Page 1

7 matematik

SMAKPROV

Lisa Gustafson Jonas Hällebrand Olle Nyhlén Johansson Jan Persson


matematik 7 Lisa Gustafson  Jonas Hällebrand  Olle Nyhlén Johansson  Jan Persson


Gleerups Utbildning AB Box 367, 201 23 Malmö Kundservice tfn 040-20 98 10 Kundservice fax 040-12 71 05 e-post info@gleerups.se www.gleerups.se

Mondo matematik 7 © 2016 Lisa Gustafson, Jonas Hällebrand, Olle Nyhlén Johansson, Jan Persson och Gleerups Utbildning AB Gleerups grundat 1826 Redaktör Niclas Ekelund och Anders Ohlsson Bildredaktör Katarina Weström Formgivning, figurer och omslag Helena Alvesalo Illustrationer Jonny Hallberg Första upplagan, första tryckningen ISBN 978-91-40-68975-7 Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias avtal, är förbjuden. Ingen del av materialet får lagras eller spridas i elektronisk (digital) form. BONUS-Presskopias avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildnings- anordnare, t ex kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Tryck Dimograf, Polen 2016


INNEHÅLL

Mondo matematik 7 innehåller sex kapitel:

1 Tal och tals användning 2 Algebra och ekvationer 3 Geometri 4 Bråk och Procent 5 Statistik 6 Läxor Kapitlen innehåller följande: • Inledande uppslag • Grundkurs i tre nivåer • Kapiteldiagnos i två nivåer • Tillämpa förmågorna • Träna mera • Fördjupning • Sammanfattning med begrepp och metoder


kapitel 1

Tal och tals användning

6   Kapitel 1 | Tal och tals användning


PROBLEMLÖSNING

P

BEGREPP

B

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

CENTRALT INNEHÅLL • Hur vårt talsystem är uppbyggt exempelvis med heltal och decimaltal • Beräkningar med de fyra räknesätten i huvudet, skriftligt och med miniräknare • Avrundning och överslagsräkning • Delbarhet och primtal

sidorna 34–39

Tillämpa förmågorna i projekt: Höstlovscupen Coacha Milo En liten insats gör stor skillnad

gruppUPPGIFT

Jobba i par. En med miniräknare och en utan. Räkna uppgifterna och skriv svar.Vem blir färdig först? Omgång 1: Du vet att 6,8 + 1,7 = 8,5.Vad är då 68 + 17 8,5 – 6,8 0,85 – 0,68

69 + 16 6,8 – 1,7 17,0 + 68,0

680 + 170 0,68 + 0,17

8,5 – 1,7 0,85 – 0,17

Omgång 2: Du vet att 17/10 = 1,7.Vad är då 1,7 · 10 1700/100 0,17 · 0,1

17/100 1,7/0,01 0,17 · 1

1,7/0,1 17 · 10

170/100 0,17/0,1

Tal och tals användning | Kapitel 1  7 


grundkurs

1.1 Tal Naturligt tal Heltal som är större än eller lika med noll t.ex. 0, 1, 2, 3 osv. Kallar vi tal som innehåller decimaltecken.

Decimaltal Heltal

Jämnt tal Heltal som är delbara med 2, t.ex. 4, 8, 12. Jämna tal slutar med 0, 2, 4, 6 eller 8. Udda tal Heltal som inte är jämna är udda. De slutar på 1, 3, 5, 7 eller 9.

Något av de naturliga talen och det motsatta talet till det naturliga talet, t.ex. -10 och +10 eller -8 och +8.

Primtal

Ett primtal är ett naturligt tal som endast kan delas med 1 och sig självt.

Så här kan man dela in tal. Tal

Naturligt tal

Decimaltal

Heltal

Udda tal

Jämnt tal

Primtal

54

ja

nej

ja

nej

ja

nej

54,3

nej

ja

nej

nej

nej

nej

Positionssystemet Med vårt positionssystem kan vi skriva hur stora tal eller hur små tal som helst. Hur stort värde en siffra (0-9) får bestäms av dess plats - dess position. Flyttas en siffra en position åt vänster ökar värdet 10 gånger. Åt höger minskar värdet 10 gånger. Tiotusental

Tusental

Hundratal

Tiotal

Ental

Tiondel

Hundradel

Tusendel

10 000

1 000

100

10

1

0,1

0,01

0,001

heltal

decimaler

EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

Vilket tal är störst av 0,53 och 0,7? 5 tiondelar är mindre än 7 tiondelar. 0,53 < 0,7

Skriv 456,7 i utvecklad form. 456,7 = 4 · 100 + 5 · 10 + 6 · 1 + 7 · 0,1

8   Kapitel 1 | Tal och tals användning

4 hundratal 5 tiotal 6 ental 7 tiondelar


grundkurs   NIVÅ 1  1 Vilket värde har siffran 2 i talet a) 4 523 b)  13 234 c)  0,2  2 Välj rätt tecken > (större än), < (mindre än) eller = (lika med). a) 0,7 0,70 b) 0,9 0,10 c) 0,45 0,5  3 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta. 0,1  2,5  0,5  3,0  0,4   4 Skriv talet på vanligt sätt. a) 5 · 10 + 7 · 1 b) 2 · 100 + 1 · 10 + 4 · 1   5 Skriv som decimaltal. a) 5 tiondelar b)  7 tiondelar c) 10 tiondelar d)  17 tiondelar  6 Hur många av de tvåsiffriga talen mellan 20 och 40 innehåller siffran 2?

 NIVÅ 2   7 Vilket värde har siffran 2 i talet a) 0,02  b)  293 834   c)  19,0921  8 Välj det tal som är närmast 0,28. 2,9  0,3  2  0,25  0,2  3

12 Du har siffrorna 0 3 6 9 och ett decimaltecken. Skriv a) det minsta talet som går b) det största talet som går c) det tal som är närmast 1

NIVÅ 3 13 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta. 1,05  0,457  0,9  1,3  0,10  0,01 14 Vilket tal är en tusendel mindre än a) 1 b)  1 000 c)  0,56 15 Skriv i utvecklad form. a) 176  b)  10 100,01   c)  0,0034 16 Skriv som decimaltal a) 7 tusendelar b) 870 hundradelar c) 183 tiondelar 17 De tvåsiffriga talen sträcker sig från 10 - 99. Hur många av talen innehåller siffran 2? 18 Hur många tal finns det mellan 2,0 och 2,1? Välj ett av alternativen och motivera ditt svar. A Inga B Ett C Några få D Många

 9 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta. 0,18  0,1  0,2  1,7  0,15  2 10 Skriv talen på vanligt sätt. a) 9 · 100 + 5 · 10 + 6 · 1 b) 1 · 1 000 + 1 · 10 + 1 · 0,1 11 Skriv i decimalform. a) 7 hundradelar b)  99 hundradelar c) 7 tusendelar d)  99 tusendelar Tal och tals användning | Kapitel 1  9 


grundkurs

1.2 De fyra räknesätten Räknesätt

Vad man gör

Addition

Adderar

Subtraktion

Subtraherar

Multiplikation

Multiplicerar

Division

Dividerar

Exempel 400 + 500 = 900

term + term = summa

900 – 400 = 500

term – term = differens

4 · 75 = 300

faktor · faktor = produkt

300 = 75 4

täljare = kvot nämnare

Addition Uppställning Beräkna 143,8 + 45, 53 = 189,33 1

1 4 3, 8 + 4 5, 5 3 Likadana talsorter under varandra.

1 4 3, 8 0 + 4 5, 5 3

1 4 3, 8 0 + 4 5, 5 3 3

1 4 3, 8 0 + 4 5, 5 3 1 8 9, 3 3

Fyll på med nolla i 143,8.

Börja räkna från höger.

8 tiondelar + 5 tiondelar = 13 tiondelar. 10 tiondelar som minnessiffra i entalspositionen

Huvudräkning 1 Addera talsorter 59 + 35 = 50 + 30 + 9 + 5 = 80 + 14 = 94

14,5 + 3,9 = 10 + 7 + 1,4 = 18,4 

2 Addera och subtrahera med samma tal 59 + 35 = (59 + 1) + (35 – 1) = 60 + 34 = 94 14,5 + 3,9 = (14,5 – 0,1) + (3,9 + 0,1) = 14,4 + 4 = 18,4

10   Kapitel 1 | Tal och tals användning


grundkurs NIVÅ 1

NIVÅ 3

Välj metod och beräkna

Välj metod och beräkna

19 a) 290 + 210 c) 232 + 378

b)  139 + 21 d)  115 + 27

30 a) 58 + 29 + 2 c) 285 + 47 + 115

20 a) 1 029 + 27 c) 26,5 + 85,5

b)  6,3 + 3,7 d)  277 + 35

31 a) 3,7 + 2,9 + 1,3 b)  23,8 + 13,9 + 1,2 c) 86,4 + 29,8 + 13,6

21 a) 7 403 + 199 c) 6 703 + 7 356

b)  2,68 + 1,32 d)  85,22 + 14,7

32 a) 2,45 + 3,24 + 4,55 b) 9,84 + 3,56 + 0,16 c) 74,8 + 25,2 + 5,2

22 Beräkna summan av termerna 0,9 och 0,10. 23 Summan av två tal är 7. Produkten av samma tal är 12.Vilka är talen?

b)  27 + 36 + 13

33 Använd siffrorna 2, 4, 6 och 8 en gång. Vilka tvåsiffriga tal ger den största summan? 34 Vad blir summan av produkterna mellan de två första udda naturliga talen och de två första jämna naturliga talen?

NIVÅ 2 Välj metod och beräkna 24 a) 6,83 + 3,8 c) 0,233 + 0,767

b)  290,9 + 270,3 d)  1,76 + 12,24

25 a) 1 049 + 9,049 c) 1 997 + 1 996

b)  9 969 + 178 d)  3,65 + 8,74

26 a) 5,98 + 0,1 c) 0,09 + 0,045

b)  4,357 + 0,014 d)  0,07 + 0,77

27 Vilka två av talen 2, 15, 60 och 74 ger den a) största summan b)  minsta summan 28 I Sverige föds ungefär 100 000 barn varje år. Ett år föddes 58 472 pojkar och 55 121 flickor. Hur många barn föddes sammanlagt det året? 29 Vad är summan av de fyra första tvåsiffriga udda naturliga talen?

35 Vad är summan av de första hundra naturliga heltalen? Johann Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) räknas som ”matema­ tikens konung”. Han var framstående inom många vetenskapliga områden, men det är inom matematiken han är mest känd. Flera historier vittnar om hans ovanliga matematiska förmågor. En historia berättar att han redan vid 3 års ålder, genom huvudräkning, rättat sin far då han räknade sina finanser på papper. En annan historia är när Gauss gick i skolan. Eleverna fick upp­ giften att beräkna summan av de första 100 naturliga heltalen. Gauss hittade en enkel lösning på uppgiften och blev snabbt klar.

Tal och tals användning | Kapitel 1  11 


grundkurs

Subtraktion Subtraktion är motsatsen till addition. Resultatet vid en subtraktion kallas differens (skillnad). När man subtraherar är det viktigt i vilken ordning termerna beräknas. Exempelvis är 15 – 8 inte lika mycket som 8 – 15, dvs. 15 – 8 ≠ 8 – 15. 15

1 5 – 8 = 7

− 10

8

−5

8 – 1 5 = – 7

− 10

−7

0

5

7

10

15

10

15

8 15

−5

0

5

Uppställning Beräkna 43,8 – 26,53. 10

10

4 3, 8 0 – 2 6, 5 3

4 3, 8 0 – 2 6, 5 3 7

4 3, 8 0 – 2 6, 5 3 , 2 7

Ställ upp talen med tal­sorterna under varandra. Fyll på med en nolla i 43,8.

Börja räkna från höger. 0 – 3 är ett negativt tal. Växla en tiondel till 10 hundra­delar. 10 – 3 = 7.

7 – 5 = 2 Sätt ut decimaltecknet.

10

10

4 3, 8 0 – 2 6, 5 3 7, 2 7 3 – 6 är ett negativt tal. Växla ett tiotal till 10 ental. 13 – 6 = 7.

10

10

4 3, 8 0 – 2 6, 5 3 1 7, 2 7 3–2=1

Huvudräkning 1 Att räkna bakifrån med addition 306 – 298 = 2 + 6 = 8 10,3 – 9,8 = 0,2 + 0,3 = 0,5

12   Kapitel 1 | Tal och tals användning

2 Addera eller subtrahera varje tal med samma värde 116 – 79 = (116 + 1) – (79 + 1) = 117 – 80 = 37 116 – 79 = (116 + 21) – (79 + 21) = 137 – 100 = 37 10,6 – 7,3 = (10,6 – 0,3) – (7,3 – 0,3) = 10,3 – 7,0 = 3,3


grundkurs NIVÅ 1

NIVÅ 3

Välj metod och beräkna

Välj metod och beräkna

36 a) 61 – 5 c) 678 – 79

b)  63 – 38 d)  609 – 78

44 a) 5 008,5 – 346,84 c) 59,98 – 59,96

37 a) 6,3 – 3,8 c) 2 838 – 2 798

b)  6,7 – 5,8 d)  3 498 – 1 502

45 I tabellen redovisas folkmängden i de tio största städerna i Sverige med fem års mellanrum. a) Vad ska stå istället för A, B och C?

38 Vilken av likheterna stämmer? Motivera ditt svar. A 8 345 – 345 – 345 = 345 – 345 + 8 345 B 8 345 – 345 – 673 = 8 345 – 673 – 345 C 673 – 345 = 345 – 673

Stad

b)  2 378 – 678,23 d)  6,001 – 5,999

Folkmängd

Folkökning

2005

2010

Stockholm

1 252 118

1 372 565

120 447

Göteborg

510 491

549 839

39 348

Malmö

258 020

280 415

22 395

NIVÅ 2

Uppsala

128 409

140 454

12 045

Välj metod och beräkna

Västerås

107 005

110 877

A

39 Differensen av två tal är 18. Den större termen är 33.Vilken är den mindre termen?

40 a) 50,2 – 19,8 c) 638 – 396

b)  5,02 – 1,98 d)  638 – 39,1

Örebro

98 237

107 038

B

Linköping

97 428

104 232

6 804

41 a) 37,9 – 17,1 c) 10 001 – 8 765

b)  139,1 – 19, 9 d)  378,7 – 169,9

Helsingborg

91 457

97 122

5 665

Jönköping

84 423

89 396

C

Norrköping

83 561

87 247

3 686

42 Differensen mellan två termer ska göras 3 mindre.Vilket av påståendena är korrekt? A Bägge termerna ska göras 3 större. B Den mindre termen ska göras 3 större. C Den större termen ska göras 3 större. 43 Milo kan beräkna 91 – 19. När han däremot ska räkna 91 – 19,8 vill det sig inte. Ge honom två tips om hur han kan tänka.

b) Vilken stad skulle hamna på femte plats efter tio år om folkökningen vart femte år är likadan som i tabellen?

46 Vilka tal ska stå istället för bokstäverna?

a)

b)

7 A B 5 – C 7 7 D 1 1 7 2

6 A B 6, 2 – C 9 7 D, 3 2 8 1 7, 9

Tal och tals användning | Kapitel 1  13 


grundkurs

Multiplikation Multiplikation är upprepad addition: 5 · 15 = 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 75. Multiplikation

5 · 15

Upprepad addition 15 0

5

10

15

15 20

15 25

30

35

15 40

45

50

15 55

60

65

70

75

Multiplikation kan också ses som en area. Exempel 15 · 5.

5

5 15

10

När man multiplicerar kan man skriva talen i vilken ordning som helst. Det blir samma produkt, 15 · 5 = 5 · 15.

5

Faktorerna kan delas upp för att underlätta beräkning, t.ex. 10 · 5 + 5 · 5 = 50 + 25 = 75.

Uppställning 6, 3 · 7, 5 5

6, 3

· 7, 5

1

5 · 3 = 15 minnessiffra 1

6, 3 · 7, 5 3 1 5 1

1

3 1 5

5 · 6 = 30 30 + 1 = 31

6, 3

1

2

7 · 3 = 21 minnessiffra 2

· 7, 5

3 1 5 4 4 1 7 · 6 = 42 42 + 2 = 44

1

2

· 3 + 4 4 4 7,

6, 7, 1 1 2

2,5 · 12 = 5 · 6 = 30 70 · 6 = 7 · 10 · 6 = 7 · 6 ·10 = 42 · 10 = 420 63 · 7 = (60 + 3) · 7 = 60 · 7 + 3 · 7 = 420 + 21 = 441

14   Kapitel 1 | Tal och tals användning

1

2

5

Addera och gör sedan ett överslag. Produkten är ungefär 6 · 8 = 48. Svaret blir 47,25.

Huvudräkning 1 Dubblera och halvera 2 Dela upp i faktorer 3 Dela upp talet i termer

3 5 5


grundkurs NIVÅ 1

NIVÅ 3

47 1 kg ost kostar 125 kr.Vilket alternativ väljer du för att räkna ut vad 3 kg ost kostar? A 125 + 3 B  125 ∕ 3 C 3 · 125 D  125 – 3

Välj metod och beräkna

Välj metod och beräkna

59 När Gloria räknar ut 68 · 70 tänker hon så här: 68 · 70 = 70 · 70 – 2 · 70 = 4 900 – 140 = 4 760

48 a) 7 · 17

b)  80 · 7

c)  2,5 · 20

49 a) 4,5 · 6

b)  6,4 · 45

c)  23 · 4,6

50 a) Produkten av två tal är 24. Vilka skulle talen kunna vara? b) Produkten av tre tal är 24. Vilka skulle talen kunna vara? c) Produkten av fyra tal är 24. Vilka skulle talen kunna vara? 51 Du vet att 212 · 4 = 848.Vad är a) 212 · 40 b)  2 120 · 0,4 c)  2 120 · 40

57 a) 1 264 · 32

b)  14 · 4,5 · 20

58 a) 0,8 · 2,5 · 2 · 12

b)  1,7 · 10,6 · 0,5 · 2

a) Förklara hur hon tänker. b) Gör en egen uppgift och lös den på liknande sätt.

60 Varje dag dör 1 600 barn under fem år av diarrésjukdomar. De flesta dödsfallen beror på smutsigt vatten, dåliga toaletter och brist på kunskap om hygien. Ungefär hur många barn under fem år dör till största delen beroende på att de inte har tillgång till rent vatten a) per månad   b)  per år

NIVÅ 2 Välj metod och beräkna 52 a) 164 · 8

b)  80 · 320

c)  646 · 3

53 a) 7· 64

b)  2,5 · 8,43 · 4 c)  40 · 2 · 7

54 a) 2,5 · 15

b)  160 · 15

c)  6,5 · 13

55 Produkten av tal är 36. a) Ge exempel på två faktorer som ger produkten 36. b) Ge exempel på tre faktorer som ger produkten 36. c) Ge exempel på fyra faktorer som ger produkten 36. 56 Du vet att 156 · 0,8 = 124,8.Vad är då a) 156 · 8 b)  78 · 0,8 c)  78 · 1,6

61 En genomsnittlig svensk köper varje vecka frukt för 22 kronor och godis för 35 kronor. Vad blir det per år för a) frukten   b) godiset c) I Sverige bor ungefär 9,8 miljoner människor. Hur mycket köper svenskarna sammanlagt godis för varje år? Tal och tals användning | Kapitel 1  15 


grundkurs

Division Division används på två olika sätt: 1 För att dela upp något (delningsdivision). 75 Exempel: 5 personer ska dela på 75 kronor. kr = 15 kr 5 2 För att se hur många gånger något för plats i något annat (innehållsdivision). Exempel: Hur många 5-kronor får Amira om hon växlar 75 kronor?

15 0

5

15 10

15

20

15 25

30

35

75 st = 15 st 5

15 40

45

50

15 55

60

65

70

75

Uppställning – kort division Exempel 1  Beräkna

348 3 1

3 4 8 = 1 3

3 4 8 = 11 3

Börja från vänster. 3 går 1 gång i 3, ingen rest. Skriv 1 som kvot. Exempel 2  Beräkna

3 går 1 gång i 4 med resten 1. Skriv 1 som rest ovanför 4. Skriv 1 som kvot.

1

3 4 8 = 116 3 3 går 6 gånger i 18. Skriv 6 som kvot. Svaret blir 116.

42,4 4

4 2, 4 = 1 4 Börja från vänster. 4 går 1 gång i 4, ingen rest. Skriv 1 som kvot.

2

4 2, 4 = 10 4 4 går 0 gånger i 2 med resten 2. Skriv 2 som rest ovanför 2. Skriv 0 som kvot.

Huvudräkning 1 Dubblera

7,04 7,04 ⋅ 2 14,08 = = = 1,408 5 5⋅2 10

16   Kapitel 1 | Tal och tals användning

2 Halvera

128 128 2 64 = = =8 16 2 16 8

2

4 2, 4 = 10,6 4 4 går 6 gånger i 24. Skriv 6 som kvot. Kvoten är ungefär 40 ∕ 4 = 10. Svaret blir 10,6.


grundkurs NIVÅ 1 Välj metod och beräkna 62 a)

200 4

b) 

220 4

c) 

220 5

63 a)

652 4

b) 

497 7

c) 

415 5

64 Du vet att 14 · 29 = 406.Vad är då

406 406 b)  14 29 65 Till hur många personer räcker 424 kr om varje person ska ha 8 kr?

a)

66 Decimaltecknet har försvunnit i följande beräkningar. Skriv av uppgifterna och markera decimaltecknet på rätt plats i svaret.

a)

21,56 = 616 3,5

b) 

315,6 = 98625 3,2

NIVÅ 2

70 Två familjer ska åka kanalbåt i England. Den ena familjen består av två vuxna och två barn. Den andra familjen består av två vuxna och ett barn. Använd tabellen och räkna ut vad respektive familj ska betala. Du avgör själv vad som är rättvis fördelning. Motivera ditt svar. Produkt

Kostnad i kr

Kanalbåt och mat

24 500 för alla

Flygbiljett vuxen T o R

2 450 per biljett

Flygbiljett barn T o R

1 790 per biljett

Välj metod och beräkna 67 a)

208 16

b) 

360 18

c) 

1 099 7

31,2 312 312 68 a) b)  c)  5,0 5 50 69 4 säckar planteringsjord kostar 100 kr.Varje säck innehåller 40 l.Vad kostar en liter jord?

NIVÅ 3 Välj metod och beräkna 270 71 a) b)  145 2,5 4 72 a)

369 4,5

b)  108 6

c)  336 16 c)  168 14

73 Sara och Nathanael ska tillverka hopprep för att sälja. De har tillgång till ett rep på 20 meter.Varje hopprep ska vara 1,5 meter långt. Hur många hopprep kan de tillverka? 74 Vilka tal kan ersättas med x, y och z i följande uttryck? z a) x · y = 126 b) = 2,5 y   x c) d)  y · y = 36 = 3,5 y Tal och tals användning | Kapitel 1  17 


grundkurs

1.3 ENHETER FÖR VIKT OCH VOLYM Prefix Grundenheten för vikt är gram (g). Om någon frågar dig hur mycket du väger svarar du inte i ”tusen”-gram). gram utan i kilogram (kg). Kilo är ett prefix och betyder tusen (”kilo”-gram Man använder prefix för att undvika att behöva skriva mycket stora eller mycket små tal. Några av de vanligaste prefixen finns i tabellen nedan. Prefix

Förkortas

Betyder

Prefix

Förkortas

Betyder

kilo

k

tusen (1 000)

deci

d

tiondel (0,1)

hekto

h

hundra (100)

centi

c

hundradel (0,01)

deka

da

tio (10)

milli

m

tusendel (0,001)

Viktenheter

Volymenheter

Enhet Enhetsbyten ton 1 ton = 1 000 kg kilogram (kg) 1 kg = 10 hg = 1 000 g hektogram (hg) 1 hg = 100 g gram (g) 1 g = 1 000 mg milligram (mg)

Enhet Enhetsbyten liter (l) 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml deciliter (dl) 1 dl = 10 cl = 100 ml centiliter (cl) 1 cl = 10 ml milliliter (ml)

Exempel 1: Skriv 3 kg som gram.

Exempel 3: Skriv 5 l som cl.

kg

hg

3

0

g 0

0

1. Skriv 3 i rutan med kg. 2. Fyll ut med nollor till den ruta vars enhet efterfrågas. I detta fall g. 3. Avläs 3 kg = 3 000 g

Exempel 2: Skriv 34 g som kg.

kg

hg

0,

0

g 3

4

1. Skriv 34 i rutorna för gram. 2. Fyll ut med nollor till den ruta vars enhet efterfrågas. 3. Sätt ut decimaltecken. 4. Avläs 34 g = 0,034 kg

18   Kapitel 1 | Tal och tals användning

l

dl

cl

5

0

0

ml

1. Skriv 5 i rutan med l. 2. Fyll ut med nollor till den ruta vars enhet efterfrågas. I detta fall cl. 3. Avläs 5 l = 500 cl

Exempel 4: Skriv 15 ml som l.

l

dl

cl

ml

0,

0

1

5

1. Skriv 5 i rutan för ml och 1 i rutan för cl. 2. Fyll ut med nollor till den ruta vars enhet efterfrågas. 3. Sätt ut decimaltecken. 4. Avläs 15 ml = 0,015 l


grundkurs NIVÅ 1

81 Para ihop bokstav med rätt siffra.

75 Välj lämpligt prefix. a) En häst väger 450__g b) En mobiltelefon väger 1,5__g

Prefix A milli B centi C deci D kilo

76 Använd tabellen och byt enhet. a) 3 kg =__ g kg hg b) 3 kg =__ hg 3 0 0 77 Använd tabellen och byt enhet. a) 65 cl =__ ml l dl cl b) 65 cl =__ dl 0 6 5 c) 65 cl =__ l d) 650 ml =__ l

g 0

82 Skriv som hg. a) 4,2 kg b)  680 g

c)  0,07 kg

ml

83 Skriv som cl. a) 3,5 l b)  52 dl

c)  460 ml

84 Skriv som kg. a) 1,8 ton b)  237 g

c)  0,5 hg

0

78 Skriv som g. Använd gärna tabellen. a) 4 kg =__ g kg hg g b) 4,5 kg =__ g c) 6 hg =__ g d) 1,5 hg =__ g

NIVÅ 3

79 Hur många av de mindre kärlen behövs för att fylla de stora kärlen?

1l a)

2l b)

5l c)

85 Skriv om följande påståenden med lämpliga prefix. a) 1 l guld väger 19 300 g. b) Max väger 55 000 000 mg. c) Den aktiva substansen i huvudvärktabletter väger 0,0002 kg. 86 Byt enhet a) 34 g = __ kg b) 6,78 hg =__ kg c) 3 560 mg =__ g 87 Skriv som l. a) 8,5 dl

1 dl d)

e)

0,2 l

NIVÅ 2 80 Välj lämpligt prefix. a) En tesked rymmer 5__l b) Ett dricksglas rymmer 2,5__l

Betyder 1 tusen 2 tiondel 3 tusendel 4 hundradel

f)

b)  52,3 cl c)  460 ml

88 Ordna vikterna efter storlek. Börja med den minsta.

45,6 hg    0,45 kg    3 550 g   5 600 mg

89 Ett träd som används till pappersmassa kan ge ca 60 kg papper. Ett A4-papper väger ca 5 g. På en skola går 500 elever.Varje elev får 6 A4-papper i veckan under 36 veckor av årets 52 veckor. Hur många träd motsvarar pappersförbrukningen på skolan? Tal och tals användning | Kapitel 1  19 


grundkurs

1.4 Multiplikation och division med 10, 100, 1 000 Vårt talsystem har basen 10. Det betyder att det blir lätt att multiplicera och dividera med 10, 100 och 1 000. 100 · 3,5 = 350

10 · 3,5 = 35 Hundratal

Tiotal

Ental

3

Tiondelar

3,

5

5,

0

Hundratal

Tiotal

3

Ental

5

Tiondelar

3,

5

0,

0

När en siffra flyttas till vänster i positionssystemet ökar siffrans värde tio gånger per position den flyttas. 350 = 35 10 Hundratal 3

350 = 3,5 100 Tiotal

Ental

5

0,

3

5,

Tiondelar

Hundratal

Tiotal

3

Ental

5

Tiondelar

0, 3,

5

När en siffra flyttas till höger i positionssystemet minskar dess värde 10 gånger per position siffran flyttas. Detsamma gäller decimaltal.

Nivå 1 90 Skriv av och gör färdigt tabellen.

a)

· 10

· 100 · 1 000

50 5

5 000

91 Vilket tal ska stå istället för x? a) 3,5 · x = 350

3 500 = 35 x c) 4 300 = 4,3 · x

d) 

b) 

0,5

b)

/10

/100

/1000

50 5

0,5

0,005

0,5 20   Kapitel 1 | Tal och tals användning

56 = 5,6 x

92 a) 10 · 12,4 b)  100 · 12,4 c)  1 000 · 12,4 93 a)

124 10

b) 

124 100

c) 

124 1000


grundkurs 94 Mellan Stockholm och Västerås är det ungefär 10 mil. Bensinförbrukning: 0,47 liter/mil Bensinpris: 14,35 kr/liter Koldioxidutsläpp: 2 kg/mil

NIVÅ 3 99 Beräkna

a)

0,508 ⋅ 100 10

c) 2 · 2,87 · 50

b) 

10 ⋅ 5,3 1000

d)  25 · 8,6 · 40

100 Victory Tilly är den travhäst som sprungit in mest pengar i Sverige. Under sina hundra starter sprang han in ungefär 37 700 000 kronor. Ungefär hur mycket vann Victory Tilly i genomsnitt per start?

a) Hur mycket bensin går det åt för en bil att köra sträckan? b) Ungefär hur många kilogram koldioxid släpps ut på sträckan?

NIVÅ 2 95 Rita en tallinje och placera ut följande tal.

A

150 5 2 500   B    C  10 · 0,2   D  100 10 1 000

101 Vad ska stå istället för x? a) 0,803 · x = 80 300

102 Vad ska stå istället för x och y i uppgiften x · y = 30 000? Hitta tre olika lösningar. 103

96 Vilket tal ska stå istället för x? a) 100 · x = 2 600

35 b) = 0,035 x c) 6 900 = 6,9 · x

97 Hur många gånger mindre är a) 0,25 än 25,0 b)  3,9 än 3 900 c) 0,68 än 6,8 d)  0,075 än 75 98 a) Hur lång tid tar det att fylla en pool på 40 000 liter om den fylls med 100 liter per minut? Svara i h och min. b) I en kommun kostar kommunalt vatten 1,5 öre per liter.Vad kostar det att fylla poolen? Svara i kr.

0,803 ⋅ x = 80,3 100 320 ⋅ x c) = 0,032 100 000 b)

Stad

Pris/kvadratmeter

Stockholm

45 100 kr/m2

Göteborg

33 000 kr/m2

Malmö

22 300 kr/m2

Tabellen visar medelpriset per kvadratmeter för bostadsrätter i olika delar av landet.

a) Vad kostar en 100 m2 stor lägenhet i Stockholm om man får betala medelpriset?

b) Hur mycket dyrare är en 100 m2 stor lägenhet i Stockholm jämfört med Malmö?

c) Om man lyckas spara 1 000 kr per månad, hur lång tid skulle det ta att spara ihop till en 100 m2 stor lägenhet i Göteborg? Tal och tals användning | Kapitel 1  21 


grundkurs

1.5 Multiplikation och division med tal mellan 0 och 1 När du multiplicerar ett tal med en faktor mellan 0 och 1 blir produkten mindre än det ursprungliga talet. Exempel 1

En påse nötter väger 0,3 kg. Hur många kg nötter har Lisa om hon har 60 påsar? 60 · 0,3 kg = 18 kg (produkten 18 < ursprungliga talet 60) Exempel 2

Tänk multiplikationerna som areor. 5 · 3 = 15

5 · 0,3 = 1,5

0,5 · 0,3 = 0,15  

5

0,3

0,5

0,3

3

5 När du dividerar ett tal med ett annat tal mellan 0 och 1 blir kvoten större än det ursprungliga talet. Exempel 3

Lisa ska dela upp 18 kg nötter i påsar som väger 0,3 kg. Hur många påsar blir det? 18 18 ⋅ 10 180 påsar = påsar = påsar = 60 påsar (kvoten 60 > ursprungliga talet 18) 0,3 0,3 ⋅ 10 3 Exempel 4

Hur många gånger går 0,3 i 2,1?

2,1 2,1 ⋅ 10 21 = = =7 0,3 0,3 ⋅ 10 3

Multiplicera med 10 så att nämnaren blir heltal.

gruppUPPGIFT

Räkna uppgifterna.Vad drar ni för slutsatser av era beräkningar? 1,5 6 55 A  0,4 · 2 B  100 · 6 C  D  E  10 · 70 F  0,5 0,01 0,01 G 

0,6 70 0,4 H  100 · 55 I  10 · 0,6 J  K  L  1,5 · 2 0,1 0,1 0,5

22   Kapitel 1 | Tal och tals användning


grundkurs NIVÅ 1

NIVÅ 2

104 Skriv av och gör färdigt tabellen.

Beräkna

a)

· 100 12

· 10

· 1

· 0,1

· 0,01

1200

2,3

b)

/100 12

/10

/1

/0,1

/0,01

0,12

2,3

Beräkna 105 a) 3 · 7 106 a)

45 5

b)  3 · 0,7 b) 

45 0,5

c)  0,3 · 0,7 c) 

45 0,05

107 Vad är produkten av 200 och 0,98? Välj rätt alternativ. A Lite större än 200 B Lite mindre än 200 C Mycket mindre än 200 D Mycket mer än 200

3 0,001 120 112 a) 0,4 111 a)

b)  0,7 · 0,8 b) 

124 0,4

0,25 0,01 105 c)  0,5 c) 

113 Para ihop siffra och bokstav så att uttrycken har samma värde.

1 4 · 1 000 2  4 · 100 4 4 · 1 5 4 · 0,1

A

4 0,1

D

4 10

4 1 4 E  0,001 B 

3  4 · 10 6  4 · 0,01 C 

4 0,01

G 

4 100

114 Vilket tal ska stå istället för x? x 67,8 a) = 678 b)  678 = 0,01 x 115 Ungefär till hur många hårtvättar räcker en 2,4 dl-schampoflaska om man använder 0,15 dl vid varje tvätt?

108 Du vet att 140 · 0,2 = 28.Vad är a) 140 · 0,4 b)  140 · 0,1

c)

28 0,2

d) 

28 0,4

109 Vilket av talen är lika mycket som hälften av en hundradel? 0,005  0,002  0,05  0,02  0,5 110 Mustafa häller upp 4 liter vatten i glas som rymmer 0,2 l. a) Hur många glas räcker vattnet till? b) Hur många glas räcker vattnet till om varje glas rymmer 0,25 l?

Tal och tals användning | Kapitel 1  23 


grundkurs

NIVÅ 3

120 Vilka räkneoperationer ger samma resultat som att

Beräkna

26,88 0,01 90 117 a) 0,3 · 0,7 ·  0,5 b)  · 0,1 0,2 4 100 118 a) 0,02 · 0,6 · 0,05 b)  0,015 · 0,02 116 a) 0,9 ·  65

b) 

119 Så här har medelpriset för en liter mjölk ändrats. År

1 l mjölk

1962

0,90 kr

1987

4,50 kr

2005

7,10 kr

2012

8,82 kr

Hur många gånger dyrare blev mjölken mellan

a) 1962 – 1987   b)  1962 – 2005 c) 1962 – 2012

24   Kapitel 1 | Tal och tals användning

a) dividera med 0,001 varefter resultatet multipliceras med 0,1 b) multiplicera med 0,5 varefter resultatet divideras med 0,1

121 The Mondos låtar har spelats sammanlagt 700 miljoner gånger på en strömmande musiktjänst. Där får artist och skivbolag dela på 0,05 kr/spelning. The Mondos har även spelats 56 166 gånger på radio. Ersättningen varierar mellan 1,50 kr/min till 140 kr/min beroende på vilken radiostation låtarna spelas.

a) Hur mycket har musiktjänsten betalat för The Mondos låtar?

b) Har ersättningen till The Mondos varit högre genom musiktjänsten eller radiospelningar? Antag att en låt varar i genomsnitt 3 minuter. Motivera ditt svar.


grundkurs

1.6 Avrundning och överslagsräkning Avrundning Avrundning innebär att man ersätter ett tal med ett annat tal som är mindre noggrant. Det avrundade talet kallas närmevärde. Exempel 1

Avrunda 5,8 till heltal. På tallinjen ligger 5,8 närmare 6 än 5. Alltså avrundas 5,8 till närmevärdet 6. 5,8 ≈ 6. Tecknet ≈ läses ”är ungefär lika med”.

5

5,5

5,8

6,0

Avrundningsregler Sista siffran vi vill ha när vi avrundar med kallas avrundningssiffra. Är siffran efter avrundningssiffran •  0, 1, 2, 3, eller 4 ändras inte avrundningssiffran (man avrundar nedåt) •  5, 6, 7, 8, eller 9 ökar avrundningssiffran med 1 (man avrundar uppåt) Exempel 2

Exempel 3

Avrunda 4,54 till en decimal.

Avrunda 6 879 till hundratal.

4,5|4 ≈ 4,5 Sätt ett streck efter avrundningssiffran 5. 4:an till höger om strecket visar att talet 4,54 ska avrundas nedåt till 4,5.

6 8|79 ≈ 6 900 Sätt ett streck efter avrundningssiffran 8. 7:an till höger om strecket visar att talet 6 879 ska avrundas uppåt till 6 900.

Överslagsräkning Överslagsräkning kan användas för att snabbt ge ett ungefärligt svar, t.ex. när du ska kontrollera om svaret till en beräkning är rimligt. Addition: Avrunda den ena termen uppåt och den andra nedåt.

81,38 + 8,69 ≈ 80 + 10 = 90

Subtraktion: Avrunda båda termerna nedåt eller båda uppåt.

22,45 – 13,87 ≈  20 – 10 = 10 170,4 – 82,6 ≈ 200 – 100 = 100

Multiplikation: Avrunda ena faktorn uppåt och den andra nedåt. 7,84 · 3,35 ≈ 8 · 3 = 24 Division: Avrunda nämnaren till heltal och täljaren så att det blir rätt att räkna. 

63,8 66 ≈ = 11 5,69 6

Tal och tals användning | Kapitel 1  25 


grundkurs NIVÅ 1

NIVÅ 2

122 Avrunda till hundratal. a) 482 b)  96 c) 135

132 Avrunda talet 7 923,2896 till a) heltal b) tiotal c) tiondelar d) tusendelar

123 Avrunda till heltal. a) 5,3 b)  19,6 c) 10,5 124 Avrunda till en decimal. a) 23,56 b) 2,34 c) 126,746 125 Avrunda 78,5638 till a) heltal b)  hundradel c) tusendel

133 Beräkna och avrunda svaret till tiondelar. 78,574 a) b)  96,5 · 0,5 0,1 c)  123,456 · 0,01 134 I tabellen ser du en sammanställning av Sveriges 10 vanligaste yrken.

126 Per mäter en bräda till 150 cm.Vilket är det största värde som avrundas till 150 cm?

10 vanligaste yrkena

Avrunda först på lämpligt sätt och gör därefter ett överslag.

Yrke

Totalt

1

Sjukvårdsbiträden, undersköterskor m.fl.

172 829

2

Vårdbiträden, personliga assistenter m.fl.

153 117

127 a) 567 + 743

b)  67,2 – 56,8

128 a) 139 + 279

b)  44,2 − 83,5

3

Försäljare fackhandel

108 105

4

Barnskötare m.fl.

95 519

129 a) 445 · 1,8

46 b)  7,7

5

Företagssäljare

91 070

6

Förskollärare och fritidspedagoger

87 222

130 a) 4,6 · 189

599 b)  5,2

7

Övrig kontorspersonal

86 449

8

Systemerare och programmerare 78 734

9

Grundskollärare

131 Evelina har varit och handlat. Ungefär hur mycket har hon betalt? Gör ett överslag.

78 456

10 Hotell - och kontorsstädare m.fl. 71 459 VarorBelopp ������������������������ Kyckling  32.51 Yoghurt  14.90 Bananer  17.21 Mellanmjölk  10.50 Ägg 12 pack  39.90 Äpplen  23.83 A-fil  12.95 Skinka 27.90 ������������������������

26   Kapitel 1 | Tal och tals användning

Källa: SCB-Statistik-for-alla-2014.

a) Avrunda antalet grundskollärare till tusental. b) Avrunda det tredje vanligaste yrket till tiotusental. c) Hur många fler undersköterskor än städare fanns det? Avrunda ditt svar till hundratal.


grundkurs 144 Finn väger 42 kg och Irma 52 kg.Vi utgår från att deras vikter är avrundade värden. a) Hur mycket kan de som minst väga tillsammans? b) Hur mycket kan de som mest väga tillsammans? 135 Avrunda måttet till a) helt antal millimeter b) Med vilken noggrannhet mäter skjutmåttet? 136 Folkmängden i Sverige 9 737 521 personer. Avrunda antalet invånare i Sverige till a) tusental b) Vad skulle du svara om en kompis frågar dig hur många invånare Sverige har? Motivera ditt svar.

Avrunda först på lämpligt sätt och gör därefter ett överslag. 137 a) 3 478 + 534

b)  489,7 − 275,4

138 a) 2 471 · 7,3

b) 

139 a)

489 5,5

67,4 7,3 324,6 b)  2,8

140 Det sägs att för att blir riktigt bra på något måste man öva i 10 000 timmar. Ungefär hur många år skulle det ta om man har tid att träna a) 1 timme per dag b)  2 timmar per dag

NIVÅ 3 141 Vilka av följande tal kan inte avrundas till 7,5?

7,449 7,555

7,59 7,52

7,6 7,05

7,51 7,447

142 Avrunda till hundradelar a) 94,3456 b)  19,898 c) 20,99999 143 Avrunda 9 456 432,237 till närmaste a) miljontal b)  tusental c) hundradel

Fakta Medellängd Män

181,5 cm

Medellängd Kvinnor

167,7 cm

Medelvikt Män

82,9 kg

Medelvikt Kvinnor

67,4 kg

Ståplats Ullevi

32 000 st

Sittplats Ullevi

43 000 st

Sittplatser per tågset

383 st

Den 7 juni 2014 spelade artisten Håkan Hellström på Ullevi i Göteborg inför 69 349 åskådare. Det är den artist som lockat flest människor till en konsert i Sverige. 145 Om denna folkmassa skulle lägga sig på en så lång rad som möjligt rad, hur lång skulle raden bli ungefär? 146 Ungefär hur mycket pengar fick arrangören in på biljettförsäljningen om biljetterna kostade 525 kr för sittplats och 495 kr för ståplats? 147 Ungefär hur mycket vägde alla åskådare tillsammans? 148 Om hälften av åskådarna hade valt att åka tåg till konserten, hur många tåg skulle i så fall behövas? 149 Hur många bilar skulle behövas om en fjärdedel av åskådarna tog bil till konserten? Räkna med två personer i varje bil. Tal och tals användning | Kapitel 1  27 


grundkurs

1.7 DELBARHET Alla tal är delbara med varandra men med delbarhet menas här att resultatet i en division mellan tal ska gå jämnt ut, dvs. det ska bli ett naturligt tal efter division. Här följer några delbarhetsregler. Ett tal är delbart med

Regel

Exempel

2

Om sista siffran är jämn (0, 2, 4, 6, 8) är talet delbart med 2.

24/2 = 12

3

Om siffersumman är delbar med 3 är även talet delbart med 3.

Siffersumman av talet 123 är 1 + 2 + 3 = 6  6 är delbart med 3. 123/3 = 41

4

Om de två sista siffrorna i talet är delbara med 4 är även talet delbart med 4.

56 712   12/4 = 3 56 712/4 = 14 178

5

Om talet slutar på 0 eller 5 är det delbart med 5.

115/5= 23

6

Om talet är delbart med både två och tre är det delbart med 6.

408 är delbart med 2 och 3 (jämnt tal och siffersumma 12) 408/6 = 68

7

Stryk talets sista siffra. Dubblera den. Subtrahera resultatet i dubbleringen från det nya talet. Avgör om det nya talet är delbart med 7. Annars upprepa till det går. Om resultatet är delbart med 7 så är även originaltalet delbart med 7.

392   39 – 2 · 2 = 35 35/7 = 5 392/7= 56

8

Om de tre sista siffrorna i talet är delbara med 8 är även hela talet delbart med 8.

2 839 360   360/8 = 45 2 839 360/8 = 354 920

9

Om siffersumman är delbar med 9 är även talet delbart med 9.

Siffersumman av talet 2 538 är 2 + 5 + 3 + 8 = 18 18 är delbart med 9. 2538/9 = 282

10

Om talet slutar på en nolla så är det delbart med 10.

890/10 = 89 

gruppUPPGIFT

Använd delbarhetstabellen och arbeta parvis. Hitta ett tal som är delbart med så många av faktorerna 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 eller 9 som möjligt. Det par som hittar flest faktorer vinner.

28   Kapitel 1 | Tal och tals användning


grundkurs NIVÅ 1 150

Fem snabba om delbarhet

Ja

Nej

a)  Är 63 delbart med 2? b) Om ett tal slutar på 3 är det delbart med 3. c)  148 är delbart med 4. d)  Är 54 482 delbart med 5? e)  Är 510 delbart med 3?

151 Ge två exempel på tvåsiffriga tal som är delbara med två. 152 Är 834 delbart med a) 2 b) 3 c) 5 Motivera ditt svar. 153 Ge tre exempel på tal som 300 är delbara med.

159 Linnea kan köpa brädor med följande längder: 2,5 m 3,3 m samt 4,2 m. Hon behöver 10 st bitar som är 90 cm. Kostnaden per löpmeter är 11,70 kr. a) Hur många och vilka längder ska hon köpa för bästa pris? b) Vad kostar brädorna hon köper?

154 Skriv en siffra till vänster och en siffra till höger om 12 så att det nya talet blir delbart med 3.

NIVÅ 3

NIVÅ 2

161 Vilken siffra kan du ersätta X med i talet 35 42X för att talet ska vara delbart med a) 3   b) 5  c) 9 Motivera ditt svar.

155 Vad ska stå i rutorna så att likheten stämmer? Använd heltal. a) 24 = 2 · = · · b) 36 = · · = · =  · 156 Ge tre exempel på tresiffriga tal som alla är delbara med tre. 157 Varför är inte 3 528 delbart med talen 5 eller 10? Motivera ditt svar. 158 Vilka är talen? 1. Talen är tvåsiffriga. 2. I talen tiotalssiffran är större än entalsiffran. 3. Talen är delbara med 3.

160 Varför är inte 7347 delbart med 7? Motivera med hjälp av delbarhetsreglerna.

162 Vilket är talet? 1. Talet är större än 200 men mindre än 400. 2. Talet är udda. 3. Talet är delbart med både 3 och 5. 4. Siffersumman är 15. 5. Hundratalssiffran är en 3:a. 163 Ta fram regeln för delbarhet med tolv. Använd delbarhetsreglerna och undersök olika tals delbarhet med siffran tolv.

Tal och tals användning | Kapitel 1  29 


grundkurs

1.8 Primtal Ett primtal är ett heltal som endast är delbart med 1 och sig självt. Ett sammansatt tal är delbart med fler tal än sig själv och 1. Tal

Faktoruppdelat

Primtal

2

1 · 2

Primtal

3

1 · 3

Primtal

4

1 · 4 eller 2 · 2

Sammansatt tal

5

1 · 5

Primtal

6

1 · 6 eller 2 · 3

Sammansatt tal

Sammansatta tal kan delas upp i faktorer som består av primtal. De kallas därför primtalsfaktorer. Genom att multiplicera primtal kan man bilda alla sammansatta tal. Många matematiska problem kan lösas med hjälp av primtal. Exempelvis bygger delar av säkerheten på Internet på matematik kopplad till primtal.

För att hitta alla primtalsfaktorer kan man använda sig av ett faktorträd. Exempel 1

Exempel 2

Är 12 ett primtal?

Dela upp talet 250 i primtalsfaktorer med hjälp av ett faktorträd.

12 2

250

6 2

3

2

125 5

12 = 2 · 2 · 3 Svar: Nej, 12 kan delas upp i faktorerna 2 och 3.

25 5

5

Svar: 250 = 2 · 5 · 5 · 5

gruppUPPGIFT

Dela in nedanstående tal i minst tre olika grupper där talen har en gemensam egenskap. Motivera dina val. Diskutera med kamrat. 13 21 65 50 14 43 99 27 12

30   Kapitel 1 | Tal och tals användning


grundkurs NIVÅ 1 164 Vad menas med ett primtal? 165 Vilket av talen är ett primtal? 12  13  14  15 166 Vilka primtalsfaktorer bygger upp talet 24? Använd dig av ett faktorträd. 167 Talet 90 ska delas upp i primtalsfaktorer. Yassin kom då fram till följande lösning.

90 2

174 Använd dig av ett faktorträd och dela upp talet 1 000 i primtalsfaktorer. a) Vilka primtalsfaktorer bygger upp talet? b) Hur många olika primtalsfaktorer har talet?

NIVÅ 3

45 5

173 Använd dig av ett faktorträd och dela upp talet 354 i primtalsfaktorer. a) Vilka primtalsfaktorer bygger upp talet? b) Hur många olika primtalsfaktorer har talet?

9

Vad kan Yassin och vad behöver han lära sig?

168 Vilka primtalsfaktorer bygger upp talet 85? Använd dig av ett faktorträd.

NIVÅ 2 169 Vilket av talen är ett sammansatt tal? 101  103  105  107 170 Vilket är det enda jämna primtalet? Motivera varför detta är ett primtal. 171 Det finns två primtal mellan 60 och 70. Beräkna deras a) summa b) differens 172 Bilden nedan visar de åtta första primtalen. Vilka är nästa fem primtal?

175 Produkten av två primtal används ibland som en kod.Vilka två primtal ger koden a) 235 b) 141 c) 119 176 Talet 540 ska delas upp i primtalsfaktorer. Vilket av följande alternativ är korrekt? A 2 · 2 · 3 · 3 · 15 B 2 · 3 · 3 · 10 C 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 D 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 177 Använd dig av ett faktorträd och dela upp talet i primtalsfaktorer. a) 835   b)  1 020   c)  2 704 178 Vad har talen 2 835 och 3 915 gemensamt och vad skiljer dem åt? Använd faktorträd och ge minst tre exempel på likheter respektive skillnader. Jämför din lösning med en kompis.

Tal och tals användning | Kapitel 1  31 


kapiteldiagnos A Nivå 1 - 2 A1 Vilket decimaltal är störst av a) 4,8 och 4,75 b) 0,214 och 0,3 A2 Vad blir summan av de tre första tvåsiffriga talen? A3 Välj metod och beräkna a) 2 345 + 5 432 b) 93,2 – 67,8 c) 3,5 · 16

d)

387 9

A4 Skriv som gram (g). a) 2 kg b) 4,5 kg c) 7 hg A5 Skriv som deciliter (dl). a) 5 l b) 300 cl c) 200 ml A6 Vilket tal ska stå i stället för x? a) 5,605 · x = 56,05 b) 6 = 0,06 · x

c)

870 = 8,7 x

d)

75 = 750 x

A7 Ordna uttrycken efter storlek. Börja med det minsta.

A 400 · 0,25

B

40 0,05

0,25 C 40

D

40 0,25

A8 Avrunda talet 36,74 till a) tiotal b) tiondelar

c) heltal

A9 Gör ett överslag vad 1,4 kg ost kostar om du vet att 1 kg ost kostar 97,50

1,4 kg ? kr

A10 Vilket av följande tal är delbart med 3? Motivera ditt svar. A 121   B 459   C 673 A11 Dela upp talet 92 i primtalsfaktorer. A12 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna A1-A11.

32   Kapitel 1 | Tal och tals användning


kapiteldiagnos B Nivå 2 - 3 B1 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta. 3,9 3,98 3,998 3,889 3,89

B7 Vilket är störst? Motivera ditt svar.

99,57 0,97

A

B2 Ge exempel på tre faktorer som ger produkten 50.

B  0,97 · 99,57

B3 Välj metod och beräkna a) 234,5 + 54,32 b) 2 378 – 678,2 c) 3,5 · 9,7

B8 a) Vilket är det minsta talet som kan avrundas till 3? b) Vilket är det största talet som kan avrundas till 3?

d)

3 807 9

B4 Skriv som kilogram (kg). a) 2,6 ton b) 362 g c) 0,5 hg B5 Klass 7A ska ordna en klassfest. När de ska beräkna hur mycket läsk de ska köpa, tror de att 25 st ska komma och att de dricker 40 cl var. Hur många liter ska de köpa?

B9 Gör ett överslag vad 1 kg godis kostar om du vet att 505 g kostar 47 kr. B10 Ge tre olika exempel på tal som är delbara med 2 och 5. Motivera ditt svar. B11 Dela upp talet 1 000 i primtalsfaktorer. B12 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna B1-B11.

A 1l   B  10 l   C  100 l    D  1 000 l

B6 Vilket tal ska stå istället för x?

a)

590 · 100 = 5 900 x

b)

5,75 · x = 575 10

c)

345 · x = 3,45 10

d)

16 · 0,1 = 160 x

Tal och tals användning | Kapitel 1  33 


Tillämpa förmågorna

Tillämpa kapitel 1 förmågorna 2

Tillämpa förmågorna

Här följer tre större uppgifter där ni under arbetets gång övar alla förmågorna i matematik: P PROBLEMLÖSNING B BEGREPP M METOD R RESONEMANG K KOMMUNIKATION

Uppgifterna varierar i storlek och kan ta allt ifrån en lektion till någon vecka. Ofta arbetar ni i grupp och hur ni redovisar bestämmer ni tillsammans med er lärare.

1

Behöver ni pengar till Laget? Ta då chansen att enkelt få ihop tillräckligt för sommarens läger. Ni får nu tillfälle att ordna kiosk under Höstlovscupen. Förra året fick de ihop minst 7 000 kr! Helt säkert kan ni tjäna ännu mer.

2

MiLo behöver en PT! Hjälp till att coacha mot nya matematiska höjder. Det gick inte så bra på senaste matteprovet. Milo vill att det ska gå bättre. Hjälp till att hitta vad som behöver tränas.

3

Hur lite behövs EGENTLIGEN för att göra stor skillnad? Jorden behöver dig. Nu får du chansen att påverka på riktigt. Starta ett nätuppror på skolan. Beräkna, gör propaganda och påverka!

34   Kapitel 1 | Tal och tals användning


tillämpa förmågorna 1

HÖSTLOVS

Höstlovscupen UPPGIFT

Din klubb ska anordna en höstlovscup. Erbjudandet att arrangera en kiosk har gått till ert lag och förtjänsterna går oavkortat till lagkassan. Detta passar er utmärkt då ni till sommaren ska på träningsläger och behöver pengar.

C U PE N När

Tisdagen de n 28/10 09.00-16.00

Var

Centrala idro

An mälan

ttshallen

Senast 15/1 1 Lagvis

Hur gör ni? Presentera en budget med tänkta inkomster och utgifter. Förra höstlovscupen hade 120 deltagande ungdomar och ett 60 tal föräldrar. I år förväntas minst lika många deltagare och föräldrar.

Tal och tals användning | Kapitel 1  35 


tillämpa förmågorna 2

Coacha MiLo UPPGIFT

En sjundeklass någonstans i Sverige har haft sitt första matteprov. En av eleverna heter Milo. Milo har förstått en hel del, men några saker har Milo missat. Er uppgift:

Bedömningen avser 2 3 4

2 Fundera på hur Milo tänkt när Milo räknat uppgifterna. Rita av matrisen till höger och använd den för att kommentera provet.

5

4 Föreslå vad Milo behöver träna på för att lära sig det Milo ännu inte behärskar. 5 Konstruera ett nytt prov med fem uppgifter som visar Milos nyvunna kunskap.

36   Kapitel 1 | Tal och tals användning

Fel

1

1 Rätta provet.

3 Lyft fram minst tre saker som Milo är bra på.

Rätt

6 7 8 9 10 Sammanlagd bedömning enligt ”Two stars and a Wish”.

Kommentar


tillämpa förmågorna 2 PROV ÅK 7 Beräkna 1) a) 6 · 0,5

MIlOS SVAR

b)  60 · 0,1

c) 6/0,5

2) Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta. 0,100 0,90 0,12 0,45769 0,076 3) Vilket svaren ger uppgiften 0,6 · 0,5? A 0,65 B 30 C 0,30 D 3,0

1

a) 3

2)

0,12  0,076  0,90  0,100  0,45769

3)

D

4)

a)

3 · 1 1 61 + 3 2 0

b)

1 6, 1 5 + 7, 9 6, 9 4

4) Ställ upp och räkna ut. a) 336 · 15 b)  6,15 + 7,9 5) Är det någon skillnad på värdet av 4,9 och 4,90? 6) Gör ett överslag. 728 · 4,8 7)

Avrunda 228,728 till a) tiotal b) tiondelar c) hundradelar

8) Hur många tal finns det mellan 0,47 och 0,48? A oändligt många tal B inget tal C ett tal D mellan två och åtta tal 9) Vilken siffra är hundradelssiffra i talet 513,426? A 6 B 5 C 4 D 3 E 2 F 1

b) 61

c) 12

3 1 8 3 1

6 5 3 1 0 6 6

5)

Nej, båda talen betyder 4 hela och 9 tiondelar.

6)

728 · 5 = 3 500 + 100 + 40 = 3 640

7)

a) 230,728 b) 228,7 c) 228,73

8)

C

9)

C

10)

405 5

81 9

9

10) Dela upp talet 405 i primtalsfaktorer.

Tal och tals användning | Kapitel 1  37 


tillämpa förmågorna 3

En liten insats gör stor skillnad! En av de störst bidragande orsakerna till att planeten mår dåligt är att vi slösar med jordens resurser. Den resurs som vi lätt skulle kunna minska förbrukningen av är energi. För att få alla våra elektriska apparater att fungera krävs elektricitet. Minskar vi användandet av elektriska apparater - minskar också behovet av el. Hur snabbt en apparat gör av med energi kallas effekt och mäts i enheten watt (W). En apparat som har effekten 600 W gör av med mer energi än en som förbrukar 30 W. El är inte gratis. Förutom att vi sparar miljön sparar vi också pengar när vi gör av med mindre el. Elpriset kan variera mellan olika elbolag och man betalar en viss kostnad per förbrukad kilowattimme (kWh). Elbolaget

Rörligt elpris

Totalpris för elhandel 82 öre/kWh

På alla elektriska apparater står det hur stor deras effekt är.

EXEMPEL

Hur mycket skulle vi i Sverige spara per år på att inte torka håret med hårtork? Så här mycket skulle familjen Johansson spara per år. Antal: 3 personer Torktid 5 min/ dag => 3 · 5 · 365 min/år = 5 475 min/år => 5 475/60 h/år ≈ 91 h/år Hårtorkens effekt: 1 000 W Energiförbrukning per år: 1 000 · 91 = 91 000 Wh => 91 kWh (1 000 Wh = 1 kWh) Kostnad per kWh: 0,82 kr (hos Elbolaget ovan) Total kostnad: 91 · 0,82 kr = 74,62 kr ≈ 75 kr Familjen Johansson sparar 75 kr per år om de inte använder hårtork. Det finns nästan 10 miljoner människor i Sverige.Vi tänker oss att en fjärdedel av befolkningen i Sverige använder hårtork lika mycket som familjen Johansson. 10 miljoner människor = 2,5 miljoner människor 4 75 kr = 25 kr. Var och en av dessa sparar el för 3 Tillsammans kan de spara el för: 2 500 000 · 25 kr = 62 500 000 kr (62,5 miljoner kr).

38   Kapitel 1 | Tal och tals användning


tillämpa förmågorna 3

UPPGIFT

Effekt W Användning Tvättmaskin

1 250

1 h/dygn

Frys

120

Kyl

100

Spisplatta

1 500

40 min/dygn

Ugn

1 500

2 h/vecka

TV, användning

140

3 h/dygn

TV, stand by

10

21 h/dygn

Dator med skärm, användning

125

1 h/dygn

Dator med skärm, stand by

15

23 h/dygn

Strykjärn

1 000

1 h/vecka

Dammsugare

1 000

1 h/vecka

Hårtork

1 000

1 h/vecka

Källa: Energi- och klimatrådgivningen

Nu är det din tur. Här nedan följer ett antal exempel på undersökningar. Låt endast fantasin sätta gränser. Hitta på egna kreativa spartips och gör redovisningar som kan påverka din klass eller skola. • Så här mycket sparar du på att stänga av en apparat på fjärrkontrollen istället för med strömbrytaren per år. • Så här mycket sparar du på att inte glömma laddaren i uttaget per år? • Så här mycket extra kostar det att titta på tv med surround-systemet i gång? • Om du borstar tänderna utan eltandborste sparar du så här mycket. • Om vi inte hade slarvat med att släcka lamporna i skolan hade vi kunnat spara … • Hur mycket skulle skolan tjäna på att installera rörelsesensorer som strömbrytare? • Vad skulle vi tjäna på att byta ut alla lampor till LED-lampor?

Tal och tals användning | Kapitel 1  39 


träna mera 1.1 Tal

14 Hur mycket kostar 3,5 kg bananer?

Skriv talen i decimalform  1 a) tre tiondelar b) sex tiondelar c) tjugo hundradelar

18 kr/kg

 2 a) tre hela och fem tiondelar b) tre hela och fem hundradelar c) nio tusendelar  3 Skriv det tal som är en tiondel större än a) 0,10 b) 53,7 c) 53,07  4 Skriv tre tal som är större än a) 3 men mindre än 4 b) 3,5 men mindre än 3,6

15 Kilopriset för köttfärs är 96 kr. Hur mycket får Oskar betala för 0,75 kg?

 5 Rita av tallinjen och placera ut talen 0,9    0,10     1,5    3,5    3,6   

16 Inför semestern i Grekland växlade Kim till sig 500 euro. Hur mycket var det i svenska kronor om en euro är 9,85 kr?

0

1

2

3

4

 6 Hur vet du att a) 0,9 är större än 0,10 b) 10 är större än 9

1.2 De fyra räknesätten Beräkna  7 a) 340 – 270 b)  650 – 490 c)  490 + 456  8 a) 867 – 76

b)  8,67 – 6,7 c)  867 + 76

 9 a) 66,7 – 22,9 b)  7,6 + 44,8 c)  779 – 195 10 a) 4 · 244

b)  4 · 488

c)  8 · 488

11 a) 5 · 435

b)  14 · 23

c)  3,5 · 44

335 528 492 12 a) b)  c)  5 2 8 13 a)

376 476 576 b)  c)  8 7 6

40   Kapitel 1 | Tal och tals användning

17 Ett varv på en löparbana är 400 m. Hur många varv springer man under ett lopp på 10 000 m?

1.3 ENHETER FÖR VIKT OCH VOLYM Byt enhet 18 a) 4 l = __ dl c) 5 l = __ cl

b)  200 dl = __ l

19 a) 60 ml = __ cl c) 5 l = __ cl

b)  60 ml = __ l

20 a) 5,2 kg = __ g c) 43 hg = __ kg

b)  1,7 hg = __ g

21 Välj lämpligt prefix. a) En häst väger 500 __g b) Ett äpple väger 2 __g c) En hink rymmer 1 000 __l d) Ett dricksglas rymmer __l


träna mera 1.4 multiplikation och division med 10, 100, 1 000

30 Olga multiplicerade ett tal med 0,01 och fick svaret 9,2.Vilket var talet?

22 Vilket tal ska stå istället för x?

a) 9,5 · x = 9 500

c) 690 = x · 6,9

780 = x 78   430 d)  = 4,3 x   b) 

23 Skriv av och gör färdigt tabellen.

· 10

· 100

6,073 0,94

1.5 multiplikation och division med tal mellan 0 och 1 24 Skriv av och gör färdigt tabellen. /0,01

/0,001

6,073 0,94

32 Avrunda till tiotal a) 89 b) 71,6

c) 237,8

33 Avrunda till hundratal a) 678 b) 678,5

c)  1 345

34 Avrunda till tiondelar a) 3,57 b) 0,46

c) 7,23

35 Vilket är a) det största heltal som kan avrundas till 50 b) det minsta heltal som kan avrundas till 50

25 Vilket tal ska stå i rutan?

a) 560 ·   = 5,6

b) 

c)

d)  15 ·   = 0,015 

 · 2,7 = 0,27

 · 2 500 = 25

Beräkna

27 a)

c) 14,49

36 Gör ett överslag. a) 678 + 435

607

26 a) 80 · 6

31 Avrunda till heltal a) 8,9 b) 71,6

· 1000

607

/0,1

1.6 Avrundning och ÖVERSLAGSRÄKNING

b)  800 · 0,6

c)  8,0 · 0,6

32 32 32 b)  c)  0,4 0,04 4

28 Ett rep är 5,4 m långt. Hur många bitar på 0,6 m räcker det till?

c) 77,2 – 46,7

b)  623 · 2.9 d) 

57,2 8,1

37 Ungefär hur många bor det sammanlagt i de fem största städerna i Sverige? Gör ett överslag. Stad

Folkmängd

Stockholm

1 372 565

Göteborg

549 839

Malmö

280 415

Uppsala

140 454

Västerås

110 877

29 En enkrona väger 7 g. Hur många enkronor finns det i en hög som väger 3,5 kg?

Tal och tals användning | Kapitel 1  41 


träna mera 1.7 delbarhet 39 Beräkna siffersumman till talen a) 448 b) 345 c) 18 40 Vilka av talen 448, 345 och 18 är delbara med a) 2 b) 5 c) 3 41 Skriv ett tresiffrigt tal som är a) udda och delbart med 3 b) jämnt och delbart med 3 42 Du har talet 90. Dela upp talet i a) 2 faktorer b) 3 faktorer c) 4 faktorer 43 Skriv en siffra till höger om 13 så att talet blir delbart med a) 2 b) 5 c) 10 d) 3

12 kWh. Så mycket elektrisk energi förbrukar en generell iPad under ett helt år enligt Electric Power Research Institute, EPRI. Det är enligt samma undersökning mindre än en sjättedel av vad en PC-laptop förbrukar under samma tidsperiod. Antal elever i Sveriges grundskolor, 2015: 909 700 st

1.8 Primtal 44 Använd dig av ett faktorträd och dela upp talet i primtalsfaktorer. a) 30 b) 145 c) 64 45 Undersök om följande är primtal. Förklara varför de i så fall inte är det. a) 27 b) 47 c) 39

Kostnaden för 1 kWh, 2014: 82 öre/kWh

46 Vilka olika primtalsfaktorer finns det i talet 60?

38 Vad skulle energikostnaden bli att använda iPads i skolan om alla Sveriges elever hade tillgång till iPads?

47 Vilket av talen är ett sammansatt tal? 19  43  51  67

42   Kapitel 1 | Tal och tals användning


fördjupning

Pythagoréerna var ett sällskap som sysslade mycket med matematik. Pythagoras (569-500 f.Kr.) var deras ledare. De menade att vissa tal var perfekta och de kände då till fyra stycken där 6 är det första. Sedan dess har man upptäckt flera. År 2013 är det kända antalet perfekta tal 48 stycken. Hittills har man inte hittat något udda perfekt tal, men inte heller bevisat att det inte finns. Ett perfekt tal är ett tal där summan av talets delare, utom talet själv, är lika med talet. 4 kan delas med 1, 2 och 4 6 kan delas med 1, 2, 3 och 6 18 Kan delas med 1, 2, 3, 6, 9 och 18

1 + 2 = 3 1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21

  1 Är talet 100 ett fattigt, rikt eller ett perfekt tal?  2 Hur stor är summan av de fattiga talen under 10?  3 Det finns två perfekta tal som är mindre än 30. Det ena är 6.Vilket är det andra?  4 Haley ska köpa lökar till sin trädgård. Hon vill ha lika många tulpaner som påskliljor. Tulpanerna säljs i 20-pack och påskliljorna i 18-pack. Hur många ska hon ta av varje paket för att det ska bli lika många lökar?  5 Följande tal finns: 2, 3, 12, 14, 15, 20 och 21. Dela upp dessa i två delar så att produkten av varje del blir lika. Arbeta gärna i par och undersök ifall det finns fler än en lösning. Byt med några kompisar och jämför lösningarna och ge varandra respons.

  6 Vilka ensiffriga tal är talet 110110011 delbart med? Motivera ditt svar.   7

3 < 4 Ett fattigt tal. 6 = 6 Ett perfekt tal. 21 > 18  Ett rikt tal.

 8 År 1742 påstod Goldbach, som var en berömd matematiker, att alla jämna tal större än 2 kunde skrivas som summan av två primtal. Talet 18 är summan av 13 och 5 till exempel. Pröva nu om detta stämmer för talen: 14, 28 och 42.  9 Primtal som bara har ett enda tal mellan sig kallas för primtalstvillingar. Till exempel är talen 11 och 13 primtalstvillingar. Vilka primtalstvillingar kan du hitta bland de första 50 naturliga heltalen? 10 Din kompis säger: “Subtraherar man ett tresiffrigt tal med talet skrivet baklänges så är resultatet delbart med 9.”

a) Pröva och se ifall uttalandet stämmer. b) Behöver uttalandet korrigeras? c) Försök förklara.

Byt med en kompis och jämför lösningarna och ge varandra respons.

Ge exempel på två primtal där a) differensen är 14 b) summan är 40 c) produkten är ett tal mellan 30 och 40

Tal och tals användning | Kapitel 1  43 


fördjupning 11 I en magisk kvadrat blir det samma resultat om du adderar talen i en vågrät rad, en lodrät rad eller längs diagonalerna. Sätt ut talen 1-9 i kvadraten.

12 Den genomsnittliga körsträckan för en bensindriven bil i Sverige var ett år 1 068 mil. Då fanns det ungefär 4,5 miljoner bilar i Sverige, av vilka 923 000 var dieselbilar.

En bensindriven bil förbrukar i genomsnitt 0,83 l/mil och en dieseldriven 0,68 l/mil. De dieseldrivna bilarna körs ungefär 700 mil längre än de bensindrivna bilarna.

a) Ungefär hur mycket diesel förbrukas av bilar i Sverige per år?

b) Ungefär hur mycket bensin förbrukas av bilar i Sverige per år?

13 Vilket tal är jag? Gissa när du fått tillräckligt med ledtrådar.

Ledtrådar •  Jag är delbar med 2 och 3. •  Jag är ett tresiffrigt tal. • Två av mina siffror samma. •  Jag är delbar med 5. •  Jag är delbar med 10. •  Jag är ett jämnt hundratal. •  Jag är över 700.

44   Kapitel 1 | Tal och tals användning

14 Rita av tabellen och placera in fem berg från högst till lägst. Följ ledtrådarna.

•  Det skiljer 386 meter mellan det högsta och det lägsta berget.

Berg Höjd 1. 2. 3. 4. 5.

•  Berget som är på tredje plats är 70 meter högre än berget Lhotse.

•  Lhotse är på näst sista plats och är 54 m högre än det lägsta berget.

•  Makalu är 8 462 m och är 149 m lägre än K2.

•  Berget som är på tredje plats är 25 m lägre än K2.

•  Mount Everest är högst och är 8 848 m.

•  Kangchenjunga är 8 586 m.

•  Det skiljer 237 m mellan Mount Everest och K2.


fördjupning 15 Här följer fyra lösningar till en uppgift. En ska bort.Vilken och varför? Motivera ditt svar med begrepp ur begreppslistan nedan. Jobba först själv därefter med en kompis.

Begreppslista Fullständig lösning Avrundad lösning Generell lösning Korrekt lösning Lättförståelig lösning Strukturerad Enhet Struktur Säkra beräkningar Tolkar Analyserar

6 tomater kostar 20 kr. En tomat väger i genomsnitt 60 g.Vilket blir kilopriset?

1 000 = 50 20   50 + 6 = 56 Svar: 56

A

B 6 st tomater = 20 kr 1 tomat = 60 g 6 · 60 = 6 tomater = 360 g

1 000 ≈3 360

20 – 3 = 60 Svar: 60 kr

C 6 st tomater väger 360 g 6 · 60 = 360 g 360 g = 20 kr 20 = 0,055 kr 360

0,055 · 1 000 = 55 kr Svar: Kilopriset är 55 kr.

D 1 tomat kostar 3,3 kr

1 000 = 16,6 60

16,6 · 3,3 = 54,78 Svar: 54,78 kr

16 Konstruera en egen uppgift, enligt samma mönster som förra uppgiften. Byt därefter med en kompis och lös varandras uppgifter.

Tal och tals användning | Kapitel 1  45 


begrepp

Tal

Ett tal skrivs med siffror. Det finns oändligt många tal.

Siffra

Ett av de tio tecken vi skriver våra tal med. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Naturligt tal

Ett av talen 0, 1, 2, 3 osv.

Decimal

Siffra till höger om decimaltecknet i ett tal som är skrivet i decimalform. Ex. siffrorna 6 och 7 är decimaler i talet 5,67.

Heltal

Något av de naturliga talen och det motsatta talet till det naturliga talet. Ex. -8 och +8, -10 och +10

Jämnt tal

Heltal som är delbart med 2 Ett jämnt tal slutar med 0, 2, 4, 6 eller 8.

Udda tal

Heltal som inte är jämna är udda. Ett udda tal slutar med 1, 3, 5, 7 eller 9.

Primtal

Ett primtal är ett tal som endast kan delas med 1 och sig självt. Talet måste vara ett heltal som är större än 1.

Sammansatt tal

Heltal som är produkt av två heltal (men inte 1 och -1). Ex. 12 = 4 · 3

Primtalsfaktor

En faktor som är ett primtal. Talen 2 och 3 är primtalsfaktorer i 36, medan 6 och 9 är faktorer som inte är primtalsfaktorer då de kan delas i primtalsfaktorer.

Positionssystemet

Ett talsystem där värdet av en siffra bestäms av siffrans plats (position) i talet. Siffran längst till vänster har högst värde och siffran längst till höger lägst värde. Ex. 456,357. Siffran 4 har värdet 400. Siffran 7 har värdet 0,007.

46   Kapitel 1 | Tal och tals användning


begrepp

Addition

Räknesätt där tal eller uttryck läggs ihop, man adderar. 16 + 19 = 35 term + term = summa

Subtraktion

Räknesätt där tal eller uttryck minskas med varandra, man subtraherar. 35 – 19 = 16 term – term = differens

Multiplikation

Räknesätt som är upprepad addition (för de naturliga talen). 4 · 5 = 20 faktor · faktor = produkt

Division

Räknesätt där man delar upp något eller undersöker hur många gånger något får plats i något annat, man dividerar. Olika tecken kan användas: 12 täljare =4 = kvot 12/3 = 4   12:3 = 4    3 nämnare   

Delbarhet

Alla tal är delbara med varandra men med delbarhet menar vi att resultatet i en division ska gå jämnt ut, dvs. det ska bli ett naturligt tal efter division. Ex.

Avrundning

6 =2 3

12 7 2 eller . = 3 men inte 4 3 3

Att ersätta ett tal med ett tal som ligger nära talet men är mindre noggrant. Om sista siffran man vill ha med följs av •  0, 1, 2, 3, 4 avrundar man nedåt. •  5, 6, 7, 8, 9 avrundar man uppåt.

Ex. 45,4 ≈ 45   45,5 ≈ 46

Närmevärde

Ett ungefärligt värde ofta skrivet i decimalform. Allt man har mätt är ett närmevärde.

Överslagsräkning

Räkning med avrundade tal för att snabbt kunna kontrollera om svaret till en beräkning är rimligt.

Tal och tals användning | Kapitel 1  47 


sammanfattning

Du ska kunna

Exempel

Skriftliga räknemetoder

Beräkna 93,07 + 68,59

Lösningsförslag 1

Beräkna 93,07 - 68,59 Beräkna 36 · 15

335 Beräkna 5

Räknemetoder för huvudräkning

87 + 59 1 Talsorter för sig. 2  Göra om talen. 116 – 89  1  Börja med det ena talet. 2 Använda addition när det är subtraktion. 3 Addera eller subtrahera varje tal med samma värde. 4,25 · 20 1  Dubblera och halvera. 2  Dela upp i faktorer. 3  Dela upp i termer.

· 11 + 3 5

3 1 8 6 4

6 5 0

10 10 10

9 3, 0 7 – 6 8, 5 9 2 4, 4 8 3

3

3

3 3 5 = 67 5

0

1  80 + 50 + 7 + 9 = 130 + 16 =146 2  86 + 60 = 146

1  116 – 80 = 36; 36 – 9 = 27 2  89 + ? = 116 3  116 – 89 = 117 – 90 = 27 

1  8,5 · 10 = 85 2  4,25 · 2 · 10 = 8,5 · 10 = 85 3  (4 + 0,25) · 20 = 80 + 5 = 85

6,3 5

1 Dubblera

1 

108 18

2 Halvera

2

48   Kapitel 1 | Tal och tals användning

1

9 3, 0 7 + 6 8, 5 9 1 6 1, 6 6

6,3 12,6 = = 1,26 5 10

108 54 = =6 18 9  


sammanfattning

Du ska kunna

Exempel

Lösningsförslag

Avrundning och överslagsräkning

Du har mjölk och ost i korgen i mataffären. Har du pengar så det räcker?

Mjölken kostar 13,20 kr och osten 36,27 kr. 14 + 36 = 50 Ja, om du har 50 kr eller mer.

Hur många bussar behövs för att transportera 311 personer från ett tåg som gått sönder?

På en buss finns det plats för cirka 50 personer. 311 ≈ 6,22 50

Det behövs 7 bussar.

Delbarhetsregler

Primtal och sammansatta tal

Primtalsfaktorisering

Alla jämna tal är delbara med 2.

24/2 = 12

Alla tal med siffersumman 3 är delbara med 3.

1 722 har siffersumman 12 och är därför delbart med 3. 1 722/3 = 574

Alla tal som slutar med 0 eller 5 är delbara med 5.

60/5 = 12, 75/5 = 15

Är 27 och 29 primtal?

27 är inte ett primtal eftersom 27/3 = 9. 29 är bara delbart med 1 och 29 och är ett primtal.

Är 6 ett sammansatt tal?

Ja, för 2 · 3 = 6 och 2 och 3 är primtal.

Primtalfaktorisera talet 147.

147 3 · 49 7 · 7

147 = 3 · 7 · 7

Tal och tals användning | Kapitel 1  49 


kapitel 2

Algebra och ekvationer

50 â&#x20AC;&#x192; Kapitel 2 | Algebra och ekvationer


PROBLEMLÖSNING

P

BEGREPP

B

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

CENTRALT INNEHÅLL • Prioriteringsreglerna • Begreppen variabel och konstant • Tolka och skriva uttryck med variabler och konstanter • Förenkla och beräkna värdet av ett uttryck • Använda formler • Metoder för att lösa ekvationer

sidorna 72–75

Tillämpa förmågorna i projekt: Hinner bilen stanna? Får vi verkligen plats? Hur stor blir poolen?

gruppUPPGIFT

Här har ni exempel på priser i en fruktaffär. Nedanstående beräkningar görs i fruktaffären. Beskriv uttrycket/ händelsen med vanligt språk. a) 2 · 24 + 18 b) 50 – 2 · 18 c) 0,5 · 24,5 d) 100 – 2 · 29 e) 5 · x f) 18 · x + 5 · x

Skriv egna uttryck för köp av frukt. Diskutera dem i grupp. Presentera i klassen.

24 kr/kg 5 kr/st

20 kr/kg 18 kr/st

24,50 kr/kg

29 kr/ask

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  51 


grundkurs

2.1 Prioriteringsregler EXEMPEL 1

Oliver går till affären och handlar två glassar för 15 kr/st. Han betalar med en 100 kr-sedel. Hur mycket ska han få tillbaka? Enkel huvudräkning ger svaret 70 kr. Ett uttryck för händelsen skrivs: 100 – 2 · 15 = 70 I uttrycket finns två olika räknesätt.Vilket räknesätt man börjar med har betydelse. Alt. 1. Räkna från vänster, dvs. först subtraktion och sedan multiplikation. 100 − 2 · 15 = 98 · 15 = 1 470

Ett helt orimligt svar! Oliver skulle få tillbaka mer pengar än de 100 kr han betalade med.

Alt. 2. Rätt ordning bland räknesätten. 100 − 2 · 15 = 100 − 30 = 70

Nu blir det rätt. Slutsatsen av detta blir att multiplikation ska göras före subtraktion.

När man räknar uppgifter med blandade räknesätt måste man prioritera i vilken ordning man ska räkna. I beräkningar med blandade räknesätt gäller följande prioriteringsregler. De talar om i vilken ordning du ska räkna. 1. Parenteser 2.  Multiplikation och division 3.  Addition och subtraktion Exempel 2

Beräkna 4 · (2 + 3) + 14/2 Lösning: 4 · (2 + 3) + 14/2 = 4 · 5 + 14/2 först beräknas parentesen sedan multiplikation och division 4 · 5 + 14/2 = 20 + 7  20 + 7 = 27 sist addition Svar: 27

52   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer


grundkurs NIVÅ 1

NIVÅ 3

Beräkna

Beräkna

 1 a) 2 + 3 · 4

b)  2 · 3 + 4

c)  (2 + 3) · 4

13 a) (32 − 8) ∕ (4 + 6) b)  32 − 8 ∕ 4 + 6

  2 a) 7 − 2 · 3

b)  7 · 2 − 3

c)  (7 − 2) · 3

14 a) (32 − 8) ∕ 4 + 6

 3 a)

6 + 4 2

 4 a) 2 + 5 · 6

b)  2 +

6 3

b)  5 · 6 + 2

c) 

(2 + 6) 4

c)  (2 + 5) · 6

 5 Beräkna 2 + 3 · 4.Välj rätt alternativ. A  24 B  20 C  12 D  14  6 Skriv av och sätt ut rätt tecken så att 2 4 8 blir a) så stort som möjligt b) så litet som möjligt

15 a)

 9 a)

2 (0,54 + 0,55 − 0,59)

17 Sätt ut parenteser till 3 · 36 − 6 · 5 så att a) svaret blir så stort som möjligt b) svaret blir så litet som möjligt 18 Vad ska stå i den tomma rutan för att likheten ska stämma?

Beräkna

 8 a) 1,5 +

b) 

16 Sätt ut parenteser så att uttrycket stämmer. 12 + 38 ∕ 6 + 19 = 2

a) 121 −

b)

NIVÅ 2  7 a) 8 ∕ 2 + 4

2 ⋅ (0,6 + 2,4) 6

b)  32 − 8 ∕ (4 + 6)

· 2 + 3 · 11 = 132

121 44 + − 11 11

· 11 = 40

b)  2 + 8 ∕ 4 c)  (2 + 8) ∕ 4

1,2 6 + 2,3 b)  4 · (23 − 3 · ) 6 2

14 (15 − 8)

10 a) 75 + 83 −

b) 

25 ⋅ 10 (144 − 64) c)  5 (4 + 4)

100 4

b)  3 · 0,8 +

1,2 6

11 Skriv av och sätt ut rätt tecken så att likheterna stämmer a) 3 6 10 = 28 b) 3 6 10 = 63 12 Namir och Theo fick uppgiften: Vilket tal saknas? 20 – 4 · __ = 8 Namir hävdar att talet ska vara 0,5 medan Theo är säker på att talet är 3. Visa vem som har rätt.

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  53 


grundkurs

2.2 TOLKA OCH SKRIVA UTTRYCK Algebraiska uttryck innehåller både tal skrivna med siffror och tal skrivna med bokstäver. I uttrycket 4 · x + 7 är bokstaven x en variabel som kan ha olika värden. Talet 7 är en konstant.Värdet förändras inte. Att räkna med variabler fungerar på samma sätt som att räkna med siffror. 2 + 2 + 2 = 3 · 2 x + x + x = 3 · x = 3x (multiplikationstecknet skrivs oftast inte ut i uttryck med variabler) 1 · x = x (1 skrivs inte ut framför en variabel) Exempel 1 (tolka uttryck)

Lova är a år och Lisa är y år. Vad betyder uttrycken?

a+1

2y

a=y

a–1

Lösning: a + 1: Lovas ålder om ett år. (Eftersom a motsvarar Lovas ålder nu betyder a + 1 hennes ålder om ett år.) 2y: Lisas ålder när hon blivit dubbelt så gammal som hon är nu. (2y = 2 · y = dubbelt så mycket som y.) a = y: Lova och Lisa är lika gamla. (Det är en likhet mellan a och y. Det betyder att Lova och Lisa måste vara lika gamla). a – 1: Lovas ålder för ett år sedan. Exempel 2 (skriva uttryck)

En hästhage har formen av en rektangel. Skriv ett uttryck för hagens omkrets. 5x

3x

(m)

3x

5x Omkrets (m): 5x + 3x + 5x + 3x = 16x

54   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer


grundkurs NIVÅ 1

23 Muhammed är x år gammal. Skriv ett uttryck för hur gammal hans syster Dalal är om hon är a) 2 år äldre än Muhammed b) hälften så gammal som Muhammed

19 Välj rätt uttryck i rutan. a) 1 mer än b b) 2 mindre än b c) hälften av b

NIVÅ 2

2b  b + 1   b/2  2 – b  b − 2 20 Välj rätt uttryck i rutan. a = Annas ålder. a) Annas ålder om 2 år b) Aisha är dubbelt så gammal som Anna c) Lisa är 5 år yngre än Anna

2a  a + 2   a/2  5 – a  a − 5

24 Välj rätt uttryck i rutan. a) 5 mer än b b) b mindre än 5 c) dubbelt så mycket som b

2b  b + 5   b/2  5 – b  b – 5 25 Skriv ett uttryck för triangelns omkrets.

21 Skriv ett uttryck för rektangelns omkrets.

x 3x

5x

3x

4x 26 Alva är x år idag. Om ett år är hon (x + 1) år. Skriv ett uttryck för hur gammal Alva a) är om 5 år b) var för 5 år sedan c) var när hon var hälften så gammal som nu d) är när hon är dubbelt så gammal som nu

22 Biljetterna till sommarens tivoli kostar a kr styck. Skriv ett uttryck för hur mycket a) fem biljetter kostar b) Emilia får tillbaka på en 100-kronorssedel när hon köper två biljetter

27 Maria plockar äpplen och päron. Antalet äpplen är a och antalet päron är p. Vad betyder följande uttryck? a)  a = p b)  3a = p

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  55 


grundkurs NIVÅ 3 28 Skriv ett uttryck för rektangelns a) omkrets b) area

5 8x 29 Anna har y kr. Hon handlar ett äpple för 6 kr. Hon har 14 kr kvar när hon har betalat. Vilket uttryck visar hur mycket pengar hon har från början? A 6 − y = 14 B y − 6 = 14 C 14 − 6 = y 30 På ett djurdagis är antalet hundar h och antalet katter k. Vad betyder uttrycket a) h = k b) h = 3k c) h ∕  2 = k d) h = k – 5 31 Skriv ett uttryck för rektangelns omkrets

32 Det kostar a kr per timme att hyra en bowlingbana. a kr per person Att hyra skor kostar 4 och timme.

33 Hos familjen Ek är Adam äldst och hans fru Beata är tre år yngre. Deras första barn Catarina, fick de när Adam var 26 år och deras son David när Adam var 28.

10 2x

4x + 3

56   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

a) Skriv ett uttryck för vad det kostar att hyra en bowlingbana i 3 timmar. b) Skriv ett uttryck för vad det kostar för fyra personer att bowla. Alla hyr skor och bowlar en timme.

a) Skriv ett uttryck för var varje familje medlems ålder. b) Skriv ett uttryck för familjens sammanlagda ålder.


grundkurs

2.3 FÖRENKLA OCH BERÄKNA VÄRDET AV ETT UTTRYCK

Exempel 1 Förenkla uttrycket. 5y + 6x + 8 − 3y – 3 = 2y + 6x + 8 − 3 = 2y + 6x + 5 = 6x + 2y + 5 Svar: 6x + 2y + 5

börja med att förenkla y-termerna 5y - 3y = 2y förenkla sedan siffertermerna 8 - 3 = 5 variabeltermer placeras i bokstavsordning följt av siffertermer

Exempel 2 Förenkla uttrycket.

3(4 + 2y) = 3(4 + 2y) =

parentesen går inte att förenkla, multiplicera in 3 i parentesen

3 · 4 + 3 · 2y = 12 + 6y Svar: 12 + 6y

multiplikation går före addition

Exempel 3 Beräkna värdet av uttrycket 4x + 5 när x = 7.

Lösning: 4x + 5 = 4 · 7 + 5 = 28 + 5 = 33 Svar: 33

EXEMPEL 4 Förenkla först och beräkna därefter värdet av uttrycket 5(y – 3) när y = 4. parentesen går inte att förenkla, multiplicera in 5 i parentesen 5(y – 3) =

5·y–5·3= 5y – 15 y = 4 ger 5 · 4 – 15 = 20 – 15 = 5 Svar: 5

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  57 


grundkurs NIVÅ 2

gruppUPPGIFT

Förenkla uttrycken.

Tänk på ett tal.

42 a) y + y + 2y b) 4y − y + 5

Multiplicera talet med 10. Addera produkten med 10 Dividera summan med 10.

43 a) 2a + 4 + a – 5 b) 8b + 2 − 3b + y

Subtrahera med 1. Vilket är talet?

44 a) 3x + y − x + 2y b) 4y + 2x − y + 5x + 3

Kan ni hitta på egna uppgifter som fungerar på samma sätt?

NIVÅ 1 Förenkla uttrycken.

45 a) 8(x + 2)

b) 6(2x + 3)

46 a) 3(4 − 3y)

b)  5(x − 2y)

34 a) x + x + x

b)  x + x + 2x

47 Agnes är 6 år äldre än Karl. Karl är 3 år yngre än Ellen.

35 a) y + y + 2y

b) 3y − y + 2

36 a) 2a + a + 3a

b) 5a − a + 5

37 a) 3(4 + 2y)

b) 4(y + 5)

38 a) 2(2 − x)

a) Skriv ett uttryck för hur gammal var och en är. b) Skriv ett förenklat uttryck för deras sammanlagda ålder. 48 Vad blir uttryckets värde när x = 5? a) 6x – 12 b) 3(x + 3)

b) 4(y − 2)

39 Beräkna värdet av 2x + 5 när x = 5.

49 a) Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för rektangelns omkrets. b) Beräkna rektangelns omkrets när x = 5 m.

40 a) Förenkla uttrycket 3(2x – 5). b) Beräkna värdet när x = 3.

(m)

41 a) Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för rektangelns omkrets.

x

(cm) x x+3

b) Hur stor är rektangelns omkrets om x = 3 cm?

58   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

x+5 50 a) Skriv ett uttryck för hela rektangelns area. b) Beräkna arean när x = 2,5 m.

5 3x

5x


grundkurs NIVÅ 3

59 a) Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för triangelns area. b) Beräkna arean av figuren när x = 3,3 cm.

Förenkla uttrycken. 51 a) 3x + y − x + 2y b) 4y + 2x − y + 5x + 3

(cm) 5

52 a) 5a + 4b + 9 − 2b − 8 b) 4y + 2x + 8 − 3y − 5 53 a) 9(3x + 4) b)  32 + 8(x − 2)

2x + 3 60 Kolväten är ämnen som bara består av koloch väteatomer. Summaformeln för kolvätena i alkanserien är CnH2n + 2

54 a) 15z + 6y − 15z − 3y b) 3x + 2(x − 2) + 8(x + 3) 55 Emanuel har fått följande svar då han förenklade uppgiften. Han får inte rätt på det. Hjälp honom att hitta vad som är fel och förklara för honom hur man ska göra istället. 6x + 7y + 20x + 12 – 5 = 33xy + 7 Svar: 33xy + 7

(C = kolatomer och H = väteatomer) Beräkna antalet väteatomer i det kolväte som har 3 st kolatomer (n = 3).

56 Beräkna värdet av uttrycket 12 − 6x när x = 1,1. 57 Ge exempel på vilka värden a, b och c kan ha så att båda likheterna stämmer. a + b + c = 15 a · b · c = 45 58 a) Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för figurens omkrets. b) Beräkna omkretsen när a = 2,5 cm.

(cm)

a−1 3a a

a+2

Det enklaste kolvätet är metan. Metan är en växthusgas liksom koldioxid. Kor är en stor källa till utsläpp av metan. Det bildas i kornas magar med hjälp av bakterier.

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  59 


grundkurs

2.4 Formler En formel är ett uttryck som beskriver samband med hjälp av symboler. Sambandet mellan sträckan s, medelhastigheten v och tiden t kan beskrivas med formlerna s s t= s = v · t v= t v Exempel 1

Hur långt går man på 2 timmar med medelhastigheten 7 km/h? s = v · t = 7 · 2 = 14 Svar: Man går 14 km på 2 timmar. Exempel 2

Vilken medelhastighet har Ali om han kör 15 km på en halvtimme? 15 s v= = = 30 0,5 t Svar: Ali har medelhastigheten 30 km/h. Exempel 3

Sasha köper en tröja och får 100 kronor rabatt. Vi kan göra en formel för att räkna ut vad Sasha ska betala. Det nya priset = Det gamla priset − 100 kr. Vi kallar det nya priset N och det gamla priset G. N = G − 100

gruppUPPGIFT

Hur snabbt springer du? Mät upp en sträcka, t.ex. 60 m eller 100 m. Spring sträckan och ta tiden. Beräkna medelhastigheten i m/s.Vilka djur springer snabbare än du? Djur Svart mamba Ekorre Vildsvin Kyckling Husmus Stor husspindel Jättesköldpadda

Medelhastighet (m/s) 8,9 5,3 5 4,2 3,6 0,5 0,08

60   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer


grundkurs NIVÅ 1

NIVÅ 3

61 Använd formeln s = v · t. v = 8 m/s. Vad blir sträckan om tiden t är

72 I en större stad som Göteborg eller Stockholm är medelhastigheten för en bil ungefär 30 km/h.

a)  1 s b)  2 s c)  60 s 62 Måns springer med medelhastigheten 3 m/s. Hur långt hinner han på a)  10 s b)  30 s 63 Aisha cyklar till en kompis på en halvtimme. Vilken medelhastighet håller hon om sträckan är 10 km? 64 Hannes åkte 4 timmar med medelhastigheten 90 km/h. Hur långt åkte han? 65 Använd formeln J = 3T. Beräkna J när

73 En påse chips kostar 23,95 kr och en stor dricka kostar 10,50 kr. Skriv en formel som beskriver kostnaden K för x påsar chips och y stycken dricka. 74 Ljudets hastighet i luft är 340 m/s.

a)  T = 3 b)  T = 10

NIVÅ 2 66 Beräkna värdet av J när T = 6. a)  T + 7 = J b) J = 2T + 7 c)  J = 3T 67 Det tog tre timmar för Jenny att gå 16,2 km. Vilken var Jennys medelhastighet? 68 Hur lång tid skulle det ta för en stor husspindel att springa 10 m om medelhastigheten är 0,5 m/s? 69 Samir cyklar med medelhastigheten 20 km/h. a) Hur långt hinner Samir på 4 h? b) Hur lång tid tar det för Samir att cykla att cykla 60 km? 70 August kör moppe till sin kompis Fabian som bor 18 km bort. Det tar 40 min att köra den sträckan.Vilken hastighet håller August då?

a) Hur långt hinner en bil på en halvtimme? b) Hur lång tid tar det att köra 10 km?

a) Använd formeln nedan för att omvandla hastigheten till km/h.   b) Nasas flygplan x-43 flyger i Mach 9,6, dvs. 9,6 gånger ljudets hastighet. Hur många kilometer i timmen är det? Avrunda till hundratal.

Hastigheten i km/h = 3,6 · hastigheten i m/s.

75 Volymen av ett prisma beräknas enligt formeln B ⋅h V = volymen V = 3 B = basytan h = höjden

Beräkna volymen av ett prisma som har basytan 75 cm2 och höjden 25 cm.

76 Följande samband finns mellan skostorlek och fotens längd i centimeter. Undersök ifall det stämmer. S = (3x + 5) ∕ 2 S = skostorlek (EUR) x = fotens längd i centimeter

71 Petra får 20 kr mer än Olga i veckopeng. Skriv en formel som visar hur mycket Petra får. P = Petra veckopeng  O = Olgas veckopeng Algebra och ekvationer | Kapitel 2  61 


grundkurs

2.5 Mönster När vi arbetar med mönsteruppgifter ställer vi oss frågan: Vilket är nästa tal eller hur ser nästa figur ut? 1 Räkna ut skillnaden (differensen) mellan talen. Detta avslöjar de aritmetiska talföljderna. I dessa är differensen mellan två på varandra följande tal alltid konstant. 2 Primtalsfaktorisera talen. Man ser nu ifall talen ges genom multiplikation med en konstant faktor. Detta avslöjar de geometriska talföljderna. I dessa är kvoten mellan två på varandra följande tal alltid konstant.

När mönstret är funnet kan man uttrycka det med siffror, text eller som en mer allmängiltig formel. I formeln brukar man använda variabeln n för ett godtyckligt figurnummer. Exempel 1

Figurnummer 1 2 3 4 5 … 10 … n Antal prickar 2 4 6 8 10 … 20 … n·2 Differens 2 2 2 2 2 Mönster 1 · 2 2 · 2 3 · 2 4 · 2 5 · 2

10 · 2

… n · 2

Text Nästa tal får du genom att multiplicera figurens nummer med 2. Formel P = n · 2 = 2n där P är antalet prickar och n = figurens ordningsnummer. Ofta är mönster uppbyggda så att de startar på ett visst tal. Förutom att man ska ta reda på mönstret mellan figurerna ska man också finna ut vilket tal det börjar på. Starttalet får vi genom att subtrahera det första talet i talföljden med differensen mellan talen. Se exempel nedan. Exempel 2

Figurnummer 1 2 3 4 5 … 10 … n Antal prickar 1 3 5 7 9 … 19 … Differens 2 2 2 2 2 Mönster 1 · 2 – 1 2 · 2 – 1 3 · 2 – 1 4 · 2 – 1 5 · 2 – 1

Text Starttal Formel

… 10 · 2 − 1 … n · 2 − 1

Nästa tal får du genom att multiplicera figurens nummer med 2 och därefter subtrahera med 1. P = 2n − 1 Talföljdens första tal − differensen 1 − 2 = −1 antal P = n · 2 − 1 = 2n − 1

62   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

starttal prickar differens figurens nummer


grundkurs NIVÅ 1

NIVÅ 2

77 Gör färdigt talföljderna. a)  5 15 25 __ __ b) 39 36 33 __ __

83 Gör färdigt talföljderna. a) 0,003 0,03 __ 3 __ b) 40 000 4 000 400 __ __

78 Beskriv mönstret med ord. a) 19 23 27 31 b) 1 000  100 10 1

84 Beskriv mönstret med ord. a) 2 4 6 8 b) 23 20 17 14 c) 100 10 1 0,1

79 Detta är de tre första figurerna i ett mönster med kulor.

figur 1

figur 2

a) Rita figur 4. b) Hur många kulor har figur 6? c) Vilken figur har 15 kulor? d) Beskriv mönstret med ord.

figur 3

85 Vilken av talföljderna A och B är fel? Motivera ditt svar. A 0,7 0,8 0,9 0,10 B 0,7 0,8 0,9 1,0 86 Detta är de tre första figurerna i ett mönster med stickor.

80 Detta är de tre första figurerna i ett mönster med stickor.

figur 1

a) Rita figur 4. b) Hur många stickor har figur 5? c) Vilken figur har 22 stickor? d) Beskriv mönstret med ord.

figur 2

figur 3

figur 1

figur 2

figur 3

a) Rita figur 4. b) Hur många stickor har figur 7? c) Vilken figur har 43 stickor? d) Beskriv mönstret med en formel.

87 Detta är de tre första figurerna i ett mönster med stickor.

81 Gör en talföljd där mönstret är att talen ökar med två. 82 Gör en talföljd där mönstret är att ”multiplicera med tre och lägga till ett”.

figur 1

figur 2

figur 3

a) Rita figur 6. b) Hur många stickor har figur 9? c) Vilken figur har 76 stickor? d) Beskriv mönstret med en formel.

88 Gör färdigt talföljderna. a) 2 5 8 11 14 __ 20 b) 2 5 9 14 __ 27 35 Algebra och ekvationer | Kapitel 2  63 


grundkurs NIVÅ 3

92 Beskriv mönstret med ord.

Gör färdigt talföljderna.

89 a) 9,235 9,233 9,231 __ __ b) 0,303 0,606 __ 1,212 __ 90 a) 1,2 1,4 1,8 2,6 __ __ b) 2 6 18 54 __ __

a) 1,2 1,4 1,8 2,6 b) 2 6 18 54

93 Rektangulära bord ska sättas ihop till långbord enligt figuren.

91 Detta är det tre första figurerna i ett mönster med cirklar.

figur 1

figur 2

a) Rita figur 5. b) Hur många cirklar har figur 9? c) Vilken figur har 225 cirklar? d) Beskriv mönstret med en formel.

Antal bord Antal platser

figur 3

64   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

a) Skriv av och gör färdigt tabellen.

1

2

3

4

b) Hur många personer får plats vid ett långbord som består av 6 bord? c) Hur många bord krävs det för att 50 personer ska få plats? d) Sammanfatta i en formel hur många personer som får plats vid n bord.


grundkurs

2.6 LÖSA EKVATIONER En ekvation är en likhet mellan två uttryck. Ekvation:

x + 3 = 5

Vänster Led (VL)

Höger Led (HL)

Uttrycken i vänster led och höger led har samma värde. I en ekvation finns ett obekant tal som betecknas med en bokstav, ofta x. När du tagit reda på vad det obekanta talet är i en ekvation har du löst ekvationen. Exemplen nedan visar metoder för att lösa ekvationer. Ekvationer med de fyra räknesätten EXEMPEL 1

x + 4 = 6 x + 4 − 4 = 6 − 4 subtrahera båda led med 4 x = 2 EXEMPEL 3

EXEMPEL 2

x − 7 = 9 x − 7 + 7 = 9 + 7 addera båda led med 7 x = 16 EXEMPEL 4

x = 6 3

5x = 15 5x 15 = dividera båda led med 5 5 5 x = 3

x · 3 = 6 · 3 multiplicera båda led med 3 3 x = 18

Ekvation med multiplikation och addition

Ekvation med division och subtraktion

EXEMPEL 5

EXEMPEL 6

3x + 4 = 13 3x + 4 − 4 = 13 − 4 subtrahera båda led med 4 3x = 9 3x 9 = dividera båda led med 3 3 3 x = 3 Kontroll

VL = 3 · 3 + 4 = 9 + 4 = 13 HL = 13   VL = HL x = 3 är lösning till ekvationen.

x − 3 = 2 4

x − 3 + 3 = 2 + 3 addera båda led med 3 4 x = 5 4 x · 4 = 5 · 4 multiplicera båda led med 4 4 x = 20 KONTROLL

20 − 3 = 5 − 3 = 2  HL = 2  VL = HL 4 x = 20 är lösning till ekvationen.

VL =

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  65 


grundkurs NIVÅ 1

Lös ekvationerna.

Lös ekvationerna.

108 a) 2x + 2 = 8

b) 4x − 5 = 15

109 a) 7x + 8 = 71

b)  85 + 5x = 100

110 a) 26 = 10x – 10

b) 9x − 4,5 = 0

  94 a) x + 2 = 5 b)  x – 2 = 5 c)  x – 2 = 0   95 a) 5 + x = 8 b)  18 = 5 + x c)  10 = 6 + x   96 a) 3x = 12

b)  60 = 6x

c) 5x = 0

  97 a) 4x = 4

b) 4x = 2

c) 4x = 1

x = 0,5 2 x   99 a) 2x + 2 = 8 b) 5x – 3 = 7 c)  +3=6 5   98 a)

x = 2 4

b)  1 =

x 4

c) 

100 Vilken eller vilka av följande ekvationer har lösningen x = 3?

A 5x + 7 = 20

B

C 6x + 2 = 20

x − 4 = 20 2 x 112 a) − 12 = 8 4 111 a)

x +4=6 5 x = 10 b)  3 + 7 b) 

113 Vilket alternativ är lösning till ekvationen

a) x + 3x + 5 = 17 b) 8x − 3x − 30 = 0 A x = 3 B x = 4 C x = 5

15 + 5 = 10 x

D x = 6

NIVÅ 3

NIVÅ 2

Lös ekvationerna.

Lös ekvationerna.

114 a) x + 5,7 = 12,2

b)  x − 1,2 = 4,2

x = 9 0,5

101 a) x + 86 = 100

b)  x − 13 = 290

115 a) 8x = 0,8

b) 

102 a) x + 3,5 = 4,7

b) 3x − 2,2 = 6,8

116 a) 2x + 4 = 28

b) 5x − 13 = 52

103 a) 5x = 35

b) 4x = 100

117 a) 6x + 4,5 = 7,5

b) 2x − 6,8 = 10

104 a) 2,5x = 25

b) 0,1x = 15

118 a) 6,5 + 8x = 8,5

b)  3,9 = 4x − 2,1

119 a) 10 = 7x + 0,9

b) 8x − 0,03 = 0,05

x = 8 8 x 106 a) = 5 12 105 a)

b)  2 = b) 

x 4

x = 0,2 5

107 Vilken eller vilka av följande ekvationer har lösningen x = 2? A 7x − 2x = 20 B 7x − 2x = 15 C 7x − 2x = 10 D 7x − 2x = 0

66   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

x = 6 6 6x 121 a) 5 + = 11 5 120 a) 5,6 +

4x − 0,2 = 0,5 8 9x b)  15 = −6 3 b) 


grundkurs

Ekvation med x i båda leden

KONTROLL

4x + 12 = 3x + 24 4x − 3x + 12 = 3x − 3x + 24 subtrahera båda

VL = 4 · 12 + 12 = 48 + 12 = 60 HL = 3 · 12 + 24 = 36 + 24 = 60 VL = HL x = 12 är lösning till ekvationen

led med 3x för att samla x-termerna i vänster led

x + 12 = 24 x + 12 − 12 = 24 − 12 subtrahera båda led med 12 x = 12

NIVÅ 1 Lös ekvationerna. 122 a) 2x + 4 = x + 6 b) 4x − 5 = 3x + 10 123 a) x + 7 = 3x + 1 b) 2x − 3 = 5x − 12 124 Vilket alternativ är lösning till ekvationen 3x = 2x + 3? A x = 1 B  x = 3 C x = 6 D  x = 9 125 Vilket alternativ är lösning till ekvationen 6x − 6 = 5x + 3? A x = 1 B  x = 3 C x = 6 D  x = 9

NIVÅ 2 Lös ekvationerna. 126 a) 7x − 5 = 3x + 23 b) 4x − 7 = 6x − 25 127 a) 4x − 11 = 14 − 6x b) 13 − x = 2x – 5 128 a) 6x − 16,3 = 53,7 − x b) 7 + 4x + 5x = 9,8 + 3x + 3,2

129 Vilket alternativ är lösning till ekvationen 14 − 3x = 8 + 3x? A x = 0 B x = 6 C x = 3 D x = 1

NIVÅ 3 Lös ekvationerna. 130 a) 6x + 2 = 2x + 4 b) 5x + 3,2 = 4,7 + 2x 131 a) 21,5 − 3x = 5x + 1,5 b) 5x + 4 − 3x = 31 – 2x – 3 132 a) 23 − 4x − 5 = x − 10 − 7 b) 6,7x − 26,4 − x = 57,6 − 1,3x 133 Vilken eller vilka av ekvationerna har lösningen x = 3?

A 2x + 14 = 65 − 15x 9 x − 2 = 4,5 − B x 6

12 + 17 = 45 − 8x x D 11 − 2x = 5x – 5 C

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  67 


grundkurs

2.7 PROBLEMLÖSNING MED EKVATIONER Exempel 1

Exempel 2

Vilka mått har tomten på bilden?

Algot har 120 kr mer än Selma. Tillsammans har de 640 kr. Hur mycket har var och en?

(m) 400 m2

2x

25 Ekvation: 25 · 2x = 400 50x = 400 50x 400 = 50 50

x=8

Svar: Okänd sträcka 2x m = 2 · 8 m = 16 m Svar: Tomtens mått är 25 m x 16 m.

Selma har x kr. Algot har (x + 120) kr Ekvation: x + (x + 120) = 640 x + x + 120 = 640 parentesen tas bort 2x + 120 = 640 x-termerna adderas 2x + 120 − 120 = 640 − 120 subtrahera båda led med 120 2x = 520 2x 520 = dividera båda led med 2 2 2 x = 260 Svar: Selma har x kr = 260 kr. Algot har (x + 120) kr = (260 + 120) kr = 380 kr.

Kontroll

VL = 25 · 2 · 8 = 50 · 8 = 400 HL = 400 VL = HL x = 8 är lösning till ekvationen

Kontroll

VL = 260 + (260 + 120) = 260 + 380 = 640 HL = 640 VL = HL x = 260 är lösning till ekvationen

NIVÅ 1 134 Kalla det okända talet för x. Skriv en ekvation och lös den när x a) adderas med 10 och summan är 20 b) subtraheras med 8 och differensen är 13 c) multipliceras med 5 och produkten är 25 d) divideras med 4 och kvoten är 4

Lös följande uppgifter med ekvation. 135 Summan av två tal är 24. Det ena talet är 15. Vilket är det andra talet? 68   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

136 Triangelns omkrets är 24 cm. Hur stor är sidan x? (cm)

x

x 10

137 Sam har 270 kr mer än Tina. Tillsammans har de 870 kronor. Hur mycket pengar har a) Tina   b) Sam


grundkurs 138 Rektangelns area är 160 cm2. Hur lång är rektangelns längsta sida?

(cm) 8 x

NIVÅ 2 Lös uppgifterna med ekvation. 139 Ellen handlar en tidning och tre choklad­kakor. Tidningen kostar 34 kr. Hon betalar 85 kr för allt samman.Vad kostar en choklad­kaka? 140 Jag tänker på ett tal och dividerar det med tre. Därefter multiplicerar jag det med 2 och får resultatet 6.Vilket är talet? 141 Olga köper två böcker för 180 kr. Den ena boken kostar 70 kr mer än den andra.Vad kostar var och en av böckerna? 142 Harald väger 23 kg mer än Adrian. Adrian väger 43 kg mer än Lova. Tillsammans väger de 121 kg. Hur mycket väger Adrian?

NIVÅ 3 Lös uppgifterna med ekvation.

144 Summan av tre tal är 130. Det andra talet är tre gånger så stort som det första talet. Det tredje talet är dubbelt så stort som det andra talet.Vilka är talen? 145 En orienterings­ tävling har tre delsträckor där andra delsträckan är dubbelt så lång som den första. Den tredje delsträckan är 2,5 km kortare än den andra. Hur långa är delsträckorna om de tillsammans är 20 km? 146 Tre jämna tal som följer efter varandra har summan 360.

a) Skriv ett uttryck för varje tal. b) Vilka är talen?

147 De tre vinklarna i en triangel är alltid 180° tillsammans. I en triangel är vinkel A 25° större än vinkel B.Vinkel C är 14° större än vinkel B. Hur stora är de olika vinklarna? 148 Se exemplet nedan. = 99

5x + 4

143 Paketen väger tillsammans 19,5 kg. De små paketen väger lika mycket och det stora paketet väger 2 kg mer än ett litet paket. Hur mycket väger ett litet paket?

2x + 3 x+2

x = 19

3x + 1

x+1

2x

Fyll först i de tomma rutorna och lös sedan ekvationen. = 148 2x + 10 5x

x+8

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  69 


kapiteldiagnos A Nivå 1 - 2 A1 Beräkna a) 3 + 4 · 5

 A7 Vilka är nästa två tal i talföljden? b)  (3 + 4) · 5

A2 I en klass är antalet pojkar p och antalet flickor f. Vad betyder det om p = 2f ? A3 Dominic är a år gammal. Skriv ett uttryck för a) hur gammal han är om fem år b) hur gammal han var för tre år sen A4 Förenkla uttrycket a) 3x + 5 − 2x + 15 b) 5(x+ 4) A5 Vad har uttrycket för värde om t = 21 och u = 11? a) 3t + u b) 3t − u A6 Arean av en triangel räknas ut med formeln

b ⋅h 2

A = arean b = basen h = höjden

A=

Beräkna triangelns area. (cm) 5

7

70   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

1,2  1,5  1,8 __ __

 A8 Detta är de tre första figurerna i ett mönster med stickor.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

a) Hur ser figur 4 ut? b) Hur många stickor behövs för att göra figur nummer 5? c) Hur ser formeln ut för att beräkna antalet stickor i figur nr n?  A9 Lös ekvationerna. a) 5x − 4 = 8 b) 5y − 2y + 3 = 33 A10 Differensen av två tal är 12. Det ena talet är 3 gånger större än det andra.Vilka är talen? Lös uppgiften med en ekvation. A11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna A1-A10.


kapiteldiagnos B Nivå 2 - 3 B1 Beräkna 3 · (21 − 3 ·

6 ). 2

B2 På en bondgård är antalet kor k och antalet hästar h. Vad betyder uttrycket a) h − 7 = k b) 3h = k c)  h = k ∕ 5

B6 Vilka är nästa tre tal i talföljden? 1,007  1,307  1,607 __ __ __ B7 Hur ser formeln ut för figur nr n?

B3 Skriv ett uttryck för antalet grisar g om de är tre gånger så många som antalet kor k. B4 a) Förenkla uttrycket 4y + 2x − y + 5x + 3. b) Beräkna uttryckets värde när x = 0,1 och y = 0,5.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

B8 Lös ekvationerna. a) 5x − 4 = 3x + 8 b) 3,2 + 6x = 2,7 − x + 5,4 B9 I en rektangulär hästhage är långsidan tre gånger så lång som kortsidan. Totalt har 280 m staket använts för att hägna in hagen. Hur stor area har hästhagen?

B5 Lisa är anmäld till New York Marathon. Det är en sträcka på 4,2 mil genom New Yorks gator. Normalt springer Lisa med en hastighet på 10 km/h.Vilken tid borde det ta henne att nå målet?

B10 Lös uppgiften med en ekvation. Karl köper två äpplen á 6 kr, en flaska vatten á 15 kr och en kanelbulle. Wilma köper två äpplen för 6 kr/st och tre kanelbullar. Vad kostar kanelbullen om Wilma och Karl betalar lika mycket? B11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna B1-B10.

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  71 


Tillämpa förmågorna

Tillämpa kapitel 2 förmågorna 2

Tillämpa förmågorna

Här följer tre större uppgifter där ni under arbetets gång övar alla förmågorna i matematik: P PROBLEMLÖSNING B BEGREPP M METOD R RESONEMANG K KOMMUNIKATION

Uppgifterna varierar i storlek och kan ta allt ifrån en lektion till någon vecka. Ofta arbetar ni i grupp och hur ni redovisar bestämmer ni tillsammans med er lärare.

1

Får vi verkligen plats? Skolan ska få en ny och bättre samlingssal. De som beställde stolarna tyckte det var lite svårt att få ihop antalet. Kan ni hjälpa dem?

2

Hur stor blir poolen? Arnold påstår att poolens area blir lika stor om du ökar ena sidan med 10 % och minskar den andra sidan med 10 %. Carolina protesterar vilt! Bevisa vem som har rätt!

3

Hinner bilen stanna? Igelkottarna lever farligt! Det är lätt att bli fartblind och glömma bort att det tar tid att stanna. Utanför skolor är det oftast 30 km/h. Klarar sig igelkotten?

72   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer


tillämpa förmågorna 2

Får vi verkligen plats? UPPGIFT

1 I den nya skolan ska det byggas en samlingssal där första raden har 10 platser och andra raden har 13 platser. Rad 3 har 16 platser och så fortsätter varje rad att öka med 3 platser ända till sista raden som har 31 platser. a) Hur många platser finns det på rad 6? b) Hur många rader finns det i samlingssalen? c) B  eskriv med ord eller med en formel hur man räknar ut antalet platser på rad n.

2 I en annan samlingssal kan man räkna ut antalet platser på rad n med formeln 12 + 5n. Beskriv hur denna sal är uppbyggd. 3 Kalle påstår att man alltid kan beräkna totala antalet platser i en samlingssal, som är byggd på motsvarande sätt, genom att multiplicera antalet platser på den mittersta raden med antalet rader. Undersök om Kalle har rätt. (Äp9Ma99)

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  73 


tillämpa förmågorna 3

Hur stor blir poolen? Arnold och Carolina är oense om hur poolens omkrets och area blir när sidornas mått ändras. De behöver din hjälp.

UPPGIFT

Tänk dig en rektangulär pool där en sida är 10 längdenheter längre än den andra. a) Teckna ett uttryck för poolens omkrets. b) Tänk dig nu poolen igen. Öka ena sidan med 10 % och minska den andra med 10 %.Vad händer då med omkretsen? c) Vad händer med arean när du ökar en sida med 10 % och minskar den andra sidan med 10 %?

Visa gärna med flera olika matematiska uttrycksformer vad som händer i uppgift b och c. Redovisa era lösningar för en annan grupp och ge varandra respons.

74   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer


tillämpa förmågorna 1

Hinner bilen stanna? Trafikverket beräknar att varje år dödas cirka 30 000 grävlingar, 50 000 rådjur och 10 miljoner fåglar av biltrafiken i Sverige. Hur lång bromssträcka behövs för att undvika en kollision?

Stoppsträckan för en bil kan man räkna ut med hjälp av uttrycket Stoppsträckan = Reaktionssträckan + Bromssträckan. v ⋅r Reaktionssträckan kan räknas ut med hjälp av formeln s = 3,6 s = reaktionssträckan i meter v = hastigheten i km/h (kilometer per timme) t = reaktionstiden i sekunder Reaktionstiden innan man hinner börja bromsa är ungefär 0,5 - 2 sekunder. Reaktionstiden beror på många faktorer. v ⋅v Bromssträckan kan räknas ut med hjälp av formeln s = 250 ⋅ f s = bromssträckan i meter v = hastigheten i km/h 250 = en konstant som används i formeln f = friktionstal, cirka 0,8 på torr asfalt och 0,1 på slät is.

UPPGIFT Del 1

Med friktionstal menas med vilket motstånd bilen rullar mot underlaget. Undersök för olika händelser om föraren hinner bromsa om det springer ut en igelkott 30 meter framför bilen. Gör en tabell med variablerna förare, underlag och hastighet. Del 2

Undersök hur snabbt bilarna kör utanför er skola. Planera i gruppen hur ni ska genomföra er undersökning, vilka undersökningsmetoder ni ska ni använda samt hur ni ska redovisa uppgiften?

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  75 


träna mera 2.1 Prioriteringsregler

2.3 Förenkla och beräkna värdet

 1 Sätt ut en parentes i uttrycket så att det stämmer.

12 Para ihop ekvivalenta uttryck, dvs. uttryck som betyder samma sak.

a) 3 ∙ 1 + 4 = 15

b)  3 ∙ 2 ∙ 6 + 4 = 60

 Beräkna   2 a) 3 + 2 ∙ 4

b)  4 ∙ 2 + 4 ∙ 4

  3 a) 5 + 15/3

b)  15/3 + 5 ∙ 2

2y + 7 7y + 6 + 3 6y − 3

3y + 3y − 6 + 3 y+y+3+4 9 + 7y

13 Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för rektangelns omkrets.

(cm)

  4 Ida har räknat fel på uttrycket 3 + 2 ∙ 4 och fått svaret till 20. Förklara hur hon tänkt.

7 y

 Beräkna   5 a) 1,7 − (0,3 + 0,4) b)  (15 + 4) − (12 − 5)

Förenkla uttrycken.

  6 a) (3 + 3) ∙ 5

14 a) 18b − 2b + 20 – 3 b) 2x + 4 + 5x + 3

  7 a) 20 − (

15 + 5) 3

b)  2 ∙ (3 + 3) ∙ 5 b)  2 ∙ (

10 + 3) + 4 2

2.2 Tolka och skriva uttryck

15 a) (2x + 3) + 7 c) 20(x + 2)

  8 Lisa är x år gammal. Murat är 3 gånger så gammal. Skriv ett uttryck för

16 Skriv av och gör färdigt tabellen.

a) hur gammal Murat är b) hur gamla de är tillsammans

 9 Stein har b kr och Mimmi har 20 kr mer än Stein. Skriv ett uttryck för hur mycket pengar Stein och Mimmi har tillsammans. 10 I en klass går det x flickor och y pojkar. Skriv ett uttryck för

a) hur många elever som finns i klassen. b) hur många skor som står utanför klassrumsdörren. c) En flicka flyttar. Skriv ett uttryck för klassens nya sammansättning.

Uttryck

a) Vem har rätt?

b)  Motivera ditt svar i a.

76   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

x=5

x=2

x+2 x+x

2+2=4

2x

17 Bestäm värdet av uttrycken när a = 20 och b = 15.

a) 7 + a c) a + 2b

b)  7 + 7b d) (a − 5)(b − 5)

18 a) Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för omkretsen av rektangeln. b) Beräkna omkretsen när x = 2 m.

(m)

11 Ulf tror att 2x − x = 2 medan Wilma hävdar att 2x − x = x.

b) 8x + (4 – 2x) d)  3(3 + x) + x

2x 4x + 2


träna mera 2.4 Formler 19 Olivia cyklar med medelhastigheten 18 kilometer per timme.

a) Hur långt hinner hon på 2 timmar? b) Hur långt hinner hon på en halvtimme? c) Hur lång tid tar det för henne att cykla 54 km?

20 Vilken medelhastighet håller Petra om hon kör 24 mil på tre timmar? 21 Arean av en triangel beräknas med formeln

b ⋅h där b = basen och h = höjden. 2

A=

a) Beräkna arean av triangeln med basen 7 cm och höjden 14 cm. b) En triangel har arean 70 cm2 och basen 14 cm. Hur stor är höjden?

2.5 Mönster 22 a) 8 12 16 __ __ b) 9 18 27 __ __

104 4 c) 104 − x = x

b)  24 = 3x x d)  =5 4 b) 2x − 7 = 97 104 d)  −x=x 2

29 Välj den variabel (x eller y) som är det största talet i varje likhet. Endast positiva tal.

24 Vilket är nästa tal i talföljden? a) 3, 9, 15, 21 b) Beskriv med ord hur talföljden är uppbyggd.

25 Detta är de tre första figurerna i ett mönster med cirklar. a) Rita figur 5. b) Vilken figur har 25 cirklar? c) Beskriv mönstret med en formel.

Figur 2

Lös ekvationerna.

28 a) 2x =

23 a) 100 140 180 __ __ b) 0,3  0,6  0,9 __ __

Figur 1

26 Vilket av talen 5,4 och 3 är lösningen till ekvationen x · x = 15 − 2x?

27 a) 3x = 12 x c) 9 = 5

Gör färdigt talföljderna.

2.6 Lösa ekvationer

Figur 3

a) y = x c) 3y = x

b)  y − 1 = x d)  y + 1 = x

2.7 Problemlösning med ekvationer Lös följande uppgifter med hjälp av ekvation. 30 Summan av två tal är 53. Det ena talet är 16. Vilket är det andra talet? 31 Urban har 170 kr mindre än Minna. Tillsammans har de 750 kr. Hur mycket har a) Minna   b) Urban Algebra och ekvationer | Kapitel 2  77 


fördjupning   1 Välj tre heltal som kommer direkt efter varandra, t.ex. 6, 7, 8. Multiplicera det största och det minsta talet med varandra: 6 · 8 = 48 Multiplicera det mellersta talet med sig själv: 7 · 7 = 49

Gör motsvarande beräkningar för några olika talföljder med tre andra tal som kommer direkt efter varandra. Beskriv resultatet av din undersökning.Vilken slutsats kan du dra?

  5 Fibonaccis talföljd är uppkallad efter Leonardo av Pisa, känd som Leonardo Fibonacci. Hur fortsätter talföljden? 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, …, …

  6 Följande figurer består av stickor och bildar en talföljd.

  2 Vilka tal saknas i talföljden? 144, 273, __, 1047, __, 4143  3 En talföljd består av tre på varandra följande tal. I en annan talföljd är differensen mellan talen 4. Med vilket tal ska de bägge talföljderna börja om summan ska bli den samma om du tar tre tal från den första serien och två tal från den andra?

  4 Två elever blir osams i skolan. Istället för att blanda in vuxna bestämmer de sig för att lösa det själva. De kallar till sig varsin kompis som i sin tur också blir ovänner. Detta får till följd att konflikten sprider sig. (Obs! Kompisarna blir även osams med de som var i konflikt sedan tidigare.) a) Skriv av och gör färdigt tabellen för att bestämma hur konflikten sprider sig.

Antal kompisar

Antal nya konflikter

1 var

3

2 var

Figur 1

Figur nr

78   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

2

3

4

5

6

7

8

9

10

50

Antal stickor

b) Vilken av nedanstående formler stämmer om y = antalet stickor och x = figurens nummer?

y = 4x y = 5x

y = 4x + 1 y = 5x + 1

c) Vilken figur innehåller 181 stickor? d) Vilken figur innehåller 369 stickor? e) Varför måste antalet stickor vara udda? Motivera ditt svar.

  7 Detta är den första figuren i ett mönster med ringar. Figur nummer 2 har fem ringar och figur nummer 3 har sju ringar.

5 var

1

Antal stickor

4 var

b) Hur ser sambandet ut mellan antal konflikter och antal elever? Sammanfatta resultatet i en formel där antalet kompisar är n.

Figur 3

a) Skriv av och gör färdigt tabellen. Figur nr

3 var

Figur 2

a) Rita figur nummer 4 och 5 som kan stämma med talföljden. Flera svarsalternativ är möjliga. b) Skriv en formel för mönstret.


fördjupning   8 Välj fyra rutor i tabellen från 2 · 2-rutor i tabellen, t.ex 8, 9 och 13, 14. Multiplicera korsvis: 9 · 13 = 117 och 8 · 14 = 112 Räkna ut differensen mellan talen: 117 − 112 = 5.

a) Prova med andra 2 · 2-rutor på liknande sätt. Kan du hitta ett mönster? b) Kalla det minsta talet för y och skriv uttryck för varje tal i den valda 2 · 2-rutan. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

  9 En familj med två vuxna och 4 barn ska på konsert. En vuxenbiljett är 110 kronor dyrare än en barnbiljett.Vad kostar de olika biljettyperna om familjen betalar 790 kronor för att gå på konserten? 10 Anne är 12 år äldre än sin bror Simon. Lilla­ syster Jane är 1 år yngre än Simon. Beräkna syskonens ålder om de tillsammans är 23 år. 11 Summan av tre på varandra följande udda tal är 1 059.

a) Vilka är de tre talen? b) Varför kan summan av de tre talen inte vara jämn? Motivera ditt svar.

12 Hur stora är vinklarna i triangeln?

B

13 I en cykelaffär finns det olika typer av cyklar. Det finns vanliga cyklar, tandemcyklar och trehjulingar till försäljning. I affären finns det totalt 140 sadlar, 123 styren samt 269 hjul, ej inräknat reservdelar. Hur många cyklar, tandemcyklar och trehjulingar finns det i affären? 14 Lös ekvationen när pyramidens topptal är lika med 93. topptal

= 93 4x − 4

x+6

x+1

15 Summan av två tal är 20. Kvoten av samma tal är 3.Vilka är talen?

x + 60°

A

2x

C

120°

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  79 


begrepp

Algebra

Gren inom matematiken där bokstäver används för tal.

Uttryck

En kombination av symboler för tal och variabler samt tecken för räkneoperationer, t.ex. 4a + 5b.

Variabel

Är något som kan variera, dvs. vara olika. En variabel kan vara olika tal och skrivs ofta med bokstäverna x, y och z. En variabel har bara ett värde åt gången.

Konstant

Ett värde som i en viss situation inte ändras (från latinets constare, stå fast). Konstanter kan skrivas med bokstäver eller siffror.

Talföljd

En serie av tal som följer ett visst mönster.

Formel

Ett uttryck som beskriver viktiga samband eller egenskaper med hjälp av olika symboler. T.ex. s = v · t anger sambandet mellan sträcka, fart och tid.

Mönster

Inom matematiken är det som beskriver hur de olika talen i en talföljd förhåller sig till varandra.

Ekvation

En ekvation är en likhet som innehåller ett eller flera obekanta tal, ofta betecknade med bokstäver.

Obekant

Ett okänt värde i en ekvation. Oftast brukar man ha x som obekant bokstav. Även andra bokstäver kan användas.

Likhet

När två matematiska uttryck har samma värde.

80   Kapitel 2 | Algebra och ekvationer


sammanfattning

Du ska kunna

Exempel

Lösningsförslag

Prioriteringsregler

62 − 3 · 4 + (8 − 5) 1 Parentesuttryck 2  Multiplikation och division 3  Addition och subtraktion

1  62 − 3 · 4 + 3 2  62 − 12 + 3 3  50 + 3 = 53

Skriva uttryck

Anton är 2 år äldre än lillebror. Skriv ett uttryck för deras sammanlagda ålder.

Om lillebror är x år är Anton (x + 2) år. Sammanlagd ålder: x + (x + 2) = 2x + 2

Förenkla uttryck

4a + 5 + 2a – 3

Förenkla alla variabler för sig och alla konstanter för sig. 4a + 5 + 2a − 3 = 4a + 2a + 5 − 3 = 6a + 2

Beräkna värdet av uttryck

Beräkna värdet av 5a + 3b när a = 7 och b = 4

5a + 3b = 5 · 7 + 3 · 4 = 47

Formler

Beräkna värdet av t i s = v · t när s = 80 km och v = 40 km/h.

Sätt in värdet för s och v i formeln s=v·t 80 = 40 · t t = 80/40 = 2 Svar: t = 2 h

Talföljder och mönster

Hur fortsätter talföljden? 2,3 3,0 3,7 __ __

Talen ökar med 0,7 2,3 3,0 3,7 4,4 5,1

Ekvationslösning

Lös ekvationen 7 + 3b = 16

7 + 3b = 16 7 − 7 + 3b = 16 − 7 3b = 9 3b 9 = 3 3 b=3

Problemlösning

Vilket är talet? Multiplicera talet med 2, subtrahera med 5, då får du 13.

Sätt talet till x. Då får vi följande ekvation: 2x – 5 = 13 2x – 5 + 5 = 13 + 5 2x = 18 2x 18 = 2 2 x=9

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  81 


BILDFÖRTECKNING Omslag  Glowimages/Getty Images  6  7  9 11

Viktor Ljungström blackred/iStock iStock Johann Carl Friedrich Gauss/Gravyr efter målning av Christian Albrecht Jensen/ iStock 15 Bartosz Hadyniak/iStock 17-1 Marek Mnich/iStock 17-2 kodachrome25/iStock 19-1 francisblack/iStock 19-2 AnthonyRosenberg/iStock 19-3 Marek Mnich/iStock 19-4 Saaster/iStock 19-5 Kliim/iStock 21 dny3d/iStock 23 iStock 24 Henrik Sorensen/Getty Images 27 Foodstocker/Shutterstock 29 stocknroll/iStock 31 iStock 32 Azure Dragon/iStock 33 iStock 35 Petter Arvidson/Bildbyrån 36 Martin Barraud/Getty Images 38 Anders Ohlsson 39 iStock

40 iStock 42 Pixelheadphoto/iStock 44 Bartosz Hadyniak/iStock 45 Evgeny Karandaev/Shutterstock 50 Susanne Danegger/Zoonar 51-1 Roman Samokhin/iStock 51-2 Julichka/iStock 51-3 Donald Erickson/iStock 51-4 Olga/iStock 53 blueringmedia/iStock 54 Lillisphotography/iStock 55 Serega/iStock 56-1 evirgen/iStock 56-2 GlobalP/iStock 57 Olly2/Bigstock 59 Lena Höglander 60 Pepifoto/iStock 61 iStock 64 Rawpixel Ltd/iStock 69-1 THPStock/iStock 69-2 Oliver Hoffmann/iStock 71 Terraxplorer/iStock 73 iStock 74ö Izabela Habur/iStock 74n Olaf Speier/iStock 75 Niclas Ekelund 77 iStock 79 Michael Wildsmith/Getty Images


– meningsfull matematik för alla! Mondo matematik är en helt ny läromedelsserie i matematik för grundskolan. Mondo ger alla möjligheten att förstå och tillämpa matematikens grunder. Genom att välja nivå i grundkursen skapas en trygg bas och i det unika avsnittet ”Tillämpa förmågorna” utvecklar eleverna sina kunskaper i mindre projekt enskilt eller i grupp. Som lärare får du ett omfattande och pålitligt stöd för din undervisning. Det gäller i synnerhet med bedömning och utvärdering av elevernas kunskaper och färdigheter. Du får också förslag till hur du kan hjälpa elever som behöver stöd i matematik. Mondo matematik 7 består av: • Elevbok • Elevwebb med filmade genomgångar, effektiv digital färdighetsträning och diagnoser • Lärarwebb med handledning, prov, bedömningsstöd, filmade genomgångar, resultatrapport på elevernas färdighetsträning och diagnoser

7 matematik

Lisa Gustafson Jonas Hällebrand Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

8 matematik

Lisa Gustafson Jonas Hällebrand Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

Det finns mer att upptäcka Det här smakprovet är en komplett variant av den tryckta boken, för att du som lärare ska kunna utvärdera innehållet innan köp. Till de flesta av våra tryckta böcker finns det en kompletterande webbtjänst. En stor del av vårt sortiment finns också som interaktiva böcker. Alla våra digitala lärverktyg kan du prova gratis på gleerups.se. Har du några frågor eller synpunkter är du välkommen att kontakta Gleerups Kundservice på 040-20 98 10 eller via gleerups.se.

9 matematik

Lisa Gustafson Jonas Hällebrand Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

Beställ den riktiga boken Vid beställning av boken ange ISBN 40689757

400960 Denna bok får ej säljas

Mondo matematik 7 smakprov