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2013

Ecuaciones Diferenciales

Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez

Ecuaciones Diferenciales

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: gvilla@ipn.mx


Ecuaciones Diferenciales Nombre: Grupo: Ecuaciones Diferenciales

Calificación Fecha:25-02-2013

Instrucciones:  

Recuerden hacer los ejercicios de forma clara y concisa. La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 70%

Problemas sugeridos 1. Resolver la siguiente ecuación diferencial por separación de variables a.

 xy

Solución

 xy

2

2

 y 2  x  1 dx   x 2 y  2 xy  x 2  2 y  2 x  2  dy  0

 y 2  x  1 dx   x 2 y  2 xy  x 2  2 y  2 x  2  dy  0, agrupando

 y 2  x  1   x  1  dx   y  x 2  2 x  2    x 2  2 x  2   dy  0, factorizando  

y

2

 1  x  1 dx   y  1  x 2  2 x  2  dy  0, separando la variable

 x  1 dx x  2x  2 2

 x  1 dx

x



y 1 dy  0, integrando y2 1 y 1 dy  k de donde y2 1

 2x  2 1 1 ln  x 2  2 x  2   ln  y 2  1  arctgy  k 2 2 ln  x 2  2 x  2  y 2  1  2arctgy  k   x 2  2 x  2  y 2  1  e 2 arctgy  k 2

  x 2  2 x  2  y 2  1 e 2 arctgy  c Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales 2. Resolver las siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea a.

dy 1  y dx e  x

Solución Considerando a y en función de x , esta ecuación diferencial ordinaria no es lineal; pero si consideramos a x en función de y , se tiene que:

e

y

 x

dy dx  1 ey  x   dx dy  x ' x  e y

Esta última expresión es una ecuación diferencial lineal. Un factor integrante es

 p( y)dy   dy  y  u( y)  e

y

Entonces multiplicando la ecuación lineal por u ( y ) , aplicando la igualdad conocida e integrando:

dx y d e x   e 2 y   e y x dy   e 2 y dy  dy dx 1 1  e y x  C1  e 2 y  C2  e y x  e 2 y  C 2 2 e y  x ' x   e y e y 

La solución general es

1 x  e y  Ce y 2 Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales 3. Resolver las siguiente ecuación diferencial a través de Bernoulli a.

y ' 2 xy  x3 y5

Solución Se tiene una ED de Bernoulli con r  5 . Multiplicando por y

r

 y 5 :

y 5   y ' 2 xy    x3 y5  y 5  y 5 y ' 2 xy 4  x3 Haciendo el cambio de variable:

u  y 4 Derivando con respecto a x :

u' 

d 4 1 y  4 y 5 y '  u '  y 5 y ' dx 4

Utilizando las dos condiciones anteriores obtenemos:

1  u ' 2 xu  x3 4 Hemos obtenido una ecuación diferencial lineal, la cual se resuelve a continuación Multiplicando por -4, para normalizar

u ' 8xu  4 x3

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Ecuaciones Diferenciales Se tiene que p( x)  8x . Calculamos un factor integrante u ( x) :

u  e

p ( x ) dx

 u  e

8 xdx

 e4 x

2

Multiplicamos por u la ecuación diferencial lineal y aplicamos la igualdad conocida:

e4 x  u ' 8 xu   4 x3e4 x  2

2

2 d 4 x2 e u  4 x3e4 x dx

Integrando

d 4 x2 3 4 x2 e u dx   4 x  dx  e dx Resolvemos la integral del lado derecho aplicando integración por partes

u  x2

 du  2 xdx

dv  e 4 x 8 xdx  v  e 4 x 2

2

1 2 4 x2 x e 8 xdx 2 2 2 1 1  uv   vdu   x 2 e 4 x   e 4 x 2 xdx 2 2 2 2 1 1     x 2 e 4 x   e 4 x 8 xdx  2 4  2 1 1 2    x 2 e 4 x  e 4 x   C2 2 4 

 4 x e

2 4 x2

dx  

2  1 1  e 4 x   x 2    C2 8  2

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Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo obtenemos 2 2  2 2  1 1 1 1 e4 x u  C1  e4 x   x 2    C2  e4 x u  e4 x   x 2    C 8 8  2  2

4 Despejando u y sustituyendo por y 2 2 1 1  1  1 u    x 2    Ce4 x  y 4    x 2    Ce4 x 8 8  2  2

4. Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas con alguna sustitución adecuada a.

4 x 2  xy  y 2  y '  x 2  xy  4 y 2   0

Solución Es homogénea entonces

y  ux  dy  udx  xdu, Remplazando en la ecuación

 4x

2

 ux 2  u 2 x 2  dx   x 2  ux 2  4u 2 x 2  udx  xdu   0

Simplificando

 4u

3

 4  dx  x  4u 2  u  1 du  0

Separando las variables

dx 4u 2  u  1 4  du  0 x u3  1

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Ecuaciones Diferenciales Integrando

4

dx 4u 2  u  1  du  0 x u3  1

Entonces

4

dx 2u  1   2    2 du  C x  u 1 u  u 1 

ln x 4  2ln u  1  ln u 2  u  1  C  ln x 4  u  1  u 2  u  1  C 2

 x 4  u  1  u 3  1  k Donde

y   x  y   x3  y 3   k x

u

5. Resuelva las siguiente ecuación diferencial si es exacta a.

y  x 2  y 2  a 2  dy  x  x 2  y  a 2  dx  0

Solución

 M  M  x( x 2  y 2  a 2 )  x  2 xy   2 2 2 N  N  y  x  y  a    2 xy  x

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Ecuaciones Diferenciales

Luego

M N  la ecuación es exacta entonces: y x

f ( x, y) tal que

f ( x, y ) f ( x, y )  N de donde My y x

f ( x, y )  x  x 2  y 2  a 2  integrando respecto a x se tiene: x x4 x2 y 2 a2 x2 f ( x, y)   x  x  y  a  dx  g ( y )     g ( y ) , derivando 4 2 2 2

2

2

f ( x, y )  x 2 y  g '( y )  N  x 2 y  g '( y )  y  x 2  y 2  a 2  y g '( y )  y 2  a 2 y  g ( y ) 

y4 a2 y2  C 4 2

Remplazando la función

f ( x, y) 

x4 x2 y 2 a2 x2 y 4 a2 y 2     C 4 2 2 4 2

4 4 2 2 2 2 2 2 Por lo tanto  x  y  2 x y  2a x  2a y  k

6. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales no exactas a través de un factor integrante adecuado. a.

 y ln y  ye  dx   x  y cos y  dy  0 x

Solución

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Ecuaciones Diferenciales Inicialmente se tiene

M  y ln y  ye x  M y  1  ln y  e x N  x  y cos y  N x  1 M y  N x  la ecuación no es exacta ¿Existe un factor integrante u  u ( x) ?

M y  Nx N

1  ln y  e x  1 ln y  e x  x  y cos y x  y cos y

El ultimo cociente no depende solo de x , entonces no existe u  u ( x) Existe un factor integrante u  u ( y) ?

Nx  M y N

 ln y  e x ln y  e x 1    x x y ln y  ye y y  ln y  e 

En este caso, este ultimo cociente sí depende solo de, entonces existe u  u ( y) el cual cumple con la ecuación diferencial

u '( y ) Nx  M y 1 du dy du dy         u( y) M y u y u y  ln u   ln y  ln y 1  u ( y )  y 1 Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante tenemos

 ln y  e  dx   xy x

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1

 cos y  dy  0

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Ecuaciones Diferenciales Ahora tenemos

M  ln y  e x  M y 

1 y  M y  N x la nueva ED es exacta

N  xy 1  cos y  N x  y 1 Entonces existe f ( x, y ) tal que f x  M & f y  N tenemos x

f y  N & f ( x, y)    ln y  e x dx  x ln y  e x  h( y ) Derivando respecto a y e igualando a N

fy 

x  h '( y)  xy 1  cos y  h '( y)  cos y  h( y)  seny  C1 y

Entonces:

f ( x, y)  x ln y  e x  seny  C1 Por lo tanto la solución general es

f ( x, y )  C2  x ln y  e x  seny  C1  C2   x ln y  e x  seny  C 7. Misceláneas. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por algún método adecuado. a.

ydx   2 xy  e2 y  dy  0

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Ecuaciones Diferenciales Solución 2 y

Análisis. Al observar el exponente de e podemos afirmar que la ecuación diferencial no es homogénea. Por otro lado, notamos que el coeficiente correspondiente a la diferencial dx es una función que depende de solo una variable y, así podemos pensar que es una ecuación diferencial lineal o bien de Bernoulli para x   ( y) . Veamos:

ydx  (2 xy  e 2 y )dy  0  ydx  2  xy  e 2 y  dy  dy dy  2 xy  e2 y  y  2 xy  e 2 y  dx dx e2 y  yx ' 2 yx  e 2 y  x ' 2 x  y y

Que es en efecto una ecuación diferencial lineal para x   ( y) Un factor integrante para esta ecuación diferencial es u ( x)  e . Multiplicando la ecuación diferencial por este factor integrante, se 2y

obtiene:

 e2 y e  x ' 2 x   e   y 2y

2y

1 dy  e2 y x  ln y  C   d 2y 1 2y   e x    e x   y y  dy  x  ln y  C e2 y

Que es la solución general de la ED 8. Comprobar que las funciones siguientes son soluciones de las ecuaciones diferenciales siguientes. a.

x  yecy 1 , y ' 

Ecuaciones Diferenciales

y x  ln x  ln y 

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Ecuaciones Diferenciales Solución

x  yecy 1  ln x  ln y  cy  1  ln

x  cy  1 y

De donde

x  yecy 1  ecy 1 

x y

x  yecy 1  1  y ' ecy 1  cyecy 1 y '  ecy 1 1  cy  y '  1

x  ln x  ln y  y ' y

x y  ln x  ln y  y ' y '  y x  ln x  ln y 

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Primer Examen Departamental Ecuaciones Diferenciales  

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