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PAU - SEPTIEMBRE 2009 MATEMÁTICAS II - OPCIÓN A

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. OPCIÓN A EJERCICIO 1: (Puntuación máxima: 3 puntos) Una carpintería vende paneles de contrachapado de dos tipos A y B. Cada m2 de panel del tipo A requiere 0,3 horas de trabajo para su fabricación y 0,2 horas para su barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 4 euros. Cada m2 de panel del tipo B requiere 0,2 horas de trabajo para su fabricación y 0,2 horas para su barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 3 euros. Sabiendo que en una semana se trabaja un máximo de 240 horas en el taller de fabricación y de 200 horas en el taller de barnizado, calcular los m2 de cada tipo de panel que debe vender semanalmente la carpintería para obtener el máximo beneficio. Calcular dicho beneficio máximo.

Este ejercicio hace referencia al tema de programación lineal, los pasos a seguir para resolver este tipo de problemas son los siguientes:

PASO 1: Recogemos los datos del enunciado en una tabla. TIPO A

TIPO B

Horas de fabricación

0,3

0,2

Horas de barnizado

0,2

0,2

PASO 2: Definimos las variables que vamos a utilizar. Sea: 

x: número de m2 de panel de tipo A



y: número de m2 de panel de tipo B

PASO 3: Definimos la función objetivo. ,   4 3 PASO 4: Escribimos las restricciones.

0,3 x + 0,2 y ≤ 240 0,2 + 0,2 y ≤ 200   x ≥ 0  y ≥ 0

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PASO 5: Dibujamos la región factible.

PASO 6: Calculamos los vértices del área factible.

A(0,1000) B (800,0) C (0,0) D (400,600)

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PASO 7: El máximo y el mínimo de la función beneficio, se alcanzaran en los vértices de la área factible. Sustituimos los puntos hallados en el paso anterior en la función beneficio. 

F (0,1000) = 3000



F (800,0) = 3200



F (0,0) = 0



F (400,600) = 3400

Solución: El máximo beneficio se alcanzará para 400 paneles del tipo A y 600 paneles del tipo B. Siendo el beneficio obtenido de 3400 euros.

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EJERCICIO 2: (Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

x ≤ −3  2 x + 24 si  2 f ( x) =  x + 9 si − 3 < x ≤ 2 − x + 15 si x>2 

a) Represéntese gráficamente la función f .

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b) HĂĄllese la ecuaciĂłn de la recta tangente a la grĂĄfica de f en el punto de abscisa x = 1 .

La ecuaciĂłn de la recta tangente en el punto de abscisa x 0 es:

y â&#x2C6;&#x2019; f ( x 0 ) = f ' ( x 0 )( x â&#x2C6;&#x2019; x 0 ) Vamos a hallar lo que nos hace falta para completar la ecuaciĂłn: 

f ( x) = x 2 + 9



f (1) = 10



f ' ( x) = 2 x



f ' (1) = 2

Sustituyendo en la fĂłrmula obtenemos: y â&#x2C6;&#x2019; 10 = 2( x â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2021;&#x2019; y = 2 x + 8 SoluciĂłn:   c) CalcĂşlese el ĂĄrea del recinto plano acotado limitado por la grĂĄfica de f y el eje OX. Para calcular el ĂĄrea debemos plantear las integrales de cada tramo de la funciĂłn definiendo lo lĂ­mites de integraciĂłn con anterioridad.

A=

â&#x2C6;&#x2019;3

2

â&#x2C6;Ť (2 x + 24)dx + â&#x2C6;Ť ( x

â&#x2C6;&#x2019;12

â&#x2C6;&#x2019;3

[

15

2

+ 9)dx + â&#x2C6;Ť (â&#x2C6;&#x2019; x + 15)dx = x + 24 x 2

]

2

SoluciĂłn:  

 

3 â&#x2C6;&#x2019;12

2

15

 x3   x2  +  + 9 x  + â&#x2C6;&#x2019; + 15 x  3  â&#x2C6;&#x2019;3  2 2

 , 

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EJERCICIO 3: (Puntuación máxima: 2 puntos) En un cierto banco el 30% de los créditos concedidos son para vivienda, el 50% se destinan a empresas y el 20% son para consumo. Se sabe además que de los créditos concedidos a vivienda, el 10% resultan impagados, de los créditos concedidos a empresas son impagados el 20% y de los créditos concedidos para consumo resultan impagados el 10%. Antes de comenzar a resolver este ejercicio es recomendable hacer un diagrama de árbol:

0,1

Impagado (I)

Vivienda (V) 0,3

0,9 0,2

0,5

Pagado (P)

Impagado (I)

Empresa (E) 0,8 0,1

0,2

Pagado (P)

Impagado (I)

Consumo (C) 0,9

Pagado (P)

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a) CalcĂşlese la probabilidad de que un crĂŠdito elegido al azar sea pagado.

Utilizamos la fĂłrmula de la probabilidad total:

( V ) + P(E )¡P(P E ) + P(C )¡P(P C ) = 0,3¡0,9 + 0,5¡0,8 + 0,2¡0,9

P( P) = P(V )¡P P

SoluciĂłn:   ,  b) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que un crĂŠdito elegido al azar se hay destinado a consumo, sabiendo que se ha pagado?

Para responder a esta pregunta hay que utilizar el teorema de Bayes:

( P)=

PC

( C)

P(C )¡P P P( P)

=

0,2·0,9 0,85 Solución:   , 

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EJERCICIO 4: (Puntuación máxima: 2 puntos) Se supone que el tiempo de una conversación en un teléfono móvil se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 1,32 minutos. Se desea estimar la media de tiempo de las conversaciones mantenidas con un error inferior o igual en valor absoluto a 0,5 minutos y con un grado de confianza del 95%.

a) Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar para llevar a cabo dicha estimación mediante la media muestral.

En este problema hay que utilizar la fórmula que relaciona el error, el intervalo de confianza y el tamaño de la muestra.

E = zα

σ 2

σ  ⇒ n =  zα  n  2 E

2

Nuestros datos son los siguientes: 

E = 0,5



σ = 1,32



z α = 1,96 , este número lo averiguamos teniendo en cuenta el 2

intervalo de confianza del 95%: 

1 − α = 0,95 ⇒ α = 0,025 2



Buscamos en la tabla de la normal a que Z le corresponde

1 − 0,025 = 0,975 ⇒ 1,96 Sustituimos en la fórmula y resolvemos: 2

1,32   n = 1,96  = 26,77 ⇒ El tamaño de la muestra será 27 0,5  

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b) Si se supone que la media del tiempo de las conversaciones es de 4,36 minutos y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que el tiempo medio de las conversaciones de la muestra estĂŠ comprendido entre 4 y 5 minutos?

Lo primero que hay que hacer en este ejercicio es averiguar a que distribuciĂłn normal se asemejan las caracterĂ­sticas de nuestro problema:

N ( Âľ , Ď&#x192; ) donde Âľ es la media dada en el enunciado (4,36) y Ď&#x192; es la desviaciĂłn tĂ­pica que tenemos que hallar para una muestra de 16.

Ď&#x192;=

Ď&#x192; MuestraInicial n

=

1,32 16

= 0,34

Nuestra distribuciĂłn normal serĂĄ: N (4'36,0'34) La probabilidad que queremos calcular es: P (4 â&#x2030;¤ X â&#x2030;¤ 5) pero para poder mirar en las tablas que se adjuntan en el examen primero tenemos que tipificar las variables.

5 â&#x2C6;&#x2019; 4,36   4 â&#x2C6;&#x2019; 4,36 P â&#x2030;¤Z â&#x2030;¤  = P(â&#x2C6;&#x2019; 1.06 â&#x2030;¤ Z â&#x2030;¤ 1,88) = F (1,88) â&#x2C6;&#x2019; F (â&#x2C6;&#x2019;1,06) = 0,34   0,34 = F (1,88) â&#x2C6;&#x2019; [1 â&#x2C6;&#x2019; F (1,06)] = 0,9699 â&#x2C6;&#x2019; 1 + 0,8554 = 0,8253 Siendo Z = N (0,1) SoluciĂłn:       ,  

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