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Curotto, M. M. : La Metacognición en el Aprendizaje de la Matemática

LA METACOGNICIÓN EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA   Curotto, María Margarita   F a c u lt a d d e C i e n c ia s E x act a s y N at ur al e s , U n i v er s id a d N a c io n a l d e C at a mar ca c u r ot t o4 8@ ya h o o. c o m. ar

   

Metacognition in mathematical learning      Summary Metacognition  is  conceived  as  a  product  of  knowledge,  as  what  we  know  about  our  own  cognitive  functioning;  and  as  a  cognitive  process to the activities of planning, supervision and regulation of  learning.  Using  metacognitive  strategies  in  mathematical  studies  allows  for  our  own  comprehension  to  be  controlled,  errors  to  be  detected and previous knowledge and learning to be regulated.   Among  metacognition‐developing  strategies  there  are  planning,  revision  and  regulation.  Planning  organizes  and  makes  study  material  easier  to  be  understood;  revision  requires  a  comparative  standard  for  the  reaching  of  goals.  They  act  over  attention  and  speed  of  learning  and  make  decisions  taken  possible  to  be  corrected  in  time.  Regulation  revises  comprehension  and  makes  choices  on  what  instruments  to  use  when  thinking  about  such  comprehension.  We  teachers  frequently  use  teaching  methodologies  oriented  to  make  erroneous  students’  ideas  false  and  to  originate  a  cognitive  conflict  in  the  teaching  of  specific  issues.  However,  sometimes  students do not  recognise a conflict between their previous ideas  and  mathematical  concepts  used  in  the  activities  proposed  to  them,  thus  solving  problems  with  inferences  of  their  own  that  do 

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not  have  much  to  do  with  the  discipline.  It  is  necessary  for  students  to  develop  strategies  which  make  them  conscious  of  their  abilities,  of  the  value  of  the  tasks,  and  the  selection  of  variables and procedures adequate to learning.  In  this  work  proposes  an  analysis  to  priori  of  teaching  strategies,  which  intention  is  to  develop  metacognition  in  Mathematics  students,  strategies  that  allow  to  form  to  the  students  in  the  control  of  their  epistemological  conceptions,  in  the  one  of  their  own  comprehension,  formulating  questions,  solving  problems,  regulating and evaluating their own learning.     Key  words:  Metacognition;  Teaching  strategies;  Mathematical  learning.   

    Resumen Se concibe la metacognición como producto del conocimiento que  se  refiere  a  lo  que  sabemos  sobre  nuestro  propio  funcionamiento  cognitivo;  y  como  proceso  cognitivo  a  las  actividades  de  planificación,  supervisión  y  regulación  del  aprendizaje.  La  utilización  de  estrategias  metacognitivas  en  el  estudio  de  la  matemática,  permite  que  se  controle  la  propia  comprensión,  que  se  detecten  errores  y  se  controlen  los  saberes  previos  y  se  regule  el aprendizaje.   Entre  las  estrategias  de  proceso  que  hacen  al  desarrollo  de  la  metacognición,  se  encuentran  la  planificación,  la  revisión  y  la  regulación.  La  planificación  permite  organizar  y  comprender  más  fácilmente  el  material  de  estudio;  la  revisión  requiere  de  un  estándar  de  comparación  que  guía  el  proceso  para  alcanzar  la  meta. Ellas actúan sobre la atención y la velocidad del aprendizaje  y  permiten  tomar  decisiones  que  pueden  ser  corregidas  a  tiempo.  La  regulación  revisa  la  comprensión  y  decide  los  instrumentos  a  utilizar para pensar sobre la misma.   Los  profesores  utilizamos  con  frecuencia  metodologías  de  enseñanza  destinadas  a  falsear  ideas  erróneas  de  los  alumnos  y  originar  el  conflicto  cognitivo  en  la  enseñanza  de  temas  específicos.  Sin  embargo,  en  ocasiones  los  alumnos  no  reconocen  un  conflicto  entre  sus  ideas  previas  y  los  conceptos  matemáticos  que  utilizan  en  las  actividades  propuestas,  solucionando  los  problemas  con  inferencias  propias  que  poco  tiene  que  ver  con  la  disciplina. Es necesario que los estudiantes desarrollen estrategias  que  los  hagan  conscientes  de  sus  capacidades,  del  valor  de  las 

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tareas  y  de  la  selección  de  variables  y  procedimientos  más  adecuados para el aprendizaje.   En  este  trabajo  se  propone  un  análisis  a  priori  de  estrategias  docentes  cuya  intención  es  desarrollar  la  metacognición  en  los  alumnos  en  clases  de  matemática,  estrategias  que  permitan  formar  al  alumno  en  el  control  de  sus  concepciones  epistemológicas,  en  el  de  la  propia  comprensión,  formulando  preguntas,  resolviendo  problemas,  regulando  y  evaluando  su  propio aprendizaje.     Palabras  clave:  Metacognición;  Estrategias  de  enseñanza;  Aprendizaje de la matemática.  

    Introducción   

En  diferentes  proyectos  de  articulación:  de  cátedras  en 

la  universidad  (Coronel,  Curotto,  2008),  de  niveles  (Curotto,  Proyecto  PIDOS,  2006),  de  mejoramiento  de  la  enseñanza  (Curotto,  Coronel,  2005)  hemos  observado  que  los  contenidos  matemáticos,  tanto  en  la  escuela  Primaria,  Secundaria  como  en  la  Universidad  se  tratan  como  contenidos  puntuales,  separados  de  otros  contenidos  matemáticos  o  de  otras  asignaturas.  La  desconexión  existente  parece  mostrar  a  los  alumnos  una  matemática  completamente  separada  en  ramas,  alejada  de  la  realidad  y  poco  útil  para  el  estudio  de  ella  misma  y  de  otras  disciplinas. 

Este 

fenómeno 

mundial, 

informado 

por 

muchos 

investigadores del área (Schöenfeld, 1985; Gascón, 2001; Peralta, 2005)  dificulta  enormemente  la  utilización  de  estrategias  complejas  de  resolución  de  problemas,  dado  que  dicha  construcción  requiere  combinar  técnicas  y  saberes  provenientes  de  diferentes  sectores  y  hasta diferentes áreas del  currículum de  matemáticas.  En este sentido,  Schöenfeld  (1985)  explicita  que  esta  ausencia  de  articulación  entre  los  conocimientos,  herencia  de  la  práctica  tradicional,  descompone  el  saber matemático en pequeñas porciones y asigna a los estudiantes un 

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papel  pasivo  en  la  construcción  y  utilización  de  los  métodos  de  resolución  de  problemas,  papel  que  no  favorece  desarrollar  construcciones  integradas  de  conocimiento.  La  actividad  matemática  es  un  proceso  de  construcción  del  saber  disciplinar,  en  la  que  el  conocimiento  y  los  problemas  son  su  origen  natural,  los  aspectos  metacognitivos aparecen como inseparables de ella.     

Las  consideraciones  anteriores  dan  pie  a  la  propuesta 

que  se  realiza  en  este  trabajo:  explorar  las  estrategias  metacognitivas  que  puedan acompañar la  construcción del conocimiento, el  desarrollo  de  estrategias  cognitivas,  la  integración  de  saberes  y  que  los  docentes  utilicen  en  todos  los  niveles.  Los  problemas  que  se  consideran,  están  pensados  para  la  escuela  media.  Son  ejemplos  que  expresan  formas  posibles  de  desarrollo  de  estas  estrategias,  más  que  la  discusión  sobre  en qué nivel o año puedan utilizarse.       Cognición y metacognición, aspectos relacionados   

La  metacognición  es  el  conocimiento  sobre  los  propios 

procesos  y  productos  cognitivos  y  también  el  conocimiento  sobre  las  propiedades  de  la  información,  sobre  los  datos  relevantes  para  el  aprendizaje  o  cualquier  cosa  relacionada  con  procesos  y  productos  cognitivos  (Flavell,  1976).  Otros  autores,  relacionan  la  metacognición  con el conocimiento sobre las capacidades cognitivas y la regulación de  las  mismas  (Baker,  1985)  y  sostienen  que  existe  una  dimensión  metacognitiva en todas las estrategias (Paris, Lipson y Wixson, 1983).     

La  categorización  de  las  estrategias  de  aprendizaje  ha 

sido  abordada  por  diversos  autores  (Beltrán,  1993;  Cano  y  Justicia,  1993;  Pozo,  1990),  y  en  líneas  generales  suele  existir  un  cierto  acuerdo 

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en  diferenciar  entre  estrategias  metacognitivas,  estrategias  cognitivas  y estrategias de apoyo. Las estrategias cognitivas, como señala Beltrán  (1995),  son  una  especie  de  reglas  o  procedimientos  intencionales  que  permiten al sujeto tomar las decisiones oportunas de cara a conformar  las  acciones  que  caracterizan  el  sistema  cognitivo.  Las  dos  tareas  cognitivas  más  elementales  conciernen  a  la  adquisición  y  al  procesamiento  de  la  información.  Las  estrategias  metacognitivas,  Brown (1987) son aquellas que intervienen en la regulación y control de  la actividad cognitiva del individuo, optimizando los recursos cognitivos  disponibles;  se  destacan  tres  principales:  la  planificación,  la  regulación  y  la  evaluación.  Se  trata  de  tres  procesos  altamente  interactivos,  superpuestos y recurrentes.     

Las  estrategias  metacognitivas  y  las  cognitivas  tienen 

mucho  en  común,  en  ocasiones  no  es  sencillo  distinguirlas,  Swanson  (1990).  También,  muchas  estrategias  cognitivas  son  útiles  para  proporcionar  los  medios  necesarios  para  controlar  el  éxito  de  los  esfuerzos  del  estudiante  (Baker,  1991).  Esto  significa  que  proporcionar  a  los  alumnos  los  medios  para  desarrollar  estrategias  metacognitivas,  permite también considerar aspectos cognitivos del aprendizaje.     

Son 

ejemplo 

de 

estrategias 

metacognitivas 

la 

identificación  de  las  propias  dificultades  durante  el  aprendizaje  y  su  explicitación  como  problema,  la  autoevaluación  del  grado  actual  de  comprensión  de  un  texto,  el  autocuestionamiento  para  comprobar  en  qué  medida  se  domina  un  tema  concreto,  la  evaluación  de  las  probables  dificultades  al  responder  las  preguntas  de  un  examen  (Campanario y otros, 2000).      

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Desarrollo   

En  lo  que  sigue  se  presentan  caracterizaciones  y 

ejemplos de posibles desarrollos de estrategias metacognitivas.    1• La resolución de problemas como pequeñas investigaciones    

Esta  mirada  a  la  resolución  de  problemas  aporta 

recursos  para  operar  menos  mecánicamente  disminuyendo  los  datos  numéricos.  También  promueve  la  expresión  en  lenguajes  matemáticos  diferentes,  el  estudio  y  la  discusión  cualitativa,  la  formulación  de  hipótesis  y  la  propuesta  de  estrategias  para  encontrar  la  solución.  Permite analizar los resultados, con lo que se fomenta la revisión de las  hipótesis formuladas.    Tareas de enseñanza    

El  profesor,  al  plantear  estos  problemas  permite  que  el 

alumno  tenga  una  idea  más  acertada  de  su  actuación  cognitiva  en  el  área,  lo  aleja  de  la  repetición  de  algoritmos  y  lo  acerca  a  la  reflexión  sobre  los  saberes  previos  que  necesita  para  resolver  lo  que  se  le  plantea,  sobre  su  propia  actuación  en  discutir  con  sus  compañeros  los  métodos aplicados a las soluciones encontradas.     

Las  preguntas  explicitadas  en  los  ítemes  pueden  variar 

de acuerdo a lo que  el docente observe en el desarrollo de la  clase,  de  manera  que  los  alumnos  puedan  tener  una  idea  más  acertada  de  su  actuación cognitiva.     1.1‐ Discute con tu compañero qué es mayor: Un número entero elevado  al  cuadrado  más  5;  un  número,  al  que  se  le  suma  5  al  cuadrado;  ó 

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un número más 5, al cuadrado. ¿Puedes escribir las expresiones en  símbolos?      

El  problema  permite  conversar  sobre  la  escritura  de  las 

operaciones con números, el reconocimiento de propiedades y afianzar  el concepto de número entero. Generaliza la idea de número e inicia en  el uso de la escritura de ecuaciones.     1.2‐ La edad de los hijos de María suman su edad: 53 años. Uno de  ellos  tiene  más  de  9  años,  cuántos  puede  tener  el  otro?  Realiza  un  gráfico  para  representar  el  problema.  ¿Podrías  decir  si  hay  datos  en  el  problema  que  no  utilizaste  para  resolverlo?      

Con  este  problema  se  generaliza  la  noción  de  ecuación, 

se  relacionan  contenidos  como  son  la  operatividad  de  las  ecuaciones,  los  datos  numéricos  con  el  álgebra  y  el  lenguaje  gráfico.  Permite  observar que hay problemas con más de un resultado y que en acuerdo  al campo numérico las soluciones varían.     1.3‐  José  fue  al  cajero  automático  a  extraer  dinero  pero  no  se  acordaba  la  clave  que  tiene  4  dígitos.  Sólo  se  acuerda  que  son  dos  cincos,  un  tres  y  un  dos.  ¿Cuántas  veces  tendrá  que  probar  como  máximo  hasta  dar  con  la  clave?  ¿Qué  debías  saber sobre el tema Combinatoria para encontrar la solución?    

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Es  un  problema  que  pone  a  prueba  la  construcción  de 

los diagramas de árbol u otra representación del tema y las expresiones  de  combinatoria  de  los  alumnos.  Ayuda  a  desestructurar  las  concepciones  de  los  conceptos  de  probabilidad  y  azar.  Es  un  intermedio entre la combinatoria y las ideas probabilísticas.     1.4‐  ¿Corresponde  la  ecuación  y  =  2x  +  4  a  la  recta  graficada?  Justifica tu respuesta.  Gráfico 1 

      

Explica  qué  operaciones  tuviste  que  realizar  para 

resolver  la  pregunta.  ¿Hay  datos  en  el  gráfico  que  no  has  usado?,  explica porqué.      

Este problema promueve la aplicación de conocimientos 

a  nuevas  situaciones,  fomenta  el  uso  de  diferentes  lenguajes 

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matemáticos  e  incentiva  la  argumentación  en  las  respuestas.  Este  tipo  de problemas puede construirse a partir de las ideas y preguntas de los  alumnos  y  desarrollarse  luego  para  cubrir  parte  de  los  contenidos  curriculares.      2• Preguntas cortas para contestar por escrito     

Consiste  en  explicar  una  experiencia  realizada,  en 

resolver  un  problema  cualitativo  ó  analizar  un  proceso.  Es  especialmente  útil  en  clases  numerosas.  Requiere  poco  tiempo  y  proporciona  al  profesor  información  relevante  sobre  el  avance  de  los  alumnos (Campanario y otros, 1998).     Tareas de enseñanza     

El  profesor,  en  la  clase,  incentiva  a  los  alumnos  a  que 

observen  sus  errores,  detecten  los  conceptos  que  les  producen  problemas  de  comprensión  y  aspectos  de  la  matemática  que  no  dominan.  Son  oportunidades  de  que  salgan  a  la  luz  las  ideas  erróneas  de  los  alumnos  y  de  que  ellos  puedan  conscientemente  corregir.  La  discusión entre pares es sumamente enriquecedora en este aspecto.    2.1‐  Un  ángulo  es  suplementario  de  otro,  ¿puede  ser  igual  a  su  mitad? ¿Y a su tercera parte?     2.2‐  José  le  contó  a  Miguel  que  multiplicar  no  siempre  agranda,  a  veces achica. ¿Podrías explicar lo que dijo  José? Encuentra  al  menos tres ejemplos.  

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    3• Realización de actividades de materialización     

Se  conciben  como  tareas  de  comparación,  son 

importantes  para  que  los  alumnos  relacionen  la  realidad  con  la  interpretación  matemática.  Corresponden  al  planteamiento  de  ecuaciones,  a  la  manipulación  de  las  mismas,  y  a  la  obtención  de  resultados  numéricos.  Es  una  actividad  especial  para  familiarizarse  con  estimaciones  reales  de  las  magnitudes  que  se  manejen  en  la  Matemática aplicada.    Tareas de enseñanza    

El  profesor  puede  proponer  a  sus  alumnos  problemas 

cuyas  soluciones  impliquen  valores  irreales  o  imposibles,  también  sugerir  a  sus  alumnos  que  se  apoyen  con  un  gráfico  de  ser  productivo.  La reflexión sobre estos temas ayuda a observar al alumno qué conoce  acerca de la aproximación, de los valores posibles y de la utilización de  los diferentes lenguajes matemáticos.    —  3.1‐  Dos  triángulos  rectángulos  tienen  hipotenusas  que  miden  √15  y  4  cm  respectivamente.  ¿Puede  saberse  cuál  de  ellos  tiene  mayor área?     3.2‐  Un  plano  tiene  la  siguiente  ecuación:  x/a  +  y/3  +  z/4  =  1.  Este  plano  corta  a  los  planos  coordenados  en  rectas.  Explora  que  sucede con esas rectas cuando cambia el valor de a. Explica a 

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tu  compañero  tus  conclusiones,  luego  escríbelas  como  justificación de lo que hallaste.     3.3‐  Halla  el  valor  de  b  en  la  ecuación  x/(‐2)  +  y/b  =  1  que  corresponde al gráfico siguiente:      Gráfico 2 

      

Explica  cómo  encontraste  el  valor  de  b.  ¿Cuáles  fueron 

las  operaciones  algebraicas  que  tuviste  que  realizar?  ¿Hubo  datos  que  no utilizaste?, ¿por qué?     3.4‐  ¿Podrías  decir  cuánto  valen  los  ángulos  de  un  paralelogramo  conociendo  uno  solo?  Escribe  un  ejemplo  de  lo  que  piensas. 

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¿Cuáles  propiedades  de  los  paralelogramos  utilizaste  para  resolver la pregunta?    3.5‐  ¿Podrías  construir  un  prisma  con  un  cartón  de  40  x  40  cm 2   si  sus  lados  miden  8,  12  y  20  cm  respectivamente?  ¿Y  uno  con  otras  medidas?  Explora  la  situación  y  da  ejemplos  con  las  medidas de otros lados.    4•  Preguntas  que  realiza  el  profesor  sobre  la  solución  de  algún  problema     Tareas de enseñanza    

El  profesor  puede  preguntar  al  alumno  que  explique 

una  solución  que  haya  realizado.  Lleva  al  alumno  a  expresar  sus  dificultades  en  la  resolución  de  algún  problema,  secuencia  ó  ítem  determinado.  Permite  que  el  estudiante  reflexione  sobre  su  propia  comprensión.  Los  alumnos  también  detectan  lagunas  de  comprensión,  sus  errores  conceptuales  y  la  necesidad  de  insistir  en  aspectos  que  no  dominan.     4.1‐ Dibuja un gráfico que corresponda a la siguiente ecuación:   y  –  2  =  (x  +  4) 2 .  Explica  las  operaciones  algebraicas  que  realizaste para resolverlo.     4.2‐  Al  revisar  una  prueba.  Se  puede  pedir  a  los  alumnos  que  expliquen por qué resolvieron un determinado problema con 

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esa  metodología,  o  explicar  qué  sucedió  cuando  cometieron  un error determinado.       5• Formulación de preguntas por parte de los alumnos     

Es  una  estrategia  importante  de  autoregulación 

cognitiva  (Palincsar  y  Brown,  1984)  pues  obliga  a  los  alumnos  a  concentrarse en el contenido y a representar mentalmente la situación  con  más  profundidad.  También  aporta  a  la  sistematización  de  los  conocimientos y a contrastar los propios con lo que debería saber para  poder formular las preguntas.     Tareas de enseñanza    

Wong,  en  1985,  señala  que  enseñar  a  los  alumnos  a 

formular  preguntas  puede  ayudarlos  a  prestar  atención  a  los  puntos  importantes  de  un  texto  y  a  controlar  el  estado  de  su  propia  comprensión.     5.1‐ Realiza preguntas sobre el siguiente gráfico que te puedan dar  pistas  sobre  la  ecuación  de  la  curva  representada.  Luego  intenta  con  tu  compañero  responderlas  y  propone  una  ecuación.            

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Gráfico 3 

      

Pueden  agregarse  las  coordenadas  de  un  punto  en  el 

gráfico para facilitar la determinación de los parámetros de la ecuación  u otro dato adicional, pero la discusión sobre la “forma” de la misma, la  especulación  sobre  los  posibles  valores  de  los  parámetros  o  la  necesidad de otros datos permite desarrollar procesos de pensamiento  cognitivos y metacognitivos como lo mencionados arriba.    5.2‐  José  encontró  una  hoja  de  su  compañera  Susana.  En  ella  estaba escrito:  y = 3x + a  5 = 3×1 + a  5 – 3 = a  2 = a  y = 3x + 2      

¿Qué  le  preguntarías  para  saber  de  qué  se  trata? 

¿Puedes enunciar un ejercicio que responda a lo escrito?   

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5.3‐  Dos  compañeros  discuten  sobre  un  problema  que  se  les  plantea: el profesor les pidió que encuentren el valor de a en  la ecuación y = ax 2  + 2, y les proporcionó el siguiente gráfico:  Gráfico 4 

      

José  dice  que  a  vale  4  y  María,  que  no  está  de  acuerdo, 

sostiene  que  es  ‐4.  ¿Podrías  encontrar  el  valor  de  a  justificando  tu  respuesta? Da una explicación del valor correcto del parámetro a.       Reflexiones   

Los  recursos  anteriores  proporcionan  una  muestra  de 

cómo  desarrollar  capacidades  metacognitivas  en  los  alumnos.  Algunas  no son recursos nuevos, sino miradas desde una óptica diferente en su  utilidad  en  la  enseñanza.  Otras  estrategias  de  enseñanza  que  aportan 

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también  al  desarrollo  de  las  metacognitivas  son:  problemas  con  soluciones  contraintuitivas,  empleo  de  autocuestionarios,  elaboración  de  un  diario,  uso  adecuado  de  la  bibliografía,  Diagramas  V,  mapas  conceptuales.     

El  profesor  en  el  aula,  puede  utilizar  muchos  recursos 

para  fomentar  el  uso  de  estrategias  metacognitivas  por  los  alumnos.  Estos  recursos  relacionan  los  conceptos  entre  sí,  sobre  todo  aquellos  que  parecen  no  tener  conexión;  ayudan  a  los  alumnos  a  darse  cuenta  de  sus  procesos  de  aprendizaje;  fomentan  la  reflexión  sobre  el  conocimiento  y  las  propias  actitudes  respecto  de  él.  Son  aspectos  importantes para mejorar el aprendizaje de la matemática.      

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Curotto, M. M. : La Metacognición en el Aprendizaje de la Matemática

Referencias

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LA METACOGNICIÓN EN EL APRENDIZAJEDE LA MATEMÁTICA