Issuu on Google+

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 

m o

Χρήσιμες παρατηρήσεις:

c . t o

     

Ισχύουν οι προτάσεις  •

z = 0 ⇔ Re ( z ) = 0  και  Im ( z ) = 0  

z + z = 2 Re ( z ) ,  z − z = 2 Im ( z )    και με απόδειξη οι: z = z ⇔ z ∈ \ ,  z = − z ⇔ z ∈ I  

z = z = −z = −z  

z = ρ ⇔ z = ρ2 ⇔ z ⋅ z = ρ2 ⇔ z =

ρ ≠0

2

ρ2 z

z a l s

Αν  z = w , τότε  z = w  το αντίστροφο δεν ισχύει !               

Ισχύει  z = z ⋅ z  για κάθε  z ∈^ .  

  Ισχύουν οι προτάσεις  z = z ⇔ z ∈ \  και  z = − z ⇔ z ∈ I   2

(απαιτείται απόδειξη) 

i n n

2

a i g

2

: tt p

Αν   z 2 − z + 1 = 0 , τότε  z 3 + 1 = 0  και  z = 1 . 

(1 ± i )

 

o l .b 2

Δεν έχει νόημα η διάταξη και οι ιδιότητές της, δηλαδή οι σχέσεις  

z > 0 ,  z > w  κ.λ.π.  θα έχουν νόημα, μόνο αν  z , w ∈ \ . 

2

Αν  z 2 + w2 = 0 , τότε δε μπορώ να συμπεράνω ότι  z = w = 0 .  Η σχέση γίνεται:  z 2 − i 2 w2 = 0 ⇔ ( z − iw ) ⋅ ( z + iw ) = 0 ... 

Δεν ισχύει  γενικά  z = z 2  .  2

z − u ≤ z −u ≤ z + u   •

h

Αν   z 2 + z + 1 = 0 , τότε  z 3 − 1 = 0  και  z = 1 .   

3

⎛1 3⎞ = ±2i  και  ⎜⎜ ± i ⎟ = −1   2 ⎟⎠ ⎝2

Στο  ^  δεν ισχύουν προτάσεις και ιδιότητες που ισχύουν στο  \ : 

z − w ≤ z + w ≤ z + w  και αν  w = −u  , τότε 

s i id

r a

 

2

p s g

 

 

 


ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 

Αν  Α, Β  οι εικόνες των μιγαδικών  z1 , z2 , τότε : 

Μιγαδικοί και γεωμετρία 

m o

c . t o

Καθετότητα 

JJJG JJJG JJJG JJJG ΟΑ ⊥ ΟΒ ⇔ ΟΑ ⋅ ΟΒ = 0 ⇔ x1 x2 + y1 y2 = 0  ή 

sp

g lo

ΒΑ 2 = ΟΑ 2 + ΟΒ 2 ⇔ z1 − z2 = z1 + z 2   •

ir d

a z a l s

   

i n n

JJJG JJJG JJJG JJJG x ΟΑ & ΟΒ ⇔ det ΟΑ, ΟΒ = 0 ⇔ 1 x2

a i g : tt p

z + w + z − w = 2⋅ z + 2⋅ w   2

2

2

Που είναι γνωστή ως “ κανόνας του παραλληλογράμμου ” και είναι ιδιαί‐ τερα χρήσιμη στη λύση ασκήσεων, όπου εμφανίζονται σχέσεις της μορ‐

h

φής  z + w + u = c ∈ \ .

2

(

)

y1 = 0 ⇔ x1 y2 − y1 x2 = 0 y2

Αν  Α, Β, Γ  οι εικόνες των μιγαδικών  z1 , z2 , z3 , τότε :  •

Το τρίγωνο  ΑΒΓ  είναι ισοσκελές με  ΑΒ = ΑΓ  αν 

z1 − z2 = z1 − z3  

Για τα μέτρα των μιγαδικών  z , w, ( z − w )  και  ( z + w ) , ισχύει η σχέση  2

2

Συνευθειακά σημεία  

b . is

 

2

Το τρίγωνο  ΑΒΓ  είναι ισόπλευρο αν 

z1 − z2 = z2 − z3 = z3 − z1   •

Το τρίγωνο  ΑΒΓ  είναι ορθογώνιο στην κορυφή  Α  αν 

z2 − z3 = z1 − z2 + z3 − z1   2

2

2


ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 

m o

c . t o

Η εξίσωση  

x + y + Αx + Βy + Γ = 0   με  2 2 Η  εξίσωση  του  κύκλου  με  κέντρο  Κ ( x0 , x0 )   και  Α + Β − 4Γ > 0 ,  παριστάνει  κύκλο  με  ⎛ Α Β⎞ ακτίνα  ρ  είναι  κέντρο το σημείο  Κ ⎜ − , − ⎟  και ακτί‐ 2⎠ ⎝ 2 2 2 ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = ρ 2   να  2

z a l s

i n n

h

a i g : tt p

r a

p s g

o l .b

s i id

 

2

ρ=

Α 2 + Β 2 − 4Γ   2

Έλλειψη  με  εστίες  τα  σημεία  E   και  E ' ,  ονομάζεται  ο  γ.τ.  των  σημείων  του  επιπέ‐ δου  για  τα  οποία  το  άθροισμα  των  απο‐ στάσεών τους από τις εστίες είναι σταθερό  και μεγαλύτερο από την απόσταση  E ' E  

   


ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 

i n n  

a i g : tt p

   

 

h

z a l s

r a

c . t o

p s g

o l .b

s i id

m o

Υπερβολή με εστίες τα σημεία  E  και  E ' ,  ονομάζεται  ο  γ.τ.  των  σημείων  του  επιπέ‐ δου για τα οποία η απόλυτη τιμή της δια‐ φοράς των αποστάσεών τους από τις εστί‐ ες  είναι  σταθερή  και  μικρότερη  από  την  απόσταση  E ' E  

 


ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 

οι μιγαδικοί με εικόνες τα  Μ, Ν  τότε ισχύει  

o l .b

z1 − z 2 ≤ 2 ρ  

r a

z a l s

i n n

s i id

c . t o

p s g

Για δύο σημεία  Μ, Ν  ενός κύκλου, ακτίνας  ρ  ισχύει  ( ΜΝ ) ≤ 2 ρ . Άρα αν  z1 , z2  

m o

 

Για  δύο  σημεία  Μ, Ν   μιας  έλλειψης  με  μεγάλο  άξονα  2α και  μικρό  άξονα  2 β   ισχύει  2 β ≤ ( ΜΝ ) ≤ 2α .  Άρα  αν  z1 , z2   οι  μιγαδικοί  με  εικόνες  τα  Μ, Ν   τότε  ι‐

a i g : tt p

σχύει  

2 β ≤ z1 − z2 ≤ 2α  

h

 


ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 

s i id

Για δύο σημεία  Μ, Ν  μιας υπερβολής με κορυφές  A′A  ισχύει  ( ΜΝ ) ≥ 2α . Άρα  αν  z1 , z2  οι μιγαδικοί με εικόνες τα  Μ, Ν  τότε ισχύει  

z1 − z 2 ≥ 2α  

i n n

z a l s

a i g : tt p

 

h

r a

c . t o

p s g

o l .b

m o

 


ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 

Φέρνουμε  την  κάθετη  από  το  σημείο  Α   προς  την  ευθεία  ε   και  έστω  Η   το  σημείο  τομής.  Ισχύει  ( ΑΗ ) ≤ ( ΑΜ ) , για οποιοδήποτε σημείο  Μ  της ευθείας  ε . Επομένως αν  Α  η  εικόνα του  z1  και  Μ  η εικόνα του  z ισχύει : 

Βρίσκουμε  την  εξίσωση  της  ευθείας  ΑΗ ,  με  λ ⋅ λε = −1   ,  όπου  λε   ο  συντελεστής 

s i id

διεύθυνσης της  ε  και εξίσωση που δίνεται από το γνωστο τύπο  y − yΑ = λ ( x − xΑ ) . 

z a l s

r a

Ελάχιστη και μέγιστη απόσταση σημείου από κύκλο 

i n n

p s g

o l .b

Η ελάχιστη τιμή για το  z − z1  είναι το  ( ΑΗ )  

m o

c . t o

Ελάχιστη απόσταση σημείου από ευθεία 

 

Φέρνουμε τη διάκεντρο  ΑΚ  και έστω  Β, Γ  τα σημεία τομής με τον κύκλο.   Ισχύει  ( ΑΒ ) ≤ ( ΑΜ ) ≤ ( ΑΓ ) , για οποιοδήποτε σημείο  Μ  του κύκλου. 

a i g : tt p

Επομένως αν  Α  η εικόνα του  z1  και  Μ  η εικόνα του  z ισχύει:  το  z − z1  έχει  •

ελάχιστη τιμή  ( ΑΚ ) − ρ  

μέγιστη τιμή  ( ΑΚ ) + ρ  

h

 


ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 

Φέρνουμε την κάθετη από το κέντρο  Κ  προς την ευθεία  ε  και έστω  Η, Α  τα σημεία  τομής με την ευθεία και τον κύκλο αντίστοιχα.  Ισχύει  ( ΑΗ ) ≤ ( ΝΜ ) , για οποιοδήποτε σημεία  Μ  της ευθείας  ε  και  Ν  του κύκλου. 

p s g

o l .b

Επομένως αν  Ν  η εικόνα του  w  και  Μ  η εικόνα του  z  ισχύει: 

Η ελάχιστη τιμή για το  z − w   είναι  ( ΚΗ ) − ρ  

s i ir d

m o

c . t o

Ελάχιστη απόσταση κύκλου από ευθεία 

 

a z a l s

Ελάχιστη και μέγιστη απόσταση κύκλου από κύκλο 

i n n

Φέρνουμε τη διάκεντρο  ΛΚ  και έστω  Α, Β, Γ, Δ  τα σημεία τομής με τους κύκλους.  Ισχύει  ( ΒΓ ) ≤ ( ΝΜ ) ≤ ( ΑΔ ) , για οποιοδήποτε σημεία  Μ, Ν  των κύκλων. 

a i g : tt p

 Επομένως αν  Ν  η εικόνα του  w  και  Μ  η εικόνα του  z ,  το  z − w  έχει:  •

ελάχιστη τιμή  ( ΛΚ ) − ρ1 − ρ 2  

μέγιστη τιμή  ( ΛΚ ) + ρ1 + ρ 2  

h

 


Μιγαδικοί, χρήσιμες παρατηρήσεις