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CAPÍTULO

5

Critérios de Cauchy e de Dirichlet

  5.1  Sequências de Cauchy Dizemos que an, n > 0, é uma sequência de Cauchy se, para todo ε > 0, existir um natural n0 tal que a

n ˘ n0 , m ˘ n0 ⇒ an − am < ε .

Grosso modo, dizer que an é uma sequência de Cauchy significa que o módulo da diferença entre dois termos quaisquer am e an vai se tornando cada vez menor à medida que m e n crescem. O principal objetivo desta seção é provar que toda sequência de Cauchy é convergente. Segue da definição anterior que se an for uma sequência de Cauchy, para todo k ≠ 0, k natural, existe um natural nk tal que n ˘ nk , m ˘ nk ⇒ an − am <

1 . k

Tomando-se m = nk, vem n ˘ nk ⇒ an − an < k

1 k

ou ainda b

n ˘ nk ⇒ an − k

1 1 < an < an + . k k k

Vemos, assim, que se an for uma sequência de Cauchy, então os seus termos, à medida que n cresce, vão se acumulando em intervalos de amplitude cada vez menor. an an – 1 k k

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an ] an – 1 , an + 1 [. k k k k U

n ≥ nk

an + 1 k k

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Capítulo 5

76 Segue de b que toda sequência de Cauchy é limitada. (Justifique.) Para provar que toda sequência de Cauchy é convergente, vamos precisar do seguinte exemplo. Exemplo    Seja an, n > 0, uma sequência limitada. Considere as sequências ln = inf{a j j ˘ n} e Ln = sup{a j j ˘ n}. Prove que as sequências ln e Ln, n > 0, são convergentes. Solução Como a sequência an é limitada, ln e Ln existem para todo natural n. Veja: l0  inf {a0, a1, a2, ...} l1  inf {a1, a2, a3, ...} l2  inf {a2, a3, a4, ...} etc. L0  sup {a0, a1, a2, a3, ...} L1  sup {a1, a2, a3, a4, ...} L2  sup {a2, a3, a4, ...} etc. Observe que ln é crescente e Ln decrescente. Observe, ainda, que, para todo natural n, ln < Ln. Segue que, para todo natural n, l0 < Ln e ln < L0. Portanto, tais sequências são convergentes. Teorema 1. Toda sequência de Cauchy é convergente. Demonstração Seja an, n > 0, uma sequência de Cauchy. Sendo de Cauchy é limitada. Podemos, então, considerar as sequências do exemplo anterior: Ln = sup{a j j ˘ n} e ln = inf{a j j ˘ n} . Já sabemos que tais sequências são convergentes. Como an é de Cauchy, para todo natural k ≠ 0, existe um natural nk tal que n ˘ nk ⇒ an − k

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1 1 < an < an + . k k k

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Critérios de Cauchy e de Dirichlet

77 Assim, an – k

1 é uma cota inferior do conjunto k {an n ˘ nk }

e an + k

1 uma cota superior. Logo, k 1 1 ¯ ln ¯ Ln ¯ an + . k k k k k

an − k

Segue que, para todo n > nk, an −

1 1 ¯ ln ¯ an + k k k

an −

1 1 ¯ Ln ¯ an + k k k

k

e k

Daí e pelo fato de ln < Ln vem c

n ˘ nk ⇒ 0 ¯ Ln − ln ¯

e, portanto,

2 k

lim [Ln − ln ] = 0;

n→+∞

logo lim Ln = lim ln .

n→+∞

n→+∞

2 < ε tendo em vista c, para (Observe que para todo ε > 0 dado existe um natural k ≠ 0 tal que k todo  > 0 dado, existem naturais k ≠ 0 e nk tais que n ˘ nk ⇒ Ln − ln <

2 < ε. k

Logo,

(

)

lim Ln − ln = 0.

n→ +∞

Como, para todo natural n, ln < an < Ln resulta, pelo teorema do confronto, que an é convergente e

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lim an = lim Ln .

n→+∞

n→+∞

j

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Capítulo 5

78 Teorema 2. Toda sequência convergente é de Cauchy. Demonstração Sendo an, n > 0, convergente, dado  > 0 existe um natural n0 tal que n ˘ n0 ⇒ an − a <

ε 2

em que a  lim an . Temos, também, n→+∞

m ˘ n0 ⇒ am − a <

ε . 2

Temos am − an = am − a + a − an ¯ am − a + an − a . Segue que

n ˘ n0 e m ˘ n0 ⇒ am − an < ε .

j

Dos teoremas 1 e 2 resulta a seguinte condição equivalente para convergência. Teorema. Uma sequência é convergente se for uma sequência de Cauchy. Para finalizar a seção, enunciaremos a seguir duas condições equivalentes e muito úteis para an ser uma sequência de Cauchy. A sequência an, n > 0, é uma sequência de Cauchy se, e somente se, para todo  > 0 dado, existir um natural n0 tal que, quaisquer que sejam os naturais n e p, n ˘ n0 ⇒ an + p − an < ε . Ou ainda an é uma sequência de Cauchy se, para todo  > 0 dado, existir um natural n0 tal que, quaisquer que sejam os naturais m e n, m > n ˘ n0 ⇒ am − an < ε . Exercícios 5.1 1. Dizemos que uma função T: R → R é uma contração se existir um real λ, com 0 < λ < 1, tal que, quaisquer que sejam os reais x e y, T (x) − T ( y) ¯ λ x − y . Seja, então, T: R → R uma contração e considere um real a0. Seja a sequência an, n > 0, dada por an  T(an – 1), n > 1.

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Critérios de Cauchy e de Dirichlet

79 Prove a) a2 − a1 ¯ λ a1 − a0 b) a3 − a2 ¯ λ 2 a1 − a0 c) a − a ¯ λ n a − a n+1 n 1 0

( ¯ (λ

)

d) an + 2 − an ¯ λ n + 1 + λ n a1 − a0 e) an + p − an

f ) an + p − an <

n+ p −1

)

+ λ n + p − 2 + ... + λ n a1 − a0

λn a − a0 , para todo natural p e todo natural n. 1− λ 1

2. Seja an, n > 0, a sequência do exercício anterior. Prove que tal sequência é de Cauchy e, portanto, existe um número real a tal que lim an  a. n→ +∞

3. Seja T: R → R uma contração. Prove que T é contínua. 4. Seja an, n > 0, a sequência do Exercício 1. Tendo em vista os Exercícios 2 e 3, prove que a  T(a). 5. Seja T: R → R uma função. Dizemos que a é um ponto fixo para T se a  T(a). Prove que se T for uma contração, então T admitirá um e somente um ponto fixo. x 6. Mostre que T: R → R dada por T(x)  arctg é uma contração e determine o único ponto 2 fixo de T. (Sugestão: Lembre-se do TVM.) 7. T: R → R dada por T(x)  x2 + 3x admite ponto fixo? T é contração? Justifique.

  5.2   Critério de Cauchy para Convergência de Série +∞

n

k =0

k =0

A série ∑ ak é convergente se, e somente se, a sequência sn  ∑ ak , n > 0 for convergente, como já sabemos. n

Pelo teorema da seção anterior, a sequência sn  ∑ ak é convergente se para todo  > 0 dado, k =0

existir um natural n0 tal que, quaisquer que sejam os naturais n e p, n ˘ n0 ⇒ sn + p − sn < ε . Como sn + p − sn = an + 1 + an + 2 + ... + an + p resulta o seguinte critério para convergência de uma série.

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