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Universidad Autónoma de Baja California Facultad de Pedagogía e Innovación Educativa

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales (2x2) Dirigido al nivel educativo de: Preparatoria Elaborado por: Cárdenas Villegas Guillermo Adrián Maestro responsable de la asignatura: Gricelda Mendivil Rosas Mexicali, Baja California, 02 de Mayo de 2014.


ResoluciĂłn de sistemas de ecuaciones lineales (2x2) A continuaciĂłn se presentan esquemas para la resoluciĂłn de un sistema de ecuaciones a travĂŠs de los distintos mĂŠtodos, proporcionando un ejemplo el cual se irĂĄ desarrollando paso a paso:

MĂŠtodo GrĂĄfico (Sistema 2x2): Este mĂŠtodo consiste en representar las ecuaciones en un sistema de coordenadas y encontrar los valores de las incĂłgnitas por medio de la intercepciĂłn de las rectas que se forman en el plano cartesiano. Ejemplo:

đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;“đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;’đ?’™ + đ?&#x;’đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;– Primeramente se despeja la misma incĂłgnita en amabas ecuaciones en este caso escogimos la incĂłgnita y. (Nota: Cualquiera de las dos incĂłgnitas puede ser despejada, se escoge la que mĂĄs convenga o se le facilite a cada persona)

đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;“đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;“

đ?&#x;’đ?’™ + đ?&#x;’đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;–

đ?&#x;“đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;?đ?’™

đ?&#x;’đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;– − đ?&#x;’đ?’™

đ?’š=

đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;?đ?’™ đ?&#x;“

đ?’š=

đ?&#x;?đ?&#x;– − đ?&#x;’đ?’™ đ?&#x;’

Un segundo paso es comenzar a asignarle valores a x en las ecuaciones que obtuvimos despuĂŠs de los despejes encontrando asĂ­ los valores de y para comenzar a tabular los valores. (Nota: En caso de haber despejado en el paso anterior la incĂłgnita x, en este paso se le proporcionarĂ­an los valores a y)

X

Y

đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;?(đ?&#x;‘) đ?’š= = đ?&#x;?. đ?&#x;– đ?&#x;“

3

1.8

đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;?(đ?&#x;Ž) đ?’š= =đ?&#x;‘ đ?&#x;“

2

2.2

1

2.6

đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;?(−đ?&#x;‘) đ?’š= = đ?&#x;’. đ?&#x;? đ?&#x;“

0

x

y

đ?&#x;?đ?&#x;– − đ?&#x;’(đ?&#x;‘) đ?’š= = đ?&#x;?. đ?&#x;“ đ?&#x;’

3

1.5

2

2.5

đ?&#x;?đ?&#x;– − đ?&#x;’(đ?&#x;Ž) = đ?&#x;’. đ?&#x;“ đ?&#x;’

1

3.5

0

4.5

-1

5.5

-2

6.5

-3

7.5

đ?’š=

3

đ?’š= -1

3.4

-2

3.8

-3

4.2

đ?&#x;?đ?&#x;– − đ?&#x;’(−đ?&#x;‘) = đ?&#x;•. đ?&#x;“ đ?&#x;’

1


Por último se deben graficar estos puntos en un plano cartesiano para encontrar los valores de las incógnitas que buscamos en las 2 primeras ecuaciones. La respuesta será dada por la coordenada en la cual las rectas resultantes se cruzan. En este caso el valor de x= 2.5 y el de y= 2

Determinantes (Sistema 2x2 )

3x+2y=180 2x+2y=150 Primeramente se localizan los valores de los coeficientes de las incógnitas x , y y los de los términos independientes (TI) los cuales son los resultados de nuestras ecuaciones.

X Y TI 3 2 180 2 2 150 Continuamos buscando el determinante del sistema el cual obtenemos por medio de la diferencia de los productos de los valores de X, Y (como se presenta en la formula)

XY 3 2 2 2

∆s = x1y2-x2y1 =(3)(2)-(2)(2) = 6-4= 2

Después buscamos el determinante de x el cual obtenemos por medio de la diferencia de los productos de los valores de Y y de los TI. Para esto sustituiremos los valores de x por los de los TI.

TI Y 180 2 150 2

∆X= TI1y2-TI2y1= (180)(2) - (150)(2)=360-300= 60

2


DespuĂŠs buscamos el determinante de Y el cual obtenemos por medio de la diferencia de los productos de los valores de X y de los TI. Para esto sustituiremos los valores de Y por los de los TI.

X TI 4 180 ∆y= x1TI2-x2TI1= (4)(150)-(2)(180)=600-360= 240 2 150 Por Ăşltimo para obtener los valores de nuestras incĂłgnitas dividimos el determinante de cada incĂłgnita sobre el determinante del sistema.

đ?’™=

∆đ??— đ?&#x;”đ?&#x;Ž = = đ?&#x;?đ?&#x;“ ∆đ??Ź đ?&#x;’

đ?’š=

∆đ??˛ đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Ž = = đ?&#x;”đ?&#x;Ž ∆đ??Ź đ?&#x;’

MĂŠtodo de ReducciĂłn (Sistema 2x2): En este mĂŠtodo se busca eliminar una incĂłgnita de las ecuaciones por medio de una resta, para de esta manera facilitar la bĂşsqueda de la incĂłgnita que nos queda por medio de un sencillo despeje. Ejemplo:

2x+y=19 5x-5y=10 Primeramente se elige la incĂłgnita que se quiere eliminar, para eso es necesario realizar una resta. (Nota: dependiendo del caso se multiplica por un nĂşmero que permita eliminar alguna de las variables, en este se busca eliminar la y por lo que multiplicaremos toda la primera ecuaciĂłn por 5)

(5) (2x+y)=19(5) 5x-5y=10

10x+5y=95 5x-5y=10 10x+5x+5y-5y=105 15x=105

Se elimina y quedando la ecuaciĂłn siguiente: 15x=105, la cual despejaremos para encontrar el valor de x

15x=105 X=105/15

X= 7

3


Una vez conociendo el valor de x podemos encontrar el valor de y sustituyĂŠndolo en cualquiera de las ecuaciones

5x-5y=10 5(7)-5y=10 35-5y=10 -5y=10-35 y=

−đ?&#x;?đ?&#x;“ −đ?&#x;“

y=5 Al tener los valores de x y y se sustituyen en ambas ecuaciones primarias para realizar una comprobaciĂłn

X=7 2x+y=19 2(7)+5=19 14+5=19

Y=5 5x-5y=10 5(7)-5(5)=10 35-25=10

MĂŠtodo de IgualaciĂłn Paso 1.- Observamos las ecuaciones

5x+2y=25 2x+3y=30 Paso 2.- Despejamos la misma incĂłgnita en ambas ecuaciones, en este caso elegiremos y.

5x+2y=25 2đ??˛ = đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;“đ??ą đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;“đ??ą đ??˛= đ?&#x;?

2x+3y=30 đ?&#x;‘đ??˛ = đ?&#x;‘đ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ??ą đ?&#x;‘đ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ??ą đ??˛= đ?&#x;‘

4


Paso 3.- Se igualan las ecuaciones resultantes. Se soluciona multiplicando de manera cruzada los denominadores y realizando los despejes necesarios para encontrar el valor de nuestra incĂłgnita.

đ?&#x;‘đ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ??ą đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;“đ??ą = đ?&#x;‘ đ?&#x;? 2(30-2x)=3(đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;“đ??ą) 60-4x=7đ?&#x;“ − đ?&#x;?đ?&#x;“đ??ą 15x-4x=7đ?&#x;“ − đ?&#x;”đ?&#x;Ž 11x=15 X=15/11 Paso 4.- Obtenemos el valor de las incĂłgnita que nos falta sustituyendo el valor obtenido en alguna de las ecuaciones obtenidas en el paso 2.

đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;“đ??ą đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;“(đ?&#x;?đ?&#x;“/đ?&#x;?đ?&#x;?) đ??˛= đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;”. đ?&#x;–đ?&#x;? đ??˛= đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;–. đ?&#x;?đ?&#x;– đ??˛= đ?&#x;? đ??˛ =9.09 đ??˛=

Paso 5.- Sustituimos el valor de x y y en las ecuaciones que se nos brindaron primero para comprobar si los valores obtenidos son los correctos.

X=15/11 5x+2y=25 5(15/11)+2(9.09)=25 6.81+18.18=25

Y=9.09 2x+3y=30 2(15/11)+3(9.09)=30 2.72+27.27=30

Nota: En este caso la igualdad queda aproximada debido a que no fueron utilizados todos los decimales a la hora de realizar las operaciones

5


MĂŠtodo de SustituciĂłn

4x+2y= 20 6x+y= 30 Paso 1 Comenzamos eligiendo la incĂłgnita que deseamos sustituir. (Escogeremos la incĂłgnita que nos facilite el proceso, puede ser cualquiera y tambiĂŠn podemos elegir despejar la ecuaciĂłn que queramos en este caso elegiremos despejar y en la primer ecuaciĂłn)

4x+2y= 20 đ?&#x;?đ??˛ = đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;’đ??ą đ??˛=

đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;’đ??ą đ?&#x;?

Paso 2 En este paso debemos sustituir la ecuaciĂłn que nos resultĂł en el despeje pasado, dentro de la otra ecuaciĂłn y comenzamos a realizar las operaciones y despejes debidos para encontrar el valor de nuestra incĂłgnita. (Nota: en este encontraremos el valor de x, en caso de haber despejado x en el paso anterior, en este paso encontrarĂ­amos el valor de y)

6x+y= 30 đ?&#x;?đ?&#x;Žâˆ’đ?&#x;’đ??ą

6x+(

đ?&#x;?

4x=30-10 4x=20

)= 30

đ?&#x;?đ?&#x;Ž

X=

6x+10-2x= 30 4x+10=30

đ?&#x;’

X=5

Paso 3 AquĂ­ sustituiremos el valor de la incĂłgnita encontrada anteriormente en la ecuaciĂłn resultante en el paso 2, para asĂ­ hallar el valor de la incĂłgnita faltante.

đ??˛= đ??˛=

đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;’đ??ą đ?&#x;?

đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;’(đ?&#x;“) đ?&#x;?

đ??˛=

đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?

đ??˛=

đ?&#x;Ž đ?&#x;?

y=0

6


Paso 4: Sustituimos el valor de x y y en las ecuaciones que se nos brindaron primero para comprobar si los valores obtenidos son los correctos.

X=5 Y=0 4x+2y= 20 4(5)+2(0)= 20 20=20

6x+y= 30 6(5)+0= 30 30=30

MĂĄs ejemplos: MĂŠtodo de sustituciĂłn

4x+3y=25 2x-7y=-13 Paso 1

Paso 2

4x=25-3y

2(

đ?’™=

đ?&#x;?đ?&#x;“−đ?&#x;‘đ??˛ đ?&#x;’

đ?&#x;?đ?&#x;“−đ?&#x;‘đ??˛ đ?&#x;’

đ?&#x;“đ?&#x;Žâˆ’đ?&#x;”đ??˛

)-7y=-13

đ?’™=

-7y=-13

đ?’™=

12.5-1.5y-7y=-13

đ?’™=

đ?&#x;’

Paso 4

Paso 3

-8.5y=-13-12.5

x=4

đ?&#x;?đ?&#x;“−đ?&#x;‘(đ?&#x;‘) đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;“−đ?&#x;—

4(4)+3(3)=25 16+9=25

đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;’

2(4)-7(3)=-13 8-21=-13

-8.5y=-25.5 −đ?&#x;?đ?&#x;“.đ?&#x;“

Y=

−đ?&#x;–.đ?&#x;“

Y=3

7


Método de igualación

5x-8y=2 x-y=1

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

𝟐+𝟖𝒚

𝟐+𝟖𝒚

𝟓

𝟓

x=1+1

5x-8y=2

x=2

5(2)-8(1)=2

x=

x=1+y

=1+y

2+8y=5(1+y) 2+8y=5+5y

x-y=1

8y-5y=5-2

2-1=1

3y=3 y=1

Método de reducción

x+3y=22

-2(x+3y)=(22)-2

2x-2y=12 Paso 3 Paso 2

x+3y=22

-2x-6y=-44

x+3(4)=22

10+3(4)=22

2x-2y=12

x+12=22

10+12=22

Paso 1

-8y=-32

x=22-12

y=-32/-8

x=10

y=4

2x-2y=12 2(10)-2(4)=12 20-8=12

8


Método Gráfico

4x-4y=-12 5x+5y=-15

Paso 2 𝒚=

−𝟏𝟐 − 𝟒(−𝟑) =𝟎 −𝟒

𝑦=

−𝟏𝟓 − 𝟓(−𝟑) =𝟎 −𝟓

𝒚=

−𝟏𝟐 − 𝟒(𝟎) =𝟑 −𝟒

𝒚=

−𝟏𝟓 − 𝟓(𝟎) = −𝟑 −𝟓

𝒚=

−𝟏𝟐 − 𝟒(𝟑) =𝟔 −𝟒

𝒚=

−𝟏𝟓 − 𝟓(𝟑) = −𝟔 −𝟓

Paso 1 𝟒𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟏𝟐 −𝟒𝒚 = −𝟏𝟐 − 𝟒𝒙 𝒚=

−𝟏𝟐 − 𝟒𝒙 −𝟒

X

Y

X

Y

𝟓𝒙 − 𝟓𝒚 = −𝟏𝟓

3

6

3

-6

−𝟓𝒚 = −𝟏𝟓 − 𝟓𝒙

2

5

2

-5

1

4

1

-4

0

3

0

-3

-1

2

-1

-2

-2

1

-2

-1

-3

0

-3

0

𝒚=

−𝟏𝟓 − 𝟓𝒙 𝟓

Paso 3

X=-3

Y=0

Método de Determinantes

9


3x+5y=33 2x+4y=24 Paso 1

X Y TI 3 5 33 2 4 24 Paso 2

X Y 3 5 2 4

∆s = x1y2-x2y1 =(3)(4)-(2)(5) = 12-10= 2

TI Y 33 5 24 4

∆X= TI1y2-TI2y1= (33)(4) - (24)(5)=132-120= 12

X TI 3 33 2 24

∆y= x1TI2-x2TI1= (3)(24)-(2)(33)=72-66= 6

Paso 3

𝒙=

∆𝐗 𝟏𝟐 = =𝟔 ∆𝐬 𝟐

∆𝐲 𝟔 𝒚= = =𝟑 ∆𝐬 𝟐

Paso 4

3x+5y=33

2x+4y=24

3(6)+5(3)=33

2(6)+4(3)=24

18+15=33

12+12=24

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A continuación se presentan dos enlaces en los cuales puedes encontrar una serie de ejercicios para poner en práctica los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones

Link de descarga directa de presentación PowerPoint: https://docs.google.com/file/d/0BznajYYRmnAoMEZQQTZCa1RUdmc/edit

Link para trabajar en la página slideshare: http://www.slideshare.net/Kaepora/ejercicios-de-resolucin-de-sistemasde-ecuaciones-lineales

Link de descarga en página slideshare: http://www.slideshare.net/Kaepora/ejercicios-de-resolucin-de-sistemasde-ecuaciones-lineales-2x2-34187633

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Oa 1 sistemas de ecuaciones 2x2