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MATEMĂ TICA Financeira

Professor Professor Rafael Rafael Olivieri Olivieri Neto Neto


4. Juros Simples e Compostos


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4. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 4.1 Fluxo de Caixa – Cash Flow

O fluxo de caixa em qualquer situação, seja de uma empresa, de um investidor ou mesmo pessoal, pode ser definido como o conjunto de entradas e saídas de recursos ao longo de um dado intervalo de tempo. Fluxo de Caixa (FC) pode ser representado pelo seguinte Diagrama de Fluxo de Caixa. (+) Entradas em regime de caixa

Linha do Tempo

(-) Saídas em regime de Caixa

O Diagrama do Fluxo de Caixa é um cronograma de pagamentos e/ou recebimentos, que mostra de maneira elucidativa, a quantia e a época dos fluxos de caixa. Consideraremos que as setas para cima indicam valores recebidos (fluxo de caixa positivo) e que as setas para baixo indicam valores pagos (fluxo de caixa negativo).

Valor Presente: O Valor Presente representa o valor do capital investido ou tomado como empréstimo na data inicial do fluxo de caixa. O valor presente líquido é também chamado de Principal, Capital Inicial ou Present Value, Valor Atual, sendo normalmente representado por P, C ou V. Na HP 12C é representado por PV. Convém salientar que o P, C ou V, somente são iguais na data inicial da operação. Após aquela data, resultam em diferentes valores.

Valor Futuro: O Valor Futuro representa o valor do capital em uma data futura, ou seja, posterior a data inicial do fluxo de caixa. Esse valor é também chamado de Montante, Capital Acumulado ou Future Value, sendo representado comumente por M, S ou VF. Na HP 12C é representado por FV. Convém salientar que M, S ou VP somente são iguais na data de vencimento da obrigação. O valor futuro de um empréstimo ou aplicação pode ser calculado no dia seguinte, enquanto o montante irá sempre se referir ao valor na data do vencimento. Com relação aos conceitos apresentados, podemos inferir algumas relações básicas em Matemática Financeira e que servem tanto para o regime de juros simples como para o de compostos.

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Portanto

Montante = Principal + Juros Principal = Montante - Juros Juros = Montante - Principal Valor Futuro =

4.2 Juros Simples

4.2.1 Introdução

Podemos dizer que na prática, o regime de juros simples (ou capitalização simples) tem sua utilização no mercado financeiro, restrita a uma pequeno número de aplicações, como por exemplo, as operações de desconto de duplicatas, notas promissórias e no cálculo dos juros para as operações com cheques especiais e contas garantidas, muito embora seja empregado em grande escala nas transações comerciais, principalmente nas micro e pequenas empresas 4.2.2 Aplicando Capitalização Simples

Exemplo 6: Resolução: Afonso comprou 1.000 ações de uma empresa de comunicações pagando R$ 28,55 por cada ação. Depois de 118 dias da data do seu investimento, Afonso verificou que a cotação desta ação era R$ 30,10. Nessa operação, sem considerar os custos de corretagem, temos: a) Foram aplicados R$ 28.550,00 b) Após 118 dias, o valor inicial da operação passou para R$ 30.100,00 Solução: Dados: PV = R$ 28.550,00 FV = R$ 30.100,00

J = R$ 30.100,00 – R$ 28.550,00 = R$ 1.550,00 i = 1.550,00 / 28.550,00 = 0,054291 ou 5,4291%

Para expressar a taxa de juros em porcentagem, multiplicamos a taxa unitária por 100, obtendo-se: i=

J x 100% PV

Nesse exemplo, a taxa de juros será apresentada por 5,4291% aos 118 dias. 6


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Exemplo 7: Qual a taxa de juros cobrada num empréstimo de R$ 100,00 a ser resgatado por R$ 140,00? Solução: Dados: a) Capital Inicial: b) Valor Futuro:

c) Juros: d) Taxa de Juros:

PV = R$100,00 FV = R$140,00

J = 140,00 – 100,00 = 40,00 i = 40,00 / 100,00 = 0,40 ou 40%

A taxa de juros de 40% refere-se ao período da operação não especificada no exemplo. Se o prazo dessa operação for de um mês, a taxa será de 40% ao mês, se for de um ano, a taxa será de 40% ao ano. Normalmente a taxa de juros é definida para certa unidade de tempo, como dia, mês, trimestre, semestre, ano, etc.

Exercícios de aplicação 47: 1) Qual a taxa mensal de juros simples que faz um valor de R$1.000,00, se transformar em um montante de R$1.500,00 depois de decorridos 20 meses?

2.Uma pessoa investe R$ 5.000,00 em um negócio pelo prazo de 2 meses. No final do prazo recebe R$ 5.300,00.Determinar: a) o fluxo de caixa do indivíduo.

b) os juros recebidos.

c) a taxa de juros do negócio.

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3) A publicitária Maria de Fátima aplicou um capital total de R$23.500,00 + jpmf (juros pagos à Maria de Fátima, que recebeu de um empréstimo de R$ 10.000,00 dado para seu marido pelo prazo de 5 meses, cobrando uma taxa de 3% ao mês). Em seguida, aplicou a totalidade do capital, durante 7 meses, a qual lhe rendeu R$ 7.875,00. Pergunta-se: a) Qual o total do Capital aplicado?

b) Qual a taxa correspondente aos juros recebidos?

4) Um empréstimo de R$ 23.000,00 é liquidado por R$ 29.200,00 no final de 152 dias.Qual é a taxa mensal de juros?

5) Calcule quanto tempo deve esperar um investidor para dobrar seu capital se o mesmo está aplicado a 1,25% a.m.?

6) Um negociante, para fazer frente aos pagamentos de pedidos colocados, necessitará de R$25.000,00 no fim de 2 meses e de R$20.000,00 três meses depois. Dispondo de reservas, gostaria de aplicá-las a fim de reduzir seus custos. Com esse objetivo, quanto deverá aplicar em uma instituição financeira que paga uma taxa de juros simples de 36% a.a. para que possa retirar as quantias acima em suas respectivas épocas sem deixar saldo final?

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7) Uma pessoa tem os seguintes compromissos: R$ 2.000,00 com vencimento para 3 meses; R$ 2.500,00 com vencimento para 8 meses e R$ 1.000,00 com vencimento para 13 meses. Deseja trocar esses débitos por dois outros iguais de hoje a 10 e 15 meses.Qual o valor desses pagamentos para uma taxa de juros simples de 2% a.m.?

8) Um investidor aplicou um capital à taxa simples de 40% a.a. Depois de 18 meses resgatou o principal e seus juros e aplicou o total a 60% a.a. linear pelo prazo de 10 meses retirando, no final desse prazo, a quantia de R$ 24.000,00. Determinar o valor da aplicação inicial.

9) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 2.000,00 à taxa simples de 5% am. Algum tempo depois, conseguindo quem lhe emprestasse R$3.000,00 à taxa linear de 4,5% a.m., contrai este novo empréstimo e, na data, líquida o débito anterior. Decorridos 21 meses da data do primeiro empréstimo, o devedor liquida o segundo débito e observa que pagou um total de R$ 2.555,00 de juros nas duas operações. Pede-se: indicar os juros e os prazos de cada um dos empréstimos.

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10) Uma dívida de R$ 500.000,00 vence de hoje a 20 meses à taxa de 6% a.m. Decorridos 8 meses propõe o devedor pagar R$ 200.000,00 de imediato, R$ 150.000,00 cinco meses após e o saldo após mais 2 meses. Se por ocasião da proposta a taxa de juros simples corrente no mercado é de 60% a.a., pede-se: indicar o valor do saldo, tomando-se como data focal o final do 15º mês.

11) Um investidor aplica metade de seu capital a juros simples de 81% a.a. durante 2 anos e 6 meses e a outra metade pelo prazo de 3 anos, 4 meses e 16 dias à taxa linear de 85% a.a., obtendo um rendimento total de R$ 220.325,00. Determinar o capital investido.

12) Determinada mercadoria é oferecida à vista por R$ 15.000,00 ou com 20% de entrada e um pagamento de R$13.620,00 ao fim de 45 dias. Determinar a taxa de juros cobrada expressa em termos lineares mensais.

13) Ao aplicar R$ 7.500,00, um investidor resgatou R$ 10.336,50 após 183 dias. Determinar a taxa mensal de juros simples auferida.

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14) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de R$ 2.000,00 à taxa simples de 5% a.m. pelo prazo de 150 dias. Se após 99 dias o devedor propõe liquidar sua dívida, quanto pagaria se nesta ocasião a taxa de juros simples corrente fosse de 4,5% a.m.?

15) Determinar o valor de um pagamento feito hoje que à taxa de 42% a.a. liquidaria dois débitos de valores nominais de R$ 110.000,00 e R$ 85.000,00 com vencimento para 6 e 8 meses e 19 dias respectivamente?

16) Uma pessoa ao comprar um apartamento cujo preço à vista é de R$ 60.000,00, deu 20% de sinal concordando em pagar 8% a.m. de juros simples sobre o saldo devedor. Se o comprador pagar R$ 20.000,00, 2 meses após a compra e R$ 28.000,00 3 meses mais tarde, que pagamento teria que efetuar no fim de 9 meses, contados da data da compra?

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4.3 Conceito de Juros Compostos

No regime de capitalização composta, os juros relativos a cada período, são calculados tomando-se como base, o saldo do período imediatamente anterior. Este saldo por sua vez, já é resultante da incorporação de juros determinados com base no intervalo de tempo a que se refere o período de capitalização, formando um novo montante sobre o qual então os juros serão calculados e assim por diante. Do ponto de vista conceitual, o regime de juros compostos é tecnicamente superior ao de juros simples, principalmente pela forma como os prazos e as taxas empregadas em uma operação são convertidas para períodos fracionados, resultando em valores equivalentes que podem ser apurados em qualquer data e retratando de forma mais apropriada o real ganho ou custo, em uma operação financeira.

No regime de capitalização composta, os juros incidirão sobre o saldo existente em cada período. Considerando-se que o conceito de montante não muda, ou seja, montante é igual ao capital inicial acrescido de juros, outra forma de interpretarmos a referida definição, seria: O regime onde os Juros de cada período incidem sobre o montante acumulado no período anterior. A taxa varia exponencialmente em função do tempo. Sendo J = Juros PV = Capital Inicial FV = Valor Futuro ou Montante i = Taxa de Juros n = Prazo

Então a lei é dada por:

FV = PV(1=i) n

Exemplo 8: Calcular o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00 pelo prazo de 6 meses, à taxa de 3% ao mês. Dados: PV = 15.000,00 n = 6 meses i = 3% a.m.

pela HP 12C

Solução: FV = 15.000,00 x (1+ 0,03) 6 = 17.910,78

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Exemplo 9: Uma loja de Departamentos financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.000,00 sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$22.753,61, no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?


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Solução: Dados: FV = 22.753,61 PV = 16.000,00 n = 8 meses

FV = PV (1 + i) n pela HP 12C 22.753,61 = 16.000,00 (1+ i)8 1,42210 = (1 + i)8 = 1,42210 ( ( 1+ i)8) ^ (1/8) = 1,42210 ^ (1/8) 1 + i = 1,41210 ^ (1/8) = 1,04500 i = 1,045 – 1 = 0,045 i = 4,5% a.m.

4.4 Comparação entre os Regimes de Capitalização Simples e Composta

Exemplo 10: Uma pessoa empresta a um parente a quantia de R$ 10.000,00 por 5 meses à taxa de 70% a.a., no regime de juros compostos.O parente repassa a mesma quantia, e nas mesmas condições, a outro amigo, agora no regime de juros simples. Determinar quem e quanto perderá. Solução: Analisemos inicialmente, o empréstimo da pessoa a seu parente. Sendo o regime de juros compostos, o montante que a pessoa receberá do parente é expresso por:

FV 1 = PV (1+ i)n

Sendo: 5 PV = 10.000,00 i = 0,70 a.a. n = 5 meses = ano tem-se 12 (montar imagem) pela HP 12C

Analisemos agora, o empréstimo do parente a seu amigo. Sendo o regime de juros simples, o montante que o parente receberá do amigo é expresso por: Sendo: PV = 10.000,00 i = 0,70 a .a. n = 5 meses = 5/12 ano

FV 2 = PV (1 + n x i)

nas mesmas condições anteriores, segue

FV 2 = 10.000,00 (1 +

5 12

.0,70) = R$12 916,67

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4.5 Equivalência de Taxas

Duas taxas expressas em períodos diferentes são equivalentes, quando aplicadas sobre um mesmo capital inicial e num mesmo intervalo de tempo, produzirem o mesmo montante. Diz-se que taxa mensal im é equivalente a taxa anual ia quando: P ( 1 + ia ) = P ( 1 + im ) 12 ou:

(1 + ia ) = (1 + im ) 12 isolando-se ia: ia = (1 + im ) 12- 1 para se obter im 1 im = (1 + ia ) ^ ( 12 )-1

Fórmula genérica:

Iq Taxa para o prazo que eu quero It Taxa para o prazo que eu tenho q Prazo que eu quero t Prazo que eu tenho

q

iq = (1 = it) 1 – 1

Exemplo 11: Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. Solução: Dados: it = 0,02 t = 1 mês q = 12 meses iq iq iq iq iq

= = = = =

( 1 + it ) ^ ( q/t ) – 1 (1 + 0,02 ) ^ (12/1) – 1 1,02 ^12 – 1 1,2682 – 1 0,2682 ou 26,82 % a.a.

pelo programa

Exemplo 12: Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. Solução: Dados: it = 0,60103 14

t = 12 meses q = 1 mês


Solução: iq = iq = iq = iq = iq =

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(1 + it) ^ (q/t ) – 1 ( 1 + 0,60103 ) ^ (1/12) - 1 1,60103 ^ (1/12) - 1 1,04 – 1 0,04 ou 4% a.m.

pelo programa

Exercícios de aplicação 48: 1) Calcular o montante (FV) produzido por R$ 5.000,00, aplicados em regime de juros compostos a 3% ao mês, durante 4 meses. PV = 5.000,00 n = 4 meses i= 3% ao mês FV = ?

2) Calcular o tempo necessário para se obter o montante (FV) de R$ 368.000,00, aplicando-se um capital (PV) de R$ 200.000,00 a taxa de 5% ao mês. PV = 200.000,00 FV = 368.000,00 i = 5% ao mês n=?

3) Determinar a taxa mensal de juros de uma aplicação de R$ 200.000,00 que gerou um montante (FV) de R$ 317.374,84, ao final de um semestre. PV = 200.000,00 n = 1 semestre 6 meses FV = 317.374,84 i=?

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4) Calcular o montante (FV) produzido pela aplicação (PV) de R$ 10.000,00, durante 75 dias, a uma taxa de 20% ao mês no regime de capitalização composta. PV = 10.000,00 n = 75 dias 2,5 meses i = 20% ao mês

5) No final de dois anos, o Sra. Maria Cristina deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00 referente a um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Qual o valor emprestado?

6) Em que prazo um empréstimo de R$ 30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao mês?

7) Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 10.000,00, pelo prazo de 7 meses, a uma taxa de 3,387% ao mês.

8) A que taxa um capital de R$ 43.000,00 pode ser dobrado em 18 meses?

9) Que quantia deve ser aplicada num banco que paga a taxa de juros compostos de 15% a.m.para se obter R$1.000.000,00 ao final de 15 meses?

10) Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442 % ao dia.

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11) Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos.

12) Determinar a taxa anual equivalente a 1% à quinzena.

13) Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano.

14) Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês.

15) Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre.

16) Determinar o FV para a capitalização composta de R$ 10.000,00, em 5 meses, com taxa de 70% ao ano.

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5. Descontos

5.1 Introdução

Ao se fazer uma aplicação de capital com vencimento predeterminado, obtém-se um comprovante de aplicação que pode ser, por exemplo, uma nota promissória ou uma letra de câmbio. Caso o aplicador necessite do dinheiro, antes de concluir o prazo da aplicação, deve voltar à instituição cedente, transferir a posse do título e levantar o principal e os juros já ganhos. Assim, em qualquer operação financeira, seja uma aplicação de recursos, ou uma operação de captação de valores, sempre existe um valor determinado, a ser resgatado na data de vencimento. Esse valor, também chamado de valor nominal, representa em outras palavras, o montante da operação. Uma operação de liquidação de um compromisso antes de seu vencimento, via de regra, envolve o recebimento de um prêmio ou desconto pela participação do pagamento que de outra forma somente ocorreria na data de vencimento.

Nesse sentido, o desconto pode ser definido como um abatimento recebido ou concedido quando o pagamento por um título é antecipado. As operações de desconto são praticadas no mercado, tanto no regime de juros simples quanto no de compostos. No entanto, é praxe de mercado a utilização de descontos calculados com base em juros simples, para operação de curto prazo e de juros compostos para as operações de longo prazo. A chamada operação de desconto, normalmente é realizada quando se conhece o Valor Futuro (FV) de um título (valor nominal, de face ou de resgate) e se quer determinar o seu Valor Atual (PV).O desconto é a diferença entre o Valor de resgate de um título (FV) e o seu valor presente (PV) na data da operação, ou seja: D = FV – PV. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de tempo.

Enquanto no cálculo dos juros a taxa incide sobre o capital inicial (PV), no desconto a taxa do período incide sobre o montante ou Valor Futuro (FV). De maneira análoga aos juros, existem os descontos simples envolvendo cálculos lineares e descontos compostos com cálculos exponenciais. 5.2 Desconto Simples

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Também chamado de bancário ou comercial, é aquele em que a taxa incide sempre sobre o montante ou Valor Futuro (FV). O desconto comercial ocorre quando uma empresa faz um abatimento sobre o valor de face de um título, geralmente devido a antecipação de seu pagamento ou alguma ocorrência com o produto/entrega, etc. Considera-se ainda como desconto comercial, o abatimento que a empresa faz sobre o preço de venda de um produto ou serviço, por ocasião de liquidações ou promoções.


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É utilizado de maneira ampla e generalizada, principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos. D = PV = FV = d(id) = n =

Desconto Capital inicial Valor Futuro Taxa de desconto Prazo ou período

O desconto é obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o vencimento, ou seja:

D = FV x id x n

Para se obter o valor presente, também chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue:

PV = FV - D

Exemplo 13: Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% a.m.? Dados: FV = R$ 2.000,00 id = 0,025 a.m. n = 3 meses D=?

Solução: D = FV .id .n D = 2.000,00 .0,025 .3 = 150,00 FAMíLIA DE SOLUÇÕES

D = FV x id x n PV = FV - D

ou

PV = FV - FV x id x n

Substituindo-se o valor de D, temos

D = FV - PV

PV = FV (1 - id x n)

FV = PV / 1 - id x n 19


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5.3 Desconto Composto

Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro, deduzidos dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. É obtido em função de cálculos exponenciais. Assim, o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos unitários, calculado com base no desconto composto, é dado pela expressão:

PV = FV (1 – id ) n

Para os casos em que a taxa de desconto e o prazo não estiverem na mesma unidade de tempo, é sempre mais fácil alterar o prazo.

Exemplo 14: Uma duplicata no valor de R$ 28.800,00, com 120 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% a.m., de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido. Solução: Dados: FV = R$ 28.800,00 n = 120 dias = 4 meses id = 2,5% a.m.ou 0,025 PV = ? D = ?

na HP 12C

PV = FV (1 – id )n PV = 28.800,00 ( 1- 0,025) ^4 = 26.026,21 D = 28.800,00 - 26.026,21 = 2.773,79

Exercícios de aplicação 49: 1) Uma duplicata no valor de R$ 3.500,00 foi resgatada 45 dias antes do vencimento, à taxa de 3,8% ao mês. Qual o desconto comercial? Qual o valor atual? FV = 3.500,00 id = 3,8% ao mês n = 45/30 meses D=? PV =

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2) Qual o valor do desconto bancário simples de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 38 dias, à taxa de 5,30% ao mês? FV = 2.000,00 id = 5,30% ao mês n = 38/30 meses D=?

3) Uma duplicata no valor de R$ 4.250,00 é descontada por um Banco, gerando um crédito de R$ 4.041,75. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo Banco é de 3,5% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata. FV = 4.250,00 PV = 4.041,75 id = 3,5% ao mês n=?

4) Uma empresa descontou um borderô de R$ 15.000,00 à taxa de 5,5% ao mês. O prazo das duplicatas era de 43 dias e o Banco exigiu reciprocidade de saldo médio correspondente a 10% do valor do borderô. Quais as taxas efetivas mensais da operação, sem e com reciprocidade (o efeito do saldo médio na taxa efetiva mensal em operações de desconto)? FV = 15.000,00 id = 5,5% ao mês n = 43/30 meses Df = ? PV = ? Sem reciprocidade

Com reciprocidade = 1.500,00

PV = ? PV = ? n = 43 dias

FV = 15.000,00

{[(-) ]-1 }.100 30 43

FV = 15.000,00 – 1.500,00 = 13.500,00

{[( ) ] }

Taxa efetiva

-

30 43

-1 .100

Taxa efetiva

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5) Qual a taxa de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?

6) Uma duplicata de R$ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% a.m., determinar o prazo de vencimento da duplicata.

7) Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto de uma duplicata no valor de R$ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% a.m.

8) O desconto de uma duplicata gerou um crédito de R$ 70.190,00 a conta de uma empresa. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até o vencimento e que o banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% a.m. nessa operação, calcular o valor da duplicata.

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9) Dois títulos de valores nominais de R$ 50.000,00 e R$ 80.000,00 vencem respectivamente daqui a 60 e 120 dias. O devedor pretende reformá-los de modo a fazer 2 pagamentos, sendo o primeiro igual ao dobro do segundo, respectivamente daqui a 90 e 180 dias. Qual o valor desses pagamentos se o credor utiliza desconto comercial simples a taxa de 3% a.m.?

10) Um negociante ao descontar comercialmente um título de valor nominal de R$ 5.000,00, seis meses antes de seu vencimento, recebeu líquida, a quantia de R$ 4.400,00. Decorridos dois meses antes de seu vencimento propõe o negociante pagar RS 1.000,00 de imediato e dois meses depois R$ 2.000,00. Pede-se indicar quanto deverá pagar por ocasião do vencimento da dívida segundo as regras do desconto comercial simples.

11) Uma empresa descontou uma nota promissória de R$ 10.000,00 com prazo de 93 dias à taxa de desconto simples de 4% a.m.Um imposto de 0,6% a.m. incidente sobre o valor nominal do título foi exigido por ocasião da liberação do valor líquido. Sabe-se ainda que a empresa manteve um saldo médio de 30% do valor nominal durante a vigência da operação. Pede-se indicar: a) o valor do desconto b) o valor do imposto c) o valor líquido d) o custo do cliente em termos de taxa linear mensal e em termos de taxa equivalente capitalizada anual. e) a rentabilidade do credor, também em termos da taxa linear mensal e equivalente efetiva anual. 23


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12) Uma instituição financeira deseja obter uma rentabilidade real equivalente a 200% a.a. para descontar comercialmente um título pelo prazo de 90 dias à taxa simples de 6% a.m. Indicar o valor do saldo médio a ser mantido pelo devedor durante a vigência do empréstimo, em termos percentuais, a ser calculado sobre o valor nominal do título de modo a permitir a rentabilidade acima.

13) Uma empresa devedora de três títulos de R$ 100.000,00 cada um e cujos vencimentos são hoje e daqui a 2 e 5 meses, deseja substituí-los por um único título com vencimento para 6 meses. Determinar o valor deste título para uma taxa de desconto de 6% a.m. simples com data focal no final de 6 meses.

6. Séries de Pagamentos Uniformes 6.1 Introdução

As séries de pagamentos (séries de prestações, anuidades, renda certa ou sequência de capitais), podem ser definidas como uma sucessão de pagamentos ou recebimentos V 1, V 2, V 3 ... V n, e com vencimentos sucessivos t 1, t 2, t 3 ... t n. Dentro da matemática financeira tradicional, as séries de pagamentos são objeto de uma classificação muito ampla e complexa que, em vez de facilitar o leitor, normalmente o confunde.Para atender à finalidade do nosso curso, vamos desenvolver as séries de pagamentos mais utilizadas no mercado, de acordo com a seguinte classificação: — — — — 24

série série série série

de pagamentos uniformes com termos vencidos ou postecipados. de pagamentos uniformes com termos antecipados. diferida. perpétua.


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6.2 Séries de Pagamentos Uniformes, com Termos Vencidos ou Postecipados

Uma série de pagamentos iguais que ocorrem em datas separadas por intervalos de tempo constantes, é denominada série uniforme de pagamentos. Na prática, é a forma mais comum de pagamentos. Quando as parcelas são realizadas no final de cada intervalo de tempo a série é dita postecipada e, nesse caso, não há pagamento no instante t = 0.

A Calculadora HP-12C está preparada para resolver os problemas que envolvam a série postecipada.Para que a HP-12C efetue os cálculos corretamente é necessário que a função END esteja ativada (acionar as teclas [g] e [END], verificando que a palavra BEGIN NÃO esteja indicada no visor). FV = PMT.

( 1 + i )n - 1 i

O Fluxo de caixa é representado da seguinte forma: PV

0

1

PMT

2 PMT

3 . . . . . . . . . . . . n-1 PMT

PMT

n

t

PMT

Exemplo 15: Um aparelho de som está sendo vendido por R$ 400,00 à vista ou em 5 prestações mensais de R$ 100,00. Calcular a taxa efetiva do financiamento, mensal e anual. PV = 400,00 [f ] [ CLEAR FIN ] n = 5 [g] [ END ] PMT = 100,00 400,00 [ CHS ] [ PV ] i = ? 100,00 [ PMT ] 5 [n] [i] = 7,93 % ao mês

{[(1 + 0,0793) ]-1 }*100 360 30

Na HP 12C i = 149,89 ao ano

25


Matemática Financeira I

6.3 Série de Pagamentos Uniformes com Termos Antecipados

Quando as parcelas são realizadas no início de cada intervalo de tempo a série é dita antecipada e, nesse caso, o primeiro pagamento ocorre no instante t = 0. O fluxo de caixa é representado da seguinte forma: PV

0

1

PMT PMT

2 PMT

3 . . . . . . . . . . . . n-1 PMT

n

t

PMT

A Calculadora HP-12C está preparada para resolver os problemas que envolvam a série antecipada.Para que a HP-12C efetue os cálculos corretamente é necessário que a função BEGIN esteja ativada (acionar as teclas [g] [ BEG ], verificando que a a palavra BEGIN esteja indicada no visor). Exemplo 16: Um bem cujo preço à vista é de R$ 275,00 pode ser adquirido em 4 prestações mensais, sendo a primeira paga no ato da compra (1+3). A taxa de financiamento é de 6,5% ao mês. Determinar o valor das prestações. PV = 275,00 [f ] [ CLEAR FIN ] n = 4 [g] [ BEG ] i = 6,5% ao mês 275 [ CHS ] [ PV ] PMT = ? 4 [n] 6,5 [i] [PMT] = 75,37

6.4 Série Diferida

Quando a primeira parcela só é realizada após transcorridos alguns intervalos de tempo, contados à partir do instante t = 0, a série é dita diferida. O prazo que antecede o início da série de pagamentos é chamado de prazo de diferimento ou prazo de carência. 26


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O fluxo de caixa é representado da seguinte forma: PV 0

1

2.......k

Prazo de Carência

PMT

k+1

PMT

k+2 k+3 ... n-1

PMT PMT PMT

n

1

PMT

Exemplo 17: Uma empresa realiza um empréstimo internacional de US$ 10 milhões à taxa de 12% ao ano. O pagamento será realizado em 10 parcelas anuais, iguais e consecutivas, com uma carência de 4 anos. Determinar o valor de cada parcela, sabendo-se que durante a carência os juros são capitalizados. PV = US$ 10 milhões 0 1

2

3

Prazo de Carência

4

5

6

7

8

9

PMT PMT PMT PMT PMT PMT

10 11 12

13

PMT PMT PMT

PMT

Inicialmente devemos projetar o valor do financiamento para o instante t = 4. PV = US$ 10 Milhões [f ] [ CLEAR FIN ] n = 4 anos 10.000.000 [ CHS ] [ PV ] i = 12% ao ano 4 [n] FV = ? 12 [i] [FV] = US$ 15.735.193,60

Nosso diagrama de fluxo de caixa passa então a ter a seguinte configuração: PV = 15.735.193,60

PMT

PMT

PMT

PMT

PMT

PMT

PMT

PMT

PMT

PMT

27


Matemática Financeira I

PV = US$ 15.735.193,60 [f ] [ CLEAR FIN ] n = 10 anos [g] [ BEG ] i = 12% ao ano 15.735.193,60 [ CHS ] [ PV ] PMT = ? 10 [n] 12 [i] PMT = US$ 2.486.500,08 6.5 Séries Perpétuas

Perpetuidades são anuidades em que os termos componentes são infinitos, ou seja, anuidade tem início, mas não tem fim pré-estabelecido. Existem dois tipos de perpetuidades: 1. Postecipadas - Os termos da anuidade perpétua postecipada ocorrem ao final de cada período a que se referir a taxa de juros considerada. Montante: Como o número de termos é infinito, não faz sentido o cálculo do montante. Valor Atual: P=

R i

2. Antecipadas - Os termos da perpetuidade antecipada ocorrem no início de cada período de tempo a que se referir a taxa de juros considerada. Montante: Não faz sentido calcular o montante com um número infinito de termos. Valor atual: Levando em consideração os conceitos anteriormente vistos, temos: P=

R (i + 1) i

Exemplo 18: Qual o valor a ser depositado hoje em uma instituição financeira de forma a gerar um fluxo contínuo e perpétuo de R$ 2.880,00, sabendo-se que esta instituição oferece uma taxa de juros de 12% a.a. P=

28

2880 = 24000 0,12


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Exercícios de aplicação 50:

1) Quanto terá no final de 4 anos, a Sra. Marisa que aplicou R$ 500,00 por mês, durante esse prazo, em um fundo de renda fixa, à taxa de 3% ao mês.

2) Um empréstimo de R$ 30.000,00 é concedido por um banco para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros é 3,5% ao mês, calcular o valor da prestação.

3) A empresa “Quebra-Galhos” obtém um papagaio (empréstimo) de R$100.000,00 para ser quitado em cinco prestações mensais iguais. Sabendo-se que a primeira prestação tem o seu vencimento 90 dias após a data do contrato e que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 6% ao mês, calcular o valor das prestações.

29


Matemática Financeira I

4) João Jesus (J. J.) necessita de um financiamento de R$ 240.000,00 para completar o valor de compra de um apartamento no bairro da Aclimação -  São Paulo. Além das prestações mensais iguais, J. J. pretende, nos meses de janeiro e julho de cada ano, pagar uma prestação suplementar (extra), visto que recebe gratificações semestrais nestes meses. Sabendo-se que: – o prazo da operação é de 24 meses – o coeficiente utilizado pela construtora para 24 prestações é de 0,05905 – o valor de cada prestação mensal é de R$ 12.000,00 – a taxa de juros cobrada nas prestações suplementares (extras) é a mesma das prestações normais. – o contrato foi fechado em julho e as prestações suplementares são iguais. Pergunta-se: Qual o valor da prestação suplementar?

5) Ao comprar um carro cujo preço à vista é de R$ 15.000,00, uma pessoa ofereceu 30% de sinal e o saldo em 18 prestações mensais. Determinar o valor da prestação, sabendo-se que o vendedor cobra uma taxa de 36% a.a. composta mensalmente.

6) Uma loja de departamentos anuncia que os juros em suas vendas a prazo, em 12 meses, não ultrapassam a 30% do valor das mercadorias à vista. Por exemplo, um completo painel de som, cujo preço à vista é de R$ 1.200,00, é vendido por R$ 360,00 de sinal e 12 prestações de R$ 100,00. Calcular, em termos anuais, a taxa real cobrada.

30


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7) Se uma quantia de R$ 100.000,00 for financiada em 24 prestações mensais à taxa mensal de 2% a.m., calcular o valor de uma comissão de abertura de crédito que permita ao credor auferir uma rentabilidade de 2,5% a.m.

8) Calcular o pagamento uniforme para o período de 5 meses, equivalente a um pagamento de R$ 5.000,00 hoje, R$ 10.000,00 daqui a 8 meses e R$ 3.000,00 pagos no fim de cada mês, durante 10 meses, sendo o primeiro pagamento no fim de 4 meses, para uma taxa de 3% a.m.

9) Ao tomar um financiamento de R$250.000,00 em 24 meses, uma empresa propôs pagar 20% do total da dívida (principal mais encargos) no fim de 12 meses, outros 25% no final de 20 meses e nos demais meses, prestações iguais. Se os credores cobram uma taxa composta de 3% a.m., calcular o valor das prestações e dos pagamentos no 12º e 20º meses.

10) Um investidor possui R$ 150.000,00 depositados em uma conta bancária rendendo à taxa composta de 1% a.m. Pode utilizar esta quantia para a compra de um terreno que poderá revender no fim de 5 anos, com um lucro estimado em 90% sobre o preço de compra.Se durante esse período pagar R$ 120,00 por mês de IPTU, pede-se indicar se o terreno deve ser comprado.

31


Matemática Financeira I

11) A quantia de R$ 600.000,00 deverá ser paga em 20 prestações mensais à taxa de 3% a.m.vencendo-se a primeira 5 meses após a libertação do financiamento, mais 2 pagamentos adicionais de R$ 100.000,00 por ocasião dos vencimentos da 10ª e 20ª prestações. Se é cobrado um imposto de 1% sobre o principal mais juros e exigíveis na liberação do financiamento, calcular o valor da prestação de modo que o financiado receba líquido o valor do empréstimo.

7. Sistemas de Amortização

7.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)

Pelo Sistema Francês de Amortização, o mutuário se compromete a amortizar o empréstimo com prestações constantes e periódicas. Essas parcelas constantes são compostas de juros e amortizações e, à medida que vão sendo pagas, o valor dos juros diminui enquanto a parcela referente a amortização da dívida aumenta. O Sistema Francês de Amortização, também conhecido como Tabela Price, é o mais aplicado pelas instituições financeiras nos financiamentos imobiliários e pelo comércio em geral, através do CDC – crédito direto ao consumidor. Para obtermos o valor da parcela a ser paga, utilizamos a fórmula abaixo: PMT =

PV1 1 - (1+i)-n

Exemplo 19: Elaborar a planilha de pagamentos de um financiamento de R$ 20.000,00, pelo Sistema Francês de Amortização, a uma taxa de juros de 36% ao ano com capitalização mensal, a ser pago em 8 prestações. PV = 20.000,00 PMT = PVx i / 1-(1+i) -n i = 36% ao ano c/capit. Mensal 3% ao mês PMT = 20.000,00 x 0,03 / 1-0,7894... n = 8 parcelas PMT = 600,00 / 0,2106... PMT = ? PMT = 2.849,13

32


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Número da Parcela

Valor da Parcela

0

2.849,13

3

2.849,13

1 2 4 5 6 7

Amortização

Juro sem saldo devedor

Saldo Devedor

2.849,13 2.849,13 2.849,13 2.849,13 2.849,13 2.849,13

8 2.849,13 Usando a HP-12C : Utilizando-se os recursos da calculadora financeira, a planilha acima poderia ser construída da seguinte forma: [f ] [ CLEAR FIN ] 20.000,00 [ CHS ] [ PV ] 3 [i] 8 [n] [ PMT ] 2.849,13

1 [f ] [ AMORT ] 600,00 (Valor correspondente aos juros da primeira parcela) [X Y] 2.249,13 (Valor correspondente a amortização da dívida na primeira parcela) [ RCL ] [ PV ] 17.750,87 ( Saldo devedor após o pagamento da primeira parcela) 1 [f ] [ AMORT ] 532,53 (Valor correspondente aos juros da segunda parcela) [X Y] 2.316,60 (Valor correspondente a amortização da dívida na segunda parcela) [ RCL ] [ PV ] 15.434,27 (Saldo devedor após o pagamento da segunda parcela) ...e assim sucessivamente até a 8ª parcela quando zera o saldo devedor. 7.2 Sistema de Amortização Constante ( SAC ) ou Método Hamburguês

O Sistema de Amortização Constante ( SAC ), também conhecido como Sistema ou Método Hamburguês, foi muito utilizado nos anos 70, pelo então Banco Nacional de Habitação em seus programas de aquisição de “casa própria”.

Da mesma forma que no sistema anterior, o mutuário se compromete a pagar a dívida em prestações periódicas. A diferença é que neste sistema o valor da amortização permanece constante em todos os períodos. Como a amortização é constante e os juros são cobrados pelo saldo devedor, o valor da prestação decresce com o passar do tempo.

33


Matemática Financeira I

Exemplo 20: Elaborar a planilha de pagamentos de um financiamento de R$ 20.000,00, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), a uma taxa de juros de 36% ao ano com capitalização mensal, a ser pago em 8 prestações. PV = 20.000,00 AMORTIZAÇÃO = i = 36% ao ano c/capit.Mensal 3% ao mês 20.000,00 / 8 n = 8 parcelas AMORTIZAÇÃO = 2.500,00 Número da Parcela

Valor da Parcela

0

Amortização

2.500,00

4

2.500,00

3 5 6 7 8

Saldo Devedor

20.000,00

1 2

Juro sem saldo devedor

2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00

8. Técnicas para Análise de Investimentos 8.1 Introdução

Existem muitos métodos para análise de investimentos, desde a pura intuição de administradores competentes, até a fixação de modelos matemáticos sofisticadíssimos. Vamos estudar dois métodos comumente utilizados na avaliação de projetos ou de negócios. São eles: o método do valor presente líquido ( VPL ) e o método da taxa interna de retorno ( TIR ).

Esses métodos são instrumentos utilizados pelos administradores, visando a maximização do retorno dos proprietários sem comprometer a liquidez e sempre procurando reduzir o risco do investimento. As técnicas de avaliação e análise de investimentos tem um norte a ser seguido. É a taxa mínima de atratividade. Dependendo do tipo de análise que se quer fazer, um dos métodos pode ser mais apropriado do que o outro ou simplesmente mais cômodo por envolver menos cálculos. Algumas observações que serão feitas e a prática indicarão como fazer essa escolha. 34


8.2 – Taxa Mínima de Atratividade ( TMA )

Professor Rafael Olivieri Neto

Para concretizarmos um projeto de investimentos, precisamos levar em conta o custo do dinheiro que devemos tomar emprestado ou a rentabilidade do nosso dinheiro aplicado no mercado financeiro. O projeto de investimentos só será interessante se o rendimento que ele produzir for superior à taxa de custo do capital ou à rentabilidade obtida em aplicações de mínimo risco. Entende-se por Taxa Mínima de Atratividade ( TMA ) a taxa mínima a ser alcançada em determinado projeto; caso contrário o mesmo deve ser rejeitado. É, também, a taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa quando se usa o método do Valor Presente Líquido ( VPL ) e o parâmetro de comparação para a Taxa Interna de Retorno ( TIR ). 8.3 Método do Valor Presente Líquido ( VPL )

O método do valor presente líquido, ou, simplesmente, método do valor presente, consiste em calcular o valor presente líquido VPL (ou NPV - Net Present Value) do fluxo de caixa (saldo das entradas e saídas do caixa) do investimento que está sendo analisado, usando a taxa de atratividade do investidor.

Se o valor encontrado VPL for zero, a taxa i de renda do investimento coincidirá exatamente com a taxa i a, de atratividade que foi utilizada. Se o valor encontrado VPL for positivo, esse valor representará quanto a renda do investimento excede a renda esperada de taxa i a, isto é, significa que taxa de renda que o investimento proporciona ultrapassa a taxa de atratividade. Neste caso, o investimento analisado interessa ao investidor. Se o valor encontrado VPL for negativo, esse valor representará quanto falta para que a renda do investimento atinja a renda desejada, isto é, significa que a taxa de renda que o investimento proporciona é menor que a taxa de atratividade. Nesse caso, o investimento analisado não interessa ao investidor. Resumindo :

VPL ou NPV = 0

i = ia

VPL ou NPV < 0

i < ia

VPL ou NPV > 0

i > ia

Para reforçar: Valor Presente Líquido ( VPL ) ou Net Present Value ( NPV ) é um poderoso instrumento para se avaliar propostas de investimentos de capital. Reflete a diferença entre o valor presente das entradas de caixa e o valor presente das saídas de caixa, descontadas pela Taxa Mínima de Atratividade. É considerado

35


Matemática Financeira I

atraente todo o investimento que apresente VPL maior ou igual a zero. O VPL igual a zero, ao contrário do que alguns possam interpretar, não significa resultado econômico igual a zero. Significa que o projeto, além de pagar os valores investidos, proporcionou exatamente o lucro esperado, atingindo-se a Taxa Mínima de Atratividade ( TMA ) .Um projeto de investimentos com VPL maior do que zero será economicamente mais interessante, quanto maior for esse valor. Consequentemente, se tivermos de comparar alternativas de investimentos, a escolhida deverá ser aquela que apresente o maior Valor Presente Líquido. Quando vários investimentos estão sendo analisados, pode ocorrer que todos sejam interessantes ou desinteressantes ou ainda que alguns sejam interessantes e outros não.Em qualquer dos casos, o investimento mais interessante é o que apresenta o maior VPL .

É claro que, se o problema é comparar custos de empréstimos, serviços ou equipamentos, a melhor alternativa é a que apresenta o menor VPL , isto é, a menor taxa de custo. O VPL é obtido pela diferença entre o valor presente dos benefícios líquidos de caixa, previstos para cada período do horizonte de duração do projeto e o valor do fluxo de caixa inicial do investimento: n

VPL = ∑

j=1

FCj (1+i) j

- FC 0 =

FC 1 (1+i) 1

+

FC 2 (1+i) 2

VPL = Valor Presente Líquido n = Período i = Taxa de juros da operação j = 1,2,3 ..., n FCj = Valores de fluxo de caixa de ordem j FC0 = Fluxo de caixa inicial

+ ... +

FC n (1+i) n

-

FC 0

Critério aceitar-rejeitar. Em princípio, para projetos independentes, aceitar todos os investimentos com VPL maior ou igual a zero, e rejeitar todos investimentos com VPL negativo. Pressuposto básico do VPL : pressupõe que os fluxos intermediários de caixa, gerados pelo projeto durante sua vida, serão reinvestidos a uma taxa de retorno igual a taxa de desconto empregada. Exemplo 21: VPL do Projeto abaixo, admitindo-se uma taxa de atratividade de 20% a.a., atinge:

0

36

1000

500 1

500 2

i = 20

500 3

n = 3 anos


Professor Rafael Olivieri Neto

Solução: VPL = [500/1,20 + 500/(1,20) ^2 + 500/(1,20) ^3] - 1000 = R$ 53,24

Esse resultado, R$ 53,24 é correto apenas ao se presumir que as entradas intermediárias de caixa, de R$ 500,00, nos momentos t1, t2 e t3, serão reinvestidas a uma taxa de 20%, que representa a taxa exigida de retorno empregada nos cálculos, ou seja:

t 0

t 1 t

2

FV = 500 x (1 + 0,2) + 500 x (1 + 0,2) + 500 (1+ 0,2) = R$1.820,00

t

3

VPL = 1.820 / (1 + 0,2) - 1000 = R$ 53,24

Ao se presumir que as entradas intermediárias de caixa sejam reinvestidas a qualquer taxa de retorno diferente de 20%, tem-se como resultado um VPL diferente de R$ 53,24. 8.4 – Método da Taxa Interna de Retorno ( TIR )

O método de taxa interna de retorno consiste em calcular a taxa que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento analisado. Essa taxa é chamada taxa interna de retorno de investimento e é indicada por TIR ou Internal Rate of Return ( IRR ). Será atrativo o investimento cuja taxa interna de retorno for maior ou igual à taxa mínima de atratividade. Se são empréstimos que estão sendo analisados, o melhor é o que oferece a menor taxa interna de retorno.

Para reforçar: A Taxa Interna de Retorno ( TIR ) ou Internal Rate of Return ( IRR ) é também um poderoso instrumento para se avaliar propostas de investimentos de capital. Ela representa a taxa de desconto que, em um único momento, iguala os fluxos de entrada com os de saída. Ela representa a taxa que produz um VPL igual a zero. Do ponto de vista econômico, um projeto de investimentos só será interessante e passível de aceitação quando sua Taxa Interna de Retorno for igual ou superior a Taxa Mínima de Atratividade para o investidor.

A TIR leva em conta o valor do dinheiro no tempo, o que representa na verdade a rentabilidade do projeto expressa em termos de uma taxa de juros equivalente periódica. A formulação da Taxa Interna de Retorno pode ser expressa, supondo-se a atualização de todos os movimentos de caixa para o momento zero. n

VPL = ∑

j=1 n

FC 0 = ∑

j=1

FCj (1+i) j

FCj (1+i) j

- FC 0 =

= 0

FC 1 (1+i) 1

+

FC 2 (1+i) 2

+ ... +

FC n (1+i) n

-

FC 0

onde, i = TIR

onde, i = TIR

37


Matemática Financeira I

TIR = Taxa Interna de Retorno ; n = período i = TIR , Taxa Interna de Retorno ; j = 1,2,3,...... n FCj = Valores de fluxo de caixa de ordem j ; FC0 = Fluxo de caixa inicial

Exemplo 22: Valdir recebeu uma proposta de sociedade em uma avícola. Por essa proposta ele terá que investir R$ 25.000,00, não havendo qualquer tipo de retirada nos 6 primeiros meses. Após esse período ele terá uma retirada mensal de R$ 1.500,00 nos 12 meses subsequentes; R$ 2.000,00 nos 12 meses posteriores e R$ 3.500,00 nos 6 meses seguintes. Depois de transcorridos esses 3 anos, caso queira sair da sociedade, ele receberá de volta os R$ 25.000,00 investidos, sem juros, juntamente com a última retirada mensal.Informar se essa proposta é interessante para Valdir, sabendo-se que esse valor está aplicado em um investimento financeiro com uma taxa líquida de 3,5% ao mês.

t

Meses de 1 à 6

Meses de 7 à 18

Meses de 19 à 30

Meses de 31 à 36

(Zero) (1.500,00) (2.000,00) (3.500,00)

Mês

PV = 25.000

PV = 25.000,00 [f ] [ CLEAR REG ] 6 parcelas = Zero 25.000,00 [ CHS ] [g] [ CF0 ] 12 parcelas = 1.500,00 0 [g] [CFj] 6 [g] [Nj] 12 parcelas = 2.000,00 1.500,00 [g] [CFj] 12 [g] [Nj] 5 parcelas = 3.500,00 2.000,00 [g] [CFj] 12 [g] [Nj] 1 parcela = 28.500,00 3.500,00 [g] [CFj] 5 [g] [Nj] 28.500,00 [g] [CFj] 3,5% [i] (Taxa mínima de atratividade) [f ] [ NPV ] = 11.086,81 O VPL encontrado na proposta acima foi de R$ 11.086,81, o que significa: 38

O projeto é viável pois o VPL é igual ou maior que zero.


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O VPL apurado significa que Valdir além da taxa mínima esperada (3,5%), obterá um rendimento excedente em dinheiro no valor de R$ 11.086,81. Com relação a taxa interna de retorno TIR , ou IRR , temos:

PV = 25.000,00 [f ] [ CLEAR REG ] 6 parcelas = Zero 25.000,00 [ CHS ] [g] [ CF0 ] 12 parcelas = 1.500,00 0 [g] [CFj] 6 [g] [Nj] 12 parcelas = 2.000,00 1.500,00 [g] [CFj] 12 [g] [Nj] 5 parcelas = 3.500,00 2.000,00 [g] [CFj] 12 [g] [Nj] 1 parcela = 28.500,00 3.500,00 [g] [CFj] 5 [g] [Nj] 28.500,00 [g] [CFj] [f ] [ IRR ] = 5,13% ao mês A TIR encontrada na proposta acima foi de 5,13%, o que significa:

– O projeto é viável pois a TIR é igual ou maior do que a TMA (3,5% ao mês). – A TIR apurada significa que Valdir obterá no projeto uma taxa de 5,13% ao mês, portanto bastante superior à taxa esperada.

Exercícios de aplicação 51: 1) Um equipamento no valor de R$ 70 milhões é integralmente financiado para pagamento em 7 parcelas mensais: as 3 primeiras de R$ 10 milhões, as duas seguintes de R$ 15 milhões, a 6ª de R$ 20 milhões e a 7ª de R$ 30 milhões. Determinar a taxa interna de retorno dessa operação.

39


Matemática Financeira I

2) Uma empresa planeja a compra de um equipamento e para isso está analisando dois tipos existentes no mercado. O do tipo A tem vida útil de 2 anos e seu preço é de R$ 150 mil e dá um lucro mensal de R$ 12 mil. O do tipo B custa R$ 180 mil, tem 3 anos de vida útil e um lucro mensal de R$ 14 mil. O valor residual dos equipamentos A e B são nulos. Com a taxa de atratividade de 5% a .m. qual equipamento deve ser adquirido?

3) Os técnicos de uma empresa industrial estão analisando duas opções apresentadas para a compra de uma máquina: uma, de valor equivalente a R$ 100.000,00 com vida útil de cinco anos, e outra, com o dobro da capacidade da primeira, vida útil de dez anos e custo correspondente a R$ 175.000,00 ambas com valor de revenda de zero no fim do período de vida útil. A menor tem capacidade para atender à produção prevista para os próximos 5 anos; como a partir do 6º ano a produção deverá crescer substancialmente, a compra da menor hoje implicará a necessidade de compra de duas do mesmo porte no final do 5º ano com custo unitário idêntico ao atual. Comprando a menor, as receitas líquidas anuais geradas (já descontadas todos os custos, diretos e indiretos de fabricação, com exceção da depreciação) para os próximos dez anos são estimadas em R$ 55.000,00 ao ano para os cinco primeiros anos, R$ 70.000,00 para os dois seguintes e R$ 95.000,00 para os três últimos. Adquirindo a maior, as receitas líquidas anuais estão estimadas em R$ 58.000,00 para os próximos dois anos, R$ 65.000,00 para os três seguintes e R$ 95.000,00 para os cinco últimos. Determinar qual a melhor opção.

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Professor Rafael Olivieri Neto

4) Uma indústria de brinquedos costuma comprar certa peça de determinada fornecedora. Vê, agora, possibilidade de adquirir uma máquina com a qual essa peça possa ser fabricada na própria indústria. Deve, então estudar as vantagens e desvantagens da aquisição.Os dados para esse estudo são os seguintes: se continuar usando os serviços da empresa que já os prestava, terá um gasto de R$ 3.500,00 por mês. Se adquirir a máquina, terá custo inicial de R$ 55.000,00 e gastos operacionais anuais de R$ 18.000,00. A vida útil da máquina é de três anos, no final da qual terá um valor residual de R$ 8.000,00. Qual deve ser a opção da indústria se a taxa de mercado está em torno de 2% a .m.?

5) Um investidor aplicou um capital de R$ 650.000,00 e recebeu rendimentos parcelados conforme o diagrama:

0

1

160.000 200.000 490.000

2

650.000,00

3

4

5

6

7

8

9

Qual a taxa interna de retorno desse investimento?

41


Matemática Financeira I

6) Um investidor tem duas alternativas para uma aplicação de capital durante um ano. A primeira requer um capital inicial de R$ 100.000,00 e apresenta retornos mensais de R$ 18.000,00, e a segunda exige um capital inicial de R$ 150.000,00 e tem retornos trimestrais de R$ 85.000,00. Qual a melhor aplicação numa época em que a taxa de mercado é 8% a.m?

7) Mostre que o fluxo de caixa, representado a seguir, se anula para as taxas de 10% a.a. e 1.000% a.a.

42

5.000

0

1

413,22

2

5.000

anos


Professor Rafael Olivieri Neto

8) Uma empresa está estudando a compra de um equipamento e deve escolher entre duas marcas com as seguintes características e previsões: Tipo

Equipamento A

Equipamento B

Custo Inicial

28.000,00

23.000,00

Custo Operacional Anual

4.000,00

3.000,00

Valor venal após 5 anos de uso

Receita Adicional Anual

12.000,00 12.000,00

3.000,00

10.000,00

Determine a melhor alternativa com a taxa de atratividade de 20% a.a. Pelo método do valor do presente líquido. Pelo método do valor da taxa interna de retorno.

9) Numa época em que a taxa de mercado é 6,2% a.m., qual o melhor retorno para uma aplicação de R$ 500.000,00: receber R$ 700.000,00 no fim de seis meses, receber duas parcelas trimestrais de R$ 330.000,00, receber três parcelas bimestrais de R$ 210.000,00 ou seis parcelas mensais de R$ 100.000,00?

43


Matemática Financeira I

10) Com a intenção de analisar as vantagens econômicas de incluir automaticamente no processo de obtenção de um produto químico por síntese orgânica, foram desenvolvidas 3 alternativas cujos fluxos de capitais líquidos são os seguintes: Alternativa A Investimento = RS 145.000,00 Retornos líquidos anuais = R$ 30.000,00 durante 10 anos Alternativa B Investimento = RS 280.000,00 Retornos líquidos anuais = R$ 45.000,00 durante 10 anos Alternativa C Investimento = RS 300.000,00 Retornos líquidos anuais = R$ 55.000,00 durante 10 anos

Calcular o NPV ( VPL ) e TIR sabendo-se que a taxa mínima de atratividade é de 10% a.a. e as 3 alternativas tem valor residual nulo.

44


Professor Rafael Olivieri Neto

11) Estudos de mercado para o lançamento de um novo produto, apresentam os resultados bimestrais abaixo. Pede-se verificar se esse projeto é economicamente justificável, com base em uma taxa mínima de atratividade de 10% a.b., analisando-o pelos métodos do NPV ( VPL ) e da TIR .

PERÍODO 0 01 02 03 04 05 06 07

ENTRADAS 800 1.000 1.100 1.400 1.500 1.600 1.850

SAÍDAS

2.500 450 550 600 650 750 800 850

45


Matemática Financeira I

Respostas dos Exercícios de aplicação 47:

1) 2) 3) 4) 5) 80 meses 6) R$ 40.976,21 7)R$ 3.017,42 8) R$10.000,00. 9) 1º empréstimo: 8 meses e R$ 800,00 de juros. 2º empréstimo: 13 meses e R$1.755,00 de juros 10) R$ 445.000,00 11) R$ 90.000,00 12) 9% a.m. 13) 6,2%. 14) R$ 2.322,34. 15) R$ 156.184,91 16) R$ 21.441,02

Respostas dos Exercícios de aplicação 48: 1) 2) 3) 4) 5) PV = R$78.024,29 6) n = 11 meses 7) FV = R$ 12.625,88 8) i = 3,926% ou 0,03926 9) PV = R$ 122.894,49 10) iq = 101,22% a.a 11) iq = 5%a.t. 12) iq = 26,9% a.a. 13) iq = 28,99%. 14) iq = 122,23%. 15) iq = 3,73%. 16) FV = R$ 12.474,42.

Respostas dos Exercícios de aplicação 49:

46

1) 2) 3) 4) 5) id = 3% a.m. 6) n = 110 dias 7) PV = R$ 31.816,07 8) FV = R$ 75.000,00 9) R$ 44.380,20 e R$ 88.760,40 10) R$ 1.829,71 11) a) R$ 1.240,00 b)R$ 186,00 c) R$ 8.574,00


12) 13)

d) 8,25% ao mês e 141,52% a.a e) 6,94% ao mês e 112,70% ao ano 25,05% R$ 394.211,93.

Professor Rafael Olivieri Neto

Respostas dos Exercícios de aplicação 50: 1) 2) 3) 4) 5) R$ 763,44 6) 100,42% a.a 7) R$ 5.440,11 8) R$ 7.929,14 9) R$ 9.318,53; R$ 74.548,20; R$ 93.185,25. 10) Sim 11) R$37.377,82

Respostas dos Exercícios de aplicação 51: 1) 2) 3) 4) 5) 7,065% a.m. 6) O melhor investimento é o segundo com taxa interna de retorno igual a 12,71% a.m; VPL = R$ 47.315,99 7) (i = 10) = 4.545,45 – 4.132,23 – 413,22 = 0 (i = 1.000,00) = 454,54 – 41,32 – 413,22 = 0 8) a) Equipamento A pois: VPL a = 747,43 e VPL b = -860,08 b)Equipamento A taxa = 21,05 a.a Equipamento B taxa = 18,38% a.a. 9) A melhor alternativa é a segunda, pois é a única em que a taxa de rendimento é maior que taxa de atratividade 10) Alternativa 1: R$ 39.337,01 e 16,00% Alternativa 2: R$ 3.494,48 e9,71% Alternativa 3: R$ 37.951,19 e 12,87% 11) NPV ( VPL ) R$ 508,43. Sob esse critério, o projeto é economicamente justificável; TIR = 14,96% ; TIR economicamente justificável.

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Matemática financeira 1 caderno  

Diagramação + Redesenho

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