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TEMA: ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA FAVORECER LAS NOCIONES DEL ESPACIO BROITMAN, Claudia (2000), “Reflexiones en torno a la enseñanza del espacio”, en 0 a 5. La educación en los primeros años, año III, núm. 22, marzo, Buenos Aires, Ediciones Novedades Educativas, pp. 24-41.

En este trabajo, Claudia Broitman señala algunos problemas y confusiones sobre la enseñanza del espacio en el Nivel Inicial. En primer lugar, distingue los intentos de abordar en la escuela el estudio de la noción operatoria de espacio del tratamiento didáctico de problemas espaciales, luego analiza críticamente ciertas ideas vigentes sobre la enseñanza de las relaciones espaciales (“concreto-gráfico-abstracto”; “vivenciarepresentación”, etc.) y diferencia un abordaje motriz de uno matemático. Por último, presenta el análisis de un trabajo realizado en una sala de 5 años sobre la construcción de un plano y el proceso de reelaboración del mismo.

La enseñanza del espacio en la escuela: ¿noción de espacio? ¿Se ven las patas de la silla desde arriba, Florencia? No, pero si no la silla se cae.

En el Nivel Inicial se suele reconocer el trabajo sobre las relaciones espaciales como un contenido a ser abordado. Sin embargo, este acuerdo sobre la importancia de su tratamiento deja de ser tal cuando se analizan las diferentes propuestas de enseñanza. Ya ha sido muy discutido y difundido que en la enseñanza de la matemática ha habido una importante confusión entre las estructuras lógico matemáticas estudiadas por la epistemología y la psicología genéticas y los contenidos y objetivos de la enseñanza. Jean Brun (1980, 1994) analiza los efectos de dicha confusión en la enseñanza de la matemática. Destaca cómo la psicología genética influyó sobre la enseñanza a partir de ciertos malentendidos originados en las relaciones entre las nociones estudiadas por Piaget y la enseñanza de la matemática. Los resultados de dicha confusión han sido suficientemente analizados: se ha producido un desdibujamiento del rol docente como enseñante al considerarlo agente de la aceleración del desarrollo, se confundió el método clínico crítico de la psicología genética con las estrategias de enseñanza, hubo una cierta reducción de conocimientos matemáticos a ser enseñados al reemplazarse éstos por nociones a abordar; se alteró, incluso, el fin social de la escuela, dejando de considerarse como el lugar para la comunicación, difusión y democratización de una selección de conocimientos socialmente relevantes para instalar la expectativa de acelerar el desarrollo. En el Nivel Inicial, la persistencia de la confusión entre las nociones operatorias y los contenidos (tanto para el campo numérico como para el espacial) aparentemente ha sido mayor que en el resto de los niveles. Tal vez la menor demanda social al mismo sobre la enseñanza de conocimientos, los supuestos acerca de lo tenidos abordables por la edad de los alumnos, las diversas funciones sociales adjudicadas al nivel, la fuerte difusión de las ideas de las corrientes de la Escuela Nueva, fuertemente entrelazadas con las ideas estructuralistas en los discursos pedagógicos de formación de docentes del nivel, y otros factores, han contribuido a dar COMPETENCIAS DIDÁCTICAS: MATEMÁTICAS. LECTURA 3

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consistencia y relevancia a propuestas derivadas de ciertas interpretaciones educativas de la obra piagetiana. El aplicacionismo de la psicología genética a la enseñanza, en el caso de la noción de espacio, ha tenido como efecto -como ha sucedido con la noción de número- la identificación de dicha noción como finalidad de la enseñanza o como contenido- Es frecuente encontrar, en documentos curriculares, en publicaciones para docentes y en libros de texto para niños del Jardín o de los primeros grados de las últimas décadas, la expresión “la construcción de la noción de espacio” propuesta como fin o como objeto de trabajo. Hoy aún muchas de estas ideas siguen persistiendo y difundiéndose, sin embargo, han también circulado, en los últimos años, numerosas propuestas de enseñanza del campo numérico dirigidas a instalar su abordaje en el nivel, a partir de un análisis crítico de la noción de actividades dirigidas al desarrollo de la noción de número y asumiendo una perspectiva didáctica. El trabajo alrededor de las situaciones problemáticas, el conocimiento de la serie numérica, las funciones del número, su uso social, etc., han transformado el panorama desde aquellos momentos en los que se proponía un trabajo sobre las nociones allí llamadas “pre-numéricas" . Sin embargo, no ha ocurrido del mismo modo para el abordaje de lo espacial. Quaranta (1998) señala que la persistencia de estas confusiones en el Nivel Inicial es más fuerte en la enseñanza del espacio que en lo referente al campo numérico, y sostiene que este fenómeno tal vez se deba a la escasa investigación en didáctica sobre su enseñanza. A pesar de dicha área de vacancia en la investigación, creemos que es posible repensar su enseñanza a la luz del análisis crítico del aplicacionismo, teniendo en cuenta lo que hemos aprendido en estos años sobre la enseñanza en el campo numérico, tomando aportes conceptuales de la didáctica de la matemática, considerando las enseñanzas de Piaget sobre los procesos de construcción del conocimiento, partiendo de los pocos trabajos de investigación sobre la geometría y el espacio, de ciertos documentos curriculares y, por qué no, también de experiencias didácticas llevadas a cabo en escuelas. Intentaremos aportar aquí, a partir de aquellas fuentes, algunas distinciones e ideas con el fin de revisar algunas ideas y prácticas vigentes y tender otras para reorganizar su enseñanza. La enseñanza del espacio en la escuela: conocimientos y problemas Desde los aportes de la didáctica de la matemática nos preguntamos: ¿qué significa concebir al espacio como contenido? ¿Qué propuestas didácticas en el aula?, ¿qué avances se espera producir en los conocimientos de los niños? Los niños utilizan el espacio y construyen un conjunto de conocimientos prácticos que les permiten dominar sus desplazamientos, construir sistemas de referencias (Saiz, 87; Berthelot y Salin, 1994; Castro, 1999). Estos conocimientos son aprendidos independientemente del pasaje de los niños por la escuela. Se trata de adquisiciones espontáneas en su proceso de construcción de nociones espaciales. Esto no significa que no haya nada por enseñar en la escuela, que renunciemos a considerar como COMPETENCIAS DIDÁCTICAS: MATEMÁTICAS. LECTURA 3

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contenido el tratamiento del espacio. ¿Por qué? Berthelot y Salin (1994) muestran la gran cantidad de conocimientos espaciales útiles para resolver problemas cuya adquisición no es espontánea y señalan la importancia de un trabajo sistemático para su adquisición. Insisten en la necesidad de su abordaje en la escuela, citando a Pecheux (1990): “Nos parece que las performances espaciales son consideradas más como dependientes de aptitudes individuales, que pueden ser eventualmente útiles para ciertos oficios, pero de las que se puede prescindir fácilmente. Ni la enseñanza elemental, ni el colegio, emprenden la enseñanza del espacio de manera estructurada. (...) En suma, en las prácticas escolares, la sistematización de los conocimientos espaciales es abandonada al azar.”

Y más adelante, interpretando el origen de su ausencia en la enseñanza: “Conocimientos que corresponden a un sector reconocido de las matemáticas son más fáciles de legitimar (...) que conocimientos espaciales prácticos, por necesarios que sean para los alumnos, como los que permiten la utilización conveniente de un plano para ubicarse en un espacio desconocido...”

Berthelot y Salin destacan la minimización de las dificultades de adquisición de los conocimientos espaciales. La mayor parte de los alumnos de grados superiores o de adultos no dominan convenientemente la interpretación de un plano en una actividad de anticipación espacial. Sin embargo, confían en que se podrían esperar otros resultados si el sistema de enseñanza se hiciera cargo de las competencias y conocimientos espaciales necesarios tanto para las exigencias de la vida social, como de los necesarios para futuros aprendizajes matemáticos. Desde una perspectiva didáctica nos preguntamos por el campo de problemas espaciales que ciertos conocimientos permiten resolver. Se trata de que los niños amplíen el dominio de las experiencias espaciales. ¿Qué problemas los niños aprenderán a resolver a partir de las situaciones que la escuela promueva? ¿Para cuáles problemas el tratamiento didáctico será necesario, ya que no se trata de adquisiciones espontáneas? La escuela debe ofrecer a los alumnos oportunidades para resolver nuevos problemas y realizar conceptualizaciones. Problemas y conceptualizaciones que tal vez los niños no se hubieran planteado fuera de la escuela. Se espera que los niños puedan, entre otros aspectos: • • •

Construir un lenguaje para comunicar posiciones y desplazamientos. Tomar conciencia de los problemas ligados a los cambios de punto de vista. Elaborar y utilizar representaciones sobre el espacio físico.

El espacio, objeto de estudio desde diferentes puntos de vista: ¿matemática, psicomotricidad, educación física? Una pregunta que suele estar muy presente en el trabajo con los docentes es la relación entre el abordaje del espacio desde el punto de vista de otras áreas y el que se realiza desde la matemática. ¿Las mismas actividades permiten promover aprendizajes de las diferentes áreas? ¿Es necesario abordar primero actividades desde el propio cuerpo y luego abordar su COMPETENCIAS DIDÁCTICAS: MATEMÁTICAS. LECTURA 3

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representación simbólica? Nos encontramos aquí con otro supuesto de la enseñanza: la creencia de que los niños, para aprender en la escuela, deben atravesar ciertas etapas que van de lo concreto a lo gráfico y desde éste a lo abstracto. Esta idea, muy difundida para la enseñanza de la matemática, también se ha originado a partir del aplicacionismo de los estudios piagetianos a la enseñanza escolar y se ha fortalecido por las ideas de “activismo” de las corrientes pedagógicas de la Escuela Nueva con un importante arraigo en los primeros niveles de enseñanza. La creencia sobre la necesidad de respetar en el aula estas etapas ha contribuido a la confusión de los aprendizajes espaciales ligados a la matemática con aquellos ligados al movimiento o a los desplazamientos. El supuesto orden produjo la organización en etapas en la enseñanza: primero la “vivencia” del espacio, luego su representación gráfica y finalmente su abstracción. Están aquí presentes unas cuantas confusiones que la evolución del conocimiento didáctico permite hoy analizar. Resulta necesario hacer una distinción entre el uso del espacio real (desplazarse, recorrer lugares, hacer circuitos, etc.) y los aspectos matemáticos que podrían estar vinculados a cada una de dichas situaciones. En el uso real del espacio (cuando va de la sala al baño o de su cuarto al de sus padres, cuando lanza una pelota hacia un aro, etc.) el niño no necesariamente realiza alguna conceptualización o toma de conciencia de conocimientos matemáticos en juego. De hecho, los conocimientos vinculados con el desplazamiento del propio cuerpo en el espacio están ligados al desarrollo espontáneo de un sujeto desde sus primeros meses de vida. Es decir, no hay necesariamente actividad matemática en el desplazamiento físico. Esto no significa que desvaloricemos aquellas propuestas elaboradas desde otras disciplinas en dirección al uso del cuerpo propio en el espacio físico, como aquéllas que se propician desde la educación física o la psicomotricidad. Simplemente señalamos la necesidad de distinguir su finalidad y destacar la posibilidad de proponer a los niños avances, en muchos casos independientes, en uno u otro campo de conocimiento. Los problemas matemáticos relacionados con el espacio están ligados a la representación sobre dicho espacio. No se trata de los mismos problemas. El desafío en realizar un circuito involucra destrezas físicas y no necesariamente matemáticas. ¿Significa esto que no es posible abordar aspectos matemáticos a partir de un espacio real o de una actividad de desplazamiento? No se trata de descartar las propuestas de uso del espacio real o de desplazamientos efectivos, sino de preguntarse cuáles son los problemas que, en dicha situación, involucran conocimientos ligados a la matemática. Si el problema planteado a los alumnos se resuelve exclusivamente en el ámbito del espacio real (por ejemplo, hacer el circuito mencionado), no está involucrado ningún problema matemático, ni se exige que el alumno esté reflexionando sobre las relaciones espaciales. Podría tratarse de un problema matemático la comunicación verbal o gráfica de dicho circuito, tanto sea la producción como la interpretación de instrucciones, sean éstas verbales, con un sistema de códigos o mediante una representación gráfica. COMPETENCIAS DIDÁCTICAS: MATEMÁTICAS. LECTURA 3

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El espacio y la matemática: relaciones complejas ¿Qué relación hay entre los conocimientos matemáticos y la interpretación o elaboración de una representación gráfica o de instrucciones verbales para llevar a cabo un desplazamiento? ¿qué tiene de “matemático” hacer o interpretar un plano? El trabajo sobre el espacio tiene unas “relaciones complejas” con el conocimiento matemático. A diferencia de lo que ocurre con los conocimientos geométricos, muchos conocimientos espaciales no tienen referente en el conocimiento formalizado de esta disciplina y sí lo tienen en las prácticas sociales (Berthelot y Salin, 1994). Sin embargo, creemos que hay elementos del tratamiento y del trabajo alrededor del espacio que permiten vincular el tipo de actividad intelectual que involucran a la actividad matemática. ¿De qué aspectos estamos hablando? Por ejemplo, en un problema de elaboración de un plano hay presentes ciertas cuestiones “ligadas a la actividad matemática”, como la formalización de ciertos recursos válidos para representar el tipo de tratamiento que se hace del problema, el uso de modelos o esquemas que toman en cuenta sólo la parte de lo real pertinente al problema (para un problema de ubicación espacial no son necesarios ciertos detalles del espacio real), la potencia del conocimiento para la anticipación, etcétera. Veamos este último aspecto: la anticipación. Los conocimientos matemáticos permiten anticiparse a acciones no realizadas todavía, o realizar afirmaciones válidas acerca de acciones realizadas en otro espacio o en otro tiempo. Un par de ejemplos: la operación de resta nos permite calcular un resultado de una acción aún no realizada, o de una acción que transcurre en otro lugar o en otro momento. Sabemos cuántos alfajores quedarán si hay 8 y alguien come 4, podemos tener certeza del resultado de dicha acción aunque no los coman realmente, o a pesar de que los alfajores, o quien se los coma, estén lejanos en el espacio o en el tiempo. Dicho poder de anticipación de los números (PreDiseño GCBA Primer Ciclo, 1999) es “compartido” por los conocimientos geométricos: por ejemplo, se puede averiguar la medida de un ángulo de un triángulo equilátero sin medirlo, deduciendo a partir de ciertas propiedades de las figuras. Se puede afirmar, sin medir, que todos sus ángulos miden 60°. Los conocimientos geométricos permiten anticiparse a acciones no realizadas, efectuar deducciones en el terreno intelectual, sin recurrir a realizaciones empíricas (Doc. 5 GCBA, 1998). La validez de las declaraciones, en geometría, se apoya en razonamientos que obedecen a las reglas del debate matemático (Berthelot y Salin, 1994; Marco Gral EGB, GCBA, 1999). Ocurre del mismo modo en el conocimiento espacial: la representación gráfica de un espacio o de un recorrido permite ubicar objetos y relaciones en ausencia de dicho objeto. El lenguaje y las representaciones espaciales permiten comunicar informaciones que sustituyen la percepción (Berteloth y Salin, 1994). Para ir de un lugar conocido a otro conocido (por ejemplo, para ir del aula al baño) no se precisa de representación gráfica alguna. En cambio, hay numerosos problemas cuya resolución no es posible desplazándose. Por ejemplo, la lectura de un plano permite resolver problemas para un espacio que no es percibido directamente. O las instrucciones verbales sobre cómo realizar un circuito permiten comunicar la actividad realizada a un alumno que ha estado ausente en el momento de su realización, sin necesidad de mostrarlo efectivamente, COMPETENCIAS DIDÁCTICAS: MATEMÁTICAS. LECTURA 3

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ni de estar en el lugar físico donde se ha desarrollado la acción. También en los conocimientos espaciales, aunque muy ligados a las prácticas sociales y al espacio real, existe un quehacer matemático (PreDiseño GCBA, 1999). La actividad matemática en los problemas espaciales está dada por la potencia para la resolución de problemas que exigen la anticipación y que no son resolubles exclusivamente en forma empírica. El trabajo con el espacio en la escuela, desde esta perspectiva, se ubica en el conjunto de problemas ligados a la representación, son problemas que involucran algún grado de análisis o de reflexión sobre el espacio real y las relaciones que involucran. Un tipo de problemas de representación sobre el espacio compromete problemas específicos del pasaje del espacio tridimensional, sensible, al espacio representado bidimensionalmente. Las representaciones gráficas del espacio pueden ser objeto de estudio (esquemas, mapas, planos, etc.) y a la vez ser un medio para pensar sobre las relaciones y puntos de vista en el espacio. “Desde una perspectiva didáctica, el dibujo y los problemas propios de la representación plana son un medio ideal para provocar intencionalmente el inicio en la conceptualización de algunos aspectos del entorno físico...” (Castro, 1999). Una experiencia en sala de 5 años Presentaremos ciertos problemas surgidos del trabajo con una sala de 5 años sobre la representación gráfica de un espacio real: el plano de su aula. Pensamos en proponerles a los alumnos la producción de un plano del aula. La finalidad de la situación (para la perspectiva de los niños) era la producción de un plano del aula a modo de recuerdo de su última sala de jardín. El trabajo sería incluido el último día de clases en sus cuadernos. Los objetivos (desde el punto de vista didáctico) eran que los niños: • Elaboraran un plano como recurso para comunicar posiciones de los objetos, • Compararan propiedades de diferentes tipos de representaciones del espacio, • Reflexionaran acerca de los efectos en la variación del punto de vista. La consigna que se daría a los alumnos sería que dibujaran un plano del aula, y que para ello la dibujaran vista “desde arriba”. Las actividades previstas (para más de una clase) eran las siguientes: • • • •

Producción individual de la primera versión del plano. Análisis y comparación de algunas producciones. Elaboración colectiva de conclusiones para la realización de un nuevo plano. Reelaboración individual del plano.

Analicemos algunas de las decisiones tomadas: ¿Por qué proponer una situación de producción de un plano sin ofrecer primero las herramientas COMPETENCIAS DIDÁCTICAS: MATEMÁTICAS. LECTURA 3

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conceptuales para su construcción? ¿Por qué no enseñar primero a los niños cómo hacerlo y luego elaborarlo? La enseñanza clásica en matemática se ha centrado en descomponer los conocimientos y tratar de comunicarlos “por partes” y “de lo simple a lo complejo”, en este supuesto de su acumulación y organización posterior. En el trabajo con el espacio se han abordado, por ejemplo, desde dicha perspectiva, propuestas dirigidas a trabajar independientemente unas nociones de otras (arriba-abajo; adentro-afuera; izquierda-derecha) desglosando pares de conceptos que están implicados entre sí en cualquier problema de ubicación espacial. Desde la perspectiva de la didáctica de la matemática actual, pensamos que dichos conocimientos, al ser enseñados aisladamente, están desprovistos de significado para los niños y no son fértiles para la resolución de problemas. Por el contrario, pensamos que se trata de promover situaciones más complejas, en las que no se intenta garantizar de entrada la homogeneidad de las producciones, sino que se provocan interacciones entre los alumnos y con el objeto en cuestión para producir avances a lo largo de varias clases. Consideramos que la aparición de diferentes formas de representación es una buena ocasión y punto de partida para poder revisarlas y compararlas. ¿Por qué hacer un mismo plano una y otra vez? ¿Por qué proponer a los niños revisar la propia producción? El objetivo del trabajo no era una evaluación de los conocimientos espaciales de los niños; por el contrario, fue pensado como una situación para aprender. Asumimos también, en matemática, la idea de producciones sucesivas, que se revisan y mejoran, sobre las que se discute colectivamente. Nos permitimos considerar el plano como una producción en “borrador” que precisará ser revisada y sobre la que habrá sucesivas versiones. Sobre el trabajo en el aula A partir de la consigna ya mencionada, los niños evocan otras representaciones gráficas del espacio: globos terráqueos, mapas, dibujos, con instrucciones de armado, mapas de rutas, etc. (“un plano parece un mapa”, “te indica los caminos para llegar de un país al otro”, “es algo que te enseña cómo armar las cosas, por ejemplo un aerostática”, etc.). Con respecto al punto de vista de dichos dibujos, los chicos comentan que “se ve re-chiquito”, “desde el cielo”, “desde el espacio”, etcétera. Se retoma la consigna: “vamos a hacer el dibujo del aula imaginando que somos muy muy chiquitos y estamos parados arriba del ventilador de techo mirando el aula desde ahí”. Esta supuesta ubicación imaginaria del punto de vista traerá varias consecuencias no previstas: • discusiones acerca de que se pueden mover caminando por el ventilador y entonces cambian los puntos de vista; • reflexiones acerca de que como el ventilador está en movimiento, según desde qué lugar del ventilador se mire para abajo se verán o no los frentes de los objetos colgados en la pared o no. Evidentemente, la altura del ventilador, la posibilidad de desplazamiento imaginario sobre el mismo y su constante movimiento produjeron la consideración simultánea de diferentes puntos de vista. Hoy creemos que hubiera sido mejor plantear un lugar imaginario de observador “más COMPETENCIAS DIDÁCTICAS: MATEMÁTICAS. LECTURA 3

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alto” e “inmóvil” en el espacio. Es importante aclarar que la maestra informa a los alumnos, antes de hacer la primera producción, que realizarán varios planos sucesivos, que “éste va a ser un borrador, que se va a poder cambiar, arreglar y rehacer”. Consideramos que esta aclaración a los alumnos es importante para que se predispongan desde un principio a la revisión de la propia producción y no enfaticen los detalles estéticos de la obra. Si así no fuera, les sería probablemente difícil aceptar realizar una revisión crítica del mismo y considerarlo una primera aproximación a un proceso de producción. También la docente informa acerca del análisis colectivo que se promoverá a partir de los diferentes trabajos. La importancia de dicha aclaración reside en que los alumnos puedan predisponerse al hecho de que compararán y analizarán críticamente las producciones propias y ajenas, y que se establecerán criterios comunes para la revisión. Por último, la maestra propone que dibujen los muebles del aula y no a las personas, ya que nos desplazábamos constantemente en el aula. Aparecen, alrededor de las primeras producciones, los siguientes “problemas”:  La ubicación de los objetos en el aula: Los niños están, en muchos casos preocupados por tener en cuenta la ubicación de los objetos, sin embargo, les es muy costoso volcar esto en la hoja.  El punto de vista: discuten acerca de si incluir o no ciertos objetos, o los detalles del frente de los mismos.  Las proporciones: surgen diálogos y arreglos al tratar de tener en cuenta las proporciones reales de los objetos en el dibujo. Se produce un intercambio espontáneo entre los alumnos acerca de la proporción entre los tamaños de los objetos y de los dibujos que los representan. Este diálogo es registrado con el objetivo de evocado en otra clase, para que sea retornado por todos los alumnos. Diego mira el aula y dibuja el pizarrón muy grande, casi en el contorno de la hoja. Fede le dice a la maestra: “Me parece que está dibujando el pizarrón muy grande” e inmediatamente a Diego “no te van a entrar las cosas, ¿eh?” Diego responde: “Las hago adentro del pizarrón” (que es lo que luego efectivamente hace). Acerca del punto de vista se produce el siguiente diálogo: Tomás: ¿Qué hacés? Diego: El reglamento (se refiere a un texto escrito en un papel afiche colgado en la pared del aula). Tomás: No se va a ver. ¡Si es un papel! Si el ventilador está girando, depende de qué lado COMPETENCIAS DIDÁCTICAS: MATEMÁTICAS. LECTURA 3

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estamos mirando, si miramos de allá (señalando la parte del ventilador más cercana al reglamento) no lo vamos a ver. Sobre el mismo problema: Lautaro está dibujando la mesa vista desde el frente, es decir dibuja dos de las patas de la mesa. A partir de una pregunta que se le formula acerca de cómo se ven las patas de la mesa desde arriba, contesta lo siguiente: Lautaro: Si la mesa estuviera con las patas para arriba vería las patas pero así como está sólo veo el tablero. A partir de esta afirmación, hace la segunda mesa, representando solamente el rectángulo del tablero. Le quedan dos mesas dibujadas, una “vista desde frente” y la otra “vista desde arriba”. En estos otros dibujos aparecen elementos representados frontalmente y otros desde una vista aérea. En el dibujo de Tomás: el pizarrón (de frente) y las mesas (desde arriba); en el dibujo de Marina todos los objetos se representan desde el frente, excepto el ventilador. ¿Por qué solo las mesas y los ventiladores tienen una representación de un punto de vista diferente? Tenemos algunas ideas al respecto... El ventilador, que parece dibujado desde arriba, ¿aparece así porque en la consigna los chicos debían imaginar que estaban parados allí arriba y esto facilitó imaginárselo desde dicho punto de vista, o porque el ventilador visto desde abajo -desde donde ellos efectivamente lo ven- es igual que visto desde arriba? Tal vez sólo lo dibujaron como lo veían -desde abajo-, y a nosotros nos parece que está dibujado desde arriba. En el caso de las mesas, puede ser que sea más sencillo imaginarlas desde dicho punto de vista que desde objetos más altos, como la biblioteca, o que objetos con muy poco espesor, como un papel. Tal vez, la altura de los niños y su habitual interacción con las mesas, en posiciones de estar parados o sentados, les permiten tener una representación de la misma desde esa perspectiva. Con respecto al problema de la ubicación de los objetos en la hoja, Lautaro, luego de dibujar la biblioteca, toma conciencia de que la ha ubicado en un lugar que no corresponde: Lautaro (un poco enojado mientras borra); La biblioteca tiene que ir ahí (señalando otro lugar en la hoja) y no acá (mostrando el lugar donde la había dibujado). - ¿Por qué? Lautaro: Porque ahí está la biblioteca (señalando la biblioteca real), ¡está al lado de la mesa! (Lautaro borra la biblioteca y la dibuja al lado de la mesa). En la segunda clase se recuerda lo realizado anteriormente y se les propone a los niños analizar algunas producciones con vistas a la revisión de la producción y a la elaboración de un segundo plano. Se invita a comparar planos seleccionados. ¿Con qué criterio han sido elegidos? Teniendo COMPETENCIAS DIDÁCTICAS: MATEMÁTICAS. LECTURA 3

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en cuenta los aspectos ya mencionados, es decir, aquellos que en particular permitirían comparar diferentes representaciones del mismo objeto (diferentes puntos de vista para dibujar las mesas) o aportar nuevos problemas (la cuestión de la ubicación). Se decide postergar para otro momento la reflexión acerca de las proporciones de los objetos representados con los objetos reales, sin embargo, aspectos del tamaño de los dibujos son traídos por los alumnos: la relación entre el tamaño de los objetos dibujados y la distancia desde la cual se observa. Con respecto al punto de vista, comentan acerca del dibujo de la puerta del aula, realizado desde una vista frontal: Ezequiel: Para mí que la puerta está hecha desde adelante. Otro alumno agrega: Lo que está de ahí (señalando la mitad) desde el medio (haciendo gesto para abajo) no se podría ver así. Sí, porque si subís hasta allá y estamos a diez metros de altura se vería más chiquita y hay partes que no se verían, se vería más chatito. Con respecto a las diferentes mesas dibujadas es interesante destacar que la mayoría de los alumnos, frente a las dos representaciones de las mesas, acuerdan en que una corresponde al punto de vista de arriba y la otra de frente: • Si se mira de arriba no se ven las patas. • Si es de muy arriba no tiene que tener las patas. A pesar del acuerdo acerca de la forma de representación utilizada, los alumnos cuestionan la representación de las cuatro pequeñas circunferencias realizadas para representar las patas: •

No tiene redondelitos.

Son las patas.

Sí, ¡pero no se ven!

Otro aspecto a resaltar es el comentario de un alumno que interviene para mostrar que desde arriba puede ser vertical (como plano) u oblicuo (como foto aérea) y para ello produce una expresión original: “arriba-arriba” y “arriba-de costado”. Desde “arriba – arriba” se ven así (señalando la representación de una mesa), desde “arriba- de costado” se ven así (señalando otra mesa). Luego del trabajo colectivo, la docente propone realizar nuevamente el plano, teniendo en cuenta lo que se ha conversado sobre el mismo. Dos niños dialogan mientras inician la segunda producción: • Hay que fijarse muy bien en el tamaño. COMPETENCIAS DIDÁCTICAS: MATEMÁTICAS. LECTURA 3

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• Yo voy a hacer la mesa, el trabajo es más fácil, solo tenés que hacer lo de arriba (refiriéndose al acuerdo establecido luego de la puesta en común). Melanie les dice a sus compañeros: • Miren bien lo que hay que dibujar. Acá abajo. (Muestra el estante que está debajo de la mesa como tratando de convencer a sus compañeros de la importancia de dibujarlo.) Lautaro le contesta: •

¡¡No, así no se ve eso desde arriba!!

Algunos ejemplos de segundas producciones son los siguientes. Julián hizo, en este plano, todos los elementos vistos desde arriba.

Lautaro adoptó diferentes puntos de vista para las mesas y para la biblioteca.

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Aquí vemos el dibujo de Yamila de la silla. Para este dibujo, la niña trabajó durante un largo rato, comparando su producción con la silla y “peleando” con los resultados que obtenía. En primer lugar, realizó el dibujo de una forma que representaba el asiento de la misma (algo similar a un cuadrado). Mientras lo hacía, miraba el asiento desde arriba. Luego decidió dibujar los círculos que representan las patas -como su compañero había hecho para la mesa-. Sin embargo, continuó su producción incluyendo los caños verticales de la misma, que unen el asiento con el respaldo. Y dibujó el respaldo del mismo modo que el asiento, sólo que en éste, a pesar del mismo dibujo, el punto de vista asumido no es el mismo. Desde arriba ha dibujado el asiento, desde el frente ha dibujado el respaldo y los caños. Le quedó la siguiente silla “desplegada” luego de un arduo trabajo en el que pareció recuperar, a su modo, aspectos discutidos colectivamente.

Los objetivos de la actividad propuesta En muchos casos, al comparar las primeras producciones con las últimas no se observan cambios importantes. ¿Esto significa que no hubo aprendizajes? Creemos que, más allá de los resultados observables en los planos producidos, fue una situación rica de trabajo para la mayoría del grupo. ¿Por qué? No se trata exclusivamente de evaluar el producto final y los logros obtenidos en relación con el plano, si bien se espera que los alumnos avancen en sus recursos de producción e interpretación de los mismos. El aprendizaje sobre las relaciones espaciales no está dado exclusivamente por una incorporación de estrategias de representación del plano, sino también por el tipo de interacciones que promueve, por el caudal de reflexiones que se producen en la clase a partir del problema. Ha sido citada anteriormente la idea acerca de que los problemas de la representación plana pueden ser pensados como un “medio” para provocar conceptualizaciones (Castro, 1999). La producción del mismo es una oportunidad para poner en juego relaciones espaciales, confrontarlas, revisarlas y ampliarlas. El avance está también dado por el tipo de reflexiones que éste permitió instalar. Asumimos-también para estos conocimientos involucrados- una perspectiva de largo plazo de construcción de conocimientos matemáticos: valoramos la importancia de la actividad cognitiva COMPETENCIAS DIDÁCTICAS: MATEMÁTICAS. LECTURA 3

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del sujeto en el proceso de conceptualizaciones sucesivas. Los alumnos tuvieron oportunidad para tomar conciencia de lo realizado por sí mismos y por otros, explicitaron aspectos hasta ese momento implícitos, opinaron sobre la propia producción y la ajena (“no te van a entrar las cosas,¿eh?”, “¡No, si no se ve eso desde arriba!”, “Hay que fijarse muy bien en el tamaño”, “Desde 'arriba-arriba' se ven así desde 'arriba-de costado' se ven así”). Consideramos que estos tipos de interacciones son centrales en el proceso de aprendizaje de los conocimientos que estamos abordando y no necesariamente pueden ser incorporados inmediatamente por los niños a sus producciones. A modo de cierre Ha sido señalada la escasa investigación didáctica sobre la enseñanza de este campo de conocimiento y, a la vez, la necesidad de incluirlo como objeto de estudio en el Nivel. No presentamos una secuencia didáctica, sino momentos de trabajo que relevan problemas con los que se encuentran los niños en la producción de un plano. Consideramos que sería necesario retomar estos aspectos con los mismos alumnos en otros momentos, tanto continuando con la producción de este plano, como con nuevos problemas que permitan a los alumnos seguir aprendiendo. Planteamos la importancia de revisar -para esta misma actividad- la consigna a la luz de los efectos producidos en la imaginaria posición del dibujante. También sería posible pensar -para futuras actividades- en la inclusión previa en la hoja, por parte del maestro, de algunos referentes, como la puerta o la ventana en las hojas que se entregan, y proponer a los niños dibujar solamente las mesas y las sillas con aclaraciones sobre los lugares en los que se sienta cada uno de ellos. Se puede anticipar que ambas variables (un punto de vista más alto y la inclusión de referencias) podrían favorecer una mayor discusión para el problema -pendiente aún- sobre la ubicación de los objetos. Evidentemente, es necesario profundizar en el tipo de problemas a proponer a los alumnos, analizar cómo cada pequeña decisión permite provocar o instalar nuevos aspectos del conjunto de problemas y estudiar qué debates, reflexiones y avances favorecen, vinculados al problema de la representación plana.

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