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CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Demostración. Integrando la aceleración a(t) = gj dos veces obtenemos R R v(t) = a(t)dt = gjdt = gtj + c1 R R 1 2 f (t) = v(t)dt = ( gtj + c1 )dt = gt j + c1 t + c2 2 Usando el siguiente hecho v(0) = v 0 y f (0) = f 0 hallamos c1 y c2 c1 = v 0 y c2 = f 00 (t) 1 2 luego f (t) = gt j + v 0 t + f 0 2 utilizando las condiciones iniciales f 0 = hj, v0 = kv 0 k v 0 = xi + yj = kv 0 k cos i + kv 0 k sen j = v0 cos i + v0 sen j 1 2 gt j + (v0 cos i + v0 sen j)t + hj por lo tanto f (t) = 2 1 2 = v0 cos ti + h + v0 sen t gt j 2 Para el movimiento de un proyectil cuando se lanza desde el origen sobre una super…cie horizontal con una rapidez inicial v0 y un ángulo de lanzamiento . (v0 sen )2 Altura máxima ymax = 2g 2v0 sen Tiempo de vuelo t = g v02 Alcance xmax = sen(2 ) g Ejemplo 2.2.2 Un proyectil se dispara con una rapidez inicial de 500 m=s con un ángulo de elevación de 450 Consideremos v0 = 500 m=s, = 450 y g = 9;8 m=s2 (500 sen450 )2 altura máxima ymax = = 6377;55 m 2(9;8) 2 500 sen450 tiempo de vuelo t = = 72;15 s 9;8 5002 alcance xmax = sen(900 ) = 25510;2 m 9;8 Si una función real-vectorial f representa una curva suave C en un intervalo abierto f 0 (t) I entonces el vector T (t) = es un vector tangente unitario a C y el vector N (t) = kf 0 (t)k T 0 (t) con T 0 (t) 6= 0 es un vector normal unitario a C kT 0 (t)k Ejemplo 2.2.3 Para la curva determinada por f (t) = [3sent; 3 cos t; 4t] determine T y N Hallamos v(t) = [3 cos t; 3sent; 4] y kv(t)k = 5 3 cos t 3sent 4 luego T (t) = ; ; 5 5 5 y N (t) = [ sent; cos t; 0]