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PrĂŠ-CĂĄlculo Trilha de Aprendizagem


Pré-Cálculo Trilha de Aprendizagem

Cristiane Pinho Guedes Mestre em Matemática Pura pela Pontifícia Universidade Católica (PUC-Rio) Licenciada em Matemática pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro (Uerj) Professora do Departamento de Matemática da PUC-RIO Professora do Departamento de Matemática do Ensino Superior do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (Cefet/RJ) Coordenadora de Matemática e Professora do Ensino Médio do Colégio Santo Agostinho (Unidade Leblon)


A Trilha de Aprendizagem pode ser usada como apoio ao livro Pré-Cálculo – Uma Preparação para o Cálculo, 2a Edição, de SHELDON AXLER. Traduzido de PRECALCULUS: A PRELUDE TO CALCULUS, SECOND EDITION Copyright © 2013, 2009 John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. This translation published under license with the original publisher John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 978-1-118-08376-5 Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright © 2018 by LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na internet ou outros), sem permissão expressa da editora. Travessa do Ouvidor, 11 Rio de Janeiro, RJ – CEP 20040-040 Tels.: 21-3543-0770 / 11-5080-0770 Fax: 21-3543-0896 faleconosco@grupogen.com.br www.grupogen.com.br Capa: Camila Simas Imagens: ©Wavebreakmedia | iStockphoto.com ©PeopleImages | iStockphoto.com ©robertsrob | iStockphoto.com ©hocus-focus | iStockphoto.com Editoração Eletrônica: Ariadne Moraes


Pré-Cálculo

Trilha de Aprendizagem A LTC Editora apresenta uma novidade para você! Com base em metodologias ativas de ensino,

desenvolvemos e disponibilizamos uma trilha de aprendizagem, composta por 15 planos de aula, para ser utilizada em conjunto com a 2ª edição do livro Pré-Cálculo – Uma Preparação para o Cálculo, de Sheldon Axler.

Os planos de aula foram elaborados considerando quatro momentos do processo de aprendizagem: PRÉ-AULA

ƒƒPropostas de leitura de páginas específicas do livro Pré-Cálculo – Uma Preparação para o Cálculo e sugestões de videoaulas exclusivas. O objetivo é preparar o aluno para as atividades a serem desenvolvidas em sala de aula. AULA

ƒƒSugestão de realizar uma Avaliação Diagnóstica no início da aula para verificar o nivelamento do aprendizado. Em seguida, efetuar uma Avaliação Formativa, com aplicação de exercícios e desenvolvimento completo em parceria com os alunos. Ao final, o professor poderá apresentar os tópicos a serem abordados na aula seguinte e o conteúdo que deverá ser estudado para a pré-aula subsequente. PÓS-AULA

ƒƒA partir dos conhecimentos e conceitos adquiridos nos dois momentos anteriores, propõe-se que o docente forneça exercícios de aprofundamento ao aluno. NA PRÓXIMA AULA

ƒƒO professor poderá tirar dúvidas dos exercícios indicados como tarefa pós-aula.


Pré-Cálculo

Trilha de Aprendizagem PLANO DE AULA – Pré-Cálculo

PLANO DE AULA

EMENTA

ƒƒConjuntos Numéricos ƒƒRepresentação dos Números Reais ƒƒPropriedades dos Números Reais ƒƒNotação Científica

OBJETIVOS

ƒƒExplicar a correspondência entre o sistema de números reais e a reta real. ƒƒEncontrar a expansão decimal de números racionais. ƒƒManipular expressões algébricas usando as propriedades. ƒƒEscrever números racionais em notação científica.

AULA 1

1 Pré-aula

2 Aula

Sugestão: Solicitar que os alunos leiam os conteúdos abaixo.

resultado e as dificuldades encontradas por eles.

Tópicos

1a6

A Reta Real

7 a 10

Álgebra dos Números Reais

26 e 27

Observação para os docentes:

O professor deve orientar os alunos de acordo com o

Axler | Pré-Cálculo Páginas

Atividade 1: AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA

Intervalos Reais

afirmação é verdadeira ou falsa. a) –2 não é um número inteiro natural. b) 5,88 é um número racional não inteiro.

Axler | Pré-Cálculo Vídeos

1. (Videoaula 1.1; nível fácil.) Para cada um dos itens a seguir, diga se a

Tópicos

c) 1,2424242... não é um número racional. d) 2 é um número racional não inteiro. 3 e) é um número real e é inteiro. 5

1.1

Conjuntos Numéricos

1.2

Dízimas Periódicas

1.3

Notação Científica

1.4

Porcentagem

Solução

1.5

Representação de Números Reais

a) Verdadeira. Os números inteiros negativos não são números naturais.

1.6

Propriedades dos Números Reais

b) Verdadeira. Este é um número decimal com um número finito de casas decimais, logo é racional, mas não é inteiro. c) Falsa. O número é uma dízima periódica (o número 24 se repete sem parar), logo, é um número racional. d) Falsa. Não existe um número racional cujo quadrado seja igual a 2, logo 2 não é um número racional. e) Falsa. Este é um número real que não é inteiro, pois todo número m com representação , em que n não é um divisor de m, é um número n racional (e, portanto, real) que não é inteiro.


Pré-Cálculo

Trilha de Aprendizagem 2. (Videoaula 1.2; nível fácil.) Considere as frações a seguir.

3 4 2 3 7 8 11 13 ,2 , , ,2 ,2 , , 8 5 7 4 9 5 9 7 Dê a representação decimal dessas frações.

4) (Videoaula 1.4; nível fácil.) Para cada afirmação a seguir, diga se ela é verdadeira ou falsa. a) 560 representa aproximadamente 1,4% de 40.050. b) 255 representa 5,1% de 5000.

Escreva as representações decimais em ordem crescente.

c) 6335 representa aproximadamente 9,2% de 68.905.

Solução

e) 120 representa 2,6% de 4620.

a) Para obter a representação decimal das frações, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Obtemos então:

Solução

3 4 2 3 50,375;5 520,8; 5 0,2857142857...; 5 0,75; 8 5 7 4 7 8 11 13 2 520,777777...; 2 521,6; 51,22222...; 51,8571428571... 9 5 9 7 b) Para ordenar os números em sua forma decimal, comparamos, primeiramente, a parte inteira. Será maior aquele que possuir a maior parte inteira. Se a parte inteira for igual, então comparamos a primeira casa decimal. Se a primeira casa decimal for igual, comparamos a segunda casa decimal e assim sucessivamente. Como os números negativos são menores do que os positivos, vamos

d) 5124 representa 58,2% de 8800.

Todas as afirmações são verdadeiras. Vamos calcular cada item. a) Temos 560 = x ⋅ 40050 ∴ 560 = x ⋅ 400,5∴ x = 560 ∴ x ≈ 1,398 100

400,5

Assim, 560 é aproximadamente 1,4% de 40.050. b) Temos 255 =

x 255 ⋅ 5000 ∴ 255 = x ⋅ 50 ∴ x = ∴ x = 5,1 100 50

Assim, 255 é 5,1% de 5000.

c) Temos 6335 = x ⋅ 68905∴ 6335 = x ⋅ 689,05 ∴ x = 6335 ∴ x ≈ 9,19 100

689,05

Assim, 6335 é aproximadamente 9,2% de 68905. d) Temos 5124 =

x 5124 ⋅ 8800 ∴ 5124 = x ⋅ 88 ∴ x = ∴ x ≈ 58,2 100 88

começar analisando os números –0,8; –0,777... e –1,6. Comparando

Assim, 5124 é aproximadamente 58,2% de 8800.

primeiro a parte inteira, como –1 é menor do que 0, o menor dentre

e) Temos 120 = x ⋅ 4620 ∴120 = x ⋅ 46,2 ∴ x = 120 ∴ x ≈ 2,597

esses é –1,6. A seguir comparamos –0,8 e –0,777... A parte inteira é a mesma, então comparamos a primeira casa decimal. Como 8 > 7, temos que –8 < –7 e, portanto, –0,8 < –0,777... Logo –1,6 < –0,8 < –0,777... Agora analisamos os números decimais positivos com parte inteira igual à zero: 0,375; 0,2857142857... e 0,75. Ordenamos os números pela primeira casa decimal: 0,2857144857...< 0,375 < 0,75. Temos dois números com a parte inteira igual a 1: 1,222... e 1,8571428571...; novamente, ordenamos pela primeira casa decimal: 1,2222... < 1,8571428571... Por fim, temos a ordem –1,6 < –0,8 < –0,777...< 0,2857144857...< 0,375 < 0,75 < 1,222...< 1,8571428571... 3) (Videoaula 1.4; nível fácil.) Para cada afirmação a seguir, diga se ela é verdadeira ou falsa. a) 15% de 56012 é 84,018. b) 25% de 45678 é 11.419,5.

100

46,2

Assim, 120 é aproximadamente 2,6% de 4620. 5) (Videoaula 1.5; nível fácil.) Construa uma reta numérica e localize, aproximadamente, a posição dos números:

2 π π 3 5 7 − ; ; − ; ; 3; − 2; ; − . 5 2 2 5 4 4 Solução Primeiramente, escrevemos a forma decimal dos números para facilitar a comparação e localização dos mesmos. Temos:

π π 2 3 − = −0,4; = 1,5707...; − = −1,5707...; = 0,6; 3 = 1,7320...; 5 2 2 5 − 2 = −1,4142...;

5 7 = 0,5590...; − = −0,66143... 4 4

Construindo a reta, obtemos:

c) 72% de 14500 é 104,4. d) 83% de 2016 é 1673,28. e) 91% de 5690 é 517,79.

Atividade 2: AVALIAÇÃO FORMATIVA

Solução As afirmações verdadeiras são as nos itens (b) e (d). Lembrem que “por cento” significa “dividir por 100”. Vamos resolver cada item.

1) (Videoaula 1.2; nível médio.) Encontre a fração geratriz para cada

a) 15% é o mesmo que

a) 0,2222222...

15 , 100

logo

15 15 ⋅ 56012 840180 ⋅ 56012 = = = 8401,8 . 15% de 56012 = 100 100 100

b) 25% de 45678 =

25 1 ⋅ 45678 = ⋅ 45678 = 11419,5 . 100 4

c) 72% de 14500 = 72 ⋅ 14500 = 72 ⋅145 = 10.440 . d) 83% de 2016 = e) 91% de 5690 =

100 83 ⋅ 2016 = 2016 ⋅ 0,83 = 1673,28 . 100 91 91 ⋅ 5690 = ⋅ 569 = 9,1 ⋅ 569 = 5177,9 . 100 10

dízima a seguir. b) 0,1212121212... c) 0,044444444... d) 0,182828282828282... e) 1,33333... f) 1,2525252525... g) 2,52141414141...


Pré-Cálculo

Trilha de Aprendizagem Solução

g) Neste caso o período não começa logo após a vírgula, já que os algarismos 5 e 2 não fazem parte do período. Assim, devemos primeiro “retirar”

a) Associamos a dízima a uma incógnita:

os algarismos que não fazem parte do período, multiplicando por 100:

x = 0,2222... Como o período começa logo após a vírgula e é formado por um algarismo, multiplicamos a igualdade por 10:

x = 2,52141414... ∴ 100x = 252,141414... Feito isso, temos agora uma dízima cujo período tem dois algarismos, logo multiplicamos novamente por 100:

x = 0,2222... ∴ 10x = 2,2222... Subtraindo as igualdades, eliminamos toda a parte infinita periódica: 10x – x = 2,2222... – 0,2222... ∴ 9x = 2 ⇒ x = 2

Portanto, 0,2222... = 9 .

2 . 9

100x = 252,141414... ∴ 10.000x = 25214,1414... Como de hábito, subtraindo as igualdades, eliminamos toda a parte infinita periódica: 10.000x – 100x = 25214,1414... – 252,141414 ∴ 9.900x = 24.962

b) Novamente, associamos a dízima a uma incógnita: x = 0,12121212... Aqui o período também começa logo após a vírgula, mas agora é formado por dois algarismos, logo, para poder eliminar a parte infinita periódica, temos que multiplicar a igualdade por 100: x = 0,12121212... ∴ 100x = 12,12121212... Subtraindo as igualdades, eliminamos toda a parte infinita periódica: 100x – x = 12,121212... – 0,121212... ∴ 99x = 12 ∴ x = Portanto, 0,12121212... =

12 . 99

12 . 99

∴x= Portanto, 2,52141414... =

x = 0,04444... Mas agora o período não começa logo após a vírgula, já que o zero na primeira casa decimal não faz parte do período p = 4. Assim, devemos primeiro “retirar” o algarismo que não faz parte do período, multiplicando o número por 10:

2) (Videoaulas 1.1 e 1.2; nível difícil.) Um grande reservatório de água estava cheio e foi retirado, inicialmente, um terço da água armazenada e, mais tarde, foram retirados 75% do que sobrou. Sabe-se que o re-

Solução A informação foi dada de duas maneiras diferentes: como fração e como porcentagem. Mas a porcentagem também pode ser representada por uma fração, pois “por cento” significa “dividido por 100”:

x = 0,04444... ∴ 10x = 0,4444...

75% =

Feito isso, temos agora uma dízima cujo período tem apenas um algarismo, logo multiplicamos por 10 novamente: Subtraindo as igualdades, eliminamos toda a parte infinita periódica: Portanto, 0,04444... =

4 2 = .. 90 45

do um terço ( 1 ), logo sobraram dois terços ( 23 ) ; do que sobrou foram 3 retirados três quartos ( 3 ), logo foram retirados três quartos de dois 4

terços ( 3 ⋅ 2 . Isso significa que, ao todo, foram retirados 4 3

d) Como de hábito, associamos a dízima a uma incógnita:

1 3 2 4 6 10 5 + ⋅ = + = = 3 4 3 12 12 12 6

x = 0,182828282...

Novamente, o período não começa logo após a vírgula, já que o 1

na primeira casa decimal não faz parte do período p = 82. Assim, de-

vemos primeiro “retirar” o algarismo que não faz parte do período, multiplicando o número por 10: x = 0,182828282... ∴ 10x = 1,82828282...

Feito isso, temos agora uma dízima cujo período tem dois algarismos, logo multiplicamos por 100 para eliminar a parte decimal infinita periódica: Subtraindo as igualdades, eliminamos toda a parte infinita periódica: 1000x – 10x = 182,828282... – 1,828282... ∴ 990x = 181 ∴ x = 181 . 990

de modo que sobrou apenas um sexto, que corresponde a vinte mil litros. Se a sexta parte corresponde a vinte mil litros, a capacidade do reservatório é 6 vezes vinte mil litros, ou seja, 120.000 litros. 3) (Videoaula 1.3; nível fácil.) Quais das igualdades a seguir estão corretas? a) 1,5 . 10–6 = 0,00000015. b) 2,45 . 108 = 245.000.000.

10x = 1,82828282... ∴ 1000x = 182,828282...

Portanto, 0,1828282... =

75 3 ⋅ 25 3 = = 100 4 ⋅ 25 4

Vamos agora calcular a fração que foi retirada: primeiro foi retira-

10x = 0,4444... ∴ 100x = 4,4444...

2 . 45

12.481 4.950 .

servatório ainda ficou com vinte mil litros de água. Qual é a capacidade total deste reservatório?

c) Associamos a dízima a uma incógnita:

100x – 10x = 4,4444... – 0,4444... ∴ 90x = 4 ∴ x =

24.962 12.481 = . 9.900 4.950

181 . 990

e) Como o período começa logo após a vírgula e tem apenas um algaris-

c) 5 . 10–9 = 0,000000005. d) 6,89 . 1010 = 68.900.000.000. e) 2,3 . 10–8 = 0,000000023.

mo, podemos proceder como no item (a): x = 1,3333... ∴ 10x = 13,3333... ∴10x – x = 13,333... – 1,333... Portanto, x =

12 . 9

= 12 ∴ 9x = 12 ∴ x =

Solução

12 . 9

a) Como o expoente é negativo, devemos deslocar a vírgula seis casas

f) Como o período começa logo após a vírgula e tem dois algarismos, podemos proceder como no item (b): x = 1,252525... ∴ 100x = 125,252525... ∴ 99x = 100x – x = 124 ∴ x = Portanto, 1,252525... =

124 . 99

124 . 99

decimais para a esquerda (o que corresponde a dividir o número por 106), obtendo 0,0000015. Na igualdade acima tem um zero a mais.

b) Como o expoente é positivo, deslocamos a vírgula oito casas decimais

para a direita (o que corresponde a multiplicar o número por 108), obtendo 245.000.000.

c) Como o expoente é negativo, deslocamos a vírgula nove casas deci-


Pré-Cálculo

Trilha de Aprendizagem mais para a esquerda, obtendo 0,000000005.

cobrir qual porcentagem 320 representa, logo, relacionamos 320 a x. Mas

para a direita, obtendo 68.900.000.000.

100. Ou seja, 1220 está para 100 assim como 320 está para x:

d) Como o expoente é positivo, deslocamos a vírgula dez casas decimais

cuidado: agora x é uma porcentagem, logo tem que ficar na coluna do

e) Como o expoente é negativo, deslocamos a vírgula oito casas decimais

1220 — 100

para a esquerda, obtendo 0,000000023.

320 — x Multiplicando em cruz, temos

4) (Videoaula 1.4; nível médio.) Para cada afirmação a seguir, diga se ela é verdadeira ou falsa.

1220x = 320 ? 100 = 32.000 ∴ x = 32.000 4 1220 ù 26,2295

a) 42% de 4500 é 1900. b) 38% de 2800 é 1038.

Assim, 320 é aproximadamente 26,2% de 1220.

c) 26% de 3978 é 994,5.

e) Temos que 564 é o valor total, assim, representa 100%, queremos desco-

d) 320 representam 30% de 1220.

brir qual porcentagem 426 representa, logo, relacionamos 426 a x. Como

e) 426 representam 80% de 564.

no item anterior, x representa uma porcentagem, logo 564 está para 100

f) 6778 representam 20% de 36844.

assim como 426 está para x: 564 — 100

Solução

426 —

Todas as afirmações são falsas. Neste exercício, usaremos uma regra de

Multiplicando em cruz, temos

três para resolver cada item. O que queremos descobrir é a nossa in-

cógnita, que denotaremos por x. (Poderíamos usar qualquer outra letra,

564x = 426 ? 100 = 42.600 ∴ x = 42.600 4 564 ù 75,5

como y, z, s, t etc.)

a) Para realizar o cálculo por regra de três, devemos associar as grande-

Assim, 320 é aproximadamente 75,5% de 564.

zas. Temos que 4500 é o valor total, logo representa 100%, e queremos

descobrir quanto 42% representa. Denotaremos por x o que queremos

descobrir. Relacionamos, então, 42% a x. Ou seja, 4500 está para 100

assim como x está para 42:

f) Temos que 36.844 é o valor total, assim, representa 100%, queremos descobrir qual porcentagem 6778 representa, logo, relacionamos 6778 a x. Como x representa uma porcentagem, temos que 36.844 está para 100

4500 — 100

Multiplicando em cruz, temos

assim como 6778 está para x:

x — 42

36.844 — 100 6.778 —

100x = 4500 ? 42 ∴ x = 45 ? 42 = 1890.

36.844x = 6778 ? 100 = 677.800 ∴ x = 677.800 4 36.844 ù 18,39648.

b)Temos que 2800 é o valor total, assim, representa 100%. Queremos

descobrir quanto 38% representa, logo, relacionamos 38% a x. Ou seja,

Assim, 6778 é aproximadamente 18,4% de 36844.

2800 está para 100 assim como x está para 38: 2800 — 100

x — 38

Multiplicando em cruz, temos

100x = 2800 ? 38 ∴ x = 28.38 = 1064.

é válida para todos os valores de x. Se for, use uma propriedade dos números reais para explicar por quê. Se não for, encontre um valor de x que a) 2x + 6 = 2(x + 3).

c) Temos que 3978 é o valor total, assim, representa 100%. Queremos

descobrir quanto 26% representa, logo, relacionamos 26% a x. Ou seja, 3978 está para 100 assim como x está para 26: 3978 — 100

Multiplicando em cruz, temos

5) (Videoaula 1.6; nível médio.) Para cada igualdade a seguir, diga se ela

mostra que ela é falsa.

Logo, 38% de 2800 é igual 1064.

x

Multiplicando em cruz, temos

Logo, 42% de 4500 é igual 1890.

x

x — 26

100x = 3978 ? 26 = 103.428 ∴ x = 1034,28. Logo, 26% de 3978 é igual 1034,28 d) Temos que 1220 é o valor total, assim, representa 100%. Queremos des-

b)

3 + 2x = 2 x.. 3

c) x + 5 = x + 5 . . 3 4 7

2 d) x = x . g) x+8 8

e) 1 ÷ x = 3 . h)

3

f)

x

x + 5 = x + 5 .. 1 3 4 = + . 2x 7 x x

5 = 2,5 x . i) 3 x + 4 x = 7 x . 2x

Solução a) Esta igualdade é válida para todo x pela distributividade.

b) Esta igualdade não é válida para todo x: de fato, basta escolher x = 0 para ver que o lado esquerdo fica igual a 1, enquanto que o lado direito fica igual a 0. (Este é um erro comum, mas não podemos cancelar parcelas, só fatores.)


Pré-Cálculo

Trilha de Aprendizagem c) Esta igualdade não é válida para todo x: de fato, basta escolher x = 1 para ver que o lado esquerdo fica igual a

3 Pós-aula Exercícios de aprofundamento: Livro-texto, página 13, Exercícios 9 a 13

1 5 4 5 ⋅ 3 4 15 19 + = + = + = 3 4 3 ⋅ 4 4 ⋅ 3 12 12 12

um número maior do que 1, enquanto que o lado direito fica igual a 6 , um número menor do que 1. (O erro aqui é a soma de frações: para 7 somar duas frações, temos que colocá-las no mesmo denominador e a soma é igual à soma dos numeradores dividida pela denominador comum.) A fração à esquerda do sinal de igualdade é igual a

x 5 4 x 5 ⋅ 3 4 x + 15 + = + = 3 4 4⋅3 4⋅3 12 d) Esta igualdade não é válida para todo x: de fato, basta escolher x = 1 para ver que o lado esquerdo fica igual a 19 enquanto que o lado direito fica igual a 18 . (Aqui o erro é do mesmo tipo que no item (b) — não podemos cancelar parcelas.)

e) Esta igualdade é válida para todo x ≠ 0, já que não podemos dividir por 0. A razão é que a divisão por um número é o mesmo que a multiplicação pelo inverso do número e a inversa de uma fração é a fração obtida trocando-se o numerador com o denominador. Então

a b b = 1⋅ = b a a

Em particular,

3 x x = 1⋅ = x 3 3

f) Esta igualdade não é válida para todo x, nem para x ≠ 0 em geral (x tem que ser diferente de zero na expressão à esquerda, já que não podemos dividir por zero), pois o x à esquerda do sinal de igualdade está no denominador, enquanto que o x à direita está no numerador (podemos considerar que o denominador é igual a 1 à direita). Para x = 2, por exemplo, o número à esquerda fica igual a enquanto que o número à direita fica igual a 5.

5 4

= 1,25,

g) Esta igualdade não é válida para todo x, pois a raiz quadrada de uma soma não é igual à soma das raízes quadradas. Para x = 4, por exemplo, o lado esquerdo fica igual a 3 (que é a raiz quadrada de 9), enquanto que o lado direito fica igual a 2 + 5 ù 2 + 2,2 = 4,2. h) Esta igualdade não é válida para todo x, já que

1 2x 7 7 3+ 4 3 4 1 3 4 =1÷ = 1⋅ = = = + =  + . 2x 7 7 2x 2x 2x 2x 2x 2  x x  Note que usamos a distributividade na última igualdade. Portanto, a expressão à esquerda é a metade da expressão à direita.

i) Esta igualdade é válida para todo x pela distributividade: 3x + 4x = 3 . x + 4 . x = (3 + 4) . x = 7 . x = 7x.

ƒƒ Potenciação, Radiciação e Valor Absoluto.


Pré-Calculo

Trilha de Aprendizagem PLANO DE AULA – Pré-Cálculo

PLANO DE AULA

EMENTA

ƒƒPotenciação ƒƒRadiciação ƒƒValor Absoluto

OBJETIVOS

ƒƒ Trabalhar com potências com expoentes racionais. ƒƒ Simplificar expressões com radicais. ƒƒ Trabalhar com expressões envolvendo valor absoluto e interpretá-las

AULA 2

1 Pré-aula

2 Aula

Sugestão: Solicitar que os alunos leiam os conteúdos abaixo.

Observação para os docentes:

O professor deve orientar os alunos de acordo com o resultado e as dificuldades encontradas por eles.

Axler | Pré-Cálculo Páginas

Atividade 1: AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA

Tópicos

170

Expoentes Inteiros Positivos

1. (Videoaula 1.7; nível fácil.) Use as propriedades das potências e reduza a expressão a uma única potência.

171

Exemplos 2 e 3

a) 213 ? 2−4 ? (23)4.

172 e 173

Potências

b)

1 38

(

⋅ 315 ⋅ 33 ⋅

1 33

). 4

174

Expoente Inteiro Negativo e Raízes

175

Exemplos 8, 9 e Raiz m-Ésima

176

Notação para Raízes e Raiz Quadrada de Produto

177

Expoente Racional

178

Propriedades dos Expoentes

Solução

Valor Absoluto

Lembrem: ao multiplicar potências com a mesma base, somamos os ex-

27 a 29

c) ( 0,1)5 ⋅

( 1001 ) ⋅1010 .

d) 56 ⋅ 25−3 ⋅ 1 . 125

poentes. a) A base comum é 2. Temos multiplicações de bases iguais e uma po-

Axler | Pré-Cálculo Vídeos

Tópicos

1.7

Potenciação

1.8

Radiciação

1.9

Valor Absoluto

tência de potência, assim, resolvemos primeiro a potência de potência. Temos: 213 ? 2−4 ? (23)4 5 213 ? 2−4 ? 212 5 221. b) Primeiro escrevemos as potências em uma base comum, no caso 3, depois resolvemos os parênteses e, finalmente, somamos os expoentes: 1 38

(

⋅ 315 ⋅ 33 ⋅

1 33

)

4

(

= 3−8 ⋅ 315 ⋅ 33 ⋅ 3−3

)

4

( )

= 37 ⋅ 30

4

= 37 ⋅ 30 = 37 .

c) Primeiramente escrevemos as potências em uma base comum, no caso 10, depois resolvemos os parênteses e, finalmente, somamos os expoentes: 1 ⋅ 1010 = 1 ( 0,1)5 ⋅ ( 100 ) ( 10 )

5

( )10 1 102

10

= 10−5 ⋅ 10−2 ⋅ 1010 = 10 .


Pré-Cálculo

Trilha de Aprendizagem d) Primeiramente escrevemos as potências em uma base comum, no caso 5, depois resolvemos a potências de potências e, finalmente, somamos os expoentes:

( )

1 = 56 ⋅ 52 56 ⋅ 25−3 ⋅ 125

−3

1 53

c) Começamos fatorando 5832 por números primos: 5832 2 2916 2

= 56 ⋅ 5−6 ⋅ 5−3 = 5−3

1458 2 729 3

2. (Videoaula 1.8; nível fácil.) Usando a fatoração por números primos, calcule as raízes:

81 3

a)

14400

b)

32805

c)

3

5832

d)

3

3087

e)

4

5000

243 3 27 3 9 3 3 3 1 Então

3

( ) (36 )

5832 = 3 23 ⋅ 36 = 23

1 3

1 3

= 2 ⋅ 32 = 18 .

d) Começamos fatorando 3087 por números primos:

Solução

3087 3

a) Começamos fatorando 14400 por números primos:

1029 3

14400 2

343 7

7200 2

49 7

3600 2

7 7

1800 2

1

900 2 450 2

Então

225 3 75 3

3

3087 = 3 32 ⋅ 73 = 3 9 ⋅ 3 73 = 7 3 9

e) Começamos fatorando 5000 por números primos:

25 5 5 5

5000 2

1

2500 2 1250 2

Então

( )

14400 = 26 ⋅ 32 ⋅ 52 = 26 ⋅ 32 ⋅ 52 = 26

1 2

625 5

⋅3⋅5

125 5

3

25 5

= 2 ⋅ 15 = 8 ⋅ 15 = 120.

5 5

b) Começamos fatorando 32805 por números primos:

1

32805 3 10935 3

Então

3645 3 1215 3

4

5000 = 4 23 ⋅ 54 = 4 8 ⋅ 4 54 = 5 4 8 .

3. (Videoaula 1.8; nível fácil.) Simplifique as expressões dadas usando as propriedades de radiciação.

405 3 135 3 45 3

a)

1250 + 2 2 − 18

15 3 5 5 1

c)

Então

( )

32805 = 38 ⋅ 5 = 38

1 2

b)

5 = 34 5 = 81 5

5 + 4 80 + 625 125

1

+ 5 2 − 45

405


Pré-Cálculo

Trilha de Aprendizagem Solução

5. (Videoaula 1.9; nível fácil.) Podemos resolver desigualdades envolvendo módulo de uma variável utilizando um segmento de reta para visualizar as possíveis soluções da desigualdade. –6 0 6 Por exemplo, para a desigualdade |x| < 6, precisamos saber para que valores de x a distância de x até 0 é menor do que 6. Mas isso significa que x tem que estar entre –6 e 6. Note que qualquer número dentro deste intervalo vai ter módulo menor que 6. Logo, o intervalo solução para a desigualdade é (–6, 6). Com base neste exemplo, verifique se o intervalo solução dado está correto (V) ou não (F). (Ajuda representar cada desigualdade em uma reta.)

a) Fatorando os números por fatores primos, obtemos: 1250 2

18 2

625 5

9 3

125 5

3 3

25 5

1

5 5 1 Então

1250 + 2 2 − 18 = 2 ⋅ 54 + 2 2 − 2 ⋅ 32 = 52 2 + 2 2 − 3 2

)

iv) x ≤ 3 ; − 3, 3 .

ii) |x| ≥ 5; [5, +∞).

v) |x| < 3; (−3, 3).

iii) |x| > π; [π, +∞).

= 25 2 + 2 2 − 3 2 = ( 25 + 2 − 3) 2 = 24 2.

Assinale a opção que contém a sequência correta.

b) Usando as propriedades da radiciação, obtemos:

5 + 4 80 +

(

i) |x| < 2; (−2, 2).

405 = 4 5 + 4 80 + 4 405

a) VFFFV

c) VFFVV

b) VVFFV

d) VVFVV

e) FVVVF

Fatorando, obtemos: 80 2

405 3

40 2

135 3

20 2

45 3

10 2

15 3

5 5

5 5

1

1

Solução A sequência correta é a do item (A). i) V: a desigualdade requer que a distância de x até zero seja menor do –2 0 2 que 2 unidades. Assim, os valores de x devem estar entre −2 e 2. Temos como solução o intervalo (−2,2). ii) F: a desigualdade requer que a distância de x até zero seja maior ou igual que 5 unidades. Assim, os valores de x –5 0 5 devem ser menores do que −5 ou maiores do que 5. Temos como solução o intervalo (−∞, −5] ∪ [5, +∞).

Então

5 + 4 80 +

405 = 4 5 + 4 24 ⋅ 5 + 4 34 ⋅ 5 = 4 5 + 2 4 5 + 3 4 5 = (1 + 2 + 3) 4 5 = 6 4 5.

iii) F: a desigualdade requer que a distância de x até zero seja maior do que π unidades. Assim, os valores de x devem 0 –π π ser menores que −π e maiores do que π. A solução é dada pelo intervalo (−∞, −π) ∪ (π, +∞).

c) Utilizando as propriedades de potências, obtemos: 625 125

1

+ 5 2 − 45 =

625 125

+ 5 − 9⋅5 = 5 + 5 − 9 ⋅ 5

= (1 + 1 − 3) 5 = − 5.

iv) F: a desigualdade requer que a distância de x até zero seja me-

− 3 4. (Videoaula 1.9; nível fácil.) Em cada item é dado um valor de x e o suposto valor da expressão | x2 –4x +2| para este valor de x; verifique se o valor está correto (V) ou não (F). i) x = −3; 23.

iii) x = 1; −1.

ii) x = −2; 14.

iv) x = 3; −1.

c) FFVV

b) FVFV

d) VVFF

A sequência correta é a do item (D). i) Substituindo x por −3, obtemos |(−3)2 − 4(−3) + 2| = |9 + 12 + 2| = |23| = 23. ii) Substituindo x por −2, obtemos |(−2)2 − 4(−2) + 2| = |4 + 8 + 2| = |14| = 14. iii) Substituindo x por 1, obtemos |12 − 4(1) + 2| = |1 − 4 + 2| = |−1| = 1. iv) Substituindo x por 3, obtemos |32 − 4(3) + 2| = |9 − 12 + 2| = |−1| = 1.

v) V: a desigualdade requer que a distância de x até zero seja me–3 0 3 nor ou igual a 3 unidades. Assim, os valores de x devem estar entre −3 e 3. A solução é dada pelo intervalo (−3, 3).

e) FFVF

Solução

3 unidades. Assim, os valores de x devem estar entre − 3 e 3 . Temos como

solução o intervalo  − 3, 3  .

Assinale a opção que contém a sequência correta. a) VFVF

nor ou igual a

3

0

Atividade 2: AVALIAÇÃO FORMATIVA 1. (Videoaula 1.7; nível médio.) Simplifique as expressões utilizando as propriedades e dê a resposta em notação científica. a) (31,2 ? 105) ? (2,1 ? 108)

d)

b) (0,3 ? 104) ? (1,2 ? 10−7) ? (0,4 ? 1018)

e)

c)

(1,26⋅10 )⋅(0,05⋅10 ) 4

2⋅10

8

5

(0,012⋅10 ).(0,014⋅10 ) −5

15

0,7⋅1020

⋅ ( 2,110 )⋅(0,2⋅10 ) 0,4 ⋅ 10 ( )⋅(1,2⋅10 ) 12

6

10 3


Pré-Cálculo

Trilha de Aprendizagem Solução a) Associamos as potências e efetuamos a multiplicação dos números decimais: (31,2 ? 105) ? (2,1 ? 108) = (31,2 ? 2,1) ? 105 ? 108 = 65,52 ? 1013. Agora escrevemos o número em notação científica. Para isso, devemos deslocar a vírgula uma casa para a esquerda e somar 1 ao expoente: (31,2 ? 105) ? (2,1 ? 108) = 6,552 ? 1014. b) Associamos as potências e efetuamos a multiplicação dos números decimais: (0,3 ? 104) ? (1,2 ? 10−7) ? (0,4 ? 1018) = 0,3 ? 1,2 ? 0,4 ? 104 ? 10−7 ? 1018 = 0,144 ? 1015.

c)

22 n + 2 3k +1 ⋅ 22 n +1 3k −1

d)

( 43 ) ( 0,75)−2

e) 22 ⋅

deslocar a vírgula uma casa para à direita e subtrair 1 do expoente;

2n + 2 − 2n + 3 2n + 4

Solução Usaremos as propriedades dos expoentes nesta solução. a) 4−2 ? 23 = (22)−2 ? 23 = 2−4 ? 23 = 2−1 = ½. b)

Agora escrevemos o número em notação científica. Para isso, devemos

5

5n + 2

− n −1 = 5n + 2 ⋅ 5 ( ) = 5n + 2 ⋅ 5− n +1 = 5n + 2 − n +1 = 53 = 125 .

5n −1

2n + 2 3k +1 c) 2 ⋅ k −1 = 22 n + 2 ⋅ 2−2 n −1 ⋅ 3k +1 ⋅ 3− k +1 = 22 n + 2 − 2 n −1 ⋅ 3k +1− k +1 = 2 ⋅ 32 = 18 . 2 n +1 2 3 d) Escrevendo 0,75 como fração, obtemos

(0,3 ? 104) ? (1,2 ? 10−7) ? (0,4 ? 1018) = 1,44 ? 1014.

(1,26⋅10 )⋅(0,05⋅10 ) = 1,26⋅0,05 ⋅ 10 ⋅10 4

8

4

2

2⋅105

8

105

=

0,063 ⋅ 1012 2

⋅ 10

−5

( 43 ) ( 0,75)−2 = ( 43 ) ( 43 ) 5

c) Associamos as potências e efetuamos as operações com os números decimais: 7

= 0,0315 ⋅ 10 .

5

22 ⋅

2n + 2 − 2n + 3 2n + 4

deslocar a vírgula duas casas para a direita e subtrair 2 do expoente: 8

2⋅10

.

d) Associamos as potências e efetuamos as operações com os números decimais:

(0,012⋅10 ).(0,014⋅10 ) = 0,012⋅0,014 ⋅ 10 −5

15

0,7

0,7⋅1020

⋅10−5 1020

a) 8 3 ⋅ 9

= 0,000168 ⋅ 1010 ⋅ 10−20 0,7

( ) ⋅ (32 )

(0,012⋅10 ).(0,014⋅10 ) = 2,4 ⋅10−14. e) Associamos as potências e efetuamos as operações com os números decimais: ⋅ )⋅( 0,002⋅10 ) (0,0021)⋅(0,002)⋅10 ⋅10 (0,002110 = (0,4)⋅(1,2)⋅10 ⋅10 (0,4⋅10 )⋅(1,2⋅10 ) 6

3

6

18

12

12

9

3

= 0,000004230⋅10

= 0,00000875 ⋅ 10 ⋅ 10

.

0,48⋅10

−30

= 0,00000875 ⋅ 10

3

12

2. (Videoaulas 1.2 e 1.7; nível difícil.) Simplifique as expressões a seguir, escrevendo-as como um número inteiro ou uma fração irredutível. (Suponha que n e k são números inteiros positivos.) a) 4−2 ? 23 n+2

5 b) 5n −1

33 43

. = 27 64 .

2n +1 ⋅ 2 − 2n +1 ⋅ 22 2n +1 ⋅ 23

22 ⋅ 2n +1 ⋅ ( 2 − 4 ) 2

n +1

3

⋅2

=

(

22 ⋅ 2n +1 ⋅ 2 − 22

=

22 ⋅ ( −2 ) 3

2

2n +1 ⋅ 23 =

−23 23

)

= −1.

n

3

3

− 12

1 5

( 27 )−

1 3

20

4n + 2 + 22 n + 2 64 64

f) 160,25

g) 810,75 i) 2560,09 ? 2560,16

−21

⋅ )⋅( 0,002⋅10 ) (0,002110 = 8,75 ⋅ 10−27 . (0,4⋅10 )⋅(1,2⋅10 ) . 6

=

h) 40,75 ? 4−0,25

9

Agora escrevemos o número em notação científica. Para isso, devemos deslocar a vírgula seis casas para a direita e subtrair 6 do expoente: 18

d) e)

0,7⋅1020

18

c) ( 0,25 )

−5

15

2

1

Agora escrevemos o número em notação científica. Para isso, devemos deslocar a vírgula quatro casas para a direita e subtrair 4 do expoente:

3

− 12

b) 814

= 0,00024 ⋅ 10−10.

( 43 )

3. (Videoaulas 1.7 e 1.8; nível difícil.) Simplifique as expressões a seguir, escrevendo-as como um número inteiro ou uma fração irredutível. (Suponha que n é um inteiro positivo.) 1

15

= 22 ⋅ =

(1,26⋅10 )⋅(0,05⋅10 ) = 3,15 ⋅ 105 . 5

=

e) Colocando em evidência fatores no numerador e no denominador, e depois cancelando os fatores comuns, obtemos

Agora escrevemos o número em notação científica. Para isso, devemos 4

−2

Solução 1

a) 8 3 ⋅ 9

− 12

=

3

8 9

= 23 .

b) Como 81 = 34 e 32 = 25, temos

(81 ) ⋅ (32 ) = ( 81) (32 ) = ( 3 ) ⋅ ( 2 ) = 3 ⋅ 2 = 9 ⋅ 8 = 72 . 1 4

2

3

1 5

4

2

1 5

3

2

4 4

5

5

3

2

3

4 3

= 23 .

c) Como 0,25 = 1 , 4 1 2

( 0,25)− ( 27 )−

1 3

=

( 14 ) ( 271 ) − 12

1 3

1

= 42 ⋅ 3 1 = 27


Pré-Cálculo

Trilha de Aprendizagem d) Escrevendo o denominador como um produto, obtemos n

20

4n + 2 + 22 n + 2

=n

=n

20

=n

2 n +1 4n + 2 + 2 ( )

n

(

20 2

4 4 +4

)

20

1

=n

4

( )

4n + 2 + 22

n

⋅n

=n

n +1

iii) V: podemos também extrair a raiz quadrada nesta desigualdade, já que todos os termos são maiores ou iguais a zero, de modo que

20

|x| ≤ 3, ou seja, a distância entre x e 0 tem que ser menor ou igual a

4n + 2 + 4n +1

3; isto significa que x tem que estar entre −3 e 3, logo, a solução é o intervalo [−3, 3].

20 1 20 1 = ⋅n = . 16 + 4 4 20 4

x –4

e) Como 64 = 26, temos

( ) ( )

1 26 64 64 2 = = 1 3 64 64 3 26

1 2 1 3

=

23

22

3− 2

=2

= 2. .

1 4

e 16 = 24, temos 160,25 = 161/4 = (24)1/4 = 2.

g) Como 0,75 =

3 4

e 81 = 34, temos 810,75 = 813/4 = (811/4)3 = 33 = 27.

h) 40,75 ? 4−0,25 = 40,50 = 41/2 = 2. i) Como 256 = 2 e 0,25 = (28)1/4 = 28/4 = 22 = 4.

1, 4

temos 256

0,09

? 256

0,16

= 256

0,25

–2

–1

0

1

2

3

4

iv) V: extraindo a raiz quadrada, obtemos |x| ≥ 3, ou seja, a distância entre x e 0 tem que ser maior ou igual a 3; isto significa que x tem que ser maior do que 3 ou menor do que −3, ou seja, a solução é uma união de intervalos, pois x ∈ (−∞, −3] ou x ∈ [3, ∞) é o mesmo que x ∈ (−∞, −3] ∪ [3, ∞).

f) Como 0,25 =

8

–3

= 256

1/4

=

v) V: aqui temos duas condições que têm que ser satisfeitas simultaneamente, ou seja, x tem que ser ao mesmo tempo maior do que 4 e menor ou igual a 8; é claro que a solução é o intervalo (4, 8].

4. (Videoaula 1.9; nível médio.) Em cada item são dados uma (ou mais) desigualdade(s) e um intervalo (ou união de intervalos); se o intervalo for o conjunto solução da desigualdade, marque V, caso contrário, marque F. a) −1 ≤ x ≤ 7; [−1, 7].

d) x2 ≥ 9; (−∞, −3] ? [3, +∞).

b) x2 = 9; [3, 3].

e) x > 4 e x ≤ 8; (4, 8].

5. (Videoaula 1.9 – nível médio.) Em cada item são dados uma (ou mais) desigualdade(s) e um intervalo (ou união de intervalos); se o intervalo for o conjunto solução da desigualdade, marque V, caso contrário, marque F. i) x ≤ 2 ou x > 5; [2, 5).

c) x2 ≤ 9; [−3, 3].

ii) x > −2 e x ≥ 3; [3, +∞).

Assinale a opção que contém a sequência correta. a) VFVFV

d) VVFVV

b) VVFFV

e) FVVVF

iii) x ≤ 5 e x > 8; [5, 8). iv) (x – 1)2 ≥ 4; [3, +∞). v) (2x – 3)2 < 16; ( − 12 , 72 ) .

c) VFVVV

Assinale a opção que contém a sequência correta.

Solução

a) FFVVF

d) VFVVF

A sequência correta é a do item (C). i) V: as duas desigualdades têm que ser satisfeitas ao mesmo tempo, logo x tem que ser maior ou igual a −1 e menor ou igual a 7. Portanto, a solução é o intervalo [−1, 7].

b) VVFFV

e) FFFFF

x –2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

ii) F: ao extrair a raiz quadrada de x2, obtemos |x|, portanto, extraindo a raiz quadrada, temos que |x| = 3, ou seja, x = 3 ou x = −3; neste caso, a solução não é um intervalo, o conjunto solução é formado por apenas dois pontos isolados. x –4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

c) FVFFV Solução A sequência correta é a do item (C). Para facilitar a compreensão, vamos representar o conjunto solução em uma reta. i) F: aqui temos uma união de dois intervalos: x ≤ 2 é o mesmo que x ∈(−∞, 2] e x > 5 é o mesmo que x ∈(5, ∞); então x ≤ 2 ou x > 5 é o mesmo que x ∈ (−∞, 2] ∪ (5, ∞).


Pré-Cálculo

Trilha de Aprendizagem ii) V: aqui temos uma interseção de dois intervalos: x > −2 é o mesmo que x ∈ (−2, ∞) e x ≥ 3 é o mesmo que x ∈ [3, ∞), logo x > −2 e x ≥ 3 é o mesmo que x ∈ (−2, ∞) ∩ [3, ∞). Mas é claro que todo x ≥ 3 é, em particular, maior do que 2, ou seja, na terminologia da teoria dos conjuntos, o intervalo [3, ∞) está contido no intervalo (−2, ∞) e, portanto, a interseção desses dois intervalos é o menor deles. Então o conjunto solução é o intervalo [3, ∞).

iii) F: aqui temos duas condições que teriam que ser satisfeitas ao mesmo tempo, mas isto é impossível, pois não existe x que seja, ao mesmo tempo, menor ou igual a 5 e maior do que 8; logo não existe solução, ou seja, o conjunto solução é o conjunto vazio ∅.

iv) F: extraindo a raiz quadrada, obtemos a desigualdade |x – 1| ≥ 2; temos duas possibilidades — x – 1 ≥ 2 ou x – 1 ≤ −2; mas x – 1 ≥ 2 é o mesmo que x ≥ 3 e x – 1 ≤ −2 é o mesmo que x ≤ −1. (Note que |x – 1| é a distância entre x e 1; se esta distância tem que ser maior ou igual a 2, então, olhando a reta real, fica claro que x ≥ 3 ou x ≤ −1.) Portanto, o conjunto solução é a união de dois conjuntos, (−∞, −1] ∪ [3, ∞).

Outra solução: Eleve x – 1 ao quadrado e subtraia 4 para obter uma função do segundo grau maior ou igual a zero, x2 − 2x − 3 ≥ 0; como a = 1 > 0, x tem que estar fora das raízes, que são x = −1 e x = 3, ou seja, a solução é x ≥ 3 ou x ≤−1. v) V: extraindo a raiz quadrada, obtemos |2x – 3| < 4 ⇔ −4 < 2x – 3 < 4 ⇔ −1 < 2x < 7 ⇔ − 12 < x < 72 . x

3 Pós-aula Exercícios de aprofundamento: Livro-texto, página 179, Exercícios 13, 21, 23 e 31. Resoluções no livro.

ƒƒ Produtos Notáveis, Expressões Racionais, Equações e Inequações

Plano de Aula 1 - Axler  
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