d4Q d3Q d2Q dQ  8 3  32 2  64  64Q  0 Resuelva 4 dx dx dx dx Solución La ecuación característica tiene raíces 2  i2 y 2  i2 : de aquí que 1  2  i2 y

 2  2  i2 son ambas raíces de multiplicidad dos. La solución es:

y  e2x  c1 cos2x  c 3sen2x   xe2x  c 2 cos2x  c 4sen2x   y   c1  c 2 x  e2x cos2x   c 3  c 4 x  e2x sen2x

y''''-8y'''+32y''-64y'+64y=0

Input:

y H4L HxL - 8 y H3L HxL + 32 y ¢¢ HxL - 64 y ¢ HxL + 64 yHxL  0

ODE classification:

higher-order linear ordinary differential equation Alternate forms:

y H4L HxL  8 y H3L HxL - 32 y ¢¢ HxL + 64 y ¢ HxL - 64 yHxL y H4L HxL + 64 yHxL  8 Iy H3L HxL - 4 y ¢¢ HxL + 8 y ¢ HxLM

y H4L HxL + 32 y ¢¢ HxL + 64 yHxL  8 Iy H3L HxL + 8 y ¢ HxLM

Differential equation solution: 2x

yHxL  c1 ã

2x

sinH2 xL + c2 ã

2x

x sinH2 xL + c3 ã

Approximate form 2x

cosH2 xL + c4 ã

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Step-by-step solution

x cosH2 xL

1

Solve -64

â yHxL âx

+ 32

â2 yHxL âx

2

-8

â3 yHxL âx

3

+

â4 yHxL âx4

+ 64 yHxL  0 :

Assume a solution will be proportional to ãΛ x for some constant Λ. Substitute yHxL  ãΛ x into the differential equation: â4 âx

4

IãΛ x M - 8

Substitute

â3 âx

â4 âx4

Λ ãΛ x :

3

IãΛ x M + 32

â2 âx

IãΛ x M  Λ4 ãΛ x ,

2

â3 âx3

IãΛ x M - 64

â âx

IãΛ x M + 64 ãΛ x  0

IãΛ x M  Λ3 ãΛ x ,

â2 âx2

IãΛ x M  Λ2 ãΛ x , and

Λ4 ãΛ x - 8 Λ3 ãΛ x + 32 Λ2 ãΛ x - 64 Λ ãΛ x + 64 ãΛ x  0

â IãΛ x M âx



Factor out ãΛ x :

IΛ4 - 8 Λ3 + 32 Λ2 - 64 Λ + 64M ãΛ x  0 Since ãΛ x ¹ 0 for any finite Λ, the zeros must come from the polynomial: Λ4 - 8 Λ3 + 32 Λ2 - 64 Λ + 64  0

Factor:

IΛ2 - 4 Λ + 8M  0 2

Solve for Λ: Λ  2 + 2 ä or Λ  2 + 2 ä or Λ  2 - 2 ä or Λ  2 - 2 ä The roots Λ  2 ± 2 ä both have muliplicity 2 and give y1 HxL  c1 ãH2+2 äL x ,

y2 HxL  c2 ãH2-2 äL x , y3 HxL  c3 ãH2+2 äL x x, y4 HxL  c4 ãH2-2 äL x x as solutions, where c1 ,

c2 , c3 , and c4 are arbitrary constants.

The general solution is the sum of the above solutions: yHxL  y1 HxL + y2 HxL + y3 HxL + y4 HxL 

c1 ãH2+2 äL x + c2 ãH2-2 äL x + c3 ãH2+2 äL x x + c4 ãH2-2 äL x x

Apply Euler's identity ãΑ+ä Β  ãΑ cosHΒL + ä ãΑ sinHΒL:

yHxL  c1 Iã2 x cosH2 xL + ä ã2 x sinH2 xLM + c2 Iã2 x cosH2 xL - ä ã2 x sinH2 xLM + c3 x Iã2 x cosH2 xL + ä ã2 x sinH2 xLM + c4 x Iã2 x cosH2 xL - ä ã2 x sinH2 xLM

Regroup terms:

yHxL  Hc1 + c2 L ã2 x cosH2 xL + Hc3 + c4 L ã2 x x cosH2 xL + ä Hc1 - c2 L ã2 x sinH2 xL + ä Hc3 - c4 L ã2 x x sinH2 xL

Redefine c1 + c2 as c1 , ä Hc1 - c2 L as c2 , c3 + c4 as c3 , and ä Hc3 - c4 L as c4 , since these are arbitrary constants: Answer:

yHxL  c1 ã2 x cosH2 xL + c2 ã2 x sinH2 xL + c3 ã2 x x cosH2 xL + c4 ã2 x x sinH2 xL

Resuelva por coeficientes indeterminados y ' 5y  (x  1)senx  (x  1)cos x Solución De la ecuación diferencial homogénea y ' 5y  0 , su ecuación característica es

  5  0 , que tiene una única raíz 1  5 . La solución es entonces y  c1e5x Ahora determinamos la forma de la solución particular de

y ' 5y  (x  1)senx  (x  1)cos x Primero consideramos lo siguiente x

Si en cambio (x)  e pn (x)cos x es el producto de una función polinomial, una x

exponencial y un término seno, o si (x)  e pn (x)sen x es el producto de una función polinomial, una exponencial y un término de coseno, entonces se asume

yp  exsenx Anxn  ...  A1x  A 0  ex cos x Anxn  ...  A1x  A 0 Donde A j y B j

 j  0,1...,n  son constantes que aún se deben de determinar

Aquí (x)  (x  1)senx  (x  1)cos x , una solución asumida para (x  1)senx esta dada por la ecuación siguiente con   0 :

 A1x  A 0  senx  B1x  B0  cos x Y una solución asumida para  x  1 cos x esta dada por:

 C1x  C0  senx  D1x  D2  cos x (Obsérvese que se ha usado C y D en la última expresión, pues las constantes A y B ya han sido usadas). Entonces tomamos

yp   A1x  A 0  senx  B1x  B0  cos x   C1x  C0  senx  D1x  D0  cos x Combinando términos similares llegamos a

yp  E1x  E0  senx  F1x  F0  cos x Como la solución asumida, donde E j  A j  Cj y Fj  B j  Dj (j  0,1)

Además y 'p  E1  F1x  F0  senx  E1x  E0  E1  cos x Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial y simplificando, obtenemos:

 5E1  F1  xsenx   5E0  E1  F0  senx   5F1  E1  x cos x   5F0  E0  F1  cos x  (1)xsenx  ( 1)senx  (1)x cos x  (1)cos x Igualando coeficientes de términos similares tenemos

5E1  F1  1 5E0  E1  F0  1 E1  5F1  1 E0  5F0  F1  1 Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos

E1  2 / 13,E0  71/ 338,F1  3 / 13 y F0  69 / 338 . Entonces tenemos que

71  69   2  3 yp    x   senx    x   cos x 338  338   13  13 Y la solución general es:

71  69   2  3 y  c1e5x    x   senx    x   cos x 13 338 13 338    

y'-5y=sinx+Hx+1Lcosx

Input:

y ¢ HxL - 5 yHxL  sinHxL + Hx + 1L cosHxL

ODE classification:

first-order linear ordinary differential equation Alternate forms:

More

5 yHxL + sinHxL + x cosHxL + cosHxL  y HxL ¢

y ¢ HxL  5 yHxL + sinHxL + Hx + 1L cosHxL

y ¢ HxL - 5 yHxL  sinHxL + x cosHxL + cosHxL

Differential equation solution:

yHxL  c1 ã5 x +

1

47 sinHxL x sinHxL -

Approximate form

5 -

26

338

Step-by-step solution

45 cosHxL x cosHxL -

26

169

Plots of sample individual solution:

y

yH0L  1 y

x

Sample solution family: y 40

30

Hsampling yH0LL

20

10

x 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

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1

y''''-8y'''+32y''-64y'+64y=0

Plots of sample individual solutions:

yH0L  1

y ¢ H0L  0

y

y

x

y ¢¢ H0L  0

y H3L H0L  0 yH0L  0

y ¢ H0L  1

y

y

x

y ¢¢ H0L  0

y H3L H0L  0 yH0L  0

y ¢ H0L  0

y

y

x

y ¢¢ H0L  1

y H3L H0L  0 yH0L  0

y ¢ H0L  0

y

y

x

y ¢¢ H0L  0

y H3L H0L  1

Sample solution family: y 80 60 40 20 x 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

-20

Hsampling yH0L, y ¢ H0L, y ¢¢ H0L and y H3L H0LL

-40 -60

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2

â yHxL

Solve the linear equation

âx

- 5 yHxL  sinHxL + Hx + 1L cosHxL :

Let ΜHxL  ãÙ -5 âx  ã-5 x .

Multiply both sides by ΜHxL: â yHxL âx 5x

5 yHxL -

5x

ã

ã

-

-HcosHxL Hx + 1LL - sinHxL

Substitute -5 ã-5 x  â yHxL âx

ã5 x

â +

âx

ã5 x

â Iã-5 x M: âx

Iã-5 x M yHxL  -

-HcosHxL Hx + 1LL - sinHxL ã5 x

Apply the reverse product rule g â

yHxL

â x ã5 x

-

âf

+f

-HcosHxL Hx + 1LL - sinHxL âx

âg âx

ã5 x



â Hf âx

gL to the left-hand side:

Integrate both sides with respect to x: â yHxL -HcosHxL Hx + 1LL - sinHxL âx  à âx à 5 x âx ã ã5 x Evaluate the integrals: yHxL -5 cosHxL H13 x + 18L + H13 x - 47L sinHxL  + c1 ã5 x 338 ã5 x , where c1 is an arbitrary constant.

Divide both sides by ΜHxL  ã-5 x : 1 yHxL  I-5 cosHxL H13 x + 18L + H13 x - 47L sinHxL + 338 c1 ã5 x M 338 Simplify the arbitrary constants: Answer:

yHxL  -

45 cosHxL

5 -

169

26

x cosHxL -

47 sinHxL

1 +

338

26

x sinHxL + c1 ã5 x

Resuelva por coeficientes indeterminados y coeficientes constantes

Resuelva Por Coeficientes Indeterminados y Coeficientes Constantes