Page 1

A

Πανεπιςτήµιο

Αιγαίου

Σχολή Θετικών Επιςτηµών Τ µ ή µ α

Πτυχιακή εργασία

Εκπονητής

Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130

Σάµος, 2002

Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν


Τίτλος : Συγγραφέας : e-mail: ΄Ετος : Εκδοτικός Οίκος : Στοιχειοθεσία : Γραµµατοσειρά :

Θεωρία των Θραυσµάτων (Fractals) http://www.samos.aegean.gr/math/s97130/ptyxiaki/ Χουσαϊνοβ Αλέξανρος s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr 2002 Εκτυπωτές του Κέντρου Πληροφορικής της πανεπιστηµιακής µονάδας Σάµου του Πανεπιστήµιου Αιγαίου La TEX χρησιµοποιώντας την έκδοση BibTeX Kerkis Font Family http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

Πανεπιστήµιο Αιγαίου Σχολή Θετικών Επιστηµών Τµήµα Μαθηµατικών Καρλόβασι, Σαµος Τκ. 83200 http://www.samos.aegean.gr/


Ευχαριστία Θα ήθελα να εκφράσω την ευγνωµοσύνη προς την τριµελή επιτροπή που εξετάϹει την πτυχιακή µου εργασία τον κ Ανούση Μιχάλη, Αναπληρωτή καθηγητή και Πρόεδρο του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αιγαίου, τον κ Τσαπόγα Γεώργιο, Επίκουρο καθηγητή του ίδιου τµήµατος και ιδιαίτερα τον κ Τσολοµύτη Αντώνιο «∆άσκαλο» Λέκτορα του Τµήµατος Μαθηµατικών που µου έδειχνε το «µονοπάτι» όταν εγώ αδυνατούσα να το διακρίνω. Η πτυχιακή εργασία αποτελεί για µένα το τελευταίο σκαλοπάτι στην απόκτηση του πτυχίου και στην ουσία κλείνει ένα, ίσος το καλύτερο, κοµµάτι της Ϲωής µου, τα ϕοιτητικά µου χρόνια. Επ΄ αυτού ϑα ήθελα να ευχαριστήσω όλους που έχουν αναµειχθεί στην Ϲωή µου αυτά τα πέντε χρονάκια αφήνοντας είτε ευχάριστες είτε µη, αναµνήσεις. Τέλος, να µην ευχαριστήσω και τους γονείς µου, που µε πλήρωναν τον «µηνιαίο µισθό» επί πέντε χρόνια (πιστεύω να µην χρειαστεί άλλο, αλλά ποτέ δεν ξέρεις). Καρλόβασι, Οκτώβριος 2002

iii


Αφιερώνεται στις Ϲωή, ελπίδα, χαρά, ευτυχία, αγάπη, νίκη, ειρήνη, σοφία, ελευθερία, γυναίκες της Ϲωής µας . . .


Πρόλογος Στην παρούσα πτυχιακή εργασία παρουσιάζουµε την ϑεωρία των ϑραυσµάτων (fractal geometry) και πως ένα µέρος από αυτήν, εφαρµόζεται στην συµπίεση της ψηφιακής εικόνας. Η λέξη fractal εισάχθηκαι για πρώτη ϕορά από τον Benoit Mandelbrot το 1970 και αποτελεί ένα όνοµα για µια κλάση συνόλων που ϑα ορίσουµε πιό κάτω. Πρώτα όµως ϑα εξετάσουµε την προέλευση της και να δώσουµε µια µετάφραση. Η λέξη fractal προέρχεται από την λατινική λέξη fractus που ϑα µπορούσε να µεταφραστεί σαν τµήµα, κοµµάτι, ϑραυσµά ή κλάσµα και κατά κάποιο τρόπο χαρακτηρίζει τα σύνολα που είναι fractal µε την έννοια ότι κατά µεγάλο ποσοστό τέτοια σύνολα έχουν κλασµατική ή καλύτερα µη ακέραια διάσταση Hausdorff (όχι όµως όλα, για παράδειγµα το σύνολο «σκόνη Cantor», σχήµα 3.2). Προσπαθώντας να ϐρούµε την κατάλληλη µετάφραση στο όρο fractus, καταλήξαµε στην λέξη ϑραύσµα. Οπότε fractal ϑα είναι ϑραυσµατικό σύνολο. Ο ίδιος ο Mandelbrot αρχικά έχει ορίσει τα ϑραυσµατικά σύνολα να είναι εκείνα τα οποία αν µεγεθύνουµε οποιοδήποτε τµήµα του συνόλου ϑα πάρουµε ένα όµοιο σύνολο µε το αρχικό. Στην συνέχεια έβγαλε έναν πιο αυστηρό µαϑηµατικό ορισµό, που έλεγε ότι τα ϑραυσµατίκα σύνολα είναι εκείνα που έχουν την ϑραυσµατική τους διάσταση (fractal diamension) αυστηρά µικρότερη από την τοπολογική. Λέγοντας ϑραυσµατική διάσταση εννούσε στην ουσία την διάσταση Hausdorff, ορισµος 3.2.1. Σήµερα επικτρατεί η άποψη λοτι τα ϑραυσµατικά σύνολα είναι αυτά που η διάσταση Hausdorff τους είναι διαφορετική από την τοπολογική. Το πρώτο κεφάλαιο εισάγει τους ϐασικούς ορισµούς και ϑεωρήµατα από την µετρική τοπολογία. Στην παράγραφο 1.5 όπου µελετάται η συµπάγεια κατασκευάζουµε και ορίζουµε το σύνολο Cantor, που είναι και το πρώτο παράδειγµα ενός ϑραυσαµτικού συνόλου. Το ϑεώρηµα 1.6.3 που στην τοπολογία είναι γνωστό και ως αρχή της συσυτολής ή ϑεώρηµα σταθερού σηµείου Banach, ϑα αποτελέσει το ϑεµέλιο λίθο στην πρακτική εφαρµογή της πτυχιακής εργασίας, την συµπίεση της ψηφιακής εικόνας. Στην παράγραφο 1.9 ορίζουµε την µετρική Hausdorff που εφοδιάζει το µετρικό χώρο K(X) που είναι όλα τα µη κενά συµπαγή υποσύνολα του X που πάλι είναι αναγκαία για το ϑεωρετικό µέρος της πρακτηκής εφαρµογής της πτυχιακής εργασίας. Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται µε τα ϐασικά εισαγωγικά στοιχεία της ϑεωρίας µέτρου. Ορίζει αυστηρά το µέτρο και το εξωτερικό µέτρο. Για καλύτερη κατανόηση εισάγουµε ως παράδειγµα το µέτρο Lebesgue. Περιγράφεται η µέθοδος Καραθεοδωρή της κατασκευής του εξωτερικού µέτρου και παρουσιάζεται το κριτήριο µετρησιµότητας κατά Καραθεοδωρή που είναι αναγαία στην κατασκευή του s-διάστατου µέτρου Hausdorff. vii


viii Στο τρίτο κεφάλαιο που είναι και το κυριότερο, ορίζουµε την διάσταση Hausdorff ενός συνόλου. ∆ίνουµε µερικά παραδείγµατα ϑραυσµατικών συνόλων και µερικές τεχνικές υπολογισµού της διάστασής τους. Στην παράγραφο 3.4 ασχολούµαστε µε ένα υποσύνολο των ϑραυσµατικών συνόλων — τα αυτοόµοια σύνολα. Ο λόγος είναι ότι τέτοια σύνολα και η ϑεωρία τους ϐρίσκουν µέγαλο µέρος στην πρακτική εφαρµογή. Το ϑεώρηµα 3.4.1 που είναι και το ϑεώρηµα σταθερού σηµείου Banach στο µετρικό χώρο K(X) εφοδιασµένο µε την µετρική Hausdorff όπως και το ϑεώρηµα 3.4.4 γνωστό και ως το ϑεώρηµα «κολάζ», είναι τα δύο κύρια ϑεωρήµατα που χρησιµοποιεί ο αλγόριθµος της fractal συµπίεσης της ψηφιακής εικόνας. Τέλος στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζουµε πως η ϑεωρία των ϑραυσµατικών συνόλων και για την ακρίβεια των αυτοόµοιων συνόλων µπορεί να εφαρµοστεί στην πράξη και να συµπιέση µια ψηφιακή εικόνα.


Περιεχόµενα Ευχαριστία

iii

Πρόλογος

vi

1 Μετρική Τοπολογία 1.1 Μετρικοί Χώροι . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Τοπολογία Μετρικού Χώρου . 1.2 Συνέχεια Συναρτήσεων . . . . . . . . 1.3 Ακολουθίες . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Συνεκτικοί Χώροι . . . . . . . . . . . 1.5 Συµπάγεια . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Πλήρεις και ∆ιαχωρίσιµοι Χώροι . . . 1.6.1 Αρχή της Συστολής . . . . . . 1.6.2 ∆ιαχωρίσιµοι Χώροι . . . . . . 1.7 Οµοιόµορφη Σύγκλιση Συναρτήσεων 1.8 Συστήµατα Αρίθµησης . . . . . . . . 1.9 Μετρική Hausdorff . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

3 3 4 9 11 13 16 23 25 26 28 30 33

2 Θεωρία Μέτρου 2.1 σ-άλγεβρα . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Μέτρο . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Μέτρο Lebesgue . . . . . . . . 2.2.2 Μετρήσιµα σύνολα . . . . . . 2.3 Κατασκευή Εξωτερικού Μέτρου . . . 2.3.1 Μέθοδος Καραθεοδωρή . . . . 2.3.2 Πεπερασµένο Εξωτερικό Μέτρο

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

35 35 37 39 46 48 49 50

. . . .

53 53 55 61 67

3 ∆ιάσταση Hausdorff 3.1 Μέτρο Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 ∆ιάσταση Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Τεχνική υπολογισµού της διάστασης Hausdorff . . . 3.4 Αυτοόµοια Σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4 Fractal Συµπίεση των Εικόνων 77 4.1 Θεωρητική Ιδέα της Fractal Συµπίεσης . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2 Περιγραφή του Αλγορίθµου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Βιβλιογραφία

83 1


2 Ευρετήριο

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 85


Κεφάλαιο 1

Μετρική Τοπολογία Στο κεφάλαιο αυτό ϑα παρουσιάσουµε τα ϐασικά στοιχεία της τοπολογίας τα οποία ϑα µας είναι χρήσιµα σχεδόν σε όλους τους τοµείς της παρούσας πτυχιακής εργασίας.

1.1 Μετρικοί Χώροι Ορισµός 1.1.1 ΄Εστω Χ ένα σύνολο, µια συνάρτηση ρ : X × X → [0, ∞] ϑα λέγεται µετρική αν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες : 1. ρ(x, x) = 0 για κάθε x ∈ X 2. ρ(x, y) = ρ(y, x) για κάθε x, y ∈ X (συµµετρία) 3. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) για κάθε x, y, z ∈ X (τριγωνική ανισότητα) ΄Επιπλέον το X εφοδιασµένο µε την µετρική ρ ϑα λέγεται µετρικός χώρος και ϑα το συµβολίζουµε (X, ρ) και εφόσον δεν υπάρχει πρόβληµα στο να µπερδέψουµε τις µετρικές ϑα γράφουµε µόνο X . Μερικά παραδείγµατα Παράδειγµα : Στο R η συνήθης ή Ευκλείδεια µετρική ορίζεται να είναι η συνάρτηση :

ρ(x, y) =

p

(x − y)2 = |x − y|

όπου x, y ∈ R Το ότι η συνάρτηση ρ είναι µετρική στο R ϕαίνεται άµεσα (αφού ισχύουν και οι τρεις συνθήκες του ορισµού). Παράδειγµα : η συνάρτηση :

Στο R2 η συνήθης ή Ευκλείδεια µετρική ορίζεται να είναι

ρ(x, y) =

q 2 2 (x1 − y1 ) + (x2 − y2 )

όπου x, y ∈ R2 , δηλαδή x = (x1 , x2 ) και y = (y1 , y2 ) µε x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R. 3


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

4 Παράδειγµα : η συνάρτηση :

Στο Rn η συνήθης ή Ευκλείδεια µετρική ορίζεται να είναι

ρ(x, y) =

n X i=1

όπου x, y ∈ Rn Παράδειγµα : µε τύπο

(xi − yi )

2

!1/2

Αν X είναι τυχόν µη κενό σύνολο, η συνάρτηση ρ : X × X → R

ρ(x, y) =



1, αν x 6= y 0, αν x = y

είναι µετρική στο R και λέγεται διακριτή µετρική Απόδειξη : Οι δύο πρώτες ιδιότητες της µετρικής προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό της ρ. ΄Ετσι αρκεί να δείξουµε ότι για τυχόντα στοιχεία x, y και z του X ισχύει

ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)

(1.1)

Επειδή οι τιµές των αποστάσεων ρ(x, y), ρ(x, z) και ρ(z, y) είναι 0 ή 1, η µόνη περίπτωση όπου δεν ϑα ίσχυε η σχέση 1.1, ϑα ήταν η περίπτωση όπου ρ(x, y) = 1 και ρ(x, z) = ρ(z, y) = 0. Αλλά τότε, από τον ορισµό της ρ, ϑα είχαµε

ρ(x, y) = 1 ⇔ x 6= y και ταυτόχρονα

ρ(x, z) = ρ(z, y) = 0 ⇔ x = z = y που είναι άτοπο.  Μπορούµε να γενικεύσουµε την τριγωνική ανισότητα. ΄Εστω x1 , x2 , . . . , xn ∈ X όπου (X, ρ) µετρικός χώρος και n ≥ 2 τότε ρ(x1 , xn ) ≤ ρ(x1 , x2 ) + ρ(x2 , x3 ) + · · · + ρ(xn−1 , xn ). Απόδειξη : Για n = 2, ο ισχυρισµός ισχύει από τον ορισµό. ΄Εστω ότι ισχύει για n = k , δηλαδή ρ(x1 , xk ) ≤ ρ(x1 , x2 ) + ρ(x2 , x3 ) + · · · + ρ(xk−1 , xk ). Βάσει µαθηµατικής επαγωγής αρκεί να δείξουµε ότι ισχύει για n = k + 1. Κάτι που ισχύει αφού ρ(x1 , xk + 1) ≤ ρ(x1 , xk ) + ρ(xk , xk+1 ) ≤ ρ(x1 , xn ) ≤ ρ(x1 , x2 ) + ρ(x2 , x3 ) + · · · + ρ(xk−1 , xk ) + ρ(xk , xk+1 ). 

1.1.1

Τοπολογία Μετρικού Χώρου

Ορισµός 1.1.2 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Μια ανοιχτή µπάλα µε ακτίνα r > 0 και κέντρο το στοιχείο a ∈ X είναι το σύνολο

B(a, r) = {x ώστε ρ(a, x) < r, x ∈ X} Ορισµός 1.1.3 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Μια κλειστή µπάλα µε ακτίνα r > 0 και κέντρο το στοιχείο a ∈ X είναι το σύνολο

C(a, r) = {x ώστε ρ(a, x) ≤ r, x ∈ X}


1.1. ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

5

Προφανώς B(a, r) ⊂ C(a, r). Μερικά παραδείγµατα : Παράδειγµα : Στο R, µε την συνήθη µετρική, η ανοιχτή µπάλα εµφανίζεται σαν ανοιχτό διάστηµα (δηλαδή διάστηµα της µορφής (−x, x) ).

B(a, r) = {x ∈ R ώστε |x − a| < r} Ενώ η κλειστή µπάλα εµφανίζεται σαν κλειστό διάστηµα.

C(a, r) = {x ∈ R ώστε |x − a| ≤ r}

Παράδειγµα : Στο R2 µε την συνήθη µετρική η ανοιχτή µπάλα είναι ο ανοιχτός δίσκος µε κέντρο a και ακτίνα r (δηλαδή ο δίσκος χωρίς τον κύκλο (x1 − a)2 + (x2 − a)2 = r 2 ).

B(a, r) = =

{x ∈ R2 ώστε ρ(x − a) < r} p {x ∈ R2 ώστε (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 < r}

Ενώ η κλειστή µπάλα εµφανίζεται σαν τον δίσκο ακτίνας r και µε κέντρο a.

C(a, r) = =

{x ∈ R2 ώστε ρ(x − a) ≤ r} p {x ∈ R2 ώστε (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 ≤ r}

Παράδειγµα : Στο R3 µε την συνήθη µετρική η ανοιχτή µπάλα είναι το πεϱιεχόµενο της σφαίρας που το κέντρο της είναι a και ακτίνα r .

B(a, r) = {x ∈ R3 ώστε

p

(x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 + (x3 − a3 )2 < r}

Η κλειστή µπάλα είναι ολόκληρη σφαίρα µε κέντρο a και ακτίνα r . Ορισµός 1.1.4 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. ΄Ενα υποσύνολο G ⊂ X λέγεται ανοιχτό σύνολο (ως προς την µετρική ρ) αν για κάθε x ∈ G υπάρχει εx > 0 ώστε η ανοιχτή µπάλα µε κέντρο x και ακτίνα εx να είναι υποσύνολο του G. Παράδειγµα : ανοιχτό.

Το κενό σύνολο είναι ανοιχτό. Το R µε συνήθη µετρική είναι

Παράδειγµα : Το σύνολο A = [0, 1) δεν είναι ανοιχτό στο µετρικό χώρο (R, ρ), όπου ρ είναι συνήθης µετρική, γιατί για ε > 0 πρέπει να έχω B(0, ε) = (−ε, ε) ⊂ A όµως −ε/2 ∈ (−ε, ε) και −ε/2 ∈ / A. Πρόταση 1.1.1 Σε κάθε µετρικό χώρο (X, ρ), κάθε ανοιχτή µπάλα B(x, r) είναι ανοιχτό σύνολο.

Απόδειξη : ΄Εστω y ∈ B(x, r). Τότε ρ(x, y) < r . Οπότε ε = r −ρ(x, y) > 0. Αρκεί να δείξουµε ότι B(y, ε) ⊂ B(x, r). ΄Εστω z ∈ B(y, ε), τότε ρ(y, z) < ε όµως από την ιδιότητα (3) της µετρικής (ορισµός 1.1.1) έχουµε ότι ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) < r − ε + ε = r δηλαδή z ∈ B(x, r), άρα δείξαµε οτι B(y, ε) ⊂ B(x, r). 


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

6

Πρόταση 1.1.2 Κάθε ανοιχτό σύνολο G του µετρικού χώρου (X, ρ) είναι µια ένωση ανοιχτών µπαλών. Για κάθε x ∈ G υπάρχει εx > 0 ώστε B(x, εx ) ⊂ G, τότε όµως ∪x∈G B(x, εx ) = G  ΄Εστω x ∈ Rn , ορίζουµε την συνήθη νόρµα στο Rn (ή l2 νόρµα) να είναι v u n uX 1 x2i ||x|| = (x21 + x22 + · · · + x2n ) 2 = t

Απόδειξη :

i=1

Πρόταση 1.1.3 Το πλήθος των στοιχείων µιας µπάλας B(x, ε) του Rn , µε τη συνήθη µετρική, είναι υπεραριθµήσιµο.

Απόδειξη :

Για κάθε 0 ≤ λ < ε το σηµείο x + λx/||x|| ∈ B(x, ε) δηλαδή

λx

λx

= |λ| ||x|| < ε

ρ(x, x + ) =

||x|| ||x||

||x||

και επιπλέον το σηµείο x + λx/||x|| ορίζεται αµφιµονοσήµαντα σε σχέση µε το λ, οπότε το πλήθος των σηµείων της µπάλας B(x, ε) είναι τουλάχιστον ο πληθικός αριθµός του διαστήµατος [0, ε), δηλαδή υπεραριθµήσιµο.  Μερικές ϐασικές ιδιότητες ανοιχτών υποσυνόλων του µετρικού χώρου (X, ρ) 1. ∅ και X είναι ανοιχτά. 2. Αν G1 , G2 , . . . , Gn είναι ανοιχτά υποσύνολα του µετρικού χώρου (X, ρ) τότε και η τοµή τους, ∩n i=1 Gi , είναι ανοιχτό σύνολο. 3. Αν Gi , όπου i ∈ J ανοιχτά υποσύνολα του µετρικού χώρου (X, ρ) τότε και η ένωσή τους, ∪i∈J Gi , είναι ανοιχτό σύνολο.

Απόδειξη : Η πρώτη ιδιότητα είναι τετριµµένη. Την δεύτερη ιδιότητα ϑα την δείξουµε µε επαγωγή. Θα δείξουµε πρώτα ότι ισχύει για n = 2 δηλαδή G1 ∩ G2 είναι ανοιχτό σύνολο. ΄Εστω x ∈ G1 ∩G2 τότε x ∈ G1 και x ∈ G2 . Αφού G1 και G2 είναι ανοιχτά σύνολα, υπάρχουν ε1 , ε2 > 0 ώστε B(x, ε1 ) ⊂ G1 και B(x, ε2 ) ⊂ G2 . Θέτουµε ε = min{ε1 , ε2 } τότε ε ≤ ε1 και ε ≤ ε2 .

B(x, ε) ⊂ G1 B(x, ε) ⊂ G2



⇒ B(x, ε) ⊂ G1 ∩ G2

΄Αρα G1 ∩ G2 είναι ανοιχτό σύνολο. Υποθέτουµε ότι ισχύει για n = k , µένει να δείξουµε ότι ισχύει και για n = k + 1, κάτι που ϕαίνεται εύκολα. Τέλος όσο αφορά την τρίτη ιδιότητα έχουµε· έστω x ∈ ∪i∈J Gi , ϑα υπάρχει i0 ∈ J ώστε x ∈ Gi0 . Αφού το Gi0 είναι ανοιχτό, υπάρχει ε > 0 ώστε B(x, ε) ⊂ Gi0 ⊂ ∪i∈J Gi άρα ∪i∈J Gi είναι ανοιχτό σύνολο.  Στην ιδιότητα δύο µιλάµε για πεπερασµένη τοµή (σε αντίθεση µε την τρίτη, όπου οι ένωση είναι πάνω σε άπειρα ανοιχτά υποσύνολα). Το επόµενο παράδειγµα δείχνει οτι η ιδιότητα (2) δεν ισχύει για άπειρη τοµή. Παράδειγµα :

Στο µετρικό χώρο (X, ρ) τα υποσύνολα (−1/n, 1/n) για n ∈ N


1.1. ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

7

είναι όλα ανοιχτά, όµως η τοµή τους ∩∞ n=1 (−1/n, 1/n) = {0} δεν είναι ανοιχτό υποσύνολο του µετρικού µας χώρου. Νόµοι του De Morgan ΄Εστω X, L σύνολα και για κάθε λ ∈ L, το Xλ είναι και αυτό σύνολο. Τότε 1. X \ 2. X \

S

T

λ∈L λ∈L

Xλ = Xλ =

T

S

λ∈L (X

\ Xλ )

λ∈L (X

\ Xλ )

S

S

Απόδειξη : (1) ΄Εστω x ∈ X\ λ∈L Xλ αυτό σηµαίνει ότι x ∈ X και x ∈ / λ∈L Xλ , δηλαδή για κάθε λ ∈ L x ∈ / X . Ισοδύναµα x ∈ X \ X , για κάθε λ ∈ L άρα λ λ T

x∈

λ∈L (X

\X Tλ )

T

(2) x ∈ X \ λ∈L Xλ ⇔ x ∈ X και x ∈ / λ∈L Xλ S ⇔ x ∈ X για κάποιο λ ∈ L και x ∈ / Xλ ⇔ x ∈ X \ Xλ για κάποιο λ ∈ L ⇔ x ∈ λ∈L (X \ Xλ ) 

Ορισµός 1.1.5 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. ΄Ενα υποσύνολο G ⊂ X λέγεται κλειστό σύνολο (ως προς την µετρική ρ) αν το συµπλήρωµα του Gc = X \ G είναι ανοιχτό σύνολο.

Παράδειγµα : Το υποσύνολο A = [a, b] του R είναι κλειστό στο µετρικό χώρο (R, ρ), αφού το συµπλήρωµά του είναι (−∞, a) ∪ (b, ∞) ανοιχτό σύνολο, ως ένωση ανοιχτών συνόλων. Μερικές ϐασικές ιδιότητες κλειστών συνόλων του µετρικού χώρου (X, ρ): 1. ∅ και X είναι κλειστά υποσύνολα 2. Αν F1 , F2 , . . . , Fn είναι ανοιχτά υποσύνολα του µετρικού χώρου (X, ρ) τότε και η ένωσή τους, ∪n i=1 Fi , είναι ανοιχτό σύνολο. 3. Αν Fi , όπου i ∈ J ανοιχτά υποσύνολα του µετρικού χώρου (X, ρ) τότε και η τοµή τους, ∩i∈J Fi , είναι ανοιχτό σύνολο.

Απόδειξη : Από την στιγµή που το κενό σύνολο είναι συµπλήρωµα του X στο µετρικό χωρο (X, ρ) και αντίστροφα το X είναι συµπλήρωµα του κενού, µαζί µε την πρώτη ιδιότητα των ανοιχτών συνόλων, έπεται ότι είναι κλειστά σύνολα. Τα σύνολα X \ F1 , X \ F2 , . . . , X \ Fn , είναι ανοιχτά, άρα η τοµή τους ∩n i=1 Fi είναι ανοιχτό σύνολο. Οπότε έχουµε n \

i=1

(X \ Fi ) = X \

n [

Fi

i=1

άρα ∪n i=1 Fi είναι κλειστό σύνολο. Οµοίως αποδεικνύεται η ιδιότητα τρία  Ορισµός 1.1.6 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X . Η ένωση όλων των ανοιχτών υποσυνόλων του X που περιέχονται στο σύνολο A ϑα λέγεται το εσωτερικό ή ο πυρήνας του A και ϑα συµβολίζεται µε A◦ . ∆ηλαδή

A◦ = ∪{G όπου G είναι ανοιχτό υποσύνολο του X ώστε G ⊂ A}


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

8

΄Αµεση ερµηνεία του ορισµού και µερικά συµπεράσµατα που µπορούµε να ϐγάλουµε είναι ότι το εσωτερικό ενός συνόλου A είναι πάντα ανοιχτό σύνολο. ∆εν υπερβαίνει ποτέ το ίδιο το σύνολο, δηλαδή είναι πάντα υποσύνολο του A (αν και µπορεί να ισούται µε το ίδιο το A). Είναι το µεγαλύτερο ανοιχτό υποσύνολό του και όλα τα ανοιχτά υποσύνολα του A περιέχονται στο A◦ . Παράδειγµα : R◦ = R, (a, b]◦ = (a, b), (a, b)◦ = (a, b), N◦ = ∅, Q◦ = ∅ Παράδειγµα : Οποιοδήποτε αριθµήσιµο ή πεπερασµένου πλήθους στοιχείων υποσύνολο A του R έχει κενό εσωτερικό σύνολο. Ορισµός 1.1.7 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X . Η τοµή όλων των κλειστών υποσυνόλων του X που περιέχουν το σύνολο A ϑα λέγεται κλειστότητα του συνόλου A και ϑα συµβολίζεται µε A. ∆ηλαδή

A = ∩{F όπου F κλειστό υποσύνολο του X ώστε A ⊂ F } ΄Οπως και στην περίπτωση του εσωτερικού συνόλου έτσι και εδώ µπορούµε να ϐγάλουµε κάποια χρήσιµα συµπεράσµατα. Η κλειστότητα ενός συνόλου A είναι κλειστό σύνολο που πάντα περιέχει το A. Η κλειστότητα είναι το µικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το A. Το A είναι κλειστό σύνολο αν και µόνο αν είναι ίσο µε την κλειστότητα του, A = A. Παράδειγµα :

Η κλειστότητα των ϱητών αριθµών είναι όλο το R, Q = R.

Θεώρηµα 1.1.1 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A, B υποσύνολα του X . Τότε ισχύουν τα παρακάτω : 1. (A◦ )◦ = A◦ και (A) = A 2. A ⊂ B ⇒ A◦ ⊂ B ◦ και A ⊂ B 3. (A ∪ B)◦ = A◦ ∪ B ◦ και A ∩ B = A ∩ B Η πρόταση (3) ισχύει και για πεπερασµένες τοµές και ενώσεις αντίστοιχα. Ορισµός 1.1.8 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X . ΄Ενα σηµείο a του A λέγεται µεµονωµένο σηµείο του A αν για κάποιο ε > 0 η τοµή της ανοιχτής µπάλας µε κέντρο a και ακτίνα ε µαζί µε το A είναι το µονοσύνολο {a}. ∆ηλαδή αν ισχύει

B(a, ε) ∩ A = {a}

Ορισµός 1.1.9 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X . Το σύνολο των σηµείων που ανήκουν στην κλειστότητα του A αλλά δε ανήκουν στο εσωτερικό του, ϑα λέγεται το σύνορο του A και ϑα συµβολίζεται µε ∂A. ∆ηλαδή

∂A = A \ A◦ Ορισµός 1.1.10 ΄Εστω (X, ρ) είναι ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X . ΄Ενα σηµείο x του X λέγεται σηµείο συσσώρευσης του A αν για κάθε ε > 0 η τοµή της ανοιχτής µπάλας µε κέντρο x και ακτίνα ε µε το σύνολο A χωρίς το ίδιο το x (αν είναι µέσα στην τοµή) δεν είναι κενή. ∆ηλαδή αν ισχύει

B(x, ε) ∩ A \ {x} 6= ∅


1.2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

9

Το παράγωγο σύνολο του συνόλου A είναι το σύνολο όλων των σηµείων συσσώρευσης του A και συµβολίζεται µε A0 , ∆ηλαδή

A0 = {x ∈ X όπου x είναι σηµείο συσσώρευσης του A} Θεώρηµα 1.1.2 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A, B ένα υποσύνολο του X . Τότε ισχύουν τα ακόλουθα 1. Αν A ⊂ B τότε A0 ⊂ B 0 2. A ∪ A0 = A 3. (A ∪ B)0 = A0 ∪ B 0 Η πρόταση (3) ισχύει και για πεπερασµένες ενώσεις Ορισµός 1.1.11 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Ορίζουµε την απόσταση µεταξύ δύο υποσυνόλων του X , A και B να είναι

dist(A, B) = inf{ρ(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} Ορισµός 1.1.12 ΄Εστω A ένα υποσύνολο ενός µετρικού χώρου (X, ρ). Θα λέµε ότι το σύνολο A είναι πυκνό υποσύνολο του X αν για κάθε ε > 0 ισχύει ότι για κάθε x ∈ X υπάρχει y ∈ A ώστε ρ(x, y) < ε Πρόταση 1.1.4 ΄Ενα υποσύνολο A ενός µετρικού χώρου (X, ρ) είναι πυκνό υποσύνολο του X αν και µόνο αν

A=X Απόδειξη : Αρχικά ϑεωρούµε ότι το σύνολο A είναι πυκνό υποσύνολο του X . Τότε για τυχόν x ∈ X έχουµε ότι για κάθε ε > 0 υπάρχει y ∈ A ώστε ρ(x, y) < ε ⇔ y ∈ B(x, ε) ⇔ B(x, ε) ∩ A 6= ∅. Αυτό σηµαίνει ότι αν x 6∈ A τότε x ∈ A0 άρα x ∈ A ∪ A0 δηλαδή x ∈ A. ΄Αρα X ⊆ A, δηλαδή X = A. Αντίστροφα, έστω ότι ισχύει X = A. Θεωρούµε τυχόν x ∈ X και τυχόν ε > 0. Αν x ∈ A τότε υπάρχει y = x ∈ A ώστε ρ(x, y) = 0 < ε, οπότε υποθέτουµε ότι x 6∈ A (αλλά x ∈ A). Θέλουµε να δείξουµε ότι υπάρχει y ∈ A ώστε ρ(x, y) < ε. ΄Εστω ότι δεν υπάρχει (για να καταλήξουµε σε άτοπο) τέτοιο y , αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει r > 0 ώστε η ανοιχτή µπάλα µε κέντρο x και ακτίνα r δεν τέµνει καθόλου το A (B(x, r) ∩ A = ∅), άρα X \ B(x, r) είναι κλειστό υπερσύνολο του A, τότε όµως A ⊂ X \ B(x, r), άτοπο αφού A = X . ΄Αρα A είναι πυκνό σύνολο του X 

1.2 Συνέχεια Συναρτήσεων Ορισµός 1.2.1 ΄Εστω (X, ρ1 ) (Y, ρ2 ) µετρικοί χώροι και µια συνάρτηση f : X → Y . Η f λέγεται συνεχής συνάρτηση αν για κάθε x0 ∈ X και κάθε ε > 0 υπάρχει δ = δ(x0 , ε) > 0 ώστε για κάθε x ∈ X µε ρ1 (x, x0 ) < δ έχουµε ότι ρ2 (f (x), f (x0 )) < ε. Θα ορίσουµε τώρα την συνάρτηση οµοιότητας (similarity)


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

10

Ορισµός 1.2.2 Μια συνάρτηση f : X → Y από µετρικό χώρο (X, ρ1 ) σε (Y, ρ2 ), ϑα λέγεται οµοιότητα αν και µόνο αν υπάρχει r > 0 ώστε

ρ2 (f (x), f (y)) = rρ1 (x, y) για όλα τα x, y ∈ S . Ο αριθµός r καλείται λόγος της f . ∆ύο µετρικοί χώροι είναι όµοιοι αν και µόνο αν υπάρχει µια συνάρτηση οµοιότητας από τον έναν στον άλλο.

Παράδειγµα :

Η ταυτοτική συνάρτηση f : X → X είναι συνεχής.

Παράδειγµα : Κάθε συνάρτηση οµοιότητας είναι συνεχής. Απόδειξη : Αρκεί να πάρουµε δ = ε/r . Μάλιστα ισχύει κάτι πιο ισχυρό, κάθε συνάρτηση οµοιότητας είναι οµοιόµορφα συνεχής. 

Ορισµός 1.2.3 Οµοιόµορφη Συνέχια ΄Εστω (X, ρ1 ), (Y, ρ2 ) µετρικοί χώροι και f : X → Y µια συνάρτηση. Η f λέγεται οµοιόµορφα συνεχής αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ = δ(ε) > 0 ώστε

ρ1 (x, y) < δ ⇒ ρ2 (f (x), f (y)) < ε για όλα τα x, y ∈ X . Ορισµός 1.2.4 ΄Εστω f : X → Y συνάρτηση και A ⊆ X, B ⊆ Y . Εικόνα του A µέσω της f είναι

f [A] = {f (x) ώστε x ∈ A} Αντίστροφη εικόνα του B µέσω της f είναι

f −1 [B] = {x ∈ X ώστε f (x) ∈ B} Θεώρηµα 1.2.1 ΄Εστω f : X → Y είναι µια συνάρτηση. ΄Εστω επίσης ότι για κάθε λ ∈ L, έχουµε ότι Xλ ⊆ X, Yλ ⊆ Y τότε

1.

f[

[

Xλ ] =

λ∈L

2.

f −1 [

3.

−1

[

[

Yλ ] =

λ∈L

f

[

\

λ∈L

f [Xλ ]

λ∈L

[

f −1 [Yλ ]

λ∈L

Yλ ] =

\

f −1 [Yλ ]

λ∈L

Απόδειξη : ΄Εστω y ∈ f [∪λ∈L Xλ ] δηλαδή υπάρχει x ∈ ∪λ∈L Xλ µε f (x) = y . ΄Εχουµε x ∈ Xλ0 για κάποιο λ0 ∈ L και f (x) = y συνεπάγεται y ∈ f [Xλ0 ] ⇒ y ∈ ∪λ∈L f [Xλ ]. Τώρα y ∈ ∪λ∈L f [Xλ ] ⇒ y ∈ f [Xλ0 ] για κάποιο λ0 ∈ L, άρα y = f (x) για κάποιο x ∈ Xλ0 ⊆ ∪λ∈L Xλ ⇒ y ∈ f [∪λ∈L Xλ]  Θεώρηµα 1.2.2 ΄Εστω f : X → Y µια συνάρτηση µεταξύ µετρικών χώρων (X, ρ1 ) και (Y, ρ2 ). Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα.


1.3. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

11

1. Η f είναι συνεχής συνάρτηση. 2. Για κάθε ανοιχτό υποσύνολο G του Y , η αντίστροφη εικόνα του G, f −1 [G] είναι ανοιχτό σύνολο στο µετρικό χώρο X . 3. Για κάθε κλειστό υποσύνολο F του Y , η αντίστροφη εικόνα του F , f −1 [F ] είναι κλειστό σύνολο στο µετρικό χώρο X .

Απόδειξη : 1 ⇒ 2. Υποθέτουµε ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση και G ανοιχτό σύνολο στο µετρικό χώρο (Y, ρ2 ). ΄Εστω x0 ∈ f −1 [G] ⇒ f (x0 ) ∈ G. Αφού το G είναι ανοιχτό σύνολο, τότε υπάρχει ε > 0 ώστε Bρ2 (f (x0 ), ε) ⊂ G. Από την συνέχεια της f , υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε ρ1 (x0 , x) < δ για κάθε x ∈ f −1 [G], δηλαδή Bρ1 (x0 , δ) ⊆ f −1 [G]. ΄Αρα F −1 [G] είναι ανοιχτό σύνολο στο X . 2 ⇒ 1. Αντίστροφα, έστω για κάθε ανοιχτό σύνολο G η f −1 [G] είναι ανοιχτό και αυτό. Θέλουµε να δείξουµε ότι η f είναι συνεχής. ΄Εστω x0 ∈ X τότε για ε > 0 η µπάλα Bρ2 (f (x0 ), ε) είναι ανοιχτή στο Y , άρα το σύνολο f −1 [Bρ2 (f (x0 , ε)] είναι ανοιχτό στο X , δηλαδή υπάρχει δ > 0 ώστε Bρ1 (x0 , δ) ⊂ f −1 [Bρ2 (f (x0 ), ε)] ⇒ ρ1 (x0 , x) < δ και αφού Bρ2 (f (x0 ), ε) έχουµε ότι ρ2 (f (x0 ), f (x)). ΄Αρα η f είναι συνεχής συνάρτηση. Τώρα 2 ⇔ 3 ισχύει γιατί το συµπλήρωµα του F είναι ανοιχτό σύνολο και f −1 [F c ] = (f 1 [F ])c .  Ορισµός 1.2.5 ΄Εστω συνάρτηση f : X → Y από µετρικό χώρο (X, ρ1 ) στο µετρικό χώρο (Y, ρ2 ) και g : Y → Z συναρτήση από το µετρικό χώρο (Y, ρ2 ) στο Z, ρ3 . Ορίσουµε την σύνθεση συναρτήσεων να είναι η καινούργια συνάρτηση g◦f : X → Z και (g ◦ f )(x) = g(f (x)). Παρατηρούµε ότι για A ⊆ Z , η αντίστροφη εικόνα (g ◦f )−1 [A] = f −1 [g −1 [A]]. Θεώρηµα 1.2.3 ΄Εστω X, Y, Z είναι µετρικοί χώροι και f : X → Y, g : Y → Z είναι δύο συνεχείς συναρτήσεις. Τότε η σύνθεση g ◦ f είναι και αυτή συνεχής συνάρτηση. Αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε ανοιχτό υποσύνολο A του Z το σύνολο (g ◦ f )−1 [A] είναι ανοιχτό σύνολο στο X . Από το ϑεώρηµα 1.2.2 έχουµε ότι g −1 [A] είναι ανοιχτό στο Y και πάλι από το ϑέωρηµα 1.2.2 το f −1 [g −1 [A]] είναι ανοιχτό σύνολο στο X . 

Απόδειξη :

Θεώρηµα 1.2.4 ΄Εστω µετρικοί χώροι (X, ρ1 ), (Y, ρ2 ) και (Z, ρ3 ). ΄Εστω f : X → Y και g : Y → Z δύο οµοιότητες µε λόγους rf και rg αντίστοιχα. Τότε η σύνθεση τους g ◦ f είναι οµοιότητα µε λόγο rg rf .

Απόδειξη :

ρ3 (g(f (x)), g(f (y))) = rg ρ2 (f (x), f (y)) = rg rf (x, y) 

1.3 Ακολουθίες Ορισµός 1.3.1 Μια συνάρτηση a : N → X που έχει ως πεδίο ορισµού το σύνολο των ϕυσικών αριθµών, λέγεται ακολουθία στο X και συµβολίζεται µε an ή {an } ή {an }∞ n=1 . Επιπλέον συνηθίζουµε να γράφουµε an για a(n).


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

12

΄Εστω ότι έχουµε µετρικό χώρο (X, ρ) Λέµε ότι η ακολουθία {xn } συγκλίνει σε σηµείο x του X αν για κάθε ε > 0, υπάρχει m ∈ N ώστε για κάθε n ≥ m

ρ(x, xn ) < ε ή xn ∈ B(x, ε). Συµβολίζουµε την σύγκλιση µε xn → x. Θεώρηµα 1.3.1 Το όριο µιας ακολουθίας {xn } αν υπάρχει είναι µοναδικό.

Απόδειξη : ΄Εστω ότι η ακολουθία µας {xn } συγκλίνει και έχει δύο διαφορετικά όρια l1 και l2 . Τότε έχουµε ότι για ε > 0, υπάρχει m1 ∈ N ώστε για n ≥ m1 να ισχύει ρ(l1 , xn ) < ε/2 και υπάρχει m2 ∈ N ώστε για n ≥ m2 να ισχύει ρ(l2 , xn ) < ε/2. Από την τριγωνική ανισότητα έχουµε

ρ(l1 , l2 ) ≤ ρ(l1 , xn ) + ρ(xn , l2 ) για m = max{m1 , m2 } η ανισότητα γίνεται

ρ(l1 , l2 ) ≤

ε ε + =ε 2 2

(1.2)

΄Οµως η σχέση 1.2 ισχύει για κάθε ϑετικό ε άρα ρ(l1 , l2 ) = 0 και l1 = l2 , άτοπο, δηλαδή το όριο είναι µοναδικό.  Θεώρηµα 1.3.2 ΄Εστω µετρικοί χώροι (X, ρ1 ) και (Y, ρ2 ) και µια συνάρτηση f : X → Y . Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. η f είναι συνεχής συνάρτηση. 2. αν xn → x τότε f (xn ) → x

Απόδειξη : (1) ⇒ (2). Υποθέτουµε πρώτα ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση και ότι xn → x, ϑέλουµε να δείξουµε ότι f (xn ) → f (x). ΄Εστω ε > 0 τότε, αφού η f είναι συνεχής συνάρτηση, ισχύει ότι υπάρχει δ > 0 ώστε ρ1 (x, y) < δ , τότε ρ2 (f (x), f (y)) < ε για κάθε y ∈ X . Τώρα αφού xn → x υπάρχει m ∈ N ώστε για κάθε n ≥ m έχουµε ότι ρ1 (xn , x) < δ άρα ρ2 (f (xn ), f (x)) < ε. ΄Ετσι f (xn ) → f (x). (2) ⇒ (1). Για x ∈ X και ε > 0, ϑα πρέπει να ϐρούµε δ > 0 τέτοιο ώστε ρ1 (x, y) < δ ⇒ ρ2 (f (x), f (y)) < ε. Υποθέτουµε ότι δεν υπάρχει τέτοιο δ (για να καταλήξουµε σε άτοπο), αυτό σηµαίνει ότι για κάθε n ∈ N δεν ισχύει για δ = 1/n ώστε ρ1 (x, y) < 1/n ⇒ ρ2 (f (x), f (y)). ∆ηλαδή υπάρχει xn ∈ X τέτοιο ώστε ρ1 (xn , x) < 1/n ενώ ρ2 (f (xn ), f (x)) > ε. Εξετάζουµε την ακολουϑία {xn } του X . ΄Εχουµε ότι xn → x όµως ρ2 (f (xn ), f (x)) > ε άρα f (xn ) δεν συγκλίνει, άτοπο αφού υποθέσαµε ότι f (xn ) → f (x), άρα υπάρχει δ > 0 ώστε ρ1 (x, y) ⇒ ρ2 (f (x), f (y)) < ε και η f είναι συνεχής συνάρτηση.  Θεώρηµα 1.3.3 Η ακολουθία {an } = (xn , yn ) το R2 συγκλίνει στο σηµείο a = (x, y) ∈ R2 αν και µόνο αν xn → x και yn → y στο R. Θεώρηµα 1.3.4 ΄Εστω {xn } µια ακολουθία του υποσυνόλου A µετρικού χώρου X . ΄Εστω ότι xn → x, τότε x ∈ A.


1.4. ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

13

Απόδειξη : Υποθέτουµε ότι x 6∈ A. Τότε G = X \ A είναι ανοιχτό υποσύνολο στο X και x ∈ G. ΄Εχουµε ότι A ∩ G = ∅ αφού A ⊂ A, άρα xn 6∈ G για όλα τα n ∈ N. Αφού το G είναι ανοιχτό σύνολο έχουµε ότι για x ∈ G υπάρχει ε > 0 µε B(x, ε) ⊂ G. Τώρα έχουµε ότι xn → x που σηµαίνει ότι υπάρχει m ∈ N ώστε για n ≥ m να ισχύει ρ(xn , x) < ε, δηλαδή από κάποιο m και µετά όλα τα στοιχεία της ακολουθίας ϐρίσκονται στην µπάλα B(x, ε), άτοπο. ΄Αρα x ∈ A.  Ορισµός 1.3.2 ΄Εστω {xn } ακολουθία σηµείων του µετρικού χώρου (X, ρ). ΄Εστω 1 ≤ n1 < n2 < · · · < nk < · · · όπου nk ∈ N, τότε τα σηµεία xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . λέγεται ότι αποτελούν υπακολουθία της xn και γράφεται {xnk }∞ k=1 ή {xnk } ή απλά xn k . Θεώρηµα 1.3.5 ΄Εστω {xn } είναι µια ακολουθία µετρικού χώρου (X, ρ) και έστω η ακολουθία {xn } συγκλίνει στο x. ΄Εστω {xnk }∞ k=1 υπακολουθία της {xn }. Τότε η xnk → x.

Απόδειξη : ΄Εστω ε > 0. Από την σύγκλιση της xn έχουµε ότι υπάρχει m ∈ N ώστε ρ(x, xn ) < ε για όλα τα n ≥ m. ΄Αρα για κάθε k ≥ m έχουµε ότι nk > k ≥ m και ρ(x, xnk ) < ε, άρα xnk → x. 

1.4 Συνεκτικοί Χώροι Ορισµός 1.4.1 ΄Ενας µετρικός χώρος X λέγεται µη συνεκτικός αν υπάρχουν ανοιχτά υποσύνολα G και U του X τέτοια ώστε 1. G 6= ∅ και U 6= ∅ 2. G ∩ U = ∅ 3. G ∪ U = X Αν δεν υπάρχουν τέτοια υποσύνολα του X , τότε ο X λέγεται συνεκτικός

Παράδειγµα : Ο µετρικός χώρος (N, ρ), όπου ρ η συνήθης µετρική, είναι µη συνεκτικός, αφού αν πάρουµε G = {1} και U = {2, 3, . . .}, είναι ανοιχτά στο (N, ρ) και ικανοποιούνται οι τρεις προϋποθέσεις του ορισµού 1.4.1 Μια απλή παρατήρηση : ένας µη συνεκτικός χώρος πρέπει να περιέχει τουλάχιστον δύο σηµεία. Παράδειγµα : Το κενό σύνολο όπως και τα µονοσύνολα είναι συνεκτικοί χώροι.

Λήµµα 1.4.1 ΄Εστω I ⊂ R ώστε για όλα x, y ∈ I και x < y να ισχύει [x, y] ⊂ I τότε το I είναι διάστηµα.

Απόδειξη : Θα εξετάσουµε την περίπτωση που το I έχει άνω και κάτω πέρας (ϕράγµα) και δεν είναι κενό ούτε µονοσύνολο. ΄Εστω a = inf I και b = inf I τότε a < b. ΄Εστω a < x < b, τότε υπάρχει y ∈ I µε a ≤ y < x (αφού a = inf I ), οµοίως


14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

υπάρχει z ∈ I µε x < z ≤ b (αφού b = inf I ). Από την υπόθεση [x, y] ⊂ I , άρα

x ∈ I.

΄Εχουµε δείξει ότι για οποιοδήποτε x ∈ (a, b) το x ∈ I , άρα (a, b) ⊂ I . Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις συνόλων µε a = inf I και b = inf I που να περιέχουν το (a, b): I = (a, b), I = (a, b], I = [a, b) και I = [a, b]. ΄Ολες είναι διαστήµατα.  Θεώρηµα 1.4.1 ΄Εστω I υπόχωρος του R. Το I είναι συνεκτικός υπόχωρος αν και µόνο αν το I είναι διάστηµα.

Απόδειξη : Θεωρούµε πρώτα ότι I είναι διάστηµα, ϑα δείξουµε ότι είναι συνεκτικός υπόχωρος του R. Υποθέτουµε ότι I δεν είναι κενό και δεν είναι µονοσύνολο, γιατί αν ήταν, ϑα ήταν συνεκτικός, οπότε ϑα τελείωνε η απόδειξη. ΄Εστω λοιπόν a, b ∈ I µε a < b. Τότε, αφού I είναι διάστηµα έχουµε ότι [a, b] ⊂ I . Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν ανοιχτά G, U ⊂ I ώστε

G 6= ∅ και U 6= ∅

(1.3)

G∩U = ∅

(1.4)

Αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε τέτοια δυάδα συνόλων δεν ισχύει η προϋπόθεση (3) του ορισµού 1.4.1. Από την σχέση 1.3 έχουµε ότι υπάρχουν a ∈ G, b ∈ U και χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, έστω a < b. Επειδή I είναι διάστηµα [a, b] ⊂ I . Το G είναι ανοιχτό στο I άρα αφού a ∈ G, αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ε1 > 0 ώστε BI (a, ε1 ) ⊂ G ⇒ [a, a + ε1 ) ⊂ G. Ανάλογα το U είναι ανοιχτό στο I , b ∈ U υπάρχει ε2 > 0 µε BI (b, ε2 ) ⊂ U ⇒ (b − ε2 , b] ⊂ U . Θέτω

A = {x ∈ R ώστε [a, x] ⊂ G} ∆ηλαδή a < a + ε1 /2 ∈ A. Επειδή b − ε2 /2 ∈ U είναι άνω ϕράγµα του G (b − ε2 /2 ∈ / G αφού G ∩ U = ∅). ΄Αρα υπάρχει c = sup A ∈ R. ΄Εχουµε c ≥ a + ε1 /2 και c ≤ b − ε2 /2 ⇒ a < c < b άρα c ∈ I . Αρκεί να δείξουµε ότι c ∈ / G και c ∈ / U τότε ϑα έχουµε G ∪ U 6= I . Υποθέτουµε c ∈ G. Από την στιγµή που το G είναι ανοιχτό στο I , υπάρχει ε > 0 ώστε BI (c, ε) ⊂ G. Υποθέτουµε ε < max{c − a, b − c} ⇒ (c − ε, c + ε) ⊂ G. Εφόσον (c − ε, c + ε) ⊂ G, [a, c + ε/2] ⊂ G ⇒ c + ε/2 ∈ A που είναι άτοπο αφού c είναι άνω πέρας για το A άρα c ∈ / G. ΄Εστω τώρα c ∈ U . Αφού U είναι ανοιχτό στο I , υπάρχει ε > 0 ώστε BI (c, ε) ⊂ U . Μπόρουµε να υποθέσουµε ότι ε = max{c − a, b − c} ⇒ (c − ε, c + ε) ⊂ U . Αφού c = sup A υπάρχει x ∈ A ώστε x > c − ε, δηλαδή x ∈ (c − ε, c) ⇒ x ∈ U και x ∈ G, άτοπο από την σχέση 1.4 άρα c ∈ / U. ΄Εµεινε να δείξουµε ότι αν ο I ειναι συνεκτικός τότε είναι διάστηµα. ΄Εστω ο I δεν είναι διάστηµα αρκεί να δείξουµε ότι ο I είναι µη συνεκτικός. Από το λήµµα 1.4.1 ⇒ υπάρχουν a, b ∈ I ώστε (a, b) 6⊂ I , οπότε υπάρχει c ∈ / I µε a < c < b. Θέτω G = (−∞, c) ∩ I και U = (c, ∞) ∩ I ανοιχτά σύνολα στο (I, ρ). ΄Εχουµε a ∈ G άρα G 6= ∅ όπως και b ∈ U άρα U 6= ∅. G ∩ U = ∅ και G ∪ U = ((−∞, c) ∩ I) ∪ ((c, ∞) ∩ I) = I ∩ R \ {c} = I αφού c ∈ / I . ΄Αρα ο I µη συνεκτικός. 


1.4. ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

15

Θεώρηµα 1.4.2 ΄Εστω f : X → Y συνεχής συνάρτηση επί του Y . Αν ο X είναι συνεκτικός χωρος τότε και ο Y είναι συνεκτικός.

Απόδειξη : Υποθέτουµε ότι ο Y είναι µη συνεκτικός, αρκεί να δείξουµε ότι ο X δεν είναι συνεκτικός. Υπάρχουν ανοιχτά υποσύνολα G, U του Y ώστε 1. G 6= ∅, U 6= ∅ 2. G ∩ U = ∅ 3. G ∪ U = Y Αφού η f είναι συνεχής συνάρτηση έχουµε ότι f −1 [G], f −1 [U ] είναι ανοιχτά υποσύνολα του X , από το ϑεώρηµα 1.2.2. Αφού G ∪ U = Y και η f είναι επί, έχουµε X = f −1 [Y ] = f −1 [G ∪ U ] = f −1 [G] ∪ f −1 [U ], δηλαδή

X = f −1 [G] ∪ f −1 [U ]

(1.5)

Επίσης αφού G ∩ H = ∅ έχουµε ∅ = f −1 [∅] = f −1 [G ∩ U ] δηλαδή

f −1 [G] ∩ f −1 [U ] = ∅

(1.6)

Τέλος αφού G 6= ∅ υπάρχει y ∈ G και αφού η f είναι επί y = f (x) για κάποιο x ∈ X , µα τότε x ∈ f −1 [G] άρα f −1 6= ∅. Οµοίως f −1 [U ] 6= ∅. δηλαδή

f −1 [G] 6= ∅, f −1 [U ] 6= ∅

(1.7)

Οι 1.5, 1.6, 1.7 και το γεγονός ότι οι εικόνες f −1 [G] και f −1 [U ] είναι ανοιχτά υποσύνολα του X , δείχνουν ότι ο X είναι µη συνεκτικός χώρος.  Παράδειγµα : ΄Εστω f : R → N συνεχής συνάρτηση µε τύπο f (x) = 1. Το R είναι συνέκτικος, αλλά το N δεν είναι. Το παράδειγµα αυτό δείχνει την αναγκαιότητα η συνάρτηση f να είναι «επί». Πόρισµα 1.4.1 ΄Εστω f : X → Y µια συνεχής συνάρτηση. ΄Εστω ο X είναι συνεκτικός χώρος. Τότε η εικόνα f [X] ως υπόχωρος του Y είναι συνεκτικός χώρος. Πόρισµα 1.4.2 Θεώρηµα Ενδιάµεσης Τιµής ΄Εστω f : X → R µια συνεχής συνάρτηση και ο X συνεκτικός χώρος. ΄Εστω x, y ∈ X µε f (x) < f (y). ΄Εστω τώρα a ∈ R µε f (x) < a < f (y). Τότε υπάρχει z ∈ X ώστε f (z) = a.

Απόδειξη : Από το πόρισµα 1.4.1 η εικόνα f [X] είναι συνεκτικός υπόχωρος του R, άρα από το ϑεώρηµα 1.4.1 είναι διάστηµα. Τώρα f (x), f (y) ∈ f [X] ⇒ [f (x), f (y)] ⊂ f [X] ⇒ a ∈ f [X] υπάρχει z ∈ X µε f (z) = a  Ορισµός 1.4.2 Αν A είναι υποσύνολο ενός µετρικού χώρου (X, ρ), ϑα λέµε ότι το A είναι συνεκτικό σύνολο αν το A, ως υπόχωρος του µετρικού χώρου X είναι συνεκτικός. Ορισµός 1.4.3 ΄Ενας υπόχωρος X του Rn λέγεται κυρτός αν για x0 , x1 ∈ X , ισχύει ότι [x0 , x1 ] ⊂ X . ΄Οπου [xo , x1 ] είναι το ευθύγραµµο τµήµα από το x0 προς το x1 δηλαδή το σύνολο που αποτελείται από όλα τα σηµεία x0 + (x1 − x0 )t, όπου t ∈ [0, 1].


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

16

Παράδειγµα :

Ο R είναι κυρτός

Πρόταση 1.4.1 Κάθε ανοιχτή µπάλα B(a, r) του Rn είναι κυρτό σύνολο ΄Εστω x0 , x1 ∈ B(a, r) και t ∈ [0, 1]. Θέλουµε να δείξουµε ότι x = x0 + (x1 − x0 )t ∈ B(a, r). Τώρα

Απόδειξη :

ρ(x, a) = = ≤ = <

||x − a|| = ||x0 (1 − t) + x1 t − a|| ||(x0 − a)(1 − t) + (x1 − a)t||

||(x0 − a)(1 − t)|| + ||(x1 − a)|t||| ||x0 − a|||1 − t| + ||x1 − a|||t| r(1 − t) + rt = r

΄Αρα ρ(x, a) < r , δηλαδή x ∈ B(a, r), οπότε B(a, r) είναι κυρτό σύνολο. 

1.5 Συµπάγεια Ορισµός 1.5.1 Μια κάλυψη (ένα κάλυµµα) K ενός συνόλου X είναι µια συλλογή S συνόλων K ώστε X ⊆ K.

Ορισµός 1.5.2 ΄Εστω A ένα υποσύνολο ενός µετρικού χώρου X . Μια κάλυψη K του A ονοµάζεται ανοιχτή ή κλειστή στον X αν καθε στοιχείο B ∈ K είναι ανοιχτό ή κλειστό αντίστοιχα υποσύνολα του X . Ορισµός 1.5.3 Αν K είναι κάλυψη του µετρικού χώρου X , το υποσύνολο C του K λέγεται υποκάλυψη, αν η ένωση των στοιχείων της είναι ίση µε τον X , δηλαδή αν το C αποτελεί από µόνο του κάλυψη του X Ορισµός 1.5.4 ΄Ενας µετρικός χώρος X λέγεται συµπαγής µετρικός χώρος αν κάθε ανοιχτή κάλυψη του έχει πεπερασµένη υποκάλυψη Ορισµός 1.5.5 ΄Εστω A ένα υποσύνολο ενός µετρικού χώρου (X, ρ). Η διάµετρος του A, diam(A), ορίζουµε να είναι

diam(A) = sup{ρ(x, y) ώστε (x, y) ∈ A × A} Θεώρηµα 1.5.1 Για a, b ∈ R, ο υπόχωρος Y = [a, b] του R συµπαγής.

Απόδειξη : Υποθέτουµε ότι a < b (σε αντίθετη περίπτωση Y = ∅ ή Y = a οπότε ο Y συµπαγής ως πεπερασµένος). Θεωρώ ένα ανοιχτό κάλυµµα K του Y . Υπάρχει ένα G0 ∈ K µε a ∈ G0 . Τώρα το G0 είναι ανοιχτό σύνολο του Y , δηλαδή υπάρχει ε0 > 0 ώστε BY (a, ε0 ) ⊂ G0 . Ισχύει ότι

[a, a + ε0 ) ⊂ BY (a, ε0 ) ⊂ G0

(1.8)

Θέτω A = {x ∈ [a, b] ώστε [a, x] να περιέχεται στην ένωση µιας πεπερασµένης υποοικογένειας του K} = {x ∈ [a, b] ώστε υπάρχουν G1 , G2 , . . . , Gk ∈ K για k ∈ N τέτοια ώστε [a, x] ⊂ G1 ∪ G2 ∪ · · · Gk }


1.5. ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ

17

Από την (1.8) ⇒ a + ε0 /2 ∈ A και το A έχει το b ως άνω ϕράγµα. ΄Αρα υπάρχει c = sup A, µάλιστα a < a + ε0 /2 ≤ c ≤ b Εφόσον c ∈ Y , υπάρχει Gµ ∈ K ώστε c ∈ Gµ . Αφού όµως το Gµ είναι ανοιχτό σύνολο, υπάρχει δ > 0 ώστε

BY (c, δ) ⊂ Gµ

(1.9)

Μπορούµε να πάρουµε δ < c − a. Ας υποθέσουµε ότι c < b, τότε υποθέτουµε ότι

δ ≤ min{b − c, c − a}. Από την (1.9) ⇒ (c − δ, c + δ) ⊂ Gµ . Αφού c = sup A υπάρχει x ∈ A µε c − δ < x ≤ c. ΄Οµως x ∈ A ⇒ υπάρχουν G1 , G2 , . . . , Gn ∈ K ώστε [a, x] ⊂ G1 ∪ G2 ∪ · · · Gn ⇒ [a, c + δ/2] ⊂ G1 ∪ G2 ∪ · · · Gn ∪ Gµ ⇒ c + δ/2 ∈ A, άτοπο αφού c + δ/2 > c = sup A. Συµπέρασµα c = b. Υπάρχει δηλαδή x ∈ A µε b − δ < x < b (αφού b = sup A). ΄Αρα υπάρχει ένας πεπερασµένος αριθµός µελών του K, έστω G1 , G2 , . . . , Gm έτσι ώστε [a, x] ⊂ G1 ∪ G 2 ∪ · · · G m . Από την (1.9)⇒ (b − δ, b) ⊂ Gµ άρα Y = [a, b] ⊂ G1 ∪ G2 ∪ · · · Gm ∪ Gµ ⇒ Y ⊆ G1 ∪ G2 ∪ · · · Gµ , άρα ο Y είναι συµπαγής.  Ορισµός 1.5.6 ΄Ενας µετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται ϕραγµένος αν υπάρχει ϑετικό a ∈ R+ ώστε ρ(x, y) ≤ a για κάθε x, y ∈ X Παράδειγµα : ΄Ενας πεπερασµένος µετρικός χώρος X = {x1 , . . . , xn } είναι ϕραγµένος µε το ϕράγµα να είναι a = max{ρ(xi , xj ) όπου 1 ≤ i, j ≤ n}. ΄Ενω ο µετρικός χώρος (R, ρ), όπου ρ είναι συνήθης µετρική, δεν είναι ϕραγµένος. Πρόταση 1.5.1 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και x0 ∈ X .Τότε ο X είναι ϕραγµένος µετρικός χώρος αν και µόνο αν X ⊂ B(x0 , b) για κάποιο b > 0.

Απόδειξη : ΄Εστω ότι ο X είναι ϕραγµένος, δηλαδή υπάρχει a > 0 ώστε ρ(x, y) ≤ a για κάθε x, y ∈ X . Ισχύει ρ(x, x0 ) ≤ a, ενώ εµείς ϑέλουµε ρ(x, x0 ) < b. Αν πάρουµε b = a + 1, έχουµε το Ϲητούµενο x ∈ X ⇒ ρ(x, x0 ) ≤ a < b ⇒ x ∈ B(x0 , b). ∆ηλαδή X ⊂ B(x0 , b). ΄Εστω ότι X ⊂ B(x0 , b) αυτό σηµαίνει ότι για x, y ∈ X ⇒ x, y ∈ B(x0 , b) ⇒ ρ(x0 , x) < b και ρ(x0 , y) από τριγωνική ανισότητα έχουµε ρ(x, y) ≤ ρ(x, x0 ) + ρ(x0 , y) < 2b για όλα x, y ∈ X άρα ο X ϕραγµένος.  Θεώρηµα 1.5.2 ΄Ενας συµπαγής χώρος (X, ρ) είναι ϕραγµένος.

Απόδειξη : Αν X = ∅ τότε είναι ήδη ϕραγµένος, οπότε υποθέτουµε ότι X δεν είναι κενός, δηλαδή υπάρχει ένα x0 ∈ X . Τώρα ∪n∈N B(x0 , n) = X . ΄Εστω x ∈ X , τώρα ρ(x, x0 ) ∈ R, άρα υπάρχει m ∈ N µε ρ(x, x0 ) < m ⇒ x ∈ B(x0 , m) ⇒ x ∈ ∪n∈N B(x0 , n). Το αντίστροφο είναι προφανές (γιατί κάθε µπάλα είναι υποσύνολο του X ) ΄Εστω {B(x0 , n) ώστε n ∈ N} είναι ανοιχτό κάλυµµα του X . Αφού X είναι συµπαγής υπάρχουν n1 , n2 , . . . , nk ∈ N ώστε X = B(x0 , n1 ) ∪ B(x0 , n2 ) ∪ · · · B(x0 , nk ) ⊂ B(x0 , a) όπου a = min{n1 , n2 , . . . , nk }. ΄Αρα ο X είναι ϕραγµένος. 


18

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

Θεώρηµα 1.5.3 ΄Ενας κλειστός υπόχωρος Y ενός συµπαγή χώρου X είναι συµπαγής.

Απόδειξη : Θεωρώ ανοιχτό κάλυµµα K = {Hλ ώστε λ ∈ J} του Y . Για κάθε λ ∈ J , Hλ είναι ανοιχτό σύνολο του Y άρα Hλ = Gλ ∩ Y για κάποιο ανοιχτό Gλ του X . K κάλυµµα του Y ⇒ ∪λ∈J hλ = Y ⇒ Y ⊂ ∪λ∈J Gλ . Τώρα G = X \ Y είναι ανοιχτό του X και G µαζί µε όλα τα Gλ αποτελούν ανοιχτό κάλυµµα του X ο οποίος είναι συµπαγής. ΄Αρα υπάρχουν λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ J ώστε X ⊂ G ∪ Gλ1 ∪ · · · Gλk . Τέµνοντας στην συνέχεια το Y έχουµε Y = (Y ∩ G) ∪ (Y ∩ Gλ1 ) ∪ · · · (Y ∩ Gλk ) = Hλ1 ∪ Hλ2 ∪ · · · Hλk ⇒ Y είναι συµπαγής µετρικός χώρος. 

Παράδειγµα : Y = {0, 1, 1/2, 1/3, . . .} είναι κλειστό του X = [0, 1] άρα Y είναι συµπαγής υπόχωρος του συµπάγη χώρου X του µετρικού χώρου (R, ρ), όπου ρ συνήθης µετρική.

Θεώρηµα 1.5.4 ΄Εστω Y συµπαγής υπόχωρος του X . Τότε το Y είναι κλειστό υποσύνολο του X .

Απόδειξη : Αρκεί να δείξουµε ότι ο Z = X \ Y είναι ανοιχτός στον X . ΄Εστω z ∈ Z . Αρκεί να ϐρω ε > 0 ώστε B(z, ε) ⊂ Z . Για κάθε y ∈ Y το ρ(y, z) > 0 αφού y 6= z . Θέτω εy = 1/2ρ(y, z) > 0 τότε

B(z, εy ) ∩ B(y, εy ) = ∅.

(1.10)

BY (y, n) = Y ∩ B(y, n) ⇒ ∪y∈Y BY (y, εy ) = Y άρα {BY (y, εy ) ώστε y ∈ Y } αποτελούν ανοιχτό κάλυµµα του συµπαγή χώρου Y . Αρά υπάρχουν y1 , y2 , . . . , yk ∈ Y ώστε Y = BY (y, εy1 )∪BY (y, εy2 )∪BY (y, εyk ) ⇒ Y ⊂ B(y, εy1 ) ∪ B(y, εy2 ) ∪ B(y, εyk )

(1.11)

Θέτουµε ε = min{εy1 , εy2 , . . . , εyk } B(z, ε)∩B(y1 , εy1 ) ⊂ B(z, εy1 )∩B(y1 , εy1 ) = ∅ από την (1.10). Τέµνουµε την (1.10) µε B(z, ε) και έχουµε B(z, ε) ∩ Y ⊂

(B(z, ε)∩B(y1 , εy1 ))∪(B(z, ε)∩B(y2 , εy2 ))∪· · · (B(z, ε)∩B(yk , εyk )) = ∅∪∅∪· · · ∅ άρα B(z, ε) ∩ Y = ∅ ⇒ B(z, ε) ⊂ Z = X \ Y .  Βάσει της άρνησης ισχύει το παρακάτω πόρισµα.

Πόρισµα 1.5.1 ΄Ενα σύνολο Y που δεν είναι κλειστό στο X ⇒ το Y δεν είναι συµπαγής.

Παράδειγµα : Τα σύνολα (µετρικοί χώροι) (0, 1), {1, 1/2, 1/3, . . .}, (−1, 0], [3, 10) δεν είναι κλειστά στο R άρα δεν είναι συµπαγείς υπόχωροι (του R). Παρατηρούµε ότι το δεύτερο σύνολο γίνεται συµπαγής αν προστεθεί το στοιχείο µηδέν.

Θεώρηµα 1.5.5 ΄Εστω Y κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του R. Τότε κάθε ανοιχτή κάλυψη του Y έχει πεπερασµένη υποκάλυψη, δηλαδή το Y είναι συµπαγής.


1.5. ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ

19  



    





  



  



 





     

Σχήµα 1.1: Κατασκευή του συνόλου Cantor µε λόγο λ =

1 4.

Απόδειξη : ΄Εστω Y κλειστό και ϕραγµένο σύνολο στο R. Αν Y = ∅ τότε είναι συµπαγής. Μπορούµε εποµένως να υποθέσουµε ότι υπάρχει y0 ∈ Y . Αφού το Y είναι ϕραγµένο, ισχύει Y ⊂ CY (y0 , ε) για κάποιο ε > 0, όµως CY (y0 , ε) ⊆ [y0 − ε, y0 + ε]. Τώρα X = [y0 − ε, y0 + ε] είναι συµπαγές σύνολο, από το ϑεώρηµα 1.5.1. Τέλος από το ϑεώρηµα 1.5.3 ο Y είναι κλειστός υπόχωρος συµπαγούς χώρου X ⇒ Y είναι συµπαγής. ΄Εστω ότι ο χώρος Y είναι συµπαγής. Τότε από το ϑεώρηµα 1.5.2, είναι ϕραγµένος. Επίσης από το ϑεώρηµα 1.5.4, είναι και κλειστός.  Στην συνέχεια ϑα ορίσουµε σύνολα Cantor στο R, τα όποια ϑα τα χρησιµοποιούµε σε πολλά παραδείγµατα στο κεφάλαιο 3. ΄Οπως ϑα δούµε αργότερα, τα σύνολα Cantor είναι σύνολα κλασµατικής διάστασης. ΄Εστω 0 < λ < 1/2. Ορίζουµε I0,1 = [0, 1] και έστω I1,1 = [0, λ] και I1,2 = [1 − λ, 1]. Συνεχίζουµε την διαδικασία διαλέγοντας υποδιαστήµατα από κάθε διάστηµα που έχουµε ήδη ϕτιάξει. Για παράδειγµα, αν έχουµε ορίσει τα διαστήµατα Ik−1,1 , Ik−1,2 , . . . , Ik−1,2k−1 , τότε στο επόµενο ϐήµα ορίζουµε Ik,1 , Ik,2 , . . . , Ik,2k , διαγράφοντας από την µέση κάθε διαστήµατος Ik−1,j ένα διάστηµα µήκους (1 − 2λ) diam Ik−1,j = (1 − 2λ)λk−1 . ΄Ετσι κάθε διάστηµα Ik,j που παράγεται έχει µήκος λk , ϐλέπε σχήµα 1.1. Ορισµός 1.5.7 Η οριακή κατάσταση της παραπάνω κατασκευής είναι το σύνολο Cantor µε λόγο λ k

C(λ) =

2 ∞ [ \

Ik,j

k=0 j=1

Το περισσότερο διαδεδοµένο σύνολο Cantor είναι το τριαδικό, C(1/3) Παράδειγµα : Κάθε σύνολο Cantor µε λόγο 0 < λ < 1/2 είναι συµπαγές. Απόδειξη : Το σύνολο Cantor είναι ϕραγµένο από 0 και 1. Είναι επίσης και κλειστό ως άπειρη τοµή κλειστών συνόλων. Από το ϑεώρηµα 1.5.5 έπεται ότι το σύνολο Cantor είναι συµπαγές. 


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

20

Οι συνεχείς συναρτήσεις µεταφέρουν την συµπάγεια, όπως συµβαίνει και µε την συνεκτικότητα. Η συµπάγεια είναι τοπολογική ιδιότητα. Θεώρηµα 1.5.6 ΄Εστω f : X → Y συνεχής συνάρτηση. ΄Εστω ότι η f είναι επί του X και ο X είναι συµπαγής. Τότε ο Y είναι συµπαγής.

Απόδειξη : ΄Εστω K = {Gλ όπου λ ∈ L} είναι ανοιχτή κάλυψη του Y . Για κάθε λ ∈ L το σύνολο Hλ = f −1 [Gλ ] είναι ανοιχτό του X , αφού η f είναι συνεχής. Επίσης ∪λ∈L Gλ = Y . ΄Αρα X = f −1 [Y ] = ∪λ∈L f −1 [Gλ ]. ΄Ετσι το {Hλ όπου λ ∈ L} είναι ανοιχτή κάλυψη του X . Ο X όµως είναι συµπαγής, άρα υπάρχουν λ1 , . . . , λk ∈ L µε X = Hλ1 ∪· · ·∪Hλk ⇒ f [X] = f [Hλ1 ]∪· · ·∪f [Hλk ]. Τώρα, αφού η f είναι επί του Y ισχύει f [X] = Y , άρα έχουµε Y = f −1 [Hλ1 ] ∪ · · · ∪ f −1 [Hλk ] = f [f −1 [Gλ1 ]] ∪ · · · ∪ f [f −1 [Gλk ]] = G ∪ · · · ∪ G . ΄Αρα ο Y είναι συµπαγής.  Πόρισµα 1.5.2 ΄Εστω f : X → Y είναι συνεχής συνάρτηση, όπου X είναι συµπαγής µετρικός χώρος. Τότε ο υπόχωρος f [X] του Y είναι συµπαγής Πόρισµα 1.5.3 ΄Εστω ο X συµπαγής, µη κενός µετρικός χώρος. ΄Εστω η f : X → R µια συνεχής συνάρτηση. Τότε η f είναι ϕραγµένη και λαµβάνει ελάχιστη και µέγιστη τιµή.

Απόδειξη : Το σύνολο f [X] είναι συµπαγής υπόχωρος του R, από το πόρισµα 1.5.2. ΄Αρα το f [X] είναι κλειστό και ϕραγµένο σύνολο. Εφόσον το X είναι µη κενό, ϑα έχει άνω και κάτω ϕράγµα, δηλαδή ϑα υπάρχει a = inf{f [X]} και b = sup{f [X]} όπου a, b ∈ R. Τώρα για κάθε n ∈ N έχουµε a < a + 1/n συνεπάγεται ότι υπάρχει yn ∈ f [X] µε a < yn < a + 1/n (ορισµός του κάτω πέρατος). Τότε yn → a. Επειδή yn ∈ f [X] έχουµε a ∈ f [X], αφού το f [X] είναι κλειστό. ΄Αρα για κάποιο x1 ∈ X έχουµε f (x1 ) = a. Τώρα για κάθε x ∈ X έχουµε f (x) ∈ f [X]). ∆ηλαδή f (x1 ) ≤ f (x2 ) για κάθε x ∈ X , άρα η f έχει ελάχιστη τιµή

f (x1 )

Οµοίως αποδεικνύουµε για µέγιστή τιµή.  Ορισµός 1.5.8 ΄Εστω X µετρικός χώρος. Ο X λέγεται ακολουθιακά συµπαγής αν κάθε ακολουθία του έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Ορισµός 1.5.9 ΄Εστω X µετρικός χώρος. Ο X έχει την ιδιότητα Bolzano - Weierstrass αν κάθε άπειρο υποσύνολο A του X έχει τουλάχιστον ένα σηµείο συσσώϱευσης, ή ισοδύναµα αν το παράγωγο σύνολο του A είναι µη κενό (A0 6= ∅) Θεώρηµα 1.5.7 Θεώρηµα Lebesgue ΄Εστω (X, ρ) ακολουθιακά συµπαγής µετρικός χώρος. ΄Εστω K είναι µια ανοιχτή κάλυψη του X . Τότε υπάρχει ε > 0 ώστε για κάθε x ∈ X , η ανοιχτή µπάλα B(x, ε) να περιέχεται σε κάποιο από τα στοιχεία της K.

Απόδειξη : Υποθέτουµε ότι δεν υπάρχει τέτοιο ε (για να καταλήξουµε σε άτοπο). Τότε για κάθε n ∈ N το 1/n δεν έχει την παραπάνω ιδιότητα, δηλαδή υπάρχει xn ∈ X ώστε B(xn , 1/n) δεν περιέχεται σε κανένα από τα στοιχεία της K. Αφού ο X είναι ακολουθιακά συµπαγής, υπάρχει µια υπακολουθία xnk της xn η οποία συγκλίνει σε κάποιο σηµείο x0 ∈ X . Εφόσον η K είναι ανοιχτή


1.5. ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ

21

κάλυψη, υπάρχει G0 ∈ K ώστε x0 ∈ G0 . Αφού G0 ανοιχτό, υπάρχει ε > 0 ώστε B(x0 , ε) ⊂ G0 . Επιπλέον x0 είναι όριο της ακολουθίας xnk , άρα από κάποιο m και µετά όλα τα στοιχεία της xnk ϑα ϐρίσκονται στην ανοιχτή µπάλα B(x0 , ε/2), δηλαδή

xnm , xnm+1 , . . . ∈ B(x0 , ε/2) ΄Αρα υπάρχει κάποιο k > m (πολύ µεγάλο) µε 1/nk < ε/2 και xnk ∈ B(x0 , ε/2). Τώρα x ∈ B(xnk , 1/nk ) ⇒ ρ(x, xnk ) < 1/nk < ε/2 και από τριγωνική ανισότητα ρ(x, x0 ) ≤ ρ(x, x0 ) + ρ(xnk , x0 ) < ε δηλαδή B(xnk , 1/nk ) ⊂ B(x0 , ε) ⊂ G0 ∈ K που είναι άτοπο.  Θεώρηµα 1.5.8 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. ο X είναι συµπαγής 2. ο X έχει την ιδιότητα Bolzano - Weierstrass 3. ο X είναι ακολουθιακά συµπαγής

Απόδειξη : (1) ⇒ (2). ΄Εστω A άπειρο υποσύνολο του X . Αρκεί να δείξουµε ότι A0 6= ∅. Υποθέτουµε ότι A0 = ∅ (για να καταλήξουµε σε άτοπο). Αφού το A είναι άπειρο, το A περιέχει διακεκριµένα σηµεία x1 , x2 , . . .. Τώρα B = {x1 , x2 , . . .} ⊂ A, άρα B 0 ⊂ A0 = ∅, δηλαδή το παράγωγο του B είναι κενό, συµπεραίνουµε επίσης ότι το B είναι κλειστό αφού B = B 0 ∪ B . Επίσης από την υπόθεση έχουµε ότι ο X είναι συµπαγής. Από το ϑεώρηµα 1.5.3 ο B είναι και αυτός συµπαγής υπόχωρος του X . Τώρα κάθε µονοσύνολο {x1 }, {x2 }, . . . ∈ B είναι ανοιχτό υποσύνολο του B και {{x1 }, {x2 }, . . .} είναι ανοιχτή κάλυψη του B , η οποία δεν έχει πεπερασµένη ανοιχτή υποκάλυψη, γιατι τα ∩{xi } = ∅, άρα ο B δεν είναι συµπαγής, που είναι άτοπο, άρα A0 6= ∅ και ο X έχει την ιδιότητα Bolzano - Weierstrass. (2) ⇒ (3) ΄Εστω τώρα ότι ο X έχει την ιδιότητα Bolzano - Weirstrass. Θεωϱούµε την ακολουθία xn ∈ X , ϑέλουµε να δείξουµε ότι η xn έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Ας εξετάσουµε το σύνολο

A = {x1 , x2 , . . .}. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις, είτε το A είναι πεπερασµένο, είτε αριθµήσιµο άπειρο. Αν το A έχει πεπερασµένο το πλήθος στοιχείων, δηλαδή A = {y1 , . . . , yk }. Θέτουµε Ni = {n ∈ N ώστε xn = yi } τότε ∪ki=1 Ni = N. Τουλάχιστον ένα από τα N1 , . . . , Nk είναι αριθµήσιµα άπειρο. Υποθέτουµε χωρίς ϐλάβη της γενικότητας ότι Ni έχει άπειρα στοιχεία Ni = {n1 , n2 , . . .} όπου 1 ≤ n1 < n2 < . . .. Για κάθε nk ∈ Ni , xnk = yi , άρα xnk → yi . Οπότε υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία της xn που έχει όριο στο X . Αν τώρα A έχει αριθµήσιµο άπειρο το πλήθος στοιχείων, από τον ορισµό της ιδιότητας Bolzano - Weierstrass, έχουµε ότι A0 6= ∅. ΄Αρα υπάρχει x ∈ A0 . Κατασκευάζουµε στην συνέχεια την υπακολουθία µας

B(x, 1) ∪ A είναι άπειρο, άρα υπάρχει ένα xn1 ∈ B(x, 1) 1 1 B(x, ) ∪ A είναι άπειρο, άρα υπάρχει ένα xn2 ∈ B(x, ) 2 2


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

22 .. .

1 1 B(x, ) ∪ A είναι άπειρο, άρα υπάρχει ένα xnk ∈ B(x, ) k k Τώρα xnk είναι υπακολουθία της xn και ρ(x, xnk ) < 1/k , άρα xnk → x. (3) ⇒ (1) ΄Εστω τώρα X ακολουθιακά συµπαγής, ϑέλουµε να δείξουµε ότι είναι συµπαγής. Θεωρούµε ανοιχτή κάληψη K του X . Υποθέτουµε ότι η K δεν

έχει πεπερασµένη υποκάλυψη (για να καταλήξουµε σε άτοπο). Από το ϑεώρηµα 1.5.7 υπάρχει ε > 0 ώστε B(x, ε) να περιέχεται σε κάποιο µέλος της K για κάθε x ∈ X . Οπότε υπάρχει x1 ∈ X και G1 ∈ K µε B(x1 , ε1 ) ⊂ G1 , υπάρχει επίσης x2 ∈ X \ G1 και G2 ∈ K ώστε B(x2 , ε2 ) ⊂ G2 . Τώρα έχουµε ϑεωρήσει πως K δεν έχει πεπερασµένη υπόκαλυψη, άρα G1 ∪ G2 6= X . ΄Αρα υπάρχει x3 ∈ X \ G1 ∪ G2 και G3 ∈ K µε B(x3 , ε3 ) ⊂ G3 . Συνεχίζουµε έτσι και κατασκευάζουµε την ακολουθία x1 , x2 , . . ., µε xn 6∈ G1 ∪ · · · ∪ Gn−1 και να υπάρχει σύνολο Gn ∈ K ώστε B(xn , εn ) ⊂ Gn . ΄Ετσι για τυχόντα m 6= n ισχύει

ρ(xm , xn ) > ε

(1.12)

Εφόσον ο χώρος X είναι ακολουθιακά συµπαγής υπάρχει υπακολουθία xnk της xn που συγκλίνει σε σηµείο x0 ∈ X . Αφού xnk → x0 µπορούµε να συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο υπακολουθίες xnk1 και xnk2 µε ρ(xnk1 , x0 ) < ε/2 και ρ(xnk2 , x0 ) < ε/2. Τότε από τριγωνική ανισότητα έχουµε ρ(xnk1 , xnk2 ) ≤ ε/2 + ε/2 = ε που αντιφάσκει µε την 1.12. ΄Ατοπο.  Θεώρηµα 1.5.9 ΄Εστω (X, ρ1 ) και (Y, ρ2 ) είναι µετρικοί χώροι. ΄Εστω ότι ο X είναι συµπαγής χώρος. Τότε κάθε συνεχής συνάρτηση f : X → Y είναι οµοιόµορφα συνεχής.

Απόδειξη : ΄Εστω ε > 0 ϑέλουµε δ > 0 ώστε ρ1 (x, y) < δ ⇒ ρ2 (f (x), f (y)) < ε. Θεωρούµε όλες τις µπάλες B(y, ε/2) του Y, y ∈ Y . Τότε f −1 [B(y, ε/2)] είναι ανοιχτό του X , γιατί η f είναι συνεχής συνάρτηση. Τώρα K = {f −1 [B(y, ε/2)] όπου y ∈ Y } είναι ανοιχτή κάλυψη του συµπαγούς X . Από το ϑεώρηµα 1.5.7 υπάρχει δ > 0 ώστε για κάθε x ∈ X η µπάλα B(x, δ) να περιέχεται σε κάποιο στοιχείο της K. ΄Εστω ότι ρ1 (x1 , x2 ) < δ , τότε x2 ∈ B(x1 , δ) ⇒ B(x1 , δ) ⊂ f −1 [B(y, ε/2)] για κάποιο y ∈ Y . Αφού x1 , x2 ∈ B(x1 , δ) ⇒ f (x1 ), f (x2 ) ∈ B(y, ε/2) και από τριγωνική ανισότητα ρ1 (f (x1 ), f (x2 )) ≤ ρ2 (f (x1 ), y)+ρ2 (f (x2 ), y) < ε/2+ε/2 = ε. ΄Αρα αν ρ1 (x1 , x2 ) < δ ⇒ ρ2 (f (x1 ), f (x2 )) < ε. ΄Αρα η f είναι οµοιόµορφα συνεχής.  Θεώρηµα 1.5.10 ΄Εστω X υπόχωρος του Rn τότε ο X είναι συµπαγής αν και µόνο αν ο X είναι κλειστός και ϕραγµένος στο Rn .

Απόδειξη : Αν ο X συµπαγής υπόχωρος του Rn , τότε από το ϑεώρηµα 1.5.2 είναι ϕραγµένος και από το ϑεώρηµα 1.5.4 είναι κλειστός. Τώρα αν ο X είναι κλειστός και ϕραγµένος υπόχωρος του Rn ϑέλουµε να δείξουµε ότι ο X είναι συµπαγής. Αρκεί να δείξουµε ότι είναι ακολουθιακά συµπαγής. Θα το δείξουµε για n = 2, δηλαδή R2 , αφού η απόδειξη για οποιοδήποτε n είναι παρόµοια (αλλά ίσως πιο πολύπλοκη).


1.6. ΠΛΗΡΕΙΣ ΚΑΙ ∆ΙΑΧΩΡΙΣΙΜΟΙ ΧΩΡΟΙ

23

Εξετάζω την ακολουθία {xn , yn }∞ n=1 του X . Αφού ο X είναι ϕραγµένος, υπάρχει κάποιο a > 0 ώστε ||z|| ≤ a για όλα τα z = (x, y) ∈ X ⇒ |x|, |y| ≤ a. ΄Ετσι για κάθε n ∈ R2 έχουµε xn , yn ∈ [−a, a], οπότε xn , yn είναι ακολουθίες στο συµπαγές [−a, a]. ΄Αρα υπάρχει υπακολουθία xnk της xn που να συγκλίνει σε σηµείο x0 του [−a, a]. Τώρα για το ίδιο λόγο η ακολουθία yn έχει συγκλίνουσα υπακολουθία ynk , όριο της οποίας είναι y0 ∈ [−a, a]. Τώρα έχουµε xnkm → x0 και ynkm → y0 , από το ϑεώρηµα 1.3.3

{xnkm , ynkm } −→ (x0 , y0 ) Επειδή (x0 , y0 ) ∈ X = X , έχουµε ότι η υπακολουθία {xnkm , ynkm } της {xn , yn } συγκλίνει σε σηµείο του X , άρα ο X είναι ακολουθιακά συµπαγής.  Θεώρηµα 1.5.11 Αν A είναι κλείστο σύνολο, B είναι συµπαγής και A ∩ B = ∅, τότε dist(A, B) > 0.

Απόδειξη : ΄Εστω dist(A, B) = 0. Τότε υπάρχει σηµείο xn ∈ A και yn ∈ B µε ρ(xn , yn ) < 1/n. Τώρα ο B είναι συµπαγης, άρα (αντικαθιστώντας την ακολουθίες µε υπακολουθίες) µπορούµε να υποθέσουµε ότι {yn } συγκλίνει. ΄Εστω yn → y ∈ B . Τότε xn → y επίσης. ΄Οµως το A είναι κλειστό σύνολο, άρα y ∈ A. Οπότε A ∩ B 6= ∅. 

1.6 Πλήρεις και ∆ιαχωρίσιµοι Χώροι Ορισµός 1.6.1 Μια ακολουθία xn ένος µετρικού χώρου (X, ρ) λέγεται Cauchy ή ϐασική ακολουθία αν για κάθε ε > 0 υπάρχει k = k(ε) ∈ N τέτοιο ώστε για κάθε n, m ≥ k να ισχύει

ρ(xn , xm ) < ε

Θεώρηµα 1.6.1 Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cauchy.

Απόδειξη : ΄Εστω ότι η ακολουθία xn συγκλίνει σε x στο µετρικό χώρο (X, ρ). ΄Εστω ε > 0 τότε υπάρχει k = k(ε) ∈ N ώστε για κάθε n ≥ k ισχύει ρ(xn , x) < ε. Τώρα για κάθε n, m > k και από τριγωνική ανισότητα έχουµε

ρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , x) + ρ(x, xm ) <

ε ε + <ε 2 2

΄Αρα η xn είναι ακολουθία Cauchy.  ∆είξαµε προηγουµένως ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cauchy. Το αντίθετο δεν ισχύει εν γένει, όταν ισχύει όµως έχουµε τον ορισµό του πλήρη χώρου. Ορισµός 1.6.2 ΄Εστω X µετρικός χώρος. ΄Οταν κάθε ακολουθία Cauchy στο X συγκλίνει (σε σηµείο του X ), τότε ο X λέγεται πλήρης χώρος. Παράδειγµα : Ο υπόχωρος X = (0, 1) του R δεν είναι πλήρης αφού η ακολουϑία xn = 1/n, n ∈ N είναι στο X και είναι Cauchy αλλά δεν συγκλίνει στο X , (0 6∈ X ).


24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

Πρόταση 1.6.1 Μια ακολουθία Cauchy που έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, συγκλίνει και η ίδια. Μάλιστα συγκλίνει στο ίδιο σηµείο που συγκλίνει η υπακολουθία.

Απόδειξη : ΄Εστω xn ακολουθία Cauchy µετρικού χώρου (X, ρ). ΄Εστω xnk υπακολουθία µε xnk → x ∈ X . ΄Εστω ε > 0 τότε από τον ορισµό της ακολουθίας Cauchy υπάρχει M1 ∈ N ώστε για κάθε n, m ≥ M1 να ισχύει ρ(xn , xm ) < ε/2. Τώρα επειδή xnk → x, υπάρχει M2 ∈ N ώστε για κάθε k ≥ M2 ισχύει ρ(xnk , x) < ε/2. ∆ιαλέγουµε M = max{M1 , M2 }, τότε για κάθε n ≥ M και από την τριγωνική ανισότητα

ρ(xn , x) ≤ ρ(xn , xnk ) + ρ(xnk , x) <

ε ε + =ε 2 2

 Θεώρηµα 1.6.2 Κάθε συµπαγής µετρικός χώρος X είναι πλήρης.

Απόδειξη : ΄Εστω µια ακολουθία Cauchy xn του µετρικού χώρου X . Εφόσον ο X είναι συµπαγής, είναι και ακολουθιακά συµπαγής, δηλαδή κάθε ακολουθία xn έχει συγκλίνουσα υπακολουθία xnk σε σηµείο του X . Από την προηγούµενη πρόταση 1.6.1, ϐγάζουµε το συµπέρασµα ότι κάθε ακολουθία Cauchy στο X είναι συγκλίνουσα. ∆ηλαδή ο X είναι πλήρης.  Παράδειγµα : Κάθε κλειστό και ϕραγµένο διάστηµα [a, b] του R είναι πλήϱης υπόχωρος του R. Παράδειγµα : Ο Rm είναι πλήρης. Απόδειξη : ΄Εστω xn είναι ακολουθία Cauchy στο X . Από τον ορισµό της ακολουθίας Cauchy για ε = 1 υπάρχει k ∈ N ώστε για κάθε n, m ≥ k ισχύει ότι ρ(xn , xm ) < 1, δηλαδή από κάποιο k και µετά όλα τα στοιχεία της ακολουθίας xn ϐρίσκονται σε µια µπάλα B(xk , 1). ΄Εστω a = max{ρ(xk , x1 ), . . . .ρ(xk , xk−1 ), 1} τότε όλη η ακολουθία xn περιέχεται σε µπάλα B(xk , a) ⊂ C(xk , a), όπου C(xk , a) είναι µια κλειστή µπάλα. Η C(xk , a) είναι συµπαγής υπόχωρος του Rm από το προηγούµενο ϑεώρηµα 1.6.2 η C(xk , a) είναι πλήρης, άρα η xn συγκλίνει σε σηµείο της C(xk , a) ⊂ Rm . ΄Αρα ο Rm είναι πλήρης.  Η πληρότητα είναι µετρική ιδιότητα και αυτό ϕαίνεται από την επόµενη πρόταση. Πρόταση 1.6.2 ΄Εστω X πλήρης µετρικός χώρος και Y ένας κλειστός υπόχωρος του X . Τότε ο Y είναι πλήρης.

Απόδειξη : ΄Εστω yn είναι µια ακολουθία Cauchy στο Y τότε yn είναι ακολουθία Cauchy στο πλήρη µετρικό χώρο X , δηλαδή yn → x ∈ X . ΄Οµως x ∈ Y και Y = Y γιατί ο Y είναι κλειστός. ΄Αρα ο Y είναι πλήρης.  Πρόταση 1.6.3 ΄Εστω Y πλήρης υπόχωρος µετρικού χώρου X . Τότε Y είναι κλειστός υπόχωρος του X .

Απόδειξη : Αρκει να δείξουµε ότι Y = Y = Y ∪ Y 0 , δηλαδή Y 0 ⊂ Y . ΄Εστω 0 x ∈ Y , τότε υπάρχει ακολουθία yn του Y µε yn → x. ΄Οµως ο Y είναι πλήρης,


1.6. ΠΛΗΡΕΙΣ ΚΑΙ ∆ΙΑΧΩΡΙΣΙΜΟΙ ΧΩΡΟΙ

25

άρα η yn πρέπει να συγκλίνει σε σηµείο του Y και αφού το όριο είναι µοναδικό, x ∈ Y . ΄Αρα ο Y είναι κλειστός υπόχωρος του X .  Πόρισµα 1.6.1 Αν Y ⊂ Rn τότε Y είναι πλήρης αν και µόνο αν το Y είναι κλειστό υποσύνολο του Rn .

1.6.1

Αρχή της Συστολής

Ορισµός 1.6.3 ΄Εστω f : X → Y είναι µια συνάρτηση από το µετρικό χώρο (X, ρ1 ) στο (Y, ρ2 ). Η f ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz ή λέµε ότι η f είναι συνάρτηση Lipschitz , αν υπάρχει l > 0 ώστε για κάθε x, y ∈ X να ισχύει

ρ1 (f (x), f (y)) ≤ lρ2 (x, y) Παράδειγµα :

Η οµοιότητα ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz.

Πρόταση 1.6.4 ΄Εστω ότι η f : X → Y ικανοποιεί την σηνθήκη Lipschitz. Τότε η f είναι οµοιόµορφα συνεχής.

Απόδειξη :

Αρκεί να πάρουµε για δ =

ε l



Ορισµός 1.6.4 ΄Εστω µετρικός χώρος (X, ρ) και f : X → X είναι µια συνάρτηση. Η f λέγεται συστολή αν ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz µε 0 < l < 1, δηλαδή αν υπάρχει 0 < l < 1 ώστε για κάθε x, y ∈ X να ισχύει

ρ(f (x), f (y)) ≤ lρ(x, y) Πρόταση 1.6.5 ΄Εστω f : [a, b] → [a, b] συνεχής και παραγωγίσιµη συνάρτηση µε |f 0 (x)| ≤ l για κάθε x ∈ (a, b). Τότε η f ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz. στο χώρο X = [a, b] µε τη συνήθη µετρική ρ.

Απόδειξη : ΄Εστω x, y ∈ X , υποθέτουµε ότι x < y . Από το ϑεώρηµα µέσης τιµής υπάρχει s ∈ (x, y) ώστε f (x) − f (y) = f 0 (s)(x − y), αν πάρουµε σ’ αυτή τη σχέση την απόλυτη τιµή, έχουµε ότι |f (x) − f (y)| = |f 0 (s)(x − y)| ≤ |f 0 (s)||x − y|, όµως η συνήθης µετρική στο R είναι η απόλυτη τιµή άρα ρ(f (x), f (y)) ≤ ρ(x, y) και η f είναι συνάρτηση Lipschitz. 

Πόρισµα 1.6.2 Αν f : [a, b] → [a, b] είναι συνεχής και παραγωγίσιµη συνάρτηση µε |f 0 (x)| < 1 τότε η f είναι συστολή. Θεώρηµα 1.6.3 Αρχή της συστόλης (ϑεώρηµα σταθερού σηµείου Banach ) ΄Εστω (X, ρ) είναι πλήρης µετρικός χώρος και η f : X → X είναι µια συστολή. Τότε η f έχει µοναδικό σταθερό σηµείο x. Μάλιστα αν x0 ∈ X και το x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), . . . , xn = f (xn−1 ), τότε η ακολουθία xn συγκλίνει σ’ αυτό το σηµείο, xn → x.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

26

Απόδειξη : Παίρνουµε ένα τυχαίο σηµείο x0 ∈ X και ορίζουµε αναδροµικά την ακολουθία xn ως εξής x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), . . . , xn = f (xn−1 ). Θα δείξουµε ότι η ακολουθία xn είναι Cauchy . Επειδή η f είναι συστολή, δηλαδή υπάρχει l < 1 ώστε για κάθε x, y ∈ X ισχύει ρ(f (x), f (y)) ≤ lρ(x, y), έχουµε

ρ(x2 , x1 ) = ρ(f (x1 ), f (x0 )) ≤ lρ(x1 , x0 ) ρ(x3 , x2 ) = ρ(f (x2 ), f (x1 )) ≤ lρ(x2 , x1 ) ≤ l2 ρ(x1 , x0 ) ρ(x4 , x3 ) = ρ(f (x3 ), f (x2 )) ≤ lρ(x3 , x2 ) ≤ l3 ρ(x1 , x0 ) .. .

ρ(xn , xn−1 ) = ρ(f (xn−1 ), f (xn−2 )) ≤ ln−1 ρ(x1 , x0 ) Τώρα για κάθε k, n ∈ N και από την τριγωνική ανισότητα

ρ(xn , xn+k ) ≤ ρ(xn , xn+1 ) + ρ(xn+1 , xn+2 ) + · · · + ρ(xn+k−1 , xn+k ) ≤ (ln + ln+1 + · · · + ln+k−1 )ρ(x1 , x0 ) ln = ln (1 + l + · · · + lk−1 )ρ(x1 , x0 ) = ρ(x1 , x0 ) 1−l ΄Οµως l < 1 και ln /(1 − l)ρ(x1 , x0 ) → 0 άρα υπάρχει ε > 0 και r ∈ N που να ισχύει ότι για κάθε n ≥ r

ln ρ(x1 , x0 ) < ε 1−l

Τώρα για n, m ≥ r έχουµε ότι ρ(xn , xm ) ≤ ln /(1 − l)ρ(x1 , x0 ) < ε, άρα η ακολουθία xn είναι Cauchy και συγκλίνει σε κάποιο σηµείο x ∈ X , αφού ο X είναι πλήρης. ΄Εχουµε δηλαδή ότι limn→∞ xn+1 = x, άρα

lim f (xn ) = x

n→∞

(1.13)

Αφού xn → x και η συνάρτηση f είναι συνεχής ως συστολή που είναι, έχουµε

f (xn ) → f (x)

(1.14)

Από τις σχέσεις 1.13 και 1.14 έχουµε ότι f (x) = x. ΄Αρα x είναι σταθερό σηµείο της f . Τώρα έστω ότι έχουµε δύο σταθερά σηµεία, δηλαδή f (x) = x και f (y) = y τότε ρ(f (x), f (y)) ≤ lρ(x, y) ⇔ ρ(x, y) ≤ lρ(x, y) < ρ(x, y) άτοπο αν ρ(x, y) 6= 0, άρα ρ(x, y) = 0 δηλαδή x = y . 

1.6.2

∆ιαχωρίσιµοι Χώροι

Ορισµός 1.6.5 ΄Ενας µετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται διαχωρίσιµος αν υπάρχει αριθµήσιµο υποσύνολο A του X ώστε το A να είναι πυκνό, δηλαδή A = X .

Παράδειγµα : Ο µετρικός χώρος (R, ρ), όπου ρ είναι η συνήθης µετρική στο R, είναι διαχωρίσιµος, γιατί το σύνολο των ϱητών αριθµών Q είναι αριθµήσιµο και πυκνό υποσύνολο του R.


1.6. ΠΛΗΡΕΙΣ ΚΑΙ ∆ΙΑΧΩΡΙΣΙΜΟΙ ΧΩΡΟΙ

27

Παράδειγµα : Ο µετρικός χώρος (R, ρ), όπου ρ είναι η διακριτή µετρική, δεν είναι διαχωρίσιµος. Αφού έχουµε ότι για κάθε A ⊆ R ισχύει A = A, άρα το µόνο πυκνό υποσύνολο του R είναι ο εαυτός του, που όµως δεν είναι αριθµήσιµο. Παράδειγµα : Ο µετρικός χώρος (Rn , ρ), όπου ρ είναι η συνήθης µετρική n στο R , είναι διαχωρίσιµος, γιατί Qn είναι αριθµήσιµο και πυκνό υποσύνολο του Rn . Απόδειξη : ΄Εστω ένα µη κενό ανοιχτό υποσύνολο V του Rn , τότε υπάρχει n x ∈ R και ε > 0 µε B(x, ε) ⊂ V . Τώρα√αν x = (x1 , . . . , xn ) τότε υπάρχουν q1 , . . . , qn ∈ Qn ώστε |xi − qi | < ε/ n για i ∈ {1, . . . , n}. Τότε το q = (q1 , . . . , qn ) ∈ Qn και

ρ(x, q) =

n X i=1

(xi − qi )

2

!1/2

άρα q ∈ B(x, ε) ⊂ V ⇒ V ∩ Qn 6= ∅, δηλαδή Qn πυκνό υποσύνολο του Rn .  Θεώρηµα 1.6.4 ΄Εστω (X, ρ) είναι ένας µετρικός χώρος. Τότε ο X είναι διαχωρίσιµος αν και µόνο αν κάθε ανοιχτή κάλυψη του X έχει αριθµήσιµη υποκάλυψη.

Απόδειξη : Υποθέτουµε πρώτα ότι ο X είναι διαχωρίσιµος, ϑέλουµε να δείξουµε ότι κάθε ανοιχτή κάλυψη του X έχει αριθµήσιµη υποκάλυψη. Αφού ο X είναι διαχωρίσιµος υπάρχει A = {a1 , a2 , . . .} πυκνό υποσύνολο του X , δηλαδή A = X . Θεωρούµε µια ανοιχτή κάλυψη K του X . Συµβολίζουµε B1 , B2 , . . . τις αριθµήσιµες ανοιχτές µπάλες B(ai , 1/n), όπου i, n ∈ N, που περιέχονται σε κάποιο µέλος της K. Συµβολίζουµε επίσης, Gn ∈ K για κάθε n ∈ N , ώστε το Gn να περιέχει την αντίστοιχη ανοιχτή µπάλα Bn . Αρκεί να δείξουµε ότι ∪∞ k=1 Bk (ai , 1/n), οπότε η υποκάλυψη G1 , G2 , . . . της K ϑα είναι αριθµήσιµη. ΄Εστω x ∈ X . Αρκεί να ϐρούµε k ∈ N µε x ∈ Bk (ai , 1/n) για κάποια i, n ∈ N. Πρέπει να υπάρχει ανοιχτό σύνολο G ∈ K µε x ∈ G, αφού K είναι κάλυψη το X . ΄Αρα υπάρχει ε > 0 ώστε B(x, ε). ΄Εστω n ∈ N µε 1/n < ε ϑα υπάρχει ai ∈ B(x, 1/n), αφού A = X , δηλαδή ρ(ai , x) < 1/n, που σηµαίνει ότι x ∈ B(ai , 1/n). Θέτουµε Bk = B(ai , 1/n) για κάποιο k ∈ N τότε x ∈ Bk , άρα x ∈ ∪∞ k=1 B(ai , 1/n), δηλαδή ∞ B(a , 1/n) ⊆ X είναι ϕανερό). B(a , 1/n) (ότι ∪ X ⊆ ∪∞ i i k=1 k=1 Αντίστροφα, έστω ότι κάθε ανοιχτή κάλυψη του X έχει αριθµήσιµη υποκάλυψη, τότε ϑέλουµε να δείξουµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος, δηλαδή ότι υπάρχει πυκνό και αριθµήσιµο υποσύνολο A του X . ΄Εστω η ανοιχτή κάλυψη K = {B(x, 1/n) όπου x ∈ X για όλα n ∈ N} του X . Από την υπόθεση υπάρχει αριθµήσιµη υποκάλυψη {Bi (x, 1/n) όπου Bi (x, 1/n) ∈ K}. Θεωρούµε ότι xi,n ∈ Bi τότε η υποκάλυψη γράφεται ∞ [

i=1

B(xi,n ,

1 )=X n

(1.15)

Το A{xi,j όπου i, j ∈ N} είναι αριθµήσιµο σύνολο. ΄Εστω ένα µη κενό ανοιχτό υποσύνολο V του X , τότε υπάρχει ε > 0 και x ∈ X ώστε B(x, ε) ⊂ V . ΄Εστω n ∈ N µε 1/n < ε. Η σχέση 1.15 λέει ότι υπάρχουν i ∈ N τέτοια ώστε x ∈ ∪∞ i=1 B(xi,n , 1/n) ⇒ ρ(x, xi,n ) < 1/n < ε ⇒ xi,n ∈ B(x, ε) ⊂ V ,


28

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

΄Αρα V ∩ A 6= ∅ δηλαδή A είναι πυκνό υποσύνολο του X . ΄Αρα ο X είναι διαχωρίσιµος. 

1.7 Οµοιόµορφη Σύγκλιση Συναρτήσεων Ορισµός 1.7.1 ΄Εστω (X, ρ) και (Y, ρ) είναι δύο µετρικοί χώροι. ΄Εστω f, fn : X → Y για κάθε n ∈ N. Η ακολουθία συναρτήσεων fn συγκλίνει οµοιόµορφα στην f αν και µόνο αν για κάθε ε > 0 υπάρχει m = m(ε) ∈ N ώστε για κάθε x ∈ X και n ≥ m να ισχύει

ρ(fn (x), f (x)) < ε.

Θεώρηµα 1.7.1 ΄Εστω η συνάρτηση f : X → Y και η ακολουθία συναρτήσεων fn : X → Y από το µετρικό χώρο (X, ρ) στο µετρικό χώρο (Y, ρ). ΄Εστω ότι η ακολουθία {fn } συγκλίνει οµοιόµορφα στη f και για όλα τα n ∈ N και οι συναρτήσεις fn είναι συνεχείς. Τότε η f είναι συνεχής συνάρτηση.

Απόδειξη : ΄Εστω x ∈ X . Πρέπει να δείξουµε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x. ΄Εστω ε > 0 πρέπει να ϐρούµε κατάλληλο δ > 0 ώστε για κάθε y ∈ X που ικανοποιεί ρ1 (x, y) < δ να ισχύει ότι

ρ2 (f (x), f (y)) < ε

(1.16)

΄Ετσι λοιπόν, από την τριγωνική ανισότητα και για όλα τα n ∈ N έχουµε ότι για κάθε y ∈ Y ισχύει

ρ2 () ≤ ρ( f (x), fn (x)) + ρ2 (fn (x), fn (y)) + ρ2 (fn (y), f (y))

(1.17)

Επειδή η ακολουθία συναρτήσεων fn συγκλίνει οµοιόµορφα στην f , υπάρχει m ∈ N τέτοιο ώστε για κάθε n ≥ m ισχύει ότι ε ρ2 (f (z), fn (z)) < (1.18) 3 για κάθε z ∈ X ∆ιαλέγουµε n = m, τότε και αφού η fm (x) είναι συνεχής συνάρτηση, υπάρχει δ = δ(x) > 0 τέτοιο ώστε

ρ1 (x, y) < δ ⇒ ρ2 (fm (x), fn (x)) <

ε 3

(1.19)

Από τις προτάσεις 1.17,1.18 και 1.19 ισχύει η πρόταση 1.16. ΄Αρα η f είναι συνεχής συνάρτηση.  Ορισµός 1.7.2 Μια συνάρτηση f : X → Y από µετρικό χώρο (X, ρ1 ) στο µετρικό χώρο (Y, ρ2 ) λέγεται ϕραγµένη αν η εικόνα f [X] είναι ϕραγµένο υποσύνολο του Y , δηλαδή αν και µόνο αν το σύνολο {ρ2 (f (x), f (y)) όπου x, y ∈ Y } είναι ϕραγµένο υποσύνολο του R. ΄Εστω µετρικοί χώροι (X, ρ1 ) και (Y, ρ2 ). Οριζούµε το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων από το µετρικό χώρο X στο µετρικό χώρο Y να είναι

C(X, Y ) = {f : X → Y όπου f είναι συνεχής συνάρτηση}.


1.7. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

29

Πρόταση 1.7.1 ΄Εστω ότι για όλα τα f, g ∈ C(X, Y ) έχουµε

ρu (f, g) = sup{ρ2 (f (x), g(x)) όπου x ∈ X},

η ρ2 είναι η µετρική στο Y.

Τότε η ρu είναι µετρική στο C(X, Y ). Είναι προφανές ότι η ρu είναι ϑετική και αν ρu (f, g) = 0 τότε f (x) = g(x). Επίσης ρu (f, g) = ρu (g, f ). Τώρα σχετικά µε την τριγωνική ανισότητα έχουµε ότι για κάθε x ∈ X ισχύει

Απόδειξη :

ρ2 (f (x), g(x)) ≤ ρ2 (f (x), h(x)) + ρ2 (h(x), g(x)) ≤ ρu (f, h) + ρu (h, f ) ⇒ ρu (f, g) ≤ ρ2 (f, h) + ρu (h, g) ΄Αρα η ρu είναι µετρική.  Η ρu λέγεται η συνήθης µετρική στο µετρικό χώρο C(X, Y ). Θεώρηµα 1.7.2 ΄Εστω (Y, ρ) είναι ένας πλήρης µετρικός χώρος, τότε και ο C(X, Y ) είναι πλήρης.

Απόδειξη : ΄Ετσω {fn } ακολουθία Cauchy στο µετρικό χώρο (C(X, Y ), ρu ), δηλαδή για κάθε ε > 0, υπάρχει k ∈ N ώστε ρu (fn , fm ) < ε/2 για κάθε n, m > k . ∆ηλαδή για κάθε x ∈ X

ρ(fn (x), fm (x)) <

ε 2

(1.20)

άρα η {fn } είναι ακολουθία Cauchy στο µετρικό χώρο (Y, ρ). ΄Οµως ο Y είναι πλήρης άρα fn → f του Y , δηλαδή υπάρχει f (x) ∈ Y ώστε για κάθε x ∈ X η fn (x) → f (x). Τώρα γι’ αυτήν την συνάρτηση f : X → Y έχουµε, από την τριγωνική ανισότητα, ότι για κάθε x ∈ X και για κάθε n, m ∈ N

ρ(f (x), g(x)) ≤ ρ(f (x), fm (x)) + ρ(fm (x), fn (x))

(1.21)

Τώρα δεδοµένο ότι x ∈ X και fn → f , υπάρχει m = m(x) ∈ N ώστε

ρ(f (x), fm (x)) <

ε 2

(1.22)

Από τις προτάσεις 1.21,1.20 και 1.22, έχουµε ότι για κάθε n ≥ k και για κάθε

x ∈ X ισχύει

ρ(f (x), fn (x)) <

ε ε + =ε 2 2

άρα η {fn } συγκλίνει οµοιόµορφα στην f . Από το ϑεώρηµα 1.7.1 η f είναι συνεχής άρα ανήκει στο C(X, Y ) οπότε ο C(X, Y ) είναι πλήρης.  Ορισµός 1.7.3 ΄Εστω (X, ρ1 ) ένας κυρτός µετρικός υπόχωρος του µετρικού χώρου Rn και (Y, ρ2 ) είναι ο µετρικός χώρος Rm µε τη συνήθη µετρική. Η συνάρτηση f : X → Y λέγεται συσχετιζόµενη (affine) αν και µόνο αν ικανοποιεί

f (tx + (1 − t)y) = tf (x) + (1 − t)f (y) για κάθε x, y ∈ X και t ∈ [0, 1]


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

30

Πιο απλά η συσχετιζόµενη συνάρτηση είναι συνδυιασµός γραµµικού µετασχηµατισµού και παραλλήλης µεταφοράς. Πρόταση 1.7.2 Μια συσχετιζόµενη συνάρτηση f : [a, b] → R πρέπει να είναι της µορφής f (x) = αx + β όπου α, β ∈ R

Απόδειξη : Αν a = b τότε δεν έχει νόηµα να συζητάµε, οπότε υποθέτουµε ότι a < b. Τώρα αν x ∈ [a, b] τότε

x=

b−x x−a a+ b b−a b−a

που είναι της µορφής ta + (1 − t)b, t ∈ [0, 1]. ΄Αρα

f (x) = = αν

α= έχουµε το Ϲητούµενο. 

x−a b−x f (a) + f (b) b−a b−a f (b) − f (a) bf (a) − af (b) x+ b−a b−a

f (b) − f (a) , b−a

β=

bf (a) − af (b) b−a

Μια συνεχής καµπύλη στο µετρικό χώρο (X, ρ) είναι η εικόνα µιάς συνεχής συνάρτησης f : [0, 1] → X . Ορισµός 1.7.4 Μια συνεχής καµπύλη f [0, 1] στον Rn , όπου n ≥ 2 λέγεται γεµίϹουσα τον χώρο καµπύλη αν και µόνο αν η f [0, 1] περιέχει µια ανοιχτή µπάλα µε κέντρο x και ακτίνα r > 0, όπου x ∈ Rn .

1.8 Συστήµατα Αρίθµησης Ας δούµε το συνηθισµένο δεκαδικό σύστηµα αναπαράστασης των πραγµατικών αριθµών και πως αυτό µπορεί να γενικευτεί. ΄Εστω ότι έχουµε έναν αριθµό b που ϑα είναι η ϐάση του συστήµατός µας και ένα πεπερασµένο σύνολο D = {d1 , . . . , dk } που είναι τα ψηφία µας. Υποθέτουµε ότι το 0 είναι ένα από τα ψηφία. ΄Ενας ακέραιος αριθµός, για όλα τα συστήµατα, ϑα έχει την µορφή M X

a i bi

(1.23)

i=0

όπου ai ∈ D είναι ένα από τα ψηφία. Μη ακέραιος ϑα έχει την µορφή −1 X

a i bi

(1.24)

i=−∞

όπου ai ∈ D είναι κάποιο από τα ψηφία. Η γενική αναπαράσταση του αριθµού ϑα έχει την µορφή M X

i=−∞

a i bi

(1.25)


1.8. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

31

Για να συγκλίνουν οι αναπαραστάσεις 1.24 και 1.25 ϑα πρέπει να µπεί ο περιοϱισµός |b| > 1 Το συνηθισµένο δεκαδικό µας σύστηµα έχει

b = 10 και D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Το δυαδικό συστηµά αρίθµησης, που τόσο πολύ χρησιµοποιείται στην επιστήµη των Η/Υ, έχει b = 2 και D = {0, 1} Σ’ αυτές τις δύο περιπτώσεις ο τύπος 1.25 µπορεί να αναπαραστήσει όλους τους αριθµούς που ανήκουν στο [0, ∞). Και στις δύο περιπτώσεις οι αρνητικοί αριθµοί δεν µπορούν να αναπαρασταϑούν, για να λύσουµε το πρόβληµα απλά πολλαπλασιάζουµε τις σχέσεις 1.23, 1.24 και 1.25 µε το (−1). Το δεκαδικό και το δυαδικό σύστηµα έχουν την ιδιοµορφία ότι µερικοί αριθµοί έχουν δύο διαφορετικές αναπαραστάσεις, για παράδειγµα

1 = 0 · 100 +

−1 X

i=−∞

9 · 10i = 1 · 100 +

−1 X

i=−∞

0 · 10i .

Θα εξετάσουµε το τριαδικό σύστηµα αρίθµησης. Στο τριαδικό συστήµα έχουµε

b = 3 και D = {0, 1, 2} Για παράδειγµα

21 = 0 · 30 + 1 · 31 + 2·2 ϑα γράφουµε ότι 21 = (210)3 όπου ο δείκτης µας λέει πια είναι η ϐάση του συστήµατος (εννοείται ότι στο δεκαδικό σύστηµα το παραλείπουµε) και η ϑέση του ψηφίου δείχνει σε πια δύναµη ϑα είναι υψώµενη η ϐάση την οποία και ϑα πολλαπλασιάσει. Η ϑέση το ψηφίου µετριέται ϑετικά προς τα αριστερά από το κόµµα και αρνητικά προς τα δεξιά. Παράδειγµα :

7 = 9 1 = √4 2 =

0, 777 . . . = (0, 21)3 = 2 · 3−1 + 1 · 3−2 0, 25 . . . = (0, 020202020 . . .)3 1, 414213 . . . = (1, 102011 . . .)3 = 1 · 30 + 1 · 3−1 + 0 · 3−2 + 2 · 3−3 + · · ·

Μερικοί αριθµοί στο τριαδικό σύστηµα και ειδικά οι αριθµοί τις µορφής a/3k έχουν δύο διαφορετικές αναπαραστάσεις, για παράδειγµα

1 = (0, 1)3 = (0, 222 . . .)3 3 Πρόταση 1.8.1 ΄Εστω x ∈ [0, 1]. Τότε το x ∈ C(1/λ) (τριαδικό σύνολο Cantor ) αν και µόνο αν η αναπαράσταση του x στο τριαδικό σύστηµα αρίθµησης µπορεί να χρησιµοποιήσει µόνο τα ψηφία 0 και 2.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

32

Απόδειξη : Στην πρώτη ϑέση από δεξία (µετά το κόµµα) στην τριαδική αναπαράσταση είναι 1 αν και µόνο αν το x είναι ανάµεσα από

1 2 = (0, 1)3 και = (0, 1222 . . .)3 3 3 Τώρα το C1 (1/λ) = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1] οπότε, αφού C(1/3) ⊂ C1 (1/3), το πρώτο ψηφίο µετά το κόµµα για τα σηµεία που ανήκουν στο σύνολο C(1/3) δεν είναι 1 ( τα σηµεία 1/3 και 2/3 έχουν δύο αναπαραστάσεις, 1/3 = (0, 0222 . . .)3 και 2/3 = (0, 2)3 ). Η δεύτερη ϑέση σε τριαδική αναπαράσταση του σηµείου του συνόλου C1 (1/3) είναι 1 αν και µόνο αν ανήκει στα διαστήµατα (1/9, 2/9) ή (7/9, 8/9). Τώρα

          2 1 2 7 8 1 1 = 0, ∪ , ∪ , ∪ ,1 C2 3 9 9 3 3 9 9 οπότε τα σηµεία του C(1/3) δεν περιέχουν 1 ούτε στην δεύτερη ϑέση µετά το κόµµα. Συνεχίζοτας έτσι δείχνουµε ότι ένα σηµείο που ανήκει στο C(1/3) µπορεί να αναπαρασταθεί στην τριαδική µορφή χρησιµοποιώντας µόνο τα ψηφία 0 2 και καθόλου 1. 

Πρόταση 1.8.2 Το τριαδικό σύνολο Cantor , C(1/3), είναι υπεραριθµήσιµο. Τα στοιχεία του [0, 1] στην δυαδική αναπαράσταση είναι της µορφής x = 0, a1 a2 a3 . . . ai . . . όπου ai ∈ {0, 1}. Ορίζουµε το σύνολο A να περέχει όλα τα σηµεία του [0, 1] σε δυαδικη µορφή και σύνολο B όλα τα σηµεία του συνόλου Cantor , C(1/3) σε τριαδική µορφή, αλλά χωρίς να χρησιµοποιείται το ψηφίο 1 (από την προηγούµενη πρόταση µπορούµε να το κάνουµε). ∆ηλαδή αν y ∈ B τότε το y = 0, b1 b2 b3 . . . bi . . . όπου bi ∈ {0, 2}. Ορίζουµε ένα προς ένα και επί την συνάρτηση από το A στο B , που στέλνει το ai στο 0 αν ai είναι 0 και στο 2 αν το ai είναι 1. ΄Αρα το σύνολο B έχει το ίδιο πληθικό αριθµό στοιχείων µε το A, δηλαδή το [0, 1]. ΄Οµως το [0, 1] είναι υπεραριθµήσιµο. ΄Αρα το σύνολο C(1/3) είναι υπεραϱιθµήσιµο. 

Απόδειξη :

$

%

(*) + , $

%.-/(*) +#, $



%'&(*) +#, )

  

 $

 $

 $

 $

 $

 $

$ 

! $

"# $ 

$ $

%0( ) + ,

Σχήµα 1.2: Το τριαδικό σύνολο Cantor και τα πρώτα ϐήµατα κατασκευής του


1.9. ΜΕΤΡΙΚΗ HAUSDORFF

33

1.9 Μετρική Hausdorff ΄Εστω (X, ρ) είναι ένας µετρικός χώρος και A, B δύο υποσύνολά του X . Λέµε ότι A, B ϐρίσκονται σε απόσταση Hausdorff r µεταξύ τους αν και µόνο αν κάθε σηµείο του A ϐρίσκεται σε απόσταση r από κάποιο σηµείο του B και κάθε σηµείο του B είναι µέσα σε απόσταση r από κάποιο σηµείο του A. Η παραπάνω διατύπωση µπορεί να δηµιουργήσει µετρική (µετρική Hausdorff ) D. Ορισµός 1.9.1 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X . Τότε ορίζουµε την ανοιχτή r -περιοχή του A να είναι

N (A, r) = {y ώστε ρ(x, y) < r για όλα x ∈ A}

(1.26)

Ορισµός 1.9.2 ΄Εστω µετρικός χώρος (X, ρ) και A, B δύο υποσύνολα του X . Η συνάρτηση (απόσταση) Hausdorff είναι

D(A, B) = inf{r ώστε A ⊆ N (B, r) και B ⊆ N (A, r)}

(1.27)

΄Οµως ο ορισµός της συνάρτησης D δεν είναι πλήρης. Υπάρχουν διάφορα προβλήµατα. Για παράδειγµα, στο δυναµοσύνολο του R η απόσταση µεταξύ {0} και [0, ∞) είναι άπειρη, αυτό όµως δεν τηρεί την τριγωνική ανισότητα του ορισµού τις µετρικής 1.1.1 (D(0, [0, ∞)) > D(0, [0, 1]) + D([0, 1], [0, ∞)) ⇔ ∞ > 1 + 1). Οπότε ϑα πρέπει να περιορίσουµε την D σε ϕραγµένα υποσύνολα του X . Τώρα η απόσταση D({0}, ∅) πάλι είναι άπειρη και πάλι διαφωνεί µε τον ορισµό της µετρικής 1.1.1, ϑα περιορίσουµε την D σε µη κενά σύνολα. Τέλος η απόσταση D((a, b), [a, b]) = 0 όµως (a, b) 6= [a, b] που δεν συµφωνεί µε την προϋπόθεση (1) του ορισµού της µετρικής 1.1.1, οπότε ϑα περιορίσουµε την D σε κλειστά σύνολα. Στην πραγµατικότητα ϑα εφαρµόζουµε την συνάρτηση Hausdorff µόνο σε µη κένα συµπαγή σύνολα που όπως ϑα δείξουµε αµέσως µετά, σ’ αυτά τα σύνολα η D είναι µετρική. Αν ο (X, ρ) είναι ένας µετρικός χώρος, ϑα συµβολίζουµε K(X) την συλλογή όλων των µη κενών συµπαγή υποσυνόλων του X . Θεώρηµα 1.9.1 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος. Η συνάρτηση Hausdorff, D , είναι µια µετρική πάνω στο σύνολο K(X).

Απόδειξη : ΄Εστω A, B και C ∈ K(X). Το ότι D(A, B) ≥ 0 είναι τετριµένο, όπως και το γεγονός ότι D(A, B) = D(B, A). ΄Εστω A = B , τότε για κάθε ε > 0 έχουµε A ⊆ N (B, ε) οπότε D(A, B) = 0. ΄Εστω τώρα D(A, B) = 0. Αν x ∈ A, τότε για κάθε ε > 0, έχουµε ότι x ∈ N (B, ε) δηλαδή dist(x, B) = 0. Τώρα αφού B είναι συµπαγής (άρα και κλειστό) έχουµε ότι x ∈ B . ∆είξαµε ότι A ⊆ B . Οµοίως δείχνουµε ότι B ⊆ A και άρα A = B. Τέλος πρέπει να δείξουµε ότι ισχύει η τριγωνική ανισότητα. ΄Εστω ε > 0. Αν x ∈ A τότε υπάρχει y ∈ B ώστε ρ(x, y) < D(A, B) + ε. Τότε υπάρχει z ∈ C ώστε ρ(y, z) < D(B, C) + ε. ∆είξαµε δηλαδή ότι το A περιέχεται στην ((D(A, B) + D(B, C)) + 2ε)-περιοχή του C . Οµοίως το C περιέχεται στην ((D(A, B) + D(B, C)) + 2ε)-περιοχή του A. Συνεπώς

D(A, C) ≤ D(A, B) + D(B, C) + 2ε Αφού το ε είναι τυχαίος ϑετικός αριθµός έπεται ότι D(A, C) ≤ D(A, B)+D(B, C).




Κεφάλαιο 2

Θεωρία Μέτρου Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουµε τα ϐασικά στοιχεία της ϑεωρίας µέτρου. ΟρίϹουµε το µέτρο και παρουσιάζουµε ένα τρόπο παραγωγής του. Τα εργαλεία που κατασκευάζουµε και µελετάµε, ϑα µας είναι πολύ χρήσιµα στο επόµενο κεφάλαιο όπου ορίζουµε την διάσταση Hausdorff.

2.1 σ-άλγεβρα Οι σ-άλγεβρες αποτελούν το πεδίο ορισµού για την συνολοσυνάρτηση που ϑα ορίσουµε να καλείται µέτρο. Στην παράγραφο αύτη ϑα ασχοληθούµε µε την σάλγεβρα, ορίζοντας και µελετώντας διάφορες ιδιότητές της. Ορισµός 2.1.1 Μια οικογένεια A υποσυνόλων ενός συνόλου X λέγεται σ-άλγεβρα στο X αν ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες 1. X ∈ A, ∅ ∈ A 2. Αν A ∈ A τότε Ac ≡ X \ A ∈ A 3. Αν A1 , A2 , ... ∈ A τότε

T∞

An ∈ A

S∞

An ∈ A

n=1

Με την ιδιότητα (1) απαιτούµε το κενό σύνολο να ανήκει στην σ-άλγεβρα και µε τις ιδιότητες (2) και (3) απαιτούµε η σ-άλγεβρα να είναι κλειστή ως προς τα συµπληρώµατα και τις αριθµήσιµες τοµές αντίστοιχα. Ισοδύναµα, στην ϑέση της ιδιότητας (3) ϑα µπορούσαµε να Ϲητήσουµε να ικανοποιείται 3΄ Αν A1 , A2 , ... ∈ A τότε

n=1

δηλαδή η σ-άλγεβρα να είναι κλειστή ως προς αριθµήσιµες ενώσεις. c c Απόδειξη : Στην περίπτωση που ισχύει T∞ ηc (3) έχουµε A S1∞, A2 , ... c∈ A από την (2), τότε όµως από την (3) έχουµε n=1 An ∈ A ⇔ ( n=1 An ) ∈ A ⇔ S∞ n=1 An ∈ A.  Θα ορίσουµε τώρα την άλγεβρα. Ο λόγος που το κάνουµε είναι ότι σε µερικές περιπτώσεις η άλγεβρα ϑα αποτελεί το ενδιάµεσο στάδιο πριν την σ-άλγεβρα.

Ορισµός 2.1.2 Μια οικογένεια A υποσυνόλων ενός συνόλου X λέγεται άλγεβρα στο X αν ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες 35


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

36 1. X ∈ A, ∅ ∈ A 2. Αν A ∈ A τότε Ac ≡ X \ A ∈ A 3. Αν A1 , A2 , ..., An ∈ A, n ∈ N τότε

Tn

i=1

Ai ∈ A

΄Οπως είναι ϕανερό η µόνη διαφόρα της άλγεβρας από τη σ-άλγεβρα ϐρίσκεται στην ιδιότητα (3) η οποία απαιτεί η άλγεβρα να είναι κλειστή ως προς πεπερασµένες τοµές (όχι αριθµήσιµες όπως στην σ-άλγεβρα). Επιπλέον όπως και στην σ-άλγεβρα η τρίτη ιδιότητα είναι ισοδύναµη µε αριθµήσιµες ενώσεις έτσι και στην άλγεβρα µπορούµε να απαιτήσουµε, αντί της τρίτης ιδιότητας, η άλγεβρα να είναι κλειστή ως προς τις πεπερασµένες ενώσεις. Είναι προφανές ότι κάθε σ-άλγεβρα είναι και άλγεβρα. Το αντίθετο δεν ισχύει πάντοτε. Στην επόµενη πρόταση ϑα δείξουµε µια περίπτωση όταν µια άλγεβρα είναι σ-άλγεβρα. Πρόταση 2.1.1 ΄Εστω A άλγεβρα στο X . Αν για κάθε ακολουθία An ξένων ανά S∞ δύο στοιχείων της A ισχύει n=1 An ∈ A τότε η A είναι σ-άλγεβρα.

Απόδειξη : Αφού η A είναι άλγεβρα, αρκεί να δείξουµε ότι η A είναι κλειστή ως προς αριθµήσιµες τοµές ή ενώσεις (ϑα το κάνουµε για ενώσεις). ΄Εστω Bn ακολουθία στην A. S Θέτουµε An = Bn \ i<n Bi , n = 1, 2, .... Τότε An ∈ A, τα An είναι ξένα ανα S∞ S∞ δύο µεταξύ τους και i=1 Bn = i=1 An ∈ A.  Θα δώσουµε µερικά παραδείγµατα σ-άλγεβρων. Παράδειγµα : Για οποιοδήποτε σύνολο X η οικογένεια {∅, X} και το δυναµοσύνολο P(X) είναι σ-άλγεβρες στο X . Μάλιστα η πρώτη είναι η ελάχιστη και η δεύτερη η µέγιστη σ-άλγεβρα στο X

Παράδειγµα : ΄Εστω A = {A ⊂ N ώστε A πεπερασµένο ή N \ A πεπερασµένο} τότε η A είναι άλγεβρα αλλά όχι σ-άλγεβρα στο N ΄Εστω A οικογένεια υποσυνόλων του R για την οποία ισχύει A = {A ⊂ R ώστε A το πολύ αριθµήσιµο ή R \ A το πολύ αριθµήσιµο} τότε A είναι σ-άλγεβρα στο R

Παράδειγµα :

Θα διατυπώσουµε ένα ϑεώρηµα το οποίο µας εξασφαλίζει, πως ο ορισµός που ϑα δώσουµε στην συνέχεια για τα σύνολα Borel, έχει νόηµα. Θεώρηµα 2.1.1 Αν D είναι µια οικογένεια υποσυνόλων ενός συνόλου X , τότε υπάρχει η ελάχιστη σ-άλγεβρα F στο X τέτοια ώστε D ⊆ F .

Απόδειξη : Θα δείξω πως η τοµή σ-αλγεβρών στο X είναι και αυτή σ-άλγεβρα T στο X . ΄Εστω C µια συλλογή σ-αλγεβρών στο X και B = A∈C A είναι η τοµή των στοιχείων της. ΄Εχουµε πως ∅ ∈ B όπως επίσης και X ∈ B , αφού και τα δύο σύνολα ανήκουν σε όλες τις σ-άλγεβρες (οπότε ϑα ανήκουν και στην τοµή). Αν A ∈ B τότε A ϑα πρέπει να ανήκει σ’ όλες τις σ-άλγεβρες A ∈ C , οπότε και Ac ανήκει σ’ όλες τις σ-άλγεβρες A ∈ C , άρα η Ac ∈ B . Τέλος αν A1 , A2 , ... ∈ B τότε T A1 , AT2 , ... ∈ A για όλες τις A ∈ C , και άρα ∞ n=1 An ανήκει σ’ όλες τις A ∈ C , ∞ άρα n=1 An ∈ B


2.2. ΜΕΤΡΟ

37

΄Εστω σύνολο D υποσυνόλων του X , και έστω C η συλλογή σ-αλγεβρών του X , τέτοιο ώστε D ⊆ A, A ∈ C (υπάρχει τουλάχιστον µια τέτοια σ-άλγεβρα — το δυναµοσύνολο του X ). Τότε όµως η τοµή ∩A∈C A είναι η σ-άλγεβρα F στο X που ϑέλουµε. Θα λέµε πως F είναι η σ-άλγεβρα στο X που παράγεται από το D  Και τώρα ϑα ορίσουµε τα σύνολα Borel Ορισµός 2.1.3 ΄Εστω X µετρικός χώρος. ΄Ενα υποσύνολο του X ϑα λέγεται σύνολο Borel αν και µόνο ανήκει σε µια σ-άλγεβρα του X που παράγεται από ανοικτά σύνολα.

Παράδειγµα :

Στο Rn κάθε ανοιχτό ή κλειστό σύνολο είναι σύνολο Borel

Πρόταση 2.1.2 Η ένωση ή η τοµή κάθε πεπερασµένης η αριθµήσιµης συλλογής συνόλων Borel είναι σύνολο Borel Λογική συνέπεια είναι ότι οποιοδήποτε σύνολο του R που µπορεί να κατασκευαστεί χρησιµοποιώντας µια ακολουθία αριθµήσιµων ενώσεων ή τοµών ανοιχτών ή κλειστών συνόλων σίγουρα ϑα είναι σύνολο Borel

2.2 Μέτρο Η έννοια του µέτρου έρχεται όταν χρειάζεται να συγκρίνουµε τα σύνολα. Ξέρουµε να µετράµε διαστήµατα µέσα στο R, πχ το διάστηµα [a, b] έχει µέτρο (µήκος) b − a. Το ϑέµα είναι τι γίνεται όταν τα σύνολά µας δεν είναι διαστήµατα, ούτε ένωση διαστηµάτων και πιο γενικά ούτε καν ανήκουν στα συµβατικά σύνολα που χρησιµοποιούµε, όπως R, R2 , κτλ (π.χ. σύνολο ανθρώπων). Θα ορίσουµε µια κλάση συναρτήσεων που κάθε µια ϑα αποκαλούµε µέτρο, οι οποίες ϑα παίρνουν ένα σύνολο και ϑα το αντιστοιχούν σε έναν µη αρνητικό πραγµατικό αριθµό. Θα προσπαθήσουµε να ϐάλουµε και κάποιους περιορισµούς έτσι ώστε το αποτέλεσµα που ϑα µας δίνει το µέτρο να παρουσιάζει ενδιαφέρον, δηλαδή να εκφράζει κάποιο είδος (τρόπο) σύγκρισης. Ορισµός 2.2.1 ΄Εστω X σύνολο και A σ-άλγεβρα στο X . Μια συνολοσυνάρτηση M : A → [0, ∞] λέγεται µέτρο αν ικανοποιεί τις ιδιότητες : 1. M(∅) = 0, 2. Για οποιαδήποτε ακολουθία An ∈ A ξένων ανά δύο στοιχείων να ισχύει

M

[

n∈N

An

!

=

∞ X

n=1

M(An )

Η ιδιότητα (2) λέγεται αριθµήσιµη προσθετικότητα ή σ-προσθετικότητα. Θα παρουσιάσουµε στην συνέχεια κάποιες χρήσιµες ιδιότητες του µέτρου. Πρόταση 2.2.1 ΄Εστω X σύνολο, A σ-άλγεβρα σ’ αυτό και M µέτρο που ορίζεται στην A. Αν A, B ∈ A και A ⊂ B τότε M(A) ≤ M(B). Αν επιπλέον M(A) < ∞ τότε M(B \ A) = M(B) − M(A)


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

38

΄Εχουµε A ⊂ B τότε όµως A και B \ A είναι ξένα µεταξύ τους και B \ A = B ∩ Ac ∈ A (αφού A είναι σ-άλγεβρα). Από την στιγµή που το µέτρο M είναι σ-προσθετικό ισχύει M(B) = M(A ∪ (B \ A)) = M(A) + M(B \ A) (και αφού το µέτρο είναι µη αρνητική συνάρτηση εχούµε δηλαδή M(B \ A) ≥ 0) ⇒ M(B) ≥ M(A). Για την δεύτερη σχέση απαιτούµε το µέτρο του A να είναι πεπερασµένο γιατί αλλιώς δεν έχει νόηµα η Ϲητούµενη ισότητα. 

Απόδειξη :

Η παραπάνω πρόταση µας λέει πως το µέτρο M είναι µονότονη συνάρτηση. Παράδειγµα : ΄Εστω X σύνολο, P(X) δυναµοσύνολο του X , x ένα στοιχείο του X και η συνάρτηση Mx : P(X) → R  0 αν x ∈ /A Mx (A) = για κάθε A ∈ A 1 αν x ∈ A Το Mx είναι µέτρο. Αυτό γιατί το δυναµοσύνολο του Χ είναι σ-άλγεβρα και ισχύει Mx (∅) = 0 αφού x ∈ / ∅ και επιπλέον αν έχουµε A1 , A2 , ... ⊆ X (όποτε ανήκουν και στο δυναµοσύνολο του Χ) ξένα ανά δυο µεταξύ τους και x ανήκει σε ένα από αυτά (ακριβώς σ’ενα γιατί είναι ξένα µεταξύ τους) ή δεν ανήκει σε κανένα, τότε το x ϑα ανήκει ή δεν ϑα ανήκει στην ∪n∈N An αντίστοιχα. ΄Αρα αν x δεν ανήκει P∞ σε n=1 Mx (An ) = 0 αλλιώς Mx (∪n∈N An ) = P κανένα τότε Mx (∪n∈N An ) = ∞ n=1

Mx (An ) = 1

Το Mx καλείται µοναδιαίο µέτρο συγκεντρωµένο στο x ή µέτρο Dirac στο σηµείο x.

Παράδειγµα : ΄Εστω N σύνολο ϕυσικών αριθµών και P(N) δυναµοσύνολο του N. Ορίζουµε την συνολοσυνάρτηση M : P → [0, +∞] να είναι το πλήθος των στοιχείων του A αν το A εχει πεπερασµένα στοιχεία και ∞ αν το A έχει άπειρα στοιχεία για κάθε A ∈ P . Είναι εύκολο να δει κανείς πως η συνάρτηση M είναι µέτρο. Τα µέτρα που παρουσιάσαµε στα παράδειγµατα είναι σχετικά απλά. Για να κατασκευάσουµε πιο πολύπλοκα και γενικά πιο ενδιαφέροντα µέτρα ϑα χρειαστεί µια µέθοδος κατασκευής τους. Για το λόγο αυτό εισάγουµε την έννοια του εξωτερικού µέτρου το οποίο όπως ϑα δούµε παρακάτω, υπό κατάλληλες συνθήκες µπορεί να γίνει µέτρο. Το εξωτερικό µέτρο ϑα είναι µια µη-αρνητική, µονοτονική και σ-υποπροσθετική συνολοσυνάρτηση που στέλνει το κενό σύνολο στο µηδέν. Ορισµός 2.2.2 ΄Εστω X ένα σύνολο και P(X) το δυναµόσυνολο του. Μια συνολοσυνάρτηση M : P(X) → [0, ∞] λέγεται εξωτερικό µέτρο στο X αν ικανοποιεί τις ιδιότητες 1. M(∅) = 0 2. αν A ⊆ B ⊆ X , τότε M(A) ≤ M(B) 3. Για οποιαδήποτε ακολουθία An ∈ X ισχύει

M

[

n∈N

An

!

∞ X

n=1

M(An )


2.2. ΜΕΤΡΟ

39

Η ιδιότητα (3) λέγεται αριθµήσιµη υποπροσθετικότητα ή σ-υποπροσθετικότητα. Η διαφορά λοιπόν του εξωτερικού µέτρου από το µέτρο είναι, πρώτον το εξωτερικό µέτρο δεν είναι κατ’ ανάγκη σ-προσθετικό και δεύτερον το εξωτερικό µέτρο ορίζεται στην µεγίστη σ-άλγεβρα (δυναµοσύνολο) του συνόλου και όχι σε οποιαδήποτε όπως το µέτρο. Θα δώσουµε µια πρώτη γεύση του πως χρησιµοποιούµε το εξωτερικό µέτρο. Ο τρόπος σκέψης στην κατασκευή του µέτρου Lebesgue είναι παρόµοιος µε την γενική µέθοδο κατασκευής που ϑα χρησηµοποιήσουµε για να ορίσουµε το µέτρο Hausdorff.

2.2.1

Μέτρο Lebesgue

Μια χρήσιµη γενίκευση της ιδέας του µήκους ενός υποσυνόλου του R είναι µέτρο Lebesgue του συνόλου. Ορισµός 2.2.3 Το εξωτερικό µέτρο Lebesgue, συµβολισµός L, στο R ορίζεται ως εξής L : P(R) → [0, ∞] µε

L(A) = inf

( X i∈N

(bi − ai ) ώστε A ⊂

[

i∈N

[ai , bi ) µε ai , bi ∈ R και ai < bi

)

∆ηλαδή το εξωτερικό µέτρο Lebesgue ενός συνόλου A είναι το κάτω πέρας του αθροίσµατος των µήκων των ηµιανοιχτών διαστηµάτων, η ένωση των οποίων αποτελεί κάλυψη για το σύνολο A. Μπορούµε να τροποποιήσουµε λίγο τον ορισµό του εξωτερικού µέτρου Lebesgue, παίρνοντας το κάτω πέρας πάνω σε σύνολο αθροισµάτων των ηµιανοιχτών διαστηµάτων που το µήκος τους είναι µικρότερο από ένα ϑετικό αριθµό. Λήµµα 2.2.1

L(A) = inf Απόδειξη :

(

X i∈N

(bi − ai ) ώστε A ⊂

[

i∈N

[ai , bi ) και bi − ai ≤ ε, ε > 0

)

Κάθε διάστηµα [a, b) µπορεί να γραφτεί σαν ένωση m−1 [ n=0

([a + nε, a + (n1 )ε)) ∪ [a + mε, b)

όπου m είναι το ακέραιο µέρος του b − a/ε.  Θα δείξουµε τώρα ότι το εξωτερικό µέτρο Lebesgue που µόλις ορίσαµε είναι όντως εξωτερικό µέτρο. Πρόταση 2.2.2 Το εξωτερικό µέτρο Lebesgue ενός υποσυνόλου A του R είναι εξωτερικό µέτρο στο R.

Απόδειξη : Βάσει του ορισµού 2.2.3 ήδη ισχύει πως το L είναι µη αρνητική και ορίζεται στο δυναµοσύνολο του R. Αρκεί να δείξουµε τις τρεις ιδιότητες του ορισµού 2.2.2. P∞ P∞ i ΄Εστω ε > 0 και ai < bi ώστε bi −ai < ε/2i τότε i=1 (bi −ai ) < ε i=1 (1/2) = ε άρα L(∅) < ε για κάθε ε > 0 άρα L(∅) = 0.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

40

΄Εστω A ⊆ B ⊆ R τότε κάθε κάλυψη του P B είναι και κάλυψη του A, το αντίστροφο δεν ισχύει. ΄Αρα το σύνολο KB = i∈N (bi − ai ) : B ⊂ ∪i∈N [ai , bi ) είναι υποσύνολο του αντίστοιχου συνόλου KA . ΄Οµως αν KB ⊆ KA τότε inf(KA ) ≤ inf(KB ) δηλαδή L(A) ≤ L(B) ΄Εστω A1 , A2 , ... ∈ R πρέπει να δείξουµε ότι το L είναι σ-υποπροσθετικό δηλαδή !

L

[

An

n∈N

X

n∈N

L(An )

P L(An ) = ∞ η ανισότητα είναι προφανής. ΄Εστω λοιπόν ότι n∈N L(An ) < ∞ και ένα τυχαίο ε > 0, επιλέγουµε για κάθε n µια κάλυψη Dn του An που αποτελείται από ακολουθία διαστηµάτων {[an,i , bn,i )}i∈N και είναι ώστε

Αν

P

n∈N

X ε (bn,i − an,i ) < L(An ) + n 2 i∈N

αφού µιλάµε για αριθµήσιµο πλήθος καλύψεων ισχύει ∪n∈N An ⊂ ∪n∈N Dn = ∪n,i∈N [an,i , bni ) και

L

[

An

n∈N

!

= ≤ = ≤ =

 

 X

(bn,i − an,i )   n,i∈N X (bn,i − an,i )

inf

n,i∈N ∞ X ∞ X

n=1 i=1 ∞ X

(bn,i − an,i )

(L(An ) +

n=1 ∞ X

n=1

ε ) 2n

L(An ) + ε

Από την στίγµή που ε είναι οποιοσδήποτε ϑετικός αριθµός έπεται ότι

L

[

n∈N

An

!

∞ X

n=1

L(An )

και άρα το L είναι εξωτερικό µέτρο.  ΄Εχοντας ορίσει το L δεν σηµαίνει ότι παρουσιάζει κάποιο ενδιαφέρον. Θα δείξουµε στην παρακάτω πρόταση ότι το εξωτερικό µέτρο Lebesgue στέλνει τα διαστήµατα του R στο µήκος τους. Πρόταση 2.2.3 Ισχύει ότι στο R

L([a, b]) = L([a, b)) = L((a.b]) = L((a, b)) = b − a για κάθε a, b ∈ R µε a ≤ b, και L(A) = ∞ αν το διάστηµα A είναι απέραντο. Με άλλα λόγια αν A είναι διάστηµα τότε L(A) είναι το µήκος του A.


2.2. ΜΕΤΡΟ

41

Απόδειξη : ΄Εστω a, b ∈ R, a ≤ b και ε > 0. Για το κλειστό διάστηµα [a, b] έχουµε ότι το σύνολο [a, b+ε) το καλύπτει οπότε από τον ορισµό 2.2.3 L([a, b]) ≤ b−a+ε. Αυτό ισχύει για όλα τα ε > 0 άρα ισχύει

L([a, b]) ≤ b − a

(2.1)

0 n ΄Εστω τώρα [a, b] ⊆ ∪∞ n=1 [an , bn ) και ε > 0, ϑέτω an = an − ε/2 τότε [a, b] ⊆ ∞ 0 ⊆ ∪n=1 (an , bn ) όµως [a, b] είναι κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του R άρα από ϑέωρηµα 1.5.5 είναι συµπαγές και από τον ορισµό 1.5.4 της 0 συµπάγειας υπάρχει m ∈ N ώστε [a, b] ⊆ ∪m n=1 (an , bn ). Ισχυρίζοµαι ότι ισχύει

∪∞ n=1 [an , bn )

b−a≤

m X

n=1

(bn − a0n )

(2.2)

Θα δείξουµε την ανισότητα 2.2 µε επαγωγή. Για m = 1 έχουµε [a, b] ⊂ (a01 , b1 ) οπότε a01 < a < b < b1 άρα b − a < b1 − a01 . ΄Εστω τώρα πως ισχύει για m = k , δηλαδή αν [a, b] ⊆ ∪kn=1 (a0n , bn ) τότε b − a ≤ Pk 0 n=1 (bn − an ). Πρέπει να δείξω ότι ισχύει για m = k + 1. ΄Εστω λοιπόν [a, b] ⊆

Pk+1

0 n=1 (an , bn )

τότε αν κάποιο από τα διαστήµατα (a0n , bn ) είναι ξένο µε το [a, b] µπόρει να παραλειφθεί από την κάλυψη, ϑα έχουµε όµως τότε k διαστήµατα, για k διαστήµατα έχουµε υποθέσει ότι ισχύει η ανισότητα 2.2. Μπορούµε εποµένως να υποθέσουµε πως (a0n , bn ) ∩ [an , bn ] 6= ∅ για όλα τα n. Από όλα τα a0n ϑα υπάρχει το µικρότερο. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας το µετονοµάζουµε σε a01 τότε και αφού το a καλύπτεται, ισχύει a01 < a, αν παράλληλα ισχύει πως b1 > Pk+1 0 b τότε b − a < b1 − a01 ≤ n=1 (bn − an ) όποτε δείξαµε την ανισότητα 2.2. 0 Υποθέτουµε λοιπόν b1 < b. Αφού (a1 , b1 ) τέµνει το [a, b] έχουµε b1 ≥ a, άρα b1 ∈ [a, b]. Τουλάχιστον ένα από τα διαστήµατα (a0n , bn ), έστω (a02 , b2 ), καλύπτει το b1 . Ενώνοντας (a01 , b1 ) ∪ (a02 , b2 ) παίρνουµε κάλυψη µε k διαστήµατα. Υποθέσαµε προηγουµένως ότι για k διαστήµατα η ανισότητα 2.2 ισχύει, άρα από µαθηµατική επαγωγή ισχύει η ανισότητα 2.2. P∞ η ανισότητα 2.2, ισχύει και b−a ≤ n=1 (bn −a0n ). Οπότε έχουµε P P P∞Αφού ισχύει ∞ 0 ε/2n ) = ∞ n=1 (bn − an −P n=1 (bn − an ) − ε ≥ b − a − ε, αυτό n=1 (bn − an ) ≥ ∞ (b − a ισχύει για κάθε ε > 0 άρα έχουµε n n ) ≥ b − a δηλαδή n=1

L([a, b]) ≥ b − a

(2.3)

από τις 2.1 και 2.3 έπεται ότι L([a, b]) = b − a. Στην συνέχεια ϑα υπολογίσουµε το ανοιχτό διάστηµα (a, b). ΄Εχουµε δείξει στην πρόταση 2.2.2 ότι L είναι εξωτερικό µέτρο άρα ισχύει η ιδιότητα (2) του ορισµού 2.2.2 του εξωτερικού µέτρου. Τώρα έχουµε πως (a, b) ⊂ [a, b] ⇒ L((a, b)) ≤ L([a, b]) = b − a. Αρκεί να δείξουµε ότι L((a, b)) ≥ b − a. Για ε > 0 ισχύει [a + ε/2, b − ε/2] ⊂ (a, b) ⇒ b − a − ε ≤ L((a, b)), το ε είναι όσο µικρό ϑέλουµε άρα L((a, b)) ≥ b − a. ∆ηλαδή L((a, b)) = b − a. Τώρα (a, b) ⊂ (a, b] ⊂ [a, b] ⇒ b − a ≥ L((a, b]) ≤ b − a. Ακριβώς για το ίδιο λόγο ισχύει L([a, b)) = b − a. Τέλος αν έχουµε A µη ϕραγµένο διάστηµα τότε περιέχει [a, b], a < b µε οσοδήποτε µεγάλο µήκος. Από την ιδιότητα (2) του ορισµού 2.2.2 του εξωτερικού µέτρου έπεται L(A) = ∞.  ΄Αµεσα µπορούµε να ισχυριστούµε ότι κάθε ϕραγµένο υποσύνολο του R έχει πεπερασµένο εξωτερικό µέτρο Lebesgue. Αφού κάθε ϕραγµένο υποσύνολο A του


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

42

R περιέχεται σε κάποιο διάστηµα [−M, M ] M ∈ R και από την στιγµή που το εξωτερικό µέτρο Lebesgue είναι εξωτερικό µέτρο, δηλαδή ισχύει η ιδιότητα (2), έχουµε ότι L(A) ≤ 2M . Πρόταση 2.2.4 ΄Εστω A, B ∈ R µε dist(A, B) > 0, τότε L(A∪B) = L(A)+L(B)

Απόδειξη : ΄Εχουµε ότι L(A ∪ B) ≤ L(A) + L(B) αφού το εξωτερικό µέτρο Lebesgue είναι σ-υποπροσθετικό. Αρκεί να δείξουµε ότι L(A∪B) ≥ L(A)+L(B). ΄Εστω ε = dist(A, B)/2 και έστω A ∪ B ⊆ ∪i∈N [ai , bi ), όπου bi − ai ≤ ε για όλα τα i. Τότε κάθε διάστηµα D = [ai , bi ) τέµνει το πολύ ένα από τα σύνολα A, B . ΄Οποτε η συλλογή D = {[ai , bi ) ώστε i ∈ N} µπορεί να διασπαστεί σε δύο ξένες µεταξύ τους συλλογές D = D1 ∪ D2 όπου D1 καλύπτει το A και D2 καλύπτει το P P B . Τώρα L(A) ≤ D∈D1 L(D) και L(B) ≤ D∈D2 L(D), άρα

L(A) + L(B) ≤

= =

X

D∈D1

X

D∈D ∞ X i=1

L(D) +

X

D∈D2

L(D)

L(D)

(bi − ai ) P

Πέρνοντας το κάτω πέρας, έχουµε L(A) + L(B) ≤ inf{ i∈N (bi − ai ) ώστε (A ∪ B) ⊆ ∪i∈N [ai , bi ) και bi − ai ≤ ε} από το λήµµα 2.2.1 έχουµε

L(A) + L(B) ≤ L(A ∪ B) 

Πρόταση 2.2.5 Το εξωτερικό µέτρο Lebesgue ενός υποσυνόλου A του R είναι ίσο µε το εξωτερικό µέτρο Lebesgue του ελαχίστου ανοιχτού συνόλου που το περιέχει. ∆ηλαδή  L(A) = inf L(U ) ώστε A ⊆ U και U ανοιχτό σύνολο

Απόδειξη : Από την ιδιότητα (2) του ορισµού 2.2.2 του εξωτερικού µέτρου και την υπόθεση οτι A ⊆ U έχουµε ότι L(A) ≤ inf{L(U )}. Αρκεί να δείξουµε ότι

L(A) ≥ inf{L(U )}

(2.4)

Αν το L(A) = ∞ είναι τετριµένη. Υποθέτουµε L(A) < ∞ και για ε > 0. Υπάρχει P∞ κάλυψη ∪n∈N [an , bn ) του A ώστε (b − an ) ≤ L(A) + n=1 n Pε. Τώρα το σύνολο U = ∪n∈N (an − ε/2n , bn ) είναι ανοιχτό, A ⊂ U και L(U ) ≤ ∞ n=1 (bn − an ) − ε ≤ L(A) + 2ε. ΄Αρα L(A) + 2ε ≥ L(U ) και η ανισότητα 2.4 ισχύει.  Η προηγούµενη πρόταση 2.2.5 προσδιορίζει προσεγγιστικά από έξω το εξωτέϱικο µέτρο L(A) ενός συνόλου A ⊂ R χρησιµοποιόντας ανοιχτά σύνολα. Μποϱούµε ανάλογα να ορίσουµε το εσωτερικό µέτρο Lebesgue που ϑα προσεγίζει το σύνολο από µέσα. Σ’αύτην την περίπτωση όµως, χρησιµοποιούµε συµπάγεις σύνολα (και όχι ανοιχτά όπως προηγουµένος).


2.2. ΜΕΤΡΟ

43

Ορισµός 2.2.4 ΄Εστω A ⊆ R. Το εσωτερικό µέτρο Lebesgue του συνόλου A είναι L(A) = sup{ L(K) ώστε K ⊂ A και K συµπαγής } Με άλλα λόγια, το εσωτερικό µέτρο Lebesgue του σύνολου A ισούται µε το εξωτερικό µέτρο Lebesgue του «µεγαλύτερου» συµπαγούς σύνολου K που χωράει στο A. Λέγοντας «µεγαλύτερο» εννοούµε ότι όλα τα υπόλοιπα συµπαγείς υποσύνολα του A είναι υποσύνολα του K . Λήµµα 2.2.2 Το εσωτερικό µέτρο Lebesgue είναι µονότονη συνάρτηση, δηλαδή αν A ⊂ B ⊂ R τότε L(A) ≤ L(B).

Απόδειξη : ΄Εχουµε ότι το K ⊂ A ⊂ B , οπότε όσα συµπαγή σύνολα K χρησιµοποιούµε για να πάρουµε το L(A) ως άνω πέρας του συνόλου που παράγεται από τα L(K), χρησιµοποιούµε για να πάρουµε το L(B), µε την διαφορά ότι ενδέχεται (αφου A ⊂ B ) να υπάρχουν και άλλα συµπαγή σύνολα K που είναι υποσύνολα του B αλλά όχι του A. Από την στιγµή που µιλάµε για άνω πέρας ισχύει L(A) ≤ L(B).  Θα χρειαστούµε ξανά κάποιο λόγο που να µας ενδιαφέρει η κατασκευή που ϕτιάξαµε Πρόταση 2.2.6 Αν A ένα υποσύνολο του R είναι διάστηµα τότε το εσωτερικό µέτρο Lebesgue του A είναι το µήκος του διαστήµατος.

Απόδειξη : ΄Εστω A = [a, b], τότε όµως A από το ϑεώρηµα 1.5.1 είναι συµπαγής και ισχύει L(A) = L(A) = b − a. Αυτό γιατί L είναι εξωτερικό µέτρο και ισχύει L(A) ≥ L(K) για όλα συµπαγή υποσυνολα K του A. ΄Εστω τώρα A = (a, b). Αν K ⊆ A είναι συµπαγής, τότε το K καλύπτεται από το διάστηµα A, δηλαδή L(K) ≤ L(A) = b − a. ΄Αρα L(A) ≤ b − a. Από την άλλη, αν ε > 0 τότε το σύνολο [a + ε, b − ε] είναι συµπαγής, και L(A) ≥ L[a + ε, b − ε] = b − a − 2ε. Αυτό ισχύει για όλα τα ϑετικά ε, άρα L(A) ≥ b − a. ∆ηλαδή L(A) = b − a. ΄Εχουµε δείξει στο λήµµα 2.2.2 ότι το εσωτερίκο µέτρο Lebesgue είναι µονότονη συνάρτηση άρα για το διάστηµατα (a, b] ισχυει (a, b) ⊂ (a, b] ⊂ [a, b] ⇒ b − a = L((a, b)) ≤ L((a, b]) ≤ L([a, b]) = b − a ⇒ L((a, b]) = b − a. Οµοίως ισχύει ότι L([a, b)) = b − a.  Πρόταση 2.2.7 Για A ⊂ R ισχύει

L(A) ≤ L(A)

(2.5)

Αν L(A) = ∞ η ανισότητα 2.5 ισχύει. Υποθέτουµε λοιπόν ότι L(A) < ∞. ΄Εστω K συµπαγής και από την ιδιότητα (2) του ορισµού 2.2.2 του εξώτερικου µέτρου ισχύει ότι K ⊆ A ⇒ L(K) ≤ L(A) ⇒ sup{L(K)} ≤ L(A) ⇒ L(A) ≤ L(A) 

Απόδειξη :

Εν γένει η ισότητα L(A) = L(A) δεν ισχύει, αλλα οταν ισχύει λέµε ότι το σύνολο A είναι Lebesgue µετρήσιµο. Πιο αυρτηρός µαθηµατικός ορισµός είναι


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

44

Ορισµός 2.2.5 Αν L(A) < ∞, καλούµε το σύνολο A Lebesgue µετρήσιµο αν L(A) = L(A) και κοινή τιµή λέγεται µέτρο Lebesgue . Στην περίπτωση που L(A) = ∞ τότε το A είναι Lebesgue µετρήσιµο αν και µόνο αν A ∩ [−n, n] είναι Lebesgue µετρήσιµο για όλα τα n ∈ N και το µέτρο Lebesgue ισούται µε το άπειρο. Γράφουµε L(A) για την κοινή τιµή του µέτρου Lebesgue. Πόρισµα 2.2.1 Κάθε διάστηµα στο R είναι Lebesgue µετρήσιµο. Για ϕραγµένα διαστήµατα A από προτάσεις 2.2.3 και 2.2.6 ισχύει L(A) = L(A) = L(A) < ∞. Αν το διάστηµα A δεν είναι ϕραγµένο τότε από τον ορισµό του εξωτερικού µέτρου Lebesgue L(A) = ∞. Η τόµη A ∩ [−n, n] για όλα τα n ∈ N είναι ϕραγµένο διάστηµα, άρα και Lebesgue µετρήσιµο. 

Απόδειξη :

Θεώρηµα 2.2.1 ΄Εστω A1 , A2 , ... είναι ξένα µεταξύ τους Lebesgue µετρήσιµα σύνολα. Τότε η ένωση τους, ∪n∈N An , είναι µετρήσιµο σύνολο και ισχύει L(∪n∈N An ) = P n∈N (LAn ).

Απόδειξη : Για L(∪∞ n=1 An ) < ∞, ϐάσει ορισµού, το µέτρο Lebesgue ισούται µε το εξωτερικό µέτρο Lebesgue, οπότε όλες οι ιδιότητες του εξώτερικου µέτρου ισχύουν και γι’ αυτό,P συγκεκριµένα µας ενδιαφέρει η σ-υποπροσθετικότητα, δη∞ λαδή L(∪∞ A ) ≤ n=1 n n=1 L(An ). ΄Εστω ε > 0, πέρνουµε για όλα τα n ∈ N ένα συµπαγής υποσύνολο Kn του An έτσι ώστε L(Kn ) ≥ L(An ) − ε/2n . Τώρα τα σύνολα Kn είναι ξένα µεταξύ τους (εξ’ υποθέσεως τα An είναι ξένα µεταξύ τους) Pm και είναι συµπαγείς, άρα ισχύει ότι L(∪m n=1 Kn ) = n=1 L(Kn ) από την πρόP m ταση 2.2.4. Οπότε L(∪m A ) ≥ L(K ) από τον ορισµό του εσωτερικού n n=1 n n=1 P∞ µέτρου. Αυτό ισχύει για όλα τα m ∈ N, άρα L(∪∞ A n=1 n ) ≥ n=1 L(Kn ) ≥ P∞ P∞ P ∞ n L(A ) − (ε/2 ) = L(A ) − ε . Αυτό ισχύει για κάθε ε > 0, άρα n P n=1 n n=1 n=1 ∞ L ∪∞ A ≥ L(A ) . n n=1 n n=1 Μάζι µε την πρόταση 2.2.7 δείξαµε ότι ∪∞ n=1 An είναι Lebesgue µετρήσιµο και

L(∪∞ n=1 An ) =

∞ X

n=1

L(An )

Αν L(∪∞ n=1 An ) = ∞, εφαρµόζουµε την πάνω απόδειξη για τα σύνολα An ∩[−n, n].



Πρόταση 2.2.8 Συµπαγοί, κλειστά και ανοιχτά υποσύνολα του R είναι Lebesgue µετρήσιµα.

Απόδειξη : ΄Εστω A είναι συµπαγή υποσύνολο του R, τότε A είναι ϕραγµενο οπότε A ⊂ [−n, n] για κάποιο n ∈ N, άρα L(A) < ∞. Συµπαγη σύνολο A είναι υποσυνολο του A, άρα L(A) ≥ L(A). Μαζί µε την πρόταση 2.5 ισχύει η ισότητα, άρα A είναι Lebesgue µετρήσιµο. ΄Εστω τώρα A είναι κλειστό υποσύνολο του R, τότε για κάθε n ∈ N, η τοµή A∩[−n, n] είναι συµπαγή από ϑεώρηµα 1.5.5 ως κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του R. ΄Αρα το A είναι Lebesgue µετρήσιµο Τέλος έστω A είναι ανοιχτό υποσύνολο του R. Κάθε ανοιχτό υποσύνολο του R µπόρει να γραφτεί ως ένωση ανοιχτών διαστηµάτων, A = ∪i∈N Ij . Τώρα κάθε n−1 σύνολο In \ ∪i−1 Ii είναι µια ένωση από πεπερασµένα διαστήµατα έτσι ώστε το


2.2. ΜΕΤΡΟ

45

σύνολο A να είναι αριθµήσιµη ένωση ξένων µεταξύ τους Lebesgue µετρήσιµων συνόλων, άρα το σύνολο A είναι Lebesgue µετρήσιµο.  Θεώρηµα 2.2.2 ΄Εστω A υποσύνολο του R. Τότε το A είναι Lebesgue µετρήσιµο αν και µόνο αν για κάθε ε > 0, υπάρχει ανοιχτό σύνολο U και κλειστό σύνολο F έτσι ώστε F ⊆ A ⊆ U και L(U \ F ) < ε.

Απόδειξη : ΄Εστω πρώτα ότι το A είναι Lebesgue µετρήσιµο. Θεωρούµε στην αρχή ότι L(A) < ∞. Τότε υπάρχει ανοιχτό σύνολο U ⊇ A ώστε L(U ) < L(A) + ε/2. Υπάρχει συµπαγής (άρα και κλειστό) σύνολο F ⊆ A ώστε L(F ) > L(A) − ε/2. Τώρα U \ F είναι ανοικτό σύνολο, οπότε και µετρήσιµο από την πρόταση 2.2.8 και F συµπαγής, οπότε και αύτο µετρήσιµο. Από το ϑεώρηµα 2.2.1 ισχύει ότι L(U ) = L(U \ F ) + L(F ), όµως όλα τα σύνολα είναι Lebesgue µετρήσιµα οπότε έχουµε.

L(U ) = L(U \ F ) + L(F ) ⇔ L(U \ F ) = L(U ) − L(F ) ε ε < L(A) + − L(A) + 2 2 = ε Τώρα αν L(A) = ∞, από τον ορισµό έχουµε ότι τα σύνολα A ∩ [n, −n] είναι Lebesgue µετρήσιµα για όλα τα n ∈ N (µάληστα το µέτρο Lebesgue τους είναι πεπερασµένο). Θα υπάρχουν ανοιχτά σύνολα Un ⊇ A ∩ [n, −n] και συµπάγοι Fn ⊆ A ∩ [n, −n] ώστε L(Un \ Fn ) ≤ ε/2n (το δείξαµε πιο πάνω). Τώρα U = ∪n∈N Un είναι ανοιχτό σύνολο και

F =

[

n∈N

(Fn ∩ ([−n, −n + 1] ∪ [n − 1, n]))

είναι κλείστο. Είναι ϕανερό ότι F ⊆ A ⊆ U και U \ F ⊆ ∪n∈N (Un \ Fn ). Οπότε P∞ n=1 (L(Un \ Fn )) < ε (µέτρο Lebesgue όταν είναι πεπερασµένο είναι ίσο µε το εξωτερικό µέτρο Lebesgue , άρα ισχύει η υποπροσθετικότητα). Αντίστροφα, έστω τα σύνολα U και F υπάρχουν. υποθέτουµε πρώτα ότι L(A) < ∞. Τότε L(F ) ≤ L(A), αφού F ⊆ A. Επιδή L(U ) ≤ L(U \ F ) + L(F ), έχουµε L(A) ≤ L(U ) < ε + L(F ) ≤ ε + L(A) ⇒ L(A) ≤ L(A) και από την πρόταση 2.2.7 έχουµε ότι L(A) = L(A) άρα A είναι Lebesgue µετρήσιµο σύνολο. Αν L(A) = ∞, ϑέλουµε να δείξουµε ότι τα σύνολα A ∩ [−n, n] είναι Lebesgue µετρήσιµα για όλα τα n ∈ N, κατι το οποίο όµως ισχύει αφού A ∩ [−n, n] είναι ϕραγµενα άρα και το εξωτερικό µέτρο Lebesgue τους είναι περπερασµένο. Εφαρµόζοντας την πιο πάνω περιπτωση, τελειώσαµε. 

L(U \ F ) ≤

Θεώρηµα 2.2.3 Το µέτρο Lebesgue L είναι µέτρο (σύµφωνα µε τον ορισµό 2.2.1)

Απόδειξη : Για να είναι L µέτρο , ϑα πρέπει L(∅) = 0, η σύνολοσυνάρτηση L να είναι σ-προσθετική, µη αρνητική και να ορίζεται σε µια σ-άλγεβρα του R. Μη αρνητική είναι αφού L = L για το ίδιο λόγο L(∅) = 0. ΄Οσο αφορά την σ-προσθετικότητα, ισχύει από το ϑεώρηµα 2.2.1 Τώρα για να δείξουµε ότι η L ορίζεται σε µια σ-άλγεβρα ϑα πρέπει να δείξουµε ότι τα Lebesgue µετρήσιµα σύνολα αποτελούν την σ-άλγεβρα στο R. Θα δείξω


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

46

πρώτα ότι είναι άλγεβρα. Από προτάση 2.2.8 έχουµε ότι το κενό σύνολο είναι Lebesgue µετρήσιµο γιατί είναι συµπαγής. Το R είναι Lebesgue µετρήσιµο γιατί είναι κλείστο. Αν A ⊂ R είναι Lebesgue µετρήσιµο τότε πρέπει να δείξουµε ότι και τό συµπλήρωµα του είναι Lebesgue µετρήσιµο. Από το προηγούµενο ϑεώρηµα 2.2.2 υπάρχουν σύνολα U και F ανοιχτό και κλειστό αντίστοιχα, τέτοια ώστε F ⊆ A ⊆ U και L(U \ F ) < ε. ΄Εχουµε ότι τα σύνολα R \ F και R \ U είναι ανοιχτό και κλειστό αντίστοιχα (αφού είναι συµπληρώµατα του κλειστού και ανοιχτού συνόλου αντίστοιχα) και ισχύει ότι R \ U ⊆ R \ A ⊆ R \ F . Τώρα πάλι ϐάσει του ϑεωρήµατος 2.2.2 και του γεγονοτος ότι U \F = (R\F )\(R\U ) ⇒ L((R\F )\(R\U )) < ε, το συµπλήρωµα του A είναι Lebesgue µετρήσιµο σύνολο. ΄Εµεινε να δείξουµε ότι αν A1 , A2 , ..., An είναι Lebesgue µετρήσιµα σύνολα, τότε η τοµή τους είναι και αυτή Lebesgue µετρήσιµη. ΄Εχουµε αν F1 ⊆ A1 ⊆ U1 και F2 ⊆ A2 ⊆ U2 (µε F1 , F2 κλειστα συνολα, U1 , U2 ανοιχτά σύνολα και L(U1 \ F1 ) < ε/2, L(U2 \ F2 ) < ε/2) τότε F1 ∩F2 ⊆ A1 ∩A2 ⊆ U1 ∩U2 και (U1 ∩U2 )\(F1 ∩F2 ) ⊆ (U1 \F1 )∪(U2 \F2 ) ⇒ L((U1 ∩ U2 ) \ (F1 ∩ F2 )) < ε. Από αυτά συνεπάγεται πως A1 ∩ A2 είναι µετρήσιµο. Επαγωγικά ισχύει για πεπερασµένες τόµες. ∆ειξαµε λοιπον οτι τα Lebesgue µετρήσιµα σύνολα αποτελουν άλγεβρα. ΄Εχουµε δείξει επιπλέον ότι η L είναι σπροσθετική, οπότε από την πρόταση 2.1.1 τα Lebesgue µετρήσιµα σύνολα είναι σ-άλγεβρα. Αυτό ολοκλειρώνει την απόδειζη.  Τώρα ϑα δείξουµε πότε ένα εξωτερικό µέτρο γίνεται µέτρο (µε την έννοια του Καραθεοδωρη).

2.2.2

Μετρήσιµα σύνολα

Ορισµός 2.2.6 ΄Εστω M εξωτερικό µέτρο στο X . ΄Ενα υποσύνολο A του X ϑα καλείται M-µετρήσιµο σύνολο (µε την έννοια του Καραθεοδώρη) αν και µόνο αν M(E) = M(E ∩ A) + M(E \ A) για όλα τα υποσύνολα E του X . Θεώρηµα 2.2.4 ΄Εστω M εξωτερικό µέτρο στο X και F µια συλλογή M-µετρήσιµων υποσυνόλων του X . Τότε η F είναι σ-άλγεβρα στο X και το M είναι σ-προσθετική στο F .

Απόδειξη : Αρχικά ϑα δείξουµε πως F είναι σ-άλγεβρα. Θα δείξουµε πρώτα ότι είναι άλγεβρα και µετά χρησιµοποιώντας την πρόταση 2.1.1 δείχνουµε ότι είναι σ-άλγεβρα. Σύµφωνα µε τον ορισµό 2.1.2 πρέπει το κενό και το ίδιο το σύνολο X να ανήκουν στην F το οποίο ισχύει αφού M(E) = M(E ∩ ∅) + M(E \ ∅) και M(E) = M(E ∩ X) + M(E \ X) αληθεύουν (E ∩ ∅ = ∅, E \ ∅ = E και E ∩ X = E, E \ X = ∅ και M(∅) = 0). Επίσης εάν A ∈ F τότε και Ac ≡ X \ A ∈ F αφού M(E) = M(E ∩ A) + M(E \ A) ⇔ M(E) = M(E \ (X \ A)) + M(E ∩ (X \ A)). ΄Εµεινε να δείξουµε ότι η F είναι κλειστή ως προς πεπερασµένες τοµές ή ενώσεις. ΄Εστω A1 , A2 , ∈ F τότε εξ’ υποθέσεως ξέρουµε ότι για οποιοδήποτε υποσύνολο E του X ισχύει

M(E) = M(E ∩ A1 ) + M(E \ A1 )

(2.6)

Αφού E ∩ A1 ⊆ X ισχύει και

M(E ∩ A1 ) = M(E ∩ A1 ∩ A2 ) + M(E ∩ A1 \ A2 )

(2.7)

Απο (1) και (2) έχουµε M(E) = M(E ∩A1 ∩A2 )+M(E ∩A1 \A2 )+M(E \A1 ).


2.2. ΜΕΤΡΟ

47

Ο σκοπός µας, σαν πρωτο στάδιο, είναι να δείξουµε ότι A1 ∩A2 ∈ F δηλαδή να καταλήξουµε στην σχέση M(E) = M(E ∩(A1 ∩A2 ))+M(E \(A1 ∩A2 )) το πρώτο µέρος του αθροίσµατος το έχουµε, αρκεί να δείξουµε ότι M(E \ (A1 ∩ A2 )) = M(E ∩ A1 \ A2 ) + M(E \ A1 ) κάτι που ισχύει αφού E \ (A1 ∩ A2 ) ∈ X και (E \ (A1 ∩ A2 )) ∩ A1 = E ∩ A1 \ A2 , (E \ (A1 ∩ A2 )) \ A1 = E \ A1 . Τώρα επαγωγικά έχουµε για πεπερασµένες τοµές ότι η F είναι κλειστή, άρα η F είναι άλγεβρα. Είναι εύκολο να δούµε ότι για A1 , A2 ∈ F και A1 ∩ A2 = ∅ έχουµε ότι M(A1 ∪A2 ) = M(A1 )+M(A2 ) αφού (A1 ∪A2 )∩A1 = 2 )\A1 = A2 SnA1 και (A1 ∪AP n Επαγωγικά ισχύει για πεπερασµένες ενώσεις M( i=1 Ai ) = M( i=1 Ai ) ΄Εστω S∞ τώρα An ακολουθία ξένων ανά δυο µεταξύ τους συνόλων της F και A = n=1 An . Αν δείξω ότι A ∈ F τότε σύµφωνα µε την πρόταση 2.1.1 η F είναι σ-άλγεβρα. ΄Εχουµε δείξει ότι η F είναι άλγεβρα, άρα αν πάρουµε από την An πεπερασµένα στοιχεία, έστω A1 , A2 , ..., An τότε η τοµή τους όπως και η ένωση ϑα ανήκει στην F αρα (για την ένωση), ισχύει πως για κάθε E ⊆ X έχουµε

M(E) = M(E ∩

n [

i=1

Ai ) + M(E \

n [

Ai )

i=1

Τα στοιχεία της ακολουθίας τους, οπότε Pn{E ∩ Ai }i=1...n είναι και αυτά ξένα µεταξύ n ισχύει M(E∩∪n M(E∩A ) και αφού ισχύει E\∪ A ⊇ E\A ⇒ i i i=1 Ai ) = i=1 i=1 M(E \A) ≤ M(E \∪ni=1 Ai ) από το ορισµό του εξωτερικού µέτρου —ιδιότητα (2)—, έχουµε n X

M(E) =

i=1 n X

i=1

M(E ∩ Ai ) + M(E \

n [

Ai )

i=1

M(E ∩ Ai ) + M(E \ A)

τώρα για n → ∞ και επειδή το εξωτερικό µέτρο είναι υποπροσθετικό έχουµε

M(E) ≥

∞ X i=1

≥ M(

M(E ∩ Ai ) + M(E \ A) ∞ [

i=1

E ∩ Ai ) + M(E \ A)

= M(E ∩

∞ [

i=1

Ai ) + M(E \ A)

= M(E ∩ A) + M(E \ A) Τώρα, ξανά επιδή το εξωτερικό µέτρο είναι υποπροσθετικό έχουµε

M((E ∩ A) ∪ (E \ A)) ≤ M(E ∩ A) + M(E \ A) ΄Οµως (E ∩ A) ∪ (E \ A) = E . ΄Αρα A ∈ F όποτε και η F είναι σ-άλγεβρα και επιπλέον έχουµε πως

M(E) =

∞ X i=1

M(E ∩ Ai ) + M(E \ A)


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

48 Αν όµως E = A τότε

M(A) =

∞ X i=1

M(Ai ) + M(∅) ⇒ M(A) =

∞ X i=1

M(Ai )

∆ηλαδή η M είναι σ-προσθετική στο F .  Θα γράφουµε σκέτο M για τον περιορισµό του εξωτερικού µέτρου M στην σ-άλγεβρα F των µετρήσιµων συνόλων, αφού τότε γίνεται µέτρο στην F . ΄Ετσι ϐλέπουµε έναν τρόπο κατασκεύης µέτρου από ένα εξωτερίκο µέτρο. Πρόταση 2.2.9 Τα Lebesgue µετρήσιµα σύνολα είναι µετρήσιµα (µε την έννοια του Καραθεοδωρή) ή αλλιώς, ένα υποσύνολο A του R είναι Lebesgue µετρήσιµο αν και µόνο αν ισχύει L(E) = L(E ∩ A) + L(E \ A) για όλα τα E ⊆ R

Απόδειξη : ΄Εστω A είναι Lebesgue µετρήσιµο υποσύνολο του R και έστω E οποιοδήποτε υποσύνολο του R, τότε η ανισότητα L(E) ≤ L(E ∩ A) + L(E \ A) ισχύει λόγο της σ-υποπροσθετικότητας του εξωτερικού µέτρου. ΄Εστω ε > 0 τότε υπάρχει ανοιχτό σύνολο U και κλειστό F ώστε F ⊆ A ⊆ U και L(U \ F ) < ε (από το ϑεώρηµα 2.2.2). ΄Εστω V ⊇ E ανοιχτό σύνολο, τότε

L(E \ A) + L(E ∩ A) ≤ L(V \ F ) + L(V ∩ U ) ≤ L(V \ U ) + L(U \ F ) + L(V ∩ U ) < L(V ) + ε πέρνοντας το κάτω πέρας για όλα τέτοια V έχουµε L(E \A)+L(E ∩A) < L(E)+ε και αφού ισχύει για κάθε ε ϑετικό έχουµε τελικά L(E \ A) + L(E ∩ A) ≤ L(E) Αντίστροφα, έστω A είναι µετρήσιµο σύνολο (µε την έννοια του Καραθεοδωρή). Θέωρουµε την περηπτώση όταν L(A) < ∞. ΄Εστω ε > 0 και U Lebesgue µετρήσιµο υπερσύνολο του A ώστε να ισχύει L(U ) < L(A) + ε. Τώρα από υπόθεση έχουµε ότι

L(U ) = L(U \ A) + L(U ∩ A) έτσι ώστε L(U \ A) < ε. ΄Αρα υπάρχει ένα ανοιχτο σύνολο V ⊇ U \ A µε L(V ) < ε. Τότε U \ V είναι Lebesgue µετρήσιµο και L(U \ V ) > L(U ) − ε, έτσι υπάρχει κλειστό σύνολο F ⊆ U \ V ⊆ A µε L(F ) > L(U ) − ε. ΄Ετσι F ⊆ A ⊆ U και L(U \ F ) < ε. ΄Αρα το A είναι Lebesgue µετρήσιµο.  Στην επόµενη παράγραφο ϑα παρουσιάσουµε δύο τρόπους κατασκευής εξωτερικού µέτρου.

2.3 Κατασκευή Εξωτερικού Μέτρου Στην συνέχεια ϑα δείξουµε πως µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα εξωτερικό µέτρο που αντιστοιχεί σε µια µη αρνητική συνολοσυνάρτηση η οποία ορίζεται πάνω σε µια οικογένεια υποσυνόλων του µετρικού µας χώρου. Η παρακάτω µέθοδος, γνωστή και ως µέθοδος Καραθεοδωρή ή µέθοδος ΙΙ, ϑα µας ϐοηθήσει στο να ορίσουµε την Hausdorff διαστάση στο επόµενο κεφάλαιο.


2.3. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΜΕΤΡΟΥ

2.3.1

49

Μέθοδος Καραθεοδωρή

΄Εστω X µετρικός χώρος, A µια κάλυψη του X και C : A → [0, ∞] µια συνολοσυνάρτηση. Για ε > 0 και B ∈ X ορίζουµε

Mε (B) = inf

(

∞ X i=1

C(Ai ) ώστε B ⊆

∞ [

i=1

Ai , diam Ai ≤ ε, Ai ∈ A

)

Για να µην έχουµε πρόβληµα ύπαρξης των Ai , υποθέτουµεSότι για κάθε ε > 0 ∞ υπάρχουν A1 , A2 , . . . ∈ A τέτοια ώστε diam Ai ≤ ε και B = i=1 Ai . Στην ουσία κατασκευάζουµε ένα εξωτερικό µέτρο που είναι όσο πιο κοντά γίνεται στην δοθείσα συνάρτηση C (µπορεί και ίσο µε τη C , αν η C είναι η ίδια εξωτερικό µέτρο). Για να έχει νόηµα η κατασκευή, ϑα πρέπει να δείξουµε πως Mε είναι πρώτον µοναδικό (για δοθέν συνάρτηση C ) και δεύτερον ότι είναι όντως εξωτερικό µέτρο. Η µοναδικότητα εξασφαλίζεται ως λογική συνέπεια της µοναδικότητας του κάτω πέρας(infimum). Πρώτον Mε (∅) = 0, αφού το κενό σύνολο καλύπτεται από κενή κάλυψη, και επειδή το άθροισµα µη αρνητικών αριθµών δεν µπορεί να είναι αρνητικός αριθµός, συµπεραίνουµε πως το ελάχιστο είναι 0. Αν A ⊆ B ⊆ X τότε οποιαδήποτε κάλυψη του B είναι και κάλυψη του A οπότε Mε (B) ≥ Mε (A). Μένει να δείξουµε την αριθµήσιµη υποπροσθετικότητα. ΄Εστω A1 , A2 , . . . ∈ X τότε πρέπει ν.δ.ο

[

n∈N

An

!

∞ X

n=1

Mε (An )

Στην περίπτωση που για κάποιο n έχουµε ότι Mε (An ) = ∞ τότε τελειώσαµε. Για αυτό µπορούµε να υποθέσουµε ότι για όλα τα n τα Mε (An ) < ∞. ΄Εστω δ > 0 τότε διαλέγω τέτοιες καλύψεις από την A ώστε :

Mε (A1 ) + δ

 1 X ∞ ∞ [ 1 ≥ C(E1,i ) ώστε A1 ⊆ E1,i , diam E1,i ≤ ε, E1,i ∈ A 2 i=1 i=1

Mε (A2 ) + δ

 2 X ∞ ∞ [ 1 ≥ C(E2,i ) ώστε A2 ⊆ E2,i , diam E2,i ≤ ε, E2,i ∈ A 2 i=1 i=1 .. .

 n X ∞ ∞ [ 1 ≥ C(En,i ) ώστε An ⊆ En,i , diam En,i ≤ ε, En,i ∈ A Mε (An ) + δ 2 i=1 i=1 Τώρα

S∞

n=1

An ⊆

S∞ S∞

En,i όποτε από την κατασκευή έχουµε πως ! ∞ ∞ X ∞ [ X An ≤ C(En,i )

n=1

n=1

n=1

≤ ≤

n=1 i=1 ∞  X

 n  1 Mε (An ) + δ 2 n=1 ∞ ∞ X  1 n X δ Mε (An ) + 2 n=1 n=1


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

50

=

∞ X

n=1

Mε (An ) + δ

Από την στιγµή που δ είναι οποιοσδήποτε ϑετικός (µπορεί δηλαδή και πολυ κοντά στο µηδέν) η αρχική ανισότητα ισχύει. Το εξωτερικό µέτρο Mε λέγεται και εξωτερικό µέτρο της Μεθόδου Ι. Αν πάρουµε 0 < ε < δ < ∞ έχουµε ότι Mε > Mδ , οπότε έχει νόηµα να ορίσουµε το όριο (δεν είναι µηδέν). Για A ∈ X , ορίζουµε

M(A) = lim Mε (A) ε→0

Το εξωτερικό µέτρο M λέγεται και εξωτερικό µέτρο της Μεθόδου ΙΙ.

2.3.2

Πεπερασµένο Εξωτερικό Μέτρο

Ορισµός 2.3.1 ΄Ενα εξωτερικό µέτρο πάνω σε ϕραγµένο υποσύνολο του Rn και για το οποίο ισχύει ότι 0 < M(Rn ) < ∞ ϑα καλείται πεπερασµένο εξωτερικό µέτρο Φυσικά, ο περιορισµός του πεπερασµένου εξωτερικού µέτρου σε µετρήσιµα σύνολα, ϑα λέγεται (και ϑα είναι) πεπερασµένο µέτρο. Πολλές ϕορές αντιλαµβανόµαστε το πεπερασµένο µέτρο σαν µια πεπερασµένη «µάζα» η οποία σκορπίστηκε µε κάποιο τρόπο στο σύνολο X για το οποίο και στην συνέχεια λέµε πεπερασµένο µέτρο στο X . Τότε οι προϋποθέσεις του µέτρου ϑα ικανοποιούνται. Πρόταση 2.3.1 ΄Εστω M ένα εξωτερικό µέτρο στο Rn και A ένα υποσύνολο Borel του Rn . Τότε ο περιορισµός N του M στο σύνολο A, δηλαδή N (B) = M(B ∩ A) για οποιοδήποτε υποσύνολο B του Rn , είναι και αυτό ένα εξωτερικό µέτρο στο Rn . Η παρακάτω µέθοδος ϑα χρησιµοποιείται συχνά στην κατασκευή του πεπερασµένου εξωτερικού στα υποσύνολα του Rn . Χρησιµοποιεί την επαναλαµβανόµενη υποδιαίρεση της «µάζας» µεταξύ τµηµάτων ενός ϕραγµένου συνόλου Borel A. ΄Εστω A0 αποτελείται από ένα µόνο σύνολο το A. Για k = 1, 2, . . . ορίζουµε το Ak να είναι µια συλλογή υποσυνόλων Borel του A έτσι ώστε κάθε σύνολο U του Ak να περιέχεται σε ένα από τα σύνολα της Ak−1 και να περιέχει ένα πεπερασµένο αριθµό συνόλων στην Ak+1 . Υποθέτουµε ότι η µέγιστη διάµετρος των συνόλων στο Ak τείνει στο 0 όσο το k → ∞. Υποθέτουµε επιπλέον, ότι αν {Uk } είναι µια ϕθίνουσα ακολουθία συνόλων µε Uk ∈ Ak , τότε ∩∞ k=1 Uk 6= ∅. Οριζούµε το εξωτερικό µέτρο στο A µε επαναληπτική υποδιαίρεση, σχήµα 2.1. ΄Εστω M(A) να είναι ένας µη µηδενικός πεπερασµένος αριθµός, και τον χωρίζουµε στα σύνολα U1 , . . . , Um Pm στην A1 έτσι ώστε i=1 M(Ui ) = M(A). Οµοίως, µοιράζουµε την «µάζα» στα σύνολα του A2 , έτσι ώστε αν U1 , . . . , Um είναι τα σύνολα του A2 που περιέχονται Pm σ’ ένα σύνολο του A1 , τότε i=1 M(Ui ) = M(U ). Γένικα, µοιράζουµε την µάζα έτσι ώστε X i=1

M(Ui ) = M(U )

για κάθε σύνολο U του Ak , όπου η ακολουθία {Ui } είναι πεπερασµένα ξένα µεταξύ τους σύνολα του Ak+1 που περιέχονται στο U . Για κάθε k , έστω Ek να είναι η ένωση των συνόλων του Ak και ορίζουµε M(Rn \ Ek ) = 0.


2.3. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΜΕΤΡΟΥ

51

132

154 8

176 8*9

8:

Σχήµα 2.1: Τα ϐήµατα κατασκευής του πεπερασµένου µέτρου M µε επαναλαβανόµενη υποδιαίρεση. Για παράδειγµα M(U ) = M(U1 ) + M(U2 ). ΄Εστω A να είναι η συλλογή των συνόλων του ανήκουν στο Ak για κάποιο k µαζί µε τα σύνολα Rn \ Ek . Η παραπάνω διαδικασία ορίζει το πεπερασµένο εξωτερικό µέτρο M(A) για κάθε σύνολο A ∈ A, και είναι λογικό πως κατασκευάζοντας σύνολα από τα σύνολα του A, είναι αρκετό για το πεπερασµένο µέτρο M στο A, για να ορίσουµε το M(B) για όλα τα σύνολα B του A. Αυτό το δείχνει η επόµενη πρόταση. Πρόταση 2.3.2 ΄Εστω M να είναι ορισµένη στην συλλόγη των συνόλων A όπως παραπάνω. Τότε ο ορισµος της M µπορεί να επεκταθεί σε όλα τα υποσύνολα του Rn έτσι ώστε το M να γίνει εξωτερικό µέτρο. Μάλιστα αν το M το περιορίσουµε σε σύνολα Borel, τότε γίνεται πεπερασµένο µέτρο.

Απόδειξη :

Αν B είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του Rn , ορίζουµε

M(B) = inf

(

X i

M(Ui ) ώστε B ⊆

[ i

Ui και Ui ∈ A

) P

(2.8)

΄Ετσι παίρνουµε την µικρότερη τιµή που γίνεται από το άθροισµα i M(Ui ) όπου τα σύνολα Ui είναι στο A και καλύπτουν το B , έχουµε ήδη ορίσει M(Ui ) για τέτοια σύνολα. Αν B είναι ένα από τα σύνολα του A τότε ισούται µε M(B) όπως έχει οριστεί στην κατασκευή. Παίρνοντας λοιπον για εξωτερικό µέτρο την σχέση 2.8 είναι ϕανερή η απόδειξη. 


Κεφάλαιο 3

∆ιάσταση Hausdorff 3.1 Μέτρο Hausdorff Ορισµός 3.1.1 ΄Εστω X µετρικός χώρος. ΄Εστω ϑετικός αριθµός s, υποψήφιος αριθµός για την διάσταση. Το s-διάστατο εξωτερικό µέτρο Hausdorff , συµβολισµός s H , είναι το εξωτερικό µέτρο της Μεθόδου ΙΙ ορισµένο από την σύνολό συνάρτηση s C (A) = (diam A) . Ας δούµε αναλυτικότερα τον ορισµό. Μια οικογένεια A υποσυνόλων του X , καλείται αριθµήσιµη κάλυψη του συνόλου F αν και µόνο αν

[

F ⊆

A

A∈A

και A είναι αριθµήσιµη (ενδεχοµένως και πεπερασµένη) οικογένεια των συνόλων. ΄Εστω ε ϑετικός (πολύ µικρός). Η κάλυψη A λέγεται ε- κάλυψη αν και µόνο αν diam A ≤ ε για όλα τα A ∈ A. Ορίζουµε s

Hε (F ) = inf

X

(diam A)s

A∈A

όπου το κάτω πέρας (inf ) είναι πάνω απ’ όλες τις αριθµήσιµες ε-καλύψεις A του συνόλου F . Κατά συµφωνία inf ∅ = ∞, δηλαδή αν δεν υπάρχει καµία αριθµήσιµη s -κάλυψη A του F , τότε Hε (F ) = ∞. s ΄Ενας απλός υπολογισµός δείχνει πως όταν το ε µειώνεται, το H ε αυξάνεται. Τέλος s

s

s

H (F ) = lim Hε (F ) = sup Hε (F ) ε→0

ε>0

είναι το s-διάστατο εξωτερικό µέτρο Hausdorff του συνόλου F s Ο περιορισµός του H σε µετρήσιµα υποσύνολα του X είναι s-διάστατο µέτρο Hausdorff, και γράφεται Hs . Είναι ενδιαφέρον να δούµε την συµπεριφορά του s-διάστατου µέτρου Hausdorff συναρτήσει του s. Βάσει του επόµενου ϑεωρήµατος µπορούµε να την Ϲωγραϕίσουµε όπως στο σχήµα 3.1. Θεώρηµα 3.1.1 ΄Εστω F σύνολο Borel και έστω 0 < s < t, τότε εάν Hs (F ) < ∞ έχουµε ότι Ht (F ) = 0 και εάν Ht (F ) > 0 έχουµε ότι Hs (F ) = ∞. 53


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

54

Απόδειξη :

΄Εστω ένα σύνολο A µε diam A ≤ ε τότε αφού t − s > 0, έχουµε ότι

(diam A)t−s ≤ εt−s , τότε όµως

(diam A)t = (diam A)t−s (diam A)s ≤ εt−s (diam A)s .

(3.1)

Κάθε ε-κάλυψη, A του συνόλου F αποτελείται από κάποια τέτοια A, και t

Hε (F ) = inf{

X

A∈A

(diam A)t }.

Από τον ορισµό όµως η κάλυψη A είναι αριθµήσιµη οπότε η ανισότητα 3.1 επάγει

X

A∈A

(diam A)t ≤ εt−s

X

(diam A)s

A∈A t

s

για όλες τις αριθµήσιµες ε-καλύψεις A του συνόλου A. ΄Αρα H ε (F  ) ≤ εt−s Hε (F )

για όλα τα σύνολα F . Τώρα αν Hs (F ) < ∞, τότε Ht (F ) ≤ limε→0 s

t

s εt−s Hε (F )

=

0 · H (F ) = 0 δηλαδή H (F ) = 0 (αφού το µέτρο δεν µπορεί να είναι αρνητικό).

Για να αποδείξουµε την άλλη κατεύθυνση του ϑεωρήµατος ϑα ακολουθήσουµε s−t την ίδια λογική. ΄Εχουµε diam A ≤ ε ⇒ (diam A) ≥ εs−t , αφού s − t < 0. Τότε έχουµε

(diam A)s = (diam A)s−t (diam A)t ≥ εs−t (diam A)t s

t

t και Hε (F ) ≥ εs−t  Hε (Ft ) για  όλα τα σύνολα F . Τώρα αν H (F ) > 0, τότε Hs (F ) ≥ limε→0 εs−t Hε (F ) = ∞ · Ht (F ) = ∞ δηλαδή Hs (F ) = ∞ 

Πρόταση 3.1.1 Αν F είναι ένα πεπερασµένο σύνολο, τότε το s-διάστατο µέτρο Hausdorff του είναι µηδέν για όλα τα s > 0. Hs (F ) = 0

Απόδειξη : Αφού το F είναι πεπερασµένο σύνολο, µπορούµε να πάρουµε την κάλυψη A που να αποτελείται από πεπερασµένα το πλήθος µονοσύνολα, τα στοιχεία των οποίων είναι του συνόλου F . Τώρα η διάµετρος του µονοσυνόλου είναι P αυτά s µηδέν, άρα 0 = 0. Επιπλέον, έχοντας ορίσει το µέτρο ως µη αρνητική A∈A συνάρτηση και εφόσον ϑέλουµε το κάτω πέρας συνεπάγεται H(F )s = 0 για όλα τα s > 0  Ας δούµε µερικά παραδείγµατα του µέτρου Hausdorff . ΄Εστω s = 0. Είναι αντιληπτό ότι το µηδέν-διάστατο µέτρο Hausdorff ενός συνόλου στην ουσία µας λέει από πόσα στοιχεία αποτελείται το σύνολο.

H0 (A) = πληθάριθµος του A Στην συνέχεια, έστω s = 1. Το µονο-διάστατο µέτρο Hausdorff ερµηνεύεται ως γενικευµένο µέτρο που µετράει µήκος, οπως έχουµε πει και για το µέτρο Lebesgue στο R. Για τη ακρίβεια Θεώρηµα 3.1.2 Το µέτρο Lebesgue ταυτίζεται µε το µονο-διάστατο µέτρο Hausdorff H1 στο R.


3.2. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF ΄Εστω σύνολο B ⊆ R. Είναι ϕανερό ότι για ε > 0 το σύνολο

Απόδειξη :

C={

55

X i∈N

diam[ai , bi ) ώστε ∪i∈N [ai , bi ) ⊇ B και (bi − ai ) ≤ ε για κάθε i ∈ N}

είναι υποσύνολο του συνόλου

D={

X

diam Aj ώστε

[

Aj ∈A

Aj ∈A

Aj ⊃ B και diam Aj ≤ ε για όλα Aj ∈ A}

Βάσει του ορισµού το κάτω πέρας του συνόλου C είναι το εξωτερικό µέτρο Le1

besgue του συνόλου B , όπως και Hε (B) = inf D , επειδή όµως για κάθε  > 0,

C ⊂ D έχουµε ότι L(B) ≥

1 Hε (B).

1

Οπότε και L(B) ≥ H (B). Τώρα, έστω ότι σύνολο A ⊂ R έχει πεπερασµένη διάµετρο r , τότε sup A − inf A = diam A = r , άρα το A περιέχεται σ’ ένα κλειστό διαστηµα I µήκους r και ισχύει L(A) ≤ L(I) = r . Από την σ-υποπροσθετικότητα του εξωτερικού µέτρου P P L(Aj ) ≤ diam Aj , αυτό ισχύει για όλες τις Lebesgue , έχουµε L(∪Aj ) ≤ οικογένειες µε σύνολα διαµέτρου µικρότερο από το ε. Από την µονοτονία του µέτρου έχουµε,

B ⊆ ∪Aj ⇒ L(B) ≤ L(∪Aj ) 1

΄Αρα L(B) ≤ H (B).

1

∆είξαµε ότι τα δύο εξωτερικά µέτρα L και H ταυτίζονται. Οπότε ο περιορισµός τους σε µετρήσιµα σύνολα (µε την έννοια του Καραθεοδωρή) ταυτίζεται επίσης.  Πιο γενικά το δισδιάστατο µέτρο Hausdorff εκφράζει εµβαδό µιας λείας επιϕάνειας πολλαπλασιαζµένο µε 4/π , ενώ το τριςδιάστατο µέτρο Hausdorff εκφράζει τον όγκο ενός χώρου επί 6/π . Υπάρχει µια σχέση που συνδέει το µέτρο Hausdorff µε το µέτρο Lebesgue. Στο Rn για s = n ισχύει

Hn = 2n a(n)−1 Ln όπου a είναι µια σταθερά.

3.2 ∆ιάσταση Hausdorff Ορισµός 3.2.1 ΄Εστω (X, d ) µετρικός χώρος, τότε για ένα σύνολο A ⊂ X ορίζουµε την διάσταση Hausdorff του συνόλου A, dimH A, να είναι ο αριθµός s0 ∈ [ 0, ∞ ], τέτοιος ώστε για s ∈ [ 0, ∞ ] να ισχύει ότι : 1. Αν Hs (A) = ∞ τότε s < s0 2. Αν Hs (A) = 0 τότε s > s0 Στην περίπτωση που Hs (A) = 0, ∀ s ∈ [ 0, ∞ ] έχουµε ότι η dimH A = 0, ενώ αν Hs (A) = ∞ έχουµε ότι η dimH A = ∞ Μιλώντας µη αυστηρά η διάσταση Hausdorff ενός συνόλου F είναι το σηµείο όπου η γραφική παράσταση του Hs (F ) (προσοχή συναρτήσει του s και όχι του F ) κάνει το άλµα από το άπειρο στο µηδέν, σχήµα 3.1.


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

56

< ?A@BDC7E

;

=> =

Σχήµα 3.1: Εποπτική γραφική παράσταση για την συµπεριφορά του s-διάστατου µέτρου Hausdorff Θεώρηµα 3.2.1 ΄Εστω f : X → Y µια συνάρτηση στο Y οµοιότητας µε λόγο r > 0, έστω s > 0 και F ⊆ X είναι σύνολο Borel. Τότε Hs (f [F ]) = r s Hs (F ) και άρα dimH f [F ] = dimH F .

Απόδειξη :

΄Εστω ρ η µετρική συνάρτηση. Για A ⊆ X έχουµε ότι

diam(f [A]) = sup{ρ (f (x), f (y))} = sup{rρ(x, y)} = r sup{ρ(x, y)} όπου x, y ∈ A και f (x), f (y) ∈ f [A]. Η συνάρτηση οµοιότητας είναι συνεχής και αµφιµονοσήµαντη άρα από το ϑεώρηµα 1.2.1 και το γεγονός ότι diam A < ε ⇒ diam f [A] < εr συµπεραίνουµε πως κάθε ε-κάλυψη του F είναι εr -κάλυψη του f [F ] και το αντιστροφο. Τώρα, έστω ότι Af = {f [Ai ]} είναι µια εr -κάλυψη του f [F ]. Τότε υπάρχει A ε-κάλυψη του F και αντίστροφα. Από τον ορισµό έχουµε s Hεr (f [F ]) = inf{

= inf{

X

f [Ai ]∈Af

X

Ai ∈A s

= r inf{

(diam f [Ai ])s }

(r diam Ai )s }

X

Ai ∈A

(diam Ai )s }

= r s Hεs (F )

΄Επεται ότι Hs (f [F ]) = r s Hs (F ) και άρα dimH f [F ] = dimH F .  Θεώρηµα 3.2.2 ΄Εστω A, B σύνολα Borel


3.2. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

57

1. Αν A ⊆ B τότε dimH A ≤ dimH B 2. dimH (A ∪ B) = max{dimH A, dimH B}

Απόδειξη : (1) ΄Εστω A ⊆ B . Αν s > dimH B τότε από την µονοτονία του µέτρου ισχύει Hs (A) ≤ Hs (B) = 0. ΄Αρα dim A ≤ 0. Αυτό ισχύει για όλα s > dim B , οπότε dim A ≤ dim B . (2) ΄Εστω s > max{dimH A, dimH B}, τότε s > dim A άρα Hs (A) = 0. ΄Οµως Hs (B) = 0, τότε Hs (A ∪ B) ≤ Hs (A) + Hs (B). ΄Επεται dimH (A∪) ≤ s. Αυτό ισχύει για όλα s > max{dimH A, dimH B} άρα έχουµε dimH (A ∪ B) ≤ max{dimH A, dimH B}. A ⊆ A ∪ B και B ⊆ A ∪ B από την (1) έχουµε dimH (A ∪ B) ≥ max{dimH A, dimH B}.  Σύνολα Cantor. Θα µελετήσουµε τώρα την διάσταση Hausdorff του συνόλου Cantor C(λ). Βάσει του ορισµού του µέτρου Hausdorff , είναι σχετικά πιο εύκολο να ϐρούµε το άνω ϕράγµα του, παρά το κάτω. Μια «καλή» κάλυψη του συνόλου, ϑα µας δώσει µια εκτίµηση του άνω ϕράγµατος. Από τον ορισµό 1.5.7 του συνόλου Cantor έχουµε ότι k

C(λ) =

2 \ [

Ik,j

k∈N j=1 k

άρα για κάθε k = 1, 2, ... ισχύει ότι C(λ) ⊆ ∪2j=1 Ik,j . µονότονη συνάρτηση έχουµε ότι

Αφού το µέτρο είναι

k

Hλs k (C(λ)) ≤

2 X

(diam Ik,j )s = 2k λks = (2λs )k .

j=1

Θέλουµε ε = λk → 0 και επειδή 0 < λ < 1/2, στην ουσία Ϲητάµε k → ∞ και παράλληλα το (2λs )k να παραµένει ϕραγµένο και όχι µηδέν. Η µόνη περίπτωση για να ισχύει αυτό είναι αν έχουµε 2λs = 1 ⇒ log λs = log 1/2 ⇒

s=

log 1/2 log λ

΄Αρα για s = log(1/2)/ log λ έχουµε

Hs (C(λ)) = lim Hλs k (C(λ)) ≤ 1 k→∞

Στην συνέχεια ϑα δείξουµε ότι για s = log(1/2)/ log λ, ισχύει

Hs (C(λ)) ≥

1 4

(3.2)

το οποίο µας λεεί ότι η dimH C(λ) = log(1/2)/ log λ. Για να το δείξουµε, αρκεί να δείξουµε ότι ∞ X j=1

(diam Ij )s ≥

1 4

(3.3)

όπου τα I1 , I2 , ... είναι οποιαδήποτε ανοικτά διαστήµατα, η ένωση των οποίων καλύπτει το C(λ). Από την στιγµή που το C(λ) είναι συµπαγές, υπάχει πεπεϱασµένη υποκάλυψη. Υποθέτουµε ότι I1 , I2 , ..., In είναι µια ανοιχτή κάλυψη του


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

58

C(λ). Αφού C(λ) δεν έχει κανένα εσωτερικό σηµείο, µπορούµε, κάνοντας εν’ ανάγκη τα Ij λίγο µεγαλύτερα, να υποθέσουµε ότι τα άκρα κάθε Ij δεν ανήκουν στο C(λ). Τότε υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε η απόσταση από τα άκρα των διαστηµάτων Ij και τα σηµεία του C(λ) να είναι τουλάχιστον δ . ∆ιαλέγοντας k τόσο µεγάλο ώστε δ > λk = diam Ik,i , έπεται ότι κάθε διάστηµα Ik,i περιέχεται σε κάποιο Ij . Υπενθυµίζουµε ότι ο συµβολισµός των διαστηµάτων Ik,i προέρχεται από την κατασκευή του συνόλου Cantor στον ορισµό 1.5.7. Θα δείξουµε τώρα ότι για οποιοδήποτε ανοιχτό διάστηµα I και δοσµένο l ισχύει X

Il,i ⊂I

(diam Il,i )s ≤ 4(diam I)s

(3.4)

Αυτό αρκεί διότι k

4

X j

s

(diam Ij ) ≥

X X j

Ik,i ⊂Ij

s

(diam Ik,i ) ≥

2 X

(diam Ik,i )s = 1

i=1

Τώρα όσον αφορά την 3.4, υποθέτουµε ότι υπάρχουν κάποια Il,i υποσύνολα του I . ΄Εστω n είναι εκείνο το ϐήµα για το οποίο κάποια από τα διαστήµατα In,i περιέχονται στο I . Τότε n ≤ l και τα διαστήµατα In,i που τέµνουν το I (προσοχή όχι µόνο εκείνα που περιέχονται εξ’ ολοκλήρου στο I ) είναι το πολύ 4, ειδάλλως το I ϑα περιείχε κάποια από τα διαστήµατα του προηγουµένου ϐήµατος n − 1. ΄Ετσι για 0 < r ≤ 4 έχουµε

≥ diam In,j ≥ (diam In,j )s r X ≥ (diam In,jm )s .

diam I (diam I)s 4(diam I)s

m=1

΄Οµως, r X

(diam In,jm )s

m=1

=

r X

X

m=1 Il,i ⊂In,jm n s

(diam Il,i )s ⇔

r(λ ) = r2l−n (λl )s ⇔ ns log λ = (l − n) log 2 + ls log λ ⇔ log 12 log 12 n log λ = (l − n) log 2 + l log λ ⇔ log λ log λ 1 1 n log = (l − n) log 2 + l log ⇔ 2 2 −n log 2 = −n log 2

Ενδεχοµένος τα Il,i που είναι υποσύνολα του I να µην είναι όλα υποσύνολα της

∪rm=1 In,jm , άρα

r X

X

m=1 Il,i ⊂In,jm

οπότε και δείξαµε την 3.4.

(diam Il,i )s ≥

X

Il,i ⊂I

(diam Il,i )s


3.2. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

59

Παρατηρούµε ότι η διάσταση Hausdorff των συνόλων Cantor , C(λ), «µετράει» µε ϕυσικό τρόπο τα µεγέθη τους. ΄Οταν το λ αυξάνεται, το µηκος των διαγραµµένων διαστηµάτων µειώνεται και το σύνολο Cantor «µεγαλώνει» και παράλληλα µεγαλώνει η dimH C(λ). Επίσης αν αφήσουµε το λ να διατρέξει από 0 ως το 1/2, η dimH C(λ) ϑα πάρει τις τιµές από 0 ως το 1. Πρόταση 3.2.1 ΄Εστω µια συνάρτηση f : X → Y και A ⊆ X ένα σύνολο Borel . Αν η f ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz δηλαδή

ρ2 (f (x), f (y)) ≤ lρ1 (x, y) όπου l µια ϑετική σταθερά, x, y ∈ S και ρ1 , ρ2 είναι µετρικές πάνω στα X και Y αντίστοιχα. Τότε Hs (f [A]) ≤ ls Hs (A) και dimH f [A] ≤ dimH A. ΄Εστω {Ui } µια ε/l-κάλυψη του A τότε για κάθε i ισχύει diam f [A ∩ Ui ] ≤ l diam(A ∩ Ui ) ≤ l diam Ui , αφού η f είναι συνεχής συνάρτηση. Τότε P όµως {f [A ∩ U ]} είναι µια ε -κάλυψη του f [A] . ΄Ετσι (diam f [A ∩ Ui ])s ≤ i i P s s s s s l i (diam Ui ) ⇒ Hε (F [A]) ≤ l Hε/l (A). Αν πάρουµε όρια για ε → 0, τότε και ε/l → 0, έχουµε Hs (f [A]) ≤ ls Hs (A). ΄Εστω τώρα ότι t > dimH A τότε Ht = 0 και Ht (f [A] ≤ 0), όµως αυτό σηµαίνει ότι dimH f [A] ≤ t για όλα τα t > dimH A, άρα dimH f [A] ≤ dimH A. 

Απόδειξη :

Γενικά η διάσταση Hausdorff ενός συνόλου, µόνη της δεν µας δίνει και πολλές πληροφορίες σχετικά µε τις τοπολογικές ιδιότητες του συνόλου. ΄Οµως αν η διάσταση Hausdorff είναι µικρότερη του 1 τότε το σύνολο ϑα πρέπει να είναι τόσο αραιό ώστε να µην είναι ούτε καν τοπικά συνεκτικό. Πρόταση 3.2.2 ΄Εστω A ⊂ Rn και dimH A < 1, τότε το σύνολο Α είναι παντού µη-συνεκτικό ΄Εστω x ένα σηµείο του A. Ορίζουµε µια απεικόνιση (συνάρτηση) f : Rn → [0, ∞) που στέλνει το y στην απόσταση του από το x, f (y) = ρn (x, y) όπου ρn είναι η συνήθης µετρική στο Rn . Η συνάρτηση f ικανοποιεί την συνθήκη

Απόδειξη :

Lipschitz ή είναι οµοιότητα, αφού

ρ(f (y), f (z)) ≤ ρn (y, z) ⇔ |ρn (x, y) − ρn (x, z)| ≤ ρn (y, z) ∆ιακρίνουµε τώρα τρεις περιπτώσεις. Αν ρn (x, z) < ρn (x, y) τότε ρn (x, y) ≤ ρn (y, z) + ρn (z, x) ισχύει λόγο της τριγωνικής ανισότητας. Αν ρn (x, z) > ρn (x, y), το επιχείρηµα είναι όµοιο. Τέλος αν ρn (x, z) = ρn (x, y) τότε ρn (y, z) ≥ 0 κάτι που ισχύει αφού η µετρική είναι µη αρνητική συνάρτηση. Τώρα αν η f ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz από την πρόταση 3.2.1 έχουµε ότι dimH f [A] ≤ dimH A < 1 και αν η f είναι οµοιότητα, από το ϑεώρηµα 3.2.1 έχουµε dimH f [A] = dimH A < 1, και στις δύο περιπτώσεις dimH f [A] < 1. ΄Αρα H1 f [A] = 0, το µονο-διάσταο µέτρο Hausdorff εκφράζει το µήκος του f [A]. Από το ϑεώρηµα 1.4.2 αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο f [A] είναι παντού µη συνεκτικό. Από το ϑεώρηµα 1.4.1 για να είναι συνεκτικός ο υπόχωρος του R πρέπει να είναι διάστηµα. Το f [A] δεν είναι διαστηµα (έχει µήκος 0), µάλιστα το f [A] δεν περιέχει κανένα διάστηµα, άρα είναι παντού µη συνεκτικό.  Σκόνη Cantor ΄Εστω ένα τετράγωνο πλευράς a. Σε κάθε στάδιο της κατασκευής, τα τετράγωνα


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

60 F

I

H G

KL

KNM

QRQRQ

KPO S J F

Σχήµα 3.2: Σκόνη Cantor χωρίζονται σε 16 τετράγωνα µε µήκος ακµής 1/4 του µήκους ακµής, από τα οποία τέσσερα του «ίδιου σχεδίου» παραµένουν, έτσι ώστε η προβολή τους στο άξονα x0 x να καλύπτει διάστηµα µήκους a. Μετά από άπειρα στάδια πέρνουµε το σύνολο F το οποίο και το λέµε «σκόνη Cantor», σχήµα 3.2. Θα εξετάσουµε στην συνέχεια την διάσταση Hausdorff του F . Παίρνοντας την προφανή κάλυψη του F√που αποτελείται από 4k τετράγωνα πλευράς a4−k , δηλαδή διαµέτρου δ = a4−k 2, στο Ek , όπου Ek είναι √ το k -οστό στάδιο της κατασκευής, έχουµε µια εκτίµηση του Hδ1 (F ) ≤ 4k a4−k 2. Για k → 0 το δ → 0 άρα √

H1 ≤ a 2

΄Αρα η διάσταση Hausdorff είναι µικρότερη από 1. Αν δείξουµε ότι H 1 > 0 τότε η dimH F = 1. ΄Εστω η συνάρτηση f είναι ορθοκανονική προβολή του F στον άξονα x0 x. Η ορθοκανονική προβολή δεν µεγάλωνει τις αποστάσεις, δηλαδή |f (x)−f (y)| ≤ |x− y| αν x, y ∈ R2 , άρα f ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz. Βάσει της κατασκευής η προβολή του F στον άξονα x0 x ϑα είναι διάστηµα [0, a], σχήµα 3.2. Από την πρόταση 3.2.1

a = H1 ([0, a]) = H1 (f [F ]) ≤ H1 (F ) Το «κόλπο» που χρησιµοποιήσαµε την προβολή για να πάρουµε την κάτω εκτίµηση, δουλεύει µόνο σε συγκεκριµένες περιπτώσεις και δεν αποτελεί ϐάση για µια πιό γενική µέθοδο.


3.3. ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ∆ΙΑΣΤΑΣΗΣ HAUSDORFF

61

3.3 Τεχνική υπολογισµού της διάστασης Hausdorff Για σχεδόν περισσότερα σύνολα η από πάνω εκτίµηση της διάστασης Hausdorff µπορεί να επιτευχθεί χρησιµοποιώντας την ϕυσική κάλυψη µικρών συνόλων. Πρόταση 3.3.1 Υποθέτουµε ότι το σύνολο F µπορεί να καλυφθεί από nk σύνολα διαµέτρου το πολύ δk µε δk → 0 για k → ∞. Τότε

dimH F ≤ lim − k→∞

log nk log δk

Επιπλέον, αν nk δks παραµένει ϕραγµένο για k → ∞, τότε Hs (F ) < ∞.

Απόδειξη :

Από τον ορισµό του µέτρου Hausdorff έχουµε ότι

Hδsk (F ) ≤ nk δks Επιπλέον από τον ορισµό της διάστασης Hausdorff για να την υπολογίσουµε πρέπει να ϐρούµε τέτοιο s για το οποίο Hs να είναι στο (0, ∞). ΄Αρα µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι nk δks ≥ 1 (ϐασικά το 1 µας ϐολεύει), οπότε log nk + s log δk > 0 αν το δ είναι αρκετά µικρό (όριο για k → ∞). ΄Εχουµε

s ≤ lim −

log nk log δk

και dimH F ≤ s. Τέλος αν nk δk ϕραγµένο τότε Hδsk (F ) ϑα συγκλίνει σε πεπερασµένο όριο Hs (F ) για k → ∞  Σχετικά συχνά η διάσταση που µας δίνει το «εύκολο» άνω ϕράγµα ισούται µε την διάσταση Hausdorff ενός συνόλου. ΄Οµως για να το δείξουµε αυτό, τις πεϱισσότερες ϕορές, είναι δύσκολο. Για παράδειγµα, για να εκτιµήσουµε το άνω P s ϕράγµα αρκεί να υπολογίσουµε το άθροισµα τις µορφής i (diam Ui ) για συγκεκριµένες καλύψεις {Ui } του F , ενώ για το κάτω ϕράγµα πρέπει να δείξουµε ότι P (diam U )s είναι µεγαλύτερο από µία ϑετική σταθερά για όλες τις δ -καλύψεις i i του F . ΄Ενας τρόπος να προσπεράσουµε αυτές τις δυκολίες είναι να δείξουµε ότι κανένα ξεχωριστό σύνολο U δεν µπορεί να καλύψει παραπάνω από το F σε σχέση µε το µέγεθος του ως (diam U )s . Τότε αν {Ui } καλύπτει ολόκληρο το F το άθροισµα P s i (diam Ui ) δεν µπορεί να είναι πολύ µικρό. Θεώρηµα 3.3.1 ΄Εστω M πεπερασµένο εξωτερικό µέτρο στο F και έστω για κάποιο s υπάρχουν c > 0 και δ > 0 τέτοια ώστε

M(U ) ≤ c(diam U )s

(3.5)

για όλα τα σύνολα U µε diam U ≤ δ . Τότε Hs (F ) ≥ M(F )/c και

s ≤ dimH F Απόδειξη :

Αν {Ui } είναι µια κάλυψη του F τότε

0 < M(F ) = M(

[ i

Ui ) ≤

X i

M(Ui ) ≤ c

X (diam Ui )s i


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

62

Z Y U

X Y Y

X

Y

Y

Y

V W U T

Y W[

Y

Y \

Y

U

Z

Σχήµα 3.3: Το δεύτερο ϐήµα k = 2 στην κατασκευή του συνόλου C 1 (1/3) = C(1/3) × [0, 1] και το παράδειγµα της κάλυψης. Κάθε «κολώνα» καλύπτεται από √ √ 1 2 k −k −k 3 = 9 τετράγωνα µήκους πλευράς 3 = 9 και διαµέτρου 3 2 = 9 , συνολικά υπάρχουν 2k = 4 «κολώνες». παίρνοντας το κάτω πέρας έχουµε Hδs (F ) ≥ M(F )/c. Τέλος αν δ → 0 έχουµε Hs (F ) ≥ M(F )/c.  Παρατηρούµε πως το συµπέρασµα ότι Hs (F ) ≥ M(F )/c παραµένει αληθές αν το πεπερασµένο εξωτερικό µέτρο M είναι πεπερασµένο στο Rn και F είναι υποσύνολο του Rn . Παράδειγµα : Το ϑεώρηµα 3.3.1 δείνει µια γρήγορη εκτίµηση του κάτω ϕράγµατος για το µέτρο Hausdorff του τριαδικού συνόλου Cantor, C(1/3). ΄Εστω M το «ϕυσικό» πεπερασµένο µέτρο στο C(1/3) έτσι ώστε κάθε ένα από τα 2k «ϐασικά» διαστήµατα µήκους 3−k στο Ck (1/3) της κατασκευής του τριαδικού συνόλου Cantor, να έχει M(Ik,j ) = 2−k , j = 1, . . . , 2k . ΄Εστω U να είναι σύνολο µε diam U < 1 και έστω k να είναι ακέραιος τέτοιος ώστε 3−(k+1) ≤ diam U < 3−k . Τότε U τέµνει το πολύ ένα Ik,j , έτσι log 2

log 2

M(U ) ≤ 2−k = (3−k ) log 3 ≤ (3 diam U ) log 3 ΄Αρα Hlog 2/ log 3 (C(1/3)) > 0 και dimH C(1/3) ≥ log 2/ log 3. Παράδειγµα : ΄Εστω C 1 (1/3) = C(1/3) × [0, 1] ⊂ R2 να είναι το γνόµενο του τριαδικού συνόλου Cantor, C(1/3), µε το κλειστό διάστηµα [0, 1]. Τότε


3.3. ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ∆ΙΑΣΤΑΣΗΣ HAUSDORFF

63

dimH C 1 (1/3) = 1 + log 2/ log 3 = s µε 0 < Hs (C 1 (1/3)) < ∞. Απόδειξη : Για κάθε k , υπάρχει κάλυψη του C(1/3) από 2k διαστήµατα µή−k κους√3 . Μια σειρά από 3k τετράγωνα µήκους πλευράς 3−k , δηλαδή διαµέτρου 3−k 2, καλύπτει το κοµµάτι του C 1 (1/3) που είναι Ik,j × [0, 1], άρα για να καλύψουµε όλο το C 1 (1/3) χρεαζόµαστε 2k τέτοιες σειρές, δηλαδή το C 1 (1/3) µπορεί να καλυφθεί από 2k 3k τετράγωνα µήκους πλευράς 3−k , σχήµα 3.3. ΄Ετσι το πάνω όριο ϐρίσκουµε να είναι

√ √ log 2 H3s−k √2 (C 1 (1/3)) ≤ 3k 2k (3−k 2)1+ log 3 = ( 2)s και

dimH C 1 (1/3) ≤ = =

log(3k 2k ) √ k→∞ log(3−k 2) 1 lim k→∞ log 3 − 1 log 2 log 6 2k log 6 lim





log 3 + log 2 log 2 =1+ log 3 log 3

Ορίζουµε το πεπερασµένο µέτρο M στο C 1 (1/3) πέρνοντας το «ϕυσικό» πεπερασµένο µέτρο πάνω στο C(1/3) όπως το έχουµε περιγράψει στο προηγούµενο παράδειγµα (δηλαδή κάθε διάστηµα Ik,j µήκους 3−k έχει µέτρο 2−k ) και κατανέµοντάς τα οµοιόµορφα πάνω στα ορθογώνια που δηµιουργούνται από το γινόµενο του Ik,j × [0, 1]. ΄Ετσι αν U είναι ορθογώνιο µε πλευρές παράλληλες προς άξωνες, ύψους h και ϐάσης κάποιο Ik,j , τότε M(U ) = h2−k . Οποιοδήποτε σύνολο U περιέχεται σε τετράγωνο πλευράς diam U µε πλευρές παράλληλες στους άξωνες. Αν 3−(k+1) ≤ diam U < 3−k , τότε U τέµνει το πολύ µια λωρίδα Ik,j × [0, 1], έτσι log 2

M(U ) ≤ (diam U )2−k ≤ (diam U )3−k log3

log 2

≤ diam U (3 diam U ) log 3 log 2

≤ 3 log 3 (diam U )s

Από το ϑεώρηµα 3.3.1 Hs (C 1 (1/3)) > 0, και dimH C 1 (1/3) ≥ 1+log 2/ log 3.  Παρατηρούµε ότι η διάσταση Hausdorff του γινοµένου δύο συνόλων ισούται µε το άθροισµα των διαστάσεων Hausdorff των συνόλων dimH C(1/3) × [0, 1] = dimH C(1/3) + dimH [0, 1]. Παράδειγµα : Ο στόχος Cantor είναι ένα υποσύνολο του επιπέδου, ορισµένο σε πολικές συντεταγµένες µε

C ◦ = {(r, ϑ) όπου r ∈ C(1/3) και 0 ≤ ϑ ≤ 2π} όπου C(1/3) είναι το τριαδικό σύνολο Cantor, σχήµα 3.4. Τότε dimH C ◦ (1/3) =

1 + log 2/ log 3

Απόδειξη : ΄Εστω f : R2 → R2 είναι η f (x, y) = (x cos y, x sin y). Η f ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz και C ◦ (1/3) = f [C(1/3) × [0, 2π]] ΄Ετσι από την πρόταση 3.2.1 και το προηγούµενο παράδειγµα έχουµε

dimH C ◦ (1/3) ≤ dimH (C(1/3) × [0, 2π]) = dimH (C(1/3)) + dimH [0, 2π] log 2 +1 = log 3


64

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

Σχήµα 3.4: Στόχος Cantor είναι το ίχνος που αφήνει το σύνολο Cantor C(1/3) αν κάνει πλήρη περιστροφή γύρο από το σηµείο 0

Αν τώρα περιορίσουµε την f στο [2/3, 1]×[0, π] τότε η f είναι bi-Lipschitz δηλαδή c1 |x − y| ≤ |f (x) − f (y)| ≤ c2 |x − y| για κάποια σταθερά c1 , c2 ∈ R. ΄Οµως για bi-Lipschitz συναρτήσεις ισχύει ότι dimH f [A] = dimH A, αρκεί να εφαρµόσουµε την πρόταση 3.2.1 για την f −1 : f [A] → A για να πάρουµε την ανάποδη ανισότητα που χρειάζεται. Οπότε αφού f [(C(1/3) ∩ [2/3, 1]) × [0, π]] ⊂ C ◦ (1/3) έχουµε

dimH C ◦ (1/3) ≥ dimH f [(C(1/3) ∩ [2/3, 1]) × [0, 1]] = dimH ((C(1/3) ∩ [2/3, 1]) × [0, 1]) = dimH ((C(1/3) ∩ [2/3, 1])) + dimH [0, π] log 2 = +1 log 3  Η επόµενη γενική κατασκευή ενός υποσυνόλου του R µπορεί να ϑεωρηθεί ως γενίκευση της κατασκευής του συνόλου Cantor. ΄Εστω [0, 1] = E0 ⊃ E1 ⊃ E2 ⊃ . . . είναι ϕθίνουσα ακολουθία συνόλων, µε κάθε Ek να είναι η ένωση πεπεϱασµένων ξένων κλειστών διαστηµάτων, ϑα τα λέµε ϐασικά διαστήµατα, µε κάθε


3.3. ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ∆ΙΑΣΤΑΣΗΣ HAUSDORFF

65

]_^ ]a` ]cb dd d e

Σχήµα 3.5: Γενική κατασκευή του συνόλου Cantor διάστηµα του Ek να περιέχει τουλάχιστον δύο διαστήµατα του Ek+1 και το µέγιστο µήκος των διαστηµάτων του Ek να τείνει στο µηδέν, όταν k → ∞. Τότε το σύνολο

F =

∞ \

Ek

k=0

είναι παντού µη συνεκτικό υποσύνολο του [0, 1] που γενικά είναι κλασµατικής διαστάσης. Τα πάνω ϕράγµατα της διάστασης Hausdorff ϐγαίνουν εύκολα αν πάρουµε για καλύψεις τα διαστήµατα του Ek , για κάθε k . ΄Οσο για το κάτω ϕράγµα είναι πιο δύσκολο να το ϐρούµε. Στα ακόλουθα παραδείγµατα η πάνω εκτίµηση της δίαστασης Hausdorff εξαρτάται από τον αριθµό και το µέγεθος των ϐασικών διαστηµάτων, ενώ η κάτω εκτίµηση εξαρτάται από τα κενά µεταξύ των ϐασικών διαστηµάτων. Για να πετύχουµε την ισότητα (της πάνω και κάτω εκτίµησης), τα διαστήµατα του Ek+1 ϑα πρέπει να είναι «σχεδόν οµαλά κατανεµηµένα» µέσα στα διαστήµατα του Ek . Παράδειγµα : ΄Εστω s ∈ (0, 1). Υποθέτουµε ότι Ek στην γενική κατασκευή έχει την παρακάτω ιδιότητα : Για κάθε ϐασικό διάστηµα I του Ek , τα διαστήµατα I1 , . . . , Im (m ≥ 2) του Ek+1 που περιέχονται στο I είναι ίσου µήκους και ισαπέχουν. Τα µήκη δίνονται από

(diam Ii )s =

1 (diam I)s , 1 ≤ i ≤ n m

(3.6)

µε τα αριστερά άκρα του I1 και I να συµπίπτουν, όπως και τα δεξιά άκρα του Im και I . Τότε dimH F = s και 0 < Hs < ∞. Προσοχή ! το m µπορεί να διαφέρει από ϐήµα σε ϐήµα, µε αποτέλεσµα να έχουµε ποικιλία µηκών για τα ϐασικά διαστήµατα του Ek . Απόδειξη : Με I και Ii όπως παραπάνω έχουµε

(diam I)s =

m X i=1

(diam Ii )s

(3.7)


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

66

Εφαρµόζοντας αυτό επαγωγικά στα διαστήµατα του Ek για «καλά» k έχουµε ότι για P κάθε k , (diam I)s όπου το άθροισµα είναι πάνω σε όλα τα ϐασικά διαστήµατα του Ek . Τα διαστήµατα του Ek καλύπτουν το F , και αφού το διάστηµα µε µέγιστο µήκος τείνει στο µηδέν για k → ∞, έχουµε ότι Hδs (F ) ≤ 1 και για δ αρκετά µικρό Hs (F ) ≤ 1. Τώρα κατανέµουµε το πεπερασµένο µέτρο M στο F µε τέτοιο τρόπο ώστε M(I) = (diam I)s όταν I είναι ϐασικό διάστηµα. ΄Ετσι ξεκινώντας µε M([0, 1]) = 1 το µοιράζουµε ίσα µεταξύ κάθε διαστήµατος του E1 στην συνέχεια το πεπερασµένο µέτρο σε κάθε ένα από αυτά τα δίαστήµατα µοιράζεται ίσα µεταξύ κάθε υποδιαστήµατος του E2 κ.τ.λ.. Η ισότητα 3.7 εξασφαλίζει ότι έχουµε πεπερασµένο µέτρο στο F µε M(I) = (diam I)s για κάθε ϐασικό διάστηµα. Εκτιµάµε το M(U ) για οποιοδήποτε διάστηµα U µε ακραία σηµεία στο F . ΄Εστω I να είναι το µικρότερο ϐασικό διάστηµα που περιέχει U , έστω I είναι ένα διάστηµα του Ek και έστω Ii , . . . , Im είναι τα διαστηµάτα του Ek+1 που περιέχονται στο I . Τοτε το U τέµνει j ≥ 2 από τα Ii , αλλιώς το U ϑα περιεχόταν σε µικρότερο ϐασικό διάστηµα. Τα κενά µεταξύ διαδοχικών Ii είναι

diam I − m diam Ii m−1

Ii diam I(1 − m diam diam I ) m−1 1 diam I(1 − m1− s ) = m−1 diam I ≥ cs m

=

χρησιµοποιώντας την 3.6, όπου cs = 1 − 21−1/s . ΄Ετσι

diam U ≥

j−1 j cs diam I ≥ cs diam I m 2m

από την ισότητα 3.7

j M(U ) ≤ jM(Ii ) = j(diam Ii )s = (diam I)s m  1−s j ≤ 2s c−s (diam U )s s m s ≤ 2s c−s s (diam U )

Αυτό ισχύει για κάθε διάστηµα U µε ακριανά σηµεία στο F και άρα για κάθε U . Από το ϑεώρηµα 3.3.1 έχουµε Hs (F ) > 0 και dimH F ≥ s  ΄Οταν το m παραµένει σταθερό κατά την διάρκια της κατασκευής του παραπάνω παραδείγµατος, τα σύνολα τα καλούµε οµοιόµορφα σύνολα Cantor .


3.4. ΑΥΤΟΟΜΟΙΑ ΣΥΝΟΛΑ

67

f_g fah fci jj j k

Σχήµα 3.6: Οµοιόµορφο σύνολο Cantor µε m = 3 και λ =

4 15 .

dimH F =

ln 3 ln 15/4

Παράδειγµα : ΄Εστω m ≥ 2 σταθερό και 0 < λ < 1/m. ΄Εστω F είναι το σύνολο που παίρνουµε από την κατασκευή στην οποία κάθε ϐασικό διάστηµα I ανικαθιστάται από ισαπέχοντα υποδιαστήµατα µήκους λ diam I και τα άκρα του I συµπίπτουν µε τα άκρα των ακραίων υποδιαστηµάτων. Τότε dimH F = − log m/ log λ και 0 < H− log m/ log λ (F )) < ∞ Απόδειξη : Το σύνολο F παράγεται παίρνοντας m σταθερό, και έστω s = − log m/ log λ. Τότε από προηγούµενο παράδειγµα η εξίσωση 3.6 γίνεται (λ diam I)s = (diam I)s /m κάτι που ισχύει για συγκεκριµένο s, άρα dimH F = s  Παρόλο που το ϑεώρηµα 3.3.1 ϐασίζεται σε απλή ιδέα είδαµε πόσο πολύ χρήσιµο µπορεί να είναι στην εύρεση της διάστσης Hausdorff .

3.4 Αυτοόµοια Σύνολα Μιλώντας µη αυστηρά, ένα υποσύνολο του Rn είναι αυτοόµοιο αν µπορεί να χωριστεί σε κοµµάτια που είναι όµοια µε το ολόκληρο (αρχικό) σύνολο. Τα σύνολα Cantor είναι ένα απλό παράδειγµα. Αν τα «κοµµάτια» C(λ) ∩ [0, λ] και C(λ) ∩ [1 − λ, 1] τα µεγενθύνουµε κατά 1/λ ϑα πάρουµε το αρχικό σύνολο Cantor. Η αυτοοµοιότητα του C(λ) µπορεί να γραφεί µαθηµατκά µε τον τύπο

C(λ) = f1 [C(λ)] ∪ f2 [C(λ)] όπου οι συναρτήσεις οµοιότητας f1 , f2 : R → R είναι f1 (x) = λx και f2 (x) = λx + 1 − λ. Απόδειξη : Αν συµβολίσουµε µε Ck (λ) το σύνολο στο k -οστό ϐήµα, δηλαδή i Ck (λ) = ∩ki=0 ∪2j=1 Ii,j , τότε από επαγωγή έχουµε ότι Ck+1 (λ) = f1 [Ck (λ)] ∪ f2 [Ck (λ)] για k = 0, 1, . . .. Πρώτα ϑα δείξουε ότι C(λ) ⊆ f1 [C(λ)] ∪ f2 [C(λ)]. ΄Εστω x ∈ C(λ). Τότε x ∈ C1 (λ). ΄Αρα είτε x ∈ [0, 1/3] είτε x ∈ [2/3, 1]. Θεωρούµε την δεύτερη πεϱιπτώση, όπου δηλαδή x ∈ [2/3, 1], η άλλη περίπτωση είναι παρόµοια. Τώρα


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

68

για οποιοδήποτε k , ξέρουµε x ∈ Ck+1 (λ) = f1 [Ck (λ)] ∪ f2 [Ck (λ)]. ΄Οµως f1 [Ck (λ)] ⊆ f1 [[0, 1]] = [0, 1/3], έτσι στην πραγµατικότητα x ∈ f2 [Ck (λ)] ή (1/λ)x − 1/λ + 1 ∈ Ck (λ). Αυτό ισχύει για όλα τα k , άρα (1/λ)x − /λ + 1 ∈ ∩k∈N Ck (λ) = C(λ). ΄Ετσι x ∈ f2 [C(λ)]. ΄Αρα έχουµε ότι x ∈ f1 [C(λ)] ∪ f2 [C(λ)]. Στη συνέχεια ϑα δείξουµε ότι C(λ) ⊇ f1 [C(λ)]∪f2 [C(λ)]. ΄Εστω x ∈ f1 [C(λ)]∪ f2 [C(λ)]. Τότε είτε x ∈ f1 [C(λ)] είτε x ∈ f2 [C(λ)]. Παίρνουµε τη δεύτερη πεϱίπτωση. ΄Ετσι (1/λ)x − /λ + 1 ∈ C(λ). Τώρα για οποιοδήποτε k , ξέρουµε (1/λ)x − 1/λ + 1 ∈ Ck (λ) ή x ∈ f2 [C(λ)] ⊆ Ck+1 (λ). ΄Ετσι x ∈ ∩k∈N Ck+1 (λ) = ∩k∈N Ck (λ) = C(λ). Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη ότι C(λ) = f1 [C(λ)] ∪ f2 [C(λ)].  Θα δώσουµε τώρα πιο αυστηρούς ορισµούς. Ορισµός 3.4.1 Λίστα λόγου είναι µια πεπερασµένη ακολουθία ϑετικών αριθµών

(r1 , r2 , ..., rn ). Την λίστα λόγου ϑα τη λέµε συστελλόµενη ή υπερβολική αν και µόνο αν ri < 1 για όλα τα i = {1, ..., n}. Ορισµός 3.4.2 Σύστηµα Επαναλαµβανόµενων Συναρτήσεων (I.F.S. = iterated function system), εφαρµοσµένων πάνω σε µια λίστα λόγου (r1 , r2 , ..., rn ) στο µετρικό χώρο (X, ρ), είναι µια ακολουθία συναρτήσεων (f1 , f2 , ..., fn ), όπου fi : X → X είναι οµοιότητα µε λόγο ri , δηλαδή ισχύει ρ(fi (x), fi (y)) = ri ρ(x, y) για x, y ∈ X και i ∈ {1, ..., n}. Ορισµός 3.4.3 ΄Ενα µη κενό συµπαγές υποσύνολο K του X είναι αναλλοίωτο σύνολο για το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων (f1 , f2 , ..., fn ) στο µετρικό χώρο X αν και µόνο αν

K=

n [

fi [K]

i=1

Κάθε τέτοιο αναλλοίωτο σύνολο είναι αυτοόµοιο. Θα δείξουµε ότι κάθε σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων εφαρµοσµένο σε µια συστελλόµενη λίστα λόγου, ορίζει µοναδικό (µη κενό) συµπαγές αναλλοίωτο σύνολο. Αυτό σηµαίνει, για παράδειγµα, ότι το σύνολο Cantor C(1/3) ορίζεται ακριβώς ως συµπαγής αναλλοίωτο σύνολο για το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων {f1 (x) = (1/3)x, f2 (x) = (1/3)x + 2/3}. Θεώρηµα 3.4.1 ΄Εστω X πλήρης µετρικός χώρος και έστω (f1 , f2 , ..., fn ) ένα σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων στο X εφαρµοσµένο σε µια συστελλόµενη λίστα λόγου (r1 , r2 , ..., rn ). Τότε υπάρχει µοναδικό µη κενό συµπαγές αναλλοίωτο σύνολο K για το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων στο µετρικό χώρο (K(X), D), των µη κενών συµπαγών υποσυνόλων του X , µε µετρική Hausdorff (ϐλέπε ϑεώρηµα 1.9.1). Μάλιστα αν ορίσουµε µια ακολουθία συνόλων Ak ως εξής : A0 είναι µη κενό συµn παγές υποσύνολο του X , A1 = ∪n i=1 fi [A0 ] µε αναδροµικό τύπο Ak+1 = ∪i=1 fi [Ak ], τότε

K = lim Ak k→∞

όπου το όριο λαµβάνεται ϐάσει της µετρικής Hausdorff.

Απόδειξη : Θεωρούµε το µετρικό χώρο K(X) των µη κενών συµπαγών υποσυνόλων του X , µε µετρική Hausdorff D . Από τη στιγµή που ο X είναι πλήρης, είναι


3.4. ΑΥΤΟΟΜΟΙΑ ΣΥΝΟΛΑ

69

πλήρης και ο K(X). Ορίζουµε τη συνάρτηση F : K(X) → K(X) ως εξής :

F (A) =

n [

fi [A]

i=1

Η συνεχής εικόνα ενός συµπαγούς συνόλου είναι συµπαγές σύνολο (ϑεώρηµα 1.5.6) και η ένωση πεπερασµένων συµπαγών συνόλων είναι συµπαγές. Οπότε αφού το A είναι συµπαγές, τότε έχουµε ότι και το F (A) είναι συµπαγές. Ισχυριζόµαστε ότι η F είναι συστολή (δηλαδή D(F (A), F (B) ≤ rD(A, B) µε r ∈ (0, 1)). ΄Εστω

r = max{r1 , r2 , ..., rn }

Προφανώς r < 1. Πρέπει να δείξουµε ότι

D(F (A), F (B) ≤ rD(A, B)

(3.8)

΄Εστω q > D(A, B). Αν x είναι οποιοδήποτε στοιχείο του F (A), τότε x = fi (x0 ) για κάποιο i ∈ {1, 2, . . . , n} και x0 ∈ A. Από τη στιγµή που q > D(A, B), υπάρχει στοιχείο y 0 ∈ B µε ρ(x0 , y 0 ) < q . Τότε όµως το στοιχείο y = fi (y 0 ) ∈ F (B) ικανοποιεί ρ(x, y) = ri ρ(x0 , y 0 ) < rq . Αυτό ισχύει για όλα x ∈ F (A), άρα F (A) περιέχεται στην rq -περιοχή του F (B). Οµοίως, F (B) περιέχεται στην rq -περιοχή του F (A). Οπότε D(F (A), F (B)) ≤ rq . Αυτό ισχύει για κάθε q > D(A, B), άρα έχουµε D(F (A), F (B)) ≤ rD(A, B). Τέλος έχουµε µια συστολή ορισµένη σε πλήρη µετρικό χώρο K(X). Από το ϑεώρηµα 1.6.3 η συνάρτηση F έχει µοναδικό σταθερό σηµείο K . Το σταθερό σηµείο K = limk→∞ Ak της συνάρτησης F είναι το αναλλοίωτο σύνολο στη συγκεκριµένη περίπτωση.  ΄Ενα από τα πλεονεκτήµατα του συστήµατος επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων εφαρµοσµένων πάνω σε µια συστελλόµενη λίστα λόγου (r1 , r2 , ..., rn ) στο µετρικό χώρο (X, ρ), είναι πως η δίασταση Hausdorff του αναλλοίωτου συνόλου σε µερικές περιπτώσεις υπολογίζεται πολύ εύκολα. Θα δείξουµε ότι υπό ορισµένες συνθήκες, η διάστση Hausdorff ενός αυτοόµοιου συνόλου F είναι ίση µε την τιµή του s που ικανοποιεί n X

ris = 1

(3.9)

i=1

και επιπλέον το F έχει πεπερασµένο s-διάστατο µέτρο Hausdorff. Πριν προχωρήσουµε στις συνθήκες ϑα δείξουµε ότι το s προσδιορίζεται µοναδικά. Θεώρηµα 3.4.2 ΄Εστω (r1 , r2 , ..., rn ) µια συστελλόµενη λίστα λόγου (δηλαδή ri < 1 για όλα τα i). Τότε υπάρχει µοναδικός µη αρνητικός αριθµός s που ικανοποιεί n X

ris = 1

i=1

Το s είναι 0 αν και µόνο αν n = 1.

Απόδειξη :

Θεωρούµε συνάρτηση g : [0, ∞) → [0, ∞) ορισµένη µε τύπο

g(s) =

n X i=1

ris


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

70

Τότε η g είναι συνεχής, g(0) = n ≥ 1 και lims→∞ g(s) = 0 < 1. ΄Αρα από το ϑεώρηµα µέσης τιµής, υπάρχει τουλάχιστον ένα s για το οποίο g(s) = 1. Η παράγωγος της g είναι 0

g (s) =

n X

ris log ri

i=1

που είναι αρνητική (g 0 (s) < 0), άρα η g είναι αυστηρά ϕθίνουσα. ΄Αρα υπάρχει µόνο µια λύση s για την οποία g(s) = 1. Αν το n > 1, τότε g(0) > 1, άρα s 6= 0.  Ας δούµε τώρα ένα παράδειγµα. Θα υπολογίσουµε τη διάσταση Hausdorff για το σύνολο Cantor, C(1/3), χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες αυτοοµοιότητας. Το σύνολο Cantor C(1/3) χωρίζεται σε αριστερό µέρος C(1/3)L = C(1/3) ∩ [0, 1/3] και δεξί µέρος C(1/3)R = C(1/3) ∩ [2/3, 1]. Προφανώς και τα δύο µέρη είναι γεωµετρικά όµοια µε το C(1/3) µόνο που έχουν σµικρυνθεί κατά 1/3 και επιπλέον C(1/3) = C(1/3)L ∪ C(1/3)R µε C(1/3)L ∩ C(1/3)R = ∅. ΄Ετσι για s ≥ 0 έχουµε

Hs (C(1/3)) = Hs (C(1/3)L ) + Hs (C(1/3)R )  s  s 1 1 = Hs (C(1/3)) + Hs (C(1/3)) 3 3 από το ϑεώρηµα 3.2.1. Αν υποθέσουµε ότι το s-διάστατο µέτρο Hausdorff είναι πεπερασµένο για s = dimH C(1/3), µπορούµε να διαιρέσουε την παραπάνω σχέση µε το Hs (C(1/3)) και ϑα πάρουµε 1 = 2(1/3)s ⇔ s = log 2/ log 3 Την παραπάνω µέθοδο µερικές ϕορές ϑα τη λέµε «ευρεστική µέθοδο». Οπότε αν F = ∪n i=1 fi [F ] είναι ένωση «σχεδόν ξένων µεταξύ τους συνόλων», έχουµε ότι

Hs (F ) =

n X i=1

Hs (fi [F ]) =

n X i=1

ris Hs (F )

από το ϑεώρηµα 3.2.1. Με την υπόθεση ότι το Hs (F ) είναι πεπερασµένο για s = dimH F , το Ϲητούµενο s ικανοποιεί την 3.9. Για να είναι το αποτέλεσµα του παραπάνω επιχειρήµατος σωστό, απαιτούµε να ικαναοποιείται µια συνθήκη η οποία µας εξασφαλίζει ότι τα υποσύνολα fi [F ] του F δεν τέµνονται «πάρα πόλυ». Ορισµός 3.4.4 Λέµε ότι το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων (f1 , f2 , ..., fn ) ικανοποιεί τη συνθήκη ανοιχτών συνόλων αν υπάρχει µη κενό ϕραγµένο ανοιχτό σύνολο U τέτοιο ώστε

U⊇ και fi [U ] ∩ fj [U ] = ∅ για i 6= j .

n [

fi [U ]

i=1

Η συνθήκη λέγεται και Moran συνθήκη ανοιχτών συνόλων. Για παράδειγµα, το σύνολο Cantor , C(1/3). Το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων είναι

f1 (x) = f2 (x) =

x 3 x+2 3


3.4. ΑΥΤΟΟΜΟΙΑ ΣΥΝΟΛΑ

71

Το ανοιχτό σύνολο (0, 1) ικανοποιεί τη συνθήκη ανοιχτών συνόλων, αφού οι δύο εικόνες (0, 1/3) και (2/3, 1) είναι ξένες και η ένωσή τους περιέχεται στο (0, 1). Θα δείξουµε ότι αν το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων ικανοποιεί τη συνθήκη ανοιχτών συνόλων, τότε η διάσταση Hausdorff του αναλλοίωτου συνόλου ισούται µε το s που ικανοποιεί την εξίσωση 3.9. Θα χρειαστούµε το παρακάτω γεωµετρικό αποτέλεσµα. Λήµµα 3.4.1 ΄Εστω {Ui } µια συλλογή ανοιχτών ξένων µεταξύ τους υποσυνόλων του Rn τέτοια ώστε κάθε Ui περιέχει µια ανοιχτή µπάλα ακτίνας a1 r και περιέχεται σε µια µπάλα ακτίνας a2 r . Τότε οποιαδήποτε µπάλα B ακτίνας r τέµνει το πολύ (1 + 2a2 )n a−n 1 κλειστοθήκες U i .

Απόδειξη : Αν U i τέµνει B , τότε το U i περιέχεται σε µπάλα, οµοκεντρική µε την B ακτίνας (1 + 2a2 )r . Υποθέτουµε ότι q από τα U i τέµνουν την B . Τότε αθροίϹοντας τους όγκους των αντιστοίχων εσωτερικών των µπαλών ακτίνας a1 r , έχουµε ότι q(a1 r)n ≤ (1 + 2a2 )n r n ⇒ q = (1 + 2a2 )n a−n 1 , που είναι και το Ϲητούµενο.  Η κατασκευή (εύρεση) του κάτω ϕράγµατος στο επόµενο ϑεώρηµα είναι λίγο περίεργη. Ακολουθεί τη λογική που χρησιµοποιήσαµε στο παράδειγµα µε τα σύνολα Cantor. Θεώρηµα 3.4.3 ΄Εστω ότι το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων (f1 , f2 , . . . , fn ) εφαρµοσµένων πάνω σε µια συστελλόµενη λίστα λόγου (r1 , r2 , . . . , rn ) στο µετρικό χώρο (X, ρ), ικανοποιεί τη συνθήκη ανοιχτών συνόλων. Αν το F είναι αναλλοίωτο σύνολο για το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων, τότε dimH F = s, όπου s ικανοποιέι την 3.9. Επιλέον, το s-διάστατο µέτρο Hausdorff είναι πεπερασµένο.

Απόδειξη : ΄Εστω s ικανοποιεί την εξίσωση 3.9. Για οποιοδήποτε σύνολο A γράφουµε Ai1 ,...,ik = fi1 [fi2 [. . . [fik [A]]]]. ΄Εστω Jk είναι το σύνολο όλων των k οστων όρων των ακολουθιών (i1 , . . . , ik ) µε 1 ≤ ij ≤ n. Από την συνδύαστική ξέρουµε ότι το σύνολο Jk περιέχει nk στοιχεία, από τα οποία υπάρχουν n που το πρώτο τους i είναι διαφορετικό, οπότε χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα 1.2.1 ισχύει

[

Fi1 ,...,ik

=

n [

i1 =1

Jk

.. .

=

n [

f i1  f i1

i1 =1

"

[

Jk−1

n [

i2 =1

Fi1 ,...,ik−1  "

f i2 . . .

"

n [

ik =1

fik [F ]

###

Συνεπάγεται, χρησιµοποιώντας επαναληπτικά τον ορισµό του αναλλοίωτου συνόλου, ότι [

F =

Fi1 ,...,ik

Jk

Αυτές οι καλύψεις του F µας παρέχουν το κατάλληλο άνω ϕράγµα για την εκτίµηση του µέτρου Hausdorff. Αφού η συνάρτηση g(A) = fi1 [fi2 [. . . [fik [A]]]] είναι οµοιότητα µε λόγο (ri1 ri2 · · · rik ), ϑεώρηµα 1.2.4, τότε

X X (diam Fi1 ,...,ik )s = ((ri1 ri2 · · · rik ) diam F )s = (diam F )s . Jk

Jk


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

72

Για οποιοδήποτε δ > 0 µπορούµε να διαλέξουµε k τέτοιο ώστε diam Fi1 ,...,ik ≤ (maxi {ri1 ri2 · · · rik })k ≤ δ , έτσι Hδs (F ) ≤ (diam F )s και άρα Hs (F ) ≤ (diam F )s . Το κάτω ϕράγµα είναι πολύ πιο «περιέργο». ΄Εστω I να είναι το σύνολο όλων των άπειρων ακολουθιών I = {(i1 , i2 , . . .) όπου 1 ≤ ij ≤ n} και έστω Ii1 ,...,ik = {(i1 , . . . , ik , qk+1 , . . .) όπου 1 ≤ qj ≤ n} είναι η οµάδα εκείνων των I τα οποία αρχίζουν µε (i1 , . . . , ik ). Μπορούµε να ορίσουµε ένα πεπερασµένο µέτρο M στο I τέτοιο ώστε M(Ii1 ,...,ik ) = (ri1 · · · rik )s . Αφού (ri1 , . . . , rik )s = P Pn n s i=1 ((ri1 , . . . , rik )ri ) δηλαδή M(Ii1 ,...,ik ) = i=1 M(Ii1 ,...,ik ,i ) συµπεραίνουµε ότι M είναι όντως µέτρο στα σύνολα του I µε M(I) = 1. Μπορούµε να µετατρέψουµε το M σε N στο F µε ϕυσικό τρόπο, ορίζοντας

N (A) = M({(i1 , i2 , . . .) όπου xi1 , xi2 , . . . ∈ A}) για υποσύνολα A του F . Είναι εύκολο να επιβεβαιώσουµε ότι N (F ) = 1. Θα δείξουµε ότι N ικανοποιεί την συνθήκη του ϑεωρήµατος 3.3.1. ΄Εστω U να είναι ένα τέτοιο ανοιχτό σύνολο το οποίο µας εξασφαλίζει τη συνθήκη ανοιχτών k συνόλων. Αφού U ⊃ ∪n i=1 fi [Ui ], η ακολουθία f [U ] = fi1 [fi2 [. . . [fik [U ]]]], όπου 0 1 1 ≤ ij ≤ n, είναι ϕθινούσα (δηλαδή f [U ] ⊃ f [U ] ⊃ · · · ⊃ f k [U ]) και συγκλίνει στο F . Συγκεκριµένα U ⊃ F και U i1 ,...,ik ⊃ Fi1 ,...,ik για κάθε πεπερασµένη ακολουθία (i1 , . . . , ik ). ΄Εστω B είναι οποιαδήποτε µπάλα µε ακτίνα r < 1. Κόβουµε κάθε άπειρη ακολουθία (i1 , i2 , . . .) ∈ I µετά από τον όρο ik για το οποίο ισχύει

(min ri )r ≤ ri1 , ri2 , . . . , rin ≤ r i

και ορίζουµε Q να είναι πεπερασµένο σύνολο όλων των (πεπερασµένων) ακολουϑιών που προκύπτουν µε τον παραπάνω τρόπο. Τότε για κάθε άπειρη ακολουϑία (i1 , i2 , . . .) ∈ I υπάρχει ακριβώς µια τιµή του k µε (i1 , . . . , ik ) ∈ Q. Αφού U1 , . . . , Un είναι ξένα µεταξύ τους, το ίδιο ισχύει και για Ui1 ,...,ik ,1 , . . . , Ui1 ,...,ik ,m για κάθε (i1 , . . . , ik ). ΄Εχουµε ότι τα στοιχεία της συλλογής ανοιχτών συνόλων {Ui1 ,...,ik όπου (i1 , . . . , ik ) ∈ Q} είναι ξένα µεταξύ τους. Οµοίως F ⊂ ∪Q Fi1 ,...,ik ⊂ ∪Q U i1 ,...,ik . ∆ιαλέγουµε a1 και a2 έτσι ώστε το U να περιέχει µια µπάλα ακτίνας a1 και να περιέχεται σε µια µπάλα ακτίνας a2 . Τότε για (i1 , . . . , ik ) ∈ Q, το σύνολο Ui1 ,...,ik περιέχει µια µπάλα ακτίνας ri1 · · · rik a1 , άρα και µια µε ακτίνα (mini ri )ra1 , και περιέχεται σε µια µπάλα ακτίνας ri1 · · · rik a2 , άρα και σε µια µε ακτίνα ra2 . ΄Εστω Q1 είναι το σύνολο εκείνων των ακολουθιών (i1 , . . . , ik ) του Q για τις οποίες η B τέµνει το U i1 ,...,ik . Από το λήµµα 3.4.1 υπάρχουν το πολύ −n q = (1 + 2a2 )n a−n ακολουθίες στο Q1 . Τότε 1 (mini ri )

N (B) = N (F ∩ B) ≤ M({(i1 , i2 , . . .) όπου xi1 ,i2 ,... ∈ F ∩ B}) [ ≤ M({ Ii1 ,...,ik }) Q1

αφού αν xi1 , xi2 , . . . ∈ F ∩ B ⊂ ∪Q1 U i1 ,...,ik , τότε υπάρχει ακέραιος k τέτοιος ώστε (i1 , . . . , ik ) ∈ Q1 . ΄Ετσι

N (B) ≤ =

X Q1

M(Ii1 ,...,ik )

X X (ri1 , · · · , rik )s ≤ rs ≤ rs q Q1

Q1


3.4. ΑΥΤΟΟΜΟΙΑ ΣΥΝΟΛΑ

73

lPm

lNp

lon

q qq l

Σχήµα 3.7: Τα πρώτα τρία στάδια κατασκευής του τριγώνου Sierprinsky και το ίδιο τρίγωνο Sierprinsky µετά από άπειρα ϐήµατα. dimH S = ln 3/ ln 2 = 1, 585 Αφού οποιοδήποτε σύνολο U περιέχεται σε µια µπάλα ακτίνας diam U έχουµε M(U ) ≤ (diam U )s q άρα από το ϑεώρηµα 3.3.1 έχουµε ότι Hs (F ) ≥ 1/q > 0 και συνεπώς dimH F = s  Τρίγωνο Sierprinski. Θα παρουσιάσουµε τώρα την κατασκευή ενός συνόλου που ϑα το λέµε «Τρίγωνο Sierprinski», σχήµα 3.7. Ξεκινάµε µε το σύνολο S0 να είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο (µαζί µε το εσωτερικό του) µήκος πλευράς 1. Το χωρίζουµε σε τέσσερα όµοια ισοσκελή τρίγωνα µε µήκος πλευράς 1/2. Το µεσαίο τρίγωνο είναι γυρισµένο κατά 180◦ µοίρες σε σχέση µε άλλα τρία. Θα αφαιρέσουµε αυτό το µεσαίο και το υπόλοιπο σύνολο ϑα το πούµε S1 . Προφανώς S1 ⊂ S0 . Τώρα κάθε ένα από τα τρία τρίγωνα που έχουν µείνει ϑα χωριστεί σε τέσσερα µικρότερα τρίγωνα µε µήκος πλευράς 1/4 και ϑα αφαιρεθούν τα τρια µεσαία. Το αποτέλεσµα ϑα είναι σύνολο S2 . Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο κατασκευάζουµε µια ακολουθία συνόλων Sk . Το «τρίγωνο Sierprinski» είναι το όριο S της ακολουθίας. Μάλιστα αφού η Sk είναι ϕθίνουσα ισχύει S = ∩∞ k=0 Sk . −k Το σύνολο Sk αποτελείται από 3k τρίγωνα µε µήκος πλευράς 2 . ΄Αρα το √ συνολικό εµβαδό του Sk είναι 3k (2−k )2 3/4. Αυτό συγκλίνει στο 0 για k → ∞. Οπότε το συνολικό εµβαδό του S είναι 0. ΄Εχουµε πει ότι το δισδιάστατο µέτρο Hausdorff στο R2 ανιπροσωπεύει εµβαδό, αλλά και χωρίς αυτό είναι εύκολο να δούµε ότι H2 (S) = 0. ΄Αρα η διάσταση Hausdorff του S είναι µικρότερη του 2. Είναι εύκολο επίσης να δούµε ότι το σύνολο S είναι αναλλοίωτο για το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων µε λίστα λόγου {1/2, 1/2, 1/2} που απεικονίζει το τρίγωνο S0 στα τρίγωνα του S1 . Αν πάρουµε το εσωτερικό του τριγώνου S0 , τότε αυτό είναι ανοιχτό σύνολο και ικανοποιεί τη συνθήκη ανοιχτών συνόλων. ΄Ετσι από P3 s το ϑεώρηµα 3.4.3, dimH S = s όπου s ικανοποιεί την εξίσωση (1/2) =1 i=1 δηλαδή

dimH S =

log 3 log 2


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ∆ΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF

74

Καµπύλη von Koch. ΄Εστω ότι έχουµε ένα διάστηµα µήκους h. Θεωϱούµε έναν αριθµό a ≥ 3. Κόβουµε το µεσαίο, κοµµάτι του διαστήµατος µήκους (µήκος διαστήµατος) ∗ 1/a και το αντικαθιστούµε µε άλλα δύο διαστήµατα που µαζί µ΄ αυτό που κόψαµε ϑα αποτελούσαν ένα ισόπλευρο τίγωνο. ΄Ετσι τώρα έχουµε τέσσερα διαστήµατα. Κάνουµε το ίδιο για αυτά τα τέσσερα διαστήµατα. Αν συνεχίσουµε έτσι επ΄ άπειρο ϑα πάρουµε αυτό που λέµε καµπύλη von Koch σχήµα 3.8. Το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων ϐάσει κατασκευής αποτελείται από τέσσερις οµοιότητες (f1 , f2 , f3 , f4 ). Η f1 συστέλει το σύνολο, διάστηµα στη συγκεκριµένη περιπτωση, κατά (a − 1)/(2a), η f2 συστέλει κατά 1/a περιστρέφει κατά 60◦ και µεταφέρει κατα (a − 1)/(2a) µήκος και διεύθυνση του διαστήµατος, η f3 συστέλει κατα 1/a περιστέφει κατά −60◦ και µεταφέρει √ κατά (a − 1)/(2a) + 1/(2a) µήκος και διευθυνσή του διαστήµατος και κατά 3/(2a) στη ϑετική διεύϑυνση της κατακόρυφης στη διεύθυνση του διαστήµατος, τέλος η f4 συστέλει κατά (a − 1)/(2a) και µεταφέρει κατά (a − 1)/(2a) + 1/a µήκος και διεύθυνση του διαστήµατος. Οπότε η λίστα λόγου µας είναι ((a − 1)/(2a), 1/a, 1/a, (a − 1)/(2a).

Τώρα είναι ϕανερό ότι η καµπύλη von Koch , F , είναι το αναλλοίωτο σύνολο για αυτό το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων και επιπλέον ικανοποιείται η συνθήκη των ανοιχτών συνόλων αρκεί να ϑεωρήσουµε για ανοιχτό σύνολο το ισοσκελές τρίγωνο µε ϐασή µήκους ένα. Μπορούµε λοιπόν να εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα 3.4.3 για να υπολογίσουµε την διάσταση Hausdorff: dimH F = s όπου το s ικανοποιεί 2((1 − a)/(2a))s + 2(1/a)s = 1.

ros

rwv

rut

x xx r

Σχήµα 3.8: Τα πρώτα τρία στάδια της κατασκευής της καµπύλης von Koch και η ίδια καµπύλη von Koch για a = 3. dimH F = ln 4/ ln 3 = 1, 262 Το επόµενο ϑεώρηµα, γνωστό και ως ϑεώρηµα «κολλάζ», µας λέει πόσο κοντά επιτυγχάνεται η προσέγγιση που κάνουµε στο αναλλοίωτο σύνολο για το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων

Θεώρηµα 3.4.4 ΄Εστω ότι έχουµε ένα σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων (f1 , . . . , fn ) στο Rm µε συστελλόµενη λίστα λόγου (r1 , . . . , rn ). ΄Εστω E ⊂ Rm


3.4. ΑΥΤΟΟΜΟΙΑ ΣΥΝΟΛΑ

75

ένα µη κενό συµπαγές σύνολο και r = max{r1 , . . . , rn }. Τότε

D(E, K) ≤ D(E,

n [

fi [E])

i=1

1 1−r

όπου K είναι το αναλλοίωτο σύνολο για το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων και D είναι η µετρική Hausdorff.

Απόδειξη : Χρησιµοποιώντας την τριγωνική ανισότητα (αφού µιλάµε για µετρική) και τον ορισµό 3.4.3 του αναλλοίωτου συνόλου, έχουµε

D(E, K) ≤ D(E, = D(E, ≤ D(E, Sn

Το γεγονός ότι D( i=1 fi [E], ϱηµα 3.4.1, ανισότητα 3.8 

Sn

n [

i=1 n [

i=1 n [

fi [E]) + D( fi [E]) + D(

n [

i=1 n [

fi [E], K) fi [E],

i=1

n [

fi [K])

i=1

fi [E]) + rD(E, K)

i=1

i=1

fi [K]) ≤ rD(E, K) το έχουµε δείξει στο ϑεώ-

Συµπέρασµα του παραπάνω ϑεωρήµατος είναι ότι οποιοδήποτε συµπαγή υποσύνολο του Rn µπορεί να προσεγγιστεί αυθαίρετα κοντά από ένα αυτοόµοιο σύνολο. Αυτό µας λέει το επόµενο λήµµα. Λήµµα 3.4.2 ΄Εστω E µη κενό συµπαγής υποσύνολο του Rm . ∆οθέντος δ > 0 υπάρχει σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων f1 , . . . , fn µε αναλλοίωτο σύνολο K που ικανοποιεί D(E, K) < δ , όπου D είναι η µετρική Hausdorff.

Απόδειξη : ΄Εστω B1 , . . . , Bn µια συλλογή µπαλών ακτίνας το πολύ (1/4)δ που καλύπτουν το E και που τα κέντρα τους ϐρίσκονται στο E . Τότε E ⊂ ∪n i=1 Bi ⊂ N (E, 14 δ), όπου N (E, 14 δ) είναι η δ/4-περιοχή του E . Για i = 1, . . . , n, έστω fi να είναι συστολή µε λόγο ri < 1/2 και πεδίο τιµών είναι Bi µε πεδίο ορι1 σµού E . Τότε fi [E] ⊂ Bi ⊂ N (fi [E], 21 δ), έτσι ∪n i=1 fi [E] ⊂ N (E, 4 δ) και E ⊂ 1 n ∪i=1 N (fi [E], 2 δ). Από τον ορισµό της µετρικής Hausdorff D(E, ∪ni=1 fi [E]) < δ/2. Από το ϑεώρηµα 3.4.4 έχουµε ότι

D(E, K) ≤ D(E,

n [

i=1

1 fi [E]) 1 < δ 2

όπου K είναι το αναλλοίωτο σύνολο για το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων 


Κεφάλαιο 4

Fractal Συµπίεση των Εικόνων Η συµπίεση των δεδοµένων είναι ίσως από τα πιό σηµαντικά προβλήµατα που συναντάµε όταν συζητάµε για την αποθήκευση της πληροφορίας και την µεταφορά της µέσω των γραµµών επικοινωνίας. Πολλές ϕορές οι λέξεις «πληροφορία» και «δεδοµένα» αντιλαµβάνονται σαν συνώνυµες. ∆εν είναι όµως, η πληροφορία είναι αυτό που αντιλαµβανόµαστε (π.χ. ϐλέπουµε, ακούµε, γενικά αισθανόµαστε, κτλ.), ενώ τα δεδοµένα είναι ο τρόπος παρουσίας της πληροφορίας για την αποθήκευση και την διαβίβασή της. Για παϱάδειγµα ένας Ϲωγράφος ϐλέπει και αισθάνεται ένα σκηνικό που το Ϲωγραφίζει, σ’ αυτή τη περίπτωση το σκηνικό αποτελεί πληροφορία και ο πίνακας δεδοµένα. Σχεδόν κάθε πληροφορία µπόρει να παρουσιαστεί µε την µορφη δεδοµένων, µάλιστα η ίδια πληροφορία µπορεί να παρουσιαστεί µε διάφορες µορφές δεδοµένων. Για παράδειγµα το σκηνικό που Ϲωγράφισε ο Ϲωγράφος, ένας λογοτέχνης µπορεί να το περιγράψει µε λόγια, έτσι η πληροφορια αποτυπώνεται µε την µορφή κειµένου. Το κύριο πρόβληµα της συµπίεσης δεδοµένων είναι να παρουσιάσει την πληϱοφορία µε όσο το δυνατόν µικρότερο όγκο δεδοµένων. Θεωρείται ότι κάθε µορφή δεδοµένων περιέχει πλεονάζοντα στοιχεία της πληροφορίας ή ακόµα και η ίδια πληροφορία µπορεί να περιέχει στοιχεία που να µην είναι αναγκαία. Η εικόνα, πληροφορία που αισθανόµαστε µε την όραση µας, µπορεί να παϱασταθεί µε διάφορες µορφές δεδοµένων. Στην παρούσα πτυχιακή εργασία ϑα ασχοληθούµε µε την συµπίεση της ψηφιακής εικόνας. Σύµφωνα µε την ψηφιακή αναπαράσταση της εικόνας ϑεωρείται ότι κάθε εικόνα αποτελείται από εικονοστοιχεία. Το εικονοστοιχείο (pixel, από το αγγλικό picture element) είναι στοιχειώδες τετραγωνικό τµήµα της εικόνας που δεν µποϱεί να χωριστεί σε µικρότερα κοµµάτια. Κάθε εικονοστοιχείο έχει δύο µοναδικές ακέραιες συντεταγµένες (x, y), 0 ≤ x < X και 0 ≤ y < Y , όπου X και Y είναι οι διαστάσεις (σε εικονοστοιχεία) της εικόνας. Επιπλέον, για ασπρόµαυρες εικόνες, σε κάθε εικονοστοιχείο αντιστοιχεί ένας ακέραιος από το µηδέν έως κάποιο αριθµό, αναλόγος για τι ποιότητα της εικόνας µιλάµε, που λέγεται ένταση. Στην ουσία η ένταση καθορίζει το πόσο σκούρο είναι το εικονοστοιχείο. Τώρα στις έγχρωµες εικόνες επικρατεί η ιδιά λογική, απλά αντι για µια ένταση του µαύρου χρώµατος έχουµε τρεις µεταβλητές εντάσεων, που η κάθε µία αντιστοιχεί σε κάποιο ϐασικό 77


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. FRACTAL ΣΥΜΠΙΕΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ

78

χρώµα. Για παράδειγµα σε συστηµα RGB, έχουµε τρία ϐασικά χρώµατα, κόκκινο, πράσινο και γαλανό. Θεωρείται ότι µε την µείξη των τριών αυτών χρωµάτων πετυχαίνουµε όποιο άλλο χρώµα ϑέλουµε. Στην συνέχεια ϑα ασχοληθούµε µόνο µε ασπρόµαυρες ψηφιακές εικόνες. ΄Ετσι λοιπόν η ψηφιακή αναπαράσταση της εικόνας είναι στην ουσία η δυαδική έκφραση των συντεταγµένων και της έντασης του κάθε εικονοστοιχείου. Υπάρχουν πολύ αλγόριθµοι συµπίεσης ψηφιακών εικόνων. ΄Ολοι τους ϐασίϹονται στον εντοπισµό και την αφαιρεση του πλεονσµού. Ο πλεονασµός πολλές ϕορές παρατηρείται στη κωδικοποίηση της εικόνας, κάτι που οφείλεται στη µη ϐέλτιστη περιγραφή της. ΄Αλλη µορφή πλεονασµού προκύπτει στις πραγµατικές εικόνες µεταξύ κοντινών εικονοστοιχείων, αφού οι εντάσεις τους σχετίζονται κάπως µεταξυ τους, οπότε γνωρίζοντας την συσχέτηση και την ένταση του κεντρικού εικονοστοιχείου είναι πλεονασµός να καταγράφουµε τις εντάσεις τον άλλων. Τέλος το ανθρώποινο όργανο όρασης (η κόρη του µατιού) δεν είναι ικανό να αντιληφθεί τον ακριβό διαχωριδµό των µεµονωµένων εικονοστοιχείων οπότε υπάρχουν τµήµατα της εικόνας, περιεχόµενο των οποίων ϑα µπορούσε να απλοποιηθεί, χωρίς να χαλάσουµε την ποιότητα της εικόνας που ϐλέπουµε. Τους αλγόριθµους µπορούµε να τους κατατάξουµε σε δύο είδη, αυτούς που συµπιέζουν χωρίς απώλειες και αυτούς µε απώλειες. Είναι ϕανερό ότι η συµπίεση είναι µεγαλύτερη όταν µιλάµε για την συµπίεση µε απώλειες, µάλιστα αυξάνεται όσο µεγαλώνει η απώλεια και εδώ έρχεται η κρίση µας, µεχρί ποιό σηµείο ϑα είναι αποδεκτή η απώλεια. Στην συνέχεια ϑα ασχοληθούµε µε την συµπίεση µε απώλειες της ψηφιακής ασπρόµαυρης εικόνας, ο αλγόριθµος της οποίας ϐασίζεται στην ϑεωρία των αυτοόµοιων συνόλων που παρουσιάστηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο και ϕέρει το όνοµα «ϑραυσµατική (fractal) συµπίεση».

4.1 Θεωρητική Ιδέα της Fractal Συµπίεσης ΄Εστω ότι έχουµε µετρικό χώρο (X, D) όπου D είναι η µετρική Hausdorff. Θυµίζουµε ότι X είναι σύνολο µη κενών συµπαγών συνόλων. Από το ϑεώρηµα 3.4.1 έχουµε ότι, αν ορίσουµε ένα σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων, (f1 . . . fn ), εφαρµοσµένο σε µια συστελλόµενη λίστα λόγου, τότε υπάρχει ένα µοναδικό στοιχείο (σύνολο) K του X ώστε για οποιοδήποτε στοιχείο A0 του X να ισχύει

K = lim

k→∞

n [

i=1

fi [Ak ] όπου Ak =

n [

f [Ak−1 ]

i=1

Οπότε αν πάρουµε οποιοδήποτε στοιχείο K του X τότε ίσως (όχι όµως κατ’ άναγκη) µπορούµε να ϐρούµε ένα σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων που να αποτελείται από συστολές και για το οποίο το K να είναι αναλοίωτο σύνολο. ΄Ετσι εφαρµόζοντας άπειρες ϕορές το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων πάνω σε οποιοδήποτε στοιχείο του X ϑα πάρουµε το K . Το πρόβληµα στην πρακτική εφαρµογή της ϑεωρίας για τις πραγµατικές εικόνες είναι ότι το σύνολο K πρέπει να είναι αυτοόµοιο, πράγµα που στην πράξη δεν ισχύει εν γένει. Αν σπάσουµε όµως την αρχική µας εικόνα σε µικρότερες περιοχές όπου παρατηρούνται ίχνη οµοιότητας, τότε µπορούµε να εφαρµόσουµε την ϑεωρία, προσεγγίζοντας την εικόνα κατά κοµµάτια.


4.1. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Ι∆ΕΑ ΤΗΣ FRACTAL ΣΥΜΠΙΕΣΗΣ

79

΄Αλλο ένα πρόβληµα που παρουσιάζει η ϑεωρία είναι το ερώτηµα αν υπάρχει κατάλληλο σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων για το οποίο το K είναι αναλλοίωτο. Το ληµµά 3.4.2 µας λέει ότι σίγουρα µπορούµε να ϐρούµε ένα σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων, το αναλλοίωτο σύνολο του οποίου είναι όσο πιο κοντά ϑέλουµε στο K . Και επειδή στην παράξη πάντα µιλάµε για προσέγγιση, (αφού το άπειρο είναι απλά ένας µεγάλος αριθµός) ορίζοντας το µεγεθός του σφάλµατος, το λήµµα 3.4.2 µας καλύπτει ικανοποιητικά. Τέλος η ϑεωριά δεν µας λέει καθόλου πως ϐρίσκουµε το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων ώστε να είναι αναλλοίωτο ως προς αυτό. Μας µένει παρά να εξετάσουµε όλα τα συστήµατα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων µε συστελλόµενες λίστες λόγου και να επιλέξουµε το κατάλληλο. Το πρόβληµα είναι οτι υπάρχουν υπεραριθµήσηµα τέτοια συστήµατα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων, οπότε υπολογιστικά είναι αδύνατον να εξετάσουµε όλες τις περιπτώσεις. Θα δούµε αργότερα πως ϑα χειριστούµε αυτή την δυσκολία. ΄Ετσι λοιπόν µπορούµε να περιγράψουµε την εικόνα µε µια σειρά από συστήµατα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων (κάθε κοµµάτι της εικόνας ϑα έχει δικό της ξεχωριστό σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων), τα οποία αν εφαρµόσουµε «πολλές ϕορές» σε οποιαδήποτε αρχική εικόνα ϑα πάρουµε, τις προσέγγισεις των τµηµάτων της αρχικής µας εικόνας. Ευελπιστώντας ότι η παρουσίαση τέτοιων συστηµάτων επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων σε µορφή δεδοµένων καταλαµβάνει «πολύ» λιγότερο όγκο απ’ ότι η ίδια η εικόνα µπορούµε να αποθηκεύουµε και να στέλνουµε από τα κανάλια επικοινωνίας µόνο τα συστήµατα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων έτσι ώστε στην συνέχεια να µπορούµε να ανασχηµατίσουµε την αρχική µας εικόνα χρησιµοποιώντας κάποιο κατάλληλο λογισµικό. ΄Οπως έχει ειπωθεί υπάρχουν κάποιες δυσκολίες µε τις πραγµατικές εικόνες, οπότε και η συµπίεση τους έχει την ιδιοτροπία της, µε την οποία και ϑα ασχοληθούµε στην συνέχεια. ΄Εστω ότι έχουµε την εικόνα K . Θα ϑεωρούµε ότι η K είναι κωδικοποιηµένη αν παρουσιάζεται ως µια ακολουθία τών συστηµάτων επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων (εννοείται ότι όλες οι συναρτήσεις των συστηµάτων επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων είναι συστολές). Στη ιδανική περίπτωση κάθε κοµµάτι τις διαµερισµένης εικόνας ϑα ήταν αναλλοίωτο για το Σ.Ε.Σ που του αντιστοιχεί. ΄Οπως ειπώθηκε για να το επιτύχουµε είναι σχεδόν αδύνατον, οπότε από εδώ και πέρα ϑα µιλάµε για την προσέγγιση της εικόνας και όχι ακριβές αντίγραφο. ΄Ετσι λοιπόν στην εύρεση των συστηµάτων επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων ϑα ϐάλουµε κάποιους περιορισµούς. Αντί να ψάχνουµε όλο το σύνολο συστολών που υπάρχουν, µπορούµε να περιοριστούµε σε κάποιες κλάσεις των συναρτήσεων. Σ’ αυτήν την πτυχιακή εργασιά, ϑα χρησιµοποιησούµε συστήµατα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων που αποτελούνται από συνδιασµό τριών διαφορετικής ϕύσεως συστολών. Παρακάτω παρουσιάζουµε τα ϐήµατα της κατασκευής του αλγορίθµου της «fractal συµπίεσης» της εικόνας. 1. Στην αρχή ορίζουµε ένα πεπερσµένο το πλήθος κλάσεις συσχετιζόµενων συστολών. 2. Μετά ορίζουµε την µέθοδο διαµέρισης της εικόνας σε κοµµάτια (για τα οποία ϑα ψάχνουµε τα αντίστοιχα συστήµατα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων. 3. Τέλος ορίζουµε την διαδικασία εύρεσης των συστηµάτων επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων τέτοιων ώστε το λάθος της προσέγγισης να είναι στα επι-


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. FRACTAL ΣΥΜΠΙΕΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ

80 τρεπτά όρια.

4.2 Περιγραφή του Αλγορίθµου Για την περιγράφη του αλγορίθµου της «fractal συµπίεση» ϑα εισάγουµε κάποιους ορισµούς. Ορισµός 4.2.1 Block είναι τετραγωνικό τµήµα της εικόνας καθορισµένου µεγέϑους n. Συµβολίζουµε µε b το block και µε bi,j την ένταση του pixel στην σχετική ϑέση του block i, j , 0 ≤ i, j < n. Ορισµός 4.2.2 Domen είναι τετραγωνικό µερος της εικόνας διπλάσιο του block. Συµβολίζουµε µε d το domen , και µε di,j την ένταση του pixel στην σχετική ϑέση του domain i, j , 0 ≤ i, j < 2n. Ορισµός 4.2.3 Μέση τετραγωνική απόκλιση, είναι ένας από τους τρόπους να µετράει κανείς την διαφορά της έντασης µεταξύ των bloks ή domens ίδιου µεγέθους.

v un−1 n−1 1 uX X Μ.Τ.Α.(b, c) = 2 t (bi,j − ci,j )2 n i=0 j=0

όπου οι διαστάσεις των b και c είναι 0 ≤ i, j < n.

Ορισµός 4.2.4 Η µέση ένταση του blok , είναι η τετραγωνική ϱίζα του αθροίσµατος των εντάσεων όλων των pixels προς το τετράγωνο του µεγέφους του blok . v

G0 (b) =

un−1 X 1u t bi,j 2 n i=0

Μέση τετραγωνική απόκλιση από την µέση ένταση είναι µέση τετραγωνική απόκληση του blok (ή του domain) από ένα blok (ή του domain) πού έχει τις διαστάσεις του blok (ή του domain ant’istoiqa) αλλά όλα τα pixels έχουν ένταση 1. Επιλπέον για δοσµένο ε > 0, που είναι η επιτρεπτη διαφορα µεταξύ πρωτότυπης εικόνας και συµπιεσµένης (µε αλλα λόγια εκφράζει την απώλεια, όσο πιο µικρότερο το ε τόσο λιγότερη είναι η απώλεια), ϑεώρουµε µονότονο το blok αν η µέση τετραγωνική απόκλιση του απο το block που έχει το ίδιο µέγεθος µε όλα τα pixels να έχουν την ένταση ίση µε την µέση ένταση του. Στό πρώτο κεφάλαιο έχουµε ορίσει την συσχετιζόµενη συνάρτηση, ορισµός 1.7.3, και δείξαµε ότι όταν απείκονίζει ένα διάστηµα στο R τότε είναι αναγκαστικά της µορφής f (x) = αx + β , δηλαδή χρειαζόµαστε µόνο δύο µεταβλήτες για να προσδιορίσουµε µια συσχετιζόµενη συνάρτηση από το R στο R. ΄Οταν µια συσχετιζόµενη συνάρτηση είναι από το R2 στο R2 είναι της µορφής

       x α1,1 α1,2 x β1 f = + y α2,1 α2,2 y β2 δηλαδή µπορούµε να περιγράψουµε πλήρως µια οποιαδήποτε συσχετιζόµενη συνάρτηση από το R2 στο R2 µε την ϐοήθεια έξι (µόνο) αριθµών. Ο λόγος που αναφεϱόµαστε στις συσχετιζόµενες συναρτήσεις είναι ότι αυτές αποτελούν µεγάλο µέρος


4.2. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ

81

των συστολών και είναι σχετικά εύκολη η αποτύπωσή τους (καταγραφή). (Αυτό που λέγαµε σχετικά µε την διαφορά µεταξύ της πληροφορίας και των δεδοµένων, µια συστολή που είναι ταυτόχρονα και συσχετιζόµενη συνάρτηση αποθηκεύται πολύ απλά µόνο µε έξι αριθµούς.) Για να µπορούµε να ϐρούµε το κατάλληλο σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων ϑα περιοριστούµε στην διακριτή επιλογή των συσχετιζόµενων (συστολών) συναρτήσεων. Επιπλέον ϑα ϑεωρούµε ότι κάθε σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων που ϑα ψάχνουµε, ϑα αποτελείται από τρεις κλάσεις συσχετιζόµενων συστολών : όπου µία ϑα αντιπροσωπεύει το γεωµετρικο µέρος, άλλη την περιστροϕή και η τρίτη την αλλαγή της ϕωτεινότητας και του contrast των εικονοστοιχείων. Αυτό που κάνουν οι συσχετιζόµενες συστολες του γεωµετρικού µέρους είναι να συµπιέζουν το Domain δυο ϕορες και να το µεταφέρουν στην ϑέση του block. ∆ηλαδή είναι της µορφής

  1 x = 2 g y 0

    β1 x + 1 β2 y 2

0

όπου β1 και β2 είναι οι συντελεστές µεταφοράς (στο επίπεδο). Η περιστροφή µετασχηµατίζει ένα block της εικόνας µε έναν από τους παρακάτω τρόπους 1. Ταυτοτικός µετασχηµατισµός, δηλαδή αφήνει το block όπως είναι

r

       1 0 x 0 x = + 0 y 0 1 y

2. Συµµετρική ανάκλαση ως προς τον άξονα x0 x, δηλαδή

r

       x 1 0 x 0 = + 0 y 0 −1 y

3. Συµµετρική ανάκλαση ως προς τον άξονα y 0 y , δηλαδή

       x −1 0 x 0 r = + 0 y 0 1 y 4. Συµµετρική ανάκλαση ως προς την κύρια διαγώνιο, δηλαδή

       x 0 1 x 0 r = + 0 y 1 0 y 5. Συµµετρική ανάκλαση ως προς την δεύτερη διαγώνιο, δηλαδή

       x 0 −1 x 0 r = + 0 y −1 0 y 6. Στροφή κατα 90◦ , δηλαδή

       x 0 1 x 0 r = + 0 y −1 0 y


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. FRACTAL ΣΥΜΠΙΕΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ

82

7. Στροφή κατα 180◦ , δηλαδή

       x 0 −1 x 0 r = + y −1 0 y 0 8. Στροφή κατα −90◦ , δηλαδή

r

       0 x 0 −1 x + = 0 y 1 0 y

Τέλος η τρίτη συσχετιζόµενη συνάρτηση είναι της µορφής

bc(bi,j ) = αbi,j + ∆ όπου α είναι ο πολλαπλασιαστής του contrast και ∆ διαφορά της ϕωτεινότητας. ΄Ετσι λοιπόν η σύνθεση τέτοιων συσχετιζόµενων συστολών είναι f = g ◦ r ◦ bc η συστολή για την οποία µπορούµε να εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα ..... Θα προχωρίσουµε τώρα στο δεύτερο ϐήµα της κατασκευής του αλγορίθµου, δηλαδή στην περιγραφή της µεθόδου διαµέρισης της εικόνας σε κοµµάτια. Οπότε πρέπει να ορίσουµε ένα είδος κανόνα χωρισµού της εικόνας σε τµήµατα. ΄Εστω ότι το block είναι n × n εικονοστοιχεία τότε το domain ϑα είναι 2n × 2n. ΄Εστω ότι οι διαστάσεις της εικόνας X × Y είναι πολλαπλάσια του n (ϑα το ϑεωρούµε αυτό και στην συνέχεια). ΄Ετσι µπορούµε να χωρίσουµε την εικόνα σε (X/n) × (Y /n) ξένα µεταξύ τους block, ϑα τα συµβολίζουµε bi . Κάθε domain περιέχει τέσσερα block. ∆ηλαδή µπορούµε να σπάσουµε την αρχική µας εικόνα σε (X − 1)/n × (Y − 1)/n domain τα οποία, σε αντίθεση µε τα block, τέµνονται. Θα συµβολίζουµε τα domain µε dj . Τέλος ϑα πρέπει να ορίσουµε την µέθοδο εύρεσης του κατάλληλου συστήµατος επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων. Ο αλγόριθµος ϐασίζεται στην εύρεση για κάθε block, bi τέτοιας δυάδας (dj , fk ) ωστέ η µέση τετραγωνική απόκληση του bi από fk [dj ], να είναι όσο το δυνατόν µικρή, Μ.Τ.Α.(bi , fk [dj ]) < ε. Παρατηρούµε ότι αν το block είναι µονότονο τότε µπορούµε να το παρουσιάσουµε σαν ένα block που έχει την ένταση όλων των εικονοστοιχείων του ίση µε την µέση ένταση του. ΄Οποτε δεν χρεάζεται να ψάξουµε το σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων γι’ αυτό. Τέλος στην περιπτώση δεν ϐρίσκουµε κατάλληλο domain στα επιτραπτά όρια και το block δεν είναι µονότονο, µπόρουµε να διαιρέσουµε το block σε τέσσερα κοµµάτια διαστάσεων n/2 × n/2 εικονοστοιχείων. Γι’ αυτά τα block που πήραµε µετά από τεµαχισµό εφαρµόζουµε την ίδια διαδικασία όπως και πριν.


Βιβλιογραφία [1] Gerald A. Edgar, Measure, Topology and Frctal Geometry (SpringerVelag New York Inc 1992) [2] Falconer Kenneth J., The Geometry of Fractal Sets (Cambridge: Cambridge University Press, 1992) [3] Mattila Pertti Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces : fractals and Rectifiability (New York: Cambridge University Press, 1995) [4] Falconer Kenneth J., Techniques in fractal geometry (New York: John Wiley, 1997) [5] Falconer Kenneth J., Fractal geometry : mathematical foundations and applications (Chichester: Wiley, 1993) [6] Lu Ning, Fractal imaging (San Diego: Academic press, c1997) [7] Γ. Κουµουλλής, Σ. Νεγρεπόντης, Θεωρία Μέτρου (Αθήνα : Συµµετρία, 1991) [8] Τσαµατος Παναγιώτης Χρ., Εισαγωγή στην τοπολογία : µετρικοί Χώροι (Ιωαννινα : Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων, 1996)

83


Ευρετήριο ακολουθία, 11 ακολουθιακά συµπαγής, 20 άλγεβρα, 35 αναλλοίωτο σύνολο, 68 ανοιχτή µπάλα, 4 ανοιχτή r -περιοχή, 33 ανοιχτό σύνολο, 5 αντίστροφη εικόνα, 10 απόσταση συνόλων, 9 αριθµήσιµη προσθετικότητα, 37 αριθµήσιµη υποπροσθετικότητα, 39 αρχή της συστόλης, 25

µέθοδος Καραθεοδωρή, 49 µεµονωµένο σηµείο, 8 µετρήσιµο κατά Lebesgue, 44 µετρήσιµο σύνολο, 46 µετρική, 3 µετρική ιδιότητα, 24 µετρικός χώρος, 3 µέτρο, 37 νόµοι του De Morgan , 7 όµοιοι µετρικοί χώροι, 10 παράγωγο σύνολο, 9 πλήρης χώρος, 23 πυκνό σύνολο, 9 πυρήνας ενός συνόλου, 7

ϐασικά διαστήµατα, 64 ϐασική ακολουθία, 23 γενικό σύνολο Cantor, 64

σ-άλγεβρα, 35 σηµείο συσσώρευσης, 8 σκόνη Cantor, 59 σ-προσθετικότητα, 37 σύγκλιση ακολουθίας, 12 συµπαγής µετρικός χώρος, 16 συνεκτικό σύνολο, 15 συνεκτικός χώρος, 13 συνεχής καµπύλη, 30 συνεχής συνάρτηση, 9, 11, 12 συνήθη νόρµα, 6 συνήθης µετρική, 3, 4 σύνθεση συναρτήσεων, 11 συνθήκη ανοιχτών συνόλων, 70 συνθήκη Lipschitz, 25, 59 σύνορο ενός συνόλου, 8 σ-υποπροσθετικότητα, 39 σύστηµα επαναλαµβανόµενων συναρτήσεων (Σ.Ε.Σ.), 68 συστολή, 25

διακριτή µετρική, 4 διάµετρος ενός συνόλου, 16 διάσταση Hausdorff, 55 διαχωρίσιµος χώρος, 26 εικόνα, 10 εικονοστοιχείο, 77 εξωτερικό µέτρο, 38 εσωτερικό ενός συνόλου, 7 εσωτερικό µέτρο Lebesgue, 43 Ευκλείδεια µετρική, 3, 4 ιδιότητα Bolzano - Weierstrass, 20 κάλυψη, 53 κάλυψη ενός συνόλου, 16 Καραθεοδώρη µετρήσιµο σύνολο, 46 κλειστή µπάλα, 4 κλειστό σύνολο, 7 κλειστότητα ενός συνόλου, 8 κυρτός χώρος, 15

ταυτοτική συνάρτηση, 10 υπακολουθία, 13

λίστα λόγου, 68 85


86 υποκάλυψη, 16 ϕραγµένη συνάρτηση, 28 ϕραγµένος χώρος, 17 χώρος συνεχών συναρτήσεων, 28

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

Khousainov