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Errata Dorf – Introdução aos Circuitos Elétricos 9ª Edição/2016 – 1ª Impressão As correções da 3ª impressão, 9ª edição estão destacadas nas páginas abaixo.


xii

Prefácio

Exemplos de Projeto, Método para Solução de Problemas e “Como Podemos Testar...?” Todos os capítulos terminam com um exemplo de projeto que utiliza os métodos discutidos no capítulo para resolver um problema de projeto. Um método formal para solução de problemas é apresentado no Capítulo 1 e usado em todos os exemplos de projeto. Um dos passos mais importantes do método para solução de problemas consiste em verificar se a solução está correta. Todos os capítulos incluem uma seção intitulada “Como Podemos Testar. . .?” que ilustra o modo como os resultados obtidos no capítulo podem ser testados para verificar se estão corretos. Fórmulas, Equações e Comentários Importantes Equações, fórmulas e comentários importantes são destacados no texto para facilitar a consulta. Tabelas e Figuras Importantes Os métodos e processos apresentados neste livro estão condensados em algumas tabelas e figuras que poderão ser úteis ao leitor durante a solução dos problemas. zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz

Tabela 1.5-1. A convenção passiva. Figura 2.7-1 e Tabela 2.7-1. Fontes dependentes. Tabela 3.10-1. Fontes em série e em paralelo. Tabela 3.10-1. Elementos em série e em paralelo. Divisão de tensão e de corrente. Figura 4.2-3. Tensões de nó e correntes e tensões nos elementos. Figura 4.5-4. Correntes de malha e correntes e tensões nos elementos. Figuras 5.4-3 e 5.4-4. Circuitos equivalentes de Thévenin. Figura 6.3-1. O amplificador operacional ideal. Figura 6.5-1 Circuitos com operadores operacionais. Tabela 7.8-1 Capacitores e indutores. Tabela 7.13-2. Capacitores e indutores em série e em paralelo. Tabela 8.12-1. Solução de circuitos de primeira ordem. Tabelas 9.13-1, 2 e 3. Circuitos de segunda ordem. Tabela 10.5-1 Divisão de tensão e corrente em circuitos de CA. Tabela 10.16-1. Circuitos de CA no domínio da frequência (fasores e impedâncias) Tabela 11.5-1. Potência em circuitos de CA. Tabelas 11.13-1 e 11.13-2. Indutores acoplados e transformadores ideais. Tabela 13.4-1. Circuitos ressonantes. Tabelas 14.2-1 e 14.2-2. Transformadas de Laplace. Tabela 14.7-1. Representações de elementos no domínio do tempo e da frequência. Tabela 15.4-1 Séries de Fourier de algumas formas de onda periódicas.

Introdução ao Processamento de Sinais O processamento de sinais é uma aplicação importante dos circuitos elétricos. Este livro apresenta o processamento de sinais de duas formas. Em primeiro lugar, duas seções (as Seções 6.6 e 7.9) descrevem métodos para projetar circuitos elétricos que implementam equações algébricas e diferenciais. Em segundo lugar, numerosos exemplos e problemas em vários capítulos do livro ilustram o processamento de sinais. Os sinais de entrada e saída de um circuito elétrico são identificados explicitamente em cada um desses exemplos e problemas. Esses exemplos e problemas investigam a relação ente os sinais de entrada e saída que é imposta pelo circuito.


Componentes dos Circuitos

Solução

A resposta a uma corrente i1 é

v1 = Ri1

A resposta a uma corrente i2 é

v2 = Ri2

21

A soma das respostas é v1 + v2 = Ri1 + Ri2 = R(i1 + i2) Como a soma das respostas a i1 e i2 é igual à resposta a i1 + i2, o princípio da superposição é satisfeito. Vamos considerar agora o princípio da homogeneidade. Como v1 = Ri1 temos para uma excitação i2 = ki1 v2 = Ri2 = Rki1 Assim,

v2 = kv1

satisfaz o princípio da homogeneidade. Como o componente satisfaz os princípios da superposição e da homogeneidade, ele é linear.

E x e m p lo 2 . 2 - 2  Um Dispositivo Não Linear Considere o componente representado pela relação entre corrente e tensão v = i2 Verifique se o dispositivo é linear.

Solução A resposta a uma corrente i1 é

v1 = i12

A resposta a uma corrente i2 é A soma das respostas é

v1 + v2 =

2 1

+

2 2

A resposta a i1 + i2 é

Como

i12 + i 22 ≠ (i1 + i 2 ) 2 o princípio de superposição não é satisfeito. Isso significa que o dispositivo é não linear.


Circuitos Resistivos

61

3.3 R e s i s t o r e s e m S é r i e e D i v i s ã o d e Te n s ã o Considere um circuito com uma única malha, como o da Figura 3.3-1. Para facilitar o uso da lei de Ohm, usaremos a convenção passiva para escolher os sentidos de referência das tensões e correntes nos resistores. Dizemos que os resistores da Figura 3.3-1 estão ligados em série, já que todos os componentes são percorridos pela mesma corrente. Para verificar se dois componentes estão ligados em série, observamos se estão ligados a um mesmo nó ao qual não está ligado mais nenhum componente. Note, por exemplo, que os resistores R1 e R2 estão ligados ao nó b e nenhum outro componente do circuito está ligado a esse nó. Isso significa que i1 = i2, ou seja, que os dois resistores são percorridos pela mesma corrente. Um raciocínio semelhante revela que R2 e R3 também estão ligados em série. Observando que R2 está ligado em série tanto com R1 como com R3, concluímos que os três resistores estão ligados em série. A ordem de resistores ligados em série não é importante. Por exemplo: as tensões e correntes dos três resistores da Figura 3.3-1 não mudam se as posições de R2 e R3 forem invertidas. Aplicando a LKC a todos os nós do circuito da Figura 3.3-1, obtemos: a: b: c: d: o que nos dá,

+ –

d

R1

i1

a

+ v1 − i2 vs is − v3 + R3

is = i1 i1 = i2 i2 = i3 i3 = is

Para determinar i1, aplicamos a LKT à única malha do circuito para obter v1 + v2 + v3 − vs = 0 em que, por exemplo, v1 é a tensão no resistor R1. Aplicando a lei de Ohm aos resistores, obtemos:

R1i1 + R2i2 + R3i3 − v3 = 0 ⇒ R1i1 + R2i2 + R3i3 = v3 Explicitando i1, obtemos: vs R1 + R2 + R3

A tensão no resistor Rn, vn, é dada por vn = i1 Rn =

vs Rn R1 + R2 + R3

A tensão no resistor R2, por exemplo, é v2 =

R2 vs R1 + R2 + R3

Assim, a tensão em um resistor ligado em série a outros resistores e a uma fonte de tensão é igual à razão entre a resistência do resistor e a resistência total. Este circuito demonstra o princípio da divisão de tensão e o circuito é chamado de divisor de tensão. No caso geral, podemos representar o princípio da divisão de tensão através da equação vn =

i3

+ v2 c

FIGURA 3.3-1  Circuito de uma malha com uma fonte de tensão vs.

is = i1 = i2 = i3

i1 =

R2

b

Rn vs R1 + R2 + ... + RN

em que vn é a tensão no enésimo resistor dos N resistores que estão ligados em série. Resistores em série podem ser substituídos por um resistor equivalente. Na Figura 3.3-2, por exemplo, os resistores em série R1, R2 e R3 da Figura 3.3-2a são substituídos pelo resistor equivalente Rs da Figura 3.3-2b. Dizemos que Rs é equivalente aos resistores em série R1, R2 e R3 se a substituição de R1, R2 e R3 por Rs não muda a corrente nem a tensão em todos os outros componentes do circuito. Neste caso,


70

Capítulo 3

E x e m p lo 3 . 4 - 3  Projeto de um Divisor de Corrente A entrada do divisor de corrente da Figura 3.4-8 é a corrente is da fonte de corrente. A saída é a corrente io medida pelo amperímetro. Especifique valores das resistências R1 e R2 tais que as seguintes especificações sejam satisfeitas: io

R1

Amperímetro

+ is

vs

R2

– Divisor de Corrente

FIGURA 3.4-8  Um circuito divisor de corrente.

Especificação 1: A relação entre as correntes de entrada e de saída deve ser io = 0,8is. Especificação 2: A fonte de corrente não deve fornecer uma potência maior que 10 mW quando a entrada do divisor de corrente for is = 2 mA.

Solução

Vamos examinar cada especificação para verificar o que nos diz a respeito dos valores dos resistores. Especificação 1: A relação entre as correntes de entrada e de saída do divisor de corrente é dada por i0 =

R2 is R1 + R2

Assim, de acordo com a especificação 1, R2 = 0, 8 R1 + R2

R2 = 4 R1

Especificação 2: A potência fornecida pela fonte de corrente é dada por   R R   RR  ps = is vs = is is  1 2  = is2  1 2   R1 + R2    R1 + R2 

Assim, de acordo com a especificação 2,  RR  0, 01 ≥ (0, 002) 2  1 2   R1 + R2 

R1 R2 ≤ 2500 R1 + R2

Combinando os dois resultados, obtemos

R1 (4 R1 ) ≤ 2500 ⇒ R1 + 4 R1

4 5

Existem várias soluções possíveis. Uma das soluções é

≤ 2500

≤ 3125 Ω


Circuitos Resistivos

i=

77

v2 24 = = 32 mA 750 750

(Como já observamos, a corrente i das Figuras 3.6-5a e 3.6-5c tem o mesmo valor que a corrente i da Figura 3.6-4.)

E x e m p lo 3.6-2   Resistência Equivalente

EXEMPLO INTERATIVO

O circuito da Figura 3.6-6a contém um ohmímetro, um instrumento usado para medir resistências. O ohmímetro mede a resistência equivalente de qualquer circuito resistivo ligado aos seus terminais. Determine a resistência medida pelo ohmímetro da Figura 3.6-6a.

Solução

Começamos pela esquerda. Como o resistor de 30 Ω está em paralelo com o resistor de 60 Ω, a resistência equivalente dos dois resistores é

60 ⋅ 30 = 20 Ω 60 + 30 Na Figura 3.6-6b, a combinação em paralelo dos resistores de 30 Ω e 60 Ω foi substituída pelo resistor equivalente de 20 Ω. Agora os dois resistores de 20 Ω estão em série. A resistência equivalente é 20 + 20 = 40 Ω Na Figura 3.6-6c, a combinação em série dos dois resistores de 20 Ω foi substituída pelo resistor equivalente de 40 Ω. Agora o resistor de 40 Ω está em paralelo com o resistor de 10 Ω. A resistência equivalente é

40 ⋅10 =8 Ω 40 + 10 Na Figura 3.6-6d, a combinação em paralelo dos resistores de 40 Ω e 10 Ω foi substituída pelo resistor equivalente de 8 Ω. Assim, o ohmímetro mede uma resistência de 8 Ω. 20 Ω

60 Ω

30 Ω

Ohmímetro 10 Ω

20 Ω

20 Ω

Ohmímetro 10 Ω

(a)

( b)

Ohmímetro 40 Ω

10 Ω

(c) FIGURA 3.6-6

Ohmímetro 8Ω

(d)


80

Capítulo 3

E x e m p lo 3.7-1  Análise de um Circuito Usando o Programa MATLAB Determine o valor das tensões e correntes nos resistores do circuito da Figura 3.7-1. 40 Ω

12 V + –

48 Ω

32 Ω

80 Ω

0,5 A

FIGURA 3.7-1  O circuito do Exemplo 3.7-1. 40 Ω i2 + v2 – 12 V

+ –

0,5 A

48 Ω – v5 +

i5

+ v4

80 Ω

– v6

32 Ω

i4

+

i6

FIGURA 3.7-2  O circuito do Exemplo 3.7-2 com as tensões e correntes nos resistores assinaladas.

Solução

Para começar, assinalamos as tensões e correntes nos resistores. Para facilitar a aplicação da lei de Ohm, vamos escolher o sentido das correntes e das tensões de acordo com a convenção passiva. (Para isso, escolhemos arbitrariamente o sentido de uma das variáveis, a corrente ou a tensão no resistor, e escolhemos o sentido da outra variável para que esteja de acordo com a convenção passiva.) A Figura 3.7-2 mostra o circuito com as tensões e correntes assinaladas. O passo seguinte consiste em aplicar as leis de Kirchhoff. Aplicando a LKC ao nó ao qual estão ligados os resistores de 40 Ω, 48 Ω e 80 Ω e a fonte de corrente, temos: i2 + i5 = 0, 5 + i4 Aplicando a LKC ao nó ao qual estão ligados os resistores de 48 Ω e 32 Ω, temos:

(3.7-1)

i5 = i6 Aplicando a LKT à malha formada pela fonte de tensão e os resistores de 40 Ω e 80 Ω, temos:

(3.7-2)

12 = v2 + v4 Aplicando a LKT à malha formada pelos resistores de 48 Ω, 32 Ω e 80 Ω, temos:

(3.7-3)

Aplicando a lei de Ohm aos resistores, temos:

v4 + v5 + v6 = 0

(3.7-4)

v2 = 40 i2 , v4 = 80 i4 , v5 = 48 i5 , v6 = 32 i6 (3.7-5) Podemos usar as equações da lei de Ohm para eliminar as variáveis que representam as tensões nos resistores. Com isso, a Eq. 3.7-3 se torna e a Eq. 3.7-4 se torna

12 = 40 i2 + 80 i4

(3.7-6)

80 i4 + 48 i5 + 32 i6 = 0 Podemos usar a Eq. 3.7-2 para eliminar i6 da Eq. 3.7-7 da seguinte forma: 80 i4 + 48 i5 + 32 i5 = 0 ⇒ 80 i4 + 80 i5 = 0 Podemos usar a Eq. 3.7-8 para eliminar i5 da Eq. 3.7-1:

(3.7-7) ⇒

i4 = −i5

i2 − i4 = 0, 5 + i4 ⇒ i2 = 0, 5 + 2 i4 Podemos usar a Eq. 3.7-9 para eliminar i4 da Eq. 3.7-6. Explicitando i2 na equação resultante, obtemos:

(3.7-8) (3.7-9)


268

Capítulo 7

a = (5 × 10−6 ) (8000) = 40 mA

Para determinar o valor de b, fazemos t = 6 ms: d 24 − 0 V v(0, 006) = = −12 × 103 dt 0, 005 − 0, 007 s

De acordo com a Eq. 7.2-7, temos: b = (5 × 10−6 ) (−12 × 10−3 ) = −60 mA

E x e m p lo 7.2-5  Corrente e Tensão em um Capacitor

EXEMPLO INTERATIVO

A entrada do circuito da Figura 7.2-12 é a corrente

C

+ v(t)

i (t ) = 3, 75e−1, 2t A para t > 0

A saída é a tensão no capacitor i(t)

FIGURA 7.2-12  Circuito do Exemplo 7.2-5.

v(t ) = 4 − 1, 25e−1, 2t V para t > 0

Determine o valor da capacitância C.

Solução

A tensão do capacitor está relacionada à corrente através da equação v(t ) =

1 C

t

i ( t ) d t + v ( 0)

0

Assim, 4 − 1, 25e−1, 2t =

1 C

t

3, 75e−1, 2t d t + v(0) =

0

t

3, 75 −1, 2t −3,125 −1, 2t e + v(0) = (e − 1) + v(0) C (−1, 2) C 0

Igualando os coeficientes de e–1,2t, obtemos: 1, 25 =

3,125 C

C=

3,125 = 2, 5 F 1, 25

EXERCÍCIO 7.2-1  Determine a corrente i(t) para t > 0 no circuito da Figura E 7.21b se vs(t) varia com o tempo da forma mostrada na da Figura E 7.2-1a. vs(t)(V) 5

i(t)

4 3 vs(t)

2

+ –

1Ω

1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

t ( s)

(a) FIGURA E 7.2-1  (a) Tensão da fonte de tensão. (b) Circuito.

iR(t)

iC(t) 1F

(b)


Capítulo 8

362

carregado até ser atingido o regime estacionário e em seguida é descarregado quando o obturador da câmara é disparado. A descarga produz um clarão momentâneo. Determine o tempo t1 que a carga do capacitor leva para se reduzir à metade do valor inicial e a corrente i(t) no instante t = t1.

6Ω

vs(t)

+ –

+ vo(t) –

66,7 µ F

Figura P 8.6-1 t= 0 5V

+ –

P 8.6-2  A entrada do circuito da Figura P 8.6-2 é a tensão da fonte de tensão, vs(t). A saída é a tensão do capacitor, vo(t). Determine a saída do circuito se a entrada é vs(t) = 3 + 3u(t) V.

100 k Ω

1 µF

Figura P 8.4-4  Circuito de um flash eletrônico.

3Ω

P 8.4-5  O circuito da Figura P 8.4-5 está no regime estacionário quando a chave é fechada em t = 0. A chave permanece fechada por 0,5 segundo e em seguida é aberta. Determine v(t) para t ≥ 0. t = 0,5 s

40 Ω

24 V + –

+ v(t) 40 Ω

50 mF

t= 0 s

10 Ω

vs(t)

+ –

500 mF

6Ω

+ vo(t) –

Figura P 8.6-2

P 8.6-3  A entrada do circuito da Figura P 8.6-3 é a tensão da fonte de tensão, vs(t). A saída é a corrente no indutor, io(t). Determine a saída do circuito se a entrada é vs(t) = −7 + 13u(t) V.

5Ω

Figura P 8.4-5 vs(t)

+ –

4Ω

1,2 H

io(t)

8.5  Estabilidade de Circuitos de Primeira Ordem P 8.5-1  O circuito da Figura P 8.5-1 contém uma fonte de tensão controlada por corrente. Que restrição deve ser imposta ao ganho R da fonte dependente para assegurar a estabilidade do circuito?

Figura P 8.6-3

P 8.6-4 Determine vo(t) para t > 0 no circuito da Figura P 8.6-4. 30 kΩ

Resposta: R < 400 Ω Ri(t) 100 Ω

4 + 8 u(t) V

+ –

400 Ω

+

i(t)

+ –

5 mH

2,4 + 1,2 u (t ) V

5 µF

P 8.6-5 A tensão inicial do capacitor do circuito da Figura P 8.6-5 é zero. Determine a tensão v(t) se a tensão da fonte é um pulso descrito por 0 t <1 s   vs = 4 V 1 < t < 2 s  0 t>2 s

i(t)

500 k Ω

6 kΩ 3 kΩ

v o (t )

+

Figura P 8.6-4

P 8.5-2  O circuito da Figura P 8.5-2 contém uma fonte de corrente controlada por corrente. Que restrição deve ser imposta ao ganho B da fonte dependente para assegurar a estabilidade do circuito?

+ –

+

iL(t)

Figura P 8.5-1

4 + 8 u(t) V

20 kΩ

45 kΩ

Bi(t)

5 mH

iL(t) vs + –

Figura P 8.5-2

2 F

+ –

v

Figura 8.6-5

8.6  Fontes do Tipo Degrau P 8.6-1  A entrada do circuito da Figura P 8.6-1 é a tensão da fonte de tensão, vs(t). A saída é a tensão do capacitor, vo(t). Determine a saída do circuito se a entrada é vs(t) = 8 − 15u(t) V.

P 8.6-6  Estudos de um inseto artificial estão sendo realizados com o objetivo de compreender o sistema nervoso dos animais. A Figura P 8.6-6 mostra o modelo de um dos neurônios do sistema nervoso do inseto artificial. A fonte de tensão vs é usada para


Resposta Completa de Circuitos com Dois Elementos de Armazenamento de Energia

Em geral, conhecemos as condições iniciais dos componentes que armazenam energia. Por exemplo: se v1(0) = 5 V e v2(0) = 10 V, primeiro fazemos v1(0) = 5 V e t = 0 na Eq. 9.9-9 para obter v1 (0) = A1 + A2 + 9 o que nos dá

A1 + A2 = − 4

(9.9-10)

Precisamos também conhecer o valor de dv1/dt em t = 0. De acordo com a Eq. 9.9-5, temos: dv1 dt

= va + v2 − 2 v1

Assim, em t = 0 temos: dv1 (0) dt

= va (0) + v2 (0) − 2 v1 (0) = 10 + 10 − 2(5) = 10

No instante t = 0, a derivada da solução completa, Eq. 9.9-9, é dada por dv1 (0) dt

e, portanto,

= − A1 − 4 A2

A1 + 4 A2 = −10

(9.9-11)

Resolvendo o sistema de equações formado pelas Eqs. 9.9-10 e 9.9-11, obtemos A1 = −2 o que nos dá

e A2 = −2

v1 (t ) = −2e−t − 2e−4t + 9 V

Quando o leitor encontrar circuitos com dois ou mais componentes que armazenam energia, deve considerar a possibilidade de usar o método das variáveis de estado para obter um sistema de equações diferenciais de primeira ordem.

O método das variáveis de estado utiliza uma equação diferencial de primeira ordem associada a cada variável de estado para determinar a resposta completa de um circuito.

9.9-1.

O método das variáveis de estado está descrito na Tabela 9.9-1. O método será ilustrado no Exemplo

395


426

Capítulo 10

Vale a pena chamar a atenção para alguns casos especiais: (10.3-7)

E x e m p lo 10.3-2  Forma Retangular e Forma Polar dos Fasores Considere os fasores V1 = 4, 25 115º e V2 = −4 + j 3 Converta V1 para a forma retangular e converta V2 para forma polar.

Solução

De acordo com as Eqs. 10.3-3 e 10.3-5,

V1 = Re {V1} + jIm {V1} = 4, 25 cos (115º) + j 4, 25 sen (115º) = −1, 796 + j 3, 852 De acordo com as Eqs. 10.3-2 e 10.3-6, V2 = −4 + j 3 =

(−4) 2 + 32 = 5

Como a = Re{V2} = − 4 < 0, a Eq. 10.3-6 também nos dá  3   = 143º V2 = 180º − tan−1   −(−4) 

e, portanto,

V2 = 5 143º

Vamos agora discutir algumas operações aritméticas com fasores. Considere dois fasores, V1 e V2, expressos tanto na forma retangular como na forma polar: V1 = a + jb = E

θ e V2 = c + jd = F

φ

Para somar ou subtrair fasores, é mais fácil trabalhar com a forma retangular, pois a parte real e a parte imaginária do vetor resultante podem ser calculadas separadamente, da seguinte forma:

V1 + V2 = (a + j b) + (c + j d ) = (a + c) + j (b + d )

V1 − V2 = (1 + j b) − (c + j d ) = (a − c) + j (b − d )

(10.3-8) (10.3-9)

Para multiplicar ou dividir fasores, é mais fácil trabalhar com a forma polar, pois a amplitude e o ângulo do vetor resultante podem ser calculados separadamente, da seguinte forma:

V1 ⋅ V2 = ( E

θ

)( F

φ ) = EF

(θ + φ) e

V1

V2

A θ A = (θ − φ) B B φ

(10.3-10)

O conjugado do fasor V1 = a + jb é representado pelo símbolo V1* e definido da seguinte forma: (10.3-11)


Análise de Circuitos no Regime Estacionário Senoidal

447

Solução

Para começar, representamos o circuito no domínio da frequência. As impedâncias do capacitor e do indutor são Zc = − j

1 = − j 10 Ω e Z L = j 10(0, 5) = j 5 Ω 10 (0, 010)

A Figura 10.6-11 mostra a representação do circuito no domínio da frequência. Podemos analisar o circuito escrevendo e resolvendo equações de nó. Para simplificar o processo, substituímos as impedâncias em série e em paralelo por impedâncias equivalentes, como mostra a Figura 10.6-12. As impedâncias Z2 e Z3 da Figura 10.6-12 são dadas por

Z 2 = 10  (− j 10) =

10 (− j 10) = 5 − j 5 Ω e Z3 = 5 + j 5 Ω 10 − j 10 10 I

R 1 = 10 Ω

ZL = j 5 Ω

– +

Vs

+ –

I

Z C = − j 10 Ω

R3 = 5 Ω

R 2 = 10 Ω

FIGURA 10.6-11  Representação do circuito da Figura 10.6-10 no domínio da frequência.

R 1 = 10 Ω

10 I

V1

V2

– +

V s +–

I

Z2

Z3

FIGURA 10.6-12  Circuito simplificado no domínio da frequência, mostrando o supernó associado à fonte de tensão dependente.

Em seguida, consideramos a fonte dependente da Figura 10.6-12. De acordo com a lei de Ohm, a corrente de controle I é dada por I=

Vs − V1 R1

(10.6-7)

Aplicando a LKT à malha da esquerda, temos 10 I = V2 – V1 Aplicando a LKC ao supernó da Figura 10.6-12, temos

I=

V1 V2 V V + 10I + = 1+ 1 Z 2 Z3 Z 2 Z3

(Z 2 + Z3 )V1 + Z 2 (10 − Z3 )I = 0

(10.6-8)

O sistema de equações formado pelas Eqs. 10.6-7 e 10.6-8 pode ser escrito como uma única equação matricial:  1   Z 2 + Z3 

 R1  Z 2 (10 − Z3 )

 V1   Vs   =  I 0    

Resolvendo o sistema de equações, possivelmente com a ajuda do MATLAB, obtemos V1 = 4, 4721 63, 4º V e I = 0, 89443 − 26, 6º A

No domínio do tempo, a corrente de saída é i(t) = 0,89443 cos (10t – 26,6º) A


448

Capítulo 10

E x e m p lo 10.6-4  Circuito de CA com um Amplificador Operacional A entrada do circuito de CA da Figura 10.6-13 é a tensão da fonte

4 kΩ

25 nF

vs(t) = 125 cos (5000t + 15º) mV

80 mH

– +

Determine a tensão de saída vo(t).

+ –

Solução

As impedâncias do capacitor e do indutor são

ZC = − j

10 kΩ

v s(t )

300 Ω

v o (t )

40 kΩ

FIGURA 10.6-13  Circuito do Exemplo 10.6-4.

1 = − j8000 Ω e Z L = j 5000 (80 × 10−3 ) = j 400 Ω −9 5000 (25 × 10 )

A Figura 10.6-14 mostra a representação do circuito no domínio da frequência. Aplicando a LKC ao nó não inversor do amplificador operacional, obtemos Vs − Va V = a +0 j 400 300

4 kΩ

−j 8000 Ω j 400 Ω

 j 400  Vs = Va 1 +   300 

Explicitando Va, temos

10 kΩ

– +

+ –

V s (ω)

300 Ω

V o (ω)

40 kΩ

FIGURA 10.6-14  Representação do circuito da Figura 10.6-13 no domínio da frequência.

Aplicando a LKC ao nó inversor do amplificador operacional, obtemos Va V − Vc Va − Vo + a + =0 4000 10.000 − j8000 Multiplicando por 80.000, obtemos 0 = 20Va + 8(Va − Vo ) + j10 (Va − Vo ) Explicitando Vo, temos

No domínio do tempo, a tensão de saída é vo(t) = 174 cos (500t – 69,79º) mV

10.7 C i r c u i t o s E q u i v a l e n t e s d e N o r t o n e d e T h é v e n i n Nesta seção, vamos determinar os circuitos equivalentes de Norton e de Thévenin de um circuito de CA. A Figura 10.7-1 ilustra o uso de circuitos equivalentes de Norton e de Thévenin. Na Figura 10.7-1a, um circuito foi dividido em duas partes, o Circuito A e o Circuito B, ligadas por um único par de terminais. (Essa é a única ligação entre os dois circuitos. Em particular, se o circuito contém uma fonte dependente, as duas partes da fonte dependente devem estar no Circuito A ou no Circuito B.) Na Figura 10.7-1b, o Circuito A foi substituído pelo circuito equivalente de Thévenin, que é formado por uma fonte de tensão


460

Capítulo 10

4Ω + –

+ v(t) –

12 cos 5 t V 50 mF

4Ω + – 12 0° V

+ −j4 Ω

(a)

V(ω) –

(b)

FIGURA 10.11-2  Circuito da Figura 10.11-1 antes do fechamento da chave, representado (a) do domínio do tempo e (b) no domínio da frequência. 2Ω + domínio do tempo é A tensão correspondente no – 12 cos 5 t V 50 mF

+ v(t) –

2Ω + –

+ −j4 Ω

12 0° V

v(t ) = 8, 485 cos (5t − 45º ) V (a)

Imediatamente antes do fechamento da chave, a tensão do capacitor é

V(ω) –

(b)

v(0− ) = lim− v(t ) = 8, 845 cos (0 − 45o ) = 6 V t →0

Como a tensão de um capacitor não pode variar bruscamente, a tensão do capacitor imediatamente após o fechamento da chave é a mesma que imediatamente antes do fechamento da chave, ou seja, v(0+ ) = v(0− ) = 6 V

4Ω

+

4Ω

+

+ + está fechada. Depois de um certo tempo, 2o passo: Para t > 0, a chave o Vcircuito−j4 atinge um novo regime estacionário. Ω v(t) V(ω) – 12 0° – 12 cos 5 t V 50 mF Como a chave fechada se comporta como um –curto-circuito e um curto-circuito em–paralelo com um resistor é equivalente a um curto-circuito, o circuito após o fechamento da chave é o que aparece na Figura 10.11-3a. A Figura 10.11-3b mostra a representação do (a) circuito no domínio da frequência. (b)

2Ω + –

+

12 cos 5 t V 50 mF

v(t) –

(a)

2Ω + –

+ −j4 Ω

12 0° V

V(ω) –

(b)

FIGURA 10.11-3  Circuito da Figura 10.11-1 após o fechamento da chave, representado (a) do domínio do tempo e (b) no domínio da frequência.

Aplicando o método da divisão de tensão ao circuito da Figura 10.11-3b, obtemos  − j 4  48 − 90º  (12 0º ) = V( ) =  = 10, 74 − 26, 6ºº V  2 − j 4  4, 47 − 63, 4º

A tensão correspondente no domínio do tempo é v(t ) = 10, 74 cos (5t − 26, 6º ) V 3o passo: Imediatamente após o instante t = 0, a chave está fechada, mas o circuito não está no regime estacionário. Para conhecer o comportamento do circuito logo após o fechamento da chave, precisamos determinar a resposta completa de um circuito de primeira ordem. Na Figura 10.11-3a, o capacitor está ligado a uma fonte de tensão em série com um resistor. Isso nos permite assimilar a tensão da fonte e + Rt = 2 Ω + v = 12 cos 5 t V C = 0,05 F a resistência do resistor à tensão de circuito aberto voc e à resistência de v(t) oc – – Thévenin Rt de um circuito equivalente de Thévenin, como mostra a Figura 10.11-4. FIGURA 10.11-4  Identificação da fonte e Assim, de acordo com a Seção 8.3, a constante de tempo do circuito é do resistor da Figura 10.11-3a como v e R oc

de um circuito equivalente de Thévenin.

t

t = Rt C = 2× 0, 05 = 0,1 s


526

Capítulo 11

i1 (t)

i2 (t) M

+ v1 (t)

+ v2 (t)

L1 L2

(a) i1 (t) + v1 (t)

i2 (t) M

+ v2 (t)

L1 L2

(b) FIGURA 11.9-2  Símbolo usado para representar indutores acoplados. Em (a), as duas correntes entram nas extremidades assinaladas com pontos. Em (b), uma das correntes entra na extremidade assinalada com um ponto e a outra entra na extremidade que não está assinalada com um ponto.

em que cM é uma constante que depende das propriedades magnéticas do núcleo, N2 é o número de espiras do segundo enrolamento e M = cMN1N2 é um número positivo chamado indutância mútua. A unidade de indutância mútua é o henry (H). A polaridade da tensão v2 em relação à polaridade de v1 depende da forma como os fios são enrolados no núcleo. Existem dois casos possíveis, que estão representados nas Figuras 11.9-1a e 11.9-1b. A diferença entre as duas figuras está no sentido no qual o fio 2 é enrolado no núcleo. Uma convenção conhecida como convenção do ponto é usada para indicar a forma como os fios estão enrolados no núcleo. Observe que uma extremidade de cada enrolamento é assinalada com um ponto. Quando o sentido de referência da corrente em um enrolamento é com a corrente entrando na extremidade do enrolamento assinalada com um ponto, a polaridade de referência da tensão induzida é positiva na extremidade do outro enrolamento assinalada com um ponto. Assim, por exemplo, nas Figuras 11.9-1a e 11.9-1b, o sentido de referência da corrente i1 corresponde à corrente entrando no enrolamento da esquerda na extremidade assinalada com um ponto. Em consequência, nas Figuras 11.9-1a e 11.9-1b, o sinal + da polaridade de referência de v2 está situado na extremidade do enrolamento da direita assinalada com um ponto. A Figura 11.9-2 mostra o símbolo usado para representar indutores acoplados nos diagramas dos circuitos elétricos, com os pontos indicados e a indutância mútua designada pela letra M. Dois casos estão representados na Figura 11.9-2. Na Figura 11.9-2a, as correntes nos dois enrolamentos entram nas extremidades assinaladas com pontos. Na Figura 11.9-2b, uma das correntes, i1, entra na extremidade assinalada com um ponto e a outra corrente, i2, entra na extremidade que não está assinalada com um ponto. Nos dois casos, os sentidos de referência da tensão e da corrente em cada enrolamento estão de acordo com a convenção passiva. Suponha que as correntes nos dois enrolamentos entrem nas extremidades assinaladas com pontos na Figura 11.9-2a, ou que as duas correntes entrem nas extremidades não assinaladas com pontos. Nos dois casos, a tensão no primeiro enrolamento, v1, está relacionada às correntes nos enrolamentos através da equação

v1 = L1

di1 di +M 2 dt dt

(11.9-6)

Do mesmo modo, a tensão no segundo enrolamento está relacionada com as correntes nos enrolamentos através da equação

v2 = L2

di2 di +M 1 dt dt

(11.9-7)

Em vez disso, suponha que a corrente em um dos enrolamentos entre na extremidade assinalada com um ponto e a corrente no outro enrolamento entre na extremidade que não está assinalada com um ponto, como na Figura 11.9-2b. Nesse caso, a tensão no primeiro enrolamento, v1, está relacionada às correntes nos enrolamentos através da equação

v1 = L1

di1 di −M 2 dt dt

(11.9-8)

Do mesmo modo, a tensão no segundo enrolamento está relacionada às correntes nos enrolamentos através da equação

v2 = L2

di2 di −M 1 dt dt

(11.9-9)

Assim, podemos dizer que a indutância mútua induz uma tensão em um enrolamento devido à corrente no outro enrolamento. Os indutores acoplados podem ser modelados usando indutores (sem acoplamento) e fontes dependentes. A Figura 11.9-3 mostra um circuito equivalente de dois indutores acoplados. O uso de indutores acoplados em geral se limita a aplicações em que a corrente não é contínua, já que os enrolamentos se comportam como curtos-circuitos para corrente contínua. Suponha que dois indutores acoplados façam parte de um circuito linear com uma entrada senoidal e que o circuito esteja no regime estacionário. Um circuito desse tipo pode ser analisado no domínio da


Potência no Regime Estacionário Senoidal

l(ω) = 0,682

I2 ( ω )

–21 ° A 3:2

8Ω + –

Vs(ω ) = 75,5

537

+

30 Ω

26 ° V

j36 Ω

Vo(ω )

FIGURA 11.10-10  Circuito da Figura 11.10-9 depois de determinada a corrente I(w).

Como os circuitos das Figuras 11.10-8 e 11.10-9 são equivalentes, a corrente I(w) da Figura 11.10-10 também é dada pela Eq. 11.10-6. A Figura 11.10-10 mostra o circuito da Figura 11.10-8 com o valor da corrente I(w) indicado. A corrente do enrolamento secundário do transformador foi chamada de I2(w) na Figura 11.10-10. Como I(w) e I2(w) são as correntes dos enrolamentos do transformador ideal, estão relacionadas pela seguinte equação:  3 I 2 ( w) = −  I ( w) = −1, 023 −21º A  2 

Observe que I2(w) e Vo(w), a corrente e a tensão na impedância de j36 Ω da Figura 11.10-10, não estão de acordo com a convenção passiva. Assim, Vo ( w) = − j 36 I 2 ( w) = ( j 36)(−1, 023 − 21º) = (36 90º)(1, 023 − 21º) = 36, 82 69º V

No domínio do tempo, a tensão de saída é dada por vo (t ) = 36, 82 cos (4t + 69º ) V

E x e m p lo 11.10-3  Potência Complexa em um Circuito com um Transformador Determine o valor da potência (a) fornecida pela fonte de tensão, (b) recebida pela impedância Z2 e (c) recebida pelo transformador do circuito da Figura 11.10-11. I2

Z1 = 4 + j 8 Ω

+ –

1:5 I1

120 0° V

+

+

V1

V2

Z2 = 125 + j 50 Ω

FIGURA 11.10-11  Circuito do Exemplo 11.10-3.

Solução

(a) Como na Figura 11.10-5, podemos substituir o transformador e a impedância Z2 por uma impedância equivalente; o circuito resultante aparece na Figura 11.10-12. A impedância equivalente da Figura 11.10-12 é dada por 2

1 Z eq =   (125 + j 50) = 5 + j 2 Ω 5

Z1 = 4 + j 8 Ω

De acordo com a LKT e a lei de Ohm, I1 =

120 0º = 8, 92 − 48º A (4 + j 8) + (5 + j 2)

A potência complexa fornecida pela fonte de tensão é dada por (120 0º) (8, 92 − 48º) * = 358 + j 398 VA 2

+ –

I1 120 0° V

+ V1

Zeq

FIGURA 11.10-12  Circuito da Figura 11.10-11 com o transformador e a impedância Z2 substituídos por uma impedância equivalente.


582

Capítulo 12

Solução

A tensão de fase da fase A é

e, portanto, a corrente de linha da fase A é

Isso significa que a corrente de linha da fase B é IB = 12,7 – 195° A rms As tensões de linha são VAB = 220  0º V rms, VCA = 220  +120º V rms e VBC = 220  −120º V rms. A leitura do primeiro wattímetro é P1 = IAVAC cos q1 = 12,7(220) cos 15° = 2698 W Como VCA = 220  +120º, VAC = 220  −60º. Assim, o ângulo q1 entre VAC e IA é 15º. A leitura do segundo wattímetro é P2 = IBVBC cos q2 = 12,7(220) cos 75° = 723 W em que q2 é o ângulo entre IB e VBC. A potência total é P = P1 + P2 = 3421 W Observe que todos os cálculos foram executados desprezando a potência dissipada pelos wattímetros.

E x e m p lo 1 2 . 8 - 2  Método dos Dois Wattímetros As leituras dos dois wattímetros da Figura 12.8-2 são P1 = 60 kW e P2 = 180 kW, respectivamente. Determine o fator de potência do circuito.

Solução

De acordo com a Eq. 12.8-7, temos

Assim, temos q = 40,9º e o fator de potência é fp = cos q = 0,756 O fato de que o ângulo q é positivo mostra que o fator de potência é atrasado. Quando q é negativo, o fator de potência é adiantado.

EXERCÍCIO 12.8-1  A corrente de linha de uma carga trifásica equilibrada é 24 A rms, a tensão de

linha é 450 V rms e o fator de potência é 0,47 atrasado. Se dois wattímetros são ligados da forma mostrada na Figura 12.8-2, determine a leitura de cada medidor e a potência total fornecida à carga. Resposta: P1 = −371 W, P2 = 9162 W e P3 = 8791 W


A Transformada de Laplace

De acordo com a Figura 14.5-1, os valores inicial e final são v (0)  lim v( t)  2 V e v(  )  lim v( t)  4 V t

t0

673

(14.5-4)

De acordo com os teoremas do valor inicial e do valor final, temos 2s2  30s  136 v( 0)  lim s s s (s2  9s  34 )

e

2s2 30s 136  2  2 2 2s2  30s  136 s 2 2V  lim s 2 s  lim 2 s s  s  9s  34 1 s 9s 34   s2 s2 s2

2s2  30s  136 s( s2  9s  34)

v( )  lim s s0

2s2  30s  136 136  4V s0 s2  9s  34 24

 lim

Como os valores inicial e final dos resultados experimentais são iguais aos valores inicial e final dos resultados teóricos, é possível que V(s), dada pela Eq. 15.5-3, seja a transformada de Laplace da função v(t) da Figura 14.5-1. Vamos agora determinar a transformada inversa de V(s). Podemos expressar V(s) na forma 2s2  30s  136 K 1s  K 2 R3  2  s  9s  34 s s( s2  9s  34)

V ( s) 

em que

2s2  30s  136 s( s2  9s  34)

R3  s

V ( s) 

Assim,

 s0

2s2  30s  136 s2  9s  34

s0

4

2s2  30s  136 K 1s  K 2 4  2  s  9s  34 s s( s2  9s  34)

Multiplicando ambos os membros por s(s2 + 9s + 34), temos 2s2  30s  136  s( K 1 s  K 2)  4 s2  9s  34  ( K 1  4) s2  (K 2  36)s  136

Igualando os coeficientes de s2 e s1, obtemos K1 = −2 e K2 = −6. Assim, V ( s) 

2s2  30s  136 4  s( s2  9s  34) s

2s  6 4  s2  9s  34 s

2( s  3)

( s  3) 2  25

Determinando a transformada inversa de Laplace dos dois termos do lado direito e usando a propriedade da linearidade, obtemos v( t)  L

1

4 s

2( s  3) ( s  3) 2  25

4

2e

3t

cos ( 5t) para t

0

que é realmente a equação que representa a função mostrada na Figura 14.5-1.

14.6 S o l u ç ã o d a s E q u a ç õ e s D i f e r e n c i a i s q u e D e s c r e v e m u m Circuito Podemos resolver as equações diferenciais que descrevem um circuito usando a transformada de Laplace da variável x(t) e suas derivadas. Para isso, basta fazer o seguinte: 1. Usar as leis de Kirchhoff e as equações constitutivas dos componentes para representar o circuito por um sistema de equações diferenciais.


676

Capítulo 14

i(t)

+

C

v(t)

I(s)

+

1 Cs

V(s)

v(0) s

+ –

I(s) + 1 Cs

Cv(0)

V(s) –

(a)

(b)

(c)

FIGURA 14.7-2  Um capacitor representado (a) no domínio do tempo e (b) no domínio da frequência, usando a transformada de Laplace. (c) Outra representação possível no domínio da frequência.

Explicitando I(s) na Eq. 14.7-5, obtemos (14.7-6)

I ( s ) = CsV ( s ) − Cv(0)

A Eq. 14.7-6 também pode ser usada para representar o capacitor no domínio da frequência, como mostra a Figura 14.7-2c. A ligação de componentes em paralelo na Figura 14.7-2c corresponde à soma de correntes da Eq. 14.7-6. A tensão da impedância da Figura 14.7-2c produz a primeira corrente no lado direito da Eq. 14.7-6, enquanto a fonte de corrente da Figura 14.7-2c produz a segunda corrente. Observe que o sentido de referência da fonte de corrente da Figura 14.7-2c foi escolhido de modo a estar de acordo com o sinal negativo da Eq. 14.7-6. No domínio do tempo, um indutor é representado pela equação d v( t)  L i( t) (14.7-7) dt A transformada de Laplace da Eq. 14.7-7 é (14.7-8)

V ( s ) = LsI ( s ) − Li (0)

Para determinar a impedância do indutor, fazemos a condição inicial, i(0), igual a zero. Nesse caso, de acordo com a Eq. 14.7-3, temos Z L ( s)  Ls

como a impedância do indutor. A Eq. 14.7-8 é usada para representar o indutor no domínio da frequência, como mostra a Figura 14.7-3b. A associação de componentes em série na Figura 14.7-3b corresponde à soma de tensões da Eq. 14.7-8. i(t)

+

I(s)

+

I(s) +

Ls L

v(t)

V(s)

Ls – +

Li(0)

V(s)

i(0) s

(a)

(b)

(c)

FIGURA 14.7-3  Um indutor representado (a) no domínio do tempo e (b) no domínio da frequência, usando a transformada de Laplace. (c) Outra representação possível no domínio da frequência.

Explicitando I(s) na Eq. 14.7-8, obtemos

I (s) =

1 i (0) V ( s) + Ls s

(14.7-9)

A Eq. 14.7-9 também pode ser usada para representar o indutor no domínio da frequência, como mostra a Figura 14.7-3c. A corrente que atravessa a impedância da Figura 14.7-2b.


728

Capítulo 15

6

Cossenoide Retificada

5

v(t) V

4 3 2 1 0 tempo, s

FIGURA 15.2-4  Gráfico produzido pelo arquivo de entrada do MATLAB da Figura 15.2-3.

Vamos agora obter outra representação da série de Fourier. Outra forma de escrever a série de Fourier da Eq. 15.2-3 é a seguinte: (a n cos n ω0 t + bn sen n ω0 t) (15.2-9)

f(t) = a0 +

Usando uma identidade trigonométrica, o enésimo termo da série pode ser escrito como uma soma de cossenoides: (15.2-10) an cos n ω 0 t + bn sen n ω 0 t = an cos n ω 0 t + bn cos (n ω 0 t 90 ) Usando fasores, podemos representar o lado direito da Eq. 15.2-10 no domínio da frequência. Convertendo da forma retangular para a forma polar, obtemos 90 = an

an 0 + b n

em que

=

jbn = cn θn

(15.2-11)

=

e

an = cn cos θn

e

bn

cn sen θn

De volta ao domínio do tempo, a cossenoide correspondente é cn cos (n w0t + qn) Definindo c0 como

(15.2-12)

c0 = a0 = valor médio de f (t )

a série de Fourier pode ser representada como

f(t) = c0 +

cn cos (nω 0 t + θn)

(15.2-13)

Para distinguir as duas formas da série de Fourier, chamamos a série dada pela Eq. 15.2-3 de série de Fourier seno-cosseno e a série dada pela Eq. 15.2-13 de série de Fourier amplitude-fase. Em geral, é mais fácil calcular os coeficientes an e bn do que calcular os coeficientes cn e qn, especialmente quando a função f (t) é simétrica, como vamos ver na Seção 15.3. Por outro lado, a série de Fourier baseada nos coeficientes cn é mais conveniente para calcular a resposta estacionária de um circuito linear a uma entrada periódica.


Série de Fourier e Transformada de Fourier

729

E x e m p lo 15 . 2 - 2  Série de Fourier de uma Forma de Onda Pulsada Determine a série de Fourier da forma de onda pulsada da Figura 15.2-5.

Solução

1o passo: De acordo com a Figura 15.2-5, o período de v(t) é T=

π s 10

v (t), V 5

t, s π 10

π 40

π 8

FIGURA 15.2-5  Forma de onda pulsada.

A frequência fundamental é ω0 =

2π = 20 rad/s T

2o passo: No período de 0 a p/10, a forma de onda da Figura 15.2-5 é dada por 5 para 0 v(t) =

π 40 π t 10

t

π 40

0 para

3o passo: Vamos agora calcular os coeficientes de Fourier a0, an e bn. O coeficiente a0 é o valor médio de v(t): a0 =

e

área sob a curva para um período um período, T

=

5

π 3π + 0 40 40 π 10

= 1,25 V

Analogamente,

Resumindo,

a0 = 1,25, an =

5 nπ sen nπ 2

e bn =

5 1 nπ

cos

nπ 2

(15.2-14)

4o passo: Substituindo os coeficientes a0, an e bn da Eq. 15.2-3 por seus valores, dados pela Eq. 15.2-14, temos:

v (t) = 1,25 +

5 nπ

sen

nπ cos(20 nt) + 1 2

cos

nπ 2

sen(20nt)

(15.2-15)

Errata Dorf – Introdução aos Circuitos Elétricos 9ª Edição/2016 – 1ª Impressão  

Errata/ Dorf – Introdução aos Circuitos Elétricos 9ª Edição/2016 – 1ª Impressão As correções da 3ª impressão, 9ª edição estão destacadas nas...

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