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Editores: Cesar Sequera María B. Díaz Génesis Velázquez


La teoría de la probabilidad y estadística cobra relevancia cuando nos ayuda a descubrir aspectos del mundo que nos rodea; cuando nos ayuda responder preguntas; cuando nos auxilia a evaluar los riesgos de generalizar a partir de un conjunto de observaciones. Esta es la esencia de la práctica de la estadística: hacer afirmaciones probabilísticas sobre las características de un conjunto de elementos con base en la información que podamos obtener sobre una parte de él. Denotemos con  dicho conjunto. En el marco del tema que nos ocupa, dicho conjunto será llamado población. Los elementos de  pueden ser personas u objetos pero serán llamados, para generalizar, unidades.  Puede ser finito o infinito, es decir, la población puede ser finita o infinita. Si  es finito, denotaremos con N al número de unidades en , es decir: La cantidad de unidades de  es llamada tamaño de la población. Los aspectos relacionados con la extracción de elementos de . este proceso se le llama muestreo, y a las unidades extraídas les llamamos muestra. Los procesos de muestreo se hacen necesarios en la práctica para conocer aspectos de la población sin tener que estudiar a todas sus unidades. Los censos son caros y algunas veces prácticamente imposibles aún cuando el tamaño de la población sea pequeño. Suponga por ejemplo que desea determinar si los ladrillos para la construcción de una obra poseen la resistencia requerida. Para ver si un ladrillo tiene o no dicha resistencia es necesario someterlo a una prueba destructiva. Si para lograr nuestro propósito tuviésemos que probar todos los ladrillos, nos quedaríamos sin construcción. La recomendación es tomar una muestra de ladrillos, probarlos, y con base en los resultados de estas pruebas inferir si el resto están en condiciones de ser utilizados. La variable aleatoria, como muchos Otros conceptos científicos, ha surgido progresivamente a través de su historia y ha Presentado etapas de mayor o menor desarrollo las cuales están delimitadas por eventos Que marcan algún progreso en su conceptualización como el ente matemático que Conocemos actualmente. Este conocimiento proporciona herramientas sobre como se Llegó a comprender y penetrar en el concepto, así como la forma en que algunas Dificultades en su conceptualización han sido superadas por otras personas en la historia.


EL AMIGO DEL JUGADOR Blaise Pascal con Pierre de Fermat elaboró conjuntamente la teoría de la probabilidad, impulsados por un amigo que quería saber cómo repartirse el resto al interrumpir un juego de dados.

¡SALVÓ LA CABEZA! Pierre de Laplace (1749-1827) utilizó el cálculo para explorar la mecánica celeste y promover la teoría de la probabilidad, que denominó «el sentido común reducido al cálculo». Empezó enseñando matemáticas en la Escuela Militar de París, en donde Napoleón era uno de los estudiantes. Durante la revolución no le cortaron la cabeza para que pudiera calcular trayectorias para la artillería.

UN TEÓRICO ESPORÁDICO Pierre de Fermat, además de participar en los honores de elaborar la teoría de la probabilidad, contribuyó a la teoría del número y dio impulso al cálculo diferencial. Pierre de Fermat era magistrado


Variable Aleatoria

Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. Se utilizan letras mayúsculas X, Y,... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y,...) para designar valores concretos de las mismas. Ejemplo 2.- Sea el experimento aleatorio de averiguar la marca de tabaco que preferirá un individuo entre las posibles marcas: <<X>>, <<Y>>, <<Z>>.En este caso la asociación de un número para cada suceso elemental posible del experimento no es inmediata. En consecuencia, se establece una correspondencia entre el conjunto de los sucesos elementales posibles y el conjunto de los números reales, del modo siguiente: Al suceso elemental <<preferir la marca X>> se le hace corresponder el número 1; al suceso elemental <<preferir la marca Y>> se le hace corresponder el número 2; al suceso elemental <<preferir la marca Z>> se le hace corresponder el número 3. La variable aleatoria X será: X = (1, 2, 3). El número asociado a cada suceso elemental puede ser cualquiera dentro del conjunto de los números reales, con la condición única de que a sucesos elementales distintos le correspondan números también distintos. Se comprueba fácilmente que la correspondencia así definida entre el conjunto de los posibles sucesos elementales de un experimento aleatorio y el conjunto de los números reales es una aplicación inyectiva. X Y Z

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Tipos De variables Aleatorias

Variable Aleatoria Discreta Una variable aleatoria discreta X es una función que asigna valores numéricos a los sucesos elementales de un espacio muestral. X: Ω

R

Wi

Xi

Ejemplos El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.

Variables Aleatorias Continuas Una variable aleatoria continua es una función X que asigna a cada resultado posible de un experimento un número real. Si X puede asumir cualquier valor en algún intervalo I (el intervalo puede ser acotado o desacotado), se llama una variable aleatoria continua.. Ejemplos La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.


Función de Densidad La función de densidad de una variable aleatoria X permite trasladar la medida de probabilidad o “suerte” de realización de los sucesos de una experiencia aleatoria a la característica numérica que define la variable aleatoria. Designando por f a la función de densidad X, distinguiremos el caso discreto, donde los posibles valores de X forman un conjunto discreto (finito o numerable), del continuo, donde el recorrido de la variable aleatoria es un intervalo de la recta real : 

Si X es discreta su función de densidad se define por

En el caso de que X sea continua su función de densidad debe permitir expresar F, la función de distribución de probabilidad de X , en forma integral:

Función de distribución Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función: F(x) = p(X ≤ x) La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.


Esperanza Matemática La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombres de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas. Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.

Varianza La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza se representa por

(Función de distribución acumulada) La función de distribución acumulada se define como la probabilidad de que la variable tenga un valor inferior o igual a . En concreto:


La función de distribución acumulada debe cumplir:

1. Límite inferior: 2. Límite superior: 3. Monotonía:

es creciente.

4. Probabilidad de un rango:


Ejemplos Variable aleatoria discreta Ejemplo 1: lanzamos una moneda, si sacamos cara C recibimos 1 bolívar y si sacamos sello S pagamos un bolívar. ¿Cómo es la variable aleatoria X que mide la ganancia? Solución: El espacio muestral es Ω = {C, S} entonces se tiene X: Ω

R

C

1

S

-1

Ejemplo 2: Sea X una variable aleatoria discreta. Determine el valor de k para que la función f (x)=k / x, x = 1, 2, 3, 4, sea la función de probabilidad de X. Determine además P (1 =< X =< 3). 1) f(x) ha de sumar 1 k + k/2 + k/3 + k/4 = 1 k(1+1/2+1/3+1/4) = 1 k*25/12 = 1 k=12/25 f(x)=12/(25x) P(1<=X<=3) = f(1) + f(2) + f(3) = 12/(25*1) + 12/(25*2) + 12/(25*3) = 12/25 + 12/50 + 12/75 = 22/25 = 0.88

Ejemplos Variables Aleatorias Continuas Tome para X la temperatura de una persona enferma, tomada con un termómetro de mercurio con una escala de 70° hasta 120°. Entonces X esta en el intervalo de [70°,120]


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