Antall kanter diagonaler fra hvert hjørne 3

0

0

4

1

2

5

2

5

6

3

9

7

4

8

5

9

6

10

7

11

8

n

n 3

c 12 200 kr

4.80 a 61 sjokolader b — c 271 sjokolader d Fn ¼ ðn 1Þðn 1Þ þ nðn 1Þ þ n n F n ¼ 3n2 3n þ 1 e 41

Kapittel 5

Antall diagonaler til sammen

14 20

5.1 —

35 44

nðn 3Þ 2

5.10 a åtte symmetrilinjer

5.2 To kvadrater, to likesidete trekanter, en sekskant og en sirkelbue

b to symmetrilinjer

b —

b —

til

5.3 a fem diagonaler

5.11 a ei symmetrilinje i det grønne og det røde våpenet, ingen i det blå våpenet

n

5.4 —

Ku

5.5 — 5.6 — 5.7 —

a 4,0 cm2

c 4m

b 18 m2

d 9 cm

5.17 — 5.18 —

27

vu

5.9 —

5.16

er in

b y ¼ 1250 þ 5x

5.15 —

g

5.8

5.19

a 55 tommers TV-skjerm: 0,94 m2 65 tommers TV-skjerm: 1,31 m2

b 40 %

rd

4.79 a 2250 kr

5.12 — 5.13 a tre symmetrilinjer b to symmetrilinjer

5.14 a speilingssymmetri og rotasjonssymmetri b speilingssymmetri c rotasjonssymmetri

5.20 10 466 m2 5.21 — 5.22 Sirkelen er litt større, men de har nesten like store areal. 5.23 392 m2 5.24 a 1m

b 2,5 m

c 3 cm

5.25 a 1 : 2,5, 1 : 20, 1 : 2 b 4 : 1, 10 : 1, 2 : 1 c 1 : 20 d 10 : 1

5.26 a —

b 1 : 25

c 24 cm


Kapittel 5 377

5.39 For eksempel et kvadrat eller en drake og to halvsirkler

5.28 Ja 5.29 a —

5.41 a femkant

b b ¼ 84 cm og l ¼ 119 cm

5.30 a likebeint trekant b Forholdet er det gylne snitt.

5.43 Det stemmer.

5.31 —

3 ja

5 ja

2 ja

4 nei

6 nei

5.32 a —

b —

c —

5.33 a 2500 mm2

c 12 cm2

5.46 a fem likebeinte, rettvinklete trekanter i ulike størrelser, et kvadrat og et parallellogram

5.34 a fire diagonaler

b rotasjonssymmetri, fire posisjoner og fire symmetrilinjer c rotasjonssymmetri, to posisjoner og to symmetrilinjer d rotasjonssymmetri, to posisjoner og to symmetrilinjer

b 6 m2

c 12 cm2

b 6 mm

c 4 cm

b seks symmetrilinjer

Lik avstand mellom samsvarende punkter og symmetrilinja

n

b ja, seks posisjoner

Ku

5.52 a rotasjonssymmetri, to posisjoner og ingen symmetrilinjer

5.54 —

5.48 Éi symmetrilinje eller speilingslinje.

5.36 —

5.38 —

5.51 —

5.47 a rektangel

c asymmetrisk trekant

b 1 : 12

c H, N, S, X, Ø og Z: rotasjonssymmetri, 180 O: uendelig mange rotasjonsvinkler

5.53 a 25 m2

5.35 a seks symmetrilinjer

5.37 a —

b —

b —

til

b —

5.45 —

vu

1 nei

O: uendelig mange symmetrilinjer

rd

5.44 12 femkanter og 20 sekskanter

Stemmer påstandene?

b —

b ja, regulær

5.42 —

C, D, H, I, K, O og X: horisontal symmetrilinje

er in

5.40 Ved å begynne fra sentrum og bygge rundt eller bygge langs ei rett linje

5.50 a A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y og Å: vertikal symmetrilinje

g

5.27 4 : 3 til venstre, 16 : 9 til høyre

c 5,7 cm

5.55 a 6m

5.56 a høyde: 2,44 m, bredde: 7,32 m b 17; 86 m2 og 178 608 cm2

5.49 a —

5.57 —

b I sentrum av figuren, der linjene fra et hjørne til midtpunktet på motstående side krysser hverandre.

5.58 11,6 m2

c sju posisjoner d 51,4

5.59 Like store


378 Fasit

Kapittel 6

5.60 a parallellogram

5.68 a ca. 25 m2

c 8,9 L, tre spann

b I begge tilfeller får vi et parallellogram.

b 4475 kr

d 1 : 75

c A¼g h

5.69 —

e —

5.70 a to likesidete trekanter

f gjelder alle trekanter

b —

5.61 Trekant 1 og 2: 25 cm2

5.71 1 : 50

Parallellogram 3: 12,5 cm2 Trekant 4 og 6: 6,25 cm2 Trekant 7: 12,5 cm2

b —

5.62 a 10 cm

5.73 —

5.63 bredde 25,5 cm lengde 38,3 cm

c 16 : 1

5.76 —

til

b 9:1

5.74 28,3 cm2 5.75 3:1

5.64 a 4:1

d 1 : a2 når forholdet mellom lengdene er 1 ¼ a.

5.77

a 2 cm2

n

5.65 a —

Ku

b 1,6 cm 1,6 cm

c 3,0 m lang og 1,25 m bred

5.66 —

5.67 Sirkelen

6.3 a 2120 kr

b 282,70 kr

c 30,8 %

6.4 a 665 580 kr

b 23 maskiner

6.5 a 2482,70 kr

b 27 792,70 kr

6.6 a 8035 kr

b 6963 kr

c 14 507 kr

vu

b 12,5 cm og 7,5 cm

b 170 kr

rd

5.72 a kvadrater, åttearmete stjerner, asymmetriske sekskanter i kryss o.a.

Kvadrat 5: 12,5 cm2

6.2 a 5400 kr

g

g h 2

b 1560 kr

er in

d halvparten, A ¼

6.1 a 390 kr

5.78 a 36 cm2

b 16 cm2

c

1 2

6.7 40 229 kr 6.8 46 449 kr 6.9 a 29 442 kr

b 30,6 %

6.10 a 16 430,40 kr

c 30 513 kr

b 1056 kr

6.11 — 6.12 — 6.13 a 9,7 % 6.14 —

b 2,3 %


Kapittel 6 379

6.15 —

6.26 —

6.16 a 6162 kr

6.27 27,27 %

6.36 a 0 kr i gebyrer eller rente b 16 450 kr

b Det er 16 906 kr på kontoen etter tre år. c Det er 28 243 kr på kontoen etter fem år. d Kapitalen har økt med 22 243 kr. e Kapitalen har økt med 370,7 %.

6.28 a 24,75 % b 33 059 kr

6.29 a ca. 4000 kr

b —

6.30 a 16 929 kr

2 nei

6.20 —

b 14 105 kr

d 4040 kr

c 1 946 004 kr

n

b 1 996 726 kr

Ku

6.23 Ailo kan spare 20 514 kr på å velge lånet med kortest nedbetalingstid. 6.24 a 45 000 kr

c 1429 kr

b 16 902 kr

d 51 448 kr

6.25 a 40 000 kr b 54 000 kr

c 42 800 kr

5 ja

4 nei

b 272,73 kr

6.40 a 52 000 kr

c 577 901 kr

6.41 a 36 414 kr

b 39 943 kr

6.42 a 541 543 kr

c 3,4 %

b 55 237 kr

d 56 309 kr

6.43 a 5838 kr

c 27 718 kr

b 7380 kr

d 52,3 %

6.44 a 31,5 timer

d 4922,60 kr

b 3969 kr

e 6252,60 kr

6 ja

c —

b 80 timer

6.32 a 30 107 kr

til

c 35 039 kr

6.22 a 3992 kr

3 ja

6.31 a 355,60 kr

6.21 a 49 194 kr

6.39 a 400 kr

b 552 000 kr

Stemmer påstandene? 1 ja

c 172,70 kr

rd

c Nominell rente ¼ effektiv rente gebyr

b nesten tre år

6.38 a 1295 kr

b 28 490 kr

vu

6.19 a ca. to år

b 278,26 kr

c 932 kr

b 25,53 %

6.18 —

6.37 a 480 000 kr

g

6.17 a Det er 11 463 kr på kontoen etter ett år.

c 20,3 %

er in

b 6855 kr

b 32 377,23 kr

6.33 a inntekt 25356 kr sum utgifter 24 500 kr inntekter – utgifter 856 kr b —

c 953,60 kr

6.45 a 13 872,50 kr

6.34 a 200 749 kr

b 435 kr

b 5 år og 10 måneder c 5985 kr

6.35 a 150 632 kr b 3900 kr

6.46 — c 11 732 kr

6.47 5921 kr

c 14 307,50 kr


380 Fasit

6.49 a 9792 kr 6.50 a 232 kr

6.62 —

6.76 —

b prosenttrekk

6.63 —

6.77 a 54 016 kr

d 4338 kr

b 58 354 kr

e —

c 26 986 kr

6.64 —

g

6.48 12 902,50 kr

c 4016 kr

b 42 920 kr

er in

6.51 —

6.67 —

b 26 530,20 kr

b 2 493 180 kr

d 2 623 920 kr

6.81 a 92 668 kr

b 53 624,66 kr

6.82 a 56 704 kr

6.70 a 43 624,66 kr

c 94 353 kr

b 8668 kr

b 18 901 kr

6.71 a 61 869 kr

b 343 894 kr

d 60 559 kr

6.72 a 52 146 kr

b 1408 kr

6.83 Lars bør velge Alternativ 2 (ingen avdragsfri periode).

til

n b 29 940 kr

Ku 6.61 —

6.80 a 28 000 kr

c 10 933 kr

vu

b —

c 12 timer (6 timer hver dag)

6.60 —

e —

6.69 a 373 977 kr

b 31 050 kr

6.59 —

b 498 879 kr

b 10 353 kr

6.56 a 383,30 kr

6.58 a 8,45 %

d —

c 413 583 kr

6.68 a 25 500 kr

6.54 16,8 timer

6.57 —

6.79 a 384 997 kr

rd

6.53 172 timer

c 470 kr

b —

6.66 —

6.52 28 761,66 kr

6.55 a 31 022 kr

6.78 a ca. 45 år

6.65 —

c —

c 1928 kr, 1285 kr, 643 kr

6.73 11 980,66 kr

6.84 a 2062 kr og 2048 kr

6.74 a 4800 kr

c 28 250 kr

b 29 375 kr

d 22 425 kr

6.75 a 967 938 kr b 773 590 kr

b 5379 kr og 5393 kr

c 4000 kr

c Renten minker, avdragene øker.

6.85 a Diagram 1 viser annuitetslån, diagram 2 viser serielån. b —


Kapittel 7 381

b 2 450 000 kr

6.87 —

6.96 a 27 652 kr

c 22 309 kr

b 25,64 %

d 46 176 kr

6.107 a 5450 kr c —

6.88 a 12 593 kr

b 610,10 kr

d —

b 3 250 000 kr c 650 000 kr

6.98 a 18,30 %, 19,92 %

d 3 777 900 kr

b Norge: 40 kr + 1 % av uttaksbeløpet

e månedsbeløp: 12 457 kr egenkapitalbehov: 1 725 000 kr total kostnad: 3 737 100 kr

c 45 dager, ja, ja

Utlandet: 0 kr d 3585,60 kr

f —

6.108 a alternativ 1: 57 500 kr alternativ 2: 54 000 kr

d 20,27 %

b —

c 68 750 kr

6.109 a 19 kurver

b 139 kurver

6.110 a —

c 385 235 kr

rd

6.99 a 47 900 kr b 57 610 kr

b 450 kr

er in

6.97 a 7321,41 kr

g Totale kostnader blir mindre med nedbetaling over 20 år enn over 25 år.

6.106 —

g

6.86 a 3 065 000 kr

e 54 079 kr

b 42 618 kr

c 20,27 %

6.89 — 6.90 477 553 kr i rente 6.91 a 22,42 %

6.101 28 398,50 kr

c 17 204 kr

c 1494 kr

d 18,16 %

n

b 14 194 kr

6.93 a 90 kr, 495 kr, 4635 kr

Ku

b 47,2 % c —

6.94 Alternativ b

6.95 a 29 888 kr b 10,7 %

6.102 a 10 699 kr

c —

b —

d —

til

b 51 704 kr

6.92 a 13 241 kr

6.111 a 12 899,60 kr

vu

6.100 —

c 33 052 kr

b 136 timer

Kapittel 7 7.1 Firma A, 8620 kr 7.2 5975 kr

6.103 a 10 892 kr b 14 522 kr

c 2081 kr i underskudd d BSU-konto

6.104 a 110 kr

7.3 a indirekte kostnader b 41 236 kr c 150 630 kr

c 860 kr

d 79 %

b 344 iskremer

7.4 180 950 kr

6.105 a alternativ 1

d 3184 kr

b 312 kr

e 202 837 kr

c 3235 kr

c 14 417 kr

7.5 335 kr=time


382 Fasit

c 66 251,90 kr

b 7515,30 kr

d 57 711,60 kr

b 4274 kr

c 55 kr

C: 609,33 kr

B: 248,67 kr

D: 1873,80 kr

b Nei, timelønna blir lav

7.32 50 000 kr

7.21 a 296,10 kr

b 567,53 kr

7.33 87 000 kr

7.22 a 3661 kr

c 732 kr

7.34 a 2018, 29 832 kr b 105 069 kr

b 366 kr

b 4900 kr

c 8324,14 kr

b 12 070 kr

7.20 a 560 kr

7.8 A: 45,39 kr

7.9 a 1400 kr

b 594 kr

7.31 a ca. 12 000 kr

er in

7.7 a 680 kr

7.19 a 475 kr

g

7.6 a 53 300 kr

c 63 041 kr

7.23 a 3510 kr

7.10 2662,50 kr

c 677 kr

b 4250 kr

d 77,4 %

7.12 a 76 %

c 27 390 kr

7.25 a 205 kr

b 1,76

c 20 salater

b 1,55

d 1085 kr

n

7.15 7008 kr

Ku

7.16 3720 kr

7.17 a 2100 kr

b 51 kr

c 11 850 kr

c 256 kr

7.26 19 318,56 kr

til

7.13 a 54,25 kr

7.14 5713 kr

7.24 sykkel: 2 983,04 kr bukse: 616,50 kr trompet: 15 796,88 kr

vu

c 18 834 kr

rd

b 792 kr

7.11 a 14 584 kr

7.27 a 410,80 kr

b 180,07 kr

7.28 a 262,50 kr

c 314 kr

b 4,69

b 452 kr

b Forventet resultat varierer nokså mye, fra et positivt resultat på 27 500 kr i mai til et negativt resultat på 37 000 kr i juli. Samlet forventet resultat for de seks månedene er 47 500 kr. Det ser ut til at det er rom for å sette av penger til markedsføring i budsjettet. c Samlet resultat er 174 671 kr. d Avvikene viser at resultatet var høyere enn forventet i januar, mars, mai og juni. Resultatet var lavere enn forventet i februar, april og juli. Høyest var resultatet i mai med 109 599 kr. Samlet resultat for de seks månedene er 174 671 kr, som er 125 541 kr høyere enn forventet.

7.29 a 5093,89 kr

Stemmer påstandene? 1 sann

3 usann

5 sann

b 1735,11 kr, 74 %

2 usann

4 usann

6 sann

c 1,74

b 4275 kr

7.18 a 90 kr

7.35 a Forventet samlet resultat er 47 500 kr.

7.30 a 2,77 b 235,44 kr

7.36 a 25 020 kr c 294,30 kr

b 962 kr


Kapittel 7 383

c 2591,88 kr : 1100 kr

7.47 a 122 493 kr

b 85 %

d 4200 kr

b 274,54 kr, 323,23 kr, 376,05 kr

7.48 a 9450 kr

7.38 a 12 415 kr b —

c 164,73 kr, 184,24 kr, 206,83 kr b 153 kr

d 346 197,50 kr e — f — g 22 kr h Diverse indirekte kostnader burde være over 2000 kr. i —

7.60 20,07 kr

7.50 a 13 timer

d 2022,47 kr

7.61 97,75 kr

b 4,5 timer

e 918,87 kr

c 4494,38 kr

rd

7.62 306 250 kr

7.51 a 540 kr

b 1740 kr

7.63 9041,63 kr

7.52 a 10 kr

b 35 kr

7.64 a 2125 kr

vu

7.39 21 600 kr. Nei, hun har ikke råd.

7.59 20 kr

b Han har ca. 150 000 kr til lønn. Det kan gi de ansatte en akseptabel inntekt.

j mars, 16 020 kr k 24 011 kr

7.53 43,20 kr

7.41 2790 kr

7.54 2235 kr

7.55 94,55 kr

c 930 kr

n

b 2,44 kr

Ku

7.44 31,20 kr

7.45 a Firma B med 10 300 kr b 9880 kr

7.46 Lavere, 9300 kr

c 13 484 kr

b 4491 kr

7.65 10 950 kr 7.66 a 664 kr

til

7.42 3,05 kr

d 439,27 kr, 507,47 kr, 582,88 kr

er in

c —

7.43 a 3 kr

c 1,6 %

7.49 a 78 681,67 kr

7.40 8717 kr

7.58 a 6,21 kr, 16,56 kr, 31,05 kr

g

7.37 a 495 kr b 2592 kr

c 132,80 kr

b 531,20 kr

7.56 a 8958 kr

d 18 %

7.67 a 511,11 kr

b 1997,50 kr

e 9775,90 kr

b 638,89 kr

c 10 955,50 kr

7.68 37,39 kr

7.57 a 33 150 kr

c 2,26

b 126 %

d 48 804,04 kr

7.69 247,44 kr 7.70 117 %

c 1228,34 kr


384 Fasit

7.71 209,66 kr

7.84 a —

7.87 208 kr

b ja c —

7.73 a 7844,48 kr

d Resultatet ble dårligere enn forventet i februar. Samlet resultat ble litt lavere enn budsjettallene. c 9805,60 kr

e 29 389 kr

7.85 a —

7.74 39 779,28 kr

c 466 kr

7.77 a 30,26 kr

b 34,80 kr

7.78 a 121,44 kr

c 65,22 kr

b 151,80 kr

d 2,16

c beltet (2,9 for skjorta)

b 33,60 kr c 38,64 kr

Ku

7.81 80,75 kr

7.82 a 510 kr

b ni mobiltelefonskjermer (8,8)

7.83 101 667 kr

7.91 a 32 825 kr

d 56 082,43 kr

b 3939 kr

e 345,12 kr

7.92 a 24,58 kr 7.93 a 6885 kr

7.86 a —

b 18 000 kr

b Forventet resultat er bedre og bedre for hver måned. June forventer ikke positivt resultat før i desember. Samlet forventet resultat for disse månedene er et negativt resultat på 32 000 kr.

d 317 pizzastykker

c —

n

7.80 a 8 kr

d Tallene varierer litt fra budsjettet, særlig inntektene i februar og utgiftene i april. Men totalt ble resultatet 7516 kr bedre enn forventet.

til

7.79 a 67,60 kr b 3,4

b 797,46 kr

c 6516,68 kr

c — b 302,40 kr

b 389,38 kr

7.90 a 637,97 kr

rd

7.76 a 4,8

b 373 kr

b Resultatet forventes å være negativt i januar, og bli bedre og bedre for hver måned. Forventet samlet resultat er 62 600 kr.

vu

7.75 a 2,76

7.89 a 311,50 kr

er in

b 1961,12 kr

7.88 36 000 kr

g

7.72 360 kr

d Inntektene steg ikke like gradvis som forventet, men det høyeste salget var som ventet i desember. Samlet var både inntektene og utgiftene litt høyere enn forventet, men budsjettet stemte bra. Samlet resultat ble 34 690 kr, som er litt lavere enn forventet resultat på 32 000 kr.

c 21,74 kr e 12 047,83 kr f 150 pizzastykker g 8,70 kr h 6467,17 kr

7.94 a 2875 kr b 35 %

b 10,95 kr


vu

n

Ku

D datamateriale 112 datasett 131 desimaltall 10 diagonal 202 diameter 202 direkte kostnader 300–301

I indirekte kostnader 300, 303 inkasso 279 innskudd 263 inntakskost 301 internetthastighet 81 K kapital 263 kilowattimer ðkWhÞ 80, 180 klasse – frekvenstabell 113 – søylediagram 134 kostnader 300 kredittkort 272 kredittlån 272 kvadratrot 18

rd

F fart 79 faste størrelser 169 feriepengegrunnlag 247 feriepenger 246, 305 forbrukslån 272 forenklet selvkostberegning 311 forhold, formlike figurer 222 forhold mellom to tall 224 forholdstall 224 formel 161, 166, 168, 171, 173, 178 fortjeneste 316 frekvens 112 frekvenstabell 113

G GeoGebra 353 geometriske figurer og navn 205–206 gjennomsnitt 125 det gylne snitt 226 – gyllent rektangel 226 – gylne linjer 227 – gylne punkter 227

til

B binært tallsystem 84 – totallssystemet 84 bit 81 bruttolønn 249 brøk 23 – fellesnevner 28 – forkorte 26 – legge sammen 28 – multiplisere 30 – trekke ifra 28 – utvide 26 budsjett 257, 328 budsjettkontroll 258, 330 byte 81

E elektrisk arbeid 180 energibruk 80 Excel 356

er in

A annuitetslån 268 arbeid, elektrisk 180 arbeidsgiveravgift 305 areal – beregning 215 – formler 218 – målenheter 71 avanse 324 avansemetoden 324 avanseverdi 324 avdrag 267 avkastning 262 avrundingsregler 12

g

STIKKORD

H heksadesimalt tallsystem 84 – sekstentallsystemet 84

L likninger 43 – med digitale hjelpemidler 175 – uoppstilte 45 linjediagram 106, 120 lønn 244 – akkordlønn 244 – månedslønn 244 – overtidslønn 244 – prestasjonslønn 244 – provisjon 244 – timelønn 244 lønnskostnader 305 lønnsslipp 249 lån 267 lånekalkulator 269


386 Stikkord

S sekstentallsystemet 84 sektordiagram 105, 119 selvkost 300, 309 – forenklet selvkostberegning 311 selvkostkalkyle 322 sentralmål 125 sentrum 202 serielån 268 SIFOs referansebudsjett 257 sirkel 202 – diameter 202 – radius 202 – sentrum 202 skatt 250 skattemelding 254 SMS-lån 272 sosiale kostnader 305

vu

til

n

Ku

T tabeller 101 tabelltrekk 250 tallsystem – binært, totallsystem 84 – heksadesimalt, sekstentallssystem 84 – titallssystem 84 terminbeløp 267 tid 66 titallssystemet 10, 84 totallssystemet 84 typetall 125, 127

rd

O observasjon 112 P pensjon 249 pensjonsforsikring 305 pensjonstrekk 249 posisjonssystemet 10 potenser 17 prefikser 63 problemløsning 48 problemløsningsmetoder 48 prosent 32, 34–36, 38 prosenttrekk 251 prosentvis – nedgang 41 – økning 40 puls 78 punktsymmetri 211 Python 350 påslagsmetoden 324 påslagstall 324

sparing 262 – aksjefond 263 – boligsparing for ungdom, BSU 263 – pensjonssparing 263 speilingssymmetri 209, 211 spredningsmål 128 symmetrilinje 209 søylediagram 103, 117, 134

er in

N negative tall, regneregler 21 nettolønn 249

R radius 202 regnerekkefølge 18 regulær mangekant 202 renter – effektiv rente 269 – forsinkelsesrente 274 – nominell rente 269 – på innskudd 263 – på lån 267 – rentesrente 274 resultatbudsjett 328 rotasjonssymmetri 212

g

M mangekant, regulær 202 median 125–126 megabit per sekund ðMbit=sÞ 81 merverdiavgift 317 målenheter 64 målestokk 223

U underliggende trend 136 uoppstilte likninger 45 V variabler 169 variasjonsbredde 128 varsomhetsprinsippet 328 vekstfaktor 40, 263 – merverdiavgift 318 – renteberegning 264 volum – målenheter 73


B

er in

g

Inger Bækkevar Anne-Mari Jensen Christina Bauck Jensen Jens Wilhelm Lindstad Anja Saxebøl

Matematikk 1P-Y

rd

MØNSTER-serien består av bøker for matematikkfagene for både studie­ forberedende og yrkesfaglige studieretninger i videregående skole.

vu

Mønster IM er yrkesrettet, tilpasset læreplanen i matematikk 1P-Y for informasjonsteknologi og medieproduksjon. Boka er en komplett alt-i-ett-bok. Det vil si at den inneholder lærestoff, utforskende aktiviteter, opplæring i digitale verktøy og oppgavesamling med fasit.

INFORMASJONSTEKNOLOGI OG

1P-Y

Til læreverket hører også Mønster Smart Øving, et adaptivt øvingsverktøy som gir hver elev et personlig læringsforløp, og læreren får en kontinuerlig oversikt over elevenes mestring.

Ku

n

Prøv digital utgave av boka på www.smartbok.no

Mønster er en del av Skolestudio, et digitalt læringsmiljø for den videregående skole.

Bokmål

www.skolestudio.no

INFORMASJONSTEKNOLOGI OG MEDIEPRODUKSJON

til

I Skolestudio, Gyldendals digitale læringsmiljø, er det egne elev- og lærer­ ressurser som støtter verket. Der finner du blant annet undervisnings­ filmer og fullstendige løsningsforslag til oppgavene i boka.

MEDIEPRODUKSJON