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[COEFICIENTES INDETERMINADOS MÉTODO ANULADOR] UNIDAD 1

Coeficientes Indeterminados Método Anulador Planteamos que una ecuación diferencial lineal de orden n se puede escribir como sigue:

an Dn y  an1Dn1 y  ...  a1Dy  a0 y  g ( x) En

donde

Dk y 

dk y k

, k  0,1......n ,

cuando

nos

(1.1) convenga

dx representaremos también esta ecuación de la forma L( x)  g ( x)

donde L representa el orden del operador diferencial lineal de orden n :

L  an Dn  an1Dn1  ....  a1D  a0

(1.2)

La notación de operadores no solo es taquigrafía útil en un nivel muy practico la aplicación de los operadores diferenciales nos permite llegar a una solución particular de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. 1. El operador diferencial D n funciones:

anula cada una de las siguientes

1, x, x 2 ,......., x n1

2. El operador diferencial

 D   n

(1.3) anula cada una de las

siguientes funciones: e x , xe x , x2e x ,......, xn 1e x

(1.4)

n

3. El operador diferencial  D 2  2 D   2   2  , anula cada una   de las siguientes funciones:

e x cos  x, xe x cos  x, x 2e x cos  x,...., x n 1e x cos  x x

x

2 x

e sen x, xe sen x, x e sen x,.........x Ecuaciones Diferenciales

n 1  x

e sen x

(1.5)

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Cuando   0 y n  1 se tiene el caso especial:

x  D2   2  cos sen x

(1.6)

Lo anterior nos conduce al punto de la descripción anterior, supongamos que L( y)  g ( x) es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y que la entrada g ( x)

consta de sumas y

productos finitos de las funciones mencionadas anteriormente esto es g ( x) es una combinación lineal de funciones de la forma:

k (constante), xm , xme x , xme x cos  x y xme x sen x

(1.7)

En donde m es un entero no negativo y  y  son números reales. Ejemplos Resuelva la respectiva ecuación por el método de los coeficientes indeterminados enfoque anulador Ejemplo 1 y '' 9 y  54

Solución Obtenemos la solución complementaria de la ecuación homogénea  y ''  m 2 y '' 9 y  0    y'  m  m 2  9  0   m  3 m  3  0 m1  3, m2  3 Raices Reales Diferentes Por lo tanto la solución complementaria seria: yc  C1e3 x  C2e 3 x

Ecuaciones Diferenciales

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Paso 2 Como el operador diferencial D anula a 54, vemos que D( D2  9)  54 es lo mismo que:

D( D2  9)  0 La ecuación auxiliar de la ecuación anterior de tercer orden será

m(m2  9)  0 ó sea m(m  3)(m  3)  0 tiene las raíces: m1  0, m2  3, m3  3 , así su solución debe ser:

C1e3 x  C2e3 x

y

 C3

Solución Complementaria

Por lo tanto una solución particular debido a C3 Posteriormente sustituimos la primera y segunda derivada de la solución particular propuesta en la ecuación diferencial lineal no homogénea y'p  0

 y ''

yp  A

p

0

y '' 9 y  54  0  9 A  54  A  6

Por lo tanto la solución particular sería:

yp  6 Por lo tanto la solución general es:

y  yc  y p  y  C1e3x  C2e3x  6

Ecuaciones Diferenciales

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Ejemplo 2 y   y '''  x  e x , y(0)  0, y '(0)  0, y ''(0)  0, y '''(0)  0 4

Solución Obtenemos la solución complementaria de la ecuación homogénea  y  4  m 4 y  y '''  0   3  y '''  m  m 4  m3  0  m3  m  1  0  4

m1  m2  m3  0 Raices Reales Repetidas m4  1 Raiz real diferente Por lo tanto la solución complementaria seria: yc  C1  C2 x  C3 x 2  C4e x

Paso 2 a)

ex    1 y n  1

 D  1 e x  0

b) D2 x  0 D2  D  1  0 Aniquila x  e x

Por lo tanto:

D3  D  1 D 2  D  1  D 2  D  1 x  e x  D5  D  1  0 2

La ecuación auxiliar de la ecuación anterior de tercer orden será

m5 (m  1)2  0 tiene las raíces: m1  m2  m3  m4  m5  0, m6  m7  1 , así su solución debe ser:

Ecuaciones Diferenciales

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y  C1  C2 x  C3 x 2  C6e x  C4 x3  C5 x 4  C7 xe x Solución Complementaria

Por lo tanto una solución particular debido a C4 , C5 , C7 Posteriormente sustituimos la primera y segunda derivada de la solución particular propuesta en la ecuación diferencial lineal no homogénea

y p  Ax3  Bx 4  Cxe x  y ' p  3 Ax 2  4 Bx3  Cxe x  Ce x y '' p  6 Ax  12 Bx 2  Cxe x  Ce x  Ce x y '' p  6 Ax  12 Bx 2  Cxe x  Ce x  Ce x y ''' p  6 A  24 Bx  Cxe x  Ce x  Ce x  Ce x y '''' p  24 B  Cxe x  Ce x  Ce x  Ce x  Ce x 4 y    y '''  x  e x 

24 B  Cxe x  Ce x  Ce x  Ce x  Ce x 

 6 A  24Bx  Cxe x  Ce x  Ce x  Ce x   x  e x 24 B  Ce x  6 A  24 Bx  e x  x  24 B  6 A  0, C  1 , 24 B  1  B  1 / 24 A  1 / 6

Por lo tanto la solución particular sería:

yp  6 Por lo tanto la solución general es: 1 1 y  yc  y p  y  C1  C2 x  C3 x 2  C6e x  x3  x 4  xe x 6 24

Ecuaciones Diferenciales

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Por lo tanto las derivadas de la solución general para encontrar las constantes C1 , C2 , C3 y C6  3 4 y '  C2  2C3 x  C6e x  x 2  x 3  xe x  e x 6 24 6 12 y ''  2C3  C6e x  x  x 2  xe x  e x  e x  6 24 y ''  2C3  C6e x  x 

12 2 x  xe x  2e x 24

y '''  C6e x  1  x  xe x  e x  e x  e x  y '''  C6e x  1  x  xe x  3e x

Por lo tanto utilizamos las derivadas junto con las condiciones iniciales para encontrar el valor de las constantes. Por lo tanto sustituimos la condición inicial y(0)  0 y tenemos: 1 1 0  C1  C2 (0)  C3 (0)2  C6e0  (0)3  (0)4  (0)e0 6 24 0  C1  C6

Por lo tanto sustituimos la condición inicial y '(0)  0 y tenemos: 3 4 0  C2  2C3 (0)  C6e0  (0) 2  (0)3  (0)e0  e0 6 24 0  C2  C6

Por lo tanto sustituimos la condición inicial y ''(0)  0 y tenemos: 0  2C3  C6e0  0 

12 2 (0)  (0)e0  2e0 24

2  2C3  C6

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Por lo tanto sustituimos la condición inicial y '''(0)  0 y tenemos: 0  C6e0  1  0  (0)e0  3e0 0  C6  1  3  C6  2

Por lo tanto nuestro sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma: 0  C1  C6  1  C2  C6    C1  2, C2  1, C3  0 2  2C3  C6  2  C6 

Por lo tanto sustituyendo el valor de las constantes tenemos: 1 1 y  2  x  (0) x 2  2e x  x3  x 4  xe x  6 24 1 1 y  2  x  2e x  x3  x 4  xe x 6 24

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