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FUNDAMENTOS 

[FRACCIONES PARCIALES] MATEMATICOS    Fracciones Parciales  Es  un  Proceso  algebraico  que  se  utiliza  para  descomponer  una  expresión  racional  como 

3x  7   en  fracciones  parciales  a  este  procedimiento  se  le  llama  descomposición  en   x  5 x  1 fracciones parciales. 

P( x) , Q( x)  0  es una fracción impropia o  Q ( x) una expresión racional propia esto es  el grado de  P ( x )  es menor que el grado de  Q ( x ) . También  supondremos  una  vez  más  que  los  polinomios  P ( x ) es  menor  que  el  grado  de  Q ( x ) .  También  supondremos una vez más que los polinomios  P ( x )  y  Q ( x )  no tienen factores comunes.  Por comodidad supondremos que la función racional 

A  continuación  examinaremos    cuatro  pasos  de  descomposición  de  P ( x ) / Q ( x ) en  fracciones  parciales. Estos casos dependen de los factores en el denominador  Q ( x ) . También supondremos  una vez más que los polinomios  P ( x ) y  Q ( x ) no tienen factores comunes.  Caso 1 

Q ( x )   Solo  contiene  factores  lineales  no  repetidos  si  se  puede  factorizar  por  completo  el  denominador en factores lineales. 

a( x)  (ax1  b1 )(ax2  b2 )......  an x  bn    Donde todos los  ai x  bi ,  i  1, 2.......n son distintos (es decir, no hay factores iguales), entonces  se pueden determinar constantes reales únicas  C1 , C2 ,...........Cn , tales que: 

C3 P ( x) C1 C2      ...  Q ( x ) a1 x  b1 ax2  b2 axn  bn En  la  práctica  usaremos  las  letras  A, B, C ........   en  lugar  de  los  coeficientes  con  subíndice 

C1 , C2 , C3 ...........Cn . El Ejemplo siguiente ilustra este primer caso.  Ejemplo 1  Descomponer en fracciones parciales la siguiente función 

2x 1    x  1 x  3 Se puede escribir de la siguiente forma  Profesor: Gerson Villa González  

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2x 1 A B    x  1 x  3 x  1 x  3 2 x  1  A( x  3)  B( x  1)   2 x  1  Ax  Bx  3 A  B

Por lo tanto obtenemos las siguientes dos ecuaciones   

A  B  1 

(1) 

 

3A  B  1  

(2) 

Sumando la ecuación (1) y (2)  Obtenemos   A  3 / 4  sustituyendo este valor en la ecuación 1 tenemos  B  5 / 4   Por consiguiente la descomposición que se busca es 

2x 1 3/ 4 5/ 4     ( x  1)( x  3) x  1 x  3 Caso 2 

Q ( x )  Contiene factores lineales repetidos  Si  el  denominador  Q ( x )   contiene  un  factor  lineal  repetido  ( ax  b) n ,  n  1   entonces  si  se  pueden  determinar  constantes  reales  únicas  C1 , C2 ,......., Cn   tales  que  la  descomposición  de 

P ( x ) / Q ( x)  en fracciones parciales contenga los términos: 

Cn C1 C2     ...  n 2 ax  b  ax  b   ax  b  Ejemplo 2  Descomponer en Fracciones Parciales 

6x 1   x  2 x  1 3

Profesor: Gerson Villa González  

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6x 1 A B C D   2 3 x  2 x  1 x x x 2x 1 3

6 x  1  Ax 2 (2 x  1)  Bx(2 x  1)  C (2 x  1)  Dx 3   6 x  1  2 Ax 3  Ax 2  2 Bx 2  Bx  2Cx  C  Dx 3 6 x  1  (2 A  D ) x 3  (2 B  A) x 2  (2C  B ) x  C De lo anterior resultan 4 ecuaciones las cuales son las siguientes:   

2A  D  0  

(3) 

 

2B  A  0  

(4) 

 

2C  B  6  

(5) 

 

C  1 

(6) 

Haciendo el algebra adecuada en las ecuaciones obtenemos lo siguiente: 

A  8, B  4, C  1, D  16   La descomposición en fraccione parciales es: 

6x 1 8 4 1 16   2  3  x  2 x  1 x x x 2x 1 3

 

Caso 3. Factores Cuadráticos irreducibles y no repetidos  Si el denominador  Q ( x ) contiene factores cuadráticos irreducibles no repetidos  ai x 2  bi x  ci , se  pueden  encontrar  constantes  reales  únicas  A1 , A2 ......... An ,  B1 , B2 ,......., Bn   tales  que  la  descomposición de  P ( x ) / Q ( x )  en fracciones parciales contenga los términos 

An x  Bn A1 x  B1 A2 x  B2     ...  2 2 a1 x  b1 x  c a2 x  b2 x  c2 an x 2  bn x  cn Ejemplo 3 descomponer en fracciones parciales 

4x Ax  B Cx  D  2  2 2  x  1 x  2 x  3 x  1 x  2 x  3 2

4 x  Ax  B  2 Ax 2  3 Ax  Bx 2  2 Bx  3B  Cx3  Cx  Dx 2  D   4 x  ( A  B) x3  (2 A  B  D) x 2  (3 A  2 B  C ) x  (3B  D) Por lo tanto resultan 4 ecuaciones las cuales son:  Profesor: Gerson Villa González  

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AC  0  

(7) 

 

2A  B  D  0  

(8) 

 

3 A  2B  C  4  

(9) 

 

3B  D  0  

(10) 

Haciendo el algebra adecuada de las ecuaciones tenemos: 

A  1, B  1, C  1, D  3   La descomposición en fracciones parciales es: 

4x x 1 x3  2  2   2 ( x  1)( x  2 x  3) x  1 x  2 x  3 2

Caso 4.  Q ( x )  Contiene factores cuadráticos irreducibles repetidos  Si el denominador  Q ( x ) contiene un factor cuadrático, irreducible repetido  (ax 2  bx  c) n , n  1 ,  entonces se pueden encontrar constantes reales únicas  A1 , A2 ,......., An  y  B1 , B2 ,....., Bn  tales que  la descomposición de  P ( x ) / Q ( x )  en fracciones parciales contenga los términos 

An x  Bn A1 x  B2 A2 x  B2     ...  2 n 2 2 ax  bx  c  ax 2  bx  c  ax bx c     Ejemplo 4 Descomponer 

x

x2 2

 4

2

x

x2 2

 4

2

 en fracciones parciales 

Ax  B Cx  D  x 2  4  x 2  4 2

x 2  Ax  B( x 2  4)  Cx  D

 

x  Ax  4 Ax  Bx  4 B  D 2

3

2

Se obtienen las ecuaciones siguientes 

A0  

B 1 4A  C  0

 

(11) 

4B  D  0

Profesor: Gerson Villa González  

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[FRACCIONES PARCIALES] MATEMATICOS    Haciendo el álgebra adecuada en las ecuaciones obtenemos 

A  0, B  1, C  0, D  4   La descomposición en fracciones parciales queda de la siguiente manera: 

x

x2 2

 4

2

1 4    x  4  x 2  4 2 2

Nota. En toda descripción anterior se supuso que el grado del numerador  P ( x ) es menor que el  grado  del  denominador  Q ( x ) .  Sin  embargo  si  el  grado  de  P ( x )   es  mayor  o  igual  al  grado  de 

Q ( x ) entonces  P ( x) / Q ( x)  es una fracción impropia. Todavía se puede hacer descomposición de  ella  en  fracciones  parciales,  pero  el  proceso  comienza  dividiendo  los  polinomios  hasta  que  se  llegue a un cociente polinomial y una fracción propia.  Por ejemplo   

Fracción impropia 

10 x  1 x3  x  1  Fracción propia se trabaja solo con el residuo  x 3 2 x  3x x( x  3)

   

Profesor: Gerson Villa González  

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Fracciones Parciales  

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