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Resolviendo el oscilador de Van der Pol con el m´etodo de Runge Kutta de orden 4 Daniela Guadalupe Franco Garc´ıa 7 de diciembre 2010

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Resumen

El m´etodo de Runge-Kutta de orden 4 es num´erico y nos sirve para la resoluci´ on ecuaciones diferenciales de segundo orden. En el presente trabajo se utilizar´ a para resolver la ecuaci´ n Van Der Pol. La actividad consiste en separar la ecuaci´ on diferencial de segundo orden en dos ecuaciones de primer orden y despu´es con el m´etodo de Runge Kutta y la programaci´on resolver para mu con 0.2, 1.0 y 5.0 el oscilador, estudiaremos este fen´omeno para ver como funciona. Las gr´ aficas nos mostraran los resultados y con esto obtendremos conclusiones.

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Introducci´ on

El oscilador de la Van Der Pol es un oscilador no-conservador con amortiguamiento no lineal. Se desarrolla en el tiempo seg´ un una ecuaci´on diferencial de segundo orden. El oscilador de Van Der Pol fue propuesto originalmente por el ingeniero ˜ el´ectrico y f´Asico holand´es Balthasar Van der Pol, mientras estaba trabajando en Philips. La ecuaci´ on de van der Pol tiene una larga historia de ser utilizado tanto en las ciencias f´ısicas y biol´ogicas. Por ejemplo, en biolog´ıa, Fitzhugh y Nagumo prorrog´ o la ecuaci´ on en un campo plano como modelo para los potenciales de acci´ on de las neuronas. La ecuaci´on tambi´en ha sido utilizado en sismolog´ıa para modelar las dos placas en una falla geol´gica.

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Caracteristicas del oscilador de Van Der Pol y sus soluciones

En el oscilador de Van der Pol, el investigar encontr´o oscilaciones estables, que llam´ o la relajaci´ on-oscilaciones, y ahora se conocen como ciclos l´ımite, en los circuitos el´ectricos que emplean tubos de vac´ıo. La ecuaci´on de Van Der Pol es la siguiente: d2 x dx − µ(1 − x2 ) +x=0 (1) dt dt Para poder ejecutar el programa necesitamos, tal como lo mencionamos en el resum´en, transformar la ecuaci´ n diferencial de segundo orden en dos de primera. para eso la ecuaci´ on nos queda as´ı: 1


d2 x dx = µ(1 − x2 ) −x=0 dt dt Enseguida tenemos la primera ecuaci´on: V =

dx dt

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La segunda ecuaci´ on nos queda como: d2 x = µ(1 − x2 ) − x = 0 dt A continuaci´ on tenemos la soluci´on del programa de Runge-Kutta:     dx dy d x f (x, v) v = = =( 1 =( v f2 (x, v) µ(1 − x2 )v − x dt dt dt Runge-Kutta La siguiente ecuaci´on es la soluci´on en el algoritmo:   x1 x= x2  =

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x v

(4)

(5)

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 v =( = dx dt µ(1 − x2 )v − x

Metodolog´ıa para resolver la ecuaci´ on de Van Der Pol

En matem´ aticas, el m´etodo de Runge-Kutta es muy utilizado por que se utiliza mucho en la soluci´ on de ecuaciones diferenciales y en este caso se utilizar´a especialmente el de orden 4. El m´etodo se puede aplicar a un par de ecuaciones diferenciales de la siguiente manera: Definimos un problema de valor inicial como dy = f (x, y) dt y(to ) = yo

(7) (8)

entonces el m´etodo esta dado por las siguientes ecuaciones: 1 yi + 1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) 6

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K1 = f (xi, yi)

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1 1 k2 = f (x1 + h, y1 + k1h) 2 2 1 1 k3 = f (xi + h, yi + k2h 2 2 k4 = f (x1 + h, yi + k3h)

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donde

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donde k1 es la pendiente al principio del intervalo; k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto h tn + 2 Usando el m´etodo de Euler k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3 Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio: La pendiente es igual a k1 + 2k2 + 2k3 + k2 (15) 6

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Resultados y discusi´ on, incluyendo gr´ aficas

Conseguimos dibujar el espacio fase del oscilador de Van Del Pol graficando las variables en el programa, las x1 y x2 que nos pedia el programa con las condiciones iniciales 1,1 y 5,10, cambiando el par´ametro mu en 0.2, 1 y 5, obtuvimos 3 gr´ aficas y otras 3 por que graficamos posicion vs tiempo, ya que las corridas en las iteraciones nos daban tres columnas, graficamos en total 6. Acontinuaci´on se presentan las gr´ aficas que obtuvimos. Tambien obtuvimos las tres gr´aficas de posici´ on vs tiempo que salen de la primera columna con la segunda al correr el programa.

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Bibliograf´ıa

Sears Zemasky 2001 Fisica universitaria Recuperado de http://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pol_oscillator el dia 16 de noviembre d Recuperado de http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta el dia 18 de noviemb recuperado de http://www.fceia.unr.edu.ar/lcc/cdrom/Instalaciones/LaTex/latex.html el dia noviembre de 2010

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Ap´ endice (C´ odigo del programa e instruciones para elaborar gr´ aficas)

Program rungekutta !metodo de runge kutta de orden 4 DIMENSION X(2) integer n, nstep, I, k,ikotn real t, h n=2

h=0.01 nstep=5000

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Figure 1: Espacio fase del oscilador de van der pol con mu=0.2

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Figure 2: Espacio fase del oscilador de van der pol con mu=1.0

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Figure 3: Espacio fase del oscilador de van der pol con mu=5.0

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Figure 4: Posici´ on vs tiempo del oscilador de van der pol con mu=0.2

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Figure 5: Posici´ on vs tiempo del oscilador de van der pol con mu=1.0

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Figure 6: Posici´ on vs tiempo del oscilador de van der pol con mu=5.0

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Open(30, File="prueba1.dat", Access="Append", do 100 ikotn=1,2 write (*,*) ’dame x1 y x2’ read (*,*) x(1), x(2) t=0.0 CALL RK4SYS(N,T,X,H,NSTEP) 100 continue STOP END

Status="UNKNOWN", Action="WRITE")

SUBROUTINE XPSYS(X,F) DIMENSION X(2),F(2) real mu mu=1.0 F(1) = x(2) F(2) = mu*(1.0-x(1)**2)*x(2)-x(1) RETURN END SUBROUTINE RK4SYS(N,T,X,H,NSTEP) DIMENSION X(2),Y(2),F1(2),F2(2),F3(2),F4(2) real t,h, h2,start integer k,n,i,nstep ! write(*,*) T,(X(I),I=1,N) H2 = 0.5*H START = T DO 6 K = 1,NSTEP CALL XPSYS(X,F1) DO 2 I = 1,N Y(I) = X(I) + H2*F1(I) 2 CONTINUE CALL XPSYS(Y,F2) DO 3 I = 1,N Y(I) = X(I) + H2*F2(I) 3 CONTINUE CALL XPSYS(Y,F3) DO 4 I = 1,N Y(I) = X(I) + H*F3(I) 4 CONTINUE CALL XPSYS(Y,F4) DO 5 I = 1,N X(I) = X(I) + H*(F1(I) + 2.0*(F2(I) + F3(I)) + F4(I))/6.0 5 CONTINUE T = START + REAL(K)*H write (*,*) T,(X(I),I = 1,N) write (30,*)T,(X(I),I = 1,N) 6 CONTINUE 10


7 FORMAT(2X,’T,X:’,E10.3,5(2X,E22.14)) RETURN Close (30) END Para elaborar las gr´ aficas ocupamos el gnuplot, obtenemos el documento que se gener´ o con el programa ya que se abri´o y ahy se introdujeron todos los datos de la corrida. Cuando ya tenemos el documento se abre el gnuplot desde la terminal, primero tenemos que estar seguros que estamos en el mismo directorio que el documento de latex para poder insertar la imagen despu´es. Cuando ya estamos en gnuplot tecleamos plot y entre comillas ponemos el nombre del archivo como son tres las columnas de datos que tenemos en nuestro programa ponemos us el numero de la columna segudo de dos puntos as´ı : y el n´ umero de la siguiente columna que se quiere gr´aficar , se carga la terminal y aparece la imagen; acontinuaci´ on se digita set term y png en el caso de que ese sea el tipo de imagen que se desee y despues set output el nombre del archivo entre comillas con su respectivo tipo de archivo y replot para que se guarde. Con esto tenemos lista la gr´ afica para ejecutar los comandos en latex para insertarla. Conclusi´ on: Pudimos encontrar el espacio fase del oscilador de Van Der Pol por el m´etodo de Runge-Kutta intercambiando el parameto mu de la ecuaci´on diferencial, mientras la curva el par´ametro era mayor la curva se habr´ıa m´as.

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oscilador de vander pol