Page 1

Nesta quarta edição, Álgebra Linear e Suas Aplicações oferece um texto introdutório e moderno apoiado por um conjunto pertinente de aplicações práticas.

Trazendo ainda dois capítulos novos – indicados para o estudo avançado –, e tópicos computacionais, Álgebra Linear e Suas Aplicações proporciona as bases para despertar no leitor o interesse e a motivação, visando o progresso nessa disciplina essencial para as mais variadas carreiras.

Álgebra Linear e Suas Aplicações

Como membro fundador do Linear Algebra Curriculum Study Group, patrocinado pela National Science Foundation, Lay tem sido um líder no movimento para a modernização do currículo da disciplina. Recebeu prêmios universitários pela excelência de ensino, como o Distinguished Scholar-Teacher, pela University of Maryland, e o Award for Distinguished College or University Teaching of Mathematics, concedido pela Mathematical Association of America (MAA).

Esta quarta edição disponibiliza uma ampla gama de aplicações que explicam princípios fundamentais e reproduzem as questões práticas enfrentadas pelos profissionais de áreas como engenharia, ciência da computação, matemática, física, biologia, economia e estatística. Com um nível de dificuldade que se mantém constante ao longo de todo o texto, o livro oferece conceitos, exemplos, problemas práticos e uma vasta quantidade de exercícios –, recursos necessários para o estudo introdutório e para o desenvolvimento dos estudantes.

DAVID C. LAY

David C. Lay graduou-se em Matemática pela Aurora University e obteve os títulos de mestre e doutor pela University of California, ambas nos Estados Unidos. É professor e pesquisador desde 1966, principalmente na University of Maryland. Publicou mais de 30 artigos de pesquisa em análise funcional e álgebra linear.

quarta edição

Quarta Edição

Álgebra Linear e Suas Aplicações

Álgebra Linear e Suas Aplicações quarta edição

Elaborada para estudantes universitários da área de ciências exatas e das disciplinas que necessitam desse conteúdo em seus programas, esta obra tem como objetivo promover o domínio das habilidades e dos conceitos básicos que serão usados em suas atividades profissionais. Seu conteúdo apresenta diversos exemplos, teoremas e demonstrações de cálculos, problemas práticos e uma grande quantidade de exercícios, que variam entre cálculos rotineiros e questões conceituais. Além disso, o texto reflete o modo como cientistas e engenheiros se baseiam na teoria para aplicações cotidianas. Dando suporte tanto para o ensino quanto para a utilização de tecnologia por meio de complementos – como os tópicos computacionais e projetos exploratórios com o MATLAB –, Álgebra Linear e Suas Aplicações é o recurso ideal para simplificar os cálculos, desenvolver no estudante a confiança e desafiá-lo com as novas ideias propostas.

DAVID C. LAY

ISBN 978-85-216-2209-3

9 788521 622093

capa-LAY.indd 1

4/24/13 8:56:01 AM


cad.zero.lay.indd 1

11.03.13 14:21:51


cad.zero.lay.indd 2

11.03.13 14:21:52


Álgebra Linear e Suas Aplicações

cad.zero.lay.indd 1

11.03.13 14:21:52


O GEN | Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan, Santos, Roca, AC Farmacêutica, Forense, Método, LTC, E.P.U. e Forense Universitária, que publicam nas áreas científica, técnica e profissional. Essas empresas, respeitadas no mercado editorial, construíram catálogos inigualáveis, com obras que têm sido decisivas na formação acadêmica e no aperfeiçoamento de várias gerações de profissionais e de estudantes de Administração, Direito, Enfermagem, Engenharia, Fisioterapia, Medicina, Odontologia, Educação Física e muitas outras ciências, tendo se tornado sinônimo de seriedade e respeito. Nossa missão é prover o melhor conteúdo científico e distribuí-lo de maneira flexível e conveniente, a preços justos, gerando benefícios e servindo a autores, docentes, livreiros, funcionários, colaboradores e acionistas. Nosso comportamento ético incondicional e nossa responsabilidade social e ambiental são reforçados pela natureza educacional de nossa atividade, sem comprometer o crescimento contínuo e a rentabilidade do grupo.

cad.zero.lay.indd 2

11.03.13 14:21:53


QUARTA EDIÇÃO

Álgebra Linear e Suas Aplicações

David C. Lay

University of Maryland − College Park

Tradução e Revisão Técnica

Valéria de Magalhães Iorio

Fundação Educacional Serra dos Órgãos (UNIFESO) – Teresópolis

cad.zero.lay.indd 3

11.03.13 14:21:56


O autor e a editora empenharam-se para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro, dispondo-se a possíveis acertos caso, inadvertidamente, a identificação de algum deles tenha sido omitida. Não é responsabilidade da editora nem do autor a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação. Apesar dos melhores esforços do autor, da tradutora, do editor e dos revisores, é inevitável que surjam erros no texto. Assim, são bem-vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras. Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora pelo e-mail ltc@grupogen.com.br. Authorized translation from the English language edition, entitled LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS, 4th Edition by DAVID LAY, published by Pearson Education, Inc, publishing as Pearson, Copyright © 2012 by Pearson Education, Inc. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from Pearson Education, Inc. PORTUGUESE language edition published by LTC – LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA LTDA., Copyright © 2013. Tradução autorizada da edição em língua inglesa intitulada LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS, 4th Edition by DAVID LAY, published by Pearson Education, Inc, publishing as Pearson, Copyright © 2012 by Pearson Education, Inc. Reservados todos os direitos. Nenhuma parte deste livro pode ser reproduzida ou transmitida sob quaisquer formas ou por quaisquer meios, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação, ou por qualquer sistema de armazenagem e recuperação de informações sem permissão da Pearson Education, Inc. Edição em língua PORTUGUESA publicada por LTC – LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA LTDA., Copyright  2013. Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright © 2013 by LTC __ Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na internet ou outros), sem permissão expressa da editora. Travessa do Ouvidor, 11 Rio de Janeiro, RJ __ CEP 20040-040 Tels.: 21-3543-0770 / 11-5080-0770 Fax: 21-3543-0896 ltc@grupogen.com.br www.ltceditora.com.br Capa: Estúdio Loquaz Editoração Eletrônica: Alsan Serviços de Editoração Ltda. CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ L455a Lay, David C. Álgebra linear e suas aplicações / David C. Lay ; tradução Valéria de Magalhães Iorio. - Rio de Janeiro : LTC, 2013. il. ; 28 cm   Tradução de: Linear algebra and its applications Inclui bibliografia e índice ISBN 978-85-216-2209-3   1. Álgebra linear. I. Título. 12-9126.                              CDD: 512.5                                             CDU: 512.64

cad.zero.lay.indd 4

11.03.13 14:21:56


À minha esposa, Lillian, e a nossas filhas, Christina, Deborah e Melissa, cujo apoio, estímulo e orações fervorosas tornaram este livro possível.

cad.zero.lay.indd 5

11.03.13 14:21:56


cad.zero.lay.indd 6

11.03.13 14:21:56


Sobre o Autor David C. Lay graduou-se na Aurora University (em Illinois), concluiu mestrado e doutorado na University of California, em Los Angeles, ambas nos Estados Unidos. Lay é professor e pesquisador em matemática desde 1966, tendo atuado principalmente na University of Maryland, em College Park. Foi professor visitante na University of Amsterdam e na Free University em Amsterdam, na Holanda, e na University of Kaiserslautern, na Alemanha. Publicou mais de 30 artigos de pesquisa referentes à análise funcional e à álgebra linear. Como membro fundador do Linear Algebra Curriculum Study Group,1 patrocinado pela NSF,2 Lay tem liderado o movimento atual para a modernização do currículo de álgebra linear. Participa também em coautoria de diversos textos relacionados à matemática, incluindo Introduction to Functional Analysis, com Angus E. Taylor; Calculus and its Applications, com L. J. Goldstein e D. I. Schneider; e Linear Algebra Gems – Assets for Undergraduate Mathematics, com D. Carlson, C. R. Johnson e A. D. Porter. Lay recebeu quatro prêmios universitários pela excelência de ensino, inclusive o título de Distinguished Scholar-Teacher da University of Maryland, em 1996. Recebeu um dos prêmios da Mathematical Association of America pelo ensino da matemática em faculdades ou universidades, em 1994. Foi eleito por granduandos membros de duas associações – a Alpha Lambda Delta National Scholastic Honor Society e a Golden Key National Honor Society. Foi agraciado com o título de Outstanding Alumnus pela Aurora University, em 1989. É membro das entidades American Mathematical Society, da Canadian Mathematical Society, da International Linear Algebra Society, da Mathematical Association of America, da Sigma Xi e da Society for Industrial and Applied Mathematics. Desde 1992, Lay participa do conselho nacional da Association of Christians in the Mathematical Sciences.

Grupo de Estudos sobre o Currículo de Álgebra Linear, uma comissão americana formada para estudar tais currículos. (N.T.) 2 National Science Foundation, uma agência americana de financiamento para a ciência. (N.T.) 1

cad.zero.lay.indd 7

11.03.13 14:21:56


cad.zero.lay.indd 8

11.03.13 14:21:56


Sumário

Prefácio  ix Nota aos Estudantes  xv

Equações Lineares na Álgebra Linear 

Capítulo 1

1

EXEMPLO INTRODUTÓRIO: Modelos Lineares em Economia e Engenharia  1 1.1 Sistemas de Equações Lineares  2 1.2 Redução por Linhas e Formas Escalonadas  10 1.3 Equações Vetoriais  19 1.4 A Equação Matricial Ax = b  28 1.5 Conjuntos Solução de Sistemas Lineares  35 1.6 Aplicações de Sistemas Lineares  39 1.7 Independência Linear  45 1.8 Introdução às Transformações Lineares  50 1.9 A Matriz de uma Transformação Linear  57 1.10 Modelos Lineares em Administração, Ciência e Engenharia  65 Exercícios Suplementares  71

Capítulo 2

Álgebra Matricial

74

EXEMPLO INTRODUTÓRIO: Modelos Computacionais em Projetos de Aviões  74 2.1 Operações com Matrizes  75 2.2 A Inversa de uma Matriz  83 2.3 Caracterizações de Matrizes Invertíveis  90 2.4 Matrizes em Blocos  94 2.5 Fatorações de Matrizes  99 2.6 O Modelo de Entrada/Saída de Leontief  106 2.7 Aplicações à Computação Gráfica  110 2.8 Subespaços de ℝn  117 2.9 Dimensão e Posto  123 Exercícios Suplementares  128

Capítulo 3

Determinantes 

130

EXEMPLO INTRODUTÓRIO: Caminhos Aleatórios e Distorção  130 3.1 Introdução aos Determinantes  131 3.2 Propriedades dos Determinantes  135 3.3 Regra de Cramer, Volume e Transformações Lineares  142 Exercícios Suplementares  149

cad.zero.lay.indd 9

11.03.13 14:21:57


x   Sumário

Capítulo 4

Espaços Vetoriais 

151

EXEMPLO INTRODUTÓRIO: Voo Espacial e Sistemas de Controle  151 4.1 Espaços Vetoriais e Subespaços  152 4.2 Espaço Nulo, Espaço Coluna e Transformações Lineares  159 4.3 Conjuntos Linearmente Independentes; Bases  166 4.4 Sistemas de Coordenadas  173 4.5 Dimensão de um Espaço Vetorial  180 4.6 Posto  185 4.7 Mudança de Base  191 4.8 Aplicações às Equações de Diferenças  195 4.9 Aplicações a Cadeias de Markov  203 Exercícios Suplementares  210

Capítulo 5

Autovalores e Autovetores 

213

EXEMPLO INTRODUTÓRIO: Sistemas Dinâmicos e as Corujas Malhadas  213 5.1 Autovetores e Autovalores  214 5.2 A Equação Característica  220 5.3 Diagonalização  226 5.4 Autovetores e Transformações Lineares  232 5.5 Autovalores Complexos  237 5.6 Sistemas Dinâmicos Discretos  242 5.7 Aplicações às Equações Diferenciais  250 5.8 Estimativas Iteradas para Autovalores  257 Exercícios Suplementares  263

Capítulo 6

Ortogonalidade e Mínimos Quadráticos 

265

EXEMPLO INTRODUTÓRIO: Os Dados Norte-Americanos e Navegação GPS  265 6.1 Produto Interno, Comprimento e Ortogonalidade  266 6.2 Conjuntos Ortogonais  272 6.3 Projeções Ortogonais  280 6.4 O Processo de Gram-Schmidt  285 6.5 Problemas de Mínimos Quadráticos  291 6.6 Aplicações a Modelos Lineares  297 6.7 Espaços Munidos de Produto Interno  304 6.8 Aplicações de Espaços Munidos de Produto Interno  310 Exercícios Suplementares  315

Capítulo 7

Matrizes Simétricas e Formas Quadráticas 

317

EXEMPLO INTRODUTÓRIO: Processamento de Imagens Multicanais 7.1 Diagonalização de Matrizes Simétricas  318 7.2 Formas Quadráticas  323 7.3 Otimização com Vínculo  329 7.4 Decomposição em Valores Singulares  334 7.5 Aplicações ao Processamento de Imagens e à Estatística  342 Exercícios Suplementares  348

cad.zero.lay.indd 10

317

11.03.13 14:21:57


Sumário   xi

Capítulo 8

A Geometria dos Espaços Vetoriais 

350

EXEMPLO INTRODUTÓRIO: Os Sólidos Platônicos  350 8.1 Combinações Afins  351 8.2 Independência Afim  358 8.3 Combinações Convexas  366 8.4 Hiperplanos  372 8.5 Politopos  379 8.6 Curvas e Superfícies  388

Otimização (Online)

Capítulo 9

EXEMPLO INTRODUTÓRIO: O Transporte Aéreo de Berlim 9.1  Jogos Matriciais 9.2  Programação Linear – Método Geométrico 9.3  Programação Linear – Método Simplex 9.4  Dualidade

Capítulo 10 Cadeias de Markov de Estados Finitos (Online)

EXEMPLO INTRODUTÓRIO: Google e Cadeias de Markov 10.1  Introdução e Exemplos 10.2  O Vetor Estado Estacionário e o PageRank do Google 10.3  Classes de Comunicação 10.4  Classificação de Estados e Periodicidade 10.5  A Matriz Fundamental 10.6  Cadeias de Markov e Estatísticas de Beisebol

Apêndices

A B

Glossário  403 Respostas dos Exercícios Ímpares  411 Índice  442 Crédito das Fotos  446

cad.zero.lay.indd 11

Unicidade da Forma Escalonada Reduzida  398 Números Complexos  399

11.03.13 14:21:58


cad.zero.lay.indd 12

11.03.13 14:21:58


Prefácio Estou muito satisfeito com a resposta obtida de professores e estudantes às três primeiras edições de Álgebra Linear e Suas Aplicações. Esta quarta edição fornece bastante apoio tanto para o ensino quanto para a utilização de tecnologia em álgebra linear. Como anteriormente, o texto oferece uma introdução elementar e moderna à álgebra linear e uma ampla seleção de aplicações interessantes. O conteúdo deste livro é indicado para estudantes de graduação que tenham concluído dois semestres de matemática, nos quais estejam incluídas disciplinas de cálculo em geral. O objetivo principal do texto é ajudar os estudantes a dominar os conceitos e habilidades básicos que serão usados mais tarde profissionalmente. Os tópicos escolhidos seguem a recomendação do Linear Algebra Curriculum Study Group (Grupo de Estudos do Currículo de Álgebra Linear) que, por sua vez, baseia-se em uma pesquisa detalhada sobre as reais necessidades dos estudantes e em um consenso entre os profissionais dos muitos campos que usam a álgebra linear. Esperamos que esse curso seja uma das disciplinas de matemática mais útil e interessante durante a graduação.

O QUE HÁ DE NOVO NESTA EDIÇÃO O principal objetivo desta revisão foi atualizar os exercícios e colocar conteúdo adicional, tanto no livro quanto online, no site da LTC Editora. 1. Mais de 25% dos exercícios são novos ou foram atualizados, especialmente os computacionais. O conjunto de exercícios permanece como uma das características mais importantes deste livro, e os novos seguem o mesmo padrão elevado dos conjuntos de exercícios das edições anteriores. Eles foram projetados de modo a se reportar ao conteúdo das seções nas quais estão inseridos, a desenvolver a confiança dos estudantes ao mesmo tempo em que os desafiam a praticar e a generalizar as ideias novas recém-encontradas. 2. Vinte e cinco por cento das aberturas dos capítulos são novas. Esses cenários introdutórios fornecem aplicações da álgebra linear e a motivação para desenvolver a matemática do capítulo. O texto volta à aplicação em uma seção mais adiante do mesmo capítulo. 3. Um capítulo novo: o Capítulo 8, A Geometria dos Espaços Vetoriais, fornece um tópico adicional que meus alunos realmente gostaram de estudar. As Seções 1, 2 e 3 fornecem as ferramentas geométricas básicas. Em seguida, essas ideias são usadas na Seção 6 para estudar curvas e superfícies de Bezier, que são utilizadas em engenharia e em computação gráfica na rede (em Adobe® Illustrator® e Macromedia® FreeHand®). Essas quatro seções podem ser cobertas em quatro ou cinco aulas de 50 minutos.   Um segundo curso de aplicações de álgebra linear começa, em geral, com uma revisão substancial das ideias mais importantes do primeiro curso. Se for coberta uma parte do Capítulo 8 no primeiro curso, o segundo pode começar com uma revisão rápida das Seções de 1 a 3 e adiante estudar a geometria nas Seções 4 e 5. Isso levaria naturalmente aos Capítulos 9 e 10, que estão disponíveis no site da LTC Editora mediante cadastro, que têm sido utilizados junto com o Capítulo 8 em diversas faculdades nos últimos cinco anos. 4. Dois capítulos novos estão disponíveis na rede e podem ser usados em um segundo curso: Capítulo 9. Otimização Capítulo 10. Cadeias de Markov de Estados Finitos Para ter acesso a esses capítulos, veja a seção Material Suplementar após o prefácio. 5. No site da LTC Editora também estão disponíveis arquivos em PowerPoint® para as 25 seções nucleares do livro e para as 75 figuras do livro. Veja a seção Material Suplementar após o prefácio.

CARACTERÍSTICAS RELEVANTES Introdução Precoce de Conceitos-Chave Muitas ideias fundamentais de álgebra linear são apresentadas nas sete primeiras aulas, no contexto concreto de ℝn, e examinadas em seguida, gradualmente, de pontos de vista diferentes. Generaliza-

cad.zero.lay.indd 13

11.03.13 14:21:58


xiv   Prefácio

ções desses conceitos mais tarde aparecem como extensões naturais de ideias familiares, vistas por meio da intuição geométrica desenvolvida no Capítulo 1. Uma das maiores vantagens deste texto é que o nível de dificuldade é razoavelmente constante ao longo do curso.

Uma Visão Moderna de Multiplicação Matricial Uma boa notação é crucial, e o texto reflete a maneira com que cientistas e engenheiros utilizam a álgebra linear na prática. As definições e demonstrações são feitas com as colunas de uma matriz, em vez dos elementos. Um tema central é olhar o produto de uma matriz por um vetor, Ax, como uma combinação linear das colunas de A. Essa abordagem moderna simplifica muitos argumentos e une as ideias de espaços vetoriais com o estudo de sistemas lineares.

Transformações Lineares As transformações lineares formam um “fio” que é tecido à medida que o texto avança. Sua utilização aumenta a trama geométrica do texto. No Capítulo 1, por exemplo, as transformações lineares fornecem uma visão dinâmica e gráfica da multiplicação de matrizes por vetores.

Autovalores e Sistemas Dinâmicos Autovalores aparecem razoavelmente cedo no texto, nos Capítulos 5 e 7. Como esse assunto é trabalhado durante diversas semanas, os alunos têm mais tempo do que de hábito para absorver e rever esses conceitos fundamentais. A discussão sobre autovalores é motivada por sistemas dinâmicos e aplicada a tais sistemas. Os autovalores são discutidos nas Seções 1.10, 4.8, 4.9 e em cinco seções do Capítulo 5. Alguns cursos chegam ao Capítulo 5 em cerca de cinco semanas, cobrindo as Seções 2.8 e 2.9 em vez do Capítulo 4. Essas duas seções opcionais apresentam todos os conceitos de espaço vetorial do Capítulo 4 que são necessários para o Capítulo 5.

Ortogonalidade e Problemas de Mínimos Quadráticos Esses tópicos recebem um tratamento mais completo do que o que é encontrado, em geral, em textos para iniciantes. O Linear Algebra Curriculum Group (Grupo de Estudo do Currículo de Álgebra Linear) enfatizou a necessidade de uma unidade substancial cobrindo ortogonalidade e problemas de mínimos quadráticos, porque a ortogonalidade tem um papel fundamental em cálculos computacionais e análise linear numérica e, também, porque sistemas lineares incompatíveis aparecem com muita frequência na prática cotidiana.

CARACTERÍSTICAS PEDAGÓGICAS Aplicações Uma ampla gama de aplicações ilustra o poder da álgebra linear para explicar princípios fundamentais e simplificar os cálculos em engenharia, ciência da computação, matemática, física, biologia, economia e estatística. Algumas aplicações aparecem em seções separadas; outras são tratadas em exemplos e exercícios. Além disso, cada capítulo começa com um exemplo introdutório que prepara o cenário para alguma aplicação de álgebra linear e fornece uma motivação para desenvolver o tópico do capítulo. Mais adiante, em uma seção próxima ao final do capítulo, volta-se àquela aplicação.

Uma Forte Ênfase Geométrica É dada uma interpretação geométrica a todos os conceitos mais importantes no curso, pois muitos estudantes aprendem melhor quando podem visualizar uma ideia. O livro contém muito mais figuras do que é usual e algumas delas são inéditas em um texto de álgebra linear.

Exemplos Os exemplos neste livro formam uma proporção muito maior de seu material expositivo do que na maioria dos textos de álgebra linear. O livro contém muito mais exemplos do que seria, normalmente,

cad.zero.lay.indd 14

11.03.13 14:21:58


Prefácio   xv

coberto em sala de aula. Mas como os exemplos são escritos cuidadosamente, com muitos detalhes, os estudantes podem lê-los por conta própria.

Teoremas e Demonstrações Resultados importantes são enunciados como teoremas. Outros fatos úteis são apresentados em caixas sombreadas para facilitar. Os teoremas, em sua maioria, são demonstrados visando inicialmente o estudante. Em alguns casos, os cálculos essenciais de uma demonstração são dados em um exemplo escolhido cuidadosamente. Algumas verificações rotineiras são deixadas como exercício, caso possam beneficiar os estudantes.

Problemas Práticos Uns poucos Problemas Práticos selecionados cuidadosamente aparecem antes de cada conjunto de exercícios. As soluções completas são dadas após esses exercícios. Tais problemas estão relacionados a pontos que podem ser problemáticos no conjunto de exercícios ou funcionam como “aquecimento” para os exercícios que os seguem. Suas soluções contêm, muitas vezes, sugestões importantes para os exercícios ou avisos sobre algum ponto sutil.

Exercícios A grande quantidade de exercícios varia de cálculos rotineiros a questões conceituais que necessitam de mais reflexão. Um número significativo de perguntas inovadoras focaliza dificuldades conceituais que encontro em trabalhos de estudantes há muitos anos. Cada conjunto de exercícios é ordenado com cuidado, na mesma ordem geral que o texto; conjuntos de problemas para casa ficam facilmente disponíveis ao se discutir apenas uma parte da seção. Uma característica notável dos exercícios é sua simplicidade numérica. Os problemas podem ser resolvidos rapidamente, sem que o estudante gaste muito tempo em cálculos numéricos. Os exercícios procuram aprofundar a compreensão, em vez de cálculos mecânicos. Os exercícios nesta quarta edição mantêm a integridade dos exercícios da terceira edição, ao mesmo tempo em que trazem problemas novos para estudantes e professores. Os exercícios marcados com o símbolo [M] devem ser trabalhados com a ajuda de um “programa Matricial” (um programa de computador como MATLAB®, MapleTM, Mathematica®, MathCad® ou DeriveTM, ou uma calculadora programável com capacidades matriciais, como as produzidas pela Texas Instruments).

Questões do Tipo Verdadeiro/Falso Para encorajar os estudantes a ler o texto inteiro e pensar criticamente, desenvolvi 300 questões do tipo verdadeiro/falso que aparecem em 33 seções, logo depois dos problemas computacionais. Elas podem ser respondidas diretamente a partir do texto e preparam os estudantes para os problemas conceituais subsequentes. Os estudantes passam a gostar dessas questões após se acostumarem com a importância de ler o texto cuidadosamente. Baseado em experiências de sala de aula e em conversas com estudantes, decidi não colocar as respostas no texto. Um teste adicional com 150 questões do tipo verdadeiro/falso (a maioria nos finais dos capítulos) verifica se o conteúdo foi compreendido. O texto fornece as respostas, V/F, mas não as justifica (o que, em geral, requer algum raciocínio).

Exercícios Envolvendo Elaboração de Texto A habilidade de escrever afirmações matemáticas coerentes na língua materna é essencial a todos os estudantes de álgebra linear, não apenas àqueles que pretendem fazer uma pós-graduação em matemática. O texto inclui muitos exercícios para os quais uma justificativa escrita é parte da resposta. Exercícios conceituais que necessitam de uma demonstração curta contêm, em geral, sugestões que ajudam o estudante a começar. Para todos os exercícios ímpares deste tipo, o livro contém a resposta no final ou uma sugestão, pelo menos.

Tópicos Computacionais O texto enfatiza o impacto do computador, tanto no desenvolvimento, quanto na prática da álgebra linear em ciência e engenharia. Comentários Numéricos frequentes chamam a atenção para tópicos

cad.zero.lay.indd 15

11.03.13 14:21:59


xvi   Prefácio

computacionais e distinguem entre conceitos teóricos, como a inversão de matrizes, e implementações computacionais, como fatoração LU.

APOIO NA WEB O site da LTC Editora contém vários materiais de apoio para este livro, boa parte deles traduzidos. Consulte a página de Material Suplementar ao final do prefácio para a listagem completa disponível no site mediante cadastro. Entre os materiais nele postados, destacamos:

Aprendendo a Usar a Tecnologia Se seu curso inclui trabalhos com MATLAB, Maple, Mathematica ou calculadoras TI, você pode ler um dos projetos disponíveis no site da LTC para uma introdução a cada uma dessas tecnologias.

Arquivos de Dados Centenas de arquivos contêm dados de cerca de 900 exercícios numéricos no texto, Estudo de Casos e Projetos Aplicados. Os dados estão disponíveis em diversos formatos − para MATLAB, Maple, Mathematica e as calculadoras gráficas TI-83+/86/89. Permitindo o acesso a matrizes e vetores para um problema em particular com pouca digitação, esses arquivos eliminam erros de entrada de dados e economizam tempo nos trabalhos para casa.

Projetos MATLAB Esses projetos exploratórios convidam o estudante a descobrir conteúdos básicos matemáticos e numéricos em álgebra linear. Escritos por Rick Smith, foram desenvolvidos para apoiar um curso em álgebra linear computacional ministrado na University of Florida, que utiliza o livro Álgebra Linear e Suas Aplicações há muitos anos. Os projetos estão marcados por um símbolo WEB em pontos apropriados do texto. Cerca de metade dos projetos explora conceitos fundamentais como espaço coluna, diagonalização e projeções ortogonais; diversos projetos focalizam problemas numéricos, tais como operações em ponto flutuante, métodos iterativos e decomposição em valores singulares; alguns projetos exploram aplicações, como interpolação de Lagrange e cadeias de Markov.

Agradecimentos Sou, de fato, bastante grato a diversos grupos de pessoas que me ajudaram, em todos esses anos, em vários aspectos deste livro. Gostaria de agradecer a Israel Gohberg e a Robert Ellis por mais de quinze anos de colaboração em pesquisas, que muito influenciaram minha visão da álgebra linear. Tive o privilégio de trabalhar com David Carlson, Charles Johnson e Duane Porter no Linear Algebra Curriculum Study Group. Suas ideias criativas sobre o ensino de álgebra linear influenciaram este texto de muitas maneiras importantes. Agradeço sinceramente aos seguintes revisores por suas análises cuidadosas e sugestões construtivas:

Para esta quarta edição, agradeço a meu irmão Steven Lay, da Lee University, pela ajuda generosa, pelo estímulo e por sua nova revisão dos Capítulos 8 e 9. Agradeço também a Thomas Polaski, da Winthrop University, pela sua nova revisão do Capítulo 10. Devido aos bons conselhos e à ajuda com os exemplos introdutórios, agradeço a Raymond Rosentrater, da Westmont College. Uma professora

cad.zero.lay.indd 16

11.03.13 14:21:59


Prefácio   xvii

talentosa, Judith McDonald, da Washington State University, desenvolveu muitos exercícios novos. Sua ajuda e entusiasmo pelo livro são revigorantes e inspiradores. Agradeço aos especialistas em tecnologia que trabalharam nos diversos materiais suplementares para esta edição, preparando dados, redigindo notas para os professores, redigindo notas sobre tecnologia para os estudantes no Guia do Estudante* e repartindo seus projetos conosco: Jeremy Case (MATLAB), Taylor University; Douglas Meade (Maple), University of South Carolina; Michael Miller (Calculadora TI), Western Baptist College; e Marie Vanisko (Mathematica), Carroll College. Agradeço ao professor John Risley e aos estudantes de pós-graduação David Aulicino, Sean Burke e Hersh Goldberg que nos auxiliaram com suas experiências técnicas a desenvolver o material online. Sou grato pelos testes em sala de aula deste material online feitos pelos seguintes professores: Agnes Boskovitz, Malcolm Brooks, Elizabeth Ormerod, Alexander Isaev e John Urbas, da Australian National University; John Scott e LebenWee, da Montgomery College, em Maryland; e Xingru Zhang da SUNY University of Buffalo. Agradeço a assistência matemática fornecida por Blaise DeSesa, Jean Horn, Roger Lipsett, Paul Lorczak, Thomas Polaski, Sarah Streett e Marie Vanisko, que verificaram a exatidão dos cálculos no texto. Finalmente, meus agradecimentos sinceros aos funcionários da Addison-Wesley pela ajuda no desenvolvimento e na produção desta quarta edição: Caroline Celano, editora responsável; Chere Bemelmans, editora de conteúdo sênior; Tamela Ambush, editor-chefe adjunto; Carl Cottrell, produtor de mídia sênior; Jeff Weidenaar, gerente de marketing executivo; Kendra Bassi, assistente de marketing; e Andrea Nix, paginador do texto. Deixei guardados para o final três grandes amigos que guiaram o desenvolvimento deste livro quase que do início − aconselhando e encorajando − Greg Tobin, editor; Laurie Rosatone, ex-editora e William Hoffman, editor em exercício. Muito obrigado a todos vocês. David C. Lay

*Material vendido separadamente e disponível apenas para a edição em inglês do texto. (N.E.)

cad.zero.lay.indd 17

11.03.13 14:21:59


Material Suplementar

Este livro conta com os seguintes materiais suplementares:  Aprendendo a Usar a Tecnologia arquivos em .pdf contendo fundamentos referentes aos programas computacionais Maple, Mathematica, MATLAB e às calculadoras TI-83, 84 e 89 (acesso livre);  Arquivos de dados referentes aos programas Maple, Mathematica, MATLAB, Calculadoras TI-83, 84, 89 (acesso livre);  Capítulos 9 e 10 arquivos em formato .pdf e as respectivas respostas dos exercícios (acesso livre);  Estudos de Casos: arquivos em formato .pdf disponibilizando estudos de caso por capítulo (acesso livre);  Ilustrações da obra em formato de apresentação (acesso restrito a docentes);  Instructor’s Maple Manual arquivo em formato .pdf contendo manual do Maple, em inglês (acesso restrito a docentes);  Instructor’s Solutions Manual arquivos em formato .pdf contendo manual de soluções dos exercícios do livro-texto, em inglês (acesso restrito a docentes);  Material de Revisão e Provas arquivos em formato .pdf contendo material de revisão, provas e soluções (acesso livre);  Mathematica Manual arquivo em formato .pdf contendo manual para utilização do software Mathematica com aplicação aos exercícios do livro-texto, em inglês (acesso restrito a docentes);  MATLAB Manual arquivo em formato .pdf contendo manual do programa computacional MATLAB com aplicação aos exercícios do livro-texto, em inglês (acesso restrito a docentes);  PowerPoint arquivos em formato de apresentações para uso em sala de aula, em inglês (acesso restrito a docentes);  Programas MATLAB arquivo em .pdf contendo exercícios para MATLAB por capítulo (acesso livre);  Projetos MATLAB arquivos em formato .pdf disponibilizando projetos em MATLAB por capítulo (acesso livre);  TI-83+86-89 Manual arquivo em formato .pdf contendo manual do professor para o utilização das calculadoras gráficas aplicadas aos exercícios do livro-texto, em inglês (acesso restrito a docentes). O acesso ao material suplementar é gratuito, bastando que o leitor se cadastre em: http://gen-io.grupogen.com.br

GEN-IO (GEN | Informação Online) é o repositório de materiais suplementares e de serviços relacionados com livros publicados pelo GEN | Grupo Editorial Nacional, maior conglomerado brasileiro de editoras do ramo científico-técnico-profissional, composto por Guanabara Koogan, Santos, Roca, AC Farmacêutica, Forense, Método, LTC, E.P.U. e Forense Universitária. Os materiais suplementares ficam disponíveis para acesso durante a vigência das edições atuais dos livros a que eles correspondem.

cad.zero.lay.indd 18

11.03.13 14:22:00


Nota aos Estudantes

Este curso é, potencialmente, o mais interessante e a disciplina de matemática mais útil que você fará durante sua graduação. De fato, alguns estudantes me escreveram ou me disseram, depois de formados, que às vezes ainda usam este texto como referência em seus empregos em corporações importantes e na pós-graduação de engenharia. A seguir, fornecemos alguns conselhos e informações para ajudá-lo a dominar o conteúdo e aproveitar o curso. Em álgebra linear, os conceitos são tão importantes quanto os cálculos. Os exercícios numéricos simples no início de cada conjunto de exercícios estão ali apenas para ajudá-lo a verificar sua compreensão dos procedimentos básicos. Mais tarde quando ingressar no mercado profissional, os computadores farão os cálculos para você, mas você terá de escolher esses cálculos, saber como interpretar os resultados e em seguida explicá-los para outras pessoas. Por essa razão, muitos exercícios no texto pedem para você explicar ou justificar seus cálculos. Frequentemente, um texto explicativo faz parte da resposta. Para os exercícios ímpares, você encontrará a explicação desejada ou, pelo menos, uma boa sugestão. Você deve evitar a tentação de olhar as respostas antes de ter tentado redigir a solução por conta própria. Caso contrário, é possível que você pense que entendeu o assunto quando, de fato, não o fez. Para dominar os conceitos de álgebra linear, você vai ter de ler e reler o texto cuidadosamente. Termos novos aparecem em negrito, algumas vezes dentro de um boxe de definição. Um glossário está incluído no final do texto. Fatos importantes são enunciados como teoremas ou estão dentro de boxes de fundo sombreado, para facilitar. Gostaria de encorajá-lo a ler as cinco primeiras páginas do Prefácio para saber mais sobre a estrutura deste livro. Isso vai lhe dar uma ideia melhor de como o curso pode prosseguir. A álgebra linear é, em um sentido prático, uma linguagem. Você precisa aprender essa linguagem da mesma maneira que aprenderia uma língua estrangeira  com trabalho diário. O conteúdo apresentado em uma seção não pode ser compreendido com facilidade a menos que você tenha estudado cuidadosamente e resolvido os exercícios das seções precedentes. Ficando em dia com a matéria vai evitar muita perda de tempo e aborrecimentos!

Comentários Numéricos Espero que você leia os Comentários Numéricos ao longo do livro, mesmo que não esteja usando um computador ou uma calculadora gráfica junto com o texto. A maior parte das aplicações de álgebra linear na vida real envolve cálculos sujeitos a erros numéricos, mesmo que estes sejam muito pequenos. Os Comentários Numéricos alertam sobre possíveis dificuldades ao usar a álgebra linear profissionalmente, e se você estudar os comentários agora, as chances de se lembrar delas mais tarde são maiores. Se gostar dos Comentários Numéricos, você pode querer cursar uma disciplina de álgebra linear numérica em outra oportunidade. Devido à grande demanda de aumento de poder computacional, cientistas de computação e matemáticos trabalham em álgebra linear numérica para desenvolver algoritmos mais rápidos e mais confiáveis para cálculos, da mesma forma que os engenheiros elétricos projetam computadores mais rápidos e menores para rodar esses algoritmos. Esse é um campo excitante e seu primeiro curso de álgebra linear vai ajudar a prepará-lo para isso.

cad.zero.lay.indd 19

11.03.13 14:22:00


cad.zero.lay.indd 20

11.03.13 14:22:00


Álgebra Linear e Suas Aplicações

cad.zero.lay.indd 21

11.03.13 14:22:00


cad.zero.lay.indd 22

11.03.13 14:22:00


Nesta quarta edição, Álgebra Linear e Suas Aplicações oferece um texto introdutório e moderno apoiado por um conjunto pertinente de aplicações práticas.

Trazendo ainda dois capítulos novos – indicados para o estudo avançado –, e tópicos computacionais, Álgebra Linear e Suas Aplicações proporciona as bases para despertar no leitor o interesse e a motivação, visando o progresso nessa disciplina essencial para as mais variadas carreiras.

Álgebra Linear e Suas Aplicações

Como membro fundador do Linear Algebra Curriculum Study Group, patrocinado pela National Science Foundation, Lay tem sido um líder no movimento para a modernização do currículo da disciplina. Recebeu prêmios universitários pela excelência de ensino, como o Distinguished Scholar-Teacher, pela University of Maryland, e o Award for Distinguished College or University Teaching of Mathematics, concedido pela Mathematical Association of America (MAA).

Esta quarta edição disponibiliza uma ampla gama de aplicações que explicam princípios fundamentais e reproduzem as questões práticas enfrentadas pelos profissionais de áreas como engenharia, ciência da computação, matemática, física, biologia, economia e estatística. Com um nível de dificuldade que se mantém constante ao longo de todo o texto, o livro oferece conceitos, exemplos, problemas práticos e uma vasta quantidade de exercícios –, recursos necessários para o estudo introdutório e para o desenvolvimento dos estudantes.

DAVID C. LAY

David C. Lay graduou-se em Matemática pela Aurora University e obteve os títulos de mestre e doutor pela University of California, ambas nos Estados Unidos. É professor e pesquisador desde 1966, principalmente na University of Maryland. Publicou mais de 30 artigos de pesquisa em análise funcional e álgebra linear.

quarta edição

Quarta Edição

Álgebra Linear e Suas Aplicações

Álgebra Linear e Suas Aplicações quarta edição

Elaborada para estudantes universitários da área de ciências exatas e das disciplinas que necessitam desse conteúdo em seus programas, esta obra tem como objetivo promover o domínio das habilidades e dos conceitos básicos que serão usados em suas atividades profissionais. Seu conteúdo apresenta diversos exemplos, teoremas e demonstrações de cálculos, problemas práticos e uma grande quantidade de exercícios, que variam entre cálculos rotineiros e questões conceituais. Além disso, o texto reflete o modo como cientistas e engenheiros se baseiam na teoria para aplicações cotidianas. Dando suporte tanto para o ensino quanto para a utilização de tecnologia por meio de complementos – como os tópicos computacionais e projetos exploratórios com o MATLAB –, Álgebra Linear e Suas Aplicações é o recurso ideal para simplificar os cálculos, desenvolver no estudante a confiança e desafiá-lo com as novas ideias propostas.

DAVID C. LAY

ISBN 978-85-216-2209-3

9 788521 622093

capa-LAY.indd 1

4/24/13 8:56:01 AM

Álgebra Linear e suas Aplicações (amostra)  

Esta quarta edição disponibiliza uma ampla gama de aplicações que explicam princípios fundamentais e reproduzem as questões práticas enfrent...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you