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SOLUCIONARIO PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) MATEMĂ TICAS II SEPTIEMBRE 2009 OPCIĂ“N A

MATEMà TICAS II. OPCIÓN A EJERCICIO 1: Dada la matriz:             se pide: a) (1,25 puntos). Determinar los valores del paråmetro m para los cuales la matriz M es invertible. La inversa de una matriz se define: • •





 ||

Para realizar este ejercicio vamos a la segunda definiciĂłn, por lo que para que M sea invertible el determinante de M debe ser distinto de cero. Luego M serĂĄ invertible para todos aquellos valores de m que hagan que no se anule el determinante de M. Para ello lo que hacemos es ver quĂŠ valores de m anulan el determinante:  | |   0

1 1 1

2 2    1 1  1 2 0  2  1  0 1 2  1 2   1 1   1

   2  2    2  2  2  1  0  

2  0    0 10 1

SoluciĂłn: M serĂĄ invertible para  !  #  ! 

b) (0,5 puntos). Determinar los valores del paråmetro m para los cuales la matriz M25 es invertible. Aplicando la propiedad que nos dice que si A y B son dos matrices cuadradas de orden n, det(A¡B)=det(A)¡det(B), podernos decir que: det'(   det' ' ‌ '  det' det' ‌ det'  *det '+(

Luego para que M25 sea invertible se tiene que cumplir que | |( ! 0.

SoluciĂłn: M25 serĂĄ invertible para  !  #  ! 

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c) (1,25 puntos). Para m = -1 calcular, si es posible, la matriz inversa M-1 de M. Lo primero que hacemos es comprobar si para m=-1 el determinante de M es distinto de cero. 1 | |  1 0

1 1 1

2 2   1 1 1  1 2 0  2 1 1  0 1 2  1 2 1  1 1 1  1

 1  2  2  1  1  2  2  1  4

Una vez que ya hemos comprobado que para m=-1 M es invertible, entonces calculamos la inversa. Como bien hemos dicho anteriormente tenemos dos procedimientos para calcular la matriz inversa. FORMA 1: 

 ||

1 1 0 Obtenemos la traspuesta -   1 1 1 2 2 1 Obtenemos los adjuntos:

 1 . /

1 1 /  1 1  2  1 2 1

  1. / 0  10. /

  1 . /

1 0 /  1 1  1 1 1

1 1 /  1 1  2  3 2 1

  1. / 0  10. / 0  1 .0 /

1 0 /  1 1  1 2 1

1 0 /  1 1  1 2 1

1 0 /  1 1  1 1 1

1 1 /  1 2  2  4 2 2

0  1.0 /

00  10.0 /

1 1 /  1 2  2  4 2 2 1 1 /  1 1  1  0 1 1

1 3 4 234 -    1 1 4 1 1 1

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FORMA 2:  2 Escribiendo  3 ? 2 1 1 2 1 1 2  3 ? 0 1 1

2  3  2?  B2  3  2? 3?

; = @

1 3 1 3 4  1  1 1 4 7 4 4 : 234  1 1   1 1 1  6  19 | | 4 6 4 4 9 1 1 5 4 4 08

; = @

< > ; debe ser  , luego A

< 1 >   0 A 0

;  =  2@ ;  =  2@ =@

0 0 1 0  0 1

<  >  2A 1 <  >  2AC  0 >A 0

0 0 1 0 0 1

Hay que resolver tres sistemas de ecuaciones, uno para a,d,g; otro para b,e,h y otro para c,f,i: 2  3  2?  1

D2  3  2?  0  E=FG2HF I2 1ÂŞ K I2 2ÂŞ =<L2<AĂłN K H;G=N=HF  4?  1  ?   O 3?  0

3= I2 3ÂŞ F2I= 3  ?  3  O K FLFGAGLK=N3H 2;2F =N I2 1ÂŞ =<L2<AHN H;G=N=HF 2   O

;  =  2@  0

D;  =  2@  1  E=FG2HF I2 1ÂŞ K I2 2ÂŞ =<L2<AĂłN K H;G=N=HF  4@  1  @  O =@ 0

3= I2 3ÂŞ F2I= =  @  =   O K FLFGAGLK=N3H 2;2F =N I2 1ÂŞ =<L2<AHN H;G=N=HF ;  O

<  >  2A  0 P<  >  2A  0  E=FG2HF I2 1ÂŞ K I2 2ÂŞ =<L2<AĂłN K H;G=N=HF  4A  0  A  0 >A 1

0

3= I2 3ÂŞ F2I= >  1  A  >  1 K FLFGAGLK=N3H 2;2F =N I2 1ÂŞ =<L2<AHN H;G=N=HF <  1

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7 Solución:    6 5



 Q



 Q  Q

R Q



 Q

 Q



: 9 

8

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EJERCICIO 2: Dada la funciĂłn: VW  XT  YT Z[   XT \ 0 K ] ! 0 T ST  U   Z[ T    se pide: a) (1,5 puntos). Hallar los valores de los parĂĄmetros a, b para los cuales la funciĂłn f es continua en x = 0. Se dice que una funciĂłn es continua en un punto de abscisas c cuando se cumple que:

limaec

VW.XT YT T

lim >]  limd >]  ><

ab c

 e ÂĄIndeterminaciĂłn! e

ab

Para quitar esta indeterminaciĂłn debemos aplicar la Regla de Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital, la cual dice: Sean f y g dos funciones derivables en intervalos de la forma (p-δ, p) y (p, p+δ). > i ] >] , G2;AĂŠN =]AFG= lim , K F= GA=N= i ag ? ] ag ?]

Si lim >]  0 , lim ?]  0 K =]AFG= lim ag

ag

> i ] >] lim i  lim ag ? ] ag ?]

Luego aplicando Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital obtenemos: kA 2 ! ;

2 IN1  2]  ;] 1  2]  ;  lim 2  ;  2;]  2  ;  â&#x2C6;&#x17E; kA 2 m ; limc  lim ae aec aec 2]1  2] â&#x2C6;&#x17E; kA 2 \ ; 0. ] 2] 2 IN1  2]  ;] 1  2]  ;  lim 2  ;  2;]  2  ;  â&#x2C6;&#x17E; kA 2 m ; limd  lim  ae aed 2]1  2] â&#x2C6;&#x17E; kA 2 \ ; ] d 2] 0. ae

Luego si 2 ! ; la funciĂłn no es continua para x=0

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kA 2  ;

X

Y

limaec cXT T Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital.

 limaec

X Y XYT T.XT



e ec

ÂĄIndeterminaciĂłn!,

entonces

volvemos

a

aplicar

2 ; IN1  2]  ;] 2  ;  2;] 2; 2; 2  1 1  2] limc  lim  lim  lim      2  1 ae aec aec 2]1  2] aec 2  42] ] 2] 2 2 2 limd

ae

2 ; IN1  2]  ;] 2  ;  2;] 2; 2; 2  1 1  2]  lim  limd  limd      2  1  d ae ae ae ] 2] 2]1  2] 2  42] 2 2 2

2;1 nL=?H  2  ;  1

SoluciĂłn: para que f sea continua en x = 0, entonces a=b=1 Ăł a=b=-1

b) (1,5 puntos). Para a = b = 1, estudiar si la funciĂłn f es derivable en x = 0 aplicando la definiciĂłn de derivada. Para realizar este ejercicio debemos tener en cuenta: â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Para que una funciĂłn f(x) sea derivable en un punto p, dicha funciĂłn debe ser continua en p y deben existir las derivadas laterales en p y ser iguales. Para una funciĂłn f(x) definida en un intervalos que contiene a p, se define la derivada de f en el punto de abscisas p como > i o  limpe existe y es finito.

f 0  limpe i

stuvcvwcxydvwcx v { | z wcxz

p

volvemos a aplicar Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital.

 limpe

 }~ .p p.p z p p z

qg.p qg p

cuando ĂŠste lĂ­mite

 e ÂĄIndeterminaciĂłn!, entonces e

lnu1  10  @y  10  @ 1 ln1  @  @ 1  { 2|  { 2|   0  @ @ lim  lim  pe pe @ @

2ln1  @  2@ @ 2    2  2@ 2 ln1  @  2@  @  1  @ 2@ 2@  lim  lim  lim   pe pe pe @ @ 2@ 6@

2  21  h  2h1  h 2  2  2@  2@  2@ 2@ 0 1@  lim  lim  lim    0  pe pe pe 6@  6@ 6@ 1  @6@ 0 Resuelto por: Ana Isabel Aparicio Cervantes, Araceli Arjona MuĂąoz y Carmen de la Llave Peral http://ticmatec.blogspot.com/ PĂĄgina 6 de 9


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ÂĄIndeterminaciĂłn!, entonces volvemos a aplicar Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital. limpe

p z Â&#x201A;p Â&#x192; .Â&#x201A;pz

Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital.

 limpe Â&#x201E;pz

Op . p

 ÂĄIndeterminaciĂłn!, entonces volvemos a aplicar e e

2@ 4@ 4 4 1  lim  lim   0   pe 6@  6@ pe 18@  12@ pe 36@  12 12 3 lim

Pero si cogemos la funciĂłn >0    y la derivamos nos queda que > i 0  0 Como nos queda que Â&#x2020;

> i 0  0

> i 0  0

entonces diremos que f(x) no es derivable en x=0

SoluciĂłn: f(x) no es derivable en x=0

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EJERCICIO 3: Dadas las rectas: Â&#x2021; Â&#x2C6;     X; Z Â&#x2C6; T

#

Â&#x2030;

T R Y

  # 

Â&#x2030; R 

determinar los valores de los parĂĄmetros a, b para los cuales las rectas r, s se cortan perpendicularmente. Entendemos que dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman un ĂĄngulo de 90Âş. Lo primero que tendremos que hacer entonces es obligar a que estas dos rectas se corten. Para ello se debe cumplir que rango(Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2039; , Â&#x160;Â&#x152;Â? , Â?Â?Â?Â?Â? Â&#x17D;Â&#x2039; Â&#x17D;Â? )=2, es decir el determinante de A tiene que ser igual a cero. Si tenemos que

Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2039;  1,2, 2 y Â&#x17D;Â&#x2039;  0,0,0

Â&#x160;Â&#x152;Â?  ;, 1, 1 y Â&#x17D;Â?  3,0,3

Â?Â?Â?Â?Â? Â&#x17D; Â&#x2039; Â&#x17D;Â?  3  0, 0  0, 3  0  3,0,3 1 |'|  2 2

; 3 1 0=1¡1¡3+b¡0¡a+3¡2¡3-3¡1¡a-(-1)¡0¡1-3¡2¡b=3+18-3a-6b=21-3a-6b=0 (Ec.1) 1 3

Por otro lado tendremos que obligar a que ambas rectas formen un ĂĄngulo de 90Âş. Para ello debemos tener en cuentas que â&#x20AC;&#x153;Dos vectores no nulos son perpendiculares su y solo si su producto escalar es igual a ceroâ&#x20AC;?. Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2039; Â&#x160;Â&#x152;Â?  1 ;  2 1  2 1  ;  2  2  0 (Ec.2) Resolvemos el sistema de ecuaciones:

5 21  3a  6b  0 2  2;  7  FA FL2HF 2;2F H;G=N=HF 3;  5  ;   ;22 0 2  ;  2 3

FLFGAGLK=N3H =N I2 2Âş =<L2<AĂłN H;G=N=HF  2 

5 5 5  6 11  2  2   2   3 3 3 3

SoluciĂłn: para que r y s se corte perpendicularmente X 

 R

yYR

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Â&#x2022;


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EJERCICIO 4: Dado el plano Â&#x2013; Â&#x2C6; T  #  Â&#x2030;     hallar las ecuaciones de los planos paralelos a Ď&#x20AC; que se encuentran a 3 unidades de Ď&#x20AC;.

Para realizar este ejercicio debemos tener en cuenta: El plano Ď&#x20AC; va a tener dos planos paralelos a una distancia de 3 unidades. La distancia entre dos planos paralelos se puede calcular como la distancia existente entre un punto arbitrario de uno de ellos al otro plano.

Si P(x,y,z) es uno de los puntos buscados, verifica

decir |2]  K  2Â&#x153;  1|  9

|a Â&#x2014;.Â&#x2DC;. |

Â&#x2122;z . z .z



|a Â&#x2014;.Â&#x2DC;. | â&#x2C6;&#x161;O. .O



|a Â&#x2014;.Â&#x2DC;. | â&#x2C6;&#x161;Â&#x203A;

 3, es

Como un nĂşmero y su opuesto tienen el mismo valor absoluto se tienen dos posibilidades: 2]  K  2Â&#x153;  1  9 Â&#x17E; 2]  K  2Â&#x153;  1  9

SoluciĂłn: Las ecuaciones de los dos planos paralelos a Ď&#x20AC; que se encuentra a 3 unidades de Ď&#x20AC; son: Â&#x2013;i Â&#x2C6; T  #  Â&#x2030;  Â&#x;  

Â&#x2013;ii Â&#x2C6; T  #  Â&#x2030;    

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Matemáticas II Solucion A