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Mecânica Física Abordagem experimental e teórica


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Mecânica Física Abordagem experimental e teórica

Armando Dias Tavares J. Umberto Cinelli L. de Oliveira


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Os autores e a editora empenharam-se para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro, dispondo-se a possíveis acertos caso, inadvertidamente, a identificação de algum deles tenha sido omitida. Não é responsabilidade da editora nem dos autores a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação. Apesar dos melhores esforços dos autores, do editor e dos revisores, é inevitável que surjam erros no texto. Assim, são bem-vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras. Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora pelo e-mail ltc@grupogen.com.br. Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright © 2014 by LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na internet ou outros), sem permissão expressa da editora. Travessa do Ouvidor, 11 Rio de Janeiro, RJ – CEP 20040-040 Tels.: 21-3543-0770 / 11-5080-0770 Fax: 21-3543-0896 ltc@grupogen.com.br www.ltceditora.com.br Capa: Máquina Voadora DG

CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ T228m Tavares, Armando Dias Mecânica física : abordagem experimental e teórica / Armando Dias Tavares ; [coautor J. Umberto Cinelli L. de Oliveira]. - Rio de Janeiro : LTC, 2014. il. ; 28 cm Apêndice Inclui bibliografia e índice ISBN 978-85-216-2158-4 1. Física. 2. Mecânica. 3. Dinâmica. I. Oliveira, J. Umberto Cinelli L. de. II. Título. 13-0005.

CDD: 531 CDU: 531


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Apresentação desta Edição J. Umberto Cinelli L. de Oliveira Encontrei recentemente em meus arquivos um esboço de apresentação para este livro, e o que mais me chamou a atenção foi sua data: 13 de agosto de 1992. Iniciava assim: É com orgulho e pesar que reeditamos este trabalhado do Prof. Armando Dias Tavares. Orgulho por tê-lo conhecido e privado de seu mister de Educador, de seu mister de Pesquisador. Pesar por não poder contar com sua crítica sobre nossa revisão (. . . ). Há muito estou envolvido com o material deste livro, para ser exato, desde a época em que cursava o segundo ano de graduação no Instituto de Física da então UEG. Época em que o Prof. Armando convidou-me para monitor (não oficial) no Laboratório de Mecânica Física (para o curso de Física de primeiro ano); eu, estudante de primeiro semestre de segundo ano (àquela época em curso serial e anual), em uma dessas aulas fui surpreendido pelo Prof. Armando estendendo-me um maço de folhas manuscritas a lápis para que eu lesse e dissesse o que achava. Muito depois soube que se tratava do primeiro rascunho do início do trabalho aqui apresentado. Não sei se outro colega compartilhou esse fato, mas posso afirmar que ele me observava a distância durante a leitura. Não participei da redação do restante de toda obra aqui restaurada. Quando já “colegas” sempre trocávamos ideia sobre o “projeto do curso”; ele nunca “discordou” de qualquer colocação minha, “formulava alguma pergunta instigante”, minha resposta nem sempre foi de pronto, mas havia um leve sorriso ao concordar; quando não, eu elucubrava outra resposta, até aquele sorriso que já entendia e nos entendíamos. Ocorre que seu estado de saúde se evidencia e se agrava; acarretando cirurgias (em época de recesso letivo), mesmo assim continuava seu magistério. Quando estávamos na UERJ conversávamos sobre os assuntos mais diversos, mas ele sempre trazia o “seu texto de Mecânica”; o que ele pretendia ajustar, o que achava disso ou daquilo; foi quando percebi que ele vira positivamente uma nota de aula que preparei para um curso correlato que não dispunha de aulas em laboratório, mas que se enquadrava no que ele propunha. Longas foram essas prazerosas conversas. De alguma forma, dava-me a entender que percebia que eu faria algo como aqui está. Lamento minha empreitada interrompida por motivos intestinais do IF-UERJ. Quando a retomei, alguns aspectos daquelas conversas estavam embotados, mesmo assim prossegui, coordenando os textos redigidos em diversas épocas da forma de apostila para formato de livro, como era projeto do Prof. Armando; não o faria sem o estímulo e desafio do Prof. Joaquim Pereira Neto que pôs a minha disposição seu arquivo pessoal que inclui documentos muito especiais obtidos do próprio Prof. Armando que, de um modo ou outro, encontram-se aqui. Não posso omitir agradecimento ao Prof. Nilson Duarte Dória com quem troquei muita ideia quanto ao estilo da fusão de dois fascículos, pois queríamos manter o estilo original. Devo historiar a evolução dos computadores pessoais e dos processadores de texto. O texto a ser trabalhado possuía muitas figuras e expressões matemáticas. Que editor de texto usar? Perguntei ao Prof. Vitor Oguri que estava à época no Fermilab, que me indicou o LATEX. Havia uma versão para PC que ele me disponibilizou em disquetes (alguém se lembra de disquete?). Houve momento em que o LATEX não compilava corretamente o texto. Acusava falta de memória, afinal o texto estava muito extenso, com muita informação cruzada, muita figura (inclusive com figuras próximas e em páginas vizinhas), e eu interferindo muito na formatação ao digitar o arquivo fonte. Foi quando procurei um pacote mais recente e completo do TEX, e encontrei o MiKTEX, ainda na versão 2.1, e o obtive por meio da internet discada (demorei vários dias “baixando” os pacotes). Tive que estudar melhor o LATEX, v


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Sobre a revisão, editoração e contribuições

aprender a fazê-lo separar sílabas em português, colocar figuras mais adequadamente e sem muita interferência no arquivo fonte, montar bibliografia e índice remissivo, gerar arquivos compilados (DVI e PDF) navegáveis, gerar arquivos EPS e PDF aceitáveis para as figuras, preparar as imagens escaneadas de fonte com muito ruído, afora dar uniformidade à redação a textos redigidos originalmente em épocas diferentes, ajustar a formatação para arte final para a LTC. O que hoje gasta menos de 1 minuto para se compilar, um volume bem mais reduzido gastava mais de uma tarde, algo em torno de 8 horas de compilação.

Uso da nova ortografia luso-brasileira para unidades SI A etapa final da revisão para entrega à gráfica pegou-nos em meio da mudança de ortografia para as unidades SI e do descompasso entre uma Portaria do INMETRO (cf. 1a¯ edição luso-brasileira do VIM 2012) e os dicionários, inclusive o VOLP da ABL. Optamos em seguir a orientação do VIM3, o que significa grafar “kilo” (que se grafou por algum tempo “quilo”, sucedendo o então tradicional kilo) e não mais acentuar prefixos de múltiplos e submúltiplos de unidades SI, p. ex., centimetro e kilometro (que se lê: centi metro e kilo metro, sendo também aceitas as pronuncias tradicionais) em lugar de centímetro e quilômetro. Nossa decisão final se fundou em que este livro se destina à formação de profissionais que adotarão esses preceitos profissionalmente.

Sobre a revisão, editoração e contribuições O texto aqui apresentado é transcrição de Física (sumários), Fascículos 0 a 6, além do texto datilografado e inédito que corresponderia ao Fascículo 7; também acrescentamos parte do texto datilografado correspondente ao curso de Acústica de autoria do Prof. Armando Dias Tavares, em que procedemos revisão e adaptação para formato de livro moderno. Para não distorcer a intenção do Prof. Armando, procuramos identificar a contribuição ao texto original, com o intuito de possibilitar novas edições e estimular contribuições autorais.

Contribuições Contribuíram para esta revisão (em ordem alfabética): ∗ j – Joaquim Pereira Neto  u  – José Umberto Cinelli Lobo de Oliveira n – Nilson Duarte Dória  v – Vitor Oguri 

u A letra no interior do círculo, p. ex., , x identifica as contribuições acrescentadas ao texto original. Longe de exi bição dos revisores, optamos por identificar as intervenções mais contundentes no texto original para não o descaracterizar. Mesmo não sendo cópia “dos fascículos”, procuramos manter a integridade básica das ideias e do projeto do Prof. Armando.


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Apresentação

Armando Dias Tavares

Preâmbulo† Ao escrever este livro pensamos no estudante que deseja realmente aprender física e que em geral não vê muita relação entre o que aprende, o que o cerca e, principalmente, o laboratório; seja porque não existe, seja porque quando o alcança se perde na sua complexidade. A Física Experimental não é fácil, exige o conhecimento dos fenômenos, conceitos, leis e princípios; exige o conhecimento da matemática para representá-los e para desenvolvê-los em teoremas e para resolver problemas teóricos e práticos, e para alcançar aplicações tecnológicas. Como aprender física para chegar à plena realização do conhecimento teórico e experimental ou tecnológico? Existem excelentes livros e manuais de Física, nacionais e estrangeiros. Seus autores, de modo geral, procuram dar a explicação dos fenômenos, leis, princípios e conceitos físicos com muitos problemas; mas não se preocupam com a parte do laboratório que é deixada para os manuais práticos; estes relacionam as experiências sem inseri-las num contexto teórico. Neste livro procuramos, a partir de observações e experiências simples, conduzir o estudante para a parte teórica e em seguida para suas aplicações teóricas e experimentais. Como não podia deixar de ser, acompanha este livro o Laboratório Portátil que é parte integrante do curso. Com ele, o estudante poderá realizar as experiências básicas necessárias a um desenvolvimento do conhecimento de Física Geral e Experimental. Procuramos sempre que possível e desejável recordar a matemática necessária, mostrando seu relacionamento com a Física Experimental. Sabemos que muitas vezes os conhecimentos de matemática do estudante de física ou não existem ou jazem em seu subconsciente sem nenhum relacionamento com as experiências de Física, daí esse nosso empenho. Rio de Janeiro, 20 de agosto de 1976 Armando Dias Tavares

u O que consta nesta apresentação foi publicado em 1981 pelo Prof. Armando, no Fascículo 0 com Preâmbulo datado  de 20 de agosto de 1976, que nesta revisão (pág. vii – 58) mesclamos com o Fascículo 1, publicado em 1980 e com Introdução datada de 20 de fevereiro de 1976. Sabemos que era intenção reescrever toda a obra, detalhando alguns tópicos e adaptando melhor o que já havia sido experimentado com estudantes em aulas teóricas, aulas em laboratório, e em avaliações escritas, verbais (arguições) e relatórios das experiências. O texto desta seção visa expor as ideias do autor sobre o ensino e aprendizagem da Física (cf. pág. 409) para professores, futuros professores e estudantes.

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Apresentação

Orientação ao Estudante ‡ Este livro foi desenvolvido com o objetivo de tornar a Física accessível, mesmo àqueles que estudam sozinhos, sem auxílio de um professor experimentado. Devo lembrar ao estudante que o vocabulário usado deve ser aprendido muito bem, pois sem esse vocabulário o aluno não entenderá a língua portuguesa com que se descrevem os fenômenos, conceitos e leis da Física – esse vocabulário constituirá o português científico relativo à Física – . No fim de cada capítulo, o estudante encontrará uma série de problemas e exercícios, entre os quais figuram perguntas sobre o significado das palavras empregadas – e que vão constituir o vocabulário científico em português – ; é claro que o estudante deverá sabê-lo de modo perfeito. Para estudar os capítulos, o estudante deverá lê-los do princípio ao fim, de uma só vez, procurando entendê-los, meditando nos conceitos e respondendo às perguntas eventuais (postas no texto ou que ocorram ao estudante). Ficará assim com uma ideia geral do seu conteúdo; as palavras e passagens que não conhecia deverão ser anotadas. Após essa leitura geral, o estudante inicia um estudo mais minucioso, procurando entender tudo de modo completo. Em seguida procurará repetir o que foi descrito, com seu estilo, naturalmente usando as palavras e os termos científicos aprendidos. Deverá reproduzir oralmente e por escrito as definições, leis e conceitos. Deverá reproduzir todas as demonstrações do texto com naturalidade e perfeição. A parte experimental deverá ser desenvolvida concomitantemente; é imprescindível que o estudante faça, reproduza as experiências programadas. Observe que começamos com a experiência mais simples possível, exatamente para que o estudante possa encontrar o mínimo de dificuldades iniciais na experimentação. Note o estudante que ele está aprendendo Física que, apesar de ser no ramo das ciências da natureza o mais simples, envolve conhecimento muito complexo. A Física Experimental não pode ser aprendida sem experimentação ou então não é Física Experimental; da mesma forma, a formação em Física Teórica ou em Física Aplicada não pode ocorrer sem vivência da física experimental; não é Física, é outra matéria alheia ao mundo em que vivemos. Rio de Janeiro, 20 de fevereiro de 1976 Armando Dias Tavares

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Introdução do Fascículo 1 – 1980.


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Prefácio Professor Jader Benuzzi Martins Armando Dias Tavares O nome do professor Armando foi mencionado pela primeira vez numa conversa que tive com o hoje conhecido físico brasileiro Sérgio Mascarenhas. Na época, 1949, Sérgio era ainda um estudante iniciante mas fez elogios ao professor Armando Tavares que lecionava na Faculdade de Filosofia Ciências e Letras do Instituto La Fayette e era assistente do professor Joaquim da Costa Ribeiro na Faculdade Nacional de Filosofia. O meu encontro com Sérgio Mascarenhas não apresentava nenhuma relação com Física e Matemática. Na verdade eu fui procurá-lo para comprar a sua velha farda que ele havia utilizado no CPOR, instituição do Exército, na qual eu deveria servir. Ficou, neste encontro, gravado na minha memória, o nome daquele professor que era carinhosamente tratado de Armandinho. Neste mesmo ano fiz vestibular para o Curso de Matemática da Faculdade do Instituto La Fayette. Frequentemente eu via o professor Armando nos corredores da Faculdade sem ter, todavia, me aproximado dele apesar dos inúmeros elogios que diversos professores e alguns colegas da minha turma faziam dele. A nossa aproximação maior se deu no terceiro ano do Curso de Matemática. Havia uma certa curiosidade na turma pelas suas aulas que todos afirmavam serem magníficas. Ele daria para nós um Curso de Análise Tensorial. O início da primeira aula não foi satisfatório. O velho Armando era muito surdo e falava muito baixo. Usava um velho terno surrado e a sua gravata estava sempre abaixo do último botão da camisa. Tinha todas as características para fracassar no magistério. Aos poucos foi surgindo o magnífico professor. A sua cultura em Física e Matemática apagava as suas características negativas. Posso afirmar que foi o melhor professor que tive no Curso de graduação da Faculdade. No final do Curso de Análise Tensorial, a minha turma tinha uma verdadeira admiração pelo Armando. Além das aulas, as nossas conversas no corredor da Faculdade muito contribuíram para a minha formação científica. Muitas vezes discutíamos assuntos políticos e eu admirava a sua posição nacionalista em relação as riquezas brasileiras, assuntos que ele conhecia com competência. Durante o Curso de Análise Tensorial ele utilizava um livro texto de sua autoria que considero de grande importância a sua reimpressão que seria de grande valia para os atuais estudantes de Física e Matemática. No ano seguinte 1953, me afastei do professor Armando em virtude da realização do meu curso de Licenciatura. Passei o ano de 1954 lecionando em Volta Redonda retornando ao Rio em 1955, quando fui convidado para lecionar Física Geral e Experimental na Universidade do Distrito Federal.∗ Frequentemente eu visitava a Faculdade Nacional de Filosofia, na Avenida Antônio Carlos, na antiga Casa d’Itália, para conversar sobre problemas científicos com os professores Armando e Adel da Silveira. Havia uma certa animosidade entre o meu catedrático de Física, Francisco Alcântara Gomes Filho, e o velho Armando. O Armandinho considerava que deveria haver uma renovação do nosso Currículo. Na verdade eu dava razão ao Armando, mas a minha condição de assistente não permitia uma maior atuação no problema. Voltei a me aproximar do Armando no ano de 1958, quando passei a frequentar o sexto andar da Casa d’Itália onde funcionava o Instituto de Física da Faculdade Nacional de Filosofia. Neste período passei a ter longas conversas científicas com o Armando. Neste mesmo ano ∗

Atual Universidade do Estado do Rio de Janeiro.

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Prefácio

foi criado o Núcleo de Estudos e Pesquisas Científicas (NEPEC) e que se constituiu no grande sonho do Armando. A segunda diretoria do NEPEC tomou posse no dia 28 de agosto de 1959 no salão nobre da Faculdade Nacional de Filosofia. Importantes autoridades participaram do evento, entre as quais podemos destacar a figura do Alte. Álvaro Alberto, que havia sido presidente do Conselho Nacional de Pesquisas, e que se notabilizou pela luta que empreendeu pelo enriquecimento do Urânio, utilizando o processo da Ultra Centrifugação. Foi escolhido para presidente do NEPEC o professor João Cristóvão Cardoso, excelente professor catedrático de Físico-Química, e que por seu prestígio científico foi indicado Presidente do Conselho Nacional de Pesquisas, no governo Jânio Quadros. O vice-presidente era o professor Eremildo Luiz Viana, diretor da Faculdade Nacional de Filosofia e que teve, infelizmente, uma atuação deprimente após a revolução militar de 1964. Nesta diretoria do NEPEC eu fui indicado segundo secretário. Na verdade, apesar da existência de uma diretoria, o NEPEC era dirigido pelo velho Armando, em outras palavras o Armando era o NEPEC, o NEPEC era o Armando. Foi grande o desenvolvimento científico, pelo NEPEC, nos anos de 1958 e 1959 como poderemos comprovar no Relatório de suas atividades publicado em 1959. Deste relatório retiramos os seguintes tópicos importantes: Sob a orientação do grupo que dirige o setor de física foram realizados trabalhos nos três campos fundamentais das atividades dos membros do NEPEC: Ensino e Formação de Pessoal; Pesquisa em Ciência Básica; Pesquisa Tecnológica. 1) Ensino e Formação de Pessoal I) Curso de Pós-graduação. a) Introdução ao Estudo de Energia Nuclear – Subvencionado pela Comissão Nacional de Energia Nuclear. – Início 01/08/1959 – Término 01/08/1960. b) Curso de Mineralogia e Petrografia de Materiais Radioativos – Subvencionado pela Comissão Nacional de Energia Nuclear – Duração: 9 meses. c) Introdução ao Estudo do Estado Sólido – Armando Dias Tavares. d) Seminários sobre Cálculo Tensorial – Adel da Silveira. II) Ensino Secundário. a) Criação do Núcleo de Estudos Científicos do Colégio João Alfredo – NEC. b) Monografia sobre “O Ensino da Física”. – Armando Dias Tavares. Nesta Monografia o autor aborda o Problema do Ensino da Física no Curso Secundário. Procura chegar a um método de Ensino, denominado Redescoberta Orientada. 2) Pesquisa em Ciência Básica Durante a segunda metade do ano de 1958 foram terminados quatro trabalhos de pesquisa em Física, sendo três de estado sólido e um de teoria dos campos. Estes trabalhos foram os seguintes: a) Invariantes espinoriais. – Adel da Siveira. b) Separação de cargas espaciais e condutividade elétrica em dielétricos líquidos. – Edson Rodrigues. c) Cargas residuais em eletretos naturais. – Armando Dias Tavares. d) Crescimento de Cristais. – Armando Dias Tavares.


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Prof. Jader Benuzzi Martins

Os resumos destes trabalhos foram publicados nos Anais da Academia Brasileira de Ciências vol. 30 n. 4 – 1958 (Resumo XLIX), e apresentados na última sessão de 1958 da Academia. Durante a primeira metade de 1959, mais dois trabalhos foram apresentados à Academia de Ciências, na primeira sessão de 1959. a) Algumas experiências que demonstram não ser o Efeito Costa Ribeiro devido a íons. – Armando Dias Tavares. b) Condutividade em dielétricos líquidos sob a ação de radiações ionizantes. – Edson Rodrigues. 3) Pesquisa Tecnológica a) Fabricação de células fotoelétricas de selênio. – Mário Toval Conrado. b) Construção de “relais” tipo galvanométrico acionado por células fotoelétricas de grande sensibilidade. – Mário Toval Conrado. c) Construção de contador G. M. portátil para prospecção. – Philippe Marc Planchon. d) Scaler decimal. – Philippe Marc Planchon. Trata-se de um “Scaler” decimal, aparelho de alta sensibilidade, destinado a medir, dentro de um determinado período, quantidade de radiação de qualquer origem, podendo medir impulsos da ordem de um milhão por segundo, funcionando com um relógio automático com “relais” de tempo ajustável de segundo a segundo e de zero a sessenta minutos. Construído inteiramente pelo NEPEC, sob a orientação do Dr. Philippe Marc Planchon, responsável pelo laboratório de eletrônica desta entidade, utiliza esse “Scaler” pré-amplificadores para detetores “Geiger”, variando suas características em função do tipo dos detetores usados. Nesse “Scaler” decimal, o primeiro a ser fabricado no Brasil, foram gastos sete meses de trabalho, representando para o país não só a economia de divisas, mas também índice de evolução no campo da eletrônica. Se adquirido no mercado importador, seu custo seria de um milhão de cruzeiros. Para o NEPEC ficou um pouco abaixo de quatrocentos mil cruzeiros. O êxito deste aparelho nós apresentamos no jornal “Última Hora” que na época apresentava grande circulação. Eis a íntegra da entrevista:

Artigo do Jornal Última Hora de agosto de 1959. – Arquivo do Prof. Jader (transcrição: pág. xiv).

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Prefácio

Apresentei parte deste relatório por que nele vemos espelhado o espírito de Armando Dias Tavares: Era um homem de Ciência Fundamental, Ciência Aplicada e Tecnologia. Trabalhava em torno de bancada, na construção de objetos de vidro, coisas práticas que ele associava a uma cultura científica fantástica. O espírito independente do Armando e sua forma franca e direta de dizer as coisas afastaram o Prof. Armando de muitos Físicos brasileiros importantes de sua época. Tinha como amigo, todavia, um dos maiores Físicos do país: O grande César Lattes, que lecionava a cadeira de Física Nuclear da Faculdade Nacional de Filosofia. Ele passava muitas horas no NEPEC, conversando sobre assuntos científicos com o Armando. Participavam ativamente de nossos seminários. Um seminário me causou grande impressão sobre a grande inteligência de César Lattes, foi ministrado pelo professor Adel da Silveira. Ele falou sobre a Equação de Dirac, e como sempre num nível elevado. Mostrou a importância daquela região situada entre a energia positiva mínima do elétron e a energia negativa máxima do pósitron. Mostrou teoricamente a possibilidade da existência de partículas nesta região. Lattes como sempre assistiu de modo agitado o seminário. A toda hora era chamado ao telefone para atender uma chamada internacional. Para os presentes, a ideia que nós tínhamos é que não havia assistido ao seminário. No seu final ele estava presente e para surpresa nossa foi para o quadro e repetiu o seminário do Adel, tendo ainda apresentado uma experiência que poderia ser realizada para confirmar a teoria apresentada pelo Adel. Todos os presentes, inclusive o Armando, ficaram estupefatos. Infelizmente a vida nos afastou. No final do ano de 1959 retornou ao Brasil o Professor Joaquim da Costa Ribeiro, após uma missão importante que exercia no exterior. A minha aproximação com ele aconteceu rapidamente. Houve uma espécie de simpatia mútua entre nós. Passávamos horas e horas conversando. O meu convívio com Joaquim da Costa Ribeiro foi muito pequeno, pois após aproximadamente alguns meses da sua chegada ao Brasil ele faleceu, no dia 28 de julho de 1960, tendo ficado vaga a Cátedra de Física Geral e Experimental da Faculdade Nacional de Filosofia. Todos aguardavam que a Cátedra Interina fosse preenchida pelo prof. Armando, que havia diversas vezes assumido esta posição nas ausências de Costa Ribeiro. Para surpresa nossa foi indicada a professora Elisa Frota Pessôa como Catedrática Interina. Todos os professores da cadeira, que haviam sido indicados pelo professor Armando, nos dirigimos a ela, e solicitamos a nossa exoneração. Assim eu me afastei da Faculdade Nacional de Filosofia e do NEPEC, mas minha amizade com o Armando permaneceu inalterada. Continuei acompanhando de longe a sua brilhante carreira científica. Na verdade permaneci no NEPEC durante mais seis meses lecionando a disciplina de Física Nuclear no Curso de Introdução à Energia Nuclear, que tinha o patrocínio da CNEN† . No governo Jânio Quadros o Curso terminou em virtude do corte do patrocínio da CNEN, apesar do seu novo presidente, Marcelo Dami de Sousa Santos ser muito amigo do Armando. Dois acontecimentos do NEPEC merecem ser mencionados: 1. O primeiro se relaciona ao casamento do Philippe Marc Planchon. Ele era filho de um senador francês e pertencia a uma família importante e riquíssima. No Brasil namorou e ficou noivo de uma das filhas da família Spitzman Jordan considerada uma das mais ricas do Brasil. O pai da noiva morava num duplex no Edifício Chopin ao lado do Copacabana Palace e que era a residência de João Goulart. Foi o casamento mais badalado da época e Philippe escolheu para padrinho o nosso Armando. A nossa tarefa de amigos do Armando passou a se preocupar com a indumentária do Armando. Tínhamos que dar ao consagrado professor um verdadeiro banho de loja. Comprar um terno novo, uma camisa, uma gravata, sapatos etc. etc. e solicitamos que ele fizesse de modo correto a barba. Depois de pronto, o Armando estava extremamente elegante. Partimos da Faculdade de Filosofia e fomos para o casamento. Armando foi muito bem recebido pelo casal anfitrião. A esposa do †

Comissão Nacional de Energia Nuclear.


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Prof. Jader Benuzzi Martins

dono da casa permaneceu mais tempo com o Armando. Eu estava presente e verifiquei que o início da conversa era sobre amenidades. De repente o velho Armando entrou no seu assunto predileto: a política. Começou elogiando a China Comunista e afirmou para aquela interlocutora milionária que os privilégios financeiros deveriam acabar. Senti que os olhos da anfitriã passaram a ter um brilho diferente. Solicitei aos nossos amigos que estavam próximos que deslocassem educadamente o Armando para um local afastado da velha. Senti que a continuação da conversa poderia enfartar a senhora. Para nossa sorte chegou o Reitor da Universidade do Brasil, Pedro Calmon, que cumprimentou de modo efusivo o Armando. No desenrolar da conversa entre os dois, Pedro Calmon fez a seguinte pergunta: “Armando, você comprou a minha coleção de História, que eu acabei de publicar?” O velho Armando respondeu com calma: “Pedro Calmon, o seu livro é muito caro. Com o salário que o senhor nos paga na Universidade do Brasil não podemos nos dar ao luxo de comprar livros caros.” A risada de todos foi geral e o velho Pedro Calmon se contentou com um pequeno sorriso amarelo. A citação destas duas passagens do Armando no casamento do Philippe serviu para dimensionar parcialmente o caráter deste grande homem de Ciência. Ele sempre foi autêntico em todos os lugares e em todas as suas atitudes. 2. O segundo fato acontecido neste mesmo período serve também para dimensionar a sua atuação como professor e homem de Ciência. Para a realização do Curso de Introdução à Energia Nuclear era condição necessária que o candidato tivesse nível superior. Todavia apareceu para fazer o Curso um candidato, João Batista de Oliveira e Souza. Trabalhava em Eletrônica na conservação de Radares no Ministério da Aeronáutica, parecendo ser um bom especialista. Durante a entrevista, todavia, o velho Armando foi se assustando com as respostas: curso primário – completo; curso secundário – não completou. Qualquer outro professor teria encerrado ali a entrevista. O Armando não. Continuou a realizar perguntas na área de Eletrônica e foi verificando o autodidatismo do Batistão, apelido carinhoso colocado por nós. Ele passou a ser aluno da primeira turma, sendo portanto meu colega de classe. Pelas provas foi se revelando um excelente aluno tendo se formado com mérito. O Armando ficou impressionado com a figura do Batistão. O matriculou no Curso Supletivo e incentivou o Batistão a realizar o Curso de Física. Formou-se em Física e passou a lecionar na Universidade Federal Fluminense e posteriormente na UERJ. Permaneceu no NEPEC e, incentivado pelo Armando, construiu o primeiro aparelho de Ressonância Nuclear Magnética no Brasil, baseado numa revista na qual as especificações técnicas eram mínimas. Poderíamos dizer que ali estava mais uma atuação milagrosa do professor e cientista Armando Dias Tavares, que deu condições ao Batistão para realizar o magnífico trabalho. A partir do ano de 1966, passei a trabalhar no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas, tendo um contrato de dedicação exclusiva. As minhas atividades de pesquisa e as diversas viagens que realizei ao exterior me impediram de acompanhar mais de perto a vitoriosa vida de Armando Dias Tavares. Todavia algumas notícias mostraram que ele continuava como um grande condutor de trabalhos científicos. Participou e incentivou a instalação do Instituto de Física de São Carlos, colaborando de modo efetivo com Sergio Mascarenhas e as irmãs Primerano. Na UERJ dirigiu durante vários anos o Instituto de Física. Tentou mesmo criar na década de setenta um Curso de Pós-graduação. Era o idealizador e realizador do método de Ensino denominado Redescoberta Orientada. Foi o criador de pequenos “estojos” que permitiriam a realização de aulas práticas e que poderiam ser adquiridos por um preço razoável. Verifiquei pessoalmente a projeção internacional de seus trabalhos científicos sobre o Efeito Costa Ribeiro em países como a Itália e a Alemanha. Armando teve uma grande aproximação com o Prêmio Nobel Abdus Salam, pesquisador paquistanês, que foi diretor do Centro de Física Teórica de Triestre. Do mesmo modo que Salam, Armando sonhava com a criação de grandes centros de pesquisa nos países subdesenvolvidos.

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Prefácio

O grande sonho do velho Armando se materializou na compra de um casarão em Santa Tereza onde ele instalou o NEPEC. Para isto ele vendeu alguns terrenos que possuía na Estrada do Itaoca, em Bonsucesso. Evidentemente do ponto de vista financeiro a empreitada foi um completo fracasso. Sem nenhum auxílio de dinheiros públicos ele ia aplicando os seus parcos recursos. Instalou uma oficina primorosa. Infelizmente o NEPEC na sua nova sede foi pouco a pouco morrendo. Ficou todavia a vontade e o amor pela Ciência daquele homem sonhador. Assim era o Armando. Não foi possível acompanhar os seus último dias de vida, mas devo dizer que senti muito a perda deste admirável amigo. Rio de Janeiro, 20 de novembro de 2005 JADER B ENUZZI M ARTINS

Transcrição do fac-símile do artigo do jornal Última Hora‡ (sic) BRASIL PRODUZ CONTADORES DAS PARTíCULAS ATÔMICAS Os professores da Faculdade de Filosofia e do Núcleo de Estudos e Pesquisas Científicas do Rio de Janeiro, Srs. Armando Dias Tavares e Jader Martins, anunciaram, ontem, à reportagem de UH, que os cientistas brasileiros já estão produzindo contadores de partículas que, importados, custariam cerca de Cr$ 1 milhão (um milhão de cruzeiros), mas que, fabricados no Brasil, não passam de Cr$ 300 mil. Esses contadores de partículas estão sendo construídos sob a orientação do Professor Philippe MacPlanchon, no NEPEC, que os utiliza em pré-amplificadores para detectores “Geiger”.

Importância Os Professores, entrevistados por UH, afirmam que tal iniciativa é de grande importância, pois o Brasil dá mais um grande passo no mundo da física nuclear. E informam que, dia 20 de agosto, será instalado um curso de introdução ao estudo da energia nuclear, sob os auspícios da Comissão Nacional de Energia Nuclear.

Agosto de 1959 (cf.pág. xi) .


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Depoimento Professor Alfredo Marques de Oliveira∗ Os que conheceram Armando Dias Tavares em vida e com ele conviveram, guardam em seus corações viva memória dos momentos que desfrutaram. Foram beneficiários de um fino privilégio: Armando Dias Tavares foi um ser humano excepcional. Culto, empreendedor, autêntico na defesa de suas ideias, sempre se apresentou sem retoques, sem poses estudadas, despojado e extremamente sincero em todas as suas relações. De origem modesta, da qual sempre se orgulhou, cedo reconheceu na educação a pedra fundamental para a libertação do povo brasileiro dos grilhões do subdesenvolvimento. Devotou sua vida a essa causa. Foi um combatente corajoso e incansável na defesa do ensino de qualidade na formação de quadros adequados para o progresso do país, convencendo pessoas, criando revistas especializadas, fundando institutos, procurando demonstrar, com tenacidade incomum, a viabilidade de tal projeto. Amável, educado, tratava a todos com a mesma calorosa finura, fossem estudantes, colegas ou superiores nas organizações de ensino de que fez parte. Tampouco deixava de censurá-los sempre que reconhecia motivos para fazê-lo. Fervoroso patriota, sofria duplamente os descaminhos que o ensino brasileiro tomava. De um lado pelo que representava em termos de crescentes dificuldades para professores proporcionarem um ensino de qualidade a seus alunos, induzindo desencanto e desistência em muitos deles. De outro pelo que representava de ameaça para o Brasil de perda dos atributos de nação soberana que custaram o sangue, a dor e o empenho de tantas gerações de brasileiros. O texto do Curso de Física aqui apresentado, juntamente com seus anexos complementares, constituem um precioso e fiel retrato de Armando Dias Tavares. Nele o leitor encontrará sua modéstia, sua autoridade, seu fino intelecto, sua competência como brilhante físico experimental que foi, sua devoção ao ensino, sua preocupação com o estudante, com o futuro do país, enfim tudo aquilo que a duras penas tentaríamos reproduzir em volumoso discurso. Estão de parabéns todos aqueles que concorreram para sua apresentação ao público pelo que esta obra veicula de conteúdo atual em termos de sabedoria na seleção de motivos, na metodologia dos temas tratados e na primorosa redação. Também merece nosso melhor aplauso a reprodução nos apêndices das palavras do próprio Armando que resumem consistentemente seu sonho de projeto para o ensino da física. Suas metas nada têm a ver com aquelas ditadas despoticamente pelo mercado; vão muito além. Buscam formar cidadãos pensantes, defensores dos valores mais elevados da civilização, libertos da condição de meros agentes de uma lucratividade banal e volátil cujas direções de evolução estão fora do alcance das sociedades em desenvolvimento. Petrópolis, 23 de dezembro de 2006 A LFREDO M ARQUES

Depoimento colhido pelo Prof. Joaquim Pereira Neto.

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Material Suplementar

Este livro conta com o seguinte material suplementar: Ilustrações da obra em formato de apresentação (restrito a docentes) O acesso ao material suplementar é gratuito, bastando que o leitor se cadastre em: http://gen-io.grupogen.com.br.


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Sumário

Apresentação desta Edição Uso da nova ortografia luso-brasileira para unidades SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sobre a revisão, editoração e contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v vi vi

Apresentação vii Preâmbulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Orientação ao Estudante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Prefácio

por Prof. Jader Benuzzi Martins

ix

Depoimento

por Prof. Alfredo Marques de Oliveira

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Introdução

1

1 Método Científico 1.1 Observação e experimentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Causa e efeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Hipótese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Modelo e matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Exemplo de construção de um modelo: o peso dos corpos . . . . . . . 1.6 Observação e experimentação – confecção de uma caixa de pesos . . . 1.6.1 Observação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Deflexão da haste em função do peso . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Grandeza física: medição e medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Função de uma variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Lei de interdependência entre grandezas físicas . . . . . . . . . . . . . 1.10 Correspondência entre ponto da reta e número real, eixos coordenados 1.11 Interpolação e extrapolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1 Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.2 Extrapolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observação avançada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

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5 5 6 6 7 8 10 10 11 13 13 14 15 20 20 20 20 22


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Sumário

I

Estática

2 Regra do Paralelogramo 2.1 Deflexão de uma haste metálica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Interpolação e dinamômetro . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Extrapolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Grandezas homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Grandezas físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Erros sistemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Erros acidentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Erros grosseiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Estudo dos erros acidentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Dispersão, desvio ou resíduo . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Erro médio da média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Erro relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Erro tolerável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Algarismo significativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Operações com algarismos significativos . . . . . . . . . 2.6.1.1 Normas para o cálculo com dados experimentais 2.7 Dinamômetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Obtenção de um dinamômetro de precisão . . . . . . . . . 2.8 Força aplicada em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Experiência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Outra experiência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Equilíbrio de três forças aplicadas em um ponto . . . . . . . . . 2.11.1 Estudo da regra do paralelogramo . . . . . . . . . . . . 2.11.2 Localização das forças relativamente à estrutura . . . . . 2.11.3 Medição dos ângulos no plano, convenção . . . . . . . . 2.11.4 A regra do paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.5 Determinação gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.5.1 Método gráfico para determinação da resultante 2.11.6 Determinação trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.6.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.7 Método analítico para determinação da resultante . . . . 2.11.8 Regra do paralelogramo expressa analiticamente . . . . . 2.12 Regra do triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.1 Teorema de Lamy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Grandezas Vetoriais 3.1 Associatividade da regra do paralelogramo, resultante de n forças atuando em um ponto 3.1.1 Método gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Segmentos equipolentes a um outro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Regra do polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Método trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Método analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Sumário

3.2 Grandezas vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 As leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . Primeira e terceira leis de Newton . . . . . . . . 3.4 Alguns conceitos de Matemática . . . . . . . . . . 3.4.1 Noção de grupo matemático . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Diferença vetorial entre duas forças . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subcorpo e extensão de corpo . . . . . . . . . . Observação – grandeza vetorial . . . . . . . . . . Observação – espaço vetorial . . . . . . . . . . . Observação – rotações . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Exemplos e aplicações das leis de Newton . . . . . 3.5.1 Solução pelo método gráfico . . . . . . . . 3.5.2 Solução pelo método trigonométrico . . . . 3.5.3 Solução pelo método analítico . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema de coordenadas levogiro . . . . . . . . . Vetor axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tensor antissimétrico de segunda ordem e rotação

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4 Estudo do Corpo Rígido 4.1 Vetor deslizante ou vetor corrente . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Composição de forças aplicadas em um corpo rígido . . . . 4.2.1 Caso de forças concorrentes em um ponto . . . . . . 4.2.2 Caso de forças paralelas . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.1 Duas forças paralelas e de mesmo sentido . 4.2.2.2 Duas forças paralelas e sentidos contrários Exercícios e problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Momento de uma força em relação a um eixo . . . . . . . . 4.3.1 Verificação experimental . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Outro modo de definir momento de força . . . . . . 4.4 Produto vetorial de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Representação vetorial do momento de força . . . . 4.5 Composição de forças paralelas . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Problema exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Outro exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Mais um exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Centro de gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 De uma distribuição linear de pesos . . . . . . . . . 4.6.2 De uma distribuição de pesos no plano . . . . . . . 4.6.3 De uma distribuição de pesos no espaço . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Sumário

4.7 Centro de gravidade de uma distribuição não discreta de pesos 4.7.1 Caso de uma distribuição linear contínua de pesos . . 4.7.2 Peso espec��fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Condições de equilíbrio de um corpo rígido . . . . . . . . . . 4.8.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Estudo da balança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Qualidades da balança . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Problemas com a balança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Atrito entre superfícies sólidas . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 Leis de Coulomb sobre o atrito . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Caso do atrito cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14 Experiências sobre o atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

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Dinâmica: Cinemática e Cinética

130 131 133 135 137 138 138 139 142 143 143 143

145

5 Mecânica 147 5.1 Sistema de referência galileano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2 Transformação de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6 Cinemática 6.1 Sistema de coordenadas no plano . . . . . . . . . . . 6.2 Movimento de um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Equações paramétricas da trajetória . . . . . . 6.3 Estudo do movimento de um ponto . . . . . . . . . . 6.4 Espaço percorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Velocidade instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Vetor velocidade instantânea . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Espaço percorrido num movimento qualquer . . . . . 6.7.1 Rapidez instantânea . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Representação do vetor velocidade instantânea 6.7.3 Espaço percorrido . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 Estudo da Aceleração 7.1 Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Componentes normal e tangencial da aceleração . . . . 7.3 Raio de curvatura, curvatura e aceleração tangencial . . 7.4 Expressão cartesiana do raio de curvatura e da curvatura

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8 Movimento de um Ponto 8.1 Movimento de um ponto no plano . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Movimento retilíneo – trajetória retilínea . . . . . . . 8.1.1.1 Movimento retilíneo uniforme . . . . . . . . 8.1.1.2 Movimento retilíneo uniformemente variado 8.1.1.3 Movimento retilíneo variado . . . . . . . . . 8.1.2 Movimento curvilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2.1 Movimento circular . . . . . . . . . . . . .

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Sumário

8.1.2.2 Movimento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2.3 Movimento circular uniformemente acelerado . . . . . . . . . 8.1.2.4 Movimento curvilíneo qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Espaço percorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4.1 Movimento retilíneo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4.2 Movimento retilíneo uniformemente acelerado . . . . . . . . . 8.1.4.3 Movimento retilíneo uniformemente retardado . . . . . . . . . 8.1.4.4 Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Grandezas cinemáticas ligadas ao movimento circular . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Velocidade angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Aceleração angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Deslocamento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Relação entre aceleração tangencial e aceleração angular . . . . . . . . . 8.2.5 Expressão vetorial da velocidade angular . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.6 Relação vetorial entre velocidade e velocidade angular . . . . . . . . . . 8.2.6.1 Exemplo muito importante: movimento harmônico simples . . 8.3 Mudança de sistema de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Relação entre a velocidade de transporte e as velocidades de translação e de rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Aceleração absoluta, de transporte, relativa e de Coriolis . . . . . . . . . . . . . Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Dinâmica 9.1 Massa inerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Massa gravífica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Relação entre a massa gravífica e a massa inerte . . . . . . . . . . . 9.3.1 Forças que atuam sobre a partícula . . . . . . . . . . . . . . 9.4 A balança de Eötvös . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Sistema de unidades mecânicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 Sistemas MLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1.1 Sistema CGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1.2 Sistema MKS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1.3 Sistema inglês FPS . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2 Sistemas FLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2.1 Sistema métrico técnico . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2.2 Sistema técnico inglês . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3 O sistema métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3.1 Definição da unidade de massa . . . . . . . . . . 9.5.3.2 Definição da unidade de força no sistema métrico 9.5.4 Problemas simples com o uso das unidades . . . . . . . . . 9.5.4.1 Sistemas MLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.4.2 Sistemas FLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.4.3 Relação entre as unidades . . . . . . . . . . . . . 9.5.4.4 A unidade SI de tempo . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 A máquina de Atwood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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204 204 204 205 205 206 206 208 208 211 211 212 212 213 213 214 215 222 224

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224 227 228 232

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241 242 243 245 246 248 251 252 252 252 253 253 253 253 254 256 256 257 257 257 258 259 259


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Sumário

9.6.1 Sobre a experiência da verificação da equação da dinâmica . . . . . . . . . . . . 264 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 9.7 Movimento de projéteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 10 Centro de Massa 10.1 Distribuição contínua de massa . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Massa específica . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Centro de gravidade de um corpo . . . . . . . . 10.1.2.1 Massas específicas superficial e linear 10.1.2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . Questionário, exercícios e problemas . . . . . . . . . .

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269 272 272 273 274 274 275

11 Princípio da Conservação da Energia Mecânica 285 11.1 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 11.1.1 Determinação do momento de inércia de um corpo com a mesa giratória . . . . 285 12 Movimento Periódico e Regressão Linear 12.1 Movimento periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios e Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Movimento harmônico simples – MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Exemplos práticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1.1 Corpo suspenso por uma mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Experiências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Exame da equação diferencial do MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 A segunda lei de Newton na rotação de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo . . . . . . . 12.3.2 Momento de inércia de distribuição contínua de massa . . . . . . . . . . . 12.3.3 Teorema de Steiner-Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Pêndulo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas práticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Raio de giração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Pêndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.1 Determinação experimental da aceleração da gravidade por pêndulo simples 12.6.2 Análise dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Método dos mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.1 Aplicação do método dos mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8 Retas de regressão. Coeficiente de correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9 Aplicação ao exemplo do pêndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observação: físico teórico e físico experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observação: sobre a montagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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287 287 288 288 292 292 292 294 294 294 296 297 301 302 306 307 309 311 313 314 317 323 325 328 329

13 Elasticidade 13.1 Esforço específico num ponto 13.2 Deformação específica . . . 13.3 Tração e compressão . . . . 13.4 Corte ou cisalhamento . . . . 13.5 Esforço sobre um volume . . 13.6 Torção . . . . . . . . . . . .

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331 332 332 332 333 334 334

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Sumário

14 Aplicações Práticas – Oscilações 14.1 Oscilação de um sistema por torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Deflexão de uma haste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Composição geométrica de movimentos harmônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Representação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Gráfico do movimento harmônico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 Representação complexa do harmônico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7 Composição de movimentos harmônicos simples de mesma direção . . . . . . . . . . 14.7.1 Composição de movimentos harmônicos simples de mesma frequência, diferença de fase constante e de mesma direção . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.2 Composição de vários movimentos harmônicos simples de mesma direção, mesma frequência e diferença de fase constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.3 Caso particular importante – superposição de osciladores harmônicos de mesma amplitude, mesma frequência e diferenças de fase constantes . . . . . . . . . . 14.8 Composição geométrica de MHS de frequências quase iguais . . . . . . . . . . . . . . 14.8.1 Representação gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.9 Composição de movimentos harmônicos simples de frequências nitidamente diversas . 14.9.1 Frequências comensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.9.2 Frequências incomensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.10 Movimentos harmônicos de direções ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.10.1 Composição de MHS de mesma frequência, diferença de fase e direções ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.10.2 Estudo dos diversos casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.10.3 Os MHS têm frequências quase iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.11 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.12 Frequências nitidamente diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.13 Frequências incomensuráveis e não múltiplas de frequências quase iguais . . . . . . .

337 337 339 341 341 342 343 344

15 Movimento Periódico Complexo 15.1 Harmônicos . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Energia no movimento harmônico simples 15.3.1 Cálculo da energia mecânica . . .

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16 Movimento Harmônico Amortecido, Movimento Harmônico Forçado, Ressonância 16.1 Movimento harmônico amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimento harmônico superamortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimento harmônico criticamente amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimento harmônico subamortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Decremento logarítmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Dissipação de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Movimento harmônico forçado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6 Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.1 Experimento com pêndulos acoplados idênticos . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.2 Experimento com pêndulos acoplados de mesmo comprimento e massas diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

344 345 346 349 349 350 350 350 351 351 352 354 354 356 360

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361 361 361 362 363

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365 365 367 367 368 371 372 374 377 378 382 382

. . 384


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Sumário

16.7 Batimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 16.8 O cilindro dançante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 17 Movimento Ondulatório 17.1 Comprimento de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Equação diferencial da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Trem de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5 A onda senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6 Ondas transversais e ondas longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.1 Ondas transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.2 Ondas longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7 Aplicações da equação da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7.1 Cordas vibrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7.2 Reflexão de onda numa corda vibrante – ondas estacionárias 17.7.3 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Apêndices A Coletânea de Preâmbulos dos Fascículos A.1 Preâmbulo do fascículo zero . . . . . A.2 Introdução do fascículo I . . . . . . . A.3 Preâmbulo do fascículo II . . . . . . A.4 Preâmbulo do fascículo III . . . . . . A.5 Preâmbulo do fascículo IV . . . . . . A.6 Preâmbulo do fascículo V . . . . . . A.7 Preâmbulo do fascículo VI . . . . . .

389 390 390 392 393 393 394 394 395 395 395 397 398 400

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405 405 405 405 406 406 407 408

B Discurso de Paraninfo

409

C Revista Científica – David Bohm

415

D Transcrição de Artigo – A. D. Tavares

427

Bibliografia

435

Índice

437



Mecânica Física - Abordagem Experimental e Teórica