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2013

Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez

Fundamentos Matemรกticos

Fundamentos Matemรกticos Primer Departamental

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPO: gvilla@ipn.mx


Fundamentos Matemáticos Nombre: Grupo: Fundamentos Matemáticos

Calificación Fecha:10-04-2013

Instrucciones: 

La realización de los ejercicios tiene un peso sobre la calificación del 60%

Problema 1 Traza la siguiente gráfica del sistema de ecuaciones y halle el conjunto solución si la hay

yx0 yx0 x5 Solución

Gráfica del sistema de inecuaciones

Formas Alternativas

Fundamentos Matemáticos

Página 2


Fundamentos Matemáticos Posible conjunto solución que satisface a la ecuación

y  x  0, x  y  0 es el par ordenado x  0, y  0 Problema 2 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por Gauss- Jordán

2 x  y  3 z  w  3 3x  2 y  z  w  13 x  3 y  z  2w  4  x  y  4 z  3w  0 Solución

Fundamentos Matemáticos

Página 3


Solve the following system: -w + 2 x - y + 3 z ‡ -3 w + 3 x + 2 y - z ‡ 13 -2 w + x - 3 y + z ‡ -4 3w-x+ y+4z‡0

Choose an equation and a variable to solve for.

In the second equation, look to solve for w: -w + 2 x - y + 3 z ‡ -3 w + 3 x + 2 y - z ‡ 13 -2 w + x - 3 y + z ‡ -4 3w-x+ y+4z‡0

Solve for w.

Subtract 3 x + 2 y - z from both sides: -w + 2 x - y + 3 z ‡ -3 w ‡ 13 - 3 x - 2 y + z -2 w + x - 3 y + z ‡ -4 3w-x+ y+4z‡0

Perform a substitution.

Substitute w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 into the first, third and fourth equations: 5 x + y + 2 z - 13 ‡ -3 w ‡ -3 x - 2 y + z + 13

-2 H-3 x - 2 y + z + 13L + x - 3 y + z ‡ -4 3 H-3 x - 2 y + z + 13L - x + y + 4 z ‡ 0

Expand the left hand side of the equation x + z - 3 y - 2 H13 + z - 3 x - 2 yL ‡ -4.

x - 3 y + z - 2 H13 - 3 x - 2 y + zL ‡

H6 x + 4 y - 2 z - 26L + x - 3 y + z ‡ 7 x + y - z - 26:

5 x + y + 2 z - 13 ‡ -3 w ‡ -3 x - 2 y + z + 13

7 x + y - z - 26 ‡ -4

3 H-3 x - 2 y + z + 13L - x + y + 4 z ‡ 0 Expand the left hand side of the equation y - x + 3 H13 + z - 3 x - 2 yL + 4 z ‡ 0.

y - x + 4 z + 3 H13 - 3 x - 2 y + zL ‡

H-9 x - 6 y + 3 z + 39L - x + y + 4 z ‡ -10 x - 5 y + 7 z + 39:

5 x + y + 2 z - 13 ‡ -3 w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 7 x + y - z - 26 ‡ -4

-10 x - 5 y + 7 z + 39 ‡ 0

Choose an equation and a variable to solve for.

In the third equation, look to solve for y: 5 x + y + 2 z - 13 ‡ -3 w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 7 x + y - z - 26 ‡ -4 -10 x - 5 y + 7 z + 39 ‡ 0

Solve for y.

Subtract 7 x - z - 26 from both sides: 5 x + y + 2 z - 13 ‡ -3 w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 y ‡ 22 - 7 x + z -10 x - 5 y + 7 z + 39 ‡ 0

Perform a substitution.

Substitute y ‡ -7 x + z + 22 into the first and fourth equations: -2 x + 3 z + 9 ‡ -3 w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 y ‡ -7 x + z + 22

-5 H-7 x + z + 22L - 10 x + 7 z + 39 ‡ 0

Expand the left hand side of the equation 39 - 10 x - 5 H22 + z - 7 xL + 7 z ‡ 0.

39 - 10 x + 7 z - 5 H22 - 7 x + zL ‡ H35 x - 5 z - 110L - 10 x + 7 z + 39 ‡ 25 x + 2 z - 71: -2 x + 3 z + 9 ‡ -3 w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 y ‡ -7 x + z + 22 25 x + 2 z - 71 ‡ 0

Choose an equation and a variable to solve for.

In the fourth equation, look to solve for x: -2 x + 3 z + 9 ‡ -3 w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 y ‡ -7 x + z + 22 25 x + 2 z - 71 ‡ 0

Isolate terms with x to the left hand side.

Subtract 2 z - 71 from both sides: -2 x + 3 z + 9 ‡ -3 w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 y ‡ -7 x + z + 22 25 x ‡ 71 - 2 z

Solve for x.

Divide both sides by 25: -2 x + 3 z + 9 ‡ -3 w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 y ‡ -7 x + z + 22 71 25

2z 25

-

Perform a substitution.

Substitute x ‡

71

2z -

25

3 z - 2 I 25 71

into the first equation: 25

2z M + 9 ‡ -3 25

w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 y ‡ -7 x + z + 22 x‡

71 25

2z 25

-

Expand the left hand side of the equation 71 2 z 9-2 + 3 z ‡ -3. 25 25

71

2z

9-2

25

79 z 25

25 83 25

+

+3z‡3z+

4z

142 -

25

25

+9‡

79 z

83 +

25

: 25

‡ -3

w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 y ‡ -7 x + z + 22 x‡

71 25

2z 25

-

Choose an equation and a variable to solve for.

In the first equation, look to solve for z: 79 z 25

+

83 25

‡ -3

w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 y ‡ -7 x + z + 22 x‡

71 25

-

2z 25

Isolate terms with z to the left hand side.

83 Subtract

from both sides: 25

79 z 25

‡-

158 25

w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 y ‡ -7 x + z + 22 x‡

71 25

-

2z 25

Solve for z.

25 Multiply both sides by

: 79

z ‡ -2 w ‡ -3 x - 2 y + z + 13 y ‡ -7 x + z + 22 x‡

71 25

-

2z 25

Perform a back substitution.

Substitute z ‡ -2 into the second, third and fourth equations: z ‡ -2 w ‡ -3 x - 2 y + 11 y ‡ 20 - 7 x x‡3

Perform a back substitution.

Substitute x ‡ 3 into the second and third equations: z ‡ -2 w‡2-2 y y ‡ -1 x‡3

Perform a back substitution.

Substitute y ‡ -1 into the second equation: z ‡ -2 w‡4 y ‡ -1 x‡3

Sort results.

Collect results in alphabetical order: Answer:

w‡4 x‡3 y ‡ -1 z ‡ -2


Solve the following system: -w + 2 x - y + 3 z ‡ -3 w + 3 x + 2 y - z ‡ 13 -2 w + x - 3 y + z ‡ -4 3w-x+ y+4z‡0

Express the system in matrix form: w -1 2 -1 3 -3 1 3 2 -1 x 13 = y -2 1 -3 1 -4 3 -1 1 4 0 z

Write the system in augmented matrix form and use Gaussian elimination: -1 2 -1 3 -3 1 3 2 -1 13 -2 1 -3 1 -4 3 -1 1 4 0

Swap row 1 with row 4: 3 -1 1 4 0 1 3 2 -1 13 -2 1 -3 1 -4 -1 2 -1 3 -3

´ Hrow

1 Subtract 3 3

-1

0

10 3

-2 -1

1 2

1L from row 2:

1

4

0

5 3

7 -3

13

-3 -1

1 3

-4 -3

Multiply row 2 by 3: 3 -1 1 4 0 0 10 5 -7 39 -2 1 -3 1 -4 -1 2 -1 3 -3

´ Hrow 1L to row 3: 3 3 -1 1 4 0 0 10 5 -7 39

2

Add

0

1 3

-3

7

11 3

-4

-1

2

-1

3

-3

Multiply row 3 by 3: 3 -1 1 4 0 0 10 5 -7 39 0 1 -7 11 -12 -1 2 -1 3 -3

´ Hrow 1L to row 4: 3 3 -1 1 4 0 0 10 5 -7 39 0 1 -7 11 -12

1

Add

0

5 3

2

-3

13 3

-3

Multiply row 4 by 3: 3 -1 1 4 0 0 10 5 -7 39 0 1 -7 11 -12 0 5 -2 13 -9

1 Subtract 10 3 -1 1 0 10 5

´ Hrow

2L from row 3:

4 -7

0

0

-

15 2

117 10

0

5

-2

13

0 39 -

159 10

-9

10 Multiply row 3 by

: 3 3 -1 1 4 0 0 10 5 -7 39 0 0 -25 39 -53 0 5 -2 13 -9

´ Hrow 2L from row 4: 2 3 -1 1 4 0 0 10 5 -7 39 0 0 -25 39 -53

1

Subtract

0

0

9

-2

33 2

-

57 2

2 Multiply row 4 by

: 3

3 -1 1 4 0 0 10 5 -7 39 0 0 -25 39 -53 0 0 -3 11 -19

´ Hrow 3L from row 4: 25 3 -1 1 4 0 0 10 5 -7 39 0 0 -25 39 -53

3

Subtract

0

0

0

158 25

-

316 25

25 Multiply row 4 by 3 -1 1 4 0 10 5 -7 0 0 -25 39 0 0 0 1

: 158 0 39 -53 -2

Subtract 39 ´ Hrow 4L from row 3: 3 -1 1 4 0 0 10 5 -7 39 0 0 -25 0 25 0 0 0 1 -2

Divide row 3 by -25: 3 -1 1 4 0 0 10 5 -7 39 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 -2 Subtract 5 ´ Hrow 3L from row 2: 3 -1 1 4 0 0 10 0 -7 44 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 -2 Add 7 ´ Hrow 4L to row 2: 3 -1 1 4 0 0 10 0 0 30 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 -2

Divide row 2 by 10: 3 -1 1 4 0 0 1 0 0 3 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 -2

Add row 2 to row 1: 3 0 1 4 3 0 1 0 0 3 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 -2

Subtract row 3 from row 1: 3 0 0 4 4 0 1 0 0 3 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 -2 Subtract 4 ´ Hrow 4L from row 1: 3 0 0 0 12 0 1 0 0 3 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 -2

Divide row 1 by 3: 1 0 0 0 4 0 1 0 0 3 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 -2

Collect results: Answer:

w‡4 x‡3 y ‡ -1 z ‡ -2


Solve the following system: -w + 2 x - y + 3 z ‡ -3 Hequation 1L Hequation 2L w + 3 x + 2 y - z ‡ 13 -2 w + x - 3 y + z ‡ -4 Hequation 3L Hequation 4L 3w-x+ y+4z‡0 Swap equation 1 with equation 4: Hequation 1L

3w-x+ y+4z‡0

Hequation 2L

w + 3 x + 2 y - z ‡ 13 -H2 wL + x - 3 y + z ‡ -4

Hequation 3L Hequation 4L

-w + 2 x - y + 3 z ‡ -3

´ Hequation 1L from equation 2: 3 Hequation 1L 3w-x+ y+4z‡0

1

Subtract

0w+

10 x 3

5y

+

7z 3

-

3

Hequation 2L

‡ 13

Hequation 3L

-H2 wL + x - 3 y + z ‡ -4 -w + 2 x - y + 3 z ‡ -3

Hequation 4L

Multiply equation 2 by 3: 3w-x+ y+4z‡0

Hequation 1L Hequation 2L

0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39

Hequation 3L

-H2 wL + x - 3 y + z ‡ -4 -w + 2 x - y + 3 z ‡ -3

Hequation 4L

´ Hequation 1L to equation 3: 3 Hequation 1L 3w-x+ y+4z‡0 Hequation 2L 0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39

2

Add

x

0 w +3 -

7y

+

3

11 z 3

Hequation 3L

‡ -4

Hequation 4L

-w + 2 x - y + 3 z ‡ -3

Multiply equation 3 by 3: 3w-x+ y+4z‡0 0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39

Hequation 1L Hequation 2L Hequation 3L

0 w +x - 7 y + 11 z ‡ -12

Hequation 4L

-w + 2 x - y + 3 z ‡ -3

´ Hequation 1L to equation 4: 3 Hequation 1L 3w-x+ y+4z‡0 Hequation 2L 0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39 Hequation 3L 0 w +x - 7 y + 11 z ‡ -12

1

Add

0w+

5x 3

-

2y 3

+

13 z 3

Hequation 4L

‡ -3

Multiply equation 4 by 3: 3w-x+ y+4z‡0 0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39 0 w +x - 7 y + 11 z ‡ -12

Hequation 1L Hequation 2L Hequation 3L Hequation 4L

0 w +5 x - 2 y + 13 z ‡ -9

´ Hequation 2L from equation 3: 10 Hequation 1L 3w-x+ y+4z‡0 Hequation 2L 0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39

1

Subtract

0 w +0 x -

15 y 2

+

117 z 10

Hequation 3L

159 10

‡-

Hequation 4L

0 w +5 x - 2 y + 13 z ‡ -9

10 Multiply equation 3 by

: 3

Hequation 1L

3w-x+ y+4z‡0 0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39

Hequation 2L Hequation 3L

0 w +0 x - 25 y + 39 z ‡ -53

Hequation 4L

0 w +5 x - 2 y + 13 z ‡ -9

´ Hequation 2L from equation 4: 2 Hequation 1L 3w-x+ y+4z‡0 Hequation 2L 0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39 Hequation 3L 0 w +0 x - 25 y + 39 z ‡ -53

1

Subtract

0 w +0 x -

9y 2

+

33 z 2

‡-

Hequation 4L

57 2

2 Multiply equation 4 by

: 3

3w-x+ y+4z‡0 0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39 0 w +0 x - 25 y + 39 z ‡ -53

Hequation 1L Hequation 2L Hequation 3L Hequation 4L

0 w +0 x - 3 y + 11 z ‡ -19

´ Hequation 3L from equation 4: 25 Hequation 1L 3w-x+ y+4z‡0 Hequation 2L 0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39 Hequation 3L 0 w +0 x - 25 y + 39 z ‡ -53

3

Subtract

0 w +0 x +0 y +

158 z 25

‡-

Hequation 4L

316 25

25 Multiply equation 4 by

: 158

3w-x+ y+4z‡0 0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39 0 w +0 x - 25 y + 39 z ‡ -53

Hequation 1L Hequation 2L Hequation 3L Hequation 4L

0 w +0 x +0 y +z ‡ -2

Subtract 39 ´ Hequation 4L from equation 3: Hequation 1L 3w-x+ y+4z‡0 Hequation 2L 0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39 Hequation 3L

0 w +0 x - 25 y +0 z ‡ 25

Hequation 4L

0 w +0 x +0 y +z ‡ -2

Divide equation 3 by -25: 3w-x+ y+4z‡0 0 w +10 x + 5 y - 7 z ‡ 39

Hequation 1L Hequation 2L Hequation 3L

0 w +0 x + y +0 z ‡ -1

Hequation 4L

0 w +0 x +0 y +z ‡ -2

Subtract 5 ´ Hequation 3L from equation 2: Hequation 1L 3w-x+ y+4z‡0 Hequation 2L

0 w +10 x + 0 y - 7 z ‡ 44

Hequation 3L

0 w +0 x + y +0 z ‡ -1 0 w +0 x +0 y +z ‡ -2

Hequation 4L

Add 7 ´ Hequation 4L to equation 2: Hequation 1L 3w-x+ y+4z‡0 Hequation 2L

0 w +10 x +0 y +0 z ‡ 30

Hequation 3L

0 w +0 x + y +0 z ‡ -1 0 w +0 x +0 y +z ‡ -2

Divide equation 2 by 10: 3w-x+ y+4z‡0

Hequation 4L

0 w +x +0 y +0 z ‡ 3

Hequation 1L

0 w +0 x + y +0 z ‡ -1 0 w +0 x +0 y +z ‡ -2

Hequation 3L

Hequation 2L Hequation 4L

Add equation 2 to equation 1: 3 w + 0 x +y + 4 z ‡ 3 0 w +x +0 y +0 z ‡ 3 0 w +0 x + y +0 z ‡ -1 0 w +0 x +0 y +z ‡ -2

Hequation 1L Hequation 2L Hequation 3L Hequation 4L

Subtract equation 3 from equation 1: 3 w + 0 x +0 y +4 z ‡ 4 0 w +x +0 y +0 z ‡ 3 0 w +0 x + y +0 z ‡ -1 0 w +0 x +0 y +z ‡ -2

Hequation 1L Hequation 2L Hequation 3L Hequation 4L

Subtract 4 ´ Hequation 4L from equation 1: 3 w +0 x +0 y +0 z ‡ 12

0 w +x +0 y +0 z ‡ 3 0 w +0 x + y +0 z ‡ -1 0 w +0 x +0 y +z ‡ -2

Hequation 1L Hequation 2L Hequation 3L Hequation 4L

Divide equation 1 by 3: w +0 x +0 y +0 z ‡ 4 0 w +x +0 y +0 z ‡ 3 0 w +0 x + y +0 z ‡ -1 0 w +0 x +0 y +z ‡ -2

Collect results: Answer:

w‡4 x‡3 y ‡ -1 z ‡ -2

Hequation 1L Hequation 2L Hequation 3L Hequation 4L


Fundamentos Matemáticos Problema 3 Resuelva por fracciones parciales lo siguiente

4 x3  4 x 2  4 x  2 2 x2  x 1 Solución Realizando primero la división polinomica tenemos

2 x2  x

 x  1  x  1 2

2

A B C D     2  x  1  x  1 ( x  1) ( x  1)2

2

A( x  1)( x  1) 2  B( x  1) 2  C ( x  1) 2 ( x  1)  D( x  1) 2 ( x  1) 2 ( x  1) 2

2 x2  x

 x  1  x  1 2

2 x 2  x  A( x  1)( x 2  2 x  1)  B( x 2  2 x  1)  C ( x 2  2 x  1)( x  1)  D( x 2  2 x  1) 2 x 2  x  Ax3  2 Ax 2  Ax  Ax 2  2 Ax  A  Bx 2  2 Bx  B  Cx3 Cx 2  2Cx 2  2Cx  Cx  C  Dx 2  2 Dx  D 2 x 2  x  x 3 ( A  C )  x 2 ( A  B  C  D )  x ( A  2 B  C  2 D) A B  C  D Tendríamos 2 ecuaciones las cuales son las siguientes

AC  0 A B C  D  2  A  2B  C  2D  1 A  B  C  D  0 Por lo tanto

1 3 1 1 A  , B  ,C   , D  2 4 2 4 La descomposición en fracciones parciales seria la siguiente

2 x2  x

 x  1  x  1 2

2

1 3 1 1    2 2  x  1 4  x  1 2( x  1) 4( x  1) 2

Fundamentos Matemáticos

Página 4


Fundamentos Matemáticos Problema 4 Resuelva por Cramer el siguiente sistema ecuaciones

x  3y  0 y  5z  3 2x  z  1 Solución Calculando el 

1 3

0

0 1 5  29 2 0

1

Calculando el determinante 1

0 3 0 3 1 5  6 1 0 1 Ahora calculamos el valor de la variable x

0 3 1  x 1  1  0 2

3 0 1 5 0 1 6 6   3 0 29 29 1 5 0 1

Calculando el determinante  2

1

0

0

0

3

5  2

2 1 1 Ahora calculamos el valor de la variable y

Fundamentos Matemáticos

Página 5


Fundamentos Matemáticos 1 0 2  y 2  1  0 2

0 3 1 3 1 0

0 5 1 2 2   0 29 29 5 1

Calculando el determinante  3

1 3 0 1

0 3  19

2 0 1 Ahora calculamos el valor de la variable z

1 0 2  z 3  1  0 2

3 0 1 3 0 1 17 17   3 0 29 29 1 5 0 1

Fundamentos Matemáticos

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Examen del Segundo Departamental Fundamentos Matematicos Tipo A 2013 1TM2  

Segundo Departamental Fundamentos Matematicos Tipo A 2013 1TM2

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