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ESPOL ‐ FEN  Deber # 1 de Econometría I  Mayo del 2011 – Eco. Efraín Quiñónez J.    Sección I. Resuelva los siguientes ejercicios    Ejercicio 1 (Modelo sin pendiente).‐  Dado un modelo de la forma  Yi = α + μ i  en el cual μi corresponde al error aleatorio. Demuestre que la estimación  de mínimos cuadrados ordinarios del intercepto es  αˆ MCO = Y , donde  Y es el promedio muestral de los datos.  Ejercicio 2 (Varianza del intercepto).‐  Considere un modelo  Yi = β1 + β 2 X i + μ i  en el cual μi corresponde al error aleatorio que cumple con los supuestos 

⎛ ⎞ X i2 ∑ 2⎜ ⎟    ˆ ˆ clásicos. Determine que la expresión para la varianza del intercepto  β1 es  Var ( β1 ) = σ ⎜ n∑ ( X − X ) 2 ⎟ i ⎝ ⎠

Ejercicio 3 (Residuos heterocedásticos).‐  En  un  modelo  Yi = βX i + μ i   en  el  cual μi corresponde  al  error  aleatorio  que  cumple  con  los  supuestos  clásicos.  Determine que los residuos ( μˆ i ) tienen, al igual que el error, valor esperado igual 0, pero son heterocedásticos, ya 

⎛ ⎜ ⎝

que la varianza se define como  Var ( μˆ i ) = σ 2 ⎜1 −

X i2 ∑ X i2

⎞ ⎟  ⎟ ⎠

Ejercicio 4 (Varianza de la pendiente).‐  Suponga  un  modelo  sin  constante  Yi = βX i + μ i   en  el  cual μi corresponde  al  error  aleatorio  que  cumple  con  los  supuestos clásicos. Determine que la  Var ( βˆ ) =

σ2

∑X

2 i

 

Ejercicio 5 (Covarianza de estimadores).‐  Derive la expresión para calcular la covarianza entre el estimador de la pendiente y la constante  Cov(αˆ ; βˆ )   Ejercicio 6 (Linealidad de los modelos).‐  De los siguientes modelos. ¿Cuáles son modelos de regresión lineales? En los que no son lineales, ¿existe forma de  aplicar transformaciones que los vuelvan lineales? 

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Ejercicio 7 (Modelo en desviaciones con respecto a la media).‐  Demuestre  que  el  modelo  Yi = αˆ + βˆX i + μˆ i ,  se  puede  rescribir  de  la  forma  yi = βˆxi + μˆ i ,  donde  las  variables  minúsculas  corresponden  a  los  datos  originales  medidos  en  desviaciones  con  respecto  a  las  media  (usando  xi = X i − X  y  yi = Yi − Y ). Observe que el intercepto desaparece en la segunda expresión.  Ejercicio 8 (Cambio de Escala).‐  Suponga  que  en  un  modelo  Yi = β1 + β 2 X i + μ i   en  el  que  se  obtienen  las  estimaciones  de  la  pendiente  y  la  constante, los datos de la variable independiente son multiplicados por una constante λ. ¿Cómo afecta este cambio  de valores a las estimaciones de MCO? ¿Qué hubiese ocurrido si el cambio se aplica tanto a la variable dependiente  como  a  la  independiente?  En  el  segundo  caso,  ¿existen  modificaciones  en  los  valores  ajustados  de  la  variable  explicada? ¿Se logra incrementar el R cuadrado con este tipo de transformaciones?     Ejercicio 9 (Regresión sobre valores ajustados).‐    Indique si la siguiente afirmación es correcta: Al hacer una regresión de la Yi observada sobre la Yi   estimada el valor  de la intersección y de la pendiente que se estima por mínimos cuadrados serán 0 y 1 respectivamente.    Ejercicio 10 (Independencia entre los residuos y los valores estimados).‐    Demuestre  que  en  un  modelo  de  regresión  lineal  simple,  Yi = αˆ + βˆX i + μˆ i   los  valores  ajustados  Yˆi no  están  correlacionados con los residuos μˆ i , por lo que 

∑ Yˆ μˆ i

i

= 0 . ¿Guarda alguna intuición este resultado? 

  Ejercicio 11 (Coeficiente de bondad de ajuste)    Demuestre  que  en  un  modelo  de  regresión  lineal  simple,  con  constante  y  pendiente,  el  coeficiente  de  bondad  de  ajuste (R cuadrado) coincide con el coeficiente de correlación entre la variable dependiente e independiente, pero  2 elevado al cuadrado (es decir R2 =   ρ xy ). ¿Se cumple esta relación si el modelo no tuviese constante?    Ejercicio 12 (Ejemplo numérico del modelo de regresión lineal simple).‐    Considere los siguientes datos hipotéticos de consumo e ingreso familiar en el año X, expresados en miles de dólares    X  Y  5  8  6  10  10  12    a) Realice un diagrama scatterplot de las variables dependiente e independiente.  b) De acuerdo al gráfico ¿Qué relación se esperaría exista entre estas dos variables?  c) ¿A qué es igual  X   Y  Sxx, Sxy y Syy?  d) Determinar el valor de la constante y la pendiente en un modelo de regresión lineal, estimado por mínimos  cuadrados ordinarios.  e) Realizar el gráfico scatterplot incorporando la recta de regresión estimada. ¿Es bueno el ajuste?  f) Calcular el valor de la suma de los residuos al cuadrado (RSS)  g) Estimar la varianza que presentan los errores del modelo  h) Exprese la descomposición de la varianza total de la variable dependiente (TSS = RSS + ESS)  i) Calcular el valor del coeficiente de determinación (R cuadrado)  j) Demuestre el cumplimiento de las ecuaciones normales del método de mínimos cuadrados ordinarios  k) Determinar los valores de las varianzas de las estimaciones de la constante y la pendiente.  Página 2   


Sección II.‐ Problemas del Libro “Econometría” Segunda Edición. Alfonso Novales   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

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Econometría