9788205561946_Moenster-S2-BM_Vannmerket

Page 1


Ku n til vu

g

rd er in


in g

Tove Kalvø, Jens Christian Lothe Opdahl, Knut Skrindo, Øystein Johannes Weider

MØNSTER

rd

er

Matematikk S2 Studieforberedende utdanningsprogram

Ku n

til

vu

Bokmål


© Gyldendal Norsk Forlag AS 2022 1. utgave, 1. opplag ISBN 978-82-05-56194-6

in g

Denne boka er en del av læreverket Mønster. Boka dekker målene i gjeldende læreplan i matematikk for samfunnsfag – programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering (MAT04-02). Printed in Latvia by Livonia Print Ltd, 2022

er

Redaktør: Klaus Karlson og Anne Raustøl Bilderedaktør: Hege Røyert / NTB Design: Marianne Cecilie Dahl / mcddesign.no Logodesign: Eggedosis AS / Gunveig Wanvik Sats og layout: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Språkkonsulent: Olav Refvem Omslagsdesign: Lise Mosveen Omslagsbilde: MirageC / Moment / Getty Images, ill: Oleh Svetiukha / iStock / Getty Images Plus Figurer: Knut Skrindo, Gamma grafisk AS (Vegard Brekke og Arnvid Moholt), figurer created with GeoGebra (www.geogebra.org) og Python (www.Python.org).

rd

Illustrasjoner: Sandra Wilmann: side 30, 117, 123, 164

Materialet i denne boka er beskyttet etter åndsverklovens bestemmelser. Enhver kopiering, avfotografering eller annen form for eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring av materialet i denne boka er kun tillatt dersom det finnes lovhjemmel eller er inngått særskilt avtale med Gyldendal Norsk Forlag AS.

vu

Virksomheter som har inngått avtale med Kopinor, kan kopiere, avfotografere osv. innenfor avtalens rammer (inntil 15 % av bokas sidetall). Det er ikke tillatt å kopiere fra arbeidsbøker (engangshefter). Utnytting i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Forfatterne har mottatt støtte fra Det faglitterære fond til denne boka.

til

Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Redaksjonen for videregående skole Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no www.gyldendal.no/undervisning

Ku n

Alle Gyldendals bøker er produsert i miljøsertifiserte trykkerier. Se www.gyldendal.no/miljo


Forord

in g

Mønster er et helt nytt matematikkverk for videregående skole, utviklet til læreplanene fra 2020. Her er Mønster for Vg3! Mønster legger vekt på å lære matematikk gjennom å se mønstre og sammenhenger ved å utforske og løse matematiske problemer. Fagstoffet blir presentert i en utforskende form som gir bedre forståelse og legger til rette for dybdelæring. Det kan brukes direkte av elevene, eller ved at læreren tilpasser det til gruppa.

er

Underveis er det lagt inn refleksjonsoppgaver som fremmer dybdelæring og dialog hos elevene. Dette bidrar til økt motivasjon og mestring.

rd

Mønster inneholder et rikt utvalg av eksempler og viser flere løsningsstrategier. Slik kan elevene oppdage sammenhenger og lære å bruke ulike representasjoner. Videre inneholder boka et stort utvalg av oppgaver, både etter hvert avsnitt, i oppgavesamlingen og i «Øv til eksamen». Fasit til oppgavene finnes bak i boka. Løsningsforslag til oppgavene finner du i Skolestudio.

vu

Der det er hensiktsmessig med bruk av digitale verktøy, har vi brukt GeoGebra og CAS, samt programmeringsspråket Python. Vi viser hvordan vi bruker dette i aktuelle eksempler i boka. Bakerst i boka finner du i tillegg kortere oppslagsmanualer kalt «Python på 1–2–3» og «GeoGebra på 1–2–3», som dekker alle kommandoene og funksjonene vi trenger i faget.

til

Skolestudio er Gyldendals digitale læringsmiljø. Her er det egne elev- og lærerressurser som støtter verket. Her finner du blant annet fullstendige løsningsforslag til alle oppgavene, og du finner egne videoer til Mønster med gjennomgang av fagstoff, eksempler og løsningsforslag.

Ku n

Mønster skaper matematikkforståelse og hjelper elevene å se sammenhenger i faget. Læreverket er et godt verktøy for å tilpasse og differensiere læringen for elevene, men uten at det går på bekostning av metodefrihet og fleksibilitet. Elevene får dermed et godt grunnlag for videre arbeid med matematikkfaget. Vi håper boka inspirerer og bidrar til flere gylne øyeblikk i klasserommet. Vi takker konsulentene Inger Hobæk Haff, Svein Roar Hagen, Frode Sterten Heide, Knut-Eirik Baade og Trond Simen Nesset for kyndig gjennomgang og gode innspill. Oslo, april 2022

Tove Kalvø, Jens Christian Lothe Opdahl, Knut Skrindo og Øystein Johannes Weider


Innhold 8

3 Modellering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

10 21 30 45 55 62 63 64

3.1 Matematiske modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Modellering med regresjon . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Modellering med programmering . . . . . . . . Mønster og oversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154 161 175 189 191 194

vu

rd

1.1 Tallfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sparing og lån. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Uendelige geometriske rekker. . . . . . . . . . . . 1.5 Tallmønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mønster og oversikt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

er

in g

1 Følger og rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Økonomiske modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

76

Ku n

til

2 Integrasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Trappesum og areal under grafer . . . . . . . . 2.2 Bestemt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ubestemt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Arealberegninger ved integrasjon . . . . . . . . 2.5 Integrasjon og samlet mengde . . . . . . . . . . . 2.6 Delvis integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Integrasjon ved variabelskifte . . . . . . . . . . . . 2.8 Integrasjon ved delbrøkoppspalting . . . . . . Mønster og oversikt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78 86 92 98 106 115 120 125 132 134 136

4.1 Kostnadsfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Inntekt og overskudd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Grensekostnad og grenseinntekt . . . . . . . . . 4.4 Etterspørsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mønster og oversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

208 221 230 243 252 254 256


Innhold

5 Sannsynlighet og statistikk . . . . . . . . . . . . . 270

5

Python på 1–2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

in g

GeoGebra på 1–2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

Sannsynlighetsfordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . Forventningsverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Varians og standardavvik. . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi regner med forventningsverdi, varians og standardavvik. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Normalfordeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Sentralgrensesetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Tilnærming ved binomisk fordeling . . . . . . . 5.8 Hypotesetesting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mønster og oversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272 286 292

Normalfordelingstabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

rd

5.1 5.2 5.3 5.4

er

Læreplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

Ku n

til

vu

301 313 326 336 343 357 360 362


Slik bruker du boka

in g

Utforsk Her finner du aktiviteter som legger til rette for utforskende matematikk, diskusjon og samarbeid. Du kan bruke dem direkte eller ved at læreren tilpasser det til gruppa som grunnlag for forståelse og dybdelæring.

er

Video Video-ikonet viser at det er en undervisningsfilm i Skolestudio. Filmen forklarer teori, eksempler og løsninger eller viser bruk av digitale verktøy.

rd

Viktige setninger De blå boksene inneholder viktige setninger, begreper og definisjoner. Det som står her, er det viktig at du lærer deg og forstår.

Ku n

til

vu

Reflekter og diskuter Boka legger til rette for dybdelæring gjennom muntlig aktivitet og samarbeid.

Digitale verktøy Der det er hensiktsmessig med bruk av digitale verktøy, har vi brukt GeoGebra og CAS samt programmeringsspråket Python. Bakerst i boka finner du i tillegg kortere oppslagsmanualer kalt «Python på 1–2–3», «GeoGebra på 1–2–3» og «Excel på 1–2–3».

Gule lapper Her finner du tips, repetisjon og korte oppsummeringer.

Henvisning til oppgaver Henvisning til oppgaver det passer å løse underveis i delkapittelet.

Mønster og oversikt Her er det viktigste innholdet fra hvert kapittel oppsummert. Det trekkes linjer til annet fagstoff for å hjelpe deg å se mønstre og sammenhenger i faget.


viser oppgaver du skal løse uten

Puslespill-ikonet viser oppgaver som krever at du jobber utforskende, bruker problemløsningsstrategi eller samarbeider. Noen av disse oppgavene tar for seg andre sider av fagstoffet. .

rd

Oppgaver som er mer utfordrende, er markert

er

Blyant-ikonet hjelpemidler.

in g

Varierte oppgaver Dette er oppgaver rett etter hvert delkapittel, der du kan øve på det du nettopp har lært. I oppgavesamlingen finner du flere oppgaver til hvert delkapittel, i tillegg til blandede oppgaver og eksamensoppgaver.

vu

Test deg selv Her finner du oppgaver fra hele kapittelet. Test deg selv fungerer godt som repetisjon til en kapittelprøve.

til

Øv til eksamen Her er utvalgte eksamensoppgaver eller eksamenliknende oppgaver samlet. Oppgavene følger ny eksamensform og er inndelt i «Type 1», «Type 2» og «Type 3».

Ku n

Skolestudio Skolestudio er Gyldendals digitale læringsmiljø. Her er det egne elev- og lærerressurser som støtter verket. Du vil blant annet finne undervisningsvideoer og fullstendige løsningsforslag til alle oppgavene i boka.


in g 1202

til

vu

rd

er

1

FØLGER OG REKKER

Ku n

Italienske Leonardo Pisano Fibonacci gir ut boka Liber Abaci om regning. Han presenterer her tallene som senere er blitt kjent som Fibonacci-tallene: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... . Han presenterer også de hindu-arabiske tallene, som vi fortsatt bruker.

1202

1000

1200

1600

1400 1494 Italienske Luca Pacioli gir ut bok om blant annet regning, matematikk og regnskapsføring.


Hvordan kan vi beregne hvor lenge en oljebrønn vil vare når vi hvert år utvinner 10 % mindre enn året før?

er

Finansanalytiker

in g

Kan vi regne ut summen av uendelig mange tall?

Tine er finansanalytiker og skal vurdere en mulig investering. Hun bruker gjerne avansert teknologi til å modellere ulike scenarioer. I tillegg gjør hun overslag i hodet eller med en enkel kalkulator.

rd

Når hun skal finne doblingstiden til en investering, altså hvor lang tid det tar før investeringens verdi er blitt doblet, bruker hun denne tommelfingerregelen: 72 år. p

vu

En investering på p % dobles etter

Av og til erstatter hun telleren med 70 eller 69,3. Velg tre prosentsatser – en under 1, en mellom 1 og 10 og en litt større.

2

Bruk tommelfingerreglen til å beregne doblingstiden for en investering med dine prosentsatser. Bruk alle tre varianter av regelen, altså med teller 72, 70 og 69,3.

til

1

Regn ut den faktiske doblingstiden.

4

Hvis du må velge bare én av variantene av regelen, hvilken vil du da lære deg?

Ku n

3

1800

1700 1776

Skotten Adam Smith gir ut boka Nasjonenes velstand, som ble en viktig del av grunnlaget for samfunnsøkonomi og markedsliberalismen.

2000

1900 1944

Nordmannen Trygve Haavelmo publiserer sin doktorgradsavhandling i økonomi og statistikk, med blant annet matematiske modeller og teorier om tilbud og etterspørsel. For dette får han Nobelprisen i økonomi i 1989.


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

1.1 Tallfølger UTFORSK

Tallfølgene nedenfor tilhører to typer tallfølger. Undersøk hvordan tallfølgene utvikler seg, og del dem inn i to grupper, slik du synes det er naturlig. 1

3, 6, 12, 24, . . .

4

10, 8, 6, 4, . . .

2

2, 6, 18, 54, . . .

5

64, 32, 16, 8, . . .

3

2, 8, 14, 20, . . .

6

5, 8, 11, 14, . . .

er

1

in g

Jobb sammen to og to eller i grupper

Lag selv to tallfølger til hver type.

3

Be en medelev avdekke mønsteret i tallfølgene du har laget.

rd

2

vu

En liste av tall i en bestemt rekkefølge kaller vi en tallfølge. Et eksempel på en uendelig tallfølge er 3, 7, 11, 15, . . .

Vi bruker små bokstaver fra starten av alfabetet til å betegne leddene i tallfølgen. Vi bruker indekser til å nummerere leddene. Vi skriver tallfølgene slik: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . .

og

b1 , b2 , b3 , b4 , . . . , bn , . . .

Rekkefølgen i tallfølgene er bestemt. Ledd a3 betyr tredje ledd i følgen. Ledd an betyr ledd nummer n. Ledd an þ 1 betyr leddet som kommer etter an . Vi forutsetter her n 2 N.

til

Ku n

10

T A L LF Ø L G E En tallfølge er en liste av tall skrevet i en bestemt rekkefølge: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . . an er ledd nummer n i tallfølgen.

Dersom en tallfølge er bygget opp etter et fast mønster, kan vi ofte finne en formel for ledd nummer n.


Tallfølger

11

EKSEMPEL 1

a

Skriv opp a3 og a7 .

b

Bestem en formel for an .

in g

En tallfølge er gitt ved 1, 4, 9, 16, 25, . . .

Løsning: a a3 er tredje ledd, altså 9.

Vi kjenner igjen tallene i følgen som kvadrattallene. a7 blir derfor kvadrattall

b

Kvadrattall nummer n finner vi ved å kvadrere n.

Aritmetiske tallfølger

rd

Formelen for an blir da n2 .

er

nummer 7, altså 72 ¼ 49.

4, 7, 10, 13, 16, . . .

Aritmetiske tallfølger:

vu

I tallfølgen nedenfor er differansen mellom et ledd og leddet foran i følgen hele tiden 3:

Oppgave: 1.1

Tallfølger der differansen mellom to etterfølgende ledd i følgen er konstant, kaller vi aritmetiske. Generelt vil en aritmetisk tallfølge som starter i a1 og har differanse d, se slik ut: a1

til

a2 ¼ a1 þ d a3 ¼ a1 þ 2d a4 ¼ a1 þ 3d .. .

Ku n

Legg merke til at antall ganger vi adderer d, er én mindre enn nummeret på leddet. For ledd nummer n er a1 addert med d akkurat n 1 ganger.

A R I T M E T I S K T A L L FØ L G E En tallfølge er aritmetisk hvis differansen mellom et ledd og leddet foran er konstant: an an 1 ¼ d

Ledd nummer n er gitt ved an ¼ a1 þ ðn 1Þ d

Når an er ledd nummer n er an 1 forrige ledd.


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 2 Vi har tallfølgen 21, 16, 11, 6, 1, . . . Vis at følgen er aritmetisk.

b

Finn en formel for det n-te leddet i tallfølgen.

c

Finn ledd nummer 7.

d

Undersøk om 23 er et ledd i følgen.

in g

a

Løsning: a Vi undersøker om differansen mellom leddene i følgen er konstant: 11 16 ¼ 5 6 11 ¼ 5 1 6 ¼ 5

er

16 21 ¼ 5

rd

For alle n har vi an an 1 ¼ 5, så følgen er aritmetisk.

Vi setter d ¼ 5 inn i formelen for det n-te leddet i følgen: an ¼ a1 þ ðn 1Þd ¼ 21 þ ðn 1Þ ð 5Þ ¼ 21 5d þ 5 ¼ 26 5n

c

Vi setter inn i formelen for an : a7 ¼ 26 5 7 ¼ 26 35 ¼ 9

vu

b

d

Vi setter ledd n lik 23 og undersøker om likningen har en løsning for n 2 N: an ¼ 23

26 5n ¼ 23

5n ¼ 23 26

5n ¼ 49 49 9,8 n¼ 5 Vi får n 9,8. Men for at an skal være et ledd i følgen, må n være et naturlig tall. Det finnes ingen slik n, så 23 er ikke i følgen.

til

Oppgaver: 1.2–1.3

Ku n

12

Reflekter og diskuter!

an

Dersom vi avmerker ðn, an Þ i et koordinatsystem, vil punktene ligge på en rett linje. Forklar hvorfor det er slik. n


Tallfølger

13

Geometriske tallfølger Tallfølgen nedenfor vokser ikke på samme måte som de aritmetiske følgene 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .

rd

er

in g

Vi undersøker forholdet mellom leddene: a2 8 ¼ ¼2 a1 4 a3 16 ¼2 ¼ 8 a2 a4 32 ¼ ¼2 a3 16 a5 64 ¼ ¼2 a4 32 a6 128 ¼ ¼2 a5 64 Forholdet mellom et ledd og leddet foran er 2, uansett hvor i følgen vi undersøker. Vi sier at en tallfølge er geometrisk hvis forholdet mellom to ledd i følgen er konstant.

Geometriske tallfølger:

Vi finner neste ledd i følgen ved å multiplisere med 2. Vi kan da uttrykke hvert ledd ved hjelp av første ledd: ...

vu

4, 4 2, 4 22 , 4 23 , 4 24 ,

Generelt vil en geometrisk tallfølge med kvotient k se slik ut: a1 a2 ¼ a1 k a3 ¼ a1 k2

til

a4 ¼ a1 k3 .. .

Vi ser at ledd nummer n er a1 multiplisert med k akkurat n 1 ganger. G E O M E T R I S K T A L L FØ L G E

Ku n

En tallfølge er geometrisk hvis forholdet mellom et ledd og leddet foran er konstant: an ¼ k, k 6¼ 0 an 1 Ledd nummer n er gitt ved an ¼ a1 kn 1

Reflekter og diskuter!

Ovenfor har vi forutsatt at forholdet k i den geometriske tallfølgen ikke er null. Hvordan ville følgen blitt med k ¼ 0?


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 3 Vi slipper en sprettball fra en høyde på 3,0 meter. Hver gang ballen spretter, oppnår den 80 % av høyden fra forrige sprett. Hvor høyt kommer ballen etter 10 sprett?

b

Kontroller utregningen din ved å bruke at sprettene danner en geometrisk følge.

in g

a

Løsning: a Vi lager en tabell med oversikt over høyden etter hvert sprett:

3,0 0,8

2

3

4

...

10

...

3,0 0,810

er

1

3,0 0,82 3,0 0,83 3,0 0,84

b

rd

Mønsteret gir at høyden etter 10 sprett er 3,0 m 0,810 0,32 m. Vi ser at vi finner neste ledd ved å multiplisere med 0,8 hver gang. Følgen er derfor geometrisk med k ¼ 0,8 og a1 ¼ 3,0 0,8. Vi finner a10 : an ¼ a1 kn 1

vu

a10 ¼ ð3,0 0,8Þ 0,810 1 ¼ ð3,0 0,8Þ 0,89 ¼ 3,0 0,810 0,32 Svaret stemmer med utregningene i a.

Løsning med CAS: Vi definerer a1 og k og skriver det n-te leddet som en funksjon av n:

til

1

2

3

Ku n

14

Oppgaver: 1.4–1.5

4

Vi får det samme svaret som over.

Dersom vi kjenner flere ledd i en geometrisk følge, kan vi finne en formel for ledd nummer n.


Tallfølger

15

EKSEMPEL 4 I en geometrisk følge er a3 ¼ 18 og a5 ¼ 162. Bestem en formel for an .

in g

Løsning: Vi tar utgangspunkt i an ¼ a1 kn 1 og får a3 ¼ a1 k2 ¼ 18 a5 ¼ a1 k4 ¼ 162 a5 til å finne k. a3 a5 162 ¼9 ¼ 18 a3 a5 ¼ k2 a3

er

Vi bruker

rd

k2 ¼ 9 k ¼ 3

Når k ¼ 3, får vi a1 ¼

18 18 18 ¼ 2, og derfor an ¼ 2 ð 3Þn 1 . ¼ ¼ k2 ð 3Þ2 9

18 18 18 ¼ 2, og derfor an ¼ 2 3n 1 . ¼ ¼ k 2 32 9

Oppgave: 1.6

til

Når k ¼ 3, får vi a1 ¼

vu

Vi får to mulige tallfølger som passer med opplysningene, ettersom k både kan være 3 og 3.

Reflekter og diskuter!

an

Ku n

Dersom vi avmerker ðn, an Þ i et koordinatsystem, vil punktene ligge på grafen til en eksponentialfunksjon. Forklar hvorfor det er slik.

n


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Eksplisitt og rekursiv definisjon av tallfølger an ¼ 2n þ 3 og an ¼ 5 2n 1 . Slike formler kaller vi for eksplisitte siden vi kan finne et ledd direkte ved å sette inn en verdi for n i formelen. Det er ikke alltid lett eller mulig å finne en eksplisitt formel. Da kan vi uttrykke følgen rekursivt. Det betyr at vi definerer følgen ved hjelp av foregående ledd, for eksempel an ¼ an 1 þ 3. Da kan vi ikke regne ut et ledd direkte, men må starte fra et kjent ledd og regne utover i følgen.

er

Rekursiv definisjon Definisjon av tallfølge der vi bruker følgens foregående ledd for å regne ut an .

Ovenfor har vi funnet formler for ledd nummer n i aritmetiske og geometriske tallfølger. Formlene uttrykker ledd nummer n som en funksjon av n, for eksempel

in g

Eksplisitt definisjon Definisjon av tallfølge som inneholder et funksjonsuttrykk for an , slik at vi kan regne ut an direkte.

R E KURSI V D EF I NI SJON AV TAL L F ØL GER

rd

Vi uttrykker en tallfølge rekursivt når beskrivelsen av følgen inneholder ett eller flere av følgens tidligere ledd.

Vi bruker en rekursiv formel til å regne videre ledd for ledd. Hvis vi skal ha mange ledd, kan det være lurt å bruke programmering til regnejobben. Ideen da er at vi lar en løkke kjøre én gang for hvert nye ledd i følgen. Vi bruker verdien av tidligere ledd til å regne ut neste ledd.

vu

Rekursiv formel:

EK SEMPEL 5

til

En tallfølge er definert ved at hvert ledd er tre mindre enn det dobbelte av forrige ledd. Følgen starter på 4. Skriv et program i Python som skriver de ti første leddene av følgen til skjerm.

Løsning: Vi lar an være ledd nummer n. Da har vi a1 ¼ 4

Ku n

16

a2 ¼ 2 a1 3 a3 ¼ 2 a2 3 .. .

an ¼ 2 an 1 3 Dette bruker vi i programmet. 1

3 4 5

Oppgave: 1.8

a=4

# Startverdien a_1 for følgen.

2

for i in range(10): print(a) # Skriver ledd a_n til skjerm. a = 2*a - 3 # Dobler forrige verdi og trekker fra 3.

Programmet gir disse tallene: 4, 5, 7, 11, 19, 35, 67, 131, 259, 515.


Tallfølger

17

Rekursiv programmering

Vi forklarer rekursjon i Python med en kode som regner ut fakultet, altså n! ¼ 1 2 3 4 . . . ðn 1Þ n

Rekursiv programmering:

in g

Når vi programmerer, bruker vi for-løkker og while-løkker for å få en bit av en kode til å kjøre flere ganger. En annen måte å få til det samme på er såkalt rekursiv programmering.

Et program som skal regne ut n!, kan starte på 1 og så multiplisere med alle hele tall opp til n. Dette kan vi gjøre med en for-løkke: def f(n):

2

produkt = 1

3

for i in range(1, n + 1):

er

1

produkt = produkt * i

4

rd

return produkt

5

En rekursiv tilnærming til n! blir omtrent det motsatte: Vi regner ut n! ved å multiplisere n med ðn 1Þ!: def f(n):

vu

1

return n * f(n - 1)

2

Koden ovenfor fungerer tilsynelatende bra: Hvis vi bruker den på n ¼ 5, vil datamaskinen regne slik: f ð5Þ ¼ 5 f ð4Þ

til

f ð4Þ ¼ 4 f ð3Þ f ð3Þ ¼ 3 f ð2Þ .. .

Ku n

Når funksjonen kalles med n ¼ 5, multipliseres 5 med resultatet av funksjonen med n ¼ 4 som argument. Når funksjonen kalles med n ¼ 4, blir resultatet 4 multiplisert med resultatet fra f ð3Þ og så videre.

Men hvordan skal vi få dette til å stoppe? Vi ser at vi må stoppe ved f ð1Þ, siden 1! ¼ 1. Vi legger inn en test om n ¼ 1. I så fall returnerer vi 1:

1 2 3 4 5

def f(n):

if n == 1:

return 1

else:

return n * f(n - 1)


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

For å se hva resultatet av programmet blir, utvider vi programmet med en løkke som printer funksjonen for n 2 f1, 2, 3, 4, 5g: 7

for i in range(1, 6): print(f(i), end=' ')

Når vi kjører programmet, får vi 1 2 6 24 120

in g

6

Dette betyr at for eksempel f ð4Þ ¼ 4! ¼ 24 og f ð5Þ ¼ 5! ¼ 120.

til

vu

rd

EK SEMPEL 6

er

Vi sier at denne funksjonen er en rekursiv funksjon fordi definisjonen av f inneholder et uttrykk med f . Vi sier at funksjonen kaller på seg selv. Tilfellet n ¼ 1 kaller vi rekursjonsbunn. Det er dette som får rekursjonen til å stoppe.

Ku n

18

Fibonacci-tallene er tallene i følgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . a

Finn en formel for leddene i Fibonacci-følgen.

b

Skriv et program i Python som produserer de ti første Fibonacci-tallene.

Løsning: a Når vi analyserer tallfølgen, ser vi at fra og med tredje ledd er hvert ledd summen av de to foregående ledd. For at følgen skal bli entydig definert, må vi oppgi de to første leddene. Det gir a1 ¼ 1 a2 ¼ 1 an ¼ an 1 þ an 2


Tallfølger

Definisjonen av følgen er rekursiv, og det passer fint å lage en rekursiv funksjon i Python. Rekursjonsbunnen er tilfellene n ¼ 1 eller n ¼ 2. Utover dette skal funksjonen returnere summen av de to foregående tallene i Fibonacci-følgen: 1 2 3 4 5

def fibonacci(n): if n == 1 or n == 2: return 1 else: return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

in g

b

19

7 8

for n in range(1, 11): print(fibonacci(n), end=' ')

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

rd

Når vi kjører programmet, får vi:

er

For å få skrevet ut de ti første Fibonacci-tallene, legger vi til en løkke som bruker funksjonen vår på de ti første naturlige tallene:

1 2 3

vu

Alternativ løsning: Vi bruker en løkke til å lage tallene. Siden definisjonen inneholder både an 1 og an 2 , må løkka ta vare på de to foregående verdiene. Vi bruker en midlertidig variabel minne til dette. a1 = 1 a2 = 1 print(a1, end = ' ')

# Definerer starten av følgen.

for i in range(10 - 1): print(a2, end = ' ') minne = a2 a2 = a1 + a2 a1 = minne

# Én færre siden første ledd er skrevet ut.

5 6 7 8 9

# Printer første ledd.

til

4

# Tar vare på forrige verdi. # Regner ut ny verdi. # Lagrer forrige verdi.

Ku n

Resultatet av programmet blir: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Alle repeterende tallfølger kan vi definere rekursivt. Noen tallfølger kan vi i tillegg finne eksplisitte formler for.

Reflekter og diskuter!

Hva er den eksplisitte formelen og hva er den rekursive formelen for aritmetiske og geometriske tallfølger?

Oppgaver: 1.9–1.10


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Oppgaver 1.1 En tallfølge er gitt ved 1, 4, 16, 64, . . . Skriv opp a4 og a7 .

b

Finn en formel for an .

a

c

Finn a15 .

Bestem et uttrykk for r slik at an kan skrives som an ¼ r kn .

b

Forklar at an er en eksponentialfunksjon for n 2 N.

Vis at følgen er aritmetisk.

b

Finn a15 .

c

Undersøk om 122 er med i følgen.

1.7 I en geometrisk tallfølge er a2 ¼ 10 og a6 ¼ 160.

a

Bestem en formel for an .

b

Finn a5 .

vu

1.3 En følge er aritmetisk med første ledd b1 og differanse d.

er

a

1.6 En tallfølge er gitt ved 2, 5, 8, 11, 14, . . . Avgjør om 194 og 321 er med i følgen.

rd

1.2 Vi tar utgangspunkt i tallfølgen 8, 14, 20, 26, . . .

in g

a

1.5 La k være forholdet mellom to ledd som følger etter hverandre i en geometrisk tallfølge.

Vis at ledd nummer n kan skrives som bn ¼ ðb1 dÞ þ d n.

b

Velg to reelle tall b1 og d. Regn ut bn for n 2 f1, 4, 8; 10g.

1.8 a Skriv et program i Python som skriver de første 20 leddene av tallfølgen til skjerm. 3, 6, 12, 24, . . .

c

Legg punktene ðn; bn Þ i et koordinatsystem.

b

d

Forklar hvorfor punktene ligger på en rett linje.

til

a

1.4 En tallfølge er gitt ved 3, 6, 12, 24, . . . a

Vis at følgen er geometrisk.

Ku n

20

b

Finn a12 .

c

Undersøk om 256 er med i følgen.

Skriv et program i Python som skriver følgens ledd til skjerm helt til følgens ledd er større enn 10 000. 2, 10, 50, 250, . . .

1.9 En tallfølge er definert ved at a1 ¼ 2 og an ¼ 2 an 1 þ 1. Skriv et program i Python som genererer de første ti leddene i følgen. 1.10 Lucas-tallene er tallene 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, . . . Skriv et program i Python som skriver ut de første 20 Lucas-tallene.


Rekker

21

1.2 Rekker UTFORSK

T2

T3

T4

er

T1

in g

De første trekanttallene er vist på figuren:

Tegn av figuren og tegn selv trekanttall T5 og T6 .

2

Forklar at hvert trekanttall er summen av leddene i en aritmetisk tallfølge. Hvilken følge er dette?

3

Tegn trekanttall T10 .

4

Legg sammen antall prikker i første og siste linje, deretter i nest første og nest siste linje, deretter i tredje linje ovenfra og nedenfra og så videre, til du har brukt alle linjene i T10 . Hva ser du?

5

Hvordan kan vi bruke dette mønsteret til å regne ut antall prikker i T10 ?

vu

rd

1

Aritmetiske rekker

til

Når vi summerer leddene i en tallfølge, får vi en sum som vi kaller for en rekke. Vi lar sn stå for summen av de n første leddene i følgen. Det betyr at s1 ¼ a1

s2 ¼ a1 þ a2

Ku n

s3 ¼ a1 þ a2 þ a3 .. .

sn ¼ a1 þ a2 þ þ an

Vi har sett på to typer tallfølger, nemlig aritmetiske og geometriske følger. Vi skal se hvordan vi kan summere leddene i disse følgene. Vi starter med en enkel aritmetisk rekke, summen av heltallene. Vi skal finne s100 , det vil si 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ þ 49 þ 50 þ 51 þ 52 þ þ 97 þ 98 þ 99 þ 100

Følger og rekker En tallfølge er tallene etter hverandre. En rekke er summen av tallene i tallfølgen.


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Vi legger sammen de to tallene ytterst på hver side, nemlig 1 og 100, og får 101. Så tar vi tallene innenfor disse, og får 2 þ 99 ¼ 101. Vi fortsetter innover:

Aritmetiske rekker og Gauss' metode:

in g

1 þ 100 ¼ 101 2 þ 99 ¼ 101 3 þ 98 ¼ 101 4 þ 97 ¼ 101 .. . 50 þ 51 ¼ 101

er

Vi får 101 hver gang. Derfor kan vi regne ut s100 ved å telle hvor mange ganger vi får 101. Vi bruker to tall hver gang, så antall slike 101-ere må bli halvparten av 100. Det gir

100 101 ¼ 50 101 ¼ 5050 2 Vi summerer en generell aritmetisk rekke på samme måte. Siden differansen mellom hvert ledd er den samme, får vi også her samme tall når vi summerer første og siste ledd, andre og nest siste og så videre. På figuren nedenfor representerer hver søyle et ledd i rekken. Til venstre er søylene plassert ved siden av hverandre. Til høyre er siste satt oppå første, nest siste satt oppå nest første og så videre. Vi ser at summen av hvert par er den samme.

vu

rd

s100 ¼

til

an

Ku n

22

a1 + an

a1

n tall

n tall 2

Da får vi a1 þ an ¼ a2 þ an 1 ¼ a3 þ an 2 og så videre. Det gir n sn ¼ ða1 þ an Þ 2 I argumentasjonen ovenfor har vi antatt at n er et partall. Formelen gjelder også når n er oddetall.

ARITMETISK REKKE Summen av de n første leddene i en aritmetisk tallfølge er en aritmetisk rekke. Summen er gitt ved n sn ¼ ða1 þ an Þ 2


Rekker

23

EKSEMPEL 7

a

Vis at rekka er aritmetisk.

b

Bestem summen av rekka.

c

Vi utvider rekka med flere ledd. Hvor mange ledd må rekka minst bestå av for at summen skal bli over 1000?

in g

En rekke er gitt ved 3 þ 7 þ 11 þ 15 þ þ 59.

a1 þ ðn 1Þ d ¼ 59 3 þ ðn 1Þ 4 ¼ 59

vu

ðn 1Þ 4 ¼ 59 3

rd

Vi må vite hvor mange ledd det er i rekka, altså hva n må være for at an ¼ 59. Vi løser likningen an ¼ 59:

56 4 n ¼ 14 þ 1 ¼ 15

n 1¼

til

Dette betyr at vi skal finne s15 : n sn ¼ ða1 þ an Þ 2 15 15 62 ð3 þ 59Þ ¼ ¼ 465 s15 ¼ 2 2

Alternativ løsning med programmering: Vi skriver et program i Python som summerer leddene i rekka til leddet er 59:

Ku n

b

er

Løsning: a Vi sjekker om differansen er konstant: 7 3 ¼ 11 7 ¼ 15 11 ¼ 4 Siden differansen mellom de oppgitte leddene er 4, er rekka aritmetisk. Differansen mellom 59 og 15 er 59 15 ¼ 44. Siden den er delelig med 4, vil også 59 være et ledd i rekka.

1

a=3

2 3

summen = 0

4 5 6 7

while a <= 59:

summen = summen + a a=a+4

8 9

print(summen)

Når vi kjører programmet, får vi 465 til svar.


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

c

Vi skal løse ulikheten sn > 1000. Vi regner først ut an og sn : an ¼ 3 þ ðn 1Þ 4 ¼ 3 þ 4n 4 ¼ 4n 1 n ð4n þ 2Þ n ð3 þ 4n 1Þ ¼ ¼ 2n2 þ n 2 2 sn > 1000 2n þ n > 1000 2

2n2 þ n 1000 > 0

in g

sn ¼

Vi finner først nullpunktene for andregradsuttrykket:

er

2n2 þ n 100 ¼ 0

n 22,6 _ n 22,1

Vi lager fortegnslinje for 2n2 þ n 1000: 0

22,1

·

0

rd

2n2 + n – 1000

n

vu

Ettersom n må være et naturlig tall, vil n > 22,1 bety at n 23. Vi må altså ha med minst 23 ledd for at summen skal bli større enn 1000. Vi kontrollerer ved å regne ut s22 og s23 og får henholdsvis 990 og 1081. Utregningen stemmer.

til

Alternativ løsning med programmering: Vi skriver et program i Python som summerer leddene i rekka til summen er over 1000. Underveis teller vi opp hvor mange ganger løkka kjører. 1

a=3

2

Ku n

24

Oppgaver: 1.11–1.12, 1.17

3

summen = 0

4

teller = 0

5 6

while summen <= 1000:

7

summen = summen + a

8

a=a+4

9

teller = teller + 1

10 11

print(teller)

Når vi kjører programmet, får vi 23, som er samme svar som ovenfor.


Rekker

25

Reflekter og diskuter! Victor mener at gjennomsnittet av leddene i en aritmetisk rekke er gjennomsnittet av det første og det siste leddet. Han finner et uttrykk for summen av rekka slik:

in g

a1 þ an n 2 Diskuter med en medelev hvordan Victor kan ha tenkt. sn ¼

er

Geometriske rekker

rd

Ideen i programmeringen i forrige eksempel fungerer like godt om tallfølgen vi summerer, er geometrisk. Men skal vi finne summen for hånd, må vi se etter en annen metode: Vi kan uttrykke summen av en geometrisk rekke med a1 og k:

sn ¼ a1 þ a1 k þ a1 k2 þ a1 k3 þ þ a1 kn 2 þ a1 kn 1 Denne likningen multipliserer vi med k:

vu

k sn ¼ a1 k þ a1 k2 þ a1 k3 þ a1 k4 þ þ a1 kn 1 þ a1 kn

Nå trekker vi den andre likningen fra den første. Veldig mange ledd er like og blir null i subtraksjonen. Vi står igjen med k sn sn ¼ a1 kn a1

Vi faktoriserer begge sider og dividerer med k 1:

til

sn ðk 1Þ ¼ a1 ðkn 1Þ sn ¼ a 1

kn 1 k 1

Ku n

GEOMETRISK REKKE Summen av leddene i en geometrisk tallfølge utgjør en a geometrisk rekke. La a1 være første ledd og k ¼ i þ 1 for alle i 2 N. ai Da er summen sn av de n første leddene i følgen gitt ved sn ¼ a1

kn 1 k 1

I neste eksempel ser vi på hvordan vi bruker formelen, i tillegg til å finne summen av rekka med CAS.

Geometriske rekker:


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 8 1 En geometrisk rekke har første ledd a1 ¼ 32 og kvotient k ¼ . 2 Finn summen av de seks første leddene i rekka.

er

in g

Løsning: Vi setter inn n ¼ 6 i formelen for sn : kn 1 sn ¼ a1 k 1 6 1 1 1 63 1 1 1 6 63 2 ¼ 32 64 ¼ 2 ¼ ¼ 32 2 s6 ¼ 32 ¼ 21 1 3 3 3 3 1 2 2 2 2 Summen av de seks første leddene i rekka er 21.

1

rd

Løsning med CAS: Vi bruker kommandoen «Sum». Første argument er formelen for n-te ledd av rekka.

Vi får at s6 ¼ 21.

vu

Oppgave: 1.15

Vi kan også regne «baklengs», ved å bruke formelen for summen av rekken i en likning.

EK SEMPEL 9

til

En geometrisk følge er gitt ved at følgens første ledd er 3 og forholdet mellom to ledd som følger etter hverandre, er 2. Kan vi få 3069 ved å summere leddene i følgen?

Ku n

26

Løsning: Vi har a1 ¼ 3 og k ¼ 2. Vi løser da likningen sn ¼ 3069: kn 1 ¼ 3069 a1 k 1 2n 1 ¼ 3069 3 2 1 3069 2n 1 ¼ 3 2n ¼ 1024 n lg 2 ¼ lg 1024 n¼

lg 1024 lg 2

n ¼ 10 Oppgave: 1.16

Hvis vi summerer de ti første leddene i følgen, får vi akkurat 3069.


Rekker

27

Lange summer med mange ledd brukes så ofte i matematikken at de har fått et eget tegn, nemlig den greske bokstaven sigma: 6. I en tallfølge der n-te ledd er gitt ved an ¼ 7 þ 3n, skriver vi summen av de 14 første leddene som 14 X ð7 þ 3nÞ s14 ¼ n¼1

Hva betyr dette? 15 7 X X n i2 n¼1

i¼3

5 X

ð5 2k 1 Þ

k¼1

rd

Noen digitale verktøy skriver summer med summetegnet 6. GeoGebra skriver på to måter:

er

Reflekter og diskuter!

in g

Summetegnet 6

vu

1

2

til

Vi tar med et eksempel på hvordan vi kan bruke rekker i praksis.

EKSEMPEL 10

Ku n

Oliver er 27 år, nyutdannet og skal begynne i sin første jobb. Han har tenkt å ha samme jobb helt til han er pensjonist om 40 år. Oliver får en begynnerlønn på 500 000 kr per år. Han får to tilbud om lønnsutvikling: Tilbud A

12 000 i tillegg hvert år

Tilbud B

2 % tillegg hvert år

Hvilket av de to tilbudene gir størst livslønn?

Løsning: Tilbud A blir en aritmetisk rekke hvor starten ser slik ut: 500 000 þ 512 000 þ 524 000 þ Vi har a1 ¼ 500 000 og d ¼ 12 000. Vi skal regne ut s40 .


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Vi finner først siste ledd: a40 ¼ a1 þ ðn 1Þ d ¼ 500 000 þ 39 12 000 ¼ 968 000

in g

Så beregner vi summen av rekka: a þ an 500 000 þ 968 000 s40 ¼ 1 40 ¼ 29 360 000 n¼ 2 2 Tilbud B blir en geometrisk rekke som starter slik: 500 000 þ 500 000 1,02 þ 500 000 1,022 þ Vi har a1 ¼ 500 000 og k ¼ 1,02. Vi regner ut s40 :

Her har vi ikke tatt hensyn til at kroneverdien vanligvis endrer seg. Forskjellen blir ikke like stor dersom vi tar hensyn til dette.

vu

rd

Oppgave: 1.14

Oppgaver

er

kn 1 1,0240 1 ¼ 500 000 þ ¼ 30 200 992 k 1 1,02 1 Vi får at livslønna blir størst etter tilbud B, ca. 840 000 kr større. s40 ¼ a1

1.13 I en aritmetisk rekke er a1 ¼ 2 og s8 ¼ 212.

a

a

Bestem et uttrykk for det n-te leddet i rekka, an .

b

Bestem et uttrykk for summen av de n første leddene i rekka, sn .

b

til

1.11 En aritmetisk rekke har a1 ¼ 4 og differanse d ¼ 7. Bestem summen av de 20 første leddene i rekka uten digitalt verktøy.

Bestem et uttrykk for summen av de n første leddene.

Ku n

28

c

Hvor mange ledd må rekka inneholde for at summen skal bli over 10 000?

1.12 En rekke er gitt ved 3 þ 1 þ 5 þ 9 þ . . .

a

Vis at rekka er aritmetisk.

b

Bestem summen av de sju første leddene, altså s7 , uten digitalt verktøy.

c

Hvor mange ledd må vi minst ha med i rekka for at summen skal bli over 600?

1.14 Et firma lyser ut en stilling med 500 000 kr i årslønn første år. Hvert år øker de lønna med 5 %. Hvor mye tjener Vartika om hun jobber i firmaet i 40 år?


Rekker

1.15 Vi har rekka

29

1.19

a

Bestem summen av rekka.

b

Hvor mange ledd trenger vi for at summen av rekka skal bli større enn 38?

in g

5 5 20 þ 10 þ 5 þ þ þ 2 128

4 þ 12 þ 36 þ 108 þ 324 þ 972 þ 2916 þ

rd

Stine påstår at hvis vi stopper etter et passende antall ledd, så blir summen av rekka 39 364. Markus mener det ikke er mulig. Hvem har rett?

er

1.16 En rekke er gitt som

til

vu

1.17

Ku n

Noen kobberrør ligger i en stabel. I nederste rad er det 24 rør. I hver rad er det ett rør færre enn i raden under. I øverste rad er det 14 rør. Hvor mange rør ligger det i stabelen?

1.18 Hanna summerer en aritmetisk rekke og får 5n2 3n . sn ¼ 2 Bestem en aritmetisk rekke som har dette som sum.

Gulvuret hos bestemoren til Joachim slår fire slag klokken fire, fem slag klokken fem, og så videre. Hvor mange slag slår klokka i løpet av et døgn?

1.20 a Summen av en geometrisk rekke er gitt ved sn ¼ 4n 1. Bestem et uttrykk for det n-te leddet, an . b

Finn et uttrykk for summen av en geometrisk rekke der a1 ¼ r og k ¼ r þ 1.


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

1.3 Sparing og lån UTFORSK

rd

er

in g

Du trenger: en papirlapp med påskriften «1000 kroner»

Alle i klassen legger hver sin «tusenlapp» utover et bord eller gulvet.

2

Nummerer lappene fra 1 og oppover.

vu

1

3

La nummeret bety hvor mange år pengene har stått i banken.

4

Banken gir 3 % rente. Skriv på hver papirlapp hvilket beløp det opprinnelige beløpet har vokst til.

5

Skriv opp hva verdien av alle lappene er til sammen.

til

Ku n

30

Geometriske rekker brukes i utregninger på en rekke fagområder. I økonomi bruker vi geometriske rekker i mange sammenhenger, for eksempel når vi beregner verdien av mulige investeringer og lån, men også i sammfunnsøkonomiske beregninger med konsumfunksjonen og Keynes-modeller. Geometriske rekker er dermed en del av grunnlaget for å forstå pengepolitikk og finanspolitikk.


Sparing og lån

31

Sparing

År START 1

1. innskudd

2. innskudd

10 000 10 000 1,05

+

10 000

START

1. innskudd

2. innskudd

10 000 10 000 1,05

+

10 000

2

10 000 1,052

+

10 000 1,05

3

10 000 1,053

+

10 000 1,052

4

10 000 1,054

þ

+

10 000

+

10 000 1,05

vu

1

3. innskudd

4. innskudd

5. innskudd

rd

År

er

Så gjentar vi dette. Hvert år har vi et nytt innskudd, og tidligere innskudd økes med 5 %. Etter femte innskudd får vi da:

Anvendelse av geometriske rekker:

in g

Vi tenker oss at vi 1. januar hvert år setter inn 10 000 kr på en bankkonto med 5 % årlig rente. Rett etter innskuddet er saldoen altså 10 000. Etter ett år har fjorårets innskudd økt til 10 000 1,05. Vi setter inn sparebeløpet igjen, og saldoen er da 10 000 þ 10 000 1,05:

þ

10 000 1,053

10 000 1,052

+

10 000

þ

10 000 1,05

þ

10 000

til

Vi ser at saldoen blir en geometrisk rekke med a1 ¼ 10 000 og k ¼ 1,05. Sluttverdien rett etter femte innskudd blir s5 . Grafisk kan vi illustrere det slik: Sluttverdi

2. innskudd 4. innskudd 1. innskudd 3. innskudd 5. innskudd 10 000

10 000

Ku n

10 000

10 000 10 000

10 000 · 1,05 10 000 · 1,052 10 000 · 1,053 10 000 · 1,054

Sluttverdi Verdien av et beløp forrentet oppover til slutten av en periode.


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 11 Mona og Gerd sparer 20 000 kr 1. januar hvert år. De begynner 1. januar 2022. Vi regner med at renta i banken er fast på 4 % per år.

in g

Hvor mye kan de ta ut av kontoen sin rett før innskuddet 1. januar 2036?

Løsning: Vi lager en figur for å få oversikt over innbetalingene.

Sluttverdi

20 000

er

2022

2023

2024

2025

20 000

20 000

20 000

2035

2036

20 000

vu

rd

20 000 · 1,041

20 000 · 1,0411 20 000 · 1,0412 20 000 · 1,0413 20 000 · 1,0414

Saldoen 31. desember 2035 blir en geometrisk rekke med k ¼ 1,04. Det første beløpet de setter inn, får rentepåslag i 14 år. Det siste beløpet de setter inn, forrenter seg i ett år, så a1 ¼ 20 000 1,04:

til

Ku n

32

20 000 1,0414 þ 20 000 1,0413 þ þ 20 000 1,042 þ 20 000 1,041

Summen blir s14 : s14 ¼ a1

kn a 1,0414 1 ¼ 20 000 1,04 380 471,75 k 1 1,04 1

På kontoen 31. desember 2035 står det 380 471,75 kr.


Sparing og lån

33

Løsning med CAS:

in g

1

2

er

3

Vi får samme løsning som over.

N = 14 2 k = 1.04 3 a = 20000

rd

Løsning med programmering: Vi lar følgen starte på a ¼ 20 000. Neste a finner vi ved å multiplisere med k, så inni løkka skriver vi a = a*k. Saldoen starter på 0 og øker med sparebeløpet a hvert år. Inni løkka skriver vi derfor saldo = saldo + a:

4 5 6

saldo = 0

vu

1

for i in range(N): 8 a = a*k 9 saldo = saldo + a 10 11

til

7

print(f'På konto etter {N} år: {saldo:.0f} kroner.')

Når vi kjører programmet, ser vi at vi får samme resultat som da vi brukte formelen ovenfor:

Ku n

På konto etter 14 år: 380472 kr.

Reflekter og diskuter!

Les Python-koden i eksempelet ovenfor. Hva skjer om vi bytter om på linje 8 og 9? Hvilken situasjon tilsvarer dette?

I virkeligheten endrer renta seg gjerne flere ganger i året. Da må vi gjennomføre ny utregning for hver renteendring.

Oppgaver: 1.21–1.22


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Nåverdi

in g

Hva vil du helst ha, en gave på 100 000 kr nå eller en gave på 110 000 kr om to år? Svaret vil antakelig avhenge av om du har et stort behov for penger nå, og hvilken rente du kan få om du setter pengene i banken. Vi tenker oss renta i banken er konstant på 4 % per år. Da kan du ta imot gaven nå og sette pengene i banken. Verdien av 100 000 kr om to år blir da 100 000 1,042 ¼ 108 160

Tilbud

er

Vi sammenlikner den framtidige verdien av de to alternativene: Framtidig verdi

100 000 nå

108 160

110 000

rd

110 000 om 2 år

Du bør velge tilbudet om en gave på 110 000 kr om to år, siden det har størst framtidig verdi.

vu

En annen tilnærming er å regne ut hvilken pengesum du ville akseptert nå, i stedet for 110 000 kr om to år. La x være denne pengesummen. Om to år har den vokst til x 1,042 . Vi løser likningen x 1,042 ¼ 110 000 x 1,042 ¼ 110 000 x¼

110 000 1,042

x ¼ 101 701

til

Ku n

34

Vi sier at nåverdien til en gave på 110 000 kr om to år er 101 701, forutsatt at renta er 4 % per år. Siden nåverdien av 110 000 kr om to år er høyere enn 100 000 kr, bør du velge 110 000 kr om to år.

NÅVERDI La p være rentefoten. Nåverdien av et beløp A om n år er A ð100 % þ p %Þn


Sparing og lån

35

EKSEMPEL 12

in g

Antonella vinner 20 000 kr i et lotteri. Gevinsten blir utbetalt om to år. Vi antar at bankrenta de neste årene er 3 %. Antonella tilbyr deg å kjøpe vinnerloddet hennes. Hvor mye er du villig til å betale for loddet?

Løsning: Vi finner nåverdien av 20 000 om to år til 3 % årlig rente: 20 000 18 852 1,032

rd

er

Hvis vi betaler nåverdien, altså 18 852 kr, kan vi like gjerne sette våre egne penger i banken og ta dem ut om to år. Hvis Antonella selger loddet sitt for mindre enn dette, slår vi til.

Figuren viser hvordan rentenivået i Norge har variert:

8 6 4 2

vu

10

Bankrente

til

12

1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020

Ku n

Vi ser at renta har vært forholdsvis lav de siste årene. Fram til år 2000 var situasjonen ganske annerledes. En obligasjon er en form for lån med fast rente. Hvis du kjøper en tiårs obligasjon med pålydende beløp 1000 kroner av den norske stat med kupongrente 4 %, betyr det at du får en utbetaling på 4 % av pålydende verdi hvert år i ti år. Etter ti år får du dessuten utbetalt den pålydende verdien, her 1000 kroner. Når vi skal vurdere hvor mye en obligasjon er verdt, må vi ta hensyn til renta i markedet. Verdien blir summen av nåverdiene av de framtidige utbetalingene.

Oppgaver: 1.25–1.26


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 13

in g

Janne vurderer om hun skal kjøpe en tiårs norsk statsobligasjon med pålydende verdi 1000 kr. Kupongrenta er 4 %. Vi regner med at markedsrenta i perioden er på 3 %. Hvor mye kan Janne betale for obligasjonen uten at hun ville tjent mer på å sette pengene i banken i stedet?

Nåverdi

2

3

40

40

40

10

Tid 40

vu

40 1,03

1

rd

0

er

Løsning: Kupongrenta er 4 % av 1000 kr, altså 40 kr. Utbetaling skjer 10 ganger, med første utbetaling om et år. Samtidig med siste utbetaling får Janne også utbetalt 1000 kr. Vi skal summere nåverdiene av de framtidige utbetalingene. Vi lager en figur for å få oversikt over utbetalingene av kupongrenta:

40 1,032

40 1,033 …

til

40 1,0310

Summen av nåverdiene blir da 40 40 40 þ þ þ 2 1,03 1,03 1,0310

Ku n

36

Oppgave: 1.27

Dette er en geometrisk rekke med a1 ¼

40 1 og k ¼ . Vi skal finne s10 : 1,03 1,03

1 10 1 k 1 40 1,03 ¼ ¼ a1 ¼ 341,21 1 k 1 1,03 1 1,03 10

s10

1000 ¼ 744,09. 1,0310 Summen av nåverdiene av de framtidige utbetalingene på obligasjonen blir da 341,21 þ 744,09 ¼ 1085,30. Janne bør ikke kjøpe obligasjonen for mer enn 1085 kr.

I tillegg får Janne utbetalt pålydende verdi, som har nåverdi


Sparing og lån

37

Lån UTFORSK

1

lån = 50000

2

rente = 0.03

3

antall_år = 5

4

avdrag = lån/antall_år

in g

Niklas har skrevet Python-koden nedenfor:

5

for

i in range(antall_år):

7

rentebeløp = lån*rente

8

lån = lån - avdrag

9

innbetaling = rentebeløp + avdrag

rd

print(f'{i+1:7} {lån:7} {avdrag:7} {rentebeløp:7} {innbetaling:7}')

10

er

6

Hva tror du blir resultatet når du kjører koden?

2

Skriv koden inn på PC-en og kjør den.

3

Skriv inn en linje før linje 6 som gir overskrift over kolonnene i utskriften.

4

Utvid koden slik at programmet regner ut summen av alle renteutgiftene.

vu

1

til

Rente er en kostnad for å låne penger. Når du sparer penger, er det banken som betaler deg rente for å låne dine penger. Når du låner penger i banken, må du betale rente til banken. I tillegg må du betale avdrag, altså betale tilbake det kronebeløpet du opprinnelig lånte.

Ku n

Når du tar opp et lån, avtaler du med banken hvordan lånet skal betales tilbake. Det kan være i form av et serielån eller et annuitetslån. I et serielån er avdragene like. Fordi du til enhver tid betaler renter av restlånet, betaler du da mest renter i starten og mindre etter hvert. I et annuitetslån avtaler du et fast beløp med banken, som hver termin skal dekke både avdrag og renter. Dermed betaler du i starten mindre avdrag enn senere, og mer renter enn senere.

Serielån

Vi tenker oss at du låner 50 000 kr og skal betale tilbake like mye fem ganger. 50 000

Serielån Lån der avdragene er like store hver gang. Innbetalingene er størst i starten.


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Avdragene blir altså på 10 000. I tillegg må du betale renter av det du har igjen på lånet. Vi tenker oss at renta er på 10 %. Nedbetalingsplanen blir da slik: Avdrag

Renter

Restgjeld (kr)

Rente (kr)

Avdrag (kr)

Terminbeløp (å betale) (kr)

1

1

50 000

5000

10 000

15 000

2

2

40 000

4000

10 000

14 000

3

3

30 000

3000

10 000

13 000

4

4

20 000

2000

10 000

12 000

5

5

10 000

1000

10 000

11 000

in g

Termin

EK SEMPEL 14

er

Lånet må nedbetales med 65 000 kr fordelt over fem innbetalinger.

rd

Line og Nils låner 100 000 kr til 4 % rente per år. De avtaler å betale et fast avdrag i fem år. Første innbetaling er om ett år. Lag en nedbetalingsplan for lånet.

vu

Løsning: Vi skriver et program i Python som bruker en løkke til å regne ut renter, avdrag og restlån hver termin. lån = 100000 2 rente = 0.04 3 antall_terminer = 5 4 avdrag = lån/antall_terminer 1

5

7 8 9 10 11 12

print(' Saldo start Avdrag Rente Restlån') for i in range(antall_terminer): print(i + 1, end=' ') # Skriver ut terminnummeret. print(f'{lån:10.2f}', end=' ') # Skriver ut lånesaldo. print(f'{avdrag:8.2f}', end=' ') # Skriver ut avdraget. rentebeløp = lån*rente # Regner ut renta av resten av lånet. print(f'{rentebeløp:8.2f}', end=' ') # Skriver ut renta. lån = lån - avdrag # Regner ut restlånet denne terminen. print(f'{lån:8.2f}') # Skriver ut restlånet.

til

6

Ku n

38

13 14

Nedbetalingsplan Oversikt over saldo, avdrag, renter og restlån for hver termin

Oppgave: 1.28

Når vi kjører progammet, får vi følgende: Saldo start 1 100000.00 2 80000.00 3 60000.00 4 40000.00 5 20000.00

Avdrag 20000.00 20000.00 20000.00 20000.00 20000.00

Rente 4000.00 3200.00 2400.00 1600.00 800.00

Restlån 80000.00 60000.00 40000.00 20000.00 0.00


Sparing og lån

39

Annuitetslån

in g

Dersom du avtaler et annuitetslån, betaler du det samme beløpet hver gang. Summen av renter og avdrag hver termin er konstant. Denne summen kaller vi annuiteten. Lånet på 50 000 kr til 10 % rente over fem år blir da slik det er vist til høyre. Det er når vi skal beregne hvor stor annuiteten skal være, at vi får bruk for å summere en rekke.

1

2

3

4

5

x

x

x

x

x

1

2

Nåverdi

x

x

3

4

Nåverdi Dagnes verdi av et framtidig beløp

vu

Totalt betaler vi altså 5x. Men x kroner om fem år er ikke verdt like mye som x kroner i dag. Lånebeløpet skal derfor tilsvare summen av nåverdiene av innbetalingene. Dersom renta er 10 %, blir nåverdien av en innbetaling på x x kroner om fem år . Vi gjentar regningen for hver innbetaling: 1,15

0

2

5

rd

0

1

er

Vi lar x være annuiteten, altså summen av renter og avdrag som skal betales hver termin. Vi skal altså betale x kroner hvert år fem ganger, første gang om et år:

Avdrag Renter

3

4

5

x

x

x

x 1,1 x 1,12

til

tid

Ku n

x 1,13 x 1,14 x 1,15

Når lånet er bygget opp som over, kaller vi det et annuitetslån. Vi beregner innbetalingen, den såkalte annuiteten, ved å løse en likning: x x x x x þ þ þ þ ¼ 50 000 1,1 1,12 1,13 1,14 1,15

Annuitetslån Summen av nåverdien av de framtidige innbetalingene skal være lånebeløpet.


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Venstre side av denne likningen er en geometrisk rekke med a1 ¼ Vi skal regne ut s5

x 1 og k ¼ . 1,1 1,1

s5 ¼ 50 000 kn 1 ¼ 50 000 k 1 5 1 1 x 1,1 ¼ 50 000 1 1,1 1 1,1 3,7908x ¼ 50 000

er

x ¼ 13 189,87

in g

a1

rd

Løsningen av likningen betyr at dersom vi skal betale inn samme beløp på et lån på 50 000 kr til 10 % rente hvert år i fem år slik at renter og avdrag til sammen blir like mye hvert år, må beløpet være 13 189,87 kr.

EK SEMPEL 15

vu

Vina og Stian tar opp et annuitetslån på 5 000 000 kr. De avtaler en nedbetalingstid på 20 år, med første innbetaling om ett år. Lånet har en rente på 2,65 % rente i hele lånets løpetid. a

Beregn annuiteten til lånet.

b

Lag en nedbetalingsplan for lånet.

c

Hvor mye koster lånet i renter?

til

Ku n

40

Løsning: a Øverst på neste side har vi laget en figur for å få oversikt over innbetalingene. Vi regner ut nåverdien til hver innbetaling x. Summen av nåverdiene skal tilsvare lånebeløpet og bli en geometrisk x 1 og at k ¼ . rekke med a1 ¼ 1,0265 1,0265 Summen av nåverdien av innbetalingene blir 20 1 1 x 1,0265 s20 ¼ 15,3705x 1 1,0265 1 1,0265 Vi setter uttrykket for s20 lik 5 000 000 og får x 325 298. Vina og Stian må betale om lag 325 298 kr i året.


Sparing og lån

2

3

x

x

x

20

in g

Nåverdi

1

x

x 1,0265 x 1,02652

er

x 1,02653

rd

x 1,026520

vu

Vi kan også løse oppgaven med CAS, og da bruker vi Sum-kommandoen med formelen for ledd nummer n for n fra 1 til 20. Så løser vi likningen vi får når vi setter summen lik 5 000 000: 1

3

til

2

Ku n

Svaret blir, som ovenfor, 325 298 kr i året.

b

Vi skriver et program i Python som regner ut hvor mye Vina og Stian skal betale hvert år: 1

lån = 5000000

2

rente = 0.0265

3

antall_terminer = 20

4

annuitet = 325298

5 6

41

print(' Saldo start Avdrag Rente Restlån')


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

8 9 10 11 12

for i in range(antall_terminer): start = lån rentebeløp = lån*rente avdrag = annuitet - rentebeløp lån = lån - avdrag print(f'{i + 1:2} {start:10.0f} {avdrag:7.0f} {rentebeløp:7.0f} {lån:9.2f}')

in g

7

Når vi kjører programmet, får vi dette resultatet: Rente 132500 127391 122146

Restlån 4807202.00 4609294.85 4406143.17

24549 16579 8398

625613.73 316894.49 -5.81

c

Totalt betaler Vina og Stian inn 20 325 298 kr ¼ 6 505 960 kr. Kostnaden på lånet blir derfor 6 505 960 kr 5 000 000 kr ¼ 1 505 960 kr.

vu

Oppgave: 1.29

rd

er

Saldo start Avdrag 1 5000000 192798 2 4807202 197907 3 4609295 203152 ... 18 926363 300749 19 625614 308719 20 316894 316900

til

I eksempelet ovenfor avtalte banken og låntakeren nedbetalingstiden på lånet. Deretter beregnet banken hvor stor hver innbetaling måtte være for at lånet skulle være tilbakebetalt på denne tiden. Et annet alternativ er at banken og låntakeren avtaler hvor stor innbetalingen skal være, og så beregner vi i stedet nedbetalingstiden.

Ku n

42

EK SEMPEL 16 Roklubben til Petra skal kjøpe inn en ny båt. De låner 100 000 kr i banken til 3 % rente. De avtaler å betale 15 000 kr hvert år i renter og avdrag. Hvor lang tid tar det før lånet er tilbakebetalt?

Løsning: Vi skriver et program i Python som regner ut hvor mye roklubben skal betale hvert år. Hvert år betaler de rente av det de har igjen av lånebeløpet. Vi trekker rentebeløpet fra 15 000 og finner avdraget. Så reduserer vi restlånet like mye som det avdraget som ble betalt. lån = 100000 2 rente = 0.03 3 annuitet = 15000 4 antall_terminer = 0 1

5


print(' Saldo start Avdrag Rente Restlån')

7

while lån > 0:

8

start = lån rentebeløp = lån*rente avdrag = annuitet - rentebeløp lån = lån - avdrag print(f'{antall_terminer + 1:2} {start:9.0f} {avdrag:7.0f} {rentebeløp:7.0f} {lån:9.2f}') antall_terminer = antall_terminer + 1

9 10 11 12

13

Når vi kjører programmet, får vi dette: Rente 3000 2640 2269 1887 1494 1089 671 242

Restlån 88000.00 75640.00 62909.20 49796.48 36290.37 22379.08 8050.45 -6708.03

rd

Avdrag 12000 12360 12731 13113 13506 13911 14329 14758

vu

Saldo start 1 100000 2 88000 3 75640 4 62909 5 49796 6 36290 7 22379 8 8050

er

6

til

Vi ser at lånet er nedbetalt etter åtte år.

Oppgave: 1.31

Oppgaver

Ku n

1.21 Runa setter inn 3000 kr på bankkontoen sin i starten av hvert år. Hun får 5 % rente. Hvor mye står det på kontoen hennes rett etter at hun har gjort det tiende innskuddet? 1.22 Ivar sparer for å ha 100 000 kr på kontoen sin om fem år. Han setter inn et fast beløp én gang i året. Hvor mye må han sette inn hvert år for at det skal være 100 000 kr på kontoen ett år etter det femte innskuddet, forutsatt at banken gir 3 % rente hvert år i hele perioden?

43

in g

Sparing og lån

1.23 En bedrift slipper ut 58 tonn CO2 hvert år. De får pålegg om å redusere utslippet med 6 % per år de neste ti årene. a

Hvor stort er det årlige utslippet om fem år?

b

Hvor mye CO2 slipper bedriften ut totalt de neste ti årene?


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

1.29 Mariann låner 650 000 kr i banken. Hun avtaler å betale tilbake lånet som et annuitetslån over 15 år med 4,5 % rente per år. a

Beregn annuiteten til lånet.

a

Hvor mye av virkestoffet er det i kroppen fem dager senere, rett etter sjette tablett?

b

Lag en nedbetalingsplan for lånet.

b

Hvor lang tid tar det før det er mer enn 5 mg av virkestoffet i kroppen?

1.30 Nora vil kjøpe en spillkonsoll til 5899 kr. Hun blir tilbudt å kjøpe den på avbetaling. Da kan hun betale 350 kr per måned i 22 måneder.

er a

Regn ut den månedlige renta Nora må betale.

Når en butikk tilbyr avbetaling, skal de oppgi såkalt effektiv rente. Dette er hvor mange prosent rentene utgjør i året.

rd

1.25 På 18-årsdagen 1. januar får Amanda et gavebrev fra bestemor. Amanda kan velge å få utbetalt 50 000 kr nå eller 10 000 kr hvert år i seks år. Amanda regner med at bankrenta holder seg på 2 %.

in g

1.24 En tablett av et legemiddel inneholder 0,8 mg av et virkestoff. Kroppen bryter ned 12 % av virkestoffet per døgn. En pasient tar én tablett om dagen, den første mandag morgen.

Hva skal hun velge?

b

Beregn den effektive renta de første tolv månedene.

vu

1.26 Du blir tilbudt å investere 10 000 kr. Firmaet lover en utbetaling på 1000 kr i slutten av året hvert år i ti år. I tillegg får du utbetalt 5000 kr på slutten av det 11. året. Vi regner med en rente på 4 % per år.

1.31

Burde vi gjennomføre investeringen?

til

1.27 En tjueårs obligasjon har pålydende verdi USD 1000. Kupongrenta er 2 % per år. Hvor mye er obligasjonen verdt? Vi regner med en markedsrente på 3 % per år.

Ku n

44

1.28 Nilla tar opp et lån på 1 000 000 kr. Han må betale 5 % rente hvert år. Han avtaler å betale tilbake lånet i like store avdrag over 15 år. Lag en nedbetalingsplan for lånet.

Et vennepar tar opp et annuitetslån på 4 500 000 kroner til leilighet. De må betale 3 % årlig rente til banken. De avtaler å betale 280 000 kroner hvert år. Hvor lang tid tar det før hele lånet er nedbetalt?


Uendelige geometriske rekker

45

1.4 Uendelige geometriske rekker UTFORSK

1

La arket ha sidelengde 1.

2

1 Del kvadratet i to like store deler, slik at arealet av begge deler blir . 2 Del den ene av halvdelene i to like store deler, slik at hver av 1 delene har areal . 4

4

Fortsett slik så lenge du klarer.

5

Forklar at arealet av arket kan regnes ut som 1 1 1 1 þ þ þ þ 2 4 8 16

6

Hva er arealet av arket?

rd

er

3

in g

Du trenger: et kvadratisk papirark

til

vu

For rundt 2500 år siden framsatte grekeren Zenon paradokset om Akilles: Akilles, en av tidenes sterkeste krigere og raskeste løpere, skal løpe om kapp med en liten skilpadde. Siden Akilles er raskest, får skilpadden starte et stykke lenger framme. Startskuddet går, og de setter av sted. Men hvordan kan Akilles ta igjen skilpadden? Når Akilles har kommet fram til der skilpadden startet, har skilpadden løpt et stykke lenger. Og når Akilles har kommet dit, har skilpadden igjen løpt litt videre. Og når Akilles har kommet dit, har skilpadden atter en gang løpt litt videre. På denne måten vil Akilles aldri klare å ta igjen skilpadden! Kan det stemme?

Ku n

Vi tenker oss at Akilles løper dobbelt så fort som skilpadden, og at skilpadden starter 1 meter foran Akilles. Avstanden Akilles løper før han tar igjen skilpadden, blir da 1 1 1 1 1 þ þ þ þ þ 2 4 8 16 1 Dette er en geometrisk rekke med a1 ¼ 1 og k ¼ . Summen av de n første 2 leddene blir da 1 1 1 1 n n kn 1 2 2 ¼1 ¼ sn ¼ a1 1 1 k 1 1 2 2 Hva skjer dersom vi tar med uendelig mange ledd? Vi lar n ! 1 0 1 n ! 1 ) sn ! ¼2 1 2

Uendelige geometriske rekker:


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Summen av rekka nærmer seg 2 når vi tar med svært mange ledd. Vi kan få summen så nærme 2 vi vil, ved å ta med tilstrekkelig mange ledd. Da er det også klart hva som skjer: Akilles tar igjen og passerer skilpadden etter 2 meter.

in g

Når grenseverdien til summen av rekka eksisterer, sier vi at rekka konvergerer mot denne verdien. Motsatt, hvis grenseverdien ikke eksisterer, sier vi at rekka divergerer.

Konvergens Hvis grenseverdien til summen av en rekke eksisterer, sier vi at rekka konvergerer mot denne verdien. Ellers divergerer rekka.

Vi tar utgangspunkt i formelen for sn og undersøker grenseverdien generelt. Vi kaller grenseverdien s: kn 1 n!1 n!1 k 1 Den eneste delen av uttrykket for s som avhenger av n, er kn . Fra tidligere har vi

er

s ¼ lim sn ¼ lim a1

)

kn ! 0, hvis 1 < k < 1

n!1

)

kn ! 1,

rd

n!1

hvis k > 1 eller k < 1

Hvis vi forutsetter at 1 < k < 1, får vi derfor

kn 1 0 1 a1 ¼ a1 ¼ n!1 k 1 k 1 k 1 Vi utvider brøken med 1, slik at vi får positiv teller:

vu

s ¼ lim a1

a1 1 a ¼ 1 k 1 1 1 k Grenseverdien eksisterer også dersom a1 ¼ 0. Alle leddene i rekka blir da 0, og s ¼ 0.

til

Ku n

46

K ON V E R G E N S A V G E O M E T R I S K RE K K E La a1 være første ledd i en geometrisk tallfølge med kvotient k. Dersom 1 < k < 1, konvergerer rekka mot et tall s gitt ved a s¼ 1 1 k Dersom a1 ¼ 0, konvergerer rekka mot 0. Ellers divergerer rekka.

EK SEMPEL 17 Finn summen av rekka dersom den eksisterer: 81 27 þ 9 3 þ


a1 ¼ 1 k

81 81 243 ¼ ¼ 4 1 4 1 3 3

Oppgave: 1.33

rd

er

Løsning: Vi undersøker om rekka er geometrisk: 27 1 ¼ 81 3 9 1 ¼ 27 3 3 1 ¼ 9 3 1 Rekka er geometrisk med a1 ¼ 81 og k ¼ . 3 Siden 1 < k < 1 konvergerer rekka mot summen s gitt ved:

Vi tar med et praktisk eksempel med en uendelig geometrisk rekke.

EKSEMPEL 18

vu

Oljedirektoratet laget i 2020 et overslag på hvor mye olje og gass det er igjen å utvinne i Nordsjøen. De tror det er igjen om lag 8 milliarder standard kubikkmeter oljeekvivalenter (Sm3 o:e:). a

I 2020 ble det produsert olje og gass tilsvarende om lag 229 millioner Sm3 o:e:. Hvor lang tid tar det før det er tomt for olje og gass hvis vi fortsetter å produsere like mye hvert år? Vi trapper ned produksjonen av olje og gass med 3 % per år. Forklar at vi aldri slipper opp for olje og gass.

til

b

Ku n

Løsning: 8 109 a Vi dividerer totalmengden på den årlige produksjonen: ¼ 34,93 35 229 106 Det vil gå omtrent 35 år før det er tomt for olje og gass. b

47

in g

Uendelige geometriske rekker

Vi lager en geometrisk rekke som viser hvor mye olje og gass som blir produsert: 229 106 þ 229 106 0,97 þ 229 106 0,972 þ 229 106 0,973 þ

Vi tenker oss at vi fortsetter å produsere olje og gass i det uendelige. Da blir totalproduksjonen summen av en uendelig geometrisk rekke med a1 ¼ 229 106 og k ¼ 0,97. Det gir a1 229 106 ¼ 7,6 109 1 k 0,03 Uansett hvor lenge vi fortsetter, blir det ikke produsert mer enn 7,6 109 Sm3 o:e:, som er mindre enn Oljedirektoratets estimat på hvor mye det er igjen. Det betyr at vi aldri går tom for olje og gass. s¼

Oppgaver: 1.34–1.35


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Uendelige geometriske rekker dukker opp i mange praktiske sammenhenger, gjerne knyttet til økonomi. Vi tar med et liknende eksempel, der vi bruker en uendelig geometrisk rekke i en situasjon knyttet til utbetaling av et fond eller legat.

in g

EK SEMPEL 19

En gammel enke etterlater seg 1 000 000 kr. I testamentet skriver hun at hun ønsker at det skal deles ut et fast årlig beløp til et veldedig formål i all framtid. Vi antar at pengene har en årlig vekst på 5 %. Hvor mye kan maksimalt deles ut hvert år hvis pengene aldri skal ta slutt?

er

a

Det er uenighet om ordlyden i testamentet. Advokaten til enken mener summen som skal deles ut, skal ta hensyn til en inflasjon på 2 %. Det betyr at det årlige beløpet som skal deles ut, skal øke med 2 % hvert år. Hvor stort kan det første beløpet som deles ut, maksimalt være?

rd

b

vu

Løsning: a Hver år skal det deles ut x kroner. Summen av alle nåverdiene skal til sammen bli 1 000 000 kr: x x x þ þ þ . . . ¼ 1 000 000 1,05 1,052 1,053 x 1 Dette er en geometrisk rekke med a1 ¼ og k ¼ . Dermed har vi at 1,05 1,05 a1 ¼s 1 k x 1,05 ¼ 1 000 000 1 1 1,05 x 1,05 ¼ 1 000 000 1,05 1 1,05 1,05 x 1,05 ¼ 1 000 000 0,05 1,05 x ¼ 1 000 000 0,05 x ¼ 1 000 000 0,05

til

Ku n

48

x ¼ 50 000 Hvis utbetalingene aldri skal stanse, kan det maksimalt deles ut 50 000 kr hvert år.


Uendelige geometriske rekker

49

Alternativ løsning: Hvis man alltid deler ut rentene man har fått i løpet av året, vil det ved starten av året alltid være 1 000 000 kr igjen.

in g

Renter: 1 000 000 kr 0,05 ¼ 50 000 kr Vi får det samme svaret som over. Hvis vi kaller det første beløpet som deles ut, for x, vil beløpene som deles ut, danne rekka:

x x 1,02 x 1,022 þ þ 1,05 1,052 1,053

rd

Vi må altså multiplisere hvert av leddene i rekka med nåverdier med 1,02. Da får vi rekka med nåverdier som skal ha summen 1 000 000:

er

x þ x 1,02 þ x 1,022 þ . . .

x 1,02 og k ¼ . 1,05 1,05 1,02 a < 1, kan vi bruke formelen s ¼ 1 . Ettersom 1 < 1,05 1 k

vu

Vi får en geometrisk rekke med a1 ¼

1

2

til

Vi løser likningen med CAS:

3

Ku n

b

Det første beløpet som deles ut, kan maksimalt være 30 000 kr.

Oppgave: 1.36


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Geometriske rekker med variabel kvotient UTFORSK 1 þ 2 þ 4 þ 8 þ 16 þ 1 þ 3 þ 9 þ 27 þ 81 þ 1 1 1 1 þ 1þ þ þ þ 4 16 64 128 1 þ x þ x2 þ x3 þ x4 þ

Forklar at de første tre rekkene kan oppfattes som eksempler på den siste rekka.

2

Hvilke av rekkene er konvergente?

3

Karl Erik påstår at vi ikke kan vite om den siste rekka konvergerer. Hva vil du svare ham?

rd

er

1

Vi ser på rekka

vu

Geometriske rekker med variabel kvotient:

in g

Karl Erik ser på disse rekkene

1 þ ðx þ 1Þ þ ðx þ 1Þ2 þ ðx þ 1Þ3 þ

Dette er en uendelig geometriske rekke med a1 ¼ 1 og k ¼ x þ 1. Ifølge setningen ovenfor om konvergens av geometriske rekker vil rekka konvergere når 1 < k < 1, altså når 1 < x þ 1 < 1 1 < x þ 1 < 1

j 1

til

2 < x < 0

Rekka konvergerer når x 2 h 2, 0i.

Konvergensområde x-verdiene der rekka konvergerer.

Ku n

50

Vi kaller mengden av de x-verdiene som gjør rekka konvergent, for konvergensområdet for rekken. Så lenge x er i konvergensområdet, vil rekka konvergere. Den konvergerer da mot s¼

a1 1 1 ¼ ¼ x 1 k 1 ðx þ 1Þ

Metoden ovenfor fungerer generelt: Vi identifiserer a1 og k, løser ulikhetene vi får av k < 1 og 1 < k, og regner ut s.


Uendelige geometriske rekker

51

EKSEMPEL 20

Bestem konvergensområdet for rekka og finn summen der rekka er konvergent.

b

Bestem x slik at summen blir 2.

c

For hvilke verdier av r har likningen s ¼ r en løsning?

Løsning: a Dette er en geometrisk rekke med a1 ¼ 1 og k ¼ ln x. Den er konvergent for 1 < k < 1, altså 1 < ln x < 1

er

a

in g

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved 1 þ ln x þ ðln xÞ2 þ ðln xÞ3 þ

Vi setter uttrykket for summen lik 2:

vu

b

a1 1 ¼ 1 k 1 ln x

rd

1 Vi har ln x ¼ 1 for x ¼ e og ln x ¼ 1 for x ¼ . e 1 Siden grafen til ln x er strengt voksende, blir konvergensområdet x 2 ,e . e Summen av rekka i konvergensområdet er

1 ¼2 1 ln x 1 ¼ 2 ð1 ln xÞ

til

1 ¼ 2 2 ln x 1 ln x ¼ 2 1 pffiffiffi x ¼ e2 ¼ e pffiffiffi pffiffiffi 1 Fordi e 2 , e , er løsningen på likningen x ¼ e. e Til høyre ser du grafen til sðxÞ ¼

Ku n

c

1 . 1 ln x

Grafen til sðxÞ er ikke begrenset oppover, og den har asymptote i x ¼ e. Av grafen ser vi at når x går mot e fra venstre, går s mot uendelig. 1 Rekka er bare konvergent for x > . Vi regner ut: e 1 1 1 1 s ¼ ¼ ¼ 1 e 1 ð 1Þ 2 1 ln e 1 Av figuren ser vi at dette betyr at likningen sðxÞ ¼ r har en løsning for r > . 2

y 4 s

3

y=r

2 1

1 x=

1 e

2

3

x

x=e

Oppgaver: 1.37–1.38


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Reflekter og diskuter! Lisa mener det kan være lettere å finne konvergensområdet ved å avgjøre når vi har jkj < 1, enn når vi har k2 < 1.

in g

Forklar at disse to betingelsene gir samme resultat.

EK SEMPEL 21

er

Når vi har variabelen i nevneren, kan det være effektivt å bruke kriteriet k2 < 1 for konvergens. Det kan gjøre det enklere å løse ulikhetene.

En geometrisk rekke er gitt ved x x þ ..., xþ þ x þ 1 ðx þ 1Þ2

rd

x 6¼ 1

Bestem konvergensområdet for rekka.

Løsning:

vu

Vi løser ulikheten k2 < 1: 1 <1 ðx þ 1Þ2

ganger med ðx þ 1Þ2

1 < ðx þ 1Þ2

ðx þ 1Þ2 1 > 0

til

x2 þ 2x > 0

Siden koeffisienten foran x2 er positiv, har x2 þ 2x en minste verdi. Fortegnslinja må da bli:

Ku n

52

Oppgave: 1.42

x2 + 2x

–2

0

0

0

Konvergensområdet blir x 2 h

, 2i [ h0, !i.

x


Uendelige geometriske rekker

53

Oppgaver

d

Hvor havner markeringen til slutt? Hvor kan markeringen ikke havne?

1.33 En uendelig geometrisk rekke er gitt ved 1024, 512, 256, 128, . . .

in g

c

Bestem deg for en brøk mellom 0 og 1, 1 for eksempel . Marker brøken på linjestykket. 3 Flytt 0 fram til markeringen din. 1 beholder plassen sin. Marker den samme brøken. Gjenta dette noen ganger.

rd

b

1.36

er

1.32 a Tegn et linjestykke. La linjestykket starte i 0 og slutte i 1.

Bestem a1 og k.

b

Bestem summen av den uendelige rekka.

c

Hvor mange ledd må du ta med for at summen skal overstige 2046?

vu

a

Janne blir tilbudt en tysk statsobligasjon med pålydende verdi 100 euro og 2 % kupongrente. Obligasjonen har en løpetid på 54 år. Vi regner med at markedsrenta holder seg stabil på 3 %.

til

1.34 En sprettball slippes fra 2 meters høyde. Hver gang ballen spretter, oppnår den 80 % av høyden fra forrige sprett.

Ku n

Hvor mange meter har sprettballen tilbakelagt i lufta så lenge den spretter?

1.35 En tablett av et legemiddel inneholder 0,8 mg av et virkestoff. Kroppen bryter ned 12 % av virkestoffet per døgn. Kroppen tåler opptil 7 mg av stoffet. En pasient tar én tablett om dagen. Er doseringen akseptabel?

a

Hvor mye er obligasjonen verdt?

Janne vil sammenlikne flere liknende obligasjoner med ulik løpetid. For enkelhets skyld regner hun løpetiden som uendelig på alle og utelater utbetalingen av pålydende verdi. b

Hvor mye er obligasjonen Janne blir tilbudt verdt når hun regner på denne måten?


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

1.37 En uendelig rekke er gitt ved x2 x3 xþ þ þ x 1 ðx 1Þ2

1.41 En geometrisk rekke er gitt ved e x þ e 2x þ e 3x þ

Vis at rekka er geometrisk.

b

Bestem konvergensområdet for rekka.

c

Bestem x slik at summen av rekka er 2.

1.38 En uendelig rekke er gitt ved 1 1 x þ x2 þ x3 þ 2 4 a Finn konvergensområdet for rekka.

1.39 1 X n¼1

1.40 Vi har den uendelige rekka

kn ¼

1 . 1 k

Finn summen av rekka.

1.42 En rekke er gitt ved

ðx 2Þ þ ðx þ 1Þ þ

x 2xe x þ 4xe 2x 8e 3x þ Vis at rekka er geometrisk.

b

Bestem konvergensområdet for rekka og finn summen av rekka i konvergensområdet.

c

Bestem x slik at summen er

til

a

2 x. 3

ðx þ 1Þ2 þ x 2

a

Vis at rekka er geometrisk og bestem k.

b

Bestem konvergensområdet for rekka.

1.43 La a ¼ 0,444 44 . . . være desimaltallet med uendelig mange firetall etter kommaet. 4 4 4 þ þ ... 10 100 1000

a

Forklar at a ¼

b

Bestem et rasjonalt tall med samme verdi som a.

vu

Vis at for jkj < 1 har vi

b

er

Finn et uttrykk for summen av rekka i konvergensområdet.

Bestem konvergensområdet for rekka.

rd

b

a

in g

a

Ku n

54


Tallmønstre

55

1.5 Tallmønstre UTFORSK 5, 3, 1, 1, 3, . . .

2

256, 128, 64, 32, 16, . . .

3

1, 5, 12, 22, 35, . . .

4

1, 3, 6, 15, 21, . . .

er

1

in g

Finn de neste to leddene i følgene nedenfor:

rd

Hva er matematikk? Når du stiller dette spørsmålet, vil du ofte få et svar i retning av at matematikk handler om mønstre og sammenhenger – å oppdage, gjenkjenne og bevise mønstre. Å oppdage mønstre i tallfølger krever gjerne en viss innsats og kreativitet. Heldigvis finnes det teknikker som kan hjelpe oss på vei.

5, 8, 11, 14, 17, . . . 1, 2, 4, 8, 16, . . .

vu

De to tallfølgene nedenfor er eksempler på aritmetiske og geometriske følger

Ku n

til

Slike tallfølger kjenner vi nå eksplisitte formler for. Men hvordan finner vi mønstre i andre tallfølger?


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Gjentatte differanser Differansen mellom tallfølgens ledd kan være med på å avdekke mønsteret. 5 4

11 6

19 8

29

Differansen i følgen til venstre er ikke konstant, så dette er ikke en aritmetisk følge. Men vi legger merke til at differansene er en aritmetisk følge:

10

1

5 4

11 6

2

19 8

2

29 10

2

Differansen av differansene er 2.

in g

1

er

Vi leter nå etter en funksjon f ðnÞ som gir det n-te leddet i følgen. Om denne funksjonen vet vi dette:

Differansen mellom funksjonsverdiene øker lineært.

Differansen mellom differansene av funksjonsverdiene er konstant og lik 2.

rd

f ðnÞ ¼ n f 0 ðnÞ ¼ 2n f 00 ðnÞ ¼ 2 2

Differansen mellom leddene er vekstfarten til funksjonen. Siden denne er

vu

lineær, er f ðnÞ en andregradsfunksjon, f ðnÞ ¼ an2 þ bn þ c. Vi må bestemme koeffisientene a, b og c.

Anta at differansene mellom leddene i en følge danner en aritmetisk følge. Da er ledd nummer n en andregradsfunksjon

til

f ðnÞ ¼ an2 þ bn þ c

Ku n

56

EK SEMPEL 22 Bestem en formel for ledd nummer n i følgen 1, 6, 13, 22, 33, 46, 61, 78, 97, . . .

Løsning: Vi finner differansene mellom leddene: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 Differansen mellom differansene er 2, altså konstant. Det betyr at an kan uttrykkes på formen f ðnÞ ¼ an2 þ bn þ c. Vi har f ð1Þ ¼ a 12 þ b 1 þ c ¼ 1 f ð2Þ ¼ a 2 þ b 2 þ c ¼ 6 2

f ð3Þ ¼ a 3 þ b 3 þ c ¼ 13 2

aþbþc¼1 !

4a þ 2b þ c ¼ 6 9a þ 3b þ c ¼ 13

Vi løser likningssettet og får a ¼ 1, b ¼ 2 og c ¼ 2. Det betyr at ledd nummer n er gitt ved an ¼ n2 þ 2n 2.


Tallmønstre

in g

Alternativ løsning: Vi kan skrive differansene mellom leddene i følgen som en aritmetisk følge 5, 7, 9, 11, . . . Ledd nummer n i denne følgen kan uttrykkes som bn ¼ 2n þ 3.

Vi kan derfor uttrykke et vilkårlig ledd i den opprinnelige følgen 1, 6, 13, 22, . . . ved å summere rekka 5 þ 7 þ 9 þ 11 þ . . . a1 ¼ 1 a 2 ¼ 1 þ 5 ¼ a 1 þ b1

er

a3 ¼ 1 þ 5 þ 7 ¼ a1 þ b1 þ b2

rd

a4 ¼ 1 þ 5 þ 7 þ 9 ¼ a1 þ b1 þ b2 þ b3 .. . an ¼ a1 þ b1 þ b2 þ þ bn 1

Vi setter inn for a1 , og summerer b1 þ b2 þ þ bn 1 . Vi bruker at bn ¼ 2n þ 3, noe som betyr bn 1 ¼ 2ðn 1Þ þ 3 ¼ 2n 2 þ 3 ¼ 2n þ 1: 5 þ ð2n þ 1Þ ðn 1Þ 2 2n þ 6 ðn 1Þ ¼1þ 2 ¼ 1 þ ðn þ 3Þðn 1Þ

vu

an ¼ 1 þ

¼ 1 þ n2 n þ 3n 1

Oppgaver: 1.44–1.45

til

¼ n2 þ 2n 2

Vi tar med et eksempel der vi bruker problemløsningsstrategi.

Ku n

EKSEMPEL 23

Hvor mange pizzastykker kan vi maksimalt få ved å rulle et pizzahjul seks ganger i en rett linje gjennom en rund pizza?

Løsning: Vi bruker problemløsningsstrategi: 1

57

Forstå problemet Vi kan kutte pizzaen i tolv stykker ved å rulle hjulet seks ganger gjennom midten, men hvis vi ikke skjærer gjennom midten, vil vi kunne kutte i stykkene som allerede er kuttet. Da vil vi få flere stykker.

Problemløsning 1 Forstå problemet 2 Lage en plan 3 Gjennomføre planen 4 Se tilbake


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Lage en plan Vi kan prøve oss fram, men vi ser da at det fort blir uoversiktlig. Vi forenkler problemet ved å finne maksimalt antall stykker ved å rulle hjulet én, to og tre ganger gjennom pizzaen. Så prøver vi å finne et mønster.

3

Gjennomføre planen Vi tegner figurer der vi ruller hjulet gjennom pizzaen én, to og tre ganger:

rd

er

in g

2

Ett snitt: to stykker

To snitt: fire stykker

Tre snitt: syv stykker

Antall stykker vi får ved å rulle hjulet n ganger, danner tallfølgen an ¼ 2, 4, 7, . . .

vu

Av tallfølgen ser vi at differansen øker med 1 for hver gang. Differansen er lineær. Det betyr at det n-te leddet i følgen kan uttrykkes

på formen f ðnÞ ¼ an2 þ bn þ c. Ettersom vi vet at a1 ¼ 2, a2 ¼ 4 og a3 ¼ 7, bruker vi dette til å sette opp et system med tre likninger og tre ukjente: f ð1Þ ¼ a 12 þ b 1 þ c ¼ 2

til

Ku n

58

f ð1Þ ¼ a 22 þ b 2 þ c ¼ 4 f ð1Þ ¼ a 32 þ b 3 þ c ¼ 7

aþbþc¼2 !

4a þ 2b þ c ¼ 4 9a þ 3b þ c ¼ 7

1 1 Vi løser likningssettet og får at a ¼ , b ¼ og c ¼ 1. 2 2 Det betyr at ledd nummer n er gitt ved 1 1 an ¼ n2 þ n þ 1 2 2 Vi regner ut a6 : 1 2 1 6 þ 6 þ 1 ¼ 18 þ 3 þ 1 ¼ 22 2 2 Vi får maksimalt 22 pizzastykker ved å rulle et pizzahjul seks ganger i en rett linje gjennom en rund pizza. a6 ¼


Tallmønstre

Se tilbake Er vi sikre på at løsningen er riktig? Vi har jo bare vist at figuren stemmer når vi ruller pizzahjulet én, to og tre ganger gjennom pizzaen. Vi undersøker neste figur, der vi skjærer fire ganger. Vi kan få 11 stykker:

er

in g

4

59

Vi ser at det stemmer med formelen vår:

1 2 1 4 þ 4 þ 1 ¼ 8 þ 2 þ 1 ¼ 11 2 2 Ved å forenkle problemet oppdaget vi et mønster som var vanskelig å se i det opprinnelige problemet. Dette mønsteret hjalp oss til å finne løsningen.

vu

rd

a4 ¼

Regresjon

til

Hvis vi ikke finner noe mønster i tallfølgen for hånd, kan vi bruke regresjon. Vi bruker leddenes indeks som x-verdi og leddene som funksjonsverdi.

EKSEMPEL 24

Ku n

Bestem en formel for ledd nummer n i denne følgen 1, 3, 1, 17, 51, 109, 197, . . .

Løsning: Vi lager en verditabell av følgen: n

1

2

3

4

5

6

7

an

1

3

1

17

51

109

197

Vi legger verditabellen inn i regnearket i GeoGebra og bruker regresjonsanalyseverktøyet. En polynomfunksjon av tredje grad treffer alle punktene, slik det er vist øverst på neste side.

Oppgave: 1.46


rd

er

in g

KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Vi får at funksjonsuttrykket er y ¼ x3 3x2 þ 1. Det betyr at an er an ¼ n3 3n2 þ 1.

vu

Oppgave: 1.47

Reflekter og diskuter!

til

Hvor mange nivåer må du regne ut differanser på før du får samme tall hver gang i eksempelet over?

Oppgaver

1.44 Trekanttallene er gitt ved mønsteret som framkommer av figuren:

Ku n

60

T1

T2

T3

T1 ¼ 1, T2 ¼ 3, T3 ¼ 6, T4 ¼ 10, . . .

Finn en formel for Tn , trekanttall nummer n.

1.45 En tallfølge er illustrert med figurene nedenfor:

F1

F2

F3

F1 ¼ 2, F2 ¼ 8, F3 ¼ 20, . . .

T4

a

Tegn figuren som illustrerer F4 .

b

Bestem en formel for figurtall nummer n.

c

Hvilket figurtall kan du lage med 50 kvadrater?


Tallmønstre

1.50 En tallfølge er gitt ved 1, 5, 12, 22, 35.

3, 11, 27, 59, 123, 251, 507, 1019, . . .

a

Forklar at det ikke finnes noe andregradspolynom som uttrykker ledd nummer n.

an ¼ b

1.47 En tallfølge starter slik 7, 20, 39, 64, 95, 132, . . .

2

a=2

1.51 En følge av figurtall framkommer av figurene nedenfor:

F2

3

5

print(a)

6

a = a**2 - 3

a

b

Ku n

til

1.49 En følge av figurtall framkommer av figurene nedenfor:

F1

F3

F4

F2 ¼ 7, F3 ¼ 19, F4 ¼ 37, . . .

for i in range(n):

Bestem en formel for Fn , figurtall nummer n.

vu

4

Illustrer an i et koordinatsystem med n langs førsteaksen og an langs andreaksen.

rd

1.48 Hva blir resultatet av dette programmet? n = 10

3n2 n 2

er

Bestem en eksplisitt formel for ledd nummer n.

Vis at ledd nummer n kan uttrykkes ved

in g

1.46 En tallfølge består av tallene

1

61

F2

F3

F1 ¼ 6, F2 ¼ 10, F3 ¼ 14, . . .

a

Tegn figurtall F4 .

b

Bestem en formel for Fn , figurtall nummer n.

Hvilket figurtall er det største du kan lage når du maksimalt vil bruke 1000 prikker på alle figurene F2 , F3 , F4 . . . til sammen?


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

MØNSTER OG OVERSIKT Tallfølge

Lån Serielån: Lån med likt avdrag hver gang.

Liste av tall skrevet i en bestemt rekkefølge: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . .

Rekke

Avgjør om påstandene stemmer

Summen av leddene i en tallfølge.

1

Geometrisk tallfølge an Definisjon: ¼k an 1 an ¼ a1 kn 1

Geometrisk rekke: sn ¼ a1

Det er alltid mulig å finne en rekursiv formel for en følge, men ikke alltid mulig å finne en eksplisitt formel.

3

En uendelig, geometrisk tallfølge er konvergent hvis kvotienten er mindre enn 1.

4

Når vi låner penger, må vi betale mer enn bare rente for at lånet skal bli mindre.

5

Vi kan se på en aritmetisk følge som en lineær funksjon og en geometrisk følge som en eksponentialfunksjon.

vu

Ledd nummer n:

2

rd

Aritmetisk rekke:

an ¼ a1 þ ðn 1Þ d a þ an n sn ¼ 1 2

En rekke er summen av leddene i en tallfølge.

er

Aritmetisk tallfølge Definisjon: an an 1 ¼ d Ledd nummer n:

in g

Annuitetslån: Lån der summen av nåverdiene utgjør lånebeløpet. Hver innbetaling er lik og består av renter og avdrag.

Eksempel: 3, 6, 12, 24, 48, 96, . . .

kn 1 k 1

til

Uendelig geometrisk rekke: Konvergent for 1 < k < 1 eller a1 ¼ 0. a Konvergent sum: s ¼ 1 1 k

Anvendelser av geometriske rekker Sparing: Når vi setter inn et fast sparebeløp regelmessig.

Nåverdi: Verdien av et framtidig beløp, regnet om til dagens verdi.

Ku n

62

Nåverdien av et beløp A om n år med p % rente er A ð100 % þ p %Þn


Test deg selv

63

Test deg selv Uten hjelpemidler

in g

Med hjelpemidler

Forklar at følgen er aritmetisk.

b

Bestem ledd nummer 14 (a14 ).

c

Finn summen av de 14 første leddene i følgen (s14 ).

d

Hvor mange ledd må vi summere for at summen skal bli større enn 70?

1.53 En geometrisk rekke er definert ved 1 1 þ þ ... 1þ ðx 2Þ2 ðx 2Þ4 Bestem definisjonsområdet for rekka.

b

Bestem konvergensområdet for rekka.

c

Finn et uttrykk for summen av rekka når den konvergerer.

Gi et grovt overslag på omtrent hvor mye Maria må betale hvert år.

b

Regn ut hvor mye Maria må betale hvert år.

c

Hvor mye må Maria betale totalt i løpet av hele låneperioden?

1.56 a En aritmetisk rekke er gitt ved 5 þ 12 þ 19 þ Hvor mange ledd må vi ta med i rekka for at summen skal bli større enn 1 000 000?

vu

a

a

rd

a

1.55 Maria tar opp et lån i banken på 2 000 000. Hun skal betale et fast beløp én gang i året. Dette beløpet skal inkludere både renter og avdrag – vi ser bort fra bankens gebyrer. Maria skal betale tilbake lånet over 20 år, og første nedbetaling er etter ett år. Renta er 4 % per år og er uforandret i hele låneperioden.

er

1.52 En følge er gitt ved 2, 5, 8, 11, . . .

b

En geometrisk rekke er gitt ved 1 þ ð2 þ ln xÞ þ ð2 þ ln xÞ2 þ

til

1.54 I en aritmetisk rekke er summen av de n første leddene gitt ved sn ¼ n2 þ 6n.

Ku n

Finn et eksplisitt uttrykk for det n-te leddet i denne rekka.

1

Avgjør for hvilke verdier av x rekka konvergerer.

2

Finn et uttrykk for summen sðxÞ av rekka når den konvergerer. 1 Løs likningene sðxÞ ¼ 1 og sðxÞ ¼ . 3

3

1.57 Til 18-årsdagen får Bjørn et fond av foreldrene sine. Bjørn kan ta ut opptil 12 000 kr hvert år, fra og med det første året. Vi regner med at fondet gir en avkastning på 3 % per år. Hvor stort må fondet være for at det ikke skal gå tomt på 100 år?


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

Oppgaver 1.63 I tallfølgen 3, 6, 10, . . . kan tallene uttrykkes med figurer:

in g

1.1 Tallfølger

a

Skriv opp de neste tre leddene i følgen.

b

Bestem en formel for an .

c

Regn ut ledd nummer 14.

er

1.58 En tallfølge er gitt ved 10, 7, 4, 1, . . .

1.59 Om en tallfølge får du vite at

an an 1 er konstant

Tredje og fjerde ledd er 14 og 18.

Figur 1

Bestem en formel for følgens ledd.

Figur 2

Figur 3

Utvid mønsteret og tegn figur 4.

rd

a

b

Finn en formel for det n-te leddet i tallfølgen.

c

Bruk formelen til å finne antall kvadrater i figur nummer 7.

vu

1.60 Leddene i en tallfølge er 3, 12, 48, 192, 768, 3072, . . . Forklar at tallfølgen er geometrisk.

b

Sett punktene ðn, an Þ inn i et koordinatsystem. Forklar hvorfor punktene ligger på grafen til en eksponentialfunksjon.

til

a

1.61 Skriv et program i Python som kan finne ut hvor mange ganger vi må halvere 800 000 for å komme under 1.

Ku n

64

1.62 Skriv et program i Python som regner ut de neste leddene i en geometrisk tallfølge. Programmet skal be brukeren om a1 , k og antall ledd.

1.2 Rekker 1.64 En rekke er gitt ved 2 þ 6 þ 10 þ . . . þ 42. a

Hva kaller vi en slik rekke, og hva kjennetegner den?

b

Finn et uttrykk for det n-te leddet i denne rekka.

c

Finn summen av rekka.

1.65 En aritmetisk rekke har summen sn ¼ 2n2 þ 3n. Bestem et uttrykk for det n-te leddet i rekka, an . 1.66 Finn summen av rekkene: a

7 þ 10 þ 13 þ . . . þ 37

b

2 þ 6 þ 18 þ . . . þ 486

c

4 2 þ 1 ... þ

1 16


Oppgaver

1.67 En aritmetisk rekke har summen n2 þ 2n. Finn det første leddet, a1 , og differansen d i rekka.

Forklar at det finnes to geometriske rekker som passer til opplysningene gitt i oppgaven.

Summen av de tre første leddene i den geometriske rekka er 26.

Bestem k og a1 og en formel for det n-te leddet i rekka, an .

Summen av de tre første leddene i den aritmetiske rekka er 21.

b

Differansen mellom d i den aritmetiske rekka og k i den geometriske rekka er a1 .

in g

Det første leddet, a1 , i begge rekkene er det samme tallet.

er

a

1.73 Du får vite følgende om en aritmetisk og en geometrisk rekke:

1.68 I en geometrisk rekke er a3 ¼ 45 og a5 ¼ 405.

1.69 I en aritmetisk rekke er a1 ¼ 3 og a6 ¼ 7.

Bestem en formel for an uttrykt ved n.

b

Vis at a20 ¼ 35, og bestem summen av de 20 første leddene i rekka.

a1 , k og d er hele tall.

Sett opp et likningssystem med tre ukjente og finn a1 , k og d.

rd

a

Bestem a1 og k.

1.3 Sparing og lån

vu

1.70 Om en geometrisk rekke får du vite at a3 þ a4 ¼ 80 og s5 ¼ 341. Rekka divergerer.

til

1.71 Tante Margit oppretter en hemmelig konto for nevøen sin når han blir født, og setter inn 10 000 kr. Hvert år setter hun inn et nytt beløp, 10 % større enn året før. Renta på bankkontoen er 3 % hele tiden. Etter innbetalingen på 18-årsdagen får nevøen kontoen.

Ku n

Hvor mye står det på kontoen da?

1.72 Vi har rekka 2 þ 8 þ 14 þ . . . a

Hva slags rekke er dette?

b

Finn en eksplisitt formel for det n-te leddet i rekka.

c

Finn et uttrykk for summen av rekka.

d

Hvor mange ledd må du ha med for at summen skal bli 102?

65

1.74 Markus tar opp et annuitetslån på 3 millioner kroner. Renta er fast på 1,7 % per år, og lånet skal betales tilbake over 25 årlige terminer. Første innbetaling er om ett år. (Vi ser i denne oppgaven bort fra gebyrer, så vi regner bare med nominelle renter.) a

Vis at nåverdiene av de 25 beløpene danner en geometrisk rekke. Skriv ned de tre første leddene i denne rekka.

b

Bestem terminbeløpet Markus må betale hvert år.

Markus får tilbud fra en annen bank på et annuitetslån på 3 millioner kroner med et terminbeløp på 145 000 kroner i året. Det er samme nedbetalingstid og antall årlige terminer, og det første terminbeløpet skal betales om ett år. c

Hvilken rente betaler han på lånet i denne banken?


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

1.79 Live låner 1 000 000 kr til 3 % rente per år. Hun skal betale et fast beløp én gang i året i 20 år, første gang om et år. Beløpet skal inkludere renter og avdrag – vi ser bort fra bankens gebyrer.

a

Vis at han må spare 25 835,27 kr hvert år for å nå målet sitt.

a

Beregn hvor mye Live må betale hvert år. Vurder om svaret ditt er rimelig.

b

Hva måtte renten i banken være hvis han skulle nådd målet ved å spare 24 000 kr i året?

b

Hvor mye koster lånet til Live totalt?

Hvor mye har han på kontoen på 50-årsdagen?

rd

c

1.80 Ole har bestemt seg for å spare et fast beløp hvert år for å ha 200 000 kr på konto den dagen han fyller 18 år. Han starter sparingen på 10-årsdagen og setter inn det siste beløpet på 17-årsdagen. Han får 2,4 % rente på pengene i hele perioden. Denne renta får han også etter 18-årsdagen.

er

Per klarer å spare 25 835,87 kr hvert år, men rett etter at han har satt inn det årlige sparebeløpet på 45-årsdagen tar han ut 40 000 kr for å ha råd til en ferie.

in g

1.75 Per vil spare 300 000 kr til 50-årsdagen sin, 1. januar. Han starter sparingen på 40-årsdagen og sparer et like stort beløp hvert år. Siste beløp settes inn på 49-årsdagen. Banken har en rente på 2,7 % per år.

a

Vis at han må spare 22 436 kr hvert år for å nå dette målet.

b

Han ønsker å ta ut fem faste årlige beløp. Da skal kontoen være tom. Første uttak er på 19-årsdagen. Hvor stort er dette årlige beløpet?

c

Han bestemmer seg for at han vil at pengene skal vare «evig». Hvor mye kan han ta ut hvert år uten at kontoen noen gang går tom? Første uttak er på 19-årsdagen.

d

Ole klarer aldri å spare opp 200 000 kr siden han tar ut 20 000 kr i steden for å sette inn penger på 13-årsdagen sin. Hvor mye har han i virkeligheten på kontoen på 18-årsdagen?

e

Lars vil også spare 200 000 kr til 18-årsdagen sin. Han vil sette inn det første beløpet på 10-årsdagen for så å øke sparebeløpet med 5 % hvert år fram til det siste beløpet på 17-årsdagen. Hva er det første beløpet han setter inn på kontoen sin?

vu

1.76 Nikolai skal studere, og foreldrene gir ham 30 000 kr til oppstarten. De lover det samme beløpet til den fire år yngre lillesøsteren hans. Hun sier at hun skal være grei å nøye seg med 28 000, men da vil hun ha pengene utbetalt nå. Vi regner med en årlig markedsrente på 3 %. Hvem får mest, Nikolai eller lillesøster?

til

1.77 En gammel venn tilbyr deg å overta hans greske statsobligasjon. Den forfaller om 15 år og har kupongrente 5 %. Pålydende verdi er 1000 euro. Vi regner med en årlig markedsrente på 2 %. Hvor mye er du villig til å gi for obligasjonen?

Ku n

66

1.78 Anne vil kjøpe en datamaskin og kan velge mellom å betale 15 000 kr kontant eller 430 kr per måned i 3 år, første gang om en måned. Vi regner med en månedlig kalkulasjonsrente på 0,25 %. a

Hvilket av tilbudene er billigst? Vis og forklar!

b

Hva må den månedlige innbetalingen være for at tilbudene skal være akkurat like gode?


Oppgaver

1.4 Uendelige geometriske rekker

I en annen rekke, på formen b1 þ b2 þ b3 þ . . ., er det n-te leddet gitt ved bn ¼ ln an .

1.81 I en geometrisk rekke er a3 ¼ x3 þ 2x2 og a6 ¼ x6 þ 2x5 .

d

in g

Forklar at denne rekka er aritmetisk, og finn et uttrykk for det n-te leddet i denne rekka.

1.85 Avgjør om de geometriske rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen av dem:

Bestem kvotienten k til rekka og finn konvergensområdet.

b

Vis at et uttrykk for summen av den uendelige geometriske rekka er xþ2 , x 2 h 1, 1i sðxÞ ¼ 1 x Hva er verdien av x når summen av rekka er 1?

d

For hvilke verdier av p har likningen SðxÞ ¼ p en løsning?

60 þ 30 þ 15 þ 7,5 þ . . .

b

1 þ 1,1 þ 1,21 þ þ1,331 þ . . .

c

5 10 20 þ þ þ ... 7 21 63

d

e3 þ e2 þ e þ 1 þ . . .

1.86

rd

c

a

er

a

vu

1.82 3 2 4 En uendelig geometrisk rekke er gitt ved þ þ þ . . . 5 5 15 Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekka.

til

1.83 a Forklar at desimaltallet 0,434 343 . . . kan skrives som den uendelige geometriske rekka: 43 43 43 þ þ þ 2 100 100 1003 b

Bruk rekka i a til å skrive tallet 0,434 343 . . . som en brøk.

Ku n

1.84 En rekke a1 þ a2 þ a3 þ . . . er gitt ved e2 þ 1 þ e 2 þ e 4 þ . . . a

Hva kaller vi en slik rekke, og hva kjennetegner den?

b

Finn et uttrykk for det n-te leddet i rekka.

c

Forklar hvorfor vi kan finne en sum av den uendelige rekka, og vis at denne summen e4 er s ¼ . 2 e 1

Et bedrift slipper ut 10 tonn organisk stoff i en innsjø én gang i uka. Gjennom nedbryting og at vann renner ut av innsjøen, reduseres mengden av stoff med 35 % hver uke. a

Forklar hvordan du kan bruke rekketeori i en slik oppgave, og finn ut hvor mye det er av stoffet i innsjøen rett etter det sjette utslippet.

Miljøverndepartementet krever at det aldri skal være mer enn 16 tonn av dette stoffet i sjøen. b

67

Hvor mye stoff kan totalt slippes ut i innsjøen hver uke hvis mengden stoff ikke skal overstige 16 tonn i det lange løp?


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

m

Hvor mange dager må det minst gå mellom utslippene for at bedriften skal holde seg innenfor regelverket?

in g

c

45°

1.87 Lian tar en medisin hver dag. Medisinen inneholder 4 mg virkestoff og brytes ned med 40 % hver dag.

b

Hvor mye virkestoff har hun i kroppen rett etter at hun har tatt medisinen den femte dagen?

Legen anbefaler at hun aldri har mer enn 10 mg av virkestoffet i kroppen. Vurder om mengden medisin hun tar, er forsvarlig i lys av legens anbefaling.

til

1.88

Hvor langt har Ada beveget seg totalt?

1.89 Vi har rekka 1 þ

a

1 1 þ ... þ x 1 ðx 1Þ2

Forklar at rekka er geometrisk.

vu

c

Hver gang husken svinger opp fra det laveste punktet reduseres lengden av svingen med 6 %. Ada sitter i ro og husker fram og tilbake til husken stopper av seg selv.

er

Forklar at mengden virkestoff hun har i kroppen etter n dager, er summen av en geometrisk rekke. Sett opp de tre første leddene i denne rekka.

rd

a

0 2,

Bedriften ønsker å fortsette å slippe ut 10 tonn hver gang, men får da beskjed om at de må slippe ut sjeldnere.

Ku n

68

Ada husker på lekeplassen. Faren hennes løfter henne opp så det 2 meter lange tauet danner en vinkel på 45 med en vertikal linje.

b

Forklar hva det vil si at en geometrisk rekke konvergerer.

c

Bestem konvergensområdet for rekka.

d

Bestem summen sðxÞ av rekka når den konvergerer.

e

Løs likningene: 1

sðxÞ ¼ 2

2

sðxÞ ¼ 1

1.90 En rekke er gitt ved 4 1 þ 2 þ 5 þ . . . a

Forklar at dette er en aritmetisk rekke.

b

Bestem en formel for det n-te leddet i rekka.

c

Finn summen av de 17 første leddene i rekka.

1.91 Vis at når 1 < k < 1, så er lim a1 n!1

kn 1 a ¼ 1 . k 1 1 k


Oppgaver

1.96 En tallfølge starter slik:

1.5 Tallmønstre

4, 14, 32, 58, 92, 134, 184, 242, . . .

1.92 En tallfølge starter slik

Finn en formel for ledd nummer n.

in g

5, 14, 27, 44, 65, 90, 119, 152, 189, . . . Finn en formel for ledd nummer n.

Blandede oppgaver

1.97 a En rekke er gitt ved 1 þ 5 þ 9 þ 13 þ 1

Hva blir ledd nummer 11?

2

Hva blir summen av de 11 første leddene?

1

Hva vil det si at en uendelig geometrisk følge konvergerer?

er

1.93 Her ser du de tre første figurtallene F1 , F2 og F3 :

rd

b

2

F2

a

Tegn F4 .

b

Finn en formel for Fn .

c

Bestem F9 .

F3

1.94 En tallfølge er definert ved at a1 ¼ 1 og

til

an ¼ 3 ðan 1 Þ2 5.

Skriv et program i Python som skriver ut de seks første leddene.

Ku n

1.95 Antallet klosser i figurene nedenfor illustrerer de tre første leddene, F1 , F2 og F3 , i en tallfølge.

F1

Avgjør om denne følgen konvergerer: 1 1 1 1, , , , ... 3 9 27 Hvis følgen konvergerer, hva konvergerer den mot?

vu

F1

69

F2

1.98 (Eksamen S2 høsten 2011) For å få ungdom til å studere realfag tenker vi oss en ny ordning for studiefinansiering. Betingelsene er som følger:

Lånet er rente- og avdragsfritt i studietida.

Studenten betaler bare avdrag og ikke renter når studiene er avsluttet.

Studenten betaler første avdrag på 15 000 kr ett år etter at studiet er avsluttet. Deretter skal de årlige avdragene økes med 5 % hvert år.

En student vil låne i alt 450 000 kr.

F3

a

Hvor mange klosser er det i F5 ?

b

Bestem en formel for antall klosser i den n-te figuren, Fn .

a

Hvor stort blir det andre avdraget og det åttende avdraget?

b

Hvor mye betaler studenten tilbake i alt i løpet av de åtte første avdragene?

c

Hvor mange år vil det ta før hele lånet er tilbakebetalt?

d

Hvor stort blir det siste avdraget?


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

1.99 En følge er bestemt ved

1.103 Vi har to rekker der den ene er geometrisk med kvotient k og den andre er aritmetisk med differanse d. Både k og d er hele tall mellom 0 og 10.

a

b

Avgjør om følgen er aritmetisk eller geometrisk. Finn en eksplisitt formel for ledd nummer n i følgen. Skriv opp ledd nummer 70 i følgen. Finn summen av de 30 første leddene i følgen.

1.100 x x2 En rekke er gitt ved 1 þ þ þ 3 9 Forklar hva det vil si at en uendelig geometrisk rekke er konvergent.

b

Bestem konvergensområdet for rekka.

c

Finn summen sðxÞ for rekka.

d

Løs likningene sðxÞ ¼ 4 og sðxÞ ¼ 2.

Det tredje leddet i den geometriske rekka er lik summen av de tre første leddene i den aritmetiske rekka. a

Bestem et uttrykk for det n-te leddet i den aritmetiske rekka.

b

Bestem et uttrykk for summen av de n første leddene i den aritmetiske rekka.

c

Bestem et uttrykk for det n-te leddet i den geometriske rekka.

d

Bestem et uttrykk for summen av de n første leddene i den geometriske rekka.

rd

a

I begge rekkene er det første leddet 2.

in g

an ¼ an 1 þ 3

er

a1 ¼ 1

1.104 5 2 4 Vi har rekka þ 1 þ þ þ . . . 2 5 25 a Hva slags rekke er dette?

vu

1.101 En geometrisk rekke er gitt ved 1 þ e x þ e 2x þ e 3x þ

Bestem konvergensområdet og summen sðxÞ av rekka.

b

Løs likningen sðxÞ ¼ 1.

til

a

b

Finn et uttrykk for det n-te leddet i denne rekka.

c

Vis at summen kan skrives som n 25 2 sn ¼ 1 6 5

d

Forklar hvorfor denne rekka konvergerer, og finn summen av rekka.

1.102 Bestem summen av rekkene:

2 4 8 S1 ¼ 1 þ þ þ þ 3 9 27 2 4 8 S2 ¼ 1 þ þ 3 9 27

1.105 Trine tar opp et lån på 1 500 000 kr. Hun skal betale tilbake lånet over 20 år, med én innbetaling hvert år. Renten i banken er på 4 % per år.

c

Bestem S1 þ S2 .

a

Hvor stor er den årlige innbetalingen (annuiteten)?

d

8 32 Bestem summen 2 þ þ þ . . . 9 81

b

Hvor mye renter har hun betalt når lånet er nedbetalt?

a

Ku n

70

b


Oppgaver

1.108 Kaptein Rødskjegg og mannskapet er på skattejakt. På kartet står det: A3

B3

Fra merket X skal du gå nordover. Først tar du ett skritt, deretter forkorter du lengden av dette 1 skrittet med , da får du neste skritt. Fortsett slik 8 til evig tid og du finner skatten.

A2

A1

4

B1

a

Lag et rekursivt uttrykk for lengden av skrittene.

b

Første skritt er 1,5 m langt. Hvor langt unna merket X er skatten gravd ned?

er

B2

in g

1.106

1.109 a En rekke er gitt ved 4 þ 7 þ 10 þ 13 þ

rd

4 8

b

1

Forklar at rekka er aritmetisk.

2

Bestem ledd nummer 15.

3

Regn ut summen av de 20 første leddene.

En rekke er gitt ved 8 þ 4 þ 2 þ 1

vu

Figuren viser en rettvinklet trekant med grunnlinje 8. Inni trekanten er det tegnet kvadrater. Første kvadrat har sidelengde tilsvarende halvparten av grunnlinja i trekanten. Neste kvadrat har så sidelengde tilsvarende halvparten av forrige kvadrat. a

71

Forklar at arealet sA av kvadratene blir sA ¼ 4 4 þ 2 2 þ 1 1 þ

til

og at arealet sB av trekantene blir 1 1 1 4 4 þ 2 2 þ 1 1 þ 2 2 2 b

Forklar at rekkene sA og sB er geometriske.

c

Bruk regning med rekker til å regne ut arealet av trekanten.

c

1

Forklar at rekka er geometrisk.

2

Bestem ledd nummer 15.

3

Regn ut summen av de 20 første leddene.

En uendelig geometrisk rekke med kvotient k konvergerer hvis 1 < k < 1.

kn 1 Bruk formelen sn ¼ a1 til å vise formelen k 1 a1 . Forklar hvorfor du må anta at 1 < k < 1. s¼ 1 k

a

Forklar at rekken er geometrisk, og bestem a1 og k.

Bestem den årlige innbetalingen (annuiteten).

b

Bestem konvergensområdet for rekka.

c

Finn summen av rekka i konvergensområdet.

d

Løs likningene:

Ku n

1 þ ðx þ 3Þ þ ðx þ 3Þ2 þ ðx þ 3Þ3 þ

1.110 Filip tar opp et lån på 2 000 000 kr. Han skal betale tilbake lånet over 20 år, første gang om et år. Han betaler én gang i året. Renta i banken er på 3 %.

1.107 En uendelig rekke er gitt ved

1

sðxÞ ¼ 1

2

sðxÞ ¼

1 3


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

b

Finn summen sðxÞ av den uendelige rekka.

c

1 Løs likningene sðxÞ ¼ og sðxÞ ¼ 4. 4

En geometrisk følge er gitt ved 2916, 972, 324, . . . Bestem summen av de sju første leddene i rekka.

er

b

1.117 Gitt den uendelige geometriske rekka 1 1 1 s ¼ 1 þ þ þ þ ... 2 4 8 1 1 1 a Forklar at s 1 ¼ þ þ þ ::: 2 4 8 b Forklar at 2ðs 1Þ ¼ s

vu

La s være summen av leddene i følgen. Avgjør om rekka konvergerer, og finn summen rekka konvergerer mot dersom den er konvergent.

til

b

Hva vil det si at en geometrisk følge konvergerer? Gi et eksempel på en konvergent geometrisk følge.

rd

Hva vil det si at en uendelig geometrisk rekke er konvergent? Hvordan kan du undersøke om en uendelig geometrisk rekke konvergerer?

1.113 En følge er gitt ved: 5 20, 10, 5, , . . . 2 a Vis at følgen er geometrisk.

b

1.116 a En aritmetisk følge er gitt ved 3, 8, 13, . . . Bestem ledd nummer 14 i følgen.

1.112 a Gi en rekursiv definisjon av en aritmetisk tallfølge og en geometrisk tallfølge. b

1.115 a Hva vil det si at en følge er aritmetisk? Gi et eksempel på en aritmetisk tallfølge.

in g

1.111 Vi har rekka: x x2 x3 1 þ þ 8 2 4 a Bestem for hvilke verdier av x rekka konvergerer.

1.114 Anette tar opp et lån på 1 000 000. Hun skal betale tilbake lånet over 25 år, én gang hvert år. Hun må betale en årlig rente på 4 % til banken. Anette har avtalt med banken at hun skal betale det samme terminbeløpet (bestående av renter og avdrag) hver gang. Hun betaler første gang ett år etter at hun får utbetalt lånet.

Ku n

72

a

Finn ved regning det beløpet Anette må betale til banken hvert år.

b

Hvor mye koster lånet til Anette totalt?

c

Bruk resulatet i b til å bestemme s.

d

Undersøk om du kan finne summen av andre konvergente geometriske rekker på samme måte.

1.118 Summen av en uendelig geometrisk rekke e2x når rekka konvergerer. er s ¼ ex 1

Skriv opp rekka og bestem konvergensområdet.

1.119 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi Vis at e e 4 e 8 e 16 e . . . ¼ e2 . 1.120

pffiffiffi En uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 2 2. 7 Summen av de tre første leddene er pffiffiffi. 8 Bruk CAS til å bestemme a1 og k.


Oppgaver

100 þ 100 1,2 ¼ 100 þ 120 ¼ 220

1.123 (Eksamen) En uendelig geometrisk rekke b1 þ b2 þ b3 þ b4 þ konvergerer mot 6. Summen av de tre første 38 leddene er . 9

rd

1.124 (Eksamen) I en aritmetisk rekke er a1 ¼ 3, og summen av de fem første leddene er 55. a

Hva blir summen av de ti første leddene?

vu

Til en by som ikke har covid-19-smitte, kommer det 20 personer som er smittet. Dette blir ikke oppdaget, så R-tallet holder seg konstant i mange uker. a

Bruk dette til å bestemme a3 .

Bruk dette til å besteme b4 .

Den neste uka vil de 120 som ble smittet uka før, smitte 120 1,2 ¼ 100 1,22 nye personer.

in g

I resten av denne oppgaven tar vi utgangspunkt i sykdommen covid-19. Vi går ut fra at smitteperioden er én uke. Dersom R-tallet er 1,2, vil 100 personer som har covid-19-smitte, smitte 100 1,2 ¼ 120 nye personer i løpet av en uke. Etter én uke vil det være 220 personer som har eller har hatt sykdommen, siden

1.122 (Eksamen) En aritmetisk rekke a1 þ a2 þ an har summen sn ¼ 3n2 þ 4n for n 2 N.

er

1.121 (Eksamen) For å kunne forutsi hvordan en pandemi kan utvikle seg, er R-tallet viktig. Dette tallet forteller hvor mange personer en smittet person i gjennomsnitt vil smitte videre.

Forklar at antallet som har eller har hatt covid-19 etter n uker, kan beskrives med den geometriske rekken 20 þ 20 R þ 20 R2 þ þ 20 Rn

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved 7 7 7 þ þ þ 2 4 b

Begrunn at rekka konvergerer, og bestem summen.

til

Anta at R ¼ 1,7 i denne byen. b

Hvor mange personer vil det være som har eller har hatt covid-19 i denne byen iløpet av de åtte første ukene?

Ku n

Det tar åtte uker før myndighetene i byen rekker å iverksette tiltak. c

Hva må R-tallet være etter at tiltakene er satt inn, for at det totale antallet som har hatt eller får covid-19-smitte i denne byen, ikke skal overstige 10 000?

73

1.125 Finn en formel for summen av trekanttallene T1 þ T2 þ þ Tn . 1.126 (Eksamen våren 2020) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

a

ðln xÞ2 þ 2 Bestem rekkas konvergensområde.

b

Bestem x slik at summen av rekka blir 4.

2 þ ln x þ


KAPITTEL 1 – FØLGER OG REKKER

1.130 (Eksamen S2 våren 2021)

Øv til eksamen

6 1 þ 4 þ 9 þ 14 þ 189

b

72 36 þ 18 9 þ

1.128 (Eksamen S2 våren 2020) a Bestem summen av den aritmetiske rekka 8 3 þ 2 þ 7 þ þ 987. Begrunn at den uendelige rekka nedenfor konvergerer, og bestem summen av den: 5 80 20 þ 5 þ 4

For fem år siden opprettet Rannveig en spareavtale. Hun satte hver måned inn 1000 kr på en konto med en fast månedlig rentefot på 0,25 prosent.

rd

b

er

a

in g

1.127 (Eksamen S2 våren 2021) Nedenfor er det gitt en aritmetisk og en geometrisk rekke. Bestem summen til hver av rekkene.

a

Hvor mye penger var det på kontoen like etter at innskudd nummer 40 ble satt inn?

b

Hvor lang tid gikk det fra Rannveig satte inn første innskudd, til det var mer enn 50 000 kr på kontoen?

a

til

vu

1.129 (Eksamen S2 våren 2020) Caroline skal kjøpe en leilighet og har skaffet et annuitetslån på 2 500 000 kr i en bank. Lånet skal betales tilbake med en nedbetalingstid på 30 år, én termin per år og en fast årlig rentesats på 2,7 %. Første innbetaling er om ett år. Hvor mye må Caroline totalt betale til banken i løpet av hele låneperioden?

Rett etter innbetaling av det tiende terminbeløpet får Caroline banken til å gjøre lånet om til et serielån. Da gjenstår det 20 årlige terminer før lånet er nedbetalt, den første om ett år. Rentesatsen er fortsatt 2,7 %.

Ku n

74

b

Vis at de årlige avdragene på serielånet blir 93 820 kr.

c

Bestem summen av de 20 terminbeløpene for serielånet.

For fem år siden begynte også Ivar å spare. Han satte hver måned inn 1000 kr i et aksjefond. Like etter at han hadde satt inn innskudd nummer 40, var verdien av hans andel i aksjefondet 47 900 kr. c

Hva måtte den månedlige rentefoten ha vært om han skulle ha fått tilsvarende sum på en sparekonto med fast rente?

1.131 (Eksamen S2 våren 2019) a Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å bestemme 1 þ 7 þ 13 þ 19 þ þ 295. For en annen aritmetisk rekke gjelder a5 a2 ¼ 12 a1 þ a2 þ a3 ¼ 18 b

Bestem en formel for an uttrykt ved n.


Oppgaver

Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekka.

b

Forklar at desimaltallet 0,135 135 135 . . . kan skrives som den uendelige geometriske rekka 135 135 135 þ þ þ 2 1000 1000 10003 Bruk dette til å skrive tallet 0,135 135 135 . . . som en brøk.

1.135 (Eksamen S2 høsten 2019) I en aritmetisk rekke er a1 ¼ 8 og a4 ¼ 7.

Sett opp en geometrisk rekke som kan brukes til å bestemme terminbeløpet. Bruk CAS til å bestemme terminbeløpet.

a

Bestem en formel for an uttrykt ved n.

b

Vis at a40 ¼ 187, og bestem summen av de 40 første leddene i rekka.

vu

a

a

rd

1.133 (Eksamen S2 våren 2019) Pia vurderer å låne 800 000 kr. En bank tilbyr henne et annuitetslån med en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats på 3,0 % per år. Første innbetaling er om ett år.

in g

Bestem den totale distansen ballen har tilbakelagt fra den slippes, til den faller til ro.

1.134 (Eksamen S2 høsten 2019) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved 3 3 3 6 3 þ þ 2 4 8

er

1.132 (Eksamen S2 våren 2019) En ball slippes fra en høyde på 10,0 m. Første gang ballen treffer bakken, spretter den 6,0 m loddrett opp. Hver gang den så treffer bakken igjen, spretter den loddrett opp til en høyde som er 60 % av høyden den fikk ved forrige sprett.

Termin 1 2

Avdrag

Renter

Terminbeløp

Restlån

40 000

24 000

64 000

760 000

40 000

22 800

62 800

720 000

40 000

21 600

61 600

680 000

Ku n

3

til

Banken tilbyr henne også et serielån med en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats på 3,0 % per år. Tabellen nedenfor viser avdrag, renter, terminbeløp og restlån for de tre første terminene:

b

Forklar at terminbeløpene danner en aritmetisk følge. Bestem summen av de 20 terminbeløpene for dette serielånet.

En annen bank tilbyr henne et serielån på 800 000 kr. Dette lånet har en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats per år. Summen av alle terminbeløpene for dette lånet blir 1 000 000 kr. c

Bestem den faste rentesatsen per år for dette lånet.

75


in g

til

vu

rd

er

2

INTEGRASJON

1600-tallet

Ku n

Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz viderefører grekernes teori og legger grunnlaget for integralregning uavhengig av hverandre. De oppdager at derivasjon og integrasjon er motsatte regningsarter, og integraltegnet blir tatt i bruk. De kunne nå løse kompliserte areal- og volumberegninger ved å derivere «baklengs».

1600-tallet

År 0

800 f.Kr. ca. 300 f.Kr

Grekerne Evdoksos og Arkimedes bruker en utfyllingsmetode i arealberegninger. Dette kan vi kalle starten på integralregning

800

1600 1615 Johannes Kepler gir ut Nova Stereometria, en kilde til alle arealberegninger


Hvordan kommer vi fram til formelen for arealet av en sirkel?

in g

Hvordan kan vi regne ut arealet av ikke-regulære former?

er

Arealet under graf y 6

f (x)

4 3

vu

2

rd

5

1

1

2

3

4

5

6

7

x

Ku n

til

1 Figuren viser grafen til funksjonen f ðxÞ ¼ x þ 2. 2 Vi har markert området fra x ¼ 2 til x ¼ 6, mellom grafen og x-aksen.

1

Finn arealet av det markerte området.

2

Bestem en funksjon FðxÞ slik at F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ.

3

Regn ut Fð6Þ og Fð2Þ.

4

Regn ut Fð6Þ Fð2Þ, og sammenlikn med arealet du fant.

5

Hva betyr resultatet?

6

Undersøk om vi kan finne arealet under andre grafer på samme måte.

1850

1800 1821

Augustin Louis Cauchy arbeider grundig blant annet med grenseverdier og konvergens, og han definerer integraler i et intervall [a, b] ved bruk av gjennomsnitt

1950

1900 ca. 1930

Viggo Brun, norsk matematiker, beskriver derivasjon som et håndverk og integrasjon som kunst


KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

2.1 Trappesum og areal under grafer

in g

UTFORSK Jobb sammen to og to Dere trenger: GeoGebra

er

Vi skal finne arealet under grafen til en funksjon. Vi deler inn arealet i rektangler og legger sammen arealet til hvert rektangel. y 50

30 20

vu

10

rd

40

1

2

3

4

5

6

x

1

Skriv inn funksjonsuttrykket f ðxÞ ¼ x2 þ 3x þ 3 i GeoGebra.

2

Lag en glider n med intervall fra 1 til 3000 og animasjonstrinn 1.

3

Skriv «SumUnder(f,2,6,n)». GeoGebra deler inn arealet fra 2 til 6 på x-aksen i n rektangler og finner samlet areal av rektanglene.

til

Ku n

78

4

Dra i glideren for å endre antall rektangler og undersøk hva som skjer med arealet. Beskriv det du observerer. Hvor stort er arealet under grafen?

5

Skriv inn «Integral(f,2,6)». GeoGebra finner nå det eksakte arealet under grafen til f . Sammenlikn med observasjonene over og diskuter forskjellen.

Integrasjon bruker vi blant annet til å regne ut areal og volum. For eksempel kan vi finne arealet under en krum graf, eller vi kan rotere grafen rundt x-aksen og bestemme volumet av figuren vi får. Vi skal lære å tolke integraler i en praktisk sammenheng. Integralregning har også praktisk betydning i mange fagområder, for eksempel ved beregninger i nye byggeprosjekter.


Trappesum og areal under grafer

79

Trappesum Trappesum:

in g

Hvordan kan vi finne arealet av en figur som ikke er en kjent geometrisk form? En mulighet er å dele opp mesteparten av figuren i kjente former, for eksempler rektangler. Når vi legger sammen arealet av rektanglene, får vi en tilnærmingsverdi for arealet av figuren.

La oss si at vi vil finne arealet under grafen på figuren mellom a og b på x-aksen. Vi deler inn arealet i n rektangler. y f(x)

er

f(x)

a

Dx

b

x

a

Dx

b

x

Figur 2

vu

Figur 1

n = 10

rd

n=5

Figur 1 har fem rektangler, og figur 2 har ti rektangler. Vi ser at flere rektangler dekker mer av arealet under grafen. Vi får en bedre tilnærmingsverdi som er nærmere det eksakte arealet.

til

Bredden av hvert rektangel er

b a n Høyden til rektanglene varierer og er bestemt av funksjonen f ðxÞ. Arealet til det første rektangelet fra venstre side, som begynner ved x ¼ a, er f ðaÞ 1x. Arealet til det neste rektangelet er f ða þ 1xÞ 1x, arealet til det tredje er f ða þ 2 1xÞ 1x, og så videre. Hvis vi kaller x-verdiene for x1 , x2 , x3 , . . ., blir det samlede arealet:

Ku n

1x ¼

f ðx1 Þ 1x þ f ðx2 Þ 1x þ f ðx3 Þ 1x þ . . . þ f ðxn Þ 1x

Summen av arealene til rektanglene under grafen kaller vi for den nedre trappesummen. Vi skriver det slik: b X a

f ðxÞ 1x

P

bruker vi for å vise at vi summerer.


KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

EK SEMPEL 1 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 3x2 þ 1. Finn en tilnærmingsverdi for arealet under grafen til f fra x ¼ 1 til x ¼ 2 når: n ¼ 10

b

n ¼ 500

in g

a

f ð1Þ

¼ 4

f ð1,1Þ ¼ 4,63 f ð1,2Þ ¼ 5,32

rd

f ð1,3Þ ¼ 6,07

er

Løsning: a Vi bruker nedre trappesum for å regne ut tilnærmingsverdien. 1 ¼ 0,1. Med ti rektangler, n ¼ 10, gir det 1x ¼ 10 Vi regner ut høydene i rektanglene ved å bruke x ¼ 1, x ¼ 1,1, x ¼ 1,2 . . . Høydene blir da:

f ð1,4Þ ¼ 6,88 f ð1,5Þ ¼ 7,75 f ð1,6Þ ¼ 8,68

vu

f ð1,7Þ ¼ 9,67

f ð1,8Þ ¼ 10,72 f ð1,9Þ ¼ 11,83

Til slutt finner vi nedre trappesum: A¼

2 X

f ðxÞ 1x

1

til

Ku n

80

¼ 0,1 4 þ 0,1 4,63 þ 0,1 5,32 þ 0,1 6,07 þ 0,1 6,88 þ

0,1 7,75 þ 0,1 8,68 þ 0,1 9,67 þ 0,1 10,72 þ 0,1 11,83 7,56

Arealet under grafen til f fra x ¼ 1 til x ¼ 2 er tilnærmet lik 7,56.

Løsning med CAS: Med CAS kan vi raskt finne en tilnærmingsverdi for arealet under grafen. Vi bruker kommandoen «SumUnder(Funksjon,Start,Slutt,Antall rektangler)». 1

Arealet under grafen til f fra x ¼ 1 til x ¼ 2 er tilnærmet lik 7,56.


Trappesum og areal under grafer

1

in g

Med programmering regner vi ut trappesummen for n ¼ 500 ved å la en løkke kjøre én gang for hvert rektangel. Vi skriver programmet i Python: def f(x): return 3*x**2 + 1

2 3 4

def trappesum(f, a, b, n):

5

delta_x = (b - a)/n

7

summen = 0

8

x=a

er

6

9

rd

for i in range(n):

10 11

rektangel = f(x) * delta_x

12

summen = summen + rektangel

13

x = x + delta_x

vu

14

return summen

15 16 17

nedretrappesum = trappesum(f, 1, 2, 500)

18

print(f'Med n = 500 blir arealet under grafen til f tilnærmet lik {nedretrappesum:.2f}.')

til

Når vi kjører programmet, får vi dette resultatet i konsollen: Med n = 500 blir arealet under grafen til f tilnærmet lik 7.99.

Løsning med CAS: Med n ¼ 500 kan vi også finne en tilnærmingsverdi for arealet under grafen til f fra x ¼ 1 til x ¼ 2 slik:

Ku n

b

81

1

Arealet er tilnærmet lik 7,99.

Oppgaver: 2.1–2.3


KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

y

Vi kan også finne den øvre trappesummen for funksjonen. Da lar vi venstre rektangel ha høyden f ðx þ 1xÞ, det neste rektangelet ha høyden f ðx þ 2 1xÞ, og så videre. Figuren nedenfor viser resultatet:

f(x)

y

b

in g

a

f(x)

x

y

er

Nedre trappesum gir for lite areal. f(x)

b

x

rd

a

a

b

x

Øvre trappesum gir for stort areal.

vu

Når vi bruker trappesummer til å finne en tilnærming til et areal, blir arealet alltid litt for lite eller litt for stort. Derfor lar vi antall rektangler gå mot uendelig, altså n ! 1. Da vil differansen mellom nedre trappesum og øvre trappesum gå mot null, og vi finner det eksakte arealet under grafen. y

f(x)

til

nƕ

Ku n

82

R Integraltegnet representerer grenseverdien til en sum.

a

b

x

Vi har en egen skrivemåte for dette, integralet til f ðxÞ fra a til b».

Rb

f ðxÞ dx, som vi leser som «det bestemte

a

BE S T EMT I NTEGRAL Vi definerer det bestemte integralet av f ðxÞ fra a til b som b X Rb f ðxÞ dx ¼ lim f ðxÞ 1x a

1x ! 0

a


Trappesum og areal under grafer

83

Rb Når grafen til f ligger over x-aksen, tilsvarer f(x) dx arealet av området a

Reflekter og diskuter! Hva skjer med 1x når antall rektangler går mot uendelig, n ! 1?

Vi har samme funksjon som i eksempel 1, f ðxÞ ¼ 3x2 þ 1.

er

EKSEMPEL 2 Regn ut det bestemte integralet til f ðxÞ fra x ¼ 1 til x ¼ 2.

b

Sammenlikn med resulatene i eksempel 1, og kommenter forskjellen.

rd

a

Løsning: Vi løser oppgaven med CAS.

Vi bruker kommandoen «Integral(<Funksjon>,<Start>,<Slutt>)».

vu

a

in g

mellom grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ a og x ¼ b.

6

Det bestemte integralet er lik 8.

til

Med ti rektangler, n ¼ 10, fant vi ut at arealet under grafen var tilnærmet lik 7,56. Da vi økte antall rektangler til 500, ble arealet tilnærmet lik 7,99. Vi ser at når antall rektangler øker, kommer vi nærmere det eksakte arealet. Det bestemte integralet er 8, og dette tilsvarer trappesummen når antall rektangler går mot uendelig. Det betyr at også grenseverdien til trappesummen er lik det bestemte integralet til f over samme intervall.

Ku n

b

Reflekter og diskuter!

I eksempel 1 regnet vi ut nedre trappesum til en funksjon. Regn på samme måte ut øvre trappesum og sammenlikn svarene. Tips: Bruk CAS-kommandoen «SumOver(<Funksjon>,<Start>,<Slutt>,<Antall rektangler>)»

Oppgave: 2.4


KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

EK SEMPEL 3 Regn ut de bestemte integralene: R3

3x2 dx

1

b

Z1 1 3 x þ ex dx 2

in g

a

0

Løsning: Vi løser oppgaven med CAS og bruker kommandoen «Integral(<Funksjon>,<Start>,<Slutt>)».

Vi skriver inn funksjonen og start lik 1 og slutt lik 3.

rd

1

er

a

Det bestemte integralet er lik 26.

Vi skriver inn funksjonen og start lik 0 og slutt lik 1.

vu

b

1

Det bestemte integralet er

til

Oppgaver: 2.5–2.6

Ku n

84

8e 7 1,84. 8


Trappesum og areal under grafer

85

Oppgaver

a

n ¼ 10

b

n ¼ 30

c

n ¼ 90

a

R7

2x dx

b

ð2x þ 4Þ dx

3

a

R1

3ex dx

c

1

Forklar sammenhengen mellom svarene i oppgave a, b og c.

Ku n

d

ln R2

e4x dx

c

1

R2

ðt3 5t 9Þ dt

0

2 dx x

rd

Finn øvre trappesum i intervallet x 2 ½1, 2 og bruk ti rektangler. R2 Regn ut det bestemte integralet gðxÞ dx.

til

b

d

0

vu

2.4 1 Vi har funksjonen gðxÞ ¼ . x a Finn nedre trappesum i intervallet x 2 ½1, 2 og bruk ti rektangler.

3x2 dx

2.6 Regn ut de bestemte integralene med CAS:

b

Vi har funksjonen gðxÞ ¼ 4x2 3. Skriv et program som finner en tilnærmingsverdi for arealet under grafen til g fra x ¼ 1 til x ¼ 3. Bruk antall rektangler n ¼ 1000.

R1

0

Z2

2.3

c

1

3

R7

in g

2.2 Vi har funksjonen f ðxÞ ¼ 2x2 þ 3. Finn en tilnærmingsverdi for arealet under grafen til f fra x ¼ 0 til x ¼ 2. Del arealet inn i n rektangler og finn tilnærmingsverdien til arealet når

2.5 Regn ut de bestemte integralene med CAS:

er

2.1 Vi har funksjonen f ðxÞ ¼ x2 þ 4. Finn en tilnærmingsverdi for arealet under grafen til f fra x ¼ 0 til x ¼ 3, når du deler inn arealet i tre rektangler.

d

R3 2

ðx2 4x þ 3Þ dx


KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

2.2 Bestemt integral UTFORSK Skriv inn funksjonsuttrykket f ðxÞ ¼ 2x þ 4 i algebrafeltet.

2

Lag to glidere a og b, begge med intervall fra 0 til 10.

3

Skriv inn kommandoen «Areal:=Integral(f,a,b)». Endre på gliderne slik at alltid a < b og undersøk hvordan arealet under grafen endrer seg.

4

Integrer funksjonen f ðxÞ ved å skrive «FðxÞ :¼ integralðf Þ». Regn ut FðbÞ FðaÞ og sammenlikn svaret med funnene i deloppgave 3.

5

Diskuter funnene med en annen elev.

er

y

1

Uten digitale hjelpemidler er det for tidkrevende å regne ut trappesummer. Vi må derfor finne en annen måte å beregne bestemte integraler på. Vi tar utgangspunkt i en lineær funksjon, f ðxÞ ¼ 2x þ 4.

rd

10

in g

Du trenger: GeoGebra

f

9 8

Vi skal beregne det bestemte integralet

f ðxÞ dx, det vil si arealet under grafen

til f fra x ¼ 0 til x ¼ 3. Området er markert på figuren til venstre.

6 5

b

Fordi grafen til f er en rett linje, kan vi bruke arealformelen for et trapes til å regne ut det bestemte integralet: R3 f ð0Þ þ f ð3Þ ða þ bÞ ð4 þ 10Þ f ðxÞ dx ¼ ð3 0Þ ¼ h¼ 3 ¼ 21 2 2 2 0

4

a

til

3 2

R3 0

vu

7

Vi gjentar regnestykket, men denne gangen for en generell x-verdi:

1

h 1

f

y

2

3

4

5

x

Ku n

86

f(x) f(0)

x

x

Arealet av det markerte området blir da Rx ðf ð0Þ þ f ðxÞÞ ð4 þ ð2x þ 4ÞÞ f ðxÞ dx ¼ ðx 0Þ ¼ x ¼ x2 þ 4x 2 2 0


Bestemt integral

87

Dette gir en funksjon AðxÞ som uttrykker arealet under grafen til f fra x ¼ 0 til x: AðxÞ ¼ x2 þ 4x Vi deriverer funksjonen: A0 ðxÞ ¼ 2x þ 4 ¼ f ðxÞ

AN A LY S E N S F U N D A ME N TA L S E TN I N G

Analysens fundamentalsetning kalles også analysens fundamentalteorem.

er

La f være en kontinuerlig funksjon. La AðxÞ være arealet under grafen fra x ¼ 0 til x. Da har vi A0 ðxÞ ¼ f ðxÞ.

in g

Den deriverte av funksjonen som uttrykker arealet under grafen til f , blir f . Det er da naturlig å lure på om det alltid er slik. Det viser seg at dette alltid stemmer. Dette kalles analysens fundamentalsetning.

rd

Bevis: La f ðxÞ være en positiv, voksende og kontinuerlig funksjon. La AðxÞ være arealet under grafen til f fra x ¼ 0 til x, se figuren: y

vu

f

A(x)

x

til

x

Vi øker x med 1x til x þ 1x. Da øker arealet under grafen med 1A. Vi har 1A ¼ Aðx þ 1xÞ AðxÞ, se figuren: y

f

Ku n

f(x + Dx) f(x)

DA

A(x)

x

Dx x + Dx

x

På figuren har vi tegnet to rektangler med bredde 1x. Det lille rektangelet har høyde f ðxÞ. Det store rektangelet har høyde f ðx þ 1xÞ.


KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Av figuren på forrige side ser vi at vi har følgende: stort rektangel

1x f ðxÞ

Aðx þ 1xÞ AðxÞ

1x f ðx þ 1xÞ

f ðxÞ

Aðx þ 1xÞ AðxÞ 1x

f ðx þ 1xÞ

Aðx þ 1xÞ AðxÞ 1x ! 0 1x

lim f ðxÞ

lim

1x ! 0

A0 ðxÞ

f ðxÞ

lim f ðx þ 1xÞ

1x ! 0

f ðxÞ

f ðxÞ, er eneste mulighet at A0 ðxÞ ¼ f ðxÞ, som var det vi

er

Når f ðxÞ A0 ðxÞ skulle bevise.

j : 1x

in g

1A

lite rektangel

Tilsvarende gjelder også når grafen er avtakende, og når hele eller deler av grafen ligger under x-aksen.

Analysens fundamentalteorem:

rd

Vi har nå vist at AðxÞ er en såkalt antiderivert til f ðxÞ. Enhver antiderivert til en funksjon f ðxÞ er på formen FðxÞ þ C, der F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ og C er en konstant. Ovenfor så vi at x2 þ 4x er en antiderivert til 2x þ 4.

vu

Ettersom AðxÞ er en antiderivert av f ðxÞ, finnes det en konstant C slik at AðxÞ ¼ FðxÞ þ C

for en hvilken som helst antiderivert FðxÞ til f ðxÞ.

y

Figuren i margen viser arealet under grafen til f fra x ¼ a til x ¼ b, Rb altså det bestemte integralet f ðxÞ dx. a

til

f

AðxÞ er arealet fra x ¼ 0, så vi har Rb

a

b

b

FðxÞ a er en skrivemåte for FðbÞ FðaÞ.

x

Rb

f ðxÞ dx ¼ AðbÞ AðaÞ. Vi bytter ut AðxÞ

a

med FðxÞ þ C og får

A(b) – A(a)

Ku n

88

f ðxÞ dx ¼ AðbÞ AðaÞ ¼ FðbÞ þ C ðFðaÞ þ CÞ ¼ FðbÞ FðaÞ

a

Dette betyr at vi kan regne ut det bestemte integralet av f med en hvilken som helst antiderivert til f .

UTREGNING A V B ESTEMT INTEG R AL La f og F være slik at F 0 ðxÞ ¼ f . Da er Rb a

f ðxÞ dx ¼ FðxÞ

b a

¼ FðbÞ FðaÞ


Bestemt integral

89

EKSEMPEL 4 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 3x2 þ 1. Vis at en antiderivert til f ðxÞ er FðxÞ ¼ x3 þ x.

b

Finn arealet under grafen til f fra x ¼ 1 til x ¼ 2.

y 12

Løsning: a Vi deriverer F0 ðxÞ ¼ ðx3 þ xÞ0 ¼ 3x3 1 þ x1 1 ¼ 3x2 þ 1 ¼ f ðxÞ. Dette viser at FðxÞ er en antiderivert til f ðxÞ.

f ðxÞ dx ¼ FðxÞ

1

2 1

¼ Fð2Þ Fð 1Þ ¼ 23 þ 2 ð 1Þ3 þ ð 1Þ ¼8þ2þ1þ1 ¼ 12

EKSEMPEL 5

4 2

–3 –2 –1

1 2 3

x

Oppgaver: 2.7–2.8

vu

Arealet er 12.

8

er

R2

10

6

Arealet finner vi ved å regne ut det bestemte integralet:

rd

b

f

in g

a

a

Deriver funksjonen FðxÞ ¼ 2x3 þ x2 þ x þ 1.

b

R3 Regn ut ð6x2 þ 2x þ 1Þ dx.

til

1

Løsning: a Vi deriverer funksjonen og får F0 ðxÞ ¼ 6x2 þ 2x þ 1. Vi ser at FðxÞ er en antiderivert til 6x2 þ 2x þ 1. Det gir:

Ku n

b

R3

ð6x2 þ 2x þ 1Þ dx ¼ 2x3 þ x2 þ x þ 1

1

3 1

¼ 2 33 þ 32 þ 3 þ 1 ð2 13 þ 12 þ 1 þ 1Þ

¼ 54 þ 9 þ 3 þ 1 2 1 1 1 ¼ 62

Oppgaver: 2.9–2.11


KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Reflekter og diskuter! Hvilket uttrykk er en antiderivert til gðxÞ ¼ 6x2 8x 3?

2x3 4x2 3x

1 3 x þ 2x2 þ 3 3

2x3 2x2 3x

er

3x3 x2 þ 3x

EK SEMPEL 6

b

1 En funksjon f er gitt ved f ðxÞ ¼ , x > 0. x Vis at en antiderivert til f ðxÞ er FðxÞ ¼ ln x.

rd

a

in g

Eller for å si det på en annen måte: Hva har du derivert for å få gðxÞ til svar?

Finn arealet under grafen til f fra x ¼ 1 til x ¼ e.

vu

Løsning:

1 ¼ f ðxÞ, x > 0. x

Vi deriverer og får F 0 ðxÞ ¼ ðln xÞ0 ¼

b

Arealet finner vi når vi regner ut det bestemte integralet: Ze 1 dx ¼ ½ln x e1 ¼ ln e ln 1 ¼ 1 0 ¼ 1 x

til

a

1

Grafen viser området vi har beregnet arealet av. y

2

Ku n

90

Oppgaver: 2.12–2.14

1 f(x)= x –

1 1 1

2

e 3

4

x


Bestemt integral

91

Oppgaver 2.11 Regn ut:

a

1 Vis at en antiderivert til f ðxÞ er FðxÞ ¼ x3 þ 2x. 3

b

Finn arealet under grafen til f fra x ¼ 2 til x ¼ 1.

a

R3

2x dx

b

R4

ðx2 4x þ 3Þ dx

ð2x 5Þ dx

0

2.8 Grafen til en funksjon g er gitt nedenfor:

c

3

1

R3

in g

2.7 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ x2 þ 2.

er

2.12

1 Vi har funksjonen f ðxÞ ¼ . x

y 5

Regn ut arealet under grafen til f , fra x ¼ 1 til x ¼ 3, R3 ved det bestemte integralet f ðxÞ dx.

rd

4 3 2

1

2.13 Hvilket uttrykk er en antiderivert til f ðxÞ ¼ 3x2 x þ 2?

1

2

3

4

vu

1 5

6

7

x

Finn arealet av området definert under grafen, x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 6.

til

2.9 a Deriver funksjonen FðxÞ ¼ 3x3 þ 3x2 þ 3x þ 3. R2 b Regn ut ð9x2 þ 6x þ 3Þ dx. 0

Ku n

2.10 a Deriver funksjonen FðxÞ ¼ 5x3 þ x2 þ 6x 7. R6 b Regn ut ð15x2 þ 2x þ 6Þ dx. 3

a

b

1 3 1 2 x x þ2 3 2 1 3 x 2x2 þ 2x 3

c d

1 x3 x2 þ 2x 2 1 x3 2x2 þ x 2

2.14 Regn ut: a

R2

ðx3 þ 2x2 3Þ dx

1

b

R4 0

c

R2 0

ðx3 x2 þ x 1Þ dx

ðt3 2t2 þ 3Þ dt


KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

2.3 Ubestemt integral UTFORSK

in g

Du trenger: skrivesaker

Skriv ned tre ulike funksjonsuttrykk og deriver dem.

2

Skriv de tre deriverte uttrykkene på en lapp.

3

Bytt lapp med en medelev.

4

Finn ut hvilke funksjonsuttrykk medeleven din har derivert.

er

1

Hva må vi derivere for å få 2x? En mulig løsning er x2 , men det kan også være x2 þ 1, x2 þ eller andre konstantledd til slutt. Det er fordi den deriverte av konstantleddet er null. Dermed har alle disse funksjonene den samme deriverte.

rd

Ubestemt integral:

vu

Grafene til de tre funksjonene er forskjøvet loddrett i forhold til hverandre. Det betyr også at de har tangenter med samme stigningstall for en gitt x-verdi. Figuren til venstre nedenfor viser grafene til de tre funksjonene, den neste figuren viser grafene med hver sin tangent i x ¼ 1, og den siste figuren viser den deriverte til funksjonene. Alle funksjonene har tangenter med samme stigningstall for samme x-verdi.

Funksjon med tangent

til

Funksjon

y

x2 + p

x2 + p

y

y

6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2 x2 + 1 1

2 x2 + 1 1

2

x2

–2

Derivert funksjon

6

Ku n

92

–1

1

–1

2

x

2x

1

x2 –2

–1

1 –1

2

x

–2

–1

1 –1

2

3

x


Ubestemt integral

93

For å finne en generell antiderivert til 2x finner vi det ubestemte integralet, altså et integral uten grenser for x. R 2x dx ¼ x2 þ C Det ubestemte integralet viser at x2 þ C er en antiderivert til 2x. C er en konstant, og den deriverte av alle konstanter er null.

Integrasjon og derivasjon kan vi se på som omvendte regnearter.

er

U B E S T E MT I N T E G R AL R f ðxÞ dx ¼ FðxÞ þ C, der F0 ðxÞ ¼ f ðxÞ og C er en konstant.

in g

R Generelt innfører vi skrivemåten f(x) dx og leser «det ubestemte integralet av f ðxÞ med hensyn på x».

Reflekter og diskuter!

a

b

vu

EKSEMPEL 7

rd

pffiffiffi Hva må vi derivere for å få: x x5 ex x Prøv å formulere skriftlig de integrasjonsreglene dere har funnet.

Finn de ubestemte integralene: R R 1 3 dx 2 2t dt 3

R

Z

3

x dx

4

R Vis at ð3x2 6x þ 2Þ dx ¼ x3 3x2 þ 2x þ C

1 dx x2

Ku n

til

Løsning: a Ved integrasjon hjelper det å tenke: «Hva må vi derivere for å få dette til svar?» Siden eksponenten blir én mindre når vi deriverer polynomer, må eksponenten bli én større når vi integrerer dem. R 1 3 dx ¼ 3x þ C R 2 2t dt ¼ t2 þ C 3

4

b

Vi prøver med x4 , men når vi deriverer dette, får vi 4x3 . R 1 1 Derfor multipliserer vi med . Det gir: x3 dx ¼ x4 þ C 4 4 Vi omskriver uttrykket til en potens og integrerer. Z R 1 1 dx ¼ x 2 dx ¼ x 1 þ C ¼ þ C x2 x

Vi deriverer høyre side for å vise at dette stemmer: ðx3 3x2 þ 2x þ CÞ0 ¼ 3x3 1 2 3x2 1 þ 2x1 1 þ 0 ¼ 3x2 6x þ 2

Oppgaver: 2.15–2.18


KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

I eksempel 7b deriverer vi en sum av funksjoner ledd for ledd, og dermed kan vi også integrere en sum av funksjoner ledd for ledd.

Regel:

R

xn dx ¼

Eksempel:

R

1 xn þ 1 þ C nþ1

1 x4 dx ¼ x5 þ C 5

in g

Vi viser nå integrasjonsregler, som vi beviser ved derivasjon. Dette er eksempler på direkte bevis.

rd

R

er

Bevis: Vi bruker derivasjonstesten og forutsetter at n er et helt tall bortsett fra 1. Da får vi 0 1 1 xn þ 1 þ C ¼ ðn þ 1Þ xn þ 1 1 þ 0 ¼ xn nþ1 nþ1

Derivasjon ðxn Þ0 ¼ n xn 1 ðex Þ0 ¼ ex

1 ekx dx ¼ ekx þ C k R 1 Eksempel: e3x dx ¼ e3x þ C 3

vu

Regel:

Bevis: Vi bruker derivasjonstesten og setter kjernen lik u ¼ kx. Det gir u 0 ¼ k. 0 1 kx 1 e þ C ¼ ekx k þ 0 ¼ ekx k k R ax þ C, a > 0 og a 6¼ 1 Regel: ax dx ¼ ln a

til

Ku n

94

Eksempel:

R

1,08x ¼

1,08x þC ln 1,08

Bevis: Vi bruker derivasjonstesten og husker at ðax Þ0 ¼ ax ln a. Vi får: x 0 0 a 1 1 x a þC ¼ ax ln a ¼ ax þC ¼ ln a ln a ln a

Reflekter og diskuter! Hva blir resultatet av

R

ax dx ¼

ax þ C når du setter a ¼ e? ln a


Ubestemt integral

Z Regel:

95

1 dx ¼ ln jxj þ C x

Vi får 0 1 1 ln jxj þ C ¼ ðln x þ CÞ0 ¼ þ 0 ¼ x x Når x < 0, er jxj ¼ x. Vi får 0 0 1 1 ð 1Þ þ 0 ¼ ln jxj þ C ¼ ln ð xÞ þ C ¼ x x

rd

Oppsummert har vi nå følgende integrasjonsregler:

Z R R R

x dx

¼

1 2 x þC 2

xn dx

¼

1 xn þ 1 þ C, nþ1

1 dx x

¼ ln jxj þ C,

n 6¼ 1

x 6¼ 0

til

R

vu

I N T E G RA S J O N S R E G L E R R k dx ¼ kx þ C R

ex dx

¼ ex þ C

ekx dx

¼

1 kx e þC k

ax þ C, a > 0 og a 6¼ 1 ln a R R k uðxÞ dx ¼ k uðxÞ dx R R R ðuðxÞ vðxÞÞ dx ¼ uðxÞ dx vðxÞ dx ¼

Ku n

ax dx

er

1 Legg merke til at når n ¼ 1 i uttrykket xn , får vi xn ¼ x 1 ¼ . x Dermed er det denne regelen vi må bruke for å løse det ubestemte R integralet x 1 dx.

in g

Bevis: Vi bruker derivasjonstesten og forutsetter at n 6¼ 0. Vi ser på de to tilfellene x > 0 og x < 0 hver for seg. Når x > 0, er jxj ¼ x.


KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Finn de ubestemte integralene: R 2 a ðx þ 6x þ ex Þ dx Z 1 4t b e dt 2 R x c ð2e þ e x Þ dx R d 500 1,6x dx

in g

EK SEMPEL 8

a

er

Løsning: Vi integrerer ved å bruke reglene over.

Vi integrerer ledd for ledd: R 2 R R R ðx þ 6x þ ex Þ dx ¼ x2 dx þ 6x dx þ ex dx 1 2þ1 þ 3x2 þ ex þ C x 2þ1

rd

¼

1 ¼ x3 þ 3x2 þ ex þ C 3

1 4t 1 e dt ¼ 2 2

Z

e4t dt ¼

1 1 4t 1 e þ C ¼ e4t þ C 2 4 8

vu

Z b

Vi integrerer ledd for ledd: R x R R 2e þ e x dx ¼ 2 ex dx þ e x dx 1 x ¼ 2ex þ e þC 1 ¼ 2ex e x þ C

til

c

Oppgaver: 2.19–2.20

Ku n

96

d

R

500 1,6x dx ¼ 500

1,6x þC ln 1,6


Ubestemt integral

97

Oppgaver 2.19 Finn de ubestemte integralene: R x a e dx R x b 4e dx R c ð1 þ 2x þ 3x2 þ 4x3 Þ dx R d ð4x þ 2ex þ e3x Þ dx

in g

2.15 Finn de ubestemte integralene: R R a 8 dx c 3x dx R R 2 b x dx d x dx

er

2.16 Finn de ubestemte integralene: R R a 4t dt c 12x3 dx Z R 4 5 b t dt d dx x

2.20 Finn de ubestemte integralene:

R

ðt4 þ 2t þ e3t Þ dt

b

Z

c

d

R

2000 1,05x dx xþ2 dx 4x

6e 2t dt

vu

2.17 Finn de ubestemte integralene: R R a 0 dx c 2 dr R R b 2 dx d 2 r dr

R

rd

a

2.21

Anna mener at han ikke kan regne slik. Hva er det Anna har oppdaget som blir feil?

b

x2 þ 2 . x Vis at funksjonsuttrykket kan skrives som 2 f ðxÞ ¼ x þ . x R Bestem f ðxÞ dx uten bruk av hjelpemidler.

c

Bruk CAS til å kontrollere svaret ditt i oppgave b.

Ku n

1

til

2.18 Petter og Anna diskuterer utregningen av et integral. Petter påstår at Z1 1 1 1 dx ¼ ¼ 2 x2 x 1

En funksjon f er gitt ved f ðxÞ ¼ a


KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

UTFORSK Du trenger: skrivesaker og GeoGebra y

Figuren viser en halvsirkel gitt ved f ðxÞ ¼ 1

Bruk formelen for areal av en sirkel A ¼ r2 og regn ut det eksakte arealet av halvsirkelen.

2

Regn ut det bestemte integralet fra x ¼ 2 til x ¼ 2 for å finne arealet under grafen til f .

3

Speil nå halvsirkelen om x-aksen ved å bruke funksjonsuttrykket pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gðxÞ ¼ 4 x2 . Regn ut det bestemte integralet av g fra x ¼ 2 til x ¼ 2 og vurder svaret i forhold til arealet av halvsirkelen.

1 1

2

x

Integrasjon gjør oss i stand til å beregne arealer vi tidligere ikke har kunnet beregne med de kjente arealformlene. Nå tar vi for oss sammenhengen mellom bestemte integraler for ulike funksjoner og de arealene som grafene deres avgrenser.

A R E A L SO M B E S T E M T I N T E G R A L

til

Arealberegninger ved integrasjon:

vu

rd

–1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 x2 .

er

2

–2

in g

2.4 Arealberegninger ved integrasjon

Ku n

98

La f være en kontinuerlig funksjon slik at f ðxÞ 0 i intervallet ½a, b . Rb Da er f ðxÞ dx lik arealet av området som er avgrenset av grafen til f , a

x-aksen og linjene x ¼ a og x ¼ b. y

f(x)

a

b

x


Arealberegninger ved integrasjon

99

EKSEMPEL 9 Tegn grafen til f gitt ved f ðxÞ ¼ x2 þ 1.

b

Bestem arealet av området avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 2.

in g

a

Løsning: a Vi tegner grafen i GeoGebra. y 6

er

5 4

2

rd

3 f(x)= x2 + 1

1

b

–1

1

2

x

vu

–2

Vi løser oppgaven i GeoGebra og skriver «Integral(f,-1,2)». y

f(x)

til

4

Ku n

5

–2

–1

3 2 1

a=6 1

2

x

Arealet er 6.

Løsning for hånd: Vi regner ut det bestemte integralet: R2

f ðxÞ dx ¼

1

Arealet er 6.

R2

1

x2 þ 1 dx ¼

1 3 x þx 3

2

¼ 1

1 3 1 8 1 2 þ2 ð 1Þ3 þ ð 1Þ ¼ þ 2 þ þ 1 ¼ 6 3 3 3 3 Oppgaver: 2.22–2.23


100 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

UTFORSK Jobb sammen to og to Dere trenger: GeoGebra Tegn grafen til g gitt ved gðxÞ ¼ 1 ln x.

2

Regn ut de bestemte integralene: R2

R8

gðxÞ dx

1

R6

gðxÞ dx

Re

5

R4

gðxÞ dx

e

5

gðxÞ dx

in g

1

gðxÞ dx

gðxÞ dx

2

er

2

R4

3

Beskriv sammenhengen du finner mellom svarene dine og når arealet ligger over x-aksen og under x-aksen. Hvordan kan vi forklare det siste svaret?

rd

I eksempel 9 fant vi ut at arealet av området avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 2 var gitt ved det bestemte integralet. Gjelder det samme hvis arealet ligger under x-aksen?

vu

Areal over og under x-aksen

Figuren viser grafen til f gitt ved f ðxÞ ¼ x3 4x. Vi deler figuren i to slik at vi får et areal avgrenset av grafen fra x ¼ 2 til x ¼ 0 og et annet areal fra x ¼ 0 til x ¼ 2.

til

f(x) = x3 – 4x

–2

–1

y

3 2 1 1

–1

2

x

Ku n

–2 –3

Vi regner ut det bestemte integralet fra x ¼ 2 til x ¼ 0. R0

f ðxÞ dx ¼

2

R0

ðx3 4xÞ dx

2

¼

1 4 x 2x2 4

Vi regner ut det bestemte integralet fra x ¼ 0 til x ¼ 2. R2

R2 f ðxÞ dx ¼ ðx3 4xÞ dx

0

0

0

2 1 4 1 4 2 2 ð 2Þ 2 ð 2Þ ¼ 0 2 0 4 4 ¼ 0 ð4 8Þ ¼ 4

¼

1 4 x 2x2 4

2

1 4 1 4 2 2 0 2 0 ¼ 2 2 2 4 4 ¼ 4 8 ð0Þ ¼ 4 0


Arealberegninger ved integrasjon 101

De bestemte integralene har lik verdi, men ulikt fortegn. Integralet over x-aksen har positiv verdi, og integralet under x-aksen har negativ verdi. Samtidig viser figuren at de to arealene er like store. Da er arealet under R2 grafen f ðxÞ dx ¼ ð 4Þ ¼ 4. Til sammen er det fargelagte arealet fra x ¼ 2 til x ¼ 2 lik 8. AREAL O VER O G U NDER X-A K SE N

a

Rb A ¼ f ðxÞ dx

hvis arealet ligger under x-aksen

a

er

Arealet A av et område avgrenset av grafen til den kontinuerlige funksjonen f , x-aksen og linjene x ¼ a og x ¼ b er gitt ved Rb A ¼ f ðxÞ dx hvis arealet ligger over x-aksen

in g

0

EKSEMPEL 10 a

b

10 8

til

Ku n

1

2

3

Dette gir oss et totalt areal, A ¼ ð 4Þ þ 4 ¼ 8.

y f(x) = x3

6 4

Gi en forklaring av resultatene i oppgave a og b.

Løsning: a Vi ser at arealet delvis ligger under x-aksen og delvis over. Vi deler derfor opp utregningen og bruker CAS til å regne ut arealet fra x ¼ 2 til x ¼ 0 og fra x ¼ 0 til x ¼ 2.

f ðxÞ dx

a

Regn ut arealet som er avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 2 og x ¼ 2. R2 f ðxÞ dx. Regn ut 2

c

Rb

vu

Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ x3 .

rd

Hvis området ligger både over og under x-aksen, må vi dele det opp og regne ut arealene hver for seg, før vi finner totalarealet.

Areal under x-aksen:

2 –2

–1

1 –2 –5 –6 –8

2

3 x


102 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

b

Vi regner ut integralet fra x ¼ 2 til x ¼ 2 med CAS:

in g

4

Integralet er 0.

I oppgave a fant vi ut at arealet under x-aksen og over x-aksen var like store. Det totale arealet var 8. I oppgave b regnet vi ut integralet over samme intervall og fant ut at integralet var lik null. Et integral under x-aksen har negativ verdi, og når det skal tolkes som et areal, må vi bruke absoluttverdien av integralet.

Oppgaver: 2.24–2.26

rd

er

c

Reflekter og diskuter! y

1

vu

Når vi regner ut et bestemt integral, trenger vi ikke å undersøke om grafen ligger over eller under x-aksen. Det er bare nødvendig hvis svaret skal tolkes som et areal.

1

3

4

x

–1 –2

til

Ku n

2

–3 –4

f(x)

Bruk trappesummen til å forklare hvorfor det bestemte integralet under x-aksen blir negativt.


Arealberegninger ved integrasjon 103

Areal mellom to grafer y

Vi kan også bruke integralregning til å finne arealet mellom to grafer. Figuren viser grafen til f og g, med et markert område mellom de to grafene.

f

Rb

f ðxÞ dx gir arealet under grafen til f fra x ¼ a til x ¼ b.

g

a

Rb

gðxÞ dx gir arealet under grafen til g fra x ¼ a til x ¼ b.

a

a

Rb

f ðxÞ dx

a

Rb

gðxÞ dx ¼

a

Rb f ðxÞ gðxÞ dx a

f ðxÞ þ k dx

Rb

a

¼

a

Rb Rb

gðxÞ þ k dx

f ðxÞ gðxÞ dx

f(x)

5 4 3

–1

1

2

3

til

–2

Det må alltid være slik at f ðxÞ gðxÞ i intervallet ½a, b . Vi må altså ta den øverste grafen minus den nederste grafen.

Ku n

y

6

1

a

AREALET M ELLOM T O GRAFER

x

2

f ðxÞ þ k gðxÞ þ k dx

a

¼

vu

rd

Det samme gjelder når én av grafene eller begge grafene ligger under x-aksen. Utregningen nedenfor viser at det alltid er slik. Vi adderer en konstant k til begge funksjonsuttrykkene. k må være stor nok til at begge grafene ligger over x-aksen. Rb

b

er

Figuren viser at arealet av det markerte området er differansen mellom disse arealene, altså er det markerte området på figuren gitt ved A¼

in g

A

Fra tidligere vet vi følgende:

–3

g(x)

–4 –5

y

f(x)

Når grafen til f ligger over grafen til g fra x ¼ a til x ¼ b, er arealet mellom grafene Rb A ¼ f ðxÞ gðxÞ dx

A

g(x)

a

a

Areal mellom grafer: b

x

4

5

x


104 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

EK SEMPEL 11 y

Figuren viser grafene til f ðxÞ ¼ x2 4x þ 2 og gðxÞ ¼ x 2. Finn arealet som er avgrenset av de to grafene.

f(x)

8

g(x)

Løsning: Skjæringspunktet mellom de to grafene gir x-verdiene for der arealet starter og slutter. Skjæringspunktene finner vi når vi løser likningen f ðxÞ ¼ gðxÞ:

6 4 2 –2

–1

–2

in g

10

x2 4x þ 2 ¼ x 2 1

2

3

4

5

6

x2 4x x þ 2 þ 2 ¼ 0

x

x2 5x þ 4 ¼ 0

x¼1 _ x¼4

er

–5

Figuren viser at grafen til g ligger over grafen til f i intervallet x ¼ 1 til x ¼ 4. Derfor bruker vi

–6 –8

gðxÞ f ðxÞ ¼ x 2 ðx2 4x þ 2Þ ¼ x2 þ 5x 4

rd

Arealet mellom grafene regner vi ut med det bestemte integralet:

vu

4 R4 1 5 A ¼ ð x2 þ 5x 4Þ dx ¼ x3 þ x2 4x 3 2 1 1 1 3 5 2 1 3 5 2 ¼ 4 þ 4 4 4 1 þ 1 4 1 3 2 3 2 9 ¼ ¼ 4,5 2 Arealet mellom grafene er 4,5.

til

Løsning med CAS: Vi skriver inn de to funksjonsuttrykkene og bruker kommandoen «Skjæring(<Objekt>,<Objekt>)». Deretter finner vi arealet avgrenset mellom de to grafene med kommandoen «IntegralMellom(<Funksjon>,<Funksjon>,<Start;>,<Slutt>)».

Ku n

1

Oppgaver: 2.27–2.28

2

3

4

Arealet mellom grafene er 4,5.


Arealberegninger ved integrasjon 105

Oppgaver 2.22 a Tegn grafen til g gitt ved gðxÞ ¼ 2x2 þ 4x þ 3. Bestem arealet avgrenset av g, x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 2.

2.23

a

linjene x ¼ 1 og x ¼ 0

b

linjene x ¼ 0 og x ¼ 1

c

linjene x ¼ 2 og x ¼ 1

d

linjene x ¼ 1 og x ¼ 2

er

6

y f(x) = 2x + 1

in g

b

2.25 Tegn grafen til g gitt ved gðxÞ ¼ x3 x. Bestem arealet avgrenset av grafen til g, x-aksen og

e

5 4

Diskuter svarene med en annen elev.

2.26 Uttrykket regner ut arealet til en funksjon f ðxÞ i intervallet ½ 1, 3 . R0 R3 f ðxÞ dx þ f ðxÞ dx

rd

3 2

1

1

0

–1

1

2

3

vu

Lag en skisse av en graf som passer til uttrykket.

4 x

2.27 a Tegn grafene til disse to funksjonene i samme koordinatsystem:

Figuren viser grafen til f ðxÞ ¼ 2x þ 1. Finn arealet avgrenset av f , x-aksen og linjene x ¼ 0 og x ¼ 2.

y

til

2.24

f ðxÞ ¼ x2 þ 4 og gðxÞ ¼ x þ 3

f

Hvilket av uttrykkene gir arealet av det markerte området på figuren? a

R4

f ðxÞ dx

c

0

b

R2 0

f ðxÞ dx þ

R4 2

f ðxÞ dx

d

R2

f ðxÞ dx

0

R2 4

R4

f ðxÞ dx

2

f ðxÞ dx

Bestem arealet som er avgrenset av grafene og de to linjene x ¼ 1 og x ¼ 0.

c

Bestem arealet som er avgrenset av grafene og de to linjene x ¼ 1 og x ¼ 2.

x

4

Ku n

2

b

R2 0

f ðxÞ dx

2.28 a Tegn grafene til disse to funksjonene i samme koordinatsystem: f ðxÞ ¼ x2 3x 2 og gðxÞ ¼ 2x 2 b

Finn skjæringspunktene mellom grafene.

c

Bestem arealet som er avgrenset mellom de to grafene.


106 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

2.5 Integrasjon og samlet mengde J(t), liter/minutt 140 120 100 80

er

60 40

A = 1610

rd

20

in g

UTFORSK

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 x, minutt

vu

Grafen viser vannmengden JðtÞ som renner ut per minutt når vi tømmer en jacuzzi for vann. Arealet under grafen fra t ¼ 0 til t ¼ 40 er fargelagt og har verdien 1610. Multipliser enheten langs x-aksen og y-aksen og bruk dette til å forklare hva tallet 1610 forteller oss i praksis?

Med integrasjon kan vi finne arealet under en graf. Nå ser vi på hva arealet under grafen betyr i praktiske situasjoner.

Ku n

til

Integrasjon og samlet mengde:

Hvis vi for eksempel skal beskrive utviklingen av et salg over tid, kan vi la t være tiden gitt i uker og f ðtÞ være salget gitt i kroner per uke.

Praktisk tolkning av integraler Vi skal nå se nøyere på sammenhengen mellom enhetene på aksene og den praktiske tolkningen av arealet under grafen. Figuren øverst på neste side viser grafen til en gjenstand som øker farten jevt fra null meter per sekund til seks meter per sekund i løpet av åtte sekunder. Enheten langs førsteaksen er sekunder, og enheten langs andreaksen er meter per sekund.


Integrasjon og samlet mengde 107 v(t), m/s 6 v(t)

5

in g

4 3 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9 t, s

er

1

Arealet under grafen har form som en trekant, og vi kan derfor finne arealet med formelen

g h 8 s 6 m=s ¼ 24 m ¼ 2 2 Legg merke til at produktet av enhetene langs aksene blir meter. Arealet under grafen gir oss et uttrykk for strekningen gjenstanden beveger seg i løpet av åtte sekunder.

vu

rd

Samtidig vet vi at arealet under en graf i et intervall svarer til integralet i samme intervall. Dermed vil integralet til en fartsfunksjon gi strekning. Det stemmer overens med at den deriverte av strekning er fart.

til

Reflekter og diskuter! Grafen viser akselerasjonen til en bil.

Ku n

g(t), m/s2

t, sekunder

Hva forteller arealet under grafen?

Husk fra derivasjon! ðstrekningÞ0 ¼ fart ðfartÞ0 ¼ akselerasjon


108 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Samlet mengde

in g

Når produktet av enhetene på aksene gir mening i en praktisk situasjon, kan vi tolke arealet under grafen som samlet mengde. Vi finner enheten til den samlede mengden ved å multiplisere enhetene på aksene med hverandre.

EK SEMPEL 12

En oljetank rommer 250 liter olje. Det går hull på tanken, og det medfører at det etter t minutter lekker ut f ðtÞ liter olje per minutt. Funksjonen f er gitt ved f ðtÞ ¼ 50 0,8t .

er

Hvor mye olje lekker det ut i løpet av ti minutter?

rd

Løsning: Vi finner enheten til den samlede mengden under grafen til f : liter ¼ liter minutter minutter Oljemengden som lekker ut i løpet av ti minutter, er derfor lik arealet av området avgrenset av grafen til f , førsteaksen og linjene t ¼ 0 og t ¼ 10.

vu

Vi tegner grafen til f i GeoGebra og bruker kommandoen «Integral[f,0,10]». Det gir dette resultatet: f(t), liter/minutt

60

til

50

40

Ku n

30

Oppgave: 2.29

20 10 Integral = 200.01 2

4

6

8

minutter 10 12 14 16 18 20 22 24 26 t

I løpet av ti minutter lekker det ut omtrent 200 liter olje fra tanken.


Integrasjon og samlet mengde 109

Alle hjem har en strømmåler som viser strømforbruket. Strømforbruket per sekund kalles effekt og måles i kilowatt (kW). Vi skal undersøke forbruket gjennom et døgn. La funksjonen S være gitt ved SðtÞ ¼ 0,0019t3 þ 0,06t2 0,35t þ 2

in g

SðtÞ gir effekten t timer etter midnatt. Det samlede strømforbruket i løpet av et døgn tilsvarer det bestemte integralet til S fra t ¼ 0 til t ¼ 24. Figuren illustrerer dette: S(t), effekt (kW) 4 3,5

er

3 2,5

1,5

A ª 66

1 0,5 4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 t, timer (h)

vu

2

rd

2

Vi regner ut det bestemte integralet med CAS:

2

til

1

Ku n

Enheten til den samlede mengden finner vi ved å regne ut produktet av enhetene langs aksene: kW h ¼ kWh Strømforbruket har enhenten kWh, altså er strømforbruket i løpet av dette døgnet tilnærmet 66 kilowattimer.

SAMLET MENGDE

Vi kan tolke arealet under en graf fra x ¼ a til x ¼ b som samlet mengde. Vi finner enheten til den samlede mengden ved å multiplisere enhetene på aksene. Zb Samlet mengde ¼ f ðtÞ dt a


110 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Gjennomsnittet av en funksjon I avsnittet ovenfor har vi beregnet strømforbruket i løpet av et døgn, altså den samlede mengden. Vi kan også finne det gjennomsnittlige strømforbruket per time ved å dele det samlede strømforbruket på antall timer i døgnet:

in g

samlet strømforbruk 66 ¼ ¼ 2,75 antall timer 24 Det gjennomsnittlige strømforbruket per time er 2,75 kWh.

y

GJENNOMSNITT

f

rd

er

Gjennomsnittet av en funksjon f på et intervall ½a, b er gitt ved Rb f ðxÞ dx a f ðxÞ½a, b ¼ b a Arealet under grafen i intervallet er lik produktet av intervallets bredde og gjennomsnittet av funksjonen.

a

b

x

vu

EK SEMPEL 13

Elida har arbeid i nabobyen, som ligger 30 km unna. Hun kjører bil til jobb, og en modell for bensinforbruket er gitt ved funksjonen f ðxÞ ¼ 1,8e 2x þ 0,05, der x er antall kilometer og f ðxÞ er bensinforbruket i liter per kilometer. Hvor mye bensin bruker Elida totalt på vei til jobb?

b

Hvor mye bensin bruker hun i gjennomsnitt per kilometer?

til

a

Ku n

Løsning: a Vi regner ut integralet av f ðxÞ i intervallet x ¼ 0 til x ¼ 30 for å finne arealet under grafen til f . Det gir den samlede mengden, altså det totale bensinforbruket gitt i liter.

Oppgave: 2.30

1

Elida bruker omtrent 2,4 liter bensin til jobb. b

Gjennomsnittlig bensinforbruk er gitt ved R30 f ðxÞ dx 2,4 f ðxÞ½0, 30 ¼ 0 ¼ ¼ 0,08 30 0 30 Elida bruker i gjennomsnitt 0,08 liter bensin per kilometer.


Integrasjon og samlet mengde 111

EKSEMPEL 14 Et eiendomsselskap har årlige leieinntekter på 30 millioner kroner per år. Det er antatt at inntektene øker jevnt til 50 millioner kroner per år om ti år.

Løsning: Leieinntektene endrer seg med tiden, og vi lar f ðtÞ være leieinntektene i millioner kroner per år etter t år. Leieinntektene antas å øke jevnt, derfor regner vi ut den gjennomsnittlige vekstfarten i tiårsperioden:

er

1f ðtÞ 50 30 20 ¼ ¼2 ¼ 10 0 10 1t Det gir en lineær funksjon for leieinntektene i millioner kroner per år.

in g

Finn den samlede leieinntekten til eiendomsselskapet i tiårsperioden.

f ðtÞ ¼ 2t þ 30

Ku n

til

vu

rd

Dersom vi antar at leieinntekten er konstant gjennom året, og at hele den årlige leieøkningen finner sted ved årsslutt, kan vi regne ut den samlede leieinntekten med trappesum.


112 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Vi bruker GeoGebra og CAS og skriver inn: f(t), mill. kr. per år

in g

50 45

f(t) = 2t+ 30

40 35 30

1

25

er

20 15

10

rd

5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

År 10 11 12 t

Den samlede leieinntekten i tiårsperioden blir 390 millioner kroner.

vu

Dersom vi antar at leieinntekten øker kontinuerlig gjennom hele året, vil den samlede leieinntekten være uttrykt som arealet under grafen til f fra t ¼ 0 til t ¼ 10. Dette regner vi ut med bestemt integral: f(t), mill. kr. per år

50

til

45

2

f(t) = 2t+ 30

40 35 30 25

Ku n

20

Arealet under en graf har enhet lik produktet av enhetene på aksene.

Oppgaver: 2.31–2.37

15 10 5

År 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 t

Den samlede leieinntekten i tiårsperioden blir 400 millioner kroner. Den samlede leieinntekten vil altså avhenge av hvordan leien øker i løpet av leieperioden.


Integrasjon og samlet mengde 113

Oppgaver

f ðtÞ ¼ 0,05t2 þ 3,95t þ 75,81,

m/s

Her er f ðtÞ slag per minutt, og t er minutter.

v(t)

10

Regn ut

5

b c

10 15 20 25 30 35 40 45 s

Finn arealet under grafen mellom t ¼ 0 og t ¼ 10. R40

y, mm per måned

140

vðtÞ dt.

120

100

0

d

2.33 160

Hva forteller svaret oss? Bruk figuren til å finne

f ðtÞ dt og gi en praktisk tolkning av svaret.

rd

a

R60 0

5

t 2 ½0, 60

er

15

2.32 Christoffer løper 60 minutter. Pulsen hans følger modellen

in g

2.29 Øystein har kjøpt ny sykkel og tar en liten prøvetur. Grafen til v viser hvordan farten varierer under turen.

80

Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave c.

60

DðxÞ ¼ 2e 2x þ 0,07

40

vu

2.30 En dag i januar kjører Lars bil til jobb. Dieselforbruket er gitt ved funksjonen

der x er antall kilometer og DðxÞ er dieselforbruket i liter per kilometer. Hvor mye diesel bruker bilen den første mila?

b

Hvor mye diesel bruker bilen i gjennomsnitt per kilometer den første mila?

til

a

Ku n

2.31 En stor tank er full av vann. Åpner vi krana på tanken, renner vannet ut med farten VðtÞ ¼ 0,1 0,95t , der VðtÞ er farten i m3 =s og t er tiden i sekunder etter at krana ble åpnet. a

Tegn grafen til V og sett enheter på aksene.

b

Regn ut hvor mye vann som renner ut av tanken i løpet av 60 sekunder.

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x, måneder

Kurven på figuren viser variasjonen i nedbøren på Randaberg i løpet av et år. Tiden er i måneder regnet fra nyttår, og nedbøren er i millimeter per måned. Bruk figuren og gi et anslag over den samlede nedbøren på Randaberg i løpet av dette året.

2.34 Et båtfirma har en månedsomsetning gitt ved funksjonen x þ4 f ðxÞ ¼ 2sin 6 3 der x er antall måneder regnet fra nyttår og f ðxÞ er omsetningen i millioner kroner per måned. a

Tegn grafen til f .

b

Finn den samlede årsomsetningen til båtfimaet.

c

Finn gjennomsnittlig omsetning per måned.


114 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

b

Hvilken måned bestiller butikken flest par med joggesko? Hvor mange par joggesko bestiller de da?

c

Hvor mange par med joggesko bestiller butikken totalt i løpet av et år?

E(x), kroner

70 60 50 40 30 20

2.37

10

in g

2.35

f(x), kr 80 000

50 0 10 00 15 0 20 0 0 25 0 0 30 0 0 35 0 0 40 0 0 45 0 00 50 0 55 0 00 60 0 65 0 00 70 0 75 0 00

70 000

60 000

50 000

rd

Figuren viser etterspørselskurven EðxÞ for pizza per uke i en by i Norge. Kurven forteller oss hvor høy pris noen er villige til å betale for den siste pizzaen. Etterspørselskurven er gitt ved EðxÞ ¼ 0,01x þ 70, der x er antall pizzaer.

er

x, antall pizzaer

40 000

30 000

Finn samlet betalingsvilje for 7000 pizzaer per uke 7000 R ved å regne ut EðxÞ dx.

A ≈ 303 134

20 000

vu

0

f(x) = 73 000 · 1,025 x

10 000

Ku n

til

2.36

En sportsbutikk selger joggesko, og salget varierer med årstiden. Derfor varierer det hvor mange par joggesko butikken bestiller gjennom året. Funksjonen f viser antall par joggesko butikken bestiller per måned etter x måneder: f ðxÞ ¼ 2x2 þ 25x þ 200, x 2 ½0, 12

a

Tegn grafen til f .

1

2

3

4

5

6 x, år

Ronja sparer til å kunne kjøpe leilighet. Hun mangler 300 000 kr i egenkapital og har bestemt seg for å spare 73 000 kr i året framover. a

Bruk figuren til å forklare at det tar fire år før Ronja har nok egenkapital.

b

Diskuter sammenhengen mellom samlet mengde og nedre trappesum med en annen elev.


Delvis integrasjon 115

2.6 Delvis integrasjon UTFORSK

2

R 3x2 dx ex dx R Bruk CAS og regn ut: ð3x2 ex Þ dx

3

Sammenlikn med de andre i klassen.

1

Regn ut for hånd:

R

For å integrere uttrykk der vi ikke kan bruke integrasjonsreglene direkte, trenger vi å lære noen nye teknikker. I de neste avsnittene tar vi for oss tre metoder som vi kaller delvis integrasjon, variabelskifte og delbrøkoppspalting. For å forklare delvis integrasjon begynner vi med derivasjonsregelen for et produkt: ðu vÞ0 ¼ u 0 v þ u v 0 Vi bytter plass på høyre og venstre side og får

Som i S1 bruker vi den forenklede skrivemåten u og v i stedet for uðxÞ og vðxÞ.

u 0 v þ u v 0 ¼ ðu vÞ0 Definisjonen av ubestemt integral gir R 0 ðu v þ u v 0 Þ dx ¼ u v þ C Venstre side integrerer vi ledd for ledd. Det gir R 0 R u v dx þ u v 0 dx ¼ u v þ C R Vi trekker fra u v 0 dx på begge sider og får formelen for det vi kaller delvis integrasjon: R R 0 u v dx ¼ u v u v 0 dx þ C Siden integralet på høyre side også gir en konstant, kan vi la C inngå i dette.

DELVIS INTEGRASJON R 0 R u v dx ¼ u v u v 0 dx

Reflekter og diskuter! Når vi skal integrere et produkt av to uttrykk, hvorfor kan vi ikke bare integrere uttrykkene hver for seg og så gange sammen svarene til slutt? Når vi bruker delvis integrasjon, velger vi u 0 og v slik at integralet på høyre side blir enklere enn integralet vi startet med.

Delvis integrasjon:


116 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

EK SEMPEL 15 Bestem integralene ved hjelp av delvis integrasjon: R a 2x ln x dx R b x e2x dx

Løsning: a Vi bruker delvis integrasjon og velger u 0 ¼ 2x og v ¼ ln x. 1 Da er u ¼ x2 og v 0 ¼ . Vi får x v0 0 u u v v u z}|{ Z Z z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ 1 x2 dx 2x ln x dx ¼ x2 ln x x R ¼ x2 ln x x dx 1 2 2 ¼ x ln x setter C ¼ C1 x þ C1 2 1 ¼ x2 ln x x2 þ C 2 b

1 Vi velger u 0 ¼ e2x og v ¼ x. Da er u ¼ e2x og v 0 ¼ 1. 2 Vi får u u u0 zffl}|ffl{ v0 Z v Z zffl}|ffl{ z}|{ v z}|{ z}|{ z}|{ 1 1 x e2x dx ¼ e2x x e2x 1 dx 2 2 Z 1 2x 1 e2x dx ¼ xe 2 2 1 1 1 ¼ xe2x e2x þ C 2 2 2 1 2x 1 2x ¼ xe e þ C 2 4 1 2x ¼ e ð2x 1Þ þ C 4

Løsning med CAS: Vi bruker kommandoen «Integral(<Funksjon>)». 1

Oppgaver: 2.38–2.41

Vi får samme løsning som over.


Delvis integrasjon 117

Reflekter og diskuter! Hvordan kan Silje påstå dette? Derivasjon ved produktregelen

Dette kaller jeg «Produktregelen baklengs»

f ðxÞ ¼ u v + f ðxÞ ¼ u 0 v þ u v 0 0

Det krever trening å velge u 0 og v slik at integralet på høyre side blir enklere å regne ut. Her er noen tips: Hvis integralet består av et polynom multiplisert med en logaritmefunksjon, 1 lar vi polynomet være u 0 og logaritmefunksjonen v. Da får vi v 0 ¼ , slik at vi x kan forkorte og forenkle integralet på høyre side. Den antideriverte til aekx er funksjonen selv multiplisert med en konstant. Integralet på høyre side blir derfor ikke vanskeligere om vi velger denne som u 0 .

Delvis integrasjon Velg u 0 og v slik at integralet på høyre side blir enklere enn det opprinnelige integralet.


118 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

EK SEMPEL 16 R Bestem ð2x 1Þe 2x dx.

Problemløsning 1 Forstå problemet 2 Lage en plan 3 Gjennomføre planen 4 Se tilbake

Løsning: Vi bruker problemløsningsstrategi: 1

Forstå problemet Integralet er et produkt av to funksjoner med x som variabel. Vi kan ikke integrere disse funksjonene hver for seg.

2

Lage en plan Siden integralet består av to funksjoner av x, prøver vi å løse det med delvis integrasjon.

3

Gjennomføre planen Den ene funksjonen er en eksponentialfunksjon, så vi prøver med å sette 1 den lik u 0 . Vi får da u 0 ¼ e 2t og v ¼ 2x 1. Da er u ¼ e 2x og v 0 ¼ 2. 2 Vi får u u u0 v v v0 zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ zfflfflfflfflffl}|fflfflfflffl Z zfflfflfflfflffl}|fflfflfflffl Z zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ z}|{ ffl{ z}|{ ffl { 1 1 ð2x 1Þ e 2x dx ¼ e 2x ð2x 1Þ e 2x 2 dx 2 2 Z 1 ¼ e 2x ð2x 1Þ ð e 2x Þ dx 2 Z 1 ¼ e 2x ð2x 1Þ þ e 2x dx 2 1 1 ¼ e 2x ð2x 1Þ þ e 2x þ C 2 2 1 ¼ e 2x ð 2x 1 þ 1Þ þ C 2 ¼ xe 2x þ C

Husk! v u0 ¼ u0 v

Oppgaver: 2.42–2.44

4

Se tilbake Det ubestemte integralet kunne løses med delvis integrasjon. For at integrasjonen skal føre fram, er det lurt å vurdere hva man i starten skal sette som u 0 og v. Det viste seg å være lurt å velge eksponentialfunksjonen som u 0 .


Delvis integrasjon 119

Oppgaver 2.38 Bestem integralene: R 4 a x ln x dx

2.44 b

R

4x e2x dx

2.39 Regn ut integralene for hånd og sjekk svarene med CAS: R R 2 b 8x ln x dx a x ln x dx 2.40 Bestem integralene og sjekk svarene med CAS: R R 2 x a x e3x dx b x e dx 2.41 Simen har løst et ubestemt integral på denne måten: R R x 2 e x dx ¼ ex x2 ex 2x dx ¼ ex x2 ð2xex 2ex þ C1 Þ ¼ x2 ex 2xex þ 2ex þ C Gå gjennom løsningen til Simen med en annen elev og diskuter hvorfor vi kan kalle dette gjentatt delvis integrasjon.

2.42 Bestem integralene: R a ð2x þ 1Þ ex dx

b

R

ðx 1Þ e dx 2

x

2.43 Finn de ubestemte integralene for hånd og sjekk svarene med CAS: Z R x 1 b ln x dx a e ð4x þ 1Þ dx x2

Vi har det ubestemte integralet R 2x ex dx Marja og Ante bruker delvis integrasjon og har begynt på to ulike løsninger. Diskuter hvilken løsning som er best å arbeide videre med for å komme fram til svaret. Løs integralet. Marja: Hun velger u 0 ¼ 2x og v ¼ ex , noe som gir R R 2x ex dx ¼ x2 ex x2 ex dx þ C ¼ . . . Ante: Han velger u 0 ¼ ex og v ¼ 2x, noe som gir R R 2x ex dx ¼ ex 2x ex 2 dx þ C ¼ . . .


120 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

2.7 Integrasjon ved variabelskifte UTFORSK Du trenger: skrivesaker Vi starter med en derivasjon der vi bruker kjerneregelen og setter u ¼ 2x: ðe2x Þ0 ¼ ðeu Þ0 ¼ u 0 eu ¼ 2e2x 1

Deriver på samme måte følgende uttrykk: ðex Þ0 ¼ 2

ðex Þ0 ¼ 3

ðe5x Þ0 ¼ 4

2

Hvilken sammenheng finner du mellom den deriverte av kjernen og svaret?

3

Å integrere er å tenke derivasjon motsatt vei. Gi et forslag til svar på integralene: R 2x 2e dx ¼ R 2 2xex dx ¼ R 2 x3 3x e dx ¼ R 4 20x3 e5x dx ¼

4

Forklar til en annen elev hvordan vi kan si: «Når vi deriverer, ganger vi med den deriverte av kjernen, og når vi integrerer, deler vi med den deriverte av kjernen.»

3

Integrasjon ved variabelskifte:

Vi starter med å derivere uttrykket ex ved hjelp av kjerneregelen i derivasjon: 3x2 |{z} ex ðex Þ0 ¼ |{z} 3

3

u0

eu

3

Når vi så skal integrere uttrykket 3x2 ex , kan vi tenke motsatt vei. Vi ser at den ene funksjonen er den deriverte av den andre funksjonens kjerne. Altså er 3x2 den deriverte av x3 . Dermed har vi at R 2 x3 3 3x e dx ¼ ex þ C Vi kan bruke variabelskifte når den ene funksjonen er den deriverte av den andre funksjonens kjerne.

Det betyr at når vi deriverer, multipliserer vi med den deriverte av kjernen, og når vi integrerer, dividerer vi med den deriverte av kjernen. Å integrere ved å bruke kjerneregelen i derivasjon motsatt vei kaller vi integrasjon ved variabelskifte eller integrasjon ved substitusjon.


Integrasjon ved variabelskifte 121

Generelt velger vi en kjerne u. Den deriverte av kjernen er u 0 . Vi får da et R uttrykk f ðuÞ dx. Her har vi to forskjellige variabler i uttrykket. Vi må derfor 1u du uttrykke dx ved hjelp av u. Vi har at u 0 ¼ lim ¼ 1x ! 0 1x dx du 0 u ¼ dx du dx ¼ u0 Når vi integrerer med variabelskifte kan vi ofte bruke stegene nedenfor.

INTEGRASJON VED VARIABELSKIFTE

G.W. Leibniz’ skrivemåte for den deriverte: du u0 ¼ dx

Eksempelvis får vi for

1

Velg en kjerne u.

1

u ¼ x2

2

Bestem u 0 .

2

u 0 ¼ 2x

3

Erstatt dx med

du . u0

du og dx er differensialer, det vil si uendelig små endringer i x og y.

R

3

Z

4

Forkort slik at u er den eneste variabelen.

4

5

Integrer med u som variabel.

5

6

Erstatt u med det valgte uttrykket for kjernen.

6

R

Z

2

2xex dx ¼ u 0 eu

R

2

2xex dx:

u 0 eu

du u0

du R u ¼ e du u0

eu du ¼ eu þ C 2

eu þ C ¼ ex þ C R 2 2 Altså er 2xex dx ¼ ex þ C.

Integrasjon ved variabelskifte gir løsning bare når vi kan forkorte x slik at bare u står igjen i det siste integralet i utregningen (punkt 4). I integralet ovenfor kunne vi gjenkjenne kjerneregelen i derivasjon der ðex Þ0 ¼ 2xex , og dette avgjorde valget av integrasjonsmetode. 2

2

Vi ser på et eksempel der vi bruker integrasjon ved variabelskifte.

EKSEMPEL 17 Bestem

R

3

3x2 ex dx.

Løsning: du du Vi velger kjernen u ¼ x3 . Det gir u 0 ¼ 3x2 . Da har vi u 0 ¼ . ¼ 3x2 ) dx ¼ dx 3x2 Vi deler altså på den deriverte. Vi får Z Z R 2 x3 3 du R u 2 u du 3x e dx ¼ 3x e ¼ 3x2eu ¼ e du ¼ eu þ C ¼ ex þ C 2 2 3x 3x

Oppgaver: 2.45–2.48


122 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Brøk med lineær nevner Integralet av en brøk Z med lineær nevner løser vi med variabelskifte. 1 Vi ser på integralet dx. Vi velger u ¼ ax þ b. Det gir u 0 ¼ a og ax þ b du . Vi integrerer dermed er dx ¼ a Z Z Z Z 1 1 du 1 1 1 1 dx ¼ ¼ du ¼ du ax þ b u a u a a u 1 1 ¼ ln juj þ C ¼ ln jax þ bj þ C a a Dette gir oss regelen for integralet av en brøk med lineær nevner.

BRØK MED LINEÆR N EVNER Z 1 1 b dx ¼ ln jax þ bj þ C, x 6¼ ax þ b a a Z Eksempel

1 1 dx ¼ ln j2x þ 3j þ C 2x þ 3 2

Bevis Vi bruker derivasjonstesten og får 0 1 1 1 1 ln jax þ bj þ C ¼ aþ0¼ a a ðax þ bÞ ax þ b

EK SEMPEL 18 Finn det ubestemte integralet: Z 1 3 þ dx x þ 3 2x 1

Oppgave: 2.49

Løsning: Integralet har et lineært uttrykk i nevneren, og vi integrerer ledd for ledd: Z 1 3 3 þ dx ¼ ln jx þ 3j þ ln j2x 1j þ C x þ 3 2x 1 2

Når vi integrerer, viser det seg at vi av og til kan bruke flere integrasjonsmetoder for å løse en oppgave.


Integrasjon ved variabelskifte 123

EKSEMPEL 19 R Bestem integralet 4e2x dx på to måter, ved variabelskifte og delvis integrasjon.

Løsning: Integrasjon ved variabelskifte Vi velger kjernen u ¼ 2x, det gir u 0 ¼ 2. du du Da har vi ¼ 2 ) dx ¼ . Vi får dx 2 Z R 2x du R u 4eu 4e dx ¼ ¼ 2e du 2 R ¼ 2 eu du ¼ 2eu þ C ¼ 2e2x þ C Delvis integrasjon 1 Vi velger u 0 ¼ e2x og v ¼ 4. Da er u ¼ e2x og v 0 ¼ 0. Vi får 2 u

u

u0 v0 zffl}|ffl{ zffl}|ffl{ v v Z z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ Z 1 1 4 e2x dx ¼ e2x 4 e2x 0 dx 2 2 R ¼ 2e2x 0 dx

¼ 2e2x þ C Vi har nå vist at oppgaven kan løses med både variabelskifte og delvis integrasjon.

Reflekter og diskuter! Hvordan kan Gustav påstå dette? Dette kaller jeg «kjerneregelen baklengs» ?

Derivasjon ved kjerneregelen f ðxÞ ¼ g uðxÞ + 0 f ðxÞ ¼ g 0 uðxÞ u 0 ðxÞ

Oppgaver: 2.50–2.52


124 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Oppgaver 2.45 Bruk integrasjon ved variabelskifte til å bestemme R integralet ðx þ 4Þ2 dx. Tips: Velg u ¼ x þ 4. 2.46 Bestem integralene: R 3 x4 a 4x e dx R 3 x4 b 6x e dx 2.47 Bestem integralene: R a ðx þ 1Þ3 dx Z ln x þ 3 b dx x

c

ð2x þ 1Þex

2 þx

dx

2.50 Bruk både integrasjon ved variabelskifte og R 2 delvis integrasjon til å regne ut x3 ex dx. Z c

2.48 Finn det bestemte integralet: Z2 6 dx 3x þ 4 1

R

2.49 Bestem integralet av disse brøkene, som har lineære nevnere: Z Z 1 4 c a dx dx xþ1 8x 4 Z 1 dx b x 2

5x2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 4 2x3 1

2.51 R Vi har det ubestemte integralet 9e3x dx. Bestem integralet både med metoden for variabelskifte og delvis integrasjon. 2.52 Integrer uttrykket både for hånd og med CAS: Z tþ2 dt 2 t þ 4t 5


Integrasjon ved delbrøkoppspalting 125

2.8 Integrasjon ved delbrøkoppspalting UTFORSK Felles nevner 1

1 2 3þ4 7 þ ¼ ¼ . 2 3 2 3 6 Finn to brøker som summert gir svaret: Vi vet at

a 2

b

9 10

x þ 2 þ 2ðx þ 1Þ 1 2 3x þ 4 ¼ . þ ¼ ðx þ 1Þðx þ 2Þ xþ1 xþ2 x2 þ 3x þ 2 Finn to brøker som summert gir svaret:

Vi vet at

a 3

13 12

x2

5x þ 7 þ 3x þ 2

b

3x þ 1 x2 1

Forklar til en annen elev hvordan du tenkte for å løse oppgavene.

Når vi integrerer en brøk med et polynom av andre grad eller høyere i nevneren og et polynom av lavere grad i telleren, kan vi bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting. Da deler vi opp brøken i en sum av flere brøker med førstegradspolynomer i nevneren før vi integrerer. Vi viser metoden ved å regne ut integralet Z 2x þ 8 dx 2 x þ 5x þ 6 Først deler vi opp brøken i flere delbrøker. Deretter integrerer vi. Vi starter med å sette opp følgende likning: 2x þ 8 A B ¼ þ x2 þ 5x þ 6 x þ 2 x þ 3 Vi skal nå finne verdiene av tallene A og B. Vi starter med å utvide brøkene på høyre side slik at de får samme nevner som på venstre side. x2

Aðx þ 3Þ Bðx þ 2Þ 2x þ 8 ¼ þ þ 5x þ 6 ðx þ 2Þðx þ 3Þ ðx þ 3Þðx þ 2Þ

Integrasjon ved delbrøkoppspalting:


126 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Vi setter deretter tellerne lik hverandre, og det gir 2x þ 8 ¼ Aðx þ 3Þ þ Bðx þ 2Þ For å finne verdiene til A og B er det enkleste å regne med de verdiene av x som gjør at faktoren etter A og B blir lik null. For å finne A setter vi derfor inn x ¼ 2: 2x þ 8 ¼ Aðx þ 3Þ þ Bðx þ 2Þ 2 ð 2Þ þ 8 ¼ Að 2 þ 3Þ þ Bð 2 þ 2Þ 4 þ 8 ¼ A þ 0 A¼4 For å finne B setter vi inn x ¼ 3: 2x þ 8 ¼ Aðx þ 3Þ þ Bðx þ 2Þ 2 ð 3Þ þ 8 ¼ Að 3 þ 3Þ þ Bð 3 þ 2Þ 6 þ 8 ¼ 0 B B ¼ 2 Vi har nå utført det vi kaller delbrøkoppspalting: x2

2x þ 8 4 2 ¼ þ 5x þ 6 x þ 2 x þ 3

Nå kan vi regne ut integralet: Z Z Z 2x þ 8 4 2 dx ¼ dx dx x2 þ 5x þ 6 xþ2 xþ3 ¼ 4 ln jx þ 2j 2 ln jx þ 3j þ C

I N T E G RA S J O N V E D D E L B R ØK O P P S P A LT I N G 1

Faktoriser nevneren.

2

Del opp brøken til en sum av brøker med lineære nevnere: px þ q A B ¼ þ ðx x1 Þðx x2 Þ x x1 x x2

3

Integrer.


Integrasjon ved delbrøkoppspalting 127

EKSEMPEL 20 Z Bestem

8x 4 dx. x2 4

Løsning: Brøken har nevner av andre grad, og vi integrerer ved hjelp av metoden for delbrøkoppspalting. 1

Faktoriser nevneren Andregradsuttrykket faktoriserer vi med konjugatsetningen. x2 4 ¼ ðx 2Þðx þ 2Þ

2

Del opp brøken til en sum av brøker med lineære nevnere Vi setter inn A og B slik at 8x 4 A B ¼ þ x2 4 x 2 x þ 2 Deretter utvider vi brøkene på høyre side og setter tellerne lik hverandre. Da får vi 8x 4 ¼ Aðx þ 2Þ þ Bðx 2Þ Vi bestemmer A ved å sette inn x ¼ 2 og B ved å sette inn x ¼ 2: 8x 4 ¼ Aðx þ 2Þ þ Bðx 2Þ 8 2 4 ¼ Að2 þ 2Þ þ Bð2 2Þ

8x 4 ¼ Aðx þ 2Þ þ Bðx 2Þ 8 ð 2Þ 4 ¼ Að 2 þ 2Þ þ Bð 2 2Þ

12 ¼ 4A þ 0

20 ¼ 0 4B

4A ¼ 12

4B ¼ 20

A¼3

B¼5

8x 4 3 5 ¼ þ 2 x 4 x 2 xþ2 Nå har vi altså faktorisert til en sum av brøker med lineære nevnere. 3

Integrer Z Z 8x 4 3 5 dx ¼ þ dx ¼ 3 ln jx 2j þ 5 ln jx þ 2j þ C x2 4 x 2 xþ2

Løsning med CAS: Vi skriver inn uttrykket direkte og integrerer. 1

Vi ser at integralet løst for hånd og med CAS gir samme resultat.

Oppgaver: 2.53–2.56


128 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Reflekter og diskuter! Aditi har funnet løsningen av et integral der polynomet i telleren ikke har lavere grad enn polynomet i nevneren: Z Z 2 x þ 3x þ 1 1 1 dx ¼ 1þ þ dx ¼ x þ ln jxj þ ln jx þ 1j þ C x2 þ x x xþ1 Hun begynte løsningen med en polynomdivisjon: 2 2x þ 1 x þ 3x þ 1 : x2 þ x ¼ 1 þ x2 þ x x2 x 2x þ 1 Bruk dette og integrasjon ved delbrøkoppspalting til å forklare løsningen til Aditi.

Når vi integrerer brøker der teller og nevner er polynomer av samme grad, eller der telleren har høyere grad enn nevneren, må vi først utføre polynomdivisjon. I restleddet vil da telleren få lavere grad enn nevneren, slik at vi videre kan bruke delbrøkoppspalting for å løse integralet.

EK SEMPEL 21

Z

Regn ut det ubestemte integralet

x3 þ 3x2 2x 12 dx. x2 4

Løsning: Uttrykket er en brøk der polynomet i telleren er av høyere grad enn polynomet i nevneren. Vi starter da med polynomdivisjon: 3 2x x þ 3x2 2x 12 : x2 4 ¼ x þ 3 þ 2 x 4 x3 þ 4x 3x2 þ 2x 12 3x2

þ 12 2x

Restleddet viser en brøk der polynomet i telleren er av lavere grad enn polynomet i nevneren. Vi anvender delbrøkoppspalting på restleddet og får: 2x A B 1 1 ¼ þ ¼ þ 4 x 2 xþ2 x 2 xþ2

x2

Oppgaver: 2.57–2.58

Vi kan nå regne ut det ubestemte integralet: Z Z 3 x þ 3x2 2x 12 1 1 dx ¼ xþ3þ þ dx x2 4 x 2 xþ2 1 ¼ x2 þ 3x þ ln jx 2j þ ln jx þ 2j þ C 2


Integrasjon ved delbrøkoppspalting 129

Valg av integrasjonsmetode Når vi integrerer, kan det umiddelbart være vanskelig å velge riktig metode. I tillegg kan også flere av metodene føre fram til rett svar. Derfor kan det være lurt å sammenlikne løsninger med andre elever og diskutere ulike framgangsmåter. Her får du noen tips til hva du kan se etter, og hva som ofte hjelper deg på sporet av riktig løsning. Delvis integrasjon

Integrasjon ved variabelskifte

Potenser med grunntall e, for eksempel ex og e 2x .

Potenser med grunntall e og større

0

eksponenter, for eksempel e

x2

Integrasjon ved delbrøkoppspalting

3x þ 5

og e

Velger ofte dette lik u :

Velger ofte eksponenten lik kjernen u:

Logaritmen ln x.

Rotuttrykk, for eksempel

Velger ofte den lik v.

Velger ofte det under rottegnet lik kjernen u.

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x 3.

EKSEMPEL 22

Vi har følgende integraler: Z R x2 ln x dx b xe dx a 2 x

Z c

2x dx 4

x2

Argumenter for valg av løsningsmetode og regn ut integralene.

.

Brøkuttrykk der nevneren har høyere grad enn telleren. For eksempel

2x þ 3 . 4x2 1

I brøkuttrykk der telleren har lik eller høyere grad enn nevneren, må vi ofte først utføre en polynomdivisjon.


130 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Løsning: Vi bruker tipsene fra tabellen ovenfor når vi vurderer valg av integrasjonsmetode. Z ln x dx inneholder ln x, og vi velger derfor delvis integrasjon. a Z Z x2 ln x dx ¼ x 2 ln x dx og sette u 0 ¼ x 2 Vi kan omskrive uttrykket x2 og v ¼ ln x. Delvis integrasjon gir løsningen: Z Z Z ln x 1 dx ¼ x 2 ln x dx ¼ x 1 ln x x 1 dx x2 x R ¼ x 1 ln x þ x 2 dx ¼ x 1 ln x þ ð x 1 Þ þ C ¼ b

R

ln x 1 þC x x

2

xex dx inneholder en potens av e med en større eksponent,

her x2 . Vi velger integrasjon ved variabelskifte og setter u ¼ x2 . Da får vi nemlig at den deriverte av eksponenten, ðx2 Þ0 ¼ 2x, er proporsjonal med den andre faktoren, x, i uttrykket. Integrasjon ved variabelskifte gir løsningen: Z Z Z R 2 x2 du 1 u 1 ¼ e du ¼ eu du x e dx ¼ xeu 2x 2 2 1 1 2 ¼ eu þ C ¼ ex þ C 2 2 Z c

2x dx er en brøk der nevneren har høyere grad enn telleren. 4 Da kan vi bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting. x2

Integralet kan også løses ved variabelskifte der vi setter u ¼ x2 4. Variabelskifte fører fram siden den deriverte av nevneren er proporsjonal med telleren (her samme uttrykk), da ðx2 4Þ0 ¼ 2x. Variabelskifte gir minst føring, så vi velger den metoden: Z Z Z 2x 2x du 1 dx ¼ ¼ du x2 4 u 2x u Oppgaver: 2.59–2.61

¼ ln u þ C ¼ ln jx2 4j þ C


Integrasjon ved delbrøkoppspalting 131

Oppgaver 2.53 Bestem integralene: Z 2 dx a 2 x 1 Z x dx b 2 x 3x þ 2 2.54 Bestem integralene: Z 5t þ 1 dt a 2 t þt 2 Z 2t 6 b dt t2 4t 2.55 Bestem integralet

Z

Z c

xþ9 dx x2 9

Z c

8t dt 1

4t2

4x dx på to måter: x2 4

a

ved delbrøkoppspalting

b

ved variabelskifte

2.56 Finn det ubestemte integralet på to forskjellige måter: a

ved variabelskifte

b

ved delbrøkoppspalting

Z x2

2x 5 dx 5x þ 6

2.57 Regn ut de ubestemte integralene for hånd. Kontroller svaret dine med CAS. Z Z 3x 7 2x2 þ x 5 dx a c dx x 4 xþ2 Z 5x2 þ 11x þ 6 b dx xþ2

2.58 Regn ut integralene for hånd og med CAS: Z 2 Z x3 3 x 1 c dx dx a x2 3x þ 2 x2 2x Z 3x2 6x dx b xþ1 2.59 Forklar hvilke integrasjonsteknikker du kan bruke for å regne ut disse ubestemte integralene: R 3 R 2 x a ðx þ 2xÞ dx c x e dx Z Z 2x 3 x b d dx dx 2 2 x 4x þ 3 x þ2 2.60 Regn ut de fire integralene i oppgave 2.59 ved å bruke de teknikkene dere valgte. 2.61 På en prøve har Simon og Albert svart slik: Z Z 1 1 1 1 Simon: dx ¼ dx ¼ ln jx 2j þ C 2x 4 2 x 2 2 Z 1 1 dx ¼ ln j2x 4j þ C Albert: 2x 4 2 Forklar til en annen elev at begge to har rett.


132 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

MØNSTER OG OVERSIKT y

Bestemt integral og antiderivert 5

Det bestemte integralet til f ðxÞ fra a til b er gitt ved Rb

f ðxÞ dx ¼ lim

1x ! 0

a

b X

f(x) 4

f ðxÞ 1x

a

Når f ðxÞ 0, tilsvarer dette arealet av området mellom grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ a og x ¼ b. y

3

Areal over x-aksen b

Úa

f(x)dx

2

f(x) 1 a

b

–2

c

–1

3

1

x

–1 a

b

x

–2

Vi regner ut et bestemt integral på denne måten: Rb

f ðxÞ dx ¼ FðxÞ

a

b a

Areal under x-aksen

¼ FðbÞ FðaÞ

Her er FðxÞ þ C en antiderivert til funksjonen f ðxÞ slik at F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ og C er en konstant. Analysens fundamentalsetning beskriver sammenhengen mellom det bestemte integralet og en antiderivert.

c

Úb

f(x)dx

Areal mellom to grafer er integralet av differansen mellom de to integralene, og gitt ved A¼

Rb

f ðxÞ dx

Rb

a

gðxÞ dx ¼

a

Rb f ðxÞ gðxÞ dx a

y

f(x)

Areal Når vi skal regne ut et areal, må vi vite om arealet ligger over eller under x-aksen. Ligger arealet både over og under x-aksen, må vi dele det opp og regne ut arealene hver for seg, før vi summerer totalarealet.

A

g(x) a

b

x

Samlet mengde Når enhetene på aksene passer sammen, kan vi tolke arealet under grafen som samlet mengde. Ofte er enheten langs x-aksen tid. Enheten til den samlede mengden finner vi ved å multiplisere enhetene på aksene.


Mønster og oversikt 133

Ubestemt integral Et ubestemt integral har ikke x-verdi for start og slutt, slik et bestemt integral har. Løsningen av et ubestemt integral har derfor alltid en konstant, C, og F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ. R f ðxÞ dx ¼ FðxÞ þ C

Regning med integrasjon Z

R Z R R R

3

Integrer.

Avgjør om påstanden stemmer f ðxÞ dx er lik arealet under grafen til f

2

En antiderivert funksjon til en andregradsfunksjon er en tredjegradsfunksjon.

3

Et ubestemt integral har alltid en konstant i svaret.

4

Jo flere rektangler vi legger inn når vi skal finne arealet under en krum kurve, jo bedre tilnærming til svaret får vi.

5

ðx 5Þ er en antiderivert funksjon til 1. R x 2e dx ¼ 2ex þ C R 2 x dx er et bestemt integral, siden vi kan finne en antiderivert funksjon.

x 6¼ 0

e dx ¼ e þ C x

Rb

fra x ¼ a til x ¼ b.

1 xn þ 1 þ C, n 6¼ 1 nþ1

1 dx ¼ ln jxj þ C, x

Del opp brøken til en sum av brøker med lineære nevnere.

a

1 x dx ¼ x2 þ C 2 xn dx ¼

2

1

k dx ¼ kx þ C R

Integrasjon ved delbrøkoppspalting 1 Faktoriser nevneren.

x

1 ekx dx ¼ ekx þ C k

ax þ C, a > 0 og a 6¼ 1 ln a R R k uðxÞ dx ¼ k uðxÞ dx R R R uðxÞ vðxÞ dx ¼ uðxÞ dx vðxÞ dx ax dx ¼

6 7

8

Hvis integralet

R8

f ðxÞ dx er positivt, må hele grafen

2

til f ligge over x-aksen mellom x ¼ 2 og x ¼ 8.

Integrasjonsmetoder Delvis integrasjon R R 0 u v dx ¼ u v u v 0 dx Integrasjon ved variabelskifte (substitusjon) 1 Velg en kjerne u. 2

Bestem u 0 .

3

Erstatt d x med

4

du . u0 Forkort slik at u er den eneste variabelen.

5

Integrer med u som variabel.

6

Erstatt u med det valgte uttrykket for kjernen.

9

Hvis et areal ligger delvis over og delvis under x-aksen, er det ikke mulig å finne arealet ved integrasjon.

10 Det svaret vi finner ved numerisk integrasjon, er en tilnærmingsverdi.


134 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Test deg selv 2.65

Uten hjelpemidler

y

f(x)

4

2.62 Grafen til en funksjon f er gitt nedenfor.

3

y 4

2 f(x)

3

1

2

a

1

–2

b –1

c 1

2

x

–1 –3

–2

–1

1

2

3

4

5

Finn arealet av området mellom grafen, x-aksen og linjene x ¼ 2 og x ¼ 4.

2.63 Kombiner riktig funksjon og antiderivert:

x

Hvilket av uttrykkene gir arealet av det markerte området på figuren? a

f ðxÞ dx þ

a

Funksjon

Antiderivert

b

x2 þ 2x 2

1 3 x þ x2 x 3

c

1 3 x þ x2 2x 3

d

3x2 þ 2x 1

Rb Rb

f ðxÞ dx

Rc

f ðxÞ dx

b

f ðxÞ dx

a

Rc

f ðxÞ dx

b

a

Rc

Rc

Rc

f ðxÞ dx

b

f ðxÞ dx

a

x2 þ 2x 1

x3 þ x 2 x

3x2 þ x 2

1 x3 þ x2 2x 2

2.64 Regn ut integralene: R 3 a ðx þ 2xÞ dx R 2x b ð3e þ 3 Þ dx

2.66 Bestem integralene: R a x e4x dx R 2 b 3x ln x dx

c

R

x2 ðx3 1Þ4 dx

2.67 Bestem de ubestemte integralene: R ffiffiffiffiffi Rp 5 3 a ð3x þ 2Þ dx c x dx R 2x b e dx


Test deg selv 135

Med hjelpemidler

2.68 a

Vis at

Z

1 ln x dx ¼ ðln xÞ2 x

Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ b

Z

1 ln x dx. x

ln x . x

Bruk resultatet fra oppgave a og Re regn ut f ðxÞ dx.

2.70 Et nystartet firma setter opp en salgsprognose. Antatt salgsinntekter i kroner per uke, f ðxÞ, 1 er gitt ved f ðxÞ ¼ 5000 x2 , der x er antall uker etter salgsstart. Hva blir de forventede totale salgsinntektene de første 26 ukene?

1

2.69 Funksjonene f og g er gitt ved f ðxÞ ¼ 2 5x2 og gðxÞ ¼ x3 5x2 kx þ 2. Grafene til f og g avgrenser to områder når k > 0. a b

Bruk CAS til å vise at de to områdene har like stort areal for alle verdier av k > 0. Bestem k slik at arealet av området til sammen er 18.

2.71 pffiffiffiffiffi En funksjon er gitt ved f ðxÞ ¼ ax 2, der a > 0. a

Finn nullpunktet til funksjonen uttrykt ved a.

b

Hva må a være for at

R3

f ðxÞ dx ¼ 0.

0

Funksjonen g er gitt ved gðxÞ ¼ x2 2. c

Bestem k når du får vite at

Rk

gðxÞ dx ¼ 2.

3

d

Forklar hvorfor du får flere løsninger i oppgave c.


136 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

Oppgaver 2.76 Regn ut de bestemte integralene: R1 2 R1 a ð6x þ 2x þ 1Þ dx ð2x ex Þ dx c

2.1 Trappesum og areal under grafer 2.72 Vi har funksjonen f ðxÞ ¼ x2 þ 2. Finn en tilnærmingsverdi for arealet under grafen til f fra x ¼ 0 til x ¼ 3. Del arealet inn i n rektangler og finn tilnærmingsverdien til arealet når a

n¼3

b

n¼6

c

Diskuter svarene dine med en medelev.

2.73 Vi har funksjonen f ðxÞ ¼ ln x. Finn en tilnærmingsverdi for arealet under grafen til f fra x ¼ 2 til x ¼ 8. Del arealet inn i n rektangler og finn tilnærmingsverdien til arealet når a

n¼5

b

n ¼ 10

c

n ¼ 100

0

b

R2

0

ð3t2 þ 2tÞ dt

1

2.77 Vi har funksjonen AðxÞ ¼ 3x2 3ex . a

Bestem nedre trappesum fra x ¼ 1 til x ¼ 3 og bruk 20 rektangler.

b

Bestem øvre trappesum fra x ¼ 1 til x ¼ 3 og bruk 20 rektangler.

c

Diskuter svarene i oppgave a og b.

2.78 Regn ut de bestemte integralene: Z4 R2 1 2 c a ð4x 9x Þ dx dx x 1 2

2.74 Tegn grafen til gðxÞ ¼ x for x 2 ½0, 1 . a

Regn ut arealet under grafen til g fra x ¼ 0 til x ¼ 1 med arealformelen for trekanter.

b

Finn en tilnærmingsverdi for arealet ved å bruke trappesum med n ¼ 10 og n ¼ 50.

c

Regn ut

R1

2.75 Regn ut de bestemte integralene: R1 2 R2 a ðx þ 1Þ dx c ð2x þ 3Þ dx b

R1 0

2

ex dx

x2 dx

2

2.2 Bestemt integral 2.79 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ x3 þ 2x.

gðxÞ dx.

0

0

b

R0

a

1 Vis at en antiderivert til f ðxÞ er FðxÞ ¼ x4 þ x2 . 4

b

Finn arealet under grafen til f fra x ¼ 0 til x ¼ 2.

2.80 Funksjonen g er gitt ved gðxÞ ¼ 3x2 2x þ 1. a

Vis at en antiderivert til gðxÞ er GðxÞ ¼ x3 x2 þ x.

b

Finn arealet under grafen til g fra x ¼ 1 til x ¼ 1.


Oppgaver 137

2.81 a Deriver funksjonen FðxÞ ¼ 5x2 þ 4x þ 3. b

R2

Regn ut

ð10x þ 4Þ dx.

a

1

1 Hvilket uttrykk er en antiderivert til f ðxÞ ¼ x2 þ 4? 3 1 3 1 3 1 x 4x x þ 4x 3 2 9 1 3 1 3 2 x þ4 4 x 4x 9 2

2.83 Regn ut: R2

Z0 1 2 1 x þx dx 3 3

2.84 4 3

1 1

2

3

4

x

Bruk figuren til å bestemme integralene: ð4 xÞ dx

3

c

R3 1

0

R4

c

R9 pffiffiffi 3 ð xÞ dx 1

0

2.86 1 1 1 a Deriver funksjonen FðxÞ ¼ x3 þ x2 þ x þ 3. 6 2 4 Z1 1 2 1 b Regn ut x þxþ dx. 2 4 2

ð4 xÞ dx

c

c

R

R

Z c

x9 dx

ð3ex þ e x Þ dx

2 dx x 2

2.90 Finn de ubestemte integralene: R R a 1,72x dx c 1500 0,8x dx R b 200 1,35x dx

2

b

e3x þ 2 dx

2.89 Finn de ubestemte integralene: Z Z 2 1 b dx a dx 2 x x3

y

R4

R2

2.88 Finn de ubestemte integralene: Z R 4x 3 dx b e dx a x

Z1 1 3 t 4t2 þ 4 dt 3

1

a

b

2.87 Finn de ubestemte integralene: R R a 7 dx b 20x dx

ðx3 þ 5x 1Þ dx

3

c

2x3 dx

2.3 Ubestemt integral

2

b

R2 0

2.82

a

2.85 Regn ut integralet:

ð4 xÞ dx


138 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

2.91 Finn de ubestemte integralene: Z R pffiffiffi 2 c dx a 3 x dx e2x Z pffiffiffi 2 dx b x x3

2.96 y

g 4 3 2

2.92

1

x2 þ 4 En funksjon g er gitt ved gðxÞ ¼ . x a

b

Vis at funksjonsuttrykket kan skrives 4 som gðxÞ ¼ x þ . x R Finn gðxÞ dx.

2.93 Bestem integralet: R 5 a x ln x dx

f

–1

1

2

3

x

a

Grafen til f og g skjærer hverandre i punktet ð1, 2Þ. Bruk figuren til å finne arealet av det fargelagte området.

b

Regn ut

R1

f ðxÞ dx.

0

b

R

e

pffiffi x

c

Regn ut

dx

R3

gðxÞ dx.

1

d

Regn ut

R1

f ðxÞ dx þ

0

R3

gðxÞ dx. Sammenlikn svaret

1

med svaret i oppgave a og gi en kommentar.

2.4 Arealberegninger ved integrasjon 2.94 Vi har en funksjon f der f ðxÞ ¼ x2 2x þ 2. a

Tegn grafen til f .

b

Bestem arealet mellom grafen, x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 3.

2.97 Vi har funksjonen f ðxÞ ¼ 2x ex . Finn arealet avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 0 og x ¼ 1. 2.98 Vi har en funksjon g der gðxÞ ¼ 1 ln x. Tegn grafen til g og finn arealet av området avgrenset av grafen til g, x-aksen og linjene a

2.95 Vi har en funksjon f der f ðxÞ ¼ x2 þ 2x. a

Tegn grafen til f .

b

Bestem arealet definert av grafen og x-aksen.

x ¼ 4 og x ¼ 6

b

x ¼ 1 og x ¼ 6

2.99 Vi har to funksjoner f ðxÞ ¼ x2 4x þ 2 og gðxÞ ¼ x 2. a

Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem.

b

Finn arealet som er avgrenset mellom de to grafene.


Oppgaver 139

2.100 Vi har to funksjoner f ðxÞ ¼ x2 þ 4x 1 og gðxÞ ¼ x2 6x þ 7. a

Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem.

b

Finn arealet som er avgrenset mellom de to grafene.

2.5 Integrasjon og samlet mengde 2.102 Ina får 500 kr i månedspenger av foreldrene sine. Hun har gjort en avtale med dem om at i de to neste årene skal månedspengene økes med 5 % hver måned. a

Finn ved integrasjon omtrent hvor mye Ina i alt får i månedspenger disse to årene.

b

Hvor mye penger har Ina i gjennomsnitt fått hver måned disse to årene?

2.101 y f A1

A3 a

A2

b

c

x

2.103 En enebolig blir varmet opp med elektrisitet. For de fem første månedene i året er strømforbruket i kilowattimer (kWh) på dag nr. x i året tilnærmet gitt ved SðxÞ ¼ 0,008x2 þ 0,37x þ 150,

Figuren viser grafen til en funksjon f ðxÞ. Bruk figuren til å avgjøre hvilke av integralene fra A til E som passer til hvilke av arealene 1–5 nedenfor: A

Rc

B

Rb

C

f ðxÞ dx

a

D

Rb

f ðxÞ dx

a

E

Ra

Finn det daglige strømforbruket i begynnelsen og slutten av perioden.

b

Når er det daglige strømforbruket størst, og hvor stort er det da?

c

Finn det samlede strømforbruket i hele perioden.

d

Hva blir det samlede strømforbruket i januar og februar hvis vi bruker denne modellen?

f ðxÞ dx

0

Rc

a

f ðxÞ dx

0

f ðxÞ dx

0

Rb a

1

A1 A2 þ A3

2

A3 A2

3

A2

4

A1 þ A2 þ A3

5

A1 A2

f ðxÞ dx þ

Rc b

f ðxÞ dx

x 2 ½0, 150


140 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

2.107 Idrettslaget Firi planlegger å starte opp en turngruppe. De regner med at antall deltakere per uke, DðxÞ, kan uttrykkes ved modellen

2.104 v(t) 100

DðxÞ ¼ 120 100 e 0,35x þ 80 e 0,09x

80

der x er antall uker etter oppstart.

60 40 20

a

Tegn grafen til D.

b

Bestem

R20

DðxÞ dx og gi en praktisk tolkning

0

av svaret. 50 100 150 200 250 300 350 400 t, s

c

Figuren viser fartsgrafen til et tog mellom to stasjoner. 400 R vðtÞ ¼ 26 000. Du får oppgitt at

Finn det gjennomsnittlige antall deltakere per uke som idrettslaget regner med kommer på turn det første året.

0

a

Hvor langt er det mellom de to stasjonene?

b

Hvor stor er farten der toget kjører med konstant fart?

c

Hvor lang er strekningen der toget kjører med konstant fart?

2.108

2.105 Salget av en vare varierer i løpet av et år. Salget, SðtÞ, per måned etter t måneder er gitt ved SðtÞ ¼ 2t2 þ 24t þ 100,

x 2 ½0, 12

Finn en tilnærmet verdi for det totale salget i løpet av dette året.

2.106 Under en influensaepidemi er en modell for hvor fort smitten brer seg, gitt ved

En familie på fire bruker omtrent 13 000 kr per måned på mat og drikke. Vi regner med at prisene øker med 1,4 % per måned i årene som kommer. a

Vis at en modell for månedsutgiftene MðtÞ i kroner om t måneder er MðtÞ ¼ 13 000 1,014x .

b

Bruk integrasjon til å beregne tilnærmet hvor mye familien bruker på mat og drikke det neste året.

IðtÞ ¼ 300e 0,12t 300e 0,20t der IðtÞ er antall smittede per dag og t er tiden målt i dager etter at epidemien startet. a

Tegn grafen til I i GeoGebra.

b

Finn ved regning hvor mange som ble smittet de to første ukene, etter denne modellen.


Oppgaver 141

2.109 Lotte reiser til hytta på vinterferie. Når hun kommer fram, må hun fylle vanntanken inne på hytta. Hun kobler til en vannledning som fyller tanken med f ðtÞ liter vann per minutt. Funksjonen er gitt ved 0:25t

f ðtÞ ¼ 50 50e

2.6 Delvis integrasjon 2.112 Bestem integralene: R a 4x ln x dx R b ðx 1Þ ex dx

c

R

e2x 4x dx

der t er tiden i minutter etter at fyllingen starter. Hvor lang tid tar det før tanken er full når den rommer 200 liter?

2.110 Et bryggeri produserer 150 000 liter julebrus 1. september. Bryggeriet har en produksjonsplan der dagsproduksjonen skal øke med 0,6 % per dag. a

Lag en modell for dagsproduksjonen av julebrus, f ðtÞ, når t er antall dager etter 1. september.

b

Hvor mange liter julebrus produserer bryggeriet 1. desember etter din modell?

c

Finn det samlede antall liter julebrus som bryggeriet har produsert fra 1. september til 24. desember.

d

Anta at det er 3,5 millioner av Norges befolkning som drikker julebrus, og at de drikker opp den mengden du fikk til svar i oppgave c. Hvor mye julebrus drikker hver innbygger da i gjennomsnitt?

2.111 I en kommune i Norge ble innbyggerne i 2021 vaksinert mot covid-19. I en periode på åtte uker i løpet av sommeren var antallet vaksinerte per uke i kommunen gitt ved funksjonen f ðxÞ ¼ 298 1,07x der x er uker. a

Hvor mange innbyggere ble vaksinert i uke 4?

b

Hvor mange innbyggere ble totalt vaksinert i løpet av de åtte ukene?

c

Hvor mange innbyggere ble i gjennomsnitt vaksinert hver av disse åtte ukene?

2.113 Vi bruker delvis integrasjon for å få et enklere integral enn det opprinnelige integralet med formelen: R R 0 u v dx ¼ u v u v 0 dx Diskuter hvorfor det kan være lurt å la eksponentialfunksjoner være u 0 og å la logaritmefunksjoner og polynomfunksjoner være v i formelen for delvis integrasjon.

2.114 Finn de ubestemte integralene: Z R ln x dx c ðln xÞ2 dx a 4 x R 3 x b x e dx 2.115 R Bruk delvis integrasjon og bestem ln x dx. Tips: Omskriv ln x ¼ 1 ln x. 2.116 Bruk gjentatt delvis integrasjon og bestem: R R a ln x 6x2 dx b xðln xÞ2 dx 2.117 Forklar hva Stig gjør feil når han påstår en slik løsning av det ubestemte integralet: R 2x ex dx er x2 ex þ C


142 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

2.7 Integrasjon ved variabelskifte

2.8 Integrasjon ved delbrøkoppspalting

2.118 Bestem integralene: R a ð2x þ 5Þ3 dx

2.124 Bestem integralene: Z 1 dx a xþ3 Z 1 b dx 4 x

2.119 Bestem integralene: Z 4 dx a 2x þ 2x þ 1 2.120 Bestem integralene: Z 2 dx a ð2 xÞ2 Z 4x þ 2 dx b x2 þ x

b

b

c

R

R

R

ð5 xÞ5 dx

2x

5e

dx

3

3x2 ex dx

2.121 Regn ut de bestemte integralene: a

R3

Z2 2

ðx 1Þ dx

c

0

b

R2 0

0

1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 2 xþ2

a

x2

2xe dx

0

2.126 Bestem integralene: Z 2x 3 dx a x 2 Z x2 dx b xþ2

a b Z1 b 0

c

1 dx 5x þ 2

Z c

x2

1 dx þ 6x

x2

5 dx x 6

Z c

2.127

2x þ 8 dx 2 x þ 8x þ 15

2.122 Regn ut de bestemte integralene: R1

2.125 Bestem integralene: Z 1 dx a xðx þ 2Þ Z 2 dx b 2 x 2x

Z

ex dx ex þ 1

2.123 x Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi . 2 x þ1 a

Finn det ubestemte integralet til f ðxÞ.

b

Regn ut arealet som er avgrenset av grafen til f , x-aksen og linja x ¼ 1.

2 A B Bestem A og B slik at ¼ þ . 2 þ x x x x þ 1 Z 2 dx. Regn ut 2 x þx

2.128 Bestem integralene: Z 7 x dx a x2 þ x 6 Z 3x 1 b dx 2 x 2x 3

Z c

5x2 5x 2 dx x3 x


Oppgaver 143

2.129 Bruk polynomdivisjon og bestem integralene: Z 2 x þ 5x 1 dx a x2 þ 2x Z x3 2x dx b x2 3x þ 2 Z x2 þ 2x c dx x2 3x þ 2 2.130 Finn integralet

Blandede oppgaver 2.133 Regn ut integralene: R R a a a dx b x dx 2.134 Regn ut integralene: a

R

ved delbrøkoppspalting

b

ved variabelskifte

c

Diskuter med en annen elev sammenhengen mellom de to svarene.

2.131 Lucas har løst en oppgave slik: Z Z 2x 1 1 dx ¼ þ dx x2 4 x 2 xþ2 ¼ ln jx 2j þ ln jx þ 2j þ C Forklar hvilken metode Lucas har benyttet i løsningen. Vis også en alternativ løsningsmetode som gir svar på det ubestemte integralet.

2.132 Vurder valg av integrasjonsmetode og bestem integralene: Z xþ1 a dx x Z ex dx b ðex þ 1Þ2 Z e2x dx c x e þ1

4

Ze

b

x dx

2

2x 3 dx på to ulike måter: x2 3x þ 2

a

R3

1

dx x

2.135 I Norge drikker vi mye melk. For 2021 viser funksjonen f hvor mange liter melk per dag hver innbygger drakk: f ðxÞ ¼ 0,000 03x þ 0,23 der x er dager etter 1. januar 2021. a

Hvor mye melk drakk hver innbygger 1. januar 2021?

b

Regn ut

365 R

f(x) dx og gi en praktisk tolkning av svaret.

0

2.136 En bedrift selger en ny vare. Etter t uker regner bedriften med å selge f ðtÞ enheter av varen. Funksjonen er gitt ved f ðtÞ ¼ 320e 0,03t 280e 0,06t þ 240, t 2 ½0, 104 a

Tegn grafen til f .

b

Hvor mange enheter regner bedriften med å selge den 30. uka?

c

Finn ut hvor mange enheter bedriften regner med å selge totalt det første året.


144 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

2.140

2.137 y 2

f

1 –4

–3

–2

–1

1

2

x

3

Bruk figuren til å bestemme k slik at a

Rk

f ðxÞ dx ¼ 0

b

3

Rk

f ðxÞ dx ¼

3

5 4

Diskuter med en medelev.

2.138 Regn ut integralene ved å bruke delvis integrasjon: R R 2 a 2x ex dx b x ln x dx 2.139

Siri starter å arbeide når hun er 18 år og jobber til hun er 65 år. Årslønna i antall tusen kroner når hun er x år, er tilnærmet gitt ved SðxÞ ¼ 0,054x2 þ 6,38x þ 123,

Jenny begynner å arbeide når hun er 25 år og arbeider også til hun er 65 år. Årslønna til Jenny i antall tusen kroner når hun er x år, er tilnærmet gitt ved

y

JðxÞ ¼ 0,042x2 þ 6,50x þ 104,

5

x 2 ½25, 65

a

Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem.

b

3

Regn ut de to integralene R65 R65 SðxÞ dx og JðxÞ dx

2

Gi en praktisk tolkning av disse integralene.

6 4

18

1 1

2

3

4

x

Finn arealet av det skraverte området på figuren ved å bruke a

x 2 ½18, 65

geometri

b

integrasjon

25

2.141 En funksjon er gitt ved f ðxÞ ¼ 3x2 þ 6x. a

Regn ut

R3

f ðxÞ dx:

1

b

Finn arealet som er avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 3.

c

Forklar hvorfor svarene i oppgave a og b er forskjellige.


Oppgaver 145

2.142 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 3e3x þ 2 . Finn arealet som er avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 1.

2.147 1 Vi har funksjonen hðxÞ ¼ 6 x. 2 a Tegn grafen til h. b

2.143 I 2018 solgte et oljeselskap 2 300 000 liter bensin. De regnet med at bensinutsalget ville reduseres med 4,5 % årlig i årene framover. a b

y 6

Z

f

5

Hvor mye bensin regnet oljeselskapet med å selge til sammen fra 2018 til 2022?

Vis at a

2.148

Finn en funksjon som viser nedgangen i salget.

2.144

Bestem arealet som er avgrenset av grafen til h, x-aksen og linjene x ¼ 0 og x ¼ 8.

4 3

pffiffiffi 1 pffiffiffi dx ¼ x þ C på to måter: 2 x b

ved derivasjon

2 1

ved integrasjon

1

2.145 Regn ut integralet: Z 1 7x a 8e þ pffiffiffi dx x R x2 b xe dx R 3x c e dx

2

3

4

x

Figuren viser en del av grafen til funksjonen 1 f ðxÞ ¼ x2 þ 2 og tre skraverte rektangler. 4 a

b

Bruk CAS og nedre trappesum og finn arealet av de tre rektanglene. R3 Regn ut f ðxÞ dx. 0

2.146 y 3 2 1 0

1

2

3

4

x

1 Figuren viser grafen til f ðxÞ ¼ x þ 1 og linja x ¼ 3. 3 a Bruk formelen for arealet av et trapes og regn ut arealet av det fargelagte området. b

Regn ut

R3

f ðxÞ dx og sammenlikn med svaret

0

i oppgave a.

c

Kommenter svarene i oppgave a og b.

d

Legg inn et valgfritt antall rektangler i intervallet ½0, 3 og regn ut arealet av rektanglene. Sammenlikn med svarene i a og b, og kommenter forskjellen.


146 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

2.149 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ 3x þ 2. Finn en R2 numerisk tilnærmingsverdi for integralet f ðxÞ dx.

2.155 y 9

12

2.150 Løs de bestemte integralene: a

R1 pffiffix e

7 pffiffi 3

Z dx

b

0

8

0

6

1þx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 4 x2

4

2.151 Vi har funksjonen gðxÞ ¼ x3 þ 1. a

Tegn grafen til g.

b

Bestem arealet som er avgrenset av grafen til g, x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 1.

c

Bestem arealet som er avgrenset av grafen til g, x-aksen og linja x ¼ 0.

3 2 1 1

2.152 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ x2 þ 3x. Tegn grafen og finn en numerisk tilnærmingsverdi for integralet R

2.153 La a og b være konstanter. Finn den antideriverte til disse uttrykkene: a c pffiffiffi a 2ax 3 x ax2 bx

3

4

x

Finn arealet som er avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 0 og x ¼ 3 ved 1

geometri

2

integrasjon

Vi har de to aritmetiske rekkene an ¼ 2n þ 3 og bn ¼ 2n þ 1.

f ðxÞ dx

1

b

2

Figuren viser grafen til funksjonen f ðxÞ ¼ 2x þ 3. a

5 2

f(x) = 2x + 3

5

d

5x ae x

2.154 Bestem arealet som er avgrenset av grafen til f ðxÞ ¼ ex , x-aksen og linja x ¼ 2.

b

Bestem summen s3 for hver av rekkene.

c

Bestem gjennomsnittet av svarene du fant i oppgave b.

d

Forklar sammenhengen mellom svarene du fant i oppgave a og c.

2.156 a Finn konstantene A, B og C slik at 6 4x A B C ¼ þ þ ðx 1Þðx 2Þðx 3Þ x 1 x 2 x 3 b

Bestem integralene: Z 6 4x dx ðx 1Þðx 2Þðx 3Þ


Oppgaver 147

2.157 Bestem integralene: Z xþ7 dx a 2 x x 2

Z b

2.158 Bestem integralene: Z x2 dx a 3 x þ1 Z 2x3 þ 1 dx b x4 þ 2x

x2

Z c

Sophie: u0 v Z zfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflffl{ z}|{ 2 ðx 2xÞ ln x dx

1 dx 1

u

ex dx 2ex þ 2

y f(x)

¼ ...

5

g(x)

Diskuter de to løsningene og hvilken funksjon det lønner seg å sette lik u 0 . Forklar hvilken løsning som egner seg best for å komme fram til svaret: R 2 1 3 1 1 x x2 ln x x3 þ x2 þ C ðx 2xÞ ln x dx ¼ 3 9 2

4 3 2

2.161 Finn et uttrykk for gðxÞ når

1

–3

–2

–1

1

x

Figuren viser grafen til f ðxÞ ¼ x2 þ 4x þ 4 og gðxÞ ¼ x. I tillegg er området mellom grafene fargelagt. Regn ut

1 R

c

a

g 0 ðxÞ ¼ 3x2 4 og gð2Þ ¼ 0

b

g 0 ðxÞ ¼ 6x2 þ 2x og gð 1Þ ¼ 0

c

g 0 ðxÞ ¼ 4x3 3x2 þ 2x þ 1 og grafen går gjennom punktet ð2, 16Þ

f ðxÞ dx.

4

b

0

u u v zfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflffl{ zfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflffl{ Z zfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflffl{ zfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflffl{ 2 ¼ ðx ln x xÞ ðx 2xÞ ðx ln x xÞ ð2x 2Þ dx v

–4

0

Sky: v u0 Z zfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflffl{ z}|{ ðx2 2xÞ ln x dx

2.159

a

u

v zfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflffl{ v z}|{ z}|{ Z zfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflffl{ 1 3 1 3 1 dx ¼ x x2 ln x x x2 3 3 x Z 1 3 1 2 x x2 ln x x x dx ¼ 3 3 ¼ ...

2.162

Regn ut arealet av det fargelagte området. Regn ut arealet av området som er avgrenset av grafen til f , grafen til g og y-aksen.

2.160 Sophie og Sky har fått i oppgave å finne det ubestemte R integralet ðx2 2xÞ ln x dx. De prøver begge å bruke derivasjonsregelen for et produkt motsatt vei og har kommet et stykke på vei i løsningen.

a

Z2

Løs likningen ln x ¼ 0

Z9 b

Regn ut integralet 1

1 dt. tþ4 1 x pffiffiffi dx. 2 x


148 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

2.163

Z

Bruk gjentatt delvis integrasjon og bestem

2.167 1 2 x x e dx. 2

2.164 Regn ut arealet avgrenset av x-aksen, grafen til g og linjene x ¼ 0 og x ¼ 1 når a

gðxÞ ¼ 2x þ 3

b

gðxÞ ¼ 1,15x

c

R

2

2xex dx.

a

Finn det ubestemte integralet

b

Tegn grafen til f ðxÞ ¼ 2xex , der x 2 ½0, 2 .

c

Finn arealet av området avgrenset av grafen til f , x-aksen og linja x ¼ 1. Vis løsningen både grafisk og ved regning.

2

gðxÞ ¼ 0,5x

2.168 Bestem a slik at

2.165 Vi har funksjonen f ðxÞ ¼ x2 .

R2

xð3ax 4Þ dx ¼ 260.

1

Del inn arealet under grafen til f i intervallet x 2 ½ 1, 1 i fire rektangler. Finn øvre og nedre trappesum. Undersøk videre, med ulikt antall rektangler, hvilke verdier du får for øvre og nedre trappesum i de ulike tilfellene. Hva tror du er den eksakte verdien til arealet under grafen til f i intervallet x 2 ½ 1, 1 ? Diskuter funnene dine med en annen elev.

2.169 Maria har fått Python-koden nedenfor: def f(x): 2 return x**2+1 1 3

a=0 5 b = 2 6 n = 1000 7 delta_x = (b - a)/n 4

8

2.166 y

9

f

10

x=a areal = 0

11

for i in range(n): 13 trapes = (f(x) + f(x + delta_x))/ 2 * delta_x # Arealet av et trapes 14 areal = areal + trapes # Summerer alle trapesene 15 x = x + delta_x 12

A2 –2

3

A1

x

Figuren viser grafen til f og områdene A1 og A2 fargelagt. Arealet A1 ¼ 3,5 og arealet A2 ¼ 11. Bestem integralene: a

R0 2

f ðxÞ dx

b

R3 0

f ðxÞ dx

c

R3 2

f ðxÞ dx

16 17

print(f'En tilnærmingsverdi for arealet er {areal:.2f}.')


Oppgaver 149

a

Les gjennom koden. Hva tror du skjer når du kjører koden?

Øv til eksamen

b

Skriv av og kjør koden. Hva skjer?

c

Øk verdien av n til et større tall. Kjør koden igjen. Gjenta. Hva skjer?

d

Regn ut

2.171 Finn det ubestemte integralene: Z R x 2 dx a 2 dx c e2x Z R pffiffiffi 1 x b 1,17 dx d x dx x

R3

x2 dx. Sammenlikn svaret med

0

resultatene dine ovenfor. Denne metoden for å beregne et integral numerisk kalles trapesmetoden.

2.170 y 3 f’(x)

2 1 –1

1

2

3

x

–1 –2

2.172 Bestem integralene: R 2 a ðx þ 4x þ 3Þ dx

b

2.173 Bestem integralene: R a x e2x dx

b

2.174 Bestem integralene: R 2 ðx þ 3 þ e2x Þ dx a

b

Z

Re 1

–3

Figuren viser grafen til den deriverte til funksjonen f . Finn f ðxÞ når grafen til f går gjennom punktet ð1, 4Þ.

R

2.175 (Eksamen R2 høsten 2019) Bestem integralene: a

R1

ð2x3 þ 3x 1Þ dx

1

Z

b Z c

8x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 2x2 1 2 dx ðx þ 3Þðx þ 1Þ

x ln x dx

3x 3 dx x2 þ x 2

x ln x dx


150 KAPITTEL 2 – INTEGRASJON

2.176 (Eksamen S2 våren 2011, noe endret) Funksjonen f er gitt ved 1ðx3 3xÞ

f ðxÞ ¼ 33

1,

Vi skal nå se på den uendelige rekka 1 1 1 1 S ¼ þ þ þ þ ... 2 2 2 1 2 3 42

Df ¼ R

a

Bestem nullpunktene til f .

b

Tegn grafen til f . Forklar hvorfor grafen til f ligger over linja y ¼ 1.

c

Vis at f 0 ðxÞ ¼ ðx2 1Þ ln 3 33

d

Drøft monotoniegenskapene til f .

e

Bruk digitale hjelpemidler til å finne en positiv verdi Ra for a slik at f ðxÞ dx ¼ 0.

1ðx3

3xÞ

b

Bruk resultatet fra oppgave a til å begrunne at S < 2.

c

Bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for S.

2.179 Bruk gjentatt delvis integrasjon og vis at R x 2 e x dx ¼ ex ðx2 2x þ 2Þ þ C.

.

0

2.177 Årsomsetningen til en bedrift er gitt ved 130x2 f ðxÞ ¼ , x 2 ½0, 50i x2 þ 25 Her er f ðxÞ omsetningen i millioner kroner per år, og x er tiden regnet i år.

2.180 En pasient får kontinuerlig tilførsel av medisin. Tilførselen er størst i begynnelsen og avtar etter hvert. Medisintilførselen kan uttrykkes ved funksjonen f gitt ved f ðtÞ ¼ e 24 , t

der t er timer og f ðtÞ er antall milligram per time. a

b

a

Når øker omsetningen raskest?

b

Hva stabiliserer omsetningen seg på?

c

Finn den samlede omsetningen de første 20 årene.

Hvor lang tid tar det før medisintilførselen er halvert? R24 Forklar at M ¼ f ðtÞ dt er et uttrykk for 0

medisinmengden M i milligram som pasienten får tilført det første døgnet. c

2.178 (Eksamen R2 våren 2019)

Regn ut det bestemte integralet M.

2.181 Et forlag antar at salget av en bestemt bok x dager etter at den er gitt ut, følger formelen

1 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ . x2 a

t 0

Bruk figuren nedenfor til å forklare at Zk 1 1 1 1 1 þ þ þ ... þ 1þ dx, k 2 N 12 22 32 k2 x2

f ðxÞ ¼ 0,1x2 þ 8x þ 15,

x 2 ½0, 80

a

Bruk formelen til å finne antatt boksalg på utgivelsesdagen, etter 50 dager og etter 80 dager.

b

Når er det daglige boksalget størst, og hvor stort er det da?

c

Hvor raskt øker det daglige boksalget etter ti dager?

d

Hvor raskt minker det daglige boksalget etter 50 dager?

e

Finn det samlede boksalget.

f

Hvor lang tid går det før forlaget får solgt 9000 bøker?

1

y

f

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x


Oppgaver 151

2.182

2.183 I 2015 var den samlede mengden restavfall fra norske husholdninger 986 000 tonn. I 2021 var mengden redusert til 919 000 tonn. Finn ut hvor mye restavfall norske husholdninger leverte i perioden fra og med 2015 til og med 2021 dersom vi regner med a

lineær vekst

b

eksponentiell vekst

Kilde: SSB En epleprodusent oppgir at innhøstingen av epler målt i kilogram er gitt ved funksjonen f ðxÞ ¼ xð25 xÞ3 ,

x 2 ½0, 25

der x er antall dager etter at innhøstingen starter. a

Bruk den deriverte til å avgjøre når innhøstingen er størst.

b

Når avtar innhøstingen mest?

c

Tegn grafen til f og marker på grafen svarene i oppgave a og b.

d

Bestem

R25 f(x) dx og gi en praktisk tolkning 0

av svaret.


3

MODELLERING

1840

Belgieren Pierre Verhulst var 34 år da han fikk en god idé. Hele livet hadde han hørt at befolkningsvekst følger et geometrisk mønster: Du kan alltid finne neste års folketall ved å multiplisere med det samme tallet du har kunnet bruke tidligere. Verhulst trodde ikke på det, og fant på sin egen teori. I 1840 brukte han data fra fem folketellinger i USA fra perioden 1790 til 1830 til å spå folketallet i 1940 – 100 år senere. Med denne banebrytende teorien vi nå kaller logistisk vekst bommet han med mindre enn 1 prosent!

2000 f.Kr. 1900 f.Kr. Egypterne løser geometriske problemer med andregradslikninger

1000 f.Kr.

År 0 450 f.Kr.

Pytagoreerne legger grunnlaget for differenslikninger

50 Heron fra Alexandria etablerer numeriske metoder som gjentatte tilnærminger

400


Hvordan kan matematikk hjelpe oss til å se inn i framtiden? Hvorfor må spillprogrammerere kunne så mye matematikk?

Modellering av kurve y 7

J

K

L

I

6

M

H

5

N

G

4

F

O

3 E

2

P Q

D

1 C 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

Ved hjelp av matematikk skal vi beskrive former vi finner i virkeligheten. 1

Ta bilde av en form eller en kurve du vil undersøke. Det kan være greina på et tre, et møbel, banen til en vannstråle, et tau som svinges, eller noe annet.

2

Sett bildet ditt inn i koordinatsystemet i GeoGebra.

3

Gjør bildet gjennomsiktig og flytt det slik at kurven starter i origo.

4

Bruk punktverktøyet til å plassere punkter langs kurven.

5

Marker og lag en liste av punktene.

6

Velg verktøyet «Regresjonsanalyse» og prøv deg fram med ulike funksjonstyper. Klarer GeoGebra å finne en funksjon som passer til kurven din?

1840

800

1200 1202 Fibonacci er den første i Europa som beskriver tallfølgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . ., seinere kjent som Fibonacci-tallene

2000

1600 1687 Isaac Newton beskriver nøyaktige modeller for sammenhengen mellom krefter, masse og bevegelse

1969 Nordmannen Ragnar Frisch mottar nobelprisen i økonomi for sine matematiske modeller med over 100 variabler


154 KAPITTEL 3 – MODELLERING

3.1 Matematiske modeller UTFORSK Jobb sammen i par eller grupper 1

Nedenfor ser du noen eksempler på situasjoner der vi bruker matematisk modellering i Norge:

Kvikkleire: Hvilken risiko for jordskred har anleggsvirksomhet i ulike soner i et område?

Virus: Hvilke konsekvenser har det for spredningen av covid-19 å stenge skolen i to uker?

Trafikkflyt: Hvordan endrer køen seg i sentrum dersom vi reduserer varigheten av rødt og grønt trafikklys?

Vann: Hvilke konsekvenser for bebyggelsen i havneområdet får et undersjøisk jordskjelv?

For hvert av eksemplene skal du nevne (1) hvilke variabler som er aktuelle å ta hensyn til, og (2) noen grunner til at vi undersøker situasjonene med modeller i stedet for faktiske eksperimenter. 2

Matematiske modeller:

Finn fram til minst tre andre eksempler på situasjoner du tror undersøkes med matematisk modellering. Hvorfor blir det brukt modellering i disse tilfellene?

Matematisk modellering handler om å løse problemer i virkeligheten. Noen problemer er såpass vanskelige og sammensatte at vi ikke finner noen direkte løsning på dem. Da kan det hjelpe å lage en matematisk modell av situasjonen. Vi gjør noen forenklinger og oversetter til matematisk språk. Dette gjør problemet mer håndterbart. I stedet for å løse problemet i virkeligheten, løser vi den matematiske oversettelsen av problemet. Så tolker vi løsningen tilbake til virkeligheten. Det er denne prosessen som kalles matematisk modellering. problem i virkeligheten

oversette

matematisk problem

løse

svar

tolke

løsning på problem

Når vi utarbeider modellen, bruker vi et datamateriale, som vi analyserer og tolker. Vi lager så en matematisk beskrivelse av sammenhengene i datamaterialet. Disse beskrivelsene kan være for eksempel likninger, funksjonsuttrykk, grafer eller dataprogrammer.


Matematiske modeller 155

De ulike trinnene i en modelleringsprosess er følgende: 1

Forenkle og avgrense problemet Vi analyserer problemet. Hvilke variabler kan ha betydning? Er noen mindre viktige? Hvordan kan vi avgrense og forenkle problemet uten at usikkerheten blir for stor?

2

Innhente data og definere størrelser og variabler Vi innhenter data og definerer størrelser og variabler. Ofte må vi gjøre antakelser og valg slik at situasjonen blir mer strukturert og presis.

3

Oversette til matematisk språk Vi bruker dataene til å lage en modell. Det innebærer å oversette sammenhenger fra virkeligheten til et matematisk språk, for eksempel i form av likninger, funksjonsuttrykk, grafer eller dataprogrammer. Her er regresjon og programmering nyttige verktøy.

4

Løse problemet matematisk Vi forsøker å bruke modellen vi har laget, til å løse problemet.

5

Tolke løsningen og vurdere gyldigheten av modellen Vi tolker den matematiske løsningen i en praktisk sammenheng, og vurderer om vi kan stole på resultatene modellen gir oss.

Neste eksempel viser bruk av trinnene i modellering.

EKSEMPEL 1 En fabrikk produserer pappesker med volum på 10 liter. Eskene har kvadratisk topp og bunn. Fabrikken ønsker å bruke minst mulig papp. Hvilke mål bør eskene ha?

Løsning: For å løse oppgaven bruker vi trinnene i modellering. 1

Forenkle og avgrense problemet Mengden papp avhenger både av overflaten til esken og tykkelsen til pappen. Vi antar at tykkelsen er den samme overalt og mye mindre enn sidelengden. Vi antar også at hver sideflate kun har ett lag med papp.

2

Innhente størrelser og variabler Volumet er 10 liter. Variablene er høyden og sidelengden i bunnen. Formlene for volumet og overflaten til esken er V ¼ s2 h

og

O ¼ 2s2 þ 4s h

der s er sidelengden og h er høyden.

Modellering 1 Forenkle og avgrense problemet 2 Innhente data og definere størrelser og variabler 3 Oversette til matematisk språk 4 Løse problemet matematisk 5 Tolke løsningen og vurdere gyldigheten til modellen

Matematiske modeller:


156 KAPITTEL 3 – MODELLERING

3

Oversette til matematisk språk Vi kaller sidelengden for x og høyden for h. Disse to variablene bestemmer både volumet og overflaten. Volumet av esken er V ¼ x2 h, og overflaten er O ¼ 2 x2 þ 4 x h. Vi bruker volumet på 10 liter til å uttrykke høyden h ved hjelp av

h

sidelengden x. Siden 10 L ¼ 10 dm3 , får vi x

V ¼ x2 h

x

10 ¼ x2 h

setter inn at volumet er 10

dividerer med h på begge sider 10 x2 Vi setter inn uttrykket for h i formelen for overflaten h¼

O ¼ 2x2 þ 4x h O ¼ 22 þ 4x

setter inn for h

10 x2

forenkler 40 x Vi har nå kommet fram til en modell for overflaten til esken uttrykt ved sidelengden x i bunnen av esken: 40 OðxÞ ¼ 2x2 þ x O ¼ 2x2 þ

4

Løse problemet matematisk Vi tegner grafen til OðxÞ i GeoGebra og finner bunnpunktet. y, dm3

180 160

O(x) = 2x2 +

140

40 x

120 100 80 60 40 20

(2.1544, 27.8495)

0

1

2

3

4

x, dm 5

6

7

8

Bunnpunktet er ð2,15, 27,85Þ. Vi regner ut h for x-verdien i bunnpunktet: h¼

10 2,15 2,15442


Matematiske modeller 157

5

Tolke løsningen og vurdere gyldigheten av modellen Bunnpunktet viser at den minste mulige overflaten er 27,9 dm2 . Da er både sidelengden og høyden 2,15 dm. Overflaten er altså minst når esken har form som en kube med sidelengde 2,15 dm. Vi sjekker at volumet stemmer: V ¼ G h ¼ 2,1542 2,154 10,0 Modellen er gyldig så lenge antakelsene våre stemmer, men gjelder ikke hvis sideflatene har ulik tykkelse. Dersom pappen er svært tykk, må vi vurdere om vi skal regne med volumet av hele esken eller bare volumet inni esken.

Reflekter og diskuter! Meteorologer jobber med komplekse matematiske modeller for været. Hvilke variabler tror du inngår i en værmodell?

På neste side ser du hvordan vi kan bruke en modell til å svare på spørsmål i en praktisk situasjon der et firma skal produsere leke-spinnere.

Oppgaver: 3.1–3.3


158 KAPITTEL 3 – MODELLERING

EK SEMPEL 2 Et firma har startet produksjon av leke-spinnere. Firmaet beregner at antall solgte spinnere per uke kan beskrives med funksjonen SðxÞ ¼ 300xe 0,1x ,

x 2 ½0, 52

der x er antall uker etter salgsstart. a

Tegn grafen til S.

b

Hvor mange spinnere selger firmaet per uke etter tolv uker?

c

Regn ut

R52

SðxÞ dx. Hva er dette svaret en tilnærmet verdi for?

0

d

Hvor mange spinnere tror firmaet at de vil selge i gjennomsnitt per uke dette første året?

Løsning: a Vi tegner grafen i GeoGebra med kommandoen «Funksjon[300xe 0,1x , 0, 52]». Vi setter også navn på aksene: S(x), antall 1200 1000 800 S(x) = 300xe–0,1x

600 400 200 5

b

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 x, uker

Vi skriver inn x ¼ 12 og finner skjæringspunktet mellom linja og grafen: S(x), antall 1200

(12, 1084,3)

1000 800 S(x) = 300xe–0,1x

600 400 200 5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 x, uker

Skjæringspunktet blir ð12; 1084,3Þ. Etter tolv uker selger firmaet 1084 spinnere.


Matematiske modeller 159

c

Vi regner ut med CAS: 1

Svaret 28 974 er en tilnærmet verdi for det totale salget av spinnere i løpet av 52 uker. d

Vi regner ut gjennonsnittet: R52 SðxÞ dx 28 974 0 SðxÞ½0, 52 ¼ 557 52 52 0 Det første året selger firmaet i gjennomsnitt 557 spinnere per uke.

Oppgaver: 3.4–3.6

Oppgaver 3.1

3.2 Figuren øverst i neste spalte viser batteribruken som funksjon av hastigheten for tre elbiler fra samme produsent. a

Hvilken av bilmodellene har lengst rekkevidde dersom batterikapasiteten er lik?

b

Hvor stor batterikapasitet må modellen med lengst rekkevidde ha for å kunne holde en gjennomsnittsfart på 100 km=t i tre timer?

En bedrift skal produsere esker i tre uten topp. Eskene skal ha kvadratisk grunnflate og volum på 20 dm3 . a

b

c d

Vis at vi kan skrive høyden som 20 h¼ x2 der x er sidelengden i bunnen av esken og både h og x har enheten dm. Vis at overflaten til esken er gitt ved 80 OðxÞ ¼ x2 þ x Hva er den minste overflaten esken kan ha? Hva er sidelengden og høyden når overflaten er minst mulig?

y, energibruk (kW)

MX

50 40

Modell S (MS), > 20 °C Modell 3 (M3) Modell X (MX), > 20 °C

MS M3

30 20 10

0

20

40

60

80

100

120

140 160 x, fart (km/t)


160 KAPITTEL 3 – MODELLERING

3.3 Modellen nedenfor er hentet fra yr.no, og viser hvor mange minutter det tar å pådra seg frostskade på bar hud ved ulike temperatur- og vindforhold.

3.5

Temperatur (°C) –15 –20 –25 –30 –35 –40 –45 –50

Vind (m/s) 2,5

*

*

22

15

11

8

7

6

5,0

*

*

14

10

7

6

5

4

7,5

*

18

11

8

6

4

4

3

10,0

42

14

9

6

5

4

3

2

12,5

27

12

8

5

4

3

2

2

15,0

22

10

7

5

3

3

2

2

17,5

18

9

6

4

3

2

2

2

20,0

16

8

5

4

3

2

2

1

* Usannsynlig med forfrysninger

a

b

Hvor lang tid tar det ifølge modellen å pådra seg frostskade når temperaturen er 20 C og vindstyrken er 15 m=s? Hvilke variabler tar modellen ikke hensyn til?

3.4 Charlotte må bruke en medisin hver dag. Vi antar at utgiftene til denne medisinen øker med 0,7 % per måned i årene som kommer. I dag betaler Charlotte 90 kr per måned for medisinen. Vi antar at medisinforbruket hele tiden er det samme som i dag. a

Forklar at funksjonen f ðxÞ ¼ 90 1,007 viser månedsutgiftene i kroner om x måneder.

b

Regn ut

x

R36 f(x) dx og gi en praktisk tolkning 0

av svaret. c

Hvor mye betaler Charlotte i gjennomsnitt per måned det neste året?

Seks venner skal leie sommerhytte en uke. De spleiser på leien og alt av mat og drikke. a

Anslå utgifter til mat og drikke.

b

Lag en modell som viser hvor mye hver må betale for oppholdet, når leieprisen er x kroner i uka.

c

Hvor dyr kan leien være dersom de maksimalt kan betale 2500 kr hver?

3.6 Fila «folketall.csv» inneholder folketallet i Norge ved inngangen av hvert år i årene 2010–2020. La t være antall år etter 1. januar 2010 og f ðtÞ være folketallet i antall tusen. a

Bruk datasettet til å vise at f ðtÞ er tilnærmet gitt ved: f ðtÞ ¼ 2,1t2 þ 72t þ 4850

b

Når passerte folketallet 5 millioner?

c

Tegn grafen til funksjonen fra 2010 til 2020.

d

Regn ut f 0 ð10Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

e

Hva mener du om modellens gyldighet framover? Undersøk om du kan finne andre prognoser å sammenlikne med.


Modellering med regresjon 161

3.2 Modellering med regresjon UTFORSK Jobb sammen i par eller grupper Du trenger: strikk, linjal, målebånd og GeoGebra Vi skal lage en matematisk modell for skyting med strikk. 1

Gjør klar en bane uten hindre der du kan skyte strikken.

2

Mål hvor lang strikken er når du ikke strammer den.

3

Skyt strikken ved å stramme den langs en linjal. Mål stramningen i centimeter og lengden strikken flyr, i meter.

4

Skyt flere ganger og varier hvor mye du strammer strikken. Pass på at alle andre faktorer som vinkel, utgangshøyde, strikktype og festemåte er så like som mulig. Pass på å ikke strekke strikken så mye at den mister elastisiteten!

5

Skriv inn resultatene i regnearket i GeoGebra.

6

Bruk regresjon til å finne en modell som viser hvor langt strikken går når vi strammer den x cm.

7

Bruk modellen til å forutsi hvor langt strikken går hvis vi strammer den 6 cm. Undersøk hvor godt dette stemmer med virkeligheten.

Regresjonsanalyse er å finne et funksjonsuttrykk som tilnærmet uttrykker sammenhengen mellom størrelser i et datasett. Når vi gjennomfører regresjonsanalyse av store datasett, bruker vi et digitalt verktøy:

Vi legger datasettet inn i det digitale verktøyet.

Vi tegner spredningsdiagram.

Vi velger hvilken funksjonstype vi vil bruke.

Vi finner funksjonsuttrykket.

Vi skal se på hvordan vi kan utføre regresjon i GeoGebra og i Python. I GeoGebra legger du datasettet inn i regnearket og velger regresjonsanalyseverktøyet. Da kommer spredningsdiagrammet automatisk fram. Du velger regresjonsmodell og får opp funksjonsuttrykket for modellen og grafen til denne.

Modellering med regresjon:


162 KAPITTEL 3 – MODELLERING

EK SEMPEL 3 Nina og Hanne vil lage en modell for spretten i en sprettball. Hun slipper ballen fra 150 cm ved siden av en målestokk mens Hanne filmer ballens bevegelse med telefonen sin. Etterpå spiller de filmen bilde for bilde for å anslå hvor høyt ballen spretter i hvert sprett. De får denne tabellen: Sprett Spretthøyde, cm

1

2

3

4

5

115

91

70

57

45

Lag en modell for spretthøyden.

Løsning: Vi legger tallene inn i regnearket i GeoGebra, og velger regresjonsverktøyet. Vi prøver ulike modeller og kommer fram til at en eksponentialfunksjon passer godt, se figuren:

Dermed kan vi lage en modell som beskriver spretthøyden til ballen etter x sprett med funksjonen h gitt ved Oppgaver: 3.7–3.8, 3.11

hðxÞ ¼ 144,6 0,79x

Prosessen er den samme i Python: Vi skriver inn datasettet eller laster det inn med Pandas. Deretter bruker vi Matplotlib til å lage et spredningsdiagram. Vi finner et funksjonsuttrykk vi tror kan passe. Vi definerer funksjonsuttrykket og gjennomfører regresjonen med SciPy.


Modellering med regresjon 163

EKSEMPEL 4 Skriv et program i Python som gjennomfører regresjonen i forrige eksempel.

Løsning: Vi lager to lister med x-verdiene og y-verdiene, se linje 3 og 4. Så tegner vi et spredningsdiagram med Matplotlib, se linje 6 og 7. 1 2 3 4 5 6 7

import matplotlib.pyplot as plt xverdier = [1, 2, 3, 4, 5] yverdier = [115, 91, 70, 57, 45] plt.plot(xverdier, yverdier, 'o') plt.show()

Når vi kjører programmet, får vi denne figuren: 110 100 90 80 70 60 50 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Vi velger å gå videre med en eksponentialfunksjon som modell. Vi bruker det eksterne biblioteket SciPy til å utføre regresjon i Python: Vi definerer en eksponentialfunksjon med parameterne a og b, se linje 6 og 7. Deretter kjører vi kommandoen curve_fit på verditabellen, se linje 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

import scipy.optimize as opt xverdier = [1, 2, 3, 4, 5] yverdier = [115, 91, 70, 57, 45] def f(x, a, b): return a * b**x popt, pcov = opt.curve_fit(f, xverdier, yverdier) print(popt)

I linje 9 lagrer vi resultatet av regresjonen i to lister. Popt inneholder de optimaliserte parameterne, altså resultatet av regresjonen. Pcov inneholder kovariansen av parameterne. Det er et mål på hvordan de ulike parameterne henger sammen, men vi bruker ikke denne informasjonen til noe her. Når vi kjører programmet, får vi resultatet «[145.51330017 0.78913002]». Det betyr at a 145,51 og b 0,79, og det gir eksponentialfunksjonen hðxÞ ¼ 145,51 0,79x

Oppgaver: 3.9–3.10


164 KAPITTEL 3 – MODELLERING

Å velge modell Selv om vi har tegnet punktene i et spredningsdiagram, er det ikke alltid opplagt hvilken modell som egner seg best. Hvis flere modeller passer omtrent like godt til dataene våre, velger vi den enkleste av dem. Kunnskap om situasjonen eller fenomenet vi modellerer, er også avgjørende for å kunne velge rett modell. ? ? ?

Det gjelder å velge rett modell!

y

x

Lineær modell En lineær modell har formen f ðxÞ ¼ ax þ b

y

Grafen er en rett linje.

x

Eksponentiell modell En eksponentiell modell har formen

y

f ðxÞ ¼ a bx Her er b vekstfaktoren. Grafen stiger eller faller med en fast prosent, og går ikke gjennom origo. x

Polynommodell y

En polynommodell kan være av andre, tredje eller høyere grad. En andregradsmodell har formen x

f ðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c Grafen har et toppunkt eller et bunnpunkt.


Modellering med regresjon 165

En tredjegradsmodell har formen

y

f ðxÞ ¼ ax3 þ bx2 þ cx þ d Grafen kan ha både et toppunkt og et bunnpunkt.

x

Potensmodell En potensmodell har formen

y

f ðxÞ ¼ axb Grafen stiger eller faller, og går gjennom origo.

x

Logistisk modell En logistisk modell har formen

y

f ðxÞ ¼

B 1 þ ekx

Grafen stiger tilnærmet eksponentielt, men veksten avtar gradvis etter hvert som funksjonsverdien nærmer seg en grense. x

EKSEMPEL 5 Hvilken type regresjonsmodell passer best til punktene? a

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y

Punktene ligger nær en kurve med et toppunkt. Punktene ser ut til å ligge på en parabel. Da passer en andregradsmodell best.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x


166 KAPITTEL 3 – MODELLERING

b

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y

Punktene ser ut til å ligge spredt om en rett linje. Her passer en lineær modell best.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

c

Oppgaver: 3.12–3.13

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y

Punktene ligger nær en kurve som avtar slakere og slakere, uten å ha noe bunnpunkt. Her passer en eksponentiell modell best.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

En viktig begrunnelse for å bruke en modell i stedet for faktiske data er at vi kan beregne funksjonverdier der vi mangler måledata, for eksempel fordi det er vanskelig eller farlig å måle, eller fordi vi arbeider med modeller for framtiden. Interpolere Vi bruker modellen innenfor dataområdet. Ekstrapolere Vi bruker modellen utenfor dataområdet. Gyldighetsområde Verdiene som modellen er gyldig for.

Når vi bruker modellen på verdier som befinner seg mellom måleverdiene i datasettet, kaller vi det å interpolere. Når vi bruker modellen på verdier som befinner seg utenfor dataområdet vårt, kaller vi det å ekstrapolere. Å bruke modellen i stedet for faktiske data innebærer en viss usikkerhet. Generelt kan vi si at usikkerheten blir større når vi bruker verdier langt unna verdiene i datasettet. Når vi bruker modeller til å beskrive utvikling framover i tid, er det vikig å vurdere resultatene kritisk. Jo lenger fram i tid vi går, jo større blir usikkerheten. De verdiene vi kan bruke og være rimelig sikre på at gir et brukbart resultat, kaller vi gyldighetsområdet til modellen. Utover i kapitlet ser du flere eksempler på hvordan vi kan bruke modellen til å belyse spørsmål ved den praktiske situasjonen som datasettet er hentet fra.


Modellering med regresjon 167

EKSEMPEL 6 Tabellen viser en bedrifts utslipp av giftige gasser per år x år etter 2010: År etter 2010

0

2

4

6

8

10

Utslipp i tonn

500

387

300

232

180

139

a

Bruk regresjon til å vise at en passende modell for utslippet er f ðxÞ ¼ 500 0,88x .

b

Tegn grafen i intervallet x 2 ½0, 20 .

c

Hvor mye slipper bedriften ut i 2022 ifølge modellen?

d

Når vil utslippet være på 80 tonn?

e

Regn ut f 0 ð2Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

f

Bestem

R10 f(x) dx og forklar hva svaret er en tilnærmet verdi for. 0


168 KAPITTEL 3 – MODELLERING

Løsning: Vi løser oppgaven med GeoGebra. a

Vi skriver inn datasettet i regnearkdelen og bruker regresjonsanalyse. Når vi velger en eksponentiell modell, passer punktene fra datasettet bra, og vi får modellen f ðxÞ ¼ 500 0,88x :

b

Vi kopierer modellen over i grafikkfeltet og tegner funksjonen i det gitte intervallet:

550

y Utlipp i tonn

500 450 400

f(x) = 500 · 0,88 x, Df = [0,20]

350 300 250 200 150 100 50

x 2

4

6

8

10

12

14

16 18 20 År etter 2010


Modellering med regresjon 169

c

År 2022 tilsvarer x ¼ 12. Vi regner ut f ð12Þ for å finne utslippet i 2022: 2

Utslippet i 2022 er beregnet til omtrent 108 tonn. d

Vi regner ut f ðxÞ ¼ 80. 3

Modellen viser at utslippet vil være på 80 tonn i 2024. e

Vi bruker CAS til å regne ut f 0 ð2Þ: 2

Svaret forteller at i 2012 reduserer bedriften utslippet med ca. 50 tonn per år. f

Vi regner ut det bestemte integralet:

3

550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50

y Utlipp i tonn

f(x) = 500 · 0,88 x, Df = [0,20]

2821.49 x 2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 År etter 2010

Det bestemte integralet svarer til arealet under grafen til f . Arealet illustrerer den samlede mengden, altså er bedriftens totale utslipp i løpet av disse ti årene på om lag 2821 tonn.

Vi tar også med et eksempel der vi bruker både integrasjon og en geometrisk rekke.

Oppgave: 3.14


170 KAPITTEL 3 – MODELLERING

EK SEMPEL 7 Siv begynte å jobbe da hun fylte 25 år. Hun regner med å jobbe til den dagen hun fyller 67 år. Tabellen viser årslønna til Siv fra da hun begynte å jobbe: År etter jobbstart Årslønn (kr)

0

1

2

3

4

603 000

617 500

632 300

647 400

663 000

a

Vis at en modell for årslønna til Siv x år etter at hun begynte å jobbe, er gitt ved LðxÞ ¼ 603 014 1,024x .

b

Når vokser årslønna med 20 000 kroner per år ifølge modellen?

c

Hvor mye tjener Siv til sammen i løpet av de 42 årene hun jobber?

Løsning: a Vi bruker GeoGebra og legger inn tallene i regnearket. Når vi bruker regresjonsanalyse, gir det modellen LðxÞ ¼ 603 014 1,024x .

b

Vi vet at den momentane vekstfarten skal være 20 000 kroner, så vi løser likningen L0 ðxÞ ¼ 20 000 med CAS: 1

Ifølge modellen vokser årslønna med 20 000 kroner per år etter om lag 14 år. c

lønn år ¼ lønn. år Dermed vil integralet under grafen til L fra x ¼ 0 til x ¼ 42 gi et estimat på den samlede lønna gjennom hele yrkeslivet til Siv.

Når vi multipliserer enhetene langs aksene, får vi


Modellering med regresjon 171

Vi finner det bestemte integralet med CAS ved å skrive «Integral(L,0,42)»: 2

Et estimat for den samlede lønna til Siv er 43,4 millioner kroner.

Alternativ løsning: Vi kan se på årslønna som en geometrisk rekke der a1 er lønna det første året Siv jobber, og k er vekstfaktoren som gir en årlig lønnsøkning på 2,4 %. Da er a1 ¼ 603 014 og k ¼ 1,024. Vi finner den samlede inntekten ved å summere de 42 første leddene. Vi bruker CAS og skriver «Sumð603014 1:024n 1 , n, 1, 42Þ»: 3

Et estimat for den samlede lønna til Siv er 42,9 millioner kroner, som er litt lavere enn da vi regnet det ut med integrasjon. Modellen vi bruker for å lage disse estimatene, går langt utenfor det gitte datasettet. Estimatene er derfor usikre.

Reflekter og diskuter! I eksempelet ovenfor brukte vi to metoder for å finne den samlede lønna til Siv. Forklar hvorfor de to metodene gir forskjellig svar.

Oppgave: 3.15


172 KAPITTEL 3 – MODELLERING

Oppgaver 3.7 Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengden og vekten til en type firfisler: Lengde ðcmÞ Vekt ðgÞ

4

10

15

2,5

10,7

20,61

a

Vis at potensfunksjonen f gitt ved f ðxÞ ¼ 0,274x1,6 er en modell som passer godt med tallene i tabellen.

b

Hvor mye veier en firfisle som er 8 cm lang?

c

Hvor lang er en firfisle som veier 30 gram?

d

Vurder gyldigheten til estimatene i oppgave b og c. Hvilket estimat mener du er det sikreste?

3.9

En turist fører med seg en smittsom sykdom til en øy. Legen på øya noterer ned hvor mange som totalt har blitt smittet på øya, og hvor mange uker siden det er turisten kom på besøk: Uke 0

1

2

4

4

16

6

63

8

213

10

523

12

817

80

14

948

49,7

16

987

18

997

3.8 Linnea har hørt at bremselengden til en bil er proporsjonal med kvadratet av farten. Hun sender storebroren sin ut på veien med lånt bil. Broren bråbremser ved ulik fart, og Linnea måler bremselengden: Fart ðkm=tÞ Bremselengde ðmÞ

20 3,1

30 7,2

40 12,6

60 28,9

Antall smittet

Vi lar v være farten og l være bremselengden. a

Bruk regresjon til å finne en andregradsmodell for bremselengden.

b

Finn en potensmodell for bremselengden.

c

Bruk hver modell til å anslå bremselengden når farten er 120 km/t.

d

Vurder hvilken av modellene som egner seg best. Er det riktig å si at bremselengden er proporsjonal med kvadratet av farten?

En matematikkelev på øya vil skrive et progam som modellerer situasjonen. Hun har skrevet denne koden: 1 2 3 4 5 6 7 8

import numpy as np import scipy.optimize as opt def f(x, N, C, k): return N/(1 + C*np.exp(-k*x)) uker = [0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18] smittede = [1, 4, 16, 63, 213, 523, 817, 948, 987, 997]

9 10 popt, pcov = opt.curve_fit(f, uker, smittede,

p0 = [1000, 1000, 1]) # p0 setter en utgangsverdi for parametrene.


Modellering med regresjon 173

a

Forklar hver linje i koden.

d

b

Utvid koden slik at den skriver ut det du trenger for å skrive opp modellfunksjonen eleven har funnet. Skriv opp modellfunksjonen.

Fikk alle gruppene samme modell? Diskuter i grupper.

e

Hvor mange prosent avtar høyden for hver sprett?

f

Foreslå en definisjonsmengde for modellen dere kom fram til.

3.10 I fila «bjoern.csv» finner du en oversikt over antall felte bjørner i Norge i perioden 1874–1925.

3.12 Hva slags regresjonsmodell passer best til punktene?

a

a

Last inn datasettet i «bjoern.csv» i Python og lag et spredningsdiagram.

b

Lag en liste xverdier hvor x er antall år etter 1874.

c

Bruk regresjon til å finne et uttrykk for en eksponentialfunksjon som passer best mulig til datasettet. Bruk xverdier og antall bjørner i regresjonen.

d

Bruk funksjonsuttrykket til modellen til å angi omtrent årlig prosentvis reduksjon i antall felte bjørner i perioden.

e

Tegn grafen til modellfunksjonen sammen med spredningsdiagrammet.

b

Slipp en sprettball fra en høyde på 200 cm, og mål spretthøyden for de tre første sprettene: Sprettnummer Høyde ðcmÞ

0

1

2

3

200

b

Bruk regresjon til å lage en modell for spretthøyden til ballen. La antall sprett være langs x-aksen, og spretthøyden langs y-aksen.

c

Bruk modellen til å anslå høyden til sprett nummer 4. Mål høyden i praksis og sammenlikn med modellen.

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

3.11 Denne oppgaven passer det at alle i klassen gjør samtidig, og dere skal jobbe sammen i grupper. Hver gruppe trenger en sprettball og et målebånd eller en målestokk. a

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

c

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x


174 KAPITTEL 3 – MODELLERING

3.13 Et kunstverk ble solgt på auksjon i 2011, 2014, 2015 og 2019. Figuren viser salgsprisene markert med punkter, og to modeller for verdiutviklingen til kunstverket: 100 000

y, kr h

90 000 80 000 70 000 60 000 50 000

g

40 000 30 000

3.14 Et renseanlegg for kloakk slipper ved et uhell ut urenset kloakk i en innsjø. Utslippet pågår noen dager, og dette reduserer oksygenmengden i vannet. Oksygenmengden x dager etter at utslippet startet, kan beskrives med modellen f gitt ved 10x , x 2 ½0, 30 f ðxÞ ¼ 1 ðx þ 10Þ2 der f ðxÞ er målt i milligram per liter. a

Tegn grafen til f .

b

Regn ut f 0 ð5Þ og f 0 ð15Þ. Gi en praktisk tolkning av svarene.

c

Vis at oksygenmengden i vannet er minst etter ti dager.

d

Når øker oksygenmengden i vannet mest?

20 000 10 000 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x, år etter 2010

Modellen hðxÞ er en eksponentialfunksjon, mens modellen gðxÞ er en tredjegradsfunksjon. a

Hvilken av modellene stemmer best med salgsprisene?

b

Bruk hver av modellene til å anslå kunstverkets verdi i 2022.

c

Hvilken modell mener du best beskriver verdiutviklingen til kunstverket?

3.15 Eskil begynte å jobbe da han fylte 19 år. Han regner med å jobbe til den dagen han fyller 63 år. Tabellen viser årslønna til Eskil fra da han begynte å jobbe: År etter jobbstart Årslønn ðkrÞ

a

0

1

2

3

514 000

527 000

544 500

559 800

Vis at funksjonen f ðxÞ, der f er gitt ved f ðxÞ ¼ 513 324 1,029x kan brukes som en modell for årslønna til Eskil x år etter at han begynte å jobbe.

b

Når vokser årslønna med 18 000 kr per år, ifølge modellen?

c

Finn en tilnærmingsverdi for hvor mye Eskil tjener til sammen de første ti årene han jobber.


Modellering med programmering 175

3.3 Modellering med programmering UTFORSK Du trenger: PC med Python 1

Forklar for en medelev hva programkoden nedenfor gjør. Hva blir utskriften? 1

xstart = 1

2

xslutt = 5

3

ystart = 2

4

delta_x = 1

5

delta_y = 3

6 7

x = xstart

8

y = ystart

9 10

while x <= xslutt:

11

print(x, y)

12

y = y + delta_y

13

x = x + delta_x

2

Skriv av og kjør koden. Gjør koden det du trodde?

3

Forandre på koden slik at første punkt som blir skrevet ut, er ð2, 3Þ.

4

Forandre på koden slik at første x-verdi som blir skrevet ut, er 1, og slik at siste punkt er ð5, 17Þ.

Modellering med programmering har samme mål som regresjon, nemlig å beskrive sammenhengen mellom størrelser i et datasett. Vi bruker datamaskinen til å bygge opp x-verdier og funksjonsverdier:

Vi starter i et bestemt punkt ðx0 , y0 Þ.

Vi finner neste punkt på grafen slik:

Sett x til forrige x-verdi pluss et tillegg 1x.

Sett y til forrige y-verdi pluss et tillegg 1y.

Gjenta forrige punkt til x har nådd grensen for x.

y (x2, y2) (x1, y1) Dx (x0, y0)

Dy2

Dy1

Dx x


176 KAPITTEL 3 – MODELLERING

Modellering med

Vi oversetter modelleringsalgoritmen til Python. Vi tenker oss en funksjon som starter i ð1, 2Þ, og hvor x øker med 1x ¼ 0,1 til 10.

programmering:

xstart = 1 xslutt = 10 3 ystart = 2 4 delta_x = 0.1 1 2

Setter opp startverdier. Her går x fra 1 til 10. Funksjonen starter i y = 2. x øker med 0,1 hver gang.

5 6 7

x = xstart y = ystart

Klargjør x og y for while-løkka nedenfor.

8

while x <= xslutt: y = y + 11 x = x + delta_x 9

10

Det er her funksjonsverdiene bygges opp. Løkka kjører til x når største verdi. Koden vil bare fungere når vi har definert hvordan y endres.

Programkoden ser slik ut uansett hva slags funksjon vi skal modellere. I linje 10 setter vi inn informasjon om 1y. Det er modellen som bestemmer hvordan vi definerer y der, som vi skal se i de neste eksemplene. Vi starter med å bruke teknikken på en type funksjoner vi kjenner godt fra før, nemlig lineære funksjoner. Deretter bruker vi teknikken på situasjoner med andre funksjonstyper. Vi øver først på å skrive koden for modelleringsalgoritmen, før vi tilpasser koden til et datasett.

Lineær vekst

1y . La f være en lineær funksjon f ðxÞ ¼ ax þ b. Stigningstallet a er gitt ved a ¼ 1x Vi multipliserer med 1x: 1y j 1x 1x 1y ¼ 1x a a¼

Vi setter 1x a inn for 1y i koden. Det gir y = y + delta_x * a i Python. Vi viser et eksempel der vi bruker dette til å tegne grafen til en lineær funksjon.


Modellering med programmering 177

EKSEMPEL 8 Bruk modelleringsalgoritmen til å tegne grafen til f ðxÞ ¼ 2x þ 1 for x 2 ½0, 5 i Python.

Løsning: Fordi f ð0Þ ¼ 1, setter vi xstart til 0 og ystart til 1. Stigningstallet er 2, så vi setter a ¼ 2. Med 1x ¼ 0,1 får vi 1

import matplotlib.pyplot as plt

2

xstart = 0 xslutt = 5 5 ystart = 1 6 a=2 7 delta_x = 0.1

# Setter opp startverdier.

3 4

# a er stigningstallet til linja.

8

xverdier = [] 10 yverdier = []

# Klargjør lister for plotting.

9

11

x = xstart 13 y = ystart

# Klargjør x og y for løkka.

12 14

while x <= xslutt: xverdier.append(x) 17 yverdier.append(y) 18 y = y + delta_x * a 19 x = x + delta_x 15

# Legger x og y i listene.

16

# Øker y med a * delta x. # Øker x med delta x.

20 21 22

plt.plot(xverdier, yverdier) plt.show()

I linje 18 definerer vi hvordan y endres.

# Tegner grafen.

Når vi kjører koden, får vi dette resultatet:

10 8 6 4 2 0

1

2

3

4

5

Oppgaver: 3.16–3.18


178 KAPITTEL 3 – MODELLERING

Tilnærmingsverdi for 1y Når stigningstallet er konstant, slik det er ved lineær vekst, bruker vi altså at 1y ¼ 1x a. Men når veksten ikke er jevn, det vil si at stigningstallet endrer seg, fungerer ikke dette. Vi kan da dele opp i små intervaller, 1x. Fordi intervallene er små, kan vi anta at veksten i hvert enkelt intervall er tilnærmet lineær. Matematisk skriver vi 1y 1x Vi multipliserer med 1x og får f 0 ðxÞ

1y 1x f 0 ðxÞ Dette kaller vi Eulers metode for modellering.

E U L E R S M E T O D E F O R M O DE L L E R I N G La f være en funksjon. For små verdier av 1x har vi 1y 1x f 0 ðxÞ

For å kunne bruke Eulers metode til å beskrive utviklingen i et datasett, må vi kunne beskrive vekstfarten i situasjonen. Ulike situasjoner har ulik vekst. Vi skal se på to ulike modeller for vekstfarten, nemlig eksponentiell vekst og logistisk vekst. Den ene modellen tar utgangspunkt i at vekstfarten øker når y-verdien øker. Den andre modellen likner, men antar at vekstfarten blir redusert når y-verdien nærmer seg en grense.

Eksponentiell vekst I Russland fødes det hvert år flere barn enn i Norge. Det er ikke så rart, siden det bor om lag 27 ganger så mange mennesker i Russland som i Norge. Antall barnefødsler er altså avhengig av befolkningens størrelse. I en populasjon i naturen er det gjerne slik, altså at vekstfarten er avhengig av antall individer i populasjonen. I modellen må derfor vekstfarten øke når populasjonen øker.

Proporsjonale størrelser y er proporsjonal med x y dersom forholdet x er konstant. Da har vi y ¼k x

En av flere mulige modeller er at vi antar at vekstfarten er proporsjonal med antallet. Vi lar y være populasjonen og x være tiden. Den deriverte, y 0 , betyr da vekstfarten i populasjonen. Modellen antar at vekstfarten y 0 er proporsjonal med populasjonen y: y0 ¼ k y Dette kan vi bruke i modelleringsalgoritmen. Vi tar med et eksempel der vi setter den deriverte til k y.


Modellering med programmering 179

EKSEMPEL 9 Skriv et program i Python som bygger opp en funksjon for x 2 ½0, 10 gjennom ð0, 1Þ slik at den deriverte er y 0 ¼ 0,45 y. Tegn grafen.

Løsning: Vi setter xstart til 0, xslutt til 10, delta_x til et lite tall, for eksempel 0,1, og k til 0,45. Så bygger vi opp funksjonen med 1y som delta_x * k * y: 1

import matplotlib.pyplot as plt

2 3 4 5 6 7

xstart = 0 xslutt = 10 ystart = 1 delta_x = 0.1 k = 0.45

8 9 10

xverdier = [] yverdier = []

11

x = xstart 13 y = ystart 12 14 15 16 17 18 19 20

while x <= xslutt: xverdier.append(x) yverdier.append(y) y = y + delta_x * k * y x = x + delta_x

plt.plot(xverdier, yverdier) 22 plt.show() 21

Resultatet blir: 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

2

4

6

8

10

Oppgaver: 3.19–3.20


180 KAPITTEL 3 – MODELLERING

Grafen i forrige eksempel ser ut til å likne en eksponentialfunksjon. Hvis dette stemmer, kan funksjonen skrives på formen f ðxÞ ¼ a ekx . Vi deriverer med kjerneregelen: f 0 ðxÞ ¼ k a ekx ¼ k f ðxÞ Vi ser at uttrykket for den deriverte av f passer med antakelsen i modellen om at y 0 ¼ k y. Dette betyr at når vi modellerer med y 0 ¼ k y, får vi en modell for eksponentiell vekst.

E KS PONEN TI EL L V EKST En funksjon f på formen f ðxÞ ¼ a ek x er en eksponentialfunksjon. Vi sier at en funksjon som følger forløpet til en eksponentialfunksjon, har eksponentiell vekst. Veksten er eksponentiell når vekstfarten er proporsjonal med funksjonen: f 0 ðxÞ ¼ k f ðxÞ

y0 ¼ k y

Vi kombinerer dette med Eulers metode. I modelleringsalgoritmen vår bruker vi da 1y ¼ 1x k y. I Python blir dette y = y + delta_x * k * y.

EK SEMPEL 10 3,5·1013

Yuan

3,0·1013 2,5·1013 2,0·1013 1,5·1013 1,0·1013 5,0·1012

1980

1985

1990

1995

2000

2005

2010 År

Figuren viser spredningsdiagrammet vi får fra dataene i fila «kina-bnp.csv», og viser bruttonasjonalproduktet (BNP) i Kina fra 1980 til 2010. Bruk modelleringsalgoritmen til å lage en modell for Kinas BNP i perioden.


Modellering med programmering 181

Løsning: Vi skriver modelleringsalgoritmen i Python og bruker modellen 1y 1x k y. For å få kurven til å passe med datasettet, må vi finne en passende verdi for k. En mulighet er her å prøve seg fram. Et annet alternativ er å ta utgangspunkt i vekstfaktoren et sted på kurven. I datasettet ser vi at BNP i 2006 og 2007 er 21 118 221 574 825 og 24 117 009 038 450. Vekstfaktoren blir da 24 117 009 038 450 1,14 21 118 221 574 825 Vi prøver da med k ¼ ln 1,14 ¼ 0,13. Når vi tegner grafen med k ¼ 0,13, har modellen for kraftig vekst. Vi reduserer k og ser at k 0,095 passer godt. import pandas as pd 2 import matplotlib.pyplot as plt 1 3 4

# Laster inn datasettet og plukker ut data. fil = "kina-bnp.csv" 6 df = pd.read_csv(fil, sep=';', decimal='.', comment='#') 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

tid = df['Indeks'].tolist() bnp = df['BNP'].tolist() # Startverdier for modellen. xstart = tid[0] xslutt = tid[-1] ystart = bnp[0] delta_x = .01 k = 0.095

xverdier = [] 19 yverdier = [] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

x = xstart y = ystart # Bygger opp modellen. while x <= xslutt: xverdier.append(x) yverdier.append(y) y = y + delta_x * k * y x = x + delta_x

# Tegner grafene. plt.plot(tid, bnp, 'x') 33 plt.plot (xverdier, yverdier) 34 plt.show() 32


182 KAPITTEL 3 – MODELLERING

Når vi kjører programmet, får vi denne grafen: le13 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

Oppgave: 3.21

0

5

10

15

20

25

30

Logistisk vekst B

Når en populasjon i naturen vokser fritt med ubegrensede ressurser, er det vanlig å anta at den omtrent følger forløpet til en eksponentialfunksjon. I praksis er det imidlertid ofte slik at ressursene er begrenset. Populasjonen følger da omtrent en logistisk funksjon. Grafen til venstre viser at populasjonen øker tilnærmet eksponentielt i starten. Men etter hvert som funksjonsverdien nærmer seg en øvre grense B, bæreevnen, vokser ikke kurven like fort lenger, og flater ut. Det er logistisk vekst. I 1838 laget belgieren Pierre Verhulst en modell for dette. Han tok utgangspunkt i den eksponentielle modellen, altså y 0 ¼ k y. Han multipliserte dette med y y en faktor 1 . Når y er relativt liten i forhold til B, blir faktoren 1 tilB B y nærmet lik 1, siden 0. For små y-verdier multipliserer vi altså med omtrent 1, B og modellen likner på eksponentialfunksjonen. Etter hvert som y nærmer seg B, y y vil 1 gå mot 0 fordi 1. Det betyr at vi multipliserer vekstfarten med B B en faktor som nærmer seg 0. Vekstfarten avtar altså mot null.


Modellering med programmering 183

Vi ser at dette passer godt med grafen: I starten er y langt unna B, og vekstfarten er omtrent som ved eksponentiell vekst. Etter hvert som y øker og nærmer seg B, reduseres vekstfarten stadig mer i forhold til eksponentiell vekst ved at vi multipliserer med en faktor som nærmer seg 0. Modellen til Verhulst passet godt med naturlige fenomener og brukes i dag til modellering i mange sammenhenger.

LOGISTISK VEKST Veksten i et forløp er logistisk når vekstfarten følger modellen gitt ved f ðxÞ y 0 0 y ¼k y 1 f ðxÞ ¼ k f ðxÞ 1 B B

Figuren viser hvordan proporsjonalitetskonstanten k og bæreevnen B påvirker grafens utseende: y

y

y

10

10

10

8

8

8

6

6

6

4

4

4

2

2

2

2

4

6 k = 0,5 B = 10

8

10 x

2

4

6

8

10 x

2

k=1 B = 10

Vi ser at bæreevnen bestemmer hvilken maksimalverdi funksjonen nærmer seg. Proporsjonalitetskonstanten påvirker hvor bratt kurven er i begynnelsen, altså hvor fort grafen øker mot bæreevnen. Vi bruker nå Eulers metode med denne modellen: y 0 0 og y ¼k y 1 1y ¼ 1x y B Da får vi y 1y ¼ 1x k y 1 B Vi bygger opp en funksjon på samme måte som tidligere: Vi bruker modelleringsalgoritmen til å beregne hvert punkt på grafen. y Vi lar neste y-verdi være forrige y-verdi + 1y, gitt som 1x k y 1 . B

4

6

k = 0,5 B=7

8

10 x


184 KAPITTEL 3 – MODELLERING

EK SEMPEL 11 Skriv et program som modellerer logistisk vekst. Funksjonen skal starte i ð0, 1Þ, ha bæreevne 10 og gå gjennom punktet ð6, 7Þ.

Løsning: Vi skriver et program som bygger opp den logistiske modellen: 1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xstart = 0 4 xslutt = 10

# Velger et tall litt større enn 6.

5 ystart = 1 6 delta_x = 0.1 7 k = 0.5 8 B = 10 9 10 xverdier = [] 11 yverdier = [] 12 13 x = xstart 14 y = ystart 15 16 while x <= xslutt:

xverdier.append(x) yverdier.append(y) y = y + delta_x * k * y * (1 - y/B) x = x + delta_x

17 18 19 20

# Modell for logistisk vekst.

21 22 plt.plot(xverdier, yverdier) 23 plt.plot([6], [7], 'x')

# Plotter punktet (6, 7).

24 plt.show()

Vi prøver først med proporsjonalitetskonstant k ¼ 0,9. Det gir figuren til venstre. Grafen vokser litt for bratt i starten. Så prøver vi oss fram til k ¼ 0,5. Da går grafen omtrent gjennom ð6, 7Þ, se figuren til høyre. 10 8

8 6

6

4

4

2

2 0

Oppgave: 3.22

2

4 6 k = 0,9

8

10

0

2

4 6 k = 0,5

8

10


Modellering med programmering 185

Vi prøver nå modellen for logistisk vekst på et datasett.

EKSEMPEL 12 Fila «oljeproduksjon-norge.csv» inneholder et datasett med oljeproduksjonen i Nordsjøen fra 1971 til 2020. Skriv et program som modellerer utviklingen av oljeproduksjonen som funksjon av tiden. Tegn grafen til modellen sammen med datasettet.

Løsning: Vi henter inn datasettet med pandas og lager et spredningsdiagram for datasettet: 1 import matplotlib.pyplot as plt 2 import pandas as pd 3 4 # Laster inn datasettet. 5 fil = 'oljeproduksjon-norge.csv' 6 df = pd.read_csv(fil, sep=';', decimal='.', comment='#') 7 8 # Konverterer kolonnene til lister. 9 tid = df['År'].tolist() 10 produksjon = df['Produksjon'].tolist() 11 12 # Tegner spredningsdiagram over datasettet. 13 plt.plot(tid, produksjon, 'x') 14 plt.show()

Resultat:

250 200 150 100 50 0 1970

1980

1990

2000

2010

2020


186 KAPITTEL 3 – MODELLERING

Vi vil prøve en logistisk modell, siden oljeproduksjonen ser ut til å vokse omtrent eksponentielt i starten, men saktere etter hvert. Bæreevnen i datasettet ser ut til å være B 250. Vi setter xstart til første verdi i lista tid og ystart til første verdi i lista produksjon. Så prøver vi oss fram med ulike verdier for k. Vi ser at kurven får omtrent riktig form med k ¼ 0,24. For å få den til å treffe med datasettet forskyver vi kurven mot venstre ved å starte i 1963. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

import matplotlib.pyplot as plt import pandas as pd # Laster inn datasettet. fil = 'oljeproduksjon-norge.csv' df = pd.read_csv(fil, sep=';', decimal='.', comment='#') # Konverterer kolonnene til lister. tid = df['År'].tolist() produksjon = df['Produksjon'].tolist() # Tegner spredningsdiagram over datasettet. plt.plot(tid, produksjon, 'x') # Bygger opp modellen. xstart = 1963 xslutt = tid[-1] ystart = produksjon[0] delta_x = .01 k = .24 B = 250 xverdier = [] yverdier = [] x = xstart y = ystart while x <= xslutt: xverdier.append(x) yverdier.append(y) y = y + delta_x * k * y * (1 - y/B) x = x + delta_x # Tegner grafen til modellen. plt.plot(xverdier, yverdier) plt.show()

# Logistisk vekst


Modellering med programmering 187

Resultat:

250 200 150 100 50 0 1970

1980

1990

2000

2010

2020

Oppgaver: 3.23–3.25

I modelleringen ovenfor brukte vi disse trinnene:

Vi lastet inn datasettet i Python

Vi tegnet spredningsdiagram

Vi vurderte hvilken modell vi vil bruke

Vi skrev koden med modelleringsalgoritmen

Vi sammenliknet datasettet med modellen

Vi justerte koden

Oppgaver 3.16 Bruk modelleringsalgoritmen til å tegne grafen til f ðxÞ ¼ 5 2x for x 2 ½ 4, 6 i Python. 3.17 Bruk modelleringsalgoritmen til å bygge opp en verditabell for funksjonen f ðxÞ ¼ 4x þ 3 for x 2 ½ 6, 7 . Bruk steglengde 0,1 langs x-aksen.

3.18 En rett linje går gjennom punktene Að 2, 8Þ og Bð3, 5Þ. Bygg opp en verditabell for en lineær funksjon slik at grafen går fra A til B. Bruk steglengde 0,01. Tegn grafen til funksjonen. 3.19 En funksjon f går gjennom ð0; 5000Þ. Den deriverte av funksjonen er f 0 ðxÞ ¼ 244 e0,05x . Bruk modelleringsalgoritmen til å lage en tabell med tilnærmingsverdier for funksjonen for x 2 ½0, 10 . Bruk 1x ¼ 0,1.


188 KAPITTEL 3 – MODELLERING

3.20 En eksponentialfunksjon f går gjennom ð0, 10 000Þ. Den deriverte er gitt ved y 0 ¼ 0,3 y.

3.25

Tegn grafen til f for x 2 ½0, 25 ved å bygge opp en funksjon med Eulers metode.

3.21 Stian kjøper bruktbil til 200 000 kr. Han regner med at bilens verdi blir redusert med 11 % hvert år. La B være bilens verdi i kroner etter t år. Bruk modelleringsalgoritmen til å lage en modell i Python for bilens verdi. Tegn grafen som viser bilens verdi etter t år.

3.22 Skriv et program i Python som modellerer logistisk vekst. Funksjonen skal ha bæreevne B ¼ 100, starte i ð0, 10Þ og gå gjennom ð20, 90Þ. 3.23 a Last inn datasettet i fila «verdensbefolkning.csv». b

Lag et spredningsdiagram av datasettet.

c

Vurder hvilken modell du vil bruke. Tegn grafen til en funksjon som modellerer datasettet.

d

Punktene kan se ut til å ligge på en rett linje. Forklar hvorfor det kan passe i en logistisk modell.

Fila «stroemforbruk-norge.csv» inneholder data om strømforbruket i Norge fra 1. august til 30. november 2021. a

Bestem en eksponentiell modell for datasettet over strømforbruket i Norge.

b

Bruk modellen til å anslå samlet strømforbruk i Norge i august–november 2021.

c

Det faktiske strømforbruket i Norge i perioden var 42 050 164 MWh. Hvordan passer dette med modellen?

3.26 Datasettet i fila «covid19-norge.csv» inneholder data over antall personer som ble smittet av covid-19 i Norge i 2020.

3.24 Fila «internettbruk.csv» inneholder data om bruken av internett i Norge fra 1990 til 2019.

a

Last inn datasettet i et program i Python.

b

Lag et spredningsdiagram over andelen smittede fram til juni.

Tegn grafen til en funksjon som modellerer datasettet.

c

Bygg opp en funksjon som modellerer andelen smittede fra 12. mars til 20. mai, og tegn grafen til denne modellen sammen med spredningsdiagrammet.

d

Kommenter modellen.


Mønster og oversikt 189

MØ NS T E R O G O V E R S IKT Matematiske modeller

Eksterne datasett i Python

En matematisk modell er en beskrivelse av virkeligheten og kan bestå av

Laste inn datasett: df = pd.read_csv('filnavn.csv')

funksjoner

grafer geometriske former dataprogrammer

formler

likninger

tabeller

Konvertere til liste: tid = df['Tid'].tolist()

Modellering av datasett

Modellering 1

Forenkle og avgrense problemet

2

Innhente data og definere størrelser og variabler

3

Oversette til matematisk språk

4

Løse problemet matematisk

5

Tolke løsningen og vurdere gyldigheten til modellen

laste inn datasettet i Python

tegne spredningsdiagram

vurdere hvilken modell vi vil bruke

skrive koden med modelleringsalgoritmen

sammenlikne datasettet med modellen

justere koden

Gyldighet og valg av matematisk modell Modellering med regresjon Regresjon handler om å tilpasse en kurve til et datasett. De vanligste regresjonsmodellene er

lineær modell f ðxÞ ¼ ax þ b

andregradsmodell f ðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c

tredjegradsmodell f ðxÞ ¼ ax3 þ bx2 þ cx þ d

eksponentiell modell f ðxÞ ¼ a bx

potensmodell f ðxÞ ¼ a xb

logistisk modell f ðxÞ ¼

Velg en modell som passer godt til datasettet.

Kunnskap om situasjonen er viktig for å velge riktig modell.

Interpolasjon er å bruke modellen innenfor dataområdet.

Ekstrapolasjon er å bruke modellen utenfor dataområdet. Da øker usikkerheten.

Gyldighetsområdet til en modell er de verdiene av variabelen som modellen gjelder for.

B 1 þ ekx

Vekst Lineær vekst: 1y ¼ 1x a

y = y + delta_x * a

Eksponentiell vekst: 1y 1x k y

y = y + delta_x * k * y

Logistisk vekst: 1y 1x k y ðB yÞ

y y = y + delta_x * k * y * (1 – ) B


190 KAPITTEL 3 – MODELLERING

Modellering i Python Modelleringsalgoritmen er slik:

xstart = 1 xslutt = 10 3 ystart = 2 4 delta_x = 0.1

Setter opp startverdier. Her går x fra 1 til 10. Funksjonen starter i y = 2. x øker med 0,1 hver gang.

1 2

5

Klargjør x og y for while-løkka nedenfor.

x = xstart 7 y = ystart 6 8

while x <= xslutt: y = y + 11 x = x + delta_x 9

Det er her funksjonsverdiene bygges opp. Løkka kjører til x når største verdi.

10

Koden vil bare fungere når vi har definert hvordan y endres.

Eulers metode: 1y 1x f 0 ðxÞ

Avgjør om påstanden stemmer 1

Når vi bruker en modell til å si noe om framtiden, blir modellen mer og mer usikker desto lenger fram i tid vi går.

2

Verdiene vi får ved interpolasjon, er som oftest sikrere enn verdiene vi får ved ekstrapolasjon.

3

Gyldighetsområdet til en modell er det samme som området vi har data for.

4

Gitt en funksjon f , da forteller f 0 ðbÞ f 0 ðaÞ det samlede arealet under grafen til f fra a til b.

5

Vi kan bruke regresjon til å lage en matematisk modell.

6

En modell gir eksakt informasjon om en hendelse to måneder fram i tid.

7

Gitt en funksjon f , da forteller vokser fra a til b.

Rb

f ðxÞ dx hvor mye funksjonen

a

8

Ved eksponentiell vekst er veksten proporsjonal med funksjonsverdien.

9

Ved et logistisk forløp går den deriverte mot null når x øker over alle grenser.


Test deg selv 191

Test deg selv Uten hjelpemidler

3.27 Blant grafene nedenfor finner du: 1

en andregradsfunksjon

4

en logistisk funksjon

2

en tredjegradsfunksjon

5

en potensfunksjon

3

en eksponentialfunksjon

Hvilken funksjonstype beskriver hvilken graf? A

y

D

y

f f

x

B

y

x

E

y f

f

x

C

y

x

F

y

f

f

x

x


192 KAPITTEL 3 – MODELLERING

Med hjelpemidler

3.28 En bedrift selger en ny vare. Etter t uker regner bedriften med å selge f ðtÞ enheter av varen. Funksjonen er gitt ved f ðtÞ ¼ 320e 0,03t 280e 0,06t þ 240,

t 2 ½0, 104

a

Tegn grafen til f .

b

Hvor mange enheter regner bedriften med å selge den 30. uka?

c

Finn en tilnærmingsverdi for hvor mange enheter bedriften regner med å selge totalt det første året.

3.29 Tabellen viser antall tilflyttede innbyggere i en norsk kommune per 1. januar noen utvalgte år: År

2014 2016 2017 2019 2020

Antall tilflyttende innbyggere 4804 5104 5166 5158 5040

3.30 En undersøkelse viser hvor stor andel av befolkningen som har tilgang til Internett hjemme. Tallene fra undersøkelsen finnes i fila «internett-privat.csv». Koden nedenfor laster inn datasettet og lager en modell: 1 2 3

fil = 'internett-privat.csv' 5 df = pd.read_csv(fil, sep=';', comment='#', decimal='.') 4

6

år = df['År'].tolist() 8 andel = df['Andel'].tolist() 7

9 10 11

a

Bestem en modell f ðxÞ for tilflyttende innbyggere x år etter 1. januar 2014.

b

Hva vil antall tilflyttede være i begynnelsen av 2021 ifølge modellen?

c

Regn ut f 0 ð6Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

d

Regn ut

R6

f ðxÞ dx og forklar hva svaret er

0

en tilnærmingsverdi for. e

Hva var gjennomsnittlig tilflytting til kommunen per år fra 2014 til 2020?

import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt

12 13 14

xstart = år[0] ystart = andel[0] xslutt = år[10] delta_x = .1 k = .3

15

xverdier = [] 17 yverdier = [] 16

18

x = xstart 20 y = ystart 19

21 22 23 24 25 26

while x <= xslutt: xverdier.append(x) yverdier.append(y) y = y + delta_x * k * y x = x + delta_x

27

plt.plot(år, andel, 'x') 29 plt.plot(xverdier, yverdier) 30 plt.show() 28


Test deg selv 193

3.31 Vi setter en kopp varm te på bordet og måler hvordan temperaturen i teen endrer seg med tiden. Romtemperaturen er 23 C.

Når vi kjører koden, får vi dette resultatet:

120 100

Tid, x ðminÞ

80

Temperatur, T ð CÞ

60

15

30

45

60

75

90

81

66

54

47

41

36

33

40

Målingene er registrert i fila «temperatur.csv», som du finner i Skolestudio.

20

a

Bruk regresjon i GeoGebra eller Python til å bestemme den andregradsfunksjonen som passer best til målingene.

b

Bruk regresjon i GeoGebra eller Python til å bestemme den eksponentialfunksjonen som passer best til målingene.

c

Bruk eksponentialmodellen fra b til å anslå temperaturen i teen etter tre timer.

1995

2000

2005

2010

2015

2020

a

Forklar hver linje i koden.

b

Hva slags modellfunksjon er brukt i koden? Forklar hvordan du vet dette.

c

0

Rundt 2004 blir grafen til modellfunksjonen raskt veldig høy, mens markeringene fra datasettet bøyer av. Foreslå hvilke endringer du vil gjøre i koden for at modellen skal passe bedre.

For å unngå at modellen gir temperaturer som er lavere enn romtemperaturen, lager vi i stedet en modell for differansen mellom temperaturen i teen og temperaturen i rommet. Vi begynner med å sette opp en ny tabell: Tid, x ðminÞ Temperaturdifferanse, Td ð CÞ

0

15

30

45

60

75

90

58

43

31

24

18

13

10

d

Bruk regresjon til å finne den eksponentielle modellen Td ðxÞ som passer best til å beskrive temperaturdifferansen.

e

Da teen begynte å trekke i kanna, hadde den en temperatur på 90 C. Hvor lenge før den første målingen var det?


194 KAPITTEL 3 – MODELLERING

Oppgaver 3.33 Figuren nedenfor viser en modell for været i Bergen en periode i slutten av februar 2020.

3.1 Matematiske modeller 3.32 En kommune regner med at innbyggertallet vil falle jevnt de neste årene, etter modellen f ðxÞ ¼ 7940 270x Her er f folketallet, og x er antall år fram i tid. Nabokommunen er mindre, men vokser raskt. Her forventer de at innbyggertalllet vil følge modellen gðxÞ ¼ 5760 1,04x a

Tegn grafene til de to modellene i GeoGebra.

b

Finn ut grafisk hvor lang tid det tar før de to kommunene har samme innbyggertall. Hva er innbyggertallet da?

c

Regn ut g 0 ð2Þ og g 0 ð6Þ. Gi en praktisk tolkning av hva svarene er en tilnærmet verdi for.

a

Hva var den høyeste temperaturen i perioden?

b

Hvilke andre størrelser enn temperatur kan vi lese av modellen?

c

Hva slags variabler tror du meteorologene har brukt for å lage modellen?

Fredag 28. februar

Lørdag 29. februar

8° 7° 6° 5° 4°

5,9

3° 2° 1° 0° -1° -2°

2,8 2,0 2 0 1,2

1,3 1,2

0,9

1,3 0,4

0,2 0,1

0

10

0

0,1 0,1

12

0

14

1,6

1,9

2,3 2,1 1,5

0,8 0

1,1 0,7 0,9 0,9

0,7 0

16

0,1 0,2 0,1

18

0

20

0

2,0

1,6

1,2

0

22

0

0

00

0

0

02

1,1

0,1

0

04

0

0

06

1,1

0

0

08

0,6 0,8 0

0

10

12

14

16

18

20

22

00

02

04

06


Oppgaver 195

3.34 I Norge panter vi mange flasker. Likevel havner ca. 41,5 millioner flasker i søpla. Gå ut fra at vi klarer å redusere mengden med 8 % per år framover. a

Lag en modell for antall pantede flasker om x år.

b

Hvor mange flasker blir pantet om fem år i følge modellen?

c

Tegn grafen for x mellom 0 og 25.

d

Hvor lang tid tar det før det er 6 millioner flasker som havner i søpla?

3.35 Pernille er på en løpetur som varer i 50 minutter. Pulsen hennes følger modellen PðxÞ ¼ 0,05x þ 2,9x þ 54, x 2 ½0, 50 2

Her er PðxÞ slag per minutt, og x er minutter. a

Tegn grafen til funksjonen P.

b

Hvilken puls har Pernille i følge modellen etter 30 minutter?

c

Regn ut

R50

PðxÞ dx og gi en praktisk tolkning

b

La x være høyden til esken. c

Forklar at bredden til esken må være 21 2x.

d

Finn lengden uttrykt ved x.

e

Vis at volumet til esken målt i kubikkcentimeter er gitt ved VðxÞ ¼ 4x3 101,4x2 þ 623,7x. Bestem definisjonsmengden til funksjonen.

f

Bruk funksjonen til å regne ut volumet av esken du har laget. Hvordan stemmer resultatet med volumet du har regnet ut?

g

Tegn grafen til V.

h

Finn det største volumet esken kan ha.

0

av svaret.

3.36 Papirark har en fast størrelse oppgitt som A0, A1, A2, A3, A4, A5 osv. Formatene starter med rektangelet A0, som har areal 1 m2 . Forholdet mellom lengde og bredde er det samme i alle formatene. Vi finner neste format ved å dele lengden på midten. Når vi deler et A1-ark, får vi to A2-ark osv. Regn ut arealet til et A4-ark.

3.37 Et A4-ark har lengde 29,7 cm og bredde 21 cm. Vi skal undersøke hvor stort volum vi kan få hvis vi bretter arket til en eske uten lokk. a

Brett en eske med størst mulig volum. Klipp bort like store kvadrater i hvert hjørne, slik figuren øverst i neste spalte viser. Brett opp sidekantene og teip dem sammen.

Mål eskens høyde, lengde og bredde, og regn ut volumet. Sammenlikn volumet med andre som har gjort oppgaven.

3.38 Funksjonen f ðxÞ ¼ 5,81x0,728 er en modell for energibehovet til fugler. Her er f energibehovet målt i kJ=døgn, og x vekten i gram til fuglene. a

Tegn grafen til funksjonen f for x 2 ½80, 500 .

b

Hva er energibehovet til en fugl som veier 200 gram?

c

Hvor mye veier en fugl med energibehov 500 kJ=døgn?

d

Regn ut f 0 ð200Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

e

Hva mener du om modellens gyldighet framover?


196 KAPITTEL 3 – MODELLERING

3.2 Modellering med regresjon 3.39 Tabellen viser gjennomsnittsvekta til guttebarn de ti første månedene etter fødselen: Alder, x (måneder) Vekt, v (kg)

0

2

4

6

8

10

3,8

5,5

7

8

8,9

9,5

a

Bestem en modell, vðxÞ, for gjennomsnittsvekta x måneder etter fødselen.

b

Tegn grafen til v sammen med punktene fra tabellen.

c

Hva er gjennomsnittsvekta til et tre måneder gammelt guttebarn?

3.40 Tabellen nedenfor viser en serie med x-verdier og tre serier med tilhørende y-verdier. Bruk regresjon til å finne den funksjonen som passer best til hver av seriene med y-verdier. x

0

2

4

6

10

20

y1

100

82

66

52

34

11

y2

62

74

81

84

80

10

y3

60

56

52

50

41

22

3.41 Tabellen viser hvordan høyden til et spedbarn utviklet seg fra fødselen og fram til barnet var åtte måneder gammelt: Alder (måneder)

0

2

4

8

Høyde

51

57

63

71

3.42 Jens bor på Frøya og har notert ned maksimumstemperaturen annenhver dag i juli måned slik tabellen viser: Dato

Temperatur ( C)

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

18,3 16,1 18,0 15,9 16,7 25,3 26,0 23,2 22,0 18,8 29,3 23,4 17,1 20,9 25,7 19,5

Bruk digitalt verktøy til å modellere og beskrive datasettet.

3.43 Butikken Dobbel AS selger hybridbiler. Tabellen viser hvordan salget har utviklet seg: År

2000

2002

2004

2006

2008

Antall

117

133

157

182

208

a

Bruk regresjon til å finne en lineær modell f ðxÞ for antall solgte hybridbiler x år etter 2000.

b

Bruk regresjon til å finne en eksponentiell modell gðxÞ for antall solgte hybridbiler x år etter 2000.

c

Tegn grafene til f og g sammen med punktene fra tabellen.

a

Finn en tredjegradsfunksjon for barnets høyde x måneder etter fødselen.

d

Hva forteller den lineære modellen om økningen i salg av hybridbiler?

b

Anslå gyldighetsområdet til denne modellen.

e

Hva forteller den eksponentielle modellen om økningen i salg av hybridbiler?

f

Vurder hvilken av modellene som best beskriver utviklingen.


Oppgaver 197

g

Hvor mange hybridbiler selger butikken i år 2016 ifølge hver av modellene?

h

Er det mulig å si noe om hvor langt framover modellene vil være gyldige?

3.44

b

Hvor stor var folkemengden på Svalbard i 2017 ifølge din modell? Hvordan passer den med antall bosatte i virkeligheten?

c

Hvor mange bosatte var det i gjennomsnitt per år de sju årene 2015–2021?

d

Hvor mange bosatte er det på Svalbard i 2030 ifølge din modell. Kommenter svaret med tanke på om dette er et rimelig estimat.

3.46

Tabellen nedenfor viser gjennomsnittlig Internett-bruk målt i antall minutter per dag blant barn og unge i perioden 2010–2017: a

Bruk figuren og regresjon til å modellere og analysere strømprisene i Sør-Norge i 2020.

b

Lag en matematisk modell ut fra figuren for strømprisen i 2021.

c

Hva blir strømprisen i desember 2021 ut fra din modell? Undersøk også hva den virkelige strømprisen var i desember 2021, og sammenlikn det med din modell.

3.45 Tabellen viser folkemengden på Svalbard i perioden fra 2015 til og med 2021.

a

År

2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021

Folkemengde

2173 2116 2003 2079 2049 2208 2116

Bruk datasettet i tabellen og lag en matematisk modell for folkemengden på Svalbard.

Årstall

Alle

Personer 9 15 år

Personer 16 24 år

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

85 86 95 112 120 127 140 158

66 75 80 102 102 119 116 137

162 150 163 196 204 213 243 252

a

Hvilken aldersgruppe mener du har hatt den største økningen i nettbruken fra 2010 til 2017?

b

Lag en modell som viser hvordan nettbruken i denne aldersgruppen har endret seg siden 2010.


198 KAPITTEL 3 – MODELLERING

3.3 Modellering med programmering

3.52 Datasettet i fila «verhulst-usa.csv» har folketallet i USA hvert tiår fra 1790 til 1990.

3.47 En rett linje går gjennom punktene ð 2, 8Þ og ð3, 1Þ. Bruk modelleringsalgoritmen til å tegne grafen til en funksjon som går gjennom punktene.

a

Last inn datasettet i Python.

b

Lag en modell som best mulig beskriver datasettet.

c

I 1840 brukte Pierre Verhulst logistisk modellering på dette datasettet til å forutsi befolkningen i USA i 1940. Han bommet med mindre enn 1 %. Gjennomfør Verhulsts modellering.

3.48 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 2x 5. Bruk modelleringsalgoritmen til å bygge opp en verditabell for funksjonen for x 2 ½ 5, 5 . Bruk steglengde 0,5 langs x-aksen. 3.49 En funksjon f går gjennom ð0, 1Þ. Den deriverte av funksjonen er f 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ. a

Bruk Eulers metode til å tegne grafen til funksjonen for x 2 ½ 1, 4 . Bruk 1x ¼ 0,1.

b

Hva er funksjonsuttrykket til f ?

3.50 Huset til Elin er verdt 2 millioner kroner. Hun regner med at huset vil stige i verdi med omtrent 5 % per år. La f være verdien av huset etter t år. Bruk Eulers metode til å lage en modell for husets verdi der veksthastigheten er proporsjonal med verdien til huset. Tegn grafen som viser verdien til huset på tidspunktet t de neste 20 årene.

3.51 Fila «elbiler-norge.csv» inneholder andelen elbiler i Norge i perioden 2011–2021.

3.53 På Dovrefjell var det i 1995 om lag 50 moskus. Marianne har skrevet et program i Python som modellerer bestanden de neste 25 årene: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

import matplotlib.pyplot as plt

a

I koden har Marianne slettet verdien av variabelen for bæreevnen. Skriv av koden til Marianne. Prøv deg fram og bestem B slik at modellen omtrent går gjennom punktet ð10, 188Þ. Omtrent hvor mange moskus er det ifølge modellen plass til på Dovre?

b

Utvid koden til Marianne slik at hvis x er mindre enn 0,1 unna 10, så skriver programmet ut verdien av y.

Skriv et program som modellerer andelen elbiler i Norge som funksjon av tiden. Tegn grafen til modellen sammen med datasettet.

xstart = 0 xslutt = 25 ystart = 50 deltax = .1 k = 0.25 B= # Hva sto det her? xverdier = [] yverdier = [] x = xstart y = ystart while x <= xslutt: xverdier.append(x) yverdier.append(y) y = y + deltax * k * y * (1 - y/B) x = x + deltax plt.plot(xverdier, yverdier) plt.show()


Oppgaver 199

Blandede oppgaver 3.54 Mor til Helmer er matematiker. Det året Helmer blir 15 år, bestemmer hun at månedspengene han skal få, skal være ulik for hver av de tolv månedene. Tabellen viser månedspengene fra da Helmer fyller 15 år, og fire måneder framover. Måned Månedspenger (kr)

0

1

2

3

4

500

520

540

562

586

a

Finn en matematisk modell, f ðtÞ, for månedspengene til Helmer t måneder etter at han fylte 15 år.

b

Hvor mye har Helmer fått til sammen i månedspenger det året han er 15 år?

3.56 I mai 2019 kunne vi lese i Aftenposten om Liv fra Oslo, som har ført statistikk over når bjørka i hagen hennes springer ut. Hvert år fra og med 1993 har hun notert seg datoen for de første skuddene. Resultatene ser du i tabellen nedenfor:

3.55 En populasjon av husmus vokser raskt. Et vanlig kull består av fire til sju unger, og drektighetstiden er 19 dager. Lag ulike modeller som viser hvordan en populasjon av husmus kan vokse. Diskuter de ulike modellene og modellenes gyldighet i klassen.

År etter 1990

Dager etter 30. mars

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

24 23 24 27 15 22 24 21 30 14 17 15 15 25 8 17 16 20 15 28 35 3 11 12 8 19 5

a

La x være antall år etter 1990 og bruk regresjon til å bestemme den lineære modellen f ðxÞ som passer best til målingene.

b

Tegn grafen til modellen sammen med måledataene.

c

Gir målingene grunn til å hevde at våren kom senere på begynnelsen av 1990-tallet?

d

Hvor mye tidligere springer bjørka ut 30 år etter at Liv startet målingene sine, ifølge modellen?

e

En klimaskeptiker vil kanskje si at det er altfor store variasjoner i tallene til å si noe om framtiden. Hva vil du si til det? Diskuter gjerne med en medelev.


200 KAPITTEL 3 – MODELLERING

3.57

3.58 Millioner Sm3 o.e 300 Totalt

250 200

Gass

150 100 Olje

50 1970

Figuren viser et rutenett med 8

8 ruter.

a

Hvor mange ruter er det i den mørke rammen?

b

Forklar at vi kan regne ut antall ruter i den mørke rammen slik: 2 8 þ 2 6 ¼ 28

c

På hvilke andre måter kan vi regne ut dette antallet?

Vi ser nå på et rutenett med n

n ruter.

1980

1990

2000

2010

2020

Figuren viser en grafisk framstilling av olje og gass utvunnet fra Nordsjøen. Bruk figuren til å analysere og tolke informasjonen. Bruk modellering til å beskrive utviklingen framover i tid og gi en beskrivelse av samlet mengde ved hjelp av et bestemt integral.

3.59 Vi regner at verdien av en elsykkel faller med om lag 30 % det første året og rundt 10 % per år de neste fem årene. Funksjonen nedenfor er en modell for elsykkelens verdi x år etter at den ble kjøpt:

d

Bruk regnemåtene som du kom fram til i oppgave b og c, og lag tilsvarende uttrykk for antall ruter i den ytre rammen i n n-rutenettet.

e

Gjør om på uttrykkene og vis at de er like.

f

Lag en funksjon f ðnÞ som gir antall ruter i den ytre rammen i et n n-rutenett.

VðxÞ er her sykkelens verdi, og P er sykkelens pris som ny.

g

Hva er stigningstallet til funksjonen? Gi en praktisk tolkning av stigningstallet.

a

Forklar de ulike delene av funksjonsuttrykket. Hvorfor er eksponenten x 1?

h

Hvor mange ruter er det totalt i et rutenett med 1000 ruter i den ytre rammen?

b

Nevn noen faktorer som påvirker elsykkelens verdi, men som modellen ikke tar hensyn til.

VðxÞ ¼ P 0,7 0,9x 1 ,

DV ¼ ½1, 6

En ny elsykkel koster nå 32 000 kr. c

Anslå elsykkelens verdi etter 1 år og 5 år.

d

Finn grafisk hvor lang tid det tar før elsykkelens verdi er halvert.

e

Bruk CAS til å løse likningen 0,7 0,9x 1 ¼ 0,5. Hva forteller svaret om sykkelens verditap?


Oppgaver 201

3.60 Tabellen viser farten til en bil de første åtte sekundene av en kjøretur. Tid ðsÞ

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Fart ðm=sÞ

0

4

8

12

15

17

18

18

18

a

Tegn punktene i et koordinatsystem og finn en funksjon f som kan passe til punktene.

b

Finn arealet mellom grafen til f og linjene x ¼ 0 og x ¼ 8.

c

Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b.

3.61 I fila «jerv.csv» finner du en oversikt over antall felte jerv i Norge i perioden 1846–2020. a

b

Velg ut perioden fra og med 1975 til og med 2011. La x være antall år siden 1975 og f være antall felte jerv. Bruk regresjon til å finne funksjonsuttrykket til en funksjon f ðxÞ som du mener best mulig beskriver sammenhengen mellom antall felte jerv og antall år etter 1975. Velg ut en annen tidsperiode hvor du mener det ikke blir riktig å bruke samme funksjonstype. Hvilken funksjonstype passer best for denne perioden?

3.62 Et firma importerer og selger et produkt. Antall importerte og solgte enheter per år finner du i tabellen nedenfor: År Antall

0

1

2

4

5

6

133

155

172

218

232

240

a

b

Bruk tabellen til å finne en logistisk modell som viser antall importerte og solgte enheter per år. Finn modellen 1

med regresjon i GeoGebra

2

med regresjon i Python

3

med modelleringsalgoritmen i Python

Hvor mange enheter vil firmaet importere og selge etter ti år, dersom utviklingen fortsetter som i tabellen?

3.63 Datasettet i fila «handleandel.csv» viser andelen kvinner på 16–24 år som har handlet på nett i løpet av de seneste tre månedene i perioden 2009–2021. a

Skriv et program i Python som lager et spredningsdiagram over antall år siden 2009 og andelen som har handlet på nett i løpet av de seneste tre månedene.

b

Bruk modelleringsalgoritmen til å lage en lineær modell som beskriver utviklingen i datasettet.

c

Argumenter for hvordan utviklingen vil fortsette, og lag en logistisk modell for andelen.

3.64 Faren til Lucas kjøper en elsykkel til 30 000 kr. Han regner med at verdien på sykkelen vil tape seg med omtrent 14 % per år framover. La f ðxÞ være verdien til sykkelen om x år. a

Sett opp et funksjonsuttrykk for f ðxÞ.

b

Skriv en kode i Python som bruker modelleringsalgoritmen til å bygge opp en modell for verdien av elsykkelen de neste ti årene.

c

Tegn grafen til f ðxÞ i samme koordinatsystem.


202 KAPITTEL 3 – MODELLERING

3.65 En tredjegradsfunksjon f ðxÞ går gjennom punktene ð 3, 25Þ, ð0, 5Þ, ð3, 1Þ og ð6, 11Þ. Bruk regresjon i Python til å bestemme funksjonsuttrykket til f .

3.68 En pasient får kontinuerlig tilførsel av medisin. Medisintilførselen er størst i begynnelsen og avtar etter hvert, og den er gitt ved MðtÞ ¼ e 24 , t

3.66 Tabellen viser sammenhengen mellom noen x- og y-verdier: x

1

4

25

64

121

y

1

2

5

8

11

der t er timer etter start, og der MðtÞ er målt i milligram per time. a

Hvor lang tid tar det før medisintilførselen er halvert?

b

Forklar at

3.67 Ariel tar en løpetur på 40 minutter og har en pulsklokke på armen. Pulsklokka registrerer både tiden hun bruker på løpeturen, og pulsen hun har underveis. Tabellen viser registreringene: Tid (minutt)

Puls (antall slag per minutt)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

90 115 139 148 156 154 146 143 129

R24

MðtÞ dt gir den totale medisin-

0

Bruk regresjon til å finne en matematisk modell som viser sammenhengen.

Øv til eksamen

t 0

mengden som pasienten får tilført i løpet av det første døgnet, og regn ut integralet. Medisinen skilles etter hvert ut av kroppen. Etter t timer kan medisinmengden i kroppen uttrykkes som funksjonen U gitt ved t 48 24t e e 4 UðtÞ ¼ 5 der UðtÞ er målt i milligram, og der t ¼ 0 er starten av behandlingen. c

Når er medisinmengden i kroppen størst?

d

Når er det medisinmengden i kroppen avtar raskest?

3.69 Figuren viser de fem første trinnene i Sierpińskis trekant, oppkalt etter den polske matematikeren Wacław Sierpiński. Det første trinnet er en likesidet trekant med omkrets 3.

Tiden x er gitt i minutter etter start, og pulsen PðxÞ er antall slag per minutt. a

Analyser datasettet og finn en modell som beskriver pulsen til Ariel under løpeturen.

a

Hvor mange svarte trekanter er det i trinn 1, 2, 3 og 4?

b

Hvordan passer modellen din til å beskrive pulsen til Ariel 20 minutter etter løpeturen og 60 minutter etter løpeturen?

b

Hvor mange svarte trekanter er det i trinn n?

c

Vis at samlet omkrets til de svarte trekantene i trinn 2 er 4,5.

c

Oppgi et passende gyldighetsområde for modellen.

d

Regn ut gjennomsnittspulsen til Ariel i løpet av turen.


Oppgaver 203

d

Hva er samlet omkrets til de svarte trekantene i trinn 3 og 4?

e

Finn en eksponentialfunksjon som gir samlet omkrets til de svarte trekantene i trinn n.

f

Hva skjer med samlet omkrets til de svarte trekantene når vi øker antall trinn? Er det noen grense for hvor stor omkretsen kan bli?

g

3.71 (Eksamen S2 høsten 2021) Solveig jobber som trener for en idrettsklubb. Timelønna avhenger av om hun jobber på dagtid, på kveldstid eller i helgene. Tabellen gir en oversikt over hvor mye Solveig tjente de tre første månedene i 2021.

Hva skjer med samlet areal til de svarte trekantene når vi øker antall trinn? Begrunn svaret.

3.70 (Eksamen S2 våren 2021) På figuren nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f , der f ðxÞ er på formen A , k>0 f ðxÞ ¼ 1 þ B e k x I samme figur har vi også tegnet inn tangenten til grafen til f i punktet ð0, 2Þ. Vi har også tegnet inn linja y ¼ 10, som er en asymptote til grafen til f .

a

Bestem tallene A og B.

b

Gjør nødvendige beregninger og vis at k ¼ 0,5.

Dag (timer) Kveld (timer) Helg (timer) Lønn (kroner) Januar

45

21

14

17 830

Februar

28

35

24

21 470

Mars

33

18

12

14 280

Bruk opplysningene til å bestemme timelønna til Solveig når hun jobber på dagtid.

3.72 (Eksamen S2 høsten 2021) Et virus sprer seg i et land. Da virusutbruddet ble oppdaget, var allerede 1,5 % av befolkningen smittet. En forsker mente at dersom det ikke ble satt inn tiltak, ville 22 % av befolkningen ha blitt smittet etter 20 døgn og 44 % etter 30 døgn. Andelen som har blitt smittet t døgn etter at viruset ble oppdaget, kan modelleres med en funksjon g på formen N gðtÞ ¼ 1 þ a e k t a Bruk opplysningene ovenfor til å bestemme N, a og k. b

Hvor stor andel av befolkningen ville blitt smittet ifølge denne modellen?

Det ble satt inn tiltak mot viruset den dagen utbruddet ble oppdaget. Vi kan gå ut fra at andelen nye registrerte smittede i løpet av døgn t etter at utbruddet ble oppdaget, er gitt ved modellen ðt 18Þ2 300

f ðtÞ ¼ 0,0070 e

,

t 0

c

Tegn grafen til f i et koordinatsystem.

d

Hvilket døgn vil smitten øke raskest ifølge modellen f ?

e

Hvor stor andel av befolkningen blir smittet av dette viruset?


204 KAPITTEL 3 – MODELLERING

3.73 (Eksamen S2 høsten 2020)

3.74 (Eksamen S2 høsten 2020) Marit har i mange år tatt medisiner. Hver dag tar hun én tablett som inneholder 20 mg av et virkestoff. I løpet av ett døgn bryter kroppen ned 25 % av virkestoffet i tabletten. a

Vis at Marit har i underkant av 80 mg av virkestoffet i kroppen like etter at hun har tatt den daglige tabletten sin.

Det viser seg at Marit ikke tåler mer enn 60 mg av virkestoffet i kroppen. Hun må derfor få nye tabletter, som inneholder mindre av virkestoffet. b De årlige inntektene I (i milliarder kroner) til selskapet Netflix er tilnærmet gitt ved IðxÞ ¼ 6,594 e0,234x . Her er x antall år etter 2005. Det vil si at Ið0Þ er inntektene i 2005, Ið1Þ er inntektene i 2006, og så videre. a

Bruk funksjonen I til å lage en grafisk framstilling av inntekten til Netflix for årene fra og med 2005 til og med 2030.

b

I hvilket år vil inntektene første gang øke med mer enn 160 milliarder kroner per år?

c

Bestem

R15

IðxÞ dx. Gi en praktisk tolkning

0

av dette tallet.

Hvor mye virkestoff kan det være i hver tablett for at Marit skal unngå å ha mer enn 60 mg av virkestoffet i kroppen til enhver tid?

I en annen medisin har virkestoffet en halveringstid på 66 timer. Det vil si at det går 66 timer fra en bruker tar en tablett, til det kun er halvparten av virkestoffet fra tabletten igjen i kroppen. En bruker har tatt én tablett med 10 mg av virkestoffet hver dag over en lang tidsperiode. c

Hvor mye av virkestoffet vil brukeren ha i kroppen like etter at han har tatt den daglige tabletten sin?


Oppgaver 205

3.75 (Eksamen S2 våren 2022) I en by i Norge ble det i 2021 kartlagt hvor mange som ble immune mot en sykdom. Tabellen viser hvor stor prosentandel av befolkningen som var immune ved slutten av noen utvalgte måneder i 2021: t

2

4

6

8

10

Prosentandel immune

6

21

41

68

81

Her er t ¼ 1 slutten av januar 2021, t ¼ 2 slutten av februar 2021 og så videre. a

Bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell g for situasjonen.

b

Ved hvilket tidspunkt vil andelen immune passere 85 prosent ifølge modellen?

c

Vil hele befolkningen noen gang bli immune i følge modellen? Begrunn svaret.

I en annen by er N gitt ved NðtÞ ¼

2300e 0,61t ð1 þ 40e 0,61t Þ2

en god modell for hvor mye prosentandelen som er immune, økte med per måned, t måneder etter 1. januar 2021. Det vil si at Nð1Þ er prosentandelen nye immune i januar 2021, Nð2Þ er prosentandelen nye immune i februar 2021, og så videre. d

Bruk graftegner til å tegne grafen til N.

e

Bestem

12,5 R

NðtÞdt. Hva forteller svaret

0,5

i denne situasjonen?


4

ØKONOMISKE MODELLER

1874

Den franske økonomen Léon Walras publiserer Éléments d'économie politique pure, hvor han forklarer generelle markedsmekanismer ut fra teorier om likevekt.

1874

1700

1750

1850

1800 1776

Den skotske økonomen Adam Smith gir ut Wealth of Nations, som mange regner som opprinnelsen til faget samfunnsøkonomi

1838 Antoine Augustin Cournot, fransk professor i matematikk, bruker funksjoner og grafer til å beskrive matematiske modeller for tilbud og etterspørsel


Hva slags modeller knyttet til produksjon og salg bruker en bedrift? Hvordan kan en bedrift maksimere overskuddet?

Størst overskudd Jobb sammen to og to En bedrift produserer og selger x enheter av en vare per dag. Grafene viser hvordan daglige inntekter IðxÞ, kostnader KðxÞ og overskudd OðxÞ varierer med x. y 80 000 70 000 60 000

I(x)

50 000 40 000

K(x)

30 000 20 000 O(x)

10 000

–10 000

1900

1930

50

100

150

200 250 300 350 400 450 500 x

1

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for å gå med overskudd?

2

Hvor mange enheter må den produsere og selge for å få størst mulig overskudd?

3

Hvilke sammenhenger er det mellom IðxÞ, KðxÞ og OðxÞ?

1990

1960

1936

1989

Den britiske økonomen John Maynard Keynes, som mange regner som makroøkonomiens grunnlegger, gir ut The General Theory of Employment, Interest and Money

Den norske økonomen Trygve Haavelmo mottar nobelprisen i økonomi for sin bruk av statistiske og matematiske metoder innen samfunnsøkonomisk teori


208 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

4.1 Kostnadsfunksjoner UTFORSK Du trenger: GeoGebra Tabellen viser hvordan den daglige kostnaden til en bedrift avhenger av antall enheter den produserer per dag: Antall enheter per dag, x

Kostnadsfunksjoner:

Kostnad per dag (kr), KðxÞ

0

20 000

100

23 000

200

27 900

300

34 900

400

43 800

1

Bruk regresjon til å finne en andregradsmodell for kostnaden.

2

Hvor stor del av kostnaden er uavhengig av antall enheter?

3

Hvordan ser vi av grafen at kostnaden per ny enhet som blir produsert, øker? Gi eksempler på hva dette kan komme av.

En bedrift som produserer varer, har både inntekter fra salg og kostnader knyttet til produksjonen. Hvis inntektene er større enn kostnadene, går bedriften med overskudd. For å planlegge produksjonen og få størst mulig overskudd, lager bedriften modeller for inntekter og kostnader. Modellene bygger på tidligere erfaringer og data, men er tilnærminger med begrenset gyldighet. Vi skal undersøke en modell for kostnadene til en båtprodusent. Ved en produksjon på x båter i måneden er de totale kostnadene i antall tusen kroner per måned tilnærmet lik KðxÞ ¼ 0,85x2 þ 42x þ 610,

x 2 ½0, 20

Figuren øverst på neste side viser grafen til KðxÞ.


Kostnadsfunksjoner 209 y, 1000 kr 1800 1600 1400 1200 1000

K(x) = 0,85x2 + 42x + 610

800 600 400 200 2

4

6

8

10

12

14

16 18 20 22 x, antall enheter

Konstantleddet forteller oss at båtprodusenten har faste kostnader på 610 000 kr i måneden. Disse er uavhengige av antall båter som blir produsert, og kan for eksempel bestå av faste lønnskostnader og kostnader ved leie av lokaler. Båtprodusenten har også variable kostnader, som avhenger av produksjonen. Leddet 42x betyr at kostnadene øker med 42 000 kr per båt, noe som kan skyldes strømforbruk og materialkostnader. Dette er kostnader som er proposjonale med antall båter som blir produsert. Leddet 0,85x2 viser kostnader som øker mer og mer per båt som blir produsert. Det kan være overtidsbetaling, slitasje på utstyr eller økte transport- og lagerkostnader. Når vi bruker begrepet kostnad videre i kapittelet, mener vi som regel de totale kostnadene knyttet til produksjon av en vare.

Proporsjonalitet Hvis y ¼ k x, er x og y proporsjonale.


210 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Reflekter og diskuter! Kostnaden ved å produsere nye enheter kan både øke og avta når produksjonen øker. Hva kan det komme av?

EK SEMPEL 1

En bedrift produserer skinnvesker. Bedriften beregner faste kostnader på 7400 kr per dag og en variabel kostnad på 430 kr per veske. a

Lag en modell for kostnaden når bedriften produserer x vesker per dag.

b

Finn kostnaden ved produksjon av 40 vesker per dag.

c

Bedriften erfarer at kostnaden per veske øker med produksjonen, og utvider derfor modellen med leddet 1,4x2 . Hvordan påvirker dette modellen?

Løsning: a Modellen består av to ledd, den faste kostnaden på 7400 kr og den variable kostnaden på 430 kr per enhet: KðxÞ ¼ 430x þ 7400 b

Vi regner ut Kð40Þ: Kð40Þ ¼ 430 40 þ 7400 ¼ 24 600 Når bedriften produserer 40 vesker per dag, er kostnaden 24 600 kr per dag.


Kostnadsfunksjoner 211

c

Leddet 1,4x2 gir en kostnad som øker mer og mer når produksjonen øker. For å sammenlikne tegner vi grafen til hver modell i samme koordinatsystem i GeoGebra: y, kr 110 000 100 000 90 000 80 000

K2(x) = 1.4x2 + 430x + 7400

70 000 60 000 50 000 40 000

K1(x) = 430x + 7400

30 000 20 000 10 000

x, antall enheter 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Vi ser at andregradsleddet har liten betydning ved lav produksjon, men blir mer dominerende når produksjonen øker.

For å lage en best mulig modell for kostnaden kan bedriften gjøre en regresjonsanalyse og bruke data fra tidligere produksjon.

EKSEMPEL 2 Tabellen nedenfor viser den daglige kostnaden i kroner hos en bedrift som produserer x varer per uke: Antall enheter per uke, x

Kostnad per uke (kr), KðxÞ

0

600

10

849

20

1010

30

1345

40

2195

a

Bruk regresjon til å lage en tredjegradsmodell for produksjonskostnadene ved produksjon av x enheter per dag.

b

Ved hvilken produksjonsmengde begynner kostnaden per ny enhet som blir produsert, å øke?

Oppgaver: 4.1–4.2


212 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Løsning: a Vi legger dataene inn i et regneark i GeoGebra og bruker regresjon:

Regresjonen viser at ved produksjon av x enheter per dag er funksjonsuttrykket KðxÞ ¼ 0,050x3 2,03x2 þ 40,8x þ 599 en god modell for den daglige kostnaden. b

Fram til vendepunktet avtar verdien til den deriverte. Det betyr at kostnaden per ny enhet avtar. Etter vendepunktet øker verdien til den deriverte, og da øker kostnaden per enhet som blir produsert. Vi bruker derfor CAS til å finne antall enheter i vendepunktet: 1

2

Oppgaver: 4.3–4.4

Vendepunktet er ð13,5, 903,3Þ. Kostnaden per ny enhet øker når det blir produsert 14 eller flere enheter.


Kostnadsfunksjoner 213

Enhetskostnaden Enhetskostnaden er kostnaden per enhet som blir produsert. Det er det samme som gjennomsnittskostnaden. Vi regner ut enhetskostnaden ved å dividere kostnaden på antall enheter.

ENHETSKOSTNAD Enhetskostnaden er lik totalkostnaden dividert med antall enheter: KðxÞ EðxÞ ¼ x

EKSEMPEL 3 Kostnadsfunksjonen KðxÞ ¼ 0,25x2 þ 40x þ 8000 gir den daglige kostnaden i kroner til en bedrift som produserer x solbriller per dag. a

Bestem et uttrykk for enhetskostnaden EðxÞ.

b

Hva er gjennomsnittskostnaden per solbrille når bedriften produserer 80 enheter per dag?

c

Bestem den laveste enhetskostnaden.

Løsning: a Enhetskostnaden er kostnaden KðxÞ dividert med antall enheter x: KðxÞ 0,25x2 þ 40x þ 8000 8000 EðxÞ ¼ ¼ ¼ 0,25x þ 40 þ x x x b

Vi regner ut Eð80Þ: 8000 ¼ 160 80 Ved produksjon av 80 solbriller per dag koster det i gjennomsnitt 160 kr å produsere hver solbrille. Eð80Þ ¼ 0,25 80 þ 40 þ


214 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

c

Vi tegner grafen til enhetskostnaden EðxÞ i GeoGebra og bruker knappen «Ekstremalpunkt» for å finne bunnpunktet. y, kr 450 400 350 300 250

E(x) = 0.25x + 40 +

200

8000 x

(178.89, 129.44)

150 100 50

x, antall enheter 0

Oppgaver: 4.5–4.7

50

100

150

200

250

300

350

Bunnpunktet ð178,89, 129,44Þ viser at den laveste enhetskostnaden er 129,44 kr per solbrille. Den har vi når produksjonen er på 179 solbriller per dag.

Reflekter og diskuter! I eksempelet foran fant vi ut at enhetskostnaden kunne skrives som 8000 x Hva forteller dette funksjonsuttrykket om betydningen av de faste kostnadene på 8000 kr etter hvert som produksjonen øker? EðxÞ ¼ 0,25x þ 40 þ


Kostnadsfunksjoner 215

Den laveste enhetskostnaden UTFORSK Du trenger: GeoGebra 1

Tegn grafen til kostnadsfunksjonen KðxÞ ¼ 0,5x2 þ 40x þ 1250 for x-verdier mellom 0 og 100.

2

Plasser et punkt P på grafen til K der x ¼ 20.

3

Trekk en rett linje y gjennom origo og punktet P, som vist på figuren: y, kr 11 000 10 000 9 000

y = 112,5x

8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000

P = (20, 2250)

1 000 10

20

30

40

50

60

70

80 90 100 x, antall enheter

4

Finn enhetskostnaden ved produksjon av 20 enheter.

5

Forklar at enhetskostnaden er lik stigningstallet til linja y.

6

Flytt punktet P slik at enhetskostnaden blir lavest mulig. Hva er den laveste enhetskostnaden?

7

Hva er spesielt med punktet P når enhetskostnaden er lavest?

Bedrifter trenger å vite hvilken produksjonsmengde som gir den laveste enhetskostnaden. I forrige avsnitt brukte vi bunnpunktet på grafen til EðxÞ til å bestemme denne produksjonen. Nå skal vi bruke grafen til kostnadsfunksjonen direkte. Figuren øverst på neste side viser grafen til kostnadsfunksjonen KðxÞ. Vi vil undersøke enhetskostnaden når produksjonen er 20 enheter og 50 enheter. På grafen har vi derfor markert punktene ð20, 1560Þ og ð50, 3000Þ.


216 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER y, kr 8000 7000 6000

y1 = 78x

5000

y2 = 60x

4000 3000 2000

(50, 3000)

(20, 1560)

K(x)

1000 10

20

30

40

50

60

70

80 90 100 x, antall enheter

KðxÞ . Ved produksjon av 20 enheter er enhetsx 1560 kr ¼ 78 kr. Det er det samme som stigningstallet kostnaden Eð20Þ ¼ 20 til linja y1 , som går fra origo og gjennom punktet ð20, 1560Þ. Enhetskostnaden er EðxÞ ¼

Enhetskostnaden ved produksjon av x enheter er lik stigningstallet til linja gjennom origo og punktet x, f ðxÞ .

3000 kr ¼ 60 kr. 50 Det er det samme som stigningstallet til linja y2 , som går fra origo og gjennom punktet ð50, 3000Þ. Enhetskostnaden ved produksjon av 50 enheter er Eð50Þ ¼

Vi ser at enhetskostnaden ved en bestemt produksjonsmengde er stigningstallet til linja gjennom origo og det tilsvarende punktet på grafen til K. Det laveste stigningstallet får vi når linja tangerer K, slik som linja y2 på figuren. For denne kostnadsfunksjonen er altså 60 kr den laveste enhetskostnaden.

EK SEMPEL 4 Kostnaden KðxÞ i kroner ved produksjon av x enheter av en vare per dag er gitt ved KðxÞ ¼ 0,5x2 þ 10x þ 200. a

Bestem grafisk den produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad. Hva er den laveste enhetskostnaden?

b

Bruk derivasjon til å kontrollere løsningen i oppgave a.


Kostnadsfunksjoner 217

Løsning: a Vi tegner grafen til K i GeoGebra og plasserer et punkt på grafen. Så trekker vi en linje fra origo til punktet og flytter punktet til vi ser at linja tangerer grafen til K. Til slutt leser vi av stigningstallet til linja. 2000

y, kr

1800

K

1600 1400 1200 1000 800 600

(20, 600)

400

y = 30x

200 0

x, antall enheter 5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Linja tangerer grafen i punktet ð20, 600Þ. Da er stigningstallet 30. Enhetskostnaden er lavest når produksjonen er på 20 enheter per dag. Den laveste enhetskostnaden er 30 kr per enhet. b

Vi definerer kostnadsfunksjonen KðxÞ og enhetskostnaden EðxÞ i CAS. Så finner vi x-verdien i bunnpunktet på grafen til EðxÞ ved å løse likningen E 0 ðxÞ ¼ 0. 1

2

3

Produksjonsmengden må være positiv. Løsningen x ¼ 20 stemmer med den grafiske løsningen. Enhetskostnaden er lavest når produksjonen er på 20 enheter per dag.


218 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Alternativ løsning: Vi viser hvordan vi løser oppgaven for hånd. Først bestemmer vi EðxÞ: KðxÞ 0,5x2 þ 10x þ 200 EðxÞ ¼ ¼ x x Vi deriverer EðxÞ med brøkregelen for derivasjon: ð0,5x2 þ 10x þ 200Þ0 x ð0,5x2 þ 10x þ 200Þ x 0 x2 2 ðx þ 10Þ x ð0,5x þ 10x þ 200Þ 1 ¼ x2 2 2 x þ 10x 0,5x 10x 200 ¼ x2 2 0,5x 200 ¼ x2 2 x 400 ¼ 2x2 E 0 ðxÞ er null når telleren er null. Siden nevneren til E 0 ðxÞ aldri er negativ, E 0 ðxÞ ¼

har grafen til EðxÞ et bunnpunkt når x2 400 ¼ 0. E 0 ðxÞ ¼ 0 x2 400 ¼ 0 x2 ¼ 400 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi x ¼ 400 _ x ¼ 400 x ¼ 20 _ x ¼ 20 Siden produksjonen ikke kan være negativ, er løsningen x ¼ 20. Enhetskostnaden er lavest ved produksjon av 20 enheter per dag.

Oppgaver: 4.8–4.10

200 Merk at vi også kunne skrevet EðxÞ ¼ 0,5x þ 10 þ og derivert hvert ledd x uten å bruke brøkregelen for derivasjon.

Reflekter og diskuter!

Hva forteller stigningstallet til linja l om enhetskostnaden ved produksjonen i punkt P?

Vil enhetskostnaden øke eller avta hvis produksjonen øker?

y, kr

K(x)

P

I x, antall enheter


Kostnadsfunksjoner 219

Oppgaver 4.1 Et bakeri baker boller som det selger videre til dagligvarehandler. Den faste kostnaden er 6500 kr per dag. Variabel kostnad er 2,80 kr per bolle når produksjonen er mellom 1000 og 5000 boller per dag. a

Lag en modell for kostnaden når produksjonen er x boller per dag.

b

Regn ut kostnaden ved produksjon av 4000 boller per dag.

c

Gi eksempler på faste og variable kostnader for bakeriet.

4.2 En skofabrikk produserer x par sko i uka. En modell for kostnaden til bedriften i kroner per uke er x 2 ½0, 1500 KðxÞ ¼ 0,08x2 þ 170x þ 28 000, a

Tegn grafen til KðxÞ.

b

Finn kostnaden ved produksjon av 500 og 1000 par sko i uka.

c

Hva kan det komme av at kostnaden øker til mer enn det dobbelte når bedriften dobler produksjonen?

4.4 En bedrift produserer trådløse øreplugger. Tabellen viser kostnaden per uke ved ulike produksjonsmengder: Antall enheter per uke

Kostnad i kroner per uke

400 600 800 1000 1200

292 000 332 000 353 000 374 000 411 000

a

Bestem en tredjegradsmodell for kostnaden KðxÞ ved produksjon av x enheter per uke.

b

Ved hvilken produksjonsmengde er kostnaden per ny enhet som blir produsert, lavest?

4.5

4.3 Tabellen nedenfor viser hvordan den daglige kostnaden for en bedrift varierer med antall enheter produsert per dag:

a

Antall enheter per dag

Kostnad per dag (kr)

80 200 270 400 490

4 600 11 400 15 700 25 300 33 700

Bestem en modell for kostnaden KðxÞ ved produksjon av x enheter per dag.

b

Hvor stor er den faste kostnaden per dag?

c

Hvor stor er den variable kostnaden per dag ved produksjon av 300 enheter per dag?

En skiprodusent produserer x par langrennsski per uke. En modell for kostnaden i kroner per uke er KðxÞ ¼ 0,15x2 þ 470x þ 23 000. a

Finn et uttrykk for enhetskostnaden EðxÞ.

b

Bestem kostnaden og enhetskostnaden ved produksjon av 800 par ski i uka.

c

Øker eller avtar enhetskostnaden hvis produsenten øker produksjonen fra 500 skipar i uka?

d

Ved hvilken produksjonsmengde er enhetskostnaden lavest? Hvor stor er enhetskostnaden da?


220 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

4.6 En modell for kostnaden til en bedrift som produserer x enheter av en vare per dag, er gitt ved KðxÞ ¼ 0,04x2 þ 72x þ 2500. Her er KðxÞ kostnaden i kroner per dag. a

Finn et uttrykk for enhetskostnaden EðxÞ.

b

Hva er gjennomsnittskostnaden per produsert enhet når bedriften produserer 60 enheter per dag?

c

Ved hvilken produksjonsmengde er enhetskostnaden lavest?

4.7 En modell for enhetskostnaden i kroner ved produksjon av x enheter av en vare per dag er gitt ved 800 EðxÞ ¼ 0,008x þ 5 þ x Hva er kostnaden per dag ved en produksjon på 200 enheter per dag? 4.8 7000

y, kr

6000 5000 4000 3000

(60, 4800) K(x)

2000 1000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

x, antall enheter

Figuren viser kostnaden i kroner ved produksjon av x enheter av en vare per uke. a

Bestem enhetskostnaden når produksjonen er 60 enheter i uka.

b

Ved hvilken produksjonsmengde er enhetskostnaden lavest?

c

Bestem den laveste enhetskostnaden.

4.9 En bedrift produserer x enheter av en vare per dag. En modell for kostnaden i kroner per dag er KðxÞ ¼ 0,05x2 þ 40x þ 20 000, x 2 ½200, 1000 a

Bestem grafisk produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad.

b

Bestem en modell for enhetskostnaden EðxÞ.

c

Løs likningen E 0 ðxÞ ¼ 0 og gi en praktisk tolkning av svaret.

d

Hvordan kan vi vite at ekstremalpunktet på grafen til EðxÞ er et bunnpunkt, uten å tegne grafen?

4.10 Vi har kostnadsfunksjonen KðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c, der x er antall produserte enheter og a, b, c > 0. rffiffiffi c . Vis at enhetskostnaden er lavest når x ¼ a


Inntekt og overskudd 221

4.2 Inntekt og overskudd UTFORSK En fabrikk som selger lyspærer, vurderer å redusere prisen per lyspære for å øke salget. En modell for prisen i kroner per lyspære er pðxÞ ¼ 8 kx, der x er antall lyspærer fabrikken selger per dag, og parameteren k bestemmer prisreduksjonen. 1

Finn inntekten ved salg av 1000 lyspærer per dag hvis k ¼ 0,001.

2

Forklar at inntekten ved salg av x lyspærer er IðxÞ ¼ pðxÞ x.

3

Lag en glider i GeoGebra for parameteren k, og la den variere fra 0 til 0,001 med trinn på 0,000 05.

4

Definer funksjonene pðxÞ ¼ 8 kx og IðxÞ ¼ pðxÞ x. Tegn grafen til IðxÞ, som vist på figuren:

5

Varier verdien til k og beskriv hvordan k påvirker inntekten.

6

Velg to verdier for k og finn forskjellen i inntekt ved salg av 5000 lyspærer.

En bedrift selger x enheter av en vare til 50 kr per enhet. Da blir inntekten IðxÞ ¼ 50x Etterspørselen avhenger av prisen på varen. Lavere pris vil normalt føre til at etterspørselen øker. Det betyr at bedriften må redusere prisen for å selge mer. En modell for prisen pðxÞ kr per enhet kan da være pðxÞ ¼ 50 0,04x Leddet 0,04x uttrykker prisreduksjonen. Ved salg av for eksempel 100 enheter er prisreduksjonen per enhet 0,04 kr 100 ¼ 4 kr.


222 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Inntekt og overskudd:

Når vi tar med prisreduksjonen, får vi en ny modell for inntekten. Vi multipliserer igjen prisen pðxÞ med antall enheter x og får IðxÞ ¼ ð50 0,04xÞ x ¼ 0,04x2 þ 50x INNTEKT Inntekten ved salg av x enheter til en pris pðxÞ per enhet er gitt ved IðxÞ ¼ pðxÞ x

EK SEMPEL 5 En klesprodusent produserer og selger x gensere hver dag. Prisen i kroner per enhet er gitt ved modellen pðxÞ ¼ 1200 8x. a

Finn en modell for inntekten IðxÞ.

b

Hva er inntekten når bedriften produserer og selger 50 gensere per dag?

Løsning: a Vi multipliserer prisen pðxÞ med antall enheter x: IðxÞ ¼ pðxÞ x ¼ ð1200 8xÞ x ¼ 8x2 þ 1200x En modell for inntekten per dag er IðxÞ ¼ 8x2 þ 1200x. b

Vi regner ut Ið50Þ: Ið50Þ ¼ 8 502 þ 1200 50 ¼ 40 000 Ved salg av 50 gensere per dag er inntekten 40 000 kr per dag.

For å lage en prismodell kan vi bruke salgsdata og gjøre regresjon.

EK SEMPEL 6 Tabellen viser sammenhengen mellom pris og antall solgte varer per måned for en bedrift: Antall varer per måned, x

Pris, p

3 000

780

5 000

740

8 000

690

10 000

650

a

Bruk regresjon for å finne en modell for prisen pðxÞ som funksjon av antall solgte varer per måned.

b

Finn en modell for inntekten IðxÞ og tegn grafen til denne.


Inntekt og overskudd 223

Løsning: a Vi legger dataene inn i regnearket i GeoGebra og bruker lineær regresjon:

Regresjonen viser at pðxÞ ¼ 0,018x þ 833,8 er en god modell for prisen pðxÞ per enhet. b

For å finne inntekten mulitpliserer vi prisen pðxÞ med antall enheter x: IðxÞ ¼ pðxÞ x ¼ ð 0,018x þ 833,8Þ x ¼ 0,018x2 þ 833,8x En modell for inntekten per måned er IðxÞ ¼ 0,018x2 þ 833,8x. Vi bruker x 2 ½3000, 10 000 som gyldighetsområde og tegner grafen til IðxÞ i GeoGebra: y, kr 6 000 000 5 000 000 4 000 000

I(x) = -0.018x2 + 833.8x

3 000 000 2 000 000 1 000 000 x, antall enheter 0

2000

4000

6000

8000

10 000

Oppgaver: 4.11–4.12


224 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Overskudd Forskjellen mellom bedriftens samlede inntekter og kostnader i en periode kaller vi overskudd. For å regne ut overskuddet trekker vi kostnadene KðxÞ fra inntektene IðxÞ.

O VE R S K U D D Overskudd ved produksjon og salg av x enheter av en vare er gitt ved OðxÞ ¼ IðxÞ KðxÞ

Overskudd IðxÞ > KðxÞ

og

Underskudd KðxÞ > IðxÞ og

OðxÞ > 0

OðxÞ < 0

Overskuddet er altså den delen av inntekten bedriften sitter igjen med etter at alle kostnadene er trukket fra. Når inntekten IðxÞ er større enn kostnaden KðxÞ, er OðxÞ > 0, og bedriften går med overskudd. Hvis kostnaden er større enn inntekten, er OðxÞ negativ, og bedriften går med underskudd.

EK SEMPEL 7 En fiskehandel produserer og selger x ferske fiskekaker per dag. Daglig inntekt IðxÞ og kostnad KðxÞ i kroner er gitt ved IðxÞ ¼ 0,02x2 þ 30x KðxÞ ¼ 0,03x2 þ 4x þ 1380 a

Bestem overskuddsfunksjonen OðxÞ.

b

Tegn grafen til IðxÞ, KðxÞ og OðxÞ i samme koordinatsystem.

c

Hvor stor må produksjonen være for å gå med overskudd?

d

Bestem skjæringspunktene mellom IðxÞ og KðxÞ, og gi en praktisk tolkning.

e

Hvor mange fiskekaker må bedriften produsere og selge per dag for å få størst mulig overskudd? Hvor stort er overskuddet da?

Løsning: a For å finne overskuddet trekker vi kostnaden fra inntekten: OðxÞ ¼ IðxÞ KðxÞ ¼ ð 0,02x2 þ 30xÞ ð0,03x2 þ 4x þ 1380Þ ¼ 0,05x2 þ 26x 1380 Det daglige overskuddet er OðxÞ ¼ 0,05x2 þ 26x 1380.


Inntekt og overskudd 225

b

Vi tegner grafene i GeoGebra: y, kr 10 000 I(x)

8 000

K(x)

6 000 4 000 2 000

O(x) x, antall enheter

0

50

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

c

Produksjonen går med overskudd når OðxÞ > 0. Vi bruker knappen «Nullpunkt» og finner nullpunktene til OðxÞ, se figuren. Nullpunktene er x ¼ 60 og x ¼ 460. Bedriften går med overskudd når den produserer og selger mellom 60 og 460 fiskekaker per dag.

d

Vi bruker knappen «Skjæring mellom to objekt» og finner ut at skjæringspunktene er ð60, 1728Þ og ð460; 9568Þ, se figuren. Inntekten er lik kostnaden når bedriften produserer og selger 60 eller 460 fiskekaker per dag. Dette er det samme som nullpunktene til overskuddsfunksjonen.

e

Overskuddet er størst i toppunktet på grafen til OðxÞ. Vi bruker knappen «Ekstremalpunkt» og finner ut at toppunktet er ð260; 2000Þ, se figuren. y, kr 10 000 (460, 9568)

I(x)

8 000

K(x)

6 000 4 000 (60, 1728)

(260, 2000)

2 000 (60, 0) 0

50

O(x) (460, 0)

x, antall enheter

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

Overskuddet er størst ved produksjon og salg av 260 fiskekaker per dag. Da er overskuddet 2000 kr per dag.


226 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

I neste eksempel bestemmer vi det største mulige overskuddet med CAS.

EK SEMPEL 8 En bedrift bruker følgende modeller for inntekten IðxÞ og kostnaden KðxÞ i kroner ved produksjon og salg av x enheter per dag: IðxÞ ¼ 0,024x2 þ 135x KðxÞ ¼ 0,032x2 þ 54x þ 9200

x 2 ½0, 1500

a

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for å gå med overskudd?

b

Ved hvilken produksjon er overskuddet størst?

Løsning: a Vi definerer IðxÞ og KðxÞ i CAS og løser ulikheten IðxÞ > KðxÞ: 1

2

3

Vi runder av til hele tall og ser at inntekten er større enn kostnaden for x 2 ½125, 1322 . Bedriften må produsere mellom 125 og 1322 enheter for å gå med overskudd. b

Vi definerer OðxÞ ¼ IðxÞ KðxÞ og finner ekstremalpunktet til funksjonen: 4

5

Grafen til OðxÞ er en parabel. Siden andregradsleddet til OðxÞ har negativt fortegn, er ekstremalpunktet et toppunkt. Toppunktet viser at overskuddet er størst ved produksjon av 723 enheter per dag.


Inntekt og overskudd 227

Alternativ løsning: Vi bestemmer overskuddsfunksjonen OðxÞ og deriverer denne: OðxÞ ¼ IðxÞ KðxÞ ¼ 0,024x2 þ 135x ð0,032x2 þ 54x þ 9200Þ ¼ 0,056x2 þ 81x 9200 O 0 ðxÞ ¼ 2 0,056x þ 81 ¼ 0,112x þ 81 Vi løser likningen O 0 ðxÞ ¼ 0 for å finne x-verdien i ekstremalpunktet. Siden andregradsleddet i OðxÞ har negativt fortegn, er ekstremalpunktet et toppunkt. O 0 ðxÞ ¼ 0 0,112x þ 81 ¼ 0 0,112x ¼ 81 x¼

81 0,112

x 723 Overskuddet er størst ved en produksjon av 723 enheter per dag.

Oppgaver: 4.13–4.18

Parabel f ðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c

Reflekter og diskuter! Hvordan kan vi se av grafene på figuren hvilken produksjon som gir det største overskuddet? y, kr

a>0

I(x)

a<0

K(x)

x, antall enheter


228 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Oppgaver 4.11 En bedrift produserer og selger minnebrikker. En modell for prisen i kroner er pðxÞ ¼ 470 0,08x, x 2 ½0, 2000 der x er antall minnebrikker bedriften selger per dag. a b

Bestem inntektsfunksjonen IðxÞ når bedriften selger x minnebrikker per dag.

d

Tegn grafen til OðxÞ.

e

Finn O 0 ð40Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

f

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge i uka for å få størst mulig overskudd? Hvor stort er overskuddet da?

4.14

Hva blir inntekten når bedriften selger 1200 minnebrikker per dag?

4.12 Tabellen viser prisen pðxÞ i kroner per enhet når en bedrift selger x enheter av en vare per dag: Antall varer per måned, x

Pris, p

200 400 600 900

75 71 66 59

Espen driver en isbod og leier plass på torget hver sommer. Han har ansatte som tilbereder og selger softis. Modeller for daglig inntekt IðxÞ og kostnad KðxÞ i kroner ved salg av x softis per dag er gitt ved

a

Bruk regresjon til å finne en lineær modell for prisen pðxÞ.

b

Finn en modell for inntekten IðxÞ.

c

Tegn grafen til IðxÞ.

IðxÞ ¼ 0,01x2 þ 39x

d

Hvor mange enheter må bedriften selge per dag for å få en inntekt på minst 20 000 kr per dag?

KðxÞ ¼ 0,02x2 þ 12x þ 2500

4.13 En bedrift produserer og selger x enheter av en vare i uka. En modell for kostnaden i kroner per uke er KðxÞ ¼ 1,8x þ 160x þ 2500 2

Bedriften selger varen for 340 kr per enhet. a

Forklar at en modell for inntekten er IðxÞ ¼ 340x.

b

Bestem inntekt, kostnad og overskudd ved produksjon og salg av 40 enheter per dag.

c

Lag en modell for overskuddet OðxÞ.

a

Finn en modell for overskuddet OðxÞ per dag.

b

Finn nullpunktene til OðxÞ og gi en praktisk tolkning av svaret.

c

Hva må salget være for gi størst mulig overskudd? Hvor stort er dette overskuddet?


Inntekt og overskudd 229

4.15 For en bedrift er inntekt og kostnad ved produksjon av x enheter gitt ved IðxÞ ¼ 0,035x þ 20x 2

KðxÞ ¼ 0,015x2 þ 10x þ 200 a

Bestem OðxÞ og O 0 ðxÞ.

b

Bruk O 0 ðxÞ til å bestemme hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd.

4.16 Lag en glider p som kan variere mellom 200 og 400, og en glider k som kan variere mellom 0 og 1 med trinn på 0,5, som vist på figuren. Skriv inn følgende modeller for inntekt IðxÞ, kostnad KðxÞ og overskudd OðxÞ: IðxÞ ¼ px kx2 KðxÞ ¼ 1,4x2 þ 80x þ 2000 OðxÞ ¼ IðxÞ KðxÞ IðxÞ, KðxÞ og OðxÞ er gitt i kroner per dag, og x er antall enheter som blir produsert og solgt per dag. Marker også toppunktet på grafen til OðxÞ, som vist på figuren:

a

Varier parameterne p og k. Gi en praktisk tolkning av parameterne og beskriv hvordan de påvirker inntektsmodellen.

b

Sett k ¼ 0,7. Hva er nå det største mulige overskuddet hvis produksjonsmengden som gir størst overskudd, er 50 enheter per dag?

4.17 Vis at overskuddsfunksjonen OðxÞ ¼ ax2 þ bx c der a, b, c > 0 b har ekstremalpunkt for x ¼ , og at ekstremal2a punktet er et toppunkt.

4.18 En modell for månedsinntekten til en bedrift som selger x enheter av en vare per måned, er IðxÞ ¼ 1,4x2 þ 2400x En modell for overskuddet i kroner per måned er OðxÞ ¼ 4,4x2 þ 1740x 23 000 Bestem et uttrykk for enhetskostnaden EðxÞ.


230 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

4.3 Grensekostnad og grenseinntekt UTFORSK y, kr 2000 1800

K(x) = 0,5x2 + 20x + 400

1600 1400 1200 (20, 1000)

1000

1

40

800 600 400 200 5

10

15

20

25

30 35 40 x, antall enheter

På figuren har vi markert et punkt på grafen til kostnadsfunksjonen KðxÞ. I punktet har vi tegnet inn en tangent og markert stigningstallet.

Grensekostnad og grenseinntekt:

1

Hva er kostnaden ved produksjon av 20 enheter?

2

Hva er K 0 ð20Þ?

3

Regn ut Kð21Þ Kð20Þ og sammenlikn dette tallet med K 0 ð20Þ. Diskuter hva tallene forteller.

Figuren øverst på neste side viser kostnaden og inntekten til en bedrift som produserer og selger x enheter av en vare per dag. Vi tenker oss at bedriften produserer og selger 100 enheter per dag. Vi vil undersøke hvor mye inntekten og kostnaden øker hvis bedriften øker produksjonen til 101 enheter per dag. Lønner det seg? Vi regner ut hvor mye inntekten øker: Ið101Þ Ið100Þ ¼ ð 0,08 1012 þ 50 101Þ ð 0,08 1002 þ 50 100Þ ¼ 33,92 Når produksjonen øker fra 100 til 101 enheter, øker inntekten med 33,92 kr.


Grensekostnad og grenseinntekt 231

9000

y, kr

8000 7000

I(x) = –0,08x2 + 50x

6000 5000 4000

K(x) = 0,06x2 + 4x + 2000

3000 2000 1000 40

80

120

160

200

240 280 x, antall enheter

Så regner vi ut hvor mye kostnaden øker: Kð101Þ Kð100Þ ¼ ð0,06 1012 þ 4 101 þ 2000Þ ð0,06 1002 þ 4 100 þ 2000Þ 16,06 Når produksjonen øker fra 100 til 101 enheter, øker kostnaden med 16,06 kr. Siden inntekten øker mer enn kostnaden, lønner det seg for bedriften å øke produksjonen. På figuren nedenfor har vi tegnet inn tangenten til IðxÞ og KðxÞ for x ¼ 100. 9000

y, kr

8000 7000 6000 5000 4000

I’(100) = 34

3000

K’(100) = 16

2000 1000 40

80

120

160

200

240 280 320 x, antall enheter

I nærheten av tangeringspunktene ser vi at grafene til IðxÞ og KðxÞ nesten faller sammen med tangentene.


232 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Tangenten til IðxÞ har stigningstall I 0 ð100Þ ¼ 34. Det betyr at når salget øker med én enhet, fra 100 til 101 enheter, øker inntekten med omtrent 34 kr. Dette kaller vi grenseinntekten ved produksjon av 100 enheter.

Stigningstall a y

Tangenten til KðxÞ har stigningstall K 0 ð100Þ ¼ 16. Det betyr at når produksjonen øker med én enhet fra 100 til 101 enheter, øker kostnaden med omtrent 16 kr. Dette kaller vi grensekostnaden ved produksjon av 100 enheter.

a 1

x

Både grenseinntekten og grensekostnaden avviker litt fra utregningene vi gjorde først, da vi brukte inntekts- og kostnadsfunksjonen. Det kommer av at grafen til IðxÞ og KðxÞ krummer. Siden både inntektsfunksjonen og kostnadsfunksjonen er modeller, har avviket liten praktisk betydning.

G R E N S E I N N T E K T OG G R E N S E K O S T N A D Grenseinntekten I 0 ðxÞ forteller omtrent hvor mye inntekten øker når produksjonen øker med én enhet. Grensekostnaden K 0 ðxÞ forteller omtrent hvor mye kostnaden øker når produksjonen øker med én enhet.

EK SEMPEL 9

En bedrift produserer nettbrett. Kostnaden KðxÞ og inntekten IðxÞ ved produksjon og salg av x enheter i uka er gitt ved KðxÞ ¼ 1,6x2 þ 300x þ 140 000 IðxÞ ¼ 1,5x2 þ 2100x a

Finn grensekostnaden og grenseinntekten ved produksjon av 200 enheter i uka. Gi en praktisk tolkning.

b

Vurder om det lønner seg for bedriften å øke produksjonen.


Grensekostnad og grenseinntekt 233

Løsning: a Vi regner ut K 0 ð200Þ: K 0 ðxÞ ¼ 3,2x þ 300 K 0 ð200Þ ¼ 3,2 200 þ 300 ¼ 940 Grensekostnaden ved produksjon av 200 enheter i uka er 940 kr. Det betyr at det koster 940 kr å øke produksjonen fra 200 til 201 enheter i uka I 0 ðxÞ ¼ 3x þ 2100 I 0 ð200Þ ¼ 3 200 þ 2100 ¼ 1500 Grenseinntekten ved produksjon av 200 enheter i uka er 1500 kr. Det betyr at inntekten øker med 1500 kr hvis produksjonen øker fra 200 til 201 enheter i uka.

Løsning med GeoGebra: Vi definerer KðxÞ og IðxÞ i GeoGebra og regner ut K 0 ð200Þ og I 0 ð200Þ i algebrafeltet.

Ved produksjon av 200 enheter i uka er grensekostnaden 940 kr og grenseinntekten 1500 kr. Det betyr at kostnaden øker med 940 kr og inntekten med 1500 kr når produksjonen øker fra 200 til 201 enheter i uka. b

Siden inntekten ved å produsere og selge én ekstra enhet øker mer enn kostnaden, bør bedriften øke produksjonen.

I neste eksempel viser vi hvordan vi kan bruke grensekostnaden og grenseinntekten til å finne det største mulige overskuddet.


234 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

EK SEMPEL 10 Ved produksjon av x enheter av en vare per dag er grensekostnaden og grenseinntekten gitt ved K 0 ðxÞ ¼ 0,4x þ 380 I 0 ðxÞ ¼ 0,2x þ 1220 Ved hvilken produksjon er overskuddet størst? Problemløsning 1 Forstå problemet 2 Lage en plan 3 Gjennomføre planen 4 Se tilbake

Løsning: Siden vi hverken kjenner inntektsfunksjonen eller kostnadsfunksjonen, er dette et nytt problem for oss. Vi bruker problemløsningsstrategi: 1

Forstå problemet Vi har ikke nok opplysninger til å finne overskuddsfunksjonen. Vi må klare oss med informasjonen som grensekostnaden og grenseinntekten gir oss. Hvis grenseinntekten er høyere enn grensekostnaden, så lønner det seg å øke produksjonen. Inntekten ved å produsere én ekstra enhet øker mer enn kostnaden. Hvis grenseinntekten er lavere enn grensekostnaden, lønner det seg i stedet å redusere produksjonen. Da er kostnaden ved å produsere en ny enhet større enn økningen i inntekt.

2

Lage en plan Vi prøver å finne den produksjonen som gjør at grensekostnaden er lik grenseinntekten. Denne produksjonen må gi det største mulige overskuddet, siden det hverken lønner seg å øke eller redusere produksjonen.

3

Gjennomføre planen Vi definerer K 0 ðxÞ og I 0 ðxÞ i CAS og løser likningen K 0 ðxÞ ¼ I 0 ðxÞ: 1

2

3

Grensekostnaden er lik grenseinntekten når produksjonen er x ¼ 1400. Overskuddet er størst ved produksjon av 1400 enheter per dag. 4 Oppgaver: 4.19–4.20

Se tilbake Vi har resonnert oss fram til at overskuddet er størst når grensekostnaden er lik grenseinntekten. Dette gjelder generelt.


Grensekostnad og grenseinntekt 235

y, kr

Reflekter og diskuter!

Hvordan kan vi se av grafene til IðxÞ og KðxÞ ved hvilken produksjon K 0 ðxÞ ¼ I 0 ðxÞ?

Er det mulig å finne produksjonsmengden i eksempel 10 ved å integrere I 0 ðxÞ og K 0 ðxÞ?

I(x) K(x)

x, antall enheter

Overskudd og vinningsoptimal produksjon I eksempel 10 fant vi ut at overskuddet er størst når K 0 ðxÞ ¼ I 0 ðxÞ. Nå skal vi vise det ved regning. Vi begynner med å derivere overskuddsfunksjonen: OðxÞ ¼ IðxÞ KðxÞ O 0 ðxÞ ¼ I 0 ðxÞ K 0 ðxÞ Hvis grafen til OðxÞ har et toppunkt, finner vi x-verdien i toppunktet ved å løse likningen O 0 ðxÞ ¼ 0: O 0 ðxÞ ¼ 0 I 0 ðxÞ K 0 ðxÞ ¼ 0 I 0 ðxÞ ¼ K 0 ðxÞ Vi ser at O 0 ðxÞ ¼ 0 betyr at I 0 ðxÞ ¼ K 0 ðxÞ. Den produksjonsmengden x som gir størst overskudd, er også den produksjonsmengden som gjør at grensekostnaden er lik grenseinntekten. Dette kaller vi vinningsoptimal produksjonsmengde.

VINNINGSOPTIMAL PRODUKSJONSMENGDE Den produksjonsmengden som gir høyest overskudd, kaller vi vinningsoptimal produksjonsmengde. Ved vinningsoptimal produksjonsmengde er O 0 ðxÞ ¼ 0

og

K 0 ðxÞ ¼ I 0 ðxÞ

Her er KðxÞ kostnadsfunksjonen, IðxÞ er inntektsfunksjonen og OðxÞ ¼ KðxÞ IðxÞ er overskuddsfunksjonen.


236 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

EK SEMPEL 11 En bedrift produserer snowboard. Kostnaden KðxÞ og inntekten IðxÞ i kroner ved produksjon og salg av x snowboard i uka er gitt ved KðxÞ ¼ 1,4x2 þ 2900x þ 134 000 IðxÞ ¼ 3,6x2 þ 5400x

x 2 ½0, 500

a

Bestem x slik at K 0 ðxÞ ¼ I 0 ðxÞ.

b

Vis grafisk at denne produksjonsmengden gir det største overskuddet.

Løsning: a Vi definerer K 0 ðxÞ og I 0 ðxÞ i CAS og løser likningen K 0 ðxÞ ¼ I 0 ðxÞ. 1

2

3

Grensekostnaden er lik grenseinntekten ved produksjon av 250 snowboard i uka.


Grensekostnad og grenseinntekt 237

b

Vi tegner grafen til KðxÞ, IðxÞ og OðxÞ ¼ IðxÞ KðxÞ i samme koordinatsystem i GeoGebra. Så finner vi toppunktet til OðxÞ med knappen «Ekstremalpunkt». 2 000 000

y, kr

1 800 000 1 600 000 1 400 000 1 200 000 1 000 000 800 000 600 000

I(x)

400 000

K(x) O(x)

200 000 –200 000

50

100

(250, 178500) x, antall enheter 150 200 250 300 350 400 450 500

Overskuddsfunksjonen har toppunkt i ð250, 178 500Þ. Det største overskuddet er 178 500 kr per uke ved produksjon av 250 snowboard i uka. På figuren har vi også tegnet inn tangentene til IðxÞ og KðxÞ når x ¼ 250. Legg merke til at siden K 0 ð250Þ ¼ I 0 ð250Þ, er tangentene parallelle.

Grensekostnad og laveste enhetskostnad UTFORSK Ved produksjon av 100 enheter av en vare er enhetskostnaden 10 kr og grensekostnaden 5 kr. 1

Blir enhetskostnaden lavere eller høyere når produksjonen øker fra 100 til 101 enheter?

2

Hva må grensekostnaden være for at enhetskostnaden ikke skal endre seg?

Vi har definert enhetskostnaden EðxÞ som gjennomsnittskostnaden: KðxÞ EðxÞ ¼ x Hvis grensekostnaden er lavere enn enhetskostnaden, vil produksjon av én ekstra enhet redusere enhetskostnaden. Den nye enheten trekker jo ned gjennomsnittskostnaden.

Oppgaver: 4.21–4.22


238 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Hvis grensekostnaden er høyere enn enhetskostnaden, øker enhetskostnaden når vi produserer én ekstra enhet. Den nye enheten er da dyrere å produsere enn gjennomsnittet.

Enhetskostnad KðxÞ EðxÞ ¼ x y, kr

Resonnementet vårt tyder på at enhetskostnaden er lavest når den er lik grensekostnaden. Nå skal vi vise ved regning at det er slik. K(x)

Først bruker vi brøkregelen til å derivere uttrykket for enhetskostnaden: x

x, antall enheter

KðxÞ x 0 K ðxÞ x KðxÞ x 0 E 0 ðxÞ ¼ x2 0 K ðxÞ x KðxÞ ¼ x2 I bunnpunktet, der enhetskostnaden har sin laveste verdi, er telleren i brøken null. EðxÞ ¼

K 0 ðxÞ x KðxÞ ¼ 0 K 0 ðxÞ x ¼ KðxÞ KðxÞ x 0 K ðxÞ ¼ EðxÞ K 0 ðxÞ ¼

Resultatet stemmer med resonnementet ovenfor.

G R E N S E K O S T N A D OG L A V E S T E E N H E T S K O S T N A D Enhetskostnaden EðxÞ er lavest når den er lik grensekostnaden K 0 ðxÞ. Produksjonsmengden x som gir lavest enhetskostnad, er slik at K 0 ðxÞ ¼ EðxÞ.

Siden enhetskostnaden er lavest når K 0 ðxÞ ¼ EðxÞ, går grafen til K 0 ðxÞ gjennom bunnpunktet på grafen til EðxÞ. Dette kan vi bruke til å finne den laveste enhetskostnaden grafisk.


Grensekostnad og grenseinntekt 239

EKSEMPEL 12 En bedrift produserer x enheter per dag. Kostnaden til bedriften i kroner per dag er gitt ved KðxÞ ¼ 1,8x2 þ 270x þ 16 000. a

Bestem grafisk den produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad. Hva er den laveste enhetskostnaden?

b

Kontroller resultatet i oppgave a ved å løse likningen K 0 ðxÞ ¼ EðxÞ.

Løsning: a

KðxÞ Vi definerer kostnadsfunksjonen KðxÞ og enhetskostnaden EðxÞ ¼ x i algebrafeltet i GeoGebra. Så tegner vi grafen til K 0 ðxÞ og EðxÞ, og bruker knappen «Skjæring mellom to objekt» til å finne skjæringspunktet mellom grafene: y, kr 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200

E(x) = 1.8x + 270 +

16 000 x

1000 800 600 (94.28, 609.41)

400 200 0

K’(x) = 3.6x +270 20

40

60

x, antall enheter 80

100

120

140

160

180

Grafene skjærer hverandre i ð94,28, 609,41Þ. Enhetskostnaden er lavest ved produksjon av 94 enheter i uka. Da er enhetskostnaden tilnærmet lik 609 kr.

200


240 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

b

Vi definerer KðxÞ og EðxÞ i CAS i GeoGebra. Så løser vi likningen K 0 ðxÞ ¼ EðxÞ. Vi bruker kommandoen «NLøs» i CAS for å finne en tilnærmet løsning. Til slutt regner vi ut den tilsvarende enhetskostnaden: 1

2

3

4

Oppgaver: 4.23–4.26

Produksjonsmengden må være positiv, så vinningsoptimal produksjonsmengde er 94 enheter. Den laveste enhetskostnaden er tilnærmet lik 609 kr.

Reflekter og diskuter! y, kr

K(x) I(x)

l1

l2

O(x) x, antall enheter

Hvordan kan vi se av tangenten til IðxÞ og KðxÞ at den loddrette linja på figuren treffer toppunktet på grafen til OðxÞ?

Hvilken sammenheng er det mellom l1 og l2 på figuren?


Grensekostnad og grenseinntekt 241

Oppgaver 4.19 En bedrift har funnet ut at inntekten IðxÞ og kostnaden KðxÞ i kroner ved produksjon og salg av x enheter ukentlig er tilnærmet

4.21 For en bedrift er grenseinntekten I 0 ðxÞ og grensekostnaden K 0 ðxÞ ved produksjon og salg av x enheter per dag gitt ved

IðxÞ ¼ 0,05x2 þ 800x

I 0 ðxÞ ¼ 0,15x þ 100

KðxÞ ¼ 0,1x2 þ 500x þ 30 000

K 0 ðxÞ ¼ 0,25x þ 20

a

Bestem grenseinntekten I 0 ðxÞ og grensekostnaden K 0 ðxÞ.

b

Finn grenseinntekten ved salg av 500 enheter i uka.

c

Finn grensekostnaden ved produksjon av 500 enheter i uka.

d

Lønner det seg for bedriften å øke produksjonen fra 500 enheter i uka?

4.20 En bedrift produserer og selger matbokser. En modell for inntekten IðxÞ og kostnaden KðxÞ i kroner per dag når bedriften produserer og selger x matbokser per dag, er gitt ved IðxÞ ¼ 0,03x2 þ 85x

Bestem den produksjonsmengden som gir høyest overskudd a

grafisk

b

ved å løse likningen I 0 ðxÞ ¼ K 0 ðxÞ

4.22 Daglig inntekt IðxÞ og kostnad KðxÞ for en bedrift er tilnærmet gitt ved IðxÞ ¼ 0,17x2 þ 134x KðxÞ ¼ 0,13x2 þ 74x IðxÞ og KðxÞ er gitt i kroner per dag, og x er antall produserte enheter per dag. a

Bestem I 0 ðxÞ og K 0 ðxÞ.

b

Tegn grafen til I 0 ðxÞ og K 0 ðxÞ i samme koordinatsystem.

KðxÞ ¼ 0,08x2 þ 30x þ 3200 a

Finn I 0 ðxÞ og K 0 ðxÞ.

c

b

Regn ut I 0 ð150Þ og K 0 ð150Þ. Hva forteller svarene?

Bruk grafen til I 0 ðxÞ og K 0 ðxÞ til å bestemme den produksjonsmengden som gir størst overskudd.

d

Vis at O 0 ðxÞ ¼ 0 ved produksjonsmengden du fant i oppgave c.

c

Lønner det seg for bedriften å øke produksjonen?

4.23 Ved produksjon av en vare er kostnaden ved å produsere x enheter per dag tilnærmet gitt ved KðxÞ ¼ 0,14x2 þ 68x þ 780 a

Bestem grensekostnaden K 0 ðxÞ og enhetskostnaden EðxÞ.

b

Tegn grafen til K 0 ðxÞ og EðxÞ i samme koordinatsystem.

c

Bestem den laveste enhetskostnaden grafisk.


242 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

4.24

4.25 y, kr K(x)

1 000 000 (300, 750 000)

800 000

I(x)

600 000

(300, 600 000)

400 000 200 000

O(x) 100

En bedrift produserer og selger håndstøvsugere. Ved produksjon og salg av x støvsugere per måned er inntekten IðxÞ og kostnaden KðxÞ i kroner per måned tilnærmet gitt ved

300

400 500 x, antall enheter

IðxÞ ¼ 0,5x2 þ 2400x

Figuren viser grafen til kostnadsfunksjonen KðxÞ, inntektsfunksjon IðxÞ og overskuddsfunksjonen OðxÞ for en bedrift, der x er antall enheter som blir produsert og solgt per måned. Tangentene i punktene 300, Kð300Þ og 300, Ið300Þ er tegnet inn.

KðxÞ ¼ 0,0004x3 0,9x2 þ 1400x þ 70 000

a

Bestem grenseinntekten og grensekostnaden når produksjonen er på 300 enheter per måned.

b

Bør bedriften øke eller redusere produksjonen fra 300 enheter per måned hvis målet er størst mulig overskudd?

c

Bestem O 0 ð300Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

d

Hvilken sammenheng er det mellom I 0 ð300Þ, K 0 ð300Þ og O 0 ð300Þ?

der x 2 ½400, 2000 . a

Hvor stort er overskuddet når produksjonen er 1200 enheter per måned?

b

Bestem grenseinntekten I 0 ðxÞ og grensekostnaden K 0 ðxÞ. Tegn grafen til hver modell i samme koordinatsystem.

c

200

Bestem grensinntekten og grensekostnaden når produksjonen er 1200 enheter per måned. Må bedriften øke eller redusere produksjonen for å øke overskuddet?

d

Bestem grafisk hvilken produksjonsmengde som gir det høyeste overskuddet.

e

Kontroller svaret i d med CAS.

f

Bestem enhetskostnaden EðxÞ.

g

Vis at grafen til K 0 ðxÞ skjærer grafen til EðxÞ i bunnpunktet, og forklar hvorfor det er slik.

4.26 Anta at overskuddsfunksjonen OðxÞ i oppgave 4.25 er en andregradsfunksjon, og finn funksjonsuttrykket.


Etterspørsel 243

4.4 Etterspørsel UTFORSK y, enheter 400

q(p) = 400 – 0,5p2

350 300 250 200 150 100 50 2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 x, pris

Modellen ovenfor viser hvordan den daglige etterspørselen qðpÞ etter en vare endrer seg med prisen p på varen. Med etterspørsel mener vi antall enheter produsenten får solgt. 1

Hvor stor er etterspørselen når prisen er 10 kr, og når den er 20 kr?

2

Hvor stor er inntekten når prisen er 10 kr, og når den er 20 kr?

3

Forklar at en modell for inntekten som funksjonen av prisen er IðpÞ ¼ 0,5p3 þ 400p.

4

Bruk modellen til å finne den prisen som gir størst inntekt. Hvor stor er inntekten da?

Vi har sett at prisen en bedrift kan ta for en vare, henger sammen med salget. Det skyldes at etterspørselen etter varen – altså antall varer bedriften får solgt – avhenger av prisen. Hvis prisen er lavere enn hos konkurrentene, kan det øke etterspørselen. Men det er ikke alltid den billigste varen som selger mest. Mange tenker at pris og kvalitet henger sammen, og velger kanskje den dyreste varen. Andre faktorer, som forbrukertester og trender, har også betydning. Når prisen bestemmer etterspørselen, kan vi lage en modell qðpÞ for sammenhengen mellom pris og etterspørsel. Vi tenker oss at den månedlige etterspørselen etter en spillkonsoll følger modellen qðpÞ ¼ 80 000 5p,

p 2 ½6000, 10 000

Hvis prisen er 6000 kr, er etterspørselen qð6000Þ ¼ 80 000 5 6000 ¼ 50 000

Etterspørsel og salg I modellene våre er etterspørsel ¼ salg.

q står for quantity, som betyr mengde


244 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Etterspørsel:

Produsenten kan altså regne med å selge 50 000 spillkonsoller i måneden hvis prisen er 6000 kr per konsoll. Inntekten blir da 50 000 kr 6000 ¼ 300 000 000 kr Generelt finner vi inntekten ved å multiplisere etterspørselen med prisen. Her blir inntekten IðpÞ ¼ qðpÞ p ¼ ð80 000 5pÞ p ¼ 5p2 þ 80 000p

ETTERSPØRSEL Etterspørselsfunksjonen qðpÞ viser antall enheter av en vare som kan bli solgt til prisen p. Inntekten IðpÞ er etterspørselen multiplisert med prisen: IðpÞ ¼ qðpÞ p

EK SEMPEL 13 En bedrift produserer og selger en vare. En modell for etterspørselen er qðpÞ ¼ 900e 0,018p ,

p 2 ½20, 60

Her er p prisen per enhet og qðpÞ etterspørselen i antall enheter per uke. a

Bestem etterspørselen når prisen er 45 kr per enhet.

b

Hva må prisen være hvis bedriften vil selge 500 enheter i uka?

c

Hva er den høyeste inntekten bedriften kan få?

Løsning: a

qð45Þ ¼ 900e 0,018 45 400 Når prisen er 45 kr per enhet, er etterspørselen 400 enheter i uka.

b

Øverst på neste side har vi tegnet grafen til qðpÞ i GeoGebra og funnet skjæringspunktet med linja y ¼ 500. Skjæringspunktet er ð32,65, 500Þ. Bedriften kan ta en pris på 32,65 kr per enhet hvis den vil selge 500 enheter i uka.


Etterspørsel 245

y, enheter 700 q(p) = 900e–0.018p

600 y = 500

500

(32.65, 500)

400 300 200 100 x, pris 5

0

c

10

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Vi definerer etterspørselsfunksjonen qðpÞ og inntektsfunksjonen IðpÞ ¼ qðpÞ p i GeoGebra. Så tegner vi grafen til IðpÞ og finner toppunktet med knappen «Ekstremalpunkt». y, kr 20 000

(55.56, 18393.97)

15 000 I(p) = 900p ◊ e–0.018p 10 000 5 000 x, pris 0

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Toppunktet er tilnærmet lik ð55,56, 18 394Þ. Den høyeste inntekten er om lag 18 400 kr i uka ved en pris på 55,56 kr per enhet.

I forrige eksempel så vi at prisen avhenger av antall enheter bedriften ønsker å selge. Derfor er det også interessant å lage modeller som viser prisen en bedrift kan ta per enhet for å oppnå en bestemt etterspørsel. I neste eksempel viser vi hvordan vi kan lage en slik modell med utgangspunkt i modellen for etterspørselen qðpÞ.

Oppgaver: 4.27–4.28


246 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

EK SEMPEL 14 En modell for den daglige etterspørselen q som funksjon av prisen p per enhet for en vare er gitt ved qðpÞ ¼ 500e 0,025p , der p 2 ½40, 80 . a

Bestem en modell for prisen pðqÞ som funksjon av etterspørselen q.

b

Bestem en modell for inntekten IðxÞ som funksjon av antall solgte enheter x.

Løsning: a Vi gjør om på modellen for qðpÞ: q ¼ 500e 0,025p q ¼ e 0,025p 500 q ln ¼ 0,025p j 40 500 q 40 ln ¼p 500 q p ¼ 40 ln 500 p ¼ 40ðln q ln 500Þ p ¼ 40 ln 500 40 ln q p 249 40 ln q For å oppnå etterspørselen q kan bedriften ta prisen pðqÞ ¼ 249 40 ln q Vi merker oss at begge modellene kun gjelder for pris mellom 40 og 80 kr per enhet.

Løsning med CAS: Vi definerer funksjonen qðpÞ og bruker kommandoen «Løs(qðpÞ ¼ x, p)» for å bestemme pðqÞ. I linje 3 omformer vi uttrykket til samme form som ovenfor: 1

2

3

En modell for prisen pðqÞ er pðqÞ ¼ 249 40 ln q.


Etterspørsel 247

b

Etterspørselen er det samme som antall varer bedriften selger. Vi kan derfor bytte ut q i pðqÞ med x og uttrykke prisen pðxÞ som funksjon av antall solgte enheter. En modell for inntekten ved salg av x enheter per dag er IðxÞ ¼ pðxÞ x ¼ ð249 40 ln xÞ x ¼ 249x 40x ln x

I det siste eksempelet viser vi hvordan vi kan finne det største overskuddet når vi tar hensyn til både etterspørsel, inntekt og kostnad.

EKSEMPEL 15

Et bakeri baker og selger baguetter. En modell for etterspørselen per dag q er gitt ved qðpÞ ¼ 356 p2 , der p 2 ½6, 16 og hvor p er prisen i kroner per baguett. En modell for kostnaden K per dag i kroner er gitt ved KðxÞ ¼ 5,2x þ 410 der x er antall baguetter som produseres per dag. a

Finn et uttrykk for inntekten IðpÞ som funksjon av prisen.

b

Hvilken pris gir høyest inntekt?

c

Finn et uttrykk for den daglige kostnaden KðpÞ som funksjon av prisen p.

d

Bestem hvilken pris som gir størst mulig overskudd. Hva er det daglige overskuddet da?

e

Hvor mange baguetter må bakeriet bake hver dag for å få størst mulig overskudd?

Oppgaver: 4.29–4.30


248 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Løsning: a Vi finner inntekten ved å multiplisere etterspørselen med prisen: IðpÞ ¼ qðpÞ p ¼ ð356 p2 Þ p ¼ p3 þ 356p Inntekten er IðpÞ ¼ p3 þ 356p. b

Vi tegner inntektsfunksjonen i GeoGebra og bruker knappen «Ekstremalpunkt» for å finne toppunktet: 3000

y, kr (10.89, 2585.37)

2500 2000

I(p) = –p3 + 356p

1500 1000 500 0

x, pris 2

4

6

8

10

12

14

16

Toppunktet er tilnærmet lik ð10,89, 2585Þ. Den høyeste inntekten er 2585 kr ved en pris på 10,89 kr per baguett. c

Etterspørselen bestemmer hvor mange baguetter bakeriet baker hver dag. Vi erstatter derfor x i kostnadsfunksjonen med etterspørselen qðpÞ: KðpÞ ¼ K qðpÞ ¼ 5,2 ð356 p2 Þ þ 410 ¼ 5,2p2 þ 2261,2 En modell for daglig kostnad som funksjon av prisen er KðpÞ ¼ 5,2p2 þ 2261,2.

Ekstremalpunkter Bunnpunkt når f 0 ðxÞ ¼ 0 og f 00 ðxÞ > 0 Toppunkt når f 0 ðxÞ ¼ 0 og f 00 ðxÞ < 0

d

Vi definerer kostnadsfunksjonen KðpÞ og overskuddsfunksjonen OðpÞ ¼ IðpÞ KðpÞ i GeoGebra og tegner grafene. Så bruker vi knappen «Ekstremalpunkt» for å finne toppunktet til overskuddsfunksjonen. 3000 2500

y, kr (10.89, 2585.37) 2 + 2261.2

K(p) = –5.2p

2000 1500 1000

I(p) = –p3 + 356p (12.76, 1050.46)

500

–500

x, pris 2

4

6

8

10

O(p) = I(p) – K(p)

12

14

16


Etterspørsel 249

Overskuddsfunksjonen har toppunkt i ð12,76, 1050,46Þ. Overskuddet er størst når prisen per baguett er 12,76 kr. Da er overskuddet om lag 1050 kr per dag. e

For å finne vinningsoptimal produksjon regner vi ut etterspørselen når prisen er 12,76 kr: qð12,76Þ ¼ 356 12,762 193 Overskuddet blir størst når bakeriet baker 193 baguetter per dag.

Løsning med CAS: Vi viser nå hvordan vi kan bruke CAS til å bestemme inntekten og overskuddet som funksjon av antall baguetter x som blir bakt. 1

2

3

4

5

6

7

I linje 3 finner vi prisen p som funksjon x, og i linje 4 bruker vi prisen videre til å definere IðxÞ. Så definerer vi OðxÞ og bestemmer ekstremalpunktet på grafen. For å kontrollere at ekstremalpunktet er et toppunkt, regner vi ut den andrederiverte og sjekker at denne er negativ. Overskuddet er størst når bakeriet baker 193 baguetter per dag.

Reflekter og diskuter! Anta at vi kjenner etterspørselen qðpÞ som funksjon av prisen for en vare. Er det mulig å finne prisen pðqÞ som funksjon av etterspørselen?

Oppgaver: 4.31–4.34


250 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Oppgaver 4.27 En bedrift produserer og selger en vare. En modell for etterspørselen er qðpÞ ¼ 650e 0,015p ,

4.29

p 2 ½40, 100

Her er p prisen i kroner per enhet, og qðpÞ er etterspørselen i antall enheter per uke. a

Bestem etterspørselen når prisen er 60 kr per enhet.

b

Hva må prisen være hvis bedriften vil selge 300 enheter i uka?

c

Bestem inntekten IðpÞ.

d

Hva er den høyeste inntekten bedriften kan få? Ved en takeaway følger daglig etterspørsel etter kebab modellen qðpÞ ¼ 800 4p, p 2 ½60, 120

4.28 y, enheter 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20

der p er prisen per kebab.

q(p)

200

400

600

800

1000

a

Hvor mange kebab blir solgt per dag hvis prisen er 60 kr? Hva blir inntekten per dag da?

b

Hvor mange kebab blir solgt per dag hvis prisen er 70 kr? Hva blir inntekten per dag da?

c

Hvilken pris gir høyest inntekt? Hva blir den høyeste innntekten?

d

Finn en modell for prisen p som funksjon av etterspørselen q.

x, pris

Figuren viser hvordan etterspørselen etter standard dobbeltrom ved et hotell varierer med døgnprisen på rommet.

4.30 For en vare er etterspørselen per uke tilnærmet gitt ved modellen qðpÞ ¼ 1600e 0,02p . Her er qðpÞ etterspørselen per uke og p prisen per enhet. Modellen gjelder for p 2 ½20, 60 .

a

Hvor mange dobbeltrom kan hotellet regne med å selge når døgnprisen er 800 kr?

b

Hva må prisen være hvis hotellet vil selge alle sine 220 dobbeltrom?

a

Bestem en modell for prisen p som funksjon av etterspørselen q.

c

Vis at modellen for etterspørselen kan uttrykkes ved qðpÞ ¼ 0,2p þ 340, der p 2 ½600, 1200 .

b

Bestem en modell for inntekten I som funksjon av antall solgte enheter x

d

Hvilken døgnpris gir høyest inntekt per døgn?


Etterspørsel 251

4.31 En bedrift produserer og selger en vare. Når prisen er p kroner per enhet, er etterspørselen q per uke gitt ved modellen qðpÞ ¼ 1400e 0,04p ,

Vis at en modell for inntekten I når bakeriet pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi selger x boller per dag, er IðxÞ ¼ x 750 1,25x.

c

Tegn grafen til IðxÞ og finn toppunktet. Hvor mange boller selger bakeriet per dag når inntekten er størst?

p 2 ½20, 50

a

Bestem en modell for inntekten IðpÞ.

b

Tegn grafen til IðpÞ.

c

Bestem den prisen som gir høyest inntekt.

Produksjonskostnaden er 2800 kr per uke og 13 kr per enhet. d

b

En modell for kostnaden når bakeriet baker x boller per uke, er KðxÞ ¼ 6x þ 800. d

Bestem det største overskuddet bakeriet kan få fra bollene.

e

Hvor mange boller selger bakeriet per uke når overskuddet er størst? Hva er da prisen per bolle?

Vis at en modell for kostnaden per uke som funksjon av prisen er KðpÞ ¼ 18 200e 0,04p þ 2800.

e

Bestem det største overskuddet bedriften kan få per uke. Hva er prisen per enhet da?

f

Hvor mange enheter selger bedriften per uke når overskuddet er størst?

4.33 En modell for etterspørselen q etter en vare når prisen på varen er p kroner per enhet, er gitt ved qðpÞ ¼ Ae kp . Vis at en modell for prisen p uttrykt ved etterspørselen q er

4.32

pðqÞ ¼

ln A 1 ln q k k

4.34 En modell for prisen p i kroner en bedrift kan ta per enhet av en vare for å oppnå en etterspørsel på q enheter per dag, er gitt ved pðqÞ ¼ 1800 400 ln q, q 2 ½10, 30 Ved produksjon av varen er det en fast kostnad på 2600 kr per dag og en variabel kostnad på 280 kr per enhet. a Et bakeri har kommet fram til følgende modell for den daglige etterspørselen etter boller når prisen er p kroner per bolle: qðpÞ ¼ 600 0,8p2 , a

p 2 ½15, 25

Bestem den prisen per bolle som gir høyest daglig inntekt.

Vis at en modell for etterspørselen q når prisen er p kroner per enhet, kan skrives som qðpÞ ¼ 90e 0,0025p .

b

Bestem det høyeste overskuddet bedriften kan oppnå per dag. Hvor mange enheter av varen selger bedriften per dag da?


252 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

MØNSTER OG OVERSIKT Kostnad

Enhetskostnaden er lavest når

KðxÞ er totale kostnader ved produksjon av x enheter per tidsperiode. Enhetskostnad ¼ kostnad per enhet ¼ gjennomnittskostnad KðxÞ EðxÞ ¼ x Grensekostnaden K 0 ðxÞ forteller omtrent hvor mye kostnaden øker når produksjonen øker med én enhet.

K 0 ðxÞ ¼ EðxÞ Grafen til K 0 ðxÞ går gjennom bunnpunktet på grafen til EðxÞ: y, kr

E(x)

Lavest enhetskostnad

Inntekt

K' (x)

IðxÞ er inntekter fra salg av x enheter per tidsperiode. Inntekt = pris antall solgte enheter IðxÞ ¼ pðxÞ x

Produksjonsmengden som gir laveste enhetskostnad

Grenseinntekten I 0 ðxÞ forteller omtrent hvor mye inntekten øker når produksjonen øker med én enhet.

x, antall enheter

Overskudd

Laveste enhetskostnad Den laveste enhetskostnaden EðxÞ er stigningstallet til den linja gjennom origo som tangerer grafen til KðxÞ.

Overskudd ¼ inntekt kostnad OðxÞ ¼ IðxÞ KðxÞ Overskuddet er størst når grenseinntekten er lik grensekostnaden:

y, kr

I 0 ðxÞ ¼ K 0 ðxÞ y, kr

K(x) I(x)

K(x)

Produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad

Stigningstall = laveste enhetskostnad

x, antall enheter

K’(x) = I’(x) Størst overskudd O(x) x, antall enheter

Vinningsoptimal produksjonsmengde er den produksjonsmengden som gir størst overskudd.


Mønster og oversikt 253

Etterspørsel og pris

Avgjør om påstandene stemmer

qðpÞ er etterspørselen målt i antall enheter per tidsperiode når prisen er p kr per enhet.

1

Grafen til kostnadsfunksjonen er alltid en del av en parabel.

IðpÞ er inntekten per tidsperiode når prisen er p kr per enhet: IðpÞ ¼ qðpÞ p

2

Når grafen til kostnadsfunksjonen stiger, øker enhetskostnaden.

3

EðxÞ < KðxÞ

4

Enhetskostnaden er uavhengig av antall enheter som blir produsert.

5

I 0 ðxÞ går gjennom bunnpunktet på grafen til EðxÞ.

6

OðxÞ har nullpunkter der IðxÞ ¼ KðxÞ.

7

OðxÞ > 0 når KðxÞ < IðxÞ.

8

Ved vinningsoptimal produksjonsmengde er I 0 ðxÞ ¼ K 0 ðxÞ.

9

IðpÞ ¼ qðpÞ p

10 Etterspørselen er lik antall solgte enheter.


254 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Test deg selv Uten hjelpemidler

4.35 Figuren viser grafen til kostnadsfunksjonen KðxÞ sammen med to linjer: y, kr

4.36 En modell for daglig etterspørsel q etter en vare når prisen er p kroner, er qðpÞ ¼ 300 2p, p 2 ½40, 80 a

Hvilken pris gir høyest inntekt per dag?

b

Bestem en modell for inntekten I når salget er x enheter per dag.

c

Hvilken etterspørsel gir høyest inntekt per dag?

7000 6000 5000 4000

(100, 4000)

3000 2000

Med hjelpemidler K(x)

1000

–1000

20

40

60

80

100

120

140

x, antall enheter

4.37 Tabellen nedenfor viser hvordan kostnaden ved produksjon varierer med antall enheter en bedrift produserer per uke:

Den ene linja går gjennom origo og punktet ð100, Kð100ÞÞ. Den andre linja tangerer grafen til KðxÞ i det samme punktet. a

Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 100 enheter.

b

Bestem grensekostnaden ved produksjon av 100 enheter.

c

Vil gjennomsnittlig kostnad per produserte enhet øke eller avta dersom produksjonen økes fra 100 til 101 enheter?

d

Inntekten er IðxÞ ¼ px, der p er prisen per enhet. Hva er prisen dersom overskuddet er størst ved produksjon av 100 enheter i uka?

Antall enheter per uke

Kostnad per uke (kr)

800 1300 1500 2000 2600

11 200 13 500 15 000 19 500 27 000

a

Lag en modell KðxÞ for kostnaden ved produksjon av x enheter per uke.

b

Finn enhetskostnaden og grensekostnaden når bedriften produserer 2000 enheter per uke. Forklar hva tallene betyr.


Test deg selv 255

4.38

4.39 En bedrift produserer og selger en vare. Ved prisen p kroner per enhet har vi følgende modell for etterspørselen målt i antall enheter per dag: qðpÞ ¼ 700e 0,016p ,

p 2 ½50, 100

Produksjonskostnaden består av en fast kostnad på 2100 kr per dag og en variabel kostnad på 18 kr per enhet.

En bedrift produserer og selger digitale lesebrett. En modell for inntekten IðxÞ og kostnaden KðxÞ i kroner per uke når bedriften produserer og selger x enheter per uke, er gitt ved IðxÞ ¼ 1580x 0,9x2 KðxÞ ¼ 0,0024x3 1,6x2 þ 720x þ 65000 der x 2 ½50, 800 . a

Finn inntekt, kostnad og overskudd når bedriften produserer og selger 500 lesebrett i uka.

b

Bestem enhetskostnaden EðxÞ. Hva er gjennomsnittskostnaden per produserte enhet når bedriften produserer 300 enheter i uka?

c

Ved hvilken produksjon går bedriften med overskudd?

d

Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd? Hva er overskuddet da?

e

Bestem grenseinntekten I 0 ðxÞ og grensekostnaden K 0 ðxÞ.

f

Løs likningen I 0 ðxÞ ¼ K 0 ðxÞ. Hva forteller svaret?

g

Bestem skjæringspunktet mellom grafen til K 0 ðxÞ og EðxÞ. Hva forteller skjæringspunktet om produksjonskostnaden?

a

Bestem en modell for overskuddet O når prisen er p kroner per enhet.

b

Finn det største daglige overskuddet bedriften kan oppnå.

c

Hva er prisen per enhet og antall solgte enheter når overskuddet er størst?


256 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Oppgaver 4.1 Kostnadsfunksjoner

4.43

4.40 Tabellen nedenfor viser ukentlig kostnad for en bedrift ved ulike produksjonsmengder av en vare:

a

Antall enheter per uke

Kostnad i kroner per uke

100 200 300 400

42 100 77 000 118 000 164 000

Bestem en modell for kostnaden KðxÞ ved produksjon av x enheter per uke.

b

Hvor stor er den faste kostnaden per uke?

c

Hvor stor er den variable kostnaden per uke ved produksjon av 200 enheter per uke?

4.41 En bedrift produserer ullhansker. En modell for den daglig kostnaden KðxÞ i kroner ved produksjon av x par hansker per dag er gitt ved KðxÞ ¼ 0,1x þ 80x þ 2000 , 2

x 2 ½50, 200

a

Finn kostnaden ved produksjon av 100 par hansker per dag.

b

Hvor stor er den variable kostnaden ved produksjon av 100 par hansker per dag?

c

Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 100 par hansker per dag.

4.42 Kostnaden i kroner ved produksjon av en vare er gitt ved KðxÞ ¼ 0,5x2 þ 10x þ 128. Her er x antall produserte enheter av varen per dag. a

Bestem et uttrykk for enhetskostnaden.

b

Bestem den minste enhetskostnaden. Hva er produksjonsmengden da?

En bedrift produserer seilbrett. Kostnaden i kroner ved produksjon av x seilbrett i måneden er gitt ved KðxÞ ¼ 4,3x2 þ 5800x þ 170 000 Hvor stor prosentandel av totalkostnaden utgjør de faste kostnadene når bedriften produserer a

100 seilbrett i måneden?

b

200 seilbrett i måneden?

c

400 seilbrett i måneden?

4.44 En modell for kostnaden i kroner per uke ved produksjon av en vare er gitt ved KðxÞ ¼ 0,1x2 þ 200x þ 4000 Her er x antall produserte enheter av varen per uke. a

Bestem en modell for enhetskostnaden.

b

Bestem enhetskostnaden og kostnaden ved produksjon av 100 enheter i uka.

c

Vil enhetskostnaden øke eller avta hvis bedriften øker produksjonen fra 100 enheter i uka?

d

Bestem den minste enhetskostnaden. Hva er produksjonsmengden da?


Oppgaver 257

4.45 Kostnaden ved produksjon av x enheter av en vare per dag er gitt ved andregradsmodellen KðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c. KðxÞ er kostnaden i kroner per dag. Kostnaden per dag er

1760 kr ved produksjon av 40 enheter per dag

2360 kr ved produksjon av 60 enheter per dag

3800 kr ved produksjon av 100 enheter per dag

a

Forklar at dette gir oss likningssystemet 1600a þ 40 þ c ¼ 1760 3600a þ 60b þ c ¼ 2360 10 000a þ 100b þ c ¼ 3800

b

Løs likningssystemet og bestem funksjonsuttryket for modellen.

4.46 For en bedrift er fast kostnad ved produksjon av en vare 34 000 kr per uke. Når produksjonsmengden er 50 enheter per uke, er totalkostnaden 104 000 kr per uke og grensekostnaden 1600 kr. Bestem en andregradsmodell for totalkostnaden ved produksjon av x enheter per uke.

4.47 Ved produksjon av en vare er kostnaden per dag gitt ved modellen KðxÞ ¼ 0,1x2 þ 120x þ 2000, der x er antall enheter produsert per dag. a

Tegn grafen til KðxÞ.

b

Finn kostnaden og enhetskostnaden ved en produksjon på 200 enheter per dag.

Marker punktet ð400, Kð400ÞÞ på grafen til K, og trekk en linje fra origo og gjennom punktet. c

Forklar at stigningstallet til linja er enhetskostnaden du fant i oppgave b.

d

Hvordan kan du se av linja og grafen til K at enhetskostnaden blir lavere hvis produksjonsmengden blir redusert?

4.48 Vi har kostnadsfunksjonen KðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c, der a, b, c > 0. pffiffiffiffiffi Vis at den laveste enhetskostnaden er b þ 2 ac.

4.49 En skiprodusent produserer x par langrennsski per uke. En modell for kostnaden i kroner per uke er KðxÞ ¼ 0,18x2 þ 420x þ 27 000 Tegn en graf som viser hvor stor andel den faste kostnaden utgjør av totalkostnaden ved ulike produksjonsmengder.

4.50 Vi har en kostnadsmodell på formen KðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c der x er antall produserte enheter av en vare. Vis at produksjonsmengden som gir den laveste enhetskostnaden, er uavhengig av parameteren b.

4.2 Inntekt og overskudd 4.51 For en bedrift er inntekt I og kostnad K ved produksjon og salg av x enheter per dag tilnærmet gitt ved IðxÞ ¼ 0,2x2 þ 84x KðxÞ ¼ 0,1x2 þ 36x þ 1000 I og K er gitt i kroner per dag. a

Bestem en modell for overskuddet OðxÞ.

b

Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd.


258 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

4.52 For en bedrift er inntekt I og kostnad K ved produksjon og salg av x enheter per dag tilnærmet gitt ved

4.55

IðxÞ ¼ 0,5x2 þ 120x KðxÞ ¼ 0,1x2 þ 60x þ 500 I og K er gitt i kroner per dag. a

Går bedriften med overskudd ved produksjon av 100 enheter per dag?

b

Bestem overskuddet ved produksjon av 10 enheter per dag.

c

Bestem vinningsoptimal produksjonsmengde.

d

Bestem det største overskuddet.

4.53 En modell for kostnaden til en bedrift ved produksjon av en vare er gitt ved KðxÞ ¼ 0,2x2 þ 20x þ 1880,

Bestem en modell for bedriftens overskudd når inntekten er gitt ved IðxÞ ¼ 0,1x2 þ 80x , x 2 ½0, 200

b

Ved hvilken produksjonsmengde er overskuddet størst? Hvor stort er overskuddet da?

c

For hvilke produksjonsmengder er overskuddet nærmest null?

4.54 En bedrift produserer og selger x enheter av en vare per måned. En modell for det månedlige overskuddet er da gitt ved OðxÞ ¼ 0,15x2 þ 90x 10 125. a b

KðxÞ ¼ 1,1x2 þ 5600x þ 270 000 Vi regner med at bedriften selger alle brillene som produseres. En modell for inntekten i kroner er da

x 2 ½0, 200

der x er antall produserte enheter av varen. a

En bedrift produserer VR-briller. Ved produksjon av x VR-briller i uka er kostnaden i kroner tilnærmet gitt ved

På hvilke ulike måter kan vi begrunne at ekstremalpunktet på grafen til OðxÞ er et toppunkt? Bestem vinningsoptimal produksjonsmengde.

IðxÞ ¼ 1,2x2 þ 8000x a

Hvor mange VR-briller må bedriften produsere og selge for å gå med overskudd?

b

Hva er overskuddet ved produksjon og salg av 500 briller i uka?

c

Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd? Hva er overskuddet da?

4.56 Bedriften Ayer AS produserer bildeler. En modell for kostnaden i antall tusen kroner ved produksjon av x bildeler per måned er gitt ved KðxÞ ¼ 0,1x2 þ 10x þ 1440,

x 2 ½0, 100

En modell for inntekten i antall tusen kroner per måned er gitt ved IðxÞ ¼ 0,05x2 þ 40x,

x 2 ½0, 100

a

Finn en modell for overskuddet.

b

Ved hvilke produksjonsmengder går produksjonen i balanse?

c

Hva er det maksimale overskuddet bedriften kan oppnå, og hvor mange bildeler produserer bedriften da?


Oppgaver 259

4.57 Tabellen viser inntekten IðxÞ i kroner per enhet når en bedrift selger x enheter av en vare per dag: Antall varer per måned, x

Inntekt, I

200 500 700 1000

34 000 72 000 99 000 134 000

a

Bruk regresjon til å finne en modell for inntekten IðxÞ.

b

Tegn grafen til IðxÞ.

c

Hva er det minste antallet enheter bedriften må selge per dag for at inntekten skal være høyere enn 30 000 kr per dag?

4.60 En modell for prisen p på en vare har formen pðxÞ ¼ a x þ b, der x er antall solgte enheter og parameterne a og b er reelle tall. Lag en glider for parameteren a i GeoGebra. La verdien variere fra 1 til 0 med trinn på 0,001. Lag så en glider for parameteren b, og la denne variere mellom 50 og 100 med trinn på 1. Definer prismodellen pðxÞ ¼ a x þ b og inntektsmodellen IðxÞ ¼ pðxÞ x. Tegn grafen til IðxÞ og marker ekstremalpunktet. a

Finn to ulike sett av verdier for a og b som gir den høyeste inntekten ved produksjonsmengde x ¼ 300. b for hvert av de to settene med verdier. 2a Forklar resultatet.

4.58 En modell for overskuddet ved produksjon av x enheter av en vare er gitt ved OðxÞ ¼ 0,4x2 þ 80x 3400.

b

a

Bestem vinningsoptimal produksjonsmengde.

b

Bestem O 0 ð80Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

4.61 Vi har overskuddsfunksjonen OðxÞ ¼ ax3 þ bx2 þ cx þ d. a

Bruk CAS til å finne x-verdien til eventuelle stasjonære punkter på grafen til O uttrykt ved a, b, c og d.

b

Forklar at b2 > 3ac dersom grafen har topp- eller bunnpunkter.

c

Bruk O 00 ðxÞ til å avgjøre hvilket av de stasjonære punktene som er et toppunkt.

4.59 Tegn grafen til kostnadsmodellen KðxÞ ¼ 0,06x2 þ 12x þ 2400 i GeoGebra, og plasser et punkt på grafen. Trekk en linje fra origo og gjennom punktet. Flytt punktet slik at linja tangerer grafen. a

Hva er x-koordinaten til punktet når linja tangerer grafen?

b

Hva er stigningstallet til linja?

c

Hvilken produksjonsmengde gir den laveste enhetskostnaden?

d

Hva er den laveste enhetskostnaden?

Regn ut


260 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

4.3 Grensekostnad og grenseinntekt

4.65

4.62 Grensekostnaden for en vare er K 0 ðxÞ ¼ 0,8x þ 70, der x er antall produserte enheter. a

Forklar at KðxÞ kan skrives som KðxÞ ¼ 0,4x2 þ 70x þ C der C er en konstant.

b

De faste kostnadene er Kð0Þ ¼ 12 000. Finn et uttrykk for KðxÞ.

4.63 Grenseinntekten for en vare er I 0 ðxÞ ¼ 40 0,004x der x er antall solgte enheter. a

Finn inntektsfunksjonen IðxÞ.

b

Finn grenseinntekten og inntekten når det selges 4000 enheter.

4.64 Kostnaden ved produksjon av x enheter av en vare per dag er gitt ved modellen

En bedrift produserer spillkonsoller. Det første året konsollen er i salg, velger produsentene å maksimere salget ved å redusere prisen. En modell for kostnaden KðxÞ og inntekten IðxÞ i antall tusen kroner per måned ved produksjon av x tusen enheter i måneden er da gitt ved KðxÞ ¼ 0,0014x2 þ 0,8x þ 400 IðxÞ ¼ 0,0012x2 þ 7,2x a

Ved hvilke produksjonsmengder går produksjonen akkurat i balanse?

b

Bestem grenseinntekten I 0 ðxÞ og grensekostnaden K 0 ðxÞ.

c

Tegn grafen til I 0 ðxÞ og K 0 ðxÞ i samme koordinatsystem og bestem skjæringspunktet.

d

Bestem vinningsoptimal produksjon og det største mulige overskuddet.

KðxÞ ¼ 0,2x2 þ 80x þ 4500 Vi regner med at bedriften får solgt alle enhetene den produserer. En modell for daglig inntekt er da IðxÞ ¼ 0,3x2 þ 280x KðxÞ og IðxÞ er gitt i kroner per dag. a

Bestem et uttrykk for grensekostnaden K 0 ðxÞ og grenseinntekten I 0 ðxÞ.

b

Løs likningen I 0 ðxÞ ¼ K 0 ðxÞ, og gi en praktisk tolkning av løsningen.

c

Bestem det høyeste daglige overskuddet.

d

Bestem et uttrykk for enhetskostnaden EðxÞ.

e

Løs likningen K 0 ðxÞ ¼ EðxÞ.

f

Bestem den laveste enhetskostnaden.

x 2 ½50, 2500

4.66 Grensekostnaden ved produksjon av en vare er gitt ved K 0 ðxÞ ¼ 0,04x þ 60, der x er antall produserte enheter. Finn kostnadsfunksjonen KðxÞ når de faste kostnadene er på 7000 kr.


Oppgaver 261

4.67 4500

4.69 Kostnaden i kroner ved produksjon av x i enheter av en vare per dag er gitt ved modellen

y, kr

4000

KðxÞ ¼ 0,027x2 þ 18x þ 700 ,

3500 3000 2500

(60, 2500)

2000 1500 1000 500 0

K(x) x, antall enheter

x 2 ½0, 400

En modell for prisen p kroner per enhet er gitt ved pðxÞ ¼ ax þ b der parameterne a og b er reelle tall. Det viser seg at det største mulige overskuddet er på 2675 kr per dag ved produksjon av 250 enheter per dag. Bruk dette til å bestemme parameterne a og b.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Varen selges for en fast pris per enhet, og vi regner med at alle varene blir solgt.

4.70 En bedrift produserer og selger en vare. Enhetskostnaden i kroner ved produksjon av x enheter av varen per dag følger modellen 600 EðxÞ ¼ 0,2x þ 35 þ x a Tegn grafen til EðxÞ.

b

b

Figuren viser en modell for den daglige kostnaden KðxÞ ved produksjon av x enheter av en vare per dag. a

Bestem K 0 ð60Þ og forklar hva tallet betyr.

Hva er den faste prisen per enhet hvis overskuddet er størst ved produksjon og salg av 60 enheter per dag? Hvor stort er overskuddet da?

4.68 Tenk deg en bedrift som produserer noe du selv kjøper jevnlig. a

b

Foreslå en mulig andregradsmodell for kostnaden KðxÞ ved produksjon av x enheter daglig. Tegn grafen til KðxÞ. Tenk deg at bedriften selger varen til en fast pris per enhet, og bestem en lineær inntektsmodell IðxÞ for daglig inntekt ved salg av x enheter.

c

Bestem en modell for overskuddet OðxÞ.

d

Finn toppunktet på grafen til OðxÞ, og bestem vinningsoptimal produksjonsmengde.

e

Vis at I 0 ðxÞ ¼ K 0 ðxÞ når x er den vinningsoptimale produksjonsmengden.

Ved hvilken produksjonsmengde er enhetskostnaden lavest?

Prisen bedriften tar per enhet, varierer med salget og er gitt ved pðxÞ ¼ 80 0,2x. c

Bestem vinningsoptimal produksjonsmengde og det største overskuddet.

4.71 Ved produksjon av x enheter av en vare per dag er grensekostnaden og grenseinntekten gitt ved K 0 ðxÞ ¼ 0,4x þ 300 I 0 ðxÞ ¼ 0,2x þ 600 Undersøk om det er mulig å finne vinningsoptimal produksjonsmengde ved å integrere K 0 ðxÞ og I 0 ðxÞ og finne et uttrykk for overskuddsfunksjonen OðxÞ.


262 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

4.72 Figuren viser grafen til enhetskostnaden EðxÞ og grensekostnaden K 0 ðxÞ ved produksjon av x enheter:

4.75 For en bedrift er inntekten I ved produksjon og salg av x enheter per uke av en vare tilnærmet gitt ved IðxÞ ¼ 0,25x2 þ 2000x

y, kr

Overskuddet ved produksjon og salg av 100 enheter per uke er 34 000 kr.

E(x)

a

K’(x) = 3,6x + 270

Hva er produksjonskostnaden ved produksjon og salg av 100 enheter i uka?

En modell for overskuddet er OðxÞ ¼ 0,4x2 þ 400x 2000.

(94,3, 609,5)

x, antall enheter

Bruk figuren til å finne et funksjonsuttrykk for enhetskostnaden EðxÞ.

b

Hva er det største mulige overskuddet per uke?

c

Bestem en modell for kostnaden KðxÞ.

d

Finn den laveste enhetskostnaden.

4.76 En modell for etterspørsel er gitt ved qðpÞ ¼ 2500e 0,2p ,

p 2 ½4, 8

Her er q etterspørselen i antall enheter en gitt periode når prisen er p kroner.

4.4 Etterspørsel 4.73 En modell for ukentlig etterspørsel q etter en vare når prisen er p kroner, er gitt ved qðpÞ ¼ 900 3p, p 2 ½130, 160

a

Hvilken pris gir høyest inntekt? Hva er denne inntekten?

b

Hva er etterspørselen ved denne inntekten?

a

Bestem etterspørselen når prisen er 130 kr og 140 kr.

b

Hvilken pris gir høyest inntekt per dag?

4.77 Nedenfor står det fire modeller for etterspørsel qðpÞ. Bruk dem til å finne en modell for prisen p som funksjon av etterspørselen q.

c

Hva er etterspørselen per uke ved denne prisen?

a

qðpÞ ¼ 1000 0,5p, p 2 ½40, 60

b

qðpÞ ¼ 400 0,1p2 ,

c

qðpÞ ¼ 1600 400 ln p,

d

qðpÞ ¼ 500 ð60 1,04p Þ,

4.74 En modell for daglig etterspørsel q etter en vare når prisen er p kroner, er gitt ved qðpÞ ¼ 500 0,1p , 2

p 2 ½30, 50

a

Bestem etterspørselen når prisen er 30 kr og 50 kr.

b

Bestem inntekten når prisen er 30 kr og 50 kr.

c

Hvilken pris gir høyest inntekt per dag?

d

Hva er etterspørselen per uke ved denne prisen?

p 2 ½20, 40 p 2 ½10, 25 p 2 ½60, 90


Oppgaver 263

4.78 En modell for daglig etterspørsel q etter en vare når prisen er p kroner, er qðpÞ ¼ 1200 p2 ,

4.80

p 2 ½15, 30

a

Bestem en modell for inntekten IðpÞ i kroner per dag.

b

Hvilken pris gir den høyeste inntekten?

Produksjonskostnaden er 4200 kr per dag og i tillegg 8 kr per enhet. c

Bestem det største overskuddet bedriften kan få per dag.

d

Hva er prisen per enhet og antall solgte enheter per dag når overskuddet er størst?

der p er prisen per enhet av varen.

En konsertarrangør planlegger en konsert. Med en billettpris på 450 kr regner arrangøren med å selge det maksimale antallet på 1600 billetter. De antar videre at salget faller med 2 billetter for hver krone de øker prisen. I tillegg til billettinntektene regner arrangøren med inntekter fra mat og drikke på 150 kr i gjennomsnitt per solgte billett.

a

Bestem den prisen som gir høyest inntekt.

a

b

Forklar at etterspørselen etter varen q er

Hva blir inntektene hvis prisen settes til 500 kr per billett?

b

Vis at en modell for etterspørselen etter billetter q er gitt ved qðpÞ ¼ 2500 2p p 450

4.79 En bedrift produserer og selger en vare. En modell for inntekten I i kroner per måned er gitt ved IðpÞ ¼ 5400p e 0,05p ,

p 2 ½10, 30

gitt ved qðpÞ ¼ 5400e 0,05p . Bedriften selger x enheter av varen per måned. c

Vis at IðxÞ ¼ 20x ln

x 5400

Den faste kostnaden for produksjonen er 18 000 kr per måned. I tillegg koster det 7 kr for hver enhet bedriften produserer. d

Bestem det største overskuddet bedriften kan få per måned ifølge modellene.

e

Hva er produksjonsmengden og prisen per enhet når overskuddet er størst?

der p er billettprisen. Kostnaden ved denne konserten er uavhengig av antall billetter arrangøren selger. c

Hvilken billettpris bør arrangøren ta for å maksimere overskuddet? Hvor mange billetter blir solgt da?


264 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

Blandede oppgaver 4.81 Grensekostnadene for en vare er K 0 ðxÞ ¼ 0,4x þ 45, x 2 ½0, 400 Finn kostnadsfunksjonen KðxÞ når Kð100Þ ¼ 12 500.

4.84 En bedrift produserer og selger en vare. Enhetskostnaden ved produksjon av x enheter 11 000 i uka er tilnærmet EðxÞ ¼ 0,04x þ 140 þ . x a Tegn grafen til EðxÞ. b

4.82 Tabellen nedenfor viser den ukentlige kostnaden for en bedrift ved ulike produksjonsmengder av en vare:

a

Antall enheter per uke

Kostnad i kroner per uke

20 45 60 85

2 050 4 900 7 000 10 200

Bestem en modell på formen KðxÞ ¼ ax þ bx þ cx þ d 3

2

for den ukentlige kostnaden K kroner ved produksjon av x enheter per uke. b c

Finn grensekostnaden ved produksjon av 50 enheter i uka.

a b

Finn K 0 ð400Þ og I 0 ð400Þ. Hva forteller tallene om lønnsomheten til bedriften? Bestem den produksjonsmengden som gir høyest overskudd.

Bedriften har faste kostnader på 12 000 kr per uke i tillegg til de variable kostnadene. De høyeste overskuddet er 75 500 kr per uke. c

Bedriften selger varen for 220 kr per enhet. c

Bestem vinningsoptimal produksjonsmengde og det største overskuddet.

d

Hva må prisen per enhet være dersom vinningsoptimal produksjonsmengde er 2000 enheter i uka?

4.85 En modell for kostnaden ved produksjon av en vare har formen KðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c , x > 0 a

Forklar at b > 0 og c > 0.

b

Bestem et uttrykk for enhetskostnaden EðxÞ.

c

Vis at E 0 ðxÞ ¼ a

d

Vis at grafen til EðxÞ har et ekstremalpunkt rffiffiffi c for x ¼ når a > 0. a

e

Bruk E00 ðxÞ til å vise at ekstremalpunktet i d er et bunnpunkt.

Hva er den laveste enhetskostnaden?

4.83 En bedrift produserer og selger x enheter av en vare per uke. Modeller for grensekostnaden KðxÞ og grenseinntekten IðxÞ i kroner er gitt ved K 0 ðxÞ ¼ 0,3x þ 200 og I 0 ðxÞ ¼ 0,4x þ 550

Hva er inntekten per uke når overskuddet er størst?

Ved hvilken produksjonsmengde er enhetskostnaden lavest?

c . x2

4.86 En bedrift produserer piggdekk til sykler. Tabellen viser hvordan produksjonskostnaden varierer med antall dekk produsert i uka. Antall enheter per uke

Kostnad i kroner per uke

500 700 1000 1200

117 500 137 900 177 500 223 900


Oppgaver 265

a

Vis at funksjonsuttrykket KðxÞ ¼ 0,0002x3 0,38x2 þ 340x þ 17 500 er en god modell for kostnaden i kroner per uke når det produseres x piggdekk i uka.

4.88 En modell for den daglige etterspørselen etter en vare når prisen er p kroner per enhet, er gitt ved qðpÞ ¼ 800e 0,0013p ,

p 2 ½700, 1500

b

Foreslå en definisjonsmengde for K og tegn grafen til K.

a

Bestem en modell for inntekten IðpÞ.

b

Tegn grafen til IðpÞ.

c

Hvilken produksjonsmengde gir lavest enhetskostnad? Hva er den laveste enhetskostnaden?

c

Bestem den prisen som gir høyest inntekt.

d

Vis at en modell for daglig inntekt som funksjon av antall solgte enheter per dag x er IðxÞ ¼ 769,2x ln 0,00125x

Produsentene selger piggdekkene videre til sykkelforhandlere for en fast pris på p kroner per dekk. d

Bestem høyeste overskudd når prisen per dekk er p ¼ 230 kr.

e

Hva er prisen per dekk hvis vinningsoptimal produksjonsmengde er 1200 dekk per uke?

4.87 Vi skal undersøke hvordan parameterne a, b og c påvirker kostnadsmodellen KðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c der x er antall enheter produsert per tidsperiode. Lag glidere i GeoGebra for hver av parameterne:

a skal variere mellom 0 og 1, med trinn på 0,05.

b skal variere mellom 10 og 100, med trinn på 1.

c skal variere mellom 500 og 2000, med trinn på 10.

Definer kostnadsfunksjonen KðxÞ ¼ ax þ bx þ c KðxÞ i algebrafeltet. og enhetskostnaden EðxÞ ¼ x Marker ekstremalpunktet på grafen til EðxÞ. 2

a

Varier parameterne a, b og c og beskriv hvordan de påvirker modellene.

b

Forklar hvorfor produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad, er uavhengig av parameteren b.

En modell for kostnaden i kroner ved produksjon av x enheter per dag er gitt ved KðxÞ ¼ 0,4x2 þ 520x þ 39 000 e

Bestem vinningsoptimal produksjonsmengde og det største daglige overskuddet.

f

Hva er prisen per enhet når overskuddet er størst?

4.89 Ved produksjon og salg av x tusen enheter av en vare per måned er inntektsmodellen IðxÞ og kostnadsmodellen KðxÞ gitt ved IðxÞ ¼ 2x2 þ 600x KðxÞ ¼ 0,8x3 32x2 þ 700x þ 2000

x 2 ½0, 34

IðxÞ og KðxÞ er gitt i antall tusen kroner per dag. a

Bestem en modell for grenseinntekten I 0 ðxÞ og grensekostnaden K 0 ðxÞ.

b

Forklar at likningen I 0 ðxÞ ¼ K 0 ðxÞ har to løsninger, og løs likningen.

c

Gi en praktisk tolkning av de to løsningene i b. Hva forteller de om lønnsomheten ved produksjonen?


266 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

4.90 En bedrift som produserer leker, bruker følgende modell for kostnaden i kroner: KðxÞ ¼ 0,1x2 0,2x þ 600 Her er x er antall produserte leker per dag. Antall leker produsert t timer etter arbeidsdagens begynnelse er gitt ved x ¼ 50t 10.

4.94 Christian mener at enhetskostnaden ved en gitt produksjonsmengde må være lik differansen mellom grensekostnaden og produktet av produksjonsmengden og den deriverte av enhetskostnaden. a

Skriv påstanden til Christian med matematiske symboler. Undersøk om påstanden stemmer.

a

Bestem produksjonskostnadene P som en funksjon av tiden t.

b

b

Finn produksjonskostnadene for en arbeidsdag på åtte timer.

4.95 Vi har kostnadsfunksjonen KðxÞ ¼ 0,2x2 þ 70x þ 2000, der x er antall produserte enheter.

4.91 Kostnaden (i kroner) for en vare er gitt ved

a

EðxÞ ¼

KðxÞ ¼ 0,5x2 þ 10x þ 128 Her er x antall produserte enheter av varen per dag. a

Bestem et uttrykk for enhetskostnaden.

b

Bestem den minste enhetskostnaden. Hva er produksjonsmengden da?

4.92 En modell for kostnaden KðxÞ ved produksjon av x enheter av en vare per tidsperiode har formen KðxÞ ¼ ax þ bx þ c 2

Vis at grafen til grensekostnaden K 0 ðxÞ går gjennom KðxÞ . bunnpunktet på grafen til enhetskostnaden EðxÞ ¼ x

4.93 Nedenfor står det fire modeller for etterspørsel qðpÞ. Bruk dem til å finne en modell for prisen p som funksjon av etterspørselen q. a

qðpÞ ¼ 1400 2p,

p 2 ½200, 300

b

qðpÞ ¼ 800e 0,1p ,

p 2 ½10, 16

c

qðpÞ ¼ 600p 0,5 ,

p 2 ½1,2, 1,8

d

qðpÞ ¼ 100ð20 1,1p Þ,

p 2 ½10, 25

Forklar at enhetskostnaden er

b

0,2x2 þ 70x þ 2000 x

Forklar at enhetskostnaden også kan skrives som EðxÞ ¼ 0,2x þ 70 þ 2000x 1 .

c

Deriver begge uttrykkene for enhetskostnaden og vis at svaret blir det samme.

d

Bestem produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad.

e

Forklar at førstegradsleddet 70x ikke har noen betydning for hvilken produksjonsmengde som gir lavest enhetskostnad.

4.96 En modell for kostnaden i kroner ved produksjon av flytevester er gitt ved KðxÞ ¼ 0,3x2 þ 180x þ 17 000. Her er x antall flytevester produsert per dag. Ved hvilken produksjonsmengde utgjør de faste kostnadene 10 % av totalkostnadene?


Oppgaver 267

4.97 En fabrikk produserer batterier. Figuren visen en modell av kostnaden KðxÞ i kroner ved produksjon av x batterier i uka: y, kr 100 000 80 000 60 000

Øv til eksamen 4.98 (Eksamen S2 høsten 2021) Når en bedrift produserer og selger x enheter per dag, er grensekostnaden K 0 og grenseinntekten I 0 gitt ved K 0 ðxÞ ¼ 0,4x þ 500 og I 0 ðxÞ ¼ 0,3x þ 850 Bedriften produserer og selger 400 enheter per dag. a

Avgjør om en økning i den daglige produksjonsmengden vil kunne gi et større overskudd for bedriften.

b

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?

(1200, 60000)

40 000 20 000

K(x) y = 56x – 7200

x, antall enheter

Tangenten i punktet ð1200, 60 000Þ er tegnet inn.

Bedriftens daglige kostnader K består av en fast del på 50 000 kr og en variabel del som er avhengig av produksjonsmengden.

a

Finn kostnaden, grensekostnaden og enhetskostnaden når fabrikken produserer 1200 batterier i uka.

c

b

Blir enhetskostnaden lavere eller høyere hvis fabrikken øker produksjonen fra 1200 enheter i uka?

0

200

600

1000

1400

1800

Vi regner med at fabrikken får solgt alle batteriene den produserer. En modell for prisen per batteri ved salg av x enheter er pðxÞ ¼ 70,4 k x. c

Finn den parameteren k som gjør at overskuddet er størst ved produksjon og salg av 1200 batterier i uka.

Hva er de daglige kostnadene ved produksjon av 400 enheter?

4.99 (Eksamen S2 høsten 2016) På figuren har vi tegnet grafen til en kostnadsfunksjon K (blå graf) og en inntektsfunksjon I (rød graf). Her er KðxÞ de daglige kostnadene ved å produsere og selge x enheter, og IðxÞ er de daglige inntektene ved å selge x enheter. Både kostnader og inntekter er regnet i kroner. y C

40 000

h

30 000 B

20 000 10 000

K I g

A

100

200

300

400

x


268 KAPITTEL 4 – ØKONOMISKE MODELLER

På samme figur har vi også tegnet inn to tangenter til grafen til K. Disse er gitt ved

a

Bruk figuren til å bestemme K 0 ð100Þ og Eð100Þ.

b

Vis at den deriverte av enhetskostnaden kan K 0 ðxÞ EðxÞ . skrives som E 0 ðxÞ ¼ x

c

Bestem E 0 ð100Þ. Hva forteller dette tallet oss?

gðxÞ ¼ 100x 2613 hðxÞ ¼ 62,5x þ 3850 a

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge daglig for at den skal ha et overskudd?

b

Bestem grensekostnaden ved produksjon og salg av 100 enheter.

c

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?

4.100 (Eksamen S2 høsten 2020) Kostnaden K (i kroner) for en vare er gitt ved

4.102 (Eksamen S2 høsten 2016) En bedrift produserer en vare. De totale kostnadene K ved produksjon av x enheter kan skrives på formen KðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c. Vi får vite dette:

Kostnadene er 3000 når det produseres 10 enheter.

Kostnadene er 8000 når de produseres 20 enheter.

Grensekostnaden ved produksjon av 10 enheter er 350.

a

Forklar at dette gir oss likningssystemet

KðxÞ ¼ x2 þ 8x þ 100 Her er x antall produserte enheter av varen per dag. a b

100a þ 10b þ c ¼ 3000

Bestem et uttrykk for enhetskostnaden og et uttrykk for grensekostnaden. Bestem den minste enhetskostnaden. Hva er produksjonsmengden da?

4.101 (Eksamen S2 våren 2020) For en bedrift koster det KðxÞ kroner å produsere x enheter av en vare per dag. Enhetskostnaden er da KðxÞ EðxÞ ¼ x Figuren nedenfor viser grafen til K og tangenten til grafen i punktet ð100, 1200Þ. y 1200

(100, 1200)

400a þ 20b þ c ¼ 8000 20a þ b ¼ 350 b

Løs likningssystemet.

4.103 (Eksamen S2 våren 2021) En bedrift produserer og selger en vare. De månedlige enhetskostnadene E ved å produsere og selge x enheter av denne varen er gitt ved 9000 þ 0,02x þ 160 , x 2 ½100, 3000 EðxÞ ¼ x a Tegn grafen til E. b

1000

Hvor mange enheter av varen må bedriften produsere og selge for at enhetskostnaden skal bli minst mulig?

Varen selges for 270 kr per enhet.

800

c

600 400 200 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 x

Bestem hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd. Hvor stort er dette overskuddet?


Oppgaver 269

Bedriften vil sette ned prisen på varen for å øke markedsandelen sin. Eieren av bedriften går med på dette, men krever at overskuddet må være minst 100 000 kr per måned. d

Hvilken pris per enhet vil gjøre at det største overskuddet kan bli 100 000 kr? Hvor mange enheter må de selge da?

4.104 (Eksamen S2 våren 2019) En ny vare blir lansert i et område. Vi antar at funksjonen q gitt ved qðtÞ ¼ 230e0,015t , t 2 ½0, 52 er en god modell for etterspørselen per uke, t uker etter lanseringen. a

Bruk graftegner til å tegne grafen til q.

Enhetsprisen for varen settes lik 50 kr det første året. b

Bestem inntekten i uke 40 etter lanseringen.

c

Bestem den samlede inntekten de første 52 ukene etter lanseringen.

Etter at varen har vært på markedet i ett år, vil enhetsprisen p kroner være en funksjon av den ukentlige etterspørselen x. Vi går ut fra at p er gitt ved pðxÞ ¼ 0,01x þ 60 ,

x 2 ½500, 2000

Grensekostnaden ved produksjon av x enheter er K 0 ðxÞ ¼ 0,02x þ 25 , d

x 2 ½500, 2000

Hva må enhetsprisen være for at overskuddet skal bli størst mulig?

4.105 (Eksamen S2 høsten 2019, noe endret) En bedrift produserer og selger en vare. Når prisen er p kroner per enhet, er inntekten I i kroner per uke gitt ved IðpÞ ¼ 1500p e 0,05p ,

p 2 ½10, 80

Den faste kostnaden for produksjonen er 2000 kr per uke. I tillegg koster det 15 kr for hver enhet bedriften produserer. Undersøk hvordan bedriften kan maksimere overskuddet sitt.

4.106 (Eksamen S2 høsten 2016, noe endret) En bedrift produserer og selger en vare. Bedriften har kommet fram til en modell for den daglige etterspørselen q gitt ved qðpÞ ¼ 341 p2 , p 2 ½4, 16 der p er prisen per enhet. Tabellen viser en oversikt over den daglige kostnaden KðxÞ i kroner ved ulike daglige produksjonsmengder x: x

KðxÞ

50 100 150 200 250 300

792 1065 1329 1601 1867 2136

Undersøk hvordan overskuddet til bedriften avhenger av antallet enheter den produserer daglig.


5

SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

1812

Pierre Simon Laplace (1749–1827) gir ut Théorie analytique des probabilités. Han blir regnet for grunnleggeren av den mer systematiske sannsynlighetsregningen.

1812

1650

1700

1654 Teorien for sannsynlighetsregning tar form gjennom brevveksling mellom Blaise Pascal (1623–1662) og Pierre de Fermat (1601–1665)

1750 1733 Abraham de Moivre (1667–1754) innførte den klokkeformede fordelingskurven

1800 1809 Carl Friedrich Gauss (1777–1855) oppdaget på nytt den klokkeformede normalfordelingskurven, gausskurven


Kan vi bruke sannsynlighetsregning til å avgjøre hvilken medisin man skal satse på? Hvordan bruker et kasino matematikk til å planlegge hvordan de skal tjene penger?

Førstemann til 1000 En runde i spillet foregår ved at to spillere kaster to terninger hver sin gang. Hvis summen av antall øyne på terningene er

seks, sju eller åtte, får man ingen poeng

ni, ti eller elleve, får man 200 poeng

tre, fire eller fem, får man 100 poeng

to eller tolv, får man 360 poeng

Hver spiller legger sammen poengene fra hver runde og noterer hvor mange runder man selv har spilt. Førstemann til 1000 poeng har vunnet spillet.

Legg sammen poengsummen til alle spillerne i klassen og divider med antall runder hver spiller har spilt. Hvor mange poeng får en spiller i gjennomsnitt på en runde?

Forklar at programmet nedenfor simulerer spillet. Prøv deg fram med store verdier av N for å finne ut hvor mange poeng en spiller kan forvente å få i løpet av en runde. 1 import random 2 N = 1000 3 totalpoeng = 0 4 for i in range(N): 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1850

terning1 = random.randint(1, 6) terning2 = random.randint(1, 6) resultat = terning1 + terning2 if resultat == 6 or resultat == 7 or resultat == 8: poeng = 0 elif resultat == 3 or resultat == 4 or resultat == 5: poeng = 100 elif resultat == 9 or resultat == 10 or resultat == 11: poeng = 200 else: poeng = 360 totalpoeng += poeng print(totalpoeng/N)

1900

1850 Adolphe Quetelet (1796–1874) brukte normalfordelingsteorien på målinger av mennesket. Han innførte også KMI (kroppsmasseindeksen)

1930

1960

1935 George Gallup (1901–1984) grunnla firmaet Gallup. Ordet gallup er i dag synonymt med meningsmålinger


272 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.1 Sannsynlighetsfordelinger UTFORSK 1 3 A

3 7

2 3 1 2

4 7

1 7

A

2 B 7 A

2 7

B

2 7

B 1 2

Figuren viser et valgtre med hendelsene A og B.

Forklar at A og B er avhengige hendelser.

Hvilke brøker på figuren har summen 1? Diskuter sammenhengen.

Vurder en situasjon der man kan bruke dette valgtreet som illustrasjon. Hva forteller da brøkene lengst til høyre i figuren?

Hvis vi kaster en terning, kan vi ikke forutsi hva resultatet blir. Et slikt forsøk kaller vi et stokastisk forsøk. Vi lar X være antall øyne terningen viser. Da er PðX ¼ 3Þ en skrivemåte for «sannsynligheten for at terningen viser tre øyne». Verdien av X varierer. Vi sier at X er en stokastisk variabel. Verdiene til den stokastiske variabelen kaller vi x. Skrivemåten PðX ¼ xÞ viser altså sannsynligheten for at den stokastiske variabelen X har verdien x.

S T O KAS TI SKE F ORSØK O G STOKASTI SKE VARI ABL ER

Et stokastisk forsøk er et forsøk der vi ikke kan forutsi hva resultatet blir.

En stokastisk variabel er en variabel der verdien er resultatet av et stokastisk forsøk.

Når vi kjenner alle verdier den stokastiske variabelen kan ha, og den tilhørende sannsynligheten for hver av verdiene, har vi en sannsynlighetsfordeling. Denne sannsynlighetsfordelingen kan vi framstille med en tabell eller et søylediagram.

x

PðX ¼ xÞ

1

1 6

2

1 6

3

1 6

0,16

4

1 6

0,12

5

1 6

0,08

6

1 6

0,04

For et terningkast der X er antall øyne terningen viser, får vi denne sannsynlighetsfordelingen, vist med tabellen til venstre og søylediagrammet nedenfor:

1

2

3

4

5

6


Sannsynlighetsfordelinger 273

Vi bruker store bokstaver for stokastiske variabler. Hvis vi lar Y være summen av antall øyne når vi kaster to terninger, får vi denne sannsynlighetsfordelingen til Y, vist med en tabell og et søylediagram: y

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

PðY ¼ yÞ

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

0,16 0,12 0,08 0,04 2

4

6

8

10 12

Legg merke til at summen av alle sannsynlighetene er 1.

EKSEMPEL 1 Johannes og Orion har på seg lue når de går til skolen om vinteren. Vi lar X være antall luer Johannes husker å ta med hjem fra skolen en tilfeldig vinterdag, og Y være antall luer Orion husker å ta med hjem en tilfeldig vinterdag. Guttene husker å ta med luene sine hjem uavhengig av hverandre. Tabellene viser fordelingene til X og Y: x

0

1

y

0

1

PðX ¼ xÞ

0,29

0,71

PðY ¼ yÞ

0,44

0,56

Vi lar T være antall luer de begge til sammen husker å ta med hjem en tilfeldig vinterdag. a

Sett opp en tabell og tegn et søylediagram som viser sannsynlighetsfordelingen for den stokastiske variabelen T.

b

Bestem PðT

1Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

Sannsynlighetsfordelinger:


274 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Orion Johannes 0,56

Husker

Løsning: a Vi kan lage et valgtre som illustrerer situasjonen (se figuren til venstre). Vi finner PðT ¼ 0Þ ved å multiplisere langs den nederste greina i valgtreet: PðT ¼ 0Þ ¼ 0,29 0,44 0,13

Husker 0,71

0,29

Husker ikke

0,44

Husker ikke

0,56

Husker

0,44

Husker ikke

Vi finner PðT ¼ 1Þ ved å multiplisere langs de to midterste greinene i valgtreet, og legger sammen: PðT ¼ 1Þ ¼ 0,71 0,44 þ 0,29 0,56 0,47 Vi finner PðT ¼ 2Þ ved å multiplisere langs den øverste greina i valgtreet: PðT ¼ 2Þ ¼ 0,71 0,56 0,40 Vi legger verdiene inn i en tabell: t

0

1

2

PðT ¼ tÞ

0,13

0,47

0,40

Vi legger sannsynlighetene inn i et regneark og lager et søylediagram med fordelingen: Sannsynlighetsfordeling til T 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

b Oppgaver: 5.1–5.2

PðT

1

2

1Þ ¼ PðT ¼ 0Þ þ PðT ¼ 1Þ ¼ 0,13 þ 0,47 ¼ 0,60

Sannsynligheten for at Johannes og Orion til sammen husker å ta med høyst én lue hjem fra skolen en tilfeldig vinterdag, er om lag 60 %.

Reflekter og diskuter! Markus bruker tabell for å finne sannsynlighetsfordelingen til T. Forklar hvordan han kan ha tenkt, og fullfør utregningen hans.

0 1

0

1

t

0

0,13

0,31

PðT ¼ tÞ

0,13

1

2


Sannsynlighetsfordelinger 275

Binomisk fordeling Noen ganger gjør vi forsøk med kun to mulige utfall, for eksempel når vi kaster et kronestykke. Hvis vi kaster et kronestykke 50 ganger og lar X være antall kron, er X binomisk fordelt. Vi har en binomisk fordeling når

vi gjør n identiske delforsøk der p er sannsynligheten for hendelse A det bare er to mulige hendelser i hvert delforsøk, A og A

forsøkene er uavhengige

sannsynligheten, p, er konstant

Dorthe er fotballspiller og trener på straffespark. Sannsynligheten for at hun treffer på en straffe, er 0,8. Da er sannsynligheten 0,2 for at hun bommer på en straffe. Hun skyter sju straffespark. La oss først finne sannsynligheten for at hun treffer på de tre første straffene, og bommer på de fire siste. treffer

treffer ikke

zfflfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflfflffl{ zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{ 0,8 0,8 0,8 0,2 0,2 0,2 0,2 ¼ 0,83 0,24 Dorthe kan treffe på akkurat tre av de sju straffene på flere forskjellige måter. For hver av kombinasjonene er sannsynligheten den samme. Antall forskjellige kombinasjoner av tre av totalt sju straffer er 7 3 . Altså finner vi sannsynligheten for at hun treffer på tre av straffene, ved å multiplisere sannsynligheten vi akkurat 7 har funnet, med 3 .


276 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Vi lar X være antall straffer hun treffer på når hun skyter sju straffespark. Da får vi dette regnestykket: Antall forskjellige måter hun kan treffe på tre av sju straffer

Sannsynligheten for å treffe på en straffe

Treffe på tre straffer og ikke treffe på fire

Sannsynligheten for å ikke treffe på en straffe

BINOMISK SANNSYNLIGHET I et binomisk forsøk gjør vi n delforsøk der p er sannsynligheten for hendelse A. PðX ¼ xÞ er sannsynligheten for at A inntreffer akkurat x ganger. Da er n x x PðX ¼ xÞ ¼ n x p ð1 pÞ

Reflekter og diskuter! Sannsynligheten for at Dorthe treffer på en straffe, er 0,8. Forklar hvorfor de to sannsynlighetene nedenfor er like: 1

Sannsynligheten for at hun treffer på de tre første straffene og bommer på de fire siste.

2

Sannsynligheten for at hun treffer på den andre, den fjerde og den sjuende straffen og bommer på resten.

EK SEMPEL 2 Vi kaster en tegnestift fem ganger. Sannsynligheten for at tegnestiften lander med spissen opp, er p ¼ 0,7. Bestem sannsynligheten for at tegnestiften lander med spissen opp a

akkurat to ganger

b

minst tre ganger


Sannsynlighetsfordelinger 277

Løsning: a Sannsynligheten for at den ikke lander med spissen opp, er ð1 pÞ ¼ 0,3. Antall kast er n ¼ 5 og x ¼ 2: Antall måter vi kan få to av fem kast med spissen opp

Sannsynligheten for at tegnestiften lander med spissen opp

To ganger spissen opp og tre ganger spissen ned

Sannsynligheten for at tegnestiften ikke lander med spissen opp

Sannsynligheten for at tegnestiften lander med spissen opp akkurat to ganger, er om lag 13,23 %. b

Vi har at PðX 3Þ ¼ PðX ¼ 3Þ þ PðX ¼ 4Þ þ PðX ¼ 5Þ Vi bruker sannsynlighetskalkualtoren i GeoGebra og velger knappen «Høyresidig»:

Sannsynligheten for at tegnestiften lander med spissen opp minst tre ganger, er om lag 83,69 %.

Oppgaver: 5.3–5.4


278 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Hypergeometrisk fordeling

I et tilfeldig forsøk har vi en tallstørrelse X som vi kaller stokastisk variabel. De enkelte verdiene som den stokastiske variabelen X kan ha, kaller vi x. Skrivemåten PðX ¼ xÞ viser sannsynligheten for at den stokastiske variabelen X har verdien x.

Elise har en spilleliste på telefonen sin med seks norske og sju amerikanske låter. Hun setter spilleren sin på «tilfeldig avspilling» og lytter til de fem første låtene. Hva er sannsynligheten for at det er akkurat to norske låter blant de fem første låtene? Vi trekker ut én og én låt og undersøker om det er to norske låter blant de fem første låtene. Rekkefølgen har ikke noe å si, så utvalget er derfor uordnet. Hver låt kan bare brukes én gang, så utvalget foregår uten tilbakelegging. Da kan vi regne slik: Antall måter vi kan trekke ut to av seks norske låter på, er 6 ¼ 6 5 ¼ 30 ¼ 15 2 2 1 2 Antall måter vi kan trekke ut tre av sju amerikanske låter på, er 7 ¼ 7 6 5 ¼ 7 =6 5 ¼ 7 5 ¼ 35 3 3 2 1 3 2 1 1 For hver av kombinasjonene av norske låter kan vi spille av en unik kombinasjon av amerikanske låter. Derfor multipliserer vi kombinasjonene med hverandre. Antall måter vi kan kombinere to norske og tre amerikanske låter på, er 6 7 ¼ 15 35 ¼ 525 2 3


Sannsynlighetsfordelinger 279

Sannsynligheten er uniformt fordelt. Vi skal derfor dividere med antall mulige utfall. Antall mulige utfall er antall måter vi kan trekke ut fem av tretten låter på: 13 ¼ 13 12 11 10 9 ¼ 13 11 9 ¼ 1287 5 =5 4 3 =2 1 Vi finner sannsynligheten:

6 7 2 3 15 35 525 Pðto norske og tre amerikanske låterÞ ¼ ¼ ¼ 0,41 13 1287 1287 5

Sannsynligheten for at det er to norske blant de fem første låtene, er om lag 41 %. Vi lar X være antall norske låter blant de fem første. Da skriver vi 6 7 2 3 15 35 525 ¼ 0,41 PðX ¼ 2Þ ¼ ¼ 13 1287 1287 5

H Y P E R G E O ME T R IS K SA N N S YNLIGH ET En mengde av n elementer er satt sammen av to grupper, gruppe A med a elementer og gruppe B med b elementer. Den stokastiske variabelen X er antall elementer fra gruppe A når vi trekker r elementer. Da er b a r x x PðX ¼ xÞ ¼ n r

EKSEMPEL 3 En pose med smågodt inneholder åtte biter: fem karameller og tre sjokolader. Vi trekker tilfeldig ut fire biter. La X være antall karameller blant de fire bitene. a

Sett opp uttrykket som viser sannsynlighetsfordelingen til X.

b

Bestem sannsynligheten for at to av bitene er karameller.

c

Bestem PðX < 4Þ.


280 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Løsning: a Her har vi to atskilte grupper: fem karameller og tre sjokolader. Det vil si at vi skal trekke ut x av de fem karamellene og ð4 xÞ av de tre sjokoladene. Totalt skal vi trekke ut fire av åtte biter: 5 3 x 4 x PðX ¼ xÞ ¼ 8 4 b

Vi setter inn 2 for x i uttrykket: 5 4 3 2 3 5 5 3 4 2 2 2 2 10 3 30 ¼ ¼ 2 1 2 1 ¼ ¼ 0,43 PðX ¼ 2Þ ¼ 8 8 =8 7 =6 5 7 2 5 70 4 4 =4 =3 =2 1 Sannsynligheten for at to av bitene er karameller, er om lag 43 %.

Løsning med CAS: Vi bruker kommandoen «nCr()» for å finne binomialkoeffisienter: 1

Vi får den samme sannsynligheten som over, altså om lag 43 %. c

Hvis X < 4, er det det samme som at X 3, ettersom antallet karameller må være hele tall. Vi bruker hypergeometrisk fordeling isansynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Populasjonen er 8, antall karameller er n ¼ 5, og utvalget er 4. Så velger vi knappen «Venstresidig» og skriver inn 3:

Sannsynligheten for at høyst tre av bitene er karameller, er 92,86 %.


Sannsynlighetsfordelinger 281

Situasjoner som i eksempel 3 kan vi simulere med et program i Python. Vi lager en liste med objekter og foretar tilfeldige uttrekk fra lista mange ganger.

EKSEMPEL 4 Skriv et program i Python som simulerer uttrekket av fire biter fra en pose med smågodt som i eksempelet ovenfor. Bruk simuleringen til å finne en tilnærmingsverdi for sannsynligheten for at to av de fire bitene er karameller.

Løsning: Vi lager en liste med fem 'karamell' og tre 'sjokolade'. Vi trekker ut et tilfeldig utvalg uten tilbakelegging med kommandoen sample fra Random-biblioteket. 1 import random 2 3 # Liste med objekter vi trekker fra. 4 pose = ['karamell']*5 + ['sjokolade']*3 5 6 # Antall biter vi trekker. 7 n=4 8 9 # Antall ganger vi gjennomfører forsøket. 10 N = 100000 11 12 frekvens = 0 13 14 for i in range(N): 15 16 17 18 19

# Trekker n objekter fra liste «pose». utvalg = random.sample(pose, n) if utvalg.count('karamell') == 2: # Teller alle forekomster av utvalg med 2 karameller. frekvens += 1

20 21 relativ_frekvens = frekvens/N 22 print(relativ_frekvens)

Et mulig resultat av å kjøre koden er 0,42972. Dette stemmer godt med 30 den teoretiske sannsynligheten på 0,429. 70

Oppgaver: 5.5–5.6


282 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Vi sammenlikner modellene Men hva er egentlig forskjellen på binomisk og hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling? Hvis vi trekker flere elementer fra en gruppe og legger hvert element tilbake igjen etter hvert trekk, vil antall gunstige og antall mulige utfall være det samme hver gang. Dermed er sannsynligheten konstant, og trekkene er uavhengige hendelser. Da bruker vi en binomisk sannsynlighetsmodell. Hvis vi derimot ikke legger elementene tilbake igjen, vil antall gunstige og mulige utfall endre seg mellom trekkene, og sannsynligheten vil forandre seg mellom hvert trekk. Trekkene er avhengige hendelser. Et eksempel kan være å trekke ut en gruppe på fem personer fra en gruppe på ti. Da bruker vi en hypergeometrisk sannsynlighetsmodell. Av og til kan det likevel være situasjoner der det er praktisk å bruke en binomisk modell, selv om svaret ville blitt enda mer nøyaktig med en hypergeometrisk modell. Hvis vi for eksempel skal regne på sannsynligheter knyttet til et politisk valg, er gruppa vi skal trekke ut fra, alle i Norge som er over 18 år. Da kan det være upraktisk å bruke en hypergeometrisk modell. Når vi trekker ut en liten gruppe fra en veldig stor gruppe, for eksempel fem fra en gruppe på 10 000, vil sannsynligheten forandre seg veldig lite mellom hvert trekk. Dermed spiller det ikke så stor rolle for resultatet hvilke av modellene vi bruker. Er det derimot forholdsvis liten forskjell på størrelsen av gruppa vi trekker ut, og gruppa vi trekker fra, vil vi få store avvik mellom resultatene med de to modellene. La oss se på et eksempel.

EK SEMPEL 5 På en skole er det 200 elever. Det er 120 jenter og 80 gutter. Skolen foretar en loddtrekning der tre personer vinner en reise. Etterpå trekkes det ut 110 elever som vinner et lite gavekort. a

Bestem sannsynligheten for at to gutter og én jente vinner reisen.

b

Bestem sannsynligheten for at 65 jenter vinner gavekort.

Løsning: a Hvis vi lar X være gutter, skal vi finne PðX ¼ 2Þ. Med hypergeometrisk modell: 80 120 1 2 0,289 PðX ¼ 2Þ ¼ 200 3 Ved tilnærming med binomisk modell: Av 200 elever på skolen er 80 gutter. Vi skal trekke ut tre elever. 80 2 1 Det gir n ¼ 3 og p ¼ ¼ 0,4: PðX ¼ 2Þ ¼ 3 2 0,4 0,6 0,288 200 Sannsynligheten for det er to gutter og én jente som vinner reise, er om lag 0,29. Svarene med binomisk og hypergeometrisk modell er tilnærmet like.


Sannsynlighetsfordelinger 283

b

Hvis vi lar X være jenter, skal vi finne PðX ¼ 65Þ.

Med hypergeometrisk modell: Vi bruker hypergeometrisk fordeling i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra: Populasjonen er 200, altså alle elevene. n=120, altså jentene. utvalget er 110, altså de som blir trukket ut totalt.

Ved tilnærming med binomisk modell: Av 200 elever på skolen er 120 jenter. Vi skal trekke ut 110 elever. Det gir n ¼ 110 og 120 p¼ ¼ 0,6. Vi bruker binomisk fordeling i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra: 200

Med binomisk modell får vi sannsynligheten 0,0757 og med hypergeometrisk modell får vi 0,1107. Det er meget stort avvik i svarene. Det er den hypergeometriske modellen som gir det nøyaktige svaret.

Oppgaver: 5.7–5.8


284 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Grunnen til at avviket i oppgave b i eksempel 5 blir så stort, er at den binomiske modellen ikke tar hensyn til at sannsynligheten forandrer seg mellom hver person vi trekker ut. Ettersom vi trekker uten tilbakelegging, er trekkene i virkeligheten avhengige hendelser. Når vi trekker ut veldig få personer fra en stor gruppe, har ikke dette så mye å si, men når gruppa vi trekker ut, blir større, får dette også større konsekvenser.

Reflekter og diskuter! Ta for deg oppgave b i eksempel 5:

Diskuter hvorfor sannsynligheten blir mye mindre når vi bruker binomisk modell enn når vi bruker hypergeometrisk modell.

Forklar med egne ord til en medelev hvorfor det blir unøyaktig å bruke en binomisk modell her.

Oppgaver 5.1

5.2 Et bilfirma har to selgere. Den ene selger X biler per dag. Uavhengig av dette selger den andre Y biler per dag. Tabellene viser sannsynlighetsfordelingene til X og Y: x

0

1

2

y

0

1

PðX ¼ xÞ

0,71

0,24

0,05

PðY ¼ yÞ

0,68

0,32

La T være totalt antall solgte biler per dag, det vil si at T ¼ X þ Y. Andrea har sommerjobb og vasker leiligheter ved et feriesenter. La X være antall leiligheter hun klarer å vaske i løpet av en dag. Tabellen nedenfor viser sannsynligheten for at hun får vasket mellom null og tre leiligheter per dag: x

0

1

PðX ¼ xÞ

0; 31

0,40

2

3 0,06

a

Finn sannsynlighetsverdien som mangler i tabellen.

b

Tegn et diagram over fordelingen.

c

Finn PðX

2Þ, PðX > 1Þ og Pð0

X < 3Þ.

Sett opp tabellen som viser fordelingen for den stokastiske variabelen T.

5.3 På en prøve er det åtte spørsmål der man kan velge mellom fem alternative svar. Bare ett av de fem svarene er riktig. Ingar har ikke forberedt seg og gjetter på alle spørsmålene. Bestem sannsynligheten for at Ingar a

svarer riktig på minst fire spørsmål

b

ikke svarer riktig på noen av spørsmålene

c

svarer riktig på minst ett av spørsmålene


Sannsynlighetsfordelinger 285

5.4

5.7 I et lotteri er det 100 lodd. Man vinner premier på 40 av loddene. a

b Sannsynligheten for at Tore forsover seg en tilfeldig dag, er 0,24. Vi lar X være antall dager han forsover seg i løpet av ti dager. Bestem sannsynlighetene: a

PðX ¼ 4Þ

b

Pð3

c

PðX > 5Þ

X < 7Þ

5.5 Tre svensker og seks dansker stiller seg i en kø i tilfeldig rekkefølge. Bestem sannsynligheten for at det er akkurat to svensker blant de tre fremste i køen.

5.6 Vi trekker fem kuler fra en krukke med fire blå og sju røde kuler. a

b

Bruk simulering i Python til å finne en tilnærmingsverdi for sannsynligheten for at akkurat tre av de fem kulene er blå. Regn ut sannsynligheten for at akkurat tre av de fem kulene er blå.

c

Vi trekker tre lodd. Bestem sannsynligheten for at akkurat to av loddene er vinnerlodd 1

hvis vi legger loddene tilbake igjen etter hvert trekk

2

hvis vi ikke legger loddene tilbake igjen etter hvert trekk

Vi trekker 60 lodd. Bestem sannsynligheten for at akkurat 25 av loddene er vinnerlodd 1

hvis vi legger loddene tilbake igjen etter hvert trekk

2

hvis vi ikke legger loddene tilbake igjen etter hvert trekk

Sammenlikn avvikene mellom svarene i hver av deloppgavene ovenfor. Forklar sammenhengen.

5.8 I en kasse ligger det 80 lyspærer hvorav 50 virker og 30 er defekte. Finn sannsynlighetene i a og b både ved å bruke en hypergeometrisk modell og ved å tilnærme med en binomisk modell: a

Hva er sannsynligheten for at akkurat to av lyspærene virker, hvis vi plukker ut tre av pærene?

b

Hva er sannsynligheten for at akkurat 25 av lyspærene virker, hvis vi plukker ut 40 lyspærer?

c

Sammenlikn svarene du får i hver av deloppgavene, med de to sannsynlighetsmodellene. Forklar sammenhengen.


286 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.2 Forventningsverdi UTFORSK Du trenger: en terning og mange brikker Kast terningen én gang. Hvis det blir oddetall, betaler A til B antall øyne i brikker. Hvis det blir partall, betaler B til A antall øyne i brikker. 1

Spill spillet 20 ganger.

2

Hvor mange brikker har A-spillerene fått av B-spillerne til sammen i hele klassen og hvor mange brikker har B-spillerene fått av A-spillerne til sammen i hele klassen. Regn ut differansen mellom de to summene.

3

Hvor mange ganger er terningen kastet totalt av alle spillerne i klassen?

4

Diskuter sammenhengen mellom svarene i punkt 2 og punkt 3.

I et lotteri er det 1 000 000 lodd. Vi lar X være gevinsten i kroner. 70 % av loddene gir ikke gevinst, 20 % av loddene gir 30 kr, mens 10 % av loddene gir en gevinst på 100 kr.

Forventningsverdi:

Hvis vi kjøper 100 lodd, vil vi ikke få gevinst på omtrent 70 av loddene, vinne 30 kr omtrent 20 ganger og 100 kr omtrent 10 ganger. Da kan vi forvente følgende gevinst: 70 0 kr þ 20 30 kr þ 10 100 kr ¼ 1600 kr Vi kan altså forvente å vinne 1600 kr hvis vi kjøper 100 lodd. Deler vi på 100, finner vi ut hva vi kan forvente å vinne per lodd i gjennomsnitt:

x

0

30

100

PðX ¼ xÞ

0,70

0,20

0,10

1600 kr ¼ 16 kr 100 Vi kan også regne ut dette ved å bruke sannsynlighetsfordelingen til X. Vi tar utgangspunkt i tabellen til venstre som viser de forskjellige gevinstene med tilhørende sannsynlighet. Vi multipliserer hver av premiene med den tilhørende sannsynligheten og legger sammen: 0 kr 0,70 þ 30 kr 0,20 þ 100 kr 0,10 ¼ 0 kr þ 6 kr þ 10 kr ¼ 16 kr Når vi kjøper et lodd i dette lotteriet, kan vi forvente å vinne 16 kr. Det kan kanskje virke litt rart, for det er ingen av gevinstene som gir 16 kr. 16 kr kaller vi forventningsverdien til X. Når vi kjøper mange lodd, vil vi i gjennomsnitt vinne 16 kr per lodd. Forventningsverdien er gjennomsnittet i det lange løp, altså når vi har veldig mange observasjoner eller gjør et forsøk veldig mange ganger.


Forventningsverdi 287

Vi skriver forventningsverdien med den greske bokstaven , som uttales «my», eller EðXÞ fra det engelske ordet «expectation». Vi får da: X ¼ EðXÞ ¼ xi PðX ¼ xi Þ ¼ 0 kr 0,70 þ 30 kr 0,20 þ 100 kr 0,10 ¼ 16 kr

Vi kan skrive forventningsverdien både med og EðXÞ. Å skrive EðXÞ er praktisk når vi har flere stokastiske variabler.

FORVENTNINGSVERDI Forventningsverdien er gjennomsnittet i det lange løp: X ¼ EðXÞ ¼ xi PðX ¼ xi Þ Vi multipliserer hver verdi, xi , med den tilhørende sannsynligheten og summerer.

EKSEMPEL 6 Vi kaster tre kronestykker én gang. La X være antall kron. Bestem EðXÞ og gi en praktisk tolkning av svaret.

Løsning: Vi tegner et valgtre og bruker dette til å lage tabellen til høyre med sannsynlighetsfordelingen: 1 2 K

1 2 1 2 K

K

1 2 M

1 2

1 2

1 2

M

K

M

1 2

1 2

M

K

K

1 2

1 2

M

K

M

1 2

x

0

1

2

3

PðX ¼ xÞ

1 8

3 8

3 8

1 8

M

Vi multipliserer hver av verdiene av den stokastiske variabelen med den tilhørende sannsynligheten og legger sammen: 1 3 3 1 0 1 þ 1 3 þ 2 3 þ 3 1 12 3 ¼0 þ1 þ2 þ3 ¼ ¼ ¼ 8 8 8 8 8 8 2 Når vi kaster tre kronestykker veldig mange ganger, vil vi gjennomsnittlig få 1,5 kron hver gang.

Når vi jobber med store datasett, kan det være praktisk å bruke regneark til å finne forventningsverdien:

Oppgaver: 5.9–5.10


288 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

EK SEMPEL 7 Barn uten søsken

215 778

Barn med 1 søsken

522 177

Barn med 2 søsken

270 179

Barn med 3 søsken

63 053

Barn med 4 søsken

16 618

Kilde: SSB

Oppgaver: 5.11–5.12

Tabellen viser antall hjemmeboende søsken for barn og ungdom i familier med opptil fem barn i alderen 0 til 17 år i 2021. La den stokastiske variabelen X være antall søsken til en tilfeldig valgt person mellom 0 og 17 år i 2021 i en familie med inntil fem barn. Bestem EðXÞ, og gi en praktisk tolkning av svaret.

Løsning: Vi legger inn antall søsken i den første kolonnen og frekvensen i den andre. Så multipliserer vi frekvensen med antall søsken. Vi summerer kolonne to og tre og finner gjennomsnittet ved å dividere det totale antallet søsken i celle B7 med summen av frekvensene i celle B6.

Her er det veldig mange observasjoner, og vi vet at gjennomsnittet nærmer seg forventningsverdien når vi har veldig mange observasjoner. Dermed kan vi konkludere med at forventningsverdien EðXÞ 1,21. I familier med opptil fem barn har hvert barn i gjennomsnitt ett til to søsken.

Et forsikringsselskap og et kasino har tilsynelatende lite til felles. De bruker imidlertid mye av den samme matematikken når de beregner hva en forsikring eller et spill skal koste. Når et selskap skal bestemme prisen på en forsikring, bruker de erfaringer fra tidligere år til å estimere sannsynligheten for en skade. På et kasino bruker de teoretiske sannsynligheter for kortspill og terningspill. Deretter bruker både forsikringsselskapet og kasinoet matematiske modeller for å beregne prisen.


Forventningsverdi 289

EKSEMPEL 8 Benjamin og Noah har laget et spill der deltakerne betaler et beløp for å kaste en vanlig terning én gang. Man vinner 11 kr hvis terningen viser fire eller fem øyne, og 50 kr hvis terningen viser seks øyne. Hvis terningen viser én, to eller tre øyne, vinner man ingen ting. Hva må Benjamin og Noah ta betalt for et spill for at de skal gå 10 kr i overskudd per spill?

Løsning: Vi lar X være premien i et spill. Så lager vi en tabell med sannsynlighetsfordelingen i margen. Vi finner EðXÞ: X 3 2 1 EðXÞ ¼ xi Pð X ¼ xi Þ ¼ 0 þ 11 þ 50 6 6 6 3 0 þ 2 11 þ 1 50 22 þ 50 72 ¼ ¼ ¼ ¼ 12 6 6 6 En deltaker kan forvente å vinne 12 kr på et spill. Det betyr i praksis at 12 kr er gjennomsnittspremien per spill når man spiller spillet veldig mange ganger. Ettersom Benjamin og Noah skal tjene 10 kr per spill, må spillet koste 10 kr mer enn den forventede premien, altså 22 kr.

EKSEMPEL 9 En gruppelivsforsikring er en forsikring som gir engangsutbetalinger ved bestemte sykdommer og ved uførhet og død. Et forsikringsselskap tilbyr en slik forsikring til en fast pris på 15 900 kroner. Vi lar den stokastiske variabelen X være utbetalingene og PðX ¼ xÞ være sannsynligheten for at forsikringsselskapet må betale ut et bestemt beløp til kunden. Tabellen nedenfor viser de forskjellige verdiene av X med tilhørende sannsynlighet: Frisk

Sykdom

Uførhet

Død

x

0

200 000

1 000 000

a

PðX ¼ xÞ

0,975

0,016

0,007

0,002

Hva er den maksimale summen forsikringsselskapet kan utbetale til de pårørende ved død hvis de forventer et overskudd på 700 kr per kunde?

x ðkrÞ

0

11

50

PðX ¼ xÞ

3 6

2 6

1 6

Oppgaver: 5.13–5.14


290 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Løsning: Hvis selskapet skal gå med 700 kr i overskudd per kunde, vil forventningsverdien til en utbetaling være EðXÞ ¼ 15 900 kr 700 kr ¼ 15 200 kr Vi finner verdien av utbetalingen ved død, a, ved å løse likningen: EðXÞ ¼ 15 200 0 0,975 þ 200 000 0,016 þ 1 000 000 0,007 þ a 0,002 ¼ 15 200 10 200 þ 0,002a ¼ 15 200 0,002a ¼ 15 200 10 200 0,002a ¼ 5000 a ¼ 2 500 000 Selskapet kan maksimalt utbetale 2 500 000 kr ved død.

Oppgaver: 5.15–5.16

Oppgaver 5.9 Tabellen nedenfor viser en sannsynlighetsfordelingen til den stokastiske variabelen X. Bestem EðXÞ. x

0

5

10

20

PðX ¼ xÞ

0,1

0,3

0,4

0,2

5.10 Vi kaster en vanlig terning én gang. Den stokastiske variabelen X er antall øyne terningen viser. Bestem EðXÞ.

5.11 En klasse har undersøkt hvor mange mobile enheter – nettbrett, mobiler og bærbare pc-er – de har hjemme. Tabellen viser resultatet: Antall enheter

Frekvens

2 3 4 5 6 7 8

1 5 4 3 4 2 1

Sum

20

Hvor mange mobile enheter har en familie i denne undersøkelsen i gjennomsnitt?


Forventningsverdi 291

5.12 Treninger siste uke

Frekvens

0 1 2 3 4 5

6 11 6 4 2 1

Tabellen viser hvor mange ganger elevene i 3C har trent den siste uka. Vi lar X være antall ganger en tilfeldig valgt elev har trent den siste uka. Bestem gjennomsnittet til X.

5.13

5.14 Vi kaster to pyramideformede terninger med fire like stor sider nummerert fra 1 til 4. La X være summen av tallene som vender opp på de to terningene. Bestem EðXÞ.

5.15 Et forsikringsselskap selger en type reiseforsikring som dekker tre typer uhell med tre faste satser. Selskapet har også beregnet sannsynligheten for at hvert av uhellene inntreffer.

Ved avbestilling av reise får man 10 000 kr.

Hvis ikke bagasjen dukker opp innen 24 timer etter ankomst, får man utbetalt 4000 kr.

Hvis bagasjen blir stjålet, får man dekket 8000 kr.

Vi lar X være beløpet forsikringsselskapet må betale til kunden. Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen til X: x

0

4000

8000

10 000

PðX ¼ xÞ

0,92

0,02

0,01

0,05

Bestem EðXÞ og gi en praktisk tolkning av svaret.

Et lykkehjul på et tivoli har 24 like store felt med tallene 1 til 24. Hvis lykkehjulet stopper på 10 eller 20, vinner man 100 kr. Hvis det stopper på et oddetall større enn 14, vinner man 50 kr. Resten av tallene gir ingen gevinst. La den stokastiske variabelen X være gevinsten på et spill. a

Lag en tabell med sannsynlighetsfordelingen.

b

Hvor mye må tivoliet minst ta betalt for ikke å tape penger i det lange løp?

5.16 Vi lar X være antall elever en matematikklærer klarer å hjelpe i løpet av 15 minutter. x

0

1

2

3

4

5

PðX ¼ xÞ

0,03

0,12

0,24

0,29

0,18

0,14

Hva blir forventningsverdien til X?


292 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.3 Varians og standardavvik UTFORSK Du trenger: blyant, ruteark, linjal, kalkulator og GeoGebra 1

Velg fire tall mellom 1 og 10.

2

Finn gjennomsnittet av disse tallene. Juster gjerne tallene slik at gjennomsnittet blir et helt tall. Da blir regningen videre litt enklere.

3

Finn differansen mellom hvert tall og gjennomsnittet.

4

La differansene være lengden til hvert sitt linjestykke. Tegn linjestykkene i GeoGebra.

5

La linjestykkene være sidene i fire kvadrater, og lag kvadratene.

6

Finn gjennomsnittsarealet til de fire kvadratene.

7

Lag et nytt kvadrat med areal lik gjennomsnittsarealet.

8

Hvor lange er sidene i det nye kvadratet?

9

Bruk kommandoen Standardavvik(<Liste med rådata>). Legg inn de fire tallene dine med desimaler. Hva får du?

Varians og stadardavvik er spredningsmål og viser hvor spredt observasjonene i datamaterialet er. Vi har spurt fire tilfeldige ungdommer om hvor mange timer de ser på skjerm hver dag. Vi lar X være antall timer hver av de fire ungdommene ser på skjerm hver dag. Tabellen viser resultatet: Person 1

5,5 timer

Person 2

2,5 timer

Person 3

6 timer

Person 4

2 timer

Før vi kan finne variansen og standardavviket, må vi finne gjennomsnittet. Vi skriver dette som x. Vi legger sammen alle observasjonsverdier og deler på antall observasjoner: 5,5 þ 2,5 þ 6 þ 2 16 ¼ ¼4 4 4 Vi ser at gjennomsnittet er fire timer. x¼


Varians og standardavvik 293

Vi legger merke til at observasjonene fordeler seg på begge sider av gjennomsnittet. Vi kan framstille situasjonen med en loddrett linje for gjennomsnittet og observasjonene som punkter på begge sider av linja. Varians og standardavvik: Person 4

x=2

Person 3

x=6

Person 2

x = 2,5

Person 1 –2

–1

0

x = 5,5 1

2

3

4

5

6

7 x

x=4

Avstanden fra gjennomsnittet ut til et punkt kaller vi et avvik. Eksempelvis blir avviket fra gjennomsnittet til personen som så seks timer på skjerm, slik: Avvik ¼ xi x ¼ 6 4 ¼ 2 Vi lar hvert avvik være sidelengden i hvert sitt kvadrat slik figuren viser. Kvadratene har forskjellig arealer. Vi har funnet kvadratavvikene.

Person 4

x=2

Person 3

x=6

Person 2

x = 2,5

Person 1 –2

–1

0

x = 5,5 1

2

3

4

5

6

7 x

x=4

Vi legger sammen arealet av alle kvadratene og finner det gjennomsnittlige arealet av kvadratene ved å dele på antall kvadrater. Dermed har vi funnet variansen, altså det gjennomsnittlige kvadratavviket.


294 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK 1,77 1,77 Areal: 3,13

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

x

x=4

Vi kan skrive standardavviket både med og SDðXÞ. Å skrive SDðXÞ er praktisk når vi har flere stokastiske variabler. Den greske bokstaven uttaler vi «sigma».

Vi lar X være antall timer en tilfeldig valgt person av de fire ser på skjerm hver dag, og vi skriver variansen VarðXÞ. I dette tilfellet har gjennomsnittskvadratet et areal på om lag 3,13. Det betyr at VarðXÞ ¼ 3,13. Kvadratroten av variansen kaller vi standardavviket og skriver pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ SDðXÞ ¼ VarðXÞ ¼ 3,13 1,77 Legg merke til at standardavviket tilsvarer sidelengden i kvadratene i figuren over. Standardavviket har den samme måleenheten som gjennomsnittet. Det er dermed praktisk å bruke standardavvik som et mål for spredningen. Standardavviket ovenfor er altså 1,77 timer, det vil si 1 time og 46 minutter. Det viser seg at når vi har mange observasjoner, kan vi regne med at om lag 68 % av observasjonene i et datamateriale ligger mindre enn ett standardavvik unna gjennomsnittet. Hvis vi går to standardavvik unna gjennomsnittet, kan vi regne med at vi har fått med 95,4 % av observasjonene. Observasjonsverdi

≈ 68 %

Gjennomsnitt Ett standardavvik

Indeks, observasjonsnummer


Varians og standardavvik 295

Undersøkelsen om skjermtid har gjennomsnitt på 4 timer og standardavvik på 1 time og 46 minutter. Ut fra dette kan vi si at det er ganske vanlig å se på skjerm 1 time og 46 minutter mer og 1 time og 46 minutter mindre enn gjennomnsnittet.

Reflekter og diskuter! Hva er benevningen for variansen i problemstillingen i teksten ovenfor?

EKSEMPEL 10 I de fire siste kampene skåret et ishockeylag 2, 7, 3, 7, 3 og 8 mål. Regn ut standardavviket for antall mål.

Løsning: Vi lar X være antall mål. Først finner vi gjennomsnittet: 2 þ 7 þ 3 þ 7 þ 3 þ 8 30 ¼ ¼5 6 6 Vi regner ut alle avvikene, kvadrerer dem og legger sammen: ð2 5Þ2 þ ð7 5Þ2 þ ð3 5Þ2 þ ð7 5Þ2 þ ð3 5Þ2 þ ð8 5Þ2 ¼ 9 þ 4 þ 4 þ 4 þ 4 þ 9 ¼ 34 Ettersom variansen er det gjennomsnittlige kvadratavviket, deler vi på antall observasjoner: 34 5,67 VarðXÞ ¼ 6 Variansen er 5,67. Standardavviket er kvadratroten av variansen: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi SDðXÞ ¼ VarðXÞ ¼ 5,67 2,38 Standardavviket er 2,38 mål. Det betyr at det var ganske vanlig å skåre 2 til 3 mål mer eller mindre enn gjennomsnittet.

Løsning med regneark: Vi bruker et regneark og lager en kolonne for verdiene X kan ha, altså 2, 3, 7 og 8. I den andre kolonnen legger vi frekvensene. Legg merke til at det er to kamper med tre mål og to kamper med sju mål. Vi summerer frekvensene og får seks kamper totalt. I den tredje kolonnen multipliserer vi sammen antall mål i hver enkelt kamp med frekvensen. Denne kolonnen gir oss totalt antall mål som er skåret på de seks kampene.


296 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Vi summerer og får 30 mål. For å finne gjennomsnittet dividerer vi totalt antall mål i celle C6 med antall kamper i B6. For å finne variansen, dividerer vi summen av kvadratavvikene i celle D6 med antall kamper i B6. Frekvensen er antall kamper.

Standardavviket er kvadratroten av variansen.

Med formler:

Oppgaver: 5.17–5.19

Standardavviket er 2,38 mål.

Vi dividerer summen av kvadratavvikene med antall kamper for å finne variansen.

Vi dividerer summen av skårede mål med antall kamper for å finne gjennomsnittet.


Varians og standardavvik 297

Legg merke til at vi også kunne regnet ut variansen i eksempelet over slik: ð2 5Þ2 þ 2 ð3 5Þ2 þ 2 ð7 5Þ2 þ ð8 5Þ2 6 1 2 2 1 ¼ ð2 5Þ2 þ ð3 5Þ2 þ ð7 5Þ2 þ ð8 5Þ2 6 6 6 6 1 2 2 1 34 ¼9 þ4 þ4 þ9 ¼ 5,67 6 6 6 6 6 Vi multipliserer hvert av kvadratavvikene med den tilhørende relative frekvensen. Forventningsverdien er gjennomsnittet i det lange løp, og sannsynlighet er den relative frekvensen i det lange løp. Så når antallet observasjoner blir stort, vil gjennomsnittet x nærme seg forventningsverdien , og den relative frekvensen nærme seg sannsynligheten. Vi finner da variansen ved

Husk! Forventningsverdien er gjennomsnittet i det lange løp.

å multiplisere kvadratavvikene, ðxi Þ2 , med de tilhørende sannsynlighetene, PðX ¼ xi Þ, og summere: X ðxi Þ2 Pð X ¼ xi Þ VarðXÞ ¼ Vi finner standardavviket ved å regne ut kvadratrota av variansen: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ SDðXÞ ¼ VarðXÞ.

V A R I A NS O G S T A ND A R DA V V I K Hvis X er en stokastisk variabel med tilhørende verdier xi , er variansen gitt ved X ðxi Þ2 Pð X ¼ xi Þ VarðXÞ ¼ Standardavviket er gitt ved pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ SDðXÞ ¼ VarðXÞ

Reflekter og diskuter! Hvorfor vektlegger varians og standardavvik de store avvikene mer enn de små?

Siden standardavviket er knyttet til gjennomsnittet, er det vanlig å oppgi begge målene. De forteller mer sammen enn hver for seg.


298 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

EK SEMPEL 11 Vi kaster en vanlig terning og lar X være antall øyne. Bestem EðXÞ, VarðXÞ og SDðXÞ.

Løsning: Vi lager en tabell med sannsynlighetsfordelingen: x

1

2

3

4

5

6

PðX ¼ xÞ

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Vi finner forventningsverdien ved å multiplisere hver av verdiene til X med den tilhørende sannsynligheten, og legger sammen: 1 1 1 1 1 1 EðXÞ ¼ 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 6 6 6 6 6 6 1 21 7 ¼ ¼ ð1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6Þ ¼ 6 6 2 Vi finner variansen ved å kvadrere avvikene xi , multiplisere med tilhørende sannsynlighet og legge sammen: 2 2 2 2 2 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ Varð X Þ ¼ 1 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 2 2 2 2 2 5 1 3 1 1 1 1 1 3 1 5 1 þ þ þ þ þ ¼ 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6

Oppgaver: 5.20–5.22

¼

25 1 9 1 1 1 1 1 9 1 25 1 þ þ þ þ þ 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6

¼

25 þ 9 þ 1 þ 1 þ 9 þ 25 1 70 1 70 35 ¼ ¼ ¼ 4 6 4 6 24 12

Standardavviket er kvadratroten av variansen: rffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 35 SDðXÞ ¼ VarðXÞ ¼ 12

Når vi skal finne standardavviket i et større datasett, bruker vi et digitalt verktøy. I Python kan vi for eksempel gjøre det med kommandoen describe() fra Pandas.


Varians og standardavvik 299

EKSEMPEL 12

Fila «hoyde-kvinner.csv» inneholder høyden til 100 000 norske kvinner. Bestem gjennomsnitt og standardavvik for høyden til kvinnene i undersøkelsen.

Løsning: Vi laster inn datasettet med Pandas og bruker kommandoen describe(): 1 2

import pandas as pd

3

fil = 'hoyde-kvinner.csv' df = pd.read_csv(fil, comment='#', decimal='.')

4 5 6 7

høyder = df['Høyde']

8

print(høyder.describe())

Når vi kjører programmet får vi dette resultatet: count 100000.000000 mean 168.706301 std 5.802731 min 143.500000 25% 164.800000 50% 168.700000 75% 172.600000 max 195.900000 Name: Høyde, dtype: float64 Her er gjennomsnittet (mean) 168,7 og standardavviket (std) 5,8.

Oppgave: 5.23


300 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Oppgaver 5.17 De fem medlemmene i familien Kaspersen har gått på ski henholdsvis 1, 5, 7; 4 og 8 ganger forrige vinter. a

Bestem gjennomsnittet og variansen for antall skiturer for hånd.

b

Bestem gjennomsnittet, variansen og standardavviket med et digitalt verktøy. Gi en praktisk tolkning av svaret.

x

0

1

2

3

PðX ¼ xÞ

0,5

0,1

0,3

0,1

Bestem EðXÞ og VarðXÞ.

5.21

5.18 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

5.20 Tabellen nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X:

Antall elever

1

2

3

4

5

6 Karakterer

Søylediagrammet viser fordelingen av eksamenskarakterer i en S2-klasse. Bestem gjennomsnittet, variansen og standardavviket for datamaterialet.

Vi kaster ett kast med en pyramideformet terning nummerert fra og med 1 til og med 4. La X være tallet som vender opp. a

Bestem EðXÞ.

b

Bestem VarðXÞ.

5.22 Vi trekker to kuler fra en krukke med tre blå og to røde kuler. La X være antall røde kuler vi trekker.

5.19

x=0

x=2 x=5 1

2

3 x

4

5

Lag en tabell med sannsynlighetsfordelingen til X.

b

Bestem EðXÞ og VarðXÞ

5.23 Fila «hoyde-kvinner.csv» inneholder høyden til 100 000 norske kvinner.

x=5

–2 –1 0

a

6

7 x

Figuren illustrerer en undersøkelse med fire observasjoner. Bruk figuren til å finne gjennomsnittet, variansen og standardavviket.

Bestem gjennomsnitt og standardavvik for høyden til kvinnene i undersøkelsen.


Vi regner med forventningsverdi, varians og standardavvik 301

5.4 Vi regner med forventningsverdi, varians og standardavvik UTFORSK Jobb sammen to og to Du trenger: tellebrikker og seks flate skåler Tabellen viser hvor mange mål seks spillere på et fotballag skåret i løpet av sesongen: Spiller

1

2

3

4

5

6

Mål

3

11

8

6

8

12

Vi lar hver spiller være en skål og brikkene antall mål. 1

Sett de seks skålene ved siden av hverandre og fyll dem med brikker.

Spiller 1

Spiller 2

Spiller 3

Spiller 4

Spiller 5

Spiller 6

2

Vis at spillerne skåret åtte mål i gjennomsnitt.

3

Siden den første skålen inneholder fem brikker under gjennomsnittet, legger du fem biter på linje under denne skålen.

4

Siden den andre skålen inneholder tre brikker over gjennomsnittet, legger du tre brikker på linje over denne skålen, se figuren til høyre.

5

Fortsett slik med resten av skålene.

6

Legg brikkene i hver skål tilbake i posen, men la brikkene over og under skålene ligge.

Spiller 1

Spiller 2


302 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

7

Legg brikker over og under skålene slik at bitene danner et kvadrat, se figuren nedenfor:

Spiller 1

Spiller 2

8

Samle alle brikkene og fordel dem jevnt i de tomme skålene.

9

Velg en tilfeldig skål, og tell brikkene i denne skålen.

10 Legg disse brikkene på bordet så de danner et kvadrat. 11 Hvor mange brikker er det i høyden og bredden på dette kvadratet? 12 Regn ut standardavviket til antall mål spillerne skåret. 13 Ser du noen sammenheng med brikkene og skålene? Kan du forklare sammenhengen?

Hvis vi kjenner forventningsverdien og variansen til den stokastiske variabelen X, kan vi finne forventningsverdi og varians til sammensatte stokastiske variabler uttrykt med EðXÞ og VarðXÞ.

X

La oss prøve å finne Eð2 þ 3XÞ og Varð2 þ 3XÞ uttrykt ved EðXÞ og VarðXÞ.

Person 4

Vi har tidligere lært at forventningsverdien er gjennomsnittet i det lange løp. La oss bruke situasjonen på side 292. Vi lar X være skjermtid per dag, gitt i antall timer. De fire observasjonene representerer fire verdier av X. Da vil den loddrette linja vise forventningsverdien til X, altså EðXÞ.

x=2

Person 3

x=6

Person 2

Den stokastiske variabelen 3X får vi ved å multiplisere alle verdier av X med 3. Figuren øverst på neste side viser at Eð3XÞ også blir tre ganger så stor som EðXÞ. Altså Eð3XÞ ¼ 3 EðXÞ.

x = 2,5

Person 1 –2

–1

0

x = 5,5 1

2

3

4

5

E(X) = 4

6

7 x

Hvis vi nå legger 2 til alle verdier av 3X, vil både x-verdiene og forventningsverdien flyttes to enheter til høyre. Dermed har vi at Eð2 þ 3XÞ ¼ 2 þ 3EðXÞ. Generelt kan vi si at Eða þ bXÞ ¼ a þ b EðXÞ.


Vi regner med forventningsverdi, varians og standardavvik 303 2 + 3X

3X Person 4

Person 4

x=6

Person 3

2

6

8

10

12

x = 9,5

Person 1

x = 16,5 4

x = 20

Person 2

x = 7,5

Person 1 0

Person 3

x = 18

Person 2

x=8

14 16 18 20 x

0

2

x = 18,5 4

6

8

10

12

14 16 18 20 x

E(2 + 3X) = 14

E(3X) = 12

Figurene ovenfor viser at avvikene til 3X og 2 þ 3X er de samme, så variansen påvirkes ikke av konstanten i uttrykket. 2 + 3X

X Person 4 Person 4

x=2

Person 3

Person 3

x = 20

x=6 Person 2

Person 2

x = 9,5

x = 2,5

Person 1 –2

x=8

Person 1

x = 5,5 0

2

4

6

8 x

4

x = 18,5 6

8

E(X) = 4

Avvikene til 2 þ 3X er tre ganger så store som avvikene til X. Kvadratavvikene har dermed ni ganger så stort areal. Da er også det gjennomsnittlige kvadratavviket ni ganger så stort. Det betyr at Varð2 þ 3XÞ ¼ 9 VarðXÞ. Generelt har vi at Varða þ bXÞ ¼ b2 VarðXÞ.

10

12

14

E(2 + 3X) = 14

16

18

20

22

x


304 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Vi regner med forventningsverdi, varians og standardavvik:

Hvis X er en stokastisk variabel og a og b er konstanter, har vi Eða þ bXÞ ¼ a þ b EðXÞ Varða þ bXÞ ¼ b2 VarðXÞ

Reflekter og diskuter! Hanne sier hun heller ville satset på et spill der man kaster 20 kronestykker og vinner 100 kr per kron, enn å satse på et spill der hun kaster to kronestykker og vinner 1000 kr per kron. Forklar hvordan Hanne kan ha kommet fram til dette.

EK SEMPEL 13 Ole har laget et spill. Ved å betale 5 kr får man kaste to kronestykker. Man vinner 4 kr for hver kron man får. Nettogevinsten er gevinsten ved et spill minus prisen man betaler. Regn ut forventningsverdien og variansen for nettogevinsten.

x

0

1

2

PðX ¼ xÞ

1 4

1 2

1 4

Løsning: Vi lar X være antall kron når vi kaster to kronestykker. Så lager vi en tabell over sannsynlighetsfordelingen til X og finner EðXÞ og VarðXÞ: 1 1 1 EðXÞ ¼ 0 þ 1 þ 2 ¼ 1 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 VarðXÞ ¼ ð0 1Þ2 þ ð1 1Þ2 þ ð2 1Þ2 ¼ 1 þ 0 þ 1 ¼ þ ¼ 4 2 4 4 2 4 4 4 2 Ettersom man vinner 4 kr for hver kron og må betale 5 kr for et spill, kan vi uttrykke nettogevinsten med 5 þ 4X. Eð 5 þ 4XÞ ¼ 5 þ 4 EðXÞ ¼ 5 þ 4 EðXÞ ¼ 5 þ 4 1 ¼ 1 1 ¼8 2 Nettogevinsten har forventningsverdien 1 og variansen 8. Varð 5 þ 4XÞ ¼ 42 VarðXÞ ¼ 16

y

5

1

3

PðY ¼ yÞ

1 4

1 2

1 4

Oppgaver: 5.24–5.25

Alternativ løsning: Vi lar den stokastiske variabelen Y være nettogevinsten. Da er Y ¼ 5 þ 4X. Vi lager en tabell med sannsynlighetsfordelingen til Y. Vi finner EðYÞ og VarðYÞ: 1 1 1 5 1 3 5 2 þ 3 4 ¼ ¼ 1 EðYÞ ¼ 5 þ ð 1Þ þ 3 ¼ þ ¼ 4 2 4 4 2 4 4 4 2 1 2 1 2 1 VarðYÞ ¼ 5 ð 1Þ þ 1 ð 1Þ þ 3 ð 1Þ ¼ 8 4 2 4 Nettogevinsten har forventningsverdien 1 og variansen 8.


Vi regner med forventningsverdi, varians og standardavvik 305

Reflekter og diskuter!

Kron – kron

x=2

Kron – mynt

x=1

Mynt – kron

x=1

Mynt – mynt –4

–2

–2

x=0 –1

0

1

2

3

4

x

E(X) = 1

Forklar hvordan figuren illustrerer den stokastiske variabelen X i eksempelet over. 1 Bruk figuren til å forklare at EðXÞ ¼ 1 og VarðXÞ ¼ . 2

Vi har sett at vi kan finne forventningsverdien og variansen til stokastiske variabler på formen a þ bX ved både å bruke regneregler og sannsynlighetsfordelinger. I det neste eksempelet lager vi et program som simulerer situasjonen og finner forventningsverdien og variansen.

EKSEMPEL 14 På et stevne lager Embla et terningspill. Det koster 200 kr å delta. Til gjengjeld får du 50 kr for hvert øye terningen viser. Vi lar X være antall øyne terningen viser, og Y være gevinsten. Eksempel: Hvis terningen viser fem, blir x ¼ 5 og y ¼ 5 50 200. a

Beregn EðXÞ og VarðXÞ og bruk disse til å finne EðYÞ og VarðYÞ .

b

Gjennomfør en simulering av spillet og bruk denne til å estimere EðYÞ og VarðYÞ.


306 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Løsning: a Vi setter opp en tabell for sannsynlighetsfordelingen for X: x

1

2

3

4

5

6

PðX ¼ xÞ

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Vi regner ut forventningsverdien og variansen til X: 1 1 1 1 1 1 21 7 EðXÞ ¼ 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 ¼ ¼ 6 6 6 6 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 35 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 ¼ VarðX Þ ¼ 1 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 12 Vi har Y ¼ 50 X 200. Det gir 7 EðYÞ ¼ Eð50X 200Þ ¼ 50 EðXÞ 200 ¼ 50 200 ¼ 175 200 ¼ 25 2 35 VarðYÞ ¼ 502 VarðXÞ ¼ 502 7292 12 b

1 import random 2 N = 1000000 3 4 samletgevinst = 0 5 6 for i in range(N): # Løkke som finner E(Y) 7 8 9

x = random.randint(1, 6) y = 50*x - 200 samletgevinst += y

10 11 forventningsverdi = samletgevinst/N 12 13 sum_kvadratavvik = 0 14 15 for i in range(N): # Løkke som finner Var(Y) 16 17 18 19

x = random.randint(1, 6) y = 50*x - 200 kvadratavvik = (y-(forventningsverdi))**2 sum_kvadratavvik += kvadratavvik

20 21 varians = sum_kvadratavvik/N 22 print(f'Forventningsverdien er {forventningsverdi:.0f},

og variansen er {varians:.0f}.')

Når vi kjører programmet, får vi Oppgaver: 5.26–5.27

Forventningsverdien er -25, og variansen er 7292.


Vi regner med forventningsverdi, varians og standardavvik 307

Sum av stokastiske variabler Når situasjonen som ligger til grunn for den stokastiske variabelen vi undersøker, er sammensatt, er en mulighet å dele opp i flere stokastiske variabler. I eksempelet nedenfor bruker vi to variabler, der summen av disse utgjør den variabelen vi skal undersøke.

EKSEMPEL 15 Et spill foregår ved at man kaster en firesidet terning nummerert fra én til fire og et kronestykke samtidig. Man får ett poeng for kron og to poeng for mynt. I tillegg får man så mange poeng som tallet på terningen viser. Vi lar X være antall poeng fra terningen på et kast og Y være antall poeng fra kronestykket på et kast. Vi lar Z være summen av poeng fra terningen og kronestykket på et kast. a

Bestem EðXÞ þ EðYÞ og VarðXÞ þ VarðYÞ

b

Bestem EðZÞ og VarðZÞ.

Løsning: a Vi lager en sannsynlighetstabell for X og finner EðXÞ og VarðXÞ: 1 1 1 1 1 þ 2 þ 3 þ 4 10 5 Eð X Þ ¼ 1 þ 2 þ 3 þ 4 ¼ ¼ ¼ 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 5 1 5 1 5 1 5 1 5 Varð X Þ ¼ 1 þ 2 þ 3 þ 4 ¼ 2 4 2 4 2 4 2 4 4 Vi lager en sannsynlighetstabell for Y og finner EðYÞ og VarðYÞ: 1 1 3 E ðY Þ ¼ 1 þ 2 ¼ 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 1 1 1 1 1 þ 2 ¼ þ ¼ VarðY Þ ¼ 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 EðXÞ þ EðYÞ ¼

og

VarðXÞ þ VarðYÞ ¼

5 1 6 3 þ ¼ ¼ 4 4 4 2

Vi lager en hjelpefigur der vi summerer de enkelte verdiene av X og Y og bruker summen til å lage en sannsynlighetsfordelingstabell for Z. Terning Kronestykke

b

5 3 8 þ ¼ ¼4 2 2 2

1

2

3

4

1

2

3

4

5

2

3

4

5

6

z

2

3

4

5

6

PðZ ¼ zÞ

1 8

2 8

2 8

2 8

1 8

x

1

2

3

4

PðX ¼ xÞ

1 4

1 4

1 4

1 4

y

1

2

PðY ¼ yÞ

1 2

1 2


308 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Så finner vi EðZÞ og VarðZÞ: 1 2 2 2 1 2 þ 6 þ 8 þ 10 þ 6 32 EðZÞ ¼ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 ¼ ¼ ¼4 8 8 8 8 8 8 8 1 2 2 2 1 3 VarðZÞ ¼ ð2 4Þ2 þ ð3 4Þ2 þ ð4 4Þ2 þ ð5 4Þ2 þ ð6 4Þ2 ¼ 8 8 8 8 8 2 3 EðZÞ ¼ 4 og VarðZÞ ¼ 2

Løsning med CAS: I CAS lager vi en liste, L1, med verdiene til Z og en liste, L2, med tilhørende sannsynligheter. Vi skriver «gsnitt(L1,L2)» for å finne EðZÞ og «varians(L1,L2)» for å finne VarðZÞ: 1

2

3

4

Oppgaver: 5.28–5.29

3 Vi får at EðZÞ ¼ 4 og VarðZÞ ¼ : 2

I eksempelet over er Z summen av X og Y. Vi kan altså skrive EðZÞ ¼ EðX þ YÞ ¼ EðXÞ þ EðYÞ Denne sammenhengen gjelder alltid. Vi har også at VarðZÞ ¼ VarðX þ YÞ ¼ VarðXÞ þ VarðYÞ Denne sammenhengen gjelder generelt så lenge X og Y er uavhengige av hverandre.

S U M A V ST OK A S T I S K E V A R I A B L E R For to stokastiske variabler X og Y er EðX þ YÞ ¼ EðXÞ þ EðYÞ. Hvis X og Y er uavhengige, er VarðX þ YÞ ¼ VarðXÞ þ VarðYÞ


Vi regner med forventningsverdi, varians og standardavvik 309

Til nå har vi sett på regneregler som gjelder summen av to stokastiske variabler. Vi kan også bruke denne sammenhengen til å summere flere uavhengige forsøk av den samme stokastiske variabelen X. Vi lar S ¼ X1 þ X2 þ X3 þ . . . þ Xn . Da har vi at EðSÞ ¼ EðX1 Þ þ EðX2 Þ þ . . . þ EðXn Þ Ettersom forventningsverdien er lik for hvert av delforsøkene, får vi EðSÞ ¼ n EðXÞ Hvis delforsøkene er uavhengige av hverandre, blir variansen til summen: VarðSÞ ¼ VarðX1 Þ þ VarðX2 Þ þ . . . þ VarðXn Þ ¼ n VarðXÞ Standardavviket til S blir da pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 pffiffiffi SDðSÞ ¼ VarðSÞ ¼ n VarðXÞ ¼ n VarðXÞ ¼ n ðSDðXÞÞ ¼ n SDðXÞ

SUM A V SAMME STOKASTISKE V ARIABEL Vi lar S være summen av n forsøk med den stokastiske variabelen X: S ¼ X1 þ X2 þ . . . þ Xn Da gjelder EðSÞ ¼ n EðXÞ. Hvis X1 , X2 , . . . , Xn er uavhengige, er VarðSÞ ¼ n VarðXÞ pffiffiffi SDðSÞ ¼ n SDðXÞ

EKSEMPEL 16 På en videregående skole går det 400 elever. Vi lar X være beløpet en tilfeldig valgt elev bruker i kantina i løpet av året. Forventningsverdien er 900 kr, og standardavviket er 500 kr. Vi lar S være det samlede beløpet elevene ved skolen bruker i kantina i løpet av et år. Bestem EðSÞ og SDðSÞ og gi en praktisk tolkning av svaret.

Løsning: Det totale beløpet blir S ¼ X1 þ X2 þ X3 þ . . . þ X400 . Vi finner forventningsverdien til S: EðSÞ ¼ n EðXÞ ¼ 400 EðXÞ ¼ 400 900 kr ¼ 360 000 kr Så finner vi standardavviket til S: pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi SDðSÞ ¼ n SDðXÞ ¼ 400 500 kr ¼ 20 500 kr ¼ 10 000 kr Elevenes samlede forbruk i kantina i løpet av et år har forventningsverdien 360 000 kr med et standardavvik på 10 000 kr.

Oppgaver: 5.30–5.31


310 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Forventningsverdi og varians i en binomisk fordeling Vi lar den stokastiske variabelen X være antall suksesser i et binomisk forsøk og F være antall suksesser i hvert enkelt delforsøk. Så setter vi F ¼ 1 når det er suksess, og F ¼ 0 når det er fiasko. Da blir PðF ¼ 1Þ ¼ p, mens PðF ¼ 0Þ ¼ 1 p. Vi får denne tabellen med sannsynlighetsfordelingen: f

0

1

PðF ¼ f Þ

1 p

p

Så bruker vi definisjonen til å regne ut EðFÞ og VarðFÞ : X EðFÞ ¼ fi PðF ¼ fi Þ ¼ 0 ð1 pÞ þ 1 p ¼ p X VarðFÞ ¼ ðfi Þ2 PðF ¼ fi Þ ¼ ð0 pÞ2 ð1 pÞ þ ð1 pÞ2 p ¼ p2 ð1 pÞ þ 1 2p þ p2 p ¼ p2 p3 þ p 2p2 þ p3 ¼ p p2 ¼ pð1 pÞ Nå kan vi se på antall suksesser, X, som summen av de n uavhengige delforsøkene, det vil si: X ¼ F1 þ F2 þ . . . þ Fn Vi bruker regnereglene vi har lært om summen av stokastiske variabler, som gir: ¼ EðXÞ ¼ n EðFÞ ¼ np

og

VarðXÞ ¼ n VarðFÞ ¼ npð1 pÞ

F O R V E N T N I N G S V E R D I , VA R I A N S O G S T A N D A RD A V VIK FOR E N B INOMISK F ORDELING I en binomisk fordeling med n forsøk er p sannsynligheten for suksess. Når X er antall suksesser i de n forsøkene, gjelder pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ EðXÞ ¼ np VarðXÞ ¼ npð1 pÞ ¼ SDðXÞ ¼ npð1 pÞ


Vi regner med forventningsverdi, varians og standardavvik 311

EKSEMPEL 17 En spesiell type frø har en spireevne på 90 %. Vi sår 200 frø og lar X være antall frø som spirer. Bestem forventningsverdien og standardavviket til X.

Løsning: EðXÞ ¼ n p ¼ 200 0,90 ¼ 180 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi SDðXÞ ¼ n p ð1 pÞ ¼ 200 0,9 0,1 ¼ 18 4,24

Oppgaver: 5.32–5.33

Oppgaver 5.24

1

5.26 Et bilutleiefirma betaler 70 000 kr per år i forsikring for bilene. Når en bil blir skadet, dekker forsikringsselskapet reparasjonene bortsett fra en egenandel på 5000 kr per skade. La X være antall skader per år og Y være skadekostnadene til firmaet per år gitt i kroner. Tabellen nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen til X:

2

5 4

3

En bedrift ønsker å skape oppmerksomhet rundt at de vil gi penger til en veldedig organisasjon. Lederen i organisasjonen får snurre på et lykkehjul med fem like store felter med tallene 1 til 5. Bedriften gir organisasjonen 2000 kr multiplisert med tallet lykkehjulet stopper på. La X være tallet lykkehjulet stopper på, og Y beløpet bedriften gir (i kroner). Finn EðXÞ, EðYÞ, VarðXÞ og VarðYÞ.

5.25 Vi har EðXÞ ¼ 2 og VarðXÞ ¼ 6. Finn EðYÞ og VarðYÞ når a

Y ¼ 6 þ 3X

b

Y ¼ 4 3X

c

Y ¼ 5X

x

0

1

2

3

4

5

PðX ¼ xÞ

0,03

0,20

0,31

0,21

0,16

0,09

a

Forklar at Y ¼ 5000X þ 70 000.

b

Bestem EðXÞ, SDðXÞ, EðYÞ og SDðYÞ.

5.27 I et spill med en innsats på 100 kr kaster vi en vanlig terning. Vi får 30 kr for hvert øye terningen viser. La X være antall øyne terningen viser, og la N være nettogevinsten på ett spill. a

Forklar at N ¼ 100 þ 30X.

b

Bestem forventningsverdien og standardavviket til N.

c

Gjennomfør en simulering av spillet og bruk denne til å estimere EðNÞ og VarðNÞ. Du kan ta utgangspunkt i programmet i eksempel 14.


312 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.28 Familie Konradsen har to vaskemaskiner. Den ene vaskemaskinen har en forventet levetid på åtte år med et standardavvik på to år. Den andre vaskemaskinen har en forventet levetid på ti år og et standardavvik på tre år.

5.31 Vi regner at en voksen mann har en forventet vekt på 82,0 kg og et standardavvik på 7,0 kg.

Finn forventningsverdien og standardavviket for samlet levetid for begge vaskemaskinene.

5.32 Ahmed trener på straffespark etter trening. Sannsynligheten for at han skårer på et straffespark, er 0,35. Hvert av skuddene er uavhengige hendelser. La X være antall mål han skårer når han skyter 20 skudd.

5.29 La X være antall kron når vi kaster ett kronestykke, og Y være antall kron når vi kaster fire kronestykker. Gjør nødvendige utregninger og vis at EðYÞ ¼ 4 EðXÞ, og at SDðYÞ ¼ 2 SDðXÞ.

5.30 Et ishockeylag har 4200 supportere. La X være beløpet en vilkårlig supporter bruker på ishockeylaget i løpet av en sesong. Da er EðXÞ ¼ 3200 kr og SDðXÞ ¼ 1100 kr. Bestem det forventede samlede beløpet supporterne bruker i løpet av en sesong, med tilhørende standardavvik.

Finn samlet forventet vekt for 36 voksne menn. Hva blir standardavviket?

Bestem EðXÞ og SDðXÞ.

5.33 På nøkkelknippet til Andreas henger tre nøkler. I løpet av en vanlig dag bruker han nøkkelknippet seks ganger, og velger nøkkel tilfeldig hver gang. Vi lar X være antall ganger Erik velger riktig nøkkel på første forsøk i løpet av en vanlig dag. a

Forklar at vi kan regne X som binomisk fordelt.

b

Bestem hvor mange ganger vi kan forvente at Erik velger riktig nøkkel på første forsøk i løpet av en vanlig dag.

c

Bestem standardavviket til X.


Normalfordeling 313

5.5 Normalfordeling UTFORSK Du trenger: PC med GeoGebra 1x2

1

2

e 2 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffi . 2 Tegn grafen til f . La x 2 ½ 5, 5 og y 2 ½0, 0,5 . Bestem integralet

R10

f ðxÞ dx.

10 2

3 4

ðx mÞ 1 La g være funksjonen gðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffi e 2s2 og opprett glidere for m og s. s 2

Varier m mellom 0 og 10 og s mellom 0 og 5. Hvordan påvirker s og m grafen til g?

I en undersøkelse har 100 000 norske kvinner rapportert inn høyden sin. Resultatene finner du i datasettet «hoyde-kvinner.csv». Vi tenker oss at vi vil bruke undersøkelsen til å beskrive høyden til norske kvinner, for eksempel i en sammenlikning med høyden til kvinner fra andre land. Vi må finne en effektiv måte å oppsummere høydene på – det blir for tidkrevende å hele tiden lese opp hele datasettet. Vi laster inn datasettet i Python og lager et spredningsdiagram. Vi bruker denne koden: 1

import matplotlib.pyplot as plt

2

import pandas as pd

3 4

fil = 'hoyde-kvinner.csv'

5

df = pd.read_csv(fil, comment='#', decimal='.')

6 7

høyder = df['Høyde'].tolist()

8 9 10

plt.plot(høyder[:100], '.') plt.show()

Normalfordeling:


314 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Langs x-aksen finner vi indeksen til observasjonene, som tilsvarer at vi har nummerert de 100 000 kvinnene fra 1 til 100 000. Langs y-aksen finner vi kvinnenes høyde. Figuren nedenfor viser tre resultater fra koden. Grafen til venstre viser de 100 første observasjonene. På den midterste grafen har vi tatt med de 1000 første observasjonene. På grafen til høyre har vi tatt med de 10 000 første. 200

200

200

190

190

190

180

180

180

170

170

170

160

160

160

150

150

150

140

0

20

40

60

80

140

100

0

200 400 600 800 1000

N = 100

140

N = 1000

0

2000 4000 6000 8000 10 000

N = 10 000

På grafen til venstre kan vi ikke se noe system – det ser ut til at høydene fordeler seg nokså jevnt. Når vi tar med 1000 eller 10 000 måleverdier, ser det ut til at det er flest måleverdier på midtpartiet, rundt 170 cm. Men ligger observasjonene like tett overalt? Eller er det et mønster i dette? Vi prøver nå å gruppere dataene. Vi deler observasjonene inn i klasser. Vi setter klassebredden til 1, det vil si at alle observasjoner som ligger innenfor 1 cm, regnes til samme klasse. Observasjonene 173,4 og 173,9 er altså i samme klasse, mens 173,4 og 187,3 er i ulike klasser. Så teller vi opp og lager et histogram som viser den relative frekvensen. Bredden på søylene er 1 cm, mens høyden er den relative frekvensen, altså antall observasjoner i hver av klassene dividert med frekvensen. Summen av alle de relative frekvensene er lik 1. Koden vi bruker, er denne: 1

import matplotlib.pyplot as plt

2

import pandas as pd

3 4

fil = 'hoyde-kvinner.csv'

5

df = pd.read_csv(fil, comment='#', decimal='.')

6 7

høyder = df['Høyde'].tolist()

8 9

plt.hist(høyder[:100], bins=range(140, 200), density=True)

10

plt.xlim(140, 200)

11

plt.show()


Normalfordeling 315

Figurene nedenfor viser histogrammene. Jo flere observasjoner vi tar med, jo tydeligere blir det at dataene følger et mønster: Søylene ser ut til å følge en klokkekurve. Toppen av søylene følger kurven vi kaller normalfordelingskurven. Når et histogram over fordelingen av et datamateriale passer under normalfordelingskurven, sier vi at datamaterialet er normalfordelt. Histogrammene med de relative frekvensene når vi tar med henholdsvis 100, 1000 og 100 000 kvinner, er tegnet sammen med normalfordelingskurven i figurene nedenfor. 0,10

N = 100

0,08 0,06 0,04 0,02

140

150

160

170

180

0,07

190

200

N = 1000

0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 140

150

160

170

180

190

200

0,07 0,06

N = 100 000

0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 140

150

160

170

180

190

200


316 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Ettersom toppen av søylene følger denne kurven, er arealet under normalfordelingskurven tilnærmet lik arealet av søylene, altså lik 1. Denne tilnærmingen blir bedre jo flere observasjoner vi har, og jo smalere søyler vi bruker i histogrammet. Vi har tidligere lært at sannsynlighet er den relative frekvensen i det lange løp. Hvis vi legger sammen den relative frekvensen i de tre søylene i intervallet ½160 cm, 163 cmi, finner vi altså en tilnærming til sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kvinne er mellom 160 cm og 163 cm høy.

0,07 0,06

N = 10 000

0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 140

150

160

170

180

190

200

I histogrammet nedenfor har vi delt inn i søyler med bredde 0,1 cm, lagt inn 100 000 observasjoner og tegnet det sammen med normalfordelingskurven: 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 140

150

160

170

180

190

200

Vi kan fortsette å gjøre bredden av søylene mindre og mindre til arealet av søylene faller sammen med arealet under normalfordelingskurven.


Normalfordeling 317

Normalfordelingskurven er grafen til funksjonen 2

ðx Þ 1 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffi e 2 2 2

Istedenfor å legge sammen arealet av søyler i histogrammet for å finne en sannsynlighet, kan vi altså finne en tilnærming til sannsynligheten Pð160 < X < 163Þ ved å regne ut arealet under normalfordelingskurven mellom 160 og 163: Pð160 < X < 162Þ

162 R

f ðxÞ dx

160

140

145

150

155

160

165

170

175

180

185

190

x

Arealet tilsvarer sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kvinne er mellom 160 cm og 163 cm.

Funksjonen er avhengig av både forventningsverdien og standardavviket for datamaterialet. Dermed vil formen og plasseringen av grafen variere med forskjellige verdier av og : y 0,4

m=3 s=1

0,3 0,2 m=0 s=2

–6

–4

0,1

–2

2

4

6

8

x

Av figuren ovenfor ser vi at når standardavviket blir større, blir kurven bredere og lavere. Arealet under grafen vil uansett alltid være lik 1.


318 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

NORMALFORDELING X er normalfordelt hvis X er en stokastisk variabel med forventningsverdien og standardavviket , og histogrammet til sannsynlighetsfordelingen til X passer godt under grafen til funksjonen 2

ðx Þ 1 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffi e 2 2 2

EK SEMPEL 18 Høyden av norske kvinner er normalfordelt med forventningsverdien 168,7 cm og standardavvik 5,8 cm. a

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt norsk kvinne er lavere enn 160 cm.

b

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt norsk kvinne er mellom 160 cm og 180 cm.

c

Bestem PðX > þ Þ.

Løsning: a Hvis vi lar den stokastiske variabelen X være høyden av en tilfeldig norsk kvinne, skal vi altså finne PðX < 160Þ. Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra og velger «normalfordeling». Vi legger inn forventningsverdien og standardavviket, trykker på knappen «Venstresidig» og legger inn 160: Vi velger normalfordeling

Knappen for venstresidig

Vi legger inn forventningsverdi og standardavvik

Vi legger inn 160

Sannsynligheten oppgitt som desimaltall

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt norsk kvinne er lavere enn 160 cm, er om lag 6,68 %.


Normalfordeling 319

b

Vi skal finne sannsynligheten Pð160 < X < 180Þ. Vi bruker knappen «intervall» og legger inn 160 og 180:

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt norsk kvinne er mellom 160 cm og 180 cm, er om lag 90,75 %. c

PðX > þ Þ ¼ PðX > 168,7 þ 5,8Þ ¼ PðX > 174,5Þ Vi bruker knappen «Høyresidig» og legger inn 174,5:

PðX > þ Þ ¼ 0,1587 Det vil si at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kvinne er høyere enn 174,5 cm, er om lag 15,87 %.

Reflekter og diskuter! Henrik og Johannes løser oppgaven i eksempelet over. Johannes påstår at PðX ¼ 170Þ ¼ 0. Henrik påstår at Johannes tar feil, ettersom han kjenner flere jenter som er 170 cm. Diskuter påstandene med en medelev.

Oppgaver: 5.34–5.35


320 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Standard normalfordeling I det forrige eksempelet, der X var høyden til en tilfeldig valgt norsk kvinne, fant vi ut at PðX > þ Þ ¼ 0,1587 Det viser seg at denne sannsynligheten er den samme uavhengig av verdiene til og . Det vil si at når en stokastisk variabel X er normalfordelt, vil sannsynligheten for at en x-verdi ligger høyere enn ett standardavvik fra forventningsverdien, være 0,1587. y

s

P(X > m + s) 0,1587

148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 x m

Normalfordelingskurven er symmetrisk om linja x ¼ , derfor er PðX < Þ ¼ 1 PðX > þ Þ y

s

P(X < m – s)

s

P(X > m + s)

0,1587

0,1587

148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 x m

Det er altså en sammenheng mellom arealet under grafen og hvor mange standardavvik vi beveger oss fra forventningsverdien. Ettersom arealet under grafen, altså sannsynligheten, er uavhengig av forventningsverdien og standardavviket, lager vi en normalfordeling med forventningsverdi ¼ 0 og standardavvik ¼ 1. Denne fordelingen kaller vi standard normalfordeling. Vi lar Z være den stokastiske variabelen for standard normalfordeling.

s= 1

–3

–2

–1

0 m= 0

1

2

3

x


Normalfordeling 321

Sannsynligheten PðX > þ Þ er derfor lik PðZ > 1Þ. Verdien z ¼ 1 betyr ett standardavvik til høyre for forventningsverdien, mens z ¼ 1 betyr ett standardavvik til venstre for forventningsverdien. Verdien av Z forteller hvor mange standardavvik vi beveger oss fra forventningsverdien, og er gitt ved x z¼ O M R E G N I N G TI L S T A N D A R D N O R M A L F O RD E L I N G z= s m

x–m s s=1

x

X

m=0

z

Z

Antall standardavvik som x er til høyre for er lik antall standardavvik som z er til høyre for 0: x z 0 ¼ 1

Når vi har digitale verktøy til å hjelpe oss til å finne sannsynligheter under normalfordelingskurven, som for eksempel GeoGebra, kan vi bare legge inn kjente verdier for å finne svaret, slik vi gjorde i det forrige eksempelet. Når vi derimot gjør det for hånd, bruker vi normalfordelingstabellen. Denne tabellen viser sammenhengen mellom z-verdien og arealet under grafen til venstre for z, altså sannsynligheten PðZ zÞ. Du finner denne tabellen bakerst i boka. Dersom vi for eksempel skal bestemme PðZ < 0,73Þ, slår vi opp i tabellen på z-verdien 0,73. z-verdien har hele tall og tideler vertikalt til venstre og hundredeler horisontalt øverst:

z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159

0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186

0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212

0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238


322 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Vi finner verdien 0,7673, som betyr at PðZ < 0,73Þ ¼ 0,7673. Sannsynligheten for at Z < 0,73, er 0,7673.

0,7673 0

0,73

z

EK SEMPEL 19 Vi lar X være vekten til en låvesvale gitt i gram. Vi antar at X er normalfordelt med en forventningsverdi ¼ 20,00 g og standardavvik ¼ 2,00 g. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt låvesvale veier a

mindre enn 22,08 g

b

mer enn 17,00 g

c

mellom 17,00 g og 22,08 g

Løsning: a Vi finner ut hvor mange standardavvik vi må bevege oss til høyre for å komme til x ¼ 22,08: z¼

x 22,08 20,00 2,08 ¼ ¼ ¼ 1,04 2,00 2,00

Det betyr at PðX < 22,08Þ ¼ PðZ < 1,04Þ Vi leser av i normalfordelingstabellen at z ¼ 1,04 gir oss verdien 0,8508:

z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159

0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186

0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212

0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238

0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264

1,0 1,1

0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729


Normalfordeling 323

Arealet under grafen til venstre for x ¼ 22,08 gir oss sannsynligheten PðX < 22,08Þ: m = 20,00 x = 20,08

Areal: 0,8508 12

14

16

18

20

22

24

26

28

x

Sannsynligheten for at en låvesvale veier mindre enn 22,08 gram, er 85,08 %. b

Vi finner ut hvor mange standardavvik vi må bevege oss til venstre for forventningsverdien for å komme til x ¼ 17,00: z¼

17,00 20,00 ¼ 1,50 2,00

Normalfordelingstabellen er venstresidig. Den gir oss arealet av området som ligger til venstre for x. Arealet som ligger til høyre, finner vi ved å trekke arealet som ligger til venstre, fra 1. Vi leser av i tabellen og får PðX > 17,00Þ ¼ PðZ > 1,50Þ ¼ 1 PðZ < 1,50Þ ¼ 1 0,0668 ¼ 0,9332 Sannsynligheten for at en låvesvale veier mer enn 17,00 gram, er 93,32 %. c

Vi trekker arealet til venstre for x ¼ 17,00 fra arealet til venstre for x ¼ 22,08. P(X < 20,08)

14 16 18 20 22 24 26 x m = 20,00

P(X < 17,00)

14 16 18 20 22 24 26 x m = 20,00

P(17,00 < X < 20,08)

14 16 18 20 22 24 26 x m = 20,00

Da står vi igjen med arealet mellom x ¼ 17,00 og x ¼ 22,08: Pð17,00 < X < 22,08Þ ¼ Pð 1,50 < Z < 1,04Þ ¼ PðZ < 1,04Þ PðZ < 1,50Þ ¼ 0,8508 0,0668 ¼ 0,7840 Sannsynligheten for at en låvesvale veier mellom 17,00 gram og 22,08 gram, er 78,40 %.

Oppgaver: 5.36–5.37


324 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Vi kan også regne andre veien hvis vi kjenner en sannsynlighet og skal finne en største eller minste verdi av X. Vi viser med et eksempel:

EK SEMPEL 20 Vi lar X være IQ hos en tilfeldig valgt person. Da er X normalfordelt med forventningsverdi ¼ 100 og standardavvik ¼ 15. Mensa er en forening for de 2 % av befolkningen med høyest IQ. Hvor høy IQ må du minst ha for å få være med i Mensa?

Løsning: Vi skal finne en verdi av X som er slik at 2 % ligger på høyre side og 98 % ligger på venstre side. Ettersom tabellen er venstresidig, finner vi arealet som ligger nærmest 0,98: z

0,00

0,01

0,02

2,0

0,03

0,04

0,05 0,9798

At z ¼ 2,05 betyr at vi må gå 2,05 standardavvik til høyre fra forventningsverdien for å komme til x-verdien: x z¼ x 100 2,05 ¼ 15 x 100 ¼ 2,05 15 x ¼ 30,75 þ 100 Albert Einstein

Oppgaver: 5.38–5.39

x ¼ 130,75 Ettersom IQ-skalaen er delt inn i hele tall, må man minst ha 131 i IQ for å kunne være medlem av Mensa.


Normalfordeling 325

Oppgaver 5.34 La X være årslønna til de ansatte i en stor bedrift gitt i kroner. Da er X normalfordelt med EðXÞ ¼ 700 000 og SDðXÞ ¼ 68 000. a

Bestem PðX < 615 000Þ.

b

Bestem PðX > 800 000Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

c

Bestem Pð650 000 < X < 750 000Þ

d

Bestem Pð < X < þ Þ og Pð 2 < X < þ 2 Þ og gi en praktisk tolkning av svarene.

5.35 Et aksjefond har det siste året hatt en gjennomsnittlig avkastning på 17,6 %. Avkastningen på aksjene i aksjefondet er normalfordelt med et standardavvik på 9 %. La X være avkastningen i prosent på en tilfeldig valgt aksje i aksjefondet. a

Bestem PðX > 22Þ. Gi en praktisk tolkning av svaret.

b

Bestem x slik at PðX < xÞ ¼ 0,3. Gi en praktisk tolkning av svaret.

5.36 I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen med standard normalfordeling. En gruppe fiskere fisker en fiskesort med forventet lengde ¼ 30 cm med standardavvik ¼ 4 cm. Hvis fisken er kortere enn 24 cm, blir den kastet tilbake i havet igjen. Vi antar at lengden av fiskene er normalfordelt. a

Hvor mange prosent av fiskene blir kastet tilbake i havet igjen i det lange løp?

Fiskerne synes de kaster for mange fisk tilbake i havet, og bestemmer seg for å bare kaste de 5 % korteste fiskene tilbake i havet. b

Hvor lang kan en fisk maksimalt være for å bli kastet tilbake i havet igjen nå?

5.37 Bruk normalfordelingstabellen og finn sannsynlighetene: a

PðZ < 0,47Þ

b

PðZ > 1,67Þ

c

Pð 0,23 < Z < 1,22Þ

5.38 Bruk normalfordelingstabellen baklengs og bestem z slik at a

PðZ < zÞ ¼ 0,1515

b

PðZ > zÞ ¼ 0,9279

5.39 La X være forventet ventetid i minutter når du ringer en bestemt nettbutikk. Vi antar at X er normalfordelt med EðXÞ ¼ 8 og SDðXÞ ¼ 5. a

Hvor lenge må du minst vente hvis du skal være blant de 10 % som venter lengst?

b

Forklar at problemstillingen i oppgave a kan skrives som PðX > xÞ ¼ 0,1.

5.40 IQ i befolkningen er normalfordelt med ¼ 100 og ¼ 15. a

Hvor stor andel av befolkningen har IQ 110?

b

35,93 % av befolkningen har IQ i intervallet ½100 a, 100 þ a . Bestem verdien av a.

5.41 Datasettet i fila «vekststudien.csv» inneholder data fra forskningsprosjektet «Vektstudien i Bergen» og viser vekt og lengde på nyfødte i Norge, fordelt på kjønn. a

Skriv et program i Python som framstiller et histogram over fødselsvekten i populasjonen.

b

La X, Y og Z være fødselsvekten til henholdsvis gutter, jenter og gutter og jenter. Bestem EðXÞ, EðYÞ og EðZÞ.


326 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.6 Sentralgrensesetningen UTFORSK Du trenger: PC med Python 1

import random

2

import matplotlib.pyplot as plt

3 4

def myntkast(N):

5

frekvenser = [0] * 2

6

for i in range(N):

7

mynt = random.randint(0, 1)

8

frekvenser[mynt] += 1

9

return frekvenser[0]

10 11

antall_kastere = 1

12

antall_kast = 10

13 14

xverdier = list(range(antall_kast + 1))

15

frekvenser = [0] * len(xverdier)

16 17 18

for i in range(antall_kastere): frekvenser[myntkast(antall_kast)] += 1

19 20

plt.bar(xverdier, frekvenser)

21

plt.show()

Koden simulerer myntkast. Hvis antall_kastere er 1, er det én person som kaster en mynt. Hvis antall_kast er 10, så kaster denne personen mynten 10 ganger. Programmet tegner et søylediagram over hvor mange av myntkasterne som får et bestemt antall kron. 1

Skriv inn og kjør koden noen ganger. Forklar diagrammet som blir tegnet.

2

Øk antall kastere litt etter litt, for eksempel først to, så fem og så ti. Forklar hva diagrammet viser.

3

Øk antall kastere kraftig, for eksempel tusen, ti tusen og hundre tusen. Hva ser du?


Sentralgrensesetningen 327

Når vi kjenner sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel, kan vi finne forventningsverdien og standardavviket.

Sentralgrensesetningen:

Hva skjer hvis vi legger sammen mange identiske stokastiske variabler? Vil summen av de stokastiske variablene være normalfordelt?

EKSEMPEL 21 a

Lag et program i Python som simulerer 10 000 kast med én terning. Lag et histogram som viser de relative frekvensene for hver av verdiene til summen av antall øyne. Vurder resultatet.

b

Utvid programmet til å simulere 10 000 kast med åtte terninger. Lag et histogram som viser de relative frekvensene for hver av verdiene til summen av antall øyne. Vurder resultatet.

Løsning: Vi bruker en for-løkke til å kaste terningen 10 000 ganger og framstiller resultatet i et histogram: a

1 import random 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 import numpy as np 4 5 N = 10000 6 resultater = [] 7 8 for i in range(N): 9 10 11

# Løkke som går 10 000 ganger. # Terningkast # Lagrer resultatene i en liste.

terning = random.randint(1, 6) resultater.append(terning)

12 utfall = np.arange(1 - .5, 6 + 1 + .5)

# Lager x-aksen.

13 # Lager histogram av lista med resultatene. 14 plt.hist(resultater, bins=utfall, density=True, edgecolor="White")

Når vi kjører programmet kan vi få dette histogrammet: 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

1

2

3

4

5

6


328 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

I S1 lærte vi at sannsynligheten til en hendelse er den relative frekvensen til hendelsen når vi gjør et forsøk veldig mange ganger. Histogrammet viser derfor en tilnærming til sannsynlighetene til hver av utfallene. Ikke uventet ser vi at søylene blir tilnærmet like høye. Sannsynligheten for hvert av utfallene når vi kaster en terning, er like stor. b

Vi bruker en for-løkke inni en for-løkke til å kaste åtte terninger 10 000 ganger og framstiller resultatet i et histogram: 1 import random 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 import numpy as np 4 5 N = 10000 6 antall_terninger = 8 7 resultater = [] 8 9 for i in range(N): 10 11 12 13

# Løkke som går 10 000 ganger. sum_øyne = 0 for i in range(antall_terninger): # Løkke som går en gang for hver terning. terning = random.randint(1, 6) # Kaster terning. sum_øyne = sum_øyne + terning # Summerer antall øyne.

14 15

resultater.append(sum_øyne) # Lagrer resultatene i en liste.

16 17 # Lager x-aksen. 18 utfall = np.arange(antall_terninger - .5,

antall_terninger*6 + 1 + .5) 19 # Lager histogram av lista med resultatene. 20 plt.hist(resultater, bins=utfall, density=True, edgecolor="White")


Sentralgrensesetningen 329

Når vi kjører programmet kan vi få dette histogrammet: 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 10

20

30

40

50

Histogrammet viser en tilnærming til sannsynlighetsfordelingen til summen av antall øyne. Vi ser at søylene har form som en klokke og viser at det er mest sannsynlig at summen av antall øyne er i underkant av 30. Sannsynligheten avtar ut mot hver side.

Oppgave: 5.42

Hvis vi lar X være antall øyne når vi kaster én terning, og S være summen av antall øyne når vi kaster åtte terninger, kan vi skrive S ¼ X1 þ X2 þ . . . þ X8 I eksempelet ovenfor ser vi at søylene i histogrammet, som viser sannsynlighetsfordelingen til X, ikke passer under normalfordelingskurven, mens søylene som viser sannsynlighetsfordelingen til S, passer ganske bra under normalfordelingskurven.

0.08 0.07

0.20

0.06 0.15

0.05 0.04

0.10

0.03 0.02

0.05

0.01 0.00 0

1

2

3

4

5

6

7

0.00 10

20

30

40

50


330 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Hadde vi simulert flere kast med flere terninger, hadde tilnærmingen blitt enda bedre. S er altså tilnærmet normalfordelt. Ettersom vi kjenner forventningsverdien og standardavviket til X, kan vi bruke regnereglene for summen av stokastiske variabler til å finne forventningsverdien og standardavviket til S. 7 Fra eksempel 11 har vi at EðXÞ ¼ og SDðXÞ ¼ 2 Da har vi

rffiffiffiffiffi 35 . 12

7 56 ¼ ¼ 28 2 2 rffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 35 SDðSÞ ¼ n SDðXÞ ¼ 8 4,83: 12 EðSÞ ¼ n EðXÞ ¼ 8

S er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdien 28 og standardavviket 4,83. Når vi gjør mange forsøk med en stokastisk variabel X, gjelder det generelt at summen av forsøkene S vil være tilnærmet normalfordelt. Vi kan ikke si nøyaktig hvor mange forsøk vi må gjøre for at S skal være tilnærmet normalfordelt, men tilnærmingen blir bedre jo flere forsøk vi gjør. Dette gjelder selv om X ikke er normalfordelt. Denne sammenhengen kaller vi sentralgrensesetningen.

S E N T R A LG R EN S E S E T N I N G E N Vi lar X være en stokastisk variabel med forventningsverdi og standardavvik . Vi lar S være summen av n uavhengige forsøk med X: S ¼ X1 þ X2 þ X3 þ . . . þ Xn Dersom n er stor, blir S tilnærmet normalfordelt med pffiffiffi EðSÞ ¼ n EðXÞ og SDðSÞ ¼ n SDðXÞ Dette gjelder selv om X ikke er normalfordelt.


Sentralgrensesetningen 331

EKSEMPEL 22

En heis på en militærbase tar maksimalt 1400 kg. Vi lar X være vekten på en tilfeldig valgt rekrutt. X har forventningsverdi ¼ 75 kg og standardavvik ¼ 4,7 kg. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt gruppe med 19 rekrutter kan ta heisen sammen.

Løsning: Vi lar S være summen av 19 rekrutter. Da er S ¼ X1 þ X2 þ . . . þ X19 EðSÞ ¼ n EðXÞ ¼ 19 75 kg ¼ 1425 kg pffiffiffiffiffi pffiffiffi SDðSÞ ¼ n SDðXÞ ¼ 19 4,7 kg 20,49 kg Vi skal finne sannsynligheten for at de 19 rekruttene veier mindre eller lik 1400 kg til sammen, altså PðS 1400Þ. Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra og legger inn ¼ 1425 og ¼ 20,49. Så vi bruker knappen «Venstresidig» og legger inn 1400:

Sannsynligheten for at 19 tilfeldige rekrutter kan ta heisen sammen, er om lag 11,12 %.

Oppgaver: 5.43–5.45


332 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Normalfordeling og gjennomsnitt En klasse skal undersøke pengeforbruket til tenåringer i Norge. Da er det ikke gjennomførbart å kontakte alle tenåringer i hele landet. Vi kan derimot trekke ut en liten gruppe som skal være representativ for hele populasjonen. Vi lar X være pengeforbruket til en tilfeldig valgt tenåring. For enkelhets skyld tenker vi oss at både forventningsverdien og standardavviket til X er regnet ut med utgangspunkt i alle tenåringer i hele Norge. Hvis vi gjør vår lille undersøkelse flere ganger, vil gjennomsnittet av pengeforbruket X til gruppa vi trekker ut, variere fra gang til gang. Gjennomsnittet X har en egen sannsynlighetsfordeling. Vi prøver å finne denne ved først å finne forventningsverdien EðXÞ og standardavviket SDðXÞ. Det er naturlig å tenke seg at forventningsverdien til X er den samme som forventningsverdien til X. Vi vet jo at forventningsverdien nettopp er gjennomsnittet i det lange løp. Det er også naturlig å tenke seg at et gjennomsnitt av et utvalg observasjoner vil variere mindre enn de enkelte observasjonene. La oss undersøke om dette stemmer. Vi finner først summen S av forbruket til de n tenåringene i gruppa ved å summere forbruket til hver enkelt av dem: S ¼ X1 þ X2 þ X3 þ . . . þ Xn Vi finner gjennomsnittet av forbruket ved å dele på antall observasjoner, altså n: X¼

X1 þ X2 þ . . . þ Xn S 1 ¼ ¼ S n n n

Sentralgrensesetningen gir oss at S er normalfordelt. Da er også X normal1 fordelt ettersom gjennomsnittet X er summen S multiplisert med tallet . n Så finner vi forventningsverdien til gjennomsnittet: 1 1 1 S ¼ EðSÞ ¼ n = ¼ EðXÞ ¼ E n n n = Vi finner standardavviket til gjennomsnittet ved først å finne variansen: 2 1 1 1 2 VarðSÞ ¼ n 2 ¼ VarðXÞ ¼ Var S ¼ n n n n2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffi2 ¼ pffiffiffi SDðXÞ ¼ VarðXÞ ¼ n n Standardavviket til X blir mindre enn standardavviket til X ettersom ¼ SDðXÞ SDðXÞ pffiffiffi . n


Sentralgrensesetningen 333

EKSEMPEL 23

En bedrift produserer bokser med iskrem. Vi antar at volumet X av en tilfeldig boks er normalfordelt med forventningsverdien ¼ 2000 ml og standardavvik ¼ 20 ml. Vi trekker tilfeldig ut 25 bokser med iskrem og finner gjennomsnittsvolumet X til de 25 boksene. a b

Finn PðX < 1997Þ og gi en praktisk tolkning av svaret. Finn x slik at PðX < xÞ ¼ 0,05 og gi en praktisk tolkning av svaret.

Løsning: a Standardavviket til X er gitt ved 20 ml 20 ml ¼ SDðXÞ SDðXÞ ¼ 4 ml pffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffi ¼ n 25 5 x 1997 2000 3 ¼ ¼ 0,75 ¼ 4 4 pffiffiffi n Vi bruker normalfordelingstabellen: PðX < 1997Þ ¼ PðZ < 0,75Þ ¼ 0,2266 z¼

Det er 22,66 % sannsynlig at gjennomsnittsvolumet av 25 bokser med iskrem er mindre en 1997 ml. b

PðX < xÞ ¼ 0,05 betyr at 5 % av arealet under normalfordelingskurven ligger til venstre for x-verdien vi skal finne. PðX < xÞ ¼ 0,05 ¼ PðZ < zÞ ¼ 0,05 Vi bruker normalfordelingstabellen og finner ut at PðZ < 1,64Þ 0,05. z –1,6

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04 0,0505


334 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Videre har vi at standardavviket til gjennomsnittet er pffiffiffi : n x ¼z pffiffiffi n x 2000 ¼ 1,64 20 pffiffiffiffiffi 25 x 2000 ¼ 1,64 4 x 2000 ¼ 1,64 4 x 2000 ¼ 6,56 x ¼ 2000 6,56 x ¼ 1993,44 Sannsynligheten for at gjennomsnittet av 25 bokser med iskrem har et volum som er mindre en 1993,44 ml, er 5 %.

Løsning med digitalt verktøy: Vi velger normalfordeling fra sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra og legger inn forventningsverdien ¼ 2000 og standardavviket til X, 20 altså ¼ pffiffiffiffiffi ¼ 4. Så velger vi «Venstresidig» og legger inn 0,05 i ruta 25 for sannsynlighet helt til høyre:

Oppgaver: 5.46–5.48

Sannsynligheten for at gjennomsnittet av 25 bokser med iskrem har et volum som er mindre en 1993,42 ml, er 5 %.

Reflekter og diskuter!

Diskuter hva som skjer med standardavviket til gjennomsnittet når n blir større.

I eksempelet ovenfor får vi et avvik på om lag 0,02 prosentpoeng mellom løsningene vi fikk med og uten et digitalt hjelpemiddel. Hva er grunnen til det?


Sentralgrensesetningen 335

Oppgaver 5.42 Lag et program i Python som simulerer kast med terninger med fire sider (nummerert fra 1 til 4). Du kan ta utgangspunkt i programmet i eksempel 21.

5.46 For en bestemt eplesort er forventningsverdien for vekten av et eple ¼ 120 g med standardavviket ¼ 7 g.

a

a

Start med få terninger og få kast for så å øke antall terninger og kast etter hvert. Beskriv hva du ser.

Antall øyne på en firesidet terning har forventnings5 verdien , og summen av antall øyne på n terninger 2 5 har forventningsverdien n . 2 b Kast et partall antall terninger og finn søylen som viser den relative frekvensen til forventningsverdien. Hvor ligger denne søylen, og hvor høy er den sammenliknet med de andre søylene?

5.43 Vi går ut fra at ventetiden X i ekspedisjonen på en legevakt er normalfordelt med forventningsverdien ¼ 6 minutter og standardavvik ¼ 2 minutter. Hva er sannsynligheten for at fire tilfeldige pasienter må vente minst 18 minutter til sammen?

5.44 La X være årslønna til en ansatt i en stor bedrift, der X er normalfordelt med forventningsverdi ¼ 650 000 kr og standardavvik ¼ 60 000 kr. La S være summen av årslønna til 20 tilfeldige av de ansatte.

Bestem sannsynligheten for at gjennomsnittet av 32 epler veier mer enn 121 gram.

Du får vite at sannsynligheten for at gjennomsnittet av 32 epler er mindre enn a gram er 0,1. b

Bestem verdien av a.

5.47 Strømutgiftene til husstandene i en stor kommune i januar er normalfordelt med forventningsverdien ¼ 4000 kr med et standardavvik på 800 kr. a

Bestem sannsynligheten for at de gjennomsnittlige strømutgiftene til 16 tilfeldig valgte boliger i kommunen er høyere enn 4120 kr.

b

Bestem x slik at PðX < xÞ ¼ 0,03. Gi en praktisk tolkning av svaret.

5.48 Arin selger abonnementer på en avis. Vi lar X være antall abonnementer han selger i løpet av en dag. Tabellen nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen: x

3

4

5

PðX ¼ xÞ

0,5

0,4

0,1

a

Bestem EðSÞ og SDðSÞ.

a

b

Bestem PðS < 13 200 000Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

Bestem sannsynligheten for at Arin selger minst 93 abonnementer i løpet av 25 dager.

b

Bestem sannsynligheten for at Arin i gjennomsnitt selger mer enn 3,8 abonnementer per dag i løpet av 25 dager.

5.45 En telefonselger selger X abonnementer per dag. Vi har ¼ 13,4 og ¼ 4,4. Hva er sannsynligheten for at selgeren selger høyst 1300 abonnementer i løpet av 100 dager?


336 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.7 Tilnærming ved binomisk fordeling UTFORSK Du trenger: GeoGebra

1 1 1 1 1 1 1

3 4

5 6

7

1 2

1 3

6 10

15

1 4

20

1 5

10

1 6

15

1

1 1 56 70 56 28 8 9 1 1 36 85 126 126 85 36 9 10 1 1 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1

8

21

35

35

21

7

28

0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 0 1 2 3 4 5 6 7 7 7 7 7 7 7 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Begge figurene viser Pascals trekant. 1

Forklar sammenhengen mellom figurene.

Vi tenker oss at vi kaster kron og mynt én gang. Legg inn n ¼ 1 og p ¼ 0,5 med «Binomisk fordeling» i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. 2

Forklar at ett kast med kron og mynt ikke er normalfordelt.

3

Sett n ¼ 10 og p ¼ 0,5. Trykk på

i sannsynlighetskalkulatoren.

Forklar at ti kast nærmer seg å være normalfordelt. 4

Bruk Pascals trekant og formelen for binomisk sannsynlighet til å forklare at histogrammet med sannsynlighetsfordelingen er symmetrisk om søylen til forventningsverdien.

5

Sett n ¼ 10 og p ¼ 0:2. Bruk Pascals trekant og formelen for binomisk sannsynlighet til å forklare hvorfor histogrammet med sannsynlighetsfordelingen ikke er symmetrisk.

6

Forklar at verdien av px ð1 pÞn x er uavhengig av x når p ¼ 0,5, og bruk dette til å vise at et histogram over en rad langt nede i Pascals trekant vil ha formen til en normalfordeling.


Tilnærming ved binomisk fordeling 337

Vi kaster et kronestykke og lar X være antall kron. Når vi kaster én gang, er sannsynligheten 0,5 for å få én kron og 0,5 for å få ingen kron. Vi kan framstille resultatene med søyler slik det er vist i margen. Men la oss nå se på hvordan sannsynligheten fordeler seg på de forskjellige utfallene hvis vi kaster flere ganger. Da kan vi bruke en binomisk sannsynlighetsmodell. I figurene nedenfor har vi brukt sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å vise sannsynlighetsfordelingen når vi kaster et kronestykke henholdsvis 10 og 60 ganger.

Legg merke til at når antall kast blir større, passer søylene bedre og bedre under normalfordelingskurven. Jo flere ganger vi kaster, jo bedre blir tilnærmingen. I dette tilfellet er både p og 1 p lik 0,5, men dersom p ligger nærme 0 eller 1, trenger vi en desto større n for å få en god tilnærming. En tommelfingerregel er at når både n p 10 og n ð1 pÞ 10, får vi en god tilnærming. Selv om ikke ett kast er normalfordelt, vil summen av mange kast bli tilnærmet normalfordelt. Vi lar nå X være antall kron når vi kaster et kronestykke 60 ganger. Hvis vi for eksempel vil regne ut sannsynligheten for å få minst 34 kron på 60 kast, har vi PðX 34Þ ¼ PðX ¼ 34Þ þ PðX ¼ 35Þ þ . . . þ PðX ¼ 60Þ Med et digitalt verktøy er det ikke noe problem, men for hånd blir det veldig mye regning. Isteden kan vi finne forventningsverdien og standardavviket til X og så bruke normalfordelingstabellen til å beregne sannsynligheten. Vi finner svaret ved å tilnærme med en normalfordeling. La oss se på et eksempel.

0

1

Tilnærming ved binomisk fordeling:


338 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

EK SEMPEL 24 En undersøkelse fra Ungdata i 2020 viser at 37 % av elevene i ungdomsskole og videregående skole i Norge er svært fornøyd med helsa si. Vi spør 100 tilfeldige ungdommer som var med i undersøkelsen, om de svarte at de var svært fornøyd med helsa si. Bestem sannsynligheten for at høyst 32 av de spurte svarte at de var svært fornøyd med helsa si.

Løsning: Vi lar X være antall ungdommer av de spurte som svarte at de var svært fornøyd med helsa si, og tilnærmer med en normalfordeling: EðXÞ ¼ n p ¼ 100 0,37 ¼ 37 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi SDðXÞ ¼ n p ð1 pÞ ¼ 100 0,37 0,63 4,83 Vi har da PðX z

32 37 5 705Þ ¼ P Z < ¼P Z< ¼ PðZ < 1,04Þ 4,83 4,83 0,00

0,01

0,02

–1,0

0,03

0,04 0,1492

Vi bruker normalfordelingstabellen og finner at PðZ < 1,04Þ ¼ 0,1492.

Oppgaver: 5.49–5.51

Sannsynligheten for at høyst 32 av de spurte ungdommene svarte at de var svært fornøyd med helsa si, er om lag 14,92 %.

Halvkorreksjon Med et digitalt verktøy kan vi finne en mer nøyaktig sannsynlighet direkte uten å tilnærme med en normalfordeling. Vi bruker eksemplet over og regner nå med binomisk sannsynlighet i GeoGebra med n ¼ 100 og p ¼ 0,37. Så bruker vi knappen «Venstresidig» og legger inn 32:

Nå får vi sannsynligheten 17,6 %. I eksempelet ovenfor fant vi en tilnærming med en normalfordeling. Da ble resultatet nesten 3 prosentpoeng mindre. Hva er grunnen til dette?


Tilnærming ved binomisk fordeling 339

Da vi fant PðX 32Þ med en binomisk modell, la vi sammen arealet av de 32 søylene lengst til venstre i histogrammet med sannsynlighetsfordelingen. Ved å bruke en binomisk modell får vi det mest nøyaktige svaret. Det røde arealet gir oss sannsynligheten når vi tilnærmer med en normalfordeling

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

x

Arealet av søylene gir oss sannsynligheten når vi bruker en binomisk fordeling

Da vi fant en tilnærming til PðX 32Þ med en normalfordeling, brukte vi arealet under normalfordelingskurven til venstre for X ¼ 32. Da fikk vi bare med om lag halvparten av den søylen som ga oss PðX ¼ 32Þ i den binomiske fordelingen. For å få med hele søylen, og dermed få en bedre tilnærming, må vi finne arealet under normalfordelingskurven til venstre for X ¼ 32,5. Dette kaller vi å gjøre halvkorreksjon. La oss se på et eksempel.

EKSEMPEL 25 Tall fra SSB viser at i 2020 hadde 35,3 % av den voksne befolkningen i Norge høyere utdanning. Vi antar at andelen er den samme i dag, og trekker tilfeldig ut 15 voksne i Norge og sjekker om de har høyere utdanning. Bestem sannsynligheten for at minst 7 av de 15 har høyere utdanning a

1 2

b

Vurder løsningene og undersøk hvordan vi kan gjøre tilnærmingen mer nøyaktig.

ved å bruke binomisk fordeling ved å tilnærme med normalfordeling

Løsning: a 1 Vi bruker binomisk fordeling i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra og legger inn n ¼ 15 og p ¼ 0,353. Så velger vi «Høyresidig» og legger inn 7:

Ved å bruke binomisk fordeling får vi at sannsynligheten for at minst 7 av de 15 har høyere utdanning, er 25,31 %.


340 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

2

Vi bruker at n ¼ 15, p ¼ 0,353 og 1 p ¼ 1 0,353 ¼ 0,647. Vi tilnærmer til en normalfordeling med ¼ n p og pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi at ¼ n p ð1 pÞ: 1

2

Vi velger normalfordeling i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, legger inn ¼ 5,295 og ¼ 1,851, velger «Høyresidig» og legger inn 7.

Ved å tilnærme med normalfordeling får vi at sannsynligheten for at minst 7 av de 15 har høyere utdanning, er 17,85 %. b

Vi legger merke til at det er et stort avvik mellom svarene våre, 25,31 % og 17,85 %. Vi bruker knappen

og overfører både søylene fra

den binomiske fordelingen og grafen fra normalfordelingen til grafikkfeltet: y

Det røde arealet er sannsynligheten vi fant med tilnærming med en normalfordeling

0,20 0,15 0,10 0,05 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 x

Arealet av søylene er sannsynligheten vi fant med en binomisk fordeling

Når vi bruker tilnærming med normalfordeling, integrerer vi fra x ¼ 7. Da får vi bare med halve søylen som viser akkurat 7 i den binomiske fordelingen. Bredden av denne søyla går fra x ¼ 6,5 til x ¼ 7,5 på x-aksen.


Tilnærming ved binomisk fordeling 341

Vi gjør en halvkorreksjon. Det vil si at vi flytter nedre grense fra x ¼ 7 til x ¼ 6,5 når vi finner sannsynligheten ved tilnærming med normalfordeling:

Sannsynligheten ved tilnærming med normalfordeling er 25,75 % når vi bruker en halvkorreksjon. Da er sannsynligheten vi fant ved å bruke binomisk fordeling, og tilnærming med normalfordeling omtrent den samme.

Oppgaver: 5.52–5.54

En halvkorreksjon gir alltid et mer nøyaktig resultat når vi regner på sannsynligheter med tilnærming med normalfordeling fra en binomisk fordeling. Korreksjonen har størst effekt når n er liten.

Oppgaver 5.49 La X være antall seksere vi får når vi kaster en terning 900 ganger. a

Bestem EðXÞ og SDðXÞ ved regning.

b

Finn PðX

145Þ ved

1

å tilnærme med normalfordeling

2

å bruke en binomisk modell

5.50 Bestem sannsynligheten for minst 12 kron når vi kaster et kronestykke 20 ganger ved a

å bruke en binomisk modell

b

å tilnærme med normalfordeling

5.51 Vi lar X være antall suksesser i et binomisk forsøk der vi gjør n delforsøk og sannsynligheten for suksess er p ¼ 0,3. Bestem sannsynlighetene både ved å bruke binomisk fordeling og ved å tilnærme med normalfordeling. a

Bestem PðX þ 1Þ når n ¼ 20

b

Bestem PðX þ 1Þ når n ¼ 200

c

Bestem PðX þ 1Þ når n ¼ 2000

d

Sammenlikn avvikene mellom svarene i oppgave a, b og c.


342 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.52 Har du noen å være sammen med i friminuttene på skolen? Nei, aldri

Nei, som regel ikke

1 1

2020 2021

2 3

Ja, som regel

22 24

Ja, alltid

a

Forklar hvorfor vi kan bruke en binomisk modell her.

b

Bestem EðXÞ og VarðXÞ ved regning.

c

Bestem PðX 38Þ ved

d

å tilnærme med normalfordeling

2

å bruke en binomisk modell

a

Begrunn hvorfor X er normalfordelt.

b

Bestem EðXÞ og SDðXÞ ved regning for hånd.

c

Bestem PðX 98Þ ved å tilnærme med normalfordeling og gjøre en halvkorreksjon.

d

Kontroller at du har regnet riktig, ved å finne PðX 98Þ med binomisk fordeling i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Hva forteller svaret i praksis?

74 72

En stor undersøkelse fra Ungdata viser at 72 % av ungdommene på ungdomsskole og videregående skole i 2021 har noen å være sammen med i friminuttene på skolen. Vi spør 50 av ungdommene som har vært med i undersøkelsen, om hva de har svart. La X være antall ungdommer som svarte at de har noen å være sammen med i friminuttene.

1

5.53 Sannsynligheten for at en pasient med en bestemt sykdom blir frisk av en bestemt medisin, er p ¼ 0,60. Vi gir medisinen til 150 pasienter og lar X være antall pasienter som blir friske av medisinen.

Gjør en halvkorreksjon for å få en bedre tilnærming med normalfordelingen.

5.54

Sannsynligheten for å bestå førerprøven på første forsøk et år var p ¼ 0,84. Vi velger ut 50 tilfeldige personer som har hatt oppkjøring dette året og lar X være antallet som klarte oppkjøringen på første forsøk. a

Regn ut sannsynligheten for at høyst 42 av de 50 klarte oppkjøringen på første forsøk, ved å bruke en binomisk modell.

b

Finn svaret i oppgave a ved å tilnærme med normalfordeling

c

1

uten halvkorreksjon

2

med halvkorreksjon

Sammenlikn med svaret i oppgave a og kommenter.


Hypotesetesting 343

5.8 Hypotesetesting UTFORSK Áilu og Kare er på fisketur. De får ni fisker med en gjennomsnittsvekt på 3,7 kg. Áilu har lest at vekten av en fisk av denne sorten er normalfordelt med forventningsverdien 3,4 kg og standardavvik 0,5 kg. 1

Bestem sannsynligheten for at ni tilfeldige fisker av denne sorten har en gjennomsnittsvekt på minst 3,7 kg.

På hjemveien er Áilu og Kare uenige og setter fram hver sin påstand: Áilu: Det stemmer nok at fiskene har en forventet vekt på 3,4 kg, men vi hadde flaks og fikk noen store fisker. Kare: Denne fiskesorten har nok en høyere forventet vekt i virkeligheten enn det du har lest. 2

Diskuter om det er noen måte de kan avgjøre hvem som har rett på, uten å måtte fiske alle fiskene av denne sorten i hele havet.

3

Om de finner en måte å avgjøre hvem som har rett på, kan de da være helt sikre på at de har tatt en riktig avgjørelse?

Hypotesetesting i en binomisk fordeling En undersøkelse fra Ungdata viser at 70 % av guttene i videregående skole i Norge spiller dataspill mer enn én time hver dag. Vi mistenker at denne andelen har økt et år etter undersøkelsen, og spør 100 tilfeldige gutter i videregående skole om de spiller dataspill mer enn én time hver dag. 77 av 100 svarer ja, altså svarer 77 % ja i vår lille undersøkelse. Kan vi da konkludere med at andelen som spiller dataspill mer enn én time hver dag, har økt?

Hypotesetesting:

Det er ikke sikkert vi hadde fått det samme resultatet om vi hadde gjort undersøkelsen en gang til. Ettersom vi ikke spør alle, men bare et lite utvalg, bruker vi en hypotesetest til å avgjøre om andelen gutter i videregående skole som spiller dataspill mer enn én time hver dag, har økt. En hypotese er en antakelse om at noe er sant. I en hypotesetest setter vi opp to hypoteser, H0 og HA . Så bruker vi matematikk til å avgjøre om vi skal forkaste eller beholde H0 .

En hypotese er en påstand eller en antakelse.


344 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

I dette tilfellet får vi H0 : p ¼ 0,7 HA : p > 0,7 H0 er den gjeldende hypotesen. Vi kaller den nullhypotesen. Det er antakelsen om at andelen gutter i videregående skole som spiller mer enn én time hver dag, ikke har forandret seg, men altså er på 70 %. HA er den alternative hypotesen. Det er antakelsen om at andelen gutter i videregående som spiller mer enn én time hver dag, har økt. Det vil være en naturlig variasjon i resultatene for hver gang vi undersøker 100 gutter. Så lenge resultatet vårt ligger innenfor denne variasjonen, beholder vi nullhypotesen, H0 . Vi konkluderer med at det ikke er grunnlag for å si at andelen gutter som spiller dataspill mer enn én time hver dag, har økt. Hvis resultatet av undersøkelsen vår derimot ligger utenfor det vi anser som en naturlig variasjon, forkaster vi H0 og konkluderer med at andelen gutter som spiller dataspill mer enn én time hver dag, har økt. For å avgjøre hva som er innenfor og utenfor det vi anser som en naturlig variasjon i resultatene, setter vi en grense for hvor tilfeldig resultatet i undersøkelsen vår kan være, gitt at H0 er sann. Eksempelvis vil en grense på 5 % bety at

Vi bruker den greske bokstaven for signifikansnivå.

hvis sannsynligheten for vårt resultat er mindre enn 5 %, forkaster vi H0 og konkluderer med at andelen gutter i videregående skole som spiller dataspill mer enn én time hver dag, har økt.

hvis sannsynligheten for vårt resultat er større enn 5 %, beholder vi H0 og konkluderer med at det ikke er grunnlag for å si at andelen gutter i videregående skole som spiller dataspill mer enn én time hver dag, har økt.

Grensen vi setter for å avgjøre om vi skal beholde eller forkaste nullhypotesen, kaller vi et signifikansnivå. Hvis signifikansnivået er på 5 %, skriver vi ¼ 0,05. La oss undersøke om sannsynligheten vi finner i undersøkelsen vår, ligger under eller over et signifikansnivå på 5 %. Vi lar X være hvor mange av de 100 guttene som spiller mer enn én time hver dag, og beregner PðX 77Þ, altså sannsynligheten for at minst 77 gutter spiller mer enn én time hver dag, gitt at andelen på landsbasis fremdeles er 70 %. Ettersom det er veldig mange gutter i videregående skole i Norge, kan vi se på svarene til hver av guttene som uavhengige delforsøk med tilnærmet konstant sannsynlighet. Vi bruker derfor en binomisk sannsynlighetsmodell.


Hypotesetesting 345

Vi setter n ¼ 100, p ¼ 0,7 og velger knappen for «Høyresidig» i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra:

Vi får at PðX 77Þ ¼ 0,0755. Denne sannsynligheten kaller vi P-verdien til undersøkelsen vår. Det betyr at hvis H0 er sann, så er sannsynligheten 7,55 % for at minst 77 av 100 tilfeldig valgte gutter i videregående skole spiller mer enn én time hver dag. Ettersom P-verdien er større enn signifikansnivået på 5 %, beholder vi H0 og konkluderer med at det ikke er grunnlag for å si at andelen gutter i videregående som spiller dataspill mer enn én time hver dag, har økt. Legg merke til at det i virkeligheten godt kan hende at andelen gutter i videregående skole som spiller mer enn én time hver dag, har økt, men undersøkelsen vår med et signifikansnivå på 5 % gir ikke godt nok grunnlag til å vise det. Bruker vi derimot et signifikansnivå på 10 %, vil P-verdien være lavere enn signifikansnivået. Da forkaster vi H0 og konkluderer med at andelen gutter i videregående skole som spiller dataspill mer enn én time hver dag, har økt.


346 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Høyresidig test H 0 : p ¼ p0

Hvilket signifikansnivå vi bruker, vil variere. For eksempel er det vanlig å bruke et signifikansnivå på 0,5 % innen medisinsk forskning. Da skal det mer til for å forkaste nullhypotesen.

H A : p > p0 Regn ut fra H0 , det vil si med p ¼ p0 . P-verdien er da sannsynligheten PðX xÞ, der x er den observerte X-verdien.

Reflekter og diskuter! Anne mener at hvis undersøkelsen ovenfor viser at 77 av 100 gutter i videregående skole spiller mer enn én time hver dag, kan vi konkludere med at andelen har økt på landsbasis, og at denne andelen nå er på 77 %. Diskuter om Anne har rett!

Venstresidig test H 0 : p ¼ p0 H A : p < p0 Regn ut fra H0 , det vil si med p ¼ p0 . P-verdien er da sannsynligheten PðX xÞ, der x er den observerte X-verdien.

Til nå har vi sett på hvordan vi gjennomfører en hypotesetest der signifikansnivået er den 5 % sannsynligheten som ligger lengst til høyre under normalfordelingskurven. HA er da antakelsen om at sannsynligheten for en hendelse i virkeligheten er større enn den gjeldende oppfatning. En slik test kaller vi en høyresidig test. I det neste eksempelet viser vi hvordan vi kan gjennomføre en venstresidig test. Da er HA antakelsen om at sannsynligheten for en hendelse i virkeligheten er mindre enn den gjeldende oppfatning.

EK SEMPEL 26 Ved stortingsvalget i 2021 fikk Senterpartiet 13,4 % av stemmene. En avis mistenker at oppslutningen til Senterpartiet har falt, og spør 500 tilfeldig valgte personer som stemte ved valget, hva de ville stemt hvis det var valg i dag. 54 av dem svarte Senterpartiet. Gjennomfør en hypotesetest og avgjør om det er grunnlag for å hevde at oppslutningen til Senterpartiet har falt etter valget i 2021. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Løsning: Vi lar X være antall personer av de 500 som ville stemt Senterpartiet hvis det hadde vært valg i dag. Vi setter opp to hypoteser: H0 : p ¼ 0,134 HA : p < 0,134 H0 er antakelsen om at oppslutningen til Senterpartiet ikke har forandret seg, mens HA er antakelsen om at oppslutningen er mindre i dag enn ved valget i 2021. Ettersom 500 personer er et relativt lite utvalg sammenliknet med alle som stemte ved valget i 2021, kan vi bruke en binomisk fordeling. Vi legger inn n ¼ 500 og p ¼ 0,135 i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.


Hypotesetesting 347

Så velger vi venstresidig og finner PðX

54Þ:

Vi ser at PðX 54Þ ¼ 0,0473, som er mindre enn 5 %. Ettersom P < , forkaster vi H0 og konkluderer med at oppslutningen til Senterpartiet har falt siden valget i 2021.

Hypotesetesting av et gjennomsnitt En kjøpmann mistenker at det er for lite mel i pakkene han får fra produsenten. Produsenten sier at det er en variasjon i vekten ettersom noe av vannet i melet fordamper over tid. De oppgir at hver melpakke har en forventet vekt på ¼ 1 kg med et standardavvik på ¼ 8 g. Kan kjøpmannen være sikker på at det er for lite mel i pakkene, ved bare å veie noen få av dem? Det kan jo hende at han er uheldig og veier noen av de letteste pakkene. Hadde han fått det samme resultatet om han veide noen andre pakker, eller om han veide flere pakker? Ettersom vi ikke kan veie alle pakkene med mel som er produsert, setter vi opp en hypotesetest: H0 : ¼ 1 kg HA : < 1 kg H0 er den gjeldende hypotesen, det vil si antakelsen om at produsenten har rett i at gjennomsnittsvekten til alle produserte pakker, altså forventningsverdien, er 1 kg. HA er den alternative hypotesen, det vil si antakelsen om at forventningsverdien er mindre enn 1 kg, altså mistanken til kjøpmannnen. Kjøpmannen finner gjennomsnittsvekten av noen tilfeldige pakker. Hvis kjøpmannens resultat er veldig lite sannsynlig, gitt at produsentens opplysninger stemmer, kan det bety to ting: Enten har kjøpmannen hatt ekstremt uflaks med pakkene han har veid, eller så stemmer det ikke at forventningsverdien er 1 kg. Men hva vil det si at noe er «veldig lite sannsynlig»? Vi bruker et signifikansnivå – en grense for hvor stor tilfeldighet vi kan godta.

Oppgaver: 5.55–5.57


348 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Bruker vi for eksempel et signifikansnivå på 5 %, betyr det at hvis kjøpmannens resultat er mindre enn 5 % sannsynlig, gitt at produsentens opplysninger stemmer, forkaster vi H0 og konkluderer med at produsentens opplysninger ikke stemmer, og at gjennomsnittsvekten av melpakkene er mindre enn 1 kg. Hvis kjøpmannens resultat er mer enn 5 % sannsynlig, gitt at produsentens opplysninger stemmer, beholder vi H0 . Det er ikke grunnlag for å hevde at produsenten har for lite mel i pakkene.

EK SEMPEL 27 Husk! ¼ SDðXÞ SDðXÞ pffiffiffi n

Et meieri påstår at deres melkekartonger med lettmelk inneholder 1000 ml med et standardavvik på 12 ml. En butikksjef mistenker at dette ikke stemmer, og måler volumet i 20 tilfeldige melkekartonger. Det viser seg at disse 20 kartongene har et gjennomsnittsvolum på 996 ml. a

Gjennomfør en hypotesetest med et signifikansnivå på 5 % og avgjør om butikksjefen har grunn til å klage.

b

Hva er det største gjennomsnittsvolumet de 20 kartongene kan ha for at han skal ha grunn til å klage?

Løsning: a Vi setter opp to hypoteser: H0 : ¼ 1000 ml HA : < 1000 ml Standardavviket for en enkelt kartong er SDðXÞ ¼ 12 ml. Standardavviket for gjennomsnittet av 20 kartonger blir da SDðXÞ 12 ml SDðXÞ ¼ pffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffi 2,68 ml n 20 Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å finne PðX < 996Þ:

Det er altså 6,78 % sannsynlig at gjennomsnittsvolumet av de 20 flaskene er 996 ml eller mindre, gitt at meieriets opplysninger stemmer. Selv om denne sannsynligheten er liten, er ikke dette nok til å forkaste H0 ettersom P > 0,05. Vi konkluderer med at butikksjefen ikke har grunn til å klage.


Hypotesetesting 349

Alternativ løsning: Vi velger fanen «Statistikk» i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra og velger «Z-test av et gjennomsnitt». Vi legger inn de to hypotesene og gjennomsnittet av målingene. Så legger vi inn standardavviket 12 ml og antall observasjoner, altså 20. Når vi trykker på «Enter», får vi regnet ut både standardavviket til gjennomsnittet og P-verdien, altså sannsynligheten for at 20 kartonger har et gjennomsnittsvolum på høyst 996 ml, gitt at opplysningene fra meieriet stemmer. Vi forventer 1000 mL i hver kartong Vi mistenker at det er for lite melk i kartongene Gjennomsnittet av målingenene våre Standardavviket til enkeltobservasjonene Vi måler volumet i 20 melkekartonger Standardavviket til gjennomsnittet

P-verdien sannsynligheten gitt at H0 er sann

Ettersom P ¼ 0,068, er P-verdien større enn signifikansnivået, og vi konkluderer med at butikksjefen ikke har grunn til å klage. b

Normalfordelingstabellen gir oss at PðZ < 1,64Þ 0,05. Det betyr at vi kan løse følgende likning: x 1000 < 1,64 2,68 x 1000 < 1,64 2,68 x 1000 < 4,40 x < 4,40 þ 1000 x < 995,60 Gjennomsnittsvolumet må være lavere enn 995,60 ml for at butikksjefen skal ha grunn til å klage.


350 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Løsning med digitalt verktøy: I sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra velger vi «Normalfordeling» og legger inn 0,05 i feltet for sannsynlighet nederst til høyre:

Oppgaver: 5.58–5.60

Gjennomsnittsvolumet må være lavere enn 995,60 ml for at butikksjefen skal ha grunn til å klage.

Reflekter og diskuter! Når P < , forkaster vi H0 . Da kaller vi P-verdien en forkastningsfeil. Hvorfor heter den det?

Det er viktig å være klar over at vi ikke kan avgjøre om en hypotese er sann eller ikke sann, ved å bruke en hypotesetest. Vi kan bare med en viss sannsynlighet anslå om den er riktig eller ikke. I eksempelet ovenfor beholdt vi H0 , da vi fikk en P-verdi på 0,0668. At vi ikke forkaster H0 , er ikke ensbetydende med at H0 er sann. Vi kunne fått dette resultatet selv om innholdet i melkekartongene i virkeligheten hadde hatt et lavere gjennomsnitt enn 1000 ml. Da hadde vi feilaktig beholdt nullhypotesen. På samme måte er det ikke gitt at H0 ikke er sann selv om vi forkaster H0 . Bruker vi et signifikansnivå på 5 %, betyr det at vi får en P-verdi som ligger under signifikansnivået i gjennomsnitt 5 % av gangene vi gjør undersøkelsen, gitt at H0 er sann. Da forkaster vi feilaktig nullhypotesen. Når vi forkaster nullhypotesen selv om den er sann, kaller vi P-verdien til undersøkelsen forkastningsfeilen. Ved å innhente mer data i en slik undersøkelse, vil vi kunne ta en avgjørelse på et bedre grunnlag. Når vi har store datasett, kan det være praktisk å laste datasettet inn i Python for å finne de statistiske størrelsene vi trenger for å gjennomføre en hypotesetest.


Hypotesetesting 351

EKSEMPEL 28 På en gård på Østlandet plukker de 700 000 kurver jordbær hvert år. Bonden har fått klager på at kurvene veier mindre i år enn i fjor. I fjor veide bonden hver kurv av de første 10 000 kurvene som ble plukket. Dataene ble lagret i fila «jordbaer-i-fjor.csv». a

Bestem gjennomsnittet og standardavviket for vekten av en jordbærkurv i fjor.

Bonden veier 100 kurver nå og lagrer målingene i fila «jordbaer-i-aar.csv». b

Er det grunn til å hevde at det er mindre bær i kurvene i år? Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Løsning: a 1 import pandas as pd 2 3 4

fil = 'jordbaer-i-fjor.csv' df = pd.read_csv(fil, sep=';', comment='#', decimal='.')

5 6 7

vekt = df['Vekt'] print(vekt.describe())

Når vi kjører koden, får vi dette resultatet: count 10000.000000 mean 499.777200 std 41.713532 min 322.000000 25% 472.000000 50% 500.000000 75% 528.000000 max 659.000000 Name: Vekt, dtype: float64 Dette betyr at gjennomsnittet x er 499,8 g med et standardavvik på 41,7 g. b

Vi kjører tilsvarende kode som ovenfor, men med årets datasett, «jordbaer-i-aar.csv». Da får vi at gjennomsnittet i utvalget er 491,5 g. Vi lar X være vekten av en tilfeldig kurv med forventningsverdien ¼ 499,8 og standardavviket ¼ 41,7. Ettersom gjennomsnittet av de 100 kurvene fra i år er lavere enn gjennomsnittet av 10 000 fra i fjor, setter vi opp en venstresidig hypotesetest: H0 : ¼ 499,8 HA : < 499,8


352 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Forventningsverdien til gjennomsnittet er med standardavvik: g 41,7 g ¼ p ffiffiffi ¼ 41,7 pffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ SDðXÞ ¼ 4,17 g n 10 100 Vi legger inn ¼ 499,8 og ¼ 4,17 i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Så velger vi «venstresidig» og finner PðX < 491,5Þ:

Oppgave: 5.61

P-verdien er 2,33 %, altså lavere enn signifikansnivået på 5 %. Det er derfor grunn til å hevde at det er mindre bær i kurvene i år.

I en venstresidig hypotesetest er den alternative hypotesen antakelsen om at forventningsverdien er lavere enn verdien for nullhypotesen, altså HA : < 0 . Det betyr at vi forkaster H0 hvis PðX < xÞ < , der er signifikansnivået. Da ligger x innenfor det fargelagte området på figuren nedenfor.

a

x

I en høyresidig hypotesetest er den alternative hypotesen antakelsen om at forventningsverdien er høyere enn verdien for nullhypotesen, altså HA : > 0 . Det betyr at vi forkaster H0 hvis PðX > xÞ < , der er signifikansnivået. Da ligger x innenfor det fargelagte området på figuren nedenfor.

a

x


Hypotesetesting 353

Når vi ikke vet om de alternative verdiene skal være høyere eller lavere enn verdien for nullhypotesen, kan vi bruke en tosidig hypotesetest. I en slik test er HA : 6¼ 0 . Da dividerer vi signifikansnivået med to ettersom denne sannsynligheten fordeler seg på begge sider under normalfordelingskurven. Det betyr at vi forkaster H0 hvis PðX > xÞ < . Legg merke til at de to 2 fargelagte arealene på figuren til sammen er lik . Du kan derfor like gjerne undersøke sannsynligheten PðX < xÞ < . 2

a 2

a 2

x

EKSEMPEL 29 En maskin som fyller mineralvann på flasker, fyller hver flaske med 500 ml med et standardavvik på 7 ml. Maskinen fyller både mindre og mer enn forventningsverdien på 500 ml, så vi vil undersøke om maskinen er nøyaktig, eller om den trenger justering. En stikkprøve av 40 flasker viste et gjennomsnittsvolum på 502,1 ml. Sett opp hypoteser og gjennomfør en hypotesetest for å avgjøre om maskinen trenger justering. Bruk signifikansnivået ¼ 0,05.

Løsning: Ettersom maskinen både fyller for lite og for mye i flaskene, bruker vi en tosidig test. Nullhypotesen blir her H0 : ¼ 500 ml Den alternative hypotesen blir HA : 6¼ 500 ml Gjennomsnittsverdien av 40 flasker er høyere enn forventningsverdien, så vi finner først PðX 502,1Þ. Da må vi huske at signifikansnivået på 5 % fordeler seg med 2,5 % på hver side av normalfordelingskurven.


354 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Vi har da at X er normalfordelt med forventningsverdien og standardavviket ¼ p ffiffiffi ¼ p7ffiffiffiffiffi 1,1068 SDðXÞ n 40 Vi bruker «Normalfordeling» i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, legger inn ¼ 500 og ¼ 1,1068 og trykker på «Høyresidig»:

Vi får at P-verdien er 0,0289. Vi har at

Oppgaver: 5.62–5.63

0,05 ¼ ¼ 0,025. 2 2

Ettersom P-verdien er høyere enn , altså at 0,0289 > 0,025, beholder vi H0 2 og konkluderer med at det ikke er grunnlag for å hevde at maskinen trenger justering.


Hypotesetesting 355

Oppgaver 5.55 En medisin har vært på markedet i mange år. Det viser seg at den helbreder i 70 % av alle tilfeller når den har blitt brukt. En ny medisin er kommet på markedet, og i en undersøkelse med 80 pasienter viser det seg at 67 av pasientene er blitt friske med den nye medisinen. Gjennomfør en hypotesetest og avgjør om det er grunnlag for å si at den nye medisinen er bedre enn den gamle. Bruk et signifikansnivå på 0,5 %.

5.56 En bedrift har kommet med en ny smak på bringebærsaften sin. 100 personer blir bedt om å smake både på saften med den gamle smaken og saften med den nye smaken for å avgjøre hvilken av dem som er best. Det viser seg at 56 personer foretrekker saften med den nye smaken. Vi tar utgangspunkt I en hypotese om at begge saftene er like gode. Utfør en hypotesetest med signifikansnivået ¼ 0,05 for å avgjøre om bedriften bør gå inn for den nye smaken.

5.57 Ved stortingsvalget i 2021 fikk Arbeiderpartiet 26,3 % av stemmene. En landsdekkende avis mistenker at Arbeiderpartiets oppslutning har falt, og spør 1000 tilfeldige personer som stemte ved valget, om hva de ville stemt hvis det hadde vært valg i dag. Det viser seg at 238 av de spurte ville stemt Arbeiderpartiet hvis det hadde vært valg i dag. a

Sett opp hypoteser som avisen kan bruke til å avgjøre om mistanken er berettiget.

b

Gjennomfør en hypotesetest med signifikansnivået ¼ 0,05 for å avgjøre om det er grunnlag for å hevde at Arbeiderpartiets oppslutning har falt siden valget.

5.58 Øystein er glad i sjokolade og mistenker at Sjokoladespesialistens sjokoladeplater veier mindre enn 200 gram. Sjokoladespesialisten påstår at sjokoladeplatene har en forventet vekt på ¼ 200 g med et standardavvik på ¼ 2 g. Øystein kjøper ni sjokoladeplater og veier dem: 200 g

197 g

201 g

199 g

200 g

198 g

202 g

196 g

198 g

Utfør en hypotesetest og avgjør om Øystein har grunn til å klage til Sjokoladespesialisten. Bruk signifikansnivået ¼ 0,05.

5.59 En bonde påstår at eggene han leverer, har en forventet vekt på 52,0 g med et standardavvik på 2 g. Kjøpmannen som kjøper eggene av ham, har en mistanke om at eggene ikke veier så mye som bonden sier. Han plukker derfor ut 20 tilfeldige egg og finner ut at gjennomsnittsvekten av disse er 51,2 g. a

Sett opp en hypotesetest og avgjør om kjøpmannen har grunn til å klage. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

b

Hvor mange egg må kjøpmannen minst veie for at han skal ha grunn til å klage på en gjennomsnittsvekt på 51,2 g?


356 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.60 En kjøpmann mistenker at det er for lite sukker i pakkene han får fra en produsent. Produsenten oppgir at sukkeret har en forventet vekt på 1 kg med et standardavvik på 13 gram. Kjøpmannen veier tolv av pakkene og får dette resultatet: 990 g

991 g 1006 g

983 g

998 g

1001 g

982 g

1002 g

1005 g

981 g

983 g

999 g

a

Gjennomfør en hypotesetest og vurder om kjøpmannen har grunn til å klage på resultatet ved forskjellige signifikansnivåer.

b

Hva kan gjennomsnittet av de tolv pakkene sukker høyst veie for at bonden skal ha grunn til å klage når vi bruker et signifikansnivå på 5 %.

5.61 På en gård på Vestlandet plukker de 8000 kasser med epler hvert år. I fjor veide bonden alle 8000 kassene som ble plukket, og lagret dataene i fila «epler-i-fjor.csv». a

Vis at en kasse med epler i fjor hadde en gjennomsnittsvekt på 7014 g med et standardavvik på 152 g.

I år har han ikke veid kassene, men passer på at de er fylt opp. Bonden får klager på at kassene med epler veier mindre i år enn i fjor. Han veier 50 av kassene fra i år og lagrer målingene i fila «epler-i-aar.csv». b

Sett opp to hypoteser som kjøpmannen kan bruke for å avgjøre om klagen er berettiget.

c

Gjennomfør hypotesetesten og bruk den til å avgjøre om klagen er berettiget. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

5.62 En medisin skal inneholde 80,00 mg=ml av et virkestoff med et standardavvik på 2,00 mg=ml, ifølge produsenten. Et laboratorium på et sykehus får mistanke om at den virkelige konsentrasjonen både kan være høyere og lavere enn dette. De måler konsentrasjonen seks ganger og får et gjennomsnitt på 77,60 mg=ml. Vi forutsetter at apparatet som gjør målingene, er kalibrert og gjør målingene med stor nøyaktighet. a

Bestem nullhypotesen H0 og den alternative hypotesen HA , som er antakelsen om at konsentrasjonen avviker til begge sider i forhold til det produsenten oppgir.

b

Gjennomfør en tosidig hypotesetest med et signifikansnivå på 0,5 % for å avgjøre om mistanken er berettiget.

5.63 En fabrikk produserer drops og bruker en maskin til å fylle 60 drops i hver pose med et standardavvik på 0,4 drops. Det hender at den både fyller i for mange og for få drops i posene. For å undersøke dette velger vi ut 50 tilfeldige poser fra produksjonen og finner ut at gjennomsnittet er 60,1 drops. Gjennomfør en tosidig hypotesetest for å undersøke om det er grunnlag for å hevde at maskinen bør justeres. Bruk signifikansnivået ¼ 0,05.


Mønster og oversikt 357

MØ NS T E R O G O V E R S IKT Stokastisk variabel

Binomisk sannsynlighetsfordeling

En variabel der verdien av variabelen er resultatet av et stokastisk forsøk, kaller vi en stokastisk variabel. Vi skriver stokastiske variabler med store bokstaver. Hvis X er antall øyne en terning viser, 1 har vi at PðX ¼ 5Þ ¼ . 6

Sannsynlighetsfordelinger

Sannsynlighetsfordelingen viser sannsynligheten til hver av verdiene til X.

Vi kan framstille denne fordelingen med en tabell eller et søylediagram.

Hvis X er antall kron når vi kaster to kronestykker, får vi denne sannsynlighetsfordelingen: 0,6 x

1

2

0,4

1 PðX ¼ xÞ 4

1 2

1 4

0,3 0,2

2

det kun er to utfall: suksess eller fiasko

forsøkene er uavhengige, slik at resultatene i delforsøkene ikke påvirker hverandre

sannsynligheten for suksess er konstant

Hvis p ¼ 0,57 for å vinne et spill, er sannsynligheten for ikke å vinne ð1 0,57Þ ¼ 0,43. La X være antall spill vi vinner av totalt seks spill. Da er dette sannsynligheten for å vinne akkurat to ganger: 2 4 PðX ¼ 2Þ ¼ 6 2 0,57 0,43

Forventningsverdien er gjennomsnittet i det lange løp, altså når vi har veldig mange observasjoner eller gjør et forsøk veldig mange ganger.

Eksempelvis er ¼ 7 forventningsverdien til summen av antall øyne når vi kaster to terninger.

Vi finner forventningsverdien ved å multiplisere hver av verdiene av den stokastiske variabelen med den tilhørende sannsynligheten: X ¼ EðXÞ ¼ xi Pð X ¼ xi Þ

0,1 1

delforsøkene er identiske

P(x)

0

Forventningsverdi

0,5

0

Vi har en binomisk sannsynlighetsmodell når

x

Hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling

Hvis vi trekker uten tilbakelegging fra en gruppe som er delt i to atskilte undergrupper, kan vi bruke en hypergeometrisk sannsynlighetsmodell.

Sannsynligheten forandrer seg mellom hvert trekk. Trekkene er avhengige hendelser.

Eksempelvis kan vi trekke ut sju personer til en komité fra en klasse med 13 jenter og 12 gutter. Sannsynligheten for at tre av de sju i komiteen er jenter, er 13 12 3 4 Pðtre jenterÞ ¼ 25 7

Varians og standardavvik

Varians og standardavvik er spredningsmål.

Variansen er det gjennomsnittlige kvadratavviket. Vi finner variansen ved å multiplisere hvert kvadratavvik ðxi Þ med den tilhørende sannsynligheten og summere: X ðxi Þ2 Pð X ¼ xi Þ VarðXÞ ¼

Standardavviket er kvadratroten av variansen: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ SDðXÞ ¼ VarðXÞ


358 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Regneregler for stokastiske variabler

Når den stokastiske variabelen X inngår i et uttrykk på formen a þ bx, har vi at

EðXÞ ¼ 100 0,8 ¼ 80

Eða þ bXÞ ¼ a þ bEðXÞ

VarðXÞ ¼ 16 0,8 0,2 ¼ 16 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi SDðXÞ ¼ VarðXÞ ¼ 4

Varða þ bXÞ ¼ b2 VarðXÞ

Når vi kaster en terning, og X er antall øyne en terning viser, så er forventningsverdien til nettogevinsten N ved et spill som koster 15 kr, og man får 4 kr for hvert øye terningen viser: EðNÞ ¼ Eð 15 þ 4xÞ ¼ 15 þ 4 EðXÞ Da er variansen VarðNÞ ¼ Varð 15 þ 4XÞ

Normalfordeling X er normalfordelt hvis X er en stokastisk variabel med forventningsverdien og standardavviket , og histogrammet til sannsynlighetsfordelingen til X passer godt under grafen til funksjonen 2

ðx Þ 1 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffi e 2 2 2

¼ 42 VarðXÞ ¼ 16 VarðXÞ

Sum av stokastiske variabler

For to stokastiske variabler X og Y er EðX þ YÞ ¼ EðXÞ þ EðYÞ

Når X er antall skudd vi treffer på av i alt 100 skudd i skiskyting, og sannsynligheten for å treffe på et skudd er p ¼ 0,8, har vi

Standard normalfordeling

Hvis X og Y er uavhengige, er VarðX þ YÞ ¼ VarðXÞ þ VarðYÞ

La S være summen av n forsøk med den stokastiske variabelen X: S ¼ X1 þ X2 þ . . . þ Xn Da gjelder EðSÞ ¼ n EðXÞ Hvis X1 , X2 , . . . , Xn er uavhengige, er VarðSÞ ¼ n VarðXÞ pffiffiffi SDðSÞ ¼ n SDðXÞ

Forventningsverdi og varians i en binomisk fordeling

I en binomisk fordeling med n forsøk er p sannsynligheten for suksess. Når X er antall suksesser i de n forsøkene, gjelder ¼ EðXÞ ¼ np VarðXÞ ¼ npð1 pÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ SDðXÞ ¼ npð1 pÞ

0

z

z

Den stokastiske variabelen Z er normalfordelt med ¼ 0 og ¼ 1.

Normalfordelingstabellen viser sammenhengen mellom z-verdien og arealet til venstre for z: PðZ < zÞ ¼ PðZ

zÞ ¼ arealet til venstre for z

For normalfordelingen X gjelder z ¼

x .

Sentralgrensesetningen Vi lar X være en stokastisk variabel med forventningsverdi EðXÞ og standardavvik SDðXÞ. Vi lar S være summen av n forsøk med X: S ¼ X1 þ X2 þ X3 þ . . . þ Xn Dersom n er stor, blir S tilnærmet normalfordelt med pffiffiffi EðSÞ ¼ n EðXÞ og SDðSÞ ¼ n SDðXÞ Dette gjelder selv om X ikke er normalfordelt.


Mønster og oversikt 359

Gjennomsnittsverdier

Høyresidig test Binomisk: p ¼ p0 H0 : HA : p > p0 P-verdi PðX xÞ

Når n er stor, kan vi regne at X er tilnærmet normalfordelt. Da er 2 ¼ p ffiffiffi ¼ ¼ SDðXÞ EðXÞ VarðXÞ n n Eksempelvis er det slik at hvis den stokastiske variabelen X er normalfordelt med EðXÞ ¼ 250 med SDðXÞ ¼ 20, og X er gjennomsnittet av

Vi setter en grense for hvor tilfeldig resultatet vårt kan være, gitt at H0 er sann. Denne grensen kaller vi signifikansnivået.

X1 þ X2 þ . . . þ X100 , så er

Vi regner ut fra nullhypotesen og finner P-verdien. Dersom denne P-verdien er liten (under signifikansnivået), forkaster vi H0 og går over til HA .

¼ 250 EðXÞ

og

20 ¼ p20 ffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ SDðXÞ ¼2 100 10

Tilnærming med normalfordeling

Tosidig test:

Vi kan finne sannsynligheter i en binomisk fordeling ved å tilnærme med normalfordeling. Da har vi at Pða X bÞ i den binomiske fordelingen er best tilnærmet med Pða 0,5 X b þ 0,5Þ i normalfordelingen.

Vi finner sannsynligheten på en av sidene og undersøker om P er større eller mindre enn . 2

Avgjør om påstandene stemmer 1

Vi bruker en binomisk sannsynlighetsmodell når hvert av delforsøkene er avhengige hendelser.

2

Forventningsverdien er gjennomsnittet i det lange løp.

3

I en binomisk fordeling er forventningsverdien ¼ n p og standardavviket ¼ n p ð1 pÞ.

4

Variansen er det gjennomsnittlige kvadratavviket: X ðxi Þ2 Pð X ¼ xi Þ. VarðXÞ ¼

En stikkprøve viser at sannsynligheten i en binomisk fordeling eller et gjennomsnitt i en normalfordeling er høyere eller lavere enn det som er den gjeldende oppfatning.

5

Hvis X og Y er to stokastiske variabler, så er EðX þ YÞ ¼ EðXÞ þ EðYÞ og VarðX þ YÞ ¼ VarðXÞ þ VarðYÞ.

6

I en hypotesetest forkaster vi H0 hvis P-verdien er lavere enn signifikansnivået.

Vi setter opp to hypotesetester med en nullhypotese og en alternativ hypotese.

7

Når vi tilnærmer med normalfordeling fra en binomisk fordeling, blir sannsynlighetene vi regner ut, mer nøyaktige.

8

Sentralgrensesetningen forteller at hvis S ¼ X1 þ X2 þ . . . þ Xn , så er S normalfordelt bare hvis X også er normalfordelt.

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

x

Hypotesetest

H 0 : ¼ 0 HA : 6¼ 0

Eksempelvis er sannsynligheten Pð8 X 11Þ i en binomisk fordeling arealet av søylene på figuren. For å finne en tilnærming til sannsynligheten med en normalfordeling må vi finne arealet under normalfordelingskurven fra x ¼ 7,5 til x ¼ 11,5.

5

Gjennomsnitt: H0 : ¼ 0 HA : > 0 P-verdi: PðX xÞ

Venstresidig test Binomisk: p ¼ p0 H0 : HA : p < p0 P-verdi PðX xÞ

Gjennomsnitt: H0 : ¼ 0 HA : < 0 P-verdi: PðX xÞ


360 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Test deg selv 5.67

Uten hjelpemidler

5.64 Maja har to høner. La X være antall egg den ene høna legger per døgn, Y være antall egg den andre høna legger per døgn, og T være antall egg de to hønene legger til sammen per døgn. Tabellene nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen til X og Y:

Vi kaster to kast med en trening med seks sider der

to sider har ett øye

x

0

1

2

y

0

1

to sider har to øyne

PðX ¼ xÞ

0,2

0,3

0,5

PðY ¼ yÞ

0,3

0,7

to sider har tre øyne

Lag en tabell som viser sannsynlighetsfordelingen til T.

5.65 I en bolle ligger det tre røde og fire gule epler. Vi trekker tilfeldig ut tre epler fra bollen. a

Forklar at trekkene er avhengige hendelser.

b

Bestem sannsynligheten for at akkurat to av eplene er gule.

c

Bestem sannsynligheten for at vi plukker ut minst ett eple av hver farge.

5.66 Ett lodd i et stort lotteri koster 100 kr. Den stokastiske variabelen X er premien gitt i kroner. Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen til X: x

50 kr

100 kr

a

PðX ¼ xÞ

0,8

3p

p

a

Bestem verdien av p.

b

Bestem verdien av a slik at arrangøren går 15 kr i overskudd per lodd.

La X være summen av antall øyne på de to kastene. Bestem EðXÞ og VarðXÞ.

Med hjelpemidler

5.68 Når Adam skal kjøpe en datamaskin til 11 000 kr, får han et litt spesielt tilbud. Han kan enten velge å kaste en terning og få 300 kr i rabatt for hvert øye terningen viser, eller kaste 10 kronestykker og få 200 kr i rabatt for hver kron han får. Gjør vurderinger av de to alternativene satt opp mot hverandre, og hjelp Adam med å ta valget.


Test deg selv 361

5.69 I fengsler er det en utfordring at de innsatte smugler med seg verktøy fra jobben i fengselet til cella. I et stort fengsel blir i gjennomsnitt hver femte innsatt trukket tilfeldig ut til kontroll når de går fra jobb tilbake til cella. a

Forklar at vi kan bruke en binomisk sannsynlighetsmodell med p ¼ 0,2 når vi skal regne ut sannsynligheten for at et visst antall innsatte blir trukket ut til kontroll.

b

Bestem sannsynligheten for at akkurat tre av de fem første innsatte som forlater jobben, blir trukket ut til kontroll.

5.70

Vi lar X være antall innsatte som blir trukket ut til kontroll av de 100 første innsatte som forlater jobben.

Vekten til en druesort er normalfordelt med en forventningsverdi på 8 gram og et standardavvik på 0,9 gram. La X være massen til en tilfeldig valgt drue av denne sorten gitt i gram.

c

Bestem forventningsverdien EðXÞ og variansen VarðXÞ ved regning.

a

d

Bestem PðX 23Þ både ved å bruke en binomisk modell og ved å tilnærme med normalfordeling.

Vi lar S være den samlede massen til 80 tilfeldig valgte druer.

e

Gjør en halvkorreksjon for å få en bedre tilnærming til sannsynligheten i oppgave d.

Ledelsen i fengselet har mistanke om at færre enn 20 % av de innsatte blir kontrollert. f

Sett opp hypoteser som de kan bruke til å avgjøre om mistanken er berettiget.

Ledelsen bestemmer seg for å undersøke hvor mange innsatte som ble kontrollert en tilfeldig valgt dag. Det viser seg at 70 av 415 innsatte ble trukket ut til kontroll denne dagen. g

Utfør hypotesetesten og avgjør om mistanken er berettiget. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Bestem PðX < 9,5Þ.

b

Bestem EðSÞ, VarðSÞ og SDðSÞ.

c

Bestem PðS > 645Þ.

Vi mistenker at druene har en høyere forventet masse enn 8 gram. Vi veier 30 druer med et gjennomsnitt på 8,29 gram. d

Sett opp hypoteser som vi kan bruke til å avgjøre om mistanken vår er berettiget. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

e

Utfør hypotesetesten og avgjør om det er grunnlag for å hevde at druene egentlig har en høyere forventet masse.


362 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

Oppgaver 5.1 Sannsynlighetsfordelinger 5.71 Krister stiller uforberedt på en prøve med 20 spørsmål. På hvert spørsmål skal han velge mellom fire svaralternativer. Vi lar X være antall rette svar. a

Forklar at X er binomisk fordelt.

b

Bestem PðX ¼ 7Þ og PðX

c

Bestem Pð4

7Þ.

X < 7Þ.

5.73 Ivar har to tikroner og tre kronestykker i hver av de to lommene sine. Han tar opp to tilfeldige mynter fra den ene lomma og én tilfeldig mynt fra den andre lomma. La X være antall kronestykker han tar opp fra den ene lomma, og Y være antall kronestykker fra den andre. La T være summen av kronestykker han tar opp av lommene. a

Lag en tabell med sannsynlighetsfordelingen til T.

b

Tegn et søylediagram med sannsynlighetsfordelingen.

5.72 Prosentandel som er fornøyd med skolen de går på. Blant gutter og jenter på ulike klassetrinn 74

68

8. trinn

66

59

62

77 73

74 70

56

9. trinn 10. trinn Gutter

71 68

5.74 Alle de 30 elevene i en klasse får utdelt tre røde og tre blå brikker hver. Alle trekker tilfeldig to brikker hver. Bestem sannsynligheten for at minst 21 av elevene trekker én rød og én blå brikke.

Vg1

Vg2

Vg3

Jenter

Figuren under er hentet fra NOVA-rapport nr. 8, 2021 og er resultatene fra en undersøkelse av hvor fornøyd ungdom på forskjellige klassetrinn er med skolen de går på. Vi antar at resultatene er tilnærmet like i dag. Vi plukker tilfeldig ut 30 jenter i Vg3. Vi lar X være jenter i Vg3 som er fornøyd med skolen de går på. a

Vurder hvilken sannsynlighetsmodell det er praktisk å bruke i denne sammenhengen.

b

Bestem PðX

c

Bestem Pð17 < X av svaret.

d

Hvor mange jenter i Vg3 må vi spørre for at sannsynligheten skal være mer enn 90 % for at minst 20 av de spurte er fornøyd med skolen sin?

19Þ. 22Þ og gi en praktisk tolkning

5.75 Til bursdagen sin får Frode fire myke og seks harde pakker. Han åpner fem tilfeldig valgte pakker på selve bursdagen. Resten åpner han neste dag. Bestem sannsynligheten for at han åpner a

akkurat to myke pakker

b

minst tre harde pakker

c

ingen myke pakker


Oppgaver 363

5.76

5.2 Forventningsverdi 5.78 Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen til den stokastiske variabelen X:

I en bolle ligger det fire grønne og tre blå druer. Vi trekker tilfeldig ut to druer. Bruk figuren til å bestemme sannsynligheten for at druene vi trekker, har samme farge.

5.77 På en flyplass blir 15 % av passasjerene trukket tilfeldig ut til en ekstra sikkerhetskontroll. Andreas flyr mye i jobben sin og går gjennom kontrollen 20 ganger i løpet av et år. La X være antall ganger han blir trukket ut til en ekstra sikkerhetskontroll i løpet av et år. a

Bestem sannsynligheten for at han ikke blir trukket ut noen ganger.

c

Hvor mange ganger må han gå gjennom sikkerhetskontrollen for at sannsynligheten for at han blir trukket ut minst fem ganger, skal være mer enn 50 %?

1

2

3

4

PðX ¼ xÞ

1 3

1 12

1 2

1 12

Bestem EðXÞ.

5.79 Et forsikringsselskap tilbyr en gruppelivsforsikring til en fast pris på 15 300 kr. Vi lar den stokastiske variabelen X være utbetalingene og PðX ¼ xÞ være sannsynligheten for at forsikringsselskapet må betale ut x kr til kunden. Tabellen nedenfor viser de forskjellige verdiene av X med tilhørende sannsynlighet:

Sett opp et uttrykk som viser sannsynlighetsfordelingen.

b

x

Frisk

Sykdom

Uførhet

Død

x

0

150 000

a

2 000 000

PðX ¼ xÞ

0,969

0,022

0,006

0,003

Hva er den maksimale utbetalingen forsikringsselskapet kan utbetale til kunden ved uførhet hvis de forventer et overskudd på 600 kr per kunde?

5.80 Forklar en medelev sammenhengen mellom a

gjennomsnitt og forventningsverdi

b

relativ frekvens og sannsynlighet

5.81 Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel X er gitt ved følgende tabell: x

0

1

2

3

4

PðX ¼ xÞ

2p

p

3p

0,3

p

a

Bestem verdien av p.

b

Bestem EðXÞ.


364 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.82 Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel X er gitt ved følgende tabell: t

2

1

0

2

k

PðX ¼ tÞ

0,2

0,1

0,4

p

0,1

a

Forklar hvorfor p må være lik 0,2.

b

Hva må k være dersom vi vet at EðXÞ ¼ 0,3?

5.83 I et terningspill på et kasino kastes det to terninger. Det koster i utgangspunktet ikke noe å delta i spillet. Dersom summen av antall øyne blir 2 eller 12, får spilleren 300 kr. Dersom summen av antall øyne blir 9, 10 eller 11, får spilleren 50 kr. Men dersom summen blir noe annet, må spilleren betale u kr til kasinoet. La X være utbyttet til kasinoet etter én spilleomgang. 1 a Forklar at PðX ¼ 50Þ ¼ . 4 b Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor: x

u

a

Hvor mange øyne er det på den siste siden av terningen når du får vite at EðXÞ ¼ 3?

b

Finn VarðXÞ.

5.87 En stokastisk variabel X har følgende sannsynlighetsfordeling:

5.3 Varians og standardavvik 5.84 La X være antall kron når vi kaster et kronestykke én gang. Bestem EðXÞ, VarðXÞ og SDðXÞ. 5.85 Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen til den stokastiske variabelen X: x

0

1

2

PðX ¼ xÞ

1 6

1 3

1 2

Bestem EðXÞ og VarðXÞ

0

1

3

PðXÞ

a

b

c

a

Forklar hvordan vi kan bruke likningssystemet nedenfor til å finne verdiene av a, b og c. 2 3 aþbþc¼1 6 b þ 3c ¼ 1 7 6 7 4 4 5 a þ 4c ¼ 3

b

Bestem verdiene a, b og c.

50 300

Hva må u være for at kasinoet skal gå med overskudd i det lange løp?

x

pffiffiffi 2 3 Du får vite at EðXÞ ¼ 1 og at SDðXÞ ¼ . 3

1 4

PðX ¼ xÞ

c

5.86 Du kaster en spesiell terning som har fire sider. På tre av sidene er det henholdsvis én, to og tre øyne. Vi lar den stokastiske variabelen X være summen av øyne på ett kast.

5.88 En stokastisk variabel X har følgende sannsynlighetsfordeling: x

0

1

2

3

PðX ¼ xÞ

1 6

1 4

1 3

1 4

Bestem EðXÞ og VarðXÞ.


Oppgaver 365

5.89 Fraværsdager

Frekvens

1 2 4 5 6 7 8 13 15

2 5 6 3 2 4 4 1 1

Tabellen viser antall fraværsdager i klasse 3A gjennom et skoleår. Bestem gjennomsnittet, variansen og standardavviket for datamaterialet.

5.90 Andrine har undersøkt hvor mange søsken elevene i klassen hennes har. Hun har brukt et regneark for å regne ut gjennomsnitt, varians og standardavvik for antall søsken:

5.4 Vi regner med forventningsverdi, varians og standardavvik 5.91 Ved åpningen av en butikk skulle kundene kaste en terning. For hvert øye terningen viste, trakk butikken 300 kr fra prisen på en TV som egentlig kostet 14 000 kr. Vi lar X være antall øyne terningen viser, og Y være prisen på TV-en. a

Forklar at vi kan skrive Y ¼ 14 000 300X.

b

Bestem EðYÞ, VarðYÞ og SDðYÞ.

5.92 Vi kaster en vanlig terning 150 ganger og lar X være antall seksere, mens S er summen av antall øyne. Finn forventningsverdien og standardavviket til X og S.

5.93 La X være antall kron når vi kaster to kronestykker. Bestem EðXÞ og VarðXÞ. 5.94 En sykkelbutikk fyller 10 år og feirer med å gi kundene et godt tilbud. Når de skal kjøpe en sykkel, får de snurre på et lykkehjul med like store felter med tallene 1 til 4. Tallet lykkehjulet stopper på, multipliseres med 500 kr og trekkes fra prisen på sykkelen de skal kjøpe. Bestem forventningsverdien, variansen og standardavviket til rabatten kundene får.

a

Hun får det ikke til å stemme. Hva har Andrine gjort feil?

b

Rett opp feilene i regnearket og finn gjennomsnitt, varians og standardavvik for antall søsken.


366 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.95 Et kjøkkenbutikk har to selgere. Den ene selger X kjøkken per dag. Uavhengig av dette selger den andre Y kjøkken per dag. Sannsynlighetsfordelingen til X og Y ser du i tabellene nedenfor. Vi lar T være det totale antallet solgte kjøkken per dag, det vil si at T ¼ X þ Y. Sett opp tabellen som viser fordelingen for den stokastiske variabelen T. X

0

1

2

y

0

1

PðX ¼ XÞ

0,73

0,24

0,03

PðY ¼ yÞ

0,71

0,29

a

Bestem EðXÞ og EðYÞ, VarðXÞ og VarðYÞ.

b

Lag en tabell med sannsynlighetsfordelingen til T.

c

Regn ut EðTÞ og VarðTÞ og vis at EðTÞ ¼ EðXÞ þ EðYÞ og at VarðTÞ ¼ VarðXÞ þ VarðYÞ.

5.97 Ada har laget et spill der det koster 30 kr å delta. Man kaster en firesidet terning nummerert fra 1 til 4. Man vinner 10 kr for hvert øye terningen viser. La X være antall øyne terningen viser, og Y være nettogevinsten. a

Forklar at vi kan skrive Y ¼ 10X 30.

b

Beregn EðXÞ og VarðXÞ og bruk disse til å finne EðYÞ og VarðYÞ .

c

Gjennomfør en simulering av spillet i Python og bruk denne til å estimere EðYÞ og VarðYÞ.

5.5 Normalfordeling

5.96 En butikk selger poser med drops. Posen veier 2,5 gram, og et drops veier 3,5 gram. Vi lar X være antall drops i en pose. Vi lar Y være vekten av en pose med drops. Sannsynlighetsfordelingen til X er vist i tabellen: X

26

27

28

29

PðX ¼ xÞ

0,21

0,45

0,28

0,06

a

Bestem EðXÞ og SDðXÞ.

b

Forklar at vi kan skrive Y ¼ 3,5X þ 2,5.

c

Lag en tabell som viser sannsynlighetsfordelingen til Y, og bruk denne til å finne EðYÞ og VarðYÞ.

d

Bruk regnereglene til å finne EðYÞ og VarðYÞ.

5.98 Høyden til en 10-åring er normalfordelt med forventningsverdien 138 cm med standardavvik 5 cm. La X være høyden til en tilfeldig norsk tiåring. Bruk normalfordelingstabellen til å finne sannsynlighetene nedenfor, og gi en praktisk tolkning av svarene: a

PðX > 145Þ

b

PðX

c

Pð132 < X < 146Þ

127Þ

5.99 Bruk tabellen og finn sannsynlighetene: a

PðZ 1,89Þ

b

PðZ > 1,18Þ

c

Pð 0,32 < Z < 1,38Þ

5.100 Tegn grafen til funksjonen i GeoGebra og opprett glidere for m og s. 2

ðx mÞ 1 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffi e 2s2 s 2

a

Hva står m og s for i denne sammenhengen?

b

Forandre verdiene av m og s. Hvordan påvirker verdiene av m og s formen på grafen til f ?


Oppgaver 367

c

d

Finn x-verdiene til vendepunktene på grafen til f ved å løse likningen f 00 ðxÞ ¼ 0 med CAS. Hvilken sammenheng er det mellom x-verdiene til vendepunktene og verdiene til m og s? Åpne en ny GeoGebra-fil og legg f inn i CAS. Løs likningen f 00 ðxÞ ¼ 0. Hva har du nå vist?

5.101 Bruk tabellen baklengs og bestem z slik at a

PðZ zÞ ¼ 0,0197

b

PðZ > zÞ ¼ 0,1112

c

Pð 1,12 < Z < zÞ ¼ 0,8343

5.102 Om en normalfordelt stokastisk variabel X får du vite at PðX < 1,08Þ ¼ 0,0228 og PðX > 1,68Þ ¼ 0,0401. Bestem og . 5.103

Alder

Høyde lav

Høyde middels

Høyde høy

17 år

165 cm

177 cm

189 cm

18 år

168 cm

179 cm

190 cm

a

Vis at SDðXÞ ¼ 6,12 cm og SDðYÞ ¼ 5,61 cm.

b

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt 17 år gammel gutt er lavere enn 170 cm.

c

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt 18 år gammel gutt er høyere enn 177 cm.

d

Hvor høy må en gutt minst være for å være blant de 5 % høyeste guttene på 18 år?

5.105 Normalfordelingskurven er grafen til funksjonen 2

ðx Þ 1 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffi e 2 2 2

2

a b

ðx 9Þ 1 Tegn grafen til funksjonen gðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffi e 8 . 2 2 R13 Bestem integralet gðxÞ dx.

6

c s=5

x = 17

m = 23

x = 30

x

Figuren viser en sannsynlighet for den normalfordelte stokastiske variabelen X. a

Kom med et forslag til hva X kan være.

b

Forklar at arealet av det fargede området på figuren tilsvarer en sannsynlighet. Skriv denne sannsynligheten med symboler. Finn sannsynligheten både ved å bruke normalfordelingstabellen og med et digitalt verktøy.

5.104 Tabellen viser forventet høyde for gutter i alderen 16 til 18 år. I intervallet mellom lav og høy ligger de midterste 95 % av guttene. Vi lar X være høyden til en 17 år gammel gutt og Y være høyden til en 18 år gammel gutt. Vi antar at X og Y er normalfordelt.

Bruk normalfordelingstabellen til å finne Pð 1,5 < Z < 2Þ og forklar sammenhengen med svaret du fikk i oppgave b.

5.106 Datasettet i fila «vekststudien.csv» inneholder data fra forskningsprosjektet «Vektstudien i Bergen» og viser vekt og lengde på nyfødte i Norge, fordelt på kjønn. a

Lag et spredningsdiagram over lengde og vekt. Ser det ut til å være noen sammenheng mellom de to størrelsene?

b

Framstill lengdedataene i et histogram. Bruk diagrammet til å finne en tilnærmingsverdi for gjennomsnittet og standardavviket i populasjonen.

c

Bruk Python til å finne gjennomsnittet og standardavviket for lengden ved fødselen i populasjonen.


368 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.6 Sentralgrensesetningen 5.107 La X være årslønna til de ansatte i en stor bedrift, der X er normalfordelt med forventningsverdi ¼ 650 000 kr og standardavvik ¼ 60 000 kr. La S være summen av årslønna til 20 tilfeldige av de ansatte. a

Bestem EðSÞ og SDðSÞ.

b

Bestem PðS < 13 200 000Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

5.108 En saksbehandler forventer å behandle ti saker i løpet av en dag. Standardavviket er på tre saker. Hva er sannsynligheten for at han klarer å behandle minst 387 saker i løpet av 36 dager? 5.109 For vekten av en banan er forventningsverdien EðXÞ ¼ 186 g og VarðXÞ ¼ 12 g. Bestem sannsynligheten for at vekten av 22 bananer er større enn 4106 g. 5.110 De forventede samlede utgiftene til reparasjoner på 40 biler av en bestemt bilmodell etter fem år er 800 000 kr med et standardavvik på 24 000 kr. a

b

Bestem de forventede utgiftene til reparasjonene med tilhørende standardavvik på én bil av denne modellen. Bestem de forventede utgiftene til reparasjoner med tilhørende standardavvik på gjennomsnittet av 40 biler av denne typen.

5.111 La X være den daglige omsetningen i en butikk, der X er normalfordelt med forventningsverdien 150 000 kr og standardavvik 30 000 kr. Vi lar S være summen av omsetningen på 15 tilfeldige dager i løpet av et år. a

Bestem EðSÞ og SDðSÞ.

b

Hva er sannsynligheten for at den samlede omsetningen på 15 vilkårlige dager blir under 2 200 000 kr?

5.112 En folkehøyskole kjøper 100 sekker med poteter. En sekk har forventet vekt på 25 kg med standardavvik 1 kg. a

Bestem sannsynligheten for at sekkene til sammen veier mer enn 2497 kg.

b

Bestem sannsynligheten for at gjennomsnittsvekten av de 100 sekkene er lavere enn 24,93 kg.

5.7 Tilnærming ved binomisk fordeling 5.113 Snuser du? Prosentandel som snuser ukentlig eller daglig. Blant gutter og jenter på ulike klassetrinn 79 80

Har aldri brukt snus Har brukt før, men har sluttet helt nå Snuser sjeldnere enn én gang i uka Snuser ukentlig, men ikke hver dag Snuser daglig

8 9 4 4 2 2

2018–20 2021

7 6

En undersøkelse viser at 80 % av elevene i ungdomsskolen og videregående skole i Norge i 2021 aldri har prøvd snus. Vi spør 900 av ungdommene om de har prøvd snus. Bestem sannsynligheten for at høyst 705 av de spurte aldri har prøvd snus, ved å tilnærme med normalfordeling.


Oppgaver 369

5.114 En undersøkelse fra SSB viser at 30,8 % av innbyggerne i Norge over 16 år har trent på treningsstudio eller helsesenter. Vi spør 80 av dem som var med i undersøkelsen, om de svarte at de hadde trent på treningsstudio eller helsesenter. Gjør en tilnærming med normalfordeling og bestem sannsynligheten for at

5.8 Hypotesetesting

a

minst 27 svarte ja

a

b

høyst 21 svarte ja

5.115 La X være antall kron når vi kaster et kronestykke 100 ganger. a

Bestem sannsynlighetene nedenfor ved å tilnærme med normalfordeling og ved å gjøre en halvkorreksjon. PðX 57Þ

c

PðX

d

Pð48

X < 55Þ

45Þ

5.116 Vi kaster en terning 30 ganger og lar X være antall seksere. a

b

Bestem sannsynligheten for at vi får minst sju seksere ved 1

tilnærming med normalfordeling

2

tilnærming med normalfordeling og halvkorreksjon

3

å bruke en binomisk modell.

Forklar hvorfor sannsynligheten du fant i punkt 1, skiller seg fra sannsynlighetene du fant i punkt 2 og punkt 3. Hvilket svar er mest nøyaktig?

5.117 I et binomisk forsøk med n delforsøk der sannsynligheten for suksess er p, lar vi X være antall suksesser. Da er X normalfordelt med ¼ 80 og ¼ 8. Bestem n og p.

Forklar hvorfor sannsynligheten for å få poeng 19 i en omgang er p ¼ . 27

La den stokastiske variabelen X være antall poeng etter 100 omganger.

Forklar at X både er binomisk fordelt og normalfordelt.

b

5.118 Et terningspill består av 100 omganger. En omgang består av ett kast med tre vanlige terninger (1 til 6 øyne). Får man femmer eller sekser minst én gang i en omgang, får man ett poeng.

b

Forklar hvorfor dette er en binomisk modell, og hvorfor vi kan si at X er normalfordelt.

c

Finn EðXÞ og SDðXÞ ved regning.

Arrangøren mistenker spillere for juks hvis resultatet skiller seg signifikant ut. En deltaker vinner spillet med 81 poeng. d

Sett opp en hypotesetest der du avgjør om det er grunnlag for å mistenke at deltakeren har jukset. Bruk signifikansnivået ¼ 0,02.

e

Diskuter om det er riktig å bruke en hypotesetest for å avgjøre om spilleren har jukset.

5.119 En kjøpmann mener det er for lite kjøttdeig i pakkene han får fra produsenten. Produsenten oppgir at hver pakke har en forventet vekt på 400 gram med et standardavvik på 10 gram. Kjøpmannen veier 30 av pakkene, og det viser seg at gjennomsnittet av disse pakkene er 396 gram. Sett opp hypoteser på bakgrunn av kjøpmannens antakelse og gjennomfør en hypotesetest for å avgjøre om kjøpmannen har grunn til å klage. Bruk et signifikansnivå på 5 %.


370 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.120 Et år viser en undersøkelse at 32 % av alle arbeidstakere i Norge med kollektivtransport til jobb. Et år etterpå ble 800 arbeidstakere spurt om de reiste kollektivt til jobb. 275 av de 800 svarte ja. En avis kommenterte den nye meningsmålingen med overskriften «Flere reiser kollektivt til jobb».

Jeg bruker «Normalfordeling» og legger inn og i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, bruker knappen «Venstresidig» og legger inn 19:

Vurder påstanden til avisa ved å gjennomføre en hypotesetest.

Jeg får at P ¼ 0,486. Ettersom P-verdien er mindre enn signifikansnivået, forkaster vi H0 og konkluderer med at Høyre-politikeren har rett i sin påstand.

5.121 Jobb sammmen to og to Hanne og Olav får hver sin konklusjon som svar på en prøve og diskuterer hvem som har rett. Olav mener Hanne trekker feil konklusjon på grunn av unøyaktighet. Nedenfor ser du oppgaven og svaret til Hanne. Diskuter hva Olav kan ha ment. Ved stortingsvalget i 2021 fikk Arbeiderpartiet 26,3 % av stemmene. Året etter ble 100 personer, som stemte ved valget, spurt om hva de ville stemt hvis det hadde vært valg i dag. Da svarte 19 personer at de ville stemt Arbeiderpartiet. En Høyre-politiker påstår at det viser at oppslutningen til Arbeiderpartiet har gått ned. Gjennomfør en hypotesetest for å vurdere Høyrepolitikerens påstand. Bruk et signifikansnivå på 5 %. Hanne løser oppgaven slik: Jeg finner forventningsverdien: ¼ n p ¼ 100 0,263 ¼ 26,3 Så setter jeg opp to hypoteser: H0 : ¼ 26,3 HA : < 26,3 Jeg finner standardavviket: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ n p ð1 pÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 100 0,263 0,737 4,4026

5.122 En produsent av poser med smågodt lover at posene skal inneholde ¼ 200 g, med et standardavvik på ¼ 10 g. Vi veier 25 tilfeldige poser og finner ut at gjennomsnittsvekten til disse posene er 196,0 g. a

Gjennomfør en hypotesetest for å avgjøre om det er grunnlag for å klage til produsenten. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

b

Hva må gjennomsnittsvekten av de 25 posene minst være for at det ikke skal være grunnlag for å klage til produsenten?

5.123 Et kjemisk stoff skal inneholde konsentrasjonen 3,50 mg=l med et standardavvik på 0,18 ml. Et laboratorium har ved flere målinger erfart at konsentrasjonen avviker til begge sider fra forventningsverdien 3,50 mg=l. De gjør sju målinger som gir et gjennomsnitt på 3,66 mg=l. Sett opp hypoteser og gjennomfør en hypotesetest med et signifikansnivå på 2 % for å avgjøre om det er grunnlag for å klage til produsenten på at den oppgitte konsentrasjonen ikke er nøyaktig.


Oppgaver 371

5.124 Sjefen til Hedda påstår at årslønna til de ansatte i den store bedriften er normalfordelt med forventningsverdien ¼ 740 000 kr. Hedda spør åtte tilfeldige personer i bedriften om hva de tjener, og regner ut at gjennomsnittet av de åtte årslønnene er 723 000 kr. Hun bestemmer seg for å sette opp hypoteser for å avgjøre om det er grunn til å si at sjefen oppgir en for høy forventet årslønn.

Blandede oppgaver

a

5.127 En stokastisk variabel X er normalfordelt med ¼ 40 og ¼ 3.

Hjelp Hedda med å sette opp hypotesene.

Hedda gjennomfører hypotesetesten både med signifikansnivået ¼ 5 % og ¼ 1 %. Hun trekker forskjellige konklusjoner ved bruk av de to signifikansnivåene. b

5.126 Vi har en spesiell terning. På tre av sidene står tallet 6, på to av sidene står tallet 3, og på den siste siden står tallet 2. La den stokastiske variabelen X være tallet som vises når vi kaster terningen én gang. a

Sett opp en sannsynlighetsfordeling for X.

b

Bestem forventningsverdi og varians for X.

a

Bestem Pðx

42Þ.

b

Bestem PðX > 35Þ.

5.128

I hvilket intervall ligger standardavviket til sjefens oppgitte årslønn?

5.125 Katrine vurderer å kjøpe aksjer på en nettsted for aksjehandel. I et nyhetsbrev påstår nettstedet at den årlige avkastningen på aksjene de selger, er normalfordelt med en forventningsverdi på 13 % og et standardavvik på 6 %. Vi lar X være den årlige avkastningen til en tilfeldig valgt aksje som nettstedet selger.

84 86 88 90 92 94 96

Figur 1

Katrine mistenker at nettstedet oppgir for høy forventet avkastning, og sjekker siste års avkastning til 36 tilfeldige aksjer som nettstedet selger. Vi lar X være gjennomsnittlig årlig avkastning til disse 36 aksjene. Katrine gjennomfører en hypotesetest med signifikansnivået for å avgjøre om det er hold i mistanken. Hun forkaster H0 hvis PðX < 11,72Þ < , og beholder H0 hvis PðX < 11,72Þ .

Sett opp hypoteser Katrine kan bruke i hypotesetesten, og avgjør hvilket signifikansnivå hun har brukt.

84 80 85 90 95 100 105

Figur 3

84 86 88 90 92 94 96

Figur 2

89,6 89,8

90 90,2 90,4

Figur 4

Figuren viser fire normalfordelingskurver der arealet som tilsvarer Pð X þ Þ, er fargelagt. Kombiner opplysningene nedenfor med riktig normalfordelingskurve. Begrunn svaret ditt. a

Sannsynligheten for at et frø spirer, er 60 %. Du sår 150 frø.

b

De ni brødrene Hansen løper 60-meteren på 10 sekunder med et standardavvik på 0,8 sek. Vi summerer tiden til alle brødrene.

c

Forventningsverdien til vekten av en amerikaner er 90 kg med et standardavvik på 3 kg. Vi finner gjennomsnittet av 225 amerikanere.


372 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.129 Vi har spurt seks elever om hvor mange filmer de har sett i løpet av en måned. Svarene ble 7 3 9 5 7 5 Bestem gjennomsnittet, variansen og standardavviket ved regning. 5.130 Vi har fire stokastiske variabler X1 ; X2 ; X3 og X4 som alle er normalfordelte. Forventningsverdien E og standardavviket SD for disse er a

EðX1 Þ ¼ 5 og SDðX1 Þ ¼ 2

b

EðX2 Þ ¼ 3 og SDðX2 Þ ¼ 1

c

EðX3 Þ ¼ 5 og SDðX3 Þ ¼ 1

d

EðX4 Þ ¼ 3 og SDðX4 Þ ¼ 2

Hvilke av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer X1 ; X2 ; X3 og X4 ? Begrunn svaret.

–1

2

0,4 0,3 0,2 0,1 –1

3

0,4 0,3 0,2 0,1 –1 0,4

b

Bestem sannsynligheten for at det er minst to flasker av hver type.

c

Hvor mange flasker må vi trekke tilfeldig fra kjølebagen for at vi skal være mer enn 95 % sikre på at minst to av flaskene inneholder saft?

5.132 På et kasino kan du spille et spill som koster 100 kr. Du skal kaste to pyramideformede terninger med tallene 1 til 4. Hvis summen av tallene på terningene blir

fire, fem eller seks, vinner du ingenting

tre eller sju, vinner du 120 kr

to eller åtte, vinner du 400 kr

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

Lag en tabell med sannsynlighetsfordelingen til X. Bruk figuren som hjelp hvis du trenger. Terning 2

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

1

2

3

4

1

2

3

4

5

2

3

4

5

6

3

4

5

6

7

4

5

6

7

8

b

Lag et histogram eller et søylediagram med sannsynlighetsfordelingen til X.

c

Bestem EðXÞ og VarðXÞ.

d

Lag et program i Python som simulerer spillet. Bruk programmet til å finne en tilnærming til EðXÞ.

e

Sammenlikn svaret ditt med svaret i oppgave c.

y

0,2

–1

Bestem sannsynligheten for at minst én av flaskene inneholder saft.

La X være nettogevinsten ved et spill.

0,3

4

a

Terning 1

1

0,4 0,3 0,2 0,1

y

5.131 I en kjølebag ligger det elleve flasker. I fire av flaskene er det saft, og i syv av dem er det vann. Vi trekker tilfeldig seks flasker opp av bagen.


Oppgaver 373

5.133 Jobb sammen to og to Dere trenger: en vanlig terning Spilleregler Kast terningen hver deres gang. Spilleren med høyest antall øyne blir spiller 1. Den andre er spiller 2.

Kast deretter terningen annenhver gang. Spiller 1 begynner hver runde. Den første som får sekser, har vunnet runden og får ett poeng. Vinneren av spillet er den som først får ti poeng.

a

Diskuter hvorfor dette spillet ikke er rettferdig.

b

Forklar at programmet under simulerer spillet. Bruk programmet til å finne en tilnærming for sannsynligheten for at spiller 1 vinner en runde. 1 import random 2 3 N = 10000 4 5 poeng = [0, 0] 6 7 for i in range(N): 8

fortsett = True

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

c

while fortsett: terning1 = random.randint(1, 6) if terning1 == 6: poeng[0] += 1 fortsett = False else: terning2 = random.randint(1, 6) if terning2 == 6: poeng[1] += 1 fortsett = False print(poeng[0]) relativ_frekvens = poeng[0]/N print(f'Sannsynligheten for at Spiller 1 vinner er tilnærmet lik {relativ_frekvens:.3f}.')

Vis at sannsynligheten for at spiller 1 vinner 6 en runde, er . 11

5.134 En spesiell terning med seks sider har to sider med ett øye to sider med to øyne én side med tre øyne én side med fire øyne La X være antall øyne terningen viser. Bestem EðXÞ og VarðXÞ.

5.135 Ikke alle datasett er normalfordelt, som vi skal se eksempler på i denne oppgaven. I Yosemite nasjonalpark i USA ligger geysiren Old Faithful. Geysiren har utbrudd. I datasettet «oldfaithful.csv» finner du ventetiden mellom utbruddene, sammen med informasjon om hvor lenge utbruddene varte. Vi laster inn datasettet i Python: 1 2 3 4 5

import matplotlib.pyplot as plt import pandas as pd fil = 'oldfaithful.csv' df = pd.read_csv(fil, sep=';', comment='#', decimal='.')

6 7 8

utbruddstid = df['Utbruddstid'].tolist() ventetid = df['Ventetid'].tolist()

a

1

Lag et spredningsdiagram for ventetiden.

2

Lag et histogram for ventetiden.

3

Bruk histogrammet til å kommentere hvor lang tid man må regne med å vente før det kommer et nytt utbrudd.

1

Lag et spredningsdiagram for utbruddstiden.

2

Lag et histogram for utbruddstiden.

3

Bruk histogrammet til å kommentere hvor lang tid man kan forvente at et utbrudd vil vare.

b

c

Lag et spredningsdiagram for sammenhengen mellom ventetid og utbruddstid.

d

Bruk grafene du har laget, til å kommentere hva man kan forvente seg av ventetid og utbruddstid når man kommer til geysiren Old Faithful.


374 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.136 En stokastisk variabel har sannsynlighetsfordeling gitt ved følgende tabell: X¼x

0

2

4

a

PðX ¼ xÞ

p

0,5

0,3

p

a

Bestem p.

b

Du får vite at EðXÞ ¼ 3. Bestem a.

c

Bestem VarðXÞ.

5.137 CAS-vinduet nedenfor viser løsningen til Baran på en oppgave. 1

2

3

4

5

6

Hvilken oppgave kan Baran ha løst? Forklar hva han gjør i hver linje.

5.138 En rekke på en tippekupong inneholder tolv fotballkamper der man krysser av for hjemmeseier, uavgjort eller borteseier for hver av kampene. Man vinner premie hvis man tipper riktig på ti, elleve eller tolv kamper. Vi lar X være antall riktige kamper når vi tipper én gang. a

På hvor mange forskjellige måter kan vi fylle ut en rekke?

b

Forklar at X er binomisk fordelt hvis vi forutsetter at vi tipper helt vilkårlig uten å ta hensyn til lagenes tabellplassering, form og kvaliteter.

Vi leverer en ferdig utfylt rekke med tolv kryss. c

Bestem PðX ¼ 10Þ.

d

Bestem sannsynligheten for ikke å vinne premie når man tipper én rekke.

5.139 Ivar er skiskytter. I et renn skyter han én serie med fem skudd på liggende skyting og én serie med fem skudd på stående skyting. Sannsynligheten for at han treffer på et vilkårlig skudd, er 0,87 på liggende skyting og 0,76 på stående skyting. Vi antar at hvert skudd er uavhengige hendelser. a

Bestem sannsynligheten for at han treffer på minst tre av skuddene på stående skyting.

b

Bestem sannsynligheten for at han treffer på alle fem skuddene på liggende skyting.

c

Bestem sannsynligheten for at han bommer på minst ett av skuddene på liggende skyting.

d

Bestem sannsynligheten for at han bommer på minst to av skuddene på liggende og stående skyting til sammen.


Oppgaver 375

5.140 I en krukke ligger det fire blå og seks røde knapper. Vi trekker tilfeldig ut tre knapper fra krukken. a b

Hva er sannsynligheten for at vi trekker tre røde knapper? Hva er sannsynligheten for at alle tre knappene har samme farge?

c

Hva er sannsynligheten for at vi både trekker blå og røde knapper?

d

Legg sammen sannsynlighetene i oppgave b og c og forklar sammenhengen.

5.141 En stokastisk variabel X har følgende sannsynlighetsfordeling: x

0

1

2

PðX ¼ xÞ

a

b

c

Normalfordelingskurven til X er grafen til funksjonen f gitt ved 2

f ðxÞ ¼ b

Bestem verdiene av a, b og c.

c

d

Bestem sannsynligheten for at poteten veier mellom 180 gram og 220 gram.

f(x)dx: Gi en praktisk tolkning av svaret.

Lag en skisse av grafen til f . Bruk skissen til å visualisere resultatene fra oppgave a og oppgave b.

Hvor mange av disse potetene kan han regne med at veier minst 300 gram?

5.143 (Eksamen våren 2021) Vi antar at vekten X til en tilfeldig sau av en bestemt rase er normalfordelt med forventningsverdi ¼ 60 kg og standardavvik ¼ 6 kg. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt sau veier mellom 57 og 63 kg.

Normalfordelingskurven til X er grafen til funksjonen f gitt ved 2

ðx 60Þ 1 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffi e 72 6 2

Bestem verdien av integralet

R1 f(x)dx: 69

Øv til eksamen

a

150 R

Jostein tar opp 500 tilfeldige poteter fra kjøkkenhagen.

b

5.142 (Eksamen høsten 2021) Vi lar X være vekten til en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen til Jostein. Vi antar at X er normalfordelt med forventningsverdi 200 gram og standardavvik 40 gram. Jostein skal ta opp poteter. Han plukker en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen.

Bestem

0

a Vi får oppgitt at forventningsverdien EðXÞ ¼ 1 og 4 variansen VarðXÞ ¼ . 5

ðx 200Þ 1 pffiffiffiffiffiffi e 3200 40 2

Hva forteller denne verdien oss? c

Lag en skisse av grafen til f . Synliggjør resultatene fra oppgave a og oppgave b på skissen.

En bonde har mange sauer av denne rasen. Han velger tilfeldig 25 sauer som han vil sende til slakt. Slakterbilen har en lastekapasitet på 1550 kg. d

Bestem sannsynligheten for at slakterbilen kan ta med seg alle de 25 sauene.


376 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.144 (Eksamen våren 2021) En leverandør selger en type sene for fiske. De oppgir at bruddstyrken X for senen i en tilfeldig valgt spole av denne typen er normalfordelt med forventningsverdi ¼ 56 kg og standardavvik ¼ 2,3 kg. a

5.145 (Eksamen høsten 2020)

Hva er sannsynligheten for at senen i en tilfeldig valgt spole tåler minst 53 kg?

Tenk deg at du skal gjøre målinger av bruddstyrken til senen i 25 tilfeldig valgte spoler av denne typen. b

Bestem sannsynligheten for at senen i alle de 25 spolene tåler mer enn 50 kg.

La X være gjennomsnittet til målingene. c

Bestem PðX

55Þ.

Leverandøren har en mistanke om at bruddstyrken er lavere enn 56 kg: De ønsker derfor å gjennomføre en hypotesetest der de vil teste senen i 25 tilfeldig valgte spoler. d

Sett opp en hypotesetest som du kan bruke for å avgjøre om det er grunnlag for leverandørens mistanke.

Vi går ut fra at standardavviket til bruddstyrken fremdeles er ¼ 2,3 kg: Vi vil bruke et signifikansnivå på 5 %. e

Hva er den høyeste gjennomsnittlige verdien for bruddstyrken til senene i 25 tilfeldig valgte spoler som gjør at vi kan konkludere med at det er grunnlag for leverandørens mistanke?

Et gartneri selger poser med tomatfrø. La X være antall tomatfrø i en tilfeldig valgt pose. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt i tabellen nedenfor:

a

k

6

7

8

9

10

PðX ¼ kÞ

0,1

0,1

0,6

0,1

0,1

Bestem forventningsverdien EðXÞ, og vis at standardavviket er SDðXÞ ¼ 1. Hva forteller EðXÞ oss?

Eline ønsker å kjøpe 49 slike frøposer. Posene vil hun nummerere fra 1 til 49: La Xi være antall frø i pose nummer i. Vi antar at Xi -ene er uavhengige av hverandre. Det totale antallet frø i de 49 posene er gitt ved den stokastiske variabelen S ¼ X1 þ X2 þ þ X49 . b

Begrunn at S er tilnærmet normalfordelt. Vis at EðSÞ ¼ 392 og SDðSÞ ¼ 7,0

Eline har et drivhus der hun har plass til 400 potter som hun vil plante frøene i. c

Bestem sannsynligheten for at Eline får nok frø til alle pottene sine.


Oppgaver 377

5.146 (Eksamen høsten 2020) En produsent leverer en bestemt type temperaturfølere. Vi lar X være levetiden til en tilfeldig valgt temperaturføler av denne typen. Produsenten oppgir at X er normalfordelt med forventningsverdi ¼ 12 år og standardavvik ¼ 1,5 år. a

Vis at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt temperaturføler har en levetid som er kortere enn ti år, er p 0,0912.

Når produsenten bytter ut en defekt temperaturføler, noterer de hvor lang levetid den har hatt. Når produsenten gjennomfører en kvalitetskontroll av de defekte temperaturfølerne, plukker de tilfeldig ut 225 følere. I en tilfeldig kvalitetskontroll lar vi Y være antall enheter som har hatt en levetid som er kortere enn ti år. Vi går ut fra at Y er binomisk fordelt. b

5.147 (Eksamen våren 2020)

Bestem PðY 21Þ.

En bedrift produserer drops. 20 % av dropsene er gule, og resten er røde. Dropsene blir tilfeldig fordelt i poser. Det er 100 drops i hver pose. La X være antall gule drops i en tilfeldig valgt pose. Vi kan anta at X er en binomisk fordelt variabel. a

Vis at EðXÞ ¼ 20 og VarðXÞ ¼ 16.

Produsenten har mistanke om at levetiden til temperaturfølerne er kortere enn det de oppgir. De vil derfor gjennomføre en kvalitetskontroll.

I resten av oppgaven går vi ut fra at X er tilnærmet normalfordelt.

c

b

Bestem sannsynligheten for at det er 25 eller flere gule drops i en tilfeldig valgt pose.

c

Lag en skisse som viser sannsynlighetsfordelingen til X. Skraver området som illustrerer svaret i oppgave b.

d

Bestem a slik at Pð20 a X 20 þ aÞ ¼ 0,90. Hva forteller intervallet ½20 a, 20 þ a oss i denne situasjonen?

Sett opp en hypotesetest som kan brukes i denne situasjonen.

I kvalitetskontrollen viser det seg at den gjennomsnittlige levetiden til de 225 temperaturfølerne var 11,78 år. d

Utfør hypotesetesten og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for mistanken til produsenten. Bruk et signifikansnivå på 5 %.


378 KAPITTEL 5 – SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK

5.148 (Eksamen våren 2020) Ved stortingsvalget i september 2017 fikk Fremskrittspartiet 15,2 % av stemmene. Vi lar X være antall personer som stemte Fremskrittspartiet blant 1500 tilfeldig valgte personer som stemte ved forrige stortingsvalg. Vi kan betrakte X som en binomisk fordelt variabel. a

Bestem PðX 240Þ.

På eplegården velger vi tilfeldig ut 400 epletrær og nummererer dem fra 1 til 400 . Vi lar Xi være antall insektskader på tre nummer i. Vi antar at Xi -ene er uavhengige. Det totale antallet insektskader som finnes på de 400 trærne, er da gitt ved den stokastiske variabelen S ¼ X1 þ X2 þ þ X400 . c

Begrunn at S er tilnærmet normalfordelt. Bestem EðSÞ og VarðSÞ.

En avis hadde mistanke om at oppslutningen til Fremskrittspartiet hadde gått ned. I april 2020 ble 1500 tilfeldig valgte personer som stemte ved forrige stortingsvalg, spurt om hvilket parti de ville ha stemt på om det hadde vært valg i dag.

Ved tilsyn på en eplegård blir 50 tilfeldig valgte trær kontrollert. Dersom det i gjennomsnitt er mer enn 1,2 skader per tre, får eplegården pålegg om å sette i verk tiltak. På en bestemt eplegård er Y det totale antallet insektskader på 50 tilfeldig valgte trær. Egne undersøkelser viser at Y ¼ 50 og Y ¼ 8.

b

d

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som kan brukes for å teste avisens mistanke.

Det viste seg at 13,8 % av de spurte ville ha stemt på Fremskrittspartiet. c

Gjennomfør hypotesetesten. Bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for å si at Fremskrittspartiet har fått mindre oppslutning. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

5.149 (Eksamen høsten 2019) I denne oppgaven kan du få bruk for standard normalfordelingstabellen bak i boka.

5.150 (Eksamen vår 2019) Denne oppgaven handler om gutter som søker opptak på Krigsskolen. Vi lar X være tiden en tilfeldig valgt gutt bruker når han løper 3000 meter. Vi antar at X er normalfordelt. Forventningsverdien er 12 minutter og 43 sekunder. Standardavviket er 54 sekunder. Et av kravene for å komme inn på Krigsskolen er at man løper 3000 meter på under 13 minutter. a

En bestemt type insekt kan skade barken på et epletre. La X være antall skader som slike insekter har påført barken på et tilfeldig valgt epletre. På en bestemt eplegård er sannsynlighetsfordelingen til X gitt i tabellen nedenfor: k

0

1

2

3

4

PðX ¼ kÞ

0,45

0,30

0,10

0,10

0,05

a

Bestem forventningsverdien EðXÞ. Hva forteller EðXÞ oss i denne situasjonen?

b

Vis at VarðXÞ ¼ 1,4.

Bestem sannsynligheten for at denne eplegården må sette i verk tiltak dersom de får tilsyn.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt gutt greier tidskravet på 3000-metersløpet.

Pål har som mål å være blant de 5 prosent raskeste på 3000-metersløpet. b

Hvor lang tid kan han høyst bruke hvis han skal nå dette målet?


Oppgaver 379

Et spesielt treningsprogram ser ut til å ha god effekt på hvor raskt man løper 3000 meter. Vi ønsker å utføre en hypotesetest for å finne ut om treningsprogrammet har så god effekt som man tror. Vi velger tilfeldig ut 25 gutter som søker opptak til Krigsskolen, og lar dem gjennomføre programmet før de skal løpe 3000-metersløpet.

5.151 (Eksamen vår 2015) En stokastisk variabel X har følgende sannsynlighetsfordeling:

c

1 Vi får oppgitt forventningsverdien EðXÞ ¼ 2 1 og variansen VarðXÞ ¼ . 2 a Vis at disse opplysningene gir likningssystemet 2 3 aþbþc¼1 6 7 6 b þ 2c ¼ 1 7 4 5 2

Sett opp en hypotesetest som kan brukes i denne situasjonen.

Gjennomsnittstiden blir 12 minutter og 27 sekunder. Vi regner fortsatt med at standardavviket er 54 sekunder for løpstiden til en tilfeldig gutt som søker opptak. d

Utfør hypotesetesten og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for å si at treningsprogrammet har god effekt. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

x

0

1

2

PðXÞ

a

b

c

a þ b þ 9c ¼ 2 b

Bestem ved regning verdien av a, b og c.


380 Python på 1–2–3

Python på 1–2–3 Innhold til og fra skjerm

Tester if – elif – else

Skrive til skjerm: print 1

print('Matematikk')

Matematikk Skrive ut tekst og variabler 1 tall = 11/7 2 print(f'Verdien av tall er nå {tall}.') Verdien av tall er nå 1.5714285714285714.

1 2 3 4 5 6 7

tall = int (input('Skriv inn et tall: ')) if tall > 0: print('Du tastet inn et positivt tall.') elif tall == 0: print('Du tastet inn 0.') else: print('Du tastet inn et negativt tall.')

Skriv inn et tall: -5 Du tastet inn et negativt tall.

Løkker Avrunding Hvis du vet hvor mange ganger en løkke skal kjøre, 1 tall = 11/7 2 print(f'Verdien av tall er nå {tall:.3f}.') bruker du for-løkke: Verdien av tall er nå 1.571. Hente inn opplysninger fra brukeren: input 1 tall = float(input('Skriv inn et tall: '))

1

x=3

2

for i in range(5):

3

print(x, end=' ')

4

x = 2*x

3 6 12 24 48

Bygge opp utsagn Betydning

Hvis du ikke vet hvor mange ganger en løkke skal kjøre, bruker du en while-løkke:

==

er lik

1

grense = 7

!=

er ikke lik

2

x=1

<

er mindre enn

3

while x < grense:

<=

er mindre enn eller lik

4

print(f'{x} er mindre enn {grense}')

er større enn

5

>

x *= 2

>=

er større enn eller lik

Relasjon

1 er mindre enn 7 2 er mindre enn 7 4 er mindre enn 7


Python på 1–2–3 381

Funksjoner 1

def f(x): return x**2 - 8*x +1

2 3

print(f(4))

-15

Lister Opprette tom liste 1

liste = []

Legge til et element i lista 1

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Verditabellen lagres i lister:

liste.append(5) 1

Plukke ut elementer med løkke Direkte med for-løkke: 1 2 3

liste = ['a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g', 'h'] for bokstav in liste: print(bokstav, end=' ')

abcdefgh Med indeksmengde: 1 2 3 4

liste = ['a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g', 'h'] for i in range(len(liste)): element = liste[i] print(element, end=' ')

abcdefgh

Verditabell Verditabellen skrives ut: def f(x): 2 return x**2 - 3*x + 1 3 xstart = 0 1

4

xslutt = 1

5

xsteg = 0.1

6

x = xstart

7

y = f(x)

while x <= xslutt: 9 print(f'{x:6.2f} {y:6.2f}') 10 x = x + xsteg 11 y = f(x) 8

1.00 0.71 0.44 0.19 -0.04 -0.25 -0.44 -0.61 -0.76 -0.89 -1.00

2

def f(x): return x**2 - 3*x + 1

3

xstart = 0

4

xslutt = 1

5

xsteg = 0.1

6

xverdier = []

7

yverdier = []

8

x = xstart

9

y = f(x)

10

while x <= xslutt:

11

xverdier.append(x)

12

yverdier.append(y)

13

x = x + xsteg

14

y = f(x)


382 Python på 1–2–3

Graf 0

Tegne punkter:

-20

1

import matplotlib.pyplot as plt

2

xverdier = [0, 5, 10, 20, 23]

-40

3

yverdier = [4, 10, 13, 4, 8]

-60

4

plt.plot(xverdier, yverdier, 'o')

-80

5

plt.show()

-100 -120 -140

12

-10.0 -7.5 -5.0 -2.5 10

2.5

5.0

7.5 10.0

Tegne funksjonsgraf med NumPy:

8

6

1

import matplotlib.pyplot as plt

2

import numpy as np

3

def f(x): return -x**2 - 4*x + 1

4

4 0

5.0

10.0

15.0

20.0

Tegne funksjonsgraf med egen kode: 1

import matplotlib.pyplot as plt

2

def f(x):

3

0

return -x**2 - 4*x + 1

5

x = np.arange(-10, 10, 0.1)

6

y = f(x)

7

plt.plot(x, y)

8

plt.show() 0 -20

4

xstart = -10

5

xslutt = 10

-40

6

xsteg = 0.1

-60

7

xverdier = []

-80

8

yverdier = []

-100

9

x = xstart

10

y = f(x)

11

while x <= xslutt:

12

xverdier.append(x)

13

yverdier.append(y)

14

x = x + xsteg

15

y = f(x)

16

plt.plot(xverdier, yverdier)

17

plt.show()

-120 -140 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5

0

2.5

5.0

7.5 10.0


Python på 1–2–3 383

Hvis du vil endre grafens utseende, kan du erstatte de siste to linjene med dette:

Math Kommando

Betydning

Eksempel

math.sqrt()

kvadratrot

math.sqrt(88)

18 plt.ylim(-10, 10) # Grenser for y

math.pi

3,141 59 . . .

45 * math.pi * 3.4**2

19 plt.grid()

math.e

e 2,71828 . . .

math.e

math.exp()

e

math.exp(4)

math.log()

ln

math.log(4)

16 plt.plot(xverdier, yverdier, label="f(x)") 17 plt.xlim(-10, 10) # Grenser for x

# Rutenett # Grafforklaring 21 akser = plt.gca() # Akser i origo 22 akser.spines['bottom'].set_position('zero') 23 akser.spines['left'].set_position('zero') 20 plt.legend()

24 akser.spines['top'].set_visible(False) 25 akser.spines['right'].set_visible(False)

Løse likninger

26 plt.show()

Halveringsmetoden: 1

10.0 f(x)

2

7.5 5.0 2.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 -2.5

2.5

5.0

7.5

10.0

-5.0

def f(x): return x**2 - 2

3

a=0

4

b=2

5

m = (a + b)/2

6

nøyaktighet = 0.0001

7 8

while (b - a) > nøyaktighet: if f(m) == 0: break

9

-7.5 -10

10

a=m

11 12

Laste inn datasett (Pandas)

13

Koden laster inn datasettet i fila «filnavn.csv» og lagrer verdiene i kolonnene merket med «x» og «y» i hver sin liste.

14

1

elif f(a) * f(m) > 0:

15

else: b=m m = (a + b)/2 print(m)

1.414215087890625

import pandas as pd

2

Derivasjon

3

df = pd.read_csv('filnavn.csv', sep=';', comment='#', decimal='.')

1

4

x = df['x'].tolist()

3

5

y = df['y'].tolist()

4

2

5

def f(x): return x**2 - 3*x + 1 def fder(x, deltax): return (f(x + deltax) - f(x))/deltax print(fder(4, 0.0001))

5.000099999996621


384 Python på 1–2–3

Regresjon 1 import scipy.optimize as opt 2 3 xverdier = [1, 2, 3, 4, 5] 4 yverdier = [115, 91, 70, 57, 45] 5 6 def f(x, a, b): 7 return a * b**x 8 9 popt, pcov =

opt.curve_fit(f, xverdier, yverdier) 10 11 print(popt)

I linje 9 lagrer vi resultatet av regresjonen i to lister. Popt inneholder de optimaliserte parameterne, altså resultatet av regresjonen. Pcov inneholder kovariansen av parameterne. Det er et mål på hvordan de ulike parameterne henger sammen, men vi bruker ikke denne informasjonen til noe her.

Modellering xstart = ystart = 3 xslutt = 4 delta_x = 1 2

Setter opp startverdier.

5 6 7

x = xstart y = ystart

8

while x <= xslutt: y = y + 11 x = x + delta_x 9

10

Bygger opp funksjonsverdiene. Modellen beskriver hvordan endringen i y er. Endringen er forskjellig fra modell til modell.

Eksempler på modeller: Lineær vekst: y = y + delta_x * a Eksponentiell vekst: y = y + delta_x * k * y Logistisk vekst: y = y + delta_x * k * y * (1 - y/B)


GeoGebra på 1–2–3 385

GeoGebra på 1–2–3 Tallfølger I en aritmetisk tallfølge definerer vi det første leddet a1 og differansen d i CAS og skriver det n-te leddet som en funksjon av n. Da kan vi finne et hvilket som helst ledd i tallfølgen, for eksempel a8 : 1

2

3

Rekker Vi finner summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke ved å definere a1 og d (linje 1 og 2). Så definerer vi an som en funksjon av n (linje 3). Vi bruker enten kommandoen «Sum( <Uttrykk>, <Variabel>, <Start>, <Slutt> )» (linje 4) eller formelen for summen av en aritmetisk rekke til å lage en en funksjon for summen, sn . Legg merke til at når vi skriver «Sum(a(n),n,1,4)» viser GeoGebra 4 P aðnÞ (linje 4). dette som n¼1

1 4 2

I en geometrisk rekke definerer vi a1 og k i CAS og skriver det n-te leddet som en funksjon av n. Da kan vi finne et hvilket som helst ledd i tallfølgen, for eksempel a5 : 1

2

3

4

5

3 6 4

Vi finner summen av de n første leddene i en geometrisk rekke ved å definere a1 og k (linje 1 og 2). Vi definerer an som en funksjon av n (linje 3). Så bruker vi enten kommandoen «Sum( <Uttrykk>, <Variabel>, <Start>, <Slutt> )» (linje 4) eller formelen for summen av en geometrisk rekke til å lage en en funksjon for summen, sn (linje 5).


386 GeoGebra på 1–2–3

Da kan vi for eksempel finne summen av de åtte første leddene (linje 6): 1

Ubestemt integral Vi finner det ubestemte integralet med kommandoen «Integral(Funksjon)»: 1

2

3

4

Bestemt integral Vi finner det bestemte integralet med kommandoen «Integral( <Funksjon>, <Start>, <Slutt> )»: 1

5

6

Areal mellom to grafer Vi finner arealet mellom to grafer med kommandoen «IntegralMellom( <Funksjon>, <Funksjon>, <Start>, <Slutt> )»: 1

Trappesum Vi finner nedre trappesum med kommandoen «SumUnder( <Funksjon>, <Start>, <Slutt>, <Antall rektangler> )» og øvre trappesum med kommandoen «SumOver( <Funksjon>, <Start>, <Slutt>, <Antall rektangler> )»: 1

2

2

3

4


GeoGebra på 1–2–3 387

Delbrøkoppspalting Vi bruker kommandoen «Delbrøkoppspalting()» til å dele opp brøker: 1

Hvis vi skal bruke prisfunksjonen videre i det samme CAS-vinduet, må vi passe på å definere en funksjon med et annet navn enn p, ettersom p er brukt i likningen. Vi kan for eksempel bruke den store bokstaven P. Da henter vi funksjonsuttrykket fra linje 1 med kommandoen «Høyre side($1,1)»: 1

Funksjoner i økonomi Når vi har en etterspørselsfunksjon, for eksempel qðpÞ ¼ 400 e 0,02p , finner vi prisfunksjonen pðqÞ ved å løse en likning med CAS og ved å gå veien om x: 1

2

x Vi skriver prisfunksjonen pðxÞ ¼ 50 ln . 400

2

Vi regner motsatt vei for å finne etterspørselsfunksjonen når vi kjenner prisfunksjonen. Skal vi bruke etterspørselsfunksjonen videre i det samme CAS-vinuet, må vi gi funksjonen et annet navn enn q, for eksempel den store bokstaven Q: 1

Vi kan også finne prisfunksjonen direkte ved å løse likningen q ¼ 400e 0,02p med hensyn på p:

2

1

Legg merke til at x og q viser det samme.


388 GeoGebra på 1–2–3

Binomisk fordeling Hvis vi vil finne sannsynligheten for å få tolv kron når vi kaster kron og mynt 20 ganger, velger vi «Binomisk fordeling». Vi setter n ¼ 20 og p ¼ 0,5. Hendelse A er å få kron i hvert delforsøk.

Søyler som viser sannsynlighetsfordelingen

Tabell over sannsynlighetsfordelingen

Her velger vi binomisk fordeling

Når vi skal finne P(X £ x)

Sannsynligheten for at A inntreffer i hvert delforsøk Når vi skal finne P(x £ X £ x) Når vi skal finne P(X ≥ x)

Antall delforsøk

Sannsynlighet

Hypergeometrisk fordeling Vi trekker tilfeldig ut seks elever fra en klasse med 14 jenter og ni gutter. Vi kan da bruke sannsynlighetskalkulatoren med hypergeometrisk fordeling for å finne sannsynligheten for at det er to eller tre gutter blant de seks. Søyler som viser sannsynlighetsfordelingen

Tabell over sannsynlighetsfordelingen

Her velger vi hypergeometrisk fordeling Summen av antallet i begge undergrupper Når vi skal finne P(X £ x)

Antallet vi trekker ut fra begge undergruppene

Når vi skal finne P(x £ X £ x) Når vi skal finne P(X ≥ x)

Antallet i den ene undergruppen

Sannsynlighet


GeoGebra på 1–2–3 389

Normalfordeling La X være høyden av en norsk kvinne med forventningsverdien EðXÞ ¼ 168,7 cm og standardavviket SDðXÞ ¼ 5,8 cm. Da kan vi finne sannsynligheten for at høyden til en tilfeldig valgt kvinne ligger i intervallet ½160 cm, 172 cm ved å velge «Sannsynlighetskalkulator» i hovedmenyen, og så velge «Normalfordeling»:

Det blå arealet tilsvarer sannsynligheten

Normalfordelingskurven

Forventningsverdien

Vi velger normalfordeling

Standardavviket

Når vi skal finne P(X £ x)

Når vi skal finne P(x £ X £ x)

Når vi skal finne P(X ≥ x)

Sannsynligheten for at en norsk kvinne er mellom 160 cm og 172 cm

Nedre grense for x Øvre grense for x

Forventningverdi, varians og standardavvik i CAS Vi finner EðXÞ, VarðXÞ og SDðXÞ ved å lage en liste med verdier av X og en liste for frekvensene eller de relative frekvensene. Hvis X er antall kron når vi kaster to kronestykker, skriver vi «X :¼ f0, 1, 2g», 1 1 1 , , » og bruker kommandoene og «P :¼ 4 2 4 «Gjennomsnitt(X,P)», «Varians(X,P)» og «Standardavvik(X,P)».

1

2

3

4

5


FASIT 1.11 a 1250

Kapittel 1 1.1 a 64, 4096

c 55 ledd

7n 15n 2

c 268 435 456

1.2 a konstant differanse d ¼ 6

b

1.24 a 3,6 mg rett etter sjette tablett

1.12 a —

b etter ellevte tablett b 63

c 19

1.13

b 92

a an ¼ 7n 2

c ja (a20 ¼ 122)

1.3 —

b sn ¼

7n2 3n 2

1.14 60 399 887 kr

b 6144

c nei

1.15 5115 39,96 a 128

a1 k

b —

1.6 194 er i følgen. 321 er ikke i følgen.

b 5 ledd

1.7 a an ¼ 5 2n 1 eller an ¼ 5 ð 2Þn 1 b 80 eller 80

1.8 a 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, 3072, 6144, 12 288, 24 576, 49 152, 98 304, 196 608, 393 216, 786 432, 1 572 864 b 2, 10, 50, 250, 1250, 6250

1.16 Stine har rett. Vi trenger 9 ledd 4 þ 12 þ 36 þ 108 þ 324 þ 972 þ 2916 þ 8748 þ 26 244 ¼ 39 364

1.17 209 1.18 a1 ¼ 1, d ¼ 5 1.19 156 slag 1.20 a an ¼ 3 4n 1 b sn ¼ ðr þ 1Þn 1

1.9 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535 1.10 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349

1.21 37 733,70 kr 1.22 18 286,85 kr

1.25 Summen av nåverdiene av de seks framtidige utbetalingene er 57 135 kr. Amanda bør velge 10 000 kr seks ganger. 1.26 Summen av nåverdiene er 11 359 kr. Ja, investeringen er lønnsom.

1.5 a r¼

b 419,2 tonn

2

b an ¼ 4n 1

1.4 a —

1.23 a 42,6 tonn

1.27 USD 851,23 1.28 — 1.29 a 60 524 kr

b —

1.30 a 2,5 % per måned b 33,7 % per år

1.31 ca. 22 år 1.32 a —

c —

b —

d alle punkter unntatt 1

1.33 1 a a1 ¼ 1024, k ¼ 2 b 2048 c 11


Kapittel 1 391

1.34 18 m

1.46 Differansen av differansene er ikke konstant.

1.35 Ja, maksimal mengde i kroppen blir 6,7 mg.

1.47 an ¼ 3n2 þ 4n

1.36 a 73,42 euro

1.48 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1

b 66,67 euro

1.37 a —

1.49 a —

1 2 c x ¼ 1 (2 er ikke i konvergensområdet)

b an ¼ 4n þ 2

1.38 a 2 < x < 2

1.51 a Fn ¼ 3n2 3n þ 1

b x<

1.50 —

2x b 2 x

Avgjør om påstandene stemmer 1 sann 3 usann 5 sann

1.40 a —

c x ¼ 2 ln 2

2 sann

4 sann

b x > ln 2

1.41 a x 2 h0, !i

e x b 1 e x

1.42 a k¼

xþ1 x 2

b x2

,

1.52 a —

c 301

b 41

d 7

1.53 a R n f2g

1 2

b x2h

, 1i [ h3, !i

x 4x þ 4 x2 4x þ 3 2

c

1.43 a —

b For eksempel

4 9

1.44 Tn ¼

nðn þ 1Þ 2

1.45 a — b an ¼ 3n 3n þ 2

b

1 x2 2

1 1 þ ln x

3 sðxÞ ¼ 1 har løsning x ¼

1 . e2

1 har ingen løsning 3 i konvergensområdet.

sðxÞ ¼

1.57 391 187 kr

1.54 an ¼ 2n þ 5

b an ¼ 13 3n c 29

1.59 an ¼ 4n þ 2 1.60 — 1.61 20 ganger 1.62 — 1.63 a — n2 þ 3n þ 2 2 c 36 kvadrater i figur nummer 7, altså F7 ¼ 36 b Fn ¼

1.55 a ca. 140 000–150 000 kr

1.64 a Aritmetisk rekke, konstant differanse mellom etterfølgende ledd.

b 147 164,50 kr

b an ¼ 4n 2

c 2 943 270 kr

c 242

2

c F4 F4 krever 38 kvadrater, F5 krever 62.

1 1 , e3 e

1.58 a 2, 5, 8

b F10 Du har da brukt 999 prikker.

1.39 —

1.56 a 535

1.65 an ¼ 4n þ 1


392 Fasit

1.66 a 242

43 c 16

b 728

1.67 a1 ¼ 3 og d ¼ 2 1.68 a — b a1 ¼ 5, k ¼ 3 an ¼ 5 ð 3Þn 1

1.69 a an ¼ 2n 5

b s20 ¼ 320

1.70 a1 ¼ 1 og k ¼ 4

1.77 På papiret er obligasjonen verdt ca. 1386 euro, så iallfall ikke mer om det.

1.85 a Konvergerer mot 120.

1.78 a Avbetaling tilsvarer 14 786 kr og er derfor billigere enn kontant, som tilsvarer 15 000 kr.

c Konvergerer mot

b 436,20 kr

1.86 a 26,42 tonn

1.79 a 67 216 kr

b 5,6 tonn

b Divergerer (konvergerer ikke). 15 . 7 e4 d Konvergerer mot 31,77. e 1

c minst 16 dager

b 344 314 kr

1.87 a 4 þ 4 0,6 þ 4 0,62

1.80 a —

d 152 220 kr

b 9,22

b 42 926 kr

e 18 911 kr

c Den er forsvarlig.

c 4800 kr

1.71 623 200 kr

1.81 a k ¼ x, x 2 h 1, 1i

1.72 a Aritmetisk rekke. Konstant differanse mellom hvert ledd: d ¼ 14 8 ¼ 8 2 ¼ 6. b an ¼ 6n 4 c sn ¼ 3n2 n

c x¼ d p>

1.89 a —

1 2

b —

1 2

c konvergent for x 2 h

2 < 1, 3 9 konvergerer rekken mot summen . 5

Ettersom 1 <

1.73 a1 ¼ 2, k ¼ 3 og d ¼ 5 1.74 a 145 824, 143 386, 140 990 b 148 303 c 1,5 %

c 254 300 kr

b 4,0 %

1.76 Nåverdien av 30 000 om fire år med 3 % rente er 26 655. 28 000 kr er mer, så lillesøster får mest.

1.83 a —

b

43 99

1.84 a Dette er en geometrisk rekke der det er en fast kvotient mellom et ledd og leddet foran i rekka: a k¼ n an 1 b an ¼

, 0i [ h2, !i

x 1 x 2 1 x¼3

d s¼

1.82

d 6

1.75 a —

b —

1.88 97 m 50,8 m 6

e2 e2n 2

¼ e4 2n

c — d bn ¼ 4 2n

e

2 ingen løsning

1.90 a —

c s17 ¼ 340

b an ¼ 3n 7

1.91 — 1.92 an ¼ 2n2 þ 3n 1.93 a — b Fn ¼ n2 þ 2n þ 3 c F9 ¼ 102


Kapittel 1 393

1.94 1, 2, 7, 142, 60 487, 10 976 031 502

1.102

1.95 a F5 ¼ 31

b

b Fn ¼ n2 þ n þ 1

1.109 a 1 —

18 5 18 d 5

a 3

c

3 5

2 46 3 650 b

1.96 an ¼ 4n2 2n þ 2 1.97 a 1 41 2 231 b

1 — 2 Følgen konvergerer mot null.

1.98 a 15 750 kr og 21 107 kr b 143 237 kr c 19 år d 28 014 kr

1.99 a aritmetisk an ¼ 3n 4 a70 ¼ 206 b 1275

1.100 a — b 3 < x < 3 c

3 3 x 9 4 sðxÞ ¼ 2 har ingen løsning i konvergensområdet.

d sðxÞ ¼ 4 gir x ¼

1.101 a x>0 1 1 e x b ingen løsning sðxÞ ¼

1.103 a an ¼ 4n 2

c an ¼ 2 3n 1

b 2n2

d 3n 1

1.104 a Rekka er geometrisk ettersom det er samme kvotient mellom alle ledd: a k¼ 1 . an 1 4 2 1 2 ¼ k ¼ 25 ¼ 5 ¼ 5 2 5 1 2 5 b an ¼

5 2n 1 2 5

25 6

1.105 a 110 372,63 kr 1.106 a —

2

1 2048

3 16

1 1 220

16

c —

1.110 134 431,42 kr 1.111 a 2 < x < 2 2 b xþ2 1 c sðxÞ ¼ har ingen løsning. 4 3 sðxÞ ¼ 4 har løsning x ¼ . 2

c — d s¼

1 —

1.112 — b 707 452,60 kr

b —

c 32

1.107 a a1 ¼ 1, k ¼ x þ 3 b x 2 h 4, 2i 1 xþ2 d sðxÞ ¼ 1 har løsningen x ¼ 3. 1 sðxÞ ¼ har ingen løsning 3 i konvergensområdet.

c

1.108 7 8 b 12 m nordover

a an þ 1 ¼ an

1.113 a —

b Konvergerer mot 40.

1.114 a 64 012 kr

b 600 299 kr

1.115 — 1.116 a 68

b 4372

1.117 a —

c s¼2

b —

d —

1.118 — 1.119 —


394 Fasit

1.120 pffiffiffi 1 a1 ¼ 2 og k ¼ 2 1.121 a —

1.133 a 53 773 kr b 1 052 000 kr

b 3360

c 0,83

1.122 19

b

5 37

b 3580

2.9 a F 0 ðxÞ ¼ 9x2 þ 6x þ 3 b 42

2.10 a F 0 ðxÞ ¼ 15x2 þ 2x þ 6 b 990

Kapittel 2

1.124 a 210

b 14

a x2

1 2 ,e e2

1.127 a 3660

2.2 Svaret avhenger av valg av metode.

c 11,24 b x¼e

b 48

1.129 a 3 679 560 kr

c 2 408 365 kr

b —

1.130 a 42 013,20 kr b 47,2 måneder, dvs. 48 måneder c 0,90 % per måned

1.131 a 7400

2.14 65 a 12

2.4 a 0,67

2.15 a 8x þ C

c ln 2

64

4 3

c

14 3

2.12 ln 3

2.3 Areal 28,63

b 0,72 1 4

c

1 x3 x2 þ 2x 2

b 11,07

b 6

2.13

a 10,56

1.128 a 97 900 b k¼

2.11 a 8

2.1 Arealet er 17.

1.125 n ðn þ 1Þ ðn þ 2Þ 6

1.132 40 m

1.134 a 4 1.135 a 5n 13

1.123 16 27

1.126

c 2,4 %

2.8 15

b

d Arealet under grafen er litt for lite med nedre trappesum og litt for stort med øvre trappesum. Det bestemte integralet gir det eksakte arealet under grafen.

2.5 a 40

c 2

b 56

d

2.6 a 3e 3

c 24

b 2 ln 2

d

2.7 a —

b 9

15 4

b 4n 2

2 3

1 2 x þC 2

2.16 a 2t2 þ C 1 b t5 þ C 5

b

140 3

3 2 x þC 2 1 d x3 þ C 3 c

c 3x4 þ C d 5 ln jxj þ C

2.17 a C

c 2 r þ C

b 2x þ C

d r2 þ C

2.18 1 er ikke kontinuerlig x2 i intervallet ½ 1, 1 .


Kapittel 2 395

2.19 a ex þ C

2.27 a —

b 4ex þ C c x4 þ x3 þ x2 þ x þ C 1 d 2x2 þ 2ex þ e3x þ C 3

2.20 1 1 a t5 þ t2 þ e3t þ C 5 3 1,05x þC b 2000 ln 1,05 1 1 c x þ ln jxj þ C 4 2 2t d 3e þ C 2.21 a — 1 b x 2 þ 2 ln jxj þ C 2 c — 2.22 a —

b

13 4,33 3

17 c 6

2.28 a — b ð0, 2Þ og ð5, 8Þ 125 20,8 c 6

2.29 a 50 b De første 10 s sykler han 50 m. c 325 d Prøveturen tar 40 s, og han har syklet 325 m.

2.24 R4 R2 f ðxÞ d x f ðxÞ d x 2

2.25 a 0,25 b 0,25 c 2,25 d 2,25 e Arealer over og under x-aksen er like store, men integralet har motsatt fortegn.

2.26 Grafen skal ligge under x-aksen mellom x ¼ 1 og x ¼ 0 og over x-aksen mellom x ¼ 0 og x ¼ 3.

2.37 — 2.38 x5 1 ln x a þC 5 5 b ð2x 1Þe2x þ C

2.39 1 1 a x 3 ln x þC 3 3 b 2x2 ð2 ln x 1Þ þ C

2.40 1 1 x e3x þ C a 3 3 b ðx 2 2x þ 2Þex þ C

2.30 a 1,7 L

b 0,17 L

2.31 a —

b ca. 1,86 m3

2.32 8058,6 Hjertet har slått om lag 8060 ganger under hele løpeturen.

2.23 areal 6

0

7 b 6

2.33 ca. 1100 1200 mm 2.34 a — b 48 millioner kroner c 4 millioner kroner

2.35 245 000 kr

2.41 — 2.42 a ð2x 1Þex þ C b ðx 2 2x þ 1Þex þ C

2.43 a ð4x 3Þex þ C 1 b ðln x þ 1Þ þ C x 2.44 Antes metode gir 2ðx 1Þex þ C. 2.45 1 ðx þ 4Þ3 þ C 3 2.46 4

a ex þ C b

2.36 a — b juni ð6,25Þ, bestiller 278 par joggesko c 2972 par joggesko (regnet med trappesum per måned)

c ex

2

3 x4 e þC 2

2.47 1 a ðx þ 1Þ4 þ C 4 1 b 3 ln x þ ðln xÞ2 þ C 2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 10 p 4 c ð2x3 1Þ þ C 9

þx

þC


396 Fasit

2.48 2 ln 10 2.49 a ln jx þ 1j þ C b ln jx 2j þ C c

1 ln j2x 1j þ C 2

2.50 2 1 2 ðx 1Þex þ C 2

2.58 a 1 2 x þ 3x þ 2 ln jx 1j þ 5 ln jx 2j þ C 2 3 b x 2 9x þ 9 ln jx þ 1j þ C 2 1 3 c x þ ln jxj þ ln jx 2j þ C 2 2 2.59 a integrasjonsregler for polynom, integrere ledd for ledd b integrasjon ved delbrøkoppspalting

2.51 3e3x þ C 2.52 1 ln jt2 þ 4t 5j þ C 2 2.53 a ln jx 1j ln jx þ 1j þ C b 2 ln jx 2j ln jx 1j þ C c 2 ln jx 3j ln jx þ 3j þ C

2.54 a 2 ln jt 1j þ 3 ln jt þ 2j þ C 3 1 b ln jtj þ ln jt 4j þ C 2 2 2 c ln j4t 1j þ C 2.55 2 ln jx2 4j þ C ¼ 2 ln jx þ 2j þ 2 ln jx 2j þ C 2.56 ln jx2 5x þ 6j þ C ¼ ln jx 3j þ ln jx 2j þ C 2.57 a 5 lnj x 4j þ 3x þ C 5 b 4 lnj x þ 2j þ x2 þ x þ C 2 2 c lnj x þ 2j þ x 3x þ C

c delvis integrasjon d integrasjon ved delbrøkoppspalting eller integrasjon ved variabelskifte

2.60 1 a x4 þ x2 þ C 4 1 3 b ln jx 1j þ ln jx 3j þ C 2 2 2 c ðx 2x þ 2Þex þ C 1 d ln ðx2 þ 2Þ þ C 2 2.61 De ulike metodene vil gi ulike konstanter C, men er alle riktige framgangsmåter. Avgjør om påstanden stemmer 1 sann 5 sann 8 usann 2 sann

6 sann

3 sann

7 usann

4 sann

2.62 18,5

9 usann 10 sann

2.63 Funksjon

Antiderivert

x2 þ 2x 2

1 3 x þ x2 2x 3

3x2 þ 2x 1

x3 þ x2 x

x2 þ 2x 1

1 3 x þ x2 x 3

3x2 þ x 2

1 x3 þ x2 2x 2

2.64 1 a x4 þ x2 þ C 4 3 b e2x þ 3 x þ C 2 2.65 Uttrykk b:

Rb

f ðxÞ d x

a

Rc

f ðxÞ d x

b

2.66 1 4x a e ð4x 1Þ þ C 16 1 3 þC b x ln jxj 3 1 3 ðx 1Þ5 þ C c 15 2.67 3 a x 2 þ 2x þ C 2 1 b e2x þ C 2

c

ffiffiffiffiffi 5 p 5 x x3 þ C 8

2.68 a —

b

1 2

2.69 a Begge arealene er lik b k¼6

2.70 441 915 kr

1 2 k . 4


Kapittel 2 397

2.71

2.81 a F 0 ðxÞ ¼ 10x þ 4

4 a b a¼3 a x¼

b 27

c k 2,7, k 0,5 eller k 2,2 d Integralene i de ulike intervallene gir samme areal.

2.82 1 3 x þ 4x 9 2.83

2.72 a 11,0

b 12,9

c —

2.73 a 8,4

b 8,8

c 9,2

5 b 2

a 4

2.74 a 0,5

b

c 0,5

a 8 b

c 12

c e þ 2

b 12

2.77 a 27,54

484 5

e8 e2 3

2.93 x6 x6 ln x þ C a 6 36 pffiffi pffiffiffi x b 2e ð x 1Þ þ C

1 1 a F 0 ðxÞ ¼ x2 þ x þ 2 4 3 b 4

2.94 a —

c

1 10 x þC 10

b 10x þ C

c Nedre trappesum er litt mindre enn integralet, mens øvre trappesum er litt større enn integralet.

2.78 a 15 8 b 2,67 3

c ln 2

28 3

b

4 3

2.88 a 3 ln jxj þ C 1 b e4x þ C 4 2.89 2 a þC x 1 b þC 2x2

2.95 a —

2.96 x

c 3e e x

þC

a areal lik

7 2

3 2 c 2 b

c 2 ln jx 2j þ C

7 , som er det samme 2 som arealet vi fant i oppgave a. Når arealet ligger over x-aksen, er arealet og integralet det samme.

d Integralet er

b 8

2.97 e 2 b 4

b

2.87

2

b 24,73

2.80 a —

2.92 a — 1 b x 2 þ 4 ln jxj þ C 2

2.86 b e 1

2.91 pffiffiffiffiffi a 2 x3 þ C 2 pffiffiffiffi3ffi 1 b x þ þC 3 x2 2x c e þ C

c 4

c

a 7x þ C

2.79 a —

1 2

2.85

b n ¼ 10 gir med venstre trappesum 0,45 og med høyre trappesum 0,55. n ¼ 50 gir med venstre trappesum 0,49 og med høyre trappesum 0,51.

2.76 a 4

16 5,33 c 3

2.84 a 8

2.75 4 a 3

2.90 1,72x þC a ln 1,72 1,35x b 200 þC ln 1,35 0,8x c 1500 þC ln 0,8


398 Fasit

2.98 a 6 ln 6 4 ln 4 4 1,21

2.110 a f ðtÞ ¼ 150 000 1,006t

2.119 a x2 þ 2 ln j2x þ 1j þ C

b 2e þ 6 ln 6 14 2,19

b f ð91Þ 216 057 l

b 10e

2x

þC

c ca. 16 618 500 l

2.99 a —

2.100 a —

2.111 a 391 innbyggere

2.120 2 þC a 2 x b 2 ln jx2 þ xj þ C

b 3163 innbyggere

c ex þ C

d ca. 4,7 l

9 b 2

b 9

3

c 395 innbyggere

2.101 A–1, B–5, C–2, D–3, E–4 2.102 a ca. 22 800 kr

2.112 a x2 ð2 ln x 1Þ þ C b ðx 2Þex þ C

b ca. 950 kr

2.103 a 150 kWh og 25,5 kWh b På dag nr. 23 i året, ca. 154 kWh per dag c 17 662,5 kWh d 8946 kWh

2.104 a 26 000 m ¼ 26 km

c ð2x 1Þe2x þ C

2.113 Det gir et enklere integral på høyre side enn det integralet vi startet med. 2.114 1 1 þC a ln x þ 3x3 3 b ðx 3 3x2 þ 6x 6Þex þ C

2.105 ca. 1780 2.106 a —

b ca. 625 personer

2.107 a — b 2857. I løpet av de første 20 ukene er det totalt 2857 deltakere på turn. c 131 deltakere i snitt per uke

2.108 a —

b ca. 170 000 kr

2.109 ca. 7,5 minutter

b ln

7 3

2.122 a e 1 b ln ðe þ 1Þ ln 2 ¼ ln

c 2

eþ1 2

2.123 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi R a f ðxÞ d x ¼ x2 þ 1 þ C pffiffiffi b 2 1 2.124 a ln jx þ 3j þ C

c xððln xÞ2 2 ln x þ 2Þ þ C

b ln j4 xj þ C

2.115 x ln x x þ C

c

b 80 m=s c 20 km

2.121 a 3

1 ln j5x þ 2j þ C 5

2.116 1 a 2x3 ln x þC 3 1 1 þC b x 2 ðln xÞ2 ln x þ 2 2

2.125 1 1 a ln jxj ln jx þ 2j þ C 2 2 b ln jxj þ ln jx 2j þ C 1 ln jxj ln jx þ 6j þ C c 6

2.117 Det ser ut til at Stig har integrert faktorene i et produkt hver for seg, på samme måte som vi integrerer hvert av leddene hver for seg i en sum.

2.126 a ln jx 2j þ 2x þ C 1 b 4 ln jx þ 2j þ x2 2x þ C 2 c ln jx þ 2j ln jx 3j þ C

2.118 1 a ð2x þ 5Þ4 þ C 8 1 b ð5 xÞ6 þ C 6

2.127 a A ¼ 2 og B ¼ 2 x b 2 ln þC xþ1

pffiffiffi 2


Kapittel 2 399

2.128 a ln jx 2j 2 ln jx þ 3j þ C

2.137 a k ¼ 1 eller k ¼ 3

b ln jx þ 1j þ 2 ln jx 3j þ C

b k ¼ 2 eller k ¼ 4

c 2 ln jxj ln jx 1j þ 4 ln jx þ 1j þ C

2.129 1 7 a x ln jxj þ ln jx þ 2j þ C 2 2 b 1 ln jx 1j þ 4 ln jx 2j þ x2 þ 3x þ C 2 c 3 ln jx 1j þ 8 ln jx 2j þ x þ C

2.138 a 2ex ðx 1Þ þ C 1 1 b x 3 ln jxj þC 3 3 2.139 a 4

b 4

2.130 a ln jx 1j þ ln jx 2j þ C

2.140 a —

b ln jx2 3x þ 2j þ C

b Siri tjener totalt 13 386 916 kr. Jenny tjener 12 234 000 kr. Tallene representerer total lønn gjennom alle arbeidsår (livslønn).

c Reglene for logaritmer gir at ln jx 1j þ ln jx 2j ¼ ln ðx 1Þðx 2Þ ¼ ln ðx2 3x þ 2Þ.

2.131 Lucas har integrert med delbrøkoppspalting. Vi kan i tillegg integrere ved variabelskifte, som gir løsningen ln jx2 4j þ C. 2.132 a ln jxj þ x þ C 1 þC b ex þ 1 c ex ln ðex þ 1Þ þ C 2.133 a ax þ C 1 b xa þ 1 þ C aþ1 2.134 211 a 5

2.141 a 2 b 6 c Integralet gir negativ verdi under x-aksen, men et areal må vi tolke til positiv verdi.

1 148. e

2.143 a f ðxÞ ¼ 2 300 000 0,955x b ca. 8,4 millioner liter

2.144 — b 1

2.135 a 2,3 dl b Hver innbygger drakk totalt ca. 82 liter melk i 2021.

2.136 a — b ca. 324 enheter c ca. 16 445 enheter

a Arealet b

2.145 1 8 a e7x þ 2x2 þ C 7 1 2 b e x þ C 2 1 3x c e þC 3

9 2

9 2 Integralet er likt med arealet.

2.147 a —

b 32

2.148 29 ¼ 7,25 a 4 33 b ¼ 8,25 4 c Arealet i A er mindre enn arealet i B fordi hele området under grafen ikke er dekket. d —

2.149 Svaret avhenger av metoden. 85 ¼ 10,625. Eksakt svar er 8 2.150 a 2

2.142 Arealet er e5

2.146

b

þ3 3

2.151 a —

b 2

2.152 3 2.153 a ax2 3x þ C 1 1 b ax3 bx2 þ C 3 2 pffiffiffi c 2a x þ C 5 d x 2 þ ae x þ C 2 2.154 e2

c

3 4


400 Fasit

2.155 a 18

2.164 b 15 og 21

c 18

d Summen av de to rekkene er den samme som øvre trappesum og nedre trappesum når 1x ¼ 1. Ettersom grafen til f er lineær, blir gjennomsnittet av summene det samme som arealet vi fant i oppgave a.

2.156 a A ¼ 1, B ¼ 2 og C ¼ 3 b ln jx 1j þ 2 ln jx 2j 3 ln jx 3j þ C

2.174 1 1 a x 3 þ 3x þ e2x þ C 3 2 1 2 1 b e þ 4 4

1 4,44 ln 2 0,15 b 1,07 ln 1,15 0,5 0,72 c ln 0,5 a 3þ

2.175 a 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b 4 2x2 1 þ C

2.165 2 Eksakt areal er . 3

2.166 a 3,5

b 11

c 7,5

b —

a ex þ C

2.158 1 a ln jx3 þ 1j þ C 3 1 b ln jx4 þ 2xj þ C 2 1 c ln ð2ex þ 2Þ þ C 2

2.169 a —

c —

b —

d 9

2.159

2.171 2x þC a ln 2 1,17x b þC ln 1,17

b

9 2

2.160 — 2.161 a x3 4x b 2x þ x þ 1 3

2

c x þx þx þxþ2 4

3

2

2.162 a x¼

3 2

b 38

2.163 1 2 x x þ 1 ex þ C 2

c e 1

2.168 a ¼ 38

11 6

3xÞ

> 0 for alle x.

d Grafen til f avtar for x 2 h 1, 1i. Grafen til f vokser for x 2 h , 1i [ h1, !i. Toppunkt ð 1, 1,08Þ og bunnpunkt ð1, 0,52Þ. e a 2,23

2.177 a ca. 2,9 år b 130 millioner kroner

2.170 f ðxÞ ¼ x2 2x 3

c

1ðx 3

b 33

c —

2.157 a 2 ln jx þ 1j þ 3 ln jx 2j þ C 1 1 b ln jx 1j ln jx þ 1j þ C 2 2

a 3

xþ1 þC xþ3

2.176 pffiffiffi pffiffiffi a ð 3, 0Þ, ð0, 0Þ og ð 3, 0Þ

2.167 2

c ln

c ca. 1 738 219 000 kr

2.178 c e 2x þ C d

2.172 1 a x 3 þ 2x2 þ 3x þ C 3 1 1 þC b x 2 ln x 2 2 2.173 1 1 x e2x þ C a 2 2 b 3 ln jx þ 2j þ C

2 pffiffiffi x x ln x þ C 3

a —

b —

c

2 6

2.179 — 2.180 a etter litt over 16,5 timer b — c ca. 15,2

2.181 a 15, 165 og 15 b størst 175 etter 40 dager c øker med seks bøker per dag d minker med to bøker per dag e 9733 f 68 dager


Kapittel 3 401

2.182 a Størst innhøsting på den sjuende dagen, x ¼ 6,25.

3.6 a —

3.10 a —

b i mars 2012

b Innhøstingen avtar mest på den trettende dagen, x ¼ 12,5.

c —

b xverdier = range(len(år)) (der år er lista med årstall)

c — d 488 281 kg. Dette viser den samlede innhøstingen av epler disse 25 dagene.

2.183 a 5 715 000

b 5 712 643

Kapittel 3 3.1 a — b — c ca. 35 dm2 d Sidelengden er ca. 3,4 dm, og høyden er 1,7 dm.

3.2 a modell 3 b omtrent 40 kWh

3.3 a 10 minutter. b luftfuktighet, individuellle forskjeller, hvilken del av kroppen som eksponeres

3.4 a — b ca. 3683 kr c ca. 94 kr per måned

3.5 a for eksempel 6000 kr (1000 kr per person) x þ 6000 b PðxÞ ¼ 6 c 9000 kr (gitt anslaget i oppgave a)

d f 0 ð10Þ ¼ 30. I 2020 vokser folketallet i Norge med 30 000 personer per år.

c f ðxÞ 155 0,950x

e —

e —

3.7 a —

b 7,6 g

c 18,8 cm

d I oppgave b bruker vi modellen innenfor det gitte dataområdet. I oppgave c bruker vi modellen til å beskrive utvikling ut over dataområdet. Vi regner oftest at anslaget er sikrest innenfor et gitt dataområde, så oppgave b er det sikreste.

3.8 a lðvÞ ¼ 0,0071v2 þ 0,074v 1,3425 b lðvÞ ¼ 0,0078v2,0038 c andregradsmodell: 109 m potensmodell: 114 m d Begge modellene stemmer bra med målingene, men vi trenger målinger for høyere fart for å avgjøre. Kun potensmodellen gir bremselengde null når farten er null. Potensmodellen er tilnærmet lik 0,008v 2 . Derfor er bremselengden tilnærmet proporsjonal med v2 .

3.9 a — b print(popt) Da gir koden «[1.00052609e+03 9.98637817e+02 6.99838094e-01]». Det betyr: 1000,5 f ðxÞ ¼ 1 þ 999,0e 0,70x

d 5%

3.11 — 3.12 a Eksponentialmodell b Lineær modell c Tredjegradsmodell

3.13 a gðxÞ treffer punktene best. b gð12Þ 49 000 kr hð12Þ 96 000 kr c hðxÞ, siden det er lite som tyder på at verdien vil falle brått.

3.14 a — b f 0 ð5Þ 0,015. Den femte dagen avtar oksygeninnholdet med 0,015 milligram per liter. f 0 ð15Þ 0,0032. Den femtende dagen øker oksygeninnholdet med 0,0032 milligram per liter. c — d etter 20 dager

3.15 a — b etter ca. sju år c ca. 5 942 000 kr

3.16 —


402 Fasit

3.17 -6.0 -5.9 -5.8 -5.7 ... 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7.0

26.6 26.2 25.8 25.4 -23.4 -23.8 -24.2 -24.6 -25.0 -25.4

d Datasettet viser kun et utsnitt av befolkningsutviklingen. Målepunktene kan likevel tenkes å følge en logistisk vekstkurve. Midtpartiet på en logistisk vekstkurve ser tilnærmet lineært ut.

3.24 Vi bruker en modell for logistisk vekst. 3.25 a f ðxÞ ¼ 11 253 1,00016x

3.29 a f ðxÞ ¼ 27,56x2 þ 206,22x þ 4802 b 4896 c ca. 124. I 2020 avtar tilflyttingen med 124 personer per år. d ca. 30 540. Den totale tilflyttingen til kommunen fra 2014 til 2020 er 30 540 personer. e ca. 5090 personer

b 42 044 556 MWh

3.30 a —

3.18 —

c Modellen avviker med 5608 MWh, omtrent 0,1 promille.

b eksponentialfunksjon

3.19 0.000, 0.100, 0.200, 0.300, 0.400, ... 9.600, 9.700, 9.800, 9.900, 10.000,

3.26 a Bruk pd.read_csv('covid19norge.csv', sep=';', comment='#', decimal='.').

5000.000 5024.522 5049.168 5073.936 5098.829

Plukk ut 12. mars til 20. mai med andel = andel[20:90]. b —

8013.965 8053.595 8093.424 8133.452 8173.681

3.20 — 3.21 — 3.22 — 3.23 a — b — c Vi kan prøve ulike par av bæreevne og proporsjonalitetskonstant, noe som gir en logistisk vekst som modell. Det passer ganske bra med B ¼ 15 109 og k ¼ 0,024.

c I while-løkka har vi uttrykket for logistisk modell, for eksempel y = y + delta_x * k * y * (1 - y/B). d Modellen passer greit i starten, men etter hvert ikke veldig godt. Det kan henge sammen med blant annet at det ble iverksatt strenge tiltak fra myndighetene for å dempe smitten.

Avgjør om påstanden stemmer 1 sann 4 usann 7 usann 2 sann

5 sann

8 sann

3 usann

6 usann

9 sann

3.27 A–3, C–2, D–5, E–1, F–4 (B viser en hyperbel.)

3.28 a — b ca. 324 enheter c ca. 16 400 enheter

c B=100 y = y + delta_x * k * y * (1 - y/B)

3.31 a TðxÞ ¼ 0,0051x2 0,98x þ 80 b TðxÞ ¼ 76,4 0,99x c 12,7 C. Nei, det stemmer dårlig med romtemperaturen på 23 C. Modellen treffer heller ikke punktene særlig godt. d Td ðxÞ ¼ 57,4 0,981x e ca. 8 minutter før

3.32 a — b 4,2 år, 6800 innbyggere c g 0 ð2Þ 244 og g 0 ð6Þ 286. Etter to år vokser folketallet med 244 personer per år. Etter seks år vokser folketallet med 286 personer per år.

3.33 a ca. 4,2 C. b nedbørsmengde, type nedbør, solforhold, vindstyrke og vindretning c Hele verden deles inn i et rutenett, og man bruker et stort antall målinger av temperatur, vindstyrke, vindretning, lufttrykk, luftfuktighet, nedbør, solinnstråling osv.


Kapittel 3 403

3.34 a f ðxÞ ¼ 41,5 0,92x b ca. 27,4 millioner c — d ca. 23 år

3.35 a — b 96 slag per minutt c 4241,67. Hjertet har slått om lag 4242 ganger til sammen under løpeturen.

3.36 arealet 0,0625 m2 3.37 a — b — c — d l ¼ 29,7 2x e 0 < x < 10,5 f — g — h ca. 1,13 liter (1130 cm3 )

3.38 a — b ca. 275 kJ=døgn c ca. 455 gram d f 0 ð200Þ 1 I følge modellen vil en fugl som veier 200 gram trenge energiøkningen 1 kJ per døgn. e —

3.39 a vðxÞ ¼ 0,0353x 2 þ 0,920x þ 3,81 b — c 6,3 kg

3.40 y1 ¼ 101,7 0,895x y2 ¼ 0,44x2 þ 6,21x þ 62,71 y3 ¼ 1,9x þ 60,1

3.41 a f ðxÞ ¼ 0,021x3 þ 0,13x 2 þ 2,83x þ 51

3.47 —

b 0 x 8. Ifølge funksjonen vil høyden avta fra rundt 9 måneders alder, og det stemmer ikke.

3.48 -5 -15 -4.5 -14.0

3.42 — 3.43 a f ðxÞ ¼ 11,6x þ 113,2 b gðxÞ ¼ 116,4 1,076x c — d Salget øker med 11 til 12 hybridbiler hvert år. e Salget øker med rundt 7–8 % hvert år. f Den eksponentielle modellen treffer punktene best, og vi ser at salget av hybridbiler hvert år har økt i perioden. Altså er den eksponentielle modellen best.

-4.0 -3.5 ... 3.5 4.0 4.5 5.0 3.49 a —

-13.0 -12.0 2.0 3.0 4.0 5.0

b f ðxÞ ¼ ex

3.50 — 3.51 —

g Lineær modell: 298 Eksponentiell modell: 377

3.52 a —

h Vi kan anta at den eksponentielle utviklingen fortsetter de neste årene, men vi kan ikke si noe sikkert uten å vite mer. På lang sikt vil en eksponentiell modell gi for høyt salg.

b Med bæreevne 290 millioner og proporsjonalitetskonstant 0,025 treffer vi ganske bra.

3.44 —

c Treffer godt datasettet fram til 1840 med bæreevne 310 millioner og proporsjonalitetskonstant 0,031. Da får vi at folketallet i 1940 er 170 millioner. Datasettet viser at folketallet er på 132 millioner. Vår modell er ikke like god som Verhulst sin.

3.45 a —

c 2106

b —

d —

3.46 a Det har vært størst prosentvis økning i aldersgruppen 9–15 år. b f ðxÞ ¼ 9,75x þ 65,5, der f ðxÞ er Internett-bruk målt i antall minutter per dag, og der x er antall år etter 2010.

3.53 a B 250 ca. 250 dyr b Legg til denne koden i slutten av while-løkka: 1 2

if abs(10-x) <0.1: print(y)


404 Fasit

3.54 a f ðtÞ ¼ 500 1,04t b ca. 7662 kr

3.60 a for eksempel f ðxÞ ¼ 0,37x2 þ 5,29x 0,51

f Omkretsen går mot uendelig.

b ca. 102

g Arealet går mot null.

3.55 —

c Bilen kjører totalt ca. 102 meter de første åtte sekundene.

3.56 a f ðxÞ ¼ 0,46x þ 25,6 b —

3.61 a Eksponentialfunksjon passer greit, for eksempel f ðxÞ ¼ 1,71 1,125x .

c ja

b —

d 6,75, 10,125 e OðnÞ ¼ 2 1,5n

3.70 a A ¼ 10, B ¼ 4 b —

3.71 180 kr per time

d ca. 14 dager tidligere e Det er stor variasjon, men likevel en tydelig trend. For eksempel sprang bjørka ut etter 20. april hele 8 av de 10 første årene i tabellen, men kun 2 av de 10 siste årene.

3.57 a 28 ruter b — c 4 ð8 1Þ, 4 ð8 2Þ þ 4, 2

4 8 4, 8 ð8 2Þ 2

d 2n þ 2ðn 2Þ, 4ðn 1Þ, 4ðn 2Þ þ 4, 4n 4, n2 ðn 2Þ2 e 4n 4 f f ðnÞ ¼ 4n 4 g Stigningstallet er 4. Når vi øker sidekanten med én rute, øker antall ruter i ytre ramme med fire. h 63 001 ruter

3.58 — 3.59 a —

3.62 283 a f ðxÞ 1 þ 1,15e 0,32x b 270 enheter

d 4,2 år e x ¼ 4,2 Elsykkelens verdi er halvert etter 4,2 år.

b 60 % c — d Det sjette døgnet

3.63 —

e omtrent 20 %

3.64 a f ðxÞ ¼ 30 000 0,86x

3.73 a —

b —

b år 2025

c —

c ca. 914,376. Netflix hadde en samlet inntekt på ca. 914 milliarder kroner i perioden 2005–2019.

3.65 1 f ðxÞ ¼ x 3 2x2 þ x þ 5 3

3.74 a —

b 15 mg

c 45 mg

3.66 1

Potensmodell: f ðxÞ ¼ x2

3.75 a gðtÞ ¼

3.67 a —

c —

b —

d ca. 138 slag per minutt

90,0 1 þ 38,6 e 0,59t

b t ¼ 11,0 altså slutten av november 2021. c nei d —

3.68 a 16,6 timer

c etter ca. 8,6 timer

b 15,2 mg

d etter 17 timer

b slitasje, vedlikehold, skader c 22 400 kr, ca. 14 697 kr

3.72 a N ¼ 0,6, a ¼ 39,k ¼ 0,156.

3.69 a 1, 3, 9 og 27 trekanter b 3n 1 trekanter c 32 0,5 ¼ 4,5

e 89,4 Prosentandelen som er immune har samlet økt med 89,4 % fra midten av januar 2021 til midten av januar 2022.


Kapittel 4 405

Kapittel 4

4.7 2120 kr

4.1 a KðxÞ ¼ 2,80x þ 6500 , x 2 ½1000, 5000 b 17 700 kr per dag c Faste kostnader: fast lønn, husleie, renter på lån, faste strømutgifter Variable kostnader: ingredienser, strømbruk til ovner og eltemaskiner, materialer

b x ¼ 104,8 og x ¼ 795,2

4.8 a 80 kr c 75 kr

c 450 softis, 3575 kr

4.9 a 632 enheter per uke

4.15 a OðxÞ ¼ 0,05x2 þ 10x 200 O0 ðxÞ ¼ 0,1x þ 10

20 000 x

c x 632,46

b 133 000 kr per uke, 278 000 kr per uke c Det betyr at produksjonskostnaden per skopar øker. Dette kan skyldes overtidsbetaling, slitasje på utstyr, økt strømbruk, knapphet på materialer osv.

4.3 a KðxÞ ¼ 0,057x 2 þ 38x þ 1299

Enhetskostnaden er lavest når det produseres 632–633 enheter per dag.

c 17 829 kr (ev. 17 808 med flere sifre i modellen)

4.4 a KðxÞ ¼ 0,00036x3 0,886x þ 807,6x þ 87400 b 810 enheter per uke

4.5 a EðxÞ ¼ 0,15x þ 470 þ 23 x000 b 495 000 kr, 618,75 kr d 392 enheter per uke, 587,50 kr

4.6 2500 x

b 116,1 kr c 250 enheter per dag

4.16 a p er utgangsprisen, og k er et uttrykk for prisreduksjonen når salget øker. b 3250 kr

4.10 —

4.17 —

4.11 a IðxÞ ¼ 0,08x 2 þ 470x

4.18

4.12 a pðxÞ ¼ 0,023x þ 79,9 b IðxÞ ¼ 0,023x2 þ 79,9x c — d 272

4.13 a — b Inntekt 13 600 kr, kostnad 11 780 kr og overskudd 1820 kr. c OðxÞ ¼ 1,8x2 þ 180x 2500

c øker

b 100 enheter

d —

b 448 800 kr

b 1299 kr

a EðxÞ ¼ 0,04x þ 72 þ

Isboden går med overskudd når den selger mellom 105 og 795 softis per dag.

b 40 enheter per uke

b EðxÞ ¼ 0,05x þ 40 þ

4.2 a —

4.14 a OðxÞ ¼ 0,03x2 þ 27x 2500

d — e 36 kr=enhet. Ved produksjon av 40 enheter i uka øker overskuddet med omtrent 36 kr per nye enhet bedriften produserer. f 50 enheter i uka Overskuddet er 2000 kr.

EðxÞ ¼ 5,8x þ 660 þ

23 000 x

4.19 a I 0 ðxÞ ¼ 0,1x þ 800, K 0 ðxÞ ¼ 0,2x þ 500 b 750 kr c 600 kr d Ja, siden inntekten øker mer en kostnaden.

4.20 a I 0 ðxÞ ¼ 0,6x þ 85, K 0 ðxÞ ¼ 0,16x þ 30 b I 0 ð150Þ ¼ 76, K 0 ð150Þ ¼ 54 Inntekten øker med omtrent 76 kr hvis produksjonen øker med én enhet fra 150 til 151 enheter. Kostnaden øker med omtrent 54 kr hvis produksjonen øker med én enhet fra 150 til 151 enheter. c Ja, siden inntekten øker mer en kostnaden.


406 Fasit

4.21 200 enheter per dag

4.27 a 264 enheter

Avgjør om påstandene stemmer 1 usann 5 usann 8 sann

b 51,55 kr

2 usann

6 sann

9 sann

c IðpÞ ¼ 650p e

3 sann

7 usann

10 sann

d 15 941 kr per uke

4 usann

c 100 enheter per dag

4.28 a 180

4.35 a 40 kr

c øke

d —

c —

b 600 kr

d 850 kr

b 50 kr

d 50 kr

4.23 a K 0 ðxÞ ¼ 0,28x þ 68,

4.29 a 560, 33 600 kr

4.36 a 75 kr

b 520, 36 400 kr

b IðxÞ ¼ 0,5x2 þ 150x

b —

c pðqÞ ¼ 0,25q þ 200

c 150 enheter per dag

c 88,90 kr

d 100, 40 000 kr

4.24 a 1 014 800 kr

4.30 a pðqÞ ¼ 369 50 ln q

4.22 a I 0 ðxÞ ¼ 0,34x þ 134, K 0 ðxÞ ¼ 0,26x þ 74 b —

EðxÞ ¼ 0,14x þ 68 þ

b

780 x

IðxÞ ¼ x þ 2400, KðxÞ ¼ 0,0012x2 1,8x þ 1400

0,015p

b IðxÞ ¼ 50x ln x þ 369x

4.37 a KðxÞ ¼ 0,0031x2 1,76x þ 10 610 b enhetskostnad 9,75 kr, grensekostnad 10,65 kr

b —

4.38 a inntekt 565 000 kr, kostnad 325 000 kr og overskudd 240 000 kr

c 25 kr

b

d 1305 enheter per måned

d —

EðxÞ ¼ 0,0024x2 1,6x þ 720 þ

e —

e 4855 kr, 38 kr

c Grenseinntekt 1200 kr, grensekostnad 968 kr. Bedriften må øke produksjonen.

f

EðxÞ ¼

4.31 a IðpÞ ¼ 1400p e 0,04p , p 2 ½20, 60

f 306

70 000 0,0004x 0,9x þ 1400 þ x g — 2

4.25 a grenseinntekt 1000 kr, grensekostnad 2000 kr b Redusere produksjonen. 0

c O ð300Þ ¼ 1000. Når produksjonen øker med én enhet fra 300 til 301 per måned, reduseres overskuddet med omtrent 1000 kr.

4.32 a 15,81 kr b — c ð400, 6324,6Þ, 400 boller per dag d 3290 kr per uke e 343, 18 kr

4.33 —

d O0 ð300Þ ¼ I 0 ð300Þ K 0 ð300Þ

4.34 a —

4.26 OðxÞ ¼ 7,5x2 þ 3500x 225 000

b 3975 kr, 16 enheter (eller 3978 kr ved 16,44 enheter per dag i gjennomsnitt)

65 000 x

706 kr c overskudd ved produksjon mellom 73 og 731 enheter i uka d 456 enheter Størst overskudd er om lag 245 150 kr per uke. e I 0 ðxÞ ¼ 1,8x þ 1580, KðxÞ ¼ 0,0072x2 3,2x þ 720 f x 456,2 Overskuddet er størst når produksjonen er 456 enheter per uka. g ð412,8, 625,95Þ Den minste enhetskostnaden er om lag 626 kr ved produksjon av 413 enheter per uke.


Kapittel 4 407

4.39 a OðpÞ ¼ ð700p 12600Þe 0,016p 2100, p 2 ½50, 100 b 9967 kr c 80,50 kr per enhet og 193 enheter

4.40 a KðxÞ ¼ 0,278x 2 þ 268x þ 12 475

4.48 —

4.58 a 100 enheter

4.49 —

b O0 ð80Þ ¼ 16. Når produksjonen økes fra 40 til 41 enheter, øker overskuddet med omtrent 16 kr.

4.50 —

4.59 a 200

c 200 enheter

b 36

d 36 kr

4.51 a OðxÞ ¼ 0,3x2 þ 48x 1000

b 12 475 kr c 64 690 kr

b 80 enheter per dag

4.41 a 11 000 kr

c 110 kr

b 9000 kr

4.52 a nei, 500 kr i underskudd b 40 kr

4.42

c 50 enheter per dag

128 a EðxÞ ¼ 0,5x þ 10 þ x b 26 kr, 16 enheter per dag

d 1000 kr

4.43 a 21,4 %

c 5,3 %

b 11,3 %

4.44 4000 x b Kostnad 25 000 kr, enhetskostnad 250 kr

a EðxÞ ¼ 0,1x þ 200 þ

4.53 a OðxÞ ¼ 0,3x2 þ 60x 1880 b x ¼ 100 enheter, 1120 kr

4.54 a —

d 240 kr, 200 enheter per uke

b 355 000 kr c 522 briller i uka, ca. 356 100 kr

4.46 KðxÞ ¼ 4x2 þ 1200x þ 34 000 4.47 a — b kostnad 30 000 kr, enhetskostnad 150 kr c — d —

4.61

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b2 3ac og a x¼ 3a pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b þ b2 3ac x¼ 3a b — pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b b2 3ac c x¼ 3a b

4.62 a — b KðxÞ ¼ 0,4x2 þ 70x þ 12 000

b 300 enheter per måned

c Avta

b a ¼ 0,1, b ¼ 20, c ¼ 800, KðxÞ ¼ 0,1x2 þ 20x þ 800

b Svaret blir 300 uansett.

c x ¼ 39 og x ¼ 161

4.55 a mellom 129 og 915 briller i uka

4.45 a —

4.60 a —

4.56 a OðxÞ ¼ 0,15x2 þ 30x 1440 b x ¼ 80 og x ¼ 120

4.63 a IðxÞ ¼ 40x 0,002x2 b 24 kr, 128 000 kr

4.64 a K 0 ðxÞ ¼ 0,4x þ 80, I 0 ðxÞ ¼ 0,6x þ 280 b x ¼ 200. Vinningsoptimal produksjon er 200 enheter per dag.

c Maksimal profitt er 60 000 kr. Da produserer de 100 bildeler.

c 15 500 kr

4.57 a IðxÞ ¼ 0,01x 2 þ 137,6x þ 6647

e x ¼ 150

b — c 172 enheter

d EðxÞ ¼ 0,2x þ 80 þ

f 140 kr

4500 x


408 Fasit

4.65 a ved 64 170 og 2 397 370 konsoller i måneden

4.74 a 410 enheter per dag, 250 enheter per dag

b IðxÞ ¼ 0,0024x þ 7,2, KðxÞ ¼ 0,0028x þ 0,8

b 12 300 kr, 12 500 kr c 40,82 kr

c ð1230,8, 4,25Þ

b 139,7 kr

d 333 enheter per dag

c ca. 100 kr

4.75 a 163 500 kr

4.83 a K 0 ð400Þ ¼ 320, I 0 ð400Þ ¼ 390

d 1,23 millioer enheter i måneden, 3,54 millioner kr per måned

4.66 KðxÞ ¼ 0,02x2 þ 60x þ 7000

b 98 000 kr c KðxÞ ¼ 0,15x þ 1600x þ 2000 2

d 1635 kr

4.67 a 50 kr

4.82 a KðxÞ ¼ 0,0146x3 þ 2,477x2 þ 1,596x þ 1144

Bedriften kan øke overskuddet ved å produsere flere enheter per uke. b 500 c 225 000 kr

Det koster rundt 50 kr å øke produksjonen fra 60 til 61 enheter.

4.76 a 5 kr, ca. 4600 kr b 920

b 50 kr per enhet, 500 kr per dag

b 524 enheter per uke

4.77 a pðqÞ ¼ 2000 2q pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b pðqÞ ¼ 4000 10q c pðqÞ ¼ e4 0,0025q

4.68 — 4.69 a ¼ 0,027, b ¼ 45

4.84 a — c 1000 enheter per uke, 29 000 kr per uke d 300 kr per enhet

b 55 enheter per dag

4.78 a IðpÞ ¼ 1200p p3

c 56 enheter per dag, 666 kr

b 20 kr

4.85 a c er faste kostnader, b er den proporsjonale kostnaden per enhet. c b EðxÞ ¼ ax þ b þ x c —

c ca. 5870 kr

d —

d 22,84 kr, 678

e E00 ðxÞ ¼

d pðqÞ ¼

4.70 a —

4.71 Ja, OðxÞ ¼ 0,3x2 þ 300 þ C, men x-verdien i ekstremalpunktet er uavhengig av konstanten C.

4.79 a 20 kr per enhet b —

4.72 EðxÞ ¼ 1,8x þ 270 þ

lnð60 0,002qÞ ln 1,04

16 000 x

c — d ca. 10 000 kr e 1400 enheter, 27 kr

4.73 a 510 enheter per uke, 480 enheter per uke

4.80 a 975 000

b 150 kr

b —

c 450 enheter per uke

c 550 kr, 1400 billetter

4.81 KðxÞ ¼ 0,2x2 þ 45x þ 6000

2c > 0 for x, c > 0 x3

4.86 a — b for eksempel DK ¼ ½500, 1200 c 994 dekk, 177,50 kr d 55 100 kr e 292 kr

4.87 —


Kapittel 5 409

4.88 a IðpÞ ¼ 800pe 0,0013p , p 2 ½400, 700

4.95 a —

b —

b —

c 769,20 kr d — e 131 enheter, ca. 68 340 kr

4.103 a — b 671 enheter per måned

0,2x 2000 og x2 E 0 ðxÞ ¼ 0,2 2000x 2

c E 0 ðxÞ ¼

2

d 100

f 1392 kr

e —

4.89 a I 0 ðxÞ ¼ 4x þ 600, K 0 ðxÞ ¼ 2,4x2 64x þ 700 b x ¼ 1,796 eller x ¼ 23,204 c Ved produksjon og salg av 1796 enheter per måned er underskuddet størst. Ved produksjon og salg av 23 204 enheter per måned er overskuddet størst.

4.90 a PðtÞ ¼ 250t2 110t þ 612 b 15 732 kr

4.91 128 x b 26 kr, 16 enheter per dag a EðxÞ ¼ 0,5x þ 10 þ

4.96 475 flytevester per dag 4.97 a kostnad 60 000 kr, grensekostnad 56 kr og enhetskostnad 50 kr b Høyere c k ¼ 0,006

4.98 a Ja, overskuddet vil øke. b 500

c 2750 enheter per måned, 142 250 kr d 253,4 kr, 2335 enheter per måned

4.104 a —

c 905 795 kr

b 20 954 kr

d 51,25 kr

4.105 Størst overskudd er 3213 kr per uke ved en pris på 35 kr per enhet og produksjon av 261 enheter per uke. 4.106 Størst overskudd er 793 kr per dag ved produksjon av 182 enheter per dag.

Kapittel 5

c 282 000

5.1 a 0,23

4.99 a mellom 100 og 400 enheter

b —

b 62,50 kr

c PðX 2Þ ¼ 0,94; PðX > 1Þ ¼ 0,29 og Pð0 X < 3Þ ¼ 0,94

c 250 enheter

5.2 4.100

4.92 — 4.93 a pðqÞ ¼ 0,5q þ 700 b pðqÞ ¼ 10 ln 0,00125q 360 000 c pðqÞ ¼ q2 d pðqÞ ¼

lnð20 0,01qÞ ln 1,1

4.94 EðxÞ ¼ K 0 ðxÞ x E 0 ðxÞ Påstanden stemmer.

100 0 a EðxÞ ¼ x þ 8 þ , K ðxÞ ¼ 2x þ 8 x b 28 kr, 10 enheter per dag

4.101 a K 0 ð100Þ ¼ 5 b — c E 0 ð100Þ ¼ 0,07 Når produksjonen øker med én enhet fra 100 til 101 enheter per dag, reduseres enhetskostnaden med omtrent 0,07 kr.

4.102 a — b a ¼ 15, b ¼ 50, c ¼ 1000

t

0

1

2

3

PðT ¼ tÞ

0,48

0,39

0,11

0,02

5.3 a 0,0563

c 0,8322

b 0,1678

5.4 a 0,1343

c 0,0161

b 0,4415

5.5 3 0,2143 14 5.6 a —

b

2 0,1818 11


410 Fasit

5.7 a 1 0,2880 2 0,2894 b

1 0,1005 2 0,1519

c —

5.8 a Med hypergeometrisk modell: 44,73 % Med binomisk modell: 43,95 % b Med hypergeometrisk modell: 18,24 % Med binomisk modell: 12,94 % c —

5.9 EðXÞ ¼ 9,5 5.10 EðXÞ ¼

b Gjennomsnittet er 5, variansen er 6, pffiffiffi og standardavviket er 6 2,45.

c —

b EðNÞ ¼ 5 og SDðNÞ ¼ 51,23

5.18 Gjennomsnittet er 3,4, variansen er 1,77 og standardavviket er 1,33.

5.28 Forventningsverdien er 18 år, og standardavviket er ca. 3,61 år.

5.19

5.29 —

9 Gjennomsnittet er 3, variansen er og 2 pffiffiffi 3 2 standardavviket er 2,12. 2

5.30 EðSÞ ¼ 13 440 000 kr og SDðSÞ ¼ 71 288,15 kr

5.20 EðXÞ ¼ 1 og VarðXÞ ¼ 1,2

5.31 Forventet samlet vekt er 2952 kg med standardavviket 42 kg.

a EðXÞ ¼

5.22 a

5.12 1,6

5 2

b VarðXÞ ¼

5.32 EðXÞ ¼ 7 og SDðXÞ 2,13

5 4

x

0

1

2

PðX ¼ xÞ

0,3

0,6

0,1

5.33 a Konstant sannsynlighet, uavhengige hendelser og kun to utfall: suksess eller fiasko. b EðXÞ ¼ 2

b EðXÞ ¼ 0,8, VarðXÞ ¼ 0,36 x

0

50

100

PðX ¼ xÞ

17 24

5 24

2 24

b EðXÞ ¼ 18,75. Tivoliet må ta minst 19 kr per spill.

5.14 EðXÞ ¼ 5 5.15 660 kr. Det er utbetaling per kunde i det lange løp. Det vil da være det minste beløpet forsikringsselskapet bør ta når de selger denne forsikringen. 5.16 2,89

5.27 a —

5.21

7 2

5.11 4,7

5.13 a

5.17 a Gjennomsnittet er 5, og variansen er 6.

5.23 Gjennomsnittet er 168,7, og standardavviket er 5,8. 5.24 EðXÞ ¼ 3, EðYÞ ¼ 6000, VarðXÞ ¼ 2 og VarðYÞ ¼ 8 000 000 5.25 a EðYÞ ¼ 12 og VarðYÞ ¼ 54 b EðYÞ ¼ 2 og VarðYÞ ¼ 54 c EðYÞ ¼ 10 og VarðYÞ ¼ 150

5.26 a — b EðXÞ ¼ 2,54, SDðXÞ ¼ 1,30, EðYÞ ¼ 82 700 og SDðYÞ ¼ 6496,92

pffiffiffi 2 3 c SDðXÞ ¼ 1,15 3

5.34 a 0,1056 b 0,0707 Sannsynligheten for at en tilfeldig ansatt tjener over 800 000 kr. c 0,5378 d Pð X þ Þ ¼ 0,6827 Det betyr at 68,27 % av de ansatte har en årslønn som ligger innenfor ett standardavvik fra forventningsverdien. e Pð 2 X þ 2 Þ ¼ 0,9545 Det betyr at 95,45 % av de ansatte har en årslønn som ligger innenfor ett standardavvik fra forventningsverdien.


Kapittel 5 411

5.35 a 0,3125 Dette er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt aksje har en avkasting på mer enn 22 %. b x ¼ 12,88 Sannsynligheten er 30 % for at den årlige avkastningen på en tilfeldig valgt aksje er mindre enn 12,88 %.

5.36 a 6,68 % 5.37 a 0,3192

5.45 0,1817

5.54 a 0,5594 b b a ¼ 118,41

5.47 a 0,2743

b 3624 kr

5.55 P ¼ 0:0036

b 0,0659

Det betyr at P < . Vi forkaster H0 og konkluderer med at det er grunnlag for å si at den nye medisinen er bedre enn den gamle.

5.48 a 0,1829 b 23,42 cm

c 0,4798

5.49 a EðXÞ ¼ 150 og pffiffiffi SDðXÞ ¼ 5 5 11,18 b

b 0,0475

1 0,3274

b 1,46

5.39 a 14 minutter og 24 sekunder b —

5.50 a 0,2517

b 0,1855

5.51 a 0,3920 og 0,3128 b 0,4652 og 0,4387

5.40 a 25,25 % 5.41 a —

b a¼7

b 3631, 3507, 3569

5.42 a — b Denne søylen ligger i midten og er høyere enn de andre søylene.

5.43 0,9332

2 0,5765 c —

5.56 P ¼ 0,1356 Ettersom P > , er det ikke grunnlag for å si at den nye saften er bedre.

2 0,3468

5.38 a 1,03

1 0,5

5.46 a 0,2095

c 0,4890 og 0,4805. d Avvikene mellom svarene blir mindre og mindre når n blir større.

5.52 a Uavhengige hendelser, konstant sannsynlighet, bare to utfall: suksess eller fiasko.

5.57 a H0 : p ¼ 0,263 HA : p < 0,263 b Vi forkaster H0 . Det er grunnlag for mistanken.

5.58 P ¼ 0,0668 Øystein har ikke grunn til å klage.

5.59 a P ¼ 0,0368 Kjøpmannen har grunn til å klage.

b EðXÞ ¼ 36 og VarðXÞ ¼ 10,08

b 17

c

5.60 a P ¼ 0,0397

1 0,2644 2 0,3251

d 0,3183

Hvis ¼ 0,05, forkaster vi H0 . Kjøpmannen har grunn til å klage.

5.44 a EðSÞ ¼ 13 000 000 kr og SDðSÞ ¼ 268 328,16 kr

5.53 a —

Hvis ¼ 0,01, forkaster vi ikke H0 . Kjøpmannen har ikke grunn til å klage.

b 0,772. Sannsynligheten for at 20 tilfeldige av de ansatte har en samlet årslønn på mindre enn 13,2 millioner kroner, er 77,2 %.

c PðX 98Þ ¼ 0,1056

b EðXÞ ¼ 90, SDðXÞ ¼ 6 d PðX 98Þ ¼ 0,1050 Sannsynligheten for at minst 98 av 150 pasienter blir friske av medisinen, er 10,50 %.

b 993,83 g


412 Fasit

5.61 a ¼ 7014 g og ¼ 152 g

5.67 4 EðXÞ ¼ 4 og VarðXÞ ¼ 3

b H0 : ¼ 7014 g HA : < 7014 g c P-verdien er høyere enn signifikansnivået. Vi forkaster derfor ikke H0 og konkluderer med at mistanken til kjøpmannen ikke er berettiget.

5.72 a binomisk sannsynlighetsmodell b 0,3549 c 0,6628

5.68 —

Sannsynligheten for at 18, 19, 20, 21 eller 22 av de spurte er fornøyd med skolen de går på.

5.69 a —

d 34

b 0,0512

5.62 a H0 : ¼ 80,00 mg=ml HA : ¼ 6 80,00 mg=ml b P ¼ 0,0016 og ¼ 0,0025 2 Ettersom P < , forkaster vi H0 og 2 konkluderer med at mistanken er berettiget. 5.63

¼ 0,025 2 Det betyr at P > . Vi forkaster ikke H0 2 og konkluderer med at det ikke er grunnlag for å hevde at maskinen bør justeres. P ¼ 0,0385 og

Avgjør om påstandene stemmer 1 usann 4 sann 7 usann 2 sann

5 usann

3 usann

6 sann

8 usann

d 0,2611 og 0,2266

t

0

1

2

3

PðT ¼ tÞ

0,06

0,23

0,36

0,35

5.65 a Sannsynligheten endrer seg for hvert trekk. 18 b 35 6 c 7 b a ¼ 600 kr

5.73 a

e 0,2660 f

H0 : p ¼ 0,2 HA : p < 0,2

g P ¼ 0,0603 Ettersom P-verdien er høyere enn signifikansnivået, forkaster vi ikke H0 . Det er ikke grunnlag for å hevde at mindre enn 20 % av de innsatte kontrolleres.

5.70 a 0,9522 b EðSÞ ¼ 640, VarðSÞ ¼ 64,8 og SDðSÞ ¼ 8,05

t

0

1

2

3

PðT ¼ tÞ

0,04

0,30

0,48

0,18

b —

5.74 0,1763 5.75 a 0,4762

b 0,7381

5.77 a PðX ¼ xÞ ¼

d H0 : ¼ 8 HA : > 8

b 0,0388

Ettersom P-verdien er lavere enn signifikansnivået, forkaster vi H0 og konkluderer med at det er grunnlag for å hevde at druene egentlig har en høyere forventet masse.

5.71 a — b PðX ¼ 7Þ ¼ 0,1124 og PðX 7Þ ¼ 0,8982 c Pð4

X < 7Þ ¼ 0,5606

c 0,0238

5.76 3 0,4286 7

c 0,2673

e P ¼ 0,0388

5.64

5.66 a p ¼ 0,05

c EðXÞ ¼ 20 og VarðXÞ ¼ 16

20 0,15x 0,8520 x x

c 31 ganger

5.78 7 3 5.79 900 000 kr 5.80 a Forventningsverdien er gjennomsnittet i det lange løp. b Sannsynligheten er den relative frekvensen i det lange løp.

5.81 a p ¼ 0,1

b EðXÞ ¼ 2


Kapittel 5 413

5.82 a 1 0,2 0,1 0,4 0,1 ¼ 0,2

5.91 a —

b k¼4

b EðYÞ ¼ 12950, VarðYÞ ¼ 262 500 og SDðYÞ ¼ 512,35

5.83 a — b

5.92

x

u

50

300

PðX ¼ xÞ

25 36

1 4

1 18

EðXÞ ¼ 1 og VarðXÞ ¼

1 1 1 EðXÞ ¼ , VarðXÞ ¼ og SDðXÞ ¼ 2 4 2

5.85 4 5 og VarðXÞ ¼ 3 9

5.86

5.100 a m er forventningsverdien, og s er standardavviket

b

7 2

X

0

PðX ¼ XÞ 0,52

5.88 5 19 og VarðXÞ ¼ 3 18

5.89 Gjennomsnittet er 5,39, variansen er 10,60, og standardavviket er 3,26

1 2

5.101 a z ¼ 2,06

5.102 ¼ 1,4 og ¼ 0,16

1

2

3

0,38

0,09

0,01

c EðTÞ ¼ 0,59, VarðTÞ ¼ 0,48

5.96 a EðXÞ ¼ 27,19 og SDðXÞ ¼ 0,83 b — c

b Gjennomsnittet er 1,58, variansen er 0,91, og standardavviket er 0,95.

5.103 a —

b 0,8042

5.104 a —

c 0,6393

b 0,1264

d 188,23 cm

5.105 a —

c 0,9104

b 0,9104 y

93,5

97

PðY ¼ yÞ

0,21

0,45

100,5 104 0,28

0,06

EðYÞ ¼ 97,67 og VarðYÞ ¼ 8,5

5.90 a Hun har glemt å multiplisere med frekvensene når hun har regnet ut kvadratavvikene i kolonne D. I tillegg har hun regnet ut standardavviket ved å kvadrere variansen. Standardavviket er kvadratroten av variansen.

c z ¼ 1,82

b z ¼ 1,22

5.95 a EðXÞ ¼ 0,3 og EðYÞ ¼ 0,29, VarðXÞ ¼ 0,27 og VarðYÞ ¼ 0,21

5.87 a — 4 1 2 b a¼ ,b¼ ,c¼ 9 3 9

d Avstanden i x-retning fra forventningsverdien til vendepunktene på grafen til f er ett standardavvik.

5.94 Forventningsverdien er 1250 kr, variansen er 312 500 kr, og standardavviket er 559,02 kr2 .

b

EðXÞ ¼

c 0,5417

b Når vi øker verdien av m, flytter grafen seg mot høyre. Når vi øker verdien av s, blir grafen bredere og lavere.

5.93

5.84

a 6

pffiffiffiffiffi 5 30 EðXÞ ¼ 25, SDðXÞ ¼ 4,56, 6 pffiffiffiffiffi 5 70 EðSÞ ¼ 525, SDðSÞ ¼ 20,92 2

b 0,8810

c x ¼ m þ s og x ¼ m s

c u > 42

EðXÞ ¼

5.99 a 0,0294

d EðYÞ ¼ 97,67 og VarðYÞ ¼ 8,5

5.106 a — b Gjennomsnitt ca. 52 cm. Standardavvik ca 2–3 cm. c Gjennomsnitt 50,4 cm. Standardavvik 2,1 cm.

5.97 a — b EðXÞ ¼

5.107 a EðSÞ ¼ 13 000 000 og SDðSÞ ¼ 268 328,16

c —

b 0,772

5 5 og VarðXÞ ¼ , 2 4 EðYÞ ¼ 5 og VarðXÞ ¼ 125

5.98 a 0,0808

b 0,0139

c 0,8301

5.108 0,0668


414 Fasit

5.109 0,4018

19 27 19 HA : p > 27 P ¼ 0,0109

d H0 : p ¼

5.110 a ¼ 20 000 kr og ¼ 3794,73 kr b ¼ 20 000 kr og ¼ 600 kr

5.111 a EðSÞ ¼ 2 250 000 kr og SDðSÞ ¼ 116 189,50 kr

Vi forkaster H0 og konkluderer med at det er grunnlag for mistanke. e Vi kan godt mistenke deltakeren for juks, men han kan ikke diskvalifiseres. Det må være lov til å ha flaks.

b 0,3335

5.112 a 0,6179

b 0,2420

5.113 0,1056 5.114 a 0,2838 (0,3262 med halvkorreksjon) b 0,1890, (0,2235 med halvkorreksjon)

5.115 a — b Uten halvkorreksjon: 0,0808 med halvkorreksjon: 0,0968 c Uten halvkorreksjon: 0,4967 med halvkorreksjon: 0,5558 d Uten halvkorreksjon: 0,1587 med halvkorreksjon: 0,1841

5.116 a 1 0,1636 2 0,2312 3 0,2235 b Den binomiske sannsynligheten i oppgave c er mest nøyaktig.

5.117 n ¼ 400 og p ¼ 0,2 5.118 a — b — c EðXÞ ¼ 70,37 og SDðXÞ ¼ 4,57

5.119 H0 : ¼ 400 g HA : < 400 g P-verdien er 0,0142 og er altså lavere enn signifikansnivået på 0,05, så vi forkaster H0 . Kjøpmannen har grunn til å klage.

5.120 P ¼ 0,0811. Hvis vi bruker et signifikansnivå på 10 %, forkaster vi H0 og konkluderer med at det er hold i påstanden. Hvis vi bruker et signifikansnivå på 5 % eller lavere, forkaster vi ikke H0 og konkluderer med at ikke det er hold i påstanden. 5.121 Ettersom Hanne tilnærmer med normalfordeling, havner hun på den andre siden av signifikansnivået enn om hun hadde gjort det med en binomisk modell. Skal hun bruke normalfordeling her, må hun bruke en halvkorreksjon for å være mer nøyaktig. 5.122 a P ¼ 0,0228 Dette er lavere enn signifikansnivået, så vi forkaster H0 og konkluderer med at det er grunnlag for å klage til produsenten. b 196,71 g

5.123 H0 : ¼ 3,5 mg=l HA : 6¼ 3,5 mg=l P ¼ 0,0093 og ¼ 0,01 2 Ettersom 0,0093 < 0,01, forkaster vi H0 og konkluderer med at det er grunnlag for å klage til produsenten. 5.124 a H0 : ¼ 740 000 kr HA : < 740 000 kr b 20670 kr < < 29232 kr

5.125 H0 : ¼ 13 % HA : < 13 % ¼ 0,1

5.126 a

x

2

3

6

PðX ¼ xÞ

1 6

1 3

1 2

b EðXÞ ¼

11 74 og VarðXÞ ¼ 8,22 3 9

5.127 a 0,7475

b 0,9522

5.128 a figur 3

b figur 2

c figur 4

5.129 Gjennomsnittet er 6, variansen er 3,67, og standardavviket 1,91. 5.130 a 1 5.131 a 0,9848

b 3

c 2

b 0,8030

d 4

c 8


Kapittel 5 415

5.132 a

x

0

120

400

PðX ¼ xÞ

5 8

1 4

1 8

5.137 Han har funnet forventningsverdien og variansen til en stokastisk variabel med sannsynlighetsfordelingen vist ved denne tabellen:

b — c EðXÞ ¼ 80 kr og VarðXÞ ¼ 17 200 kr

2

d — e —

c Spiller 2 får bare mulighet til å vinne 5 hvis spiller 1 ikke får sekser, altså 6 så mange ganger som spiller 1. Sannsynligheten for at spiller 1 1 6 ¼ . vinner spillet, er 5 11 1þ 6

5.134 13 2,17 og EðXÞ ¼ 6 41 VarðXÞ ¼ 1,14 36

5.135 a 1 plt.plot(ventetid, '.') 2 plt.hist(ventetid, bins=100)

3 — b

0

1

2

3

c —

PðX ¼ xÞ

1 8

3 8

3 8

1 8

d 3

1 plt.plot(utbruddstid, '.') 2 plt.hist(utbruddstid, bins=100)

3 —

d —

5.136 a p ¼ 0,1 b a¼8 c VarðXÞ ¼ 4,2

b 6,68 % d ca. 95 %

b Enten tipper man riktig eller feil, sannsynligheten i hver kamp er 1 konstant lik . Tippingen på hver av 3 kampene er uavhengige hendelser.

5.144 a 90,39 % b 89,34 % c 1,5 %

c 0,000 497

d H0 : ¼ 56,HA : < 56

d 0,999 456

e 55,24 kg

5.139 a 0,9067

c 0,5016

b 0,4984

d 0,5797

5.145 a EðXÞ ¼ 8 b — c ca. 12,7 %

5.140 1 a 6 1 b 5 4 c 5 1 4 d þ ¼1 5 5 Det er komplementære hendelser der summen av sannsynlighetene er lik 1.

c plt.plot(utbruddstid, ventetid,'.')

5.143 a 38,3 % c —

5.138 a 312 ¼ 531441

b —

b 10,56 % Sannsynligheten for at en potet veier mellom 0 og 150 gram.

X¼x

Det kan for eksempel være antall kron ved et kast med tre kronestykker.

5.133 a —

5.142 a 38,29 %

5.141 2 1 2 a¼ ,b¼ ,c¼ 5 5 5

5.146 a — b 0,4892 c H0 : ¼ 12 år, HA : < 12 år d p ¼ 0,0139, altså er P < . Vi forkaster H0 og konkluderer med at det er grunnlag for mistanken om at Fremskrittspartiet har fått mindre oppslutning.

5.147 a — b 10,56 % c — d a ¼ 6,58


416 Fasit

5.148 a 20,33 %

5.150 a 62,35 %

5.151 a —

b H0 : p ¼ 0,152 HA : p < 0,152

b 11 minutter og 14 sekunder

5 1 1 b a ¼ , b ¼ og c ¼ 8 4 8

c P ¼ 0,0668 Det betyr at P-verdien er større enn signifikansnivået på 5 %, så vi kan ikke forkaste nullhypotesen.

5.149 a EðXÞ ¼ 1 Vi kan forvente én skade per tre. b — c EðSÞ ¼ 400 og VarðSÞ ¼ 560 d 10,6 %

c

H0 : ¼ 19 075 sek HA : < 19 075 sek

d P ¼ 0,0692 Dette er høyere enn signifikansnivået. Derfor forkaster vi ikke H0 . Det er ikke grunnlag for å hevde at treningsprogrammet har god effekt.


STIKKORD A andregradsmodell 164 annuitetslån 37, 39 antiderivert 88 aritmetisk følge 11 aritmetisk rekke 21 D delbrøkoppspalting 115, 125 delvis integrasjon 115 divergere 46 E eksplisitt formel 16, 19 eksponentiell modell 164 eksponentiell vekst 178, 180 ekstrapolere 166 enhetskostnad, lavest 215 etterspørsel 243 Eulers metode 178 F forkastningsfeil 350 formel – eksplisitt 16, 19 – rekursiv 16 forventningsverdi 286 følge 10 – aritmetisk 11 – geometrisk 13 G geometrisk følge 13 geometrisk rekke 25 gjennomsnitt 110 grenseinntekt 230, 232 grensekostnad 230, 232 gyldighetsområde 166

H halvkorreksjon 339 hypotesetest 343 høyresidig test 346 I integral, ubestemt 93 integrasjon 78 – brøk med lineær nevner 122 – delvis 115 interpolere 166 K konvergensområde 50 konvergere 46 kostnadsfunksjon 208 kupongrente 35 kvadratavvik 293 L laveste enhetskostnad 215 lineær modell 164 logistisk modell 165 logistisk vekst 182–183 lån – annuitetslån 37 – serielån 37 M matematisk modellering 154 mengde, samlet 108–109 modellering 154 – matematisk 154 modelleringsalgoritme 175–176

N nedre trappesum 79 normalfordelingskurven 315 normalfordelingstabellen 321 normalfordelt 315 nullhypotese 344 nåverdi 34 O obligasjon 35 overskudd 224 P P-verdi 345 polynommodell 164 potensmodell 165 problemløsning 57, 118, 234 produksjonsmengde, vinningsoptimal 235 programmering, rekursiv 17 R regresjonsmodell – andregradsmodell 164 – eksponentiell modell 164 – lineær modell 164 – logistisk modell 165 – potensmodell 165 – tredjegradsmodell 165 rekke 21 – aritmetisk 21 – geometrisk 25 rekursiv formel 16 rekursiv programmering 17 rekursjon 17 rente, kupongrente 35


418 Stikkord S samlet mengde 108–109 sannsynlighetsfordeling 272 sentralgrensesetningen 330 serielån 37 6, summetegn 27 signifikansnivå 344 sluttverdi 31 spredningsmål 292 standard normalfordeling 320 standardavvik 292, 294 stokastisk forsøk 272 stokastisk variabel 272 summetegn, 6 27

T tallfølge 10 test – høyresidig 346 – tosidig hypotesetest 353 – venstresidig 346 tilnærmingsverdi 79 tosidig hypotesetest 353 trappesum – nedre 79 – øvre 82 tredjegradsmodell 165 U ubestemt integral 93

V variabel kvotient 50 variabelskifte 115, 120 varians 292 vekst – eksponentiell 178, 180 – logistisk 182–183 venstresidig test 346 vinningsoptimal produksjonsmengde 235 Ø øvre trappesum 82


LÆREPLAN Utdrag fra læreplan i matematikk for samfunnsfag (matematikk S) (MAT04-02).

Kjerneelementer Utforsking og problemløsing Utforsking i matematikk S handler om å lete etter mønstre, finne sammenhenger og diskutere seg fram til en felles forståelse. Utforsking handler om å legge mer vekt på strategiene og framgangsmåtene enn på løsningene. Algoritmisk tenking er viktig i prosessen med å utvikle strategier og framgangsmåter for å løse problemer og innebærer å bryte ned et problem i delproblemer som kan løses systematisk. Videre innebærer det å vurdere om delproblemene best kan løses med eller uten digitale verktøy. Problemløsing i matematikk S handler om å utvikle en metode for å løse et ukjent problem. Det handler også om å analysere og omforme kjente og ukjente problemer, løse dem og vurdere om og når løsningene er gyldige.

Modellering og anvendelser En modell i matematikk S er en beskrivelse av virkeligheten i matematisk språk. Kjerneelementet handler om hvordan modeller i matematikk brukes for å beskrive natur og samfunn. Modellering i matematikk S er å lage slike modeller. Det handler også om å vurdere gyldigheten av og begrensingene til modellene, å vurdere modellene i lys av de opprinnelige situasjonene og å vurdere om de kan brukes i andre situasjoner. Anvendelser i matematikk S handler om kunnskap om hvordan matematikk anvendes i ulike situasjoner, både i og utenfor faget.

Resonnering og argumentasjon Resonnering i matematikk S handler om å kunne følge, vurdere og forstå matematiske tankerekker. Det innebærer å forstå at matematiske regler og resultater ikke er tilfeldige, men har klare begrunnelser. Videre handler det om å utforme egne resonnementer både for å forstå og for å løse problemer. Argumentasjon i matematikk S handler om å begrunne og bevise gyldigheten til framgangsmåter, resonnementer og løsninger.

Representasjon og kommunikasjon Representasjoner i matematikk S er måter å uttrykke matematiske begreper, sammenhenger og problemer på. Representasjoner kan være konkrete, kontekstuelle, visuelle, verbale og symbolske. Det handler også om å forklare og begrunne valg av representasjonsform. Videre handler det om å oversette mellom matematiske representasjoner og språket i andre kontekster og om å veksle mellom ulike representasjoner. Kommunikasjon i matematikk S handler om å bruke matematisk språk i samtaler, argumentasjon og resonnementer.


420 Læreplan

Abstraksjon og generalisering Abstraksjon i matematikk S handler om et formelt symbolspråk og formelle resonnementer. Generalisering i matematikk S handler om å oppdage sammenhenger og strukturer og om å ikke bli presentert for en ferdig løsning. Videre handler det om å utforske begreper og symboler for å uttrykke resultater og sammenhenger ved å bruke algebra og hensiktsmessige representasjoner.

Matematiske kunnskapsområder De matematiske kunnskapsområdene danner kunnskapsgrunnlaget som elevene trenger for å utvikle matematisk forståelse gjennom å utforske sammenhenger innenfor og mellom kunnskapsområdene. Kunnskapsområdene i matematikk S er knyttet til matematisk teori og reelle anvendelser.

Kompetansemål etter matematikk S2 Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter

forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet

analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler

simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene

finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene

argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen

gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet


NORMALFORDELINGSTABELLEN Tabellen viser sannsynligheten PðZ

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

–3,0 0,0013

0,0013

0,0013

0,0012

0,0012

0,0011

0,0011

0,0011

0,0010

0,0010

–2,9 –2,8 –2,7 –2,6 –2,5

0,0019 0,0026 0,0035 0,0047 0,0062

0,0018 0,0025 0,0034 0,0045 0,0060

0,0017 0,0024 0,0033 0,0044 0,0059

0,0017 0,0023 0,0032 0,0043 0,0057

0,0016 0,0023 0,0031 0,0041 0,0055

0,0016 0,0022 0,0030 0,0040 0,0054

0,0015 0,0021 0,0029 0,0039 0,0052

0,0015 0,0021 0,0028 0,0038 0,0051

0,0014 0,0020 0,0027 0,0037 0,0049

0,0014 0,0019 0,0026 0,0036 0,0048

–2,4 –2,3 –2,2 –2,1 –2,0

0,0082 0,0107 0,0139 0,0179 0,0228

0,0080 0,0104 0,0136 0,0174 0,0222

0,0078 0,0102 0,0132 0,0170 0,0217

0,0075 0,0099 0,0129 0,0166 0,0212

0,0073 0,0096 0,0125 0,0162 0,0207

0,0071 0,0094 0,0122 0,0158 0,0202

0,0069 0,0091 0,0119 0,0154 0,0197

0,0068 0,0089 0,0116 0,0150 0,0192

0,0066 0,0087 0,0113 0,0146 0,0188

0,0064 0,0084 0,0110 0,0143 0,0183

–1,9 –1,8 –1,7 –1,6 –1,5

0,0287 0,0359 0,0446 0,0548 0,0668

0,0281 0,0351 0,0436 0,0537 0,0655

0,0274 0,0344 0,0427 0,0526 0,0643

0,0268 0,0336 0,0418 0,0516 0,0630

0,0262 0,0329 0,0409 0,0505 0,0618

0,0256 0,0322 0,0401 0,0495 0,0606

0,0250 0,0314 0,0392 0,0485 0,0594

0,0244 0,0307 0,0384 0,0475 0,0582

0,0239 0,0301 0,0375 0,0465 0,0571

0,0233 0,0294 0,0367 0,0455 0,0559

–1,4 –1,3 –1,2 –1,1 –1,0

0,0808 0,0968 0,1151 0,1357 0,1587

0,0793 0,0951 0,1131 0,1335 0,1562

0,0778 0,0934 0,1112 0,1314 0,1539

0,0764 0,0918 0,1093 0,1292 0,1515

0,0749 0,0901 0,1075 0,1271 0,1492

0,0735 0,0885 0,1056 0,1251 0,1469

0,0721 0,0869 0,1038 0,1230 0,1446

0,0708 0,0853 0,1020 0,1210 0,1423

0,0694 0,0838 0,1003 0,1190 0,1401

0,0681 0,0823 0,0985 0,1170 0,1379

–0,9 –0,8 –0,7 –0,6 –0,5

0,1841 0,2119 0,2420 0,2743 0,3085

0,1814 0,2090 0,2389 0,2709 0,3050

0,1788 0,2061 0,2358 0,2676 0,3015

0,1762 0,2033 0,2327 0,2643 0,2981

0,1736 0,2005 0,2297 0,2611 0,2946

0,1711 0,1977 0,2266 0,2578 0,2912

0,1685 0,1949 0,2236 0,2546 0,2877

0,1660 0,1922 0,2206 0,2514 0,2843

0,1635 0,1894 0,2177 0,2483 0,2810

0,1611 0,1867 0,2148 0,2451 0,2776

–0,4 –0,3 –0,2 –0,1 –0,0

0,3446 0,3821 0,4207 0,4602 0,5000

0,3409 0,3783 0,4168 0,4562 0,4960

0,3372 0,3745 0,4129 0,4522 0,4920

0,3336 0,3707 0,4090 0,4483 0,4880

0,3300 0,3669 0,4052 0,4443 0,4840

0,3264 0,3632 0,4013 0,4404 0,4801

0,3228 0,3594 0,3974 0,4364 0,4761

0,3192 0,3557 0,3936 0,4325 0,4721

0,3156 0,3520 0,3897 0,4286 0,4681

0,3121 0,3483 0,3859 0,4247 0,4641

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159

0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186

0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212

0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238

0,7054 0,7389 0,7703 0,7995 0,8264

0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289

0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315

0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340

0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365

0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389

z

0,00

zÞ for z-verdier fra 3,09 til 3,09.


422 Normalfordelingstabellen

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192

0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207

0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222

0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236

0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251

0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265

0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279

0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292

0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306

0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713

0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719

0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726

0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732

0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738

0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744

0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750

0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756

0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761

0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918

0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920

0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922

0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925

0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927

0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929

0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931

0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932

0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934

0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981

0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982

0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982

0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983

0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984

0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984

0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985

0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985

0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986

0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986

3,0 0,9987

0,9987

0,9987

0,9988

0,9988

0,9989

0,9989

0,9989

0,9990

0,9990

z

Eksempel: PðZ

1;65Þ ¼ 0;9505

Omregningsformel: z ¼

x

z


Bildekrediteringer: Side 8-9: Khim Hoe Ng / Stockimo / Alamy / Imageselect, 14: Jose A. Bernat Bacete / Moment / Getty Images, 18: Ursa Hoogle / iStock / Getty Images Plus, 27: Drazen_ / E+ / Getty Images, 29v: Kozmoat98 / E+ / Getty Images, 29h: Shutterstock, 35ø: Shutterstock, 35n: J Herbstman / United States Department of the Treasury, 42: SolStock / iStock / Getty Images Plus, 44: Shutterstock, 47: iola666 / E+ / Getty Images, 53: Thapana_Studio / Shutterstock, 55: Yellow Dog Productions / The Image Bank / Getty Images, 58: Shutterstock, 67: Narvikk / E+ / Getty Images, 68: MorganStudio / Shutterstock, Rodica Vasiliev / Shutterstock, 74: Rodica Vasiliev / Shutterstock, 76-77: Pierre-Yves Babelon / Moment / Getty Images, 84: Martin Yhlen / 500Px Plus / Getty Images, 106: RAFDC / Shutterstock, 108: ictor / E+ / Getty Images, 111: Madcat_Madlove / Shutterstock, 114: BearFotos / Shutterstock, 117: Spectral-Design / Shutterstock, 119: Berit Roald / NTB, 124: Westend61 / Getty Images, 129: Maryna Patzen / iStock / Getty Images Plus, 140: wavebreakmedia / Shutterstock, 144: Westend61 / Getty Images, 151: Copyright / iStock / Getty Images Plus, 152-153: Hubert Knoblauch / Shutterstock, 157: ljubaphoto / iStock / Getty Images Plus, 159: Devonyu / iStock / Getty Images Plus, 160: Maskot / Getty Images, 161: Knut Skrindo, 167: Reinhard Krull / EyeEm / Getty Images, 172: Alamy Stock Photo / NTB, 178: Alexander NEMENOV / AFP / NTB, 188: Alessandro Bellani / Maskot / Getty Images, 194: Yr.no, 197: Sitthiphong / iStock / Getty Images Plus, 205: Pascal Le Segretain / Staff / Getty Images, 206-207: OscarDominguez / Shutterstock, 209: Bård Løken / NTB, 209: Tetiana Chernykova / Shutterstock, 213: thananya / Shutterstock, 219: Erik Berglund / Aftenposten / NTB, 224: Morten Falch Sortland / Moment / Getty Images, 228: GMVozd / iStock / Getty Images Plus, 232: Sawangkaew / Shutterstock, 236: Erik Oestlie / Shutterstock, 242: SofikoS / Shutterstock, 247: RossHelen / Shutterstock, 250: Chabybucko / E+ / Getty Images, 251: Marianne Løvland / NTB, 255: Moyo Studio / E+ / Getty Images, 256: oksana.perkins / Shutterstock, 258: PonyWang / E+ / Getty Images, 260: Westend61 / Getty Images, 263: Izabelle Nordfjell / TT / NTB, 270-271: Banana Images / Shutterstock, 273: Cindy Prins / Getty Images, 275: Science Photo Library / NTB, 278: Hocus-focus / iStock / Getty Images, 283: Matelly / Image Source / Getty Images, 284: Gilaxia / E+ / Getty Images, 285: Jasmina007 / E+ / Getty Images, 291: Zephyr_p / Shutterstock, 292: Ljubaphoto / E+ / Getty Images, 295: Eugene Onischenko / Shutterstock, 299: FatCamera / iStock / Getty Images Plus, 307v: M.A. Kleen / Shutterstock, 307h: Shutterstock / Bragin Alexey, 309: Africa Studio / Shutterstock, 318: Ada Summer / Corbis / VCG / Getty Images, 331: akg-images / NTB, 331: Harald Berger / Forsvaret, 333: Ground Picture / Shutterstock, 338: Lisegagne / E+ / Getty Images, 342: Vitalii Stock / Shutterstock, 345: Alistair Berg / DigitalVision / Getty Images, 346: Hallgeir Vågenes / VG / NTB, 347: Regal / Lantmännen Cerealia, 351: Gorm Kallestad / NTB, 353: Alba_alioth/ Shutterstock, 361: Shutterstock, 376: Falcona / Shutterstock, 377: Rosemary Calvert / Getty Images Kilder til datasett: Side 160, 173, 188, 192, 201: Statistisk Sentralbyrå / Statistikkbanken / www.ssb.no/statbank, 180: United Nations, Department of Economic and Social Affairs, Statistics Division, National Accounts – Analysis of Main Aggregates (AMA), https://unstats.un.org/unsd/snaama/Downloads, 185: Norsk Petroleum / www.norskpetroleum.no, 188: United Nations, Department of Economic and Social Affairs, Population Division (2019). World Population Prospects 2019, Online Edition. Rev. 1. https://population.un.org/wpp/Download/Standard/Population/, 188: The World Bank / https://data.worldbank.org/, 188: Meldingssystem for smittsomme sykdommer / Folkehelseinstituttet / https://statistikk.fhi.no/msis/om-msis, 193, 299, 300, 313, 351: Knut Skrindo, 198: Norsk Elbilforening / www.elbil.no, 198: CCP / Leonard Lipkin and David Smith Copyright 1998-2000 / Mathematical Association of America / https://www.maa.org/, 325, 367: Universitetet i Bergen / Vekststudien / https://www.vekststudien.no/, 355: Øystein Johannes Weider, 373: The Data Files, Peter K. Dunn and Margaret Marshman / https://bookdown.org/pkaldunn/DataFiles/OldFaithful.html