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CONICAS: HIPERBOLA

Hipérbolas El tercer tipo de cónica se denomina hipérbola. La definición de una hipérbola es similar a la de una elipse. La diferencia es que para una elipse la suma de las distancias de un punto de la elipse a cada uno de los focos es una constante, en tanto que para una hipérbola la diferencia de las distancias de un punto de la hipérbola a cada uno de los focos es una constante. Definición de una hipérbola Una hipérbola es el conjunto de puntos ( x, y) del plano tales que la diferencia de las distancias de cada uno de estos puntos fijos distintos (focos), es una constante positiva de acuerdo a la siguiente figura:

es una constante positiva

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La grafica de una hipérbola tiene dos ramas ajenas. La recta que pasa por los focos interseca la hipérbola en sus vértices. El segmento de recta que conecta los vértices es el eje transverso y el punto medio del eje transverso es el centro de la hipérbola de acuerdo a la figura anterior, el desarrollo de la forma estándar de la ecuación de una hipérbola es similar a la de una elipse. Forma estándar de una hipérbola La forma estándar de una ecuación de una hipérbola con centro (h, k ) es:

 x  h

2

a2

y  k a2

y  k 

2

 x  h 

2

 1 El eje transverso es horizontal

b2

2

b2

 1 El eje transverso es vertical

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De los vértices al centro hay a unidades y los focos están a c unidades desde el centro, además, c2  a 2  b2 . Si el centro de la hipérbola esta en el origen, la ecuación adopta una de las formas siguientes.

x2 y 2   1 El eje transverso es horizontal a 2 b2 y 2 x2   1 El eje transverso es vertical a 2 b2

Se muestran las orientaciones horizontal y vertical para una hipérbola

 x  h a2

2

y  k  b2

2

1

El eje Transverso es Horizontal

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 y  k a2

2

 x  h  b2

2

1

 h, k  a 

 h, k  c 

 h, k 

El eje Transverso es Vertical

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Problemas Propuestos Problema 1 Hallar la ecuación estándar de una Hipérbola Determine la forma estándar de la ecuación de la hipérbola con focos

 1,2  y  5,2  y vértices  0,2 

y (4,2)

Solución De acuerdo con la formula del punto medio el centro de la hipérbola es el punto  2,2  Además c  5  2  3 y a  4  2  2 y se deduce que:

b  c2  a 2  32  22  9  4  5 Por lo tanto la hipérbola tiene un eje transversal horizontal y la forma estándar de la ecuación es:

 x  2 22

2

 y  2 

 5

2

2

1

Formas alternativas

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Forma Expandida

Soluciones para la variable y

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Asíntotas de una hipérbola Cada hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en el centro de la hipérbola como se muestra en la siguiente figura:

Eje Conjugado Asíntota

Asíntota

Las asíntotas que pasa por los vértices de un rectángulo con dimensiones 2a y 2b y con su centro en  h, k  . El segmento de recta con longitud 2b que une  h, k  b  y  h, k  b  ó bien  h  b, k  y  h  b, k  es el eje conjugado de la hipérbola.

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Asíntotas de una hipérbola Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola son:

b  x  h  El eje transverso es horizontal a b x  k   y  h  El eje transverso es vertical a yk

Problema 2 Uso de las asíntotas para trazar la hipérbola Trace la hipérbola de ecuación 4 x 2  y 2  16 Solución Planteamiento del Problema Se divide cada lado de la ecuación original entre 16 y se escribe la ecuación en forma estándar

x2 y 2   1 Forma estándar 22 42 Se concluye que a  2, b  4 y que el eje transversal es horizontal. Los vértices son  2,0  y  2,0  y los puntos extremos del eje conjugado son los puntos  0, 4  y  0,4  . Empleando estos cuatro puntos se puede trazar el rectángulo que se muestra en la sig. fig. :

P á g i n a 8 | 22


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Ahora de c2  a 2  b2 se tiene que c  22  42  20  2 5 por lo tanto

 

los focos de la hipérbola son 2 5,0 y 2 5,0 . Finalmente dibujando las asíntotas que pasan por los vértices de este rectángulo se puede completar el trazo que se muestra en la siguiente figura. Observe que las asíntotas son y  2 x y y  2 x

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Como para la elipse, la excentricidad e de una hipérbola esta definida c por la razón . Por tanto, de tenemos: a

c a 2  b2 e  a a Como c  a , la excentricidad de una hipérbola es mayor que la unidad.

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Teorema 1. La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal coincidente con el eje x , y focos los puntos  c,0  y  c,0  es:

x2 y 2  1 a 2 b2

(1.1)

Si el eje focal coincide con el eje y de manera que las coordenadas de los focos sean  0,c  y  0, c  , entonces la ecuación es:

y 2 x2  1 a 2 b2

(1.2)

Para cada hipérbola, a es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado, c es la distancia del centro a cada foco y a, b y c están ligadas por la relación

c 2  a 2  b2

(1.3)

También para cada hipérbola, la longitud de cada uno de sus lados

2b 2 rectos es , y la excentricidad e está dada por la relación a e

c a 2  b2  1 a a

(1.4)

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Problema 3 Los vértices de una hipérbola son los puntos V (0,3) y V (0, 3) y sus focos los puntos F (0,5) y F (0, 5) . Hallar la ecuación de la hipérbola, las longitudes de sus ejes transversos y conjugado, su excentricidad y la longitud de cada lado recto. Solución Como los vértices y los focos están sobre el eje y , el eje focal coincide con el eje y . Además el punto medio del eje transversal o transverso, esta evidentemente en el origen. Por lo tanto por el teorema anterior, la ecuación de la hipérbola es de la forma

y 2 x2  1 a 2 b2 Por lo tanto las coordenadas de los vértices V

y V'

son

respectivamente  a,0  y  a,0  , y la longitud del eje transverso es igual a 2a que es la constante que interviene en la definición. Aunque no hay intersecciones con el eje y dos puntos A(0, b) y A '(0, b) se toman como extremos del eje conjugado. Por lo tanto la longitud del eje conjugado es igual a 2b . La distancia entre los vértices es 2a  6 , la longitud del eje transverso. La distancia entre los focos es 2c  10 . Por tanto a  3 y c  5 de donde

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b2  c2  a2  25  9  16 . Por lo tanto b  4 y la longitud del eje conjugado es 2b  8 . La ecuación de la hipérbola es entonces:

y 2 x2  1 9 16 P á g i n a 13 | 22


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La excentricidad es e 

c 5  a 3

y la longitud de cada lado recto es

2b2 2 16  32   a 3 3 Teorema 2 La hipérbola b2 x2  a 2 y 2  a 2b2 tiene por asíntotas las rectas bx  ay  0 y bx  ay  0 Notas. 1. La ecuación de una hipérbola está en su forma canónica, las ecuaciones de sus asíntotas puede obtenerse reemplazando el termino constante por cero y factor izando el primer miembro. Así por ejemplo para la hipérbola 9 x 2  4 y 2  36 tenemos 9 x 2  4 y 2  0 , de donde  3x  2 y  3x  2 y   0 y las ecuaciones de las asíntotas son 3x  2 y  0 y 3x  2 y  0 . 2. La gráfica de una hipérbola puede esbozarse muy fácilmente trazando sus vértices y sus asíntotas. Problema 4 Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto  6,2  tiene su centro en el origen, su eje transverso sobre el eje x asíntotas es la recta 2 x  5 y  0

y una de sus

Solución Por el teorema 2, la otra asíntota es la recta 2 x  5 y  0 Las ecuaciones de ambas asíntotas pueden obtenerse haciendo k igual a cero en la ecuación  2 x  5 y  2 x  5 y   k , o sea 4 x 2  25 y 2  k

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Como la hipérbola buscada debe pasar por el punto

 6,2 

las

coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación de la hipérbola. Por lo tanto si hacemos x  6 y y  2 en la última ecuación hallamos

k  44 , y la ecuación de la hipérbola que se busca es 4 x 2  25 y 2  44

Hipérbolas conjugadas Si dos hipérbolas son tales que el eje transverso de cada una es idéntico al eje conjugado de la otra se llaman hipérbolas conjugadas. Cada hipérbola es entonces la hipérbola conjugada de la otra y también se dice que cada hipérbola es conjugada respecto a la otra. Si la ecuación de una hipérbola es

x2 y 2  1 a 2 b2 Entonces, de acuerdo con la definición, la hipérbola conjugada es

y 2 x2  1 b2 a 2 Por ejemplo si la ecuación de una hipérbola es 2 x 2  7 y 2  18 entonces la ecuación de su hipérbola es 7 y 2  2 x 2  18 . P á g i n a 15 | 22


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Teorema 3 Si los A y C difieren en el signo, la ecuación

Ax2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 Representa una hipérbola de ejes paralelos a los coordenados o un par de rectas se cortan. Problema 5 Discutir el lugar geométrico de la ecuación 9 x2  4 y 2  54 x  8 y  113  0 Solución Vamos a reducir la ecuación a la forma ordinaria complementando los cuadrados. Entonces

9  x 2  6 x   4  y 2  2 y   113  9  x 2  6 x  9   4  y 2  2 y  1  113  81  4 De donde

9  x  3  4  y  1  36 2

2

De manera que la forma ordinaria es

 y  1 9

2

 x  3  4

2

 1  c  h, k   C (3,1)

Que es la ecuación de una hipérbola cuyo centro es el punto (3,1) y cuyo eje focal es paralelo al eje y Como a 2  9  a  3 y las coordenadas de los vértices V y V ' son

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V (h, k  a) y V '(h, k  a)  V (3,1  3) y V '(3,1  3)  V (3,4) y V '(3, 2) Respectivamente como c2  a 2  b2 , c  9  4  13 y las coordenadas de los focos F y F ' son

F (h, k  c) y F '(h, k  c)  F (3,1  13) y F '(3,1  13) Respectivamente la longitud del eje transversal es 2a  6 , la del eje

2b 2 8 conjugado es 2b  4 y la de cada lado recto es  . La excentricidad a 3 es e 

c 13  a 3

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Utilizando el Teorema 2

 y  1 9

2

 x  3  4

2

0

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De donde

 y  1 x  3  y  1 x  3      0 2  3 2   3 De manera que las ecuaciones de las asíntotas referidas a los ejes originales x e y son

y 1 x  3   0  2( y  1)  3( x  3)  0  3x  2 y  11  0 3 2 y y 1 x  3   0  2( y  1)  3( x  3)  0  3x  2 y  7  0 3 2 Problema 6 Uso de Asíntotas para determinar la ecuación estándar Determine la forma estándar de la ecuación de la hipérbola que tiene vértices  3, 5 y (3,1) y que tiene asíntotas y  2 x  8 y y  2 x  4 Solución De acuerdo con la fórmula del punto medio, el centro de la hipérbola es  3, 2  . Además, tiene un eje transverso vertical con a  3 . A partir de las ecuaciones originales se pueden determinar que las pendientes de las asíntotas son:

m1  2 

a b

y

m2  2 

a b

Además, de a  3 se puede concluir que

2

a 3 3 2 b b b 2

Por lo tanto la formula estándar de la ecuación es

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 y  2 32

2

 x  3  3   2

2

2

1

Nota. Mientras mayor es la excentricidad más se abren las ramas de la hipérbola como se muestra en la siguiente figura

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Problemas Complementarios 1. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos fijos (6, 4) y  2, 4  2. Localización de sonidos. Tres estaciones receptoras, ubicadas en

 3300,0 ,  3300,1100

y  3300,0  , monitorean una explosión.

Las dos últimas estaciones detectan la explosión 1 segundo y 4 segundos después que la primera. Determine las coordenadas de la explosión. (La escala del sistema coordenado se mide en pies y el sonido viaja a 1,100 pies por segundo). 3. Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera que pasa por el punto (3, 1) y tiene por asíntotas a los ejes coordenados.

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Hiperbolas 2013