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Examen Rápido 5 Calculo Vectorial Nombre: Grupo: Ecuaciones Diferenciales

Calificación Fecha: 27-09-2012

Instrucciones:  

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 40% Cada valor tiene 10/3 punto

Problemas Problema 1 Hallar la distancia del punto al plano: a.

 2,8,4  2x  y  z  4

Solución La normal en el plano será n  2,1,1 Si hacemos x  y  0 en la ecuación del plano, el punto en el plano será

P(0,0,5) Por lo tanto el vector PQ  2  0,8  0,4  5  PQ  2,8, 1 Utilizando la ecuación de la distancia de un punto a un plano tenemos

D

PQ  n n

D

2,8, 1  2,1,1 2,1,1

D

 2  2   81   11 2 2 2  2   1  1

D

11 6

Rectas y Planos en el espacio

D

 4  8 1 4 11

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Examen Rápido 5 Calculo Vectorial Problema 2 Hallar una ecuación del plano que pasa por el punto 1,2,3 y es paralelo al plano

xy . Solución El plano que pasa por el punto P  x0 , y0 , z0   P 1,2,3 y es paralelo al plano

xy , considerando que el plano xy , su vector normal será v  0,0,1  v  k . Por lo tanto el plano será, utilizando la ecuación canónica de un plano

A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 

1 z  3  0  z  3

Problema 3 Verificar que las rectas son paralelas y hallar la distancia entre ellas.

L1 : x  2  t , y  3  2t , z  4  t L2 : x  3t , y  1  6t , z  4  3t Solución Verificando que las rectas son paralelas y encontrando la distancia entre ellas tenemos: El vector dirección de la primera recta L1 es: v1  1,2,1 El vector dirección de la segunda recta L2 es: v2  3, 6, 3 Por lo tanto la relación que demuestra que las rectas son paralelas es la siguiente:

v2  3v1 Tenemos que el punto Q  2,3,4  en la primera recta segunda recta

1

y el punto P  0,1,4  en la

2

Rectas y Planos en el espacio

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Examen Rápido 5 Calculo Vectorial Por lo tanto el vector PQ será:

PQ  2,2,0 Por lo tanto u  v2 es le vector dirección para

i

j

k

PQ  v2  2

2

0  6,6, 18

2

que será el siguiente:

3 6 3 Utilizamos la ecuación de la distancia de un punto a la recta y tenemos

D D

PQ  v2 v2

D

36  36  324  9  36  9

396 22 66 D D 54 3 3

Rectas y Planos en el espacio

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Calculo Vectorial Examen Rapido 5  

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