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[ECUACIONES EXACTAS FACTORES INTERGRANTES] Unidad I

Ecuaciones Exactas- Factores Integrantes Una ecuación lineal y ' P( x) y  f ( x) se puede transformar en una derivada al multiplicar la ecuación por un factor integrante. La misma idea básica funciona a veces para una ecuación diferencial no exacta M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 . Es decir a veces es posible encontrar un factor integrante u ( x, y) de modo que, después de multiplicar, el lado izquierdo de: u( x, y)M ( x, y)dx  u( x, y) N ( x, y)dy  0

Se resume los resultados para la ecuación diferencial M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0

 Si

(1.1)

 My  Nx 

es una función de x exclusivamente, entonces un N factor de integración para (1.1) es u ( x)  e

 Si

N

x

My  Nx dx N

 My

es una función de y solamente entonces un factor M de integración para (1.1) es: u( y)  e

 Nx  My  M

Prof. Gerson Villa González

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Problemas Propuestos En los problemas siguientes determine si la ecuación respectiva es exacta. Si no lo es encuentre una función u ( x, y) que la haga exacta, después resuélvala. Problema 1  2 cos xdx  1   senxdy  0 y  M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 M ( x, y )  cos x 

M 0 y

 2 2senx N ( x, y )  1   senx  N ( x, y )  senx  y y  N 2  cos x  cos x x y M N   y x

En consecuencia la ecuación no es exacta por lo tanto existe una función u ( x, y) que la haga exacta, por lo tanto:

M y  Nx

0  cos x  

2 cos x y

2   cos x   1  y    cot x  2  senx   1 y 

 2 1  y  senx   2 cos x  cos x  0 Nx  M y 2 y  1 M cos x y N

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Por lo tanto optamos por el factor integrante de u ( x) u ( x)  e

My  Nx dx N cos x

 dx  cot xdx  Ln senx u ( x)  e   e senx  e

u ( x)  e

 Ln

1 senx

 u ( x) 

1  u ( x)  csc x senx

En consecuencia la ecuación será exacta dado una función u ( x, y) tal que uM ( x, y )  cos x csc x  cos x

1  cot x senx

  2 uN ( x, y )   senx  senx  csc x y   2 uN ( x, y )  1  y M 0 y N 0 x

Por lo tanto la ecuación es exacta y procedemos a resolverla

f  cot x x

y

f 2 1 y y

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f ( x, y )   M ( x, y )dx  h( y ) f ( x, y )   cot xdx  h( y ) f ( x, y )  ln senx  h( y ) f 2  h '( y )  1  y y  2 h '( y ) dy  1     y dy h( y )  y  2ln y h( y )  y  ln y 2

Sustituyendo tenemos f ( x, y )  ln senx  y  ln y 2 C  ln senx  y  ln y 2

Problema 2 y( x  y  1)dx  ( x  2 y)dy  0

M ( x, y )  yx  y 2  y M  x  2y 1 y N ( x  2 y) M 1 x

En consecuencia la ecuación no es exacta por lo tanto existe una función u ( x, y) que la haga exacta, por lo tanto:

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M y  Nx N

 x  2 y  1  1  1 x  2y

u ( x)  e  ; u ( x)  e x dx

uM ( x, y )  e x yx  y 2e x  ye x uN ( x, y )  xe x  2 ye x

En consecuencia es exacta por lo tanto existe una función f ( x, y) tal que f  yxe x  y 2e x  ye x x f  xe x  2 ye y y

Al integrar la primera de estas ecuaciones obtenemos: f ( x, y )   N ( x, y )dt  g ( x)

f ( x, y )    xe x  2 ye x  dy  g ( x) f ( x, y )  xye x  y 2e x  g ( x) f  xye x  ye x  y 2e x  g '( x)  yxe x  y 2e x  ye x x g '( x)  0

 g '( x)dx   0dx g ( x)  0

Por lo tanto la solución general sería xye x  y 2e x  c

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Un Método alternativo Para la ecuación y

x

 M (u, y)du   N (a, v)dv  c,  a, b  en a

b

Solamente para ecuaciones exactas Ejemplo

 2 xy

2

 ye x  dx   2 x 2 y  e x  1 dy  0

M ( x, y )  2 xy 2  ye x N ( x, y )  2 x 2 y  e x  1 M  4 xy  e x y N  4 xy  e x x M N  y x y

x

  2uy

2

 ye  du    2a 2v  e a  1dv  c u

a

b

x

y

x

y

y

 2uy du   ye du   2a vdv   e dv   dv  c 2

a

u

a

2

a

b

b

x

x

y

y

a

a

b

b

b

u 2 y 2  yeu  a 2v 2  ve a  v b  c

x

2

y

 a  y 2  ye x  ye a  a 2 y 2  a 2b 2  ye a  be a  y  b  c

x 2 y 2  ye x  y a 2 y 2  ye a  a 2 y 2  a 2b 2  ye a  bea  b  c x 2 y 2  ye x  y  a 2b 2  be a  b  c  c1  x 2 y 2  ye x  y  c1

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Problemas Suplementarios Verifique que la ecuación diferencial respectiva no es exacta. Multiplique esa ecuación diferencial por el factor integrante indicando, u ( x, y) , y compruebe que la nueva ecuación sea exacta, resuélvala. 1.   xysenx  2 y cos x  dx  2 x cos xdy  0 ; sol. x 2 y 2 cos x  c 2.  2 y 2  3x  dx  2 xydy  0 sol. x 2 y 2  x3  c 3. 10 - 6 y  e-3 x  dx - 2dy  0 sol. 2 ye3 x 

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10 3 x e xc 3

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