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[ECUACIONES HOMOGENEAS] Unidad I

Soluciones por Sustitución Para resolver una ecuación diferencial, primero identificamos como una ecuación de cierto tipo (separable, por ejemplo), y a continuación desarrollamos un procedimiento formado por pasos matemáticos específicos al tipo de la ecuación que produzca una función suficientemente diferenciable la cual satisfaga la ecuación. A menudo comenzamos transformando una ecuación diferencial dada a en otra ecuación diferencial mediante una sustitución. Ecuaciones Homogéneas. Cuando una función f f  tx, ty   t f  x, y  , para un número real 

tiene la propiedad

se dice que f

es una

función homogénea de grado  . Por ejemplo: f  x, y   x3  y3 Es homogénea de grado 3 porque:

f  tx, ty    tx    ty   t 3 x3  y3  t 3 f  x, y  3

3

Mientras que f ( x, y)  x3  y3  1 no es homogénea. Una ecuación diferencial de primer orden M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0

(1.1)

Es homogénea si los coeficientes M y N a la vez son funciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras la ecuación (1) es homogénea si: M  tx, ty   t M  x, y  N  tx, ty   t N ( x, y )

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Además si M y N son funciones homogéneas de grado  , también es posible escribir: M ( x, y )  x M (1, u )  y  u   x N ( x, y )  x N (1, u )  

Ó M ( x, y )  y M (v,1)  x  v   y N ( x, y )  y N (v,1)  

Las propiedades anteriores parecen indicar las sustituciones que se pueden hacer para resolver una ecuación diferencial homogénea. En forma especifica, algunas de las sustituciones y  u / x ó x  vy donde y v son nuevas variables dependientes, esto reducirá una u ecuación homogénea a una ecuación diferencial de variables separables de primer orden. Por lo tanto las sustituciones sugeridas serán las siguientes: y  ux  dy  udx  xdu x  vy  dx  vdy  ydv

Ejemplos Problema 1 Resuelva la ecuación homogénea siguiente con una sustitución adecuada. x

dy  y  x2  y 2 dx

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Solución Haciendo y  ux tenemos dy  y  x2  y 2 dx con y  ux  dy  udx  xdu x

dy  x2  y 2  y dx xdy   x 2  y 2  y  dx   x

 x 2  y 2  y  dx  xdy  0      x 2  u 2 x 2  y  dx  x udx  xdu  0       x 2  u 2 x 2 dx  uxdx  xudx  x 2du  0 x 2 1  u 2 dx  x 2du  0 x 1  u 2 dx  x 2du  0 x 1  u 2 dx  x 2du dx du  x 1  u2

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Integramos ambos lados dx x

du 1  u2

   u  tan  ,      du  sec2  d  2 2   1  tan 2   sec 

sec2  d 1  u2 u  sec   sec d  ln sec  tan   ln 1  1 ln x  ln 1  u 2  u  c1 ln 1  u 2  u  ln x  c1 1  u2  u ln  c1 x ln

e

1 u 2  u x

 ec1

Aplicamos una exponencial de ambos lados para eliminar el logaritmo natural ec  c1 1  u2  u  c  1  u 2  u  xc x u 

 y2  y  1   2   cx x  x  

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Por lo tanto haciendo las reducciones pertinentes a la función tenemos lo siguiente y y2  1  2  cx x x y  x

x2  y 2

y  x

x2  y 2

y  x

x2  y 2 y  x2  y 2  cx   cx  y  x 2  y 2  c x x

x

x

2

2

 cx  cx

Problema 2 Resuelva la siguiente ecuación diferencial homogénea, con alguna sustitución adecuada de valores iniciales

 x  ye y / x  dx  xe y / xdy  0, y(1)  0 Solución Tenemos xdx  ye y / x  xe y / x dy  0

Haciendo y  ux  dy  udx  xdu

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xdx  uxeu dx  xeu  udx  xdu   0 xdx  uxeu dx  xeu udx  x 2eu du  0 xdx  x 2eu du dx  eu du x Integrando ambos lados tenemos dx u u  x   e du  ln x  e  c u  y / x ln x  e y / x  c

Usando las condiciones iniciales  x 1 y (1)  0   y  0 ln 1  e0/1  c  0  1  c  c  1 Por lo tanto la solución particular será ln x  e y / x  1

Problema 3 Resuelva la ecuación homogénea siguiente con una sustitución adecuada. dy y  x  dx y  x

Solución Tenemos u  y / x  y  ux dy  udx  xdu

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udx  xdu ux  x du x  u  1  u x  dx ux  x dx x  u  1 ux x

du  u  1 du u  1  x  u dx  u  1 dx u  1

du u  1  u  u  1 du u  1  u 2  u  x  dx u 1 dx u 1

2 du 1  u 2 du  1 1  u x  x  dx u 1 dx u 1

u 1 u2  1

du  

dx x

Integramos ambos lados u 1

dx x  2

 u 2  1du  

1 1 Tenemos dos integrales u  tan   du  sec2  d  caso u 2  1   a   2 du  2 u  1  u  1  sec2    tan 1  u  1

sec2  d 1  sec   d    tan  u 

b 

u u2  1

du  

u dw 1 dw 1 1     ln w  ln u 2  1 w 2u 2 w 2 2

wu 2 1 dw 2udu dw du  2u

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Por lo tanto 1 ln x  ln u 2  1  tan 1 u  c 2 u  y / x 1 y2  y ln x  ln 2  1  tan 1    c1 2 x x Multiplicamos por 2 toda la ecuación y tenemos: 2ln x  ln ln x  ln 2

y2

1  y   1  2 tan    2c1 2 x x

y2

1  y   1  2 tan    2c1 x x2

 2c1  c y cuando tenemos la suma de dos logaritmos, tambien lo podemos representar como un producto  y2   y ln  2  1 x 2  2 tan 1    c  x  x    y 2  x2  2  y ln   x  2 tan 1    c   x2  x    y ln x 2  y 2  2 tan 1    c x

Problemas Suplementarios Verifique que la ecuación diferencial respectiva sea homogénea, si lo es resuélvala, resuélvala. 1. ax2  2bxy  cy 2  y '  bx 2  2cxy  fy 2  ; sol. fy3  3cxy 2  3bx 2 y  ax3  c 2.

y

3.

 y - xy '

4

 3x 2  dy   xydx sol. x 2  y 4  cy 6 2

 x 2  y 2 ; sol. y  x 2  y 2  k

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Ecuaciones Homogeneas