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Eje mplo 18 Eje mplo Determino conjuntos por compresión y extensión conjuntos por compresión y extensión 18 Determino

Posibles dificultades • Al definir los criterios de

Determina por extensión los siguientes conjuntos: Determina por extensión los siguientes conjuntos: Por comprensión Por comprensión

Por extensión Por extensión

divisibilidad, es necesario que los estudiantes descubran por sí mismos las características que permiten determinar cuándo un número es divisor de otro.

Lectura de expresiones Lectura de expresiones simbólicas simbólicas

A = {x / A x es múltiplo de 2 menor 10} que 10} = {x / x es múltiplo de 2que menor

A = {0; A 2; =4;{0; 6; 8} 2; 4; 6; 8}

B = {x / B x es divisor 8} de 8} = {x / x esde divisor

B = {1; 2; 8} 2; 4; 8} B =4;{1;

C = {x / C x es múltiplo de 6, 24 de < x6,<24 48} = {x / x es múltiplo < x < 48}

C = {30;C36; 42} 36; 42} = {30;

D = {x / D x es múltiplo de 9, 18 de < x9,≤18 72} = {x / x es múltiplo < x ≤ 72}

D = {27;D36; 45; 54; = {27; 36; 63; 45; 72} 54; 63; 72}

24 < x < 48 24 < x < 48 Se lee: x es 24 y que 24 y Semayor lee: x que es mayor menor quemenor 48. que 48.

Determina por extensión M = {x M / x=es{xmúltiplo de 7, 10de< 7, x ≤1071}. Determina por extensión / x es múltiplo < x ≤ 71}.

18 < x ≤ 72 18 < x ≤ 72 Se lee: x es 18 y que 18 y Semayor lee: x que es mayor menor o igual a 72. menor o igual a 72.

M = {14;M21; 28; 35; = {14; 21;42; 28;49; 35;56; 42;63; 49;70} 56; 63; 70}

3.2. 3.2. Criterios de divisibilidad Criterios de divisibilidad Un número es divisible... Un número es divisible... – Por 2–siPor la última es cifra 0 o par: 4; 6; 2; 8; 4; 10;6;12; 14; 12; 16; 14; ... 16; ... 2 si la cifra última es 0 2; o par: 8; 10; – Por 4–siPor las 4dos últimas cifras son ceros múltiplo de 4: de 4: si las dos últimas cifras sono ceros o múltiplo 4; 8; 12;4;… 104; …104; 128 … 128 8;100; 12; … 100; – Por 5–siPor la última es cifra 0 o 5:es 5; ... 1100; 205;...… 5 si la cifra última 0 o10; 5:15; 5; … 10;100; 15; … 1 205; … – Por 3–siPor la suma sus cifras múltiplo de 3: 3;de6;3:9; 3; 12;6;… …102; 4 071 3 si ladesuma de susescifras es múltiplo 9; 102; 12; … … 4 071 – Por 9–siPor la suma sus cifras múltiplo de 9: 9;de18; … 108; …108; 1 053 9 si ladesuma de susescifras es múltiplo 9: 27; 9; 18; 27; … … 1 053 – Por 6–siPor es divisible a la vezapor 2 y por 3: 6; 24; 18; … 324; 408 6 si es divisible la vez 2 y12; 3: 18; 6; 12; … 3 408

Propiedades de los divisores Propiedades de los divisores • Los divisores un número • Los de divisores de un número forman unforman conjunto unfinito. conjunto finito. • El número divisor1 de • El1 es número es todos divisor de todos los números. los números. • Todo número divisor de • Todoesnúmero es sí divisor de sí mismo. mismo.

Información complementaria

Eje mplo 19 Eje mplo Aplico criterios de divisibilidad Aplico los criterios de divisibilidad 19 los CalculaCalcula la cifralaque falta. todas las posibilidades. cifra queEscribe falta. Escribe todas las posibilidades. ser 0; 2;ser4; 0; 6 y2;8.4; 6 y 8. divisible por 2 porPueden Pueden es divisible 2 3 57a) es 3 57 ser cualquier cifra delcifra 0 aldel 9. 0 al 9. 0 es por 5 porPuede Puede ser cualquier 0 es divisible 5 9 5 b) 9 5divisible ser 2; 5ser y 8.2; 5 y 8. por 3 porPueden Pueden 6 es divisible 3 7 0 c)6 es 7 0divisible ser 4. ser 4. Puede por 9 porPuede 30 es divisible 9 2 30 d) es 2 divisible ser 2 y 8. Pueden ser 2 y 8. divisible por 6 porPueden es divisible 6 5 83e) es 5 83

Eje mplo 20 Eje mplo Resuelvo problemas problemas 20 Resuelvo © Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822

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a) b) c) d) e)

___

___

a) es Si múltiplo 8a4 es múltiplo de 4,elhalla el menor de a diferente a) Si 8a4 de 4, halla menor valor devalor a diferente de 0. de 0. __ ___ ___ __ 8a4 es múltiplo de 4, entonces a4 es múltiplo de 4, entonces a4 es múltiplo de 4. de 4. • es Si múltiplo • Si 8a4 Los valores quetomar puedeatomar • Los •valores que puede son 0;a2;son 4; 0; 6 y2;8.4; 6 y 8. El valor menordevalor de a diferente El menor a diferente de cero de es cero 2. es 2.

___

Divisibilidad entre 7 y 11

• ¿Es cierto que ¿Es cierto que cualquiercualquier número divisible número divisible por 9 es por divisible 3? ¿Y 9 es por divisible por 3? ¿Y cualquiercualquier múltiplo de 3 es de 3 es múltiplo divisible por 9? Explica divisible por 9? Explica cada caso. cada caso.

1º 786 – (1 × 2) = 784

___

2º 78 – (4 × 2 ) = 70 70 es múltiplo de 7, entonces 7 861 también lo es. 7 861 = 7°

Los valores quetomar puedeatomar • Los •valores que puede son 1;a4son y 7.1; 4 y 7. El valor mayordevalor El mayor a es de 7. a es 7. 1 Números Unidad Unidad 1 Números naturalesnaturales 25

25

6/7/11 6/7/11 9:10:34 AM 9:10:34 AM

020_029 20_029 25 U01M1 25 4 AM U01M1

Desarrollo

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• • •

Un número es divisible por 7 si se multiplica por 2 la cifra de las unidades del número y el resultado se le resta al número que forman las cifras restantes. Este proceso se repite hasta que la diferencia este formada por una o dos cifras. Si esta cifra es cero o forma un múltiplo de 7, el número inicial es divisible por 7. Ejemplo: ¿7 861 es divisible por 7?

sea divisible 2a3que sea2a3 divisible por 3. por 3. b)elHalla el mayor de aque para b) Halla mayor valor devalor a para ___ ___ 2a3 es divisible 3, entonces es divisible entre 3,entre entonces 2 + a + 23 += a3°.+ 3 = 3°. • 2a3 Como • Como

Realice actividades para definir otros criterios de divisibilidad. Por ejemplo: Pídales que escriban los múltiplos comunes de 3 y 4. Luego, defina cuál es el criterio de divisibilidad por 12.

Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es múltiplo de 11. – En 1 276, se suman las cifras que ocupan los lugares pares: 1+7=8

Trabaje con los estudiantes la situación planteada en esta página y pida que determinen la cantidad de alfajores para un pedido de 50 y 70 cajas. Luego, pregunte lo siguiente: ¿Cómo se obtienen los múltiplos de un número?

– Se suman las cifras que ocupan los lugares impares: 2 + 6 = 8

Destaque las propiedades de los múltiplos utilizando el botón zoom de selección.

– Luego, se restan los dos resultados: 8 – 8 = 0, es múltiplo de 11. Luego, 1 276 también lo es. ° 1 276 = 11

Presente con ejemplos la aplicación del cálculo de los múltiplos y divisores en la solución de problemas. Revise mediante la participación espontánea los saberes previos sobre criterios de divisibilidad. Recuerde a los estudiantes cómo determinar un conjunto por extensión y pídales que resuelvan las actividades planteadas en los ( ). Presente el recurso animación “Escuela Pitagórica” para reforzar el tema de divisores de un número. Haga que los estudiantes participen en el análisis de los problemas y desarrollen los ejercicios propuestos. Ejercite la aplicación de los criterios de divisibilidad a través del ejemplo 19. Con la herramienta tapar oculte las soluciones para invitar a los estudiantes a sustentar sus respuestas.

Cierre

Evalúe el trabajo realizado. Puede preguntar lo siguiente: ¿Qué características tienen los números divisibles por 15? ¿Cómo determinan si el número 8 085 es divisible por 15? Expliquen. Guía metodológica Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1

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Catálogo Matemática - Sacundaria