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Cálculo diferencial e integral

3.5 REGLA DE L.HOPITAL.

INTEGRACIÓN

Utiliza la regla de LHopital para demostrar o encontrar los siguientes limites. x 1 1  x 1 x 2  1 2 sen x 2 3) lim 0 x 0 x

1) lim

ex  x  1 1  x 0 2 x2 ln x 7) lim 10  0 x  x x e  e x  2 1 9) lim x 0 xsenx x3  1 3 11) lim 2  x 1 x  1 2 5) lim

2 x  1 ln 2  3x  1 ln 3

13) lim x 0

2x2  1 2  x  5 x 2  3 x 5 x 1 4) lim 0 x 1 sen x 2) lim

Evalué las siguientes integrales utilizando las tablas, o por el método de sustitución.

x tan x 2 1  cos x ln  x  9  1 lim x 10 x  10

6) lim

1)

e

8)

2)

x e

3)

x  e2 x  x 2  e2 x dx

 Sol.

4)

x

x 2  1 dx

 Sol.

5)

x

2  3 x 2 dx

 Sol.

6)

x

cos  2 x3  dx

 Sol.

7)

8)

9)

x 0

sen3x 3  x  0 tan 5 x 5 x  senx 1 12) lim  x  3 x  cos x 3

10) lim

x2  1

14) lim

x 

4x  x 2

ln 1  x 

1 2

2e x  x 2  2 x  2 1 15) lim 16) lim 1  x 0 x 0 x 3 x3 x 2e e 1 2x   17) lim  18) lim 1 x 0 x  2 2x2 2 tan 2 x x  2 cos  x 1  19) lim x 2 4 x2  4 1 x  3 1 x 2  x 0 x 3 3x  4 23) lim  x  2 x  5 1  cos x 25) lim  x 0 x3 ex 27) lim  4 x   r  1 3

21) lim

29) lim x 0

e x  e x  x

x2  4  x  x ln  ln x  33) lim  x  x ln x e3 x  e 3 x 35) lim  x 0 2x 31) lim

37)

lim

x 1

39) lim x 0

2

4.1 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O INMEDIATAS.

1  4x  1 4  20) lim x 0 x 3 ln 1  x 2  22) lim x 0 x  0 e  cos x e3 x  1 24) lim  x 0 x x  tan x 26) lim  x 0 x3 t2  1 28) lim  t  t ln t 3

30) lim x 2

x3  8  x 4  16

2x  x  3x senx  tan x 34) lim  x 0 x3 sec x 36) lim  x  tan x 2

10)

38) lim

1  3x  1  x

40)

x 0

ln 1  x 

ln 1  x 2 

x 

4

0

2

3 x3 1

2 0 3

0

dx 9  x2 dx

 Sol.

x

x  25 2

x

49

13)

x

14)

17) 18) 19)

 Sol.

 Sol. e  1 1.782

16)

 Sol.

1 f  x    e1 2 x  c 2 1 3 x3 1 f  x  e c 9 1 f  x   ln  x 2  e 2 x   c 2 3 1 2 f  x    x  1 2  c 3 3 1 f  x     2  3x 2  2  c 9 1 f  x   sen  2 x3   c 6 98  32.66 3

e senx cos x dx

12)

15)

dx

x x 2  9 dx

1 x

1  tan x  4 4x  

lim

2

 Sol.

dx

11)

32) lim

2 x  sen x  4x2  1

1 2 x

100

dx

dx

4  9x dx

2

12

 Sol.

1 x f  x   sec 1  c 5 5

 Sol.

f  x 

 Sol.

x2  9 dx

1 tan 1 x 50  c 50 x f  x   sen 1 h  c 3

 Sol.

1 3x f  x    sen 1 h c 2 2

 Sol.

f  x    sec 1 h  e x   c

1 e 1 1  Sol. f  t   sen 1 3t  c  1  9t 2 dt 3 3x 3  Sol. f  x   sen 1 x 2  c  1  x 4 dx 2 1  Sol. f  x   sec 1 e x  c  e2 x  1 dx 3 1 x 1 3  2 x  3 dx  f  x   6  2 x  3 2  2  2 x  3 2  c 1 1 3x  10  Sol. f  x   ln c  100  9 x2 dx 60 3x  10 2x

Página 20


Cálculo diferencial e integral

20)

x

21)

x 1  x 2  2 x dx

22)

8

23)

11

24)

3 2 3 x  1 2  c  9 1  Sol. f  x   ln x 2  2 x  c 2 1209  Sol. 28

x 3  1 dx

2

 Sol.

x  x  1 dx

3

0

dx

f  x 

2x  3 cos 1 x  x 2 dx

 

 Sol.

1

e tan x 1 1  x 2 1 x 26)  dx 1 x 1 2 27)   ln x  dx x 1

25)

28)

x

x 4  1 dx

3

29)

 xe

30)

31)

x

6

0

33)

dx

cos x

32)

 x2

2

1

e dx x2 dx x  4x e

2

x

34)

1 e

35)

 x 1   ln x 

2x

dx

dx

2

36)

1 1

2

37)

38)

e

 

e



4

1 3  ln x   c 3 3 1 4  Sol. f  x    x  1 2  c 6 2 1  Sol. f  x    e x  c 2 f  x   2 senx

1

c

2

0.11718

x

2

yx

Sol.

3)

y  12  2 x 2

y  x2

Sol.

4)

y  4  x2

y  3x 2  12

Sol.

5)

y6

6)

La región R acotada abajo por la grafica y  x3 y

y  x 2  3x

Sol.

arriba por la grafica de y  x en el intervalo  0,1

 Sol.

f  x   tan 1  ln x   c

8)

Sol. 7)

1 2 u 4 La región R acotada arriba por la gráfica y  x3 y

abajo por la gráfica de y  x 4 en el intervalo  0,1

1 2 u 20 La región

R

acotada

arriba

por

la

gráfica

y  1  x  1 y abajo por el eje x de en el intervalo  0, 2 Sol. 1.0986 u2 9) La región R acotada a la izquierda por la gráfica

f  x  e

 Sol.

1 f  x   tan 1 e 2 x  c 2

x  2 dx 

256 2 u 3 9 2 u 2 32 u 2 128 2 u 3 32 u 2

y  x 2  3x

Sol.

 cot x

c

f  x   tan 1   c

7 5 3 2 8 8  x  2 2   x  2 2   x  2 2  c 7 5 3 1 1 1 2 42)  4  9 x 2 dx  x  4  9 x 2  2  ln  3x   4  9 x 2  2   c 2 3   3 2 x x x 2 43)  e 1  e dx  Sol. f  x   1  e   c 3

41)

1 3 2

2)

f  x   tan 1 e x  c

 Sol.

 Sol.  1 

dx

c

Sol.

 Sol.

 Sol.

e2 x 39)  dx 1  e4 x cos  40)  d 1  sen 2

1 x

2

x

y9

f  x 

f  x   sen 1e x  c

csc x dx

x

f  x   2e

y  25  x 2

 Sol.

1 sen 1 2 x  c 2

2

0

 Sol.

dx

1)

e 1 e

0.23865

x

Encuentre el área limitada por las siguientes curvas

 Sol.

 Sol.

2

x

1 c  25  2  x5 5   

4.2 ÁREAS ENTRE DOS CURVAS.

4

ex  cot x

 Sol. f  x   

dx

 Sol.  0.1469

e2 x  1

2  x 

5 6

1

dy dx 4  y2 dx

x4

 Sol.  3480

15 sen 2 x cos 2 xdx  Sol. 128 x

3

48)

3

1

46)

x 2 1  2 x 3  dx

2

0

1 ln 1  x 2   c 2

 x f  x    sen    c 2

f  x 

 Sol.

dx

f  x   tan 1 x 

f  x   sen 1 x  1  x 2  c

 Sol.

45)

 Sol.

dx

2

e

 Sol. e

 Sol.

1 x

47)

 Sol. 2

3

1 x

44)

x  y 2 y a la derecha por la línea vertical x  4

32 2 u 3 10) La región entre las gráficas x  8  y 2 , Sol.

x  y2  8

Sol. 60.3397 11)

y  x2 ,

y  2x

12)

x  y2 ,

x  25

13)

y  x2 ,

y  2x  3

4 2 u 3 500 2 Sol. u 3 32 2 Sol. u 3 Sol.

Página 21


Cálculo diferencial e integral

14) 15) 16) 17)

125 2 u 6 16 2 x  4 y 2 , x  12 y  5  0 Sol. u 3 3  y  x  1, y  1  x  1 en  0,1 Sol.   ln 2  u 2 2  x  y2 ,

x  y6

Sol.

y  e x . x  1

y  ex ,  x2

18)

y  xe

19)

y  x 2  x,

,

y  0,

Sol.

x 1

 e  1 e

u2

1.0861

26)

4 2 u 3 y  x 2 , y  x3  2 x Sol. 3.0833u 2 1 17 2 y  2 , y   x 2 , x  1, x  2 Sol. u 6 x 33 2 y 2   x, x  y  4, y  1, y  2 Sol. u 2 32 2 y  x 2  1, y  5,  Sol. u 3 32 2 y  x 2 , y  4 x,  Sol. u 3 9 2 y  1  x 2 , y  x  1,  Sol. u 2 y 2  4  x, y 2  x  2,  Sol. 8 3 u 2

27)

y  x,

28)

y  x 3  x,

29)

x  4 y  y3 ,

30)

y  x 4  x2 ,

20) 21) 22) 23) 24)

25)

y  1  x3

y  3 x,

Sol.

x  y  4,  Sol. 2u 2 1 2 u 2  Sol. 8u 2

y  0,

 Sol.

x  0, y  0,

 Sol.

16 2 u 3

4.3 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN. Encuentra el volumen del sólido generado al hacer rotar alrededor del eje indicado la región plana limitada por las curvas dadas.

2)

1 , x  1, x  3, y  0 x y  x 2 , y  2, Eje y

3)

y  x 2  4 x,

4)

1)

y

y  0,

2 3 u x  Sol. 2 u 3

Eje x

y  x2 ,

y 2  8 x,

9) 2 x  y  12  0,  Sol.

Eje y

 Sol.

Eje y x  2 y  3  0, 135 3 u 2

10)

x 2  4 y,

y  4,

11)

y  2 x,

y  6,

12)

y  x2 ,

y  0, x  1

Eje x

13)

y  x2 ,

y  4, x  0

Eje y

Eje x

Sol.

Eje x

 Sol.

y 2  x, 2 y  x,

Eje y

 Sol.

5)

y  x2 ,

y  4  x2 ,

Eje x

 Sol.

6)

x  y2 ,

y  x  2  0, Eje y

7)

y  x,

x  4, y  0 Eje y

x0

24 3 u 5

x4

512 3 u 5  Sol. 72 u 3

 Sol.

2

0.3160u 2

Sol.

8)

Eje x

 Sol.

u3 5  Sol. 8 u 3

 sòlo en el

primer cuadrante 

14)

y  1  x,

y  0, x  0 en 0,1 Eje x

15)

y  x2 ,

16)

y  1  x2 ,

y  0,

Eje x

17)

y  1  x2 ,

y  0,

Eje y

18)

y  6  x2 ,

y  2,

Eje y

u3 2  Sol. 8 u 3

19)

y  4,

yx , x0

Eje y

 Sol. 8  u 3

20)

y  x2 ,

y  0, x  2

Eje y

21)

y  25  x 2 ,

22)

y  x2 ,

 Sol. 8 u 3 625 3  Sol. u 2  Sol. 16 u 3

23)

x  y,

24)

y  x3 ,

x  2, y  0

Eje x

25)

x  y2 ,

y  2, x  0

Eje y

26)

y  4 x,

y  4x2 ,

Eje x

27)

x

y  4, x  0

Eje y

28)

y  x 2  4 x,

29) 30)

y,

1 , x x2  y 2 y

x  y2 ,

2

Eje x

y  0,

Eje y

y  8  x2 ,

Eje y

x  2 y  3, x  0 Eje x

Sol.

 3

u3

3  u3 10 16  Sol.  u3 15

 Sol.

 Sol.

 Sol.  u 3 128 3  Sol. u 7 32 3  Sol. u 5 32  Sol.  u3 15  Sol. 8 u 3

512  u3 715 2 y  1, x  0 y  3 Eje y  Sol.  u3 3  16, y  0, x  8 Eje y Sol. 128 3 u 3 Eje x

 Sol.

512 3 u 15 64 3 u 15

64 2 3 u 3 72 3  Sol. u 5 128 3  Sol. u 5 Página 22


Cálculo diferencial e integral

4.4 INTEGRACIÓN POR PARTES Utilice el método de integración por partes para encontrar las siguientes integrales. 1)

x

2)

 x cos5 xdx

3)

 x sen xdx

2

 sol.

2

1

sol. 

  ln x  dx

5)

e

2

sen3 ydy

7)

 cos x ln  senx dx

8)

9)

 x e dx  x senxdx

sol. 11)

 sol.

2

3

cos  x  c

32 64 62 2  ln 2   ln 2  5 25 125

 sol. e x  x3  3x 2  6 x  6   c

3 x

3

 6 x  x  cos x  3x 3

2

0 2

13)

x

14)

x e

15)

e

1

x ln xdx

cos xdx

n ax

e

ax

ax

 sol.

dx

e

17)

x

18)

x

x 3  1 dx 

5

 x sec

20)

21)

1

0

dx

x

19)

 24ln 2  7  9

 1.071

x n e ax n n 1 ax   x e dx a a

2

2 x dx

ysen3 ydy x dx e2 x

xe2 x

  2 x  1

 e senxdx

26)

2 2x  x e dx

1

senxdx x

xe 2 dx

 sol.

 sol. 4  12e2

 sol.

x

0

 sol. x tan x  ln cos x  c

2

n

29)

n  x ln xdx

30)

e

31)

32)

35)

 x x  3 dx  tsen2tdt   x ln xdx 

37)

 x

 sol.  x n cos x  n  x n 1 cos xdx  sol.

  

dx 2

33)

c

1 2x e  2 cos 3 x  3sen3 x   c 13 3 2 3 sol.  x  1 2 3x3  2   c 45 2 ln x 4 sol.   c x x 1 1 sol. x tan 2 x  ln sec 2 x  c 2 4  sol. 3 1 3 2 sol.  e 4 4

 sol.

senbxdx  sol.

ax

0

 1e dx 

39)

1

41)

ln 2 x dx  x2

4  x2

0

c

a 2  b2

36)

x

x3

 1   n  1 ln x   c 2   n  1 e ax  asenbx  b cos bx 

2 32 4 3 x ln x  x 2  c 3 9 3 2  sol.  x  2  x  3 2  c 5 34)  x 2 cos mxdx 

5

2

x n 1

 sol.

x ln xdx

1

1 e  sen1  cos1  1  0.909 2

 e2 x  2  sol.    2 x  2 x  1  c 4  

 x sec xdx  x senxdx

27)

1 2x e  2senx  cos x   c 5

dx 

e 2



cos 2 d 

 ln x 

2

38)

40)

 x  ln x 

42)

dx 

x3 1

0

3

dx 

ln x dx  x2

4.5 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS Utilice las diferentes identidades trigonométricas si es necesario para evaluar las siguientes integrales.

cos 3xdx  sol.

ln x

0

2

1

cos bx dx

 a cos bx  bsenbx 

2x

 sol. x n senx  n  x n 1 senxdx

a 2  b2

16)

25)

4

0

 6  senx  c

 sol.

2

n

2

 sol.

x cos xdx

22)

2

 sol. senx  ln senx  1  c

x 4  ln x  dx

2

1

12)

sol.

xsen x 

2

1 2y  sol. e  2 sen3 y  3cos3 y   c 13 1 1  sol.  ln 2 2 2

6)

1

2x

2

ln x dx x2

2

24)

 sol. x  ln x   2 x ln x  2 x  c

2

2y

e

28)

x 2 cos  x 

4)

10)

1 3 1 x ln x  x 3  c 3 9 1 1 xsen5 x  cos5 x  c 5 25

 sol.

ln xdx

23)

1)

2)

 1  cos x  dx

0

2

cos 2 xdx 2

 sol.

sol.

4 3 1 x  2senx  sen2 x  c 2 4

1 cos 2 x  ln cos x  c 2 1 2 4)  sec x tan xdx  sol. tan 2 x  c 2 1 5 2 5)  sec6 ydy  sol. tan y  tan 3 y  tan y  c 5 3 1 3 3 6)  tan x sec xdx  sol. sec x  sec x  c 3

3)

 cos

2

x tan 3 xdx  sol.

e2 x c  4  2 x  1 Página 23


Cálculo diferencial e integral

1  tan 2 x dx sec2 x

7)

8)

3  cos xsenxdx

9)

 sen x cos 5

2

sol. 

1 sen2 x  c 2 1 sol.  cos 4 x  c 4

xdx

1 2 1 sol.  cos3 x  cos5 x  cos7 x  c 3 5 7 10)

2

0

cos3 xdx

11)

 sec

12)

 tan

4

5 xdx

5

 4

sol.

2 3

1  sol. tan 5 x  3  tan 2 5 x   c 15

18)

19)

2

0

25) 26) 27) sol.

sen3 4 x  cos2 4 x dx

32)

 sec

xdx

33)

tan 3 x  sec4 x dx

34)

 cos

35)

 sen

4

3

5

 sol.

xdx

5tdt 3

2t cos 2 tdt

5 9 13 1 2 1  cos 2t  2   cos 2t  2   cos 2t  2  c 5 9 3

36)

6 3  sen x cos xdx 

38)

dx 

39)

6

xdx 

41)

2

x cos 4 xdx 

43)

 x cos xdx   cot xsen xdx 

x

 cos   sen 0

42)

0

44)

4

0

37)

sen3 x 

40)

1 2 sen5 x  sen3 x  senx  c 5 3 1 sol. sec 4 x  cos 4 x   c 4 1 sol. tan x  tan 3 x  c 3 1 sol. sen 4 x  c 4 1 1 sol. sen5t  sen3 5t  c 5 15

sec4 x tan 4 xdx 

45)

2

cos5 xdx 

2

sen 2 2 ydy 

0

0

2

5

 cos

4

2

xsen 2 xdx 

 16

2 dx  senx  45  18sen 2 x  15sen 4 x   c 45 sex cos x  sen 2 x  senx dx  sol. ln senx  2senx  c

21)

24)

31)

5

cos5 x

 tan

23)

 sol.

sen 2 x cos 2 xdx

20)

22)

 cos

sol. 

xdx

      sol. tan 4  x   2 tan 2  x   4 ln cos  x   c 4  4  4  1 3 13)  sec3 x tan xdx  sec x  c sol. 3 1 1 14)  sen3 x cos 2 xdx  sol. cos5 x  cos3 x  c 5 3 3 11 4 5 3 15)  sen x cos xdx  sol.  384 2  3 4 16)  sen 3xdx  sol. 0 8 17)

30)

0

3

2

xdx

tan 5 x sec4 xdx

sol. tan x  x  c

 sol.

4.6

Utilice el método de sustitución trigonométrica para evaluar las siguientes integrales.

117 8

1 4 2  tan xdx  sol. 4 sec x  tan x  ln sec x  c 1 5 6  sen 2 x cos 2 xdx  sol. 12 sen 2 x  c 1 2  sol.  6 x  sen6 x   c  cos 3xdx 12  16 2 7  sol. 0 cos xdx 35  5 2 6  sol. 0 sen xdx 32

1)

5

 sec  xdx  sec  x tan  x  ln sec  x  tan  x 

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

1

 25  x

2)

3)

4)

5)

2

3

dx

 sol.

5 25  x 2 dx =5 ln x 1 x 4 2

x x2  9

28)

1  csc2 x dx

29)

 sen

2

x cos3 xdx

1  sol.  x  senx cos x   c 2 1 1  sol. sen3 x  sen5 x  c 3 5

6)

dx

 sol.

7)

1

x x

4 x2  9 1 2

x2  9

25 25  x 2

x

 sol.

16  4 x 2 dx  sol.

x

25  x 2

dx

3

2  c

2



ln x 

c

25  x 2  c

x2  4  c

1  tan 1 x  x   c 2  1  x 2  ���   x 4 sen 1  x 4  x 2  c 2

dx

1  sol.  ln 3

dx

 sol.

4 x2  9  3 c 2x

x2  9 c 4x

Página 24


Cálculo diferencial e integral

8)

x

9)

10)

11) 12)

1 25  x 2

2

1 1 sen 1 2 x  x 1  4 x 2  c 4 2

1  4 x 2 dx =

x

x2  7

 sol.

dx

1 x dx x 2

x 7 c 2

1 x 1  1  x2  c x 2

sol. ln

x  x 1 2

sol.

1 1  x  1 x 2  2 x  ln  x  1  x 2  2 x  c 2 2

16)

x  2 x dx

1

18)

9  x2 1 2 sen 1     x  2 5  4x  x  c 2  3  2

30)

x2 1  x2

4  x 

x

21)

x

22)

23)

  

26)

27)

3

dx

x 2  4 dx 1  x 2 dx 1

dx 16  x 2 1 dx 2. x 9

5 x 2  5

2

x3 x 9 dx 2

3

2

c

1 x 1  x 2  ln x  1  x 2   c  2 

x

 sol.

1 x

 sol.

1 ln 2

2

c

5  4 x  x 2 dx

x2

dx  8sen 1

16  x 2

1  4x2 dx x

x x 16  x 2  c 4 2

x2

25  x x2

4  9x2

34)

2

36)

1

38)

1

40)

3

42)

6

1

0

0

0

4

25 x x 25  x 2  c sen 1  2 5 2

dx 

2

dx 

 3x  4  9 x 2 2  3x 4  9 x 2   ln   27  4 2  

x2  1 dx  x

35)

x x 2  4 dx 

37)

x 2  1 dx 

39)

dx 

41)

dx 

43)

x3 x2  9 x2 x 9 2

x3

dx  x 2  100 t5 dt  t2  2 t dt  25  t 2 4x2  9 dx  x4 1

 x  3 2

3

dx  2

9  4 x2 2 x  c 3 3

3 1 2 x  4  2  3x 2  8   c  15 3 1  sol. 1  x2  2  c  3 x  sol. sen 1  c 4

 sol.

1  x   2

 sol. dx

3x3

3

2

c

 sol.

5 x2  5 c x5

 sol.

1 2  x  18  x 2  9  c 3

 sol.

ln

2

dx

x  16 2

9 9  16 x

x2  9 c 2x2

 sol. ln x  x 2  9  c

1  x2 dx x4

x

x2  1 c x

x

2

9  4x2 3

 sol.

2

dx

1

20)

dx

dx 

1 2

3

33)

4  x2 c 4x

 sol. ln x  x 2  1 

 9  16 x 

25)

2

2

 sol. 

dx

x2  1 dx x2 1

19)

24)

4x

2

17)

sol.

2

x 

32)

15)

29)

 sol.

sol. ln 4 x  ln 2 x  ln 1  1  4 x 2  1  4 x 2  c

13)

14)

1 x sec 1  6 3

dx

1  1 x 2  x  1  ln  x 2  x  1  x    c 2  2

sol.

x2  9 dx x3

28)

31)

x

25  x 2 c 25 x

 sol. 

dx

x 2  16  x  c

Página 25

   c  


Cálculo diferencial e integral

4.7

FRACCIONES PARCIALES

Utilice el método de fracciones encontrar las siguientes integrales. 1)

x9

  x  5 x  2  dx

1 dx x 1 3 4 x 2 4 3)  dx 3 2 3 x  2x 2 2 4 y  7 y  12 4)  dy 1 y y 2   y  3 2)

5) 6)

3

2

2

parciales

para

 sol. 2 ln x  5  ln x  2  c 1 3 ln 2 2 7 2  sol.  ln 6 3 27 9  sol. ln 2  ln 3 5 5  sol.

5 x 2  3x  2 1 dx  2 ln x     3ln x  2  c 3 2 x  2x  x 3 2 x  x  2x  1 1 1 2 1 x   x 2  1 x 2  2  dx  2 ln  x  1  2 tan 2  c

x4 1 3  x 1 dx  ln  x 2  2 x  5   tan 1  c 2 2  2x  5  2  1 8)  3 dx x 1 1 1 1 2x  1 sol. ln x  1  ln  x 2  x  1  tan 1 c 3 6 3 3 3 9)  2 dx  sol. ln x  1  ln x  2  c x  x2 x 2  12 x  12 10)  dx  5ln x  2  ln x  2  3ln x  c x3  4 x 7)

11) 12)

x

2

4x2  2 x  1 dx x3  x 2 x2  1  x3  x dx

 sol.

1  ln x 4  x 3  c x

 sol. ln

x2  1 c x

x2

1 2 x  x  ln x  1  c 2 1 1 1 22)  2 dx  sol. ln x  2  ln x  2  c 4 4 x 4 1 1 x3 23)  2 dx  sol. ln c 3 x x  3x x 24)  dx  x  1  x 2  1 21)

 x  1 dx

1 1 1 sol.  ln x  1  ln  x 2  1  tan 1 x  c 2 4 2 1 1  x2  25)  3 dx ln   sol. c 2  x2  1  x x

x  10 3 dx  sol. ln 2 x  1  ln x  3  c 2  5x  3 1 1 27)  2 dx  sol.  ln x  2  ln x  3   c 5 x  x6 x 1 28)  dx  sol. x  2 ln x  1  c x 1 2 x 1 1 8  29)  dx  sol. ln   tan 1 2  0.557 2 1 2 5 4 x  x  1 26)

30) 31) 32) sol. 33)

 2x

1 x2 x  ln  2 tan 1 c 6  x  2 2 3 x 2  3x  4  x3  4 x 2  4 x dx  2 ln x  2  ln x  x  2  c 2 x3  4 x  15 x  5  x 2  2 x  8 dx 3 1 x 2  ln x  4  ln x  2  c 2 2 5 x 3  2 x 2  x  1 dx  2 ln 2 x  1  2 ln x  1  c 1 x3  2 x 1 8 0 x 4  4 x 2  3 dx = 4 ln 3 10   x  1  x 2  9  dx

34)

x2  1 2 17)  3 dx  sol.  ln x  c 2 x 1 x  2x  x 4 x3  7 x 18)  4 dx x  5x2  4 1 sol. 3ln x  2  ln  x  1 x  1  3ln x  2  c 2 x4 1 1 x 19)  3 dx = ln x  ln  x 2  4   tan 1  c 2 2 2 x x

sol. 

1

0

20)

x 2  10 3 2 1 x 1  2 x4  9 x2  4 dx = tan 2  2 tan 2 x  c

35)

2

x2  x 4  2 x 2  8 dx 

3 dx  sol. ln 2 2 x2  5x  2 x4 1 3 x 14)  2 dx  sol. x  4 x  8 tan 1  c 3 2 x 4 1 1 1 15)  3 dx  sol. ln x  ln  x 2  4   c 4 8 x  4x 2 x  2x 1 16)  dx  sol. x  c 2 x 1  x  1 13)

 sol.

1 1 x sol. ln x  1  ln  x 2  9   tan 1  c 2 3 3 1 36)  dx 2  x  5  x  1 1 1 1  1 ln x  5    ln x  1  c 36 6  x  5  36

x 2  3x  1 dx 4  5x2  4

37)

x

38)

  x  1

39)

6 x  11 2

dx

x2  x  1 dx x 1

Sol.

1  x2  1  1 x c ln   tan 2  x2  4  2

Sol. 6 ln x  1  Sol.

5 c x 1

x3  ln x  1  c 2

Página 26


Guia del tercer departamental calculo diferencial e integral