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Guía del Tercer Departamental Ecuaciones Diferenciales

En cada uno de los ejercicios, calcular

L  f (t ) o bien L 1 F(s) , según se

requiera: 1.

f (t )  3sen4t  2cos5t

2.

f (t )  t 3  4t 2  5

3.

f (t )  e4t  t 2  1

4.

f (t )  sen  t  cos   t 

5.

f (t )  sen2  at 

6. F ( s)  7. F ( s ) 

2

5 20s  2 s 4 s 9 2

2

 s  4

2

5  s  1 3  s 2  16 s 2  2s  5

8. F ( s) 

7 s 2  10s  41

9. F ( s ) 

s 1 s 2  2s  5

10. F ( s) 

s3 s  2s  10

11. F ( s) 

3s  1 s  4s  20

2

2

En los siguientes ejercicios, calcular 1.

f (t )  t 2u  t  2 

2.

f (t )  cos  t  u  t  1

L  f (t )

2  t  3t  2 si 1  t  2; 3. f (t )   0 si t  1,2  

1


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 t si t  2;  4. f (t )  1 si 2  t  3;  e2t si 3  t 

 0 si t  1;  t  1 si 1  t  2;  5. f (t )   3  t si 2  t  3;  0 si 3  t. 6.

 sent si t   ; f (t )    0 si   t.

 b si a  t  2a;  f (t )   b si 2a  t  3a; 7. 0 si t  a & t  3a  a, b constantes positivas 8. Para a

y t0

constantes, f (t )  ka

si

 k  1 t0  t  t  kt0

, para

k  1,2,3... Utilizar la definición para hallar la transformada de Laplace para cada una de las siguientes funciones: 1 t 5

1.

f (t )  e

2.

f (t )  et 2

3.

f (t )  6  t 2

4.

f (t )  t  8  et

5.

3t , si t  1; f (t )    0, si t  1.

t 2  3t  2, si 1  t  2;  6. f (t )   0, si t  1,2   2


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7.

f (t )  t cos  at  ; a constante

ekt  e kt ekt  e kt 8. cosh kt  & senkt  2 2 Calcular

L 1 F ( s) o bien L  f (t ) , según sea el caso.

1.

f (t )  tsen  at 

2.

f (t )  t cos  at   s 1   s 1 

3. F ( s)  ln  4.

f (t )  t 2 senht & f (t )  t 2 cosh t

Resolver los siguientes PVI: 1.

dx  x  0, con x(0)  1 dt

d2y 2.  4 y  0, con y(0)  2 & y '(0)  1 dt 2 d 2x dx 3.  3  2 x  0, con x(0)  1& x '(0)  2 2 dt dt d 2z dz 4.  2  5 z  0, con z(0)  4 & z'(0)  3 2 dt dt 5.

d 3x  x  0, con x(0)  1, x '(0)  3 & x "(0)  8 dt 3

d3y d2y 6.   0, con y(0)  2, y '(0)  0 & y "(0)  1 dt 3 dt 2

En cada uno de los ejercicios, calcular L f(t) o bien L

1.

f (t )  e

3t

1

F(s)

t

 sen2 d 0

3


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2.

f (t )  e

t

3t

sen2

0

d

1  e2 s 3. F ( s )  s2 4. F ( s ) 

1

s

2

 1

2

Calcular la TL de las siguientes funciones 1.

f (t )  et (t  2)

2. g (t )  t (t  1) 3. h(t )  te

t

 (t  1)

t

4.

f (t )   (t  u ) 2 cos 2udu 0 t

5. g (t ) 

  t  u  e du u

0 t

6. h(t )  e

 t u 

senudu

0

Calcular y (t ) en cada uno de los siguientes ejercicios t

1. y (t ) 

  t  u  y(u)du  1 0 t

1 2 2. y '(t )    t  u  y (u )du  t , con y (0)  1 20 t

3. y (t )  t  y (u ) sen  t  u  du

 0

t

4. y (t )  2 cos  t - u  y (u )du  e

-t

0

4


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t

5. y '(t )  y (t )  sen  t  u  y (u )du, con y (0)  1

 0

d2y 6.  y  I 0 (t ), con y (0)  y '(0)  0 dt 2 d 2 y dy 7. 2 2   2 y   (t  5), con y(0)  y '(0)  0 dt dt d2y dy 8.  2  3 y  sent   (t  3 ), con y(0)  y '(0)  0 2 dt dt 9.

d2y  y   (t - 2 )cos t , con y(0)  0 & y '(0)  1 dt 2

10. Una masa de 1g se sujeta a un resorte cuya constante es k  4din / cm ; la masa se aparta del reposo en t  0 a 3 cm bajo la posición de equilibrio y se deja vibrar sin amortiguamiento ni perturbación hasta que en el instante

t  2 se le da un golpe con un martillo que le produce un impulso p  8 . Determinar el movimiento de la masa.

5


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