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Primer Examen Departamental de Calculo Diferencial Nombre Grupo 2TM3 Carrera: Ingeniería Topográfica Profesor: Gerson Villa González Instrucciones     

Cada problema vale 2 puntos Procedimientos no correctos no se tomaran en cuenta La duración del examen es de 1: 20 min No se permite formulario El examen es individual no en equipo

 x 2 si  2  x  0;  1. Dada h(x)   1 si x  0; 3x si 0  x 1  ¿Existe limh(x) ? x 0

3

2. Calcular el siguiente lim h 0

3. Calcular el siguiente lim

x 

4. Sea h(x) 

3 3x  2

xh  3 x h

2x  3

 3x  2 

3

. Usando la definición de la derivada, calcule h '(a) . Calcular

también usando lo anterior, h '(0) así como h '(8) 5. Utilizando reglas de derivación, calcular la derivada de las función siguiente

y  x x  x 1

Grupo 2TM3




⎧ 2 ⎪ ⎨x Dada h.x/ D 1 ⎪ ⎩ 3x

si  2 < x < 0I si x D 0I si 0 < x < 1:

¿Existe lím h.x/? x!0

H

Notemos que h.x/ está definida de diferente manera para x < 0 y para x > 0.

Damos a x valores cada vez más cercanos al cero, por ambos lados, y obtenemos las imágenes h.x/ correspondientes.

x

h.x/ D x2

x

h.x/ D 3x

0:1

0:01

0:1

0:3

0:01

0:0001

0:01

0:03

0:001

0:000001

0:001

0:003

0:0001

0:00000001

0:0001

0:0003

0:00001

0:0000000001

0:00001

0:00003

#

#

#

#

0

0

0C

0

Podemos decir entonces que lím h.x/ D 0, pues si x está cada vez más cerca de 0, h.x/ está cada vez más cerca de 0. Geométricamente tenemos

x!0


y D x2

y 



y D 3x

y D h.x/

x 

2

1


H

p  p p p p p p p 3 3 . 3 x C h/2 C 3 x C h 3 x C . 3 x/2 xCh 3 x xCh 3 x D D lím  p p lím p p h!0 h h!0 h . 3 x C h/2 C 3 x C h 3 x C . 3 x/2 p p . 3 x C h/3  . 3 x/3 p p D lím D p p 3 3 h!0 hŒ. x C h/2 C x C h 3 x C . 3 x/2  xChx p p D D lím p p 3 3 2 h!0 hŒ. x C h/ C x C h 3 x C . 3 x/2  h p p D D lím p p 3 3 2 h!0 hŒ. x C h/ C x C h 3 x C . 3 x/2  1 p D lím p D p p 3 3 2 h!0 . x C h/ C x C h 3 x C . 3 x/2 1 1 p p p D p D p , para x ¤ 0: 3 3 3 3 3 2 2 . x/ C x x C . x/ 3 x2


2x C 3 Calcular: lím  . x!C1 .3x  2/3 H

Como x ! C1, podemos pensar que x > 0 por lo que j x j D x.

lím 

x!C1

2x C 3 .3x 

2/3

2x C 3 D lím p D lím  3 x!C1 x!C1 27x  54x 2 C 36x  8

  3 x 2C x

 D 36 54 8 C 2 3 27  x x x     3 3 x 2C x 2C x x   D lím D D lím x!C1 p x!C1 p p 36 36 54 8 54 8 3 2 C 2 3 C 2 3 x 27  x x 27  x x x x x x 3 2C x  D lím D 0: x!C1 p 36 54 8 C 2 3 x 27  x x x x3

Otro procedimiento: Multipliquemos numerador y denominador por y por ende que

1 1 1 y como x ! C1 podemos suponer que D x x jx j

1 1 D p ; entonces, x x2

3 3 3 2C 2C x x x  D  D  D  8 36 .3x  2/3 .3x  2/3 27x 3  54x 2 C 36x  8  2 27x  54 C p 2 2 x x x x 2x C 3

2C

y también, lím 

x!C1

2x C 3 .3x  2/3

2C

3 x

D lím  D 0: x!C1 8 36  2 27x  54 C x x


3 . Usando la definición de la derivada, calcular h 0 .a/. Sea h.x/ D p 3x C 2 Calcular también, usando lo anterior, h 0 .0/ así como h 0 .8/. H

Calculamos el cociente diferencial: 3 3 p p h.x/  h.a/ 3x C 2 3a C 2 D D xa xa p p 3a C 2  3x C 2 p p 3x C 2 3a C 2 D3 D p xa p 3x C 2  3a C 2 p D 3 p D 3x C 2 3a C 2.x  a/ p p p p 3x C 2  3a C 2 3x C 2 C 3a C 2 p p D 3 p p D 3x C 2 3a C 2.x  a/ 3x C 2 C 3a C 2 .3x C 2/  .3a C 2/ p p p D 3 p D 3x C 2 3a C 2.x  a/. 3x C 2 C 3a C 2/ xa p p p D D 9 p 3x C 2 3a C 2.x  a/. 3x C 2 C 3a C 2/ 1 p p p D 9 p si x  a ¤ 0: 3x C 2 3a C 2. 3x C 2 C 3a C 2/

Por lo que: h 0 .a/ D lím

x!a

h.x/  h.a/ D xa

1 D lím 9 p p p p D x!a . 3x C 2/. 3a C 2/. 3x C 2 C 3a C 2/ 1 p D 9 p D 2 . 3a C 2/ .2/ 3a C 2 9 1 D : 2 .3a C 2/ 32 Hemos obtenido, por lo tanto, que en todo punto:     2 3 2 , con a >  , pues Df D  ; C1 , de la gráfica de la función h, la Œa; h.a/ D a; p 3 3 3a C 2 9 1 pendiente de la recta tangente vale h 0 .a/ D  . 3 2 .3a C 2/ 2 9 2 1 Concluimos con esto que h 0 .x/ D  si x >  . 3 2 3 .3x C 2/ 2 Usando este resultado:  3 9 1 2 9 0 h .0/ D  D p I 2 2 4 2   32 9 1 9 h 0 .8/ D  D p : 2 26 52 26


yDx

 p xC xC1.

H d dy D dx dx

 "  p x xC xC1 D

1 " p p d d  2 xC xC1 C x C x C 1 .x/ D dx dx " 1 

1 p p p 1 d 2 xC xC1 .x C x C 1/ C x C x C 1.1/ D Dx 2 dx " 1  

 1 p p d 1 d 2 xC xC1 .x/ C .x C 1/ 2 C x C x C 1 D Dx 2 dx dx "  1 p 1 1 x 1 d 2 D .x C 1/ .x C 1/ C x C x C1 D 1 C 1  p 2 2 dx x C x C1 2  " 1 p 1 x  2 1 C .x C 1/ .1 C 0/ C xC xC1D D  p 2 2 xC xC1 ⎡ ⎤ " p x 1 ⎣ ⎦ D  xC xC1D 1 C C p 1 2 xC xC1 2.x C 1/ 2 p " p x 2 x C1C1 p D  C xC xC1D p 2 xC xC1 2 xC1 p " p x.2 x C 1 C 1/  D p C xC xC1D p 4 xC1 xC xC1 p p p x.2 x C 1 C 1/ C 4 x C 1.x C x C 1/  D D p p 4 xC1 xC xC1 p p 2x x C 1 C x C 4x x C 1 C 4.x C 1/  D D p p 4 xC1 xC xC1 p 6x x C 1 C 5x C 4  : D p p 4 xC1 xC xC1 p 6x x C 1 C 5x C 4 dy  D p : Luego, p dx 4 xC1 xC xC1 Dx


Examen departamental 2014 agosto diciembre alumno 2tm3 con solución