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Cónica: Hipérbola Hipérbolas El tercer tipo de cónica se denomina hipérbola. La definición de una hipérbola es similar a la de una elipse. La diferencia es que para una elipse la suma de las distancias de un punto de la elipse a cada uno de los focos es una constante, en tanto que para una hipérbola la diferencia de las distancias de un punto de la hipérbola a cada uno de los focos es una constante. Definición de una hipérbola Una hipérbola es el conjunto de puntos ( x, y) del plano tales que la diferencia de las distancias de cada uno de estos puntos fijos distintos (focos), es una constante positiva de acuerdo a la siguiente figura:

es una constante positiva

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Cónica: Hipérbola

La grafica de una hipérbola tiene dos ramas ajenas. La recta que pasa por los focos interseca la hipérbola en sus vértices. El segmento de recta que conecta los vértices es el eje transverso y el punto medio del eje transverso es el centro de la hipérbola de acuerdo a la figura anterior, el desarrollo de la forma estándar de la ecuación de una hipérbola es similar a la de una elipse. Forma estándar de una hipérbola La forma estándar de una ecuación de una hipérbola con centro (h, k ) es:

 x  h

2

a2

 y  k a2 Petroleros

y  k 

2

 x  h 

2

 1 El eje transverso es horizontal

b2

2

b2

 1 El eje transverso es vertical

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Cónica: Hipérbola De los vértices al centro hay a unidades y los focos están a c unidades desde el centro, además, c2  a 2  b2 . Si el centro de la hipérbola esta en el origen, la ecuación adopta una de las formas siguientes. x2 y 2   1 El eje transverso es horizontal a 2 b2 y 2 x2   1 El eje transverso es vertical a 2 b2

Se muestran las orientaciones horizontal y vertical para una hipérbola

 x  h

2

a2

Petroleros

y  k  b2

2

1

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Cónica: Hipérbola

El eje Transverso es Horizontal

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Cónica: Hipérbola

 y  k

2

a2

 x  h  b2

2

1

 h, k  a 

 h, k  c 

 h, k 

El eje Transverso es Vertical

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Cónica: Hipérbola Problemas Propuestos Problema 1 Hallar la ecuación estándar de una Hipérbola Determine la forma estándar de la ecuación de la hipérbola con focos

 1,2  y  5,2  y vértices  0,2 

y (4,2)

Solución De acuerdo con la formula del punto medio el centro de la hipérbola es el punto  2,2  Además c  5  2  3 y a  4  2  2 y se deduce que: b  c2  a 2  32  22  9  4  5

Por lo tanto la hipérbola tiene un eje transversal horizontal y la forma estándar de la ecuación es:

 x  2

2

22

 y  2 

 5

2

2

1

Formas alternativas

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Cónica: Hipérbola

Forma Expandida

Soluciones para la variable y

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Cónica: Hipérbola Asíntotas de una hipérbola Cada hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en el centro de la hipérbola como se muestra en la siguiente figura:

Eje Conjugado Asíntota

Asíntota

Las asíntotas que pasa por los vértices de un rectángulo con dimensiones 2a y 2b y con su centro en  h, k  . El segmento de recta con longitud 2b que une

 h, k  b 

y

 h, k  b 

ó bien

 h  b, k 

y

 h  b, k  es el eje conjugado de la hipérbola. Asíntotas de una hipérbola Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola son:

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Cónica: Hipérbola b  x  h  El eje transverso es horizontal a b x  k   y  h  El eje transverso es vertical a yk

Problema 2 Uso de las asíntotas para trazar la hipérbola Trace la hipérbola de ecuación 4 x 2  y 2  16 Solución Planteamiento del Problema Se divide cada lado de la ecuación original entre 16 y se escribe la ecuación en forma estándar x2 y 2   1 Forma estándar 22 42

Se concluye que a  2, b  4 y que el eje transversal es horizontal. Los vértices son  2,0  y  2,0  y los puntos extremos del eje conjugado son los puntos  0, 4  y  0,4  .

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Cónica: Hipérbola Empleando estos cuatro puntos se puede trazar el rectángulo que se muestra en la sig. fig. :

Ahora de c2  a 2  b2 se tiene que c  22  42  20  2 5 por lo tanto los focos de la hipérbola son

 2

5,0

y

2

5,0 . Finalmente

dibujando las asíntotas que pasan por los vértices de este rectángulo se puede completar el trazo que se muestra en la siguiente figura. Observe que las asíntotas son y  2 x y y  2 x

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Cónica: Hipérbola

Como para la elipse, la excentricidad e de una hipérbola esta definida c por la razón . Por tanto, de tenemos: a c a 2  b2 e  a a

Como c  a , la excentricidad de una hipérbola es mayor que la unidad.

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Hiperbolas 2012