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ANTECEDENTES HISTORICOS

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La geometría sólida que fue desarrollada por Arquímedes La geometría (del griego geo, tierra y metrein, medir), es(287 la rama - 212 a.C.) y que comprende, principalmente, esferas, cilindros y conos. Las secciones cónicas fueron el de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del tema de los estudios de Apolonio en la misma época espacio. El origen del término geometría es una descripción (c.260 - 200 a.C.). viñeta precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se La trigonometría que es la geometría de los triángulos. interesaban por problemas como la medida del tamaño Fue de las desarrollada por Hiparco de Nicea (c. 190 - 120 a.C.). tierras o del trazado de edificaciones. Para llegar a la geometría Puede dividirse en trigonometría plana, para triángulos en un por plano, y trigonometría esférica, para triángulos en fractal hay que hacer un recorrido de miles de años pasando la superficie una esfera. viñeta el Antiguo Egipto y Babilonia, Grecia, Europa y los Estados La geometría proyectiva que tiene su origen en los Unidos de Norteamérica. pintores del Renacimiento, aunque la base matemática Para comenzar, podríamos establecer una primera clasificación inicial la elaboro el arquitecto Filippo Brunelleschi (1377– determinando dos tipos principales de geometría: euclidiana 1446).y Piero della Francesca, Leone Battista Alberti y Alberto Durero reflexionaron sobre las nociones de no-euclidiana. En el primer grupo se encuentran la geometría plana, la geometría sólida, la trigonometría, la geometríaproyección y sección en su afán de entender el problema de la representación plana de un objeto real descriptiva, la geometría de proyección, la geometría analítica y tridimensional, pero fue el arquitecto e ingeniero militar la geometría diferencial; en el segundo, la geometría hiperbólica, Gérard Desargues (1591–1661), el primer matemático la geometría elíptica y la geometría fractal. que expuso estas ideas al publicar en Paris en el año 1639 Parisde el libro: “Brouillon project d’une atteinte aux Planos diédricos de proyección y esfera cuyo eje es la línea ëvénements des rencontres d’un cone avec un plan” tierra. (“Primer borrador sobre los resultados de intersecar un Psudoesfera. cono con un plano”). Los métodos proyectivos permiten a La geometría euclidiana se basa en las definiciones y axiomas Desargues un tratamiento general y unificado de las descritos por Euclides (c.325 - c.265 a.C.) en su tratadocónicas, en contraposición con los métodos clásicos de Apolonio. Elementos, que es un compendio de todo el conocimiento sobre viñeta La geometría analítica que fue inventada por René geometría de su tiempo. Principalmente comprende puntos, Descartes (1596 - 1650), trabaja problemas geométricos a líneas, círculos, polígonos, poliedros y secciones cónicas, que base deen un sistema de coordenadas y su transformación a secundaria se estudian en Matemáticas y en Educaciónproblemas Plástica algebraicos. Se subdivide en geometría analítica plana, para ecuaciones con dos variables, y y Visual. Inspirados por la armonía de la presentación de geometría analítica sólida, para ecuaciones con tres Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del variables. universo. viñeta Dentro de las geometrías euclidianas se encuadran: La geometría diferencial que tiene su origen siglo XVIII, cuando los matemáticos siguiendo los descubrimientos de Descartes, añadieron cálculo diferencial e integral a curvas, superficies y otras entidades geométricas. viñeta

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METODO La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición, entonces es necesario un método riguroso (que no permita deslices). Para conseguirlo, se diferencian tres tipos de enunciados: los axiomas, las definiciones y los teoremas. La geometría euclidiana,1 euclídea o parabólica2 es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides. También es común (abusando del lenguaje) decir que una geometría es euclidiana si no es no euclidiana, es decir, si en dicha geometría se verifica el quinto postulado de Euclides. Ésta denominación está cada vez más en desuso, debido a la pérdida de interés que va teniendo el tema de la posibilidad de trazar paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma. En ocasiones los matemáticos usan las expresiones geometría euclídea o geometría euclidiana para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia son sinónimos de geometría plana o de geometría clásica.

Axiomas Portada de Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema axiomático es aquél que, a partir de un cierto número de proposiciones que se presuponen «evidentes» (conocidas como axiomas) y mediante deducciones lógicas, genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es también lógico.

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Postulado Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1.

Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.

2.

Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.

3.

Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.

4.

Todos los ángulos rectos son congruentes.

5.

Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas

prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos (ver quinto postulado de Euclides). Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como: 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada. Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras, incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría deRiemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una dada).

Limitaciones Euclides asumió que todos sus postulados o axiomas eran autoevidentes y por tanto hechos que no requerían demostración. Sin embargo, resultó que el quinto postulado —si bien es compatible con los otro cuatro— en cierto modo es independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados. Las geometrías donde el quinto postulado no es válido se llaman geometrías no euclidianas. Una limitación del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era válido, es decir, para Euclides y los geómetras posteriores hasta el siglo XVIII pasó inadvertida la posibilidad de geometrías no euclidianas, hasta el trabajo de NikoláiLobachevski, Gauss y Riemann. Si bien durante el siglo XIX se consideró a las geometrías no euclidianas un artefacto matemáticamente interesante e incluso con cierto interés práctico pero limitado, como es el caso de la trigonometría esférica usada en astronomía, en cierto modo se admitió que la geometría del espacio físico era euclidiana y, por tanto, las geometrías no euclidianas eran tan sólo un artificio abstracto útil para ciertos problemas, pero en modo alguno descripciones realistas del mundo. Sin embargo, el trabajo de Albert Einstein hizo ver que entre las necesidades de la física moderna están las geometrías no euclidianas para describir, por ejemplo, elespacio-tiempo curvo. Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más:

Dos circunferencias cuyos centros estén separados por una distancia menor a la suma de sus radios, se cortan

en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción).

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Dos triángulos con dos lados iguales y los ángulos comprendidos también iguales, son congruentes (afirmación

equivalente al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explícitamente).


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CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA Cuerpo Físico: Son las cosas que nos rodean y tienen forma, color, peso, pureza, y ocupan un lugar en el espacio, como por ejemplo: las sillas, autos, edificios, etc. Cuerpo Geométrico: Son aquellos de los cuales la geometría considera solamente su forma y dimensiones, por ejemplo: los conos, esferas, prismas, etc; Los sólidos tienen tres dimensiones que son: largo, ancho y altura. Superficie: Son los límites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea y solamente tiene largo y ancho, por ejemplo: la sombra de un árbol, de un poste, la cara de un cuerpo geométrico, etc.

PUNTOS COPLANARES: Son todos los puntos que están en un mismo plano.

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ANGULO: El รกngulo es una figura formada por 2 semirrectas que tienen el mismo punto inicial.

SEGMENTO: El segmento es una parte de una recta, comprendido entre dos puntos y todos los puntos que estรกn entre ellos.

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LA SEMIRRECTA O RAYO: La semirrecta es una porción de una recta que contiene un punto A y todos los puntos que estén del mismo lado de A, la semirrecta empieza en un punto A y sigue infinitamente.

PUNTOS COLINEALES: Los puntos colineales son lo puntos que están sobre una misma recta.

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Integrantes del equipo Vanesa Angeles Sanches Morales Maldonado Alan Uriel Rojas Ramírez Fernando Ismael García Muños Enrique López Leon Alexis 2IM4

Gabriela villegas

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Geometria euclidiana 2