Page 1

- Physique Synthèse Gilles Goffard Etudiant en sciences de l’ingénieur Orientation Ingénieur Civil

University of Liège Place du XX Août, 7 4000 - Liège BELGIUM 24 décembre 2011


ii

Introduction Ce document a été créé pour les étudiants de 1er Bachelier Ingénieur Civil qui suivent le cours Physique 1. Il a été établi sur base des notes de Hervé Caps, et du livre de référence : Physics for Scientists & Engineers de John W. Jewett, Jr. & Raymond A. Serway. Il ne constitue en aucune façon une référence unique ou obligatoire pour l’étude du cours de Physique, cependant il permet de regrouper des connaissances théoriques de base afin de pouvoir plus facilement structurer la matière en vue d’une étude plus approfondie. N’utilisez donc pas uniquement cette synthèse à des fins d’études. De façon générale dans les études d’ingénieur civil, il est important de faire des exercices et de savoir appliquer les connaissances. De plus, il n’y a aucune obligation d’utilisation. Cette synthèse est créée uniquement à but consultatif, gardez toujours à l’esprit le livre de référence et les slides.


Table des matières I

1

Mécanique

1 Système International 1.1 Unités . . . . . . . . . 1.1.1 Temps . . . . . 1.1.2 Masse . . . . . 1.1.3 Longueur . . . 1.1.4 Courant . . . . 1.2 Analyse dimensionnelle 2 Mouvements 1D 2.1 Cinématique . . . . . 2.1.1 Position . . . 2.1.2 Vitesse . . . . 2.1.3 Accélération . 2.2 Relations graphiques 2.3 MRUA . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

3 Mouvements 2D 3.1 Position, Vitesse, Accélération . . . . . . . . . 3.1.1 Position . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Accélération . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 MRUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Position d’une particule en MRUA 2D 3.2.2 Vitesse d’une particule en MRUA 2D . 3.3 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Hauteur maximale . . . . . . . . . . . 3.3.2 Portée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 MCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Période T . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Accélérations Tangentielles & Radiales . . . . 3.5.1 Accélération tangeantielle . . . . . . . 3.5.2 Accélération radiale . . . . . . . . . . . 3.6 Vitesse relative & Accélération relative . . . . 3.6.1 Repères galiléens . . . . . . . . . . . . 4 Dynamique 4.1 Lois de Newton . . . . . . . 4.1.1 1ère Loi de Newton . 4.1.2 Masse . . . . . . . . 4.1.3 2ème Loi de Newton

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

iii

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

3 3 3 3 3 4 4

. . . . . .

5 5 5 5 6 6 7

. . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 9 9 10 10 10 10 11 11 12 12 13 13 13 13 14 14

. . . .

15 15 15 15 16


iv

TABLE DES MATIÈRES . . . . .

16 17 17 17 17

5 Mouvements circulaires 5.1 Liens avec le Mouvement Circulaire Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Mouvement circulaire non-uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Mouvements en référentiel accéléré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 20 20

6 Energie 6.1 Systèmes - Environnements . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Travail effectué par une force constante . . . . . . . . . 6.3 Travail pour une force variable . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Travail d’un ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Energie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Théorème du Travail-Energie cinétique . . . . . 6.6 Energie potentielle d’un système . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Calcul de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . 6.6.2 Energie potentielle élastique . . . . . . . . . . . 6.7 Forces conservatives/Non conservatives . . . . . . . . . 6.7.1 Forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Forces non-conservatives . . . . . . . . . . . . . 6.8 Relation entre forces conservatives & énergie potentielle

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

23 23 23 23 24 25 25 25 25 26 26 26 26 27

7 Conservation de l’énergie 7.1 Modèle d’analyse : Système non-isolé 7.2 Modèle d’analyse : Système isolé . . . 7.3 Frottement cinétique . . . . . . . . . 7.4 Puissance . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

29 29 29 30 31

8 Quantité de mouvement - Collisions 8.1 Quantité de mouvement . . . . . . 8.2 Système isolé . . . . . . . . . . . . 8.3 Système non-isolé . . . . . . . . . . 8.4 Collisions 2D . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Parfaitement inélastiques . . 8.4.2 Elastiques . . . . . . . . . . 8.5 Centre de masse . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

33 33 33 34 34 34 34 35

. . . . . . . . .

37 37 37 37 37 38 38 38 38 39

4.2 4.3

4.1.4 3ème Loi de Newton . Modèle d’analyse Newtonien . Forces de frottement . . . . . 4.3.1 Frottement statique . . 4.3.2 Frottement dynamique

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

9 Rotations 9.1 Position, vitesse, et accélération angulaires . . . 9.1.1 Position . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Accélération . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Objet rigide en accélération angulaire constante 9.2.1 Formules pratiques . . . . . . . . . . . . 9.3 Quantités angulaires et de transition . . . . . . 9.4 Energie cinétique de rotation . . . . . . . . . . . 9.5 Moment d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .


TABLE DES MATIÈRES

v

9.6 9.7 9.8

Théorème des axes parallèles . . . . . . . . Moment de force . . . . . . . . . . . . . . Objet rigide soumis à un moment de force 9.8.1 Objet discontinu en rotation . . . . 9.8.2 Objet continu en rotation . . . . . 9.9 Notions d’énergie . . . . . . . . . . . . . . 9.9.1 Travail . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9.2 Relation travail/énergie cinétique . 9.10 Analogies entre translations et rotation . . 10 Moment angulaire 10.0.1 Défintion . . . . 10.0.2 Application aux 10.0.3 Système isolé . 10.1 3 lois de conservation .

. . . . solides . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . indéformables . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Equilibre statique 11.1 Objet rigide en équilibre . . . . . 11.2 Précisions sur le centre de gravité 11.3 Propriétés élastiques des solides . 11.3.1 Module de Young . . . . . 11.3.2 Module de cisaillement . . 11.3.3 Module de compression . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . en rotation . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

12 Gravitation Universelle 12.1 Loi de la gravitation universelle . . . . . . . . 12.2 Accélération de chute libre & force de gravité 12.3 Lois de Kepler & mouvements des planètes . . 12.3.1 Première loi . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Deuxième loi . . . . . . . . . . . . . . 12.3.3 Troisième loi . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Champs gravitationnel . . . . . . . . . . . . . 12.5 Energie potentielle de gravitation . . . . . . . 12.6 Considérations énergétiques . . . . . . . . . . 12.6.1 Vitesse d’échappée . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

13 Oscillations 13.1 Objet attaché à un ressort . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Analyse d’une particule en mouvement harmonique 13.2.1 Valeurs significatives . . . . . . . . . . . . . 13.3 Energie d’un oscillateur harmonique . . . . . . . . . 13.4 Le pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

39 41 42 42 42 43 43 44 44

. . . .

45 45 46 46 47

. . . . . .

49 49 49 50 50 50 50

. . . . . . . . . .

51 51 51 51 51 52 53 53 53 54 54

. . . . .

55 55 55 56 56 56


vi

TABLE DES MATIÈRES


Première partie Mécanique

1


Chapitre 1 Système International 1.1

Unités

Les standards de temps, masse, distance, et courant sont les 4 seules unités à prendre en tant que "Axiomes". Ces seules unités sont capables de décrire tous les phénomènes physiques qui nous entourent. Ainsi, on peut par le biais des formules qui décrivent ces mêmes phénomènes, facilement retrouver la vraie nature de celui-ci. e.g : Le Joule peut se redéfinir en fonction des 4 unités principales par : [E] = [F ]∆[x] = [m][a]∆[x] = kg

m2 kg m m = s2 s2

Au delà de l’expression physique d’une unité, il est utile de connaître les ordres de grandeurs plausibles à ces unités. Par exemple, il est utile de dire que l’être humain est de l’ordre de 1m de hauteur, en effet, même si rares sont les êtres humains hauts de 1m, à un facteur près, la réponse est correcte. Cette notion d’approche "au facteur près" est importante dans le cadre de l’analyse dimensionnelle. Car toutes les grandeurs étant liées par les 4 unités principales, connaître l’ordre de grandeur des variables d’un problème permet d’induire l’ordre de grandeur approximative de la solution. Ainsi, ça évite d’avoir affaire à des moustiques qui volent à la vitesse de la lumière.

1.1.1

Temps

Le temps est universellement exprimé en secondes(s). Le temps est défini (depuis 1967) comme 9 192 631 770 fois la fréquence de vibration d’une radiation de l’atome de cesium-133.

1.1.2

Masse

L’unité du système international pour la masse est le kilogramme. (kg) Le kilogramme est simplement défini par un étalon en France.

1.1.3

Longueur

L’unité du système international pour la longueur est le mètre (m) 3


4

CHAPITRE 1. SYSTÈME INTERNATIONAL

1.1.4

Courant

L’unité du système international pour le courant est l’Ampère (A). 1 ampère représente le déplacement d’une charge de 1 Coulomb durant une seconde de temps.

1.2

Analyse dimensionnelle

Les dimensions peuvent également s’avérer très utiles pour retrouver une formule perdue à une constante près. e.g. : Supposons qu’on sait que l’accélération a d’une particule qui se déplace avec une vitesse uniforme v dans un cercle de rayon r est proportionnelle à une puissance près à r. a ∝ rn . Et est également proportionnelle à une puissance près à la vitesse a ∝ v m . Déterminer les valeurs de n et m et écrire la forme la plus simple d’une expression de l’équation pour a. On a : a = krn v m  m L L Ln+m n ⇔ 2 =L = T T Tm Ce qui amène :   n+m=1 n = −1 ⇔ m=2 m=2 Ce qui donne finalement : v2 r Remarquons que l’analyse dimensionnelle donne l’expression des variables à une constante près. Ainsi, l’expression correcte de l’accélération centripète est donnée par : a=k

a=m

v2 r

Les formules trouvées par l’analyse dimensionnelle ne valent donc pas un raisonnement fondé et correct. Variable Longueur Masse Temps Courant

Unité du S.I. Mètre Kilogramme Seconde Ampère

Notation m kg s A


Chapitre 2 Mouvements 1D 2.1

Cinématique

La cinématique est la branche de la physique qui se veut décrire (et non étudier 1 ) les mouvements d’objets, de solides qui se déplacent dans l’espace. Ces objets sont modélisés en tant que solides ponctuels munis d’une masse, mais pas de volumes. Ainsi, dans toutes les notions de cinématique, les objets seront appelés "des particules".

2.1.1

Position

La position est l’endroit où se trouve la particule en mouvement en respect à un référentiel qui caractérise entièrement la position de cette particule. L’étude des mouvements s’effectue en fonction du temps. Il est en effet logique que les mouvements soient caractérisés par des graphes en fonction du temps, étant donné qu’ils n’ont une variation que temporelle.

2.1.2

Vitesse

La vitesse représente la variation (à long terme, ou instantanée) de la position d’une particule au cours du temps. Vitesse moyenne On peut décrire cette variation tout au cours du mouvement, et ne considérer donc que les points et temps au départ et à l’arrivée. Il s’agit alors de la vitesse moyenne. vmoy = v¯ =

xf − x i ∆x = ∆t tf − ti

Vitesse instantanée De la même façon, on peut considérer la variation moyenne de la position sur un temps infinitésimal. En effet, si on fait tendre le temps durant lequel on "analyse" la variation de position vers 0, on obtient l’expression précédente, où ti = t, tf = t + ∆t, xi = x(t) et xf = x(t + ∆t), Si on fait tendre la différence de temps∆t vers 0, on obtient x(t + ∆t) − x(t) x(t + ∆t) − x(t) = lim ∆t→0 ∆t→0 (t + ∆t) − t ∆t

vinst = lim

1. Il s’agit là de la principale distinction avec la dynamique.

5


6

CHAPITRE 2. MOUVEMENTS 1D

Qui représente effectivement la variation sur un temps infiniment petit de la position du mobile. Or, la définition d’une dérivée est donnée par : dy y(x + ∆x) − y(x) = lim dx ∆x→0 ∆x On constate donc que la vitesse instantannée est l’équivalent de la dérivée de la position par rapport au temps. dx v= dt

2.1.3

Accélération

L’accélération est la variation de la vitesse du mobile durant un temps t. Comme pour la vitesse, deux approches sont possibles. Accélération moyenne Elle se définit comme la différence de vitesse relativement aux moments où on calcule celle-ci. On a donc l’expression : amoy = a ¯=

vf − vi tf − ti

Accélération instantanée Celle-ci, au même titre que la vitesse relativement à la position, se définit comme la variation de vitesse sur un intervalle de temps infinitésimal. On obtient facilement : a(t + ∆t) − a(t) a(t + ∆t) − a(t) = lim ∆t→0 ∆t→0 (t + ∆t) − t ∆t

a = lim

Par l’application de la définition de la dérivée, on a : a=

2.2

dv d2 x = 2 dt dt

Relations graphiques

Des relations entre les graphiques peuvent être établies par application des définitions des vitesses et accélérations instantannées.


2.3. MRUA

7

e.g. :

2.3

MRUA

On a : ax =

vxf − vxi tf − ti

Si on considère ti nul, on peut donc déterminer la vitesse du mobile en tout temps t. ax =

vxf − vxi ⇔ vxf = vxi + ax t t

Si l’accélération est constante, on a également : vx =

vxi + vxf xf − xi xf − x i = = 2 tf − ti tf


8

CHAPITRE 2. MOUVEMENTS 1D ⇔ vxf = 2

xf − xi − vxi tf

Par la relation précédente, on a : vxf = vxi + ax t = 2

xf − xi 1 − vxi ⇔ xf = xi + vxi t + ax t2 tf 2


Chapitre 3 Mouvements 2D 3.1

Position, Vitesse, Accélération

Dans ce chapitre, il s’agit essentiellement d’étendre la connaissance de la cinématique dans un système à 2 dimensions. Les grandeurs sont par conséquent représentées par des vecteurs. ATTENTION : Ne pas confondre les scalaires et les vecteurs. Les vecteurs sont constitués de plusieurs composantes scalaires, mais représenter un vecteur par un scalaire est une grosse erreur.

3.1.1

Position

La position est représentée par un vecteur souvent noté r. Le déplacement est noté ∆r = rf − ri = r(t) − r(t + ∆t) .

3.1.2

Vitesse

Comme dans les mouvements à 1 dimension, on peut distinguer la vitesse moyenne de la vitesse instantannée. Vitesse moyenne : La vitesse moyenne est le déplacement total effectué sur le temps qu’il a fallu pour exécuter ce déplacement. v=

∆r rf − ri v(t + ∆t) − v(t) = = ∆t tf − ti ∆t

Vitesse instantannée : Le vitesse instantannée est le déplacement effectué un temps infinitésimal, il se calcule donc comme la limite pour ∆t → 0. r(t + ∆t) − r(t) r(t + ∆t) − r(t) dr = lim = = r˙ (t) ∆t→0 ∆t→0 (t + ∆t) − t ∆t dt

v = lim

9


10

CHAPITRE 3. MOUVEMENTS 2D

De façon plus générale, on peut déterminer le vecteur vitesse comme : dr ˆr dt

3.1.3

Accélération

L’accélération, comme dans les mouvements à une dimension, peut-être exprimée sur toute la durée du mouvement (accélération moyenne), ou bien sur une durée infinitésimale, donc sur un instant précis.

Accélération moyenne L’accélération moyenne s’exprime : a=

v(t + ∆t) − v(t) vf − vi = tf − ti ∆t

Accélération instantanée L’accélération instantanée s’exprime en prenant ∆t → 0 : v(t + ∆t) − v(t) dv = = v˙ ∆t→0 ∆t dt

a = lim

De façon plus générale, on peut exprimer le vecteur a selon ses composantes comme : a=

dv ˆ v dt

De plus, comme la vitesse est elle-même la dérivée temporelle de la position, on peut définir a : a=

3.2 3.2.1

dv d(dr) d2 r ˆ= ˆ ˆr = ¨r v r = dt dt2 dt

MRUA Position d’une particule en MRUA 2D

La position d’une particule en 2 dimension s’exprime au moyen du vecteur r = xˆi + yˆj Où x et y sont variables en fonction du temps alors que ˆi et ˆj restent constants dans le temps.

3.2.2

Vitesse d’une particule en MRUA 2D

Par 3.1.2, on a : v=

dr dx dy = ˆi + ˆj = vxˆi + vyˆj dt dt dt


3.3. PROJECTION

11

On peut aussi déterminer vf vf = (vxi + ax t)ˆi + (vyi + ay t)ˆj = (vxiˆi + vyiˆj) + (axˆi + ayˆj)t = vi + at Du point 2.3, on peut retirer que les composantes respectives du vecteur r valent :  xf = xi + vxi t + 21 ax t2 yf = yi + vyi t + 12 ay t2 On a aussi : 1 1 1 rf = (xi + vxi t + ax t2 )ˆi + (yi + vyi t + ay t2 )ˆj = (xiˆi + yiˆj) + (vxiˆi + vyiˆj)t + (axˆi + ayˆj)t2 2 2 2 1 = ri + vi t + at2 2

3.3

Projection

Dans l’espace à deux dimension, il est dès lors possible d’étudier des mouvements relativement plus élaborés que dans le simple espace à 1 dimension. En effet, on peut dès lors imaginer d’étudier la cinématique des trajectoires adoptées par des mobiles projetés. Dans cette situation, on peut considérer 2 mouvements qui se produisent en même temps. Horizontalement, il s’agit d’un MRU, régi par les lois d’un mouvement d’accélération nulle. Verticalement, on a affaire à un MRUA d’accélération égale à l’accélération gravifique terrestre g = 9, 81 Les conditions initiales du systèmes sont que le mobile est lancé avec une vitesse vi , qu’on peut décomposer horizontalement (vxi = kvi k cos(φ) où φ est l’angle de lancer) et verticalement (vyi = kvi k sin(φ)). Dès lors, le système est en permanence représentable par le couple 1 r(x, y) = r(xi + vi cos(φ)t, yi + vi sin(φ)t − gt2 ) 2 et v(vx , vy ) = v(vi cos(φ), vi sin(φ) − gt)

3.3.1

Hauteur maximale

A la hauteur maximale, le mobile atteint le point v(vx , 0) et donc lorsque : 0 = vi sin(φ) − gt ⇔ t = et donc : h = y = yi + vi sin(φ)

vi sin(φ) g

vi sin(φ) 1 vi2 sin2 (φ) vi2 sin2 (φ) − g = y + i g 2 g2 2g


12

3.3.2

CHAPITRE 3. MOUVEMENTS 2D

Portée

La valeur de t trouvée pour la hauteur est assez intuitivement la moitié de celle équivalente pour la portée. En effet, le point de hauteur maximale est de façon logique à la moitié du mouvement complet. On a donc tP = 2thmax et par conséquent : x = xi +

vi2 2 cos(φ) sin(φ) g

Or, 2 cos(φ) sin(φ) = sin(2φ) donc, x = xi +

3.4

vi2 sin(2φ) g

MCU

Il peut paraître surprenant que dans un mouvement circulaire, si la vitesse est uniforme, le mobile a tout de même une accélération. C’est pourtant mathématiquement logique, en effet, l’accélération est définie comme dv a= dt Or, le vecteur v est variable, donc l’accélération existe bel et bien. La vitesse peut varier de 2 façons, par une augmentation de son module, ou bien par un changement de direction. En imposant une vitesse constante, on élimine la première possibilité, ce qui implique que l’accélération n’est due qu’à la variation de direction du vecteur vitesse. Notons que le vecteur vitesse est toujours tangeant à la trajectoire du mobile. De plus, les vecteurs ∆v et ∆r forment tous deux des triangles qui sont semblables. On peut dès lors obtenir la relation suivante : ∆r ∆v = r v Or, on a défini l’accélération comme : amoy =

∆v ∆t

amoy =

v∆r r∆t

On a donc :

En faisant tendre ∆t vers 0, afin de trouver une expression de l’accélération instantannée a, on obtient : v dr v2 ˆr = ˆr ac = r dt r Donc, l’accélération centripète est dirigée le long du rayon, vers le centre. (Centripète signifie "dirigé vers le centre")


3.5. ACCÉLÉRATIONS TANGENTIELLES & RADIALES

3.4.1

13

Période T

Dans certaines situation, il est utile d’utiliser la notion de période T . La période est l’intervalle de temps nécéssaire pour que le mobile effectue une rotation complète. On peut donc intuitivement définir la vitesse du mobile en fonction de cette période de rotation comme : v=

2πr T

T =

2πr v

Et donc, T et défini :

A partir de là, on peut redéfinir l’intensité de l’accélération centripète comme : v2 = ac = r

3.5

 2πr 2 T r

=

4π 2 r T2

Accélérations Tangentielles & Radiales

On peut considérer un mobile n’effectuant plus un mouvement circulaire complet, mais suivant une trajectoire aléatoire. On peut, dès lors, modéliser les accélérations en chaque point de la trajectoire comme une somme des accélérations radiales et tangentielles. Ces deux accélérations sont en permanence orthogonales (de par leur nature), et l’accélération totale que subit le mobile est, dès lors, la résultante de ces deux accélérations. ac + at = a

3.5.1

Accélération tangeantielle

L’accélération tangentielle est dûe à un changement de l’intensité de la vitesse du mobile (un mobile effectuant un mouvement circulaire avec une vitesse constante nous ramènerait au cas du M.C.U.) on a donc :

dv

at =

dt

3.5.2

Accélération radiale

L’accélération radiale provient du changement de direction de la vitesse du mobile, et est donnée par : v2 ar = −ac = − r 1 2 Cas du pendule simple : 3 4 5

v ar 0 max 6 0 6= 0 = max 0 6= 0 6= 0 0 max

at 0 6= 0 max 6= 0 0


14

CHAPITRE 3. MOUVEMENTS 2D

3.6

Vitesse relative & Accélération relative

Les notions de vitesse et d’accélération sont relatives au repère dans lequel on se trouve. En effet, si le repère est en mouvement lui-même, comment être sur de la vitesse à laquelle on se déplace ? Doit-on prendre en compte la vitesse totale (mobile + repère) ou bien seulement celle du mobile ? L’exemple classique est celui du tapis roulant. Imaginons 2 personnes sur un tapis roulant, et une personne à coté. 1 des 2 personnes se situant sur le tapis roulant se déplace avec une vitesse constante, et l’autre ne se déplace pas. La personne à coté regarde ceci se produire. Personnage 1 Personnage 2 Personnage 3

Sur le tapis roulant, et se déplace à vitesse constante Sur le tapis roulant, ne se déplace pas A coté, qui regarde la scène

Pour le personnage 2, le personnage 1 se déplace à une vitesse constante v1 . En effet, le personnage 1 est en mouvement sur le tapis roulant (jusqu’ici, rien de spécial). Pour le personnage 3 par contre, le personnage 2 se déplace à vitesse constante v2 (v2 est la vitesse du tapis roulant), et le personnage 1 se déplace à une vitesse v1 + v2 . Donc, la vitesse relevée se dépend du repère sur lequel on se situe (si le repère se situe sur le tapis roulant, le personnage 2 va moins vite relativement que si le repère se situe hors de celui-ci). Ceci illustre la nécéssité de caractériser les différences de vitesses relatives.

3.6.1

Repères galiléens

Il s’agit de référentiels animés d’une vitesse relative constante. Soit deux repères S (fixe), et S 0 (mobile relativement à S). S 0 est animé d’une vitesse constante v0 . A l’instant initial t0 , les deux repères coïncident. Dans le repère S, on observe un point situé au point r qui se déplace à une vitesse v. Dans le repère S 0 mobile, le même point est situé à : r0 = r − v0 t En dérivant, on trouve facilement la vitesse de la particule dans les 2 repères. dr dr0 = − v0 ⇔ v 0 = v − v0 dt dt En redérivant une fois, on obtient l’expression de l’accélération relative. dv0 dv dv0 dv0 dv = − ⇔ = dt dt dt dt dt et donc : a0 = a


Chapitre 4 Dynamique Dans les chapitres 2 et 3, on a décrit des mouvement en les observant sans jamais expliquer ce qui les provoquait. Pourquoi les trajectoires de certains objets changent ? Il s’agit de l’action des forces. Régies par les lois de Newton. Il existe 4 types de forces différentes : Forces gravitationnelles Interactions fortes

Forces électromagnétiques Interactions faibles

Note : Les forces sont des grandeurs vectorielles.

4.1

Lois de Newton

Les forces sont régies par différentes lois définies par les lois de Sir Isaac Newton. Ces lois sont le fondement de la mécanique moderne. Bien qu’inaptes à décrire les systèmes dans des conditions microscopiques ou de vitesses très élevées, elles restent valables pour tous types d’analyses.

4.1.1

1ère Loi de Newton

En l’absence de forces extérieures, et quand il est observé depuis un référentiel inertiel, un objet au repos reste au repos et un objet en mouvement continue son mouvement à vitesse constante

4.1.2

Masse

La masse est la propriété d’un objet qui quantifie sa résistance à la modification de la vitesse. Ainsi, modifier la vitesse d’un objet de grande masse demande beaucoup d’énergie. Que ça soit pour le mettre en mouvement ou pour simplement le freiner. On considère donc que la masse est la résistance à la modification de la vitesse linéaire d’un mobile. 15


16

CHAPITRE 4. DYNAMIQUE

4.1.3

2ème Loi de Newton

Quand il est observé depuis un référentiel inertiel, l’accélération d’un objet est directement proportionnelle à la force nette qui agit sur cet objet, et inversément proportionnelle à la masse de celui-ci. X

F = ma

Forces gravitationnelles & Poids Tous les objets sont attirés par la Terre. Cette force d’attraction est appellée force de gravité. L’intensité de cette force est appellée le poids. De plus, cette force vérifie la 2ème loi de Newton en prenant une accélération d’intensité 9.81. Cette force est appellée g. On a donc : Fg = mg Note : la gravité dépend de la hauteur à laquelle se trouve le mobile soumis à la force de gravitation. Ceci est étudié dans le cadre du chapitre sur la gravitation par la loi des carrés inverses : Fg = G

m1 m2 ˆr r2

Où G est la constante de Cavendish.

4.1.4

3ème Loi de Newton

Si vous poussez sur un mur, celui-ci ne se déforme pas. Or, la 1ère loi de Newton spécifie que l’application d’une force sur un objet met celui-ci en mouvement. Comment expliquer, dans ce cas, que l’objet ne subisse pas de mouvement ou de déformation ? En fait, on peut conceptualiser ce modèle en disant que le mur exerce une force de même intensité mais de direction opposée sur nous, en conséquence, la somme des 2 forces est nulles, et donc la force nette appliquée au système "Bras-mur" est nulle. D’où l’absence de mise en mouvement et/ou déformation. Si 2 objets interagissent, la force F12 exercée par l’objet 1 sur l’objet 2 est égale en intensité mais de direction opposée à la force F21 , que l’objet 2 exerce sur l’objet 1. On a donc : F21 = −F12


4.2. MODÈLE D’ANALYSE NEWTONIEN

4.2

17

Modèle d’analyse Newtonien

Afin d’expliciter certains phénomènes, il peut être utile de réaliser des schémas simplifiés.

Il est également souvent utile de séparer les 2 composantes des forces qu’on égale à ma. Ainsi, on a : P P Fx = max Fy = may Dans le cas d’objets en équilibre, on a : P P Fx = 0 Fy = 0

4.3

Forces de frottement

Lorsqu’un objet est en mouvement sur une milieu à surface visqueuse, comme l’air ou l’eau, il y a une résistance au mouvement parce que l’objet interragit avec les autres éléments du milieu. Il y a donc présence de forces de frottements. On distingue 2 types de forces de frottements :

4.3.1

Frottement statique

Si la force appliquée sur l’objet n’est pas suffisante pour le mettre en mouvement, on se trouve dans la zone du coefficient de frottement statique. Cette résistance au mouvement est supérieure à la force qu’il faut pour le mettre en mouvement. On a : fs = F en effet, la force de frottement s’oppose directement à la force appliquée sur l’objet, elles sont donc égales en intensité.

4.3.2

Frottement dynamique

Une fois que l’objet commence à se mettre en mouvement, on a affaire au coefficient de frottement dynamique. Celui-ci est, plutot intuitivement, directement proportionnel à la force qui oppose l’objet et le milieu de contact (la force normale).


18

CHAPITRE 4. DYNAMIQUE

Exemple : Plus un meuble est lourd, plus sa normale au sol sera élevée, et plus la force de frottement sera grande, d’où la difficulté de le mettre en mouvement.

fk = µn où n est l’intensité de la force normale n. De plus, on remarque qu’au moment où l’objet se met en mouvement, il "part tout seul". En effet, tout de suite après le "point de discontinuité", la force appliquée est généralement supérieure à la résistance de la force de frottement dynamique. Car fk < fs

On remarque dès lors que f s ≤ µs n Le point où commence le mouvement se situe donc dans le cas de l’égalité. Il s’agit du mouvement d’impulsion.


Chapitre 5 Mouvements circulaires 5.1

Liens avec le Mouvement Circulaire Uniforme

Imaginons un corps de masse m, qui est relié par une corde de rayon r à un axe et qui tourne autour de celui-ci à vitesse v. On peut caractériser la tensions sur la corde comme la force qui s’exerce sur celle-ci par l’objet en rotation. On sait que dans un M.C.U., l’accélération centripète est donnée par v2 ac = r Dès lors, par la seconde loi de Newton, la force exercée par l’objet sur la corde est égale à : X

F = mac = m

v2 r

Si la force exercée sur la corde est supérieure à la tension maximale qui peut lui être soumise, la corde se sectionne en 2, et l’objet continue sa course sur une trajectoire tangeante au cercle. Exemple d’application : Le pendule conique

Remarquons que le corps ne se déplace pas verticalement. Dès lors, le mobile est en équilibre sur l’axe. On a donc : Fy = 0 ⇔ T cos(θ) − mg = 0 ⇔ T cos(θ) = mg

(5.1)

Sur les composantes horizontales, on a : Fx = T sin(θ) = mac = m 19

v2 r

(5.2)


20

CHAPITRE 5. MOUVEMENTS CIRCULAIRES

En divisant (5.2) par (5.1), on obtient : tan(θ) =

v2 gr

En résolvant sur v, on obtient : v=

p rg tan(θ)

Ce qui signifie que la corde ne sera jamais parfaitement à l’horizontale (tan(π) → ∞). En effet c’est logique, car la force de gravité doit toujours être compensée, quelle que soit la vitesse circulaire du mobile.

5.2

Mouvement circulaire non-uniforme

On a déjà vu que si la particule se déplace avec une vitesse variable, en plus d’une accé . Donc, la force lération radiale se manifeste une accélération tengentielle d’intensité dv dt qui agit sur cette particule a également une dimension radiale et tengentielle. Etant donné que l’accélération totale est définie par a = ar + at , on a également X X X F= Fr + Ft Ainsi donc, la meilleure façon d’analyser un mouvement circulaire à vitesse non-uniforme est d’analyser les composantes radiales et tengeantielles qui agissent sur le mobile.

5.3

Mouvements en référentiel accéléré

Reprenons la notions de référentiel accéléré 1 . Cette notion est également applicable aux mouvements circulaires. On remarque l’apparition de forces fictives.

Cette image représente le mouvement effectif d’un mobile qui se déplace en ligne droite uniforme sur un carrousel. Observé depuis le centre du carrousel, sur un repère qui subit également la rotation du carrousel, le mobile se déplace en ligne droite. Observé depuis l’extérieur du carrousel, ce mobile effectue cependant un mouvement en spirale. Donc, il subit une force qu’il peut considérer de l’intérieur du système comme fictive. On peut quantifier ces forces fictives : 1. Voir section sur les Repères galiléens


5.3. MOUVEMENTS EN RÉFÉRENTIEL ACCÉLÉRÉ

21

Soient deux référentiels S et S 0 de même origine, avec S 0 en rotation ω autour de l’origine, sans translation. Dans S, on a :  ˆ + ry y ˆ + rz zˆ  r = rx x ˆ ˆ + vz zˆ = v x v = dr x + vy y dt  dv ˆ + ay y ˆ + az zˆ a = dt = ax x Dans S 0 , on a :  0 0 0 0  r = rx xˆ0 + ry yˆ0 + rz 0zˆ0 0 0 0 = dx xˆ0 + dy yˆ0 + dz zˆ0 v0 = dr dt dt dt dt  0 d2 r0 2 0 2 0 2 0 a = dt2 = ddtx xˆ0 + ddty yˆ0 + ddtz zˆ0 S 0 vu depuis S :  dr dr0 d  0 ˆ0 = = rx x + ry0 yˆ0 + rz0 zˆ0 dt dt dt Or, les vecteurs unitaires sont en mouvement circulaire uniforme par rapport à l’origine. Ils sont donc perpendiculaires à leur dérivée temporelle à tout instant. On peut donc écrire : v=

dei = ω ∧ ei dt ˆ ) + ry0 (ω ∧ y ˆ ) + rz0 (ω ∧ zˆ) v = v0 + rx0 (ω ∧ x  ˆ + ry0 y ˆ + rz0 zˆ = v0 + ω ∧ r0 = v0 + ω ∧ rx0 x Donc, on a finalement : v0 = v − ω ∧ r Dérivant cette expression, on a l’accélération : a = = = = =

d 0 dv = (v + ω ∧ r) dt dt dv0 dω dr + ∧r+ω∧ dt dt dt dv0 dr +0+ω∧ dt dt dv0 dv0 +ω∧v = + ω ∧ (v0 + ω ∧ r0 ) dt dt dv0 + ω ∧ v0 + ω ∧ (ω ∧ r0 ) dt

Or,  dry0 0 drz0 0 drx0 ˆ+ x yˆ + zˆ dt dt dt ! 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ dr dr d x d y d z dr y x = a0 + + + z dt dt dt dt dt dt

dv d = dt dt



Or, de0 = ω ∧ e0 dt


22

CHAPITRE 5. MOUVEMENTS CIRCULAIRES drx0 = a + ω ∧ xˆ0 + dt  0 drx ˆ0 0 x + = a +ω∧ dt = a0 + ω ∧ v0 0



dry0 dr0 ω ∧ yˆ0 + z ω ∧ zˆ0 dt dt  0 0 dry 0 drz 0 yˆ + zˆ dt dt



On a donc au final : a = a0 + 2ω ∧ v 0 + ω ∧ (ω ∧ r0 ) Où 2ω ∧ v0 est l’accélération de Coriolis, et ω ∧ (ω ∧ r0 ) est l’accélération d’entraînement.


Chapitre 6 Energie Mis à part les forces, les accélérations et toutes les grandeurs qu’on a déjà définies ici, une autre quantité scalaire peut-être définie, permettant dès lors de résoudre une variété non négligeable d’autres problèmes. Il s’agit du concept d’énergie.

6.1

Systèmes - Environnements

Dans l’étude d’un problème, on concentre notre attention sur une petite portion d’univers. C’est ce qu’on appelle un système. Dès lors, on ignore le reste de l’univers. Un système peut-être : – Un seul objet ou particule – Une série d’objets/particules – Une région de l’espace (comme l’intérieur d’une voiture,...) – Peut varier dans le temps et l’espace (une boule de caoutchouc qui se déforme, par exemple) Ce qui se trouve en dehors de la limite du système est l’environnement.

6.2

Travail effectué par une force constante

Le travail W effectué sur un système par un agent appliquant une force constante sur le système est le produit de l’intensité F (de la force), l’intensité ∆r du déplacement du point d’application de la force, et cos(θ), où θ est l’angle entre les vecteurs force et déplacement. Plus globalement, le travail est le produit scalaire des deux vecteurs F et ∆r. Ainsi, le travail d’une force qui agit perpendiculairement au déplacement est nul (ça signifie que la force appliquée ne contribue en aucune façon au déplacement de l’objet).

W = F · ∆r

6.3

Travail pour une force variable

Considérons une particule qui se déplace selon l’axe x sous l’action d’une force qui varie avec la position. La particule est déplacée dans la direction des x positifs. Entre x = xi et x = xf . Dans chaque situation, on ne peut utiliser W = F ∆r cos(θ) pour calculer le travail effectué par la force, parce que cette relation ne s’applique que pour F constant en intensité et direction. 23


24

CHAPITRE 6. ENERGIE

Si, cependant, on considère par la pensée un déplacement infinitésimal ∆x, la composante Fx de la force est quasiment constante au long de cette petite intervalle. Pour ce déplacement infinitésimal, on peut approximer le travail effectué sur la particule par la force comme W = Fx ∆x On peut obtenir une notion relativement correcte du travail total en effectuant la somme des forces des distances infinitésimales. Si maintenant, on fait tendre ∆x vers 0, on obtient la forme suivante : xf X W = lim Fx ∆x ∆x→0

xi

ce qui correspond précisément à la définition de l’intégrale. Z

xf

Fx dx

W = xi

Note : Si plusieurs forces agissent sur un mobile qui peut être modélisé comme une particule, alors il ne faut prendre en compte que la force résultante de toutes ces forces afin de calculer le travail effectué par cette force. On définit donc le travail net comme : Z

xf

W =

X ( Fx )dx

xi

Pour le cas général où les forces agissant ne sont pas selon la même direction, on peut aussi définir la forme vectorielle de cette égalité comme : Z X  W = F · dr Note : Le travail, comme toute énergie, s’exprime en Joules (J). Le joule est donc exprimable en MKSA comme : [W ] = [F ][x] = [m][a][x] =

6.4

[m][x] m2 [x] ⇔ J = kg [s]2 s2

Travail d’un ressort

Le système de forces d’un ressort est modélisé par la loi de Hooke comme : Fs = −kx (On utilise la notation Fs car ressort se dit spring en anglais.) x est la position du ressort en rapport à son point d’équilibre (x = 0). k est la constante de raideur du ressort 1 Par la définition du travail d’une force variable, on peut calculer le travail qu’effectue un ressort de constante de raideur k comme : Z xf 1 1 Ws = (−kx) dx = kx2i − kx2f 2 2 xi 1. développée plus précisément dans le chapitre sur les oscillations


6.5. ENERGIE CINÉTIQUE

6.5

25

Energie cinétique

Nous avons décrit le travail comme une influence sur l’état d’un système, comme le résultat d’une force mais nous n’avons pas encore fait état des conséquences de ce travail sur la particule. Un résultat possible est le changement de la vitesse du système sous l’action d’une force. C’est ce qu’on appelle l’énergie cinétique. Considérons un bloc poussé par une force F. Cette force provoque un changement de vitesse du bloc. On a donc : W =

Z X

F dx

Par la seconde loi de newton, on a : Z

xf

ma dx

W = Zxixf

dv dx dt dv dx m dx dx dt m

= Zxixf = Zxivf

v dv

= vi

1 2 1 2 mv − mv 2 f 2 i Donc, la forme générale de l’énergie cinétique s’exprime comme : =

1 K = mv 2 2

6.5.1

Théorème du Travail-Energie cinétique

Lorsque un travail est appliqué sur un système, et que le seul changement sur ce système réside dans sa vitesse, le travail net appliqué sur le système égale le changement en énergie cinétique du système.

6.6

Energie potentielle d’un système

Un exemple souvent cité est celui d’un livre qu’on soulève. Avant qu’on ne mette le livre en mouvement, celui ci possède une vitesse nulle, et donc une énergie cinétique également nulle. Une fois le livre soulevé, il est toujours au repos et ne possède donc toujours pas d’énergie cinétique. Or, une fois qu’on lache ce livre, il acquiert une certaine vitesse, et une énergie cinétique non-nulle. D’où provient donc cette énergie ? C’est ce qu’on appellera l’énergie potentielle. Un mobile possède alors un "potentiel" à se déplacer. Notons que l’énergie potentielle n’est pas un résultat d’une force externe, mais d’une force interne, d’une force d’attraction à l’intérieur d’un système. (exemple classique : Système livre-terre).

6.6.1

Calcul de l’énergie cinétique

Considérons une force externe qui soulève un objet de masse m d’une hauteur initiale yi à une hauteur yf considérons aussi que l’objet est soulevé doucement, et que la force exercée


26

CHAPITRE 6. ENERGIE

sur celui-ci est égale en intensité à la force de gravité. L’objet est dès lors modélisé comme une particule qui se déplace à vitesse constante. On a donc : W = (Fapp ) · ∆r ˆ] = (mgˆ y) · [(yf − yi ) y = mgyf − mgyi

6.6.2

Energie potentielle élastique

On a vu que le travail d’un ressort était exprimé par la relation : 1 Ws = kx2i 2 Or, les forces que décrivent ce travail proviennent de l’intérieur du système (c’est le ressort qui effectue le travail). On peut donc y associer une énergie potentielle appellée énergie potentielle élastique, celle-ci est exprimée par : 1 Us = kx2 2

6.7 6.7.1

Forces conservatives/Non conservatives Forces conservatives

Les forces conservatives possèdent 2 propriétés principales : 1. Le travail effectué par une force conservative sur une particule se déplaçant entre deux points quelconques est indépendant de la trajectoire de cette particule 2. Le travail effectué par une force conservative sur toute trajectoire "fermée" (boucle) est nul. Note : Exemple de force conservative : Gravité. En effet, si yi = yf , Wg = mgyf − mgyi = 0 De plus, le travail ne dépend pas du chemin effectué par la particule.

6.7.2

Forces non-conservatives

Une force non-conservative ne satisfait pas les conditions énoncées ci-dessus. On définit la somme des énergies potentielles et cinétiques comme l’énergie mécanique. Emec = K + U Note : Exemple de force non-conservative : Force de frottement. La "perte" d’énergie due à une force non-conservative est transformée en énergie calorifique, et donc en chaleur. Note : Exemple de transformation calorifique : Les disques de frein d’une voiture chauffent lors du freinage. L’énergie cinétique de la voiture est donc transformée en énergie calorifique par l’intermédiaire des forces de frottement entre les pattes du frein et le disque.


6.8. RELATION ENTRE FORCES CONSERVATIVES & ÉNERGIE POTENTIELLE

6.8

27

Relation entre forces conservatives & énergie potentielle

On peut définir la relation entre les forces conservatives et l’énergie potentielle. En effet, le travail ne dépend pas du chemin suivi par la particule. On peut donc définir une fonction U tel que le travail corresponde à la diminution d’énergie potentielle. Z xf F · dx = −∆U W = xi

Où ∆U = Uf − Ui En effet, réfléchissons à un mobile qui tombe en chute libre. Il perd de l’énergie potentielle, alors que la distance parcourue augmente. Donc, le bilan énergétique est négatif pour l’énergie potentielle. Donc, on a : Z

xf

∆U = Uf − Ui = −

Fx dx xi

Souvent, on définit Ui = 0 car il est plus intéréssant de s’intéresser à la variation d’énergie potentielle qu’à sa valeur exacte. Uf donne représente alors la perte/le gain d’énergie potentielle sur la distance ∆x. On a alors : Z xf Fx dx Uf (x) = − xi

Si on veut exprimet la variation d’énergie potentielle en fonction d’une variation spatiale infinitésimale, on obtient facilement : dU = −Fx dx D’où on peut encore tirer : dU dx Note : On peut vérifier l’équation d’énergie potentielle élastique liée à un ressort. Théoriquement, il est logique qu’on retombe sur l’expression de la relation de Hooke.   d 1 2 dUs =− kx = −kx Fs = − dx dx 2 Fx = −

En 3 dimensions, la force conservative dérivant d’un potentiel peut s’écrire :   → − ∂U ∂U ∂U , , = − ∇U F=− ∂x ∂y ∂z


28

CHAPITRE 6. ENERGIE


Chapitre 7 Conservation de l’énergie 7.1

Modèle d’analyse : Système non-isolé

Il existe plusieurs types d’énergies : – Le travail, qui permet de donner de l’énergie à un mobile en lui appliquant une force. – Les ondes mécaniques qui transmettent de l’énergie au travers de variation de la position de la matière. – La chaleur est un mécanisme de transfert d’énergie qui se caractérise par une variation de la température. – Le transfert de matière qui implique des situations où la matière quitte la frontière de l’environnement. – L’électricité qui est un transfert d’énergie qui se caractérise par des courants d’électrons. – Les Radiations électromagnétiques qui sont des transferts d’énergie se caractérisant par des ondes électro-magnétiques. Si la quantité totale d’énergie est modifiée, ça ne peut être QUE parce que de l’énergie a franchi la frontière du système. X ∆Esystem = T Avec T qui est un transfert d’énergie. On a donc la forme générale suivante : ∆K + ∆U + ∆Eint = W + Q + TM W + TM T + TET + TER Ce qui est la représentation mathématique d’un système non-isolé.

7.2

Modèle d’analyse : Système isolé

Ici, contrairement à la section précédente, on considère qu’il n’y a aucun franchissement de frontière par l’énergie. Donc, aucune transmission d’énergie, que ça soit par ou pour le système. Considérons une fois de plus le système "livre - terre". Concentrons-nous sur le travail effectué par la force gravitationnelle sur le livre. Ce travail est exprimé par : h i ˆ ˆ Wbook = (mg) · ∆r = (−mg j) · (yf − yi )j = mgyi − mgyf Or, par le théorème du travail et de l’énergie cinétique, on sait que le travail effectué sur le livre correspond à une variation de l’énergie cinétique, et donc de la vitesse. Wbook = ∆Kbook 29


30

CHAPITRE 7. CONSERVATION DE L’ÉNERGIE

On peut dès lors égaler les deux expressions du travail : ∆Kbook = mgyi − mgyf On a de plus, mgyi − mgyf = −(mgyf − mgyi ) = −∆Ug Où Ug est l’énergie potentielle due à la force de gravité. On a donc : ∆K = −∆Ug ⇔ ∆K + ∆Ug = 0 Ce qui peut se traduire par le fait que la quantité totale d’énergie mécanique reste constante en permanente. Car toute augmentation d’un type d’énergie se traduit par la baisse de la quantité de l’autre énergie. Exemple : Lorsqu’on lache un livre, il prend de la vitesse lors de sa chute. La somme des énergies reste donc constante. La perte d’énergie potentielle est compensée par un gain d’énergie cinétique, et donc de vitesse. On a donc la relation : Emec = ∆U + ∆K = 0 ⇔ Kf + Uf = Ki + Ui

7.3

Frottement cinétique

Considérons un mobile qui subit une force et donc un travail le déplaçant sur une surface relativement rugueuse. Quantifions la perte d’énergie due à ces forces de frottements. Considérons les forces indépendantes des frottements (notées Find ). Z X  X Wind = Find · dr Z Z Z X  X Wind + fk · dr = Find · dr + fk · dr Z X  = Find + fk · dr Z X = F · dr Z Z dv · dr = ma · dr = m dt Z tf dv = m · vdt dt ti La dernière égalité est vérifiée car v=

dr ⇔ dr = vdt dt

De plus, on a : d dv dv dv (v · v) = ·v+v· =2 v dt dt dt dt En conséquence, on a : dv 1d 1 dv 2 ·v = (v · v) = dt 2 dt 2 dt


7.4. PUISSANCE

31

En revenant à notre égalité, on a : X

Z Wind +

Z

tf

fk · r = ti

 m Z vf

1 dv 2 2 dt

 dt

1 d(v 2 ) m 2 vi 1 2 1 2 = mv − mv 2 f 2 i = ∆K =

Dans notre modèle, l’intensité de la force de frottement cinétique est constante, donc, fk peut R être sorti de l’intégrale. Le reste de celle ci, dr est simplement égal à la distance totale parcourue par le mobile. Donc, X Wind − fk d = ∆K Ou encore, Kf = Ki − f k d +

X

Wind

Ce qui donne une expression de l’impact des forces de frottement sur la modification de l’énergie cinétique. Si il n’existe pas d’autres forces mises en jeu, la perte d’énergie cinétique est directement proportionnelle à l’intensité des forces de frottement et à la distance. Considérons un système où un livre est "lancé" sur une table, le frottement entre la table et le livre vont ralentir le livre, mais aucune force externe n’agit sur le livre. Il ne subsiste donc que les énergies cinétiques et de frottements. Or, il s’agit d’un système isolé. Donc, il n’existe aucune variation d’énergie sur ce système. On a donc : ∆Esystem = 0 = ∆K + ∆Eint En substituant avec le résultat obtenu plus haut, on a : −fk d + ∆Eint = 0 D’où, ∆Eint = fk d Ce résultat correspond bien à une vision intuitive. En effet, les frottements provoquent un échauffement proportionnel à la force de frottement. Ainsi donc, lorsque des freins sont enclenchés, les disques frottent contre des pattes de freinage, et la voiture freine, on constate une perte d’énergie cinétique, et un échauffement des disques.

7.4

Puissance

Le taux d’énergie transféré à un système, càd la variation temporelle de l’énergie transférée est appellée la puissance, notée P , la puissance instantannée est définie comme : P =

dE dt

On se concentre ici sur le travail comme méthode de transmission de l’énergie, mais on peut définir la puissance pour tout type d’énergie. Si une force est appliquée à un objet, et si le travail fait par cette force sur l’objet dans l’intervalle de temps ∆t est W , la puissance moyenne est définie comme : W Pavg = ∆t


32

CHAPITRE 7. CONSERVATION DE L’ÉNERGIE Résumé :


Chapitre 8 Quantité de mouvement - Collisions 8.1

Quantité de mouvement

Considérons la situation où 2 billes de masse différentes entrent en collision. Par la 3ème loi de Newton, on sait que F1,2 = −F2,1 ⇔ F1,2 + F2,1 = 0 On peut développer ça selon la 2ème loi de Newton : m1 a1 + m2 a2 = 0 Mais également, en considérant l’accélération comme une variation de vitesse, m1

dv1 dv2 + m2 =0 dt dt

En considérant, cette fois, que les masses sont des constantes, on peut obtenir successivement : d(m1 v1 ) d(m2 v2 ) d + = (m1 v1 + m2 v2 ) = 0 dt dt dt On peut conclure de cette dernière expression que la somme des produits des masses et des vitesses des 2 objets reste constante lors de la collision. On va donc établir une nouvelle loi de conservation : la quantité de mouvement (Anglais : linear momentum). La quantité de mouvement s’exprime comme : p = mv Cette variable permet de décrire l’élasticité d’une collision.

8.2

Système isolé

La quantité de mouvement totale d’un système reste constante en permanence. On considère donc que ptot = 0 De la même façon, p1,i + p2,i = p1,f + p2,f 33


34

CHAPITRE 8. QUANTITÉ DE MOUVEMENT - COLLISIONS

8.3

Système non-isolé

Dans le cas d’un système non isolé, on constate, comme pour les énergies en système nonisolé, que la variation de quantité de mouvement se répercute sous forme de force. On a : X dp = Fdt On peut ainsi définir l’impulsion d’un système. Sous l’action d’une force, un système observe une variation de vitesse. Quand on intègre l’expression ci-dessus, on obtient : Z tf X Fdt ∆p = ti

Où la différence de quantité de mouvement est appellée l’impulsion. Z tf X Fdt I= ti

On peut, plus simplement, calculer la force moyenne qui génère l’impulsion : X  X pf − pi I= F ∆t ⇔ F= ∆t

8.4 8.4.1

Collisions 2D Parfaitement inélastiques

Dans le cas des collisions parfaitement inélastiques, les 2 mobiles repartent ensemble après la collision. On a donc : m1 v1,i + m2 v2,i = (m1 + m2 )vf Et donc, la vitesse finale des 2 éléments est donnée par : vf =

8.4.2

m1 v1,i + m2 v2,i m1 + m2

Elastiques

Le cas des collisions élastiques est un peu plus complexe. Les lois de conservation s’appliquant à ces collisions sont : 1. Quantité de mouvement 2. Energie cinétique On peut donc décrire la collision selon le système suivant :  m1 v1,i + m2 v2,i = m1 v1,f + m2 v2,f (1) 1 2 2 2 m v 2 + 12 m2 v2,i = 21 m1 v1,f + 21 m2 v2,f (2) 2 1 1,i On peut réécrire (2) comme : 2 2 2 2 − v2,i ) m1 (v1,i − v1,f ) = m2 (v2,f

Ce qui donne, après factorisation : m1 (v1,i − v1,f )(v1,i + v1,f ) = m2 (v2,f − v2,i )(v2,f + v2,i ) (3)


8.5. CENTRE DE MASSE

35

Réarrangeons l’équation (1) : m1 (v1,i − v1,f ) = m2 (v2,f − v2,i ) (4) Si nous divisons l’équation (3) par l’équation (4), v1,i + v1,f = v2,i + v2,f On a désormais le système : 

m1 v1,i + m2 v2,i = m1 v1,f + m2 v2,f v1,i − v2,i = −(v1,f − v2,f )

En substituant, on a : v2,f = v1,i − v2,i + v1,f ⇔ m1 v1,i + m2 v2,i = m1 v1,f + m2 v1,i − m2 v2,i + m2 v1,f     2m2 m1 − m2 v1,i + v2,i v1,f = m1 + m2 m1 + m2 Et encore : v1,f = v2,i + v2,f − v1,i Ce qui amène en substituant : m1 v1,i + m2 v2,i = m1 v2,i + m1 v2,f − m1 v1,i + m2 v2,f     m2 − m1 2m1 ⇔ v2,f = v2,i + v1,i m1 + m2 m1 + m2

8.5

Centre de masse

Le centre de masse d’un système est le point qui modélise entièrement le système sous forme de particule. Ainsi donc, ce point muni de la masse totale du système représente entièrement le système. Il se calcule comme suit : P mi ri ˆr rCM = M Où M est la masse totale du système et r est un vecteur qu’on peut exprimer selon ses ˆ 1 + yi e ˆ2 + zi e ˆ3 . différentes composantes selon r = xi e On peut également décomposer le système de façon continue, si il n’est pas composé de plusieurs éléments "facilement" calculables. On le calcule en décomposant l’objet en une infinité de petites masses infinitésimales dm, et en en calculant l’intégrale selon chaque composante (x, y, z) de l’espace. On a en effet : 1 X xi ∆mi xCM ≈ M i Si on travaille sur des masses infinitésimales, on a : Z 1 X 1 xC M = lim xi ∆mi = xdm ∆mi →0 M M i Si on étend cette notion à toutes les composantes, on obtient la forme vectorielle : Z 1 rdm rCM = M


36

CHAPITRE 8. QUANTITÉ DE MOUVEMENT - COLLISIONS


Chapitre 9 Rotations 9.1

Position, vitesse, et accélération angulaires

On peut définir la position, la vitesse et l’accélération d’un point en mouvement de rotation en fonction de sa position dans l’espace, et vice versa par les changements de variables suivants :

9.1.1

Position

– Position s = rθ ⇔ θ =

s r

– Déplacement ∆θ = θf − θi

9.1.2

Vitesse

– Vitesse moyene θf − θi ∆θ = tf − ti ∆t

ωavg = – Vitesse instantannée

Comme pour chaque calcul de vitesse instantannée, on va faire tendre ∆t vers 0. On obtient donc l’expression suivante : ∆θ dθ = ∆t→0 ∆t dt lim

9.1.3

Accélération

– Vitesse moyene αavg =

ωf − ωi ∆ω = tf − ti ∆t

– Vitesse instantannée Comme pour chaque calcul de vitesse instantannée, on va faire tendre ∆t vers 0. On obtient donc l’expression suivante : ∆ω dω d2 θ = = 2 ∆t→0 ∆t dt dt lim

37


38

CHAPITRE 9. ROTATIONS

9.2 9.2.1

Objet rigide en accélération angulaire constante Formules pratiques ωf = ωi + αt 1 θf = θi + ωi t + αt2 2 2 2 ωf = ωi + 2α(θf − θi ) 1 θf = θi + (ωi + ωf )t 2

9.3

Quantités angulaires et de transition

On a défini les grandeurs de transition dans les premières formules comme s = rθ, or, on a : ds dθ =r dt dt

v= et donc

v = rω De plus, l’accélération tangentielle du mouvement circulaire est définie comme : at =

dω dv =r = rα dt dt

Pour rappel, v2 = rω 2 r On peut donc définir le vecteur accélération totale comme : ac =

a = at + ac Qui, en intensité, vaut : q √ √ a = a2t + a2c = r2 α2 + r2 ω 3 = r α2 + ω 4

9.4

Energie cinétique de rotation

Nous avons déjà défini l’énergie cinétique de translation liée à une particule par l’expression 1 Ki = mv 2 2 Un objet solide peut être modélisé comme une somme de particules, et donc, si il tourne, nous avons : KR =

X

Ki =

X1

i

i

2

mi vi2 =

1X mi vi2 2 i

Or, v = rω, donc, KR =

1X mi ri2 ω 2 2 i


9.5. MOMENT D’INERTIE

39

Dont on peut séparer la partie dépendant de la somme, et la partie indépendante. On a dès lors : ! 1 X mi ri2 ω 2 KR = 2 i Où la somme peut être définie comme l’inertie de l’objet, elle se définit : X I= mi ri2 i

Ce qui nous donne pour l’expression précédente : 1 KR = Iω 2 2 par analogie avec les mouvements de translation, dont l’expression était 21 mv 2 .

9.5

Moment d’inertie

Pour calculer l’inertie d’un objet continu, on doit utiliser l’intégration : Z X 2 I = lim ri ∆mi = r2 dm ∆mi →0

i

Pour calculer l’inertie d’un objet qui tourne selon un axe différent de son centre de masse, utiliser le théorème des axes parallèles.

9.6

Théorème des axes parallèles

Considérons un objet continu en 3 dimensions. On cherche à exprimer la rotation de cet objet selon un axe parallèle à un axe passant par son centre de masse. Premièrement, on va "applatir" l’objet par la pensée, afin d’obtenir un plan représentatif de la masse de cet objet en chacun des points. Ainsi chaque masse se déplace parallèlement vers le plan, dotant chaque point de celui ci d’une masse différente, représentative de la répartition initiale des masses sur l’objet en 3 dimensions.

Objet en 3 dimensions

Applatissement de l’objet


40

CHAPITRE 9. ROTATIONS

Soit un point dm, qui possède les coordonnées (x, y, 0), cet élément est à une distance r de l’origine (et donc de l’axe autour duquel l’objet tourne). On a intuitivement : p r = x2 + y 2 De plus, le moment d’inertie de l’objet est décrit par Z Z 2 I = r dm = (x2 + y 2 )dm Si, maintenant, on exprime ces coordonnées selon le système d’axe relatif au centre de masse, on remarque que x = xCM + x0 et y = yCM + y 0 . On peut donc substituer ces nouvelles expressions des coordonnées dans la formule de l’inertie. On a dès lors : Z I = r2 dm Z   2 2 = (xCM + x0 ) + (yCM + y 0 ) dm Z  2 = x2CM + x02 + 2xCM x0 + yCM + y 02 + 2yCM y 0 dm Seuls x, x0 , y et y 0 sont dépendants de dm, on peut donc sortir les xCM et yCM des intégrales. On a donc : Z Z Z Z   02 02 0 0 2 2 dm I = x + y dm + 2xCM x dm + 2yCM y dm + xCM + yCM


9.7. MOMENT DE FORCE

41

Remarquons que Z

 x02 + y 02 dm = ICM

est l’expression de l’inertie autour du centre de masse. R De plus, on a, par définition du centre de masse : xCM = M1 x0 dm. Or, on se trouve dans le système de référence relatif au centre de masse. Donc, xCM = 0, et, on a évidemment : Z x0 dm = 0

On peut appliquer le même raisonnement pour Z y 0 dm = 0

On a encore

R

2 dm = M , et (x2CM + yCM ) = D2 .

Finalement, on obtient l’expression simplifiée suivante : I = ICM + M D2 On peut constater de cette expression que l’inertie minimale d’un objet pour une masse égale est obtenue lorsqu’on le fait pivoter autour de son centre de masse (intuitivement, on fait plus souvent tourner un objet autour de son centre de masse qu’autour de n’importe quel autre axe).

9.7

Moment de force

Le moment de force caractérise la "force de mise en rotation" d’un objet, sa tendance à se mettre en rotation. Il rend compte du fait, par exemple, qu’il est plus facile d’ouvrir une porte si on se trouve loin de son axe de rotation. Il tient donc compte du rayon où la force est appliquée, mais aussi du sens dans laquelle la force est appliquée (la porte ne se mettra pas en rotation si on appuie parallèlement à celle-ci) ainsi que de l’intensité de cette force appliquée. τ = rF sin(φ)

Le moment de force τ est exprimable comme : τ =r∧F |τ | = rF sin(φ)


42

9.8 9.8.1

CHAPITRE 9. ROTATIONS

Objet rigide soumis à un moment de force Objet discontinu en rotation

Considérons une particule qui se met en rotation dû à une force quelconque. Cette force est représentable par ses composantes radiales et tangentielles. On a donc : F = Ft + Fr La force radiale pousse l’objet à se mouvoir circulairement, tandis que la force tangentielle provoque une accélération tangentielle. Par la 2ème loi de Newton, on a : X

Ft = mat

Le P moment P de force associé avec la composante tangentielle de la force associée est exprimé par τ = Ft r sin(φ) avec φ = π2 . On a donc : X

τ=

X

Ft r = mat r

Or, at = rα, donc : X

τ = mr2 α

X

tau = Iα

Or, mr2 = I, on a donc :

9.8.2

Objet continu en rotation

Considérons un objet discontinu, du même style que dans le théorème des axes parallèles. On peut décomposer cet objet en une infinité de masses dm. Si on sélectionne un système de coordonnées cartésiennes, chaque élément de masse entre en rotation selon un cercle qui a pour centre l’origine. Et donc, chacune de ces masses possède une accélération tangentielle at produite par une force externe dFt .


9.9. NOTIONS D’ÉNERGIE

43

Par la 2ème loi de Newton, on a : dFt = (dm)at Le moment de force s’exprimant par rapport à l’origine relatif à la force dFt est donné par : dτext = r(dFt ) = at r(dm) On a déjà montré que at = rα, l’expression devient donc : dτext = αr2 (dm) Cette étape est importante car, si l’accélération linéaire at était variable en fonction de l’élément dm considéré, l’accélération angulaire α est constante pour tout élément, ce qui facilite grandement les calculs ultérieurs. Z Z X 2 τext = αr dm = α r2 dm R Remarquons que r2 dm est l’expression de l’inertie. On obtient donc le même résultat que pour les objets discontinus : X τext = Iα

9.9 9.9.1

Notions d’énergie Travail

Supposons qu’une force F est appliquée sur un point P , le travail exprimant la rotation infinitésimale de l’objet est donnée par dW = F · ds = (F sin(φ))rdθ


44

CHAPITRE 9. ROTATIONS

Notons que l’intensité du moment de force est définie comme : τ = rF sin(φ) Notre relation s’écrit donc à présent : dW = τ dθ Si on veut mesurer tout celà par rapport au temps, on peut insérer dans l’expression le facteur dt, ce qui donne : dθ dW =τ ⇔ P = τω dt dt

9.9.2

Relation travail/énergie cinétique

Si on repart de l’expression

P

τext = Iα, on a : X τext = Iα dω dt dω dθ = I dθ dt dω = I ω dθ = I

X

τext dθ = dW = Iωdω

Ce qui amène naturellement que : Z X W =

ωf

ωi

9.10

1 1 Iωdω = Iωf2 − Iωi2 2 2

Analogies entre translations et rotation

On peut établir certaines analogies entre les mouvements de rotation et de translation. Mouvement de translation

Mouvement de rotation

v=

dx dt

ω=

dθ dt

a=

dv dt

α=

dω dt

F = ma

τ = Iα

m s’oppose au mouvement

I s’oppose au mouvement

W =

R

Fx dx

W =

R

τ dθ

K = 21 mv 2

KR = 12 Iω 2

P = Fv

P = τω

p = mv

L = Iω


Chapitre 10 Moment angulaire 10.0.1

Défintion

Considérons une particule de masse m située à la position r, et qui se déplace avec une quantité de mouvement p. On a définit plus tot que

X

F=

dp dt

En prenant de chaque coté le produit vectoriel de r, on obtient :

X

τ = r∧F dp +0 dt dp dr = r∧ + ∧p dt dt d(r ∧ p) = dt = r∧

Où on appelle le moment angulaire

L=r∧p

Il s’agit évidemment d’une vectorielle puisqu’elle découle d’un produit vectoriel. De P grandeur dp plus, au même titre que F = dt , on a

X

τ= 45

dL dt


46

10.0.2

CHAPITRE 10. MOMENT ANGULAIRE

Application aux solides indéformables en rotation

Considérons un objet solide en rotation autour de l’axe z. Chaque point tourne autour de l’axe z avec un moment angulaire d’intensité Li = mi vi ri . Or, vi = ri ω, donc, Lz =

X

Li =

X

 mi ri2 ω = Iω

Si on différentie ette expression, en notant que I est constant, on obtient facilement : X dω dLz =I = Iα = τ dt dt Ce qui est un résultat attendu vu que le moment de force est la forme dérivée du moment angulaires.

10.0.3

Système isolé

Dans un système isolé, on remarque une particularité qui sera une loi de conservation : le moment angulaire est constant en toute circonstances. En effet, dans un tel type de système, on observe que X dL τext = =0 dt Donc, Ltot = constante.


10.1. 3 LOIS DE CONSERVATION

10.1

47

3 lois de conservation

1. Energie : Ei = Ef 2. QuantitĂŠ de mouvement : pi = pf 3. Moment angulaire : Li = Lf


48

CHAPITRE 10. MOMENT ANGULAIRE


Chapitre 11 Equilibre statique 11.1

Objet rigide en équilibre

2 conditions sont absolument nécéssaires afin qu’un objet "étendu" (qui n’est pas modélisé en tant que particule) soit en repos à l’équilibre. 1. Forces : X

F=0

X

τ =0

2. Moment de force : Où la première condition décrit l’équilibre de translation, et la seconde décrit l’équilibre de rotation de l’objet. Si ces deux conditions sont vérifiées, on parle d’équilibre statique. De plus, le système étudié ne peut posséder de vitesse angulaire ou de translation. (v = 0 et ω = 0). Bien sur, une décomposition des vecteurs peut être faite. Le système doit dès lors fournir 6 conditions :

P P P Fx = 0 P τx = 0 P Fy = 0 P τy = 0 Fz = 0 τz = 0

11.2

Précisions sur le centre de gravité

Le Centre de Masse(CM ) a déjà été détaillé. La masse n’est cependant pas la seule caractéristique d’un objet. Ce que nous cherchons à caractériser ici, c’est le point qui représente le moment de force dû à la force de gravité (d’où l’appellation centre de gravité de l’objet complet. On doit donc considérer, non plus la somme pondérée des masses, mais la somme pondérée des moments de force. Ce qu’on écrit : X xCG = M gCG xCG = mi gi xi i

Cette expression, à la condition que g est uniforme sur le long de l’objet, et vu que donne la simplification suivante : xCG =

1 X mi xi = xCM M i 49

P

i

mi = M ,


50

CHAPITRE 11. EQUILIBRE STATIQUE

Ainsi, on peut donc dire que les centres de masses et de gravité sont situés au même endroit, mais uniquement si l’objet jouit d’une répartition uniforme de l’accélération gravifique g.

11.3

Propriétés élastiques des solides

Les modules élastiques s’efforcent de rendre compte du taux de réaction d’un objet à la contrainte par le ratio contrainte/déformation. Ce module s’exprime sous plusieurs formes.

11.3.1

Module de Young

Le module de Young mesure la réponse à la contrainte de tension d’un solide. Si on tire avec une très grande force sur une barre en métal, quelle sera sa déformation effective ? C’est ce que décrit la formule suivante : Y =

F S ∆L Li

Où F est la force appliquée, S est la section du matériau, ∆L est l’élongation constatée, et Li est la longueur initiale du composant.

11.3.2

Module de cisaillement

Le module de cisaillement mesure la réponse à la contrainte de cisaillement d’un solide. Si on pousse la partie supérieure d’un bloc élastique fixé à la base, il va se cisailler. Ce module mesure à quel point : C=

F S ∆x h

Où F est la force appliquée, S est la section du matériau, ∆x est la différence de cisaillement, et h est la hauteur du composant.

11.3.3

Module de compression

Le module de compression mesure la compression à due à une augmentation de la pression autour d’un solide. Si on appuie sur toutes les parties d’un solide simultanément, quelle sera son volume final ? Ce module mesure celà : ∆F S = B = − ∆V Vi

∆P ∆V Vi

Où F est la force appliquée, S est la section du matériau, ∆x est la différence de cisaillement, et h est la hauteur du composant.


Chapitre 12 Gravitation Universelle 12.1

Loi de la gravitation universelle

Chaque particule dans l’univers attire les autres particules avec une force qui respecte la loi des carrés inverses suivante : m1 m2 Fg = G 2 ˆr r Avec m1 la masse de la première particule, m2 la masse de la seconde, G la constante de Cavendish, et r le rayon entre les 2 particules. G = 6, 674 × 10−11

12.2

N m2 kg 2

Accélération de chute libre & force de gravité

On a, par la force précédente et la 2ème loi de Newton, la relation suivante : Fg = mg ME m = G 2 r m r2 Ce qui désigne la méthode de calcul de l’accélération gravifique pour un astre de masse m et de rayon r. On peut bien sûr évaluer l’accélération gravifique d’un objet situé à une hauteur h de l’astre (ex. terre). m g=G (r + h)2 ⇔g=G

On remarque donc que si g → ∞, g → 0. Donc, plus on est haut, moins on est soumis à l’accélération gravifique.

12.3 12.3.1

Lois de Kepler & mouvements des planètes Première loi

51


52

CHAPITRE 12. GRAVITATION UNIVERSELLE

Toutes les planètes se déplacent selon une orbite elliptique dont le soleil occupe un des foyers. Soit les foyers se situant à une distance c du centre de l’ellipse, on décrit cette ellipse mathématiquement par la formule : a2 = b 2 + c 2

L’excentricité d’une ellipse est définie comme e=

c a

et décrit la forme d’une ellipse. Pour un cercle, c = 0 ⇔ e = 0. Plus l’excentricité est élevée, et plus l’ellipse est ronde, plus elle est basse, plus elle est "applatie".

12.3.2

Deuxième loi

Le vecteur radial qui joint le soleil à une planette couvre des aires égales pour de mêmes intervalles de temps. La 2ème loi de Kepler est une conséquence de la loi de conservation du moment angulaire pour un système isolé. COnsidérons une planète de masse Mp , qui se déplace autour du soleil. Considérons la planète comme un système, nous modélisons le soleil pour être au moins plus massif que la planète, de façon à ce que celui-ci ne se déplace pas. La force gravitationnelle exercée par le soleil sur la planète est une force centrale. Toujours selon le vecteur r dirigé vers le soleil. τ est forcément nul car Fg est parallèle à r. De plus le moment angulaire est constant au long du mouvement : L = r∧p = Mp r ∧ v = constante Or, dans un intervalle de temps dt, le vecteur radial r couvre la zone dA =

1 1 L dA L |r ∧ dr| = |r ∧ vdt| = dt ⇔ = 2 2 2Mp dt 2Mp


12.4. CHAMPS GRAVITATIONNEL

12.3.3

53

Troisième loi

Le carré de la période orbitale de toute planette est proportionnelle au cube de l’axe semiprincipal de l’orbite elliptique.

T 2 = K s a3

Considérons la loi des carrés inverses. La force gravitationnelle entraine une accélération centripète.  2 GMs Mp v Fg = Mp ac ⇔ = Mp 2 r r La vitesse orbitale de la planete 2πr T où T est la période. Dès lors, l’expression précédente se développe comme :  2πr 2 GMs = T r2 r  2  4π ⇔ T2 = r 3 = Ks r 3 GMs Où Ks est une constante.

12.4

Champs gravitationnel

Il est difficile de comprendre pourquoi une force agit à distance. En effet, par définition, une force n’entre en action qu’en cas de contact. C’est pour cela qu’on parle de champ gravitationnel. Lorsqu’une particule de masse m est placée dans un champ gravitationnel g, elle subit une force Fg . Fg g= m Le champ g à une distance r du centre de la terre est : g=

12.5

Fg GME = − 2 ˆr m r

Energie potentielle de gravitation

Nous avons déjà esquissé la forme de l’énergie potentielle de gravitation sous la forme U = mgy, mais ceci n’est valide que lorsqu’on se trouve près de la surface terrestre. Si on se trouve sur un autre astre, ou à une altitude élevée, ceci n’est plus valide. Rappellons nous que l’équation générale de l’énergie potentielle se base sur la variation de travail d’une particule qui est effectué par une force agissant sur cette particule. Z rf ∆U = − F (r)dr ri


54

CHAPITRE 12. GRAVITATION UNIVERSELLE

Dans ce cas, la force concernée est la force gravitationnelle. D’où on tire :  r f Z rf Z rf m1 m2 dr 1 −G 2 dr = Gm1 m2 ∆U = − = Gm1 m2 − 2 r r ri ri ri r   1 1 ∆U = −Gm1 m2 − rf ri La forme générale de l’énergie potentielle est donnée par : m1 m2 U (r) = −G r

12.6

Considérations énergétiques

Considérons un objet de masse m qui se déplace avec une vitesse v dans l’entourage d’un objet très massif de masse M où M  m. Le système peut être une planète qui se déplace autour du soleil, par exemple. Si on considère que l’objet de masse M est au repos, et dans un repère inertiel, l’énergie mécanique totale E des 2 objets du système reste constante. On a donc, 1 Mm E = K + U = mv 2 − G 2 r L’expression de E dépend donc entièrement de v si la distance entre les 2 objets est constante. Cependant, on peut montrer qu’elle est toujours négative pour un système tel que Soleil-Terre. On peut montrer par la 2ème loi de Newton qu’un tel système possèdera toujours une énergie mécanique négative. En effet : mv 2 1 Gmm GM m = ⇔ mv 2 = F = ma ⇔ 2 r r 2 2r Si on substitue, GM m GM m GM m E= − =− 2r r 2r (dans le cas d’une orbite circulaire). De plus, vu que le principe de conservation de l’énergie s’applique, on a : GM m GM m 1 1 = mv 2 − E = mv 2 − 2 ri 2 rf

12.6.1

Vitesse d’échappée

Supposons qu’on veut envoyer un objet de masse m verticalement au dessus de la surface terrestre avec une vitesse initiale vi , et qu’on veut propulser cet objet infiniment loin. On a la relation énergétique suivante : 1 GM m 1 GM m E = mv 2 − = mv 2 − 2 ri 2 rf Or, r = ri = rE , v = vf = 0, et r = rf = rmax → ∞ On a donc : 1 2 GM m GM m mvi − =− 2 rE rmax Où on isole vi s   1 1 vi = 2GmE − rE rmax Or, vu que rmax → ∞, on a : r vi =

2GmE rE


Chapitre 13 Oscillations 13.1

Objet attaché à un ressort

On sait que l’expression de la force d’un objet sur un ressort se caractérise par la loi de Hookes Fs = −kx Où Fs est la force de restitution (elle est toujours située vers la position d’équilibre, et donc en opposition au déplacement), et k est la constante de raideur du ressort. Par la 2ème loi de Newton, on a de plus : Fs = max = −kx k ⇔ ax = − x m

13.2

Analyse d’une particule en mouvement harmonique

Partant de la précédente relation, on obtient l’équation différentielle : d2 x k =− x 2 dt m k Si on effectue un changement de variable ω 2 = m , on peut écrire l’éqation précédente sous la forme : d2 x = −ω 2 x dt2 qui possède la solution x(t) = A cos(ωt + φ)

Où A, ω, et φ sont des valeurs constantes. Pour montrer qu’il s’agit d’une solution correcte, remarquons que : d dx = A cos(ωt + φ) = −ωA sin(ωt + φ) dt dt 2 dx d = −ωA sin(ωt + φ) = −ω 2 A cos(ωt + φ) 2 dt dt Or, vu qu’on a x(t) = A cos(ωt + φ) d2 x = −ω 2 A cos(ωt + φ) = −ω 2 x(t) dt2 Ce qui ramène à l’expression du mouvement selon la loi de Hooke. 55


56

CHAPITRE 13. OSCILLATIONS

13.2.1

Valeurs significatives

1. A est l’amplitude du mouvement, A caractérise les valeurs maximales que le mouvement harmonique peut prendre. 2. ω est la fréquence angulaire du mouvement harmonique, elle se définit comme : r k ω= m Dans le cas d’un pendule, par exemple, la fréquence ne peut pas se calculer en fonction de la constante de raideur, il faut donc partir de l’expression de la période T =

1 2π = f ω

3. φ est la constante de phase. Elle permet de caractériser la situation où t 6= 0 lorsque le mouvement démarre.

13.3

Energie d’un oscillateur harmonique

Examinons l’énergie mécanique d’un système où une particule exerce un mouvement harmonique. 1 1 K = mv 2 = mω 2 A2 sin2 (ωt + φ) 2 2 De plus, l’énergie potentielle élastique du système stockée dans le ressort s’exprime par : 1 1 U = kx2 = kA2 cos2 (ωt + φ) 2 2 Or, l’énergie mécanique s’exprime comme   1 1 E = K + U = kA2 sin2 (ωt + φ) + cos2 (ωt + φ) = kA2 2 2 Ce résultat n’est pas surprenant, vu qu’on sait que dans un système isolé, l’énergie mécanique est constante.

13.4

Le pendule

Le pendule simple est un autre système mécanique qui montre un mouvement périodique. Il s’agit d’une particule de masse m suspendue par un fil de longueur L. Le mouvement se produit dans le plan vertical et est conduit par la force gravitationnelle. On peut montrer que, si θ est petit, le mouvement se ramène à un pendule simple. Les forces qui agissent sur la masse sont la force de tension T exercée par la corde et la force de gravité mg. La composante tangentielle mg sin(θ) de la force gravitationnelle agit vers θ = 0, oppose le déplacement de la masse de la plus petite position. Ainsi, la composante tangentielle est une force de restitution, et on peut appliquer la 2ème loi de Newton pour le mouvement dans une direction tangentielle. Ft = mat ⇔ −mg sin(θ) = m Vu que s = Lθ, et on a : d2 θ g = − sin(θ) 2 dt L

d2 s dt2


13.4. LE PENDULE

57

Si on approxime la valeur de sin(θ) par θ, on n’a une erreur que de 1% tant que θ < 10◦ .On a dès lors : d2 θ g =− θ 2 dt L (Pour de petites valeurs de θ). Ceci possède la même forme que l’équation différentielle découlant de la loi de Hookes du début du chapitre. On peut donc définir une valeur r g ω= L

Physique - Synthèse  

Synthèse du cours de physique mécanique. Attention: Cette synthèse ne constitue pas un support de cours officiel.

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you