Page 1

ειςαγωγη ςτη θεωρια τελεςτων


Αριστείδης Κατάβολος

Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών

Εκδόσεις Συμμετρία

∼ Αθήνα, έκδοση 2008 ∼


Το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών» του Α. Κατάβολου εκτυπώθηκε στο λιθογραφείο Σ. Αθανασόπουλος-Ε. Παπαδάμη και Σια Ε.Ε. Στοιχειοθετήθηκε από τον συγγραφέα με το LaTEX2ε και την γραμματοσειρά «Κέρκης» c Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου). (Κέρκης % Τα πνευματικά δικαιώματα ανήκουν στο συγγραφέα του έργου.

The book "Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών" by A. Katavolos was printed by S. Athanassopoulos-E. Papadamis and Co. It was typeset by the author with LaTEX2ε and the font used is "Kerkis" (Kerkis © Department of Mathematics, University of the Aegean). This work is copyrighted by the author.


Στη χαρά της Ϲωής μου, την Κέλλη.


Πρόλογος

Οι σελίδες που ακολουθούν αποτελούν μια στοιχειώδη εισαγωγή στην Θεωρία Τελεστών σε χώρους Banach και (κυρίως) Hilbert. Οι χώροι Hilbert αποτελούν το πρώτο ϐήμα γενίκευσης, σε άπειρες διαστάσεις, των Ευκλείδειων χώρων. ΄Ετσι, επιτρέπουν την χρήση ιδεών και μεθόδων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας για την ανάλυση χώρων συναρτήσεων. Από την άλλη μεριά, η δομή του χώρου των τελεστών σε ένα χώρο Hilbert είναι πολύ πλουσιώτερη σε σύγκριση με άλλους χώρους της Συναρτησιακής Ανάλυσης· επιτυγχάνεται έτσι κατάλληλη γενίκευση αποτελεσμάτων της Γραμμικής ΄Αλγεβρας (διαγωνοποίηση πινάκων), η οποία γενίκευση έχει απολύτως κεντρικό ϱόλο στην Ανάλυση και τις εφαρμογές της. Η ϑεωρία των χώρων Hilbert απαιτεί πολύ λίγα ϑεωρητικά εφόδια για την κατανόησή της. Στο σύγγραμμα αυτό έγινε προσπάθεια να μειωθούν στο ελάχιστο οι προαπαιτούμενες γνώσεις : με εξαίρεση το τελευταίο Κεφάλαιο, δεν χρειάζεται παρά μια καλή κατανόηση των ϐασικών εννοιών της Γραμμικής ΄Αλγεβρας, του Απειροστικού Λογισμού και της Πραγματικής Ανάλυσης (στοιχειώδης ϑεωρία μετρικών χώρων). Ειδικότερα, για τα τέσσερα πρώτα Κεφάλαια δεν προϋποτίθενται γνώσεις από τη Θεωρία χώρων Banach, ούτε από την Θεωρία Μέτρου. Οι έννοιες που χρησιμοποιούνται περιγράφονται συνοπτικά σε ένα Παράρτημα. Σε κάθε εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών είναι απαραίτητη, πιστεύουμε, η αναφορά στον χώρο L 2 . Είναι όμως αρκετό για τις ανάγκες μιάς πρώτης


ii

παρουσίασης των ϐασικών εννοιών να ορισθεί ο χώρος L 2 ([a, b]) ως η πλήρωση του χώρου των συνεχών συναρτήσεων ως προς την νόρμα  · 2 . Η λύση αυτή υιοθετήθηκε για τα πέντε πρώτα κεφάλαια. Στο Πρώτο Κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά η γεωμετρία των χώρων Hilbert. Μία παράγραφος (που δεν είναι απαραίτητη για την συνέχεια) είναι αφιερωμένη στο κλασσικό προσεγγιστικό Θεώρημα του F´ejer. Το Δεύτερο Κεφάλαιο ασχολείται με τις γενικές ιδιότητες των τελεστών σε έναν χώρο Hilbert και περιγράφει τις διάφορες κατηγορίες τελεστών (ϕυσιολογικοί, αυτοσυζυγείς, ϑετικοί κ.λπ.) με ιδιαίτερη έμφαση στις ιδιότητες των προβολών. Στο Τρίτο Κεφάλαιο εισάγονται οι συμπαγείς τελεστές και οι υποκατηγορίες τους (τελεστές πεπερασμένης τάξης, ολοκληρωτικοί τελεστές, τελεστές Hilbert Schmidt). Εδώ παρουσιάζονται οι ϐασικές ιδιότητες του χώρου των συμπαγών τελεστών. Το Φασματικό Θεώρημα για συμπαγείς τελεστές παρουσιάζεται, στις διάϕορες μορφές του, στο Τέταρτο Κεφάλαιο, ξεκινώντας από χώρους πεπερασμένης διάστασης. Για λόγους διδακτικής απλότητας δεν εισάγεται σε αυτό το στάδιο η έννοια του ϕάσματος τελεστή. Το Πέμπτο Κεφάλαιο ασχολείται με συμπαγείς τελεστές σε χώρους Banach. Παρουσιάζεται αφενός η ϕασματική ϑεωρία των Riesz και Schauder και αφετέρου το κομψό Θεώρημα του Lomonosov για την ύπαρξη υπερ-αναλλοίωτων υποχώρων. Το ΄Εκτο και τελευταίο Κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην παρουσίαση του Φασματικού Θεωρήματος για αυτοσυζυγείς (ϕραγμένους, αλλά όχι αναγκαστικά συμπαγείς) τελεστές. ΄Ενα σύγγραμμα Θεωρίας Τελεστών ϑα ήταν ελλειπές χωρίς αυτό το Θεώρημα. Εδώ όμως δεν μπορεί πια να αποφευχθεί η χρήση τουλάχιστον των ϐασικών ιδεών της Θεωρίας Μέτρου. Επίσης είναι αναγκαία η εισαγωγή και μελέτη της γενικής έννοιας του ϕάσματος τελεστή. Η παρουσίαση είναι κλασσική και δεν προϋποθέτει την Θεωρία Gelfand. Τα τέσσερα πρώτα κεφάλαια καλύπτουν την ύλη ενός εξαμηνιαίου προπτυχιακού μαθήματος. Ανάλογα με τα ενδιαφέροντα και τις γνώσεις του ακροατηϱίου, ο διδάσκων μπορεί να καλύψει και το Πέμπτο Κεφάλαιο, παραλείποντας


iii

εν ανάγκη ορισμένες από τις παραγράφους 1.9, 2.4.1 και 3.4. Μια άλλη επιλογή, αν το ακροατήριο έχει κάποιες γνώσεις Θεωρίας Μέτρου, είναι να διδαχθεί απευθείας το ΄Εκτο Κεφάλαιο, παραλείποντας εν ανάγκη τα Κεφάλαια Τέσσερα και Πέντε. Το σύγγραμμα αυτό στηρίχθηκε στις παραδόσεις του γράφοντος επί πολλά χρόνια στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών. Θέλω πρώταπρώτα να ευχαριστήσω τους ϕοιτητές για την ϐοήθεια και την κατανόησή τους. Ευχαριστώ ϑερμά τους συναδέλφους και ϕίλους που με ϐοήθησαν στην εκπόνηση του συγγράμματος αυτού, και ιδιαίτερα τους Μιχάλη Ανούση και Μιχάλη Λάμπρου. Επίσης καθοριστική υπήρξε η ϐοήθεια των Γιώργου Ελευθεράκη και Ιβάν Τοντορώφ, που διάβασαν όλο το χειρόγραφο και με γλύτωσαν από πολλές κακοτοπιές. Οι παρατηρήσεις του Θάνου Τσουάνα ήταν ιδιαίτερα χρήσιμες. Χρωστάω ευγνωμοσύνη στο Αντώνη Τσολομύτη για την πολλαπλή του ϐοήθεια. Είναι αυτονόητο ότι έχω την πλήρη ευθύνη για τα λάθη και τις παϱαλείψεις, που είμαι σίγουρος ότι ϑα εξακολουθούν να υπάρχουν στο κείμενο, παρά τις προσπάθειές μου. Last but certainly not least, it is a particular pleasure for me to acknowledge my indebtedness to my teacher and friend John Erdos, who first taught me what a Hilbert space is.

Αθήνα, Νοέμβριος 2005 Αριστείδης Κατάβολος


Περιεχόμενα 1 Χώροι Hilbert

1

1.1

Εσωτερικά γινόμενα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Ορθοκανονικές Οικογένειες . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Χώροι Hilbert

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

Η πλήρωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5

Ορθογώνιες διασπάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6

Ο δυϊκός ενός χώρου Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.7

Ορθοκανονικές Βάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.8

Ισομορφισμοί

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.9

Το Θεώρημα του F´ejer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.10 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2 Φραγμένοι Τελεστές 2.1

47

Ορισμοί και παραδείγματα. 2.1.1 Παραδείγματα

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2

Χώροι Τελεστών

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.3

Sesquilinear μορφές και ο συζυγής τελεστής . . . . . . . . . .

63

2.3.1 Ο συζυγής ενός τελεστή

. . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Ειδικές κατηγορίες τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.4.1 Τετραγωνική ϱίζα και πολική αναπαράσταση . . . . . .

80

2.5

Προβολές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

2.6

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

2.4

v


ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

vi 3 Συμπαγείς τελεστές

103

3.1

Τελεστές πεπερασμένης τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.2

Ορισμοί και πρώτες ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.3

Ο χώρος των συμπαγών τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.4

Τελεστές HILBERT-SCHMIDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.5

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4 Φασματικό Θεώρημα Ι

145

4.1

Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.2

Συμπαγείς Φυσιολογικοί Τελεστές

4.3

Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

. . . . . . . . . . . . . . . 153

5 Τελεστές σε χώρους Banach

169

5.1

Φασματική Θεωρία

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.2

Αναλλοίωτοι υπόχωροι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6 Φασματικό Θεώρημα ΙΙ 6.1

Το Φάσμα

185

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.1.1 Το ϕάσμα σε άλγεβρες Banach

. . . . . . . . . . . . . 190

6.1.2 Το ϕάσμα ενός τελεστή . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.1.3 Το ϕάσμα αυτοσυζυγούς τελεστή . . . . . . . . . . . . . 195 6.2

Συνεχείς συναρτήσεις ενός αυτοσυζυγούς τελεστή

. . . . . . . 196

6.3

Το ϕασματικό ϑεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές . . . . . . . 202

Παράρτημα : Χώροι Banach

219

Ευρετήριο Συμβόλων

219

Ευρετήριο Ελληνικών Ορων

220

Ευρετήριο Ξενόγλωσσων ΄Ορων

223


Κεφάλαιο 1

Χώροι Hilbert 1.1 Εσωτερικά γινόμενα Το εσωτερικό ή ϐαθμωτό γινόμενο x, y δύο διανυσμάτων x και y του R3 , που ορίζεται από την σχέση x, y = x 2 y2 cos θ, όπου x 2 το (Ευκλείδειο) μήκος του x και θ η γωνία των δύο διανυσμάτων, μπορεί να υπολογισθεί από την σχέση

x, y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 . Μπορούμε να επεκτείνουμε λοιπόν τον ορισμό αυτό σε κάθε RN ϑέτοντας

x, y =

N 

xk yk .

k =1

Παρατηρούμε ότι η Ευκλείδεια νόρμα x 2 ενός διανύσματος x ∈ RN είναι η τετραγωνική ϱίζα της μη αρνητικής ποσότητας x, x . Στον χώρο CN όμως η ποσότητα

n

k =1

xk2 δεν είναι κατ’ανάγκη μη αρνητική (ϐάλε π.χ. xk = i) και

επομένως η τετραγωνική της ϱίζα δεν ορίζει νόρμα. Γι’ αυτό ορίζουμε

x, y =

N 

xk y¯k

k =1

όταν x, y ∈ CN , και τότε πράγματι έχουμε x, x  = x 22 . 1


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

2

Ορισμός 1.1.1 ΄Εστω E K-γραμμικός1 χώρος. ΄Ενα εσωτερικό γινόμενο (inner product ή scalar product) στον E είναι μια απεικόνιση

·, · : E × E → K τέτοια ώστε

(i )

x, x  ≥ 0

(ii )

x, x  = 0 ⇐⇒ x = 0

(iii ) x, y = y, x  (iv) x1 + λx2 , y = x1 , y + λx2 , y για κάθε x, x1 , x2 , y ∈ E και λ ∈ K. Παρατήρηση 1.1.1 Από τις (iii ) και (iv) προκύπτει ότι

(iv) x, y1 + λy2  = x, y1  + λ¯x, y2  για κάθε x, y1 , y2 ∈ E και λ ∈ K. Παραδείγματα (i) Το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο στον πραγματικό N-διάστατο χώρο RN

x, y =

N 

xk yk .

k =1

(ii) Το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο στον μιγαδικό N-διάστατο χώρο CN

x, y =

N 

xk y¯k .

k =1

(iii) Συμβολίζουμε με coo τον (μιγαδικό) γραμμικό χώρο των ακολουθιών με πεπερασμένο ϕορέα, δηλαδή τον χώρο των συναρτήσεων x : N → C των οποίων 1

Στις σημειώσεις αυτές, με το σύμβολο K ϑα εννοούμε είτε το σώμα R των πραγματικών είτε

το σώμα C των μιγαδικών αριθμών.


1.1. ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ

3

ο ϕορέας (support) supp(x ) ≡ {n ∈ N : x (n )  0} είναι πεπερασμένο σύνολο. Η παράσταση

x, y =

∞ 

x (k )y(k )

k =1

ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον coo (δεν υπάρχει πρόβλημα σύγκλισης, γιατί το πλήθος των μη μηδενικών όρων είναι πεπερασμένο). (iv) Ο (μιγαδικός) χώρος 2 είναι ο χώρος των ακολουθιών x = (x (n )) που είναι τετραγωνικά αθροίσιμες, δηλαδή ικανοποιούν ∞ 

|x (k )|2 < ∞.

k =1

Παρατηρούμε πρώτα ότι ο 2 είναι γραμμικός χώρος.2 Πράγματι, αν x, y ∈ 2 και λ ∈ C, έχουμε |x (k )+ λy(k )|2 ≤ 2|x (k )|2 + 2|λy(k )|2 για κάθε k ∈ N συνεπώς ∞ 

|x (k ) + λy(k )| ≤ 2 2

k =1

∞ 

|x (k )| + 2|λ| 2

k =1

2

∞ 

|y(k )|2 < ∞

k =1

άρα x + λy ∈ 2 . Θέτουμε

x, y =

∞ 

x (k )y(k ).

k =1

Παρατηρούμε ότι η σειρά συγκλίνει, και μάλιστα απόλυτα, διότι για κάθε n∈N

⎞ ⎞ ⎛∞ ⎞⎛ ∞ ⎞⎛ n ⎞2 ⎛ n ⎛ n ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ 2 2 2 2 ⎜⎜⎝ |x (k )y(k )|⎟⎟⎠ ≤ ⎜⎜⎝ |x (k )| ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ |y(k )| ⎟⎟⎠ ≤ ⎜⎜⎝ |x (k )| ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ |y(k )| ⎟⎟⎟⎠ k =1

k =1

k =1

k =1

k =1

(η πρώτη ανισότητα είναι η κλασική ανισότητα Cauchy-Schwarz για τον Rn ) και το δεξιά μέλος είναι πεπερασμένο, αφού οι x = (x (k )) και y = (y(k )) είναι τετραγωνικά αθροίσιμες. Είναι τώρα άμεσο να ελέγξει κανείς ότι ικανοποιούνται οι ιδιότητες του ορισμού 1.1.1. 2

με πράξεις κατά συντεταγμένη.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

4

(v) Στον μιγαδικό χώρο C([−π, π ]) των συνεχών συναρτήσεων f : [−π, π ] → C ορίζουμε

f, g =

1

π

−π

f (t )g(t )dt

(όπου το ολοκλήρωμα μιάς h : [−π, π ] → C είναι εξ ορισμού το άθροισμα3

h=

Re(h ) + i

Im(h )).

Το ., . είναι εσωτερικό γινόμενο. Πράγματι, όλες οι ιδιότητες του ορισμού 1.1.1, εκτός από την (ii), είναι άμεσες συνέπειες της γραμμικότητας του ολο-

π

κληρώματος. Αποδεικνύουμε την (ii): Αν f, f  = 0 τότε −π |f |2 = 0, οπότε, επειδή η ολοκληρωτέα συνάρτηση |f |2 είναι μη αρνητική και συνεχής, έπεται ότι |f (t )|2 = 0 και συνεπώς f (t ) = 0 για κάθε t ∈ [−π, π ]. Πρόταση 1.1.2 (Ανισότητα Cauchy-Schwarz) Αν E είναι χώρος με εσωτεϱικό γινόμενο, για κάθε x, y ∈ E ισχύει

|x, y| ≤ x, x 1/2 y, y1/2 . Ισότητα ισχύει αν και μόνον αν τα x, y είναι γραμμικά εξαρτημένα. Απόδειξη Η ανισότητα ισχύει τετριμμένα όταν y = 0. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι y  0. Θέτουμε y1 = y, y−1/2 y. Για κάθε λ ∈ K έχουμε 0 ≤ x − λy1 , x − λy1  = x, x  − λy1 , x  − λ¯x, y1  + |λ|2 y1 , y1  Θέτοντας λ = x, y1  έχουμε, εφόσον y1 , y1  = 1, 0 ≤ x − x, y1 y1 , x − x, y1 y1  = x, x  − |x, y1 |2 επομένως x, x  ≥ |x, y1 |2 , δηλαδή x, x y, y ≥ |x, y|2 . Επίσης, η ισότητα

x, x  = |x, y1 |2 , ισοδύναμα x, x y, y = |x, y|2 , ισχύει αν και μόνον αν x − x, y1 y1 = 0.  3

Αν z ∈ C, γράφουμε Rez =

ϕανταστικό του μέρος.

z +¯ z 2

για το πραγματικό μέρος του z και Imz =

z −¯ z 2i

για το


1.1. ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ

5

Πρόταση 1.1.3 Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, η απεικόνιση

. : E → R+ όπου x  = x, x 1/2 είναι νόρμα στον E, δηλαδή ικανοποιεί (i )

x + y ≤ x  + y

(ii )

λx  = |λ|x 

(iii ) x  = 0 ⇐⇒ x = 0 για κάθε x, y ∈ E και λ ∈ K. Απόδειξη Η μόνη μη τετριμμένη ιδιότητα είναι η τριγωνική ανισότητα (i ), που ισχύει χάρις στην ανισότητα Cauchy-Schwarz:

x + y2 = x 2 + y2 + x, y + y, x  = x 2 + y2 + 2Re x, y ≤ x 2 + y2 + 2x .y = (x  + y)2 .  Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz προκύπτει ότι ένας χώρος με εσωτερικό γινόμενο είναι και χώρος με νόρμα. Επομένως ορίζεται απόσταση (μετρική), σύγκλιση, συνέχεια κ.λπ. (ϐλ. το Παράρτημα). Μάλιστα, το εσωτερικό γινόμενο είναι συνεχής συνάρτηση και των δύο μεταβλητών του : Πόρισμα 1.1.4 Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, η απεικόνιση

(E, .) × (E, .) → (K, |.|) : (x, y) → x, y είναι συνεχής. Απόδειξη Αν xn − z  → 0 και yn − w → 0 τότε η ανισότητα Cauchy-Schwarz δείχει ότι

|xn , yn  − z, w| = |xn − z, yn  + z, yn − w| ≤ xn − z .yn  + z .yn − w → 0 εφόσον yn  → w.




ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

6

Πρόταση 1.1.5 Αν (E, ., .) είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, τότε (α) (Κανόνας Παραλληλογράμμου) για κάθε x, y ∈ E, x + y2 + x − y2 = 2x 2 + 2y2 . (ϐ) (Πυθαγόρειο Θεώρημα) αν x, y ∈ E και x, y = 0, τότε x + y2 = x 2 + y2 . Η απόδειξη των (α) και (ϐ) είναι απλή εφαρμογή των ιδιοτήτων του εσωτερικού γινομένου. Πρόταση 1.1.6 Αν . είναι μια νόρμα σε έναν γραμμικό χώρο E που ικανοποιεί τον κανόνα του παραλληλογράμμου, τότε ορίζεται ένα εσωτερικό γινόμενο στον E τέτοιο ώστε x  = x, x 1/2 . Επομένως, ο κανόνας του παραλληλογράμμου χαρακτηρίζει τους χώρους με εσωτερικό γινόμενο μεταξύ των χώρων με νόρμα. Η απόδειξη είναι στοιχειώδης, αλλά μακροσκελής, γι’ αυτό παραλείπεται.

1.2 Ορθοκανονικές Οικογένειες Ορισμός 1.2.1 Δύο στοιχεία x, y ενός χώρου E με εσωτερικό γινόμενο λέγονται κάθετα (συμβολικά x ⊥ y) όταν x, y = 0. Μια οικογένεια {ei : i ∈ I } ⊆ E λέγεται ορθοκανονική (orthonormal) αν

ei , ej  = δij για κάθε i, j ∈ I. Παρατηρήσεις. (ι) Το 0 είναι κάθετο σε κάθε στοιχείο του E, και είναι το μόνο στοιχείο του E με την ιδιότητα αυτή (γιατί ;). Επομένως, αν x, z  = y, z  για κάθε z ∈ E, τότε x = y. (ιι) Μια ορθοκανονική οικογένεια {ei : i ∈ I } είναι κατ’ ανάγκην γραμμικά ανεξάρτητη. Πράγματι, κάθε πεπερασμένο υποσύνολο {ein : n = 1, . . . , m } είναι γραμμικά ανεξάρτητο, γιατί αν λk ∈ K και για k = 1, . . . , m.

m

n =1

λn ein = 0, τότε λk = 

m

n =1

λn ein , eik  = 0


1.2. ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ

7

Το αντίστροφο ϕυσικά δεν αληθεύει : μία γραμμικά ανεξάρτητη οικογένεια δεν είναι κατ’ ανάγκην ορθοκανονική. Μπορώ όμως (τουλάχιστον όταν είναι αριθμήσιμη) να κατασκευάσω επαγωγικά μια ορθοκανονική οικογένεια που, σε κάθε ϐήμα της επαγωγής, παράγει τον ίδιο γραμμικό χώρο με την δοθείσα : Πρόταση 1.2.1 (Διαδικασία Gram-Schmidt) Αν {xn : n ∈ N} είναι μια γραμμικά ανεξάρτητη ακολουθία σ’ έναν χώρο (E, ., .) με εσωτερικό γινόμενο, τότε υπάρχει μια ορθοκανονική ακολουθία {en : n ∈ N} στον E ώστε, για κάθε k ∈ N, να ισχύει4 [en : n = 1, 2, ..., k ] = [xn : n = 1, 2, ..., k ]. x

Απόδειξη Με επαγωγή : Θέτω e1 = x1  . Θέτω y2 = x2 − x2 , e1 e1 (δηλαδή 1 αφαιρώ από το x2 την ορθή προβολή του στον υπόχωρο [x1 ] = [e1 ]), ϑέτω y

e2 = y2  και συνεχίζω κατά τον ίδιο τρόπο : αν δηλαδή έχω κατασκευάσει τα 2 e1 , e2 , . . . , ek όπως απαιτεί η Πρόταση, ϑέτω

ek +1

⎞ ⎛ k  ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ xk +1 , ei ei ⎟⎟⎟⎠ = λ ⎜⎜⎜⎝xk +1 − i =1

όπου ο αριθμός λ επιλέγεται ώστε να ισχύει5 ek +1  = 1 (δηλαδή λ = xk +1 −

k

−1 ).

i =1 xk +1 , ei ei 

Είναι εύκολο να ελέγξει κανείς ότι η ακολουθία (en ) που

κατασκευάσαμε ικανοποιεί τις απαιτήσεις της Πρότασης. Αξίζει ίσως να παϱατηρήσουμε ότι το λ μεγαλώνει, όσο η απόσταση του xk +1 από τον υπόχωρο

[xn : n = 1, 2, ..., k ] μικραίνει, πράγμα που μπορεί να προκαλέσει δυσκολίες σε υπολογιστικές εφαρμογές.  Παρατήρηση 1.2.2 ΄Επεται ότι κάθε υπόχωρος F πεπερασμένης διάστασης σ’ έναν χώρο E με εσωτερικό γινόμενο έχει μια αλγεβρική ϐάση {e1 , . . . , en } που είναι ορθοκανονική. Κάθε x ∈ F γράφεται κατά μοναδικό τρόπο n  x, ek ek x= k =1 4 5

με [A] ϑα συμβολίζουμε την γραμμική ϑήκη ενός υποσυνόλου A ⊆ E.  Παρατήρησε ότι xk +1 − ki=1 xk +1 , ei ei   0 γιατί xk +1  [e1 , . . . , ek ] = [x1 , . . . , xk ].


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

8 διότι αν x =

n

k =1

λk ek τότε x, em  =

n

k =1

λk ek , em  = λm για m = 1, . . . , n.

Επιπλέον, από το Πυθαγόρειο ϑεώρημα έχουμε

x 2 =

n 

|x, ek |2 .

k =1

Παραδείγματα 1.2.3 (a) Η συνηθισμένη ϐάση {ei : i = 1, . . . , n } του Kn είναι ορθοκανονική ακολουθία ως προς το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο. (b) Η ακολουθία {ei : i ∈ N} όπου ei (j) = δij είναι ορθοκανονική στον 2

 (N). (c) Θεωρούμε τον χώρο C([−π, π ]) εφοδιασμένο με το εσωτερικό γινόμενο

f, g =

1 2π

π

−π

f (t )g(t )dt.

Για k ∈ Z, ϑέτουμε ek (t ) = exp(ikt ) = cos(kt ) + i sin(kt ), t ∈ [−π, π ]. Είναι εύκολο να ελέγξει κανείς ότι η (άπειρη) οικογένεια {ek : k ∈ Z} είναι ορθοκανονική (αυτή είναι άλλωστε και η σκοπιμότητα του συντελεστή 1/2π στον ορισμό του εσωτερικού γινομένου). Οι (μιγαδικοί) αριθμοί

f, ek  =

1 2π

π

−π

f (t ) exp(−ikt )dt,

k∈Z

λέγονται συντελεστές Fourier της συνάρτησης f και συμβολίζονται fˆ (k ). Στόχος μας είναι τώρα να αποδείξουμε την κρίσιμη (όπως ϑα δούμε) ανισότητα Bessel. Η ανισότητα είναι άμεση συνέπεια του επομένου λήμματος. Σημειώνουμε ότι το λήμμα αυτό ϑα γενικευθεί αργότερα (στις Προτάσεις 1.5.1 και 1.5.2). Λήμμα 1.2.4 ΄Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο, x ∈ E και {e1 , e2 , . . . , en } πεπερασμένη ορθοκανονική ακολουθία στον E. Η απεικόνιση

Kn

n 

λk ek

→ R+ : (λ1 , λ2 , . . . , λn ) →

x −

k =1


1.2. ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ

9

έχει ολικό ελάχιστο στο σημείο (x, e1 , x, e2 , . . . , x, en ). Δηλαδή το διάνυσμα yo =

n

k =1 x, ek ek

είναι το πλησιέστερο στο x στοιχείο του υποχώρου F =

[e1 , e2 , . . . , en ]. Επιπλέον το x − yo είναι κάθετο στον F και αντίστροφα, αν y ∈ F και x − y ⊥ F , τότε y = yo . [Ερμηνεία : Σ’ έναν χώρο E με εσωτερικό γινόμενο, το πρόβλημα της ϐέλτιστης προσέγγισης ενός τυχαίου στοιχείου x ∈ E από ένα στοιχείο y του υποχώρου F = [ei : i = 1, . . . , n ] έχει πάντα6 μοναδική λύση, την y=

n 

x, ek ek .

k =1

Απόδειξη Λήμματος Κάθε y ∈ F γράφεται y =

n

k =1 y, ek ek .

΄Εχουμε (x −

y) ⊥ F αν και μόνον αν x − y, ek  = 0, ισοδύναμα y, ek  = x, ek  για k = 1, . . . n, δηλαδή y = yo . Αν (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ Kn , γράφοντας x−

n  k =1

⎛ ⎞ ⎛ n ⎞ n  ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟ λk ek = ⎜⎝x − x, ek ek ⎟⎠ + ⎜⎝ (x, ek  − λk )ek ⎟⎟⎟⎠ = z + y1 k =1

k =1

παρατηρούμε ότι z ⊥ F (γιατί z, ek  = 0 για k = 1, . . . n) και y1 ∈ F , άρα y1 ⊥ z. Από το Πυθαγόρειο ϑεώρημα προκύπτει ότι y1 + z 2 = y1 2 + z 2 δηλαδή

2

2

2

n n n  



x − x, ek ek

+

(x, ek  − λk )ek

=

x − λk ek

k =1

k =1 k =1

2

n n  

|x, ek  − λk |2 x, ek ek

+ =

x −

k =1 k =1 6

(1.1)

Αυτό δεν αληθεύει πάντα σε χώρους με νόρμα. Παραδείγματος χάριν, στον R2 με την νόρμα

(x1 , x2 )∞ = max{|x1 |, |x2 |}, αν x = (1, 1) και F είναι ο άξονας των x, δηλ. F = {(x, 0) : x ∈ R}, η παράσταση

(1, 1) − (x, 0)∞ = max{|1 − x |, 1} έχει ελάχιστο αν και μόνον αν |1 − x | ≤ 1 δηλαδή 0 ≤ x ≤ 2. Το πρόβλημα δηλαδή εδώ έχει άπειρες λύσεις.]


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

10

(για τη νόρμα του y1 χρησιμοποιήθηκε το Πυθαγόρειο Θεώρημα). Το Λήμμα είναι τώρα προφανές, αφού το δεξιά μέλος της (1.1) έχει ελάχιστο ακριβώς όταν λk = x, ek  για κάθε k = 1, . . . , n.  Αξίζει να απομονώσουμε μια χρήσιμη ταυτότητα, που είναι στην ουσία άμεση συνέπεια του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Παρατήρηση 1.2.5 ΄Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο και {e1 , e2 , . . .} ορϑοκανονική ακολουθία στον E. Για κάθε x ∈ E και κάθε n ∈ N ισχύει

2 n n  

x − x, ek ek

= x 2 − |x, ek |2

k =1 k =1 Απόδειξη Προφανής αν στην σχέση (1.1) της απόδειξης του Λήμματος ϑέσουμε λk = 0 (k = 1, . . . , n ). Πρόταση 1.2.6 (Ανισότητα Bessel) Αν {ei : i = 1, . . . , n } ⊆ E είναι (πεπερασμένη) ορθοκανονική οικογένεια και x ∈ E, τότε : (ι)

n

k =1

|x, ek |2 ≤ x 2

(ιι) Στην (ι) ισχύει ισότητα αν και μόνον αν x ∈ [ei : i = 1, . . . , n ]. Απόδειξη Και τα δύο σκέλη είναι προφανή από τις Παρατηρήσεις 1.2.2 και 1.2.5. Συμβολισμός Αν {αi : i ∈ I } ⊆ R+ , ϑέτουμε7



αi ≡ sup{

i ∈I



αi : F ⊆ I πεπερασμένο } ∈ [0, +∞]

i ∈F

Πρόταση 1.2.7 (Γενικευμένη ανισότητα Bessel) Αν {ei : i ∈ I } ⊆ E είναι ορθοκανονική οικογένεια και x ∈ E, τότε



|x, ei |2 ≤ x 2 .

i ∈I 7

Ο συμβολισμός αυτός είναι συμβιβαστός με τον αντίστοιχο για σειρές (αριθμήσιμου πλή-

ϑους) μη αρνητικών όρων. Πράγματι, μια σειρά μη αρνητικών πραγματικών αριθμών συγκλίνει αν και μόνον αν είναι ϕραγμένη, και το άθροισμα της σειράς είναι ακριβώς το supremum των μερικών αθροισμάτων της.


1.3. ΧΩΡΟΙ HILBERT

11

Η Απόδειξη είναι άμεση συνέπεια της Πρότασης 1.2.6. Ειδικότερα, έχουμε Πόρισμα 1.2.8 Αν {ei : i = 1, . . .} είναι ορθοκανονική ακολουθία στον E και x ∈ E, τότε η σειρά



k

|x, ek |2 συγκλίνει και ∞ 

|x, ek |2 ≤ x 2 .

k =1

Πόρισμα 1.2.9 Αν {ei : i ∈ I } είναι ορθοκανονική οικογένεια στον E και x ∈ E, το σύνολο {i ∈ I : x, ei   0} είναι αριθμήσιμο. Απόδειξη Το σύνολο αυτό ισούται με την ένωση ∪{In : n ∈ N}, όπου In = {i ∈ I : |x, ei |2 >

x 2 n

(γιατί αν |x, ei |  0 τότε υπάρχει n ώστε |x, ei |2 >

} x 2 n

). Κάθε In έχει το πολύ

n στοιχεία. Γιατί, αν είχε περισσότερα από n, τότε



|x, ei |2 ≥

i ∈In

Αλλά



|x, ei |2 ≤

i ∈In

 x 2 i ∈In



n

> x 2

|x, ei |2 ≤ x 2

i ∈I

(από την Πρόταση 1.2.7), άτοπο. Επομένως κάθε In είναι πεπερασμένο σύνολο, και συνεπώς η ένωσή τους είναι αριθμήσιμη.



1.3 Χώροι Hilbert Ορισμός 1.3.1 ΄Ενας χώρος (E, ., .) με εσωτερικό γινόμενο λέγεται χώρος Hilbert αν είναι πλήρης8 ως προς την μετρική που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο. 8

για τους ορισμούς, ϐλ. το Παράρτημα.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

12

Παραδείγματα (a) Ο χώρος Kn , με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, είναι ϐέβαια χώρος Hilbert. Την αντίστοιχη (Ευκλείδεια) νόρμα συμβολίζουμε .2 . Είναι επίσης πλήρης ως προς την νόρμα .∞ (όπου x ∞ = max |xk |), αλλά 1≤k ≤n

δεν είναι χώρος Hilbert ως προς αυτήν (γιατί δεν ικανοποιείται ο κανόνας του παραλληλογράμμου), μολονότι οι δυο νόρμες είναι ισοδύναμες (ϐλ. το Παράρτημα). (b) Ο χώρος 2 , με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο, είναι χώρος Hilbert, και ο χώρος coo των ακολουθιών με πεπερασμένο ϕορέα είναι πυκνός υπόχωρος του. (Την αντίστοιχη νόρμα συμβολίζουμε .2 .) Επομένως ο χώρος (coo , .2 ) είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο αλλά όχι Hilbert, εφ’ όσον δεν είναι πλήρης. Απόδειξη (i) Πληρότητα του 2 : ΄Εστω {xn } μια ακολουθία στον 2 που είναι ϐασική ως προς την νόρμα .2 . Κάθε xn είναι μια ακολουθία αριθμών :

x1 = (x1 (1), x1 (2), . . . , x1 (i ), . . .) x2 = (x2 (1), x2 (2), . . . , x2 (i ), . . .) ......... xn = (xn (1), xn (2), . . . , xn (i ), . . .) .........

Για κάθε i, η ανισότητα |xn (i ) − xm (i )| ≤ xn − xm 2 δείχνει ότι η «κατακόρυφη» ακολουθία (xn (i ))n είναι ϐασική ακολουθία στον C. Επειδή ο C είναι πλήρης, για κάθε i υπάρχει x (i ) ∈ C ώστε

x (i ) = lim xn (i ). n

΄Εχουμε δηλαδή


1.3. ΧΩΡΟΙ HILBERT

x1 x2

13

= (x1 (1), x1 (2), . . . x1 (i ), . . .) = (x2 (1), x2 (2), . . . x2 (i ), . . .)

... xn

...

...

= (xn (1), xn (2), . . . xn (i ), . . .) ↓ ↓

x

=

(x (1), x (2),

...

x (i ),

. . .)

Πρέπει να δείξουμε (α) ότι η ακολουθία x ≡ (x (i )) ανήκει στον 2 , είναι δηλ. τετραγωνικά αθροίσιμη και (ϐ) ότι x − xn 2 → 0. Αν δοθεί ε > 0, υπάρχει k ∈ N ώστε m, n ≥ k ⇒ xn − xm 2 ≤ ε. Επειδή για κάθε N ∈ N ισχύει η ανισότητα N 

έχουμε

|xn (i ) − xm (i )|2 ≤ xn − xm 22

i =1

m, n ≥ k ⇒

N 

|xn (i ) − xm (i )|2 ≤ ε2 .

(1.2)

i =1

Το άθροισμα έχει πεπερασμένο πλήθος προσθετέων. Επομένως, μπορούμε να πάρουμε όριο ως προς n στην (1.2) και να συμπεράνουμε ότι m≥k ⇒

N 

|x (i ) − xm (i )|2 ≤ ε2 .

i =1

Επειδή η σχέση αυτή ισχύει για κάθε N ∈ N, έπεται ότι m≥k ⇒

∞ 

|x (i ) − xm (i )|2 ≤ ε2

i =1

πράγμα που δείχνει ότι η ακολουθία x − xm = (x (i ) − xm (i )) είναι τετραγωνικά αθροίσιμη ως προς i (δηλαδή ανήκει στον 2 ) για κάθε m ≥ k, οπότε x =

(x − xm ) + xm ∈ 2 και η τελευταία ανισότητα γράφεται m ≥ k ⇒ x − xm 2 ≤ ε επομένως x − xm 2 → 0.




ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

14

(ii) Πυκνότητα του coo στον 2 : Αν δοθεί x = (x (i )) ∈ 2 και ε > 0, πρέπει να ϐρούμε y ∈ coo ώστε x − y2 < ε. Η ιδέα είναι να ϕτιάξουμε το y «κόβοντας» το x σε ένα σημείο i, πέρα από το οποίο η νόρμα να είναι μικρότερη από ε: ∞ 

Αφού

|x (i )|2 < +∞, υπάρχει io ώστε

i =1

∞ 

|x (i )|2 < ε2 .

i =io

Θέτουμε τώρα

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ x (i ) όταν i < io y(i ) = ⎪ ⎪ ⎩ 0 αλλιώς

και έχουμε y ≡ (y(i )) ∈ coo και

x −

y22

=

∞ 

|x (i )|2 < ε2 .



i =io

(c) Ο χώρος C([−π, π ]) δεν είναι πλήρης ως προς την νόρμα .2 που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο. (Το ίδιο ϕυσικά ισχύει για τον C([a, b])). Παράδειγμα : Η ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων (fn ), όπου

⎧ ⎪ ⎪ 0 : ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ fn (t ) = ⎪ nt : ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 :

−π ≤ t ≤ 0 0 < t ≤ n1 1 <t≤π n

είναι ϐασική ως προς την .2 , αλλά δεν συγκλίνει σε συνεχή συνάρτηση. Πράγματι, αν m ≥ n, έχουμε fn (t ) = fm (t ) για t  [0, n1 ] και |fn (t ) − fm (t )| ≤ 1 για κάθε t, επομένως

fn − fm 22 =

1 2π

0

1 n

|fn (t ) − fm (t )|2 dt ≤

1 1 2π n

άρα η (fn ) είναι ϐασική. Αν υπήρχε συνεχής f ώστε lim f − fn 2 = 0, ϑα είχαμε


1.4. Η ΠΛΗΡΩΣΗ

15

0

|f (t )| dt +

π

2

−π

0

−π

π

−π

1 n

|f (t ) − 1|2 dt =

|f (t ) − fn (t )|2 dt +

π 1 n

|f (t ) − fn (t )|2 dt ≤

|f (t ) − fn (t )|2 dt = 2π f − fn 22 → 0 .

Επομένως

0

|f (t )| dt + 2

−π

π

|f (t ) − 1| dt =

0

2

0

0

|f (t )| dt + lim

π

2

−π

n

1 n

|f (t ) − 1|2 dt = 0.

π

Δηλαδή −π |f (t )|2 dt = 0 και 0 |f (t ) − 1|2 dt = 0 άρα f (t ) = 0 για κάθε t ∈ [−π, 0] και f (t ) = 1 για κάθε t ∈ [0, π ], άτοπο. Ο χώρος C([−π, π ]) είναι πλήρης ως προς την νόρμα .∞ , όπου f ∞ = sup{|f (t )| : t ∈ [−π, π ]}. Δεν είναι όμως χώρος Hilbert, γιατί η .∞ δεν ικανοποιεί τον κανόνα του παραλληλογράμμου. [Πράγματι, αν Παρατήρηση

f (t ) = max{t, 0}, g(t ) = min{t, 0}, έχουμε f ∞ = g∞ = f + g∞ = f − g∞ , συνεπώς f + g2∞ + f − g2∞  2f 2∞ + 2g2∞ .]

1.4 Η πλήρωση Είναι γνωστό [13, Θεωρ. 2.40, 2.41] ότι κάθε μετρικός χώρος (X, d ) εμφυτεύεται ισομετρικά ως πυκνός υπόχωρος ενός πλήρους μετρικού χώρου (Y, ρ), ο οποίος είναι «ουσιαστικά μοναδικός» (ακριβέστερα, αν ο (X, d ) είναι ισομετρικά ισόμορφος με έναν πυκνό υπόχωρο ενός άλλου πλήρους μετρικού χώρου

(Z, δ ), τότε υπάρχει ισομετρικός ισομορφισμός μεταξύ των (Y, ρ) και (Z, δ ) που αφήνει τον X κατά σημείο αναλλοίωτο). Γι’ αυτό ο (Y, ρ) λέγεται η πλήρωση του (X, d ). ΄Εστω τώρα (E, ., .) χώρος με εσωτερικό γινόμενο και (H, d ) η πλήρωση του E ως προς την μετρική που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο. Θεωρώντας τον E ως πυκνό υποσύνολο του H, μπορούμε να επεκτείνουμε τις γραμμικές πράξεις και το εσωτερικό γινόμενο από τον E στον H ως εξής :


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

16

Αν x, y ∈ H και λ ∈ K, υπάρχουν ακολουθίες {xn }, {yn } από στοιχεία του E που προσεγγίζουν τα x, y ως προς την μετρική d. Ορίζουμε x +y λx

= lim(xn + yn ) n

= lim(λxn ) n

x, y = limxn , yn . n

(Παρατηρούμε ότι τα όρια αυτά υπάρχουν - γιατί ;) Πρέπει να ελέγξει κανείς ότι οι πράξεις αυτές είναι καλά ορισμένες : δηλαδή, ότι αν τα x, y προσεγγισθούν από άλλες ακολουθίες {ξn }, {ηn } του E, τότε

lim((ξn + ηn ) − (xn + yn )) = 0 n

lim((λξn ) − (λxn )) = 0 n

lim(ξn , ηn  − xn , yn ) = 0. n

Οι ισότητες αυτές είναι όμως άμεσες από την συνέχεια των πράξεων και του εσωτερικού γινομένου στον E. Είναι τώρα εύκολο (αλλά επίσης αναγκαίο) να ελεγχθεί ότι ο H, εφοδιασμένος με αυτές τις γραμμικές πράξεις και το εσωτερικό γινόμενο, είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Επίσης, η μετρική που ορίζεται στον H από το εσωτερικό γινόμενο ταυτίζεται με την d (γιατί ;) και συνεπώς ο (H, ., .) είναι χώρος Hilbert. Με τον τρόπο αυτό αποδεικνύεται η Πρόταση 1.4.1 Αν (E, ., .) είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, τότε υπάρχει χώρος Hilbert (H, ., .) στον οποίο ο E εμφυτεύεται γραμμικά και ισομετρικά ως πυκνός υπόχωρος. Ο H είναι «ουσιαστικά μοναδικός», με την έννοια ότι αν

(K, ., .) είναι χώρος Hilbert και U : E → K γραμμική ισομετρία με πυκνή εικόνα, τότε η U επεκτείνεται σε γραμμική ισομετρία V από τον H επί του K. Ο χώρος Hilbert (H, ., .) λέγεται η πλήρωση του (E, ., .). (Η μοναδικότητα του H αφήνεται ως άσκηση) Συμβολισμός Στις σημειώσεις αυτές, ϑα συμβολίζουμε με L 2 ([a, b]) την πλήϱωση του χώρου με εσωτερικό γινόμενο (C([a, b]), ., .).


1.5. ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΔΙΑΣΠΑΣΕΙΣ

17

Παρατήρηση Στη Θεωρία Μέτρου, ο χώρος L 2 ([a, b]) ορίζεται με διαφορετικό τρόπο (ϐλέπε π.χ. [9, Κεφ. 11]): τα στοιχεία του είναι κλάσεις ισοδυναμίας, modulo ισότητα σχεδόν παντού, μετρήσιμων συναρτήσεων f : [a, b] → K

|f |2 < +∞ (όπου το ολοκλήρωμα είναι ως προς το μέτρο Lebesgue), και αποδεικνύεται ότι είναι χώρος Hilbert και ότι ο C([a, b]) είναι πυκνός με

υπόχωρός του (ϐλ. και ΄Ασκηση 1.7). Επομένως ο χώρος αυτός ικανοποιεί τις απαιτήσεις της Πρότασης 1.4.1, πράγμα που δικαιολογεί τον συμβολισμό που υιοθετήσαμε.

1.5 Ορθογώνιες διασπάσεις Αν E είναι ένας μη τετριμμένος γραμμικός υπόχωρος του R2 (δηλαδή μια ευθεία που περνάει από το 0), μπορώ να ϐρω έναν υπόχωρο F του R2 ώστε ο

R2 να είναι το ευθύ άθροισμα (direct sum) των E και F : δηλαδή, κάθε x ∈ R2 να διασπάται κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα x = y + z, όπου y ∈ E και z ∈ F. Το στοιχείο y είναι εξ ορισμού «η προβολή του x στον υπόχωρο E παράλληλα προς τον υπόχωρο F ». Υπάρχουν πολλές επιλογές για τον υπόχωρο F και είναι όλες, από την άποψη της γραμμικής άλγεβρας, ισοδύναμες. Ο F είναι «ένα συμπλήρωμα του E». Ως προς την ευκλείδεια νόρμα  · 2 όμως, ο κάθετος υπόχωρος E ⊥ του E είναι το «καλύτερο δυνατό» συμπλήρωμα του E, από την άποψη ότι ισχύει y2 ≤ x 2 , εξαιτίας του Πυθαγορείου Θεωρήματος (ένα σχήμα ϑα πείσει τον αναγνώστη ότι, αν οι E και F δεν είναι κάθετοι, τότε μπορεί το μήκος της «λοξής» προβολής y του x να είναι μεγαλύτερο από το μήκος του x ). Μάλιστα, ο E ⊥ είναι το μοναδικό συμπλήρωμα του E με την ιδιότητα αυτή (΄Ασκηση 1.8) . Οι ίδιες παρατηρήσεις ισχύουν για τον Kn . Σε απειροδιάστατους χώρους, τα πράγματα δεν αλλάζουν όσον αφορά την γραμμική δομή, μόλις όμως εισαγάγουμε τοπολογική δομή (ϑελήσουμε δηλαδή να κάνουμε προσεγγίσεις), η κατάσταση γίνεται ϱιζικά διαφορετική. Πραγματικά, αν ο E είναι κλειστός υπόχωρος ενός χώρου Banach9 V , δεν είναι πάντα αλήθεια ότι υπάρχει ένας κλειστός υπόχωρος F του V τέτοιος ώστε ο V να είναι το (αλγεβρικό) ευθύ 9

δηλ. ενός πλήρους χώρου με νόρμα – ϐλ. το Παράρτημα.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

18

άθροισμα των E και F. (΄Ενα παράδειγμα, όπως αποδεικνύεται [11, Θεώρημα 3.2.20], είναι V = ∞ και E = co ). Στην παράγραφο αυτή ϑα δείξουμε ότι κάθε κλειστός υπόχωρος E ενός χώρου Hilbert H έχει κλειστό συμπλήρωμα, και μάλιστα έχει το «καλύτερο δυνατό» συμπλήρωμα, τον κάθετο υπόχωρο E ⊥ . Η ιδιότητα αυτή έχει ϑεμελιώδεις επιπτώσεις στην ϑεωρία10 αλλά και στις εφαρμογές της. ΄Οπως ϑα ϕανεί αμέσως, η ιδιότητα της ύπαρξης καθέτου στηρίζεται κατά ουσιώδη τρόπο στην πληρότητα. Πρόταση 1.5.1 (Πλησιέστερο διάνυσμα) ΄Εστω H χώρος Hilbert, E κλειστός γραμμικός υπόχωρος του H. Αν x ∈ H \ E, τότε υπάρχει μοναδικό y ∈ E πλησιέστερο προς το x, δηλαδή τέτοιο ώστε x − y = d (x, E ) ≡ inf{x − z  : z ∈ E }. Το μοναδικό αυτό στοιχείο y του E ονομάζουμε (ορθή) προβολή του x στον E, και το συμβολίζουμε PE (x ) ή P (E )x. [Ερμηνεία Το πρόβλημα της ϐέλτιστης προσέγγισης (πρβλ.

Λήμμα 1.2.4)

έχει μία, και μάλιστα μοναδική, λύση, ακόμα και ως προς απειροδιάστατους υποχώρους.] Απόδειξη Αν δ = d (x, E ), υπάρχει μια ακολουθία (yn ) στοιχείων του E ώστε yn − x  → δ. Αν εφαρμόσουμε τον κανόνα του Παραλληλογράμμου στα yn − x και ym − x ϐρίσκουμε

2 yn + ym

yn − ym  = 2yn − x  + 2ym − x  − 4

− x

2

2

2

2

για κάθε n, m ∈ N. Επειδή

1 (y 2 n

+ ym ) ∈ E, έχουμε  12 (yn + ym ) − x  ≥ δ, άρα

yn − ym 2 ≤ 2yn − x 2 + 2ym − x 2 − 4δ 2 . ΄Οταν n → ∞ και m → ∞, το δεξιά μέλος της ανισότητας τείνει στο 2δ 2 + 2δ 2 − 4δ 2 = 0, και επομένως η (yn ) είναι ϐασική ακολουθία. Επειδή ο E είναι 10

Αποδεικνύεται (J. Lindenstrauss & L. Tzafriri, On the complemented subspace problem,

Israel J. Math. 9, 1971) ότι αν ένας χώρος Banach έχει την ιδιότητα, όλοι οι κλειστοί υπόχωροί του να έχουν κλειστό συμπλήρωμα, τότε είναι ισομορφικός με έναν χώρο Hilbert.


1.5. ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΔΙΑΣΠΑΣΕΙΣ

19

πλήρης (αφού είναι κλειστός υπόχωρος του πλήρους χώρου H), υπάρχει y ∈ E ώστε y − yn  → 0. Τέλος, η συνέχεια της νόρμας δείχνει ότι

y − x  = lim yn − x  = δ. Η μοναδικότητα του y έπεται και αυτή από τον κανόνα του παραλληλογράμμου : αν y1 , y2 ∈ E και y1 − x  = δ = y2 − x , τότε 0

2

y1 + y2 ≤ y1 − y2 2 = 2y1 − x 2 + 2y2 − x 2 − 4

− x

= 2

2

y1 + y2 − x

≤ 2δ 2 + 2δ 2 − 4δ 2 = 0, 2δ 2 + 2δ 2 − 4

2

άρα y1 = y2 .  Παρατήρηση Στην πραγματικότητα, όπως ϕαίνεται από την απόδειξη, αρκεί ο H να είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, και το E να είναι πλήρες και κυρτό υποσύνολο του H. Ειδικότερα το συμπέρασμα της Πρότασης ισχύει όταν ο E είναι πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος του H. Μάλιστα στην περίπτωση αυτή, όπως δείξαμε στο Λήμμα 1.2.4, η προβολή του x στον E δίνεται από τον τύπο n  PE (x ) = x, ek ek , k =1

όπου {ek : k = 1, . . . , n } είναι μια οποιαδήποτε ορθοκανονική ϐάση του E. Επίσης δείξαμε ότι το διάνυσμα x − PE (x ) είναι κάθετο στον E. Η ιδιότητα αυτή χαρακτηρίζει την ορθή προβολή γενικότερα : Πρόταση 1.5.2 ΄Εστω H χώρος Hilbert, E κλειστός γραμμικός υπόχωρος του H. Αν x ∈ H \ E, τότε το διάνυσμα x − PE (x ) είναι κάθετο στον E. Αντίστροφα αν yo ∈ E και (x − yo ) ⊥ E τότε yo = PE (x ). Απόδειξη11 ΄Εστω z = x − PE x. Από την Πρόταση 1.5.1, ισχύει z  = d (x, E ). Θα δείξω ότι z ⊥ E. Αν y ∈ E είναι τυχαίο, αρκεί να δείξω ότι z ⊥ y. Θέτω y1 = PE x και ονομάζω Eo ⊆ E τον υπόχωρο που παράγεται από τα y και y1 . 11

Ευχαριστώ τον Β. Νεστορίδη για την απόδειξη αυτή.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

20

Παρατηρώ ότι το y1 είναι το πλησιέστερο προς το x διάνυσμα του E, άρα12 και του Eo . Αλλά ο Eo έχει πεπερασμένη διάσταση, συνεπώς από το Λήμμα 1.2.4 έπεται ότι (x − y1 ) ⊥ Eo άρα z ⊥ y. Αντίστροφα αν yo ∈ E και (x − yo ) ⊥ E τότε για κάθε y ∈ E τα διανύσματα x − yo και yo − y είναι κάθετα, οπότε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε

x − y2 = x − yo 2 + yo − y2 ≥ x − yo 2 . Επομένως x − yo  = d (x, E ), οπότε yo = PE (x ) από την μοναδικότητα του PE (x ).  Το επόμενο Πόρισμα είναι ϐέβαια γεωμετρικά προφανές σε χώρους πεπερασμένης διάστασης. Σε απειροδιάστατους χώρους, η απόδειξη στηρίζεται κατά ουσιώδη τρόπο στην πληρότητα (μέσω της Πρότασης 1.5.1). Πραγματικά, η Πρόταση δεν ισχύει πάντα σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο, όπως δείχνει το παράδειγμα 1.5.5 που ακολουθεί. Πόρισμα 1.5.3 (΄Υπαρξη καθέτου διανύσματος) Αν H είναι χώρος Hilbert και M είναι γνήσιος κλειστός υπόχωρος του H τότε υπάρχει z ∈ H, z  0 ώστε z ⊥ M. Η απόσταση του z από τον M είναι η μεγαλύτερη δυνατή : d (z, M ) = z . Απόδειξη Πάρε ένα οποιοδήποτε x ∈ H \ M και εφάρμοσε την Πρόταση 1.5.2 στο z = x − PM x.  Πόρισμα 1.5.4 ΄Ενας γραμμικός υπόχωρος E ενός χώρου Hilbert H είναι πυκνός (dense) στον H αν και μόνον αν το μόνο διάνυσμα του H που είναι κάθετο στον E είναι το 0. Απόδειξη ΄Εστω M = E. Αν M  H, τότε από το προηγούμενο πόρισμα υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο στον M, άρα και στον E. Το αντίστροφο είναι προφανές. 12



y1 − x  = inf{y − x  : x ∈ E } ≤ inf{y − x  : x ∈ Eo } ≤ y1 − x , (αφού y1 ∈ Eo ) άρα ισχύει

ισότητα.


1.5. ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΔΙΑΣΠΑΣΕΙΣ

21

Ορισμός 1.5.1 (κάθετος υπόχωρος) Αν A είναι μη κενό υποσύνολο ενός χώϱου H με εσωτερικό γινόμενο, ϑέτω A⊥ = {x ∈ H : x, y = 0 για κάθε y ∈ A}. Παρατήρηση Ο A⊥ είναι πάντα κλειστός γραμμικός υπόχωρος του H. Πράγματι, αν ονομάσω y∗ : H → K την απεικόνιση y∗ (x ) = x, y, παρατηρώ ότι (ι) η y∗ είναι γραμμική, άρα ο πυρήνας της, ker(y∗ ), είναι γραμμικός χώρος και (ιι) η y∗ είναι συνεχής άρα ο ker(y∗ ) είναι κλειστός. Επειδή ο A⊥ είναι η τομή ∩{ker(y∗ ) : y ∈ A} των κλειστών γραμμικών υποχώρων ker(y∗ ), y ∈ A του H, είναι κλειστός γραμμικός υπόχωρος. Παράδειγμα 1.5.5 Υπάρχει χώρος E με εσωτερικό γινόμενο και γνήσιος κλειστός υπόχωρος F του E, ώστε F ⊥ = {0}. Απόδειξη ΄Εστω E = coo , ο χώρος των ακολουθιών με πεπερασμένο ϕορέα, εφοδιασμένος με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο του 2 . ΄Εστω



F = x = (x (n )) ∈ E : Η απεικόνιση f : x →

 x (n ) n

 x (n ) n



=0 .

είναι (γραμμική και) συνεχής ως προς την νόρμα

.2 . Πράγματι, από την κλασσική ανισότητα Cauchy-Schwarz, έχουμε   x (n )   1/2  1 1/2  1 1/2   ≤ 2 |f (x )| ≤ x ( n )| = x 2 . |   2 2 n

n

n

Επομένως ο F = ker f είναι κλειστός υπόχωρος του E (και γνήσιος, αφού f  0). ΄Εστω y = (y(n )) ∈ F ⊥ . Ισχυρίζομαι ότι y = 0. Πράγματι, παρατήρησε ότι για κάθε n ∈ N, το διάνυσμα e1 − nen ανήκει στον F . Συνεπώς πρέπει

y, e1 − nen  = 0 ή y, en  =

1 y, e1 , n

δηλαδή y(n ) =

1 y(1). n

Επομένως οι

συντεταγμένες του y είναι όλες μη μηδενικά πολλαπλάσια της πρώτης του συντεταγμένης. Εφόσον όμως η y έχει πεπερασμένο πλήθος μη μηδενικών συντεταγμένων, ϑα πρέπει y(1) = 0 οπότε y(n ) = 0 για κάθε n ∈ N.  Το Πόρισμα 1.5.3 δείχνει ότι, αν ο M είναι γνήσιος κλειστός υπόχωρος ενός χώρου Hilbert H, τότε ο υπόχωρος M ⊥ είναι μη μηδενικός. Θα δείξουμε


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

22

κάτι ισχυρότερο : ότι οι υπόχωροι M και M ⊥ παράγουν (αλγεβρικά) ολόκληρο τον H. Ας παρατηρήσουμε από τώρα ότι, επειδή13 M ∩ M ⊥ = {0}, το άθροισμα M + M ⊥ είναι ευθύ, δηλαδή κάθε x ∈ M + M ⊥ διασπάται μοναδικά σε άθροισμα x = x1 + x2 , με x1 ∈ M και x2 ∈ M ⊥ . Θεώρημα 1.5.6 (Ορθογώνια διάσπαση) Αν M είναι κλειστός υπόχωρος ενός χώρου Hilbert H, τότε M ⊕ M ⊥ = H. Απόδειξη ΄Εστω y ∈ H. Πρέπει να ϐρω y1 ∈ M, y2 ∈ M ⊥ ώστε y = y1 + y2 . Αν y ∈ M, ϑέτω y1 = y και y2 = 0. Αν όχι, από την Πρόταση 1.5.2 υπάρχει μοναδικό y1 (= PM (y)) στον M ώστε το y2 = y − y1 να είναι κάθετο στον M.  Πόρισμα 1.5.7 (Ορθή προβολή) ΄Εστω M κλειστός υπόχωρος ενός χώρου Hilbert H. Η απεικόνιση PM : H → H : y → PM (y) είναι γραμμική και συνεχής. Απόδειξη Γραμμικότητα : Αν x, y ∈ H και λ ∈ K τα x, y και z = x + λy γράφονται μοναδικά x = x1 + x2 , y = y1 + y2 και z = z1 + z2 όπου x1 , y1 , z1 ∈ M και x2 , y2 , z2 ∈ M ⊥ . ΄Εχουμε z1 + z2 = x + λy = (x1 + λy1 ) + (x2 + λy2 ), άρα z1 − (x1 + λy1 ) = (x2 + λy2 ) − z2 .

(x2 + λy2 ) − z2 ∈

M ⊥,

Επειδή z1 − (x1 + λy1 ) ∈ M και

έπεται ότι z1 − (x1 + λy1 ) = 0, δηλαδή PM (x + λy) = PM (x ) + λPM (y),

άρα η PM είναι γραμμική. 13

γιατί αν x ∈ M ∩ M ⊥ τότε το x είναι κάθετο στον εαυτό του, άρα x = 0.


1.6. Ο ΔΥΪΚΟΣ ΕΝΟΣ ΧΩΡΟΥ HILBERT

23

Συνέχεια : Παρατηρούμε ότι, για κάθε x ∈ H, τα διανύσματα PM (x ) και x − PM (x ) είναι κάθετα, επομένως από το Πυθαγόρειο ϑεώρημα έχουμε

x 2 = PM (x )2 + x − PM (x )2 , άρα PM (x ) ≤ x . Επομένως η PM είναι συνεχής.14

1.6 Ο δυϊκός ενός χώρου Hilbert Υπενθυμίζω την έννοια του τοπολογικού δυϊκού ενός χώρου με νόρμα : Ορισμός 1.6.1 ΄Εστω (E, .) χώρος με νόρμα. (topological dual)

E∗

Ο (τοπολογικός) δυϊκός

του E είναι το σύνολο των συνεχών γραμμικών απει-

κονίσεων f : E → K. Είναι γραμμικός χώρος ως προς τις πράξεις κατά σημείο. Αν f ∈ E ∗ , ο αριθμός

f  ≡ sup{|f (x )| : x ∈ E, x  ≤ 1} είναι πεπερασμένος, και η . είναι νόρμα στον E ∗ . Δεν είναι καθόλου προφανές ότι ο δυϊκός κάθε χώρου με νόρμα E περιέχει μη μηδενικά στοιχεία. Αυτό είναι συνέπεια ενός ϑεμελιώδους ϑεωρήματος της Συναρτησιακής Ανάλυσης, του Θεωρήματος Hahn-Banach (7.3.8). Στην πεϱίπτωση όμως που η νόρμα ορίζεται από ένα εσωτερικό γινόμενο, μπορούμε άμεσα να διαπιστώσουμε ότι ο δυϊκός του E περιέχει άφθονα στοιχεία, «τουλάχιστον όσα ο E»: Λήμμα 1.6.1 ΄Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Αν x ∈ E, ονομάζουμε fx την απεικόνιση fx : E → K : y → y, x . Η fx είναι γραμμική και συνεχής. Μάλιστα fx  = x . Απόδειξη

Αρκεί να υποθέσουμε ότι x  0. Η γραμμικότητα της fx είναι

προφανής. Η συνέχεια προκύπτει από την ανισότητα Cauchy-Schwarz:

|fx (y)| = |y, x | ≤ y.x  =⇒ fx  ≤ x . 14

αν xn → x τότε PM (xn ) − PM (x ) = PM (xn − x ) ≤ xn − x  → 0.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

24 Επειδή όμως

 fx

x



x 

 =

x

x 

 , x = x 

έπεται ότι fx  = x .  Πρόταση 1.6.2 Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο, η απεικόνιση T : E → E ∗ : x → fx είναι αντιγραμμική

15

(δηλαδή

¯ T (x + λy) = Tx + λTy για κάθε x, y ∈ E και λ ∈ K) και ισομετρική, δηλαδή Tx  = x  για κάθε x ∈ E. Απόδειξη Αν x, y ∈ E και λ ∈ K, τότε, για κάθε z ∈ E,

¯z, y = fx (z ) + λf ¯ y (z ) fx +λy (z ) = z, x + λy = z, x  + λ ¯ y και επομένως δηλαδή fx +λy = fx + λf ¯ T (x + λy) = Tx + λTy. ΄Οτι η T είναι ισομετρική έπεται από το Λήμμα : Tx  = fx  = x .  Αν ο E δεν είναι πλήρης, η απεικόνιση T δεν είναι επί. (Πράγματι, είναι γνωστό (ϐλ. [13, Πρόταση 3.12] ή Πρόταση 2.2.2) ότι ο δυϊκός ενός χώρου με νόρμα είναι πλήρης χώρος. Επειδή η T είναι ισομετρία, αν ήταν επί του E ∗ , τότε και ο E ϑα ήταν πλήρης, δηλαδή χώρος Hilbert). Θα δείξουμε ότι αντίστροφα, αν ο E είναι χώρος Hilbert, τότε η T είναι επί. Ας δούμε πρώτα ένα παράδειγμα : Παράδειγμα Στον χώρο coo των ακολουθιών με πεπερασμένο ϕορέα ϑεωρούμε την γραμμική μορφή f όπου f (x ) = 15

1 n

x (n ),

x = (x (1), x (2), . . .) ∈ coo .

Αν ο E είναι πραγματικός γραμμικός χώρος (δηλαδή αν K = R) τότε ϐέβαια η T είναι

γραμμική.


1.6. Ο ΔΥΪΚΟΣ ΕΝΟΣ ΧΩΡΟΥ HILBERT

25

΄Οπως είδαμε στο Παράδειγμα 1.5.5, η f είναι συνεχής ως προς την .2 , αλλά δεν είναι της μορφής fy με y ∈ coo , γιατί αν ήταν τότε το y ϑα ήταν κάθετο στον υπόχωρο ker f . Δείξαμε όμως στο 1.5.5 ότι (ker f )⊥ = {0}. Βλέπουμε ότι η f είναι της μορφής fy όπου το y = (1, 12 , 31 , . . .) δεν ανήκει στον coo , αλλά στην πλήρωση του, τον 2 . Θεώρημα 1.6.3 (Riesz) ΄Εστω H χώρος Hilbert. Για κάθε f ∈ H ∗ υπάρχει μοναδικό x ∈ H ώστε f (y) = y, x  για κάθε y ∈ H. Απόδειξη ΄Εστω M = ker f = {y ∈ H : f (y) = 0}. Ο M είναι γραμμικός υπόχωρος του H, επειδή η f είναι γραμμική, και είναι κλειστός, επειδή η f είναι συνεχής. Αν f = 0, τότε f (y) = y, 0 για κάθε y ∈ H. Αν όχι, τότε M  H. Από το Πόρισμα 1.5.3, υπάρχει z ∈ H, μη μηδενικό, κάθετο στον M. Θα ϐρω ένα πολλαπλάσιο x = λz του z ώστε f = fx . ΄Εστω y ∈ H. Παρατηρώ ότι f (z )y − f (y)z ∈ M, γιατί f (f (z )y − f (y)z ) = 0. Επειδή z ⊥ M, έχω λοιπόν 0 = f (z )y − f (y)z, z  = f (z )y, z  − f (y)z, z  f (y) =

άρα

Θέτοντας λοιπόν x =

f (z )

z 2

f (z ) y, z . z, z 

z έχω

fx (y) = y, x  = f (y) για κάθε y ∈ H. Η μοναδικότητα του x είναι προφανής : αν fx = fw , τότε y, x  = y, w για κάθε y ∈ H, συνεπώς το x − w είναι κάθετο σ’ όλον τον H, άρα x − w = 0.  Συνδυάζοντας το Θεώρημα 1.6.3 με την Πρόταση 1.6.2, έχουμε : Θεώρημα 1.6.4 ΄Εστω H χώρος Hilbert. Τότε η απεικόνιση T : H → H ∗ : x → fx είναι αντιγραμμική 16

16

ισομετρία επί του H ∗ .

γραμμική, αν ο H είναι πραγματικός χώρος Hilbert


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

26

1.7 Ορθοκανονικές Βάσεις Στον χώρο Hilbert Kn , η συνηθισμένη ϐάση {ek : 1 ≤ k ≤ n } δεν είναι μόνον ορθοκανονική οικογένεια, είναι (αλγεβρική) ϐάση: κάθε x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈

Kn γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως συνδυασμός των ek : x =

n 

xk ek .

k =1

Δεν αναμένουμε να ισχύει το ίδιο στον 2 , γιατί το σύνολο των (πεπερασμένων) γραμμικών συνδυασμών των ek δεν είναι όλος ο 2 , αλλά ο coo . Παρατηρούμε ότι ο coo είναι όμως ένας πυκνός υπόχωρός του 2 . Η προηγούμενη ισότητα ισχύει στον 2 «κατά προσέγγιση»: Κάθε x = (x (n )) ∈ 2 προσεγγίζεται από πεπερασμένους γραμμικούς συνδυασμούς των en και επιπλέον οι συντελεστές που εμφανίζονται είναι μοναδικοί. Πράγματι, αν yn =

n 

x (k )ek

k =1

τότε yn ∈ coo και x = limn yn . Θα δείξουμε ότι αυτό συμβαίνει σε κάθε διαχωϱίσιμο χώρο με εσωτερικό γινόμενο (η διαχωρισιμότητα δεν είναι αναγκαία, αλλά διευκολύνει κάπως τις αποδείξεις). Ορισμός 1.7.1 ΄Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Μια οικογένεια

{ei : i ∈ I } ⊆ E λέγεται ορθοκανονική ϐάση17 του E αν (i) είναι ορθοκανονική και (ii) Η γραμμική ϑήκη της είναι πυκνός υπόχωρος του E, δηλ. [ei : i ∈ I ] = E. Παρατήρηση Ας τονίσουμε άλλη μια ϕορά ότι, σε απειροδιάστατους χώρους, μια ορθοκανονική ϐάση δεν είναι συνήθως αλγεβρική ϐάση (δες και άσκηση 1.12). Παρατήρηση 1.7.1 ΄Εστω C = {ei : i ∈ I } ορθοκανονική οικογένεια σ’ έναν χώρο Hilbert H. Η C είναι ϐάση του H αν και μόνον αν είναι μεγιστική, αν δηλαδή δεν περιέχεται σε κανένα ορθοκανονικό υποσύνολο του H (εκτός από την C), ισοδύναμα αν το μόνο στοιχείο του H που είναι κάθετο στην C είναι το 0. 17

ή πλήρες ορθοκανονικό σύστημα


1.7. ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΒΑΣΕΙΣ

27

Πράγματι : ϑα δείξω ότι αν η C δεν είναι μεγιστική τότε έχει μη μηδενικό κάθετο διάνυσμα, ότι αν έχει μη μηδενικό κάθετο διάνυσμα τότε δεν είναι ορθοκανονική ϐάση, και ότι αν δεν είναι ορθοκανονική ϐάση, τότε δεν είναι μεγιστική : Αν υπάρχει ορθοκανονική οικογένεια F που περιέχει την C γνήσια τότε κάθε f ∈ F \ C είναι (μη μηδενικό και) κάθετο στην C. Αν x είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο στην C τότε είναι κάθετο και στην γραμμική της ϑήκη, άρα αυτή δεν είναι πυκνή, οπότε η C δεν είναι ορθοκανονική ϐάση. Και τέλος, αν η γραμμική ϑήκη της C δεν είναι πυκνή, τότε (εφόσον ο χώρος είναι Hilbert) από το Πόρισμα 1.5.3 υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα z κάθετο στην γραμμική ϑήκη της C, άρα και στη C, και συνεπώς η οικογένεια C ∪ { zz } είναι ορθοκανονική, άρα η C δεν είναι μεγιστική.

Πρόταση 1.7.2 Κάθε διαχωρίσιμος χώρος E με εσωτερικό γινόμενο περιέχει μια ορθοκανονική ϐάση. Απόδειξη ΄Εστω X = {xn } ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο του E. Κατασκευάζω μια ορθοκανονική ακολουθία {en } ώστε [en : n ∈ N] = E ως εξής : Παραλείποντας διαδοχικά εκείνα τα xn που είναι γραμμικά εξαρτημένα από τα προηγούμενά τους xk (k < n ), ϐρίσκω ένα αριθμήσιμο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο Y του X ώστε [Y ] = [X ]. Από την διαδικασία ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt (Πρόταση 1.2.1), υπάρχει ορθοκανονική ακολουθία {en } ώστε [en : n ∈ N] = [Y ] = [X ], επομένως [en : n ∈ N] = [X ] = E.



Παρατήρηση 1.7.3 Επομένως αν E είναι διαχωρίσιμος χώρος με εσωτερικό γινόμενο και F ένας οποιοσδήποτε πυκνός υπόχωρός του, υπάρχει μια ορθοκανονική ϐάση του E που αποτελείται από στοιχεία του F . Πράγματι, αν εφαρμόσω την Πρόταση 1.7.2 στον χώρο F , ϑα έχω μια ορθοκανονική ακολουθία {en } ⊆ F που η γραμμική της ϑήκη ϑα είναι πυκνή στον F , άρα και στον E. Για παράδειγμα, στον χώρο (C[−π, π ], ·, ·) (ή και στον (L 2 [−π, π ], ·, ·) μπορούμε να ϐρούμε ορθοκανονικές ϐάσεις που να αποτελούνται από πολυώνυμα. Μια τέτοια ϐάση προκύπτει από την ορθοκανονικοποίηση (Πρόταση


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

28

1.2.1) του συνόλου {pn : n = 0, 1, . . .}, όπου pn (t ) = t n , που είναι γραμμικά ανεξάρτητο και πυκνό στον (C([−π, π ]), .2 ) (γιατί ;). Παρατήρηση Αν ένας χώρος με εσωτερικό γινόμενο έχει μια αριθμήσιμη ορθοκανονική ϐάση, τότε είναι διαχωρίσιμος. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι K = C. Στην περίπτωση K = R η απόδειξη είναι ανάλογη (και απλούστερη). ΄Εστω {en : n ∈ N} μια ορθοκανονική ϐάση στον E. Αφού [en : n ∈ N] = E, αν x ∈ E και ε > 0, υπάρχει (πεπερασμένος) γραμμικός συνδυασμός y=

n 

λk ek όπου λk = ak + ibk , ak , bk ∈ R

k =1

των en ώστε x − y < ε/2. Για k = 1, . . . , n, υπάρχουν ϱητοί ck , dk ώστε

|ak − ck |2 + |bk − dk |2 < ε2 /4n. Επομένως

n n 



x − (ck + idk )ek

≤ x − y +

((ak + ibk ) − (ck + idk ))ek

k =1

k =1 ⎛ n ⎞1/2 ⎜⎜ ⎟⎟ = x − y + ⎜⎜⎜⎝ |(ak + ibk ) − (ck + idk )|2 ⎟⎟⎟⎠ < ε. k =1

Επομένως, το αριθμήσιμο σύνολο D που αποτελείται από όλα τα (πεπερασμένα) αθροίσματα της μορφής n  (ak + ibk )ek όπου ak , bk ∈ Q, n ∈ N k =1

είναι πυκνό στον E, άρα ο E είναι διαχωρίσιμος.



Θα δείξουμε ότι μια ορθοκανονική ϐάση σ’ έναν (διαχωρίσιμο) χώρο Hilbert H συμπεριφέρεται όπως η συνηθισμένη ϐάση του 2 : Θεώρημα 1.7.4 ΄Εστω {en : n ∈ N} ορθοκανονική ϐάση σ’ έναν χώρο E με εσωτερικό γινόμενο.18 Τότε, για κάθε x ∈ E,

 x, en en συγκλίνει στο x. ∞ 2 (ιι) x  = n =1 |x, en |2 .

(ι) Η σειρά

18

Το Θεώρημα ισχύει και για υπεραριθμήσιμες ϐάσεις, αρκεί να ορίσει κανείς κατάλληλα

την έννοια της σύγκλισης μιάς σειράς με υπεραριθμήσιμο πλήθος όρων.


1.7. Î&#x;ÎĄÎ&#x2DC;Î&#x;Î&#x161;Î&#x2018;Î?Î&#x;Î?Î&#x2122;Î&#x161;Î&#x2022;ÎŁ Î&#x2019;Î&#x2018;ÎŁÎ&#x2022;Î&#x2122;ÎŁ

29

Î&#x2018;Ď&#x20AC;Ď&#x152;δξΚΞΡ Î&#x201E;Î&#x2022;Ď&#x192;Ď&#x201E;Ď&#x2030; x â&#x2C6;&#x2C6; E κιΚ Îľ > 0. Î&#x2018;Ď&#x2020;ÎżĎ? [en : n â&#x2C6;&#x2C6; N] = E, Ď&#x2026;Ď&#x20AC;ÎŹĎ Ď&#x2021;ξΚ n â&#x2C6;&#x2C6; N κιΚ Îť1 , . . . Îťn â&#x2C6;&#x2C6; K Ď&#x17D;Ď&#x192;Ď&#x201E;Îľ

n 

x â&#x2C6;&#x2019; Îťk ek

< Îľ.

k =1

Î&#x17E;Î­Ď ÎżĎ&#x2026;Οξ Ď&#x152;ÎźĎ&#x2030;Ď&#x201A; (Î&#x203A;ΎΟΟι 1.2.4) Ď&#x152;Ď&#x201E;Κ

2

2 n n  

x â&#x2C6;&#x2019; Îťk ek

â&#x2030;Ľ

x â&#x2C6;&#x2019; x, ek ek

k =1 k =1

κιΚ ÎŹĎ Îą (ÎąĎ&#x20AC;Ď&#x152; Ď&#x201E;Ρν Î ÎąĎ ÎąĎ&#x201E;ÎŽĎ ÎˇĎ&#x192;Ρ 1.2.5)

2 n 

x  â&#x2C6;&#x2019; |x, ek | =

x â&#x2C6;&#x2019; x, ek ek

< Îľ2 .

k =1 k =1 2

n 

Î&#x2018;ν m â&#x2030;Ľ n, έĎ&#x2021;ÎżĎ&#x2026;Οξ

2

n 

|x, ek |2 â&#x2030;¤

k =1

m 

|x, ek |2

k =1

κιΚ Ď&#x192;Ď&#x2026;νξĎ&#x20AC;Ď&#x17D;Ď&#x201A;

2 m m n   

x â&#x2C6;&#x2019; x, ek ek

= x 2 â&#x2C6;&#x2019; |x, ek |2 â&#x2030;¤ x 2 â&#x2C6;&#x2019; |x, ek |2 < Îľ2

k =1 k =1 k =1

γΚι κΏθξ m â&#x2030;Ľ n. Î&#x2022;Ď&#x20AC;οΟένĎ&#x2030;Ď&#x201A;

m 

lim

x â&#x2C6;&#x2019; x, ek ek

= 0 κιΚ m

k =1

lim m

m 

|x, ek |2 = x 2 . 

k =1

Î Ď&#x152;Ď ÎšĎ&#x192;Οι 1.7.5 Î&#x2018;ν {en : n â&#x2C6;&#x2C6; N} ξίνιΚ ÎżĎ Î¸ÎżÎşÎąÎ˝ÎżÎ˝ÎšÎşÎŽ Ď?ÎŹĎ&#x192;Ρ Ď&#x192;â&#x20AC;&#x2122; ένιν Ď&#x2021;Ď&#x17D;Ď Îż Οξ ÎľĎ&#x192;Ď&#x2030;Ď&#x201E;ÎľĎ ÎšÎşĎ&#x152; γΚνĎ&#x152;Οξνο E γΚι κΏθξ x, y â&#x2C6;&#x2C6; E έĎ&#x2021;ÎżĎ&#x2026;Οξ

x, y =

â&#x2C6;&#x17E; 

x, en  en , y =

n =1

Î&#x2018;Ď&#x20AC;Ď&#x152;δξΚΞΡ Î&#x2022;Ď&#x2020;Ď&#x152;Ď&#x192;ον x = limN â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x, y = limN xN , y. Î&#x2018;ΝΝΏ

xN , y = Î&#x201E;Î&#x2018;Ď Îą Ρ Ď&#x192;ÎľÎšĎ ÎŹ

â&#x2C6;&#x17E;

n =1

 N n =1

N

n =1

â&#x2C6;&#x17E; 

x, en  y, en .

n =1

x, en  en , ιν xN = 

x, en  en , y =

N 

N

n =1

x, en  en έĎ&#x2021;ÎżĎ&#x2026;Οξ

x, en  en , y .

n =1

x, en  en , y Ď&#x192;Ď&#x2026;γκΝίνξΚ Ď&#x192;Ď&#x201E;Îż x, y.




ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

30

Παράδειγμα 1.7.6 ΄Εχουμε δείξει (Παράδειγμα 1.2.3) ότι η οικογένεια

{en : n ∈ Z} ⊆ C([−π, π ]) (όπου en (t ) = exp(int )) είναι ορθοκανονική. Το σημαντικό όμως είναι ότι αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του L 2 ([−π, π ]). Αυτό μπορεί να αποδειχθεί, όπως ϑα δούμε, με την ϐοήθεια του Θεωρήματος F´ejer (Πόρισμα 1.9.5). Ειδικότερα, κάθε f ∈ C([−π, π ]) προσεγγίζεται, ως προς την

 · 2 , από γραμμικούς συνδυασμούς της μορφής sn =

n 

fˆ (k )ek

k =−n

όπου fˆ (k ) = f, ek  =

1

π

−π

f (s) exp(−iks)ds

(k ∈ Z)

είναι ο k-οστός συντελεστής Fourier της f . Επιπλέον 1 2π

π

−π

|f (t )|2 dt =

+∞ 

|fˆ (k )|2

k =−∞

(ισότητα Parseval). Αυτό δεν σημαίνει ότι η ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων sn (δηλαδή, η σειρά Fourier της f ) συγκλίνει στην f κατά σημείο ούτε, πολύ περισσότερο, ότι συγκλίνει ομοιόμορφα. Αντιθέτως, υπάρχουν παραδείγματα συνεχών συναρτήσεων f που η σειρά Fourier τους



fˆ (k ) exp(ikt )

k

αποκλίνει,19 και μάλιστα για άπειρο πλήθος σημείων t ∈ [−π, π ].

1.8 Ισομορφισμοί Είδαμε στο Θεώρημα 1.7.4 ότι κάθε (απειροδιάστατος) διαχωρίσιμος χώρος E με εσωτερικό γινόμενο έχει μια (άπειρη, αριθμήσιμη) ορθοκανονική ϐάση

{xn }, ως προς την οποία κάθε x ∈ E γράφεται x =

∞  x, xn xn n =1

19

δες π.χ. το [8].


1.8. ΙΣΟΜΟΡΦΙΣΜΟΙ

31

όπου η σειρά συγκλίνει ως προς την νόρμα του E. Μάλιστα, ισχύει

x 2 =

∞ 

|x, xn |2 .

(1.3)

n =1

Η ισότητα αυτή δείχνει ότι η ακολουθία (λ(n )) όπου λ(n ) = x, xn  ∈ K είναι τετραγωνικά αθροίσιμη, είναι δηλαδή στοιχείο του 2 . Ορίζεται λοιπόν μια απεικόνιση U : E → 2 : x → (x, xn )n η οποία είναι προφανώς γραμμική : αν x, y ∈ E και λ ∈ K τότε

x + λy, xn  = x, xn  + λ y, xn  για κάθε n, δηλαδή (x + λy, xn )n = (x, xn )n + λ(y, xn )n U (x + λy) = Ux + λU (y) .

δηλαδή

Από τον ορισμό της νόρμας του 2 ϐλέπουμε ότι η σχέση (1.3) λέει ακριβώς ότι η U είναι ισομετρία. Ειδικότερα, είναι 1-1. ΄Εστω τώρα ότι ο E είναι χώρος Hilbert. Ισχυρίζομαι ότι τότε η U είναι επί. Πράγματι, αν δοθεί οποιοδήποτε στοιχείο y = (λ(1), λ(2), . . .) του 2 , ϑα δείξω ότι υπάρχει z ∈ E ώστε Uz = y. Απόδειξη Αν ϑέσω zn =

n 

λ(k )xk

και

k =1

sn =

n 

|λ(k )|2

k =1

τότε zn ∈ E και, αν n > m,

zn − zm  = 2

n 

|λ(k )|2 = |sn − sm |

k =m +1

από το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Επειδή y ∈ 2 , η (sn ) συγκλίνει, οπότε για κάθε ε > 0 υπάρχει no ∈ N ώστε |sn − sm | < ε όταν n > m ≥ no . ΄Επεται από την προηγούμενη ισότητα ότι η ακολουθία (zn ) είναι ϐασική στον E, επομένως, λόγω πληρότητας, συγκλίνει σε κάποιο z ∈ E. Επειδή

z, xk  = limzn , xk  = λ(k ) n

για κάθε k ∈ N , είναι ϕανερό ότι Uz = y.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

32 Αποδείξαμε λοιπόν το ϐασικό

Θεώρημα 1.8.1 Κάθε απειροδιάστατος διαχωρίσιμος 20 χώρος Hilbert H είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον 2 . Ακριβέστερα, αν {xn } είναι μια ορθοκανονική ϐάση του H, η απεικόνιση U : H → 2 : x → (x, xn )n απεικονίζει τον H (γραμμικά και) ισομετρικά επί του 2 . Σημείωση Με τον ίδιο τρόπο (και ευκολότερα) αποδεικνύεται ότι κάθε nδιάστατος χώρος Hilbert είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον Kn . Παρατήρηση Το Θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί και ως εξής : όλοι οι απειροδιάστατοι διαχωρίσιμοι χώροι Hilbert είναι ισομετρικά ισόμορφοι μεταξύ τους, ή ακόμα, υπάρχει «ουσιαστικά» ένας και μόνο απειροδιάστατος διαχωρίσιμος χώρος Hilbert, ο 2 . Πρέπει όμως να παρατηρήσουμε δυο πράγματα : (ι) Οι συγκεκριμένοι χώροι Hilbert που συναντάει κανείς «στην πράξη» έχουν, πολλές ϕορές, και άλλα δομικά στοιχεία και ιδιότητες πέρα από το εσωτερικό γινόμενο και την πληρότητα. Παραδείγματος χάριν, μπορεί κανείς να ϑεωρήσει τον χώρο H 2 όλων των ολομόρφων συναρτήσεων που οι συντελεστές των δυναμοσειρών τους είναι τετραγωνικά αθροίσιμοι. Μολονότι οι χώροι 2 και H 2 «ταυτίζονται» όσον αφορά την δομή χώρου Hilbert (είναι δηλαδή ισομετρικά ισόμορφοι), είναι διαφορετικά μαθηματικά αντικείμενα : ο πρώτος αποτελείται από ακολουθίες μιγαδικών αριθμών, ο δεύτερος από ολόμορφες μιγαδικές συναρτήσεις. (ιι) Ο ισομορφισμός U που κατασκευάσαμε στην απόδειξη του Θεωρήματος εξαρτάται από την ορθοκανονική ϐάση {xn } που επιλέξαμε, δεν είναι δηλαδή «ϕυσιολογικός». Κάθε επιλογή ορθοκανονικής ϐάσης του H ορίζει και έναν διαφορετικό ισομορφισμό του H με τον 2 , ακριβώς όπως η επιλογή μιάς ορθοκανονικής ϐάσης (ενός «συστήματος συντεταγμένων») σ’ έναν Ευκλείδειο χώρο διάστασης n ορίζει έναν ισομορφισμό του χώρου αυτού με τον Rn . Η επιλογή της κατάλληλης κάθε ϕορά ορθοκανονικής ϐάσης εξαρτάται από το 20

Ανάλογο αποτέλεσμα ισχύει και για μη διαχωρίσιμους χώρους, ϐλ. Παράδειγμα 1.8.3 και

΄Ασκηση 1.17.


1.8. ΙΣΟΜΟΡΦΙΣΜΟΙ

33

συγκεκριμένο πρόβλημα. Παραδείγματος χάριν, αν έχει κανείς να λύσει ένα πρόβλημα που αφορά πολυώνυμα, η ορθοκανονική ϐάση {en } του C([−π, π ]) που ορίσαμε προηγουμένως δεν είναι και πολύ χρήσιμη, γιατί κάθε (μη σταϑερό) πολυώνυμο έχει άπειρους μη μηδενικούς συντελεστές Fourier. Θα ήταν πολύ πιό σκόπιμο να χρησιμοποιήσει κανείς μια ορθοκανονική ϐάση που να αποτελείται από πολυώνυμα (δες την Παρατήρηση 1.7.3). ΄Αλλες ορθοκανονικές ϐάσεις προκύπτουν από λύσεις διαφορικών εξισώσεων (ϐλέπε π.χ. [2]).

Παράδειγμα 1.8.2 (Ο Μετασχηματισμός Fourier) ( Fourier Transform) ΄Εστω f ∈ C([−π, π ]). Η ισότητα Parseval 1 2π

π

−π

+∞ 

|f (t )|2 dt =

|fˆ (k )|2

k =−∞

(ϐλ. Παράδειγμα 1.7.6) δείχνει ότι η (διπλή) ακολουθία {fˆ (k ) : k ∈ Z} ≡ fˆ είναι τετραγωνικά αθροίσιμη, ανήκει δηλαδή στον χώρο 2 (Z). Η ίδια ισότητα δείχνει ότι η απεικόνιση

F : C([−π, π ]) → 2 (Z) : f → {fˆ (k ) : k ∈ Z} (ο μετασχηματισμός Fourier), που είναι προφανώς γραμμική,21 είναι ισομετρία. Επειδή απεικονίζει την ορθοκανονική ϐάση {ek : k ∈ Z} του L 2 ([−π, π ]) (όπου ek (t ) = exp(ikt )) στην συνηθισμένη ϐάση του 2 (Z), επεκτείνεται σε ισομετρία από τον L 2 ([−π, π ]) επί του 2 (Z). Ο μετασχηματισμός Fourier είναι λοιπόν ένας ισομετρικός ισομορφισμός μεταξύ των χώρων L 2 ([−π, π ]) και 2 (Z). *Παράδειγμα 1.8.3 (΄Ενας μη διαχωρίσιμος χώρος Hilbert) ΄Εστω Γ μη κενό σύνολο (π.χ. Γ = [0, 1]). Ονομάζουμε 2 (Γ) το σύνολο όλων των συναρτήσεων x : Γ → C που είναι τετραγωνικά αθροίσιμες, δηλαδή ικανοποιούν  |x (γ )|2 ≡ x 22 < ∞ γ ∈Γ 21

Η απόδειξη γίνεται όπως στην προηγούμενη παράγραφο, εφόσον fˆ (k ) = f, ek .


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

34

(υπενθυμίζω ότι το άθροισμα αυτό είναι εξ ορισμού το supremum των αθροισμάτων πάνω σε όλα τα πεπερασμένα υποσύνολα του Γ). Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι η .2 είναι νόρμα στον 2 (Γ). Η πληρότητα του 2 (Γ) αποδεικνύεται ακριβώς όπως στην περίπτωση που το Γ είναι αριθμήσιμο (άσκηση 1.17). Παρατηρούμε ότι ο υπόχωρος coo (Γ) των x ∈ 2 (Γ) που έχουν πεπερασμένο ϕορέα είναι πυκνός στον (2 (Γ), .2 ). Πράγματι, για κάθε x ∈ 2 (Γ) και κάθε ε > 0, από τον ορισμό της νόρμας υπάρχει πεπερασμένο υποσύνολο Fo ⊆ Γ ώστε



|x (γ )|2 > x 22 − ε2 .

γ ∈Fo

Αν λοιπόν F ⊆ Γ είναι πεπερασμένο σύνολο που περιέχει το Fo και ονομάσουμε xF την συνάρτηση που ορίζεται από τις σχέσεις

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ x (γ ) xF (γ ) = ⎪ ⎪ ⎩ 0

όταν γ ∈ F αλλιώς

τότε xF ∈ coo (Γ) και

xF − x 22 =

 γ ∈Γ\F

|x (γ )|2 =



|x (γ )|2 −



|x (γ )|2 ≤ x 2 −

γ ∈F

γ ∈Γ



|x (γ )|2 < ε2 .

γ ∈Fo

Στον πυκνό υπόχωρο coo (Γ) μπορούμε να ορίσουμε

x, y ≡



x (γ )y (γ )

γ

όπου το άθροισμα έχει ϐεβαίως πεπερασμένο πλήθος μη μηδενικών όρων. Είναι ϕανερό ότι το ., . είναι εσωτερικό γινόμενο στον coo (Γ) που επάγει την .2 . Επομένως επεκτείνεται22 σε εσωτερικό γινόμενο στον 2 (Γ), που συμβολίζουμε πάλι με ., .. Αποδεικνύεται μάλιστα23 ότι για κάθε x, y ∈ 2 (Γ) και κάθε ε > 0 υπάρχει πεπεϱασμένο υποσύνολο Fo ⊆ Γ ώστε κάθε πεπερασμένο υποσύνολο F ⊆ Γ με F ⊇ Fo να

22

Για κάθε x ∈ coo (Γ) η απεικόνιση y → x, y είναι ομοιόμορφα συνεχής στον coo (Γ), άρα

επεκτείνεται στον 2 (Γ), επομένως έχει νόημα η παράσταση x, y, όταν x ∈ coo (Γ) και y ∈ 2 (Γ). Τώρα παρατηρώ ότι για κάθε y ∈ 2 (Γ) η απεικόνιση x → x, y είναι ομοιόμορφα συνεχής στον coo (Γ), άρα επεκτείνεται στον 2 (Γ). 23 Επιλέγουμε πεπερασμένο υποσύνολο Fo ⊆ Γ ώστε για κάθε πεπερασμένο υπερσύνολο F του Fo να ισχύει x − xF .y < ε/2 και y − yF .x  < ε/2. Τότε |x, y − xF , yF | < ε. Αλλά

xF , yF  =



γ ∈F

x (γ )y (γ ).


´ 1.9. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FEJER

      x, y − x (γ )y(γ )  < ε.   γ ∈F

ικανοποιεί

Λέμε τότε ότι η σειρά

 γ

35

x (γ )y(γ ) συγκλίνει στο x, y.

Παρατηρούμε επίσης ότι η οικογένεια {eγ : γ ∈ Γ} όπου

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ 1 : δ=γ eγ (δ ) = ⎪ ⎪ ⎩ 0 : δγ αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του 2 (Γ), γιατί δεν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο σ’ όλη την οικογένεια. Επομένως, αν το Γ δεν είναι αριθμήσιμο, ο 2 (Γ) δεν είναι διαχωρίσιμος (και αν είναι αριθμήσιμο, ο 2 (Γ) είναι διαχωρίσιμος, ισομετρικά ισόμορφος με τον 2 (N) = 2 ή με τον Kn , αν το Γ έχει n στοιχεία). Αποδεικνύεται, όπως στο Θεώρημα 1.8.1, ότι αν ένας χώρος Hilbert έχει ορθοκανονική ϐάση {xγ : γ ∈ Γ}, τότε είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον 2 (Γ) (άσκηση 1.17).

1.9 Το Θεώρημα του F´ejer Στην παράγραφο αυτή ϑα διακόψουμε την ανάπτυξη της Θεωρίας Τελεστών για να αποδείξουμε ένα πολύ ϐασικό και κομψό Θεώρημα της Ανάλυσης, από το οποίο προκύπτει ότι κάθε συνεχής και 2π-περιοδική συνάρτηση μπορεί να προσεγγισθεί από γραμμικούς συνδυασμούς των συναρτήσεων sin nt και

cos nt, n = 0, 1, . . .. Τριγωνομετρικό πολυώνυμο είναι μία συνάρτηση p : [−π, π ] → C της μορϕής p(t ) =

k =n 

λk exp(ikt )

k =−n

όπου λk ∈ C και n ∈ N. Από τη γνωστή ταυτότητα του Euler e int = cos nt + i sin nt προκύπτει ότι κάθε τριγωνομετρικό πολυώνυμο είναι (μιγαδικός) γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων sin nt και cos nt, n = 0, 1, . . . και αντίστροφα, κάθε τέτοιος γραμμικός συνδυασμός είναι τριγωνομετρικό πολυώνυμο. ΄Εχουμε λοιπόν να αντιμετωπίσουμε το εξής


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

36

Πρόβλημα Αν f : [−π, π ] → C είναι (συνεχής) συνάρτηση, υπάρχει ακολουθία

(pn ) από τριγωνομετρικά πολυώνυμα που «προσεγγίζουν» την f , και αν ναι, με ποιά έννοια προσέγγισης ; Παρατηρούμε ότι κάθε τριγωνομετρικό πολυώνυμο p ικανοποιεί p(−π ) = p(π ). Επομένως, αν lim pn (t ) = f (t ) για κάθε t ∈ [−π, π ], τότε πρέπει να ισχύει f (−π ) = f (π ). Θα ασχοληθούμε λοιπόν κατ’ αρχήν με τον χώρο Cp = {f ∈ C([−π, π ]) : f (−π ) = f (π )}. Πρόκειται ακριβώς για τον χώρο των συνεχών συναρτήσεων f : [−π, π ] → C που επεκτείνονται σε 2π-περιοδικές και συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες σ’ όλο το R. Ας ϑυμηθούμε (Παράδειγμα 1.2.3 (c)) ότι αν f ∈ C([−π, π ]) και k ∈ Z, ο k-οστός συντελεστής Fourier της συνάρτησης f είναι ο (μιγαδικός) αριθμός 1 fˆ (k ) =

π

−π

f (t ) exp(−ikt )dt,

k ∈ Z.

Αν n ∈ N, το n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς Fourier της f είναι εξ ορισμού το τριγωνομετρικό πολυώνυμο Sn (f ) =

k =n 

fˆ (k )ek

k =−n

όπου ek (t ) = exp(ikt ) = cos(kt ) + i sin(kt ), t ∈ [−π, π ]. ΄Οπως ήδη παρατηρήσαμε στο Παράδειγμα 1.7.6, δεν είναι αλήθεια εν γένει ότι η ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων (Sn (f )) συγκλίνει στην f κατά σημείο ούτε, πολύ περισσότερο, ότι συγκλίνει ομοιόμορφα. Αντιθέτως, υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις f (με f (−π ) = f (π )) που η σειρά Fourier τους δεν συγκλίνει ούτε καν κατά σημείο.24 24

δες π.χ. το [8].


´ 1.9. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FEJER

37

Θα δείξουμε όμως ότι για κάθε f ∈ Cp , αν αντικαταστήσει κανείς την (Sn (f )) από την ακολουθία (σn (f )) των μέσων όρων της, τότε η (σn (f )) συγκλίνει στην f , και μάλιστα ομοιόμορφα στο [−π, π ]. Από το ϑεώρημα αυτό ϑα συμπεράνουμε ότι για κάθε f ∈ C([−π, π ]) (ακόμα και όταν f (−π )  f (π )) η ακολουθία (Sn (f )) συγκλίνει στην f ως προς την .2 . ΄Αμεσα τότε προκύπτει (από το Θεώρημα 1.7.4) η ισότητα Parseval:

1 2π

π

−π

|f (t )|2 dt =

∞ 

|fˆ (k )|2 .

k =−∞

Θεώρημα 1.9.1 (F´ejer) Αν f ∈ C([−π, π ]) και f (−π ) = f (π ), τότε η ακολουθία

(σn (f )) όπου

m 

1

σm (f ) =

m+1

Sn (f ) (m ∈ N)

n =0

συγκλίνει στην f ομοιόμορφα στο [−π, π ], δηλαδή lim σm (f ) − f ∞ = 0. m

Για την απόδειξη, ϑα χρειασθούμε μερικές παρατηρήσεις. Παρατήρηση 1.9.2 Αν t ∈ [−π, π ], τότε σm (f )(t ) = όπου

Km (x ) =

1

π

−π

f (t − s)Km (s)ds

m  n 

1

m + 1 n =0 k =−n

exp(ikx ) .

Η ακολουθία τριγωνομετρικών πολυωνύμων (Km ) λέγεται πυρήνας του F´ejer. Απόδειξη ΄Εχουμε Sn (f )(t )

=

k =n  k =−n

=

k =n  k =−n

=

1 2π

fˆ (k ) exp(ikt )



1 2π

π

π

−π

 f (s) exp(−iks)ds exp(ikt )

⎛ k =n ⎞ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜  ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ f (s)ds exp( ik ( t − s )) ⎝ ⎠

−π k =−n


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

38 άρα

=

σm (f )(t )

m 

1

m + 1 n =0

1

=

−π

1

=

π

π

−π

Sn (f )(t )

⎛ ⎞ m k =n  ⎜⎜⎜ 1  ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ f (s)ds exp( ik ( t − s )) ⎝m + 1 ⎠ n =0 k =−n

f (s)Km (t − s)ds.

Εφόσον f (−π ) = f (π ), μπορούμε να επεκτείνουμε την f σε μια 2π-περιοδική συνάρτηση ορισμένη σ’ όλο το R, που την συμβολίζουμε (καταχρηστικά) με το ίδιο σύμβολο f . Αν τώρα στο τελευταίο ολοκλήρωμα πραγματοποιήσουμε την αλλαγή μεταβλητής x = t − s, προκύπτει σm (f )(t )= −

1

t −π

f (t − x )Km (x )dx =

2π t +π

π 1 = f (t − x )Km (x )dx 2π −π

1 2π

t +π

t −π

f (t − x )Km (x )dx



διότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι 2π-περιοδική.25 Παρατήρηση 1.9.3 Αν x  0 τότε

⎞2 ⎛ ⎜⎜⎜ sin( m2+1 x ) ⎟⎟⎟ ⎟⎠ Km (x ) = ⎝⎜ m +1 sin x2 1

Km (0) =m + 1 .

και

Απόδειξη ΄Εστω x  0. Παρατήρησε ότι η παράσταση n 

exp(ikx )

k =−n 25

Αν g(x ) = g(x − 2π ), τότε

t +π

t −π

g(x )dx =

t −π

(s=x −2π )

=

π

t +π

g(x )dx +

π π t −π

g(x )dx +

g(x )dx =

t −π

−π

π t −π

g(s)ds =

t +π

g(x )dx +

π π

g(x )dx. −π

g(x − 2π )dx


´ 1.9. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FEJER

39

είναι άθροισμα γεωμετρικής προόδου με πρώτον όρο exp(−inx ) και τελευταίο

exp(inx ), επομένως n 

exp(ikx ) =

k =−n

=

exp(i (n + 1)x ) − exp(−inx ) exp(ix ) − 1 exp(i (n + 12 )x ) − exp(−i (n + 12 x )) sin(n + 12 )x . = exp(i x2 ) − exp(−i 2x ) sin x2

Αλλά m 

1

1

2

2 sin

sin(n + )x =

n =0

= =

1 2 sin

m 

2 sin x 2 n =0 m 

2

(cos nx x 2 n =0

1 2 sin

x

x 2

1

sin(n + )x 2

− cos(n + 1)x )

(1 − cos(m + 1)x )

επομένως Km (x ) =

1

1

m + 1 2 sin2

(1 − cos(m + 1)x ) = x 2

1

2 sin2 ( m2+1 x )

m+1

2 sin2

x 2

.

Τέλος, Km (0) =

1

m k =n  

m + 1 n =0 k =−n

exp 0 =

1

m 

m + 1 n =0

(2n + 1) = m + 1 . 

Παρατήρηση 1.9.4 Ο πυρήνας του Fejer έχει τις εξής ιδιότητες : ´ (α) Km (x ) ≥ 0 για κάθε x. (ϐ) Αν δ ∈ (0, π ), η ακολουθία (Km ) τείνει στο 0 ομοιόμορφα στο σύνολο

[−π, −δ ] ∪ [δ, π ]. π 1 (γ) 2π K (x )dx = 1 για κάθε m. −π m Απόδειξη Το (α) είναι προφανές από την προηγούμενη παρατήρηση. Για το (ϐ), παρατηρούμε ότι αν δ ≤ |x | ≤ π, τότε

|Km (x )| = Km (x ) =

1

sin2 ( m2+1 x )

m+1

sin2 x2

1

1

m+1

sin2 2x

1

1

m + 1 sin2

δ 2

.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

40

Επομένως για κάθε ε > 0 αν n0 > (ε sin2 δ2 )−1 , τότε για κάθε m ≥ no και κάθε x ∈ [−π, −δ ] ∪ [δ, π ] ϑα έχουμε |Km (x )| < ε. Το (γ) έπεται απευθείας από τον ορισμό του Km , αν παρατηρήσουμε ότι

1 2π

π

−π

exp(iks)ds = 0 όταν k  0. 

Η ιδέα της απόδειξης του Θεωρήματος Fejer είναι η εξής : ´ Αν δ > 0, για αρκετά μεγάλο m ∈ N το Km (s) είναι σχεδόν 0 έξω απ’ το διάστημα [−δ, δ ] (από το (ϐ)). Συνεπώς σm (f )(t ) =

1

π

−π

f (t − s)Km (s)ds ≈

1 2π

δ

−δ

f (t − s)Km (s)ds

όπου το σύμβολο ≈ σημαίνει «περίπου ίσο». Αλλά η f είναι ομοιόμορφα συνεχής, άρα αν το δ είναι αρκετά μικρό, όταν |s| < δ έχουμε f (t − s) ≈ f (t ). Επομένως 1 2π

δ

−δ

 f (t − s)Km (s)ds ≈ f (t )

1 2π



δ

−δ

Km (s)ds

και, πάλι από το (ϐ),

1 2π

δ

−δ

Km (s)ds ≈

1

π

−π

Km (s)ds = 1

από το (γ). Συνεπώς τελικά σm (f )(t ) ≈ f (t ). Παρατήρησε ότι η ιδέα της απόδειξης (αλλά και η αυστηρή απόδειξη που ακολουθεί) χρησιμοποιεί μόνον τις τρεις ιδιότητες της τελευταίας παρατήρησης για τον πυρήνα του F´ejer. Απόδειξη του Θεωρήματος F´ejer ΄Εστω ε > 0. Επειδή η f είναι συνεχής στο συμπαγές [−π, π ], είναι ομοιόμορφα συνεχής. Συνεπώς υπάρχει δ > 0 ώστε

|x − y| < δ =⇒ |f (x ) − f (y)| < ε/2 , ισοδύναμα

|s| < δ =⇒ |f (t − s) − f (t )| < ε/2 για κάθε t.

(1.4)


´ 1.9. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FEJER

41

Μπορώ ϕυσικά να υποθέσω ότι δ < π. ΄Εχουμε τώρα, χρησιμοποιώντας την (γ), σm (f )(t ) − f (t )

= =

1 2π 1

π

−ππ

−π



f (t − s)Km (s)ds −

1 2π



π

−π

Km (s)ds f (t )

(f (t − s) − f (t ))Km (s)ds = I1 + I2 ,

όπου I1 είναι το ολοκλήρωμα στο [δ, δ ], I1 =

1 2π

δ

−δ

(f (t − s) − f (t ))Km (s)ds

και I2 είναι το ολοκλήρωμα στο «υπόλοιπο» σύνολο, Y = [−π, −δ ] ∪ [δ, π ]: I2 =

=

1 2π 1

(f (t − s) − f (t ))Km (s)ds Y

−δ

−π

΄Εχουμε

|I1 | ≤ ≤ ≤

1

(f (t − s) − f (t ))Km (s)ds +

δ

−δ

ε 1

π

(f (t − s) − f (t ))Km (s)ds .

δ

|f (t − s) − f (t )|Km (s)ds

(διότι Km (s) ≥ 0)

δ

2 2π −δ

π ε 1 2 2π

1

−π

Km (s)ds

(από την 1.4) ε

Km (s)ds =

Επίσης

|I2 | ≤ 2 sup{|f (x )| : |x | ≤ π } ·

(από την (γ)).

2

1 2π

Y

Km (s)ds = 2f ∞

1

(1.5)

Km (s)ds .

Y

Αλλά από την (ϐ) μπορώ να ϐρω mo ∈ N ώστε, για κάθε m ≥ mo και κάθε s με δ ≤ |s| ≤ π να ισχύει Km (s) < ε/(4f ∞ ). Τότε ϑα έχουμε

|I2 | ≤ 2f ∞

1 2π

Y

ε 4f ∞

ds ≤

ε 4π

ds ≤ Y

ε 2

(1.6)

(αφού Y ⊆ [−π, π ]). Τελικά λοιπόν, για κάθε m ≥ mo και κάθε t ∈ [−π, π ], έχουμε από τις (1.5) και (1.6),

|σm (f )(t ) − f (t )| ≤ |I1 | + |I2 | ≤ ε . 


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

42

Πόρισμα 1.9.5 Το (αριθμήσιμο) σύνολο {en : n ∈ Z} αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του χώρου L 2 ([−π, π ]), ., .) που περιέχεται στον C([−π, π ]). Απόδειξη Πρέπει να δειχθεί ότι για κάθε f ∈ L 2 ([−π, π ]) και ε > 0, υπάρχει τριγωνομετρικό πολυώνυμο p ώστε f − p2 < ε. Εφόσον ο χώρος C([−π, π ]) είναι πυκνός στον L 2 , αρκεί να υποθέσουμε ότι η f είναι συνεχής. Παρατήρησε

26

ότι f − p2 ≤ f − p∞ . Αν η f ικανοποιεί f (−π ) = f (π ),

τότε μπορώ να πάρω p = σn (f ) για κατάλληλα μεγάλο n. Αν η f είναι τυχαία, αρκεί λοιπόν να την προσεγγίσω ως προς την .2 με μία f1 που να ικανοποιεί f1 (−π ) = f1 (π ). Θα χρησιμοποιήσω μια ϐοηθητική ακολουθία συνεχών συναρτήσεων gn :

[−π, π ] → [0, 1] ώστε gn (−π ) = gn (π ) = 0 για κάθε n και gn (t ) = 1 όταν t ∈ [−π + n1 , π − n1 ] (τέτοιες συναρτήσεις κατασκευάζονται εύκολα27 ). Παρατήρησε ότι limn gn (t ) = 1 για κάθε t ∈ (−π, π ) (ϕυσικά όχι ομοιόμορφα). ΄Εστω f ∈ C([−π, π ]). Ισχυρίζομαι ότι limn fgn − f 2 = 0. Πράγματι, αν δοθεί ε > 0 και επιλέξω no ∈ N ώστε no > 1/ε, τότε για κάθε n ≥ no και κάθε t ∈ [−π + ε, π − ε] ϑα ισχύει gn (t ) = 1, οπότε

π 1 fgn − f 22 = f (gn − 1)22 = |f (t )|2 |gn (t ) − 1|2 dt 2π −π

π 1 ≤ sup{|f (t )|2 : t ∈ [−π, π ]} · |gn (t ) − 1|2 dt 2π −π  −π +ε 

π 2 1 2 2 = f ∞ |gn (t ) − 1| dt + |gn (t ) − 1| dt ≤ f 2∞

2π 1 2π

−π

π −ε

(ε + ε)

(γιατί 0 ≤ 1 − gn (t ) ≤ 1 για κάθε t ∈ [−π, π ]) και ο ισχυρισμός αποδείχθηκε. Παρατηρώντας ότι (fgn )(−π ) = (fgn )(π ) για κάθε n, συμπεραίνουμε ότι για κάθε ε > 0 υπάρχει f1 ∈ C([−π, π ]) με f1 (−π ) = f1 (π ) ώστε f −f1 2 < ε/2. Αλλά από το Θεώρημα του F´ejer υπάρχει τριγωνομετρικό πολυώνυμο p (= σn (f1 ) για κατάλληλο n ) ώστε f1 − p∞ < ε/2, οπότε ϑα έχουμε f1 − p2 < ε/2. ΄Επεται ότι f − p2 < ε.  π

επειδή h 22 = −π |h (t )|2 dt/2π ≤ supt |h (t )|2 . 27 παραδείγματος χάριν, η gn μπορεί να έχει γράφημα την τεθλασμένη γραμμή που ενώνει τα 26

σημεία (−π, 0), (−π + n1 , 1), (π − n1 , 1), (π, 0).


1.10. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

43

1.10 Ασκήσεις 1.1 ΄Εστω (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Cn . Δείξτε ότι η παράσταση

x, ya =

n 

ai xi y¯i

i =1

ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον Cn αν και μόνον αν όλοι οι ai είναι γνήσια ϑετικοί (πραγματικοί) αριθμοί. 1.2 Δείξτε ότι, αν A = (aij ) είναι ένας n × n πίνακας μιγαδικών αριθμών, η παράσταση

x, yA =

n n  

aij xj y¯i

i =1 j =1

ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον Cn αν και μόνον αν aij = a¯ji για κάθε i, j και οι ιδιοτιμές του πίνακα A είναι γνήσια ϑετικές. 1.3 Αν ., . είναι εσωτερικό γινόμενο στον Cn , δείξτε ότι υπάρχει n × n πίνακας A = (aij ) ώστε x, y = x, yA για κάθε x, y ∈ Cn . (Υπόδειξη : aij =

ej , ei ). 1.4 ΄Εστω 1 ≤ p < +∞. Στον χώρο Cn , ορίζω

⎞1/p ⎛ n ⎜⎜⎜ ⎟⎟ p⎟ ⎜ x p = ⎜⎝⎜ |xj | ⎟⎟⎟⎠

(x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn ).

j =1

Δείξτε ότι ο (Cn , .p ) είναι χώρος Hilbert μόνον όταν p = 2. 1.5 Αποδείξτε πλήρως την Πρόταση 1.4.1. 1.6 ΄Εστω E γραμμικός χώρος και ., . : E × E → K απεικόνιση με τις ιδιότητες του εσωτερικού γινόμενου (Ορισμός 1.1.1) εκτός της (ιι). (α) Αποδείξτε ότι |x, y|2 ≤ x, x .y, y

(x, y ∈ E ).

(ϐ) Αποδείξτε ότι το σύνολο N = {x ∈ E : x, x  = 0} είναι γραμμικός υπόχωρος του E.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

44 (γ) Στον χώρο πηλίκο E/N, ορίζουμε

[x ], [y] = x, y

x, y ∈ E

όπου [x ] = {x + z : z ∈ N }. Δείξτε ότι η απεικόνιση ., . είναι (καλά ορισμένο) εσωτερικό γινόμενο στον E/N. 1.7 (*) Αν L2 ([0, 1]) είναι ο χώρος των μετρήσιμων συναρτήσεων f : [0, 1] →

C ώστε

|f |2 < +∞ (ολοκλήρωμα Lebesgue στο [0, 1]), και

2 |f |2 = 0}, N = {f ∈ L ([0, 1]) :

να δειχθεί ότι N = {f ∈ L2 ([0, 1]) : f (t ) = 0 σχεδόν παντού }. Ορίζουμε L 2 ([0, 1]) = L2 ([0, 1])/N. Να δειχθεί ότι κάθε κλάση [f ] ∈ L 2 ([0, 1]) περιέχει το πολύ μια συνεχή συνάρτηση. Θεωρώντας γνωστό ότι, για κάθε f ∈ L2 ([0, 1]) και ε > 0, υπάρχει g ∈

|f − g|2 < ε2 , να δειχθεί ότι ο γραμμικός χώρος C([0, 1]) εμφυτεύεται ως πυκνός υπόχωρος του L 2 ([0, 1]). C([0, 1]) ώστε

1.8 ΄Εστω E1 , E2 υπόχωροι του Cn ώστε E1 ∩ E2 = {0} και E1 + E2 = Cn . Για κάθε x ∈ Cn γράφουμε x = x1 + x2 όπου xi ∈ Ei . Αν x1  ≤ x  για κάθε x ∈ Cn (όπου . η Ευκλείδεια νόρμα), δείξτε ότι οι E1 , E2 είναι κάθετοι. 1.9 Αν E είναι χώρος με εσωτερικό γινόμενο και A ⊆ E, να αποδειχθεί ότι A⊥ = ([A])⊥ . 1.10 Δείξτε ότι το άθροισμα δύο καθέτων κλειστών υποχώρων ενός χώρου Hilbert είναι κλειστός υπόχωρος. 1.11 (*) Στόχος της άσκησης είναι να δειχθεί ότι το άθροισμα M + N δύο κλειστών υποχώρων M, N ενός χώρου H, ακόμα και χώρου Hilbert, δεν είναι κατ’ ανάγκη κλειστό : Στον χώρο Hilbert 2 ορίζω, για κάθε n ∈ N, xn = e2n −1

και

yn = cos(1/n )e2n −1 + sin(1/n )e2n


1.10. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

45

και ονομάζω M την κλειστή γραμμική ϑήκη του {xn : n ∈ N} και N την κλειστή γραμμική ϑήκη του {yn : n ∈ N}. (Παρατηρήστε ότι η «γωνία» μεταξύ των xn και yn είναι 1/n.) Δείξτε ότι η τομή M ∩ N ισούται με {0}, και επομένως το άθροισμα M + N είναι (αλγεβρικά) ευθύ. Δείξτε ότι το διάνυσμα y = (0, sin(1), 0, sin(1/2), 0, ...) ανήκει στο M + N αλλά όχι στο M + N. 1.12 ΄Εστω H απειροδιάστατος διαχωρίσιμος χώρος Hilbert και {en : n ∈ N} ορθοκανονική ϐάση του H. Δείξτε ότι η {en } δεν είναι αλγεβρική ϐάση του H. (Υπόδειξη : Αν το x ∈ H είναι τέτοιο ώστε x, ek   0 για κάθε k ∈ N (υπάρχουν πάντα τέτοια x;) τότε x  [en : n ∈ N]). 1.13 Αν {xn : n ∈ N} είναι ορθοκανονική ακολουθία στον χώρο Hilbert H και M = [xn : n ∈ N], δείξτε ότι PM (x ) =

∞

k =1 x, xk xk

για κάθε x ∈ H.

1.14 Αν H είναι διαχωρίσιμος χώρος Hilbert και N είναι κλειστός υπόχωρός του, δείξτε ότι ο N είναι διαχωρίσιμος. Δείξτε επίσης ότι κάθε ορθοκανονική οικογένεια {xi } σε διαχωρίσιμο χώρο Hilbert είναι αριθμήσιμη.

[Υπόδειξη : Επειδή xi − xj =

2 όταν i  j, οι ανοικτές μπάλλες B(xi , 12 )

είναι μη κενές και ξένες ανά δύο.] 1.15 Αποδείξτε ότι η απεικόνιση φ : f −→

1

f (t )dt 1/2

είναι γραμμική μορφή στον C([0, 1]) και ότι είναι .2 -συνεχής, αλλά δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση g ώστε φ(f ) = f, g για κάθε f ∈ C([0, 1]). 1.16 ΄Εστω E χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Αποδείξτε ότι ο τοπολογικός δυϊκός E ∗ του E είναι χώρος Hilbert, αντιγραμμικά και ισομετρικά ισομορφικός με την πλήρωση του E. 1.17 ΄Εστω Γ τυχαίο σύνολο. (α) Αποδείξτε ότι ο (2 (Γ), ., .) είναι χώρος Hilbert. (ϐ) Αν H είναι χώρος Hilbert με ορθοκανονική ϐάση {xγ : γ ∈ Γ}, δείξτε ότι ο H είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον 2 (Γ).


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ HILBERT

46

1.18 (*) Αποδείξτε την εξής ασθενή μορφή της Αρχής του Ομοιομόρφου Φράγματος για χώρους Hilbert, χωρίς τη χρήση του Θεωρήματος Baire: ΄Εστω H χώρος Hilbert, και F σύνολο συνεχών γραμμικών μορφών στον H που είναι κατά σημείο ϕραγμένο, δηλαδή έχει την ιδιότητα : για κάθε x ∈ H υπάρχει M (x ) < +∞ ώστε |f (x )| ≤ M (x ) για κάθε f ∈ F . Τότε το F είναι ομοιόμορφα ϕραγμένο, δηλαδή sup{f  : f ∈ F } < +∞. Υπόδειξη : Για κάθε f ∈ F υπάρχει μοναδικό y ∈ H ώστε f (x ) = x, y για κάθε x ∈ H.

Υποθέστε ότι dim H = +∞ (η απόδειξη είναι εύκολη όταν

dim H < +∞). Αν sup{f  : f ∈ F } = +∞, κατασκευάστε επαγωγικά μια ορθοκανονική ακολουθία {xn } και μια ακολουθία {fn } ⊆ F ώστε τα αντίστοιχα   n −1 1 yn να ικανοποιούν xk , yn  = 0 για k > n και |xn , yn | ≥ n j =1 j M (xj ) + n .  1 Καταλήξτε σε άτοπο χρησιμοποιώντας το διάνυσμα x = ∞ j =1 j xj . 1.19 (*) Αν {yn } είναι ακολουθία μιγαδικών αριθμών ώστε, για κάθε {xn } ∈ 2 , η σειρά



j

xj yj να συγκλίνει, δείξτε ότι {yn } ∈ 2 (μπορείτε να χρησιμοποιείστε

την Αρχή του Ομοιομόρφου Φράγματος για την ακολουθία {fn } όπου fn (x ) =

n

j =1

xj yj , x = {xj } ∈ 2 ).


Κεφάλαιο 2

Φραγμένοι Τελεστές Από το Κεφάλαιο αυτό όλοι οι γραμμικοί χώροι και όλες οι γραμμικές απεικονίσεις ϑα είναι μιγαδικοί, εκτός αν ϱητά αναφέρεται κάτι διαφορετικό.

2.1 Ορισμοί και παραδείγματα. Σε χώρους πεπερασμένης διάστασης, οι γραμμικές απεικονίσεις είναι αυτομάτως συνεχείς (ϐλ. Παράδειγμα 2.1.5). Αυτό δεν ισχύει πάντα σε απειροδιάστατους χώρους. Παραδείγματος χάριν, η απεικόνιση T : (coo , .2 ) → (coo , .2 ) όπου T ((x (n ))) = (nx (n )) δεν είναι συνεχής, γιατί αν xn = en /n τότε xn → 0 ενώ T (xn )  0 (ϐλ. και Παράδειγμα 2.1.7). Παρατηρούμε ότι στο παράδειγμα αυτό η ποσότητα

sup{Tx  : x  ≤ 1} είναι άπειρη. ΄Οπως ϑα δούμε, μια γραμμική απεικόνιση μεταξύ οποιωνδήποτε χώρων με νόρμα είναι συνεχής ακριβώς όταν η ποσότητα αυτή είναι πεπερασμένη. Θεώρημα 2.1.1 Αν (E, .E ) και (F, .F ) είναι χώροι με νόρμα και T : E → F είναι γραμμική απεικόνιση, τα εξής είναι ισοδύναμα : (α) Η T είναι συνεχής. (ϐ) Η T είναι συνεχής στο 0 ∈ E. 47


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

48

(γ) Η T είναι συνεχής σε κάποιο σημείο του E. (δ) Υπάρχει M < ∞ ώστε Tx F ≤ M x E για κάθε x ∈ E. (ε) Ο περιορισμός της T στην μοναδιαία σφαίρα του E είναι ϕραγμένη συνάρτηση, δηλαδή το σύνολο {Tx F : x E ≤ 1} είναι ϕραγμένο. (στ) Η T είναι ομοιόμορφα συνεχής. Απόδειξη (α) ⇒ (ϐ) Προφανές. (ϐ) ⇒ (γ) Προφανές. (γ) ⇒ (δ) Αν η T είναι συνεχής στο xo ∈ E, τότε υπάρχει δ > 0 ώστε z ∈ E, z − xo  < δ =⇒ Tz − Txo  < 1. Επομένως, αν y ∈ E, y  0, επειδή ( 2δy y + xo ) − xo  < δ, έχουμε









2 y

2

δ y + xo − Txo

< ,

T

=

T

δ y δ 2y

άρα T (y) ≤

2 y, δ

και ϐέβαια η τελευταία ανισότητα ισχύει και για y = 0.

(δ) ⇔ (ε) Αν Tx  ≤ M x  για κάθε x ∈ E, τότε Tx  ≤ M για κάθε x στη μοναδιαία σφαίρα του E. Αντίστροφα, αν M είναι ένα ϕράγμα του συνόλου

{Tx  : x  ≤ 1}, τότε για κάθε x ∈ E, x  0 ισχύει T ( xx  ) ≤ M, άρα Tx  ≤ M x , και η ανισότητα ισχύει και για x = 0. (δ) ⇒ (στ) ΄Εστω ε > 0. Αν x, y ∈ E με x −y < Mε , τότε Tx −Ty ≤ M x −y < ε, άρα η T είναι ομοιόμορφα συνεχής. (στ) ⇒ (α) Προφανές.



Σημείωση Επομένως, για να ελέγξουμε αν μια γραμμική απεικόνιση είναι συνεχής, αρκεί να ελέγξουμε αν είναι συνεχής στο 0. Ορισμός 2.1.1 (i) Μία γραμμική απεικόνιση T : (E, .E ) → (F, .F ) λέγεται ϕραγμένη ή ϕραγμένος τελεστής (bounded operator) αν ο περιορισμός της T στην μοναδιαία σφαίρα του E είναι ϕραγμένη συνάρτηση. (ii) Αν T : E → F είναι γραμμική απεικόνιση, ϑέτουμε

T  = sup{Tx F : x ∈ E, x E ≤ 1} ∈ [0, +∞]. Η Τ είναι ϕραγμένη αν και μόνον αν T  < +∞.


2.1. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

49

Παρατηρήσεις (i) Από το Θεώρημα 2.1.1 προκύπτει ότι, σε χώρους με νόρμα, μια γραμμική απεικόνιση είναι συνεχής αν και μόνον αν είναι ϕραγμένη. (ii) Η έννοια του ϕραγμένου τελεστή διαφέρει από την έννοια της ϕραγμένης συνάρτησης f : R → R. Είναι ϕανερό ότι μια γραμμική συνάρτηση f : R → R δεν μπορεί να είναι ϕραγμένη με την συνηθισμένη έννοια, εκτός αν f = 0 (΄Ασκηση 2.1). Μια γραμμική απεικόνιση T : E → F είναι ϕραγμένος τελεστής αν και μόνον αν η συνάρτηση1 T |BE : BE → F είναι ϕραγμένη με την συνηθισμένη έννοια. (iii) Ισοδύναμα, μια γραμμική απεικόνιση είναι ϕραγμένη αν και μόνον αν απεικονίζει ϕραγμένα σύνολα του E σε ϕραγμένα σύνολα του F (΄Ασκηση 2.2). (iv) Παρατηρούμε ότι η ποσότητα T  εξαρτάται και από τις δύο νόρμες .E ,

.F . Παραδείγματος χάριν, η ταυτοτική απεικόνιση I : coo → coo είναι ϕραγμένη ως απεικόνιση (coo , .2 ) → (coo , .∞ ), όχι όμως ως απεικόνιση (coo , .∞ ) → (coo , .2 ) (΄Ασκηση 2.3). Συνήθως παραλείπουμε τους δείκτες .E , .F στις νόρμες, εκτός αν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης. Πρόταση 2.1.2 Αν (E, .E ), (F, .F ) είναι χώροι με νόρμα και T : E → F ϕραγμένος τελεστής, τότε

T  = sup{Tx F : x ∈ E, x E = 1} Tx F : x ∈ E, x  0} = sup{ x E = inf{k > 0 : Tx F ≤ k x E για κάθε x ∈ E }. Επιπλέον, ισχύει

Tx F ≤ T .x E για κάθε x ∈ E. 1

Με BE συμβολίζουμε την κλειστή μοναδιαία μπάλλα BE = {x ∈ E : x  ≤ 1} ενός χώρου με

νόρμα E.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

50 Απόδειξη Θέτουμε

A = {Tx F : x ∈ E, x E = 1}, B=

 Tx 

F

x E

 : x ∈ E, x  0 ,

α = sup A = = sup B

Γ = {k > 0 : Tx F ≤ k x E για κάθε x ∈ E }, γ = inf Γ Θα δείξουμε ότι T  ≥ α ≥ = ≥ γ ≥ T . Αφού {Tx F : x ∈ E, x E = 1} ⊆ {Tx F : x ∈ E, x E ≤ 1}, έχουμε α ≤ T . Επίσης, αν x ∈ E \ {0}, τότε

Tx F x = T F ≤ α x E x E (αφού  xx E = 1), άρα = ≤ α. E Tx  Αν x ∈ E \ {0}, τότε x  F ≤ = άρα Tx F ≤ =x E . Η τελευταία ανισότητα E

ισχύει και για x = 0, άρα = ∈ Γ και συνεπώς γ ≤ =. Αν k ∈ Γ, τότε για κάθε x ∈ E με x E ≤ 1 έχουμε Tx F ≤ k, άρα T  ≤ k. Επειδή αυτό ισχύει για κάθε k ∈ Γ, έχουμε T  ≤ γ. ΄Επεται ότι γ = = = α = T . Tx 

Η σχέση sup B = T  δείχνει ότι x  F ≤ T , άρα Tx F ≤ T .x E για E κάθε x ∈ E \ {0}, και η ανισότητα αυτή ισχύει και για x = 0. Η απόδειξη είναι πλήρης.



Παρατήρηση 2.1.3 Οι ισότητες της Πρότασης αληθεύουν και για μη ϕραγμένους τελεστές, αν συμφωνήσουμε ότι inf ∅ = +∞ (΄Ασκηση 2.4). Στην πράξη, πολλές ϕορές μια γραμμική απεικόνιση T είναι κατ’ αρχήν ορισμένη μεταξύ δύο χώρων με νόρμα που δεν είναι πλήρεις, και ενδιαφερόμαστε να την επεκτείνουμε σε μια γραμμική απεικόνιση μεταξύ των πληρώσεων των δύο χώρων. Η επόμενη Πρόταση καθορίζει πότε μια τέτοια επέκταση είναι δυνατή. Σημειώνουμε ότι, επειδή κάθε χώρος με νόρμα εμφυτεύεται ισομετρικά (δηλαδή, «με την ίδια νόρμα») σε έναν χώρο Banach (την πλήρωσή του),


2.1. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

51

μπορούμε εξ αρχής να υποθέσουμε ότι η T παίρνει τιμές μέσα σε έναν χώρο Banach. Πρόταση 2.1.4 ΄Εστω (E, .E ) χώρος με νόρμα, (F, .F ) χώρος Banach, D πυκνός υπόχωρος του E και T : D → F γραμμική απεικόνιση. Η T είναι συνεχής αν και μόνον αν υπάρχει συνεχής επέκταση T1 : E → F της T στον E. Η επέκταση T1 είναι μοναδική (αν υπάρχει) και T1  = T . Απόδειξη. Ο περιορισμός μιας συνεχούς απεικόνισης είναι, ϐέβαια, συνεχής. ΄Εστω αντίστροφα ότι η T είναι συνεχής στο D. Θα την επεκτείνουμε κατά συνεχή τρόπο στο τυχόν x ∈ E. Επειδή ο D είναι πυκνός, υπάρχει ακολουθία

{xn } στον D με xn → x. (1) Υπάρχει yx ∈ F ώστε Txn → yx . Πράγματι, η ανισότητα

Txn − Txm  ≤ T .xn − xm  δείχνει ότι η ακολουθία {Txn } είναι ϐασική στον F , άρα, εφόσον ο F είναι πλήρης, συγκλίνει. (2) Παρατηρούμε ότι το yx εξαρτάται μόνον από το x, και όχι από την {xn }. Πράγματι, αν {zn } είναι μια άλλη ακολουθία στον D που επίσης συγκλίνει στο x, τότε lim(xn − zn ) = 0, συνεπώς

Txn − Tzn  ≤ T .xn − zn  → 0, άρα limn Txn = limn Tzn . Μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε την T1 σ’ όλον τον E ϑέτοντας T1 x = yx , δηλαδή ορ

T1 (lim xn ) = lim Txn . Είναι ϕανερό ότι T1 |D = T (πράγματι, αν x ∈ D, ϑέτοντας xn = x για κάθε n ∈ N, έχουμε T1 x = lim Txn = Tx). Η γραμμικότητα της T1 ελέγχεται άμεσα : αν x, y ∈ F και λ ∈ C, υπάρχουν ακολουθίες {xn } και {yn } στον D με xn → x και yn → y, οπότε Txn → T1 x και Tyn → T1 y, άρα T1 (x + λy) = lim T (xn + λyn ) = lim Txn + λ lim Tyn = T1 x + λT1 y. n

n

n


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

52

Για να ελέγξουμε αν η T1 είναι συνεχής (ισοδύναμα, από την Πρόταση 2.1.1, ϕραγμένη) παρατηρούμε ότι ο ορισμός της συνεπάγεται ότι, για κάθε x ∈ E και {xn } ⊆ D με x = lim xn , ισχύει

T1 x  = lim Txn  ≤ T . lim xn  = T .x  . Επομένως (Πρόταση 2.1.2) η T1 είναι ϕραγμένη στον E και μάλιστα

T1  ≤ T . Εφόσον όμως T1 x  = Tx  όταν x ∈ D, έχουμε T  = sup{Tx  : x ∈ D, x  ≤ 1} = sup{T1 x  : x ∈ D, x  ≤ 1} ≤ sup{T1 x  : x ∈ E, x  ≤ 1} = T1  άρα T1  = T . Τέλος, η επέκταση T1 είναι μοναδική : αν T2 είναι μια επέκταση της T , τότε ταυτίζεται με την T1 στον πυκνό υπόχωρο D, επομένως, λόγω συνέχειας, παντού : για κάθε x ∈ E, αν (xn ) είναι ακολουθία στον D και xn → x, έχουμε T2 x = lim T2 xn = lim Txn = T1 x. n

2.1.1

n



Παραδείγματα

Παράδειγμα 2.1.5 (Σε χώρους πεπερασμένης διάστασης) ΄Εστω (E, .) χώρος με νόρμα και dim E = n < +∞. Σταθεροποιούμε μια ϐάση {ek : k = 1, ..., n } του E. Κάθε γραμμική απεικόνιση T : E → E καθορίζεται από την δράση της πάνω στην ϐάση, δηλαδή από τα διανύσματα

{Tek : k = 1, ..., n }. ΄Ομως κάθε Tek είναι γραμμικός συνδυασμός των {ei }: Tek =

n 

tik ei

(tik ∈ C)

(2.1)

i =1

δηλαδή η T καθορίζεται από τον n × n πίνακα (tik ) (η k-οστή στήλη του πίνακα αποτελείται από τις συντεταγμένες του Tek ως προς την ϐάση {ei }). Αντίστροφα, κάθε n × n πίνακας (sik ) ορίζει μια γραμμική απεικόνιση S:E→E


2.1. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

n

ϑέτοντας Sek =

i =1

53

sik ei για κάθε k και επεκτείνοντας γραμμικά, δηλαδή

⎛ n ⎞ n n  ⎜⎜⎜ ⎟⎟  S ⎜⎜⎝ x (k )ek ⎟⎟⎟⎠ = x (k ). sik ei k =1

i =1

k =1

Επομένως, η σχέση (2.1) ορίζει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ του συνόλου L(E ) των γραμμικών απεικονίσεων E → E και του συνόλου Mn (C) των n × n πινάκων μιγαδικών αριθμών. Τονίζουμε ότι η απεικόνιση αυτή εξαρτάται από την επιλογή της ϐάσης. Ειδικότερα, αν ο E είναι χώρος Hilbert (διάστασης n) και η {ek } είναι ορθοκανονική ϐάση, η παραπάνω αντιστοιχία ορίζεται από την σχέση

Tek , ei  = tik ,

i, k = 1, ..., n

που προκύπτει άμεσα από την (2.1). Σε χώρους με νόρμα πεπερασμένης διάστασης, κάθε γραμμική απεικόνιση είναι αναγκαστικά συνεχής. Πράγματι, αν  ·  είναι μια οποιαδήποτε νόρμα στον E και S : E → E είναι γραμμική απεικόνιση, τότε αν {ei } είναι μια ϐάση του E, για κάθε x =



x (k )ek ∈ E, έχουμε

Sx 

2

2 ⎞

2

n n

⎜⎜⎜



⎟⎟⎟

=

S ⎜⎜⎝ x (k )ek ⎟⎟⎠

=

x (k )Sek

k =1

k =1

⎞ ⎞⎛ n ⎛ n ⎞2 ⎛ n ⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ 2⎟ 2⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≤ ⎜⎝ |x (k )|.Sek ⎟⎠ ≤ ⎜⎝ |x (k )| ⎟⎠ ⎜⎝ Sek  ⎟⎟⎟⎠ k =1

k =1

k =1

από την ανισότητα Cauchy-Schwarz στον Rn . Αν τώρα {xi } είναι ακολουθία στοιχείων του E ώστε xi  → 0, τότε οι ακολουθίες {xi (k )} (k = 1, ..., n ) των συντεταγμένων του κάθε xi είναι όλες μηδενικές ακολουθίες (γιατί ;), επομένως

⎞1/2 ⎛ n ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = 0, άρα lim Sxi  = 0 lim ⎜⎜⎝ |xi (k )|2 ⎟⎟⎟⎠ i

k =1

από την προηγούμενη ανισότητα.

i


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

54

Παράδειγμα 2.1.6 Αν (E, .), (F, .) είναι χώροι με νόρμα με dim E < ∞ και S : E → F γραμμική απεικόνιση, τότε η S είναι κατ’ ανάγκη συνεχής. Πραγματικά, στην προηγούμενη απόδειξη δεν χρησιμοποιήθηκε πουθενά ότι η S παίρνει τιμές σε χώρο πεπερασμένης διάστασης. Παρατήρηση 2.1.7 Αν (E, .), (F, .) είναι χώροι με νόρμα με dim F < ∞ και S : E → F γραμμική απεικόνιση, τότε η S δεν είναι κατ’ ανάγκη συνεχής, αν

dim E = +∞. Παραδείγματα σε συγκεκριμένους χώρους ϑα δούμε στην συνέχεια. Εδώ ϑέλουμε να δείξουμε ότι, οποτεδήποτε ο E είναι απειροδιάστατος, υπάρχουν πάντα και συνεχείς (μη τετριμμένες) και ασυνεχείς γραμμικές απεικονίσεις S : E → F , όποιος και να είναι ο F . Απόδειξη ΄Εστω f : E → C μη μηδενική γραμμική μορφή και y ∈ F \ {0}. Ορίζουμε2 S : E → F : x → f (x )y. Η γραμμικότητα της S έπεται άμεσα από την γραμμικότητα της f . Η S είναι συνεχής αν και μόνον αν η f είναι συνεχής. Επομένως, αν αποδείξω την ύπαρξη συνεχών και ασυνεχών γραμμικών μορφών στον E, ϑα έχω αποδείξει την ύπαρξη συνεχών και ασυνεχών γραμμικών απεικονίσεων από τον E σε οποιονδήποτε χώρο με νόρμα F . (a) Η ύπαρξη μιας μη μηδενικής συνεχούς γραμμικής μορφής εξασφαλίϹεται από το Θεώρημα Hahn – Banach ([13], Πόρισμα 3.26 (ii) ή 7.3.8). (b) Μια ασυνεχής γραμμική απεικόνιση : Ο E, όπως κάθε γραμμικός χώρος, έχει μια αλγεβρική ϐάση, δηλαδή ένα γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο B ώστε [B] = E. Αφού ο E δεν είναι πεπερασμένης διάστασης, το σύνολο B είναι άπειρο, περιέχει επομένως μια άπειρη ακολουθία {xn }. Θέτουμε {ya : a ∈ A} = B \ {xn : n ∈ N}. Κάθε x ∈ E γράφεται μοναδικά ως πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμός στοιχείων της B: x=

 n

2

λn xn +



μa ya

a

Ο τελεστής S λέγεται τελεστής πρώτης τάξης, γιατί το πεδίο τιμών του im S είναι μονοδιά-

στατος υπόχωρος του F . Περισσότερα στο Κεφάλαιο 3.


2.1. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

55

όπου μόνον πεπερασμένο πλήθος συντελεστών λn και μa είναι μη μηδενικοί. Θέτουμε : f (x ) =



nλn xn  + 0

n

(δηλαδή η f απεικονίζει κάθε xn στο n xn  και τα υπόλοιπα στοιχεία της B (αν υπάρχουν) στο 0). Είναι εύκολο να ελέγξει κανείς ότι η f είναι γραμμική. Δεν x

x

είναι όμως συνεχής, γιατί ενώ n xn  → 0, έχουμε lim f ( n xn  ) = 1  0. n n Σημείωση. Και τα δύο παραδείγματα στηρίζονται ουσιαστικά στο αξίωμα της επιλογής : το μεν πρώτο μέσω του Θεωρήματος Hahn – Banach, το δε δεύτερο μέσω της ύπαρξης αλγεβρικής ϐάσης σε κάθε γραμμικό χώρο (ακόμα και απειροδιάστατο). Παράδειγμα 2.1.8 (Διαγώνιοι τελεστές) Αν a = {an },

an ∈ C, είναι τυ-

χούσα ακολουθία, ορίζω Da x = (a1 x (1), a2 x (2), a3 x (3), . . .),

x ∈ 2

Τότε (α) Ο Da ορίζει ϕραγμένο τελεστή 2 → 2 αν και μόνον αν η a είναι ϕραγμένη ακολουθία, και τότε Da  = supn |an |. (ϐ) Αν Da (2 ) ⊆ 2 τότε η a είναι ϕραγμένη ακολουθία (΄Ασκηση 2.5). Παρατηρούμε ότι, όποια κι αν είναι η ακολουθία a, η απεικόνιση Da ορίζεται στον (πυκνό) υπόχωρο coo του 2 , είναι γραμμική και έχει πεδίο τιμών μέσα στον coo . Επεκτείνεται όμως σ’ όλον τον 2 αν και μόνον αν η a είναι ϕραγμένη ακολουθία. Ο Da λέγεται διαγώνιος τελεστής γιατί ο (∞ × ∞) πίνακας που αντιστοιχεί στον Da ως προς την συνηθισμένη ορθοκανονική ϐάση

{en } του 2 είναι διαγώνιος : Da en , em  = an αν n = m και Da en , em  = 0 αν n  m. Παράδειγμα 2.1.9 (Τελεστές μετατόπισης (shift operators)) Υπενθυμίζω ότι ο χώρος 2 (Z) είναι το σύνολο των συναρτήσεων x : Z → C που ικανοποιούν



|x (n )|2 < +∞. ΄Εχει (αριθμήσιμη) ορθοκανονική ϐάση {en : n ∈ Z}, όπου en (m ) = δnm (m ∈ Z). Ιδιαίτερα σημαντικοί είναι οι τελεστές της μετατόπισης n ∈Z


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

56

(shift) που ορίζονται από τις σχέσεις : Uen και U ∗ en

= en +1 (μετατόπιση δεξιά) = en −1 (μετατόπιση αριστερά) (n ∈ Z)

και επεκτείνονται, πρώτα γραμμικά στον πυκνό υπόχωρο coo (Z) = [en : n ∈ Z], και μετά, επειδή είναι συνεχείς (΄Ασκηση 2.6), σ’ όλον τον 2 (Z) (Πρόταση 2.1.4). Οι τελεστές αυτοί είναι και οι δύο ισομετρίες και ικανοποιούν U ∗ ◦ U = U ◦ U ∗ = I (΄Ασκηση 2.6). Είναι επομένως ισομετρίες επί. Παράδειγμα 2.1.10 Ο χώρος 2 = 2 (N) μπορεί να ϑεωρηθεί ως ο κλειστός υπόχωρος του 2 (Z) που παράγεται από τα {en : n = 0, 1, . . .}. Παρατηρούμε ότι U (2 ) ⊆ 2 , ενώ U ∗ (2 ) = [e−1 , e0 , e1 , . . .]. Ορίζουμε λοιπόν S = U |2

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ U ∗ en S en = ⎪ ⎪ ⎩ 0 ∗

όταν n ≥ 1 όταν n = 0

(επειδή U ∗ e0 = e−1  2 ). ΄Ετσι, οι S και S∗ είναι τελεστές από τον 2 στον εαυτό του. Ο S είναι και αυτός, όπως ο U , ισομετρία, δεν είναι όμως επί.

Ο S∗

έχει νόρμα 1 και είναι επί, δεν είναι όμως ένα προς ένα, συνεπώς δεν είναι ισομετρία. Η σχέση S∗ ◦ S = I δείχνει ότι ο S έχει αριστερά αντίστροφο και ο S∗ έχει δεξιά αντίστροφο, κανένας από τους δύο όμως δεν είναι αντιστρέψιμος, γιατί S ◦ S∗  I. (Απόδειξη : ΄Ασκηση 2.7) Το παράδειγμα αυτό δείχνει ότι η κατάσταση είναι ϱιζικά διαφορετική από εκείνη των χώρων πεπερασμένης διάστασης.3 Παράδειγμα 2.1.11 (Τελεστές πολλαπλασιασμού) Αν f ∈ C([0, 1]), ορίϹουμε την απεικόνιση Mfo : C([0, 1]) → C([0, 1]) : g → f.g 3

Στη Γραμμική ΄Αλγεβρα μαθαίνουμε ότι, αν dim E < +∞, μια γραμμική απεικόνιση T :

E → E είναι αντιστρέψιμη αν και μόνον αν είναι ένα προς ένα, αν και μόνον αν είναι επί, αν και μόνον αν έχει αριστερά αντίστροφο, αν και μόνον αν έχει δεξιά αντίστροφο.


2.1. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

57

(δηλαδή (Mfo g)(t ) = f (t )g(t ) για κάθε t ∈ [0, 1]). Είναι σαφές ότι η Mfo είναι γραμμική. Εξάλλου

1

1 Mfo g22 = |f (t )g(t )|2 dt ≤ sup{|f (t )|2 : t ∈ [0, 1]} |g(t )|2 dt = f 2∞ g22 0

0

πράγμα που δείχνει (Πρόταση 2.1.4) ότι η Mfo επεκτείνεται σε έναν ϕραγμένο τελεστή, που τον συμβολίζουμε Mf , από τον L 2 ([0, 1]) στον εαυτό του, με νόρμα

Mf  ≤ f ∞ (Η f είναι ϕραγμένη, αφού είναι συνεχής στο συμπαγές [0, 1], άρα f ∞ < +∞). Στην πραγματικότητα, ισχύει Mf  = f ∞ . Πραγματικά, αν ϑέσω K = f ∞ , τότε για κάθε ε ∈ (0, K ) υπάρχει ένα διάστημα J ⊆ [0, 1] ώστε |f (t )| ≥ K − ε για κάθε t ∈ J . Υπάρχει όμως συνάρτηση g ∈ C([0, 1]), g  0, που μηδενίζεται έξω από το J , οπότε

Mf 2 g22 ≥ Mf g22 = |f (t )g(t )|2 dt ≥ (K − ε)2 |g(t )|2 dt = (K − ε)2 g22 J

J

πράγμα που σημαίνει ότι Mf  ≥ K − ε και επομένως, επειδή το ε είναι αυθαίϱετο, ότι Mf  ≥ K = f ∞ . Ο τελεστής Mf λέγεται τελεστής πολλαπλασιασμού4 που αντιστοιχεί στην f . Παράδειγμα 2.1.12 (Ολοκληρωτικοί τελεστές) Αν H = L 2 ([0, 1]) και k ∈ C([0, 1] × [0, 1]), ορίζουμε

(Kf )(x ) =

k (x, y)f (y)dy,

f ∈ C([0, 1]).

Η συνάρτηση Kf είναι συνεχής στο [0, 1] (΄Ασκηση 2.8) και η απεικόνιση K : f → Kf είναι προφανώς γραμμική. Αν ϑέσουμε

1/2

 k 22 =

|k (x, y)| dxdy 2

αποδεικνύεται (΄Ασκηση 2.8) ότι Kf 2 ≤ k 22 f 2 . Επομένως η K επεκτείνεται σε ϕραγμένο τελεστή K : H → H με νόρμα το πολύ ίση με k 22 . Ο 4

Χρησιμοποιώντας Θεωρία Μέτρου, μπορεί κανείς εύκολα να δείξει ότι ο τελεστής Mf ορίζεται

και είναι ϕραγμένος για κάθε (ουσιωδώς) ϕραγμένη μετρήσιμη συνάρτηση f : [0, 1] → C.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

58

τελεστής αυτός λέγεται ολοκληρωτικός τελεστής με πυρήνα k (integral operator with kernel k). Η σχέση

(Kf )(x ) =

k (x, y)f (y)dy

που ορίζει τον τελεστή K από τον πυρήνα k αποτελεί το συνεχές ανάλογο της σχέσης

(Tx )i =

n 

tij xj

j =1

που ορίζει τον τελεστή T : Cn → Cn από τον πίνακα (tij ). Μάλιστα, ϑα δείξουμε αργότερα ότι ένας τέτοιος ολοκληρωτικός τελεστής προσεγγίζεται από τελεστές T που ορίζονται από n × n πίνακες. Παράδειγμα 2.1.13 Ο τελεστής του Volterra V ορίζεται από τον τύπο

(Vf )(t ) =

1

f (s)ds

t ∈ [0, 1]

t

όπου f ∈ C([0, 1]). Είναι γνωστό ότι η συνάρτηση Vf είναι συνεχής στο [0, 1].

Επειδή Vf 2 ≤ (1/ 2)f 2 (γιατί ;) και η απεικόνιση V είναι προφανώς γραμμική, επεκτείνεται σε ϕραγμένο τελεστή V : L 2 ([0, 1]) → L 2 ([0, 1]). Παϱατηρείστε ότι (Vf )(t ) =

1 0

χ (t, s)f (s)ds (t ∈ [0, 1]) όπου

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ 0 , 0≤s≤t≤1 χ (t, s) = ⎪ ⎪ ⎩ 1 , 0≤t<s≤1 είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του τριγώνου {(s, t ) ∈ [0, 1]2 : s > t }. Επομένως ο τελεστής του Volterra είναι και αυτός ολοκληρωτικός τελεστής, μόνο που ο πυρήνας του δεν είναι συνεχής συνάρτηση. Παράδειγμα 2.1.14 (΄Ενας διαφορικός τελεστής) Αν C1 ([0, 1]) είναι ο χώϱος των συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων και f ∈ C1 ([0, 1]), ορίζουμε

(Df )(t ) = f (t ), t ∈ [0, 1]. ΄Ετσι κατασκευάσαμε μια απεικόνιση D : C1 ([0, 1]) → C([0, 1])


2.2. ΧΩΡΟΙ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

59

που είναι προφανώς γραμμική. Παρόλο που ο C1 ([0, 1]) είναι πυκνός στον L 2 ([0, 1]) (΄Ασκηση 2.10), η D δεν επεκτείνεται σε ϕραγμένο τελεστή από τον L 2 ([0, 1]) στον εαυτό του, γιατί δεν είναι .2 -συνεχής. Πραγματικά, αν fn (t ) = t n τότε fn 2 = (2n + 1)−1/2 → 0, ενώ Dfn 2 = n (2n − 1)−1/2 → +∞. Παράδειγμα 2.1.15 (΄Ενας τελεστής σύνθεσης) ΄Εστω ϕ : [a, b] → [c, d ] γνησίως αύξουσα, επί και συνεχώς διαφορίσιμη. Παρατηρούμε ότι για κάθε f ∈ C([c, d ]) η συνάρτηση t → (ϕ (t ))1/2 f (ϕ(t )) ορίζεται και είναι συνεχής στο

[a, b]. Ορίζουμε Cϕo : C([c, d ]) → C([a, b]) : f → (ϕ )1/2 (f ◦ ϕ) και παρατηρούμε ότι

Cϕo (f

)22

=

b

ϕ (t )|f (ϕ(t ))| dt =

d

2

a

c

|f (s)|2 ds = f 22

επομένως ο Cϕo επεκτείνεται σε ισομετρία Cϕ : L 2 ([c, d ]) → L 2 ([a, b]). Μάλιστα ο Cϕ είναι επί, γιατί αν ϑέσω ψ = ϕ−1 , τότε για κάθε g ∈ C([a, b]) έχω Cϕ (Cψ (g)) = Cϕ ((ψ )1/2 (g ◦ ψ)) = (ϕ )1/2 (ψ ◦ ϕ)1/2 (g ◦ ψ ◦ ϕ) = g εφόσον ψ ◦ ϕ =

1 . ϕ

2.2 Χώροι Τελεστών Στην προηγούμενη παράγραφο μελετήσαμε ιδιότητες μεμονωμένων γραμμικών απεικονίσεων μεταξύ χώρων με νόρμα. Θα μελετήσουμε τώρα την δομή του συνόλου όλων των ϕραγμένων γραμμικών απεικονίσεων T : (E, .) →

(F, .). Ορισμός 2.2.1 Αν (E, .), (F, .) είναι χώροι με νόρμα, ονομάζουμε B(E, F ) το σύνολο όλων των ϕραγμένων γραμμικών απεικονίσεων T : (E, .) → (F, .). ΄Οταν E = F , γράφουμε B(E ) αντί για B(E, E ).


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

60

Παρατηρήσεις 2.2.1 (i) ΄Οπως είδαμε στο παράδειγμα 2.1.7, το B(E, F ) είναι πάντα μη τετριμμένο (δηλαδή  {0}). Μάλιστα, αν dim E > 1, το B(E ) δεν περιέχει μόνον τα πολλαπλάσια του ταυτοτικού τελεστή. (ii) Αν T, S ∈ B(E, F ) και λ ∈ C, ορίζουμε τον τελεστή T + λS από την σχέση

(T + λS)(x ) = Tx + λ(Sx ) (x ∈ E ). είναι ϕανερό ότι T + λS ∈ B(E, F ) και επομένως το σύνολο B(E, F ) γίνεται γραμμικός χώρος. Πρόταση 2.2.2

Η απεικόνιση T → T  είναι νόρμα στον γραμμικό χώρο

B(E, F ). Αν επί πλέον ο F είναι πλήρης, ο B(E, F ) είναι χώρος Banach. Απόδειξη. (i) Αν T, S ∈ B(E, F ) και λ ∈ C, έχουμε (α) Για κάθε x ∈ E,

(T + S)x  = Tx + Sx  ≤ Tx  + Sx  ≤ (T  + S)x , συνεπώς T + S ∈ B(E, F ) και T + S ≤ T  + S (Πρόταση 2.1.2). (ϐ) λT  = sup{(λT )x  : x  ≤ 1} = sup{|λ|Tx  : x  ≤ 1}

= |λ|. sup{Tx  : x  ≤ 1} = |λ|.T . (γ) Αν T  = 0 τότε Tx  ≤ T .x  = 0 για κάθε x ∈ E, άρα Tx = 0 για κάθε x ∈ E δηλαδή T = 0. Συνεπώς η  ·  είναι πράγματι νόρμα στον B(E, F ). (ii) ΄Εστω ότι ο F είναι πλήρης. Αν {Tn } είναι μια ακολουθία στοιχείων του

B(E, F ) που είναι ϐασική ως προς την νόρμα του, πρέπει να ϐρούμε έναν T ∈ B(E, F ) ώστε Tn − T  → 0. Παρατηρούμε ότι για κάθε x ∈ E έχουμε Tn x − Tm x  ≤ Tn − Tm .x , επομένως η ακολουθία {Tn x } είναι ϐασική ακολουθία στοιχείων του F . Εφόσον ο F είναι πλήρης, η ακολουθία αυτή συγκλίνει. Ονομάζουμε Tx το όριό της. Ορίζουμε έτσι μιαν απεικόνιση T : E → F : x → Tx = lim Tn x . n


2.2. ΧΩΡΟΙ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

61

(α) Η T είναι γραμμική. Πράγματι, αν x1 , x2 ∈ E και λ ∈ C, έχουμε T (x1 + λx2 ) = lim Tn (x1 + λx2 ) = lim(Tn x1 + λTn x2 ) n

n

= lim Tn x1 + λ lim Tn x2 = Tx1 + λTx2 . n

n

(ϐ) Αν ε > 0, επειδή η {Tn } είναι .-ϐασική, υπάρχει k ∈ N ώστε m, n ≥ k ⇒ Tn − Tm  < ε. Συνεπώς, για κάθε x ∈ E με x  ≤ 1, m, n ≥ k ⇒ Tn x − Tm x  < ε . Επειδή Tx = lim Tn x, παίρνοντας όριο ως προς n, ϐρίσκουμε m ≥ k ⇒ Tx − Tm x  ≤ ε. Επειδή η ανισότητα αυτή ισχύει για κάθε x ∈ E με x  ≤ 1, και το k δεν εξαρτάται από το x, έπεται ότι, για κάθε m ≥ k, η γραμμική απεικόνιση T − Tm είναι ϕραγμένη, και m ≥ k ⇒ T − Tm  = sup{(T − Tm )x  : x ∈ E, x  ≤ 1} ≤ ε . Επομένως και η T = (T − Tm ) + Tm είναι ϕραγμένη, δηλαδή T ∈ B(E, F ). ΄Εχουμε όμως δείξει ότι για κάθε ε > 0 υπάρχει k ∈ N ώστε m ≥ k ⇒

T − Tm  < ε, άρα Tn − T  → 0.



Παρατήρηση Σημειώνουμε ότι ο B(E, F ) είναι χώρος Banach οποτεδήποτε ο F είναι χώρος Banach, ανεξάρτητα από την πληρότητα ή μη του E. Ειδικότερα, το σύνολο E ∗ των συνεχών (μιγαδικών) γραμμικών μορφών σε έναν χώρο με νόρμα E, δηλαδή ο χώρος B(E, C), είναι χώρος Banach. Παρατήρηση Αν E, F, G είναι χώροι με νόρμα, S : E → F και T : F → G γραμμικές απεικονίσεις, τότε η σύνθεση TS ≡ T ◦ S

: E→F →G x −→ T (S(x ))


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

62

ορίζεται και είναι γραμμική απεικόνιση. Αν επιπλέον οι S, T είναι ϕραγμένες, τότε η TS είναι συνεχής. Μάλιστα, για κάθε x ∈ E,

(TS)x  = T (S(x )) ≤ T .Sx  ≤ T .S.x , επομένως TS ≤ T .S. Η παρατήρηση αυτή έχει ιδιαίτερη σημασία στην περίπτωση που E = F = G και ο E είναι χώρος Banach, γιατί δείχνει ότι ο χώρος Banach B(E ) είναι εφοδιασμένος με μια ακόμη πράξη, την σύνθεση απεικονίσεων (που ορίζεται για κάθε T, S ∈ B(E )), η οποία είναι συμβιβαστή με την γραμμική και την τοπολογική του δομή : Πρόταση 2.2.3 Αν ο E είναι χώρος Banach, τότε το σύνολο B(E ) είναι άλγεϐρα Banach, δηλαδή (i) είναι (μιγαδική) άλγεβρα ως προς τις γραμμικές πράξεις κατά σημείο και την σύνθεση απεικονίσεων, (ii) είναι χώρος Banach ως προς την νόρμα τελεστή και (iii) TS ≤ T .S για κάθε T, S ∈ B(E ). (Θυμίζουμε ότι μια μιγαδική (προσεταιριστική) άλγεβρα A είναι μια τετράδα (A, +, ·, ◦) ώστε η τριάδα (A, +, ·) να είναι (μιγαδικός) γραμμικός χώρος, η τριάδα (A, +, ◦) να είναι δακτύλιος και επιπλέον λ · (a ◦ b) = (λ · a ) ◦ b = a ◦ (λ · b) για κάθε a, b ∈ A και λ ∈ C.) Η απόδειξη είναι άμεση εφαρμογή των ορισμών (΄Ασκηση 2.12). Παρατήρηση 2.2.4 Σημειώνουμε ότι η ανισότητα TS ≤ T  · S εξασφαλίζει ότι ο πολλαπλασιασμός (η σύνθεση απεικονίσεων) είναι συνεχής ως απεικόνιση

(B(E ), .) × (B(E ), .) → (B(E ), .). Πράγματι, αν Tn − T  → 0 και Sn − S → 0, τότε

Tn Sn − TS = Tn Sn − TSn + TSn − TS = (Tn − T )Sn + T (Sn − S) ≤ (Tn − T )Sn  + T (Sn − S) ≤ Tn − T .Sn  + T .Sn − S −→ 0.


2.3. SESQUILINEAR ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ Ο ΣΥΖΥΓΗΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ

63

Σημειώνουμε επίσης ότι η άλγεβρα B(E ) έχει μονάδα (ως δακτύλιος) τον ταυτοτικό τελεστή I : E → E, αλλά δεν είναι μεταθετική όταν dim E > 1, δηλαδή η ισότητα ST = TS δεν αληθεύει για κάθε S, T ∈ B(E ). Για παράδειγμα, αν x, y ∈ E είναι γραμμικά ανεξάρτητα, δεν είναι δύσκολο να ϐρεθούν T, S ∈ B(E ) ώστε Sx = y, Sy = 0, Tx = 0 και Ty = x, οπότε STx = 0 ενώ TSx = x (΄Ασκηση 2.13).

2.3 Sesquilinear μορφές και ο συζυγής τελεστής Στην παράγραφο αυτή ϑα περιγράψουμε μια ϐασική μέθοδο για την κατασκευή ϕραγμένων τελεστών σ’ έναν χώρο Hilbert H. Σε κάθε T ∈ B(H ) αντιστοιχεί ένα μοναδικό σύνολο μιγαδικών αριθμών {Tx, y : x, y ∈ H }, ισοδύναμα μια απεικόνιση φT : H × H → C : (x, y) → Tx, y. Το ερώτημα είναι, αν δοθεί ένα σύνολο μιγαδικών αριθμών {φ(x, y) : x, y ∈ H }, πότε υπάρχει ένας T ∈ B(H ) ώστε φ(x, y) = Tx, y για κάθε x, y ∈ H; Είναι εύκολο να περιγράψει κανείς αναγκαίες συνθήκες : Αν T ∈ B(H ), η απεικόνιση φT έχει τις ιδιότητες που περιγράφονται στον επόμενο ορισμό : Ορισμός 2.3.1 Μια απεικόνιση φ : H × H → C λέγεται sesquilinear μορφή αν έχει τις ιδιότητες (i) είναι γραμμική ως προς την πρώτη μεταβλητή, δηλαδή για κάθε y ∈ H η απεικόνιση x → φ(x, y) : H → C είναι γραμμική. (ii) είναι αντιγραμμική ως προς την δεύτερη μεταβλητή, δηλαδή για κάθε x ∈ H η απεικόνιση y → φ(x, y) : H → C είναι γραμμική. Μια sesquilinear μορφή λέγεται ϕραγμένη, αν επιπλέον έχει την ιδιότητα (iii) sup{|φ(x, y)| : x, y ∈ H, x  ≤ 1, y ≤ 1} ≡ φ < +∞. Παραδείγματος χάριν, το εσωτερικό γινόμενο είναι μια sesquilinear μορφή. Αν T ∈ B(H ), οι ιδιότητες (i) και (ii) της φT είναι άμεσες από τις αντίστοιχες ιδιότητες του T και του εσωτερικού γινομένου. ΄Οσο για την (iii), έχουμε για


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

64

κάθε x, y ∈ H, από την ανισότητα Cauchy-Schwarz και τον ορισμό της T ,

|Tx, y| ≤ Tx .y ≤ T .x .y, άρα η φT είναι ϕραγμένη και μάλιστα φT  ≤ T . Το επόμενο ϑεώρημα χαρακτηρίζει όλες τις ϕραγμένες sesquilinear μορϕές σε έναν χώρο Hilbert: Θεώρημα 2.3.1 ΄Εστω H χώρος Hilbert. Κάθε ϕραγμένη sesquilinear μορφή φ : H × H → C ορίζει έναν μοναδικό ϕραγμένο τελεστή T ∈ B(H ) από την σχέση φ(x, y) = Tx, y

για κάθε x, y ∈ H.

Επίσης T  = φ, δηλαδή

T  = sup{|Tx, y| : x, y ∈ H, x  ≤ 1, y ≤ 1}. Απόδειξη ΄Εστω x ∈ H. Θεωρούμε την απεικόνιση fx : H → C : y → φ(x, y). Οι ιδιότητες (i) και (iii) της φ δείχνουν, αντίστοιχα, ότι η fx είναι γραμμική και ϕραγμένη. Επειδή ο H είναι χώρος Hilbert, το ϑεώρημα του Riesz (1.6.3) δείχνει ότι υπάρχει μοναδικό zx ∈ H ώστε fx (y) = y, zx  για κάθε y ∈ H δηλαδή

zx , y = fx (y) = φ(x, y) για κάθε y ∈ H. Είναι ϕανερό ότι η παραπάνω σχέση ορίζει μοναδικά το zx συναρτήσει του x (γιατί ;). Επομένως η απεικόνιση T : x → zx είναι καλά ορισμένη από τον H στον εαυτό του, και ορίζεται από την σχέση

Tx, y = φ(x, y) για κάθε x, y ∈ H. Ελέγχουμε ότι η T είναι


2.3. SESQUILINEAR ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ Ο ΣΥΖΥΓΗΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ

65

(α) Γραμμική : Αν x1 , x2 ∈ H και λ ∈ C, τότε, για κάθε y ∈ H, από την ιδιότητα (ι) της φ έχουμε

T (x1 + λx2 ), y = φ(x1 + λx2 , y) = φ(x1 , y) + λφ(x2 , y) = Tx1 , y + λTx2 , y = Tx1 + λTx2 , y επομένως

T (x1 + λx2 ) = Tx1 + λTx2 .

(ϐ) Φραγμένη : Αν x ∈ H και x  ≤ 1, τότε

Tx  = sup{|Tx, y| : y ∈ H, y ≤ 1}

(Λήμμα 1.6.1)

= sup{|φ(x, y)| : y ∈ H, y ≤ 1} ≤ sup{|φ(z, y)| : z, y ∈ H, z  ≤ 1, y ≤ 1} = φ . Επομένως

T  = sup{Tx  : x ∈ H, x  ≤ 1} ≤ φ < +∞. Δείξαμε λοιπόν ότι T ∈ B(H ) και ότι T  ≤ φ. Παρατηρούμε όμως ότι η μορφή φT που ορίζεται από τον T είναι η ίδια με την φ, και είχαμε δείξει στην αρχή της παραγράφου ότι φT  ≤ T . Επομένως T  = φ. Η μοναδικότητα του T προκύπτει από το γεγονός ότι, αν S, T ∈ B(H ) και φS = φT , τότε Sx, y = Tx, y για κάθε x, y ∈ H, άρα (S − T )x, y = 0 για κάθε x, y ∈ H, άρα (S − T )x = 0 για κάθε x ∈ H, δηλαδή S = T .



Παρατήρηση 2.3.2 ΄Εστω φ μια sesquilinear μορφή σ’ έναν χώρο Hilbert H.

ˆ : H → C την αντίστοιχη τετραγωνική μορφή, που ορίζεται από τον Ονομάζω φ τύπο

ˆ (x ) = φ(x, x ), x ∈ H φ και ϑέτω

φˆ  = sup{|φˆ (x )| : x ∈ H, x  ≤ 1} (φˆ  ∈ [0, +∞]). Είναι ϕανερό ότι sup{|φ(x, x )| : x ∈ H, x  ≤ 1} ≤ sup{|φ(x, y)| : x  ≤ 1, y ≤ 1}


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

66

ˆ  ≤ φ. Μια απλή εφαρμογή των ιδιοτήτων (i) και (ii) του ορισμού 2.3.1 άρα φ δείχνει ότι ισχύει η λεγόμενη ταυτότητα πολικότητας ( polarization identity) 4φ(x, y)= φ(x + y, x + y)− φ(x − y, x − y)+ iφ(x + iy, x + iy)− iφ(x − iy, x − iy)

= φˆ (x + y) − φˆ (x − y) + i φˆ (x + iy) − i φˆ (x − iy).

(2.2)

ˆ (x )| ≤ φˆ .x 2 για κάθε x ∈ H (γιατί ;), έχουμε Επειδή όμως |φ 4|φ(x, y)|

≤ |φˆ (x + y)| + |φˆ (x − y)| + |φˆ (x + iy)| + |φˆ (x − iy)| ≤ φˆ (x + y2 + x − y2 + x + iy + x − iy2 ) = φˆ (2x 2 + 2y2 + 2x 2 + 2iy2 )

από τον κανόνα του παραλληλογράμμου (Πρόταση 1.1.5(α)), άρα

|φ(x, y)| ≤ φˆ (x 2 + y2 ). παίρνοντας λοιπόν supremum ως προς x και y στην μοναδιαία σφαίρα του H,

ˆ . Δείξαμε λοιπόν ότι έχουμε φ ≤ 2φ φˆ  ≤ φ ≤ 2φˆ . ˆ  < +∞ αν και μόνον αν φ < +∞. Ειδικότερα, φ Εφαρμόζοντας τα παραπάνω για την sesquilinear μορφή φT που ορίζεται από μια γραμμική απεικόνιση T έχουμε, από το ϑεώρημα 2.3.1, Πρόταση 2.3.3 ΄Εστω H μιγαδικός χώρος Hilbert. Μια γραμμική απεικόνιση T : H → H είναι ϕραγμένη αν και μόνον αν

sup{|Tx, x | : x ∈ H, x  ≤ 1} < +∞. Τότε

sup{|Tx, x | : x ∈ H, x  ≤ 1} ≤ T  ≤ 2 sup{|Tx, x | : x ∈ H, x  ≤ 1}. Επίσης, αν T, S ∈ B(H ), τότε T = S αν και μόνον αν Tx, x  = Sx, x  για κάθε x ∈ H.


2.3. SESQUILINEAR ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ Ο ΣΥΖΥΓΗΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ

67

Παρατήρηση Η προηγούμενη Πρόταση δεν ισχύει σε πραγματικούς χώρους Hilbert. Παραδείγματος χάριν, αν H = R2 και T (x, y) = (y, −x ), δηλ. ο T στρίβει το διάνυσμα (x, y) κατά μια ορθή γωνία, τότε T (x, y)⊥(x, y) για κάθε

(x, y) ∈ R2 , ενώ ϐέβαια T  0 ! Παρατήρηση Εν γένει, οι ανισότητες

sup{|Tx, x | : x ∈ H, x  ≤ 1} ≤ T  ≤ 2 sup{|Tx, x | : x ∈ H, x  ≤ 1}. είναι οι καλύτερες δυνατές : Παραδείγματος χάριν, η πρώτη είναι ισότητα για T = I, και η δεύτερη είναι ισότητα για τον τελεστή T : C2 → C2 που ορίζεται από την σχέση T (x1 , x2 ) = (0, x1 ) (΄Ασκηση 2.14). Η πρώτη ανισότητα γίνεται ισότητα για μια σημαντική κλάση τελεστών : Πρόταση 2.3.4 Αν T ∈ B(H ) και Tx, y = x, Ty για κάθε x, y ∈ H, τότε

T  = sup{|Tx, x | : x ∈ H, x  ≤ 1}. ˆ (x ) = Tx, x , αρκεί να δείξουμε ότι Απόδειξη Αν φ(x, y) = Tx, y και φ |φ(x, y)| ≤ φˆ  για κάθε x, y ∈ H με x  ≤ 1 και y ≤ 1. Παρατηρούμε ˆ (x ) ∈ R ότι από την υπόθεση Tx, y = x, Ty για κάθε x, y ∈ H έπεται ότι φ για κάθε x ∈ H. Επομένως, επειδή ˆ (x + y) − φˆ (x − y) + i φˆ (x + iy) − i φˆ (x − iy), 4φ(x, y) = φ έχουμε άρα

ˆ (x + y) − φˆ (x − y) 4Reφ(x, y) = φ ˆ .(x + y2 + x − y2 ) = 2φˆ .(x 2 + y2 ) 4|Reφ(x, y)| ≤ φ

(*)

από τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Αν τώρα το λ ∈ C είναι τέτοιο ώστε

¯ (x, y) = φ(x, λy) άρα φ(x, y) = λ|φ(x, y)| (οπότε |λ| = 1), έχουμε |φ(x, y)| = λφ φ(x, λy) ∈ R, οπότε από την (*) έχουμε

|φ(x, y)| = φ(x, λy) ≤ φˆ 

x 2 + λy2 2

≤ φˆ ,

αφού x  ≤ 1 και λy ≤ 1. Σημείωση ΄Ενας τελεστής T ∈ B(H ) που ικανοποιεί Tx, y = x, Ty για κάθε x, y ∈ H λέγεται αυτοσυζυγής (ϐλ. τον Ορισμό 2.4.1).


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

68

2.3.1

Ο συζυγής ενός τελεστή

Αν H είναι χώρος Hilbert με dim H = n < +∞ και {ek : k = 1, ..., n } μια ορθοκανονική ϐάση του H, τότε, όπως είδαμε στο παράδειγμα 2.1.5, κάθε τελεστής T ∈ B(H ) ορίζει (και ορίζεται από) έναν n × n πίνακα (tik ) μέσω της σχέσης tik = Tek , ei . Ο ανάστροφος συζυγής πίνακας, δηλαδή ο πίνακας (sik ) όπου sik = t¯ki , ορίζει με την σειρά του έναν μοναδικό τελεστή T ∗ ∈ B(H ) ώστε T ∗ ek , ei  = sik = t¯ki = Tei , ek  = ek , Tei . Από την ισότητα αυτή έπεται, λόγω γραμμικότητας, ότι

T ∗ x, y = x, Ty για κάθε x, y ∈ H. Δηλαδή, όταν dim H < +∞, κάθε T ∈ B(H ) ορίζει μοναδικό T ∗ ∈ B(H ) ώστε να ικανοποιείται η παραπάνω ισότητα. Θα δείξουμε ότι το ίδιο ισχύει για ϕραγμένους τελεστές σε αυθαίρετους χώρους Hilbert: Θεώρημα 2.3.5 ΄Εστω H χώρος Hilbert. Για κάθε T ∈ B(H ) υπάρχει μοναδικός T ∗ ∈ B(H ) ώστε

T ∗ x, y = x, Ty για κάθε x, y ∈ H.

(∗)

Απόδειξη Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η απεικόνιση φ : H × H → C : (x, y) → x, Ty είναι sesquilinear και ϕραγμένη (επειδή ο T είναι γραμμικός και ϕραγμένος) και να εφαρμόσουμε το ϑεώρημα 2.3.1, σύμφωνα με το οποίο υπάρχει μοναδικός T ∗ ∈ B(H ) ώστε φ(x, y) = T ∗ x, y για κάθε x, y ∈ H, δηλαδή

x, Ty = T ∗ x, y για κάθε x, y ∈ H. Ορισμός 2.3.2 Ο συζυγής (adjoint) T ∗ ενός ϕραγμένου τελεστή T σε έναν χώρο Hilbert είναι ο (μοναδικός) ϕραγμένος τελεστής στον ίδιο χώρο που ορίζεται από την σχέση (∗). Παρατηρήσεις 2.3.6 (i) Τονίζουμε ότι ο ορισμός αυτός αναφέρεται σε ϕραγμένους τελεστές. Ο συζυγής ενός μη ϕραγμένου τελεστή ορίζεται με διαφορετικό τρόπο.


2.3. SESQUILINEAR ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ Ο ΣΥΖΥΓΗΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ

69

(ii) Το ϑεώρημα 2.3.5 λέει ότι, αν ο χώρος H είναι Hilbert, η άλγεβρα Banach B(H ) εφοδιάζεται με μια επιπλέον (μονομελή) εσωτερική πράξη, την T → T ∗ . Το γεγονός αυτό καθιστά την δομή της άλγεβρας αυτής εξαιρετικά πλουσιότερη από εκείνη της άλγεβρας B(E ) των τελεστών σ’ έναν τυχαίο χώρο Banach E. Παρατήρηση 2.3.7 Γενικότερα αν H1 , H2 είναι δύο χώροι Hilbert και T : H1 → H2 ένας ϕραγμένος τελεστής, τότε με εντελώς ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένας μοναδικός τελεστής T ∗ : H2 → H1 που ικανοποιεί τη σχέση

  Tx, yH2 = x, T ∗ y H1

για κάθε x ∈ H1 , y ∈ H2 .

Πρόταση 2.3.8 Η απεικόνιση T → T ∗ : B(H ) → B(H ) έχει τις εξής ιδιότητες :

¯ ∗. (α) είναι αντιγραμμική, δηλαδή (T + λS)∗ = T ∗ + λS (ϐ) T ∗∗ = T . (γ) (TS)∗ = S∗ T ∗ . (δ) T ∗  = T . (ε) T ∗ T  = T 2 . Απόδειξη (α) Αν x, y ∈ H έχουμε

(T + λS)∗ x, y =x, (T + λS)y = x, Ty + λ¯x, Sy ¯ ∗ )x, y. =T ∗ x, y + λ¯S∗ x, y = (T ∗ + λS (ϐ) και (γ) ΄Αμεσα από τον ορισμό του συζυγούς. (δ) Από το ϑεώρημα 2.3.1 έχουμε

T ∗  = sup{|T ∗ x, y| : x  ≤ 1, y ≤ 1} = sup{|x, Ty| : x  ≤ 1, y ≤ 1} = sup{|Ty, x | : x  ≤ 1, y ≤ 1} = T . (ε) Για κάθε x ∈ H έχουμε

Tx 2 = Tx, Tx  = T ∗ Tx, x  ≤ T ∗ Tx .x  ≤ T ∗ T .x 2 ,


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

70 επομένως

T 2 = sup{Tx 2 : x  ≤ 1} ≤ T ∗ T . Αλλά AB ≤ A.B για κάθε A, B ∈ B(H ), άρα T ∗ T  ≤ T ∗ .T  = T 2 (από την (δ)), οπότε T 2 ≤ T ∗ T  ≤ T ∗ .T  = T 2 .



Παρατήρηση 2.3.9 Αν A είναι (μιγαδική) άλγεβρα, μια απεικόνιση A → A : a → a ∗ που έχει τις ιδιότητες (α), (ϐ), (γ) λέγεται ενέλιξη ( involution). Αν επιπλέον η A είναι άλγεβρα Banach ως προς μια νόρμα . και η ενέλιξη ικανοποιεί a ∗ a  = a 2 για κάθε a ∈ A, τότε η A λέγεται C * -άλγεβρα. Δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς ότι η σχέση a ∗ a  = a 2 για κάθε a ∈ A συνεπάγεται ότι a ∗  = a  για κάθε a ∈ A, δηλαδή η ενέλιξη είναι ισομετρία επί. Παραδείγματα που έχουμε ήδη συναντήσει είναι (i) ο χώρος C([0, 1]) με τις πράξεις κατά σημείο, την νόρμα supremum και την ενέλιξη f → f ∗ όπου f ∗ (t ) = f (t ) (t ∈ [0, 1]), (ii) ο χώρος ∞ των ϕραγμένων ακολουθιών μιγαδικών αριθμών με τις πράξεις κατά συντεταγμένη, την νόρμα supremum και την ενέλιξη a → a ∗ όπου

(a ∗ )n = a¯n (n ∈ N). Παρατηρούμε ότι και οι δύο αυτές C∗ -άλγεβρες είναι μεταθετικές, δηλαδή a.b = b.a για κάθε a, b. Πιο ενδιαφέρουσες για μας είναι οι μη μεταθετικές C∗ -άλγεβρες. Πράγματι, μπορούμε να συνοψίσουμε τις παρατηρήσεις που κάναμε ως εξής : Πρόταση 2.3.10 Το σύνολο B(H ) των ϕραγμένων τελεστών σ’ έναν χώρο Hilbert H είναι C∗ -άλγεβρα ως προς τις πράξεις κατά σημείο, την νόρμα τελεστή και την ενέλιξη T → T ∗ που ορίζεται από την σχέση

T ∗ x, y = x, Ty για κάθε x, y ∈ H. Παραδείγματα 2.3.11 (πρβλ. Παράγραφο 2.1.1) (2.1.5) Στον χώρο H = Cn , ο συζυγής ενός τελεστή T έχει πίνακα τον ανάστροφο συζυγή του πίνακα του T (ως προς την συνηθισμένη ορθοκανονική ϐάση του Cn ).


2.4. ΕΙΔΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

71

(2.1.8) Αν H = 2 και a ∈ ∞ , ο συζυγής του τελεστή Da είναι ο Db , όπου b = a ∗ (δηλαδή b(n ) = a (n ) για κάθε n). (2.1.9) Αν H = 2 (Z), ο συζυγής του τελεστή U της μετατόπισης δεξιά είναι ο τελεστής U ∗ της μετατόπισης αριστερά, δηλαδή ο αντίστροφός του. (2.1.10) Αν H = 2 (N), ο συζυγής του τελεστή S της μετατόπισης δεξιά είναι ο τελεστής S∗ της μετατόπισης αριστερά. (2.1.11) Αν H = L 2 ([0, 1]) και f ∈ C([0, 1]), ο συζυγής του πολλαπλασιαστικού τελεστή Mf είναι ο, επίσης πολλαπλασιαστικός, τελεστής Mg όπου g = f ∗ . (2.1.12) Αν H = L 2 ([0, 1]) και k ∈ C([0, 1] × [0, 1]), ο συζυγής του ολοκληρωτικού τελεστή K που ορίσαμε στο παράδειγμα 2.1.12 είναι ο ολοκληρωτικός τελεστής με πυρήνα h, όπου h (x, y) = k (y, x ), x, y ∈ [0, 1]. (2.1.13) Ο συζυγής του τελεστή του Volterra V στον L 2 ([0, 1]) ορίζεται από τον τύπο

(V ∗ f )(t ) =

t

f (s)ds,

f ∈ C([0, 1]).

0

( Η απόδειξη των ισχυρισμών αυτών αφήνεται ως άσκηση (΄Ασκηση 2.15).

2.4 Ειδικές κατηγορίες τελεστών σ’ έναν χώρο Hilbert ΄Εστω H = 2 . Είδαμε (Παράδειγμα 2.3.11) ότι αν a ∈ ∞ , ο συζυγής του τελεστή Da είναι ο Db , όπου b = a ∗ . Επομένως, επειδή Da Db = Db Da (΄Ασκηση 2.20), ισχύει Da∗ Da = Da Da∗ . Η ιδιότητα αυτή δεν ισχύει για όλους τους τελεστές : για παράδειγμα, αν S είναι ο τελεστής της μετατόπισης δεξιά στον 2 (N), τότε S∗ S  SS∗ . Η κατηγορία των τελεστών της μορφής Da περιέχει δύο σημαντικές υποκατηγορίες : τους Da όπου η a είναι ακολουθία πραγματικών αριθμών, οι οποίοι ικανοποιούν Da∗ = Da , και εκείνους όπου η a έχει την ιδιότητα |a (n )| = 1 για κάθε n ∈ N, που ικανοποιούν Da∗ Da = Da Da∗ = I (΄Ασκηση 2.20). Ορισμός 2.4.1 ΄Εστω H χώρος Hilbert, T ∈ B(H ). (i) Ο T λέγεται ϕυσιολογικός (normal) αν T ∗ T = TT ∗ .


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

72

(ii) Ο T λέγεται αυτοσυζυγής (self-adjoint) αν T = T ∗ . (iii) Ο T λέγεται ορθομοναδιαίος (unitary) αν T ∗ T = TT ∗ = I. Παρατηρήσεις 2.4.1 (i) Είναι ϕανερό ότι οι αυτοσυζυγείς και οι ορθομοναδιαίοι τελεστές είναι ϕυσιολογικοί. Τα προηγούμενα παραδείγματα δείχνουν ότι οι τρεις αυτές κλάσεις διακρίνονται μεταξύ τους. Μάλιστα, σε κάθε χώρο H με dim H > 1, υπάρχει ένας T ∈ B(H ) που δεν είναι ϕυσιολογικός (΄Ασκηση 2.18). (ii) Διαισθητικά, αν ϑεωρήσουμε τους ϕυσιολογικούς τελεστές σαν «απειϱοδιάστατο ανάλογο» των μιγαδικών αριθμών (επειδή z¯z = z z¯ για κάθε z ∈ C), οι αυτοσυζυγείς τελεστές αντιστοιχούν στους πραγματικούς αριθμούς, ενώ οι ορθομοναδιαίοι τελεστές αντιστοιχούν στους μιγαδικούς αριθμούς μέτρου 1 (γιατί |z | = 1 ⇔ z¯z = 1). Η σημασία των ϕυσιολογικών τελεστών έγκειται στο γεγονός ότι η δομή τους περιγράφεται κατά πολύ συγκεκριμένο τρόπο (από το ϕασματικό ϑεώϱημα, μια ειδική περίπτωση του οποίου ϑα δούμε στο κεφάλαιο 4). Σε χώρους πεπερασμένης διάστασης, πρόκειται ακριβώς για τους τελεστές που διαγωνοποιούνται ως προς μια ορθοκανονική ϐάση (δηλαδή είναι της μορφής Da ). Παραδείγματα 2.4.2 (πρβλ. Παράγραφο 2.1.1) (2.1.5) Αν dim H < +∞, ένας T ∈ B(H ) είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν ο πίνακας του (tik ) ως προς οποιαδήποτε ορθοκανονική ϐάση του H είναι αυτοσυζυγής, δηλαδή tik = t¯ki για κάθε i, k. Ο T είναι ορθομοναδιαίος αν και μόνον αν απεικονίζει κάποια (ισοδύναμα, κάθε) ορθοκανονική ϐάση του H σε ορθοκανονική ϐάση του H (΄Ασκηση 2.19). (2.1.8) Το σύνολο {Da : a ∈ ∞ } ⊆ B(2 )) αποτελείται από ϕυσιολογικούς τελεστές (Ασκηση 2.20). (2.1.9) Ο τελεστής U ∈ B(2 (Z)) της μετατόπισης δεξιά είναι ορθομοναδιαίος. (2.1.10) Ο τελεστής S ∈ B(2 (N)) της μετατόπισης δεξιά δεν είναι ϕυσιολογικός. (2.1.11) Το σύνολο {Mf : f ∈ C([0, 1])} ⊆ B(L 2 ([0, 1])) αποτελείται από ϕυσιολογικούς τελεστές. Ο τελεστής Mf είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν f (t ) ∈ R


2.4. ΕΙΔΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

73

για κάθε t ∈ [0, 1], και είναι ορθομοναδιαίος αν και μόνον αν |f (t )| = 1 για κάθε t ∈ [0, 1] (Ασκηση 2.21). (2.1.13) Ο τελεστής του Volterra V στον L 2 ([0, 1]) δεν είναι ϕυσιολογικός. Παρατηρήσεις 2.4.3 (i) Αν ο T ∈ B(H ) είναι ϕυσιολογικός, τότε και ο T ∗ είναι ϕυσιολογικός, γιατί (T ∗ )∗ (T ∗ ) = TT ∗ = T ∗ T = (T ∗ )(T ∗ )∗ . ΄Ομως, ούτε το άθροισμα, ούτε το γινόμενο δύο ϕυσιολογικών τελεστών είναι εν γένει ϕυσιολογικός : Παράδειγμα : Στον χώρο H = C2 , έστω

⎛ ⎞ ⎜⎜⎜ 1 1 ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎠ , T = ⎜⎜⎝ 1

1

⎛ ⎜⎜ i S = ⎜⎜⎜⎝

0

⎛ ⎞ ⎜⎜⎜ 1 0 ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎠ . R = ⎜⎜⎝

⎞ ⎟⎟⎠ ,

0 ⎟⎟⎟ 0

0

0

Οι τελεστές αυτοί είναι ϕυσιολογικοί : οι μεν T και R επειδή είναι αυτοσυζυγείς, ο δε S επειδή S = iR. Αν A = T + S, υπολογίζουμε εύκολα ότι

⎞ ⎛ ⎜⎜⎜ 0 −i ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎠  0, A A − AA = 2(TS − ST ) = 2 ⎜⎜⎝ ∗

i

0

δηλαδή ο T + S δεν είναι ϕυσιολογικός. Αν B = TS, τότε ϐρίσκουμε

⎛ ⎜⎜ 1 −1 B B − BB = ⎜⎜⎜⎝ −1 −1 ∗

⎞ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎠  0,

άρα ο TS δεν είναι ϕυσιολογικός. (ii) Είναι προφανές ότι το άθροισμα δύο αυτοσυζυγών τελεστών, καθώς και το γινόμενο αυτοσυζυγούς τελεστή επί πραγματικό αριθμό, είναι αυτοσυζυγείς τελεστές. Δηλαδή το σύνολο των αυτοσυζυγών τελεστών αποτελεί πραγματικό γραμμικό χώρο. Δεν αποτελεί όμως μιγαδικό γραμμικό χώρο : αν ο A είναι αυτοσυζυγής τελεστής, τότε (iA)∗ = −iA, άρα ο iA δεν είναι αυτοσυζυγής (εκτός ϐέβαια αν A = 0). Επίσης, αν οι A, B είναι αυτοσυζυγείς τελεστές, (AB)∗ − AB = BA − AB, συνεπώς το γινόμενο δύο αυτοσυζυγών τελεστών είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν οι παράγοντες μετατίθενται. Παραδείγματος χάριν, οι τελεστές


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

74

T, R που ορίσαμε στο (i) είναι αυτοσυζυγείς, αλλά το γινόμενο τους

⎞ ⎛ ⎜⎜⎜ 1 0 ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎠ ⎜ TR = ⎜⎝ 1

0

δεν είναι αυτοσυζυγής. (iii) Οι ορθομοναδιαίοι τελεστές δεν αποτελούν ϐέβαια γραμμικό χώρο (γιατί ο τελεστής 0 δεν είναι ορθομοναδιαίος !), αποτελούν όμως (πολλαπλασιαστική) ομάδα. Πραγματικά, αν οι U, V είναι ορθομοναδιαίοι, τότε ο UV είναι ορθομοναδιαίος, γιατί (UV )∗ (UV ) = V ∗ U ∗ UV = V ∗ IV = V ∗ V = I, και όμοια

(UV )(UV )∗ = I. Εξάλλου, η σχέση U ∗ U = UU ∗ = I δείχνει ότι ο τελεστής U έχει ϕραγμένο αντίστροφο, τον U ∗ , ο οποίος είναι επίσης ορθομοναδιαίος, γιατί (U ∗ )∗ (U ∗ ) = UU ∗ = I και (U ∗ )(U ∗ )∗ = U ∗ U = I. (iv) Τα σύνολα που περιγράφονται στον ορισμό 2.4.1 είναι .-κλειστά υποσύνολα του B(H ). Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η ενέλιξη και ο πολλαπλασιασμός (η σύνθεση) τελεστών είναι .-συνεχείς συναρτήσεις, επομένως, αν Tn − T  → 0, τότε Tn∗ − T ∗  → 0, Tn∗ Tn − T ∗ T  → 0 και Tn Tn∗ − TT ∗  → 0. Αν λοιπόν οι Tn είναι ϕυσιολογικοί, τότε T ∗ T = lim Tn∗ Tn = lim Tn Tn∗ = TT ∗ , άρα το .-όριό τους είναι ϕυσιολογικός. Αν είναι αυτοσυζυγείς, τότε T ∗ = lim Tn∗ = lim Tn = T, άρα το όριό τους είναι αυτοσυζυγής. Αν, τέλος, είναι ορθομοναδιαίοι, τότε T ∗ T = lim Tn∗ Tn = I, οπότε T ∗ T = I, άρα και TT ∗ = I (επειδή ο T είναι ϕυσιολογικός, όπως μόλις δείξαμε), δηλαδή το όριο τους είναι ορθομοναδιαίος.


2.4. ΕΙΔΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

75

Συνοψίζουμε τις παρατηρήσεις αυτές με την Πρόταση 2.4.4 Θέτουμε

Bn (H ) = {T ∈ B(H ) : T ϕυσιολογικός}, Bh (H ) = {T ∈ B(H ) : T αυτοσυζυγής}, U(H ) = {U ∈ B(H ) : U ορθομοναδιαίος}. Τα σύνολα Bh (H ) και U(H ) είναι γνήσια, .-κλειστά υποσύνολα του Bn (H ), που είναι και αυτό γνήσιο, .-κλειστό υποσύνολο του B(H ). Το Bn (H ) είναι κλειστό ως προς την ενέλιξη, ο Bh (H ) είναι πραγματικός χώρος Banach και η

U(H ) είναι πολλαπλασιαστική ομάδα. Η επόμενη Πρόταση χαρακτηρίζει τις κατηγορίες αυτές ως προς την δράση των στοιχείων τους πάνω στον χώρο Hilbert. Θυμίζουμε ότι ένας τελεστής T λέγεται (γραμμική) ισομετρία αν Tx  = x  για κάθε x ∈ H. Μια ισομετρία είναι ένα προς ένα (γιατί αν Tx = Ty τότε x − y = T (x − y) = Tx − Ty = 0), όχι όμως κατ’ ανάγκην επί (όπως ϕαίνεται από το παράδειγμα του τελεστή της μετατόπισης S δεξιά στον 2 (N)). Πρόταση 2.4.5 ΄Εστω T ∈ B(H ), όπου H μιγαδικός χώρος Hilbert. Τότε : (i) Ο T είναι ϕυσιολογικός αν και μόνον αν Tx  = T ∗ x  για κάθε x ∈ H. (ii) Ο T είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν Tx, x  ∈ R για κάθε x ∈ H. (iii) Ο T είναι ισομετρία αν και μόνον αν T ∗ T = I, ισοδύναμα αν και μόνον αν Tx, Ty = x, y για κάθε x, y ∈ H. (iv) Ο T είναι ορθομοναδιαίος αν και μόνον αν είναι ισομετρία επί του H. Απόδειξη (i) Για κάθε x ∈ H έχουμε

Tx 2 − T ∗ x 2 = Tx, Tx  − T ∗ x, T ∗ x  = T ∗ Tx, x  − TT ∗ x, x . Επομένως

Tx  = T ∗ x  για κάθε x ∈ H ⇐⇒ T ∗ Tx, x  = TT ∗ x, x  για κάθε x ∈ H. Αλλά, από την Πρόταση 2.3.3, η τελευταία ισότητα ισοδυναμεί με την T ∗ T = TT ∗ .


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

76 (ii) Για κάθε x ∈ H,

Tx, x  − T ∗ x, x  = Tx, x  − Tx, x  = 2i ImTx, x  = 0 ⇐⇒ Tx, x  ∈ R. Πάλι από την Πρόταση 2.3.3 συμπεραίνουμε λοιπόν ότι T = T ∗ ⇐⇒ Tx, x  ∈ R για κάθε x ∈ H. (iii) Επειδή Tx, Ty = T ∗ Tx, y, η σχέση Tx, Ty = x, y για κάθε x, y ∈ H ισοδυναμεί με την T ∗ T = I, η οποία, από την Πρόταση 2.3.3, ισοδυναμεί με την T ∗ Tx, x  = x, x  για κάθε x ∈ H. ΄Ομως, για κάθε x ∈ H,

Tx 2 − x 2 = T ∗ Tx, x  − x, x , επομένως

Tx 2 = x 2 για κάθε x ∈ H ⇐⇒ T ∗ T = I, δηλαδή ο T είναι ισομετρία αν και μόνον αν T ∗ T = I. (iv) Αν T ∈ U(H ), δείξαμε μόλις ότι, επειδή T ∗ T = I, ο T είναι ισομετρία, και η σχέση TT ∗ = I δείχνει ότι ο T είναι επί (γιατί, αν y ∈ H, τότε T (T ∗ y) = y). Αντίστροφα, αν ο T είναι ισομετρία επί, τότε, επειδή είναι ισομετρία, ικανοποιεί T ∗ T = I. Επειδή είναι επί, κάθε x ∈ H γράφεται x = Ty για κάποιο y ∈ H, άρα T ∗ x = T ∗ Ty = y, άρα TT ∗ x = Ty = x, επομένως TT ∗ = I. Παρατήρηση Αξίζει ίσως να τονισθεί ότι το (iii) της Πρότασης λέει ότι κάθε γραμμική απεικόνιση σ’ έναν χώρο Hilbert που διατηρεί την νόρμα (το «μήκος»), κατ’ ανάγκη διατηρεί και το εσωτερικό γινόμενο (τη «γωνία»), διατηρεί δηλαδή όλη την γεωμετρική δομή του χώρου. Παρατήρηση 2.4.6 ΄Οπως κάθε μιγαδικός αριθμός z γράφεται μοναδικά στην μορφή z = Re z + i Im z, όπου οι Re z, Im z είναι πραγματικοί αριθμοί, έτσι και κάθε T ∈ B(H ) γράφεται μοναδικά στην μορφή T = T1 + iT2 ,

όπου Ti = Ti∗ (i = 1, 2).


2.4. ΕΙΔΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

77

Πραγματικά, αν ϑέσουμε T1 =

T + T∗ 2

, T2 =

T − T∗ 2i

ελέγχεται άμεσα ότι οι T1 , T2 είναι αυτοσυζυγείς και ότι T = T1 + iT2 . Η μοναδικότητα έπεται από το γεγονός ότι Bh (H ) ∩ (i Bh (H )) = {0}, δηλαδή ότι το άθροισμα Bh (H )+ i Bh (H ) είναι ευθύ :5 Αν ο T γράφεται επίσης T = S1 + iS2 όπου οι Si είναι αυτοσυζυγείς, τότε S1 − T1 = i (T2 − S2 ), επομένως (επειδή το άθροισμα αυτοσυζυγών τελεστών είναι αυτοσυζυγής) S1 − T1 ∈ Bh (H ) ∩ (i Bh (H )) άρα S1 − T1 = 0 και συνεπώς T2 − S2 = 0. Η ιδιότητα αυτή δείχνει ότι ο μιγαδικός γραμμικός χώρος που παράγουν οι αυτοσυζυγείς τελεστές είναι όλος ο B(H ), ισοδύναμα ότι

Bh (H ) + i Bh (H ) = B(H ). Αν οι αυτοσυζυγείς τελεστές διαισθητικά αντιστοιχούν στους πραγματικούς αριθμούς, και χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα Tx, x  ∈ R για κάθε x ∈ H, στους ϑετικούς αριθμούς αντιστοιχούν οι τελεστές T με την ιδιότητα Tx, x  ≥ 0 για κάθε x ∈ H: Ορισμός 2.4.2 (i) ΄Ενας τελεστής T ∈ B(H ) (όπου H χώρος Hilbert) λέγεται ϑετικός (positive) αν Tx, x  ≥ 0 για κάθε x ∈ H. Το σύνολο των ϑετικών τελεστών συμβολίζουμε B+ (H ). (ii) Αν T, S ∈ Bh (H ), ορίζουμε T ≥ S αν Tx, x  ≥ Sx, x  για κάθε x ∈ H, αν δηλαδή T − S ∈ B+ (H ). Παραδείγματα 2.4.7 (Πρβλ. Παράγραφο 2.1.1) (2.1.5) Αν H = Cn , ένας τελεστής T είναι ϑετικός αν και μόνον αν είναι αυτοσυζυγής και οι ιδιοτιμές του είναι μη αρνητικοί αριθμοί (΄Ασκηση 2.19). Η δεύτερη ιδιότητα από μόνη της δεν αρκεί : για παράδειγμα ο τελεστής T στον C2 με πίνακα 5

13 01

!

δεν είναι ϑετικός.

Πράγματι, αν A ∈ Bh (H ) και A = iB όπου B ∈ Bh (H ) τότε A = A∗ = −iB∗ = −iB = −A άρα

A = 0.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

78

(2.1.8) Αν H = 2 και a ∈ ∞ , ο τελεστής Da είναι ϑετικός αν και μόνον αν an ≥ 0 για κάθε n ∈ N (΄Ασκηση 2.20). (2.1.11) Αν H = L 2 ([0, 1]) και f ∈ C([0, 1]), ο τελεστής Mf είναι ϑετικός αν και μόνον αν f (t ) ≥ 0 για κάθε t ∈ [0, 1] (΄Ασκηση 2.21). Παρατηρήσεις 2.4.8 (i) Από την Πρόταση 2.4.5.ii ϐλέπουμε ότι ένας ϑετικός τελεστής είναι πάντα αυτοσυζυγής : B+ (H ) ⊆ Bh (H ). (ii) Η σχέση ≥ που ορίσαμε είναι σχέση μερικής διάταξης στον πραγματικό γραμμικό χώρο6 Bh (H ): Πραγματικά, αν T, S, R ∈ Bh (H ), έχουμε (α) Tx, x  ≥ Tx, x  για κάθε x ∈ H, άρα T ≥ T . (ϐ) Αν T ≥ S και S ≥ R τότε Tx, x  ≥ Sx, x  και Sx, x  ≥ Rx, x  για κάθε x ∈ H, οπότε Tx, x  ≥ Rx, x  για κάθε x ∈ H δηλαδή T ≥ R. (γ) Αν T ≥ S και S ≥ T τότε Tx, x  ≥ Sx, x  και Sx, x  ≥ Tx, x  για κάθε x ∈ H, άρα Tx, x  = Sx, x  για κάθε x ∈ H οπότε T = S από την Πρόταση 2.3.3. Η σχέση ≥ δεν είναι ολική διάταξη, δεν είναι δηλαδή αλήθεια ότι κάθε δύο αυτοσυζυγείς τελεστές A, B συγκρίνονται (δηλ. ότι ή A ≥ B ή B ≥ A). Παραδείγματος χάριν, οι τελεστές

⎛ ⎞ ⎜⎜⎜1 0⎟⎟⎟ ⎟⎟⎠ , A = ⎜⎜⎝ 0

0

⎛ ⎞ ⎜⎜⎜0 0⎟⎟⎟ ⎟⎟⎠ B = ⎜⎜⎝ 0

1

του C2 δεν συγκρίνονται, γιατί ούτε ο A − B ούτε ο B − A είναι ϑετικοί : πράγματι

(A − B)e2 , e2  = −1, (B − A)e1 , e1  = −1. (iii) Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι το σύνολο B+ (H ) έχει τις εξής ιδιότητες : (α) A, B ∈ B+ (H ) ⇒ A + B ∈ B+ (H ). (ϐ) A ∈ B+ (H ), λ ≥ 0 ⇒ λA ∈ B+ (H ). (γ) B+ (H ) ∩ (−B+ (H )) = {0} (πράγματι, αν T ≥ 0 και −T ≥ 0, τότε T = 0, λόγω της ιδιότητας (γ) από το (ii)). 6

σημειώνουμε ότι η σχέση T ≥ S ορίζεται μόνον όταν ο T και ο S είναι αυτοσυζυγείς, όπως

ακριβώς, στους μιγαδικούς αριθμούς, η σχέση a ≥ b δεν έχει έννοια όταν οι a, b δεν είναι πραγματικοί, έστω και αν ισχύει a − b ∈ R.


2.4. ΕΙΔΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

79

Εξαιτίας των ιδιοτήτων (α) και (ϐ), η διάταξη ≥ στον Bh (H ) είναι συμβιβαστή με την γραμμική του δομή, δηλαδή A ≥ B, S ≥ T και λ ≥ μ (λ, μ ∈ R) ⇒ A + S ≥ B + T και λA ≥ μB. Δεν είναι όμως αλήθεια ότι αν A ≥ 0 και B ≥ 0 τότε AB ≥ 0, γιατί εν γένει ο AB δεν είναι καν αυτοσυζυγής. Επίσης, αν Tn είναι μια ακολουθία ϑετικών τελεστών και Tn − T  → 0, τότε ισχύει Tn x, x  → Tx, x  για κάθε x ∈ H, άρα ο T είναι ϑετικός. Επομένως (δ) Το σύνολο B+ (H ) είναι .-κλειστό υποσύνολο του Bh (H ). Από την ιδιότητα αυτή προκύπτει ότι η διάταξη του Bh (H ) είναι επίσης συμϐιβαστή με την τοπολογική του δομή, με την έννοια ότι αν Tn − T  → 0,

Sn − S → 0 και Tn ≥ Sn , τότε T ≥ S. (iv) ΄Εστω A ∈ Bh (H ). Τότε, για κάθε x ∈ H, έχουμε :

|Ax, x | ≤ Ax .x  ≤ A.x 2 = Ax, x  = (AI )x, x  επομένως, επειδή ο αριθμός Ax, x  είναι πραγματικός,

(−AI )x, x  ≤ Ax, x  ≤ (AI )x, x  για κάθε x ∈ H δηλαδή

−AI ≤ A ≤ AI. Συμπεραίνουμε ότι ο τελεστής A + AI είναι ϑετικός και το ίδιο ϐέβαια ισχύει για τον AI. Επειδή A = (A + AI ) − AI δείξαμε ότι κάθε αυτοσυζυγής τελεστής γράφεται ως διαφορά δύο ϑετικών τελεστών, όπως ακριβώς συμβαίνει και με τους πραγματικούς αριθμούς, ή ακόμα με τις πραγματικές συναρτήσεις. Σημειώνουμε μόνον ότι η διάσπαση που πετύχαμε δεν είναι μοναδική : παραδείγματος χάριν, για κάθε λ ≥ A ο A γράφεται ως διαφορά των ϑετικών τελεστών A + λI και λI. Συνοψίζοντας, αποδείξαμε την


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

80

Πρόταση 2.4.9 Ο πραγματικός χώρος Banach Bh (H ) (όπου H χώρος Hilbert) εφοδιάζεται με την μερική διάταξη ≥ που είναι συμβιβαστή με την γραμμική του δομή (δηλαδή αν A ≥ B, S ≥ T και λ ≥ μ τότε A + S ≥ B + T και λA ≥ μB) και με την τοπολογική του δομή (δηλαδή αν Tn − T  → 0, Sn − S → 0 και Tn ≥ Sn τότε T ≥ S). Κάθε A ∈ Bh (H ) γράφεται ως διαφορά δύο ϑετικών τελεστών, και ικανοποιεί την ανισότητα −AI ≤ A ≤ AI.

2.4.1

Τετραγωνική ϱίζα και πολική αναπαράσταση

Αν A ∈ B(H ), ο τελεστής A∗ A είναι πάντα ϑετικός : Πράγματι, για κάθε x ∈ H,

A∗ Ax, x  = Ax, Ax  = Ax 2 ≥ 0. Θα δείξουμε ότι, αντίστροφα, κάθε ϑετικός τελεστής είναι της μορφής A∗ A, για κάποιον A ∈ B(H ). Θα χρειασθούν μερικά λήμματα που έχουν ανεξάρτητο ενδιαφέρον. Λήμμα 2.4.10 (Γενικευμένη ανισότητα Cauchy - Schwarz) ΄Εστω B ∈ B(H ) ϑετικός τελεστής. Τότε για κάθε x, y ∈ H,

|Bx, y|2 ≤ Bx, x By, y και

Bx 2 ≤ B Bx, x .

Απόδειξη Η πρώτη ανισότητα αληθεύει τετριμένα όταν Bx, y = 0. Αν Bx, y

 0, γράφουμε Bx, y = c|Bx, y| όπου c ∈ C και |c| = 1, οπότε |Bx, y| = c¯Bx, y = Bx, cy ∈ R, άρα (αφού B = B∗ ) Bcy, x  = cy, Bx  = Bx, cy = |Bx, y|. Για κάθε λ ∈ R έχουμε B(x + λcy), (x + λcy) = Bx, x + λ(Bx, cy+ Bcy, x )+ λ2 Bcy, cy = Bx, x  + 2λ|Bx, y| + λ2 By, y επειδή Bcy, cy = c c¯By, y = By, y. Εφόσον B ≥ 0, το τριώνυμο αυτό (ως προς λ) παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές, άρα η διακρίνουσά του δεν μπορεί να είναι ϑετική, δηλαδή | Bx, y |2 − Bx, x  By, y ≤ 0.


2.4. ΕΙΔΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

81

Η πρώτη ανισότητα αποδείχθηκε. Για να δείξουμε τη δεύτερη, ϑέτουμε y = Bx και εφαρμόζουμε την πρώτη :

Bx 4 = Bx, Bx 2 ≤ Bx, x  B(Bx ), Bx  ≤ Bx, x 

B2 x

Bx  ≤ Bx, x  B Bx  Bx  άρα Bx 2 ≤ B Bx, x  .



Λήμμα 2.4.11 ΄Εστω {Bn } αύξουσα και ϕραγμένη ακολουθία αυτοσυζυγών τελεστών. Υπάρχει μοναδικός αυτοσυζυγής τελεστής Y ώστε Yx = limn Bn x για κάθε x ∈ H. Επιπλέον Bn ≤ Y για κάθε n ∈ N και αν C είναι αυτοσυζυγής τελεστής ώστε Bn ≤ C για κάθε n ∈ N τότε Y ≤ C. Παρατήρηση Προφανώς το αντίστοιχο αποτέλεσμα ισχύει για ϕθίνουσες ϕραγμένες ακολουθίες τελεστών. Απόδειξη ΄Εστω M = supn Bn . Αφού η {Bn } είναι αύξουσα, αν n ≥ m, ο τελεστής Bn − Bm είναι ϑετικός. Για κάθε x ∈ H, ϑέτοντας B = Bn − Bm στο Λήμμα 2.4.10 έχουμε

Bn x − Bm x 2 ≤ Bn − Bm  (Bn − Bm )x, x  ≤ 2M (Bn − Bm )x, x  . Αλλά η ακολουθία {Bn x, x } είναι αύξουσα και ϕραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών, άρα είναι ϐασική. Από την τελευταία ανισότητα προκύπτει τώρα ότι η ακολουθία (Bn x ) είναι ϐασική στον H, άρα συγκλίνει σε κάποιο y(x ) ∈ H. Ελέγχεται άμεσα ότι η απεικόνιση x → y(x ) είναι γραμμική, οπότε γράφουμε y(x ) = Yx. Επειδή y(x ) = limn Bn x  ≤ M x , η Y είναι ϕραγμένη με Y  ≤ M. ΄Εχουμε

Yx, x  = supBn x, x  n

για κάθε x ∈ H. Αυτό δείχνει, πρώτον ότι Y ≥ Bn για κάθε n ∈ N, και δεύτερον ότι αν C ≥ Bn για κάθε n ∈ N τότε Cx, x  ≥ Bn x, x  για κάθε n άρα

Cx, x  ≥ Yx, x  για κάθε x δηλαδή C ≥ Y . Επίσης έχουμε Y  ≥ Bn  για κάθε n, άρα Y  = supn Bn . 


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

82

Πρόταση 2.4.12 (΄Υπαρξη τετραγωνικής ϱίζας)

Για κάθε ϑετικό τελεστή

A ∈ B(H ) υπάρχει μοναδικός ϑετικός τελεστής X ∈ B(H ) ώστε X 2 = A. Ο τελεστής αυτός λέγεται τετραγωνική ϱίζα του A και συμβολίζεται A1/2 . Ο A1/2 μετατίθεται με κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον A. Απόδειξη (i) ΄Υπαρξη Διαιρώντας εν ανάγκη με A μπορούμε να υποθέσουμε ότι A ≤ 1, οπότε 0 ≤ A ≤ I. Θέλουμε να λύσουμε την «εξίσωση τελεστών» X 2 = A. Για τεχνικούς λόγους, ϑέτουμε B = I − A και Y = I − X οπότε έχουμε να λύσουμε την εξίσωση (I − Y )2 = I − B ή ισοδύναμα Y =

1 2

(B + Y 2 )

ως προς Y . Θα μιμηθούμε μια μέθοδο για τον αναδρομικό υπολογισμό της τετραγωνικής ϱίζας7 ενός αριθμού a ∈ [0, 1]. Ορίζουμε μια ακολουθία τελεστών Bn ως εξής : B0 = 0

και για κάθε n ∈ N,

Bn +1 =

1 2

(B + Bn2 )

και ϑα δείξουμε ότι η ακολουθία {Bn } συγκλίνει κατά σημείο σε έναν τελεστή Y που ικανοποιεί Y =

1 (B 2

+ Y 2 ). ΄Εχουμε

B1 =

1 2

B2 =

B,

1 2

1

(B + B2 ) 4

και (επαγωγικά) κάθε Bn είναι πολυώνυμο του ϑετικού τελεστή B, με ϑετικούς συντελεστές. ΄Ομως οι δυνάμεις ενός ϑετικού τελεστή είναι ϑετικοί τε-

"

λεστές : πράγματι, για κάθε x ∈ H έχουμε B2n x, x

"

#

#

= Bn x, Bn x  ≥ 0 και

B2n +1 x, x = B(Bn x ), (Bn x ) ≥ 0, αφού B ≥ 0. Επομένως και τα πολυώνυμα

του B με ϑετικούς συντελεστές είναι ϑετικοί τελεστές, άρα Bn ≥ 0 για κάθε n. Ισχυρίζομαι ότι η ακολουθία {Bn } είναι αύξουσα και ϕραγμένη. Θα δείξω πρώτα επαγωγικά ότι Bn  ≤ 1 για κάθε n: Αυτό είναι προφανές για τον B0 . Αν n ∈ N και Bn  ≤ 1, τότε

Bn +1  ≤

(B + Bn2 ) ≤ 1.

(1 − a + bn2 ) τότε η (bn ) είναι αύξουσα και ϕραγμένη και το όριό της, έστω y, ικανοποιεί y = (1 − a + y2 ) δηλαδή (1 − y)2 = a. 7

Αν b0 = 0 και bn +1 =

1 2

1 2

1 2


2.4. ΕΙΔΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

83

Επίσης, αφού κάθε Bn είναι πολυώνυμο ως προς B, έχουμε Bn Bm = Bm Bn 2 2 και άρα (Bn − Bm )(Bn + Bm ) = Bn2 − Bn Bm + Bm Bn − Bm = Bn2 − Bm . Επομένως

Bn +1 − Bn =

=

1 2 1 2

(B + Bn2 ) −

1 2

(B + Bn2−1 )

(Bn2 − Bn2−1 ) =

1 2

(Bn + Bn −1 )(Bn − Bn −1 ).

(2.3)

Θα δείξω τώρα επαγωγικά ότι Bn +1 ≥ Bn . Αρκεί γι’ αυτό να δείξω ότι κάθε Bn +1 − Bn είναι πολυώνυμο του ϑετικού τελεστή B με ϑετικούς συντελεστές (γιατί τότε ϑα έχω Bn +1 − Bn ≥ 0). Πράγματι, αυτό αληθεύει για n = 0 : B1 − B0 = 12 B. ΄Εστω n ∈ N. Αν υποθέσουμε ότι ο Bn − Bn −1 είναι πολυώνυμο του B με ϑετικούς συντελεστές, τότε, αφού ο Bn και ο Bn −1 έχουν αυτή την ιδιότητα (όπως δείξαμε προηγουμένως) την ίδια ιδιότητα ϑα έχει ο Bn + Bn −1 , άρα, από την ισότητα (2.3), και ο Bn +1 − Bn . Τώρα το προηγούμενο Λήμμα δείχνει ότι υπάρχει τελεστής Y ώστε Yx =

limn Bn x για κάθε x ∈ H. Εφόσον Y ≥ Bn ≥ 0, ο Y είναι ϑετικός. Θα δείξω ότι Y = 21 (B + Y 2 ). Πράγματι, για κάθε x ∈ H έχουμε Y 2 x = limn Bn2 x γιατί (Y 2 − Bn2 )x  = (Y − Bn )Yx + Bn (Y − Bn )x  ≤ (Y − Bn )Yx  + Bn (Y − Bn )x  ≤ (Y − Bn )Yx  + (Y − Bn )x  επειδή Bn  ≤ 1 για κάθε n. Αλλά limn Bn (Yx ) = Y (Yx ) άρα

(Y 2 − Bn2 )x

→ 0. Επομένως Yx = lim Bn +1 x = lim n

για κάθε x ∈ H, άρα Y =

n

1 (B 2

1 2

(Y + Bn2 )x =

1 2

(B + Y 2 )x

+ Y 2 ).

Βρήκαμε λοιπόν έναν τελεστή X = I − Y ∈ B(H ) ώστε X 2 = A. Ο X είναι ϑετικός γιατί 0 ≤ Yx, x  = limn Bn x, x  ≤ x, x  για κάθε x ∈ H αφού

Bn  ≤ 1 για κάθε n, άρα 0 ≤ Y ≤ I. Τέλος, ο X μετατίθεται με κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον A. Πράγματι, αν ένας T ∈ B(H ) μετατίθεται με τον A τότε ϑα μετατίθεται και με κάθε πολυώνυμο του A, άρα και με τα Bn , οπότε για κάθε x ∈ H έχουμε


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

84

Y (Tx ) = lim Bn (Tx ) = lim TBn x = T (lim Bn x ) = T (Yx ) n

n

n

δηλαδή YT = TY άρα XT = TX και η απόδειξη είναι πλήρης. (ii) Μοναδικότητα ΄Εστω C ϑετικός τελεστής ώστε C2 = A. Αν X είναι ο ϑετικός τελεστής που κατασκευάσαμε Στο (i), ϑα δείξω ότι C = X . Κατ’ αρχήν παρατηρούμε ότι οι C και X μετατίθενται. Πράγματι, εφόσον CA = CC2 = C2 C = AC, ο C μετατίθεται με τον A άρα, όπως μόλις αποδείξαμε, μετατίθεται και με τον X . Από το (i), υπάρχουν ϑετικοί τελεστές D και Z με D 2 = C και Z 2 = X . Σταθεροποιούμε ένα x ∈ H και ϑέτουμε y = (C − X )x. Τότε

Dy2 + Zy2 = D 2 y, y + Z 2 y, y = (X + C)y, y = (X + C)(X − C)x, y = (X 2 − C2 )x, y = 0. Επομένως Dy = 0 και άρα Xy = D 2 y = 0. ΄Ομοια δείχνουμε ότι Cy = 0. Τότε όμως (C − X )y = 0 και συνεπώς

(C − X )x 2 = (C − X )x, (C − X )x  = (C − X )2 x, x  = (C − X )y, x  = 0. Αφού το x είναι αυθαίρετο, δείξαμε ότι X = C.



Πόρισμα 2.4.13 Αν A, B ∈ B(H ) είναι ϑετικοί τελεστές, τότε ο AB είναι ϑετικός αν και μόνον αν AB = BA. Απόδειξη Αν ο AB είναι ϑετικός τότε είναι αυτοσυζυγής οπότε AB = (AB)∗ = B∗ A∗ = BA. Αντίστροφα, έστω ότι AB = BA. Τότε A1/2 B = BA1/2 και συνεπώς AB = A1/2 A1/2 B = A1/2 BA1/2 . Επομένως για κάθε x ∈ H έχουμε

" # # " ABx, x  = A1/2 BA1/2 x, x = B(A1/2 x ), (A1/2 x ) ≥ 0 αφού B ≥ 0.




2.4. ΕΙΔΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

85

Ορισμός 2.4.3 ΄Εστω T ∈ B(H). Η μοναδική ϑετική τετραγωνική ϱίζα του ϑετικού τελεστή T ∗ T συμβολίζεται |T |. Σημειώνουμε ότι η απεικόνιση T → |T | δεν έχει όλες τις ιδιότητες της απόλυτης τιμής (΄Ασκηση 2.26). Κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός z έχει μοναδική πολική αναπαράσταση z = u |z |, όπου |z | > 0 και |u | = 1. Θα δείξουμε ότι ένας αυθαίρετος τελεστής σε έναν χώρο Hilbert δέχεται μία «πολική αναπαράσταση». Ορισμός 2.4.4 ΄Ενας τελεστής V ∈ B(H ) λέγεται μερική ισομετρία (partial isometry) αν ο περιορισμός της V στον υπόχωρο M = (ker V )⊥ είναι ισομετρία. Ο υπόχωρος M λέγεται αρχικός χώρος και ο υπόχωρος V (M ) (ο οποίος είναι κλειστός - γιατί ;) λέγεται τελικός χώρος της V . Πρόταση 2.4.14 (πολική αναπαράσταση : polar decomposition) ΄Εστω T ∈ B(H ) αυθαίρετος τελεστής. Υπάρχει μια μερική ισομετρία V με αρχικό χώρο |T |(H ) και τελικό χώρο T (H ) ώστε T = V |T |. Απόδειξη Αν x ∈ H τότε

Tx 2 = Tx, Tx  = T ∗ Tx, x  = |T |2 x, x  = |T |x, |T |x  = |T |x 2 . Αυτό δείχνει ότι η απεικόνιση Vo : |T |(H ) → T (H ) : |T |x → Tx είναι καλά ορισμένη, γιατί αν |T |x = |T |y τότε |T |(x − y) = 0, άρα T (x − y) = 0 δηλαδή Tx = Ty. Εύκολα ϕαίνεται ότι η Vo είναι γραμμική, και η προηγούμενη ισότητα δείχνει ότι είναι ισομετρική. Επομένως επεκτείνεται σε ισομετρία V1 από την κλειστή ϑήκη του |T |(H ) στην κλειστή ϑήκη του T (H ). Επεκτείνουμε την V1 σε τελεστή V : H → H ϑέτοντας Vx = 0 όταν το x είναι κάθετο στον |T |(H ). Η V είναι μερική ισομετρία με αρχικό χώρο |T |(H ) και τελικό χώρο T (H ). Για κάθε x ∈ H ισχύει V |T |x = Vo |T |x = Tx και επομένως V |T | = T .




ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

86

Παρατήρηση 2.4.15 Η πολική αναπαράσταση T = V |T | είναι μοναδική με την ακόλουθη έννοια : Αν T = UX όπου X ≥ 0 και U μερική ισομετρία με αρχικό χώρο X (H) τότε U = V και X = |T |. Επίσης οι V και |T | μετατίθενται με κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον T . Οι αποδείξεις αφήνονται στον αναγνώστη (΄Ασκηση 2.29).

2.5 Προβολές Ταυτοδύναμοι τελεστές ΄Εστω E γραμμικός χώρος. Δύο υπόχωροι M, N του E λέγονται συμπληρωματικοί (complementary) αν M ∩ N = {0} και M + N = E. Τότε κάθε x ∈ E γράφεται κατά μοναδικό τρόπο x = y + z, με y ∈ M και z ∈ N. Επομένως η απεικόνιση P : E → E : x → y είναι καλά ορισμένη, και ελέγχεται άμεσα ότι είναι γραμμική. Επίσης P 2 = P ◦ P = P,

im P = M και ker P = N. Η P είναι η προβολή8 του E επί του M παράλληλα προς τον N. Αντίστροφα, έστω P : E → E μια γραμμική απεικόνιση που ικανοποιεί P = P (ένας ταυτοδύναμος τελεστής). Αν ϑέσουμε M = im P και N = ker P, 2

οι M, N είναι υπόχωροι του E που ικανοποιούν M ∩ N = {0} και M + N = E, και η P είναι η προβολή του E επί του M παράλληλα προς τον N. Η απόδειξη αυτών των ισχυρισμών αφήνεται ως ΄Ασκηση (΄Ασκηση 2.30). Ορισμός 2.5.1 ΄Εστω E χώρος με νόρμα. ΄Ενας γραμμικός τελεστής P : E → E λέγεται ταυτοδύναμος ( idempotent) αν P 2 = P. Λήμμα 2.5.1 ΄Εστω E χώρος με νόρμα και P ∈ B(E ). (i) Ο P είναι ταυτοδύναμος αν και μόνον αν ο I − P είναι ταυτοδύναμος. (ii) Αν ο P είναι ταυτοδύναμος, τότε οι im P, ker P είναι κλειστοί και συμπληϱωματικοί υπόχωροι του E (δηλαδή im P + ker P = E, im P ∩ ker P = {0}), και ισχύει ker P = im(I − P ) και im P = ker(I − P ) = {x ∈ E : x = Px }. 8

Σημειώνουμε ότι η προβολή είναι εξ ορισμού απεικόνιση από τον E στον E.


2.5. ΠΡΟΒΟΛΕΣ

87

Απόδειξη (i) Επειδή (I − P )2 = I − 2P + P 2 , έχουμε

(I − P )2 = I − P ⇐⇒ P 2 = P. (ii) ΄Οτι οι im P, ker P είναι συμπληρωματικοί υπόχωροι του E έχει ήδη αποδειχθεί. Δείχνουμε ότι im P = ker(I − P ): Πράγματι, αν x ∈ im P υπάρχει y ∈ E με x = Py, άρα Px = P 2 y = Py = x άρα (I − P )x = x − Px = 0, δηλαδή x ∈ ker(I − P ). Αντίστροφα, αν z ∈ ker(I − P ) τότε 0 = (I − P )z = z − Pz, άρα z = Pz ∈ im P. Η σχέση ker P = im(I − P ) προκύπτει τώρα ϑεωρώντας τον ταυτοδύναμο τελεστή I − P. Επειδή ο P είναι συνεχής, ο ker P είναι κλειστός υπόχωρος. Επειδή ο I − P είναι συνεχής, ο im P = ker(I − P ) είναι και αυτός κλειστός υπόχωρος.



Παρατηρήσεις 2.5.2 (i) Με την ϐοήθεια του Θεωρήματος κλειστού γραφήματος, αποδεικνύεται ότι, αντίστροφα, αν μια ταυτοδύναμη γραμμική απεικόνιση P ορισμένη σε έναν χώρο Banach έχει κλειστό πυρήνα και κλειστό πεδίο τιμών, τότε είναι συνεχής (΄Ασκηση 2.31). (ii) Αν ο E είναι χώρος Banach και ο M είναι κλειστός υπόχωρος του E, δεν είναι πάντα δυνατό να ϐρεθεί κλειστός υπόχωρος N του E ώστε M ∩ N = {0} και M + N = E (ϐλ. παράγραφο 1.5). Για τον λόγο αυτό, περιοριζόμαστε στην παράγραφο αυτή σε χώρους Hilbert.

Προβολές Αν M είναι κλειστός υπόχωρος ενός χώρου Hilbert H, έχουμε δείξει (Πρόταση 1.5.1) ότι για κάθε x ∈ H υπάρχει μοναδικό στοιχείο y ≡ P (M )x του M πλησιέστερο προς το x. ΄Επεται από το ϑεμελιώδες ϑεώρημα 1.5.6 ότι η (καλά ορισμένη) απεικόνιση P (M ) : H → H είναι γραμμική, και είναι η προβολή επί του M παράλληλα προς τον M ⊥ . Γι’ αυτό λέγεται η (ορθή) προβολή επί του(orthogonal) projection on M. Παρατηρούμε ότι η P (M ) είναι συνεχής, μάλιστα P (M ) = 1, αν M  {0} (Πόρισμα 1.5.7). Το επόμενο ϑεώρημα χαρακτηρίζει τις προβολές σε έναν χώρο Hilbert σε σχέση με τις διάφορες κατηγορίες τελεστών που έχουμε ορίσει. Ο χαρακτηρισμός που χρησιμοποιείται πιο συχνά προκύπτει από την (ϐ) ⇐⇒ (ε):


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

88

΄Ενας τελεστής είναι ορθή προβολή αν και μόνον αν είναι ταυτοδύναμος και αυτοσυζυγής. Θεώρημα 2.5.3 ΄Εστω H χώρος Hilbert και P ∈ B(H ) ταυτοδύναμος μη μηδενικός τελεστής. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα : (α) (ker P ) ⊥ (im P ). (ϐ) Ο P είναι η ορθή προβολή επί του im P. (γ) P  = 1. (δ) Ο P είναι ϑετικός. (ε) Ο P είναι αυτοσυζυγής. (Ϲ) Ο P είναι ϕυσιολογικός. Απόδειξη Θα ακολουθήσουμε την πορεία (α) ⇒ (ϐ) ⇒ (γ) ⇒ (α) και (α) ⇒ (δ) ⇒ (ε) ⇒ (Ϲ) ⇒ (α). Θέτουμε M = im P, N = ker P. Ξέρουμε ήδη (Λήμμα 2.5.1) ότι οι M, N είναι συμπληρωματικοί κλειστοί υπόχωροι του H. (α) ⇒ (ϐ) ΄Οπως είδαμε στην εισαγωγή αυτής της Παραγράφου, κάθε ταυτοδύναμος τελεστής P προβάλλει επί του im P = M παράλληλα προς το ker P = N. Πρέπει να δείξουμε ότι N = M ⊥ . Πράγματι, οι υπόχωροι N και M ⊥ είναι και οι δύο συμπληρώματα του M. Επειδή N ⊆ M ⊥ (από την υπόθεση), έπεται από την ΄Ασκηση 2.32 ότι πρέπει να συμπίπτουν. (ϐ) ⇒ (γ) ΄Εχει ήδη δειχθεί στο Πόρισμα 1.5.7. (γ) ⇒(α) ΄Εστω x ∈ N ⊥ . Επειδή ker P = im(I − P ), έχουμε (I − P )x ∈ ker P = N. ΄Αρα x ⊥(I − P )x, επομένως, από το Πυθαγόρειο ϑεώρημα,

x 2 + (I − P )x 2 = x − (I − P )x 2 = Px 2 ≤ x 2 αφού P  = 1. Δείξαμε ότι (I − P )x = 0, άρα x = Px ∈ M. Επομένως N ⊥ ⊆ M, άρα (΄Ασκηση 2.32) οι M και N είναι κάθετοι. (α) ⇒ (δ) Αν z ∈ H, έχουμε (I − P )z ∈ N και Pz ∈ M, άρα

Pz, (I − P )z  = 0, δηλαδή Pz, z  = Pz, Pz , επομένως Pz, z  ≥ 0. Αφού το z είναι τυχαίο, δείξαμε ότι P ≥ 0.


2.5. ΠΡΟΒΟΛΕΣ

89

Οι συνεπαγωγές (δ) ⇒ (ε) ⇒ (Ϲ) είναι προφανείς. Μένει να δειχθεί η (Ϲ) ⇒ (α) Αν ο P είναι ϕυσιολογικός, τότε για κάθε x ∈ H ισχύει Px  =

P ∗ x 

(Πρόταση 2.4.5). Αρα ker P = ker(P ∗ ). Αν λοιπόν x ∈ ker P και y = Pz ∈

im P, τότε x, y = x, Pz  = P ∗ x, z  = 0. Επομένως (ker P )⊥(im P ). Η απόδειξη είναι τώρα πλήρης.



Παρατήρηση 2.5.4 Η απεικόνιση M → P (M ) είναι λοιπόν μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ του συνόλου των κλειστών υποχώρων ενός χώρου Hilbert και του συνόλου

P(H ) = {P ∈ B(H ) : P 2 = P ∗ = P } των (ορθών) προβολών, με αντίστροφη την P → im P. Είναι ϕανερό ότι P ({0}) = 0, P (H ) = I και P (M ⊥ ) = I − P (M ). Θα μελετήσουμε πιο αναλυτικά τις ιδιότητες αυτής της αντιστοιχίας, μεταφέϱοντας έτσι γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ κλειστών υποχώρων σε αλγεβρικές σχέσεις μεταξύ προβολών. Παρατήρηση 2.5.5 Αν P ∈ P(H ) τότε για κάθε x ∈ H ισχύει

Px, x  = Px 2 ≥ 0. Απόδειξη Από τις σχέσεις P = P 2 = P ∗ έχουμε

Px, x  = P 2 x, x  = Px, P ∗ x  = Px, Px  = Px 2 .



Πρόταση 2.5.6 Αν M, N είναι κλειστοί υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H και P = P (M ), Q = P (N ) είναι οι αντίστοιχες προβολές, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα : (α) P ≤ Q

(ϐ) Px  ≤ Qx  για κάθε x ∈ H

(γ) M ⊆ N

(δ) QP = P

(ε) PQ = P.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

90 Απόδειξη

(α)⇔ (ϐ) ΄Αμεση από την Παρατήρηση 2.5.5. (ϐ) ⇒ (γ) Αν Px  ≤ Qx  για κάθε x ∈ H τότε, για κάθε y ∈ M, έχουμε Py = y άρα

y2 = Py2 ≤ Qy2 ≤ y2 (αφού Q  = 1), δηλαδή Qy = y. ΄Ομως, από το Πυθαγόρειο ϑεώρημα,

y2 = Qy2 + (I − Q )y2 , άρα (I − Q )y = 0 δηλαδή y = Qy ∈ im Q = N. Επομένως M ⊆ N. (γ) ⇒ (δ) Αν M ⊆ N, τότε για κάθε x ∈ H έχουμε Px ∈ M ⊆ N άρα Q (Px ) = Px. (δ) ⇒ (ε) Αν QP = P, τότε PQ = P ∗ Q ∗ = (QP )∗ = P ∗ = P. (ε) ⇒ (ϐ) Αν PQ = P, τότε για κάθε x ∈ H έχουμε Px  = PQx  ≤ Qx  αφού P  = 1.



Πρόταση 2.5.7 Αν M, N είναι κλειστοί υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H και P = P (M ), Q = P (N ) είναι οι αντίστοιχες προβολές, τότε (i) Ο τελεστής R = PQ είναι προβολή αν και μόνον αν PQ = QP. Τότε R = P (M ∩ N ). Ειδικότερα, M ⊥N ⇐⇒ PQ = 0 ⇐⇒ QP = 0 ⇐⇒ P |N = 0 ⇐⇒ Q |M = 0. (ii) Ο τελεστής S = P + Q είναι προβολή αν και μόνον αν M ⊥N. Τότε S = P (M + N ). (iii) Ο τελεστής D = P − Q είναι προβολή αν και μόνον αν M ⊇ N. Τότε D = P (M ∩ N ⊥ ). Απόδειξη (i) (α) Αν ο PQ είναι προβολή, τότε είναι αυτοσυζυγής, οπότε PQ = QP. Αν αντίστροφα PQ = QP, τότε ο PQ είναι αυτοσυζυγής, και επειδή (PQ )2 = P (QP )Q = P (PQ )Q = P 2 Q 2 = PQ, ο PQ είναι προβολή. Για να δείξω ότι R = P (M ∩ N ), αρκεί να δείξω ότι M ∩ N = im R. Αν x ∈ M ∩ N, τότε x ∈ N άρα Qx = x και x ∈ M άρα Px = x. Επομένως


2.5. ΠΡΟΒΟΛΕΣ

91

x = Px = P (Qx ) = PQx δηλαδή x ∈ im R. Αν x ∈ im R, τότε x = P (Qx ) άρα x ∈ im P = M και x = Q (Px ) άρα x ∈ N, συνεπώς x ∈ M ∩ N. (ϐ) Θα δείξω ότι M ⊥N ⇒ PQ = 0 ⇒ P |N = 0 ⇒ M ⊥N. Αν M ⊥N, τότε im Q = N ⊆ M ⊥ = ker P.

΄Αρα, για κάθε x ∈ H, έχουμε

Qx ∈ ker P άρα P (Qx ) = 0. Επομένως PQ = 0. Αν PQ = 0, τότε P |N = 0. Πράγματι για κάθε x ∈ N, επειδή Qx = x έχουμε Px = PQx = 0. Αν τέλος P |N = 0, τότε N ⊆ ker P = M ⊥ , συνεπώς N ⊥M. Επειδή η σχέση M ⊥N είναι συμμετρική ως προς M και N, οι υπόλοιπες ισοδυναμίες αληθεύουν επίσης. (ii) (α) Αν ο S = P + Q είναι προβολή, τότε P ≤ S (διότι Q ≥ 0), άρα SP = P από την Πρόταση 2.5.6, δηλαδή (P + Q )P = P, άρα QP = 0 και συνεπώς M ⊥N από το (ι). Αντίστροφα αν M ⊥N, τότε PQ = QP = 0, άρα S2 = (P + Q )2 = P 2 + PQ + QP + Q 2 = P + Q = S, δηλαδή ο S είναι ταυτοδύναμος, και αφού είναι αυτοσυζυγής, είναι προβολή. (ϐ) Αν M ⊥N, τότε ο υπόχωρος M + N είναι κλειστός (΄Ασκηση 1.10). Θα δείξω ότι im S = M + N. ΄Εστω x ∈ M. Επειδή x ⊥N, έχουμε Qx = 0, άρα Sx = Px + Qx = Px = x. Συνεπώς x ∈ im S, άρα M ⊆ im S. Ομοίως ισχύει N ⊆ im S, και συνεπώς M + N ⊆ im S. Αλλά είναι ϕανερό ότι κάθε στοιχείο της μορφής Sx = Px + Qx ανήκει στον M + N, άρα M + N = im S. (iii) Αν ο D = P − Q είναι προβολή, τότε είναι ϑετικός, άρα P ≥ Q, και άρα M ⊇ N (Πρόταση 2.5.6). Αντίστροφα αν M ⊇ N τότε ο D είναι ϑετικός και, πάλι από την Πρόταση 2.5.6, ισχύει PQ = QP = Q, άρα D 2 = P 2 + Q 2 − 2PQ = P + Q − 2Q = D. Δηλαδή ο D είναι ϑετικός και ταυτοδύναμος, άρα ορθή προβολή. Μένει να ϐρεθεί το im D, έστω L. ΄Εχουμε D = P − Q = P − PQ = P (I − Q ) = P (M )P (N ⊥ ).


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

92

Επειδή PQ = QP = Q, οι προβολές P = P (M ) και I − Q = P (N ⊥ ) μετατίθενται, άρα, από το (ι), το γινόμενό τους D είναι η προβολή στον υπόχωρο M ∩ N ⊥ .



Η απόδειξη είναι πλήρης.

Παρατήρηση 2.5.8 (i) Το σύνολο των κλειστών υποχώρων του H είναι (μερικά) διατεταγμένο από την σχέση ⊆. Το σύνολο P(H ) των προβολών είναι επίσης μερικά διατεταγμένο από την διάταξη ≤ του Bh (H ). Η Πρόταση 2.5.6 δείχνει ότι η αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ κλειστών υποχώρων και προβολών διατηρεί την διάταξη, δηλαδή P (M ) ≤ P (N ) ⇐⇒ M ⊆ N. (ii) Αν M, N είναι κλειστοί υπόχωροι του H, ο M ∩ N είναι κλειστός υπόχωρος, ο μεγαλύτερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχεται και στον M και στον N, και ο M + N είναι ο μικρότερος κλειστός9 υπόχωρος του H που περιέχει και τον M και τον N. Γράφουμε M ∧ N ≡ M ∩ N και M ∨ N ≡ M + N. [Σημειώνουμε ότι το σύνολο των κλειστών υποχώρων του H γίνεται, με αυτούς τους ορισμούς, σύνδεσμος, όχι όμως επιμεριστικός.] Η αντιστοιχία M → P (M ) επιτρέπει να ορίσουμε το supremum P ∨ Q και το infimum P ∧ Q δύο προβολών P = P (M ) και Q = P (N ) από τις σχέσεις P ∨Q

≡ P (M ∨ N ) = P (M + N )

P ∧Q

≡ P (M ∧ N ) = P (M ∩ N ).

Η Πρόταση 2.5.7 ((i) και (ii)) δείχνει ότι αν PQ = QP τότε P ∧ Q = PQ και ότι αν PQ = 0 τότε P ∨ Q = P + Q. Τι συμβαίνει αν PQ = QP  0; Πρόταση 2.5.9 Αν P = P (M ) και Q = P (N ), όπου M, N κλειστοί υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H, τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα : (α) PQ = QP. (ϐ) Ο τελεστής P + Q − PQ είναι προβολή. (γ) P + Q − PQ = P (M ∨ N ) (δηλαδή P ∨ Q = P + Q − PQ). 9

Θυμίζουμε ότι η γραμμική ϑήκη δύο κλειστών υποχώρων είναι μεν υπόχωρος, όχι όμως

κατ’ ανάγκη κλειστός (πρβλ. ΄Ασκηση 1.11)


2.5. ΠΡΟΒΟΛΕΣ

93

Απόδειξη Είναι προφανές ότι (γ) ⇒ (ϐ). Επίσης, αν PQ  QP τότε ο P + Q − PQ δεν είναι καν αυτοσυζυγής, επομένως (ϐ) ⇒ (α). Μένει να δειχθεί η (α) ⇒ (γ): Αν PQ = QP τότε P (I − Q ) = (I − Q )P, άρα από την Πρόταση 2.5.7 (i) ο τελεστής P − PQ είναι προβολή στον υπόχωρο im P ∩ im(I − Q ) = M ∩ N ⊥ . Επειδή (M ∩ N ⊥ ) ⊥ N, από την Πρόταση 2.5.7 (ii), ο τελεστής P + Q − PQ = (P − PQ ) + Q = P (M ∩ N ⊥ ) + P (N ) είναι προβολή, μάλιστα στον υπόχωρο (M ∩ N ⊥ ) + N = (M ∩ N ⊥ ) ∨ N. Επίσης όμως P + Q − PQ = P + (I − P )Q, άρα ο P + Q − PQ είναι προβολή στον υπόχωρο M ∨ (N ∩ M ⊥ ). Επομένως

(M ∩ N ⊥ ) ∨ N = M ∨ (N ∩ M ⊥ ). Αν ονομάσουμε αυτόν τον υπόχωρο L, ϑα δείξω ότι L = M ∨ N. L = (M

∩ N ⊥ ) ∨ N,

έχουμε L ⊇ N και επειδή L = M ∨ (N

∩ M ⊥)

Επειδή

έχουμε L ⊇ M.

΄Αρα L ⊇ M ∨ N. Από την άλλη μεριά, αν x ⊥(M ∨ N ) τότε x ⊥M άρα x ⊥(M ∩ N ⊥ ), αλλά και x ⊥N άρα x ⊥(M ∩ N ⊥ ) ∨ N = L. Συνεπώς (M ∨ N )⊥ ⊆ L ⊥ .



Σημείωση Ισχύει επίσης η ισοδυναμία

(P ∨ Q ) + (P ∧ Q ) = P + Q ⇐⇒ PQ = QP (΄Ασκηση 2.34). ΄Οταν PQ  QP, οι προβολές P ∨ Q και P ∧ Q δεν εκφράζονται εν γένει αλγεβρικά συναρτήσει των P και Q. Ποια γεωμετρική συνθήκη αντιστοιχεί στην μεταθετικότητα δύο προβολών ; Πρόταση 2.5.10 Αν P = P (M ) και Q = P (N ), όπου M, N κλειστοί υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H και L = M ∩ N, τότε : Οι προβολές P και Q μετατίθενται αν και μόνον αν οι υπόχωροι M ∩ L ⊥ και N ∩ L ⊥ είναι κάθετοι.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

94

Απόδειξη Θέτω R = P (L ). Επειδή L ⊆ M η Πρόταση 2.5.7 (iii) δείχνει ότι ο τελεστής P − R είναι η προβολή στον M ∩ L ⊥ , και όμοια Q − R = P (N ∩ L ⊥ ). Επίσης, έχουμε R = PR = RQ. Επομένως P (M ∩ L ⊥ ) · P (N ∩ L ⊥ )

= (P − R ) · (Q − R ) = PQ − PR − RQ + R2 = PQ − R.

Αν λοιπόν PQ = QP, τότε από την Πρόταση 2.5.7 (i) έχουμε R = PQ, οπότε P (M ∩ L ⊥ ) · P (N ∩ L ⊥ ) = 0, επομένως από την Πρόταση 2.5.7 (ii) οι υπόχωροι M ∩ L ⊥ και N ∩ L ⊥ είναι κάθετοι. Αν αντίστροφα (M ∩ L ⊥ )⊥(N ∩ L ⊥ ), τότε 0 = PQ − R, επομένως PQ = R = R ∗ = QP.  Εξαιτίας της Πρότασης 2.5.7 (i), ονομάζουμε δύο προβολές P, Q κάθετες αν PQ = 0, αν δηλαδή τα πεδία τιμών τους είναι κάθετοι υπόχωροι. Η Πρόταση 2.5.7 (ii) γενικεύεται για πεπερασμένο πλήθος καθέτων προβολών : αν π.χ. οι κλειστοί υπόχωροι M, N, L είναι ανά δύο κάθετοι, τότε, επειδή M ⊥ N, έχουμε P (M ) + P (N ) = P (M + N ), και επειδή M + N ⊥ L, έχουμε P (M + N ) + P (L ) = P ((M + N ) + L ) = P (M + N + L ), άρα P (M ) + P (N ) + P (L ) = P (M + N + L ). Τι μπορούμε να πούμε για άπειρο πλήθος καθέτων προβολών ; ΄Εστω {Pn : n ∈ N} μια ακολουθία καθέτων ανά δύο προβολών στον H, και έστω Mn = im Pn . Αν ϑέσω Qn =

n

k =1

Pk , από τις παρατηρήσεις που προηγήθηκαν

έπεται ότι η Qn είναι η προβολή στην (αυτομάτως κλειστή) γραμμική ϑήκη M1 ⊕ M2 ⊕ . . . ⊕ Mn των υποχώρων Mk , 1 ≤ k ≤ n. Αρκεί λοιπόν να μελετήσουμε την αύξουσα οικογένεια προβολών {Qn : n ∈ N}. Πρόταση 2.5.11 Αν {Qi } είναι αύξουσα ακολουθία προβολών, τότε συγκλίνει κατά σημείο στην προβολή Q = P (M ), όπου M είναι η κλειστή γραμμική ϑήκη της ένωσης των im Qi (i ∈ N). Απόδειξη Επειδή η ακολουθία {Mi } (όπου Mi = im Qi ) είναι αύξουσα, η ένωση τους είναι γραμμικός χώρος, οπότε ο M είναι η κλειστή ϑήκη της ένωσής τους : M = ∪i Mi . Επομένως για κάθε ε > 0 και x ∈ H, αφού Qx ∈ M υπάρχει io ∈ N


2.5. ΠΡΟΒΟΛΕΣ

95

και y ∈ Mio ώστε Qx − y < ε. Αν i ≥ io , εφόσον Q ≥ Qi ≥ Qio , από την Πρόταση 2.5.6 έχουμε Qi Qx = Qi x και Qi y = Qio y = y. Συνεπώς

Qi x − y = Qi Qx − Qi y = Qi (Qx − Qi )y ≤ Qx − y < ε, άρα Qx − Qi x  ≤ Qx − y + y − Qi x  < 2ε. Δείξαμε ότι limi Qi x = Qx για κάθε x ∈ H.



Παρατήρηση Με τον ίδιο τρόπο (ή ϑεωρώντας τα ορθοσυμπληρώματα) αποδεικνύεται ότι μια ϕθίνουσα ακολουθία προβολών {Qi } συγκλίνει κατά σημείο στην προβολή πάνω στην τομή των υποχώρων im Qi (i ∈ N). Πρόταση 2.5.12 ΄Εστω {Pn } ακολουθία προβολών σ’ έναν χώρο Hilbert H. (i) Αν οι Pn είναι ανά δύο κάθετες, τότε η σειρά x ∈ H, και



n

(ii) Αν

n

n

Pn x συγκλίνει για κάθε

Pn x = P (M )x, όπου M είναι η κλειστή γραμμική ϑήκη της ένωσης

των im Pn (n ∈ N). Για κάθε x ∈ H ισχύει







n

Pn x 2 = P (M )x 2 .

Pn x 2 ≤ x 2 για κάθε x ∈ H, τότε οι Pn είναι ανά δύο κάθετες

(επομένως ισχύει το συμπέρασμα του (ι). Απόδειξη (i) Η ακολουθία {Qn } όπου Qn =

n

k =1

Pk είναι αύξουσα, επομένως

συγκλίνει κατά σημείο στην προβολή πάνω στην κλειστή γραμμική ϑήκη M της ένωσης των im Qn (n ∈ N). Αλλά για κάθε n ∈ N ο υπόχωρος im Qn είναι η γραμμική ϑήκη της ένωσης των υποχώρων im Pk , 1 ≤ k ≤ n. Συνεπώς ο M ταυτίζεται με την κλειστή γραμμική ϑήκη της ένωσης των im Pn (n ∈ N). Δείξαμε λοιπόν ότι για κάθε x ∈ H, ∞ 

Αλλά Qn x =

n

k =1

Pn x = lim Qn x = P (M )x. n

n =1

Pk x άρα Qn x 2 =

n

k =1

Pk x 2 από το Πυθαγόρειο ϑεώ-

ϱημα, επομένως

P (M )x 2 = lim Qn x 2 = n

∞ 

Pk x 2 .

k =1

(ii) Παρατηρούμε ότι αν x ∈ im Pk για κάποιο k ∈ N, ϑα έχουμε, από την υπόθεση,

x 2 ≥

 n

Pn x 2 ≥ Pk x 2 = x 2


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

96



Pn x 2 = Pk x 2 , πράγμα που σημαίνει ότι όταν n  k τότε Pn x = 0, άρα x ∈ ker Pn . Συνεπώς im Pk ⊆ ker Pn , δηλαδή οι Pn , Pk είναι κάθετες προβολές.  επομένως ισχύει ισότητα. ΄Αρα

n

Παρατηρήσεις 2.5.13 (i) Η σχέση Px =

lim (P − n

n 

 k

Pk )x  = 0

Pk x για κάθε x ∈ H σημαίνει

για κάθε x ∈ H,

k =1

δηλαδή ότι η ακολουθία {Qn } των μερικών αθροισμάτων της {Pk } συγκλίνει στην προβολή P κατά σημείο. Δεν είναι αλήθεια ότι limn P −

n

k =1

Pk  = 0 (δηλαδή

ότι η {Qn } συγκλίνει στην P ομοιόμορφα στην μοναδιαία σφαίρα του H), εκτός από την τετριμμένη περίπτωση όπου P =

n

k =1

Pk για κάποιο n ∈ N. Πράγματι,

επειδή im Qn ⊆ im P για κάθε n ∈ N, ο τελεστής P − Qn είναι προβολή, οπότε, αν δεν είναι μηδέν, ϑα έχουμε P − Qn  = 1. (ii) Αν {Mi } είναι μια οικογένεια κλειστών υποχώρων του χώρου Hilbert H, η τομή τους N = ∩i Mi είναι κλειστός υπόχωρος, ο μεγαλύτερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχεται σε κάθε Mi . Γράφουμε N = ∧i Mi . Εξάλλου, η κλειστή γραμμική ϑήκη M = [∪i Mi ] της ένωσης τους ∪i Mi είναι ο μικρότερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχει κάθε Mi . Γράφουμε M = ∨i Mi . (iii) Με τον συμβολισμό αυτό, στην Πρόταση 2.5.12 αποδείξαμε ότι : Αν Mn είναι κάθετοι ανά δύο κλειστοί υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H, τότε P (∨n Mn )x =



P (Mn )x

για κάθε x ∈ H.

n

2.6 Ασκήσεις 2.1 ΄Εστω f : R → R μια γραμμική συνάρτηση. Τότε ο περιορισμός f1 της f στο [−1, 1] είναι ϕραγμένη συνάρτηση. Αν όμως η f : R → R είναι ϕραγμένη ως συνάρτηση, τότε f = 0. 2.2 Αν (E, .E ), (F, .F ) είναι χώροι με νόρμα, μια γραμμική απεικόνιση T : E → F είναι ϕραγμένη αν και μόνον αν απεικονίζει ϕραγμένα σύνολα του E σε ϕραγμένα σύνολα του F .


2.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

97

2.3 Η ταυτοτική απεικόνιση I : coo → coo είναι ϕραγμένη ως απεικόνιση

(coo , .2 ) → (coo , .∞ ), όχι όμως ως απεικόνιση (coo , .∞ ) → (coo , .2 ). 2.4 Δείξτε ότι μια γραμμική απεικόνιση T : (E, .E ) → (F, .F ) μεταξύ χώϱων με νόρμα δεν είναι ϕραγμένη αν και μόνον αν

sup{Tx F : x ∈ E, x E ≤ 1} = sup{Tx F : x ∈ E, x E = 1}   Tx F = sup : x ∈ E, x  0 = ∞. x E 2.5 ΄Εστω a = {an }, an ∈ C τυχούσα ακολουθία. Θέτουμε Da x = (a1 x1 , a2 x2 , a3 x3 , . . .) (x ∈ 2 ). (α) Ο Da ορίζει ϕραγμένο τελεστή 2 → 2 αν και μόνον αν η a είναι ϕραγμένη ακολουθία, και τότε Da  = a ∞ . (ϐ) Αν η a δεν είναι ϕραγμένη ακολουθία, τότε υπάρχει x ∈ 2 ώστε Da x  2 . 2.6 Δείξτε ότι οι τελεστές της μετατόπισης U και U ∗ είναι συνεχείς, μάλιστα ισομετρίες, στον πυκνό υπόχωρο [en : n ∈ Z] του 2 (Z). Δείξτε επίσης ότι U ∗ ◦ U = U ◦ U ∗ = I. 2.7 Αν S και S∗ είναι οι τελεστές του 2 (N) που ορίζονται από τις σχέσεις Sx = (0, x1 , x2 , x3 , . . .),

S∗ x = (x2 , x3 , . . .),

(x ∈ 2 )

δείξτε ότι οι τελεστές αυτοί ταυτίζονται με εκείνους που ορίσθηκαν στο Παράδειγμα 2.1.10. Δείξτε ότι οι S και S∗ έχουν νόρμα 1, και ότι ο S είναι ισομετρία, ενώ ο S∗ όχι. Δείξτε επίσης ότι ισχύει S∗ ◦ S = I, και υπολογίστε τον τελεστή S ◦ S∗ . 2.8 Αν k : [0, 1] × [0, 1] → C είναι συνεχής συνάρτηση, ϑέτουμε

(Kf )(x ) =

k (x, y)f (y)dy,

f ∈ C([0, 1]).

(∗)

Να δειχθεί ότι η συνάρτηση Kf είναι συνεχής στο [0, 1], και ότι ο τελεστής K επεκτείνεται σε ϕραγμένο τελεστή του L 2 ([0, 1]) με νόρμα K  ≤ k 22 , όπου



k 222

=

Να εξετασθεί αν ισχύει K  = k 22 .

|k (x, y)|2 dxdy.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

98

2.9 Ονομάζουμε Kc : (C([0, 1]),  · ∞ ) → (C([0, 1]),  · ∞ ) τον τελεστή που ορίζεται από την (*). Να εξετασθεί αν ο τελεστής αυτός είναι ϕραγμένος και να ϐρεθεί ένα άνω ϕράγμα για την νόρμα του (αν υπάρχει). 2.10 Αποδείξτε ότι ο γραμμικός χώρος C∞ ([0, 1]) των απεριόριστα παραγωγίσιμων συναρτήσεων f : [0, 1] → C είναι πυκνός στον L 2 ([0, 1]). 2.11 Αν E  {0} και F είναι χώροι με νόρμα και ο χώρος B(E, F ) είναι πλήϱης, δείξτε ότι ο F είναι πλήρης. [Υπόδειξη : Σταθεροποιώντας ένα μη μηδενικό x ∗ ∈ E ∗ , ϑεωρείστε τελεστές Ty : E → F της μορφής Ty x = x ∗ (x )y (y ∈ F ).] 2.12 Αν E είναι χώρος Banach, δείξτε ότι ο B(E ) είναι άλγεβρα Banach. 2.13 Αν E είναι χώρος με νόρμα και dim E > 1, δείξτε ότι η άλγεβρα B(E ) δεν είναι μεταθετική. Τι συμβαίνει όταν dim E = 1; 2.14 Αν ο τελεστής T : C2 → C2 ορίζεται από την σχέση T (x1 , x2 ) = (0, x1 ), δείξτε ότι T  = 1 και sup{|Tx, x | : x = (x1 , x2 ) ∈ C2 , x  ≤ 1} = sup{|x1 x¯2 | :

|x1 |2 + |x2 |2 ≤ 1} = 1/2. 2.15 Να ϐρεθούν οι συζυγείς των τελεστών από τα Παραδείγματα 2.3.11. 2.16 ΄Εστω V ο τελεστής του Volterra στον L 2 ([0, 1]) (Παράδειγμα 2.1.13). Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις {fn } όπου fn (x ) = sin ιδιοδιανύσματα του τελεστή

V ∗V



2n −1 πx 2



(n = 1, 2, . . .) είναι

με αντίστοιχες ιδιοτιμές

 λn =

2

(2n − 1)π

2 .

Δείξτε επίσης ότι η οικογένεια {fn /fn 2 : n ∈ N} αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του L 2 ([0, 1]). Χρησιμοποιώντας έναν κατάλληλο ισομορφισμό του L 2 ([0, 1]) με τον 2 και την ΄Ασκηση 2.5, να συμπεράνετε ότι V ∗ V  = 4/π 2 και άρα

V  = 2/π. 2.17 (Hellinger-Toeplitz) Αν H είναι χώρος Hilbert και η γραμμική απεικόνιση T : H → H ικανοποιεί Tx, y = x, Ty για κάθε x, y ∈ H, δείξτε ότι η T είναι ϕραγμένη (Υπόδειξη : Θεώρημα κλειστού γραφήματος).


2.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

99

2.18 Αν H είναι χώρος Hilbert με dim H > 1, να ϐρεθεί ένας T ∈ B(H ) που δεν είναι ϕυσιολογικός. 2.19 ΄Εστω H χώρος Hilbert με dim H < +∞. Να δειχθεί ότι (i) ΄Ενας T ∈ B(H ) είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν ο πίνακας του (tik ) ως προς οποιαδήποτε ορθοκανονική ϐάση του H είναι αυτοσυζυγής, δηλαδή tik = t¯ki για κάθε i, k. (ii) Ο T είναι ορθομοναδιαίος αν και μόνον αν απεικονίζει κάποια (ισοδύναμα, κάθε) ορθοκανονική ϐάση του Η σε ορθοκανονική ϐάση του Η. (iii) Ο T είναι ϑετικός αν και μόνον αν είναι αυτοσυζυγής και οι ιδιοτιμές του είναι μη αρνητικοί αριθμοί. 2.20 Αν H = 2 , το σύνολο {Da : a ∈ ∞ } (Παράδειγμα 2.1.8) αποτελείται από ϕυσιολογικούς τελεστές. Ο Da είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν an ∈

R για κάθε n ∈ N, ϑετικός αν και μόνον αν an ≥ 0 για κάθε n ∈ N και ορθομοναδιαίος αν και μόνον αν |an | = 1 για κάθε n ∈ N. 2.21 Αν H = L 2 ([0, 1]), το σύνολο {Mf : f ∈ C([0, 1])} (Παράδειγμα 2.1.11) αποτελείται από ϕυσιολογικούς τελεστές.

Ο Mf είναι αυτοσυζυγής αν και

μόνον αν f (t ) ∈ R για κάθε t ∈ [0, 1], ϑετικός αν και μόνον αν f (t ) ≥ 0 για κάθε t ∈ [0, 1] και ορθομοναδιαίος αν και μόνον αν |f (t )| = 1 για κάθε t ∈ [0, 1]. 2.22 Αν H είναι χώρος Hilbert, A ∈ B(H ) και B ∈ B+ (H ), ο τελεστής A∗ BA είναι ϑετικός. 2.23 Αν H είναι χώρος Hilbert και A ∈ B(H ), ϑεωρούμε τον τελεστή T ∈ B(H ⊕ H ) με T

x! y

=



x +Ay A∗ x +y



, δηλαδή T =



I A A∗ I



. Να δειχθεί ότι A ≤ 1

αν και μόνον αν ο T είναι ϑετικός. 2.24 ΄Εστω An ακολουθία ϕραγμένων τελεστών σ’ έναν χώρο Hilbert H. Αν για κάθε x ∈ H, η ακολουθία (An x, x ) είναι ϕραγμένη, να δειχθεί ότι η ακολουθία An είναι ϕραγμένη. [Υπόδειξη : Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την αρχή ομοιομόρφου ϕράγματος.]


100

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

2.25 ΄Εστω {An } ακολουθία ϕραγμένων τελεστών. Αν για κάθε x ∈ H η ακολουθία {An x, x } συγκλίνει, να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός A ∈ B(H ) ώστε

Ax, y = limn An x, y για κάθε x, y ∈ H. 2.26 Να ϐρεθούν δύο 2 × 2 πίνακες A, B που να μην ικανοποιούν την ανισότητα |A + B| ≤ |A| + |B| (όπου |A| = (A∗ A)1/2 ). 2.27 (i) Δείξτε ότι ένας ϕραγμένος τελεστής V είναι μερική ισομετρία αν και μόνον αν ο τελεστής V ∗ V είναι προβολή. (ii) Αν V ∈ B(H ) είναι μερική ισομετρία, δείξτε ότι ο τελεστής V ∗ είναι επίσης μερική ισομετρία (υπόδειξη : αν P = V ∗ V , δείξτε ότι VP = V και VV ∗ = VPV ∗ = (VV ∗ )2 ). 2.28 ΄Εστω H χώρος Hilbert και A ∈ B(H ). Να δειχθεί ότι (A(H ))⊥ = ker(A∗ ) και ker A = (A∗ (H ))⊥ . Να ϐρεθεί ο ker(A∗ A). Είναι αλήθεια ότι (ker A)⊥ = A∗ (H ); [Υπόδειξη : Εξετάστε τον τελεστή Da στον 2 , για κατάλληλη ακολουθία a ∈ ∞ .] 2.29 Δείξτε ότι η πολική αναπαράσταση T = V |T | ενός T ∈ B(H ) (Θεώρημα 2.4.14) είναι μοναδική με την εξής έννοια : Αν T = UX όπου X ≥ 0 και U μερική ισομετρία με αρχικό χώρο X (H) τότε U = V και X = |T |. Δείξτε επίσης ότι οι V και |T | μετατίθενται με κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον T . 2.30 Αν E είναι γραμμικός χώρος και M, N συμπληρωματικοί υπόχωροι του E, να δειχθεί ότι η προβολή P επί του M παράλληλα προς τον N είναι καλά ορισμένη, γραμμική και ταυτοδύναμη, με im P = M και ker P = N, και ότι ο τελεστής I − P είναι η προβολή επί του N παράλληλα προς τον M. Αντίστροφα, αν P : E → E είναι ταυτοδύναμος τελεστής, να δειχθεί ότι οι υπόχωροι im P και ker P είναι συμπληρωματικοί και ότι ο P είναι η προβολή επί του im P παράλληλα προς τον ker P. 2.31 Να δειχθεί ότι αν μια ταυτοδύναμη γραμμική απεικόνιση P ορισμένη σε έναν χώρο Banach έχει κλειστό πυρήνα και κλειστό πεδίο τιμών, τότε είναι συνεχής. [Υπόδειξη : Θεώρημα κλειστού γραφήματος ]


2.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

101

2.32 (i) ΄Εστω E γραμμικός χώρος, M γραμμικός υπόχωρος του E. Αν N1 και N2 είναι συμπληρώματα του M και αν N1 ⊆ N2 , τότε N1 = N2 . (ii) ΄Εστω H χώρος Hilbert και M, N κλειστοί υπόχωροι του H. Αν N ⊥ ⊆ M, τότε M + N = H. Αν επιπλέον M ∩ N = {0}, τότε (οι M, N είναι συμπληρωματικοί και μάλιστα) ισχύει N ⊥ = M. 2.33 Αν P, Q είναι δύο (ορθές) προβολές σ’ έναν χώρο Hilbert, ο τελεστής P + Q είναι προβολή αν και μόνον αν P + Q ≤ I. 2.34 Αν P, Q είναι δύο ορθές προβολές σ’ έναν χώρο Hilbert, ισχύει η ισοδυναμία (P ∨ Q ) + (P ∧ Q ) = P + Q ⇐⇒ PQ = QP (πρβλ. Πρόταση 2.5.9). 2.35 Αν {Mi } είναι μια άπειρη οικογένεια καθέτων ανά δύο μη μηδενικών υποχώρων ενός χώρου Hilbert, δείξτε ότι (παρόλο που η γραμμική ϑήκη πεπερασμένου πλήθους από αυτούς είναι κλειστός υπόχωρος), η γραμμική ϑήκη όλων των Mi δεν είναι ποτέ κλειστός υπόχωρος. [Υπόδειξη : Επιλέξτε μια άπειρη ακολουθία μοναδιαίων διανυσμάτων

{en : n ∈ N } που καθένα ϐρίσκεται σε διαφορετικό Mi . Δείξτε ότι η σειρά  −1 y= ∞ k =1 k ek συγκλίνει, ότι y ∈ [∪i Mi ], αλλά y  [∪i Mi ].] 2.36 Αν H είναι χώρος Hilbert και P, Q είναι οι προβολές στους υποχώρους M και N αντίστοιχα, δείξτε ότι P (M ∩ N )x = limn (PQP )n x για κάθε x ∈ H. 2.37 (i) Αν H είναι χώρος Hilbert και P, Q, R είναι προβολές που μετατίθενται, δείξτε ότι P ∨ (Q ∩ R ) = (P ∨ Q ) ∩ (P ∨ R ). (ii) Αν H είναι χώρος Hilbert με dim H ≥ 2, δείξτε ότι υπάρχουν προβολές P, Q, R ώστε P ∨ (Q ∩ R )  (P ∨ Q ) ∩ (P ∨ R ). 2.38 (i) Αν H = 2 και a ∈ ∞ , δείξτε ότι ο τελεστής Da είναι προβολή αν και μόνον αν υπάρχει M ⊆ N ώστε a (n ) = 1 όταν n ∈ M και a (n ) = 0 όταν n  M. (ii)(*) Αν H = L 2 ([0, 1]) και f : [0, 1] → C ϕραγμένη μετρήσιμη, να εξετασθεί πότε ο τελεστής Mf είναι προβολή και να ϐρεθεί η εικόνα του. Τι συμβαίνει όταν η f είναι συνεχής ;


102

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

2.39 (*) Αν X, Y συμπαγείς Hausdorff τοπολογικοί χώροι και φ : X → Y συνεχής, ορίζω T : C(Y ) → C(X ) : f → f ◦ φ. Να δειχθεί ότι ο T είναι καλά ορισμένος και ϕραγμένος τελεστής και να ϐρεθεί η νόρμα του. Πότε είναι ο T ισομετρία ; Πότε είναι επί ;


Κεφάλαιο 3

Συμπαγείς τελεστές 3.1 Τελεστές πεπερασμένης τάξης Ορισμός 3.1.1 Μια γραμμική απεικόνιση T : E → F μεταξύ δύο γραμμικών χώρων E, F λέγεται τάξης n (n ∈ N) αν ο υπόχωρος T (E ) = im T έχει διάσταση n. Γράφουμε rank(T ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι με νόρμα, συμβολίζουμε με

F (E, F ) το σύνολο των ϕραγμένων γραμμικών απεικονίσεων T : E → F που έχουν πεπερασμένη τάξη (finite rank), δηλαδή

F (E, F ) = {T ∈ B(E, F ) : rank(T ) < +∞}. Ειδικότερα, γράφουμε F (E ) = F (E, E ). Παρατηρήσεις 3.1.1 (i) Τονίζουμε ότι, αν E, F είναι χώροι με νόρμα, το σύνολο F (E, F ) περιέχεται εξ ορισμού στο σύνολο B(E, F ) των ϕραγμένων γραμμικών απεικονίσεων από τον E στον F . Θυμίζουμε ότι πάντα υπάρχουν γραμμικές απεικονίσεις T : E → F πεπερασμένης τάξης που δεν είναι ϕραγμένες, όταν ο E είναι απειροδιάστατος (Παράδειγμα 2.1.7). (ii) Αν οι E, F είναι χώροι με νόρμα και ένας (τουλάχιστον) από τους δυο έχει πεπερασμένη διάσταση, τότε F (E, F ) = B(E, F ). Ειδικότερα, F (E, C) = B(E, C) = E ∗ .

103


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

104

Ορισμός 3.1.2 Αν E, F είναι χώροι με νόρμα και E ∗ ο (τοπολογικός) δυϊκός του E, για κάθε x ∈ F και y∗ ∈ E ∗ ορίζουμε τον τελεστή x ⊗ y∗ : E → F από τον τύπο

(x ⊗ y∗ )(z ) = y∗ (z )x (z ∈ E ). Ειδικότερα, αν E = F = H είναι χώρος Hilbert, τότε κάθε y∗ ∈ H ∗ είναι της μορφής y∗ (z ) = z, y για μοναδικό y ∈ H (Θεώρημα Riesz, 1.6.3), συνεπώς ο τελεστής x ⊗ y∗ : H → H ορίζεται για x ∈ H και y ∈ H από τον τύπο

(x ⊗ y∗ )(z ) = z, yx (z ∈ H ). Παρατήρηση 3.1.2 Ο τελεστής x ⊗y∗ είναι ϕραγμένος, και x ⊗y∗  = x .y∗ . Κάθε T ∈ F (E, F ) πρώτης τάξης (rank(T ) = 1) είναι αυτής της μορφής (με x, y∗ μη μηδενικά). Απόδειξη

Επειδή η γραμμική μορφή y∗ είναι συνεχής, είναι ϕανερό ότι ο

x ⊗ y∗ είναι ϕραγμένος τελεστής. Επειδή im(x ⊗ y∗ ) ⊆ [x ], ο x ⊗ y∗ είναι τελεστής πρώτης τάξης (αν ϐέβαια τα x, y∗ είναι μη μηδενικά). ΄Εχουμε

x ⊗ y∗  = sup{(x ⊗ y∗ )(z ) : z ∈ E, z  ≤ 1} = sup{y∗ (z )x  : z ∈ E, z  ≤ 1} = sup{|y∗ (z )| : z ∈ E, z  ≤ 1}x  =y∗ x  . Αντίστροφα, αν T ∈ F (E, F ) και rank(T ) = 1, επιλέγοντας ένα μη μηδενικό x ∈ im T , παρατηρούμε ότι για κάθε z ∈ E το Tz ανήκει στον im T = [x ], άρα υπάρχει λ(z ) ∈ C ώστε Tz = λ(z )x. Η απεικόνιση z → λ(z ) : E → C είναι γραμμική, επειδή ο T είναι γραμμικός, και συνεχής, επειδή ο T είναι συνεχής (΄Ασκηση 3.1). Επομένως, η απεικόνιση y∗ : z → λ(z ) ανήκει στον E ∗ και έχουμε T = x ⊗ y∗ .



Δείξαμε λοιπόν ότι οι ϕραγμένοι τελεστές πρώτης τάξης (το πολύ) είναι ακριβώς οι τελεστές της μορφής T = x ⊗ y∗ . Παρατηρούμε όμως ότι τα x, y∗ δεν καθορίζονται μονοσήμαντα από τον T , εφόσον x ⊗ y∗ = (λx ) ⊗ (λ−1 y∗ ) για κάθε μη μηδενικό λ ∈ C. Στην περίπτωση χώρου Hilbert, η αντίστοιχη ισότητα

¯ ) ⊗ (λ−1 y)∗ . είναι x ⊗ y∗ = (λx


3.1. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ

105

Πρόταση 3.1.3 ΄Εστω E, F χώροι με νόρμα, T : E → F γραμμική απεικόνιση και n ∈ N.

Ο T είναι ϕραγμένος τελεστής τάξης n αν και μόνον αν

υπάρχουν γραμμικά ανεξάρτητα x1 , x2 , . . . , xn ∈ F και γραμμικά ανεξάρτητα y1∗ , y2∗ , . . . , yn∗ ∈ E ∗ ώστε T =

n 

xi ⊗ yi∗ .

i =1

Τότε im T = [x1 , x2 , . . . , xn ] και

T  ≤

n 

xi .yi∗ .

(3.1)

i =1

Ειδικότερα, αν E = F = H είναι χώρος Hilbert, τότε yi ∈ H, rank(T ) =

rank(T ∗ ) και T∗ =

n 

yi ⊗ xi∗ .

i =1

Μπορούμε τότε να επιλέξουμε μια από τις οικογένειες {xi } ή {yi } ορθοκανονική στον H. Σημείωση Οι οικογένειες x1 , x2 , . . . , xn ∈ F και y1∗ , y2∗ , . . . , yn∗ ∈ E ∗ δεν καϑορίζονται μοναδικά από τον T . Μάλιστα, όπως ϑα ϕανεί στην απόδειξη, για κάθε (αλγεβρική) ϐάση x1 , x2 , . . . , xn του im T υπάρχουν y1∗ , y2∗ , . . . , yn∗ στον E ∗ ώστε T =

n

i =1

xi ⊗ yi∗ .

Απόδειξη της Πρότασης (i) ΄Εστω T =

n

i =1

xi ⊗ yi∗ όπου {xi }, {yi } γραμμικά

ανεξάρτητα υποσύνολα των F, E ∗ αντίστοιχα. ΄Οτι ο T είναι ϕραγμένος και η νόρμα του ικανοποιεί την (3.1) έπεται από την την τριγωνική ανισότητα και την Παρατήρηση 3.1.2. Θα δείξω ότι im T = [x1 , x2 , . . . , xn ]. Επειδή, για κάθε z ∈ E, το διάνυσμα T (z ) =

n

i =1

yi∗ (z )xi ανήκει στον (n-διάστατο) υπόχωρο M ≡ [xi : 1 ≤ i ≤ n ]

που παράγουν τα {xi }, ο υπόχωρος im T περιέχεται σ’ αυτόν :

im T ⊆ [xi : 1 ≤ i ≤ n ] = M. Θα δείξω ότι ισχύει ισότητα, οπότε rank(T ) = n.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

106

Πράγματι, έστω f : M → C γραμμική απεικόνιση ώστε f |im T = 0. Θα δείξω ότι f = 0. Για κάθε y ∈ E έχουμε f (T (y)) = 0, δηλαδή

⎛ n ⎞ n ⎟⎟  ⎜⎜⎜ ∗ ⎜ 0 = f ⎜⎝ yi (y)xi ⎟⎟⎟⎠ = f (xi )yi∗ (y). i =1

Αυτό δείχνει ότι η γραμμική μορφή

n

i =1

i =1

f (xi )yi∗ ∈ E ∗ είναι η μηδενική. Αλλά

τα {yi∗ } είναι γραμμικά ανεξάρτητα στον E ∗ , συνεπώς f (xi ) = 0 για i = 1, . . . n. Εφόσον η f είναι γραμμική και μηδενίζει μια ϐάση του M, έπεται ότι f = 0. Δηλαδή κάθε γραμμική μορφή που μηδενίζει τον im T μηδενίζει ολόκληρο τον M, συνεπώς ο im T δεν μπορεί να είναι γνήσιος υπόχωρος1 του M. (ii) ΄Εστω, αντίστροφα, T : E → F ϕραγμένος με rank(T ) = n < +∞. Επιλέγουμε ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο {xi : i = 1, . . . , n } που παράγει τον υπόχωρο im T του F (δηλαδή μια (αλγεβρική) ϐάση του im T ). Τότε για κάθε z ∈ E, το T (z ) είναι κάποιος γραμμικός συνδυασμός των {xi }, υπάρχουν δηλαδή μιγαδικοί αριθμοί λ1 (z ), . . . , λn (z ) ώστε T (z ) =

n 

λi (z )xi .

i =1

Θα δείξω ότι οι απεικονίσεις z → λi (z ) : E → C είναι γραμμικές και συνεχείς. Παρατηρούμε ότι κάθε xj (j = 1, . . . , n ) είναι γραμμικά ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα {xi }, δεν ανήκει δηλαδή στον υπόχωρο Mj ≡ [xi : i  j], ο οποίος έχει πεπερασμένη διάσταση, άρα είναι κλειστός. Από το ϑεώρημα Hahn – Banach έπεται ότι υπάρχει μια γραμμική μορφή wj∗ ∈ F ∗ ώστε wj∗ (xj ) = 1 και wj∗ |Mj = 0, δηλαδή wj∗ (xi ) = 0 για κάθε i  j. ΄Ομως ∗

wj (T (z )) =

n 

λi (z )wj∗ (xi ) = λj (z )

i =1

για κάθε z ∈ E, δηλαδή η απεικόνιση z → λj (z ) ισούται με wj∗ ◦ T άρα είναι γραμμική και συνεχής. Αν ϑέσουμε yj∗ ≡ wj∗ ◦ T : E → C : z → wj (T (z )) = λj (z ) 1

Αν ήταν, και {z1 , . . . , zk } ήταν μια ϐάση του, επεκτείνοντάς την σε ϐάση {z1 , . . . , zn } του M

ϑα έβρισκα μια μη μηδενική μορφή φ στον M που να μηδενίζει τον im T , π.χ. ϑέτοντας φ(zi ) = 0 για i = 1, . . . n − 1 και φ(zn ) = 1.


3.1. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ

107

το yj∗ ανήκει στον E ∗ . Δείξαμε ότι, για κάθε z ∈ E, T (z ) =

n  i =1

⎛ n ⎞ ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ∗ xi ⊗ yi ⎟⎟⎟⎠ (z ), yi (z )xi = ⎜⎜⎝ ∗

i =1

και μένει να δείξουμε ότι τα {yi∗ } είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Πράγματι, αν μ1 , . . . , μn είναι μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε z ∈ E ϑα ισχύει 0=

n 

μi yi (z ) =

i =1

n 

n

i =1

μi yi∗ = 0 τότε, για κάθε

μi wi∗ (Tz ).

i =1

Επειδή κάθε xj ανήκει στον im T , υπάρχει zj ∈ E ώστε Tzj = xj , οπότε εραρμόϹοντας την παραπάνω σχέση για z = zj συμπεραίνουμε ότι 0=

n 

μi wi∗ (xj ) = μj

i =1

για j = 1, . . . , n, άρα τα {yi∗ } είναι γραμμικά ανεξάρτητα. (iii) Ερχόμαστε τώρα στην ειδική περίπτωση όπου ο E = F = H είναι χώρος Hilbert. Αν δοθεί T ∈ F (H ) με rank(T ) = n, μπορούμε να επιλέξουμε μία ορθοκανονική ϐάση {xi } του υπόχωρου im T , και να ορίσουμε yi = T ∗ xi

(i = 1, . . . , n ). ΄Επεται τώρα απευθείας (χωρίς την χρήση του ϑεωρήματος Hahn-Banach), αφού η {xi } είναι ορθοκανονική ϐάση του im T ότι, για κάθε z ∈ H, ⎛ n ⎞ n n n    ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ∗ ∗ T (z ) = Tz, xi xi = z, T xi xi = z, yi xi = ⎜⎜⎝ xi ⊗ yi ⎟⎟⎟⎠ (z ) i =1

i =1

i =1

i =1

και η γραμμική ανεξαρτησία των {yi } αποδεικνύεται όπως προηγουμένως. Αν T =

n

i =1

xi ⊗ yi∗ , η σχέση T ∗ =

n

i =1

yi ⊗ xi∗ αποδεικνύεται άμεσα από

τον ορισμό του συζυγούς τελεστή. Πράγματι, αν T = x ⊗ y∗ τότε για κάθε z, w ∈ H έχουμε

z, T (w) = z, (x ⊗ y∗ )(w) = z, w, yx  = z, x w, y και

(y ⊗ x ∗ )(z ), w = z, x y, w = z, x y, w


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

108 άρα

(y ⊗ x ∗ )(z ), w = z, T (w) = T ∗ (z ), w συνεπώς T ∗ = y ⊗ x ∗ . Επομένως, αν rank(T ) = n, οπότε τα {xi } και τα {yi } μπορούν να επιλεγούν γραμμικά ανεξάρτητα, έπεται ότι rank(T ∗ ) = n, και αντίστροφα. Δείξαμε προηγουμένως ότι τα {xi } μπορούν να επιλεγούν ορθοκανονικά (τα yi = T ∗ xi δεν είναι τότε κατ’ ανάγκην ορθοκανονικά - δες την επόμενη Παρατήρηση). Για να ϐρούμε μια παράσταση T =



i

wi ⊗ zi∗ του T όπου

τα zi είναι ορθοκανονικά, εφαρμόζουμε τους ίδιους συλλογισμούς στον τελεστή T ∗ : Επιλέγουμε μια ορθοκανονονική ϐάση {zi } του im T ∗ , και ϑέτοντας wi = T ∗∗ zi = Tzi (τα οποία δεν ϑα είναι όμως κατ’ ανάγκην ορθοκανονικά), ϐρίσκουμε T∗ =

n 

zi ⊗ wi∗ , άρα T =

i =1

n 

wi ⊗ zi∗

i =1

όπου τα zi είναι ορθοκανονικά.



Παρατήρηση 3.1.4 Αν T ∈ F (H ) όπου H είναι χώρος Hilbert και zi είναι τυχαία ορθοκανονική ϐάση του im T ∗ = (ker T )⊥ , δεν έπεται εν γένει ότι τα διανύσματα T (zi ) αποτελούν ορθοκανονική ϐάση2 του im T . ΄Οπως όμως ϑα δείξουμε στο επόμενο κεφάλαιο (Θεώρημα 4.2.17), μπορεί κανείς πάντα να επιλέξει κατάλληλη ορθοκανονική ϐάση yi του (ker T )⊥ ώστε τα Tyi να είναι κάθετα ανά δύο. Παραδείγματα 3.1.5 (Πρβλ. Παράγραφο 2.1.1) (2.1.8) ΄Ενας διαγώνιος τελεστής Da (a ∈ ∞ ) στον 2 είναι πεπερασμένης τάξης αν και μόνον αν a ∈ coo (΄Ασκηση 3.2). Παρατηρούμε ότι τότε ο Da γράφεται Da =



an en ⊗ en∗

n

όπου το άθροισμα είναι πεπερασμένο, αφού a ∈ coo . Δηλαδή ο Da είναι (πεπερασμένος) γραμμικός συνδυασμός των προβολών en ⊗ en∗ που προβάλλουν 2

Αυτό συμβαίνει αν και μόνον αν ο T |(ker T )⊥ είναι ισομετρία (΄Ασκηση 2.19).


3.1. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ

109

πάνω στους μονοδιάστατους υπόχωρους [en ]. Οι προβολές αυτές είναι επίσης της μορφής Db με b = (δkn )k ∈N (όπου δkn = 0 όταν k  n και δnn = 1). Δεν είναι ϐέβαια αλήθεια ότι κάθε T ∈ F (2 ) είναι της μορφής Da . Παϱαδείγματος χάριν, ο τελεστής T = x ⊗ x ∗ όπου x = ( 12 , 14 , 81 , . . .) δεν είναι διαγώνιος ως προς την {en }, γιατί Ten , em   0 για κάθε m, n ∈ N, μολονότι ο T είναι η προβολή στον μονοδιάστατο υπόχωρο [x ]. Παρατήρησε όμως ότι ο T είναι διαγώνιος ως προς μια άλλη ορθοκανονική ϐάση, που προκύπτει επεκτείνοντας την {x } σε ορθοκανονική ϐάση του 2 . (2.1.8) Αν {xi }, {yi } είναι δυο ορθοκανονικές οικογένειες στον χώρο Hilbert H και λi > 0, ο τελεστής T =

n 

λi xi ⊗ yi∗

i =1

που ϐέβαια έχει τάξη n, έχει νόρμα T  = max λi (΄Ασκηση 3.3). [Θα δείξουμε αργότερα (Θεώρημα 4.2.17), ως συνέπεια του Φασματικού ϑεωρήματος, ότι κάθε T ∈ F (H ) μπορεί να γραφεί στη μορφή αυτή.] Το παράδειγμα αυτό δείχνει ότι η ανισότητα (3.1) της Πρότασης 3.1.3 είναι συνήθως γνήσια όταν n > 1 (στην συγκεκριμένη περίπτωση το δεξιά μέλος της είναι

n

i =1

λi ). Για n = 1 ϐεβαίως η (3.1) γίνεται ισότητα (Παρατήρηση 3.1.2).

(2.1.11) ΄Ενας τελεστής πρώτης τάξης στον H = L 2 ([0, 1]) είναι της μορφής T = f ⊗ g∗ με f, g ∈ H. Ειδικότερα, αν f, g ∈ C([0, 1]), τότε, για κάθε h ∈ C([0, 1]),



(Th )(t ) =

1

 h (s)g(s)ds f (t ) (t ∈ [0, 1]).

0

Παρατηρούμε ότι η προηγούμενη ισότητα μπορεί να γραφεί

(Th )(t ) =

1

k (t, s)h (s)ds

(t ∈ [0, 1])

0

όπου k (t, s) = f (t )g(s), (t, s) ∈ [0, 1] × [0, 1]. Γενικότερα, κάθε τελεστής T =

n

i =1 fi

⊗ gi∗ πεπερασμένης τάξης με fi , gi

συνεχείς στο [0, 1] είναι ένας ολοκληρωτικός τελεστής με πυρήνα την συνεχή συνάρτηση k όπου k (t, s) =

n  i =1

fi (t )gi (s)

(t, s) ∈ [0, 1] × [0, 1].


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

110

Βεβαίως, οι συνεχείς συναρτήσεις k της παραπάνω μορφής δεν εξαντλούν τον C([0, 1] × [0, 1]). Επομένως, δεν έχουν όλοι οι ολοκληρωτικοί τελεστές πεπεϱασμένη τάξη (΄Ασκηση 3.4). Θα δούμε όμως αργότερα ότι «προσεγγίζονται» από τελεστές πεπερασμένης τάξης. (2.1.10) Αν f ∈ C([0, 1]), ο πολλαπλασιαστικός τελεστής Mf στον L 2 ([0, 1]) δεν είναι ποτέ πεπερασμένης τάξης, εκτός αν είναι 0 (΄Ασκηση 3.5). Παρατηρήσεις 3.1.6 (i) Είναι ϕανερό ότι κάθε γραμμικός συνδυασμός τελεστών πεπερασμένης τάξης είναι τελεστής πεπερασμένης τάξης. (ii) Αν E είναι χώρος με νόρμα και x, y ∈ E, x1∗ , y1∗ ∈ E ∗ , τότε, για κάθε z ∈ E,

(x ⊗ y∗ )(x1 ⊗ y1∗ )z = (x ⊗ y∗ )(y1∗ (z )x1 ) = y∗ (x1 )y1∗ (z )x = y∗ (x1 ).(x ⊗ y1∗ )z, δηλαδή

(x ⊗ y∗ ) ◦ (x1 ⊗ y1∗ ) = y∗ (x1 ).(x ⊗ y1∗ ). Ειδικότερα,

(x ⊗ y∗ )2 = y∗ (x ).(x ⊗ y∗ ). Το γινόμενο λοιπόν δυο τελεστών πρώτης τάξης είναι τελεστής πρώτης τάξης, εκτός αν είναι μηδέν, ισοδύναμα αν y∗ (x1 ) = 0. Ειδικότερα, σε χώρους Hilbert, αυτό συμβαίνει αν και μόνον αν y⊥x1 . Γενικότερα, αν T ∈ F (E ) και S ∈ B(E ), τότε οι TS και ST ανήκουν στο

F (E ). Αυτό έπεται άμεσα από το γεγονός ότι, αν M είναι υπόχωρος του E, τότε dim S(M ) ≤ dim M. Αν μάλιστα ο T είναι πρώτης τάξης, T = x ⊗ y∗ τότε

(ST )z = S((x ⊗ y∗ )z ) = S(y∗ (z )x ) = y∗ (z )Sx = (Sx ⊗ y∗ )z για κάθε z ∈ E, άρα S(x ⊗ y∗ ) = Sx ⊗ y∗ και

(TS)z = (x ⊗ y∗ )(Sz ) = y∗ (Sz )x = (x ⊗ w∗ )z


3.1. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ

111

για κάθε z ∈ E, όπου w∗ η συνεχής γραμμική μορφή w∗ = y∗ ◦ S, άρα TS = x ⊗ w∗ . Ειδικότερα, όταν ο E είναι χώρος Hilbert, έχουμε

(TS)z = (x ⊗ y∗ )(Sz ) = Sz, yx = z, S∗ yx = (x ⊗ (S∗ y)∗ )z οπότε

(x ⊗ y∗ )S = x ⊗ (S∗ y)∗ . (iii) Το όριο μιας ακολουθίας {Tn } τελεστών πεπερασμένης τάξης δεν είναι κατ’ ανάγκη τελεστής πεπερασμένης τάξης. Παραδείγματος χάριν, αν Tn , n ∈

N είναι οι τελεστές στον 2 που ορίζονται από τον τύπο Tn =

n  1 k =1

k

ek ⊗ ek∗

δηλαδή Tn (x1 , x2 , . . . , xn , xn +1 , . . .) = (x1 ,

x2 2

,...,

xn n

, 0, 0, . . .),

τότε κάθε Tn είναι τάξης n και η ακολουθία {Tn } συγκλίνει, ως προς την νόρμα του B(2 ), στον τελεστή Da όπου ak =

1 k

(k ∈ N).

[Πράγματι, Da − Tn = Dbn όπου bn = (0, 0, . . . , 0,

1

,

1

n+1 n+2

, . . .)

άρα Da − Tn  = bn ∞ = n +1 → 0.] Ο Da δεν είναι όμως πεπερασμένης τάξης, γιατί ak  0 για άπειρους 1

δείκτες k. Συνοψίζουμε τις παρατηρήσεις αυτές με την Πρόταση 3.1.7 Αν E είναι χώρος με νόρμα, το σύνολο F (E ) των ϕραγμένων τελεστών πεπερασμένης τάξης του E είναι γραμμικός χώρος, είναι μάλιστα (αμϕίπλευρο) ιδεώδες (ideal) της άλγεβρας B(E ), δηλαδή T ∈ F (E ) και S ∈ B(E ) ⇒ TS ∈ F (E ) και ST ∈ F (E ).


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

112

Αν ο E είναι χώρος Hilbert, τότε το F (E ) είναι αυτοσυζυγές, δηλαδή T ∈ F (E ) ⇒ T ∗ ∈ F (E ). Επίσης ισχύουν οι σχέσεις

(x ⊗ y∗ ) ◦ (x1 ⊗ y1∗ ) = y∗ (x1 ).(x ⊗ y1∗ ) S(x ⊗ y∗ )

= Sx ⊗ y∗

όπου x, x1 ∈ E, y∗ , y1∗ ∈ E ∗ και S ∈ B(E ) και, αν ο E είναι χώρος Hilbert,

(x ⊗ y∗ )S = x ⊗ (S∗ y)∗ (x ⊗ y∗ )∗ = y ⊗ x ∗ όπου x, y ∈ E και S ∈ B(E ).

3.2 Συμπαγείς τελεστές : ορισμοί και πρώτες ιδιότητες Εισαγωγή (ι) Η μελέτη των τελεστών πεπερασμένης τάξης ανάγεται στην μελέτη τελεστών μεταξύ χώρων πεπερασμένης διάστασης. Παραδείγματος χάριν, αν ο H είναι χώρος Hilbert και T ∈ F (H ), τότε ο H διασπάται σε ευθύ άθροισμα H = (ker T )⊥ ⊕ (ker T ), όπου ο (ker T )⊥ έχει πεπερασμένη διάσταση,3 και ο T περιγράφεται πλήρως από τον περιορισμό του To : (ker T )⊥ → im T . (ii) Οι τελεστές μεταξύ χώρων πεπερασμένης διάστασης περιγράφονται με αρκετή πληρότητα από τη γραμμική άλγεβρα : για παράδειγμα, ένα «σύστημα γραμμικών εξισώσεων» της μορφής Tx = y (όπου τα x, y ανήκουν σε χώρους πεπερασμένης διάστασης E, F αντίστοιχα και T είναι μια γραμμική απεικόνιση από τον E στον F ) ή ϑα έχει μοναδική λύση (αν ο T είναι ένα προς ένα) ή αλλιώς η «αντίστοιχη ομογενής εξίσωση» Tx = 0 ϑα έχει πεπερασμένο πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων x1 , . . . , xn , οπότε, αν υπάρχει μια λύση x0 της 3

γιατί ο im(T ∗ ) έχει πεπερασμένη διάσταση, άρα είναι κλειστός, και από την ΄Ασκηση 2.28

έχουμε (ker T )⊥ = im(T ∗ ).


3.2. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΩΤΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

113

Tx = y (αν δηλαδή y ∈ im T ), κάθε άλλη λύση ϑα είναι της μορφής x = x0 + λ1 x1 + . . . + λn xn , λi ∈ C. Στα προβλήματα όμως της Ανάλυσης οι γραμμικοί χώροι που εμφανίζονται είναι συνήθως απειροδιάστατοι, και δεν αναμένει κανείς αποτελέσματα όπως το προηγούμενο να ισχύουν για τυχαίους τελεστές. Στην παράγραφο αυτή ϑα απομονώσουμε μια κλάση τελεστών, τους συμπαγείς τελεστές, που είναι αρκετά ευρεία ώστε να περιλαμβάνει τελεστές που ενδιαφέρουν στις εφαρμογές (π.χ. τους ολοκληρωτικούς τελεστές), ενώ ταυτόχρονα διατηρεί, έστω «προσεγγιστικά», αρκετές από τις ιδιότητες των τελεστών πεπερασμένης τάξης. (iii) Οι τελεστές πεπερασμένης τάξης ορίσθηκαν κατά αλγεβρικό τρόπο: από την απαίτηση να είναι πεπερασμένη η διάσταση του πεδίου τιμών τους. ΄Εχουν όμως μια τοπολογική ιδιότητα, που ϑα αποδειχθεί το κλειδί για την γενίκευση που επιχειρούμε σ’ αυτήν την παράγραφο : κάθε T ∈ F (E, F ) απεικονίζει την μοναδιαία σφαίρα BE του E σε ένα σχετικά συμπαγές4 υποσύνολο του F (γιατί το T (BE ) είναι ϕραγμένο υποσύνολο του im T , που είναι χώρος πεπερασμένης διάστασης). Την ιδιότητα αυτή δεν την έχουν μόνον οι τελεστές πεπερασμένης τάξης : όπως ϑα δείξουμε, την έχουν παραδείγματος χάριν όλοι οι ολοκληρωτικοί τελεστές. Ορισμός 3.2.1 ΄Εστω E, F χώροι Banach. Μια γραμμική απεικόνιση T : E → F λέγεται συμπαγής ( compact) αν απεικονίζει την κλειστή μοναδιαία σφαίρα BE = {x ∈ E : x  ≤ 1} του E σε ένα  · -σχετικά συμπαγές υποσύνολο του F (αν δηλαδή το T (BE ) είναι συμπαγές υποσύνολο του F ). Παρατήρηση 3.2.1 Κάθε συμπαγής τελεστής είναι ϕραγμένος, γιατί αν το σύνολο T (BE ) είναι συμπαγές, είναι ϐέβαια ϕραγμένο. Θα χρησιμοποιήσουμε τους εξής γνωστούς χαρακτηρισμούς της συμπάγειας σε μετρικούς χώρους:

4

δηλαδή ένα σύνολο με συμπαγή κλειστή ϑήκη


114

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

Λήμμα 3.2.2 Αν A είναι υποσύνολο ενός μετρικού χώρου (X, d ), τα εξής είναι ισοδύναμα : (α) Το A είναι συμπαγές. (ϐ) Το A είναι ακολουθιακά συμπαγές (δηλαδή κάθε ακολουθία στοιχείων του A έχει υπακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του A). (γ) Το A είναι αριθμήσιμα συμπαγές (δηλαδή κάθε αριθμήσιμο ανοικτό κάλυμμα του A έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα). (δ) Κάθε άπειρο υποσύνολο του A έχει σημείο συσσώρευσης που ανήκει στο A. (ε) Το A είναι πλήρες και ολικά ϕραγμένο. [΄Ενα σύνολο B ⊆ X λέγεται ολικά ϕραγμένο (totally bounded) αν, για κάθε ε > 0, το B καλύπτεται από πεπερασμένο πλήθος ανοικτών σφαιρών με κέντρα στο B και ακτίνες το πολύ ε.] Απόδειξη [13], Θεώρημα 5.18. Θεώρημα 3.2.3 ΄Εστω E, F χώροι Banach, T : E → F γραμμική απεικόνιση. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα : (i) Ο T είναι συμπαγής. (ii) Για κάθε ϕραγμένο υποσύνολο A ⊆ E, το T (A) είναι σχετικά συμπαγές. (iii) Για κάθε ϕραγμένη ακολουθία {xn } του E, η ακολουθία {Txn } έχει  · συγκλίνουσα υπακολουθία. (iv) Το σύνολο T (BE ) είναι ολικά ϕραγμένο. Απόδειξη (i)⇒(ii): ΄Ενα σύνολο A ⊆ E είναι ϕραγμένο αν και μόνον αν υπάρχει r > 0 ώστε x  ≤ r για κάθε x ∈ A, δηλαδή A ⊆ rBE . Τότε το T (A) περιέχεται στο σχετικά συμπαγές σύνολο rT (BE ), άρα είναι σχετικά συμπαγές. (ii)⇒(iii): Αφού το σύνολο {xn : n ∈ N} ⊆ E είναι ϕραγμένο, το σύνολο

{Txn : n ∈ N} είναι συμπαγές υποσύνολο του F . Επομένως η ακολουθία {Txn } έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία. (iii)⇒(iv): Αν το T (BE ) δεν είναι ολικά ϕραγμένο, υπάρχει ένα ε > 0 ώστε το T (BE ) να μην καλύπτεται από πεπερασμένο πλήθος ανοικτών σφαιρών της μορφής B(Tx, ε) = {y ∈ F : y − Tx  < ε}. Μπορούμε τότε να κατασκευάσουμε


3.2. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΩΤΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

115

επαγωγικά μια ακολουθία {xn } στην BE ώστε Txm − Txn  ≥ ε για κάθε m  n, οπότε η {Txn } δεν ϑα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία : Ξεκινώντας από οποιοδήποτε σημείο x1 της BE , επειδή η B(Tx1 , ε) δεν καλύπτει το T (BE ), υπάρχει x2 ∈ BE ώστε Tx2 − Tx1  ≥ ε. Επειδή η ένωση B(Tx1 , ε) ∪ B(Tx2 , ε) δεν καλύπτει το T (BE ), υπάρχει x3 ∈ BE ώστε Tx3  B(Tx1 , ε) ∪ B(Tx2 , ε), δηλαδή Tx3 − Tx1  ≥ ε και Tx3 − Tx2  ≥ ε. Και ούτω καθεξής. (iv)⇒(i): Για να δείξουμε ότι το T (BE ) είναι συμπαγές υποσύνολο του F , αρκεί να δείξουμε ότι είναι ολικά ϕραγμένο (γιατί είναι πλήρης μετρικός χώρος, ως κλειστό υποσύνολο του πλήρους μετρικού χώρου F ). ΄Εστω λοιπόν ε > 0. Επειδή το T (BE ) είναι ολικά ϕραγμένο, υπάρχουν xi ∈ BE , i = 1, . . . , n ώστε T (BE ) ⊆

n $

B(Txi , ε/2).

(3.2)

i =1

Ισχυρίζομαι ότι T (BE ) ⊆

n $

B(Txi , ε).

i =1

Πράγματι, αν y ∈ T (BE ), υπάρχει x ∈ BE ώστε y − Tx  ≤ ε/2. Από την 3.2, υπάρχει i, 1 ≤ i ≤ n, ώστε Tx ∈ B(Txi , ε/2), οπότε y ∈ B(Txi , ε) από την τριγωνική ανισότητα.



Ορισμός 3.2.2 Μια ακολουθία {xn } σ’ έναν χώρο με νόρμα E συγκλίνει ασθενώς στο x ∈ E αν limn y∗ (xn ) = y∗ (x ) για κάθε y∗ ∈ E ∗ . Γράφουμε τότε w

xn → x. Παρατηρήσεις 3.2.4 (i) Αν μια ακολουθία {xn } σ’ έναν χώρο με νόρμα E έχει την ιδιότητα, για κάθε y∗ ∈ E ∗ η ακολουθία μιγαδικών αριθμών {y∗ (xn )} να συγκλίνει,5 τότε η {xn } είναι  · -ϕραγμένη.

Ειδικότερα, κάθε ασθενώς

συγκλίνουσα ακολουθία {xn } είναι κατ’ ανάγκη  · -ϕραγμένη. Αυτό έπεται ουσιαστικά από την Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος : 5

Εν γένει, δεν έπεται ότι η {xn } είναι ασθενώς συγκλίνουσα. ΄Ενα παράδειγμα είναι η ακο-

λουθία {xn } στον co , όπου xn = e1 + e2 + . . . + en . Δες όμως και την (ii).


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

116

Απόδειξη Για κάθε y∗ ∈ E ∗ , η ακολουθία πραγματικών αριθμών {|y∗ (xn )|} συγκλίνει, άρα είναι ϕραγμένη : supn |y∗ (xn )| ≡ M (y∗ ) < +∞. Δηλαδή κάθε y∗ ∈ E ∗ ανήκει σε κάποιο από τα σύνολα Fk = {y∗ ∈ E : M (y∗ ) ≤ k } (k ∈ N). Καθένα από αυτά τα σύνολα είναι όμως .-κλειστό (γιατί αν M (yi∗ ) ≤ k και

yi∗ − y∗  → 0, τότε |y∗ (xn )| = limi |yi∗ (xn )| ≤ k για κάθε n ∈ N, άρα M (y∗ ) ≤ k ). Επομένως ο πλήρης μετρικός χώρος E ∗ είναι ένωση αριθμήσιμου πλήθους κλειστών συνόλων : E ∗ =

%∞

k =1

Fk . Από το ϑεώρημα Baire7.3.7 έπεται ότι

κάποιο Fko ϑα έχει μη κενό εσωτερικό, ϑα περιέχει δηλαδή μια ανοικτή σφαίρα B(yo∗ , 2ε) = {y∗ ∈ E ∗ : y∗ − yo∗  < 2ε}. ΄Εστω τώρα z ∗ ∈ E ∗ με z ∗  = 1. Τότε yo∗ + εz ∗ ∈ B(yo∗ , 2ε) ⊆ Fko , άρα, για κάθε n ∈ N, |(yo∗ + εz ∗ )(xn )| ≤ ko και συνεπώς

|z ∗ (xn )| ≤

ko + |yo∗ (xn )|

2ko

. ε ε Αλλά, από το ϑεώρημα Hahn-Banach 7.3.9 έπεται ότι

xn  = sup{|z ∗ (xn )| : z ∗ ∈ E ∗, z ∗  = 1} επομένως xn  ≤ 2ko /ε για κάθε n ∈ N.



(ii) Αν μια ακολουθία {xn } σ’ έναν χώρο Hilbert H έχει την ιδιότητα, για κάθε y ∈ H η ακολουθία μιγαδικών αριθμών {xn , y} να συγκλίνει, τότε η {xn } είναι ασθενώς συγκλίνουσα. Απόδειξη Πρέπει να ϐρεθεί x ∈ H ώστε limn y, xn  = y, x  για κάθε y ∈ H. Από την υπόθεση, για κάθε y ∈ H το όριο f (y) ≡ limn y, xn  υπάρχει. Ορίζεται έτσι μια απεικόνιση f : H → C. Η f είναι γραμμική απεικόνιση, επειδή κάθε απεικόνιση y → y, xn  είναι γραμμική. Είναι όμως και ϕραγμένη : Πράγματι, από το (i) υπάρχει M < ∞ ώστε xn  ≤ M για κάθε n ∈ N, οπότε

|f (y)| ≤ sup |y, xn | ≤ yM. n

Επειδή ο χώρος H είναι Hilbert, από το Θεώρημα Riesz (Θεώρημα 1.6.3) υπάρχει μοναδικό x ∈ H ώστε f (y) = y, x  για κάθε y ∈ H.



Πρόταση 3.2.5 ΄Εστω E, F χώροι Banach και T : E → F συμπαγής τελεστής. w

Αν xn → x στον E, τότε Txn − Tx  → 0.


3.2. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΩΤΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

117

Απόδειξη Επειδή ο T είναι γραμμικός, μπορώ να υποθέσω ότι x = 0. Ας υποθέσουμε ότι η Txn  δεν τείνει στο μηδέν. Τότε ϑα υπάρχει ε > 0 και υπακολουθία {zn } της {xn } ώστε Tzn  ≥ ε για κάθε n ∈ N. Επειδή η {zn } είναι ασθενώς μηδενική, είναι  · -ϕραγμένη από την Παρατήρηση 3.2.4(i). Επειδή ο T είναι συμπαγής, η {zn } ϑα έχει μια υπακολουθία {znk } ώστε η {Tznk } να συγκλίνει στην τοπολογία της νόρμας, έστω στο y. Τότε , για κάθε y∗ ∈ F ∗ , ϑα έχουμε y∗ (y) = lim y∗ (Tznk )

(γιατί η y∗ είναι  · -συνεχής)

k

= lim(y∗ ◦ T )(znk ). k

Αλλά η {znk } είναι ασθενώς μηδενική, ως υπακολουθία της {xn }, και η γραμμική μορφή y∗ ◦ T είναι συνεχής. Επομένως, από τον ορισμό της ασθενούς σύγκλισης, limk (y∗ ◦ T )(znk ) = 0 άρα y∗ (y) = 0 για κάθε y∗ ∈ E ∗ . Επομένως y = 0 (Θεώρημα Hahn - Banach), πράγμα που αντιφάσκει με την ανισότητα

y = limk Tznk  ≥ ε.



Παρατήρηση 3.2.6 (i) Η Πρόταση 3.2.5 δεν ισχύει για δίκτυα.6 Παραδείγματος χάριν, αποδεικνύεται (΄Ασκηση 3.11) ότι αν οι E, F είναι χώροι Banach, μια απεικόνιση T : E → F απεικονίζει ασθενώς μηδενικά δίκτυα σε  · μηδενικά αν και μόνον αν είναι πεπερασμένης τάξης (και ϕραγμένη). (ii) Το αντίστροφο της Πρότασης δεν ισχύει γενικά σε χώρους Banach,7 ισχύει όμως σε χώρους Hilbert. Για την απόδειξη, ϑα χρειασθεί το Λήμμα 3.2.7 Κάθε  · -ϕραγμένη ακολουθία σ’ έναν χώρο Hilbert έχει μια ασθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία. Απόδειξη ΄Εστω (yn ) μια ϕραγμένη ακολουθία στον H. 6

Η έννοια του δικτύου είναι γενίκευση της έννοιας της ακολουθίας· δες π.χ. [13, 8.5, 8.6].

Δίκτυα δεν ϑα μας χρειασθούν στις σημειώσεις αυτές. 7

w

Για παράδειγμα, στον 1 (N), αν xn → 0 τότε xn 1 → 0 (ϐλ. [1, V.5.2], αλλά ο ταυτοτικός

τελεστής δεν είναι συμπαγής, εφόσον ο χώρος είναι απειροδιάστατος (Πρόταση 3.3.6). Το Λήμμα 3.2.7 (άρα και η Πρόταση 3.2.8) αληθεύει και όταν ο H είναι αυτοπαθής χώρος Banach (ϐλ. π.χ. [1, VI.3.3]).


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

118

Είναι ϐέβαια αλήθεια ότι, για κάθε x ∈ H, η (yn , x )n είναι ϕραγμένη ακολουθία μιγαδικών αριθμών, άρα έχει μια υπακολουθία (ynx , x )n που συγκλίνει. Αυτό όμως δεν αρκεί : πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει μια υπακολουθία

(zn ) της (yn ) ώστε η ακολουθία μιγαδικών αριθμών (zn , x )n να συγκλίνει για όλα τα x ∈ H. (α) Υποθέτουμε πρώτα ότι ο H είναι διαχωρίσιμος. ΄Εστω X = {x1 , x2 , . . .} ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο του H. Αν M =

supn {yn }, παρατηρούμε ότι, για κάθε x ∈ X και n ∈ N, έχουμε |yn , x | ≤ yn .x  ≤ M.x . Η ακολουθία (y1 , x1 , y2 , x1 , . . . , yn , x1 , . . .) είναι ϕραγμένη ακολουθία μιγαδικών αριθμών, άρα έχει μία συγκλίνουσα υπακολουθία, έστω

(y11 , x1 , y21 , x1 , . . . , yn1 , x1 , . . .). Θεωρούμε τώρα την υπακολουθία (yn1 ) της (yn ). Εφόσον |yn1 , x2 | ≤ M x2  για κάθε n ∈ N, η ακολουθία (yn1 , x2 )n έχει συγκλίνουσα υπακολουθία

(y12 , x2 , y22 , x2 , . . . , yn2 , x2 , . . .). "

#

(Βεβαίως, η ακολουθία ( yn2 , x1 )n επίσης συγκλίνει, αφού είναι υπακολουθία

"

#

της ( yn1 , x1 )n ). Επαγωγικά κατασκευάζουμε, για κάθε k ∈ N, μια υπακολουϑία (ynk )n της (ynk −1 )n ώστε η (ynk , xk )n να συγκλίνει (οπότε, για κάθε m ≤ k, η (ynk , xm )n επίσης ϑα συγκλίνει). Ονομάζουμε τώρα (zn )n την διαγώνια ακολουθία, zn = (ynn )n :

(zn )n = (y11 , y22 , . . . , ynn , . . .). Παρατηρούμε ότι για κάθε k ∈ N η ακολουθία (zn )n ≥k είναι υπακολουθία της (ynk )n ≥k . Επομένως, αφού η (ynk , xk )n συγκλίνει έπεται ότι η (zn , xk )n επίσης ϑα συγκλίνει. ΄Εστω τώρα x ∈ H και ε > 0. Επειδή το X είναι πυκνό στον H, υπάρχει k ∈ N ώστε x − xk  <

ε . 4M

Επειδή η (zn , xk )n συγκλίνει, υπάρχει nk ∈ N


3.2. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΩΤΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ώστε |zn , xk  − zm , xk | <

ε 2

119

όταν m, n ≥ nk . ΄Εχουμε τότε,

|zn , x −zm , x | ≤ |zn , xk  − zm , xk | + |zn − zm , x − xk | <

ε 2 ε 2

+ zn − zm .x − xk  + (zn  + zm )x − xk  ≤

ε 2

+ 2M x − xk  < ε.

Δείξαμε λοιπόν ότι για κάθε x ∈ H η ακολουθία μιγαδικών αριθμών (zn , x )n είναι ϐασική, άρα συγκλίνει. Σύμφωνα με την Παρατήρηση 3.2.4.ii, έπεται ότι η (zn ) είναι ασθενώς συγκλίνουσα. (ϐ) Γενική περίπτωση. Ονομάζουμε Ho την κλειστή γραμμική ϑήκη των {yn }, που είναι ένας διαχωρίσιμος χώρος Hilbert (γιατί ;). Από το (α) προκύπτει ότι η {yn } έχει μια υπακολουθία {zn } που συγκλίνει ασθενώς ως ακολουθία του Ho , δηλαδή υπάρχει z ∈ Ho ώστε zn , yo  → z, yo  για κάθε yo ∈ Ho . Αν y ∈ H, γράφουμε y = yo + yb όπου yo ∈ Ho και yb ∈ Ho⊥ . Τότε zn − z, y = zn − z, yo  άρα

zn , y → z, y. Συνεπώς η {zn } είναι ασθενώς συγκλίνουσα ως ακολουθία του H.  Πρόταση 3.2.8 ΄Εστω H χώρος Hilbert, F χώρος Banach και T : H → F γραμμική απεικόνιση. Η T είναι συμπαγής αν και μόνον αν Txn  → 0 για κάθε ασθενώς μηδενική ακολουθία {xn } στον H. Απόδειξη Αν η T είναι συμπαγής, τότε απεικονίζει ασθενώς μηδενικές ακολουθίες σε  · -μηδενικές (Πρόταση 3.2.5). ΄Εστω, αντίστροφα, ότι η T απεικονίζει ασθενώς μηδενικές ακολουθίες σε

 · -μηδενικές. Αν {yn } είναι μια ϕραγμένη ακολουθία, πρέπει να δείξουμε ότι η {Tyn } έχει μια  · -συγκλίνουσα υπακολουθία (Θεώρημα 3.2.3). Από το Λήμμα, υπάρχει μια υπακολουθία {zn } της {yn } που να συγκλίνει ασθενώς, έστω στο z. Από την υπόθεση, ϑα έχουμε T (zn − z ) → 0, δηλαδή η ακολουθία (T (zn )) είναι  · -συγκλίνουσα.  Λήμμα 3.2.9 Αν H χώρος Hilbert, F χώρος με νόρμα και T ∈ B(H, F ), τότε ο T απεικονίζει την κλειστή μοναδιαία σφαίρα BH του H σε κλειστό υποσύνολο του F .


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

120

Παρατήρηση. Δεν ισχυριζόμαστε ότι ο T απεικονίζει κλειστά υποσύνολα σε κλειστά υποσύνολα. Για παράδειγμα, ο τελεστής Da ∈ B(2 ) όπου an =

1 n

απεικονίζει τον 2 σε ένα πυκνό υποσύνολο του (αφού en ∈ T (2 ) για κάθε n ∈ N), δεν είναι όμως επί (΄Ασκηση 3.7), άρα το T (2 ) δεν είναι κλειστό. Απόδειξη Αν y ∈ T (BH ), υπάρχει ακολουθία {xn } στην BH ώστε

Txn − y → 0. Η {xn } είναι ϕραγμένη, επομένως από το Λήμμα 3.2.7 έχει μια υπακολουθία {un } που συγκλίνει ασθενώς, έστω στο x. Παρατηρούμε ότι x  ≤ 1, γιατί x 2 = x, x  = lim |un , x | ≤ x  αφού un  ≤ 1. Θα δείξουμε ότι Tx = y. Πράγματι, αν y∗ ∈ F ∗ , η γραμμική w

μορφή y∗ ◦ T ανήκει στον δυϊκό του H, επομένως (αφού un → x) έχουμε

(y∗ ◦ T )(un ) → (y∗ ◦ T )(x ), δηλαδή y∗ (Tun − Tx ) → 0. Από την άλλη μεριά όμως

|y∗ (Tun − y)| ≤ y∗ .Tun − y → 0 αφού η {Tun } είναι υπακολουθία της {Txn }. Επομένως y∗ (y) = lim y∗ (Tun ) = y∗ (Tx ) n

για κάθε y∗ ∈ F ∗ , άρα (Θεώρημα Hahn - Banach) y = Tx ∈ T (BH ).



Μπορούμε τώρα να συνοψίσουμε τους χαρακτηρισμούς της συμπάγειας ενός τελεστή σ’ έναν χώρο Hilbert ως εξής : Θεώρημα 3.2.10 Αν H είναι χώρος Hilbert και T : H → H γραμμική απεικόνιση, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα : (i) Ο T είναι συμπαγής τελεστής. (ii) Για κάθε ϕραγμένο υποσύνολο A ⊆ H, το T (A) είναι σχετικά συμπαγές. (iii) Για κάθε ϕραγμένη ακολουθία {xn } του H, η ακολουθία {Txn } έχει  · συγκλίνουσα υπακολουθία. (iv) Το σύνολο T (BH ) είναι ολικά ϕραγμένο. (v) Το σύνολο T (BH ) είναι συμπαγές. w

(vi) Αν xn → 0, τότε Txn  → 0.


3.2. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΩΤΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

121

Απόδειξη (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv) : Θεώρημα 3.2.3. (i) ⇒ (v): Από τον ορισμό και το Λήμμα 3.2.9. (v) ⇒ (i): προφανές. (i) ⇔ (vi): Πρόταση 3.2.8.



Ο επόμενος χαρακτηρισμός εφαρμόζεται πολλές ϕορές στην πράξη, και επιπλέον η απόδειξή του δεν χρησιμοποιεί την έννοια της ασθενούς σύγκλισης : Θεώρημα 3.2.11 Αν H είναι χώρος Hilbert και T ∈ B(H ), τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα : (i) Ο T είναι συμπαγής. (ii) Για κάθε ορθοκανονική ακολουθία {xn } του H, ισχύει Txn , xn  → 0. (iii) Υπάρχει μια ακολουθία {Fn } από ϕραγμένους τελεστές πεπερασμένης τάξης ώστε T − Fn  → 0. Απόδειξη (i) ⇒ (ii)8 Αν δεν ισχύει το (ii), ϑα υπάρχει d > 0 και ορθοκανονική ακολουθία {xn } ώστε το σύνολο {n ∈ N : |Txn , xn | ≥ 2d } να είναι άπειρο. Περνώντας εν ανάγκη σε μια υπακολουθία, μπορώ να υποθέσω ότι

|Txn , xn | ≥ 2d

για κάθε n ∈ N.

(3.3)

Επειδή ο T είναι συμπαγής και η {xn } είναι ϕραγμένη, η {Txn } ϑα έχει μια υπακολουθία {Txnk } που συγκλίνει, έστω στο x ∈ H. Παραλείποντας πεπερασμένο πλήθος όρων της, μπορώ λοιπόν να υποθέσω ότι Txnk − x  < d για κάθε k ∈ N. Τότε

|Txnk , xnk  − x, xnk | = |Txnk − x, xnk | ≤ Txnk − x  < d, άρα, χρησιμοποιώντας και την σχέση (3.3), έχουμε |x, xnk | ≥ d για κάθε k ∈ N. Αλλά η {xnk } είναι ορθοκανονική, επομένως από την ανισότητα Bessel (1.2.7) έχουμε



|x, xnk |2 ≤ x 2

k

άτοπο. 8

Αν κανείς χρησιμοποιήσει την έννοια της ασθενούς σύγκλισης, το (i) ⇒ (ii) έπεται και

από την Πρόταση 3.2.5, γιατί μια ορθοκανονική ακολουθία είναι ασθενώς μηδενική, όπως προκύπτει από την ανισότητα Bessel, 1.2.7.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

122

(ii) ⇒ (iii) ΄Εστω n ∈ N. Θα κατασκευάσουμε έναν τελεστή Fn ∈ F (H ) ώστε

T − Fn  ≤

1 n

.

Θεωρούμε την οικογένεια A που έχει ως στοιχεία το κενό σύνολο και όλες τις ορθοκανονικές οικογένειες A ⊆ H για τις οποίες ισχύει

|Ta, a | ≥

1 4n

για κάθε a ∈ A.

Από την υπόθεση, κάθε A ∈ A είναι πεπερασμένο σύνολο. Η οικογένεια A είναι μερικά διατεταγμένη από την σχέση του περιέχεσθαι. Ισχυρίζομαι ότι η A έχει ένα μεγιστικό στοιχείο, δηλαδή ότι υπάρχει ένα στοιχείο της A που κανένα άλλο στοιχείο της A δεν το περιέχει γνήσια. Πράγματι, αν όχι, τότε ϑα υπήρχε μια γνήσια αύξουσα άπειρη ακολουθία A1 ⊂ A2 ⊂ . . . στοιχείων της A. Αν Ao = ∪k Ak , η Ao είναι ορθοκανονική οικογένεια και ικανοποιεί

|Ta, a | ≥

1 4n

για κάθε a ∈ Ao , συνεπώς A ∈ A. ΄Αρα το Ao είναι πεπερασμένο

σύνολο, επομένως η ακολουθία A1 ⊂ A2 ⊂ . . . δεν είναι άπειρη. ΄Εστω B ένα μεγιστικό στοιχείο της A και M ⊆ H ο υπόχωρος του H που παράγεται από την ορθοκανονική οικογένεια B. Ο M είναι πεπερασμένης διάστασης, αφού η B είναι πεπερασμένη. Παρατηρώ ότι, αν x ⊥M και x  = 1, 1 τότε |Tx, x | < 4n , γιατί διαφορετικά ϑα είχαμε B ∪ {x } ∈ A, ενώ η B είναι μεγιστικό στοιχείο της A. Αν τώρα u, v ∈ M ⊥ και u  ≤ 1, v ≤ 1, ισχυρίζομαι ότι | Tu, v | ≤ n1 . Πράγματι, έχουμε u ± v ≤ 2, u ± iv ≤ 2, επομένως

|Tu, v| =   u +v u +v u −v u −v u + iv u + iv u − iv u − iv  = T , , , ,  − T  + i T  − i T  2 2 2 2 2 2 2 2         u + v u + v   u − v u − v   u + iv u + iv   u − iv u − iv   , , , ,  + T  + T  + T  ≤ T 2 2 2 2 2 2 2 2 <4

1 4n

=

1 n

.

΄Εστω x, y ∈ H με x  ≤ 1, y ≤ 1. Αν P είναι η προβολή στον υπόχωρο M, τότε u = (I − P )x ∈ M ⊥ και v = (I − P )y ∈ M ⊥ . Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη ανισότητα, ϐρίσκουμε λοιπόν

|(I − P )T (I − P )x, y| = |T (I − P )x, (I − P )y| <

1 n

για κάθε x, y ∈ BH .


3.3. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΣΥΜΠΑΓΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

123

Επομένως, παίρνοντας supremum ως προς x και y στην BH ,

(I − P )T (I − P ) ≤

1 n

.

Επειδή dim(im P ) = dim M < +∞, ο P είναι (ϕραγμένος) τελεστής πεπερασμένης τάξης. Το ίδιο λοιπόν ισχύει και για τους PT, TP, PTP, άρα και για τον PT + TP − PTP. Θέτοντας λοιπόν Fn = PT + TP − PTP, έχω

T − Fn  = (I − P )T (I − P ) ≤

1 n

.

(iii) ⇒ (i) Θα δείξουμε σε λίγο ότι το όριο, στην τοπολογία της νόρμας του

B(H ), μιας ακολουθίας συμπαγών τελεστών είναι συμπαγής τελεστής (Πρόταση 3.3.3). Αν λοιπόν η Fn είναι ακολουθία (ϕραγμένων) τελεστών πεπερασμένης τάξης και T − Fn  → 0 τότε, επειδή κάθε Fn είναι, ϕυσικά, συμπαγής, ο T ϑα είναι και αυτός συμπαγής. Η απόδειξη είναι πλήρης.



Το επόμενο άμεσο Πόρισμα του Θεωρήματος 3.2.11 χρησιμοποιείται πολύ συχνά στις εφαρμογές : Πόρισμα 3.2.12 ΄Εστω H χώρος Hilbert και A ∈ B(H ). Ο A είναι συμπαγής αν και μόνον αν για κάθε ε > 0 υπάρχει B ∈ F (H ) και C ∈ B(H ) ώστε C < ε και A = B + C. Λέμε ότι « ο A είναι μικρή διαταραχή ενός τελεστή πεπερασμένης τάξης».

3.3 Ο χώρος των συμπαγών τελεστών Αν E, F είναι χώροι Banach, ονομάζουμε K(E, F ) το σύνολο των συμπαγών τελεστών T : E → F . Ειδικότερα, γράφουμε K(E ) = K(E, E ). Στην παράγραφο αυτή ϑα μελετήσουμε αλγεβρικές και τοπολογικές ιδιότητες του K(E, F ). ΄Εχουμε ήδη δείξει ότι

F (E, F ) ⊆ K(E, F ) ⊆ B(E, F ). Λήμμα 3.3.1 Αν E, F είναι χώροι Banach, T, S ∈ K(E, F ) και λ ∈ C, τότε T + λS ∈ K(E, F ).


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

124

Απόδειξη Αν {xn } είναι ϕραγμένη ακολουθία στον E, ϑα δείξω ότι η ακολουθία

{(T + λS)(xn )} έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Επειδή ο T είναι συμπαγής, η {Txn } έχει μια υπακολουθία {Tyn } που συγκλίνει. Επειδή η {yn } είναι ϕραγμένη και ο S είναι συμπαγής, η {Syn } έχει υπακολουθία {Szn } που συγκλίνει. Επίσης η {Tzn } είναι υπακολουθία της {Tyn }, άρα συγκλίνει. Συνεπώς η ακο λουθία {(T + λS)(zn )} = {Tzn + λSzn } συγκλίνει. Λήμμα 3.3.2 Αν E, F, G είναι χώροι Banach, T ∈ K(E, F ) και S ∈ B(F, G )

⇒ ST ∈ K(E, G ), και

A ∈ B(E, F ) και B ∈ K(F, G )

⇒ BA ∈ K(E, G ).

Απόδειξη Είναι άμεση εφαρμογή των ορισμών : Αν X ⊆ E είναι ϕραγμένο σύνολο, επειδή ο T είναι συμπαγής το σύνολο T (X ) είναι σχετικά συμπαγές υποσύνολο του F . Επειδή ο S είναι συνεχής, το σύνολο S(T (X )) είναι σχετικά συμπαγές υποσύνολο του G. ΄Αρα ο τελεστής ST είναι συμπαγής. Επειδή ο Α είναι ϕραγμένος, το σύνολο A(X ) είναι ϕραγμένο υποσύνολο του F , συνεπώς, επειδή ο Β είναι συμπαγής, το σύνολο B(A(X ))) είναι σχετικά



συμπαγές υποσύνολο του G. ΄Αρα ο τελεστής BA είναι συμπαγής.

Πρόταση 3.3.3 Αν E, F είναι χώροι Banach, ο K(E, F ) είναι κλειστός υπόχωϱος του χώρου Banach B(E, F ), άρα χώρος Banach. Απόδειξη ΄Εστω Tn ∈ K(E, F ) και T ∈ B(E, F ) ώστε Tn − T  → 0. Θα δείξουμε ότι ο T είναι συμπαγής. ΄Εστω ε > 0. Επιλέγουμε k ∈ N ώστε Tk − T  < ε/3. Επειδή ο Tk είναι συμπαγής, το Tk (BE ) είναι ολικά ϕραγμένο, επομένως καλύπτεται από πεπερασμένο πλήθος ανοικτών σφαιρών με ακτίνα ε/3. Δηλαδή υπάρχουν x1 , . . . , xn ∈ BE ώστε για κάθε x ∈ BE να υπάρχει i, 1 ≤ i ≤ n με Tk x ∈ S(Tk xi , ε/3). Τότε όμως

Tx − Txi  ≤ Tx − Tk x  + Tk x − Tk xi  + Tk xi − Txi  εx  ε εxi  + + ≤ε ≤ T − Tk .x  + Tk x − Tk xi  + T − Tk .xi  < 3

3

3


3.3. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΣΥΜΠΑΓΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

125

άρα Tx ∈ S(Txi , ε). Δείξαμε ότι το T (BE ) καλύπτεται από τις ανοικτές σφαίρες S(Txi , ε), i = 1, . . . , n, άρα, επειδή το ε είναι αυθαίρετο, δείξαμε ότι το T (BE ) είναι ολικά ϕραγμένο, επομένως ο T είναι συμπαγής.



Λήμμα 3.3.4 Η μοναδιαία σφαίρα BE = {x ∈ E : x  ≤ 1} ενός χώρου με νόρμα E είναι  · -συμπαγής αν και μόνον αν ο E έχει πεπερασμένη διάσταση. Απόδειξη Αν dim E = n < ∞, ο E είναι (τοπολογικά) ισόμορφος με τον (Cn ,  ·

2 ). Επομένως η BE είναι ομοιομορφική με ένα (κλειστό και ϕραγμένο, άρα) συμπαγές υποσύνολο του Cn , και συνεπώς είναι συμπαγής. Αν ο E είναι απειροδιάστατος, ϑα δείξουμε ότι υπάρχει μια ακολουθία {xn } στην BE ώστε xn − xm  ≥ 1 για κάθε m  n, οπότε η {xn } δεν μπορεί να έχει  · -συγκλίνουσα υπακολουθία, επομένως η BE δεν είναι συμπαγής. Στην περίπτωση που ο E είναι χώρος Hilbert, οποιαδήποτε ορθοκανονική ακολουθία {xn } έχει την απαιτούμενη ιδιότητα : αν m  n, τότε xn ⊥xm , επομένως, από το Πυθαγόρειο ϑεώρημα, έχουμε

xn − xm 2 = xn 2 + xm 2 = 2. Για την γενική περίπτωση, ϑα χρειασθεί ο Ισχυρισμός : Αν F ⊆ E είναι πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος του Ε, υπάρχει x ∈ E με x  = 1 και d (x, F ) = 1 (όπου d (x, F ) = inf{x − y : y ∈ F }). Απόδειξη Ισχυρισμού : Ο F είναι γνήσιος, κλειστός υπόχωρος του E, αφού έχει πεπερασμένη διάσταση. ΄Εστω z  F , και d = d (z, F ) (οπότε d > 0). Για κάθε n ∈ N, υπάρχει yn ∈ F ώστε z − yn  < d + n −1 . Η ακολουθία {yn } είναι ϕραγμένη, άρα, επειδή dim F < ∞, έχει ένα σημείο συσσώρευσης, έστω yo ∈ F , οπότε z − yo  = d. Θέτοντας x = d −1 (z − yo ), έχουμε x  = 1 και d (x, F ) = 1, γιατί για κάθε y ∈ F ,

x − y = d −1 (z − yo ) − y = d −1 z − (yo + dy)d −1 ≥ d −1 d = 1 εφόσον (yo + dy) ∈ F , συνεπώς d (x, F ) ≥ 1, και επίσης d (x, F ) ≤ x − 0 = 1, άρα ισχύει ισότητα.



Κατασκευάζουμε τώρα την {xn } επαγωγικά ως εξής : Θεωρούμε ένα αυθαίϱετο x1 ∈ E με x1  = 1 και, αν F1 = [x1 ], από τον Ισχυρισμό ϐρίσκουμε


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

126

x2 ∈ E με x2  = 1 και d (x2 , F1 ) = 1. Αν τα x1 , . . . , xn έχουν κατασκευασθεί, ϑέτουμε Fn = [x1 , . . . , xn ] και, πάλι από τον Ισχυρισμό, ϐρίσκουμε xn +1 ∈ E με xn +1  = 1 και d (xn +1 , Fn ) = 1. Συνεπώς αν n > m, τότε xm ∈ Fn −1 άρα

xn − xm  ≥ d (xn , Fn −1 ) = 1.  Πόρισμα 3.3.5 ΄Ενας ταυτοδύναμος τελεστής T σ’ έναν χώρο Banach E είναι συμπαγής αν και μόνον αν είναι πεπερασμένης τάξης. Ειδικότερα, αυτό ισχύει για μια προβολή σ’ έναν χώρο Hilbert. Πράγματι, αν ο (κλειστός) υπόχωρος F = im T είναι απειροδιάστατος, η κλειστή μοναδιαία σφαίρα του F1 δεν είναι συμπαγής, άρα το T (F1 ) = F1 δεν είναι συμπαγές. Πρόταση 3.3.6 Αν ο E είναι χώρος Banach, το σύνολο K(E ) των συμπαγών τελεστών E → E είναι ·-κλειστό, (αμφίπλευρο) ιδεώδες της άλγεβρας Banach

B(E ). Είναι γνήσιο ιδεώδες αν και μόνον αν ο E είναι απειροδιάστατος. Ειδικότερα, είναι άλγεβρα Banach (χωρίς μονάδα, αν ο E είναι απειροδιάστατος). Απόδειξη Από το Λήμμα 3.3.1 προκύπτει ότι ο K(E ) είναι γραμμικός χώρος, και από το Λήμμα 3.3.2 ότι αν T ∈ K(E ) και S ∈ B(E ) τότε TS, ST ∈ K(E ), άρα το K(E ) είναι (αμφίπλευρο) ιδεώδες της B(E ). Η Πρόταση 3.3.3 δείχνει ότι είναι  · -κλειστό. Παρατηρώ ότι επειδή το K(E ) είναι ιδεώδες της B(E ), η ισότητα K(E ) =

B(E ) ισχύει αν και μόνον αν ο ταυτοτικός τελεστής I ανήκει στο K(E ), είναι δηλαδή συμπαγής. Αυτό όμως συμβαίνει αν και μόνον αν ο I είναι πεπερασμένης τάξης (Πόρισμα 3.3.5), δηλαδή dim E < +∞. Ειδικότερα αυτό δείχνει ότι αν ο E είναι απειροδιάστατος, η άλγεβρα Banach K(E ) δεν έχει μονάδα. Γιατί, αν υπήρχε U ∈ K(E ) ώστε UT = TU = T για κάθε T ∈ K(E ), τότε, για κάθε x ∈ E και y∗ ∈ E ∗ ϑα είχαμε U (x ⊗ y∗ ) = x ⊗ y∗ , αφού ο x ⊗ y∗ είναι συμπαγής. ΄Αρα (Ux − x ) ⊗ y∗ = 0, επομένως Ux = x για κάθε x ∈ E, δηλαδή U = I. Δείξαμε όμως προηγουμένως ότι ο I δεν είναι συμπαγής.




3.3. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΣΥΜΠΑΓΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

127

Παρατηρήσεις 3.3.7 (i) Αν ο E είναι απειροδιάστατος χώρος Banach, ο K(E ) δεν περιέχει κανέναν αντιστρέψιμο τελεστή (΄Ασκηση 3.13). Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχουν συμπαγείς τελεστές που είναι ένα προς ένα : Παϱαδείγματος χάριν, ο τελεστής V του Volterra στον L 2 ([0, 1]) είναι συμπαγής και ένα προς ένα (΄Ασκηση 3.15). Το ίδιο ισχύει για τον διαγώνιο τελεστή Da , όταν η a ≡ {an } είναι μηδενική ακολουθία με an  0 για κάθε n ∈ N (΄Ασκηση 3.14). Οι τελεστές αυτοί δεν είναι όμως επί (΄Ασκηση 3.13). (ii) Από την Πρόταση 3.3.3 προκύπτει ότι το  · -όριο μιας ακολουθίας τελεστών πεπερασμένης τάξης σ’ έναν χώρο Banach (αν υπάρχει) είναι συμπαγής τελεστής. Υπάρχουν άραγε άλλοι συμπαγείς τελεστές, ή μήπως κάθε συμπαγής τελεστής προσεγγίζεται, στην τοπολογία της νόρμας, από τελεστές πεπερασμένης τάξης ; Είδαμε (Θεώρημα 3.2.11) ότι το δεύτερο αληθεύει σε χώρους Hilbert. Το ίδιο ισχύει και για τους περισσότερους κλασσικούς χώρους Banach. Το ερώτημα, αν αυτό ισχύει για κάθε χώρο Banach, ήταν ανοιχτό για πολλά χρόνια. Απαντήθηκε τελικά αρνητικά μόλις το 1973 από τον P. Enflo.9 Θα δείξουμε τώρα ότι, σε χώρους Hilbert, το ιδεώδες K(H ) είναι αυτοσυζυγές, δηλαδή ότι ένας ϕραγμένος τελεστής T είναι συμπαγής αν και μόνον αν ο συζυγής του είναι συμπαγής. Η απλή απόδειξη που ακολουθεί χρησιμοποιεί, ίσως απροσδόκητα, τον τελεστή T ∗ T . Πρόταση 3.3.8 Αν H είναι χώρος Hilbert και T ∈ B(H ) τότε T ∈ K(H ) ⇐⇒ T ∗ T ∈ K(H ) ⇐⇒ T ∗ ∈ K(H ). Απόδειξη Αν ο T είναι συμπαγής, τότε ο T ∗ T είναι συμπαγής (Λήμμα 3.3.2). ΄Εστω, αντίστροφα, ότι ο T ∗ T είναι συμπαγής. Αν {xn } είναι μια ϕραγμένη ακολουθία, τότε η {T ∗ Txn } έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία {T ∗ Tyn }. Αλλά

Tyn − Tym 2 = T (yn − ym ), T (yn − ym ) = T ∗ T (yn − ym ), yn − ym  ≤ T ∗ T (yn − ym )yn − ym  ≤ T ∗ T (yn − ym )(yn +ym ) ≤ 2M T ∗ Tyn − T ∗ Tym  9

A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, Acta Math., 130,

1973.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

128

όπου M = sup xn  < +∞. Επομένως η {Tyn } είναι ϐασική, άρα συγκλίνει. Συνεπώς ο T είναι συμπαγής. Αν ο T ∗ είναι συμπαγής, τότε ο T ∗ T είναι συμπαγής επειδή ο T είναι ϕραγμένος. ΄Οπως μόλις δείξαμε, έπεται ότι ο T είναι συμπαγής. Αν αντίστροφα ο T είναι συμπαγής, τότε, ϑέτοντας S = T ∗ , έχουμε ότι ο S∗ = T ∗∗ = T είναι συμπαγής. Επομένως, όπως μόλις δείξαμε, ο S = T ∗ είναι συμπαγής !



Πόρισμα 3.3.9 ΄Εστω H χώρος Hilbert και A ∈ B(H ). Αν ο A είναι συμπαγής, τότε οι υπόχωροι im A και (ker A)⊥ είναι διαχωρίσιμοι. Απόδειξη Υπάρχει ακολουθία (Fn ) από τελεστές πεπερασμένης τάξης ώστε A− Fn  → 0. Εφόσον για κάθε x ∈ H έχουμε Ax = limn Fn x, έπεται ότι ο χώρος

im A περιέχεται στον κλειστό υπόχωρο που παράγεται από τους im Fn , που καθένας είναι πεπερασμένης διάστασης. Συνεπώς ο im A είναι διαχωρίσιμος, άρα το ίδιο ισχύει και για τον im A. Εφόσον ο A∗ είναι συμπαγής, ο υπόχωρος im A∗ είναι διαχωρίσιμος. Αλλά (ker A)⊥ = im A∗ (΄Ασκηση 2.28).  Παραδείγματα 3.3.10 (i) ΄Ενας διαγώνιος τελεστής Da (a ∈ ∞ ) στον 2 είναι συμπαγής αν και μόνον αν a = (a (n )) ∈ c0 . Πράγματι, ο Da καθορίζεται από τις σχέσεις Da en = a (n )en (n ∈ N) όπου {en } η συνηθισμένη ορθοκανονική ϐάση του 2 . Αν ο Da είναι συμπαγής, ϑα πρέπει από το Θεώρημα 3.2.11 να ισχύει a (n ) = Da en , en  → 0 όταν n → ∞, επομένως ϑα πρέπει η a να είναι μηδενική ακολουθία. Αντίστροφα, αν a ∈ c0 και ονομάσω Tn τον τελεστή Dan όπου an = (a (1), a (2), . . . , a (n ), 0, 0, . . .), παρατηρούμε ότι κάθε Tn είναι πεπερασμένης τάξης και ότι

Da − Tn  = a − an ∞ = sup{|a (k )| : k > n } k

επομένως Da − Tn  → 0 όταν n → ∞, άρα ο Da είναι συμπαγής ως όριο τελεστών πεπερασμένης τάξης (Πρόταση 3.3.3).


3.4. ΤΕΛΕΣΤΕΣ HILBERT-SCHMIDT

129

(ii) Παρατηρούμε ότι οι τελεστές Tn του προηγούμενου Παραδείγματος μπορούν να γραφούν

n 

Tn =

a (k )ek ⊗ ek∗ .

k =1

Επομένως

Da =  · - lim Tn = n

∞ 

a (k )ek ⊗ ek∗ .

k =1

Γενικότερα, αν {xn }, {yn } είναι δυο ορθοκανονικές ακολουθίες σ’ έναν χώρο Hilbert H και {a (n )} είναι μια μηδενική ακολουθία, οι τελεστές An =

n 

a (k )xk ⊗ yk∗

k =1

είναι πεπερασμένης τάξης και, αν m > n, Am − An  = max{|a (k )| : n < k ≤ m } (΄Ασκηση 3.3) επομένως η {An } είναι ϐασική ακολουθία στον χώρο Banach

K(H ), άρα συγκλίνει στον συμπαγή τελεστή A=

∞ 

a (k )xk ⊗ yk∗ .

k =1

(Ισοδύναμα, ϑα μπορούσαμε να ορίσουμε τον A από τις σχέσεις Ayn = a (n )xn στον υπόχωρο M ≡ [yn : n ∈ N] και A|M ⊥ = 0 και να αποδείξουμε (όπως στο (i)) ότι A − An  → 0.) Θα αποδείξουμε αργότερα ότι κάθε συμπαγής τελεστής σ’ έναν χώρο Hilbert μπορεί να γραφεί σ’ αυτήν την μορφή.

3.4 Τελεστές Hilbert-Schmidt Μια ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα κλάση συμπαγών τελεστών σε χώρους Hilbert προκύπτει από την ακόλουθη Πρόταση. Πρόταση 3.4.1 Ας υποθέσουμε ότι ένας τελεστής A ∈ B(H ) έχει την ιδιότητα να υπάρχει μια ορθοκανονική ϐάση {ei } στον H τέτοια ώστε10



Aei 2 < +∞.

i ∈I

Τότε ο A είναι συμπαγής. 10

Θυμίζουμε ότι το άθροισμα της σειράς είναι το supremum των μερικών αθροισμάτων.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

130

Απόδειξη Θα κατασκευάσουμε μια ακολουθία {Ak } ⊆ F (H ) ώστε

 Ak − A → 0. Εφόσον i Aei 2 < +∞, το σύνολο J ≡ {ei ∈ I : Aei  0} είναι αριθμήσιμο· έστω {en : n ∈ N} μια αρίθμηση του. Κάθε x ∈ H γράφεται  x = n λn en + xo όπου λn = x, en  και xo ⊥ en για κάθε n ∈ N, άρα Axo = 0. Για κάθε k ∈ N, ονομάζουμε Pk την προβολή στον [e1 , . . . , ek ] και ϑέτουμε Ak = APk . Αφού ο A είναι ϕραγμένος, είναι ϕανερό ότι Ak ∈ F (H ). Για κάθε  x = n λn en + xo ∈ H, έχουμε (I − Pk )x =

∞ 

λn en + xo

n =k +1

άρα, αφού Axo = 0,

⎛ ∞ ⎞ ∞  ⎜⎜⎜  ⎟⎟ (A − Ak )(x ) = A(I − Pk )(x ) = A ⎜⎜⎝ λn en ⎟⎟⎟⎠ = λn A(en ) n =k +1

n =k +1

(διότι ο A είναι συνεχής) επομένως

(A − Ak )x  ≤

∞  n =k +1

⎤1/2 ⎡ ∞ ⎤1/2 ⎡ ∞ ⎥ ⎢⎢⎢  ⎥⎥ ⎢⎢⎢  2⎥ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Aen  ⎥⎥⎥⎦ |λn |.Aen  ≤ ⎢⎣ |λn | ⎥⎦ ⎢⎣ n =k +1

n =k +1

(από την κλασσική ανισότητα Cauchy-Schwarz), άρα

⎡ ∞ ⎤1/2 ⎢⎢⎢  ⎥⎥ 2 Aen  ⎥⎥⎥⎦ . (A − Ak )x  ≤ x  ⎢⎢⎣ n =k +1

Επομένως

⎡ ∞ ⎤1/2 ⎢⎢⎢  ⎥⎥ 2 A − Ak  ≤ ⎢⎢⎣ Aen  ⎥⎥⎥⎦ . n =k +1

Η υπόθεση όμως λέει ότι το δεξιά μέλος της ανισότητας τείνει στο μηδέν όταν k → ∞, άρα A − Ak  → 0 όταν k → 0.



Ορισμός 3.4.1 ΄Ενας ϕραγμένος τελεστής A σ’ έναν χώρο Hilbert H λέγεται τελεστής Hilbert-Schmidt αν υπάρχει μια ορθοκανονική ϐάση {ei : i ∈ I } του H ώστε

 i

Aei 2 < +∞.


3.4. ΤΕΛΕΣΤΕΣ HILBERT-SCHMIDT

131

Παρατηρήσεις 3.4.2 (i) Το κριτήριο Hilbert- Schmidt είναι πολύ ευκολότερο να ελεγχθεί στην πράξη από τα γενικά κριτήρια συμπάγειας, γιατί αναφέρεται σε μια ορθοκανονική ϐάση. (ii) Εφόσον κάθε τελεστής Hilbert- Schmidt A είναι συμπαγής, οι χώροι

im A και (ker A)⊥ είναι διαχωρίσιμοι (Πόρισμα 3.3.9). Επομένως, περιοριζόμενοι εν ανάγκη στον κλειστό υπόχωρο που παράγουν, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο A δρα σε διαχωρίσιμο χώρο. Θα περιορισθούμε λοιπόν στα επόμενα σε διαχωρίσιμους χώρους Hilbert. (iii) Δεν είναι όλοι οι συμπαγείς τελεστές Hilbert- Schmidt: για παράδειγμα, ο τελεστής Da στον 2 όπου an = √1n για κάθε n ∈ N είναι συμπαγής,

αφού a ∈ co , αλλά δεν ικανοποιεί το κριτήριο Hilbert- Schmidt ως προς την συνήθη ϐάση {en } του 2 , γιατί ∞ 

Da en 2 =

n =1

∞  1 n =1

n

= +∞.

Μήπως όμως το ικανοποιεί ως προς κάποια άλλη ϐάση ; Αυτό δεν μπορεί να συμβεί : Πρόταση 3.4.3 Αν A ∈ B(H ), ο αριθμός

⎤1/2 ⎡∞ ⎥⎥ ⎢⎢⎢ ∈ [0, +∞] Ah ≡ ⎢⎢⎣ Aen 2 ⎥⎥⎥⎦ n =1

όπου {en } ορθοκανονική ϐάση του H, δεν εξαρτάται από την {en }. Επίσης,

Ah = A∗ h ≥ A. Απόδειξη Αν {en }, {fn } είναι δυο ορθοκανονικές ϐάσεις του H, ϑα δείξουμε ότι ∞ 

A∗ fm 2 =

m =1

∞ 

Aen 2 =

n =1

∞ 

A∗ en 2 =

n =1

∞ 

Afm 2 .

m =1

Για κάθε n ∈ N, το Aen ∈ H γράφεται συναρτήσει της ϐάσης {fn }: Aen =

∞  m =1

Aen , fm fm άρα

Aen 2 =

∞  m =1

|Aen , fm |2


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

132

(ταυτότητα Parseval, Θεώρημα 1.7.4). Επομένως, για κάθε k ∈ N, k 

k  ∞ 

Aen 2 =

|Aen , fm |2 =

n =1 m =1

n =1

k ∞  

=

k ∞  

|Aen , fm |2

m =1 n =1

|en , A∗ fm |2 .

(3.4)

m =1 n =1

Επειδή όμως η {en } είναι ορθοκανονική ακολουθία, από την ανισότητα Bessel έχουμε

k 

|en , A∗ fm |2 ≤ A∗ fm 2

n =1

άρα, από την (3.4),

k 

∞ 

Aen  ≤ 2

n =1

A∗ fm 2

m =1

συνεπώς, αφού η ανισότητα αυτή ισχύει για κάθε k ∈ N, ∞ 

∞ 

Aen  ≤ 2

n =1

A∗ fm 2

m =1

Επαναλαμβάνοντας τα ίδια επιχειρήματα με την {en } στην ϑέση της {fm } και τον A∗ στην ϑέση του A, καταλήγουμε στην ανισότητα ∞ 

A fm  ≤ 2

m =1

∞ 

∗∗

A en  = 2

n =1

επομένως

∞ 

Aen 2

n =1

A∗ fm 2 =

m =1

∞ 

∞ 

Aen 2 .

(3.5)

n =1

Εφαρμόζοντας την ισότητα αυτή για {fn } = {en }, έχουμε ∞ 

A∗ en 2 =

n =1

∞ 

Aen 2 .

(3.6)

n =1

Από τις (3.5) και (3.6) έχουμε ∞  m =1

A∗ fm 2 =

∞  n =1

Aen 2 =

∞  n =1

A∗ en 2 =

∞  m =1

Afm 2 .


3.4. ΤΕΛΕΣΤΕΣ HILBERT-SCHMIDT

133

΄Ετσι δείξαμε τους δυο πρώτους ισχυρισμούς ταυτοχρόνως. Τέλος, για κάθε x =



n λn en ∈ H με x  = 1, έχουμε

, ,



 2 Ax  =

λn Aen

≤ |λn | Aen 2 = Ah |λn |Aen  ≤

n

n n n

άρα

A ≤ Ah .



Παρατήρηση 3.4.4 Αν ονομάσουμε C2 (H ) το σύνολο των τελεστών HilbertSchmidt σ’ έναν διαχωρίσιμο χώρο Hilbert H, παρατηρούμε ότι, εξαιτίας της Πρότασης 3.4.3, αν επιλέξουμε οποιαδήποτε ορθοκανονική ϐάση {en } του H, έχουμε

⎫ ⎧ ⎛∞ ⎞1/2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  ⎜ ⎟ ⎪ ⎜⎜⎜ ⎬ ⎨ ⎟⎟⎟ < +∞⎪ 2⎟ .  Ae  C2 (H ) = ⎪ A ∈ B( H ) :  A  = ⎜ ⎪ h n ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ n =1

Δεν είναι τώρα δύσκολο να διαπιστώσει κανείς ότι, αν A, B ∈ C2 (H ) και λ ∈ C, τότε A + λBh ≤ Ah + |λ|Bh , επομένως το C2 (H ) είναι γραμμικός χώρος και η  · h είναι νόρμα στον C2 (H ) (γιατί αν Ah = 0, τότε A = 0 από την Πρόταση 3.4.3). Εξάλλου, αν A, B ∈ C2 (H ), έχουμε ∞  n =1

|Aen , Ben | ≤

∞  n =1

⎛∞ ⎞1/2 ⎛ ∞ ⎞1/2 ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟ 2⎟ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Aen .Ben  ≤ ⎜⎝ Aen  ⎟⎠ ⎜⎝ Ben  ⎟⎟⎟⎠ n =1

n =1

επομένως η παράσταση

A, Bh ≡

∞ 

Aen , Ben 

n =1

είναι καλά ορισμένη. Είναι τώρα εύκολο να δείξει κανείς ότι το ·, ·h είναι εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C2 (H ), και ϕυσικά A, Ah = A2h . Επομένως ο αριθμός A, Bh δεν εξαρτάται από την ορθοκανονική ϐάση {en }. Το αξιοσημείωτο είναι ότι ο χώρος (C2 (H ),  · h ) είναι πλήρης, άρα χώρος Hilbert.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

134

Η απόδειξη είναι ανάλογη με εκείνη της πληρότητας του 2 : ΄Εστω {An } μια ακολουθία στον C2 (H ) που είναι ϐασική ως προς την νόρμα

 · h . Η ανισότητα A ≤ Ah (Πρόταση 3.4.3) δείχνει ότι η {An } είναι ϐασική ως προς την νόρμα  ·  του B(H ). Επειδή ο B(H ) είναι πλήρης, υπάρχει A ∈ B(H ) ώστε A − An  → 0 (μάλιστα ο A είναι συμπαγής). Αν δοθεί ε > 0, υπάρχει k ∈ N ώστε m, n ≥ k ⇒ An − Am h ≤ ε. Αν λοιπόν {ei } είναι μια ορθοκανονική ϐάση του H, για κάθε N ∈ N έχουμε N  i =1

(An − Am )ei 2 ≤ An − Am 2h

άρα m, n ≥ k ⇒

N 

(An − Am )ei 2 ≤ ε2 .

(3.7)

i =1

Επειδή A − An  → 0, ισχύει limn (A − An )ei  = 0 για κάθε i ∈ N. Επομένως, παίρνοντας όριο ως προς n στην (3.7) έχουμε m≥k⇒

N 

(A − Am )ei 2 ≤ ε2 .

i =1

Επειδή η σχέση αυτή ισχύει για κάθε N ∈ N, έπεται ότι m≥k⇒

∞ 

(A − Am )ei 2 ≤ ε2

i =1

πράγμα που δείχνει ότι ο τελεστής A − Am είναι Hilbert-Schmidt για κάθε m ≥ k, οπότε A = (A − Am ) + Am ∈ C2 (H ) και m ≥ k ⇒ A − Am h ≤ ε επομένως A − Am h → 0.



Παρατήρηση 3.4.5 Αν A ∈ C2 (H ) και x, y ∈ H,

A, x ⊗ y∗ h = Ay, x .


3.4. ΤΕΛΕΣΤΕΣ HILBERT-SCHMIDT

135

Απόδειξη Επειδή ο ισχυρισμός αληθεύει τετριμένα όταν y = 0, πολλαπλασιάζοντας με μια σταθερά μπορούμε να υποθέσουμε ότι y = 1, οπότε το {y} είναι ορθοκανονικό σύνολο, επεκτείνεται λοιπόν σε ορθοκανονική ϐάση {en } του H με πρώτο στοιχείο e1 = y. Τότε ∞ ∞   ∗ A, x ⊗ y h = Aen , (x ⊗ y )en  = Aen , en , yx  = Ae1 , x  = Ay, x . ∗

n =1

n =1

Πρόταση 3.4.6 Αν H είναι διαχωρίσιμος χώρος Hilbert, το σύνολο C2 (H ) των τελεστών Hilbert-Schmidt του H είναι (διαχωρίσιμος) χώρος Hilbert ως προς την νόρμα  · h . Επιπλέον, αν {en } είναι μια ορθοκανονική ϐάση του H, τότε οι τελεστές ∗ , n, m ∈ N, αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του C (H ). πρώτης τάξης en ⊗ em 2

Κατά συνέπεια, το σύνολο F (H ) των τελεστών πεπερασμένης τάξης είναι πυκνό στον C2 (H ) ως προς την νόρμα  · h . Απόδειξη Το μόνο που δεν έχει αποδειχθεί είναι η τελευταία παράγραφος. ∗ : n, m ∈ N2 } είναι ορθοκανονικό. Ισχυρίζομαι πρώτα ότι το σύνολο {en ⊗ em

Πράγματι, αν A = ei ⊗ ej∗ και B = ek ⊗ el∗ , τότε ϐέβαια A, B ∈ C2 (H ) και (από την Παρατήρηση 3.4.5)

A, Bh = A, ek ⊗ el∗ h = Ael , ek  = (ei ⊗ ej∗ )el , ek  = el , ej ei , ek  = δik δjl δηλαδή A, Bh = 0 όταν A  B και A, Ah = 1. Αν όμως ένας K ∈ C2 (H ) είναι κάθετος σ’ αυτό το σύνολο, τότε 0 = K, ei ⊗ ek∗ h = Kek , ei  για κάθε i, k ∈ N. Επειδή η γραμμική ϑήκη της {en } είναι πυκνή στον H και K ∈ B(H ), έπεται ότι Kx, y = 0 για κάθε x, y ∈ H, άρα K = 0. Συνεπώς ο γραμμικός χώρος, έστω F , που παράγεται από την οικογένεια

{ei ⊗ ek∗ : (i, k ) ∈ N2 } είναι πυκνός στον C2 (H ). Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η {ei ⊗ ek∗ : (i, k ) ∈ N2 } είναι ορθοκανονική ϐάση του C2 (H ), αλλά και ότι οι τελεστές πεπερασμένης τάξης είναι πυκνοί στον C2 (H ), γιατί ο υπόχωρος F  αποτελείται από τελεστές πεπερασμένης τάξης.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

136

Σημείωση Ο υπόχωρος F = [ei ⊗ ek∗ : (i, k ) ∈ N2 ] του C2 (H ) που χρησιμοποιήσαμε στην τελευταία απόδειξη εξαρτάται από την επιλογή της ϐάσης {en }. Μάλιστα τα στοιχεία του F είναι ειδικής μορφής : για κάθε A ∈ F υπάρχουν n, m ∈ N ώστε ο A να απεικονίζει τον H στον [e1 , . . . , en ] και επιπλέον να μηδενίζεται στον [e1 , . . . , em ]⊥ . Ας σταθεροποιήσουμε μια ορθοκανονική ϐάση {en } του H. Κάθε ϕραγμένος τελεστής A : H → H αντιστοιχεί σ’ έναν «∞ × ∞ πίνακα» μιγαδικών αριθμών (anm ) μέσω της σχέσης Aem , en  = anm . Δεν είναι αλήθεια όμως ότι κάθε «∞ × ∞ πίνακας» ορίζει έναν ϕραγμένο τελεστή. Παραδείγματος χάριν, δεν υπάρχει τελεστής A : H → H ώστε Aem , en  = 1 για κάθε n, m ∈ N (΄Ασκηση 3.16). Η επόμενη πρόταση δίνει μια ικανή (καθόλου όμως αναγκαία) συνθήκη ώστε ένας «∞ × ∞ πίνακας» να ορίζει έναν ϕραγμένο τελεστή. Πρόταση 3.4.7 ΄Εστω {en } μια ορθοκανονική ϐάση του χώρου Hilbert H. Αν A ∈ C2 (H ) και anm = Aem , en , τότε ∞  ∞  n =1 m =1

|anm |2 = A2h < ∞.

Αντίστροφα, αν ένας «∞ × ∞ πίνακας» (anm ) μιγαδικών αριθμών ικανοποιεί ∞  ∞ 

|anm |2 < ∞

(‡)

n =1 m =1

τότε υπάρχει μοναδικός A ∈ C2 (H ) ώστε Aem , en  = anm για κάθε (n, m ) ∈ N2 . Απόδειξη Ο χώρος των «∞ × ∞ πινάκων» (anm ) μιγαδικών αριθμών που ικα-



|anm |2 ≡ (anm )22 < ∞ (‡) δεν είναι άλλος από τον (διαχωρίσιμο) χώρο Hilbert 2 (N2 ). Το άπειρο άθροισμα στην (‡) είναι ϐεβαίως

νοποιούν τη σχέση

n,m

το supremum των πεπερασμένων αθροισμάτων. ∗ : (n, m ) ∈ N2 } είναι ορθοκανονική ϐάση του χώρου Εφόσον η {en ⊗ em

Hilbert C2 (H ), για κάθε A ∈ C2 (H ) η οικογένεια ∗ ˜ ≡ {A, en ⊗ em A h : (n, m ) ∈ N2 }


3.4. ΤΕΛΕΣΤΕΣ HILBERT-SCHMIDT

137

ανήκει στον 2 (N2 ) και μάλιστα η απεικόνιση

˜ A→A είναι γραμμική ισομετρία του χώρου C2 (H ) επί του 2 (N2 ) (Θεώρημα 1.8.1) με αντίστροφη την



(anm ) →

∗ anm en ⊗ em .

n,m

Αλλά, από την Παρατήρηση 3.4.5, αν A ∈ C2 (H ) τότε ∗ A, en ⊗ em h = Aem , en .

Επομένως η Πρόταση είναι στην ουσία άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 1.8.1.

 Σημείωση (i) Δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς απευθείας ότι, αν ισχύει η (‡), η ακολουθία (AN ) των τελεστών πεπερασμένης τάξης AN =

N N  

∗ anm en ⊗ em

n =1 m =1

είναι ϐασική, άρα συγκλίνει ως προς την νόρμα  · h . (ii) Δείξαμε ότι η ανισότητα ∞  ∞ 

|anm |2 < +∞

n =1 m =1

είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ο πίνακας (anm ) να ορίζει έναν τελεστή Hilbert-Schmidt A. Επιπλέον η Πρόταση 3.4.7 δίνει έναν τύπο υπολογισμού της νόρμας Ah συναρτήσει του πίνακα (anm ):

A2h

=

∞  ∞ 

|anm |2 .

n =1 m =1

Δεν είναι εν γένει εύκολο να υπολογίσει κανείς την νόρμα του A στον B(H ), πάντως η Ah είναι ένα άνω ϕράγμα, που είναι πολλές ϕορές χρήσιμο (όταν ϐέβαια είναι πεπερασμένο !).


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

138

Ολοκληρωτικοί τελεστές Θυμίζουμε (2.1.12) ότι ο ολοκληρωτικός τελεστής με πυρήνα την συνάρτηση k ∈ C([0, 1] × [0, 1]) είναι ο τελεστής K : L 2 ([0, 1]) → L 2 ([0, 1]) που ορίζεται από την σχέση :

(Kf )(t ) =

k (t, s)f (s)ds

f ∈ C([0, 1])

και επεκτείνεται, επειδή είναι  · 2 -συνεχής, σ’ όλον τον L 2 ([0, 1]). Μάλιστα έχουμε K  ≤ k 22 , όπου  · 22 είναι η νόρμα του L 2 ([0, 1] × [0, 1]):



k 222 =

|k (x, y)|2 dxdy

Θα δείξουμε ότι όλοι οι ολοκληρωτικοί τελεστές (αυτής της μορφής) είναι Hilbert - Schmidt. Λήμμα 3.4.8 ΄Εστω A ⊆ C([0, 1] × [0, 1]) ο γραμμικός χώρος όλων των συναρτήσεων k της μορφής k (t, s) =

N

j =1

gj (t )h¯j (s) όπου gj , hj ∈ C([0, 1]). Η

απεικόνιση

Φ : (A,  · 22 ) → (F (L 2 ([0, 1])),  · h ) :

k→K

είναι (γραμμική) ισομετρία. Απόδειξη Παρατηρούμε πρώτα (πρβλ. Παραδείγματα (3.1.5)) ότι, αν η συνάρτηση k είναι όπως στο Λήμμα, ο αντίστοιχος ολοκληρωτικός τελεστής έχει πεπερασμένη τάξη : Kf =

N 

f, hj gj δηλαδή K =

j =1

N 

gj ⊗ hj∗ .

j =1

Εφαρμόζοντας την διαδικασία Gram - Schmidt (Πρόταση 1.2.1) στην οικογένεια {gj : j = 1, . . . , N } μπορώ να υποθέσω11 ότι είναι ορθοκανονική. Τότε ϑα έχω

Kf 22 =



|f, hj |2

j 11



π.χ. αν N = 2 ϐρίσκω ορθοκανονικές g1 , g2 ώστε gj = cj1 g1 + cj2 g2 οπότε έχω

gj h¯j = (c11 g1 + c12 g2 )h¯1 + (c21 g1 + c22 g2 )h¯2 = g1 (c11 h¯1 + c21 h¯2 ) + g2 (c12 h¯1 + c22 h¯2 )


3.4. ΤΕΛΕΣΤΕΣ HILBERT-SCHMIDT

139

για κάθε f ∈ C([0, 1]). Ξέρουμε όμως (Παράδειγμα 1.7.6) ότι υπάρχει μια ορθοκανονική ϐάση {en } του H = L 2 ([0, 1]) που αποτελείται από συνεχείς συναρτήσεις.12 ΄Εχουμε λοιπόν ∞ 

Ken 22 =

n =1

∞  N 

|en , hj |2 =

N  ∞ 

n = 1 j =1

|en , hj |2 =

j =1 n = 1

N 

hj 2

j =1

(η τελευταία ισότητα έπεται από το γεγονός ότι η {en } είναι ορθοκανονική ϐάση (Θεώρημα 1.7.4)). Δηλαδή

K 2h =



hj 2 .

j

Από την άλλη μεριά, για κάθε s ∈ [0, 1], αν ks είναι η συνεχής συνάρτηση ks =

 ¯ j hj (s)gj , τότε k (s, t ) = ks (t ) άρα

|k (t, s)| dt = 2

2





|ks (t )| dt = ks  =

h¯j (s)gj

= |hj (s)|2

j

j 2

2

εφόσον τα {gj } είναι ορθοκανονικά. Επομένως





k 222

=

|k (t, s)| dt ds = 2

 j

|hj (s)|2 ds =



hj 2 = K 2h . 

j

Παρατηρούμε ότι η απεικόνιση Φ : k → K έχει σύνολο τιμών πυκνό στον ∗ είναι ολοκληρωτικός τελεστής C2 (H ), γιατί κάθε τελεστής της μορφής en ⊗ em με πυρήνα fnm όπου fnm (t, s) = en (t )em (s), και έχουμε ήδη δείξει (Πρόταση ∗ : (n, m ) ∈ N2 } είναι ορθοκανονική ϐάση του 3.4.6) ότι η οικογένεια {en ⊗ em C2 (H ). Παρατηρούμε επίσης ότι το πεδίο ορισμού A της Φ είναι πυκνό στον (C([0, 1] × [0, 1]),  · 22 ). Για να το δείξουμε, ϑα εφαρμόσουμε το Θεώρημα Stone – Weierstrass (7.3.15).Πράγματι, η A είναι υπάλγεβρα της C([0, 1] × [0, 1]), περιέχει τις σταθερές συναρτήσεις, χωρίζει τα σημεία του [0, 1] × [0, 1], 12

Ακριβέστερα, το αποτέλεσμα αυτό αποδείχθηκε για τον L 2 ([−π, π ]), αλλά είναι εύκολο να

δεί κανείς ότι ισχύει για κάθε χώρο L 2 ([a, b]).


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

140

και είναι αυτοσυζυγής, δηλαδή αν k ∈ A τότε k¯ ∈ A. ΄Επεται ότι η A είναι πυκνή στην (C([0, 1] × [0, 1]),  · ∞ ), δηλαδή ότι για κάθε k ∈ C([0, 1] × [0, 1]) υπάρχει ακολουθία (kn ) στοιχείων της A που συγκλίνει στην k ομοιόμορφα στο [0, 1] × [0, 1], άρα και ως προς την  · 22 . Ο χώρος (C([0, 1] × [0, 1]),  · 22 ) δεν είναι ϐέβαια πλήρης. Η πλήρωση του είναι ο χώρος Hilbert L 2 ([0, 1] × [0, 1]). Αφού λοιπόν η απεικόνιση k → K απεικονίζει ένα πυκνό υποσύνολο του L 2 ([0, 1] × [0, 1]) σ’ ένα πυκνό υποσύνολο του C2 (H ), επεκτείνεται σ’ έναν ισομετρικό ισομορφισμό μεταξύ των δυο χώρων. Συνοψίζοντας, αποδείξαμε την Πρόταση 3.4.9 Για κάθε k ∈ C([0, 1] × [0, 1]), ο ολοκληρωτικός τελεστής K : L 2 ([0, 1]) → L 2 ([0, 1]) που ορίζεται από τον τύπο

(Kf )(t ) =

k (t, s)f (s)ds

(f ∈ C([0, 1]))

είναι Hilbert-Schmidt. Η απεικόνιση k → K επεκτείνεται σ’ έναν ισομετρικό ισομορφισμό

(L 2 ([0, 1] × [0, 1]),  · 2 ) → (C2 (L 2 ([0, 1])),  · h ). Επομένως, κάθε τελεστής Hilbert-Schmidt του L 2 ([0, 1]) είναι ολοκληρωτικός με πυρήνα που ανήκει στον L 2 ([0, 1] × [0, 1]). Παρατήρηση 3.4.10 Αν {en } είναι ορθοκανονική ϐάση του H = L 2 ([0, 1]), ∗ } είναι ορθοκανοτότε από την Πρόταση 3.4.6 έπεται ότι το σύνολο {en ⊗ em

νική ϐάση του H . Επομένως, από την Πρόταση 3.4.9 έπεται ότι το σύνολο

{fnm : (n, m ) ∈ N2 } (όπου fnm (t, s) = en (t )¯ em (s)) είναι ορθοκανονική ϐάση του 2 L ([0, 1] × [0, 1]).


3.5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

141

3.5 Ασκήσεις 3.1 Ολοκληρώστε την απόδειξη της Παρατήρησης 3.1.2. Δείξτε επίσης ότι, αν E, F είναι χώροι με νόρμα, x ⊗ y∗ = z ⊗ w∗ αν και μόνον αν υπάρχει λ ∈ C ώστε z = λx και y∗ = λw∗ . Ποιά είναι η αντίστοιχη συνθήκη για την ισότητα τελεστών πρώτης τάξης μεταξύ χώρων Hilbert; 3.2 Δείξτε ότι ένας διαγώνιος τελεστής Da (a ∈ ∞ ) στον 2 είναι πεπερασμένης τάξης αν και μόνον αν a ∈ coo . 3.3 Αν {xi }, {yi } είναι δύο ορθοκανονικές οικογένειες στον χώρο Hilbert H και λi ∈ C, δείξτε ότι ο τελεστής T =

n 1

λi xi ⊗ yi∗ έχει νόρμα T  = max |λi |.

3.4 Να ϐρεθεί ένας ολοκληρωτικός τελεστής στον L 2 ([0, 1]), με συνεχή πυϱήνα, που δεν έχει πεπερασμένη τάξη. 3.5 Να δειχθεί ότι ο μόνος πολλαπλασιαστικός τελεστής Mf στον L 2 ([0, 1]) που έχει πεπερασμένη τάξη είναι ο 0. 3.6 Να δειχθεί ότι ο τελεστής V του Volterra στον L 2 ([0, 1]) (2.1.12) δεν έχει πεπερασμένη τάξη. Να δειχθεί ότι ο τελεστής V + V ∗ είναι προβολή πρώτης τάξης και να ϐρεθεί η εικόνα του. 3.7 Να δειχθεί ότι ένας διαγώνιος τελεστής Da προσεγγίζεται, στην τοπολογία της νόρμας του B(2 ), από τελεστές πεπερασμένης τάξης αν και μόνον αν η a = (an ) είναι μηδενική ακολουθία. Να δειχθεί επίσης ότι τότε ο Da δεν είναι επί. 3.8 Στον χώρο Hilbert 2 (N), ϑεωρούμε τον τελεστή της μετατόπισης S (με Sen = en +1 , n ∈ N). Να δειχθεί ότι ο S προσεγγίζεται κατά σημείο από τελεστές πεπερασμένης τάξης, όχι όμως στην τοπολογία της νόρμας του B(2 ). 3.9 Είναι δυνατόν μια ισομετρία σ’ έναν απειροδιάστατο χώρο Banach να είναι πεπερασμένης τάξης ; Να είναι  · -όριο τελεστών πεπερασμένης τάξης ;


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

142

3.10 ΄Εστω H χώρος Hilbert και A, B ∈ B(H ) με rank(A) = n ∈ N και

rank(B) = 1. Να δειχθεί ότι rank(A − B) = n − 1 αν και μόνον αν υπάρχουν x, y ∈ H με Ax, y = 1 ώστε B = A(x ⊗ y∗ )A. 3.11 (*) Η ασθενής τοπολογία (w) σ’ έναν χώρο Banach E είναι η ασθενέστερη τοπολογία στον E ως προς την οποία όλες οι γραμμικές μορφές x ∗ ∈ E ∗ είναι συνεχείς. Η οικογένεια όλων των συνόλων της μορφής U (x1∗ , . . . , xn∗ , ε) ≡ {x ∈ E : |xi∗ (x )| < ε, i = 1, . . . , n } όπου {xi∗ , 1 ≤ i ≤ n } ⊆ E ∗ γραμμικά ανεξάρτητα, n ∈ N και ε > 0, αποτελεί ϐάση περιοχών του 0 ∈ E για την w . Αν E, F είναι χώροι Banach και T ∈ B(E, F ), δείξτε ότι η T είναι συνεχής ως απεικόνιση T : (E, w) → (F,  · ) αν και μόνον αν T ∈ F (E, F ). [Υπόδειξη : ΄Εστω ότι η αντίστροφη εικόνα T −1 (BFo ) της ανοικτής μοναδιαίας

σφαίρας BFo του F περιέχει κάποιο U (x1∗ , . . . , xn∗ , ε). Δείξτε (επαγωγικά) ότι

 υπάρχουν xi ∈ E ώστε xi∗ (xj ) = δij . Δείξτε ότι T = TP, όπου P = nk=1 xi ⊗ xi∗ .] 3.12 Αν H είναι χώρος Hilbert, δείξτε ότι οι σχέσεις F (H ) = K(H ),

K(H ) = B(H ), F (H ) = B(H ) και dim H < +∞ είναι ισοδύναμες. 3.13 Αν E είναι απειροδιάστατος χώρος Banach και T : E → E είναι ένα προς ένα και επί γραμμική απεικόνιση, δείξτε ότι η T δεν είναι συμπαγής. 3.14 Δείξτε ότι ένας διαγώνιος τελεστής Da (a ∈ ∞ ) στον 2 είναι ένα προς ένα αν και μόνον αν an  0 για κάθε n ∈ N. 3.15 Να δειχθεί ότι ο τελεστής V του Volterra στον L 2 ([0, 1]) είναι συμπαγής και ένα προς ένα. 3.16 Αν {en } είναι η συνήθης ϐάση του χώρου Hilbert H = 2 , να δειχθεί ότι δεν υπάρχει γραμμική απεικόνιση A : H → H ώστε Aen , em  = 1 για κάθε n, m ∈ N. 3.17 ΄Εστω H χώρος Hilbert. Αν A, B ∈ B(H ) και AT = TB για κάθε τελεστή T ∈ F (H ), να δειχθεί ότι υπάρχει λ ∈ C ώστε A = B = λI.


3.5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

143

3.18 (i) ΄Εστω H χώρος Hilbert, B ∈ K(H ). Αν An , A ∈ B(H ) με An x − Ax  → 0 για κάθε x ∈ H, δείξτε ότι BAn − BA → 0 και An B − AB → 0. Αν {Pn } είναι μια αύξουσα ακολουθία προβολών και P = ∨Pn είναι η προβολή στον κλειστό υπόχωρο που παράγουν οι Pn (H ), δείξτε ότι BPn − BP  → 0 και

Pn BPn − PBP  → 0. (ii) Αν ο H είναι διαχωρίσιμος, δείξτε ότι μπορούν να ϐρεθούν προβολές Pn πεπερασμένης τάξης ώστε ∨Pn = I. Χρησιμοποιώντας το (ι), δώστε μια άλλη απόδειξη ότι κάθε συμπαγής τελεστής στον H προσεγγίζεται στην τοπολογία της νόρμας του B(H ) από τελεστές πεπερασμένης τάξης. 3.19 (*) ΄Εστω H διαχωρίσιμος χώρος Hilbert. (i) Αν A : H → H είναι γραμμική απεικόνιση και supn Aen  < ∞ για κάποια ορθοκανονική ϐάση {en }, είναι η A ϕραγμένη ; Αν η υπόθεση ισχύει για κάθε ορθοκανονική ϐάση ; (ii) Αν A ∈ B(H ) και Aen  → 0 για κάποια ορθοκανονική ϐάση {en }, είναι ο Α συμπαγής ; [Υπόδειξη : Για κάθε n ∈ N, έστω xn = I1 = {1}, I2 = {2, 3}, . . . , In = {1 + Εξετάστε τον τελεστή A =



1 n n xn

n

k =1 {ek

n (n − 1) 2

: k ∈ In }, όπου

,...,n +

n (n − 1) 2

}, . . .

⊗ xn∗ .]

3.20 Αν a = {an }, an ∈ C, είναι τυχούσα ακολουθία, ορίζω Sa x = (0, a1 x1 , a2 x2 , a3 x3 , . . .), x ∈ 2 . Να δειχθεί (i) ότι ο Sa ορίζει ϕραγμένο τελεστή 2 → 2 αν και μόνον αν η a είναι ϕραγμένη ακολουθία, και τότε Sa  = a ∞ (ii) ότι ο Sa ορίζει συμπαγή τελεστή 2 → 2 αν και μόνον αν a ∈ c0 . Πότε είναι ο Sa Hilbert-Schmidt; 3.21 Αποδείξτε ότι το σύνολο F (H ) είναι ελάχιστο (αμφίπλευρο) ιδεώδες της άλγεβρας B(H ). Αποδείξτε ότι το σύνολο C2 (H ) των τελεστών Hilbert-Schmidt είναι (αμφίπλευρο) ιδεώδες της άλγεβρας B(H ), όχι όμως κλειστό στην τοπολογία της νόρμας του B(H ). Ποιά είναι η  · -κλειστή ϑήκη του ;


Κεφάλαιο 4

Το Φασματικό Θεώρημα για συμπαγείς τελεστές 4.1 Εισαγωγή ΄Ενα σύστημα n γραμμικών εξισώσεων (με μιγαδικούς συντελεστές) με n (μιγαδικούς) αγνώστους ορίζει μια εξίσωση Ax = y όπου A : Cn → Cn είναι γραμμική απεικόνιση και y ∈ Cn . Η λύση του συστήματος είναι άμεση, αν συμβεί να υπάρχει μια ϐάση {e1 , e2 , . . . , en } του Cn με την ιδιότητα Aen = λn en , όπου λn ∈ C, αν δηλαδή η A «διαγωνοποιείται» ως προς την {ek }. Το Φασματικό ϑεώρημα σε χώρους πεπερασμένης διάστασης χαρακτηρίζει τους τελεστές που διαγωνοποιούνται ως προς μια ορθοκανονική ϐάση του χώρου. Στην παράγραφο αυτή ϑα επεκτείνουμε το ϑεώρημα αυτό για συμπαγείς τελεστές σε απειροδιάστατους χώρους Hilbert. Ορισμός 4.1.1 ΄Εστω E γραμμικός χώρος, A : E → E γραμμική απεικόνιση. ΄Ενας (μιγαδικός) αριθμός λ λέγεται ιδιοτιμή (eigenvalue) της A αν υπάρχει μη μηδενικό x ∈ E ώστε Ax = λx. Το x λέγεται ιδιοδιάνυσμα (eigenvector) της A και το σύνολο Mλ ≡ {x ∈ E : Ax = λx } = ker(A − λI ) 145


146

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

(που είναι προφανώς γραμμικός χώρος) είναι ο ιδιόχωρος (eigenspace) της A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Το σύνολο των ιδιοτιμών της A συμβολίζουμε σp (A). Παρατηρήσεις 4.1.1 (i) Είναι ϕανερό ότι κάθε ιδιόχωρος Mλ της A είναι αναλλοίωτος (invariant) από την A, δηλαδή A(Mλ ) ⊆ Mλ , και ότι A|Mλ = λI |Mλ . Μάλιστα ο Mλ είναι αναλλοίωτος και από κάθε γραμμική απεικόνιση B που μετατίθεται με την A. Πράγματι, αν AB = BA τότε για κάθε x ∈ Mλ έχουμε

(A − λI )(Bx ) = B(A − λI )(x ) = 0 δηλαδή Bx ∈ Mλ . (ii) Αν ο E είναι χώρος με νόρμα και η A είναι συνεχής, κάθε ιδιόχωρος Mλ είναι κλειστός υπόχωρος του E, γιατί Mλ = (A − λI )−1 ({0}). (iii) Δυο ιδιόχωροι Mλ , Mμ της A που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές έχουν τετριμμένη τομή : Mλ ∩ Mμ = {0} (γιατί αν Ax = λx και Ax = μx με λ  μ τότε x = 0), δεν είναι όμως κατ’ ανάγκη κάθετοι (αν ο E είναι χώρος Hilbert). Παραδείγματος χάριν, ο τελεστής A : C2 → C2 που έχει πίνακα την συνηθισμένη ορθοκανονική ϐάση {e1 , e2 } του C

2

11 02

!

ως προς

έχει τους ιδιόχωρους

M1 = [e1 ] και M2 = [e1 + e2 ] που δεν είναι κάθετοι. (iv) Αν ο E είναι (μη μηδενικός) μιγαδικός χώρος και dim E = n < +∞, κάθε γραμμική απεικόνιση A : E → E έχει ιδιοτιμές. Πράγματι, αν επιλέξουμε μια οποιαδήποτε ϐάση του E, η ισότητα

(A − λI )x = 0 αντιστοιχεί σε ένα (ομογενές) σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους (τις συντεταγμένες του x ως προς την ϐάση). Η ύπαρξη μη μηδενικής λύσης του συστήματος ισοδυναμεί, όπως είναι γνωστό, με τον μηδενισμό της ορίζουσας

det[A − λI ] του πίνακα [A − λI ] που αντιστοιχεί στον τελεστή A − λI. ΄Ομως η σχέση det[A − λI ] = 0 είναι μια πολυωνυμική εξίσωση ως προς λ. Επειδή το C είναι αλγεβρικά κλειστό, η εξίσωση αυτή έχει πάντα λύση, δηλαδή ο A έχει ιδιοτιμή.


4.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

147

[Αυτό ϕυσικά δεν αληθεύει πάντα σε πραγματικούς γραμμικούς χώρους. Για παράδειγμα, ο τελεστής A : R2 → R2 που έχει πίνακα

0 −1 1 0

!

ως προς την

συνηθισμένη ορθοκανονική ϐάση του R δεν έχει ιδιοδιανύσματα (πρόκειται 2

για τον τελεστή της στροφής κατά π/2). Ο ίδιος πίνακας ορίζει έναν τελεστή στον C2 που έχει ιδιοτιμές ±i (και αντίστοιχους ιδιόχωρους [(i, 1)], [(1, i )]).] Μάλιστα, η εξίσωση det[A − λI ] = 0 έχει το πολύ n ϱίζες στο C. Επομένως, το πλήθος των διακεκριμένων ιδιοτιμών της A δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από την (αλγεβρική) διάσταση του E. (v) Η προηγούμενη Παρατήρηση στηρίχθηκε ουσιαστικά στο γεγονός ότι ο E έχει πεπερασμένη διάσταση. Δεν ισχύει σε απειροδιάστατους χώρους, ακόμα και σε χώρους Hilbert, ακόμα και για συμπαγείς τελεστές : Παράδειγμα 4.1.2 Στον χώρο H = 2 ϑεωρούμε τον τελεστή T όπου T (x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, x1 ,

1 2

x2 ,

1 3

x3 , . . .) x = (x1 , x2 , . . .) ∈ 2 .

Ο T είναι συμπαγής (΄Ασκηση 3.20), δεν έχει όμως ιδιοτιμές. Πράγματι, έστω λ ∈ C και x ∈ H ώστε Tx = λx, δηλαδή T (x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, x1 ,

1 2

x2 ,

1 3

x3 , . . .) = λ(x1 , x2 , x3 , . . .).

Ισχυρίζομαι ότι τότε το x είναι αναγκαστικά 0. Πράγματι : Αν λ = 0, τότε 0 = x1 =

= 13 x3 = . . ., άρα x = 0. Αν λ  0 καταλήγουμε πάλι ότι x = 0: επειδή 0 = λx1 έχουμε x1 = 0, άρα, επειδή x1 = λx2 έχουμε x2 = 0 και ούτω 1 x 2 2

καθεξής. ΄Ενα άλλο παράδειγμα συμπαγούς τελεστή χωρίς ιδιοτιμές είναι ο τελεστής του Volterra (΄Ασκηση 4.2).

Διαγωνοποιήσιμοι τελεστές ΄Εστω H διαχωρίσιμος χώρος Hilbert. ΄Ενας τελεστής A ∈ B(H ) λέγεται διαγωνοποιήσιμος (diagonalizable) αν υπάρχει μια ορθοκανονική ϐάση {en } του H και μια ακολουθία a = {an } μιγαδικών αριθμών ώστε Aen = an en για κάθε n ∈ N. Τότε |an | = Aen  ≤ A για κάθε

 n ∈ N, άρα a ∈ ∞ , και για κάθε x = n xn en ∈ H,

⎛ ⎞ ⎜⎜⎜ ⎟⎟  ⎜ xn en ⎟⎟⎟⎠ = an xn en . A ⎜⎝ n

n


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

148

(Δηλαδή, αν U : H → 2 είναι ο ισομετρικός ισομορφισμός (Θεώρημα 1.8.1) που απεικονίζει κάθε en στο αντίστοιχο στοιχείο της συνηθισμένης ϐάσης του 2 , τότε A = U −1 Da U , όπου Da ο τελεστής του 2 που ορίσθηκε στο Παράδειγμα 2.1.8.) Κάθε en είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή an , και ο A δεν έχει άλλες ιδιοτιμές (΄Ασκηση 4.1). Δηλαδή, ο H έχει μια ορθοκανονική ϐάση που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του A. Δεν απαιτούμε ϐεβαίως οι αριθμοί an να είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Για παράδειγμα, αν A είναι ο ταυτοτικός τελεστής, τότε ο A είναι διαγωνοποιήσιμος και an = 1 για κάθε n ∈ N. Αν όλα τα an είναι διαφορετικά μεταξύ τους, τότε όλοι οι ιδιόχωροι είναι μονοδιάστατοι : είναι οι [en ], n ∈ N. Σε κάθε περίπτωση, ο ιδιόχωρος Mλ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ είναι η κλειστή γραμμική ϑήκη του συνόλου

{en : an = λ}. Οι ιδιόχωροι αυτοί είναι κάθετοι ανά δυο και παράγουν τον H, δηλαδή ο μικρότερος κλειστός υπόχωρος που τους περιέχει όλους είναι ο H (΄Ασκηση 4.1). Πρόταση 4.1.3 ΄Εστω H διαχωρίσιμος χώρος Hilbert, A ∈ B(H ). Ο A είναι διαγωνοποιήσιμος αν και μόνον αν οι ιδιόχωροι του είναι ανά δυο κάθετοι και παράγουν τον H. Το σύνολο σp (A) των ιδιοτιμών ενός διαγωνοποιήσιμου τελεστή είναι (πεπεϱασμένο ή) αριθμήσιμο. Αν {λn : n ∈ N} είναι μια αρίθμηση του σp (A) και Pn είναι η προβολή στον ιδιόχωρο Mn που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λn , τότε για κάθε x ∈ H Ax =



λn Pn x

n

(όπου το άθροισμα συγκλίνει (αν είναι άπειρο) ως προς τη νόρμα του H. Απόδειξη ΄Εστω ότι ο A ∈ B(H ) έχει ιδιόχωρους {Mλ : λ ∈ σp (A)} κάθετους ανά δυο και ότι η κλειστή γραμμική ϑήκη του {Mλ : λ ∈ σp (A)} είναι ο H. Για κάθε λ ∈ σp (A), έστω xλ ∈ Mλ με xλ  = 1. Το σύνολο {xλ : λ ∈ σp (A)} είναι ορθοκανονικό, επομένως, επειδή ο H είναι διαχωρίσιμος, είναι αριθμήσιμο (ϐλ. ΄Ασκηση 1.14). Το ίδιο λοιπόν ισχύει για το σύνολο σp (A).


4.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

149

Επειδή οι ιδιόχωροι Mn είναι κάθετοι ανά δυο και η κλειστή γραμμική τους ϑήκη είναι ο H, για κάθε x ∈ H ισχύει x =



Pn x

n

όπου το άθροισμα αυτό συγκλίνει (αν είναι άπειρο) ως προς τη νόρμα του H (Πρόταση 2.5.12). Παρατηρούμε ότι κάθε Pn x ανήκει στον Mn , άρα APn x = λn Pn x. Επειδή ο A είναι συνεχής, έχουμε

⎛ ⎞  ⎜⎜⎜ ⎟⎟  Ax = A ⎜⎜⎝ Pn x ⎟⎟⎟⎠ = APn x = λn Pn x. n

n

n

Για κάθε λ ∈ σp (A) επιλέγουμε μια ορθοκανονική ϐάση του αντίστοιχου ιδιόχωρου Mλ και ονομάζουμε {en : n ∈ N} την ένωση όλων αυτών των ϐάσεων. Η

{en } είναι ορθοκανονική ϐάση του H που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του A.



Η απόδειξη του αντιστρόφου είναι η ΄Ασκηση 4.1.

Παράδειγμα 4.1.4 ΄Εστω f : R → C συνεχής και 2π-περιοδική συνάρτηση. Για κάθε συνεχή και 2π-περιοδική συνάρτηση g : R → C ορίζουμε την συνάρτηση Kf g από την σχέση

(Kf g)(x ) =

1 2π

π

−π

f (x − y)g(y)dy.

Παρατηρούμε ότι ο Kf είναι ολοκληρωτικός τελεστής (ϐλ. Παράδειγμα 2.1.12)) με πυρήνα την συνεχή συνάρτηση k (x, y) = f (x − y), επομένως επεκτείνεται σε ϕραγμένο τελεστή L 2 ([−π, π ]) → L 2 ([−π, π ]) (μάλιστα ο Kf είναι Hilbert Schmidt, όπως άλλωστε ϑα ϕανεί από τον υπολογισμό των ιδιοτιμών του). Ξέρουμε ότι το σύνολο {en : n ∈ Z} (όπου en (x ) = exp inx) αποτελεί ορϑοκανονική ϐάση του L 2 ([−π, π ]) που περιέχεται στον C([−π, π ]) (Πόρισμα 1.9.5). Για κάθε x ∈ [−π, π ], έχουμε

(Kf en )(x ) =

1 2π

= e inx

π

−π

1 2π

f (x − y) exp in (y)dy =

π

−π

1 2π

π

−π

f (y) exp in (x − y)dy

f (y) exp(−iny)dy = fˆ (n )en (x )


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

150 δηλαδή

Kf en = fˆ (n )en

(n ∈ Z).

Επομένως ο τελεστής Kf διαγωνοποιείται από την ορθοκανονική ϐάση {en }. Εφόσον η f ανήκει στον L 2 ([−π, π ]), έπεται από την ισότητα Parseval (Παράδειγμα 1.7.6) ότι η ακολουθία {fˆ (n )} ανήκει στον 2 (Z). Επομένως ο τελεστής Kf είναι Hilbert - Schmidt, άρα συμπαγής. Παρατήρηση 4.1.5 Παρατηρούμε ότι κάθε διαγωνοποιήσιμος τελεστής A είναι ϕυσιολογικός. Πράγματι, ο A είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος με έναν διαγώνιο τελεστή Da δηλαδή A = U ∗ Da U οπότε A∗ = U ∗ Da∗ U όπου U ορθομοναδιαίος, άρα A∗ A = (U ∗ Da∗ U )(U ∗ Da U ) = U ∗ Da∗ Da U

= U ∗ Da Da∗ U = (U ∗ Da U )(U ∗ Da∗ U ) = AA∗ γιατί ο Da είναι ϕυσιολογικός (Παραδείγματα 2.4.2). Θα δείξουμε ότι, όταν ο H έχει πεπερασμένη διάσταση, κάθε ϕυσιολογικός τελεστής T «διαγωνοποιείται», υπάρχει δηλαδή μια ορθοκανονική ϐάση του H που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του T . Από τις προηγούμενες παρατηρήσεις, είναι αρκετό να αποδείξουμε το εξής : Θεώρημα 4.1.6 (Φασματικό ϑεώρημα σε χώρους πεπερασμένης διάστασης) ΄Εστω A ∈ B(H ) όπου H χώρος Hilbert πεπερασμένης διάστασης, έστω σp (A) = {λ1 , λ2 , . . . λm } το σύνολο των (διακεκριμένων) ιδιοτιμών1 του A, Mk ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λk , Pk η αντίστοιχη προβολή. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα : (i) Mi ⊥Mk για i  k και (ii) Pi ⊥Pk για i  k,

m

m

i =1

i =1

Mi = H.

Pi = I και A =

m

i =1

λi Pi .

(iii) Ο A είναι ϕυσιολογικός. Τα επόμενα δύο Λήμματα ϑα χρησιμοποιηθούν στην απόδειξη του ϑεωρήματος, αλλά και στην επόμενη παράγραφο. 1

Σημείωσε ότι 1 ≤ m ≤ dim H από την Παρατήρηση 4.1.1.


4.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

151

Λήμμα 4.1.7 ΄Εστω H χώρος Hilbert και A ∈ B(H ) ϕυσιολογικός τελεστής. (i) Αν x ∈ H και λ ∈ C, τότε

¯ Ax = λx ⇐⇒ A∗ x = λx. Ειδικότερα, οι ιδιοτιμές ενός αυτοσυζυγούς τελεστή (αν υπάρχουν) είναι πραγματικοί αριθμοί. (ii) Οι ιδιόχωροι που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι κάθετοι. (iii) Κάθε ιδιόχωρος του A είναι αναλλοίωτος από τον A και από τον A∗ . Απόδειξη (i) Επειδή ο A είναι ϕυσιολογικός, ο A − λI είναι ϕυσιολογικός για κάθε λ ∈ C. Από την Πρόταση 2.4.5.i έχουμε λοιπόν

¯ )x  (A − λI )x  = (A − λI )∗ x  = (A∗ − λI για κάθε λ ∈ C.

¯ άρα (ii) Αν Ax = λx και Ay = μy, τότε A∗ y = μy ¯  = μ x, y. λx, y = λx, y = Ax, y = x, A∗ y = x, μy Συνεπώς, αν λ  μ, τότε x ⊥y για κάθε x ∈ Mλ και y ∈ Mμ . (iii) ΄Εχουμε ήδη παρατηρήσει (Παρατήρηση 4.1.1.i) ότι κάθε ιδιόχωρος Mλ είναι αναλλοίωτος από τον A και από κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον A, όπως ο A∗ . ΄Αλλωστε, το συμπέρασμα είναι άμεσο από τις σχέσεις Ax = λx

¯ που ισχύουν για x ∈ Mλ . και A∗ x = λx,



Λήμμα 4.1.8 ΄Εστω A ∈ B(H ) και M κλειστός υπόχωρος του H. (i) Ο M είναι A-αναλλοίωτος αν και μόνον αν ο M ⊥ είναι A∗ -αναλλοίωτος. (ii) Αν ο M είναι A-αναλλοίωτος και B ∈ B(M ) είναι ο περιορισμός του A στον M, τότε ο B∗ είναι ο περιορισμός του A∗ στον M αν και μόνον αν A∗ (M ) ⊆ M. Απόδειξη (i) ΄Εστω ότι ο M είναι A-αναλλοίωτος. Αν y ∈ M ⊥ , για κάθε x ∈ M έχουμε x, A∗ y = Ax, y = 0 (αφού Ax ∈ M), άρα A∗ y ∈ M ⊥ . Δείξαμε ότι ο M ⊥ είναι A∗ -αναλλοίωτος. Επομένως, αν ο M ⊥ είναι A∗ -αναλλοίωτος, τότε ο M = M ⊥⊥ είναι A = A∗∗ αναλλοίωτος.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

152

(ii) Εφόσον εξ ορισμού ο B∗ απεικονίζει τον M στον εαυτό του, αν B∗ = A∗ |M τότε ϐέβαια ο A∗ απεικονίζει τον M στον M. Αντίστροφα, έστω A∗ (M ) ⊆ M. ΄Εστω x ∈ M. Θα δείξω ότι A∗ x = B∗ x. Για κάθε y ∈ M έχουμε By = Ay, άρα

B∗ x, y = x, By (ορισμός του B∗ ) = x, Ay = A∗ x, y. Αφού η σχέση αυτή ισχύει για κάθε y ∈ M, έπεται ότι το διάνυσμα B∗ x − A∗ x είναι κάθετο στον M. Από την άλλη μεριά όμως έχουμε A∗ x ∈ A∗ (M ) ⊆ M, άρα B∗ x − A∗ x ∈ M. Επομένως B∗ x − A∗ x = 0.



Απόδειξη του Φασματικού ϑεωρήματος 4.1.6 (i) ⇔ (ii) Οι σχέσεις Mi ⊥Mk και Pi ⊥Pk είναι, ϐέβαια, ισοδύναμες. Επίσης το άθροισμα καθέτων ανά δυο προβολών είναι η προβολή στο ευθύ άθροισμα των αντίστοιχων υποχώρων (2.5.7.ii). Επομένως η σχέση με την

m

i =1

m

i =1

Mi = H ισοδυναμεί

Pi = I.

Αλλά για κάθε x ∈ H, έχουμε Pi x ∈ Mi , επομένως APi x = λi Pi x. Συνεπώς,

αν

m

i =1

Pi = I, τότε

δηλαδή A =

⎛m ⎞ m m  ⎜⎜⎜ ⎟⎟  ⎜ Ax = A ⎜⎝ Pi x ⎟⎟⎟⎠ = APi x = λi Pi x m

i =1

i =1

i =1

i =1

λi Pi .

(i) ⇒ (iii) Αν ισχύει η (i), τότε ο A είναι διαγωνοποιήσιμος (Πρόταση 4.1.3), άρα ϕυσιολογικός. (iii) ⇒ (i) (Αυτό είναι το ουσιώδες περιεχόμενο του ϑεωρήματος.) Κατ’ αρχήν ο A έχει ιδιοτιμές (Παρατήρηση 4.1.1.iv). Αν ο A είναι ϕυσιολογικός, οι ιδιόχωροί του είναι κάθετοι ανά δυο, από το Λήμμα 4.1.7. Επομένως ο τελεστής P =

m

i =1

Pi είναι η προβολή στο ευθύ τους άθροισμα,

έστω M (Πρόταση 2.5.7.ii). Αρκεί να δείξουμε ότι M = H. Επειδή κάθε Mk είναι αναλλοίωτος από τον A και τον A∗ (Λήμμα 4.1.7), το ίδιο ισχύει και για τον M (΄Ασκηση 4.5). ΄Επεται ότι και ο M ⊥ είναι αναλλοίωτος από τον A (Λήμμα 4.1.8.i). Επομένως, ο περιορισμός B ≡ A|M ⊥ ορίζει έναν


4.2. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

153

τελεστή B : M ⊥ → M ⊥ . ΄Ομως, ο B δεν έχει ιδιοτιμές. Πράγματι, αν λ ∈ C και x ∈ M ⊥ με Bx = λx, τότε Ax = Bx = λx, άρα το x είναι ιδιοδιάνυσμα του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ (του A), επομένως x ∈ Mλ ⊆ M. Δηλαδή x ∈ M ∩M ⊥ , άρα x = 0. Αποκλείεται όμως ένας τελεστής σε χώρο πεπερασμένης διάστασης να μην έχει ιδιοτιμές (Παρατήρηση 4.1.1.iv). ΄Αρα ο M ⊥ είναι τετριμμένος, δηλαδή M = H και η απόδειξη είναι πλήρης.



4.2 Το Φασματικό ϑεώρημα για συμπαγείς Φυσιολογικούς Τελεστές Εισαγωγή. Ο στόχος είναι να επιτύχουμε μια «διαγώνια μορφή» για έναν τελεστή A ∈ B(H ). Είδαμε ότι κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατόν για έναν αυθαίρετο τελεστή : αν ο A είναι διαγωνοποιήσιμος ως προς μια ορθοκανονική ϐάση του H, τότε είναι ϕυσιολογικός (Παρατήρηση 4.1.5). Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι ο A είναι ένας ϕυσιολογικός τελεστής σ’ έναν χώρο Hilbert H. Αναγκαία συνθήκη για την διαγωνοποιησιμότητα του A είναι, ϐεβαίως, η ύπαρξη «αρκετών» ιδιοτιμών. Ούτε αυτή όμως η συνθήκη ικανοποιείται πάντα σε απειροδιάστατους χώρους : Παράδειγμα Αν H = L 2 ([0, 1]) και A ο τελεστής του πολλαπλασιασμού επί την συνάρτηση f όπου f (t ) = t, τότε ο A δεν έχει ιδιοτιμές (΄Ασκηση 4.6), μολονότι ο A είναι αυτοσυζυγής. Επομένως, δεν υπάρχει ορθοκανονική ϐάση του H που να «διαγωνοποιεί» τον A. Αντίθετα λοιπόν με ότι συμβαίνει σε χώρους πεπερασμένης διάστασης (ϐλ. Θεώρημα 4.1.6), δεν είναι αλήθεια ότι κάθε ϕυσιολογικός τελεστής διαγωνοποιείται. Κάθε ϕυσιολογικός τελεστής σ’ έναν χώρο Hilbert είναι όμως «ουσιαστικά» πολλαπλασιαστικός τελεστής. Ακριβέστερα, ισχύει το Θεώρημα 4.2.1 (Φασματικό ϑεώρημα) Αν A ∈ B(H ) είναι ϕυσιολογικός τελεστής, τότε υπάρχει ένας χώρος μέτρου (X, μ ), ένας ισομετρικός ισομορφισμός U του H επί του L 2 (X, μ ) και μια ϕραγμένη μετρήσιμη συνάρτηση f : X → C ώστε να ισχύει UAU −1 g = fg

για κάθε

g ∈ L 2 (X, μ ).


154

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

Το ϑεώρημα αυτό, στην ειδική περίπτωση που ο A είναι αυτοσυζυγής, ϑα αποδειχθεί στο Κεφάλαιο 6. Εδώ ϑα περιορισθούμε στους ϕυσιολογικούς συμπαγείς τελεστές, μια κλάση τελεστών αρκετά ευρεία και σημαντική για τις εφαρμογές. Συγκεκριμένα ϑα αποδείξουμε το Θεώρημα 4.2.2 (Φασματικό ϑεώρημα για συμπαγείς ϕυσιολογικούς τελεστές - πρώτη μορφή) ΄Ενας συμπαγής τελεστής A σε έναν (διαχωρίσιμο) χώρο Hilbert H είναι ϕυσιολογικός αν και μόνον αν υπάρχει μια ορθοκανονική ϐάση του H που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του A. Ισοδύναμα, ο A είναι ϕυσιολογικός αν και μόνον αν υπάρχει ένας ισομετρικός ισομορφισμός U : H → 2 ώστε ο UAU −1 να είναι ο διαγώνιος τελεστής Da , όπου η ακολουθία a αποτελείται από ιδιοτιμές του A (ενδεχομένως με επαναλήψεις). Αν υπάρχει μια τέτοια ϐάση, τότε ο A είναι διαγωνοποιήσιμος, επομένως είναι ϕυσιολογικός. Το Ϲήτημα είναι να αποδείξουμε το αντίστροφο. Η απόδειξη έπεται από τις επόμενες Προτάσεις και ϑα ολοκληρωθεί με την Παρατήρηση 4.2.8. Το πρώτο και κρίσιμο ϐήμα είναι η ύπαρξη «μεγάλων» ιδιοτιμών. Παρατηρούμε ότι ένας τελεστής A ∈ B(H ) δεν μπορεί να έχει αυθαίρετα μεγάλες κατ’ απόλυτο τιμή ιδιοτιμές : Παρατήρηση 4.2.3 Αν A ∈ B(H ) και λ ∈ σp (A), τότε |λ| ≤ A. Πράγματι, αν Ax = λx (x  0) τότε |λ|x  = Ax  ≤ Ax  άρα |λ| ≤ A. Αν ο A είναι αυτοσυζυγής και συμπαγής, η μέγιστη απόλυτη τιμή επιτυγχάνεται : Πρόταση 4.2.4 Αν A ∈ K(H ) είναι αυτοσυζυγής, τότε υπάρχει λ ∈ σp (A) με

|λ| = A. Απόδειξη Αρκεί να υποθέσουμε ότι A  0. Ξέρουμε (Πρόταση 2.3.4) ότι

A = sup{|Ax, x | : x ∈ H, x  ≤ 1}. Επομένως υπάρχει μια ακολουθία {xn } με xn  ≤ 1 για κάθε n ∈ N ώστε |Axn , xn | → A. Η ακολουθία πραγματικών (γιατί A = A∗ ) αριθμών


4.2. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

155

{Axn , xn } είναι ϕραγμένη, επομένως έχει μια υπακολουθία {Ayn , yn } που συγκλίνει, έστω στο λ ∈ R, και προφανώς |λ| = A. Θα δείξουμε ότι το λ είναι ιδιοτιμή του A. Εχουμε 0 ≤ Ayn − λyn 2 = Ayn , Ayn  − Ayn , λyn  − λyn , Ayn  + λyn , λyn 

= Ayn 2 − 2λAyn , yn  + λ2 yn 2 (γιατί A = A∗ και λ = λ¯) ≤ A2 − 2λAyn , yn  + λ2 = 2λ(λ − Ayn , yn ) → 0 επομένως limn (A − λI )yn = 0. Η ακολουθία {yn } ανήκει στην μοναδιαία σφαίρα του H και ο A είναι συμπαγής.

Επομένως η {yn } έχει μια υπακολουθία {zn } ώστε η {Azn } να

συγκλίνει (Θεώρημα 3.2.3), έστω στο z. Θα δείξουμε ότι Az = λz. Πράγματι, επειδή

lim(Azn − λzn ) = 0 και lim(Azn − z ) = 0, n

n

έχουμε limn λzn = z, άρα, αφού ο A είναι συνεχής,

lim λAzn = Az, n

αλλά

lim λAzn = λ lim Azn = λz, n

n

επομένως Az = λz. Τέλος, επειδή

z, z  = limAzn , λzn  = λ limAzn , zn  = λ2  0, n

n

έπεται ότι z  0, άρα το z είναι ιδιοδιάνυσμα του A.



Παρατήρηση Θα δείξουμε ότι το συμπέρασμα της Πρότασης 4.2.4, καθώς και της Πρότασης 2.3.4, ισχύει και για ϕυσιολογικούς συμπαγείς τελεστές. Αυτό όμως ϑα αποτελέσει συνέπεια του Φασματικού Θεωρήματος (Πόρισμα 4.2.13). Πρόταση 4.2.5 ΄Εστω A ∈ K(H ). (i) Κάθε ιδιόχωρος του A που αντιστοιχεί σε μη μηδενική ιδιοτιμή έχει πεπεϱασμένη διάσταση.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

156

(ii) Αν {xn } είναι άπειρη ορθοκανονική ακολουθία και υπάρχουν λn ∈ C ώστε Axn = λn xn για κάθε n ∈ N, τότε η {λn } είναι μηδενική ακολουθία. (iii) Αν ο A είναι ϕυσιολογικός, το σύνολο σp (A) των ιδιοτιμών του ή είναι πεπερασμένο, ή αποτελεί μηδενική ακολουθία. Απόδειξη (i) Αν λ ∈ σp (A), τότε A(Mλ ) ⊆ Mλ και A|Mλ = λI |Mλ . Επομένως, αν λ  0, ο ταυτοτικός τελεστής στον χώρο Hilbert Mλ είναι συμπαγής, άρα ο Mλ έχει πεπερασμένη διάσταση (Λήμμα 3.3.4). (ii) Επειδή ο A είναι συμπαγής, έχουμε λn = Axn , xn  → 0 από το ϑεώρημα 3.2.11. (iii) Αν υποθέσουμε ότι το σp (A) είναι άπειρο και δεν αποτελεί μηδενική ακολουθία, ϑα υπάρχει ένας ϑετικός αριθμός δ ώστε το σύνολο {λ ∈ σp (A) :

|λ| ≥ δ } να είναι άπειρο. Θα υπάρχει λοιπόν μια άπειρη ακολουθία {λn } διακεκριμένων ιδιοτιμών ώστε |λn | ≥ δ για κάθε n. Αν xn είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα ώστε Axn = λn xn , η ακολουθία {xn } είναι ορθοκανονική, γιατί οι ιδιόχωροι του A είναι ανά δυο κάθετοι (Λήμμα 4.1.7). Αυτό αντιφάσκει με το (ii).



Παρατηρήσεις 4.2.6 (i) Ο μηδενοχώρος ker A (δηλαδή ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0) μπορεί να έχει οποιαδήποτε διάσταση : Ας ϑεωρήσουμε, για παράδειγμα, τον τελεστή Da στον 2 (Παράδειγμα 2.1.8) όπου a = {an } είναι μηδενική ακολουθία. Ο Da είναι συμπαγής ϕυσιολογικός και σp (Da ) = {an : n ∈ N}. Αν λοιπόν an  0 για κάθε n ∈ N, τότε

ker Da = {0}. Αν an = 0 για πεπερασμένο πλήθος δεικτών n, τότε ο ker Da έχει πεπερασμένη διάσταση, και αν an = 0 για άπειρο πλήθος δεικτών n, τότε ο ker Da είναι απειροδιάστατος. (ii) ΄Οπως ϑα δείξουμε στο επόμενο Κεφάλαιο, τα (i) και (iii) της Πρότασης ισχύουν όταν ο A είναι συμπαγής τελεστής σε τυχαίο χώρο Banach. Υπενθυμίζουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα συμπαγών τελεστών χωρίς καϑόλου ιδιοτιμές (Παράδειγμα 4.1.2). Οι ϕυσιολογικοί συμπαγείς τελεστές όμως έχουν «πολλές» ιδιοτιμές :


4.2. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

157

Θεώρημα 4.2.7 Αν A είναι ϕυσιολογικός συμπαγής τελεστής σε έναν χώρο Hilbert H, τότε το σύνολο {Mλ : λ ∈ σp (A)} των ιδιοχώρων του A (είναι μη κενό και) αποτελείται από κάθετους ανά δυο (κλειστούς) A-αναλλοίωτους υποχώϱους που παράγουν τον H. Ειδικότερα ο περιορισμός του A στον χώρο (ker A)⊥ διαγωνοποιείται. Απόδειξη Από την Πρόταση 4.2.4, το σύνολο {Mλ : λ ∈ σp (A)} είναι μη κενό. Από το Λήμμα 4.1.7, οι ιδιόχωροι του A είναι ανά δυο κάθετοι και αναλλοίωτοι από τον A. Πρέπει να δείξουμε ότι παράγουν τον H. (i) Υποθέτουμε πρώτα ότι ο A είναι αυτοσυζυγής. Ονομάζουμε M τον ελάχιστο κλειστό υπόχωρο που περιέχει όλους τους Mλ (δηλαδή M = ∨λ Mλ ). Το μόνο που έχουμε να δείξουμε είναι ότι M = H, δηλαδή ότι M ⊥ = {0}. ΄Εστω ότι M ⊥  {0}. Επειδή κάθε Mλ είναι αναλλοίωτος από τον A, το ίδιο ισχύει και για τον M (΄Ασκηση 4.5), άρα και ο M ⊥ είναι αναλλοίωτος από τον A∗ = A (Λήμμα 4.1.8). Επομένως ο περιορισμός B ≡ A|M ⊥ ορίζει έναν τελεστή B : M ⊥ → M ⊥ . Παρατηρούμε ότι ο B ∈ B(M ⊥ ) είναι συμπαγής και αυτοσυζυγής (γιατί ;). Επομένως, σύμφωνα με την Πρόταση 4.2.4, ο B ϑα έπρεπε να έχει ιδιοτιμές. ΄Ομως, αν λ ∈ C και x ∈ M ⊥ , x  0 με Bx = λx, τότε Ax = Bx = λx, άρα το x είναι ιδιοδιάνυσμα του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ (του A), επομένως x ∈ Mλ ⊆ M. Δηλαδή x ∈ M ∩ M ⊥ , άρα x = 0, άτοπο. (ii) Γενική περίπτωση. ΄Εστω A ∈ K(H ) ϕυσιολογικός. Θεωρούμε τον αυτοσυζυγή συμπαγή τελεστή T ≡ A∗ A. Από την περίπτωση (i) οι ιδιόχωροι {Mμ (T ), μ ∈ σp (T )} του T είναι ανά δύο κάθετοι και παράγουν τον H. Παρατηρούμε ότι κάθε ιδιόχωρος Mμ (T ) είναι αναλλοίωτος από τον A και από τον A∗ . Πράγματι, επειδή A∗ A = AA∗ , έχουμε A(A∗ A) = (AA∗ )A = (A∗ A)A

και A∗ (A∗ A) = A∗ (AA∗ ) = (A∗ A)A∗ .

Δηλαδή οι A και A∗ μετατίθενται με τον A∗ A, άρα αφήνουν τον Mμ (T ) αναλλοίωτο (Παρατήρηση 4.1.1.i). Επομένως ο τελεστής Cμ ≡ A|Mμ (T ) απεικονίζει


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

158

τον Mμ (T ) στον εαυτό του και έχουμε Cμ∗ = A∗ |Mμ (T ) (Λήμμα 4.1.8.ii), άρα ο Cμ είναι ϕυσιολογικός, γιατί ο A είναι ϕυσιολογικός.2 Αν μ  0, ο αντίστοιχος ιδιόχωρος Mμ (T ) έχει πεπερασμένη διάσταση (Πρόταση 4.2.5).

Ο Cμ είναι λοιπόν ϕυσιολογικός τελεστής σε έναν χώρο

πεπερασμένης διάστασης. Επομένως υπάρχει μια ορθοκανονική ϐάση του Mμ (T ) ως προς την οποία είναι διαγώνιος (Θεώρημα 4.1.6). Δηλαδή για κάθε μ ∈ σp (T ) \ {0}, ο περιορισμός του A στον Mμ (T ) διαγωνοποιείται ως προς κάμ

ποια ορθοκανονική ϐάση Bμ = {en , n = 1, . . . , nμ }. ΄Αρα η (αριθμήσιμη) ένωση των Bμ , μ ∈ σp (T )\{0} είναι ορθοκανονική ϐάση του A-αναλλοίωτου υποχώρου N ≡ [Mμ (T ) : μ ∈ σp (T ) \ {0}] η οποία διαγωνοποιεί τον A|N . Επομένως (Πρόταση 4.1.3) οι ιδιόχωροι του A|N παράγουν τον χώρο N. Μένει να δείξουμε ότι N ⊥ = ker A: Εφόσον οι ιδιόχωροι {Mμ (T ), μ ∈ σp (T )} του T είναι ανά δύο κάθετοι και παράγουν τον H, έχουμε N ⊥ = M0 (T ) = ker T . ΄Ομως ker T = ker A: αν x ∈

ker T τότε Ax 2 = Ax, Ax  = A∗ Ax, x  = 0 άρα x ∈ ker A και το αντίστροφο είναι προφανές. 

Παρατήρηση 4.2.8 Αν ο H είναι διαχωρίσιμος, ϑεωρώντας και μια ορθοκανονική ϐάση του ker A, έχουμε μια ορθοκανονική ϐάση του H που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του A. Ολοκληρώσαμε έτσι την απόδειξη της πρώτης μορφής του Φασματικού ϑεωϱήματος (ϑεώρημα 4.2.2). Λήμμα 4.2.9 Αν {Pn : n ∈ N} είναι κάθετες ανά δύο προβολές σ’ έναν χώρο Hilbert H και {an } ⊆ C είναι μηδενική ακολουθία, η σειρά προς τη νόρμα του B(H ). 2

Για κάθε x ∈ Mμ έχουμε Cμ∗ x  = A∗ x  = Ax  = Cμ x .



an Pn συγκλίνει ως


4.2. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

159

Απόδειξη Για κάθε x ∈ H, τα διανύσματα {Pn x : n ∈ N} είναι ανά δυο κάθετα. Συνεπώς από το Πυθαγόρειο ϑεώρημα, αν k > m έχουμε

άρα

2

k k k  

 2 2

an Pn x  ≤ max{|ai | : m ≤ i ≤ k } Pn x 2 an Pn x

=

n =m n =m n =m

2

k

 Pn x

≤ max{|ai |2 : m ≤ i ≤ k }.x 2 = max{|ai |2 : m ≤ i ≤ k }.

n =m

k



an Pn

≤ max{|ai | : m ≤ i ≤ k }.

n =m

Αφού η {an } είναι μηδενική ακολουθία, για κάθε ε > 0 υπάρχει mo ∈ N ώστε |ai | ≤ ε για κάθε i ≥ mo . ΄Επεται από την τελευταία ανισότητα ότι αν Sm =

m

n =1

an Pn τότε για κάθε k > m ≥ mo ,

k



Sk − Sm −1  =

an Pn

≤ ε.

n =m



Δηλαδή τα μερικά αθροίσματα της σειράς

n

an Pn αποτελούν ϐασική ακολου-

ϑία ως προς την νόρμα του B(H ), συνεπώς η σειρά συγκλίνει. Παρατηρήσεις (i) Αν an → 0, τελεστής

 n



an Pn είναι συμπαγής αν και μόνον

αν κάθε an Pn είναι συμπαγής. Πράγματι, το  · -όριο συμπαγών τελεστών είναι συμπαγής. Αντίστροφα αν ο T ≡



n

an Pn είναι συμπαγής, τότε και οι

an Pn = TPn είναι συμπαγείς. (ii) Αν η ακολουθία {an } δεν είναι μηδενική, η σειρά

 n

an Pn δεν συγκλίνει

κατ’ ανάγκη ως προς την νόρμα του B(H ). Για παράδειγμα αν an = 1 και Pn  0 για κάθε n, τότε η σειρά



n

an Pn συγκλίνει μόνον κατά σημείο (Παρατήρηση

2.5.13.i). Θεώρημα 4.2.10 (Φασματικό ϑεώρημα για ϕυσιολογικούς συμπαγείς τελεστές - δεύτερη μορφή.) Αν A είναι συμπαγής τελεστής σ’ έναν χώρο Hilbert H, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα : (i) Οι ιδιόχωροι Mλ είναι κάθετοι ανά δύο, έχουν αριθμήσιμο πλήθος και παράγουν τον H.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

160

(ii) Οι αντίστοιχες προβολές Pλ είναι κάθετες ανά δύο, έχουν αριθμήσιμο πλήθος και για κάθε αρίθμηση {λn : n ∈ N} του σp (A), αν Pn = Pλn ισχύει ∞ 

Pn x = x για κάθε x ∈ H και A =

n =1

∞ 

λn Pn

n =1

όπου η δεύτερη σειρά συγκλίνει ως προς την νόρμα του B(H ). (iii) Ο A είναι ϕυσιολογικός. Απόδειξη (i)⇒(ii) Θεωρούμε μια αρίθμηση {λn : n ∈ N} του σp (A) και γράϕουμε Mn = Mλn και Pn = P (Mn ). Αφού οι Mn είναι κάθετοι ανα δύο, ισχύει Pn Pm = δmn (Πρόταση 2.5.7) και για κάθε x ∈ H η σειρά



n

Pn x συγκλίνει

στο P (M )x, όπου M = ∨n Mn (Πρόταση 2.5.12). Αλλά M = H, άρα



n

Pn x = x.

΄Ομως, για κάθε n, το Pn x ανήκει στον ιδιόχωρο Mn , άρα A(Pn x ) = λn Pn x. Επειδή ο A είναι συνεχής, έπεται ότι

⎞ ⎛∞ ∞ ∞  ⎜⎜⎜ ⎟⎟  Pn x ⎟⎟⎟⎠ = A(Pn x ) = λn Pn x. Ax = A ⎜⎜⎝ n =1

Αλλά από το Λήμμα 4.2.9, η σειρά

n =1



n

n =1

λn Pn συγκλίνει ως προς την νόρμα του

B(H ), οπότε ϑα συγκλίνει κατ’ ανάγκη στον A.   ¯n Pn , άρα για κάθε x ∈ H έχουμε (ii)⇒(iii) Αν A = n λn Pn , τότε A∗ = n λ (αφού τα {Pn x } είναι κάθετα ανά δύο)

2

2

  

A∗ x 2 =

λ¯n Pn x

= |λ¯n |2 Pn x 2 =

λn Pn x

= Ax 2

n

n

n άρα ο A είναι ϕυσιολογικός (Πρόταση 2.4.5.i). (iii)⇒(i) Από την Πρόταση 4.2.5 έχουμε ότι το πλήθος των ιδιοχώρων του A είναι αριθμήσιμο. Τα υπόλοιπα έπονται από το Θεώρημα 4.2.7.



Θεώρημα 4.2.11 (Φασματικό ϑεώρημα : Τρίτη μορφή) ΄Ενας τελεστής A σ’ έναν χώρο Hilbert H είναι ϕυσιολογικός και συμπαγής αν και μόνον αν υπάρχει μια (πεπερασμένη ή άπειρη) ορθοκανονική ακολουθία

{xn } ιδιοδιανυσμάτων του A, με αντίστοιχες ιδιοτιμές {an } ώστε

N 

∗ an xn ⊗ xn

= 0. lim

A − N →∞

n =1 Τότε η ακολουθία {an }, αν είναι άπειρη, είναι μηδενική.

(*)


4.2. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

161

Απόδειξη Αν ο A ικανοποιεί την (*) είναι  · -όριο τελεστών πεπερασμένης τάξης, άρα συμπαγής. Επίσης, οι τελεστές αυτοί είναι ϕυσιολογικοί, άρα και ο A είναι ϕυσιολογικός (δες και την ΄Ασκηση 4.3). Αντίστροφα, έστω A συμπαγής και ϕυσιολογικός. ΄Εχουμε δείξει (Θεώρημα 4.2.7) ότι υπάρχει αριθμήσιμη ορθοκανονική ϐάση, έστω {xn : n ∈ N}, του χώρου (ker A)⊥ από ιδιοδιανύσματα του A που αντιστοιχούν σε μη μηδενικές ιδιοτιμές του. Δηλαδή υπάρχουν an ∈ C ώστε Axn = an xn . Από την Πρόταση 4.2.5 η ακολουθία {an } είναι μηδενική, αν είναι άπειρη. Επειδή οι τελεστές xn ⊗ xn∗ είναι κάθετες ανά δυο προβολές, από το Λήμμα 4.2.9 η σειρά ∞ 

an xn ⊗ xn∗

n =1

συγκλίνει στην τοπολογία της νόρμας του B(H ) σε κάποιον τελεστή, έστω B. Οι (ϕραγμένοι) τελεστές A και B μηδενίζονται στον ker A και συμπίπτουν σε κάθε xn (διότι Axn = an xn = Bxn ) άρα συμπίπτουν και στον (ker A)⊥ .



Παρατηρήσεις 4.2.12 (i) ΄Ενας συμπαγής ϕυσιολογικός τελεστής είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικοί αριθμοί, και είναι ϑετικός αν και μόνον αν οι ιδιοτιμές του είναι μη αρνητικοί αριθμοί. Η απόδειξη είναι άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος 4.2.11. Σημειώνουμε όμως ότι ένας μη ϕυσιολογικός (άρα μη αυτοσυζυγής) συμπαγής τελεστής ενδέχεται να έχει πραγματικές μόνον ιδιοτιμές, όπως για παϱάδειγμα ο τελεστής με πίνακα (ii) Αν T =

∞

n =1

μn xn ⊗

x∗ n

11 01

!

.

είναι ϑετικός συμπαγής τελεστής, τότε είναι

εύκολο να ϐρεθεί η (μοναδική) ϑετική τετραγωνική του ϱίζα, χωρίς να χρησιμοποιηθεί η Πρόταση 2.4.12. Πράγματι, επειδή μn ≥ 0 (από το (i)) και μn → 0, η σειρά

 √ n

μ n Pn (γράφουμε xn ⊗ xn∗ = Pn για συντομία) συγκλίνει

σε ένα συμπαγή τελεστή, έστω S, που είναι ϑετικός, γιατί

μ n ≥ 0. ΄Εχουμε

⎛N ⎞ N N   ⎜⎜⎜ √ ⎟⎟ √ μ n Pn μ m Pm ⎟⎟⎟⎠ = lim μn Pn = T S = lim ⎜⎜⎝ 2

N →∞

n =1

m =1

N →∞

n =1

∗ = δ P . Επομένως T 1/2 = επειδή Pn Pm = xm , xn  xn ⊗ xm nm n

∞

n =1

μ n Pn .


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

162 ΄Επεται ότι

η ϑετική τετραγωνική ϱίζα ενός ϑετικού συμπαγούς τελεστή είναι και αυτή συμπαγής. Μπορούμε τώρα να γενικεύσουμε τις Προτάσεις 4.2.4 και 2.3.4 (για συμπαγείς τελεστές): Πόρισμα 4.2.13 ΄Εστω A συμπαγής ϕυσιολογικός τελεστής σ’ έναν χώρο Hilbert H. Τότε

(i )

A = max{|λ| : λ ∈ σp (A)}

(ii )

A = max{|Ax, x | : x ∈ H, x  = 1}

Απόδειξη Από το Θεώρημα 4.2.11, μπορούμε να γράψουμε τον A στη μορφή A =



n

an xn ⊗ xn∗ , όπου τα xn είναι ορθοκανονονικά, οπότε για κάθε x ∈ H

έχουμε Ax =

∞ 

an (xn ⊗ xn∗ )(x ) =

n =1

∞ 

an x, xn xn

n =1

επομένως

Ax 2 =

∞ 

|an |2 |x, xn |2 ≤ sup |an |2 n

n =1

άρα

∞ 

|x, xn |2 ≤ sup |an |2 x 2

n =1

n

A ≤ sup |an | = sup{|λ| : λ ∈ σp (A)}. n

΄Ομως το σύνολο {|λ| : λ ∈ σp (A)} είναι ϕραγμένο (από το A) και έχει μόνο σημείο συσσώρευσης το 0. ΄Αρα έχει μέγιστο |λo | (λo ∈ σp (A)). Αν xo είναι ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα με xo  = 1, έχουμε

A ≤ |λo | = λo xo  = Axo  ≤ A , άρα ισχύει ισότητα. Επίσης

|Axo , xo | = |λo xo , xo | = |λo | = A πράγμα που αποδεικνύει και το (ii), αφού η ανισότητα

sup{|Ax, x | : x ∈ H, x  = 1} ≤ A είναι άμεση.




4.2. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

163

Παρατήρηση 4.2.14 ΄Εστω A ϕυσιολογικός συμπαγής τελεστής και λ ∈ C. Αν το λ είναι ιδιοτιμή του A, τότε ο A − λI δεν είναι 1-1, επομένως δεν μπορεί να είναι αντιστρέψιμος. Αν το λ δεν είναι ιδιοτιμή του A, τότε ο A − λI είναι 1-1, αυτό όμως δεν σημαίνει ότι είναι αντιστρέψιμος. Για παράδειγμα, αν A είναι ο τελεστής Da του 2 όπου an =

1 n

για κάθε n ∈ N, τότε ο A = A − 0I είναι 1-1, όχι

όμως επί (΄Ασκηση 3.7), άρα δεν είναι αντιστρέψιμος. Είναι αξιοσημείωτο ότι, για συμπαγείς τελεστές, αυτό μπορεί να συμβεί μόνον όταν λ = 0: Πρόταση 4.2.15 Αν A είναι συμπαγής ϕυσιολογικός τελεστής σε έναν χώρο Hilbert H και λ ∈ C \ {0}, τότε ή το λ είναι ιδιοτιμή του A ή ο A − λI είναι αντιστρέψιμος. Παρατήρηση Το συμπέρασμα της Πρότασης ισχύει για οποιονδήποτε συμπαγή τελεστή σε οποιονδήποτε χώρο Banach. Αυτό ϑα αποδειχθεί (με διαφοϱετική ϕυσικά μέθοδο) στο επόμενο Κεφάλαιο. Απόδειξη ΄Εστω λ  σp (A) και λ  0. Από το Θεώρημα 4.2.10, ο A γράφεται A=

∞ 

μi Pi

i =1

όπου τα μi είναι οι ιδιοτιμές του A και Pi οι προβολές στους αντίστοιχους ιδιόχωρους. Επίσης για κάθε y ∈ H έχουμε y =

∞ 

i =1

Pi y.

Η ακολουθία {μn }, αν είναι άπειρη, έχει μόνο σημείο συσσώρευσης το 0. Αφού λ  0, ο αριθμός δ ≡ inf n |μn − λ| είναι γνήσια ϑετικός. Για κάθε n ∈ N, ϑεωρούμε τον ϕραγμένο τελεστή Bn =

n 

1

μ −λ i =1 i

Pi .

Ισχυρίζομαι ότι η ακολουθία {Bn } συγκλίνει κατά σημείο σε ϕραγμένο τελεστή, δηλαδή ότι υπάρχει ϕραγμένος τελεστής B ∈ B(H ) ώστε για κάθε y ∈ H η ακολουθία {Bn y} να συγκλίνει στο By. Πράγματι, επειδή τα Pi y είναι ανά δύο κάθετα, για m > n > 1 έχουμε, χρησιμοποιώντας και το Πυθαγόρειο Θεώρημα,


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

164

2

m m m 

 1  1 1 2 Bm y − Bn −1 y2 =

 P y  ≤ Pi y2 . Pi y

= i δ 2 i =n

i =n μi − λ i =n |μi − λ|2  2 Επειδή η σειρά ∞ i =1 Pi y συγκλίνει (Πρόταση 2.5.12), έπεται από την τελευταία ανισότητα ότι η ακολουθία {Bn y} είναι ϐασική. Αν ϑέσουμε z (y) ≡ limn Bn y, η ανισότητα Bn y ≤ 2

n 

1

|μi −

i =1

δείχνει ότι z (y) = limn Bn y ≤

λ|2

1 y, δ

Pi y2 ≤

1 δ2

y2

άρα η απεικόνιση B : y → z (y) είναι,

όχι μόνον γραμμική, αλλά και συνεχής. Παρατηρούμε τώρα ότι

⎛∞ ⎜⎜ (A − λI )(By) = (A − λI )(lim Bn y) = (A − λI ) ⎜⎜⎜⎝ n

=

∞ 

1

μ −λ i =1 i

(A − λI )Pi y =

∞ 

i =1

1

μ −λ i =1 i

1 μi − λ

⎞ ⎟⎟ Pi y⎟⎟⎟⎠

(μi − λ)Pi y = y

γιατί APi = μi Pi για κάθε i. Δηλαδή για κάθε y ∈ H υπάρχει By ∈ H ώστε (A − λI )By = y, άρα ο A − λI είναι επί. απεικόνιση (A −

(A − λI )−1 y B.

Επειδή είναι και 1-1 (αφού λ  σp (A)), η γραμμική

λI )−1

ορίζεται. Μάλιστα η προηγούμενη ισότητα δείχνει ότι

= By για κάθε y ∈ H. ΄Αρα ο A − λI έχει ϕραγμένο αντίστροφο, τον



Παρατηρήσεις 4.2.16 (i) Η απόδειξη της Πρότασης δίνει και έναν τύπο για τον υπολογισμό του τελεστή (A − λI )−1 : ∞ 

1 (y ∈ H ). Pi y, μ − λ i i =1  Η σειρά i μ 1−λ Pi συγκλίνει κατά σημείο, όχι όμως ως προς τη νόρμα τελεστή i (εκτός ϐέβαια αν έχει πεπερασμένο πλήθος μη μηδενικών όρων).

(A − λI )−1 y =

Πράγματι, ας υποθέσουμε (για απλότητα) ότι ker A = {0}. Τότε ο τελεστής

(A − λI )−1 είναι κατά σημείο όριο των τελεστών πεπερασμένης τάξης Bn =

n  i =1

1 μi − λ

Pi


4.2. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

165

(γιατί οι προβολές Pi στους ιδιόχωρους του A είναι πεπερασμένης τάξης, αφού μi  0). Ενώ όμως ο A είναι  · -όριο των τελεστών πεπερασμένης τάξης An =

n 

μi Pi ,

i =1

η {Bn } δεν μπορεί να συγκλίνει ως προς την νόρμα του B(H ), γιατί τότε το όριο της ϑα ήταν συμπαγής (Πρόταση 3.3.3). Αυτό όμως αποκλείεται (εκτός ϐέβαια αν dim H < +∞), γιατί ο (A − λI )−1 είναι αντιστρέψιμος. (ii) Γενικότερα αποδεικνύεται (΄Ασκηση 4.7) ότι αν f : C → C είναι ϕραγμένη συνάρτηση τότε η σχέση Af x =

∞ 

f (μn )Pn x

(x ∈ H )

n =1

ορίζει ϕραγμένο ϕυσιολογικό τελεστή Af ∈ B(H ). Η απεικόνιση f → Af είναι γραμμική, πολλαπλασιαστική (δηλ. Af Ag = Afg ) και ικανοποιεί Af∗ = Af ∗

(όπου f ∗ (λ) = f (λ)) και Af  = sup{|f (λ)| : λ ∈ σp (A) ∪ {0}}. Η απεικόνιση αυτή

ονομάζεται συναρτησιακός λογισμός (functional calculus) και συνήθως γράφουμε f (A) αντί για Af . Θεώρημα 4.2.17 (Γενική μορφή συμπαγούς τελεστή σε χώρο Hilbert) Αν A είναι συμπαγής τελεστής σ’ έναν χώρο Hilbert H, υπάρχουν ορθοκανονικές ακολουθίες {xn }, {yn } στον H και (πεπερασμένη ή μηδενική) ακολουθία ϑετικών αριθμών {λn } ώστε

A=

∞ 

λi xi ⊗ yi∗

i =1

όπου η σειρά συγκλίνει ως προς τη νόρμα του B(H ). Απόδειξη Θεωρούμε τον ϑετικό συμπαγή τελεστή |A| = (A∗ A)1/2 (Πρόταση 2.4.12 και Παρατήρηση 4.2.12.ii). Χρησιμοποιώντας το Φασματικό Θεώρημα 4.2.11 γράφουμε

|A| =

∞ 

λn yn ⊗ yn∗

n =1

(σύγκλιση ως προς τη νόρμα του B(H )) όπου η ακολουθία {λn } αποτελείται από τις μη μηδενικές ιδιοτιμές του |A| και η {yn } είναι ορθοκανονική ϐάση


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

166

του υπόχωρου (ker |A|)⊥ .Αν A = U |A| είναι η πολική αναπαράσταση του A (Πρόταση 2.4.14), ϑέτουμε xn = Uyn και έχουμε A = U |A| =

∞ 

λn Uyn ⊗ yn =

n =1

∞ 

λn xn ⊗ yn∗ .

n =1

Η ακολουθία {xn } είναι ορθοκανονική γιατί είναι εικόνα της ορθοκανονικής ακολουθίας {yn } (που ανήκει στον χώρο (ker |A|)⊥ = im |A|) μέσω της μερικής ισομετρίας U .



Δεύτερη απόδειξη (Χωρίς τη χρήση της τετραγωνικής ϱίζας και πολικής αναπαράστασης) Ονομάζουμε T τον ϑετικό συμπαγή τελεστή T = A∗ A. Χρησιμοποιώντας το Φασματικό Θεώρημα 4.2.11 γράφουμε T =

∞ 

μn un ⊗ un∗

n =1

όπου η ακολουθία {μn } αποτελείται από τις μη μηδενικές ιδιοτιμές του T (άρα μn > 0, αφού ο T είναι ϑετικός) και η {un } είναι ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου (ker T )⊥ = (ker A)⊥ . Ορίζουμε vn =

Aun an

(n ∈ N), όπου an =

μn .

Η {vn } είναι ορθοκανονική ακολουθία : Πράγματι

vn , vm  = =

1 an am 1 an am

Aun , Aum  = μn un , um  =

1 an am μn an am

A∗ Aun , um 

un , um  = δnm ,

αφού η {un } είναι ορθοκανονική και μn = an2 . Επειδή οι {vn }, {un } είναι ορθοκανονικές ακολουθίες και η {an } είναι μηδενική (διότι η μn είναι μηδενική), η σειρά

∞ 

ai vi ⊗ ui∗

i =1

συγκλίνει ως προς τη νόρμα του B(H ) (Παράδειγμα 3.3.10.ii) και ορίζει ϕραγμένο (μάλιστα συμπαγή) τελεστή, έστω B. Παρατηρούμε ότι ο B μηδενίζεται στον υπόχωρο [un : n ∈ N]⊥ = ker A∗ A = ker A, ενώ για κάθε n ∈ N έχουμε Bun = an vn = Aun , άρα οι (ϕραγμένοι) τελεστές A και B συμπίπτουν και στον

(ker A)⊥ , επομένως είναι ίσοι.




4.3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

167

Παρατηρήσεις 4.2.18 (i) Σημειώνουμε ότι οι αριθμοί λi που εμφανίζονται στο τελευταίο ϑεώρημα δεν είναι οι ιδιοτιμές του A (ο οποίος μπορεί να μην έχει καμία ιδιοτιμή – ϐλ. Παράδειγμα 4.1.2) αλλά οι ιδιοτιμές του |A| = T 1/2 . (ii) Η πολική αναπαράσταση ενός συμπαγούς τελεστή προκύπτει άμεσα από τη δεύτερη απόδειξη του Θεωρήματος : Με τους συμβολισμούς της απόδειξης αυτής έχουμε |A| = T 1/2 =

∞

i =1

ai ui ⊗ ui∗ (Παρατήρηση 4.2.12.ii).

Αν ονομάσουμε U την απεικόνιση που ορίζεται στο im |A| από τις σχέσεις Uun = vn (n ∈ N) και μηδενίζεται στο (im |A|)⊥ , τότε η U είναι μερική ισομετρία και U |A| =

∞

i =1

ai (Uui ) ⊗ ui∗ = A.

4.3 Ασκήσεις Στην παράγραφο αυτή όλοι οι τελεστές δρούν σε χώρους Hilbert. 4.1 Δείξτε ότι αν ένας ϕραγμένος τελεστής A είναι διαγωνοποιήσιμος ως προς μία ορθοκανονική ϐάση {en } τότε οι ιδιοτιμές του είναι ακριβώς οι αριθμοί an ώστε Aen = an en . Δείξτε επίσης ότι ο ιδιόχωρος Mλ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ είναι η κλειστή γραμμική ϑήκη του συνόλου {en : an = λ}, ότι οι ιδιόχωροι αυτοί είναι κάθετοι ανά δυο και παράγουν τον H. 4.2 (*) Δείξτε ότι ο τελεστής του Volterra στον L 2 ([0, 1]) δεν έχει ιδιοτιμές. 4.3 Αν {xn } είναι ορθοκανονική ακολουθία και {an } είναι ϕραγμένη ακολουϑία αριθμών, δείξτε ότι η σειρά



n

an (xn ⊗ xn∗ )(x ) συγκλίνει για κάθε x ∈ H

και ορίζει έναν ϕραγμένο και ϕυσιολογικό τελεστή. 4.4 Να ϐρεθεί ϕυσιολογικός τελεστής A ∈ B(H ) και κλειστός A-αναλλοίωτος υπόχωρος M του H ώστε ο τελεστής A|M να μην είναι ϕυσιολογικός. 4.5 Αν A ∈ B(H ) και {Mi : i ∈ I } είναι ένα σύνολο (κλειστών) υποχώρων του H ώστε A(Mi ) ⊆ Mi για κάθε i ∈ I, τότε ο υπόχωρος M = [Mi : i ∈ I ] είναι και αυτός A-αναλλοίωτος. 4.6 Αν H = L 2 ([0, 1]) και Mf ο τελεστής του πολλαπλασιασμού επι την συνάρτηση f όπου f (t ) = t (t ∈ [0, 1]), δείξτε ότι ο Mf δεν έχει ιδιοτιμές.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι

168

4.7 ΄Εστω A συμπαγής ϕυσιολογικός τελεστής, λn (n ∈ N) οι ιδιοτιμές του και Pn οι προβολές στους αντίστοιχους ιδιόχωρους. Να δειχθεί ότι για κάθε ϕραγμένη συνάρτηση f : C → C η σειρά ∞ 

f (λn )Pn x ≡ Af x

n =1

συγκλίνει για κάθε x ∈ H και ορίζει ϕραγμένο ϕυσιολογικό τελεστή Af ∈ B(H ). Να δειχθεί επίσης ότι η απεικόνιση f → Af είναι γραμμική, πολλαπλασιαστική (δηλ. Af Ag = Afg ) και ικανοποιεί Af∗ = Af ∗ (όπου f ∗ (λ) = f (λ)) και Af  =

sup{|f (λ)| : λ ∈ σp (A) ∪ {0}}. 4.8 Αν ένας τελεστής A γράφεται A =

∞

i =1

λi xi ⊗ yi∗ =

∞

i =1

μi ui ⊗ vi∗ , όπου

(xn ), (yn ), (un ) και (vn ) είναι ορθοκανονικές ακολουθίες και (λi ), (μi ) είναι ϕθίνουσες μηδενικές ακολουθίες ϑετικών αριθμών, δείξτε ότι (λn ) = (μn ). Επομέ νως η παράσταση A1 ≡ n λn εξαρτάται μόνον από τον A. ΄Οταν A1 < ∞, ο A ονομάζεται τελεστής ίχνους (trace class operator) ή καμιά ϕορά πυρηνικός τελεστής.

4.9 ΄Εστω A =

∞

i =1

λi xi ⊗ yi∗ , όπου (xn ) και (yn ) είναι δύο ορθοκανονικές

ακολουθίες και (λi ) είναι μηδενική ακολουθία διαφορετικών ανά δύο ϑετικών αριθμών. Αν ο A είναι ϕυσιολογικός, να ϐρεθεί η σχέση μεταξύ των λi , xi , yi και των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων του A. 4.10 Αν A είναι συμπαγής τελεστής, δείξτε ότι υπάρχει x ∈ H με x  = 1 ώστε Ax  = A. Δείξτε ότι αυτό δεν συμβαίνει πάντα όταν ο A είναι απλώς ϕραγμένος (ϑεωρείστε κατάλληλο διαγώνιο τελεστή).


Κεφάλαιο 5

Αναλλοίωτοι υπόχωροι και ϕασματική ϑεωρία συμπαγών τελεστών σε χώρους Banach 5.1 Φασματική Θεωρία Στην παράγραφο αυτή, ϑα γενικεύσουμε ορισμένα από τα αποτελέσματα της προηγούμενης παραγράφου για τελεστές σε χώρους Banach. Πλήρης γενίκευση του Φασματικού ϑεωρήματος δεν αναμένεται ϐέβαια, καθώς αυτό στηϱίζεται κατά ουσιώδη τρόπο στην ύπαρξη του συζυγούς τελεστή A∗ : H → H, δηλαδή τελικά στην ύπαρξη εσωτερικού γινομένου. Είναι όμως αξιοσημείωτο ότι ένα σημαντικό μέρος της ϑεωρίας, με σοβαρές εφαρμογές, επιδέχεται γενίκευση σε αυθαίρετους χώρους Banach. Θεώρημα 5.1.1 (Riesz-Schauder) ΄Εστω E χώρος Banach και A : E → E συμπαγής τελεστής. (i) Το σύνολο των ιδιοτιμών είναι αριθμήσιμο (ενδεχομένως και κενό). (ii) Αν το σp (A) είναι άπειρο, αποτελεί μηδενική ακολουθία. (iii) Αν λ ∈ σp (A) \ {0}, ο αντίστοιχος ιδιόχωρος του A έχει πεπερασμένη διάσταση. 169


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH

170

(iv) Αν λ ∈ C \ {0}, τότε ή το λ είναι ιδιοτιμή του A ή ο τελεστής A − λI έχει ϕραγμένο αντίστροφο. Παρατήρηση 5.1.2 Τα (iii) και (iv) μπορούν να διατυπωθούν ισοδύναμα (ϑεωρώντας τον συμπαγή τελεστή

A λ

στη ϑέση του A) ως εξής :

Εναλλακτικό Θεώρημα Fredholm (Fredholm alternative) Αν A ∈ K(E ), ή η εξίσωση

x − Ax = y

(5.1)

έχει μοναδική λύση x ∈ E για κάθε y ∈ E, ή αλλιώς η αντίστοιχη ομογενής εξίσωση

x − Ax = 0

έχει πεπερασμένο πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων.

Δηλαδή, αν γνω-

ϱίζουμε ότι η (5.1) έχει το πολύ μια λύση για y = 0 (οπότε αποκλείεται το δεύτερο ενδεχόμενο) τότε από την συμπάγεια του τελεστή A συμπεραίνουμε την ύπαρξη λύσης της (5.1) για κάθε y ∈ E, και μάλιστα ακριβώς μιας. Το αποτέλεσμα αυτό είναι ϐέβαια γνωστό όταν dim E < +∞. Το γεγονός ότι ισχύει σε απειροδιάστατους χώρους είναι αυτό που οδήγησε στην μελέτη των συμπαγών τελεστών. Πριν προχωρήσουμε στην απόδειξη του ϑεωρήματος, ας δούμε ένα κλασσικό παράδειγμα : Παράδειγμα 5.1.3 (Η ολοκληρωτική εξίσωση του Fredholm) ΄Εστω k ∈ C([0, 1] × [0, 1]) με sup{|k (t, s)| : t, s ∈ [0, 1]} = M. Αν M < 1, τότε για κάθε g ∈ C([0, 1]) υπάρχει μοναδική λύση f ∈ C([0, 1]) της εξίσωσης του Fredholm

f (t ) −

1

k (t, s)f (s)ds = g(t ),

t ∈ [0, 1].

(5.2)

0

Απόδειξη Για κάθε f ∈ C([0, 1]), ϑέτουμε

(Ak f )(t ) =

1

k (t, s)f (s)ds

t ∈ [0, 1].

0

Γνωρίζουμε (΄Ασκηση 2.9) ότι ο τελεστής Ak που ορίζεται από την σχέση αυτή (είναι γραμμικός και) απεικονίζει τον C([0, 1]) στον εαυτό του.


5.1. ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

171

Ισχυρισμός Ο τελεστής Ak : (C([0, 1], ·∞ ) → C([0, 1], ·∞ ) είναι συμπαγής. Απόδειξη Η συνάρτηση k : [0, 1] × [0, 1] → C είναι συνεχής, άρα ομοιόμορφα συνεχής. Επομένως για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε

(t, s) − (x, y) < δ =⇒ |k (t, s) − k (x, y)| < ε. ΄Επεται ότι για κάθε f ∈ C([0, 1]), αν |t − x | < δ τότε |k (t, s) − k (x, s)| < ε για κάθε s άρα

 1    (k (t, s) − k (x, s)) f (s)ds |(Ak f )(t ) − (Ak f )(x )| =   0 

1 |f (s)|ds ≤ εf ∞ . ≤ε 0

Επομένως, αν {fn } είναι μια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων με fn ∞ ≤ 1, τότε για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε

|t − x | < δ =⇒ |(Ak fn )(t ) − (Ak fn )(x )| ≤ εfn ∞ ≤ ε για κάθε n ∈ N. Δηλαδή η ακολουθία {Ak fn } είναι, όχι μόνον ομοιόμορφα ϕραγμένη, αλλά και ισοσυνεχής, συνεπώς, από το ϑεώρημα Ascoli (7.3.16), έχει μια υπακολουθία που συγκλίνει ομοιόμορφα. ΄Επεται από το Θεώρημα 3.2.3 ότι ο Ak είναι συμπαγής. Παρατηρούμε τώρα ότι, αν M < 1, τότε για κάθε f ∈ C([0, 1]) και t ∈ [0, 1],

|(Ak f )(t )| ≤

1

|k (t, s)||f (s)|ds ≤ M f ∞

0

άρα Ak f ∞ ≤ M f ∞ < f ∞ όταν f  0, επομένως η εξίσωση Ak f = f έχει μόνον την μηδενική λύση. Προκύπτει λοιπόν από το ϑεώρημα 5.1.1 ότι για κάθε g ∈ C([0, 1]) υπάρχει μοναδική f ∈ C([0, 1]) ώστε f − Ak f = g. Επομένως, για κάθε g ∈ C([0, 1]), η (5.2) έχει μια, και μάλιστα μοναδική, λύση.



Στην απόδειξη του ϑεωρήματος 5.1.1 ϑα χρειασθεί το επόμενο Λήμμα, που γενικεύει τον Ισχυρισμό από το Λήμμα 3.3.4.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH

172

Λήμμα 5.1.4 (Riesz) Αν E είναι χώρος Banach και F γνήσιος κλειστός υπόχωρος του E, τότε για κάθε n ∈ N υπάρχει xn ∈ E με xn  = 1 και απόσταση d (xn , F ) > 1 − n1 . Αν επιπλέον dim F < ∞, τότε υπάρχει xo ∈ E με xo  = 1 και d (xo , F ) = 1. Παρατήρηση Αν ο E είναι χώρος Hilbert, η απόδειξη είναι άμεση : αρκεί να πάρω ένα διάνυσμα x νόρμας 1 κάθετο στον F (Πόρισμα 1.5.3) και να ϑέσω xn = x για κάθε n ∈ N, οπότε d (xn , F ) = 1. Απόδειξη Αφού E  F , υπάρχει z ∈ E \ F . ΄Εστω d = d (z, F ) > 0 (ο F είναι κλειστός). Εφόσον d (z, F ) = inf{z − y : y ∈ F }, υπάρχει ακολουθία {yn } στον F ώστε

z − yn  < d + Αν ϑέσουμε

xn =

z − yn dn

d

για κάθε n ∈ N.

n

όπου dn = z − yn 

έχουμε xn  = 1 και, για κάθε y ∈ F ,

y − xn  = y − dn−1 (z − yn ) = dn−1 (dn y + yn ) − z  ≥ dn−1 d επειδή dn y + yn ∈ F . Επομένως −1



d (xn , F ) ≥ dn d > 1 +

 1 −1 n

>1−

1 n

.

΄Εστω τώρα dim F < ∞. Παρατηρούμε ότι η ακολουθία {xn } είναι ϕραγμένη. Αν

{zn } είναι μια υπακολουθία της {xn } που συγκλίνει, έστω στο xo , τότε xo  = 1 και για κάθε ε > 0 υπάρχει n ∈ N ώστε xo − zn  < ε και d (zn , F ) > 1 − ε, οπότε 1 − ε < d (zn , F ) ≤ zn − xo  + d (xo , F ) < ε + d (xo , F ) άρα

d (xo , F ) > 1 − 2ε.

Επειδή το ε είναι αυθαίρετο, έπεται ότι d (xo , F ) ≥ 1. Αλλά 1 = xo  ≥ d (xo , F ), άρα d (xo , F ) = 1.




5.1. ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

173

Το επόμενο αποτέλεσμα γενικεύει την Πρόταση 4.2.5. Πρόταση 5.1.5 Αν E είναι χώρος Banach, A ∈ K(E ) και ε > 0, δεν υπάρχουν άπειρα γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του A που αντιστοιχούν σε ιδιοτιμές λ του A με |λ| ≥ ε. Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια άπειρη ακολουθία {xn } από γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα τέτοια ώστε Axn = λn xn όπου |λn | ≥ ε (δεν υποϑέτουμε ότι οι λn είναι διαφορετικές ανά δύο). Θέτουμε τότε Mn = [x1 , x2 , . . . , xn ]. Επειδή ο Mn −1 είναι γνήσιος υπόχωρος του Mn και έχει πεπερασμένη διάσταση, υπάρχει yn ∈ Mn με yn  = d (yn , Mn −1 ) = 1 (Λήμμα 5.1.4). Ισχυρισμός Για κάθε n ∈ N, το Ayn − λn yn ανήκει στον Mn −1 . Απόδειξη Επειδή yn ∈ Mn , γράφουμε yn =

n

k =1

μk xk όπου μk ∈ C. ΄Ε-

χουμε Ayn − λn yn =

n 

μk (A − λn I )xk =

k =1

n 

μk (λk − λn )xk =

k =1

n −1 

μk (λk − λn )xk

k =1

που ανήκει στον Mn −1 . Θέτουμε τώρα zn = λn−1 yn . Επειδή Azn − yn = λn−1 (Ayn − λn yn ) ∈ Mn −1 από τον Ισχυρισμό, για κάθε x ∈ Mn −1 έχουμε (x + yn − Azn ) ∈ Mn −1 άρα

x − Azn  =(x + yn − Azn ) − yn  ≥ d (yn , Mn −1 ) = 1. d (Azn , Mn −1 ) ≥ 1. Αφού το x ∈ Mn −1 είναι τυχαίο, έπεται ότι ΄Εστω τώρα n > m. Επειδή ο υπόχωρος Mm είναι A-αναλλοίωτος και zm ∈ Mm , έχουμε Azm ∈ Mm ⊆ Mn −1 , άρα

Azn − Azm  ≥ d (Azn , Mn −1 ) ≥ 1. Επομένως, η ακολουθία {Azn } δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. ΄Ομως, η

{zn } είναι ϕραγμένη : zn  = λn−1 yn  = |λn−1 | ≤ 1/ε. Αφου ο A είναι συμπαγής,  έχουμε καταλήξει σε άτοπο.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH

174

Απόδειξη του ϑεωρήματος Riesz-Schauder (i) και (ii) Το σp (A) \ {0} είναι αριθμήσιμο με μόνο πιθανό σημείο συσσώρευσης το 0: Για κάθε n ∈ N, το σύνολο {λ ∈ σp (A) : |λ| ≥

1 } n

είναι πεπερασμένο,

1

από την Πρόταση 5.1.5. Επομένως το σύνολο σp (A) \ {0} =

∞ $

{λ ∈ σp (A) : |λ| ≥

n =1

1 n

}

είναι αριθμήσιμο και, αν είναι άπειρο, έχει μόνο σημείο συσσώρευσης το 0. (iii) Αν λ ∈ σp (A) \ {0}, ο ιδιόχωρος Mλ έχει πεπερασμένη διάσταση : Πράγματι, από την Πρόταση 5.1.5 το πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ είναι πεπερασμένο. (iv) Αν λ ∈ C \ {0}, ή το λ είναι ιδιοτιμή του A ή ο A − λI είναι αντιστρέψιμος : Θεωρώντας τον συμπαγή τελεστή

A λ

στην ϑέση του A, αρκεί να αποδείξω την

Πρόταση 5.1.6 Αν A είναι συμπαγής τελεστής σε χώρο Banach E και η εξίσωση x − Ax = 0 έχει μόνον την τετριμμένη λύση x = 0, τότε για κάθε y ∈ E η εξίσωση x − Ax = y έχει (μοναδική) λύση. [Πράγματι, η Πρόταση 5.1.6 λέει ότι, αν ker(I − A) = {0}, τότε ο τελεστής I − A είναι (1-1 και) επί. Συνεπώς, από το Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης (7.3.12), ο αντίστροφος (I − A)−1 (ορίζεται και) είναι ϕραγμένος.] Απόδειξη της Πρότασης 5.1.6 Θέτουμε B = I − A και υποθέτουμε ότι ker B =

{0}. Πρέπει να δείξουμε ότι im B = E. Ισχυρισμός 1 Ο υπόχωρος im B είναι κλειστός. Απόδειξη : ΄Εστω {xn } ακολουθία στον E με Bxn → y. Θα δείξω ότι y ∈ im B. Αν η {xn } δεν είναι ϕραγμένη, έχει μια υπακολουθία {yn } με yn  → +∞. Η 1

Σε διαφορετικές ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα.


5.1. ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ



yn

yn 

175



  είναι ϕραγμένη, άρα από την συμπάγεια του A η A

yn

 έχει μια

yn  υπακολουθία { Az } που συγκλίνει, έστω στο u. Αλλά By → y και yn  → +∞, n n   Byn  Byn επομένως η συγκλίνει στο μηδέν, άρα Bzn = → 0. Συνεπώς yn  yn  zn = (A + B)zn → u πράγμα που σημαίνει ότι u  = 1 και Bu = lim Bzn = 0. Αυτό όμως αντιβαίνει στην υπόθεση ότι ker B = {0}. Επομένως η {xn } είναι ϕραγμένη. Αφού ο A είναι συμπαγής, η {Axn } έχει μια υπακολουθία {Avn } που συγκλίνει, έστω στο w. Τότε vn = Avn + Bvn → w + y

(διότι Bxn → y)

άρα B(w + y) = lim Bvn = lim Bxn = y και επομένως y ∈ im B.  Ισχυρισμός 2 Για κάθε n ∈ N, ο χώρος Mn ≡ im(Bn ) είναι κλειστός υπόχωρος του E. Πράγματι, έχουμε ker(Bn ) = {0} (αν Bn x = 0, δηλαδή B(Bn −1 x ) = 0, τότε Bn −1 x = 0 αφού ker B = {0} και ούτω καθεξής, άρα x = 0). Αλλά Bn = (I − A)n =

n    n k =0

k

(−A)k = I − An

όπου ο An είναι συμπαγής τελεστής, αφού είναι γραμμικός συνδυασμός μη μηδενικών δυνάμεων του A. Εφαρμόζοντας το Ισχυρισμό 1 για τον Bn , συμπεραίνουμε ότι ο Mn = im(Bn ) είναι κλειστός.



Ισχυρισμός 3 Η ακολουθία E = M0 ⊇ M1 ⊇ M2 ⊇ . . . τερματίζεται, δηλαδή υπάρχει m ∈ N ώστε Mm = Mm +1 (άρα και Mm = Mk για κάθε k ≥ m). Απόδειξη Αν όχι, τότε για κάθε k ∈ N ο Mk +1 είναι γνήσιος υπόχωρος του Mk , οπότε από το Λήμμα 5.1.4 μπορώ να ϐρω xk ∈ Mk με d (xk , Mk +1 ) ≥

1 2

και

xk  = 1. Αν m < n, τότε xn ∈ Mn άρα Bxn ∈ B(Mn ) = Mn +1 και xm ∈ Mm άρα Bxm ∈ Mm +1 . Επομένως Bxm + Axn = Bxm + xn − Bxn ∈ Mm +1 + Mn + Mn +1 ⊆ Mm +1 ,


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH

176 άρα

Axm − Axn  = xm − (Bxm + Axn ) ≥ d (xm , Mm +1 ) ≥ 1/2

πράγμα που σημαίνει ότι η ακολουθία {Axn } δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουϑία, άτοπο.



Ισχυρισμός 4 im B = E. Απόδειξη Από τον Ισχυρισμό 3 υπάρχει ελάχιστο m ∈ N ώστε Mm = Mm +1 . Αν im B  E, δηλαδή M1  M0 , τότε m ≥ 1. Υπάρχει λοιπόν x ∈ Mm −1 \ Mm . Επειδή Bx ∈ Mm και Mm = Mm +1 = B(Mm ), υπάρχει y ∈ Mm (άρα y  x) με By = Bx. Δηλαδή (y − x ) ∈ ker B, πράγμα που αντιφάσκει με την υπόθεση

ker B = {0}. Η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.



5.2 Αναλλοίωτοι υπόχωροι Εισαγωγή ΄Εστω E χώρος Banach, A ∈ B(E ). ΄Ενας κλειστός υπόχωρος M του E λέγεται Α-αναλλοίωτος (Α-invariant) αν A(M ) ⊆ M. Παραδείγματος χάριν, αν ο A έχει μια ιδιοτιμή λ, ο αντίστοιχος ιδιόχωρος Mλ είναι κλειστός και A-αναλλοίωτος. Επομένως, αν ο E είναι (μιγαδικός !) χώρος πεπερασμένης διάστασης, κάθε τελεστής έχει αναλλοίωτο υπόχωρο M που δεν είναι τετριμμένος, δηλαδή {0}  M  E. Σε απειροδιάστατους χώρους, υπάρχουν, όπως έχουμε δει (Παράδειγμα 4.1.2) τελεστές χωρίς καμία ιδιοτιμή (άρα χωρίς αναλλοίωτους υποχώρους πεπερασμένης διάστασης - γιατί ;). Στα συγκεκριμένα παραδείγματα τελεστών που έχουμε εξετάσει, είναι εύκολο να ϐρει κανείς μη τετριμμένους κλειστούς αναλλοίωτους υπόχωρους. Παραδείγματος χάριν ο τελεστής T ∈ B(2 ) του Παραδείγματος 4.1.2 έχει την ιδιότητα, αν ϑέσουμε Mn = [en , en +1 , . . .], T (Mn ) ⊆ Mn +1 ⊆ Mn

για κάθε n ∈ N,

άρα έχει μια άπειρη αλυσίδα {Mn : n ∈ N} από αναλλοίωτους υποχώρους. Εξάλλου, αν ο A είναι συμπαγής ϕυσιολογικός τελεστής σ’ έναν χώρο Hilbert H, από το ϕασματικό ϑεώρημα προκύπτει ότι ο A έχει μη τετριμμένους


5.2. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ

177

κλειστούς αναλλοίωτους υπόχωρους, αρκετούς ώστε να παράγουν όλον τον H (Θεώρημα 4.2.7). Μάλιστα κάθε ϕυσιολογικός τελεστής (συμπαγής ή όχι) έχει «πολλούς» αναλλοίωτους υποχώρους. Αυτό προκύπτει από το γενικό Φασματικό ϑεώρημα (ϐλ. Θεώρημα 4.2.1) που ϑα αποδείξουμε (για την περίπτωση αυτοσυζυγούς τελεστή) στο επόμενο κεφάλαιο. Η μελέτη του A ανάγεται στην μελέτη των περιορισμών του στους αναλλοίωτους υπόχωρους του, που είναι συχνά απλούστερη. Παραμένει όμως το Πρόβλημα του αναλλοίωτου υπόχωρου ΄Εστω E χώρος Banach. Είναι αλήθεια ότι κάθε ϕραγμένος τελεστής A ∈ B(E ) έχει μη τετριμμένο κλειστό αναλλοίωτο υπόχωρο, δηλαδή άλλον από τους {0} και E; Το πρόβλημα τέθηκε από τον ίδιο τον S. Banach και έχει απασχολήσει πολλούς ερευνητές, σε τέτοιο ϐαθμό ώστε σήμερα η μελέτη συναφών προβλημάτων να έχει εξελιχθεί σε ολόκληρο κλάδο. Η πρώτη αρνητική απάντηση δόθηκε το 1984-85 από τους P. Enflo2 και C.J. Read3 (για την περίπτωση E = 1 ). Το πρόβλημα όμως εξακολουθεί να παραμένει ανοικτό για αυτοπαθείς χώϱους Banach, και ειδικότερα για χώρους Hilbert. Το πρόβλημα έχει ϑετική απάντηση σε μια ιδιαίτερα σημαντική ειδική περίπτωση, εκείνη των συμπαγών τελεστών (σε οποιονδήποτε χώρο Banach). Αυτό ϕαίνεται πως ήταν γνωστό στον J. von Neumann, και πρωτοδημοσιεύθηκε το 1954 από τους Aronsajn και Smith. Το 1972 ανακοινώθηκε το ϑεώρημα του V.J. Lomonosov, που έλυσε με εξαιρετικά απλό και κομψό τρόπο μια σειρά από αρκετά γενικότερα προβλήματα σχετικά με την ύπαρξη αναλλοίωτων υποχώρων. ΄Οπως είδαμε, το πρόβλημα επικεντρώνεται σε τελεστές που δεν έχουν ιδιοτιμές. Αν ένας συμπαγής τελεστής A δεν έχει μη μηδενικές ιδιοτιμές, τότε για κάθε λ ∈ C \ {0} ο τελεστής λI − A έχει ϕραγμένο αντίστροφο (Θεώρημα 5.1.1), ισοδύναμα, ο τελεστής I − zA έχει ϕραγμένο αντίστροφο για κάθε z ∈ C. Τότε : 2 3

On the invariant subspace problem in Banach spaces, Acta Math., 158, 1987. A solution to the invariant subspace problem on the space 1 , Bull. London Math. Soc.

17, 1985.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH

178

Πρόταση 5.2.1 ΄Εστω A ∈ B(E ) τέτοιος ώστε ο I − zA να έχει ϕραγμένο αντίστροφο για κάθε z ∈ C. Τότε lim An 1/n = 0. Για την απόδειξη, ϑα χρησιμοποιήσουμε το επόμενο κλασικό Λήμμα 5.2.2 Αν T ∈ B(E ) και T  < 1, ο I − T είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφος του είναι το  · -όριο της σειράς

(I − T )−1 =

∞ 

Tn.

n =0

Απόδειξη Αν ϑέσουμε

Sm =

m 

Tn

n =0

τότε παρατηρούμε ότι

(I − T )Sm = Sm (I − T ) = I − T m +1 επομένως, επειδή T m +1  ≤ T m +1 → 0,

lim (I − T )Sm − I  = lim Sm (I − T ) − I  = lim T m +1  = 0. m

m

m

(5.3)

Από την άλλη μεριά, αν m > n

m m 

 T n +1 k

T k ≤ T

≤ Sm − Sn  =

. 1 − T 

k =n +1 k =n +1 Επειδή T  < 1, έπεται ότι η ακολουθία {Sm } είναι ϐασική στην τοπολογία της νόρμας του B(E ), επομένως συγκλίνει σε έναν S ∈ B(E ). Από την (5.3) έχουμε ότι (I − T )S = S(I − T ) = I, άρα S = (I − T )−1 .



Απόδειξη της Πρότασης 5.2.1 ΄Εστω A ∈ B(E ). Θεωρούμε την συνάρτηση F : C → B(E ) με F (z ) = I − zA. Ο τελεστής F (z ) είναι αντιστρέψιμος για κάθε z ∈ C. Θέτουμε Rz = (F (z ))−1 . ΄Εστω z ∈ C. Παρατηρούμε ότι για κάθε w ∈ C, F (w) = F (z ) + (z − w)A = F (z )(I − (w − z )Rz A).


5.2. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ

179

Από το Λήμμα, αν (w − z )Rz A ≤ 1, η σειρά ∞ 

(Rz A)n (w − z )n

n =0

συγκλίνει (ως προς τη νόρμα του B(E )) στον τελεστή (I − (w − z )Rz A)−1 . Επομένως Rw = F (w)−1 = (I − (w − z )Rz A)−1 (F (z ))−1 ∞  = (Rz A)n (w − z )n Rz



αν |w − z | <

n =0

άρα

 n n Rw − Rz  =

(Rz A) (w − z ) Rz

n =1 ∞  (Rz A|w − z |)n Rz  = ≤ n =1

1

Rz A

 (†)

Rz A|w − z | Rz  1 − Rz A|w − z |

όταν |w − z | < R1A , επομένως lim Rw − Rz  = 0. ΄Επεται ότι η συνάρτηση z w→z C → B(E ) : w → Rw είναι συνεχής, άρα ϕραγμένη στα συμπαγή υποσύνολα του C, οπότε για κάθε r > 0 M (r ) ≡ sup{Rw  : |w| = r } < ∞. ΄Εστω τώρα ϕ : B(E ) → C μια συνεχής γραμμική μορφή. Θέτουμε f (z ) = ϕ(Rz ), z ∈ C. ΄Οταν |w − z | < R1A , από την συνέχεια της ϕ z και την (†) έχουμε f (w) = ϕ(Rw ) =

∞ 

ϕ((Rz A)n Rz )(w − z )n .

n =0

Επομένως η συνάρτηση f , επειδή αναπτύσσεται σε δυναμοσειρά σε μια πεϱιοχή κάθε σημείου z ∈ C, είναι ολόμορφη στο C. Αν ϑέσουμε z = 0 στην προηγούμενη σχέση (οπότε Rz = I), έχουμε, για |w| < A−1 , f (w) =

∞  n =0

ϕ(An )wn .

(5.4)


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH

180

Αλλά η f είναι ακέραια, οπότε η δυναμοσειρά αυτή συγκλίνει για κάθε w ∈ C. Συνεπώς, από το Θεώρημα του Cauchy (ϐλ. [12], Πόρισμα 5.7), αν r είναι οποιοσδήποτε ϑετικός αριθμός και γr (t ) = re it , t ∈ [0, 2π ], οι συντελεστές ϕ(An ) της δυναμοσειράς ικανοποιούν 1

ϕ(A ) = n

άρα

|ϕ(A )| ≤ n

1 2π

≤ ϕ

2πi

γr

f (w)

dw

wn +1

   f (w)  1   sup  n +1  : |w| = r 2πr = n sup{|f (w)| : |w| = r } w

1 rn

sup{Rw  : |w| = r } = ϕ

r 1

rn

M (r ).

Αφού η σχέση αυτή ισχύει για κάθε συνεχή γραμμική μορφή ϕ, από το Θεώϱημα Hahn - Banach (Πόρισμα 7.3.9) έχουμε

An  ≤

1 rn

M (r )

άρα

An 1/n ≤

1 r

M (r )1/n

για κάθε n ∈ N, πράγμα που σημαίνει ότι

lim sup An 1/n ≤ n

1 r

άρα, αφού το r είναι αυθαίρετο, limn An 1/n = 0.



Θεώρημα 5.2.3 (Lomonosov) ΄Εστω E χώρος Banach, K ∈ B(E ) συμπαγής τελεστής που δεν είναι πολλαπλάσιο του ταυτοτικού.4 Τότε υπάρχει ένας μη τετριμμένος κλειστός υπόχωρος M του E (δηλαδή {0}  M  E) ώστε A(M ) ⊆ M για κάθε A ∈ B(E ) που μετατίθεται με τον K. Απόδειξη (Hilden) Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας υποθέτω ότι K  = 1. Επιλέγω x ∈ E ώστε Kx  > 1 (όποτε x  > 1) και ϑέτω S = {y ∈ E : y − x  ≤ 1}. Ονομάζω

A = {A ∈ B(E ) : AK = KA} και ϑα δείξω ότι το σύνολο A έχει μη τετριμμένο αναλλοίωτο υπόχωρο. 4

Η υπόθεση αυτή ικανοποιείται ϐέβαια αυτομάτως όταν dim E = ∞.


5.2. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ

181

Η ιδέα της απόδειξης είναι η εξής : Αν το σύνολο A δεν έχει αναλλοίωτο υπόχωρο εκτός από τους τετριμμένους {0}, E, τότε «δρα μεταβατικά», δηλαδή απεικονίζει οποιοδήποτε ξ ∈ E \ {0} αυθαίρετα κοντά σε οποιοδήποτε σημείο του E, άρα και μέσα στην S. Εκμεταλλευόμενος την συμπάγεια του K, ϑα δείξω ότι αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη μιας μη μηδενικής ιδιοτιμής λ του K. Τότε όμως ο αντίστοιχος ιδιόχωρος ker(K − λI ) ϑα ήταν A-αναλλοίωτος. Αναλυτικά: Παρατηρούμε ότι το A είναι υπάλγεβρα του B(E ) που περιέχει τον ταυτοτικό τελεστή I. ΄Αρα, αν ξ ∈ E, το σύνολο Aξ = {Aξ : A ∈ A} είναι υπόχωρος του E (επειδή η A είναι γραμμικός χώρος) και είναι A-αναλλοίωτος (πράγματι, για κάθε B ∈ A έχουμε B(Aξ ) ⊆ Aξ , γιατί αν Aξ ∈ Aξ τότε B(Aξ ) = (BA)ξ ∈ Aξ αφού BA ∈ A). Επομένως η κλειστή του ϑήκη Aξ είναι

A-αναλλοίωτος (γιατί ;) κλειστός υπόχωρος του E και περιέχει το ξ (επειδή I ∈ A). ΄Εστω ότι το A δεν έχει αναλλοίωτο υπόχωρο εκτός από τους τετριμμένους. Τότε για κάθε ξ ∈ E \ {0} ϑα ισχύει Aξ = E. Ειδικότερα, ο χώρος Aξ τέμνει το ανοικτό σύνολο {y ∈ E : y − x  < 1}. Επομένως Παρατήρηση 1 : Για κάθε ξ ∈ E \ {0} υπάρχει A ∈ A ώστε Aξ − x  < 1. Παρατήρηση 2 : KS = {Ky : y ∈ S} ⊆ E \ {0}. [Πράγματι : Αν y ∈ S τότε Ky − Kx  ≤ K .y − x  ≤ 1, άρα

Ky ≥ Kx  − 1 > 0. Αν λοιπόν ξ ∈ KS και ε = (Kx  − 1)/2 > 0, υπάρχει y ∈ S με ξ − Ky < ε, οπότε ξ  ≥ Ky − ε > Kx  − 1 − ε > 0.] Αν ϑέσω V (A) = {y ∈ E : Ay − x  < 1}, το V (A) είναι ανοικτό υποσύνολο του E και οι δυο παρατηρήσεις δείχνουν ότι για κάθε y ∈ KS υπάρχει A ∈ A ώστε y ∈ V (A). Επομένως η οικογένεια {V (A) : A ∈ A} αποτελεί ανοικτό κάλυμμα του KS. Αλλά επειδή ο K είναι συμπαγής τελεστής, το KS είναι συμπαγές υποσύνολο του E. Το ανοικτό κάλυμμα {V (A) : A ∈ A} έχει λοιπόν πεπερασμένο υποκάλυμμα : Παρατήρηση 3 : Υπάρχει ένα πεπερασμένο υποσύνολο F της A ώστε KS ⊆

$ {V (A) : A ∈ F }.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH

182

Επειδή λοιπόν Kx ∈ KS, υπάρχει A1 ∈ F ώστε Kx ∈ V (A1 ), δηλαδή

A1 Kx − x  < 1, δηλαδή A1 Kx ∈ S. ΄Επεται ότι KA1 Kx ∈ KS, συνεπώς πάλι από την Παρατήρηση 3 υπάρχει A2 ∈ F ώστε KA1 Kx ∈ V (A2 ), δηλαδή A2 KA1 Kx ∈ S. Συνεχίζοντας επαγωγικά, για κάθε n ∈ N ϐρίσκουμε An ∈ F ώστε το yn ≡ An KAn −1 . . . KA1 Kx να ανήκει στο S. Επειδή Ai K = KAi για 1 ≤ i ≤ n (αφού Ai ∈ A), έχουμε yn = (An An −1 . . . A1 )K n x. Επίσης, αν a ≡ sup{A : A ∈ F } έχουμε a < +∞ γιατί το σύνολο F είναι πεπερασμένο. Επομένως

yn  ≤ An An −1 . . . A1 K n x  ≤ a n K n x  = (aK )n x  ≤ (aK )n x . Αλλά yn ∈ S, δηλαδή yn − x  ≤ 1, οπότε yn  ≥ x  − 1 > 0 και συνεπώς

(aK )n x  ≥ x  − 1 άρα (aK )n  ≥ 1 − και τελικά

 inf (aK ) 

n 1/n

n

≥ inf 1 − n

1

x 

1

x 

>0

1/n = 1.

Αυτό σημαίνει, από την Πρόταση 5.2.1 (και το Θεώρημα 5.1.1), ότι ο συμπαγής τελεστής aK έχει μη μηδενικές ιδιοτιμές, το ίδιο λοιπόν ισχύει για τον K. Υπάρχει λοιπόν λ ∈ C ώστε ο ιδιόχωρος M = ker(K − λI ) να είναι μη μηδενικός, και επίσης γνήσιος, γιατί K  λI από την υπόθεση. Αλλά ο ιδιόχωρος αυτός είναι A-αναλλοίωτος, γιατί αν y ∈ M και A ∈ A, έχουμε (K − λI )Ay = A(K − λI )y = 0 (αφού AK = KA) άρα Ay ∈ M. Είχαμε όμως υποθέσει ότι η A δεν έχει αναλλοίωτους υπόχωρους εκτός από τους τετριμμένους.



Πόρισμα 5.2.4 Κάθε συμπαγής τελεστής σ’ έναν χώρο Banach έχει μη τετριμμένο κλειστό αναλλοίωτο υπόχωρο. Πόρισμα 5.2.5 ΄Εστω E χώρος Banach, A ∈ B(E ). Αν υπάρχει πολυώνυμο p ώστε ο τελεστής p(A) να είναι συμπαγής,5 τότε ο A έχει μη τετριμμένο κλειστό αναλλοίωτο υπόχωρο. 5

ο A λέγεται τότε πολυωνυμικά συμπαγής ( polynomially compact)


5.2. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ

183

Απόδειξη Κάθε τελεστής σε χώρο πεπερασμένης διάστασης έχει μη τετριμμένο κλειστό αναλλοίωτο υπόχωρο. Αρκεί συνεπώς να υποθέσουμε ότι ο E είναι απειροδιάστατος. Επειδή p(A)A = Ap(A), αν p(A)  0 το αποτέλεσμα είναι άμεσο από το ϑεώρημα του Lomonosov. Αν πάλι p(A) = 0, ας πούμε a0 I + a1 A + a2 A 2 + . . . + an A n = 0 οπότε

A = n

− a1n (a0 I

όπου an  0,

+ a1 A + a2 A + . . . + an −1 An −1 ) 2

(5.5)

τότε ϑέτουμε M = [x, Ax, . . . , An −1 x ] όπου x ένα μη μηδενικό στοιχείο του E. Τα διανύσματα Ax, A2 x, . . . , An x ανήκουν στον M (το τελευταίο λόγω της (5.5)), άρα A(M ) ⊆ M. Επειδή x ∈ M, ο M είναι μη μηδενικός και επειδή dim M ≤ n, ο M είναι κλειστός και γνήσιος υπόχωρος του E.



Σχόλια Το Πόρισμα 5.2.4 δημοσιεύθηκε το 1954. Χρειάσθηκαν 12 χρόνια για το πρώτο ϐήμα γενίκευσης, το Πόρισμα 5.2.5 (1966), του οποίου μάλιστα η αρχική απόδειξη ήταν αρκετά περίπλοκη. Μετά το ϑεώρημα του Lomonosov, και τα δυο αποτελέσματα είναι άμεσα. Επίσης, από το 1972 μέχρι το 1980 δεν είχε ϐρεθεί παράδειγμα τελεστή (σε χώρο Hilbert) που να μην ικανοποιεί την υπόθεση του ϑεωρήματος του Lomonosov, να μην μετατίθεται δηλαδή με κανέναν συμπαγή. Μόλις το 1980 ϐρέθηκε τέτοιο παράδειγμα, κι έτσι αποδείχθηκε ότι το ϑεώρημα του Lomonosov δεν αποτελούσε λύση του Προβλήματος του Αναλλοίωτου υπόχωρου. Οι σχετικές δημοσιεύσεις είναι οι εξής : N. Aronsajn and K.T. Smith, Invariant subspaces of completely conti-

nuous operators, Ann. of Math. 60 (1954), 345–350. A.R. Bernstein and A. Robinson, Solution of an invariant subspace pro-

blem of K.T. Smith and P.R. Halmos, Pacific J. Math. 16 (1966), 421–431. V.I. Lomonosov, Invariant subpsces for the family of operators commu-

ting with compact operators, Funkcional. Anal. i Prilozen. 7 (1973), 55–56 (Russian); Funct. Anal. and Appl. 7 (1973), 213–214 (English). D.W. Hadwin, E. Nordgren, H. Radjavi and P. Rosenthal, An operator

not satisfying Lomonosov’s hypothesis, J. Funct. Anal. 17 (1980), 410–415.


Κεφάλαιο 6

Το Φασματικό Θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές Στόχος του Κεφαλαίου αυτού είναι να αποδείξουμε ότι κάθε αυτοσυζυγής τελεστής είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος (unitarily equivalent) με έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή. Ο τελεστής αυτός όμως δεν δρα κατ’ ανάγκη στον L 2 ([a, b]), αλλά σε έναν γενικότερο χώρο μέτρου. Επομένως είναι αναγκαίο στο Κεφάλαιο αυτό να ϑεωρήσουμε γνωστές ορισμένες ϐασικές έννοιες και αποτελέσματα της Θεωρίας Μέτρου. Ο χώρος μέτρου που ϑα χρησιμοποιήσουμε δημιουργείται ξεκινώντας από το ϕάσμα του τελεστή, που αποτελεί μία αναγκαία γενίκευση του συνόλου των ιδιοτιμών.

6.1 Το Φάσμα Σε χώρους πεπερασμένης διάστασης, το σύνολο σp (T ) των ιδιοτιμών ενός τελεστή T συμπίπτει με το σύνολο σ (T ) όλων των μιγαδικών αριθμών λ ∈ C για τους οποίους ο τελεστής T − λI δεν έχει αντίστροφο. Το σύνολο των ιδιοτιμών είναι πάντα μη κενό, γιατί το σώμα C είναι αλγεβρικά κλειστό.

185


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

186

Το γεγονός αυτό έπαιξε κρίσιμο ϱόλο στην απόδειξη του Φασματικού Θεωρήματος (Θεώρημα 4.2.7). ΄Ομως, σε απειροδιάστατους χώρους υπάρχουν αυτοσυζυγείς τελεστές χωρίς ιδιοτιμές. Παράδειγμα 6.1.1 Ο τελεστής Mf στον L 2 ([0, 1]), όπου f (t ) = t, δεν έχει ιδιοτιμές. Απόδειξη ΄Ασκηση 4.6. Ορισμός 6.1.1 Το ϕάσμα ( spectrum) ενός ϕραγμένου τελεστή T σ’ έναν χώρο Banach X είναι το σύνολο σ (T ) = {λ ∈ C : ο τελεστής T − λI δεν έχει αντίστροφο }. Δεν είναι δύσκολο να δείξει κανείς ότι το ϕάσμα του τελεστή του τελευταίου παραδείγματος είναι ακριβώς το [0, 1].

Παράδειγμα : Πολλαπλασιαστικοί τελεστές Υπενθύμιση: ΄Εστω (X, μ ) χώρος σ-πεπερασμένου μέτρου. Ο χώρος L 2 (X, μ ) είναι ο χώϱος των κλάσεων ισοδυναμίας, modulo ισότητα μ-σχεδόν παντού, μετρησίμων συναρτήσεων f : X → C που είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες, δηλαδή ικανοποιούν

X

|f |2 dμ < ∞. Η παράσταση

f, g =

f g¯dμ X

είναι εσωτερικό γινόμενο στον L 2 (X, μ ) (εφόσον f, f  = 0 αν και μόνον αν f = 0 μ-σχεδόν παντού). Ως προς αυτό το εσωτερικό γινόμενο ο L 2 (X, μ ) είναι πλήρης (Θεώρημα Riesz-Fisher, ϐλ. [9], Θεώρημα 11.17), άρα χώρος Hilbert. Μια μετρήσιμη συνάρτηση f : X → C λέγεται ουσιωδώς ϕραγμένη (essentially bounded) αν υπάρχει A ∈ R+ ώστε μ ({x ∈ X : |f (x )| > A}) = 0. Κάθε τέτοιος αριθμός A λέγεται ουσιώδες ϕράγμα της f .


6.1. ΤΟ ΦΑΣΜΑ

187

Ο χώρος L ∞ (X, μ ) είναι ο χώρος των κλάσεων ισοδυναμίας, modulo ισότητα μ-σχεδόν παντού, μετρησίμων συναρτήσεων f : X → C που είναι ουσιωδώς ϕραγμένες. Αν ορίσουμε

f ∞ = inf{A : A ουσιώδες ϕράγμα της f } τότε η  · ∞ ορίζει νόρμα στον L ∞ (X, μ ) ως προς την οποία γίνεται άλγεβρα Banach, αν οι πράξεις ορισθούν κατά σημείο. Θα δείξουμε ότι κάθε f ∈ L ∞ (X, μ ) ορίζει έναν ϕραγμένο τελεστή Mf ∈

B(L 2 (X, μ )) από την σχέση Mf (g) = fg και ισχύει Mf  = f ∞ . Αν η f είναι ουσιωδώς ϕραγμένη και |f (x )| ≤ A, μ-σχεδόν για κάθε x ∈ X τότε για κάθε g ∈ L 2 (X, μ ),

2 2 |fg| dμ ≤ A |g|2 dμ άρα fg ∈ L 2 (X, μ ). Επομένως η γραμμική απεικόνιση Mf : L 2 (X, μ ) → L 2 (X, μ ) : g → fg ορίζεται και είναι ϕραγμένη με Mf  ≤ A.

Εφόσον αυτό ισχύει για κάθε

ουσιώδες ϕράγμα A της f , έπεται ότι Mf  ≤ f ∞ . Αντίστροφα, ισχυρίζομαι ότι αν ο Mf είναι ϕραγμένος τελεστής τότε η f είναι ουσιωδώς ϕραγμένη και μάλιστα

|f (x )| ≤ Mf  μ-σχεδόν για κάθε x ∈ X.

(6.1)

Πράγματι, αρκεί να δείξω ότι για κάθε n ∈ N το σύνολο Xn = {x ∈ X : |f (x )| > Mf  +

1 n

}

έχει μέτρο μηδέν (γιατί {x ∈ X : |f (x )| > Mf } = ∪n Xn ). ΄Ομως αν κάποιο Xn είχε ϑετικό μέτρο τότε ϑα περιείχε ένα υποσύνολο Yn με μη μηδενικό πεπερασμένο μέτρο (αφού το μ είναι σ-πεπερασμένο). Τότε, ονομάζοντας ξn την χαρακτηριστική συνάρτηση του Yn έχουμε ξn ∈ L 2 (X, μ ) και

  1 |(fξn )(x )| ≥ Mf  + ξn (x ) n


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

188 για κάθε x ∈ X άρα

  1 Mf  + ξn 2 ≤ fξn 2 ≤ Mf ξn 2 n

άτοπο. Παρατηρούμε ότι Mf = Mf αν και μόνον αν f = f μ-σχεδόν παντού. Επομένως ο τελεστής Mf εξαρτάται μόνον από την κλάση της f ως προς ισότητα μ-σχεδόν παντού. Δείξαμε δηλαδή ότι Λήμμα 6.1.2 Κάθε f ∈ L ∞ (X, μ ) ορίζει έναν ϕραγμένο τελεστή Mf : L 2 (X, μ ) → L 2 (X, μ ) : g → fg και ισχύει η ισότητα

Mf  = f ∞ . Αντίστροφα αν μια μετρήσιμη συνάρτηση f : X → C ορίζει ϕραγμένο πολλαπλασιαστικό τελεστή στον L 2 (X, μ ) τότε η f είναι ουσιωδώς ϕραγμένη. Παρατηρούμε ότι ένας διαγώνιος τελεστής (Παράδειγμα 2.1.8) είναι πολλαπλασιαστικός (στον χώρο L 2 (X, μ ) = 2 όπου X = N και μ (A) = #A, ο πληθάϱιθμος ενός συνόλου A). Θα εξετάσουμε το ϕάσμα ενός πολλαπλασιαστικού τελεστή Mf . Συμβολίζουμε

Mμ = {Mf ∈ B(L 2 (X, μ )) : f ∈ L ∞ (X, μ )} την πολλαπλασιαστική άλγεβρα του χώρου (X, μ ). Ελέγχεται άμεσα ότι η απεικόνιση f → Mf : L ∞ (X, μ ) → Mμ ⊆ B(L 2 (X, μ )) είναι μορφισμός αλγεβρών που διατηρεί την ενέλιξη και τη μονάδα, δηλαδή Mf +g = Mf + Mg ,

Mfg = Mf Mg ,

Mf∗ = Mf¯,

M1 = I.

Συνεπώς, αν η f είναι αντιστρέψιμο στοιχείο της άλγεβρας L ∞ (X, μ ), τότε ο Mf είναι αντιστρέψιμο στοιχείο1 της άλγεβρας Mμ , άρα και της B(L 2 (X, μ )). 1

Αν fg = 1 τότε Mf Mg = Mg Mf = Mfg = M1 = I.


6.1. ΤΟ ΦΑΣΜΑ

189

Αν αντίστροφα ο τελεστής Mf είναι αντιστρέψιμος, είναι αλήθεια ότι ο αντίστροφός του, έστω T , είναι και αυτός πολλαπλασιαστικός τελεστής ; Η απάντηση είναι ϑετική. Πράγματι, παρατήρησε κατ’ αρχήν ότι η f είναι μ-σχεδόν παντού διάφορη του μηδενός. Γιατί αν υπήρχε Y ⊆ X ϑετικού μέτρου ώστε f |Y = 0, τότε, ϑεωρώντας την χαρακτηριστική συνάρτηση χ ενός υποσυνόλου του Y με πεπερασμένο μη μηδενικό μέτρο, ϑα είχαμε χ ∈ L 2 (X, μ ), χ  0 και Mf χ = fχ = 0, πράγμα που αποκλείεται, αφού ο Mf είναι 1-1. Επομένως η συνάρτηση g = 1/f ορίζεται μ-σχεδόν παντού και είναι ϐεβαίως μετρήσιμη. Ισχυρίζομαι ότι είναι ουσιωδώς ϕραγμένη. Πράγματι, η σχέση Mf Th = h για κάθε h ∈ L 2 (X, μ ) δίνει Th =

1 h f

= gh. Επομένως η απεικόνιση h → gh ορίζει

2

ϕραγμένο τελεστή του L (X, μ ) πράγμα που σημαίνει (όπως είδαμε στο Λήμμα 6.1.2) ότι η g είναι ουσιωδώς ϕραγμένη. Συμπέρασμα : Πρόταση 6.1.3 Αν f ∈ L ∞ (X, μ ), ο τελεστής Mf είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν η f είναι αντιστρέψιμο στοιχείο της άλγεβρας L ∞ (X, μ ), αν δηλαδή η 1 f

(ορίζεται μ-σχεδόν παντού και) είναι ουσιωδώς ϕραγμένη. Ο αντίστροφός του

(αν υπάρχει) είναι ο Mg ∈ Mμ , όπου g =

1 . f

Αντικαθιστώντας την f με την συνάρτηση f − λ, συμπεραίνουμε ότι ένας μι1 γαδικός αριθμός λ ικανοποιεί λ  σ (Mf ) αν και μόνον αν η ορίζεται f −λ (μ-σχεδόν παντού) και είναι ουσιωδώς ϕραγμένη, δηλαδή υπάρχει M < ∞ ώ1 στε ≤ M μ-σχεδόν παντού, δηλαδή το σύνολο {t ∈ X : |f (t ) − λ| < M1 } |f − λ| 1 έχει μέτρο μηδέν. Γράφοντας δ αντί για M , έχουμε ισοδύναμα λ  σ (Mf )

⇐⇒

∃δ > 0 : μ ({t ∈ X : |f (t ) − λ| < δ }) = 0.

Επομένως δείξαμε ότι Πρόταση 6.1.4 Αν f ∈ L ∞ (X, μ ), το ϕάσμα του τελεστή Mf είναι το σύνολο των λ ∈ C ώστε για κάθε δ > 0 το σύνολο {t ∈ X : |f (t ) − λ| < δ } να έχει ϑετικό μέτρο. Το σύνολο αυτό το ονομάζεται ουσιώδες σύνολο τιμών (essential range) της f .


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

190

6.1.1

Το ϕάσμα σε άλγεβρες Banach

Ορισμός 6.1.2 ΄Εστω A άλγεβρα Banach (ϐλ. Πρόταση 2.2.3) με μονάδα I. ΄Ενα στοιχείο A ∈ A λέγεται αντιστρέψιμο ( invertible) αν υπάρχει B ∈ A ώστε AB = BA = I. Το σύνολο των αντιστρεψίμων στοιχείων της A συμβολίζεται

Inv(A) ή A−1 . Το ϕάσμα ( spectrum) ενός στοιχείου A ∈ A είναι το σύνολο σ (A) = {λ ∈ C : A − λI  Inv(A)}. Αποδεικνύεται (δες π.χ. [1], Θεώρημα VII.3.6) ότι Το ϕάσμα σ (A) ενός στοιχείου A μιας άλγεβρας Banach με μονάδα είναι συμπαγές μη κενό υποσύνολο του C. Θα δείξουμε μόνον ότι το σ (A) είναι συμπαγές. Θεώρημα 6.1.5 ΄Εστω A άλγεβρα Banach με μονάδα I. Κάθε A ∈ A με

I − A < 1 είναι αντιστρέψιμο και μάλιστα A−1 =

∞  (I − A)n . n =0

Η απόδειξη είναι ακριβώς η ίδια με την απόδειξη του Λήμματος 5.2.2 (που αφορούσε την ειδική περίπτωση A = B(E )). Πόρισμα 6.1.6 Το σύνολο Inv(A) των αντιστρεψίμων στοιχείων της A είναι ανοικτό.

Απόδειξη ΄Εστω Ao ∈ Inv(A) και m = Ao−1 . Για κάθε A ∈ A με A − Ao  < έχουμε

−1

A0 A − I

=

A0−1 (A − Ao )

≤ A0−1 A − Ao  < 1

άρα A0−1 A ∈ Inv(A), συνεπώς και A ∈ Inv(A).



Πόρισμα 6.1.7 Αν A ∈ A, το σύνολο σ (A) είναι ϕραγμένο. Μάλιστα, αν ρ(A) = sup{|λ| : λ ∈ σ (A)} είναι η ϕασματική ακτίνα ( spectral radius) του A, τότε ρ(A) ≤ A.

1 m


6.1. ΤΟ ΦΑΣΜΑ

191

Απόδειξη Αν |λ| > A, τότε  Aλ  < 1 οπότε από το Θεώρημα προκύπτει ότι I−

A λ

∈ Inv(A) άρα λI − A ∈ Inv(A). 

Πόρισμα 6.1.8 Αν A ∈ A, το σύνολο σ (A) είναι κλειστό (άρα συμπαγές, αφού είναι και ϕραγμένο). Απόδειξη Δείχνουμε ότι το C\σ (A) είναι ανοικτό. Πράγματι, το C\σ (A) είναι η αντίστροφη εικόνα του ανοικτού συνόλου Inv(A) μέσω της απεικόνισης FA :

C → A με FA (λ) = A − λI, που είναι συνεχής. 6.1.2



Το ϕάσμα ενός τελεστή

Αν X είναι χώρος Banach, ένα στοιχείο T της άλγεβρας Banach B(X) είναι αντιστρέψιμο αν και μόνον αν είναι 1-1 και επί (γιατί ο αντίστροφός του είναι αυτομάτως ϕραγμένος από το Θεώρημα Ανοικτής Απεικόνισης (7.3.12)). Παρατήρηση 6.1.9 ΄Ενας τελεστής T ∈ B(X) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν είναι κάτω ϕραγμένος (δηλαδή υπάρχει δ > 0 ώστε Tx  ≥ δ x  για κάθε x ∈ X) και έχει πυκνό σύνολο τιμών. Απόδειξη Είναι σαφές ότι ένας αντιστρέψιμος τελεστής ικανοποιεί τις δύο αυτές συνθήκες (με δ = T −1 −1 ). Αντίστροφα, αν Y = T (X), η ανισότητα Tx  ≥ δ x  δείχνει ότι η απεικόνιση So : Y → X : Tx → x είναι καλά ορισμένη (γιατί ο T είναι 1-1) και ϕραγμένη (από δ1 ). Προφανώς η So είναι γραμμική. Συνεπώς, ο So επεκτείνεται σε ϕραγμένο τελεστή S : Y → X με STx = x για κάθε x ∈ X και TSy = y για κάθε y ∈ Y (γιατί ;). Επομένως, αν Y = X, τότε ο T είναι αντιστρέψιμος και S = T −1 .



Από την Παρατήρηση αυτή προκύπτει ότι το ϕάσμα ενός τελεστή A μπορεί να αναλυθεί σε περισσότερα κομμάτια (που δεν έχουν έννοια για ένα στοιχείο μιας αυθαίρετης άλγεβρας Banach): Αν λ ∈ σ (A), μπορεί ο A − λI να μην είναι κάτω ϕραγμένος (ειδικότερα, να μην είναι 1-1) ή να μην έχει πυκνό σύνολο τιμών (ή και τα δύο). Αυτό οδηγεί στους ακόλουθους ορισμούς :


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

192

Ορισμός 6.1.3 ΄Εστω A ∈ B(X). Το σημειακό ϕάσμα ( point spectrum) σp (A) του A είναι το σύνολο των ιδιοτιμών του : σp (A) = {λ ∈ C : ker(A − λI )  {0}}. Το προσεγγιστικά σημειακό ϕάσμα ( approximate point spectrum) σa (A) του A είναι το σύνολο των προσεγγιστικών ιδιοτιμών ( approximate eigenvalues), δηλαδή το σύνολο των λ ώστε ο A − λI να μην είναι κάτω ϕραγμένος : σa (A) = {λ ∈ C : ∀ε > 0 ∃xε ∈ X : (A − λI )xε  < εxε }. Το ϕάσμα συμπίεσης ( compression spectrum) σc (A) του A είναι το σύνολο σc (A) = {λ ∈ C : (A − λI )(X)  X}. ΄Ενα λ ∈ C είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή του A αν και μόνον αν υπάρχει ακολουθία (xn ) ⊆ X με xn  = 1 ώστε (A − λI )xn  → 0. Τα σύνολα σa (A) και σc (A) δεν είναι ξένα εν γένει. Σε χώρους πεπερασμένης διάστασης είναι ίσα και ταυτίζονται με το (σημειακό) ϕάσμα. Σε απειροδιάστατους χώρους μπορεί να μην ταυτίζονται.2 Πάντοτε όμως, όπως προκύπτει από την παρατήρηση 6.1.9, Πρόταση 6.1.10 Η ένωση σa (A) ∪ σc (A) ισούται με σ (A). Το ϕάσμα συμπίεσης είναι κατά κάποιον τρόπο δυϊκό προς το σημειακό ϕάσμα.

Αυτό ϕαίνεται πιο εύκολα σε χώρους Hilbert.

Θα χρειασθεί ένα

Λήμμα : Λήμμα 6.1.11 ΄Εστω H χώρος Hilbert και T ∈ B(H). Τότε

ker T = (T ∗ (H))⊥

και

T (H) = (ker T ∗ )⊥ .

Επομένως ο T είναι 1-1 αν και μόνον αν το σύνολο τιμών του T ∗ είναι πυκνό. 2

Για παράδειγμα, όπως ϑα δούμε στο 6.1.13, για τον τελεστή της μετατόπισης S, το σa (S)

είναι η μοναδιαία περιφέρεια T, ενώ το σc (S) είναι ο ανοικτός μοναδιαίος δίσκος D, οπότε σc (S) ∩ σa (S) = ∅.


6.1. ΤΟ ΦΑΣΜΑ

193

Απόδειξη ΄Ασκηση 2.28. Λήμμα 6.1.12 ΄Εστω H χώρος Hilbert και T ∈ B(H). Τότε

¯ : λ ∈ σ (T )} ( i) σ (T ∗ ) = {λ ¯ : λ ∈ σc (T ∗ )} και σc (T ) = {λ¯ : λ ∈ σp (T ∗ )}. ( ii) σp (T ) = {λ Απόδειξη Οι σχέσεις AB = I = BA και B∗ A∗ = I = A∗ B∗ είναι ισοδύναμες. Επομένως ο A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν ο A∗ είναι αντιστρέψιμος και μάλιστα (A∗ )−1 = (A−1 )∗ . Η (i) έπεται ϑέτοντας A = T − λI. Για την (ii), εφαρμόζουμε το προηγούμενο Λήμμα : έχουμε ker(T − λI )  {0}

¯ )(H) δεν είναι πυκνό. αν και μόνον αν το (T ∗ − λI



Παράδειγμα 6.1.13 Αν S ∈ B(2 (N)) είναι ο τελεστής της μετατόπισης Sen = en +1 (Παράδειγμα 2.1.10), τότε σp (S) = ∅,

σa (S) = T,

σc (S) = D και άρα σ (S) = D

(όπου D ο ανοικτός μοναδιαίος δίσκος και T η μοναδιαία περιφέρεια). Απόδειξη (i) Η σχέση Sx  = x  για κάθε x ∈ 2 δείχνει ότι S = 1, άρα σ (S) ⊆ D (Πόρισμα 6.1.7). (ii) ΄Εστω λ ∈ C και x = (xn ) ∈ 2 ώστε Sx = λx, δηλαδή

(0, x1 , x2 , . . .) = (λx1 , λx2 , . . .). Αν λ = 0 τότε η σχέση αυτή δείχνει ότι x = 0. Αν λ  0 τότε από την σχέση λx1 = 0 έχουμε x1 = 0, από την σχέση λx2 = x1 έχουμε x2 = 0 και ούτω καθεξής, άρα πάλι x = 0. Επομένως σp (S) = ∅. (iii) Ισχυρίζομαι ότι σp (S∗ ) = D. Τότε (από το Λήμμα 6.1.12) ϑα έχουμε σc (S) = D, οπότε D ⊆ σ (S) ⊆ D, άρα σ (S) = D εφόσον το σ (S) είναι κλειστό. Πράγματι, έστω λ ∈ C και x = (xn ) ∈ 2 , x  0 τέτοιο ώστε S∗ x = λx, δηλαδή

(x2 , x3 , . . .) = (λx1 , λx2 , . . .). Τότε x2 = λx1 , x3 = λx2 = λ2 x1 και γενικά xn +1 = λn x1 . Επειδή x ∈ 2 , έπεται ότι



n

|λ|2n < ∞ (διότι x1  0 αφού x  0) άρα |λ| < 1.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

194

Αντίστροφα αν λ ∈ D τότε το διάνυσμα x = (1, λ, λ2 , . . .) είναι μη μηδενικό στοιχείο του 2 και ικανοποιεί S∗ x = λx, άρα λ ∈ σp (S∗ ). (iv) Εφόσον σa (S) ⊆ σ (S) = D, για να δείξουμε ότι σa (S) = T, μένει να δειχθεί ότι αν λ ∈ D τότε λ  σa (S), δηλαδή ότι ο S − λI είναι κάτω ϕραγμένος. Πράγματι για κάθε x ∈ 2 έχουμε

(S − λI )x  ≥ |Sx  − λx | = |x  − λx | = (1 − |λ|) x  . Παράδειγμα 6.1.14 Ορίζουμε την απεικόνιση T : coo → coo (ϐλ. Παράδειγμα 1.1 (iii)) από την σχέση Ten =

1 e n n +1

(και επεκτείνουμε γραμμικά). Ελέγχεται

εύκολα ότι ο Tx 2 ≤ x 2 για κάθε x ∈ coo , άρα ο T επεκτείνεται σε ϕραγμένο τελεστή από τον 2 στον εαυτό του (που συμβολίζουμε επίσης με T ). Σημείωσε ότι T = SD όπου S είναι ο τελεστής της μετατόπισης και Den =

1 e . n n

Τότε σ (T ) = {0}. Μάλιστα σp (T ) = ∅ και σa (T ) = σc (T ) = {0}. Εφόσον σ (D ) = { n1 : n ∈ N} ∪ {0} και σ (S) = D, το παράδειγμα αυτό δείχνει ότι το σ δεν συμπεριφέρεται καλά ως προς την σύνθεση τελεστών. Απόδειξη (i) Κατ’ αρχήν ισχύει ότι 0 ∈ σa (T ) γιατί (T − 0)en  =

1 n

→ 0. ΄Ομως

0  σp (T ) διότι οι S και D είναι 1-1, άρα και ο T = SD είναι 1-1. Επίσης 0 ∈ σc (T ) διότι Ten , e1  = 0 για κάθε n ∈ N, άρα Tx, e1  = 0 για κάθε x ∈ 2 , άρα e1 ⊥(T − 0)(2 ). (ii) ΄Εστω λ  0. Θα δείξουμε ότι ο Tλ = λI − T = λ(I −

T ) λ

είναι αντιστρέ-

ψιμος, οπότε ϑα έχουμε σ (T ) = {0} και σp (T ) = ∅. 1 γιατί Παρατηρούμε ότι T k  ≤ k!

⎛∞ ⎞ ∞ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟  ⎜ ⎟ T ⎜⎝ xn en ⎟⎠ = k

n =1

άρα

n =1

xn n (n + 1) . . . (n + k − 1)

en +k

⎛ ⎞

2 ∞ ∞ ∞ 

k ⎜⎜⎜ ⎟⎟

1  |xn |2

T ⎜⎜⎝ xn en ⎟⎟⎟⎠

= ≤ |xn |2 . 2 2 ( n ( n + 1 ) . . . ( n + k − 1 )) ( k !)

n =1 n =1 n =1

 k

T

≤ λ

Επομένως

1 k !|λ|k

, άρα


6.1. ΤΟ ΦΑΣΜΑ

195 ∞ ∞

 T k

  1 1 1

≤ = exp

λ

k ! |λ|k | λ| k =0 k =0

πράγμα που δείχνει ότι αν Sn =

1 λ

n

T k k =0 ( λ )

νόρμα τελεστή. ΄Εστω Sλ = limn Sn . Εφόσον



Tλ Sn = Sn Tλ = I − έπεται ότι Tλ Sλ = Sλ Tλ = I.

6.1.3

⎛ ⎜⎜⎝

τότε η (Sn ) συγκλίνει ως προς τη

⎞  n +1 ⎟⎟⎠ = I − T −→ I

 n   T ⎜⎜⎜ T k ⎟⎟⎟ λ

k =0

λ

λ

n →∞



Το ϕάσμα αυτοσυζυγούς τελεστή

Στην Πρόταση 4.2.4 είχαμε δείξει ότι κάθε αυτοσυζυγής συμπαγής τελεστής A έχει το A ή το −A ως ιδιοτιμή. ΄Ενας μη συμπαγής αυτοσυζυγής τελεστής είναι δυνατόν να μην έχει καθόλου ιδιοτιμές (ένα παράδειγμα είναι το 6.1.1). Θα δείξουμε όμως ότι έχει προσεγγιστικές ιδιοτιμές, και μάλιστα το A ή το

−A. Πρόταση 6.1.15 ΄Εστω A ∈ B(H) ϕυσιολογικός τελεστής. Τότε σ (A) = σa (A). Απόδειξη ΄Εστω λ  σa (A). Αρκεί να δειχθεί ότι λ  σc (A), δηλαδή ότι το

¯ )x = 0. Αλλά (A − λI )H είναι πυκνό στον H . Αν x ⊥(A − λI )H , τότε (A∗ − λI ο A − λI είναι κάτω ϕραγμένος, άρα υπάρχει δ > 0 ώστε (A − λI )x  ≥ δ x  για κάθε x ∈ H . Επειδή ο A − λI είναι ϕυσιολογικός, από την Πρόταση 2.4.5 ¯ )x  = (A − λI )x  ≥ δ x , και συνεπώς x = 0. Επομένως το έχουμε (A∗ − λI (A − λI )H είναι πυκνό στον H . Πρόταση 6.1.16 ΄Εστω A = A∗ ∈ B(H). Τότε σ (A) ⊆ R. Απόδειξη Αν λ ∈ C\R, τότε, για κάθε x ∈ H\{0},

¯|.x 2 = |(A − λI )x, x  − (A − λI ¯ )x, x | 0 < |λ − λ = |(A − λI )x, x  − x, (A − λI )x | ≤ 2(A − λI )x x  οπότε

(A − λI )x  ≥

|λ − λ¯|

x . 2 Επομένως λ  σa (A). Αλλά σa (A) = σ (A) διότι ο A είναι ϕυσιολογικός. 


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

196

Πρόταση 6.1.17 ΄Εστω A = A∗ ∈ B(H). Τότε ένας από τους αριθμούς A ή

−A ανήκει στο σ (A). Ειδικότερα,3 (α) σ (A)  ∅ και

(ϐ) ρ(A) = A.

Απόδειξη Θα δείξουμε ότι ο αριθμός A2 ανήκει στο σ (A2 ). Τότε το γινόμενο

(A − AI )(A + AI ) = (A2 − A2 I ) δεν ϑα είναι αντιστρέψιμο, οπότε οι τελεστές (A − AI ) και (A + AI ) δεν μπορεί και οι δύο να είναι αντιστρέψιμοι. Για κάθε λ ∈ R και x ∈ H έχουμε (εφόσον A2 x, λ2 x  ∈ R) A2 x − λ2 x 2 = A2 x − λ2 x, A2 x − λ2 x  = A2 x 2 − 2A2 x, λ2 x  + λ2 x 2 = A2 x 2 − 2λ2 Ax 2 + λ4 x 2 . Αλλά A = sup{Ax  : x  = 1}, άρα υπάρχει ακολουθία (xn ) με xn  = 1 και

Axn  → A. Θέτοντας λ = A και x = xn στην προηγούμενη ταυτότητα, έχουμε λοιπόν

A2 xn − λ2 xn 2 = A2 xn 2 − 2λ2 Axn 2 + λ4 ≤ (AAxn )2 − 2λ2 Axn 2 + λ4 = λ4 − λ2 Axn 2 → 0. Επομένως ο αριθμός λ2 = A2 είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή του A2 .



6.2 Συνεχείς συναρτήσεις ενός αυτοσυζυγούς τελεστή Σταθεροποιούμε έναν τελεστή A ∈ B(H). Για κάθε μιγαδικό πολυώνυμο p της μορφής p(t ) =

n

k =0

ak t k , ϑέτουμε p(A) =

n

k =0

ak Ak (όπου A0 = I).

Στόχος μας είναι να ορίσουμε τελεστές της μορφής f (A) για άλλες κλάσεις συναρτήσεων f . Πρόταση 6.2.1 Αν A ∈ B(H) και p είναι πολυώνυμο, τότε σ (p(A)) = {p(λ) : λ ∈ σ (A)}. 3

Υπενθυμίζω ότι (όπως αποδεικνύεται με μεθόδους Μιγαδικής Ανάλυσης) το ϕάσμα οποιου-

δήποτε τελεστή σε ένα χώρο Banach είναι μη κενό. Η ισότητα ρ(A) = A δεν ισχύει όμως εν γένει για μη ϕυσιολογικούς τελεστές (παράδειγμα A =

0 1 0 0

!

).


6.2. ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΝΟΣ ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΟΥΣ ΤΕΛΕΣΤΗ

197

Απόδειξη Αν το p είναι σταθερό, ο p(A) είναι πολλαπλάσιο του ταυτοτικού τελεστή, οπότε το συμπέρασμα αληθεύει. Υποθέτω λοιπόν ότι το p δεν είναι σταθερό. Αν μ ∈ C, το πολυώνυμο q(z ) ≡ p(z ) − μ παραγοντοποιείται : q(z ) = c (z − λ1 )(z − λ2 ) . . . (z − λn ) (όπου c  0). Τότε p(A) − μI = c (A − λ1 I )(A − λ2 I ) . . . (A − λn I ). Αν κάθε A − λk I είναι αντιστρέψιμος, τότε ϐέβαια το γινόμενό τους, άρα και το p(A) − μI, είναι αντιστρέψιμο. Αντίστροφα αν το q(A) = p(A) − μI είναι αντιστρέψιμο, επειδή οι A − λk I μετατίθενται, ϑα είναι όλοι αντιστρέψιμοι.4 Επομένως μ ∈ σ (p(A)) αν και μόνον αν λk ∈ σ (A) για κάποιο k = 1, . . . , n. Αλλά τα λk είναι οι ϱίζες του q, δηλαδή είναι ακριβώς οι μιγαδικοί αριθμοί λ που ικανοποιούν p(λ) = μ. Δείξαμε λοιπόν ότι μ ∈ σ (p(A)) αν και μόνον αν μ = p(λ) για κάποιο λ ∈ σ (A), δηλαδή αν και μόνον αν μ ∈ {p(λ) : λ ∈ σ (A)}.



Το επόμενο αποτέλεσμα είναι το κρίσιμο ϐήμα για να επεκτείνουμε την απεικόνιση p → p(A) από τα πολυώνυμα σε συναρτήσεις που είναι κατάλληλα όρια πολυωνύμων. Ας σημειώσουμε μόνο ότι (σε αντίθεση με την προηγούμενη Πρόταση) το Θεώρημα δεν ισχύει για μη ϕυσιολογικούς τελεστές. παράδειγμα A =

!

11 0 1

Αν για

και p(t ) = t , τότε σ (A) = {0, 1} οπότε pσ (A) = 1 ενώ 2

p(A) > 2 γιατί π.χ.

p(A)

0 1

!

= 5.

Θεώρημα 6.2.2 Αν A ∈ B(H) και A = A∗ τότε

p(A) = sup{|p(λ)| : λ ∈ σ (A)} ≡ pσ (A) . Απόδειξη Ας υποθέσουμε πρώτα ότι το p έχει πραγματικούς συντελεστές. Τότε ο τελεστής p(A) είναι αυτοσυζυγής, άρα από την Πρόταση 6.1.17 η νόρμα του ισούται με την ϕασματική ακτίνα, επομένως

p(A) = sup{|μ | : μ ∈ σ (p(A))}. 4

Το q (A) μπορεί να γραφεί q (A) = (A − λk I )B = B(A − λk I ). Πολλαπλασιάζοντας δεξιά και

αριστερά με (q (A))−1 , συμπεραίνουμε ότι το A − λk I έχει αριστερό και δεξί αντίστροφο, άρα είναι αντιστρέψιμο.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

198

Αλλά σ (p(A)) = p(σ (A)) από την Πρόταση 6.2.1, και η Ϲητούμενη ισότητα έπεται. Για την γενική περίπτωση, παρατήρησε ότι αν p(t ) =

n

k =0

ak t k , τότε

⎞ ⎞⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞∗ ⎛ n ⎛ n ⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ r k r k ar A ⎟⎟⎟⎠ = q(A) a¯k A ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ ar A ⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎝ p(A) p(A) = ⎜⎜⎝ ak A ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ ∗

r =0

k =0

k =0

r =0

(εφόσον A = A∗ ) όπου q είναι το πολυώνυμο q(t ) = p¯(t )p(t ) που έχει πραγματικούς συντελεστές. Από την προηγούμενη παράγραφο λοιπόν έχουμε

q(A) = sup{|q(λ)| : λ ∈ σ (A)}. ΄Ομως p(A)2 = p(A)∗ p(A) = q(A) από την ιδιότητα C∗ και επομένως

p(A)2 = q(A) = sup{|q(λ)| : λ ∈ σ (A)} = sup{|p¯(λ)p(λ)| : λ ∈ σ (A)} = (sup{|p(λ)| : λ ∈ σ (A)})2 . Η απόδειξη είναι πλήρης.  Θα επεκτείνουμε την απεικόνιση p → p(A) από τα πολυώνυμα στις συνεχείς συναρτήσεις. Ας ϑυμηθούμε ότι η υπάλγεβρα P(σ (A)) ⊆ C(σ (A)) των πολυωνυμικών συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το σ (A) είναι πυκνή στην άλγεϐρα C(σ (A)) των συνεχών μιγαδικών συναρτήσεων στο σ (A) ως προς την νόρμα supremum. Αυτό έπεται είτε απευθείας από το Θεώρημα Stone-Weierstrass (7.3.15), είτε από το ϐασικό Θεώρημα Weierstrass (7.3.14), αν παρατηρήσει κανείς ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f : σ (A) → C, επεκτείνεται με την ίδια νόρμα σε μιά συνεχή συνάρτηση ορισμένη π.χ. στο [−A, A], η οποία προσεγγίζεται από πολυώνυμα ομοιόμορφα στο [−A, A], άρα και στο σ (A). Θεώρημα 6.2.3 (Συναρτησιακός λογισμός (functional calculus)) Αν A = A∗ ∈ B(H), υπάρχει μοναδικός συνεχής αλγεβρικός *-μορφισμός

Φc : (C(σ (A)),  · σ (A) ) → (B(H),  · ) : f → f (A) που απεικονίζει το σταθερό πολυώνυμο p0 (t ) = 1 στον ταυτοτικό τελεστή και το ταυτοτικό πολυώνυμο p1 (t ) = t στον τελεστή A. Επιλέον, ο Φc είναι ισομετρία και ικανοποιεί Φc (p) = p(A) για κάθε πολυώνυμο p.


6.2. ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΝΟΣ ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΟΥΣ ΤΕΛΕΣΤΗ Απόδειξη ΄Υπαρξη :

199

Από το προηγούμενο Θεώρημα έπεται ότι αν δύο πο-

λυώνυμα p, q ταυτίζονται στο σ (A), τότε p(A) = q(A) (πράγματι, p(A) − q(A) =

sup{|p(λ) − q(λ)| : λ ∈ σ (A)} = 0). Επομένως το p(A) εξαρτάται μόνον από τις τιμές του p στο σ (A). Δηλαδή η απεικόνιση ˙ : p → p(A) Φo : (P(σ (A)), ˙ σ (A) ) → (B(H), ) είναι καλά ορισμένη. Είναι ϕανερό ότι είναι μορφισμός αλγεβρών :

(p + q)(A) = p(A) + q(A) και

(pq)(A) = p(A)q(A)

όταν τα p και q είναι πολυώνυμα, και ότι διατηρεί την ενέλιξη : Αν p(t ) =

n

k =0

ak t k , τότε

⎞∗ ⎛ n n  ⎜⎜⎜ ⎟⎟ k a k Ak = p(A) (p(A)) = ⎜⎜⎝ ak A ⎟⎟⎟⎠ = ∗

k =0

k =0

(αφού A = A∗ ). Αλλά από το προηγούμενο Θεώρημα προκύπτει ότι η Φo είναι επίσης ισομετρία χώρων με νόρμα. Εφόσον η P(σ (A)) είναι πυκνή στην C(σ (A)), έπεται ότι η Φo έχει μοναδική συνεχή επέκταση (η οποία ϑα είναι ισομετρική) Φc : C(σ (A)) → B(H). Μοναδικότητα :

Αν Ψ είναι ένας συνεχής *-μορφισμός C(σ (A)) → B(H)

που ταυτίζεται με τον Φc στα p0 και p1 τότε, αφού και οι δύο είναι μορφισμοί, ϑα ταυτίζονται σε δυνάμεις και γραμμικούς συνδυασμούς, δηλαδή σε κάθε πολυώνυμο. Εφόσον οι Φc και Ψ είναι συνεχείς, ϑα ταυτίζονται και στα (ομοιόμορφα) όρια πολυωνύμων, δηλαδή σε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις.

 Ορισμός 6.2.1 ΄Εστω A = A∗ ∈ B(H). Ο συναρτησιακός λογισμός για συνεχείς συναρτήσεις ( continuous functional calculus) είναι η απεικόνιση

Φc : C(σ (A)) → B(H). Συνήθως γράφουμε f (A) αντί για Φc (f ). Δηλαδή αν η f είναι συνεχής στο σ (A), ο τελεστής f (A) ∈ B(H) ορίζεται μοναδικά από το όριο f (A) = lim pn (A) όπου (pn ) πολυώνυμα με pn − f σ (A) → 0.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

200

Παρατηρήσεις 6.2.4 (i) Ο ορισμός του συναρτησιακού λογισμού για συνεχείς συναρτήσεις Φc είναι αλγεβρο-τοπολογικός και στηρίζεται στο Θεώρημα 6.2.2. Επομένως ο Φc δεν ορίζεται για οποιονδήποτε τελεστή A. Παραδείγματος χάριν, αν A =

01 00

!

, τότε σ (A) = {0} (ο A είναι μηδενο-

δύναμος) αλλά, παρόλο που η συνάρτηση f (t ) =

t είναι συνεχής στο σ (A),

δεν ορίζεται τελεστής f (A). Μάλιστα, δεν υπάρχει τελεστής B ώστε B2 = A (απόδειξη : άσκηση !). Αποδεικνύεται ότι ο συναρτησιακός λογισμός ορίζεται και όταν ο A είναι ϕυσιολογικός τελεστής. Δες π.χ. [1, VIII.2] ή [7]. (ii) Αν K είναι συμπαγής χώρος Hausdorff (π.χ. συμπαγής μετρικός χώρος), κάθε αλγεβρικός *-μορφισμός Φ : C(K ) → B(H) είναι αυτομάτως συνεχής. [Απόδειξη Πρώτα παρατηρούμε ότι αν f ≥ 0 τότε Φ(f ) ≥ 0. Πράγματι, αν g = ∗

f

έχουμε Φ(f ) = Φ(g g) = (Φ(g)) Φ(g) ≥ 0. Επομένως, για κάθε f ∈ C(K ), η σχέση f ∗ f ≤ f 2 δηλαδή f 2 po − f ∗ f ≥ 0 (όπου po (t ) = 1) δείχνει ότι Φ(f 2 po − f ∗ f ) ≥ 0, δηλαδή Φ(f ∗ f ) ≤ Φ(f 2 po ) = f 2 I, άρα 0 ≤ Φ(f ∗ f ) ≤ f 2 I και συνεπώς Φ(f )2 = Φ(f )∗ Φ(f ) ≤ f 2 .]

Επομένως, ο Φc είναι ο μοναδικός *-μορφισμός C(σ (A)) → B(H) που στέλνει την μονάδα στον I και το ταυτοτικό πολυώνυμο στον A. (iii) ΄Εχουμε ήδη συναντήσει τον συναρτησιακό λογισμό, στην ειδική περίπτωση που ο A είναι συμπαγής (΄Ασκηση 4.7). Είναι ϕανερό ότι για κάθε πολυώνυμο p ο τελεστής p(A) μετατίθεται με τον A. Το ίδιο επομένως ισχύει και για τον f (A), αν f ∈ C(σ (A)). Πιο ενδιαφέρον όμως, όπως ϑα δούμε, είναι το γεγονός ότι ο f (A) μετατίθεται με κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον A. Πράγματι, αν AT = TA τότε A2 T = ATA = TA2 και επαγωγικά An T = TAn για κάθε n ∈ N. Επομένως p(A)T = Tp(A) για κάθε πολυώνυμο p, άρα και f (A)T = Tf (A) για κάθε f ∈ C(σ (A)), λόγω συνέχειας. Δείξαμε λοιπόν ότι Παρατήρηση 6.2.5 Αν f ∈ C(σ (A)), ο f (A) μετατίθεται με κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον A. Δηλαδή ο συναρτησιακός λογισμός παίρνει τιμές στον δεύτερο μεταθέτη {A} του A, όπου


6.2. ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΝΟΣ ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΟΥΣ ΤΕΛΕΣΤΗ

201

Ο μεταθέτης ( commutant) S ενός υποσυνόλου S ⊆ B(H) είναι το σύνολο των τελεστών που μετατίθενται με κάθε στοιχείο του S:

S = {T ∈ B(H) : TS = ST για κάθε S ∈ S}. Θεώρημα 6.2.6 (Θεώρημα Φασματικής Απεικόνισης) Αν A ∈ B(H) είναι αυτοσυζυγής τελεστής και f ∈ C(σ (A)), σ (f (A)) = {f (λ) : λ ∈ σ (A)}. Απόδειξη Αν μ  {f (λ) : λ ∈ σ (A)} τότε η συνάρτηση g(λ) = f (λ) − μ δεν μηδενίζεται πουθενά στο σ (A), άρα υπάρχει h ∈ C(σ (A)) ώστε hg = 1 (μάλιστα h (t ) = (f (t ) − μ )−1 ). Τότε όμως Φc (h )Φc (g) = Φc (hg) = I και Φc (g)Φc (h ) =

Φc (gh ) = I, δηλαδή h (A)g(A) = I = g(A)h (A), άρα ο f (A) − μI έχει αντίστροφο, τον h (A). Συνεπώς μ  σ (f (A)). [Παρατήρησε ότι αυτό το μέρος της απόδειξης είναι καθαρά αλγεβρικό : εξαρτάται μόνον από το γεγονός ότι η απεικόνιση f → f (A) είναι μορφισμός αλγεβρών που διατηρεί την μονάδα, άρα απεικονίζει αντιστρέψιμα στοιχεία σε αντιστρέψιμα στοιχεία.] ΄Εστω τώρα μ ∈ {f (λ) : λ ∈ σ (A)}, οπότε μ = f (λo ) για κάποιο λo ∈ σ (A). Θα δείξω ότι ο τελεστής f (A) − μI δεν είναι αντιστρέψιμος. Ισχυρίζομαι ότι f (A) − μI = lim qn (A), n

όπου (qn ) ακολουθία πολυωνύμων με qn (λo ) = 0 για κάθε n. Πράγματι, υπάρχει μια ακολουθία πολυωνύμων (pn ) ώστε pn (t ) → f (t ) − μ = g(t ) ομοιόμορφα στο σ (A), άρα και pn (λo ) → g(λo ) = 0. Αν ϑέσουμε qn (t ) = pn (t ) − pn (λo ), έχουμε qn (λo ) = 0 και qn − gσ (A) → 0, άρα qn (A) → g(A) = f (A)− μI (Θεώρημα 6.2.2) και ο ισχυρισμός αποδείχθηκε. Εφόσον λo ∈ σ (A), έπεται ότι 0 = qn (λo ) ∈ qn (σ (A)). Αλλά qn (σ (A)) = σ (qn (A)) από την Πρόταση 6.2.1, άρα οι τελεστές qn (A) δεν είναι αντιστρέψιμοι. Εφόσον το σύνολο των αντιστρέψιμων στοιχείων του B(H) είναι ανοικτό (Πόρισμα 6.1.6), έπεται ότι ο f (A) − μI = lim qn (A) δεν είναι αντιστρέψιμος. 


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

202

Πόρισμα 6.2.7 ΄Εστω A = A∗ ∈ B(H). Αν f ∈ C(σ (A)), ο τελεστής f (A) είναι ϕυσιολογικός. Ο f (A) είναι αυτοσυζυγής αν και μόνον αν η f παίρνει πραγματικές τιμές στο σ (A). Επίσης, f (A) ≥ 0 αν και μόνον αν f (σ (A)) ⊆ R+ . Απόδειξη Εφόσον ο συναρτησιακός λογισμός Φc διατηρεί την ενέλιξη (Θεώϱημα 6.2.3), για κάθε f ισχύει (Φc (f ))∗ = Φc (f¯) δηλαδή (f (A))∗ = f¯(A). Επομένως κάθε f (A) είναι ϕυσιολογικός. Επίσης η ισότητα f (A) = f (A)∗ ισχύει αν και μόνον αν η f είναι πραγματική συνάρτηση. Αν η f είναι μη αρνητική στο σ (A) τότε ϑέτοντας g(t ) =

f (t ) (t ∈ σ (A)) έχουμε g(A)∗ = g(A) άρα

f (A) = g(A)∗ g(A) ≥ 0. Αντίστροφα αν f (A) ≥ 0 τότε σ (f (A)) ⊆ R+ και συνεπώς f (σ (A)) ⊆ R+ (Θεώρημα 6.2.6).



Πόρισμα 6.2.8 ( i) Κάθε αυτοσυζυγής A ∈ B(H) γράφεται ως διαφορά δύο ϑετικών τελεστών A = A+ − A− με A+ A− = A− A+ = 0. Επομένως κάθε T ∈ B(H) είναι γραμμικός συνδυασμός (το πολύ) τεσσάρων ϑετικών τελεστών. ( ii) [Πρόταση 2.4.12] Κάθε ϑετικός τελεστής A έχει ϑετική τετραγωνική ϱίζα. Απόδειξη Για το (i), ϑέτουμε A+ = f+ (A) και A− = f− (A) όπου f+ (t ) = max{t, 0} και f− (t ) = − min{t, 0} (t ∈ σ (A) ⊆ R). Για το (ii), αν A ≥ 0, οπότε σ (A) ⊆ R+ , ϑεωρούμε τον τελεστή g(A) όπου g(t ) =

t, t ≥ 0.

6.3 Το ϕασματικό ϑεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές Σταθεροποιούμε έναν αυτοσυζυγή τελεστή A ∈ B(H) και στοχεύουμε να «αναπαραστήσουμε» τον A ως πολλαπλασιαστικό τελεστή σ’ έναν κατάλληλο χώρο L 2 (X, μ ). Ακριβέστερα, ϑα κατασκευάσουμε ένα χώρο μέτρου (X, μ ) και μια f ∈ L ∞ (X, μ ) ώστε ο A να είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος με τον πολλαπλασιαστικό τελεστή Mf , δηλαδή να υπάρχει ένας ορθομοναδιαίος τελεστής U : L 2 (X, μ ) → H ώστε A = UMf U −1 .


6.3. ΤΟ ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

203

Το κρίσιμο ϐήμα εμπεριέχεται στο Λήμμα 6.3.1 Για κάθε μη μηδενικό x ∈ H υπάρχει ϑετικό κανονικό πεπερασμένο μέτρο Borel μx στο σ (A) και ισομετρία Ux : L 2 (σ (A), μx ) → H ώστε Ux Mf = f (A)Ux

για κάθε

f ∈ C(σ (A))

(και ειδικότερα AUx = Ux Mfo όπου fo (λ) = λ). Απόδειξη Από τον συναρτησιακό λογισμό για συνεχείς συναρτήσεις (Θεώρημα 6.2.3), ορίζεται η απεικόνιση

Φc : C(σ (A)) → B(H) : f → f (A) που είναι ισομετρικός *-μορφισμός. Σταθεροποιούμε ένα μη μηδενικό x ∈ H και ϑεωρούμε την γραμμική απεικόνιση φx : C(σ (A)) → C : f → f (A)x, x . Παρατηρούμε ότι η φx είναι ϑετική γραμμική μορφή στον C(σ (A)), δηλαδή φx (f ) ≥ 0 για κάθε f ≥ 0. Πράγματι, αν f ≥ 0 τότε f (A) ≥ 0 (Πόρισμα 6.2.7) επομένως φx (f ) = f (A)x, x  ≥ 0. Από το Θεώρημα Αναπαράστασης του Riesz (ϐλέπε π.χ. [9, Θεώρημα 12.26]), υπάρχει (μοναδικό) ϑετικό πεπερασμένο κανονικό μέτρο Borel μx στο σ (A) ώστε

fdμx = φx (f ) = f (A)x, x 

για κάθε f ∈ C(σ (A)).

Θεωρώντας τώρα τον χώρο C(σ (A)) ως υπόχωρο του L 2 (σ (A), μx ),5 ορίζουμε την απεικόνιση Uox : (C(σ (A)),  · 2 ) → (H ,  · H ) : f → f (A)x που είναι προφανώς γραμμική. Ισχυρίζομαι ότι είναι ισομετρία. Πράγματι, για κάθε f ∈ C(σ (A)),

f (A)x 2H = f (A)x, f (A)x  = f (A)∗ f (A)x, x  = (f¯f )(A)x, x 

f¯fdμx = f 22 = 5

δηλαδή ταυτίζοντας συναρτήσεις που διαφέρουν μόνο σε μx -μηδενικά σύνολα


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

204

(χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η Φc : f → f (A) είναι *-μορφισμός). Δείξαμε λοιπόν ότι Uox (f )H = f 2 για κάθε f ∈ C(σ (A)), δηλαδή ότι η Uox είναι ισομετρική. Επομένως επεκτείνεται σε ισομετρία Ux ορισμένη στην κλειστή ϑήκη του C(σ (A)) ως προς την νόρμα .2 . Αλλά αυτή η κλειστή ϑήκη είναι ακριβώς6 ο L 2 (σ (A), μx ). ΄Εχουμε λοιπόν μια ισομετρία Ux : L 2 (σ (A), μx ) → H που ικανοποιεί Ux (f ) = f (A)x όταν η f είναι συνεχής. Μένει να δειχθεί ότι Ux Mf = f (A)Ux για κάθε f ∈ C(σ (A)). Πράγματι, για κάθε g ∈ C(σ (A)) έχουμε

(Ux Mf )(g) = Ux (fg) = ((fg)(A))(x ) = f (A)(g(A)(x )) = (f (A)Ux )(g). Επομένως οι ϕραγμένοι τελεστές Ux Mf και f (A)Ux ταυτίζονται στον πυκνό υπόχωρο C(σ (A)) του L 2 (σ (A), μx ), άρα είναι ίσοι.



Παρατηρήσεις 6.3.2 (i) Αξίζει ίσως να σχολιάσει κανείς τον διπλό ϱόλο του χώρου C(σ (A)) στην προηγούμενη απόδειξη : Αφενός μεν χρησιμοποιήθηκε (μέσω του συναρτησιακού λογισμού) ως χώρος τελεστών f (A) στον H , αφετέρου ως χώρος διανυσμάτων στον L 2 (σ (A), μx ). (ii) Το σύνολο τιμών im(Ux ) της ισομετρίας Ux του Λήμματος είναι ακριβώς ο κυκλικός υπόχωρος

Hx = [An x : n = 0, 1, . . .] = [x, Ax, A2 x, . . .] του x για τον A. Πράγματι, το σύνολο τιμών του Ux είναι κλειστό (διότι ο Ux είναι ισομετρία) και περιέχει το f (A)x για κάθε f ∈ C(σ (A)).

Ειδικότερα περιέχει όλα τα

διανύσματα της μορφής A x για n = 0, 1, . . ., άρα περιέχει τον Hx . Από n

την άλλη μεριά κάθε f ∈ C(σ (A)) προσεγγίζεται από μια ακολουθία (pn ) από πολυώνυμα, ομοιόμορφα στο σ (A), και συνεπώς pn (A) − f (A) → 0, άρα και 6

ϐλέπε π.χ. [9, Πρόταση 12.24].


6.3. ΤΟ ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

205

pn (A)x − f (A)x  → 0. Αλλά κάθε pn (A)x ανήκει στον Hx , συνεπώς το ίδιο ισχύει για το f (A)x. Επομένως im Uox = {f (A)x : f ∈ C(σ (A))} ⊆ Hx ⊆ im Ux άρα

im Ux = im Uox ⊆ Hx ⊆ im Ux

και συνεπώς ισχύει ισότητα. (iii) Αν μπορούσαμε να επιλέξουμε το x ∈ H ώστε ο Ux να είναι αντιστρέψιμος, τότε το προηγούμενο Λήμμα ϑα έδινε f (A) = Ux Mf Ux−1 για κάθε f ∈ C(σ (A)), και ειδικότερα A = Ux Mfo Ux−1 , οπότε ϑα είχαμε δείξει ότι ο A είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος με έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή. Αλλά ο Ux είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν είναι επί του H (γιατί είναι πάντα ισομετρία, άρα 1-1). Από την προηγούμενη παρατήρηση, αυτό συμβαίνει ακριβώς όταν ο κυκλικός υπόχωρος Hx είναι όλος ο χώρος H . Ορισμός 6.3.1 ΄Ενα διάνυσμα x ∈ H λέγεται κυκλικό ( cyclic) για τον τελεστή A ∈ B(H) αν ο κυκλικός υπόχωρος (cyclic subspace) που ορίζει είναι όλος ο H , ισοδύναμα αν ο γραμμικός χώρος [An x : n = 0, 1, . . .] είναι πυκνός στον

H. Το Λήμμα και οι παρατηρήσεις που προηγήθηκαν αποδεικνύουν την Πρόταση 6.3.3 Αν ένας αυτοσυζυγής τελεστής A ∈ B(H) έχει κυκλικό διάνυσμα, υπάρχει πεπερασμένο ϑετικό κανονικό μέτρο Borel μ στο σ (A) ώστε ο A να είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος με τον τελεστή Mfo του πολλαπλασιασμού επί την ανεξάρτητη μεταβλητή, (Mfo (g))(x ) = xg(x ), στον L 2 (σ (A), μ ). ΄Ομως, δεν έχουν όλοι οι αυτοσυζυγείς τελεστές κυκλικά διανύσματα. Παϱαδείγματος χάριν, ο ταυτοτικός τελεστής του H δεν έχει ποτέ κυκλικό διάνυσμα, εκτός αν ο H είναι μονοδιάστατος ! ΄Ενα λιγότερο τετριμμένο παράδειγμα είναι το εξής : Παράδειγμα 6.3.4 ΄Εστω H = L 2 ([0, 1]) ⊕ L 2 ([0, 1]) 7 και έστω A = Mfo ⊕ Mfo όπου fo (λ) = λ (λ ∈ [0, 1]). Τότε ο A είναι αυτοσυζυγής τελεστής χωρίς κυκλικό διάνυσμα. 7

με το εσωτερικό γινόμενο f1 ⊕ g1 , f2 ⊕ g2  = f1 , f2  + g1 , g2 


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

206

Απόδειξη ΄Οτι ο A είναι αυτοσυζυγής έπεται από το γεγονός ότι η fo είναι πραγματική. Ισχυρίζομαι ότι κανένα διάνυσμα f ⊕ g δεν είναι κυκλικό για τον A. Πράγματι, το διάνυσμα g¯ ⊕ (−f¯) είναι κάθετο σε κάθε An (f ⊕ g):

"

# "

# "

# "

#

An (f ⊕ g), g¯ ⊕(−f¯) = (Mfno f ⊕ Mfno g), g¯ ⊕(−f¯) = Mfno f, g¯ − Mfno g, f¯

=

t f (t )g(t )dt − n

t n g(t )f (t )dt = 0.

΄Επεται ότι η γραμμική ϑήκη του συνόλου {An (f ⊕ g) : n = 0, 1, . . .} δεν μπορεί να είναι πυκνή στον H . Παρατήρησε ότι αν ταυτίσουμε τον χώρο H στο παράδειγμα αυτό με τον L ([0, 1] ∪ [1, 2]), τότε ο τελεστής A ταυτίζεται με τον Mf , όπου f (t ) = t για 2

t ∈ [0, 1] και f (t ) = t − 1 για t ∈ (1, 2]. Με κάπως ανάλογο τρόπο, η γενική περίπτωση ανάγεται στην περίπτωση της Πρότασης 6.3.3 τοποθετώντας κατάλληλους χώρους μέτρου «τον ένα δίπλα στον άλλο». Λήμμα 6.3.5 Αν A ∈ B(H) είναι αυτοσυζυγής, υπάρχει μια οικογένεια

{Hi : i ∈ I } από κάθετους ανά δύο υποχώρους του H , ώστε (ι) κάθε Hi να είναι A-αναλλοίωτος, δηλ. A(Hi ) ⊆ Hi (ιι) κάθε Hi να είναι A-κυκλικός, δηλ. να περιέχει ένα A-κυκλικό διάνυσμα (ιιι) το ευθύ άθροισμα ⊕i Hi (δηλαδή ο μικρότερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχει κάθε Hi ) να είναι όλος ο H . Απόδειξη Ονομάζουμε δύο μη μηδενικά διανύσματα x1 , x2 ∈ H πολύ κάθετα (ως προς A) αν An x1 ⊥Am x2 για κάθε n, m = 0, 1, . . ., ισοδύναμα (γιατί ;) αν οι κυκλικοί υπόχωροι που παράγονται από τα x1 και x2 είναι κάθετοι. ΄Εστω {xi : i ∈ I } μια μεγιστική8 οικογένεια από πολύ κάθετα διανύσματα, και για κάθε i έστω Hi = [An xi : n = 0, 1, . . .] ο αντίστοιχος κυκλικός υπόχωϱος. 8

Η απόδειξη της ύπαρξης τέτοιας οικογένειας είναι τυπική εφαρμογή του Λήμματος Zorn.


6.3. ΤΟ ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

207

Εφόσον A(An xi ) = An +1 xi ∈ Hi για κάθε n και ο A είναι συνεχής, έπεται ότι A(Hi ) ⊆ Hi για κάθε i. Μένει να δειχθεί ότι το ευθύ άθροισμα ⊕i Hi είναι όλος ο H . Πράγματι, αν ένα μη μηδενικό διάνυσμα x ∈ H είναι κάθετο στον ⊕i Hi τότε για κάθε i ∈ I και κάθε n, m = 0, 1, . . . έχουμε

An x, Am xi  = x, An +m xi  = 0 (διότι An +m xi ∈ Hi ) πράγμα που δείχνει (γιατί ;) ότι ο κυκλικός υπόχωρος

Hx που παράγεται από το x είναι κάθετος στον Hi . Αυτό αντιβαίνει στην μεγιστικότητα της οικογένειας {xi : i ∈ I }.  Από το Λήμμα 6.3.1, για κάθε i ∈ I υπάρχει πεπερασμένο ϑετικό μέτρο Borel μi στον σ (A) και ισομετρία Ui : L 2 (σ (A), μi ) → H ώστε AUi = Ui Mfi

(*)

όπου fi (λ) = λ (λ ∈ σ (A)), και το σύνολο τιμών της Ui είναι Hi . Δηλαδή, αν ϑέσουμε Ai = A|Hi , κάθε Ai είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος με τον πολλαπλασιαστικό τελεστή Mfi που δρα στον χώρο L 2 (σ (A), μi ). Θα δείξουμε ότι ο A είναι ορθομοναδιαία ισοδύναμος με έναν κατάλληλο πολλαπλασιαστικό τελεστή Mf στον L 2 (X, μ ), όπου ο (X, μ ) είναι η λεγόμενη ξένη ένωση των χώρων μέτρου (σ (A), μi ), i ∈ I. Για να αποφύγουμε ορισμένες μετροθεωρητικές δυσκολίες, ϑα υποθέσουμε στο εξής9 ότι ο χώρος H είναι διαχωρίσιμος, οπότε και η οικογένεια {xi } είναι αριθμήσιμη (ϐλ. ΄Ασκηση 1.14.). Υποθέτουμε λοιπόν ότι I = N. Στην περίπτωση αυτή μπορούμε, όπως ϑα δούμε, να πάρουμε για (X, μ ) τον R εφοδιασμένο με ένα κατάλληλο μέτρο Borel. Παρατηρούμε πρώτα ότι, εφόσον σ (A) ⊆ [− A , A], η διάμετρος του σ (A) δεν υπερβαίνει το 2 A. Επομένως, αν ϑέσουμε a = 3 A και 9

Τονίζουμε ότι η υπόθεση αυτή γίνεται μόνον για ευκολία στην απόδειξη· το ϑεώρημα 6.3.6

ισχύει και σε μη διαχωρίσιμους χώρους.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

208

Xi = σ (A) + ia = {λ + ia : λ ∈ σ (A)}, τα σύνολα Xi , i ∈ N είναι ξένα ανα δύο συμπαγή υποσύνολα του R. Ορίζουμε το εξής μέτρο Borel στο R:



μ (Y ) =

μi (φi (Y ∩ Xi )),

Y ⊆ R Borel

i

όπου φi : Xi → σ (A) : t → t − ia. Είναι εύκολη άσκηση Θεωρίας Μέτρου να ελέγξει κανείς ότι το μ είναι πράγματι μέτρο και είναι σ-πεπερασμένο, αφού κάθε μi είναι πεπερασμένο. Απεικονίζουμε τώρα τους χώρους L 2 (σ (A), μi ), i ∈ N ισομετρικά σε κάθετους ανά δύο υποχώρους του L 2 (R, μ ): Ισχυρισμός Για κάθε i η απεικόνιση Wi : L 2 (R, μ ) → L 2 (σ (A), μi )

(Wi g)(λ) = g(λ + ia ),

όπου

λ ∈ σ (A)

είναι γραμμική, επί και ικανοποιεί

Wi g =

g|Xi

για κάθε g ∈ L 2 (R, μ ). Απόδειξη Η Wi είναι επί του L 2 (σ (A), μi ), γιατί αν h ∈ L 2 (σ (A), μi ) ϑέτοντας g(t ) = h (φi (t )) για t ∈ Xi και g(t ) = 0 για t  Xi , έχουμε

|g(t )| dμ (t ) =

R

|h (φi (t ))| dμ (t ) =

2

|h (λ)|2 dμi (λ) < ∞

2

Xi

σ (A)

άρα g ∈ L 2 (R, μ ) και Wi g = h. ΄Εστω g ∈ L 2 (R, μ ). Αν η g μηδενίζεται στο Xi τότε για κάθε λ ∈ σ (A) έχουμε

(Wi g)(λ) = 0 εφόσον λ + ia ∈ Xi . Αν η g μηδενίζεται στο Xic τότε ισχυρίζομαι ότι Wi g = g. Πράγματι αρκεί να αποδειχθεί ο ισχυρισμός όταν η g είναι απλή συνάρτηση, g =

n  k =1

ck χYk όπου


6.3. ΤΟ ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ



Yk ⊆ Xi ξένα Borel. ΄Εχουμε Wi g =

Wi g2 =



209

ck χφi (Yk ) (γιατί Wi (χY ) = χφi (Y ) ), άρα

k



2  2 |ck |2 μ (Yk ) = g2 . |ck | μi (φi (Yk )) = |ck |2

χφi (Yk )

= k

k

k

΄Επεται ότι για κάθε g ∈ L 2 (R, μ ) ισχύει

Wi g =

Wi (g|Xi ) + Wi (g|Xic )

=

Wi (g|Xi )

=

g|Xi

και ο ισχυρισμός αποδείχθηκε. Για κάθε i ∈ N έχουμε ονομάσει fi ∈ L ∞ (σ (A), μi ) τη συνάρτηση fi (λ)= λ

(λ ∈ σ (A)). Ορίζουμε τώρα την συνάρτηση f : R → R ϑέτοντας ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ fi (t − ia ), αν υπάρχει i ώστε t ∈ Xi f (t ) = ⎪ ⎪ ⎩ 0, αν t  ∪i Xi Η f ανήκει στον L ∞ (R, μ ) γιατί f ∞ = supi fi ∞ = A, άρα ορίζεται ο τελεστής Mf στον L 2 (R, μ ). Παρατηρούμε ότι Wi Mf = Mfi Wi Πράγματι, για κάθε g ∈ L 2 (R, μ ), αν λ ∈ σ (A) έχουμε

(Wi fg)(λ) = (fg)(λ + ia ) = f (λ + ia )g(λ + ia ) = fi (λ)g(λ + ia ) οπότε Wi Mf g = Wi (fg) = fi (Wi g) = Mfi Wi g. Επειδή όμως Ui Mfi = AUi (ϐλ. (*)), έπεται ότι Ui Wi Mf = Ui Mfi Wi = AUi Wi .

(**)

Παρατηρούμε ότι για κάθε g ∈ L 2 (R, μ ) έχουμε Ui Wi g ∈ Hi άρα τα Ui Wi g είναι ανά δύο κάθετα και επομένως, αφού η Ui είναι ισομετρία, ∞ 

Ui Wi g = 2

i =1

∞ 



g|

2 Wi g = Xi 2

i =1

=

 i =1

Xi

i =1

|g| dμ = 2

R

|g|2 dμ = g2 .


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΦΑΣΜΑΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ

210 ∞ 

΄Επεται ότι η σειρά

Ui Wi g συγκλίνει στον H και ότι

i =1

2



Ui Wi g

= g2 .

i =1 Αν λοιπόν ορίσουμε την απεικόνιση U : L 2 (R, μ ) → H :

g→



Ui W i g

τότε η U είναι ισομετρία. Η εικόνα της περιέχει κάθε Hi , άρα και την κλειστή γραμμική τους ϑήκη, που είναι ο H . Δηλαδή η U είναι ισομετρία επί, άρα ορθομοναδιαίος τελεστής. Τέλος, για κάθε g ∈ L 2 (R, μ ), UMf g =



(∗∗)

Ui Wi Mf g =



AUi Wi g = A



Ui Wi g = AUg

επομένως UMf = AU και άρα A = UMf U −1 . ΄Εχουμε λοιπόν αποδείξει (με την επιπλέον υπόθεση ότι ο H είναι διαχωρίσιμος) το Θεώρημα 6.3.6 (Φασματικό Θεώρημα για αυτοσυζυγείς τελεστές) ΄Εστω A ∈ B(H) αυτοσυζυγής τελεστής. Υπάρχει χώρος μέτρου (X, μ ), συνάρτηση f ∈ L ∞ (X, μ ) και ορθομοναδιαίος τελεστής U : L 2 (X, μ ) → H ώστε A = UMf U −1 .


Παράρτημα : Χώροι Banach Στο Παράρτημα αυτό παραθέτουμε τις κυριότερες έννοιες από την ϑεωρία μετρικών χώρων και (κυρίως) χώρων Banach που χρησιμοποιήθηκαν. Για πλήρη ανάπτυξη και αποδείξεις ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει στο [13]. ΄Ενας μετρικός χώρος (X, d ) είναι ένα σύνολο X εφοδιασμένο με μια απεικόνιση d :X ×X →R (την μετρική) που ικανοποιεί d (x, y) ≥ 0 για κάθε x, y ∈ X d (x, y) = 0 ⇔ x = y d (x, y = d (y, x ) για κάθε x, y ∈ X d (x, y) ≤ d (x, z ) + d (z, y) για κάθε x, y, z ∈ X. Αν E είναι (πραγματικός ή μιγαδικός) γραμμικός χώρος, μια νόρμα στον E είναι μια απεικόνιση

· : E → R+ με τις ιδιότητες10

x + y ≤ x  + y λx  = |λ| x  x  = 0 ⇒ x = 0 10

(x, y ∈ E, λ ∈ K).

Εδώ K = R ή K = C.

211


ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : ΧΩΡΟΙ BANACH

212

Με BE = {x ∈ E : x  ≤ 1} συμβολίζουμε την κλειστή μοναδιαία μπάλλα ενός χώρου με νόρμα E και γράφουμε SE = {x ∈ E : x  = 1}. ΄Ενας χώρος με νόρμα γίνεται μετρικός χώρος αν εφοδιασθεί με την απόσταση (μετρική) d (x, y) = x − y. Δύο νόρμες ·1 , ·2 σε έναν γραμμικό χώρο E λέγονται ισοδύναμες αν υπάρχουν a, b ∈ R+ ώστε a x 2 ≤ x 1 ≤ b x 2

για κάθε x ∈ E.

΄Ενα υποσύνολο A ενός μετρικού χώρου (X, d ) λέγεται ανοικτό (open) αν περιέχει μια περιοχή κάθε στοιχείου του, δηλαδή αν για κάθε a ∈ A υπάρχει δ > 0 ώστε αν d (b, a ) < δ τότε b ∈ A. Το A λέγεται κλειστό (closed) αν το συμπλήρωμά του είναι ανοικτό, ισοδύναμα αν για κάθε ακολουθία (an ) στοιχείων του A που συγκλίνει, ισχύει limn an ∈ A. Η κλειστή ϑήκη (closure) A του A είναι το μικρότερο κλειστό υποσύνολο του X που περιέχει το A. Το A λέγεται πυκνό (dense) στο X αν η κλειστή του ϑήκη είναι όλος ο X , δηλαδή αν για κάθε x ∈ X υπάρχει ακολουθία (xn ) στοιχείων του A που συγκλίνει στο x. Ο χώρος (X, d ) λέγεται διαχωρίσιμος (separable) αν έχει ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο. ΄Ενα υποσύνολο A ενός μετρικού χώρου (X, d ) λέγεται συμπαγές (compact) αν κάθε ανοικτό κάλυμμα του A έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα, δηλαδή για κάθε οικογένεια {Ui : i ∈ I } ανοικτών υποσυνόλων του X με A ⊆ υπάρχουν i1 , i2 , . . . , in ∈ I ώστε A ⊆

%n

k =1

%

i ∈I

Ui

Ui k .

Μια ακολουθία (sequence) (xn ) σ’ έναν μετρικό χώρο (X, d ) συγκλίνει (converges) στο x ∈ X αν limn d (xn , x ) = 0, δηλαδή αν για κάθε ε > 0 υπάρχει no ∈ N ώστε d (xn , x ) < ε για κάθε n ≥ no . Η (xn ) λέγεται ϐασική ακολουθία ή ακολουθία Cauchy αν για κάθε ε > 0 υπάρχει no ∈ N ώστε d (xn , xm ) < ε για κάθε n, m ≥ no . ΄Ενας μετρικός χώρος (X, d ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ϐασική ακολουθία (xn ) του X έχει όριο x ∈ X . ΄Ενας χώρος με νόρμα που είναι πλήρης ως προς τη μετρική που ορίζει η νόρμα λέγεται χώρος Banach. Θεώρημα 7.3.7 (Baire) Αν (X, d ) είναι πλήρης μετρικός χώρος και Gn , n = 1, 2, . . . ανοικτά και πυκνά υποσύνολα του X , τότε η τομή και πυκνό υποσύνολο του X .

0

n ∈N

Gn είναι ανοικτό


ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : ΧΩΡΟΙ BANACH

213

Απόδειξη [13], Πόρισμα 2.25. Αν (E, ·) είναι χώρος με νόρμα και xn ∈ E, η σειρά

 n

xn συγκλίνει στο

s ∈ E αν η ακολουθία (sn ) των μερικών αθροισμάτων (όπου sn =

n

k =1

xk )

συγκλίνει στο s. Μία απεικόνιση f : X → Y μεταξύ μετρικών χώρων (X, d ) και (Y, ρ) λέγεται συνεχής (continuous) στο x ∈ X αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ = δ (ε, x ) > 0 ώστε για κάθε y ∈ X , αν d (y, x ) < δ τότε ρ(f (y), f (x )) < ε. Η f λέγεται συνεχής στον X αν είναι συνεχής σε κάθε x ∈ X . Η f είναι συνεχής στον X αν και μόνον αν για κάθε ανοικτό U ⊆ Y η αντίστροφη εικόνα f −1 (U ) είναι ανοικτό στον X . Η f λέγεται ομοιόμορφα συνεχής (uniformly continuous) αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ = δ (ε) > 0 ώστε για κάθε x και y στο X , αν d (y, x ) < δ τότε ρ(f (y), f (x )) < ε. Αν X είναι μη κενό σύνολο και (Y, d ) μετρικός χώρος, μια ακολουθία (fn ) συναρτήσεων fn : X → Y συγκλίνει σε μια συνάρτηση f : X → Y κατά σημείο (pointwise convergence) αν για κάθε x ∈ X η ακολουθία (fn (x )) συγκλίνει στο f (x ), αν δηλαδή για κάθε x ∈ X και ε > 0 υπάρχει no (ε, x ) ∈ N ώστε για κάθε n ≥ no να έχουμε d (fn (x ), f (x )) < ε. Η ακολουθία (fn ) συγκλίνει στη συνάρτηση f ομοιόμορφα (uniform convergence) αν για κάθε ε > 0 υπάρχει no (ε) ∈ N ώστε για κάθε n ≥ no και κάθε x ∈ X να έχουμε d (fn (x ), f (x )) < ε. Αν και ο X είναι μετρικός χώρος, το ομοιόμορφο όριο συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση. Αν Y = R ή Y = C, το ομοιόμορφο όριο ϕραγμένων συναρτήσεων είναι ϕραγμένη συνάρτηση. Τότε, η (fn ) συγκλίνει ομοιόμορφα στην f αν και μόνον αν limn fn − f ∞ = 0, όπου

f ∞ = sup{|f (x )| : x ∈ X }. Μια απεικόνιση f : X → Y μεταξύ μετρικών χώρων (X, d ) και (Y, ρ) λέγεται ισομετρία αν για κάθε x και y ∈ X ισχύει ρ(f (x ), f (y)) = d (x, y). Μία ισομετρία είναι προφανώς 1-1 και επίσης ομοιόμορφα συνεχής. Η f λέγεται ισομετρικός ισομορφισμός αν είναι ισομετρία και επί. Μια απεικόνιση T : E → F μεταξύ (μιγαδικών) γραμμικών χώρων λέγεται γραμμική (linear) αν T (x + λy) = T (x ) + λT (y) για κάθε x, y ∈ E και κάθε


ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : ΧΩΡΟΙ BANACH

214

λ ∈ C. Η εικόνα (image) της T είναι ο γραμμικός υπόχωρος

im T = {T (x ) : x ∈ E } ⊆ F και ο πυρήνας (kernel) της T είναι ο γραμμικός υπόχωρος

ker T = {x ∈ E : T (x ) = 0} ⊆ E. ΄Ενα υποσύνολο A ενός γραμμικού χώρου E λέγεται κυρτό (convex) αν περιέχει τα ευθύγραμμα τμήματα που έχουν άκρα σημεία του, δηλαδή αν για κάθε x, y ∈ A και λ ∈ [0, 1] ισχύει (1 − λ)x + λy ∈ A. Ορισμός 7.3.2 ΄Εστω (E, ·) χώρος με νόρμα. (topological dual)

E∗

Ο (τοπολογικός) δυϊκός

του E είναι το σύνολο των συνεχών γραμμικών απει-

κονίσεων f : E → K. Είναι γραμμικός χώρος ως προς τις πράξεις κατά σημείο. Αν f ∈ E ∗ , ο αριθμός

f  ≡ sup{|f (x )| : x ∈ E, x  ≤ 1} είναι πεπερασμένος, και η  ·  είναι νόρμα στον E ∗ . Ο δυϊκός ενός χώρου με νόρμα είναι πλήρης χώρος. Δεν είναι όμως καθόλου προφανές ότι ο δυϊκός κάθε χώρου με νόρμα περιέχει μη μηδενικά στοιχεία. Αυτό είναι συνέπεια του Θεωρήματος Hahn-Banach: Θεώρημα 7.3.8 (Hahn-Banach, αναλυτική μορφή) ΄Εστω (X,  · ) χώρος με νόρμα και Y γραμμικός υπόχωρος του X . Αν y∗ : Y → K είναι συνεχής γραμμική μορφή (δηλ. y∗ ∈ Y ∗ ), τότε υπάρχει x ∗ : X → K συνεχής γραμμική μορφή (δηλ. x ∗ ∈ X ∗ ) με την ίδια νόρμα (δηλ. x ∗  = y∗ ) που επεκτείνει την y∗ (δηλ. x ∗ |Y = y∗ ). Απόδειξη [13], Πόρισμα 3.25. Πόρισμα 7.3.9 ΄Εστω (X,  · ) χώρος με νόρμα και x ∈ X . Τότε

x  = sup{|x ∗ (x )| : x ∗ ∈ X ∗ , x ∗  = 1}. Απόδειξη [13], Πόρισμα 3.26 (fii).


ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : ΧΩΡΟΙ BANACH

215

Θεώρημα 7.3.10 (Αρχή Ομοιομόρφου ϕράγματος) ( Principle of Uniform Boundedness) ΄Εστω X χώρος Banach, Y χώρος με νόρμα και T ⊆ B(X, Y ) οικογένεια ϕραγμένων τελεστών. Αν η T είναι κατά σημείο ϕραγμένη, τότε είναι ομοιόμορφα ϕραγμένη. Δηλαδή, αν για κάθε x ∈ X υπάρχει Mx ∈ R ώστε για κάθε T ∈ T να ισχύει

T (x ) ≤ Mx , τότε υπάρχει M ∈ R ώστε για κάθε T ∈ T να ισχύει T  ≤ M. Απόδειξη [13], Θεώρημα 3.42. Θεώρημα 7.3.11 (Banach-Steinhaus) ΄Εστω X χώρος Banach, Y χώρος με νόρμα και {Tn : n ∈ N} ⊆ B(X, Y ) ακολουθία ϕραγμένων τελεστών. Αν για κάθε x ∈ X το όριο της ακολουθίας (Tn (x )) υπάρχει στον Y , τότε υπάρχει ϕραγμένος γραμμικός τελεστής T : X → Y ώστε T (x ) = limn Tn (x ) για κάθε x ∈ X . Απόδειξη [13], Πόρισμα 3.43. Παρατήρηση ΄Εστω X, Y χώροι με νόρμα, και T : X → Y γραμμική απεικόνιση. Αν η T είναι ανοικτή, τότε είναι επί του Y . Θεώρημα 7.3.12 (Ανοικτής Απεικόνισης (open mapping)) ΄Εστω X, Y χώροι Banach και T : X → Y γραμμική, συνεχής και επί. Τότε η T είναι ανοικτή. Απόδειξη [13], Θεώρημα 3.36. Θεώρημα 7.3.13 (Κλειστού Γραφήματος (closed graph)) ΄Εστω X, Y χώροι Banach και T : X → Y γραμμική απεικόνιση. Αν το γράφημα Gr (T ) ≡ {(x, Tx ) ∈ X × Y : x ∈ X } είναι κλειστό στον χώρο X × Y , τότε η T είναι συνεχής. Απόδειξη [13], Θεώρημα 3.40. Θεώρημα 7.3.14 (Weierstrass) Κάθε συνεχής συνάρτηση f : [a, b] → C προσεγγίζεται από μια ακολουθία πολυωνύμων, ομοιόμορφα στο [a, b]. Απόδειξη [16] Θεώρημα 35-A.


216

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : ΧΩΡΟΙ BANACH

Θεώρημα 7.3.15 (Stone - Weierstrass) ΄Εστω K συμπαγής μετρικός (ή γενικότερα Hausdorff ) χώρος. Αν A είναι υπάλγεβρα της άλγεβρας C(K ) των συνεχών συναρτήσεων f : K → C η οποία (i) χωρίζει τα σημεία του K, (ii) περιέχει τις σταθερές συναρτήσεις και (iii) έχει την ιδιότητα f ∈ A ⇒ f¯ ∈ A, τότε η A είναι ·∞ -πυκνή στην C (K ). Απόδειξη [16] Θεώρημα 36-B. Σημειώνουμε ότι η ιδιότητα (iii) δεν μπορεί να παραλειφθεί, προκειμένου για συναρτήσεις με μιγαδικές τιμές. Παράδειγμα : Η άλγεβρα των πολυωνυμικών συναρτήσεων p : D → C όπου p(z ) =

n

k =0

ak z k ικανοποιεί τις (i) και

(ii). ΄Ομως η συνεχής συνάρτηση f (z ) = z¯ δεν προσεγγίζεται ομοιόμορφα από πολυώνυμα. Θεώρημα 7.3.16 (Ascoli) ΄Εστω K συμπαγής μετρικός χώρος. ΄Ενα κλειστό υποσύνολο F του χώρου (C(K ),  · ∞ ) είναι norm-συμπαγές αν και μόνον αν είναι ισοσυνεχές και (ομοιόμορφα) ϕραγμένο. (Το F λέγεται ισοσυνεχές αν για κάθε x ∈ K και κάθε ε > 0 υπάρχει περιοχή U του x ώστε για κάθε y ∈ U και για κάθε f ∈ F να ισχύει |f (y) − f (x )| < ε.) Απόδειξη [16] Θεώρημα 25-C. Το Θεώρημα ισχύει και όταν ο K είναι συμπαγής χώρος Hausdorff (ϐλ. [13, Θεώρημα 14.33]).


Βιβλιογραφία [1] J.B. Conway, A course in Functional Analysis, Springer-Verlag, 1985. [2] I. Gohberg & S. Goldberg, Basic operator theory (Reprint of the 1981 original), Birkh¨ auser Boston Inc., Boston, MA, 2001. [3] P.R. Halmos, Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral

Multiplicity, Chelsea, N.Y., 1951. [4] P.R. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, 2nd Edition, SpringerVerlag, 1982. [5] G. Helmberg, Introduction to Spectral Theory in Hilbert Space, NorthHolland, 1975. [6] H. Heuser, Functional Analysis, Wiley, 1982. [7] R.V. Kadison & J.R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator

Algebras (2 Vols), Academic Press, 1983. [8] T.W. K¨orner, Fourier analysis, Second edition, Cambridge University Press, Cambridge-New York, 1989. [9] Γ. Κουμουλλής, Σ. Νεγρεπόντης,

Θεωρία Μέτρου,

Εκδ. Συμμετρία,

1988. [10] A.N. Kolmogorov & S.V. Fomin, Introductory Real Analysis, Dover, 1975. [11] R.E. Megginson, An Introduction to Banach Space Theory, SpringerVerlag, New York 1998. [12] Σ. Νεγρεπόντης,

Θεωρία Μιγαδικών Συναρτήσεων Μιάς Μεταβλητής,

Αθήνα 1982. [13] Σ. Νεγρεπόντης, Θ. Ζαχαριάδης, Ν. Καλαμίδας, Β. Φαρμάκη, Γενική

Τοπολογία και Συναρτησιακή Ανάλυση, Εκδ. Συμμετρία, 1988. 217


ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

218 [14] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973.

[15] I.E. Segal & R.A. Kunze, Integrals and Operators, McGraw-Hill, 1968. [16] G.F. Simmons,

Introduction to Topology and Modern Analysis,

McGraw-Hill, 1963. [17] N.J. Young, An Introduction to Hilbert Space, Cambridge University Press, 1988.


Ευρετήριο συμβόλων (x ⊗ y∗ ): τελεστής πρώτης τάξης, 104 A⊥ :

κάθετος υπόχωρος, 21

B(x, r ) = {y : y − x  < r }: ανοικτή σφαίρα, 114 BE = {x ∈ E : x  ≤ 1}: κλειστή μοναδιαία μπάλλα, 49, 212 C([−π, π ]): συνεχείς συναρτήσεις, 4

ker T : πυρήνας του T , 86, 214 ker(y∗ ), 21 D = {z ∈ C : |z | < 1}, 193 T = {z ∈ C : |z | = 1}, 193 B+ (H ): ϑετικοί τελεστές, 77 Bh (H ): αυτοσυζυγείς τελεστές, 75 Bn (H ): ϕυσιολογικοί τελεστές, 75 C2 (H ): τελεστές Hilbert-Schmidt,

C(σ (A)), 198 Da : διαγώνιος τελεστής, 55 E ∗:

δυϊκός χώρος, 23, 214

2

L ([a, b]), 16 L 2 (X, μ ), 186

135

K(E ): συμπαγείς τελεστές, 123 K(E, F ): συμπαγείς τελεστές, 123 Mμ , 188 U(H ): ορθομοναδιαίοι τελεστές,

L ∞ (X, μ ), 187 Mf : τελεστής πολλαπλασιασμού, 57

75

rank: τάξη, 103 ⊕, ⊕i : ευθύ άθροισμα κάθετων υπο-

S: τελεστής μετατόπισης, 56 Sn (f ): μερικό άθροισμα της σειράς Fourier, 36

[A]: γραμμική ϑήκη, 7 Φc : συναρτησιακός λογισμός, 198  · ∞ , 187, 213  · h : νόρμα Hilbert-Schmidt, 135 F (E, F ): τελεστές πεπερασμένης τάξης, 103 2

 ,3

χώρων, 22, 94, 206 ρ(A): ϕασματική ακτίνα, 190 σ (A): ϕάσμα, 186, 190 σa (A): προσεγγιστικές ιδιοτιμές, 192 σc (A): ϕάσμα συμπίεσης, 192 σn (f ): μέσος όρος της σειράς Fourier, 37 σp (A): ιδιοτιμές, 146, 169, 192 coo : ακολουθίες με πεπερασμένο

2

 (Γ), 33 2

ϕορέα, 2

 (Z), 55

coo (Γ), 34

fˆ (k ): συντελεστής Fourier, 8

xn → x: συγκλίνει ασθενώς, 115

im T : εικόνα του T , 86, 214

w


Ευρετήριο ελληνικών όρων ακολουθία Cauchy, 212

Riesz-Fisher, 186

άλγεβρα Banach, 62, 190

Riesz, 25

αναλλοίωτος υπόχωρος, 146, 176

F´ejer, 30

ανισότητα

Αναπαράστασης του Riesz,

Cauchy-Schwarz, 4

203

Bessel, 8, 10

ανοικτής απεικόνισης, 215

γενικευμένη Cauchy-

εναλλακτικό Fredholm, 170

Schwarz, 80

κλειστού γραφήματος, 215

αντιστρέψιμο, 190

ϕασματικής απεικόνισης, 201

Αρχή Ομοιομόρφου Φράγματος,

Φασματικό, 153

46, 215 αυτοσυζυγής, 72 ϐάση αλγεβρική, 26 ορθοκανονική, 26, 28 γραμμική απεικόνιση, 47, 213

dim H < ∞, 150 για αυτοσυζυγείς, 210 για συμπαγείς, 154, 159, 161 ιδεώδες, 111, 126 ιδιοδιάνυσμα, 145 ιδιοτιμή, 145

διαχωρίσιμος, 26, 27, 212

ιδιόχωρος, 146

δυϊκός, 23, 214

ισομετρία, 24, 75

εικόνα, 214 εσωτερικό γινόμενο, 2 ευθύ άθροισμα, 17 Θεώρημα

μερική, 85 κάθετα, 6 κάθετο διάνυσμα, 20 κάθετος υπόχωρος, 21

Ascoli, 216

Κανόνας Παραλληλογράμμου, 6

Baire, 46, 116, 212

κλειστή ϑήκη, 212

Hahn-Banach, 23, 54, 214

κυκλικό διάνυσμα, 205

Lomonosov, 180

κυκλικός υπόχωρος, 205

Riesz-Schauder, 169

κυρτό, 19, 214


ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Λήμμα Zorn, 206

221 συναρτησιακός λογισμός, 165, 198, 199

μεταθέτης, 201 μετασχηματισμός Fourier, 33

συνεχής, 213 ομοιόμορφα, 40, 213 σύνολο

νόρμα, 5 ορθοκανονική οικογένεια, 6 ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt, 7 ορθομοναδιαία ισοδύναμος, 185 ορθομοναδιαίος, 72 ουσιώδες σύνολο τιμών, 189 ουσιωδώς ϕραγμένη, 186

ανοικτό, 212 κλειστό, 212 ολικά ϕραγμένο, 114 συμπαγές, 212 συντελεστής Fourier, 8, 36 ταυτότητα πολικότητας, 66 τελεστής Volterra, 58, 71

πλήρωση, 16

Hilbert-Schmidt, 130

πολική αναπαράσταση, 85

αυτοσυζυγής, 72

πολλαπλασιαστική άλγεβρα, 188

διαγώνιος, 55

προβολή (ορθή), 22, 87

διαγωνοποιήσιμος, 147

προσεγγιστικές ιδιοτιμές, 192

διαφορικός, 58

Πυθαγόρειο Θεώρημα, 6

ϑετικός, 77

πυκνό, 20, 212

ίχνους, 168

πυρήνας, 21, 86, 214

μετατόπισης, 56

πυρήνας του F´ejer, 37

ολοκληρωτικός, 58, 138 ορθομοναδιαίος, 72

σειρά Fourier, 30, 36

πεπερασμένης τάξης, 103

συγκλίνει, 212

πολλαπλασιασμού, 56, 186

σύγκλιση, 30

πολυωνυμικά συμπαγής, 182

ασθενής, 115

πυρηνικός, 168

κατά σημείο, 213

συζυγής, 68

ομοιόμορφη, 213

συμπαγής, 113

συζυγής, 68

σύνθεσης, 59

συμπληρωματικοί, 86

ταυτοδύναμος, 86


ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΟΡΩΝ

222 ϕραγμένος, 48 ϕυσιολογικός, 71 τετραγωνική ϱίζα, 82 τριγωνική ανισότητα, 5 τριγωνομετρικό πολυώνυμο, 35 ϕάσμα, 186, 190 προσεγγιστικά σημειακό, 192 σημειακό ϕάσμα, 192 συμπίεσης, 192 ϕασματική ακτίνα, 190 ϕορέας, 3 ϕυσιολογικός, 71 χώρος Banach, 212 χώρος Hilbert, 11


Ευρετήριο ξενόγλωσσων όρων adjoint, 68

essentially bounded, 186

approximate eigenvalues, 192 F´ejer, 37 Banach space, 212

Fourier coefficient, 8, 36

basis

functional calculus, 165, 198,

algebraic, 26 orthonormal, 26 Cauchy sequence, 212

199 Gram-Schmidt, 7 Hilbert, 11

closure, 212 commutant, 201

ideal, 111, 126

complementary, 86

image, 214

continuous, 213

inequality

uniformly, 40, 213 convergence, 30 pointwise, 213 uniform, 213 weak, 115

Bessel, 8, 10 Cauchy-Schwarz, 4 generalized Cauchy-Schwarz, 80 inner product, 2

converges, 212

invariant subspace, 146, 176

convex, 19, 214

invertible, 190

cyclic subspace, 205

isometry, 24, 75

cyclic vector, 205 dense, 20, 212 direct sum, 17 dual, 23, 214

partial, 85 kernel, 214 linear mapping, 47, 213 normal, 71

eigenspace, 146 eigenvalue, 145

operator

eigenvector, 145

adjoint, 68

essential range, 189

bounded, 48


ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΞΕΝΟΓΛΩΣΣΩΝ ΟΡΩΝ

224 compact, 113

closed, 212

composition, 59

compact, 212

diagonal, 55

open, 212

diagonalizable, 147

totally bounded, 114

differential, 58

spectral radius, 190

finite rank, 103

spectrum, 186, 190

Hilbert-Schmidt, 130

approximate point spectrum,

idempotent, 86

192

integral, 58, 138

compression spectrum, 192

multiplication, 56, 186

point spectrum, 192

normal, 71

square root, 82

nuclear, 168

support, 3

polynomially compact, 182 positive, 77

theorem

selfadjoint, 72

Ascoli, 216

shift, 56

Baire, 46, 116, 212

trace class, 168

closed graph, 215

unitary, 72

F´ejer, 30

Volterra, 58, 71

Fredholm alternative, 170

orthonormal, 6 Parseval, 30 polar decomposition, 85 polarization identity, 66 Principle of Uniform Boundedness, 46, 215 projection (orthogonal), 22, 87

Hahn-Banach, 23, 54, 214 Lomonosov, 180 open mapping, 215 Riesz, 25 Riesz representation, 203 Riesz-Fisher, 186 Riesz-Schauder, 169 spectral, 153

scalar product, 2

spectral mapping, 201

selfadjoint, 72

spectral, for compacts, 154,

separable, 26, 212 sesquilinear, 63 set

159, 161 spectral, for selfadjoints, 210 triangle inequality, 5


ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΞΕΝΟΓΛΩΣΣΩΝ ΟΡΩΝ trigonometric polynomial, 35 unitarily equivalent, 185 unitary, 72 Zorn’s Lemma, 206

225


Το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Θεωϱία Τελεστών» εκτυπώθηκε στο λιθογραφείο Σ. Αϑανασόπουλος & Ε. Παπαδάμη. Για τη στοιχειοθεσία χρησιμοποιήθηκε το LaTEX2ε , ενώ η παραγωγή των postscript και pdf αρχείων έγινε με τα dvips και ghostscript. Η γραμματοσειρά κειμένου είναι η «Κέρκης» ενώ για τα μαθηματικά σύμβολα έχει χρησιμοποιηθεί η Times New Roman.


Multbook  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you