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2012

Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez

Calculo Vectorial

Calculo Vectorial

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: gvilla@ipn.mx


Calculo Vectorial Nombre: Grupo: Calculo Vectorial

Calificación Fecha: 10-09-2012

Instrucciones:  

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60% Cada valor tiene 2 puntos

Problemas Problema 1 Hallar la ecuación de cada una de las esferas que pasen por el punto  5,1,4  y sean tangentes a los tres planos coordenados. Solución Cada esfera tiene una ecuación de la forma

 x  a 2   y  a 2   z  a 2  a 2 Sustituyendo

x  5, y  1, z  4 Nosotros tenemos

 5  a 2  1  a 2   4  a 2  a2 Hacemos el algebra pertinente para poder reducir la ecuación anterior, lo cual se reduce a lo siguiente:

a 2  10a  21  0, lo cual da a  3 ó a  7 Sustituyendo los valores de a tenemos

 x  3 2   y  32   z  32  9  x  7 2   y  7 2   z  7 2  49

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Calculo Vectorial Problema 2 Los puntos  5, 1,3 ,  4,2,1 y

 2,1,0

son los puntos medios de los lados de

un de un triangulo PQR . Hallar los vértices P, Q y R de ese triangulo. Solución Los vértices son  xi , yi , zi  , i  1,2,3 

 x1  x2 y1  y2 z1  z2  , ,     5, 1,3 ; 2 2   2  x1  x3 y1  y3 z1  z3  , ,     2,1,10  ; 2 2 2    x2  x3 y2  y3 z2  z3  , ,     4,2,1 ; 2 2   2 Resolviendo las ecuaciones de manera simultánea tenemos que los vértices son:

 3, 2,2 ,  7,0,4  , 1,4, 2  Problema 3 Hallar el vector v  ai  bj

que poseen las propiedades indicadas. Forma un

ángulo de 30º con el eje x en sentido contrario al de las agujas del reloj y tiene una norma de 2. Solución

v   2cos30º  i   2sen30º  j  3i  j Problema 4 Simplificar la siguiente expresión

a   a  b   b  b  a  Solución

a   a  b   b  b  a   a  a  a  b  b  b  b  a  a  b 2

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Problema 5 Hallar el ángulo formado por la diagonal de un cubo y la diagonal de una de sus caras. Solución

Tenemos a  i  j, b  i  j  k  ab  2  1  1  6   cos   cos     0.62radianes  a b 3 2  3      

  cos 1 

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Calculo Vectorial Primer Departamental