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高等数学 A(一)基本公式 ——by 严晨光

1.

常数和基本初等函数的导数公式

    x

(1)  c   0 ; (2) x 

 1

; (3) sin 1 x

  cos x ;

2 2 (4)  cos x    sin x ; (5)  tan x   sec x ; (6)  cot x    csc x ;

(7)  sec x   sec x tan x ;

   e

(10) e

x

x

(11)  log a x  

(13)  arcsin x   (15)  arctan x   2.

   a

(8)  csc x    csc x cot x ; (9) a x

1 1  x2

1 ; 1  x2

x

ln a ;

1 1 ; (12)  ln x   ; x ln a x (14)  arccos x    (16)  arc cot x   

1

1  x2

1 ; 1  x2

函数的和、差、积、商的求导法则 设 u  u  x  , v  v  x  都可导,则

3.

(1)  u  v   u  v ;

(2)  cu   cu   c为常数  ;

(3)  uv   uv  uv ;

(4) 

 u  u v  uv v  0   v2 v

反函数的求导法则 设 x  f  y 在区间 I y 内单调、可导且 f  y  0 ,则它的反函数 y  f

1

 x 在

I x  f  I y  内也可导,且

1 dy 1  f 1  x    或  dx f   y  dx dy 4.

复合函数的求导法则

设 y  f  u  ,而 u  g  x  且 f  u  及 g  x  都可导,则复合函数 y  f g  x  的导数 为

dy dy du  或 y  x   f   u  g   x  dx du dx 5.

双曲函数及反双曲函数的导数公式

 sinh x   cosh x , cosh x   sinh x , tanh x  

 arcosh x  

1 x 1 2

,  artanh x  

1 。 1  x2

1

1 1 , arsinh x   , 2 cosh x 1  x2


高等数学 A(一)基本公式 ——by 严晨光

等价无穷小 当 x  0 时,

x  sin x  tan x  arcsin x  arctan x  ln 1  x   e x  1 ; 1  cos x 

1  x 

x2 ; 2

 1   x      ;

a x  1  ln a  a  0, a  1 。 高阶导数

e  x

 n

 ex ;

 sin ax    an sin  ax  n  n



 n

 ,  cos ax  2

   a n cos  ax  n   ; 2 

 1   n  1! ,  1  n   1  n! ; ln x  a       n n 1  xa  x  a  x  a n 1

 n

x  

 n

n

 Pn  x  n , n   ,  x n 

n

 n !,  x n 

k 

 0, k  n ;

设 u  x  和 v  x  都是 n 次可导的,则对任意常数 c1 和 c2 ,它们的线性组合 c1u  x   c2 v  x  也

n

c1u  x   c2v  x 

 n

且  n

 c1  u  x  

线

 n

 c2  v  x   。

设 u  x  和 v  x  都是 n 次可导函数,则它们的积函数也 n 次可导,且成立公式

u  x  v  x 

 n

n

 nk 

  Ckn  u  x   k 0

 v  x   。 k

由参数方程所确定的函数的导数

 x   t  , t是参数, t0  t  t1  确定,其中   y   t  ,

自变量 x 和因变量 y 的函数关系由参数形式 

  t  和  t  都在  t0 , t1  上可导,  t  在  t0 , t1  上严格单调,且    t   0 ,由反函数的求 导法则和复合函数求导法则,

1 dy dy dt d  t  d  x     t       。如果 x    t  和 dx dt dx dt dx   t 

2


高等数学 A(一)基本公式 ——by 严晨光

d  dy  d 2 y dt  dx  y    t  还是二阶可导的, 2  。 dx dx dt 设函数 f  x  在点 x0 的某领域 U  x0  内有定义,并且在 x0 处可导,如果对任

费马定理

意的 x  U  x0  ,有 f  x   f  x0  或f  x   f  x0  ,则 f   x0   0 。

罗尔(Rolle)定理 若函数 f  x  满足:在闭区间  a, b  上连续;在开区间  a , b  内可导;

f  a   f  b  ,则在  a , b  内至少存在一点   a    b  ,使得 f     0 。 若函数 f  x  满足:在闭区间  a, b  上连续;在开

拉格朗日(Lagrange)中值定理

区间  a , b  内可导,则在  a , b  内至少存在一点   a    b  ,使得等式

f  b   f  a   f    b  a  成立。 柯西(Cauchy)中值定理

若函数 f  x  及 g  x  满足:在闭区间  a, b  上连续;在开

区间  a , b  内可导;对任一 x   a, b  ,g   x   0 ,则在  a , b  内至少存在一点   a    b  , 使得等式

f  b   f  a  f    成立。  g  b   g  a  g    o

洛必达(L’Hospital)法则 若函数 f  x  、 g  x 在点 x0 的去心领域 U  x0  内有定义,

gx 且满足:lim f  x    ,lim g  x   (或 lim f  x   0 ,lim g  x   0 ) ;f x  、 x  x0

x  x0

x  x0

o

在 U  x0  内可导,且 g   x   0 ;lim x  x0

泰勒(Taylor)中值定理 导

x  x0

 

f  x f  x  A( A 为常数,也可为  ),则 lim  A。 x  x0 g  x  g  x

设函数 f  x  在含 x0 的某个开区间  a , b  内具有  n  1 阶 对

x   a, b 

f   x0  f  n  x0  2 n f  x   f  x0   f   x0  x  x0    x  x0      x  x0   Rn  x  ,其 2! n! 中 Rn  x  

f  n 1   n 1  x  x0  ,这里  是 x0 与 x 之间的某个值。  n  1!

3


高等数学 A(一)基本公式 ——by 严晨光

曲线的渐近线 垂直渐近线:若 lim f  x    ,则 x  a 为 y  f  x  的垂直渐近线。 xa

水平渐近线:若 lim f  x   b b为一有限数 ,则 y  b 为 y  f  x  的水平渐近线。 x 

斜渐近线:若 lim x 

f  x  a  0 、 lim  f  x   ax   b ,则 y  ax  b 为 y  f  x  的斜渐 x  x

近线。

曲率 弧微分: ds  1  y2 dx 曲率: K  lim

 d   s ds

曲率半径:  

1 K

x 0

y 3 2 2

1  y 

 y 1  y2    x   y 曲率中心:  1  y 2    y   y  2 曲率圆:  x      y      2

2

不定积分

(1) kdx  kx  C k是常数;k  1时,dx  x  C ;

x  1 dx  C    1 (3)   ln x  C ; (2)  x dx  x  1 

(4)

dx

 1 x

2

 arctan x  C ; (5) 

(6) cos xdx  sin x  C ; (8)

dx

 cos

2

x

dx 1  x2

 arcsin x  C ;

(7) sin xdx   cos x  C ;

  sec 2 xdx  tan x  C ;

(9)

dx

 sin

2

x

  csc 2 xdx   cot x  C ;

(10) sec x tan xdx  sec x  C ; (11) csc x cot xdx   csc x  C ;

ax  C  a  0, a  1 ; (12)  e dx  e  C ; (13)  a dx  ln a x

x

(14) sinh xdx  cosh x  C ;

x

(15) cosh xdx  sinh x  C ;

4


高等数学 A(一)基本公式 ——by 严晨光

(16) tan xdx   ln cos x  C ; (17) cot xdx  ln sin x  C ;

(18) sec xdx  ln sec x  tan x  C ;

dx 1 x  arctan  C ; 2 a a a

(19) csc xdx  ln csc x  cot x  C ;

dx 1 xa  ln C ; 2 a 2a x  a

(20)

x

(22)

x dx  arcsin  C ; (23)   ln x  x 2  a 2  C ; 2 2 2 2 a a x x a

(24)

a 2  x 2 dx 

2

(21)

x

2

dx

a2 x x 2 arcsin  a  x2  C 。 2 a 2

分部积分法: udv  uv  vdu

双曲函数和反双曲函数以及他们的性质 sinh x 

e x  e x e x  e x e x  e x ; cosh x  ; tanh x  x ; 2 2 e  e x

arsinh x  ln x  x 2  1 ; arcosh x  ln x  x 2  1 ; artanh x 

1  1 x  ln  ; 2  1 x 

sinh  x  y   sinh x cosh y  cosh x sinh y ; cosh  x  y   cosh x cosh y  sinh x sinh y ; cosh 2 x  sinh 2 x  1 ; sinh 2 x  2sinh x cosh x ; cosh 2 x  cosh 2 x  sinh 2 x 。

5

高等数学A(一)基本公式  

高等数学(上海大学出版社)A(一)基本公式

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